Алгебра и логику 39, N 2 (2000), 227-240
УДК 512.5
ОБ УНИВЕРСАЛЬНО
ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
Р А З Р Е Ш И М Ы Х ГРУППАХ*)
Е, И. ТИМОШЕНКО
В [1] доказано, что для любого целого m ) 1 и любых гх,Г2 ^ 2 (ri,r2 ^ 1 при т = 1) свободные разрешимые группы Fri (A m ) и F f 2 (A m ) имеют одинаковые универсальные теории. О.Шапюи [2] получил классификацию метабелевых групп с двумя порождающими, имеющими ту же универсальную теорию, что и свободная метабелева группа. Оказывается, что так называемые V-свободные метабелевы группы с двумя порождающими исчерпываются группами F2(A 2 ) и дискретным сплетением ZfZ двух бесконечных циклических групп. Мы доказываем более общую теорему 1, из которой следует первый из отмеченных результатов. С ее помощью доказывается теорема 2, где описываются все подгруппы с двумя порождающими из декартова произ ведения свободных разрешимых групп одной ступени разрешимости, уни версально эквивалентные свободной разрешимой группе той же ступени разрешимости. Так как любая конечно-порожденная метабелева группа конечно определена в многообразии метабелевых групп [3] и потому вкла дывается в декартову степень свободной метабелевой группы (следствие 5), отсюда следует второй из указанных результатов. При доказательстве универсальной эквивалентности двух групп С?, *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00567, а также научной программой Министерства образования Российской Федерации "Фундаментальные исследования высшей школы. Университеты России".
@ Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
228
Е. И. Тимошенко
Н необходимо и достаточно убедиться в том, что любая конечная подмо дель из одной группы изоморфно вкладывается в другую. Все необходимые и используемые без доказательства утверждения содержатся в [4]. Т Е О Р Е М А 1. Пусть F(B) — свободная группа многообразия В , ап проксимируемая конечными р-группами для бесконечного набора простых чисел р. Если подгруппа G группы F(B) порождает то же многообразие, что и группа F ( B ) , то универсальные теории групп G и F(B) совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку G является подгруппой в F ( B ) , достаточно доказать, что каждая конечная подмодель из F(B) имеет изо морфную копию в G. Согласно определению 17.12 из [4], группа D называется дискрими нирующей, если каждое конечное множество равенств w = 1, которые нарушаются в группе £>, можно нарушить в D одновременно. По теореме 17.9 из [4], если группа D аппроксимируется конечными р-группами для бесконечного набора простых чисел р, то она является дискриминирую щей. Значит, G ~ дискриминирующая группа. Пусть F — свободная группа того же ранга, что и группа F ( B ) , a #i,ar 2 ,... ~ базис группы F. Обозначим через V вербальную подгруппу многообразия В . Тогда F(B) =
F/V.
Пусть модель М состоит из конечного числа произвольных элемен тов группы F ( B ) . Расширим эту модель до модели М, включив в нее все элементы вида u^u^V^^w^w^V,
где 1 ^ и,г2,г'з ^ га. Для каждо
го неединичного элемента из модели М найдутся элементы Ai,...,/t n из группы G, зависящие от w^, w,-2, w^ и такие, что w^w^wj^hi^...,hn)
ф 1 1
в группе G. Тогда найдутся g%y ...,fl£, не зависящие от слов w^w^w^ такие, что m^^wj^g^ w^w^wf1
и
...,<$) Ф 1 при 1 ^ «l, г*2, г"з ^ га, как только
/ 1 в группе F ( B ) . При гомоморфизме s,V —> д^ 1 ^ г' ^ п,
модель М отображается изоморфно на подмодель группы G. Теорема до казана. С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть F(B) — свободная группа многообразия В,
Об универсально эквивалентных разрешимых группах аппроксимируемая
229
конечными р-группами для бесконечного набора про
стых чисел р uG — подгруппа из F(B). Группы F(B) и G имеют нераз личимые универсальные теории тогда и только тогда, когда они нераз личимы
тождествами.
По следствию 25.34 из [4] многообразие разрешимых групп А п сту пени ^ п порождается своей свободной группой ранга 2. Значит, верно С Л Е Д С Т В И Е 2. Свободные разрешимые группы одной ступени разрешимости универсально СЛЕДСТВИЕ Fm(Nc)
эквивалентны.
3. Свободные нильпотентные
ступени нильпотентности
валентны при n,m^t
с рангов пит
групп F n (N c ) универсально
и
экви
с.
Действительно, по следствию 35.12 из [4] каждое нильпотентное мно гообразие ступени нильпотентности ^ с порождается своими с-порожденными группами. В дальнейшем будем использовать дифференцирования групповых колец свободных разрешимых групп F r (A n ) и вложение Магнуса групп вида F/Nf
в группу матриц M(F/N).
Обозначим через dig значение г-й
левой производной Фокса в кольце Z(F/N). группе M(F/N)
Тогда образом элемента g в
является матрица g digti + ... + drgtr
1 где g — образ элемента g в группе M(F/N), Z(F/N)
\
у a *i, ...,£„ — базис свободного
модуля. Более подробно вложение Магнуса рассматривается в [5].
Л Е М М А 1. Пусть G = i<2(An), п ^ 2 — свободная разрешимая группа, 2 ^ га < n, g e G\ G^m\ с е G<m) \ G< w + 1 \ Тогда группа гр($, с) изоморфна вербальному сплетению Z ?An-m+i Z двух бесконечных цикли ческих групп. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать, что элементы с9* ,t
eZ,
являются образующими n—m+l-ступенно разрешимой группы. Поскольку элементы с9 лежат в свободной п - т + 1-ступенно разрешимой группе
230
Е. И. Тимошенко
G^m\ достаточно доказать, что они независимы по модулю (УС™*1). Пусть cmo+«ntf+...+m,^
- i(modG( w + 1 )).
Рассмотрим группу G = G/C?(m+1) и вложение Магнуса группы G в группу матриц M(G/G^),
Элемент c " l 0 + - + w ' e переходит в единичную
матрицу, а элемент с — в неединичную. Поэтому д{С ^ 0 в Z(G/G^)
для
1
некоторого 1 ^ г^ 2, а ( т о + ш\д + ... + гщд )д{С = 0 при г = 1,2 в этом кольце. Тогда т о + ... + то/*/' = 0 в Z(G/C?(m)), т.е. mo = mi = ... = т / . Лемма доказана. С Л Е Д С Т В И Е 4. Вербальное сплетение G = Z i A n-i Z двух беско нечных циклических
групп универсально эквивалентно свободной разре
шимой группе F(An)
ранга г > 1 при любом п > 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно следствию 2, достаточно доказать, что группы G и 1*2 (А п ) универсально эквивалентны. По лемме 1 группа G является подгруппой группы ^ ( А п ) . Кроме того, группа G изоморфна полупрямому произведению F00(An~1)
3 (b)
свободной разрешимой группы счетного ранга с базисом т/,-,г 6 Z, и бес конечной циклической группы (6), причем ftj/,-6"1 = j/i+i. Рассмотрим под группу G\ группы G, порожденную элементом Ь2 и подгруппой /^(А"""" 1 ). Пусть N — нормальное замыкание в G\ коммутаторов [t/,-, y,+2«L h n € Z. Понятно, что группа G\/N изоморфна сплетению группы / ^ ( А " " 1 ) и бес конечной циклической группы. Напомним еще одно определение из [4]. Группа В дискриминирует многообразие В, если В € В и для каждого конечного множества слов W} не являющихся тождествами многообразия В, равенства w = l,w E TV, могут быть одновременно нарушены. Известно, что группа F00(An"1)
дис
1 1
криминирует многообразие А* " . Так как свойство группы быть дис криминирующей для многообразия В задается посредством V-формул, то группа, универсально эквивалентная дискриминирующей для многообра зия В , сама является таковой. Поэтому группа ^ ( А " " 1 ) дискриминирует многообразие А""*1. Известно, что бесконечная циклическая группа яв ляется дискриминирующей. Группа G\/N
изоморфна сплетению групп
Об универсально эквивалентных разрешимых группах
231
F2(A n ~ 1 ) и Z. Согласно теореме 22.42 из [4] она порождает многообра зие А". Ссылка на теорему 1 завершает доказательство следствия. Согласно [4] группа А дискриминируется группой J3, если для лю бого конечного множества а\,..., ар неединичных элементов из А найдется гомоморфизм из Л в В, при котором образы элементов ai, ...,а р отличны от 1. Л Е М М А 2. Пусть А — конечно определенная в некотором мно гообразии М группа, а группа В ей универсально эквивалентна.
Тогда
группа А дискриминируется группой В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А = ( а ь ...,а п | г г (а), ...,г т (а)) - зада ние группы А в многообразии М и
Эта же формула верна и в группе В, т. е. найдутся bi,..., bn 6 В такие, что г,(Ь) = l,'flfj(5) ^ 1 Для г ~ 1,..., m, j = 1, ...,р. Поэтому отображение ¥> = {ai - 4 б ь . . . , а п - 4 б п } является искомым гомоморфизмом. Лемма доказана. С Л Е Д С Т В И Е 5- Если группа А конечно определена в некотором многообразии М и универсально эквивалентна группе В, то она вклады вается в декартову степень группы В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого 1 ф а Е А построим гомомор физм (ра : А ~4 В, для которого <ра(а) ф 1. Рассмотрим отображение <р:а-> (y>ai(a),Va9(a),...)t где ai,a2,... — все неединичные элементы из А. Это вложение и будет искомым. Таким образом, любая группа, заданная в многообразии А п двумя образующими и конечным множеством определяющих соотношений, уни версально эквивалентная группе F 2 (A n ), является подгруппой декарто вой степени этой группы. Поэтому для изучения V-свободных разрешимых
232
Е. И. Тимошенко
групп с двумя порождающими, конечно определенных в многообразии А п , необходимо обозреть V-свободные разрешимые подгруппы с двумя поро ждающими в декартовой степени группы F2(A n ). Описание таких групп дает теорема 2, при доказательстве которой нам понадобятся несколько лемм. Л Е М М А 3. Пусть G = F2(A2)
— свободная метабелева группа с
базисом a?i, х2; gi = х"{С{, hi = x™'d,-; с,-, di G G', i = 1,2,.... Предположим, что [gi, hi] ф 1 для всех г и среди отношений щ : га, бесконечно много различных. Если для некоторого v(x\,x2)
€ G имеют место равенства
v
(9ii Ы) = 1 при всех значениях г, то v = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что v £ Gf. Найдется а{хх,х2) 1
G
2
G Z((?), где G = G/G', для которого v(si,iC2) = [ ^ ь ^ Г ^ ' * ' - Пусть а = ==
]С a i ^ * 2 J >
где a
jiPj* <& ^ ^- ^ ° условию а(я"', я™') = 0 при любом г =
= 1,2.... Тогда среди отношений щ : ш, лишь конечное число различных. Лемма доказана. Л Е М М А 4. В свободной группе F с базисом х, у выберем последо вательность элементов v2(x,y) = [x,y], vi+i(x,y) = [vt,vf] для I = 2,3.... Пусть g\ = х\хс\, Gn — F2{Xn),
д2 = £"2
п ^ 2, с базг/соле ж1? Ж2> где ni, тгг 6 Z, ci, c2 € Gfn. Предполо
жим, что подгруппа Нп = rp(<7i,#2) изоморфна вербальному
сплетению
Zlj^n-i Z двух бесконечных циклических групп. Тогда vn(gi,g2)
Ф 1-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Условие на Нп равносильно тому, что от эле ментов <7i, g2 можно перейти элементарными преобразованиями к поро ждающим h\} h2 группы # n , hi = я™ 1 ^, h2 = d2, где di, d2 € С?^, ck 0 СУ", mi ^ 0. Поэтому при естественном гомоморфизме Gn —> C?m, 2 ^ m ^ n, образ группы i7 n изоморфен вербальному сплетению Z/Am-i Z. Используя это замечание, докажем, что v\(g\yg2) € С?п \ ^ п
при / = 2,..., п.
Пусть 1 = 2. Образы элементов #i, g2 в свободной метабелевой группе Gn/Gn порождают группу, изоморфную сплетению ZJZ и, следовательно,
Пусть для / = 2, ...,s доказано, что vi{g\,g2) Е GV \ С?«
• Предпо-
Об универсально эквивалентных разрешимых группах ложим, что ve+1 (дх,д2) = [vs(9u92),vi1(gug2)]
233
= 1 в Gn/Gn8*2\
Обозна
чим с = ve(<7i,#2)- Так как элементы с и cf перестановочны в свободной разрешимой группе Gn/Gn
\ а элемент с не лежит в последнем нееди
ничном коммутанте этой группы, то для некоторых целых г, t, не равных нулю одновременно, имеет место равенство с* = crgi. Вычислим значения производных Фокса в кольце Z(Gn/Gn
) от левой и правой части этого
равенства. При j = 1,2 получим dj9\crgil
= fyfifi + flfi(cr - 1)/(с - l)fyc - g\crg^ldjc
Так как с £ (?п
= 5irdjC = tfyc.
\ то хотя бы одна из производных djC отлична от нуля в
Z(G„/G„ ). Поэтому г = t. Таким образом, [сг, gi] = 1 в группе Gn/Gn Это невозможно при г /
•
0, поскольку #i, в отличие от с, не лежит в
коммутанте свободной разрешимой группы Gn/Gn
• Лемма доказана.
Л Е М М А 5. Пусть Gn = F2(A n ) — свободная разрешимая группа ступени п с базисом xi1x2;gi
= ж^'с,-,/*,- = x^*dt;cj,dt- G G^,7ij,rat- G Z.
Предположим, что (1) для любого % = 1,2,... группа Hi = гр(<7,*, /ц) изоморфна вербаль ному сплетению Z ?А П - 1 25; (2) среди отногиений щ : га; бесконечно много разных. Тогда, если v(gi, hi) = 1 для некоторого v £ Gn и всех г, то v = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по п. При п = 2 лем ма справедлива в силу леммы 3. Если элемент г; удовлетворяет условию леммы, то и € Gn . Используя вложение Магнуса группы Gn в группу матриц М(Gn/Gn
), легко доказать, что элементы из G«
линейно за
висимы над кольцом Z(G n /Gn ), т.е. для любых ci,C2 G Gn
найдутся
а,/3 G Z(G n /Gn ), одновременно не равные нулю и такие, что с£ = сг. Возьмем элемент vn(x\x2),
построенный в лемме 4. Найдем а,/3, одновре
менно не равные нулю и такие, что va = Vn. Поскольку vn{gi,hi)
ф 1
n)
при любом г, то /5(^t,/it) = 0 в кольце Z(G„/Gi ) при всех г. Пусть £ ~ lL,Pjuj(xiy)i
fteZ.
Г
Д е uj(x,y)
— все различные элементы из
Gn/Gnn\
234
Е. Я. Тимошенко Обозначим через / бесконечное множество индексов, обладающее тем
свойством, что для различных ii,i2 различны. Найдутся разные ji,j2
6 / отношения щх : га^ и щ2 : ш^2 такие, что tu^ (у,-, Д;) = WjaGWi^t) Для
бесконечного множества г 6 / . Тогда о;71 (ж, у) = a;j2 (ж, у) в группе
Gn/Gn-
Полученное противоречие завершает доказательство леммы. Л Е М М А в. Пусть G = ^ ( А п ) — свободная разрешимая ступени п с базисом х\,х2\ f
f,
С2 6 G \G \
группа
gi = a ^ c i , #2 = ^ ; ni ^ 0; п ^ 2; ci e G',
h\ = х™*^ъ ^2 = x™2d2, di,d2 € С . Предположим, что сту
пень разрешимости группы В, порожденной элементами hi,h2,
меньше
п. Тогда отображение g\ -> h\^ д2 -> ^2 продолжается до гомоморфизма. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F 2 (A n ~ 1 ) -
свободная разрешимая
группа с базисом я, у. Существует гомоморфизм х -* h\, у -> /*2 груп пы F 2 (A n ~ x ) на группу J5. Отображение yi -> ж, у2 ~> J/ также можно продолжить до гомоморфизма rp(yi,y2) на группу i^A*1"""1). Действительно, пусть ЦуьУг) = 1 — некоторое соотношение между элементами уьУ2- Сдвигая в слове v(gi,g2) элемент д\ направо, получим v(gi,g2)
= u(cg21
,...,<#
)д\
для некоторых различных *i,...,t m E Z и t G Z. Поскольку n x ^ 0, то t = 0. Элементы с?1, г G Z, являются свободными порождающими труп-
пЫ F „ ( A - ) . ^
.
(
^
4")
= 1 - д а иМ ь
И
тогда, когда
u;(yi, ...,y m ) лежит в n-м члене производного ряда свободной группы F с базисом t/i, ...,Ут- Тогда элемент ф , у ) = о/ (у*' 1 ,...,у*'*") х« = « (у**1,..., y*im) также равен 1, поскольку гр(я, у) € А"""1. Лемма доказана. Л Е М М А 7* Пусть G = F 2 (A") — свободная разрешимая па ступени п с базисом х\,х2\
груп
п ^ 2; я " 1 ^ , я™ 1 ^, ж"2С2, £™2о?2 —
элвлсенты из G, сг, с2} d\, d2 G G\ Предположим, что обе группы Hi = г р ^ " 1 ^ , ж™1^) и #2 = гр(#" 2 с 2 , я™ 2 ^) изоморфны группе Z? A n-i Z. 2№vm rii : mi = П2 : m2f то существует изоморфизм групп Hi и Н2, при
Об универсально эквивалентных разрешимых группах
235
котором x c
Ti
-> х?С2,х?Чх
-> х™42.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что n i , n 2 , r a i , m 2 — числа, не равные нулю. Условие об изоморфизме некоторой группе вербаль ному сплетению равносильно тому, что элементарными преобразования ми от пары элементов x^ci.x^di
можно перейти к паре x[dvd'v
где
г = н.о.д.(п1,mi),d l y d\ £ G\ d[ 0 G". Точно теми же преобразования ми над элементами х"2с2, х™2&2 мы перейдем к элементам х\с*2, d2, где c
f 2,d 2
£ ^'» ^2 $ &"• Тогда отображение х[с[ ~> ж*с2, d'x -4 d2 задает
искомый изоморфизм. Т Е О Р Е М А 2. Пусть G — декартова степень свободной разреши мой группы G = F 2 (A n ), n ^ 2, ступени разрешимости п с базисом ж
ъ # 2 ! Н — подгруппа G, порожденная двумя элементами. Если группа
Я универсально эквивалентна группе F 2 (A n ), то либо Я = F 2 ( A n ) ; либо Я = Z ?А П - 1 Z — вербальное сплетение двух бесконечных
циклических
групп. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть huh2£
G. Пара элементов hx (г), h2(г)
группы G называется несущественной по отношению к паре /&i(j), h2(j) j~x координат элементов hX) h2, если существует гомоморфизм группы rp{hi(j),h2(j)),
на группу гр(1гг(i),h2(i)),
при котором hx(j)
-» й х (г),
ВД) ->^2(*)Заметим, что после замены в элементах h\,h2 всех несущественных по отношению к данной паре элементов на единицы, получим элементы /i l7 h2 £ G, которые порождают группу, изоморфную rp(/ii, h2). Таким об разом, все несущественные по отношению к данной паре элементы можно вычеркнуть. Пусть h\,h2
— порождающие группы Я . Доказательство теоремы
разобьем на несколько случаев. С л у ч а й 1. Для некоторого г элементы h\(i),h2(i)
независимы по
модулю коммутанта Gf. Все остальные пары являются несущественными по отношению к г-й, и группа Я изоморфна группе F 2 (A n ).
236
Е. И. Тимошенко С л у ч а й 2. Для любого г элементы h\ (г) и h,2(i) зависимы по модулю
G'. Можно считать, что для любого г элементы h\(i) и ^ ( i ) имеют вид hi(i) = ж"*с,-,Л2(0 = «i*f'rftj где n,,m» G Z,с,-,d, G С . Пусть Щ = гр(х^Ci^x^di).
Поскольку группы G и Я универсально
эквивалентны, то для некоторого г ступень разрешимости группы Я, рав на п и по лемме 1 эта группа изоморфна вербальному сплетению Z? A n-i Z. Не уменьшая общности, будем считать, что это имеет место при г = 1. То гда от элементов &i, /&2 элементарными преобразованиями можно перейти к новой системе порождающих группы Я . Сохраним для них старые обо значения hi = W c b ^ c j , . . . ) , ^ = (<*ъ*Г<*2,...), где ni ^ 0, с4, d, € С?', d\ 6 G". Согласно лемме 6 для любого г группа Hi изоморфна группе Z Ij^n-i Z. 2.1. Среди отношений n, : rrti бесконечно много разных. Тогда по лемме 5 группа Я изоморфна группе F2(A n ). 2.2. Среди отношений щ :га,-только конечное число различных. Принимая во внимание лемму 7, можно считать, что порождающие элементы для группы Я имеют вид hi = (я?"1с1,а?"2С2,...,аг^с<,-),Л2 = ( ^ ь ^ Г 2 ^ , ...>x™4j)} причем по-прежнему каждая пара координат ajj'c^x^'rf,-, г = 1, , . . , j , поро ждает группу, изоморфную Zf A n-i Z. Числа Ш2,..., то, отличны от нуля. В противном случае соответствующую координату можно исключить. Для элементов foi, 7i2 все отношения щ :то,-разные. Если j = 1, то гр(^ь ^2) — г р ^ ? 1 ci, di) = Z ;An~i Z, и теорема дока зана. Пусть j ^ 2. Наша задача — указать некоторую 3-формулу Фз, ис тинную на группе Я , но ложную на группе G. Рассмотрим элемент h™2^"2. (?' \ G'\ 2
(х* c 2 )
W2
В
самом
2
2
деле,
Его вторая координата лежит в
предположим
противное,
т.е.
пусть
77
(я™ ^г)""" лежит в С? . Тогда в свободной метабелевой группе
G/G" образы элементов ж"2С2 и £™2d2 перестановочны. С другой стороны,
Об универсально эквивалентных разрешимых группах
237
их образы порождают группу Z I Z . Заметим, что при П2 = 0 утверждение очевидно. Далее вместо группы Я будем рассматривать ее подгруппу, поро жденную элементами h™2^"2
и h
формулы Фз в этой подгруппе. Для простоты, h™2^"2 и Ji2 обозначим че рез h\ и /i2, соответственно, а подгруппу, ими порожденную, по-прежнему обозначим Я . Таким образом, hx = (xflci,c2j
...,x"'cj),/i2 = (dx,x™2d2,...1x1
J
dj),
где di,C2 € G' \ G". Как и ранее, любая пара координат этих элементов порождает подгруппу, изоморфную Z ?А П - 1 Z, и все n t , га,-, кроме П2 и rrii, отличны от нуля. На буквах z, 1^1,^2,... построим последовательность коммутаторов. Пусть 0j = г, 02 = [Vl, U2], 03 = [Ьз, V4], [V5, t76]], ... . Определим
Все коммутаторы 0i, 02, ••• построены на разных буквах. Рассмотрим фор мулу $ i (z) со свободной переменной z Фх(г) ^± 3vi..3vN(pn„x(z,vu где Z,V\,...IVN
..nvN)
ф 1),
— все переменные, входящие в запись /3„~i. Понятно, что
$i(z) выполнима в группе G тогда и только тогда, когда z £ G1'. На элементе hi 6 Я формула $i(z)
принимает истинное значе
ние в группе Я . Действительно, рассмотрим первую координату ком мутатора /3 n _ 1 (ft 1 ,t;i,..., OJV)I где VI,...,VJV являются произвольными эле ментами из Я . Если бы Pi(hi,vi,
...,VN)
= 1 для любых Oi,...,D n E Я ,
то ^(ж^С!,^!, ...,v n ) = 1 для любых i>i,...,£># € Я ь С другой стороны, j8 n -i(di,t;i, ...,г;п) G С?(п+1) и, следовательно, это значение также равно 1. Так как группа Hi порождена элементами а?" 1 ^, c?i, то на ней выполняет ся тождество /?n-i(i?o, vi,..., VJV) = 1 при любых г?о,..., г>дг £ Ях. Поскольку
238
Е. И. Тимошенко
группы G и # i универсально эквивалентны, то на группе F 2 (A n ) должно выполняться это же тождество, получили противоречие. Аналогично доказывается, что Фх^)
= И.
Определим теперь новую серию коммутаторов и новую формулу ФгС^г). Пусть Ti = *> 72 = [Ьь » ] , [г/з, ул]]> 7з = [[[У5, Уе], [jfr, у*]], [[ite, yiO], [yil, j/i2]]],... Далее <J2 = [*» 7г], <$з = [<Ь>7з] и т.д. Наконец Ф2(г) ^Эу1...ЭуА/(* п -1(г,у ь ...,ум) т^ 1), где z,yi,...,UM
— все переменные, входящие в запись коммутатора £„_i,
построенного на разных буквах. Заметим, что Фг(^) = И для г Е ( ? тогда и только тогда, когда z £ G". На группе Н выполняется Фг([Л, Лх]) = И, если вторые координаты элементов Л и ^ порождают группу, изоморфную Zj A n-i Z. Предположим противное. Если второй координатой элемента h является x\d2, то г ф 0. Для любых у!,..., ум из Н0 = гр(с 2 , ajc^) имеем V - i t f * ! ^ c2], у ь ..., Ум) = = 1. Поэтому на группе HQ справедливо тождество £п-1([У-ьУо]»Уъ — •••5 Ум) = 1« Такое же тождество должно выполняться и на группе С?, кото рая универсально эквивалентна группе Но. Легко видеть, что это неверно. Опишем некоторый процесс над элементами fti,/&2» с ним будет со гласовано построение формулы Фз. Пусть 62 = [/&i, /&2» ui, J^L h+i = \Ph &?1] П Р И / = 2 , 3 , . . . . Так как пер вые две координаты элемента &2 лежат в G" и бг(п+*) = 1, то для элемента Ь = Ьп имеем В = (1,1,63, ...,bj)» г Д е &• G G^
при i = 3,..., j .
1
Пусть а?2 = [*ъ*21*ь*2]»<*>1+1 = [о;/,а;/ ] при / = 2,3... Опишем по строение коммутатора w, входящего в запись формулы Фз. Если 6 = 1, TOW=W„.
Если в элементе b некоторая координата отлична от 1, то убе
рем ее следующим образом. Пусть, например, Ьз ф 1- Рассмотрим элемент д3 = h^™* ^ 2 3 ? о н представим в виде Уз — v x i
с
1?ж1
с
2*сз>---/>
Об универсально эквивалентных разрешимых группах
239
где с\ 6 G9. Так как т2щ Ф 0 и с2 ф 1, то Ф ^ з ) = И и Ф2([
Л = [»з,й,],/з = [Л./?']»У коммутатора / n _ i третья координата уже лежит в (?(п). Определим коммутаторы на буквах щ,Ь\\ a2 = [ti3, 4 1 ] ' а з = [<*2, а£],... Рассмотрим / = [Ь, / n - i ] и соответственно £ = [a;n, a n - i ] - Если / = 1, то a? = е. Если же / ф 1, то примем его в качестве Ь и продолжим удалять неединичные координаты. Одновременно строим последовательность фор мальных коммутаторов на буквах и,-, где i соответствует очередной нееди ничной координате элемента Ь. На предпоследнем шаге будет построен элемент b с единственной неединичной координатой. На последнем шаге появятся единичный элемент b и соответствующий этому шагу заключи тельный коммутатор и вида (2)
Г
И
1
В качестве Фз рассмотрим замкнутую 3 формулу /2
г
г
Ф3 ^ 3ti3t 3 3t* 3 ...3ti r ( Л *i(*•> Л *H«i) Л *a([«i.*i]) N=I
i=i
i=i
Эта формула верна на группе Я , Следует лишь положить t\ = &!, t 2 = Лг» ад,- = #,• при t = 3,...,r. Однако эта формула ложна на группе G. Проверим это. Элементы *ь hi ^з? •••? ur из G не лежат в G'. Тогда [WJ, t^1] € С \ G". Действитель но, предположим, что [и^и*>] € G". По условию [uj,t{\ ф 1. В свобод ной метабелевой группе G/G" элементы Uj и Ц 1 перестановочны. Так как
240 $I(UJ)
Е. И. Тимошенко = И на группе G, то образы элементов Uj и и1-1 в группе G/G"
должны лежать в одной циклической подгруппе, т. е. и7-1 = v?*1 (mod G") при некоторых п,т £ Z, отличных от 0. Тогда т = п. Следовательно, [^7*,^i] = l(modG"). Тогда [%-,^i] G G", последнее же противоречит усло вию Ф2([^,*1]) = И. Используя рассуждения из леммы 4, легко доказать, что а п _! 6 G ^ - 1 ) \ G(n\ a [cj n i a n _i] € G
\ 1. Последнее включение справедливо, поскольку [*i, *2» *i» *г] б С \ G , ; , если элементы *i, *2 лежат в G \ G' и [*i, *г] & G". Теорема доказана. В заключение, автор выражает благодарность рецензенту, указавше му на ошибку в первоначальном доказательстве теоремы 2.
ЛИТЕРАТУРА 1. J.R.Gaglion,
D.Spellman,
The persistence of universal formulae in free
algebras, Bull. Austral. Math. Soc, 36, 1987, 11-17. 2. O. Chapuis, V~free metabelian groups, J. Symb. Log., 62, N 1 (1997), 159-174. 3. P.Hall, Finiteness conditions for soluble groups, Proc. London. Math. Soc, 4, N 16 (1954), 419-436. 4. Х.Нейман,
Многообразия групп, М., Мир, 1969.
5. В. Н. Ремесленников,
В. Г. Соколов, Некоторые свойства вложения Магну
са, Алгебра и логика, 9, N 5 (1970), 566-578.
Адрес автора: ТИМОШЕНКО Евгений Иосифович, РОССИЯ, 630008, Новосибирск, ул. Никитина, д. 62, кв. 29. Тел.: 69-32-37. e-mail: [email protected]
Поступило 23 июня 1999 г. Окончательный вариант 5 октября 1999 г.
