Квантовые компьютеры. Надежды и реальность

К.А.Валиев, А.А.Кокин КВАНТОВЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ: НАДЕЖДЫ И РЕАЛЬНОСТЬ Ижевск: РХД, 2001, 352 стр.

Предлагаемая монография представляет собой первую отечественную попытку систематического изложения как математических, так и физических основ квантовых вычислений и принципов работы квантовых компьютеров. В ней определены необходимые понятия квантовой теории информации, описаны основные квантовые логические операции и квантовые алгоритмы: обсуждаются ограничения, препятствующие полномасштабным квантовым вычислениям, и возможные пути их преодоления; детально рассматриваются отдельные варианты уже реализованных прототипов квантовых компьютеров и пока нереализованных предложений, а также анализируются их преимущества, недостатки и проблемы реализации. В книгу включены некоторые результаты, полученные авторами. Содержание книги отражает опыт исследований, накопленный на 2000-й год, и отраженный, главным образом, в зарубежной периодической литературе и Интернете. Книга представляет интерес для широкого круга специалистов — математиков, физиков и инженеров-разработчиков вычислительных систем. Она будет также полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов соответствующих специальностей. Содержание Предисловие 9 Введение 12 Глава 1. Преобразование информации в квантовых системах 20 1.1. Необратимые и обратимые классические информационные процессы 20 1.1.1. Информационная энтропия Шеннона. Количество информации 20 1.1.2. Термодинамический предел для энергии переключения 23 логического элемента 1.1.3. Пропускная способность информационного канала. 23 Энергетическая цена передаваемого бита информации 1.1.4. Обратимые логические операции и обратимые вентили 25 1.2. Основные понятия квантовой теории информации 29 1.2.1. Оператор (матрица) плотности. Чистое и смешанное состояние 29 1.2.2. Энтропия фон Неймана 31 1.2.3. Взаимная информация. Информация Холево 33 1.3. Квантовые двухуровневые информационные ячейки-кубиты 35 1.4. Запутывание квантовых состояний 39 1.4.1. Чистые состояния 39 1.4.2. Смешанные состояния 45 1.5. Декогерентизация 50 1.5.1. Основные понятия 50 1.5.2. Точно решаемая квантовая модель декогерентизации 55 Литература 61 Глава 2. Квантовые вычисления 66

2.1. Основные квантовые логические операции 2.2. Некоторые квантовые алгоритмы 2.2.1. Формирование запутанного состояния 2.2.2. Задача Дойча 2.2.3. Квантовая телепортация 2.2.4. Клонирование сигнального состояния 2.2.5. Квантовое фурье-преобразование 2.2.6. Алгоритм факторизации Шора 2.2.7. Алгоритм Гровера поиска в базе данных 2.3. Помехоустойчивость квантовых вычислительных процессов 2.3.1. Коррекция квантовых ошибок путем кодирования сигнала 2.3.2. Универсальные помехоустойчивые квантовые вычисления 2.3.3. Помехоустойчивые квантовые вентили с телепортацией квантовых состояний Приложение П.2. Квантовое вейвлет-преобразование П.2.1. Некоторые общие сведения П.2.2. Построение ортонормированного вейвлет-базиса П.2.3. Дискретное вейвлет-преобразование П.2.4. Вейвлет-преобразование Хаара П.2.5. Квантовое вейвлет-преобразование как альтернатива фурьепреобразованию в алгоритме факторизации Шора Литература Глава 3. Квантовый компьютер на ионах в ловушках 3.1. Основные требования, выполнение которых необходимо для реализации любого полномасштабного квантового компьютера 3.2. Ловушки для ионов и нейтральных атомов 3.2.1. Электромагнитная ловушка Пеннинга 3.2.2. Ловушка Пауля 3.2.3. Ловушки для нейтральных атомов. Оптические решетки 3.3. Лазерное охлаждение ионов 3.4. Колебательное движение ионов в линейном ионном кристалле 3.5. Внутренние кубиты на ионах в ловушке 3.6. Взаимодействие между кубитами через посредство фононного кубита. Двухкубитовые операции 3.7. Считывание результатов вычислений в квантовом компьютере на ионах в ловушке 3.8. Лазерные системы квантового компьютера на ионах в ловушке 3.9. Оптическая система адресации к отдельным ионам в кристалле 3.10. Декогерентизация состояний в квантовом компьютере на ионах в ловушке 3.10.1. Декогерентизация состояний, обусловленная не идеальностью управления кубитами с помощью лазерных импульсов 3.10.2. Декогерентизация состояний внутренних кубитов на ионах в ловушке

66 70 70 71 74 79 81 86 92 95 95 99 103 104 104 106 108 111 114 116 121 121 123 123 124 132 134 139 143 146 150 151 153 156 158 159

3.10.3. Декогерентизация состояний колебательного кубита на ионах в ловушке 3.11. Точность воспроизведения квантовых логических операций и аккумулирование ошибок при квантовых вычислениях 3.12. Основные выводы Литература Глава 4. Жидкостные ядерные магнитно-резонансные (ЯМР) квантовые компьютеры 4.1. Общие принципы 4.2. Матрица плотности квазичистого состояния 4.2.1. Переход от смешанного равновесного состояния к квазичистому состоянию 4.2.2. Приготовление квазичистого начального состояния методом логической метки 4.2.3. Приготовление квазичистого состояния методом пространственного усреднения 4.2.4. Приготовление квазичистого состояния методом временного усреднения 4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР 4.3.1. Однокубитовые квантовые операции 4.3.2. Двухкубитовый вентиль CNOT 4.3.3. Исключение влияния паразитных естественных процессов в двухкубитовых операциях 4.4. Экспериментальная реализация квантовых вычислений 4.4.1. Примеры реализации двухкубитовой операции CNOT 4.4.2. Реализация алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера на двухкубитовом компьютере 4.4.3. Квантовые операции в системах с более, чем двумя кубитами 4.5. Подавление декогерентизации в ЯМР квантовых компьютерах 4.5.1. Метод контролируемого усреднения 4.5.2. Модель последовательности идеальных мгновенных импульсов 4.6. Перспективы ансамблевых жидкостных ЯМР квантовых компьютеров Приложение П.4 П.4.1. Развязка с зеемановскими взаимодействиями с помощью неселективного импульса П.4.2. Пример двухкубитового оператора, осуществляемого двумя неселективными импульсами П.4.3. Элементарные сведения о геометрической фазе Берри Литература Глава 5. Твердотельные ЯМР квантовые компьютеры 5.1. Полупроводниковый ЯМР квантовый компьютер (модель Кейна) 5.1.1. Основные требования к полупроводниковой структуре 5.1.2. Электрон-ядерная спиновая система донорного атома в магнитном поле

161 162 165 168 171 171 174 174 177 180 180 182 182 186 191 194 195 199 203 207 208 211 214 219 219 220 222 223 228 228 228 231

5.1.3. Электронная структура и постоянная сверхтонкого взаимодействия донорного атома в электрическом поле затвора 5.1.4. Электрон-ядерная спиновая система двух соседних донорных атомов 5.1.5. Измерение состояний отдельных ядерных спинов в полупроводниковом ЯМР квантовом компьютере 5.2. Полупроводниковый ЯМР квантовый компьютер, контролируемый СВЧ и лазерными импульсами 5.3. Ансамблевые варианты твердотельных ЯМР квантовых компьютеров 5.4. Квантовые компьютеры с архитектурой клеточных автоматов 5.4.1. Квантовые автоматы на трех и двух типах двухуровневых элементов 5.4.2. ЯМР квантовый клеточный автомат на основе антиферромагнитной структуры Приложение П.5. Двухкубитовая операция CNOT в ЯМР квантовом клеточном автомате Литература Глава 6. Твердотельные квантовые компьютеры на квантовых точках 6.1. Клеточные автоматы на ячейках из квантовых точек с зарядовой поляризацией 6.2. Клеточные автоматы на квантовых точках с электронной спиновой поляризацией 6.3. Квантовые компьютеры на квантовых точках с электронными зарядовыми (орбитальными) состояниями 6.3.1. Кубиты на паре квантовых точек с зарядовыми состояниями 6.3.2. Кубит на одной квантовой точке, разделенной управляемым потенциальным барьером 6.4. Квантовые компьютеры на квантовых точках с электронными спиновыми состояниями 6.4.1. Квантовые точки с электронными спинами, связанными обменным взаимодействием 6.4.2. Квантовые точки с электронными спинами в электродинамическом резонаторе 6.5. Квантовые компьютеры на квантовых точках с несколькими электронными и одним ядерным спином Литература Глава 7. Квантовые компьютеры на сверхпроводниковых элементах 7.1. Основные типы сверхпроводниковых кубитов 7.1.1. Кубиты на зарядовых состояниях куперовских пар в сверхпроводниковых островках 7.1.2. Кубиты на флуксоидных состояниях в сверхпроводящих квантовых интерференционных приборах 7.1.3. Вариант кубита на переходах Джозефсона в высокотемпературных сверхпроводниках

234 240 249 254 259 267 267 270 280 282 286 286 293 296 296 305 306 306 313 318 323 326 326 327 330 332

7.2. Квантовый компьютер на сверхпроводниковых островках с переходами 334 Джозефсона 7.3. Диссипация и декогерентизация в сверхпроводниковых устройствах на 336 обычных сверхпроводниках 7.4. Экспериментальная реализация сверхпроводникового кубита 337 Литература 339 Заключение 341 Предметный указатель 346 Предметный указатель Вейвлет-преобразование Хаара 111, α-аланин 204 115 1-хлоро, 2-нитро, бензола, 205 Вектор Блоха 38 2,3-дибромопропановая, кислота, 206 - состояния 29 2,3-дибромотиофен, 177, 195 Векторная модель 188 Адиабатическая динамическая Вентиль Тоффоли 14, 28, 70 логика 26 - Фредкина 14, 28 Адиабатическое быстрое Взаимная информация 33 прохождение резонанса 253 Взаимодействие Рудерман- переключение 290 Киттелевского 247 - приближение 52, 334 - Сул-Накамуровское 278 - прохождение резонанса 331, 332 - беспроводное 289 Аккумулирование погрешностей 164 - диполь-дипольное 231, 303 Алгоритм Гровера 92, 199, 202 - обменное 240, 306 - Добешьи 108 - сверхтонкое 231 - Дойча-Джозса 71, 199 - скалярное 243 - Евклида 87, 90 - спиновое косвенное 245, 260, 271 - Кули-Тьюки 85 - суперсверхтонкое 256 - Меллата 108 Волны зарядовой плотности 292 - факторизации Шора 86, 114 - спиновой плотности 294 Амплитуда туннелирования 331 Временное усреднение 180 Ансамблевый квантовый компьютер Время декогерентизации 51, 92, 308 172, 259 - дефазировки 322 Антипересечение состояний 241, 244, - корреляции 53, 210 246, 264, 329, 331 - релаксации поперечное 52 Антиферромагнетик 270, 277 - - спин-решеточное 52 Антиферромагнитное упорядочение - - энергии 51 263, 277, 294 - спин-спиновой релаксации 308 Апостериорная (условная) энтропия Выжигание дырок 316 Шеннона 34 Гайзенберговский спиновый Априорная энтропия Шеннона 34 гамильтониан 102, 294, 309 Базис Белла 75 Гайзенберговское представление 299 Базисные состояния 15 Гамильтониан Кальдейры-Леггетта Боровский радиус 229, 241, 247 55 Булевые состояния 21 - Хаббарда 288

- средний 210 Гематит 279 Генератор ошибок 102 Гетероструктура 286, 307 Гетероядерная система 180, 198 Гильбертово пространство 14 Гомоядерная система 177, 254, 271 Двумерный электронный газ 260, 286 Двухкубитовые вентили 68 - операции 122, 146, 148, 186, 195, 277, 280, 300 Девиация матрицы плотности 175 Декогерентизация 30, 50, 55, 122, 156, 159, 161, 248, 278, 300 - коллективная 186 Диадные интервалы 106 Диметилсульфоксид 206 Длина декогерентизации 54 - фильтра 109 Дочерняя базисная функция 105 Задача Дойча 71 Закон Мура 13 Запутанность очищенная 48 - содействия 48 - формирования 46 Запутывание состояний 39 Импульс неселективный 190, 192, 193 - селективный 184, 190, 192 Импульсы рефокусирующие 191, 192 Инвертор 290, 295 Инициализация 15 - состояний 122 Инозин 206 Информационная энтропия Шеннона 20 Информация Холево 33, 34 - достижимая 35 Кантилевер 252, 265 Квазидвумерная структура 294 Квазиэнергии 210 Квант магнитного потока 330 Квантовая двухуровневая система (кубит) 35

- телепортация 74, 103 - эффективность фотодетектора 311 Квантовое вейвлет-преобразование 91, 104 - сопротивление 336 - фурье-преобразование 81 Квантовые клеточные автоматы 267, 270, 286, 287, 293 - точки с зарядовой поляризацией 286 - - с зарядовыми состояниями 296 - - с электронной спиновой поляризацией 293, 306 Квантовый ансамбль приведенный 173 - вентиль 66 - канал 74, 76 - оракул 72 - параллелизм 15, 40, 86, 88 - регистр 81 - эффект Холла 260 Клонирование сигнального состояния 79 Когерентная суперпозиция 14, 36, 332 Количество информации 20 Коллапс волновой функции 54 Контролируемое НЕ (CNOT) 28, 68 - усреднение 208 Контролируемый обмен (CSWAP) 28 Концентрация запутанности 45 Корректирующие коды 96, 99 Криптография 40, 91 Кубит 14, 36 - запутанности - забит 43 - контролируемый 68, 188, 277, 280 - контролирующий 68, 188, 277, 280 - логический 99, 272 - физический 99 Кубиты внутренние 139, 143 - на зарядовых состояниях куперовских пар 327 Кулоновская блокада 307, 328 Куперовские пары 327 Легкая ось 278

- плоскость 278 Лемма Клейна 33 Ловушка Пауля 124 - Пеннинга 123 Ловушки для ионов 121, 123 - для нейтральных атомов 132 Логическая метка 178 Логические операции квантовые 14, 66 - - обратимые 14, 25 МОП-структура 228, 297, 301 Магнитно-резонансный силовой микроскоп (MRFM) 252, 265 Малоновая кислота 214 Материнская базисная функция 105 Матрица Паули 298 Мера запутанности 43 Модель Кейна 228 - Хаббарда 294 Монотоны запутанности 78 Напряжение плоских зон 302 Населенность состояний 39, 173 Несепарабельное состояние 41 Обменное взаимодействие 240, 306 Однокубитовые квантовые вентили 185 - операции 122, 146, 182, 274 Однофотонная отдача 139 Одноэлектронный транзистор 250, 251 - турникет 251 Оператор Адамара 67, 146, 185 - Паули 315 - Уолша-Адамара 67 - контролируемого изменения фазы 68 - неунитарный 173 - обмена 69 - плотности 29 - поворота 184 - унитарный 173 Операторы рождения 288, 297 - уничтожения 288, 297 Операция инверсии НЕ (NOT) 66, 300

- обмена SWAP 69 Операция НЕ (NOT) 301 Оптическая патока 138 - система адресации 153 Оптические решетки 132, 133 Отцовская функция масштабирования 107 Охлаждение лазерное 134 - сизифово 133, 139 Очистка запутанности 45 Параметр Лэмба-Дика 147 - поляризации 288 Пересечение состояний 241, 328 Переход Джозефсона 327 Подпространство, свободное от декогерентизации 101 Помехоустойчивость квантовых вычислительных процессов 95, 99 Порог точности 99 Постоянная анизотропии 278 Принцип Ландауера 25 Проблема NP 14 Проекционный оператор 29 Пропускная способность канала 23 Пространственное разделение ансамбля 180 - усреднение 180 Псевдооператоры Адамара 187 Псевдоспин 303, 307, 329 Пятиточечная ячейка 287 Разложение Магнуса 209 - Шмидта 42, 77 Редукция (коллапс) квантового состояния 32 СВЧ-импульс 254, 256 Сверхпроводниковые элементы 326 Сверхпроводниковый квантовый интерференционный прибор (сквид) 330 - островок 327 Сверхтонкое взаимодействие 231, 234 Селективная развязка 192

Сепарабельность состояния 35 Сжатие информации 45 Сизифово охлаждение 133, 139 Симметричное состояние 244 Синглетное состояние 44, 102, 241, 249, 319 Скалярное произведение 172 Следящая система координат 209 Согласованность 44 Состояние Белла 323 - Гринбергера-Хорна-Цейлингера (GHZ) 323 - квазичистое 174 - сепарабельное 50, 216 - симметричное 244 - смешанное 30 - чистое 29 - шредингеровского кота 53, 75 Состояния антипересекающиеся 241, 244, 246, 264, 329, 331 - булевые 12, 81 - флуксоидные 330 Спин-волновое приближение 277 Спиновые волны 277, 294 Спиновый гамильтониан 231, 240, 256 - фильтр 251, 311 Стробоскопическая выборка 210 Супероператор 173 Суперотбор 51 Суперсверхтонкое взаимодействие 256 Сфера Блоха 38 Телепортация квантовая 40 Теорема Вуттерса и Зурека 80 - Левитина-Холево 34 - Нильсена 77 - Шумахера 46 Теория многоуровневого разрешения 106 Термодинамический предел для энергии переключения 23 Точка пересечений 241 Точность воспроизведения 31, 162

Транс-кротоновая кислота 207 Триплетное состояние 241, 250, 319 Трихлорэтилен 204 Удержание 286, 307 Унитарное преобразование Добешьи 109 Унитарные преобразования 16, 297 Унитарный преобразования 66 Уровни Ландау 260, 319 Условие компактности 106, 111 - цикличности 212 Уширение резонансной линии неоднородное 52 - однородное 52 Фаза Берри 199, 222 Фильтры Добешьи 108, 109 - зеркальные 109 Флуксоидные состояния 330 Флуктуации напряжения 248 Флюорапатит 265 Формула Блоха 58 - Брейта-Раби 232 - Ферми 231 - Шеннона 24 Функции зеркальные 109 - масштабирования 107 - сбалансированные 71 Хлороформ 198 Цикл антисимметричный 210 - симметричный 210 Циклическая последовательность импульсов 209 Цитозин 199 Частота Раби 233, 314 Число "магическое" 320 - Шмидта 44 Шумы 1/f, 249, 310 Энергетическая цена 24 Энергия переключения 23 Энергия связи Джозефсона 328 Энтропия Шеннона 32 - запутанности 43 - - относительная 48 - информационная 21

- физическая 20 - фон Неймана 31 Эффект Допплера 135 Эффективная масса 231, 235

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) 52 - спин 121, 171, 228