В.В.Трофимов ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ МНОГООБРАЗИЙ С СИММЕТРИЯМИ Монография написана на основе спецкурсов по геометрии, чита...
55 downloads
255 Views
6MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
В.В.Трофимов ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ МНОГООБРАЗИЙ С СИММЕТРИЯМИ Монография написана на основе спецкурсов по геометрии, читаемых автором на механико-математическом факультете МГУ. В нее включены: геометрия групп Ли, теория симметрических пространств, геометрия и топология векторных расслоений. Большое внимание уделяется приложениям излагаемого геометрического материала: систематически изложена теория калибровочных полей, математическое название которой — геометрия расслоенных пространств, дано введение в новые эффективные методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики с рассмотрением конкретных примеров. Книга содержит современный геометрический материал, не излагавшийся ранее в научной и учебной литературе. Содержание Некоторые используемые обозначения 5 Введение 6 Глава I. Элементы дифференциальной геометрии 10 § 1. Понятие топологического пространства 10 § 2. Непрерывные отображения топологических пространств 16 § 3. Аксиомы счетности 17 § 4. Бикомпактные топологические пространства 21 § 5. Аксиомы отделимости 22 § 6. Секвенциально компактные топологические пространства 23 § 7. Конструкции топологических пространств 24 § 8. Гладкие многообразия 26 § 9. Геометрия гладких многообразий 31 § 10. Элементы тензорной алгебры 35 § 11. Гладкие отображения гладких многообразий 39 § 12. Исчисление внешних дифференциальных форм на многообразиях 42 § 13. Интегрирование внешних дифференциальных форм 51 § 14. Когомологии де Рама 61 § 15. Элементы римановой геометрии 69 § 16. Элементы аффинной геометрии 74 § 17. Тензор кривизны 83 § 18. Геодезические и кратчайшие 88 Глава II. Группы Ли и алгебры Ли 97 § 1. Группы Ли 98 § 2. Алгебры Ли 100 § 3. Траектории левоинвариантных векторных полей 105 § 4. Экспоненциальное отображение 109 § 5. Сдвиги функций по траекториям 112 § 6. Действия групп Ли 114 § 7. Линейные представления групп Ли 119 § 8. Автоморфизмы групп Ли 121
§ 9. Формула Маурера— Картана 124 § 10. Основные глобальные теоремы о группах Ли 126 § 11. Вопросы неодносвязности. Накрытия 136 § 12. Подгруппы Ли 144 § 13. Нильпотентные представления алгебр Ли 146 § 14. Разрешимые алгебры Ли и их линейные представления 150 § 15. Представления нильпотентных алгебр Ли 154 § 16. Полупростые алгебры Ли 156 § 17. Подалгебры Картана 158 § 18. Метрика Киллинга 160 § 19. Критерий Картана 162 § 20. Структура полупростых алгебр Ли 166 § 21. Простые алгебры Ли 172 Глава III. Симметрические пространства 174 § 1. Понятие симметрического пространства 174 § 2. Компактные группы Ли как римановы симметрические пространства 181 § 3. Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные с ними римановы 188 симметрические пространства § 4. Связности в главных расслоениях 195 § 5. Основные теоремы 207 § 6. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности 215 § 7. Вполне геодезические подмногообразия 223 § 8. Вполне геодезические подмногообразия и инволютивные 231 автоморфизмы § 9. Римановы симметрические пространства 239 Глава IV. Гладкие векторные расслоения и характеристические 245 классы § 1. Векторные расслоения 246 § 2. Связности и метрики в расслоениях 248 § 3. Ковариантное дифференцирование и кривизна 252 § 4. Характеристические классы векторных расслоений 256 § 5. Основные характеристические классы 260 § 6. Связности в главном расслоении реперов 266 § 7. Трансгрессия 269^ § 8. Эйлеров класс 276 § 9. Геометрический смысл эйлерова класса в размерности два 284 § 10. Геометрический смысл эйлерова класса в высших размерностях 298 Глава V. Приложения 307 § 1. Уравнения коммутации дифференциальных операторов 308 § 2. Скобки Пуассона гидродинамического типа и левосимметричные 317 алгебры § 3. Дифференциальные уравнения, описывающие движение твердого тела 327 вокруг неподвижной точки
§ 4. Согласованные скобки Пуассона 340 § 5. Инварианты коприсоединенного представления 348 Литература 354 Предметный указатель 350 Предметный указатель — радиальная I, 18.14 91 автоморфизм алгебры Ли II, 2.16 104 гомеоморфизм I, 2.4 16 — группы Ли II, 8.1 121 гомоморфизм алгебр Ли II, 2.16 104 — — — внутренний II, 8.3 121 — Вейля IV, 4.3, 4.10 256, 260 — многообразия с аффинной — касательный II, 6.15 118 связностью III, 1.7 175 — тройных систем Ли III, 8.7 232 аксиома отделимости I, 5.1 22 градиент кососимметрический V, — о параллельных прямых I, 16.30 82 3.13 334 — счетности вторая I, 3.1 17 граница области I, 13.4 52 — — первая I, 3.3 17 — — гладкая I, 13.4 52 алгебра C V, 2.15 322 группа изометрий I, 15.11 71 — групповая II, 10.6 127 Ли II, 1.1 98 — когомологий I, 14.6 63 — — компактная III, 2.1 181 — левосимметричная V, 2.17 322 — фундаментальная II, 11.11 143 — Ли II, 2.1 100 движение римановой метрики I, 15.11 — — группы Ли II, 2.11 103 действие группы II, 6.1 114 — — нильпотентная II, 13.8, 13.17 делитель нормальный II, 12.6 144 147, 150 диаграмма бифуркационная V, 3.10 — — полупростая II, 16.91 157 333 — — простая II, 21.1 172 диффеоморфизм I, 11.3 39 — — разрешимая II, 14.5 151 дифференциал действия II, 6.15 118 — — Z2-градуированная III, 3,14 195 — ковариантный I, 16.15 77 альтернирование тензора I, 10.13 37 — — поля операторов IV, 3.8 254 — частичное I, 1,0.14 37 — — сечения IV, 3.1 252 антиувлечение ковариантных дифференцирование алгебры Ли IIV тензоров I, 11.18 42 18.3 161 атлас I, 8.3 26 — — — внутреннее II, 18.4 161 — ориентированный I, 13.8 53 длина кривой I, 15.6 70 атласы эквивалентные I, 8.7 28 закон преобразования тензорный I, база расслоения IV, 1.1 247 10.1 35 — топологического пространства I, замыкание I, 1.19 15 3,1 17 идеал II, 12.8 144 базис отмеченный II, 10.6 127 — двойной V, 2.18 323 валентность тензора I, 10.1 35 — тройной системы Ли III, 8.7 232 вектор I, 9.1 32 изометрия I, 15.10 71 — касательный к кривой I, 9.4 32 изоморфизм алгебр Ли II, 2.16 104 — увлеченный I, 11.5 40 импульс V, 2.1 318 вложение I, 11.15 41 инвариант II, 6.4 116 геодезическая I, 16.21 78
индекс алгебры Ли V, 4.20 345 — сечения IV, 9.8, 10.7 287, 302 интеграл I, 13.15 57 — действия I, 18.6 90 — энергии I, 18.6 90 карта I, 8.1 26 — адаптированная III, 7.1 223 класс Понтрягина IV, 5.8 266 — характеристический IV, 4.3, 4.8 256, 258 — Чженя IV, 5.8 265 — Эйлера IV, 5.11) 266 коммутант алгебры Ли II, 14.1 150 коммутатор векторных полей II, 2.4 101 комплекс симплициальный IV, 9.20 293 комплексификация расслоения IV, 5.9 266 компонента связности I, 1.23 16 константы структурные II, 2.7 102 координаты канонические в группе Ли II, 4.5 110 корень алгебры Ли II, 17.2 158 косвязность V, 2.5 3191 — Леви - Чивита V, 2.6 320 — симметричная V, 2.6 320 — согласованная с метрикой V, 2.6 320 ———— сильно V, 2.6 320 коцепь трансгрессии IV, 7.3 270 кратчайшая I, 18.1 88 кривая I, 8.18 31 — гладкая 1,8.1931 — спектральная V, 3.5 330 кривизна в двумерном направлении III, 2.11 187 — гауссова I, 17.9 871 — косвязности V, 2.7 320 кривые согласованные III, 5.20 211 кубик в карте I, 13,1 51 — открытый I, 1.5 12 лагранжиан I, 18.2 88
матрица антиэрмитова IV, 2.13.250 — кососимметрическая IV, 2.13.250 — нильпотентная II, 13.5, 13.6 146 — ортогональная I, 8.16 30 — унитарная I, 8.16 30 — Якоби I, 8.11 29 метрика I, 7.1 25 — биинвариантная III, 2.3 182 — в расслоении IV, 2.8 250 — Манакова V, 3,10 332 метрики топологически эквивалентные I, 7.2 25 многообразие геодезически полное I, 18.21 94 — гладкое I, 8.8 28 — групповое II, 10.6 127 — метрически полное I, 18.23 95 — односвязное II, 10.1 126 — ориентируемое I, 13.8 53 — параллелизуемое II, 9.1 124 — риманово 1,15.1 69 — симплектическое V, 3.13 334 — топологическое I, 8.4 26 многообразия гомотопически эквивалентные I, 14.16 65 момент инерции главный V, 3.1 327 накрытие II, 11.1 136 — пути II, 11.3 137 — тривиальное II, 11.1 137 — универсальное II, 11.7 140 направление на геодезической III,. 1.1 175 оболочка универсальная III, 8.12 233 объем области I, 15.16 72 ограничение накрытия II, 11.2 137 окрестность I, 1.10 13 — нормальная I, 18.11 90 опускание индексов I, 15.5 69 орбита II, 6.4 116 ориентация I, 13.6 53 — индуцированная I, 13.12 56 отрезки равные на геодезической III, 1.1 175
отображение гладкое I, 11.2 39 — непрерывное I, 2.1 16 — экспоненциальное II, 4.2 109 отображения гомотопные I, 14.7 63 (L—А) -пара V, 11 309 — со значениями в алгебре Ли V, 5.1 348 параметр канонический I, 16.22 78 — натуральный I, 15.8 70 — порядка V, 3.21 337 перенос параллельный I, 16.9 76 пересадка путей II, 10.9, III, 5.22 128, 213 плоскость Лобачевского I, 15.13 72 плотность гамильтониана V, 21 318 — лагранжиана V, 21 317 погружение I, 11.12 41 подалгебра II, 12.7 144 — двойная V, 218 323 — Картана II, 17.7 159 подгруппа изотропии III, 5.6 208 — Ли II, 12.1 144 — однопараметрическая II, 3.8 106 — стационарная II, 6.5 116 подмногообразие вполне геодезическое III, 7.2 223 — — — инволютивного типа III, 8.21 237 — допустимых реперов III, 5.3 208 подмножество замкнутое I, 113 14 — открытое I, 1.2 12 поднятие индексов I, 15.5 70 — пути II, 1,1.3 137 подпокрытие I, 3.6 20 подпространство I, 1.12 13 — корневое II, 15.1 154 — лагранжево V, 414 343 — максимальное изотропное V, 4.14 343 подсистема тройной системы Ли III, 8.7 232 подстановка индексов I, 1010 36 покрытие I, 3.5 20
поле векторное I, 9.7 33 —-— адаптированное II, 1012 128 — — гамильтоново V, 315 335 — — индуцированное действием II, 6.8 117) — — левоинвариантное II, 1.3 99 — — параллельное I, 16.6 75 — — полное I, 9.11 35 — — правоинвариантное II, 1.6 100 — параллельное ковариаитное тензорное I, 16.10 76 — тензорное I, 10.21 39 — фундаментальное II, 6.8 117 полиэдр симплициальный IV, 9.20 293 постоянная Планка V, 1.5 310 предел I, 1.11 13 представление алгебры Ли линейное II, 7.5 121 — — — присоединенное II, 7,7 121 — — — точное II, 7..71 121 — Гейзенберга V, 1.1 309 — группы Ли II, 7.1 119 — — — коприсоединенное V, 4.20 345 — — — присоединенное II, 8.6 122 —- Лакса V, 1.1 309 — — точное V, 1.1 309 — — со спектральным параметром V, 3.5 330 — локальное для функции I, 11.1 39 — нильпотентное II, 13.8 147 преобразование реперов допустимое III, 5.5 208 — симметрии III, 1.2 175 пример Диксмье V, 1.14, 1.15 313 — Пргоффера I, 8.10 28 произведение внешнее I, 12.7 44 — Киллинга II, 18.1 160 — прямое I, 7.5 26 производная внешняя I, 12.13 46 — ковариантная I, 16.19 78 — — поля операторов IV, 3.8 255
— — сечения IV, 3.3 252 пространства гомеоморфные I, 2.4 16 пространство арифметическое I, 1.5 12 — аффинной связности I, 16.4 75 — бикомпактное I, 4.1 21 — глобально симметрическое аффинной связности III, 1.11 176 — — — риманово III, 1.29. 181 — касательное I, 9.3 32 — когомологий I, 14.3 62 — компактное I, 5.4 23 — локально симметрическое аффинной связности III, 1.11 176 — — — риманово III, 1.29 181 — метризуемое I, 7.3 25 — метрическое I, 7.1 25 — наследственно нормальное I, 5.4 23 — нормальное I, 5.2 22 — регулярное I, 5.2 22 — связное I, 1.23 16 — секвенциально компактное I, 6.1 23 — топологическое I, 1.2, 1.14 12, 14 — хаусдорфово I, 5.1 22 пути гомотопные II, 10.2 1.26. пфаффиан IV, 5.5 264 радикал алгебры Ли II, 16.6 157 разбиение единицы I, 13.5 53 разложение де Рама III, 9.16 243 размерность карты I, 8.1 26 — расслоения IV, 1.1 246 ранг алгебры Ли II, 17.1 158 — симметрического пространства III, 3.9 193 — тензора I, 1(0.1 35 расслоение векторное IV, 1.1 246 — главное III, 4.18 202 — ориентированное IV, 5.4 264 — ориентируемое IV, 2.18, 5.4 252,
264 — реперов III, 4.3 195 — сферическое IV, 8.4 277 — тривиальное IV, 1.2 247 расслоения изоморфные IV, 1.7 248 расстояние I, 7.1 25 — риманово I, 18.19 93 репер III, 4.2 195 реперы адаптированные III, 7.8 226 — — допустимые III, 7.8 226 — допустимые III, 5.3 208 ретракт деформационный I, 14.9 63 ряд производный II, 14.3 151 свертка тензоров I, 10.17 38 сверхкарта IV, 1.1 247 — ортонормированная IV, 2.12 250 связность аффинная I, 16.4 75 — в расслоении IV, 2.1 248 — индуцированная на вполне геодезическом подмногообразии III, 7. 225 — каноническая на группе Ли III, 6.4 215 — левая на группе Ли III, 6.4 215 — метрическая IV, 2.11, 250 — нейтральная на группе Ли III, 6.4 216 — перенесенная III, 14 175 — правая на группе Ли III, 6.4 215 — риманова I, 16.12 76 — согласованная с метрикой I, 16,12, IV, 2.11 76, 250 — увлеченная III, 1.4 175 сдвиг левый II, 1.2 98 — правый II, 1.2 98 семейство функций инволютивное V, 4.4 341 — — — полное V, 4.4, 4.27 341, 346 середина отрезка геодезической III, 1.1 175 сечение расслоения IV, 1.6 248 — параллельное IV, 2.2 249 символы Кристоффеля I, 16.4 75
симметрирование тензора I, 10.12 37 симплекс IV, 9.19 293 система Ли тройная III, 7.13, 8.7 230, 232 — алгебраически вполне интегрируемая V, 3.8 331 — вполне интегрируемая V, 3.20 337 скобка Пуассона V, 3.15, 4.1 335, 340 — — гидродинамического типа V, 2.2 318 скобки Пуассона согласованные V, 4.1 340 сложение тензоров I, 10.6 36 слой симплектический V, 4.4 341 соответствие Ли II, 12.11 146 сравнение топологий I, 1.6 13 степень отображения IV, 10.2 299 структура гладкая I, 8.8 28 — симплектическая V, 3.13 334 сфера геодезическая I, 18.14 91 сумма внешних форм I, 12.6 44 тело твердое V, 3.1 327 тензор I, 10.1 35 — инерции V, 3.1 327 — кривизны I, 17.2, IV, 3.5 84, 254 — кручения III, 1.17 178 — метрический I, 15.1 69 — — контравариантный I, 15.4 69 топологии эквивалентные I, 1.8 13 топология I, 1.2 12 — дискретная I, 1.3 12 — евклидова I, 1.9 13 точка накопления I, 1.15 1.4 — предельная I, 1.15 14 траектория I, 9.9 33 трансвекция III, 1.24 179 треугольник I, 16.28 81 увлечение вектора I, 11.5 40 — дифференциальной формы I, 12.23 48 — ковариантного тензора I, 11.10 40 — связности III, 1.4 175
угол I, 15.7 70 умножение тензоров I, 10.7 36 уравнение Гамильтона V, 2.1 318 — Кортевега де-Фриза V, 1.6 31Ф — Лагранжа V, 2.1 318 — характеристическое II, 15.1 154 — Эйлера V, 3.2 328 — —на группе SO (n) V, 3.6 330 условие Эйлера—Лагранжа I, 18.Ј 89 фактор-алгебра II, 13.2 146 форма внешняя I, 12.1 42 — замкнутая I, 14.1 62 — Кириллова V, 4.20 345 — квадратичная вторая I, 17.7 85 — — первая I, 15.9 71 — кривизны III, 4.12 198 — кручения III, 4.12 198 — точная I, 14.1 62 — увлеченная I, 12.23 48 формы структурные II, 4.6, IV, 6.4 196, 267 функции в инволюции V, 3.15 335 — перехода I, 8.5 27 функция Казимира V, 3.7, 4.1 331,, 340 — кубика I, 13.1 5 — Лагранжа V, 2.1 317 — полилинейная инвариантная IV, 4.1 256 — тензорная III, 4.19 203 характеристика эйлерова IV, 9.22 293 центр алгебры Ли II, 13.15 150 число Бетти I, 14.3 62 шар открытый I, 7.1 25 экспонента I, 18.10 90 — матрицы II, 4.6 111 экстремаль I, I8.5 89 элемент регулярный II, 17.1 158 — сингулярный II, 17.1 158 элементы трансгрессивные IV, 7.11! 275 якобиан I, 8.1.1 29