Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

М.В.Федорюк АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В книге содержатся асимптотические методы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрен ряд важных физических приложений к задачам квантовой механики, распространения волн и др. Для математиков, физиков, инженеров, а также для студентов и аспирантов университетов и инженерно-физических вузов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава I. Аналитическая теория дифференциальных уравнений 7 § 1. Аналитичность решений систем обыкновенных дифференциальных 7 уравнений § 2. Регулярные особые точки 10 § 3. Иррегулярные особые точки 21 Глава II. Уравнения второго порядка на вещественной оси 30 § 1. Преобразования уравнений второго порядка 30 § 2. ВКБ-оценки 34 § 3. Асимптотика решений уравнения второго порядка при больших 37 значениях параметра § 4. Системы из двух уравнений, содержащие большой параметр 48 § 5. Системы уравнений, близкие к диагональным 50 § 6. Асимптотика решений при больших значениях аргумента 55 § 7. Двойные асимптотики 61 § 8. Контрпримеры 67 § 9. Корни постоянной кратности 69 § 10. Задачи на собственные значения 71 § 11. Задача о рассеянии 75 Глава III. Уравнения второго порядка в комплексной плоскости 82 § 1. Линии Стокса и области, ими ограниченные 82 § 2. ВКБ-оценки в комплексной плоскости 90 § 3. Уравнения с полиномиальными коэффициентами. Асимптотика 94 решений в большом § 4. Уравнения с целыми и мероморфными коэффициентами 109 2 2 2 112 § 5. Асимптотика собственных значений оператора -d /dx + λ q (x). Самосопряженные задачи 126 § 6. Асимптотика дискретного спектра оператора -у" + λ2q (x)у. Несамосопряженные задачи § 7. Задача на собственные значения с регулярными особыми точками 133 § 8. Квазиклассическое приближение в задачах рассеяния 142 § 9. Уравнении Штурма — Лиувилля с периодическим потенциалом 159 Глава IV. Уравнения второго порядка с точками поворота 167

§ 1. Простая точка поворота. Вещественный случай 167 § 2. Простая точка поворота. Комплексный случай 180 § 3. Некоторые эталонные уравнения 186 § 4. Кратные и дробные точки поворота 188 § 5. Слияние точки поворота и регулярной особой точки 201 § 6. Кратная точка поворота. Комплексный случай 204 § 7. Две близкие точки поворота 208 § 8. Слияние нескольких точек поворота 213 Глава V. Уравнения и системы n-го порядка 223 § 1. Уравнения и системы на конечном интервале 223 § 2. Системы уравнений на конечном интервале 235 § 3. Уравнения на бесконечном интервале 245 § 4. Системы уравнений на бесконечном интервале 262 § 5. Уравнения и системы в комплексной плоскости 282 § 6. Точки поворота 291 § 7. Задача о рассеянии, адиабатические инварианты и задача на 323 собственные значения § 8. Примеры 332 Литература 343 Предметный указатель 349 Список сокращений 252 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 278, 290 Абелев интеграл 117, 129 — — — — — — в комплексной — —, период 117, 129 плоскости 92, 93, 95, 96, 99 Адиабатический инвариант 80 — — — — — — на конечном — — линейного осциллятора 80, 81, интервале 39—47 153, 154 — — — — — — — полуоси 55—61 — — системы второго порядка 324. — — — — n-го порядка в 325 комплексной плоскости 290, — — — канонической 325, 326 291 Аналитическое продолжение ВКБ— — — — n-го порядка на конечном асимптотики 108, 109 интервале 225 — — решения 8, 110, 137 — — — — — — — полуоси 246, Аналитичность решений 248, 249, 252—254, 256 дифференциальных уравнений — — — — нечетного порядка 234, 8, 10, 136 235, 259—261 — — — — по параметру 41, 108 — — — — четного порядка 231, 257, Арнольда нормальные формы матриц 258 303, 304 — — системы дифференциальных Асимптотика решений уравнений 54, 61—64, 96, 128, дифференциальных уравнений 251, 257, 265, 266, 276—278, второго порядка 54, 61—64, 96, 290 128, 251, 257, 265, 266, 276—

— — — — — в комплексной плоскости 284, 285, 289, 290 — — — — — на конечном интервале 241, 243-245 — — — — — — полуоси 264 — — — — — третьего порядка 261, 262 Бернулли числа 320 Бесселя уравнение 194 — функции 97, 194, 202 — — мнимого аргумента 194,202 Биркгофа теорема 92 Бора — Зоммерфельда правило квантования 119 Бюрмана — Лагранжа формула 72, 116 Вебера уравнение 208 — функции 194, 212, 213 ВКБ-оценки 34—36, 6 — в комплексной плоскости 92 ВКБ-приближение 30, 39, 55, 61 Внешнее разложение 216, 217, 220, 221, 315 Внутреннее разложение 216, 218, 219, 221, 222, 316, 317 Гармонический осциллятор 81, 107, 117, 118 Двойная асимптотика 54, 61—64, 96, 128, 251, 265, 266, 276-278, 290 Дирака типа система 33 Дородницына асимптотические формулы 176, 177, 192, 193 Задача на собственные значения для уравнения второго порядка на всей оси 111, 112, 126, 127 — — — — — — — — — конечном интервале 71—73 ——————————— .асимптотика собственных значений 116, 124—126, 132, 140, 141 — функций 120, 121 — — — — — — с регулярными

особыми точками 133 Задача на собственные значения для уравнения n-го порядка 330 — — — — —системы уравнений 330 — — — — — — — на всей оси 330, 331 Задача на собственные значения для системы уравнений на полуоси 326—330 " — о надбарьерном отражении 77, 143. 145 — — наиболее полном прохождении сквозь барьер 154—157 — об отражении от барьера 142, 144. 146—150 — о прохождении сквозь барьер 143, 147 — — рассеянии 75, 77, 143, 145, 147, 154—157 — — — при наличии поглощения 78—80 — Редже 73 Излучения условия 93 Интегральные уравнения 35, 36, 192, 279—281, 310, 313 Иррегулярные особые точки 10, 21— 24, 86, 89, 111, 306 Каноническая область 95, 96, 98— 105, 109, 121—124, 222 Канонический оператор Маслова 300 — путь 89—93, 97, 114, 137, 205, 206, 283, 339, 340 Квазиклассическое приближенно 30, 39 — — в задачах рассеяния 75, 77, 143, 145, 147, 154-157 Квазистационарные уровни 157 Контрпримеры 67—69 Коши теорема 8 Коэффициент отражения 76, 147, 149, 154, 155 — прохождения 76, 147, 149, 154 — 156, 159

Лакуна 160 —, асимптотика ширины 161, 165, 166 Ландау — Лифшица формула 125 Левинсона теорема 52, 281 Лежандра уравнение 134 Линия Стокса 82—89, 97—108, 114, 117, 123, 125, 127, 128, 130, 132, 136, 139, 144—146, 148—151, 154, 158, 162-164, 171, 185, 221, 286-288, 327, 334 — уровня 82, 83, 87 Лиувилля преобразование 31, 32 Льюиса инвариант 80 Майера функция 318 Макдональда функция 187, 202 Матрица антиэрмитова 309, 311 — кососимметрическая 272 — симметричная 241, 272, 324, 325 Матрица симплектическая 272 — унитарная 76, 309, 311, 324 — эрмитова 241, 311, 312, 324 — перехода 94, 100—106, 122, 138, 139, 146, 152 Многообразие ограниченных решений 18—21, 25—29 Монодромии группа 17, 110, 111, 125 — матрица 163, 166 Мультипликатор 160, 161 Неймана функция 194, 203 Нерлунда теорема 46 Нули решений 98, 129 Ньютона диаграмма 194, 203 Область допустимая 284, 286—288, 339, 340 — каноническая 95, 96, 98—105, 109, 121 — 124, 222 — применимости ВКБ-асимптотики 97, 98 — типа кольца 88 — — круга 89 — — полосы 88, 95, 112, 123, 221 —- — полуплоскости 89, 95, 123, 221

Олвера форма асимптотического разложения 167 Определяющее уравнение 11, 12 Особые точки дифференциальных уравнений, второго рода 15, 16 — — — —, иррегулярные 10, 21 — 24, 86, 89, 111, 306 — — — —, —, краевые условия в них 18 — — — —,—, критерий 10, 21 — 24 — — — —, на бесконечности 9, 15, 16 — — — —, первого рода 15 — — — —, подвижные 304—306 — — — —, ранг 15 — — — —, регулярные 10, 11, 111, 112, 133, 186, 306 — — — —, —, критерий 11 — — — —, —, типа R1 86, 186 — — — —,— — R2 86, 111, 112 Отгонка граничного условия 19— 21, 25-29 Параболического цилиндра функции 194, 212, 213 Перевала метод 80 Перрона пример 51 — теорема 51 Полюс коэффициента 84—88 Преобразования дифференциальных уравнений второго порядка 30—34 Пуассона скобка 326 Пучок матричный 235—237, 240, 273, 274 Рассеяния амплитуда 77—79 — матрица 75, 76, 322 Риккати уравнение 20, 25, 33, 37 Символ оператора 222, 306 Система дифференциальных уравнений гамильтонова 272, 273, 302 — — — Дирака типа 33 — — — каноническая 272—274, 325

— — — L-диагональная 52 — — — магнитоактивной плазмы 331, 332 — — — почти диагональная 51, 267—270, 318 — — — с асимптотически кратными корнями 271 — — — теории упругости 333—337 — — — Штюккельберга 332 Спектр дискретный 113 — ложный 125, 141, 142 Стационарной фазы метод 311 Стокса граф 83, 107 — комплекс 83, 107, 127, 128, 132 — линия 82—89, 97—108, 114, 117, 123, 125, 127, 128, 130, 132, 136, 139, 144—146, 148—151, 154, 158, 162-164, 171, 185, 221, 286288, 327, 334 — множители 23, 321 Территина уравнение 318—321 Точек поворота наложение 299 — — слияние двух 208—213 — — — нескольких 214, 220 — — — с особой точкой 202, 203 Точка поворота системы уравнений 235, 242, 243, 286—288, 291, 292, 327, 338 340 — — — — кратная 306 — — — — простая 183, 293, 298 — — — — самосопряженная 309— 314 — — уравнения бесконечного порядка 85, 109 — — — — — вторичная 214, 221 — — — второго порядка 39, 45, 83, 120, 129, 144, 146, 148—151, 153, 154, 158, 162, 164, 168, 169 — — — — — дробная 191—193, 202, 204, 206, 207 — — — — — кратная 97, 186, 189, 192, 193, 204 Точка поворота уравнения второго

порядка, асимптотические разложения 192, 193, 197—199, 206, 207 — — — — простая 84, 85, 167, 186 — — — — — —, асимптотические разложения в вещественной области 172—178 — — — — —, — — — комплексной области 185, 186 — — — n-го порядка 224, 291, 292 — — — — — простая 292 — — — — — —. асимптотические разложения 295, 296 — — — — — типа обобщенной функции Эйри 314—317 Флоке — Ляпунова теорема 160 Формулы связи 173, 179, 180, 188, 200, 201, 207, 220, 285, 340— 342 Френеля интеграл 311 Фробениуса метод 12, 13 Фукса система 16 — уравнение 14, 15 Функция контроля ошибки 178, 197 Фурье преобразование 306 Ханкеля функции 218 Характеристический многоугольник 214 — показатель 15, 133 Характеристическое уравнение 39, 221, 231, 234, 282, 314 — —, корни асимптотически кратные 271 — — ,— — простые 247, 255, 263 — — , — постоянной кратности 69— 71 Хартмана — Уинтнера теорема 267 Черри форма асимптотического разложения 168 Шварца производная 31, 209 Шредингера уравнение 118, 157 Штурма—Лиувилля уравнение, асимптотика решений 64—67

— — —, задача на собственные значения 71—73 — — —, — — — — несамосопряженная 130—132 — — — с периодическим потенциалом 159 Штюккельберга система 332 Эйлера уравнение 15, 318 Эйри обобщенное уравнение 314, 318, 322, 323 — обобщенные функции 314 — уравнение 167, 169, 176, 186, 318 — функции 167, 169—173, 177, 186, 187, 196, 292, 294

— —, асимптотические разложения 170, 171 — —, интегральные представления 170 Эйри функции, нули 170 — — связь с функциями Бесселя 169 Элементарные фундаментальные системы решений 99—105, 110, 122, 125, 146, 150, 151 Эренфеста адиабатический инвариант 80 Эталонные уравнения 186—190, 193197