Методические указания к курсу ''Электростатика''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Богатин А.С., Богатина В.Н., Мироненко И.В. , Раевский И.П.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСУ «ФИЗИКА» для студентов естественных факультетов

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Ростов-на-Дону 2003

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета Протокол №

от

апреля 2003 г.

Авторы: Богатин А.С. – заведующий кафедрой общей физики; Богатина В.Н. – доцент кафедры общей физики; Мироненко И.В. – ст. преподаватель кафедры общей физики; Раевский И.П. – профессор кафедры общей физики.

Мы приступаем к изучению электромагнитного взаимодействия. Это одно из четырех фундаментальных взаимодействий, которыми оперируют физики. Электромагнетизм – слово привычное студентам младших курсов. С электрическими и магнитными явлениями приходится сталкиваться в повседневной жизни. Мы не представляем себе нашу жизнь без электрического тока, радио, телевидения. Многие для зажигания газа пользуются пьезокерамическими зажигалками, автомобилисты хорошо знают, что без системы зажигания не будет работать двигатель внутреннего сгорания. Электрические рыбы известны человечеству с древних времен. Электромагнетизм как наука зародился в глубокой древности. Янтарь (по-гречески электрон) привлекал к себе внимание с весьма далеких времен. Он притягивал пылинки, кусочки папируса, нити. Другой полезный и таинственный камень – магнит, тоже известен человечеству уже тысячи лет. Природные магниты – куски магнитного железняка - магнетита притягивали к себе железные предметы. Это нашло отражение в древних легендах и притчах. По Платону название магнит дано Эврипидом. Есть и другие версии происхождения этого названия. По притче Плиния название дано в честь сказочного пастуха волов Магниса, чья железная палка и гвозди сандалий прилипали к неведомым камням. Есть сведения, что слово «магнит» происходит от названия провинции Магнезия (сейчас Манисса). Об этом пишет Тит Лукреций Кар в поэме «О природе вещей». С тех пор человечество многое узнало об электромагнитных явлениях. И не просто узнало, а поставило очень большое число электромагнитных явлений себе на службу. Выяснилось, что именно электромагнетизм обеспечивает существование прекрасных кристаллов, с электромагнетизмом связаны, казалось бы совсем далекие от него, силы трения и упругости. Да и в организме человека широко проявляются электромагнитные явления. Так, наступив на острый камешек, босой человек узнает об этом за счет разряда конденсатора, имеющегося в нервных волокнах и передачи электрического импульса, вызванного этим разрядом, в головной мозг. О многих электромагнитных проявлениях мы еще поговорим по ходу нашего курса, а пока приступим к его системному изложению. Традиционно курс электромагнетизма начинается с изучения неподвижных электрических зарядов, как говорят, с электростатики. Мы так и поступим. И начнем с изучения свойств электрических зарядов, т.к. именно этим словом – заряд, и описываются те свойства тел, которые позволяют им участвовать в электромагнитном взаимодействии.

3

1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ВАКУУМЕ § 1. Свойства электрических зарядов Перечислим известные свойства электрических зарядов. В дальнейшем на многих из этих свойств мы остановимся подробнее. 1.1. Фундаментальным свойством электрического заряда является его существование в двух видах, которые с давних времен назвали положительными и отрицательными зарядами. Названия эти, разумеется, условные. Современная физика рассматривает существование двух видов зарядов, как свойство симметрии. Это противоположные проявления одного и того же качества, как понятия «правый» и «левый». Наша Вселенная представляет собой хорошо уравновешенную смесь положительных и отрицательных зарядов, что не удивительно из-за взаимодействия зарядов. 1.2. Продолжим разговор о взаимодействии зарядов. Если два небольших заряда А и В отталкиваются и заряд А притягивает третий заряд С, то заряд В тоже притянет заряд С. Иными словами, всегда одноименные заряды отталкиваются друг от друга, а разноименные притягиваются. Количественный закон, устанавливающий меру взаимодействия между заряженными телами малых размеров – так называемыми точечными зарядами, был установлен в 1785 г. Кулоном в ходе тщательных экспериментов. В результате опытов Кулон установил, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направлена эта сила по прямой соединяющей заряженные тела. qq (1) F = k 1 22 r В системе СИ коэффициент пропорциональности k записывают в 1 . Величина ε 0 имеет название электрическая постоянная. виде k = 4πε 0 ε 0 = 8,85⋅10-12 Ф/м. Здесь буквой Ф обозначена физическая величина Фарад, являющаяся единицей ёмкости в системе СИ. 1.3. Разговор о третьем свойстве электрического заряда мы предварим таким мысленным экспериментом. Возьмём два одинаковых металлических шарика. Одному из них сообщим заряд q, а другой оставим незаряженным. Приведем шарики в соприкосновение. Заряд распределится поровну между этими шариками. На каждом будет заряд q/2. Уберем заряд со второго шарика и вновь приведем их в соприкосновение. Теперь на каждом шарике будет заряд q/4. Будем продолжать операцию деления заряда. На каждом шарике остаются заряды q/8, q/16, q/32, q/64 и т.д. 4

Вопрос заключается в том, сможем ли мы продолжать эту операцию как угодно долго, деля заряд на сколь угодно малые части, или есть предел такому делению заряда? Оказалось, что такой предел есть. Физики установили это экспериментально. Самым маленьким электрическим зарядом является заряд по модулю равный заряду электрона е=1,6⋅10-19 Кл. Этот заряд принято называть элементарным электрическим зарядом. Когда на одном из наших шариков останется такой заряд, после прикосновения к нему второго незаряженного шарика заряд е уже не разделится на части, а останется на первом шарике или перейдет на второй , но целиком. Почему самый маленький заряд равен 1,6⋅10-19 Кл современная физика не знает. Можно лишь отметить, что все элементарные частицы, если они заряженные, имеют именно такой заряд положительный или отрицательный. Последнее время физики ввели в обиход новые элементарные частицы – кварки. Кваркам приписывают дробные электрические заряды +2/3 е и -1/3 е. Однако с введением кварков представление о дискретности электрического заряда не снимается, а переносится на другой уровень. Следует сказать, что в обычных случаях с дискретностью заряда сталкиваться почти не приходится, т.к. величины зарядов, с которыми приходится иметь дело, в тысячи, а зачастую и миллионы раз превосходят величину элементарного заряда. 1.4. Четвертое свойство электрического заряда – закон его сохранения. Полный заряд изолированной системы представляет собой величину, которая никогда не изменяется. Под изолированной понимают систему, через границу которой не переносится вещество. Это свойство заряда кажется естественным, но дело в том, что оно выполняется как на макро-, так и на микро уровне. Под действием электромагнитного излучения могут возникать электрические заряды, но возникают они всегда парами – положительный и отрицательный, причем заряды их по модулю всегда в точности равны. 1.5. Оказывается, что величина электрического заряда не зависит от системы отсчета, в которой он измеряется. Как говорят физики, заряд является релятивистки инвариантным. Его величина не зависит от того, движется он или покоится. Все эти свойства электрических зарядов имеют далеко идущие последствия, о которых в дальнейшем и пойдет речь. § 2. Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Мы уже подсчитали силу электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами с помощью закона Кулона. Но не задавались при этом вопросом о том, как удаётся взаимодействовать этим

5

зарядам. Они ведь не находятся в непосредственном контакте. В таких случаях физики говорят, что взаимодействие происходит посредством поля. В нашем случае это поле принято называть электрическим полем (точнее электростатическим). О том, что собой представляет это поле, мы еще поговорим. Сейчас введем его количественную характеристику. Сделаем это следующим образом. Поместим в точку А точечный заряд q1, а в точку В – точечный заряд q2 (рис. 1). Со A B F12 стороны заряда q1, на заряд q2 действует сила F12 (на рисунке заряды q1 и q2 – одноимённые). Уберём заряд q2 и поместим в точку В другой q1 q2 (q3, q4 …) заряд q3. На него действует со стороны q1 другая сила F13 . При помещении в точку В Рис. 1 заряда q4 сила будет F14. Все эти силы F12, F13, F14 различны, но их отношение к величине соответствующего заряда оказываются величиной постоянной и не зависит от величины заряда, находящегося в точке В F12 F13 F14 = = q2 q3 q3 Это отношение зависит лишь от q1 и расстояния от А до В. Таким образом, можно рассматривать отношение как характеристику того изменения в пространстве, которое создаётся зарядом q1, т.е. как характеристику электрического поля, создаваемого зарядом q1. Заряд q1 принято называть зарядом – источником электрического поля, а заряд q2, с помощью которого мы это поле обнаружили по действующей на этот заряд силе, пробным электрическим зарядом. Исследованное нами отношение, которым мы договорились характеризовать электрическое поле, договорились называть напряженностью электрического поля и обозначать Е F (2) E = 12 q2 Напряжённость электрического поля находится как отношение силы, действующий на точечный пробный заряд, помещённый в данную точку поля, к величине этого пробного заряда. Напряженность электрического поля – величина векторная. Вектор напряженности электрического поля направлен по направлению силы, действующей на положительный пробный заряд. Пользуясь определением напряженности поля (2) и законом Кулона (1) можно найти напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q1

6

F12 1 q1 (3) = q 2 4πε 0 r 2 Поле это убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда – источника до тех точек, в которых исследуется поле. E=

§ 3. Принцип суперпозиции электрических полей Слово суперпозиция означает наложение. Речь идет о том, как находить электрические поля, если они создаются не одним зарядом, а несколькими. Заключается этот принцип в том, что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности в отсутствии других зарядов Е=Е1+Е2+Е3+ . . .= ∑ E i

(4)

i

Этот принцип выражает одно из самых замечательных свойств поля и позволяет в принципе вычислять напряженность любой системы зарядов, представив ее как совокупность точечных зарядов. При всей простоте и естественности этого принципа он должен был пройти экспериментальную проверку, которую он успешно выдержал. Так что принцип суперпозиции электрических полей представляет собой опытный факт. Следует отметить, что иногда этот принцип нарушается. Это происходит тогда, когда речь заходит о, так называемых, нелинейных явлениях, происходящих в очень сильных полях. § 4. А существует ли электрическое поле? Понятие электрического поля оказывается весьма удобным при нахождении силы взаимодействия между зарядами. Эту силу легко найти, если речь идет о взаимоденйствии между двумя точечными зарядами. Как поступать, если поле создается совокупностью электрических зарядов? В этом случае удобно задачу о нахождении силы взаимодействия разбить на два этапа. На первом этапе можно найти напряженность поля, создаваемого зарядами – источниками поля. На втором этапе можно уже искать силу, действующую со стороны поля на пробный заряд. При таком подходе возникает вопрос о том, существует ли на самом деле электрическое поле? Может его нет, а мы вводим это понятие для удобства расчета силы, действующей на пробный заряд? Иными словами надо ответить на такой вопрос, действительно ли один из зарядов создает 7

поле, а это поле действует на заряд с некоторой силой или заряды взаимодействуют между собой непосредственно без какого-либо поля? Выбрать между этими двумя подходами, оставаясь в рамках электростатики практически невозможно. Электростатическое поле существует при наличии зарядов, его создавших и это не позволяет осуществить выбор. Иная ситуация возникает при рассмотрении переменных электромагнитных полей. Эти поля могут существовать и действовать на токи и заряды даже без источников, их создавших, и это делает выбор между двумя подходами совершенно однозначным. § 5. Силовые линии электрического поля Часто в силу тех или иных обстоятельств оказывается удобным задавать электрические поля в пространстве не аналитически с пощью формул, а графически, рисуя карты электрического поля. Такое графическое представление полей удобно проводить, используя силовые линии электрического поля или, как их иначе называют, линии напряженности электрического поля. Назовем силовой линией электрического поля линию, которая начинается на положительных зарядах и заканчивается на отрицательных. Проходят эти линии так, чтобы касательная, проведенная к этой линии в каждой ее точке, совпала с вектором напряженности электрического поля. Силовые линии электрического поля нигде не пересекаются (только на зарядах), располагаются перпендикулярно к заряженным поверхностям. Их принято проводить так, чтобы по густоте расположения линий можно было судить о величине напряженности поля. Рассмотрим несколько примеров проведения силовых линий. На рис. 2 нарисованы силовые линии положительного точечного заряда, а на рис. 3 – силовые линии диполя.

Рис. 2

Рис. 3

§ 6. Поток вектора напряженности электрического поля 8

Теорема Гаусса Принцип суперпозиции электрических полей позволяет подсчитать электрическое поле любой системы зарядов. Но есть еще один способ подсчета напряженности электрического поля. Им удобно пользоваться всегда, когда заряды, создающие поле, распределены в пространстве симметрично. Причем вид симметрии может быть любым. Введем некоторую вспомогательную физическую величину, которая называется поток вектора напряженности электрического поля через поверхность. Обозначим этот поток буквой N. Проще всего ввести поток вектора Е для случая однородного электрического поля. Пусть некоторая плоская площадка S находится в однородном электрическом поле. Назовем потоком вектора Е через площадку (рис. 4) S

величину N = ES cosα ,

α

здесь α – угол между нормалью n к нашей

E E

площадке и вектором Е. Поскольку проекция вектора Е на направление нормали может быть

n

E

Рис. 4

записана как E n = E cosα последнее равенство может быть переписано в виде N = En S

(5)

В общем случае поток dN через площадку dS запишется dN = E n dS , а поток через S находится, как N = ∫ E n dS

(6)

S

Интегрирование в формуле (6) ведется по всей интересующей нас поверхности S. Это самое общее определение потока Е через поверхность S. Им мы и будем пользоваться в дальнейшем. Попробуем теперь подсчитать поток вектора Е через сферическую поверхность радиуса r, в центре которой находится точечный заряд q (рис.5). Поток вектора Е через сферическую поверхность S можно записать +q

N = ∫ E n dS . В этом выражении кружок на S

интеграле поставлен для обозначения того 9

обстоятельства, что интегрирование ведется r

S

по замкнутой поверхности. Подставим в последнее равенство выражение для

Рис. 5

напряженности поля точечного заряда и учтем, что силовые линии поля точечного заряда перпендикулярны к сферической поверхности, т.е. направлены вдоль нормали к ней и в силу этого E n равно модулю Е. N=∫

1

q

dS 2 4 πε r 0 S В подынтегральном выражении все сомножители кроме dS остаются на поверхности сферы постоянными и их можно вынести за знак интеграла. Интеграл же по сферической поверхности от ее элемента равен площади этой поверхности. В итоге, можно записать N=

1

q

1

∫ dS = 4πε

q

4πr 2 =

1

q 2 4πε 0 r 2 S ε r 0 0 Какой бы замкнутой поверхностью мы не окружали бы этот заряд, поток через нее был бы таким же. Если внутрь этой поверхности попали бы и другие заряды, поток Е был бы пропорционален алгебраической сумме этих зарядов. Все сказанное можно сформулировать в виде теоремы, которую принято называть теоремой Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, окруженных этой поверхностью. 1 (7) ∫ E n dS = ∑ qi

ε0 i Как уже говорилось, эта теорема оказывается очень удобной для подсчета напряженностей полей, созданных зарядами, распределенными в пространстве с той или иной симметрией. Эта теорема отражает одно из очень важных свойств электрических полей и к ней нам придется в дальнейшем обращаться неоднократно. В заключение следует сказать, что мы не доказывали строго эту теорему. Доказательство требует громоздких математических выкладок. Мы рассмотрели лишь частный пример и на его основе обобщили результат на общую ситуацию. Однако это ни в коей мере не умаляет важность полученного результата. S

§ 7. Работа электрических сил при переносе заряда в электрическом поле

10

Пусть заряд q (рис. 6) создает электростатическое поле, а пробный заряд q’ надо переместить из точки 1 в точку 2. Работа по перемещению заряда из точки 1 F в точку 2 определяется выражением: α dl dr 1 2 2 r r 2 2 r r r r A = ∫ Fdl = ∫ q' Еdl = q' ∫ Еdl (8) 1 1 1 r r

( )

r1

( )

( )

r r2

q Рис. 6

r

r

Скалярное произведение векторов Е и d l можно представить в виде:

(Е d l ) = Е dl cosα = 4πε1 r r

0

q 1 q dl cos α = dr 2 r 4πε 0 r 2

(9)

Подставив (9) в (8) и произведя интегрирование, получим r2 r r r qq' 2 dr qq' ⎛ 1 ⎞ q' ∫ Е d l = = ⎜− ⎟ 4πε 0 r∫1 r 2 4πε 0 ⎝ r ⎠ r1 r1 r2

(

)

Итак, работа по перемещению q' из 1 в 2 имеет вид: А=

qq' 4πε 0

⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ r1 r2 ⎠

(10)

Из (10) следует два очень важных вывода: во – первых, работа сил электростатического поля по перенесению заряда не зависит от формы траектории, а только от положения начальной и конечной точек; во – вторых, работа электростатических сил по замкнутому контуру равна 0. Поля, работа которых по замкнутому пути равна нулю, или, что тоже самое, не зависит от формы перемещения между двумя точками поля, называются потенциальными. Электростатическое поле – тоже потенциальное поле. Другим примером потенциального поля является гравитационное поле. Не следует думать, что любые поля являются потенциальными. Так поле трения – вовсе не потенциальное поле. Двигая тело в поле сил трения по замкнутой траектории, мы на каждом отрезке этой траектории совершаем отрицательную работу. Поэтому суммарная работа при таком переносе тела оказывается отрицательной. Придадим выражению (10) иное математическое выражение. 11

Поскольку работу сил электростатического поля на участке траектории dl можно записать, как dA = Fl dl , где Fl – проекция сил электростатического поля на направление перемещения заряда, то с учетом равенства нулю работы по замкнутому контуру A = ∫ Fl dl = 0

(11)

l

Кружок поставленный на знак интеграла относится к пределам интегрирования и означает, что здесь речь идет о суммировании по замкнутой траектории. Математики договорились такой интеграл взятый по замкнутой кривой называть циркуляцией вектора, стоящего под знаком интеграла. Воспользовавшись определением напряженности электрического поля (2), соотношение (11) можно переписать q ∫ E l dl = 0 и l

окончательно, разделив на q левую и правую части равенства получим

∫ E l dl = 0

(12)

l

Это утверждение означает, что циркуляция вектора Е по замкнутому контуру равна нулю и выражает то обстоятельство, что электростатическое поле является потенциальным полем. Равенство (12) является интегральной формой утверждения о потенциальности электрического поля. § 8. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля Выделим в электрическом поле две точки 1 и 2 и перенесем некоторый заряд q из точки 1 в точку 2 (рис. 6). Работу сил электрического поля по такому переносу обозначим А12. Если мы будем переносить между этими точками другой заряд, то величина работы будет, естественно, другой. Но вот, что интересно. Хотя величина совершенной работы зависит от величины перенесенного заряда, но отношение этой работы к величине перенесенного заряда уже не зависит от величины переносимого заряда. Следовательно, это отношение является некой новой характеристикой электрического поля. Мало этого, поскольку работа А12 не зависит от траектории переноса (10), то выше названное отношение будет характеризовать не все электрическое поле, а только его две точки 1 и 2, да к тому же оно будет однозначной характеристикой этих точек. Такую характеристику принято называть разностью потенциалов между точками 1 и 2 и обозначать как ϕ 12 или ϕ 1 − ϕ 2 .

12

Итак, обобщая уже сказанное, можно утверждать, что разностью потенциалов между точками 1 и 2 электрического поля называют отношение работы, которую совершают силы электрического поля по переносу заряда из точки 1 в точку 2 к величине перенесенного заряда ϕ 12 = ϕ 1 − ϕ 2 =

A12 q

(13)

В качестве второй точки, в которую из данной точки переносится заряд, можно избрать какую-либо заранее выбранную точку. Ее можно выбрать либо в бесконечности, либо на поверхности Земли, либо в какомнибудь другом месте. Можно подсчитать работу по переносу заряда из данной точки в эту заранее выбранную точку и, разделив эту работу на величину перенесенного заряда, мы получим величину, называемую потенциалом данной точки поля ϕ, относительно этой заранее выбранной точки. Так можно ввести понятие потенциала относительно бесконечности, потенциала, относительно Земли и т.п. В каждой конкретной задаче точку, относительно которой отсчитывается потенциал, можно выбирать заново исходя из условий задачи. Следует еще раз подчеркнуть, что, хотя мы и пользуемся в этих случаях понятием потенциал, но физический смысл этого понятия по-прежнему связан с разностью потенциалов. Под потенциалом точки поля имеется в виду разность потенциалов между данной точкой поля и какой-то заранее выбранной его точкой. Разность потенциалов, потенциал – энергетическая характеристика электрического поля. Понятие разности потенциалов широко используется физиками по двум причинам. Во-первых, это величина, в отличие от напряженности поля, величина скалярная, а со скалярными величинами работать легче, чем с векторными. И во-вторых, приборы для измерения разности потенциалов имеют более простое устройство и шире, в связи с этим распространены, чем приборы для измерения напряженности электрического поля. Пользуясь определением понятия разности потенциалов, можно установить единицу для измерения этой величины. В системе СИ работа измеряется в джоулях, заряд в кулонах, поэтому за единицу разности потенциалов принимают разность потенциалов между двумя точками поля в том случае, если для переноса заряда в 1 кулон между этими точками силами поля совершена работа в 1 джоуль. Эту единицу называют вольт (В). 1 В = 1 Дж/1 Кл Мы уже сказали, что из-за того, что потенциал величина скалярная, многие математические преобразования с этой величиной проще осуществлять, чем с напряженностью поля. Убедимся в этом на примере поиска потенциалов системы зарядов.

13

Пусть эта система состоит из неподвижных точечных зарядов, создающих электростатическое поле. Ранее на примере этой системы мы сформулировали принцип суперпозиции электрических полей, используя напряженность поля (3). Для потенциала ϕ этой системы зарядов в произвольной точке можно записать (14) ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ... Здесь ϕ 1 , ϕ 2 и т.д. – потенциалы поля, создаваемых в этой точке каждым из зарядов при отсутствии остальных. Разумеется, на этот раз речь идет об алгебраической сумме. Убедиться в справедливости соотношения (14) можно на основании следующих рассуждений. Подсчитаем работу сил электрического поля по переносу заряда q из данной точки поля, в какую-то заранее выбранную точку. Эта работа может быть представлена как сумма работ, совершаемых силами полей, создаваемых каждым из зарядов источников в отдельности (15) A = A1 + A2 + A3 + ... Разделив равенство (15) почленно на величину переносимого заряда q получим утверждение (14). § 9. Связь между напряженностью электрического поля и разностью потенциалов Поскольку мы ввели для характеристики электрического поля две величины: напряженность поля и разность потенциалов, то нам нужно выяснить взаимосвязь между ними, чтобы, зная одну из характеристик поля, всегда можно было бы устанавливать и вторую. Для установления этой взаимосвязи поступим следующим образом. Выберем в пространстве две близко расположенные E точки поля 1 и 2 (рис. 7). Обозначим расстояние между этими точками через dr, а потенциалы каждой α из точек соответственно через ϕ 1 и ϕ 2 . Разность 1 dr потенциалов ϕ 2 − ϕ 1 пусть будет равна dϕ. 2 Напряженность электрического поля в области Рис. 7 нахождения точек 1 и 2 охарактеризуем вектором Е. Подсчитаем теперь работу по переносу некоторого заряда из точки 1 в точку 2. Это можно сделать двумя способами: с использованием разности потенциалов и с использованием напряженности поля. Итак, работа по переносу заряда из 1 в 2 может быть записана с учетом (13) dA = q(ϕ 1 − ϕ 2 ) = − qdϕ (16) С другой стороны (17) dA = Fdr cos α = Fr dr = qE r dr Приравниваем правые части равенств (16) и (17) и получаем 14

dϕ (18) dr Формула (18) описывает взаимосвязь двух характеристик поля. Используя ее можно, зная закон изменения потенциала в каком-то направлении, найти проекцию Е на это направление. Используя (18), можно решать и обратную задачу. Er = −

2

ϕ 1 − ϕ 2 = ∫ Er dr

(19)

1

По известному закону изменения Е в пространстве можно находить разности потенциалов между точками поля. При этом в (19) интегрирование можно вести по любой линии, соединяющей точки 1 и 2. Из соотношения (18) можно увидеть, в каких единицах измеряется напряженность электрического поля. В СИ разность потенциалов измеряется в вольтах, расстояние – в метрах, а напряженность поля, в вольтах, деленных на метр (В/м). Посмотрим теперь, как, зная распределение потенциала электрического поля в пространстве, найти не одну проекцию напряженности поля, а весь вектор Е. Проекции Е на координатные оси декартовой системы координат по аналогии с (18) имеют вид

Ex = −

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ; E y = − ; Ez = − , ∂x ∂y ∂z

а сам вектор

E = Ex i + E y j + E z k = −

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ i− j− k ∂x ∂y ∂z

(20)

(21)

i, j, k – единичные векторы вдоль соответствующих координатных осей. Математическая операция, проделанная с потенциалом ϕ в правой части равенства (21)

i

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +j +k ∂x ∂y ∂z

представляет собой некоторый

вектор, который математики называют градиентом скалярной величины, стоящей под знаком этой математической операции, в нашем случае градиентом потенциала. Градиент сокращенно обозначается grad, поэтому равенство (21) с использованием понятия градиента, может быть записано E = − gradϕ . (22) С точки зрения математики эта функция является вектором, который определяет изменение потенциала ϕ в окрестности некоторой точки. Направление вектора grad ϕ в этой точке является направлением, в которой следует двигаться от этой точки для наиболее быстрого увеличения потенциала. Знак минус в (22) показывает, что напряженность поля направлена из области большего потенциала в область меньшего потенциала. 15

Введение потенциала как характеристики электрического поля позволяет предложить еще один способ графического изображения полей. Делать это можно с помощью, так называемых, линий (или поверхностей) равного потенциала или эквипотенциальных поверхностей. Если проводить эквипотенциальные линии с постоянной разностью потенциалов, то по густоте их проведения можно судить о быстроте изменения потенциала в пространстве. Возникает вопрос о взаимной ориентации эквипотенциальной поверхности и линий напряженности. Предположим, что мы пронесем по некоторой эквипотенциальной поверхности по замкнутой траектории заряд q. Потенциалы конечной и начальной точек переноса совпадают и разность потенциала между ними равна нулю. Следовательно, работа, которую совершает поле при таком переносе, тоже нулевая. С точки зрения напряженности поля работа переноса равна нулю, если в процессе переноса заряд двигается перпендикулярно к напряженности поля. Следовательно, эквипотенциальные поверхности располагаются перпендикулярно к силовым линиям поля. Так для точечного заряда эквипотенциальные поверхности – сферические поверхности с центром на заряде (рис. 8). Пунктиром на рисунке проведены силовые линии.

q

Рис. 8

§ 10. Потенциалы некоторых систем зарядов Попробуем, пользуясь взаимосвязью потенциала с напряженностью поля и зная (19) закон изменения напряженности поля, найти потенциал поля плоского конденсатора. Будем искать потенциал поля плоского конденсатора относительно отрицательно заряженной обкладки в произвольной плоскости, отстоящей +σ

х 16

на расстоянии x от этой обкладки (рис. 9). Введем ось X и направим ее вверх от отрицательно заряженной обкладки. Напряженность поля направлена от положительно заряженной обкладки к отрицательно

σ заряженной и величина Е равна E = . ε0 σ Проекция Е на ось Х равна E x = − . ε0 По (19) запишем для ϕх

σ 0 σx ϕ x = ∫ E x dx = − ∫ dx = . ε0 x ε0 x

B d

Е A -σ Рис. 9

0

(23)

Разность потенциалов между обкладками равна ϕ AB =

σd , ε0

(24) где

d – расстояние между обкладками. § 11. Энергия системы зарядов Нам необходимо научиться вычислять энергию взаимодействия системы зарядов. Понятие о потенциале облегчит решение этой задачи. Для начала рассмотрим два одноименных точечных заряда, находящихся на расстоянии r друг от друга. Если один заряд закрепить, а другому предоставить возможность двигаться, то за счет электростатического отталкивания он удалится бесконечно далеко от первого заряда. При этом силы электрического поля совершат над зарядами работу, которая равна энергии взаимодействия зарядов, когда они находятся на расстоянии r друг от друга. Эту энергию принято называть потенциальной энергией взаимодействия A = W∏ . Работу по переносу заряда нетрудно подсчитать A = q1ϕ 1 , где ϕ1 – потенциал, создаваемый зарядом q2 в месте нахождения заряда q1 (этот потенциал подсчитан относительно бесконечно удаленной точки и в ней обращается в нуль).

17

Итак, W = q1ϕ 1 =

q1q2 . 4πε 0 r

(25)

Перепишем равенство (25) в виде 1 q2 q1 1 q2 q1 1 1 + = q1ϕ 1 + q2ϕ 2 (26) 2 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 2 Здесь теперь ϕ2 – потенциал, создаваемый зарядом q1 в месте нахождения заряда q2. Выражение (26) легко обобщить на систему, состоящую из n зарядов, расположенных на определенном расстоянии друг от друга. Эта энергия выразится через сумму работ, необходимых для переноса каждого заряда qi из бесконечности в то место, где он должен быть расположен. При этом получается выражение W=

1 n W = ∑ q iϕ i , (27) 2 i =1 где ϕi – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме i -го в месте, где находится i -ый заряд. § 12. Проводники в электрическом поле При внесении проводника в электрическое поле носители заряда в нем приходят в движение под действием сил электрического поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, их называют индуцированными зарядами (см. раздел 1.1.). Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Перераспределение зарядов продолжается до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю. Таким образом, всюду внутри проводника Е=0 (28) В соответствии с (19) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянен ( ϕ = const ) и равен потенциалу на его поверхности. В свою очередь, постоянство потенциала на поверхности проводника означает, что его поверхность является эквипотенциальной и силовые линии электрического поля перпендикулярны к этой поверхности в каждой ее точке. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также обращается в нуль. На этом основана электростатическая защита. Если какой-то объект хотят защитить от воздействия внешних электростатических полей, его окружают проводящим экраном. Внутри 18

экрана внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов, возникающих на его поверхности. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Рассмотрим замкнутую поверхность внутри проводника. Поле внутри проводника отсутствует, поток вектора Е через эту поверхность равен нулю и согласно теореме Гаусса алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности тоже будет равна нулю. Таким образом, в любом месте внутри объема проводника отсутствуют избыточные заряды. Все они расположатся по поверхности проводника с некоторой плотностью σ. Рассмотрим поверхность цилиндра, образующая которого нормальна к поверхности проводника, а основания, площадь которых dS расположены одно снаружи проводника, а одно внутри (рис. 10). Поток вектора Е через эту поверхность E представляет собой поток через боковую поверхность (он равен нулю, т.к. нормаль к E=0 боковой поверхности перпендикулярна к Е), dS dS поток через внутреннее основание (он равен нулю, т.к. внутри проводника поле отсутствует) и потока через внешнее основание (этот поток отличается от нуля). Т.к. вблизи проводника Е перпендикулярен Рис. 10 поверхности, то поток через внешнее основание (он равен потоку через всю поверхность цилиндра) равен EdS и теорему Гаусса для этой поверхности можно записать EdS =

откуда E=

1

ε0

σ ε0

σ dS ,

(29)

Формула (29) показывает, что напряженность поля вблизи проводящей поверхности вне проводника определяется поверхностной плотностью заряда на нем. Заряды же эти распределяются по поверхности неравномерно. Наибольшая их плотность имеет место вблизи заострений. У таких мест по (29) велика и Е. Это приводит к интересному явлению «стекания» заряда с металлических острий. В больших полях воздух вблизи острий ионизируется. Ионы с тем же знаком заряда, что и у острия, движутся от острия, ионы с противоположным знаком движутся к острию и уменьшают его заряд. Движущиеся от острия ионы увлекают нейтральные молекулы воздуха, отчего возникает электрический ветер. Его можно обнаружить по отклонению пламени свечи, поднесенной к острию.

19

§ 13. Электрическая емкость Рассмотрим некоторое уединенное проводящее тело. Если сообщить ему заряд q1, то тело относительно бесконечно удаленной точки приобретет потенциал ϕ1. При сообщении этому телу другого заряда q2 потенциал будет ϕ2, для заряда q3 это будет ϕ3 и т.д. Интересно отметить, что при этом отношение заряда, сообщенного телу, к величине возникающего при этом на теле потенциала будет величиной постоянной и не будет зависеть от величины заряда, переданного телу. Для другого тела это отношение будет тоже величиной постоянной, но сама величина отношения будет уже иной. Таким образом, появляется возможность ввести еще одну характеристику проводящего тела. Эту характеристику назвали электрическая емкость. Если обозначить электроемкость как С, то по сказанному выше q C= , (30)

ϕ

где q – сообщенный телу заряд, а ϕ – возникающий при этом потенциал этого тела. В системе СИ за единицу электроемкости (часто говорят емкости тела) принимают емкость, которой обладает уединенное проводящее тело, которое при сообщении ему заряда в 1 Кл, приобретает потенциал в 1 В. Такую единицу электроемкости называют фарад (Ф). Фарад очень большая емкость (скоро мы в этом убедимся), поэтому на практике в электро- и радиотехнике часто пользуются более мелкими единицами электроемкости пикофарад (пкФ) и микрофарад (мкФ). 1 Ф = 106мкФ = 1012пкФ. Подсчитаем электрическую емкость уединенной проводящей сферы. Ее потенциал относительно бесконечно удаленной точки равен 1 q ϕ= , 4πε 0 R R – радиус сферической поверхности. Подставив ϕ в (30), получаем q C= = 4πε 0 R . (31) q 4πε 0 R Таким образом, емкость уединенного тела прямо пропорциональна его размерам (в нашем случае радиусу). Для оценки величины единицы емкости попробуем оценить емкость Земного шара. Его радиус R = 6400 км = 6,4 ⋅ 106 м . Подставим этот радиус в (31) С = 4⋅3,14⋅8,85⋅10-12Ф/м⋅6,4⋅106 м = 7,11⋅10-4Ф = 711 мкФ. Таким образом, фарад действительно большая единица, если такой

20

емкостью обладает шар, радиус которого в 1/0,000711 = 1406 раз больше радиуса Земли. Как мы только что увидели, уединенные проводники обладают малой емкостью. Однако емкость уединенного тела можно значительно увеличить, если поднести к нему другое тело или тела. Поскольку на практике нужны устройства с большой электроемкостью, это обстоятельство стали использовать для создания таких устройств. В основе описанного возрастания емкости тел при приближении к ним других тел лежит следующее. При сближении тел заряды, противоположные по знаку заряду рассматриваемого проводника, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные, и оказывают большое влияние на его потенциал. Потенциал проводника уменьшается, а емкость, как видно из (30), растет. Систему двух (или более) проводящих тел, емкость которых уже не зависит от других окружающих тел, принято называть конденсатором. Сами эти тела называют обкладками конденсатора. Силовые линии, исходящие из одной обкладки заканчиваются на другой (других). В зависимости от геометрии обкладок различают 3 вида конденсаторов. С плоским конденсатором мы уже сталкивались. Обкладки плоского конденсатора представляют собой две параллельные пластины, расстояние между которыми мало по сравнению с их размерами. Простым конденсатором является также сферический конденсатор, обкладки которого две концентрические сферы. Трубчатый или цилиндрический конденсатор имеет обкладки в форме коаксиальных цилиндров. Для любой формы конденсаторов можно легко экспериментально установить, что с ростом площади обкладок и с уменьшением расстояния между ними емкость конденсатора возрастает. Попробуем теперь вычислить емкость самого простого плоского конденсатора. Разность потенциалов между его обкладками дается формулой (24), а заряд на обкладках площадью S находится легко q = σ S . Подставив значения заряда и разности потенциалов в (30), получаем C* =

σ S ε0 ε0S = σd d

(32)

В формуле (32) d – расстояние между обкладками. Емкость конденсатора легко увеличить, не меняя его геометрию, а заполнив пространство между обкладками диэлектриком. От этого емкость конденсатора возрастает в ε раз. Величину ε называют относительной диэлектрической проницаемостью диэлектрика. К этому понятию мы вернемся, рассматривая электрические поля, создаваемые зарядами внутри диэлектрика. Итак, для плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, получаем

21

C = ε C* =

εε 0 S d

(33)

Анализируя выражение (33) нетрудно увидеть, что, как и следует из эксперимента, емкость можно увеличить, увеличивая S и уменьшая d. Хотя промышленность выпускает множество самых разных конденсаторов, отличающихся формой обкладок, видом диэлектрика, емкостью, но часто на практике приходится сталкиваться с необходимостью использовать конденсатор с номиналом, которого нет в наличии. В этих случаях можно с целью подбора нужной емкости составить батарею из конденсаторов, имеющихся в наличии. Проще всего рассчитывать емкости таких батарей, если конденсаторы в них включены последовательно или параллельно. Посмотрим, как это можно сделать. Начнем с последовательного включения. Оно изображено на рис. 11. C1

-q1

C2

q1 -q2 q2 -q

q

∆ϕ

Рис. 11 Два конденсатора С1 и С2, составляющие эту батарею, включены последовательно. Наша задача найти емкость С, которой можно заменить эту батарею конденсаторов. Создав разность потенциалов между обкладками конденсаторов, входящих в батарею, мы заряжаем их. Допустим, заряд левой обкладки конденсатора С1 является отрицательным (его модуль обозначим q1), а заряд правой обкладки конденсатора С2 является положительным (обозначим q2). На внутренних обкладках конденсатора при этом происходит смещение зарядов. Внутренняя обкладка конденсатора С1 приобретает заряд q1, а конденсатора С2 – заряд q2. До зарядки конденсаторов суммарный заряд на внутренних обкладках был равен нулю и т.к. через идеальный конденсатор заряд пройти не может, он таким и остается. Поэтому +q1- q2=0 и q1= q2, т.е. заряды на последовательно включенных конденсаторах одинаковы. Можно утверждать, что заряд, подошедший при зарядке к конденсатору С q= q1= q2, т.к. этот конденсатор заменяет последовательно включенные конденсаторы. Итак, для трех рассматриваемых нами конденсаторов можно написать ; C2 = q ;C = q . Найдя из этих равенств ∆ϕ , ∆ϕ1 , ∆ϕ 2 и C1 = q ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ 1

2

подставив в 22

∆ϕ = ∆ϕ 1 + ∆ϕ 2

(34)

1 1 1 = + , C C1 C 2

(35)

получаем

откуда C1 C2 . (36) C1 + C2 При последовательном включении нескольких конденсаторов равенство (35) переходит в 1 1 1 1 = + + +... (37) C C1 C2 C3 Теперь остановимся на параллельном включении конденсаторов. Такая батарея приведена на рис. 12. C=

C1 -q1 q1

-q2 q2 C2 -q q ∆ϕ

Рис. 12 В этом случае заряд, подходящий к обкладкам конденсатора С равен сумме зарядов, подходящих к обкладкам конденсаторов С1 и С2 (38) q = q1 + q 2 Разности же потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинаковы и равны U. Найдя из C1 = q ∆ϕ ; C 2 = q ∆ϕ ; C = q ∆ϕ заряды и 1

2

подставив их в (38) получаем

(39) C = C1 + C2 При параллельном включении большого числа конденсаторов получаем (40) C = C1 + C2 + C3 + ... § 14. Энергия заряженного конденсатора

23

Если к обкладкам заряженного конденсатора присоединить проводники, замкнутые на электрическую лампочку, то лампочка вспыхнет. При этой вспышке в ней выделяется энергия, которая ранее была запасена в конденсаторе. Оценим величину этой энергии. Для этого начнем переносить с одной обкладки конденсатора маленькими порциями электрические заряды, заряжая конденсатор. К моменту очередного переноса заряда dq с одной обкладки на другую в конденсаторе создалась разность потенциалов ∆ϕ . Тогда работа dA, затраченная на такой перенос, может быть записана, как dA = ∆ϕ dq

Работа dA идет на увеличение энергии, запасенной в конденсаторе. Суммируя работы по переносу заряда с ранее незаряженной обкладки, на вторую обкладку конденсатора мы вычислим тем самым и энергию зарядов, накопившуюся в конденсаторе. U

A = W = ∫ ∆ϕ dq

(41)

0

По (30) q=C ϕ и dq=Cd ϕ , поэтому (41) можно переписать C∆ϕ 2 W = ∫ Cϕ dϕ = 2 0 u

(42)

Выражение для энергии, запасенной в конденсаторе, (42) с учетом определения емкости (30) можно записать C∆ϕ 2 q∆ϕ q 2 W = = = . 2 2 2C

(43)

Все эти выражения совершенно равноправны. Выражение для энергии, запасенной в конденсаторе, можно было бы получить, воспользовавшись выражением (27). § 15. Энергия электрического поля При зарядке конденсатора мы тратим энергию на создание внутри этого конденсатора электрического поля. Поэтому энергия, запасенная в заряженном конденсаторе, является энергией, существующего в нем поля. Попробуем вычислить объемную плотность энергии этого поля ω, т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема поля. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подставим в выражение для энергии плоского конденсатора (42) его емкость (33) W =

C∆ϕ 2 εε 0 S∆ϕ 2 = 2 2d

Домножив в последнем выражении числитель и знаменатель на d, получим в числителе Sd=V объем, занимаемый полем, а его напряженность Е найдется как E= ∆ϕ /d. В итоге получаем

24

W=

εε 0 E 2V

2 Объемную плотность энергии поля получим, разделив W на V, εε 0 E 2 ω= (44) 2 В случае однородного поля его энергию можно подсчитать, умножив ω на объем V , занимаемый полем W = ωV (45) Для неоднородного поля приходится разбивать объем, занимаемый полем, на достаточно малые объемы dV, такие, чтобы в их пределах можно было бы считать поле однородным. Энергия такого участка поля dW = ω dV , и энергия всего поля найдется путем суммирования dW ε W = ∫ dW = ∫ ωdV = 0 ∫ εE 2 dV (46) 2 V v V § 16. Электрический диполь Как мы уже говорили, электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов: +q и -q, расстояние между которыми l значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в которых определяется поле этой системы зарядов. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Сам электрический диполь принято характеризовать его электрическим моментом р. Электрический момент диполя (его иначе называют дипольный момент) – это вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и модуль которого равен произведению q и l (рис. 13). р = ql Поле диполя обладает осевой симметрией. Сориентируем диполь вдоль оси х (рис. 14), а ось у направим вдоль серединного перпендикуляра к l. -q

y

q l

θ

p -q l

Рис. 13

М

x

q Рис. 14

В случае, когда М находится от диполя на расстоянии r, значительно превышающем l, можно для потенциала диполя записать:

25

ϕ≈

P cos θ 1 x = P , 4πε 0 r 2 4πε 0 r 3 1

(47)

для модуля вектора Е E=

1

P 3 cos 2 θ + 1 . 3 4πε 0 r

(48)

Как видно из (47) потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда (1/r2 вместо 1/r). Напряженность поля диполя также убывает быстрее (1/r3), чем напряженность поля точечного заряда (1/r2). Этого результата и следовало ожидать, на больших расстояниях два заряда противоположных знаков кажутся столь близкими, что нейтрализуют друг друга. В разных направлениях на одинаковом расстоянии от диполя Е имеет разные значения. При θ = 0 (на оси диполя) мы получаем для 1 2P E || = , (49) 4πε 0 r 3 а для θ = π 2 (перпендикулярно к оси) 1 P E⊥ = . (50) 4πε 0 r 3 Величины этих полей при одинаковом r отличаются в два раза. Посмотрим теперь, как ведет себя диполь, помещенный в электрическое поле. Начнем с однородного поля (рис. 15). На заряды диполя со стороны поля действуют равные по величине, но противоположно направленные силы f1 и f2. E +q P α f1 lsinα f2 -q Рис. 15 Эти силы образуют пару с плечом l sin α . Модуль каждой из сил равен qE. Момент этих сил, таким образом равен M = qEl sin α = PE sin α (51) В векторном виде равенство (51) может быть записано M = [ P , E] . (52) Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы дипольный момент установился по направлению поля. Если мы захотим увеличить угол между Р и Е на dα, нужно совершить работу против электрических сил. Эта работа равна

26

dA = Mdα = PE sin α dα

(53) Совершенная работа увеличивает потенциальную энергию диполя в электрическом поле (54) dW = dA = PE sin α dα Проинтегрировав (54) и положив постоянную интегрирования нулю, получаем W = − PE cos α = −( P , E) . (55) Выбор константы интегрирования, равной нулю, означает выбор уровня отсчета потенциальной энергии. Она, таким образом, равна нулю, когда диполь перпендикулярен к полю. Эта энергия минимальна (-РЕ) для α = 180°. В связи с тем, что в неоднородном поле силы f1 и f2 не равны по модулю, кроме вращающего момента возникают еще силы, стремящиеся переместить диполь в область с большим или меньшим значением напряженности. Рассмотрим силы, действующие на диполь в неоднородном поле (рис. 16).

f P f2

f1 q E

-q а)

f P

f P f1 q

f1 q

f2 f1 -q q

f2 -q E б)

f P

E

E в)

f2 -q

г)

Рис. 16 В случае, когда Р сонаправлен с Е (а, г) результирующая сила f стремится вдвинуть диполь в область с более сильным полем. При Р, направленном против Е (б, в), сила двигает диполь в область слабых полей. q α Оценим теперь эту силу количественно (рис. 17). Направим ось х вдоль изменения x -q электрического поля, совпадающего с Е в E месте нахождения диполя. Проекция силы f Рис. 17 на ось х может быть записана как

27

∂W , ∂x

(56)

∂E cos α . ∂x

(57)

fx = −

откуда с учетом (55) fx = P

Формула (57) естественно дает те же результаты, что и проведенные ранее качественные рассмотрения. Для α=0, fx > 0 и направлена в положительном направлении оси х. Эта сила втягивает диполь в область с большей Е. Для α = 180°, fx < 0 и диполь выталкивается в область слабых полей.

§ 17. Биопотенциалы Биологические жидкости, циркулирующие в телах животных и растениях, содержат значительное число положительных и отрицательных ионов. Процессы обмена, непрерывно происходящие в живых организмах, приводят к перераспределению зарядов в тканях и возникновению потенциалов, называемых биопотенциалами. К настоящему времени установлено, что все клетки животных и растительных организмов обладают тем или иным видом электрической активности. Для клеток в состоянии покоя характерна разность потенциалов порядка 60 – 100 мВ между внутренней и внешней сторонами мембраны (рис. 18).

+

+ ϕ внеш

+

+ +

ϕ внутр

+ + +

Рис. 18 белок липид (жир)

3 нм 3 нм

Поперечное сечение мембраны представлено на рис. 19. Толщина мембраны оценивается в 7,5 – 10 нм. Мембраны клетки разделяют два участка, содержащие различные растворенные ионы. В межклеточном пространстве имеется избыток ионов Na+, Cl-, а внутри клетки наибольшую + концентрацию имеют ионы K . Кроме этих ионов по обе стороны мембраны жидкости содержат большое количество 28

отрицательных ионов (ионы фосфата, карбоната и большие органические ионы). Однако, поры в белковых слоях малы и свободно пропускают мелкие ионы Na+, K+, Cl-. А крупные ионы через них не проходят. Поэтому биопотенциал мембраны создается, в основном, различными концентрациями мелких ионов (рис. 20). Избыток зарядов внеш. внутр. имеется только на поверхности мембраны, пр-во жидкость с каждой стороны мембраны электронейтральна. Разность потенциалов на мембране ∆ϕ , которая может поддерживать равновесное отношение концентраций Свне / Свн при нормальной температуре тела, задается уравнением Нернста ∆ϕ = ϕ вне − ϕ вн = −61lg (C вне С вн ) , Рис. 20 где ∆ϕ – выражено в мВ. Мембраны действуют подобно насосам, перекачивая вещества против градиента концентрации; их действием определяется обмен веществ в клетках и органах. Мембраны являются эффективными энергетическими машинами, обеспечивающими превращение химической энергии в электрическую и наоборот. Мембраны органелл клетки – митохондрий – выступают в роли конденсаторов – накопителей электрической энергии. Электроемкость мембран велика. В расчете на 1 см2 поверхности емкость составляет несколько мкф. При переходе ткани к активной деятельности проницаемость и электрическое состояние мембран резко меняется, в результате чего возникает электрический импульс, распространяющийся по нервному волокну со скоростью 20 м/с. Способность превращать все внешние воздействия в электрические – универсальное свойство живого организма. Электрические процессы в отдельных клетках и волокнах суммируются и обуславливают перераспределение зарядов в тканях и органах. Исследования показали, что в работающей мышце постепенно увеличивается положительный заряд. Это приводит к активному снабжению мышцы кислородом, т. к. эритроциты артериальной крови имеют избыточный отрицательный заряд. Работа мышц, нервных клеток приводит к определенному распределению потенциала в работающем органе. Сердце, например, ведет себя как электрический диполь, момент которого 29

периодически меняется, образуя переменное электрическое поле в организме. Это позволяет регистрировать потенциал сердечной мышцы на поверхности тела. На 0 рис. 21 показаны эквипотенциальные -ϕ поверхности электрического поля сердца. С электродов, размещенных на различных участках тела с различными потенциалами, снимают 0 электрический + ϕ сигнал, периодически меняющийся во времени, – электрокардиограмму. Каждый орган имеет специфическое электрическое поле и характерные потенциалы действия. Их регистрация используется для физиологических исследований. Большое значение приобрела регистрация биопотенциалов сердца (электрокардиография), мозга (электроэнцефалография) и мышц (электромиография). Исследования показали, что тело рыб является своего рода электрическим диполем, образующим в окружающей среде электрическое поле. Из-за этого, видимо, рыбы так чувствительны к внешним электрическим полям. Перераспределение заряда в теле рыб происходит за счет работы нервно – мышечной ткани. Некоторые виды рыб (электрический угорь, скат, сом и др.) имеют специальный орган для накапливания электрической энергии – своеобразную батарею конденсаторов из множества чередующихся прослоек нервной (проводящей) и соединительной (непроводящей) ткани. Напряжение при этом может достигать 600 – 1000 В, а мощность разряда – 200 кВт. Фотосинтез, происходящий в растениях под действием света, также сопровождается перераспределением зарядов. Все жизненно важные процессы в живых организмах связаны с электрическими эффектами. Этим можно объяснить влияние внешних электрических полей на процессы в живых организмах. Так, постоянное электрическое поле ускоряет фотосинтез и рост растений (если силовые линии направлены вниз) или тормозят их (при обратной полярности). Земля заряжена отрицательно ( q ≈ 6 ⋅ 10 5 Кл ), а верхние слои атмосферы положительно. Напряженность электрического поля у поверхности Земли Е=130 В/м. Изменение околоземного поля в результате различных атмосферных явлений (циклоны, грозы и т.д.) приводит к перераспределению зарядов в организме и влияет на его состояние. Есть опытные данные о том, что внешнее электромагнитное поле определенной интенсивности и частоты подавляет рост опухолевых клеток; ученые связывают это с влиянием поля на проницаемость мембран и обмен веществ в клетках. Исследование работы мембраны – одна из актуальных задач биологии.

30

Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики. т.2. – М.: Наука, 1978. 2. Лаврова И.В. Курс физики. М.: Просвещение, 1981. 3. Ремезов А.Н. Медицинская и биологическая физика. М.: Высшая школа, 1987. 4. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990.

31