Физические Величины И Их Измерения

Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий

ГОУ ВПО «Уральский институт государственной противопожарной службы МЧС России»

И.М. Морозова Е.В. Тархова Е.В. Кононенко

Физические величины и их измерения Учебное пособие

Екатеринбург 2008

Морозова И.М., Тархова Е.В., Кононенко Е.В. Физические величины и их измерения: Учеб. пособие. – Екатеринбург: Уральский институт государственной противопожарной службы МЧС России. 2008, 44 с.

Составители: Морозова И.М., Тархова Е.В., Кононенко Е.В., к.ф.-м.н., доцент Рецензенты: Мильман И.И., д.ф.-м.н., профессор Контобойцев Е.А., к.п.н.

В учебном пособии рассмотрены наиболее типичные методы и принципы измерений физических величин. В пособии рассматриваются теоретические основы наиболее общих методов измерения, использующихся при изучении физико-химических систем, расчет прямых погрешностей измерений, представление результатов измерений. Данное учебное пособие является дополнительной литературой для самостоятельной работы курсантов и слушателей факультета заочного обучения.

Рекомендовано к изданию методическим советом УрИ ГПС МЧС России Протокол № _____ от__________ 200 г.

© Уральский институт ГПС МЧС России, 2008 2

Содержание ВВЕДЕНИЕ

4

1. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

6

2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ

8

3. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ 4. СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ ТЕЛ 4.1. Измерительная линейка 4.2. Нониус

11 12 12 13 16

4.3. Штангенциркуль 4.4. Микрометр 5. ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ ТЕЛ 5.1. Учитываемые виды погрешностей 5.2. Сведения из теории вероятностей о характере распределения измеряемых величин 5.3 Алгоритм оценки погрешностей прямых измерений физических величин 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 6.1. Представление результатов измерения в графическом виде 6.2. Интерпретация результатов измерения 6.3. Применение метода наименьших квадратов

18 20 20 21 26 29 29 30 32

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

36

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

37

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

39

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

40

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

42

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

43

3

ВВЕДЕНИЕ Можно ли обеспечить эффективность и безопасность труда пожарных без точных и достоверных измерений характеристик окружающей среды, таких, как температура и содержание вредных примесей в воздухе? Как гарантировать исправность средств защиты органов дыхания? В каких случаях результатам испытания пожарной техники можно доверять? На эти и другие важные вопросы можно ответить, предварительно изучив методы оценки правильности и точности результатов измерений и применяемые для этого средства измерений. Для того чтобы научиться отвечать на них, в данной методической разработке рассматриваются следующие разделы: 1. Основные термины и определения. 2. Методы измерений. 3. Техническое обеспечение измерений. 4. Средства и методы измерения линейных размеров тел. 5. Погрешности прямых измерений. 6. Представление результатов измерений. Изучение перечисленных вопросов имеет целью: - показать роль измерений в развитии науки и техники; в практической деятельности инженера пожарной безопасности (ИПБ); - ознакомить с сущностью основных терминов, определений, методов и средств измерений. Исторический опыт взаимного сотрудничества многих стран мира доказал необходимость установления единых требований к измерениям величин, характеризующих безопасность, определяющих качество продукции, совместимость и взаимозаменяемость составных частей конструкций и программного обеспечения, созданных различными производителями. Обеспечение единства измерений состоит в применении узаконенных единиц измерения, установленной точности расчетов на стадиях проектирования, производства и испытаний, а также принятых форм представления их результатов измерений, что обеспечивает, в конечном счете, сопоставимость и взаимопонимание. Решением перечисленных выше и многих других подобных вопросов занимается метрология - наука о точности измерений и способах (методах и средствах) ее обеспечения. В мире действуют авторитетные международные организации, занимающиеся вопросами метрологии: ИСО, МЭК, МОЗМ, разрабатывающие общие рекомендации. Страны-участницы, в том числе Россия, на основе этих рекомендаций издают законы и национальные стандарты.

4

В настоящее время в метрологии выделяют 3 раздела: 1.Теоретическая (фундаментальная) метрология – предметом ее является разработка фундаментальных основ метрологической деятельности. 2.Законодательная метрология – предметом ее является установление обязательных технических и юридических требований по применению единиц физических величин, эталонов, методов и средств измерений, направленных на обеспечение единства и необходимой точности измерений в интересах общества. 3.Практическая (прикладная) метрология – предметом ее являются вопросы практического применения разработок теоретической метрологии и положений законодательной метрологии. Наука. Д.И. Менделеев отмечал, что ”…наука начинается с тех пор, как начинают измерять, точная наука немыслима без меры”. Любой вид инженерной деятельности связан с практической метрологией. Для обеспечения необходимой точности измерений существуют соответствующие метрологические учреждения, которые создают и хранят эталоны, проводят испытания образцов средств измерений, дают разрешение на их выпуск; проводят периодическую поверку для установления соответствия их погрешностей нормируемым значениям. Тем самым обеспечивается организационная и правовая основа единства измерений. В то же время оценку точности результатов измерений делают лица, непосредственно проводящие измерения. Поэтому для обеспечения единства измерений, которого требует закон Российской Федерации, каждый инженер должен владеть основами знаний по точности измерений. Производство техники – изготовление и испытание технических устройств различного назначения. Главная задача на этом этапе – обеспечение соблюдения норм проектирования, технологических режимов, взаимозаменяемости деталей и узлов при эксплуатации и ремонте и как следствие – обеспечение безопасности, надежности и стабильности качества продукции. Применение техники по назначению (эксплуатация) предполагает: а) обеспечение достоверной информации о состоянии окружающей среды, особенно в экстремальных условиях, природных и техногенных катастрофах, крупных пожарах; б) гарантированное срабатывание сигнализации и средств пожарной автоматики при достижении заданных параметров контролируемого объекта; в) оптимизация измерения и учета расхода воды, электрической и тепловой энергии и затрат на содержание и ремонт зданий и техники. Научно-технический прогресс, в том числе и в области пожарной безопасности, невозможен без достоверной, точной и объективной информации. Результаты измерений, полученные или представленные в техни5

ческой документации с нарушением норм метрологических, являются незаконными и непригодными для дальнейшего использования, так как на их основе невозможно принять правильное инженерное решение, что может привести к опасным и трагическим последствиям. Поэтому работникам пожарной охраны, которым при выполнении служебных обязанностей приходится выполнять измерения, необходимо знать и соблюдать основные правила их выполнения, а также осознанно оценивать результаты. Из трех ранее перечисленных разделов метрологии в курсе физики рассматривают только некоторые разделы практической (прикладной) метрологии. Организационные вопросы обеспечения единства измерений, нормативная база метрологии изучаются в дисциплине ”Метрология, стандартизация и сертификация”. 1. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ С 1 января 2001 г. в России действуют Рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 29 – 99 ”Метрология. Основные термины и определения”. Приведенные ниже первостепенно важные термины и определения даны в соответствии с этим документом. Физическая величина – одно из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса), общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого их них. Примерами таких свойств могут быть: масса любого материального тела, его габаритные размеры (длина, ширина и высота), перемещение, скорость и ускорение движения, сила тока, температура. Для выполнения практических измерений этого определения недостаточно. Поэтому дополнительно применяют понятия, которые отражают количественную сторону свойств объектов. К ним относят размер физической величины и значение физической величины. Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу. Это то, что мы стараемся определить при каждом измерении и сравнить с размером единицы. Например, если речь идет о теле, имеющем массу в несколько миллиграммов, граммов или килограммов, то по этим данным можно составить общее суждение о размере физической величины. Аналогично можно интерпретировать данные о теле с длиной несколько миллиметров, метров или километров. Значение физической величины – выражение размера физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Простейшая модель измерения имеет вид: Q = {q}[q] , 6

где Q – размер измеряемой величины; {q} – отвлеченное число, зависит от размера единицы; [q] – размерность. Варианты записи: m = 1 кг; m = 1000 г. Единство измерений предполагает применение узаконенных единиц физических величин, входящих в международную систему единиц SI. В России применяется государственный стандарт ГОСТ 8.417-2002 ГСИ «Единицы величин», вступивший в силу с 1 сентября 2003 года. Этот документ содержит также сведения о разрешенных к применению внесистемных единицах. Единицы измерения подразделяют на основные (условно принятые в качестве независимых от других величин системы) и производные (определяемые через основные величины системы). Основные единицы – это метр (м), секунда (с), килограмм (кг), кельвин (K), моль (моль), ампер (А), кандела (кд) (Приложение 1). Производная физическая величина – физическая величина системы величин, определяемая через основные величины этой системы. Единицы их измерения получают на основе использования законов природы, связывающих определяемую величину с другими. Примеры производных единиц SI, образованных с использованием основных единиц, приведены в приложении 2. Дополнительными (вспомогательными) единицами являются радиан и стерадиан. Радиан – величина плоского угла между радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу (обозначения: рад - русское, rad – международное). Стерадиан – величина телесного угла с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы (обозначения: ср – русское, sr – международное). Примеры производных единиц с собственными именами: ньютон – такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 2 м/с . Единица силы 1 Н = 1 кг×1 м/с2. джоуль – работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м. Единица работы 1 Дж = 1 Н×1 м = 1 м2×кг/с2. паскаль – давление, которое оказывает сила в 1 Н на площадь 1 м2. Единица давления 1 Па = 1 Н/1 м2 = 1 м-1× кг/с2. Часто единицы SI при практическом использовании оказываются слишком малыми или большими, поэтому с помощью умножения этой единицы на число 10 в соответствующей степени могут быть образованы (приложение 4): 7

кратные единицы физической величины (например, 102 Па = 1 гПа = = 1 гектапаскаль, 103 Па = 1 кПа = 1 килопаскаль, 106 Па = 1 МПа = 1 мегапаскаль и другие, показывающие, во сколько раз они больше основной единицы измерения.); дольные единицы физической величины (например, 10–2 м = 1 см, 10–3 м = 1 мм, 10 –6 м = 1 мкм, и т.д., показывающие во сколько раз они меньше основной единицы измерения.). Допускается применение внесистемных единиц: тонна (10 3 кг), минута (60 с), час (3600 с), сутки (86400 с), литр (10 -3 м 3 ), градус Цельсия (1°С = 273,16 K) и для плоского угла: градус ( p /180 рад), минута ( p /10800 рад), секунда ( p /648000 рад). Обозначение (сокращенное наименование) единиц следует писать после числовых значений величин через пробел в строку с ними без каких-либо скобок. Пример: l = 5 мкм; g = 9,81 м/с2. В таблицах и на графиках единицы измерения величин отделяются запятой от их буквенного обозначения. Пример: температура в Кельвинах – Т, K; давление – Р, Па; коэффициент вязкости жидкости – h, Па× с. Опыт человечества показывает, что ни одно значение физической величины (ни один размер) не может быть определено абсолютно точно. По этой причине введены понятия истинного и действительного значений физической величины. Истинное значение физической величины – значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношении измеряемую физическую величину. По определению слово “идеал” можно трактовать как “мечта или недосягаемый рубеж”. В философском понимании идея это некоторая абсолютная истина. Этот термин применяют в теоретических исследованиях, в фундаментальной метрологии. Иначе говоря, мы никогда не можем получить этого значения величины, но можем приблизиться к нему. Действительное значение физической величины – значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. В практике измерений мы имеем дело с действительными значениями. 2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ Измерение физической величины сводится к нахождению значения физической величины опытным путем с помощью технического средства, 8

специально предназначенного для измерения и хранящего единицу физической величины. Постоянно растущие требования к качеству измерений удовлетворяются не только за счет создания и применения новых, более точных приборов, но и путем использования более эффективных методов обработки результатов измерений. Никакое измерение выполнить абсолютно точно нельзя потому, что всегда присутствует большая или меньшая погрешность. Поэтому одной из основных задач при проведении эксперимента является оценка погрешностей. Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Качество измерений - это совокупность их свойств, обусловливающих получение результатов, удовлетворяющих установленные требования всех заинтересованных сторон. К показателям качества измерений относят: правильность, точность, сходимость и воспроизводимость. В научной и технической литературе можно встретить термины “прецинзионность” и “повторяемость”. Они введены ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002. Правильность – это знание и учет имеющихся поправок. Точность результата измерения – одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения. При этом получение одинаково точных результатов измерений одной и той же величины, выполненных повторно одними и теми же средствами и методами в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, называют их сходимостью результатов измерений. Близость результатов измерений одной и той же величины, полученных в разных местах, разными методами, разными операторами, в разное время, но приведенных к одним и тем же условиям измерений (температуре, давлению и др.), называют воспроизводимостью результатов измерений. Достоверность – гарантия получения одинаково точных результатов измерений независимо от их исполнителя и места выполнения. Достоверность обеспечивается правильным выбором и применением метода измерений, средств измерений и квалификацией лица, проводящего измерения. Имеется несколько способов (методов) выполнения измерений: прямые, косвенные, совокупные, совместные, абсолютные и относительные измерения. Прямое измерение предусматривает нахождение искомой величины сравнением с ее единицей измерения, хранимой и воспроизводимой измерительным прибором. 9

К ним, для примера, можно отнести: измерение геометрических размеров тел с помощью линейки, штангенциркуля или микрометра, расхождение массы тел – взвешиванием на весах, силы тока - амперметром и т.д. Таким образом, результат отдельного прямого измерения – это показание прибора. Косвенное измерение предполагает нахождение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин и расчета по известной функциональной зависимости. Примером может служить определение плотности (ρ) тела правильной геометрической формы по результатам прямых измерений его массы (m) и размеров (d –диаметра, h – высоты). Если тело является сплошным цилиндром, то: m r= . 2 0 ,785d × h Совокупные измерения включают одновременное проведение измерений нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерении этих величин в различных сочетаниях. В качестве примера можно привести определение массы отдельных гирь по известному значению массы одной из гирь и по результатам измерения (сравнения) масс различных сочетаний гирь. Совместные измерения представляют собой одновременное измерение двух или нескольких неодноименных величин для установления зависимости между ними. Примеры: а) определение изменения скорости движущегося тела от времени; б) изменение плотности тела в зависимости от температуры. Абсолютное измерение считают таковым, когда измерение, основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных величин, предусматривает при этом использование значения физических констант. Так, например, при измерении силы тяжести (F = mg) измеряют только массу тела (m) и умножают ее на величину ускорения свободного падения тел (g), соответствующую географическим координатам места измерения массы. Таким образом, из сущности этого метода видно, что он является разновидностью косвенных измерений. Близость результата к истинному значению зависит от знания констант – полноты представлений об окружающем мире. Относительное измерение заключено в измерении отношения величины к одноименной величине, играющей роль единицы (принимаемой за исходную). Так измерение скорости движения тел по отношению к скорости звука в соответствующей среде применяется в авиации. 10

3. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ Техническая основа метрологии – государственная эталонная база России, включающая 116 государственных первичных и специальных эталонов, а также организации по производству, поверке и ремонту средств измерений. Классификация эталонов может быть представлена на следующей схеме (рис.1). Государственный национальный первичный эталон единицы физической величины

Вторичные эталоны

эталон – копия

рабочий эталон эталон сравнения

эталон – свидетель

Рис. 1. Классификация эталонов Эталон единицы физической величины – это средство или комплекс средств измерений, предназначенных для воспроизведения и хранения единицы величины и передачи ее другим, менее точным, средствам. Первичными называют эталоны, обеспечивающие воспроизведение единицы измерения с наивысшей в стране точностью и признанные на территории России в качестве головных для передачи ее размера другим средствам. Вторичные эталоны – это эталоны, которым информация о размере единицы передается непосредственно от первичных, их создают и применяют с целью предохранения первичных эталонов от порчи и износа. Рабочие эталоны предназначены для передачи единицы измерения через цепочку соподчиненных по разрядам рабочих эталонов. Количество разрядов рабочих эталонов может быть увеличено за счет средств измерения наивысшей и высшей точности. Практические меры по обеспечению единства измерений включают утверждение на государственном уровне типа используемых в стране средств измерений и периодический контроль соответствия средств измерений установленным требованиям. Такой контроль в форме поверки осуществляется органом государственной метрологической службы, а в форме калибровки – специально аккредитованными метрологическими службами. 11

Многие измерения в машиностроении, приборостроении, при эксплуатации технических устройств и контроле технологических процессов связаны с определением геометрических характеристик. К последним относятся линейные размеры тел (деталей, узлов), шероховатость поверхности, размеры частей резьбовых соединений, конусность и другие параметры, измеряемые в единицах длины или углов. Трудоемкость таких измерений достигает 60 % общих трудозатрат в точном машиностроении; в жизни без них невозможно изготавливать, использовать и выбирать для применения никакие сборочные единицы пожарной техники. Далее будут рассмотрены наиболее распространенные средства измерения линейных размеров. 4. СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ ТЕЛ 4.1. Измерительная линейка Обычная миллиметровая линейка позволяет получать результаты с погрешностью примерно ± 0.5 мм. Чтобы добиться такой точности на практике, важно избежать типичных ошибок. а) Ошибка, обусловленная параллаксом Если измеряемый предмет находится на некотором расстоянии от шкалы, и мы смотрим не под прямым углом к шкале, то отсчет будет неверным.

Рис.2. Схема возникновения параллакса Такая ошибка возможна при пользовании любым аналоговым показывающим прибором (со стрелкой, перемещающейся по шкале), и называется ошибкой параллакса. Ее удается уменьшить, приближая к шкале измеряемый предмет или стрелку, а также используя зеркало, расположенное рядом со шкалой. Совмещая предмет с его отражением в зеркале, мы обеспечиваем прямой угол между линией зрения и шкалой (рис.3).

12

Рис.3. Применение зеркала для уменьшения параллакса б) Ошибка отсчета нуля Линейку при измерении располагают линейкой так, чтобы ее край совпадал с одним концом предмета и отсчитывают показания с другого конца, но такой способ пригоден только для грубых измерений длины. Вместо этого линейку относительно предмета следует располагать таким образом, чтобы можно было снимать показания у обоих концов. Дело в том, что нулевая отметка может быть поставлена неверно или край может оказаться испорченным (неровным). В любом приборе следует с некоторым подозрением относиться к нулевому делению шкалы. Ошибки удается избежать, если брать разность двух отсчетов. Правила пользования линейкой: - Линейку прикладывают к измеряемому отрезку или предмету так, чтобы ее нуль совпадал с началом измеряемой длины. Если концы линейки испорчены, то таким образом ее использовать нельзя! В этом случае нужно брать разностный отсчет. - Линейку надо прикладывать ровно, а не наискось. При наблюдении глаз должен быть расположен против наблюдаемой отметки для устранения параллакса. 4.2. Нониус Часто длина объекта не укладывается в целое число делений шкалы. Для того, чтобы можно было поручиться и за десятые доли деления (а иногда и за сотые), пользуются нониусом. Этот же прием используется при измерениях углов. Нониус – дополнительная шкала к основной (линейной или круговой), позволяющая повысить точность измерения в 10-20 и более раз. Обычный линейный нониус представляет собой небольшую линейку (шкалу), скользящую вдоль основной шкалы (рис.4). На этой линейке нанесена маленькая шкала, состоящая из m делений. Суммарная длина всех m делений нониуса равна (m - 1) наименьших делений основной шкалы, т.е. mx = (m - 1)y, где x – длина деления нониуса, а y – длина наименьшего деления масштаба. 13

Таким образом, одно целое деление нониуса короче одного целого деления шкалы на Δx: y Dx = y - x = , m или на 1 долю его. m Величина y , являющаяся разностью длин делений основной шкаm лы и нониуса, называется точностью нониуса и используется при измерении. отметки шкал

Рис.4. Вид линейного нониуса Рассмотрим процесс измерения при помощи линейного нониуса (рис.5).

Рис.5. Пример измерения с нониусом

14

Совместим измеряемый отрезок (длина его L) с началом нулевого деления основной шкалы. Пусть при этом конец его окажется между k и (k +1) -м делением этой шкалы. Тогда можно записать L = kY + DL , (1) где L – неизвестная пока еще доля деления основного масштаба. Приложим теперь к концу отрезка наш нониус так, чтобы нуль нониуса совпал с концом этого отрезка. Так как деления нониуса не равны делениям шкалы, то на нем обязательно найдется такое деление n, которое ближе подходит к соответствующему (k + n)-му делению шкалы. Как видно из рис.5, (2) DL = nY - nX = n( y - x ) = nDx ; и вся длина будет равна, следовательно, L = kY + nDx . (3) Это можно сформулировать следующим образом: длина отрезка, измеряемого при помощи шкалы с нониусом, равна числу целых делений шкалы плюс точность нониуса, умноженная на номер отметки нониуса, точно совпадающей с некоторой отметкой шкалы. Погрешность, которая может возникнуть при таком методе отсчета, обусловливается неточным совпадением n-го деления нониуса с (k + n)-м делением масштаба. Величина его не будет превышать, очевидно, 0.5Δx, ибо при большем несовпадении этих делений одно из соседних делений (слева или справа) имело бы несовпадение меньшее, чем на 0.5Δx, и мы произвели бы отсчет по нему. Помимо разобранного нами прямого линейного нониуса (деления нониуса и шкалы возрастали в одну и ту же сторону) встречаются также и обратные нониусы, длина деления которых больше на соответствующую величину (точность нониуса) длины деления основной шкалы. Техника измерения с обратным нониусом такая же, что и с прямым, с той лишь разницей, что обратный нониус прикладывается к концу измеряемого отрезка таким образом, чтобы числа делений нониуса убывали в сторону возрастаний делений основной шкалы (рис.6).

Рис.6. Измерение с обратным нониусом 15

На практике нониусы часто делают растянутыми, чтобы лучше было видно, какое деление нониуса совпадает с каким-либо делением основной шкалы. Растянутый прямой нониус получается, если длина одного деления нониуса x устанавливается короче не одного наименьшего деления основной шкалы, а двух или трех наименьших ее делений. При этом Y соответственно увеличивают в два или три раза. Если необходимо построить нониус с точностью 0,1, то для обычного нониуса следует взять дополнительную шкалу, общая длина которой равна 9 делениям основной шкалы, и разделить ее на 10 частей. Действительно, Δx = 0.1Y . Если же нужно строить растянутый нониус с такой же точностью 0.1 то, одно деление нониуса должно быть короче двух делений основной шкалы, то общая длина нониуса в делениях основной шкалы определится из формулы 2Y Dx= . (4) m Теперь (m - 1) = 19, т.е. длина нониуса должна быть равна 19 делениям основной шкалы и разбита на 10 частей. 4.3. Штангенциркуль Штангенциркуль – это широко применяемый прибор (рис.7), основными частями которого являются штанга, измерительные губки и нониус.

Рис.7. Измерение с помощью штангенциркуля

16

Прибор состоит из массивной линейки (штанги) Ш с миллиметровыми делениями и подвижной рамки 3 с нониусом и закрепляющим винтом В. На штанге и рамке имеются две пары ножек (губок) HH и FF. С внутренней стороны ножки имеют плоские поверхности. При сомкнутых ножках HH нули нониуса и основной шкалы совпадают. При определении линейных размеров тела с помощью штангенциркуля измеряемое тело зажимается между ножками HH штангенциркуля (см. рис.7). При этом нуль нониуса смещается вдоль основной шкалы на отрезок L, равный длине измеряемого тела, величина которого определяется по формуле (3). На нониусе с достаточно крупными делениями указывается непосредственно величина ΔL = mk, выраженная в долях миллиметра. Совместив нули нониуса и основной шкалы, легко определить (по основной шкале) длину m делений нониуса (m - 1), а затем найти ( m - 1 )Y x= . (5) m Для измерения внутренних размеров служат концы ножек FF штангенциркуля, имеющие закругленные внешние поверхности (рис.8). В этом случае к отсчету по нониусу следует прибавлять суммарную толщину ножек, часто указываемую на самих ножках. Если внутренний размер меньше толщины ножек, то с помощью такого штангенциркуля его измерить невозможно. У некоторых штангенциркулей заостренным ножкам придана специальная форма (они заходят друг за друга). При измерении внутренних размеров такими штангенциркулями к отсчету по нониусу прибавлять ничего не нужно.

Рис. 8. Измерение диаметра отверстия штангенциркулем Основными характеристиками штангенциркуля являются: 1) цена деления основной шкалы Y; 17

2) цена деления нониуса x; 3) постоянная нониуса k = (x - Y); 4) инструментальная погрешность Δ. Дополнительная инструментальная погрешность, вызываемая износом инструмента, оценивается при периодической поверке. Правила пользования штангенциркулем: - Штангенциркуль проверяют при сдвинутых губках по совпадению нулевой отметки нониуса с нулевой отметкой шкалы линейки. - При измерении длины тела его зажимают между ножками штангенциркуля. Отсчет целых делений (мм) производят по шкале линейки до нуля нониуса, затем отсчитывают по нониусу десятые доли миллиметра, число которых равно номеру штриха на нониусе, совпавшему со штрихом основной шкалы. 4.4. Микрометр Микрометр (рис.9) служит для измерения линейных размеров с погрешностью не более ± 0,01 мм. Он состоит из скобы 1 с пяткой 2 и трубкой (стеблем) 3. В трубке имеется резьба, в которую ввинчен микрометрический винт 4. Один конец винта выходит внутрь скобы против пятки, а на другом его конце закреплен барабан 5. Барабан оканчивается фрикционной головкой (трещоткой) 6. На скобе возле трубки имеется винт 7, препятствующий вращению барабана (у разных микрометров этот винт может быть разной формы). Чтобы этот винт не мешал вращению барабана, его не нужно затягивать. При измерении предмет помещается между микрометрическим винтом и пяткой (расстояние между ними должно быть достаточным для помещения предмета). Затем путем вращения барабана и трещотки предмет зажимается между винтом и пяткой: сначала винт вращается за барабан, затем окончательный зажим (последние 1 – 2 оборота) производится вращением винта за фрикционную головку. После того, как достигнута определенная сила нажатия Рис.9. Микрометр 18

винта на предмет (5 – 6 Н), фрикционная головка начинает проскакивать с характерным треском. Благодаря этому измеряемый предмет деформируется незначительно, а микрометрический винт предохраняется от порчи. При каждом обороте винта расстояние между винтом и пяткой изменяется на величину шага винта, равную 0,5 мм. Так как шкала, идущая вдоль края барабана, содержит 50 делений, то повороту винта на одно деление барабана соответствует изменение расстояния между винтом и пяткой на 0,01 мм. На трубке имеется миллиметровая шкала, разделенная на две части чертой, идущей вдоль трубки. Деления этой шкалы, находящиеся над чертой, сдвинуты относительно делений, находящихся под чертой, на 0,5 мм. Когда винт касается пятки (измеряемый размер равен нулю), изпод края барабана видно лишь нулевое деление ниже черты, а нулевое деление на барабане должно совпадать с чертой. Таким образом, линейная шкала служит для отсчета миллиметров, а круговая – сотых долей миллиметра. Так, в случае, изображенном на рис.10(а), суммарный отсчет по всем шкалам микрометра равен: 5 мм + 0.5 мм + 0.35 мм = 5.85 мм. На рис. 10(б) край барабана не перешел половинную метку, разделяющую деления 5 мм и 6 мм, поэтому суммарный отсчет равен 5 мм + 0.35 мм = 5.35 мм. Во избежание грубых ошибок при снятии показания микрометра нужно следить за положением края барабана относительно штрихов верхней шкалы. При практических измерениях микрометром пользование трещоткой обязательно. Для фиксации микрометрического винта в определенном положении служит стопор 7. Чтобы застопорить винт, нужно повернуть фиксатор (стопор) Рис. 10 до отказа по часовой стрелке. Чтобы освободить винт, нужно повернуть стопор до отказа против часовой стрелки. Пред тем как пользоваться микрометром, необходимо проверить, освобожден ли его микрометрический винт. Правила пользования микрометром: - Перед началом работы необходимо тщательно протереть измерительные плоскости микрометра, убедиться в освобождении микроскопического винта, проверить плавность хода микровинта и установку на нуль. 19

- Окончательная установка винта при измерении производится трещоткой, иначе можно испортить нарезку микровинта. - После окончания работы микрометр следует протереть и аккуратно уложить в предназначенный для него футляр. Приведенные примеры измерения относятся к прямым измерениям. Для получения качественного результата прямых измерений необходимо не только грамотно применять приборы, но и установленным образом предоставлять результаты с учетом погрешностей. 5. ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ ТЕЛ 5.1. Учитываемые виды погрешностей При измерениях находят действительное значение физической величины (раздел 2). Действительное (или измеренное) значение физической величины – значение физической величины, получаемое экспериментальным путем и настолько приближенное к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него, принято обозначать символом Хизм. Обычно это единственный результат или средне арифметическое значение. Погрешность (отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины) обозначают символом D Х (или просто D ). Следовательно, D Х = Х ист - Х изм Значение погрешности может быть выражено в тех же единицах измерения, что Х ист и Х изм: [ D Х] = [ Х ист ] = [ Х изм ]. В этом случае ее называют абсолютной погрешностью. Абсолютную погрешность, отнесенную к действительному значению измеряемой величины, называют относительной погрешностью и обозначают символом d . Выражают ее в долях от единицы или в процентах: ΔX ΔX δ=± ×100 0 0 либо δ = ± X изм X изм Погрешность результата измерений содержит следующие составляющие: - методическую погрешность, возникающую из-за несовершенства метода измерения; ограниченной точности формул и т.д.; - инструментальную погрешность, присущую применяемому средству измерений; - погрешности считывания и квантования; Первые из них возникают из-за субъективных особенностей оператора, выполняющего измерения, а 20

вторые – из-за процессов в цифровых приборах и дискретных преобразователях; - погрешности, связанные с влиянием условий измерений; - погрешности обработки данных наблюдений (измерений), возникающие, например, из-за округлений. Некоторые из перечисленных погрешностей возникают случайно, например, при влиянии многих не поддающихся учету факторов при считывании показаний приборов, другие – повторяются систематически (методическая и инструментальная погрешности) или изменяются по определенному закону. Следовательно, погрешности могут быть случайными и систематическими. Наконец, следует выделить промахи – грубые погрешности, вызываемые неправильными действиями оператора или внезапным отказом прибора. В результат измерения их не засчитывают. Структура погрешности измерения может быть разной, но наиболее распространенной является та, при которой полная (или суммарная) погрешность ( D Х) одновременно учитывает случайную погрешность измерения (ε) и систематическую (приборную) погрешность измерения (Θ). Вызвано это тем, что они наиболее значимы по величине, а другие погрешности менее существенны и ими часто пренебрегают. Такой подход к учету погрешностей реализован в нормативных документах, регламентирующих обработку результатов. Систематическая (инструментальная) погрешность измерения (Θ) состоит преимущественно из погрешности средства измерения и она известна заранее (приведена в паспорте на прибор или указана на самом приборе). Случайная погрешность измерения (ε) заранее не может быть определена, о ее значении можно утверждать лишь с некоторой степенью уверенности, называемой доверительной вероятностью ( Р ). При выполнении конкретных расчетов букву Х заменяют на символ, присвоенный физической величине. Например, если измеряют диаметр, то вместо Х пишут d или D. При измерении длины Х заменяют на L или l и т.д. 5.2. Сведения из теории вероятностей о характере распределения измеряемых величин Вероятность какого-либо события приблизительно равна частоте f(x) его появления и может быть рассчитана по зависимости: m f ( x )= , n 21

где m – количество появлений наблюдаемого события; п – число проведенных опытов. Например, если из 100 выстрелов в цель попало 37 пуль, то f(x)= 37/100 = 0,37. Количество опытов п (в данном случае – количество выполненных выстрелов), при которых наблюдают событие m (попадание пули в мишень), должно быть достаточно большим. Только в этом случае можно будет судить о стабильности свойств и любого изучаемого явления, носящего вероятностный характер. На основании этого допущения предполагают, что и при выполнении одного единственного выстрела численное значение f(x) = 0,37 сохранится. Рассмотрим случай нескольких измерений n какой-либо физической величины Х, например массы. При этом окажется, что ряд результатов совпадут друг с другом или окажутся очень близкими. Если величину частоты f(x) появления значений некоторой величины Х i обозначить отрезком по оси ординат, то график зависимости f(x) можно представить следующим образом (рис.11):

Рис.11. Распределение частоты f(x) появления отдельных значений величины Х При большом числе наблюдений ( n ® ¥ ) весь диапазон значений Х можно разбить на бесконечно малые интервалы dx и тогда данные рис.11 предстанут в виде некоторой плавной кривой (рис.12). Этот график называют распределением вероятностей значений Х или плотностью вероятности. Если на результат многократных измерений влияет множество факторов и при этом влияние каждого отдельного фактора мало по сравнению с суммой остальных, то получается колоколообразная кривая, характеризующая нормальный закон распределения (распределение Гаусса) некоторой случайной величины Х. Центром (математическим ожиданием) такого 22

распределения является среднее арифметическое значение: X =

1 n å Xi , n1

где n – число измерений; X i – отдельный результат.

Рис.12. Распределение нормальное случайной величины Х Разницу значений (Хmax - Хmin = Rx) называют размахом результатов измерений. Рассеяние результатов отдельных наблюдений обусловлено действием случайных причин при измерении и носит вероятностный характер. Разницу значений ( X - Хmax ) и ( X - Хmin) называют рассеянием случайной величины Х. Для характеристики рассеяния служит среднее квадратичное отклонение, обозначаемое буквой s и рассчитываемое по формуле: n

2 å ( Хi - X )

s=

1

f (X ) =

é ( X - X )2 ù exp ê ú. 2σ ë û σ 2π

, n -1 как положительный корень из суммы квадратов отклонений, усредненный по числу интервалов. Из приведенной формулы видно, чем больше число измерений n, тем рассеяние – меньше, и, следовательно, результат – более точный. Аналитически нормальное распределение описывают зависимостью: 1

Вся площадь под кривой равна единице, а часть ее, заключенная внутри промежутка от среднего значения до установленного числа значений средних квадратичных отклонений, численно равна вероятности (Р) того факта, что действительное значение отклонения от среднего значения будет содержаться внутри указанных интервалов. Графическая интерпре23

тация вышеизложенного представлена на рис.13 для одного, двух или трех средних квадратичных отклонений соответственно.

Рис.13. Вероятность попадания измерений в заданный доверительный интервал Теория вероятностей и накопленный опыт измерений показывают, что максимальные значения разницы (Хmax - X ) и ( X -Хmin) численно не превышают четырех основных отклонений (4 s ). В этом случае численное значение вероятности (Р) того факта, что случайная величина Х будет находиться в заданном интервале, равно: Р (- s < Х - X < + s ) = 0,683; Р (- 2 s < Х - X < +2 s ) = 0,954; Р (- 3 s < Х - X < +3 s ) = 0,997; Р (- 4 s < Х - X < +4 s ) = 1,000. Принято вероятность (Р) называть доверительной вероятностью, так как она характеризует гарантию попадания отдельного результата измерения в заданный интервал. Из приведенных формул видно, что значения случайной величины Х i , отклоняющиеся в обе стороны от среднего значения X не более чем на величину основного отклонения s , могут встретиться в 683 случаях на 1000 измерений. Аналогично для 2 s - это составит 954 случая, для 3 s 997 случаев. Эти данные показывают, что хотя значения случайной величины могут изменяться неограниченно, в действительности (рис.13) абсолютное большинство значений укладывается в утроенное значение основного отклонения ( ± 3 s ). Выполнение большого количества измерений связано со значительными трудозатратами и поэтому неэкономично и не всегда выполнимо. В 24

связи с этим интерес представляет получение достоверных, характеризуемых с заданной доверительной вероятностью (Р) и достаточно точных результатов при минимуме экспериментального материала. Эту задачу решают на основе применения распределения Стьюдента. Сущность его состоит в том, что при переходе от n ® ¥ к достаточно малому числу измерений n = 2…10, доля больших погрешностей возрастает, а доля малых – уменьшается. На рис.14 показано сравнение распределений Гаусса и Стьюдента. При этом последнее построено для n = 3; уже при n = 8 кривые становятся очень близкими, а при 20-25 измерениях это распределения практически совпадают.

Рис.14. Графическая интерпретация распределений Гаусса и Стьюдента В этом случае для компенсации меньшего числа проведенных опытов вместо основного отклонения s применяют среднюю квадратическую погрешность результата измерения среднего арифметического значения S x (оценку среднего квадратичного отклонения, обозначаемую S x или s x ):

å (Х i - X )

2

Sx =

. n(n - 1) Для расчета доверительных границ случайной погрешности применяют формулу e = ± t p , n × S x = ± t p , n × s x . Здесь t p , n – коэффициент Стьюдента. Его можно воспринимать как коэффициент запаса (множитель).

25

Нижние индексы у символа коэффициента t p , n означают, что его значение зависит от величины требуемой доверительной вероятности результатов измерения (Р) и количества выполняемых опытов (n). Численные значения t p , n выбирают из специальных таблиц распределения Стьюдента в зависимости от принятых значений Р и n. Обычно значение доверительной вероятности принимают равным 0,95 (ибо всякое событие, вероятность которого менее этой величины, считают мало достоверным). С другой стороны, большее ее значение (Р=0,99; 0,999 и т.д.) должно быть заранее обосновано, исходя из важности (социальной или экономической значимости) выполняемых измерений. Некоторое представление о значениях множителя t p , n можно получить из следующей таблицы: Значения коэффициента Стьюдента (выделены жирным шрифтом) Требуемое значение доверительной Количество вероятности (Р) измерений (п) 0,95 0,99 0,999 3 5 10 100

9,9 4,6 3,3 2,6

4,3 2,8 2,3 1,96

31,6 8,6 4,8 3,4

Коэффициент Стьюдента t p , n , учитывает увеличение значение случайной погрешности, возникающей за счет уменьшения числа измерений. В этом случае считают, что истинное значение измеряемой величины (без учета систематической погрешности технического средства измерения) будет находиться в интервале: X ± ε. С учетом систематической погрешности технического средства измерения в общем случае можно считать ( D Х = e 2 + Q 2 ) или в зависимости от методики D Х = ε + Θ. Результат измерения будет следующим: X ± DХ ; Р ³ 0,95. 5.3 Алгоритм оценки погрешностей прямых измерений физических величин Как отмечалось ранее, прямые измерения могут быть однократными или многократными. Расчет погрешности невозможен без предварительной информации об объекте, методе и средстве измерений, особенно при единственно возможном измерении. 26

Однократные измерения применяют в том случае, если измеряемая величина и допускаемая погрешность ее измерения заранее известны и их определение выполнено по аттестованной методике. В случае, когда значения физической величины и ее погрешности заранее не известны, приходится прибегать к многократным измерениям. Приведем ниже типичную последовательность действий. Пусть в результате многократных измерений величины Х получено п результатов наблюдений: X1 , X 2 , K , X i , K , X n . При этом применено техническое средство измерения с инструментальной (систематической) погрешностью Θ. Необходимо с доверительной вероятностью Р ³ 0,95 определить измеренное значение величины Х и ее доверительный интервал. По этим данным вычисляют среднее арифметическое значение, которое обычно считают наилучшим приближением к истинному значению измеряемой величины: X + X2 + K + Xn X изм = X = 1 . n Приведенных данных достаточно для вычисления среднеквадратической погрешности результата измерений этого среднего арифметического значения:

å ( Хi - X )

2

Sx =

(n - 1)n

.

С помощью ранее упомянутой таблицы (по численным значениям Р и n) (приложение 5) находят величину t p , n и вычисляют доверительный интервал отклонения случайной величины от измеренного значения: e = t р ,n S x . Поскольку при проведении экспериментов обычно выполняют не более 5-10 измерений, то значения случайной и систематической (инструментальной) погрешностей близки друг к другу; обе они в равной степени определяют точность измерений. Поэтому суммарная погрешность измерения D Х должна быть определена с учетом этого обстоятельства: D Х = e +Q . Так как Θ – максимальная погрешность прибора, то можно утверждать, что доверительный интервал в этом случае оценивается с вероятностью, по крайней мере, не меньшей, чем 0,954, если ε оценивается этой же вероятностью.

27

Полученный результат измерения при подобной упрощенной обработке представляют в следующем виде, в соответствии с международно принятой моделью измерений: X = X +q +e X ± DХ ; Р ³ 0,95. Возможны и другие формы представления полученного результата: для сравнения результатов по точности принято указывать относительную погрешность DX d=± × 100% . X Правила записи результата и погрешности измерений заключаются в следующем: 1. Погрешность должна содержать не более 2-х значащих цифр. При этом значащими цифрами считают все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней цифры. В этом числе считают нули, которыми заканчивается число. Нули, следующие из множителя 10n, во внимание не принимают. Примеры определения количества значащих цифр в числах: 12,0 имеет 3 значащих цифры (включая нуль); 30 имеет 2 значащих цифры (включая нуль); 120·103 имеет 3 значащих цифры (включая нуль и не считая множителя 103); 0,514·102 имеет 3 значащих цифры (не считая нуль слева и множителя 102); 0,0056 имеет 2 значащих цифры (не считая двух нулей слева). 2. Нельзя вычислять искомую величину до пяти, шести, а иногда и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность иллюзорна. Если хотя бы одна из величин, в каком-либо сложном выражении задана с точностью до двух значащих цифр (не считая нулей впереди), то нет смысла вести вычисление результата с точностью более, чем до двух значащих цифр. Итоговое численное значение результата не должно содержать большего количества цифр, чем число, заданное с наименьшей точностью. Однако при пользовании калькулятором следует выполнять без округлений как можно более длинные цепочки вычислений, чтобы не слишком загрублять результаты. Следует помнить, что «точность» результата не является самоцелью, а зависит от практической потребности в ней (удобства производства и эксплуатации любой продукции, возможности оценивать физический эффект). 3. Количество разрядов в числах результата и погрешности должно быть одинаково. 28

Примеры правильных и неправильных записей: 17,0 ± 0,2 – правильно (количество разрядов после запятой одинаковое); 17,01 ± 0,2 – неправильно (количество разрядов после запятой неодинаковое: результат измерения имеет точность до сотых, а погрешность – до десятых); 17,0 ± 0,22 – неправильно (количество разрядов после запятой неодинаковое: результат измерения имеет точность до десятых, а погрешность – до сотых). 4. Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр. Пример: 2,4 и 2,40. В первом случае (2,4) верны только цифры целых и десятых, т.е. возможны и другие значения истинного числа, в том числе: 2,38; 2,43. Во втором случае (2,40) – верны целые, десятые и сотые. Истинные значения могут иметь следующие значения: 2,403 и 2,398, но не 2,421 или 2,382. 5. При вычислениях неизбежны округления чисел до нужного количества значащих цифр или разрядов. Основные правила выполняемых при этом операций сводятся к следующему: - округление чисел до желаемого количества значащих цифр следует выполнять сразу, а не по этапам. Например, необходимо число 565,46 округлить до 3-х значащих цифр. Правильным будет результат: 565. Если же округления проводить поэтапно, то получим следующее: На первом этапе 565,46 округлим до 565,5. Затем 565,5 до 566. Из полученного результата и сравнения его с первоначальным значением видно, что он оказался завышенным. Таким образом: - округление чисел до желаемого количества разрядов следует выполнять по правилам математики; - целые числа округляют по тем же правилам, что и дробные. Например, число 12456 надо округлить до 2-х значащих цифр. Правильным будет результат – 12 · 103 ; - при записи погрешности если первая значащая цифра “1” или “2”, то оставляют две значащие цифры, а если “3” и более – то одну. 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 6.1. Представление результатов измерения в графическом виде Искомая зависимость, построенная по экспериментальным данным, может быть представлена аналитически (формулой), графически или в виде таблицы. 29

Графический метод представления результатов – наиболее информативный для выбора вида функции. Основной помехой для установления вида исследуемой зависимости является случайный разброс экспериментальных данных. Графики строят в декартовой системе координат с соблюдением следующих правил: - на каждой из осей должны быть указаны буквенные обозначения измеряемых величин и единицы их измерения, отделенные друг от друга запятой; - масштаб измеряемых величин принимают из условия обеспечения наглядности, как правило, кратным целому числу единиц измерения (например, 1,2,3,4,…; 2,4,6,8,…; 5,10,15,…; 10,20,30….); - все точки с результатами измерения выделяют определенным знаком (например, кружочком, треугольником, квадратиком и т.д.), при этом результаты, относящиеся к одной серии измерений, должны быть помечены одним знаком. 6.2. Интерпретация результатов измерения Результаты экспериментов по установлению связи между изучаемыми величинами удобно представлять в виде графиков. Для этого по результатам экспериментов составляют таблицу, где каждому значению одной величины X соответствует определенное значение другой Y. Если две физические величины Y и X связаны линейной зависимостью вида Y = аX + b, то на графике эта зависимость будет иметь вид прямой линии, пересекающей ось Y в точке Y = b при угле наклона, тангенс которого равен коэффициенту при переменной величине X. Наиболее важным для практики и удобным для понимания сущности метода является случай, когда Y линейно зависит только от одной переменной, т.е. Y = f ( X ). Его важность определяется, что многие функции (параболы, гиперболы, экспоненты и т.д.) путем замены переменных можно преобразовать в линейные. Наиболее распространенные на практике виды нелинейных функций, приводимые к линейным, приведены в справочной литературе по математике. Если разброс координат Х и Y почти отсутствует, то экспериментальные точки можно без труда соединить прямой линией (рис.15).

30

Рис. 15. Построение графика по точкам при малом разбросе данных Однако при большом рассеянии результатов эксперимента так поступать трудно. В этом случае можно ограничиться установлением уровня и наклона прямой линии, проходящей через середины (медианы) отрезков, соединяющих соседние точки. Практически этот прием реализуют с помощью прозрачной линейки, располагая ее так, чтобы большинство точек легло на одну линию (край линейки), а остальные точки должны лечь по обе стороны от этой линии в равном количестве.

Рис. 16. Построение графика при существенном разбросе данных Как видно из рисунка 16, прямая 1 лучше отвечает этому требованию, но и прямая 2 тоже близка к соблюдению его. Для нахождения численных значений коэффициентов а и b этого уравнения возможны два пути. Первый путь предусматривает приближённое решение задачи на основе графического построения наиболее правдоподобной линии. Для этого результаты эксперимента наносят на график и с помощью прозрачной ли31

нейки проводят прямую так, чтобы как можно больше точек легло на эту линию. Точки, не укладывающиеся на прямую линию, должны в одинаковом количестве располагаться по обе стороны прямой. Затем по величине отрезка, отсекаемого от оси Y, и наклону прямой находят численные значения постоянных коэффициентов а и b. Второй путь предусматривает аналитическое решение задачи с подбором коэффициентов. Согласно МНК прямая будет наилучшим образом соответствовать экспериментальным данным, если при одном и том же значении аргумента сумма квадратов всех отклонений экспериментальных ординат от их расчетных величин, лежащих на аппроксимирующей прямой, будет минимальной. Из-за ошибок масштабирования и невольных округлений расчетных данных, графический метод является менее точным, чем аналитический, называют методом наименьших квадратов (МНК) заложенный во все пакеты программ для компьютерной обработки данных. 6.3. Применение метода наименьших квадратов Часто проводят измерения двух и более разноименных величин с целью установления зависимости между ними. Таким образом хотят установить математическую модель явления (процесса). Зависимости такого вида широко применяются при выполнении физических исследований. Этот раздел имеет целью изложение сущности и применения метода наименьших квадратов (МНК) для использования его при выполнении лабораторно-практических занятий в курсе физики. МНК был разработан в 1795-1805 г. Лежандром и Гауссом. Его используют, если вид зависимости можно предположить заранее для расчета коэффициентов, сглаживания экспериментальных кривых, выбора зависимости, наилучшим образом описывающей измеряемую величину. При этом оценка качества приближения определяется минимальной суммой квадратов отклонений результатов измерений от значений предполагаемой зависимости. Сущность МНК состоит в следующем. Допустим, что после предварительного анализа результатов эксперимента была выбрана модель связи переменных величин, описываемая уравнением Y = аХ+ b . Численные значения коэффициентов а и b этого уравнения однозначно определяют связь между Х и Y, а также положение линии на графике. Между рассчитанными по модели значениями Yi = aХ + b и экспериментальными Yi будут наблюдаться отклонения. 32

Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения параметров (коэффициентов) а и b. Согласно МНК при этом сумма квадратов всех отклонений должна быть минимальной: n

f ( a,b ) =å (Yi -aХ ι -в ) =min . 2

i=1

Для нахождения условий минимума нужно взять производные по очереди по переменным а и b от этой функции, считая второй коэффициент постоянным числом, и приравнять их к нулю. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, из которой однозначно определяются наилучшие значения коэффициентов а и b. n ¶ f ( a,b ) = -2 å ( Yi - в - аX i ) X i = 0 ¶а i =1 n ¶ f ( a,b ) = -2 å ( Yi - в - аХ i ) = 0. ¶в i =1

Выполненные ранее действия справедливы для одной пары измерений Х i и Yi . Поскольку количество таких пар может быть равно n, то полная система уравнений для расчета а и b имеет вид: n

n

i =1 n

i =1 n

nв + а å X i = å Yi . n 2 в å X i + а å X i = å X iYi . i =1 i =1 i =1

Решение системы уравнений дает следующее:

n XY - X Y a = å i i å iå i ; nå X i2 - (å X i )2

Y - aå X i . b= å i n Эти формулы дают наилучшие оценки постоянных а и b для прямой (Y = aХ + b ) , основанные на измеренных координатах точек

( X 1, Y1 ) ,K , ( X n , Yn ) .

Получившаяся линия называется линией апроксимации по методу наименьших квадратов или линией регрессии Y от X.

33

Рассмотрим пример применения МНК для обработки результатов эксперимента, представленных в таблице: Экспериментальные данные Хi Yi 1,00 1,25 1,50 1,40 3,00 1,50 4,50 1,75 5,00 2,25

å Х i =15,00

Расчетные значения Х2i Х i Yi 1,00 1,25 2,25 2,10 9,00 4,50 20,25 4,86 25,00 11,25

å X i2 =57,50

å Yi = 8,15

å ( X i × Yi ) =26,96

Подставляя значения величин из таблицы в соответствующие уравнения, получим: n X Y - X Y 5 × 26 ,96 - 15,00 × 8,15 = 0 ,20 ; a = å i i å iå i = 2 2 2 n å X i - (å X i ) 5 × 57 ,50 - (15,00 )

Y - a å X i × 8 ,15 - 0 ,2 × 15,00 b= å i = 1,03. = n 5 Таким образом, уравнение регрессии, используемое для построения графика исследуемой зависимости между величинами Х и Y, будет иметь вид: Y = 0 ,20 X + 1,03. Если на график нанести данные результатов измерений (две левых колонки таблицы) и провести линию, описываемую последним уравнением (Y = 0 ,20 X + 1,03 ), то это и будет наилучшая аппроксимация результатов эксперимента (см. рис.17).

Рис.17 34

Пример преобразований, которым можно сложную (нелинейную) функцию привести к рассмотренной выше линейной зависимости. Рассмотрим это на примере зависимости, имеющей вид степенной функции

Y = ab X . Логарифмируя ее, получим уравнение прямой:

lnY = ln a + X ln b . На оси ординат графика следует откладывать численные значения величин ln Y, на оси абцисс – соответствующие им значения X. Тогда аппроксимирующая прямая пересечет ось ординат в точке с численным значением, равным ln Y. Тангенс угла наклона прямой будет численно равен величине lnb. В справочной литературе можно найти конечные формулы для расчета коэффициентов аппроксимации функций различного вида. Метод наименьших квадратов имеется в ряде стандартных программ для персональных ЭВМ, которым и следует воспользоваться при обработке результатов измерений. Если подбор коэффициентов поручается ПЭВМ (пакету программ) и аппроксимация осуществляется не компактной зависимостью, характерной для физических законов, а многочленом, то погрешность адекватности модели (при использовании степени до х6) может быть очень малой, но физической нагрузки она уже не несет. Подобный подход удобен, если требуется получить градуировочную кривую, т.е. наилучшим образом уложить на нее точки, получаемые в измерительном эксперименте.

35

Список литературы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

Закон РФ ”Об обеспечении единства измерений ”, 1993. РМГ 29-99.ГСИ. Метрология. Основные термины и определения. Машиностроение: Энциклопедия. Том III-7. Измерения, контроль, испытания и диагностика. – М.: Машиностроение, 1996. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. – М.: Физматгиз, 1961. МИ 1317-86. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Брянский Л.Н. Сколько там за окном? (Из истории температурных шкал) // Законодательная и прикладная метрология, 2000, № 2. Брянский Л. Н. Шкалы измерений. Прошлое и настоящее // Законодательная и прикладная метрология, 2000, № 5. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. – Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. – 288 с. Менделеев Д.И. – основоположник современной метрологии/ Под ред. В.В. Бойцова / ВНИИ метрологии им. Д.И. Менделеева. – М.: Изд-во стандартов, 1978. –240 с. Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. Основы метрологии: Учеб. пособие. – М.: Изд-во стандартов, 1995. – 280 с. Маркин Н.С. Практикум по метрологии: Учеб. пособие. – М.: Изд-во стандартов, 1994. – 188 с. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Изд-во Наука. Глав. ред. физикоматематической литературы, 1977. Шабалин С.А. Прикладная метрология в вопросах и ответах. Изд. 2е, перераб. и доп. – М.: Изд-во стандартов, 1990. – 192 с. Шишкин И.Ф. Прикладная метрология: Учеб. пособие. Изд. 2-е, доп. и испр. – М.: Изд-во ВЗПИ, 1990. – 117 с. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учеб. пособие. – Л., 1980. Шишкин И.Ф.Прикладная метрология: Учеб. пособие. – Л., 1985. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества: Учеб. пособие. – М., 1987. Шишкин И.Ф., Яншин В.Н. Прикладная метрология: Учеб. для вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. – М.: РИЦ «Татьянин день», 1993. – 10 с. ГОСТ 8.057-80 ГСИ. Эталоны единиц физических величин. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. СТ СЭВ 543-77. Числа. Правила записи и округления. МИ 1552-86. Оценивание погрешностей результатов измерения. МИ 1317-86. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. 36

Приложение 1 Основные единицы СИ

ВЕЛИЧИНА

ЕДИНИЦА Обозначение

Наименование

Размерность

Наименование

международное

русское

Длина

L

метр

m

м

Масса

M

килограмм

kg

кг

Время

T

секунда

s

с

Электрический ток (сила электрического тока)

l

ампер

А

А

Θ

кельвин

К

К

N

моль

mol

моль

Термодинамическая температура Количество вещества

37

Определение

Метр есть длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299 792 458 c Килограмм есть единица массы, равная массе международного прототипа килограмма Секунда есть время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 Ампер есть сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2·10 Н Кельвин есть единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды Моль есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных эле-

Сила света

кандела

cd

кд

ментов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. При применении моля структурные элементы должны быть специфицированы и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц Кандела есть сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·10 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср

Примечания 1. Кроме термодинамической температуры (обозначение ), допускается применять также температуру Цельсия (обозначение ), определяемую выражением T = t + T0 , где =273,16 К. Термодинамическую температуру выражают в кельвинах, температуру Цельсия - в градусах Цельсия. По размеру градус по шкале Цельсия равен градусу по шкале Кельвина. Градус Цельсия - это специальное наименование, используемое в данном случае вместо наименования "кельвин". 2. Интервал или разность термодинамических температур выражают в кельвинах. Интервал или разность температур Цельсия допускается выражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.

38

Приложение 2 Примеры производных единиц СИ, наименования и обозначения которых образованы с использованием наименований и обозначений основных единиц СИ ВЕЛИЧИНА

Наименование

ЕДИНИЦА Размерность

Наименование

Обозначение междурусское народное

Площадь Объем, вместимость Скорость Ускорение Волновое число Плотность

Удельный объем Плотность электрического тока Напряженность магнитного поля Молярная концентрация компонента Яркость

квадратный метр кубический метр метр в секунду метр на секунду в квадрате метр в минус первой степени килограмм на кубический метр кубический метр на килограмм ампер на квадратный метр ампер на метр

m

м

m

м

m/s

м/с

m/s

м/с

m

м

kg/m

кг/м

m /kg

м /кг

А/m

А/м

А/m

А/м

моль на кубический метр

mol/m

моль/м

кандела на квадратный метр

cd/m

кд/м

39

Приложение 3 Производные единицы СИ, имеющие специальные наименования и обозначения ВЕЛИЧИНА Наименование

Размерность

ЕДИНИЦА Обозначение Наименование

международное

русское

Выражение через основные и производные единицы СИ

Плоский угол

радиан

rad

рад

m·m

Телесный угол

стерадиан

sr

cp

m ·m

Частота

герц

Hz

Гц

s

Сила

ньютон

N

H

m·kg·s

Давление Энергия, работа, количество теплоты Мощность Электрический заряд, количество электричества Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила

паскаль

Pa

Па

m

джоуль

J

Дж

m ·kg·s

ватт

W

Вт

m ·kg·s

кулон

С

Кл

вольт

V

В

Электрическая емкость

фарад

F

Ф

Электрическое сопротивление

ом

Электрическая проводимость

сименс

S

См

вебер

Wb

Вб

m ·kg·s

тесла

T

Тл

kg·s

генри

H

Гн

m ·kg·s

Поток магнитной индукции, магнитный поток Плотность магнитного потока, магнитная индукция Индуктивность, взаимная индуктивность

40

Ом

=1 =1

·kg·s

s·A

m ·kg·s

·A

m

·s ·A

·kg

m ·kg·s m

·kg

·A ·s ·A

·A ·A ·A

Температура Цельсия Световой поток Освещенность Активность нуклида в радиоактивном источнике (активность радионуклида) Поглощенная доза ионизирующего излучения, керма Эквивалентная доза ионизирующего излучения, эффективная доза ионизирующего излучения Активность катализатора

градус Цельсия люмен люкс

°C

°C

К

lm lx

лм лк

cd·sr

беккерель

Bq

Бк

Gy

Гр

зиверт

Sv

Зв

m ·s

катал

kat

кат

mol·s

грей

41

m

·cd·sг s

m ·s

Приложение 4 Кратные и дольные единицы Множитель

10 102 103 106 109 1012 1015 1018 -1

10 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Приставка

Обозначение

Кратные дека гекта кило мега гига тера пета экса

да га к М Г Т П Э

Дольные деци санти милли микро нано пико фемто атто

д с м мк н п ф а

42

Приложение 5 Численные значения коэффициента Стьюдента (t) в зависимости от числа степеней свободы (n-1) и доверительной вероятности (Р) Число степеней свободы (n-1) 1

Доверительная вероятность (Р) 0,95 0,99 0,999 Численные значения коэффициента Стьюдента (t) 12,706

63,657

636,619

2

4,303

9,925

31,598

3

3,182

5,841

12,941

4

2,776

4,604

8,610

5

2,571

4,032

6,859

6

2,447

3,707

5,959

7

2,365

3,499

5,405

8

2,306

3,355

5,041

9

2,262

3,250

4,781

10

2,228

3,169

4,587

11

2,201

3,106

4,437

12

2,179

3,055

4,318

13

2,160

3,012

4,221

43