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±«¨ ¡» ® ¯°®¥§¦ « ¢ · ± 10 ª¬ ¡®«¼¸¥, ²® ²®² ¦¥ ¯³²¼ § ¿« ¡» 8 · ±®¢. ª®¢ ±ª®°®±²¼ £°³§®¢¨ª ? 76. ¢ ¢²®¬®¡¨«¿ ®¤®¢°¥¬¥® ¢»¥µ «¨ ¨§ ¯³ª²®¢ ¨ ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³. ¥°¥§ 7 · ±®¢ ¥§¤» ®¨ µ®¤¨«¨±¼ ° ±±²®¿¨¨ 136 ª¬ ®¤¨ ®² ¤°³£®£®. ©¤¨²¥ ° ±±²®¿¨¥ ¬¥¦¤³ ¨ , ¥±«¨ ¢±¥ ° ±±²®¿¨¥ ®¤¨ ¢²®¬®¡¨«¼ ¬®¦¥² ¯°®¥µ ²¼ § 10 · ±®¢, ¤°³£®© | § 12. 69
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±«¨ ¡» ±ª®°®±²¼ ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ A , ¡»« ¡®«¼¸¥ 14%, ±ª®°®±²¼ ¢²®¬®¡¨«¿, ¢»¥µ ¢¸¥£® ¨§ B , ¡»« ¡®«¼¸¥ 15%, ²® ¢±²°¥· ¯°®¨§®¸« ¡» ·¥°¥§ 7 · ±®¢. ª®°®±²¼ ª ª®£® ¢²®¬®¡¨«¿ ¡®«¼¸¥ ¨ ¢® ±ª®«¼ª® ° §? 77
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143
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29
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²¨ª, ¨§³· « °¨´¬¥²¨ª³ (²¥®°¥¬ ¨°¨µ«¥ ® ¯°®±²»µ ·¨±« µ ¢ °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ¯°®£°¥±±¨¨), ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© «¨§ (¯°¨§ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨°¨µ«¥, °¿¤» ¨°¨µ«¥), ¬¥µ ¨ª³ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ ´¨§¨ª³ (¯°¨¶¨¯ ¨°¨µ«¥ ¢ ²¥®°¨¨ £ °¬®¨·¥±ª¨µ ´³ª¶¨©). , ° §³¬¥¥²±¿, ¨ ¥ ¯®¤®§°¥¢ «, ·²® ¥£® ¨¬¥¥¬ §®¢³² ±²®«¼ ¯°®±²®© ¨ ¢ ¦»© ¯°¨¶¨¯.
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31
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32
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33
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34
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35
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36
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¤®«¼ £° ¨¶ ª«¥²®ª ¸ µ¬ ²®© ¤®±ª¨ ¯®«®¦¨«¨ ±¯¨·ª¨. ª®«¼ª® ±¯¨·¥ª ¥®¡µ®¤¨¬® ³¡° ²¼, ·²®¡» « ¤¼¿ ¬®£« ¤®¡° ²¼±¿ ± «¾¡®£® ¯®«¿ «¾¡®¥, ¥ ¯¥°¥¯°»£¨¢ ¿ ·¥°¥§ ±¯¨·ª¨? 251. §¥¬«¾ ¢¡¨«¨ 19 ª®«»¸ª®¢. ¢®¥ ¯® ®·¥°¥¤¨ ±¢¿§»¢ ¾² ¯ °» ª®«»¸ª®¢ ¡¥·¥¢®©: ª ¦¤»¬ µ®¤®¬ | ®¤³ ¯ °³. »¨£° ¢¸¨¬ ±·¨² ¥²±¿ ¨£°®ª, ¯°¨ µ®¤¥ ª®²®°®£® ®¡° §®¢ « ±¼ § ¬ª³² ¿ «®¬ ¿, ±®±² ¢«¥ ¿ ¨§ ¡¥·¥¢®ª (¢¥°¸¨ ¬¨ «®¬ ®© ¤®«¦» ¡»²¼ ª®«»¸ª¨). ¥ ° §°¥¸ ¥²±¿ ±¢¿§»¢ ²¼ ¤¢ ³¦¥ ° ¥¥ ±®¥¤¨¥»µ ª®«»¸ª . ²® ¢»¨£° ¥² ¯°¨ ¯° ¢¨«¼®© ¨£°¥? 252. ª®¥ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¢¥°¥¢®·¥ª, ±®¥¤¨¿¾¹¨µ ±®±¥¤¨¥ ³§«» ±¥²ª¨ ° §¬¥° 4 6, ¬®¦® ° §°¥§ ²¼, ·²®¡» ±¥²ª ¥ ° ±¯ « ±¼ ®²¤¥«¼»¥ ª³±ª¨? 253. ± ¥ · «®±¼ ± ®¤®© ª³°¨¶», ª®²®° ¿ ±¥±« ¤¢ ¿©¶ . § ¨µ ¢»¢¥«¨±¼ ¶»¯«¿² : ¯¥²³µ ¨ ª³°¨¶ . ®£¤ ®¨ ¯®¤°®±«¨, ¯¥²³µ ±º¥«¨ ±° §³, ª³°¨¶³ | ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ® ±¥±« ¤¢ ¿©¶ . ª ¤¥« «¨ ¨ ¤ «¼¸¥: ¨§ ¿¨¶ ¢»¢®¤¨«¨ ¶»¯«¿², ¥«¨ ª³° ¨ ¯¥²³µ®¢, : : : ±¥ ¯°¥ª° ²¨«®±¼, ª®£¤ ¨§ ¿¨¶ ¢»«³¯¨«¨±¼ ®¤¨ ²®«¼ª® ¯¥²³µ¨. ¿, ·²® ¡»«¨ ±º¥¤¥» 1994 ¯¥²³µ , ¢»¿±¨²¥, ±ª®«¼ª® ±º¥«¨ ª³°. s
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±«¨ ¤® | ¿§»ª ±³ µ¨«¨, ±«®¦»© §¢³ª®¬ ¨ ±«®¢®¬ ®¡¨«¼»©, ·¨±²® ¢»³· ² ¢³ª¨ µ¨«¨ ¨ ´®«¼ª«®° ±®·¨¿² ±³ µ¨«¼»©.
. ³¡¥°¬
254
. » ´° ¶³§±ª¨¥ ±«®¢ tour, face, coucher, attacher,
passage, orange, variete, chance, torche, rager, image, courage, reverence ¨ ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ¢ ¯¥°¥¯³² ®¬ ¯®°¿¤ª¥: ´ ª¥«, ±¬¥«®±²¼, ¯°®µ®¤, «¨¶®, ¯®·²¥¨¥, ¯°¨¢¿§»¢ ²¼, ¯®¥§¤ª , ®¡° §, ° §®®¡° §¨¥, «¥¦ ²¼, ³¤®¡»© ±«³· ©, ¯¥«¼±¨, ¥¨±²®¢±²¢®¢ ²¼. ±² ®¢¨²¥, ª ª®¥ ´° ¶³§-
±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥². 255. ®² ®¡®§ ·¥¨¿ ¥ª®²®°»µ ¤ ² ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨: tarehe tatu
Disemba jumamosi; tarehe pili Aprili jumanne; tarehe nne Aprili jumanne; tarehe tano Octoba jumapili; tarehe tano Octoba jumatatu; tarehe tano Octoba jumatano. ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» °³±±ª¨© ¿§»ª (¢ ¯¥°¥¯³² ®¬ ¯®°¿¤ª¥): 5 ®ª²¿¡°¿, ¯®¥¤¥«¼¨ª; 2 ¯°¥«¿, ¢²®°¨ª; 5 ®ª²¿¡°¿, ±°¥¤ ; 5 ®ª²¿¡°¿, ¢®±ª°¥±¥¼¥; 3 ¤¥ª ¡°¿, ±³¡¡®² ; 4 ¯°¥«¿, ¢²®°¨ª.
ª ¯¨± ²¼ ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤ ²»: ) 3 ¯°¥«¿, ±°¥¤ ; ¡) 2 ¤¥ª ¡°¿, ¢®±ª°¥±¥¼¥; ¢) 1 ®¿¡°¿, ¯®¥¤¥«¼¨ª? 256. ®² ¥±ª®«¼ª® ©±ª¨µ ·¨±«¨²¥«¼»µ (¢ « ²¨±ª®© ²° ±ª°¨¯¶¨¨):
3 | re; 11 | shine ikashma wan; 22 | tu ikashma hotne; 37 | arwan ikashma wan e tu hotne; 47 | arwan ikashma tu hotne; 93 | re ikashma wan e ashikne hotne; 135 | ashikne ikashma wan e arwan hotne. ¯°¥¤¥«¨²¥, ª ª®¥ ·¨±«® § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯®- ©±ª¨ ª ª wan e re hotne. ¯¨¸¨²¥ ¯®- ©±ª¨ ·¨±« : 1, 5, 12, 53, 100, 200. 46
¥°¨®¤¨·®±²¼ ¯®¢²®°¿¾ ¯³²¼ §¥¬®© ¡»«»µ «¾¤±ª¨µ ±³¹¥±²¢®¢ ¨©; ¨·²® ¥ ®¢® ¯®¤ «³®©, ª°®¬¥ ¬®¨µ ¯¥°¥¦¨¢ ¨©.
. ³¡¥°¬
257.
·¥¬ ±·¨² ²¼ ¯ «¼¶» °³ª¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¯³±²¼ 1-¬ ¡³¤¥² ¡®«¼¸®©, 2-¬ | ³ª § ²¥«¼»©, 3-¬ | ±°¥¤¨©, 4-¬ | ¡¥§»¬¿»©, 5-¬ | ¬¨§¨¥¶, 6-¬ | ±®¢ ¡¥§»¬¿»©, 7-¬ | ±°¥¤¨©, 8-¬ | ³ª § ²¥«¼»©, 9-¬ | ¡®«¼¸®©, 10-¬ | ³ª § ²¥«¼»©, ¨ ² ª ¤ «¥¥. ª®© ¯ «¥¶ ¡³¤¥² 2017-¬? 258. ¡¥¤¨²¥±¼, ·²® ) 1=3 = 0;(3); ¡) 1=6 = 0;1(6); ¢) 7=30 = 0;2(3); £) 7=11 = 0;(63). 259. ©¤¨²¥ ±®²³¾ ¶¨´°³ ¯®±«¥ § ¯¿²®© ¢ ¤¥±¿²¨·®© § ¯¨±¨ ·¨±« 1=7. 260. §¤¥«¨²¥ À³£®«ª®¬Á ·¨±«® 1 ) 9; ¡) 99; ¢) 9 999. £) ®ª ¦¨²¥ ®¡¹¥¥ ¯° ¢¨«®: 1= 99 : : : 9 = 0;(0 : : : 0 1). | {z } | {z } n
. 262.
261
263
.
264
.
n,1
¨±²® ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ¯° ¢¨«¼ ¿ ¤°®¡¼ ° ¢ ² ª®© ®¡»ª®¢¥®© ¤°®¡¨, ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ª®²®°®© | ¯¥°¨®¤, ¢ § ¬¥ ²¥«¥ | ·¨±«® 10r , 1 = 9| :{z: : 9} , £¤¥ r | ¤«¨ ¯¥°¨®¤ . ®ª r ¦¨²¥ ½²®. ¡° ²¨²¥ ¢ ¤¥±¿²¨·»¥ ¤°®¡¨ ·¨±« : ) 23=99; ¡) 1234=999999. ª®«¼ª® ·¨±¥«, ª° ²»µ 13, ¨¬¥¥²±¿ ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ ±² ·¨±¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ 1, 11, 111, 1111, : : : ?
±«¨ ·¨±«® ¢¨¤ 11 : : : 11 ª° ²® 7, ²® ®® ª° ²® ¨ 11, ¨ 13, ¨ 15873. ®ª ¦¨²¥ ½²®. ¥°¢³¾ ¶¨´°³ k -§ ·®£® ·¨±« , ª° ²®£® 13, ±²¥°«¨ ¨ § ¯¨± «¨ ¯®§ ¤¨ ¯®±«¥¤¥© ¶¨´°» ½²®£® ·¨±« . °¨ ª ª¨µ k ¯®«³·¥®¥ ·¨±«® ª° ²® 13? ( ¯°¨¬¥°, ¨§ ª° ²»µ 13 ·¨±¥« 503906 ¨ 7969 ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯®«³· ¥¬ ·¨±« 39065 ¨ 9697, ¯¥°¢®¥ ¨§ ª®²®°»µ ª° ²® 13, ¢²®°®¥ | ¥².) ¤)
47
¥¸¨²¥ °¥¡³± 5 = . ©¤¨²¥ ¸¥±²¨§ ·®¥ ·¨±«®, ³¬¥¼¸ ¾¹¥¥±¿ ¢ 5 ° § ¯°¨ ¯¥°¥®±¥ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¢ ª®¥¶ ·¨±« . ¢) ¥¸¨²¥ °¥¡³±:
6 =
. (ª § ¨¥. ±«®¢ µ °¥¡³± ¨±¯®«¼§®¢ » ¤¢ ±«®£ : ¨
. ¡®§ ·¼²¥ = = x ¨
= y .) £) ³¹¥±²¢³¥² «¨ ¸¥±²¨§ ·®¥ ·¨±«®, ª®²®°®¥ ¯°¨ ³¬®¦¥¨¨ 2, 3, 4, 5 ¨ 6 ¤ ¥² ·¨±« , § ¯¨± »¥ ²¥¬¨ ¦¥ ¶¨´° ¬¨, ·²® ¨ ± ¬® ·¨±«®, ® ¢ ¤°³£®¬ ¯®°¿¤ª¥? ¤) ©¤¨²¥ ¢±¥ ¸¥±²¨§ ·»¥ ·¨±« , ª®²®°»¥ ³¢¥«¨·¨¢ ¾²±¿ ¢ ¶¥«®¥ ·¨±«® ° § ¯°¨ ¯¥°¥®±¥ ¯®±«¥¤¥© ¶¨´°» ¨§ ª®¶ ¢ · «®. 266. ¨±«® ®ª ·¨¢ ¥²±¿ 2.
±«¨ ½²³ ¶¨´°³ ¯¥°¥¥±²¨ ¢ · «® ·¨±« , ®® ³¤¢®¨²±¿. ©¤¨²¥ ¨¬¥¼¸¥¥ ² ª®¥ ·¨±«®. 267. ª®© ¶¨´°®© ®ª ·¨¢ ¥²±¿ ·¨±«® 33 + 77 ? 268. ©¤¨²¥ ¤¢¥ ¯®±«¥¤¨¥ ¶¨´°» ·¨±« 2 . 269. ª®¢ ¯®±«¥¤¿¿ ¶¨´° ·¨±« 9999 ? 270. ¿²¨§ ·®¥ ·¨±«® ¤¥«¨²±¿ 41. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ¥£® ¶¨´°» ¶¨ª«¨·¥±ª¨ ¯¥°¥±² ¢¨²¼, ²® ¯®«³·¥®¥ ·¨±«® ²®¦¥ ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ 41. ( ¯°¨¬¥°, § ¿, ·²® 93 767 ¤¥«¨²±¿ 41, ¬®¦® ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® 37 679 ²®¦¥ ¤¥«¨²±¿ 41.) 271. ) ±±¬®²°¨¬ ·¨±« : 1, 11, 111, 1111, : : : ®ª ¦¨²¥, ·²® ±°¥¤¨ ¨µ ©¤³²±¿ ¤¢ ·¨±« , ° §®±²¼ ª®²®°»µ ¤¥«¨²±¿ 196 673. ¡) ®ª ¦¨²¥, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«®, § ¯¨±»¢ ¥¬®¥ ®¤¨¬¨ ²®«¼ª® ¥¤¨¨¶ ¬¨ ¨ ª° ²®¥ ·¨±«³ 196 673. ¢) «¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® ·¨±« a , ¥ ¤¥«¿¹¥£®±¿ ¨ 2, ¨ 5, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® b , ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ab § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¤¥±¿²¨·®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥¨¿ ®¤¨¬¨ ²®«¼ª® ¥¤¨¨¶ ¬¨. ®ª ¦¨²¥ ½²®. 272.
±«¨ ²³° «¼»¥ ·¨±« a ¨ m ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ²³° «¼®¥ n , ·²® an , 1 ¤¥«¨²±¿ m . ®ª ¦¨²¥ ½²®. 265
.
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¡)
77
33
2000 9
99999
48
®¬¡¨ ²®°¨ª ²¥¶ ¤ ¥² ¤¢³µ«¥²¥© ¤®·¥°¨ «®¦ª³ ¨ ±¯° ¸¨¢ ¥²: | ª®«¼ª® ³ ²¥¡¿ «®¦¥ª? | ¤ . ¥² ¤°³£³¾: | ¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | ¢¥. ¥² ²°¥²¼¾. | ¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | ®£®. | ¥², ²» ±ª ¦¨. ¥¢®·ª ± ¯°¥³¢¥«¨·¥»¬ ¢»° ¦¥¨¥¬ ¡°¥§£«¨¢®±²¨ ®²®¤¢¨£ ¥² ®² ±¥¡¿ ²°¥²¼¾ «®¦ª³: | ®§¼¬¨, ® £°¿§ ¿!
. ³ª®¢±ª¨©, À² ¤¢³µ ¤® ¯¿²¨Á ®¬¡¨ ²®°¨ª | ½²® ° §¤¥« ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ¢ ª®²®°®¬ ¨§³· ¾², ±ª®«¼ª® ª®¬¡¨ ¶¨©, ¯®¤·¨ ¥»µ ²¥¬ ¨«¨ ¨»¬ ³±«®¢¨¿¬, ¬®¦® ±®±² ¢¨²¼ ¨§ ¤ »µ ®¡º¥ª²®¢.
°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ª ®¡¹¨¬
¯°¨¶¨¯ ¬, ° ±±¬®²°¨¬ ¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢.
1) ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²° ¥µ§ ·»µ ·¨±¥«?
¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ²°¥µ§ ·®¥ ·¨±«® | ½²® 999. ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ¤¢³§ ·®¥ | 99. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² 999 , 99 = 900 ²°¥µ§ ·»µ ·¨±¥«. ®² ¦¥ ®²¢¥² ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. ®®¡° §¨²¥, ·²® ¬» ¯¨¸¥¬, ¶¨´° § ¶¨´°®©, ²°¥µ§ ·®¥ ·¨±«®. · « ¯¨¸¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥¢¿²¨ ¶¨´° 1, 2, : : : , 9 ¢ ° §°¿¤ ±®²¥. ²¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥±¿²¨ ¶¨´° | ¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢; ª®¥¶, ª ª³¾-¨¡³¤¼ («¾¡³¾) ¶¨´°³ | ¢ ° §°¿¤ ¥¤¨¨¶. ²¢¥²: 9 10 10 = 900 . 2)
ª®«¼ª®
¥µ ²¼ ¨§
¢
A
±¯®±®¡®¢
¯°®-
C , ¥±«¨ ±¨±²¥¬ ¤®°®£
² ª®¢ , ª ª ¯®ª § ® °¨±³ª¥?
A
°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ C , ¤® «¾¡»¬ ¨§ ²°¥µ ¢®§¬®¦»µ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ B , § ²¥¬ | «¾¡»¬ ¨§ ¯¿²¨ ±¯®±®¡®¢ ¨§ B ¢ C . ¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ¢® 3 5 = 15 .
B
C
3) ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¸ µ¬ ²®© ¤®±ª¥ ¡¥«³¾ ¨ · ¥°³¾ « ¤¼¨, ·²®¡» ®¨ ¥ ¡¨«¨ ®¤ ¤°³£³¾?
49
· « ¯®±² ¢¨¬ «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ¡¥«³¾ « ¤¼¾. «¿ ·¥°®© « ¤¼¨ ®±² ¥²±¿ 49 ¯®«¥©. ²¢¥²: 64 49 = 3136 . ¬¥²¼²¥: ¬» ¯¥°¥¬®¦ ¥¬ ·¨±« 64 ¨ 49, ¥ ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¨µ. ¤ ¨§ ±² ¤ °²»µ ®¸¨¡®ª, ª®²®°³¾ ¤¥« ¥² ·¨ ¾¹¨¥, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ®¨ ¯³² ¾², ª®£¤ ¤® ±ª« ¤»¢ ²¼, ª®£¤ ³¬®¦ ²¼. ¥¦¤³ ²¥¬ ¢±¥ ¯°®±²®: ±³¬¬ m + n ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ½«¥¬¥²®¢ ®¡º¥¤¨¥¨¿ ¤¢³µ ¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬®¦¥±²¢, ®¤® ¨§ ª®²®°»µ ±®±²®¨² ¨§ m , ¤°³£®¥ ¨§ n ½«¥¬¥²®¢. ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ mn | ½²® ª®«¨·¥±²¢® ¯ ° ¢¨¤ (x; y) , £¤¥ x ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ m ½«¥¬¥²®¢ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ ( ¯°¨¬¥°, ½²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¬®¦¥±²¢® 64 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥© ¤«¿ ¡¥«®© « ¤¼¨), y , ¯°¨ ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ x , ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ ¥ª®²®°»µ n ½«¥¬¥²®¢ ( ¯°¨¬¥°, y | ®¤® ¨§ 49 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥© ¤«¿ ·¥°®© « ¤¼¨). ®£¤ ¥®¡µ®¤¨¬® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ±³¬¬³, ¨ N M ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥: ¯°¨¬¥°, ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥©, ¢¥¤³¹¨µ °¨±³ª¥ ¨§ ²®·ª¨ K ¢ ²®·ª³ M , ° ¢® 2 2 + 3 3 = 13 . 4) ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ¢»«®¦¨²¼ ¢ °¿¤ ª° ±»©, ¦ ¥«²»© ¨ §¥« ¥»© ¸ °¨ª¨?
®² ¢±¥ 6 ±¯®±®¡®¢:
ª¦§ ª§¦
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§ª¦ §¦ª
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5) ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®© ¨¦¥© ª«¥²ª¨ ¨§®¡° ¦ ¥®£® °¨±³ª¥ ª¢ ¤° ²
99
¢ ¯° ¢³¾
¢¥°µ¾¾, ¨ ° §³ ¥ ¯®¡»¢ ¢ ¨ ®¤®© § ª° ¸¥®© ª«¥²ª¥ ¨ ¤¢¨£ ¿±¼ ²®«¼ª® ¢¢¥°µ ¨«¨ ¢¯° ¢®?
1 1 1 2 7 1 1 5 17 1 4 12 1 2 4 8 12 17 D 1 1 2 4 4 5 7 A C 1 2 1 2 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¥² ¨ ±¨«, ¨ ¦¥« ¨¿ °¨±®¢ ²¼ ¢±¥ ¢ °¨ ²»: ½²® ¯°¨¬¥° ¥ ² ª ¯°®±², ª ª ¯°¥¤»¤³¹¨©! ²® ¦¥ ¤¥« ²¼? ¢ ©²¥ ¯®±² ¢¨¬ ¯¥°¥¤ ±®¡®©
50
¡®«¥¥ ±ª°®¬³¾ ¶¥«¼: ©¤¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥© ¨§ «¥¢®© ¨¦¥© ª«¥²ª¨ ¥ ¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ¾¾, , ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ A . ·¥¢¨¤®, ² ª¨µ ¯³²¥© ¤¢ . ²®«¼ª® ¦¥ ¯³²¥© ¢¥¤³² ¢ ²®·ª³ B . ¥¯¥°¼ «¥£ª® ¯®¿²¼, ·²® ¢ ª«¥²ª³ C ¬®¦® ¯°®©²¨ ·¥²»°¼¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ (¤¢ ¨§ ¨µ ¢¥¤³² ·¥°¥§ A , ¤¢ | ·¥°¥§ B ). ª¨¬ ®¡° §®¬, ª«¥²ª³ § ª«¥²ª®©, ¬» ¬®¦¥¬ § ¯®«¿²¼ ¤®±ª³, ¨±¯®«¼§³¿ ¯° ¢¨«® ±³¬¬»: ¥±«¨ ¢ ¥ª®²®°³¾ ª«¥²ª³ Z ¬®¦® ¯®¯ ±²¼ ±¯° ¢ ¨§ ª«¥²ª¨ X ¨ ±¨§³ | ¨§ Y , ²® ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ ª«¥²ª³ Z ¥±²¼ ±³¬¬ ª®«¨·¥±²¢ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ X ¨ Y . ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ D ¬®¦® ¯®¯ ±²¼ 17 + 7 = 24 ±¯®±®¡ ¬¨. ª ¯®²¨µ®¥·ª³ ¨ § ¯®«¨¬ ¢±¾ ¤®±ª³. ²¢¥²: 678. 6) ª®«¼ª® ±«®¢ (¥ ®¡¿§ ²¥«¼® ®±¬»±«¥»µ) ¬®¦® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢
,
,
,
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¨
| ¢±¥£® 6 ±¯®±®¡®¢.
7) ª®«¼ª® ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ 1000 ²³° «¼»µ ·¨±¥« ² ª¨µ, ª®²®°»¥ ¥ ª° ²» ¨ 2, ¨ 5?
ª ¨§¢¥±²®, ·¨±«® ¥ ª° ²® ¨ 2, ¨ 5, ¥±«¨ ¥£® ¯®±«¥¤¿¿ ¶¨´° | ½²® ®¤ ¨§ ·¥²»°¥µ ¶¨´° 1, 3, 7, 9. ·¨², ¢ ª ¦¤®¬ ¤¥±¿²ª¥ °®¢® ·¥²»°¥ ¨²¥°¥±³¾¹¨µ ± ·¨±« , ¢±¥£® ² ª¨µ ·¨±¥« 400.
±²¼ ¨ ¤°³£®© ±¯®±®¡. ±±¬®²°¨¬ ¬®¦¥±²¢® U = f1; 2; 3; : : : ; 1000g ¨ ¤¢ ¥£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ : A = f2; 4; 6; : : : ; 1000g ¨ B = f5; 10; 15; : : : ; 1000g . ± ¨²¥°¥±³¥² ·¨±«® ½«¥¬¥²®¢ ¬®¦¥±²¢ U , ¥ ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨µ ¨ A , ¨ B . ¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ®²¢¥² jU j , jAj , jB j (£¤¥ jU j , jAj ¨ jB j | ª®«¨·¥±²¢ ½«¥¬¥²®¢ ¬®¦¥±²¢ U , A ¨ B ±®®²¢¥²±²¢¥®) ¥¯° ¢¨«¼»©. ¥«® ¢ ²®¬, ·²® ½«¥¬¥²», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ®¡ ¬®¦¥±²¢ A ¨ B (²® ¥±²¼ ·¨±« , ®ª ·¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¶¨´°®© 0), ¡»«¨ ¢»¡°®¸¥» ¤¢ ¦¤», µ®²¿ ±«¥¤®¢ «® ¨µ ¢»¡°®±¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨ ° §. ¢®² ¯° ¢¨«¼»© ®²¢¥²: jU j , jAj , jB j + jA \ B j; £¤¥ A \ B | ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ¬®¦¥±²¢ A ¨ B . ¢ ©²¥ ¯°®¢¥°¨¬ ½²³ ´®°¬³«³: 1000 , 500 , 200 + 100 = 400: 8) ª®«¼ª® ±²®°® ¨ ¤¨ £® «¥© ¢ ¢»¯³ª«®¬ ¯¿² ¤¶ ²¨³£®«¼¨ª¥?
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51
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2134 2143 2314 2341 2413 2431
4123 4132 4213 4231 4312 4321
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52
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«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦®¥ ¯®¿²¨¥ ª®¬¡¨ ²®°¨ª¨ | ° §¬¥¹¥¨¥. ¢ ©²¥ ° ±±¬®²°¨¬ ² ª³¾ ±¨²³ ¶¨¾: ¢ ª« ±±¥, ¢ ª®²®°®¬ 25 ³·¥¨ª®¢, ³¦® ¢»¡° ²¼ ±² °®±²³, ¥£® § ¬¥±²¨²¥«¿ ¨ ¯®¬®¹¨ª § ¬¥±²¨²¥«¿. ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ½²® ¬®¦® ±¤¥« ²¼? ·¥¢¨¤®, ± · « 25 ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ¢»¡° ²¼ «¾¡®£® ³·¥¨ª ¢ ±² °®±²». ²¥¬ ¨§ 24 ®±² ¢¸¨µ±¿ | § ¬¥±²¨²¥«¿ ±² °®±²», ¯®±«¥ ½²®£® «¾¡®© ¨§ 23 ®±² ¢¸¨µ±¿ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®¬®¹¨ª®¬ § ¬¥±²¨²¥«¿. ® ¯° ¢¨«³ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿, ¢±¥£® ¨¬¥¥¬ A325 = 25 24 23 ¢ °¨ ²®¢. ®®¡¹¥, ·¥°¥§ Akn (·¨² ¥¬: À ¨§ ½ ¯® ª Á) ®¡®§ · ¾² ·¨±«® ±¯®±®¡®¢ ¢»¡° ²¼ ¨§ ¤ »µ n ½«¥¬¥²®¢ ± · « ¯¥°¢»© ½«¥¬¥², ¯®²®¬ ¢²®°®©, ²°¥²¨©, : : : , k -©. »·¨±«¿¾² ¥£® ¯® ´®°¬³«¥ Akn = n(n , 1) (n , k + 1): ¬¥²¼²¥: ¢ ¯° ¢®© · ±²¨ °®¢® k ¬®¦¨²¥«¥©, ¨ ¯®±«¥¤¨© ¨§ ¨µ ° ¢¥ n,k +1 , ¢®¢±¥ ¥ n,k , ª ª ¬®£«® ¯®ª § ²¼±¿ ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤. ®°¬³«³ ¬®¦® § ¯¨± ²¼ ¨ ·¥°¥§ ´ ª²®°¨ «»: Akn = n!=(n , k)!:
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° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¥¢¿²¼Á, ¤¢ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±¥¬¼Á, ¤¢ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¸¥±²¼Á. Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty- ve n's, twentyfour o's, ve p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens, and, last but not least, a single ! In this sentence, the word and occurs twice, the word eight occurs twice, the word four occurs twice, the word fourteen occurs four times, the word in occurs twice, the word occurs occurs fourteen times, the word sentence occurs twice, the word seven occurs twice, the word the occurs fourteen times, the word this occurs twice, the word times occurs seven times, the word twice occurs eight times and the word word occurs fourteen times. ²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ±®¤¥°¦¨² ¤¢¥ ¤¶ ²¼ ±«®¢, ¤¢ ¤¶ ²¼ ¸¥±²¼ ±«®£®¢ ¨ ±¥¬¼¤¥±¿² ²°¨ ¡³ª¢». ®£¤ § ½²¨¬ ¯°¥¤«®¦¥¨¥¬ ¥ ¡«¾¤ ¾², ®® ¯¨± ® ¯®¥¬¥¶ª¨. .¨ª±¡ ° -®¯ ²¾ ²¨·, ®¢¥« ¢ °¯±, ª ² ®¥¬ ¥¢¿²¼ ±«®¢ § ¤ ½²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ¥¹¥ ¥ · «®±¼. ²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ±®±²®¿«® ¡» ¨§ ¤¥±¿²¨ ±«®¢, ¥±«¨ ¡» ®® ¡»«® ¯¿²¼ ±«®¢ ª®°®·¥.
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63
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66
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67
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68
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±«¨ ®²°¨¶ ²¥«¼»©, ²® «¼¥ ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿»¥ ¬®¥²». ¥±«¨ «¼¿ ¥ ±¬®¦¥² ®²¢¥²¨²¼ ¨ À¤ Á, ¨ À¥²Á, ²® ® ¯®«³·¨« § ±«³¦¡³ §®«®²³¾ ¨ ±¥°¥¡°¿³¾ ¬®¥²». ®¦® ¡»«® § ¤ ²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ¢®¯°®±», ¯°¨¬¥°: | ¥°® «¨, ·²® µ®²¿ ¡» ®¤®¬³ ¨§ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¡®£ ²»°¥© ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿»¥ ¬®¥²»? | ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ ¬®¥², ·¥¬ ³ «¥¸¨ ®¯®¢¨· ? |
±«¨ ¿ § ¡¥°³ ®¤³ ¨§ ²¢®¨µ ¬®¥² ¨ ¤ ¬ ¢¬¥±²® ¥¥ §®«®²³¾, ²® ±² ¥² «¨ ³ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ? ( ¬¥²¼²¥, ·²® ¢ ½²®¬ ¢®¯°®±¥ ¥ ³¯®¬¿³²» ¬®¥²», ¤®±² ¢¸¨¥±¿ ¤¢³¬ ¤°³£¨¬ ¡®£ ²»°¿¬!)
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228. ²¢¥² ¤«¿ n ¤®¬®¢: ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼ 2n , 1 § ¡®°®¢. ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ ¤®¬ ®¤¨, ²® ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨ § ¡®°, ·²® ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´®°¬³«¥ 2 1 , 1 = 1 . «¼¸¥ ¯°¨¬¥¨¬ ¨¤³ª¶¨¾.
±«¨ ¤«¿ k = 1 , 2, : : : , n , 1 ¤®¬®¢ ´®°¬³« 2k , 1 ³¦¥ ¯°®¢¥°¥ , ²® ° ±±¬®²°¨¬ n ¤®¬®¢, ¢®ª°³£ ª®²®°»µ ¯®±²°®¥® ¬ ª±¨¬ «¼® ¢®§¬®¦®¥ ª®«¨·¥±²¢® § ¡®°®¢. ª®©-²® ®¤¨ § ¡®° ®£®° ¦¨¢ ¥² ¢±¥ ¤®¬ .
±«¨ ½²®² ¢¥¸¨© § ¡®° ±¥±²¨, ²® ± ¬»¬¨ ¢¥¸¨¬¨ ±² ³² ¥ª®²®°»¥ ¤¢ § ¡®° . ³±²¼ ¢³²°¨ ®¤®£® ¨§ ¨µ ¡³¤¥² k ¤®¬®¢, ¢³²°¨ ¤°³£®£® | ®±² «¼»¥ n , , k ¤®¬®¢. ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¿ ¨¤³ª¶¨¨ ¢®ª°³£ k ¤®¬®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®±²°®¥® ¥ ¡®«¼¸¥ 2k , 1 § ¡®°®¢, ¢®ª°³£ ®±² «¼»µ n , k ¤®¬®¢ | ¥ ¡®«¼¸¥, 2(n , k) , 1 § ¡®°®¢. ·¨², ¢±¥£® § ¡®°®¢ ¥ ¡®«¥¥ (2k , 1) + + (2(n , k) , 1) + 1 = 2n , 1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 248. §®¢ ¥¬ ®¤³ ¨§ ²®·¥ª ª®°¥¬. ®¯®±² ¢¨¬ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼»µ ¢¥°¸¨ ¯®±«¥¤¨© ®²°¥§®ª (¥¤¨±²¢¥®£® ¯® ³±«®¢¨¾) ¯³²¨, ¢¥¤³¹¥£® ¢ ½²³ ²®·ª³ ¨§ ª®°¿. ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ N , 1 ¢¥°¸¨ ¬¨ ¨ ®²°¥§ª ¬¨ ¢§ ¨¬®-®¤®§ ·®¥. ²®¡» ±¤¥« ²¼ ½²® ®·¥¢¨¤»¬, ³¤®¡® ° ±±² ¢¨²¼ ®²°¥§ª µ ±²°¥«ª¨, ¢¥¤³¹¨¥ ®² ª®°¿: ¢ ª ¦¤³¾ ²®·ª³, ª°®¬¥ ¢¥°¸¨», ¢¥¤¥² ®¤ ±²°¥«ª . ¤ ·³ ¬®¦® °¥¸¨²¼ ² ª¦¥ ¯® ¨¤³ª¶¨¨: ³¤ «¿¿ «¾¡®© «¨±²) ¤¥°¥¢ y) , ¬» ®¤®¢°¥¬¥® ³¤ «¿¥¬ ®¤® °¥¡°®. (²°®£® £®¢®°¿, ¤® ¥¹¥ ¤®ª § ²¼, ·²® ¤¥°¥¢¼¥¢ ¡¥§ «¨±²¼¥¢ ¥ ¡»¢ ¥². «¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨» ¨±µ®¤¨² ¥ ¬¥¥¥ 2 °¥¡¥°. § ¥£® ¢¥°¸¨» A1 ¯°®©¤¥¬ ¯® °¥¡°³ ¢ A2 . § A2 ¢»µ®¤¨² ¡®«¥¥ ®¤®£® °¥¡° , ¯®½²®¬³ ¬®¦® ¯°®©²¨ ¢ ¢¥°¸¨³ A3 6= A1 , ¨§ ¥¥ | ¢ A4 , : : : ®±ª®«¼ª³ ·¨±«® ¢¥°¸¨ £° ´ ª®¥·®, ° ® ¨«¨ ¯®§¤® ®¡° §³¥²±¿ ¶¨ª«.) 250. 63 ±¯¨·ª¨. 257. «¼¶» ¡³¤³² ¯®¢²®°¿²¼±¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ 8, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·® ° ±±¬®²°¥²¼ ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥¨¿ 2001 8. ¥°¢»¬ ¨¤¥² ³ª § ²¥«¼»© ¯ «¥¶. 2 m 272. ±±¬®²°¨²¥ ·¨±« 1, a , a , : : : , a . ®±ª®«¼ª³ ®±² ²ª®¢ ®² ¤¥«¥¨¿ m ¢±¥£® «¨¸¼ m , ²® ª ª¨¥-²® ¤¢ ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ·¨±¥« ¤ ¾² ®¤¨ ª®¢»¥ ®±² ²ª¨ ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ m . §®±²¼ ½²¨µ ·¨±¥« ¤¥«¨²±¿ m . 275. 2 5 = 10 . 276. ¥«³¾ « ¤¼¾ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª. ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ±¢®¥£® ° ±¯®«®¦¥¨¿ ® ¡¼¥² 15 ¯®«¥© (¢ª«¾· ¿ ¯®«¥, ª®²®°®¬ ® ±²®¨²). ®½²®¬³ ®±² ¥²±¿ 49 ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°³¾ « ¤¼¾. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 64 49 = 3136 ° §»µ ±¯®±®¡®¢. 277. ¥«®£® ª®°®«¿ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ «¾¡®¥ ¨§ 64 ¯®«¥©. ¤ ª®
) ¨±² | ½²® ¢¥°¸¨ , ¨§ ª®²®°®© ¨±µ®¤¨² ¥¤¨±²¢¥®¥ °¥¡°®. y)¥°¥¢® | ½²® ±¢¿§»© £° ´ ¡¥§ ¶¨ª«®¢, ²® ¥±²¼ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ®² «¾-
¡®© ¢¥°¸¨» ¬®¦® ¤®©²¨, ¤¢¨£ ¿±¼ ¯® °¥¡° ¬, ¤® «¾¡®© ¤°³£®© ¢¥°¸¨», ¯°¨·¥¬ ¥¤¨±²¢¥»¬ ±¯®±®¡®¬, ¥±«¨ ¨ ° §³ ¥ ¢®§¢° ¹ ²¼±¿ § ¤.
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ª®«¨·¥±²¢® ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ® ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² ¡¨²¼, § ¢¨±¨² ®² ¥£® ° ±¯®«®¦¥¨¿. ®½²®¬³ ° §¡¥°¥¬ ²°¨ ±«³· ¿: ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¢ ³£«³ (³£«®¢ ¢±¥£® 4), ²® ® ¡¼¥² 4 ¯®«¿ (¢ª«¾· ¿ ²®, ª®²®°®¬ ±²®¨²) ¨ ®±² ¥²±¿ 60 ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°®£® ª®°®«¿; ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ª° ¾ ¤®±ª¨, ® ¥ ¢ ³£«³ (² ª¨µ ¯®«¥© | 24), ²® ® ¡¼¥² 6 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 58 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥©; ¥±«¨ ¦¥ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¥ ª° ¾ ¤®±ª¨ (² ª¨µ ¯®«¥© | 36), ²® ® ¡¼¥² 9 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 55 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥©. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 4 60 + 24 58 + 36 55 = 3612 ±¯®±®¡®¢. 283. ¥°¥©¤ ¥¬ ª ¤®¯®«¨²¥«¼»¬ ±®¡»²¨¿¬: ±¢¥² ¡»« ¢ª«¾·¥ 20% ¢°¥¬¥¨, ¬³§»ª ¬®«· « 10%, ¤®¦¤¼ ¥ ¸¥« 50% ¢°¥¬¥¨, ² ª ·²® ¤®¯®«¨²¥«¼»¥ ±®¡»²¨¿ ¥ ¬®£«¨ § ¿²¼ ¡®«¥¥ 20 + 10 + 50 = 80 % ¢°¥¬¥¨. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¬³§»ª ¯®¤ ¤®¦¤¥¬ ¢ ²¥¬®²¥ §¢³· « ¥ ¬¥¼¸¥ 100 , , 80 = 20 % ¢°¥¬¥¨. 285. ®¡ ¢¼²¥ ª ²¥¬ ¨ ¤°³£¨¬ ·¨±« , ª° ²»¥ ¨ 8, ¨ 9. ±² ¥², ±¿ ±° ¢¨²¼ ª®«¨·¥±²¢® ·¨±¥«, ª° ²»µ 8 1993 = 249 , ± ª®«¨·¥±²¢®¬ 8 , 1993 ·¨±¥«, ª° ²»µ 9 9 = 221 . 287. ®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§ ·»µ 1 20 13 ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¢±²°¥· ¾²±¿ 6 ²®«¼ª® ¥·¥²»¥ ¶¨´°», ° ¢® 5 = 2 21 12 = 15 625 . ±¥£® ¸¥±²¨§ ·»µ ·¨3 22 11 ±¥« 900 000. ®½²®¬³ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§ ·»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ 14 15 16 4 17 18 19 27 ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤ ·¥² ¿ ¶¨´° , ° ¢® 10 23 5 900 000 , 15 625 = 884 375 . 9 24 6 291. 10. »¯¨¸¥¬ ¢±¥ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ¨¿: 9876543210. ²®¡» 8 25 7 ¯®«³·¨²¼ ¤¥¢¿²¨§ ·®¥ ·¨±«®, ³¦® 26 28 ³¡° ²¼ ®¤³ ¶¨´°³. ²® ¬®¦® ±¤¥« ²¼ 10 ±¯®±®¡ ¬¨. 303. , ¬®£«®. ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ¢ ¨±µ®¤®¬ ¯°®¥ª²¥ ¡»«® 5 ¯®¤º¥§¤®¢, 4 ½² ¦ , ª ¦¤®¬ ½² ¦¥ | ¯® ®¤®© ª¢ °²¨°¥: 5 4 = 20 , 3 7 = 21 , 1 10 = 10 . 319. 203 = 7 29 1 : : : 1 (¢±¥£® 203 , 7 , 29 = 167 ¥¤¨¨¶). 327. ²®¸¥¨¥ ±²®¨¬®±²¨ ²³£°¨ª ª ±²®¨¬®±²¨ ¤¨ ° 14 : 11 , ¤¨ ° ª °³¯¨¨ 22 : 21 , °³¯¨¨ ª ² «¥°³ 3 : 10 , ² «¥° ª ª°®¥ 5 : 2 . ¥°¥¬®¦¼²¥ ½²¨ ¤°®¡¨. 332. ®±¬®²°¨²¥ °¨±³®ª.
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®¤¥°¦ ¨¥
°¥¤¨±«®¢¨¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 ª®¬±²¢® : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 ¥°¥ª« ¤»¢ ¨¿ ±¯¨·¥ª :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 ³²ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 §°¥§ ¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 ®§° ±²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 ª®«¼ª® ¤® ¢§¿²¼? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 ®ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 ¥²®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 ®£¨ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 °®¶¥²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 ®±¥¬¼ § ¤ · : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 ³¬¬ ¨ ±°¥¤¥¥ °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ : : : : : : : : : : : : : : : : 26 ®±² ¢«¥¨¥ ³° ¢¥¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 °¨¶¨¯ ¨°¨µ«¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 ¡µ®¤» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 ®¢¬¥±² ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±² ¿ ° ¡®² : : : : : : : : : 34 ¥«¨¬®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 ¥¬¼ § ¤ · : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 ¤³ª¶¨¿ :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 £°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 ¥°¥¢¼¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 ¨£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 ¥°¨®¤¨·®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 ®¬¡¨ ²®°¨ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 §¡° »¥ § ¤ ·¨ ¤®¬ ¸¨µ ®«¨¬¯¨ ¤ : : : : : : : : : : 57 ° ¤®ª±» ¨ ±®´¨§¬» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 ²¢¥²», ³ª § ¨¿, °¥¸¥¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68