Лабораторный практикум по специальным главам высшей математики

Московский автомобильно-дорожный институт (Государственный технический университет) Кафедра высшей математики

Е.Г.Давыдов

Лабораторный практикум по специальным главам высшей математики Для студентов 2-3 курсов и аспирантов

Методические указания

Москва 2004

Содержание 1. Лабораторная работа 1. Первичная обработка результатов наблюдений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Пример выполнения работы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Лабораторная работа 2. Доверительные интервалы . . . . . . . 7 4. Пример выполнения работы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Лабораторная работа 3. Критерий согласия Пирсона . . . . 10 6. Пример выполнения работы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7. Лабораторная работа 4. Сравнение параметров распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8. Пример выполнения работы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 9. Лабораторная работа 5. Дисперсионный анализ . . . . . . . . . 15 10. Пример выполнения работы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 11. Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций . . . . . . 20 12. Пример выполнения работы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 13. Лабораторная работа 7. Матричные игры . . . . . . . . . . . . . . 28 14. Пример выполнения работы 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 15. Пополнение меню Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Лабораторные работы и методические указания

по специальным главам высшей математики С помощью многофункционального программного пакета Scientific WorkPlace, текстовой редактор которого позволяет создавать сложные научно-технические документы, а математический процессор помогает выполнять необходимые вычисления и построение графиков и диаграмм, можно организовать вычислительный практикум с составлением индивидуальных заданий для лабораторных работ, которые могут быть распечатаны с хорошим качеством печати. При желании можно проводить проверку результатов работы и оценивать ее с помощью Exam Builder − частью пакета. Рассмотрим примеры некоторых из таких работ, сопровождая каждую работу примером ее выполнения.

1. Лабораторная работа 1. Первичная обработка результатов наблюдений 1) Составить выборку объемом n = 81 + M (M = N mod 9 + N mod 7, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µ = M и средним квадратическим отклонением σ = 3. 2) Найти оценку x ¯ математического ожидания µ и исправленные 2 оценки s и s соответственно дисперсии σ 2 и среднего квадратического отклонения σ генеральной совокупности X. 3) Найти наименьший и наибольший элементы выборки и размах выборки A. Разделив интервал [min x; max x] на 10 равных по длине частичных интервалов I1 ,. . . , I10 , найти длину h этих интервалов. 3

4) Найти частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . 5) Построить гистограмму частот.

2. Пример выполнения работы 1 1. Пусть n = 81, µ = 6 и σ = 2. Применяя команду Statistics + Random N umbers, откроем диалоговое окно, в котором выберем N ormal в поле Distribution, наберем 81 в поле How M any?, 6 в поле M ean, 2 в поле Standard Deviation и закроем окно (OK). Получаем выборку объемом n = 81. Заключим полученные числа в скобки, поставим перед ними x = и о п р е д е л и м полученный вектор в среде SWP, используя команду Def initions + N ew Def inition. Итак, необходимые для обработки наблюдения xi (i = 1, 81) получены и определены в среде SWP. x = (8.3517, 4.8733, 6.4708, 3.1149, 3.8416, 5.9560, 0.82944, 5.1135, 3.9934, 5.9443, 9.0525, 4.7898, 6.3281, 7.306, 4.9179, 10.27, 6.3688, 4.7667, 5.1026, 7.6476, 6.5043, 6.3837, 7.6560, 2.5155, 8.2462, 5.6789, 2.8881, 4.4386, 4.9627, 5.4835, 2.9277, 6.8404, 4.9079, 4.9531, 6.1121, 9.0432, 2.4218, 3.1825, 2.4474, 4.1068, 5.79, 9.9930, 3.4842, 5.8872, 8.227, 6.7383, 5.9369, 7.238, 9.487 6, 3.761 8, 5.0165, 5.0704, 6.9068, 4.7252, 4.1059, 9.1947, 6.9059, 2.9462, 6.7039, 7.2671, 5.3456, 4.1052, 5.342 5, 5.3026, 5.8626, 5.1571, 5.7057, 8.5192, 5.8829, 8.6556, 3.4126, 8.8435, 7.1837, 8.6929, 4.1479, 2.3171, 4.7185, 2.3257, 9.4463, 3.1624, 4.3045). 2. Используя команды Statistics + M ean, Statistics + V ariance и Statistics + Standard Deviation, находим оценки параметров генеральной совокупности X, вводя каждый раз текстовой курсор в поле выборки. Получаем: Mean(s): 5.6859, Variance(s): 4.4987, Standard deviation(s): 2.0848, т.е. µ ≈ x ¯ = 5.6859, σ 2 ≈ s2 = 4.3462

4

и σ ≈ s = 2.0848. Напомним, что n

n

k=1

k=1

1 X 1X 2 xk и s = (xk − x x ¯= ¯)2 . n n−1 3. Найдем наименьший и наибольший элементы выборки и размах выборки A. Применяя команду Evaluate, находим min x = 0.82944, max x = 10.27, A = max x − min x = 9.4406. С помощью Def initions + N ew Def inition определим в среде SWP длину h частичных интервалов и вычислим ее значение. Получаем h=

max x − min x = 0.94406. 10

4. Найдем частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . Обозначим через a левый конец интервала [min x; max x] и определим его в среде SWP: a = min x. Набираем и с помощью команды Evaluate вычисляем частоты: 81 X Heaviside(a + h − xk ) = 1; w1 = w2 = w3 = w4 = w5 = w6 =

k=1 81 X

(Heaviside(a + 2h − xk ) − Heaviside(a + h − xk )) = 5;

k=1 81 X

(Heaviside(a + 3h − xk ) − Heaviside(a + 2h − xk ) = 8;

k=1 81 X

(Heaviside(a + 4h − xk ) − Heaviside(a + 3h − xk )) = 9;

k=1 81 X

(Heaviside(a+5h−xk )−Heaviside(a+4h−xk )) = 18;

k=1 81 X

(Heaviside(a+6h−xk )−Heaviside(a+5h−xk )) = 14;

k=1

5

81 X w7 = (Heaviside(a+7h−xk )−Heaviside(a+6h−xk )) = 10;

w8 = w9 =

k=1 81 X

(Heaviside(a + 8h − xk ) − Heaviside(a + 7h − xk )) = 5;

k=1 81 X

(Heaviside(a + 9h − xk ) − Heaviside(a + 8h − xk )) = 7;

k=1 81 X

w10 = −

k=1 81 X k=1

Heaviside(a + 10h + 0.1 − xk )−

Heaviside(a + 9h − xk ) = 4.0.

С помощью пиктограммы N ew Def inition определим полученные частоты в среде SWP. w1 = 1, w2 = 5, w3 = 8, w4 = 9, w5 = 18, w6 = 14, w7 = 10, w8 = 5, w9 = 7, w10 = 4. Построим таблицу частот: w1 1

w2 5

w3 8

w4 9

w5 19

w6 14

w7 10

w8 5

w9 7

w10 . 4

5. Для построения гистограммы частот набираем следующее длинное математическое выражение (при этом в конце каждой строки надо применять команду Insert + Spacing + Break + Allowbreak, чтобы эти строки создавали единое выражение): (a, 0, a, w1 , a+h, w1 , a+h, 0, a+h, w2 , a+2h, w2 , a+2h, 0, a+2h, w3 , a + 3h, w3 , a + 3h, 0, a + 3h, w4 , a + 4h, w4 , a + 4h, 0, a + 4h, w5 , a + 5h, w5 , a+5h, 0, a+5h, w6 , a+6h, w6 , a+6h, 0, a+6h, w7 , a+7h, w7 , a + 7h, 0, a + 7h, w8 , a + 8h, w8 , a + 8h, 0, a + 8h, w9 , a + 9h, w9 , a + 9h, 0, a + 9h, w10 , a + 10h, w10 , a + 10h, 0, a, 0). С помощью команды P lot 2D + Rectangular строим график. Используя пиктограмму P roperties, открываем окно P lot P roperties, в разделе Items P lotted выбираем M edium как Line 6

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

2

4

6

8

10

Рис. 1. Гистограмма частот T hickness и закрываем окно (OK). Получаем гистограмму частот (рис. 1).

3. Лабораторная работа 2. Доверительные интервалы 1) Составить выборку объемом n = 10 + M (M = N mod 6 + N mod 5, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µ = M и средним квадратическим отклонением σ = 3. 2) Найти оценку x ¯ математического ожидания µ и исправленные оценки s2 и s соответственно дисперсии σ 2 и среднего квадратического отклонения σ генеральной совокупности X. 3) С доверительной вероятностью γ = 0.95 найти доверитель7

ный интервал для математического ожидания µ. 4) С доверительной вероятностью γ = 0.95 найти доверительный интервал для дисперсии σ 2 . 5) Используя полученный доверительный интервал для дисперсии σ 2 , найти приближенный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ.

4. Пример выполнения работы 2 1. Пусть n = 10, µ = 6 и σ = 2. Применяя команду Statistics + Random N umbers, откроем диалоговое окно, в котором выберем N ormal в поле Distribution, наберем 10 в поле How M any?, 6 в поле M ean, 2 в поле Standard Deviation и закроем окно (OK). Получаем выборку объемом n = 10: 3.9934, 5.9443, 9.0525, 4.7898, 6.3281, 7.306, 4.9179, 10.27, 6.368 8, 4.7667. 2. Используя команды Statistics + M ean, Statistics + V ariance и Statistics + Standard Deviation, находим оценки параметров генеральной совокупности X, вводя каждый раз текстовой курсор в поле выборки. Получаем: Mean(s): 6.3738, Variance(s): 4.0321, Standard deviation(s): 2.008, т.е. µ ≈ x ¯ = 6.3738, σ 2 ≈ s2 = 4.0321 и σ ≈ s = 2.008. Напомним, что n

n

k=1

k=1

1 X 1X 2 xk и s = (xk − x x ¯= ¯)2 . n n−1

Используя команду Def initions + N ew Def inition, определим в среде SWP x ¯ = 6.3738 и s = 2.008. 3. Известно, что доверительный интервал для математического ожидания µ нормальной генеральной совокупности X с неизвестной дисперсией σ 2 находится следующим образом: ¸ · s s ¯ + t√ , µ ∈ [a, b] = x ¯ − t√ , x n n 8

где t определяется с помощью случайной величины T , распределенной по закону Стьюдента с ν = n − 1 степенями свободы, так, что Pr(−t < T < t) = γ, т.е. Pr(T < t) = γ + (1 − γ)/2 = (1 + γ)/2. Используя функции SWP, получаем t = TInv((1 + γ)/2, n − 1). С помощью команды Evaluate N umerically получаем · ¸ s s ¯ + TInv(0.975, 9) √ [a, b] = x ¯ − TInv(0.975, 9) √ , x = 10 10 = [4.9374, 7.8102] .

4. Известно, что доверительный интервал для дисперсии σ 2 нормальной генеральной совокупности X находится следующим образом: · 2 2 (n − 1) ¸ (n − 1) s s , , σ 2 ∈ [c, d] = V2 V1

где V1 и V2 определяются с помощью случайной величины χ2 , распределенной по закону Пирсона с ν = n−1 степенями свободы, так, что Pr(T < V1 ) = (1 − γ)/2 и Pr(T < V2 ) = γ + (1 − γ)/2 = (1 + γ)/2. Используя функции SWP, получаем V1 = ChiSquareInv((1 − γ)/2, n − 1) и V2 = ChiSquareInv((1 + γ)/2, n − 1). С помощью команды Evaluate N umerically получаем · ¸ 9s2 9s2 [c, d] = , = ChiSquareInv(0.975, 9) ChiSquareInv(0.025, 9) = [1.9076, 13.438] .

5. С помощью команды Evaluate, используя полученный доверительный интервал для дисперсии σ 2 , находим приближенный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ. s "s # 2 2 9s 9s , = σ∈ ChiSquareInv(0.975, 9) ChiSquareInv(0.025, 9) = [1.3812, 3.6658] . 9

5. Лабораторная работа 3. Критерий согласия Пирсона 1) Составить выборку объемом n = 81 + M (M = N mod 9 + N mod 7, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µ = M и средним квадратическим отклонением σ = 3. 2) Найти наименьший и наибольший элементы выборки и ее амплитуду A. Разделив интервал [min x; max x] на 10 равных по длине частичных интервалов I1 ,. . . , I10 , найти длину h этих интервалов. 3) Найти частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . 4) С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

6. Пример выполнения работы 3 1. Пусть n = 81, µ = 6 и σ = 2. Аналогично разделу 1 примера работы 1 построим нужную для обработки выборку объемом n = 81. Аналогично разделу 2 примера работы 1 находим оценки параметров µ и σ генеральной совокупности X. Получаем: Mean(s): 5.6859, Standard deviation(s): 2.0848, т.е. µ ≈ x ¯ = 5.6859 и σ ≈ s = 2.0848. 2. Этот раздел совпадает с разделом 3 примера работы 1. Получаем интервал [min x; max x], где min x = 0.82944, max x = 10.27, A = max x − min x = 9.4406. С помощью Def initions + N ew Def inition определим в среде SWP длину h частичных

10

интервалов и вычислим ее значение. Получаем h=

max x − min x = 0.94406. 10

3. Аналогично разделу 4 примера работы 1 найдем частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . Обозначим через a левый конец интервала [min x; max x] и определим его в среде SWP: a = min x. Получаем вектор частот w = (1, 5, 8, 9, 18, 14, 10, 5, 7, 4). С помощью команды Def initions + N ew Def inition определим его в среде SWP. 4. С уровнем значимости α = 0.05 проверим нулевую гипотезу H0 : генеральная совокупность X распределена по нормальному закону против конкурирующей гипотезы H1 : не H0 . Известно, что критерием проверки является случайная величина χ2 =

m X (wk − npk )2 k=1

npk

m X wk2 = − n, npk k=1

где wk − частоты, pk − вероятность попадания случайной величины X на интервал Ik , m − число интервалов (m = 10). Если верна гипотеза H0 , то χ2 подчиняется закону Пирсона с ν = m − r − 1 степенями свободы, где r равно числу параметров случайной величины X, замененных на их оценки при подсчете вероятностей pk (у нас r = 2, так как применяются оценки µ = 5.6859 и σ = 2.0848). С помощью команды Def initions + N ew Def inition определим n = 81, µ и σ в среде SWP. Известно также, что Pr(X ∈ [a, b]) = NormalDist(b, µ, σ) − NormalDist(a, µ, σ). С помощью команды Evaluate вычисляем наблюдаемое значение критерия. χ2набл = 10 P wk2 − n(NormalDist(a + kh, µ, σ) − NormalDist(a + (k − 1)h, µ, σ)) k=1 −n = 6.7517.

11

Находим критическое значение критерия χ2крит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы H0 и критическую область. С помощью команды Evaluate получаем критическое значение χ2крит = ChiSquareInv(1 − α, m − r − 1) = ChiSquareInv(0.95, 7) = 14.067.

Так как χ2набл = 6.7517 < χ2крит = 14.067, то гипотеза H0 принимается. Лучше сказать, что данные наблюдений (выборка) не противоречат тому, что генеральная совокупность X подчиняется нормальному закону с параметрами µ = 5.6859 и σ = 2.0848.

7. Лабораторная работа 4. Сравнение параметров распределений 1) Составить выборку объемом nx = 91 + M (M = N mod 4 + N mod 3, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µx = 812 и средним квадратическим отклонением σ x = 13 и выборку объемом ny = nx − 2 из нормальной генеральной совокупности Y с математическим ожиданием µy = 812+M mod 3 и средним квадратическим отклонением σ y = 13.2. 2) Найти оценки x ¯, y¯, sx и sy . 3) По полученным выборкам с помощью теста Фишера − Снедекора при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что дисперсии σ 2x и σ 2y генеральных совокупностей X и Y равны. 4) По полученным выборкам с помощью теста Стьюдента при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что математические ожидания µx и µy генеральных совокупнос-

12

тей X и Y равны, предполагая, что их дисперсии σ 2x и σ 2y равны, но не известны.

8. Пример выполнения работы 4 1. Пусть nx = 10, nx = 9, µx = 827, µy = 823, σ x = 12 и σ y = 12.2. Аналогично разделу 1 примера выполнения работы 1 построим нужные для обработки выборки. X: 841.11, 820.24, 829.82, 809.69, 814.05, 826.74, 795.98, 821.68, 814.96, 826.67. Y : 841.62, 815.62, 825.0, 830.97, 816.40, 849.05, 825.25, 815.48, 817.53. 2. Аналогично разделу 2 примера выполнения работы 1 находим оценки параметров µx и σ x генеральной совокупности X. Получаем: Mean(s): 820.09, Standard deviation(s): 12.378, т.е. x ¯ = 820.09 и sx = 12.378. С помощью пиктограммы N ew Def inition определим значения x ¯ и sx в среде SWP. Для генеральной совокупности Y получаем Mean(s): 826.32, Standard deviation(s): 12.160, т.е y¯ = 826.32 и sy = 12.160. С помощью пиктограммы N ew Def inition определим значения y¯ и sy в среде SWP. Напомним, что оценки подсчитывались по формулам n

1X xi x ¯= n

для

µx ,

1 X 2 (xi − x sx = ¯)2 n−1

для

i=1 n

σ 2x .

i=1

3. Сначала проверим гипотезу о равенстве дисперсий у X и Y с помощью теста Фишера − Снедекора и, если это подтвердится, то проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий у X 13

и Y , используя тест Стьюдента, который требует, чтобы дисперсии были равны, хотя их значения не известны. Основная (нулевая) гипотеза H0 : σ 2x = σ 2y против конкурирующей гипотезы H1 : σ 2x > σ 2y . Известно, что критерием теста является случайная величина s2x F = 2 > 1, sy которая распределена по закону Фишера − Снедекора со степенями свободы ν 1 = nx − 1 = 9 и ν 2 = ny − 1 = 8 (если верна нулевая гипотеза). Найдем наблюдаемое значение критерия Fнабл = s2x /s2y = 1.0362. Находим критическое значение Fкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы и критическую область. С помощью команды Evaluate находим Fкрит = FInv(1 − α, ν 1 , ν 2 ) = FInv(0.95, 9, 8) = 3.3881. Так как Fнабл < Fкрит , то принимается нулевая гипотеза о равенстве дисперсий у X и Y , т.е. данные наблюдений не противоречат тому, что генеральные совокупности X и Y имеют одинаковые дисперсии. 4. Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий у X и Y с помощью теста Стьюдента. Основная (нулевая) гипотеза H00 : µx = µy против конкурирующей гипотезы H10 : µx 6= µy . Известно, что критерием теста является случайная величина x ¯ − y¯ T = q s0 n1x +

1 ny

, где

s20

(nx − 1) s2x + (ny − 1) s2y = , nx + ny − 2

которая распределена по закону Стьюдента со степенями свободы ν = nx + ny − 2 = 17 (если верна нулевая гипотеза). С помощью команды Evaluate получаем 14

s

9s2x + 8s2y = 12.276. s0 = 17 Тогда наблюдаемое значение критерия x ¯ − y¯ q Tнабл = T = = 0.65109. 1 1 12.276 10 + 9

Находим критическое значение Tкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы и критическую область (при H10 критическая область двусторонняя). С помощью команды Evaluate находим Tкрит = TInv(1 − α/2, ν) = TInv(0.975, 17) = 2.1098. Так как |Tнабл | < Tкрит , то принимается нулевая гипотеза о равенстве средних у X и Y , т.е. данные наблюдений не противоречат тому, что генеральные совокупности X и Y имеют одинаковые математические ожидания.

9. Лабораторная работа 5. Дисперсионный анализ 1) Составить m = 5 выборок объемом n = 6 + N mod 4 + N mod 3 (N − номер студента по списку группы) из нормальных генеральных совокупностей X1 ,. . . , Xm с математическими ожиданиями µi = 9 + 0.1n + 0.01i(−1)i , i = 1, m, и средними квадратическими отклонениями σ = 3. 2) С помощью теста Кочрана при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что генеральные совокупности X1 ,. . . , Xm имеют равные дисперсии, т.е. σ 21 =. . . = σ 2m . 3) С помощью теста Фишера при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что генеральные совокупности X1 ,. . . , Xm имеют равные математические ожидания, т.е. µ1 =. . . = µm . 15

10. Пример выполнения работы 5 1. Пусть m = 5, n = 7, µi = 8 + 0.01i(−1)i , i = 1, 5, и σ = 2. Применяя команду Statistics + Random N umbers, откроем диалоговое окно, в котором выберем N ormal в поле Distribution, наберем 7 в поле How M any?, 7.99 в поле M ean, 2 в поле Standard Deviation и закроем окно (OK). Получаем выборку объемом n = 7. Поставим красную запятую после последнего члена полученной выборки и повторим предыдущую операцию еще 4 раза, каждый раз набирая соответствующее значение для M ean: µ2 = 8.02, µ3 = 7.97, µ4 = 8.04, µ5 = 7.95. Получили 35 чисел, разделенных запятыми. 7.7779, 10.765, 5.9956, 6.0270, 7.5724, 12.619, 4.4621, 9.4495, 8.8663, 11.905, 3.6167, 6.203, 10.113, 7.2038, 10.768, 7.654 9, 4.638 3, 10.96, 5.3231, 9.062 4, 9.5369, 9.3381, 9.1626, 9.3143, 7.7863, 8.5062, 11.763, 6.5013, 6.3847, 6.6862, 8.8231, 7.9903, 7.3341, 11.413, 5.519. С помощью команды M atrices + Reshape открываем диалоговое окно, в котором набираем 7 как N umber of Columns и закрываем окно. Получили 5×7-матрицу, строками которой являются 5 выборок соответственно из генеральных совокупностей X1 ,. . . ,X5 . Выделим (закрасим) матрицу и с помощью пиктограммы Brackets возьмем ее в квадратные скобки, перед которыми наберем в математической моде (красным) x =. Получим   7.7779 10.765 5.9956 6.0270 7.5724 12.619 4.4621  9.4495 8.8663 11.905 3.6167 6.203 10.113 7.2038     x =  10.768 7.6549 4.6383 10.96 5.3231 9.0624 9.5369    9.3381 9.1626 9.3143 7.7863 8.5062 11.763 6.5013  6.3847 6.6862 8.8231 7.9903 7.3341 11.413 5.519

Заключим полученные числа в скобки, поставим перед ними x = и о п р е д е л и м полученную матрицу в среде SWP, используя команду Def initions + N ew Def inition. Итак, необходимые для обработки наблюдения xij (i = 1, 5, j = 1, 7) получены 16

и определены в среде SWP. 2. С уровнем значимости α = 0.05 проверим нулевую гипотезу H0 : дисперсии генеральных совокупностей X1 ,. . . , X5 равны (т.е. σ 21 =. . . = σ 25 ) против конкурирующей гипотезы H1 : не H0 . Известно, что критерием проверки является случайная величина s2max C= m , X s2k k=1

где s2k − исправленная оценка дисперсии случайной величины Xk . Если верна гипотеза H0 , то C подчиняется закону Кочрана с ν 1 = n − 1 и ν 2 = m степенями свободы. Для нахождения оценок sk и x ¯k (они потребуются при выполнении раздела 3) с помощью команды M atrices + T ranspose транспонируем1 матрицу x. Применим к транспонированной матрице коx5 , где манду Statistics + M ean, чтобы получить оценки x ¯1 ,. . . ,¯ n 1 P x ¯i,j , после чего снова применим эту команду к полученx ¯i = n j=1 m 1 P ным оценкам, чтобы получить оценку x ¯= x ¯i . m i=1 Теперь найдем оценки sk . Поставим текстовой курсор в поле транспонированной матрицы и применим команду Statistics + Standard Deviation. Окончательно получаем.   7.7779 9.449 5 10.768 9.3381 6.3847  10.765 8.8663 7.654 9 9.162 6 6.6862     5.9956 11.905 4.6383 9.3143 8.8231     6.027 3.6167 10.96 7.786 3 7.9903  .    7.5724 6.203 5.3231 8.5062 7.3341     12.619 10.113 9.0624 11.763 11.413  4.462 1 7.203 8 9.536 9 6.501 3 5.519 1

Это связано с тем, что в матрице SWP рассматривает выборки (векторы) по столбцам.

17

Standard deviation(s): [2.8738, 2.7501, 2.5153, 1.6216, 1.9481], Mean(s): [7.8884, 8.1939, 8.2777, 8.9103, 7.7358], Mean(s): 8.2012. Перед вектором с sk набираем (красным) s =, перед вектором ¯ набираем z и с помощью N ew с x ¯k набираем2 y =, перед x Def inition определяем s, y и z в среде SWP. Получаем s = [2.8738, 2.7501, 2.5153, 1.6216, 1.9481]; y = [7.8884, 8.1939, 8.2777, 8.9103, 7.7358] ; z = 8.2012. С помощью команды Evaluate вычисляем наблюдаемое значение критерия. Получаем Cнабл

max2 s = 5 = 0.28904. P 2 sk k=1

Находим критическое значение критерия Cкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы H0 и критическую область. К сожалению, в SWP нет не только соответствующих функций для распределения Кочрана, но в Help нет и таблиц для нахождения критических значений для этого распределения. Поэтому приходится воспользоваться учебниками или задачниками, в которых имеются такие таблицы. Существует и другой способ − дополнить Help, поместив там соответствующие таблицы3 (и не только для распределения Кочрана). Итак, из таблицы Кочрана для уровня значимости α = 0.05 и степеней свободы ν 1 = n − 1 = 6, ν 2 = m = 5 находим Cкрит = 0.5063. Так как Cнабл = 0.28904 < Cкрит = 0.5063, то гипотеза H0 верна. Лучше сказать, что данные наблюдений не противоречат тому, что дисперсии генеральных совокупностей X1 ,. . . , X5 равны (т.е. σ 21 =. . . = σ 25 ). 2

В SWP x ¯ означает сопряженное комплексное число. Поэтому вместо x ¯ употребляем y. 3 В разделе 15 можно найти инструкции по встраиванию соответствующих файлов с применением Windows-технологии поиска.

18

3. С уровнем значимости α = 0.05 проверим нулевую гипотезу H00 : математические ожидания генеральных совокупностей равны (т.е. µ1 =. . . = µ5 ) против конкурирующей гипотезы H10 : не H00 . Известно, что при условии равенства дисперсий критерием проверки является случайная величина F =

Dфакт /(m − 1) , Dостат /(mn − m)

n m m X X X (¯ xi − x (xi,j − x где Dфакт = n ¯)2 и Dостат = ¯i )2 . Если верна i=1

i=1 j=1

H00 ,

то F подчиняется закону Фишера с ν 1 = m − 1 = 4 гипотеза и ν 2 = mn − m = 30 степенями свободы. С помощью команды Evaluate вычисляем наблюдаемое значение критерия. Используя введенные ранее обозначения для оценок ¯ = z, получаем математических ожиданий x ¯ i = yi и x

Fнабл =

30 · 7 4

5 P

5 P

(yi − z)2

i=1 7 P

= 0.25208.4

(xi,j − yi )2

i=1 j=1

Находим критическое значение критерия Fкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы H00 и критическую область. С помощью команды Evaluate получаем Fкрит = FInv(1 − α, m − 1, mn − m) = FInv(0.95, 4, 30) = 2.6896. Так как Fнабл = 0.25208 < Fкрит = 2.6896, то гипотеза H00 принимается, т.е. данные наблюдений (выборки) не противоречат тому, что математические ожидания генеральных совокупностей X1 ,. . . , X5 равны (т.е. µ1 =. . . = µ5 ). 4

Обращаем внимание на то, что индексы у элементов xi,j матрицы должны быть разделены запятой.

19

11. Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций 1) Найти решение дифференциального уравнения y 00 + nxy 0 + y = nx(cos x + 1) + x, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y 0 (0) = 2, с помощью приближенных методов, где n = N (N − номер студента по списку группы). Затабулировать значения решения y(x) на интервале [0; 1] с шагом 0.1. 2) Построить график решения y(x) на интервале [0; 5]. 3) Взяв 5 точек с абсциссами приблизительно 0, 2, 3, 4, 5 на графике решения y(x), найти по этим точкам интерполяционный многочлен f (x) степени 4 и построить графики функции f (x) + 0.1 и решения y(x) на одном рисунке. 4) Взяв 6 точек с абсциссами приблизительно 0, 1, 2, 3, 4, 5 на графике решения y(x), найти по этим точкам линию регрессии y на x методом наименьших квадратов. Построить ее график и выбранные точки на отдельном рисунке.

12. Пример выполнения работы 6 Если дана функция f (x) и точки Mk (xk , f (xk )), k = 0, 1,. . . , n, на ее графике, то интерполяционным многочленом Pn (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 является алгебраический многочлен степени n такой, что f (xk ) = Pn (xk ) для всех k = 0, n. Линией регрессии y на x, построенной на базе точек Mk методом наименьших квадратов, является прямая, заданная уравнением 20

y = ax + b с такими коэффициентами a и b, что функция двух переменных n X (f (xk ) − axk − b)2 g(a, b) = k=0

принимает наименьшее значение.

1. Пусть n = 30. Щелкаем по пиктограмме M atrix, в появившемся диалоговом окне выбираем размеры матрицы: три строки и один столбец (эта матрица свяжет вместе уравнение и начальные условия) и щелкаем по кнопке OK. Затем в первой строке шаблона матрицы набираем уравнение y 00 + 30xy 0 + y = 30x cos x + 31x, причем при наборе штрихов применяем только клавишу <'> (нельзя применять клавишу <">), во второй строке − y(0) = 1 и в третьей строке − y0 (0) = 1. Теперь с помощью команды Solve ODE + N umeric (курсор находится в поле матрицы) решаем уравнение, используя приближенные методы. SWP дает сообщение: Functions defined: y, т.е. решение найдено и о п р е д е л е н о.   00 y + 30xy 0 + y = 30x cos x + 31x  , Functions defined:y.  y(0) = 0 y 0 (0) = 2

Чтобы убедиться в этом, используя пиктограмму Show Def initions, вызовем диалоговое окно Definitions and Mappings, где увидим: y, Numerical process number 1 (здесь может стоять и другой номер процесса нахождения приближенного решения, если ранее при редактировании документа уже применялись приближенные методы). При желании можно найти значение решения y при каком-нибудь значении аргумента x. Например, с помощью команды Evaluate находим y(1.5) = 2.4975. 21

Затабулируем значения решения y(x). Для этого введем вспомогательную функцию g(n) = 0.1n и определим ее с помощью пиктограммы N ew Def inition на панели инструментов Compute. Затем используем команду M atrices + F ill M atrix, которая открывает диалоговое окно Fill Matrix, где в полях Dimensions выбираем 10 строк и 1 столбец, а в поле Fill with выбираем Defined by function, после чего появляется подокно, где предлагается набрать имя функции g. Закрываем окно (OK), и на экране появляется таблица из десяти строк. Выделим (закрасим) эту таблицу и с помощью пиктограммы Brackets на панели инструментов возьмем ее в квадратные скобки. Теперь набираем y (имя решения уравнения) перед открывающейся квадратной скобкой (не забудьте поставить переключатель (T-M) в позицию M , используя, например, клавишную комбинацию ), после чего с помощью команды Evaluate получаем таблицу значений решения дифференциального уравнения на интервале [0; 1] с шагом h = 0.1:   x y(x)     0.19983 0.1  0.1 0.19983     0.2   0.39867   0.2 0.39867         0.3   0.59552   0.3 0.59552         0.4   0.78942        0.4 0.78942    0.5   0.97943       0.5 0.97943  . y  0.6  =  1.1646  , или         0.6 1.1646   0.7   1.3442          0.7 1.3442  0.8   1.5174          0.8 1.5174  0.9   1.6833     0.9 1.6833  1.8415 1.0 1.0 1.8415

Последнее представление получено следующим образом. Поставим две матрицы рядом и объединим их в одну с помощью команды M atricies + Concatenate. Снабдим столбцы полученной матрицы заголовками («шапками»). Для этого надо добавить вверху 22

новую строку. Поставим курсор в поле матрицы и, используя команду Edit + Insert Rows, откроем диалоговое окно, где выбираем 1 как Number to Insert и 1 как At Position, после чего закрываем окно (OK). В появившейся строке набираем x и y(x). Точное решение уравнения f (x) = sin x+cos x. Значение f (1.5), найденное по точному решению, совпадает с приближенным значением с точностью до четырех цифр после запятой (так принято говорить у нас, хотя на экране PC запятая − это точка). Отметим, что точность вычислений и количество цифр, выводимых на экран, можно установить с помощью команды Compute + Settings, которая открывает диалоговое окно, где в разделе General имеются поля: Digits Used in Computations и Digits Used in Display. Согласно предварительной настройке SWP (по умолчанию) приближенные вычисления производятся с 10 цифрами, а на экран выводится 5 цифр. В этом диалоговом окне пользователь может установить нужное ему количество цифр как при вычислениях, так и при выводе результатов на экран монитора. 2. Для построения графика набираем на новой строке (в математической моде): y и вызываем команду P lot 2D + Rectangular (или щелкаем по пиктограмме P lot 2D Rectangular на панели Compute). График построен, но его надо подкорректировать с помощью окна, вызываемого пиктограммой P roperties, где набираем область изменения для x: x ∈ [0; 5] (SWP настроен на интервал [−5; 5]). Получаем нужный график (рис. 2). 3. Для нахождения интерполяционного многочлена получим координаты 5 точек на графике. Для этого проведем двойной щелчок мышью в поле графика и среди появившихся справа вверху квадратиков выберем x,y , после чего курсор мыши принимает форму креста, и появляется окно Plot Coordinates, которое надо сдвинуть в сторону, чтобы оно не загораживало график решения y(x) дифференциального уравнения. С помощью мыши выбираем на графике точку с абсциссой приблизительно равной 0 (координаты точки высвечиваются в диалоговом окне) и производим щелчок. 23

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Рис. 2. График решения y диф. уравнения Координаты первой точки появляются в окне. Аналогичным образом получаем координаты еще 4 точек с заданными абсциссами, после чего выделяем (закрашиваем) их с помощью кнопки Select All. Производим щелчок вне поля графика, чтобы отменить его выделение, затем в диалоговом окне выбрать кнопку P aste, после чего в редактируемом документе появляется матрица с координатами выбранных 5 точек. Добавим к матрице еще одну строку с помощью команды Edit + Insert Row(s) (при этом текстовой курсор должен находиться в поле матрицы) и наберем в ней названия координат (эта состоящая из буквенных символов строка будет игнорироваться при дальнейшей работе). К полученной матрице применяем команду Statistics + F it Curve to Data, которая открывает диалоговое окно, где выбираем кнопки Last Column как Location of Dependent Variable и Polynomial of Degree, затем указываем степень 4, после чего закрываем

24

окно (OK) и получаем:  x  0.025479   2.004164   3.036521   4.007429 5.002916

y 0.008814 2.932125 3.166615 3.260411 4.088943



    , Polynomial fit:   

y = −0.05635 + 2.5716x − 0.54854x2 − 0.018872x3 + 0.011769x4 . Таким образом получен искомый интерполяционный многочлен

f (x) = −0.05635+2.5716x−0.54854x2 −0.018872x3 +0.011769x4 . Если построить его график на одном рисунке с графиком решения y(x) дифференциального уравнения, то они почти сольются в одну кривую (только на интервале [0.2; 2.1] они не сливаются). Поэтому прибавим 0.1 к правой части интерполяционного многочлена, выделим (закрасим) полученную правую часть и отбуксируем ее в поле графика решения y(x), где отпустим левую кнопку мыши. Получаем две «параллельные» кривые (рис. 3). Очевидно, что при выборе большего числа точек на графике решения y(x) можно получить лучшее приближение с помощью интерполяционного многочлена более высокой степени. При этом надо стараться тщательно выбирать точки на графике (это зависит от монитора, мыши и пользователя). Имеется и другая возможность аппроксимировать решение y(x) по его графику. На участке [0; a1 ], где график гладкий, выбирают почаще, например, 4 точки (чтобы степень многочлена не была большой) и по ним строят интерполяционный многочлен. На следующем участке [a1 ; a2 ], где график гладкий, выбирают почаще снова 4 точки, первая из которых является последней в предыдущем наборе, и по ним строят интерполяционный многочлен и т.д. После этого на базе построенных многочленов определяют функцию P (x) следующим образом. 25

4

3

2

1

0

1

2

x

3

4

5

Рис. 3. Графики y(x) и f (x) + 0.1 • Набирают в математической моде P (x) = • С помощью пиктограммы Brackets выводят на экран левый разделитель в виде фигурной скобки и правый разделитель в виде точечной вертикальной линии (невидимой при просмотре и печати). • С помощью пиктограммы M atrixt выводят на экран шаблон матрицы (в нашем случае с 3 строками и тремя столбцами). • Заполняем клеточки матрицы. Получаем   правая часть первого многочлена if 0 ≤ x < a1 правая часть второго многочлена if a1 ≤ x < a2 . P (x) =  правая часть третьего многочлена if a2 ≤ x ≤ 5 Для примера определим в среде   x if P (x) = x2 if  4 if 26

SWP следующую функцию 0≤x<1 1≤x<2 . 2≤x≤3

Команда Evaluate дает: P (0.25) = 0.25, P (1.5) = 2.25, P (3) = 4 и т.д. Для построения графика этой функции набираем P и применяем команду P lot 2D + Rectangular. 4. Найдем координаты еще одной точки с абсциссой 1 на графике решения (см. рис. 2) и вставим их в матрицу, с помощью которой строили интерполяционный многочлен. К полученной матрице применяем команду Statistics + F it Curve to Data, которая открывает диалоговое окно, где выбираем кнопки Last Column как Location of Dependent Variable и Multiple Regression, после чего закрываем окно (OK) и получаем уравнение линии регрессии y на x:   x y  0.025479 0.008814     1.008677 1.853474     2.004164 2.932125  , Regression is: y = 0.76304 + 0.71144x.    3.036521 3.166615     4.007429 3.260411  5.002916 4.088943

Уберем у последней матрицы первую строку с буквенными символами и с помощью команды P lot 2D Rectangular построим ломаную линию с вершинами, координаты которых указаны в матрице, после чего подкорректируем полученный график, используя пиктограмму P roperties. В разделе Items Plotted выбираем Point как Plot Style, Circle как Point Marker и закрываем диалоговое окно (OK). Выделяем правую часть уравнения линии регрессии и буксируем ее в поле последнего графика. Снова используем пиктограмму P roperties. В разделе Items Plotted выбираем 2 как Item Number (справа вверху), Line как Plot Style, щелкаем по прямоугольнику Variables and Intervals, выбираем область изменения для x от −0.2 до 5.2 и закрываем диалоговое окно (два раза OK). Получаем на одном рисунке линию регрессии и точки, по которым она построена (рис. 4). 27

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Рис. 4. График линии регрессии y на x

13. Лабораторная работа 7. Матричные игры 1) Имеется три системы противовоздушной обороны A1 , A2 и A3 . Противник применяет три типа бомбардировщиков B1 , B2 и B3 . Система A1 сбивает самолеты типа B1 , B2 и B3 соответственно с вероятностями 0.1 + 0.1(N mod 8), 0.6, 0.3; система A2 сбивает самолеты типа B1 , B2 и B3 соответственно с вероятностями 0.3, 0.3 + 0.1(N mod 5), 0.5; система A3 сбивает самолеты типа B1 , B2 и B3 соответственно с вероятностями 0.9, 0.5, 0.6 + 0.1(N mod 2) (N − номер студента по списку группы). Найти нижнюю и верхнюю цены игры. 2) Найти оптимальную стратегию S¯A применения систем противовоздушной обороны и оптимальную цену игры v¯. 3) Найти оптимальную стратегию S¯B применения различных 28

типов бомбардировщиков.

14. Пример выполнения работы 7 1. Пусть таблица игры имеет вид A1 A2 A3

B1 0.9 0.3 0.5

B2 0.4 0.6 0.7

B3 0.2 . 0.8 0.2

Тогда матрица игры a для системы обороны имеет вид   0.9 0.4 0.2 a =  0.3 0.6 0.8  . 0.5 0.7 0.2

С помощью команды Def initions + N ew Def inition определим эту матрицу в среде SWP и, используя команду Evaluate, найдем нижнюю цену игры α и верхнюю цену игры β. α = max min ai,j = 0.3, β = min max ai,j = 0.7. 1≤i≤3 1≤j≤3

1≤j≤3 1≤i≤3

2. Рассмотрим стратегии SA для систем обороны µ ¶ A1 A2 A3 SA = , p1 p2 p3 £ ¤ где P = p1 p2 p3 характеризует частоты применения каждой из систем обороны, p1 + p2 + p3 = 1. Известно, что нахождение оптимальной стратегии сводится к решению задачи линейного программирования с матрицей aT  a11 x1 + a21 x2 + a31 x3 > 1,      a12 x1 + a22 x2 + a32 x3 > 1, a13 x1 + a23 x2 + a33 x3 > 1,   x , x , x > 0,    1 2 3 z = x1 + x2 + x3 −→ min , 29

p1 + p2 + p3 1 pi и v − цена игры. Так как z = = , то где xi = v v v надо решать задачу на минимум, чтобы иметь максимальную цену игры v (сторона A играет на максимум). Итак, вызываем шаблон 7×1-матрицы и в первой строке набираем выражение правой части целевой функции z, а в остальных строках − ограничения, включая неотрицательность неизвестных. Применяя команду Simplex + M inimize, получаем   x1 + x2 + x3   9 3 5  x1 + x2 + x3 ≥ 1    10 10 10   4 6 7   x1 + x2 + x3 ≥ 1     10 10 10 ,  2 8 2  x1 + x2 + x3 ≥ 1    10 10   10   x1 ≥ 0     x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 ½ ¾ 20 145 95 Minimum is at: x3 = , x2 = , x1 = . 139 139 139 1 260 = . Получаем, что Находим zmin = z¯ = x1 + x2 + x3 = 139 v¯ 19 139 оптимальная цена игры v¯ = , а следовательно, p¯1 = x1 v¯ = , 260 52 29 4 и p¯3 = x3 v¯ = . Таким образом, получены p¯2 = x2 v¯ = 52 52 оптимальная стратегия S¯A и оптимальная цена игры v¯ для систем обороны: Ã ! A1 A2 A3 139 и v¯ = S¯A = . 19 29 4 260 52 52 52 3. Рассмотрим стратегии SB для бомбардировщиков µ ¶ B1 B2 B3 SB = , q1 q2 q3 30

¤ £ где Q = q1 q2 q3 характеризует частоты применения каждого типа бомбардировщика, q1 + q2 + q3 = 1. Известно, что нахождение оптимальной стратегии для B сводится к решению двойственной задачи линейного программирования с матрицей a  a11 y1 + a12 y2 + a13 y3 6 1,      a21 y1 + a22 y2 + a23 y3 6 1, a31 y1 + a32 y2 + a33 y3 6 1,   y , y , y > 0,    1 2 3 w = y1 + y2 + y3 −→ max , 1 qi q1 + q2 + q3 = , то и v − цена игры. Так как w = где yi = v v v надо решать задачу на максимум, чтобы иметь минимальную цену игры v (сторона B играет на минимум). Итак, вызываем шаблон 7×1-матрицы и в первой строке набираем выражение правой части целевой функции w, а в остальных строках − ограничения, включая неотрицательность неизвестных. Применяя команду Simplex + M aximize, получаем   y1 + y2 + y3   9 4 2  y1 + y2 + y3 ≤ 1    10 10 10   3 6 8   y1 + y2 + y3 ≤ 1     10 10 10 ,  5 7 2  y1 + y2 + y3 ≤ 1    10 10   10   y1 ≥ 0     y2 ≥ 0 y3 ≥ 0 ½ ¾ 50 90 120 Maximum is at: y3 = , y1 = , y2 = . 139 139 139 ¯ = y1 + y2 + y3 = Находим wmax = zmin = w 31

1 260 = . 139 v¯

139 , а следовательно, Получаем, что оптимальная цена игры v¯ = 260 9 12 5 q¯1 = y1 v¯ = , p¯2 = y2 v¯ = и p¯3 = y3 v¯ = . Таким образом, 26 26 26 получены оптимальная стратегия S¯B и оптимальная цена игры v¯ для бомбардировщиков: Ã ! B1 B2 B3 139 S¯B = и v¯ = . 9 12 5 260 26 26 26 З а м е ч а н и е. Цена игры для двух сторон всегда одна и та же. При применении оптимальной стратегии S¯A сторона A получает выигрыш v¯ даже при применении стороной B оптимальной стратегии S¯B , однако у стороны A выигрыш может увеличиться при применении стороной B неоптимальных стратегий. Аналогично, сторона B может иметь больший выигрыш (точнее, меньший проигрыш) при применении стратегии S¯B , если сторона A применяет неоптимальные стратегии.

32

15. Пополнение меню Help При решении задач математической статистики иногда требуются таблицы, которых нет в SWP (например, в дисперсионном анализе часто используется распределение Кочрана). В этом случае можно поместить соответствующие таблицы в Help. Порядок

выполнения

• С помощью текстового редактора DOS Navigator входим в файл Swp50\Help\Reference\Mathematics\stat tables.tex и в подраздел \subsection{Continuous Distribution} добавляем новую строку \hyperref{\qquad Cochran's Distribution}{}{}{stat cochran.tex}.

• С помощью текстового редактора DOS Navigator входим в файл Swp50\Help\Reference\Mathematics\st02 04.tex, выделяем и копируем весь подраздел \subsection{Normal Distribution\label{normal distribution}}, вставляем его копию после этого раздела и редактируем, заменяя Normal Distribution на Cochran's Distribution и stat normal.tex на stat cochran.tex, чтобы получить следующий фрагмент в виде нового подраздела: \subsection{Cochran's Distribution\label{cochran's distribution}} \begin{center}\begin{tabular}{||l||}\hline\hline \hyperref{\FRAME{itbpF}{0.3632in}{0.3693in}{0.1219in}{}{} {13.gif}{\special {language "Scientific Word"; type"GRAPHIC"; maintain-aspect-ratio TRUE; display "PICT"; valid file "F"; width 0.3632in;height 0.3693in; depth 0.1219in; original-width 0.6356in; original-height 0.646in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; cropbottom "0"; filename '13.gif'; file-properties "XNPEU";}} Click here for cochran's distribution tables.}{}{}{stat cochran.tex} \\ \hline\hline \end{tabular}\bigskip\end{center}.

• С помощью SWP создаем новый файл stat cochran.tex. Для этого открываем файл Swp50\Help\Reference\Mathematics\stat f.tex, с помощью команды F ile + Save As сохраняем его под новым 33

именем stat cochran.tex и редактируем его, чтобы получить следующий документ.

Критические точки распределения Кочрана Таблицы Кочрана дают значения критической точки u, соответствующие степеням свободы ν 1 и ν 2 и уровню значимости α, такие, что Pr (X ≥ u) = α.

Pr (X ≥ u) = α

ν2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

1 0.9985 0.9669 0.9065 0.8412 0.7808 0.7271 0.6798 0.6385 0.6020 0.5410 0.4709 0.3894 0.3434 0.2929 0.2370 0.1737 0.0998 0.0000

ν 1 = n − 1 − число степеней свободы. ν 2 = m − количество выборок.

Уровень значимости α = 0.05 ν1 2 3 4 5 0.9750 0.9392 0.9057 0.8772 0.8709 0.7977 0.7457 0.7071 0.7679 0.6841 0.6287 0.5895 0.6338 0.5981 0.5440 0.5063 0.6161 0.5321 0.4803 0.4447 0.5612 0.4800 0.4307 0.3974 0.5157 0.4377 0.3910 0.3595 0.4775 0.4027 0.3584 0.3286 0.4450 0.3733 0.3311 0.3029 0.3924 0.3624 0.2880 0.2624 0.3346 0.2758 0.2419 0.2195 0.2705 0.2205 0.1921 0.1735 0.2354 0.1907 0.1656 0.1493 0.1980 0.1593 0.1377 0.1237 0.1576 0.1259 0.1082 0.0968 0.1131 0.0895 0.0765 0.0682 0.0632 0.0495 0.0419 0.0371 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

34

6 0.8534 0.6771 0.5598 0.4783 0.4184 0.3726 0.3362 0.3067 0.2823 0.2439 0.2034 0.1602 0.1374 0.1137 0.0887 0.0623 0.0337 0.0000

7 0.8332 0.6530 0.5365 0.4564 0.3980 0.3535 0.3185 0.2901 0.2666 0.2299 0.1911 0.1501 0.1286 0.1061 0.0827 0.0583 0.0312 0.0000

ν2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

8 0.8159 0.6333 0.5175 0.4387 0.3817 0.3384 0.3043 0.2768 0.2541 0.2187 0.1815 0.1422 0.1216 0.1002 0.0780 0.0552 0.0292 0.0000

Уровень значимости α = 0.05 ν1 9 10 16 36 0.8010 0.7880 0.7341 0.6602 0.6167 0.6025 0.5466 0.4748 0.5017 0.4884 0.4366 0.3720 0.4241 0.4118 0.3645 0.3066 0.3682 0.3568 0.3135 0.2612 0.3259 0.3154 0.2756 0.2278 0.2926 0.2829 0.2462 0.2022 0.2659 0.2568 0.2226 0.1820 0.2439 0.2353 0.2032 0.1655 0.2098 0.2020 0.1737 0.1403 0.1736 0.1671 0.1429 0.1144 0.1357 0.1303 0.1108 0.0879 0.1160 0.1113 0.0942 0.0743 0.0958 0.0921 0.0771 0.0604 0.0745 0.0713 0.0595 0.0462 0.0520 0.0497 0.0411 0.0316 0.0279 0.0266 0.0218 0.0165 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

144 0.5813 0.4031 0.3093 0.2013 0.2119 0.1833 0.1616 0.1446 0.1308 0.1100 0.0889 0.0675 0.0567 0.0457 0.0347 0.0234 0.0120 0.0000

∞

0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0833 0.0667 0.0500 0.0417 0.0333 0.0250 0.0167 0.0083 0.0000

• Чтобы воспользоваться этой таблицей, применяют команду Help + Search + Distribution tables (или Statistical tables) + Continuous Distributions + Cochran' s Distribution. Можно использовать и другие пути вызова таблицы. Например, Help + Contents + Reference Library + Mathematics + T ables + Statistical Distribution T ables + Continuous Distributions + Cochran' s Distribution. Можно искать эту таблицу по ключевому слову T ables, ref erence или Statistics и т.д.

35

Литература 1. Буслаев А.П., Давыдов Е.Г., Яшина М.В. Компьютерная математика: Методические указания по применению математических пакетов в курсе высшей математики/ МАДИ(ТУ). − М., 1996. − 50 c.: ил. 2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 7-е, стереотипное. − М.: Высшая школа, 1999. − 479 с.: ил. 3. Давыдов Е.Г. Математический пакет Scientific WorkPlace 3.0 в курсе высшей математики. Технология работы и практика решения задач: Учебное пособие/ МАДИ(ГТУ). − М., 2002. − 105 с.: ил. 4. Давыдов Е.Г. Интегрированная система Scientific WorkPlace 4.0: Технология работы и практика решения задач. − М.: Финансы и статистика. 2003. − 208 с.: ил. − (Диалог с компьютером).

36