Дифракция Френеля и Фраунгофера на щели: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ 1.2 ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ПО ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ

Дифракция Френеля и Фраунгофера на щели

Новосибирск, 1986

Лабораторная работа 1.2 ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ И ФРАУНГОФЕРА НА ЩЕЛИ 1. Теория 1.1 Отклонение от геометрической оптики. Дифракция. Пусть плоская монохроматическая волна падает перпендикулярно на щель ширины в бесконечном непрозрачном экране (см. рис. 1).

Рис. 1. Схема наблюдения прохождения плоской волны через щель в непрозрачном экране от экрана в плоскости По законам геометрической оптике на любом расстоянии регистрации должен наблюдаться "отпечаток", ширина которого равна . В действительности плоская волна, ограниченная по одному из направлений, вследствие соотношения неопределенности, получает разброс в поперечном волновом числе: . (1) Отсюда следует, что волна за щелью становится расходящейся с характерным углом расходимости , (2) где - длина волны света. Оценки (1), (2) получаются из разложения Фурье по плоским волнам прошедшей щель волны. В диапазоне углов лежат направления основной части компонент такого разложения. Расходимость прошедшего щель излучения приводит к от картины, следующей из искажению распределения освещенности в плоскости геометрической оптики, причем эти искажения нарастают по море удаления от щели. Такое явление, вызванное волновой природой света, называется дифракцией. Здесь и в дальнейшем отклонения от геометрической оптики предполагаются малыми: , что означает малость длины волны излучений по сравнении со всеми размерами. Такое условие выполняется для большинства практических задач оптики и позволяет значительно упростить нахождение поля дифрагирующей волны. Очевидно, что искажения отпечатка щели в целом будут малы при

(3) Неравенство (3) ограничивает зону геометрической оптики, где имеется хорошее соответствие изображения объекту. При значительном удалении экрана от щели, таком, что расстояния между ними удовлетворяют неравенству, обратному неравенству (4) спектральные гармоники Фурье - разложения разойдутся в пространстве и создадут освещенность на экране в области шириной, намного превышающей . В этом случае, который называется дифракцией Фраунгофера, пространственное распределение амплитуды электромагнитного поля в плоскости наблюдения соответствует распределению амплитуд спектральных гармоник. Таким образом, в плоскости пространственная картина поля оказывается связанной преобразованием Фурье с картиной поля в плоскости щели. Как будет показано ниже, это свойство дифракционной картины Фраунгофера справедливо в общем случае для любого плоского объекта с комплексным . В промежуточном случае средних расстояний коэффициентом пропускания распределение поля более сложно. В этой области, называемой областью дифракции Френеля, компоненты спектра Фурье заметно расходятся в пространстве, еще не разделяясь. Вычисление дифракционной картины Френеля даже для такого простого объекта, как щель, требует значительных усилий. Следует отметить, что отдельные пространственные гармоники (плоские волны) не ограничены в пространстве и, строго говоря, не могут разделиться на любом конечном расстоянии от щели. В реальном эксперименте, однако, всегда приходится иметь дело с волновыми пучками, которые можно считать плоскими волнами только более или менее приближенно. В данном случае для изменения пространственного распределения дифрагировавшего света необходимо иметь фотоприемник с размером , много меньшим характерного масштаба дифракционной картины . Для наблюдателя, установившего такой приемник в зоне Фраунгофера, щель оказывается неотличимой от бесконечно тонкой, а выходящее из нее излучение воспринимается как плоская волна. Ситуация здесь та же, что при спектральных измерениях во временной области: анализатор спектра выделяет всегда не отдельные составляющие непрерывного спектра, а некоторую его часть, содержащую бесконечное число спектральных компонент. Возвращаясь к общему описанию прошедшего через щель излучения, нужно сказать, что в зоне геометрической оптики распределение освещенности в целом соответствует отпечатку объекта (в нашем примере щели), однако вблизи краев щели наблюдаются дифракционные явления. Эти искажения также называются дифракцией Френеля и занимают область шириной порядка зоны Френеля , что можно понять из соображений размерности. Для щели бесконечной ширины, т.е. в случае дифракции на полуплоскости, при отсутствии конечного масштаба задачи, на всех расстояние вблизи края геометрической тени наблюдается дифракция Френеля, а зона дифракции Фраунгофера отсутствует. Изменения картины распределения света за щелью, в зависимости от ширины щели, приведены на рис. 2. На рисунке можно видеть постепенно увеличивающееся искажение изображения щели и переход к дифракции

Френеля и затем к дифракции Фраунгофера. Продольный размер на рисунке для удобства взят нереально малым.

Рис. 2

1.2. Дифракция Френеля на щели В приложении к настоящему описанию показано, что в случае щели интеграл Кирхгофа - Френеля сводится к интегралам Френеля вида

. (5) Для нахождения дифракционной картины требуется вычисление на ЭВМ этих интегралов с параметром , зависящим от положения точки регистрации. В приложении имеется ссылка на работу, где содержатся практические указания для таких расчетов. Оценить интегралы (5) и особенности дифракционной картины можно также с помощью использующегося более120 лет графического метода Корню. Отложив функции и

вдоль осей прямоугольной системы координат, строим кривую - спираль Корню, из анализа которой (см. приложение) следует, что по мере удаления плоскости регистрации от щели в центре изображения щели будут попеременно возникать максимумы и минимумы освещенности. Соответствующие расстояния между щелью и плоскостью регистрации определяются следующим образом:

. (6) Здесь и т.д., - ширина щели. Формулы (6) обобщаются на случай, когда щель освещается не плоской, а сферической волной (источник света находится на от щели): конечном расстоянии

. (6’) Выражения (6’) для сферической волны отличаются от аналогичных равенств для плоской волны заменой соотношений

для зоны Френеля на более общее

.

Увеличивая ширину щели или уменьшая расстояние от нее до плоскости наблюдения (фокальной плоскости микроскопа), при выполнении лабораторной работы можно видеть, как увеличивается число минимумов и максимумов на изображении щели.

1.3. Дифракция Фраунгофера Рассмотрим вновь бесконечный экран с отверстием произвольной формы. В отверстие помещен плоский объект (транспарант) с функцией пропускания амплитуды электромагнитной волны. Для определенности мы будем рассматривать в дальнейшем напряженность электрического поля электромагнитной волны, хотя все формулу останутся справедливыми при замене на напряженность магнитного поля то сразу за ним волны. Если на транспарант падает плоская волна, распределение амплитуды волны . (7) в плоскости Поле дифрагировавшей на транспаранте волны на расстоянии выражается через с помощью интеграла Френеля - Кирхгофа. В зоне Фраунгофера интеграл Френеля - Кирхгофа имеет вид

(8) где , . Здесь и в дальнейшем для простоты опускается зависящий только от времени множитель . Из соотношения (8) видно, что напряженность поля волны в зоне Фраунгофера связана преобразованием Фурье с напряженностью поля в плоскости транспаранта. Величины часто называют пространственными частотами по аналогии с частотами преобразования Фурье во временной области. Применим выражение (8) к определению картины дифракции от одиночной щели шириной . Распределение амплитуды показано на рис. 3. Пространственный спектр такой функции координат (см. рис. 3а) легко вычисляется по формулам для коэффициентов разложения Фурье:

(9) Подставив значения пространственной частоты и возведя в квадрат выражения (9), находим распределение освещенности в зоне Фраунгофера:

. (10)

Рис. 3. Распределения амплитуды электромагнитной волны в плоскости щели (а) и в зоне дифракции Фраунгофера (б) Величины расстояний , обеспечивающие условие (4) дифракции Фраунгофера, часто оказываются слишком велики для компактной настольной установки. Для наблюдения пространственного спектра Фурье дифракционных объектов в этих случаях используется свойство линз осуществлять такое преобразование (см. рис. 1-3). Фурье-спектр строится при этом в фокальной плоскости линзы, и в выражение (6) вместо следует подставить

величину фокусного расстояния линзы . В настоящей работе значение равно фокусному расстоянию используемой для наблюдения дифракционной картины зрительной трубы. Вычислим спектр Фурье двойной щели как сумму спектров одинарных щелей. Рассмотрим сначала одиночную щель шириной , смещенную относительно начала координат на расстояние в положительную сторону на оси . Аналогично выражению (9) легко найти спектр по поперечным волновым числам:

. (11) В спектре смещенного отверстия появляется дополнительный фазовый множитель. Этот множитель не сказывается на распределении освещенности, однако при сложении , из-за этого множителя напряженостей полей от двух щелей, разделенных расстоянием возникает интерференционный член:

(12) Распределение интенсивности света в зоне Фраунгофера для двойной щели при приведено на рис. 4.

Рис. 4. Картина дифракции на двух щелях шириной

разделенных расстоянием

Из рисунка видно, что картина интерференции двух плоских волн распространяющихся под углом друг к другу, промодулирована функцией . соответствующей дифракции на одной щели шириной

,

Порядок выполнения работы Упражнение 1. Изучение дифракции Френеля Оптическая схема установки приведена на рис. б.

Входная щель монохроматора 3 открывается пошире. Выходную щель 7 монохроматора следует брать рваной 0,4 - 0,5 мм. На фокусном расстоянии =11см от выходной щели 7 устанавливается линза 8 для формирования плоского фронта световой волны. На расстоянии порядка 1 см от объектива микроскопа 10 установить щель 9 с регулируемой шириной. Зажечь ртутную лампу 1 и с помощью барабана монохроматора выделить одну из ярких линий спектра ртутной лампы. Передвигая подвижный столбик микроскопа вдоль оптической оси, добиться четкого изображения краев щели без дифракционных явлений. Сделать отсчет по нониусу сбоку подвижного столбика. Слегка отодвинуть микроскоп назад так, чтобы в поле зрения видны были, допустим, N темных полос. Делается второй отечет. Разность отсчетов и дает величину L, т.е. расстояние от щели 9 до плоскости наблюдения Э. Ширину щели 9 можно измерить с помощью микроскопа. Микроскоп фокусируется на четкое изображение щели. С помощью перекрестия в поле зрения окуляра определить, сколько мелких делений микрометра укладывается на ширине щели. Цена деления микрометра 0,01 мм. а) Меняя ширину щели 9, наблюдать дифракцию у краев широкой щели и постепенное наложение дифракционных картин при ее сужении. б) Измерить ширину щели 9. Затем, отодвигая микроскоп от щели, измерить расстояние L для каждого случая, когда в поле зрения видны 4,3,2 и 1 темные полосы. Для каждого случая подсчитать величину по формуле (6). Подсчитать среднее значение

длины волны. Оценить точность измерения длины волны света таким способом. в) Расширив щель 9, исследовать дифракцию Френеля на краю экрана. Зарисовать распределение интенсивности света на границе света и тени. Объяснить полученную картину с помощью спирали Корню.

Упражнение 2. Изучение дифракции Фраунгофера Измерить с помощью окулярного микрометра зрительной трубы расстояния между дифракционными минимумами для одиночной и двойной щелей. Фокусное расстояние зрительной трубы у в 325 мм, цена деления окуляра микрометра 0,01 мм. Сопоставить результаты с вычислениями по формулам (10) и (12). Определить из дифракционных картин ширину щелей и расстояния между мелями для двойной щели, при нескольких длинах волн излучения. Вывести взвешенное среднее значение и оценить ошибки измерения. Сравнить с прямыми измерениями размеров щелей с помощью микроскопа. В каком случае выгодно проводить измерения ширины щелей дифракционным способом?

Литература 1. Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. Новосибирск; Наука. Сиб. отд-ние, 1987. 2. Методические указания к лабораторным работам по оптике "Дифракция света". Новосибирск: НГУ, 1989. 3. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970.

Приложение Дифракция Френеля на щели Пусть плоская волна падает по нормали на щель ширины рис. I). В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля (см. §98 /I/) поле дифрагировавшей на щели волны определяется интегралом Кирхгофа - Френеля:

(см.

(1.П) Здесь как обычно для простоты опускается множитель, зависящий только от времени . Интеграл и принимает вид:

существенно упрощается при замене переменной

(2.П) где пределы интегрирования находятся из следующих соотношений: (3.П) Интеграл

можно выразить через интегралы Френеля

и

(4.П) Принимая во внимание соотношение (1.П), можно получить формулу для распределения освещенности в зоне дифракции Френеля:

(5.П) и находятся численно на ЭВМ с использованием Значения интегралов аппроксимации интегралов Френеля рациональными выражениями. Практические указания по вычислению картины дифракции Френеля, таким образом, имеются в работе /2/. Кроме того, для получения информации о распределении поля в зоне дифракции Френеля можно воспользоваться графическим методом, применяющимся с 1874 г. Корню построил совместный график зависимости (см. рис. 1.П).

и

, называемый спиралью Корню

Рис. 1.П. Спираль Корню задает радиус-вектор, исходящий из

Как следует из графика, величину

начала координат в точку с координатами , . Соответственно выражение (4.П) определяет разность двух радиус-векторов, т.е. радиус-вектор, содержащий две точки на спирали с координатами и . Значения параметра согласно формулам (3.П) зависят при фиксированных , и только от координаты точки наблюдения . Разность параметров при этом постоянна: . Напряженность дифрагировавшей волны можно найти с помощью следующего простого механического аналогового устройства. Гибкая не растягивающаяся трубка длиной одета на спираль Корню. Концы трубки соединены резинкой, длина которой и определяет напряженность поля дифрагировавшей волны. Трубка движется по спирали в зависимости точки наблюдения. Для точки, расположенной в середине изображения от координаты ( =0), положение трубки симметрично относительно начала координат. Из рисунка 1.П приближенно следует, что в этих условиях максимумы и минимумы напряженности , соединяющей фокусы соответствуют точкам пересечения спирали Корню и прямой спирали. Прямая составляет с осями координат углы что следует из равенств

(6.П) определяющих координаты фокусов спирали. Так как прямая пересекает спираль приблизительно под прямым углом, то для максимумов угол наклона кривой относительно оси

равняется

, а для минимумов

, где

.

с осью

С другой стороны, угол , образуемый касательной к кривой в произвольной точке , выражается уравнением

(8.П) Здесь принято во внимание, что

,

.

Для симметрично расположенной трубки , поэтому условие экстремумов интенсивности в центре дифракционной картины принимает вид:

(9.П) где и т.д. Величина в равенстве (9.П) определяет ширину первой зоны Френеля, световые волны приходят от краев зоны Френеля в точку наблюдения . относительно разностью фаз Остановимся в заключение на упомянутой в начале настоящего описания дифракции Френеля на краю щели в зоне геометрической оптики ( ). На малых расстояниях плоскости наблюдения от щели ее изображение в средней части не искажено, поэтому можно рассматривать дифракцию на каждом краю независимо. Достаточно хорошей моделью здесь служит полуплоскость. Сохраняя геометрий рис. 1, выберем начало координат на краю полуплоскости, ограниченной осью . В этом случае нижний и верхний пределы в интеграле (1.П.) принимают значения соответственно 0 и , а пределы интегрирования (3.П.) записываются в виде (10.П) Выражение для интенсивности дифракционной картины можно представить следующим образом:

(11.П.) Из соотношений (10.П), (11.П) видно, что интенсивность в точке с координатой дифракционной картины определяется квадратом длины радиус-вектора, исходящего из фокуса спирали Корню в точку на спирали со значением параметра . (точка наблюдения вне геометрической Таким образом, для положительных значений тени) конец радиус-вектора движется по левой ветви спирали, при этом его длина периодически изменяется. В дифракционной картине наблюдаются полосы, которые постепенно затухают при удалении от края изображения, что соответствует движению конца радиус-вектора по все более мелким виткам спирали. В геометрической тени радиус-вектор с точками правой ветви, его длина монотонно уменьшается по мере соединяет фокус удаления от края щели, что соответствует плавному уменьшению интенсивности света по

мере углубления в область геометрической тени.

Литература Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отдние, 1987. Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание 1.2 лабораторной работы по физической оптике. Дифракция Френеля и Фраунгофера на щели. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1990  Физический факультет НГУ, 2000  Лаборатория оптики НГУ, 2000, http://www.phys.nsu.ru/optics/