Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий: Учебное пособие

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ И НЕГОЛОНОМНЫХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Калининград 1998

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ И НЕГОЛОНОМНЫХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ Учебное пособие

Калининград 1998

УДК 514.76 Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий: Учебное пособие / Калинингр. ун-т. - Калининград, 1998. 82 с. ISBN 5-88874-110-8 Рассматриваются два основных понятия дифференциальной геометрии: гладкое многообразие и связность в главном расслоении. Наряду с обычным (голономным) гладким многообразием исследуется неголономное многообразие. Теория связностей в главных расслоениях распространяется на неголономный случай. Вводятся нормализация и оснащения подмногообразий голономного и неголономного гладких многообразий, сводящие связности к подсвязностям, эквивалентные связностям и индуцирующие связности. Предназначается для студентов и аспирантов, специализирующихся в дифференциальной геометрии. Может быть интересным для преподавателей и научных работников. Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПбКЦ). Печатается по решению редакционно-издательского Совета Калининградского государственного университета. Рецензенты: кафедра высшей математики Калининградского высшего военно-морского училища (зав. кафедрой, кандидат физико-математических наук, доцент В. Е. Спектор), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Калининградского государственного технического университета Л. А. Жарикова.

ISBN 5-88874-110-8

© Калининградский государственный университет, 1998

Юрий Иванович Шевченко Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий Учебное пособие Лицензия №020345 от 14.01.1997г. Редактор Н.Н. Мартынюк. Оригинал-макет подготовлен И.А. Хрусталевым. Подписано в печать 16.09.1998 г. Формат 60×90 1/16. Бум. для множит. аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 5,0. Уч. изд. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ . Калининградский государственный университет 236041, Калининград обл., ул. А. Невского, 14.

СОДЕРЖАНИЕ Введение ........................................................................................................

4

А. Исторический обзор и постановка проблемы ................................... 5 Б. Описание работы .................................................................................

12

Глава I. Голономное и неголономное гладкие многообразия ................... 19 §1. Гладкое многообразие ....................................................................... 19 §2. Неголономное гладкое многообразие ............................................... 25 §3. Параллелизуемое многообразие и группа Ли .................................. 28 §4. Составное многообразие и главное расслоение ............................... 34 Глава II. Связности в расслоениях .............................................................. 39 §5. Групповая связность в главном расслоении ..................................... 39 §6. Ковариантный дифференциал геометрического объекта ................ 42 §7. Линейная связность в расслоении реперов ...................................... 47 Глава III. Оснащения подмногообразия ..................................................... 54 §8. Подмногообразие гладкого многообразия ....................................... 54 §9. Прикасающиеся пространства подмногообразия ............................ 56 §10. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием 61 §11. Нормализация подмногообразия .................................................... 65 §12. Оснащения, эквивалентные связностям и индуцирующие связности ..........................................................................................

67

Заключение ...................................................................................................

72

Приложение ..................................................................................................

74

Библиографический список ....................................................................... 75

3

ВВЕДЕНИЕ “Дифференциальное исчисление нашего века мало похоже на классическое, излагаемое в основных курсах математического анализа, и гораздо эффективнее его. Пока оно недостаточно широко используется в математике и смежных областях знаний, а главное − далеко не с той полнотой, которая возможна” [Вас]. “Метод внешних форм и подвижного репера − одна из наиболее ярких, многообещающих теорий современной дифференциальной геометрии. Он применяется с одинаковой легкостью в классической теории поверхностей и в геометрии n-мерного кривого пространства...” [Фин]. “Кривые и поверхности, служившие основными объектами изучения в классической дифференциальной геометрии все больше вытесняются теперь n-мерными дифференцируемыми многообразиями с заданными на них различными геометрическими структурами” [ББВФ]. “Дифферециальная геометрия многомерных пространств различных “связностей” (в смысле Картана) является одним из интереснейших разделов современной математики. Очень велико ее значение и в современной физике и механике” [ВУ]. “Если на поверхности зафиксирован способ “параллельно” переносить касательные векторы вдоль кривых, то говорят, что на этой поверхности задана связность. Необходимость сравнивать те или иные геометрические величины в разных точках “кривого” пространства делает понятие связности одним из важнейших в геометрии и физике” [АВЛ]. “Параллельное перенесение − обобщение понятия параллельного переноса на пространства более сложной структуры, чем евклидовы (например, так называемые пространства аффинной связности и, в частности, римановы пространства). Параллельное перенесение позволяет сравнивать геометрические образы, относящиеся к различным точкам пространства.” Мат. энц. словарь. М., 1995. С.450. “Связность − понятие дифференциальной геометрии, возникшее в связи с понятием параллельного перенесения. Связность − определенный тип связей (сопоставлений) геометрических образов, относящихся к различным точкам рассматриваемого пространства. Связность характеризуется геометрическими свойствами преобразований касательных пространств от точки к точке, например, так называемая аффинная связность определяется аффинным отображением касательных пространств, и при этом геометрические образы сравниваются по их аффинным свойствам. Обобщение понятия аффинной связности приводит к понятию пространства со связностью относительно любой группы Ли.” Мат. энц. Словарь. М., 1995. С.539. 4

“...трактовка понятия связности, при которой над многообразием как над базой рассматривается последовательность расслоений, слои которых являются линейными представлениями дифференциальных (либо обобщенных дифференциальных) групп, а связность ассоциируется с полями плоскостей, располагающихся в слоях этих расслоений” [Рыб5]. “Понятие индуцированной связности может быть приложено к различным вопросам и, по-видимому, должно играть очень важную роль в классических геометрических теориях” [Кар2]. “Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой” [ПС; Стол2,3]. Здесь и далее в квадратных скобках указаны начальные буквы фамилий авторов из библиографического списка. Если имеется несколько работ одного автора, то к буквам добавляется номер работы в авторском списке. При упоминании фамилии автора рядом в квадратных скобках пишется лишь номер работы, либо начальные буквы фамилии, когда работа одна. Наконец, если у работы несколько авторов, то указываются первые буквы фамилий авторов. Во всех 12-ти параграфах нумерация формул, определений и теорем ведется независимо. При ссылках на формулу или теорему другого параграфа к их номеру приписывается слева номер параграфа с точкой. Каждый из следующих ниже разделов А и Б разбит на 12 пунктов, соответствующих параграфам. Выражаю благодарность К. В. Поляковой за помощь в оформлении работы. А. Исторический обзор и постановка проблем 1. Понятие дифференцируемого или гладкого многообразия лежит в основе многих дифференциально-геометрических и общематематических теорий. По степени фундаментальности его можно сравнить с понятием множества. Гладкое многообразие [Ак, Ал1, АВЛ, Баз, ББВФ, БК, Вас, ВУ, Г, ГКМ, ЕЛОШ, Егор, ЗВ, КН, Лап5, Лих, Ном, Нор2, Раш, Стер] обобщает кривые и поверхности трехмерного евклидова пространства, рассматриваемые локально в классической дифференциальной геометрии и глобально в аналитической геометрии. Многообразия, снабженные дифференциально-геометрическими структурами, являются предметом современных исследований [Ак, АВЛ, Вас, ЕЛОШ, Лап5, Лих, Лум11,Ос2, Стер, Шир]. 5

Специализация многообразия приводит (см., например, [Шев11]) к важнейшим понятиям геометрии: группе Ли, главному расслоению, однородным пространствам, пространствам со связностями и др. Настоящая работа относится к дифференциальной геометрии, разрабатываемой методом продолжений и охватов Лаптева [Баз; Вас; Ев3; ЕЛОШ; Лап2,3; МО; ОРШ], обобщающем метод подвижного репера и внешних форм Картана [Ак; Баз; Ев2; ЕЛОШ; Кар4,5; Мал3,4; Фав; Фин; Щ; Sl]. Глобальный объект − гладкое многообразие − изучается с локальной точки зрения, причем получаются результаты, имеющие глобальный характер. Дело в том, что структурные формы многообразия являются линейными комбинациями дифференциалов локальных координат точки многообразия, но эти координаты не фиксируются. По-видимому, Слебодзинский [Sl] впервые начал исследование гладкого многообразия с деривационной формулы − разложения дифференциала точки многообразия по базисным векторам касательного пространства к многообразию в этой точке. Неявно деривационная формула использовалась Лаптевым [5], на ее существование указано в книге [ЕЛОШ]. М. А. Акивис [Ак] пользовался деривационной формулой в явном виде и опирался на структурные уравнения многообразия, введенные Лаптевым [5], которые являются внешними квадратичными уравнениями и выражают условия полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений, фиксирующей точку многообразия. Он продолжил деривационную формулу, т.е. продифференцировал ее внешним образом и использовал лемму Картана, что привело к дифференциальным уравнениям базисных векторов касательного пространства. Дальнейшие продолжения дают симметричные базисные векторы касательных пространств высших порядков к многообразию в рассматриваемой точке. При продолжениях предполагается полнота дифференциалов точки многообразия и касательных векторов произвольного порядка, что аналитически записывается в виде равенства нулю внешних дифференциалов от обычных дифференциалов точки и векторов. Продолжения структурных уравнений многообразия состоят в их внешнем дифференцировании и применении обобщенной [Лап5] леммы Картана. В результате нескольких продолжений получаются структурные уравнения для новых форм, симметрию которых показал М. А. Акивис [Ак] с помощью симметрии базисных касательных векторов высших порядков. При фиксации точки многообразия эти формы являются инвариантными формами дифференциальной группы соответствующего порядка, введенной Вагнером [2]. Дифференциальные группы действуют в касательных пространствах высших порядков [Лап5]. 2. Лаптев [5] доказал, что аппарат внешних форм в обобщенной лемме Картана при продолжении внешних квадратичных уравнений допускает 6

новые формы, которые в общем случае не симметричны. Это позволило Ю. Г. Лумисте [3,7] ввести неголономные дифференциальные группы и назвать обычные дифференциальные группы голономными. Встает проблема: если голономные дифференциальные группы действуют в касательных пространствах к гладкому многообразию, то где действуют неголономные дифференциальные группы? Эта проблема разрешается с помощью нового понятия − неголономного гладкого многообразия [Шев9,10,12,13]. Термины “неголономная поверхность”, “неголономное многообразие” и “ неголономное пространство” используются в разных смыслах [Бл3,4; Бл; Боч; Ваг1; Вас; Кар1,2; Ков1-3; Лап7; ЛО; Лум9; Мал2; Нав; Поп; Рыб4; Син; Сл; Стол1,2; Фав; Щ; Mih; Van; Vr] при построении конструкций, обобщающих в том или ином направлении поверхность в однородном пространстве или само это пространство. Неголономное гладкое многообразие обобщает, с одной стороны, обычное гладкое многообразие, которое в связи с этим естественно называть голономным [Шев9], с другой стороны, неголономное пространство Картана [Кар1,2], т.е. пространство с групповой связностью, в частности, пространство аффинной связности [Кар3, Нор2]. К понятию неголономного гладкого многообразия с глобальной точки зрения приблизился В. В. Корниевский [1,2]. Для введения неголономного гладкого многообразия приходится отказываться от полноты дифференциалов [Ков1, Лап1, Раш, Сх, Фав] элементов подвижного репера многообразия: точки многообразия и базисных векторов касательных пространств всех порядков. В этом случае базисные векторы утрачивают симметрию. Несимметричные векторы используются в деривационных формулах подвижного репера неголономного гладкого многообразия. Впервые неголономное гладкое многообразие исследовал А. К. Рыбников [4], говоря, что рассматривает многообразие, отнесенное к неголономным реперам. В дальнейшем под гладким многообразием понимается как голономное, так и неголономное многообразие. Итак, понятие гладкого многообразия допускает расщепление. Это не было замечено ранее потому, что различие между голономным и неголономным гладкими многообразиями обнаруживается во 2-й дифференциальной окрестности точки многообразия, а при исследовании многообразий основное внимание уделялось 1-й окрестности. 3. Существование неголономных гладких многообразий можно доказать, рассматривая конкретные многообразия и выясняя их неголономность. С этой целью изучено параллелизуемое многообразие [Ал2, Sl], называемое также многообразием со структурой абсолютного параллелизма [Стер]. Частным случаем параллелизуемого многообразия служит группа Ли [Ак, АВЛ, Баз, БК, Вас, ЕЛОШ, Егор, ЗВ, КН, Лих, Ном, Стер, Фав, Э]. В дальнейшем будет решен вопрос: какими гладкими многообразиями − 7

голономными, либо неголономными − являются параллелизуемое многообразие и группа Ли? 4. Вслед за теорией гладких многообразий развивается теория расслоенных пространств, называемых также расслоениями и составными многообразиями [Ак; АВЛ; Баз; БК; Ваг3; Вас; Вощ; ЕЛОШ; Егор; ЗВ; КН; Лап5,6; Лих; Ном; Ос1; Стер; Хар]. Они представляют из себя специальные гладкие многообразия. Локально расслоение является прямым произведением двух многообразий, поэтому первоначально оно называлось косым произведением. Расслоенное пространство − это такое гладкое многообразие, каждая точка которого принадлежит некоторому подмногообразию, называемому слоем. Слои не пересекаются, поэтому возникает фактормногообразие слоев, называемое базой. Между слоями имеется диффеоморфизм, что позволяет говорить о типовом слое. Основное место занимают главные расслоения, типовыми слоями которых служат группы Ли. Интересны вопросы о том, когда составное многообразие голономно, а когда неголономно, может ли быть главное расслоение голономным? 5. Другое фундаментальное понятие дифференциальной геометрии − связность − впервые обнаружено при параллельном перенесении ЛевиЧивита [ББВФ, ГКМ, Лум13, T, L]. Теория расслоений является основанием теории связностей [Ак; АВЛ; Баз; БК; Бл1,2; Ваг3; Вас; Вед; Ев1; ЕЛОШ; Егор; ЗВ; КН; Лап5; Лих; Лум1-6,8,10,12-19; Ном; ОРШ; Рах; Рыб1-5; Стер; Ч1-4; Eh]. В общем расслоении рассматривают линейную дифференциально геометрическую связность [Бл1, Ваг3, Шев8, Eh], а в главном расслоении − фундаментально групповую связность [ЕЛОШ, Кар1, Лап3, Шев7]. Лаптев [2] ввел общую фундаментально групповую связность, которую не удается [Шев4,6] полностью описать с помощью обычных главных и общих, а также двухъярусных расслоений [Ос1]. Для отличия от общей связности Лаптева связность в главном расслоении будем называть групповой связностью [Рах]. Из всех этих связностей групповая связность имеет наиболее широкие приложения. В связи с расщеплением гладких многообразий на голономные и неголономные многообразия главные расслоения также распадаются на классы, например, в зависимости от голономности, либо неголономности базы расслоения. Встает проблема описания групповых связностей в главных расслоениях разной степени неголономности. 6. Леви-Чивита [L] ввел параллельное перенесение вектора вдоль поверхности риманова пространства. Параллельное перенесение вектора удобно описывать с помощью его ковариантного дифференциала (иногда называемого абсолютным, инвариантным, либо неголономным) или с использованием ковариантных производных вектора. Аналитически парал8

лельное перенесение вдоль линии на поверхности определяется путем обращения в нуль ковариантного дифференциала или ковариантных производных. Понятия ковариантного дифференциала и ковариантных производных, а значит и параллельное перенесение, легко распространяются на ковекторы и, вообще, произвольные тензоры. Эти параллельные перенесения осуществляются в линейной связности, которая в классической терминологии называется аффинной связностью [ББВФ; Кар3; Лих; Лум10,14; Ном; Нор2; Раш], причем Фавар [Фав] говорит о линейной аффинной связности. Дальнейшие обобщения [Бл1; Саб; Шев2,5; Kol; Sz] ковариантного дифференциала, ковариантных производных и параллельного перенесения связаны с теорией геометрических объектов [Ваг2, МО, Ос3] в главном расслоении, поля которых заданы на базе расслоения. Для этого пользуются групповой связностью главного расслоения. 7. Над гладким многообразием возникает последовательность главных расслоений реперов высших порядков с типовыми слоями − дифференциальными группами, которые будут голономными, либо неголономными в зависимости от исходного многообразия. Из дифференциальных групп всех порядков голономная и неголономная группы совпадают лишь в простейшем случае 1-го порядка, когда они являются линейными группами, действующими в касательных пространствах к голономному и неголономному гладким многообразиям. Групповая связность в расслоении реперов 1-го порядка называется линейной связностью. До развития теории расслоенных пространств такая связность называлась аффинной. Линейная (аффинная) связность − это одна из первых открытых связностей. Однако даже теория линейных связностей имеет различия на голономном и неголономном многообразиях. 8. Дифференциальная геометрия зародилась как геометрия линий и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, т.е. как геометрия 1мерных и 2-мерных многообразий достаточно общего вида, погруженных в 3-мерное многообразие весьма специального вида. Развитие геометрии происходило в разных направлениях, из которых отметим несколько: 1) увеличение размерностей объемлющего пространства и погруженного многообразия; 2) последовательное обобщение объемлющего пространства, в качестве которого рассматривались аффинное, проективное и другие классические пространства, произвольное однородное пространство, пространства с соответствующими связностями, римановы пространство и многообразие и, наконец, произвольное гладкое многообразие; 3) отказ от объемлющего пространства и изучение многообразия самого по себе с глобальной точки зрения; 4) задание и исследование структур на гладком многообразии. В рамках этих направлений изучение подмногообразия гладко9

го многообразия является естественным обобщением классической дифференциальной геометрии. 9. В каждой точке многообразия имеется последовательность касательных пространств высших порядков, обладающих тем свойством, что касательное пространство любого порядка содержится в касательном пространстве следующего порядка, причем последовательность пространств бесконечна. Если дано подмногообразие, то оно, будучи гладким многообразием, также обладает аналогичной последовательностью касательных подпространств различных порядков. Для поверхности аффинного пространства картина проще, т.к. касательное пространство к аффинному пространству отождествляется с ним самим, а последовательность соприкасающихся подпространств конечна. В случае подмногообразия гладкого многообразия возникает вопрос о существовании промежуточных касательных пространств к подмногообразию, обусловленных наличием двух последовательностей касательных пространств и подпространств. 10. В аффинном и проективном пространствах при исследовании семейств, описанных линейными фигурами [Мал1,5,6; Шев3], многократно использовался метод ассоциированных расслоений [Ж; Кр1,2; Рум; Худ1,2; Ц1,2; Шев1,3]. Этому методу непосредственно предшествовали работы И. В. Близникене [Бл], В. И. Ведерникова [Вед] и Ю. Г. Лумисте [1,4,6]. К аналогичным идеям в конкретных случаях пришли Г. П. Бочилло [Боч] и К. В. Навицкис [Нав]. Дальнейшее развитие метод ассоциированных расслоений получил в работах К. В. Поляковой [1-4] при изучении поверхности проективного пространства, рассматриваемой с различных точек зрения. Найдены новые охваты объектов, задающих связности в ассоциированных расслоениях. Получена геометрическая интерпретация объектов связностей и их подобъектов с помощью разнообразных параллельных перенесений, для описания которых использованы ковариантные дифференциалы геометрических объектов и необычные проективно-ковариантные дифференциалы. Встает проблема построения главного расслоения, ассоциированного с подмногообразием гладкого многообразия, и задания в нем групповой связности. 11. Понятие нормали возникло в дифференциальной геометрии поверхности евклидова пространства. В многомерном случае она представляет собой плоскость, проходящую через точку поверхности и ортогонально дополняющую соответствующую касательную плоскость до всего пространства. При переходе к аффинному пространству теряется ортогональность, поэтому в каждой точке поверхности невозможно построить единственную нормаль. В связи с этим производят нормализацию поверхности 10

полем нормалей, которые в некоторой степени компенсируют отсутствие перпендикулярности в аффинном пространстве. Построение нормализации внутренним образом является основной задачей аффинно-дифференциальной геометрии поверхности, которую решали многие геометры (см., например, [Лап4, Шв]). Из статьи [Шев1] следует, что над поверхностью аффинного пространства, рассматриваемой как семейство касательных плоскостей, возникает главное расслоение с типовым слоем – подгруппой стационарности центрированной касательной плоскости. Ассоциированное с поверхностью расслоение содержит подрасслоения касательных и нормальных линейных реперов, типовыми слоями которых являются касательная линейная группа, действующая в касательной плоскости, и нормальная линейная факторгруппа, действующая в нормальном факторпространстве. Нормализация поверхности индуцирует групповую связность в ассоциированном расслоении, в частности, касательную и нормальную линейные связности. Если подвижной репер адаптирован полю нормалей, то ассоциированное расслоение сужается до главного расслоения касательных и нормальных линейных реперов со связностью. При этом нормальная линейная факторгруппа становится подгруппой аффинной группы и действует в нормали. На нормализованной по Нордену [1,2] поверхности проективного пространства касательная линейная связность известна давно [Нор1], а нормальная линейная связность появилась сравнительно недавно [Нор2]. Более общая нормальная центропроективная связность введена А. В. Чакмазяном [1,2,4]. Содержащая неиндуцированные касательную и нормальную линейные связности групповая связность в расслоении, ассоциированном с ненормализованной поверхностью, рассмотрена в работе [Шев1]. Доказано, что нормализация поверхности индуцирует групповую связность. Нормальная линейная связность на оснащенной поверхности аффинного пространства возникла в работах [АЧ; Ч3,4]. Понятие нормали аффинной поверхности распространено на подмногообразие гладкого многообразия [Егиаз, ЗВ, МО]. Встает вопрос: какова роль нормализации подмногообразия для задания связностей? На поверхности в аффинном пространстве наряду с нормализацией рассматривались оснащающие пространства высших порядков (см., например,[Лап4,Шв]), на которые натягивалась нормаль поверхности. Для многообразия и его подмногообразия разнообразные оснащающие подпространства введены А. К. Рыбниковым [1-5]. Более того, он предложил геометрическую трактовку [Рыб5] понятия связности с помощью полей оснащающих подпространств. Настоящая работа развивает эту тематику. Б. Описание работы 11

1. Гладкие многообразия изучены с локальной точки зрения методом продолжений Лаптева. Исследование основано на деривационной формуле Слебодзинского для точки многообразия и структурных уравнениях многообразия Лаптева. Показано, что над обычным (голономным) гладким многообразием возникает последовательность расслоений реперов высших порядков, типовыми слоями которых являются дифференциальные группы Вагнера, действующие в касательных пространствах соответствующих порядков, отнесенных к реперам с симметричными базисными векторами. 2. Введено неголономное гладкое многообразие. Доказано, что с неголономным гладким многообразием ассоциируется последовательность расслоений реперов разных порядков, типовыми слоями которых являются неголономные дифференциальные группы Ю. Г. Лумисте, действующие в соответствующих касательных пространствах, отнесенных к реперам с несимметричными базисными векторами. 3. Из гладкого многообразия, которое может быть неголономным, выделено параллелизуемое многообразие с помощью требований: а) в правых частях структурных уравнений многообразия содержатся лишь внешние произведения базисных форм с коэффициентами – функциями на многообразии; б) эти функции антисимметричны и образуют тензор на многообразии, называемый структурным; в) структурные функции и их продолжения удовлетворяют обобщенным тождествам Якоби. Каждая структурная функция является относительным инвариантом на параллелизуемом многообразии. Получены результаты: 1) параллелизуемое многообразие неголономно; 2) параллелизуемое многообразие с абсолютным структурным тензором есть группа Ли; 3) параллелизуемое многообразие, относительные инварианты которого оказываются абсолютными, суть группа Ли; 4) группа Ли является неголономным гладким многообразием. 4. Составное многообразие есть частный случай гладкого многообразия, из которого оно выделяется с помощью бесконечной серии условий. Дан анализ условий 1-го порядка. Показано, что неголономность базы или типового слоя составного многообразия достаточна для неголономности самого многообразия. Из составного многообразия получены главное расслоение и его обобщения – расслоения параллелизуемых многообразий и групп Ли. Проанализированы условия 1-го порядка, выделяющие главное расслоение. Установлена неголономность главного расслоения и его обобщений. Введено минимально неголономное главное расслоение. 5. Изложен способ Лаптева задания связности в главном расслоении с помощью перехода к новым обозначениям с последующим частичным возвратом исходных обозначений. Эта методика позволила найти известные выражения кривизны через объект связности и его пфаффовы производные 12

с помощью структурных постоянных группы Ли, являющейся типовым слоем главного расслоения. Кривизна групповой связности главного расслоения в общем случае не является тензором на базе расслоения, а составляет квазитензор лишь в совокупности с объектом связности. Если главное расслоение минимально неголономно, то кривизна – тензор. Показано, что пространство групповой связности неголономно. 6. С помощью способа Лаптева задания групповой связности введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных геометрического объекта относительно этой связности. Обращение ковариантного дифференциала в нуль вдоль линии базы расслоения характеризует параллельное перенесение фигуры, определенной геометрическим объектом. Введено распределение параллельности. Вдоль касающихся его линий можно осуществлять параллельный перенос фигуры. Выделено три случая, когда распределение параллельности: 1) заполняет все касательное пространство − фигура переносится абсолютно параллельно (аналог свободного вектора); 2) вырождается в точку − поле фигур абсолютно непараллельно (аналог поля связанных векторов); 3) является собственным распределением, т.е. существуют кривые, вдоль которых можно осуществить параллельный перенос, и кривые, вдоль которых это сделать нельзя (аналог скользящего вектора). Ковариантные производные геометрического объекта относительно групповой связности составляют геометрический объект лишь в совокупности с исходным объектом. Самостоятельно ковариантные производные образуют псевдотензор, т.е. объект, вообще говоря, не являющийся геометрическим объектом, обращение которого в нуль инвариантно. В случае абсолютного параллелизма проанализирована описывающая его система линейных неоднородных уравнений и выделены три подслучая, когда число компонент геометрического объекта: а) больше размерности группы Ли − фигура не может переноситься параллельно ни в какой связности; б) равно размерности группы Ли − существует единственная групповая связность, в которой данное поле фигур абсолютно параллельно (аналог связности Леви-Чивита); в) меньше размерности группы Ли − есть бесконечное множество связностей, относительно которых поле фигур абсолютно параллельно. Другой взгляд на систему линейных уравнений, отвечающих абсолютному параллелизму, дает возможность утверждать, что любую фигуру можно включить в абсолютно параллельное поле относительно заданной групповой связности. 13

7. В качестве одного из важнейших примеров групповой связности рассмотрена линейная (аффинная) связность в расслоении линейных реперов над голономным и неголономным гладкими многообразиями. Получены известные формулы для объекта кручения как альтернации объекта линейной связности и объекта кривизны, выраженного через объект связности и его пфаффовы производные. На неголономном гладком многообразии кручение образует квазитензор, а на голономном гладком многообразии − тензор. Вследствие этого в голономном случае обращение кручения в нуль инвариантно и выделяет линейную связность без кручения или симметрическую линейную связность. В неголономном случае линейная связность всегда с кручением или несимметрическая почти во всех точках многообразия. Задание линейной связности неголономного гладкого многообразия эквивалентно оснащению А. К. Рыбникова многообразия полем подпространств, дополняющих касательные пространства до соприкасающихся пространств 2-го порядка. При этом оснащающее подпространство распадается в прямую сумму голономного и антиголономного подпространств. Подробнее изучено голономное гладкое многообразие с линейной связностью, которое естественно называть пространством линейной связности, но часто называется пространством аффинной связности. Линейная связность без кручения эквивалентна оснащению многообразия полем голономных подпространств А. К. Рыбникова, обладающих тем же свойством, что и в неголономном случае, но меньшей размерностью. Несимметрическая линейная связность голономного многообразия дает возможность задать на нем поле голономных оснащающих подпространств, поэтому оснащение А. К. Рыбникова необходимо для задания линейной связности с кручением. В 2-мерном случае тензор кручения определяет 1-мерное подпространство касательного пространства. Линейная связность (с кручением) неголономного гладкого многообразия интерпретируется локально внутри соприкасающегося пространства 2го порядка с помощью проекции смежного касательного пространства на исходное касательное пространство параллельно оснащающему подпространству. Линейная связность без кручения голономного многообразия характеризуется аналогичной параллельной проекцией. Найдены дифференциальные уравнения компонент объекта кривизны, из которых следует, что кривизна линейной связности (с кручением) неголономного многообразия образует квазитензор лишь вместе с объектом связности. Кривизна как симметрической, так и несимметрической линейной связности голономного многообразия является тензором. Пространство линейной (аффинной) связности неголономно даже в случае голономности исходного гладкого многообразия. 14

8. Исследуются подмногообразия голономного и неголономного гладких многообразий при одновременном их рассмотрении. Согласно методу Лаптева дифференциальные уравнения подмногообразия есть линейные зависимости, в которых часть структурных форм многообразия выражена через остальные. Последние являются структурными формами подмногообразия. С использованием методики, применяемой в способе Лаптева задания групповой связности, продолжены структурные уравнения подмногообразия. Эти продолжения дают возможность высказать гипотезу о том, что подмногообразие голономного, либо неголономного гладкого многообразия является соответственно голономным, либо неголономным многообразием. Расслоение линейных реперов многообразия естественно сужается на подмногообразие. Линейная связность расслоения реперов над многообразием порождает линейную связность в этом сужении. Иначе говоря, если дано подмногообразие базы пространства линейной связности, то в сужении расслоения реперов многообразия на подмногообразие возникает внутренняя линейная связность. Порожденная связность имеет более общий вид по сравнению с данной в том смысле, что базисные индексы объекта линейной связности принимают лишь часть значений слоевых индексов, а не те же значения, как в исходном случае. 9. Использование дифференциальных уравнений подмногообразия в деривационной формуле многообразия приводит к соответствующей формуле для подмногообразия. Подвижной репер касательного пространства многообразия, адаптированный касательному подпространству подмногообразия, называется адаптированным репером 1-го порядка многообразия. Адаптация репера приводит к обращению в нуль фундаментального объекта 1-го порядка и, следовательно, к упрощению уравнений подмногообразия и их продолжений. При этом получаются дифференциальные уравнения подмногообразия, отнесенного к адаптированному реперу 1-го порядка. Их продолжение дает дифференциальные уравнения фундаментального объекта 2-го порядка, который в отличие от соответствующего объекта поверхности в аффинном пространстве является квазитензором, а не тензором. В связи с разбиением значений индексов многообразия на две серии, одна из которых отвечает размерности подмногообразия, множество базисных касательных векторов 2-го порядка разбивается на подмножества. Анализ дифференциальных уравнений для векторов этих подмножеств позволяет найти базисные векторы соприкасающегося подпространства подмногообразия и установить инвариантность в совокупности с касательными векторами многообразия четырех подмножеств векторов, на которые в неголономном случае натянуты 4 подпространства соприкасающегося про15

странства: а) X − сумма касательного пространства и соприкасающегося подпространства; б) Y,Y′ − подпространства одинаковой размерности, пересекающиеся по подпространству X; в) Z=Y+Y′. В голономном случае картина упрощается: X⊂Y=Y′=Z. Подпространство X охарактеризовано геометрически. Подпространство Z натянуто на подпространства Y и Y′ в неголономном случае и совпадает с ними в голономном случае. Значит, основную роль играют подпространства Y и Y′, которые названы левым и правым прикасающимися пространствами. Найден 2-й дифференциал точки (под)многообразия вдоль (под)многообразия. Из его выражения видно, что соприкасающееся (под)пространство 2-го порядка является линейной оболочкой множества (под)пространств, смежных с касательным (под)пространством вдоль (под)многообразия. Для смещений 2-го порядка точки возможны еще два варианта, когда она смещается сначала вдоль многообразия, затем − вдоль подмногообразия, и наоборот. Тогда левое (правое) прикасающееся пространство Y (Y′) есть оболочка пространств, смежных касательному пространству (подпространству) вдоль подмногообразия (многообразия). В пространстве линейной связности, т.е. расслоении реперов многообразия с линейной связностью, исследованы пересечения X0, Y0, Y0Б , Z0 нормали А. К. Рыбникова многообразия с подпространствами X, Y, Y′, Z. Все подпространства и их пересечения заданы уравнениями в репере 2-го порядка многообразия. Найдено аналитическое условие того, чтобы пересечение X0 подпространства Х с нормалью многообразия было нормалью подмногообразия. В этом случае линейная связность многообразия и эквивалентное ей оснащение названы адаптированными подмногообразию. Итак, если линейная связность многообразия адаптирована подмногообразию, то подмногообразие является базой подпространства линейной связности. 10. С учетом дифференциальных уравнений подмногообразия в репере 1-го порядка расслоение линейных реперов над многообразием сокращается до главного расслоения с типовым слоем − подгруппой стационарности касательного подпространства в касательном пространстве. Это расслоение названо ассоциированным с подмногообразием. Оно имеет два главных подрасслоения: 1) расслоение касательных реперов с типовым слоем − линейной группой, действующей в касательном подпространстве; 2) расслоение нормальных реперов с типовым слоем − линейной факторгруппой, действующей в нормальном подпространстве − факторпространстве касательного пространства по касательному подпространству. 16

С помощью теоремы Картана-Лаптева найдены дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении. Объект связности содержит подобъекты касательной и нормальной линейных связностей. Получено выражение объекта кривизны групповой связности через объект связности и его пфаффовы производные. Показано, что групповая связность ассоциированного расслоения порождается линейной связностью сужения расслоения реперов многообразия на подмногообразие, если линейная связность и подмногообразие адаптированы. Значит, в расслоении, ассоциированном с подмногообразием пространства аффинной связности, при адаптации связности подмногообразию возникает внутренняя связность. 11. Под нормализацией подмногообразия понимается присоединение к каждой его точке нормали − линейного пространства, дополняющего касательное подпространство до касательного пространства. Найдены дифференциальные уравнения квазитензора, задающего нормаль. Доказано, что нормализующий квазитензор, его пфаффовы производные, объекты касательной и нормальной линейных связностей позволяют охватить остальные компоненты объекта групповой связности. В этом случае групповая связность названа нормализованной. Формы групповой связности внесены в дифференциальные уравнения нормализующего квазитензора. Это дало возможность получить ковариантный дифференциал и ковариантные производные нормализующего квазитензора относительно групповой связности. Найден внешний дифференциал от ковариантного дифференциала нормализующего квазитензора. Линия на подмногообразии (точнее, направление в касательном подпространстве) задается выражениями базисных форм подмногообразия через параметрическую форму. В силу найденных внешних дифференциалов система дифференциальных уравнений, полученная приравниванием нулю ковариантных дифференциалов компонент нормализующего квазитензора, вполне интегрируема вдоль любой линии на подмногообразии. Переход от ковариантного дифференциала к ковариантным производным приводит к эквивалентной системе линейных однородных уравнений. Анализ этой системы позволяет сформулировать следующие результаты: 1) переносить параллельно нормаль (нормализующий квазитензор) в групповой связности в общем случае нельзя; 2) поле нормализующего квазитензора абсолютно параллельно относительно нормализованной связности, иначе говоря, нормаль из точки подмногообразия переносится параллельно в нормализованной связности вдоль любой кривой подмногообразия, проходящей через точку, при произвольном смещении нормали; 17

3) для частных полей нормали и групповой связности возможны линии, вдоль которых параллельное перенесение нормали осуществить можно, и линии, вдоль которых это сделать нельзя. 12. Внесением форм групповой связности в дифференциальные уравнения для базисных векторов касательного пространства найдены ковариантные производные этих векторов. Они определяют пространство Y∗ типа Y0, дополняющее касательное пространство до левого прикасающегося пространства Y. Часть ковариантных производных задает подпространство X∗⊂Y∗ типа X0, составляющее в прямой сумме с касательным подпространством соприкасающееся подпространство 2-го порядка. Доказано, что оснащение подмногообразия полем пространств Y∗ эквивалентно заданию групповой связности, которая характеризуется внутри левого прикасающегося пространства Y проекцией смежного касательного пространства на исходное параллельно пространству Y∗. При этом касательная линейная связность, эквивалентная полю оснащающих подпространств А. К. Рыбникова X∗, характеризуется самостоятельно в соприкасающемся подпространстве с помощью проекции соседнего касательного подпространства на исходное параллельно пространству X∗. Пфаффовы производные базисных векторов, определяющих нормаль подмногообразия, в совокупности с векторами нормали задают продолженную нормаль, составляющую в прямой сумме с соприкасающимся подпространством левое прикасающееся пространство Y. Преобразованием дифференциальных уравнений базисных векторов нормали с помощью форм нормальной линейной связности получены ковариантные производные этих векторов, которые определяют дополнение нормали до продолженной нормали. Показано, что оснащение нормализованного подмногообразия полем дополнений нормалей эквивалентно заданию нормальной связности и позволяет интерпретировать ее внутри продолженной нормали проекцией смежной нормали на исходную параллельно дополнению нормали. Следовательно, оснащение нормализованного подмногообразия полями подпространств X∗ и дополнений нормалей индуцирует нормализованную связность. Доказано, что оснащение подмногообразия полем подпространств F (X+F=Y, X ∩ F − соприкасающееся подпространство) позволяет задать нормальную связность. Значит, F ∪ X∗-оснащение нормализованного подмногообразия индуцирует нормализованную связность. Показано, что оснащение нормализованного подмногообразия полем подпространств V, составляющих в прямой сумме с касательными подпространствами пространства X, дает возможность задать касательную связность. Отсюда следует, что оснащение нормализованного подмногообра18

зия полями подпространств V и дополнений нормали индуцирует нормализованную связность. Аналогичную роль играет F ∪ V-оснащение. Рассмотрено оснащение нормализованного подмногообразия полем подпространств W, дополняющих касательные подпространства до левых прикасающихся пространств Y и содержащих подпространства V. Доказано, что F ∪ W-оснащение нормализованного подмногообразия индуцирует групповую связность, не являющуюся нормализованной. Для подмногообразия базы пространства линейной связности, связность которого адаптирована подмногообразию, определены оснащения с помощью полей следующих подпространств X∗= X0, Y∗=Y0 и F как прямой суммы подпространства Y0 и касательного подпространства. Кроме того, на нормализованном подмногообразии возникнут поля подпространств V и W как прямые суммы нормали с подпространствами X0 и Y0 соответственно. Глава I. ГОЛОНОМНОЕ И НЕГОЛОНОМНОЕ ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ §1. Гладкое многообразие

Рассмотрим n-мерное многообразие Vn некоторого класса дифференцируемости. Смещение dA любой точки А∈Vn с точностью до бесконечно малых 1-го порядка лежит в касательном n-пространстве Tn к многообразию Vn в точке А [Ак, ЕЛОШ, Лап5, Sl], значит, dA= ωI eI (I,J,K,L=1, n ),

(1)

где eI − базисные векторы линейного пространства Tn, ωI − структурные формы многообразия Vn. Дифференциальные формы ωI имеют вид

ωI = x JI dx J ,

(2)

где dxJ дифференциалы некоторых локальных координат xJ точки А∈Vn, матрица коэффициентов x JI невырождена, т.е. det( x JI )≠0. Обозначим буквой D внешнее дифференцирование. Учитывая, что DdxJ=0, продифференцируем равенства (2) внешним образом D ωI =d x JI ∧dxJ,

(3)

где символ ∧ означает внешнее умножение. Для выражения дифференциаJ

∗

лов dx умножим равенства (2) на элементы матрицы ( x IK ), обратной матрице ( x JI ) 19

∗

∗

x ω = x IK x JI dxJ = δ JK dxJ =dxK. I

K I

Подставим результат в уравнения (3) ∗

∗ K J

D ω =d x ∧ x ω = d x ∧ x ωJ = ωJ ∧ ωJI , I

I J

J K

K

I K

∗

где ω =- x JK d x IK , причем выражения форм ωJI могут быть более общими I J

[Лап5]. Итак, формы ωI удовлетворяют структурным уравнениям Лаптева D ωI = ωJ ∧ ωJI .

(4)

Отсюда следует, что структурные формы ωI дифференцируемого многообразия Vn образуют так называемую полную совокупность форм, а система уравнений ωI =0 вполне интегрируема и фиксирует точку А∈Vn, т.к. справедлива цепочка эквивалентностей A=const ⇔ dA=0 ⇔ ωI eI=0 ⇔ ωI =0. Предполагая, что дифференциал dA является полным D(dA)=0,

(5)

продифференцируем внешним образом уравнение (1) и разрешим по лемме Картана deI= ωJI eJ+ ωJ eIJ,

(6)

причем новые векторы eIJ, принадлежащие касательному пространству 2-го порядка T2, симметричны e[ IJ ]=0,

(7)

где квадратные скобки обозначают альтернирование: e[ IJ ]= 12 (eIJ-eJI). Пространство T2⊃Tn имеет размерность

1 dimT2=dimTn+ C 2n +n= n(n+3). 2 Дифференцируя структурные уравнения (4) внешним образом и разрешая по обобщенной лемме Картана [Лап5], получим I , D ωJI = ωJK ∧ ωJK + ωK ∧ ωJK

(8)

I удовлетворяют условиям причем новые формы ωJK I ωJK ∧ ωJ ∧ ωK =0.

20

(9)

Структурные уравнения (4,8) показывают, что над многообразием Vn возникает главное расслоение реперов L n 2 (Vn), типовым слоем которого является линейная группа L n 2 =GL(n). Структурные уравнения группы L n 2 получаются из уравнений (8) при фиксации точки А∈Vn D π JI = π JK ∧ π IK ( π = ω | ω I = 0 ).

(10)

Уравнения (6) в фиксированной точке многообразия Vn принимают вид:

δe I = π JI e J (δ=d| ω I = 0 ).

(11)

Значит, линейная группа L n 2 со структурными формами π JI действует во множестве векторов eI, т.е. в касательном пространстве Tn. Полагая, что дифференциалы deI − полные D(deI)=0,

(12)

продолжим дифференциальные уравнения (6) de IJ = ωIJK e K + ωIK e KJ + ωJK e IK + ωK e IJK ,

(13)

причем новые векторы e IJK касательного пространства 3-го порядка Т3 симметричны по двум последним индексам eI[ JK ]=0.

(14)

Альтернируя уравнения (13) и учитывая условия симметрии (3) векторов eIJ, получим ω[KIJ ]e K + ωK e[ IJ ] K = 0 , что эквивалентно равенствам ω[KIJ ]e K = 0 , ωK e[ IJ ] K = 0 , откуда в силу линейных независимостей базисных векторов еK и структурных форм ωK имеем ω[KIJ ] = 0 ,

(15)

e[ IJ ] K = 0 .

(16)

Равенства (14,16) дают симметричность векторов eIJK по всем индексам [Ак], поэтому размерность касательного пространства Т3 находится по формуле 1 dimT3=dimT2+ C 3n + 2C 2n +n= n(n2+6n+11). 6 Отметим, что равенства (15) достаточны для выполнения условий (9). Продолжая структурные уравнения (8), найдем 21

I L I I DωJK = ωJK ∧ ωIL − ωILK ∧ ωJL − ωJL ∧ ωLK + ωL ∧ ωJKL , I ωJKL ∧ ωK ∧ ωL =0.

(17) (18)

Структурные уравнения (4,8,17) с учетом условий (15) показывают, что над многообразием Vn построено главное расслоение реперов 2-го порядка L2(Vn), типовым слоем которого служит дифференциальная группа 2-го порядка L2⊃L с размерностью dimL2=n2+n( C 2n +n)= 12 n2(n+3). Группа имеет структурные уравнения (10) и следующие I L I Dπ JK = π JK ∧ π IL − π ILK ∧ π JL − π JL ∧ π LK ,

(19)

I симметричны по нижним индексам. Из уравнений (13) причем формы π JK следует

δe IJ = π IJK e K + π IK e KJ + π JK e IK .

(20)

Уравнения (11,20) показывают, что в пространстве Т2, отнесенному к подвижному реперу 2-го порядка {eI, eIJ}, действует дифференциальная группа L2 со структурными формами π JI , π IJK ( π[KIJ ] = 0) . Предполагая, что дифференциалы deIJ − полные D(deIJ)=0,

(21)

L L L e L + ωIJL e LK + ωIK e LJ + ωJK e IL + ωL e IJKL , ΔeIJK= ωIJK

(22)

продолжим уравнения (13) причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом: ΔeIJK=deIJK- ωIL eLJK- ωJL eILK- ωLK eIJL. По лемме Картана новые векторы eIJKL, принадлежащие касательному пространству 4-го порядка Т4, удовлетворяют соотношениям eIJ[KL]=0.

(23)

Альтернируя дифференциальные уравнения (22) по индексам I,J и пользуясь симметрией векторов eIJ, eIJK, найдем ω[ IJ ] K e L + ω e[ IJ ] KL = 0 , L

L

откуда ω[ IJ ] K = 0 , e[ IJ ] KL = 0 . L

22

(24)

Аналогично получаем ωI[ JK ] = 0 , e I[ JK ] L = 0 . L

(25)

L Из равенств (24,25) следует симметричность форм ωIJK по нижним индексам, что достаточно для выполнения условий (18). Соотношения (23-25) дают симметричность векторов eIJKL∈T4, поэтому касательное пространство 4-го порядка Т4 имеет размерность

dimT4=dimT3+ C 4n + 3C 3n + 3C 2n + n =

1 n(n3+10n2+35n+50). 24

Продолжением уравнений (17) вводится расслоение реперов 3-го поI I , ωJKL , две последних сорядка L3(Vn) со структурными формами ωI , ωJI , ωJK вокупности которых симметричны по нижним индексам. Типовым слоем служит дифференциальная группа 3-го порядка L3⊃L2 с размерностью dimL3=dimL2+n( C 3n + 2C 2n + n )= 16 n2(n2+6n+11). Группа L3 действует в касательном пространстве Т3. При дальнейших продолжениях уравнений (22) возникнут симметричные векторы e I1 ... I p ∈Tp, причем размерность касательного пространства Тp

порядка p можно находить по формуле [Лап5]: dim Тp = C pn +p -1. В результате продолжений уравнений (17) получатся структурные уравнения реперов p-го порядка Lp(Vn) со структурными формами ωI , ωJI1 ,..., ωJI1...J p и типовым слоем - дифференциальной группой p-го порядка Lp, dimLp=n( C pn + p -1), действующей в касательном пространстве Tp того же порядка. Определение. Рассмотренные в §1 многообразие Vn, касательное пространство Tp, дифференциальная группа Lp и расслоение Lp(Vn) назовем голономными и при необходимости будем писать нулик над их обозначе0

0

0

0

0

ниями: V n , T p, L p, L p( V n ). 0

Терема [Лап5]. С голономным гладким многообразием V n ассоцииру0

p

0

ется последовательность расслоений голономных реперов L ( V n ) поряд0

0

0

ков p=1,2,... Типовым слоем расслоения L p( V n ) над многообразием V n яв0

0

ляется голономная дифференциальная группа L p( L 1=GL(n)), действую0

щая в голономном касательном пространстве T p, отнесенном к подвижному реперу { e I1 , e I1I2 ,..., e I1... Ip }, где векторы симметричны (неразличимы при перестановках индексов). 23

Записывая внешний дифференциал правой части деривационной формулы (1) с помощью уравнений (4,6), но без использования условия (5) в левой части, получим DdA= ωK∧ ωI eIJ, откуда видно, что равенство (5) эквивалентно условиям (7) симметричности векторов eIJ. Поступая аналогично с формулой (6) с помощью уравнений (4,8,13), найдем DdeI= ωK ∧ ωJ eIJK, откуда следует DdeI=0 ⇔ eI[JK]=0, что вместе с условиями (16) эквивалентно симметричности векторов eIJK по всем индексам. Подобно показывается эквивалентность симметричности векторов e I1 ... I p и обращения в нуль-вектор внешних дифференциалов от обычных дифференциалов точки А и векторов e I1 ,..., e I1... Ip−2 Замечания 1. Исследование проводится методом внешних форм, поэтому нет необходимости пользоваться локальными координатами точек многообразия. Более того, Лаптев [5] и Ю. Г. Лумисте [3] разными способами показали инвариантность совокупности структурных форм ωI . Значит, наш локальный подход к гладкому многообразию имеет глобальный характер. 2. Формулы (1,6) обобщают деривационные формулы аффинного пространства, при ωI =0 они дают δА=0 и равенства (11), поэтому касательное пространство Тn к многообразию Vn в точке А часто наделяют структурой центроаффинного пространства. Аналогично поступают [Рыб1] с касательными пространствами высших порядков. 3. Дифференцируя формулу (1) обычным образом, получим формулу

d2A=(d ωI + ωJ ωJI )eI+ ωI ωJ eIJ, наглядно показывающую, что касательное пространство 2-го порядка Т2 натянуто на векторы eI, eIJ, что обозначают так Т2=[ eI, eIJ]. Пространство Т2 обобщает соприкасающуюся плоскость кривой трехмерного пространства, поэтому будем в дальнейшем называть его соприкасающимся пространством, либо соприкасающимся подпространством в зависимости от рассмотрения многообразия, либо подмногообразия.

24

4. Лаптев [5] и М. А. Акивис [Ак] описали, фактически, голономное 0

гладкое многообразие, поэтому голономное касательное пространство T p является слоем касательного расслоения p-го порядка Лаптева [5], отличного от соответствующего расслоения Вагнера [2]. 0

5. Голономная дифференциальная группа L p открыта Вагнером [2] под названием “полная дифференциальная группа”. Она действует в соответст0

вующем голономном касательном пространстве T p − слое касательного расслоения Лаптева порядка p. К расслоению Лаптева [5] присоединено 0

p

0

главное расслоение голономных реперов L ( V n ). §2. Неголономное гладкое многообразие I достаПредварительно отметим, что симметричность (1.15) форм ωJK точна для выполнения условий (1.19). Однако, в силу доказательства Лаптева [Лап5] равенства (1.15) не являются необходимыми для выполнения условий (1.9). Значит, аналитический аппарат допускает в общем (неголоI , удовномном) случае несимметричные по нижним индексам формы ωJK I при летворяющие условиям (1.9). Аналогично, симметричность форм ωJKL перестановках любых нижних индексов обеспечивает выполнение условий (1.18), хотя для справедливости последних достаточно более слабых услоI по вий полуголономности [Лап5]: ωJI [ KL ] =0 – симметричности форм ωJKL

двум последним индексам. В общем (неголономном) случае условия (1.18) I могут выполняться, когда формы ωJKL несимметричны ни по одной паре нижних индексов. Подобное утверждение можно сделать относительно форм ωJI1 ...J p . Поставим вопрос: какие предположения из §1 нужно ослабить, чтобы метод внешних форм работал в наиболее общей ситуации? Для ответа проанализируем цепочку рассуждений в §1, где показано, 0

I симчто на обычном (голономном) гладком многообразии Vn формы ωJK метричны по нижним индексам. Равенства (1.15) получены из уравнений (1.13) в силу условий симметрии (1.7) векторов eIJ. Условия (1.7) найдены с применением леммы Картана к дифференциальному следствию уравнения (1.1) в предположении (1.5) о полноте дифференциала dA. Уравнения (1.13) получены продолжением уравнений (1.6) в предположении (1.12) о полноте дифференциалов deI. Если мы откажемся от полноты хотя бы одI ного их дифференциалов dA, deI, то доказать симметричность форм ωJK не

25

I удастся. Симметричность форм ωJKL по всем нижним индексам доказана с помощью дополнительного предположения (1.21) о полноте дифференциалов deIJ с использованием доказанной ранее симметрии векторов eIJ, eIJK. Цепочка рассуждений имеет вид: I ⎫ ⎧ ωJKL − симм. ⎫ ⎫ ⎧ ω[KIJ ] = 0 ⎪ ⎨ ⎪ ⎬⇒⎨ D(de I ) = 0⎭ ⎩ e IJK − симм. ⎬ ⇒ ⎩ e IJKL − симм. ⎬ ⇒ ... D(de IJ ) = 0 ⎪⎭ D(de IJK ) = 0 ⎪⎭

D(dA ) = 0 ⇒ e[ IJ ] = 0

Отказ, например, от полноты хотя бы одного из дифференциалов dA, deI, deIJ приведет к невозможности доказательства симметричности вектоI ров eIJKL и форм ωJKL по нижним индексам. Рассмотрим общий случай, отказываясь от предположения, что dА – полный дифференциал. Уравнение (1.1) не удается продолжить прежним образом и получить уравнения (1.6), но допустим, что в них дифференциалы deI – неполные, а векторы eIJ – несимметричные. Подобный взгляд распространим на деривационные формулы (1.13), (1.22),... Тогда будут несимметричными векторы e I1I2 ,..., e I1... Ip ,... и формы ωJI1J 2 ,..., ωJI1 ...J p ,... по нижним индексам. Определение. Если все дифференциалы в формулах (1.1,1.6,1.13,...) являются полными, т.е. внешние дифференциалы от них равны нульвектору, то гладкое многообразие Vn назовем голономным. Если же эти дифференциалы неполные [Ков1, Лап1, Фав], т.е. не выполняются предположения (1.5, 1.12, 1.21,...), то многообразие Vn назовем неголономным ~ [Шев9,10,11] и обозначим Vn . В §1 рассматривалось, фактически, голономное гладкое многообразие 0

Vn . Касательное пространство p-го порядка неголономного гладкого мно~ ~ гообразия Vn обозначим T p , n ( n p − 1) ~p p-1 (n>1). dim T =n(1+n+...+n )= n −1 Обозначения касательных пространств и их подпространств в голономном и неголономном случаях можно не различать, если для отличия в неголономном случае писать Dim вместо dim и говорить о неголономной размерности взамен голономной. Например, неголономная и голономная размерности соприкасающегося пространства Т2 запишутся так: n DimT2=n(1+n), dimT2= (n+3). 2 26

В общем случае структурные уравнения (1.4, 1.8) показывают, по~ прежнему, что над неголономным многообразием Vn имеется главное рас~ слоение реперов L n2 ( Vn ), типовым слоем которого является линейная ~ группа L n2 =GL(n), действующая в касательном пространстве Tn к много~ ~ образию Vn в фиксированной точке А∈ Vn . Здесь нет отличия от голоном0

ного многообразия Vn . Различие обнаруживается, начиная с расслоения 2~ го порядка. Действительно, над неголономным многообразием Vn возни~ ~ кает главное расслоение неголономных реперов 2-го порядка L2 ( Vn ) со структурными уравнениями (1.4, 1.8, 1.17) без условий (1.15), типовым слоем которого служит неголономная [Лум3] дифференциальная группа 2~ ~ ~ го порядка L2 ⊃ L n 2 , dim L2 =n2(1+n). Группа L2 действует в касательном ~ ~ пространстве 2-го порядка T 2 к неголономному многообразию Vn в точке ~ А∈ Vn . Далее вводится расслоение неголономных реперов 3-го порядка ~ ~ I I L3 ( Vn ) со структурными формами ωI , ωJI , ωJK , ωJKL , несимметричными ни по ~ ~ какой паре нижних индексов. Типовым слоем расслоения L3 ( Vn ) является ~ ~ неголономная дифференциальная группа 3-го порядка L3 ⊃ L2 , ~ ~ dim L3 =n2(1+n+n2). Группа L3 действует в касательном пространстве 3-го ~ порядка T 3 . В результате получается ~ Теорема. Над неголономным гладким многообразием Vn возникает по~ ~ следовательность расслоений неголономных реперов Lp ( Vn ) порядков p=1,2,..., типовым слоем каждого из которых является неголономная ~ ~ дифференциальная группа Lp ( L1 =GL(n)) соответствующего порядка с размерностью 2 p ~p . ~ p n ( n − 1) (n>1), dim L =n dim T = n −1 ~ действующая в касательном пространстве T p , отнесенному к подвижному реперу { e I1 , e I1I2 ,..., e I1... Ip }, где все векторы несимметричны (различны

при перестановках индексов). Замечания 1. С точностью до 1-й дифференциальной окрестности голономное и неголономное гладкие многообразия совпадают. Это служит причиной того, что их обычно не различают. 27

2. Впервые исследовал неголономное гладкое многообразие А. К. Рыбников [4], говоря, что рассматривает дифференцируемое многообразие, отнесенное к неголономным реперам. ~ 3. В неголономном случае соприкасающееся пространство T p есть слой касательного расслоения А. К. Рыбникова [4], обобщающего расслоение Лаптева, но не совпадающего с расслоением Эресмана [Лум7], называемого также неголономным соприкасающимся сверхвекторным расслоением [Лум8]. 4. Введенные Ю. Г. Лумисте неголономная дифференциальная группа и соответствующее главное расслоение, присоединенное к многообразию более общим способом, чем у нас, назывались им впоследствии полуголономной дифференциальной группой и расслоением полуголономных кореперов [Лум7],а также расслоением соприкасающихся неголономных сверхреперов [Лум8]. §3. Параллелизуемое многообразие и группа Ли

Возьмем r-мерное гладкое многообразие Пr со структурными уравнениями Лаптева D ωα = ωβ ∧ ωβα (α, β, γ, δ, ε=1, r ),

(1)

продолжение которых имеет вид (1.8): α D ωβα = ωβγ ∧ ωαγ + ωγ ∧ ωβγ ,

(2)

причем α ωβγ ∧ ωβ ∧ ωγ =0.

(3)

Предположим, что в правых частях уравнений (2) содержатся те же формы, что и в левых, т.е. формы ωβα являются линейными комбинациями базисных форм ωγ α ωβα = Cβγ ωγ ,

(4)

α где Сβγ − некоторые функции на многообразии Пr. Подставляя выражения

(4) в уравнения (1), получим α D ωα = Cβγ ωβ ∧ ωγ .

(5)

Обозначая круглыми скобками симметрирование, преобразуем уравнение (5)

28

D ωα = (C (αβγ ) + C[αβγ ] )ωβ ∧ ωγ = C[αβγ ]ωβ ∧ ωγ , потому что 1

1

2

2

C (αβγ ) ωβ ∧ ωγ = C (αβγ ) ωβ ∧ ωγ + C (αβγ ) ωβ ∧ ωγ = 1 1 1 1 = C(αβγ ) ωβ ∧ ωγ - C(αβγ ) ωγ ∧ ωβ = C β γα ∧ ωγ - C(αγβ ) ωβ ∧ ωγ =0. 2

2

2

2

α Эти преобразования объясняют, почему коэффициенты Сβγ в уравнениях

(5) считают антисимметричными: С (αβγ ) =0.

(6)

Дифференцируя внешним образом структурные уравнения (5), получим α α ωδγ − C αδγ ωβδ )∧ ωβ ∧ ωγ =0. (d Сβγ - Cβδ

(7)

α Допустим, что функции Сβγ образуют тензор на многообразии Пr с диффе-

ренциальными уравнениями α βγ

def

α α δ α δ − Cβδ ωδγ − C αδγ ωβδ + Cβγ ωαδ = Cβγ Δ С = dCβγ δω ,

(8)

причем согласно соотношениям (6) C (αβγ ) δ = 0 .

(9)

Уравнения (8) с помощью выражений (4) упрощаются ∧

α δ α dCβγ = C βγ δω ,

(10)

α α α ε α ε ε α C βγ δ = Cβγδ + Cβε C γδ + C εγ Cβδ − Cβγ C εδ .

(11)

где ∧

При фиксации точки А многообразия Пr, т.е. при ωδ = 0 , из уравнений (10) α =0. Значит, в фиксированной точке А многообразия Пr функции имеем δ Cβγ α α Cβγ = Cβγ (А) принимают определенные значения. Таким образом, каждая из α является относительным инвариантом [Лап2]. функций Cβγ

Преобразуем равенства (7) с помощью уравнений (8) и выражений (4) α ε (Cβγδ − Cβγ C αεδ )ωδ ∧ ωβ ∧ ωγ =0.

(12)

Лемма. Равенство 29

C αβγ ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0,

(13)

где формы ωα линейно независимы, имеет место тогда и только тогда, когда функции C αβγ удовлетворяют условиям C[ αβγ ] =0. Доказательство. В силу антикоммутативности внешнего произведения линейных форм коэффициенты C αβγ можно считать антисимметричными

по рядом стоящим индексам α,β и β, γ, поэтому C αβγ = - Cβαγ = Cβγα = - C γβα = C γαβ = - C αγβ . Следовательно, при циклической перестановке индексов величины C αβγ не меняются. Запишем симметрирование и альтернирование функций C αβγ 1 C ( αβγ ) = ( C αβγ + Cβγα + C γαβ + C αγβ + Cβαγ + C γβα ), 6 C[ αβγ ] =

1 ( C αβγ + Cβγα + C γαβ - C αγβ - Cβαγ - C γβα ). 6

Сложим левые и правые части этих формул def 1 C( αβγ ) + C[ αβγ ] = ( C αβγ + Cβγα + C γαβ ) = C{αβγ } , 3

где фигурные скобки обозначают циклирование. Преобразуем равенство (13) 3 C αβγ ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0, ( C αβγ + Cβγα + C γαβ ) ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0, C{αβγ } ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0, C( αβγ ) ωα ∧ ωβ ∧ ωγ + C[ αβγ ] ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0. Первое слагаемое обращается в нуль, поэтому C[ αβγ ] ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0 ⇔ C[ αβγ ] =0. В силу леммы из равенств (12) получим C[βγ δ ] - C[εβγ C αε δ ] =0, откуда с учетом условий (6,9), найдем обобщенные тождества Якоби C{αβγ δ} = C{εβγ C αε δ} .

(14)

Определение 1. Гладкое многообразие Пr со структурными уравнениями (1) при выполнении условий (4,6,8,9,14) называется параллелизуеα мым [Sl] с тензором кручения Cβγ или многообразием со структурой аб-

30

α солютного параллелизма [Стер]. Совокупность функций Cβγ будем назы-

вать структурным тензором. Теорема 1. Параллелизуемое многообразие Пr неголономно. Доказательство. Дифференцируя внешним образом формы (4), получим α α γ Dωβα = dCβγ ∧ ωγ + Cβγ C δε ωδ ∧ ωε .

Используя уравнения (8), найдем α δ Dωβα = (Cβγδ ωδ + C αδγ ωβδ − Cβγ ωαδ )∧ ωγ .

(15)

Внешнее произведение ωβγ ∧ ωαγ = ωβδ ∧ C αδγ ωγ совпадает со 2-м слагаемым в формуле (15) после раскрытия скобок, поэтому формулу можно представить в виде (2), где α δ α ωβγ = Cβγ ωαδ − Cβγδ ωδ .

(16)

α Согласно условиям (6,9) формы ωβγ антисимметричны по нижним ин-

дексам. С другой стороны, γ δ ωβγ ∧ ωαγ = Cβδ ωδ ∧ ωαγ = Cβγ ωγ ∧ ωαδ ,

поэтому формула (15) представляется в виде (2), где вместо выражений (16) нужно взять α α ωβγ = C αγδ ωβδ − Cβγδ ωδ ,

(17)

причем эти формы несимметричны по индексам β и γ. Вне зависимости от α не являются симметричвыражений (16), (17) трехиндексные формы ωβγ ными по нижним индексам, поэтому многообразие Пr неголономно. α Определение 2. Структурный тензор Cβγ назовем абсолютным (ср. [Лум15]), если правая часть дифференциальных уравнений (8) равна нулю, т.е. α Cβγ δ =0.

(18)

Теорема 2. Параллелизуемое многообразие Пr с абсолютным струкα турным тензором Cβγ является группой Ли Gr. Доказательство. С учетом условий (18) соотношения (14) упрощаются

C{εβγ C αε δ} =0.

(19) 31

∧

α = 3C{αβ ε C εγδ} , откуда Подставляя условия (18) в выражения (11), найдем C βγδ ∧

α с помощью равенств (19) получим C βγδ =0. Тогда упрощаются уравнения

α α =0 ⇔ Cβγ =const, т.е. относительные инварианты стали абсолют(10) dCβγ α , удовлетворяющие условию антисимметрии ными. Итак, постоянные Cβγ

(6) и тождествам Якоби (19), определяют r-членную группу Ли Gr со структурными уравнениями (5). Теорема 3. Параллелизуемое многообразие Пr, относительные инварианты которого являются абсолютными, есть группа Ли Gr. ∧

α βγ

α Доказательство. В случае C =const из уравнений (10) имеем C βγδ =0.

Используя

выражения

(11),

найдем

α Cβγδ = 3C{εβγ C αε δ} ,

откуда

C{αβγ δ} = 3C{εβγ C αε δ} , что в сопоставлении с условиями (14) дает тождества Якоби (19), характеризующие группу Ли Gr. Теорема 4. Группа Ли Gr является неголономным гладким многообразием. Доказательство. Пусть дана группа Ли Gr со структурными уравнениями (5), которые получены из уравнений (1) подстановкой выражений α антисимметричны (6) и удовлетворяют тождествам (4). Константы Cβγ Якоби (19). Дифференцируя внешним образом выражения (4) с помощью уравнений (5), получим α γ D ωβα = Cβγ C δε ωδ ∧ ωε .

(20)

Преобразуем тождества Якоби (19) α γ γ γ Cβγ C δε + C αδγ C εβ + C αεγ Cβδ = 0.

Выражая отсюда 1-е слагаемое и подставляя в уравнения (20), имеем γ γ D ωβα = ( −C αδγ C εβ − C αεγ Cβδ )ωδ ∧ ωε .

(21)

Раскроем скобки, воспользуемся выражениями (4) и антисимметрией (6) в 1-м слагаемом γ Dωβα = − ωαγ ∧ ωβγ − C αεγ Cβδ ωδ ∧ ωε .

Пользуясь антикоммутативностью внешнего умножения в 1-м слагаемом и взаимозаменяя индексы γ и δ во 2-м слагаемом, получим δ Dωβα = ωβγ ∧ ωαγ − C αεδ Cβγ ωγ ∧ ωε ,

32

а это формула (2), в которой α δ ωβγ = Cβγ ωαδ .

(22)

α Здесь формы ωβγ антисимметричны по индексам β и γ.

Формулу (21) можно преобразовать иначе. Раскрывая скобки, видоизменим 2-е слагаемое γ Dωβα = −C αδγ C εβ ωδ ∧ ωε + ωβγ ∧ ωαγ .

Переставляя слагаемые местами и взаимозаменяя индексы γ и δ, имеем Dωβα = ωβγ ∧ ωαγ − C αγ δ C δεβ ωγ ∧ ωε , т.е. получили формулу (2) с другими, трехиндексными формами α ωβγ = C αγδ ωβδ ,

(23)

которые несимметричны по нижним индексам. α Итак, формы ωβγ не являются симметричными по индексам β и γ вне зависимости от их выражений (22,23). Значит, группа Ли Gr неголономна независимо от разных представлений присоединенных к ней структурных уравнений (2). Замечания 1. В структурных уравнениях (5) обычно пишут множитель

1 2

, что не

играет существенной роли и не всегда удобно. 2. В случае группы Ли Gr тождества Якоби (19) можно получить непосредственно из условий (7), не вводя понятие структурного тензора и обобщенных тождеств Якоби (14). 3. Теорема 4 доказана самостоятельно без помощи структурного тензора, хотя она является следствием теоремы 1, т.к. формы (22,23) есть частные случаи форм (16,17) при условии (18). 4.Трехиндексные формы (16,17,22,23) удовлетворяют условию (3), т.к. для параллелизуемого многообразия оно эквивалентно обобщенным тождествам Якоби (14), а для группы Ли Gr − тождествам Якоби (19). §4. Составное многообразие и главное расслоение

Исследуем N-мерное гладкое многообразие VN со структурными уравнениями (1.4) 33

D ωI = ωJ ∧ ωJI (I,J,K= 1, N ).

(1)

Продолжение уравнений (1) дает (1.8) I , D ωJI = ωJK ∧ ωIK + ωK ∧ ωJK

(2)

I ωJK ∧ ωJ ∧ ωK =0.

(3)

I симметричны Если многообразие VN голономно, то формы ωJK

ω[IJK ] =0.

(4)

Из этих условий следует выполнение условий (3), но не наоборот. Если многообразие VN неголономно, то условия (3) выполняются для несимметI . ричных форм ωJK Зададим натуральное число m
(5)

D ωα = ωβ ∧ ωβα + ωi ∧ ωiα .

(6)

Пусть выполняются условия ωiα =0,

(7)

D ωi = ω j ∧ ωij .

(8)

тогда уравнения (5) упростятся

Предположим, что эти уравнения, аналогичные уравнениям (2), являются структурными уравнениями m-мерного гладкого многообразия Vm. Тогда исходное многообразие VN станет общим расслоением Эресмана [Eh] или составным многообразием Вагнера [3] Mr(Vm), r=N-m. Составное многообразие Mr(Vm) есть специальное гладкое многообразие VN, на котором определены две совокупности форм: базисные ωi и слоевые ωα , удовлетворяющие структурным уравнениям (6,8). Базисные формы ωi являются структурными формами гладкого многообразия Vm, называемого базой расслоения Mr(Vm). Вполне интегрируемая система уравнений ωi =0 фиксирует точку базы Vm и упрощает уравнения (6) Dπ α = πβ ∧ πβα ( π = ω | ω i = 0 ). 34

(9)

Это структурные уравнения r-мерного гладкого многообразия Mr, называемого (типовым) слоем расслоения Mr(Vm). Так поясняется обозначение Вагнера расслоения VN=MN-m(Vm), которое представляется как m-мерное семейство (N-m)-мерных слоев MN-m. Базу Vm можно мыслить как фактормножество слоев: Vm= VN M N −m . С учетом условия (7) уравнения (2) для ненулевых форм принимают вид: Dωij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧ ωij k + ωα ∧ ωijα ,

(10)

α Dωβα = ωβγ ∧ ωαγ + ωi ∧ ωβαi + ωγ ∧ ωβγ ,

(11)

Dωiα = ωij ∧ ωαj + ωβi ∧ ωβα + ω j ∧ ωijα + ωβ ∧ ωiαβ .

(12)

Чтобы уравнения (10) имели вид (2), положим ωijα =0,

(13)

Dωij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧ ωij k .

(14)

тогда

Для форм высших порядков нужно сделать предположения ωiα = 0, ωij1α = 0,..., ωij1 ... jpα = 0,...

включающие условия (7,13). В этом случае уравнения (8) действительно станут структурными уравнениями многообразия Vm. Из условий голономности 1-го порядка (4) многообразия VN для трехиндексных форм, входящих в уравнения (11,12,14), имеем ω[αβi ] = 0, ω[αβγ ] = 0, ω[αij] = 0, ω[i jk ] = 0.

(15)

Это необходимые условия голономности составного многообразия Mr(Vm), в частности, для базы Vm: ω[i jk ] =0, для слоя Mr: π[αβγ ] =0. Теорема 1. Если база Vm или типовой слой Mr составного многообразия Mr(Vm) неголономны, то многообразие Mr(Vm) неголономно. Исследуем условие (7). Для этого вернемся к уравнениям (5). Система уравнений ωi =0 будет вполне интегрируема лишь тогда, когда ωiα = λiαjω j + λiαβ ωβ

(λi[ αβ ] = 0).

(16)

Запишем структурные уравнения (2) для форм ωiα D ωiα = ωαj ∧ ωij + ωβα ∧ ωβi + ωK ∧ ωiαK .

(17) 35

Теперь продифференцируем уравнения (16) внешним образом ( Δλiαj − λiαβ ωβj + ωiαj )∧ ω j + ( Δλiαβ − λiαjωβj + ωiαβ ) ∧ ωβ =0,

(18)

где дифференциальный оператор Δ действует по закону Δλ αj i

= dλiαj − λiαk ωkj − λiβjωβα + λkαjωik .

Разрешив уравнения (18) по лемме Картана, получим Δλ αj i

− λiαβ ωβj + ωiαj = λiαjK ωK , Δλiαβ − λiαjωβj + ωiαβ = λiαβK ωK ,

(19)

причем λiα[ JK ] =0. Если положить λiαj = 0 , λiαβ =0, то уравнения (19) примут вид ωiαj = λiαjK ωK , ωiαβ = λiαβK ωK . В этом случае выражение (16) становится условием (7), а уравнение (17) обращается в тождество, т.к. ωK ∧ ωiαK = ωK ∧ λiαKJ ωJ =0. Значит, система уравнений (7) вполне интегрируема. Тем самым получен наиболее простой вид (7) выражения (16). Рассмотрим составное многообразие Mr(Vm) со структурными уравнениями (6,8). На формы ωβα наложим условие α ωβα = Cβγ ωγ ,

(20)

α где Cβγ − функции на расслоении Mr(Vm). Уравнения (9) примут вид α Dπ α = Cβγα πβ ∧ π γ , где Cβγα ограничения функций Cβγ на соответствующий

слой Mr. Предположим, что функции Cβγα удовлетворяют условиям (3.6, 3.8, 3.9, 3.14), сформулированным в определении 3.1. Тогда слой Mr станет параллелизуемым многообразием Пr, и составное многообразие превратится в расслоение Пr(Vm), которое назовем расслоением параллелизуемых многообразий. Выделим два частных случая. α 1. Функции Cβγ заданы на базе Vm расслоения Пr(Vm), тогда их ограничения Cβγα =const, причем эти константы удовлетворяют тождествам Якоби. Параллелизуемое многообразие Пr становится группой Ли G Ar (A∈Vm), в обозначении которой подчеркнута зависимость группы от точки А базы Vm. Возникает расслоение групп Ли G Ar (Vm), которое является обобщенным главным расслоением [Лап3, МО, Ос3]. α 2. Функции Cβγ являются структурными константами некоторой группы Ли Gr, тогда каждый слой G Ar расслоения G Ar (Vm) совпадает с этой

36

группой, т.е. существует типовой слой − группа Ли Gr. Такое расслоение G Ar (Vm) называется главным. Главные расслоения играют важную роль в дифференциальной геометα рии. Подставляя в уравнения (6) выражения (20) с коэффициентами Cβγ − структурными константами группы Ли Gr, имеем α D ωα = Cβγ ωβ ∧ ωγ + ωi ∧ ωiα .

(21)

Получили структурные уравнения Лаптева (8,21) для главного расслоения Gr(Vm). Из уравнений (21) видно, что типовым слоем главного расслоения Gr(Vm) является группа Ли Gr, которая неголономна в соответствии с теоремой 3.4. С учетом теоремы 1 справедлива Теорема 2. Главное расслоение Gr(Vm) является неголономным многообразием. α Проанализируем условия (20), где Cβγ − антисимметричные по нижним индексам константы, удовлетворяющие тождествам Якоби. Рассмотрим α ωγ . С помощью структурных уравнений (11,21) найдем формы θβα = ωβα − Cβγ внешние дифференциалы форм θβα γ α D θβα = θβγ ∧ ωαγ + Cβδ ωδ ∧ θαγ + ωi ∧( ωβαi − Cβγ ωiγ )+ α γ α γ +( Cβε C αγδ − Cβγ C εδ ) ωε ∧ ωδ . + ωγ ∧ ωβγ γ Используя тождества Якоби C αγ{δ Cβε } =0, получим

δ α D θβα = θδγ ∧ ( δβδ ωαγ − δ αγCβε ωε ) + ωi ∧( ωβαi − Cβγ ωiγ )+ α δ − Cβε C αγδ ωε ). + ωγ ∧( ωβγ

Если справедливы условия α α δ ωβαi = Cβγ ωiγ , ωβγ = Cβε C αγδ ωε ,

(22)

то вполне интегрируема система уравнений θβα =0, эквивалентная условиям (20). С другой стороны, внешние дифференциалы выражений (20) форм ωβα и их внешние произведения имеют вид: α γ γ D ωβα = Cβγ (C εδ ωε ∧ ωδ + ωi ∧ ωiγ ) , ωβγ ∧ ωαγ = Cβε C αγδ ωε ∧ ωδ .

37

Добавляя и вычитая последние внешние произведения в правой части 1-го равенства, получим α α ε D ωβα = ωβγ ∧ ωαγ + ωi ∧ Cβγ ωiγ + (Cβε C εγδ − Cβγ C αεδ )ωγ ∧ ωδ .

Используя тождества Якоби, найдем α ε D ωβα = ωβγ ∧ ωαγ + ωi ∧ Cβγ ωiγ + C αγ ε Cβδ ωγ ∧ ωδ .

Это структурные уравнения (11) при условиях (12), обеспечивающих полную интегрируемость системы θβα =0, т.е. условия (11) корректны. Понятие главного расслоения как частного случая составного многообα α , причем формы ωβγ неразия приводит к выражениям (22) форм ωβαi , ωβγ симметричны по нижним индексам, что подтверждает теорему 2. На остальные трехиндексные формы ограничений не накладывается, поэтому может выполняться оставшаяся часть условий голономности (15) ω[αiβ ] =0, ω[αij] =0, ω[i jk ] =0,

(23)

причем имеют место выражения (22). Определение. Главное расслоение Gr(Vm), для которого выполняются условия (22,23), назовем минимально неголономным расслоением. Отметим, что если база Vm главного расслоения Gr(Vm) голономна, то выполняются условия ω[i jk ] =0, составляющие часть условий минимальной неголономности расслоения Gr(Vm). Замечание. Составное многообразие Mr(Vm) может быть как голономным, так и неголономным в зависимости от голономности исходного многообразия VN. Более того, оно может быть частично неголономным: с базовой или слоевой неголономностью. Главное расслоение Gr(Vm) есть частично неголономное многообразие, по крайней мере, со слоевой неголономностью. Глава II. СВЯЗНОСТИ В РАССЛОЕНИЯХ §5. Групповая связность в главном расслоении

Рассмотрим главное расслоение Gr(Vm) со структурными уравнениями Лаптева (4.8, 4.21)

38

D ωi = ω j ∧ ωij ,

(1)

α ωβ ∧ ωγ + ωi ∧ ωiα , D ωα = Cβγ

(2)

где индексы принимают следующие значения: i,j,k=1, m ; α,β,γ,δ,ε= m + 1, m + r , α Cβγ − структурные константы r-мерной группы Ли Gr, удовлетворяющие

условию антисимметрии C (αβγ ) =0 и тождествам Якоби Cβα{γ Cβδε} =0. Базой главного расслоения Gr(Vm) является m-мерное гладкое многообразие Vm, имеющее структурные уравнения (1), а типовым слоем служит группа Ли Gr. Вполне интегрируемая система уравнений ωi =0 фиксирует точку базы Vm, поэтому из уравнений (2) вытекают структурные уравнения для инваα β риантных форм π α = ωα | ω i = 0 группы Ли Gr: d π α = Cβγ π ∧ πγ . Для задания фундаментально групповой (короче, групповой) связности в главном расслоении Gr(Vm) способом Лаптева [ЕЛОШ; Лап3,5; ОРШ] возьмем формы Ω α = ωα − Γiα ωi ,

(3)

где Γiα − некоторые функции на расслоении Gr(Vm). Найдем внешние дифференциалы от форм Ω α с помощью уравнений (1,2) α D Ω α = Cβγ ωβ ∧ ωγ + ωi ∧(d Γiα − Γjα ωij + ωiα ).

Подставим выражения форм ωα из обозначений (3) α D Ω α = Cβγ ( Ωβ ∧ Ω γ + Γiβ ωi ∧ Ω γ + Ωβ ∧ Γjγ ω j + Γiβ ωi ∧ Γjγ ω j )+

+ ωi ∧(d Γiα − Γjα ωij + ωiα ). Во 2-м и 3-м слагаемых вернемся к формам ωα α α D Ω α = Cβγ Ωβ ∧ Ω γ + ωi ∧(Δ Γiα + ωiα )− Cβγ Γiβ Γjγ ωi ∧ ω j ,

(4)

причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом: Δ Γiα =d Γiα − Γjα ωij + Γiβ Ωβα ,

где α Ωβα =2 Cβγ ωγ .

(5)

По теореме Картана-Лаптева [ЕЛОШ, ОРШ] групповая связность в главном расслоении Gr(Vm) задается тогда и только тогда, когда в выражениях внешних дифференциалов форм Ω α присутствуют лишь внешние произведения этих форм Ωβ ∧ Ω γ и базисных форм ωi ∧ ω j . Из уравнений (4) видно, 39

что для введения групповой связности в главное расслоение Gr(Vm) необходимо и достаточно задать следующее поле объекта Γiα на базе Vm : Δ Γiα + ωiα = Γijα ω j .

(6)

Тогда из уравнений (4) вытекают структурные уравнения для форм связности Ω α α D Ω α = Cβγ ωβ ∧ ωγ + R ijα ωi ∧ ω j ,

(7)

где компоненты R ijα объекта кривизны групповой связности выражаются по формулам (см., например, [ЕЛОШ]) α R ijα = Γ[αij] − Cβγ Γiβ Γjγ .

(8)

Продолжая уравнения (1), найдем (4.14) D ωij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧ ωijk ( ωijk ∧ ω j ∧ ωk =0).

(9)

Дифференцируя уравнения (2) внешним образом, получим α ωi ∧( ωij ∧ ωαj + ωβi ∧ Ωβα -D ωiα )+ Cβγ Cβεδ ωγ ∧ ωε ∧ ωδ =0.

Последнее слагаемое равно нулю согласно тождеству Якоби, поэтому (D ωiα - ωij ∧ ωαj − ωβi ∧ Ωβα )∧ ωi =0. Применяя лемму Лаптева, найдем D ωiα = ωij ∧ ωαj + ωβi ∧ Ωβα + ω j ∧ ωijα ( ωijα ∧ ωi ∧ ω j =0).

(10)

Отметим, что уравнения (1,2,9,10) есть структурные уравнения продолженного главного расслоения Gr′(Vm) [Вас, Лап6], типовым слоем которого служит группа Ли Gr′: Gr⊂ Gr′ ⊃GL(m), r′=r+m2+mr. Внешние дифференциалы форм (5) представляются в виде: α D Ωβα = Ωβγ ∧ Ω αγ + ωi ∧2 Cβγ ωiγ .

(11)

Уравнения (1,11) являются структурными уравнениями присоединенного к главному расслоению Gr(Vm) расслоения линейных реперов L r 2 (Vm), типовым слоем которого служит присоединенная к группе Gr линейная группа L r 2 =GL(r). Продолжая уравнения (6) с помощью уравнений (9-11), найдем α Δ Γijα − Γkα ωijk + 2Cβγ Γiβ ωγj + ωijα ≡ 0,

40

где знак ≡ означает сравнение по модулю базисных форм ωk . Откуда с использованием формулы (8) получим дифференциальные уравнения на компоненты объекта кривизны R ijα Δ R ijα − Γkα ω[kij] + ω[αij] ≡ 0.

(12)

Теорема 1. Объект кривизны R ijα групповой связности главного расслоения Gr(Vm) в общем случае не является тензором, а составляет геометрический объект лишь в совокупности с объектом связности Γiα . Если база Vm голономна, то объект кривизны R ijα образует самостоятельно геометрический объект (квазитензор). Наконец, если расслоение Gr(Vm) минимально неголономно, то объект кривизны R ijα − тензор. Определение. Главное расслоение Gr(Vm), в котором задана фундаментально групповая (короче, групповая) связность с помощью поля объекта Γiα , называется пространством фундаментально групповой связности или пространством групповой связности Gr,m. Структурные уравнения (1,7) пространства Gr,m показывают, что оно является главным расслоением, поэтому из теоремы 4.2 следует Теорема 2. Пространство фундаментально групповой связности Gr,m неголономно. Замечания 1. Уравнения (10) можно получить из уравнений (4.12) для форм ωiα α при условиях (4.20) и следующем ωiαβ = Cβγ ωiγ , вытекающим из соотноше-

ний (4.22, 4.23). 2. Обычно рассматривается тензор кривизны групповой связности, при этом иногда говорят о дифференциально геометрическом объекте кривизны или просто об объекте кривизны. Как следует из теоремы 1, тензорность объекта кривизны соответствует фактическому исследованию связности в минимально неголономном главном расслоении. 3. Сравнения (12) показывают, что в общем случае лучше говорить об объекте кривизны-связности { R ijα , Γiα } вместо объекта кривизны R ijα , потому что последний образует геометрический объект лишь в совокупности с объектом связности Γiα . 4. Пространство групповой связности Gr,m Картан [1] называл неголономным пространством с фундаментальной группой Gr, что соответствует нашей терминологии в силу теоремы 2. 41

§6. Ковариантный дифференциал геометрического объекта

Возьмем главное расслоение Gr(Vm) со структурными уравнениями Лаптева (5.1, 5.2) α ωβ ∧ ωγ + ωi ∧ ωiα . D ωi = ω j ∧ ωij , D ωα = Cβγ

(1)

Групповая связность в расслоении Gr(Vm) задается по Лаптеву с помощью форм связности Ω α = ωα − Γiα ωi ,

причем компоненты объекта связности Γiα удовлетворяют дифференциальным уравнениям (5.6) Δ Γiα + ωiα = Γijα ω j .

(2)

Формы групповой связности Ω α подчиняются структурным уравнениям (5.7) α D Ω α = Cβγ ωβ ∧ ωγ + R ijα ωi ∧ ω j ,

(3)

где R ijα – компоненты объекта кривизны групповой связности, выражающиеся по формуле (5.8). Пусть на базе Vm расслоения Gr(Vm) дано поле k-компонентного геометрического Gr-объекта λu, задаваемое дифференциальными уравнениями dλu + f αu ωα = λui ωi (u,v=1, k ),

(4)

где f αu = f αu (λv)= f αu ( λ1,...,λk) − некоторые дифференцируемые функции компонент объекта. Продифференцируем внешним образом уравнения (4) с помощью уравнений (1) α u β (d λui − λujωij − f αu ωiα )∧ ωi -d f αu ∧ ωα − Cβγ f α ω ∧ ωγ =0.

(5)

Дифференциалы функций f αu находятся по известной формуле d f αu =∂v f αu dλv,

(6)

∂f αu (λv ) где ∂ f = . Подставим в формулу (6) выражения dλv из уравнений v ∂λ (4) u v α

d f αu =∂v f αu ( λvi ωi − f βv ωβ ). 42

(7)

Тогда уравнения (5) примут вид: α u ( Δλui + f αu ωiα )∧ ωi +( f βv ∂ v f γu − Cβγ f α )ωβ ∧ ωγ =0,

(8)

где Δλui = d λui − λujωij + λvi ϑuv , ϑuv = ∂v f αu ωα .

(9) (10)

Квадратичные уравнения (8) можно разрешить по лемме Картана лишь при условиях f [vβ ∂ v f γu] − C[αβγ ]f αu =0.

(11)

Квадратные скобки здесь и в дальнейшем означают альтернирование по крайним индексам в них. В подробной записи условия (11) с учетом антиα симметричности констант Cβγ имеют вид: α fβv ∂v f γu - f γv ∂v fβu =2 Cβγ f αu .

(12)

Это уравнения Ли (см., например, [Ос3]). Квадратичные уравнения (8) при условиях (11) принимают вид: ( Δλui + f αu ωiα )∧ ωi =0. Разрешая их по лемме Картана, найдем Δλui + f αu ωiα = λuijω j ( λu[ ij] =0).

(13)

Вводя формы групповой связности Ω α в уравнения (4), получим ∇λu = ∇ i λu ωi ,

где выражения ∇λu=dλu+ f αu Ω α ,

(14)

∇iλu= λui − f αu Γiα

(15)

называются ковариантным дифференциалом и ковариантными производными геометрического объекта λu относительно групповой связности, задаваемой объектом Γiα . Найдем внешние дифференциалы от ковариантных дифференциалов u ∇λ с помощью формул (3,6) α D∇λu =∂v f αu dλv∧ Ω α + f αu ( Cβγ Ωβ ∧ Ω γ + R ijα ωi ∧ ω j ).

43

Подставим выражения dλv из равенства (14) α D∇λu =∇λv ∧∂v f αu Ω α +( f αu Cβγ − f βv ∂ v f γu )Ωβ ∧ Ω γ + f αu R ijα ωi ∧ ω j .

Используя уравнения Ли (11), получим D∇λu =∇λv ∧∂v f αu Ω α + f αu R ijα ωi ∧ ω j .

(16)

Вполне интегрируемая система уравнений ωi =0 фиксирует некоторую точку А∈Vm. Возьмем проходящую через точку А линию ρ: А∈ρ⊂Vm с дифференциальными уравнениями ωi =ρi ω ,

(17)

причем параметрическая форма ω удовлетворяет структурному уравнению D ω = ω ∧ ω1 , обеспечивающему полную интегрируемость уравнения ω =0 и позволяющему найти дифференциальные уравнения коэффициентов ρi Δρi -ρi ω1 = ρ1i ω

(18)

В частности, при ω =dt, где t − параметр линии, имеем D ω =0, ω1 =a ω =a dt и в уравнениях (18) отсутствуют члены ρi ω1 . Точнее говоря, уравнения (17) задают не линию ρ, а касательное к ней направление в касательном пространстве Tm к многообразию Vm в точке А. Линию ρ будет определять бесконечная совокупность продолжений уравнений (17), первое из которых дают уравнения (18). Из структурных уравнений (16) видно, что вдоль линии ρ система уравнений ∇λu =0 вполне интегрируема. Определение 1. Будем говорить, что фигура Ф [Мал1,5,6], заданная геометрическим объектом λu, переносится параллельно в групповой связности Γiα вдоль линии ρ, если вдоль нее ковариантный дифференциал объекта λu обращается в нуль. Условия параллельного перенесения имеют вид: ∇λu |ρ =0 или ∇iλu ρi =0.

(19)

Пусть m коэффициентов ρi неизвестны, тогда уравнения (19) образуют систему k линейных однородных уравнений. Из этой системы следует, что линия ρ определяется с произволом ∞ m − r −1 , где r=rang(∇iλu), т.е. существует (m-r)-мерное подпространство Тm-r касательного пространства Тm, вдоль которого, т.е. вдоль касающихся его линий, фигуру Ф можно переносить параллельно. Подпространство Тm-r назовем подпространством параллельности фигуры Ф относительно связности Γiα . Выделим возможные случаи: 44

1) r=0, Тm-r = Тm − фигура Ф переносится абсолютно параллельно вдоль базы Vm относительно связности Γiα , т.е. вдоль любой линии ρ⊂Vm, иначе

говоря, поле фигур Ф и связность Γiα такие, что все фигуры параллельны друг другу в этой связности (Ф − аналог свободного вектора); 2) r=m ≤ k, Тm-r =A − поле фигур Ф абсолютно непараллельно относительно связности Γiα , т.е. не существует линии ρ⊂Vm, вдоль которой фигуру Ф можно переносить параллельно, иначе говоря, фигура Ф параллельна лишь самой себе в связности Γiα (Ф − аналог связанного вектора); 3) r=k < m, Тm-r = Тm-k − есть кривые ρ, вдоль которых можно осуществить параллельное перенесение фигуры Ф, и кривые, вдоль которых это сделать нельзя (Ф − аналог скользящего вектора); 4) 0< r < min{k,m} − подобно случаю 3). Для нахождения дифференциальных уравнений ковариантных производных ∇iλu продифференцируем равенства (15) обычным образом d∇iλu =d λui − d f αu Γiα − f αu dΓiα . Воспользуемся формулами (2, 7, 13) ~ d∇iλu = λuijω j + f αu Γiβ Ωβα − λvi ϑuv + ∇ jλu ωij + f βv Γiα ∂ v f αu ωβ , где ~ λuij = λuij − Γiαλvj∂ v f αu − f αu Γijα . Раскрывая обозначения (5.5) форм Ωβα , найдем ~ α u d∇iλu = λuijω j − λvi ϑuv + ∇ jλu ωij + ( 2Cβγ f α + f γv ∂ v f βu ) Γiβ ωγ . Используя уравнения Ли (12), обозначения (10) форм ϑuv , выражения (15) ковариантных производных ∇iλu и закон действия (9) оператора Δ, получим ~ Δ∇iλu = λuijω j . Определение 2. Псевдотензором назовем объект, не являющийся геометрическим объектом, обращение которого в нуль имеет инвариантный смысл. Теорема 1. Ковариантные производные ∇iλu геометрического объекта λu относительно групповой связности Γiα составляют геометрический объект лишь в совокупности с объектом λu. Самостоятельно ковариантные производные ∇iλu образуют псевдотензор. 45

Равенства ∇iλu =0, соответствующие случаю абсолютного параллелизма 1), запишем подробно f αu Γiα = λui .

(20)

Их можно рассматривать как систему mk линейных неоднородных уравнений с mr неизвестными Γiα в предположении, что задано поле (4) геометрического объекта λu. При решении системы (20) возможны три случая: а) нет решений (k>r) − фигура Ф не может переноситься абсолютно параллельно ни в какой связности; б) единственное решение (k=r) − объект связности Γiα однозначно выражается через геометрический объект λu и его пфаффовы производные λui , т.е. существует единственная групповая связность, в которой фигура Ф переносится абсолютно параллельно (аналог связности Леви-Чивита); в) бесчисленное множество решений (k
5. Случай а) и теорема 2 не находятся в противоречии, т.к. в теореме предполагается существование объекта связности Γiα , что соответствует случаю б), либо в). §7. Линейная связность в расслоении реперов

Исследуем n-мерное, вообще говоря, неголономное гладкое многообразие Vn со структурными уравнениями (1.4) D ωI = ωJ ∧ ωJI (I , J, K, L, M=1, n )

(1)

Продолжение этих уравнений имеет вид (1.8): I I D ωJI = ωJK ∧ ωIK + ωK ∧ ωJK ( ωJK ∧ ωJ ∧ ωK =0).

(2)

Над многообразием Vn есть главное расслоение реперов L n2 (Vn) со структурными уравнениями (1, 2), типовым слоем которого служит линейная группа L n2 =GL(n), действующая в касательном пространстве Tn к многообразию Vn в точке А, фиксируемой вполне интегрируемой системой уравнений ωI =0. Групповую связность в главном расслоении L n2 (Vn), называемую линейной (в классической терминологии – аффинной) связностью, зададим по Лаптеву с помощью форм I Ω JI = ωJI – ΓJK ωK ,

(3)

I где ΓJK – некоторые функции на расслоении L n2 (Vn). Найдем внешние

дифференциалы форм Ω JI с помощью уравнений (1,2) I I – ΓJLI ωLK + ωJK ). D Ω JI = ωJK ∧ ωIK + ωK ∧(d ΓJK

Подставим выражения форм ωJI из равенств (3) I I ωM + ΓJLK ωL ∧ Ω IK + ΓJLK ωL ∧ ΓKM ωM + D Ω JI = Ω JK ∧ Ω IK + Ω JK ∧ ΓKM I I – ΓJLI ωLK + ωJK ). + ωK ∧(d ΓJK

Во 2-м и 3-м слагаемых вернемся к формам ωJI , тогда I I I + ωJK )– ΓJLK ωL ∧ ΓKM ωM , D Ω JI = Ω JK ∧ Ω IK + ωK ∧(Δ ΓJK

(4)

где I I I Δ ΓJK = d ΓJK – ΓJLI ωLK − ΓLK ωJL + ΓJKL ωIL .

47

Согласно теореме Картана-Лаптева линейная связность задается полем I объекта ΓJK I I I + ωJK = ΓJKL ωL . Δ ΓJK

(5)

Тогда уравнения (4) принимают вид: I D Ω JI = Ω JK ∧ Ω IK + R JKL ωK ∧ ωL ,

(6)

I – компоненты объекта кривизны линейной связности, выражаюгде R JKL щиеся по формуле I I R JKL = ΓJI[ KL ] − ΓJM[ K ΓML ],

(7)

где альтернирование выполняется по крайним индексам в скобках. Введем формы линейной связности Ω JI в структурные уравнения (1) I ωJ ∧ ωK , D ωI = ωJ ∧ Ω JI + SJK

(8)

I = Γ[IJK ] – объект кручения линейной связности. Альтернируя уравнегде SJK

ния (5), получим I I Δ SJK + ω[IJK ] = Γ[IJK ] L ωL ⇔ Δ SJK + ω[IJK ] ≡ 0.

~ Теорема 1. На неголономном гладком многообразии Vn объект кручеI ния линейной связности SJK образует квазитензор, а на голономном мно0

I гообразии V n объект кручения SJK – тензор. 0

Следствие 1. Для голономного гладкого многообразия V n равенства I SJK =0 имеют инвариантный смысл и выделяют линейную связность без кручения или симметрическую линейную связность, т.к. Γ[IJK ] =0. I В неголономном случае равенства SJK =0 не инвариантны (они могут ~ выполняться лишь в отдельных точках многообразия Vn ). Следствие 2. Линейная связность неголономного гладкого многообра~ зия Vn всегда с кручением ( или несимметрична почти во всех точках мно~ гообразия Vn ). Уравнения (1.6, 1.13) имеют вид:

48

deI= ωJI eJ+ ωJ eIJ,

(9)

ΔeIJ − ωIJK eK= ωK eIJK,

(10)

причем векторы eIJ, eIJK, вообще говоря, несимметричны. Введем в уравнения (9) формы линейной связности Ω JI deI= Ω JI eJ+ ωJ ЕIJ,

(11)

где ЕIJ = eIJ + ΓIJK eK. Как следует из уравнений (5, 9, 10), векторы ЕIJ удовлетворяют дифференциальным уравнениям ΔЕIJ ≡0 (mod ωK ).

(12)

Значит, совокупность векторов ЕIJ инвариантна при фиксации точки А∈Vn. ~ Для неголономного многообразия Vn векторы ЕIJ определяют линейное ~ ~ ~ ~ ~ r ~ подпространство E : E ⊂ T 2 , E ∩ Tn = 0 , dim E =n2. Теорема 2. Задание линейной связности (с кручением) в расслоении ре~ ~ перов L n2 ( Vn ) над неголономным гладким многообразием Vn эквивалентно ~ ~ оснащению многообразия Vn полем подпространств E , дополняющих ка~ ~ сательные пространства Tn до соприкасающихся пространств T 2 : ~ ~ ~ Tn ⊕ E = T 2 . Несимметричные векторы ЕIJ представляются в виде суммы симметричных (голономных) векторов Е(IJ) и антисимметричных (антиголономных) векторов E[ IJ ] ЕIJ =Е(IJ)+ E[ IJ ] . (13) ~ Лемма. Оснащающее пространство E распадается на прямую сумму голономного и антиголономного линейных подпространств n n ~ E =Е( )⊕Е[ ], dimЕ( )= (n+1), dimЕ[ ]= (n-1). 2 2 Доказательство. Проверим инвариантность разложения (13). Проальтернируем сравнения (12), предварительно записанные в подходящем виде:

d E[ IJ ] − E[ IK ωJK] − ω[KI E KJ ] ≡0. Раскроем два последних знака альтернирования 1 1 d E[ IJ ] − ( E IK ωJK − E JK ωIK ) − ( ωIK E KJ − ωJK E KI ) ≡0. 2 2

Перегруппируем слагаемые, тогда d E[ IJ ] − E[ IK ]ωJK − E[ KJ ]ωIK ≡0 или Δ E[ IJ ] ≡0.

49

Сопоставляя результат со сравнениями (12), видим, что альтернирование можно производить под знаком оператора Δ. Значит, инвариантны совокупность векторов E[ IJ ] и подпространство Е[ ]. Аналогично проверяется инвариантность подпространства Е( ), натянутого на векторы Е(IJ ). 0

Изучим линейную связность голономного многообразия V n . Симметрируя уравнения (5), получим I Δ Γ(IJK ) + ωJK = Γ(IJK ) L ωL .

Значит, объект Γ(IJK ) задает симметрическую линейную связность, присоеI диненную в общем случае к несимметрической связности ΓJK . Векторы 0

E(IJ)= Γ eK+eIJ определяют подпространство E : K ( IJ )

0 2

0 0 0 E ⊂ T , E ∩ T n =0, dim E = 1 n (n+1). 0

2

Теорема 3. Линейная связность без кручения голономного гладкого 0

0

многообразия V n эквивалентна оснащению многообразия V n полем под0

0

0

0

пространств E : T n ⊕ E = T 2 . Рассмотрим векторы

E[ IJ ] = e[ IJ ] + Γ[KIJ ] eK= SIJK eK. Обозначим r=rang( SIJK ), где значения верхнего индекса нумеруют, например, строки, а сочетания значений пары нижних индексов − столбцы, тогда 0≤ r ≤ n. Согласно лемме векторы E[ IJ ] задают подпространство Е[ ], но в голономном случае оно вырождается: Е[ ]⊂Tn, dim Е[ ]=r. Более того, число 1 векторов E[ IJ ] равно C 2n = (n-1)≥ n, при n≥3, поэтому в общем случае r=n, 2 Е[ ]=Tn, т.е. тензор кручения не определяет новое подпространство Е[ ]. Если n=2, то C 2n =1, т.е. в этом случае, вообще говоря, dimЕ[ ]=1. При n=1 линейr 0 ная связность всегда без кручения, поэтому Е[ ]= . Последнее справедливо для симметрической линейной связности вне зависимости от размерности n. Теорема 4. Несимметрическая линейная связность голономного глад0

кого многообразия V n позволяет задать на нем поле оснащающих подпро0

странств E . Кроме того, в случае n=2 тензор кручения SIJK определяет 50

0

1-мерное подпространство 2-мерного касательного пространства T 2 . При n≠2 тензор кручения не задает подпространства касательного про0

странства T n . Из формулы (11) следует Теорема 5. Линейная связность (с кручением) неголономного гладкого ~ многообразия Vn интерпретируется локально внутри соприкасающегося ~ пространства T 2 с помощью проекции смежного касательного про~ ~ ~ странства Tn +d Tn на исходное касательное пространство Tn параллель~ но оснащающему подпространству E . В символической записи ~ ~ ~ ~ I E ΓJK : Tn +d Tn ⎯ ⎯→ Tn . (14) Теорема 6. Линейная связность без кручения Γ(IJK ) голономного гладко0

го многообразия V n характеризуется аналогичной (14) параллельной проекцией

Γ

I ( JK )

0

0

0

E

0

: T n +d T n ⎯⎯→ T n .

(15)

I Для нахождения сравнений на компоненты объекта кривизны R JKL воспользуемся структурными уравнениями (1.17) I L I I I D ωJK = ωJK ∧ ωIL − ωILK ∧ ωJL − ωJL ∧ ωLK + ωL ∧ ωJKL ( ωJKL ∧ ωK ∧ ωL =0) (16)

Продолжая уравнения (5) с помощью уравнений (1, 2, 16), найдем I I I M M I I Δ ΓJKL − ΓJM ωM KL − ΓMK ωJL + ΓJK ωML + ωJKL ≡0.

Теперь согласно формуле (7) получим I I Δ R JKL − R JM ω[MKL ] + ωJI [ KL ] ≡0. I Теорема 7. Объект кривизны R JKL (несимметрической) линейной связ~ ности неголономного гладкого многообразия Vn образует геометрический I объект (квазитензор) лишь вместе с объектом связности ΓJK . Объект I кривизны R JKL , вообще говоря, несимметрической линейной связности го0

лономного многообразия V n является тензором. Определение. Расслоение линейных реперов L n 2 (Vn), в котором задана I , назовем линейная ( аффинная) связность с помощью поля объекта ΓJK

51

традиционно пространством аффинной связности и обозначим A n 2 ,n .

Чтобы подчеркнуть происхождение пространства аффинной связности 0

A n 2 ,n , можно говорить о ретроголономном пространстве A n 2 ,n и ретроне~ голономном пространстве A n 2 ,n в зависимости от голономности базы Vn расслоения L n2 (Vn). I I Объекты кручения SJK и кривизны R JKL ретроголономного пространст0

ва аффинной связности A n 2 ,n образуют тензоры, поэтому можно рассмат1

ривать пространства аффинной связности: 1) без кручения A n 2 ,n ; 2) без 2

3

кривизны A n 2 ,n ; 3) без кручения и кривизны A n 2 ,n . Для пространства аф3

финной связности без кручения и кривизны A n 2 ,n система (6, 8) принимает вид: D ωI = ωJ ∧ Ω JI , D Ω JI = Ω JK ∧ Ω IK . Эти уравнения совпадают с уравнениями структуры аффинного пространства An, которое голономно. Обобщая структурные уравнения аффинного пространства, Картан [3] ввел уравнения (6, 8) пространства аффинной связности A n 2 ,n . Пространство аффинной связности A n 2 ,n со структурными уравнениями (6, 8) является частным случаем пространства групповой связности Gr,n, поэтому справедлива Теорема 8. Пространства аффинной связности A n 2 ,n неголономны за исключением ретроголономного пространства без кручения и кривизны 3

A n 2 ,n , т.е. локально аффинного пространства.

Замечания 1. Обычно используются голономные гладкие многообразия, поэтому объекты кручения и кривизны линейной связности − тензоры. 2. Теоремы 2, 3, фактически, доказал А. К. Рыбников [1, 4], который относил гладкие многообразия к голономным и неголономным реперам, рассматривая неявно голономное и неголономное многообразия. 3. Оснащающее подпространство А. К. Рыбников называет главной нормалью [1] или нормалью [3] в голономном случае и обобщенной нормалью [4] в неголономном случае. 52

4. Аффинная связность определяет [Лап5] инфинитезимальные отображения касательных пространств многообразия. Этим отображениям дан геометрический смысл в теоремах 5, 6 с помощью нормали А. К. Рыбникова. 0

5. Оснащение голономного многообразия V n полем подпространств 0

E Е не позволяет [Рыб4] задать в нем линейную связность с кручением, следовательно, для интерпретации несимметрической связности многообразия недостаточно отображения (15) и необходима дополнительная конструкция [Рыб2]. 6. В теоремах 1 и 7 речь идет о построенных с помощью поля объекта связности объектах кручения и кривизны, которые в голономном случае являются тензорами. В приложениях объекты связности, кручения и кривизны не всегда образуют геометрические объекты, а тензоры кручения и кривизны могут возникнуть в виде псевдотензоров. Ю. Г. Лумисте [2] рассматривал псевдотензор кривизны линейной связности и объект кручения, не являющийся ни геометрическим объектом, ни псевдотензором.

Глава III. ОСНАЩЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЯ §8. Подмногообразие гладкого многообразия

Пусть в многообразии Vn со структурными уравнениями (7.1) дано подмногообразие Vm. Разобьем значения индексов на две серии I=(i,a); i,j,k=1, m ; a,b,c= m + 1, n . Дифференциальные уравнения подмногообразия Vm запишем в виде:

ωa = Λai ωi .

(1)

Дифференцируя их внешним образом с помощью структурных уравнений (7.1), получим ( ∂Λai − Λajωij + ωai )∧ ωi + ωb ∧( Λai ωib − ωab )=0, где ∂=d|V − символ обычного дифференцирования вдоль подмногообраm

зия Vm. Используя уравнения (1), найдем (Δ Λai − Λbi Λajωbj + ωai )∧ ωi =0,

(2)

причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом:

Δ Λai =∂ Λai - Λajωij + Λbi ωab . 53

Разрешая уравнения (2) по лемме Картана, получим

Δ Λai − Λbi Λajωbj + ωai = Λaijω j ,

(3)

причем Λa[ ij] =0. Согласно методу Лаптева [2] геометрический объект Λai называется фундаментальным объектом 1-го порядка подмногообразия Vm. Структурные уравнения базисных форм ωi подмногообразия Vm имеют вид: D ωi = ω j ∧ θij ,

(4)

θij = ωij + Λajωia .

(5)

где

Найдем внешние дифференциалы форм θij с помощью структурных уравнений (7.2) D θij = ωkj ∧ ωik +(d Λaj + Λbjωab + ωaj )∧ ωia + Λajωak ∧ ωik + + ωk ∧( ωijk + Λajωiak )+ ωa ∧( ωija + Λbjωiba ).

(6)

Преобразуем внешние произведения ωkj ∧ ωik , вводя формы θij с учетом равенств (5)

ωkj ∧ ωik = θ kj ∧ θik - Λajωak ∧ θik - θ kj ∧ Λbk ωib + Λajωak ∧ Λbk ωib . Во 2-м и 3-м слагаемых вернемся к формам ωij ωkj ∧ ωik = θ kj ∧ θik - Λajωak ∧ ωik -( Λbj Λak ωkb + Λak ωkj )∧ ωia .

Подставляя эти внешние произведения в уравнения (6), получим D θij = θ kj ∧ θik +(Δ Λaj − Λbj Λak ωkb + ωaj )∧ ωia + + ωk ∧( ωijk + Λajωiak )+ ωa ∧( ωija + Λbjωiba ). Наконец, используя уравнения (1,3), найдем D θij = θ kj ∧ θik + ωk ∧ θijk , где

θijk ≡ ωijk + Λajωiak + Λak ωija + Λaj Λbk ωiab + Λajk ωia .

54

(7)

Если формы ωijk , ωija , ωiab симметричны по нижним индексам, то из обозначений (7) следует симметричность форм θijk по индексам j, k. Вероятно, аналогичный результат будет при дальнейших продолжениях. Гипотеза. Подмногообразие Vm , голономного (неголономного) многообразия Vn является голономным (неголономным) гладким многообразием. Структурные уравнения (7.2) на подмногообразии Vm принимают вид: D ωJI = ωJK ∧ ωIK + ωi ∧ ϑJiI ,

(8)

где ϑJiI = ωJiI + Λai ωJaI . Получили сужение L n 2 (Vm) расслоения реперов L n 2 (Vn) на подмногообразие Vm⊂Vn. Линейная связность в главном расслоении L n 2 (Vm) со структурными уравнениями (4,8) задается полем объекта LIJi на базе Vm

Δ LIJ ( i ) + ϑJiI = LIJijω j ,

(9)

где

Δ LIJ ( i ) = ∂LIJi − LIJjθij − LIKi ωJK + LKJi ωIK . Теорема. Линейная связность расслоения реперов L n 2 (Vn) над многообразием Vn порождает линейную связность в сужении L n 2 (Vm) этого расслоения на подмногообразие Vm. Иначе говоря, если Vm− подмногообразие базы Vn пространства аффинной связности A n 2 ,n , то в расслоении

L n 2 (Vm) возникает внутренняя связность. Доказательство. Запишем уравнения (7.5) объекта линейной связности Γ подробнее: I JK

I ωa , Δ ΓJiI − ΓJaI ωai + ωJiI = ΓJijI ω j + ΓJia

I I Δ ΓJaI − ΓJiI ωia + ωJaI = ΓJai ωi + ΓJab ωb . I Ограничим поле объекта связности ΓJK на подмногообразие Vm и обозначим Γ =Г|V , тогда

m

Δ ΓJiI − ΓJaI ωai + ωJiI = ( ΓJijI + ΓJiaI Λaj )ω j ,

(10)

Δ Γ − Γ ω + ω = ( Γ + Γ Λ )ω . I Ja

I Ji

i a

I Ja

I Jai

I Jab

b i

i

Дифференциальные уравнения (9) преобразуем к тому же виду:

55

Δ LIJi − LIJj Λai ωaj + ϑJiI = LIJijω j ,

(11)

Объект линейной связности LIJi охватывается ограничением ΓJKI объекта I линейной связности ΓJK и фундаментальным объектом Λai подмногообразия Vm по формуле LIJi = ΓJiI + Λai ΓJaI ,

(12)

проверяемой с помощью уравнений (3,10,11). §9. Прикасающиеся пространства подмногообразия

Уравнение (1.1) для точки А∈Vm⊂Vn, смещающейся вдоль подмногообразия Vm, принимает вид:

∂А= ωi εi,

(1)

εi=ei+ Λai ea.

(2)

где Уравнения (1.6) вдоль подмногообразия Vm можно записать так:

Δei- ωai ea= ω j (eij+ Λaj eia), Δea- ωia ei= ωi (eai+ Λbi eab).

(3)

Откуда следует, что векторы εi удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Δεi- Λai ωaj εj= ω j εij,

(4)

εij=eij+ Λaj eia+ Λai (eaj+ Λbj eab)+ Λaij ea.

(5)

где

Совокупность векторов εi инвариантна и, как видно из формулы (1), определяет касательное подпространство Tm⊂Tn к подмногообразию Vm в точке А. Произведем частичную канонизацию подвижного репера {ei, ea} касательного пространства Tn, помещая векторы ei в касательное подпространство Tm. Такой репер является репером 1-го порядка многообразия Vn, адаптированным подмногообразию Vm. Назовем его адаптированным репером 1-го порядка. Тогда из обозначений (2) следует: Λai =0 ⇔ εi=ei, соотношения (8.1, 8.3, 4, 5) упрощаются

ωa =0, ωai = Λaij ω j ;

56

(6)

Δei= ω j εij (εij=eij+ Λaij ea).

(7)

Продолжая 2-ю подсистему системы (6) дифференциальных уравнений подмногообразия Vm в адаптированном репере 1-го порядка, найдем

Δ Λaij + ωaij = Λaijk ωk ⇔ Δ Λaij + ωaij ≡0,

(8)

где знак ≡ означает сравнение по модулю базисных форм ωk подмногообразия Vm. Совокупность функций Λaij является фундаментальным объектом 2-го порядка подмногообразия Vm. Фундаментальный объект Λaij образует квазитензор. На поверхности аффинного пространства, обобщением которой является подмногообразие Vm, объект Λaij является тензором. Из уравнений (3, 1.13) с учетом уравнений (6) получим

Δei≡0, Δea≡ ωia ei, Δeij≡ ωijk ek+ ωaij ea,

(9)

Δeai≡ ωaij ej+ ωaib eb+ ωaj eji, Δeia≡ ωiaj ej+ ωiab eb+ ωaj eij.

(10)

С помощью cравнений (8, 9) найдем

Δεij- θijk ek≡0, где θijk = ωijk + Λaij ωak .

(11)

Отметим, что эти выражения дает формула (8.7) при Λai =0. Значит, векторы εij инвариантны лишь вместе с векторами ek. Как следует из уравнений (7), совокупность векторов {εij, ek} определяет соприкасающееся подпространство T(m)⊃Tm к подмногообразию Vm в точке А, причем 1 DimT(m)=m(1+m), dimT(m)= m(m+3). 2

Из сравнений (9, 10) видна инвариантность совокупностей векторов: {eij, ea, ei}, {eai, eij, ea, ei}, {eia, eij, ea, ei}, {eia, eai, eij, ea, ei}. Обозначим натянутые на них подпространства соприкасающегося пространства T(n) через X, Y, Y′, Z соответственно. В неголономном случае имеем Y

Tn Tm

X

Z⊂ T(n), 57

T(m)

Y′

Tn∩T(m)=Tm, Tn+T(m)=X, Y∩Y′=X, Y+Y′=Z, DimX=n+m2, DimY=DimY′=n(m+1), DimZ=n+m(2n-m). В голономном случае цепочка включений упрощается, т.к. X⊂Y=Y′=Z, причем 1 1 dimX=n+ m(m+1), dimY=n+ m(2n-m+1). 2 2

Выясним геометрический смысл подпространств X, Y, Y′, Z. Подпространство X есть линейная оболочка касательного пространства Tn и соприкасающегося подпространства T(m). Подпространство Z натянуто на подпространства Y, Y′ в неголономном случае и совпадает с ними в голономном случае. Значит, достаточно охарактеризовать подпространства Y, Y′, которые назовем левым и правым прикасающимися пространствами подмногообразия Vm в точке А. Предварительно найдем 2-й дифференциал точки А∈Vn âäîëü ìíîãîîáðàçèÿ Vn d2A=d( ωI eI)=(d ωI + ωJ ωJI )eI+ ωI ωJ eIJ∈T(n)=[Tn+dTn]. Соприкасающееся пространство T(n) является линейной оболочкой множества пространств Tn+dTn, смежных с касательным пространством Tn вдоль многообразия Vn. Аналогично, для подмногообразия Vm

∂2A=∂( ωi ei)=(∂ ωi + ω jωij )ei+ ωi ω j εij∈T(m)=[Tm+∂Tm]. Соприкасающееся подпространство T(m) есть оболочка подпространств Tm+∂Tm, смежных с касательным подпространством Tm вдоль подмногообразия Vm. Для смещений 2-го порядка возможны еще два варианта. Во-первых,

∂(dA)=∂( ωi ei+ ωa ea)=(∂ ωi + ω jωij + ωa ωia )ei+ +(∂ ωa + ωb ωab )ea+ ωi ω j εij+ ωa ωi eai∈Y=[Tn+∂Tn]. Прикасающееся пространство Y является линейной оболочкой пространств Tn+∂Tn, смежных касательному пространству Tn вдоль подмногообразия Vm. Во-вторых, d(∂A)=d ( ωi ei)=(d ωi + ω jωij )ei+ ωi ( ωai ea+ ω j eij+ ωa eia)∈Y′=[Tm+dTm].

58

Прикасающееся пространство Y′ есть оболочка подпространств Tm+dTm, смежных к касательному подпространству Tm вдоль многообразия Vn. В пространстве аффинной связности A n 2 ,n âîçíèêàþò îñíàùàþùèå ïîäïðîñòðàíñòâà: X0=X∩E, Y0=Y∩E, Y0′ =Y′∩E, Z0=Z∩E. ~ Для ретронеголономного пространства A n2 ,n имеем Y0 Z0, DimX0=m2, DimY0=Dim Y0′ =mn, DimZ0=m(2n-m).

X0 Y0′

0

Для ретроголономного пространства A n 2 ,n 1 1 X0⊂Y0= Y0′ =Z0, dimX0= m(m+1), dimY0= m(2n-m+1). 2 2 В репере 2-го порядка {eI, eIJ} многообразия Vn опишем рассматриваемые пространства системами линейных однородных уравнений с неизвестными xI, xIJ, причем последние несимметричны в неголономном случае. Пространства X, Y, Y′, Z определяются системами уравнений X: xia=0, xai=0, xab=0; Y: xia=0, xab=0; Y′: xai=0, xab=0; Z: xab=0.

(12)

Соприкасающееся подпространство T(m)⊂X, определяемое векторами εij=eij+ Λaij ea, ek, задается в репере {ei, ea, eij} пространства X уравнениями xa= Λaij xij.

(13)

Оснащающее пространство E(n) натянуто на векторы EIJ=eIJ+ ΓIJK eK, поэтоI му определяется системой уравнений xI= ΓJK xJK. Запишем ее подробнее: xi= Γjki xjk+ Γaki xak+ Γjbi xjb+ Γabi xab, a

jk

bk

jb

(14)

bc

x =Γ x +Γ x +Γ x +Γ x , a jk

a bk

a jb

a bc

Уравнения подпространств X0, Y0, Y0′ , Z0 в пространствах X, Y, Y′, Z найдем, подставляя соответствующие уравнения системы (12) в систему (14) X0: xi= Γjki xjk, xa= Γjka xjk; Y0: xi= Γjki xjk+ Γaki xak, xa= Γjka xjk+ Γbka xbk;

(15) 59

Y0′ : xi= Γjki xjk+ Γjbi xjb, xa= Γjka xjk+ Γjba xjb; Z0: xi= Γjki xjk+ Γaki xak+ Γjbi xjb, xa= Γjka xjk+ Γbka xbk+ Γjba xjb. Рассмотрим систему уравнений (13,15). Если эта система совместна, то

Γija = Λaij .

(16)

I Учитывая, что компоненты Γija îáúåêòà ñâÿçíîñòè ΓJK çàäàíû íà ìíîãîîáðàçèè Vn,

а фундаментальный объект 2-го порядка Λaij − на подмногообразии Vm, равенства (16) лучше записать в виде:

Γija |Vm= Λaij .

(17)

Определение. Линейную связность гладкого многообразия Vn, опредеI ляемую объектом ΓJK , и эквивалентное ей оснащение многообразия Vn, задаваемое полем пространств E(n), назовем адаптированными [Sс] подмногообразию Vm⊂Vn, если выполняются равенства (17). В общем случае система уравнений (13,15) несовместна (T(m)∩X0=∅), т.е. линейная связность и оснащение многообразия Vn не адаптированы подмногообразию Vm. Если линейная связность (оснащение) адаптированы подмногообразию Vm, то уравнения (13) входят в систему (15), т.е. X0⊂T(m). В этом случае X0=E(m) − нормаль подмногообразия Vm, т.к.

1 DimE(m)=m2, dimE(m)= m(m+1) 2 и X0∩Tm={0}. Действительно, касательное подпространство Tm выделяется в соприкасающемся подпространстве T(m) уравнениями xij=0, подстановка которых в уравнения (15) дает xi=0, xa=0. Более того, учитывая, что T(m)⊂X, имеем E(m)=T(m)∩X0=T(m)∩X∩E(n)=T(m)∩E(n). Теорема 1. Адаптация линейной связности многообразия Vn подмногообразию Vm характеризуется тем, что в каждой точке подмногообразия Vm пересечение оснащающего пространства многообразия E(n) с соприкасающимся подпространством T(m) есть нормаль подмногообразия E(m). В случае адаптации определено оснащение подмногообразия Vm полем подпространств E(m) и, следовательно, линейная связность подмногообраI зия Vm, задаваемая подобъектом Γjki îáúåêòà ΓJK , точнее его ограничением

Γjki |V . m

60

Теорема 2. Адаптация линейной связности (оснащения) многообразия Vn подмногообразию Vm превращает Vm в базу пространства аффинной связности A m 2 , m . §10. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием

Структурные уравнения (8.4, 8.8) расслоения L n2 (Vm) с учетом дифференциальных уравнений (9.6) подмногообразия Vm принимают вид: D ωi = ω j ∧ ωij ,

(1)

D ωij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧ θijk ,

(2)

D ωab = ωcb ∧ ωac + ωi ∧ θabi ,

(3)

D ωia = ωaj ∧ ωij + ωab ∧ ωib + ω j ∧ ωiaj ,

(4)

где формы θijk определены соотношениями (9.11),

θabi = ωabi - Λaji ωbj .

(5)

Расслоение L n2 (Vm) сократилось до главного расслоения G(Vm) с типовым слоем − (m2-mn+n2)-членной подгруппой стационарности G⊂ L n2 касательного подпространства Tm в касательном пространстве Tn. Расслоение G(Vm) содержит два главных подрасслоения с той же базой Vm: 1) расслоение касательных реперов L m2 (Vm) − расслоение со структурными уравнениями (1,2), типовой слой − линейная группа L m2 =GL(m)⊂G, действующая в касательном подпространстве Tm; 2) расслоение нормальных реперов L ( n−m )2 (Vm) − расслоение со структурными уравнениями (1,3), типовой слой − линейная факторгруппа L ( n−m )2 =GL(n-m), действующая в факторпространстве Tn ⁄ Tm − линейном пространстве, называемом нормальным подпространством (см., например, [ЗВ]). Групповая связность в главном расслоении G(Vm) со структурными уравнениями (1-4) задается по Лаптеву с помощью форм

Ω ij = ωij - Π ijk ωk , Ω ab = ωab - Π abi ωi , Ω ia = ωia - Π iaj ω j ,

(6)

61

где функции Π ijk , Π abi , Π iaj удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям, которые будут найдены ниже. Внешние дифференциалы форм (6) имеют вид: D Ω ij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧(d Π ijk - Π ijl ωlk + θijk ), D Ω ab = ωcb ∧ ωac + ωi ∧(d Π abi - Π abj ωij + θabi ), D Ω ia = ωaj ∧ ωij + ωab ∧ ωib + ω j ∧(d Π iaj - Π iak ωkj + ωiaj ). Ведем в эти уравнения формы (6) D Ω ij = Ω kj ∧ Ω ik + Π kjl ωl ∧ Ω ik + Ω kj ∧ Π ikm ωm + Π kjl ωl ∧ Π ikm ωm + + ωk ∧(d Π ijk - Π ijl ωlk + θijk ), D Ω ab = Ω cb ∧ Ω ac + Π cbi ωi ∧ Ω ac + Ω cb ∧ Π acjω j + Π cbi ωi ∧ Π acjω j + + ωi ∧(d Π abi - Π abj ωij + θabi ), D Ω ia = Ω aj ∧ Ω ij + Π akj ωk ∧ Ω ij + Ω aj ∧ Π ijl ωl + Π akj ωk ∧ Π ijl ωl + Ω ab ∧ Ω ib + + Π ajb ω j ∧ Ω ib + Ω ab ∧ Π ibk ωk + Π ajb ω j ∧ Π ibk ωk + ω j ∧(d Π iaj - Π iak ωkj + ωiaj ). В слагаемые, содержащие лишь одну из форм (6), подставим выражение этой формы D Ω ij = Ω kj ∧ Ω ik + ωk ∧(Δ Π ijk + θijk )- Π kjl ωl ∧ Π ikm ωm , D Ω ab = Ω cb ∧ Ω ac + ωi ∧(Δ Π abi + θabi )- Π cbi ωi ∧ Π acjω j ,

(7)

D Ω = Ω ∧ Ω + Ω ∧ Ω + ω ∧(Δ Π - Π ω + Π ω + ω )i a

j a

i j

b a

i b

j

i aj

i kj

k a

b aj

i b

i aj

- Π akj ωk ∧ Π ijl ωl - Π ajb ω j ∧ Π ibk ωk . Согласно теореме Картана-Лаптева формы (6) являются формами групповой связности, когда их внешние дифференциалы есть суммы внешних произведений этих форм и внешних произведений базисных форм. Значит, выражения в круглых скобках должны быть линейными комбинациями базисных форм

Δ Π ijk + θijk = Π ijkl ωl , Δ Π abi + θabi = Π abijω j ,

(8)

ΔΠ -Π ω +Π ω +ω =Π ω . i aj

i kj

k a

b aj

i b

i aj

i ajk

k

Определение. Назовем G-связностью групповую связность в ассоциированном расслоении G(Xm), задаваемую объектом связности П={ Π ijk ,

Π abi , Π iaj }, а касательной и нормальной связностями − линейные связности 62

в подрасслоениях касательных реперов L m2 (Vm) и нормальных реперов L ( n−m )2 (Vn), задаваемые подобъектами Π ijk и Π abi объекта П.

Учитывая дифференциальные уравнения (8) компонент объекта Gсвязности П в выражениях (7), получим D Ω ij = Ω kj ∧ Ω ik + R ijkl ωk ∧ ωl , D Ω ab = Ω cb ∧ Ω ac + R abij ωi ∧ ω j , DΩ =Ω ∧Ω +Ω ∧Ω + R i a

j a

i j

b a

i b

i ajk

(9)

ω ∧ω , j

k

где компоненты объекта кривизны G-связности R={ R ijkl , R abij , R iajk } выражаются по формулам R ijkl = П ij[ kl ] − П mj[ k П iml ] , R abij = П ab[ ij] − П cb[ i П acj] , R iajk = П ia [ jk ] − П la [ j П ilk ] − П ab[ j П ibk ] . В результате произведенной в §9 частичной канонизации подвижного репера дифференциальные уравнения (8.11) объекта LIJi , задающего групповую связность в подрасслоении L n2 (Vm), упрощаются

Δ LIJi + ωJiI = LIJijω j ,

(10)

а формулы охвата (8.12) объекта порожденной связности принимают вид: LIJi = ΓJiI |V

m

(11)

Запишем уравнения (10) подробнее: ⎧ΔLi jk − Liak ωaj + Lajk ωia + ωijk = Li jkl ωl , ⎪ a a j j a a a j ⎨ ΔL bi − L ji ωb + L bi ω j + ωbi = L bijω , ⎪ ΔLa − La ωb + Lk ωa + ωa = La ωk , ij bj i ij k ij ijk ⎩

(12)

ΔLiaj − Likjωak + Lbajωib + ωiaj = Liajk ωk ,

(13)

Учтем уравнения (9.6) в уравнениях (12) ⎧ΔLi jk + Lajk ωia + ωijk = ( Li jkl + Liak Λajl )ωl , ⎨ a a j a a k a j ⎩ ΔL bi − L ji ωb + ωbi = ( L bij − L bi Λ kj )ω ,

(14)

ΔLaij + ωaij = ( Laijk + Labj Λbik − LlijΛalk )ωk .

(15)

Сопоставляя уравнения (15) с уравнениями (9.8), видим, что можно положить Laij = Λaij , что вытекает из формул (9.17, 11) и означает адаптацию линейной связности многообразия Vn подмногообразию Vm. Тогда уравнения (14) с помощью обозначений (9.11, 5) запишем в виде: 63

ΔLi jk + θijk ≡0, ΔLabi + θabi ≡0.

(16)

Соотношения (13,16) соответствуют уравнениям (8) для компонент объекта связности П. Теорема. Размещение векторов ei подвижного репера {ei, ea} касательного пространства Tn в касательном подпространстве Tm , сокращающее подрасслоение реперов L n2 (Vm)⊂ L n2 (Vn) до ассоциированного расслоения G(Vm)⊂ L n2 (Vm), позволяет построить объект групповой связности П из объекта линейной связности LIJi подрасслоения L n2 (Vm), если последняя адаптирована подмногообразию Vm. Следствие (Т §8, T). Адаптированная подмногообразию Vm линейная связность расслоения L n2 (Vn) порождает групповую связность в расслоении G(Vm), ассоциированном с подмногообразием Vm многообразия Vn. Иначе говоря, если Vm– подмногообразие базы пространства аффинной связности A n 2 ,n , причем связность адаптирована подмногообразию Vm, то в ассоциированном расслоении G(Vm) возникает внутренняя связность. В частности, порождается связность в подрасслоении L m2 (Vm)⊂G(Vm),

т.е. подмногообразие Vm, адаптированное с подпространством аффинной связности A n 2 ,n , является базой пространства аффинной связности A m 2 ,m ⊂ A n 2 , n . §11. Нормализация подмногообразия Определение 1. Под нормализацией подмногообразия Vm⊂Vn понимается (см., например, [ЗВ]) присоединение к каждой точке А∈Vm линейного пространства Nn-m, дополняющего касательное подпространство Tm до касательного пространства Tn: Nn-m⊕Tm=Tn. Подмногообразие Vm, нормализованное полем подпространств Nn-m, обозначим NVm. Нормаль Nn-m зададим векторами Na=ea+ λia ei. Преобразуем их с помо-

щью оператора Δ с точностью до базисных форм ωi подмногообразия Vm ΔNa≡(Δ λia + ωia )ei, откуда вытекают дифференциальные уравнения Δ λia + ωia = λiaj ω j ,

(1)

обеспечивающие инвариантность совокупности векторов Na. Продолжая их, найдем 64

Δ λiaj - λib θajb + λka θikj + ωiaj ≡0.

(2)

Из соотношений (10.8, 1,2) следует формула П iaj = λiaj + λib П ajb − λka П ikj .

(3)

Теорема 1. Нормализация подмногообразия Vm сводит G-связность к касательной и нормальной линейным связностям. Определение 2. Если G-связность порождена двумя линейными связностями с помощью нормализации по формуле (3), то назовем ее нормализованной G-связностью, или NG-связностью. Вводя в уравнения (1) формы G-связности (10.6), получим

∇ λia =∇j λia ω j ,

(4)

∇ λia =∂ λia - λib Ω ab + λja Ω ij + Ω ia ,

(5)

∇j λia = λiaj + λib П ajb − λka П ikj − П iaj

(6)

где выражения

называются ковариантным дифференциалом и ковариантными производными нормализующего квазитензора λia относительно G-связности. С помощью структурных уравнений (10.9) для форм G-связности (10.6) найдем внешний дифференциал ковариантного дифференциала (5) D∇ λia = Ω ab ∧(d λib - λic Ω cb + Ω ib )+( d λja + λka Ω kj + Ω aj )∧ Ω ij b - λib R ajk ω j ∧ ωk − λja R ijkl ωk ∧ ωl + R iajk ω j ∧ ωk .

Дополняя выражения в скобках до ковариантного дифференциала, получим i ω j ∧ ωk , D∇ λia =∇ λja ∧ Ω ij -∇ λib ∧ Ω ab + rajk

(7)

где i b rajk = R iajk − λib R ajk + λla R iljk .

Рассмотрим линию ρ на подмногообразии Vm, проходящую через точку А, которая задается уравнениями (6.17) ωi =ρi ω .

(8)

Èç óðàâíåíèé (7.8) видно, что система уравнений ∇ λia =0

(9) 65

вполне интегрируема вдоль линии ρ. Согласно равенствам (4) система (9) эквивалентна следующей ∇j λia ω j =0, которая вдоль линии ρ принимает вид: ∇j λia ρj=0.

(10)

Это система m(n-m) линейных однородных уравнений с m неизвестными ρj, определяемыми с точностью до множителя. Образуем из ковариантных производных ∇j λia m(n-m)x m-матрицу, в которой пара индексов (ia ) нумерует строки, а индекс j − столбцы. Обозначим r=rang(∇j λia ), тогда 0≤ r ≤ m. Отметим принципиально разные случаи: 1) r=m − общий случай, в котором система (10) имеет лишь тривиальное решение ρj =0, уравнения (8) принимают вид ωi =0, линия ρ вырождается в точку А; 2) r=0 − особый случай, в котором система (1) исчезает, т.к. ∇j λia =0, что в силу обозначений (6) эквивалентно формуле (3), поэтому любой набор ρj можно считать решением системы (10), т.е. подходит произвольная линия ρ; 3) 0
66

Замечание. Геометрическую характеристику параллельного перенесения нормали Nn-m в теореме 4 дать не удается. §12. Оснащения эквивалентные связностям и индуцирующие связности

Запишем подробно уравнения (9.7) и 2-ю подсистему сравнений (9.9) ∂ei- ωij ej= ω j εij, ∂ea- ωab eb- ωia ei= ωi eai. Введем в них формы G-связности (10.6) dei- Ω ij ej= ω j ∇jei, dea- Ω ab eb- Ω ia ei= ωi ∇iea,

(1)

где ковариантные производные векторов ei, ea имеют вид: ∇jei=εij+ П ijk ek, ∇iea= eai+ П aib eb+ П aij ej.

(2)

Эти векторы удовлетворяют сравнениям Δ∇jei≡0, Δ∇iea- ωaj ∇iej≡0,

(3)

поэтому инвариантны в совокупности и определяют пространство Y∗ типа Y0, дополняющее касательное пространство Tn до левого прикасающегося пространства Y. Из сравнений (3) видно, что векторы ∇jei задают подпространство X∗⊂Y∗ типа X0, дополняющее касательное подпространство Tm до соприкасающегося подпространства T(m). Из формул (1,2) следует Теорема 1. Оснащение подмногообразия Vm⊂Vn полем пространств Y∗: Tn⊕ Y∗=Y, содержащих подпространства X∗: Tm⊕X∗=T(m), эквивалентно заданию G-связности, которая характеризуется внутри левого прикасающегося пространства Y с помощью проекции Y∗ П={ П ijk , П abi , П iaj }: Tn+∂Tn ⎯⎯→ Tn,

причем касательная связность, эквивалентная полю подпространств X∗, интерпретируется самостоятельно в соприкасающемся подпространстве T(m) X∗ П ijk : Tm+∂Tm ⎯⎯→ Tm.

Векторы Na, определяющие нормаль Nn-m, удовлетворяют дифференциальным уравнениям ∂Na- ωab Nb= ωi Nai,

(4)

где пфаффовы производные Nai векторов N a выражаются по формуле 67

Nai=eai+ λja εji+ λjai ej.

(5)

Векторы Nai удовлетворяют сравнениям Δ Nai ≡ θaib Nb. Совокупность векторов {Nai, Na} инвариантна и задает продолженную нормаль N(m+1)(n-m)⊃Nn-m, дополняющую соприкасающееся подпространство T(m) до прикасающегося пространства Y. Дифференциалы векторов Na преобразуем к виду: ∂Na= ωab Nb+ ωi ( eai+ λja εji)+(Δ λia + ωia )ei. Введем формы G-связности (10.6) в последнее слагаемое ∂Na= ωab Nb+ ωi [eai+ λja εji+( λka П kij − λjb П aib + П aij )ej]+∇ λia ei. Учтем выражения (5) векторов Nai ∂Na= ωab Nb+ ωi ( Nai-∇i λja ej)+∇ λia ei,

(6)

что эквивалентно формуле (4). Формула (6) представляет некоторый интерес, т.к. показывает, что уравнения ∇ λia |ρ=0 не выделяют специальных смещений нормали Nn-m, которые обычно называются параллельными перенесениями вдоль линии ρ. Вне зависимости от последних уравнений нормаль Nn-m смещается в продолженной нормали N(m+1)(n-m), поэтому нельзя охарактеризовать параллельный перенос в теореме 11.4. Этот перенос, с одной стороны, невырожден, т.к. существует подпространство параллельности Tm-r⊂Tm, с другой стороны, вырожден, т.к. произвольное смещение нормали Nn-m вдоль подпространства параллельности Tm-r является параллельным относительно G-связности, в которой взяты ковариантные производные ∇i λja . Введем в уравнения (4) формы нормальной связности ∂Na- Ω ab Nb= ωi ∇iNa, ∇iNa=Nai+ п aib Nb, Δ∇iNa≡0. Совокупность векторов ∇iNa инвариантна и определяет подпространство Nm(n-m): Nn-m⊕Nm(n-m)=N(m+1)(n-m), которое назовем дополнением нормали Nn-m до продолженной нормали N(m+1)(n-m). Теорема 2. Оснащение нормализованного подмногообразия NVm полем дополнений нормалей Nm(n-m) эквивалентно заданию нормальной связности и позволяет интерпретировать ее внутри продолженной нормали N(m+1)(n-m) 68

N

m ( n−m ) п abi : Nn-m+∂Nn-m ⎯⎯ ⎯ ⎯→ Nn-m.

Следствие (Т.11.1, Т.1, Т.2). Оснащение нормализованного подмногообразия NVm полями подпространств X∗ и Nm(n-m) индуцирует NGсвязность. Замечание. Дополнительное оснащение [Рыб3] подмногообразия Vm можно не производить, т.к. построено трансопорное подпространство N(m+1)(n-m), а в качестве транскасательного подпространства можно взять соприкасающееся подпространство T(m). Рассмотрим векторы

Fai=eai+ μ aib eb

(7)

и представим результат действия на них оператора Δ в виде: ΔFai≡ ωaj ∇iej+(Δ μ aib + θaib )eb+( μ aib ωbj - п kij ωak + ωaij )ej. При выполнении сравнений Δ μ aib + θaib ≡0

(8)

инвариантна совокупность векторов { Fai,∇iej, ei}, задающая подпространство F: 1 T(m)⊂F⊂Y, F∩Tn=Tm, DimF=m(n+1), dimF= m(2n-m+3). 2

Выражая векторы eai из равенств (2,7) и сопоставляя результаты, имеем Fai=∇iea +( μ aib - п aib )eb- п aij ej.

(9)

Значит, F=Tm⊕Y∗, если μ aib = П aib − функции μ aib входят в состав коэффициентов разложений векторов (2), определяющих подпространство Y∗. Теорема 3. Оснащение подмногообразия Vm полем пространств F (X+F=Y, X∩F=T(m)) позволяет задать нормальную связность П aib = μ aib .

(10)

Следствие (Т.11.1, Т.1, Т.3). F∪X∗−оснащение нормализованного подмногообразия NVm индуцирует NG-связность. Возьмем векторы Vij=eij+ μ ijk ek и осуществим преобразование

ΔVij≡ ωaij Na+(Δ μ ijk - λka ωaij + ωijk )ek. Если выполняются сравнения Δ μ ijk - λka ωaij + ωijk ≡0,

(11) 69

то инвариантна совокупность векторов {Vij, Na}. На них натянуто пространство V, дополняющее касательное подпространство Tm до пространства X, с размерностью 1 DimV=m2+n-m, dimV=n+ m(m-1). 2

Имеют место соотношения Vij=εij- Λaij Na+( μ ijk + Λaij λka − П ijk )ek. Значит, V=Nn-m⊕X∗, если μ ijk = П ijk - Λaij λka .

(12)

Это равенство обосновано соотношениями (9.8,10.8,11.1,11). Теорема 4. V-оснащение нормализованного подмногообразия NVm дает возможность задать касательную связность П ijk = μ ijk + Λaij λka .

(13)

Следствие (Т.11.1, Т.2, Т.4). Oснащение нормализованного подмногообразия NVm полями пространств Nm(n-m) и V индуцирует NG-связность. Следствие (Т.11.1, Т.3, Т.4). F∪V-оснащение нормализованного подмногообразия NVm индуциирует NG-связность. Рассмотрим векторы Wai=eai+ μ aij ej и преобразование

ΔWai≡ ωaj Vji+ ωaib Nb+(Δ μ aij - λjb ωaib - μ kij ωak + ωaij )ej. Если выполняются сравнения Δ μ aij - λjb ωaib - μ kij ωak + ωaij ≡0, то инвариантна совокупность векторов { Wai, Vij, Na}. На них н6атянуто пространство W, дополняющее касательное подпространство Tm до левого прикасающегося пространства Y и содержащее подпространство V, 1 DimW=mn+n-m, dimW=n+ m(2n-m-1). 2 Имеем Wai=∇iea - П aib Nb+( μ aij + П aib λjb − П aij )ej. Если справедливы равенства μ aij = П aij − П aib λjb , то векторы Wai разлагаются по векторам ∇iea, Nb. Если, кроме того, выполняется формула (12), то W=Nn-m⊕Y∗. 70

Теорема 5. F∪W-оснащение нормализованного подмногообразия NVm индуцирует G-связность, не являющуюся нормализованной. Доказательство дается формулами (10,13) и следующей: П iaj = μ iaj + λibμ ajb ,

проверяемой с помощью соотношений (10.8, 11.1, 8, 14). Замечание. Для подмногообразия Vm базы пространства A n 2 ,n , аффинная связность которого àäàïòèðîâàíа ïîäìíîãîîáðàçèþ, îïðåäåëåíû îñíàùåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïîëåé ñëåäóþùèõ ïîäïðîñòðàíñòâ X∗=X0, Y∗=Y0, F=Tm⊕Y0, кроме того, для нормализованного подмногообразия NVm существуют V=Nn-m⊕X0, W=Nn-m⊕Y0. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа имеет следующую структуру. Глава I начинается с понятия гладкого многообразия, которое расщепляется на голономное и неголономное многообразия. Эта глава заканчивается понятием главного расслоения, служащего фундаментом теории групповых связностей, элементы которой изложены в главе II. Главы I, II носят вспомогательный характер, а основной является глава III, что отражено в названии работы. В главе III для подмногообразия гладкого многообразия расслоение реперов многообразия сужается до главного расслоения над подмногообразием, типовым слоем которого служит подгруппа стационарности касательного подпространства в касательном пространстве. Изучение групповой связности в ассоциированном с подмногообразием расслоении оказалось плодотворным, т.к. эта связность содержит касательную и нормальную линейные связности, обобщающие соответствующие связности поверхности аффинного пространства. Для задания групповой связности использованы геометрические конструкции, называемые нормализацией и оснащениями подмногообразия. Из полученных в главе III результатов следует вывод: геометрия подмногообразия голономного гладкого многообразия обобщает аффинную геометрию поверхности. Основные результаты: 1) введение понятия неголономного гладкого многообразия; 2) установление в общем случае нетензорности кривизны групповой связности, а также кручения и кривизны линейной (аффинной) связности; 3) описание параллельных перенесений фигур относительно групповой связности как аналогов свободных, скользящих и связанных векторов; 4) определение прикасающихся пространств подмногообразия гладкого многообразия; 5) распространение метода ассоциированных расслоений на подмногообразия голономного и неголономного гладких мно71

гообразий; 6) установление роли нормализации подмногообразия; 7) выяснение структуры оснащений, эквивалентных связностям и индуцирующих связности; 8) интерпретации связностей с помощью параллельных перенесений и отображений нормализующих и оснащающих подпространств. Особенностью настоящей работы является то, что при изложении известных результатов и доказательстве неизвестных утверждений используется много обновленных и новых понятий: - голономное и неголономное гладкие многообразия; - обобщенные тождества Якоби; - расслоение групп Ли; - расслоение параллелизуемых многообразий; - минимально неголономное главное расслоение; - объект кривизны-связности для групповой связности; - квазитензор кривизны групповой связности; - ковариантный дифференциал и ковариантные производные геометрического объекта относительно групповой связности; - подпространство параллельности при перенесении фигуры в групповой связности; - абсолютно непараллельное поле фигур; - псевдотензор как объект, обращение которого в нуль инвариантно; - псевдотензор ковариантных производных геометрического объекта; - квазитензор кручения и объект кривизны-связности для линейной (аффинной) связности; - ретроголономное и ретронеголономное пространства аффинной связности; - прикасающиеся пространства подмногообразия гладкого многообразия; - адаптированная подмногообразию линейная связность многообразия; - ассоциированное с подмногообразием главное расслоение; - продолженная нормаль подмногообразия; - разнообразные оснащения подмногообразий голономного и неголономного гладких многообразий; - сведение связности к подсвязности с помощью нормализации подмногообразия; - эквивалентные связностям оснащения подмногообразия; - индуцированные оснащениями подмногообразия связности. Отметим ряд возможных направлений дальнейших исследований: а) подтверждение и уточнение результатов, полученных для подмногообразия голономного гладкого многообразия, на поверхности аффинного пространства; 72

б) развитие теории распределений на голономных и неголономных гладких многообразиях, аналогично построенной теории подмногообразий; в) голономные и неголономные подмногообразия в классических однородных пространствах, структуры их нормализаций и оснащений; г) связности в расслоениях, ассоциированных с подмногообразиями обобщенных пространств, т.е. пространств со связностями; д) связности высших порядков в соответствующих ассоциированных расслоениях, нормализации и оснащения высших порядков; е) распространение метода нормализации Нордена на подмногообразия многообразий, обобщающих гладкое многообразие.

73

Приложение Темы для учебно-исследовательской работы студентов и аспирантов

Гладкое многообразие. Неголономное гладкое многообразие. Параллелизуемое многообразие. Группа Ли. Составное многообразие. Главное расслоение. Групповая связность в главном расслоении. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные геометрического объекта. 9. Параллельные перенесения фигуры относительно групповой связности. 10. Линейная связность, объекты кручения и кривизны. 11. Интерпретация линейной связности, эквивалентной оснащению многообразия. 12. Подмногообразие гладкого многообразия. 13. Прикасающиеся пространства подмногообразия. 14. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием. 15. Нормализация подмногообразия. 16. Оснащения подмногообразия, эквивалентные связностям. 17. Оснащения подмногообразия, индуцирующие связности. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

74

Библиографический список [Ак]

Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 84с. [АЧ] Акивис М. А., Чакмазян А. В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле // ДАН Арм ССР. 1975. Т.60. ¹3. С.137-143. [Ал] Алексеевский Д. В. 1. Дифференциальная геометрия многообразий// Мат. энц. М., 1979. Т.2. С.254-260. 2. Параллелизуемое многообразие// Там же. 1984. Т.4. С.205. [АВЛ] Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат. Фунд. напр. М., 1988. Т.28. 299с. [Баз] Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий. М.,1989. 222с. [ББВФ] Белько И. В., Бурдун А.А., Ведерников В. И., Феденко А. С. Дифференциальная геометрия. Минск, 1982. 255с. [БК] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Дж. Геометрия многообразий/ Пер. с англ. М., 1967. 336с. [Бл] Близникас В. И. 1. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литов. мат. сб. 1966. Т.6. №2. С.141209. 2. О некоторых связностях расслоенных пространств // Там же. 1967. Т.7. №1. С.5-16. 3. О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С. 115124. 4. Некоторые вопросы теории неголономных комплексов // Там же. 1974. Т5. С.69-96. [Бл] Близникене И. В. О геометрии полунеголономной конгруэнции первого рода // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С. 125-148. [Боч] Бочилло Г. П. К дифференциальной геометрии m-распределений на многообразии всех гиперплоских элементов n-мерного проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1983. Вып.14. С.18-23 (Геом. сб. Томск, 1985. №25. С.35-42). [Ваг] Вагнер В. В. 1. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VIII Межд. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского: Отчет. Казань, 1937. С.195-262. 2. Теория дифференциальных объектов и основания дифференциальной геометрии // Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., 1949. С.135-223. 75

3. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. М.; Л., 1950. Вып.8. С.11-72. [Вас] Васильев А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. М., 1987. 190с. [ВУ] Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии/ Пер. с англ. М., 1949. 230с. [Вед] Ведерников В. И. Обобщение метода нормализации А. П. Нордена на случай расслоенного пространства //Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т.123. №1. С.3-23. [Войц] Войцеховский М. И. Расслоение // Мат. энц. М., 1984. Т.4. С.893-894. [Г] Гохман А. В. Введение в теорию аффинных связностей. Cаратов: Издво Саратов. ун-та. 1981. 62с. [ГКМ] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом/ Пер. с нем. М., 1971. 344с. [Ев] Евтушик Л. Е. 1. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1963. Т.2. С. 119-150. 2. Подвижного репера метод // Мат. энц. М., 1984. Т.4. С.363-366. 3. Продолжений и охватов метод // Там же. С.657-659. [ЕЛОШ] Евтушик Л. Е.,Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. /ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С.5-247. [Егиаз] Егиазарян К. М. О касательном расслоении нормализованного подмногообразия // Изв. вузов. Мат. 1986. №5. С.24-29. [Егор] Егоров И. П. Геометрия. М., 1979. 256с. [Ж] Жарикова Л. А. О связности в расслоении, ассоциированном с конгруэнцией нецентральных квадратичных элементов в An // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1984. Вып.15. С.23-26. [ЗВ] Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975. 348с. [Кар] Картан Э. 1. Группы голономии обобщенных пространств/ Пер. с франц. // VIII Межд. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского: Отчет. Казань, 1937. С.63-110. 2. Теория групп и геометрия/ Пер. с франц. // VIII Межд. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского. Отчет. Казань, 1937. С.111-141. 3. Пространства аффинной, проективной и конформной связности/ Пер. с франц. Казань, 1962. 210с. 4. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения/ Пер. с франц. М.: Изд-во МГУ, 1962. 238с. 5. Теория групп и дифференциальная геометрия/ Пер. с франц. М.: Издво МГУ, 1963. 368с. 76

[КН] [Ков]

[Кор]

[Кр]

[Лап]

[ЛО] [Лих] [Лум]

Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ. М., 1981. Т.1. 344с. Кованцов Н. И. 1. Неголономные пространства со связностью // Тр. 1-й Республ. конф. математиков Белоруссии. Минск, 1965. С.196-218. 2. Обобщенные пространства как пространства с фундаментальной группой // Укр. геом. сб. Харьков, 1970. Вып.9. С. 39-59. 3. Несколько аспектов в геометрии неголономных поверхностей //Anal. Stiint. 1970. Т.16. С.63-93. Корниевский В. В. 1. О структурных формах расслоения полуголономных кореперов //Сибирск. геом. конф. Томск, 1995. С.31-34. 2. О продолжении гладкого многообразия // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1997. Вып.28. С.47-51. Кретов М. В. 1. О связностях, ассоциированных с комплексом центральных квадрик в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1981. Вып.12. С.35-39. 2. Свойства связностей, порожденных комплексами центральных квадрик в аффинном пространстве // Там же. 1982. Вып.13. С.45-49. Лаптев Г. Ф. 1. О внутренних геометриях многообразий, вмещенных в многомерное аффинное пространство: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1941. 103с. 2. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382. 3. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда (1961). Л., 1964. Т.2. С.226-233. 4. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Итоги науки и техн. Геометрия (1963) / ВИНИТИ. М., 1965. С.5-64. 5. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139-189. 6. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Там же. 1969. Т.2. С.161-178. 7. Распределения касательных элементов //Там же. 1971. Т.3. С.29-48. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семин. М., 1971. Т.3. С.49-83. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий/ Пер. с франц. М., 1960. 216с. Лумисте Ю. Г. 1. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуского ун-та. 1965. Вып.177. С.6-41. 77

[Мал]

[МО]

78

2. Инвариантные оснащения конгруэнции плоскостей аффинного пространства // Изв. вузов. Мат. 1965. №6. С.93-102. 3. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. Т.69. С. 434469. 4. Однородные расслоения со связностью и их погружения // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.191-237. 5. Теория связностей в расслоенных пространствах // Алгебра, топология, геометрия (1969)/ ВИНИТИ. М., 1971. С.123-168. 6. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей // Мат. сб. 1973. Т.91. №2. С.211-233. 7. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения р-кореперов // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1974. Т.5. С.239-257. 8. Связности в расслоенных пространствах с однородными слоями. Тарту, 1977. 64с. 9. Распределения на однородных пространствах // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1977. Т.8. С.5-14. 10. Аффинная связность // Мат. энц. М., 1977. Т.1. С.355-357. 11. Дифференциально-геометрическая структура // Там же. 1979. Т.2. С.267-268. 12. Кривизны форма // Там же. 1982. Т.3. С.102-103. 13. Леви-Чивита связность // Там же. С.225-226. 14. Линейная связность // Там же. С.309-311. 15. Параллельное перенесение // Там же. 1984. Т.4. С.205. 16. Связности на многообразии // Там же. С.1092-1094. 17. Связности объект // Там же. С.1094. 18. Связности форма // Там же. С.1095. 19. Связность (на расслоенном пространстве)// Там же. С.1097-1098. Малаховский В.С. 1. Дифференциальня геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ.М., 1969. Т.2. С.179-206. 2. К геометрии касательно оснащенных подмногообразий // Изв. вузов. Мат. 1972. №9. С.54-65. 3. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978. Часть 1. 84с. 1980. Часть 2. 84с. 4. Картана метод внешних форм // Мат. энц. М., 1979. Т.2. С.732-736. 5. Фигур многообразие // Там же. 1985. Т.5. С.612-613. 6. Фигура // Там же. С.613-614. Малаховский В. С., Остиану Н. М. Поля геометрических объектов в однородных и обобщенных пространствах / ВИНИТИ. Препринт. М., 1979. 80с.

[Íàâ]

Навицкис К. В. Внутренние оснащения распределения гиперплоскостей на грассмановом многообразии // Литов. мат. сб. 1981. Т.21. №2. С.153161. [Ном] Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия/ Пер. с англ. М., 1960. 126с. [Нор] Норден А. П. 1. Аффинная связность на поверхностях проективного и конформного пространства // ДАН СССР. 1945. Т.48. №8. С.567-569. 2. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432с. [Ос] Остиану Н. М. 1. Ступенчато-расслоенные пространства // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1974. Т.5. С.259-309. 2. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1977. Т.8. С.89-111. 3. Геометрических объектов теория // Мат. энц. М., 1977. Т.1. С.934939. [ОРШ] Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С.7-70. [Пол] Полякова К. В. 1. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. Вып.27. С.63-70. 2. Параллельные перенесения на многообразии соприкасающихся плоскостей поверхности // Там же. 1997. Вып.28. С.59-64. 3. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием пар касательной и соприкасающейся плоскостей поверхности// Тр. геом. семин. Казань, 1997. Вып.23. С.99-112. 4. Параллельные перенесения, заданные не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.48-53. [Поп] Попов Ю. И. О голономности H(M(Л))-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1984. Вып.15. С.71-78. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гипер[ПС] полос. Калининград, 1992. 80с. [Рах] Рахула М. О. Инфинитезимальная связность в расслоении // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1977. Т.8. С.163-182. [Раш] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., 1967. 664с. [Рум] Румянцева О. С. Оснащение полосного распределения в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.70-72. [Рыб] Рыбников А. К. 79

[Саб] [Син] [Сл] [Стер] [Стол]

[Сх] [Т] [Фав] [Фин] [Хар] [Худ]

[Ц]

80

1. Соприкасающиеся пространства и связности. I // Вестн. МГУ. Мат. мех. 1979. №6. С.44-48. 2. О многообразиях с кручением // Там же. 1980. №3. С.43-47. 3. Об аффинных связностях второго порядка // Мат. заметки. 1981. Т.29. №2. С.279-290. 4. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Мат. 1983. №1. С.73-80. 5. Проективные и конформные нормали и связности // Там же. 1986. №1. С.60-69. Сабитов И. Х. Ковариантное дифференцирование // Мат. энц. М., 1979. Т.2. С.896-899. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии. Киев, 1972. 296с. Слухаев В. В. Неголономная геометрия в работах томской геометрической школы // Сибирск. геом. конф. Томск, 1995. С.7-10. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии/ Пер. с англ. М., 1970. 412с. Столяров А. В. 1. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1975. Т.7. С.117-151. 2. Внутренняя геометрия оснащенных распределений m-мерных линейных элементов m-мерных поверхностей /Чуваш. гос. пед. ин-т. Чебоксары, 1986. 93с. Деп. в ВИНИТИ, №77950В. 3. Двойственная теория регулярных гиперполос и ее приложения. Чебоксары, 1992. 108с. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков/ Пер. с англ. М., 1965. 456с. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии/ Пер. с англ. М., 1982. 360с. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии/ Пер. с франц. М., 1960. 560с. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л., 1948. 432с. Харшиладзе А. Ф. G-расслоение // Мат. энц. М., 1984. Т.4. С.894-895. Худенко В. Н. 1. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием квадрик // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1983. Вып.14. С.99-102. 2. Связность в главном расслоении, ассоциированным с многообразием обобщенных пространственных элементов // Там же. 1985. Вып.16. С.91-96. Цапенко В. П. 1. Связность в расслоении, ассоциированном с гиперкомплексом пар фигур (P,Q) // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1982. Вып.13. С. 107-111.

[Ч]

[Шв] [Шев]

2. Семейство плоскостей, ассоциированных с гиперконгруэнцией Vn-1 // Там же. 1983. Вып.14. С.103-106. Чакмазян А. В. 1. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Всесоюз. науч. конф. по неевкл. геом. 150 лет геометрии Лобачевского: Тез. докл. Казань, 1976. С.209. 2. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С.55-74. 3. Нормальная связность в геометрии оснащенных подмногообразий аффинного пространства // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1989. Т.21. С.93-107. 4. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990. 116с. Швейкин П. И. Нормальные геометрические объекты поверхности в аффинном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.331-423. Шевченко Ю. И. 1. Об оснащении многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. Вып.8. С.135-150. 2. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же. 1981. Вып.12. С.126-130. 3. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI прибалт. геом. конф. Таллин, 1984. С.137-138. 4. О фундаментально-групповой связности // Дифф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1985. Вып.16. С.104-109. 5. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Там же. 1987. Вып.18. С.115-120. 6. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Там же, 1990. Вып. 21. С.100-105. 7. Связность в продолжении главного расслоения // Там же. 1991. Вып.22. С.117-127. 8. Связность в составном многообразии и ее продолжение // Там же. 1992. Вып.23. С.110-118. 9. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Там же. 1994. Вып. 25. С.110-121. 10. Оснащения подмногообразий голономного и неголономного дифференцируемых многообразий // Там же. 1995. Вып.26. С.113-126. 11. Классификация некоторых пространств со связностями и других понятий с помощью дифференцируемого многообразия // XXVII науч. конф. Калинингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. Калининград, 1996. С.14-15. 81

[Шир] [Щ] [Э] [Eh] [Kol] [L] [Mih] [Sc] [Sl] [Sz] [Van] [Vr]

82

12. Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий // Тр. геом. семин. Казань, 1997. Вып.23. С.175-186. 13. Примеры неголономных гладких многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.91-101. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техн. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ. М., 1974. Т.11. С.153-207. Щербаков Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск, 1973. 236с. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований/ Пер. с англ. М., 1947. 360с. Ehresmann C. Les connexions infinitésimales das un espace fibré differentiable // Colloque de Topologic. Bruxelles, 1950. P.29-55. Kolăr I. On the absolute differentiation of geometric object fields // Ann. pol. math. 1973. V.27. №3. P.293-304. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo in una varieta qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana // Rend. Circolo math. Palermo. 1917. №42. P.173-205. Mihailescu T. Geometrie differentială projectivă. Bucuresti Acad. RPR. 1958. 494p. Schwartz M.-H. Connexions, adaptées a une sous- variété // An. Acad. Brasil. Ci. 1962. №34. P.427-444. Slebodzinski W. Formes extérieures et leurs applications. Warszawa, 1963. V.2. Szybiak A. Covaiant differentiation of geometric object // Rozprawy Math. №56. Dissert. math. Warszawa, 1967. 38p. Vanderslice J. L. Non-holonomic geometries // Amer. J. Math. 1934. №56. P.153-193. Vranceanu G. Les éspacés non-holonomes. Memorial des Sci. Math., fasc. LXXXV. Paris, 1936.