Конспекты лекций по электродинамике

Ã. À. Ðîçìàí

ÊÎÍÑÏÅÊÒÛ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ

ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÅ

Ïñêîâ 2002

1

ÁÁÊ 22.314 Ð 649 Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû ôèçèêè è ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì. Êèðîâà

Ðîçìàí Ã.À. Ð649 Êîíñïåêòû ëåêöèé ïî ýëåêòðîäèíàìèêå. - Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002. - 92 ñ. Ð649

Áëàãîäàðþ Ãåíåðàëüíîãî äèðåêòîðà ÎÎÎ «ÏÎ N-P-N», äåïóòàòà Ïñêîâñêîãî îáëàñòíîãî ñîáðàíèÿ äåïóòàòîâ Èãîðÿ Íèêîëàåâè÷à Ñàâèöêîãî, ïðè ïîìîùè êîòîðîãî ñòàë âîçìîæåí âûõîä ýòîé êíèãè.

ISBN 5-87854-215-3

© Ðîçìàí Ã.À., 2002 © Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà (ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2002 2

Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå ....................................................................................... 5 ÃËÀÂÀ1. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà .................. 7 §1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ........................... 7 §2. Òåîðåìà Ãàóññà (IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà) ..................... 10 §3. Ïîëíûé òîê (òîê ïðîâîäèìîñòè è òîê ñìåùåíèÿ) ............. 12 §4. Îïûò Ýðñòåäà (I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà) ........................... 13 §5. Îïûò Ôàðàäåÿ (II óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà) ......................... 15 §6. III óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ..................................................... 16 §7. IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà (ïîâòîðíûé âûâîä) ................... 17 §8. V, VI è VIII óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà .................................... 18 §9. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ............................. 19 §10. Âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû ............................... 20 §11. Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà ........................................................ 23 §12. Âûâîä óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ............................................... 24 §13. Àíàëèç óðàâíåíèé Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëîâ ...................... 25 § 14. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ............................ 29 ÃËÀÂÀ 2. Ýëåêòðîñòàòèêà ......................................................... 36 §1. Ìåõàíè÷åñêèå ñèëû â ýëåêòðîñòàòèêå .................................. 39 §2. Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ ......... 40 §3. Ýíåðãèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ ................... 41 ÃËÀÂÀ 3. Ïîñòîÿííûé òîê ........................................................ 45 §1. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ........................................................... 48 §2. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåìåíòîâ ëèíåéíûõ òîêîâ ....................... 51 §3. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà ...................... 53

3

ÃËÀÂÀ 4. Êâàçèñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû .............................. 55 § 1. Çàêîí Îìà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ ................ 57 § 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàêîíà Îìà äëÿ ñëó÷àÿ ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ñòîðîííåé ÝÄÑ ............................. 59 § 3. Ìîùíîñòü â öåïè êâàçèñòàöèîíàðíîãî òîêà ...................... 62 § 4. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññàõ (ÇÑÏÝ) .............................. 64 § 5. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (ÇÑÊÄ) ............... 69 ÃËÀÂÀ 5. Ïëîñêèå âîëíû .......................................................... 73 §1. Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêèõ âîëí â äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå .... 73 §2. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ïðîâîäÿùåé ñðåäå ............................................................... 77 § 3. Çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè .......................................... 80 § 4. Ïîëó÷åíèå îñíîâíîãî ðàâåíñòâà äëÿ âûâîäà ñëåäóþùèõ çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè ........................................... 82 § 5. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ëó÷ ïàäàþùèé, ëó÷ îòðàæåííûé è ïðåëîìëåííûé ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè .......................... 83 § 6. Óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ ................................... 83 sin α

§ 7. Çàêîí Ñíåëëèóñà sin γ = n ..................................................... 84 § 8. Äîêàçàòåëüñòâî ïîïåðå÷íîñòè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí .... 85 § 9. Èçëó÷åíèå óñêîðåííî äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà ........................ 86 § 10. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà .. 91

4

Ââåäåíèå. Ýëåêòðîäèíàìèêà – ýòî ðàçäåë òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ðàññìàòðèâàþùèé ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ çàðÿäàìè è òîêàìè.  ðàáîòàõ Êóëîíà, Àìïåðà è Âåáåðà (XVIII – íà÷àëî XIX â.) áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ýëåêòðîäèíàìèêà äàëüíîäåéñòâèÿ.  ðàáîòàõ Ôàðàäåÿ è Ìàêñâåëëà áûëà ïîñòðîåíà ýëåêòðîäèíàìèêà áëèçêîäåéñòâèÿ.  ýëåêòðîäèíàìèêå äàëüíîäåéñòâèÿ íåò ìåñòà ïîëþ; âçàèìîäåéñòâèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ìãíîâåííî íà ëþáûå ðàññòîÿíèÿ. Ôàðàäåé ïðèâë¸ê ê ðàññìîòðåíèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîìåæóòî÷íóþ ñðåäó, ðàçäåëÿþùóþ çàðÿäû è òîêè. Âçàèìîäåéñòâèå ïåðåäà¸òñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ÷åðåç ïîñðåäñòâî ïðîìåæóòî÷íîé ñðåäû. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå «ïîëÿ». Ôàðàäåé íå îôîðìèë ñâîè èäåè ìàòåìàòè÷åñêè. Ìàòåìàòè÷åñêîå îôîðìëåíèå èäåé Ôàðàäåÿ áûëî ñäåëàíî Ìàêñâåëëîì.  ñâîåé ðàáîòå «Òåîðèÿ ýëåêòðè÷åñòâà è ìàãíåòèçìà» Ìàêñâåëë ïðåäñêàçàë ñóùåñòâîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.  1887 ã. Ãåðö îáíàðóæèë èõ ýêñïåðèìåíòàëüíî. Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî èìåííî ýòîò ôàêò ñòàë â èñòîðèè ôèçèêè íà÷àëîì ïðèçíàíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðèè áëèçêîäåéñòâèÿ.  1905 ã. Ýéíøòåéí íà áàçå ýëåêòðîäèíàìèêè Ìàêñâåëëà ïîñòðîèë íîâîå ôèçè÷åñêîå ó÷åíèå î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ.  1927 – 1928 ãã. íà áàçå êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ýëåêòðîäèíàìèêè áûëà ïîñòðîåíà Äèðàêîì êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, êîòîðàÿ ó÷ëà è ïîëîæåíèÿ ÑÒÎ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ýëåêòðîäèíàìèêà Ìàêñâåëëà (êëàññè÷åñêàÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíåòèçìà) ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ïðàêòè÷åñêîãî ïðèëîæåíèÿ (ýëåêòðîòåõíèêà, ðàäèîòåõíèêà).  1895 ã. Ëîðåíö ïîñòðîèë ìèêðîñêîïè÷åñêóþ ýëåêòðîäèíàìèêó, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äàëüíåéøèì ðàçâèòèåì òåîðèè ýëåêòðè÷åñòâà. Íàø êóðñ – ýòî ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà Ìàêñâåëëà. Ïðè èçëîæåíèè ýòîé ýëåêòðîäèíàìèêè ìû íå áóäåì ó÷èòûâàòü âíóòðåííåãî ñòðîåíèÿ òåë. Èçëîæåíèå ïðîâîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íàçâàíèåì êíèãè (êîíñïåêòû) è îïèðàåòñÿ íà çíàíèÿ ñòóäåíòîâ ïî ðàçäåëó «Ýëåêòðîäèíàìèêà» îáùåãî êóðñà ôèçèêè. Àâòîð ïðèçíàòåëåí ñòóäåíòêàì ÷åòâåðòîãî êóðñà Ñûñîåâîé Ñâåòëàíå è Êîëåñíèêîâîé Þëèè, êîòîðûå âûïîëíèëè áîëüøóþ ðàáîòó ïî ñîñòàâëåíèþ êîìïüþòåðíîé âåðñèè êóðñà ëåêöèé. 11. 02. 02.

Ïðîô., ä. ô – ì. í. Ã. À. Ðîçìàí 5

....

6

ÃËÀÂÀ1. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà §1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà  1834 ã. Ôàðàäåé ñôîðìóëèðîâàë çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (ÇÑÝÇ).  ñîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêå çàêîí ÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà çàðÿäîâ âñåõ ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö â çàìêíóòîé ñèñòåìå åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé çàïèñè ýòîãî çàêîíà ââåä¸ì ñëåäóþùèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû: 1) ñèëà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà I – ýòî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó ýëåêòðè÷åñòâà, êîòîðîå ïðîõîäèò ÷åðåç ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà åäèíèöó âðåìåíè. Èçìåðÿåòñÿ I ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ:

[I ] = [Q] = Êë = À [t ] ñ

(àìïåð)

2) åñëè ðàçäåëèòü âåëè÷èíó òîêà I íà ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà, òî ïîëó÷àåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ïëîòíîñòüþ òîêà: À I ; [ j] = 2 S ì 3) ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ÷èñëåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó ýëåêòðè÷åñòâà, çàêëþ÷¸ííîãî â åäèíèöå îáú¸ìà, íàçûâàåòñÿ îáú¸ìíîé j=

Êë Q ; [ρ] = 3 V ì ÇÑÝÇ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ òàê:

ïëîòíîñòüþ çàðÿäà: ρ =

I=−

dQ

. dt Ýòî ðàâåíñòâî çàïèñàíî ñ ó÷¸òîì ñëåäóþùåãî ïðàâèëà. Áóäåì ñ÷èòàòü íàïðàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà çà ïîëîæèòåëüíîå, åñëè äâèæåíèå çàðÿäà ïðîèñõîäèò èç íåêîòîðîãî îáú¸ìà íàðóæó. Åñëè çàðÿäû äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, òî òàêîå íàïðàâëåíèå áóäåì ñ÷èòàòü îòðèöàòåëüíûì. Ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîå íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Åñëè ÷åðåç ëþáîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå çà îäèí è òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðîòåêàåò îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî 7

ýëåêòðè÷åñòâà, òî òàêîé ýëåêòðè÷åñêèé òîê íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî òîê íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííûì. ×òîáû âîçíèê ýëåêòðè÷åñêèé òîê, èç íåêîòîðîãî îáú¸ìà äîëæíû âûòåêàòü ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Ñëåäîâàòåëüíî, âíóòðè îáú¸ìà, ãäå íàõîäèëèñü ýòè çàðÿäû, èõ êîëè÷åñòâî ñòàíåò ìåíüøå. Òîãäà, åñëè ñëåâà ñòîèò ïîëîæèòåëüíûé òîê, òî ñïðàâà âåëè÷èíà

dQ dt

< 0 . Íî ïðèðàâíèâàòü

ìîæíî òîëüêî âåëè÷èíû îäíîãî çíàêà (îäíîãî íàèìåíîâàíèÿ è íàïðàâëåíèÿ). Èìåííî ïîýòîìó ñïðàâà ïîñòàâëåí çíàê “ìèíóñ”. Âåñü êóðñ ýëåêòðîäèíàìèêè ìû ïîñòðîèì, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî êîíòóðû, ïîâåðõíîñòè è îáú¸ìû â íàøèõ çàäà÷àõ íå áóäóò èçìåíÿòüñÿ. Òîãäà âñå ïðîèçâîäíûå áóäóò ïî ñóòè äåëà ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü òàê: I=−

∂Q

. ∂t Âûðàçèì êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà, çàêëþ÷¸ííîå â íåêîòîðîì îáú¸ìå, òàê: Q = ∫ ρdV .

Çàïèøåì òîê ñëåäóþùèì îáðàçîì: I = ∫

(1)

jdS .

(2)

Ïëîòíîñòü òîêà îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ çàðÿäîâ. Íå îáÿçàòåëüíî, ÷òîáû çàðÿäû ïåðåìåùàëèñü ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîùàäêå. Ñëåäîâàòåëüíî, íàì íóæíî âçÿòü òó ÷àñòü äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ, êîòîðûå äâèæóòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîùàäêå, ÷òî íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ñèëû òîêà. Ïîýòîìó ýòà ÷àñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîùàäêå, áóäåò âûðàæàòüñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì r r j dS = jdS cos α = j n dS , r r ãäå α – óãîë ìåæäó âåêòîðàìè j è dS , èíäåêñ n ãîâîðèò î ïðîåêöèè ïëîòíîñòè òîêà íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè ê ïëîùàäêå.

8

Îáúåäèíèì (1) è (2) ñ ôîðìóëîé ÇÑÝÇ:

∫ j n dS = −

∂ ∫ ρdV . ∂t

Ïðèìåíèì ê ëåâîé ñòîðîíå ýòîãî ðàâåíñòâà òåîðåìó Ãàóññà, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ñ îáú¸ìíûì:

r ∫ j n dS = ∫ divj dV - òåîðåìà Ãàóññà.

r ∂ ∫ divj dV = − ∫ ρdV ∂t Ïîìåíÿåì ñïðàâà ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ñîãëàñíî äåëàííîé âûøå îãîâîðêå è ïåðåíåñ¸ì ïðàâûé ÷ëåí íàëåâî:



r

∂



∫  divj + ∂t ρ dV = 0 . Èíòåãðàë ðàâåí íóëþ ïðè îòëè÷íîì îò íóëÿ îáú¸ìå èíòåãðèðîâàíèÿ, åñëè ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ. r ∂ρ divj = − - äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè ÇÑÝÇ. ∂t  íàøåé êëàññèôèêàöèè ýòè óðàâíåíèÿ áóäóò íàçûâàòüñÿ VII óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà:

1) èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà: I = −

∂Q ; ∂t

r ∂ρ 2) äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè ÇÑÝÇ: divj = − . ∂t

Îáå ôîðìû çàïèñè âûðàæàþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ ñóòü – ÇÑÝÇ. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà ÷èòàåòñÿ òàê: èçìåíåíèå âî âðåìåíè êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñòâà â íåêîòîðîì îáú¸ìå ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ çàïèñü (èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è èíòåãðàëüíàÿ) ÷èòàåòñÿ òàê: ïðè èçìåíåíèè âî âðåìåíè îáú¸ìíîé ïëîòíîñòè êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñòâà â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè âîçíèêàåò äâèæåíèå çàðÿäîâ, ò. å. ýëåêòðè÷åñêèé òîê.

9

§2. Òåîðåìà Ãàóññà (IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà) Âî âðåìåíà Ôàðàäåÿ ýôèð ïîäðàçóìåâàëñÿ ñóùåñòâóþùèì è íàëè÷èå ýëåêòðè÷åñêèõ èëè ìàãíèòíûõ ïîëåé âûðàæàëîñü â äåôîðìàöèè ýôèðà.  ýôèðå âîçíèêàëè íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå ãðàôè÷åñêè èçîáðàæàëèñü ñèëîâûìè ëèíèÿìè. Òîãäà ïîíÿòíî âûðàæåíèå “ïðîâîäíèê ïåðåñåêàåò ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè”. Êîãäà â 1905 ã. Ýéíøòåéí îòêàçàëñÿ îò ýôèðà, êàê îò íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé, òî ñèëîâûå ëèíèè ïîòåðÿëè ñâîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë êàê ðåàëüíîñòè è ñîõðàíèëèñü ëèøü äëÿ ãðàôè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîýòîìó ïðåäûäóùàÿ ôðàçà ñåãîäíÿ ôèçè÷åñêè áåññìûñëåííà.  ñîîòâåòñòâèè ñ âûøå ñêàçàííûì ââåä¸ì ïîíÿòèå ïîòîêà ëèíèé âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïî îïðåäåëåíèþ

N = ∫ Dn dS . Ïîìèìî âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ââîäèòñÿ åù¸ îäíà ôèçè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà – íàïðÿæ¸ííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ìåæäó âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè è âåêòîðîì íàïðÿæ¸ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ ñâÿçü: r r D = εε 0 E .  ïðîåêöèè íà íîðìàëü Dn = εε 0 En .  êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè èíòåãðèðîâàíèÿ âîçüì¸ì ñôåðó, âáëèçè öåíòðà êîòîðîé ðàñïîëîæåíû ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Ðàäèóñ ñôåðû ìîæíî âçÿòü òàêèì, ÷òî îáëàñòü, çàíèìàåìàÿ çàðÿäàìè, áóäåò ñ÷èòàòüñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé. Òîãäà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàðÿäû íàõîäÿòñÿ â öåíòðå ýòîé ñôåðû. Èíäåêñ n - ýòî èíäåêñ íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ íàïðàâëåíà èç îáú¸ìà íàðóæó.

10

r Î÷åâèäíî, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð rr è íîðìàëü n ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ; òîãäà ìîæíî ïåðåéòè îò èíäåêñà n ê èíäåêñó r:

∫

N = Dr dS

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé çàêîíà Êóëîíà: F=

qQ 4πεε 0 r 2

r èëè F =

qQ 4πεε 0 r 2

r r r ,

r r r ãäå = r0 - åäèíè÷íûé îðò. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ôîðìóëû íà q, ãäå q – r çàðÿä, ðàñïîëîæåííûé â òî÷êå ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì rr . Ïîëó÷èì: Q F = = E. q 4πεε 0 r 2

Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ íàïðÿæ¸ííîñòüþ ïîëÿ è õàðàêòåðèçóåò ïîëå â äàííîé òî÷êå, ãäå íàõîäèòñÿ çàðÿä q. E = Er , ò. å. íàïðÿæ¸ííîñòü íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñ-âåêòîðó. Q – çàðÿä, â ïîëå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ çàðÿä q, ε 0 – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ âàêóóìà. ε – îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èòàê:

∫

∫

N = εε 0 Er dS = εε 0

Çíàê

∫

Q 4πεε 0 r

2

dS =

Q 4π

dS

∫r

2

.

îçíà÷àåò, ÷òî ïîâåðõíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ çàìêíóòàÿ.

4π = . 0 Ïåðâûé ñëó÷àé ïîëó÷àåòñÿ, åñëè òî÷êà íàáëþäåíèÿ íàõîäèòñÿ âíóòðè ñôåðû. 4 π – ýòî ïîëíûé òåëåñíûé óãîë, ïîä êîòîðûì âèäíà âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü ñôåðû èç å¸ öåíòðà. Òåëåñíûé óãîë ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè íàïðàâëåíèå âçãëÿäà íà îáúåêò ñîâïàäàåò ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ýòîãî îáúåêòà. Òåëåñíûé óãîë ñ÷èòàåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, åñëè íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè îáúåêòà íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó “âçãëÿäó”. dS

∫r

Èçâåñòíî, ÷òî

11

2

Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ÷àñòü ñôåðû âèäíà ïîä ïîëîæèòåëüíûì òåëåñíûì óãëîì, à äðóãàÿ ÷àñòü – ïîä òåì æå, íî îòðèöàòåëüíûì óãëîì (ïî íàøåé äîãîâîð¸ííîñòè). Èìååì äâà ñëó÷àÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîòîêà âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè: r r Q N = DdS =  . 0

∫

Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü òàê: åñëè âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî îáú¸ìà ðàñïîëîæåíû ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, òî ïîëíûé ïîòîê âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè ÷èñëåííî ðàâåí âåëè÷èíå çàðÿäà Q, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè îáú¸ìà. Ìîæíî ñäåëàòü åù¸ îäèí âûâîä: ëèíèè âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè íà÷èíàþòñÿ íà îäíèõ è çàêàí÷èâàþòñÿ íà äðóãèõ çàðÿäàõ. Óñëîâíî ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ëèíèè íà÷èíàþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäàõ, à çàêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöàòåëüíûõ; ÷èñëî ëèíèé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì çàðÿäîâ. Âòîðîé ðåçóëüòàò ìîæíî èñòîëêîâàòü òàê: åñëè âíóòðè îáú¸ìà íåò ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, òî, ñêîëüêî ëèíèé âîéä¸ò â îáú¸ì ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, ñòîëüêî æå è âûéäåò.

§3. Ïîëíûé òîê (òîê ïðîâîäèìîñòè è òîê ñìåùåíèÿ) Ëþáîå íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì. Ýòîò òîê ÷àñòî íàçûâàþò òîêîì ïðîâîäèìîñòè (ïîòîê ýëåêòðîíîâ, ïîçèòðîíîâ, ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿæåííûõ èîíîâ è ò. ä.). Ðàññìàòðèâàÿ ðîëü ñðåäû, Ôàðàäåé óñòàíîâèë å¸ îãðîìíóþ ðîëü â ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ÿâëåíèÿõ. Äëÿ îïèñàíèÿ ýòîãî âëèÿíèÿ ñðåäû îí è ââ¸ë âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè; ïåðâîíà÷àëüíî îí íàçûâàëñÿ âåêòîðîì ñìåùåíèÿ. Êîãäà Ìàêñâåëë ïðèäàë èäåÿì Ôàðàäåÿ ìàòåìàòè÷åñêóþ çàïèñü, îí ââ¸ë ïîíÿòèå òîêà ñìåùåíèÿ. Âìåñòå ñ òîêîì ïðîâîäèìîñòè òîê ñìåùåíèÿ îáðàçóåò ïîëíûé òîê â öåïè. 12

Ðàññìîòðèì òàêîé ïðèìåð: â öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà êîíäåíñàòîð îáðàçóåò ðàçðûâ. Îäíàêî, åñëè ïî öåïè èä¸ò ïåðåìåííûé òîê, òî ìåæäó ïëàñòèíàìè ñóùåñòâóåò òîò ñàìûé òîê ñìåùåíèÿ. Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîãî òîêà. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ VII óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå: I=−

Ðàñïèøåì îáå ÷àñòè: I =

∂Q ∂t

∫ j dS , à ñ äðóãîé ñòîðîíû äëÿ âåëè÷èíû n

∫

Q âîñïîëüçóåìñÿ äîêàçàííîé âûøå òåîðåìîé Ãàóññà: Q = Dn dS . Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ: ∂

∫ j dS = − ∂t ∫ D dS . n

n

Ñîãëàñíî äîãîâîð¸ííîñòè î íåèçìåííîñòè êîíòóðîâ, ñïðàâà ìîæíî ïîìåíÿòü ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ: r r

∂ r r

∫ j dS = −∫ ∂t DdS . Ïåðåíåñ¸ì ÷ëåí ñïðàâà íàëåâî è ñîñòàâèì îäèí èíòåãðàë:

∫

r  r ∂D  r j + dS = 0 . ∂t  

Ýòîò èíòåãðàë âñåãäà áóäåò ðàâåí íóëþ òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáàõ, ðàâíî íóëþ. Ïîëó÷àåì r r ∂D j ñì = . ∂t

Ýòó ïëîòíîñòü òîêà è íàçûâàþò ïëîòíîñòüþ òîêà ñìåùåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíûé òîê áóäåò ñëàãàòüñÿ èç òîêà ïðîâîäèìîñòè è òîêà ñìåùåíèÿ: r r r j ïîëí = j ïð + j ñì .

§4. Îïûò Ýðñòåäà (I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà)  1820 ã. äàòñêèé ôèçèê Ýðñòåä, äåìîíñòðèðóÿ ýëåêòðè÷åñêèé òîê, îáíàðóæèë, ÷òî âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ òîêîì ñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå ïîëå. 13

Îáíàðóæèë ýòî îí ñ ïîìîùüþ èíäèêàòîðî⠖ ìàãíèòíûõ ñòðåëîê. Ìàêñâåëë ïðèäàë ýòîìó ðåçóëüòàòó ìàòåìàòè÷åñêóþ çàïèñü. Ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî óñòàíîâëåíî (ñ ïîìîùüþ æåëåçíûõ îïèëîê èëè íàáîðà ìàãíèòíûõ ñòðåëîê), ÷òî ìàãíèòíûå ëèíèè – çàìêíóòûå ëèíèè, ò. å. ìîæíî ãîâîðèòü î òîì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå èìååò âèõðåâîé õàðàêòåð. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà rot (“ðîòîð”). Õàðàêòåðèñòèêîé ìàãíèòíîãî ïîëÿ âûñòóïàåò íàïðÿæ¸ííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîýòîìó ãîâîðÿò î “âèõðÿõ” íàïðÿæ¸ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îíè ñóùåñòâóþò íå òîëüêî âîêðóã òîêà ïðîâîäèìîñòè, íî è âîêðóã òîêà ñìåùåíèÿ. Òîãäà ìîæíî íàïèñàòü óðàâíåíèå: r r r rotH = j ïð + j ñì . Ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó çàïèñè I óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Îíî óòâåðæäàåò, ÷òî âîêðóã ëþáîãî òîêà ñóùåñòâóþò âèõðè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïîðîæäàåò ìàãíèòíîå ïîëå, ÷òî íå ñîâñåì êîððåêòíî äëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ, ò. ê. íå ñóùåñòâóåò â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà òîêà áåç åãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íåëüçÿ ãîâîðèòü, ÷òî ïîñòîÿííûé òîê ïîðîæäàåò ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå, îíè ñîñóùåñòâóþò, çäåñü íåò ïðè÷èííîñëåäñòâåííîé ñâÿçè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ïåðåìåííûõ ïîëåé: ëþáîå èçìåíåíèå âíåøíèõ ïîëåé ñîïðîâîæäàåòñÿ ñîïóòñòâóþùèìè ÿâëåíèÿìè. Íàïðèìåð, àíòåííà òåëåâèçèîííîé ñòàíöèè ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ò. ê. â íåé öèðêóëèðóþò ïåðåìåííûå òîêè. Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè I óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, äëÿ r ÷åãî ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî óìíîæèì ñêàëÿðíî íà ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïîâåðõíîñòè ïëîùàäêè:

r r

r

∫ rotHdS = ∫ j

r

ïð dS +

r

∫j

r

ñì dS .

Ïðèìåíèì ê ëåâîé ñòîðîíå ðàâåíñòâà òåîðåìó Ñòîêñà. Îíà ñâÿçûâàåò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ñ êîíòóðíûì èíòåãðàëîì. r r Hdl = I ïð + I ñì .

∫

Ïîëó÷èëè èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè I óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Îíî èìååò òîò æå ôèçè÷åñêèé ñìûñë, ÷òî è äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà, òîëüêî ðå÷ü èä¸ò î êîíå÷íîì êîíòóðå è ïëîùàäêå, â òî âðåìÿ êàê äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè îòíîñèòñÿ ê áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè. Âîêðóã òîêà ïðîâîäèìîñòè è òîêà ñìåùåíèÿ ñóùåñòâóþò âèõðè ìàãíèòíîãî ïîëÿ – ýòî óòâåðæäàåò èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà I óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà.

14

§5. Îïûò Ôàðàäåÿ (II óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà) Â 1831 ã. Ôàðàäåé óñòàíîâèë ÿâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (ÝÌÈ): åñëè ìåíÿåòñÿ ìàãíèòíûé ïîòîê

∂φ , ãäå φ - ìàãíèòíûé ïîòîê, ∂t

φ = Bn dS , ãäå Br - íîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ – âåêòîð

∫

ìàãíèòíîé èíäóêöèè, òî ïðè ëþáîì èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà ñî âðåìåíåì â çàìêíóòîì ïðîâîäíèêå âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìàêñâåëë îáîáùèë ôîðìóëèðîâêó, çàìåíèâ ïðîâîäíèê çàìêíóòûì êîíòóðîì. Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà ïðîèñõîäèò ÷åðåç ïëîùàäêó, îõâà÷åííóþ çàìêíóòûì ïðîâîäíèêîì èëè ïðîèçâîëüíûì êîíòóðîì. Åñëè ïðîâîäíèê ðàçîìêíóò, òî íà êîíöàõ ðàçîìêíóòîé öåïè âîçíèêàåò ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ.  ïðîâîäíèêå âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïîòîìó, ÷òî â í¸ì îáðàçóþòñÿ âäîëü åãî îñè âèõðè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïðèâîäÿùèå â äâèæåíèå ñâîáîäíûå çàðÿäû. Ïîýòîìó ìàòåìàòè÷åñêè ïðåäûäóùåå r âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: âèõðè âåêòîðà E ïîðîæäàþòñÿ èçìåíåíèåì âî âðåìåíè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè: r r ∂B rotE = − . ∂t r Ïîìíîæèì îáå ñòîðîíû ñêàëÿðíî íà dS è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåé ïëîùàäè, îõâà÷åííîé ïðîâîäíèêîì: r r r ∂B r rotEdS = − dS . ∂t Ïðèìåíèì ê ëåâîé ñòîðîíå ðàâåíñòâà òåîðåìó Ñòîêñà: r r r r rotEdS = Edl = El dl = ε èíä

∫

∫

∫

∫

∫

r r Ðàññìîòðèì ñìûñë ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ Edl . Èçâåñòíî, r r F r r ÷òî E = , òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå Edl ÷èñëåííî ðàâíî q

ýëåìåíòàðíîé ðàáîòå, êîòîðóþ ñîâåðøàþò ýëåêòðè÷åñêèå ñèëû ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà íà ïóòè dl. Âçÿòèå 15

èíòåãðàëà ïî âñåìó çàìêíóòîìó ïóòè îïðåäåëÿåò ïîëíóþ ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë íà ýòîì ïóòè.  êóðñå ýëåêòðè÷åñòâà ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò ÝÄÑ èñòî÷íèêà òîêà. Òàêèì îáðàçîì, II óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà âûðàæàåò çàêîí ÝÌÈ:

∂ Bn dS . ∂t II óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè ëþáîì èçìåíåíèè ïîòîêà âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ïëîùàäêó, îõâà÷åííóþ çàìêíóòûì êîíòóðîì, â í¸ì âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè. Çíàê “ìèíóñ” âûðàæàåò ìàòåìàòè÷åñêè çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè (ÇÑÏÝ) è ÷àñòî íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ëåíöà. ×èòàåòñÿ ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå çíàêà “ìèíóñ” òàê: ìàãíèòíîå ïîëå èíäóêöèîííîãî òîêà, âîçáóæäàåìîãî â çàìêíóòîì êîíòóðå, íàïðàâëåíî òàê, ÷òî ñâîèì ìàãíèòíûì ïîëåì ïðåïÿòñòâóåò òîé ïðè÷èíå, êîòîðîé âîçáóæäàåòñÿ èíäóêöèîííûé òîê (ïðåïÿòñòâîâàòü – ýòî íå çíà÷èò áûòü íàïðàâëåííûì ïðîòèâîïîëîæíî. Íàïðèìåð, åñëè âíåøíèé ìàãíèòíûé ïîòîê óìåíüøàåòñÿ, òî ìàãíèòíîå ïîëå èíäóêöèîííîãî òîêà, ïðåïÿòñòâóÿ ýòîìó óìåíüøåíèþ, íàïðàâëåíî â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå.).

ε èíä = −

∫

§6. III óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà Âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå: r r ∂B rotE = − . ∂t Âîçüì¸ì îò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà îïåðàöèþ äèâåðãåíöèè: r r ∂B divrotE = −div ∂t Ðàññìîòðèì ñìåøàííîå ñêàëÿðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, r r îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè: ∇ ∇E = [∇∇ ]E .

( [ ]) (

)

Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íî íóæíî âñåãäà ïîìíèòü, ÷òî ôóíêöèÿ äîëæíà ñòîÿòü ïîñëå îïåðàòîðà. Ó÷èòûâàÿ çíà÷åíèå âåêòîðíîãî r ïðîèçâåäåíèÿ [∇∇ ] = 0 , ïîëó÷àåì, ÷òî [∇∇ ]E = 0 . Òîãäà

(

r ∂ divB = 0 . ∂t

16

)

èëè:

r divB = const . Ïóñòü const = 0, ò. ê. êîãäà-òî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå áûëî. Òîãäà r divB = 0 . Ýòî ðàâåíñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî âíóòðè îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè íå ïðîèñõîäèò ðàçðûâà ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, îíè íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷èâàþòñÿ â ýòîé îêðåñòíîñòè (ïîäîáíî ëèíèÿì r âåêòîðà D , êîòîðûå íà÷èíàþòñÿ íà îäíèõ çàðÿäàõ, à çàêàí÷èâàþòñÿ íà äðóãèõ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ó ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåò íè íà÷àëà, íè êîíöà. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè çàìêíóòû. Èìåííî ïîýòîìó r ðàíåå ãîâîðèëè î âèõðÿõ âåêòîðà H â I óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà. Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè ïðåäûäóùåãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïîìíîæèì äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó íà ýëåìåíò îáú¸ìà dV è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó: r divBdV = 0

∫

Ïðèìåíèì òåîðåìó Ãàóññà:

r r

∫ B dS = 0 èëè ∫ BdS = 0 . n

Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà III óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è äèôôåðåíöèàëüíàÿ, íî îòíîñèòñÿ ê êîíå÷íîìó îáú¸ìó: ñêîëüêî ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè çàõîäèò â îáú¸ì, ñòîëüêî æå è âûõîäèò. Ëèíèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íèãäå íå íà÷èíàþòñÿ è íèãäå íå çàêàí÷èâàþòñÿ. Îíè çàìêíóòû.

§7. IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà (ïîâòîðíûé âûâîä)

r r r ∂D Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: rotH = j + . ∂t Âîçüì¸ì îïåðàöèþ äèâåðãåíöèè: r r r ∂ divrotH = divj + divD . ∂t Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî,

17

r r ∂ 0 = divj + divD . ∂t Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ÇÑÝÇ (VII óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå): r ∂ρ divj = − ∂t è ïîäñòàâèì â ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå: r r ∂ρ ∂ ∂ + divD = 0 divD − ρ = 0 . − èëè ∂t ∂t ∂t Êàê è â §6, âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ â êðóãëûõ ñêîáêàõ, ïðèðàâíÿåì ê íóëþ è ïîëó÷èì: r divD = ρ .

(

)

 § 2 ìû ïîëó÷èëè èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè ýòîãî óðàâíåíèÿ.

§8. V, VI è VIII óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ è èçîòðîïíóþ ñðåäó. Ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî â òàêèõ ñðåäàõ ìåæäó ïàðàìè âåêòîðîâ äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé èìååòñÿ ëèíåéíàÿ ñâÿçü. V óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà óòâåðæäàåò ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè r r D è E: r r D = εε 0 E . Ýòè âåëè÷èíû ïðîïîðöèîíàëüíû, íî îíè ðàçíûå, ò. ê. èõ íàèìåíîâàíèÿ ðàçëè÷íû. r r VI óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà: B = µµ 0 H . Îáà ýòè óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñïðàâåäëèâû è â ëþáîé òî÷êå, è â ëþáîì îáú¸ìå. VIII óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îïûòà è íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Îìà (1827 ã.):

ε , R+ r ãäå R – ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåé ÷àñòè öåïè, à r – ñîïðîòèâëåíèå I=

18

èñòî÷íèêà.  äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå VIII óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà çàïèñûâàåòñÿ òàê: r r r j = σ E + E ñòð . Ò. å. ïëîòíîñòü òîêà ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëþ ýëåêòðè÷åñêèõ è r ñòîðîííèõ ñèë. E – íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë (çàðÿäîâ), r E ñòð – íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ, îáóñëîâëåííàÿ õèìè÷åñêèìè, òåðìè÷åñêèìè ïðîöåññàìè è ò. ä. Ïî îïðåäåëåíèþ

(

)

σ =

1 ρ,

ãäå ρ - óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå, à σ - óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü.

§9. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà Ñîñòàâèì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé è èíòåãðàëüíîé ôîðìàõ: r r r r r ∂D r r ∂N rot H = j + I óðàâíåíèå: ; Hdl = I + , ãäå N = DdS . ∂t ∂t r r r r ∂ ∂B II óðàâíåíèå: rotE = − ; Edl = − φ , ãäå φ = Bn dS . ∂t ∂t

∫

∫

∫

r III óðàâíåíèå: divB = 0 ;

∫

∫ B dS = 0 . n

r r r IV óðàâíåíèå: divD = ρ ; DdS = Q . r r V óðàâíåíèå: D = εε 0 E . r r VI óðàâíåíèå: B = µµ 0 H .

∫

r ∂ρ ∂Q VII óðàâíåíèå: divj = − ; I=− . ∂t ∂t

(

)

r r r VIII óðàâíåíèå: j = σ E + E ñòð ; I = 19

ε . R+ r

§ 10. Âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà – ýòî, â îáùåì ñëó÷àå, ñëîæíûå èíòåãðàëüíîäèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîýòîìó íåïîñðåäñòâåííî èõ ðåøàòü îòíîñèòåëüíî òðóäíî. Áûëè ââåäåíû äâå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè: âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû, áëàãîäàðÿ êîòîðûì âñå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñâîäèëèñü ê îäíîìó – óðàâíåíèþ Äàëàìáåðà. Òàê êàê âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû – âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíè ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà íå èìåþò. Ýòî è áóäåò ïîêàçàíî äàëüøå. r Ââåä¸ì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë À ñëåäóþùèì îáðàçîì: r r B = rotA . Òàêîé ñïîñîá ââåäåíèÿ ñîõðàíÿåò âèõðåâîé õàðàêòåð ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óáåäèìñÿ, ÷òî III óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà óäîâëåòâîðÿåòñÿ òàêèì âûáîðîì âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë íå ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, ò. ê. ââîäèòñÿ íåîäíîçíà÷íî. Âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêîé, åñëè îíà: 1) îäíîçíà÷íà, 2) èçìåðèìà, 3) êîíå÷íà. Äåéñòâèòåëüíî: r r B = rotA . r Ïðèáàâèì ê âåêòîðíîìó ïîòåíöèàëó À íåêîòîðóþ ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó: r r A′ = A+ gradϕ 0 . r Óáåäèìñÿ, ÷òî À′ îïðåäåëÿåò òî æå ñàìîå ìàãíèòíîå ïîëå: r r r r r r B′ = rotA′ = rot A+ gradϕ 0 = rotA+ rotgradϕ 0 = rotA = B . Ïîëó÷àåì, ÷òî

(

)

r r B′ ≡ B . Èòàê, ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè, à âåêòîðíûé ïîòåíöèàë – âñïîìîãàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðóþ ìû ââåëè äëÿ óïðîùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷¸òîâ, ÷òî áóäåò âèäíî äàëåå. Âåä¸ì âñïîìîãàòåëüíóþ âåëè÷èíó – ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé r ôîðìå, êóäà âìåñòî  ïîäñòàâèì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë, à çàòåì âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ñòîêñà:

20

r r

∂

r r

∂

r r

∂ r r

 ∂ r r

∫ Edl = − ∂t ∫ BdS = −∫ ∂t rotAdS = −∫ rot ∂t AdS = −∫ ∂t Adl . Ïåðåíåñ¸ì ïðàâóþ ÷àñòü íàëåâî è îáúåäèíèì äâà èíòåãðàëà: r  r ∂A  r E+  dl = 0 .   ∂ t  

∫

Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå èçìåíèòñÿ, åñëè ê ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïðèáàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè. Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ϕ , òîãäà ïîëíûé äèôôåðåíöèàë: ∂ϕ r r dϕ = l 0 dl , ∂l r ∂ϕ - ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ϕ ïî l (â íàïðàâëåíèè l), l 0 - åäèíè÷íûé îðò ∂l r ýòîãî íàïðàâëåíèÿ dl . Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì. Ñîñòàâèì óñëîâèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà (èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ): dϕ dϕ r r dϕ r r dl = dϕ = 0 , l 0 dl cosα = l 0 dl = dϕ = dl dl dl

∫

∫

∫

∫

∫

r r dϕ r ãäå α – óãîë ìåæäó l 0 è dl , à l 0 = ∇ϕ . Òàêèì îáðàçîì, ïðèáàâëåíèå dl gradϕ íå äàñò èçìåíåíèÿ: r

 r

∂ r

∫  E + ∂t A+ ∇ϕ dl = 0 . Òàê êàê êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ íå ðàâåí íóëþ, òî èíòåãðàë áóäåò ðàâåí íóëþ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî: r r ∂A − ∇ϕ . E=− ∂t

21

r Ìû ñâÿçàëè ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó Å ñî âñïîìîãàòåëüíûìè r âåëè÷èíàìè À è ϕ . Ïîêàæåì, ÷òî ââåä¸ííàÿ íàìè âñïîìîãàòåëüíàÿ ϕ (ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë) íåîäíîçíà÷íà, à, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë – íå ôèçè÷åñêàÿ, à âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, êàê ñ ïîìîùüþ ýòîé âñïîìîãàòåëüíîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ïðîñòàÿ âîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âìåñòî ϕ ââåä¸ì ϕ ′ òàêîå, ÷òî ϕ ′ = ϕ + ϕ 0 , ãäå

ϕ 0 = const åñòü ïðîèçâîëüíàÿ âåëè÷èíà. Ñîñòàâèì ∇ϕ ′ : ∇ϕ ′ = ∇(ϕ + ϕ 0 ) = ∇ϕ + ∇ϕ 0 .

Òàê êàê ϕ 0 = const è íå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïî ñâîåìó ñìûñëó, òî ∇ϕ ′ = ∇ϕ . Ïîêàæåì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò íå ñàì ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, à ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Ïóñòü èìååì ϕ 1′ = ϕ 1 + ϕ 0 è ϕ 2′ = ϕ 2 + ϕ 0 .

Ñîñòàâèì èõ ðàçíîñòü: ϕ 2′ − ϕ 1′ = (ϕ 2 + ϕ 0 ) − (ϕ 1 + ϕ 0 ) = ϕ 2 + ϕ 0 − ϕ 1 − ϕ 0 = ϕ 2 − ϕ 1 . Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äâóõ åãî òî÷êàõ. Ëþáóþ òî÷êó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîæíî ïðèíÿòü çà òî÷êó, â êîòîðîé ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ, òîãäà, ãîâîðÿ î ïîòåíöèàëå äðóãèõ òî÷åê ïîëÿ, ìû ïî ñóòè äåëà âñåãäà áóäåì èìåòü â âèäó ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè è òîé, ïîòåíöèàë êîòîðîé ìû óñëîâíî ïðèíÿëè çà íóëü. Îáû÷íî â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå óñëîâíî çà íóëåâîé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåòñÿ ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî äàë¸êîé òî÷êè.  ýëåêòðîòåõíèêå çà òî÷êó íóëåâîãî ïîòåíöèàëà ïðèíèìàþò ïîòåíöèàë Çåìëè, â ðàäèîòåõíèêå – ïîòåíöèàë øàññè ïðèåìíèêà. Èç ñêàçàííîãî âûøå âèäíî, ÷òî ïðèïèñûâàíèå âûäåëåííûì òî÷êàì çíà÷åíèÿ íóëåâîãî ïîòåíöèàëà íå îçíà÷àåò, ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ. Îí ìîæåò èìåòü ëþáîå çíà÷åíèå, ò. ê. ïðè ñîñòàâëåíèè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â äàííîé òî÷êå àâòîìàòè÷åñêè èñêëþ÷àåòñÿ èç ðàñ÷¸òîâ (â íàøåì ñëó÷àå ýòî áûëî ϕ 0 ). 22

§ 11. Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé r r r ∂D r r r r rot H = j + ôîðìå , à òàêæå V è VI óðàâíåíèÿìè D = εε 0 E è B = µµ 0 H , ∂t êîòîðûå ïîäñòàâèì â I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì: r r r ∂E rotB = µµ 0 j + εε 0 µµ 0 (1) ∂t Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé áûë ââåä¸í âåêòîðíûé ïîòåíöèàë: r r B = rotA . r r ∂A − ∇ϕ . E=− Òàêæå áûëî ïîëó÷åíî ∂t Ïîäñòàâèì ýòè âåëè÷èíû â óðàâíåíèå (1): r r r ∂ ∂2 A rotrotA = µµ 0 j − εε 0 µµ 0 2 − εε 0 µµ 0 ∇ϕ . ∂t ∂t r r r Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé: rotrotA = ∇divA − ∆A , òîãäà r r r r ∂ ∂2 A ∇divA − ∆A = µµ 0 j − εε 0 µµ 0 2 − εε 0 µµ 0 ∇ϕ . ∂ t ∂t  ïîñëåäíåì ÷ëåíå ñïðàâà èçìåíèì ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ñäåëàåì ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ è îáúåäèíèì äâà ÷ëåíà ñ îïåðàöèåé ∇ : r r r ∂ϕ  ∂2 A  r ∇ divA + εε 0 µµ 0  − µµ 0 j = ∆A − εε 0 µµ 0 2 (2) ∂t  ∂t  Âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû – ýòî íåîäíîçíà÷íûå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, ïîýòîìó ìû ìîæåì íà íèõ íàëîæèòü îãðàíè÷èòåëüíûå óñëîâèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü èõ r íåîäíîçíà÷íîñòüþ. Íàëîæèì íà À è ϕ îãðàíè÷èòåëüíîå êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì Ëîðåíöà: r ∂ϕ =0 divA + εε 0 µµ 0 ∂t 23

Òîãäà ðàâåíñòâî (2) ïðèìåò âèä:

r r r ∂2 A ∆A − εε 0 µµ 0 2 = − µµ 0 j . ∂t Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.

§12. Âûâîä óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà Âîñïîëüçóåìñÿ IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé r r r ôîðìå: divD = ρ , à V óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà D = εε 0 E ïîäñòàâèì â IV óðàâíåíèå è ïîëó÷èì: r ρ divE = εε 0 .

Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé äëÿ âûâîäà ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà: r r ∂A − ∇ϕ , E=− ∂t òî áóäåì èìåòü: r ρ ∂A − div − div∇ϕ = . ∂t εε 0 Èçìåíèì ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ïåðâîì ÷ëåíå ñëåâà: r ρ ∂ − divA − ∆ϕ = ∂t εε , 0

ãäå div∇ϕ = (∇∇ϕ ) = (∇∇ )ϕ = ∇ 2ϕ = ∆ϕ .

r  ïåðâîì ÷ëåíå ñëåâà çàìåíèì divA , èñïîëüçóÿ êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå Ëîðåíöà:

∂ϕ ρ ∂ ∂ 2ϕ ρ − ∆ϕ = εε 0 µµ 0 ∆ϕ − εε 0 µµ 0 2 = − èëè . ∂t ∂t εε 0 εε 0 ∂t Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà.

24

§13. Àíàëèç óðàâíåíèé Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëîâ Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà: r r r ∂ 2ϕ ρ ∂2 A ∆A − εε 0 µµ 0 2 = − µµ 0 j è ∆ϕ − εε 0 µµ 0 2 = − . εε ∂t ∂t 0 Âåêòîðíîå óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî òð¸ì ñêàëÿðíûì, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå ïðîåêöèè íà îñè êîîðäèíàò:

∆Ax − εε 0 µµ 0 ∆Ay − εε 0 µµ 0

∆Az − εε 0 µµ 0

∂ 2 Ax ∂t 2 ∂ 2 Ay ∂t 2

∂ 2 Az ∂t 2

∆ϕ − εε 0 µµ 0

∂ 2ϕ 2

= − µµ 0 j x , = − µµ 0 j y ,

= − µµ 0 j z , =−

ρ . εε 0

∂t Âñå ýòè ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îäíîòèïíû, ïîýòîìó, åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ Ax ≡ φ1 , Ay ≡ φ 2 , Az ≡ φ 3 , ϕ ≡ φ 4 ,

ρ χ 1 = µµ 0 j x , χ 2 = µµ 0 j y , χ 3 = µµ 0 j z , χ 4 = εε , 0 òîãäà âñå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà ìîæíî áóäåò çàïèñàòü â âèäå îäíîãî:

∆φ i − εε 0 µµ 0

∂ 2φ i ∂t 2

= − χ i , i = 1,2,3,4

(1)

1 ñëó÷àé: Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ îáëàñòü âäàëè îò çàðÿäîâ è òîêîâ, òî χ i ≡ 0 , óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä:

25

∆φ i − εε 0 µµ 0

∂ 2φ i

= 0 - ýòî âîëíîâîå óðàâíåíèå. (*) ∂t 2 Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëë ñäåëàë âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. 2 ñëó÷àé: Ïîòåíöèàëû ïîëÿ âî âðåìåíè èçìåíÿþòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì â ïðîñòðàíñòâå, òîãäà âòîðûì ÷ëåíîì ñëåâà, ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîëó÷èì ñòàöèîíàðíóþ çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé ñâÿçàíî ñ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà: ∆φ i = − χ i . Åñëè æå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à âäàëè îò çàðÿäîâ è òîêîâ, òî óðàâíåíèå Ïóàññîíà ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Ëàïëàñà: ∆φ i = 0 . Çàïèøåì âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ âàêóóìà.

×òîáû çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå Ëîðåíöà èëè óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà äëÿ ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ âàêóóìà, íóæíî âî âñåõ ýòèõ óðàâíåíèÿõ ïîëîæèòü ε = 1 è µ = 1 (â åäèíèöàõ ÑÈ). Òîãäà:

∆φ − ε 0 µ 0

∂ 2φ

=0. ∂t 2  ìåõàíèêå ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, äëÿ èõ îïèñàíèÿ ïîëó÷àåòñÿ âîëíîâîå óðàâíåíèå, êîòîðîå èìååò âèä: 1 ∂2 f

=0, v 2 ∂t 2 ãäå v - ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíîâîãî ïðîöåññà; ñëåäîâàòåëüíî, â íàøåì ñëó÷àå ∆f −

ε 0µ0 =

1

, c2 ãäå ñ – ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå. Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà åñòü çàêîí Ìàêñâåëëà. Íà îñíîâàíèè ýòîé ôîðìóëû Ìàêñâåëë óòâåðäèë ýëåêòðîìàãíèòíóþ ïðèðîäó ñâåòà, ò. å. îí óñòàíîâèë, 26

÷òî ñâåòîâûå âîëíû èìåþò ýëåêòðîìàãíèòíóþ ïðèðîäó. Åñëè ðàññìîòðåòü âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííî ñðåäû (óðàâíåíèå (*)), òî ïîëó÷èì

εε 0 µµ 0 = ò. ê. ε 0 µ 0 =

1 2

, òî εµ =

c2 2

1 v2

; à ôîðìóëà

, c = n îïðåäåëÿåò ïîêàçàòåëü v

c v ïðåëîìëåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ âñ¸ ýòî, ïîëó÷èì îäèí èç çàêîíîâ ôèçè÷åñêîé îïòèêè:

n = εµ .  áîëüøèíñòâå äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä µ ≈ 1 , òîãäà n = ε , ÷òî ñïðàâåäëèâî â òîì ñëó÷àå, åñëè ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ íå ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè êîëåáàíèÿ àòîìîâ; ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà âäàëè îò ñîáñòâåííî ïîëîñû ïîãëîùåíèÿ. Ïðîäîëæèì îáñóæäåíèå çàäà÷è. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îáëàñòü íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò çàðÿäîâ è òîêîâ. Òîãäà óðàâíåíèå Äàëàìáåðà óïðîùàåòñÿ, òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ è ìû ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå: 1 ∂ 2Φ

=0. v 2 ∂t 2 Îáëàñòü, â êîòîðîé ñïðàâåäëèâî ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âîëíîâîé çîíîé. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ Φ â âîëíîâîé çîíå íå áóäåò çàâèñåòü îò óãëîâ Θ è ϕ (åñëè ïåðåéòè ê ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò). Òîãäà ëàïëàññèàí çàïèøåòñÿ òàê: ∆Φ −

∆=

1 2

r Ñîñòàâèì ëàïëàññèàí îò Ô: ∆Φ =

⋅

∂ 2 ∂ r ⋅ . ∂r ∂r

2  1 ∂ 2 ∂Φ 1  ∂Φ 2 ∂ Φ r r = + r ( ) 2  = ∂r r 2 ∂r r 2  ∂r ∂r 2 

=

2 ∂Φ ∂ 2 Φ + 2 . r ∂r ∂r

27

Ñîñòàâèì âîëíîâîå óðàâíåíèå: 2 ∂Φ ∂ 2 Φ 1 ∂ 2 Φ + − ⋅ =0. r ∂r ∂r 2 v 2 ∂t 2

Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàëè ïîëå â âîëíîâîé çîíå, òî r ≠ 0 , ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì óìíîæèòü íà r: 2

∂Φ ∂ 2Φ 1 ∂ 2Φ +r 2 − 2 r 2 =0. ∂r ∂r ∂t v

Îáúåäèíèì ïåðâûå äâà ÷ëåíà 2

∂Φ ∂ 2 Φ ∂ 2 (Φr ) + = . ∂r ∂r 2 ∂t 2

À â òðåòüåì âíåñåì ïîä çíàê ïðîèçâîäíîé r. Òîãäà âîëíîâîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä: ∂ 2 ( Φr ) ∂r 2

−

1 ∂ 2 ( Φr ) v2

∂t 2

=0.

Èìåííî ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèåì ýòîãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ: r r Φ ⋅ r = f 1 (t − ) + f 2 (t + ) v v (â ñêîáêàõ ñòîÿò íå ìíîæèòåëè, à àðãóìåíòû). Îòêóäà: r f 1 (t − ) v çàïàçäûâàþùèé ïîòåíöèàë: Φ1 = , r r f 2 (t + ) v îïåðåæàþùèé ïîòåíöèàë: Φ 2 = . r

Ïîêàæåì ïðîèñõîæäåíèå íàçâàíèé ýòèõ ïîòåíöèàëîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì f1, â ìîìåíò âðåìåíè t − ∆t . Òîãäà: f1 (t1 − ∆t −

r v∆t r − v∆t ) = f 1 (t1 − ∆t − + )= v v v r = f 1 (t1 − ) . v

28

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ, ñâÿçàííûé ñ ïîòåíöèàëîì f1 ( è ñ Ô1) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå îò ìåñòà íàõîæäåíèÿ èñòî÷íèêîâ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ v, òî åñòü çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè è äàëüøå îò èñòî÷íèêà ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëà â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè è áëèæå ê èñòî÷íèêó. Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå Ô1 îïðåäåëÿåò óäàëÿþùèéñÿ âîëíîâîé ïðîöåññ, à Ô2 - ïðèáëèæàþùèéñÿ ê èñòî÷íèêàì ïîëÿ âîëíîâîé ïðîöåññ. Îáîáùèì ïîëíîå ðåøåíèå íà îáëàñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ è òîêîâ r → 0 . Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà âáëèçè çàðÿäîâ è òîêîâ óïðîùàåòñÿ, òàê êàê íå ñóùåñòâóåò çàïàçäûâàíèÿ è ìîæíî îòáðîñèòü âòîðîé ÷ëåí. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ïóàññîíà, ðåøåíèå êîòîðîãî íàì èçâåñòíî: 1 x ∫ dV , 4π r ïðè÷åì ýòî ðåøåíèå ñïðàâåäëèâî è â îêðåñòíîñòè r = 0. Ìû ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è, ñïðàâåäëèâîå è â âîëíîâîé çîíå è âáëèçè èñòî÷íèêîâ ïîëÿ, åñëè çàïèøåì ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò âðåìåíè òó, êîòîðóþ ìû îïðåäåëèëè äëÿ âîëíîâîé çîíû. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê âèä f 1 è f2 íàìè íå áûë óñòàíîâëåí. Èòàê, ïîëíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ëþáîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä: Φ=

r  x t −  1 v   Φ= dV . ∫ 4π r Îáû÷íî ýòî âûðàæåíèå íàçûâàþò çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì.

§ 14. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñàíû äëÿ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåä. Îá ýòîì ÿâíî áûëî ñêàçàíî ïðè ñîñòàâëåíèè V è VI óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (ñì. §8). Îêàçûâàåòñÿ, õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ ñðåä ñîäåðæèòñÿ â ñàìèõ óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà.. 29

Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ íîðìàëüíûõ êîìïîíåíò r r âåêòîðîâ B è H .

Âîñïîëüçóåìñÿ III óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå:

∫ Bn dS = 0 . Îíî óòâåðæäàåò, ÷òî ëèíèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íå èìåþò íè íà÷àëà, íè êîíöà. r n1

r n2

Çàìåíèì ðåçêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä ñëîåì, â êîòîðîì õàðàêòåðèñòèêè ñðåäû áóäóò èçìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî. Ââåä¸ì îáùóþ íîðìàëü ê ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä è íîðìàëü ê ñòîðîíàì âñïîìîãàòåëüíîé ôèãóðû. Ïðèìåíèì òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè èíòåãðàëà. ∫ Bn dS + ∫ Bn dS + ∫ Bn dS = 0 BC

áîê . ïîâ .

DA

.

Ïóñòü h – øèðèíà ïåðåõîäíîãî ñëîÿ. Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì çíà÷åíèè èíòåãðàëà ïåðâûé èíòåãðàë áóäåò ðàâåí:

∫ Bn dS = Bn ∆S . 1

BC

Àíàëîãè÷íî,

∫ Bn dS = Bn ∆S ; ∫ Bn dS ~ h . 2

áîê. ïîâ.

DA

Óñòðåìèì h ê íóëþ, òîãäà âäîëü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïîòîê ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè òàêæå áóäåò ðàâåí íóëþ. Ïåðåéä¸ì îò 30

r r r íîðìàëåé n1 è n 2 ê îáùåé íîðìàëè n . Â ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü: B2 n ∆S − B1n ∆S = 0 .

r Ó âòîðîãî ÷ëåíà ïîÿâëÿåòñÿ çíàê ìèíóñ, ò. ê. íîðìàëü n1 r ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåí îòíîñèòåëüíî îáùåé íîðìàëè n . Ïåðåä èíäåêñîì íîðìàëè ñòîèò èíäåêñ òîé ñðåäû, â íàïðàâëåíèè êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîòîê (ñ ó÷¸òîì çíàêà îáùåé íîðìàëè è íîðìàëè äàííîé ñðåäû). Ó îáùåé íîðìàëè èíäåêñà íåò. Óñòðåìèì âåëè÷èíó ïëîùàäêè âûáðàííîãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ ê íóëþ ∆S → 0 . Ôîðìàëüíî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, ìû ïåðåõîäèì ê òî÷êå íà ãðàíèöå ðàçäåëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî B2 n = B1n . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè, ÷òî íîðìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä. r

r

Âîñïîëüçóåìñÿ VI óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: B = µµ 0 H , òîãäà µ 2 µ 0 H 2 n = µ 1 µ 0 H1n . Èñõîäÿ èç ýòîãî ðàâåíñòâà, ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:

1) Åñëè µ1 = µ 2 , òî ïîëó÷àåì, ÷òî íîðìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà r H íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä. r 2) Åñëè µ1 ≠ µ 2 , òî íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû H èñïûòûâàþò ñêà÷îê.

Ïîâåäåíèå íîðìàëüíûõ r r êîìïîíåíò âåêòîðîâ D è E íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â

èíòåãðàëüíîé ôîðìå:

∫ D dS = Q . Çäåñü ïîä Q ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà n

çàðÿäà, çàêëþ÷¸ííîãî â îáú¸ìå, îõâà÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà Q=0. Ýòîò ñëó÷àé àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ, ðàññìîòðåííîìó ðàíåå, ò. å.

31

D2 n = D1n ,

r ÷òî óòâåðæäàåò, ÷òî íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà D â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íà ãðàíèöå äâóõ ñðåä íåïðåðûâíà. Èç V r r óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà D = εε 0 E ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå ðàâåíñòâà ε 1 = ε 2 , r áóäåò òîò æå ðåçóëüòàò è äëÿ íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû âåêòîðà E : Å2 n = Å1n . r Åñëè ε 1 ≠ ε 2 , òî íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà E èñïûòûâàþò ñêà÷îê. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà â çàêëþ÷¸ííîì îáú¸ìå èìååòñÿ r çàðÿä, ò. å. Q ≠ 0 . Âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ, âûïîëíåííûå äëÿ âåêòîðà B , r îñòàþòñÿ â ñèëå è äëÿ âåêòîðà D , çà èñêëþ÷åíèåì ÷ëåíà, ñâÿçàííîãî ñ çàðÿäîì Q. Q=

∫ ρdV .

Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè èíòåãðàëà, ìîæíî âåëè÷èíó Q çàïèñàòü òàê: Q = ρSh .

Ïðè h → 0 ïîëó÷èì ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä, âìåñòî îáú¸ìíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ ââåäåì ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäà. Îáîçíà÷èì ýòó âåëè÷èíó ω . Äëÿ ïîâåäåíèÿ íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû r âåêòîðà D áóäåì èìåòü D2 n − D1n = ω .

r Ïðè Q ≠ 0, íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà D èñïûòûâàåò ñêà÷îê. r r Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ V óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà D = εε 0 E , òî ïîëó÷èì

ε 2 ε 1 E2 n − ε 1ε 0 E1n = ω . r Íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà E ïðè ω ≠ 0 âñåãäà èñïûòûâàåò ñêà÷îê, äàæå åñëè ε 1 = ε 2 .

32

Ïîâåäåíèå òàíãåíöèàëüíûõ r r êîìïîíåíò âåêòîðîâ D è E íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä.

Êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, çàìåíèì ðåçêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä ïåðåõîäíûì ñëîåì.  ïëîñêîñòè ÷åðòåæà âûáåðåì êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.

r r τ i (i = 1,2 ) , τ - îðòû êàñàòåëüíûõ ê ñòîðîíàì êîíòóðà è ê ñàìîé ãðàíèöå ðàçäåëà. Âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå: ∂

∫ E dl = − ∂t ∫ B dS . l

n

Ðàçîáü¸ì çàìêíóòûé êîíòóð îáõîäà íà ó÷àñòêè: ∂

∫ E dl + ∫ E dl + 2 ∫ E dl = − ∂t ∫ B dS . l

í.ñ.

l

â.ñ.

l

n

á .ñ.

Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ñðåäíåì çíà÷åíèè èíòåãðàëà, òîãäà ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ïðèìåò âèä: Eτ 2 l + Eτ1 l + áîê.ñò.(~ h ) = −

∂ Bn hl . ∂t

r Ïåðåéä¸ì ê îáùåé êàñàòåëüíîé τ . Èç ÷åðòåæà ñëåäóåò, ÷òî r r r r τ 2 = τ è τ 1 = −τ . r  îáîçíà÷åíèÿõ îáùåé êàñàòåëüíîé τ ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê: E2τ l − E1τ l + áîê.ñò.(~ h ) = −

33

∂ Bn hl . ∂t

Óñòðåìèì øèðèíó ïåðåõîäíîãî ñëîÿ h ê íóëþ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî òðåòèé ÷ëåí è ïðàâàÿ ÷àñòü áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå ñîêðàòèì íà l è óáåð¸ì çíàê ñðåäíåãî: E2τ = E1τ ,

r ÷òî ãîâîðèò î íåïðåðûâíîñòè òàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû âåêòîðà E ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä. r r Ïðèìå÷àíèå: êîãäà ìû ïåðåõîäèì îò êàñàòåëüíûõ τ 1 è τ 2 â êàæäîé r ñðåäå ê îáùåé êàñàòåëüíîé τ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä, òî, ÷òîáû

îòìåòèòü, ÷òî ïðîåêöèè áåðóòñÿ ëèáî â ïåðâîé, ëèáî âî âòîðîé ñðåäàõ, r ìû èíäåêñû 1 è 2 ñòàâèì ïåðåä çíà÷êîì îáùåé êàñàòåëüíîé τ . r r Âîñïîëüçóåìñÿ V óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: D = εε 0 E . Ñîñòàâèì r r óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ïðîåêöèè âåêòîðà E íà êàñàòåëüíóþ τ ãðàíèöû ðàçäåëà. Ïîëó÷èì: D2τ D = 1τ ε 2 ε 0 ε 1ε 0 .

Åñëè ε 1 = ε 2 , òî D1τ = D2τ ; åñëè ε 1 ≠ ε 2 , òî D1τ ≠ D2τ . Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà è ïðîäåëàòü àíàëîãè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå äåéñòâèÿ, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî r äëÿ òàíãåíöèàëüíûõ êîìïîíåíò âåêòîðà H : H 2τ − H1τ = i ,

ãäå i – ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü òîêà. Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü òîêà åñòü êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà, êîòîðîå ïðîõîäèò çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ó÷àñòîê åäèíè÷íîé äëèíû, ðàñïîëîæåííûé íà ïîâåðõíîñòè r ðàçäåëà. Ïðè i=0 òàíãåíöèàëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà H íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä. r r Âîñïîëüçóåìñÿ VI óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: B = µµ 0 H . Ñîñòàâèì r r óñëîâèå äëÿ ïðîåêöèè âåêòîðà B íà êàñàòåëüíóþ τ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ïîëó÷èì:

34

B2τ B − 1τ = i . µ 2 µ 0 µ1 µ 0 r Òàíãåíöèàëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà B ïðè i ≠ 0 âñåãäà èñïûòûâàåò ñêà÷îê äàæå ïðè µ1 = µ 2 . Íî, åñëè i=0 è µ1 = µ 2 , òî B1τ = B2τ ,

r ÷òî ãîâîðèò î íåïðåðûâíîñòè òàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû âåêòîðà B â äàííîì ñëó÷àå.

35

ÃËÀÂÀ 2. Ýëåêòðîñòàòèêà Ýëåêòðîñòàòèêà – ýòî ðàçäåë ýëåêòðîäèíàìèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû, íå èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè. Òî÷íåå, ò. ê. çàðÿäû ñ÷èòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî â ÑÎ, ñâÿçàííîé ñ çàðÿäàìè, ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ýëåêòðîñòàòèêå íåò, íåò ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ, íè òîêà ïðîâîäèìîñòè, íè òîêà ñìåùåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ýëåêòðîñòàòèêè äëÿ îïèñàíèÿ âñåõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ óïðîù¸ííûå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, çà êîòîðûìè ìû ñîõðàíèì èõ íóìåðàöèþ. Òàêèì îáðàçîì, îò ïîëíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ÿâëåíèé îñòàíóòñÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: r II óðàâíåíèå: rotE = 0 ; El dl = 0

∫

È èíòåãðàëüíàÿ, è äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìû çàïèñè ýòîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàþò îäíî è òî æå, íî äëÿ ðàçëè÷íûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáú¸ìîâ (ïîâåðõíîñòåé, êîíòóðîâ). II óðàâíåíèå â ýëåêòðîñòàòèêå óòâåðæäàåò, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå áåçâèõðåâîå. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëíàÿ ðàáîòà ïî çàìêíóòîìó ïóòè â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ðàâíà íóëþ. Ãîâîðÿò, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå – ïîòåíöèàëüíîå ïîëå è äëÿ åãî îïèñàíèÿ ìîæíî ââåñòè, íàðÿäó ñ r ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêîé âåêòîðîì E , ïîòåíöèàëüíóþ, ýíåðãåòè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó – ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ÷òî è áóäåò ñäåëàíî íèæå. r r r IV óðàâíåíèå: divD = ρ ; DdS = Q . r r V óðàâíåíèå: D = εε 0 E .

∫

Îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ýëåêòðîñòàòèêå íå èñïîëüçóþòñÿ. Íàïèøåì óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà: ∆ϕ − εε 0 µµ 0

∂ 2ϕ 2

=−

ρ . εε 0

∂t  ýëåêòðîñòàòèêå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû, ïîýòîìó óðàâíåíèå Äàëàìáåðà óïðîùàåòñÿ: ∆ϕ = −

36

ρ εε 0

Ýòî åñòü óðàâíåíèå Ïóàññîíà, îíî ñïðàâåäëèâî â îáëàñòè íàõîæäåíèÿ çàðÿäîâ. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ îáëàñòü âíå çàðÿäîâ, òî ρ = 0 è ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ëàïëàñà.: ∆ϕ = 0 . È óðàâíåíèå Ïóàññîíà, è óðàâíåíèå Ëàïëàñà èìåþò ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå, ïîýòîìó íàïèøåì ãîòîâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà: ϕ=

1 4πεε 0

ρ

∫ r dV + const .

Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Íî, êàê áûëî îáúÿñíåíî ðàíåå (ñì. ñìûñë ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà), ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé, ïîýòîìó ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà íå èìååò. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, êîòîðàÿ ÷èñëåííî ðàâíà ðàáîòå ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ìåæäó òî÷êàìè, ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó êîòîðûìè îïðåäåëÿåòñÿ. Ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå ïðèáîðû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ: ýëåêòðîìåòð, âîëüòìåòð. Âûáîð ïîñòîÿííîé, ðàâíîé Ñ, ïðîèçâîëåí â ñèëó íåîäíîçíà÷íîñòè ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà, ïîýòîìó ìîæíî ïîëîæèòü Ñ=0 â ëþáîé òî÷êå ìèðîâîãî ïðîñòðàíñòâà. ×àñòî çà òàêóþ òî÷êó ïðèíèìàåòñÿ áåñêîíå÷íî äàë¸êàÿ òî÷êà, â ýëåêòðîòåõíèêå ýòà òî÷êà íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, â ðàäèîòåõíèêå – ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé íà øàññè. Ïîýòîìó, äîãîâîðèâøèñü î âûáîðå òî÷êè íóëåâîãî ïîòåíöèàëà, ìû àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷àåì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ýòîìó âîïðîñó ïîñâÿùåíà ñòàòüÿ Ã. À. Ðîçìàíà “Èìååò ëè ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ôèçè÷åñêèé ñìûñë”, êîòîðàÿ èçëîæåíà â æóðíàëå “Ó÷åáíàÿ ôèçèêà” 2000 ã., ¹ 6, 20-24.*  âîïðîñå “Ââåäåíèå âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà” â ãëàâå 1 áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà: r r ∂A E=− − ∇ϕ . ∂t

r ∂A = 0 , ñëåäîâàòåëüíî Â ýëåêòðîñòàòèêå ∂t

r E = −∇ϕ .

* Ñì. òàêæå Ã.À.Ðîçìàí Èçáðàííîå ïî ìåòîäèêå ïðåïîäàâàíèÿ ôèçèêè â ñðåäíåé øêîëå. ÏÃÏÈ, 2002, ñ.76

37

Ïðè ñîñòàâëåíèè ∇ϕ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Ñ èñ÷åçàåò. r Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà E ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé. Îíà îäíîçíà÷íà (â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ èìååò îäíî îïðåäåë¸ííîå çíà÷åíèå), èçìåðèìà ïî ñèëîâîìó âîçäåéñòâèþ íà ïðîáíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. r Íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ E - ñèëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ïîëÿ. Ò. ê. äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà r r r r âåêòîðà E è D , ãäå D = εε 0 E , òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ýòèõ âåêòîðîâ ñîõðàíÿþòñÿ è â ýëåêòðîñòàòèêå. Íî çäåñü ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå r ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, åñëè ó÷åñòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó E è ∇ϕ . r Èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ E , ìîæíî ïîëó÷èòü è ïîâåäåíèå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ϕ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî En = −

∂ϕ ∂ϕ ; Eτ = − . ∂n ∂τ

Ñîñòàâèì ýòè ïðîèçâîäíûå íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä, èñïîëüçóÿ ïîâåäåíèå En è Eτ íà ýòîé æå ãðàíèöå. E2n = −

∂ϕ 2 ∂ϕ = − 1 = E1n ∂n 2 ∂n1

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò ïîòåíöèàëà ïî íàïðàâëåíèþ íîðìàëè ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ. Àáñîëþòíî òàê æå ìîæíî ïîëó÷èòü íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò ïîòåíöèàëà ïî êàñàòåëüíîé: E2τ = −

∂ϕ 2 ∂ϕ = − 1 = E1τ . ∂τ 2 ∂τ 1

Ñóùåñòâóåò åù¸ îäíî ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ïîâåäåíèÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèè. Âûáðàâ íóëåâóþ òî÷êó îòñ÷¸òà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà, ìû äëÿ çíà÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä ïîëó÷èì âåëè÷èíó, êîòîðóþ âûøå îïðåäåëèëè êàê ÷èñëåííî ðàâíóþ ðàáîòå ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî çàðÿäà. Íî, ïåðåìåùàÿ çàðÿä èç âûáðàííîé òî÷êè ïî ëþáîìó ïóòè â äàííóþ òî÷êó ãðàíèöû ðàçäåëà, ìû áóäåì ñîâåðøàòü îäíó è òó æå ðàáîòó. Ñëåäîâàòåëüíî, ê ïðåäûäóùèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äîáàâèòñÿ åù¸ îäíî: ϕ 2 = ϕ1 , ñïðàâåäëèâîå íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä.

38

§1. Ìåõàíè÷åñêèå ñèëû â ýëåêòðîñòàòèêå Äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ èñïîëüçóþòñÿ äâå ñèëîâûå r r õàðàêòåðèñòèêè: íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ E è ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà F . Ìû r ââåëè íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ íåçàâèñèìî îò ìåõàíè÷åñêîé ñèëû F , èñïîëüçóÿ ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë. Íî ïî ñâîåìó ñìûñëó íàïðÿæ¸ííîñòü r ïîëÿ íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ñ ñèëîé F : íàïðÿæ¸ííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ – ýòî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ âåëè÷èíå ñèëû, êîòîðóþ èñïûòûâàåò åäèíè÷íûé ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, ïîìåù¸ííûé â äàííóþ òî÷êó ïîëÿ. r r r r r F 1 qQ r Åñëè E = , òî F = qE = 4πεε 2 r , q 0 r ãäå Q – çàðÿä, îêðóæ¸ííûé ñâîèì ïîëåì, q – çàðÿä, èñïûòûâàþùèé äåéñòâèå ýòîãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: r r Q r 1 E= 4πεε 0 r 2 r . Óáåäèìñÿ, ÷òî ñèëîâûå õàðàêòåðèñòèêè â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ïîä÷èíÿþòñÿ III çàêîíó Íüþòîíà. r Ðàññìîòðèì r21 , çäåñü ïåðâûé èíäåêñ óêàçûâàåò, ê êàêîìó çàðÿäó íàïðàâëåí âåêòîð, à âòîðîé – îò êàêîãî èä¸ò ýòîò âåêòîð. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû, êîòîðóþ èñïûòûâàåò âòîðîé çàðÿä ñî ñòîðîíû ïîëÿ ïåðâîãî çàðÿäà: r r 1 qQ r21 F21 = 4πεε 0 r 2 r21 . Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû, êîòîðóþ èñïûòûâàåò ïåðâûé çàðÿä ñî ñòîðîíû ïîëÿ âòîðîãî: r r 1 qQ r12 F12 = 4πεε 0 r 2 r12 . Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè äâà âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì: r r F21 = − F12 , ÷òî è óòâåðæäàåò III çàêîí Íüþòîíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ñèëû åñòü íüþòîíîâñêèå ñèëû. 39

§2. Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ. Åñëè â äàííîé çàäà÷å ìû âûáåðåì çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ðàâíî íóëþ â áåñêîíå÷íîñòè, òî ïîìåñòèì ýòó ñèñòåìó çàðÿäîâ â áåñêîíå÷íîñòü. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàðÿäû íàõîäÿòñÿ òàê äàëåêî, ÷òî, ïåðåìåùàÿ ïåðâûé çàðÿä èç áåñêîíå÷íîñòè â íåêîòîðóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà, ìû íå áóäåì ñîâåðøàòü íèêàêîé ðàáîòû (ïðîòèâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë). Âîêðóã ïåðâîãî ïåðåíåñ¸ííîãî çàðÿäà ñóùåñòâóåò åãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, è, åñëè ìû áóäåì ïåðåíîñèòü èç áåñêîíå÷íîñòè âòîðîé çàðÿä, òî ïðè ýòîì áóäåò ñîâåðøàòüñÿ ðàáîòà. Ïîäñ÷èòàåì âåëè÷èíó ñîâåðø¸ííîé ðàáîòû: A21 = q 2ϕ 21 ,

ãäå q2 – ïåðåíîñèìûé çàðÿä, à ϕ 21 - ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè, îäíà èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ â áåñêîíå÷íîñòè, à äðóãàÿ – â ìåñòå ïåðåìåùåíèÿ âòîðîãî çàðÿäà. Ó÷èòûâàÿ ñìûñë ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ (ýòî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ðàáîòå ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç îäíîé òî÷êè â äðóãóþ òî÷êó ïîëÿ äðóãîãî çàðÿäà), ïåðåíåñ¸ì íå åäèíè÷íûé çàðÿä, à q2. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ïåðåìåùåíèå ýòîãî çàðÿäà íóæíî çàòðàòèòü ðàáîòó À21. Óíåñ¸ì îáà çàðÿäà â áåñêîíå÷íîñòü, è ñíà÷àëà â ñâîþ òî÷êó ïåðåíåñ¸ì âòîðîé çàðÿä. Ò. ê. ïåðåíîñ ñîâåðøàåòñÿ â îòñóòñòâèè äðóãèõ ïîëåé, òî íèêàêîé ðàáîòû íå ñîâåðøàåòñÿ. Äàëåå â ïîëå âòîðîãî çàðÿäà ïåðåíåñ¸ì ïåðâûé â ñâî¸ ìåñòîïîëîæåíèå. Áóäåò ñîâåðøåíà ðàáîòà: A12 = q1ϕ 12 . Îáå ðàáîòû äîëæíû áûòü ðàâíû äðóã äðóãó, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå áûë áû âîçìîæåí âå÷íûé äâèãàòåëü ïåðâîãî ðîäà. Îáà çàðÿäà, âçàèìîäåéñòâóÿ äðóã ñ äðóãîì, áóäóò îáëàäàòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ çàðÿäîâ: W1,2 =

2

1 (A21 + A12 ) = 1 q i ϕ ik . 2 2 i ≠ k=1

∑

Åñëè ìû ïåðåíåñ¸ì ïîî÷åð¸äíî òðè çàðÿäà è áóäåì ìåíÿòü ïîðÿäîê èõ î÷åð¸äíîñòè ïåðåìåùåíèÿ, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû ýòèõ òð¸õ çàðÿäîâ q1, q2, q3: 40

W1,2,3 =

3

1 q i ϕ ik . 2 i ≠ k=1

∑

Åñëè ïåðåíîñÿòñÿ n çàðÿäîâ, òî îíè áóäóò îáëàäàòü ýíåðãèåé: Wn =

n

1 q i ϕ ik 2 i ≠ k=1

∑

Çíàê ýíåðãèè W çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ, îò ðàñïîëîæåíèÿ èõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Òàê ÷òî W ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, à òàêæå ðàâíîé íóëþ. Ìû ïîäñ÷èòàëè ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ.

§3. Ýíåðãèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ Âûøå ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ: W=

n qi q k 1 2 i ≠ k =1 4πεε 0 rki .

∑

Ò. ê. çàðÿäû ìîãóò áûòü ðàçíûõ çíàêîâ, òî ìîæåò áûòü òàêîå èõ ñî÷åòàíèå è ðàñïîëîæåíèå, ÷òî W ≤≥ 0 . Îáîáùèì ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó íà ñëó÷àé íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ. Ïðåäâàðèòåëüíî ïðèäàäèì èñõîäíîé ôîðìóëå ýêâèâàëåíòíûé âèä. Ïóñòü ϕ ki - ïîòåíöèàë â òî÷êå íàõîæäåíèÿ k-îãî çàðÿäà â ïîëå i-îãî çàðÿäà (çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîòåíöèàë â áåñêîíå÷íîñòè ðàâåí íóëþ – óñëîâèå íîðìèðîâêè);

ϕ ki =

qi 4πεε 0 rki ,

òîãäà W=

1 n ∑ q k ϕ ki . 2 i ≠ k =1

41

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûå çàðÿäû. Ââåä¸ì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ çàðÿäîâ ρ , òîãäà â íåêîòîðîì ýëåìåíòàðíîì îáú¸ìå dV áóäåò íàõîäèòüñÿ çàðÿä dq. Òîãäà ïðåäûäóùàÿ ôîðìóëà çàïèøåòñÿ òàê: W=

1 2

∫ ρϕdV ,

ãäå ρ = ρ (x, y, z ) , ϕ = ϕ (x, y, z ) . Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü ýíåðãèþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ. Ïðèäàäèì ýòîé ôîðìóëå èíîé ýêâèâàëåíòíûé âèä. Âîñïîëüçóåìñÿ IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå: r divD = ρ , êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî èñòî÷íèêîì ñèëîâûõ ëèíèé ÿâëÿþòñÿ çàðÿäû. Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó: r 1 W= ϕdivDdV . 2 Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé âåêòîðíîãî àíàëèçà: r r r div ϕD = ϕdivD + Dgradϕ ,

∫

( )

èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî

r r r ϕdivD = div ϕD − Dgradϕ .

( )

Ïîëó÷àåì, ÷òî

r 1 1 r div (ϕD)dV − DgradϕdV . 2 2 Ðàñïðîñòðàíèì èíòåãðèðîâàíèå â ïåðâîì ÷ëåíå íà âñþ îáëàñòü, â êîòîðîé ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Äëÿ áîëüøåé óáåäèòåëüíîñòè çàìåíèì ïåðâûé èíòåãðàë èíòåãðàëîì ïî ïîâåðõíîñòè, èñïîëüçóÿ òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà: r r div (ϕD) dV = (ϕD) n dS = 0 , W=

∫

∫

∫

∫

òàê êàê çà ïðåäåëàìè îáúåìà ïîëÿ íåò è Dn= 0. Òîãäà 1 r W=− DgradϕdV . 2

∫

42

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ââîäèòñÿ ñêàëÿðíûé r ïîòåíöèàë: E = − gradϕ , òîãäà 1 rr DEdV . 2 Ýòà ôîðìóëà îñíîâàíà íà ðåàëüíîì ñóùåñòâîâàíèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, íåçàâèñèìî îò åãî ïðèðîäû. Ïîêàæåì, ÷òî ýíåðãèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ (ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ) åñòü âåëè÷èíà âñåãäà ïîëîæèòåëüíàÿ (õîòÿ èíîãäà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ). Ñîãëàñíî V óðàâíåíèþ Ìàêñâåëëà r r D = εε 0 E , ïîëó÷àåì: W=

W=

Ïóñòü w =

∫

1 εε 0 ∫ E 2 dV ≥ 0 . 2

εε 0 E 2 - îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé 2

ýíåðãèè, òîãäà

∫

W = wdV

(*)

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ñëàãàåòñÿ èç r r r äâóõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, ò. å. E = E1 + E2 . r r E 2 = E12 + E22 + 2 E1 E2 Ïîìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà

1 εε 0 è ïîäñòàâèì â (*): 2

r r 1 1 1 1 εε 0 E 2 dV = εε 0 E12 dV + εε 0 E22 dV + εε 0 2 E1 E2 dV . 2 2 2 2 Ñëåâà ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ ïîëåé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå îáú¸ìå. Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñïðàâà åñòü ýíåðãèÿ ïåðâîãî ïîëÿ. Âòîðîé ÷ëåí – ýíåðãèÿ âòîðîãî ïîëÿ, òðåòèé – ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé, ò. ê. ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ïîëÿ – ìàòåðèàëüíûå îáúåêòû è îíè ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì. r r Ïîêàæåì, ÷òî ñóììàðíàÿ ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ïîëåé Å1 è Å 2 áîëüøå

∫

∫

∫

∫

èëè, â êðàéíåì ñëó÷àå, ìîæåò áûòü ðàâíà ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýòèõ ïîëåé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: 43

r r r r ( E1 − E2 ) 2 = E12 + E22 − 2 E1 E2 ≥ 0 , ò. ê. ñëåâà ñòîèò âåëè÷èíà áîëüøàÿ, ëèáî ðàâíàÿ íóëþ, òî r r E12 + E22 ≥ 2 E1 E2 . Åñëè

ïîìíîæèòü

ïîñëåäíåå

íåðàâåíñòâî

íà

ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî îáëàñòè íàõîæäåíèÿ ïîëåé, òî r r 1 1 1 εε 0 E12 dV + εε 0 E22 dV ≥ εε 0 2 E1 E2 dV , 2 2 2 èëè

∫

∫

1 εε 0 2

è

∫

W1 + W2 ≥ W12 . Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â §2 è §3 íå ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó.  §2 ìû ðàññ÷èòàëè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ.  §3 ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ íå òîëüêî ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé, íî è èõ ñîáñòâåííóþ ýíåðãèþ. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå âûñòóïàåò êàê âèä ìàòåðèè, îáëàäàþùåé ñîáñòâåííîé ýíåðãèåé.

44

ÃËÀÂÀ 3. Ïîñòîÿííûé òîê Ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì íàçûâàþò âñÿêîå íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Åñëè íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ, òî òàêîé òîê íàçûâàåòñÿ îäíîíàïðàâëåííûì. Åñëè ê òîìó æå åãî âåëè÷èíà íå èçìåíÿåòñÿ, òî îí íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Ìàêñâåëë ïîìèìî òîêà ïðîâîäèìîñòè ââ¸ë åù¸ òîê ñìåùåíèÿ, ïëîòíîñòü êîòîðîãî r r ∂D j ñì = . ∂t r r r Èç ýêñïåðèìåíòà èçâåñòíî, ÷òî D = ε 0 E + P , ãäå Ð –ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò åäèíèöû îáú¸ìà, â ÷àñòíîñòè, ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò îäèíî÷íîãî r r çàðÿäà ðàâåí: p = er . Ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: r r r ∂E ∂P + j ñì = ε 0 . ∂t ∂t Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé. Âòîðîå ñëàãàåìîå ñâÿçàíî ñ ïåðåìåùåíèåì çàðÿäîâ, ïåðâûé æå ÷ëåí îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ âíå çàâèñèìîñòè îò äâèæåíèÿ çàðÿäîâ. Îáùèì ñâîéñòâîì âñåõ òîêîâ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âîêðóã íèõ ñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå ïîëå. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîñòîÿííûé òîê è åãî ìàãíèòíîå ïîëå. Òàêèì îáðàçîì, â ïîëíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äîëæíû îòñóòñòâîâàòü ïåðåìåííûå âî âðåìåíè ÷ëåíû ïðîöåññîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ïðèíèìàþò âèä: r r r r I óðàâíåíèå: rotH = j ; Hdl = I .

∫

r II óðàâíåíèå: rotE = 0 ; r III óðàâíåíèå: divB = 0 ;

r r

∫ Edl = 0 . ∫ B dS = 0 . n

r r r IV óðàâíåíèå: divD = Q ; DdS = Q . r r V óðàâíåíèå: D = εε 0 E . r r VI óðàâíåíèå: B = µµ 0 H .

∫

45

r VII óðàâíåíèå: divj = 0 ;

∫ jn dS = 0

(

)

r r r VIII óðàâíåíèå: j = σ E + E ñòð ; I =

ε . R+ r Óðàâíåíèÿ II, IV è V îïèñûâàëè è ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, ïîýòîìó âñå ðåçóëüòàòû, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû â ðàçäåëå ýëåêòðîñòàòèêè, ñïðàâåäëèâû è äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Îòëè÷íûì ÿâëÿåòñÿ ëèøü ñëåäóþùåå óñëîâèå: â ýëåêòðîñòàòèêå âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà (òåëà) ïîòåíöèàë âî âñåõ òî÷êàõ îäèí è òîò æå. Èìåííî ïîýòîìó âíóòðè ìåòàëëè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà â ýëåêòðîñòàòèêå íå âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà äîëæíû áûòü äâà óñëîâèÿ: 1) íàëè÷èå íîñèòåëåé çàðÿäà; 2) íàëè÷èå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ (íàïðÿæåíèÿ).  ýëåêòðîñòàòèêå ìåòàëëè÷åñêîå òåëî â ñðåäíåì íåéòðàëüíî. Ïîêàæåì, ÷òî â öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà ïðîâîäíèê îñòà¸òñÿ íåéòðàëüíûì. Äåëî â òîì, ÷òî äî çàìûêàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðîâîäíèê áóäåò íåéòðàëüíûì, ïðè çàìûêàíèè öåïè ÷åðåç êàæäîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå öåïè â ëþáîì ìåñòå áóäåò ïðîõîäèòü îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà, ò. ê. ïî îïðåäåëåíèþ ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñòîÿííûé òîê. Ïîêàæåì ðàçëè÷èå ìåæäó ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ (íàïðÿæåíèåì) è ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå: r r Edl = 0 .

∫

 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ëèíåéíûå òîêè. Òîêè íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè, åñëè ñå÷åíèå öåïè â ëþáîì ìåñòå âî ìíîãî ðàç r r ìåíüøå ïðîòÿæ¸ííîñòè öåïè. Î÷åâèäíî, ÷òî E ↑↑ dl . Âîçüì¸ì ó÷àñòîê öåíè, òîãäà 2

∫ Edl .

1

46

Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå äîÿêî. Âî ïåðâûõ, E = − ∇ϕ è 2

∂ϕ dl = ϕ1 − ϕ 2 . 1 ∂l 2

∫ Edl = − ∫

1

Äàëåå, âîñïîëüçóåìñÿ VIII óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: r r r j = σ E + E ñòð , r ãäå E ñòð – íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ ñòîðîííèõ ñèë, ò. å. ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî ñòîðîííèì èñòî÷íèêîì (àêêóìóëÿòîð, ãàëüâàíè÷åñêèé ýëåìåíò, ãåíåðàòîð, ôîòîýëåìåíò è ò. ä.). Îòêóäà r r j E = − E ñòð . σ Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé ëèíåéíûõ òîêîâ, çàïèøåì:

(

E=

)

j − E ñòð . σ

Èòàê, 2

∫ Edl = ϕ1 − ϕ 2 è

1

2

2 2 j ñòð = − − Edl dl ∫ ∫ δ ∫ E dl . 1 1 1

Òàê êàê 2

∫E

1

ñòð

ñòð dl = ε12 è

2

j

∫ δ dl = JR12 ,

1

òî ñòð JR12 = ε12

+

(ϕ1 − ϕ 2 ) ,

ãäå JR12 íàçûâàåòñÿ ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ, à (ϕ1 − ϕ 2 ) - íàïðÿæåíèåì, èëè ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ è íàïðÿæåíèå – ýòî íå ñòð ñèíîíèìû. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ε 12 = 0 , ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ è

íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ÷èñëåííî ðàâíû.

47

§1. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë Ðàíåå ìû ïîëó÷àëè óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà: r r r ∂2 A ∆A − εε 0 µµ 0 2 = − µµ 0 j . ∂t Ò. ê. ìû ðàññìàòðèâàåì ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, òî âòîðîé ÷ëåí ìîæíî îòáðîñèòü: r r ∆A = − µµ 0 j . Ñðàâíèì ýòî óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà: ∆ϕ = −

ρ εε 0 ,

ρ 1 dV . Ñðàâíèâàÿ ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå ϕ = 4πεε r 0 r ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé äëÿ À è ϕ , ìîæíî íàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà: r r µµ 0 j A= dV . 4π r r Îòêóäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë À r íàïðàâëåí âäîëü ïëîòíîñòè òîêà j . Ò. ê. ìû ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíûå

∫

∫

òîêè, òî íàïèøåì âûðàæåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ ëèíåéíûõ òîêîâ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàïðàâëåíèå òîêà è íàïðàâëåíèå ïðîâîäíèêà ñîâïàäàþò: r r r j dV = j Sdl = Idl . Äëÿ ëèíåéíûõ ïîñòîÿííûõ òîêîâ âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà çàïèøåòñÿ òàê: r r µµ 0 I dl A= . 4π r

∫

48

Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ââîäèòñÿ äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Íî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë – ýòî âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Êàê è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà íå èìååò. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Âñ¸ ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà äîëæíà îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì ïðèçíàêàì: äîëæíà èìåòü íàèìåíîâàíèå, áûòü êîíå÷íîé è èçìåðèìîé, î ÷¸ì óæå ãîâîðèëîñü âûøå. Ðàíåå ìû ââåëè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïðè ïîìîùè ðàâåíñòâà r r B = rotA .

Ñäåëàåì âñïîìîãàòåëüíûé ÷åðò¸æ. Êàê âèäèì èç ÷åðòåæà r r A = A( x, y, z) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò íåøòðèõîâàííûõ êîîðäèíàò, à r r j = j ( x′, y′, z ′) åñòü ôóíêöèÿ îò øòðèõîâàííûõ êîîðäèíàò. Òî÷êà íàáëþäåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ íåøòðèõîâàííûìè êîîðäèíàòàìè, à ýëåìåíòû òîêà – øòðèõîâàííûìè êîîðäèíàòàìè. Çàïèøåì ôîðìóëó âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà, óêàçàâ çàâèñèìîñòü îò êîîðäèíàò: r r µµ 0 j (x′, y′, z ′) A(x, y, z ) = dV (x′, y′, z ′) . 4π r (x, y, z, x′, y′, z ′)

∫

r – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè íàáëþäåíèÿ äî ýëåìåíòà òîêà, îíî çàâèñèò îò øòðèõîâàííûõ è íå øòðèõîâàííûõ êîîðäèíàò: r=

(x − x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

49

.

Èíòåãðèðîâàíèå âåä¸òñÿ ïî îáëàñòè íàõîæäåíèÿ òîêà. Îïåðàöèþ ðîòîðà â ôîðìóëå íóæíî áðàòü ïî íåøòðèõîâàííûì êîîðäèíàòàì: r r µµ 0 j (x′, y ′, z ′) B(x, y, z ) = rot dV (x′, y ′, z ′) . 4π r (x, y, z, x′, y′, z ′)

∫

Ìû ïîìåíÿëè ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ, ò. ê. îíè ïðîâîäÿòñÿ ïî ðàçíûì ïåðåìåííûì. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé âåêòîðíîãî àíàëèçà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî r îïåðàöèÿ ðîòîðà áåð¸òñÿ ïî íåøòðèõîâàííûì êîîðäèíàòàì, à j çàâèñèò îò øòðèõîâàííûõ êîîðäèíàò: rot

r rr rr r j 1 r  rj jr 1 r  1 r r = rotj +  grad j  = −  2 j  = − 3 = 3 . r r r r r r   r 

[ ] [ ]

Ïðè çàìåíå ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé ïîÿâëÿåòñÿ çíàê ìèíóñ, ïîýòîìó ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî áóäåò áåç ìèíóñà. r µµ 0 B= 4π

[rj rr ]dV

∫r

3

Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà è äëÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïðèìåíèòåëüíî ê ëèíåéíûì òîêàì:

r µµ 0 A= 4π

∫

dV = dlS r r r r µµ 0 j dl dV = j dV = j dlS = = I∫ 4π r r r r = jdl S = Idl

r µµ B= 0 4π

∫

[rj rr ]dV = µµ r3

50

0

4π

I∫

[dlrrr] r3

§2. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåìåíòîâ ëèíåéíûõ òîêîâ

Âîñïîëüçóåìñÿ ìàãíèòíîé ÷àñòüþ ôîðìóëû Ëîðåíöà: ïëîòíîñòü ìåõàíè÷åñêîé ñèëû ðàâíà r rr f ì = q vB . Çäåñü q – âåëè÷èíà çàðÿäà â åäèíèöå îáú¸ìà, ò. å. q = ρ , òîãäà r rr f ì = ρ vB . r r r r Ïðîâåðèì, ÷òî ρv ïî íàèìåíîâàíèþ ñîâïàäàåò ñ j , ò. å. [ρv ] = j :

[ ]

[ ]

[]

À Êë ì À À⋅ ñ À À = 2 ; 2 = 2 , ïîëó÷àåì 2 = 2 . 3 ñ ì ì ì ⋅ñ ì ì ì Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü r rr f ì = jB .

[ ]

Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî íà dV: r rr dF ì = j B dV .

[ ]

r Ìû ïîëó÷èëè îáùóþ ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷¸òà ñèëû dF ì . Íî ïðè r ðàññìîòðåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ýëåìåíòîâ òîêîâ, ïîä dB íóæíî ïîíèìàòü íå èíòåãðàëüíóþ èíäóêöèþ, à òîëüêî òó ÷àñòü, êîòîðóþ äà¸ò ýëåìåíò ïåðâîãî òîêà â ìåñòå íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòà âòîðîãî òîêà. Çàïèøåì ïîñëåäíþþ ôîðìóëó äëÿ ëèíåéíîãî òîêà: r r r r r r r dF ì = j dB dV = j dB dlS = I dl dB . r dB - ýòî íå äèôôåðåíöèàë, à ÷àñòü îáùåé èíäóêöèè. Ðàññòàâèì â ïîëó÷åííîé ôîðìóëå èíäåêñû, õàðàêòåðèçóþùèå ýëåìåíòû òîêîâ; åñëè ðàññìîòðåòü âîçäåéñòâèå ýëåìåíòà ïåðâîãî òîêà íà ýëåìåíò âòîðîãî, òî

[ ]

[ ]

51

[

]

[

]

r r r (1) dF ì21 = I 2 dl 2 dB1 Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà äëÿ ñóììàðíîé èíäóêöèè ëèíåéíîãî òîêà: rr r µµ 0 dl r B= I∫ 3 , 4π r r r µµ 0 dl rr dB = I 3 . ïîëó÷èì 4π r

[ ]

[ ]

Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó äëÿ èíäóêöèè ýëåìåíòà òîêà. Ôîðìóëà äëÿ èíäóêöèè ýëåìåíòà ïåðâîãî òîêà â ìåñòå íàõîæäåíèÿ âòîðîãî òîêà áóäåò èìåòü âèä: rr r µµ 0 dl1 r21 dB1 = I1 . 3 4π r21

[

]

Åñëè ýòî âûðàæåíèå ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó (1), òî ïîëó÷èì: r r 21 µµ 0  r dl1 rr21  µµ 0 1 r rr dF ì = I1 I 2 dl 2 I1 I 2 3 dl 2 dl1 r21 . = 3 4π 4π r21  r21  r Ñîîòâåòñòâåííî ìû ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ dFì12 :

[

]

[ [

[ [

]

]]

r µµ 0 1 r rr dF ì12 = I1 I 2 3 dl1 dl 2 r12 . 4π r12 r rr r r r r rr Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó âåêòîðíîé àëãåáðû a b c = b (ac ) − c ab , ëåãêî r r ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî dF ì12 ≠ dF ì21 íè ïî ìîäóëþ, íè ïî íàïðàâëåíèþ. Îäíàêî ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäà III çàêîí ìåõàíèêè r âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ýëåìåíòîâ òîêà. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà ýëåìåíòû dl 2 è r dl1 ïàðàëëåëüíû èëè àíòèïàðàëëåëüíû.

[[ ]

( )

×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåðèòü ñëó÷àé, êîãäà îäèí èç ýëåìåíòîâ òîêà ïåðïåíäèêóëÿðåí äðóãîìó ýëåìåíòó è ïîëó÷èòü íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò, íàä êîòîðûì ñòîèò ïîäóìàòü.

52

§3. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïëîòíîñòü ìàãíèòíîé ýíåðãèè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:

µµ 0 H 2 . 2 Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó ñ ïîìîùüþ VI óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà r r rr B = µµ 0 H è âûðàæåíèÿ H 2 = HH : rr HB w= . 2 Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íà dV è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó íàõîæäåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òîãäà 1 rr W= HBdV . 2 r r Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé B = rotA , ïîëó÷èì: w=

∫

1 r r HrotAdV . 2 Èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó âåêòîðíîãî àíàëèçà: rr r r r r r r r rr r div HA = HrotA− ArotH , HrotA = div HA + ArotH , ïîäñòàâèì ýòè ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ W è ïîëó÷èì: r rr r 1 W= div HA dV + ArotHdV . 2 Ìû èíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó, ãäå åñòü ìàãíèòíîå ïîëå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûé ÷ëåí äàñò íóëü, ò. ê. çà ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ èñòå÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå áóäåò. Ýòî ëåãêî ïîêàçàòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ãàóññà è ïåðåéòè îò èíòåãðàëà ïî îáú¸ìó ê èíòåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè: rr rr div HA = HA n dS = 0 . W=

∫

[ ]

[ ]

{∫ [ ] ∫

}

∫ [ ] ∫[ ]

r 1 r ArotHdV . 2 Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà:

Èòàê,

W=

∫

53

r r rotH = j , òîãäà: 1 rr Aj dV . 2 Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííîé âûøå ôîðìóëîé äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà: r r µµ 0 j ′ A= dV ′ . 4π r r r j ′ ≡ j , dV ′ ≡ dV ; øòðèõ èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû

∫

W=

∫

ïîñëåäîâàòåëüíî áðàòü äâà òð¸õêðàòíûõ èíòåãðàëà. Òîãäà ïîëó÷èì:

µµ 0 W= 8π

∫∫

rr jj ′ dVdV ′ . r

Ïðåîáðàçóåì ýòó ôîðìóëó äëÿ ñëó÷àÿ ëèíåéíûõ òîêîâ. r r r r r r j dV = Idl , j ↑↑ dl ; j ′dV ′ = I ′dl ′ , ãäå I ≡ I ′ . Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷èì: 1 µµ 0 2 W= I 2 4π

∫

∫∫

r r dl dl ′ . r

óêàçûâàåò íà òî, ÷òî òîê â öåïè ïðè ïðî÷èõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ

áóäåò ëèøü â ñëó÷àå çàìêíóòîñòè ýòîé öåïè. r r µµ 0 dl dl ′ Êîýôôèöèåíò L = íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì 4π r ñàìîèíäóêöèè. Èñõîäÿ èç ýòîãî, ïîëó÷èì:

∫∫

1 2 I L, 2 ãäå êîýôôèöèåíò L çàâèñèò êàê îò ñâîéñòâ ñðåäû, òàê è îò ãåîìåòðèè r r dl dl ′ ïðîâîäíèêà (ò. å. îò ). r W=

∫∫

54

ÃËÀÂÀ 4. Êâàçèñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû Ê êâàçèñòàöèîíàðíûì ïðîöåññàì îòíîñÿòñÿ âñå ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû, â êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü òîêàìè ñìåùåíèÿ. Çàïèøåì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:

∂D H = j + ∂t ; r ∂B II). rot E = ; ∂t r III). div B = 0; r IV). div D = ρ ; r r V). D = εε 0 E , I). rot

VI).

r

∫H dl=I+

∫ El dl = -

∂N , ãäå N = ∫ Dn ds ∂t

∂ r r Bds ∂t ∫

∫ B ds = 0 r r D ∫ ds = Q n

r r B = µµ 0 H ,

VII). div VIII).

r ∂ρ j = - ∂t ;

r r

∫ j dS =

-

∂ Q = I, ∂t

r ε r r j = σ ( E + E ñòð ); I = R + r ,

Êâàçèñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ âñåìè âîñüìüþ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà, ïðè÷åì, êðîìå òîêà ñìåùåíèÿ â I óðàâíåíèè, âñå îñòàëüíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ñîõðàíÿþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì. êâàçèñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû ïîä÷èíÿþòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà: r I). rot H = j ; ∫ H dl = I ,

r ∂ r r ∂B Bds , II). rot E = ; ∫ El dl = ∂t ∫ ∂t 55

r

III). div B = 0; IV). div

∫ B ds = 0, r r ∫ Dds = Q, n

r D = ρ;

r r D = εε 0 Å . r r VI). B = µµ 0 H ,

V).

r ∂ρ ; VII). div j = − ∂t

VIII).

r r

∂Q

∫ j dS = − ∂t ,

r ε r r j = σ ( E + E ñòð ); I = R + r .

Óñòàíîâèì êðèòåðèé äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Òîêè ñìåùåíèÿ ïî âåëè÷èíå âî ìíîãî ðàç ìåíüøå òîêîâ ïðîâîäèìîñòè. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå: r ∂D ∂t r <<1 . j Ïîëó÷èì r÷èñëîâóþ îöåíêó äëÿ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùåãîñÿ ñëó÷àÿ, êîãäà D (èëè E ) ãàðìîíè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè.

r r r D = εε 0 E = εε 0 E0 exp(iωt ) r r ∂D = εε 0 E0 iω e iωt ∂t r r r j = σE = σE 0 e iωt

Òàêèì îáðàçîì: r ∂D r εε 0 E 0ω ∂t r = σE 0 j

56

=

εε 0ω σ

Òàê êàê áåðåì ïî ìîäóëþ, òî ìíèìîñòü óáèðàåì. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð: ìåäíûé ïðîâîäíèê

ε = 1, ε 0 ≅ 10 −12 Ô / ì ,

σ ñì ≈ 10 71 /(Îì ⋅ ì) . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà

ω = 1010 Ãö (ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî

îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè âîëí â ìåòðîâîì äèàïàçîíå). Òîãäà êðèòåðèé êâàçèñòàöèîíàðíîñòè ïðèíèìàåò çíà÷åíèå: r ∂D ∂t 1 ⋅ 1012 Ô / ì ⋅ 10101 / c = 10 −9 〈〈1 , ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå r 7 j 10 1 /(Îì ⋅ ì) êâàçèñòàöèîíàðíîñòè âûïîëíÿåòñÿ î÷åíü õîðîøî ïðàêòè÷åñêè äëÿ âñåãî ðàäèîäèàïàçîíà âîëí. Ïðîâåðèì ðàçìåðíîñòü(íàèìåíîâàíèå) íàøåãî êðèòåðèÿ:

Ô ⋅ Îì Êë Îì À ⋅ ñ Îì Îì  = ⋅ = ⋅ = èëè = 1 . ñ  ñ  ñ Îì  § 1. Çàêîí Îìà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ Ðàíåå, ðàññìàòðèâàÿ öåïü ïîñòîÿííîãî òîêà, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå çàêîíà Îìà:

IR = ϕ 1 − ϕ 2 + ε ñòð ãäå ëåâàÿ ñòîðîíà – ïàäåíèå íàïðÿæåíèå, ϕ 1 - ϕ 2 = U íàïðÿæåíèå èëè ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ.

ε ñòð - ñòîðîííÿÿ ÝÄÑ.

Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ ìû ó÷èòûâàëè, ÷òî âî II óðàâíåíèè äëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ. Íî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå êâàçèñòàöèîíàðíûõ òîêîâ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íàëè÷èå ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (ÝÌÈ). Äîáàâî÷íàÿ ÝÄÑ îáóñëîâëåíà íå ðàâíîé íóëþ ïðàâîé ÷àñòè II óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà: 57

r ∂B ≠0. ∂t Îïðåäåëèì åå âåëè÷èíó, äëÿ ÷åãî âîñïîëüçóåìñÿ ñàìèì II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå:

∂

∫ E dl = − ∂t ∫ B ds . l

n

Ñìûñë ëåâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà áûë óñòàíîâëåí ïðè àíàëèçå II óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ëåâàÿ ñòîðîíà îïðåäåëÿåò ÝÄÑ, êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà ÿâëåíèåì ÝÌÈ, åå íàçûâàþò ÝÄÑ – èíäóêöèè. Îíà ðàâíà:

ε èíä = −

∂ Bn ds . ∂t ∫

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé:

r Bn = rot n A

r r B = rotA

ε èíä = −

r ∂ ∂ rot A ds = − ∫ Al dl = n ∫ ∂t ∂t

Ïðèìåíèì òåîðåìó Ñòîêñà, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ñ êîíòóðíûì èíòåãðàëîì. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì ðàíåå âûðàæåíèåì: r r µµ 0 dl ' A= I . r 4π Òîãäà r r r µµ 0 ∂ ∂ µµ 0 dldl ' dl ' èíä , I dl = − I ε =− ∂t 4π 4π ∂t r r èëè r r µµ 0 ∂ dl ⋅ dl ` èíä ε = − ( IL ), ãäå L = . ∂t r 4π Êàê áûëî ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, êîýôôèöèåíò ñàìîèíäóêöèè çàâèñèò îò ãåîìåòðèè öåïè. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû âî âðåìåíè íå èçìåíÿþòñÿ, L ìîæíî âûíåñòè çà çíàê ïðîèçâîäíîé:

∫

∫

∫

∫∫

∫∫

58

∂ I. ∂t Óðàâíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè çàïèøåòñÿ òàê:

ε èíä = − L

IR = (ϕ 1 − ϕ 2 ) + ε ñòð − L

dI , dt

ãäå ñèìâîë ∂ çàìåíåí íà d, òàê êàê ãåîìåòðèÿ öåïè íå èçìåíÿåòñÿ (x, y, z îò t íå çàâèñÿò). IR + L

dI − (ϕ 1 − ϕ 2 ) = ε ñòp (*) dt

§ 2. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàêîíà Îìà äëÿ ñëó÷àÿ ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ñòîðîííåé ÝÄÑ Ïðåîáðàçóåì (*). Óìíîæèì îáå ñòîðîíû íà C (åìêîñòü) ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè. dε ñòð dI d 2I + LC 2 + I = C , dt dt dt ãäå ñòîðîííþþ ÝÄÑ âîçüìåì ïåðèîäè÷åñêè çàâèñÿùåé îò âðåìåíè: RC

ε ñòð = ε 0 e iωt . Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà âûáðàíà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è, êîíå÷íûé ðåçóëüòàò áóäåò âåùåñòâåííûì. Ïðè ñîñòàâëåíèè ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà áûëî èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèå: d d Q = − {C (ϕ1 − ϕ 2 )} , ÷òî ñëåäóåò èç VII óðàâíåíèÿ dt dt Ìàêñâåëëà è îïðåäåëåíèÿ åìêîñòè, êàê ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Ðàñïîëîæèì ÷ëåíû ïî óáûâàíèþ ïîðÿäêà ïðîèçâîäíîé: I =−

d 2I

dI + I = Ciωε ñòð dt dt Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â ôîðìå ïðàâîé ÷àñòè: LC

2

+ RC

59

I = I 0 e iωt . Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ: dI = I 0 iωe iωt , dt d d d ( I ) = ( I 0 iωe iωt ) , dt dt dt d dI ( ) = − I 0ω 2 e iωt dt dt

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå:

− LCI 0ω 2 e iωt + RCI 0 iωe iωt + I 0 e iωt = Ciωe iωt Òàê êàê e iωt ≠ 0 , òî íà íåå ìîæíî ñîêðàòèòü. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ àìïëèòóäû òîêà:

I0 =

Ciωε 0

. 1 + RCiω − LCω 2 Ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

I0 =

Ciωε 0 ε0 = Lω i 1 +R− + R + Liω Ciω ( ) − Ciω i Cω I0 =

ε0

1 ) ωC Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà êîìïëåêñíî – ñîïðÿæåííóþ çíàìåíàòåëþ âåëè÷èíó: R + i ( Lω −

1   ) ε 0  R − i ( Lω − ωC   = I0 = 1  1   + − − − ( ) ( ) ω ω R i L R i L  ωC   ωC  

60

1   ε 0  R − i ( Lω − ) ω C   = 1 2 . R 2 + ( Lω − ) ωC

Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå:

R = ρ cos ϕ ,

ωL −

1 = ρ sin ϕ , ωC

ãäå

tgϕ =

ωL −

1 ωC .

R

Ñ äðóãîé ñòîðîíû:

ρ 2 = R 2 + (ωL − Ïîëó÷àåì I0 =

ε 0 [ρ cos ϕ − iρ sin ϕ ]

ρ Èñïîëüçóåì ôîðìóëó Ýéëåðà: 2

=

1 ). ωC

ε 0 (cos ϕ − i sin ϕ ) . ρ

e ± iϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Òîãäà äëÿ àìïëèòóäû ïîëó÷àåì : I0 =

ε 0 e −iϕ

.

1 2 ) R + (ωL − ωC 2

Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàåò âèä: I = I 0 e iωt =

ε 0 e i (ωt −ϕ ) 1 2 ) R + (ωL − ωC 2

61

.

Ñðàâíèâàÿ ôàçó ÝÄÑ è ôàçó òîêà, ìû óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ýòè ôàçû â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàþò, òàê êàê

ϕ = arctg

Âåëè÷èíó

R 2 + (ωL −

ωL − R

1 ωC . ,

1 2 ) íàçûâàþò ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì ωC

â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà. R – îìè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, ω L – èíäóêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ,

1 ωC

åìêîñòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Åñëè ωL −

1 = 0 (**), òî ϕ = 0 . Òàêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé ωC

öåïè íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ðåçîíàíñîì.  ýòîì ñëó÷àå â öåïè âûäåëÿåòñÿ íàèáîëüøàÿ ìîùíîñòü.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, êîãäà ϕ ≠ 0 , ÷àñòü ìîùíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà áåñïîëåçíî áëóæäàåò ïî ýòîé öåïè, ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïåðèîäè÷åñêè ïåðåìåùàåòñÿ ìåæäó ó÷àñòêàìè ñîñðåäîòî÷åííûõ èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîâûñèòü ÊÏÄ ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè, ïîäáèðàþò òàêèå åå èíäóêòèâíîñòü è åìêîñòü, ÷òîáû ñäâèã ïî ôàçå áûë íàèìåíüøèì, òîãäà ÊÏÄ áóäåò íàèáîëüøèì. Èç (**) ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà Òîìñîíà:

T = 2π LC . § 3. Ìîùíîñòü â öåïè êâàçèñòàöèîíàðíîãî òîêà Ïî îïðåäåëåíèþ ìîùíîñòü ëþáîãî òîêà îïðåäåëÿåòñÿ òàê: P = Iε Âûøå äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî òîêà ìû ïîëó÷èëè :

62

I = I 0 e i (ωt −ϕ ) ,

ε = ε 0 e iωt , ãäå ϕ – îïðåäåëÿåòñÿ ôèçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè:

ϕ = arctg

1 ωC . R

ωL −

Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé ìîùíîñòè:

P = I 0ε 0 e iωt ⋅ e i (ωt −ϕ ) Êîìïëåêñíîå ðåøåíèå ïðåäûäóùåé çàäà÷è áûëî âûïîëíåíî äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî óäîáñòâà. Âñå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû è ñîîòâåòñòâóþùèå ôèçè÷åñêèå ïðèáîðû èçìåðÿþò òîëüêî âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû, ïîýòîìó âûäåëèì â ïîëíîé ìîùíîñòè åå ðåàëüíóþ ÷àñòü: Re P = I 0ε 0 cos ωt cos(ωt − ϕ ).  ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè âèäíî, ÷òî ìîùíîñòü ÷åòûðåæäû çà ïåðèîä ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ. Ïîýòîìó âìåñòî èñïîëüçóåìîé ôîðìóëû, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ìîùíîñòè, ïîëó÷èì óñðåäíåííóþ çà ïåðèîä ìîùíîñòü. T

Re P = I 0ε 0

1 cos ωt cos(ωt − ϕ )dt = T 0

∫

Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ øêîëüíûìè ôîðìóëàìè ïî òðèãîíîìåòðèè, òî â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì 2 ñëàãàåìûõ, îäèí èç êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, à äðóãîé 1/2 cos ϕ 1 cos ϕ = 2 ãäå cos ϕ – êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè. Çàïèøåì ýòî âûðàæåíèå ïî – äðóãîìó: = I 0ε 0

=

I0 2

⋅

ε0 2

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

63

cos ϕ .

I0 2

= I ýô ,

ε0 2

= ε ýô .

Òîãäà: ⇒ Re P = I ýô ⋅ ε ýô ⋅ cosϕ , ãäå ϕ = arctg

ωL − R

1 ωC ,

L, R, C – õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, à ω – çàäàåòñÿ ãåíåðàòîðîì. Iýô, ε ýô –ýòî òî, ÷òî ïîêàçûâàþò èçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû (â öåïè êâàçèñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ). Iýô ( ε ýô) – âåëè÷èíà òàêîãî ïîñòîÿííîãî òîêà, ïðè ïðîõîæäåíèè êîòîðîãî ïî òîé æå öåïè, âûäåëÿåòñÿ ñòîëüêî æå ýíåðãèè, ñêîëüêî ïðè ïðîõîæäåíèè êâàçèñòàöèîíàðíîãî òîêà.

§ 4. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññàõ (ÇÑÏÝ) Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå - ýòî âòîðîé âèä èçâåñòíîé íûíå ìàòåðèè (ïåðâûé - âåùåñòâî), ïîýòîìó êàê âñÿêèé ìàòåðèàëüíûé îáúåêò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îáëàäàåò ýíåðãèåé. Ïîêàæåì, ÷òî ÇÑÏÝ ñîäåðæèòñÿ â ñàìèõ óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà. Âîñïîëüçóåìñÿ I è II óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:

r r r ∂D rotH = j + ∂t

r r ∂B rotE = − ∂t

r (⋅ E ) r (⋅H )

r r Äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà Å , âòîðîå – íà H è âû÷òåì èç âòîðîãî ïåðâîå âûðàæåíèå:

r r r r r r ∂B r r r ∂D HrotE − ErotH = − H − jE − E ∂t ∂t

Âîñïîëüçóåìñÿ

[ ]

ôîðìóëîé

âåêòîðíîãî

(*) àíàëèçà:

rr r r r r div EH = HrotE − ÅrotH , à òàêæå ïðîèçâåäåì ïðîñòåéøèå äåéñòâèÿ: 64

r r r r r ∂H ∂B H = B = µµ 0 H = µµ 0 H = ∂t ∂t rr 1 ∂ ( HH ) 1 ∂ 2 µµ 0 = µµ 0 H = 2 ∂t 2 ∂t = Àíàëîãè÷íî:

∂ µµ 0 H 2 ∂t 2 r r ∂D r r ∂ εε 0 E 2 = D = εε 0 E = E , ∂t ∂t 2

r r ñòð r r r j = σr( E + E ) r j r ñòð = j( − E ) = jE = r j r σ E = − E ñòð σ rr j j r r ñòð j 2 r r ñòð = − jE = − jE . σ σ

[ ]

rr j 2 r r ñòð ∂ εε 0 E 2 + µµ 0 H 2 + = jE Èòàê: div EH + . (**) σ ∂t 2 Ýòî åñòü äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè ÇÑÏÝ.

Åñëè (∗ ∗) óìíîæèòü íà dV è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî âñåìó îáúåìó, ãäå åñòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå è òîêè, òî ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè ÇÑÏÝ. Ïðîàíàëèçèðóåì ñìûñë ÷ëåíîâ â (**). Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ìåòîäà ðàçìåðíîñòåé: íàèìåíîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ åñòü ïðîèçâåäåíèå íàèìåíîâàíèé.

[rj Er ] = [rj ][Er ] = ñ Êë ⋅ì ñòð

ñòð

2

⋅

 À⋅ñ ⋅  Äæ = = 3 3 ì ñ⋅ ì ì ⋅ñ

Âñå, ÷òî ïðîèñõîäèò â ïîëíîé öåïè, ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò ðàáîòû ñòîðîííèõ ñèë, ýíåðãèè, çàòðà÷èâàåìîé ýòèìè ñòîðîííèìè ñèëàìè çà 65

åäèíèöó âðåìåíè â åäèíèöó îáúåìà. Åñëè ðàññìàòðèâàòü íå äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó, à èíòåãðàëüíóþ, òî ðàáîòà ñòîðîííèõ ñèë ñîâåðøàëàñü áû çà ñ÷åò èõ ýíåðãèè, ðàññðåäîòî÷åííîé âî âñåì îáúåìå. Òàê êàê

Äæ = Âò , òî ìîæíî ãîâîðèòü î ìîùíîñòè ñòîðîííèõ ñèë, ñ

çàêëþ÷åííûõ â åäèíèöå îáúåìà. Ðàññìîòðèì êàæäûé ÷ëåí ñëåâà â (**):

 j2  l 1 l 1 R⋅s ⇒ = =  = R=ρ = σ s σ s l σ  Îì ⋅ ì 2 Êë 2 ⋅ Îì ⋅ ì 2 À2 ⋅ ñ 2 ⋅ Îì = = = ì ñ2 ì4 ñ2 ⋅ ì4 ⋅ ì ñ2 ⋅ ì3 U I= À2 ⋅ Â ⋅ ñ Äæ R = = = . 3 U A À⋅ ì ⋅ ñ ñ ⋅ ì3 R = ; [R ] = I B Êë 2

⋅

j2 - ýòî òà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ âûäåëÿåòñÿ â åäèíèöå σ îáúåìà â åäèíèöó âðåìåíè â öåïè ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà. Åñëè â öåïè íåò ïðîâîäèìîñòè, ýòîò ÷ëåí ðàâåí íóëþ. Ðàññìîòðèì ñìûñë âòîðîãî ÷ëåíà:

[ ]

 ∂ εε 0 E 2 + µµ 0 H 2   ∂ µµ 0 H 2  [∂ ][µ ][µ 0 ] H 2 =  = = [∂t ][2] 2 2  ∂t   ∂t 

Ãí  À  Ãí ⋅ À 2 Äæ =   = , 3 ì⋅ñ  ì  ñ⋅ ì ñ ⋅ ì3 2

= òàê êàê Ãí ⋅ À 2 = Äæ . Àíàëîãè÷íî:

66

[ ]

Ô Â2 ⋅ Ô ⋅ Â2 = ì ì = 3 = ñ ì ⋅ñ

 ∂ εε 0 E  [∂ ][ε ][ε 0 ] E  = [∂t ][2]  ∂t 2  Êë 2 ⋅Â À⋅ Â ⋅ñ Äæ = Â3 = 3 = 3 . ì ⋅ñ ì ⋅ñ ì ⋅ñ 2

2

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äåëåíèå íà ì3 äàåò îáúåìíóþ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîé

εε 0 E 2 µµ 0 H 2 è ìàãíèòíîé ýíåðãèè, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âòîðîé ÷ëåí 2 2 ñëåâà â (∗ ∗) îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå îáúåìíîé ìîùíîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè. r rr Ðàññìîòðèì ïåðâîå ñëàãàåìîå, â êîòîðîì âåêòîð S = [ EH ] íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì Óìîâà-Ïîéòèíãà:

[ [ ]]

[ ]

rr ∂ rr div EH =  EH  ∂x Äæ . = ñ ⋅ ì3

x

 À r r ⋅ Â⋅ À ñ  [∂ ] E H + ... = = ì ì = 3 ⋅ = [∂x ] ì ñ ì 

[ ][ ]

Îïåðàöèÿ div îïðåäåëÿåò èñòå÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè. Ýòî èñòå÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ïðîèñõîäèò èç ìåñò íàõîæäåíèÿ ñòîðîííèõ ñèë. Ðàññìîòðèì ñìûñë âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

r r ñòð r r j ( E = σ +E ) rr  j r  v ñòð r r EH = r j r =  H − E H . E = − E ñòð σ  σ

[ ]

[

]

r r Òàê êàê â ñëó÷àå ëèíåéíûõ òîêîâ âåêòîðû j è Å ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó, è åñëè óñëîâíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåò ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ýíåðãèè(âî âíóòðü ïðîâîäíèêà), òîãäà âòîðîå îïðåäåëÿåò ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ (èç îáëàñòè íàõîæäåíèÿ ñòîðîííèõ ñèë). 67

Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïåðâîãî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. r  j r   jH   I I 1   I I RS   H =  = ⋅ = =  σ   σ   s 2πr σ   s 2πr l  ãäå ó÷òåíî , ÷òî äëÿ ëèíåéíîãî òîêà: I , 2πr I j= , S , 1 rS = . l σ

H=

r – ðàññòîÿíèå äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ (â íàøåì ñëó÷àå - ýòî ðàäèóñ ïðîâîäíèêà) , 2πrl

= S áîê =[

I 2R c Äæ ]= S áîê c S áîê ⋅ c

Åñëè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ýíåðãèè ñ÷èòàòü íàïðàâëåííûì âíóòðü ïðîâîäíèêà, òî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò òó ýíåðãèþ, êîòîðàÿ âòåêàåò çà êàæäóþ ñåêóíäó ÷åðåç êàæäóþ åäèíèöó áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà è ïðåâðàùàåòñÿ âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ýòîãî ïðîâîäíèêà. Íà îñíîâàíèè ìåòîäà ðàçìåðíîñòè óñòàíàâëèâàåì, ÷òî âòîðîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ, êîòîðàÿ âûòåêàåò çà åäèíèöó âðåìåíè è ÷åðåç åäèíèöó ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà, âî âíå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Íî ýòî èñòå÷åíèå ïðîèñõîäèò òîëüêî èç ìåñò, ãäå íàõîäèòñÿ èñòî÷íèê ñòîðîííèõ ñèë.  19 âåêå ýòó ýíåðãèþ íàçûâàëè – ëó÷èñòîé ýíåðãèåé.  ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè – ýòî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ. Ôîðìóëó (**) ìîæíî èñòîëêîâàòü òàê: - ýíåðãèÿ âûðàáàòûâàåòñÿ òàì, ãäå íàõîäÿòñÿ ñòîðîííèå ñèëû (ïðàâàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà (**)). Ðàñïðîñòðàíÿÿñü (åñëè åñòü ïðîâîäíèêè) âäîëü ïðîâîäíèêîâ, ýòà ýíåðãèÿ çàõîäèò âíóòðü ïðîâîäíèêîâ è ïðåâðàùàåòñÿ âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ïðîâîäíèêîâ (â ýòîì ñëó÷àå ïðîâîäíèêè âûïîëíÿþò ðîëü “íàïðàâëÿþùèõ” äâèæåíèÿ ýíåðãèè). Âòîðîé ÷ëåí ó÷èòûâàåò ïåðåìåííûå ýëåêòðî- ìàãíèòíûå ïðîöåññû è óòâåðæäàåò, ÷òî ýíåðãèÿ â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè áóäåò èçìåíÿòñÿ âî âðåìåíè (çà ñ÷åò ïåðåìåííûõ ïðîöåññîâ), êîòîðûå íå ëîêàëèçóþòñÿ, à ðàñïðîñòðàíÿòñÿ â ïðîñòðàíñòâå. 68

§ 5. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (ÇÑÊÄ)  1901 ãîäó ðóññêèé ôèçèê Ëåáåäåâ ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèë, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îêàçûâàþò äàâëåíèå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíèêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îáëàäàþò êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà ñîäåðæèòñÿ ÇÑÊÄ â çàìêíóòîé ñèñòåìå “ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå” + “ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû”. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ëîðåíöà äëÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ñèëû, ñ êîòîðîé ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âîçäåéñòâóåò íà íåïîäâèæíûå è äâèæóùèåñÿ çàðÿäû:

r r rr f = ρE + ρ VB r Ðàññìîòðèì ñìûñë âåëè÷èíû ρV , äëÿ ÷åãî ðàññìîòðèì

[ ]

ðàçìåðíîñòü:

[ρVr ] = ìÊë ⋅ ìñ = ìÀñ⋅ ñ = ìÀ = [ j ], r r rr f = ρE + [ j B ]. 3

Òîãäà

2

Âîñïîëüçóåìñÿ IV è VIII óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà. Óïðîñòèì çàäà÷ó, è áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, çàðÿäû è òîêè â âàêóóìå. Òîãäà IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ìîæíî çàïèñàòü òàê:

r ρ divE = . ε0 Âîñüìîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà:

r r ñòð r j = σ (E + E ) Íî â âàêóóìå ∂ = 0, ïîýòîìó ýòî óðàâíåíèå íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ âûðàæåíèÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà. Ïîýòîìó äëÿ âûðàæåíèÿ

r j

âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: r r r r r ∂E rotH = j + ε 0 , òàê êàê D = ε 0 E. ∂t È â IV, è â I óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà ìû èñïîëüçîâàëè V óðàâíåíèå, çàïèñàííîå äëÿ âàêóóìà.

69

Èç ýòèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà âûðàçèì ñîîòâåòñòâåííî ρ è

r j è

ïîäñòàâèì â ôîðìóëó äëÿ ñèëû Ëîðåíöà:

r r r r rr  ∂E r  f = ε 0 divE ⋅ E + rotHB − ε 0  B   ∂t 

[

]

Âîñïîëüçóåìñÿ II è III óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà. Óìíîæèì

r r D , à III – ñêàëÿðíî íà H : r r ∂B r rotE = − × ( D) ∂t r , r ⋅ (H ) divB = 0

II óðàâíåíèå âåêòîðíî ñïðàâà íà

r

[rotErDr ]+  ∂∂Bt Dr  = 0,  r r HdivB = 0.



Ïðèáàâèì ýòè âåëè÷èíû, çàâåäîìî ðàâíûå íóëþ, ê ïðàâîé ÷àñòè ñèëû Ëîðåíöà: Âî âòîðîì ñëàãàåìîì ìû èñïîëüçîâàëè VI óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.

r r r r r r r rr r r  ∂D r   r ∂B  f = ε 0 EdivE + µ 0 HdivH + rotHB + rotED −  B − D  t ∂    ∂t 

[

] [

]

 øåñòîì ÷ëåíå ïðîèçâåëè ïåðåñòàíîâêó ìíîæèòåëåé, èç- çà ÷åãî èçìåíèëè çíàê. À â ïÿòîì ÷ëåíå èñïîëüçîâàëè V óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà. Óìíîæèì îáå ñòîðîíû ðàâåíñòâà íà ýëåìåíò îáúåìà dv è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáúåìó çàìêíóòîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç çàðÿäîâ, òîêîâ è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: r r ∫ fdV = F r - ýòî ïîëíàÿ, ñóììàðíàÿ ñèëà, ðàññðåäîòî÷åííàÿ ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ f .

70

∫

r r r  ∂D fdV = F = A − ∫   ∂t

r r   r ∂B   B  +  D  dV   ∂t  

(*)

ãäå À – êðàòêàÿ çàïèñü ïåðâûõ ÷åòûðåõ èíòåãðàëîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè ïðåäûäóùåãî âûðàæåíèÿ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà À ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó ñèñòåìû äàñò íóëåâîé âêëàä. Ïðåäñòàâèì ëåâóþ ñòîðîíó ðàâåíñòâà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Íüþòîíà â èìïóëüñíîé ôîðìå:

r r dP F= dt

r

ãäå P - ïîëíûé èìïóëüñ ñèñòåìû.

[ ]

∂ r ∂ rr P0 dV = − ∫ DB dV ∫ ∂t ∂t

ãäå

r P0 - êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ åäèíèöû îáúåìà.

Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (*): ∂ r ∂ rr P0 dV = − ∫ DB dV ∫ ∂t ∂t Ñëåâà ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ çàìåíåíà íà ÷àñòíóþ ñîãëàñíî ñîãëàøåíèþ, ÷òî îáúåì, ïîâåðõíîñòü è êîíòóð íå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè. Ñïðàâà âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì ïðîèçâîäíîé îò âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïåðåïèøåì òàê: rr ∂ r ∫ ∂t P0 + DB dV = 0 Ýòî âîçìîæíî ëèøü, ïðè îòëè÷íîì îò íóëÿ îáúåìå èíòåãðèðîâàíèÿ, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ:

[ ]

{ [ ]}

rr r rr ∂ r P0 + DB = 0 ⇒ P0 + DB = const ∂t

{ [ ]}

[ ]

71

Ìû ïîëó÷èëè ÇÑÊÄ â çàìêíóòîé ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé çàðÿæåííûå ÷àñòèöû è ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îáëàäàåò èìïóëüñîì, ïëîòíîñòü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

r rr Pýë / ì = DB

[ ]

Èç ñðàâíåíèÿ ñ âûðàæåíèåì äëÿ âåêòîðà Óìîâà – Ïîéíòèíãà ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû îáúåìíîé ïëîòíîñòè êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è âåêòîð Óìîâà-Ïîéíòèíãà ïðîïîðöèîíàëüíû è ïàðàëëåëüíû: r r Pýë / ì ↑↑ S .

72

ÃËÀÂÀ 5. Ïëîñêèå âîëíû Èçëó÷àòåëü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ñîçäàåò âîêðóã ñåáÿ ôðîíò ýòèõ âîëí. Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò èçëó÷àòåëÿ âîëíó ìîæíî ñ÷èòàòü ñôåðè÷åñêîé. Íî íà î÷åíü áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò èçëó÷àòåëÿ íåáîëüøîé ôðîíò ñôåðè÷åñêîé âîëíû, ðàçìåðû êîòîðîãî âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ðàäèóñà ñôåðè÷åñêîé âîëíû, ìîæíî ñ÷èòàòü ïëîñêèì.

Îñîáåííîñòüþ ïëîñêîé âîëíû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âåêòîðû

r r E è B

r (H ) ëåæàò â ïëîñêîñòè ôðîíòà ýòîé âîëíû, ïðè÷åì âî âñåõ òî÷êàõ ýòîé ïëîñêîñòè, êîòîðóþ ìû âûðåçàëè èç ñôåðè÷åñêîé âîëíû, ýòè âåêòîðû èìåþò ñîîòâåòñòâåííî îäíî è òî æå çíà÷åíèå.

§1. Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêèõ âîëí â äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå Äèýëåêòðèê – ýòî íåïðîâîäíèê, ñëåäîâàòåëüíî óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü

r σ ðàâíà íóëþ, ïëîòíîñòü òîêà ïðîâîäèìîñòè j òàêæå

ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äîëæíû áûòü çàïèñàíû òàê:

r r ∂D rotH = ∂t r r ∂B , rotE = − ∂t

Ïðåîáðàçóåì I óðàâíåíèå, èñïîëüçóÿ V è VI, êðîìå òîãî, âîçüìåì îò îáåèõ ñòîðîí óðàâíåíèÿ îïåðàöèþ rot. 73

r r r∂ rotrotH = rot εε 0 E = ∂t Ñîãëàñíî ñäåëàííîìó â íà÷àëå êóðñà ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî è ïîâåðõíîñòè, è êîíòóðû ñî âðåìåíåì íå èçìåíÿþòñÿ, ìû èìååì ïðàâî ïîìåíÿòü ìåñòàìè äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè:

= εε 0

r ∂ rotE = ∂t

Âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà è çàìåíèì

r ∂2H = −εε 0 µµ 0 . ∂t 2

r rotE :

Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè è VI óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:

r r ∂2H rotrotH = −εε 0 µµ 0 . ∂t 2

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé âåêòîðíîãî àíàëèçà:

r r r rotrotH = graddivH − ∆H .

Äàëåå ó÷òåì III óðàâíåíèå:

r divB = 0 .

À åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ VI óðàâíåíèåì çàïèñàòü:

r r B = µµ 0 H , òî ìîæíî

r divH = 0 .

r Óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðà H ïðèíèìàåò âèä:

èëè

r r ∂2H − ∆H = −εε 0 µµ 0 2 ∂t r 2 . r ∂ H ∆H − εε 0 µµ 0 = 0 ∂t 2 74

Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå:

r r H = H 0 e iωt

Ñîãëàñíî ñäåëàííîìó âûøå îïðåäåëåíèþ ïëîñêîé âîëíû, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî

r H ≠ f ( x, y ) .

Ïîýòîìó, òàê êàê

r

r

∂2H ∂2 ∂2 ∂2 ∂2H =0 ∆ = 2 + 2 + 2 , òî = 0 , ∂x ∂y ∂z ∂y 2 ∂x 2

è îò ëàïëàñèàíà îñòàåòñÿ òîëüêî îäèí ÷ëåí:

∆=

∂2 . ∂z 2

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå: r ∂2H

i ωt

r ∂2H0

, =e ∂t 2 ∂z 2 r r ∂H = iωe iωt H 0 , ∂t r r ∂2H = − ω 2 e i ωt H 0 . 2 ∂t r Óðàâíåíèå äëÿ H çàïèøåòñÿ òàê: r 2 r iωt ∂ H 0 + εε 0 µµ 0ω 2 e iωt H 0 = 0 . e 2 ∂z Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

εε 0 µµ 0ω 2 = k 2 , ãäå k – âîëíîâîå ÷èñëî. Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

r r ∂2H0 2 + k H 0 = 0 ∂t 2

75

ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âèäà:

r r r H 0 = Ae ikz + Be − ikz

Îêîí÷àòåëüíî

r r r H ( z , t ) = H 1e i (ωt − kz ) + H 2 e i (ωt + kz )

Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïîëó÷åííîì ðåøåíèè îïèñûâàåò ïëîñêóþ âîëíó, êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò èçëó÷àòåëÿ, à âòîðîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò - ïëîñêóþ âîëíó, êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ê èñòî÷íèêó (ñðàâíèì, ïîëó÷åííûé íàìè ðåçóëüòàò, ñ ïîíÿòèåì çàïàçäûâàþùåãî è îïåðåæàþùåãî ïîòåíöèàëîâ, êîòîðûå ïîëó÷èëè ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà.) Îïðåäåëèì ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ôðîíò ïëîñêîé âîëíû, òî åñòü ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òà ïëîñêîñòü, â r r êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âåêòîðû E è H . Äëÿ ýòîãî çàïèøåì óñëîâèå, êîòîðîìó äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ ôàçà âîëíû èìååò îäíî è òîæå çíà÷åíèå:

ωt − kz = const

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî âðåìåíè:

ω −k

dz =0 dt

dz = U ô - ôàçîâàÿ ñêîðîñòü – ýòî ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïåðåìåùàåòñÿ dt ôàçà âîëíû.

Uô =

ω ω = = k ω εε 0 µµ 0

1

µ 0 ε 0 εµ

=

c n

(ïî ôîðìóëàì Ìàêñâåëëà (ñìîòðè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà)

εµ = n, ε = n, µ ≈ 1 ) Åñëè ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè è ðàññóæäåíèÿ äëÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè

r E , òî ïîëó÷èì r r r E ( z , t ) = E1e i (ωt − kz ) + E 2 e i (ωt + kz ) r r Re E ( z , t ) = E1 cos(ωt − kz ) 76

Èç ðàññìîòðåííûõ äâóõ ôîðìóë âèäèì, ÷òî àìïëèòóäû âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ÷åðåç äèýëåêòðè÷åñêóþ ñðåäó, íå èçìåíÿþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî è ïëîòíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè w òàêîé âîëíû íå èçìåíÿåòñÿ. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå ïðîèñõîäèò áåç ïîòåðè ýíåðãèè. Îäíîé èç èëëþñòðàöèé ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìîæíî âèäåòü íà íåáå î÷åíü äàëåêèå çâåçäû, îò êîòîðûõ ñâåò èäåò ìèëëèàðäû ñâåòîâûõ ëåò.

§ 2. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ïðîâîäÿùåé ñðåäå  ñëó÷àå ïðîâîäÿùåé ñðåäû I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà çàïèøåòñÿ ñ ó÷åòîì òîêà ïðîâîäèìîñòè òàê: r r r ∂D , rotH = j + ∂t r , r ∂B rotE = − . ∂t II óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ñîâïàäàåò ïî âèäó â äàííîé çàäà÷å ñî II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû, ïîýòîìó ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ëèøü ïðàâóþ ñòîðîíó I óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ÷òîáû ñâåñòè åãî ê âèäó, êîòîðûé èìåëà ïðàâàÿ ÷àñòü I óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ñëó÷àå äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû. Ïðàâäà, ìû ïðèäàäèì ïðàâîé ÷àñòè I óðàâíåíèÿ äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû íåìíîãî äðóãîé âèä. Ìû èìåëè:

r r r ∂D ∂E rotH = = εε 0 . ∂t ∂t

Âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì ïðåäûäóùåé çàäà÷è:

r r r ∂E r E = E1e i (ωt − kz ) ; = E1iωe i (ωt − kz ) = iωE . ∂t Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû èìååì:

r v rotH = iεε 0ωE .

Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé öåëü: çàïèñàòü I óðàâíåíèå äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû â òàêîì æå âèäå, êàêîé ìû ïîëó÷èëè äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû. 77

Âîñïîëüçóåìñÿ VIII óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîðîííåé ÝÄÑ íà òîì ó÷àñòêå, êîòîðûé ìû ðàññìàòðèâàåì, íåò. Òîãäà VIII óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ïðèìåò âèä:

r r j = σE .

Ïåðâîå óðàâíåíèå äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû çàïèøåòñÿ òàê:

r r r r ∂D r ∂E rotH = σE + = σE + εε 0 . ∂t ∂t r Ïóñòü â ïðîâîäÿùåé ñðåäå õàðàêòåð âåêòîðà E áóäåò òàêèì æå,

êàêèì îí áûë â äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå, òî åñòü áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû:

r r ' E = E1e i (ωk − k z ) .

Ó âîëíîâîãî ÷èñëà k – øòðèõ, ÷òîáû ó÷åñòü ðàçëè÷èå äèýëåêòðè÷åñêîé è ïðîâîäÿùåé ñðåä. Äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû èìååì:

k = ω εε 0 µµ 0 . Îò ñâîéñòâà ñðåäû çàâèñèò èìåííî k, ïîýòîìó âûáèðàåì äëÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ òîò æå õàðàêòåð èçìåíåíèÿ (âî âðåìåíè, â ïðîñòðàíñòâå). Øòðèõ ñèìâîëèçèðóåò òî, ÷òî ðå÷ü èäåò î ïðîâîäÿùåé ñðåäå. Ïîäñòàâëÿÿ â I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû VIII óðàâíåíèå, ïîëó÷èì:

r r rotH = iεε 0ωE (1 + r = iε ' ε 0 ω E

r σ iσ ) = iεε 0ωE (1 − )= iεε 0ω εε 0ω

.

 ñëó÷àå äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà áûëî:

r r rotH = iεε 0ωE .

Åñëè â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè ââåäåì îáîçíà÷åíèå ε ' , òî ïîëó÷èì

è äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû òî æå ïî âèäó óðàâíåíèå, ÷òî è äëÿ äèýëåêòðèêà:

r r rotH = iωε 'ε 0 E .

78

Äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäû ðåøåíèå äëÿ

r H:

r r r H = H 1 e exp i (ωt − kz ) + H 2 exp i (ωt + kz ) Âûøå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìîäóëÿ âîëíîâîãî âåêòîðà;

k = εε 0 µµ 0 ω , â ñëó÷àå äèýëåêòðèêà ε - ðåàëüíàÿ âåëè÷èíà.  íàøåì ñëó÷àå (ïðîâîäÿùàÿ ñðåäà):

k ' = ε 'ε 0 µµ ω , ε ' - êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà. À òàê êàê ε ' – êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà, òî è âîëíîâîå ÷èñëî êîìïëåêñíîå, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü â ñëó÷àå ïðîâîäÿùåé ñðåäû:

k ' = k1 − ik 2 Äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû ðåøåíèå çàäà÷è ïðèíèìàåò âèä:

r r r ' ' H = H 1e i (ωt − k z ) + H 2 e i (ωt + k z )

Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò ðåàëüíûé ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû îò èñòî÷íèêà, âòîðîå – âîëíà, èäóùàÿ ê èñòî÷íèêó, ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà â íàøåé çàäà÷å íå èìååò:

r r r r H = H 1e i [ωt −( k1 −ik 2 ) z ] = H 1e i (ωt −k1z ) e −k2 z = H 1e −k2 z e i (ωt −k1 z ) . - áóäåò óáûâàòü ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì âîëíû âîâíóòðü ïðîâîäÿùåé ñðåäû (çàòóõàíèå àìïëèòóäû), à ñëåäîâàòåëüíî è ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû óìåíüøàåòñÿ. Òàê êàê k2 çàâèñèò îò ε ’, à ε ’ îò ∂ , òî ÷åì áîëüøå ∂ , òåì áûñòðåå çàòóõàíèå. Ïðîâîäÿùàÿ ñðåäà ïîãëîùàåò ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, òàê êàê ïîä äåéñòâèåì åå ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö (íà ýòî, äîëæíà áûòü çàòðà÷åíà ýíåðãèÿ).

79

§ 3. Çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè Ðàññìàòðèâàÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû óñòàíîâèëè, ÷òî ñâåòîâûå âîëíû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí è ìíîãèå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ìîæíî îáúÿñíèòü, èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèé ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Îñíîâíûì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñâåòîâîãî ëó÷à. Ñâåòîâîé ëó÷ – âûäåëåííûé ïó÷îê ñâåòîâîé ýíåðãèè, ñå÷åíèå êîòîðîãî ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîòÿæåííîñòüþ ñâåòîâîãî ïó÷êà. Îñíîâíûå çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè áûëè óñòàíîâëåíû åùå â äðåâíåì ìèðå. Èõ çíàë Àðõèìåä. Ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå èì äàë Ñíåëëèóñ â 16 âåêå. Ïîêàæåì, ÷òî çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè òàêæå ñîäåðæàòñÿ â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà. Òî÷íåå ãîâîðÿ íå â ñàìèõ óðàâíåíèÿõ, à â ñëåäñòâèÿõ èç íèõ, êîòîðûå ìû ïîëó÷èëè â íà÷àëå êóðñà è íàçâàëè – “ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ”. Âûáåðåì ÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”. Ñèñòåìó êîîðäèíàò ñîâìåñòèì â ãðàíèöåé ðàçäåëà. Ïóñòü îáå ñðåäû – äèýëåêòðèêè.

Âîñïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì äëÿ òàíãåíñàëüíîé r êîìïîíåíòû âåêòîðà Å . Ìû ïîêàçàëè, ÷òî Eτ íå èñïûòûâàåò ñêà÷êà (íåïðåðûâíî) ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ðàíüøå ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî â êàæäîé ñðåäå èìååòñÿ ëèøü îäíà ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà.  íàøåé æå çàäà÷å íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä ïðîèñõîäèò íå òîëüêî ïðåëîìëåíèå, íî è îòðàæåíèå, ïîýòîìó â ïåðâîé ñðåäå áóäóò äâå âîëíû – ïîäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ, äâà ëó÷à – ïàäàþùèé è îòðàæåííûé. Ïîýòîìó ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äîëæíû ó÷èòûâàòü ýòîò ìîìåíò. 80

Ñâåòîâîé ëó÷ íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ôðîíòó ñâåòîâîé âîëíû, ôðîíò ñâåòîâîé âîëíû ïëîñêèé. Ìîæíî çàïèñàòü: s r E = E 0 exp i (ωt −kz ) , rr k ⋅ z ≡ ( k r ), rr r r E = E 0 exp i [ωt −( k r ) ], ãäå

r r k - âîëíîâîé âåêòîð, r - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè íàáëþäåíèÿ.

Ñîñòàâèì ãðàíè÷íîå óñëîâèå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ïåðâîé ñðåäå åñòü äâå âîëíû:

E01τ ei [ω1t −( k1r ) ] + E '01τ ei [ω 1t −( k 1r ) ] = E02τ e i [ω 2t −( k2 r ) ] rr

r r

r' r

'

(*)

Èíäåêñ (1) îòíîñèòñÿ ê ïàäàþùåé âîëíå (ëó÷ó). Èíäåêñ (1) – ê îòðàæåííîìó ëó÷ó. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ÷àñòîòà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè íå èçìåíÿåòñÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ (*) è çàïèøåì åãî òàê:

ae iω1t + be iω 1t = ce iω 2t , '

ãäå

E 01τ e [−( k1r ) ] = a, E ' 01τ e [−( k 1r ) ] = b, E02τ e [−( k 2 r ) ] = c . rr

r r

r' r

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè:

iω 1 ae iω1t + iω '1be iω 1t = iω 2 ce iω 2t '

Çàìåíèì ñïðàâà â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî:

ce iω 2t , èñïîëüçóÿ

aω 1e iω1t + bω '1e iω 1t = ω 2 ae iω1t + ω 2 be iω 1t '

'

Îáúåäèíèì ÷ëåíû:

ae iω1t (ω1 − ω 2 ) = be iω 1t (ω 2 − ω '1 ) '

Ðàçäåëèì íà

e iω 1t : '

ae i (ω1 −ω 1t ) (ω1 − ω 2 ) = b(ω 2 − ω '1 ) '

Ëåâàÿ ñòîðîíà âûðàæåíèÿ çàâèñèò îò âðåìåíè, à ïðàâàÿ - íåò .Ýòîãî íå ìîæåò áûòü, ïîýòîìó ñäåëàåì ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ðàâíûì íóëþ, ÷òî âîçìîæíî, åñëè: 81

ω1 = ω '1 ⇒ e i (ω1 −ω 1 ) t = 1 '

Ïðè îòðàæåíèè, ÷àñòîòà íå ìåíÿåòñÿ. Àíàëîãè÷íî, åñëè îñâîáîäèìñÿ íå îò ñe iω 1t , à îò '

ae iω1t , òî ìîæíî áóäåò ïîêàçàòü, ÷òî: ω '1 = ω 2

×àñòîòà ïðè ïðåëîìëåíèÿ âîëíû íå èçìåíÿåòñÿ.

ω 1 = ω '1 = ω 2 .

§ 4. Ïîëó÷åíèå îñíîâíîãî ðàâåíñòâà äëÿ âûâîäà ñëåäóþùèõ çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè Eτ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. rr

r 'r

r r

E 01τ e i (ω1t − k1z ) + E ' 01τ e i (ω 1t − k1 z ) = E02τ e i (ω 2t − k 2 z ) '

z=r

,

Âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî:

ω 1 = ω '1 = ω 2 = ω Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

E 01τ e iωt = l ,

iωt E ' 01τ e iωt = m , E 02τ e = n .

Òîãäà ñîîòíîøåíèå (*) çàïèøåòñÿ òàê: rr

r' r

r r

le − i ( k1r ) + me − i ( k 1r ) = ne − i ( k 2 r )

 ýòîì âûðàæåíèè r óêàçûâàåò ïîëîæåíèå òî÷êè ïàäåíèÿ ëó÷à. Íî âûáðàâ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ìû íå óêàçàëè ïîëîæåíèå íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïîýòîìó

r r çäåñü ìîæåò áûòü ëþáûì (êîíå÷íûì). Íî òîãäà

ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî ïðè îäíîì óñëîâèè, åñëè îíî íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ. ×òîáû ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿëîñü ïðè ëþáîì r, òî åñòü íå çàâèñåëî îò r, íóæíî ÷òîáû ýêñïîíåíòû áûëè ðàâíû äðóã äðóãó, îòêóäà

(kr rr ) = (kr rr ) = (kr rr ). '

1

1

2

82

(**)

§ 5. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ëó÷ ïàäàþùèé, ëó÷ îòðàæåííûé è ïðåëîìëåííûé ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè Äî ñèõ ïîð ìû íå óòî÷íÿëè ïîëîæåíèå íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò â âûáðàííîé ÑÎ. Âûáåðåì ýòó òî÷êó íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä â òîì ìåñòå, ÷òîáû

r r r ⊥ k1 .

rr ⇒ k1 r = 0 . Íî áëàãîäàðÿ (**):

( )

(kr rr )= 0, (kr rr )= 0 ' 1

2

r r r Ñîãëàñíî ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè âåêòîðû k1 , k1' , k 2 , ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé, áóäóò ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè.

§ 6. Óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî çàêîíà, ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ñâîáîäîé âûáîðà ìåñòà ïîëîæåíèÿ íà÷àëà êîîðäèíàò. Âûáåðåì ïîëîæåíèå òî÷êè Î íà ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ëó÷åé ñ ãðàíèöåé ðàçäåëà äâóõ ñðåä.

83

Âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâûì ðàâåíñòâîì â âûðàæåíèè (**). Ïîêàæåì, ÷òî k1 = k1’. Âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèÿìè âîëíîâûõ ÷èñåë:

k1 = εε 1 µ1 µ 0 ω k '1 = εε 1 µ1 µ 0 ω

,îòêóäà

⇒ k1 = k '1 , à òîãäà

ïîëó÷àåì, ÷òî

sin α = sin β ∠α = ∠β

.

sin α

§ 7. Çàêîí Ñíåëëèóñà sin γ = n (**).

Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì ðàâåíñòâîì, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü èç

(kr rr )= (kr rr ), 1

2

k1 cos(90 − α ) = k 2 r cos(90 − γ ), k1 sin α = k 2 sin γ ,.

84

sin α k 2 = , sin γ k1 ε 2 ε0µ 2µ 0 ω sin α = , sin γ ε 1 ε 0 µ1µ 0 ω ε 2µ 2 ε2 sin α = = = nîòíîñèòåëüíûé . sin γ ε 1µ 1 ε1

n = εµ = ε Äëÿ áîëüøèíñòâà äèýëåêòðèêîâ µ ≈ 1 , n – îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ îäíîé ñðåäû ïî îòíîøåíèþ ê äðóãîé, â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè âòîðîé ñðåäîé ÿâëÿåòñÿ âàêóóì, äëÿ êîòîðîãî ε 1= 1.

§ 8. Äîêàçàòåëüñòâî ïîïåðå÷íîñòè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí Ïîêàæåì, ÷òî â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà ñîäåðæèòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ïîïåðå÷íîñòè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí Óïðîñòèì çàäà÷ó, è áóäåì ðàññìàòðèâàòü åå äëÿ âàêóóìà. Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà äëÿ âàêóóìà: r r ∂ε 0 E rotH = (íåò òîêà ïðîâîäèìîñòè, òàê êàê âàêóóì ∂t äèýëåêòðèê). Èëè

r r ∂E ∇H = ε 0 ∂t

[ ] Ðàíåå ïîëó÷èëè:

rr r r E = E 0 e i (ωt − k r ) - ïëîñêàÿ âîëíà.

Ñîîòâåòñòâåííî:

rr r r H = H 0 e i (ωt − k r ) - ïëîñêàÿ âîëíà.

85

r ∂ r ∂ ⋅ = r. Ïî îïðåäåëåíèþ ∇ = ∂r r ∂r Ñîñòàâèì r r ∂E r i (ωt − krrr ) = E0 e ⋅ iω = Eiω, ∂t rr rr r ∂ r  ∇ H =  r H 0 e i ( ωt − k r )  = − i k H .  ∂r 

[ ]

[ ]

Ñîñòàâèì íàøå ïåðâîå óðàâíåíèå:

[ ]

rr r − i k H = iωEε 0

Ñîãëàñíî ñâîéñòâó âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî óòâåðæäàòü,

r r r r ÷òî E ⊥ k è E ⊥ H . r r Ïîêàæåì, ÷òî H ⊥ k . Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ III óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà. Èëè

r divB = 0 .

(∇µ Hr )= 0, 0

 ∂ r  r H  = 0,  ∂r 

à èñïîëüçóÿ âèä îïåðàòîðà íàáëà, ïîëó÷àåì rr − i kH = 0 . Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, åñëè âåêòîðû âçàèìíî

( )

ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íà ýòîì îñíîâàíèè óòâåðæäàåì:

r r k ⊥H.

§ 9. Èçëó÷åíèå óñêîðåííî äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó Áèî – Ñàâàðà – Ëàïëàññà: rr r µ jr B = 0 ∫ 3 dV , 4π r , r r j = ρv .

[ ]

86

ρdV = dq ≡ q .

(áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäèí çàðÿä â âàêóóìå µ = 1). ρ – îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà, vr – ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ. Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì äâèæåíèå îäíîãî çàðÿäà, òîãäà äëÿ îäèíî÷íîãî çàðÿäà ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:

r µ 0 q [vrrr ] B= . 4π r 3

Ìû íå íàïèñàëè çíàê èíòåãðàëà, òàê êàê ðàññìàòðèâàåì ìàãíèòíîå ïîëå îäèíî÷íîãî çàðÿäà è íàì íå íàäî èíòåãðèðîâàòü. Ââåäåì åäèíè÷íûé îðò:

r r r = r0 . r

Òîãäà íàøå âûðàæåíèå çàïèøåòñÿ òàê:

r µ 0 q [vrrr0 ] B= . 4π r 2

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàðÿä íà÷àë äâèãàòüñÿ â âûáðàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, òîãäà åãî ñêîðîñòü áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ïî ôîðìóëå: r r v = at , ïðè÷åì r r d 2r a= 2 , dt r t= . c

Âðåìÿ t îïðåäåëÿåò âðåìÿ, êîòîðîå òðåáóåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîìó ïîëþ, ÷òîáû ïðåîäîëåòü ðàññòîÿíèå r. Òîãäà ôîðìóëó äëÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ìîæíî çàïèñàòü òàê:

r  d 2r r  ⋅r r µ 0 q r  dt 2 0  ε 0 B= ⋅ = ε0 4π c r2 (ìû ïîìíîæèëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà ε 0 ) 87

Ó÷òåì, ÷òî ε 0 µ 0 =

1 ñ2

, òîãäà

r  d 2r r  q  2 ⋅ r0  dt = =  3 πε c r 4 0 Îáîçíà÷èì

r r qr = P -ýòî ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò íàøåãî çàðÿäà, òîãäà

ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:

r d 2P r   2 ⋅ r0  dt  = 3 4πε 0 c r

. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå çàðÿäà (òî, ÷òî ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð, â ðàäèîàíòåííå). Âîçüìåì íàèïðîñòåéøèé õàðàêòåð äâèæåíèÿ – ãàðìîíè÷åñêèé. Óäîáíî ðåøàòü â êîìïëåêñíîé ôîðìå.

r r P = P0 e iωt .

Âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ: r r dP r = P0 iωe iωt = P ⋅ iω , dt r r d 2P = −ω 2 P. 2 dt Ïîäñòàâèì â ïîñëåäíþþ ôîðìóëó äëÿ âêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè:

r r − ιω 2 Prr0 B= . 4πε 0 c 3 r

[ ]

r B. r r ω 2 P0 cos ωt sin Prr0 Re B = . 4πε 0 c 3 r

Âûäåëèì âåùåñòâåííóþ ÷àñòü âåêòîðà

( )

88

Âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì, ïîëó÷åííûì â ïðåäûäóùåì âîïðîñå.

[ ]

rr r − i k H = iωEε 0 .

Ñîñòàâèì ìîäóëü ýòîãî âûðàæåíèÿ: kH = ωEε 0

îòêóäà kH µ 0 kB = ωε 0 µ 0 ωµ 0 ε 0 r Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå ìîäóëÿ  : E=

k = ε 0 µ0 ω ,

rr k ω 2 P0 cos ωt sin P r0 = ωµ 0ε 0 4πε 0 c 3 r rr ε 0 µ 0 ω 2 P0 cos ωt sin P r0 = = 4πε 0 µ 0 c 3 rε 0 rr ε 0 µ 0 ω 2 P0 cos ωt sin P r0 = . 4πcrε 0

( )

E=

( ) ( )

Ãäå ó÷òåíî, ÷òî ε 0 µ 0 =

1 c2

r

r

Ïîëó÷èëè, ÷òî îáà âåêòîðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ E è B ãàðìîíè÷åñêè èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ìû íàçûâàåì ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè. Óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Ïîäñ÷èòàåì, êàêîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè ïåðåíîñèòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé.

r r

( )

r

Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé äëÿ B H è E âèäíî, ÷òî îíè èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó.. r r Ìåæäó âåêòîðàìè B è E ýòîãî ïîëÿ åñòü âçàèìîñâÿçü – âäàëè îò èñòî÷íèêîâ èçëó÷åíèÿ ýòè âåêòîðû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäÿòñÿ â ôàçå, ýòî ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå ãðàôè÷åñêè: 89

Âîñïîëüçóåìñÿ âåêòîðîì Óìîâà – Ïîéíòèíãà:

r rr S = EH

[ ]

Êàê âèäíî èç ôîðìóëû: ïîòîê ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì Óìîâà – Ïîéíòèíãà íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî

r

r

ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ E è H , êîòîðûå ðàñïîëàãàþòñÿ â ïëîñêîñòè ôðîíòà âîëíû. Âåêòîð Óìîâà – Ïîéíòèíãà –ýòî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ïî r r íàïðàâëåíèþ âåêòîðà S k çà åäèíèöó âðåìåíè, ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè.

()

Çíàÿ íàïðàâëåíèå âåêòîðà

r S , ìû ìîæåì îãðàíè÷èòñÿ ïîäñ÷åòîì

åãî ìîäóëÿ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ñîñòàâèòü âûðàæåíèå:

S = E⋅H

r r Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîðû E è H çàâèñÿò îò âðåìåíè ãàðìîíè÷åñêè, íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè óñðåäíåíèå ýòîé âåëè÷èíû çà ïåðèîä ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.  ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: S =

ω 4 P 20 µ0 12πcr 2

.

Ñîñòàâèì ïðîèçâåäåíèå S íà âåëè÷èíó ïîâåðõíîñòè ñôåðû (4 π r2), êîòîðîå èìååò öåíòðîì – èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ. Ìû ïîëó÷èì ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà èçëó÷åíèÿ. Ìû 90

ðàññìàòðèâàëè ñðåäó – âàêóóì, ñëåäîâàòåëüíî, â âàêóóìå ýíåðãèÿ, èçëó÷åííàÿ äàëåêèìè çâåçäàìè íå äîëæíà ïîãëîùàòüñÿ, ïðîõîäÿ ëþáîå ðàññòîÿíèå. Îäíàêî â ìåæçâåçäíîì ïðîñòðàíñòâå èìåþòñÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû. À âûøå ìû äîêàçàëè, ÷òî â ïðîâîäÿùåé ñðåäå ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà çàòóõàåò. Ýòèì, îò÷àñòè, ìîæíî îáúÿñíèòü òåìíûé öâåò íî÷íîãî íåáà, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî çâåçä íà íåáå 10 23 .

§ 10. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýëåêòðîäèíàìèêà Ìàêñâåëëà áàëà ïîñòðîåíà çà 40 ëåò äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ, îíà îêàçàëàñü ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíîé. Ýòî ìîæíî äîêàçàòü íåïîñðåäñòâåííî, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Íî ìû ïîñòóïèì òàê æå, êàê äåëàëè â êóðñå ÑÒÎ. Ñâåäåì íàøó çàäà÷ó ê ïåðåõîäó â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà ê 4 – ìåðíûì âåêòîðàì, òîãäà íà îñíîâàíèè òåîðåìû Ìèíêîâñêîãî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî çàïèñàííûå â 4 – ìåðíîé ôîðìå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Òåì ñàìûì, óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïåðâûé ïîñòóëàò ÑÒÎ: âñå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû âî âñåõ ÈÑÎ ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Âûøå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âñå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñâîäÿòñÿ ê ÷åòûðåì óðàâíåíèÿì (òðè óðàâíåíèÿ äëÿ ïðîåêöèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà è ÷åòâåðòîå – äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà). Ïîýòîìó áóäåì ðàáîòàòü òîëüêî ñ ýòèìè óðàâíåíèÿìè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü èõ â âàêóóìå.

r r ∂2 A ∆A − ε 0 µ 0 2 = − µ 0 j . ∂t Ñîîòâåòñòâåííî:

∆ϕ − ε 0 µ 0

ρ ∂ 2ϕ =− . 2 ε0 ∂t

Ââåäåì 4õ âåêòîðû òàê:

91

x1 = x x2 = y x3 = z x 4 = ict

Φ 1 = Ax Φ 2 = Ay Φ 3 = Az i Φ4 = ϕ c

j1 = j x j2 = j y j3 = j z j 4 = icρ

Èñïîëüçóÿ ýòè 4õ âåêòîðû, ÷åòûðå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà çàïèøåì òàê:

∂ 2 Φ 1 ∂ 2 Φ 1 ∂ 2 Φ1 ∂ 2 Φ 1 + 2 + 2 + 2 = − µ 0 j1 ∂x 21 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4 ∂ 2Φ 2 ∂ 2Φ 2 ∂ 2Φ 2 ∂ 2Φ 2 + + + = −µ 0 j2 ∂x 21 ∂x 2 2 ∂x 2 3 ∂x 2 4 ∂ 2Φ 3 ∂ 2Φ 3 ∂ 2Φ 3 ∂ 2Φ 3 + + + = − µ 0 j3 ∂x 21 ∂x 2 2 ∂x 2 3 ∂x 2 4 ∂ 2Φ 4 ∂ 2Φ 4 ∂ 2Φ 4 ∂ 2Φ 4 + + + = −µ 0 j4 ∂x 21 ∂x 2 2 ∂x 2 3 ∂x 2 4 Òàêèì îáðàçîì, ìû çàïèñàëè óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà â 4-õ-ìåðíîé ôîðìå è òåì ñàìûì óòâåðäèëè ðåëÿòèâèñòñêóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîäèíàìèêà Ìàêñâåëëà âìåñòå ñ ÑÒÎ ñîçäàëà íîâóþ êàðòèíó ìèðà – ýëåêòðîäèíàìè÷åñêóþ, êîòîðàÿ ïðèøëà íà ñìåíó ìåõàíè÷åñêîé.  ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíå ìèðà ðàññìàòðèâàþò äâà âèäà ìàòåðèè – âåùåñòâî è ïîëå.  ýòîé êàðòèíå ìèðà (ÝÄÊÌ) äåéñòâóåò ïðèíöèï áëèçêîäåéñòâèÿ. Áûñòðåå, ÷åì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë â âàêóóìå, äåéñòâèå (ýíåðãèÿ, êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, èíôîðìàöèÿ) ïåðåäàâàòüñÿ íå ìîæåò. Äëèíà è äëèòåëüíîñòü ïåðåñòàëè áûòü àáñîëþòíûìè âåëè÷èíàìè, õîòÿ äëèíà òåëà â ýòîé ÈÑÎ, ãäå îíî ïîêîèòñÿ, ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì (àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé). Äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà â òîé ÈÑÎ, ãäå îí ïðîèñõîäèò, â îäíîì ìåñòå åñòü òàê æå åãî àáñîëþòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà. Âìåñòî ñàìîñòîÿòåëüíûõ, íåçàâèñèìûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñòâà ÑÒÎ ââåëà åäèíûé çàêîí.  ÑÒÎ íåò çàêîíà 92

ñîõðàíåíèÿ ìàññû âåùåñòâåííûõ òåë.  íà÷àëå 20 âåêà áûëè îòêðûòû çàêîíû ìèêðîìèðà.  ÷àñòíîñòè, êîðïóñêóëÿðíî – âîëíîâîé äóàëèçì ÷àñòèö, êîòîðûé â ÝÄÊÌ íå ó÷èòûâàåòñÿ. Ñ íà÷àëà 20 âåêà íà÷àëîñü ïîñòðîåíèå íîâîé ÔÊÌ - êâàíòîâî – ïîëåâîé, îñíîâàííîé íà çàêîíàõ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè è ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.

93

...

94

...

95

Ð649

Ãåðìàí Àðîíîâè÷ Ðîçìàí ÊÎÍÑÏÅÊÒÛ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÅ

Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹ 06024 îò 09.10.2001 ãîäà. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 08.07.2002 ã. Ôîðìàò 60õ90/16. Îáúåì èçäàíèÿ: 5,75 ó.ï.ë. Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç ¹ Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, ïë.Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18. 96