Математические модели экономики. 5 лекций

       
.
.  , . .   28  2005


 1 1 
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2

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4

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y 2 Rn# 3. *        0 2 Rn,  x + 0 = 0 + x = x  $   x 2 Rn# 4.  $   x 2 Rn *       ;x 2 Rn,  (;x) + x = x + (;x) = 0# 5. ( x) = ( )x  $   x 2 Rn "    
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8

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r) = f (x1
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xn) j

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(xi ; ai )2  r2 g


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10
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pn)       
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 2


 

  

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12

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xj ) 2 R, mij = 0
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xj ) 62 R.




13

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xj )     (xi
xj ) 2 R,  . 2.2  X Y |   , , R  X  Y | %  . (    
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y) 2 Rg
    

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y) 2 Rg: 5 x 2 X,    R(x)     ,  fy 2 Y j (x
y) 2 Rg
  $   x 2 X .
  , , * $,  R(x) ,    , . 5 A  X |   ,  X,    R(A)    ,   Y  

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,   R      R : X ! Y $,  R  $ 
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14

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%  R    1)  
,  8x 2 X
(x
x) 2 R,  . 2.5# 2)  
,  8x 2 X
(x
x) 62 R,  . 2.5# 3)    
,  (x
y) 2 R ) (y
x) 2 R,  . 2.6# 4)    
,  (x
y) 2 R ) (y
x) 62 R x 6= y,  . 2.7# 5) 
   
,  (x
y) 2 R (y
x) 2 R    x = y,  . 2.7#




15

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y) 2 R (y
z) 2 R ) (x
z) 2 R,  . 2.8# 7) 
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y)  :  (x
y) 2 R,  (y
x) 2 R,   $ ,  . 2.9.

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16

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1 . 2.8: 4   % 

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17

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     X   ,  (. . $ )         " ,   Rn  ,  X (   $ ). )  , A  X      X     *        Rn ,  B  Rn,  A = B \ X. 4   ,     X  $    . 7 ,  X Y | $   ,         X  Y $       : ,  A  X  Y       $ ,            ,    AX  AY , $ AX  X AY  Y |   , .
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19

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w),    ,   u(x)   $      Bp
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 .
  ,   &   L(p
w)       0, . .  $  > 0  : L(p
w) = L(p
w): 6   ,        $       ,             . )  ,          %  %         ,    %  . F  $,    w       p, . .   &   w(p). 4$     $  ,  L(p) = L(p
w(p)),  ,    
       
 .
      ,     Rn+  X  Rn+.
    "  &   w(p)    ,   ,  &   w(p)        . 6  -

20

1 . 2.10:   &            ,   $  > 0  : w(p) =  w(p).       , $ ,  Bp
w(p)  %       p,    ^ N     1   w(p)   $   X(p). ^      ,  ,  ,  X(p)    0, . . ^ ^ Bp
w(p) = Bp
w(p)
 X(p) = X(p)
 L(p) = L(p), . . &   L(p)        0. 6     $    $    

  w(p) $       .     

    %  %         ,    %  . 3* $, &            Rn+.
    $    $   ,  Bp
w (Rn+)   ,       p, . .    pi,  . -  ,  X = Rn+, &     u(x) $      ,  , w > 0,   p = (0
p2
: : :
pn) 2 Rn+ n f0g ,  Bp
w (X)  $   &     u(x)   $      Bp
w (X), .  . 2.10. 3%        *        ,         ,      X:      xk 2 X     xkj         k ! 1,         

    xk . 7$   ,          %  $ $ ,   "  % "     " "   * " $ . 6    ,           *  . 5            ,           ,  Bp
w (X) $  ,  . 2.11 (-

     

21

1 . 2.11: N       * 

1 . 2.12: 2   $ $ &   

,  ). ) ,    &   ,           .
             x 2 L(p
w).                   ,      ,   L(p) L(p
w). )$  ,   ,    . 7 $   ,   , $ $ &    :  " x
x 2 X $ y 2 X,  ,* $    Jx
x ], . .  * $   (1 ; )x+ x   $  2 (0
1),   u(y) > (1 ; )u(x) + u(x ),  . 2.12. 0

0

0

0

5          ! 1              .

22

A) .       (UMP):    & 

                      w > 0  " p >> 0. )  ,    &   L(p
w). B) .      (EMP):   "  " p >> 0           w,      ,   $    u > u(0). I   h(p
u), *    ,   (p
u) ,   " x 2 X,  "  $      

,    
  , . -          &   3 R .


 3

  

 .  

 3              ,   $ ,  $    . H   ,       ,  X      Rn+,  &     u(x) $      *  $   : @u > 0
lim @u = 1
lim @u = 0
i = 1
: : :
n
xi 0 @xi @xi  @ 2u  xi @xi $   U(x) = @x @x (x)        8x 2 X: !1

!

i

j


     p     ,    K |      . )  &  u(x)   ,  &    L(p
K)    ,  " p K      x (p
K) &  L(p
K)      *        $ $  : 

u(x) ! max hp
xi = K
x  0 ( ,  ). + $,  " ,    ,  x (p
K)  0,         x (p
K) ,    



23

24   2$,. 3 %  &   2$,: ;  L(x
) = u(x) ;  hp
xi ; K : 4$ *      ,  (3.1) hp
x i ; K = 0
@u (3.2) @x (x ) ;  pi = 0
i = 1
: : :
n: 



i






  ,    (3.2) |   $,  ,       "  &    ($  &        p ,    ). 4              $  ,  ,  pn,        . 7 $  &&           pn. ) : @x i = ;x
(3.3) hp
n @pn @x ; @ p = (0
: : :
0
 ) def (3.4) U @p =S : @p 





n

n







3 %   ,    U (  ,            ),      (3.4) @x =@pn          (3.3),     @ =@pn: @ = ; xn + pU 1 S : @pn pU 1p ; 
       ; pU 1p 1   ,  ,   M  JM](i)    i-  . 2 $    ,  U 1 S =  JU 1](n).    & ,         : @ 1 (n) @pn = xn +  pJU ] :  z      JU 1](n) (. . z |  n-     U 1). 4$ @ = x +  hz
pi: n @pn
       &  @x =@pn : @x = x U 1p +   hp
z iU 1p + z : (3.5) n @pn 







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25

           (3.5)      . 7 $            ,$ " $ "   . F     $ $ $,  ,   "    %   x (p
K),    p    ,    K   .  &&        (3.1) (3.2)  K,  : @x i = 1
(3.6) hp
@K @x U @K ; @ (3.7) @K p = 0: 







3,    (3.7)     @x =@K   

     (3.6),   @ =@K: @ = 1 = ;
@K pU 1p   @x = ; U 1p
(3.8) @K  @x = ; @x x +   hp
z iU 1p + z : @pn @K n 3      $ $ $    (3.5). 7 $       $       p, . .  $    ,           K  ,       &      *  ,       . )  ,      $ ,    K     p, . . ;    &   K(p),      *  : u x p
K(p) = const. ;  1     &   x p
K  &    p,     K  * &   K(p).    &  x  pi , . .     @x =@pi + @x =@K  @K=@pi     
  

   
  pi     (@x =@pi )comp . 3       i = n. 7 $  &&       (3.1)  pn. ) :   @x  @K xn + p
@p (3.9) ; @pn = 0: n comp 





;







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26 4   , p &   u(x )     ,  ,    (@x =@pn)comp    " u = const,          $  &  u, . .   @u=@x. : $ ,       x , ,        x  " u = const,   p ,        @u=@x  " u = const (.   (3.2)).   $   & (3.9)  .
  ,  @K : (3.10) xn = @p n 3  &&       (3.2)  pn . )  









 @x 

U @p = @ p+S
n comp @pn ,  %   ,  hp
(@x =@pn)comp i = 0, ,   (@x =@pn )comp    (3.11) ,    ,     p,   ,   @ =@pn : @ = pU 1S =  hz
pi: @pn    ,     (3.11),  : 

(3.11)













 @x  

;





1 1 @pn comp =  hz
piU p + U S = ;   hz
piU 1p +  z =  hz
piU 1p + z : 

;

;





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:    ,    $       (3.5),   ,   $          &  x  pn . ) ,     *   . 

 3.1 &  

 ' 

,     " 
'
 :

(3.12)

@x =  @x  ;  @x x : @pn @pn comp @K n 








. N  (3.12)    



.

     

27

. 3,   (@x =@pn)comp ,     

    : $, ,      :



(@x =@pn )comp =  U 1 p pU 1 + U 



;

0

;



1 (n)

;




$ p      p,      ,       p,   $   - . 7   , 0

;



(@x =@pi )comp =  hz
piU 1p + z =  U 1p hp
z i + U 1S = ;  U 1 p pU 1 S + U 1 S = U 1p pU 1 + U 1 S =

  U 1p pU 1 + U 1 (n) : 



;

0

;

;



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0





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0

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0

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0





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. 8  H = U 1p pU 1 + U 1      ;

0

;

;

.



8  : $ H   $      .        ". 1) !   H    
. 7   ,   U |      ,  U 1 |  ,    . + $,   p p |  n  n  ,   (i
j)-     pi pj ,    ,    .  ;

0

;

U 1 p pU ;

0

1

;

T

= (U 1 )T (p p)T (U 1)T = U 1p pU 1
;

0

;

;

0

;

,  ,   U 1p pU 1    .
   ,      "           . 2) -   
'
: pH = Hp = 0. 7 , ,  pH = 0 (           H). 7   , pH = pU 1p pU 1 + pU 1 = ; pU 1 1p (pU 1p )pU 1 + pU 1 = 0
  . 3) !   H         
  

, ..  

   v 2 Rn 
  vHv  0. /  , vHv = 0

   ,    v p 

.  v |     Rn. 8 ,   ,  vHv  0. 1            ;U 1 (       ,      ),  w |   Rn, ;

0

;

0

;

0

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0

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0

0

0

0

;

28 *  $      v      $  $       , $ p. 4   , v = p + w,  2 R, wU 1p = 0. ) : ;

0

vHv = (p + w)H(p + w ) = 2pHp + pHw + wHp + wHw = wHw = w( U 1p pU 1 + U 1 )w = (wU 1 p )pU 1 w + wU 1w = wU 1w  0
0

0

0

0

0

;

;

0

0

0

;

;

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0

0

0

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0

      $  $   $, $ w = 0. 7      . )     " %         .

 3.1 &  

 '  $
,  :  @x  n 

@pn comp < 0:

-
    ,  
 
       " 
     $  
$
 

.

 !. 7   ,   (@x =@pn)comp =  JH](n), 



 (@xn =@pn )comp =  hnn, $ hnn |   ,   $      H.  ei      , $ hnn = en Hen . 4  p  0,  p en    , ,     (3)   : $,   hnn < 0,   . 



            : $. -   n-  

,  @xn=@K > 0, . .       "          ,     . 4,  *   ,     

. 

 3.2 !
$  

  
  .  !. 6       3.6    

  p. 7      .

 3.3


 

     '



   
  .

 !. 6    $,       : $  xn   . :    . 

     

29


. 7  i j    
 , 

(@xj =@pi )comp > 0, . .        i-      *     " (          i)    j   . 5 (@xj =@pi)comp < 0,   i j    
 
 . 



". 8 $           ,       |      .

 3.4

%  $   i "   
  
  j , "   i  
 .

 !. ,  $    * , i = n.     3.1,   (@xn =@pn)comp < 0. : $ ,      % , h(@x =@pn )comp
pi = 0, ,   p  0,  ,  *     j,  (@xj =@pn )comp > 0. 7   

  . 






.   j       
    i,  @xj =@pi > 0. T,  &   x (p
K)       
 ,                      , . .  @xj =@pi  0  " i 6= j. 5 , @xj =@pi > 0  " i 6= j,  $   
    
 . 







 3.1   u(x) = Pni=1 ixi i , i > 0, 0 < i < 1, x (p
K) | 


  .  ,   x    
 .



(p
K)       


30


 4

        1  3            $     %  .
      ,   ,    "     (   , &  $ )            . 4  

      &    $ .
   %   "    ,     "     &     $ . 8  ,                "   ". 3    "    &  $ ,       "    " &     $          "  . I    ,  %     ,   ,       :   \ "    $    . 3            6    . )     ,    &     $  ,       $             $ "  ,   &     $    ,    $    ( ):    $      ,           . 31

32

2  "  1         $ .  M = fx1
: : :
xm g |   ,   , S = fy1
: : :
yng |   ,     ,  %      *  $ .   ,$    yk           : k k xi1      xim : 4     &  ,   *      ,   , . .  ,   " 1 k "   
: : :
         <:

<= f(1
: : :
k ): .    $    ,  "   "   a b: a  b (a % b)
a = b (a b   )
b  a (a ", b)
"   a < b (a  ", b): H  $ ,    a     ,         a        a  : : :, . .  a %  " "  .
. -       
 ,   "   "    . ".    10     1
: : :
10,    a, b c. 4$ &  $  ,      . -        1 2 : : : 10

  a b ::: c

  b a ::: b

  c c ::: a )$           $% "    . 3    *       . -  

  

33

-     2 3 5

  a b c

  b a b

  c c a :*                . 1    ". 2.1

       

6      * .

1$         
  
 
  , 
  ,
 ' 
  '      |   .

".    n = 10     m = 4  . 1   *  &  $ :

-     2 3 4 1

  a a b c

  b c a a

  c d c d

  d b d b ) ,    a  5 $,    b | 4 $,

   c | 1 $    d | 0 $.       a. 1  $ & .

-     2 3 5

  a a b

  b c a

  c d c

  d b d 3      a b $         ,   c d |  $. 3    %      ,       . 4     , $            ",    %   $. 3              : a b. 2.2

       

6    $    *    . 1$

      
 
 
  ,   
  ,
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34  '   '  
   ,      . *  
 "   ' 
,      . &        
     
      
   ,  
  
       2  $   
     
 
 

  ,    
 
  ,
 ' 
  '         '  
   . &              .

2.3

  

1  *  &  $ ,    n     m  . 1   ,  S  "       Si ,      ,  "             .    p  " ,    i-    ki    : jSi j = ki. X,  ki > 0 k1 +    kp = n. F        ,    %  ,   xi        i   *  "  . 1    (xi
yj )  -      %         ij  . 5    yj     xi     ,    %    0  ,  ,     |  1  , ..,       |  (m ; 1)  . )  ,    xi    k-                   yj ,  ij = k ; 1.
  ,     ,$  Sl    xi    ,  .  ,     il      ,     (xi
yj )  &   xi  ,$    yj 2 Sl . 7 ,          i,    ,$   P xi  ij     (xi
yj ), . .      : i = nj=1 ij . X,  i =

p X l=1

kl il :

      
  ,
 ' 
  '     .

2.4

 



3    $   a,     ,  (a
x), $ x |  ,    a. 7 ,  (a
x)  -

  

35

     ka
x    ,   * " a    x,    kx
a    ,   * " x    a.
     ra     " x,  " ka
x  kx
a. 1
     
 ra     . 6   $   .

". 1   *  &  $ .      1 2 3

  a b d

  b a a

  c c b

  d d c 7 $ ,  ,$   a    %  "   x,  " ka
x  (n ; ka
x),  %   "     a < b  ka
x : (n ; ka
x). )  a < b  2 : 1, a < c  3 : 1, a < d  2 : 1, b < c  3 : 1, b < d  2 : 1, c < d  2 : 1. 4   , ra = 3, rb = 2, rc = 1 rd = 0,    

  a. 2.5

"# $%   

6       H         1, 2, : : :, m ; 1  "    s1 , s2 , : : :, sm 1 .
    si     $   : 0  s1  : : :  sm 1 sm 1 > 0. ;

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. 8    $ %    

  * $   H. 7 ,  s1 =    = sm 2 = 0 sm 1 = 1. 8  H  ,      * $   H: ,  si = i. 4     , * $   H      $ %    + . - ,          $ & . ;

;


  ,      *     ,  .

36

"# 4.1

"       
,    
    
   .

 !.    n      17,    m    4. 1   *  &  $ .

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  c b d b

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!   
  '
 .   $  17=2,         %   $. 7 ,      $       a, %  8 $. : *      $    b, %  5 $. :  ,      %    : a b.  $,                ,     $ ,    *  .

-     5 3 5 4

  a a b b

  b b a a . . a  8 $,   %   (8 < 17=2),  b  9 $,  %   (9 > 17=2). :  , b |    . !  /. :    . a b c d 3  8 = 24 3  5 + 7 = 22 3  4 + 2  5 + 5 = 27 2  12 + 5 = 29 ,        ,    d. !  1
. :    "     . ) :

  

37

b < a  9 : 8, c < a  9 : 8, c < b  9 : 8, c < d  9 : 8, d < a  9 : 8, d < b  12 : 5,  ra = 0, rb = 1, rc = 3 rd = 2. :  ,    c.

"# 4.2 - "

   /
      
  '
    1
.

 !. 3           -

* $  ,  ,      $   $ ,   *    H.  s1 , s2 s3 |  ,      , %  

  ,          . 4$      *     . a b c d 8s3 5s3 + 7s1 4s3 + 5s2 + 5s1 12s2 + 5s1 :    $   $ %            b. 8,    b      *    H.  , ,  ,. 4$ ,  (5s3 + 7s1 ) ; 8s3 = 7s1 ; 3s3  0
(5s3 + 7s1 ) ; (4s3 + 5s2 + 5s1 ) = 2s1 ; 5s2 + s3  0
(5s3 + 7s1 ) ; (12s2 + 5s1 ) = 2s1 ; 12s2 + 5s3  0:
   ( 7=3s1  s3 2s1  5s2 ; s3 : :      ,   13=15s1  s3 . - s3 > 0 s1  s3 .    . 4   ,    "   " si   H      %       $ ,     $ % . 1     $ &  $ .

-     3 6 4 4

  c a b b

  a b a c

  b c c a

38 3             + . :    "   . a < b  9 : 8, a < c  10 : 7, b < c  14 : 3. :  ,  +        a. 3      *    H. ) : a b c 6s2 + 7s1 8s2 + 6s1 3s2 + 4s1  , ,    a ,         *    H. 4$ ,  (6s2 + 7s1 ) ; (8s2 + 6s1 ) = s1 ; 2s2  0
(6s2 + 7s1 ) ; (3s2 + 4s1 ) = 3s1 ; 3s2  0
  2=3s1  s2 ,  s2 > 0 s1  s2 ,    . )  ,    "   " si *    H        $   %  &  ,     *   + . 7     ,     .


 5

 
 1  3 *      , ,    ,  

"      *    ,        . )     ,         ,      %   . 4   , %    , &    $ . +  ,    % ,               , * $,    .      ,         $     &     $ ,           . 8         ,  *             "  ,      &    $ ,  *        . 3 ,   &     %  \   ":  &     ,   "   "             $  ". 4  &      &    . 3  %      ,     6, $*, 

, &     $ ,  *    &    ,   &    . 39

40

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  S = fy1
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: : :
xmg | ,   . 4   ,   n      $    , , "         ,   "  .  p |     $ .      p,    ,  M1 = fa1 =    = asg, *     .       p  ,   $% " M n M1 . 8    ,   $% " M2 = fas+1 =    = as+l g. 3      M     M1 M2     ,   , .. 3      ,  M $  %  

  : M1  M2     . 4   ,   $            $    . ) , "   p    &     $   1 n k  ,  *   <= f(
: : :
), $  |      $        yk ,  < |       . 3%     ,           $ $     %      . F    $  ,              &    $    . 1. 
 . 7 "   a b    

  ,    a  b,  b  a,   a = b. 2. #

 . 7 "  "   a, b c,  "  a < b b < c,   a < c,              a = b = c. 3. *
  . 5      ,  a % b,          a ,   % b: 8k

4.

3   .

k

a  b ) a  b:

,  " "                "   $ ,      "    "      ,   $ "  . )  ,   &    $       A   a   b    S nA   b   a   

   

41

  a  b,    " &    $   a  b. . 8,  &     $ ,  * "    1{4,  .     " &   $ 1 n k ,  &   ,   , &    f(
: : :
) =    $ k ( ,  ).  5.1 ($%)   f | 
  


  
,   "   1{4,  $ ,    
 
  
   . # f | 
     . . 5      % 3,     6       . . 4   6 ,      *   :         ,      |    .  ! & $%. 3       ,"  .  ,  $,   ,  A ,            . +   A     f '"   
   a  
   b, $   $, $ $,       A  a % b,    ,  "*  A,  b % a,   ,         a  b: ( 8yk 2 A
a k b ) & ( 8yl 62 A
b l b ) ) a  b: 6 &        A = f(a
b).
  , ,           ,   $ &  $        $      f %*     a   b,  $ &  a  b,   a  b    $ &       $.          f- %*   a   b. )  ,    ,   * $ f- %*     a   b,     $ ($) & . 7 ,    A,     " "   a b

   A   f- %*   a   b     f -'". ' 5.1 "   
   (a
b),    
     D,  "  
     d,    D = f(a
b).

42

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     K ,   "   , 

, " *      (a
b),  "  

     f- %*   a   b.
  ,  ,  K  ,   ,        $ , ,   "     S    f- %*         (a
b). H $,     ,     $ ,  ,     f- %*        . 1   K    D, *   % $      . 8  , ,  D    $   ,   %       .  ,    , . . D = fdg E, $ E |     ,   . 5 S      "

 ,   &  $  T     fdg E S n D

  a c b

  b a c

  c b a 5 , S   "  ,   &  T     fdg E

  a c

  b a

  c b 4  D = f(a
b),  a  b.  , ,  c  b. 4$ E = f(c
b),           D.  b < c, ,        , a  c. - $ fdg = f(a
c),   ,          D. 4   ,        ,  ,  D      $   , ,  , D  ,       . 2    . ' 5.2 1   D  "     f -'".  !.  c |    . 1  &  T    

  fdg : : :a  : : :  b  : : :  c : : : S n fdg : : :b  : : :  c  : : :  a : : : 4  fdg = f(a
b),  a  b. 3       $ , b  c, ,     , a  c. . , fdg = f(a
c). 7 ,  e | *    . 1  & 

   

43

T    

  fdg : : :e  : : :  a  : : :  c : : : S n fdg : : :c  : : :  e  : : :  a : : :      $ , e  a. 4  a  c, ,     ,  $ &    e  c. - $ fdg = f(e
c). 4   ,     ,   " "   e c    fdg   f- %*   e   d. . ,    fdg  f- %*   . 2    .

' 5.3 ( 

 '     d |    .  !. +        ,  d ,  -

       " "   a b   ,    "      ,. 3             $ ". 8 ,   ,     $     ,            d. 1   &  $ ,  "     d    : : : a d : : : d c d : : : d b : : :,        c %   a b. 4  fdg   f- %*    ,    " &   a  c#        $ , c  b, ,     , a  b. )  %   c          ,  ,   d   a % b,  

    a  b. 3       a b,  ,  d |  . 2    .      %         6.