Расчет статически определимой фермы: Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. К. Манжосов

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ Методические указания

Ульяновск 2010

УДК 624.04(076) ББК 38.121я7 М 23 Рецензент канд. техн. наук, доцент А. Н. Черный Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

М 23

Манжосов, В. К. Расчет статически определимой фермы : методические указания. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 36 с. Составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Методические указания предназначены для выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине. Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ Методические указания Редактор М. В. Теленкова Подписано в печать 01.102010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ 1038. Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32

 Манжосов В. К., 2010.  Оформление. УлГТУ, 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ..………………… 1. Основные понятия…………………………………………………. 2. Расчет статически определимой фермы с одноярусными шпренгелями……………………………………………………………….. 2.1. Задание для расчета статически определимой фермы……… 2.2. Кинематический анализ……………………………………… 2.3. Определение усилий в стержнях заданной панели…………. 2.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной фермы………………………………………………………….. 2.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля………… 2.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели…. 2.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели… 2.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней заданной панели основной фермы…………………………… 2.4.2. Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях……………………………………………………… 2.4.3. Линии влияния усилий в стержнях 3-й панели на участках (1  10 ), ( 9  2 ), ( 2  10 )……………………………… 2.5. Определение усилий в стержнях 3-й панели по линиям влияния и сопоставление с аналитическими данными………….. 3. Расчет статически определимой фермы с двухъярусными шпренгелями …………………………………………………………….. 3.1. Задание для расчета статически определимой фермы……… 3.2. Кинематический анализ……………………………………… 3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели…………. 3.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной фермы………………………………………………………….. 3.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля………… 3.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели…. 3.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели… 3.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней заданной панели основной фермы…………………………… 3.4.2. Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях……………………………………………………… 3.4.3. Линии влияния усилий в стержнях 4-й панели на участках (12  1 ), (11  2 ), ( 2  12 ), ( 2  1 ), (1  5 ), ( 5  4 ), (1  4 )…………………………………………………. 3.5. Определение усилий в стержнях 4-й панели по линиям влияния и сопоставление с аналитическими данными………….

4 4 6 6 6 6 6 8 10 10 10 13 16 17 19 19 20 20 20 22 24 24 25 28 31 32

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………..…………...

34

СХЕМЫ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ………………………………………

35

3

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ 1. Основные понятия

Плоские фермы представляют собой стержневые системы, состоящие из отдельных, обычно прямолинейных, стержней, соединенных между собой в узлах фермы. В большинстве случаев соединения стержней фермы в узлах являются жесткими (с помощью сварки, заклепок, болтов и других скреплений). Точный расчет фермы с такими узлами достаточно сложен, так как такая ферма является много раз статически неопределимой системой. Однако, если нагрузка фермы приложена в узлах, то расчет фермы можно значительно упростить, условно заменив жесткие узлы фермы шарнирными соединениями. Точные расчеты показывают, что такая замена допустима, так как при сосредоточенных нагрузках, приложенных в узлах, усилия, возникающие в шарнирной ферме, мало отличаются от усилий в ферме с жесткими узлами. В данной работе изложена последовательность расчета плоской статически определимой, геометрически неизменяемой шпренгельной фермы. Статически определимой является ферма, когда для определения усилий в ее стержнях достаточно уравнений статического равновесия. Геометрически неизменяемой является ферма, у которой перемещение ее точек возможно лишь в связи с деформацией ее элементов. Простейшей статически определимой, геометрически неизменяемой системой является шарнирный треугольник (рис. 1.1, а).

а) б) Рис. 1.1. Статически определимая, геометрически неизменяемая стержневая система

Более сложная статически определимая, геометрически неизменяемая система может быть образована путем последовательного присоединения узлов, причем каждого двумя стержнями, не лежащими на одной прямой (рис. 1.1, б). Зависимость между числом узлов K и числом стержней С для получения простейшей плоской статически определимой и геометрически неизменяемой фермы может быть определена по формуле C  2K  3 . Если число стержней C  2 K  3 , то это показывает, что ферма в своем составе не имеет минимального количества стержней, необходимого для образования геометрически неизменяемой системы. По конструктивным соображениям раскосы фермы удобно располагать так, чтобы они составляли со стойками и поясами углы, близкие к 45o . При увеличении высоты фермы увеличивается длина панелей. Устройство больших 4

панелей вызывает увеличение массы технологической части сооружения на этих панелях. Задача увеличения высоты фермы может быть рациональна решена при введении в состав каждой панели дополнительных двухопорных ферм – шпренгелей (рис. 1.2, б, в), опирающихся на узлы основной фермы (рис. 1.2, а).

а) Схема фермы без шпренгелей (основная ферма)

б) Схема фермы с одноярусными шпренгелями

в) Схема фермы с двухъярусными шпренгелями Рис. 1.2. Схемы статически определимых ферм

Различают одноярусные шпренгели (рис. 1.2, б), передающие нагрузку в узлы грузового пояса, и двухъярусные шпренгели (рис. 1.2, в), передающие нагрузку в узлы противоположного пояса. Элементы (стержни) ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, делят на следующие три категории: 1) элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих стержнях определяются расчетом основной фермы; эти усилия не меняются при включении в ферму шпренгелей; 2) элементы, принадлежащие только шпренгелям. Усилия в них могут быть найдены из уравнений равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который при этом можно рассматривать как самостоятельную двухопорную ферму; 3) элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю. Усилие в каждом из них равно сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое – в слившемся с ним элементе шпренгеля. 5

Элементы (стержни) ферм, в состав которых входят двухъярусные шпренгели, делятся на четыре категории: из них первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями. Элементами четвертой категории являются те из элементов основной фермы (первой категории), линии влияния для которых имеют различный вид при перемещении единичной силы по верхнему грузовому поясу или по нижнему грузовому поясу. 2.

Расчет статически шпренгелями

определимой

фермы

с

одноярусными

2.1. Задание для расчета статически определимой фермы

Для заданной статически определимой фермы, нагруженной силами Р в узлах нижнего грузового пояса (рис. 2.1), требуется: 1. Произвести кинематический анализ. 2. Определить усилия в стержнях заданной панели (третьей панели). 3. Построить линии влияния усилий для стержней заданной панели. 4. Определить усилия по линиям влияния и сопоставить их с усилиями, найденными аналитически.

Рис. 2.1. Расчетная схема фермы

2.2. Кинематический анализ Цель кинематического анализа – выяснить геометрическую неизменяемость сооружения. Геометрическая неизменяемость сооружения обеспечивается в том случае, если степень свободы сооружения равна нулю. Определим степень свободы фермы w по формуле

w  2 K  C  C0 , где K  число узлов фермы, C  число стержней фермы, C0  число опорных стержней. Так как К = 26, С = 49, C0 = 3, то степень свободы фермы w равна w  2  26  49  3 = 0. Ферма является статически определимой и геометрически неизменяемой. 2.3. Определение усилий в стержнях заданной панели

2.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной фермы Отбросим шпренгельные элементы и образуем основную ферму (рис. 2.2). Нагрузку, приложенную к шпренгелям, распределим в узлы основной фермы. 6

Рис. 2.2. Расчетная схема фермы без шпренгельных элементов

В результате в узлах 8, 9, 10, 11 и 12 действуют силы по 2 P , а на опоры А и В действуют силы по 0,5P . Из уравнений равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла А:  M A ( Pi )  0 , следует

( RB  0,5 P)  6d  2 P(d  2d  3d  4d  5d )  0 , RB  6d  0,5 P  6d  2 P  15d  0 , RB  5,5 P . Из уравнений равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла В:  M B ( Pi )  0 , следует

( RA  0,5P)  6d  2 P(d  2d  3d  4d  5d )  0  RA  6d  0,5 P  6d  2 P  15d  0 , RA  5,5 P .

Сечением I рассечем стержни 3-4, 3-10, 9-10 и отбросим правую от сечения часть фермы (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Расчетная схема левой части основной фермы

Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 10:  M 10 ( Pi )  0 , следует ( N 34 )oc  d  ( RA  0,5 P)  3d  2 P  2d  2 P  d  0 ,

откуда ( N 34 )oc  ( RA  0,5 P)  3  2 P  2  2 P  15 P  4 P  2 P  9 P . Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 3:  M 3 ( Pi )  0 , следует ( N 910 )oc  d  ( RA  0,5 P)  2d  2 P  d  0 , 7

откуда ( N 910 )oc  ( RA  0,5 P )  2  2 P  8 P . Для левой части фермы (рис. 2.3) из условия равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( RA  0,5 P)  2 P  2 P  ( N 310 )oc  cos 45o  0 . Из данного равенства ( R  0,5 P )  2 P  2 P P 2P  2 P. ( N 310 )oc  A  = o 2 cos 45 2/2 Вырежем узел 9 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема сил, сходящихся в узле 9 основной фермы

Из условия равновесия узла 9 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N 93 )oc  2 P  0 ,

( N 93 )oc  2 P .

Вырежем узел 4 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Схема сил, сходящихся в узле 4 основной фермы

Из условия равновесия узла 4 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N 410 )oc  0 . Последнее равенство означает, что стержень (4-10) не загружен. 2.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля Вернемся теперь к исходной расчетной схеме (рис. 2.1). Изобразим шпренгель третьей панели на рис. 2.6 в виде двухопорной фермы. Из условия равновесия шпренгеля реакции в опорах

R9  0,5P ; R10  0,5P .

8

Рис. 2.6. Расчетная схема шпренгеля третьей панели

Рис. 2.7. Схема сил, сходящихся в узле 9 шпренгеля

Рассмотрим равновесие сил в узле 9 шпренгеля (рис. 2.7). Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что R9  ( N 91 )ш  sin 45o  0 , R9 2 P ( N 91 )ш    P. откуда  o 2 2 sin 45 Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует ( N 92 )ш  ( N 91 )ш  cos 45o  0 , 2 2 P  0,5 P . 2 2 Из условия симметрии шпренгельного элемента и его нагружения следует,

откуда

( N 92 )ш  ( N 91 )ш  cos 45o 

что 2 ( N102 )ш  ( N 92 )ш  0,5 P . P, 2 Вырежем узел 2 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.8). ( N101 )ш  ( N 91 )ш  

Рис. 2.8. Схема сил, сходящихся в узле 2 фермы

Из условия равновесия сил в узле 2 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует ( N 21 )ш  P  0 ,

( N 21 )ш  P .

Таким образом, в стержнях шпренгеля 3-й панели 2 ( N 91 )ш   P   0,707 P , ( N 92 )ш  0,5 P ; ( N101 )ш  ( N 91 )ш   0,707 P ; 2 ( N102 )ш  ( N 92 )ш  0,5 P ; ( N 21 )ш  P .

9

2.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели Усилия в стержнях заданной панели (рис. 2.9), совмещенных со стержнями шпренгеля, вычисляются суммированием усилий в стержнях основной фермы и усилий в соответствующих стержнях шпренгеля: Рис. 2.9. Схема для определения сил в стержнях третьей панели

N i  N iос  N iш , где N i – усилие в i-м стержне заданной

фермы, Nioc – усилие в i-м стержне основной фермы, N iш – усилие в стержне шпренгеля, совпадающим с i-м стержнем основной фермы. Для третьей панели получим следующие значения усилий в стержнях (рис. 2.9) N 34  N 3oc4  9 P, N 93  N 9oc3  2 P , N 31  N 3oc10  2 P, N 21  N 2ш1  P, N 410  N 4oc10  0, N 91  N 9ш1   0,707 P, N 92  N 9oc10  N 9ш2  8 P  0,5 P  8,5 P ; N102  N10oc9  N10ш2  8 P  0,5 P  8,5 P ; N110  N3oc10  N1ш10  2 P  0,707 P  0,707 P . 2.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели.

Линии влияния усилий в стержнях заданной панели строятся при перемещении единичной силы по узлам нижнего грузового пояса фермы, схема которой приведена на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Расчетная схема фермы

2.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней заданной панели основной фермы Вначале построим линии влияния в стержнях для третьей панели основной фермы, схема которой без шпренгельных элементов изображена на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Расчетная схема фермы без шпренгельных элементов

10

В опорах фермы от действия единичной силы возникают реакции x x RA  1  , RB  , x  (0, d , 2d , 3d , 4d , 5d , 6d ) , l l где x  координата по оси x , определяющая положение единичной силы (начало координат совмещено с точкой A ); l  6d  длина пролета. Рассечем стержни 3-й панели сечением I  I и представим схемы действия усилий в рассеченных стержнях (рис. 2.12, а).

а) Расчетная схема основной фермы

б) Линия влияния усилия ( N 34 )

oc

в) Линия влияния усилия ( N 910 )

oc

г) Линия влияния усилия ( N 310 )

oc

д) Линия влияния усилия N 92

е) Линия влияния усилия N110 Рис. 2.12. Расчетная схема основной фермы и линии влияния усилий

11

Линия влияния ( N 34 )oc . Если единичная сила находится левее сечения I  I x  (0, d , 2d ) , то из условия равновесия правой части фермы в виде равен-

ства нулю суммы моментов сил относительно узла 10: ( N 43 )oc  d  RB  3d  0,

M

10

( Pi )  0 , следует

x  (0, d , 2d ) ,

откуда x ( N 43 )oc  ( N 34 )oc   RB  3  3 , x  (0, d , 2d ) . l Данное равенство описывает левую ветвь (рис. 2.12, б) линии влияния ( N 34 )oc . При х = 0 ордината ( N 34 )oc = 0. При x  2d ордината равна (–1,0). Если единичная сила находится правее сечения I  I x  (3d , 4d , 5d , 6d ) , то из условия равновесия левой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 10:  M 10 ( Pi )  0 , следует ( N 34 )oc  d  RA  3d  0, x  (3d , 4d , 5d , 6d ) , x откуда ( N 34 )oc   RA  3  3(1  ) , x  (3d , 4d , 5d , 6d ) . l Данное равенство описывает правую ветвь (рис. 2.12, б) линии влияния l ( N 34 )oc . При x   3d ордината ( N 34 )oc равна (–1,5). При х = l  6d ордината 2 oc ( N 34 ) = 0. Линия влияния ( N 910 )oc . Построим линию влияния усилия ( N 910 )oc . Если единичная сила находится левее сечения I  I x  (0, d , 2d ) , то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 3:  M 3 ( Pi )  0 , следует ( N10 9 )oc  d  RB  4d  0 , x  (0, d , 2d ) , x ( N10 9 )oc  ( N 910 )oc  RB  4  4 , x  (0, d , 2d ) . откуда l oc oc При х = 0 ордината ( N10 9 )  ( N 910 )  0. При х = 2d и l = 6d ордината 4 ( N10 9 )oc  ( N 910 )oc   1,33 . Соединяя концы ординат, получили левую ветвь 3 (рис. 2.12, в) линии влияния ( N10 9 )oc  ( N 910 )oc . Если единичная сила находится правее сечения I  I x  (3d , 4d , 5d , 6d ) (рис. 2.12, а), то из условия равновесия левой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 3:  M 3 ( Pi )  0 , следует откуда

( N 910 )oc  d  RA  2d  0 , x  (3d , 4d , 5d , 6d ) ,  x ( N 910 )oc  RA  2  2 1   , x  (3d , 4d , 5d , 6d ) . l  12

При х = 3d = l / 2 ордината ( N 910 )oc = 1. При х = l ордината ( N 910 )oc = 0. Соединяя концы ординат, получим правую ветвь (рис. 2.12, в) линии влияния ( N 910 )oc . Линия влияния ( N 310 )oc . Построим линию влияния усилия ( N 310 )oc = ( N10 3 )oc . Если единичная сила находится левее сечения I  I x  (0, d , 2d ) , то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :

P

iy

 0 , следует

( N10 3 )oc  sin 45o  RB  0 , x  (0, d , 2d ) , RB x/l  , x  (0, d , 2d ) . откуда ( N10 3 )oc  ( N 310 )oc   o sin 45 2/2 При х = 0 ордината ( N10 3 )oc  ( N 310 )oc = 0. При х = 2d, l = 6d ордината

22 2 2    0, 47 . Соединяя концы ординат 3 6 2 3 2 (рис. 2.12, г), получим левую ветвь линии влияния ( N10 3 )oc  ( N 310 )oc . Если единичная сила находится правее сечения I  I x  (3d , 4d , 5d , 6d ) (рис. 2.12, а), то из условия равновесия левой части фермы в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует ( N10 3 )oc  ( N 310 )oc = 

( N 310 )oc  sin 45o  RA  0 , x  (3d , 4d , 5d , 6d ) , RA 1 x / l  , x  (3d , 4d , 5d , 6d ) . o sin 45 2/2 1  0,5 1 2 При х = 3d = l/2 ордината ( N 310 )oc =    0,707 . 2 2/2 2 При x = l ордината ( N 310 )oc = 0. Соединяя концы ординат, получим (рис. 2.12, г) правую ветвь линии влияния ( N 310 )oc . Соединив концы ординат (–0,47) при x = 2d (9-й узел) и (0,707) при x = 3d (10-й узел), получим линию влияния усилия ( N 310 )oc .

откуда

( N 310 )oc 

2.4.2. Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях

Выделим шпренгельный элемент 3-й панели (рис. 2.13, а).

б) Сечение I  I стержней

а) Шпренгельный элемент 3-й панели

Рис. 2.13. Расчетные схемы шпренгельного элемента 3-й панели

13

Этот элемент включает узлы 9, 1, 2, 10 . При перемещении единичной силы по узлам пролета шпренгеля (по узлам 9, 2, 10 ) реакции опор ( R9 )ш и ( R10 )ш определяются как x x ( R9 )ш  1  3 , ( R10 )ш  3 , x3  (0, d / 2, d ) , d d где x3  координата, определяющая положение единичной силы в узлах шпренгельного элемента 3-й панели. Линия влияния ( N 91 )ш . Рассечем стержни шпренгеля сечением I  I (рис. 2.13, б). Если единичная сила находится левее сечения I  I (в узле 9, x3  0 ), то из условия равновесия сил в узле 9 (рис. 2.14, а) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует 1  ( N 91 )ш  sin 45o  R9  0 , x3  0 , откуда с учетом, что при x3  0 R9  1 1  R9 11   0. ( N 91 )ш  o sin 45 2/2

а) б) Рис. 2.14. Расчетные схемы для определения ( N 91 )ш и ( N 91 21 ) ш

Если единичная сила находится правее сечения I  I (в узлах 2 и 10, рис. 2.13, б), то из условия равновесия сил в узле 9 (рис. 2.14, б) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует откуда

( N 91 )ш  sin 45o  R9  0 , x3  (d / 2, d ) ,  R9 1  x3 / d ( N 91 )ш   , x3  (d / 2, d ) . o sin 45 2/2

d (когда единичная сила находится в узле 2 ) 2 (1  0,5) 1 2  ( N 91 )ш    0,707 .  2 2/2 2 При x3 = d (когда единичная сила находится в узле 10) (1  1) ( N 91 )ш   = 0. 2/2 Соединив концы ординат ( N 91 )ш  0 при x3  0 и ( N 91 )ш  0,707 при x3  d / 2 , а также концы ординат ( N91 )ш  0,707 при x  d / 2 и ( N91 )ш  0 при x3  d , получим линию влияния усилия ( N 91 )ш в стержне 9  1 шпренгеля (рис. 2.15, а).

При x3 

14

а) б) в) Рис. 2.15. Шпренгельный элемент третьей панели и линии влияния усилий в его стержнях

Линия влияния ( N 91 2 ) ш . Если единичная сила находится левее сечения I  I (в узле 9, x3  0 ), то из условия равновесия сил в узле 9 (рис. 2.14, а) в ви1

де равенства нулю суммы проекций сил на ось x :

P

ix

 0 , следует

( N 91 )ш  cos 45o  ( N 92 )ш  0 , при x3  0 , откуда с учетом, что при x3  0 ( N 91 )ш = 0 ( N 92 )ш  0 . Если единичная сила находится правее сечения I  I (в узлах 2 и 10, рис. 2.13, б), то из условия равновесия сил в узле 9 (рис. 2.14, б) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует ( N 91 )ш  cos 45o  ( N 92 )ш  0 ,

x3  (d / 2, d ) ,

откуда ( N 92 )ш  ( N 91 )ш  cos 45o , При x3 

x3  (d / 2, d ) .

d (когда единичная сила находится в узле 2 ) 2 ( N 92 )ш  ( N 91 )ш  cos 45o  (0,707)  0,707  0,5 .

При x3 = d (когда единичная сила находится в узле 10) ( N 92 )ш  ( N 91 )ш  cos 45o  0  0,707  0 . Соединив концы ординат ( N 92 )ш  0 при x3  0 и ( N 92 )ш  0,5 при x3  d / 2 , а также концы ординат ( N 92 )ш  0,5 при x3  d / 2 и ( N 92 )ш  0 при x3  d , получим линию влияния усилия ( N 92 )ш в стержне 9  2 шпренгеля (рис. 2.15, б). Линия влияния ( N 21 )ш . Если единичная сила находится левее сечения I  I (в узле 9, рис. 15, б), то из условия равновесия сил в узле 2 (рис. 2.16, а) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N 21 )ш  0 , при x3  0 .

15

а)

б) Рис. 2.16.

в)

Если единичная сила находится правее сечения I  I (рис. 2.13, б), то она может быть приложена либо в узле 2 ( x3  d / 2 ), либо в узле 10 ( x3  d ). В случае, когда единичная сила приложена в узле 2 (рис. 2.16, б), из условия равновесия сил в узле 2 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N 21 )ш  1  0 , ( N 21 )ш  1, x3  d / 2 . Если единичная сила приложена к узлу 10 ( x3  d ), то из условия равновесия сил в узле 2 (рис. 2.16, в) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует ( N 21 )ш  0 ,

x3  d .

Соединив концы ординат ( N 21 )ш  0 при x3  0 , ( N 21 )ш  1 при x3  d / 2 и ( N 21 )ш  0 при x3  d , получим линию влияния усилия ( N 21 )ш (рис. 2.15, в). Из условия симметрии шпренгельного элемента линия влияния усилия ( N10 1 )ш соответствует линии влияния усилия ( N 91 )ш на рис. 2.15, а; линия влияния усилия ( N10 2 )ш соответствует линии влияния усилия ( N 92 )ш на рис. 2.15, б.

2.4.3. Линии влияния усилий в стержнях 3-й панели на участках (1  10 ), ( 9  2 ), ( 2  10 ) На этих участках стержни основной фермы и шпренгеля совпадают. Линии влияния в совпадающих стержнях суммируются. Линия влияния усилия N 92 . До узла 9 линия влияния N 92 соответствует левой ветви (рис. 2.12, в) линии влияния усилия ( N 910 )ос основной фермы.

На участке между узлами 9 и 10 N 92 = ( N 910 )ос + ( N 92 )ш . При x  2d N92 = 1,33 + 0 = 1,33. 2,5 7 При x  2,5d N 92 = 2(1  )  0,5   0,5  1,66 6 6 3 При x  3d N 92 = 2(1  )  0  1 . 6

16

После узла 10 линия влияния N 92 соответствует правой ветви (рис. 2.12, в) линии влияния усилия ( N 910 )ос основной фермы. Окончательная линия влияния усилия N 92 примет вид, изображенный на рис. 2.12, д. Линия влияния усилия N110 .

До узла 9 линия влияния N110 соответствует левой ветви (рис. 2.12, г) линии влияния усилия ( N 310 )oc основной фермы. На участке между узлами 9 и 10 N110 = ( N 310 )oc + ( N110 )ш . При x  2d N110 = 0, 47  0  0,47 . При x  2,5d N110 =

0,707  0,47  (0,707)  0,588 . 2

При x  3d N110 = 0,707. После узла 10 линия влияния

N110

соответствует правой ветви

(рис. 2.12, г) линии влияния усилия ( N 310 )oc основной фермы. Окончательная линия влияния усилия N110 примет вид, изображенный на рис. 2.12, е. 2.5. Определение усилий в стержнях 3-й панели по линиям влияния и сопоставление с аналитическими данными

К стержням 3-й панели (рис. 2.17) относятся стержни (3-4), (9-3), (4-10), (3-1 ), (1 -10), (9-1 ), (9- 2 ), ( 2 -10), ( 2 -1 ). Причем стержни (3-4), (9-3), (4-10), (3-1 ) являются стержнями основной фермы. Стержни (9-1 ), ( 2 -1 ) являются стержнями шпренгеля. Стержни (1 -10), (9- 2 ), ( 2 -10) являются совмещенными стержнями, когда стержни основной фермы и шпренгеля совпадают.

Рис. 2.17. Расчетная схема фермы

Значение усилий в стержнях ранее были найдены аналитически из решений уравнений равновесия и эти значения приведены в таблице 2.1. Здесь же в таблице в первой колонке показано, какие стержни являются стержнями основной фермы, какие являются стержнями шпренгеля, какие стержни являются совмещенными.

17

Табл. 2.1 Усилия в стержнях 3-й панели фермы Стержни 3-й панели (3-4) – основн.

Обозначения усилий в стержнях и их значения Усилия в стержнях Усилия в шпренгельСуммарные усилия в основной фермы ных стержнях стержнях oc N34  9 P – ( N 34 )  9 P

(9-3) – основн.

( N 93 )oc  2 P

–

N 9 3  2 P

(4-10) – основн.

( N 410 )oc  0

–

N 410  0

(3- 1 ) – основн.

( N 310 )oc  2 P

–

N 31  2 P

(9-1 ) – шпренг.

–

( N 91 )ш   2 P / 2

N 91   2 P / 2

( 2 -1 ) – шпренг.

–

( N 21 )ш  P

N 21  P

( 1 -10) – совмещ.

( N310 )oc  2 P

( N110 )ш   2 P / 2

N110  2 P / 2

(9- 2 ) – совмещ.

( N 910 )ос  8P

( N 92 )ш  0,5 P

N 92  8,5P

( 2 -10) – совмещ.

( N 910 )ос  8P

( N 210 )ш  0,5 P

N 210  8,5P

Для определения усилий в стержнях 3-й панели по линиям влияния представим расчетную схему фермы и соответствующие линии влияния усилий в стержнях 3-й панели (рис. 2.18). Для определения усилий в стержнях по линиям влияния используем формулу N i   Pi  yi , где Pi  значение силы, приложенной в i-м узле фермы; yi  ордината линии влияния Ni в точке, где приложена сила Pi . Используя формулу и линии влияния N 34 , N 31 , N 92 , N110 (рис. 2.18), вычислим усилия: N 34   P (0,25  0,5  0,75  1  1, 25  1,5  1,25  1  0,75  0,5  0,25) = 9P ; N 31  P (0,118  0,235  0,353  0,471  0,118  0,707  0,589  0, 471  0,353  0,235  0,118)  1, 414 P;

N 92  P (0,333  0,666  1  1,33  1,66  1  0,833   0,666  0,498  0,333  0,166)  8,496 P  8,5 P; N110  P (0,118  0,235  0,353  0,471  0,589  0,707   0,589  0,471  0,353  0,235  0,118)  0,707 P.

18

Рис. 2.18. Схема фермы и линии влияния усилий стержнях (3-4), (3-1 ), (9- 2 ), (1 -10)

Итак, имеем

N 34 = 9P ;

N 31  1,414 P  2 P ;

N 92  8,5P ;

2 P . Сравнивая эти значения с результатами аналитического 2 расчета, приведенными в таблице 2.1, заметим, что они идентичны. N110  0,707 P 

3.

Расчет статически шпренгелями

определимой

фермы

с

двухъярусными

3.1. Задание для расчета статически определимой фермы

Для статически определимой фермы с двухъярусными шпренгелями, нагруженной силами Р в узлах нижнего грузового пояса (рис. 3.1), требуется: 1. Произвести кинематический анализ. 2. Определить усилия в стержнях заданной панели (четвертой панели). 3. Построить линии влияния усилий для стержней заданной панели. 4. Определить усилия по линиям влияния и сопоставить их с усилиями, найденными аналитически.

19

Рис. 3.1. Расчетная схема фермы

3.2. Кинематический анализ Цель кинематического анализа – выяснить геометрическую неизменяемость сооружения. Геометрическая неизменяемость сооружения обеспечивается в том случае, если степень свободы сооружения равна нулю. Определим степень свободы фермы w по формуле

w  2 K  C  C0 , где K  число узлов фермы, C  число стержней фермы, C0  число опорных стержней. Так как К = 22, С = 21, C0 = 3, то степень свободы фермы w равна w  2  22  41  3 = 0. Ферма является статически определимой и геометрически неизменяемой. 3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели

3.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной фермы

Отбросим шпренгельные элементы и образуем основную ферму (рис. 3.2). Нагрузку, приложенную к шпренгелям, распределим в узлы 2, 3, 4, 5 и 6 основной фермы на верхнем поясе. В результате в узлах 3, 4 и 5 действуют силы по P , а в узлах 2 и 6 действуют силы по 0,5P .

Рис. 3.2. Расчетная схема фермы без шпренгельных элементов

Из уравнений равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла А:  M A ( Pi )  0 , следует, что RB  6d  Pd / 2  Pd  Pd / 2  2 P  2d  2 P  3d  2 P  4d  P  5d  P  5d / 2  P  5,5d ,

RB  6d  33P  d , RB  5,5P . 20

Из уравнений равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла В:  M B ( Pi )  0 , следует RA  6d  Pd / 2  Pd  Pd / 2  2 P  2d  2 P  3d  2 P  4d  P  5d  P  5d / 2  P  5,5d ,

RA  6d  33P  d , RA  5,5 P .

Сечением I рассечем стержни 4-5, 4-12, 11-12 и отбросим левую от сечения часть фермы (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Расчетная схема правой части основной фермы

Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки К:  M K ( Pi )  0 , следует ( N124 )oc  cos   5d  RB  3d  2 P  5d  P  4d  0,5 P  4d  P  3,5d  0 , ( N124 )oc  cos   5d  5,5 P  3d  2 P  5d  P  4d  0,5 P  4d  P  3,5d  0 , откуда ( N124 )oc  (3,3P  2 P  0,8 P  0,4 P  0,7 P ) / cos   0,6 P / cos  . Из расчетной схемы, представленной на рис. 3.1, следует, что tg  d / 1,5d  0,666; cos   1 / (1  tg 2  )  0,832; sin   1  cos 2   0,555 .

Тогда ( N124 )oc  0,6 P / cos   0,6 P / 0,832  0,721P . Для правой части фермы (рис. 3.3) из условия равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N 54 )oc  sin   ( N124 )oc  cos   4,5 P  RB  0 . Из данного равенства 4,5 P  RB  ( N124 )oc  cos  oc ( N 5 4 )  . sin  Из расчетной схемы, представленной на рис. 3.1, следует, что d/2 tg   0,25; cos   1 / (1  tg 2 )  0,97; sin   1  cos 2   0,242 . 2d 4,5 P  5,5 P  0,6 P Тогда ( N 54 )oc    6,61P . 0,242

21

Для правой части фермы (рис. 3.3) из условия равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует, что ( N1211 )oc  ( N 54 )oc  cos   ( N124 )oc  sin   0 . Из данного равенства ( N1211 )oc  6,61P  0,97  0,721P  0,555  6 P . Вырежем узел 11 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Схема сил, сходящихся в узле 11 основной фермы

Из условия равновесия узла 11 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N114 )oc  P  0 ,

( N114 )oc  P .

Вырежем узел 5 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Схема сил, сходящихся в узле 5 основной фермы

Из условия равновесия узла 5 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует, что ( N 54 )oc  cos   ( N 56 )oc  cos   0 ,

( N 56 )oc  ( N 54 )oc .

Из условия равновесия узла в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N 512 )oc  P  ( N 54 )oc  sin   ( N 56 )oc  sin   0 , ( N 512 )oc   P . Стержни 5-4, 5-6, 5-12 основной фермы работают на сжатие. 3.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля

Вернемся теперь к исходной расчетной схеме (рис. 3.1). Изобразим шпренгель четвертой панели на рис. 3.6 в виде шарнирного треугольника с опорами в узлах 4 и 5, а также стержня 1  2 , опирающегося на шарнирно подвижную опору. Из условия равновесия шпренгеля реакции в опорах R4  0,5 P ; R5  0,5 P . 22

Рис. 3.7. Схема сил, сходящихся в узле 1 шпренгеля

Рис. 3.6. Расчетная схема шпренгеля четвертой панели

Сила Р направлена вдоль стержня 1  2 . Если рассечь этот стержень и отбросить верхнюю часть (рис. 3.6), то из условия равновесия оставшейся части ( N 21 )ш  P  0 , ( N 21 )ш  P . Стержень работает на растяжение. Рассмотрим равновесие сил в узле 1 шпренгеля (рис. 3.7). Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует ( N14 )ш  sin   ( N15 )ш  sin   0 , откуда ( N14 )ш  ( N15 )ш  sin  / sin  . Из расчетной схемы, представленной на рис. 3.1, следует, что   45o , sin   2 / 2 , cos   2 / 2 . Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует, что ( N14 )ш  cos   ( N15 )ш  cos   ( N12 )ш  0 , ( N15 )ш  sin  / tg  ( N15 )ш  cos   P  0 P P откуда ( N15 )ш    0,566 P . sin  0,707  cos   0,707 tg 2/3

или

Учитывая значение ( N15 )ш в выражении ( N14 )ш  ( N15 )ш  sin  / sin  , получим ( N14 )ш  0,566 P  0,707 / 0,555  0,721P . Вырежем узел 5 шпренгеля и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Схема сил, сходящихся в узле 5 шпренгеля

23

Из условия равновесия сил в узле в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует ( N 51 )ш  sin   ( N 54 )ш  cos   0 ,

( N 54 )ш  ( N 51 )ш  sin  / cos  .

Учитывая, что ( N 51 )ш  ( N15 )ш  0,566 P ; sin   2 / 2, cos   0,97 , получим ( N 54 )ш  0,566 P  0,707 / 0,97  0,412 P . 3.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели

Усилия в стержнях заданной панели (рис. 3.9), совмещенных со стержнями шпренгеля, вычисляются суммированием усилий в стержнях основной фермы и усилий в соответствующих стержнях шпренгеля: N i  N iос  N iш , где N i – усилие в i-м стержне заданной фермы, N ioc – усилие в i-м стержне основной фермы, N iш – усилие Рис. 3.9. Схема для определения сил в стержне шпренгеля, совпадающим с i-м в стержнях четвертой панели стержнем основной фермы. Для четвертой панели получим следующие значения усилий в стержнях (рис. 3.9): N114  N11oc4  P,

N 512  N 5oc12   P , N112  N11oc12  6 P , N 212  N11oc12  6 P ,

N121  N12oc4  0,721P ; N 21  N 2ш1  P,

N 51  N 5ш1  0,566 P ;

N14  N12ос4  N1ш4  0,721P  0,721P  1,442 P ; N 54  N 5ос4  N 5ш4  6,61P  0,412 P  7,02 P . 3.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели

Линии влияния усилий в стержнях заданной панели строятся при перемещении единичной силы по узлам нижнего грузового пояса фермы, схема которой приведена на рис. 3.10.

Рис. 3.10. Схема фермы

24

3.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней заданной панели основной фермы Построим линии влияния в стержнях для четвертой панели основной фермы, схема которой без шпренгельных элементов изображена на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Расчетная схема основной фермы

В опорах фермы от действия единичной силы возникают реакции x x RA  1  , RB  , x  (0, d , 2d , 3d , 4d , 5d , 6d ) , l l где x  координата по оси x , определяющая положение единичной силы (начало координат совмещено с точкой A ); l  6d  длина пролета. Линия влияния ( N12 4 )oc . Рассечем стержни 4-й панели сечением I  I и представим схемы действия усилий в рассеченных стержнях (рис. 3.12).

3.12. Расчетная схема основной фермы для определения ( N12  4 )oc , ( N12 11 )oc и ( N 5 4 )oc

Если единичная сила находится левее сечения I  I , то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки К:  M K ( Pi )  0 , следует ( N12 4 )oc  cos   5d  RB  3d  0, x  (0, d , 2d , 3d ) , откуда с учетом, что RB  x / l , l  6d , получим 3 x 3 0,6 x     , x / l  (0, 1 / 6, 2 / 6, 3 / 6) . ( N12 4 )oc   RB  5cos  cos  l l 5cos  Данное равенство описывает левую ветвь (рис. 3.13, б) линии влияния ( N12 4 )oc . При х = 0 ордината ( N12 4 )oc = 0. При x / l  3 / 6 ордината равна ( N12 4 )oc  0,3 / cos   0,3 / 0,832   0,36 . 25

а) Расчетная схема

 4 ) б) Линия влияния усилия ( N12

oc

 11 ) в) Линия влияния усилия ( N12

г) Линия влияния усилия ( N 5 4 )

oc

oc

Рис. 3.13. Расчетная схема основной фермы и линии влияния ( N12  4 )oc , ( N12 11 )oc и ( N 5 4 )oc

Если единичная сила находится правее сечения I  I (рис. 3.11), то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки К:  M K ( Pi )  0 , следует 1  ( xK  x)  ( N12 4 )oc  cos   5d  RB  3d  0, xK  l  3d  1,5l ,

x  ( 4 d , 5d , 6 d ) ,

откуда ( N12 4 )oc  (1  ( xK  x)  RB  3d ) / (cos   5d ) , x  (4d , 5d , 6d ) . Учитывая, что RB  x / l , l  6d , получим 1,8  0,3 x / d , cos   0,832 , x  (4d , 5d , 6d ) . ( N12 4 )oc  cos  26

Данное равенство описывает правую ветвь (рис. 3.13, б) линии влияния ( N12 4 )oc . При x  4d ордината ( N12 4 )oc = 0,721. При х = l  6d ордината ( N12 4 )oc = 0. Линия влияния ( N12 11 )oc . Построим линию влияния усилия ( N12 11 )oc . Если единичная сила находится левее сечения I  I (рис. 3.11), то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 4:  M 4 ( Pi )  0 , следует

( N12 11 )oc  1,5d  RB  3d  0 , x  (0, d , 2d , 3d ) , x откуда ( N12 11 )oc  2 RB  2 , x  (0, d , 2d , 3d ) . l oc При х = 0 ордината ( N12 11 )  0. При х = 3d и l = 6d ордината ( N12 11 )oc  1. Соединяя концы ординат, получили левую ветвь (рис. 3.13, в) линии влияния ( N12 11 )oc . Если единичная сила находится правее сечения I  I (рис. 3.11), то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 4:  M 4 ( Pi )  0 , следует 1  ( x  3d )  ( N12 11 )oc  1,5d  RB  3d  0 , x  ( 4d , 5d , 6d ) , x x x x , x  ( 4 d , 5d , 6 d ) . откуда ( N12 11 )oc  1  (  2)  2 RB  2   2 1,5d 1,5d 3d 3d При х = 4d ордината ( N12 11 )oc = 0,666. При х = l ордината ( N12 11 )oc = 0. Соединяя концы ординат, получим правую ветвь (рис. 3.13, в) линии влияния ( N12 11 )oc . Линия влияния ( N 54 )oc . Построим линию влияния усилия ( N 54 )oc . Если единичная сила находится левее сечения I  I (рис. 3.11), то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 12:  M 12 ( Pi )  0 , следует ( N 54 )oc  cos   1,25d  RB  2d  0 , откуда

x  (0, d , 2d , 3d ) ,

 2 RB 2 x cos   0,97 ; x  (0, d , 2d , 3d ) .   , 1,25cos  1,25cos  l При х = 0 ордината ( N 54 )oc = 0. При х = 3d, l = 6d ордината 2 ( N 54 )oc =    0,825 . Соединяя концы ординат (рис. 3.13, г), полу1, 25  0,97  2 чим левую ветвь линии влияния ( N 54 )oc . Если единичная сила находится правее сечения I  I (рис. 3.11, а), то из условия равновесия правой части фермы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 12:  M 12 ( Pi )  0 , следует ( N 54 )oc 

27

( N 54 )oc  cos   1,25d  RB  2d  1  ( x  4d )  0 , x  (4d , 5d , 6d ) , откуда

x/d 4 2 RB x/d 4 2 x     , x  (4d , 5d , 6d ) . 1,25cos  1, 25cos  1,25cos  1, 25cos  l 2 4 При х = 4d ордината ( N 54 )oc     1,1 . 1,25  0,97 6 При x = l = 6d ордината ( N 54 )oc = 0. Соединяя концы ординат, получим (рис. 3.13, г) правую ветвь линии влияния ( N 54 )oc . Соединив концы ординат ( 0,825 ) при x = 3d (11-й узел) и ( 1,1 ) при x = 4d (12-й узел), получим линию влияния усилия ( N 54 )oc в пределах 4-й панели. ( N 54 )oc 

3.4.2. Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях

Выделим шпренгельный элемент 4-й панели (рис. 3.14, а).

а) Шпренгельный элемент 4-й панели

б) Система сил, когда единичная сила в узлах 11 или 12

в) Система сил, когда единичная сила в узле 2

Рис. 3.14. Расчетная схема шпрегельного элемента 4-й панели

Этот элемент включает узлы 4, 1, 2, 5 . При перемещении единичной силы по узлам пролета нижнего пояса (по узлам 11, 2, 12 ) реакции опор ( R9 )ш и ( R10 )ш определяются как  x4  x4  , (0, / 2), x d 4  d  d , x4  (0, d / 2), ш ш ( R4 )   ( R5 )   x 1  4 , x  ( d / 2, d ), 1  x4 , x  ( d / 2, d ), 4  d  d 4 где x4  координата, определяющая положение единичной силы в узлах шпренгельного элемента 4-й панели. Линия влияния ( N 21 )ш . Вырежем узел 2 и рассмотрим равновесие системы сходящихся сил в этом узле (рис. 3.14, б, в). Если единичная сила находится левее или правее узла 2 , то из условия равновесия сил в узле 2 (рис. 3.14, б) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует 28

( N 21 )ш  0 ,

x4  (0, d ) .

Если единичная сила находится в узле 2 , то из условия равновесия сил в узле 2 (рис. 3.14, в) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :

P

iy

 0 , следует ( N 21 )ш  1  0 ,

( N 21 )ш  1, x4  d / 2 . Соединив концы ординат ( N 21 )ш  0 при x4  0 и ( N 21 )ш  1 при x4  d / 2 , а также концы ординат ( N 21 )ш  1 при x4  d / 2 и ( N 21 )ш  0 при x4  d , получим линию влияния усилия ( N 21 )ш в стержне 2  1 шпренгеля (рис. 3.15, а).

а) линия влияния ш усилия ( N 21 )

б) линия влияния ш усилия ( N1 4 )

в) линия влияния ш усилия ( N15 )

г) линия влияния ш усилия ( N 54 )

Рис. 3.15. Линии влияния усилий в стержнях шпренгеля 4-й панели

Линия влияния ( N14 )ш . Вырежем узел 1 (рис. 3.16, а) и рассмотрим равновесие сил в этом узле.

а) Система сходящихся сил в узле 1

б) Система сходящихся сил в узле 5

Рис. 3.16. Системы сходящихся сил при вырезании узлов 1 и 5 шпренгеля 4-й панели

Из условия равновесия сил в узле 1 (рис. 3.16, а) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует ( N14 )ш  sin   ( N15 )ш sin   0 ,

29

( N15 )ш  ( N14 )ш  sin  / sin  .

Из условия равновесия сил в узле 1 (рис. 3.16, а) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y :  Piy  0 , следует ( N14 )ш  cos   ( N15 )ш cos   ( N12 )ш  0 , ( N14 )ш  cos   ( N14 )ш  sin  / tg  ( N12 )ш  0 , откуда с учетом, что   45o , tg  1 , получим

0, при x4  0, ш ш ш    ( N12 ) ( N12 ) (N )  ( N14 )ш    12  0,721 при x4  d / 2, sin   cos  0,555  0,832 1,387 0 при x  d . 4  ш Соединив концы ординат ( N14 )  0 при x4  0 и ( N14 )ш  0,721 при x4  d / 2 , а также концы ординат ( N14 )ш  0,721 при x4  d / 2 и ( N14 )ш  0 при x4  d , получим линию влияния усилия ( N14 )ш в стержне 1  4 шпренгеля (рис. 3.15, б). Линия влияния ( N15 )ш . Построим линию влияния усилия ( N15 )ш в стержне 1  5 шпренгеля. Так как ( N15 )ш  ( N14 )ш  sin  / sin  , то, учитывая, что 0, при x4  0,  sin  / sin   0,555 / 0,707  0,785 , ( N14 )ш = 0,721 при x4  d / 2, 0 при x  d , 4  0, при x4  0,  ( N15 )ш  ( N14 )ш  sin  / sin  = 0,566 при x4  d / 2, получим 0 при x  d . 4  ш Соединив концы ординат ( N15 )  0 при x4  0 и ( N15 )ш  0,566 при x4  d / 2 , а также концы ординат ( N15 )ш  0,566 при x4  d / 2 и ( N15 )ш  0 при x4  d , получим линию влияния усилия ( N15 )ш в стержне 1  5 шпренгеля (рис. 3.15, в). Линия влияния ( N 54 )ш . Вырежем узел 5 (рис. 3.16, б) и рассмотрим равновесие сил в этом узле. Из условия равновесия сил в узле 5 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось x :  Pix  0 , следует ( N 54 )ш  cos   ( N 51 )ш sin   0 , ( N 54 )ш  ( N 51 )ш sin  / cos  . Так как 0, при x4  0, sin  0,707    0,729 , то ( N 54 )ш   0,729( N 51 )ш   0,412 при x4  d / 2, cos  0,97 0 при x  d . 4  30

Соединив концы ординат ( N 54 )ш  0 при x4  0 и ( N 54 )ш   0,412 при x4  d / 2 , а также концы ординат ( N 54 )ш   0, 412 при x4  d / 2 и ( N 54 )ш  0 при x4  d , получим линию влияния усилия ( N 54 )ш в стержне 5  4 шпренгеля (рис. 3.16, в). 3.4.3. Линии влияния усилий в стержнях 4-й панели на участках (12  1 ), (11  2 ), ( 2  12 ), ( 2  1 ), (1  5 ), ( 5  4 ), (1  4 ) Стержни (12  1 ), (11  2 ), ( 2  12 ) являются стержнями основной фермы. N11 2  N11ос12 , Линии влияния усилий в этих стержнях N12 1  N12ос4 , N 212  N11ос12 . Линии влияния усилий N12ос4 , N11ос12 приведены на рис. 3.13. Стержни ( 2  1 ), (1  5 ) являются стержнями шпренгеля. Линии влияния Линии влияния усилий N15  N1шп усилий в этих стержнях N 21  N 2шп 1 , 5 . шп N 2шп 1 , N15 в стержнях шпренгеля приведены на рис. 3.15. На участках (1  4 ), ( 5  4 ) стержни основной фермы и шпренгеля совпадают. Линии влияния в совпадающих стержнях суммируются. Линия влияния усилия N14 .

До узла 11 линия влияния N14 соответствует левой ветви (рис. 3.13, г) линии влияния усилия ( N12 4 )oc основной фермы. На участке между узлами 11 и 12 N14 = ( N12 4 )oc + ( N14 )ш . При x  3d N14 =  0,36  0   0,36 . При x  3,5d N14 =

 0,36  0,72  0,721  0,9 . 2

При x  3d N14 = 0,72 + 0 = 0,72. После узла 10 линия влияния N14 соответствует правой ветви (рис. 3.13, г) линии влияния усилия ( N12 4 )oc основной фермы. Окончательная линия влияния усилия N110 примет вид, изображенный на рис. 3.17, б. Линия влияния усилия N 54 . До узла 11 линия влияния N 54 соответствует левой ветви (рис. 3.13, в) линии влияния усилия ( N 54 )ос основной фермы. На участке между узлами 11 и 12 N 54 = ( N 54 )ос + ( N 54 )ш . При x  3d N54 = – 0,825 + 0 = – 0,825. 0,825  1,1 – 0,412 = – 1,374. При x  3,5d N 54 = 2 При x  4d N54 = – 1,1 + 0 = – 1,1.

31

а) Расчетная схема фермы

б) Линия влияния усилия N14

в) Линия влияния усилия N 54

Рис. 3.17. Расчетная схема фермы и линии влияния усилий N14 и N 54

После узла 12 линия влияния N 54 соответствует правой ветви (рис. 3.11, в) линии влияния усилия ( N 54 )ос основной фермы. Окончательная линия влияния усилия N 54 примет вид, изображенный на рис. 3.17, в. 3.5. Определение усилий в стержнях 4-й панели по линиям влияния и сопоставление с аналитическими данными

К стержням 4-й панели (рис. 3.17, а) отнесем стержни (1  4 ), (5–4), (1  5 ), (2–1 ), (12  1 ), (11– 2 ), ( 2 –12). Причем стержни (12  1 ), (11  2 ), ( 2  12 ) являются стержнями основной фермы. Стержни ( 2  1 ), (1  5 ) являются стержнями шпренгеля. Стержни (1  4 ), ( 5  4 ) являются совмещенными стержнями, когда стержни основной фермы и шпренгеля совпадают.

32

Значение усилий в стержнях ранее были найдены аналитически из решений уравнений равновесия и эти значения приведены в таблице 2.1. Здесь же в таблице 3.1 в первой колонке показано, какие стержни являются стержнями основной фермы, какие являются стержнями шпренгеля, какие стержни являются совмещенными. Табл. 3.1 Усилия в стержнях 4-й панели фермы Стержни 4-й панели (12  1 ) – основн.

Обозначения усилий в стержнях и их значения Усилия в стержнях Усилия в шпренгельСуммарные усилия в основной фермы ных стержнях стержнях oc N12 4  0, 721P N121  0, 721P –

(11  2 ) – основн.

N11oc12  6 P

–

N11oc 2  6 P

( 2  12 ) – основн.

N11oc12  6 P

–

N 212  6Р

( 2 -1 ) – шпренг.

–

N 2ш1  P

N 21  P

( 1  5 ) – шпренг.

–

N 5ш1  0,566 P

N15  0,566 P

(1 -4) – совмещ.

N12oc 4  0, 721P

N1ш 4  0, 721P

N1 4  1, 442 P

(5-4) – совмещ.

N 5ос 4 = 6, 61P

N 5ш 4  0, 412P

N 5 4 = 7, 02P

Для определения усилий в стержнях 4-й панели по линиям влияния представим расчетную схему фермы и линии влияния усилий N14 и N 54 в стержнях 4-й панели (рис. 3.18). Для определения усилий в стержнях по линиям влияния используем формулу N i   Pi  yi , где Pi  значение силы, приложенной в i-м узле фермы; yi  ордината линии влияния Ni в точке, где приложена сила Pi .

Используя формулу и ординаты линии влияния N14 и N 54 (рис. 3.18), вычислим усилия: N14 = –Р(0,06 + 0,12 + 0,18 + 0,24 + 0,3 + 0,36) + + Р(0,9 + 0,72 + 0,54 + 0,36 + 0,18) = =  P  1,26 + P  2,7 = 1,44Р; N 54 = –Р(0,1375 + 0,275 + 0,4125 + 0,55 + 0,6875 + 0,825 + 1,374 + + 1,1 +0,825 + 0,55 + 0,275) = – 7,01Р.

33

Рис. 3.18.

Итак, имеем N14 = 1,44 P ; N54  7,01P . Сравнивая эти значения с результатами аналитического расчета, приведенными в таблице 3.1, заметим, что они идентичны. РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дарков, А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. − М. : Высш. шк., 1986. − 607 с. 2. Дарков, А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. − СПб. : Лань, 2004. − 656 с. 2. Снитко, Н. К. Строительная механика / Н. К. Снитко. − М. : Высш. шк., 1989. − 187 с. 3. Клейн Г. К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики / Г. К. Клейн, В. Г. Рекач, Г. И. Розенблат. − М.: Высш. шк., 1978. − 318 с. 4. Барышенков, Л. А. Расчет статически определимых ферм : методические указания / Л. А. Барышенков. − Ульяновск : УлГТУ, 1996. − 28 с. 5. Манжосов, В. К. Расчетно-проектировочные и контрольные задания по строительной механике (для студентов ЗВФ) : методические указания / В. К. Манжосов. − Ульяновск : УлГТУ, 2006. − 28 с. 34

СХЕМЫ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ

1

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

35

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

36