Применение функций нескольких переменных в теории поля: Методические указания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

О.А. ВАСИЛЬЕВА, С.А. МИХАЛКИНА

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ТЕОРИИ ПОЛЯ Методические указания

САМАРА 2006

УДК 512.623 (075)

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.В. Гуменникова

Васильева, О.А. Применение функций нескольких переменных в теории поля: метод. указания / О.А. Васильева, С.А. Михалкина; Самар. гос. аэрокосм. ун-т. – Самара, 2006.– 25 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по теории скалярных и векторных полей, а также образцы решения задач по теме «Применение функций нескольких переменных в теории поля». Предлагаются индивидуальные задания для выполнения типовых расчетов. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей Самарского государственного аэрокосмического университета. Методические указания выполнены на кафедре высшей математики в рамках инновационной образовательной программы «Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэрокосмических и геоинформационных технологий».

Печатаются по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С.П.Королева.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Скалярное поле и его характеристики .................................................................. 4 1.1. Геометрические характеристики..................................................................... 4 1.2. Оператор Гамильтона....................................................................................... 4 1.3. Производная по направлению ......................................................................... 5 1.4. Градиент и его свойства ................................................................................... 5 2. Векторное поле и его характеристики .................................................................. 7 2.1. Геометрические характеристики..................................................................... 7 2.2. Дивергенция и ее свойства .............................................................................. 7 2.3. Соленоидальное поле ....................................................................................... 8 2.4. Ротор и его свойства ......................................................................................... 8 2.5. Потенциальное поле ......................................................................................... 9 2.6. Действия с вектором ∇ .................................................................................. 9 2.7. Дифференциальные операции второго порядка.......................................... 10 2.8. Оператор Лапласа ........................................................................................... 11 3. Краткая справка характеристик ........................................................................... 13 скалярных и векторных полей ................................................................................. 13 4. Примеры решения задач ....................................................................................... 14 5. Индивидуальные задания ..................................................................................... 18 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ................................................... 24

3

1. Скалярное поле и его характеристики 1.1. Геометрические характеристики Пространство (или часть его V), в каждой точке которого определена скалярная величина, называется скалярным полем. Таким образом, скалярное поле определяется числовой функцией

u = u ( x, y, z ) , заданной в некоторой области V пространства. В этом случае будем говорить, что задано поле u . Примерами скалярных полей являются поле температур тела, поле давлений в некотором объеме и др. Если скалярное поле задано функцией двух переменных u = u ( x, y ) , оно называется плоским. Графически скалярное поле изображается с помощью поверхностей уровня, в каждой точке которых значение поля постоянно, т.е. поверхность уровня скалярного поля u определяется равенством u ( x, y, z ) = C . Примером поверхностей уровня могут служить экивипотенциальные поверхности в электростатическом поле. Если поле плоское, то равенство вида u ( x, y ) = C определяет линию уровня поля. Примерами линий уровня являются изобары (линии одинакового давления), линии одинаковой высоты на топографических картах и т.п. 1.2. Оператор Гамильтона Символический вектор ∇ «набла» с координатами

∇=

∂ ∂ ∂ , , вида ∂x ∂y ∂z

∂ ∂ ∂ i + j+ k ∂x ∂y ∂z

называется оператором Гамильтона. Его действие на скалярную функцию u определяется по правилу

⎛ ∂ ∂ ∂⎞ ∂u ∂u ∂u ∇u = ⎜ i +j + k ⎟u = i +j +k . ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x

4

1.3. Производная по направлению Пусть задано скалярное поле u = u ( x, y, z ) . Рассмотрим точку M ( x, y, z ) и луч l, выходящий из точки M в направлении единичного вектора

l0 = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k и пусть M 1 ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) другая точка этого луча. Производной скалярного поля u ( M ) по направлению l называется соотношение

u(M1 ) − u(M ) ∂u ∆u = lim = lim , ∂l ∆l →0 ∆ l M1→M MM 1 где ∆l = MM 1 . Производную по направлению можно вычислить по формуле:

∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ , ∂l ∂x ∂y ∂z где

(1)

∂u ∂u ∂u , , – частные производные функции u = u ( x, y, z ) , ∂x ∂y ∂z

cos α , cos β , cos γ – направляющие косинусы направления l. Таким образом, единичный вектор заданного направления равен l0 = ( cos α , cos β , cos γ ) . Производная поля в данной точке M0 по направлению l характеризует скорость изменения поля в данном направлении l. Если если

∂u ∂l ∂u ∂l

> 0 , то поле u = u ( x, y, z ) возрастает в данном направлении, M0

< 0 , то поле u = u ( x, y, z ) убывает в данном направлении. M0

1.4. Градиент и его свойства Градиентом скалярного поля u ( M ) называется вектор

grad u =

∂u ∂u ∂u i + j+ k. ∂x ∂y ∂z

(2)

5

Свойства градиента 1. Если u = u ( x, y, z ) и v = v ( x, y, z ) дифференцируемые функции, C – постоянная, то справедливы следующие соотношения: 1.1. grad(u ± v) = grad u ± grad v; 1.2. grad (C + u ) = grad u; 1.3. grad (Cu ) = C grad u; 1.4. grad(uv) = v grad u + u grad v; 1.5. grad(u n ) = nu n−1grad u;

⎛ u ⎞ v grad u − u grad v ; v ≠ 0. 1.6. grad ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ 2. Градиент скалярного поля u = u ( M 0 ) в данной точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Таким образом, вектор grad u ( M 0 ) направлен по нормали к поверхности уровня поля u в сторону наибольшего возрастания этого поля. 3. Градиент скалярного поля u = u ( M 0 ) в данной точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) направлен в сторону наибыстрейшего возрастания поля в этой точке, а модуль градиента численно равен скорости наибыстрейшего возрастания функции в этой точке. 4. Градиент скалярного поля u можно представить как действие оператора Гамильтона на скалярную функцию по правилу

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂u ∂u ∂u ∇u = ⎜ i +j + k ⎟u = i +j +k = gradu , x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ т.е. grad u = ∇u . 5. Связь между градиентом скалярного поля u = u ( x, y, z ) и производной скалярного поля по направлению l выражается формулой:

∂u = grad u ⋅ l0 . ∂l

6. Производная поля u в данном направлении l равна проекции градиента на направление дифференцирования:

6

∂u = ∇u ⋅ l0 . ∂l

Из выше указанных свойств градиента следует, что grad u скалярного поля

u = u ( x, y, z ) определяется самим полем и не зависит от системы координат.

2. Векторное поле и его характеристики 2.1. Геометрические характеристики Если каждой точке M ( x, y, z ) из области V поставлен в соответствие вектор F = F ( M ) , то говорят, что в некоторой области V задано векторное поле. Векторное поле может быть представлено в виде F ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k ,

где P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – скалярные функции. Примерами векторных полей являются поле скоростей текущей жидкости, поле электрической напряженности и др. Одной из важных характеристик векторного поля является векторная (силовая) линия поля. Векторной линией поля F называется кривая, в каждой

точке M которой касательная совпадает с направлением поля F .

Примерами векторных линий могут служить линии тока жидкости, силовые линии магнитного поля и др. Векторные линии поля F = ( P, Q, R ) можно найти из системы дифференциальных уравнений

dx dy dz = = . P Q R

Пространственные области, целиком составленные из векторных линий, называются векторными трубками. 2.2. Дивергенция и ее свойства Скалярной характеристикой векторного поля является дивергенция, которая вычисляется по формуле

div F =

∂P ∂Q ∂R + + . ∂x ∂y ∂z

С точки зрения гидродинамики: если F – поле скоростей текущей жид-

кости, то числовое значение дивергенции векторного поля F в данной точке M 7

характеризует интенсивность источников или стоков в этой точке. Если

div F ( M ) > 0 , то в точке M – источник, если div F ( M ) < 0 , то в точке M – сток. Если div F ( M ) = 0 , в точке M нет ни источников, ни стоков.

Свойства дивергенции 1. d iv (F + G ) = d iv F + d iv G ; 2. d iv (C ) = 0 , где C – постоянный вектор; 3. div (u F ) = u div F + F ⋅ grad u , где u = u ( x, y, z ) – скалярная функция; 4. d iv (u C ) = C grad u , где C – постоянный вектор; 5. Дивергенцию векторного поля F можно представить как скалярное произ-

ведение оператора Гамильтона и векторной функции F : d iv F = ∇ ⋅ F .

2.3. Соленоидальное поле Векторное поле F называется соленоидальным, если дивергенция этого

поля тождественно равна нулю во всех точках некоторой области V :

div F ( M ) ≡ 0, ∀ M ∈V . Примером соленоидального поля может служить поле скоростей несжимаемой жидкости, при отсутствии стоков и источников; магнитное поле, генерированное катушкой – соленоидом. 2.4. Ротор и его свойства Ротором (вихрем) векторного поля

F ( M ) = P ( x, y, z ) i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k называется вектор

rot F = (

∂R ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂P − − )k . )i − ( − ) j + ( ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

Ротор векторного поля вектор F ( M ) удобно записывать в виде символического определителя

8

rot F =

i

j

∂ ∂x P

∂ ∂y Q

k ∂ . ∂z R

(3)

Главным свойством ротора является то, что rot F не зависит от системы координат, а определяется исходным векторным полем. Отличный от нуля вектор rot F свидетельствует о вращении векторного поля F .

Свойства ротора 1.

rot ( F + G ) = rot F + rot G ;

2.

rot C = 0 , где C – постоянный вектор;

3.

rot (uF ) = u rot F + grad u × F , где u = u ( x, y, z ) - скалярная функция;

4.

Ротор векторного поля равен векторному произведению вектора «набла» ∇ на вектор F : rot F = ∇ × F .

2.5. Потенциальное поле

Векторное поле F называется потенциальным, если ротор этого поля то-

ждественно равен нулю во всех точках некоторой области V :

rot F ( M ) ≡ 0, ∀ M ∈V . В качестве примеров потенциальных полей можно привести следующие поля: поле притяжений к центру, электрическое поле напряженностей точечного заряда. Отметим следующий важный факт. Работа векторного поля F по замкну-

тому контуру в потенциальном поле равна нулю.

2.6. Действия с вектором ∇

9

Пусть u = u ( x, y, z ) – скалярное поле, а F = ( P, Q, R ) – векторное поле. Напомним, что символический вектор «набла» имеет следующие координаты

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ =⎜ ; ; ⎟. ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Его действие на скалярные и векторные поля определяется следующим образом: d iv F = ∇ ⋅ F – скалярная величина;

rot F = ∇ × F – вектор; grad u = ∇ u – вектор.

Оператор ∇ не является вектором в классическом понимании этого слова. Наряду с векторной природой «набла» имеет и дифференциальную природу. Если оператор ∇ действует на произведение, необходимо применять его к каждому сомножителю отдельно, считая другой сомножитель постоянным. Затем, пользуясь правилами векторной алгебры, следует преобразовать каждое слагаемое так, чтобы оператор ∇ стоял перед последним сомножителем. Условимся каждый раз отмечать в формулах знаком « ↓ » тот сомножитель, к которому оператор ∇ должен применяться. Для иллюстрации соответствующих правил действия рассмотрим некоторые примеры. ↓

↓

1. ∇ (uv) = ∇ u v + ∇u v = v ∇u + u ∇v , т.е. в обычных обозначениях

grad(uv) = v grad u + u grad v ; ↓

↓

2. div ( u F ) = ∇ ⋅ u F = ∇ ⋅ u F + ∇ ⋅ u F = ∇ u ⋅ F + u ( ∇ ⋅ F ) . Множители на которые ∇ не действует, можно «высвободить» из-под оператора ∇ , т.е. в обычных обозначениях div (u F ) = F ⋅ grad u + u div F ; ↓

↓

3. rot (uF ) = ∇ × uF = ∇ × u F = ∇ × u F = ∇u × F + u (∇ × F ) , т.е. в обычных обозначениях rot (uF ) = grad u × F + u rot F . 2.7. Дифференциальные операции второго порядка

10

В предыдущих пунктах были введены понятия градиента, дивергенции и ротора. В приложениях векторного анализа приходится встречаться не только с выполнением этих основных операций, но и с различными их комбинациями. Особенно часто встречаются так называемые операции второго порядка, т.е. попарные комбинации трех указанных выше основных операций. Предполагаем, что функции u , P, Q, R достаточное число раз непрерывно дифференцируемы. К дифференциальным операциям второго порядка относятся следующие: d iv grad u , rot grad u , grad div F , div rot F , rot rot F . С помощью оператора «набла» их можно записать следующим образом: 1. d iv grad u = ∇ ⋅ ∇ u ; 2. rot grad u = ∇ × ∇ u ; 3. grad d iv F = ∇(∇ ⋅ F ) ; 4. d iv rot F = ∇ ⋅ (∇ × F ) ; 5. rot rot F = ∇ × (∇ × F ) .

2.8. Оператор Лапласа Оператором Лапласа ∆ называется оператор ∂2 ∂2 ∂2 ∆= 2 + 2 + 2 . ∂x ∂y ∂z

Применив его к скалярной функции u, получим ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟u = 2 + 2 + 2 . ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x

Оператор Лапласа ∆ символически можно получить как скалярный квадрат оператора ∇ : ∂2 ∂2 ∂2 ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 = ∆ . ∂x ∂y ∂z 2

Получим явные выражения некоторых дифференциальных операций второго порядка: 11

∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u div grad u = ∇ ⋅ ∇ u = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2 + 2 + 2 = ∆ u . ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z Итак, div grad u = ∆ u . Можно показать, что div rot F ≡ 0 , а rot rot F = grad di v F − ∆ F . Уравнение ∆ u = 0 называется уравнением Лапласа. Оно используется при описании различных установившихся процессов, например установившегося движения несжимаемой жидкости и др. Скалярное поле u = u ( x, y, z ) , удовлетворяющее условию ∆ u = 0 , называется гармоническим.

12

3. Краткая справка характеристик скалярных и векторных полей Векторное поле F = P ( x , y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x , y , z ) k

Скалярное поле u = u ( x, y , z )

Геометрические характеристики Поверхности уровня – множества точек про- Векторные линии – кривые, в каждой точке странства, на которых значение поля постоян- которых вектор F направлен по касательно, т.е. u ( x, y, z ) = const . ной к этой кривой. Аналитические скалярные характеристики Производная по направлению – характеризует Дивергенция – характеризует объемную скорость изменения поля в данном направле- плотность потока вектора. нии. Формула для вычислений ∂u ∂u ∂u ∂u cos α + cos β + cos γ , = ∂l ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R d iv F = + + ∂x ∂y ∂z где l0 = ( cos α , cos β , cos γ ) – орт вектора направления l . Применение ∂u ∂l

>0

поле возрастает u в в направточке лении l M

<0

=0

d iv F ( M )

убывает в направлении l

стационарно

в точке M

>0

источник

<0

=0

сток

нет ни источника ни стока

Если во всех точках поля d iv F ≡ 0 , то поле соленоидальное. Аналитические векторные характеристики Градиент – вектор, который указывает направление наибыстрейшего возрастания поля в точРотор – характеризует плотность вихрей. ке, и расположенный перпендикулярно поверхности уровня, проходящей через эту точку. Формула для вычислений i j k ∂u ∂u ∂u ∂ ∂ ∂ grad u = i + j+ k rot F = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z P Q R Применение ∂u 1) = grad u ⋅ l0 ; ∂l Если во всех точках поля rot F ≡ 0 , то поле 2) Поверхность S : G ( x, y , z ) = 0 , то нормаль n потенциальное. к поверхности S n = ±grad G .

13

4. Примеры решения задач Задача № 1.

Найдите производную скалярного поля u = x 2 y + 4 − 2 z 2 точке M 0 ( 2, 1, 0 ) по направлению к точке M 1 ( 4, 2, 2 ) . Определите характер изменения поля в точке M 0 . Решение.

Воспользуемся формулой вычисления производной по направлению:

∂u ∂l

= M0

∂u ∂x

⋅ cos α + M0

∂u ∂y

⋅ cos β + M0

∂u ∂z

⋅ cos γ .

(4)

M0

Частные производные и их значения в точке M 0 соответственно равны:

∂u = 2x y ; ∂x

∂u ∂x

∂u x2 ; = ∂y 2 y

∂u ∂y

∂u −2 z = ; 2 ∂z 4 − 2z

∂u ∂z

= 4; M0

= 2;

(5)

M0

=0. M0

Направляющие косинусы направления l = M 0 M 1 находим как координаты единичного вектора l0 . Для этого вычислим координаты вектора M 0 M 1 : M 0 M 1 = (2; 1; 2) и его длину M 0 M 1 = l = 4 + 1 + 4 = 3 .

Единичный вектор направления l равен l0 =

M 0M1 и, следовательно, M 0M1

⎛2 1 2⎞ l0 = ⎜ , , ⎟ . ⎝3 3 3⎠ Направляющие косинусы этого направления равны

cos α =

2 1 2 ; cos β = ; cos γ = . 3 3 3

Подставим найденные значения из (5) и (6) в формулу (4): 14

(6)

∂u ∂l

M0

2 1 2 10 = 4⋅ + 2⋅ + 0 ⋅ = > 0. 3 3 3 3

Так как

∂u ∂l

> 0 , то в данном направлении скалярное поле u ( x, y, z ) является M0

возрастающим. Задача № 2.

Найдите

скорость

и

направление

наибыстрейшего

возрастания

поля

u = 3 xy + 9 − 2 z 2 в точке M 0 (1, 1, 0 ) .

Решение.

Поскольку направление наибыстрейшего возрастания задаётся направлением градиента, а скорость его численно равна модулю градиента, то используем формулу (2): ⎛ ∂u grad u ( M 0 ) = ⎜ ⎜ ∂x ⎝

∂u ; M 0 ∂y

∂u ∂x

⋅i +

∂u ; ∂z M0

⎞ ⎟ ⎟ M0 ⎠

или

grad u ( M 0 ) = ∇u ( M 0 ) =

M0

∂u ∂y

⋅j+ M0

∂u ∂z

⋅k .

(7)

M0

Вычислим частные производные скалярного поля u ( x, y, z ) и найдём их значения в точке M 0 : ∂u 3 y ; = ∂x 2 x

∂u ∂x

∂u 3 x ; = ∂y 2 y

∂u 3 = ; ∂y M 0 2

∂u −2 z = ; ∂z 9 − 2z2

∂u ∂z

M0

3 = ; 2 (8)

=0. M0

Подставим значения производных из формул (8) в формулу (7), тогда

3 3 grad u ( M 0 ) = i + j . 2 2 15

Из свойств градиента наибольшая скорость возрастания поля в точке M 0 равна

vmax

M0

= grad u ( M 0 ) =

9 9 3 2 + +0 = ,а 4 4 2

направление наибыстрейшего возрастания поля определяется единичным вектором градиента скалярного поля в точке M 0 :

1 1 grad u ( M 0 ) n = = i + j. grad u ( M 0 ) | grad u ( M 0 ) | 2 2 Задача № 3.

Найдите угол между нормалями к поверхностям уровня полей u = x 2 + y 2 + z 2 и v = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) в точке M 0 ( 0, 0, 1) , если нормали направлены в сторону возрастания функций этих полей. Решение.

Поскольку нормали, описанные в условии задачи, соответствуют градиентам указанных скалярных полей, найдём grad u ( M 0 ) и grad v ( M 0 ) . Вычислим частные производные и их значения в точке M 0 .

∂u = ∂x ∂u = ∂y ∂u = ∂z

x x2 + y2 + z 2 y x2 + y2 + z 2 z x2 + y2 + z 2

;

;

;

∂u ∂x

∂u ∂y ∂u ∂z

=0; M0

=0; M0

= 1, M0

Получим исходя из формулы (2): grad u ( M 0 ) = ( 0, 0, 1) = k .

∂v 2x = 2 ; ∂x x + y 2 + z 2

∂v =0; ∂x M 0

∂v 2y = 2 ; ∂y x + y 2 + z 2

∂v = 0; ∂y M 0

∂v 2z = 2 ; ∂z x + y 2 + z 2

∂v =2 ∂z M 0

16

и из формулы (2) запишем grad v( M 0 ) = ( 0, 0, 2 ) = 2k . Если ϕ – угол между градиентами, то воспользовавшись формулой

cos ϕ =

( grad u ( M 0 ), grad v( M 0 ) ) , grad u ( M 0 ) ⋅ grad v( M 0 )

получим cos ϕ =

0+0+2 = 1. 1⋅ 4

Следовательно, ϕ = 0D . Задача № 4.

Найдите d iv grad u ( M 0 ) и rot grad u ( M 0 ) , если u = x 2 y + 4 − 2 z 2 ; M 0 ( 2, 1, 0 ) . (см. задачу № 1). Решение.

Напомним, что (см. решение задачи № 1)

∂u = 2x y ; ∂x

∂u 2z =− ; 2 ∂z 4 − 2z

∂u x2 ; = ∂y 2 y

x2 2z grad u = 2 x y ⋅ i + ⋅j− ⋅k . 2 y 4 − 2z2 Для векторного поля a = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k дивергенция равна

div a =

∂P ∂Q ∂R + + . ∂x ∂y ∂z

Для вектора grad u имеем P = 2 x y ;

∂P =2 y; Тогда ∂x и d iv grad u = 2 y −

x2 ∂Q =− ; ∂y 4 y3 x2 4 y3

−

8 (4 − 2 z 2 )3

Q=

x2 ; 2 y

R=−

2z 4 − 2z

2

.

∂R 8z =− ; ∂z (4 − 2 z 2 )3 .

Подставим значения координат точки M 0 в последнюю формулу и получим, что в точке M 0 d iv grad u ( M 0 ) = 0 .

17

Ротор векторного поля a вычисляется с помощью символического опре-

делителя

rot a =

i

j

∂ ∂x P

∂ ∂y Q

∂ . ∂z R

Q=

x2 ; 2 y

Подставим P = 2 x y ;

i ∂ ∂x

j ∂ ∂y

2x y

x2 2 y

rot grad u =

k

R=−

k ∂ ∂z −

2z 4 − 2z

2

в определитель, получим

⎛ x x ⎞ = 0 ⋅ i − 0 ⋅ j + ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ k = 0 . y y ⎝ ⎠

2z 4 − 2z2

Итак, div grad u ( M 0 ) = 0 , rot grad u ( M 0 ) = 0 .

5. Индивидуальные задания Задача № 1.

Найдите производную скалярного поля u ( x, y, z ) в точке M 0 по направлению к точке M 1 . Определите характер изменения поля в точке M 0 . 1)

u = ln (1 + x 2 + y 2 ) − x 2 + z 2 ;

2)

M 0 ( 3, 0, − 4 ) ;

M 1 ( 2, − 1, − 3) ;

u = ( x2 + y2 + z 2 ) 2 ;

M 0 ( 0, − 3, 4 ) ;

M 1 ( −1, − 2, 3) ;

3)

u = xy − 4 − z 2 ;

M 0 (1, 1, 0 ) ;

M 1 ( 2, − 1, − 1) ;

4)

u = x y − ( z + y) x ;

M 0 (1, 1, − 2 ) ;

M 1 ( −2, 0, − 1) ;

5)

u = x2 + y 2 − z ;

M 0 ( 3, 4, 1) ;

M 1 (1, 6, 2 ) ;

6)

u = ln (1 + x 2 ) − xy z ;

M 0 (1, − 2, 4 ) ;

M 1 ( 2, − 3, 2 ) ;

7)

u = arctg

M 0 ( 2, 2, − 1) ;

M 1 ( 4, − 1, − 2 ) ;

8)

u = 2ln ( 2 + x 2 ) − 4 xyz ;

M 0 ( 0, 1, 2 ) ;

M 1 (1, 2, 4 ) ;

3

18

y + xz ; x

M 0 ( 2, 1, − 1) ;

M 1 ( 0, 1, 2 ) ;

10) u = xz 2 − x xy ;

M 0 (1, 4, 1) ;

M 1 ( 0, 5, − 1) ;

11) u = x 2 y − x 2 + 2 z 2 ;

M 0 ( 2, 2, 3) ;

M 1 ( 2, 0, 5 ) ;

12) u = 2ln ( x 2 + 1) − 4 xyz 2 ;

M 0 ( 3, 2, 1) ;

M 1 ( 2, 0, 3) ;

13) u = x y + y z ;

M 0 ( 2, 4, 4 ) ;

M 1 ( 4, 4, 2 ) ;

14) u = 4ln ( 3 + x 2 ) − 8 xyz ;

M 0 (1, 1, 2 ) ;

M 1 ( 0, 2, 1) ;

15) u = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 4 xz ;

M 0 ( 0, 1, 1) ;

M 1 (1, − 1, 2 ) ;

16) u = x + ln ( y 2 + z 2 ) ;

M 0 ( 2, 1, 1) ;

M 1 ( 4, 0, 2 ) ;

17) u = x 2 y − xy + z 2 ;

M 0 (1, 5, − 2 ) ;

M 1 (1, 3, 0 ) ;

18) u = y ln (1 + x 2 ) − arctg z ;

M 0 ( 0, 1, 1) ;

M 1 ( −2, 4, 3) ;

19) u = x ( ln y − arctg z ) ;

M 0 ( −2, 1, − 1) ;

M 1 (10, − 3, − 9 ) ;

20) u = ln ( 3 − x 2 ) + xy 2 z ;

M 0 (1, 3, 2 ) ;

M 1 ( 2, 1, 4 ) ;

21) u = sin ( x + 2 y ) + xyz ;

⎛ π 3π ⎞ M0 ⎜ , , 3⎟ ; ⎝2 2 ⎠

3π ⎛π ⎞ − 3, 3 ⎟ ; M 1 ⎜ − 4, ⎝2 ⎠ 2

22) u = x 2 y 2 z − ln ( z − 1) ;

M 0 (1, 1, 2 ) ;

M 1 ( −4, 7, 2 − 2 5 ) ;

23) u = x 2 + y 2 + z 2 ;

M 0 (1, − 3, 4 ) ;

M 1 (1, − 4, 5 ) ;

x yz ; − y x+ y

M 0 ( 4, 1, − 2 ) ;

M 1 ( 6, 1, − 1) ;

25) u = xy + 9 − z 2 ;

M 0 (1, 1, 0 ) ;

M 1 ( 3, − 1, 1) ;

26) u = 2 x + y + y arctg z ;

M 0 ( 3, − 2, 1) ;

M 1 ( −1, − 2, 4 ) ;

27) u = z 2 + 2arctg ( x − y ) ;

M 0 (1, 2, − 1) ;

M 1 ( 0, 0, 1) ;

28) u = ln ( y 2 + x 2 ) + xyz ;

M 0 (1, − 1, 2 ) ;

M 1 ( 0, 0, − 3) ;

x 29) u = xy − ; z

M 0 ( −4, 3, − 1) ;

M 1 ( −9, 2, 0 ) ;

M 0 (1, − 3, 4 ) ;

M 1 ( 3, − 2, 3) ;

9)

u = x y − yz 2 ;

3

24) u =

(

)

30) u = ln x + y 2 + z 2 ;

19

31) u = x 2 − arctg ( y + z ) ;

M 0 ( 2, 1, 1) ;

M 1 ( 2, − 2, 5 ) .

Задача № 2.

Найдите скорость и направление наибыстрейшего возрастания поля

u = u ( x, y, z ) в точке M 0 . 1)

u = 4ln(3 + x 2 ) − 8 xyz ;

M 0 (1, 1, 1) ;

2)

u=x y+y z;

M 0 (2, 4, 4) ;

3)

u = −2ln( x 2 − 5) − 4 xyz ;

M 0 (1, 1, 1) ;

4)

u=

5)

u = xz 2 − x 3 y ;

M 0 (2, 2, 4) ;

6)

u = x y − yz 2 ;

M 0 (2, 1, -1) ;

7)

u = 7ln( x 2 +

8)

u = arctg

9)

u = ln(1 + x 2 ) − xy z ;

1 2 x y − x2 + 5z 2 ; 4

1 ) − 4 xyz ; 13

y + xz ; x

1 ⎞ ⎛ M 0 ⎜ -2, , 1⎟ ; ⎝ 2 ⎠

M 0 (1, 1, 1) ; M 0 (2, 2, -1) ; M 0 (1, -2, 4) ;

10) u = x 2 + y 2 − z ;

M 0 (3, 4, 1) ;

11) u = x y − ( z + y ) x ;

M 0 (1, 1, -2) ;

12) u = xy − 4 − z 2 ;

M 0 (1, 1, 0) ;

13) u =

x +y z; y+3

M 0 (1, -2, 1) ;

14) u = ln(1 + x 2 + y 2 ) − x 2 + z 2 ;

M 0 (3, 0, -4) ;

15) u = x 2 y − xy + z 2 ;

M 0 (1, 0, -2) ;

16) u = x(ln y − arctg z ) ;

M 0 (-2, 1, 0) ;

17) u = ln( x + 2 y ) + xz ;

M 0 (1, 0, 1) ;

18) u = xy + 9 − z 2 ;

M 0 (1, 4, 0) ;

20

19) u = ln( y 2 + x 2 ) + xyz ;

M 0 (1, -1, 2) ;

20) u = x 2 − arctg( y + z ) ;

M 0 (2, 1, 1) ;

21) u = ln( x + y 2 + z 2 ) ;

M 0 (1, 0, 4) ;

22) u = ln(2 x 2 + y ) + yz ;

M 0 (0, 1, 1) ;

23) u = x 2 y 2 z − ln( z + x) ;

M 0 (0, 2, 3) ;

24) u = ln(3 − x 2 ) + xy 2 z ;

M 0 (1, 2, -1) ;

25) u = yz + x 2 + y 2 + z 2 ;

M 0 (0, 1, 0) ;

26) u = y ln(1 + x 2 ) − arctg z ;

M 0 (0, 1, 2) ;

z 27) u = x 2 ln y + arctg ; x

M 0 (1, 1, 1) ;

28) u = xy + 9 − 2 z 2 ;

M 0 (1, 1, 0) ;

29) u = 2 3x + y + arctg z ;

M 0 (1, 1, 0) ;

30) u = x3 y 2 − x 2 + z 2 ;

M 0 (1, 1, 0) ;

31) u =

x − x2 z 2 ; y + 3z

M 0 (-1, 1, 0) .

Задача №3.

Найдите угол между нормалями к поверхностям уровня полей u = u ( x, y, z ) и

v = v ( x, y, z ) в точке M , если нормали направлены в сторону возрастания функций этих полей.

yz 2 u= 2 ; x

1 1 ⎞ ⎛ M ⎜ 2, , ⎟; 2 3⎠ ⎝

1)

x3 v = + 6 y3 + 3 6 z3 ; 2

2)

v=

4 6 6 3 − + ; x 9y z

u = x 2 yz 3 ;

⎛ 1 M ⎜ 2, , ⎝ 3

3⎞ ⎟; 2⎠

3)

y3 4z3 ; v = 9 2x − − 2 2 3

z3 u= 2; xy

⎛1 M ⎜ , 2, ⎝3

3⎞ ⎟; 2⎠

4)

v=

3

3 4 1 + − ; x y z 6

u=

z ; x y2 3

1 ⎞ ⎛ M ⎜1, 2, ⎟; 6 ⎝ ⎠ 21

5)

x3 v = + 6 y3 + 3 6 z3 ; 2

x2 u= 2 ; yz

1 1 ⎞ ⎛ M ⎜ 2, , ⎟; 2 3⎠ ⎝

6)

y2 v = 3 2x − − 3 2z2 ; 2

z2 u= 2; xy

⎛1 M ⎜ , 2, ⎝3

7)

v = 6 6 x3 + 6 6 y 3 + 2 z 3 ;

u=

8)

6 6 2 − + ; v= 2 x 2 y 3z

yz 2 u= ; x

⎛ 1 1 1 ⎞ M⎜ , , ⎟; ⎝ 2 2 3⎠

9)

y2 v = 3 2x − − 3 2z2 ; 2

xy 2 u= 2 ; z

⎛1 M ⎜ , 2, ⎝3

x3 y 2 ; u= z

1 ⎞ ⎛ M ⎜1, 2, ⎟; 6⎠ ⎝

2

2

3 4 1 ; 10) v = + − x y z 6 11) v = −

4 2 2 1 + + ; x 9y 3z

u=

xz 2 ; y

1 ; x yz 2

2⎞ ⎟; 3⎠

⎛ 1 1 ⎞ M⎜ , , 1⎟ ; ⎝ 6 6 ⎠

2⎞ ⎟; 3⎠

⎛ 1 1 ⎞ M ⎜ 2, , ⎟; ⎝ 3 6⎠

6 2 3 3 ; 12) v = + − x y 2 2z

x2 u= 2 3 ; y z

⎛ 3⎞ M ⎜ 2, 2, ⎟; 2 ⎝ ⎠

13) v = x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 ;

u = xyz ;

⎛ 1 1 ⎞ M ⎜1, , ⎟; ⎝ 3 6⎠

2 3 6 − ; 14) v = + x 2 y 4z

y3 u= 2 ; x z

⎛ 2 M⎜ , 3 ⎝

u = xy 2 z ;

⎛ 2 1 ⎞ M ⎜1, , ⎟; 3 6 ⎝ ⎠

15) v = 2 x 2 − 16) v = −

3y2 − 6 2z 2 ; 2

6 6 2 + − ; 2 x 2 y 3z

u=

x ; z2 y

3 1⎞ , ⎟; 2 2⎠

⎛ 1 1 1 ⎞ M⎜ , , ⎟; ⎝ 2 2 3⎠

6 2 3 3 ; 17) v = + − x y 2 2z

y2 z3 u= 2 ; x

⎛ 3⎞ M ⎜ 2, 2, ⎟; 2 ⎝ ⎠

1 2 2 3 3 − − ; 18) v = y 2z 2x

y2 z3 u= ; x

⎛ 1 3⎞ M⎜ , 2, ⎟; 2 ⎠ ⎝ 2

19) v = 6 6 x 3 − 6 6 y 3 + 2 z 3 ;

u=

22

y ; xz 2

⎛ 1 1 ⎞ M⎜ , , 1⎟ ; ⎝ 6 6 ⎠

20) v = x − y − 3z ;

yz 2 u= ; x

⎛ 1 1 1 ⎞ M⎜ , , ⎟; ⎝ 2 2 3⎠

3x2 y 2 21) v = − + 2z2 ; 2 2

z2 u= 2 2 ; x y

⎛2 M ⎜ , 2, ⎝3

x3 y3 8z3 ; 22) v = − − 2 2 3

x2 u= 2 3; y z

⎛ 3⎞ M ⎜ 2, 2, ⎟; 2 ⎝ ⎠

3x 2 + 3y2 − 2z2 ; 2

u = x 2 yz 3 ;

⎛ 1 M ⎜ 2, , ⎝ 3

3⎞ ⎟; 2⎠

xy 2 u= 3 ; z

⎛1 M ⎜ , 2, ⎝3

3⎞ ⎟; 2⎠

2

23) v =

2

24) v = 9 2 x 3 −

2

y3 4z3 ; − 2 2 3

2⎞ ⎟; 3⎠

3y2 − 6 2z 2 ; 25) v = 2 x − 2

u=

1 ; xy 2 z

⎛ 2 1 ⎞ M ⎜1, , ⎟; ⎝ 3 6⎠

26) v = x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 ;

u=

1 ; xyz

⎛ 1 1 ⎞ M ⎜1, , ⎟; ⎝ 3 6⎠

x ; y2 z3

⎛ 1 3⎞ M⎜ , 2, ⎟; 2 ⎠ ⎝ 2

2

27) v =

1 2 2 3 3 − − ; y 2z 2x

u=

28) v = −

4 2 2 1 + + ; x 9y 3z

u = x 2 yz ;

⎛ 1 1 ⎞ M ⎜ 2, , ⎟; ⎝ 3 6⎠

y2 z3 u= 2 ; x

⎛ 3⎞ M ⎜ 2, 2, ⎟; 2 ⎝ ⎠

x3 y3 8z3 ; 29) v = − − 2 2 3 30) v = −

3x3 2 2 y 3 + + 8 3z 3 ; 3 2

31) v = x 2 − y 2 − 3z 2 ;

u=

x2 z ; y3

⎛ 2 M⎜ , 3 ⎝

3 1⎞ , ⎟; 2 2⎠

u=

x ; yz 2

⎛ 1 1 1 ⎞ M⎜ , , ⎟. ⎝ 2 2 3⎠

Задача № 4.

Найдите div ( grad u ) и rot ( grad u ) , где u – функция скалярного поля из задачи № 1.

23

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981. – 448 с. 2. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для втузов. Ч. IV. – Мн.: Высш. шк., 1987. – 240 с. 3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 240 с.

24