Теория представлений конечных групп

У.Фейт ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Работа крупного американского алгебраиста У. Фейта, одного из лучших знатоков теории представлений, впитала в себя последние достижения модулярной теории представлений, совершенно не отраженной в отечественной литературе. Книгу отличает умеренное сочетание солидности, методической продуманности и новизны излагаемого материала. Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 7 Предисловие 9 Глава I 11 § 1. Предварительные результаты 11 § 2. Модульные конструкции 14 § 3. Условия конечности 15 § 4. Проективные и относительно проективные модули 17 § 5. Полная приводимость 23 § 6. Радикал 26 § 7. Идемпотенты и блоки 28 § 8. Кольца эндоморфизмов 30 § 9. Полнота 35 § 10. Локальные кольца 39 § 11. Однозначность разложения 41 § 12. Критерии подъема идемпотентов 43 § 13. Главные неразложимые модули 46 § 14. Двойственность в алгебрах 50 § 15. Относительно инъективные модули над алгебрами. 53 § 16. Алгебры над полем 56 § 17. Алгебры над полными локальными областями 66 § 18. Расширение областей 70 § 19. Представления и следы 74 Глава II 79 § 1. Групповые алгебры 79 § 2. Модули над групповыми алгебрами 79 § 3. Относительные следы 85 § 4. Алгебра представлений алгебры R[G] 90 § 5. Алгебраические модули 91 § 6. Проективные резольвенты 93 Глава III 95 § 1. Основные соглашения и обозначения 95 § 2. F[G] модули 95 § 3. Групповые кольца над полными локальными областями 101

§ 4. Вертексы и источники § 5. Соответствие Грина § 6. Дефектные группы § 7. Гомоморфизмы Брауэра § 8. R[GxG]-модули § 9. Соответствие Брауэра Глава IV § 1. Характеры § 2. Характеры Брауэра § 3. Соотношения ортогональности § 4. Характеры в блоках § 5. Некоторые открытые проблемы § 6. Высшие числа разложения § 7. Центральные идемпотенты и характеры § 8. Некоторые естественные отображения § 9. Индекс Шура относительно Qp § 10. Кольцо Aoz(R[G]) § 11. Самодуальные модули в характеристике 2 Глава V § 1. Некоторые элементарные результаты § 2. Группы инерции § 3. Блоки и нормальные подгруппы § 4. Блоки и факторгруппы ;,. § 5. Свойства соответствия Брауэра § 6. Блоки и их ростки § 7. Изометрии § 8. π-высоты § 9. Подсекции § 10. Низшие дефектные группы § 11. Группы заданного дефицитного класса Глава VI § 1. Блоки и расширения кольца R § 2. Радикалы и нормальные подгруппы § 3. Однорядные модули и нормальные подгруппы § 4. Радикал алгебры R[G] § 5. Радикал алгебры R[G] § 6. p-радикальные группы Глава VII § 1. Блоки с циклической дефектной группой § 2. Формулировки результатов § 3. Некоторые предварительные результаты § 4. Доказательства теорем 2.1-2.10 § 5. Доказательства теорем 2.11-2.17 в случае K=K^

107 110 117 121 124 127 132 132 134 136 140 154 159 165 168 171 172 174 178 178 180 183 187 190 193 199 209 212 221 226 228 228 229 232 235 240 243 246 246 250 256 264 265

§ 6. Дерево Браура § 7. Доказательства теорем 2.11-2.19 § 8. Доказательства утверждений 2.20-2.25 § 9. Некоторые свойства дерева Брауэра § 10. Некоторые следствия § 11. Некоторые примеры § 12. Неразложимые R[G]-модули в В § 13. Индексы Шура неприводимых характеров из В § 14. Дерево Браура и расширения поля § 15. Неприводимые модули с циклическим вертексом Глава VIII § 1. Группы с сидовской подгруппой простого порядка § 2. Тензорные произведения R[N]-модулей § 3. Группы тина L2(p) § 4. Характеризания некоторых групп § 5. Некоторые следствия теоремы 4.1 § 6. Группы перестановок простой степени § 7. Характеры степени, меньшей p-1 § 8. Доказательство теоремы 7.1 § 9. Доказательство теоремы 7.2 § 10. Доказательство теоремы 7.3 § 11. Некоторые свойства групп перестановок § 12. Группы перестановок степени 2р § 13. Характеры степени р Глава IX § 1. Структура алгебры A(G) § 2. Алгебра A(G) в случае циклической Sp-подгруппы группы G и поля R § 3. Перестановочные модули § 4. Эндо-перестановочные модули для p-групп Глава Х § 1. Группы с нормальной p’-подгруппой § 2. Характеры Брауэра р-разрешимых групп § 3. Главные неразложимые характеры p-разрешимых групп § 4. Блоки p-разрешимых групп § 5. Модули главного ряда p-разрешимой группы § 6. Проблемы из § 5 главы IV для р-разрешимых групп § 7. Неприводимые модули p-разрешимых групп § 8. Изоморфные блоки Глава XI § 1. Аналог теоремы Жордана Глава XII § 1. Типы блоков § 2. Некоторые свойства главного блока

273 275 276 278 282 289 294 304 307 30S 311 311 312 317 321 327 329 333 339 347 348 351 354 358 363 364 368 371 372 376 376 383 385 388 390 391 396 402 406 406 412 412 416

§ 3. Инволюции и блоки § 4. Некоторые вычисления со столбцами § 5. Группы с абелевой S2-подгруппой типа (2m, 2 m) § 6. Блоки со специальными дефектными группами § 7. Группы с кватернионной S2-подгруппой § 8. Z*-теорема Список литературы Указатель обозначений Предметный указатель

417 420 423 425 427 431 435 457 459

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебра Грина 90 — инерции блока 181 — Гротендика 90 — — функции 181 — низшая дефектная 222 — конечно порожденная 13 —р-дефектная 117 — однорядная (рядная) 60 — свободная 13 — — идемпотента 119 — симметрическая 52 — — класса 117 — р-радикальная 244 — фробениусова 52 Группа представлений характера 379 Аннулятор модуля 26 Базис модуля 11 — типа L2(p) 317 — хорошего поведения 396 — — дуальный 51 — элементарная 132 Базисное множество блока 127 Дефект идемпотента 119 Блок 30 — класса 118 — главный 144 Дерево Брауэра блока 275, 278 — заданного типа 414 Идеал примитивный 26 — — — для подсекции 414 — нильпотентный 27 — — — — элемента 414 — накрывает 182 — Рейнольдса 237 — определен 128 Идемпотент примитивный центральный 11 — регулярный 184 Идемпотенты ортогональные 11 — слабо регулярный 184 Блоки одного типа 414 — связанные 49 Инварианты Картана алгебры 58 Блочная пара 191 — — — относительно базисного — — расширяет 191 — — слабо расширяет 191 множества 138 Индекс ветвления модуля 99 — — собственно расширяет 191 — — области 71 Вертекс модуля 108 Вещественный ствол дерева 281 — инерции (инерционный индекс) блока 217, 249 Высота характера 142 Гомоморфизм Брауэра 122 — Шура 171 Класс Р- дефектный 117 Граф Брауэра блока 271 Кольцо артиново 16 Группа дефектная блока 120 — —идемпотента 119 — вполне примарное 39

— локальное 39 — нётерово 16 — полное 37 — полупростое 27 — со свойством однозначности разложения 42 Конституэнта модуля 12 — — неприводимая 12 Лемма Брауэра 118 — Грина 113 — Накаямы 37 — Осимы 118, 166 — Судзуки 164 Лемма Фиттинга 34 — Шануэля 18 — Шура 30 Матрица Картана алгебры 58 — — блока 58 — разложения алгебры 68 — — блока 69 Метрика 35 — определена 35 Метрики эквивалентные 35 Модули совместимые 374 Модуль абсолютно неразложимый 73 — алгебраический 91 — без кручения 66 — вполне приводимый 23 — B-проективный 20 — главного ряда 390 — главный неразложимый 46 — двусторонний 14 — дуальный 50 — индуцированный 79 — инъективный 54 — — относительно 54 — квадратичного типа 174 — левый регулярный 12 — неприводимо порожденный 93 — неприводимый 12 — однорядный (рядный) 60 — перестановочный 371 — периодический 93

— полный 37 — — относительно 35 — представления 75 — принадлежит блоку 30 — проективный 17 — — относительно 20 — регулярный 12 — свободный 11 — точный 85 — транзитивный перестановочный 371 — чистый 66 — эндо-перестановочный 372 — эндо-тривиальный 372 — (G,H)-проективный 91 — H-проективный 91 Ниль-идеал 27 Нормальный ряд модуля 12 — — — без повторений 13 Относительный след 85 Отображение Брауэра 122 —— относительно (G, Р, Н) 122 Период модуля 93 Подсекция 212 Подсекция относительно базисного множества 413 — старшая 212 Поле разложения алгебры 56 — — модуля 56 Представления алгебры 74 Проективная резольвента 93 p-дефект класса 118 р-секция 160 π-секция 199 π -высота функции 209 π -высота элемента 209 Радикал Джекобсона 25 — модуля 25 Расширение области 70 — — конечное 71 — — неразветвленное 71 Росток блока 193 — — относительно 193

Соответствие Брауэра 128 — Грина 112 Соотношения Накаямы 96 Теорема Алперина 127 — Артина—Веддербарна 33 — Бернсайда 330 — Блау 334 — Брайанта--Ковача 100 — Брауэра 69, 77, 118, 132, 213, 216, 318 — — (первая основная) 129 — — (вторая основная) 160 — — (третья основная) 191 — Брауэра—Накаямы 43 — Брауэра—Несбитт 158 — Брауэра—Розенберга 126 — Брауэра—Туана 328 — Брауэра—Фейта 148, 406 — Бруё 211 — взаимности Фробениуса 96 — Виланда 353 — Грина 126, 127, 134, 364, 368 — Жордана 351, 406 — Жордана—Гёльдера 13 — Ито 334, 353, 354, 358 — Клиффорда 99 — Конлона 123, 364 — Кхатри 245 — Макки 96 — — о тензорном произведении 84 — Машке 89 — Неймана 331 — о разбиении 351 — Рейнольдса 182 — Рихена 358 — Скотта 354 Теорема Смита—Тирера 421 — Томпсона 70, 452 — Уоллеса 239 — Фейта 333, 334 — Фонга 182, 183, 185, 186 — Цушимы 242 — Шрайера 13

Трансверсаль 79 — левая 79 Уплотнение нормального ряда 12 — — — собственное 13 Условие обрыва возрастающих цепочек (DCC) 15 — — убывающих цепочек (АСС) 15 Факторы нормального ряда 12 Функция следа модуля 75 — — представления 75 Характер Брауэра 133 — главный 144 — канонический блока 189 — лежит в блоке 137 — модуля 132 — обобщенный 132 — р-рациональный 165 Характер центральный 57 Характеры р-сопряженные 165 Цоколь модуля 25 Числа разложения 68 — — высшие 160 — — относительно базисного множества 138, 413 Число зацеплений 56 Ширина 231 Эквивалентные метрики 35 — представления 75 Элемент алгебраический 91 — инвариантный 81 — квазирегулярный 26 — невырожденный 52 — правый (левый) квазирегулярный 26 — симметрический 52 Элементы H-сопряженные 117 Ядро блока 117 — модуля 144