Глава 3. Периодические решения 3.1. Периодические решения канонических уравнений В этой главе будут изложены основы теор...
5 downloads
198 Views
516KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 3. Периодические решения 3.1. Периодические решения канонических уравнений В этой главе будут изложены основы теории периодических решений в случае канонических уравнений вида
dxi ∂F = , dt ∂ y i
dy i ∂F =− ∂ xi dt
(i = 1, n).
(3.1.1)
Здесь функция F, зависящая от канонических переменных xi, yi и времени t, — характеристическая функция, или функция Гамильтона. Рассматривая в основном небесномеханические приложения, в дальнейшем будем предполагать, что характеристическая функция F не зависит явно от времени t, так что система (3.1.1) является автономной. Тогда уравнения (3.1.1) допускают первый интеграл (см. раздел 1.1) F = c = const , (3.1.2) называемый интегралом энергии, или интегралом живых сил. Предположим далее, что функция F зависит от некоторого малого параметра μ и может быть разложена по степеням этого параметра в ряд 2 F = F0 + μF1 + μ F2 +K, абсолютно сходящийся при 0 < μ < μ 0 , где μ 0 > 0 . Кроме того, будем предполагать, что все функции Fi являются голоморфными, то есть однозначными и непрерывными относительно переменных x1, x2, ..., xn в некоторой области G и периодическими относительно каждой из переменных y1, y2, ..., yn с периодом 2π. Функция F0 предполагается зависящей только от переменных xi: F0 = F0 (x1,x2,...,xn).
(3.1.3)
Изучение канонической системы (3.1.1), обладающей указанными свойствами, А. Пуанкаре назвал основной задачей динамики [10]. В частности, в небесной механике к каноническим системам практически всегда можно прийти во всех основных задачах, если записать уравнения движения в элементах орбиты. Остановимся, однако, на этой проблеме несколько подробнее. Рассмотрим движение тела P с массой m под действием притяжения центрального тела P0 с массой m0 (задача двух тел). Пусть на тело P действуют также некоторые другие силы, допускающие силовую функцию. Тогда в прямоугольной системе координат P0x1x2x3 дифференциальные уравнения движения P примут вид (см. (2.6.1)) d 2 x i χx i ∂R + 3 = ∂ xi dt 2 r
(i = 1, 3),
где 1/ 2
⎛ 3 ⎞ r = ⎜ ∑ xi2 ⎟ , ⎝ i =1 ⎠
χ = f (m0 + m),
а R — возмущающая функция, зависящая от координат xi (i = 1, 3) .
(3.1.4)
68
Часть I. Методы небесной механики Чтобы привести уравнения (3.1.4) к канонической форме, достаточно положить qi = xi ,
p i = x& i
(i = 1, 3),
(3.1.5)
а в качестве функции Гамильтона взять следующую функцию: F = F0 − R,
F0 =
1 2 χ p1 + p22 + p32 − . r 2
(
)
(3.1.6)
Действительно, в этом случае система (3.1.4) преобразуется к виду
dq i ∂F = , dt ∂ p i
dp i ∂F =− ∂ qi dt
(i = 1, 3).
(3.1.7)
Уравнения (3.1.4) или (3.1.7) при R ≠ 0 принято называть уравнениями возмущенного движения, а при R = 0 — уравнениями невозмущенного кеплеровского движения. Для невозмущенного движения канонические уравнения (3.1.4) были проинтегрированы в разделах 2.3 и 2.6. Однако если в (2.3.6) в качестве нового импульса выбрать P1 = K = α1 < 0 (а не L: ∂K/∂L = n), так что, согласно (2.3.7), F0 = α1, и положить S = S∗ − α1t, то из (2.3.5) получим ∂S* Q1 = − t, ∂P1 и тогда, как непосредственно следует из результатов раздела 2.3, общее решение задачи будет представимо в виде qi = qi (α , β , t ),
pi = pi (α , β , t ) (i = 1,3),
(3.1.8)
где α i = Pi , β i = Qi (i = 1,3) являются каноническими элементами Якоби. Эти переменные связаны с кеплеровскими орбитальными элементами a, e, i, ω, Ω, τ = t0 следующими выражениями
α1 = −
χ
2a β 1 = −τ ,
(
)
, α 2 = χa 1 − e 2 , α 3 = α 2 cosi ,
β 2 = ω,
(3.1.9)
β 3 = Ω.
При R = 0 все канонические элементы α i , β i (i = 1,3), в отличие от переменных (2.3.6) (см.(2.3.45)), уже являются постоянными, так как, согласно (2.1.22),
F0* = α 1 +
∂S ≡ 0. ∂t
В случае возмущенного движения (R ≠ 0), если воспользоваться методом вариации произвольных постоянных, то элементы α i , β i будут функциями времени:
dα i ∂R = , dt ∂β i
dβ i ∂R =− dt ∂α i
(i = 1,3).
(3.1.10)
Глава 3. Периодические решения
69
Канонические элементы Якоби имеют, однако, один существенный недостаток, который заключается в следующем. Элемент α1 входит в возмущающую функцию R не только через большую полуось a = − χ 2α 1 , но и через среднюю аномалию
l = n(t − τ ) = n(t + β 1 ), n =
χ a3
=
8( −α 1 ) 3
χ
.
Поэтому в правой части уравнения
dβ 1 ∂R =− dt ∂α 1 будут слагаемые, имеющие множители (t + β1), что приводит к решению, содержащему смешанные члены, которые в большинстве случаев никак не обусловлены самой природой задачи. Различные системы канонических элементов, которые свободны от указанного недостатка и наиболее часто применяются в небесной механике, были предложены Делоне (см. (2.3.47)) и Пуанкаре (2.5.3), (2.5.8). Гамильтониан в случае элементов Пуанкаре определяется той же формулой, что и в случае элементов Делоне: F* = −
χ2 2 L2
− R.
(3.1.11)
Элементы Пуанкаре удобны в тех случаях, когда эксцентриситет и наклон орбиты являются малыми величинами. 3.2. Условия существования Найдем теперь условия, при которых возможно существование периодических решений исходной канонической системы (3.1.1) с гамильтонианом F, зависящим от некоторого малого параметра μ, если неизвестно общее решение этой системы (при μ ≠ 0), но известно, что при μ = 0 система (3.1.1) имеет периодическое решение. Период T этого решения будем называть порождающим периодом, а само периодическое решение исходной системы при μ = 0 (общее решение при μ = 0) назовем порождающим решением для искомых периодических решений канонической системы (3.1.1) при μ ≠ 0 (μ << 1). Таким образом, будем искать условия существования периодических решений, близких к уже известному (при μ = 0), либо с периодом, равным периоду T порождающего решения, либо с периодом T′, близким к порождающему и обращающимся в T при μ = 0. Система (3.1.1) при μ = 0 переходит в уравнения (см. (3.1.3)):
dxi = 0, dt
dy i ∂F =− 0 dt ∂ xi
(i = 1, n),
(3.2.1)
для которых легко выписать общее решение:
xi = ai ,
yi = ni t + ω i .
Здесь a i и ω i — произвольные постоянные, а
(3.2.2)
70
Часть I. Методы небесной механики
ni = −
∂F0 ∂ ai
(i = 1, n).
(3.2.3)
Если все величины niT (i = 1, n) будут кратны 2π, то полученное решение, которое выберем в качестве порождающего, будет периодическим по t с периодом T. Независимость функции F от переменной t (см. раздел 3.1) позволяет искать при μ ≠ 0 периодические решения как с периодом T, так и с периодом T(1+α), где α обращается в нуль при μ = 0. Обратимся сначала к отысканию решений с периодом, равным периоду порождающего решения T. Пусть при t = 0 (и μ ≠ 0) xi = ai + β i ,
yi = ω i + γ i
(i = 1, n)
и при этом β i = γ i , когда μ = 0. Введем переменные ϕi иψi:
xi = ai + β i + ϕ i ,
yi = ni t + ω i + γ i + ψ i ,
(3.2.4)
так что ϕi = ψi = 0 при t = 0. Тогда очевидно, что в случае, когда все значения niT кратны 2π, решения xi, yi (i = 1, n) при μ ≠ 0 будут периодическими с периодом T, если
ϕ i ( T ) = 0, ψ i ( T ) = 0 (i = 1, n).
(3.2.5)
Рассмотрим сначала вторую группу условий (3.2.5). Поскольку ввиду (3.2.4) и (3.1.1) dψ i ∂F = − ni − (i = 1, n), (3.2.6) dt ∂ xi то, учитывая (3.2.3), (3.2.4) и (3.1.2), (3.1.3), с точностью до слагаемых первого порядка относительно параметров βi и μ имеем T ∂ 2 F0 ∂F dt − μ ∫ 1 dt + K , ψ i = −∑ β m ∫ ∂ xi ∂ x m ∂ xi m =1 0 0 n
T
(3.2.7)
где в интегральных выражениях следует считать βi = 0. Так как ∂ 2 F0 = const (i, m = 1, n), ∂ ai ∂ a m то при помощи выражений (3.2.7) запишем вторые условия (3.2.5) в следующем виде: n
∑ βm m =1
T ∂ 2 F0 μ ∂F + ∫ 1 dt + K = 0 (i = 1, n). ∂ ai ∂ a m T 0 ∂ ai
(3.2.8)
Рассматривая эти равенства как уравнения относительно β 1 , β 2 , K, β n , заключаем, что если определитель
Глава 3. Периодические решения
∂ 2 F0 ∂ a12 ∂ 2 F0 ∂ a1 ∂ a 2
∂ 2 F0 ∂ a1 ∂ a 2 ∂ 2 F0 ∂ a 22
L ∂ 2 F0
L ∂ 2 F0
∂ a n ∂ a1
∂ an∂ a2
71
∂ 2 F0 ∂ a1 ∂ a n ∂ 2 F0 L ∂ a2∂ an L
L L
≠ 0,
(3.2.9)
L ∂ 2 F0
∂ a n2
β i =0
то все βi (i = 1, n) могут быть получены из этих уравнений в виде рядов
β i = μβ (i1) + μ 2 β i( 2) +K
(3.2.10)
Поскольку определитель, стоящий в левой части выражения (3.2.9), есть не что иное, как гессиан функции F0 по переменным x1 , x 2 , K, x n , то условие (3.2.9) более кратко может быть записано в виде
Hn ( F0 ) ≠ 0.
(3.2.11)
Обратимся теперь к первой группе условий (3.2.5). Наличие у системы (3.1.1) интеграла энергии позволяет на единицу уменьшить число уравнений (3.2.5). Тогда достаточно обеспечить выполнение (n − 1) условия
ϕ j (T ) = 0 ( j = 1, n − 1),
(3.2.12)
а одну из постоянных γi можно выбрать по своему усмотрению. Будем считать, что γn = 0 при t = 0. Тогда, учитывая (3.1.1), (3.2.4) и ограничиваясь первыми слагаемыми разложения, представим ϕj(T) в виде n −1
T
T
i =1
или
ϕ j (T ) μ
n −1
T
n ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F dt + μ ∫ dt + ∑ β i ∫ dt + K y y y y x ∂ ∂ ∂ ∂μ ∂ ∂ = 1 i j j i j i 0 0 0
ϕ j (T ) = ∑ γ i ∫
(3.2.13)
T T n ∂ 2 F1 ∂F ∂ 2 F1 dt + ∫ 1 dt + ∑ β i ∫ dt + K ( j = 1, n − 1). (3.2.14) y y y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i = 1 j i j j i 0 0 0
T
= ∑γ i ∫ i =1
Таким образом, с точностью до величин первого порядка относительно γi и μ, уравнения (3.2.12) примут вид n −1
T T n ∂ 2 F1 ∂F ∂ 2 F1 dt + ∫ 1 dt + ∑ μβ i(1) ∫ dt + K = 0. y y y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 i j i j j i 0 0 0
T
∑γ i ∫ i =1
(3.2.15)
Левая часть этого уравнения обращается в нуль при γj = μ = 0 ( j = 1, n − 1) , то есть решение переходит в порождающее (3.2.2) в том случае, когда выполняются равенства T
∂F1
0
j
∫∂y
dt = 0
( j = 1, n − 1).
(3.2.16)
72
Часть I. Методы небесной механики
Если, кроме того, определитель (n − 1)-го порядка
∂ 2 F1 dt , y y ∂ ∂ j i 0
T
Δ = det ∫
(3.2.17)
вычисленный при γj = 0, отличен от нуля, то, согласно теореме о неявных функциях, все γj могут быть найдены из уравнений (3.2.15) в виде голоморфных функций μ:
γ j = μγ (j1) + μ 2γ (j2) +K
(3.2.18)
Условия (3.2.16) и (3.2.17) могут быть представлены в другом, более удобном виде. Будем считать, что F1 является периодической относительно каждой из переменных y1 , y 2 , K, y n функцией с периодом, кратным 2π, то есть
F1 = ∑ A sin Ω,
(3.2.19)
n
где Ω = ∑ mi yi + h, mi — целые числа, а A, h — функции от переменных xi. Тогда, с i =1
учетом (3.2.4), получим, что n
n
n
i =1
i =1
i =1
Ω = t ∑ mi ni + ∑ mi (ω i + γ i ) + ∑ miψ i + h .
(3.2.20)
Таким образом, F1 является по переменной t периодической функцией с периодом T и 2π -периодической относительно аргументов ωi + γi. Вводя теперь функцию T 1 (3.2.21) [ F1 ] = T ∫ F1dt , 0 представляющую собой среднее значение F1 за период T, в силу аналитического характера ее зависимости от своих аргументов будем иметь T ∂F1 ∂F1 ∂ dt = ∫0 ∂ y i ∫0 ∂ω i dt = T ∂ω i [F1 ].
T
(3.2.22)
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы. Если постоянные ai порождающего решения (3.2.2) канонической системы (3.2.1) выбраны таким образом, что при фиксированном значении периода T
∂ F0 T = 2πk i ∂ ai
(i = 1, n),
(3.2.23)
где ki — заданные целые числа, а начальная конфигурация системы, определяемая величинами постоянных ωj, удовлетворяет уравнениям
∂ [ F1 ] = 0i ∂ω j то при выполнении условий
( j = 1, n − 1),
(3.2.24)
Глава 3. Периодические решения
73
∂ 2 F0 det ≠ 0 (i, l = 1, n), ∂ ai ∂ al
(3.2.25)
∂ 2 [ F1 ] det ≠ 0 ( m, j = 1, n − 1) ∂ω j ∂ω m
(3.2.26)
для достаточно малых значений параметра μ существует периодическое решение канонической системы (3.1.1) периода T, обращающееся в порождающее при μ = 0. Заметим, что это решение содержит две произвольные постоянные, в качестве которых можно выбрать одну из величин ai и один из углов ωi (i = 1, n), и тогда остальные постоянные будут определены из уравнений (3.2.23) и (3.2.24). 3.3. Ряды, представляющие периодические решения В предыдущем разделе были найдены условия существования периодических решений канонической системы
dxi ∂F = , dt ∂ y i
dyi ∂F =− dt ∂ xi
(i = 1, n)
(3.3.1)
для достаточно малых значений параметра μ. Рассмотрим теперь задачу о построении рядов, представляющих эти решения. Пусть, как и раньше, F = F0 + μF1 + μ 2 F2 + K и порождающее решение определяется формулами xi( 0) = ai , где
ni = −
yi( 0) = ni t + ω i ,
∂F0 ∂ ai
(3.3.2)
(i = 1, n).
Постоянную интеграла энергии (3.1.2) системы (3.3.1) запишем в виде c = c0 + μc1 + μ c 2 +K,
(3.3.3)
∂F ≠ 0. ∂ xn
(3.3.4)
2
где ci — некоторые постоянные. Будем считать также, что
Тогда, произвольно выбирая значение an, определим период порождающего решения T формулой ⎛ ∂F T = 2π ⎜⎜ ⎝ ∂ an
−1
⎞ ⎟⎟ , ⎠
а задавая набор целых, не равных нулю чисел kj, из уравнений
(3.3.5)
74
Часть I. Методы небесной механики
∂F0 ∂F = kj 0 ∂aj ∂ an
( j = 1, n − 1)
(3.3.6)
найдем постоянные a1 , a2 , K , an−1. Определим затем постоянные ω i (i = 1, n). Вводя обозначение n
(n , m) = ∑ ni mi ,
(3.3.7)
i =1
где mi — не равные одновременно нулю целые числа, согласно (3.2.19) представим функцию F1 yi( 0) в виде двух слагаемых:
( )
F1 = ∑ A sin Ω + ∑ A sin Ω. /
//
(3.3.8)
Здесь Ω = ( n , m) t + (ω , m) + h; A, h — функции переменных xi( 0) ; Σ′ обозначает суммирование членов, для которых (n , m) = 0 (то есть имеет место соизмеримость частот ni); Σ′′ — сумму слагаемых с (n , m) ≠ 0. С учетом (3.3.8) условия существования периодического решения (3.2.24) можно представить в виде
∑ m A cos [(ω , m) + h] = 0 /
j
( j = 1, n − 1).
(3.3.9)
Эти уравнения позволяют найти все ω 1 , ω 2 , K , ω n−1. Значение постоянной ω n можно определить по своему выбору, например, положив ω n = 0 , поскольку выбор начального момента t0 произволен в силу независимости от t характеристической функции F уравнений (3.3.1). Определив таким образом все постоянные порождающего решения, будем искать периодическое решение системы (3.3.1) в виде рядов
x i = x i + μx i + μ x i + K , ( 0)
(1)
2
( 2)
(3.3.10)
y i = y i + μy i + μ y i + K ( 0)
(1)
2
( 2)
Подстановка этих рядов в функцию F дает F = Φ 0 + μΦ 1 + μ Φ 2 +K 2
(3.3.11) n
Φ 0 = F0 ( a1 , a2 , K , an ), Φ1 = F1 ( a1 , a2 , K , an , y1( 0) , K , y n( 0) ) − ∑ ni x i(1)
Здесь
и
i =1
n
Φ k = Θ k − ∑ ni xi( k ) для k > 1, где функции Θk зависят только от тех yi( m) и xi( m ) , для коi =1
торых m ≤ k−1. Приравнивая выражения при одинаковых степенях μ в системе (3.3.1), получим следующие уравнения, определяющие функции xi( k ) и yi( k ) :
Глава 3. Периодические решения dx (jk ) dt
=
75
∂Φ k , ∂ y (j0)
n ∂ Θk ∂ 2 F0 dy i( k ) = − ( 0) − ∑ ( 0) ( 0) xl( k ) , dt ∂ xi l =1 ∂ xi ∂ x l
(3.3.12)
в которых j = 1, n − 1, i = 1, n ; x n( k ) определяются из интеграла (3.1.2). Пусть k = 1, тогда для x (j1) имеем dx (j1) dt
=
∂ F1 , ∂ y (j0 )
(3.3.13)
или, с учетом (3.3.8) и (3.3.9), dx (j1) dt
= ∑ Am j cos Ω. //
Интегрируя это уравнение, получим
x (j1) = ∑
//
Am j sin Ω (n , m)
+ c (j1) ,
(3.3.14)
где c (j1) — постоянные, а j = 1, n − 1. Подставляя (3.3.14) в (3.1.2), с учетом (3.3.3) сразу находим, что x
(1) n
⎛ ∂F = ⎜⎜ (00 ) ⎝ ∂ xn
−1
⎫ ⎞ ⎧ n −1 ⎟⎟ ⎨∑ n j x (j1) − F1 (xi( 0 ) , y i( 0) )⎬ + c n(1) , ⎠ ⎩ j =1 ⎭
(3.3.15)
причем −1
⎛ ∂F ⎞ c = ⎜⎜ (00) ⎟⎟ c1 . ⎝ ∂ xn ⎠ Таким образом, все xi(1) получились периодическими функциями с периодом T. Зная xi(1) , удается записать уравнения для yi(1) в виде (1) n
n ∂ 2 F0 dy i(1) (1) (1) = pi − ∑ cl . dt ∂ xl( 0 ) ∂ xi( 0) l =1
(3.3.16)
Здесь pi(1) — известные функции, разложенные в тригонометрические ряды по синусам и косинусам углов, кратных (2πt)/T. Для того чтобы yi(1) были периодическими функциями, необходимо, чтобы постоянное слагаемое в правой части (3.3.16) было равно нулю. Пусть pi(1) обозначает это постоянное слагаемое ряда pi(1) , тогда указанное условие выглядит следующим образом: n ∂ 2 F0 (1) = pi(1) (i = 1, n). (3.3.17) c l ∑ (0) (0) ∂ xl ∂ xi l =1
76
Часть I. Методы небесной механики
Эти n уравнений могут быть разрешены, в силу условия (3.2.25), относительно cl(1) и, следовательно, (3.3.18) yi(1) = Qi(1) + Di(1) (i = 1, n), t
(1) i
где Q
dyi(1) dt — периодические функции от t, а D i(1) — произвольные постоянные, =∫ dt 0
причем Dn(1) = 0, так как ω n = 0. Положим теперь k = 2. Поскольку в силу (3.3.11), (3.3.9) и (3.2.21)
(
)
n
Θ 2 = Θ 2 xi( 0 ) , y i( 0 ) , xi(1) + ∑ y i(1) i =1
∂ [F1 ] , ∂ y i( 0)
то, учитывая выражения (3.3.18), для x (j 2 ) из (3.3.12) получим следующие уравнения: dx (j2 ) dt
n −1
= S (j 2) + ∑ Dk(1) k =1
∂ 2 [F1 ] . ∂ y k( 0) ∂ y (j0 )
(3.3.19)
Здесь j = 1, n − 1 ; S (j 2 ) разложены в тригонометрические ряды по аргументам, кратным (2πt)/T. Пусть S j( 2 ) — постоянные слагаемые этих рядов, тогда, определяя постоянные Dk(1) из уравнений n −1
S j( 2) + ∑ Dk(1) k =1
∂ 2 [F1 ] = 0, ∂ y k( 0) ∂ y (j0)
(3.3.20)
что возможно, согласно условию (3.2.26), после интегрирования (3.3.19) получим x (j 2 ) в виде
x (j 2 ) = R (j 2 ) + c (j 2 ) , t
где R (j 2 ) = ∫ 0
dx
(2) j
dt
(3.3.21)
dt — периодические функции от t; j = 1, n − 1 ; c(j 2 ) — произвольные
постоянные. Подставляя теперь (3.3.21) в интеграл энергии, после сопоставления слагаемых при μ2 найдем ⎡ ⎛ −1 ⎧ ⎞⎤ n ⎛ ∂F0 ⎞ ⎪ n −1 ∂F0 ( 2 ) 1 ⎢ n ⎜ ∂ 2 F0 (1) 2 ∂ 2 F0 ( 2) (1) (1) ⎟ ⎥ x n = −⎜⎜ ( 0) ⎟⎟ ⎨∑ ( 0 ) x j + ⎢∑ ⎜ ( 0) 2 (xi ) + ∑ ( 0) ( 0 ) xi xl ⎟⎥ + 2 i =1 ⎜ ∂ xi l =1 ∂ xi ∂ x l ⎝ ∂ x n ⎠ ⎪ j =1 ∂ x j ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ l ≠i ⎠⎦ (3.3.22) ⎩ n ⎫⎪ ⎡ ∂F ∂F1 (1) ⎤ + ∑ ⎢ (10) xi(1) + y i ⎥ + F2 (xi( 0) , y i( 0 ) )⎬ + c n( 2 ) , ( 0) ∂ yi ⎪⎭ i =1 ⎣ ∂ xi ⎦ −1
⎛ ∂F ⎞ где c = ⎜⎜ (00) ⎟⎟ c 2 . ⎝ ∂ xn ⎠ Полагая затем в (3.3.12) k = 2, для yi( 2 ) выводим следующие уравнения: ( 2) n
Глава 3. Периодические решения
77
n ∂ 2 F0 dyi( 2) ( 2) ( 2) = p i − ∑ cl , dt ∂ xl( 0 ) ∂ xi( 0) l =1
(3.3.23)
где pi( 2 ) — известные функции такого же вида, что и pi(1) . Следовательно, к этим уравнениям применимы рассуждения, аналогичные случаю функций yi(1) , так что все yi( 2 ) можно получить в виде сумм периодических функций и постоянных Di( 2 ) (см. (3.3.18)). Нетрудно видеть, что для x (3) получаются уравнения такого же типа, что и j (3.3.19), так что если распорядиться постоянными Di( 2 ) аналогично Di(1) , то в виде тригонометрических функций определяются все x (j 3) ( j = 1, n − 1) , а интеграл энергии позволит найти x n( 3) . Ясно, что указанный процесс может быть продолжен неограниченно. 3.4. Случай гессиана, равного нулю Рассмотрим теперь более детально условия существования (3.2.24)-(3.2.26) периодических решений канонических систем. В силу ранее принятых допущений относительно F функция [ F1 ] является периодической относительно переменных
ω j ( j = 1, n − 1). Следовательно, в области 0 ≤ ωj < 2π существует, по крайней мере,
один максимум и один минимум функции [ F1 ] . Пусть ω j — одна из этих точек. Тогда справедливы уравнения
∂ [F1 ] ∂ω j ω
=0
(3.4.1)
j =ω j
и, кроме того,
[ F1 (ω 1 , ω 2 ,K, ω n−1 )] − [ F1 (ω 1 , ω 2 , K, ω n−1 )] = 2
∂ ⎪⎫ ⎪⎧ 1 n−1 = ⎨ ∑ (ω j − ω j ) ⎬ [ F (ω , ω , K , ω n−1 )]+K ∂ω j ⎪⎭ 1 1 2 ⎪⎩ 2 j =1
(3.4.2)
При этом квадратичная форма в правой части (3.4.2) должна быть определенной, а это означает неравенство нулю гессиана функции [ F1 ] по переменным ω 1 , ω 2 , K, ω n−1 . Таким образом, при ω j = ω j ( j = 1, n − 1) выполняются как условия (3.2.24), так и условия (3.2.26). Сложнее обстоит дело с выполнением условия (3.2.25), поскольку в ряде задач небесной механики этот определитель обращается в нуль. Однако Пуанкаре указал прием, позволяющий преодолеть эту трудность в том случае, если удается найти функцию ϕ ( F0 ), гессиан которой по переменным a1 , a2 , K, an отличен от нуля:
det
∂ 2ϕ ( F0 ) ≠ 0 (l , i = 1, n). ∂ ai ∂ al
(3.4.3)
Поскольку уравнения (3.3.1) допускают интеграл энергии F = c, то, обозначая производную ϕ по c через ϕ′, будем иметь
78
Часть I. Методы небесной механики
ϕ ′ ( F ) = ϕ ′( c).
(3.4.4)
Уравнения (3.3.1) в этом случае запишутся в виде:
dxi 1 ∂ϕ , = dt ϕ ′(c) ∂ y i
dyi 1 ∂ϕ . =− dt ϕ ′(c) ∂ xi
(3.4.5)
Переходя к переменной τ, такой что dt = ϕ ′ ( c) dτ ,
(3.4.6)
получим каноническую систему
dxi ∂ϕ = , dτ ∂ y i
dyi ∂ϕ =− dτ ∂ xi
(i = 1, n),
(3.4.7)
для которой выполняются условия (3.4.3). В качестве примера рассмотрим случай двух степеней свободы. Пусть 1 (3.4.8) F0 = 2 + x2 , F0 ≠ 0 . 2 x1 Здесь, в частности, ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 = =0 ∂ x 22 ∂ x1∂ x 2 и определитель ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 ∂ x 2 ∂ x1 ∂ x12 H 2 ( F0 ) = ≡ 0. (3.4.9) 2 ∂ F0 ∂ 2 F0 ∂ x1∂ x 2 ∂ x 22 Пусть теперь x 1 ϕ = F02 = 4 + 22 + x22 , (3.4.10) 4 x1 x1 тогда x 6 H2 (ϕ ) = 6 + 12 24 (3.4.11) x1 x1 отличен от нуля для конечных x1. Заметим, однако, что этот прием не достигает цели, если F0 зависит только от части переменных xi, например,
F0 = F0 ( x1 , x 2 ,K, x s ), s < n. В этом случае если мы рассмотрим любую функцию ϕ(F0), то она по-прежнему будет зависеть только от x1 , x 2 , K, x s , и определитель Гессе будет равен нулю. Из этого следует, что условия существования периодических решений в данном случае требуют специального рассмотрения, чем мы и займемся в следующем разделе.
Глава 3. Периодические решения
79
3.5. Решения при невозмущенном гамильтониане, зависящем от части переменных Пусть F0 = F0 ( x1 , x 2 ,K, x s ), причем s < n и, кроме того, ∂ 2 F0 det ≠ 0 (l , m = 1, s ). (3.5.1) ∂ xl ∂ x m Предположим далее, что ∂F0 T = 2πk l (l = 1, s), (3.5.2) ∂ xl
где kl — целые числа, и рассмотрим вопрос о существовании периодических решений канонической системы (3.3.1) с периодом T. Вводя, как и в разделе 3.2, для l ≤ s функции ϕi и ψi и ограничиваясь величинами первого порядка по βi и μ, аналогично (3.2.7) будем иметь T T s ∂ 2 F0 ∂F dt − μ ∫ 1 dt + K = 0. ψ i (T ) = −∑ β m ∫ (3.5.3) ∂ ai ∂ a m ∂ ai m =1 0 0 Отсюда, согласно предположению (3.5.1), устанавливаем, что все β 1 , β 2 , K, β s могут быть найдены как голоморфные функции от μ. Пусть теперь i ≥ s + 1, тогда, аналогично (3.5.3), получим систему уравнений вида T T T n ψ i (T ) ∂ 2 F1 ∂F ∂F = − ∑ βm ∫ dt − ∫ 1 dt − μ ∫ 2 dt + K = 0, μ ∂ a m ∂ ai ∂ ai ∂ ai m = s +1 0 0 0
(3.5.4)
так что при выполнении условий
det и
∂ 2 [F1 ] ≠ 0 (m, l = s + 1, n) ∂ a m ∂ al ∂ [F1 ] =0 ∂ al
(3.5.5)
(3.5.6)
все β s+1 , β s+ 2 , K, β n могут быть найдены в виде рядов по степеням параметра μ. Что же касается уравнений ϕ i ( T ) = 0 (i = 1, n), то для них верны все рассуждения, приведенные в разделе 3.2. Таким образом, если F0 = F0 ( x1 , x 2 ,K, x s ), где s < n, то при выполнении условий
∂ [F1 ] = 0 ( j = 1, n − 1), ∂ω j ∂ [F1 ] = 0 (l = s + 1, n), ∂ al
(3.5.7) (3.5.8)
80
Часть I. Методы небесной механики
∂ 2 F0 det ≠ 0 (k , m = 1, s), ∂ ak ∂ am
(3.5.9)
∂ 2 [F1 ] ≠ 0 ( p, l = s + 1, n), ∂ al ∂ a p
(3.5.10)
∂ 2 [ F1 ] det ≠ 0 ( q , j = 1, n − 1) ∂ω j ∂ω q
(3.5.11)
det
каноническая система (3.3.1) допускает существование периодического решения с периодом, равным порождающему. Заметим, что решение по-прежнему зависит от двух произвольных постоянных — ωn и одной из величин ak (k ≤ s), — а остальные постоянные определяются из (3.5.2), (3.5.7) и (3.5.8). Что касается непосредственного построения рядов, представляющих указанное решение, то нетрудно видеть, что, полагая
x i = x i + μx i + μ x i +K ( 0)
(1)
2
( 2)
y i = y i + μy i + μ y i +K , ( 0)
(1)
2
( 2)
(i = 1, n)
(3.5.12)
можно определить все xi( k ) и ym( k ) ( m = 1, s) способом, изложенным в разделе 3.3. Различие будет состоять лишь в нахождении тех функций yi( k ) , для которых i ≥ s + 1. Рассмотрим метод определения этих функций. Пусть l принимает значения s+1, s+2, ..., n. Ввиду независимости F0 от al из (3.3.1) и (3.3.2) сразу находим, что yl( 0) = bl ,
(3.5.13)
где bl — постоянные величины, определяемые (см.(3.5.8)) из уравнений
∂ [F1 ] = 0. ∂ al
(3.5.14)
В этих уравнениях все аргументы ω j ( j = 1, n − 1) известны как решения системы (3.5.7), ω n = 0; значение as при условии
∂F0 ≠ 0 задается произвольно и определяет ∂ xs
период −1
⎛ ∂F ⎞ T = 2π ⎜⎜ 0 ⎟⎟ , ⎝ ∂ as ⎠ а величины a j ( j = 1, s − 1) являются решением системы
∂F0 ∂F = kj 0 , ∂aj ∂ as где k j — не равные нулю целые числа. Далее для yl(1) , учитывая (3.3.8) и (3.5.7), получим
(3.5.15)
(3.5.16)
Глава 3. Периодические решения
dy l(1) ∂ =− dt ∂ al
81
∑
//
A sin Ω.
(3.5.17)
Отсюда сразу находим, что
⎧ ∂A ⎫ // ∂h y l(1) = ∑ (n , m) −1 ⎨ cos Ω − A sin Ω⎬ + Dl(1) , ∂ al ⎩ ∂ al ⎭
(3.5.18)
где Dl(1) — произвольные постоянные, а первое слагаемое, в силу (3.3.8) и условия (n , m) ≠ 0, является периодической функцией от t с периодом T. Постоянные ci(1) (i ≤ s) уравнения (3.3.14) будут определены из уравнений (3.3.17) при i ≤ s, а все cl(1) (l = s + 1, n) можно положить равными нулю. ∂ 2 F0 ≡ 0 (m = s + 1, n) , поДля yl( 2 ) аналогично (3.3.23), но с учетом того, что ∂ a m ∂ al лучим n dyl( 2) ∂ 2 F1 = pl( 2) − ∑ c m( 2 ) , (3.5.19) dt ∂ a m ∂ al m = s +1 где pl( 2 ) — периодические функции, разложенные в тригонометрические ряды по синусам и косинусам аргументов, кратных 2πt/T. Обозначив через pl( 2 ) постоянные члены этих рядов, определим все cm( 2) из уравнений 2 n ( 2) ( 2 ) ∂ [ F1 ] = 0, (3.5.20) pl − ∑ c m ∂ a m ∂ al m = s +1 что возможно в силу условий (3.5.10). Тогда постоянные слагаемые в правых частях уравнений (3.5.19) будут отсутствовать и, следовательно, после интегрирования получим, что все yl( 2 ) будут периодическими функциями от t. Далее очевидно, что для всех yl( k ) ( k > 2) будут получаться уравнения вида (3.5.19), а указанный выше способ позволяет найти yl( k ) в виде периодических функций с периодом T. 3.6. Решения с периодом, отличным от периода порождающего решения Как уже отмечалось в разделе 3.2, для исследуемых канонических систем при μ ≠ 0 могут существовать решения, у которых величина периода отлична от значения T, отвечающего порождающему решению. Рассмотрим теперь эти решения. Пусть dxi ∂F dy i ∂F = , =− (i = 1, n) (3.6.1) dt ∂ y i dt ∂ xi
и F0 зависит от x1 , x 2 , K , x n . Порождающее решение имеет вид (3.3.2), и его период представляется выражением (3.3.5). Постоянные aj ( j = 1, n − 1) определяются из (3.3.6).
82
Часть I. Методы небесной механики
Будем искать теперь периодическое решение системы (3.6.1) с периодом, равным (1 + α)T, где α обращается в нуль при μ = 0. Положим (3.6.2) t = (1 + α)τ и перейдем к τ в качестве независимой переменной. Тогда из (3.6.1) для xi, yi (i = 1, n) будем иметь dxi dy i ∂F ∂F = (1 + α ) , = −(1 + α ) . (3.6.3) dτ ∂ yi dτ ∂ xi Как и в разделе 3.2, введем переменные ϕi и ψ i: xi = ai + β i + ϕ i , yi = niτ + ω i + γ i + ψ i .
(3.6.4)
Тогда уравнения
ϕ i ( T ) = 0, ψ i ( T ) = 0 (i = 1, n)
(3.6.5)
будут представлять необходимые и достаточные условия существования периодических решений с периодом по t, равным (1+α)T. Аналогично разделу 3.2, второе из условий (3.6.5), если ограничиться выписыванием слагаемых первого порядка относительно βi, α и μ, можно представить в виде T n ∂F0 ∂ 2 F0 μ ∂F α + ∑ βm + ∫ 1 dτ + K = 0. ∂ ai ∂ a m ∂ ai T 0 ∂ ai m =1
(3.6.6)
Таким образом, имеется n уравнений относительно (n+1) неизвестного. В случае, если определитель ∂F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 L ∂ a1 ∂ a1∂ a 2 ∂ a1∂ a n −1 ∂ a12 2 2 ∂F0 ∂ F0 ∂ F0 ∂ 2 F0 L (3.6.7) ∂ a 2 ∂ a 2 ∂ a1 ∂ a 2 ∂ a n −1 ≠ 0, ∂ a 22 L L L L L ∂F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 ∂ 2 F0 L ∂ a n ∂ a n ∂ a1 ∂ a n ∂ a 2 ∂ a n ∂ a n −1 то, полагая βn = 0, можно найти все β 1 , β 2 , K, β n−1 , а также α в виде голоморфных функций μ: β j = μβ (j1) + μ 2 β (j2) +K ( j = 1, n − 1), (3.6.8) α = μα 1 + μ 2α 2 +K Что же касается уравнений ϕi(T) = 0, то на них распространяются все результаты раздела 3.2. Следовательно, условия существования решений с периодом (1+α)T совпадают с соответствующими условиями для решений с периодом T, рассмотренных в раз∂ 2 F0 (i, l = 1, n). деле 3.2, если в (3.2.25) подставить определитель (3.6.7) вместо det ∂ ai ∂ al
Глава 3. Периодические решения
83
Займемся теперь построением рядов, представляющих это решение. Как и в раз∂F деле 3.3, будем считать, что ≠ 0, но все постоянные ck (k = 1, 2, ...) в выражении ∂ xn (3.3.3) положим равными нулю, а следовательно, в выражениях (3.3.16), (3.3.17) и (3.3.23) cn( k ) будут также равны нулю. Указанные ряды будем искать в виде x i = x i( 0) + μx i(1) + μ 2 x i( 2) +K , y i = y i( 0) + μy i(1) + μ 2 y i( 2) +K ,
(3.6.9)
α = μα 1 + μ 2α 2 +K (i = 1, n). Подставляя эти ряды в гамильтониан F, представим его в виде (3.3.11). Приравнивая затем выражения при одинаковых степенях μ в уравнениях (3.6.3), для определения функций xi( k ) и yi( k ) получим следующую систему уравнений: dx (jk )
=
dτ
k ∂Φk ∂ Φ k −m , + αm ∑ ( 0) ∂ yj ∂ y (j0) m =1
n k dy i( k ) ∂Θ ∂ 2F ∂ Φ k −m , = − ( 0k) − ∑ ( 0) 0 ( 0) xl( k ) − ∑ α m dτ ∂ xi ∂ xi( 0 ) l =1 ∂ xi ∂ xl m =1
(3.6.10)
j = 1, n − 1; i = 1, n; k = 1, 2,K; xn( k ) определяются из интеграла (3.1.2). Пусть k = 1, тогда для x (j1) имеем dx (j1) dτ
=
∂F1 ∂ y (j0 )
( j = 1, n − 1).
(3.6.11)
Эти уравнения аналогичны (3.3.13), поэтому, интегрируя их, получим все x (j1) в виде периодических функций от τ с периодом T (но по отношению к независимой переменной t их период, согласно (3.6.2), будет равен (1+α)T). Определяя xn(1) из интеграла энергии, для yi(1) будем иметь n −1 ∂ 2 F0 ∂F dy i(1) (1) (1) = pi − ∑ cl − (00) α 1 , (0) (0) dτ ∂ xi ∂ xl ∂ xi l =1
(3.6.12)
где pi(1) — известные функции, разложенные в ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2λτ T . Обозначая через pi(1) постоянные слагаемые этих рядов и определяя c1 , c 2 , K , c n−1 (c n = 0) и α1 из уравнений (1)
(1)
(1)
(1)
n −1
∑ cl(1) l =1
∂ 2 F0 ∂F + α 1 (00) = pi(1) (0) ( 0) ∂ xi ∂ xl ∂ xi
(i = 1, n),
которые разрешимы ввиду условия (3.6.7), все yi(1) получим в виде тригонометрических функций. После этого для функций x (j k ) будем иметь уравнения вида (3.3.19), а для yi( k ) — (3.6.12), решения которых уже были получены ранее.
84
Часть I. Методы небесной механики
Таким образом, задача построения рядов, представляющих периодическое решение канонической системы (3.6.1) с периодом (1+α)T, также решена. 3.7. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле Пусть имеется каноническая система
dxi ∂F = , dt ∂ y i
dy i ∂F =− dt ∂ xi
(i = 1, n),
(3.7.1)
в которой гамильтониан F, в общем случае не содержащий малый параметр, является голоморфной функцией переменных xi и yi в некоторой окрестности начала координат, и разложение F в степенной ряд по этим переменным начинается со слагаемых второго порядка и не зависит явно от t, так что существует интеграл энергии F = const.
(3.7.2)
Условие отсутствия линейных слагаемых в гамильтониане F означает, что точка ( xi , yi ) = 0 (i = 1, n) есть решение (3.7.1), то есть она является стационарной точкой системы (3.7.1) (см. главу 5). Следуя А. М. Ляпунову, рассмотрим возможность существования периодических решений, близких к нулевому решению системы (3.7.1). Вычисляя в точке ( xi , yi ) = 0 (i = 1, n) величины Aij =
∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F , Bij = , C ij = ∂ xi ∂ x j ∂ yi ∂ y j ∂ xi ∂ y j
(i, j = 1, n),
представим систему (3.7.1) следующим образом: n n dxi = ∑ C ji x j + ∑ B ji y j + Φ1( i ) , dt j =1 j =1
(3.7.3)
n n dy − i = ∑ A ji x j + ∑ Cij y j + Φ 2( i ) , dt j =1 j =1
где разложения функций Φ1(i ) и Φ (2i ) по переменным xj и yj начинаются со слагаемых не ниже второго порядка. Определитель системы (3.7.3) имеет вид C11 − χ C12 L C1n Δ = det A11 A12 L A1n
C21 C22 − χ L C2 n A21 A22 L A2 n
L L L L L L L L
Cn1 Cn 2 L Cnn − χ An1 An 2 L Ann
B11 B12 L B1n C11 + χ C21 L Cn1
B21 B22 L B2 n C12 C22 + χ L Cn 2
L L L L L L L L
Bn1 Bn 2 L Bnn . (3.7.4) C1n C2 n L Cnn + χ
Предположим теперь, что уравнение Δ=0 имеет пару мнимых корней
(3.7.5)
Глава 3. Периодические решения
χ = ±iλ
85 ( λ > 0, i = −1)
(3.7.6)
и, кроме того, не имеет других решений вида
χ = i(mλ), (3.7.7) где m = 0, ±1, ±2, ... . Покажем, что при этих предположениях исходная система (3.7.1) допускает существование семейства периодических решений, зависящих от двух произвольных постоянных. Но первоначально преобразуем систему (3.7.3) к более простому виду. Пусть z = {x1 ,..., xn , y1 ,..., yn }, тогда для линеаризованной системы (3.7.3) будем иметь выражение
dzs 2 n = ∑ a sk zk dt k =1
( s = 1,2n),
(3.7.8)
в котором введем следующие обозначения: a sk = Csk ( k = 1, n), a sk = Bsk ( k = 1,2n) при s = 1, n и a sk = − Ask ( k = 1, n), a sk = −C sk (k = n + 1, 2n) при s = n + 1, 2n. Определим вещественные постоянные Ds и Es как решения уравнений 2n
∑a
sk Ds = − λE k ,
s =1
2n
∑a
sk
E s = λDk
( k = 1,2n),
s=1
или 2n
∑a
sk
( Ds + iE s ) − iλ ( Dk + iE k ) = 0 (i 2 = −1, k = 1,2n).
s=1
Определитель последних уравнений относительно Ds + iEs, с учетом (3.7.4) и обозначений, произведенных в (3.7.8), равен (−1)nΔ(iλ) и, согласно (3.7.6), обращается в нуль. Поэтому для Ds и Es существуют решения, отличные от нулевых. Заменяя теперь в (3.7.8) zn = xn и z2n = yn новыми переменными 2n
x = ∑ Ds zs , s=1
2n
y = ∑ E s zs ,
(3.7.9)
s=1
из (3.7.8) получим dx = − λy , dt
dy = λx. dt
Произведя аналогичную замену и в исходной системе (3.7.1), или (3.7.3), будем иметь dx dy = − λy + X , = λx + Y , dt dt (3.7.10) M dz p = ∑ bpl zl + α p x + β p y + Z p , dt l =1
где p = 1, M , M = 2(n − 1), z1 = x1 , K , z n −1 = x n −1 , z n = y1 , K , z 2 n − 2 = y n −1 ; α p , β p и bpl — постоянные, зависящие от ask, Ds, Es; X, Y и zp — функции, голоморфные в неко-
86
Часть I. Методы небесной механики
торой окрестности точки x = y = z1 = ... = z2n-2 = 0, разложение которых в степенные ряды начинается со слагаемых не ниже второго порядка. Характеристическое уравнение линейной части системы (3.7.10), как нетрудно видеть, представляется в виде двух сомножителей L b11 − χ b12 b1 M b b − χ b 2 2 L 22 2M ( χ + λ ) 21 = 0. (3.7.11) L L L L bM 1 bM 2 L bMM − χ Второй сомножитель будем обозначать через Δ( χ ) . Поскольку преобразование (3.7.9) линейное (не приводит к изменению корней уравнения (3.7.4)), то, согласно условию (3.7.7), уравнение Δ( χ ) = 0
(3.7.12)
не имеет корней вида i(mλ), где m = 0, ±1, ±2, ... . Используя это обстоятельство, можно считать, что все αp = βp = 0, поскольку если это не так, то, находя из уравнений M
∑ bpl Ql = λPp + α p , l =1
M
∑b
pl
Pl = − λQ p + β p
l =1
или M
∑b
pl
(Ql + iPl ) + iλ (Qp + Pp ) = α p + iβ p
(i 2 = −1),
l =1
определитель которых Δ( −iλ ) ≠ 0, величины Ql и Pl ( l = 1, M ) и вводя новые переменные по формуле z *p = z p + Qp x + Pp y ( p = 1, M ), в (3.7.10) приходим к уравнениям относительно z *p , в правых частях которых уже не содержатся линейные относительно переменных x и y слагаемые. Поэтому дальше вместо (3.7.1) или (3.7.3) будем рассматривать систему вида dx = − λy + X , dt
dy = λx + Y , dt
dz p dt
M
= ∑ b pl z l + Z p .
(3.7.13)
l =1
При этом для интеграла (3.7.2) в переменных x, y и zl (l = 1, 2n − 2) на основании исходных предположений получим следующее выражение: M
M
M
M
l =1
l =1
s =1 l =1
F = αx 2 + βxy + γy 2 + x ∑ bl z l + y ∑ cl z l + ∑ ∑ d sl z s z l +K = const .
(3.7.14)
С другой стороны, поскольку F — интеграл, то должно выполняться равенство dF = 0, или dt ( − λy + X )
⎤ ∂F ∂F M ⎡ M ∂F + ( λx + Y ) + ∑ ⎢∑ b pl z l + Z p ⎥ = 0. ∂ y p =1 ⎣ l =1 ∂x ⎦ ∂ zp
Глава 3. Периодические решения
87
Подставляя сюда выражение (3.7.14) и приравнивая нулю коэффициенты при квадратичных слагаемых, содержащих x и y, найдем
α = γ , β = 0, M
∑b
pl
(3.7.15)
(b p + ic p ) − iλ (bl + icl ) = 0.
p =1
Определитель последних M уравнений Δ(iλ ) ≠ 0 и, следовательно, bl = cl = 0 для всех l от 1 до M. Таким образом, голоморфная функция F, являющаяся интегралом исходной системы, образует квадратичную форму относительно переменных x, y, определенных (3.7.9). Не умаляя общности, представим функцию F в виде 2
2
F = x + y + W2 ( z1 , z 2 ,K, z M ) + S ( x, y, z1 ,K, z M ),
(3.7.16)
где W2(z1,...,zM) — квадратичная функция от переменных z1, ..., zM, а S — голоморфная функция от 2n переменных, разложение которой в степенной ряд содержит слагаемые не ниже третьего порядка. Перейдем теперь к доказательству существования периодических решений системы (3.7.13), а следовательно, и исходной системы (3.7.1). С этой целью преобразуем (3.7.13) с помощью подстановки
x = ρ cosθ , к виду
y = ρ sin θ , z p = ρz *p
(3.7.17)
*)
dρ = ρ 2 R ( ρ ,θ , z1* ,K, z M* ), dt dθ = λ + ρΦ( ρ ,θ , z1* ,K, z M* ), dt M dz *p = ∑ b pl z l* + ρV p ( ρ ,θ , z1* ,K , z M* ) dt l =1
(3.7.18)
(p = 1, 2(n − 1)).
Здесь R, Ф, Vp — голоморфные функции от переменных ρ, z1* , z 2* , K , z *M , причем их коэффициенты разложений по этим переменным являются периодическими функциями от θ. Интеграл (3.7.14)-(3.7.16) в новых переменных будет иметь вид
[
]
ρ 2 1+ W ( z1* , z 2* K, z *M ) + ρ S (ρ,θ , z1* ,K, z *M ) = μ 2 ,
(3.7.19)
где W — квадратичная функция от z1* , z 2* , K, z *M ; S — голоморфная функция от переменных ρ , θ , z1* , K, z *M ; μ — некоторая постоянная.
*)
Из первых двух соотношений, учитывая, что
ρ& cos θ − ρθ& sin θ = −λρ sin θ + X ,
d ( x, y ) ∂ ( x, y ) dρ ∂ ( x, y ) dθ = + , для (3.7.13) получим ∂ρ dt ∂θ dt dt
ρ& sin θ + ρθ& cos θ = λρ cosθ + Y . Разрешая эти уравнения относи-
тельно ρ& = dρ dt , θ& = dθ dt и вычисляя, на основании (3.7.17), производную dz p dt , мы придем к (3.7.18).
88
Часть I. Методы небесной механики
Поскольку все рассуждения проводятся для некоторой окрестности начала координат (xi,yi) = 0 (i = 1, n) (см.(3.7.1)-(3.7.3)), то величина μ > 0 мала. Примем ее в качестве малого параметра. Извлекая из обеих частей уравнения (3.7.19) квадратный корень, нетрудно убедиться в том, что в окрестности ρ = μ = z1* = z 2* =K = z *M = 0 это уравнение имеет два решения *) : ρ = μ 1 + a1 ( z1* , K, z *M ) + μ 2 a 2 (θ , z1* , K, z *M ) +K , (3.7.20) ρ = − μ 1 + a1 ( z1* , K, z *M ) + μ 2 a 2 (θ , z1* , K, z *M ) +K
[
]
[
]
Здесь коэффициенты a k (θ , z1* , K , z *M ) при k > 1 являются полиномами относительно sin θ , cosθ , z1* , K , z M* , а * 1
*
*
a1 ( z1 , K , z M )
— функция квадратичная относительно
* M
z , K, z . Начальные условия зададим следующим образом. Пусть при t = t 0 , θ = θ 0
ρ = c > 0, z1* = z 2* =K = z *M = 0.
(3.7.21)
Тогда, подставляя первое из решений (3.7.20) в (3.7.18) и переходя к θ в качестве независимой переменной, приходим к системе уравнений порядка M = 2(n − 1) относительно z *p :
dz *p dθ
M
= ∑ c pl z l + μU p (μ ,θ , z1 ,K, z M ) ( p = 1, M ). *
*
*
(3.7.22)
l =1
Здесь U p ( μ ,θ , z1* ,K, z *M ) — голоморфные относительно μ , z1* , K, z *M функции, периодические по θ, а коэффициенты cpl определяются выражением 1 c pl = bpl ( p, l = 1, M ), λ из которого следует, что уравнение c11 − χ c 21 L c M1
c12 c 22 − χ L cM 2
L L L L
c1 M c2 M = 0 L c MM − χ
(3.7.23)
(3.7.24)
ввиду сделанных ранее предположений (см. (3.7.11), (3.7.12)) не имеет корней вида im (m = 0, ±1, ±2, ...; i2 = −1). Применяя метод Пуанкаре (см. разделы 3.2-3.6), займемся теперь нахождением периодических решений системы (3.7.22), имеющих, согласно (3.7.17), период 2π. По*)
После извлечения квадратного корня от обеих частей (3.7.19) получим Q( ρ , θ , z * , μ ) ± μ = 0, где
[
Q = ρ 1 + W + ρS
]
1/ 2
,
z * = {z 1* , K , z M* }. При этом Q(0, θ , z * ,0) = 0,
(∂ Q
∂ρ ) ρ = μ = 0 ≠ 0 и из теоремы о
неявной функции следует, что ρ является голоморфной функцией от μ и может быть разложена в ряды по ±μ вида (3.7.20).
Глава 3. Периодические решения
89
лагая в (3.7.22) μ = 0, получим следующую систему уравнений первого приближения (или упрощенную систему) M dz *p (3.7.25) = ∑ c pl zl* . dθ l =1 Эти уравнения допускают нулевое решение z *p = 0 ( p = 1, M ),
(3.7.26)
которое и примем в качестве порождающего. Будем искать периодические решения (3.7.22), обращающиеся при μ = 0 в решение (3.7.26). Обозначая через βp начальные значения z *p при μ ≠ 0, т.е. z *p (θ 0 , μ ) = β p
( p = 1, M ),
(3.7.27)
представим все z *p в виде формальных рядов M
z *p = ∑ Apl β l + C p μ +K ( p = 1, M ),
(3.7.28)
l =1
где многоточием обозначены слагаемые второго и более высоких порядков относительно βp и μ. Условия периодичности искомых решений будут иметь вид: Ψp = z *p ( 2π + θ 0 , β 1 , β 2 ,K, β M , μ ) − − z *p (θ 0 , β 1 , β 2 ,K, β M , μ ) = 0 ( p = 1, M ).
(3.7.29)
Подставляя сюда (7.28), получим M
∑[ A l =1
pl
]
[
]
( 2π + θ 0 ) − Apl (θ 0 ) β l + C p ( 2π + θ 0 ) − C p (θ 0 ) μ + K = 0
(3.7.30)
( p = 1, M ). Следовательно, функциональный определитель D=
∂ (ψ 1 ,ψ 2 ,K,ψ M ) ∂ (β 1 , β 2 ,K, β M ) β =K= β 1
равен
[
D = det Apl (2π + θ 0 ) − Apl (θ 0 )
]
M
=μ =0
( p, l = 1, M ).
Найдем теперь выражения для коэффициентов Apl. Для этого подставим ряды (3.7.28) в уравнения (3.7.22) и приравняем слагаемые при одинаковых множителях βp. Тогда для Apl ( p, l = 1, M ) получим уравнения dApl (θ ) dθ
M
= ∑ c pj A jl (θ ), j =1
90
Часть I. Методы небесной механики
из которых следует, что значения этих коэффициентов совпадают с фундаментальной системой решений z *pl (θ ) (индекс l соответствует различным независимым решениям для переменной z *p ) упрощенных уравнений (3.7.25). Следовательно,
[
]
D = det z *pl ( 2π + θ 0 ) − z *pl (θ 0 ) .
(3.7.31)
Если уравнение (3.7.24) имеет M различных корней χ 1 , χ 2 , K, χ M , то, как следует из теории линейных дифференциальных уравнений, справедливо выражение
z *pl (θ ) = B p( l ) exp( χ lθ ),
(3.7.32)
где B p( l ) — некоторые постоянные. Тогда (3.7.31) можно представить в виде
[
D = det z *pl (θ 0 )
]∏ [exp(2πχ ) − 1] . M
(3.7.33)
l
l =1
Поскольку
[
]
z *pl
являются
фундаментальной
системой
решений,
то
D = det z (θ 0 ) ≠ 0, и из (3.7.33) следует, что D обращается в нуль, если только * pl
M
∏ [exp(2πχ l =1
l
) − 1] = 0 .
Для этого необходимо, чтобы хотя бы один из корней χl был равен
χl = im; i2 = −1, m = 0, ±1, ±2, ... Однако последнее невозможно ввиду исходных предположений относительно корней уравнения (3.7.24), поэтому в случае M различных корней уравнения (3.7.24) D ≠ 0. При наличии кратных корней уравнения (3.7.24) нетрудно убедиться в том, что из-за произвольности выбора θ0 функциональный определитель D также не равен нулю. Таким образом, ввиду отличия от нуля якобиана преобразования D, существует однозначное решение βl системы (3.7.29) при μ ≠ 0 (правые части уравнений, определяющих βl, не равны нулю, т.е. система уравнений неоднородна), а поэтому при достаточно малых μ существует единственное периодическое решение системы (3.7.22), обращающееся в нулевое при μ = 0 и представимое сходящимся рядом [11] z *p = μz (p1) (θ ) + μ 2 z (p2) (θ ) +K ( p = 1, M ),
(3.7.34)
где все z (pk ) (θ ) — периодические функции относительно θ с периодом 2π . Подставляя (3.7.34) в первое выражение для ρ (3.7.20), находим
ρ = μ + μ 2 ρ ( 2) (θ ) + μ 3 ρ (3) (θ ) +K ,
(3.7.35)
где ρ ( k ) (θ ) — полиномы относительно sinθ и cosθ. Итак, полученное для ρ и z (pk ) решение системы (3.7.18) является периодическим относительно θ с периодом 2π . Обращаясь теперь в (3.7.18) к уравнению для произ-
Глава 3. Периодические решения
91
водной от угловой переменной θ, учитывая (3.7.6), заметим, что dθ/dt > 0 при достаточно малых значениях μ. Поэтому период полученного решения относительно переменной t определится формулой 2π
T=
dθ
∫ λ + ρΦ(ρ,θ , z ,K, z * 1
0
* M
)
.
(3.7.36)
Согласно (3.7.16) и (3.7.17), левая часть уравнения (3.7.19) не изменяется при одновременной замене ρ на −ρ , θ на θ +π и всех zp на −zp. Следовательно (см.(3.7.20)),
ρ ( μ ,θ , z1* ,K, z *M ) = − ρ ( μ ,θ + π ,− z1* ,K,− z *M ) .
(3.7.37)
Но из второго решения (3.7.20) следует, что a1 ( z1* , K , z *M ) = a1 (− z1* , K , − z *M ), a2 k (θ , z1 , K , z M ) = − a2 k (θ + π ,− z1 , K ,− z M ), *
*
*
*
a2 k +1 (θ , z1 , K , z M ) = a2 k +1 (θ + π ,− z1 , K ,− z M ), *
*
*
*
и это означает, что при замене μ на −μ, θ на θ +π и z *p на − z *p величина ρ меняет знак: − ρ ( μ ,θ , z1 ,K, z M ) = ρ (− μ ,θ + π , − z1 ,K,− z M ). *
*
*
*
(3.7.38)
Произведем замену (3.7.38) в выражении (3.7.36) для периода T. Поскольку, согласно (3.7.13) и (3.7.17), или (3.7.37), − ρ Φ ( − ρ , θ + π , − z1 , K, − z M ) = ρ Φ ( ρ , θ , z1 , K, z M ) *
*
*
*
и Φ — периодическая функция от θ, то изменение предела интегрирования в (3.7.36) на π с одновременной заменой μ на −μ и всех z *p на − z *p ( p = 1, M ) , учитывая (3.7.38), не приведет к изменению величины периода T. Поэтому T есть четная функция от μ *) : T(μ) = T(−μ). Поскольку при μ = 0 из (3.7.20) следует, что ρ = 0 и период T, определяемый (3.7.36), совпадает с периодом порождающего решения T0 = 2π/λ, а Φ — голоморфная функция от μ, то выражение для T можно представить в виде 2π T= (1 + p1 μ 2 + p 2 μ 4 +K), λ где p1 , p2 , ... — постоянные. Подставим теперь начальные условия (3.7.21), в которых, не ограничивая общности, будем считать θ0 = 0, в выражение (3.7.19) для интеграла F = const (см. (3.7.2)). Тогда найдем, что *)
Строго говоря, мы доказали, что T (− μ ,− z1* ,K,− z M* ) = T ( μ , z1* ,K, z M* ), но в дальнейшем рассматривается лишь зависимость T(μ).
92
Часть I. Методы небесной механики
[
]
μ 2 = c 2 1 + S * (c,0,0,K,0) . Так как S * = cS есть голоморфная функция начального отклонения c (а следовательно, μ — аналитическая функция от c), то для периода T окончательно получим 2π (3.7.39) T= (1 + h2 c 2 + h3 c 3 +K), λ где h2, h3, ... — постоянные. В результате доказанные выше утверждения можно сформулировать в виде следующей теоремы. Пусть имеется автономная каноническая система (3.7.1) или равносильная ей система вида (3.7.13).Тогда, если гамильтониан F системы (3.7.1) в некоторой окрестности начала координат является голоморфной функцией, его разложение в степенной ряд по каноническим переменным начинается со слагаемых второго порядка и при этом выполняются условия (3.7.6) и (3.7.7), то каноническая система (3.7.1) имеет периодическое решение, представимое сходящимися рядами ∞
xi = ∑ c k xi( k ) ( t ), k =1
∞
yi = ∑ c k yi( k ) (t )
(i = 1, n) ,
(3.7.40)
k =1
где c — произвольная постоянная *) . Период этого решения является голоморфной функцией от c и представим рядом вида **) ∞ ⎤ 2π ⎡ + 1 hk c k ⎥ , ∑ ⎢ λ ⎣ k =2 ⎦ в котором hk — постоянные коэффициенты. Эта теорема была доказана А. М. Ляпуновым, и ее принято называть теоремой Ляпунова о голоморфном интеграле. И в заключение заметим, что для практического построения периодических ре2π шений целесообразно перейти от t к новой независимой переменной τ = (t − t 0 ) и T подставить ряды вида (3.7.40), выраженные через переменную τ , в исходные уравнения (3.7.1). После приравнивания коэффициентов при одноименных степенях получим уравнения, из которых и определяются искомые функции xi( k ) (τ ), yi( k ) (τ ) (i = 1, n) ряда (3.7.40) для любых значений k.
T=
3.8. Дополнения Исследования А. Пуанкаре, относящиеся к периодическим решениям, в основном велись применительно к каноническим системам (отыскание их периодических решеВторым произвольным параметром периодических решений является постоянная θ0 в (3.7.21), которая в случае (3.7.39), (3.7.40) считалась равной нулю. Но так как гамильтониан F не зависит явно от времени, то исходная система (3.7.1) не изменится при замене t на t+b, где b — произвольная постоянная. Поэтому, заменяя в (3.7.40) t на t+b, мы получим периодическое решение, зависящее от двух произвольных постоянных c и b. **) Если характеристическое уравнение (3.7.5) имеет только чисто мнимые корни χ = ±iλ ( s = 1, n) , то в *)
случае, если ни одно из отношений, которые можно составить из чисел λs, комбинируя из по два, не является целым числом, для исходной канонической системы будет существовать n периодических решений, содержащих по две произвольные постоянные каждое.
Глава 3. Периодические решения
93
ний значительно упрощается). Впоследствии эти исследования были продолжены, в частности, К. Зигелем [12], который привел одно из доказательств существования периодических решений гамильтоновских систем. Существование при достаточно малых μ периодических решений канонических уравнений (3.1.1) как с периодом T (порождающим периодом, отвечающим μ = 0) , так и с периодом (1+α)T, отличным от порождающего, возможно, за исключением особых случаев при выполнении условий (3.2.25), (3.2.26) и, соответственно, (3.6.7), (3.2.26). Эти решения будут содержать две произвольные постоянные, тогда как остальные постоянные ai (i = 1, n) , ωj ( j = 1, n − 1) порождающего решения (3.2.2) канонической системы (3.1.1) определяются из условий (3.2.23), (3.2.24). В случае гессиана (3.2.11), равного нулю, условие (3.2.25) следует заменить на (3.4.3), а при гамильтониане F0, зависящем лишь от части переменных x1, x2, ..., xs (s < n), условия существования периодического решения имеют вид (3.5.7)-(3.5.11). Собственно периодическое решение канонической системы (3.1.1) представляется в виде рядов (3.3.10) или (3.6.9) и определяется из (3.3.12) или (3.6.10). В 1892 г. была опубликована работа А. М. Ляпунова “Общая задача об устойчивости движения”, где, в частности, был предложен аналитический метод интегрирования с помощью тригонометрических рядов автономных дифференциальных (неканонических) уравнений вида r r r r dx (3.8.1) = Bx + Φ (x ), dt r r в которых Φ( x ) — голоморфная (n + 2)-мерная вектор-функция переменных r x ( x1 , x 2 , K, x n+ 2 ), причем такая, что ее разложение начинается со слагаемых не ниже второго порядка относительно этих переменных, а вещественная квадратная матрица (n + 2)-порядка B представима в виде блочной ⎡B B=⎢ 1 ⎣0
⎡0 − λ ⎤ B1 = ⎢ ⎥, ⎣λ 0 ⎦
0⎤ ; B2 ⎥⎦
⎡b11 b12 ⎢b b22 B2 = ⎢ 21 ⎢L L ⎢ ⎣bn1 bn 2
L L L L
b1n ⎤ b2 n ⎥⎥ . L⎥ ⎥ bnn ⎦
(3.8.2)
Периодическое решение уравнений (3.8.1) предлагалось искать в виде ∞ r r x (t ) = ∑ c l x ( l ) (t ),
(3.8.3)
l =1
где l r r r 2π x ( l ) (t ) = ∑ Am( l ) cos mτ + Cm( l ) sin mτ ; τ = (t − t 0 ), T m= 0
(
)
а период решения является голоморфной функцией от произвольной постоянной c: T=
∞ 2π ⎛ s⎞ ⎜ 1 + ∑ hs c ⎟ λ ⎝ s= 2 ⎠
(3.8.4)
94
Часть I. Методы небесной механики
в области c < c0 , где c0 — некоторая положительная, достаточно малая постоянная, hs — постоянные коэффициенты. При обосновании сходимости рядов (3.8.3) и реализуется метод отыскания периодических решений, названный именем Ляпунова. Эффективность метода Ляпунова возрастает в задачах, в которых система (3.8.1) допускает существование голоморфного в некоторой окрестности начала координат и r не зависящего от t интеграла F ( x ) = const , для которого разложение по степеням переменных начинается со слагаемых второго порядка. В этом случае, если собственные значения λ > 0 матрицы B не равны числам ikλ (k = 0, ±1, ±2, ...; i2 = −1), то система (3.8.1) всегда имеет периодическое решение вида (3.8.3), (3.8.4). Это утверждение и составляет суть теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Следует особо отметить тот факт, что в отличие от теории Пуанкаре, когда в качестве порождающего выбирается полное решение исходной системы при μ = 0, в теории Ляпунова берется частное решение, но уже общей системы (при μ ≠ 0). Метод Ляпунова получил развитие в работах И. Г. Малкина [13], Г. Н. Дубошина [14], Ю. А. Рябова [15] и др. Он был применен при построении аналитических теорий движения в спутниковых системах, в частности, в системе планеты Сатурн [16].