Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 95–102 УДК 517.95
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КОНФОРМНОЙ ГЕОМЕТРИИ c 2003 г.
ДЖ. КИНГ
АННОТАЦИЯ. В работе представлены недавние результаты о конформно компактных эйнштейновых 4-многообразиях. Рассматриваются конформная компактификация при помощи положительных собственных функций некоторого дифференциального оператора и различные приложения компактификации к исследованию топологии конформно компактных эйнштейновых 4-многообразий.
СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4. 5.
Конформно ковариантные операторы . . . . . . . . . . . . Существенно нелинейное обобщение . . . . . . . . . . . . Функциональные детерминанты и AdS/CFT соответствие Связь с топологией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Последние достижения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
КОНФОРМНО
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. 95 . 97 . 97 . 98 . 100 . 101
КОВАРИАНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Будем говорить, что геометрический дифференциальный оператор A, заданный на римановом n-мерном многообразии (M n , g), является конформно ковариантным бистепени (b, a), если при конформной замене метрики gω = e2ω g оператор A преобразуется следующим образом: A[gω ](φ) = e−bω A[g](eaω φ)
(1.1)
для всех φ ∈ C ∞ (M ). Например, в случае размерности 2 обычный лапласиан ∆ есть конформно ковариантный геометрический дифференциальный оператор бистепени (2, 0), так как при конформной замене метрики gω = e2ω g имеем ∆[gω ] = e−2ω ∆[g].
(1.2)
В случае когда размерность выше, чем 2, имеем так называемый конформный лапласиан L=−
4(n − 1) ∆+R n−2
(1.3)
(здесь R — скалярная кривизна метрики g), который является конформно ковариантным бистепени n+2 n−2 , , так как 2 2 L[gω ] = e−
n+2 ω 2
L[g]e
n−2 ω 2
.
(1.4)
Заметим, что в двумерном случае скалярная кривизна преобразуется при конформной замене метрики следующим образом: −2∆[g]ω + R[g]ω = R[gω ]e2ω . (1.5) 4
Если же размерность выше, чем 2, то имеем gu = u n−2 g, n+2
L[g]u = R[gu ]u n−2 .
(1.6) c
2003 МАИ
95
96
ДЖ. КИНГ
Также можно рассмотреть модифицированный конформный лапласиан: Lλ = −
4(n − 1) ∆ + R + λ|W |, n−2
(1.7)
где W — кривизна Вейля метрики g, а λ — произвольное вещественное число.Легко проверить, n + 2 n−2 что Lλ также есть конформно ковариантный оператор бистепени , , так как 2 2 |W |2 = e−4ω |W |2ω .
(1.8)
Интересным обобщением на многомерный случай является так называемый оператор Панейца на 4-мерном многообразии 2 P4 = ∆2 + δ( Rg − 2 Ric )d. (1.9) 3 Здесь δ обозначает дивергенцию, d — дифференциал де Рама, Ric — кривизну Риччи метрики g. Оператор P4 есть конформно ковариантный геометрический оператор бистепени (4, 0) на 4-мерном многообразии, то есть P4 [ω] = e−4ω P4 [g].
(1.10)
Вообще говоря, можно рассмотреть следующий оператор 4-го порядка на многообразии любой размерности, кроме размерности 2: 4 n−4 P4 = ∆2 + δ an Rg − Ric d + Q, (1.11) n−2 4 где Q=−
4 1 | Ric |2 + dn R2 − ∆R 2 (n − 2) (n − 1)
(1.12)
и an =
(n − 2)2 + 4 , 2(n − 1)(n − 2)
n3 − 4n2 + 16n − 16 . 4(n − 1)2 (n − 2)2
dn =
(1.13)
При этом если размерность многообразия больше, чем 4, то P4 есть конформно ковариантный n+4 n−4 , , то есть оператор бистепени 2 2 P4 [gω ] = e−
n+4 ω 2
P4 [g]e
n−4 ω 2
.
(1.14)
При этом в 4-мерном случае кривизна, называемая кривизной Панейца, преобразуется при конформной замене метрики gω = e2ω g следующим образом: P4 [g]ω + Q[g] = Q[gω ]e4ω .
(1.15)
4
Если размерность выше, чем 4, то имеем gu = u n−4 g, P4 [g]u =
n+4 n−4 Q[gu ]u n−4 . 4
(1.16)
Аналогично можно рассмотреть модифицированную задачу Панейца P4λ = P4 + λ|W |2
и
Qλ = Q + λ|W |2 .
(1.17)
Очевидно, существует задача типа задачи Ямабе для кривизны Панейца 4-го порядка, которую можно назвать обобщенной задачей Ямабе высокого порядка (см. [CY, G1, DHL, DMA, XY]). Существуют также конформно ковариантные геометрические операторы P2k высоких порядков, изучавшиеся Фефферманом и Грехемом [FG], Грехемом, Женне, Мэсоном и Спарлингом [GJMS], а также Грехемом и Зворским [GZ].
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КОНФОРМНОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.
СУЩЕСТВЕННО
97
НЕЛИНЕЙНОЕ ОБОБЩЕНИЕ
В последнее время в конформной геометрии рассматриваются существенно нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными. В случае когда размерность больше, чем 2, известно следующее разложение для римановой кривизны: Rijkl = Wijkl +
1 {Aik gjl − Ajk gil + Ajl gik − Ail gjk }, n−2
(2.1)
R g — тензор Вейля—Схоутена. Отметим, что тензор Вейля—Схоутена зависит 2(n − 1) от производных конформного множителя: где A = Ric −
1 A[gω ] = A[g] − ∇2 ω + dω ⊗ dω − |dω|2 g, 2
(2.2)
где gω = e2ω g. Таким образом, естественно рассматривать другое обобщение задачи Ямабе. А именно — рассмотрим k-ю элементарную симметрическую функцию σk (A) и зададимся вопросом, может ли σk (A) быть преобразовано в константу при конформной замене метрики. Именно это и будем понимать под существенно нелинейным обобщением задачи Ямабе. Заметим, что σ1 (A) =
n−2 R 2(n − 1)
(2.3)
и 1 n 1 (n − 2)2 2 σ2 (A) = − | Ric |2 + R2 = − |E|2 + R , 2 8(n − 1) 2 8n(n − 1)
(2.4)
R g. В частности, если размерность равна 4, σ2 имеет вид (аналогично рассматриn вается σk в случае размерности 2k) где E = Ric −
σ2 (A[gω ])e4ω = σ2 (A[g]) + F (∇2 ω, ∇ω, ω),
(2.5)
где F — существенно нелинейный оператор типа Монжа—Ампера (см. [CGY1, V]). 3.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ДЕТЕРМИНАНТЫ И
ADS/CFT
СООТВЕТСТВИЕ
Существуют две области, в которых возникают упомянутые типы кривизны. Первая область связана с понятием функционального детерминанта конформно ковариантного геометрического дифференциального оператора. Функциональные детерминанты определяются как ренормированные детерминанты через дзета-функции, зависящие от собственных чисел рассматриваемых операторов. Например, в 4-мерном случае Бренсон и Орстед [BO] явно вычислили: log
det L[gω ] = F [ω], det L[g]
(3.1)
где F [ω] = γ1 I[ω] + γ2 II[ω] + γ3 III[ω]
(3.2)
e4ω dv I[ω] = 4 |W |2 ωdv − |W |2 dv log M R , dv M M M R 4ω ! e dv Z Z Z M R II[ω] = ωP4 ωdv + 2 Qωdv − Qdv log , dv M M M M Z Z 1 III[ω] = R2 [gω ]dvgω − R2 dv 3
(3.3)
и Z
M
(см. [CY]).
!
Z
M
R
98
ДЖ. КИНГ
Вторая область, в которой возникают упомянутые типы кривизны, — это так называемое AdS/CFT соответствие, устанавливающее определенную связь между квантовой теорией гравитации и конформной теорией поля. Ориентированное многообразие (X n+1 , g) есть конформно компактное эйнштейново многообразие, если Ric (g) = −ng и (X n+1 , s2 g) есть компактное риманово многообразие (здесь s — определяющая функция границы ∂X n+1 = M n ). При заданной определяющей функции s метрика g¯ = s2 g, суженная на T M , индуцирует метрику gˆ на M n . Метрика gˆ определяет конформную структуру на M n . Будем называть (M n , [ˆ g ]) конформной бесконечностью n+1 компактного многообразия (X , g). В качестве реализации так называемого AdS/CFT соответствия Робин Грехем в работе [Gr] определил и явно вычислил ренормированный объем конформно компактного эйнштейнова многообразия. А именно — он рассмотрел следующие разложения: Vol ({s > ε}) = c0 ε−n + нечетные степени + cn−1 ε−1 + V + o(1),
(3.4)
когда n нечетное, Vol ({s > ε}) = c0 ε−n + четные степени + cn−2 ε−2 + L log
1 + V + o(1), ε
(3.5)
когда n четное. Здесь Z
v (i) dvgˆ
ci =
и
v (i) = Tr gˆg (i) ,
(3.6)
M
а
g (i)
определяются локальной геометрией (M, gˆ). Например, Z 1 c2 = − R[ˆ g ]dvgˆ 2(n − 1)
(3.7)
M
и
Z
1 L= 16
σ2 (A[ˆ g ])dvgˆ
для n = 4.
(3.8)
M
Далее (и это существенно) он показал, что ренормированный объем V для нечетных n и L для четных n не зависит от выбора определяющей функции. Попутно было установлено, что Z L = v (n) dvgˆ, M
а V есть инвариант для (X n+1 , g), когда n нечетно. Как показывает AdS/CFT соответствие, 4мерное конформно компактное эйнштейново многообразие оказывается удобным инструментом для изучения конформной геометрии 3-мерного многообразия. 4.
СВЯЗЬ
С ТОПОЛОГИЕЙ
Ограничимся рассмотрением малых размерностей. Напомним следующую формулу Черна— Гаусса—Бонне, справедливую в 4-мерном случае: Z Z 8π 2 χ(M ) = |W |2 dv + σ2 (A)dv, (4.1) M
M
а также сигнатурную формулу Гирцебруха Z 1 (|W + |2 − |W − |2 )dv = τ (M ). 12π 2
(4.2)
M
Интересно, что ренормированный объем V в случае 4-мерного конформно компактного эйнштейнова многообразия (X 4 , g) возникает также в следующей формуле Черна—Гаусса—Бонне (впервые это было замечено Андерсоном [A1]): Z 3 1 |W |2 dv + 2 V = χ(X). (4.3) 8π 2 4π X
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КОНФОРМНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Для сравнения напомним также сигнатурную формулу, полученную Хинчиным: Z 1 (|W + |2 − |W − |2 )dv = τ (X) − η[ˆg] , 12π 2
99
(4.4)
X
где η[ˆg] есть η-инвариант конформной бесконечности (M, [ˆ g ]) конформно компактного эйнштейнова 4 многообразия (X , g). Очевидно, 4π 2 V 6 χ(X). (4.5) 3 Мэтт Гурски в работах [G1, G2] установил ряд теорем для 4-мерного многообразия с положительной константой Ямабе Y(M, [g]), которая определяется следующим образом: R R[g]dvg M Y (M, [g]) = inf (4.6) n−2 . g∈[g] n R dvg M
А именно — были доказаны следующие теоремы. Теорема (Гурски). Пусть M — замкнутое ориентированное 4-мерное многообразие с положительно константой Ямабе, и пусть Z σ2 (A)dv > 0. M
Тогда его первое число бетти равно нулю. Теорема (Гурски). Пусть M — замкнутое ориентированное 4-мерное многообразие с положительно константой Ямабе. Тогда если Z Z σ2 (A)dv > |W + |2 dv, (4.7) M
M
то самодвойственная часть второй гомологии равна нулю. Из сформулированных теорем следует, что замкнутое ориентированное 4-мерное многообразие с положительной константой Ямабе и такое, что Z Z σ2 (A)dv > |W |2 dv, (4.8) M
M
есть топологическая 4-мерная сфера. Теорема (Чанг, Кинг, Янг). Предположим, что (X, g) есть 4-мерное конформно компактное эйнштейново многообразие, для которого конформная бесконечность имеет положительную константу Ямабе. Пусть ренормированный объем V положителен. Тогда H 1 (M, R) = H 1 (X, R) = 0. Таким образом, конформная бесконечность есть гомологическая 3-мерная сфера. Наряду со второй теоремой Гурского справедлив следующий результат. Теорема (Чанг, Кинг, Янг). Предположим, что (X, g) есть 4-мерное конформно компактное эйнштейново многообразие, для которого конформная бесконечность имеет положительную константу Ямабе. Тогда если 1 4π 2 V > χ(X), (4.9) 3 3 то H 2 (X, R) = 0.
100
ДЖ. КИНГ
Проиллюстрируем сказанное следующим образом. Рассмотрим модифицированную константу Ямабе R (R[g] + λ|W + |g )dvg M λ Y (M, [g]) = inf . (4.10) n−2 g∈[g] n R dvg M
Тогда из решения задачи Ямабе следует, что (M, [g]) имеет положительную константу Y λ (M, [g]) в том и только в том случае, если существует метрика g ∈ [g], для которой R + λ|W + | > 0. Используя формулу Бохнера √ 1 1 (4.11) ∆ |ω|2 = |∇ω|2 − 2W + (ω, ω) + R|ω|2 > |∇ω|2 + (R − 2 6|W + |)|ω|2 2 3 для любой самодуальной гармонической 2-формы ω,√легко показать, что для замкнутого ориентированного 4-мерного многообразия, такого, что Y −2 6 > 0, выполняется b+ 2 = 0. 5.
ПОСЛЕДНИЕ
ДОСТИЖЕНИЯ
Рассмотрим снова 4-мерное многообразие. Для того чтобы ответить на вопрос, когда топологическая 4-мерная сфера является в действительности 4-мерной сферой, Чанг, Гурский и Янг [CGY2] доказали следующий результат. Теорема (Чанг, Гурский, Янг). Пусть M — замкнутое ориентированное 4-мерное многообразие с положительной константой Ямабе. Предположим, что Z Z σ2 (A)dv > |W |2 dv. (5.1) M
M
Тогда M диффеоморфно стандартной 4-мерной сфере. Отметим, что это — действительно выдающаяся работа, требующая проведения чрезвычайно сложного анализа. Их основная идея заключалась в том, чтобы вначале найти некоторую метрику в заданном конформном классе, для которого выполняется поточечно неравенство σ2 (A) > |W |2 .
(5.2)
Затем они рассмотрели поток Риччи и применили один тонкий результат Маргерина [M], который позволил сделать вывод о том, что M диффеоморфно S 4 . Недавно нами был получен следующей результат [CQY]. Теорема (Чанг, Кинг, Янг). Предположим, что (X, g) есть 4-мерное конформно компактное эйнштейново многообразие, для которого конформная бесконечность имеет положительную константу Ямабе. Пусть 1 4π 2 V > χ(X). (5.3) 2 3 Тогда X диффеоморфно B 4 и (что более интересно) M диффеоморфно S 3 . При переходе от результатов в 4-мерном случае к результатам в 3-мерном случае ключевым моментом является построение подходящей определяющей функции для заданного 4-мерного конформного компактного эйнштейнова многообразия. Проиллюстрируем это простыми вычислениями (см. [Q]). Гиперболическое пространство можно определить следующим образом: 2 2 2 (H n+1 , gH ) = B n+1 , |dx| . (5.4) 1 − |x|2 Естественной конформной компактификацией является полусфера 2 2 n+1 n+1 2 (S+ , gS ) = B , |dx| . (5.5) 1 + |x|2 Следовательно, используемая здесь определяющая функция имеет вид s=
1 1 − |x|2 = . t 1 + |x|2
(5.6)
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КОНФОРМНОЙ ГЕОМЕТРИИ
101
Далее имеем ∆t = (n + 1)t, (5.7) и t положительна. Применяя теорию равномерно вырождающихся линейных эллиптических уравнений на общих конформно компактных эйнштейновых многообразиях, получим положительные собственные функции u, то есть такие, что ∆u = (n + 1)u. Наиболее важный момент заключается в следующем простом равенстве: n+3 n2 − 1 − n−1 n2 − 1 u 2 + |du|2 u− 2 , (5.8) 4 4 справедливом для любой положительной собственной функции u. Отсюда следует, что скалярная кривизна метрики u−2 g имеет вид
∆u−
n−1 2
=−
R[u−2 g] = n(n + 1)(u2 − |du|2 ).
(5.9)
Далее, используя асимптотическое поведение полученной собственной функции u и формулу Бохнера −∆(u2 − |du|2 ) = 2|∇du − ug|2 , (5.10) получим следующий основной результат. Основная лемма. Пусть (X n+1 , g) есть конформно компактное эйнштейново многообразие. Тогда существует конформная компактификация (X, g˜), имеющая вполне геодезическую границу M объема один, и ее скалярная кривизна ˜ > n + 1 Y (M, [ˆ R g ]), n−1 где Y (M, [ˆ g ]) — константа Ямабе конформной бесконечности. Замечание 1. Существование. Пусть задано конформное 3-мерное многообразие (M, [ˆ g ]). Существует ли 4-мерное конформно компактное эйнштейново многообразие, конформная бесконечность которого есть (M, [ˆ g ])? Грехем и Ли [GL] доказали, что для окрестности (S 3 , [ˆ g ]) многооб3 4 разия (S , [g0 ]) существует конформно компактная эйнштейнова метрика на B . Однако в общем случае эта проблема остается открытой. Замечание 2. Единственность. Пусть задано конформное 3-мерное многообразие (M, [ˆ g ]). Верно ли, что существует самое большее одно 4-мерное конформно компактное эйнштейново многообразие, конформная бесконечность которого есть (M, [ˆ g ])? В общем случае это не так. Например, рассмотрим так называемую метрику AdS-Шварцшильда на S 2 × R2 (см. [A2]): gm = U −1 dr2 + U dθ + r2 gS 2 ,
(5.11)
где
2m + 1 + r2 , (5.12) r а масса m — некоторое положительное вещественное число. Андерссон и Дагл [AD] доказали, что если конформная бесконечность есть круглая сфера, то единственное конформно компактное эйнштейново многообразие — это шар. Аналогичное утверждение, но без предположения о круговой форме, было также недавно доказано Кингом [Q]. U =−
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [A1] [A2] [AD] [BO] [CQY] [CGY1]
Anderson M. L2 curvature and volume renormalization of the AHE metrics on 4-manifolds// Math. Res. Lett. — 2001. — 8. — С. 171–188 Anderson M. Boundary regularity, uniqueness and non-uniqueness for AH Einstein metrics on 4manifolds// Preprint Andersson L., Dahl M. Scalar curvature rigidity for asymptotically hyperbolic manifolds// Ann. Global Anal. Geom. — 1998. — 16. — С. 1–27 Branson T., Orsted A. Explicit functional determinants in four dimension// Proc. Am. Math. Soc. — 1991. — 113. — С. 669–682 Chang A., Qing J., Yang P. On topology of conformally compact Einstein 4-manifolds// In preparation Chang A., Gursky M., Yang P. An equation of Monge-Ampere type in conformal geometry and 4-manifolds of positive Ricci curvature// Ann. Math. — 2002. — 155, № 3. — C. 711–789
102
ДЖ. КИНГ
[CGY2]
Chang A., Gursky M., Yang P. A conformally invariant sphere theorem in four dimension// Preprint, 2002 [CY] Chang A., Yang P. Extremal metrics of zeta functional determinants on 4-manifolds// Ann. Math. — 1995. — 142. — С. 171–212 [DHL] Djadli Z., Hebey E., Ledoux M. Paneitz-type operators and applications// Duke Math. J. — 2000. — 104, № 1. — C. 129–169 [DMA] Djadli Z., Malchiodi A., Ahmedou M. Prescribing a forth order conformal invariant on the standard sphere, Part II: Blowup analysis and application// Preprint, 2001 [FG] Fefferman C., Graham C. R. Conformal invariants// Ast´erisque. — 1985. — C. 95–116 [Gr] Graham C. R. Volume and Area renormalizations for conformally compact Einstein metrics// Proc. 19th Winter School “Geometry and Physics”, Srni, 1999, Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Suppl. — 2000. — № 63. — C. 31–42 [GJMS] Graham C. R., Jenne R., Mason L., Sparling G. Conformally invariant powers of the Laplacian, I: existence// J. Lond. Math. Soc., II. Ser. — 1992. — 46, № 2. — С. 557–565 [GL] Graham C. R., Lee J. Einstein metrics with prescribed conformal infinity on the ball// Adv. Math. — 1991. — 87, № 2. — С. 186–225 [G1] Gursky M. The principal eigenvalue of a conformally invariant differential operator, with an application to semilinear elliptic PDE, powers of the Laplacian, I: existence// J. Lond. Math. Soc., II. Ser. — 1992. — 46, № 2 [G2] Gursky M. The Weyl functional, deRham cohomology and Kдhler-Einstein metrics// Ann. Math. — 1998. — 148. — C. 315–337 [M] Margerin C. A sharp characterization of the smooth 4-sphere in curvature forms// Commun. Anal. Geom. — 1998. — 6, № 1. — C. 21–65 [P] Paneitz S. A quartic conformally covariant differential operator for arbitrary pseudo-Riemannian manifold// Preprint, MIT Press Ser. Signal Process, Optimization Control, 1983 [Q] Qing J. On the rigidity for conformally compact Einstein manifolds// Int. Math. Res. Not., To appear [V] Viaclosky J. Contact geometry and calculus of variations// Duke Math. J. — 2000. — 101, № 2. — С. 283–316 [XY] Xu X., Yang P. On a forth order equation in 3-D// ESIAM, Control Optim. Calc. Var., To appear
Jie Qing Department of Mathematics, University of California, Santa Cruz, Santa Cruz, CA, 95064 E-mail:
[email protected]
