Алгебра и геометрия (Решение систем линейных уравнений, вычисление определителей): Методические указания

Министерство образования Российской Федерации ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПММ

Кафедра вычислительной математики

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ)

Методические указания для решения задач по курсу “Алгебра и геометрия” для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ

СОСТАВИТЕЛИ: Глушакова Т.Н.

Бондаренко Ю.В.

Воронеж – 2000

-2СОДЕРЖАНИЕ §1. Матрицы(действия над ними, обратная матрица)…………………………3 §2. Определители: определение, свойства и вычисление……………………...9 §3. Правило Крамера……………………………………………………………19 §4. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы……………...20 §5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений…………………….23

-3§1. МАТРИЦЫ (ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, ОБРАТНАЯ МАТРИЦА) Определение 1. Матрицей A размеров m × n называется совокупность m ⋅ n чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:  a11 a12 ... a1n   ... a2 n  . A =  a21 a22  ... ... ... ...    am1 am 2 ... amn  Числа aij (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n) , составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Определение 2. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Остальные матрицы называются прямоугольными. Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется  0 0 ... 0    нулевой матрицей: O =  0 0 ... 0  . ... ... ... ... 0 0 0 0   Определение 4. Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:  1 0 ... 0    E =  0 1 ... 0  . ... ... ... ...  0 0 ... 1    Определение 5. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах. Определение 6. Две матрицы A и B называются перестановочными, если AB = BA .  a11 a12 ... a1n    Определение 7. Если в матрице A =  a21 a22 ... a2 n  строки и столбцы ... ... ...   ... ... amn  a a  m1 m2  a11 a21 ... am1  a  ... a a Т 12 22 2 m поменять местами, то полученная матрица A =    ... ... ... ...   a1n a2 n ... amn  называется транспонированной к матрице А . Определение 11. Преобразование матрицы, при котором строки матрицы становятся столбцами, а порядок элементов не меняется, называется транспонированием.

-4I.

Обратная матрица

Определение 8. Матрица B = A −1 называется обратной к квадратной матрице A , если AB = BA = E . Для отыскания обратной матрицы существуют два способа. 1) Припишем к матрице A = (aij ) nn справа единичную матрицу и, применяя метод Гаусса (см. §4), преобразуем расширенную матрицу так, чтобы слева стояла единичная матрица, тогда справа будет находиться обратная матрица B = (bij ) nn :  a11 a  21  ...  an1

a12 a22 ... an 2

... a1n 1 0 ... a2 n 0 1 ... ... ... ... ... a nn 0 0

... ... ... ...

1 0   0  → ... →  0 ...  ... 1 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 b11 b12 0 b21 b22 ... ... ... 1 bn1 bn 2

... b1n   ... b2 n  . ... ...  ... bnn 

 A11 A21 ... An1  1  A12 A22 ... An 2  2) A −1 =   , где Aij (i, j = 1,..., n) – алгебраические ... ... ...  det A  ...  A1n A2 n ... Ann  дополнения к элементу aij , det A – определитель матрицы A (см. §2). 7  2 5 № 840 (П). Найти обратную матрицу для матрицы A =  6 3 4 .  5 − 2 − 3   Решение. I способ.

− 5 − 3 2 5 7 1 0 0 5 7 1 0 0 2 6 3   4 0 1 0 → − 29 0 − 12 − 17 − 3 1 0  →  5 − 2 − 3 0 0 1 12  0 − 29 − 41 − 5 0 2  2  

0 0   2 5 0 − 188 203 − 168  2 5 7 1  0 12 17 3 → − 1 0  →  0 12 0 − 456 492 − 408  →  0 0 1 27 − 29 24   0 0 1 27 24  − 29 − 7 − 17   

−2 2   2 5 0 − 188 203 − 168   2 0 0 2    → − 5 0 1 0 − 38 41 − 34 → 0 1 0 − 38 41 − 34  →  0 0 1 27 − 29 24   0 0 1 27 − 29 24   −1 1  1 0 0 1  → 0 1 0 − 38 41 − 34  .  0 0 1 27 − 29 24   

-5Ответ:

1  −1  1  = − − 38 41 34  . A  27 − 29 24    −1

II способ. 2 5 7 2 5 7 det A = 6 3 4 6 3 4 = 2 ⋅ 3 ⋅ (−3) + 5 ⋅ 4 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 ⋅ (−2) − 5 ⋅ 3 ⋅ 7 − 5 −2 −35 −2 −3 − (−2) ⋅ 4 ⋅ 2 − (−3) ⋅ 6 ⋅ 5 = −18 + 100 − 84 − 105 + 16 + 90 = −1 ; 4 = −1 ; A = (−1)1+2 6 4 = 38 ; A = (−1)1+3 6 3 = −27 ; A11 = (−1)1+1 3 12 13 −2 −3 5 −3 5 −2 7 = 1; A = (−1) 2+ 2 2 7 = −41 ; A = (−1) 2+3 2 5 = 29 ; A21 = (−1) 2+1 5 22 23 −2 −3 5 −3 5 −2 A31 = (−1) 3+1 5 7 = −1; 3 4

A32 = (−1) 3+ 2 2 7 = 34 ; 6 4

A33 = (−1) 3+3 2 5 = −24 . 6 3

−1   1 −1 1 1   −1    Таким образом, A = −1 38 − 41 34 = − 38 41 − 34  .  − 27 29 − 24   27 − 29 24      −1

−1 1   1 Ответ: A −1 =  − 38 41 − 34  .  27 − 29 24    II. Действия над матрицами 1. Сложение и умножение на число Пусть A = (aij ) mn и B = (bij ) mn – матрицы, состоящие из m строк и n столбцов. Определение 9. Матрица C = (cij ) mn , элементы которой определяются по формуле cij = aij + bij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) , называется суммой матриц A и B и обозначается A + B : C = A + B . Замечание. Сумма определена только для матриц одних и тех же размеров. Определение 10. Матрица C = (cij ) mn , элементы которой определяются по формуле cij = βaij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) , называется произведением матрицы A на β и обозначается βA : С = βA .

-6Утверждение. Для любых матриц A , B и C одних и тех же размеров и любых чисел α и β выполнены равенства: 1) A + B = B + A ; 2) ( A + B) + C = A + ( B + C ) ; 3) α ( A + B) = αA + αB ; 4) (αβ ) A = α ( βA) . 2. Умножение матриц Пусть даны матрицы A = (aij ) mn и D = (d ij ) np . Определение 11. Произведением матриц A и D называется такая матрица C = (cij ) mp , элементы которой определяются по формулам n

cij = ∑ aik d kj , то есть элемент сij равен сумме произведений элементов i -той k =1

строки матрицы A на элементы j -го столбца матрицы D . Замечание. Произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае AD ≠ DA . Если дана матрица F = ( f ij ) nm , то произведение AF – это матрица (m × m) , а FA – это матрица (n × n) . № 822 (П). Найти все матрицы, перестановочные с матрицей  1 2  . 3 4 Решение. Пусть A =  a b  – матрица, которую нам надо найти. Тогда c d   1 2  a b  =  a b  1 2  ⇒  3 3  c d   c d  3 4        3   3 = c b   a + 2c = a + 3b  = c b 2   3a + 4c = c + 3d  2 . ⇒ ⇒ d =a+c ⇒ b + 2d = 2a + 4b 3 3 3b + 4d = 2c + 4d d = b + a d = b + a 2    2   a Ответ: A =  3  b 2

  , где a, b – любые числа. 3 b + a  2 b

-73. Многочлен от матрицы Определение 12. Пусть дан многочлен ϕ (t ) = α 0 + α1t + α 2t 2 + ... + α k t k и пусть A = (aij ) nn – квадратная матрица, тогда значением многочлена ϕ (t ) от матрицы A называется матрица ϕ ( A) = α 0 E + α1 A + α 2 A 2 + ... + α k A k , где E – единичная матрица, Ai – матрица, получающаяся при умножении матрицы A на себя i раз. № 861 (П). Решить матричное уравнение  1 2  X =  3 5  . 5 9 3 4 Решение. 1 вариант. x Пусть X =  1  x3

x2   3 5   x + 2 x3 = ⇒  1   5 9 x4     3x1 + 4 x3

 1 2  x1   3 4  x3 − 3 1 − 3 0 3 0 

x2  , тогда x4 

0 1 0 3

2 0 4 0

0 3 2 5 → 0 5 4 9 

1 0 0 0 

x2 + 2 x4   3 5  = 3x2 + 4 x4   5 9 

0 2 0 3  1 1 0 2 5  → 0 0 − 2 0 − 4 0 0 0 − 2 − 6   0

0 1 0 0

0 0 1 0

 x1 + 2 x3 = 3  x + 2 x4 = 5 . ⇒  2 3x1 + 4 x3 = 5  3x2 + 4 x4 = 9  x1 = −1 0 − 1   x = −1 0 −1 . ⇒ 2  0 2 =2 x 3  1 3   x4 = 3

Ответ: X =  − 1 − 1 . 2 3 2 вариант. −1

Очевидно, что

X =  1 2   3 5  . Найдем матрицу, обратную к  3 4   5 9 

матрице A =  1 2  . 3 4 I способ: −2 1   − 2 1  − 3 1 2 1 0  →  1 2 1 0  →  1 0 3 −1  1 ⇒ A = 3 1. 3 4 0 1 0 − 2 − 3 1 0 1 − −         2 2 2 2 

-8II способ: 1  4 − 2   − 2 1  1  4 − 2 A = −3 1  = − −3 1  = 3 − 1 .     2 det A   2 2 Таким образом, −1

 − 2 1  3 5  − 2 ⋅ 3 + 1⋅ 5 − 2 ⋅ 5 + 1⋅ 9  − 1 − 1 = 3 . 1  1 3 1 = X = 3 −  5 9   ⋅ 3 − ⋅ 5 ⋅ 5 − ⋅ 9   2 3    2 2 2 2 2 2  Ответ:  − 1 − 1 . 3  2 № 827 (П). Найти значение многочлена f (t ) = 3 x 2 − 2 x + 5 от матрицы  1 − 2 3 A =  2 − 4 1 .  3 − 5 2   Решение. Найдем

f ( A) = 3 A 2 − 2 A + 5 E = 3( A ⋅ A) − 2 A + 5 E .

 1 − 2 3  1 − 2 3   1 − 4 + 9 − 2 + 8 − 15 3 − 2 + 6  A2 =  2 − 4 1  2 − 4 1  =  2 − 8 + 3 − 4 + 16 − 5 6 − 4 + 2  =  3 − 5 2  3 − 5 2   3 − 10 + 6 − 6 + 20 − 10 9 − 5 + 4        6 − 9 7 =  − 3 7 4 ;  −1 4 8    6 − 9 7   1 − 2 3   5 0 0   18 − 27 21 f ( A) = 3 − 3 7 4  − 2 2 − 4 1  +  0 5 0  =  − 9 21 12  +  − 1 4 8   3 − 5 2   0 0 5   − 3 12 24           − 2 4 − 6   5 0 0   21 − 23 15  +  − 4 8 − 2  +  0 5 0  =  − 13 34 10  .  − 6 10 − 4   0 0 5   − 9 22 25        21 − 23 15  Ответ:  − 13 34 10  .  − 9 22 25   

-9§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ I.

Понятие перестановки, подстановки, инверсии, транспозиции

Определение 1. Биективное (взаимнооднозначное) отображение конечного множества на себя называется перестановкой. Перестановки множества A = {1,2,..., n} обычно записывают в виде n . ϕ = α1 α2 ... (1)  α ... 2  1 n Эта запись означает, что ϕ (i ) = α i . Пример 1. Выписать все перестановки, соответствующие данной: 1 2 3 4 5  4 3 α α α  3 4 5  Решение.

α i = 1,2,5 (i = 3,4,5) . Очевидно, что варианты (их будет 3!): 4 3 α3 α 4 α5 4 3 1 2 5 4 3 1 5 2 4 3 2 5 1 4 3 2 1 5 4 3 5 1 2 4 3 5 2 1

Рассмотрим все возможные

Таким образом, получим следующие перестановки:

ϕ1 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 1 2 5

ϕ 2 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 1 5 2

ϕ 3 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 2 5 1

ϕ 4 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 2 1 5

ϕ 5 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 5 1 2

ϕ 6 =  1 2 3 4 5  .  4 3 5 2 1

Замечание 1. Столбцы в перестановке (1) можно менять, строчки – нет. Замечание 2. Всюду в дальнейшем будем считать, что первая строчка в перестановке (1) не меняется. Замечание 3. Иногда перестановку (1) записывают в виде ϕ = (α1 ,α 2 ,...,α n ) . (2)

- 10 Теорема 1. Из n элементов можно составить n! различных перестановок вида (2). Определение 2. Такое расположение пары чисел в перестановке (2), когда большее стоит впереди меньшего, называется инверсией или беспорядком. Определение 3. Если в перестановке (2) четное число инверсий, то перестановка называется четной, если нечетное – нечетной. Определение 4. Преобразование, при котором 2 элемента в перестановке (2) меняются местами, а все остальные остаются на месте, называется транспозицией. Теорема 2. Транспозиция меняет четность перестановки (2). Теорема 3. Число четных перестановок (2) равно числу нечетных n! перестановок и равно . 2 Определение 5. Перестановка (1) называется четной, если сумма инверсий перестановок, стоящих в первой и второй строках, четная или четности первой и второй строк одинаковы. Замечание 4. Если первая строка в перестановке (1) не меняется, то четность перестановки определяется только второй строкой. II.

Определители второго и третьего порядков

Определение 6. Элементы, стоящие на главной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего левого угла), называются главными диагональными элементами матрицы. Определение 7. Элементы, стоящие на побочной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего правого угла), называются побочными диагональными элементами матрицы. Определение 8. Определителем второго порядка квадратной матрицы a a12  A =  11  называется число, равное разности произведения главных  a21 a22  диагональных элементов и произведения побочных диагональных элементов: a a12 = a11a22 − a21a12 . det A = 11 a21 a22 Пример 2. Вычислить определитель 1 2 . 3 4 Решение. 1 2 = 1 * 4 − 3 * 2 = 4 − 6 = −2 . 3 4

- 11 Ответ: –2. Определение 9. Определителем третьего  a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23  называется число det A =    a31 a32 a33  вычислять следующими способами:

порядка a11 a12 a 21 a 22 a31 a32

квадратной матрицы a13 a 23 , которое можно a33

1) по правилу треугольника: a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a 21a32 a13 − a31a 22 a13 − a32 a23 a11 − a21a12 a33 . a33

1 2 3 Пример 3. Вычислить определитель 4 5 6 по правилу треугольника. 7 8 9 Решение. 1 2 3 4 5 6 = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 ⋅ 3 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅ 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ 9 = 45 + 84 + 96 − 7 8 9 − 105 − 48 − 72 = 0 Ответ: 0. 2) по правилу Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца и составить сумму произведений главных диагональных элементов и элементов, параллельных главной диагонали, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных побочной диагонали: a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a11 a 23 a 21 a33 a31

a12 a 22 = a11a22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a21a32 − a31a 22 a13 − a32 a23 a11 − a32 − a33 a 21a12 .

- 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Пример 3. Вычислить определитель

по правилу Саррюса.

Решение. 1 2 31 2 4 5 6 4 5 = 1⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 4 ⋅ 8 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅1 − 9 ⋅ 4 ⋅ 2 = 7 8 97 8 = 45 + 84 + 96 − 105 − 48 − 72 = 0 Ответ: 0. III.

Определители n-го порядка

Определение 10. Определителем n–го порядка квадратной матрицы  a11 a12 ... a1n   ... a2 n  A =  a21 a22  ... ... ... ...    an1 an 2 ... ann  называется алгебраическая сумма n! слагаемых (членов определителя). Каждый член определителя есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца. Произведение (a1α1 a2α 2 ...anαn ) берется со знаком “+”, если

перестановка

знаком “ – ”, если нечетная.

 1 2 ... n  четная, и со α α ... α  1 n  1

№ 252 (Ф-С). Выписать все слагаемые, входящие в определитель 5-го порядка и имеющие вид a14 a23 a3α3 a4α 4 a5α5 . Решение. Составим перестановку, соответствующую данному  1 2 3 4 5  . Очевидно, что α = 1,2,5 (i = 3,4,5) . 4 3 α α α  i 3 4 5  Рассмотрим все возможные варианты (их будет 3!): 4 4 4 4 4 4 4

3 α3 α 4 α5 3 1 2 5 3 1 5 2 3 2 5 1 3 2 1 5 3 5 1 2 3 5 2 1

число инверсий знак 5 − 6 + 7 − + 6 7 − 8 +

элементу:

- 13 IV. Свойства определителя 1) При транспонировании определитель квадратной матрицы не меняется. Следствие. Всякое утверждение, справедливое для строк определителя, справедливо и для его столбцов. 2) Если в определителе две строки поменять местами, то определитель изменит свой знак. Следствие. Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю. 3) Если в определителе все элементы некоторой строки умножить на некоторое число к, то определитель умножится на это число. a11 a12 ... ... 4) bi1 + ci1 bi 2 + ci 2 ... ... an1 an 2

... a1n a11 ... ... ... ... bin + cin = bi1 ... ... ... ... ann an1

a12 ... bi 2 ... an 2

... a1n a11 ... ... ... ... bin + ci1 ... ... ... ... ann an1

a12 ... ci 2 ... an 2

... a1n ... ... ... cin . ... ... ... ann

Следствие. Определитель не изменится, если к некоторой строке этого определителя прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 5) Если в определителе какая-то строка является линейной комбинацией остальных строк, то определитель равен нулю. 6) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 7) Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. V.

Минор, дополнительный минор, алгебраическое дополнение

Определение 11. Пусть дана квадратная матрица n-го порядка. Выберем в ней k строк и k столбцов. Элементы, стоящие в пересечении данных строк и столбцов, образуют матрицу k-го порядка. Ее определитель называется минором k-го порядка, состоящим из выбранных строк и выбранных столбцов. Определение 12. Если вычеркнем выбранные строки и столбцы, то определитель оставшейся матрицы называется дополнительным минором M ' . Определение 13. Алгебраическим дополнением к минору k -го порядка, составленному из строк i1 , i2 ,..., ik и столбцов j1 , j2 ,..., jk , называется число A = (−1) i1 +i2 +...+ik + j1 + j2 +...+ jk M ' . Когда k = 1 , выбирается элемент aij и его дополнительный минор

называется просто минором M ij .

- 14 Определение

14.

Алгебраическим

дополнением

к

элементу

aij

называется число Aij = (−1) i + j M ij .  1 − 10 4 2 7 0 Пример 4. Для данной матрицы A =  4 1 −4 4 0 3 11 5 4  M 35 , составленный из 3,5 строк и 2,4 столбцов,

5 0  0 1  3 5  выписать минор 0 10  0 − 7  дополнительный минор,

24

алгебраическое дополнение к

M 35 . 24

Решение. M 35 = 1 3 , 5 0 24 VI.

1 4 0 M '= 2 0 1 , 4 3 10

1 4 0 A = (−1) 3+5+ 2+4 M ' = 2 0 1 . 4 3 10

Вычисление определителей

1) Приведение определителя к треугольному виду (с использованием свойств 2)-6)). 1 2 3 4 № 279 (Ф.-С.). Вычислить определитель − 2 1 − 4 3 , приведя его к 3 − 4 −1 2 4 3 − 2 −1 треугольному виду. Решение. − 4 − 32 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 −2 1 −4 3 = 20 5 2 11 = 0 5 2 11 = 900 3 − 4 −1 2 0 − 10 − 10 − 10 0 0 − 6 12 4 3 − 2 −1 0 − 5 − 14 − 17 0 0 0 − 30 Ответ: 900.

№ 279 (П). Вычислить определитель

приведя его к треугольному виду.

1 2 3 4 −1 0 3 4 −1 − 2 − 0 4 −1 − 2 − 3 0 ... ... ... ... − 1 − 2 − 3 − (n − 1)

... ... ... ... ... ...

n n n, n ... 0

- 15 Решение. Прибавим первую строку определителя ко всем остальным: 1 2 3 4 3 4 −1 0 −1 − 2 − 0 4 0 −1 − 2 − 3 ... ... ... ... − 1 − 2 − 3 − (n − 1)

... ... ... ... ... ...

n 1 n 0 n = 0 n 0 ... ... 0 0

2 2 0 0 ... 0

3 6 3 0 ... 0

4 8 8 4 ... 0

... n ... 2n ... 2n = ... 2n ... ... ... n

= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n! Ответ: n! 2) Определитель Вандермонда: 1 a1 a12 a13 ... a1n

1 a2 a 22 a23 ... a2n

1 a3 a32 a33 ... a3n

... ... ... ... ... ...

1 an+1 an2+1 = ∏ (a − a j ) . an3+1 1≤ j
1 1 1 Пример 5. Вычислить определитель Вандермонда 3 − 2 7 . 9 4 49 Решение. 1 1 1 3 − 2 7 = (7 − 3)(7 + 2)(−2 − 3) = −4 * 9 * 5 = −180 . 9 4 49 Ответ: – 180. 3) Разложение по строке. Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки этого определителя на их алгебраические дополнения: n

det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij . j =1

2 −3 4 № 236 (П). Разложить по 3-ей строке определитель 4 − 2 3 a b c 3 −1 4 Решение.

1 2. d 3

- 16 -

2 −3 4 4 −2 3 a b c 3 −1 4

1 −3 4 1 2 4 1 2 −3 1 2 = a(−1) 3+1 − 2 3 2 + b(−1) 3+ 2 4 3 2 + c(−1) 3+3 4 − 2 2 + d −1 4 3 3 4 3 3 −1 3 3 2 −3 4 + d (−1) 3+ 4 4 − 2 3 = ... 3 −1 4

4) Теорема Лапласа. Пусть в определителе выбраны k строк, тогда определитель равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, составленных из выбранных строк, на их алгебраические дополнения. № 434 (П). Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель 1 1 2 0 0 0 1

2 3 0 0 0 0 2

3 2 1 0 2 0 3

4 4 0 0 3 0 4

5 0 0 0 0 0 3

6 3 1 0 4 1 5

7 0 1 1. 0 0 0

Решение. Выберем три строки: 4,5 и 6. Число миноров третьего порядка, составленных из выбранных строк, равно C73 , но только два из них отличны от нуля: M 456 и M 456 . Итак, имеем 367

1 1 2 0 0 0 1

467

2 3 0 0 0 0 2

3 2 1 0 2 0 3

4 4 0 0 3 0 4

5 0 0 0 0 0 3

6 3 1 0 4 1 5

7 0 0 0 1 1 2 1 4+5+6+3+ 6+7 2 4 0∗1 3 1 = (−1) 0 1 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 3 4 4 + 5+ 6 + 4 + 6 + 7 0 4 0 ∗ 1 3 2 4 = ... + (−1) 0 1 0 2 0 1 0 1 2 3 4

№ 293* (Ф - С). Вычислить определитель порядка 2n:

4 4 0 3

5 0+ 0 4

- 17 0 a 0 ... 0 b 0

a 0 0 ... 0 0 b

0 0 a ... b 0 0

... ... ... ... ... ... ...

0 0 b ... a 0 0

0 b 0 ... 0 a 0

b 0 0 ... . 0 0 a

Решение. Выберем первую и последнюю строки определителя и применим к нему теорему Лапласа: 2n − 2

2n

a 0 0 ... 0 0 b

0 a 0 ... 0 b 0

0 0 a ... b 0 0

... ... ... ... ... ... ...

0 0 b ... a 0 0

0 b 0 ... 0 a 0

b 0 a 0 0 1+ 2 n +1+ 2 n a b ⋅ ... ... = (−1) b a 0 0 0 b a

0 a ... b 0

... ... ... ... ...

0 b ... a 0

2n − 4

a ... b a b a b = ⋅ ⋅ ... ... ... = (a 2 − b 2 ) n . b a b a b ... a Ответ: (a 2 − b 2 ) n . Пример 6. Доказать равенство: a11 ... an1 0 ... 0

... a1n ... ... ... ann ... 0 ... ... ... 0

b11 ... bn1 c11 ... cn1

... ... ... ... ... ...

b1n ... a11 ... a1n c11 ... c1n bnn = ... ... ... ⋅ ... ... ... . c1n a cn1 ... cnn n1 ... a nn ... cnn Решение.

Разложим определитель по первым n столбцам:

b 0 ... = 0 a

- 18 a11 ... an1 0 ... 0

... a1n ... ... ... ann ... 0 ... ... ... 0

b11 ... bn1 c11 ... cn1

... ... ... ... ... ...

b1n ... a11 ... a1n c11 ... c1n bnn 2 (1+ 2+...+ n ) = (−1) ... ... ... ⋅ ... ... ... = c1n an1 ... ann cn1 ... cnn ... cnn

a11 ... a1n c11 ... c1n = ... ... ... ⋅ ... ... ... . an1 ... ann cn1 ... cnn a11 ... a n1 с11 ... сn1

Пример 7. Вычислить определитель

a11 ... an1 с11 ... сn1

... ... ... ... ... ...

a1n ... ann с1n ... сnn

b11 ... bn1 0 ... 0

... ... ... ... ... ...

a1n ... a nn с1n ... сnn

b11 ... bn1 0 ... 0

... b1n ... ... ... bnn . ... 0 ... ... ... 0

... b1n ... ... b11 ... b1n c11 ... c1n ... bnn ( n+1)+ ( n+ 2 )+...+ 2 n+1+ 2+...+ n ... ... ... ⋅ ... ... ... = = (−1) ... 0 bn1 ... bnn cn1 ... cnn ... ... ... 0 1+ 2+...+ n+ ( n+1) +( n + 2 )+...+ 2 n

= (−1)

b11 ... b1n c11 ... c1n ... ... ... ⋅ ... ... ... = bn1 ... bnn cn1 ... cnn

b11 ... b1n c11 ... c1n (1+ 2 n ) n ( 1 ) ... ... ... ⋅ ... ... ... . = − bn1 ... bnn cn1 ... cnn

Ответ: (−1)

(1+ 2 n ) n

b11 ... b1n c11 ... c1n ... ... ... ⋅ ... ... ... . bn1 ... bnn cn1 ... cnn

§ 3. ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему уравнений

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 .  .......... .......... .......... .......... .......  an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn

- 19 a11 a12 ... a1n Теорема 1. Если определитель системы D = a21 a22 ... a2 n отличен от ... ... ... ... an1 an 2 ... ann нуля, то мы получим решение системы, беря в качестве значений для неизвестных xi (i = 1,2,..., n) дроби, общим знаменателем которых служит определитель D , а числителем для неизвестного xi является определитель Di , получающийся заменой в определителе D i -го столбца столбцом свободных D D D членов: x1 = 1 , x2 = 2 ,…, xn = n . D D D  2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4  4 x + 3x2 − x3 + 2 x4 = 6 по правилу № 554 (П). Решить систему уравнений  1 8 x1 + 5 x2 − 3x3 + 4 x4 = 12   3x1 + 3x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6 Крамера. Решение. − 3− 4 − 2 2 4 D= 8 3 2

2 −1 3 −1 5 −3 3 −2

2 2 −1 0 −1 1 = −2 0 0 1 0 0 −1 4 D1 = 6 12 6

2 −1 3 −1 5 −3 3 −2

1 2 2 −1 2 = − 3 0 −1 1 4 0 −3 1 2 0 0 −1

1 2 0= 0 0 − 20 1 0

1 2 4 −1 2 = 4 ; D = 4 6 −1 2 4 8 12 − 3 2 3 6 −2 2 D4 = 4 8 3

Так как

xi =

Di D

2 −1 0 0

−1 1 1 0

1 2 2 −1 1 0 = 0 −1 1 0 = 0 0 0 −2 0 1 0 0 −1 1

1 0 = −2 * 2 * (−1) *1*1 = 4 ; 0 1

1 2 2 4 1 2 = 4 ; D = 4 3 6 2 = −4 ; 3 4 8 5 12 4 2 3 3 6 2

2 −1 4 3 − 1 6 = −4 . 5 − 3 12 3 −2 6

(i = 1,2,3,4) , то

x1 = x2 = 1 ,

x 3 = x 4 = −1 .

Ответ: x1 = x2 = 1 , x3 = x4 = −1 .

- 20 § 4. РАНГ МАТРИЦЫ. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ Определение 1. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается или r ( A) , или rangA , или rankA . Ранг матрицы можно вычислять следующими способами. I. Метод окаймления миноров (или метод окаймляющих миноров) состоит в следующем. 1) Выбираем любой элемент aij ≠ 0 матрицы A = (aij ). Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то r ( A) ≥ 1 . 2) Рассматриваем миноры 2-го порядка, окаймляющие (то есть содержащие) выбранный минор. Как только находим отличный от нуля, сразу можем сказать, что r ( A) ≥ 2 и т.д. 3) Пусть найден минор n-го порядка, отличный от нуля, а все миноры (n + 1) -го порядка, его окаймляющие, равны нулю, тогда r ( A) = n . № 608 (П). миноров.

 2 − 1 3 − 2 4 Найти ранг матрицы  4 − 2 5 1 7  методом окаймления  2 − 1 1 8 2   Решение.

1) a22 = −2 , следовательно, r ( A) ≥ 1 ; 2) 2 − 1 = 0 ; 4 −2

4 − 2 =0; 2 −1

− 1 3 = 1, поэтому r ( A) ≥ 2 ; −2 5

2 −1 3 2 −1 3 2 −1 3) 4 − 2 5 = 4 − 2 5 4 − 2 = 2 ⋅ (−2) ⋅ 1 + (−1) ⋅ 5 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 ⋅ (−1) − 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 − 2 ⋅ (−2) ⋅ 3 − (−1) * 5 * 2 − 1 * 4 * (−1) = −4 − 10 − 12 + 12 + 10 + 4 = 0 ; −1 3 − 2 − 2 5 1 = 0; −1 1 8

−1 3 4 − 2 5 7 = 0. −1 1 2

Следовательно, r ( A) = 2 . Ответ: r ( A) = 2 .

- 21 -

II.

Метод элементарных преобразований.

Утверждение 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Элементарными преобразованиями матрицы являются: 1) вычеркивание из матрицы нулевой строки; 2) умножение строки на ненулевой множитель; 3) перестановка строк; 4) прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число; 5) вычеркивание из матрицы одной из пропорциональных строк. Для определения ранга матрицы действия 1)–5) можно делать для столбцов.  a11 a12 ... a1n  Для вычисления ранга матрицу A =  ... ... ... ...  (k ≤ n) приводят к a   k1 ak 2 ... akn   b11 ... b1,m−1 b1m    треугольному или трапециевидному ... ...  B =  ... ...  0 ... 0 bmm     b11 ... b1m ... b1n  B =  ... ... ... ... ...  (m ≤ n, b11 ⋅ b22 ⋅ ... ⋅ bmm ≠ 0) виду с помощью  0 ... b ... bmn  mm  элементарных преобразований. Тогда r ( A) = r ( B ) = m . №

621

(П).

Вычислить  24  49 преобразований:  73  47 

ранг матрицы при 19 36 72 − 38  40 73 147 − 80  . 59 98 219 − 118  36 71 141 − 72 

помощи

элементарных

Решение. − 2 − 3 − 2  24  49  73  47 

19 40 59 36

36 72 − 38   24 19 36 72 − 38  73 147 − 80  →  1 2 1 3 −4 → 98 219 − 118   1 2 − 10 3 −4    71 141 − 72   − 1 − 2 − 1 − 3 4 

1 3 − 4  1 2 1 3 −4  − 1− 24  1 2    24 19 36 72 − 38 → 0 29 12 0 − 58  . →  1 2 − 10 3 − 4   0 0 − 11 0 0    

Таким образом, r ( A) = 3 . Ответ: r ( A) = 3 .

- 22 -

Определение 2. Система линейных уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы. Определение 3. Система линейных однородных уравнений (СЛОУ) называется нетривиально совместной, если она имеет хотя бы одно ненулевое решение. Замечание. СЛОУ всегда совместна, так как всегда существует нулевое решение. Система линейных уравнений ↓

совместна (решение существует) ↓

↓

несовместна (решений нет)

↓

определенная неопределенная (решение единственно) (существует более одного решения) Критерии совместности линейных систем: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm + ... + a1n xn = b1 1) Система ......................................................................... ( m ≤ n)  a m1 x1 + a m 2 x2 + ... + amm xm + ... + amn xn = bm  a11 a12 ... a1m тогда и только тогда, когда ранг матрицы A =  ... ... ... ... a  m1 am 2 ... amm этой системы равен рангу расширенной  a11 a12 ... a1m ... a1n b1    ... ... ... ... ... ...  : r ( A) = r ( B) . B =  ...  a m1 a m 2 ... amm ... amn bm   

совместна ... a1n  ... ...  ... amn 

матрицы

2) Для того, чтобы система линейных однородных уравнений с квадратной матрицей A была нетривиально совместной, необходимо и достаточно, чтобы det A = 0 . № 692 (П). Исследовать совместность и найти общее и частное решения системы уравнений: 3x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2   7 x1 − 4 x2 + x3 + 3x4 = 5 . 5 x1 + 7 x2 − 4 x3 − 6 x4 = 3 Решение:

- 23 -

x1

x2

x3

x4

x3 x1

x2

x4

 3 − 5 2 4 2 2  2 3 − 5 4 2  7 − 4 1 3 5 → − 2 1 7 − 4 3 5 →  5 7 − 4 6 3  − 4 5 7 − 6 3    

2 3 − 5 4 2   0 − 11 3 − 2 − 8  →  0 11 − 3 2 7   

2 3 − 5 4 2  →  0 − 11 3 − 2 − 8  . 0 0 0 0 − 1   Таким образом, r ( A) = 2 , а r ( B ) = 3 , поэтому система несовместна. Ответ: система несовместна. № 691 (П).

Исследовать совместность и найти общее и частное решения  3x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3  системы уравнений:  6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7 . 9 x1 + 12 x2 + 3x3 + 10 x4 = 13 Решение. x1 x4 x2 x3

− 3− 2 3 4 1 2 3   3 4 1 2 3  3 2 4 1 3 → 6 8 2 5 7  → 0 0 0 1 1 →  9 12 3 10 13   0 0 0 4 4  − 2  0 1 0 0 1     

Ответ:

4  1 0  3 0 4 1 1   → → 3  0 1 0 0 1  0 1 0  4 1 1   x1 = − x2 − x3 +  3 3 3 – общее решение,  x4 = 1 решение.

1 1  3 3. 0 1  (−1,1,0,1) – частное

§ 5. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ I. В этом пункте мы будем рассматривать системы линейных уравнений с квадратными матрицами, определители которых отличны от нуля (то есть система имеет единственное решение):  a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + ... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + ... + a2 n xn = b2 .   ..................................................................... an1 x1 + an 2 x2 + an3 x3 + an 4 x4 + ... + ann xn = bn

- 24 -

Коэффициенты aij при неизвестных x j составляют прямоугольную таблицу x1

 a11  A =  a21  ...  an1

x2

x3

x4

a12 a22 ... an 2

a13 a23 ... an 3

a14 a24 ... an 4

... xn

... a1n  ... a2 n  , называемую матрицей системы.  ... ...  ... ann 

Коэффициенты b1 , b2 ,...bn называются свободными членами уравнений системы. Определение 1. Если все свободные члены равны 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.  a11 a12 a13 a14 ... a1n b1    ... a a a a a b 21 22 23 24 2 2 n  Матрица Определение 2. B= ... ... ... ... ...   ... ...   an1 an 2 an3 an 4 ... ann bn  называется расширенной матрицей системы. Замечание. Для однородной системы столбец свободных членов не выписывается. Определение 3. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из систем является решением другой или обе системы несовместны (то есть не имеют решений). Определение 4. Главная диагональ – это диагональ, начинающаяся из левого верхнего угла. Над уравнениями системы можно производить элементарные преобразования (см. §3), которые переводят систему в эквивалентную ей. Одним из методов решения систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), основанный на использовании элементарных преобразований и приведении системы к треугольному или трапециевидному виду. На практике при решении систем  a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + ... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + ... + a2 n xn = b2  ......................................................  an1 x1 + an 2 x2 + an3 x3 + an 4 x4 + ... + ann xn = bn методом Гаусса сначала выписывают расширенную матрицу этой системы:  a11  B =  a 21  ...  a n1

a12 a 22 ... an 2

a13 a 23 ... an3

a14 a 24 ... an 4

... a1n b1   ... a 2 n b2  . ... ... ...  ... ann bn 

- 25 -

Будем считать, что a11 ≠ 0 , в противном случае всегда можно переставить строки матрицы так, чтобы в первой строке стоял элемент, отличный от нуля. Затем, если есть строка, начинающаяся с 1, ее переставляют вверх. Первую строку просто переписываем. Для получения 1-го нулевого столбца под главной диагональю лучше умножить 1-ю строку на множитель (−a 21 ) , 2-ую – на a11 ( чтобы не было дробных множителей) и прибавить измененную 1-ю строку ко второй, затем умножить исходную 1-ю строку на (− a31 ) , 3-ю – на a11 и прибавить измененную 1-ю строку к третьей и т.д., то есть 1-ая строка умножается на множитель (−ai1 ) (i = 2,..., n) , а i -тая – соответственно на a11 и измененная 1-я строка прибавляется к i -той. За один проход сразу убирается весь столбец под главной диагональю. Получим следующую матрицу: ... a1n a12 a13 a14 b1   a11   0 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) a a a a b 22 1 23 1 24 1 2 1 2 1 n . B1 =  ...  ... ... ... ... ...  ...   0 (an 2 )1 (an3 )1 (an 4 )1 ... (ann )1 (bn )1  Если элемент (a22 )1 = 0 , то найдем во 2-м столбце элемент (a i 2 )1 ≠ 0 (i = 3,..., n) и переставим 2-ю и i -тую строки. Если же все элементы (ai 2 )1 = 0 (i = 3,..., n) , то просматриваем остальные столбцы, начиная с третьего. Пусть в j -м столбце второй строки элемент (a2 j )1 ≠ 0 , тогда поменяем местами 2-ой и j -тый столбцы (не забыв, что порядок переменных также соответственно меняется). Затем оставляем первые две строки без изменений, вторую строку умножаем на множитель (−(a i 2 )1 ) (i = 3,..., n) , а i -тые строки – на (a 22 )1 , и прибавляем измененную вторую строку последовательно к 3, 4,…, n -ой строкам. И так продолжаем до тех пор, пока не пройдем все строки. В результате получим матрицу a12 a13 a14  a11  Bn−1 =  0 (a22 )1 (a23 )1 (a24 )1 ... ... ...  ... 0 0 0 0 

... a1n b1   ... (a2 n )1 (b2 )1  . ...  ... ... ... (ann ) n−1 (bn ) n−1 

После того, как матрица приведена к треугольному виду, удобно продолжить преобразования дальше и привести матрицу к диагональному виду. i -тую строку Для этого умножим n -ю строку на (−(ain ) n −1 ) , а (i = n − 1, n − 2,...,1) – на (ann ) n−1 и прибавим n -ю строку последовательно к (n − 1) -ой, (n − 2) -ой, и так до 1-ой строки. Полученная матрица будет иметь следующий вид:

- 26 -

Bn1−1

 (a11 )1 (a12 )1 (a13 )1 (a14 )1  (a22 )11 (a23 )11 (a24 )11 = 0  ... ... ... ...  0 0 0 0 

... 0 (b1 )1  ... 0 (b2 )11  . ...  ... ... 1 ... (ann ) n−1 (bn )1n−1 

Затем аналогичные преобразования будут проделаны с (n − 1) -ой строкой и так далее, пока мы не получим диагональную матрицу

Bnn−−11

 (a11 ) n  = 0  ...  0 

0 0 0 n −1 (a22 )1 0 0 ... ... ... 0 0 0

... 0 (b1 ) n  ... 0 (b2 ) n−1  . ... ... ...  1 ... (ann ) n−1 (bn )1 

Разделим теперь i -тую строку (i = 2,..., n) на (aii ) in−−1(i −1) , а 1-ую строку – на (a11 )1 . И окончательно получаем 1  B0 =  0  ... 0 Таким образом,

0 1 ... 0

0 0 ... 0

0 0 ... 0

... ... ... 0

0 (b1 ) 0  0 (b2 ) 0  . ... ...  1 (bn ) 0 

 x1 = (b1 ) 0  x2 = (b2 ) 0 .  ...   xn = (bn ) 0

Пример 1. Решить систему уравнений

2 x1 + 3x2 + x3 + 2 x4 = 4  4 x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5  2 x + 5x + x + x = 1 . 2 3 4  1 − − + 7 2 x x x x 2 3 4 =7  1

Решение. 2 3 1 4 3 1 2 5 1  1 −1 −1 

2 4 − 2 − 2 − 4 1 −1 −1 4 3 1 1 5 → 2 5 1  11 2 3 1  2 7 

2 7  1 −1 −1 2 7   1 5 → − 5 − 1 0 7 5 − 7 − 23  →  0 7 3 − 3 − 13  1 1   0 5 3 − 2 − 10  2 4 7  

13 1 −1 −1 2 7  1 −1 −1 2 7  0 7  0 7 5 − 7 − 23 13 5 − 7 − 23  → → →    1 −2 −5  − 2  0 0 − 2 4 10 : (−2) 13 0 0 0 13 25  − 2 7 2 0 0  0 0 − 4 21 45 

- 27 -

13 − 13 − 13 0 41  9113 − 13 0 0 26   0 91 65 0 − 124  → 13  0 91 0 0 − 49  → → 0 0 0 13 0 − 15  0 13 0 − 15  − 5   0 0 13 25  0 0 13 25  0 0  1  1183 0 0 0 1729   0  91 0 0 − 49  →  → 0 0 0 13 0 − 15    0 0 0 13 25   0    0  Ответ: x1 =

1729   1183  49 1 0 0−  91  .  0 1 0 − 15  13  0 0 1 25   13  0 0 0

1729 49 15 25 , x 2 = − , x3 = − , x 4 = . 1183 91 13 13

II.

Рассмотрим теперь систему  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1k xk + ... + a1n xn = b1  a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 k xk + ... + a 2 n xn = b2 ( k < n) .  .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........   a k1 x1 + a k 2 x2 + ... + a kk xk + ... + akn xn = bk Выпишем матрицу этой системы и проделаем все действия, описанные в предыдущем пункте (обнулим столбцы, стоящие под и над главной диагональю). Для простоты рассмотрим случай, когда rangA = k , базисный минор стоит в верхнем левом углу:  a11   a21  ...  a k1

a12 a22 ... ak 2

... a1n b1   ... a2 n b2  → ... → ... ... ...  ... akn bk 

... a1k ... a2 k ... ... ... akk

 a11  0 →  ...  0 

a12 a 22 ... 0

... a1,k −1 ... a 2,k −1 ... ... ... 0

 a11   → 0  ...  0

0

... 0

a1k a2k ... a kk

a1,k +1 a 2,k +1 ... a k ,k +1

0

a1,k +1

a22 ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 0 akk

a2,k +1 ... ak ,k +1

... a1n ... a 2 n ... ... ... a kn

b1   b2  → ...  bk 

a1n b1  ... a2,n b2  →  ... ... ...  ... akn bk  ...

- 28 -

x1 x2 ... xk −1 x k

1  0 → ... 0  

xk +1

... x n

a1,k +1 ... a1n b1   a 2,k +1 ... a 2 n b2  . ... ... .... ... ... ... ... ...  0 ... 0 1 a k ,k +1 ... akn bk   0 ... 1 ...

0 0

0 0

Определение 4. Неизвестные называются основными x1 , x2 ,..., xk (главными), а неизвестные xk +1 , xk +2 ,..., xn – свободными. Основные неизвестные выражаются через свободные следующим образом:  x1 = −a1,k +1 xk +1 − a1,k + 2 xk + 2 − ... − a1n xn + b1   x2 = − a 2,k +1 xk +1 − a2,k + 2 xk + 2 − ... − a 2 n xn + b2 .  .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....   xk = −a k ,k +1 xk +1 − a k ,k + 2 xk + 2 − ... − a k ,n xn + bk Полученную систему называют общим решением линейной системы уравнений. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Частное решение получается при подстановке в общее решение произвольных значений свободных неизвестных. Утверждение. Если ранг матрицы однородной системы равен r , то система имеет (n − r ) линейно независимых решений. Определение 5. Любая система из (n − r ) линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений. Определение 6. Фундаментальная система решений (ФСР) линейной однородной системы уравнений – это базис в пространстве решений линейной однородной системы. Любая однородная система линейных уравнений совместна, так как она имеет нулевое решение (0,0,...,0) , которое называется тривиальным решением. Замечания. 1. Число базисных векторов равно числу свободных неизвестных и равно n − rangA . 2. На практике в качестве ФСР удобно брать общее решение, в котором единичка “пробегает” все свободные неизвестные xk +1 , xk + 2 ,..., xn (то есть сначала xk +1 = 1, xi = 0 (i = k + 2,..., n) , затем xk +1 = 0 , xk + 2 = 1 , xi = 0 (i = k + 3,..., n) и т.д.):

- 29 -

xk +1 1 0 ... 0

xk + 2 0 1 ... 0

x k +3 0 0 ... 0

... xn ... 0 ... 0 . ... .. ... 1

Если числа aij (i = 1,..., k ; j = k + 1,..., n) дробные, в первую строку вместо единицы записывается число a11 , во вторую – a22 , в k -тую – akk . 3. Иногда бывает удобно менять местами столбцы матрицы. При этом нельзя забывать о том, что порядок неизвестных меняется соответственно. № 689 (П). Найти общее и частное решения системы уравнений:  2 x1 + 7 x2 + 3 x3 + x4 = 6  3x1 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 4 .  9 x1 + 4 x2 + x3 + 7 x4 = 2 Решение. x1 x2 x3

x4

− 3 2 7 3 1 6  3 1 6  2 7    − 3 2 3 5 2 2 4 → − 1 0 − 11 − 5 1 − 10  →  2 7 3 1 6  → 9 4 1 7 2  0 − 11 − 5 1 − 10   0 11 5 − 1 10      x1

x4 x3 x2

x1 x4

x3

x2

18 16  : 2 →  1 0 4 9 8  →  2 1 3 7 6  →  2 0 8   0 1 − 5 − 11 − 10  . − − − − 0 1 5 11 10 0 1 5 11 10       Здесь x1 , x4 – основные неизвестные, x2 , x3 – свободные неизвестные. Ответ:

 x1 = −4 x3 − 9 x2 + 8 – общее решение;  x = 5 x + 11x − 10 3 2  4 x1 = −1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1 – частное решение.

№ 725 (П). Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений:  2 x1 − 4 x2 + 5 x3 + 3x4 = 0   3x1 − 6 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 0 . 4 x1 − 8 x2 + 17 x3 + 11x4 = 0 Решение.

- 30 -

x1

x2

x3

x4

x1 x3

x2 x4

− 2 − 3 2 − 4 5 3   2 − 4 5 3  2  3 − 6 4 2  →  0 0 − 7 − 5  → 7  2 5 − 4 3  → − 5 0 7 0 5  4 − 8 17 11  0 0 7 5     x1 x3 x2 x4 2  1 0 − 2 −  7. → 14 0 − 28 − 4  →  0 7 0 5 5   0 1 0   7   2  = + 2 x x x4 1 2  7 – общее решение.  5  x3 = − x4 7  x1 x2 x3 x4 Для нахождения ФСР составим таблицу 2 1 0 0 . 2 0 −5 7 Векторы e1 = (2,1,0,0) , e2 = (2,0,−5,7) образуют ФСР. 2  = + 2 x x x4 2  1 7 – общее решение; Ответ:  5  x3 = − x4 7  e1 = (2,1,0,0) , e2 = (2,0,−5,7) – ФСР. № 691 (П). Исследовать совместность системы  3x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3   6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7 , 9 x1 + 12 x2 + 3x3 + 10 x4 = 13 пользуясь критерием совместности. Если система совместна, найти ее общее и частное решения, ФСР. Решение. x1 x2 x3 x4

x1 x4 x2 x3

− 3− 2 3 4 1 2 3   3 4 1 2 3  3 2 4 1 3 → 6 8 2 5 7  → 0 0 0 1 1 →  9 12 3 10 13   0 0 0 4 4  − 2  0 1 0 0 1     

- 31 -

x1 x4 x2 x3

4  1 0 3 →  3 0 4 1 1 →  0 1 0 0 1    0 1 0 

4 1  = − − x x x3 + 1 1 2  3 3 ⇒ – общее решение,  x4 = 1  Найдем ФСР. Составим таблицу

1 1  3 3 ⇒  0 1 

x2 , x3 – свободные неизвестные.

x1 x2 −3 3 0 0

x3 0 3

x4 1. 1

Таким образом, e1 = (−3,3,0,1) , e2 = (0,0,3,1) – ФСР решений является частным решением данного уравнения .

и любое из этих

4 1  = − − x x x3 + 1 1 2  3 3 – общее решение, Ответ:   x4 = 1  e1 = (−3,3,0,1) , e2 = (0,0,3,1) – ФСР .

Замечание. Очень часто студенты ранг матрицы и ранг расширенной матрицы считают отдельно, что нерационально, например: 3x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2  № 692 (П). Исследовать совместность системы  7 x1 − 4 x2 + x3 + 3x4 = 5 , 5 x1 + 7 x2 − 4 x3 − 6 x4 = 3 пользуясь критерием совместности. Решение. x3 x1 x2 x4 4  2  2 3 − 5 4  2 3 − 5 4  3 − 5 2  3  → − 2  1 7 − 4 3  →  0 − 11 3 − 2  ⇒ A= 7 −4 1  5 7 − 4 − 6  − 4 5 7 − 6   0 11 − 3 2        ⇒ r ( A) = 2 .

- 32 -

x3 4 2 2  2 3 − 5 2  3 5 → − 2 1 B= 7 −4 1  5 7 − 4 − 6 3 − 4   

x1 x2 x4 3 − 5 4 2 7 − 4 3 5 → 5 7 − 6 3 

2 3 − 5 4 2  2 3 − 5 4 2  →  0 − 11 3 − 2 − 8  →  0 11 − 3 2 8  ⇒ r ( B ) = 3 .  0 11 − 3 2 7   0 0 0 0 − 1    

Ответ: система несовместна. Очевидно, что ранг матрицы A можно найти, выписав лишь матрицу B , так как матрица B получается из матрицы A добавлением справа столбца свободных членов. Замечание. В данном методическом пособии приняты следующие обозначения: (П) – И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1970. (Ф-С) – Д.И. Фаддеев, И.С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. Составители: Глушакова Татьяна Николаевна Бондаренко Юлия Валентиновна Рецензент

Стрыгина Софья Олеговна

Редактор

Тихомирова О.А.

Заказ №

от

2000 г. Тир.

экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ