Несимметричные краевые задачи математической физики: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошных сред

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе «

В.П. Гарькин »

2006 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Несимметричные краевые задачи математической физики (блок «Общепрофессиональные дисциплины»; раздел «Федеральный компонент»; основная образовательная программа специальности 010200 «Прикладная математика»)

Самара - 2006 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010200 «Прикладная математика» и типовой (примерной) программы дисциплины «Интегральные преобразования и их приложения», одобренной Советом УМО ВУЗов РФ.

Составитель рабочей программы: Лычев Сергей Александрович. Рецензент: Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред (протокол № от « » 2006 г.) Заведующий кафедрой «

»

2006 г.

Ю.Н. Радаев

2006 г.

В.И. Астафьев

2006 г.

Н.В. Соловова

СОГЛАСОВАНО Декан факультета «

»

СОГЛАСОВАНО Начальник методического отдела «

»

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета «

»

2006 г.

И.А. Власова

1

1. Цель и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цель и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины– овладение методами интегральных преобразований с несимметричными ядрами для решения несамосопряженных начально–краевых математической физики. Задачи дисциплины: • изложение базовых понятий теории гильбертовых пространств, применяемого формализма операционного исчисления, а также математического аппарата, необходимого для обоснования методов несимметричных интегральных преобразований. • демонстрация процедур построения и обоснования решений несамосопряженных начально–краевых задач методами интегральных преобразований; • изучение различных классов интегральных преобразований, в том числе конечных интегральных преобразований, биортогональных интегральных преобразований. • обзор постановок и представлений решений прикладных задач математической физики.

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины В результате изучения дисциплины слушатели должны Иметь представление: о базовых понятиях теории гильбертовых пространств, технике операционного исчисления и алгоритмических процедурах методов несимметричных интегральных преобразований. Знать: классические интегральные преобразования (Фурье, Ханкеля, Меллина, Лапласа, Контаровича– Лебедева, Меллера–Фока); специальные классы интегральных преобразований (конечные интегральные преобразования, биортогональные преобразования). Уметь: получать решения линейных несамосопряженных начально–краевых задач механики сплошных сред в форме биортогональных спектральных разложений (интегралов и рядов).

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Дисциплина основывается на знаниях, полученных слушателями при изучении дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ», «Уравнения матаматической физики».

1.4. Связь с последующими дисциплинами Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Несимметричные краевые задачи математической физики» используются студентами при выполнении курсовых и дипломных работ.

2

2. Содержание дисциплины 2.1. Объём дисциплины Дневная форма обучения, 8-й семестр - зачет, экзамен. Вид учебных занятий Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к практическим занятиям Разработка творческого проекта Изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку (рефераты) Всего часов по дисциплине

Количество часов 68 34 34

68

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий п/п

Название раздела дисциплины лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Введение Интеграл Лебега Пространство L2 Разложения по системе функций Линейные функционалы и операторы Компактные операторы Неограниченные операторы Несамосопряженные операторы Интегральные преобразования Интегральная теорема Фурье Операционное исчисление Интегральные преобразования в комплексной области Конечные интегральные преобразования Биортогональные преобразования Динамические задачи Двумерные задачи теории термоупругости Задачи вязкоупругости

2.3. Лекционный курс Тема 1. Введение 1.1. Краевые и начально–краевые задачи. 1.1. Представления решений в форме сумм и интегралов. Тема 1. Интеграл Лебега 2.1. Теорема Лебега о производной монотонной функции. 2.2. Функции с ограниченным изменением. 2.3. Интегралы Дарбу, Римана, Лебега. 2.4. Неравенства Шварца, Гёльдера и Минковского.

3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Количество часов практические лабораторные занятия занятия 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 4 – – – – – 2 – 4 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 –

Тема 3. Пространство L2 3.1. Пространство L2 . 3.2. Теорема Рисса-Фишера. 3.3. Сходимость в среднем. Слабая сходимость. 3.4. Сепарабельность. Тема 4. Разложения по системе функций 4.1. Ортонормированные системы. 4.2. Подпространства пространства L2 . Теорема о разложении. 4.3. Повторное интегрирование. Теорема Фубини. 4.4. L-измеримые функции. Теорема Егорова. 4.5. Интеграл Стильтьеса. Тема 5. Линейные функционалы и операторы 5.1. Линейные функционалы 5.2. Линейные операторы 5.3. Сопряженные операторы. 5.4. Обратный оператор. Резольвента. 5.5. Собственные значения и собственные функции оператора. Тема 6. Компактные операторы 6.1. Спектральное разложение оператора. 6.2. Самосопряженные вполне непрерывные операторы. 6.3. Теорема Гильберта-Шмидта. 6.4. Унитарные операторы. 6.5. Преобразование Фурье-Планшереля и Ватсона. Тема 7. Неограниченные операторы 7.1. Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. 7.2. Теоремы Фон Неймана. 7.3. Общая теория разложения по собственным функциям. 7.4. Формула Титчмарша-Крейна-Кодаира. Тема 8. Несамосопряженные операторы 8.1. Полярное представление ограниченного оператора. 8.2. s-числа оператора. 8.3. Теоремы о полноте системы корневых векторов

4

Тема 9. Интегральные преобразования 9.1. Классификация интегральных преобразований. 9.2. Ядра и трансформанты интегральных преобразований. 9.2. Общая схема решения начально-краевых задач с помощью интегральных преобразований. Тема 10. Интегральная теорема Фурье 10.1. Интегралы Дирихле. 10.2. Доказательство интегральной теоремы Фурье. 10.3. Формулы обращения для преобразования Фурье. 10.4. Теорема о свертках для преобразования Фурье. Тема 11. Операционное исчисление 11.1. Теорема Титчмарша. 11.2. Операционный формализм. Тема 12. Интегральные преобразования в комплексной области 12.1. Интеграл Фурье в комплексной области. 12.2. Преобразование Миттаг-Лефлера. Тема 13. Конечные интегральные преобразования 13.1. Интегральные преобразования вектор-функций, интегрируемых с квадратом 13.2. Алгоритмическая процедура метода конечных интегральных преобразований 13.3. Нормировка ядер операторов преобразований. Тема 14. Биортогональные преобразования 14.1. Биортогональные системы собственных функций. 14.2. Полнота биортогональной системы 14.3. Базисность 14.4. Построение преобразований с несимметричными ядрами. Тема 15. Динамические задачи 15.1. Поперечные колебания струны 15.2. Колебания тяжелей нити 15.3. Поперечные колебания упругого стержня 15.4. Поперечные колебания тонкой мембраны 15.5. Вынужденные колебания круглой и прямоугольной пластин 15.6. Вынужденные колебания цилиндра и сферы Тема 16. Двумерные задачи теории термоупругости 16.1. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы. 16.2. Кручение и изгиб призмы, образованной пересечением двух цилиндров. 16.3. Плоская задача теории упругости для круговой луночки. 16.4. Плоская задача теории термоупругости для клина. 5

Тема 17. Задачи вязкоупругости 17.1. Применение преобразования Лапласа. Принцип соответствия Вольтерры. 17.2. Динамическая реакция вязкоупругого полупространства. 17.3. Несамосопряженные интегральные преобразования. 17.4. Динамическая реакция вращающегося вязкоупругого стержня.

2.4. Практические (семинарские) занятия п/п 1

Номер раздела 1

Количество часов 2

2

3

2

3

4

2

4

5

2

5

6

2

6

6

2

7

10

2

8

10

2

9

8

2

10

10

2

11 12 13 14 15

11 12 13 14 15

2 2 2 2 2

16

16

2

17

17

2

Тема практического занятия Формулировка несимметричных краевых и начально–краевых задач. Представления решений в форме сумм и интегралов. Пространство L2 . Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств. Ортонормированные системы. Биортогональные системы. Линейные функционалы. Линейные операторы. Сопряженные операторы. Обратный оператор. Резольвента. Собственные значения и собственные функции оператора. Спектральное разложение оператора. Самосопряженные вполне непрерывные операторы. Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. Общая теория разложения по собственным функциям. Формула Титчмарша-Крейна-Кодаира. Полярное представление ограниченного оператора. s-числа оператора. Решение начально-краевых задач с помощью интегральных преобразований. Преобразование Фурье. Преобразование Миттаг-Лефлера. Конечные интегральные преобразования. Биортогональные интегральные преобразования. Поток тепла в цилиндре конечной длины. Распространение температуры в случае движущихся точечных источников. Плоская задача теории термоупругости для клина. Динамическая реакция вращающегося вязкоупругого стержня.

2.5. Лабораторный практикум Лабораторный практикум не предусмотрен.

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний Промежуточный контроль знаний проводится по результатам выполнения заданий на практических занятиях. Итоговый контроль проводится в виде зачета и экзамена. Зачет ставится на основании выполнения заданий на практических занятиях. Экзаменационная оценка ставится на основании письменного и устного ответов по экзаменационному билету.

6

3.1 Программа экзамена 1. Векторные пространства. Унитарные пространства. Метрические пространства. Нормированные пространства. 2. Норма. Скалярное произведние. Неравенство Шварца. Неравенство треугольника. 3. Билинейные формы. Эрмитовы формы. Поляризация эрмитовой формы. 4. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства. 5. Пополнение унитарного пространства. 6. Базис векторного пространства. Базис Хамеля. Размерность векторного пространства. 7. Биортогональные базисы. 8. Сепарабельные и несепарабельные пространства. Пример несепарабельного пространства. Почти периодические функции (Бор). 9. Полные множества. Выпуклые множества. Теорема о существовании элемента с наименьшей нормой. 10. Теорема об ортогональной проекции (Беппо Леви). 11. Теорема Пифагора. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. 12. Дефект подпространства. Гиперплоскости. Линейные функционалы. 13. Теорема о представлении линейного функционала (Рисс, Фреше). 14. Сопряженное пространство. Теорема Хана–Банаха. 15. Линейный оператор. Сопряженный оператор. 16. Самосопряженный оператор. Эрмитовый оператор. 17. Операторы ортогонального проектирования. 18. Спектральная теорема для эрмитовых операторов в конечномерном пространстве. 19. Спектральное представление несамосопряженного оператора в конечномерном пространстие. 20. Разложение единицы. Разложение эрмитова оператора. Операторные многочлены. 21. Лемма Меррея. 22. Борелевы множества. Мера. Измеримые и интегрируемые функции. 23. Спектральная теорема для эрмитова оператора в бесконечномерном пространстве. 24. Спектральная функция. 25. Исчисление ограниченных функций самосопряженного оператора. 26. Неограниченные операторы. 27. Резольвента. 28. Симметрические операторы. Расширение симметрического оператора. 29. Теоремы фон Неймана. 30. Симметрические полуограниченные операторы. Расширение по Фридрихсу. 31. Спектральное представление полуограниченного оператора. 32. Лемма Рисса–Лорха. 33. Операторное исчисление Стоуна–фон Неймана. 34. Спектр самосопряженного оператора. Дискретная и непрерывная части спектра. 7

35. Изометрические операторы. Унитарные операторы. 36. Расширение изометрического оператора до унитарного. Индексы дефекта изометрического оператора. 37. Преобразование Кэли. Связь изометрических и симметрических операторов. Индексы дефекта симметрического оператора. 38. Спектральное представление унитарного оператора. Спектральное представление самосопряженного оператора. 39. Симметрические операторы, порождаемые дифференциальными выражениями. 40. Направляющие функционалы (М.Крейн) 41. Матричная функция распределения. Несобственный порождающий базис. 42. Формулы обращения. 43. Представления спектральной функции и резольвенты самосопряженного оператора, порождаемого дифференциальным выражением, через спектральную функцию распределения. 44. Характеристическая матрица. Обращение Стильтьеса. Явные формулы для спектральной функции распределения. 45. Интегральные преобразования, связанные с тригонометрическими функциями. 46. Интегральные преобразования, связанные с функциями Бесселя. 47. Интегральное преобразование Фурье. 48. Интегральное преобразование Меллина. 49. Интегральное преобразование Ханкеля. 50. Интегральное преобразование Лапласа. 51. Конечные интегральные преобразования. 52. Биортогональные преобразования. 53. Интегральные преобразования, порождаемые пучками дифференциальных операторов.

8

3.2 Пример экзаменационного билета Экзаменационный билет I

По дисциплине Факультет Кафедра

Краевые задачи в МСС Механико–математический Механика спошных сред

1. Векторные пространства. Унитарные пространства. Метрические пространства. Нормированные пространства.

2. Представления спектральной функции и резольвенты самосопряженного оператора, порождаемого дифференциальным выражением, через спектральную функцию распределения.

3. Задача.

Зав. кафедрой Составил

д.ф.-м.н., проф. Ю.Н. Радаев к.ф.-м.н. С.А. Лыч¨ев

Дата составления

9

10.12.06

3.3 Темы рефератов 1. Распространение температуры в случае движущихся точечных источников. 2. Вынужденные колебания цилиндра и сферы. 3. Плоская задача теории упругости для клина. 4. Нестационарная динамика сферической оболочки. 5. Динамическая реакция вращающегося вязкоупругого стержня.

3.4 Методические рекомендации студенту В курсе приводятся теоретические основы методов интегральных преобразований. Вводятся классические преобразования Фурье, Ханкеля, Меллина, Лапласа и др. Подробно излагается алгоритмическая процедура конечных интегральных преобразований. Рассматриваются несимметричные интегральные преобразования, порождаемые собственными и присоединенными функциями пучков несамосопряженных операторов. Техника преобразований иллюстрируется на примерах решения большого количества прикладных задач. В результате изучения дисциплины слушатели должны иметь представление о базовых понятиях теории гильбертовых пространств, о технике операционного исчисления и алгоритмических процедурах методов интегральных преобразований; знать классические интегральные преобразования (Фурье, Ханкеля, Меллина, Лапласа, Контаровича-Лебедева, Меллера-Фока), а также специальные классы интегральных преобразований (конечные интегральные преобразования, биортогональные преобразования); уметь получать решения линейных начально-краевых задач механики сплошных сред в форме спектральных разложений (интегралов и рядов).

3.5 Методические рекомендации преподавателю Техника интегральных преобразований позволяет разработать универсальные алгоритмические процедуры, предназначенные для построения решений начально-краевых задач математической физики и, в частности, краевых задач механики сплошных сред. Интегральные преобразования используются в математической физике более двухсот лет. Замечательные результаты были получены с помощью классических преобразований Фурье, Ханкеля, Меллина, Лапласа, Канторовича-Лебедева. Вместе с тем рассматриваемые краевые задачи были, как правило, самосопряженными, а моделируемые физические системы - консервативными. Исследование неконсервативных систем приводит к несамосопряженным задачам, в которых отсутствует энергетическая симметрия, формулируемая, в частности, в форме теоремы Бетти. В последнее пятидесятилетие были предложены различные несимметричные обобщения классических преобразований. Однако для их обоснования требуется исследование свойств несамосопряженных операторов, получения критериев полноты и базисности систем их корневых подпространств, что само по себе представляет сложную математическую задачу. По этой причине теорию несимметричных интегральных преобразований нельзя считать завершенной; она представляет интерес для дальнейших исследований, осуществляемых, в том числе, в рамках курсовых и дипломных работ. Программа курса "Интегральные преобразования и их приложения в механике сплошных сред"содержит классические симметричные интегральные преобразования; конечные интегральные преобразования; несимметричные интегральные преобразования, порождаемые собственными и присоединенными функциями несамосопряженных операторных пучков, а также значительное количество примеров краевых задач, решаемых с помощью техники интегральных преобразований. Программа рассчитана на двухсеместровый период обучения студентов по специальности "механика", "прикладная математика"и состоит из трех разделов: Методы гильбертова пространства. Общая теория; интегральные преобразования; приложения. Предполагается, что материал, включенный два первых разделов будет изучаться в течение одного семестра.

4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ • Для проведения вычислительных работ на практических занятиях требуется компьютерный класс с установленной программой "Mathematica 5.0".

10

5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) • Выполнение индивидуальных заданий с элементами исследования.

6. Материальное обеспечение дисциплины • Учебные классы.

7. Литература 7.1. Основная литература 1. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. 667 с. Изложена общая теория бесконечных и конечных интегральных преобразований. Детально рассмотрены классические преобразования Фурье, Фурье-Бесселя, Ханкеля, Меллина. Автором введены конечные интегральные преобразования. Рассмотрено большое количество примеров и прикладных задач из области механики и теоретической физики 2. Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике. М.: ГТТИ, 1956. 327 с. Компактное изложение алгоритмической процедуры бесконечных и конечных преобразований Фурье, преобразования Лапласа. Значительное количество примеров решения прикладных задач. 3. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Изд-во академии наук СССР, 1963. 365 с. Детально разобраны решения задач теории упругости с помощью интегральных преобразований Фурье, Бесселя, Ханкеля, Меллина, Конторовича-Лебедева. В этой книге содержится, по-видимому, наибольшее количество задач теории упругости, решенных в замкнутой форме с помощью интегральных преобразований. 4. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. 176 с. Вводится и обосновывается алгоритмическая процедура конечных интегральных преобразований в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом. Подробно изложены решения методом конечных интегральных преобразований динамических задач для пластин и оболочек, неоднородного цилиндра. 5. Лыков А. B. Теория теплопроводности. М.: "Высшая школа", 1967. 599 c. Приводятся решения задач теплопроводности с помощью конечных преобразований Фурье 6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-Т.3. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Приведены основные сведения о рядах Фурье, сходимости рядов Фурье (признаки Дини, Липшица, Дирихле), теореме Таубера, эффекте Гиббса. 7. Уитеккер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т.1-Т.2. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1963. Даны основные сведения о рядах Фурье. Приведена исчерпывающая информация по специальным функциям, используемых в ядрах интегральных преобразований. 8. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: "Высшая школа", 1970. 709 c. Подробно рассматриваются разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Вводятся конечные и бесконечные интегральные преобразования. 9. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959. 156 с. Изложены различные способы суммирования (Абеля, Фейера, и т. д.). Вводится понятие эффективного метода суммирования. 10. Наймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука. 1969. 526 c. Подробно изложена теория разложения по собственным функциям. Приведены общие представления для спектральных разложений для операторов с дискретным и непрерывным спектром, спектральное представление Крейна, обобщающее формулы разложений по собственным функциям.

11

11. Эдвардс Э. Ряды Фурье в современном изложении. Значительное внимание уделено вопросам сходимости рядов в банаховых пространствах и оценке скорости сходимости. 12. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 437 с. Систематически излагается теория несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. 13. Рисс Ф. Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 c. 14. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. M.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. 262 с. Детально рассмотрены свойства ортогональности, базисности, полноты. 15. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966. 1063 с. 16. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. 570 c. Подробное изложение методов спектральных разложений с общих позиций функционального анализа 17. Хиршман И. И., Уиддер Д. B. Преобразования типа свертки. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. 312 с. 18. Микусинский Я. Операторное исчисление. М.:Изд-во иностранной литературы, 1956. 366 с.

7.2. Дополнительная литература 1. Джабаршян. Интегральные преобразования в комплексной области. Изложена общая теория интегральных преобразований в комплексной области. В числе прочих излагается обобщение несамосопряженного преобразования Ватсона.

7.3 Учебно-методические материалы по дисциплине ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ за

/

учебный год

В рабочую программу «Несимметричные краевые задачи математической физики» для специальности вносятся следующие дополнения и изменения:

12