Двойные потенциальные барьеры и резонансное туннелирование

Министерство образования Российской Федерации Ростовский государственный университет кафедра теоретической и вычислительной физики

Крайзман В. Л., Положенцев Е. В., Саченко В. П.

Методические указания для студентов дневного отделения физического факультета РГУ

к курсу лекций и практических занятий по квантовой механике

"Двойные потенциальные барьеры и резонансное туннелирование"

Ростов-на-Дону 2001 г.

Печатается по решению учебно-методической физического факультета протокол № __ от __.__.2001. Авторы: Крайзман В. Л. Положенцев Е. В. Саченко В. П.

комиссии

— профессор КТВФ, — ст. преподаватель КТВФ, — профессор, зав. КТВФ.

Рецензент профессор кафедры теоретической и вычислительной физики, д-р физ.-мат. наук Л. А. Бугаев

Крайзман В. Л., Положенцев Е. В., Саченко В. П. "Двойные потенциальные барьеры и резонансное туннелирование." Методические указания к курсу "Квантовая механика". Ростов-на-Дону: 2001. -- 19 с.; ил. Методическое пособие посвящено изложению теории резонансных туннельных диодов в курсах квантовой механики, как примере практических приложений квантовой механики, превращающих ее в инженерную науку. Методическое пособие состоит из трех разделов. В первом из них рассматривается общая схема описания одномерного движения частицы в простом потенциальный барьере. Во втором рассматриваются явления туннелирования частицы для сложного (двойного) потенциального барьера. Третий раздел посвящен рассмотрению туннелирования частицы в модели резонансного туннельного диода, состоящей из двух одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров. Предназначено для студентов физических факультетов, оно может быть полезно при изучении курсов физики твердого тела и физики полупроводников.

2

Введение В настоящее время в наноэлектронике используются гетероструктуры нанометровых размеров, функционирование которых основывается на существенно квантовых явлениях. Такими структурами являются квантовые точки, ямы и нити, на основе которых создаются электронные приборы наноэлектроники и, в частности, резонансные туннельные диоды и транзисторы. Популярное изложение технологии изготовления наноструктур и принципов работы электронных приборов на их основе можно найти в [1]. Методическим вопросам изложения теории резонансных туннельных диодов в курсах квантовой механики, как примере практических приложений квантовой механики, превращающих ее в инженерную науку, и посвящено настоящее методическое пособие. Оно будет полезно также для курсов физики твердого тела и физики полупроводников. Методическое пособие состоит из трех разделов. В первом из них рассматривается общая схема описания одномерного движения частицы с потенциальной энергией U(x) в ограниченной, непрерывной и отличной от нуля в конечной области x1 < x < x2 (простой потенциальный барьер). Во втором рассматриваются явления туннелирования частицы для сложного (двойного) потенциального барьера, где U(x) — кусочно-непрерывная функция. Третий раздел посвящен рассмотрению туннелирования частицы в модели резонансного туннельного диода, состоящей из двух одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров. Раздел 1. Простой потенциальный барьер Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для частицы с энергией E > 0, движущейся в потенциальном поле U(x), отличном от нуля в ограниченной области оси x: x1 < x < x2 (рис. 1). В таких задачах, как известно (см., например, [2, 3]), U(x) решение уравнения находится путем следующей процедуры. В каждой из трех областей, на которые делится ось x точками x1 и x2 (рис. 1), строится общее решение уравнения I x1 II x2 III x ψ I , ψ II , ψ III , причем в областях I и III эти реРис. 1. шения представляют собою сумму двух волн: распространяющихся в обе стороны оси x:

ψ I = A1eikx + B1e−ikx

(1 а)

ψ II = C1F1 ( x ) + C2 F2 ( x )

(1 б)

ψ III = A2eikx + B2e− ikx

(1 в)

Здесь F1 и F2 — два линейно независимых решения уравнения в области

3

II; k =

2mE ; Ai, Bi, Ci (i = 1,2) — коэффициенты, к определению которых и h2

сводится задача. Общее решение уравнения (волновая функция ψ ), на всей оси x теперь строится на функциях (1) путем установления связей между коэффициентами. Эти связи определяются требованиями непрерывности волновой функции и ее первой производной на границах областей, т. е. в точках x1 и x2. Поскольку коэффициентов в (1) шесть, а условий "сшивки" — четыре, то два коэффициента (обычно, но необязательно, это A1 и B2) можно выбрать произвольно. Конкретные значения этих коэффициентов и определяют нужное "физическое" частное решение уравнения. Например, решение, для которого A1 = 1, B2 = 0 описывает состояние частицы, в котором она движется из −∞ к барьеру с плотностью потока равной скорости, частично отражается от него, а частично проходит в область III за барьером. Нетрудно показать, что вывод о существовании двух произвольных коэффициентов можно получить, не обращаясь к процедуре "сшивки" решений на границах областей. Действительно, уравнение Шредингера — обыкновенное дифференциальное линейное уравнение второго порядка. Его общее решение определяется двумя произвольными постоянными, так что из шести коэффициентов в (1) два должны быть произвольными, а остальные — представлять линейные комбинации этих двух. Пусть A1 и B1 — независимы. Тогда A2 и B2 должны быть их линейными комбинациями. Положим, что:

A2 = α A1 + β B1 ,

(2)

где величины α , β вообще говоря комплексны, определяются потенциалом U(x) и зависят от энергии частицы E. Выражение для B2 можно найти, принимая во внимание действительность уравнения Шредингера. В самом деле, если ψ ( x ) есть его решение, то

ψ * ( x ) — тоже будет решением, с той же энергией E. Но ψ * ( x ) в областях I и III будет иметь вид:

ψ I* = A1*e−ikx + B1*eikx (3)

ψ

* III

* − ikx 2

=Ae

+Be

* ikx 2

Сравнение этих выражений с выражениями (1 а, 1 в) показывает, что они различаются только обозначениями коэффициентов. Например, вместо коэффи* циента A1 в падающей на барьер волне теперь стоит B1 . Аналогично, вместо * B1 теперь появляется A1* ; то же самое относится и к выражению ψ III . Но ли-

нейная связь коэффициентов, постулированная равенством (2), должна сохраняться. Поэтому:

B2* = α B1* + β A1* ,

(3 а) 4

или

B2 = α * B1 + β * A1 .

(3 б)

Таким образом выражения A2 и B2 через A1 и B1 имеют вид:

A2 = α A1 + β B1

(4 а)

B2 = β * A1 + α * B1.

(4 б)

Модули величин α и β связаны друг с другом жестким соотношением, оставляющим "свободными" только их фазы. Действительно, рассмотрим плотность потока вероятности для одномерного движения

j=

ih ⎛ dψ * dψ ⎞ −ψ * ⎜ψ ⎟ 2m ⎝ dx dx ⎠

(5)

Эта величина должна быть постоянна на всей оси x. Используя выражение (1 а) и (1 в) для областей I и III, получим выражение для величины j в этих областях:

jI =

(

)

(

)

ih ih 2 2 2 2 A1 − B1 ; jIII = A2 − B2 . 2m 2m

Из равенства jI = jIII, следует:

(A

2

− B1

1

2

)=( A

2

2

− B2

2

).

Подставляя в последнее равенство соотношение (4) найдем, что 2

2

α − β = 1.

(6)

Упражнение 1. Получите самостоятельно формулу (5) и убедитесь, что плотность потока вероятности для волны Ae

ikx

2

равен A v , где v —

скорость частицы. Обратимся теперь к коэффициентам отражения R и прохождения D для потенциального барьера [2, 3]. Чтобы ввести эти величины, надо положить, что B2 = 0 , т. е. что за потенциальным барьером есть только волна A2eikx , прошедшая через этот барьер. Тогда:

R=

jотр jпад

; D=

jпр jпад

.

Используя определение (5) для потока вероятности и выражения (1 а) и 2

2

B A (1 в) для соответствующих волн, легко получить, что R = 1 ; D = 2 . A1 A1 Введем амплитуды коэффициента отражения r и прохождения d:

5

r=

(R = r

B1 A ;d= 2 A1 A1

2

,D= d

2

).

Коэффициенты Ai, Bi (i = 1, 2) связаны между собой соотношениями (4). Поэтому амплитуды r и d должны выражаться через величины α и β. Действительно, из (3 б), при условии B2 = 0 следует:

β* B1 =r=− *, A1 α

(7 а)

а из (2 a) 2

2

2

β α −β A2 B , = d =α + β 1 =α − * = A1 A1 α α* и в силу (6): d =

1

α*

.

(7 б) 2

1 β и D= 2. В соответствии с этим R = α α В свою очередь величины α и β выражаются через амплитуды r и d (это следует из (7 а) и (7 б)):

1 d

r d

α* = ; β * = − .

(8)

Упражнение 2. Введите амплитуды rn, dn для частицы, падающей на барьер справа, и покажите, что Dn = D; Rn = R, но dn ≠ d. Амплитуды r и d, так же как и величины α и β , могут быть комплексны и являются функциями энергии частицы. Упражнение 3. Покажите, что соотношение

R + D =1

(9)

есть следствие формулы (6). Следует добиться понимания студентов, что условие B2 = 0, использованное при получении выражений для R и D и формул (7) не является необходимым. Это условие позволяет ввести определения R , D и r, d естественным, физическим наглядным образом. Но эти же величины могут быть введены просто формулами (7). Это подчеркивает тот факт, что амплитуды r и d, так же как и величины α и β определяются только потенциальным барьером, т. е. функцией U(x), и являются его характеристиками. Если в выражениях (4) B2 ≠ 0, т. е. частицы падают на барьер и слева и справа, то отношение

B1 уже не есть r. A1

Но тогда B1 = rA1 + dB2 , т. е. равняется сумме амплитуд отраженной левой волны и прошедшей через барьер правой. С другой стороны, допустим, что U(x) ≡ 0 в области II, т. е. что барьера вообще нет. Тогда α = 1, β = 0 и A2 = A1, B1 = B2, т. е.

α и β , а вместе с ними и амплитуды r и d определяются только 6

барьером. РАЗДЕЛ 2. Двойной потенциальный барьер

I

Пусть теперь потенциальная энергия U(x) в уравнении Шредингера является кусочно-непрерывной функцией, т. е. отлична от нуля в двух ограничениях, непересекающихся отрезках оси x: x1 < x < x2, где U(x) = U1(x) и U1(x) U2(x) x3 < x < x4 (x3 > x2), где U(x) = U2(x). Перенумеруем области оси x, на границах которых U(x) испытывает разрыв цифрами I—V x1 II x2 III x3 IV x4 V (рис. 2). В областях I, III, и V U(x) равно нулю и Рис. 2 общее решение уравнения записывается для них ikx − ikx как линейная комбинация волн e и e :

ψ I = A1 eikx + B1 e −ikx ψ III = A2 eikx + B2 e −ikx ψ V = A3 eikx + B3 e −ikx Кроме того, имеются еще 4 коэффициента общих решений уравнения для областей с U ( x ) ≠ 0 — области II и IV. Из этих десяти коэффициентов, согласно разделу 1, только два являются независимыми — например A1 и B1 . В тоже время в рассматриваемой задаче можно выделить три потенциальных барьера: два простых и один сложный, который и является предметом исследования этого раздела: 1-й простой барьер это область II с U ( x) = U1 ( x) и примыкающие к нему слева и справа области I и III свободного движения частицы. 2-й простой барьер — область IV с U ( x) = U 2 ( x) и примыкающие к нему области III и V свободного движения частицы. Сложный барьер расположен в области x1 < x < x4 . К нему слева и справа примыкают области I и V свободного движения частицы. Согласно результатам раздела 1, можно связать коэффициенты Ai , Bi для каждой пары областей свободного движения примыкающих к соответствующему барьеру соотношениями типа (4), выразив тем самым величины характеризующие сложный барьер, через аналогичные величины для простых барьеров. Для первого барьера получим:

A2 = α1 A1 + β1B1 ,

B2 = β1* A1 + α1* B1.

(10 а)

Для второго:

A3 = α 2 A2 + β 2 B2 ,

B3 = β 2* A2 + α 2* B2 .

(10 б)

Для сложного барьера: 7

A3 = α 3 A1 + β 3 B1 B3 = β 3* A1 + α 3* B1.

(10 в)

α1 , β1 относятся и определяются первым барьером, α 2 , β 2 — вторым, α 3 и β 3 — третьим, сложным барьером. Здесь величины

Подставляя в (10 б) выражения (10 а) для A2 и B2 , получим:

A3 = (α1α 2 + β1* β 2 ) A1 + (α 2 β1 + α1* β 2 ) B1

(11 а)

B3 = (α 2 β1* + α1 β 2* ) A1 + (α1*α 2* + β1 β 2* ) B1

(11 б)

Сравнивая выражение (11 а) с (10 в), находим:

α 3 = (α1α 2 + β1* β 2 ) , α 3 = (α 2 β1 + α1* β 2 ) .

(12)

Результат (12) и дает решение задачи сведений сложного барьера к двум простым барьерам. Действительно, согласно (7 б) и (7 а), амплитуды d3 и r3 для сложного барьера выражаются через величины α i и

d3 =

1

α

* 3

=

β i (i = 1, 2) для простых барьеров:

1 , α α + β1β 2* * 1

(13 а)

* 2

β 3* α 2* β1* + α1β 2* r3 = − * = − * * . α3 α1α 2 + β1β 2*

(13 б)

Далее (включая и раздел 3) основное внимание будет уделяться анализу амплитуды d3 и коэффициенту прохождения для двойного барьера D3 = d 3 . Подставив в (13 а) выражения

α i и β i (i = 1, 2) через ri и di (8), полу-

чим:

d3 =

где

d1d 2 1 + r2 r1*

* 1

d d1

=

d1d 2 1+ Q ,

(14)

d1* Q=rr . d1 * 2 1

Упражнение 4. Используя формулу (13 б), получите выражение для r3 , аналогичное (14). Проведем анализ формулы (14) для d3 . Представим его в показательной iϕ

форме: Q = re ,

(15)

d1* Im Q = r1 ⋅ r2 = R1R2 , tg (ϕ ) = где: r = r r . d1 ReQ * 2 1

8

Рассмотрим случай, когда

ϕ = ( 2n + 1)π (n — целое число).

iϕ

Тогда e = −1 и :

d3 =

d1d 2 , 1 − R1R2

а D3 равно:

D3 =

D1D2 . 1 − R1R2 + R1R2

Естественно, здесь предполагается, что d1 и d 2 не равны нулю, а r1 и

r2 — единице. Используя (9), произведение R1 ⋅ R2 можно преобразовать к виду:

R1R2 = R1 + R2 − 1 + D1D2

и выражение для D3 принимает вид:

D3 =

D1D2 = R1 − 2 R1R2 + R2 + D1D2

(

D1D2 R1 − R2

)

2

+ D1D2

.

Точная верхняя граница, равная 1, для D3 , как функции R1 и R2 , достигается, следовательно, если выполняются условия:

ϕ = ( 2n + 1)π и R1 = R2 .

Упражнение 5. Получите результат из требования R3 = 0.

( )

Случай, когда при некоторой энергии E p частицы D3 E p = 1

( R ( E ) = 0 ) , называется резонансным туннелированием. Равенство D 3

3

p

=1

означает, что частица, падающая на барьер слева ( B3 = 0 ) , проходит в область V за барьером без отражения и A3 = A1 . Проведем анализ двух условий резонансного туннелирования: 1. Выполнение равенства

ϕ = ( 2n + 1)π

(16 а)

2. Выполнение равенства

R1 = R2 .

(16 б)

Условие (16 а) есть трансцендентное уравнение, определяющее резонансное значение энергии E p . Условие (16 б) заведомо выполняется, если первый и второй барьеры одинаковы, т. е. U1 ( x ) = U 2 x + ( x3 − x1 ) . Но коэффициенты R1 и R2 есть

(

)

функции энергии частицы. Поэтому, не исключено, что условие будет выпол9

няться при некоторых значениях E = E0 . Но условия (16 а) и (16 б) — независимы. Это следует хотя бы из того, что фаза

ϕ в (16) определяется фазами di и

ri ( i = 1, 2 ) , в то время как величины R1 и R2 вообще их не содержат. Поэтому совпадение энергий E0 и E p может быть только случайным и практически не

реализуется. С другой стороны, если различие между барьерами невелико, т. е.

(

R1 − R2

)

2

D1D2 , то D3 < 1, но может быть достаточно большим для

появления максимума в зависимости D3 ( E ) , которая в сущности является вольт-амперной характеристикой резонансного туннельного диода [1]. В этом случае на вольт-амперной характеристике появляется область отрицательного сопротивления, соответствующая области E в которой

dD3 <0. dE

По-видимому, так и происходит на практике, поскольку получение двух абсолютно одинаковых барьеров технологически невозможно. Аналогичная ситуация возникает, если условие резонанса (16 а) выполняется лишь приближенно (см. раздел 3). Формула (14) для d3 и аналогичная формула для r3 позволяют выразить коэффициенты прохождения D3 и отражения R3 сложного барьера через амплитуды di и ri простых барьеров. Но через эти амплитуды выражаются и величины B1 , A2 , B2 A3 (точнее их отношения к A1 ), определяющие по (10) решение уравнения Шредингера для сложного барьера в областях I, III V, при условии B2 = 0 (частица падает на барьер слева). Нахождение же решения в областях II и IV сводится к "сшивке" функций (10) на границах этих областей с уже известными решениями в соседних областях. Таким образом, решение уравнения Шредингера для сложного барьера выражается через решения этого уравнения для простых барьеров. Упражнение 6. Покажите, что величины A2 , и B2 в предположении B3 = 0 , выражаются формулами:

A2 d = 1 A1 1 + Q B2 d1r2 = , A1 1 + Q где Q определено в (15).

(17 а) (17 б)

Упражнение 7. Покажите, что при выполнении условий резонанса, формулы (17) приобретают вид:

A2 B = α1; 2 = β1* A1 A1

(18)

Для понимания физики резонансного туннелирования полезно рассмотреть в этом случае свойства функции ψ III ( x ) . Для этого рассмотрим вначале 10

свойства амплитуд ri

( i = 1, 2 ) .

Эти, комплексные в общем случае, амплитуды запишем в виде ri = r eiϕi , где r1 = r2 = r согласно условию резонанса.

ϕ i можно представить в виде суммы кинематической фазы ϕ i ,k , и динамической — ϕ r ,i . Фаза ϕ i ,k определяется положением барьера на оси x , а фаза ϕ r ,i — только свойствами барьера. Фазу

Это лучше показать на хорошо известном примере падения частицы на бесконечно высокую потенциальную стенку. Пусть частица падает слева на такую стенку, не расположенную в области x ≥ 0 . Тогда, как известно, общее − ikx ikx должно обращаться в ноль решение в области I перед барьером, A1e + A2e

в точке x = 0 , что приводит к равенству A2 = − A1 . Но, в общем случае,

A2 = rA1 , где r — амплитуда отражения. Таким образом для рассматриваемой iπ модели r = −1 или r = e . Число π и есть динамическая фаза. Если, теперь, начало потенциальной стенки находится в точке x = x1 (пусть, для определен2 ikx iπ 2ikx ности x1 > 0 ), то A2 = −e 1 A1 . Теперь r = e e 1 и фаза r есть π + 2kx1 , а величина 2kx1 — кинематическая фаза. Появление ее имеет простой физический смысл. Если начало барьера находится в точке x = x1 > 0 , то по сравнению со случаем x1 = 0 , падающей на барьер волне нужно пройти расстояние x1 до барьера, отразится от него, приобретая фазу ϕ r = π и пройти расстояние от барьера до точки x = 0 . В сумме волна проходит дополнительное расстояние 2x1 , т. е. приобретает дополнительную фазу 2kx1 . В общем случае барьера произвольной формы ситуация будет аналогичной. Фаза амплитуды для r1 будет равна ϕ r + 2kx1 , где, однако, ϕ r ≠ π . Для двух барьеров левые границы которых определяются точками x1 и

x3 (рис. 2) и x3 = x1 + ( a + b ) ( a — ширина одного барьера, b — расстояние между барьерами), динамические фазы будут одинаковы

(ϕ

r1

= ϕ r2 = ϕ r ) , а ки-

нематические фазы будут различаться на величину 2k ( x3 − x1 ) .

Аналогичное разделение фазы на кинематическую и динамическую можно провести и для фазы амплитуды прохождения d . Но теперь кинематическая фаза будет определяться как ( − ka ) , где a = ( x2 − x1 ) — ширина барьера. Физически это означает следующее. Волна, "прошедшая" через барьер приобретает динамическую фазу ϕ d , но поскольку она фактически не проходит через − ikx

барьер (в области барьера решения не имеют вид e ), она "теряет" фазу ( −ka ) . То есть, за барьером волна приобретает фазовый множитель eiϕd e− ka . Отсюда следует, что для двух одинаковых барьеров, расположенных в областях

x1 ≤ x ≤ x2 и x3 ≤ x ≤ x4 , совпадают и динамические (ϕ d1 = ϕ d2 = ϕ d ) и кине-

матические фазы, т. е. d1 = d 2 .

11

Заметим также, что условия резонанса (16) можно записать, используя только динамическую фазу ϕ d :

ϕ = ⎡⎣ k ( x3 − x1 ) − ϕ d ⎤⎦ = ( 2n + 1)π ⎛ ⎝

или kb − ϕ d = ⎜ n +

1⎞ ⎟π , где b = ( x3 − x1 ) 2⎠

(19)

Упражнение 8. Определите динамическую и кинематическую фазы амплитуды d3 [14] при выполнении условий резонанса. Полученная выше из качественных соображений структура фаз амплитуд di и ri может быть строго обоснована. Вернемся к исследованию функции ψ III ( x ) , положив для простоты и на-

глядности A1 = 1 и считая B3 > 0 . Используя (18), вий резонанса можно записать в виде:

ψ III при выполнении усло-

ψ III ( x) = α1eikx + β1e− ikx . Выражая α1 и

β1 через r1 и d1 :

eikx ⎛ r1d1* −2ikx ⎞ ψ III ( x) = * ⎜1 − e ⎟. d1 ⎝ d1 ⎠ r1d1 Q* = * , где Q определена в (15). Величина d1* r2 При выполнении условий резонанса: 2

(

)

Q* = Q = − r , r1 = r2 = R . Кроме того, r2 = r e *

ψ III ( x) =

− iϕ r

e2ikx3 и выражение для ψ III ( x) приобретает вид:

(

)

eikx i ϕ + 2 kx 1 + Re ( r 3 )e −2ikx . * d1

(20)

Плотность вероятности для области III W ( x ) = ψ III ( x) , определяется, 2

следовательно, выражением:

W ( x) =

(

1 1 + R + 2 R cos (ϕ r + 2kx3 − 2kx ) D

)

21)

Точки x0 , в которых функция W ( x ) имеет экстремумы, определяются, очевидно, уравнением:

ϕ r + 2k ( x3 − x0 ) = nπ

(22)

где n — целые числа, такие, что x0 попадает в интервал x2 < x < x3 (строгие неравенства!). Четные n определяют точки максимумов W ( x ) , нечетные — минимумов.

12

Для четных n максимальные значения W ( x ) = Wmax будут равны:

Wmax =

1+ R > 1, 1− R

(1 есть плотность вероятности в падающей волне при выбранной нормировке A1 = 1 ). Соответственно:

Wmin =

1− R < 1. 1+ R

Полученные результаты позволяют сделать ряд выводов: 1. В области III, вообще говоря, могут быть несколько максимумов функции W ( x ) , разделенных ее минимумами. 2. Если это так, то величины максимумов (минимумов) одинаковы и определяются только значением R ( D ) . 3. Резонансы будут тем более "острыми", т. е. амплитуда максимумов будет тем больше, чем ближе R к единице ( D — к нулю). Например, если R = 0,8 ( D = 0,2 ), то Wmax ≈ 18 (см. также раздел 3). Это означает, что плотность вероятности в максимуме будет в 18 раз больше, плотности вероятности в падающей на барьер волне! 4. Произведение Wmax ⋅ Wmin = 1 всегда. Полученные результаты позволяют полнее объяснить физическую картину резонансного туннелирования. Пусть, для наглядности, сложный барьер состоит из двух одинаковых прямоугольных барьеров высотой U 0 . Представим себе, что левая ( x1 ) и пра-

вая ( x2 ) границы сложного барьера стремятся к ± ∞ . При этом область III превращается в прямоугольную потенциальную яму шириной b = x3 − x2 и глуби-

ной U 0 .

Движение частицы при этом становится финитным при E < U 0 и в яме

будет один или несколько уровней энергии En , число которых определяется 2

значением величины U 0b [2, 3]. Плотность вероятности для таких стационарных состояний максимальна в пределах ямы, убывая экспоненциально в областях за ней. Если теперь x1 и

x4 конечны, то движение частицы становится инфинитным, т. е. частица может выйти из потенциальной ямы в области I или V и уйти на бесконечность. С другой стороны, частица теперь может находиться вне потенциальной ямы, например, в области I, и двигаясь к ее стенке, попасть внутрь. В соответствии с этим стационарных состояний частицы в потенциальной яме уже не будет, также как и дискретных уровней энергии — спектр энергии становится непрерывным. Тем не менее, если энергия частицы E ≈ En , то волновая функция такого состояния в области ямы (области III) обладает некоторыми чертами стационарных со-

13

стояний дискретного спектра. В частности, в таком состоянии плотность вероятности максимальна именно в области III. По этой причине энергии E ≈ En называют виртуальными или квазидискретными уровнями, а соответствующие состояния виртуальными или квазистационарными. Вернемся теперь к явлению резонансного туннелирования. Частица, падающая на сложный потенциальный барьер слева, может отразиться от него или прийти в область III, а затем и в область V. Но вероятность такого процесса мала. Действительно, согласно (14), если условие резонанса не выполняется, например, при

ϕ = 0 , 1 + r r ≈ 2 (если R ≈ 1 ) и D3 = d3 * 1 2

2

D2 = . 2

При R = 0,8 , D3 ≈ 0,02 , т. е. "прозрачность" двойного барьера мала —

частица в основном отражается от него и R3 ≈ 0,98 . Большее значение R3 по сравнению с величиной R для одного простого барьера объясняется тем, что − ikx в области III, отраженная от 2-го барьера проходит через первый волна B2e барьер в область I и, находясь почти в фазе с волной, отраженной от первого барьера, увеличивает полную амплитуда отражения B1 . Положение меняется, если энергия частицы приближается и становится равной энергии виртуального уровня (условие резонанса). В этом случае плотность вероятности в области III становится большой по сравнению с плотностью вероятности в падающей волне 2

— A1 . Кроме того: волна B2e

− ikx

, пройдя в область I имеет амплитуду, модуль

которой равен модулю амплитуды отражений от первого барьера волны; но с фазой сдвинутой относительно фазы этой волны на π . Поэтому эти две волны гасят друг друга, вследствие чего B1 = 0 и R3 = 0 . Таким образом, частица, попавшая в область III, может выйти из нее только в область V, пройдя через второй потенциальный барьер. Но из условия постоянства потока вероятности, квадраты модулей амплитуд A1

2

и A3

2

должны быть, а в этом случае одина-

ковы, это в свою очередь требует, чтобы квадрат модуля амплитуды A2 — вол2

A1 ны падающей на второй барьер из области III был равен , что как раз и D имеет место при резонансе (выражение (18)).

Упражнение 9. Покажите, что при выполнении условия резонанса волна, отраженная от первого потенциального барьера и волна прошедшая из области III в область I, гасят друг друга, что приводит к равенству нулю величины B1 . С точки зрения физики волновых процессов, резонансное туннелирование эквивалентно следующей картине. Потенциальная яма эквивалентна полости, в которой существуют резонансные частоты. Если наружная волна может проникать заметным образом в полость (стенки потенциальной ямы — конечной толщины!), то при совпадении ее частоты с резонансной частотой, волна способна возбудить собственные колебания в полости. Этой аналогией объясняется возникновение терминов "резонанс", "резонансное" туннелирование. 14

При изучении резонансного туннелирования необходимо избежать формирования у студентов неправильного представления о том, что в этом случае частица вовсе не взаимодействует с потенциальным барьером. Такое представление может сложиться на основе того, что D3 = 1 , а R3 = 0 , т. е. частица из области I проходит в область V, как свободная, не меняя квадрата модуля ам2

2

плитуды: A1 = A3 . В действительности, при выполнении условия резонанса частица сильно взаимодействует с барьером, свидетельством чего, в частности, является большая плотность вероятности резонансного состояния в области III. Равенство D3 = 1 , вовсе не означает, что сама амплитуда d3 тоже равна 1. У этой амплитуды имеется фаза, которая вовсе не сводится к кинематической фазе (−k ( x4 − x1 )) , но имеется еще и динамическая фаза (упражнение 8), что и говорит о взаимодействии частицы с барьером. Раздел 3. Сложный барьер, состоящий из двух одинаковых прямоугольных барьеров Будем полагать, что в областях II и IV потенциальная энергия частицы постоянна и равна U 0 . Задача о прохождении частицы через прямоугольный потенциальный барьер имеет аналитическое решение, изложенное практически в любом руководстве или задачнике по квантовой механике [2—4]. Но почти во всех учебниках приводятся выражения для D (исключение составляет [4], где приводится выражение для d ). Кроме того: начало координат выбирается в

1 ( x2 − x1 ) , т. е. посередине между x1 и x2 . 2 Ниже приводятся формулы для d1 и r1 , D и R , а также динамических фаз ϕ d и ϕ r — при произвольном положении барьера на оси x . точке x1 = 0 или — в точке

2ik λ e ( 2 1 ) d1 = 2 ( k − λ 2 ) sh (λ a) + 2ikλ ch (λ a) − ik x − x

r1 =

(k

Здесь: k = 2

(k

2

2

(23 а)

+ λ 2 ) sh (λ a ) e 2ikx1

− λ 2 ) sh (λ a ) + 2ik λ ch (λ a ) .

(23 б)

2mE 2m(U 0 − E ) 2 ; λ = ; E < U 0 ; a = x2 − x1 — ширина 2 h h2

барьера. Формулы (23) имеют, в соответствии с общими выводами, кинематические фазовые множители e

− ik ( x2 − x1 )

для d1 и e

+2 ikx1

для r1 .

d 2 совпадает с выражением для d1 поскольку ( x2 − x1 ) = ( x4 − x3 ) = a . Выражение же для r2 имеет другой кинематический Выражение для

множитель: e

2 ikx3

, что тоже находится в согласии с выводами раздела 2.

(

Пусть ∆ = k − λ 2

)

2 2

sh λ a + 2ik λ ch λ a , и ∆ = ( k 2 + λ 2 ) + 4k 2λ 2 . 2

15

2

Тогда для модулей d1 и r1 получим выражения:

k 2 + λ 2 ) sh λ a ( 2k λ r1 = d1 = . ∆ ∆ ,

Напомним, что d1 = d 2 = d и d

2

(24) 2

= D ; r1 = r2 = r , r = R .

ϕ d и ϕ r будут определяться выражениями: k 2 − λ 2 ) sh λ a ( 2k λ ch λ a cos ϕ d = sin ϕ d = ,

Динамические фазы

∆

и

∆

2k λ ch λ a sin ϕ r = − , ∆

cos ϕ r

(k =

2

− λ 2 ) sh λ a ∆

(25)

(26)

Приведенные выражения для величин d , r , ϕ d и ϕ r позволяют сделать несколько общих выводов о связи между ними и их поведении как функциях E: 1. Сравнение (25) и (26) показывает, что

sin ϕ d = cos ϕ r и cos ϕ d = − sin ϕ r .

Это означает, что

ϕr = 2. т. е. фаза

3π + ϕ d и tg ϕ r ⋅ tg ϕ d = −1 . 2 E → 0 ( k → 0) ,

При

ϕd → −

π 2

, а фаза

sin ϕ d → −1 ,

(27) а

cos ϕ d → 0 ,

ϕr → π .

Кроме того, в этом пределе D = 0 и R = 1 . Это значение R , соответствующее полному отражению, согласуется со значением ϕ r = π (см. раздел 2). Тем не менее, говорить о волне, падающей на барьер, в случае k = 0 ( λ = ∞ )

некорректно. 3. В области 0 ≤ E ≤ U 0 при увеличении E , коэффициент D монотонно увеличивается и достигает максимального значения при E = U 0 , равного

4 <1 k a2 + 4 , 2 0

k2 =

2mU 0 h2 .

Таким же образом ведет себя фаза

ϕ d , проходящая через ноль при

1 E = U 0 и достигающая максимального значения на правой границе области, 2 k0 a где ϕ d = arcsin < 1. k02 a 2 + 4

16

⎛ ⎝

1⎞ ⎟π , может выполняться только 2⎠ при n ≥ 0 . Действительно, поскольку kb ≥ 0 , а минимальные значения 4. Условие резонанса kb + ϕ d = ⎜ n +

π π ϕ d = − , то минимальное значение ( kb + ϕ d ) = − достигается при n = −1 2

2

и k = 0 . Но в этом случае резонанса нет, поскольку k = E = 0 и D3 = 0 , что можно показать, находя предел D3 при k → 0 . К такому же выводу можно придти принимая во внимание, что при E = 0 , D = 0

( R = 1) , т. е. частица во-

обще не проникает в область III. Рассмотрим поведение плотности вероятности в области III при выполнении условия резонанса. Пусть это условие выполняется при n = 0 , т. е.

( k b + ϕ ) = π2 , где k p

d

p

— резонансное значение k . Тогда координаты макси-

мумов функции W ( x ) , согласно (22), определяются формулой:

x0 = x3 +

ϕ r − mπ

(28)

2k p

где m — целые четные числа, такие, что x0 попадает в открытый интервал:

x2 < x0 < x3 Выразим

как 2k p =

ϕ r через ϕ d как ϕ r =

π − 2ϕ d b

(29)

3π ⋅ ϕ d (27), а 2k p из условия резонанса 2

и подставим эти выражения в (28). Тогда:

x0 = x3 +

(3 − 2m)π + 2ϕ d b ⋅ . π − 2ϕ d 2

(30)

Отсюда следует, что при m ≤ 0 и m ≥ 4 , значения x0 не попадают в интервал (29) (принимая во внимание, что

ϕ d < 1 для E в интервале [ 0, k0 ] и то,

что m должно быть четным). При m = 2 , получим:

b x0 = x3 − . 2 То есть. для резонанса с n = 0 имеется один максимум W ( x ) , координата которого x0 лежит посередине области III (посередине сложного барьера). Упражнение 10. Найдите координаты максимумов и минимумов W ( x ) , при резонансах n = 1 и 2 . Сделайте качественные обобщения на любые n и дайте физическую интерпретацию полученным результатам.

17

В рассматриваемом случае n = 0 , W ( x ) — четная функция x относительно точки x = x0 . Действительно, значения W ( x ) в точках x = x2 и x = x3 , т. е. на границах области III. Согласно (21) эти значения одинаковы и равны:

W ( x2 ) = W ( x3 ) =

(

)

1 1 + R + 2 R sin ϕ d . D

(31)

Это и доказывает четность W ( x ) относительно точки x = x0 . В заключение раздела 3, приведем численные результаты расчетов для сложного барьера, если простые барьеры имеют параметры: U 0 = 4 эВ ,

a = 2 ⋅ 10−10 м и b = 2 ⋅ 10−10 м . Тогда D монотонно меняется от нуля при E = 0 до 0,49 при E = U 0 . Фаза ϕ d в том же интервале E меняется практически линейно как функция k , и принимает значение −

π

2

при E = 0 , обращает-

1 U 0 и равняется 0,8 при E = U 0 . 2 В соответствии с этим фаза ϕ = 2kb + ϕ d ведет себя тоже практически

ся в ноль при E =

линейно с ростом k , начиная от значения −

π

2

при E = 0 , проходя через ноль

при E = 0,66 эВ , и принимая значение 2,85 при E = U 0 . Для E = 2,15 эВ = 3,137, т. е. практически резонансное значение

D = 0, 218 , D3 = 1 , а ϕ d = 0,0664 .

ϕ

ϕ r = π . Для этой энергии

Таким образом в области 0 ≤ E ≤ U 0 имеется одно резонансное значе-

ние E p для которого n = 0 .

Максимальное значение W ( x0 ) = 16,3 для x0 = x3 − 1 Е . Значения же

W ( x) на границах области III, согласно (31) одинаковы и равны 8,71. Заметим, что последнее число примерно вдвое меньше значения W ( x0 ) . Это означает, что ширина квазистационарного состояния на середине высоты равна примерно 1Е . Энергетическая же ширина резонанса — размеры интервала ∆E на границах которого D3 ≈ 0,5 , составляет, примерно, 0,1 эВ (функция D3 ( E ) не симметрична относительно точки E = E p даже в окрестности

этой точки). Минимальные значения D3 ( E ) слева и справа от E p равняются примерно 0,1. Наконец, потенциальная яма с бесконечно "толстыми" стенками, глуби−10 ной 4 эВ и шириной 2 ⋅ 10 м имеет одно связанное состояние, энергия которого практически совпадает с E p = 2,15 эВ, что иллюстрирует связь виртуального состояния и уровня со стационарным состоянием и его энергией (см. раздел 2). 18

Изложенный в методическом указании метод сведения исследований свойств сложного барьера к свойствам простых барьеров имеет достаточно большую общность. Выводы раздела 2 не ограничены предположениями о конкретной форме простых барьеров. Функция U ( x ) может быть достаточно произвольной, в том числе, и отрицательно определенной. Т. е. роль простого "барьера" может играть и потенциальная яма. Метод может быть распространен на сложные барьеры, состоящие из трех и большего числа простых барьеров. И, наконец, термины "простой" и "сложный" барьеры — относительны. "Простые" барьеры могут в свою очередь быть сложными. Литература 1. Соросовский образовательный журнал, № 5,1897, стр. 80—100. 2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц "Квантовая механика", Физматгиз, М.: 1963, стр. 103—104. 3. В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981. 4. В. Г. Левин и др. "Курс теоретической физики", т. II, Изд. "Наука". М.: 1971, стр. 57.

19