Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли

Ж.Поммаре СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ПСЕВДОГРУППЫ ЛИ Монография известного французского математика, посвященная «формальной» теории уравнений с частными производными, интерес к которой в последнее время сильно вырос. Основным инструментом теории является новый и весьма содержательный алгебраический формализм, разработанный Э Картаном, С. Ли, Д. Спенсером и др. Русское издание дополнено новым материалом. Для математиков разных специальностей, физиков-теоретиков. Содержание Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Введение 9 ГЛАВА 1 18 1. Расслоенные многообразия 18 2. Морфизмы расслоений 25 3. Расслоенные подмногообразия 26 4. Векторные расслоения 29 5. Операции над расслоениями 31 6. Вертикальные расслоения 32 7. Точные последовательности 34 8. Нормальные расслоения 35 9. Расслоения джетов 40 ГЛАВА 2 47 1. Дифференциальные операторы 47 2. Нелинейные системы 56 3. Формальные свойства 64 4. Условие формальной интегрируемости 72 5. Теорема о продолжении 83 ГЛАВА 3 91 1. Когомологии Спенсера 91 2. Инволютивные символы 97 3. Понижение порядка 111 4. Теорема о продолжении 119 5. Дополнения 124 Задачи 126 ГЛАВА 4 139 1. Семейства Спенсера 139 2. Формальные свойства 148 3. Условие формальной интегрируемости 154 4. Аналитические системы 157 ГЛАВА 5 162 1. Линейные системы 162 2. Формальные свойства 168

3. Первый комплекс Спенсера 171 4. Второй комплекс Спенсера 176 5. P-комплекс 178 6. Алгебраические свойства 187 7. Примеры 195 Задачи 199 ГЛАВА 6 202 Общие замечания 202 1. Группы Ли 202 2. Основные теоремы Ли 206 3. Инвариантные слоения 214 4. Производная Ли 233 5. Продолжение преобразований 237 ГЛАВА 7 251 1. Конечные и инфинитезимальные уравнения Ли 251 2. Общие и специальные уравнения Ли 265 3. Условия интегрируемости 287 4. Третья основная теорема 296 5. Проблема эквивалентности 308 6. Нормализатор 312 7. Теория деформаций структур 327 8. Деформационные когомологии 334 9. Теорема об аналитической реализации 365 Задачи 369 Библиография 373 Добавление. Категория нелинейных дифференциальных уравнений. 376 A.M.Виноградов Предметный указатель 392 Предметный указатель — расслоение 24 Автоморфизм 204 Вертикальное расслоение 33 Автоморфная система 372 Вершина джета 40 Аксиомы группы 202 Взаимная псевдогруппа 316—317 Алгебра симметрии 385 Внешняя степень расслоения 24 Алгебраические скобки { , } 279 Внутренние дифференцирования 349, Аморфная система 169 350 Аналитическая система 65 Геометрические объекты 33, 268 Аналитическое расслоение 20 Геометрический модуль 381 — расслоенное многообразие 19 — — фильтрованный 382 Ассоциированное векторное Гильберта теорема о нулях 191 расслоение 335 Главная компонента 103 Аффинное расслоение 25 Главное расслоение 22 Ацикличный символ 95, 167 Главные джет-координаты 64 Базисное многообразие 19 Глобальное сечение расслоенного Векторное поле 23

многообразия 19 Гомеоморфизм 203 Гомоморфизм векторных расслоений 29 График отображения 20, 237 Группа 202 — изотропии 204 — преобразований 203 Групповая операция 202 Действие группы 203 Де Рама комплекс 195 Деформационные когомологии 348 Деформация структуры 328 Джет многообразия 376 — сечения 40 Дифференциальная 1-форма 23 — r-форма 24 Дифференциальные инварианты порядка q 264 Дифференциальный оператор 381 Дифференцируемое расслоение 20 — расслоенное многообразие 19 Длина мультииндекса 41 Достаточно регулярная система 83 Жесткая структура 329 — точка 330 Зависимые (независимые) векторные поля 205 Замкнутая подгруппа 203 Значения дифференциальных инвариантов 264 Инвариант распределения 220 Инвариантная функция 225 Инвариантное действие группы 230 — подмногообразие 226 — подмножество 204 — распределение 228 Инвариантное слоение 224 Инволютивная система 82 — — линейная 168 Инволютивное распределение 216

Инволютивный символ 95, 104, 105, 167 Индуцированное расслоенное многообразие 19 Интегральное многообразие 216, 385 Интегрируемый элемент 331 Интранзитивное действие 204 Инфинитезимальные образующие 210 — преобразования 205, 260 — симметрии 385 — уравнения Ли 260 Каноническая карта 377 Канонические локальные координаты 377 — параметры 210 Картона — Кэлера теорема 158 — распределение 377 Касательное расслоение 23 Категория DE 376, 382 Классическая симметрия 387 Ковариантная производная 358 Ковекторное поле 23 Когомологии δ-последовательности 95 Кограницы 348 Коциклы 348 Кокасательное расслоение 23 Коммутатор векторных полей 209 Комплекс 30 — конечного или бесконечного типа 170 Компоненты класса i 98 Конечная группа 202 — проблема эквивалентности 308 — симметрия 385 Конечное преобразование 205, 251 Конечные уравнения псевдогруппы Ли 252 Контактное преобразование 386 Корень джета 40 Короткая точная последовательность 30 Коши — Ковалевской теорема 159

Коядро морфизма векторных расслоений 29 Кристоффеля символы 33 Лапласа уравнения 390 Леви Г. пример 197 Ли алгебраическая псевдогруппа 318 — бесконечномерная алгебра 365 — группа 22, 204 — конечные уравнения 255 — оператор 261 — основные теоремы 206, 210, 212, 296 — преобразования 386 — производная 235, 271, 335 — псевдогруппа 251 — форма записи 264, 272 Линеаризация 259, 273—274 Линейная система 56, 163 Линейно зависимые (линейно независимые) векторные поля 205 Линейный дифференциальный оператор 54 Лист слоения 224 Локальное сечение расслоенного многообразия 19 Локально точная последовательность 174 Локальный диффеоморфизм 204 Максимальное интегральное многообразие 378 — продолжение 365 Маурера — Картана уравнения 213 Мёбиуса лист 20 Моделируемое аффинное расслоение 25 Мономорфизм расслоенных многообразий 35 Морфизм расслоенных многообразий 25 — Jr(Ф) 49 Мультипликативные переменные 103 Накрывающее векторное поле 241

Накрытия 384 Недоопределенный оператор 188 Нелинейная система 56 Нелинейный дифференциальный оператор 47 Немультипликативные переменные 103 Нётеров A-модуль 88 Нормализатор псевдогруппы 319 Нормальная подгруппа 202 Нормальное расслоение 36, 37 Область определения сечения 19 Обобщенное решение 379 Обратный образ расслоенного многообразия 31 Общая псевдогруппа 273 Объект категории DE 380, 383 — — — n-мерный 384 Обычная производная 48 Ограничение расслоенного многообразия 19 Определенный оператор 188 Орбита 204 Лараметрические джет-координаты 65 — компоненты 103 Параметры преобразования 205 Пассивность 82 Переопределенный оператор 188 Плоская псевдогруппа 310 Подгруппа 202 Подобные псевдогруппы 271 Полная производная 48 Представляющий объект 381 Преобразование базы 238 — координат 18 — слоя 238 Преобразования вывесок 317 Примитивные псевдогруппы 319 Проблема эквивалентности 285, 308, 329 Продолжение векторного пространства 365 — морфизма 48, 163

— нелинейной системы 56 — отображения 238 — символа 57, 91 Проекция на вершину 41 — на корень 41 Производящая функция 388 Простая группа 203 Просто транзитивное действие 208 Пространство орбит 389 Псевдогруппа конечного типа 311 Пуанкаре d-последовательность 195 — теорема 234 Размерность векторного расслоения 24 Разрешенное уравнение 103 Ранг морфизма в категории DE 384 — системы векторных полей 214 Распределение 215 Расслаиваемое многообразие 19 Расслоение 20, 22 — геометрических объектов 268 — джетов 41 Расслоения Cq,r(E) 145 Расслоенная локальная карта 18 Расслоенное многообразие 18 — подмногообразие 26 — произведение 31 Расслоенный морфизм 25 Регулярная система 56 — — линейная 169 Регулярное отображение 26 Регулярный дифференциальный оператор 49, 55 Резольвентная система 372 Решение линейной системы 163 — нелинейной системы 56 Семейства Cr 139 — Fr 148 — G'r 145 Семейство векторных пространств 59 Сечение расслоенного многообразия

19 Символ векторного пространства 365 — конечного типа 167 — морфизма 54 — системы 56, 91 Симметрическая степень расслоения 24 Систатические ковекторы 193 Систатическое многообразие 193 Система конечного типа 124 — нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными 379 Системы координат 18 — с постоянными коэффициентами 169 Слоение 224 Слой расслоения 20 —расслоенного многообразия 19 Собственная подгруппа 202 Спенсера комплексы 170, 172, 175— 178 — оператор 54, 171 — расслоения 177 — семейства 145 Специальная псевдогруппа 273 Стабильный комплекс 176 Стационарная группа 224 Стационарные функции 224 Структура на многообразии 328 Структурная группа расслоения 22 Структурные константы 293 Таблица P(Gq) 103 Тензорное произведение расслоений 24 Теорема об аналитической реализации 367 — жесткости 348 — интегрируемости 348 — о продолжении 121 Теория деформаций 273 Топологическая группа 203 Точная последовательность

171 — — векторных расслоений 30 — — расслоенных многообразий 34, 35 Транзитивная псевдогруппа 255 Транзитивное векторное пространство 365 — действие 204 Трансверсальный оператор 339 Тривиализующие гомеоморфизмы 20 Тривиальная деформация набора структурных констант 330 — — сечения 329 Тривиальное расслоение 20 — расслоенное многообразие 20 Убиваемая локальная функция 220 Уравнения класса п, i, 1 102—103 Условие инволютивности 82 — — линейной системы 169 — формальной интегрируемости 80, 154, 168 Условия интегрируемости 287 — — второго рода 293 — — первого рода 289 — постоянства ранга 27 Факторуравнение 390 Фильтрованный дифференциальный оператор 382 Форма f(ω) 233 — α∧β 233 — i(ξ)ω 235 Формально интегрируемая линейная система 164 — — регулярная система 64 — интегрируемый оператор 164 — — элемент 331 — точный комплекс 171 — транзитивная линейная система 260 — — система 255 Формальные решения системы 64

Фробениуса теорема 218, 234 Фундаментальное множество инвариантов 221, 280 Функции перехода 18 Функционально зависимая (функционально независимая) система 221 Характеристический ковектор 188 Характеристическое многообразие 188 Характеры символа 101 Хопфа расслоения 21 Эйлера — Пуанкаре формула 30 Эйнштейна уравнения 273 Эквивалентные локальные сечения 40 — структуры 328 Эквивалентные наборы структурных констант 329 Элемент решения 379 Эллиптический оператор 188 Эпиморфизм расслоенных многообразий 35 Эффективное действие 204 Эффективные параметры 205 Якоби условия 303 — тождество 211 Ядро морфизма относительно сечения 27 C - поле 385 C- преобразование 385 K- дифференциальный оператор 381 m- слоение 224 P- комплекс 170, 178, 179, 184 R- многообразия 378 r- распределение 215 δ - комплекс 166 δ - последовательность 94 δ - проверка 106 δ- регулярная система координат 101