Лекции по элементам топологии: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА

Н.Г. ПОДАЕВА, С.В. ЕВСИКОВ

ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ТОПОЛОГИИ Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета

ЕЛЕЦ-2003

УДК. 517.11 П

Печатается по решению Ученого Совета верситета им. И.А. Бунина

Елецкого государственного уни-

Подаев Н.Г., Евсиков С.В. Лекции по элементам топологии –Елец.: ЕГУ, 2003. – 42с. Цель пособия – обеспечить формирование представлений об основных видах топологических пространств, привить общую топологическую культуру, необходимую будущему учителю для глубокого понимания как основного курса геометрии, так и углубленного. Рецензенты: д. п. н., профессор В.Е. Медведев (ЕГУ), К. ф.-м. н., доцент В.Е. Щербатых (ЕГУ)

©Подаева Н.Г.

© Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина (ЕГУ), 2003.

2

ВВЕДЕНИЕ Цель этого пособия – обеспечить формирование представлений об основных видах топологических пространств, привитие общей топологической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания как основного школьного курса геометрии, так и углубленного. В основу общего изучения элементов топологии мы положили понятие открытого множества. Вначале мы определим топологическое пространство и будем изучать его «геометрию» исходя из аксиом. После того, как введены гомеоморфизмы, мы будем изучать важнейшие топологические свойства пространств и множеств (связность, компактность и т.п.). В заключение рассмотрим классификацию связных компактных двумерных многообразий, к которым относятся такие интересные объекты, как лист Мебиуса, бутылка Клейна, проективная плоскость и сферы с ручками и пленками. В соответствии с «групповым подходом» Ф.Клейна предметом топологии являются топологические свойства – свойства фигур, которые не изменяются при деформациях без «разрезаний и склеек». В результате таких непрерывных деформаций (гомеоморфизмов) из резинового тора можно получить кофейную чашку. Известный популяризатор науки М. Гарднер сказал по этому поводу, что топологами принято называть математиков, которые не могут отличить кофейную чашку от бублика.

3

§1. Топологические пространства Напомним, что n-арным отношением, определенным на непустом множестве Е, называется всякое подмножество

δ ⊂ Еn (En = 1 E ×4 E2 × ... E 4 4×4 3 n раз

n-ая декартова степень множества Е). Элементы х1 , х 2 ,..., х n ∈ Е находятся в отношении

δ ⊂ Е n , если кор-

теж ( х1 , х 2 ,..., х n ) ∈ δ . Если n = 2 , то

δ - бинарное отношение; n = 1 - унарное отношение

(т.е. просто некоторое подмножество множества Е). При этом х из Е находится в отношении

δ , если х ∈ δ .

Пусть Х - непустое множество и

Ρ (Χ ) - множество всех его под-

множеств; Τ - унарное отношение, определенное на рое подмножество

Ρ (Χ ) (т.е. Τ - некото-

Ρ (Χ ) , сл., его элементы – подмножества множества Х).

Определение 1. Говорят, что на множестве Х определена топологическая структура (топология), если на множестве множеств задано унарное отношение

Ρ (Χ ) всех его под-

Τ , удовлетворяющее следующим

трем аксиомам: I.

Χ, ∅ принадлежат Τ .

II.

Объединение любого конечного либо бесконечного семейства подмножеств из Τ принадлежит Τ .

III.

Пересечение любого конечного семейства подмножеств из Τ принадлежит Τ . Определение 2. Множество Х, на котором определена топологическая

структура Τ , называется топологическим пространством.

4

Из определения 2 следует, что топологическое пространство надо рассматривать как пару

(Χ ,Τ ) ,

где

Τ - некоторое семейство подмножеств

множества Х, обладающее свойствами I, II, III. Определение 3. Элементы из Х называются точками, а элементы из

Τ - открытыми множествами пространства (Χ ,Τ ) . Примеры топологических пространств. Пример

1.

Пусть

R

-

множество

вещественных

чисел,

Rn = 1 R ×4 R2 × ... R - n-ая декартова степень множества R (арифметическое 4 4×4 3 n раз

n-мерное

пространство).

(a , b ) = I ; a , b i

i

i

i

i

Возьмем

n

числовых

интервалов

∈ Q; i = 1, n .

Определение 4. Открытым координатным параллелепипедом в R называется множество

{

}

Ω n = M (x 1 , x 2 ,..., x n ) / a i < x i < bi ; i = 1, n ,

n

(1)

или

Ω n = I 1 × I 2 × .... × I n . Определение 5. Множество F ⊂ R называется открытым, если n

для любой точки М множества F можно указать открытый координатный параллелепипед, содержащий эту точку и целиком лежащий во множестве F. Очевидно, что R - открытое множество. Условимся считать ∅ открытым. n

Легко проверить, что множество Τ всех открытых в R множеств обладает n

свойствами I, II, III. Сл., Τ - топология, а R - топологическое пространство. n

Оно называется числовым пространством (при n=1 – числовой прямой), а

Τ - его естественной топологией.

5

Пример 2. На аффинной плоскости А2 рассмотрим

параллелограмм

АВCD=P. Определение 6. Множество

{

}

Р = М / АМ = α АВ + β АD; α ∈ (0,1); β ∈ (0,1) 0

(2)

называется внутренностью параллелограмма Р. Определение 7. Множество F ⊂ A2 называется открытым, если для любой точки M ∈ F можно указать такой параллелограмм Р, что его 0

внутренность Р содержит точку М и целиком лежит в F. Легко видеть, что множество

Τ таких открытых множеств в А2 удовлетво-

ряет аксиомам I-III, сл., А2 - топологическое пространство. Аналогично: Аn - топологическое пространство. Тривиальные топологии. Пример 3. В произвольном множестве Х рассмотрим семейство Τ его подмножеств: Τ ={X,∅}, состоящее из 2-ух множеств – Х и ∅. Очевидно, что Τ удовлетворяет аксиомам I-III. Такая топология Τ называется антидискретной, а топологическое пространство

(Χ ,Τ ) – антидискретным топологи-

ческим пространством. Для наглядности, антидискретное топологическое пространство можно сравнить с запутанным клубком ниток. Пример 4. Пусть

Τ = Ρ (Χ ) - семейство всех подмножеств множества Х.

Это дискретная топология, а

(Χ ,Τ )

– дискретное топологическое про-

странство. Для наглядности, можно привести сравнение с мешком с горохом.

6

Топологические пространства в примерах 3 и 4 бесполезны, но они показывают, что всякое множество Х можно превратить в топологическое пространство.

§2. Окрестность точки, база топологии, замкнутые множества. Топологические подпространства. Пусть

(Χ ,Τ ) – топологическое пространство.

Определение 1. Окрестностью точки х ∈ Х называется любое открытое множество U x (т.е. U x принадлежит Τ ), содержащее точку х. Следствие: подмножество U ⊂ X является окрестностью каждой своей точки тогда и только тогда, когда оно открыто (т.е. U ∈Τ ).

Β = {Β x } открытых подмножеств то-

Определение 2. Семейство пологического пространства

(Χ ,Τ ) называется базой топологии Τ , если

для любой точки х ∈ Х и любой ее окрестности U x существует такой элемент

Β х ∈ Β , содержащий точку х, что Β х ⊂ U x .

Примеры: -

множество интервалов

Ι i = (a i , bi ); a i , bi ∈ Q; i = 1, n обра-

зует базу естественной топологии прямой R; -

множество внутренностей открытых координатных параллелепи-

{

}

педов Р = М / АМ = α АВ + β АD; α ∈ (0,1); β ∈ (0,1) образует базу ес0

тественной топологии в R

n

, и т.д.

Замечание 1. Напомним, что два множества A и B называются равномощными ( А∞В ), если

существует биекция ϕ : A → B .

Множество A называется конечным, если существует n ∈ N такое, что A∞{k / k ∈ N ∧ k ≤ n}. Множество A называется не более чем счетным, если оно конечно или равномощно множеству N натуральных чисел. 7

Множество A называется счетным, если оно равномощно множеству N натуральных чисел. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Примеры и контрпримеры: множества Z, Q являются счетными, множества R, C - несчетными. Определение 3. Пространство

(Χ ,Τ )

называется пространством

со счетной базой, если топология Τ имеет хотя бы одну базу, которая состоит не более чем из счетного множества открытых подмножеств из Х. Примеры: - Базой естественной топологии числовой прямой R служит семейство интервалов { Ι i = (a i , bi ); a i , bi ∈ Q;

i = 1, n } с рациональными кон-

цами. Эта база счетна (т.к. множество Q счетно). Сл., R - пространство со счетной базой. - Базой естественной топологии в числовом пространстве R служит n

семейство { I 1 × I 2 × .... × I n } всевозможных произведений открытых интервалов

Ι k (k = 1, n) с рациональными концами. Эта база счетна, сл., R n - про-

странство со счетной базой. -

R n - модель линейного (векторного) пространства V . Его можно

отождествить с аффинным пространством An либо евклидовым E n , для которых пространство переносов - V (если зафиксировать некоторую точку). Сл., пространства An и E n - также пространства со счетной базой. Х х

В топологическом пространстве А

(Χ ,Τ )

возьмем какое-

либо множество А. Определение 4. Точка

х ∈ А называется внутренней

точкой множества А, если существует окрестность этой точки, содержащаяся полностью во множестве А. 8

0

Определение 5. Множество А всех внутренних точек множества А называется его внутренностью. Определение 6. Точка х ∈ Х называется внешней точкой множества А, если эта точка является внутренней точкой дополнения СА = Х \ А (или если х имеет окрестность U x такую, что U x I A = ∅ ). Определение 7. Точка х ∈ Х называется граничной точкой множества А, если каждая окрестность этой точки имеет непустое пересечение с А и его дополнением одновременно. Определение 8. Множество b( A) всех граничных точек множества А называется его границей. Замечание 2. Очевидно, что множество А открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью: 0

А ∈Τ ⇔ А = А . Определение 9. Точка х ∈ Х называется точкой прикосновения множества А, если любая ее окрестность имеет с множеством А непустое пересечение. Из определения 9 следует, что любая точка множества А и любая точка его границы b( A) являются точками прикосновения этого множества. Определение 10. Множество А всех точек прикосновения множества А называется замыканием множества А. Например, замыканием интервала ( a, b) ⊂ R является отрезок [ a, b] . Замыканием открытого круга B (O; r ) является замкнутый круг B (O; r ) . Замечание 3. Если х не является точкой прикосновения множества А 0

(т.е. х ∈ С А ), то она внешняя к А (т.е. х ∈ СА ), и обратно. Следовательно, 0

С А = СА , т.е. дополнение к замыканию множества А совпадает с внутренностью дополнения этого множества. 9

Определение 11. Множество А называется всюду плотным в топологическом пространстве

(Χ ,Τ ) , если его замыкание совпадает с Х, т.е.

А= Х. Например, замыкание Q множества Q рациональных чисел совпадает с полем R . Сл., Q всюду плотно на числовой прямой R . Определение 12. Пространство называется сепарабельным, если существует счетное его подмножество, всюду плотное в нем. n

Например, R , R - сепарабельные пространства. Определение 13. Множество А в топологическом пространстве

(Χ ,Τ ) называется замкнутым, если его дополнение СА открыто. Теорема. Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда А совпадает со своим замыканием ( А = А ). Доказательство. Пусть А замкнуто, тогда, по определению 13, его дополнение открыто ( СА ∈Τ ). Следовательно, согласно замечанию 2, дополнение СА совпадает 0

со своей внутренностью ( СА = СА ). 0

Согласно замечанию 3, С А = СА . Таким образом, СА = С А . Сл.,

А = А. 0

Обратно: А = А ⇒ СА = С А ⇒ СА = СА ⇒ СА ∈Τ - открытое, сл., согласно определению 13, А замкнуто. Рассмотрим какое-либо подмножество А в топологическом пространстве

(Χ ,Τ ) . Обозначим через

T множество пересечений элементов из Τ с

множеством А.:

T = {U ∩ A / U ∈Τ }. 10

Легко видеть, что семейство T удовлетворяет аксиомам I, II, III определения топологии, сл., T - топологическая структура, ( A, T ) - топологическое пространство. Определение 14. Пространство ( A, T ) называется подпространством топологического пространства

(Χ ,Τ ) .

Замечание 4. Говорят, что топология T индуцирована на множестве А топологией Τ . Примеры: - Топология аффинной плоскости А2 индуцирует на параболе

γ ∈ А2

топологию T , элементы которой – пересечения открытых множеств плоскости А2 с параболой

γ ∈ А2 . Парабола γ ∈ А2 , наделенная топологией T ,

является подпространством в А2 . - Топология евклидовой плоскости Е 2 индуцирует на окружности

ω ∈ Е2 топологию T , элементы которой – пересечения открытых множеств плоскости Е2 с окружностью

ω ∈ Е2 . (ω ,T ) - подпространство в Е2 .

11

§ 3. Непрерывность отображений топологических пространств.

Пусть

( X ,Τ ), ( X ′,Τ ′) - топологические пространства.

f : X → X ′ называется непрерывным в точке х ∈ Х , если для любой окрестности U ′ точки f ( x ) ∈ X ′ найдется окрестность U точки х ∈ Х такая, что f (U ) ⊂ U ′ . Отображение f : X → X ′ называется непрерывным на множестве Х, если оно непрерывно в каждой точке х ∈ Х . Определение 1. Отображение

Теорема. Пусть ( X ,Τ ) и ( X ′,Τ ′) - топологические пространства. Отображение f : X → X ′ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества из Х ′ есть любое открытое множество в Х . Доказательство. Докажем необходимость условия.

Дано: отображение f : X → X ′ непрерывно; U ′ - какое-либо открытое −1

множество из Х ′ (т.е. U ′ ∈Τ ′ ); U = f (U ′) . Т.д.: U ∈Τ (т.е. U открыто). Так как f - непрерывное отображение, то, по определению, для U ′ существует окрестность U x ⊂ U точки x0 ∈ U такая, что f (U x ) ⊂ U ′ . Сл., 0

0

U x ⊂ U (их прообразы связаны этим же соотношением включения). Таким образом, множество U вместе с каждой своей точкой x0 ∈ U содержит и не0

12

которую ее окрестность U x ⊂ U . Следовательно, все точки множества U 0

0

внутренние (U = U ) и оно открыто. Докажем достаточность условия. Для любой точки x0 ∈ Х рассмот-

рим любую окрестность U ′ точки f ( xo ) ∈ X ′ . Тогда, по определению окрестности, множество U ′ открыто. Сл., по условию, U = f

−1

(U ′) - также открытое множество. Точка x0 ∈ U (т.к. ее образ f ( xo ) ∈ U ′ ) Сл., U - окрестность точки xo . Итак, для любой наперед заданной окрестности U ′ точки f ( xo ) нашлась окрестность U точки xo такая, что f (U ) ⊂ U ′ ( f (U ) = U ′ ). Сл., f -

непрерывное отображение по определению. § 4. Гомеоморфизмы топологических пространств. Предмет топологии. Изоморфизмы топологических структур. Пусть

( X ,Τ ) и ( X ′,Τ ′) - топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : X → X ′ называется гомеоморфизмом

пространства ( X ,Τ ) на пространство ( X ′,Τ ′) (или топологическим отображением), если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т.е. f -

биекция и f , f

−1

- непрерывные отображения). top

Обозначают:

X ∞ X ′ - пространства X и X ′ гомеоморфны.

Легко доказать, что отношение гомеоморфности является отношением эквивалентности. Сл., на множестве М всех топологических пространств оно осуществляет разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс top

(т.е. каждый элемент фактор-множества M / ∞ ) называется топологическим типом. О двух гомеоморфных пространствах говорят, что они типологически эквивалентны или принадлежат одному топологическому типу. Всякое свойство пространств, инвариантное относительно гомеоморфизмов, называется топологическим свойством (или топологическим инвариантом). Изучение таких свойств является предметом топологии. В 1872 г. Ф. Клейн («Эрлангенская программа») определил топологию как часть геометрии, изучающую свойства фигур, инвариантные при гомеоморфизмах.

f - гомеоморфизм пространства ( X ,Τ ) на ( X ′,Τ ′) . Следова−1 тельно, по определению f - биекция, причем f непрерывно на Х и f не−1 прерывно на X ′ . Тогда по теореме §3 f (Τ ′) ⊂ Τ ⇒Τ ′ ⊂ f (Τ ) . (1) Пусть

13

Отображение f (2)

−1

непрерывно на X ′ . Сл., ( f

Из (1) и (2) следует, что

−1 −1

) (Τ ) ⊂ Τ ′ ⇒ f (Τ ) ⊂ Τ ′ .

f (Τ ) = Τ ′ .

Таким образом, f - биекция множества Х на множество X ′ , которая переводит множество Τ всех открытых в Х множеств во множество Τ ′ всех открытых в X ′ множеств. Говорят, что гомеоморфизм f : X → X ′ - изоморфизм топологической структуры Τ на топологическую структуру Τ ′ . Пример 1. Пусть на евклидовой плоскости задана полуокружность с концами А и В и центром О. Обозначим I= Ао Во отрезок, являющийся ортогональной проекцией диаметра АВ на касательную, параллельную АВ. Пример 2. Отображение f : (− π2 , π2 ) → R , заданное правилом ∀x ∈ (− π2 , π2 ) f ( x ) = tgx , является гомеоморфизмом. Сл., интервал гомеоморфен числовой прямой. Сужение этого гомеоморфизма дает нам гомеоморфизмы:

f1 : [0, π2 ) → [0,+∞ ) ,

f 2 : (0, π2 ) → (0,+∞ ) . Сл., полуинтервал гомеоморфен лучу, а интервал – открытому лучу. 1 2 Пример 3. (Контрпример) Рассмотрим отображение f : [0,2π ) → S ⊂ R полуинтервала на единичную окружность по принципу: ∀t ∈ [0,2π ) f (t ) = (cos t , sin t ). Оно непрерывно, биективно, но обратное

отображение f : S → [0,2π ) терпит разрыв в точке (1,0) (Почему? Показать самостоятельно). −1

1

14

§5. Покрытие и разбиение множеств. Отделимость, компактность, связность. Пусть

( X ,Τ ) - топологическое пространство.

Определение 1. Покрытием множества Х называется такое семейство {X λ } его подмножеств, что множество Х является объединением этих подмножеств. Определение 2. Покрытие {X λ }топологического пространства ( X ,Τ ) называется открытым, если каждое X λ открыто.

Определение 3. Подпокрытием покрытия {X λ }называется такое его подсемейство, которое само является покрытием. Определение 4. Покрытие множества Х называется разбиением этого множества, если элементы покрытия – непустые множества, и любые два различные элемента покрытия не пересекаются. Самостоятельно: сформулировать определение пространства, не являющегося отделимым. Определение 5. Топологическое пространство называется хаусдорфовым (отделимым), если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями. Примеры: Антидискретное пространство (Τ = {X , ∅}), содержащее более одного элемента, неотделимо. (Почему? Показать самостоятельно) n Числовое пространство R отделимо. Аффинное пространство An и проективное Pn отделимы. Дискретное пространство (Τ =

Ρ ( X ) ) отделимо.

Определение 6. Пространство ( X ,Τ ) называется компактным, если оно удовлетворяет сл. аксиоме Бореля-Лебега: каждое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Из определения 6 следует: для того, чтобы пространство не было компактным, у него должно существовать открытое покрытие {X λ }(все X λ ∈Τ ), заведомо бесконечное, никакая конечная часто которого не является покрытием пространства. Примеры:

Всякое пространство, в котором конечное число открытых множеств, компактно.

15

Дискретное пространство с бесконечным числом точек не компактно. (Пример открытого покрытия, не обладающего конечным подпокрытием, - покрытие одноточечными множествами.) Числовая прямая R не компактна. Определение 7. Множество точек в евклидовом пространстве En называется ограниченным, если существует шар, содержащий это множество. Можно доказать: подмножество в евклидовом пространстве En компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. (Доказать самостоятельно.) Примеры: В евклидовом пространстве

E3 открытый шар B (a, r )

- некомпактное множество (ограничено, но не

замкнуто). Полупространство вместе со своей границей – некомпактно (замкнуто, но не ограничено). Замкнутый шар, сфера – компактны.

Определение 8. Топологическое пространство называется связным, если не существует его разбиения на два открытых множества. В противном случае топологическое пространство называется несвязным. X U

V

Из определения 8 следует, что пространство несвязно, если в нем найдутся два непустых открытых множества U и V , которые не пересекаются, а в объединении дают все множество Х. Можно сказать, что связное пространство «состоит из одного цельного куска». Примеры: Любое антидискретное пространство связно. Дискретное пространство, содержащее более одной точки, несвязно. (Почему? Доказать самостоятельно) Вещественная прямая

(

R связна.

Х ,Τ ) ( А,Τ А ) 16

Τ

Определение 9. Подмножество А топологического пространства ( Х , ) называется связным, если оно связно в индуцированной топологии как подпространство, т.е. если топологическое пространство ( А,Τ А ) связно. Замечание. Другими словами, множество А в топологическом пространстве ( X ,Τ ) связно, если пространство ( X ,Τ ) нельзя покрыть 2-мя открытыми в

( X ,Τ ) множествами U и V так, чтобы каждое и них пресекалось с А, а пере-

сечение всех трех множеств U,V и А было пусто. n П Пррииммеерры ы:: 11)) П Пррооссттррааннссттввоо R связно. 2)

Следующие множества в R несвязны: - [0,1) U [2,3] . Существует покры-

тие R множествами (− ∞;1,5), (1,4;+∞ ) ;

N, Q, любое конечное множество в R несвязны.

3)

Гипербола

γ ⊂ А2 - несвязное множество.

Можно доказать: подмножество А числовой прямой связно тогда и только тогда, когда А – открытый, полуоткрытый или замкнутый интервал. § 6. Метрические пространства. Метризуемые топологические пространства. Пусть Е ≠ ∅ - множество, R+ = [0; + ∞ ) - множество неотрицательных вещественных чисел. Определение 1. Метрикой на множестве Е называется отображение

ρ : E × E → R+ , обладающее следующими свойствами: 1) ρ ( x, y ) = 0 ⇔ x = y;

ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) (симметричность функции ρ ; 3) ρ ( x, y ) + ρ ( y , z ) ≥ ρ ( x, z ) (неравенство треугольника).

2)

Определение 2. Пара (E , ρ ) , где Е – непустое множество, ρ - метрика на нем, называется метрическим пространством. Элементы множества Е называются точками, неотрицательное вещественное число ρ ( x, y ) - расстоянием между точками х и у; свойства 1)-3) – аксиомы метрического пространства. 17

Примеры: 1)

Ε 2 - евклидова плоскость. Определим отображение

ρ : Ε 2 × Ε 2 → R+ по

∀(M , N ) ∈ Ε 2 × Ε 2

закону:

(

)

ρ (M , N ) = M , N = q M , N = M , N

2

. Очевидно, что аксиомы мет-

рики выполняются. Сл., Ε 2 - метрическое пространство. Другими примерами метрических пространств являются эллиптическая плоскость, пространство Лобачевского, пространство всех действительных функций, непрерывных на числовом отрезке. k

Контрпримером является псевдоевклидово пространство En индекса k. Пусть

(E , ρ ) - метрическое пространство.

Определение 3. Открытым шаром с центром в точке а и радиусом r > 0 называется множество B(a, r ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) < r}. (1) Замкнутым шаром называется множество B(a, r ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) ≤ r}. (2) Замечание. Открытый шар B(a, ε ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) < ε } называют ε − окрестностью точки а. Определение 4. Множество А называется открытым в Е, если ∀a ∈ A ∃B(a, ε ) ⊂ A (т.е. с каждой своей точкой а оно содержит ε − окрестность этой точки). Пусть Τ - множество открытых в Е множеств. Тогда, т. к. объединение любого числа множеств открытых открыто и пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто, то Τ - топология. Она называется топологией, индуцированной метрикой ρ : Ε × Ε → R+ . Итак, всякое метрическое пространство является топологическим с топологией, индуцированной метрикой. Базой ее является семейство Β = {B ( x, r )} открытых шаров вместе с пустым множеством. Определение 5. Расстоянием между точкой x ∈ E и множеством F ⊂ Ε называется нижняя грань расстояний между х и точками множества F ⊂ Ε , т.е. ρ ( x, F ) = inf ρ ( x, y ) . y∈F

Определение 6. Диаметром d ( A) множества A ⊂ E называется верхняя грань расстояний между точками 18

d ( A) = sup ρ ( x, y ) . x , y∈ A

Определение 7. Множество A ⊂ E называется ограниченным, если его диаметр конечен. Замечание. Можно доказать: подмножество евклидова пространства Е компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Например, замкнутый шар B(a, r ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) ≤ r} и сфера компакт-

ны; открытый шар B(a, r ) = {x ∈ Ε |

ρ (a, x ) < r}- некомпактное множество.

§ 7. Многообразия. rr r Если в аффинном пространстве An задать систему координат (Oe1e2 ...en ) , то каждая точка x ∈ An имеет координатами n-местный кортеж действительных чисел ( x1 ,..., x n ) , который является точкой пространства R n : ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n .

Таким образом, задание аффинной системы координат в пространстве An определяет отображение f : An → R n . Легко убедиться, что f взаимно – непрерывно и биективно, то есть f – гомеоморфизм. Вывод: систему координат в An (также как и декартову систему координат в En ) можно рассматривать как гомеоморфизм топологического пространства An на числовое пространство R n (с естественной топологией).

Теперь вместо An рассмотрим некоторое топологическое пространство Х вообще. Пусть (Х,Т) – отделимое топологическое пространство.

Определение 1. n – мерной координатной системой (или n – мерной картой) называется гомеоморфизм ϕ : U → F некоторого открытого подмножества U ⊂ X на открытое подмножество F ⊂ R n (или на все R n ). Замечание: если X = An , то n – мерная координатная система ϕ − систеrr r ма координат (Oe1e2 ...en ) . Определение 2. Открытое множество U называют координатной окрестностью карты ϕ . Если x ∈ U , то ϕ ( x) = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n . Определение 3. Вещественные числа x1 ,...x n называют координатами точки Х в данной карте ϕ . Замечание: иногда картой называют пару (U ,ϕ ) .

19

Определение 4. n – мерным топологческим многообразием X n называется связное топологическое пространство (Х,Т) со счетной базой, если существует накрытие этого пространства координатными окрестностями n – мерных карт. Примеры: числовое пространство R n связно, отделимо, имеет счетную базу. В качестве карты ϕ можно взять тождественное преобразование пространства R n (координатная окрестность этой карты – все R n ). Следовательно, R n − n – мерное многообразие. Аналогично: An , En , Pn − многообразия n – мерные. На плоскости E2 рассмотрим окрестность γ радиуса r . Выберем пряrr моугольную систему координат Oi j с началом в центре О окрестности; M , N − точки пересечения с осью Oy . U1 = γ \ {M } (окрестность «проколотая» в точке М); U 2 = γ \ {N }. Отображение ϕ : U1 → Ox правилу: если A ∈ U1 , ϕ ( A) = A0 = MA I Ox .

γ

по то

ψ : U 2 → Ox . U1 ,U 2 − открытые

множества на окрестности γ ; ϕ и ψ - гомеоморфизмы открытых множеств U1 и U 2 на ось Ox (гомеоморфно R ). Следовательно, (U1 ,ϕ ) и (U 2 ,ψ ) − одномерные карты окрестности γ . На окрестности U1 и U 2 покрывают всю окрестность γ (U1 ∪U 2 = γ ) . Окружность γ − одномерное многообразие. Замечание: в пространстве E3 сфера S является двумерным многообразием. Другие примеры: эллипсоид, гиперболоид, параболоид, цилиндр второго порядка. Обозначим через R+n множество тех точек ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R , у которых x n ≥ 0 (то есть замкнутое полупространство в R ).

20

Определение 5. n – мерным многообразием с краем называется отделимое пространство (Х,Т) со счетной базой, если его точки можно разбить на 2 непустых класса так, что каждая из точек одного класса (точки внутренние) имеют окрестность гомеоморфную n пространству R , а каждая из точек другого класса (точки краевые) n имеют окрестность, гомеоморфную R+ , но не имеет окрестности гомеоморфной R n . Определение 6. Множество всех краевых точек называется краем. Примеры: 1) отрезок [a, b] числовой прямой является одномерным многообразием с краем. Край состоит из точек а и b. Замкнутый луч. Замечание: можно доказать, что любое связное одномерное многообразие с краем гомеоморфно либо отрезку, либо лучу замкнутому. 2) Выпуклый многоугольник – двумерное многообразие с краем (край – граница многоугольника). Замнутая евклидова полуплоскость – некомпактное многообразие с краем. 3) Интересным примером двумерного многообразия с краем в R 3 является так называемый лист Мебиуса. Он выглядит как результат склеивания концов перекрученной полоски бумаги. Это простейшая односторонняя поверхность (начав красить его с любого места, вы непременно закрасите его целиком – “со всех сторон”).

В E3 зададим прямоугольную сисrr r тему координат (Oi j k ) и в плоскости Oxy рассмотрим прямоугольник ABCD = {M ( x, y,0)} , такой, что x ≤ a, y ≤ b, a, b >0. Каждой точке M (a, y ) отождествляем точку M ′(−a,− y ) , симметричной ей относительно точки О. Получим фигуру Φ , на которой топология из E3 индуцирует некоторую топологию Т1 . Топологическое пространство (Φ, Т1 ) называется листом Мебиуса. Лист Мебиуса – двумерное многообразие с краем. Лист Мебиуса можно получить 21

склеиванием прямоугольника ABCD по направленным отрезкам BC и DA (точку B отождествляем с D , точку A - с C ). Край листа Мебиуса гомеоморфен окружности.

Если в четырехугольнике ABCD любой точке M ( x, b) отождествить точку M ′( x,−b) , симметричной относительно Oy , то получим фигуру F , на которой топология из E3 индуцирует некоторую топологию Т 2 . Пространство ( F , Т 2 ) - двумерное многообразие с краем. Край состоит из двух фигур, любая из которых гомеоморфна окружности. ( F , Т 2 ) − трубка. Примеры двумерных многообразий с краем: а) круг, кольцо, круг с дырами (замыкания различных плоских областей). б) тор с дырами, крендель с дырой (замыкание открытых множеств в двумерных многообразиях без края.

§ 8. Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия. Определение 1. Клеткой называется всякое многообразие с краем, гомеоморфное выпуклому многоугольнику. Гомеоморфный образ вершины многоугольника называется вершиной клетки, образ стороны многоугольника – стороной клетки. Определение 2. Говорят, что двумерное многообразие Φ разложено на на конечное множество клеток если Φ1 , Φ 2 ,..., Φγ ,

выполнены два условия: 1) Φ = ∪Φ i (клетки Φ i образуют покрытие Φ ); 2) пересечение любых двух клеток Φ i и Φ j (i ≠ j ) либо пусто, либо является общей вершиной этих клеток, либо их общей стороной. 22

Например, грани простой многогранной поверхности – выпуклые многоугольники, образуют ее клеточное разложение. Примеры – додекаэдр, икосаэдр. Замечание: Всякое двумерное компактное многообразие (сфера) с краем можно разложить клетки (их конечное число), причем несколькими способами. Пусть Φ − компактное либо компактное двумерное многообразие. K - его клеточное разложение. Будем называть точку x ∈ Φ вершиной разложения K , если она является вершиной хотя бы одной клетки из K . Подмножество

γ ⊂ Φ назовем стороной разложения K , если оно является стороной хотя бы

одной клетки из K . Обозначим: α 0 − число вершин;

α1 − число сторон; α 2 − число клеток разложения K .

Определение 6. Число X (Φ) = α 0 − α1 + α 2 называется эйлеровой характеристикой (или характеристикой Эйлера – Пуанкаре) многообразия Φ . Замечание: можно доказать: 1) эйлерова характеристика не зависит от выбора клеточного разложения K; 2) эйлерова характеристика является топологическим инвариантом многообразия. Действительно, пусть f - гомеоморфизм, Φ′ = f (Φ) ; f переводит клеточное разложение K многообразия Φ в некоторое клеточное разложение K ′ многообразия Φ′ . При этом K ′ имеет те же числа α 0 , α1 , α 2 . Следовательно, X (Φ ) = X (Φ ) . 23

Пример: найдем эйлерову характеристику сферы S . В сферу впишем тетраэдр, поверхность Φ которого – двумерное компактное многообразие. X (Φ ) = 4 − 6 + 4 = 2 ; Пусть О – внутренняя точка тетраэдра; рассмотрим отображение f : Φ → S по правилу: ∀( M 0 ∈ Φ ) f ( M 0 ) = M = OM ∩ S . f − гомеоморфизм. f (Φ ) = S ⇒ X ( S ) = 2 . f : Φ → S − центральное проектирование тетраэдра Φ на сферу S из центра О. f − гомеоморфизм. Контрольный вопрос: чему равны эйлеровы характеристики икосаэдра, додекаэдра? (2).

§ 9. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия. Пусть K − разложение на клетки двумерного многообразия Φ . ABCDE − одна из клеток разложения K . Определение 1. Сторона клетки называется ориентированной, если указан порядок ее вершин. Например, стороны AB и BA ориентированы противоположно. Если считать одну из сторон клетки ориентированной, то можно ввести согласованную ориентацию всей границы клетки. Определение 2. Клетка называется ориентированной, если ориентирована ее граница. Замечание: каждую клетку можно ориентировать двумя способами. Пусть Φ1 и Φ 2 - две клетки с общей стороной. Определение 3. Если в ориентациях клеток Φ1 и Φ 2 их общая сторона получает противоположные ориентации, то говорят, 24

что клетки Φ1 и Φ 2 одинаково ориентированы. Если же общая сторона получает одинаковую ориентацию, то клетки противоположно ориентированы. Определение 4. Многообразие Φ называется ориентируемым, если существует его клеточное разложение, в котором клетки можно ориентировать так, что каждые две клетки, имеющие общую сторону будут одинаково ориентированы. Если же такого разложения не существует, то многообразие Φ называется неориентируемым. Замечание: 1) легко проверить, что поверхность Φ тетраэдра ориентируема. 2) Свойство многообразия быть ориентированным (неориентируемым) является топологическим инвариантом. Действительно гомеоморфизм f : Φ → Φ′ (Φ − ориентированное многообразие) переводит клеточное разложение K многообразия Φ в некоторое клеточное разложение K ′ многообразия Φ′ , причем ориентация любой клетки сохраняется. Следовательно, каждые две клетки многообразия Φ′ , имеющую общую сторону, одинаково ориентированы. Следовательно, Φ′ − ориентируемо. Так как поверхность тетраэдра ориентируема, то ориентируема гомеоморфная ей сфера, а следовательно, и гомеоморфная сфере поверхность любого выпуклого многогранника. Примером неориентируемого компактного многообразия с краем является

лист Мебиуса. Он может быть получен из прямоугольника ABCD склеиванием по направленным отрезкам BA и DC . Ориентируя клетки ABFE и FCDE , начиная со сторон EF получаем, что общая сторона BA = DC получила одинаковую ориентацию. Следовательно, лист Мебиуса неориентируем.

25

§ 10. Понятие об условиях гомеоморфизма компактных двумерных многообразий. Теорема Эйлера для многогранников.

Пусть S = S (O, r ) - сфера в пространстве E3 . Пересечем ее плоскостью Π , расстояние h от точки O до которой удовлетворяет условию: 0 < h < r , и пусть F={M∈S | M и О лежат по разные стороны от П}. Фигура Q1 = S \ F есть многообразие с краем. Оно гомеоморфно замкнутому кругу. Определение 1. Многообразие Q1 называется сферой с одной дырой. Замечание: 1) Q1 гомеоморфно замкнутому кругу, а замкнутый круг гомеоморфен треугольнику. Следовательно, X (Q1 ) = 1 . 2) Аналогично можно получить Qr - сферу с r дырами. Причем эти дыры таковы, что никакие две окружности, образующие край многообразия, не имеют общих точек. Пусть Q2 - сфера с двумя дырами. Ее край состоит из двух окружностей γ 1 и γ 2 . Ручка F также является многообразием с краем. Край также состоит из двух одномерных компактных многообразий γ 1′ и γ 2′ гомеоморфных окружностям. Следовательно, возможны гомеоморфизмы: f1 : γ 1 → γ 1′ f 2 : γ 2 → γ 2′

Склеим многообразия Q2 и F по гомеоморфизмам f1 и f 2 так, чтобы внутренние точки ручки были внешними отношениями шара, граница которого содержит сферу. Полученное многообразие называется сферой с одной ручкой. Оно гомеоморфно тору.

Определение 2. Тором наывается поверхность, образованная вращением некоторой 26

окружности вокруг некоторой оси, лежащей с окружностью в одной плоскости. Сфера с двумя ручками гомеоморфна кренделю. Пусть Q2 p + r - сфера с 2 p + r дырами. p пар этих дыр мы заклеим ручками, а остальные r дыр оставим. Получим многообразие Q p , r - сфера с р ручками и r дырами. Сфера с одной ручкой и одной дырой гомеоморфна тору с одной ды-

рой. Двойная перекрученная лента гомеоморфна кольцу.

Многообразие Q2 (сфера с двумя дырами) гомеоморфна замкнутому

кругу с дырой. Найдем его эйлерову характеристику X (Q2 ) . Произведем клеточное разложение: α 0 = 6; α1 = 9; α 2 = 3 . X (Q2 ) = 6 − 9 + 3 = 0.

27

Сфера с двумя ручками гомеоморфна кренделю.

Окружность гомеоморфна заузленной окружности. В топологии доказывают следующую теорему. Теорема 1. Всякое ориентируемое компактное двумерное многообразие гомеоморфно некоторому многообразию Q p ,0 (сфере с р ручками); всякое ориентируемое компактное двумерное многообразие с краем гомеоморфно некоторому многообразию Q p , r (с р ручками и r дырами). Определение 3. Число р называют родом, а число r – числом контуров многообразия. Теорема 2. Каждая дыра уменьшает эйлерову характеристику на единицу, т.е. X (Qr ) = 2 − r (1). Доказательство. Рассмотрим Qr - сферу с r дырами. Если мы заклеим каждую из этих дыр клеткой, то получим многообразие Φ , гомеоморфное сфере.

28

Пусть К - клеточное разложение Qr . Возьмем клеточное разложение K ′ многообразия Φ с теми же вершинами и сторонами, что и у разложения K . Следовательно, число клеток у K ′ на r единиц больше, т.е. α 0′ = α 0 ; α1′ = α1; α 2′ = α 2 + r . Следовательно, X (Φ ) = X (Qr ) + r ⇒ X (Qr ) = X (Φ ) − r . Но Φ гомеоморфно сфере, следовательно, X (Φ) = 2 ⇒ X (Qr ) = 2 − r. Теорема доказана. Теорема 3. X (Q p , r ) = 2 − 2 p − 2. (2). Теорема 4. (критерий гомеомофности двух ориентируемых компактных многообразий): два ориентируемых компактных многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же род (или одну и ту же эйлерову характеристику). Теорема 5. Два ориентируемых компактных многообразия с краем гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же род и одно и то же число контуров ( p = p′, r = r ′ ). Сферы с пленками. В случае неориентируемых многообразий дело обстоит сложнее. Рассмотрим, например, лист Мебиуса. Его край гомеоморфен окружности. Следовательно, можно взять сферу Q p +1 (с р+1 дырами) и каждую дыру можно заклеить листом Мебиуса. Получить компактное неориентируемое многообразие ψ р , причем X (ψ p ) = X (Q p +1 ) = 2 − ( p + 1) = 1 − p . (3). X (ψ p ) = 1 − p Замечание: можно доказать следующие факты: 1) всякое компактное неориентируемое двумерное многообразие Φ гомеоморфно некоторому многообразию ψ р (сфере с (р+1) пленками), где р – род многообразия Φ ; 2) два замкнутых неориентируемых двумерных многообразия Φ и Φ′ гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же род (одну и ту же эйлерову характеристику); 3) если взять сферу Q1 с одной дырой (р=0) и заклеить ее листом Мебиуса, то получим ψ 0 - сферу с одной пленкой ( X (ψ 0 ) = 1 ); это хорошо знакомая проективная плоскость; 4) нарисовать сферу с пленками трудно: будучи неориентированной, она не вкладывается в Е3 .

Сфера ψ 1 с двумя пленками носит название бутылка Клейна. Определение 4. Родом многогранника называется род его поверхности (границы многогранника). 29

Граница простого многогранника – простая многогранная поверхность,- не имеет точек края и является компактным двумерным многообразием. Так как поверхность многогранника нулевого рода (в частности выпуклого) гомеоморфна сфере, то его эйлерова характеристика α 0 − α1 + α 2 = 2 или α 0 + α 2 = α1 + 2 . Это равенство выражает знаменитую теорему Эйлера для многогранников. Теорема 6. Во всяком многограннике нулевого рода сумма числа вершин и числа граней на две единицы больше числа ребер. Контрольные вопросы: 1) чему равна эйлерова характеристика плоскости, тора? 2) Какие из ниже приведенных многообразий гомеоморфны?

30

31

32

33

Основная литература и дополнительная 1. Базылев В.Т., Дуничев К.А., Иваницкая В.П.Геометрия,ч.1 2. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия,ч.2 -М.:Просвещение,1975. 3. Атанасян Л.С.,Базылев В.Т. Геометрия,ч.1-М.:Просвещение,1987. 4. Атанасян Л.С.,Базылев В.Т. Геометрия,ч.2 - М.: Просвещение,1987. 5. Погорелов А.В. Геометрия. -М.:Наука,1984. 6. Атанасян Л.С. Геометрия. -ч.1 М.:Просвещение,1973. 7. Атанасян Л.С. Геометрия.ч.2.-М.:Просвещение,1973. 8. Атанасян Л.С. Атанасян А.В. Сборник задач по геометрии.ч.1 М.:Просвещение,1973. 9. Атанасян Л.С., Атанасян А.В. Сборник задач по геометрии.ч.2.М.:Просвещение,1973. 10. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. - М.:Просвещение, 1980. 11. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. 12. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. 13. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. 14. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Части 1, 2. - М.: Наука, 1979; Часть 3. М.: Наука, 1984. 15. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. 16. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. 17. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. 18. Просолов В.В. Задачи по планиметрии, ч. 1,2. 19. Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии. 20. Рохлин Б.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. 21. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. 22. Кокстер Г.С. Введение в геометрию. 23. Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Многомерные пространства. 24. Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Неевклидовы геометрии. 25. Клейн Ф. Неевклидовы геометрии. 26. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. 27. Шерватов В.Г. Гиперболические функции. 28. Вейль Г. Математическое мышление. 29. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. 30. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. 31. Александров А.Д. Основания геометрии. 32. Пуанкаре А. Наука и гипотеза.

34

Содержание Введение………………………………………………

2

§1. Топологические пространства …………………………………………

3 §2. Окрестность точки, база топологии, замкнутые множества. Топологические подпространства …………………………………………

6

§3 Непрерывность отображений топологических пространств ………… 12 §4. Гомеоморфизмы топологических пространств. Предмет топологии. Изоморфизмы топологических пространств…………………………… 14 §5. Покрытие и разбиение множеств. Отделимость, компактность, связность ………………………………………………………………… 16 §6. Метрические пространства. Метризуемые топологические пространства.…………………………………………….

20 §7. Многообразия…………………………………………………………… 23 §8. Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия……………………………………..………………………… 28 §9. Ориентируемые и неориентируемые двумерные зия……………………….……………………………………..

многообра-

§10. Понятие об условиях гомеоморфизма компактных двумерных многообразий. Теорема Эйлера для многогранников…………………..

31 33

Задания для самостоятельной работы по подготовке к экзамену………. 39 Основная литература и дополнительная…………………………………. 41

35