Свойства и методы расчета электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами. Методические указания и консультации

Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической и общей электротехники

Ж.Г.Пискунова

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНСУЛЬТАЦИИ По теме: «Свойства и методы расчета электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами»

Оренбург 2000

4

ББК 31.21 П 34 УДК 621.318 (075)

Свойства и методы расчета электрических цепей негармоническими периодическими напряжениями и токами

с

1 Причины возникновения несинусоидальных токов На практике зависимости ЭДС и токов от времени всегда в большей или меньшей степени отличны от синусоидальных. Например, в генераторах переменного тока (синхронных генераторах) из – за того, что кривая распределения магнитной индукции вдоль зазора между статором и ротором отличается от синусоидальной. Кроме того, в цепях, содержащих нелинейные элементы, даже при синусоидальных ЭДС источников возникают несинусоидальные токи и напряжения. К таким цепям можно отнести выпрямители. Графики мгновенных значений напряжения в схемах одно- и двухполупериодного выпрямителей изображены на рисунке 1.1. u u Umax

Umax

а)

T

T

t

t

б)

Рисунок 1.1 – Графики напряжений в однополупериодном (а) и двухполупериодном (б) выпрямителях В электронных цепях широкое распространение нашли специальные генераторы несинусоидальных напряжение. Самыми распространенными генераторами такого типа являются генератор линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) и мультивибратор. Благодаря повторяющимся процессам зарядки и разрядки конденсатора, на выходе генератора возникает соответственно напряжение пилообразной (рисунок 1.2, а) или прямоугольной (рисунок 1.2, б) форм. u u Umax U max

T/2 T

t

T

t

-Umax

а)

б)

Рисунок 1.2 – Графики напряжений пилообразной (а) и прямоугольной (б) форм 5

В этой части курса ТОЭ мы будем обсуждать свойства линейных электрических цепей, на входе которых действует периодические несинусоидальные ЭДС. Вопрос 1. Известно, что ЭДС аккумуляторной батареи уменьшается с течением времени. Можно ли зависимость e(t ) считать периодической несинусоидальной величиной? Варианты ответа: а) Можно. б) Нельзя.

2 Способы представления периодических несинусоидальных величин Периодическая несинусоидальная функция времени f (t ) при любых значениях t удовлетворяет соотношению f (t + T ) = f (t ) , где T - период колебания – наименьшее время, по истечению которого колебания полностью повторяются. Наиболее наглядным способом представления несинусоидальных величин являются кривые их мгновенных значений (рисунок 1.1 и 1.2), которые можно наблюдать на экране осциллографа. Вторым способом представления периодических несинусоидальных величин является аналитическое разложение функции времени в тригонометрический ряд Фурье. Например, периодическая несинусоидальная ЭДС в общем случае может быт представлена следующим рядом: e(t ) = E(0 ) + e(1) + e(2 ) + ... + e(k ) + ... = E(0 ) + E(1)m sin (ωt + ψ (1) ) +

+ E(2 )m sin (2ωt + ψ (2 ) ) + ... + E(k ) sin (kωt + ψ (k ) ) + ...

(1)

где E(0 ) - постоянная составляющая; e(1) - первая (основная) гармоническая составляющая, имеющая частоту ω = 2 ⋅ π T ; e(2 ) ,..., e(k ) = высшие гармонические составляющие (гармоники); k - номер гармоники. Тригонометрический ряд Фурье, как правило, быстро сходится, поэтому для инженерных расчетов количество гармоник ограничивают и учитывают только первые 3 – 5 гармоник ряда. Приведем разложения в ряд Фурье некоторых несинусоидальных напряжений. Напряжение на нагрузочном резисторе однополупериодного выпрямителя (рисунок 1.1, а) U 2   π u = max ⋅ 1 + ⋅ cos ωt + cos 2ωt − ... . (2) π  2 3  Напряжение на нагрузочном резисторе двухполупериодного выпрямителя (рисунок 1.1, б)

6

u=

2 ⋅ U max  2 2  ⋅ 1 + cos 2ωt − cos 4ωt + ... . π 15  3 

(3)

Напряжение пилообразной формы (рисунок 1.2, а) 1 1 1   u = U max  − ⋅  sin ωt + sin 2ωt + ...  . 2  2 π 

(4)

Напряжение прямоугольной формы (рисунок 1.2, б) 4 ⋅ U max  1 1  u= (5) ⋅  sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt + ...  . π 3 5   По известным разложениям несинусоидальных функция в ряд Фурье нетрудно построить диаграммы амплитудно – частотного и фазочастотного спектров. На диаграмме амплитудно – частотного спектра по оси ординат откладывают значения постоянной составляющей, амплитуд основной и высших гармоник, по оси абсцисс – значения частот (рисунок 2.1, а). На диаграмме фазо – частотного спектра (рисунок 2.1, б) ординаты – значения фаз гармоник, абсциссы – значения частот. U(k) ψ(k)

ω 2ω 3ω 4ω 5ω

ω 2ω 3ω 4ω 5ω k(ω)

а)

k(ω)

б)

Рисунок 2.1 – Диаграмма амплитудно – частотного спектра (а), диаграмма фазочастотного спектра (б)

3 Действующее и среднее значения несинусоидальных величин Периодическую несинусоидальную величину (например, ток) обычно характеризуют следующими значениями: максимальным (I max ) , действующим (I ) , средним по модулю I ср. мод. и постоянной составляющей (I (0 ) ) . Действующее значение несинусоидального тока определяется его среднеквадратическим (эффективным) значением за период:

(

)

T

1 I= ⋅ i (t )2 dt . T

∫

(6)

0

Если ряд Фурье для тока ограничить конечным числом членов i = I (0 ) + I (1)m ⋅ sin (ωt + ψ (1) ) + I (2 )m ⋅ sin (2ωt + ψ (2 ) ) + ... + I (k )m ⋅ sin (kωt + ψ (k ) ) , то выражение (6) после интегрирования принимает вид:

7

I=

I (20 )

+

I (21)m 2

+

I (22 )m 2

+ ... +

I (2k )m 2

.

(7,а)

Так как действующее значение гармонической составляющей I = I m

2,

то: I = I (20 ) + I (21) + I (22 ) + ... + I (2k ) , (7,б) где I (0 ) - постоянная составляющая, а I (1) , I (2 ) , …, I (k ) - действующие значения гармоник тока. Аналогичное выражение имеет действующее значение напряжения: U = U (20 ) + U (21) + ... + U (2k ) .

(8)

Таким образом, действующее значение несинусоидальной электрической величины равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Оно не зависит от начальных фаз гармоник. Наряду с действующим значением в электротехнике используют понятие среднего по модулю значения функции. Оно, например, для тока, выражается интегралом вида: 1 T ⋅ i (t ) dt . (9) T 0 Постоянная составляющая представляет собой среднее значение функции за период: I ср. мод. =

∫

1 T ⋅ i (t )dt . (10) T 0 Она равна нулю, когда площади положительных и отрицательных значений функции одинаковы (рисунок 1.2, б). I (0 ) =

∫

Задача 3.1. Определить действующее значение напряжения U , если u = (8,1sin ωt − 0,9 sin 3ωt + 0,32 sin 5ωt ) В. Р е ш е н и е.

Действующее значение напряжения: U=

(8,1

2

)2 + (0,9

2

)2 + (0,32

2

)2 = 5,77 В.

4 Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах Ваттметр измеряет среднее значение мощности за период: T T T ∞ T   ∞  1 1 1  1 P = ⋅ p ⋅ dt = ⋅ u ⋅ i ⋅ dt = ⋅ u k  ⋅  ik  ⋅ dt = ⋅ (u0 + u1 + u 2 + ...) ⋅  T T T  k =0   k =0  T 0 0 0 0

∫

8

∫

∫∑

∑

∫

∞   T ∞ ∞ ∞    1 1  1 ⋅ (i0 + i1 + i2 + ...) ⋅ dt = ⋅  u k ⋅ ik + u q ⋅ i s  ⋅ dt = ⋅ u k ⋅ ik  ⋅ dt + ⋅  T  k =0 T  k =0 T  q =0  0 0  s = 0; q ≠ s   ∞  ∞  T ∞ ∞ ∞ ∞ ∞  1 1 ⋅  u q ⋅ i s  ⋅ dt = ⋅ u k ⋅ ik ⋅ dt + ⋅ u q ⋅ i s ⋅ dt = Pk + 0 , T T   k =0 q =0 k =0 0  q =0 0  s =0;q ≠ s  s =0;q ≠ s  где Pk - активная мощность k - ой гармоники. Таким образом, активная мощность в цепи с несинусоидальным источником ЭДС равна сумме мощностей отдельных гармоник, и постоянной составляющей. T

∫∑

∫ ∑

∑

∑ ∫

P=

∫∑

∑

∞

∫

∞

∑

∞

∑ Pk = P0 + ∑ Pk = U 0 ⋅ I 0 ⋅ ∑U k ⋅ I k ⋅ cos ϕ k k =0

k =1

(11)

k =1

где ϕ k - угол сдвига между током и напряжением k - ой гармоники. Аналогично выводится понятие реактивной мощности: Q=

∞

∞

∑ Qk = ∑U k ⋅ I k ⋅ sin ϕ k . k =1

(12)

k =1

Полная мощность:

S =U ⋅I =

∞

∑

U k2

⋅

k =0

∞

∑ I k2 .

(13)

k =0

Сравнивая выражения (11), (12), (13) с выражением для полной мощности в цепи с источниками синусоидального тока и напряжения:

S 2 = P2 + Q2 нужно отметить, что в цепях с несинусоидальными источниками ЭДС:

S 2 > P2 + Q2 . Поэтому в цепях с несинусоидальными напряжениями и токами вводят еще один вид мощности. Мощность искажения T физический смысл которой обусловлен наличием высших гармоник.

S 2 − T 2 = P2 + Q2 ; T 2 = S 2 − P2 − Q2 ; T = S 2 − P2 − Q2 .

Эта мощность измеряется в вар.

9

5 Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых Существует несколько коэффициентов, по значениям которых можно судить о форме несинусоидальных кривых. Важнейшими из них являются коэффициенты амплитуды, формы, несинусоидальности и пульсаций. Коэффициент амплитуды K a равен отношению максимального значения электрической величины (например напряжения) к ее действующему значению: Ka =

U max . U

(14)

Для синусоидальных величин K a = 2 . Заметим, что чем острее кривая, тем больше значение K a . Коэффициенты формы K ф равен отношению действующего значения электрической величины (например напряжения) к ее среднему по модулю значению: Kф =

Для синусоидальных величин K ф =

U U ср. мод.

.

(15)

π

= 1,11 . 2 2 Коэффициент несинусоидальности K нс выражается в процентах и равен отношению среднеквадратического значения всех гармоник, кроме основной, к квадрату действующего значения основной гармоники напряжения: K нс

 ∞ U (2k )   ⋅ 100% . = 2    k =2 U (1) 

∑

(16)

Для синусоидальных величин K нс = 0 . Для нормируемого качества электроэнергии, предельно допустимое значение коэффициента несинусоидальности для напряжения сети не должно превышать +5 %. Коэффициент пульсации p определяется отношением амплитуды первой (основной) гармоники к постоянной составляющей: U (1)m . (17) p= U (0 ) Этим коэффициентом пользуются для оценки содержания переменной составляющей в кривых напряжений и токов выпрямителей. Задача 5.1. Для кривых, приведенных на рисунке 1.2, определить средние по модулю и действующее значения напряжений, а также коэффициент ампли-

10

туды. Амплитудное значение напряжений U max = 10 В. Задача 5.2. Три вольтметра различных систем подключены к источнику несинусоидального периодического напряжения. Вольтметр электромагнитной системы показал 4,2 В, выпрямительных вольтметр – 4 В, а электронный вольтметр максимальных значений – 6,1 В. Определить коэффициенты амплитуды и формы несинусоидального напряжения. Примечание - Приборы различных систем покажут различные значения.

Амперметры и вольтметры электромагнитной, тепловой и электродинамической системы покажут действующие значения соответственно тока или напряжения. Приборы магнитоэлектрической системы без выпрямителя показывают среднее значение за период, а чему равно среднее значение несинусоидальной кривой за период – постоянной составляющей. Приборы выпрямительной системы измеряют среднее по модулю значение величины. Специальные электронные вольтметры измеряют максимальное значение несинусоидальной кривой. Р е ш е н и е.

Показание вольтметров электромагнитной системы независимо от формы кривой равно действующему измеряемому напряжению U ; следовательно, U = 4,2 В. Отклонение подвижной части выпрямительного прибора пропорционально среднему по модулю значению измеряемого напряжения U ср.мод. . Градуировка шкалы выпрямительного прибора производится для действующего синусоидального напряжения. Поэтому для определения среднего по модулю значения измеряемого напряжения необходимо разделить Показание выU , равпрямительного прибора на коэффициент формы синусоиды K ф = U ср. мод. 4,0 = 3,6 В. 1,1 показания электронного прибора с амплитудным детектором пропорциональны максимальным значениям измеряемого напряжения. Шкала прибора, как указывалось ранее градуируется для действующего значения синусоидального напряжения. Поэтому для определения амплитудного значения измеряемого напряжения показание электронного прибора необходимо умножить на коэффиU циент амплитуды синусоиды K a = max , равный 2 . Следовательно, для изU меряемого напряжения U max = 2 ⋅ 6,1 = 8,6 В. Коэффициент формы для исследуемого несинусоидального напряжения источника питания ный 1,11. Следовательно, для измеряемого напряжения U ср. мод. =

11

Kф =

U U ср. мод

= 1,17 , а коэффициент амплитуды K a =

U max = 2,05 . U

6 Анализ линейных электрических цепей несинусоидального тока Возможность разложения периодических несинусоидальных величин в ряд Фурье позволяет свести расчет электрических цепей с линейными элементами при воздействии несинусоидальных ЭДС к расчету цепей с постоянными и синусоидальными ЭДС. По принципу суперпозиции (наложения) мгновенные значения искомых токов и напряжений будут равны сумме мгновенных значеR ний токов и напряжений, которые установились бы в этой цепи, если бы в ней действовали независимо друг от друга постоi(t) янная и гармонические составляющие ЭДС. e(t) L Пусть на вход цепи показанной на рисунке 6.1 включен источник несинусоиC дальной ЭДС: e(t ) = E(0 ) + E(1)m sin ωt + E(2 )m sin 2ωt .

u(t)

Рисунок 6.1 – Схема замещения цепи с источником несинусоидальной ЭДС.

(18)

Требуется найти ток и напряжение на конденсаторе. Заменим источник e(t ) тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно: источником постоянной ЭДС E(0 ) и источниками синусоидальных ЭДС e(1) R i(t) и e(2 ) (рисунок 6.2). Основываясь на принципе E(0) суперпозиции, расчет цепи с несинусоидальной ЭДС можно свести к расчеты частичных L e(1) схем с постоянной и синусоидальными ЭДС (рисунок 6.3). C e(2) В схеме рисунка 6.3, а напряжение и ток от постоянной составляющей ЭДС E(0 ) определяют как при расчете цепей постоянного тоu(t) ка. Постоянная составляющая тока I (0 ) = 0 Рисунок 6.2 – Схема замещения цепи рисунка 6.1 с из – за наличия в цепи конденсатора, постоянэквивалентной группой источ- ная составляющая напряжения на конденсаторе ников U (0 ) = E(0 ) ( X (0 )C = ∞ ; X (0 )L = 0 ). Расчет гармонических составляющих токов и напряжений рекомендуется производить с помощью комплексных чисел. При этом следует иметь в виду, 12

E(0)

.

R L

I(0)

R

L.ω

e (1)

i(1)

R e(2)

2 .L.ω

i (2)

1/2.C.ω 1/C.ω C а) б) в) Рисунок 6.3 Частичные схемы замещения цепи рисунка 6.1 для постоянной (а), первой (б) и второй гармоник ЭДС

что сопротивления индуктивных и емкостных элементов зависят от порядкового номера гармоники: X L (k ) = L ⋅ k ⋅ ω , X C (k ) =

1 . C ⋅ k ⋅ω

Комплексные сопротивления рассматриваемой схемы запишутся в виде: для первой гармоники: Z (1) = R + j ⋅ L ⋅ ω − j ⋅

1 j⋅ϕ = Z (1) ⋅ e (1) , C ⋅ω

для второй гармоники: Z (2 ) = R + j ⋅ 2 ⋅ L ⋅ ω − j ⋅

1 j⋅ϕ = Z (2 ) ⋅ e ( 2 ) . 2 ⋅ C ⋅ω

Комплексные амплитуды первой и второй гармоник тока определяются выражениями: E& (1)m − j⋅ϕ I&(1)m = = I (1)m ⋅ e (1) , Z (1) E& &I (2 )m = (2 )m = I (2 )m ⋅ e − j⋅ϕ(2 ) . Z (2 ) Тогда искомый ток: i (t ) = I (1)m ⋅ sin (ωt − ϕ (1) ) + I (2 )m ⋅ sin (2 ⋅ ωt − ϕ (2 ) ) .

(19)

Комплексные амплитуды первой и второй гармоник напряжения на конденсаторе: π



π

− j⋅ ϕ (1) +  I (1)m − j⋅ϕ(1) − j⋅ 1  &  2 2 & U (1)m =  − j ⋅ ; ⋅e ⋅e = U (1)m ⋅ e   ⋅ I (1)m = C ⋅ω  C ⋅ω 

π



π

− j⋅ ϕ ( 2 ) +  − j⋅ I (2 )m 1  & − j⋅ϕ ( 2 )  2 2 & U (2 )m =  − j ⋅ . ⋅e ⋅e = U (2 )m ⋅ e   ⋅ I (2 )m = 2 ⋅ C ⋅ω  2 ⋅ C ⋅ω 

Искомое напряжение на конденсаторе: 13

π π   u (t ) = U (0 ) + U (1)m ⋅ sin  ωt − ϕ (1) −  + U (2 )m ⋅ sin  2 ⋅ ωt − ϕ (2 ) −  . (20) 2 2   Из выражения (19) следует, что форма кривой тока отличается от формы кривой ЭДС (18), так как в нем соотношение между амплитудами не такое как для ЭДС. Кроме того, начальные фазы гармоник тока отличаются от начальных фаз гармоник ЭДС. Напряжение на резистивном элементе пропорционально току ( u R = R ⋅ i ), поэтому форма кривой напряжения u R аналогична форме кривой тока на этом элементе. Напряжения на индуктивном и емкостном элементах отличаются по форме от несинусоидального тока этих элементов Задача 6.1. Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 33 мГн подключена к источнику питания, ЭДС которого изменяется в соответствии с выражением e = (10 + 20 ⋅ sin ωt + 12 ⋅ sin 3ωt ) В. Записать выражение для мгновенного тока, если частота основной гармоники f = 50 Гц. Р е ш е н и е.

На рисунке 6.4, а изображена схема замещения рассматриваемой цепи, в которой осуществлена эквивалентная замена источника несинусоидальной ЭДС тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно. Расчет схемы рисунок 8, а по принципу суперпозиции сводится к определению токов трех частичных схем, представленных на рисунке 6.4, б – г. в частичной схеме рисунок 6.4, б, являющейся схемой замещения по постоянной составляющей (ω = 0 ) , сопротивление определяется только резистивным элементом R , сопротивление индуктивного элемента L ⋅ ω = 0 . i

E(0)=10 B e(1)=20sinωt

L R

e(2)=12sin3ωt

а)

.

I(0) E(0)

б)

R

.

I(1)m

E (1)m

j .L.ω R

в)

.

.

I(3)m

E (3)m

j .3.L. ω R

г)

Рисунок 6.4 – К задаче 6.1 Комплексные сопротивления в частичных схемах рисунок 8, в и г. o

Z (1) = R + j ⋅ L ⋅ ω = 10 + j ⋅ 33 ⋅ 10 −3 ⋅ 314 = 10 + j ⋅ 10,36 = 14,4 ⋅ e j⋅46 Ом, o

Z (3) = R + j ⋅ 3 ⋅ L ⋅ ω = 10 + j ⋅ 31,1 = 32,67 ⋅ e j⋅72,1 Ом. Постоянная составляющая и амплитудные значения гармоник тока в частичных схемах: E(0 ) 10 I (0 ) = = = 1,0 А, R 10 E& (1)m 20 I&(1)m = А, = Z (1) 14,4 ⋅ e j⋅46o 14

E& (3)m 12 I&(3)m = А. = Z (3) 32,67 ⋅ e j⋅72,1o Мгновенное значение тока: i (t ) = 1 + 1,39 ⋅ sin ωt − 46 o + 0,37 ⋅ sin 3 ⋅ ωt − 72,1o А.

[

(

)

)]

(

Задача 6.2. Напряжение на входе схемы, содержащей последовательно включенные резистивный и емкостной элементы, задано выражением: u = [218 + 141 ⋅ sin (ωt − 0,75) + 31 ⋅ sin (3 ⋅ ωt + 0,21)] В. Записать выражение для мгновенного тока. Определить действующие значения напряжения и тока, если сопротивление резистивного элемента R = 10 Ом, емкость C = 96,5 мкФ, а частота основной гармоники f = 50 Гц. Указание. При расчете частичной схемы замещения цепи по постоянной составляющей необходимо учесть, что сопротивление емкостного элемента при ω = 0 стремится к бесконечности, и поэтому в токе отсутствует постоянная составляющая. Задача 6.3. Определить показания приборов: а)Магнитоэлектрической системы; б)Электромагнитной системы. В схемах рисунка 6.5, R = 3 Ом, а реактивные сопротивления по первой гармонике X L1 = 3 Ом, X L 2 = 5 Ом, X C1 = 9 Ом, X C 2 = 45 Ом, а напряжение источника u = (9 + 12 ⋅ sin 3ωt ) В. C2

V C1

C1 u

R

L2 A

C2 u

L1 A R

а)

R

A V

б)

C2 u L1 L2 R

в)

C2 L2

V

V L2

u

R

A

г)

Рисунок 6.5 – К задаче 6.3

7 Сравнение формы кривых токов и напряжений для идеализированных элементов схем замещения Формы кривых токов в цепях, содержащих индуктивные катушки и конденсаторы, отличаются от формы кривой ЭДС. Проанализируем подробнее это утверждение. uR uL Пусть ток при последовательном соi единении резистивного, индуктивного и емL R костного элементов (рисунок 7.1) имеет, uC кроме основной высшие гармонические соu Рисунок 7.1 – Схема заC мещения цепи с последователь15 но соединенными резистивным, индуктивным и емкостным элементами

ставляющие. Сопротивление индуктивного элемента для k - ой гармоники X L (k ) = k ⋅ ω ⋅ L . Поэтому отношение амплитуд высших гармоник напряжения на индуктивном элементе к амплитуде основной гармоники этого напряжения больше отношения соответствующих амплитуд гармоник тока к амплитуде его основной гармоники. Это различие тем больше, чем выше номер гармоники: U L (k )m U L (1)m

=

X L (k ) ⋅ I (k )m X L (1) ⋅ I (1)m

=

k ⋅ L ⋅ ω ⋅ I (k )m L ⋅ ω ⋅ I (1)m

=k⋅

I (k )m I (1)m

.

(21)

Из (18) следует, что кривая напряжения на индуктивном элементе больше отличается от синусоиды, чем кривая тока, то есть «удельных вес» высших гармоник в ней больше. Сопротивление емкостного элемента для k - ой гармоники: 1 X C (k ) = . C ⋅ k ⋅ω Поэтому отношение амплитуды k - ой гармоники напряжение на емкостном элементе к амплитуде основной гармоники этого напряжения в k раз меньше отношения амплитуд соответствующих гармоник тока: U C (k )m X C (k ) ⋅ I (k )m [1 (k ⋅ C ⋅ ω )] ⋅ I (k )m 1 I (k )m . (22) = = = ⋅ [1 (C ⋅ ω )]⋅ I (1)m k I (1)m U C (1)m X C (1) ⋅ I (1)m Следовательно, кривая напряжения на емкостном элементе меньше искажена, чем кривая тока. Приведенные соотношения можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм амплитудно-частотного спектра. Пусть амплитудно-частотный спектр тока цепи, изображенной на рисунке 7.1 характеризуется диаграммой приведенной на рисунке7.2, а, то есть ток содержит, кроме основной, вторую и третью гармоники. Напряжение на индуктивном элементе имеет амплитудно-частотный спектр (рисунок 7.2, б), характеризующийся тем, что относительные значения амплитуд второй и третьей гармоник этого напряжения соответственно в 2 и 3 раза больше относительных значений амплитуд второй и третей гармоник тока. UkCm I km UkLm I 1m U1Cm U1Lm 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

ω

2ω

а)

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 3ω kω 0

ω

б)

2ω

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3ω kω

ω

2ω

в)

3ω kω

Рисунок 7.2 – Диаграммы амплитудно-частотного спектра тока (а), напряжений на индуктивном (б) и емкостном (в) элементах

16

Диаграмма амплитудно-частотного спектра напряжения на емкостном элементе (рисунок 7.2, в) показывает, что iR iC iL u C R L

«удельных вес» высших гармоник в напряжении u C значительно меньше, чем в токе. Задача 7.1. Напряжение на входе схемы (рисунок 7.3) задано рядом Фу-

рье Рисунок 7.3 – К задаче 7.1

u = (105 ⋅ sin ωt − 4,2 ⋅ sin 3ωt + 2,14 ⋅ sin 7ωt ) В.

Определить процентное содержание высших гармоник относительно основной для напряжения и R=8 Ом, L = 25,5 мГн, токов ветвей, если C = 398 мкФ, ω = 314 1/с. Процентное содержание высших гармоник относительно основной в кривых тока i R и напряжения u одинаково, следовательно, кривая тока в резистивном элементе совпадает по форме с кривой напряжения. Процентное содержание высших гармоник тока индуктивного элемента ниже, чем напряжения, следовательно, кривая тока «сглажена» по сравнению с кривой напряжения. Кривая тока в емкостном элементе более «искажена», чем кривая напряжения

17

.

8 Ответы к задачам Задача 5.1.Ответы приведены в таблице 8.1.

Таблица 8.1 Форма напряжения

U ср.мод. U Ka

Пилообразная U U ср. мод. = max = 5 В 2 U U = max ≅ 5,8 В 3 3

Прямоугольная

U ср. мод. = U max = 10 В U = U max = 10 В 1

Задача 6.2. i = [4,08 ⋅ sin (ωt + 0,53) + 2,08 ⋅ sin (3 ⋅ ωt + 1,04 )] А, U ≅ 240,8 В, I = 3,25 А. Задача 6.3. Ответы приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2 Схема

Наименование прибора Магнитоэлектрический амперметр Магнитоэлектрический вольтметр Электромагнитный амперметр Электромагнитный вольтметр

а

б

в

Г

0

3А

3А

1,5 А

9В

9В

0

0

0,4 А

3,3 А

4,12 А

1,5 А

10,8 В

9В

60 2 В

12

2 В

Задача 6.4. Ответы приведены в таблице 8.3.

Таблица 8.3 Электрическая величина

18

Абсолютные значения величин

Процентное содержание гармоник относительно основной 3 – я гар7 – я гармоника моника 4 2,04

U (k )m , В

1 – я гармоника 105

3 – я гармоника 4,2

7 – я гармоника 2,14

X L (k ) , Ом

8

24

56

-

-

X C (k ) , Ом

8

2,66

1,14

-

-

I R (k )m , А

13,12

0,525

0,267

4

2,04

I L (k )m , А

13,11

0,175

0,038

1,33

0,29

I C (k )m , А

13,12

1,58

1,88

12,04

14,27

19

9 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины 1 Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. - М.: Энергия, 1965.- 360 с. 2 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1996. - 638 с. 3 Нейман Л.Д., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Т.1. Л.:Энергоиздат,1981 - 536 с. 4 Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Стахов С.В. Основы теории цепей. -М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с. 5 Новгородцев А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей. - СПб.: Политехника, 1995. - 519 с. 6 Шебес М.Р., Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1982. - 488 с. 7 Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/ Под ред. Бессонова Л.А.-М.: Высшая школа, 1988. - 543 с. 8 Зайчик М.Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике: Учебн. пособ. - М.:Энергоатомиздат, 1988. - 496 с. 9 Репьев Ю.Г., Семенко Л.П., Поддубный Г.В. Теоретические основы электротехники. Теория цепей: Учеб. пособие для самостоятельного для самостоятельного изучения. - Краснодар: КПИ, 1990. - 290 с. 10 Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей/ Под ред. Ионкина П.А. - М.: Высшая школа, 1976. - 544 с. Электротехника и электроника. Кн.1. Электрические и магнитные цепи: Учеб. для вузов: В 3-х кн. /В.Г. Герасимов, Э.В. Кузнецов, О.В.Николаева и др.; Под ред. В.Г. Герасимова.-М.: Энергоатомиздат, 1996. - 288

20