Математический анализ. (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирование расходящихся рядов) Учебн. пособ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.П. Аксёнов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. Учебное пособие

Санкт-Петербург 1999

УДК 517.38, 517.3821 Аксёнов А.П. Математический анализ. (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирование расходящихся рядов.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 1999, 86 с. Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика». Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Ряды Фурье», «Интеграл Фурье», «Суммирование расходящихся рядов». Приведено большое количество примеров. Изложено применение методов Чезаро и Абеля – Пуассона в теории рядов. Рассмотрен вопрос о гармоническом анализе функций, заданных эмпирически. Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия. Ил. 20. Библ. 3 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Аксёнов Анатолий Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирование расходящихся рядов) Учебное пособие

Лицензия ЛР № 065394 от 08.09.97 Подписано в печать . .99. Формат 60×84 1/16. Объем п.л. Тираж . Заказ № . Отпечатано в издательстве «НЕСТОР» 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ §1. Тригонометрические ряды Определение. Две функции f ( x ) и g( x ) , заданные на промежутке [a, b] , называются взаимно ортогональными на этом промежутке, если b

∫ f ( x ) ⋅ g( x ) dx = 0 .

(1)

a

Лемма 1. Если n – целое число, то π

∫ sin nx dx = 0 .

(2)

−π

Если n = 0 , то (2) очевидно. π

π

cos nx Если n ≠ 0 , то ∫ sin nx dx = − = 0. n −π −π

Лемма 2. Если n ≠ 0 – целое число, то π

∫ cos nx dx = 0 .

(3)

−π π

π

sin nx cos nx dx = = 0. ∫ n −π

−π

Теорема 1. Любые две функции системы:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , K , cos nx , sin nx , K (T) взаимно ортогональны на промежутке [−π, π ] . 1) Ортогональность 1 и sin kx ( k = 1, 2, K) на промежутке [−π, π ] доказа-

на в лемме 1. 2) Ортогональность 1 и cos kx ( k = 1, 2, K) на промежутке [−π, π ] доказана в лемме 2. 3) Ортогональность cos px и cos qx ( p = 1, 2, K ; q = 1, 2, K ; p ≠ q ) на промежутке [−π, π ] следует из того, что

cos px ⋅ cos qx =

1 cos( p − q ) x + cos( p + q ) x ] 2[

и из леммы 2. 4) Ортогональность sin px и sin qx ( p = 1, 2, K ; q = 1, 2, K ; p ≠ q ) на промежутке [−π, π ] вытекает из того, что

sin px ⋅ sin qx =

1 cos( p − q ) x − cos( p + q ) x ] 2[ 3

и из леммы 2. 5) Ортогональность sin px и cos qx ( p = 1, 2, K ; q = 1, 2, K ) на промежутке [−π, π ] следует из того, что

sin px ⋅ cos qx =

1 sin ( p + q ) x + sin ( p − q ) x ] 2[

и из леммы 1. Теорема 2. Если n = 1, 2, K , то справедливы формулы π

∫ cos

2

π

nx dx =

−π π

∫ sin

2

nx dx = π .

(4)

−π

π

π

π

1 + cos 2nx 1 1 1) ∫ cos nx dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos 2nx dx = π . 2 2 2 −π −π −π π4244 1−4 3 2

= 0 (по лемме 2)

π

π

π

π

1 − cos 2nx 1 1 2) ∫ sin nx dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos 2 nx dx = π . 2 2 2 −π −π −π π4244 1−4 3 2

= 0 (по лемме 2)

Теорема 3. Пусть функция ϕ ( x ) – периодическая с периодом T = 2π , т. е. ϕ ( x + 2π ) = ϕ ( x ) , x ∈( − ∞,+ ∞ ) , и ϕ ( x ) интегрируема на любом конечном промежутке. Тогда для любого конечного a a+ 2 π

2π

∫ ϕ ( x ) dx = ∫ ϕ ( x ) dx , a

(5)

0

т. е. интеграл от периодической функции, взятый по промежутку, длина которого равна периоду этой функции, имеет одно и то же значение независимо от положения промежутка на вещественной оси. Имеем a +2π

2π

0

a +2π

∫ ϕ ( x ) dx = ∫ ϕ ( x ) dx + ∫ ϕ ( x ) dx + ∫ ϕ ( x ) dx . a 424 0 424 2π 1 3 1 3 1 4243

a

= J1

= J2

= J3

В интеграле J 3 сделаем замену, положив x = u + 2π . Получим a

a

J 3 = ∫ ϕ ( u + 2π ) du = ∫ ϕ ( u) du , 1424 3 0

т. е. J 3 = − J1 . А тогда 4

0

= ϕ (u)

a+ 2 π

2π

a

0

∫ ϕ ( x ) dx = J 2 = ∫ ϕ ( x ) dx .

Следствие. В теоремах 1 и 2 промежуток [−π, π ] можно заменить промежутком [a, a + 2π ] , где a – любое конечное число. Определение. Бесконечный ряд вида

A + ( a1 cos x + b1 sin x ) + ( a2 cos 2 x + b2 sin 2 x ) + K + +( an cos nx + bn sin nx ) + K

(6)

называется тригонометрическим рядом. Теорема 4. Если функция f ( x ) задана на промежутке [−π, π ] и разлагается в этом промежутке в тригонометрический ряд, сходящийся в [−π, π ] равномерно, то коэффициенты A, a1, b1, a2 , b2 , K этого ряда определяются однозначно. По условию для всех x ∈[− π, π ] имеем:

f ( x ) = A + ( a1 cos x + b1 sin x ) + ( a2 cos 2 x + b2 sin 2 x ) + K + (7) +( an cos nx + bn sin nx ) + K , причем ряд, стоящий в правой части (7), сходится равномерно в [−π, π ] . Проинтегрируем обе части (7) по x от −π до π (так как члены ряда (7) непрерывны и ряд (7) сходится равномерно в [−π, π ] , то его можно почленно интегрировать). Получим, приняв во внимание леммы 1 и 2: π

π

π

∫ f ( x ) dx = ∫ A dx + 0

−π

⇒

−π

A=

∫ f ( x ) dx = A ⋅ 2π

⇒

−π

1 2π

π

∫ f ( x ) dx .

(8)

−π

Умножим обе части (7) на cos nx (это не нарушает равномерной сходимости ряда (7) в промежутке [−π, π ] , ибо cos nx – функция ограниченная) и проинтегрируем полученное равенство по x от −π до π . В силу ортогональности системы (T) на промежутке [−π, π ] , в правой части исчезнут все члены, кроме одного. Будем иметь, следовательно, π

π

∫ f ( x )cos nx dx = ∫ an ⋅ cos

−π

2

nx dx = an ⋅ π ⇒

−π

1 an = π

π

∫ f ( x )cos nx dx

( n = 1, 2, K ) .

(9)

−π

Аналогично, умножив обе части (7) на sin nx и интегрируя по x от −π до π , получим

1 bn = π

π

∫ f ( x )sin nx dx

( n = 1, 2, K ) .

(10)

−π

5

Итак, если функция f ( x ) на промежутке [−π, π ] разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то коэффициенты A, an , bn ( n = 1, 2, K ) определяются однозначно соответственно по формулам (8), (9), (10). Определение. Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Числа

1 A= 2π

π

∫

−π

1 f ( x ) dx , an = π

π

∫

−π

1 f ( x )cos nx dx , bn = π

π

∫ f ( x )sin nx dx

−π

( n = 1, 2, K ) называются коэффициентами Фурье функции f ( x ) , а тригонометрический ряд (6) с э т и м и к о э ф ф и ц и е н т а м и называется рядом Фурье функции f ( x ) . Из доказательства теоремы 4 вытекает: Теорема 5. Если функция f ( x ) на промежутке [−π, π ] разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд обязательно есть её ряд Фурье. Замечание. Составить ряд Фурье можно для любой функции f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Однако это вовсе не означает, что всякая такая функция f ( x ) разлагается в ряд Фурье на промежутке [−π, π ] , ибо составленный ряд может расходиться и может сходиться, но не к f ( x ) . Если ряд A +

∞

∑ (ak cos kx + bk sin kx ) есть ряд Фурье для функции

f ( x ) , то

k =1

пишут

∞

f ( x ) ~ A + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) . k =1

§2. Интеграл Дирихле Лемма. Справедливо тождество:

1 + cos α + cos 2α + K + cos nα = 2 Положим S =

2n + 1 α 2 . α 2 sin 2

sin

1 + cos α + cos 2α + K + cos nα , откуда, умножив обе части 2

α , находим: 2 α α α α α S ⋅ 2 sin = sin + 2 sin cos α + 2 sin cos 2α + K + 2 sin cos nα . 2 2 2 2 2 Но 2sin A cos B = sin ( B + A) − sin ( B − A) . Поэтому

на 2 sin

6

(1)

α α 3 α 5 3 = sin +  sin α − sin  +  sin α − sin α + K + 2 2  2 2  2 2  2n + 1 2n − 1  α 2n + 1 +  sin α − sin α ⇒ S ⋅ 2 sin = sin α ⇒   2 2 2 2 2n + 1 sin α 2 . ⇒ если α ≠ 2kπ ( k = 0, ± 1, ± 2, K ), то S = α 2 sin 2 Итак, тождество (1) установлено для α ≠ 2kπ ( k = 0, ± 1, ± 2, K ). Оно верно и для α = 2kπ , если понимать его в этом случае в предельном смысле. В саS ⋅ 2 sin

мом деле, имеем

1 1 2n + 1 1) lim  + cos α + cos 2α + K + cos nα = + n = ; α→ 2 kπ  2



2

2

2n + 1 α  замена: α = 2kπ + β,  2 = 2) lim = α α→ 2 kπ → → β α π 0 если 2 k ,   2 sin 2 2n + 1 2n + 1 2n + 1 ( −1)k ( 2 n +1) sin sin β β β 2n + 1 2 2 = lim = = lim = lim 2 . 2 β β β k β→ 0 β→ 0 β→ 0 2 ⋅ ( −1) sin 2 sin 2⋅ 2 2 2 Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Составим для этой функции её ряд Фурье и рассмотрим частичную сумму S n ( x ) этого ряда при закрепленном x . Имеем sin

n

S n ( x ) = A + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) . Подставим здесь вместо A, ak , bk их выk =1

ражения:

1 A= 2π

π

∫

−π

Получим:

1 Sn ( x ) = 2π

1 f ( t ) dt; ak = π π

∫

−π

n

1 f ( t ) dt + ∑ π k =1

π

∫

−π

1 f ( t )cos kt dt; bk = π

π

∫ f ( t )sin kt dt .

−π

π

∫ f ( t )(cos kt cos kx + sin kt sin kx ) dt

⇒

−π π

1 n  f ( t ) + cos k ( t − x )  dt . ∫  2 ∑  k =1 −π 2n + 1 n sin (t − x ) 1 2 По лемме, + ∑ cos k ( t − x ) = . Поэтому t−x 2 2 sin k =1 2 1 ⇒ Sn ( x ) = π

7

π

∫ f (t )

1 2π

Sn ( x ) =

sin

−π

2n + 1 (t − x ) 2 dt . t−x sin 2

(2)

(2) – сингулярный интеграл Дирихле. Обозначим через R2 π класс функций, которые заданы в промежутке ( − ∞; + ∞ ) , интегрируемы в каждом конечном промежутке и имеют период 2π . Возьмем функцию f ( x ) ∈ R2 π и преобразуем интеграл Дирихле такой функции (т. е. преобразуем частичную сумму S n ( x ) ряда Фурье такой функции). Имеем

Sn ( x ) =

π

∫ f (t )

1 2π

sin

−π

2n + 1 (t − x ) 2 dt . t−x sin 2

Положим t = x + u ( x закреплено, u – новая переменная). Тогда

Sn ( x ) =

1 2π

π− x

∫

f ( x + u)

sin

− π− x

2n + 1 u 2 du . u sin 2

В этом интеграле промежуток интегрирования имеет длину 2π ( π − x − ( − π − x ) = 2π ); подынтегральная функция – периодическая с периодом 2π (это легко проверить). По теореме 3 предыдущего параграфа промежуток интегрирования [− π − x , π − x ] можно заменить любым промежутком, длина которого равна 2π . Так что будем иметь, например,

1 Sn ( x ) = 2π

π

∫ f ( x + u)

2n + 1 u 2 du . u sin 2

(3)

sin( 2n + 1) t1 dt1 . sin t1

(4)

sin

−π

В интеграле (3) сделаем замену u = 2t1 . Тогда

Sn ( x ) =

1 π

π2

∫

f ( x + 2t1 )

−π 2

Разобьем интеграл (4) на два интеграла по схеме π2

∫

−π 2

π2

=

∫

0

+

∫

.

0 −π 2 { { = J1 = J 2 В интеграле J 2 сделаем замену, положив t1 = − t2 . Получим

8

π2

J2 =

∫

f ( x − 2t 2 )

0

sin( 2 n + 1) t2 dt2 . sin t2

Мы знаем, что переменную интегрирования можно обозначать любой буквой. Поэтому можно написать, например, π2

J1 =

∫ 0

π2

~ ~ sin( 2 n + 1) t ~ f ( x + 2t ) dt ; ~ sin t

J2 =

∫ 0

~ ~ sin( 2 n + 1) t ~ , f ( x − 2t ) dt ~ sin t

и, следовательно, для S n ( x ) будем иметь окончательно

1 Sn ( x ) = π

π2

∫ 0

sin ( 2n + 1)~ ~ ~ [ f ( x + 2 t ) + f ( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ .

(5)

Итак, если функция f ( x ) ∈ R2π , то частичная сумма S n ( x ) ряда Фурье этой функции выражается формулой (5). Частный случай. Пусть f ( x ) ≡ 1 . Ясно, что f ( x ) ∈ R2π , а потому частичная сумма S n ( x ) ее ряда Фурье, в силу (5), будет выражаться так:

1 Sn ( x ) = π

π2

∫ 0

t ~ sin ( 2 n + 1)~ dt . 2⋅ ~ sin t

Но с другой стороны: S n ( x ) = A + функции f ( x ) ≡ 1 будем иметь:

n

∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) ,

где для нашей

k =1 π

1 1 ⋅ dt = 1 ; A= 2π ∫ −π

π

π

−π

−π

1 1 ak = ∫ 1 ⋅ cos kt dt = 0 ( k = 1, 2, K ); bk = ∫ 1 ⋅ sin kt dt = 0 ( k = 1, 2, K ) . π π Значит, S n ( x ) = 1 . Таким образом, получаем:

2 1= π

π2

∫

0

sin ( 2n + 1)~ t ~ dt . ~ sin t

(6)

§3. Теорема Римана – Лебега Теорема. Пусть функция ψ ( t ) ∈ R([a, b]) . Тогда

9

b

lim

z →+∞

∫ ψ ( t )sin zt dt = 0 .

(1)

a

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое и разобьем промежуток [a, b] точками a = t0 < t1 < t2 < K < t n = b на столь малые части, чтобы оказалось: n −1

∑ ω k ( tk +1 − tk ) < 2ε .

k =0

Здесь ω k – колебание функции ψ ( t ) на промежутке

[t k , tk +1 ] . (Так сделать можно, ибо это – необходимое и достаточное условие интегрируемости функции ψ ( t ) на промежутке [a, b] .) Выбранный способ дробления промежутка [a, b] закрепим и менять не будем. Тогда, в частности, b

∫

закрепится и n . Наш интеграл J ( z ) = ψ ( t )sin zt dt запишется так: a

J(z) =

n −1 t k +1

n −1 t k +1

n −1

t k +1

k = 0 tk

k = 0 tk

k =0

tk

∑ ∫ ψ ( t )sin zt dt = ∑ ∫ [ψ (t ) − ψ (tk )]sin zt dt + ∑ ψ(tk ) ∫ sin zt dt .

Если t ∈[t k , t k +1 ] , то ψ ( t ) − ψ ( t k ) ≤ ω k . Следовательно, t k +1

tk +1

tk

tk

ψ ( t ) − ψ ( tk ) ⋅ sin zt dt ≤ ω k ( tk +1 − tk ) . ∫ [ψ ( t ) − ψ ( tk )]sin zt dt ≤ ∫ 1 4 4244 3 123 ≤ ωk

≤1

Но тогда n −1 tk +1

n −1

k = 0 tk

k =0

∑ ∫ [ψ ( t ) − ψ ( tk )]sin zt dt ≤ ∑ ω k ( tk +1 − tk ) < 2ε . n −1

t k +1

k =0

tk

ε Поэтому J ( z ) < + ∑ ψ ( t k ) ⋅ 2

∫ sin ztdt .

Функция ψ ( t ) – ограниченная в

[a, b] , ибо ψ ( t ) ∈ R([a, b]) . Пусть M = sup ψ ( t ) . Тогда ψ( tk ) ≤ M . Кроме [a , b ]

того, t k+1

∫ sin zt dt =

tk

Значит,

10

cos zt k − cos zt k +1 2 ≤ . z z

n −1

t k +1

k =0

tk

∑ ψ ( tk ) ⋅ ∫ sin zt dt ≤ 2 zM ⋅ n

( n – число слагаемых). Следовательно, J ( z ) <

ε 2M + ⋅ n . Пусть z0 столь ве2 z

2M ε ⋅ n < ( M и n – определенные числа). 2 z Но тогда при z > z0 будет: J ( z ) < ε . А это означает, что lim J ( z ) = 0 . лико, что при z > z0 оказывается:

z →+∞

Замечание 1. Теорема Римана – Лебега допускает обобщение, а именно: Пусть функция ψ ( t ) определена в ( a, b] , интегрируема в каждом промеb

жутке [α, b], где a < α ≤ b ; интеграл

∫ ψ (t ) dt

существует уже как несобст-

a

b

венный. Тогда lim

z →+∞

∫ ψ ( t )sin zt dt = 0 . a

b

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. По условию,

∫ ψ (t ) dt

схо-

a

дится. Это означает, что lim

α→ a + 0

b

b

α

a

∫ ψ ( t ) dt = ∫ ψ ( t ) dt , или что α

b

∫ ψ ( t ) dt − ∫ ψ ( t ) dt → 0 a

b

при α → a + 0 ⇔

α

∫ ψ ( t ) dt → 0

при α → a + 0 .

a

Последнее означает, что взятому ε > 0 отвечает число α 0 ( a < α 0 < b ) такое, что при всяком α , удовлетворяющем условию: a < α < α 0 , будет: α

∫ a

ε ψ ( t ) dt < . Выберем и закрепим какое-нибудь α , удовлетворяющее усло2

вию: a < α < α 0 . Имеем: b

α

b

a

a

α

J ( z ) = ∫ ψ ( t )sin zt dt = ∫ ψ ( t )sin zt dt + ∫ ψ ( t )sin zt dt . При всех z справедлива оценка: α

α

α

a

a

a

ε

∫ ψ (t )sin zt dt ≤ ∫ ψ (t ) ⋅ sin zt dt ≤ ∫ ψ (t ) dt < 2 . 11

Далее, функция ψ ( t ) интегрируема на промежутке [α, b] в обычном смысле. b

Поэтому, по теореме Римана – Лебега: lim

z →+∞

∫ ψ ( t )sin zt dt = 0 . А это означает,

α

что взятому ε > 0 отвечает число z0 > 0 такое, что для всех z > z0 будет: b

ε

∫ ψ (t )sin zt dt < 2 .

α

И, следовательно, для всех z > z0 будем иметь J ( z ) < ε . Последнее означает,

что lim J ( z ) = 0 . z →+∞

Замечание 2. При тех же условиях относительно функции ψ ( t ) аналогичным образом устанавливается, что b

lim

z →+∞

∫ ψ ( t )cos zt dt = 0 .

(2)

a

Замечание 3. Пусть f ( t ) ∈ R([−π, π ]) . Тогда

1 an = π

π

0; ∫ f ( t )cos nt dt n→ →∞

−π

1 bn = π

π

0, ∫ f (t )sin nt dt n→ →∞

−π

т. е. коэффициенты Фурье л ю б о й и н т е г р и р у е м о й н а п р о м е ж у т к е [−π, π ] функции стремятся к нулю при неограниченном увеличении номера n . Следствие из теоремы Римана – Лебега (принцип локализации). Пусть функция f ( x ) ∈ R2 π . Мы знаем, что при любом закрепленном x

1 Sn ( x ) = π

π2

∫ 0

sin ( 2n + 1)~ ~ ~ [ f ( x + 2 t ) + f ( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ .

(3)

Пусть 0 < a < π (здесь a = const ; a можно взять сколь угодно малым). Представим правую часть (3) в виде суммы двух интегралов:

1 Sn ( x ) = π

a2

∫

0

sin ( 2 n + 1)~ ~ ~ [ f ( x + 2 t ) + f ( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ + α n ( x ) ,

где

1 αn(x) = π

12

π2

∫

α2

sin ( 2 n + 1)~ ~ ~ [ f ( x + 2 t ) + f ( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ .

(4)

a π В промежутке  ,  функция sin t непрерывна и не обращается в нуль. Зна-

 2 2  f ( x + 2~ t ) + f ( x − 2~ t) a π чит, функция ∈ R  ,  . Но тогда по теореме Рима~   2 2  sin t на – Лебега α n ( x ) → 0 . Так как число a можно взять любым сколь угодно n→∞

малым, положительным, то из (4) следует так называемый принцип локализации: Поведение ряда Фурье любой функции f ( x ) ∈ R2 π в закрепленной точке x зависит т о л ь к о от значений, принимаемых функцией f в любой сколь угодно малой окрестности точки x . Иначе: если f ( x ) и g( x ) – две функции, принадлежащие R2 π и совпадающие в промежутке [ x − a, x + a ] ( 0 < a < π ), то в самой точке x ряды Фурье этих функций ведут себя одинаково, т. е. они или оба расходятся, или оба сходятся, и притом к одной и той же сумме. Пусть S n ( f , x ) и S n ( g , x ) – частичные суммы рядов Фурье (соответственно функций f и g ) при закрепленном x . Тогда

1 Sn ( f , x ) = π 1 S n ( g, x ) = π

∫

sin ( 2n + 1)~ ~ ~ [ f ( x + 2 t ) + f ( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ + α n ( x ) ,

∫

sin ( 2n + 1)~ ~ ~ [ g( x + 2 t ) + g( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ + β n ( x ) .

a2

0 a2 0

~  a ~ ~ t ∈ 0, , то точки x − 2 t и x + 2 t попадают в промежуток  2  [ x − a, x + a ] и, следовательно, a2 sin ( 2n + 1)~ t ~ 1 ~ ~ 2 2 + + − ⋅ ( ) ( ) f x t f x t dt = [ ] ~ π ∫ sin t

Если

0

1 = π

a2

∫

0

sin ( 2n + 1)~ ~ ~ [ g( x + 2 t ) + g( x − 2 t )] ⋅ sin ~t t dt~ .

А тогда S n ( f , x ) − S n ( g, x ) = α n ( x ) − β n ( x ) . Но α n ( x ) → 0 ; β n ( x ) → 0 . Значит, S n ( f , x ) − S n ( g, x ) → 0 .

n→∞

n→∞

n→∞

13

§4. Проблема разложения функции в ряд Фурье 1°. Пусть функция f ( x ) ∈ R2 π . Составим ряд Фурье функции f ( x ) и рассмотрим частичную сумму S n ( x ) этого ряда при закрепленном x . Мы знаем, что

1 Sn ( x ) = π

π2

∫ [ f ( x + 2t ) + f ( x − 2t )] ⋅ 0

1 1= π

π2

∫

2⋅

0

sin ( 2n + 1)t dt , sin t

sin ( 2n + 1)t dt . sin t

(1)

(2)

Пусть A – некоторое постоянное число. Умножим обе части (2) на число A и вычтем из (1) соответствующие части получившегося равенства. Получим

1 Sn ( x ) − A = π

π2

∫ [ f ( x + 2t ) + f ( x − 2t ) − 2 A] ⋅ 0

sin ( 2n + 1)t dt . sin t

(3)

Из (3) видно: для того, чтобы ряд Фурье функции f в точке x сходился и имел своей суммой число A , необходимо и достаточно, чтобы было π2

∫ n→∞ lim

0

f ( x + 2t ) + f ( x − 2t ) − 2 A sin ( 2n + 1)t dt = 0 . sin t

(4)

Из обобщенной теоремы Римана – Лебега следует, что соотношение (4) заведомо выполняется, если только существует интеграл π2

∫ 0

f ( x + 2t ) + f ( x − 2t ) − 2 A dt . sin t

(5)

Так как sin t ~ t при t → 0 , то интеграл (5) существует, если существует интеграл π2

∫ 0

f ( x + 2t ) + f ( x − 2t ) − 2 A dt , или t

π

∫ 0

f (x + t) + f (x − t) − 2A dt t

(6)

(здесь заменили 2t на t ). Таким образом, доказана теорема (признак Дини). Признак Дини. Пусть функция f ( x ) ∈ R2 π . Если в некоторой точке x окаπ

зывается, что существует интеграл

∫ 0

f (x + t) + f (x − t) − 2A dt , где A – некоt

торое постоянное число, то в этой точке x ряд Фурье функции f сходится и имеет своей суммой число A .

14

π

Замечание 1. В признаке Дини вместо существования интеграла π

a

говорить о существовании интеграла

∫

, где a > 0 , ибо интегралы

0

∫ 0

∫

можно

0

a

и

∫

схо-

0

дятся или расходятся одновременно. π

Замечание 2. Интеграл

∫ 0

f (x + t) + f (x − t) − 2A dt не может существоt

вать при двух различных значениях A . Предположим противное, а именно, допустим, что наш интеграл сходится при A = A1 и при A = A2 , где A1 ≠ A2 . Имеем:

A1 − A2 f ( x + t ) + f ( x − t ) − 2 A2 f ( x + t ) + f ( x − t ) − 2 A1 − = ⇒ t 2t 2t f ( x + t ) + f ( x − t ) − 2 A2 f ( x + t ) + f ( x − t ) − 2 A1 A1 − A2 ⇒ ≤ + . 2t 2t t

Если наше предположение верно, то получаем, что должен сходиться интеграл π

∫ 0

A1 − A2 dt , а это не так. t

Следствия признака Дини. I. Пусть: 1) f ( x ) ∈ R2 π ; 2) f ( x ) имеет в некоторой точке x конечную производную f ′( x ) . Тогда ряд Фурье функции f в этой точке x сходится и имеет своей суммой f ( x ) (т. е. в этой точке x наша функция f разлагается в ряд Фурье). Утверждение пункта I будет доказано, если показать, что существует (т. е. сходится) интеграл π

∫ 0

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) dt . t

(7)

Видим, что точка t = 0 есть единственная особая точка для несобственного интеграла (7). (В этой точке подынтегральная функция не определена.) Имеем:

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) = t t →+0 f ( x + t ) − f ( x ) f ( x − t ) − f ( x ) = lim  −  = f ′( x ) − f ′( x ) = 0 ⇒ −t  t t →+0 lim

15

⇒ подынтегральная функция в (7) является ограниченной в правой полуокрестности точки t = 0 . Значит, несобственный интеграл (7) сходится. II. Пусть: 1) f ( x ) ∈ R2π ; 2) в некоторой точке x существуют конечные односторонние производные f +′ ( x ) и f −′ ( x ) . Тогда ряд Фурье этой функции в упомянутой точке x сходится и имеет своей суммой f ( x ) . (Значит, и в такой точке x наша функция f разлагается в ряд Фурье.) Как и в случае I, достаточно убедиться в ограниченности функции

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) в правой полуокрестности точки t = 0 . А это слеt

дует из того, что

lim

t →+0

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) f ( x + t ) − f ( x ) f ( x − t ) − f ( x ) = lim  − = t t −t  t →+0 = f +′ ( x ) − f −′ ( x )

есть конечное число. III. Пусть: 1) f ( x ) ∈ R2π ; 2) в некоторой точке x существуют следующие четыре конечных предела: а) f ( x + 0) , б) f ( x − 0) ,

f ( x + t ) − f ( x + 0) f ( x − t ) − f ( x − 0) =β. = α , г) lim t −t t →+0 t →+0 Тогда ряд Фурье этой функции в упомянутой точке x сходится и имеет своей f ( x − 0) + f ( x + 0) суммой . 2 в) lim

Как

и

выше,

достаточно

убедиться

в

ограниченности

функции

f ( x + t ) + f ( x − t ) − f ( x + 0) − f ( x − 0) в правой полуокрестности точки t t = 0 . А это следует из того, что f ( x + t ) + f ( x − t ) − f ( x + 0) − f ( x − 0) lim = t t →+0 f ( x + t ) − f ( x + 0) f ( x − t ) − f ( x − 0) lim  −  = α −β t −t  t →+0 – конечное число. 2°. Случай периодической функции. В пункте 1° мы предполагали, что функция f ( x ) – периодическая с периодом 2π . Откажемся теперь от этого предположения. 16

Основная теорема. Пусть функция f ( x ) задана в промежутке [−π, π ] и в каждой точке этого промежутка имеет конечную производную f ′( x ) (здесь уже f ( x ) ∉ R2π ). Тогда ряд Фурье функции f ( x ) сходится в промежутке [−π, π ] , и его сумма S ( x ) такова:  f ( x ), если x ∈( − π, π );

 S ( x ) =  f (−π) + f (π) , если x = ± π.  2 (Теорема устанавливает разложимость функции f ( x ) в ряд Фурье в промежутке ( −π, π ) , а также сходимость этого ряда в точках x = −π , x = π .) Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g( x ) , определив ее на всей вещественной оси следующим образом: g( x ) = f ( x ), если x ∈[− π, π );

g( x + 2π ) ≡ g( x ). y

y

y = g( x )

y = f ( x)

x

x

−π π −3π График функции y = f ( x )

−π π 3π График функции y = g ( x )

5π

Рис. 1.1 Заметим, что функция g ( x ) ∈ R2π . Поэтому к ней применима вся предыдущая теория. Отметим также, что ряд Фурье для функции g( x ) совпадает с рядом Фурье для функции f ( x ) , ибо совпадают соответствующие коэффициенты этих рядов. В самом деле, имеем, например,

1 an ( g ) = π

π

1 ∫ g( t )cos nt dt; an ( f ) = π

−π

π

∫ f ( t )cos nt dt ,

n = 1, 2, K .

−π

У нас g( t ) = f ( t ) в [−π, π ) . Отсюда заключаем, что an ( g ) = an ( f ) , ибо изменение значения подынтегральной функции в одной точке не изменяет величину интеграла. а) Возьмем любую точку x ∈( − π, π ) и закрепим ее. Ясно, что g( x ) = f ( x ) . Всегда можно указать окрестность точки x : uδ ( x ) такую, что uδ ( x ) ⊂ ( − π, π ) . Взятому x дадим приращение ∆ x – любое, но такое, что ∆ x ≠ 0 и точка x + ∆ x ∈ uδ ( x ) . Имеем 17

g( x + ∆ x ) − g( x ) f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = ⇒ ∆x ∆x g( x + ∆ x ) − g( x ) f (x + ∆ x) − f (x) ⇒ lim = lim = f ′( x ) . ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x→0 Отсюда заключаем, что существует конечная производная g ′( x ) , причем g ′( x ) = f ′( x ) . А тогда, по следствию I признака Дини, ряд Фурье функции g( x ) (а значит, и функции f ( x ) ) сходится в точке x и имеет своей суммой g( x ) (а значит, f ( x ) ). б) Пусть теперь x = π . Покажем, что в этой точке выполняются условия следствия III признака Дини. Действительно, имеем: 1) g( π − 0 ) = lim g ( t ) = lim f ( t ) = f ( π ) существует, конечный; t→π−0

t→π−0

t→π+0

t →+0

2) g( π + 0) = lim g( t ) = lim g ( π + t ) = lim g ( − π + t ) = lim f ( − π + t ) = t →+0

t →+0

= f ( − π ) существует, конечный; g( π + t ) − g( π + 0) g( − π + t ) − f ( − π ) 3) lim = = lim t t t →+0 t →+0 f (−π + t ) − f (−π) = lim = f +′ ( − π ) существует, конечный; t t →+0 g( π − t ) − g( π − 0) f (π − t ) − f (π) = lim = f −′ ( π ) существует, ко4) lim −t −t t →+0 t →+0 нечный. А тогда ряд Фурье функции g( x ) (а значит, и функции f ( x ) ) в рассматриваеx=π сходится и имеет своей суммой мой точке

g( π − 0) + g( π + 0) f ( π ) + f ( − π ) . = 2 2

Совершенно аналогично устанавливается сходимость ряда Фурье функции

f (−π) + f (π) в точке x = −π . 2 Замечание 1. Если, в частности, f ( − π ) = f ( π ) , то функция f ( x ) разлагается в ряд Фурье в замкнутом промежутке [−π, π ] . f ( x ) к сумме

Замечание 2. Так как члены ряда Фурье есть функции периодические с периодом 2π , то и его сумма S ( x ) является периодической с периодом 2π , т. е. S ( x + 2π ) = S ( x ) , x ∈( − ∞,+ ∞ ) . Замечание 3. Основная теорема допускает следующее обобщение (оно доказывается аналогичными рассуждениями). Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Тогда: 1) в каждой точке x ∈( − π, π ) , в которой существуют четыре конечных предела: 18

а) f ( x − 0) ,

б) f ( x + 0) ,

f ( x + t ) − f ( x + 0) f ( x − t ) − f ( x − 0) , г) lim , t −t t →+0 t →+0 f ( x − 0) + f ( x + 0) ряд Фурье функции f ( x ) сходится и имеет своей суммой: ; 2 2) ряд Фурье функции f ( x ) сходится в точках x = −π , x = π к сумме f ( − π + 0) + f ( π − 0) , если существуют четыре конечных предела: 2 а) f ( − π + 0) , б) f ( π − 0) , f ( − π + t ) − f ( − π + 0) f ( π − t ) − f ( π − 0) в) lim , г) lim . t −t t →+0 t →+0 Заметим, что если точка x ∈( − π, π ) является точкой непрерывности функции f ( x ) , то в этой точке f ( x − 0) = f ( x ) , f ( x + 0) = f ( x ) и, следовательно, f ( x − 0) + f ( x + 0) y = f (x) . 2 2 Пример. Пусть 0, если x ∈[− π, 0); 1  f ( x ) = 2, если x = 0; x 1, если x ∈( 0, π ]. −π π 0  Видим, что f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Найдем Рис. 1.2. График функции y = f ( x ) в) lim

коэффициенты Фурье этой функции.

1 A= 2π 1 an = π

π

∫

−π π

∫

−π

1  f ( x ) dx = 2π 

0

π

−π

0

∫ f ( x ) dx + ∫

π  1 0  1    f ( x ) dx  =  ∫ 0 ⋅ dx + ∫ 1 ⋅ dx  = 2 ; 2 π   −π  0

π 0  1  f ( x )cos nx dx =  ∫ 0 ⋅ cos nx dx + ∫ 1 ⋅ cos nx dx  = 0, n = 1, 2, K ; π  −π

1 bn = π

π

∫

−π

0

π 0  1  f ( x )sin nx dx =  ∫ 0 ⋅ sin nx dx + ∫ 1 ⋅ sin nx dx  = π 

1 = − cos nx nπ

−π

π 0

1 − ( −1)n = nπ

0

0, если n − четное;  ⇒ bn =  2  nπ , если n − нечетное.

Получаем, следовательно: 1) Для x ∈( − π, 0 ) U ( 0, π ) :

f (x) =

sin ( 2 n − 1) x 1 2  sin x sin 3x sin 5 x  +  + + +K+ +K ; 2 π 1 3 5 2n − 1  19

2) Сумма S ( x ) ряда Фурье в точке x = 0 равна:

f ( −0) + f ( +0) 0 + 1 1 = = . 2 2 2 3) Сумма S ( x ) ряда Фурье в точках x = −π ; x = π равна: f (−π) + f (π) 0 + 1 1 S (±π) = = = . 2 2 2 y S ( 0) =

1

x

12

−3π

− 2π

−π

π Рис. 1.3. График функции y = S ( x ) 0

2π

3π

§5. Ряды Фурье четных и нечетных функций I. Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) и f ( x ) – четная. Найдем выражения для коэффициентов Фурье в этом случае. Имеем:

1 A= 2π 1 an = π

π

π

∫

π

1 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx, { π

− π четн.

(1)

0

π

2 f ( x ) ⋅ cos nx dx = ∫ f ( x )cos nx dx , n = 1, 2, K , 123 ∫{ π четн. −π 1 0 . четн 4243

(2)

четн. π

bn =

1 π

f ( x ) ⋅ sin nx dx = 0, 123 ∫{

−π 1 четн. 42нечетн. 43

n = 1, 2, K .

нечетн.

Таким образом, доказана теорема. Пусть: 1) f ( x ) ∈ R([−π, π ]) , 2) f ( x ) – четная. Ряд Фурье такой функции не содержит синусов кратных дуг, т. е. ∞

f ( x ) ~ A + ∑ an cos nx , n =1

причем коэффициенты A, a n ( n = 1, 2, K ) можно вычислить по формулам:

20

(3)

π

π

1 A = ∫ f ( x ) dx; π

2 an = ∫ f ( x )cos nx dx . π

0

0

II. Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) и f ( x ) – нечетная. Для коэффициентов Фурье функции f ( x ) в этом случае будем иметь:

1 A= 2π an =

1 bn = π

1 π

π

π

f ( x ) dx = 0, ∫{

− π нечетн.

f ( x ) ⋅ cos nx dx = 0, 123 ∫{

четн. −π 1 нечетн. 424 3 нечетн.

π

(4)

n = 1, 2, K ,

(5)

π

2 f ( x ) ⋅ sin nx dx = ∫ f ( x )sin nx dx, n = 1, 2, K . 123 ∫{ π нечетн. −π нечетн. 0 14243

(6)

четн.

Следовательно, доказана теорема. Пусть: 1) f ( x ) ∈ R([−π, π ]) , 2) f ( x ) – нечетная. Ряд Фурье такой функции не содержит свободного члена и косинусов кратных дуг, т. е. ∞

f ( x ) ~ ∑ bn sin nx , n =1

причем коэффициенты bn ( n = 1, 2, K ) можно вычислить по формуле: π

2 bn = ∫ f ( x )sin nx dx . π 0

Пример 1. Пусть f ( x ) = x , x ∈[− π, π ] . Видим, что для этой функции выполнены условия основной теоремы. Кроме того, замечаем, что f ( − x ) = − f ( x ) , т. е. f ( x ) – нечетная. Поэтому A = 0 ; an = 0 ( n = 1, 2, K ); π π π   π 2 2 2  bn = ∫ x sin nx dx = − ∫ x ⋅ d cos nx = − x cos nx 0 − ∫ cos nx dx  = nπ nπ  π  0 0 0 424 1 3     =0 2 2 2 = − π cos nπ = − ⋅ ( −1)n = ( −1)n +1 ⋅ . nπ n n

Получаем, следовательно: 1) Для x ∈∈( − π, π ) : 21

sin x sin 2 x sin 3x sin nx x = 2 ⋅  − + − K + ( −1)n +1 ⋅ + K  .  1  2 3 n 2) Сумма S ( x ) ряда Фурье в точках x = −π ; x = π равна: f (−π) + f (π) −π + π S (±π) = = = 0. 2 2 Изобразим графически y = x и y = S ( x ) .

y

y x

−π

π

x

−5π

−3π

Рис. 1.4. График функции

−π

π

3π

5π

Рис. 1.5. График функции y = S ( x )

y = f (x)

Пример 2. Пусть f ( x ) = x 2 , x ∈[− π, π ] . Видим, что для этой функции выполнены условия основной теоремы. Замечаем, далее, что f ( − x ) = f ( x ) , т. е. f ( x ) – четная. Поэтому bn = 0 ( n = 1, 2, K ). π

1 2 π2 A = ∫ x dx = . π 3 π

π

0

π  π 2 2 2 2  2 2 an = ∫ x cos nx dx = x d sin nx = x sin nx − x sin nx dx 2  = ∫ π nπ ∫ nπ 142430   0 0 0 =0 π π  4 4  4 4 π = 2 ∫ x d cos nx = 2  x cos nx 0 − ∫ cos nx dx  = 2 = ( −1)n ⋅ 2 n π0 n π  n cos nπ n 0 424 1 3  =0 ( n = 1, 2, K ) .

Получаем, следовательно,

π2 cos nx  cos x cos 2 x cos 3x  − 4⋅ 2 − + 2 − K + ( −1)n −1 2 + K  . x = (7) 2 3  1  2 3 n Отметим, что равенство (7) верно д л я в с е х x ∈[− π, π ] , ибо f ( − π ) = f ( π ) . 2

Изобразим графически y = x 2 и y = S ( x ) .

22

y

y

x −π

x

π

Рис. 1.6. График функции

y = f (x)

−5π

−3π

−π

π

3π

5π

Рис. 1.7. График функции y = S ( x )

Положим в равенстве (7) x = π . Получим:

1 π2  1 1 1 + 4 2 + 2 + 2 + K + 2 + K  π = 3  1 2 3 n 2

⇒

∞

1 π2 π2 π2 ∑ n2 = 4 − 12 = 6 . n =1

Итак,

Найдем сумму ряда

1 1 1 1 π2 + + + K + + K = . 2 2 2 2 6 1 2 3 n

(8)

1 1 1 1 + 2 + 2 +K+ +K . 2 1 3 5 ( 2 n − 1)2

(9)

Для этого подсчитаем сначала сумму ряда

1 1 1 1 + 2 + 2 +K+ +K . 2 2 4 6 ( 2 n )2

(10)

Имеем:

1 1 1 1 1 1 1 1 1  (8) 1 π2 π2 + + +K+ +K=  2 + 2 + 2 +K+ 2 +K = ⋅ . = 4 1 2  4 6 24 n 22 4 2 6 2 3 ( 2 n )2 Но тогда

π2 π2 π2 1 1 1 1 + + + K + + K = − = . 2 2 2 2 6 24 8 ( 2 n − 1) 1 3 5 §6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в «неполном» промежутке

Пусть функция f ( x ) задана в промежутке [a, π ] , где − π < a < π , непрерывна там и имеет конечные f +′ ( x ) , f −′ ( x ) . Выберем произвольную функцию g( x ) , заданную в промежутке [−π, a ) , непрерывную там и имеющую конечные g+′ ( x ) , g−′ ( x ) . Пусть, кроме того, функция g( x ) такая, что существуют конеч-

23

g( x ) − g( a − 0) . Введем в рассмотx−a x→a − 0

ные пределы: g( a − 0) = lim g ( x ) ; lim x→a − 0

рение «составную» функцию F ( x ) , положив:  f ( x ), если x ∈[a, π ],

F( x) =   g( x ), если x ∈[− π, a ).

(1)

К функции F ( x ) уже применима предыдущая теория (основная теорема и ее обобщение). Согласно этой теории, для всех x ∈[− π, π ] , кроме, быть может, точек: x = a , x = −π , x = π , будет ∞

F ( x ) = A + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .

(2)

n =1

В частности, для всех x ∈( a , π ) будет ∞

f ( x ) = A + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) n =1

y = g( x )

y

y = f (x)

x −π

π Рис. 1.8. График функции y = F ( x ) a

(3)

(ибо F ( x ) = f ( x ) , x ∈( a , π ) ). Отметим, что согласно той же теории, ряд, стоящий в правой части (3), сходится и при x = a и при x = π , причем сумма его S ( x ) в этих точках такова:

S (a ) =

g( a − 0) + f ( a ) 2

( f ( x ) задана и непрерывна справа в точке x = a ),

S (π) =

g( − π ) + f ( π ) . 2

Следует иметь в виду, что в правой части равенства (3) стоит ряд Фурье функции F ( x ) . Поэтому a π π  1 1  A= F ( x ) dx = g ( x ) dx + f ( x ) dx  ; ∫ 2π ∫ 2π  ∫  a −π − π a π π  1 1 an = ∫ F ( x )cos nx dx =  ∫ g( x )cos nx dx + ∫ f ( x )cos nx dx  , n = 1, 2,K; (4) π π  a − π −π a π π  1 1 bn = ∫ F ( x )sin nx dx =  ∫ g( x )sin nx dx + ∫ f ( x )sin nx dx  , n = 1, 2,K . π π  a − π −π

24

«дополнительная» функция g( x ) такая, что g( a − 0) = f ( a ) , g( − π ) = f ( π ) , то разложение (3) будет верно во всем замкнутом промежутке [a, π ] . Замечание 2. Из формул (4) видим, что коэффициенты A, an , bn ( n = 1, 2, K ) в ряде (3) зависят от g( x ) , а g( x ) – произвольная функция. Поэтому существует бесчисленное множество тригонометрических рядов, представляющих нашу функцию f ( x ) , заданную в «неполном» промежутке (напомним, что для функции f ( x ) , заданной на промежутке [−π, π ] есть только один тригонометрический ряд, равномерно сходящийся, представляющий f ( x ) – это её ряд Фурье). Рассмотрим случай, когда a = 0 . I. В этом случае можно, в частности, положить g( x ) = f ( − x ), x ∈[−π, 0) . (5) При этом будет: g( −0) = f ( 0); g( − π ) = f ( π ) . (6) y При таком выборе «дополнительной» y = f (x) функции g( x ) «составная» функция y = g( x ) F ( x ) оказывается четной и будет, следовательно, разлагаться в ряд Фуx рье по косинусам. Принимая во вни−π π мание замечание 1, будем иметь д л я Рис. 1.9. График функции y = F ( x ) в с е х x ∈[0, π ] : Замечание

1.

Если

∞

f ( x ) = A + ∑ an cos nx ,

(7)

n =1

причем здесь

π

π

0

0

1 1 A = ∫ F ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx , π π π

π

2 2 an = ∫ F ( x )cos nx dx = ∫ f ( x )cos nx dx , n = 1, 2, K , π π 0

0

так как F ( x ) = f ( x ) для x ∈[0, π ] . II. В случае, когда a = 0 , можно также, в частности, положить g( x ) = − f ( − x ), x ∈[−π, 0) . При таком выборе «дополнительной» функции g( x ) «составная» функция F ( x ) будет разлагаться в ряд Фурье по синусам. Это разложение будет справедливо, вообще говоря, лишь для x ∈( 0, π ) , т. е. получим 25

∞

f ( x ) = ∑ bn sin nx , x ∈( 0, π ) ,

(8)

n =1

причем здесь

π

π

0

0

2 2 bn = ∫ F ( x )sin nx dx = ∫ f ( x )sin nx dx . π π Ряд, стоящий в правой части равенства (8), сходится и при x = 0 и при x = π . y Его сумма S ( x ) в этих точках равна y = f (x) нулю. Заметим, что если функция f ( x ) , заданная на промежутке [0, π ] , такая, что f ( 0) = 0 и x −π f ( π ) = 0 , то разложение (8) будет π y = g( x ) верно в замкнутом промежутке [0, π ] ; если же f ( 0) = 0 , а f ( π ) ≠ 0 , то разложение (8) будет Рис. 1.10. График функции y = F ( x ) верно в [0, π ) . Пример.

Пусть

f ( x) = x2 ,

x ∈[0, π ] , разложена в ряд Фурье по синусам (значит, g( x ) = − x 2 , x ∈[− π, 0) ). Пусть S ( x ) – сумма ряда. Здесь

x2 = S( x) верно при g( − π ) + f ( π ) − π 2 + π 2 ( S (π) = = = 0 ). 2 2 y

−π y = g( x )

f ( π ) = π 2 ( ≠ 0) . Равенство

f ( 0) = 0 ;

0 ≤ x < π.

S( π ) = 0

y

y = f (x) x π

x −4π −3π −2π −π

0

π

2π 3π 4π 5π

Рис. 1.11. График функции

y = F( x)

26

Рис. 1.12. График функции y = S ( x )

6π

§7. Сдвиг основного промежутка Отметим, что основная теорема и ее обобщение, установленные для случая, когда функция f ( x ) была задана на промежутке [−π, π ] , целиком переносятся на тот случай, когда функция f ( x ) задается на каком-нибудь другом промежутке [a, a + 2π ] той же длины 2π . Только в этом случае, вычисляя коэффициенты Фурье A, an , bn в качестве пределов интегрирования следует брать концы промежутка [a, a + 2π ] . Пример. Разложить в ряд Фурье в промежутке [0, 2π ] функцию f ( x ) = x . Видим, что f ( x ) в промежутке [0, 2π ] удовлетворяет условиям основной теоремы. Находим коэффициенты Фурье этой функции:

1 1) A = 2π 1 2) an = π

1 3) bn = π

2π

2π

∫

1 f ( x ) dx = 2π

∫

1 f ( x )cos nx dx = π

0 2π 0

2π

∫

0

∫ x dx = π . 0

2π

2π

0 2π

0

1 ∫ x cos nx dx = πn

∫ x d (sin nx ) =

 2π 1  =  x sin nx 0 − ∫ sin nx dx  = 0, n = 1, 2, K . πn 1424 3  =0 0 424 1 3  =0 1 f ( x )sin nx dx = π

2π

2π

0 2π

0

1 x sin nx dx = − ∫ nπ

∫ x d (cos nx ) =

 1  2 2π = −  x cos nx 0 − ∫ cos nx dx  = − , n = 1, 2, K . nπ  n  0 424 1 3  =0 Получаем, таким образом: 1) для x ∈( 0, 2π ) :

sin x sin 2 x sin 3x sin nx x = π − 2 + + +K+ + K  ; (1)  1  2 3 n 2) сумма S ( x ) ряда, стоящего в правой части (1), на концах промежутка, т. е. при x = 0 и при x = 2π , равна: f ( 0 ) + f ( 2π ) 0 + 2π = = π. 2 2

27

y

y 2π

y=x

π

x 0

2π

− 4π

Рис. 1.13. График функции y = f ( x )

−2π

0

x 2π

4π

6π

Рис. 1.14. График функции y = S ( x )

§8. Растяжение основного промежутка Пусть функция f ( x ) ∈ R([− l , l ]) , где l > 0 – любое конечное число. Заме-

lz ∈[− l , l ]. Поэтому, если сделать замену, полоπ lz lz = x , то мы получим функцию f   , т. е. функцию аргумента z , зажив  π π данную в промежутке [−π, π ] . тим, что если z ∈[− π, π ] , то

Ясно, что: 1) если f ( x ) ∈ R([− l , l ]) , то f 

lz  ∈ R([− π, π ]) ;  π

2) если f ( x ) непрерывна на промежутке [−l , l ] , то f 

lz  непрерывна на  π

промежутке [−π, π ] ; 3) если у функции f ( x ) на промежутке [−l , l ] существует конечная производная f ′( x ) , то у функции f 

lz  существует конечная производная на про π

межутке [−π, π ] , и т. д. К функции f 

lz  , заданной в промежутке [−π, π ] , применима предыдущая  π

теория (т. е. основная теорема и ее обобщение). Так, предполагая, например, функцию f 

lz  дифференцируемой в промежутке [−π, π ] , будем иметь для  π всех z ∈( − π, π ) : ∞

lz f   = A + ∑ ( an cos nz + bn sin nz ) ,  π n =1

где 28

(1)

1 A= 2π

π

∫

−π

π

lz 1 f   dz; an =  π π

∫

−π

lz 1 f   cos nz dz; bn =  π π n = 1, 2, K .

π

∫

−π

lz f   sin nz dz ,  π

Ряд, стоящий в правой части (1), сходится и на концах промежутка; его сумма в точках z = −π , z = π , равна:

lz lz f   + f    π  z =− π  π  z = π f ( −l ) + f (l ) . = 2 2

πx (ясно, что есl ли z ∈[− π, π ] , то x ∈[− l , l ] ). Будем иметь тогда вместо (1) для всех x ∈( − l , l ) : Вернемся теперь к прежней переменной, т. е. положим z = ∞

nπx nπx  f ( x ) = A + ∑  an cos + bn sin .  l l  n =1

Формулы для коэффициентов A, an, bn подстановкой z = ду

1 A= 2l

l

∫

−l

l

l

−l

−l

(2)

πx приводятся к виl

nπx nπx 1 1 f ( x ) dx; an = ∫ f ( x )cos dx; bn = ∫ f ( x )sin dx , l l l l

n = 1, 2, K . Сумма S ( x ) ряда (2) в точках x = − l ; x = l будет равна сумме ряда (1) в точках f ( −l ) + f (l ) z = −π , z = π , а, следовательно, равна . 2 Отметим также, что S ( x + 2l ) ≡ S ( x ) . π π Пример 1. Разложить в ряд Фурье в промежутке − ,  функцию  2 2  f ( x ) = x cos x . π π π Имеем здесь: [− l , l ] = − ,  ⇒ l = .  2 2  2 f ( − x ) = − x cos( − x ) = − x cos x = − f ( x ) ⇒ f ( x ) – нечетная функция. Значит, A = 0 ; an = 0 , n = 1, 2, 3, K ; l

2 4 nπx bn = ∫ f ( x )sin dx = l l π =

4 π

0 π2

∫ 0

x⋅

π2

∫ x cos x sin 2nx dx = 0

1 sin ( 2 n + 1) x + sin ( 2n − 1) x ] dx = 2[ 29

2 =− π

π2

∫

0

 cos( 2n + 1) x cos( 2n − 1) x  xd + dx = 2 n − 1   2n + 1 x=

π 2

2  cos( 2n + 1) x cos( 2n − 1) x  = − x + + 2 n − 1  x = 0 π  2n + 1 1444444 424444444 3 =0 2 + π

π2

∫ 0

 cos( 2n + 1) x cos( 2n − 1) x  dx = +  2 n + 1 2n − 1  x=

π 2

(

)

(

)

π π 2  sin nπ + 2 sin nπ − 2  =  + = 2 π  ( 2 n + 1)2 2 1 ( n ) −  x =0  ( −1)n  ( −1)n +1 −8n 2  ( −1)n 16 n n 2 = − ⋅ ⋅ = ⋅ − 1 ( ) =  .  π  ( 2n + 1)2 ( 2 n − 1)2  π ( 4n 2 − 1)2 π ( 4n 2 − 1)2 π π π π Так как f  −  = f   и f ( 0) = 0 , то для всех x ∈ − ,  будем иметь  2  2  2 2  ∞ ( −1)n +1 n 16 x cos x = ∑ 2 ⋅ sin 2 nx . 2 π − ( n ) 4 1 n =1 Замечание. Всё установленное в §8 для функции f ( x ) , заданной на промежутке [−l , l ] , целиком переносится на тот случай, когда функция f ( x ) задается на каком-нибудь другом промежутке [a, a + 2l ] той же длины 2l . Только в

2  sin ( 2n + 1) x sin ( 2n − 1) x  =  +  π  ( 2n + 1)2 ( 2n − 1)2 

y 1 x 1

2

3

этом случае, вычисляя коэффициенты Фурье A, an , bn , в качестве пределов интегрирования следует брать концы промежутка [a, a + 2l ] . Пример. Разложить в ряд Фурье в промежутке [0, 3] функцию  x , если 0 ≤ x ≤ 1;

 f ( x ) = 1, если 1 < x < 2; y = f (x) 3 − x , если 2 ≤ x ≤ 3.  3 В этом примере имеем 2l = 3 ⇒ l = . 2 2l 1 2 3  1 1 A = ∫ f ( x ) dx =  ∫ x dx + ∫ 1⋅ dx + ∫ (3 − x ) dx  = 2l 3  0 0 1 2

Рис. 1.15. График функции

30

 1 x2 =  3 2 

1

 x2  + x +  3x −  2  0 2 1

3

 = 2; 3 2 

2l

1 nπx an = ∫ f ( x )cos dx = l l 0

3 2 2nπx 2nπx 2nπx  =  ∫ x cos dx + ∫ cos dx + ∫ (3 − x )cos dx  = 3 3 3 3  0 1 2

1

2

2 3 2 nπx 9 2 nπx 3 2nπx =  + 2 2 cos + sin + x sin 3  2nπ 3 0 4n π 3 0 2 nπ 3 1 1

1

2

3 3 3 9 2nπx 3 2nπx 9 2nπx  + sin − − cos = x sin 2nπ 3 2 2nπ 3 2 4n2π 2 3 2  2 3 2nπ 9 2nπ 9 3 4 nπ =  − 0 + 2 2 cos − 2 2+ − sin sin 3  2nπ 3 3 2 nπ 3 4n π 4n π 3 2 nπ 9 4 nπ 6 4nπ 9 9 4 nπ  − − + − 2 2 + 2 2 cos . sin sin sin 2nπ 3 2 nπ 3 2nπ 3 3  4n π 4n π 4 nπ 2nπ  2nπ = cos = cos  2nπ − , то получаем: Так как cos  3 3  3 2πn 4 9  2πn  3 1 − cos 3 an = ⋅ 2 2 cos −1 = − 2 ⋅ , n = 1, 2, K .  3 4n π  3 π n2

2l

1 nπx bn = ∫ f ( x )sin dx = l l 0

3 2 2nπx 2nπx 2nπx  =  ∫ x sin dx + ∫ sin dx + ∫ (3 − x )sin dx  = 3 3 3 3  0 1 2

1

2

2 3 2nπx 9 2nπx 3 2nπx − − = − + 2 2 sin x cos cos 3  2nπ 3 0 4n π 3 0 2nπ 3 1  3 3 9 2nπx 2 nπx 9 2nπx    3 − − − + 2 2 sin cos x cos  = 2 nπ 3 2  2 nπ 3 3  2 4n π  2 3 2nπ 9 2 nπ 3 4nπ 3 2nπ = − + 2 2 sin − + − cos cos cos 3  2nπ 3 3 2 nπ 3 2 nπ 3 4n π 1

1

2

31

9 9 4 nπ 9 6 4nπ 9 4nπ  + + − + 2 2 sin = cos cos 2nπ 2nπ 3 2nπ 2nπ 3 3  4n π 2 9 2 nπ 4πn  = ⋅ 2 2  sin + sin . 3 4n π  3 3  4πn 2nπ  2nπ = sin  2nπ − = − sin , то bn = 0 , n = 1, 2, 3, K . Так как sin  3 3  3 У нас f ( x ) ∈ C([0, 3]) и f ( 0) = f (3) . Поэтому для всех x ∈[0, 3] будет 2πn ∞ 1 − cos 2 3 3 cos 2nπx . f (x) = − 2 ∑ 3 π 3 n2 −

y

n =1

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

Рис. 1.16. График функции y = S ( x )

§9. Интеграл Фурье I. Наводящие соображения. Пусть функция f ( x ) задана на всей оси, т. е. в промежутке ( − ∞, + ∞ ) и н е я в л я е т с я п е р и о д и ч е с к о й . Пусть всюду в промежутке ( − ∞, + ∞ ) она имеет конечную производную f ′( x ) . Пусть, наконец, функция f ( x ) такая, что +∞

∫

f ( x ) dx сходится. Выберем и закрепим какую-нибудь точку x . Всегда мож-

−∞

но указать число l столь большое, что выбранное x будет удовлетворять условию: − l < x < l . Так как f ( x ) в промежутке [−l , l ] удовлетворяет условиям основной теоремы (см. теорию рядов Фурье), то в выбранной точке x будет: ∞

nπx nπx  f ( x ) = A + ∑  an cos + bn sin ,  l l 

(1)

n =1

где

1 A= 2l Имеем: 32

l

∫

−l

l

l

−l

−l

nπt nπt 1 1 f ( t ) dt , an = ∫ f ( t )cos dt , bn = ∫ f ( t )sin dt , n = 1, 2, K . l l l l

1 A≤ 2l

l

1 f ( t ) dt ≤ 2l

∫

−l

+∞

∫

f ( t ) dt =

−∞

Q . 2l +∞

Здесь через Q обозначена величина несобственного интеграла

∫

∫

f ( t ) dt ; Q –

−∞

+∞

конечное число, ибо по условию

(2)

f ( t ) dt сходится. Из (2) следует, что A → 0

−∞

при l → +∞ . Будем считать l весьма большим. Тогда A весьма мало, и потому ∞

nπx nπx  f ( x ) ≈ ∑  an cos + bn sin .  l l 

(3)

n =1

Подставив в (3) вместо an и bn их выражения, будем иметь ∞

l

nπt nπx nπt nπx  1 f ( x ) ≈ ∑ ∫ f ( t ) ⋅ cos cos + sin sin dt .  l l l l l 

(4)

n =1 − l

(У нас x – закрепленное число, поэтому множители, зависящие от x , вносим под знак интеграла.) Так как cos

nπx nπt nπx nπ nπt + sin = cos ( t − x ) , cos sin l l l l l

то приближенное равенство (4) примет вид l

∞

nπ 1 f ( x ) ≈ ∑ ∫ f ( t )cos ( t − x ) dt . l l ∞

Заметим что интегралы

n =1 − l

∫ f ( t )cos

−∞

nπ f ( t )cos ( t − x ) ≤ f ( t ) , а l

nπ ( t − x ) dt , n = 1, 2, K , сходятся, ибо l

+∞

∫

f ( t ) dt сходится. Поскольку l велико, то без

−∞

l

большой

−∞

∫ f ( t )cos

вместо

−l

+∞

∫

ошибки

f ( t )cos

(5)

nπ ( t − x ) dt l

можно

брать

nπ ( t − x ) dt . А тогда вместо (5) будем иметь l ∞

1 f (x) ≈ ∑ l

∞

∫ f ( t )cos

n =1 −∞

nπ ( t − x ) dt . l

(6)

Введем в рассмотрение функцию 33

∞

F( z ) =

∫ f (t )cos z( t − x ) dt .

(7)

−∞

F ( z ) – непрерывная функция аргумента z (подынтегральная функция в (7) – непрерывная функция аргументов t и z ; интеграл, стоящий в правой части (7), сходится равномерно относительно z , ибо f ( t )cos z ( t − x ) ≤ f ( t ) , а +∞

∫

f ( t ) dt сходится). Положим

−∞

z0 = 0; z1 = ∞

Тогда F ( z n ) =

∫

π 2π 3π nπ ; z2 = ; z3 = ; K ; z n = ; K. l l l l

f ( t )cos

−∞

nπ ( t − x ) dt , и (6) может быть записано в виде l ∞

1 f ( x ) ≈ ∑ F ( zn ) . l Имеем ∆ z n = z n − z n −1 =

π l

(8)

n =1

⇒

иметь

1 ∆ zn = и, следовательно, вместо (8) будем l π ∞

1 f ( x ) ≈ ∑ F ( zn ) ∆ zn . π

(9)

n =1

Сумма, стоящая в правой части (9), – вроде «интегральной суммы Римана» и

1 при больших l она должна быть близка к интегралу π

+∞

∫ F ( z ) dz

(чем больше

0

l , тем мельче дробление). Таким образом, приходим к выводу: приближенное равенство

1 f (x) ≈ π

+∞

∫ F ( z ) dz

(10)

0

тем точнее, чем больше l . Но так как ни левая, ни правая части этого приближенного равенства от l не зависят, то оно точное, т. е.

1 f (x) = π

+∞

∫ F ( z ) dz 0

⇒

1 f (x) = π

+∞

∞

∫ dz ∫ f ( t )cos z(t − x ) dt . 0

−∞

(11) – интегральная формула Фурье. II. Строгая теория. Лемма. Пусть: 1) функция ϕ( t ) определена в промежутке [0, + ∞ ) и непрерывна там; 34

(11)

+∞

2) сходится

∫ ϕ ( t ) dt ;

0 1

3) сходится

∫ 0

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) dt . t

Тогда

+∞

∫ ϕ (t ) ⋅ a →+∞ lim

0

sin at π dt = ϕ ( 0) ⋅ . t 2

+∞

Покажем сначала, что J ( a ) =

∫ ϕ (t ) 0

(12)

sin at dt сходится при любом a . Виt

дим, что у несобственного интеграла J ( a ) две особые точки: t = 0 и t = + ∞ . Поэтому представляем J ( a ) в виде: +∞

1

sin at sin at J (a ) = ∫ ϕ (t ) dt + ∫ ϕ ( t ) dt . t t 0 4 1 44244 1 4244 3 1 3 = J1 = J2 Рассмотрим J1 . У него точка t = 0 – единственная особая точка. Имеем sin at lim ϕ ( t ) = a ⋅ ϕ ( 0 ) – конечное число при любом a . Значит, подынтеt t →+0 гральная функция в J1 – ограниченная в правой полуокрестности точки t = 0 . Следовательно, J1 сходится при любом a . Рассмотрим J 2 . У него точка t = +∞ – единственная особая точка. Имеем: sin at если t ≥ 1 , то ϕ ( t ) ≤ ϕ ( t ) при любом a . По условию t +∞

⇒

∫ ϕ ( t ) dt

+∞

∫ ϕ ( t ) dt сходится 0

сходится, а, следовательно, J 2 сходится при любом a . Общий

1

вывод: J ( a ) сходится при любом a . +∞

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. По условию,

∫ ϕ ( t ) dt

схо-

0

дится. Значит, он представляет собой некоторое конечное число. Поэтому можно выбрать число M > 0 столь большим, чтобы было:

1 ⋅ M

+∞

ε

∫ ϕ ( t ) dt < 3 .

(13)

0

35

Представим интеграл J ( a ) в виде: M

+∞

0

M

sin at J (a ) = ∫ ϕ (t ) dt + t

∫ ϕ (t )

sin at dt = t

M

M

+∞

0

0

M

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) sin at =∫ sin at dt + ϕ ( 0) ∫ dt + t t Во

втором

интеграле

M

aM

0

0

sin at ∫ t dt =

∫

справа

сделаем

∫ ϕ (t )

замену

sin at dt . t ~ at = t . Получим

aM ~ sin t ~ sin t ~ dt ( = ∫ t dt , так как переменную интегрирования t 0

можно обозначать любой буквой). А тогда J ( a ) запишется в виде M

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) J (a ) = ∫ sin at dt + t Так как

π = 2

+∞

∫ 0

0

sin t dt = t

aM

∫ 0

sin t dt + t

π ϕ ( 0) ⋅ = ϕ ( 0) ⋅ 2 Поэтому

aM

∫ 0

+∞

∫

aM

+∞

∫

M

sin at dt + ϕ ( 0) ϕ (t ) t

aM

∫

0

sin t dt . t

(14)

sin t dt , то t

sin t dt + ϕ ( 0) ⋅ t

+∞

∫

aM

sin t dt . t

M

+∞

+∞

0

M

aM

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) sin at sin t π dt − ϕ ( 0) ∫ dt . (15) J ( a ) − ϕ ( 0) = ∫ sin at dt + ∫ ϕ ( t ) t t t 2 Произведем оценку каждого из трех членов правой части (15). 1) Имеем M

∫ 0

M

1

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) ϕ ( t ) − ϕ ( 0) ϕ (t ) − ϕ (0) dt = ∫ dt + ∫ dt ⇒ t t t 0 442443 1 1 442443 1 (сходится по условию) (собственный интеграл)

M

⇒

∫ 0

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) dt сходится. А тогда по обобщенной теореме Римана – Лебеt

га M

∫ a →+∞ lim

0

36

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) sin at dt = 0 . t

Последнее означает, что взятому ε > 0 отвечает число A1 > 0 такое, что как M

только a > A1 , так сейчас же

∫ 0

+∞

2) Имеем

∫

M

sin at ϕ (t ) dt ≤ t +∞

3) Известно, что

∫

aM

ϕ ( t ) − ϕ ( 0) ε sin at dt < . t 3 +∞

∫

M

ϕ (t ) 1 dt < M M

+∞

ε

∫ ϕ (t ) dt < 3 (см. (13)). 0

sin t dt сходится. Значит, lim t a →+∞

+∞

∫

aM

sin t dt = 0 . Следоваt

тельно, взятому числу ε > 0 отвечает число A2 > 0 такое, что как только +∞

a > A2 , так сейчас же ϕ ( 0) ⋅

∫

aM

a>A

при

будем иметь

sin t ε dt < . Положим A = max{ A1, A2} . Тогда t 3

J ( a ) − ϕ ( 0) ⋅

π < ε . Последнее означает, что 2

π J ( a ) → ϕ ( 0) ⋅ . 2 a →+∞ Теорема. Пусть: 1) функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке ( − ∞, + ∞ ) ; +∞

2) f ( x ) такая, что

∫

f ( x ) dx сходится.

−∞

Тогда 1

∫ 0

в

каждой

точке

x ∈( − ∞, + ∞ ) , в которой сходится интеграл

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) dt , справедливо равенство: t 1 f (x) = π

+∞

+∞

∫ dz ∫ f (t )cos z( t − x ) dt . 0

(16)

−∞

Рассмотрим функцию: f ( t )cos z ( t − x ) . Это непрерывная функция аргументов t и z ( x здесь закреплено; это та точка, для которой устанавливается +∞

формула (16)). Так как f ( t )cos z ( t − x ) ≤ f ( t ) и так как +∞

то

∫ f ( t )cos z( t − x ) dt = F ( z )

∫

f ( t ) dt сходится,

−∞

сходится равномерно относительно z . Таким

−∞

образом, приходим к заключению, что F ( z ) – непрерывная функция параметра 37

z и ее можно интегрировать по z на любом конечном промежутке под знаком интеграла, т. е. a

a

+∞

+∞

0

0

−∞

−∞

∫ F ( z ) dz = ∫ dz ∫ f ( t )cos z( t − x ) dt = ∫ или a

∫ dz 0

+∞

∫

a  f ( t )  ∫ cos z ( t − x ) dz  dt , 0 

+∞

f ( t )cos z ( t − x ) dt =

−∞

∫

−∞

f (t )

sin a ( t − x ) dt . t−x +∞

Интеграл, стоящий в правой части (17), разобьем по схеме

∫

и t на x + t1 в интеграле

−∞

+∞

∫

=

∫+∫

∫

. Тогда равенство

−∞

x

+∞

+∞

sin at ∫ dz ∫ f ( t )cos z( t − x ) dt = ∫ [ f ( x + t1 ) + f ( x − t1 )] t1 1 dt1 . 0

и заме-

x

(17) примет вид: a

x

−∞ +∞

x

ним t на x − t1 в интеграле

(17)

−∞

(18)

0

К правой части (18) можно применить лемму, положив f ( x + t1 ) + f ( x − t1 ) = ϕ ( t1 ) . Заметим, что функция ϕ( t1 ) удовлетворяет условиям леммы. В самом деле: 1) ϕ( t1 ) определена и непрерывна на промежутке [0, + ∞ ) , ибо функция f определена и непрерывна на промежутке ( − ∞, + ∞ ) ; +∞

2)

+∞

∫ ϕ( t1 ) dt1 = ∫

0 +∞

∫

f ( x + t1 ) + f ( x − t1 ) dt1 – сходится, ибо

0

+∞

f ( x + t1 ) + f ( x − t1 ) dt1 ≤

0

∫

+∞

f ( x + t1 ) dt1 +

∫

0 44244 0 44244 1 3 1 3

сходится

1

3)

∫ 0

f ( x − t1 ) dt1 < + ∞; сходится

1

ϕ ( t1 ) − ϕ ( 0 ) f ( x + t1 ) + f ( x − t1 ) − 2 f ( x ) dt1 = ∫ dt1 – сходится по усt1 t1 0

ловию. Будем иметь, следовательно, из (18): a

∫ dz 0

+∞

∫

−∞

f ( t )cos z ( t − x ) dt → 2 f ( x ) ⋅ a →+∞

π = π ⋅ f (x), 2

а это равносильно доказываемой формуле (16). Замечание. Доказанная теорема допускает следующее обобщение. 38

Пусть: 1) функция f ( x ) определена в промежутке ( − ∞, + ∞ ) и интегрируема на каждом конечном промежутке; +∞

∫

2) f ( x ) такая, что

f ( x ) dx сходится.

−∞

Тогда: I) в каждой точке x , в которой функция f ( x ) непрерывна и в которой схо1

дится интеграл

∫ 0

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) dt , будет: t 1 f (x) = π

+∞

+∞

0

−∞

∫ dz ∫ f (t )cos z( t − x ) dt .

II) в каждой точке x , в которой функция f ( x ) имеет разрыв первого рода и 1

в которой сходится интеграл

∫ 0

f ( x + t ) + f ( x − t ) − f ( x + 0) − f ( x − 0) dt , буt

дет:

f ( x − 0) + f ( x + 0) 1 = 2 π

+∞

+∞

0

−∞

∫ dz ∫ f ( t )cos z(t − x ) dt .

§10. Различные виды формулы Фурье

В этом параграфе предполагается, что выполнены условия, при которых интегральная формула Фурье имеет место. (Для простоты будем считать функцию f ( x ) непрерывной на промежутке ( − ∞, + ∞ ) .) +∞

I. Замечаем, что

∫ f ( t )cos z(t − x ) dt

представляет собой четную функцию

−∞

аргумента z ( x закреплено). Поэтому +∞

+∞

0

−∞

∫ dz ∫

1 f ( t )cos z ( t − x ) dt = 2

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ dz ∫ f (t )cos z(t − x ) dt .

Следовательно, интегральная формула Фурье может быть записана в виде

1 f (x) = 2π

+∞

+∞

∫ dz ∫ f ( t )cos z( t − x ) dt .

−∞

(I)

−∞

39

+∞

II. Рассмотрим несобственный интеграл

∫ f ( t )sin z( t − x ) dt . Этот интеграл

−∞

представляет собой нечетную функцию аргумента z . Отметим, что рассматриz, ибо ваемый интеграл сходится равномерно относительно +∞

∫

f ( t )sin z ( t − x ) ≤ f ( t ) , а

f ( t ) dt сходится. Так как, кроме того, функция

−∞

f ( t )sin z ( t − x ) – непрерывная функция аргументов t и z ( x здесь закрепле+∞

но), то

∫ f ( t )sin z( t − x ) dt

−∞

+∞

вать сходимость A

число, то

– непрерывная функция аргумента z . Гарантиро-

+∞

∫ dz ∫ f (t )sin z( t − x ) dt

−∞ +∞

нельзя, но если A – любое конечное

−∞

∫ dz ∫ f ( t )sin z( t − x ) dt = 0 . Поэтому

−A

−∞

+∞

+∞

−∞

−∞

v.p. ∫ dz

∫ f ( t )sin z( t − x ) dt = 0 .

Умножим обе части последнего равенства на +∞

+∞

−∞

−∞

1 f (x) = ⋅ v.p. ∫ dz 2π

i и сложим с (I). Получим 2π

∫ f (t )[cos z(t − x ) + i sin z(t − x )] dt = +∞

1 = ⋅ v.p. ∫ dz 2π

+∞

∫ f (t ) ⋅ e

−∞

−∞

+∞

+∞

iz ( t − x )

dt

(здесь применена формула Эйлера cos α + i sin α = eiα ). Чаще эту формулу пишут так:

1 f (x) = 2π

∫ dz ∫ f ( t ) ⋅ e

−∞

iz ( t − x )

dt .

(II)

−∞

Но здесь всегда следует помнить, что внешний интеграл понимается в смысле главного значения. III. Вернемся к формуле

1 f (x) = π

cos z ( t − x ) = cos zt cos zx + sin zt sin zx , то 40

+∞

+∞

∫ dz ∫ f (t )cos z( t − x ) dt . 0

−∞

Так как

1 f (x) = π

+∞

+∞

0

−∞

∫ dz ∫ f (t )(cos zt cos zx + sin zt sin zx ) dt .

Положим

+∞

1 π 1 π А тогда будем иметь

∫ f ( t )cos zt dt = a( z ) ,

(1)

∫ f ( t )sin zt dt = b( z ) .

(2)

−∞ +∞ −∞

+∞

f (x) =

∫ [a( z )cos zx + b( z )sin zx ] dz .

(III)

0

(Это и есть третий вид формулы Фурье.) Частные случаи формулы (III).

2 1) Если f ( x ) – функция четная, то b( z ) = 0 , a ( z ) = π формула (III) примет вид

+∞

∫ f (t )cos zt dt ,

и

0

+∞

f (x) =

∫ a( z )cos zx dz . 0

2 2) Если f ( x ) – функция нечетная, то a( z ) = 0 , b( z ) = π формула (III) примет вид

(III1) +∞

∫ f ( t )sin zt dt , и 0

+∞

f (x) =

∫ b( z )sin zx dz .

(III2)

0

Замечание. Форма (III) интеграла Фурье аналогична ряду Фурье. Подынтегральная функция в (III) напоминает общий член ряда Фурье, только здесь частота z , непрерывно изменяясь, пробегает все значения от 0 до ∞ , и поэтому суммирование осуществляется интегралом по z от 0 до ∞ . Функции a( z ) и b( z ) определяются по формулам (1) и (2), похожим на выражения для коэффициентов an и bn ряда Фурье, и при изменении z от 0 до ∞ указывают закон изменения амплитуд и начальных фаз тех гармоник, «суммирование» которых, осуществляемое интегралом Фурье, дает функцию f ( x ) . Этот закон изменения амплитуд и начальных фаз «слагаемых» в интегральном изображении функции f ( x ) будет более обозрим, если подынтегральную 41

функцию формулы (III) привести к тригонометрическому одночлену. Для этого положим:

a( z ) = sin ϕ z ; M(z)

M ( z ) = a 2 ( z ) + b2 ( z ); Тогда

b( z ) = cos ϕ z . M(z)

a( z )cos zx + b( z )sin zx = M ( z )(sin ϕ z cos zx + cos ϕ z sin zx ) = = M ( z )sin ( zx + ϕ z ) ,

и формула (III) примет вид

+∞

f (x) =

∫ M ( z )sin ( zx + ϕ z ) dz .

(III*)

0

§11. Формулы Фурье для функции, заданной на промежутке [0, + ∞ ) Теорема. Пусть: 1) функция f ( t ) определена и непрерывна на [0, + ∞ ) ; +∞

2) f ( t ) такая, что

∫

f ( t ) dt сходится.

0

Тогда x

∫ 0

в

каждой

( x > 0 ),

x

точке

в

которой

сходится

интеграл

f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) dt , справедливы формулы: t

2 f (x) = π f (x) =

2 π

+∞  +∞

  

∫ ∫

 f ( t )cos zt dt  cos zx dz , 

(1)

∫ ∫

 f ( t )sin zt dt  sin zx dz . 

(2)

0 0 +∞  +∞ 0

  

0

1

Формула (1) верна также и при x = 0 , если сходится интеграл

∫ 0

f ( t ) − f ( 0) dt . t

Формула же (2) при x = 0 , вообще говоря, неверна (она верна лишь для таких функций f ( t ) , у которых f ( 0) = 0 ). 1) Пусть x > 0 . а) Положим  f ( t ) для t ≥ 0,

F (t ) =   f ( − t ) для t < 0.

42

Функция F ( t ) определена и непрерывна на всей оси; она – четная, и +∞

+∞

∫ F (t ) dt = 2 ∫

−∞

f ( t ) dt сходится. Имеем, далее:

0

x

∫ 0

x

F( x + t ) + F( x − t ) − 2F( x ) f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) dt = ∫ dt t t 0

сходится (см. условие). Видим, что для функции F ( t ) выполнены все условия главной теоремы. Так как функция F ( t ) – четная, то имеет место формула (III1) предыдущего параграфа, т. е. +∞

+∞

+∞

0

0

0

2 F ( x ) = ∫ a( z )cos zx dz , где a( z ) = π

2 ∫ F ( t )cos zt dt = π

Но для x > 0 : F ( x ) = f ( x ) . Поэтому для x > 0 будем иметь:

2 f (x) = π б) Положим

+∞  +∞

∫ ∫ 0

  

0

∫ f ( t )cos zt dt .

 f ( t )cos zt dt  cos zx dz . 

 f ( t ) для t ≥ 0, ~ F (t ) =  − f ( − t ) для t < 0.

~

Функция F ( t ) определена на всей оси. Она непрерывна всюду, кроме разве

~

лишь точки t = 0 . Функция F ( t ) – нечетная, и +∞

∫

~ F ( t ) dt =

−∞

+∞

0

∫

−∞

f ( − t ) dt +

∫ 0

+∞

f ( t ) dt = 2 ∫ f ( t ) dt 0

сходится. Имеем, далее:

~ ~ ~ x F ( x + t ) + F ( x − t ) − 2F ( x ) f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) = dt dt ∫ ∫ t t 0 0 ~ сходится по условию. Так как F ( t ) – нечетная функция, то для нее справедлива формула (III2) предыдущего параграфа, которая для x > 0 равносильна доказыx

ваемой формуле (2). ~ Следует отметить, что так как F ( t ) , вообще говоря, разрывна в точке t = 0 , то формулу (III2) мы вправе применить к ней н е н а о с н о в а н и и г л а в н о й теоремы, а на основании ее обобщения. 2) Пусть x = 0 . Положим, как и в 1),  f ( t ) для t ≥ 0,

F (t ) =   f ( − t ) для t < 0.

43

+∞

Эта функция четная, непрерывная на промежутке ( − ∞, + ∞ ) , и

∫ F ( t ) dt

схо-

−∞

дится (см. случай 1)). Имеем, далее: 1

∫ 0

1

1

0

0

F ( t ) + F ( − t ) − 2 F ( 0) F ( t ) − F ( 0) f ( t ) − f ( 0) dt = 2∫ dt = 2∫ dt t t t

сходится по условию. Значит, F( 0) представима формулой (III1) предыдущего параграфа, а это равносильно тому, что f ( 0) представима формулой (1) настоящего параграфа. Пример 1. Пусть f ( t ) = e − t . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Напишем для нее формулы (1) и (2):

e

e +∞

Положим α =

∫e

−x

−t

+∞  +∞

2 = π

−x

2 = π

∫

  ∫ e − t cos zt dt  cos zx dz , x ≥ 0 ,    0 

~ (1)

∫

  ∫ e − t sin zt dt  sin zx dz , x > 0 .    0 

~ (2)

0 +∞  +∞ 0

+∞

cos zt dt ; β =

0

дим:

+∞

β=

∫e

∫ cos zt d ( −e 0

−t

−t

0

sin zt dt . Интегрируя по частям, нахо-

[

−t

) = − e cos zt

+∞

sin zt dt =

−t

0

+∞

α=

∫e

∫ sin zt d ( −e

−t

0

]

[

t =+∞ t =0 −t

+∞

− z ∫ e − t sin zt dt = 1 − βz ; 0

) = − e sin zt

]

t =+∞ t =0

+∞

+ z ∫ e − t cos zt dt = αz . 0

Итак, получили:

α = 1 − βz , 1 z ⇒ α= = . ; β  2 2 β = α z 1 1 + + z z  ~ ~ Подставляя эти выражения для α и β в формулы ( 1 ) и ( 2 ) соответственно, находим:

e откуда

−x

2 = π

+∞

∫ 0

2 cos zx −x 0 , dz x ≥ , и e = π 1+ z2 +∞

cos zx

π

∫ 1 + z 2 dz = 2 e 0

44

−x

+∞

∫

0

, x ≥ 0,

z sin zx dz , 1+ z2

(3)

+∞

∫

0

z sin zx π −x dz e , x > 0. = 2 1+ z2

(4)

y

Пример 2. Функцию

1, при 0 ≤ x < 1; f (x) =  0, при x ≥ 1

1 x

представить интегралом Фурье, продолжив ее чет−1 1 ным образом на левую полуось. Рис. 1.17. График функции Используем формулу y = f (x)

f ( x − 0) + f ( x + 0) = 2 где

2 a( z ) = π

+∞

∫ 0

+∞

∫ a( z )cos zx dz , 0

1

t =1

2 2 sin zt 2 sin z f ( t )cos zt dt = ∫ cos zt dt = ⋅ = ⋅ π π z t =0 π z 0

(в точке z = 0 последнее равенство следует понимать в предельном смысле). Имеем, следовательно,

π  2 , при 0 ≤ x < 1; +∞  π sin z cos = zx dz  4 , при x = 1; ∫ z  0 0, при x > 1. +∞

Полагая в (5) x = 0 , получим

∫

0

(5)

sin z π dz = . 2 z

Таким образом, мы нашли значение интеграла, для которого неопределенный интеграл не берется в конечном виде. Подобным же образом можно вычислить и многие другие определенные интегралы, что является одним из приложений теории интеграла Фурье. Равенство (5) позволяет подметить еще одну сторону применений интеграла Фурье. Этим интегралом можно на всей оси изобразить функцию, которая на различных ее частях задается совершенно различными формулами. §12. Гармонический анализ непериодических функций

Пусть непериодическая функция f ( x ) представлена интегралом Фурье (для простоты будем считать эту функцию непрерывной на всей оси): +∞

f (x) =

∫ M ( z )sin ( zx + ϕ z ) dz .

(1)

0

45

Здесь подынтегральное выражение есть гармоника с амплитудой M ( z ) dz , частотой z и начальной фазой ϕ z . Функция y = M ( z ) называется частотным спектром плотностей амплитуд. Изучая эту функцию, мы находим те промежутки изменения z , которым соответствуют относительно большие значения M ( z ) , т. е. те «полосы частот», которым соответствуют гармоники, играющие наибольшую роль в образовании данной функции f ( x ) интегралом Фурье. Это аналогично тому, как, отбрасывая остаток ряда Фурье, мы ограничиваемся суммой лишь нескольких гармоник, которая приближенно представляет данную функцию на промежутке ( −l , l ) . В радиотехнике этот гармонический анализ используется, например, следующим образом. Имеется некоторый непериодический посторонний сигнал (помеха), от которого нужно, по возможности, освободить приемник. Пусть сила тока, который индуктирует в антенне приемника эта помеха, известна как функция времени f ( x ) (здесь x обозначает время). Функцию f ( x ) находят обычно эмпирически. Тогда, представляя эту функцию интегралом Фурье, мы рассматривая спектр плотностей амплитуд, определяем те полосы частот, из гармоник, соответствующих которым, «состоит в основном» этот ток помехи. Строя тот или иной фильтр, не пропускающий в приемник именно эту полосу частот, мы и сведем к минимуму действие помехи. Пример. Пусть x – время, I0 и ω – положительные постоянные числа, I – сила тока в некоторой цепи, изменяющаяся по закону I = I0e − ωx .

Функция I = I0e − ωx удовлетворяет условиям теоремы §11, по которой для x ∈[0, + ∞ ) справедлива формула

2 I( x) = π ⇒

− ωt ∫ e cos zt dt = 0

∫ 0

  

  cos zx dz ⇒ I ( t )cos zt dt ∫   0

2I I( x) = 0 π

+∞

Так как

+∞  +∞

+∞

+∞

+∞

∫ cos zx dz ∫ e 0

− ωt

cos zt dt .

0

ω , то получаем z2 + ω2 +∞

2 I 0ω π sin  zx +  dz . 2 2 2 π(z + ω )  0 0 π Видим, что начальная фаза здесь постоянна: ϕ z = , а частотный спектр рас2 2I I( x) = 0 π

∫

ω cos zx dz = z2 + ω2

пределения плотностей амплитуд

46

∫

2 I 0ω . π ( z2 + ω2 ) Легко видеть, что функция y = M ( z ) – строго y убывающая для z ∈[0, + ∞ ) (ибо M ′( z ) < 0 ). 2 I0 Следовательно, наибольшее значение эта функ- πω M(z) =

ция имеет при z = 0 : M ( 0 ) =

2 I0 ω . При z = πω 3

график функции y = M ( z ) имеет точку перегиба, и при дальнейшем возрастании z , став выпуклым вниз, он достаточно быстро приближается к оси Oz : lim M ( z ) = 0 (рис. 1.18). Таким образом,

ω 3

z

Рис. 1.18. График функции y = M(z).

z →+∞

лишь гармоники с малыми частотами имеют существенное значение в образовании функции I = I0e − ωx . §13. Преобразования Фурье

Пусть функция f ( x ) , заданная на полуоси [0, + ∞ ) , удовлетворяет условиям теоремы §11. Тогда для x ∈( 0, + ∞ ) справедливы формулы:

2 f (x) = π и

2 f (x) = π

+∞

+∞

∫ cos zx dz ∫ f ( t )cos zt dt 0

0

+∞

+∞

∫ sin zx dz ∫ f ( t )sin zt dt . 0

I. В формуле (1) обозначим

2 π

+∞

через Φ( z ) . Будем иметь

0

2 Φ( z ) = π 2 π

(2)

0

∫ f ( t )cos zt dt

тогда:

f (x) =

(1)

+∞

∫ f ( t )cos zt dt ,

(3)

∫ Φ ( z )cos zx dz .

(4)

0 +∞ 0

Видим, что функции f ( x ) и Φ( z ) совершенно одинаково выражаются одна через другую интегральной формулой, которая называется преобразованием Фурье. Так, Φ( z ) , получаемая из f ( t ) по формуле (3), есть преобразование Фурье функции f ( t ) . Функция же f ( x ) , получаемая из Φ( z ) по формуле (4), 47

есть преобразование Фурье функции Φ( z ) . Так как формулы (3) и (4) содержат косинус, то они чаще называются косинус-преобразованиями Фурье. +∞

2 π

II. В формуле (2) обозначим

∫ f (t )sin zt dt 0

тогда:

2 Φ* ( z ) = π 2 π

f (x) =

через Φ* ( z ) . Будем иметь

+∞

∫ f (t )sin zt dt ,

+∞

(5)

0

∫ Φ*( z )sin zx dz .

(6)

0

Формулы (5) и (6) дают другую пару соответствующих друг другу функций. Эти формулы называются синус-преобразованиями Фурье. Если в формуле (3) Φ( z ) есть данная функция, f ( t ) – искомая, то формула (3) называется интегральным уравнением для функции f ( t ) . Формула (4) дает решение этого интегрального уравнения. Совершенно аналогично можно рассматривать и пару формул (5) и (6). Так, например, если дано уравнение

2 π

+∞

∫ f ( t )cos zt dt = e

−z

,

0

где f ( x ) – искомая функция, то его решением будет

2 f (x) = π

48

+∞

∫e 0

−z

cos xz dz =

2 1 . π 1 + x2

ГЛАВА 2. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Определение 1. Пусть K есть некоторый класс бесконечных рядов. Пусть λ есть некоторое правило, которое каждому ряду класса K соотносит определенное число S (свое для каждого ряда). Тогда правило λ называется методом суммирования рядов. Число S называют обобщенной суммой (или λ -суммой) ряда, а про ряды класса K говорят, что они суммируются методом λ . Определение 2. Метод λ называется перманентным, если он суммирует все ряды, сходящиеся в обычном смысле, и если та обобщенная сумма, которую он приписывает э т и м рядам, совпадает с их обычной суммой. Условимся называть перманентный метод интересным, если он суммирует хотя бы один ряд, расходящийся в обычном смысле.

Примеры. 1. Припишем всем рядам обобщенную сумму S = 5 . Этот метод – не перманентный (очевидно). 2. Рассмотрим ряд a1 + a2 + K + an + K . (1) Припишем ряду (1) в качестве суммы число S = lim ( a1 + a2 + K + an ) , если n→∞

этот предел существует, и не приписываем ничего, если этот предел не существует. Этот метод – перманентный, но он не интересен, так как суммирует лишь ряды, сходящиеся в обычном смысле. 3. Пусть правило λ всякому ряду a1 + a2 + K + an + K соотносит в качестве суммы число S = lim ( a1 + a2 + K + a2 n ) , если этот предел существует, и не n→∞

соотносит ничего, если этот предел не существует. Очевидно, что этот метод – перманентный. Он – интересный, так как суммирует расходящийся ряд: 1 − 1 + 1 − 1 + K . Обобщенная сумма S этого ряда равна нулю ( lim S2 n = 0 ). n→∞

§1. Метод средних арифметических (метод Чезаро) Рассмотрим ряд

a1 + a2 + K + an + K . (1) S + S2 + K + S n . Если существует конечПусть S n = a1 + a2 + K + an ; σ n = 1 n ный предел S = lim σ n , то говорят, что ряд (1) суммируется методом средних n→∞

арифметических (или: методом C ), а число S называют его обобщенной суммой. Теорема 1. Метод C – перманентный. Это следует из теоремы 2. Теорема 2. Пусть переменная x n имеет конечный предел l . Составим но-

x1 + x2 + K + x n . Тогда y n → l . n n→∞ Возьмем ε > 0 – любое. Так как xk → l , то взятому ε > 0 отвечает но-

вую переменную y n =

k →∞

мер m такой, что как только k > m , так сейчас же x k − l < Имеем:

ε . Пусть n > m . 2

( x − l ) + ( x2 − l ) + K + ( x n − l ) x1 + x2 + K + x n ⇒ −l = 1 n n x − l + x2 − l + K + x m − l + xm+1 − l + K + x n − l ⇒ yn − l ≤ 1 n

yn − l =

⇒

49

ε x1 − l + x2 − l + K + xm − l ( n − m) ⋅ 2 ⇒ yn − l ≤ + ⇒ n n x − l + x2 − l + K + x m − l ε ⇒ yn − l ≤ 1 + . 2 n Положим: x1 − l + x2 − l + K + xm − l = A( ε ) (это число закреплено при закреA( ε ) ε A( ε ) + . Но → 0 . Поэтому существует нопленном ε ). Тогда yn − l < n n n→∞ 2 A( ε ) ε мер p такой, что как только n > p , так сейчас же < . Положим 2 n max( m, p ) = N . Ясно, что при n > N окажется yn − l < ε ( N зависит от ε ). Существование такого N для любого ε > 0 и означает, что y n → l . n→∞

Замечание. Метод C – интересный, ибо он суммирует расходящийся в

1 . 2 Действительно, имеем для любого n ∈ N : S 2 n = 0 ; S 2 n −1 = 1 . Значит, S + S2 + K + S2 n 1 n 1 σ2n = 1 = = → , 2n 2n 2 n→∞ 2 S + S2 + K + S2 n −1 1 n = → , σ 2 n −1 = 1 2n − 1 2n − 1 n→∞ 2 1 и, следовательно, lim σ n = . 2 n→∞ Теорема 3 (Фейер). Пусть функция f ( t ) ∈ R2π . Составим ее ряд Фурье:

обычном смысле ряд: 1 − 1 + 1 − 1 + K к сумме S =

∞

A + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) . Положим k =1

i

S0 ( x ) = A; Si ( x ) = A + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) ; k =1

σn ( x) =

S0 ( x ) + S1( x ) + K + S n −1( x ) . n

Тогда: 1) в каждой точке x разрыва первого рода функции f ( t ) оказывается

f ( x + 0) + f ( x − 0) ; 2 n→∞ 2) в каждой точке x , где f ( t ) непрерывна, будет σ n ( x ) → f ( x ) ;

σn ( x) →

3) если f ( t ) непрерывна на всей оси, то 50

 σ n ( x ) → →  n→∞

n→∞

f (x) .

Мы знаем, что частичные суммы ряда Фурье для функции f ( t ) ∈ R2 π выражаются интегралами Дирихле

1 S p(x) = π А тогда

1 σn ( x) = nπ

π2

∫ [ f ( x + 2t ) + f ( x − 2t )] 0

π2

∫

0

sin ( 2 p + 1)t dt , sin t

p = 0, 1, 2, K .

f ( x + 2t ) + f ( x − 2t ) [sin t + sin 3t + K + sin ( 2n − 1)t ] dt . sin t

Подсчитаем сумму, стоящую в квадратных скобках под знаком интеграла. Положим T = sin t + sin 3t + K + sin ( 2 n − 1)t . Умножим обе части этого равенства на 2sin t . Получим: 2T sin t = 2 sin 2 t + 2 sin t sin 3t + K + 2 sin t sin ( 2n − 1)t .

Но 2 sin 2 t = 1 − cos 2t ; 2sin A sin B = cos( B − A) − cos( B + A) . Поэтому

2T sin t = (1 − cos 2t ) + (cos 2t − cos 4t ) + (cos 4t − cos 6t ) + K +

sin 2 nt +( cos( 2n − 2)t − cos 2nt ) = 1 − cos 2nt = 2 sin nt ⇒ T = sin t (в точках, где sin t обращается в нуль, это равенство следует понимать в предельном смысле). Следовательно, выражение для σ n ( x ) может быть записано в 2

виде:

1 σn = nπ

π2

∫ 0

2

nt  dt . [ f ( x + 2t ) + f ( x − 2t )] ⋅  sin sin t 

(2)

Итак, для всякой функции f ( t ) ∈ R2 π σ n ( x ) выражается через f ( t ) по формуле (2). Пусть, в частности, f ( t ) ≡ 1 . Для такой функции, как мы знаем, S0 ( x ) = S1( x ) = S2 ( x ) = K = S n −1( x ) = 1 . Поэтому

σn ( x) =

S0 ( x ) + S1( x ) + K + S n −1( x ) = 1, n

и формула (2) принимает вид:

2 1= nπ

π2

∫

0

2

 sin nt  dt .  sin t 

(3)

1) Пусть в точке x существуют конечные f ( x + 0) и f ( x − 0) (т. е. точка x является точкой разрыва первого рода для f ( t ) ). Умножим обе части (3) на

f ( x + 0) + f ( x − 0) и вычтем из (2). Получим: 2 f ( x + 0) + f ( x − 0) σn ( x) − = 2 51

1 = nπ

π2

∫ 0

2

nt  dt . {[ f ( x + 2t ) − f ( x + 0)] + [ f ( x − 2t ) − f ( x − 0)]} ⋅  sin sin t 

Положим f ( x + 2t ) − f ( x + 0 ) + f ( x − 2t ) − f ( x − 0) = H ( t ) . Тогда

f ( x + 0) + f ( x − 0) 1 σn ( x) − ≤ nπ 2

π2

∫

0

2

sin nt  H ( t ) ⋅  dt  sin t 

(4)

(заметим, что H ( t ) – бесконечно малая величина при t → + 0 ). Возьмем ε > 0 – любое. Так как H ( t ) – бесконечно малая величина при t → + 0 , то взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что как только 0 < t ≤ δ , так

π ). У нас f ( t ) ∈ R2 π , а значит, интег2 рируема на любом конечном промежутке. Следовательно, f ( t ) – ограниченная

сейчас же H ( t ) < ε (можно считать δ <

на любом конечном промежутке, а, в силу периодичности, ограниченная везде. Положим M = sup { f ( t ) } . Запишем неравенство (4) в виде δ

π2

0

δ

2 f ( x + 0) + f ( x − 0) 1 sin nt    dt + 1 σn ( x) − ≤ ∫ H (t )   sin t  nπ nπ 2

В первом интеграле правой части H ( t ) < ε . Значит, δ

2

δ

2

1  sin nt  dt < ε  sin nt  dt < ε H t ( ) ⋅  sin t  nπ ∫  sin t  nπ nπ ∫ 0

0

↑

π2

∫

0

∫

2

sin nt  H ( t )  dt .  sin t  2

( 3)  sin nt  dt = ε .  sin t  2

(раздвинули пределы, а подынтегральная функция положительная)

Итак,

f ( x + 0) + f ( x − 0) ε 1 < + σn ( x) − 2 2 nπ

π2

∫ δ

2

sin nt  dt . H ( t )   sin t  2

π sin nt  1 ≤ 2 . Очевидно, что H ( t ) ≤ 4 M . Кроме того, при t ∈ δ,  будет   sin t   2  sin δ

Поэтому

1 nπ

π2

∫ δ

2

π π sin nt  1 1 1 1 2M ⋅4M ⋅ 2 ⋅ = dt ≤ ⋅ 4 M ⋅ 2  − δ < H ( t )  .  nπ  sin t  nπ sin δ  2 sin δ 2 n sin 2 δ

А тогда

σn ( x) −

52

f ( x + 0) + f ( x − 0) ε 2M < + . 2 2 n sin 2 δ

2M → 0 , ибо M = const , а δ > 0 – закреплено вместе с ε . Знаn sin 2 δ n→∞ чит, найдется номер N такой, что как только n > N , так сейчас же f ( x + 0) + f ( x − 0) 2M ε < , и тем самым σ ( x ) − < ε при n > N . Последn 2 nsin 2 δ 2 f ( x + 0) + f ( x − 0) . Этим доказано первое утвернее означает, что σ n ( x ) → 2 n→∞

Ясно, что

ждение теоремы. 2) Второе утверждение теоремы есть частный случай первого утверждения. Значит, доказано и оно. 3) Пусть функция f ( t ) непрерывна на всей оси. Тогда в каждой точке x ∈( − ∞, + ∞ ) : f ( x − 0) = f ( x + 0) = f ( x ) , и, следовательно, функция

H ( t ) = f ( x + 2t ) − f ( x ) + f ( x − 2t ) − f ( x ) . Ясно, что H ( t ) – бесконечно малая величина при t → + 0 . Поэтому любому ε > 0 , выбранному заранее, отвечает δ > 0 , такое, что как только 0 < t ≤ δ , так сейчас же H ( t ) < ε . Отметим, что число δ > 0 выбирается по ε , но для каждого x оно будет, вообще говоря, своим, т. е. δ = δ ( ε, x ) . У нас f ( t ) – функция, непрерывная на всей оси. Так как f ( t ) еще и периодическая, то она будет равномерно непрерывной. А тогда (в этом частном случае) δ будет зависеть только от ε ( δ не будет зависеть от x ), а значит, и номер N будет зависеть только от ε ( N не будет зависеть от x ). Стало быть, нера-

f ( x + 0 + f ( x − 0) = σ n ( x ) − f ( x ) < ε будет верно при n > N 2 для любого x . Так как N зависит только от ε ( N не зависит от x ), то послед нее означает, что σ n ( x ) → →  f (x) . венство σ n ( x ) −

n→∞

Замечание. Если функция f ( t ) ∈ R2 π и в некоторой точке x0 f ( t ) – непрерывна, то ряд Фурье для f ( t ) в точке x0 не может сходиться к сумме, отличной от f ( x0 ) . Действительно, если он сходится к сумме α , то (по перманентности метода C ) будет σ n ( x0 ) → α . С другой стороны, по теореме Фейn→∞

ера будет: σ n ( x0 ) → f ( x0 ) . Поэтому α = f ( x0 ) . n→∞

§2. Теоремы Вейерштрасса Определение. Тригонометрическим многочленом называется функция вида n

T ( x ) = P + ∑ ( pk cos kx + qk sin kx ) . k =1

53

Примерами таких многочленов служат частичные суммы тригонометрических рядов, а также средние арифметические этих частичных сумм. Вторая теорема Вейерштрасса. Если f ( x ) есть функция, определенная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2π , то существует такая последовательность тригонометрических многочленов: T1( x ), T2 ( x ), T3 ( x ), K , Tn ( x ), K ,  которая сходится к f ( x ) равномерно на всей оси, т. е. Tn ( x ) → →  f (x) , n→∞

x ∈ ( − ∞, + ∞ ) .

Требуемая последовательность получается, если образовать для f ( x )  суммы Фейера σ n ( x ) , ибо σ n ( x ) → →  f ( x ) , x ∈ ( − ∞, + ∞ ) . n→∞

Другие формулировки теоремы. A. Если f ( x ) есть функция, определенная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2π , то для любого ε > 0 существует тригонометрический многочлен T ( x ) такой, что для всех x ∈( − ∞, + ∞ ) будет f ( x ) − T ( x ) < ε . Это верно потому, что за T ( x ) можно взять любой член последовательности {Tn ( x )} n∈N , у которого номер n > N (номер N зависит лишь только от

ε ).

B. Если f ( x ) есть функция, определенная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2π , то она разлагается в равномерно сходящийся ряд тригонометрических многочленов. Пусть {Tn ( x )} n∈N – последовательность тригонометрических многочле нов, такая что Tn ( x ) → →  f ( x ) , x ∈( − ∞, + ∞ ) . Положим

n→∞

Q1( x ) = T1( x ), Q2 ( x ) = T2 ( x ) − T1( x ), Q3 ( x ) = T3 ( x ) − T2 ( x ), KKKKKKKKK Qn ( x ) = Tn ( x ) − Tn −1( x ), KKKKKKKKK Ясно, что Qk ( x ) , k = 1, 2, K – это тригонометрические многочлены. Образуем

ряд:

Ясно,

что

Q1( x ) + Q2 ( x ) + K + Qn ( x ) + K . Q1( x ) + Q2 ( x ) + K + Qn ( x ) = Tn ( x ) . У нас

 Tn ( x ) → → 

n→∞

(1) f (x) ,

x ∈( − ∞, + ∞ ) . Значит, частичные суммы ряда (1) сходятся равномерно к f ( x )

54

на промежутке

∞

f ( x ) = ∑ Qk ( x ) ,

( − ∞, + ∞ ) . Но это и означает, что

k =1

x ∈( − ∞, + ∞ ) , причем ряд сходится равномерно.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке [a, b] , то всякому ε > 0 отвечает такой а л г е б р а и ч е -

~

с к и й м н о г о ч л е н P ( x ) = c0 + c1x + K + cm x m , что для всех x ∈[a, b] будет:

~ f ( x ) − P( x ) < ε .

1. Пусть сначала a = −π , b = +π и f ( − π ) = f ( + π ) . Распространим определение f ( x ) на всю ось, положив f ( x + 2π ) = f ( x ) . Тогда f ( x ) будет задана на промежутке ( − ∞, + ∞ ) , всюду непрерывна и 2π -периодична. Возьмем ε > 0 – любое. По второй теореме Вейерштрасса, взятому ε > 0 отвечает тригонометрический многочлен T ( x ) = P +

n

∑ ( pk cos kx + qk sin kx ) , k =1

такой, что при всех вещественных x будет: f ( x ) − T ( x ) < n

T ( x ) и положим

ε . Закрепим этот 2

∑ ( pk + qk ) = M . k =1

Как известно, функции sin z и cos z разлагаются в степенные ряды:

z3 z5 z 7 + − +K , 3! 5! 7! z2 z4 z6 cos z = 1 − + − + K , 2! 4! 6! sin z = z −

(2) (3)

причем эти ряды сходятся равномерно на любом конечном промежутке. Обозначим через S m ( z ) и Cm ( z ) m -е частичные суммы рядов (2) и (3) соответственно. Выберем m столь большим, чтобы при всех z ∈[− nπ, nπ ] было бы:

S m ( x ) − sin z <

ε ; 2M

Cm ( z ) − cos z <

ε . 2M

(Здесь n есть порядок T ( x ) , который мы закрепили. Значит, n – закрепленное число.) Положим n ~ P ( x ) = P + ∑ [ pk Cm ( kx ) + qk S m ( kx )] .

(4)

k =1

~ Ясно, что P ( x ) есть алгебраический многочлен. Пусть x ∈[− π, π ] и k есть какое-нибудь из чисел: 1, 2, 3, K , n . Тогда kx ∈[− nπ, nπ ] , и потому ε ε Cm ( kx ) − cos kx < ; S m ( kx ) − sin kx < . 2M 2M 55

Следовательно, n ~ T ( x ) − P ( x ) ≤ ∑ { pk ⋅ cos kx − Cm ( kx ) + qk ⋅ sin kx − S m ( kx ) } < k =1 n

< ∑ ( pk + qk ) ⋅ k =1

ε ε ε = M⋅ = . 2M 2M 2

ε (это верно для всех вещественных x , и, в частности, для 2 ~ ε x ∈[− π, π ] ). Кроме того, для x ∈[− π, π ] будет T ( x ) − P ( x ) < Имеем: 2 ~ ~ f ( x ) − P ( x ) = [ f ( x ) − T ( x )] + T ( x ) − P ( x ) ⇒

Итак, f ( x ) − T ( x ) <

[

⇒

]

~ ~ ε ε f ( x ) − P ( x ) ≤ f ( x ) − T ( x ) + T ( x ) − P ( x ) < + = ε для x ∈[− π, π ] , 2 2

а это и требовалось доказать. 2. Пусть по-прежнему a = −π , b = +π , но

f ( − π ) ≠ f ( + π ) . Положим

f (−π) − f (+π) . Тогда f ( + π ) + Aπ = f ( − π ) − Aπ . Введем в рассмотрение 2π функцию g( x ) = f ( x ) + Ax . Она также определена на [−π, π ] , непрерывна там и, кроме того, g( + π ) = g ( − π ) . Поэтому к функции g( x ) можно применить уже A=

доказанную часть теоремы. Значит, существует алгебраический многочлен ~ ~ P1( x ) такой, что при всех x ∈[− π, π ] будет g( x ) − P1( x ) < ε , или (что то же самое)

[

]

~ ~ f ( x ) + Ax − P1( x ) < ε ⇔ f ( x ) − P1( x ) − Ax < ε . ~ ~ Поэтому алгебраический многочлен P ( x ) = P1( x ) − Ax таков, что для всех ~ x ∈[− π, π ] будет f ( x ) − P ( x ) < ε , что и требовалось установить. 3. Пусть [a, b] – произвольный промежуток. Положим

2π ( x − a ) − π ( b − a ) . (5) b−a Из (5) видим, что если x ∈[a, b] , то y ∈[− π, π ] . Кроме того, видим, что связь между x и y можно записать и так: 2πa + ( y + π )( b − a ) x= . (6) 2π (если y ∈[− π, π ] , то x ∈[a, b] ). Введем в рассмотрение функцию аргумента y :  2πa + ( y + π )( b − a )  f  . Эта функция определена и непрерывна на промежут2π  

y=

56

m

∑ ck y k

ке [−π, π ] . Значит, существует многочлен Q( y ) =

такой, что при всех

k =0

y ∈[− π, π ] будет: m

 2πa + ( y + π )( b − a )  f  − ∑ ck y k < ε . 2π   k =0

это

2π ( x − a ) − π ( b − a ) . Тогда b−a y в (7), что дает

т. е.

алгебраический

Возьмем любое x из [a, b] и положим y =

y ∈[− π, π ] ,

и

можно

подставить k

m

 2π ( x − a ) − π ( b − a )  f ( x ) − ∑ ck   < ε , b−a  k =0 ~ P( x ) =

(7)

m

2π ( x − a ) − π ( b − a )  ∑ ck   b−a k =0

многочлен

k

– требуемый, а это и требовалось дока-

зать. Другие формулировки первой теоремы Вейерштрасса. A. Если функция f ( x ) определена и непрерывна на [a, b] , то существует последовательность алгебраических многочленов:

f ( x ) равномерно на [a, b] .

{P~k ( x )}k ∈N , сходящаяся к

1 1 1 , ε 3 = , K , ε n = , K . По 2 3 n ~ 1 доказанному выше, для каждого ε n = ( > 0) найдется многочлен Pn ( x ) , такой, n ~ что для всех x ∈[a, b] будет Pn ( x ) − f ( x ) < ε n . Следовательно, ~  f ( x ) , x ∈[a , b] . Pn ( x ) → →  Возьмем последовательность ε1 = 1 , ε 2 =

n→∞

B. Если функция f ( x ) определена и непрерывна на [a, b] , то она разлагается на [a, b] в равномерно сходящийся ряд алгебраических многочленов.

{ ~ }n∈N – последовательность алгебраических многочленов, та-

Пусть Pn ( x )

~

 f ( x ) , x ∈[a , b] . Положим кая, что Pn ( x ) → →  n→∞

~ ~ Q1( x ) = P1( x ), ~ ~ ~ Q2 ( x ) = P2 ( x ) − P1( x ), ~ ~ ~ Q3 ( x ) = P3 ( x ) − P2 ( x ), KKKKKKKKK ~ ~ ~ Qn ( x ) = Pn ( x ) − Pn −1( x ), KKKKKKKKK 57

~

Ясно, что Qk ( x ) , k = 1, 2, K – алгебраические многочлены. Образуем ряд

~ ~ ~ Q1( x ) + Q2 ( x ) + K + Qn ( x ) + K . (8) ~ ~ ~ ~ ~  f (x), Видим, что Q1( x ) + Q2 ( x ) + K + Qn ( x ) = Pn ( x ) . У нас Pn ( x ) → →  n→∞ ~ x ∈[a, b] . Но Pn ( x ) оказывается n -й частичной суммой ряда (8). Так как частичные суммы ряда (8) сходятся равномерно к f ( x ) на [a, b] , то приходим к заключению, что f ( x ) =

∞

~

∑ Qk ( x ) ,

x ∈[a, b] , причем ряд (8) сходится равно-

k =1

мерно на [a, b] .

§3. Средние квадратические приближения функций Задача. Пусть имеет функция f ( x ) такая, что f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Рассматриваются всевозможные тригонометрические многочлены порядка не выше n : n

T ( x ) = P + ∑ ( pk cos kx + qk sin kx ) . k =1

Для каждого такого тригонометрического многочлена составляется выражение:

1 rn = π

π

∫ [ f ( x ) − T ( x )]

2

dx ( rn называется средним квадратическим отклонени-

−π

ем T ( x ) от f ( x ) ). Требуется найти такой тригонометрический многочлен T ( x ) , чтобы rn получило наименьшее возможное значение. Решение. Введем коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

1 A= 2π

π

∫

−π

1 f ( x ) dx; ak = π

π

∫

−π

1 f ( x )cos kx dx; bk = π

π

∫ f ( x )sin kx dx

−π

(эти коэффициенты известны, так как функция f ( x ) дана). Имеем: 1)

π

π

−π

−π

∫ f ( x )T ( x ) dx = ∫

n   f ( x )  P + ∑ ( pk cos kx + qk sin kx ) dx =   k =1

n

π

n

k =1

−π

k =1

1 = 2π A ⋅ P+ ∑ π( ak pk + bk qk ) ⇒ ∫ f ( x )T ( x ) dx = 2 PA +∑ ( pk ak + qk bk ) . (1) π π

1 1 2) ∫ T 2 ( x ) dx = π π −π

58

π

2

n   P + ( p cos kx + q sin kx )  dx = k ∫  ∑ k  k =1 −π

1 = π

π

1 ∫ P dx + π

π n

2

−π

∫ ∑ ( pk cos 2

2

− π k =1

kx + qk2 sin 2 kx ) dx .

(интегралы от всех удвоенных произведений исчезают благодаря ортогональности системы: 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , K , cos nx , sin nx на промежутке [−π, π ] ), откуда π

n

1 T 2 ( x ) dx = 2 P2 + ∑ ( pk2 + qk2 ) . ∫ π

(2)

k =1

−π

Подставим (1) и (2) в выражение для rn . Получим

1 rn = π 1 = π

π

∫

−π

π

∫[ f

2

−π

n

f ( x ) dx + 2 P + ∑ 2

]

( x ) − 2 f ( x )T ( x ) + T 2 ( x ) dx =

2

k =1

( pk2

 + qk2 ) − 2 2 PA + 

π

n

−π

k =1

 ( p a + q b ) ∑ kk kk ⇒  k =1 n

[

]

1 ⇒ rn = ∫ f 2 ( x ) dx + 2( P − A)2 + ∑ ( pk − ak )2 + ( qk − bk )2 − π  2 n 2  (3) − 2 A + ∑ ( ak + bk2 ) .   k =1 В выражении (3) для rn от P, pk , qk зависят только подчеркнутые члены. Эти члены неотрицательны и обращаются в нуль лишь тогда, когда P = A , pk = ak , qk = bk , k = 1, 2, K , n , т. е. тогда, когда T ( x ) оказывается n -й частичной суммой ряда Фурье функции f ( x ) . Итак, доказана Теорема Тёплера. Пусть функция f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Из всех тригонометрических многочленов порядка не выше n наименьшее среднее квадратическое отклонение от функции f ( x ) имеет n -я частичная сумма ее ряда Фурье: n

S n ( x ) = A + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) . k =1

1 При этом упомянутое отклонение ρn = π

π

2 f ( x ) − S ( x ) dx [ ] n ∫

(через ρn

−π

обозначено rn в этом случае) может быть записано и так:

1 ρn = π

π

 2 n 2 2  2 f ( x ) dx − A + ( a + b  ∑ k k ) . ∫   k =1 −π 2

(4) 59

(4) получается из (3), ибо подчеркнутые члены исчезают, когда T ( x ) = S n ( x ) . Из определения ρn видно, что ρn ≥ 0 и, следовательно, n

2A + ∑ 2

k =1

( ak2

+ bk2 ) ≤

1 π

π

∫f

2

( x ) dx , для любого n ∈ N .

(5)

−π

Последнее означает, что частичные суммы положительного ряда ∞

2 A + ∑ ( ak2 + bk2 ) 2

(6)

k =1

ограничены сверху и потому этот ряд сходится. Переходя в неравенстве (5) к пределу при n → ∞ , получим: ∞

2A + ∑ 2

k =1

( ak2

+ bk2 ) ≤

1 π

π

∫f

2

( x ) dx .

(7)

−π

Ниже будет показано, что на самом деле в (7) стоит знак равенства, т. е. ∞

2A + ∑ 2

k =1

( ak2

+ bk2 ) =

1 π

π

∫f

2

( x ) dx .

(8)

−π

Формула (8) носит название формулы замкнутости. Ее можно записать и так: lim ρn = 0 . (9) n→∞

Теорема А.М. Ляпунова. Для любой функции f ( x ) ∈ R([−π, π ]) справед2

лива формула замкнутости 2 A +

∞

∑

k =1

( ak2

+ bk2 ) =

1 π

π

∫f

2

( x ) dx .

−π

α) Ясно, что ρn убывает с ростом n , т. е. ρ0 ≥ ρ1 ≥ ρ2 ≥ K ≥ ρk ≥ K . Это видно из выражения (4) для ρn . β) Представим f ( x ) в виде суммы двух функций: f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) , причем считаем, что все эти функции интегрируемы на промежутке [−π, π ] . Обозначим через S n ( x ), S n ( x ), S n ( x ) n -е частичные суммы рядов Фурье для функций f ( x ), f ( x ), f ( x ) соответственно. Пусть ρn , ρn , ρn – средние квадратические отклонения указанных сумм от самих функций. Тогда справедливо неравенство:

2 ρn ≤ 2ρn + π

π

∫f

2

( x ) dx .

(10)

−π

В самом деле, имеем S n ( x ) = S n ( x ) + S n ( x ) (это очевидно). А тогда

(

)

f ( x ) − S n ( x ) = ( f ( x ) − S n ( x )) + f ( x ) − S n ( x ) .

60

Как известно, ( A − B )2 ≤ 2( A2 + B 2 ) . Следовательно,

( f ( x ) − Sn ( x ))2 ≤ 2 ⋅ ( f ( x ) − S n ( x ))

(

)

2 + f ( x ) − Sn ( x )  .   Интегрируя это неравенство по x от −π до π и деля на π , получим ρn ≤ 2( ρn + ρn ) .

Но

1 ρn = π

2

(11)

π  2 n 2 2  1 2 ∫ f ( x ) dx − 2 A + ∑ (ak + bk ) ≤ π ∫ f ( x ) dx . k =1 −π −π π

2

Отсюда и из (11) следует (10). Перейдем теперь к доказательству теоремы Ляпунова. 1. Пусть f ( x ) непрерывна на [−π, π ] и такая, что f ( − π ) = f ( + π ) . Возьмем ε > 0 – любое. По второй теореме Вейерштрасса, существует тригонометрический многочлен (порядка m ): Tm ( x ) = P +

m

∑ ( pk cos kx + qk sin kx ) , такой, что k =1

1 ε f ( x ) − Tm ( x ) ≤ для всех x ∈[− π, π ] . А тогда π 2

π

2 f ( x ) − T ( x ) dx ≤ ε . ( ) m ∫

−π

Но частичная сумма S m ( x ) ряда Фурье функции f ( x ) имеет наименьшее среднее квадратическое отклонение от f ( x ) . Значит,

1 ρm = π

π

1 ∫ ( f ( x ) − Sm ( x )) dx ≤ π

−π

2

π

∫ ( f ( x ) − Tm ( x ))

2

dx ≤ ε .

−π

Итак, ρm ≤ ε . Было отмечено, что {ρ k }k ∈N – убывающая. Поэтому, тем более при n > m , будет ρn ≤ ε , а это и значит, что ρn → 0 . n→∞

Более сложные виды функции f ( x ) приводятся к только что рассмотренному. 2. Пусть f ( x ) – ступенчаy тая функция. Это значит, что промежуток [−π, π ] разлагается точками

x − π = a0 < a1 < a2 < K < as = π as−1 π = as −π = a0 a1 a2 на такие промежутки [ai , ai +1 ] , Рис. 2.1. График ступенчатой функции y = f ( x ) что в интервалах ( ai , ai +1 ) f (x) постоянна. функция Пусть, например, при x ∈( ai , ai +1 ) : f ( x ) = ci ( i = 0, 1, 2, K s − 1). (Нас не будет интересовать, каковы значения f ( x ) в граничных точках промежутков

61

[ai , ai+1 ] ). Очевидно, что f ( x ) – ограниченная функция ( s – число конечное, т. е. конечное число ступенек). Значит, существует число M такое, что f ( x ) ≤ M для x ∈[− π, π ] . Введем новую функцию f ( x ) , задав ее так:  f ( ai ) = 0 ( i = 0, 1, 2, K , s );   f ( x ) = ci для ai + δ ≤ x ≤ ai +1 − δ ( i = 0, 1, 2, K , s − 1);  f ( x ) − линейна для a ≤ x ≤ a + δ и для a − δ ≤ x ≤ a .  i i i +1 i +1 y Здесь δ подчинено условию: a −a 0 < δ < i +1 i ; в дальнейшем 2 x выбор δ будет уточнен. Функция y = f ( x ) непреas−1 π = as −π = a0 a1 a2 рывна на промежутке [−π, π ] и Рис. 2.2. График функции y = f ( x )

такая, что ее значения на концах промежутка одинаковы, т. е. f ( − π ) = f ( + π ) = 0 . Значит, по уже доказанному (см. пункт 1.) ρn → 0 . Очеn→∞

видно, далее, что f ( x ) ≤ M для x ∈[− π, π ] .

2 Положим теперь f ( x ) − f ( x ) = f ( x ) . Тогда ρn ≤ 2ρn + π

π

∫f

2

( x ) dx . Име-

−π

ем: s −1 ai + δ

 2  ∫ f ( x ) dx = ∑ ∫ f ( x ) dx =  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  , i = 0 ai ai +1 − δ −π i = 0  ai  так как на промежутках [ai + δ, ai +1 − δ ] f ( x ) = f ( x ) , и, следовательно, π

s −1 ai +1

2

∑

2

2

ai +1

f ( x ) = 0 . У нас

f (x) = f (x) − f (x) ⇒ Значит,

ai + δ

∫f

2

2

( x ) dx ≤ 4 M ⋅ δ и

А тогда

∫

−π

62

ai+1

∫f

2

( x ) dx ≤ 4 M 2 ⋅ δ .

ai +1 −δ

ai π

f (x) ≤ f (x) + f (x) ≤ 2 M .

M 2δ ⋅ s f ( x ) dx ≤ 8 M δ ⋅ s и, следовательно, ρn ≤ 2ρn + 16 . π 2

2

Возьмем ε > 0 – любое. До сих пор мы не уточняли выбора δ . Теперь будем

16 M 2δ s ε ε < . Тогда ρn ≤ 2 ρn + (при всех n ). Но считать его таким, что 3 π 3 ε ρn → 0 . Значит, найдется номер N такой, что при n > N будет ρn < и тем 3 n→∞ самым ρn < ε , если n > N . Последнее означает, что ρn → 0 , а это и требоваn→∞

лось доказать. 3. Общий случай. Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) . Возьмем ε > 0 – любое и разделим промежуток

[−π, π ] точками a0 = − π < a1 < a2 < K < as = π на столь малые части, чтобы

было:

s −1

∑ ω i ( ai+1 − ai ) < Ωε . i=0

Здесь ω i – колебание функции f ( x ) на промежутке [ai , ai+1 ] ; Ω – колебание функции f ( x ) на промежутке [−π, π ] . (Такое разбиение возможно, так как f ( x ) интегрируема на промежутке [−π, π ] , а это – необходимое и достаточное условие интегрируемости.) Введем в рассмотрение новую функцию f ( x ) , положив: 0, если x = ai , i = 0, 1, 2, K , s ( в узлах);

 f ( x ) =   ai + ai +1   , если x ∈( ai , ai +1 ), i = 0, 1, K , s − 1.  f  2   Очевидно, что f ( x ) – функция ступенчатая, и потому ρn → 0 . Положим: f ( x ) − f ( x ) = f ( x ) . Тогда, как мы знаем, ρn ≤ 2ρn + π

∫f

−π

2

s −1 ai +1

( x ) dx = ∑

∫f

2

( x ) dx .

Заметим,

что

если

i = 0 ai

2 π

n→∞

π

∫f

2

( x ) dx . Имеем:

−π

x ∈( ai , ai +1 ) ,

то

 a + ai +1  f (x) = f (x) − f  i  ≤ ω i . Поэтому 2   ai +1

∫f

2

( x ) dx ≤ ω i2 ( ai +1 − ai ) .

(12)

ai

63

(Это так, несмотря на то, что оценка

(

)

2

f ( x ) ≤ ω 2i справедлива лишь для

x ∈( ai , ai +1 ) , ибо изменение значений подынтегральной функции в двух точках не изменяет величину интеграла). Так как ω i ≤ Ω , i = 0, 1, 2, K , s − 1 , то вместо (12) можем написать ai +1

∫f

2

( x ) dx ≤ ω i ( ai +1 − ai ) ⋅ Ω . А тогда

ai

π

∫f

2

−π

s −1

( x ) dx ≤ ∑ ω i ( ai +1 − ai ) ⋅ Ω < i=0

ε ⋅Ω = ε, Ω

2 2 ⋅ ε , и тем более ρn < 2ρn + ⋅ ε , ибо π > 3 . Было π 3 отмечено, что ρn → 0 . Значит, найдется номер N такой, что при n > N бу-

и, следовательно, ρn < 2 ρn + n→∞

дет: ρn <

ε , и тем самым ρn < ε , если n > N . Последнее означает, что 6

ρn → 0 , а это и требовалось установить. n→∞

Пример. Ранее, при разложении функции f ( x ) = x 2 , x ∈[− π, π ] , в ряд Фурье, было получено: для любого x ∈[− π, π ]

π2 cos nx  cos x cos 2 x cos 3x  − 4 2 − + 2 − K + ( −1)n −1 2 + K  x = 2 3  1  2 3 n π2 4 (здесь A = ; an = ( −1)n 2 , n = 1, 2, K ; bn = 0 , n = 1, 2, K ). По формуле 3 n 2

1 замкнутости π 1 π

π

π

∫f

2

∞

( x ) dx = 2 A + ∑ ( an2 + bn2 ) в нашем примере будем иметь: 2

n =1

−π

∞

1 π4 ∫ x dx = 2 ⋅ 9 + 16∑ n4 4

n =1

−π

⇒

∞

1 π4 π4 = + 8∑ 4 5 9 n n =1

∞

1 π4 ⇒ ∑ 4= . 90 n n =1

Следствия теоремы Ляпунова. 1. Пусть f ( x ) ∈ R([−π, π ]) , и A, an , bn – коэффициенты Фурье этой функ-

ции. Пусть g( x ) ∈ R([−π, π ]) , и P, pn , qn – ее коэффициенты Фурье. Тогда

1 π

π

∞

∫ f ( x ) g( x ) dx = 2 AP + ∑ ( an pn + bnqn ) .

−π

(13)

n =1

(Это – обобщенная формула замкнутости; сама формула замкнутости получается из (13) при g( x ) = f ( x ) .) 64

Ясно, что сумма f ( x ) + g( x ) имеет коэффициентами Фурье A + P ; an + pn ; bn + qn . По теореме Ляпунова имеем:

1 π 1 π 1 π

π

π

∫f

2

∫g

2

−π π

∫ ( f ( x ) + g( x ))

−π

(14)

n =1

−π 2

∞

( x ) dx = 2 A + ∑ ( an2 + bn2 ) , 2

∞

( x ) dx = 2 P + ∑ ( pn2 + qn2 ) , 2

(15)

n =1 ∞

[

]

dx = 2( A + P ) + ∑ ( an + pn )2 + ( bn + qn )2 . 2

n =1

(16)

Вычитая (14) и (15) из (16), получаем:

2 π

π

∞

∫ f ( x ) g( x ) dx = 4 AP + 2∑ ( an pn + bnqn )

⇒ (13).

n =1

−π

2. Подставим в (13) выражения для P, pn , qn . Получим π

π

π  π  f ( x ) g ( x ) dx = A g ( x ) dx + a g ( x )cos nx dx + b g ( x )sin nx dx  . ∑ n∫ n ∫ ∫ ∫  n =1  −π −π −π  −π ∞

Таким образом, соотношение

∞

f ( x ) ~ A + ∑ ( an cos nx + bn sin nx )

(17)

n =1

можно почленно интегрировать, умножив его предварительно на любую интегрируемую в промежутке [−π, π ] функцию g( x ) , и при этом получается точное равенство. 3. Пусть [l , m] ∈[−π, π ] . Возьмем в качестве функции g( x ) функцию, заданную следующим образом: 1 при x ∈[l , m],

g( x ) =  0 при x ∈[− π, π ] \ [l , m].

Тогда будем иметь: m

∫ l

m  m  f ( x ) dx = A ∫ dx + ∑ an ∫ cos nx dx + bn ∫ sin nx dx  .  n =1   l l l m

∞

Видим, что соотношение (17) можно почленно интегрировать по любому сегменту, содержащемуся в [−π, π ] , и при этом получается точное равенство.

65

§4. Полнота тригонометрической системы Определение. Пусть функция f ( x ) ∈ R([a, b]) . Если

b

∫f

2

( x ) dx = 0 , то го-

a

ворят, что f ( x ) эквивалентна нулю, и пишут: f ( x ) ~ 0 . (Заметим, что в том случае, когда f ( x ) – непрерывна на [a, b] , из f ( x ) ~ 0 вытекает, что f ( x ) ≡ 0 , x ∈[a, b] . Для разрывных функций это не так. Например, функция, отличная от нуля в конечном числе точек промежутка [a, b] , эквивалентна нулю, но не тождественна ему.) Теорема 1. Пусть f ( x ) ∈ R([a, b]) . Если f ( x ) ~ 0 , то все ее коэффициенты Фурье равны нулю. Действительно, по теореме Ляпунова

1 π π

У нас f ( x ) ~ 0 ⇔

π

∫f

2

k =1

−π

∫f

2

∞

( x ) dx = 2 A + ∑ ( ak2 + bk2 ) . 2

∞

( x ) dx = 0 ⇒ 2 A + ∑ ( ak2 + bk2 ) = 0 . Но последнее 2

k =1

−π

имеет место лишь тогда, когда одновременно k = 1, 2, K .

A = 0 , ak = 0 , bk = 0 ,

Теорема 2. Пусть f ( x ) ∈ R([a, b]) . Если все коэффициенты Фурье функции f ( x ) равны нулю, то f ( x ) ~ 0 . По формуле замкнутости Ляпунова имеем:

1 π

π

∫f

−π

2

∞

( x ) dx = 2 A + ∑ ( ak2 + bk2 ) . 2

k =1

π

По условию, A = 0 , ak = 0 , bk = 0 , k = 1, 2, K . Но тогда

∫f

2

( x ) dx = 0 ⇒

−π

f (x) ~ 0 .

Теорема 3. Пусть f ( x ) ∈ R([a, b]) и g( x ) ∈ R([a , b]) . Если все коэффициен-

ты π

Фурье

у

этих

∫ [ f ( x ) − g( x )]

−π 66

2

dx = 0 .

функций

совпадают,

то

( f ( x ) − g( x )) ~ 0 ,

т. е.

Пусть A, ak , bk – коэффициенты Фурье функции f ( x ) ; P, pk , qk – коэффициенты Фурье функции g( x ) . Ясно, что разность f ( x ) − g ( x ) имеет коэффициентами Фурье A − P , ak − pk , bk − qk ( k = 1, 2, K ). По теореме Ляпунова

1 π По

1 π

π

∫ [ f ( x ) − g( x )]

2

−π

π

∫ [ f ( x ) − g( x )]

2

[

]

k =1

A = P,

условию,

∞

dx = 2( A − P ) + ∑ ( ak − pk )2 + ( bk − qk )2 . 2

a k = pk ,

bk = qk

( k = 1, 2, K ).

Но

тогда

dx = 0 . А это означает, что ( f ( x ) − g( x )) ~ 0 .

−π

В случае, когда ( f ( x ) − g( x )) ~ 0 , говорят, что функции f ( x ) и g( x ) эквивалентны друг другу. Замечание. Если, в частности, f ( x ) и g( x ) – непрерывны, то из совпадения их коэффициентов Фурье вытекает, что f ( x ) ≡ g( x ) , x ∈[− π, π ] . Теорема 4. Тригонометрическую систему 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , K (1) нельзя дополнить никакой непрерывной функцией ϕ( x ) (кроме как нулем), которая была бы ортогональна ко всем функция системы (1). Рассуждаем от противного. Предположим, что существует непрерывная, о т л и ч н а я о т н у л я , функция ϕ( x ) , о р т о г о н а л ь н а я к о в с е м ф у н к ц и я м с и с т е м ы (1). Но тогда все коэффициенты Фурье этой функции: π

π

1 1 A= ( x ) dx = ; a = ϕ 0 ϕ ( x )cos kx dx = 0 ( k = 1, 2, K ) ; k 2π ∫ π ∫ −π

−π

π

bk =

1 ϕ ( x )sin kx dx = 0 ( k = 1, 2, K ) . π ∫ −π

Следовательно, по теореме 2: ϕ( x ) ~ 0 . А так как ϕ( x ) – непрерывная функция, то ϕ( x ) ≡ 0 , x ∈[− π, π ] . Получили противоречие. Значит, наше предположение неверно. Утверждение, доказанное в теореме 4, называют полнотой тригонометрической системы (1). Теорема 5. Пусть функция f ( x ) непрерывна на [−π, π ] , и f ( − π ) = f ( + π ) . Если ряд Фурье функции f ( x ) сходится на [−π, π ] равномерно, то сумма его и есть f ( x ) (т. е. f ( x ) разлагается на [−π, π ] в ряд Фурье). Обозначим сумму ряда Фурье функции f ( x ) через S ( x ) . По условию S ( x ) есть сумма равномерно сходящегося на промежутке [−π, π ] тригономет67

рического ряда. Стало быть, этот ряд будет рядом Фурье для S ( x ) . Таким образом, оказывается, что наш ряд является рядом Фурье как для функции f ( x ) , так и для своей суммы S ( x ) (т. е. f ( x ) и S ( x ) имеют один и тот же ряд Фурье). Но f ( x ) и S ( x ) непрерывны на [−π, π ] . ( f ( x ) – по условию, а S ( x ) – как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций). Но тогда S ( x ) ≡ f ( x ) , x ∈[− π, π ] . Замечание. Теперь мы можем для такой функции f ( x ) построить ее ряд Фурье и проверить, сходится ли он равномерно на промежутке [−π, π ] . Если ряд оказывается равномерно сходящимся, то его сумма и есть f ( x ) (т. е. f ( x ) разлагается на [−π, π ] в ряд Фурье). Теорема 6. Если функция f ( x ) всюду на [−π, π ] имеет непрерывную производную f ′( x ) и если f ( − π ) = f ( + π ) , то f ( x ) разлагается в [−π, π ] в равномерно сходящийся ряд Фурье. Пусть an и bn – коэффициенты Фурье функции f ( x ) , а α n и β n – коэффициенты Фурье функции f ′( x ) . Имеем:

1 an = π

π

∫

π

f ( x )cos nx dx ⇒ πan =

−π

∫

−π x =π

sin nx  f ( x ) d  =  n 

π

πβ sin nx  sin nx =  f (x) f ′( x ) dx = − n ; − ∫  n  x =− π n n 144 42444 3 −π =0 1 bn = π

π

∫ f ( x )sin nx dx

−π

x=π

π

cos nx  ⇒ πbn = − ∫ f ( x ) d  =  n  −π

π

πα n cos nx  cos nx = − f ( x) f ′( x ) dx = . + ∫ n  x =− π n n  144424443 − π =0 α β Итак, получили an = − n ; bn = n . Как известно, AB ≤ A2 + B 2 . Следоваn n тельно,

1 1 + β2n ; bn ≤ 2 + α 2n . 2 n n По условию, f ′( x ) ∈ C([− π, π ]) ⇒ f ′( x ) ∈ R([− π, π ]) ⇒ для f ′( x ) справедan ≤

∞

лива формула замкнутости Ляпунова ⇒ сходится ряд

∑ (α 2n + β2n ) . Кроме тоn =1

68

∞

го, мы знаем, что сходится ряд

n =1

∞

ся ряд

∑ n12 . А тогда приходим к выводу, что сходит-

∑ ( an + bn ) . Так как для любого n ∈ N и для всех x ∈[− π, π] : n =1 an cos nx + bn sin nx ≤ ( an + bn ) ,

то заключаем, что ряд A +

∞

∑ (an cos nx + bn sin nx )

сходится равномерно на

n =1

промежутке [−π, π ] . А тогда по теореме 5 получаем: f ( x ) разлагается на [−π, π ] в ряд Фурье (причем этот ряд Фурье сходится равномерно на [−π, π ] ). §5. Метод Абеля – Пуассона суммирования рядов Пусть имеется ряд: Составим новый ряд:

a0 + a1 + a2 + K + an + K .

(1)

a0 + a1r + a2r 2 + K + an r n + K

(2) (ряд (1) – частный случай ряда (2); он получается из ряда (2) при r = 1 ). Допустим, что: 1) ряд (2) сходится, когда 0 ≤ r < 1, к сумме S ( r ) , и 2) существует конечный предел S = lim S ( r ) . r →1− 0

Тогда говорят, что ряд (1) суммируется методом Абеля – Пуассона, а число S называют его обобщенной суммой. Теорема 1. Метод Абеля – Пуассона – перманентный. Пусть ряд (1) сходится (в обычном смысле) к сумме S . Тогда an → 0 n→∞

(как общий член сходящегося ряда). Мы знаем, что переменная, имеющая конечный предел, ограничена; значит, существует число K > 0 такое, что an < K для любого n = 0, 1, 2, K . Но тогда ряд (2) мажорируется геометрическим рядом K + K ⋅ r + K ⋅ r2 + K + K ⋅ rn + K , сходящимся при 0 ≤ r < 1. Тем самым ряд (2) сходится при 0 ≤ r < 1. Пусть сумма ряда (2) есть S ( r ) . Положим S n = a0 + a1 + a2 + K + a n . Тогда

69

a0 = S 0 , a1 = S1 − S0 , a2 = S2 − S1, KKKKKK an = S n − S n −1, KKKKKK

Следовательно,

S ( r ) = S0 + ( S1 − S0 )r + ( S2 − S1 )r 2 + K + ( S n − S n −1 )r n + K ,

или:

S ( r ) = ( S0 − 0) + ( S1r − S0r ) + ( S2r 2 − S1r 2 ) + K + ( S n r n − S n −1r n ) + K . Видим, что S ( r ) можно рассматривать как результат формального вычитания ряда

0 + S0r + S1r 2 + K + S n −1r n + K

из ряда

(3)

S0 + S1r + S2r 2 + K + S n r n + K . (4) Отметим, что ряды (3) и (4) сходятся при 0 ≤ r < 1. Действительно, у нас ряд (1) сходится в обычном смысле к сумме S . Значит, S n → S ⇒ существует чисn→∞

ло M такое, что будет S n < M для любого n = 0, 1, 2, K . Следовательно, ряд (3) мажорируется рядом: ~ Mr + Mr 2 + K + Mr n + K , ( 3) а ряд (4) мажорируется рядом ~ M + Mr + Mr 2 + K + Mr n + K . (4) ~ ~ Ряды ( 3 ) и ( 4 ) – геометрические, сходящиеся при 0 ≤ r < 1. Значит, и ряды (3), (4) сходятся при 0 ≤ r < 1. Но тогда S ( r ) равна разности сумм рядов (4) и (3), т. е. ∞

∞

S (r ) = ∑ Snr − r ∑ Snr n

n=0

∑ r = 1 −1 r

n=0

А тогда

n

n=0

∞

⇒ 1 = (1 − r ) ∑ r n=0

∞

S ( r ) − S = (1 − r ) ∑ ( S n − S ) r n=0

70

⇒ S ( r ) = (1 − r ) ∑ S n r n .

n=0

Мы знаем, что если 0 ≤ r < 1, то ∞

∞

n

n

⇒

n

∞

⇒ S = (1 − r ) ∑ S ⋅ r n . n=0 ∞

S ( r ) − S < (1 − r ) ∑ S n − S r n . n=0

Возьмем ε > 0 – любое. Так как S n → S , то взятому ε > 0 отвечает номер m n→∞

ε . Закрепим это m . Тогда 2 ∞ m ε n S ( r ) − S < (1 − r ) ∑ S n − S r + (1 − r ) ∑ r n . 2

такой, что как только n > m , так сейчас же S n − S <

n=0

У нас

0 ≤ r < 1. Следовательно,

∑ Sn − S r n < ∑ Sn − S .

n=0

∞

∞

n = m+1

n=0 m

∑ r n < ∑ r n = 1 −1 r . Значит,

краткости

n = m+1 m

m

∑ Sn − S = A( ε )

Кроме того,

n=0

m

ε S ( r ) − S < (1 − r ) ∑ S n − S + . Положим для 2 n=0

( A( ε ) – число, закрепленное вместе с ε , ибо m

n=0

зависит от ε ). Имеем, таким образом, S ( r ) − S < (1 − r ) A( ε ) +

ε . До сих пор r 2

было подчинено единственному условию: 0 ≤ r < 1. Сделав r достаточно близким к 1, мы получим: (1 − r ) A( ε ) <

ε , и тем самым S ( r ) − S < ε . Последнее оз2

начает, что S ( r )  → S . Значит, метод Абеля – Пуассона – перманентный. r →1− 0

Рассмотрим ряд:

1−1+1−1+1−1+ K .

(5) Мы знаем, что этот ряд расходится в обычном смысле. Составим для него ряд: 1 − r + r 2 − r3 + r 4 − r5 + K . (6) Для

0 ≤ r < 1:

ряд

(6)

имеет

1 1 = . 2 r →1− 0 1 + r

своей

суммой

S (r ) =

1 . 1+ r

Имеем:

lim S ( r ) = lim

r →1− 0

Вывод: ряд (5) суммируется методом Абеля – Пуассона. Значит, метод Абеля – Пуассона интересный. §6. Применение метода Абеля – Пуассона к рядам Фурье Лемма 1. Если 0 ≤ r < 1, то

1 1 1− r2 2 3 + r cos α + r cos 2α + r cos 3α + K = ⋅ . 2 2 1 − 2r cos α + r 2

(1)

71

1 + r cos α + r 2 cos 2α + r 3 cos 3α + K сходится при наших r (он ма2 жорируется геометрическим рядом, сходящимся при 0 ≤ r < 1). Обозначим сумму этого ряда через S : 1 S = + r cos α + r 2 cos 2α + r 3 cos 3α + K . (2) 2 Умножим обе части (2) на 2r cosα . Получим 2r cos α ⋅ S = r cos α + 2r 2 cos2 α + 2r 3 cos α cos 2α + K . Но 2cos A cos B = cos( A − B ) + cos( A + B ) . Поэтому Ряд

2r cos α ⋅ S = r cos α + r 2 (1 + cos 2α ) + r 3 (cos α + cos 3α ) + K

⇒

⇒ 2r cos α ⋅ S = r 2(1 + r cos α + r 2cos 2α + K ) + ( r cos α + r 2cos 2α + r 3cos 3α + K ) . Это преобразование законно, так как оба ряда в скобках сходятся для 0 ≤ r < 1. Так как

1 (1 + r cos α + r 2 cos 2α + K ) =  + S  , 2  1 ( r cos α + r 2 cos 2α + r 3 cos 3α + K ) =  S −  ,  2 то последнее соотношение может быть записано в виде:

1 1 2r cosα ⋅ S = r 2  + S  +  S −  . 2   2 Получили уравнение относительно S . 1 1 1− r2 2 2 (1 − r ) = S ⋅ (1 − 2r cos α + r ) ⇒ S = ⋅ . 2 2 1 − 2r cos α + r 2 Пусть функция f ( t ) ∈ R2 π . Составим для нее ряд Фурье: ∞

A + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) .

(3)

n =1

Применим к этому ряду метод Абеля – Пуассона. Для этого составляем ряд: ∞

A + ∑ r n ( an cos nx + bn sin nx ) .

(4)

n =1

Покажем, что ряд (4) сходится при 0 ≤ r < 1. У нас f ( t ) ∈ R2 π ⇒ f ( t ) – огра-

ниченная. Значит, существует число M > 0 такое, что f ( t ) ≤ M . Имеем, далее:

1 an = π

72

π

∫ f (t )cos nt dt ≤ 2 M ;

−π

1 bn = π

π

∫ f ( t )sin nt dt ≤ 2 M .

−π

Поэтому an cos nx + bn sin nx ≤ 4 M , и, следовательно, ряд (4) мажорируется рядом A +

∞

∑ 4 Mr n , сходящимся при 0 ≤ r < 1. Положим n =1

∞

S ( x , r ) = A + ∑ r n ( an cos nx + bn sin nx ) .

(5)

n =1

Подставим в (5) вместо A, an , bn их выражения:

1 A= 2π

π

∫

−π

1 f ( t ) dt; an = π

Получим

1 S ( x, r ) = 2π 1 = π

π

π

∫

−π

1 f ( t )cos nt dt; bn = π ∞ π

π

∫ f ( t )sin nt dt .

−π

∫

1 f ( t ) dt + ∑ π

∫

1 ∞ n  f ( t ) ⋅  + ∑ r cos n( t − x ) dt . 2   n =1

−π π

−π

∫ f (t ) r

n

cos n( t − x ) dt =

n =1 − π

Произведенное преобразование законно, потому что ряд в скобках (при закрепленном 0 < r < 1) сходится равномерно относительно t и, следовательно, его можно почленно интегрировать, предварительно умножив на ограниченную функцию f ( t ) . По лемме, ∞

1 1 1− r2 + ∑ r n cos n( t − x ) = ⋅ . 2 2 1 − 2r cos( t − x ) + r 2 n =1

А тогда

1 S ( x, r ) = 2π

π

1− r2 ∫ 1 − 2r cos(t − x ) + r 2 f ( t ) dt . −π

(6)

Правая часть (6) – интеграл Пуассона. Теорема. Пусть f ( t ) ∈ R2 π . Образуем для нее S ( x , r ) . Тогда: 1) в каждой точке x , в которой функция f ( t ) имеет разрыв первого рода,

f ( x − 0) + f ( x + 0) ; 2 r →1− 0 2) в каждой точке x , в которой функция

→ будет: S ( x , r ) 

f ( t ) непрерывна, будет:

S ( x, r )  → f ( x ) ; r →1− 0

→ 3) если f ( t ) непрерывна на всей оси, то S ( x , r )  → f ( x ) . r →1− 0

Для S ( x , r ) было получено следующее выражение:

73

1 S ( x, r ) = 2π

π

∫

−π

1− r2 f (t ) dt . 1 − 2r cos( t − x ) + r 2

Положим здесь t = x + u . Будем иметь

1 S ( x, r ) = 2π

π

∫

−π

1− r2 f ( x + u) du 1 − 2r cos u + r 2

(пределы интеграла прежние, ибо подынтегральная периодическая). Положим теперь u = 2t1 . Получим

1 S ( x, r ) = π

π2

∫

−π 2

функция

2π -

1− r2 f ( x + 2t1 ) dt1 . 1 − 2r cos 2t1 + r 2

Интеграл, стоящий в правой части, представим в виде суммы двух интегралов:

1 S ( x, r ) = π 1 + π

π2

∫ 0

0

∫

−π 2

1− r2 f ( x + 2t1 ) dt1 + 1 − 2r cos 2t1 + r 2

1− r2 f ( x + 2t1 ) dt . 2 1 1 − 2r cos 2t1 + r

Во втором интеграле справа сделаем замену: t1 = − t2 . Получим:

1 S ( x, r ) = π π2

π2

∫ 0

1− r2 f ( x + 2t1 ) dt1 + 1 − 2r cos 2t1 + r 2

1− r2 dt . ∫ 2 2 − r cos t + r 1 2 2 2 0 Последнее соотношение может быть записано в виде: +

1 S ( x, r ) = π

1 π

π2

∫

0

f ( x − 2t 2 )

1− r2 dt [ f ( x + 2t ) + f ( x − 2t )] 1 − 2r cos 2t + r 2

(7)

(определенный интеграл не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования). Имеем: cos 2t = 1 − 2 sin 2 t , а тогда 1 − 2r cos 2t + r 2 = 1 − 2r (1 − 2 sin 2 t ) + r 2 = (1 − r )2 + 4r sin 2 t . Окончательно, для S ( x , r ) будем иметь следующее выражение: π2

1− r2 (8) ∫ [ f ( x + 2t ) + f ( x − 2t )] (1 − r )2 + 4r sin 2 t dt . 0 Итак, если f ( t ) ∈ R2 π , то построенная для нее сумма S ( x , r ) выражается по формуле (8). В частности, это так, когда f ( t ) ≡ 1 . Но для функции f ( t ) ≡ 1 бу1 S ( x, r ) = π

74

дет: S ( x , r ) = 1 (ибо ряд Фурье этой функции такой: 1 + 0 + 0 + 0 + K + 0 + K ). Значит, для f ( t ) ≡ 1 формула (8) принимает вид: π2

1− r2 (9) ∫ 2 (1 − r )2 + 4r sin 2 t dt . 0 Пусть теперь f ( t ) ∈ R2 π и точка x – точка разрыва первого рода для этой f ( x + 0) + f ( x − 0) и вычтем из (8) соотфункции. Умножим обе части (9) на 2 1 1= π

ветствующие части получившегося равенства. Будем иметь:

S ( x, r ) − π2

f ( x + 0) + f ( x − 0) = 2

1− r2 ∫ {[ f ( x +2t ) − f ( x +0)] + [ f ( x −2t ) − f ( x −0)]} (1− r )2 + 4r sin 2t dt . (10) 0 Возьмем ε > 0 – любое. По самому определению односторонних пределов, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что как только 0 < t < δ , так сейчас же f ( x + 2t ) − f ( x + 0 ) + f ( x − 2 t ) − f ( x − 0 ) < ε . π Закрепим это δ (считая δ < ) и разобьем интеграл формулы (10) на два инте4 1 = π

π2

грала по схеме:

δ

π2

∫ =∫+ ∫ 0

0

. В первом из этих интегралов правой части будет:

δ

f ( x + 2t ) − f ( x + 0 ) + f ( x − 2 t ) − f ( x − 0 ) < ε ,

(11)

f ( x + 2t ) − f ( x + 0 ) + f ( x − 2 t ) − f ( x − 0 ) ≤ 4 M ,

(12)

а во втором: где M = sup { f ( t ) } (по условию, функция f ( t ) – интегрируемая, а значит, ограниченная). (Заметим, что если, в частности, f ( t ) – непрерывная на всей оси, то благодаря периодичности она и равномерно непрерывная, так что указанное выше δ > 0 можно считать зависящим только от ε и не зависящим от x ; оно одно и то же для всех вещественных x сразу.) Из (10), принимая во внимание (11) и (12), находим:

S ( x, r ) − δ

f ( x + 0) + f ( x − 0) < 2

ε 1− r2 4M dt + < ∫ 2 2 π (1 − r ) + 4r sin t π 0

π2

∫ δ

1− r2 dt . 2 2 (1 − r ) + 4r sin t

(13)

75

Первый из интегралов правой части (13) только увеличится, если интегрировать

π (так как подынтегральная функция положительная). Поэтому 2

от 0 до

δ

π2

0

0

1 1− r2 1 dt < ∫ 2 2 π (1 − r ) + 4r sin t π Но

из

(9)

следует,

δ

что

1 π

π2

∫ 0

∫

1− r2 dt . (1 − r )2 + 4r sin 2 t

1− r2 1 = . dt 2 2 2 (1 − r ) + 4r sin t

Следовательно,

1 1− r2 1 π dt < . Имеем, далее: при t ∈ δ,  будет sin t ≥ sin δ , а ∫ 2 2  2  2 π (1 − r ) + 4r sin t 0

потому

π2

∫ δ

1− r2 1− r2 π dt < ⋅ . Теперь вместо неравенства (13) (1 − r )2 + 4r sin 2 t 4r sin 2 δ 2

можем написать:

f ( x + 0 ) + f ( x − 0) ε M (1 − r 2 ) S ( x, r ) − < + . 2 2 2r sin 2 δ M (1 − r 2 ) Если r → 1 − 0 , то → 0 . Значит, взятому ε > 0 отвечает r0 > 0 такое, 2r sin 2 δ M (1 − r 2 ) ε что как только r0 < r < 1 , так сейчас же < , и тем самым 2 2r sin δ 2 f ( x + 0) + f ( x − 0) S ( x, r ) − < ε . Этим доказано утверждение 1), а значит, и 2 утверждение 2) теоремы. Что касается утверждения 3) теоремы, то оно следует из того, что для всюду непрерывной и 2π -периодичной функции f ( t ) число δ > 0 , а с ним и r0 , зависят только от ε , но не от x . Замечание. Пусть f ( t ) задана только на промежутке [−π, π ] , и

f ( t ) ∈ R([−π, π ]) . Тогда: 1) если − π < x < π и x – точка разрыва первого рода функции f ( t ) , то f ( x + 0) + f ( x − 0) S ( x, r )  → ; 2 r →1− 0 2) если − π < x < π и x – точка непрерывности функции f ( t ) , то S ( x, r )  → f ( x ) ; r →1− 0

76

3) если существуют конечные f ( − π + 0) и f ( π − 0) , то при x = ±π будет:

f ( − π + 0) + f ( π − 0) ; 2 r →1− 0 4) если f ( t ) непрерывна на всем промежутке [−π, π ] и, к р о м е т о г о , → f ( − π ) = f ( π ) , то S ( x , r )  → f ( x ) , x ∈[− π, π ] .

S ( x, r )  →

r →1− 0

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g( t ) , определив ее на всей вещественной оси следующим образом: g( t ) = f ( t ) , если t ∈[− π, π ) , и g( t + 2π ) ≡ g( t ), t ∈( − ∞, + ∞ ) . Заметим, что функция g ( t ) ∈ R2 π и к ней применима вся предыдущая теория. Отметим, что ряд Фурье для функции g( t ) совпадает с рядом Фурье для функции f ( t ) (это было показано раньше при доказательстве основной теоремы; см. гл. 1, §4). Совпадают также интегралы Пуассона S ( x , r ) этих функций. А тогда: 1) если x ∈( − π, π ) и x – точка разрыва первого рода функции f ( t ) (а значит, и функции g( t ) ), то

g( x + 0) + g( x − 0) f ( x + 0) + f ( x − 0)  S ( x, r )   →   ; 2 2 r →1− 0 r →1− 0 2) если x ∈( − π, π ) и x – точка непрерывности функции f ( t ) (а значит, и функции g( t ) ), то S ( x, r )  →

S ( x, r )  → g( x ) r →1− 0

3) если существуют конечные

f ( − π + 0) [ = g( − π + 0 )] ,

то при x = ±π будет:

S ( x, r )  → f ( x ) ;   r →1− 0

f ( π − 0) [ = g ( π − 0)] ,

g( − π + 0) + g( π − 0) f ( − π + 0) + f ( π − 0)  S ( x, r )   →   ; 2 2 r →1− 0 r →1− 0 4) если f ( t ) непрерывна на всем промежутке [−π, π ] и f ( − π ) = f ( π ) , то → g( t ) б у д е т н е п р е р ы в н о й н а в с е й о с и . Следовательно, S ( x , r )  → g ( x ) , S ( x, r )  →

→ x ∈( − ∞, + ∞ ) , а значит, S ( x , r )  → f ( x ) , x ∈[− π, π ] .

r →1− 0

r →1− 0

77

Дополнение 1. Применение метода Абеля – Пуассона в теории степенных и числовых рядов

В §6 показана эффективность применения метода Абеля – Пуассона в теории рядов Фурье. Отметим, что этот метод может быть успешно применен и при доказательствах некоторых теорем в теории степенных и даже числовых рядов. Пример 1. Пусть степенной ряд c0 + c1x + c2 x 2 + c3 x 3 + K + cn x n + K (1) имеет конечный радиус сходимости R . Тогда, как известно, сумма f ( x ) ряда будет непрерывна всюду в промежутке ( − R, R ) (это устанавливается совсем просто). Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно на каком-нибудь из концов интервала сходимости, то функция f ( x ) будет определена и на этом конце. Вопрос: будет ли f ( x ) непрерывной в этой точке: Ответ на этот вопрос дает теорема Абеля: Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно при x = R , то в этой точке сум-

→ f ( R ) . ма ряда f ( x ) непрерывна, т. е. f ( x ) 

x→ R−0 c0 + c1 R + c2 R2 + K + cn R n

По условию ряд + K сходится к сумме f ( R ) . Мы знаем, что метод Абеля – Пуассона перманентный. Значит, указанный ряд суммируется этим методом к той же сумме f ( R ) , т. е.

c0 + c1 R ⋅ r + c2 R2 ⋅ r 2 + K + cn R n ⋅ r n + K  → f ( R ) , r →1− 0

→ f ( R ) . Остается заметить, что любое x ∈( 0, R ) можно запиили f ( R ⋅ r )  r →1− 0

сать в виде x = R ⋅ r и что соотношения: x → R − 0 и r → 1 − 0 совершенно равносильны (достаточно положить r =

x ). Поэтому f ( x )  → f ( R ) , а это и R x→ R−0

требовалось доказать. Пример 2. Теорема Абеля (об умножении рядов). Пусть ряды:

a0 + a1 + a2 + K + an + K

и

(2)

b0 + b1 + b2 + K + bn + K сходятся (даже условно) к суммам A и B соответственно. Положим cn = a0bn + a1bn −1 + K + an b0 .

(3)

c0 + c1 + c2 + K + cn + K сходится к сумме C , то C = AB .

(4)

Если ряд

Образуем степенные ряды: 78

a0 + a1x + a2 x 2 + K + an x n + K

и

(5)

b0 + b1x + b2 x 2 + K + bn x n + K . (6) По условию, ряды (5) и (6) сходятся при x = 1. Значит, при 0 < x < 1 они сходятся абсолютно и потому их можно перемножить. Ряд-произведение будет таким: ∞

∑ cn x n = c0 + c1x + c2 x 2 + K + cn x n + K .

(7)

n=0

Ряд (7) тоже сходится абсолютно при 0 < x < 1 , и ∞

∞  ∞ n  n    c x = a x ⋅ b x (8) ∑ n  ∑ n   ∑ n  , x ∈( 0, 1) . n=0 n=0 n=0 Перейдем в соотношении (8) к пределу при x → 1 − 0 . По предыдущей теореме Абеля получим: C = A ⋅ B , а это и требовалось доказать. n

Дополнение 2. Гармонический анализ функций, заданных эмпирически

Выше было показано, что если функция y = f ( x ) периодическая с периодом 2l или если она задана на промежутке длины 2l , то коэффициенты Фурье этой функции, попарно определяющие слагаемые гармоники в ее ряде Фурье, определяются по формулам:

1 A= 2l

a + 2l

bn =

∫ a

1 l

1 f ( x ) dx; an = l

a + 2l

∫ a

f ( x )sin

a + 2l

∫ a

f ( x )cos

πnx dx; l (1)

πnx dx , n = 1, 2, K . l

На практике, во многих прикладных вопросах функция y = f ( x ) задается графически в виде некоторой кривой, аналитическое выражение которой неизвестно. Такие эмпирические кривые получаются обычно при помощи приборов, регистрирующих изменение какой-либо одной переменной величины в зависимости от изменения другой величины. (К таким приборам относится, например, осциллограф.) Весьма часто также функция y = f ( x ) задается табличным способом, т. е. некоторым конечным число своих частных значений, соответствующих различным значениям аргумента на протяжении целого периода. Эти частные значения функции являются результатом наблюдений и измерений рассматриваемой переменной величины. 79

Так как в этих случаях применение формул (1) становится невозможным, то вопрос о разложении функции f ( x ) на простейшие гармоники ставится в несколько ином виде. Пусть имеется некоторая 2l -периодическая эмпирическая кривая. Разделим этот период на p равных частей. Пусть абсциссы точек деления будут:

x0 = 0; x1 =

2l 2l 2l = α; x2 = 2 ⋅ = 2α; K ; xk = k ⋅ = kα; K ; x p = pα = 2l , p p p

а соответствующие ординаты пусть будут:

y0 ; y1; y2 ; K ; y k ; K ; y p ( = y0 ) . Возьмем теперь тригонометрический многочлен n -го порядка ~ nπx πx 2πx ϕ ( x ) = A + a~1 cos + a~2 cos + K + a~n cos + l l l (2) ~ ~ nπx πx ~ 2πx + b1 sin + b2 sin + K + bn sin l l l с числом членов, равным 2n + 1 , причем 2n < p . Поставим задачу: определить ~ ~ ~ ~ такие значения коэффициентов A, a~ , a~ , K , a~ ; b , b , K , b , при которых 1

2

n

1

2

n

многочлен ϕ( x ) в точках деления наилучшим образом приближался бы к значениям ординат функции f ( x ) в этих же точках. Другими словами, надо определить такие значения этих коэффициентов, при которых сумма квадратов отклонений тригонометрического многочлена (2) в точках деления от заданных ординат функции y = f ( x ) в этих же точках была бы минимальной, т. е. чтобы сумма ∆ p =

p

∑ [ yk − ϕ( xk )]

2

была бы наименьшей. Эта же задача ставится без

k =1

изменений и для случая, когда функция y = f ( x ) известна только своими частy1, y2 , y3 , K , y p соответственно в точках ными значениями

x1, x2 , x3 , K , x p . Процесс определения коэффициентов тригонометрического многочлена (2), удовлетворяющих вышеупомянутым требованиям, называется гармоническим анализом функций, заданных эмпирически. Для решения поставленной задачи берем частным производные от ∆ p по

~ ~ ~ ~ A, a~1, a~2 , K , a~n ; b1, b2 , K , bn и приравниваем их нулю. В результате получаем следующую систему ( 2n + 1) уравнений со столькими же неизвестными:

80

 p ~ n ~ mπx k ~ mπx k  ∑ [ y k − ϕ ( xk )] = 0, где ϕ ( x k ) = A + ∑  am cos l + bm sin l  ; k =1 m=1  p qπx k  (3) ∑ [ y k − ϕ ( xk )] ⋅ cos l = 0, q = 1, 2, K , n; k =1  p ∑ [ y k − ϕ ( xk )] ⋅ sin qπx k = 0, q = 1, 2, K , n. l k =1 Преобразуем уравнения системы (3), для чего выведем предварительно некоторые формулы. p

p

mπx k I. Определим сначала значения сумм ∑ cos и l

∑ sin

k =1

k =1

mπxk . Для этого l

умножим вторую сумму на i и сложим с первой суммой. Будем иметь p

p

p

i mπx mπx ∑ cos l k + i∑ sin l k = ∑ e k =1

=e

2 mπ i p

+e

k =1 2 mπ i ⋅2 p

+K+ e

k =1 2 mπ i ⋅p p

mπx k l

=e

p

= ∑e

2 mπ i p

⋅

i

2 mπ ⋅k p

k =1 i⋅2 mπ

e

e

2 mπ i p

−1

= .

−1

У нас m = 1, 2, K , n ; 2n < p , а потому и 2m < p . Следовательно, e

i

2 mπ p

≠ 1.

Так как ei⋅2 mπ = 1, то

p

p

mπx mπx ∑ cos l k + i∑ sin l k = 0 ⇒ k =1

(4)

k =1

p

mπx k ⇒ ∑ cos = 0; l k =1

p

∑ sin k =1

mπx k = 0. l

(5)

II. Определим теперь значения нижеследующих сумм: p

mπx k qπxk ⋅ cos cos ; ∑ l l k =1

p

mπx k qπxk ⋅ sin sin ; ∑ l l k =1

где m = 1, 2, K , n ; q = 1, 2, K , n . Имеем:

p

∑ cos k =1

p

p

p

k =1 p

k =1 p

k =1 p

k =1

k =1

mπxk qπx k ⋅ sin , l l

mπx qπx ( m + q )πx ( m − q )πx ∑ cos l k ⋅ cos l k = 12 ∑ cos l k + 12 ∑ cos l k ,

∑ sin k =1

mπx k qπxk 1 ( m − q )πxk 1 ( m + q )πx k ⋅ sin = ∑ cos − ∑ cos . l l l l 2 2 81

На основании (5) все суммы правых частей последних равенств при m ≠ q равны нулю, а при q = m получаем: p

p

p

k =1

k =1 p

k =1

mπx mπx mπx 2mπx ∑ cos l k ⋅ cos l k = ∑ cos2 l k = 12 ∑ 1 + cos l k  =

=

2mπx k p p 1 + ∑ cos = , 2 2 2 l k =14 1 4244 3 =0

p

p

p

k =1

k =1

k =1

mπx mπx mπx 2mπx p ∑ sin l k ⋅ sin l k = ∑ sin 2 l k = 12 ∑ 1 − cos l k  = 2 . Имеем далее: p

p

p

k =1

k =1

mπx qπx ( m + q )πx ( q − m)πx ∑ cos l k ⋅ sin l k = 12 ∑ sin l k + 12 ∑ sin l k k =1

p

⇒ на основании (5)

∑ cos k =1

⇒

mπx k qπx k ⋅ sin = 0 как при q ≠ m , так и при q = m . l l

Перепишем систему (3) в виде: p  p ∑ y k = ∑ ϕ ( xk ), k =1 k =1  p p qπx k qπx k  ∑ y k ⋅ cos l = ∑ ϕ ( x k ) ⋅ cos l , k =1 k =1  p p ∑ y k ⋅ sin qπxk = ∑ ϕ ( x k ) ⋅ sin qπx k . l l k =1 k =1

(6)

Имеем: p

p

~ n ~ mπx k ~ mπx k   1) ∑ ϕ ( x k ) = ∑  A + ∑  am cos + bm sin  = l k    k =1  m=1 k =1 p p n  ~ mπxk  ~ mπxk ~  = A ⋅ p; (7) = A ⋅ p + ∑  a~m ∑ cos + bm ∑ sin l l 14244 m=1 k =14 k =4 1 4244 3 1 3 =0 =0 p p  n ~ mπxk   qπxk mπx k ~ qπx k  2) ∑ ϕ ( x k )cos = =∑  A + ∑  a~m cos + bm sin   cos l  l l l    k =1

82

k =1

m=1

p p p n  ~ mπx k qπxk  mπx k qπx k ~ qπx k ~  = = A ⋅ ∑ cos + ∑  am ∑ cos + bm ∑ sin cos cos l l l l l  k =14243 m =1 k =1 k =1 1 1 44424443 =0 =0 p

n

mπxk qπx k p ~ = ∑ a~m ∑ cos ⋅ cos = ⋅ aq , q = 1, 2, K , n ; l l 2 m=1

(8)

k =1

p  ~ n ~ mπx k   qπx k mπx k ~ qπx k 3) ∑ ϕ ( x k )sin =∑  A + ∑  am cos + bm sin =  sin k  l l l   k =1 k =1  m=1 p p p n  ~ mπxk qπxk  mπx k qπx k ~ qπx k ~  = = A ⋅ ∑ sin + ∑  am ∑ cos + bm ∑ sin sin sin l l l l l  k =14243 m=1 k =144424443 k =1 1 1 =0 =0 p n ~ mπxk qπx k p ~ = ∑ bm ∑ sin ⋅ sin = ⋅ bq , q = 1, 2, K , n . (9) l l 2 p

m=1

k =1

Поэтому будем иметь вместо (6)

   k =1  p qπx k ~ p  ∑ yk ⋅ cos l = aq ⋅ 2 , q = 1, 2, K , n, ⇒ k =1   p qπx k ~ p ∑ yk ⋅ sin l = bq ⋅ 2 , q = 1, 2, K , n  k =1  p  ~ 1 A = ∑ yk ,  p  k =1  p qπxk  2 ~ ⇒ aq = ∑ y k ⋅ cos , q = 1, 2, K , n, l p k =1   p ~ 2 qπx k bq = ∑ y k ⋅ sin , q = 1, 2, K , n.  l p  k =1 qπx k qπ 2l 2π 2π = ⋅ k = q ⋅ ⋅ k , то, положив = θ , получим: Так как l l p p p p

~ ∑ y k = A ⋅ p,

(

)

(10)

p

~ 1 1 A= y1 + y2 + y3 + K + y p = ∑ y k , p p k =1

83

(

p

)

2 2 a~1 = y1 cos θ + y2 cos 2θ + K + y p cos pθ = ∑ y k cos kθ , p p

(

k =1 p

)

~ 2 2 b1 = y1 sin θ + y2 sin 2θ + K + y p sin pθ = ∑ y k sin kθ , p p k =1

(

p

)

2 2 a~2 = y1 cos 2θ + y2 cos 4θ + K + y p cos 2 pθ = ∑ y k cos 2kθ , p p

(

k =1 p

)

~ 2 2 b2 = y1 sin 2θ + y2 sin 4θ + K + y p sin 2 pθ = ∑ y k sin 2kθ , p p k =1 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

(

)

p

2 2 a~n = y1 cos nθ + y2 cos 2nθ + K + y p cos pnθ = ∑ y k cos knθ , p p

(

)

k =1 p

~ 2 2 bn = y1 sin nθ + y2 sin 2nθ + K + y p sin pnθ = ∑ y k sin knθ . p p k =1

Как обычно, синусоиду, определяемую суммой

mπx ~ mπx mπx a~m cos + bm sin = rm sin  + ψ m  ,  l  l l входящей в состав многочлена ϕ( x ) , называют гармоникой m -го порядка функции f ( x ) , заданной эмпирически. Амплитуда rm и начальная фаза ψ m этой гармоники определяются равенствами

~ ~ rm = a~m2 + bm2 ; a~m = rm sin ψ m ; bm = rm cos ψ m .

Замечание. Существует большое количество весьма разнообразных методов разложения функций, заданных эмпирически, на составляющие гармоники. В большинстве своем они служат непосредственной цели определения коэффици~ ~ ентов A, a~m , bm . Найдя последние, уже затем определяют амплитуды и начальные фазы гармоник. Почти все эти методы допускают теоретически нахождение любого числа гармоник. Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1959. 2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.–Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. 3. Аксёнов А.П. Математический анализ. Теория рядов. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. 84

Оглавление

ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ..................................................... 3 §1. Тригонометрические ряды ......................................................................... 3 §2. Интеграл Дирихле ....................................................................................... 6 §3. Теорема Римана – Лебега ........................................................................... 10 §4. Проблема разложения функции в ряд Фурье ........................................... 14 §5. Ряды Фурье четных и нечетных функций ................................................ 20 §6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в «неполном» промежутке ................................................................................................ 23 §7. Сдвиг основного промежутка .................................................................... 27 §8. Растяжение основного промежутка........................................................... 28 §9. Интеграл Фурье ........................................................................................... 32 §10. Различные виды формулы Фурье ............................................................ 39 §11. Формулы Фурье для функции, заданной на промежутке [0, + ∞ ) ...... 42 §12. Гармонический анализ непериодических функций............................... 45 §13. Преобразование Фурье ............................................................................. 47 ГЛАВА 2. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ............................... 48 §1. Метод средних арифметических (метод Чезаро)..................................... 49 §2. Теоремы Вейерштрасса .............................................................................. 53 §3. Средние квадратические приближения функций .................................... 58 §4. Полнота тригонометрической системы .................................................... 66 §5. Метод Абеля – Пуассона суммирования рядов ....................................... 69 §6. Применение метода Абеля – Пуассона к рядам Фурье ........................... 71 Дополнение 1. Применение метода Абеля – Пуассона в теории степенных и числовых рядов.................................................................................................. 78 Дополнение 2. Гармонический анализ функций, заданных эмпирически .......... 79 Литература ................................................................................................................. 84

85