Факториальные кольца: Методическое пособие

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет

Г. С. Мурзинова

Факториальные кольца Методическое пособие

Екатеринбург 2002

Г. С. Мурзинова. Факториальные кольца: Методическое пособие / Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 2002.

В пособии рассматривается один из важных вопросов алгебры — разложение на простые множители в различных классах колец. Приведены примеры числовых колец, в которых нет разложения на простые множители, а также примеры с неоднозначным и однозначным разложением. Данное пособие можно рекомендовать студентам математических специальностей педагогических вузов для изучения раздела "Теория колец"в курсе алгебры. Оно может также использоваться для чтения спецкурсов и проведения спецсеминаров по абстрактной алгебре.

1

Содержание 1 Область целостности

4

2 Квадратичные кольца

5

3 Обратимые элементы

7

4 Отношение делимости в области целостности

10

5 Простые и составные элементы области целостности

11

6 Кольца с факторизацией

12

7 Факториальные кольца

16

8 Евклидовы кольца

19

9 Алгоритм Евклида

20

10 Факторизация в евклидовых кольцах

22

2

Предисловие В курсе алгебры доказывается так называемая основная теорема арифметики: любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых множителей и притом единственным способом, с точностью до порядка следования сомножителей. Аналогичное утверждение имеет место и в кольце многочленов P [x]. При решении многих вопросов удобно иметь разложение элементов кольца на простые множители. Однако не во всяком кольце такое представление существует, а если и существует, то не всегда единственно. Возникает вопрос, в каких кольцах элементы можно представить в виде произведения простых множителей, и при каких условиях такое разложение единственно. Этим вопросам и посвящено данное пособие. В начале работы вводится понятие области целостности и рассматриваются некоторые числовые кольца — квадратичные кольца. В них в дальнейшем решаются вопросы факторизации элементов. Затем излагается общая теория делимости в области целостности, понятия простых и составных элементов. Параграфы 6 и 7 посвящены вопросам существования и единственности факторизации элементов кольца. Далее вопрос факторизации решается в классе евклидовых колец. В дальнейшем используются следующие обозначения: буквами N , Z , Q, R, C обозначены соответственно множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. P [x] обозначает кольцо многочленов от переменной x над полем P , deg f (x) — степень многочлена f (x).

3

1

Область целостности Напомним определение кольца, известное из курса алгебры.

Определение. Множество K, на котором заданы две бинарные операции сложение и умножение, называется кольцом, если 1. ∀a, b ∈ K a + b = b + a; 2. ∀a, b, c ∈ K a + (b + c) = (a + b) + c; 3. ∃0 ∈ K ∀a ∈ K a + 0 = a; 4. ∀a ∈ K ∃ − a ∈ K a + (−a) = 0; 5. ∀a, b, c ∈ K a(b + c) = ab + ac ∧ (b + c)a = ba + ca. Из первых четырех аксиом определения кольца следует, что K относительно операции сложения является абелевой группой. Если операция умножения в кольце K обладает свойством ассоциативности (коммутативности), то K называется ассоциативным (коммутативным) кольцом. Если в кольце существует нейтральный элемент относительно операции умножения, то есть такой элемент e, что для любого элемента a из K ae = ea = a, то e называется единицей кольца K, а K — кольцом с единицей. Определение. Подмножество A кольца K называется подкольцом, если A является кольцом относительно операций + и ·, определенных в K. Напомним без доказательства признак подкольца. Теорема. Непустое подмножество A кольца K является подкольцом тогда и только тогда, когда: 1. ∀a, b ∈ A a + b ∈ A, ab ∈ A; 2. ∀a ∈ A − a ∈ A. Если a 6= 0 и b 6= 0, а ab = 0, то элементы a и b кольца K называются делителями нуля. В дальнейшем под понятием «кольцо» будем понимать ассоциативное кольцо. Интересно отметить, что не всегда единица всего кольца совпадает с единицей его подкольца. В качестве примера рассмотрим кольцо квадратных матриц второго порядка с рациональными элементами и его подкольцо ¾ ½µ ¶¯ a a ¯¯ a∈Q . B= a a ¯ Нетрудно матрица µ 1 1 ¶ видеть, что единицей подкольца B является ¶ µ 1 0 2 2 всего кольца. , которая не совпадает с единицей E = 1 1 0 1 2 2

Определение. Коммутативное кольцо с единицей 1 6= 0 и без делителей нуля называется областью целостности.

4

Понятие области целостности возникло как обобщение кольца целых чисел. Приведем примеры различных типов колец. 1. Множество целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения является областью целостности. 2. Множество всех квадратных матриц порядка n с действительными элементами является некоммутативным кольцом с единицей и делителями нуля при n ≥ 2. 3. Пусть p1 , p2 , . . . , pn — попарно различные простые числа. Рассмотрим множество ¯ ª © Z (p1 , p2 , . . . , pn ) = apk11 pk22 · · · pknn ¯ a, ki ∈ Z

Множество Z (p1 , p2 , . . . , pn ) является областью целостности. 4. Множество Q[p1 , . . . , pn ] =

na

¯a o ¯ pk11 · · · pknn ¯ ∈ Q, (ab, pi ) = 1 или a = 0, ki ∈ N ∪ {0} b b

является областью целостности.

5. Множество Z [i] = {a + bi | a, b ∈ Z } является областью целостности.

√ √ 6. Множество Z [ −6] = {a + b −6 | a, b ∈ Z } является областью целостности.

Упражнения 1. Доказать, что если подкольцо кольца Z содержит единицу, то оно совпадает с Z. 2. Решить примеры 3, 4, 5, 6. ¶¯ ½µ ¾ a a ¯¯ 3. Доказать, что множество B = a ∈ Q является областью целостa a ¯ ности. 4. Доказать, что область целостности, состоящая из конечного числа элементов, является полем.

2

Квадратичные кольца

Введем один класс числовых колец, который будет использоваться в дальнейшем. Пусть целое √ число k отлично от 1 и не делится на квадрат простого числа. Если k > 0, то k обозначает p арифметическое значение квадратного корня, а если √ k < 0, то положим k = i |k|. Нетрудно показать, воспользовавшись признаком подполя, что множество n o √ √ Q( k) = x + y k|x, y ∈ Q

5

√ является полем. На множестве Q(√ k) определим следующим образом две функции √ — алгебраическую норму n(x + y k) и след s(x + y k): √ 2 2 n(x + y k) √= x − ky , s(x + y k) = 2x. Нетрудно видеть, что алгебраическая норма обладает свойством полной мульти√ пликативности, то есть для любых a и b из Q( k) n(ab) = n(a)n(b). √ √ Обозначим через Z [ k] множество всех целых чисел поля Q( k), для которых алгебраическая норма и след являются целыми числами. Из определения числа k следует, что k ≡ 1 (mod 4), либо k ≡ 2 (mod 4), либо k ≡ 3 (mod 4). 1. Пусть k ≡ 2 (mod 4), или k ≡ 3 (mod 4). Покажем, что n o √ √ Z[ k] = x + y k|x, y ∈ Z .

√ Ясно, что любой элемент из Z [ k] имеет целую норму и след. С другой стороны, √ √ если число x + y k из Q( k) имеет целую норму и след, то x2 − ky 2 , 2x ∈ Z . Тогда либо x ∈ Z , либо x = x1 + 21 , где x1 ∈ Z . Если x ∈ Z , то ky 2 ∈ Z и, следовательно, y ∈ Z . Пусть x = x1 + 12 . Поскольку для некоторого целого t x2 − ky 2 = t, то y 2 = 1 (4x21 + 4x1 − 4t + 1). Поэтому y = y1 + 12 , где y1 ∈ Z . Заменяя x и y в выражении 4k √ учетверенной алгебраической нормы числа x + y k, получим 4(x2 − ky 2 ) = 1 − k + 4(x21 + x1 − ky12 − ky1 ). Это равенство может выполняться только тогда, когда k ≡ 1 (mod 4), что противоречит условию. 2. Пусть k ≡ 1 (mod 4). Докажем, что в этом случае ½ ¾ √ x y√ .. + k|x, y ∈ Z , (x − y).2 . Z [ k] = 2 2 Значения алгебраической нормы и следа в этом кольце определяются формулами ³ √ ´ n x2 + y2 k = 41 (x2 − ky 2 ) , ³ √ ´ y x s 2 + 2 k = x. √ . Очевидно, что s( x2 + y2 k) ∈ Z . Так как (x − y)..2, то либо x = 2s и y = 2t, либо x = 2s + 1 и y = 2t + 1. В первом случае при любом значении k 41 (x2 − ky 2 ) ∈ Z . Во втором случае 41 (x2 − ky 2 ) = 41 (4s2 + 4s + 1 − k(4t2 + 4t + 1)) ∈ Z , так как √ k ≡ 1 (mod 4). Таким образом, все элементы кольца Z [ k] имеют целые норму и след. √ √ Обратно, пусть для некоторого числа x + y k из Q( k) √ √ n(x + y k), s(x + y k) ∈ Z .

6

x2

Тогда x = x21 , где x1 ∈ Z . Поскольку 41 − ky 2 ∈ Z , то y = y21 , где y1 ∈ Z , при¡ ¢2 ¡ ¢2 чем условие x21 − k y21 ∈ Z выполняется только тогда, когда x1 и y1 имеют . одинаковую четность, т.е. (x1 − y1 )..2. √ Кольцо Z [ k] называется квадратичным кольцом детерминанта k. Упражнения √ 1. Доказать, что множество Q( k) является полем. 2. Доказать свойство полной мультипликативности алгебраической нормы. √ 3. Доказать, что множество ½ {x + y k|x, y ∈ Z } при ¾k ≡ 2 √ . k ≡ 3 (mod 4) и множество x2 + y2 k | x, y ∈ Z , (x − y) .. 2 при k≡1

3

(mod 4) или

(mod 4) являются областями целостности.

Обратимые элементы Пусть K — кольцо с единицей e.

Определение. Элемент ε кольца K называется обратимым, если в K существует такой элемент η, что εη = ηε = e. Элемент η в этом случае называется обратным элементом к ε и обозначается ε . −1

Теорема. Множество всех обратимых элементов кольца с единицей является мультипликативной группой. Доказательство. Пусть G — множество всех обратимых элементов кольца K с единицей e и ε, δ ∈ G. Тогда (εδ)(δ −1 ε−1 ) = ε(δδ −1 )ε−1 = (εe)ε−1 = εε−1 = e, (δ −1 ε−1 )(εδ) = δ −1 (ε−1 ε)δ = δ −1 (eδ) = δ −1 δ = e. Следовательно, элемент εδ также обратим и εδ ∈ G. Поскольку G ⊆ K, то операция умножения в G ассоциативна. Очевидно, что e ∈ G. Если ε ∈ G, то ε−1 также обратим и для ε−1 обратным элементом является ε. Поэтому ε−1 ∈ G. В дальнейшем группу обратимых элементов кольца будем обозначать через G, а ее элементы — греческими буквами. √ Найдем группы обратимых элементов в квадратичных кольцах Z [ k], где k < 0. Прежде всего отметим, что в любом квадратичном кольце алгебраическая норма обратимых элементов обладает следующим свойством: = ±1 тогда и только √ n(a) 2 k и x − ky 2 = ±1. Поскольку тогда, когда a ∈ G. Действительно, пусть a = x + y √ √ x2 − ky 2 = (x + y k)(x − y k) = ±1, то a ∈ G. Обратно, если a ∈ G, то aa−1 = 1, тогда n(aa−1 ) = n(1) = 1 и поэтому n(a)n(a−1 ) = 1, следовательно, n(a) = ±1. 7

√ Лемма. Пусть детерминант квадратичного кольца Z[ k] отрицателен. Если

√ а) k ≡ 2 (mod 4) или k ≡ 3 (mod 4), то число x + y k является обратимым тогда и только тогда, когда целые числа x и y удовлетворяют уравнению

x2 − ky 2 = 1. √ б) k ≡ 1 (mod 4), то число x2 + y2 k является обратимым тогда и только тогда, когда целые числа x и y удовлетворяют уравнению x2 − ky 2 = 4. Доказательство леммы непосредственно вытекает из свойства алгебраической нормы обратимых чисел квадратичного кольца. Рассмотрим различные отрицательные значения детерминанта k. 1. При k = −1 получаем кольцо целых гауссовых чисел Z [i] = {x + yi|x, y ∈ Z }. Согласно лемме для вычисления обратимых чисел в кольце Z [i] необходимо найти все целые решения уравнения x2 +y 2 = 1. Это уравнение имеет точно четыре целых решения: (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1). Следовательно, группа G кольца Z [i] состоит из чисел ±1 и ±i. 2. Если k = −2, то следует решить в целых числах уравнение x2 + 2y 2 = 1. Оно √ имеет только два целых решения (1, 0) и (−1, 0). Поэтому группа G кольца Z [i 2] состоит из чисел 1 и -1. 3. Если k = −3, то следует решить в целых числах уравнение x2 + 3y 2 = 4. Это уравнение имеет точно шесть целых решений √ (2, 0), (−2, 0), (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1). Следовательно, в кольце Z [i 3] группа G = √ √ 1 1 √ √ ª © 1 1 1 1 1 1 1, −1, 2 + 2 i 3, − 2 + 2 i 3, 2 − 2 i 3, − 2 − 2 i 3 . . 4. В случае, когда k ≤ −5 и k 6 ..4 надо решать в целых числах уравнение

x2 − ky 2 = 1 при k 6≡ 1 (mod 4) и уравнение x2 − ky 2 = 4 при k ≡ 1 (mod 4). Так как |k| ≥ 5, то первое уравнение имеет точно два целых решения (1, 0) и (−1, 0) и второе уравнение — также два√целых решения (2, 0) и (−2, 0). Поэтому группа обратимых элементов кольца Z [ k] при k ≤ −5 состоит из чисел 1 и -1. В любом квадратичном кольце обратимое число называется нетривиальным, если оно отлично от 1 и −1, которые называются тривиальными обратимыми элементами. Из предыдущих рассуждений вытекает, что√при k < 0 нетривиальные обратимые числа имеются только в кольцах Z [i] и Z [i 3]. Иначе обстоит дело с существованием нетривиальных обратимых чисел√в квадратичных кольцах с положительным детерминантом. Если где √ в кольце Z [ k], √ k > 0 содержится нетривиальное обратимое √ число x0 + y0 √k, то, очевидно, √ в Z [ k] имеется еще три обратимых числа: x0 − y0 k, −x0 + y0 k и −x0 − y0 k. Среди этих четырех чисел найдется одно √ с положительным первым слагаемым и положительным коэффициентом при k. Такое обратимое число называется нормированным. Наименьшее из нормированных обратимых чисел называется основным обратимым числом и обозначается ε1 . Оказываается, что в любом действительном 8

квадратичном кольце содержится основное обратимое число ε1 , и каждое обратимое число этого кольца можно представить в виде ε = ±εn1 , где n ∈ Z (см. [5], гл.4, п. 16). Определение. Элемент a называется ассоциированным с элеметом b, если a = εb, где ε ∈ G. В кольце с единицей K введем бинарное отношение ассоциированности. Нетрудно видеть, что это отношение является отношением эквивалентности. Поэтому множество всех различных классов эквивалентных элементов составляет разбиение K. Класс эквивалентных элементов a состоит из всех элементов ассоциированных с a, то есть a = {εa|ε ∈ G}. Примеры 1. В кольце Z группа обратимых элементов состоит из чисел 1 и −1, поэтому каждый ненулевой класс эквивалентных элементов состоит из двух противоположных чисел. √ √ 2. В√кольце Z [ 2] найдем группу обратимых элементов. Если x + y 2 из G, то n(x+y 2) = ±1, то есть x2 −2y 2 = ±1. Для отыскания основного обратимого числа найдем целое решение уравнения x2 − 2y 2 = −1 с наименьшими положительными √ значениями √ x и y . Таковым является решение (1, 1). Следовательно ε1 = 1 + 2 и G = {±(1 + 2)n |n ∈ Z }. Упражнения. 1. Доказать, что отношение ассоциированности является отношением эквивалентности. 2. Доказать, что если K — область целостности и a 6= 0, то класс эквивалентных элементов a равномощен группе G. √ √ 3. Пусть√a + b k — √ обратимое √ число кольца Z [ k], где k > 0. Доказать, что числа a − b k, −a + b k, −a − b k также обратимы. 4. Найти группы обратимых элементов в кольцах Z (p1 , p2 , p3 , . . . , pn ) и Q[p1 , p2 , p3 , . . . , pn ]. √ √ √ 5. Найти основные обратимые элементы в кольцах Z [ 3], Z [ 5], Z [ 10].

9

4

Отношение делимости в области целостности Пусть K — область целостности.

Определение. Если для элементов a и b из K, где b 6= 0, существует эле. мент q ∈ K такой, что a = bq, то говорят, что a делится на b и пишут a..b. . Если a..b, то существует единственный элемент q, удовлетворяющий условию a = bq. Действительно, если a = bq1 и a = bq2 , то bq1 = bq2 и b(q1 − q2 ) = 0. Поскольку b 6= 0 и K не содержит делителей нуля, то q1 = q2 . В этом случае b называется частным от деления a на b. Примеры . 1. В кольце Z [i] (−1 + 5i)..(2 + 3i), так как −1 + 5i = (2 + 3i)(1 + i). . 2. В кольце Z (5) 6 · 52 ..2 · 57 , так как 6 · 52 = (2 · 57 )(3 · 5−5 ). . 3. В кольце Q[7] 3 · 73 ..8 · 72 , так как 3 · 73 = (8 · 72 )( 83 · 7). Отношение делимости в области целостности обладает следующими свойствами: . 1. Если a 6= 0, то a..a; . . . 2. Если a..b и b..c, то a..c; . . 3. Если m 6= 0, то a..b, тогда и только тогда, когда am..bm; . . . 4. Если a..c и b..c, то (a ± b)..c; . . 5. Если a..b, то для любого элемента c ∈ K ac..b; . 6. Если b 6= 0, то 0..b; 7. Любой элемент из K делится на любой элемент из G; . . 8. Если a..b и ε ∈ G, то a..εb; . . 9. Если εa..b, где ε ∈ G, то a..b; . . 10. Если a..b и b..a, то a = εb, где ε ∈ G.

Доказательства этих свойств предлагается провести самостоятельно. Упражнения 1. Доказать свойства 1–10 отношения делимости. √ √ √ 2. Доказать, что в кольце Z [ 2]√= {a + b 2|a, √ √ b ∈ Z } число 14 + 11 2 делится на 3 + 4 2. Делится ли число 3 − 5 2 на 2 + 3 2? 3. В кольце матриц второго порядка с действительными элементами найти матрицы A, B, C1 , C2 такие, что A = BC1 = BC2 , где C1 6= C2 .

10

4. Пусть K = Z (p1 , p2 , . . . , pn ) и a, b ∈ K. Найти необходимое и достаточное . условие, при котором a..b. 5. Пусть K = Q[p1 , p2 , . . . , pn ] и a, b ∈ K. Найти необходимое и достаточное . условие, при котором a..b.

5

Простые и составные элементы области целостности

Пусть a — ненулевой необратимый элемент области целостности K. Согласно свойствам 1,7,8 отношения делимости a имеет делители ε и εa, где ε ∈ G. Такие делители элемента a называются тривиальными. Прочие делители элемента a, если таковые существуют, называются нетривиальными. Определение. Ненулевой необратимый элемент называется простым, если он имеет лишь тривиальные делители, в противном случае элемент a называется составным. Таким образом, область целостности K разбивается на четыре класса: нулевой элемент, обратимые элементы, простые элементы, составные элементы. Определение. Множество всех простых и составных элементов области целостности называется множеством ее регулярных элементов. Если K является полем, то множество его регулярных элементов пусто. Заметим, что множество всех регулярных элементов замкнуто относительно операции умножения. Действительно, если a и b — регулярные элементы, то ab 6= 0, так как K не содержит делителей нуля и если ab = ε, где ε ∈ G, то a(bε−1 ) = e и a ∈ G, что противоречит условию регулярности a. Из определения следует, что если a — составной элемент, то его можно представить в виде a = bc, где b, c ∈ / G. Один и тот же элемент может быть простым в одном кольце и составным в другом. Например многочлен x2 + 1 является простым элементом в кольце R[x] и составным в кольце C [x]. Теорема. Если p — простой элемент области целостности, то при любом ε ∈ G элемент εp также является простым. Доказательство. Пусть a — делитель элемента εp, тогда согласно свойству 9 отношения делимости a является делителем p и потому либо a = η, либо a = ηp, где η ∈ G. Поскольку εp имеет лишь тривиальные делители, то он является простым. Из предыдущей теоремы следует, что если p — простой элемент, то любой элемент из класса ассоциированных элементов p также является простым. Поэтому рассматривают классы простых ассоциированных элементов.

11

Упражнения 1. Найти все простые элементы в кольцах Z (p1 , . . . , pn ) и Q[p1 , . . . , pn ]. 2. Доказать, что в кольце Z [i] числа числа 7 и 11 являются простыми, а число 13 - составным.

6

Кольца с факторизацией

Одной из задач, вызвавшей построение теории колец, была задача о разложении на простые множители. В некоторых кольцах дело обстоит так же, как в кольце целых чисел, то есть каждый составной элемент можно представить в виде произведения простых и причем, в некотором смысле, единственным образом. В других кольцах разложение на простые множители существует, но нарушается условие однозначности. В третьих кольцах существуют составные элементы, не имеющие разложения на простые множители. Пример кольца, в котором отсутствует разложение на простые множители. Определение. Комплексное число называется целым алгебраическим, если оно является корнем многочлена с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен единице. √ Число 2 — целое алгебраическое, тат как является корнем мноочлена x2 − 2. Многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, корнем которого является √12 , имеет вид 2x2 − 1. Используя этот факт, можно показать, что число √1 не является целым алгебраическим. 2 Теорема. Множество всех целых алгебраических чисел является кольцом. Доказательство. Воспользуемся признаком подкольца. Пусть x и y — целые алгебраические числа и xn + a1 xn−1 + · · · + an = 0, y m + b1 y m−1 + · · · + bm = 0, где ai , bj ∈ Z . Тогда xn = −a1 xn−1 − · · · − an

(1)

y m = −b1 y m−1 − · · · − bm

(2)

Рассмотрим всевозможные произведения элементов множества {xn−1 , x , . . . , x, 1} на элементы множества {y m−1 , y m−2 , . . . , y, 1} и для удобства введем обозначения: n−2

z1 = xn−1 y m−1 , z2 = xn−1 y m−2 , . . . , zk = 1, где k = mn Нетрудно видеть, что множество M = {c1 z1 + c2 z2 + · · · + ck zk |ci ∈ Z } 12

является аддитивной группой. Любой элемент группы M есть линейная комбинация с целыми коэффициентами чисел z1 , z2 , . . . , zk . Из условий (1) и (2) следует, что xyM ⊆ M , поэтому xyz1 = α11 z1 + α12 z2 + · · · + α1k zk xyz2 = α21 z1 + α22 z2 + · · · + α2k zk ··· xyzk = αk1 z1 + αk2 z2 + · · · + αkk zk , где αij ∈ Z . Перенося члены xyz1 , xyz2 , . . . , xyzk вправо, получаем отсюда, что определитель ¯ ¯ ¯ α11 − xy ¯ α · · · α 12 1k ¯ ¯ ¯ ¯ α21 α22 − xy · · · α2k ¯ ¯ ¯ ¯ · · · · · · · · · · · · ¯ ¯ ¯ αk1 αk2 · · · αkk − xy ¯

равен нулю. Откуда следует, что xy является целым алгебраическим числом. Из условий (1) и (2) вытекает, что (x±y)M ⊆ M . Рассуждая аналогично предыдущему получим, что x ± y также являются целыми алгебраическими √ числами. √ √ √ 2 в кольце целых алгебраических чисел необратимо и 2 = 4 2 4 2√= Число √ √ √ √ √ 8 2 8 2 8 2 8 2 = . . ., причем n 2 является целым алгебраическим. Поэтому число 2 в кольце целых алгебраических чисел неразложимо на простые множители. Определение. Представление элемента a в виде произведения простых элементов a = p1 p2 . . . pn , где n ≥ 1 с условием, что в каждом таком представлении элемента a число n ограничено сверху натуральным числом, зависящим только от кольца K и элемента a, называется факторизацией элемента a. Определение. Область целостности, в которой каждый регулярный элемент допускает факторизацию, называется кольцом с факторизацией. Из этого определения следует, что всякое поле есть кольцо с факторизацией, так как оно не содержит регулярных элементов. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать кольца, которые не являются полями. Теорема. (критерий кольца с факторизацией) Область целостности является кольцом с факторизацией тогда и только тогда, когда на множестве ее регулярных элементов можно определить функцию θ со значением во множестве N, обладающую следующим свойством: для любых регулярных элементов a и b θ(ab) > θ(a). Доказательство. Необходимость. Пусть K — кольцо с факторизацией и a — его регулярный элемент. Рассмотрим все различные факторизации элемента a и положим θ(a) равно максимальному числу простых, не обязательно различных, 13

сомножителей в факторизациях элемента a. Если a = p1 p2 . . . pθ(a) — факторизация элемента a с максимальным числом простых сомножителей и b = q1 q2 . . . qn — некоторая факторизация элемента b, то ab = p1 p2 . . . pθ(a) q1 q2 . . . qn есть некоторая факторизация элемента ab и потому θ(ab) > θ(a). Достаточность. Множество всех значений функции θ обозначим через A. Так как A — непустое подмножество натуральных чисел, то оно содержит минимальный элемент. Пусть θ1 — минимальный элемент множества A. Если A \ {θ1 } 6= ∅, то обозначим его минимальный элемент через θ2 . Продолжая эти рассуждения, получим монотонно возрастающую последовательность θ1 , . . . , θn , . . . всех значений функции θ. Методом математической индукции докажем, что каждый регулярный элемент допускает факторизацию. Индукцию проведем по номерам значений функции θ. Если для некоторого p θ(p) = θ1 , то p — простой элемент. Действительно, пусть p = p1 p2 , где p1 , p2 — регулярные элементы, тогда θ(p) = θ(p1 p2 ) > θ(p1 ) ≥ θ1 , то есть θ(p) > θ1 , что противоречит выбору элемента p. Так как простой элемент допускает факторизацию, то любой элемент x, для которого θ(x) = θ1 , допускает факторизацию. Предположим, что любой элемент a с условием θ(a) < θn допускает факторизацию. Пусть θ(b) = θn . Если b — простой элемент, то он допускает факторизацию, в противном случае b = cd, где c и d — регулярные элементы. Из определения функции θ следует, что θ(c) < θn и θ(d) < θn , следовательно c и d допускают факторизацию и элемент b можно представить в виде конечного произведения простых множителей. Методом от противного докажем, что для всех возможных представлений элемента b в виде произведения простых элементов число сомножителей ограничено. Пусть b = p1 p2 . . . ps , где s ≥ θ(b) + 1

(3)

θ(b) = (θ(b) − θ(p2 . . . ps )) + (θ(p2 . . . ps ) − θ(p3 . . . ps )) + · · · · · · + (θ(ps−1 ps ) − θ(ps )) + θ(ps )

(4)

Имеет место тождество

Из определения функции θ следует, что каждое слагаемое в правой части тождества (4) не меньше единицы, поэтому из тождества (4) вытекает, что θ(b) ≥ s, что противоречит условию (3). Примеры 1. В кольце Z определим функцию θ следующим образом: θ(a) = |a|. Если a, b — числа, не равные 0 и ±1, то θ(ab) = |ab| = |a||b| > |a| = θ(a) 14

2. В кольце многочленов P [x] положим θ(f (x)) = deg f (x). Группа обратимых элементов этого кольца состоит из всех многочленов нулевой степени. Если deg f (x) ≥ 1 и deg ϕ(x) ≥ 1, то θ(f (x)ϕ(x)) = deg f (x) + deg ϕ(x) > deg f (x) = θ(f (x)) Теорема. Любое квадратичное кольцо есть кольцо с факторизацией. Доказательство. На множестве всех регулярных элементов квадратичного коль√ ца Z [ k] определим функцию θ следующим образом: θ(a) = |n(a)|, где n(a) — алгебраическая норма регулярного элемента a. Согласно свойству алгебраической нормы обратимых чисел (см. стр. 7) a ∈ G тогда и только тогда, когда n(a) = ±1. Поэтому, если a — регулярный элемент, то |n(a)| ≥ 2. Из полной мультипликативности алгебраической нормы следует, что если a и b —√ регулярные элементы, то |n(ab)| = |n(a)n(b)| = |n(a)||n(b)| > |n(a)|. Поэтому Z [ k] является кольцом с факторизацией. Множество всех простых элементов области целостности разбивается на классы простых ассоциированных элементов. Так как мощность каждого такого класса совпадает с мощностью группы обратимых элементов, то вопрос о мощности множества всех простых элементов сводится к вопросу о мощности группы G и мощности множества классов простых ассоциированных элементов. Следующая теорема является обобщением теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел. Теорема. Если в кольце с факторизацией K группа G конечна или множество G ∪ {0} является аддитивной группой, то множество классов простых ассоциированных элементов в кольце K бесконечно. Доказательство. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что в кольце K содержится точно s различных классов p1 , . . . , ps простых ассоциированных элементов. Рассмотрим в соответствии с условием теоремы два случая. 1. Пусть группа G конечна и порядок ее равен n. Определим n + 1 элемент кольца K: qi = (p1 p2 . . . ps )i − 1,

1 ≤ i ≤ n+1. Все элементы qi отличны от 0, так как в противном случае (p1 . . . ps )i = 1 и простой элемент p1 является обратимым, что невозможно. Пусть все элементы qi являются обратимыми. Поскольку порядок группы G равен n, то для некоторых целых чисел m и k, удовлетворяющих условию 1 ≤ k m m < k ≤ n¡ + 1, выполняется ¢ равенство qk = qm . Тогда (p1 . . . ps ) = (p1 . . . ps ) и m k−m (p1 . . . ps ) (p1 . . . ps ) − 1 = 0. Так как кольцо K не содержит делителей нуля, k−m то (p1 . . . ps ) = 1 и p1 ∈ G. Полученное противоречие показывает, что среди элементов qi существует регулярный элемент qt . Поскольку K — кольцо с факторизацией, то элемент qt имеет простой делитель p, который не может быть ассо. циированным ни с одним из qi , так как в противном случае 1..p и p ∈ G. Итак, в

первом случае пришли к противоречию. 2. Пусть множество G ∪ {0} является аддитивной группой. Как и в первом случае, элемент q1 = p1 . . . ps − 1 отличен от нуля и q1 ∈ / G, так как в противном 15

случае p1 . . . ps ∈ G ∪ {0}, что невозможно, поскольку p1 . . . ps — регулярный элемент. Поэтому q1 — регулярный элемент, простой делитель которого не может быть ассоциирован ни с одним из элементов pi 1 ≤ i ≤ s. Полученные противоречия доказывают теорему. Среди колец с факторизацией, для которых не выполняется условие предыдущей теоремы, существуют кольца, содержащие как конечное, так и бесконечное число классов простых ассоциированных элементов. Примеры 1. Область целостности Q[p1 , p2 , . . . , ps ] — кольцо с факторизацией, оно содержит точно © s классов простыхªассоциированных элементов p1 , . . . , ps . При этом группа G = ab | ab ∈ Q, (ab, pi ) = 1 бесконечна и множество G ∪ {0} не является аддитивной группой, так как 1, p1 . . . ps − 1 ∈ G ∪ {0}, но p1 . . . ps ∈ / G ∪ {0}. 2. Область целостности Z (2) есть кольцо с факторизацией. Оно содержит бесконечно много классов простых ассоциированных элементов. Таковыми являются классы p, где p — простое целое число, большее 2. При этом группа G ∪ {0} не образует аддитивную группу, так как 1, 2 ∈ G ∪ {0} и 1 + 2 ∈ / G ∪ {0}. Упражнения 1. Доказать, что множество M = {c1 z1 + c2 z2 + · · · + cn zn |ci ∈ Z } (см. доказательство теоремы: множество всех алгебраических чисел является кольцом) образует аддитивную группу. 2. Доказать, что кольца Z (p1 , . . . , ps ) и Q[p1 , . . . , ps ] являются кольцами с факторизацией. 3. Пусть B — кольцо с факторизацией. Доказать, что кольцо многочленов B[x] также является кольцом c факторизацией.

7

Факториальные кольца Пусть в кольце с факторизацией регулярный элемент a имеет две факторизации a = p1 . . . ps ,

(5)

a = q1 . . . qt

(6)

Определение. Факторизации (5) и (6) элемента a называются эквивалентными, если s = t и pi = εi qij , где 1 ≤ i, j ≤ s, εi ∈ G и i1 , i2 , . . . , is – некоторая перестановка номеров 1, 2, . . . , s. 16

Если все факторизации элемента a попарно эквивалентны, то говорят, что a обладает однозначной факторизацией. Примеры √ 1. В квадратичном кольце Z [i 5] число 9 можно разложить на множители двумя способами: 9=3·3 и

√ √ 9 = (2 + i 5)(2 − i 5)

Покажем, что 3 — простое число. Действительно, если √ √ 3 = (x1 + y1 i 5)(x2 + y2 i 5), то, приравняв алгебраические нормы этих чисел, получим 9 = (x21 + 5y12 )(x22 + 5y22 ). Ни один из сомножителей не может быть равен 3, так как уравнение x2 + 5y 2 = 3 не имеет целых решений. Поэтому один из сомножителей равен 1, а другой 9. Пусть √ 2 2 x1 + 5y1 = 1, тогда x1 + y1 i 5 ∈ G. √ Таким образом 3 — простое число. Аналогично можно показать, что числа 2 ± i 5 простые. Так как группа обратимых элемен√ тов кольца Z [i 5] состоит из чисел 1 и -1, то число 9 имеет две неэквивалентные факторизации. 2. В кольце Z[i] число 5 имеет два разложения: 5 = (1 − 2i)(1 + 2i), 5 = (−2 − i)(−2 + i). Также как в предыдущем примере можно доказать, что числа 1 ± 2i, −2 ± i являются простыми. Однако группа G в этом кольце состоит из чисел ±1 и ±i, а 1 − 2i = i(−2 − i) и 1 + 2i = −i(−2 + i). Поэтому эти две факторизации числа 5 эквивалентны. Определение. Если в кольце с факторизаций каждый регулярный элемент обладает однозначной факторизацией, то оно называется факториальным кольцом. Говорят, что область целостности K обладает свойством F , если каждый простой элемент, делящий произведение двух регулярных элементов, делит хотя бы один из сомножителей. Лемма. Пусть кольцо K обладает свойством F . Если простой элемент p из K делит произведение n простых элементов из K, то p ассоциирован по меньшей мере с одним из этих сомножителей.

17

. Доказательство. Пусть q1 q2 . . . qn ..p, где qi , p — простые элементы кольца K. Составим следующие произведения q1 (q2 . . . qn ), q2 (q3 . . . qn ), . . . , qn−1 qn каждое из которых есть произведение двух регулярных элементов. Из свойства F . . . . . следует, что либо q1 ..p, либо q2 . . . qn ..p. Если q2 . . . qn ..p, то либо q2 ..p, либо q3 . . . qn ..p. . Продолжая эти рассуждения получим, что для некоторого i (1 ≤ i ≤ n) qi ..p. Так как qi и p — простые элементы, то p ассоциирован с qi . Теорема. Кольцо с факторизацией факториально тогда и только тогда, когда оно обладает свойством F . Доказательство. Необходимость. Пусть K — факториальное кольцо, a и b — . регулярные элементы, p — простой элемент и ab..p, то есть ab = pc для некоторого элемента c из K. Рассмотрим факторизации элементов a, b, c: a = p1 . . . ps , b = ps+1 . . . ps+t , c = q1 . . . ql . Из условия факториальности кольца вытекает, что факторизации ab = p1 . . . ps ps+1 . . . ps+t и pc = pq1 . . . ql эквивалентны. Следовательно простой элемент p ассоциирован хотя бы с одним из элементов p1 , . . . , ps , ps+1 , . . . , ps+t . . . Поэтому либо a..p, либо b..p. Достаточность. Воспользуемся методом от противного. Допустим, что в кольце с факторизацией K выполняется свойство F и существуют регулярные элементы, имеющие неэквивалентные факторизации. Очевидно, что такие элементы могут быть только составными. Среди всех этих элементов существуют такие, которые обладают факторизациями, содержащими наименьшее число сомножителей. Обозначим это число буквой s. Пусть a — один из таких элементов и a = p 1 p 2 . . . p s = q1 q2 . . . qt

(7)

его неэквивалентные факторизации. Согласно лемме один из элементов q1 , q2 , . . . , qt ассоциирован с ps . Для определенности положим qt = εps , где ε ∈ G. Так как K не содержит делителей нуля, то из равенства (7) вытекает p1 p2 . . . ps−1 = εq1 q2 . . . qt−1 Последнее равенство приводит к противоречию. Действительно, если s = 2, то простой элемент p1 допускает неэквивалентные факторизации, если же s > 2, то в силу выбора числа s факторизации p1 . . . ps−1 = εq1 . . . qt−1 должны быть эквивалентными. Упражнения 1. В кольце Z [i] найти факторизации элементов α1 = 23 + 7i, α2 = 11 + 3i. 2. В кольце R[x] найти факторизацию многочлена f (x) = x6 + 1.

18

8

Евклидовы кольца Рассмотрим класс колец, близкий по своим свойствам к кольцу целых чисел.

Определение. Область целостности E называется евклидовым кольцом, если на множестве E \ {0} определена функция e со значениями в множестве N ∪ {0} так, что выполняются следующие аксиомы: . 1. если a..b, то e(a) ≥ e(b);

2. для любых a и b 6= 0 существуют q и r из E такие, что a = bq + r, где либо r = 0, либо e(r) < e(b). Функция e называется евклидовой нормой. Примеры 1. Кольцо Z является евклидовым кольцом. Достаточно положить e(x) = |x|. 2. Кольцо P [x] также является евклидовым кольцом с евклидовой нормой e(f (x)) = deg f (x).

3. Докажем, что Z (p) = {apk |a, k ∈ Z } является евклидовым кольцом. Любое ненулевое число из Z (p) представим в виде apk , где (a, p) = 1 и положим e(apk ) =| a |. Проверим справедливость аксиом евклидовой нормы для этой функции. . a) Пусть apk и bps — ненулевые элементы кольца Z (p) и apk ..bps в кольце Z (p). . Тогда a..b в кольце Z , поэтому |a| ≥ |b|. b) Разделим с остатком a на b в кольце Z , получим равенство a = bq + r, где 0 ≤ r < |b|. Домножая обе части этого равенства на pk , имеем apk = bps qpk−s + rpk . . . Если q ..pi или r..pi , то положим q = q1 pi , r = r1 pi , где (q1 , p) = 1 и (r1 , p) = 1. Поэтому для некоторых целых чисел l и n apk = bps q1 pl + r1 pn , где 0 ≤ r1 ≤ r < |b|. Вторая аксиома для функции e также выполняется. 4. Докажем евклидовость кольца o na ¯ a ¯ pk ¯ ∈ Q, k ∈ N ∪ {0}, (ab, p) = 1 или a = 0 Q[p] = b b ¡ ¢ Определим следующим образом функцию e: e ab pk = pk . Проверим аксиомы евклидовой нормы. ¡ ¢ ¡ ¢ . а) Если ab pk .. dc pn в кольце Q[p], то k ≥ n. Тогда e ab pk ≥ e dc pn . . b) Вторая аксиома выполняется тривиальным образом: если k ≥ n, то ab pk .. dc pn , если k < n, то q = 0 и r = ab pk . Докажем некоторые свойства евклидовой нормы.

19

1. Если c ∈ a и a 6= 0, то e(c) = e(a).

. . Действительно, так как c ∈ a, то элементы a и c ассоциированы, тогда c..a и a..c. Из аксиомы 1 следует, что e(a) = e(c). . 2. Если c..a и e(c) = e(a), то a и c — ассоциированы.

. Действительно, пусть a = cq + r. Если r 6= 0, то e(r) < e(a). Поскольку c..a, то . . и r..a и потому e(r) ≥ e(a). Полученное противоречие доказывает, что r = 0 и a..c, тогда элементы a и c ассоциированы. 3. e(c) = e(1) тогда и только тогда, когда c ∈ G. Необходимость утверждения следует из свойства 2, а достаточность - из свойства 1. 4. Если ε — обратимый элемент, то его евклидова норма принимает наименьшее значение среди евклидовых норм всех ненулевых элементов кольца. Обозначим через e1 наименьшее значение евклидовой нормы и пусть для неко. торого элемента c e(c) = e1 . Так как c..ε, то e(c) ≥ e(ε), то есть e1 ≥ e(ε). Из

минимальности числа e1 , как значения евклидовой нормы, получаем e(ε) = e1 . 5. Если a ∈ / G, то e(a) > e1 .

. В самом деле, если e(a) = e1 , то в силу свойства 4 e(a) = e(ε). Так как a..ε, то согласно свойству 2 a ассоциировано с ε. Тогда a ∈ G, что противоречит условию. Следовательно e(a) > e1 . . 6. Если c..a и c не ассоциировано с a, то e(c) > e(a). Действительно, из аксиомы 1 следует, что e(c) ≥ e(a). Если e(c) = e(a), то по свойству 2 a и c ассоциированы, поэтому e(c) > e(a). Упражнения 1. Выполнить деление с остатком в числовых кольцах: a) Z (5): 1100 на 1000; 91 на 17; b) Q[2]: 320 на 146 ; 60 на 40 . 7 5 37 2. Доказать евклидовость колец Z (p1 , p2 ) и Q[p1 , p2 ]. 3. Выполнить деление с остатком в кольце Z (2, 3):

9

500 3

на

143 ; 2

321 на

21 . 2

Алгоритм Евклида Пусть a1 , a2 , . . . , an — элементы евклидова кольца E, не равные одновременно 0.

Определение. Элемент d кольца E называется наибольшим общим делителем элементов a1 , a2 , . . . , an , (коротко НОД) если 20

. 1. ai ..d, i = 1, 2, . . . , n; 2. d делится на любой общий делитель элементов a1 , a2 , . . . , an . Если существует НОД элементов a1 , a2 , . . . , an , то он определяется с точностью до ассоциированности. Действительно, если d1 и d2 — наибольшие общие делители . . элементов a1 , a2 , . . . , an , то d1 ..d2 и d2 ..d1 , то есть d1 и d2 ассоциированы. Множество всех НОД элементов a1 , a2 , . . . , an будем обозначать < a1 , a2 , . . . , an > и если d является одним из НОД, то запишем d ∈< a1 , a2 , . . . , an >. Известный способ нахождения НОДа двух элементов в кольцах Z и P [x] обобщим на произвольное евклидово кольцо. Пусть a, b ∈ E и b 6= 0. Выполним деление с остатком a на b, затем, если остаток не равен нулю, разделим b на r1 и так далее. Получим систему равенств a = bq1 + r1 , b = r1 q 2 + r2 , r1 = r2 q 3 + r3 , ··· rn−2 = rn−1 qn + rn , rn−1 = rn qn + rn+1 , ...

где e(r1 ) < e(b); где e(r2 ) < e(r1 ); где e(r3 ) < e(r2 ); где e(rn ) < e(rn−1 ); где e(rn+1 ) < e(rn );

Такой процесс деления называется алгоритмом Евклида. Теорема 1. Процесс деления в алгоритме Евклида конечен. Последний остаток, не равный нулю, есть наибольший общий делитель элементов a и b. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для кольца целых чисел. Следствие. Для любой пары ненулевых элементов евклидова кольца существует их НОД. Следствие. Если d есть НОД элементов a и b, то существуют такие элементы x и y из E, что d = ax + by Это следствие доказывается также, как соответствующее свойство НОДа двух целых чисел. Следующая теорема дает способ вычисления НОД нескольких элементов. Теорема 2. Если s ≥ 2 и ds ∈< a1 , a2 , . . . , as >, то < a1 , a2 , . . . , as , as+1 >=< ds , as+1 > Доказательство. Пусть ds+1 ∈< a1 , . . . , as , as+1 > и d′s+1 ∈< ds , as+1 >. Нетрудно . . видеть, что as+1 ..ds+1 и ds ..ds+1 . Поскольку d′s+1 — НОД элементов ds и as+1 , то . d′s+1 ..ds+1 . С другой стороны, элемент d′s+1 является общим делителем элементов 21

. a1 , a2 , . . . , as , as+1 , следовательно, ds+1 ..d′s+1 . Таким образом, элементы ds+1 и d′s+1 ассоциированы, поэтому < a1 , a2 , . . . , as , as+1 >=< ds , as+1 > . Определение. Элементы a и b называются взаимно простыми, если < a, b >= G. Рассмотрим теперь некоторые свойства взаимно простых элементов. 1. Равенство < a1 a2 · · · an , c >= G имеет место тогда и только тогда, когда < a1 , c >=< a2 , c >= . . . =< an , c >= G. Доказательство. Пусть < a1 a2 · · · an , c >= G. Тогда на основании следствия 2 из теоремы 1 имеем равенство x(a1 . . . an ) + yc = 1. Если di ∈< ai , c > (i = 1, 2, . . . , n), . . . то (a1 . . . an )..di и c..di , тогда и 1..di , то есть di ∈ G.

Обратно, пусть < a1 , c >=< a2 , c >= . . . =< an , c >= G. Тогда для некоторых xi и yi выполняется условие xi ai +yi c = 1 (i = 1, 2, . . . , n). Перемножая эти равенства почленно и приводя слагаемые, содержащие множитель c, как подобные, получим что для некоторых элементов x0 и y0 x0 (a1 . . . an ) + y0 c = 1. Если d ∈< a1 . . . an , c >, . . . то a1 . . . an ..d и c..d, тогда и 1..d. Таким образом < a1 . . . an , c >= G. . . 2. Если ab..c и < a, c >= G, то b..c. Доказательство. Для некоторых элементов x и y выполняется условие ax + cy = 1. Домножая обе части этого равенства на b, получим abx + cby = b. Так . . . как abx..c и cby ..c, то и b..c. . . . 3. Если c..a и c..b и < a, b >= G, то c..ab. Доказательство. Как и в доказательстве свойства 2 имеет место равенство . . . . x(ac) + y(bc) = c. Из условия c..b следует, что ac..ab и из условия c..a следует bc..ab. . Тогда и c..ab. Упражнения 1. Доказать теорему 1 и следствия из нее. 2. Доказать, что простые натуральные числа вида 4n + 3, где n ∈ N , остаются простыми и в кольце целых гауссовых чисел.

10

Факторизация в евклидовых кольцах

Рассмотрим сначала некоторые свойства простых элементов евклидова кольца. 1. Если a — ненулевой элемент евклидова кольца, а p — его простой элемент, то . либо a..p, либо < a, p >= G. 22

. Доказательство. Пусть d ∈< a, p >. Поскольку p..d, то либо d = ε, либо d = εp, . где ε ∈ G. В первом случае имеем < a, p >= G, во втором a..p. . 2. Если a1 a2 . . . an 6= 0 и a1 a2 . . . an ..p, где p — простой элемент, то существует . такой элемент ai (1 ≤ i ≤ n), что ai ..p.

Доказательство. Допустим, что ни один из элементов ai не делится на p, тогда по свойству 1 < a1 , p >=< a2 , p >= . . . =< an , p >= G. В этом случае из свойства 1 взаимно простых элементов следует, что < a1 . . . an , p >= G, что противоречит условию. Теорема. Евклидово кольцо факториально. Доказательство. На множестве всех регулярных элементов евклидова кольца E определим функцию θ со значением во множестве целых неотрицательных чисел: θ(x) = e(x). Если x и y — регулярные элементы, то согласно свойству 6 евклидовой нормы e(xy) > e(x). Поэтому согласно признаку кольца с факторизацией (см. стр. 13) E есть кольцо с факторизацией. Факториальность кольца E вытекает из признака факториальности (см. стр. 18) и свойства 2 простых элементов. Докажем теперь евклидовость некоторых квадратичных колец. Для оценки значений евклидовой нормы введем две числовые функции. Если x — действительное число и [x] — его целая часть, то положим ½ [x], если [x] ≤ x < [x] + 12 , ′ [x] = [x] + 1, если [x] + 12 ≤ x < [x] + 1.

Из этого определения следует, что [x]′ является ближайшим к x целым числом. Вторая числовая функция {x}′ = x − [x]′ (8)

может быть охарактеризована как расстояние от числа x до ближайшего целого числа с учетом знака. Очевидно, что для любого действительного числа x имеет место неравенство 1 |{x}′ | ≤ (9) 2 Докажем, что квадратичные кольца со значениями k равными −1, −2, 2 и√3 являются √ евклидовыми. Так как для данных значений k 6≡ 1 (mod 4), то Z [ k] = {a + b k|a, b ∈ Z }. В качестве евклидовой нормы будем рассматривать абсолютную величину алгебраической нормы. Поскольку√алгебраическая норма обладает свойством полной мультипликативности, то в Z [ k] выполняется первая аксиома евклидовой нормы. √ √ √ √ Проверим справедливость аксиомы 2. Пусть a+b k, c+d k ∈ Z [ k] и c+d k 6= 0. Отношение этих чисел преобразуем следующим образом √ ac − kbd bc − ad √ a+b k √ = k, + ∆ ∆ c+d k где ∆ = c2 − kd2 . Введем следующие обозначения: α=

ac − kbd , ∆

23

β=

bc − ad . ∆

Тогда (8):

√ a+b√k c+d k

√ = α+β k. Заменим каждое слагаемое правой части с помощью условия

√ √ √ a+b k √ = [α]′ + [β]′ k + {α}′ + {β}′ k c+d k √ Умножая обе части этого равенства на c + d k получим √ √ √ a + b k = (c + d k)([α]′ + [β]′ k) + r, √ √ где r = (c + d k)({α}′ + {β}′ k). Поскольку √ √ √ √ √ a + b k ∈ Z [ k], (c + d k)([α]′ + [β]′ k) ∈ Z [ k], √ то и r из Z [ k]. Если r = 0, то аксиома 2 справедлива. Пусть r 6= 0, найдем значение евклидовой нормы числа r: √ |n(r)| = |n(c + d k)| · |{α}′2 − {β}′2 k| (10) Значение второго множителя оценим с помощью условия (9). Согласно неравенству (9) |{α}′ | ≤ 21 и |{β}′ | ≤ 12 . Пусть k = −1, −2, тогда |{α}′2 − {β}′2 k| ≤ |{α}|2 + |{β}′ |2 |k| ≤

1 + |k| 4

Пусть k = 2, 3. Поскольку 0 ≤ {α}′2 ≤ 14 и − k4 ≤ −{β}′2 k ≤ 0, то − k4 ≤ {α}′2 − {β}′2 k ≤ 41 и |{α}′2 − {β}′2 k| ≤ k4 . В любом случае второй множитель √ правой части равенства (10) √ меньше единицы, следовательно |n(r)| < |n(c + d k)| и аксиома 2 в кольце Z [ k] выполняется. Доказано, что множество всех евклидовых квадратичных колец конечно. Евклидовых мнимых квадратичных колец существует только пять. Им соответствуют следующие значения k: −1, −2, −3, −7, −11. Евклидовых действительных квадратичных колец насчитывается семнадцать. Для них k = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, 97. В качестве евклидовой нормы мнимых квадратичных колец можно взять алгебраическую норму, а действительных квадратичных колец — ее абсолютную величину. При таком выборе нормы обеспечивается выполнение первой аксиомы в силу полной мультипликативности алгебраической нормы. Проверка выполнения второй аксиомы усложняется для больших значений |k|. Примеры 1. В кольце Z [i] разделим с остатком 122 + 19i на 5 − 11i. Отношение этих чисел преобразуем следующим образом: 122+19i 5−11i

=

£ 401 ¤′ 146

+

£ 1437 ¤′ 146

=

i+

(122+19i)(5+11i) 146

© 401 ª′ 146

+

=

© 1437 ª′ 146

24

401 146

+

1437 i 146

=

i = 3 + 10i −

¡ 37

146

+

23 i 146

¢

Домножая обе части на 5 − 11i получим 122 + 19i = (5 − 11i)(3 + 10i) − 3 + 2i Поскольку n(−3 + 2i) = 13 и n(5 − 11i) = 146, то последнее равенство выражает действие деления √ с остатком. √ √ 2. В кольце Z [ 2] разделить с остатком 17 + 11 2 на 8 − 5 2. Поскольку √ µ ¶ ³ √ ´ 246 173 √ 3 17 + 11 2 5 √ = 2 = 18 + 12 2 − + + , 14 14 7 14 8−5 2 √ √ √ √ √ √ то 17 + 11 2 = (8− 5 2)(18 + 12 2) − 7 + 5 2 и |n(8− 5 2)| = 14, |n(−7 + 5 2)| = 1. Упражнения 1. Выполнить деление с остатком в квадратичных кольцах: a) Z [i]:√40 + 3i на √ 3 − i, 15 + √ 16i на 7 + i; √ b) Z [i√ 2]: 20 − 7i√ 2 на 6 + i√ 2, 100 на√17 + 5i 2;√ c) Z [ 2]: 17 + 11 2 на 8 − 5 2, 23 + 9 2 на 7 − 5 2. 2. С помощью алгоритма Евклида найти НОД чисел 33 + 31i и 21 + 4i в кольце Z [i]. 3. На сегменте [−3, 3] построить график функции  если[x] ≤ x < [x] + 41  [x], ′′ 1 [x] + 2 , если[x] + 41 ≤ x < [x] + 34 [x] =  [x] + 1, если[x] + 34 ≤ x < [x] + 1

√ √ Вычислить [π]′′ , [ 3]′′ , [ 7]′′ .

4. На сегменте [−3, 3] построить график функции {x}′′ = x − [x]′′ . 5. Доказать евклидовость мнимых квадратичных колец со значениями k равными −3, −7, −11. (Указание: для оценки значения евклидовой нормы воспользоваться функцией {x}′′ ). 6. Доказать евклидовость действительных квадратичных колец со значениями k равными 5 и 13.

25

Список литературы 1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985. 2. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976. Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. - М.: Наука, 1969. 3. Кострикин А. И. Введение в алгебру.- М.: Наука, 1977. 4.Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел.- М.: Высшая школа, 1979. 5. Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1966. 6. Родосский К. А. Алгоритм Евклида. - М.: Наука, 1988. 7. Хассе Г. Лекции по теории чисел. - М.: Изд-во иностр.лит.,1953.

26