В. М. Руденко
МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК Рекомендовано Міністерством освіти і науки України для студентів вищих навчальних закладів
Київ «Центр учбової літератури» 2012
УДК 519.22(075.8) ББК 22.171я73 Р 83 Гриф надано Міністерством освіти і науки України (Лист № 1/11-2918 від 08.04.2010 р.) Рецензенти: Бомба А. Я. – доктор фізико-математичних наук, професор; Ямницький В. М. – доктор психологічних наук, професор.
Руденко В. М. Р 83 Математична статистика. Навч. посіб. – К.: Центр учбової літератури,
2012. – 304 с. ISBN 978-611-01-0277-3 Розкриваються основи теорії ймовірностей та математичної статистики: предмет, методи, базові категорії, показники тенденцій і мінливості сукупностей, статистичне оцінювання, перевірка статистичних гіпотез з використанням параметричних і непараметричних критеріїв, кореляційний, регресійний, дисперсійний аналіз. Розглядаються технологічні прийоми і способи комп'ютерної реалізації статистичної обробки даних на базі табличного процесора MS Excel, організація діалогового інтерфейсу. Пропонується матеріал для самостійної підготовки (лабораторно-практичні та тестові завдання). Приклади супроводжуються розрахунками, графічним ілюстративним матеріалом. Посібник може бути корисним для аспірантів і магістрантів, учителів і психологів, студентів і викладачів вищих навчальних закладів. УДК 519.22(075.8) ББК 22.171я73
ISBN 978-611-01-0277-3
© Руденко В. М., 2012. © Центр учбової літератури, 2012.
ɁɆȱɋɌ
ȼɋɌɍɉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1. ɉɊȿȾɆȿɌ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑɇɈȲ ɋɌȺɌɂɋɌɂɄɂ . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ɉɫɧɨɜɧɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɬɚ ɦɟɬɨɞɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ . . . . . . .
9
2. ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇȱ ɉɈɄȺɁɇɂɄɂ ȼɂȻȱɊɄɂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1. ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɪɹɞɢ ɬɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
ɇɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Ɂɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Ɋɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2. ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Ɇɿɪɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ (ɆɐɌ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Ɇɿɪɢ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ (ɆɆ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ ɆɐɌ ɿ ɆɆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
ɉɨɱɚɬɤɨɜɿ ɬɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Ʉɜɚɧɬɢ ɥɿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
ɇɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.3. Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
ɋɭɬɧɿɫɬɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Ʌɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
ɇɟɥɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ’ɹɡɚɧɨɫɬɿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4. Ɋɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Ɉɞɧɨɦɿɪɧɚ ɥɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Ɇɧɨɠɢɧɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3
3. ɈɋɇɈȼɂ ɌȿɈɊȱȲ ɃɆɈȼȱɊɇɈɋɌȿɃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.1. ȼɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ ɬɚ ɩɨɞɿʀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Ɉɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɿ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿɣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
ɍɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɚɣɽɫɚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.2. ȼɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3. Ɂɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
ɉɨɜɬɨɪɧɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɢɲɟɜɚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
3.4. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
ɇɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ», Ɏɿɲɟɪɚ ɿ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. . . . . . . . . . . . . . .
142
4.ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇȿ ɈɐȱɇɘȼȺɇɇə . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
ɉɨɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ . . . . . . . . . . . . .
151
Ɍɨɱɤɨɜɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ, ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɨɰɿɧɨɤ . . . . .
154
Ɇɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ . . . . . . . . . . . . .
156
ȱɧɬɟɪɜɚɥɶɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5. ɉȿɊȿȼȱɊɄȺ ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇɂɏ ȽȱɉɈɌȿɁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.1. ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ ɦɟɬɨɞɿɜ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ
165
ɉɨɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
4
ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɿ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ɋɿɜɟɧɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
ɉɪɚɜɢɥɚ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
ɉɨɦɢɥɤɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɿɲɟɧɧɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɪ-ɡɧɚɱɟɧɶ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
Ɍɢɩɢ ɿ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɫɯɟɦɚ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ . . . . . . .
172
5.2. Ƚɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɡɧɚɤ . . . . . . . . . . . . . 174 Ʉɪɢɬɟɪɿʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ tA ɿ tE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
2
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɡɝɨɞɢ Ȥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
5.3. ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4. ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ . . . . .
201
Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ z, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɿɞɨɦɚ) . . . . . . . . 202 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ t, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɧɟɜɿɞɨɦɚ) . . . . . . 204 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȥ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ (t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ (F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ) . . . . . . . . . . 210 ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ (t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ). . . . . . . . . . . 214 ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɯɪɚɧɚ q ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ) . . . . . . . . . 216 ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ M ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ) . . . . . . . . . . . 5
217
5.5. ȼɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɿ ɡɫɭɜɭ ɭ ɪɿɜɧɿ ɨɡɧɚɤɢ . . . . . . . . . . . . 221 Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ ɇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
222
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
5.6. ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ . . . . . . . . . . . .
231
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Ⱦɢɯɨɬɨɦɿɱɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ij . . . . . . . . . . . . .
234
Ɍɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb . . . . . . . . . . . . .
236
6. ȾɂɋɉȿɊɋȱɃɇɂɃ ȺɇȺɅȱɁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 7. ɁȺȼȾȺɇɇə ȾɅə ɋȺɆɈɋɌȱɃɇɈȲ ɊɈȻɈɌɂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.1. Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.2. Ɍɟɫɬɨɜɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.3. ɉɪɚɤɬɢɱɧɿ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
ȾɈȾȺɌɄɂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 ɅȱɌȿɊȺɌɍɊȺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6
ȼɋɌɍɉ ɉɫɢɯɨɥɨɝ ɭ ɫɜɨʀɣ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ ɧɟɪɿɞɤɨ ɦɚɽ ɫɩɪɚɜɭ ɡ ɦɚɫɢɜɚɦɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿʀ ɿ ɡɦɭɲɟɧɢɣ ɛɭɞɭɜɚɬɢ ɫɜɨʀ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɜ ɭɦɨɜɚɯ ɧɟɜɢɡɧɚɱɟɧɨɫɬɿ. Ɍɚɤɚ ɫɢɬɭɚɰɿɹ ɡɭɦɨɜɥɟɧɚ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɹɦɢ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ. əɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɜɨɧɢ ɽ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɧɢɦɢ ɡɚ ɫɜɨɽɸ ɩɪɢɪɨɞɨɸ, ʀɯɧɿɣ ɩɨɜɟɞɿɧɰɿ ɩɪɢɬɚɦɚɧɧɚ ɞɟɹɤɚ ɧɟɜɢɡɧɚɱɟɧɿɫɬɶ, ɚ ɫɬɚɧɚɦ – ɜɢɩɚɞɤɨɜɿɫɬɶ. Ɍɨɦɭ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɿ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɡ ɡɚɥɭɱɟɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɡɞɟɛɿɥɶɲɨɝɨ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. Ɉɫɶ ɱɨɦɭ «ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɟ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɚɛɨ ɩɪɨɱɢɬɚɬɢ ɿ ɡɪɨɡɭɦɿɬɢ ɡɜɿɬɢ ɩɪɨ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ, ɧɟ ɨɩɚɧɭɜɚɜɲɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦ ɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦ ɦɢɫɥɟɧɧɹɦ, ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ» – ɩɢɲɟ ɩɪɨɮɟɫɨɪ Ɏɪɟɞ Ʉɟɪɥɿɧɝɟɪ ɭ ɫɜɨʀɣ ɤɧɢɡɿ «Ɉɫɧɨɜɢ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɩɨɜɟɞɿɧɤɢ» 1. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɢɜɱɚɽ ɿ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɿɞɨɛɪɚɠɚɽ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɭ (ɜɢɩɚɞɤɨɜɭ) ɩɪɢɪɨɞɭ ɩɪɨɰɟɫɿɜ ɿ ɩɨɞɿɣ, ɳɨ ɡɧɚɱɧɨɸ ɦɿɪɨɸ ɽ ɯɚɪɚɤɬɟɪɧɨɸ ɪɢɫɨɸ ɫɨɰɿɚɥɶɧɨʀ, ɩɨɥɿɬɢɱɧɨʀ, ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɨʀ ɬɚ ɿɧɲɢɯ ɫɮɟɪ ɠɢɬɬɹ ɬɚ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɿ ɬɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɡɿɝɪɚɥɢ ɡɧɚɱɧɭ ɪɨɥɶ ɭ ɜɩɪɨɜɚɞɠɟɧɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɜ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɸ. ɋɚɦɟ ɜɨɧɢ ɡ ɦɨɦɟɧɬɭ ɜɢɧɢɤɧɟɧɧɹ ɩɨɫɬɿɣɧɨ ɩɪɚɝɧɭɥɢ ɩɨɲɢɪɢɬɢ ɫɮɟɪɭ ɫɜɨɝɨ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɧɚ ɩɪɨɛɥɟɦɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɨɫɨɛɢɫɬɿɫɧɢɯ ɪɢɫ, ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ ɬɚ ɩɨɜɟɞɿɧɤɢ. ɉɪɢɤɥɚɞɚɦɢ ɽ «Ⱦɨɫɜɿɞ ɦɨɪɚɥɶɧɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɤɢ» ɀ. Ȼɸɮɮɨɧɚ (ɤɿɧɟɰɶ XVIII ɫɬ.), «Ʌɸɞɢɧɚ ɿ ɪɨɡɜɢɬɨɤ ʀʀ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ ɚɛɨ ɞɨɫɜɿɞ ɫɭɫɩɿɥɶɧɨʀ ɮɿɡɢɤɢ» Ⱥ. Ʉɟɬɥɟ (ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɏȱɏ ɫɬ.) ɿ ɱɢɦɚɥɨ ɿɧɲɢɯ ɪɨɛɿɬ. ɉɪɨɬɟ ɡɚɥɭɱɟɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɫɬɢɦɭɥɸɜɚɥɨɫɹ ɧɟ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɸ ɥɨɝɿɤɨɸ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɧɚɭɤɨɜɢɯ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɿɞɟɣ, ɚ ɫɭɛ'ɽɤɬɢɜɧɢɦ ɛɚɠɚɧɧɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɿɜ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɬɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɞɨ ɲɢɪɨɤɨɝɨ ɤɨɥɚ ɹɜɢɳ ɝɭɦɚɧɿɬɚɪɧɨɝɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɭ. ȱ ɬɿɥɶɤɢ ɡ XX ɫɬ. ɩɨɱɢɧɚɽɬɶɫɹ ɰɿɥɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɚ ɪɨɡɪɨɛɤɚ ɣ ɟɮɟɤɬɢɜɧɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɞɥɹ ɚɧɚɥɿɡɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ (ɩɪɢ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɧɿ, ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɿ, ɩɟɪɟɜɿɪɰɿ ɩɪɢɱɢɧɧɨ1
Kerlinger F.N. Foundations of Behavioral Research. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1964, ɪ. IX.
7
ɧɚɫɥɿɞɤɨɜɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɿ ɬ.ɞ.). Ɂ'ɹɜɥɹɸɬɶɫɹ ɬɚɤɿ ɩɨɬɭɠɧɿ ɛɚɝɚɬɨɦɿɪɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ, ɹɤ ɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ, ɫɭɬɬɽɜɢɣ ɜɧɟɫɨɤ ɭ ɪɨɡɪɨɛɤɭ ɹɤɨɝɨ ɧɚ ɩɨɱɚɬɤɨɜɿɣ ɫɬɚɞɿʀ ɡɪɨɛɢɜ ɑɚɪɥɶɡ ɋɩɿɪɦɟɧ (1863-1945), ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ, ɩɨɜ'ɹɡɚɧɢɣ ɡ ɿɦ'ɹɦ Ɋɨɧɚɥɶɞɚ Ɏɿɲɟɪɚ (1890-1962), ɬɚ ɿɧɲɿ ɦɟɬɨɞɢ. ȼɢɜɱɟɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɭ ɜɢɳɢɯ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɡɚɤɥɚɞɚɯ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɟ ɧɚ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɣ ɦɟɬɨɞɨɥɨɝɿɱɧɨʀ ɛɚɡɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɥɹ ɩɨɝɥɢɛɥɟɧɨɝɨ ɨɩɚɧɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɧɧɹɦɢ ɬɚ ɭɦɿɧɧɹɦɢ ɳɨɞɨ ɨɪɝɚɧɿɡɚɰɿʀ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɹ ɬɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿʀ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ. Ɂɚɫɜɨɽɧɧɹ ɤɭɪɫɭ ɽ ɜɚɠɥɢɜɢɦ ɹɤ ɜ ɚɫɩɟɤɬɿ ɪɨɡɭɦɿɧɧɹ ɜɚɠɥɢɜɨɫɬɿ ɨɫɧɨɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɜ ɝɭɦɚɧɿɬɚɪɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ, ɬɚɤ ɿ ɜ ɨɜɨɥɨɞɿɧɧɿ ɦɟɬɨɞɢɤɨɸ ɿ ɬɟɯɧɿɤɨɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɫɭɱɚɫɧɢɯ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɢɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɣ. ɉɪɢ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɿ ɡɦɿɫɬɭ ɩɨɫɿɛɧɢɤɚ ɿ ɜɢɛɨɪɿ ɧɚɨɱɧɢɯ ɡɚɫɨɛɿɜ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɣɨɝɨ ɞɨ ɫɜɿɞɨɦɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɛɭɥɨ ɬɚɤɨɠ ɜɪɚɯɨɜɚɧɨ ɞɨɜɨɥɿ ɫɤɪɨɦɧɢɣ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɪɿɜɟɧɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɢ ɝɭɦɚɧɿɬɚɪɿʀɜ, ɧɟ ɡɚɜɠɞɢ ɜɢɫɨɤɭ ɭɦɨɬɢɜɨɜɚɧɿɫɬɶ ɞɨ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɬɨɱɧɢɯ ɧɚɭɤ. Ⱦɥɹ ɞɨɫɹɝɧɟɧɧɹ ɩɪɢɣɧɹɬɧɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɭ ɧɚɜɱɚɧɧɿ ɡɚɥɭɱɟɧɨ ɞɨɫɬɭɩɧɢɣ ɞɥɹ ɪɨɡɭɦɿɧɧɹ, ɧɟ ɩɟɪɟɜɚɧɬɚɠɟɧɢɣ ɫɤɥɚɞɧɢɦɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦɢ ɜɢɤɥɚɞɤɚɦɢ, ɩɨɫɢɥɶɧɢɣ ɿ ɰɿɤɚɜɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ ɭ ɮɚɯɨɜɨɦɭ ɩɥɚɧɿ ɦɚɬɟɪɿɚɥ ɛɟɡ ɡɚɣɜɢɯ ɫɩɪɨɳɟɧɶ ɿ ɜɭɥɶɝɚɪɢɡɚɰɿɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɩɨɥɨɠɟɧɶ. Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɧɚɝɨɞɨɸ, ɚɜɬɨɪ ɜɢɫɥɨɜɥɸɽ ɝɥɢɛɨɤɭ ɜɞɹɱɧɿɫɬɶ ɪɟɤɬɨɪɨɜɿ Ɋɿɜɧɟɧɫɶɤɨɝɨ ɞɟɪɠɚɜɧɨɝɨ ɝɭɦɚɧɿɬɚɪɧɨɝɨ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬɭ ɩɪɨɮɟɫɨɪɭ Ɋɭɫɥɚɧɭ Ɇɢɯɚɣɥɨɜɢɱɭ ɉɨɫɬɨɥɨɜɫɶɤɨɦɭ ɡɚ ɩɿɞɬɪɢɦɤɭ ɿ ɫɩɪɢɹɧɧɹ ɭ ɩɿɞɝɨɬɨɜɰɿ ɩɨɫɿɛɧɢɤɚ ɞɨ ɜɢɞɚɧɧɹ. ɓɢɪɚ ɩɨɞɹɤɚ ɩɪɨɮɟɫɨɪɚɦ Ⱥɧɞɪɿɸ əɪɨɫɥɚɜɨɜɢɱɭ Ȼɨɦɛɿ ɬɚ ȼɚɞɢɦɭ Ɇɚɪɤɨɜɢɱɭ əɦɧɢɰɶɤɨɦɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɭ ɩɪɢ ɚɩɪɨɛɚɰɿʀ ɪɭɤɨɩɢɫɭ. Ɉɫɨɛɢɫɬɚ ɩɨɞɹɤɚ ɡɚɜɿɞɭɜɚɱɟɜɿ ɤɚɮɟɞɪɨɸ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɬɚ ɩɪɢɤɥɚɞɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ʌɶɜɿɜɫɶɤɨɝɨ ɧɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬɭ ɿɦɟɧɿ ȱɜɚɧɚ Ɏɪɚɧɤɚ ɩɪɨɮɟɫɨɪɭ əɪɨɫɥɚɜɭ ȱɜɚɧɨɜɢɱɭ ȯɥɟɣɤɨ ɡɚ ɩɨɪɚɞɢ ɿ ɡɚɭɜɚɠɟɧɧɹ, ɳɨ ɛɭɥɢ ɤɨɪɢɫɧɢɦɢ ɩɿɞɱɚɫ ɞɨɨɩɪɚɰɸɜɚɧɧɹ ɪɭɤɨɩɢɫɭ.
8
1. ɉɊȿȾɆȿɌ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑɇɈȲ ɋɌȺɌɂɋɌɂɄɂ Ɉɫɧɨɜɧɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɬɚ ɦɟɬɨɞɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ – ɰɟ ɫɭɱɚɫɧɚ ɝɚɥɭɡɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɧɚɭɤɢ, ɹɤɚ ɡɚɣɦɚɽɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦ ɨɩɢɫɨɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɿɜ ɿ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɨɛɭɞɨɜɨɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ, ɳɨ ɦɿɫɬɹɬɶ ɩɨɧɹɬɬɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɨɸ ɛɚɡɨɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɠɢɬɶ ɬɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ. ȼ ɫɬɪɭɤɬɭɪɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɬɪɚɞɢɰɿɣɧɨ ɜɢɞɿɥɹɸɬɶ ɞɜɚ ɨɫɧɨɜɧɿ ɪɨɡɞɿɥɢ: ɨɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ (ɪɢɫ. 1.1). Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ
Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ
Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɪɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ
ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ
Ɋɢɫ. 1.1. Ɉɫɧɨɜɧɿ ɪɨɡɞɿɥɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ: x ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɨɞɧɿɽʀ ɡɦɿɧɧɨʀ (ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ); x ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɡɚɽɦɨɡɜ'ɹɡɤɿɜ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɡɦɿɧɧɢɦɢ (ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɪɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ). Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɧɨɜɭ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿɸ, ɲɜɢɞɲɟ ɡɪɨɡɭɦɿɬɢ ɿ ɜɫɟɛɿɱɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ʀʀ, ɬɨɛɬɨ ɜɢɤɨɧɭɽ ɧɚɭɤɨɜɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɨɩɢɫɭ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ, ɱɢɦ ɿ ɜɢɩɪɚɜɞɨɜɭɽ ɫɜɨɸ ɧɚɡɜɭ. Ɇɟɬɨɞɢ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɩɨɤɥɢɤɚɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɢɬɢ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɨɤɪɟɦɢɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɚɨɱɧɢɯ ɞɥɹ ɫɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɮɨɪɦ ɿ ɱɢɫɟɥ: ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ; ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ, ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɨɫɬɿ, ɡɜ'ɹɡɤɭ. ɐɢɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɹɤɿ ɫɥɭɠɚɬɶ ɩɿɞɫɬɚɜɨɸ ɞɥɹ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. 9
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ: x ɨɰɿɧɢɬɢ ɬɨɱɧɿɫɬɶ, ɧɚɞɿɣɧɿɫɬɶ ɿ ɟɮɟɤɬɢɜɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ, ɜɢɹɜɢɬɢ ɩɨɯɢɛɤɢ, ɹɤɿ ɜɢɧɢɤɚɸɬɶ ɭ ɩɪɨɰɟɫɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ (ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ); x ɭɡɚɝɚɥɶɧɢɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ (ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ). Ƚɨɥɨɜɧɚ ɦɟɬɚ ɧɚɭɤɨɜɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ – ɰɟ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɧɧɹ ɩɪɨ ɜɟɥɢɤɿ ɤɥɚɫɢ ɹɜɢɳ, ɨɫɿɛ ɚɛɨ ɩɨɞɿɣ, ɹɤɿ ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɸ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɸ. Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ – ɰɟ ɩɨɜɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ, ɜɢɛɿɪɤɚ – ʀʀ ɱɚɫɬɢɧɚ, ɹɤɚ ɫɮɨɪɦɨɜɚɧɚ ɩɟɜɧɢɦ ɧɚɭɤɨɜɨ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ2. Ɍɟɪɦɿɧ «ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ» ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɣɞɟɬɶɫɹ ɩɪɨ ɜɟɥɢɤɭ, ɚɥɟ ɤɿɧɰɟɜɭ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɨ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɚɛɿɬɭɪɿɽɧɬɿɜ ɍɤɪɚʀɧɢ ɭ 2009 ɪɨɰɿ ɚɛɨ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɞɿɬɟɣ ɞɨɲɤɿɥɶɧɨɝɨ ɜɿɤɭ ɦɿɫɬɚ Ɋɿɜɧɟ. Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɿ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɦɨɠɭɬɶ ɫɹɝɚɬɢ ɡɧɚɱɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ, ɛɭɬɢ ɫɤɿɧɱɟɧɢɦɢ ɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɢɦɢ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɰɿ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɦɚɸɬɶ ɫɩɪɚɜɭ ɡɿ ɫɤɿɧɱɟɧɢɦɢ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɹɦɢ. ȱ ɹɤɳɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɨɛɫɹɝɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɞɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɫɤɥɚɞɚɽ ɛɿɥɶɲ, ɧɿɠ 100, ɬɨ, ɡɚ ɫɥɨɜɚɦɢ Ƚɥɚɫɫɚ ɿ ɋɬɟɧɥɿ ɦɟɬɨɞɢ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɤɿɧɱɟɧɢɯ ɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɞɚɸɬɶ ɭ ɫɭɬɧɨɫɬɿ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ [17, ɋ. 218]. Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɨɸ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɸ ɦɨɠɧɚ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɿ ɩɨɜɧɭ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɹɤɨʀɫɶ ɨɡɧɚɤɢ. ɉɪɢɧɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɤɢ ɞɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɽ ɝɨɥɨɜɧɨɸ ɩɿɞɫɬɚɜɨɸ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɿɞɟɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɩɟɪɟɤɨɧɚɧɧɿ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɨɜɧɟ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɜɫɿɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜ ɛɿɥɶɲɨɫɬɿ ɧɚɭɤɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɚɛɨ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ ɧɟɦɨɠɥɢɜɟ, ɚɛɨ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɨ ɧɟɞɨɰɿɥɶɧɟ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɜɢɦɚɝɚɽ ɛɚɝɚɬɨ ɱɚɫɭ ɿ ɡɧɚɱɧɢɯ ɦɚɬɟɪɿɚɥɶɧɢɯ ɜɢɬɪɚɬ. Ɍɨɦɭ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɩɿɞɯɿɞ, ɩɪɢɧɰɢɩ ɹɤɨɝɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɫɯɟɦɿ ɪɢɫ. 1.2. 2
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɽɸ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɪɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶ ɜɢɛɿɪɤɢ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɿ (ɩɪɨɫɬɿ ɬɚ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɧɿ), ɫɬɪɚɬɢɮɿɤɨɜɚɧɿ, ɤɥɚɫɬɟɪɧɿ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 4). 10
Ɇɟɬɨɞɢ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɢ
Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ
ɉɚɪɚɦɟɬɪɢ
Ɇɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ
Ɍɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɢ
Ɇɟɬɨɞɢ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ
ȼɢɛɿɪɤɚ
Ɇɟɬɨɞɢ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɿɜ, ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ
ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ
Ɋɢɫ. 1.2. ɋɯɟɦɚ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦ ɩɿɞɯɨɞɨɦ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɨɠɟ ɩɪɨɜɨɞɢɬɢɫɹ ɭ ɬɚɤɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 1.2): x ɿɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɹɤɨʀ ɩɿɞɥɹɝɚɸɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɸ, ɩɟɜɧɢɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɮɨɪɦɭɸɬɶ ɜɢɛɿɪɤɭ – ɬɢɩɨɜɭ ɚɥɟ ɨɛɦɟɠɟɧɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɞɨ ɹɤɢɯ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɞɨɫɥɿɞɧɢɰɶɤɿ ɦɟɬɨɞɢ; x ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɦɟɬɨɞɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɢɯ ɞɿɣ ɿ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɧɚɞ ɨɛ’ɽɤɬɚɦɢ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɬɪɢɦɭɸɬɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ; x
ɨɛɪɨɛɤɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɟɬɨɞɿɜ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫ-
ɬɢɤɢ ɞɚɽ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɹɤɿ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚɦɢ – ɹɤ ɿ ɧɚɡɜɚ ɞɢɫɰɢɩɥɿɧɢ, ɞɨ ɪɟɱɿ; x ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɱɢ ɦɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ ɞɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ, ɨɬɪɢɦɭɸɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ, ɹɤɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɉɪɢɤɥɚɞ 1.1. Ɂ ɦɟɬɨɸ ɨɰɿɧɤɢ ɫɬɚɛɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɧɶ (ɡɦɿɧɧɚ ɏ) ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ3 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɨɛɫɹɝɨɦ n. Ɍɟɫɬɢ ɦɿɫɬɢɥɢ ɩɨ m ɡɚɜɞɚɧɶ, ɤɨɠɧɟ ɡ ɹɤɢɯ ɨɰɿɧɸɜɚɥɨɫɹ ɡɚ ɫɢɫɬɟɦɨɸ ɛɚɥɿɜ: «ɜɢɤɨɧɚɧɨ»» – 1, «ɧɟ ɜɢɤɨɧɚɧɨ» – 0. ɑɢ ɡɚɥɢɲɢɥɢɫɹ ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɬɨɱɧɿ ɞɨɫɹɝɧɟɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ X 3
Ɋɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ (ɜɿɞ ɚɧɝ. random – ÈÍÓÆɱÒÈÍÎ) – ɰɟ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ, ɹɤɚ ɫɮɨɪɦɨɜɚɧɚ ɡɚ ɫɬɪɚɬɟɝɿɽɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. 11
ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɦɢɧɭɥɢɯ ɪɨɤɿɜ ȝ? ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɜɢɫɭɧɭɬɢ ɡɦɿɫɬɨɜɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɬɢɩɭ: «ɹɤɳɨ ɩɨɬɨɱɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɬɢɦɭɬɶɫɹ ɜɿɞ ɦɢɧɭɥɢɯ, ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɧɟɡɦɿɧɧɢɦ, ɚ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɣ ɩɪɨɰɟɫ – ɫɬɚɛɿɥɶɧɢɦ»; x ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɚɞɟɤɜɚɬɧɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɭɥɶɝɿɩɨɬɟɡɭ H0 ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ «ɩɨɬɨɱɧɢɣ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɛɚɥ X ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɦɢɧɭɥɢɯ ɪɨɤɿɜ ȝ », ɬɨɛɬɨ H0: X =ȝ, ɩɪɨɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨʀ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ H1: X ȝ; x ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ; x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɟɪɟɞɧɽ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ ɿ ɬ.ɞ.; x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ (ɩɪɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɫɬɿ) ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɿ ɡɜ'ɹɡɤɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɨɸ ɏ ɬɚ ɿɧɲɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɥɿɧɿʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ; x ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ; x ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɨɱɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɬɚ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ; x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ; x ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ; x ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɪɿɲɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɧɭɥɶ-ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɧɚ ɩɟɜɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ; x ɩɟɪɟɣɬɢ ɜɿɞ ɪɿɲɟɧɧɹ ɩɪɨ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɚɛɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɧɭɥɶɝɿɩɨɬɟɡɢ ɞɨ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿʀ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ ɳɨɞɨ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɡɦɿɫɬɨɜɧɨʀ; x ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɡɦɿɫɬɨɜɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ ɭɡɚɝɚɥɶɧɢɬɢ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɿ ɜɢɳɟ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ, ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɬɪɶɨɯ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɛɥɨɤɿɜ: – ɩɟɪɟɯɿɞ ɜɿɞ ɨɛ’ɽɤɬɚ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɿ ɞɨ ɚɛɫɬɪɚɤɬɧɨʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɫɯɟɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɩɨɛɭɞɨɜɚ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɹɜɢɳɚ, ɩɪɨɰɟɫɭ, ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ; – ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɢɯ ɞɿɣ ɜɥɚɫɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦɢ ɡɚɫɨɛɚɦɢ ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ, ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɟɤɫɩɟɪɢ12
ɦɟɧɬɭ ɿ ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ; – ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ ɳɨɞɨ ɪɟɚɥɶɧɨʀ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɣ ɭɯɜɚɥɟɧɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɝɨ ɪɿɲɟɧɧɹ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɨɛɪɨɛɤɢ ɣ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿʀ ɞɚɧɢɯ ɫɩɢɪɚɸɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɿɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ. Ɍɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɽ ɨɫɧɨɜɨɸ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. Ȼɟɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚɥɶɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɿ ɡɚɤɨɧɿɜ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɧɟɦɨɠɥɢɜɟ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɚ ɡɧɚɱɢɬɶ ɿ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɨɝɨ ʀɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɞɥɹ ɧɚɭɤɨɜɢɯ ɿ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɰɿɥɟɣ. Ɍɚɤ, ɡɚɜɞɚɧɧɹɦ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɚɧɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ – ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ – ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɱɚɫɬɨɬ, ɦɿɪ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɿ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ, ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɡɜ’ɹɡɤɭ ɬɨɳɨ. ɉɪɨɬɟ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ, ɩɨ ɫɭɬɿ, ɤɨɧɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ɂɜɢɱɚɣɧɨ, ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ, ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɿ ɬ. ɿɧ., ɚɥɟ ɩɨɞɿɛɧɢɣ «ɚɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɦɚɽ ɨɛɦɟɠɟɧɭ ɧɚɭɤɨɜɨ-ɩɿɡɧɚɜɚɥɶɧɭ ɰɿɧɧɿɫɬɶ. «Ɇɟɯɚɧɿɱɧɟ» ɩɟɪɟɧɟɫɟɧɧɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ, ɡɪɨɛɥɟɧɢɯ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɚɤɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ, ɧɚ ɿɧɲɿ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɧɟ ɽ ɤɨɪɟɤɬɧɢɦ. Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɳɨɛ ɦɚɬɢ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɟɪɟɧɟɫɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɚɛɨ ɧɚ ɿɧɲɿ, ɚɛɨ ɧɚ ɛɿɥɶɲ ɩɨɲɢɪɟɧɿ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɦɚɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɿ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɿ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɰɢɯ ɩɨɲɢɪɟɧɢɯ ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. Ɍɚɤɿ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɛɚɡɭɸɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɩɿɞɯɨɞɚɯ ɿ ɫɯɟɦɚɯ, ɩɨɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦɢ ɦɨɞɟɥɹɯ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɚ ɚɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɨɦɭ ɩɿɞɯɨɞɿ, ɧɚ ɡɚɤɨɧɿ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɿ ɬ.ɞ. Ɍɿɥɶɤɢ ɡ ʀɯɧɶɨɸ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɧɨɫɢɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ, ɹɤɿ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɚɧɚɥɿɡɭ ɨɛɦɟɠɟɧɨʀ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿʀ, ɚɛɨ ɧɚ ɿɧɲɿ, ɚɛɨ ɧɚ ɩɨɲɢɪɟɧɿ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ɉɬɠɟ, ɩɨɛɭɞɨɜɚ, ɡɚɤɨɧɢ ɮɭɧɤɰɿɨɧɭɜɚɧɧɹ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ, ɳɨ ɽ ɩɪɟɞɦɟɬɨɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɝɚɥɭɡɿ ɩɿɞ ɧɚɡɜɨɸ «ɬɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ», ɫɬɚɽ ɫɭɬɬɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ. Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɜɚ ɩɚɪɚɥɟɥɶɧɢɯ ɪɹɞɤɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ: ɩɟɪɲɢɣ ɪɹɞɨɤ, ɳɨ ɦɚɽ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɩɪɚɤɬɢɤɢ (ɰɟ 13
ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ) ɿ ɞɪɭɝɢɣ, ɳɨ ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɿʀ (ɰɟ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ). ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦ ɱɚɫɬɨɬɚɦ, ɳɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɿ ɧɚ ɜɢɛɿɪɰɿ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɩɨɧɹɬɬɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ; ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɦɭ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ (ɩɪɚɤɬɢɤɚ) ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɨɱɿɤɭɜɚɧɧɹ (ɬɟɨɪɿɹ) ɿ ɬ.ɞ. ɉɪɢɱɨɦɭ, ɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɽ ɩɟɪɜɢɧɧɢɦɢ. ȼɨɧɢ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ, ɞɨɫɥɿɞɿɜ, ɩɿɫɥɹ ɱɨɝɨ ɩɪɨɯɨɞɹɬɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɬɚ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɿ, ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɝɿɞɧɨ ɡ ɦɟɬɨɸ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɿ ɜɪɟɲɬɿ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶɫɹ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɹɤ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɪɨɡɞɿɥɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. 2. ȼ ɱɨɦɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɨɫɧɨɜɧɚ ɿɞɟɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ? 3. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. 4. ɉɨɹɫɧɿɬɶ ɫɯɟɦɭ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. 5. ɍɤɚɠɿɬɶ ɩɟɪɟɥɿɤ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. 6. Ɂ ɹɤɢɯ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɛɥɨɤɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ? Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ʀɯ. 7. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɡ ɬɟɨɪɿɽɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ.
14
2. ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇȱ ɉɈɄȺɁɇɂɄɂ ȼɂȻȱɊɄɂ ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ, ɳɨ ɪɨɡɤɪɢɜɚɸɬɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɬɚɤɢɦɢ ɨɫɧɨɜɧɢɦɢ ɝɪɭɩɚɦɢ: – ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ (ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɦɢ, ɚɬɪɢɛɭɬɢɜɧɢɦɢ, ɪɚɧɠɢɪɨɜɚɧɢɦɢ), ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɫɬɪɭɤɬɭɪɭ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ; – ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ (ɦɿɪɚɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɿ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ), ɹɤɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬɶ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɢɩɨɜɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɛɿɪɤɢ; – ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨ-ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ (ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚɦɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ, ɪɟɝɪɟɫɿʀ), ɹɤɿ ɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɩɪɢɯɨɜɚɧɿ ɜɡɚɽɦɨɡɜ’ɹɡɤɢ ɬɚ ɡɚɤɨɧɨɦɿɪɧɨɫɬɿ ɹɜɢɳ, ɫɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɪɨɡɜɢɬɨɤ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɩɪɨɰɟɫɿɜ. 2.1. ȿɆɉȱɊɂɑɇȱ ɊɈɁɉɈȾȱɅɂ ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɪɹɞɢ ɬɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ, ɹɤɿ ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɲɥɹɯɨɦ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɩɨɜɢɧɧɿ ɩɪɨɣɬɢ ɩɟɪɜɢɧɧɭ ɨɛɪɨɛɤɭ ɿ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɡɚɰɿɸ: ɜɧɟɫɟɧɧɹ ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿ ɮɨɪɦɢ (ɟɬɚɩ ɬɚɛɭɥɹɰɿʀ), ɭɩɨɪɹɞɤɭɜɚɧɧɹ ɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ (ɪɹɞɢ), ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ4. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.1. ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɡɭɜɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɢɛɿɪɤɨɸ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ: 3, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 4, 5, 1 (ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ n = 10) . ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɩɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɚɞɟɤɜɚɬɧɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ5 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ, ɹɤɭ ɩɨɡɧɚɱɢɦɨ ɡɦɿɧɧɨɸ ɏ; x ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ ɡɦɿɧɧɚ ɏ ɩɪɢɣɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: x1 = 3, x2 = 4, …, x10 = 1; x ɩɟɪɜɢɧɧɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ (xj) ɜɧɟɫɟɧɨ ɭ ɩɟɪɲɿ ɞɜɚ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ ɬɚɛɥ. 2.1; x ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ (xj* ) ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɹɤ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ ɭ ɬɪɟɬɶɨɦɭ ɫɬɨ4 gÐÓÔÍÚÑ ÔÒÌÓÒÉÏÍ ÑÒÉ ÐÆáÖß ÖƱ ÑÆÌÈÍ: «ÕÖÆÖÍÕÖÍÚÑ ÔÒÌÓÒÉÏÍ», «ÈÍÇÔ±ÒÈ ÔÅÉÍ ÔÒÌÓÒÉϾ», «ÊÐÓÔÍÚÑ ÔÒÌÓÒÉÏÍ ÚÆÕÖÒÖ», «ÔÒÌÓÒÉÏÍ ÊÐÓÔÍÚÑÍØ ÉÆÑÍØ» ÖÆ Ñ. 5 ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭɫɩɿɲɧɿɫɬɶ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɥɨɝɿɱɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ, ɪɿɲɟɧɧɹ ɩɪɨɛɥɟɦɧɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ, ɭɦɿɧɧɹ ɜɢɤɨɧɭɜɚɬɢ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɿ ɜɩɪɚɜɢ ɬɨɳɨ.
15
ɜɩɱɢɤɭ ɬɚɛɥ. 2.1; x ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɚɪɿɚɧɬ (xi) ɬɚ ʀɯɧɹ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ (mi) ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɜ ɨɫɬɚɧɧɿɯ ɞɜɨɯ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ ɬɚɛɥ. 2.1. Ɍɚɛɥɢɰɹ 2.1 ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɡɚɰɿɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ (ɏ) ɉɟɪɜɢɧɿ ɞɚɧɿ j xj 1 3 2 4 3 4 4 4 5 3 6 2 7 4 8 4 9 5 10 1
ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ xj* 1 2 3 3 4 4 4 4 4 5
ȼɚɪɿɚɧɬɢ ɏ xi 1 2
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɚɪɿɚɧɬ mi 1 1
½ ¾ ¿
3
2
½ ° ° ¾ ° °¿
4
5
5
1
əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ – ɰɟ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɚ ɡɚ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ (ɚɛɨ ɡɚ ɡɦɟɧɲɟɧɧɹɦ) ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɭ ɬɚɛɥ. 2.1 ɡɧɚɱɟɧɧɹ xj*). ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɧɚɨɱɧɨ ɿ ɲɜɢɞɤɨ ɫɩɪɢɣɧɹɬɢ ɫɬɪɭɤɬɭɪɭ ɞɚɧɢɯ: ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɡɧɚɱɟɧɶ (xi), ɹɤɿ ɦɨɠɟ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɿ ɩɪɢɣɦɚɽ ɡɦɿɧɧɚ ɏ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɜɚɪɿɚɧɬ (mi), ʀɯɧɿ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɿ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɛɟɡɩɨɫɟɪɟɞɧɶɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɞɟɹɤɿ ɜɚɠɥɢɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɦɨɞɭ ɿ ɦɟɞɿɚɧɭ. ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɡɚɰɿɹ ɞɚɧɢɯ ɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ ɽ ɩɿɞɝɨɬɨɜɱɢɦ ɟɬɚɩɨɦ ɞɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɿ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ – ɰɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɦɨɞɟɥɶ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ X, ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɞɨ ɱɚɫɬɨɬ ʀɯ ɩɨɹɜɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ ɡɧɚɱɟɧɶ xi (ɜɚɪɿɚɧɬɢ X) ɿ ɡɧɚɱɟɧɶ mi (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɚɪɿɚɧɬ) ɭ ɬɚɛɥ. 2.1 ɩɨ ɫɭɬɿ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɹɤɢɣ ɪɨɡɤɪɢɜɚɽ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɱɚɫɬɨɬɢ ɩɨɹɜɢ (fi) ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɶ (xi) ɡɦɿɧɧɨʀ, ɬɨɛɬɨ fi ~ xi. Ɉɬɠɟ, ɩɿɞ ɩɨɧɹɬɬɹɦ «ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ» f(ɯ) ɫɥɿɞ ɪɨɡɭɦɿɬɢ 16
ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɩɨɹɜɢ ɩɟɜɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ (ɫɥɨɜɨ «ɱɚɫɬɨɬɚ» ɧɟɪɿɞɤɨ ɨɩɭɫɤɚɸɬɶ, ɦɚɸɱɢ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ɣɨɝɨ ɩɪɢɫɭɬɧɿɫɬɶ). ɑɚɫɬɨɬɚ fi – ɰɟ ɮɭɧɤɰɿɹ, ɞɟ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɦ ɜɢɫɬɭɩɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬɚ xi. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɦɨɠɧɚ ɤɥɚɫɢɮɿɤɭɜɚɬɢ ɡɚ ɨɡɧɚɤɨɸ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ6 ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɚ: ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿ, ɪɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ ɬɚ ɚɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ (ɪɢɫ. 2.1). ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ
ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɿ
Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ
Ɋɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ
Ɋɢɫ. 2.1. Ʉɥɚɫɢɮɿɤɚɰɿɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡɚ ɬɢɩɚɦɢ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɛɚɡɭɸɬɶɫɹ ɧɚ ɞɚɧɢɯ, ɹɤɿ ɜɢɦɿɪɹɧɿ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ ɚɛɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. Ɋɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɯ (ɪɚɧɝɨɜɢɯ) ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɧɹ. Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɞɚɧɿ, ɹɤɿ ɜɢɦɿɪɹɧɿ ɡɚ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɢɦɢ ɲɤɚɥɚɦɢ ɚɛɨ ɲɤɚɥɚɦɢ «ɧɚɣɦɟɧɭɜɚɧɶ». Ɉɫɧɨɜɧɿ ɜɢɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɬɚɤɿ: ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ, ɹɤɿ ɦɨɠɭɬɶ ɫɤɥɚɞɚɬɢɫɹ ɡ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɿ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ (ɪɢɫ. 2.2). ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ
Ⱦɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ
Ⱥɛɫɨɥɸɬɧɿ
ȱɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ
ȼɿɞɧɨɫɧɿ
Ⱥɛɫɨɥɸɬɧɿ
ȼɿɞɧɨɫɧɿ
Ɋɢɫ. 2.2. Ɉɫɧɨɜɧɿ ɜɢɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ Ⱦɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɱɚɫɬɨɬ ɨɤɪɟɦɨ (ɬɨɛɬɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɣɨɜɚɧɨ) ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɚɪɿɚɧɬɢ xɿ ɡɦɿɧɧɨʀ X. Ⱦɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ – ɰɟ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ mi ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ xi ɡɦɿɧɧɨʀ X (ɚɛɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ). Ⱦɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ – ɰɟ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɚɛɫɨ6
ɇɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɥɚɫɢɮɿɤɚɰɿɹ ɋɬɿɜɟɧɫɚ 4-ɯ ÖÍÓÈ ÈÍÐÔáÈÆÑß: ÌÆ Û±ÆÏÆÐÍ ÈÉÑÒÛÊÑß, ÑÖÊÔÈÆÏÈ, ÓÒÔÅɱÒÈÍÐÍ ÖÆ ÑÒÐÑÆÏßÑÍÐÍ [59]. 17
ɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ mi ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ n ɨɛ’ɽɤɬɿɜ, ɬɨɛɬɨ fi = mi /n. ȱɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ( «ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɿ» ɚɛɨ «ɤɭɦɭɥɹɬɢɜɧɿ») ɮɨɪɦɭɸɬɶɫɹ ɹɤ ɞɨɞɚɧɤɢ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ. ȼɨɧɢ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶ ɫɭɦɚɪɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɢ, ɳɨ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ xɿ ɡɦɿɧɧɨʀ X. ȱɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ
j
¦ mi
– ɰɟ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɚ ɫɭɦɚ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚ-
i 1
ɥɶɧɢɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɜɿɞ 1-ʀ ɞɨ j-ʀ ɜɚɪɿɚɧɬɢ. ȱɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ F j
j
¦ fi
– ɰɟ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɚ ɫɭɦɚ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚ-
i 1
ɥɶɧɢɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɜɿɞ 1-ʀ ɞɨ j-ʀ ɜɚɪɿɚɧɬɢ. ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɭ ɪɚɡɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ: x ɯɚɪɚɤɬɟɪɭ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ – ɞɢɫɤɪɟɬɧɚ ɡɦɿɧɧɚ, ɱɢ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɚ; x ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ – ɜɭɡɶɤɢɣ ɿ ɧɟɜɟɥɢɤɢɣ, ɱɢ ɲɢɪɨɤɢɣ ɿ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɢɣ. Ɍɨɦɭ ɡɚ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɽɸ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɩɨɞɿɥɹɸɬɶ ɧɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɜɚɪɿɚɧɬ7. Ɂ ɦɟɬɨɸ ɥɚɤɨɧɿɱɧɨɫɬɿ ɞɨɦɨɜɢɦɨɫɹ ʀɯ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɦɢ ɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ. Ⱦɥɹ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɱɚɫɬɨɬɢ ɦɚɸɬɶ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɛɟɡɩɨɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɚɪɿɚɧɬ ɡ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɨɝɨ ɪɹɞɭ; ɞɥɹ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ – ɞɨ ɝɪɭɩ (ɚɛɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ) ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɚɪɿɚɧɬ. ɇɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɇɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɞɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ, ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɹɤɢɯ ɜɢɦɿɪɹɧɿ ɡɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɦɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɲɤɚɥɚɦɢ ɿ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɬɿɥɶɤɢ ɩɟɜɧɿ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɞɢɫɤɪɟɬɧɿ ɭ ɜɭɡɶɤɨɦɭ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɉɪɨɰɟɞɭɪɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɩɪɨɫɬɿɲɿ ɡɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.2. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɤɨ7 Ⱦɠ. Ƚɥɚɫɫ ɿ Ⱦɠ. ɋɬɟɧɥɿ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ʀɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ «ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ» ɿ «ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ» ɱɚɫɬɨɬ [17]; Ƚ.Ɏ. Ʌɚɤɿɧ – ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ «ɧɟɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ ɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ» ɜɚɪɿɚɧɬ [43]; Ⱥ.Ɍ. Ɉɩɪɹ ɪɨɡɞɿɥɹɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɧɚ «ɞɢɫɤɪɟɬɧɿ» ɬɚ «ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɿ» ɪɹɞɢ [48].
18
ɧɚɧɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥ. 2.1 (ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ n =10). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɭɦɨɜɚɦ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ɜɚɪɿɚɧɬ xi ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɦɿɫɬɢɬɶ ɜɫɶɨɝɨ 6 ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɚɪɿɚɧɬ {0, 1, 2, 3, 4, 5}; x ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɚɪɿɚɧɬ ɤɨɥɢɜɚɸɬɶɫɹ ɜɿɞ 0 ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ (ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ) ɞɨ 5 ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ(ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ), ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɚɪɿɚɧɬ k=6; x ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ mi (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 2.2) ɬɚɤɿ: – ɞɥɹ x1=0 ɱɚɫɬɨɬɚ m1=0 (ɧɟɦɚɽ ɠɨɞɧɨɝɨ ɨɛ’ɽɤɬɚ ɡ ɰɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɡɦɿɧɧɨʀ); – ɞɥɹ x2=1 ɱɚɫɬɨɬɚ m2=1 (ɨɞɢɧ ɨɛ’ɽɤɬ ɡ ɰɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɡɦɿɧɧɨʀ); – ɞɥɹ x3=2 ɱɚɫɬɨɬɚ m3=1 (ɨɞɢɧ ɨɛ’ɽɤɬ ɡ ɰɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɡɦɿɧɧɨʀ); – ɞɥɹ x4=3 ɱɚɫɬɨɬɚ m4=2 (ɞɜɚ ɨɛ’ɽɤɬɚ ɡ ɰɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɡɦɿɧɧɨʀ) ɿ ɬ.ɞ. ɋɭɦɚ ɜɫɿɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɩɨɜɢɧɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ: k
¦ mi
k
n , ɬɨɛɬɨ
¦m
i
m1 m 2 ... m k
0 1 1 2 5 1 10 .
i 1
i 1
Ɍɚɛɥɢɰɹ 2.2
Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ
ɑɚɫɬɨɬɢ: ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ j
j
i
xi
mi
fi = mi /n
m *j
¦m
i
Fj
i 1
1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 ɋɭɦɢ:
0 1 1 2 5 1 10
0,00 0,10 0,10 0,20 0,50 0,10 1,00
0 1 2 4 9 10
x ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ fi = mi /n (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 2.2) ɬɚɤɿ:
– ɞɥɹ x1=0 ɱɚɫɬɨɬɚ m1= m1 /n = 0/10 = 0,00 (ɚɛɨ 0 %); – ɞɥɹ x2=1 ɱɚɫɬɨɬɚ m2= m2 /n = 1/10 = 0,10 (ɚɛɨ 10 %); 19
¦ fi i 1
0,00 0,10 0,20 0,40 0,90 1,00
– ɞɥɹ x3=2 ɱɚɫɬɨɬɚ m3= m3 /n = 1/10 = 0,10 (ɚɛɨ 10 %); – ɞɥɹ x4=3 ɱɚɫɬɨɬɚ m4= m4 /n = 2/10 = 0,20 (ɚɛɨ 20 %) ɿ ɬ.ɞ. ɋɭɦɚ ɜɫɿɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɦɚɽ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɨɞɢɧɢɰɿ (ɚɛɨ 100 %): k
k
¦ f ¦m i
i 1
0,00 0,10 0,10 0,20 0,50 0,10 1,00 .
/n
i
i 1
x ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ
j
¦ mi
(ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 2.2):
i 1
– ɞɥɹ x1=0 ɱɚɫɬɨɬɚ
1
¦ mi
0;
m1
i 1
– ɞɥɹ x2=1 ɱɚɫɬɨɬɚ
2
¦ mi
m1 m2
0 1 1;
i 1
3
– ɞɥɹ x3=2 ɱɚɫɬɨɬɚ
¦m
m1 m 2 m3
i
0 1 1 2;
i 1 4
– ɞɥɹ x4=3 ɱɚɫɬɨɬɚ
¦m
m1 m2 m3 m4
i
0 11 2
4 ɿ ɬ.ɞ.
i 1
Ɉɫɬɚɧɧɹ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ: 6
¦m
i
m1 m2 m3 m4 m5 m6
0 1 1 2 5 1 10 .
i 1
j
¦f
x ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ F j
i
(ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 2.2) ɬɚɤɿ:
i 1
1
– ɞɥɹ x1=0 ɱɚɫɬɨɬɚ F1
¦f
i
f1
0;
i 1
2
– ɞɥɹ x2=1 ɱɚɫɬɨɬɚ F2
¦f
i
f1 f 2
0 0,10
i
f1 f 2 f 3
0,10;
i 1 3
– ɞɥɹ x3=2 ɱɚɫɬɨɬɚ F3
¦f
0 0,10 0,10
0,20;
i 1
4
– ɞɥɹ x4=3 ɱɚɫɬɨɬɚ F4
¦f
i
f1 f 2 f 3 f 4
0 0,10 0,10 0,20 0,40 ɿ ɬ.ɞ.
i 1
Ɉɫɬɚɧɧɹ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚ ɜɿɞɧɨɫɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɨɞɢɧɢɰɿ (ɚɛɨ 100 %), ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɫɭɦɚ ɜɫɿɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɫɤɥɚɞɚɽ 1,00 ɚɛɨ 100%:
20
6
F6
¦f
i
f1 f 2 " f 6
0 0,10 " 0,10 1,00 100% .
i 1
Ⱦɥɹ ɜɿɡɭɚɥɿɡɚɰɿʀ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɝɪɚɮɿɤɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɪɢɫ. 2.3.
Ɋɢɫ. 2.3. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ (ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ) ɦɚɸɬɶ ɩɟɪɟɜɚɝɚ ɩɟɪɟɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ʀɯɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢɜɟɞɟɧɿ ɞɨ 100 % ɿ ɧɟ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɨʀ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ. Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 2.2 ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɬɚ ɿɧɬɟɝ-
ɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.4 ɿ 2.5.
fi ( X
xi )
0,00 ° °0,10 ° °0,10 ® °0,20 ° °0,50 °0,10 ¯
x1
0;
x2
1;
x3
2;
x4
3;
x5
4;
x6
5;
Fi ( X d xi )
0,00 ° °0,10 ° °0,20 ® °0,40 ° °0,90 °1,00 ¯
x1
0;
x2
1;
x3
2;
x4
3;
x5
4;
x6
5;
Ɋɢɫ. 2.4. Ɏɭɧɤɰɿɹ
Ɋɢɫ. 2.5. Ɏɭɧɤɰɿɹ
ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ȼɚɠɥɢɜɨ ɭɫɜɿɞɨɦɢɬɢ ɬɚɤɿ ɨɫɧɨɜɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɮɭɧɤɰɿɣ fi ɿ Fi : – ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ f i ( X
xi ) ɩɨɤɚɡɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɱɚɫɬɨɬɢ fi ɞɥɹ ɡɦɿɧ21
ɧɨʀ X, ɳɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɡɧɚɱɟɧɧɸ xɿ (ɬɨɛɬɨ X
x i );
– ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ Fi ( X d x i ) ɩɨɤɚɡɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɱɚɫɬɨɬɢ Fi ɞɥɹ ɡɦɿɧɧɨʀ X, ɳɨ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ xɿ ( X d xi ɬɨɛɬɨ ɏ ɚɛɨ ɦɟɧɲɟ, ɚɛɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ xɿ);
– ɨɛɢɞɜɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɦɢ ɿ ɩɨɜ’ɹɡɚɧɿ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɫɩɿɜɜɿɞj
ɧɨɲɟɧɧɹɦ F j
¦f
i
;
i 1
– Fi ( X d xi ) ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɚ f i ( X
xi ) – ɮɭɧɤɰɿ-
ɽɸ ɳɿɥɶɧɿɫɬɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.3. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɡɚ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɟɦɩɿɪɢɱ-
ɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.4. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ6 ɿ ȼ7 ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɿ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɚɪɿ-
ɚɧɬɢ xɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =Ɇɂɇ(A2:E5) ɿ =ɆȺɄɋ(A2:E5); x ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɞɚɧɢɯ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɭɦɨɜɚɦ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ,
ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ɡɦɿɧɧɨʀ ɦɿɫɬɢɬɶ ɜɫɶɨɝɨ 7 ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
Ɋɢɫ. 2.4. ȼɧɟɫɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() x ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ A12:Ⱥ18 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɚɪɿɚɧɬ xɿ ɜɿɞ 0 ɞɨ 6 (ɪɢɫ. 2.4); x ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ȼ12:ȼ18, ɧɚɬɢɫɧɭɬɢ ɤɥɚɜɿɲɭ F2 ɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ
«Ɇɚɣɫɬɪɚ ɮɭɧɤɰɿɣ» ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɰɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɮɭɧɤɰɿɸ MS Excel =ɑȺɋɌɈɌȺ(); 22
x ɡɚɞɚɬɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɢ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() ɭ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ (ɪɢɫ. 2.5);
Ɋɢɫ. 2.5. ȼɜɟɞɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɿɜ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() x ɧɚɬɢɫɧɭɬɢ ɪɚɡɨɦ ɤɥɚɜɿɲɿ CTRL+SHIFT+ENTER ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ
ȼ12:ȼ18 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ (ɪɢɫ. 2.6);
Ɋɢɫ. 2.6. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ mi x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ, ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɿ
ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɋ12:ȿ19 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ (ɪɢɫ. 2.7);
23
Ɋɢɫ. 2.7. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ x ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɚɛɥɢɱɧɢɯ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ (ɪɢɫ. 2.8);
Ɋɢɫ. 2.8. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ x ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɪɢɫ. 2.9). ȼɿɞɡɧɚɱɢɦɨ, ɳɨ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ
ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɽ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɦ ɿ ɦɚɽ ɮɨɪɦɭ «ɫɯɨɞɢɧɨɤ», ɯɨɱɚ ɩɨɲɢɪɟɧɿ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɿ ɡɚɫɨɛɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, MS Excel, «ɦɚɥɸɸɬɶ» ɣɨɝɨ ɥɚɦɚɧɨɸ ɥɿɧɿɽɸ. 24
Ɋɢɫ. 2.9. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɚɠɥɢɜɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. Ɍɚɤ, ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɱɚɫɬɨɬɢ. Ɍɚɤ, ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɭ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɜɚɪɿɚɧɬ xɿ ɜɿɞ 0 ɞɨ 3 ɜɤɥɸɱɧɨ, ɳɨ ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ ɫɭɦɚɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0,25=0,05+0,05+0,15 (ɞɢɜ. ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɢ ɧɚ ɪɢɫ. 2.10), ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿɣ ɱɚɫɬɨɬɿ F4=0,25. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɨɛ’ɽɤɬɢ ɡ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ xɿ 3 ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ 25% ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ.
Ɋɢɫ. 2.10. Ɉɛ’ɽɤɬɢ ɡ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ
Ɋɢɫ. 2.11. Ɉɛ’ɽɤɬɢ ɡ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ
xɿ 3 ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ 25 %
3 xɿ 4 ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ 55 %
ȼɿɞɧɨɫɧɿ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ ɭ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɜɚɪɿɚɧɬ xɿ ɜɿɞ 3 ɞɨ 4, ɳɨ 25
ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ ɫɭɦɚɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0,55=0,15+0,40 (ɞɢɜ. ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɢ ɧɚ ɪɢɫ. 2.11), ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɪɿɡɧɢɰɿ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ F5=0,65 ɿ F3=0,10, ɬɨɛɬɨ 0,65 – 0,10 = 0,55. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɨɛ’ɽɤɬɢ ɡ ɜɥɚɫɬɢɜɨ-
ɫɬɹɦɢ 3 xɿ 4 ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ 55 % ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ɉɬɠɟ ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɡɚɰɿʀ ɿ ɨɛɪɨɛɤɢ ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɚɧɢɯ ɮɨɪɦɭɽɬɶɫɹ ɜɚɠɥɢɜɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɜɢɛɿɪɤɢ – ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ: ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ, ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɹɤɢɯ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɚɛɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɦ, ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦ. ɋɭɦɚ ɜɫɿɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɫɭɦɚ ɜɫɿɯ
ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1 ɚɛɨ 100%. ȱɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ (ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɿ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɮɨɪɦɭɸɬɶɫɹ ɹɤ ɞɨɞɚɧɤɢ ɭɫɿɯ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɚɛɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ, ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ. ȼɨɧɢ ɞɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɭɦɚɪɧɨʀ ɱɚɫɬɨɬɢ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɢ,
ɹɤɚ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ xɿ. ɍ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɩɟɪɟɜɚɠɧɨ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɫɚɦɟ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬɶ ɫɨɛɨɸ (ɰɟ ɛɭɞɟ ɞɨɜɟɞɟɧɨ ɧɢɠɱɟ) ɿ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɹɤ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. Ɂɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ, ɹɤɳɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɿɣɫɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜ ɩɟɜɧɨɦɭ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿ ɚɛɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɚɪɿɚɧɬ ɛɥɢɡɶɤɚ ɞɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɍ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɡɦɿɧɧɿ ɦɚɸɬɶ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ (ɚɛɨ ɤɥɚɫɚɦɢ) ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɞɧɚɤɨɜɨʀ ɞɨɜɠɢɧɢ. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.4. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛ-
ɫɹɝɨɦ ɭ 80 ɨɫɿɛ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɭ ɛɚɥɚɯ (ɞɢɜ. ɬɚɛɥɢɰɸ ɪɢɫ. 2.12) ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɩɨɤɚɡɭɽ, ɳɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨ-
ɞɿɥɢ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ; x ɡɧɚɣɬɢ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɿ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ C12 ɿ G12 ɡɚ
ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =Ɇɂɇ(A2:H11) ɿ =ɆȺɄɋ(A2:H11), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ IQmin =72 ɿ IQmax =137 (ɪɢɫ. 2.12); 26
Ɋɢɫ. 2.12. ȼɧɟɫɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɿ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɥɚɫɿɜ k ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɋɬɟɪɞɠɟɫɚ Ʉ=1+3,32ǜlg n ,
ɞɟ n – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ13 ɜɢɪɚɡ =ɈɄɊȼȼȿɊɏ(1+3,32*LOG10(ɋɑȬɌ(A2:H11));1) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ Ʉ § 8; x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɦɿɪ ɤɥɚɫɨɜɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ Ȝ=( IQmax – IQmin)/k ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ
D13 ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ =(G12-C12)/B13. ɏɨɱɚ ɨɬɪɢɦɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ = 8,125, ɚɥɟ ɡ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨʀ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɪɨɡɦɿɪ ɤɥɚɫɨɜɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ ɩɪɢɣɧɹɬɢ Ȝ = 10; x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ Ⱥ17:D23 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɱɚɬɤɨɜɨʀ IQɩɨɱ ɿ ɤɿɧɰɟɜɨʀ IQɤɿɧɰ ɝɪɚɧɢɰɶ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿɜ ɡɧɚɱɟɧɶ IQ ɤɪɚɬɧɢɦɢ 10 ɛɚɥɚɦ ɿ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQmin = 72 ɜɯɨɞɢɥɨ ɭ ɩɟɪɲɢɣ, ɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ IQmax = 137 – ɜ ɨɫɬɚɧɧɿɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 2.12); x ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ȿ17:ȿ23, ɧɚɬɢɫɧɭɬɢ ɤɥɚɜɿɲɭ F2 ɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ
«Ɇɚɣɫɬɪɚ ɮɭɧɤɰɿɣ» ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɰɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɮɭɧɤɰɿɸ =ɑȺɋɌɈɌȺ(); x ɡɚɞɚɬɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɢ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ(), ɹɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.13; 27
Ɋɢɫ. 2.13. ȼɜɟɞɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɿɜ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() x ɧɚɬɢɫɧɭɬɢ ɪɚɡɨɦ ɤɥɚɜɿɲɿ CTRL+SHIFT+ENTER, ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ
ȿ17:ȿ23 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ (ɪɢɫ. 2.14);
Ɋɢɫ. 2.14. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ, ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɿ
ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ F17:H23 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ (ɪɢɫ. 2.15); 28
Ɋɢɫ. 2.15. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ x ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ IQ (ɪɢɫ. 2.16) ɿ
ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɪɢɫ. 2.17).
Ɋɢɫ. 2.16. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ IQ Ƚɪɚɮɿɤɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ IQ ɡɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ ɡɧɚɱɟɧɶ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.17. 29
f(IQ)
ɳɿɥɶɧɿɫɬ ɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(IQ)
Ɋɨɡɩɨɞɿɥ IQ
F(IQ)
ɪɨɡɩɨɞɿɥ F(IQ)
40%
1,00 0,90
32,50%
0,80
30%
0,70 17,50%
20%
0,60
20,00% 18,75%
0,50 0,40 0,30
10%
0%
7,50%
0,20 2,50%
0,00%
70
80
90
100
110
120
130
1,25%
0,00%
140
150
0,10 0,00
IQ
Ɋɢɫ. 2.17. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ IQ Ⱦɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ – ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(IQ) – ɡɨɛɪɚɠɟɧɢɣ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɨɸ. ȼɿɧ ɞɚɽ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɤɚɪɬɢɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɹɤ ɭɫɿɯ ɤɚɬɟɝɨɪɿɣ ɪɚɡɨɦ, ɬɚɤ ɿ ɤɨɠɧɨʀ ɤɚɬɟɝɨɪɿʀ ɨɤɪɟɦɨ. əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɢɫ. 2.17, ɰɟɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɦɚɽ ɮɨɪɦɭ, ɳɨ ɧɚɝɚɞɭɽ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ (ɩɪɨɬɟ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɤɨɪɟɤɬɧɨ ɞɨɜɟɫɬɢ ʀɯɧɸ ɿɞɟɧɬɢɱɧɿɫɬɶ). Ɇɚɤɫɢɦɭɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ – 32,5% – ɩɪɢɩɚɞɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɧɚ ɫɟɪɟɞɢɧɭ ɝɪɚɮɿɤɚ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ ɭ 100 ɛɚɥɿɜ; 1,25% ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɫɤɥɚɞɚɽ ɤɚɬɟɝɨɪɿɹ «ɨɛɞɚɪɨɜɚɧɢɯ» ɡ IQ ɞɨ 140 ɛɚɥɿɜ ɿ 7,5% – ɤɚɬɟɝɨɪɿɹ «ɧɢɠɱɟ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ». Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɭɧɿɦɨɞɚɥɶɧɢɣ ɿ ɚɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ, ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɤɨɧɰɟɧɬɪɭɽɬɶɫɹ ɧɚɜɤɨɥɨ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ. ȱɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ F(IQ) ɡɨɛɪɚɠɟɧɢɣ ɬɨɱɤɚɦɢ. ȼɿɧ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɭɦɚɪɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɱɚɫɬɨɬ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿɜ IQ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡ ɝɪɚɮɿɤɚ ɿ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.16 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɨɫɨɛɢ ɡ IQ 100 (ɧɟ ɜɢɳɟ 100 ɛɚɥɿɜ) ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ 57,5% ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɚ ɨɫɨɛɢ ɡ IQ > 120 (ɜɢɳɟ 120 ɛɚɥɿɜ) ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ ɥɢɲɟ 3,75% ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ (ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɚɛɨ ɡ ɬɚɛɥɢɰɿ, ɚɛɨ ɡ ɝɪɚɮɿɤɚ: 100% – 96,25% = 3,75%). Ʉɪɿɦ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɯ (ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɭ ɩɪɚɤɬɢɰɿ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ ɚɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɿ ɪɚɧɠɢɪɭɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ, ɹɤɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɞɥɹ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ «ɹɤɿɫɧɢɯ» ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ, ɳɨ ɜɢɦɿɪɹɧɿ ɡɚ ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɦɢ ɬɚ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɢɦɢ ɲɤɚɥɚɦɢ.
30
Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɢɯ (ɤɚɬɟɝɨɪɿɚɥɶɧɢɯ) ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.5. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɨɫɿɛ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɜɥɚ-
ɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɳɨʀ ɧɟɪɜɨɜɨʀ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ (ȼɇȾ) 16 ɨɫɿɛ (ɪɢɫ. 2.18). ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ Ⱥ:D; x ɡɝɿɞɧɨ ɡ ɬɢɩɨɦ ȼɇȾ ɤɨɠɧɿɣ ɨɫɨɛɿ ɧɚɞɚɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɚɬɪɢɛɭɬ xi, ɧɚ-
ɩɪɢɤɥɚɞ, «ɯɨɥɟɪɢɤ» – 1; «ɫɚɧɝɜɿɧɿɤ» – 2 ɿ ɬ.ɞ. (ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ C:D ɿ E:F); x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ mi ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ G3 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ
=ɋɑȬɌȿɋɅɂ($D$3:$D$18;F3). Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɢ G4:G6; x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ n ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ G7 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢ-
ɪɚɡ =ɋɍɆɆ(G3:G6); x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ mi/n ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ H3 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ:
=G3/$G$7, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ H4:H6. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ H7 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(H3:H6).
Ɋɢɫ. 2.18. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɫɿɛ ɡɚ ɬɢɩɚɦɢ ȼɇȾ
31
əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɫɿɛ ɡɚ ɬɢɩɚɦɢ ȼɇȾ (ɪɢɫ. 2.18), ɭ ɜɢɛɿɪɰɿ ɦɚɽɦɨ 3 ɨɫɨɛɢ ɡɚ ɬɢɩɨɦ «ɯɨɥɟɪɢɤ» (18,75%), 7 – ɡɚ ɬɢɩɨɦ «ɫɚɧɝɜɿɧɿɤ» (43,75%), 5 – «ɦɟɥɚɧɯɨɥɿɤ» (31,25%) ɿ 1 – «ɮɥɟɝɦɚɬɢɤ» (6,25%). Ⱦɥɹ ɿɥɸɫɬɪɚɰɿʀ ɚɬɪɢɛɭɬɢɜɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɞɜɚ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɟɧɿ ɬɢɩɢ ɝɪɚɮɿɤɿɜ: ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɭ (ɪɢɫ. 2.19) ɿ ɤɪɭɝɨɜɭ ɞɿɚɝɪɚɦɭ (ɪɢɫ. 2.20). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɨɫɿɛ ɡɚ ɬɢɩɨɦ ȼɇȾ
Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɨɫɿɛ ɡɚ ɬɢɩɨɦ ȼɇȾ Ɏɥɟɝɦɚɬɢɤ ; 6,25%
Ɇɟɥɚɧɯɨɥɿ ɤ; 31,25%
ɏɨɥɟɪɢɤ ɋɚɧɝɜ ɿɧɿɤ Ɇɟɥɚɧɯɨ Ɏɥɟɝɦɚɬ ɑɚɫɬɨɬɢ
3
7
5
ɏɨɥɟɪɢɤ; 18,75%
ɋɚɧɝɜɿɧɿɤ; 43,75%
1
Ɋɢɫ. 2.19. Ƚɿɫɬɨɝɪɚɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
Ɋɢɫ. 2.20. Ⱦɿɚɝɪɚɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɜ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɿ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɪɿɡɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ȼɇȾ, ɩɟɪɟɜɚɠɧɢɣ ɬɢɩ ȼɇȾ – ɧɚ ɝɪɚɮɿɤɚɯ ɰɟ «ɫɚɧɝɜɿɧɿɤ», ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽ 43,7% ɨɫɿɛ ɜɢɛɿɪɤɢ (ɪɢɫ. 2.19 ɿ 2.20). Ɋɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ Ɋɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɭ ɪɚɡɿ ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɯ (ɪɚɧɝɨɜɢɯ) ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɟɣɬɢɧɝɭ ɭɫɩɿɲɧɨɫɬɿ ɹɤɨʀɫɶ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ. Ɋɚɧɠɭɜɚɧɧɹ ɩɪɢɩɭɫɤɚɽ ɞɨɦɨɜɥɟɧɿɫɬɶ ɩɪɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɩɟɜɧɨɝɨ ɪɚɧɝɭ ɩɟɜɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.6. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɪɚɧɠɭɜɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ
(ɞɢɜ. ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ Ⱥ:ȼ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.21). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ɋ2 ɜɧɟɫɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɜɢɪɚɡ, ɹɤɢɣ ɜɢɡɧɚɱɢɬɶ ɪɚɧɝ ɡɧɚɱɟɧ-
ɧɹ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ2 ɫɟɪɟɞ ɞɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ȼ$2:ȼ$10: =ɋɑȬɌ(B$2:B$10) + 1–((ɋɑȬɌ(B$2:B$10) + 1– ɊȺɇȽ(B2;B$2:B$10; 1) – ɊȺɇȽ(B2;B$2:B$10; 0))/2+ɊȺɇȽ(B2;B$2:B$10;1)); 32
Ɋɢɫ. 2.21. Ɋɚɧɝɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ
Ɋɢɫ. 2.22. Ⱦɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ «ɋɨɪɬɭɜɚɧɧɹ ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ»
x ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɋ3:ɋ10; x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ɋ11 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(C2:C10), ɹɤɢɣ ɞɚɫɬɶ ɫɭɦɭ ɪɚɧɝɿɜ; x ɭɩɨɪɹɞɤɭɜɚɬɢ ɞɚɧɿ ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ Ⱥ2:ɋ10 ɡɚ ɪɚɧɝɨɦ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɨɦɚɧɞ ɝɨɥɨ-
ɜɧɨɝɨ ɦɟɧɸ MS Excel [Ⱦɚɧɿ –> ɋɨɪɬɭɜɚɧɧɹ] ɿ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɝɨ ɜɿɤɧɚ (ɪɢɫ. 2.22); x ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɡɚ ɪɚɧɝɨɦ (ɪɢɫ. 2.23);
Ɋɟɣɬɢɧɝɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ 16 14 12 11
6
5
Ɉɥɟɧɚ
7
ɉɟɬɪɨ
Ɉɥɶɝɚ
Ɉɫɬɚɩ
Ⱥɧɬɨɧ
Ɍɚɪɚɫ
8
Ɇɚɪɿɹ
10
ɋɟɪɝɿɣ
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Ⱥɧɞɪɿɣ
Ȼɚɥɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ
x ɜɿɞɨɛɪɚɡɢɬɢ ɪɟɣɬɢɧɝɨɜɢɣ ɫɩɢɫɨɤ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɝɪɚɮɿɱɧɨ (ɪɢɫ. 2.24).
ɋɬɭɞɟɧɬɢ
Ɋɢɫ. 2.24. Ɋɟɣɬɢɧɝɨɜɢɣ ɫɩɢɫɨɤ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ
Ɋɢɫ. 2.23. ɍɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ ɡɚ ɪɚɧɝɨɦ
Ɋɚɧɠɢɪɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɧɚɨɱɧɨʀ ɜɿɡɭɚɥɿɡɚɰɿʀ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ 33
ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɩɟɜɧɨʀ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɟɪɟɞ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɭ ɧɚɩɪɹɦɚɯ ʀɯ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɚɛɨ ɡɦɟɧɲɟɧɧɹ. Ɉɫɧɨɜɧɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɽ ɬɚɛɥɢɱɧɢɣ, ɝɪɚɮɿɱɧɢɣ ɬɚ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɢɣ.
Ɍɚɛɥɢɱɧɢɣ ɫɩɨɫɿɛ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɨɜɚɧɨ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɚ ɪɢɫ. 2.16. ɉɨ-ɪɿɡɧɨɦɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɬɚɛɥɢɰɿ: ɬɚɛɥɢɰɟɸ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɚɛɨ ɬɚɛɥɢɱɧɨɸ ɮɨɪɦɨɸ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɍɚɛɥɢɱɧɢɣ ɫɩɨɫɿɛ
ɽ ɨɫɧɨɜɧɢɦ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɿ ɩɟɪɟɞɭɦɨɜɨɸ ɣɨɝɨ ɝɪɚɮɿɱɧɨʀ ɮɨɪɦɢ. Ɋɚɡɨɦ ɜɨɧɢ ɞɚɸɬɶ ɰɿɥɿɫɧɟ ɭɹɜɥɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ƚɪɚɮɿɱɧɢɣ ɫɩɨɫɿɛ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ – ɰɟ ɜɿɞɨɛɪɚɠɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɝɪɚɮɿɱɧɢɦɢ ɡɚɫɨɛɚɦɢ, ɫɟɪɟɞ ɹɤɢɯ ɧɚɣɩɨɲɢɪɟɧɿɲɢɦɢ ɽ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ, ɩɨɥɿɝɨɧ ɿ ɥɿɧɿɣɧɢɣ ɝɪɚɮɿɤ. ɇɚ ɪɢɫ. 2.25 – 2.27 ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ
ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɭ ɬɪɶɨɯ ɜɚɪɿɚɧɬɚɯ. Ʉɨɦɛɿɧɨɜɚɧɿ ɫɩɨɫɨɛɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ, ɹɤɿ ɨɛ'ɽɞɧɭɸɬɶ ɭ ɦɟɠɚɯ ɨɞɧɿɽʀ ɝɪɚɮɿɱɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɪɿɡɧɿ ɬɢɩɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ), ɦɨɠɧɚ ɩɨɛɚɱɢɬɢ ɧɚ ɪɢɫ. 2.17.
Ɋɢɫ. 2.25. Ƚɿɫɬɨɝɪɚɦɚ
Ɋɢɫ. 2.26. ɉɨɥɿɝɨɧ
Ɋɢɫ. 2.27. Ʌɿɧɿɣɧɢɣ ɝɪɚɮɿɤ
Ⱥɧɚɥɿɬɢɱɧɢɣ ɫɩɨɫɿɛ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(xi), ɚɛɨ ɪɨɡɩɨɞɿ-
ɥɭ F(xi). Ɍɚɤ, ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɪɢɫ. 2.25 – ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ:
34
f ( xi )
0.00, ° °0.07, ° °0.07, ° ®0.13, ° °0.27, °0.33, ° °¯0.13,
x
0;
x 1; x
2;
x
3;
x
4;
x
5;
x
6.
Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɢ ɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɽ ɩɟɪɜɢɧɧɨɸ ɛɚɡɨɸ, ɧɚɜɤɨɥɨ ɹɤɨʀ ɨɛ'ɽɞɧɭɸɬɶɫɹ ɨɫɧɨɜɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɝɪɭɩɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ. 2. ɓɨ ɬɚɤɟ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ ɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ? 3. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿ, ɚɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɬɚ ɪɚɧɠɢɪɭɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ? 4. əɤɚ ɪɿɡɧɢɰɹ ɦɿɠ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɦɢ ɿ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɱɚɫɬɨɬ? 5. əɤ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ? 6. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ? 7. əɤɿ ɬɢɩɢ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɧɚɣɩɨɲɢɪɟɧɿɲɢɦɢ? 8. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 2.1 – 2.6. 9. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 1 ɿ ʋ 2.
35
2.2. ɉɈɄȺɁɇɂɄɂ ȼɂȻȱɊɄɂ
Ɇɿɪɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ (ɆɐɌ) Ɇɿɪɚɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ (ɆɐɌ) ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɬɢɩɨɜɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ. ɐɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɚɸɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɿ ɧɚ ɩɢɬɚɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, «ɹɤɢɣ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɪɿɜɟɧɶ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɨɝɨ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬɭ?», «ɹɤɟ ɬɢɩɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɥɶɧɨɫɬɿ ɩɟɜɧɨʀ ɝɪɭɩɢ ɨɫɿɛ?». ȱɫɧɭɽ ɩɨɪɿɜɧɹɧɨ ɧɟɜɟɥɢɤɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɬɚɤɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ-ɦɿɪ ɿ ɜ ɩɟɪɲɭ ɱɟɪɝɭ: ɦɨɞɚ, ɦɟɞɿɚɧɚ, ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ. Ʉɨɠɧɚ ɤɨɧɤɪɟɬɧɚ ɆɐɌ ɦɚɽ ɫɜɨʀ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ, ɳɨ ɪɨɛɥɹɬɶ ʀʀ ɰɿɧɧɨɸ ɞɥɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɨɛ'ɽɤɬɚ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɜ ɩɟɜɧɢɯ ɭɦɨɜɚɯ. Ɇɨɞɚ Mo – ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɟ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɬɪɚɩɥɹɽɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ. Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɪɹɞɭ ɡɧɚɱɟɧɶ 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 ɦɨɞɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3 (Mo = 3). Ɂɜɟɪɧɿɬɶ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ ɦɨɞɚ ɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɨɸ ɱɚɫɬɨɬɨɸ (ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3), ɚ ɧɟ ɱɚɫɬɨɬɚ ɰɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɜɨɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 4). ɉɪɢ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɿ ɦɨɞɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɞɨɬɪɢɦɭɜɚɬɢɫɹ ɬɚɤɢɯ ɭɝɨɞ: x ɦɨɞɚ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɜɿɞɫɭɬɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɞɚɧɢɯ 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5; x ɹɤɳɨ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɫɭɦɿɠɧɿ ɿ ɦɚɸɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɭ ɱɚɫɬɨɬɭ, ɦɨɞɚ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ
ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɭɫɿɞɧɿɯ ɜɚɪɿɚɧɬ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɪɹɞɭ 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 ɦɨɞɚ Ɇɨ = (4+5)/2=4,5; x ɹɤɳɨ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɧɟɫɭɦɿɠɧɿ, ɦɨɠɟ ɿɫɧɭɜɚɬɢ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɦɨɞ. Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɞɚɧɢɯ 2,
2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5 ɯɚɪɚɤɬɟɪɧɚ ɛɿɦɨɞɚɥɶɧɿɫɬɶ, ɬɨɛɬɨ ɞɜɿ ɦɨɞɢ Ɇɨ1 = 3 ɿ Ɇɨ2 = 5; x ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɦɨɠɭɬɶ ɦɚɬɢ ɜɟɥɢɤɿ ɬɚ ɦɚɥɿ ɦɨɞɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɚɧɿ 2, 2,
3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9 ɦɚɸɬɶ ɨɞɧɭ ɜɟɥɢɤɭ ɦɨɞɭ Ɇɨ1 = 6 ɬɚ ɞɜɿ ɦɚɥɿ ɦɨɞɢ Ɇɨ2 = 3,5 ɿ Ɇɨ3 = 9.
ɇɚ ɝɪɚɮɿɤɚɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɞɚ – ɰɟ ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɡ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɸ ɱɚɫɬɨɬɨɸ. ɇɚ ɪɢɫ. 2.25 ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɯ6=5 ɦɚɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲɭ ɱɚɫɬɨɬɭ (0,33), ɬɨɦɭ ɿ ɽ ɦɨɞɨɸ Ɇɨ = 5. Ɇɟɞɿɚɧɚ Md – ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɟ ɩɪɢɯɨɞɢɬɶɫɹ ɧɚ ɫɟɪɟɞɢɧɭ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɨʀ 36
ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɚɪɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɞɚɧɢɯ ɦɟɞɿɚɧɚ ɜɢx( n1) / 2 . ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ 11 ɡɧɚɱɟɧɶ 4, 4,
ɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞɧɿɦ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ Md
4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 ɦɟɞɿɚɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 4 (Ɇd = 5), ɬɨɛɬɨ:
Md
x ( n 1) / 2
x (111) / 2
x6
5.
əɤɳɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɚɧɢɯ ɽ ɩɚɪɧɨɸ, ɬɨ ɦɟɞɿɚɧɨɸ ɽ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ xn / 2 xn / 2 1 . ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ 12 ɡɧɚ2
ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɫɭɫɿɞɧɿɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ: Md
ɱɟɧɶ 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7 ɦɟɞɿɚɧɚ Ɇd = (5+6)/2 = 5,5: Md
x n / 2 x n / 21 2
x12 / 2 x12 / 2 1 2
x6 x7 2
56 2
11 5,5 . 2
ɋɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ X (ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɛɨ ɫɟɪɟɞɧɽ) ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ n ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɨɪɿɜɧɸɽ:
X
x1 x2 ! xn . n
ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɿɧɲɿ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, X
(2.1)
1 n ¦ xi ɫɤɨɪɨɱɟɧɨ X ni 1
1 ¦ xi . n
Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɤɢ (2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8) ɫɟɪɟɞɧɽ X ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ: X
(2 2 3 3 4 5 6 7 7 8) / 10
47 / 10
4,7 .
əɤɳɨ ɞɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɱɚɫɬɨɬ, ɫɟɪɟɞɧɽ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ:
¦ f i xi , ¦ fi
X
(2.2)
ɞɟ xɿ – ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɚɛɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɥɚɫɨɜɢɯ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɭ ɪɚɡɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ; fɿ – ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ. Ɉɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɦɿɪ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ: x ɦɨɞɚ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɩɪɨɫɬɨ, ʀʀ ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ «ɧɚ ɨɤɨ». Ⱦɥɹ
ɞɭɠɟ ɜɟɥɢɤɢɯ ɝɪɭɩ ɞɚɧɢɯ ɦɨɞɚ ɽ ɞɨɫɢɬɶ ɫɬɚɛɿɥɶɧɨɸ ɦɿɪɨɸ ɰɟɧɬɪɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ; x ɦɟɞɿɚɧɚ ɡɚɣɦɚɽ ɩɪɨɦɿɠɧɟ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɦɿɠ ɦɨɞɨɸ ɿ ɫɟɪɟɞɧɿɦ ɡ ɩɨɝɥɹɞɭ ʀʀ
ɩɿɞɪɚɯɭɧɤɭ. ɐɹ ɦɿɪɚ ɨɫɨɛɥɢɜɨ ɥɟɝɤɨ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ ɪɚɧɠɢɪɨɜɚɧɢɯ ɞɚɧɢɯ; x ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɧɧɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɛɿɪ-
ɤɢ, ɩɪɢɱɨɦɭ ɜɫɿ ɜɨɧɢ ɜɩɥɢɜɚɸɬɶ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɰɿɽʀ ɦɿɪɢ. 37
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ, ɳɨ ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɡ ɦɨɞɨɸ, ɦɟɞɿɚɧɨɸ ɿ ɫɟɪɟɞɧɿɦ, ɤɨɥɢ ɡɦɿɧɢɬɶɫɹ ɭɞɜɿɱɿ ɥɢɲɟ ɨɞɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 10-ɝɨ ɨɛ'ɽɤɬɚ ɜɢɛɿɪɤɢ (ɪɢɫ. 2.28).
Ɋɢɫ. 2.28. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɆɐɌ əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɦɨɞɚ ɿ ɦɟɞɿɚɧɚ ɡɚɥɢɲɢɥɢɫɹ ɧɟɡɦɿɧɧɢɦɢ, ɭ ɬɨɣ ɱɚɫ ɹɤ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɦɿɧɢɥɨɫɹ ɡɧɚɱɧɨɸ ɦɿɪɨɸ (ɡ 4,8 ɞɨ 5,7). ɇɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɨɫɨɛɥɢɜɨ ɫɭɬɬɽɜɨ ɜɩɥɢɜɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɳɨ ɩɟɪɟɛɭɜɚɸɬɶ ɞɚɥɟɤɨ ɜɿɞ ɰɟɧɬɪɭ ɝɪɭɩɢ ɞɚɧɢɯ. Ɂ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɩɨɦɢɥɨɤ, ɳɨ ɜɢɧɢɤɚɸɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɟ, ɤɨɥɢ ɞɥɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɰɿɥɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɛɢɪɚɽɬɶɫɹ ɥɢɲɟ ɨɞɧɚ ɽɞɢɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɦɿɪɚ (ɦɨɞɚ, ɦɟɞɿɚɧɚ ɱɢ ɫɟɪɟɞɧɽ), ɤɨɠɧɚ ɦɿɪɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɦɚɽ ɫɜɨɸ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɸ Ɇɨɞɚ ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɩɪɟɞɫɬɚɜɧɢɰɶɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɛɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ, ɹɤɟ ɧɚɣɤɪɚɳɟ «ɡɚɦɿɧɸɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ», ɹɤɳɨ ɦɢ ɡɦɭɲɟɧɿ ɜɢɛɪɚɬɢ ɨɞɧɟ.
Ɇɟɞɿɚɧɚ – ɰɟ ɬɚɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɫɭɦɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɪɿɡɧɢɰɶ ɭɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɦɟɧɲɚ ɡɚ ɫɭɦɭ ɪɿɡɧɢɰɶ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɿɧɲɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ {1, 3, 6, 8, 9} ɦɟɞɿɚɧɚ Md = 6. Ⱥɛɫɨɥɸɬɧɿ ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ: |1– 6|=5, |3–6|=3, |6–6|=0, |8–6|=2, |9–6|=3. ɋɭɦɚ ɜɫɿɯ ɰɢɯ ɪɿɡɧɢɰɶ 5+3+0+2+3=13 ɦɟɧɲɚ ɡɚ ɫɭɦɭ ɪɿɡɧɢɰɶ ɳɨɞɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɿɧɲɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ 1 ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɪɿɡɧɢɰɿ |1–1|=0, |3–1|=2, |6–1|=5, |8–1|=7, |9–1|=8, ɚ ʀɯɧɹ ɫɭɦɚ 0+2+5+7+8=22. ȱɧɲɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɚɞɭɬɶ ɩɨɞɿɛɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ. əɤɳɨ ɜɢɛɪɚɬɢ ɦɟɞɿɚɧɭ, ɬɨ ɞɨɫɹɝɚɽɬɶɫɹ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ – ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ «ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ» ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɫɭɦɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨʀ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɿɞ ɦɟɞɿɚɧɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ. əɤɳɨ ɠ ɡɚɦɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɛɟɪɟɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞɧɽ, ɡɚɛɟɡɩɟɱɭɽɬɶɫɹ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ – ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ «ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ» ɜɢ-
ɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡ ɫɟɪɟɞɧɿɦ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɦɿɪ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɭ ɹɤɨɫɬɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɽ ɭɦɨɜɨɸ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɸ, ɚɥɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɧɶɨɸ. ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɤɪɿɦ ɆɐɌ, ɜɤɥɸɱɚɸɬɶ ɳɟ ɨɞɧɭ ɝɪɭɩɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ – ɦɿɪɢ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ (ɆɆ). 38
Ɇɿɪɢ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ (ɆɆ) Ɉɛɦɟɠɟɧɿɫɬɶ ɦɿɪ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɞɥɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɭɜɚɬɢ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɪɢɫ. 2.29), ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ, ɩɪɨɬɟ ɨɞɧɚɤɨɜɿ (ɿ ɰɟ ɧɟ ɫɤɥɚɞɧɨ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ) ɆɐɌ (ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɞɢ Ɇɨ, ɦɟɞɿɚɧɢ Ɇd ɿ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ X ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ 4).
Ɋɢɫ. 2.29. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɆɆ ɉɪɨɬɟ ɜɢɛɿɪɤɢ ɦɚɸɬɶ ɿɫɬɨɬɧɭ ɪɿɡɧɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɆɆ: ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ s2x ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ sx (ɞɢɜ. ɞɜɚ ɨɫɬɚɧɧɿ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ ɪɢɫ. 2.29). Ɇɨɠɧɚ ɜɿɞɡɧɚɱɢɬɢ ɫɜɨɽɪɿɞɧɭ «ɱɭɬɥɢɜɿɫɬɶ» ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɆ ɳɨɞɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɫɹɝɨɦ n ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ: s x2
ɚɛɨ s x2
( x1 X ) 2 ( x2 X ) 2 ! ( xn X ) 2 , n 1
¦ ( xi X ) 2 , n 1
(2.3)
ɞɟ X – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɜɢɛɿɪɤɢ.
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɛɿɪɤɢ s2x, ɳɨ ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɚ ɡɚ ɰɿɽɸ ɮɨɪɦɭɥɨɸ, ɽ ɧɟɡɦɿɳɟɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɫɜɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ı2x ɡɚɜɞɹɤɢ ɜɧɟɫɟɧɧɸ ɩɨɩɪɚɜɤɢ Ȼɟɫɫɟɥɹ n/(n–1), ɬɨɛɬɨ:
s x2
¦ ( xi
X )2 n n n 1
¦ ( xi
X )2 . n 1
(2.4)
Ɋɿɡɧɢɰɸ n–1 ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ k – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɚɛɨ ɡɧɚɱɟɧɶ ɭ ɫɤɥɚɞɿ ɨɛɦɟɠɟɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɹɤɿ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɥɶɧɨ ɜɚɪɿɸɜɚɬɢ. əɤɳɨ ɨɛɦɟɠɟɧɶ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ɜɚɪɿɚɰɿʀ ɿɫɧɭɽ ɞɟɤɿɥɶɤɚ (Ȟ), ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ k= n–Ȟ (ɞɟ Ȟ – ɝɪɟɰɶɤɚ ɥɿɬɟɪɚ «ɧɸ»). ɑɢɫɟɥɶɧɢɤ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɬɜɨɪɢɬɢ ɭ ɬɚɤɢɣ ɫɩɨɫɿɛ:
39
¦ ( xi X ) 2
( x1 X ) 2 ( x2 X ) 2 ! ( xn X ) 2 2
2
x12 2 x1 X X x22 2 x2 X X ! xn2 2 xn X X 2
2
2
x12 x22 ! xn2 2 x1 X 2 x2 X ! 2 xn X X X X
¦ xi2 2 X ¦ xi n X
2
¦ xi2 n X
2
2
.
Ɍɨɞɿ ɮɨɪɦɭɥɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɚɽ ɬɚɤɢɣ ɜɢɝɥɹɞ: 2 1 (¦ xi2 n X ) . n 1
s x2
(2.5)
əɤɳɨ ɞɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɱɚɫɬɨɬ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ s x2
1 ¦ f i ( xi X ) 2 , n 1
(2.6)
ɞɟ xɿ – ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɚɛɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɥɚɫɨɜɢɯ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɭ ɪɚɡɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ; fɿ – ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ, X – ɫɟɪɟɞɧɽ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɫɥɭɠɢɬɶ ɦɿɪɨɸ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ. ɑɢɦ ɜɢɳɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ, ɬɢɦ ɧɢɠɱɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ. Ⱦɥɹ ɩɨɜɧɿɫɬɸ ɨɞɧɨɪɿɞɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɛɫɹɝɨɦ N ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ: V x2
ɚɛɨ V x2
¦ ( xi P ) 2 , ɞɟ P N
(x1 P) 2 (x2 P) 2 ! (xN P) 2 , N
(2.7)
1 ¦ xi – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. N
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ s x ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ V x
s x2 . V x2 .
(2.8) (2.9)
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɜɚɪɿɚɰɿʀ Vx ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ ɩɨɪɿɜɧɹɥɶɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɪɿɡɧɨɹɤɿɫɧɢɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɿ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ (ɭ ɬɨɦɭ ɱɢɫɥɿ ɭ %) ɹɤ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɞɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ: Vx
s x / X ·100% .
(2.10)
Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ Ax ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɫɬɭɩɿɧɶ ɧɟɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɣɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ. ɉɨɡɢɬɢɜɧɚ ɚɫɢɦɟɬɪɿɹ ɜɤɚɡɭɽ ɧɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɟɪɲɢɧɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜ ɛɿɤ ɜɿɞ'ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ, ɧɟɝɚɬɢɜɧɚ – ɭ ɛɿɤ ɞɨɞɚɬɧɢɯ. 40
Ax
n
1 n (s x )3
¦ ( xi X ) 3 .
(2.11)
i 1
ȿɤɫɰɟɫ Ex ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɜɿɞɧɨɫɧɭ ɨɩɭɤɥɿɫɬɶ ɚɛɨ ɡɝɥɚɞɠɟɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɩɨɪɿɜɧɹɧɨ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. ɉɨɡɢɬɢɜɧɢɣ ɟɤɫɰɟɫ ɩɨɡɧɚɱɚɽ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɡɚɝɨɫɬɪɟɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɧɟɝɚɬɢɜɧɢɣ – ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɡɝɥɚɞɠɟɧɢɣ. Ex
n
1 n (s x )
4
¦ ( xi X ) 4 3.
(2.12)
i 1
«ɋɬɚɧɞɚɪɬɨɦ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɫɥɭɠɢɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ N(ȝ,ı) ɡ ɧɭɥɶɨɜɨɸ ɚɫɢɦɟɬɪɿɽɸ ɿ ɟɤɫɰɟɫɨɦ. Ⱦɥɹ ɧɶɨɝɨ Ⱥɯ = 0 – ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɽ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɦ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɿ ȿɯ = 0 – ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɽ «ɿɞɟɚɥɶɧɢɣ» – ɧɟ ɡɚɝɨɫɬɪɟɧɢɣ ɿ ɧɟ ɡɝɥɚɞɠɟɧɢɣ. Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ. Ⱦɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ Ax ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ Ex ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɬɨɱɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɬɢɦ, ɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ MS Excel: Ⱦɥɹ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ
Ax Ax
n n 1 ( x i X ) 3 ɚɛɨ 3 ¦ ( n 1)( n 2) ( s x ) i 1
K1
n 1 ( x i X ) 3 , ɞɟ K 1 ¦ n( s x ) 3 i 1
(2.12ɚ)
n2 . (n 1)(n 2)
Ⱦɥɹ ɟɤɫɰɟɫɭ
Ex
n n(n 1) 3(n 1) 2 1 4 ( x X ) (2.12ɛ) ¦ i (n 1)(n 2)(n 3) (s x ) 4 i 1 (n 2)(n 3)
ɚɛɨ Ex
ɞɟ K 2
K2
n 1 ( x X )4 3 K3 , 4 ¦ i n(sx ) i 1
n 2 (n 1) ɿ K3 (n 1)(n 2)(n 3)
(n 1) 2 . (n 2)(n 3)
ɇɚ ɪɢɫ. 2.30 ɩɨɤɚɡɚɧɨ, ɳɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ Ʉ1, Ʉ2 ɿ Ʉ3 ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɧɨ ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɨɞɢɧɢɰɿ (ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɞɥɹ n>30), ɚ ɮɨɪɦɭɥɢ (2.12ɚ) ɿ (2.12ɛ) ɩɟɪɟɯɨɞɹɬɶ ɭ ɮɨɪɦɭɥɢ (2.11) ɿ (2.12) ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. 41
K1
K1, K2, K3
K2
K3
7 6 5 4 3 2 1
n
0 0
10
20
30
40
50
Ɋɢɫ. 2.30. ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ Ʉ1, Ʉ2 ɿ Ʉ3 ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ, ɧɚɫɤɿɥɶɤɢ ɦɨɠɭɬɶ ɪɿɡɧɢɬɢɫɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɨɱɧɢɯ ɿ «ɫɩɪɨɳɟɧɢɯ» ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɆɆ ɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n. ɇɚ ɹɤɿɫɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɦɨɠɧɚ ɧɚɨɱɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɡɚɜɞɹɤɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦ ɱɚɫɬɨɬ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɮɨɪɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɧɚ ɪɢɫ. 2.31 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɆɐɌ (ɫɟɪɟɞɧɿ, ɦɨɞɢ ɿ ɦɟɞɿɚɧɢ ɜɢɛɿɪɨɤ ɨɞɧɚɤɨɜɿ) ɿ ɪɿɡɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɆɆ (ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɪɿɡɧɿ). ɇɚ ɪɢɫ. 2.32 ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɞɜɨɯ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɡɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɸ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɨɞɧɚɤɨɜɿ), ɩɪɨɬɟ ɪɿɡɧɢɯ ɡɚ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ. ɐɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɦɚɸɬɶ ɬɚɤɨɠ ɧɭɥɶɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɿ ɟɤɫɰɟɫɭ.
Ɋɢɫ. 2.31. ɋɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɨɞɧɚɤɨɜɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɪɿɡɧɿ
42
Ɋɢɫ. 2.32. ɋɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɪɿɡɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɨɞɧɚɤɨɜɿ
Ɋɢɫ. 2.33. Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ ɞɨɞɚɬɧɚ
Ɋɢɫ. 2.34. Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ ɜɿɞ'ɽɦɧɚ
Ɋɢɫ. 2.35. ȿɤɫɰɟɫ ɞɨɞɚɬɧɢɣ
Ɋɢɫ. 2.36. ȿɤɫɰɟɫ ɜɿɞ'ɽɦɧɢɣ
ɇɚ ɪɢɫ. 2.33 – 2.36 ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɨɜɚɧɨ, ɹɤ ɮɨɪɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ «ɞɟɮɨɪɦɨɜɚɧɚ» ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɮɨɪɦɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ (ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɋɚɦɟ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 5.2)
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ ɆɐɌ ɿ ɆɆ Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɦɨɠɧɚ ɡɞɿɣɫɧɢɬɢ ɜ MS Excel ɬɪɶɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ: x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɡɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɆɐɌ ɿ ɆɆ; x ɜɛɭɞɨɜɚɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel; x ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɞɿɥɭ «Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ» ɩɚɤɟɬɭ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ».
ɋɩɨɫɿɛ 1. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.37, ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ, ɮɨɪɦɭɥɢ ɿ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel – ɧɚ ɪɢɫ. 2.38 .
43
Ɋɢɫ. 2.37. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɆɐɌ ɿ ɆɆ
Ɋɢɫ. 2.38. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɆɐɌ ɿ ɆɆ 44
Ɇɨɞɚ ɜɢɛɿɪɤɢ Mo=2 (ɡɧɚɱɟɧɧɹ 2 ɬɪɚɩɥɹɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɛɿɪɰɿ 5 ɪɚɡɿɜ). Ɇɟɞɿɚɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
Md
x n / 2 x n / 21 2
x12 / 2 x12 / 2 1 2
ɋɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɜɢɛɿɪɤɢ X 2 Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɛɿɪɤɢ s x
¦ (x
i
x6 x7 2
22 2
1 ¦ xi n
1 28 12
X )2
n 1
16,67 12 1
s x2
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɢ s x
4 2
2.
2,33 .
16,67 | 1,52 . 11
1,52 | 1,23 .
Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ ɜɢɛɿɪɤɢ Ax
ȿɤɫɰɟɫ Ex
n 1 n ¦(xi X )3 (n 1)(n 2) (sx )3 i 1
12 1 16,87 0,99. (12 1)(12 2) (1,23)3
n 1 3(n 1) 2 n(n 1) (x X ) 4 = 4 ¦ i (n 1)(n 2)(n 3) (s x ) i 1 (n 2)(n 3)
15(15 1) 1 3(15 1) 2 147 , 51 | 0,36. (15 1)(15 2)(15 3) (1,41) 4 (15 2)(15 3)
ɋɩɨɫɿɛ 2. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɞɥɹ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.39, ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ – ɧɚ ɪɢɫ. 2.402.43. Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɛɭɥɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɿ ɬɚɤɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel: Ɉɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ =ɋɑȬɌ()
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ
=Ⱦɂɋɉ()
ɋɟɪɟɞɧɽ
=ɋɊɁɇȺɑ()
ɋɬ. ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ
=ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ()
Ɇɨɞɚ
=ɆɈȾȺ()
Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ
=ɋɄɈɋ()
Ɇɟɞɿɚɧɚ
=ɆȿȾɂȺɇȺ()
ȿɤɫɰɟɫ
=ɗɄɋɐȿɋɋ()
45
Ɋɢɫ. 2.39. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ ɬɚɛɥɢɱɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɨɪɚ MS Excel Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() ɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ 2.40-2.43.
Ɋɢɫ. 2.40. Ⱥɯ = 0; ȿɯ = 0,20
Ɋɢɫ. 2.41. Ⱥɯ = –0,18; ȿɯ = –0,75 46
Ɋɢɫ. 2.42. Ⱥɯ = +0,70; ȿɯ = +0,26
Ɋɢɫ. 2.43. Ⱥɯ = –0,68; ȿɯ = +0,64
əɤ ɜɢɞɧɨ, ɜɫɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɭɧɿɦɨɞɚɥɶɧɿ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶɫɹ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɆɐɌ (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɢ F25:J27). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɛɿɪɤɢ f1(x) ɦɚɽ ɧɭɥɶɨɜɭ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ (0,00), ɦɚɥɢɣ ɞɨɞɚɬɧɢɣ ɟɤɫɰɟɫ (0,20) ɿ ɫɟɪɟɞ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɪɢɫ. 2.40). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ f2(x) ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽɬɶɫɹ ɧɟɡɧɚɱɧɨɸ ɜɿɞ'ɽɦɧɨɸ ɚɫɢɦɟɬɪɿɽɸ (–0,18) ɿ ɫɭɬɬɽɜɢɦ ɜɿɞ'ɽɦɧɢɦ ɟɤɫɰɟɫɨɦ (–0,75) (ɪɢɫ. 2.41). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ f3(x) «ɞɟɮɨɪɦɨɜɚɧɢɣ» ɭ ɥɿɜɢɣ ɛɿɤ ɡ ɚɫɢɦɟɬɪɿɽɸ (0,70) ɿ ɩɨɦɿɪɧɢɦ ɞɨɞɚɬɧɢɦ ɟɤɫɰɟɫɨɦ (0,26) (ɪɢɫ. 2.42). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ f4(x) ɦɚɽ ɜɿɞ'ɽɦɧɭ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ (–0,68) ɳɟ ɣ ɞɨɞɚɬɧɢɣ ɩɨɡɢɬɢɜɧɢɣ ɟɤɫɰɟɫ (0,64). ɍ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɿ ɡɿ «ɫɬɚɧɞɚɪɬɨɦ» ɜɿɧ ɦɟɧɲ ɡɚ ɜɫɟ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɢɦɨɝɚɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɫɟɪɟɞ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ.
ɋɩɨɫɿɛ 3. Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ» ɦɨɠɧɚ ɭ ɬɚɤɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ ɞɿɣ: x ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨɦɚɧɞɢ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɦɟɧɸ Excel [ɋɟɪɜɿɫ –> Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ], ɜɢɛɪɚɬɢ ɪɨɡɞɿɥ «Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ (ɪɢɫ. 2.44), ɜɢɤɥɢɤɚɬɢ ɞɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ;
Ɋɢɫ. 2.44. Ɋɨɡɞɿɥ «Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ» 47
x ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɭ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ «Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ» (ɪɢɫ. 2.45) ɜɯɿɞɧɿ ɞɚɧɿ ɬɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɜɢɜɨɞɭ, ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨɦɚɧɞɭ ɈɄ ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ C:D (ɪɢɫ. 2.46);
Ɋɢɫ. 2.45. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɝɨ ɜɿɤɧɚ x ɩɨɪɿɜɧɹɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɡ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɭ 1 (ɪɢɫ. 2.37), ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ.
Ɋɢɫ. 2.46. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɉɬɠɟ, ɫɟɪɟɞ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢɯ ɫɩɨɫɨɛɿɜ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ (ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɐɌ ɿ ɆɆ), ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɦ ɿ ɝɧɭɱɤɢɦ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɡɚɫɨɛɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɜɛɭɞɨɜɚɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɬɚɛɥɢɱɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɨɪɚ MS Excel. 48
ɉɨɱɚɬɤɨɜɿ ɬɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ Ⱦɥɹ ɫɢɫɬɟɦɧɨʀ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ – ɩɨɱɚɬɤɨɜɿ ɬɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ. ɉɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ: n
¦ xik f i .
vk
(2.13)
i 1
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: n
¦ ( xɿ ɏ ) k f i ,
mk
(2.14)
i 1
ɞɟ ɯɿ – ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ; fi – ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ, ɏ – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɟɪɲɢɣ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=1) ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ n
¦x
v1
i
fi
ɏ.
(2.15)
i 1
ɉɟɪɲɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=1) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, ɳɨ ɡɭɦɨɜɥɟɧɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ n
¦ ( xɿ ɏ ) f i
m1
0.
(2.16)
i 1
Ⱦɪɭɝɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=2) – ɰɟ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ s x2 ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ n
m2
¦ ( xɿ ɏ ) 2 f i
s x2 .
(2.17)
i 1
Ɍɪɟɬɿɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=3) ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ n
m3
¦ ( xi X ) 3 f i . i 1
əɤɳɨ ɪɨɡɞɿɥɢɬɢ ɬɪɟɬɿɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ m3 ɧɚ ɤɭɛ ɫɟɪɟɞɧɶɨɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ( s x ) 3 , ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ⱥx:
49
m3 (s x ) 3
n
1 (s x
¦ ( xi X ) 3 f i )3
Ax .
(2.18)
i 1
ɑɟɬɜɟɪɬɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ m4 ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɰɿɧɢɬɢ «ɡɚɝɨɫɬɪɟɧɿɫɬɶ» ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ, ɬɨɛɬɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɟɤɫɰɟɫ n
m4
¦ ( xi X ) 4 f i . i 1
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɟɤɫɰɟɫɭ ȿx ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ 4-ɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ m4 : m4 (s x )
3
4
ª 1 « 4 «¬ ( s x )
n
º
i 1
¼
¦ ( xi X ) 3 f i »» 3
Ex .
(2.19)
Ɇɿɠ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɦɢ ɿ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦɢ ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ ɿɫɧɭɽ ɡɜ’ɹɡɨɤ: m1
m2
0;
v 2 v12 ,
ɳɨ ɜɢɬɿɤɚɽ ɡ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ: n
n
m2
¦ ( xɿ ɏ ) 2 f i ¦ ( xi2 2 xi X ɏ n
v2 ¦( xi X xi X ɏ ) f i 2
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
2
) fi
v2 X ¦ xi fi X ¦( xi ɏ ) f i v2 v1v1 0 v2 v12
i 1
n
s x2 , v2
n
¦ xi2 f i ¦ (2 xi X ɏ
) fi
i 1
i 1
Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ m2
2
n
¦ xi2 f i , v1
¦ xi f i , ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ
i 1
i 1
ɳɟ ɨɞɧɟ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ, ɹɤɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ:
s x2
§ n · ¦ xi2 f i ¨¨ ¦ xi f i ¸¸ i 1 ©i 1 ¹ n
2
.
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ 3-ɝɨ ɿ 4-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɬɟɠ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ:
m3
v3 3v1v2 2v13 ,
m4
v4 4v1v3 6v12 v2 3v14 ɿ ɬ.ɞ.
(2.20)
ɉɪɚɤɬɢɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɨɛɦɟɠɭɽɬɶɫɹ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɞɨ 4-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ. 50
ɇɚ ɨɫɧɨɜɿ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (ɞɢɜ., ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɨɡɞɿɥ 4 «Ɇɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ»).
Ʉɜɚɧɬɢɥɿ Ʉɜɚɧɬɢɥɟɦ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɚɧɠɢɪɨɜɚɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ, ɳɨ ɜɿɞɨɤɪɟɦɥɸɽ ɜɿɞ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɩɟɜɧɭ ɱɚɫɬɤɭ ɨɛɫɹɝɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ʉɜɚɧɬɢɥɶ – ɡɚɝɚɥɶɧɟ ɩɨɧɹɬɬɹ. ȼ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɬɚɤɿ ɤɜɚɧɬɢɥɿ: x ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɿ (P1, P2, …, P99); x ɞɟɰɢɥɿ (D1, D2, … , D9); x ɤɜɿɧɬɢɥɿ (K1, K2, K3, K4); x ɤɜɚɪɬɢɥɿ (Q1, Q2, Q3). ɇɚɣɛɿɥɶɲ ɩɨɲɢɪɟɧɢɦɢ ɽ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɿ (ɩɟɪɫɟɧɬɢɥɿ) ɿ ɤɜɚɪɬɢɥɿ.
ɉɪɨɰɟɧɬɢɥɿ ɞɿɥɹɬɶ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɭ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɧɚ ɫɬɨ ɱɚɫɬɢɧ, ɬɨɛɬɨ ɜɿɞɨɤɪɟɦɥɸɸɬɶ ɜɿɞ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɩɨ 0,01 ɱɚɫɬɢɧɿ (ɩɨ 1%).
Ʉɜɚɪɬɢɥɿ ɞɿɥɹɬɶ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɧɚ ɱɨɬɢɪɢ ɱɚɫɬɢɧɢ. ɉɟɪɲɢɣ ɤɜɚɪɬɢɥɶ Q1 ɜɿɞɨɤɪɟɦɥɸɽ ɡɥɿɜɚ 0,25 ɨɛɫɹɝɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ⱦɪɭɝɢɣ ɤɜɚɪɬɢɥɶ Q2 ɞɿɥɢɬɶ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɧɚ ɞɜɿ ɪɿɜɧɿ ɡɚ ɨɛɫɹɝɨɦ ɱɚɫɬɢɧɢ (ɩɨ 0,5), ɜɿɧ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɦɟɞɿɚɧɨɸ. ɇɚɪɟɲɬɿ, ɬɪɟɬɿɣ ɤɜɚɪɬɢɥɶ Q3 ɜɿɞɨɤɪɟɦɥɸɽ ɡɥɿɜɚ 0,75 ɨɛɫɹɝɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ɇɿɠ ɪɿɡɧɢɦɢ ɤɜɚɧɬɢɥɹɦɢ ɿɫɧɭɸɬɶ ɩɟɜɧɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɦɿɠ ɤɜɚɪɬɢɥɹɦɢ ɿ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɹɦɢ ɬɚɤɿ: Q1= Ɋ25, Q2= Ɋ50, Q3= Ɋ75. Ɍɨɦɭ ɞɨɫɢɬɶ ɡɧɚɬɢ ɥɢɲɟ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɟɣ, ɳɨɛ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɩɨɬɪɿɛɧɿ ɤɜɚɧɬɢɥɿ. Ɂɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɩɟɪɫɟɧɬɢɥɟɣ ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɩɪɨɫɬɢɦ. ɉɟɪɟɞ ɩɨɱɚɬɤɨɦ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɹ ɫɥɿɞ ɭɩɨɪɹɞɤɭɜɚɬɢ ɞɚɧɿ ɡɚ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ. Ɋ-ɣ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ ɽ ɦɟɠɚ, ɧɢɠɱɟ ɡɚ ɹɤɭ ɥɟɠɚɬɶ Ɋ ɜɿɞɫɨɬɤɿɜ ɡɧɚɱɟɧɶ. Ɉɛɱɢɫɥɸɜɚɬɢ ɤɜɚɧɬɢɥɿ ɦɨɠɧɚ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɚɛɨ ɡɚ ɬɚɛɥɢɰɹɦɢ. Ɍɚɤ ɡ ɪɢɫ. 2.47 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ 25-ɣ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ Ɋ25 ɿ 1-ɣ ɤɜɚɪɬɢɥɶ Q1 ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɸ 3 (Ɋ25=3 ɿ Q1=3) Ɉɬɠɟ, ɧɢɠɱɟ ɡɚ ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ 25% ɭɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ ɿɧɲɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ Ɋ75 ɿ Q3 (75-ɣ ɩɪɨ51
ɰɟɧɬɢɥɶ ɿ 3-ɣ ɤɜɚɪɬɢɥɶ) ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ 6. ɇɢɠɱɟ ɡɚ ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ 75% ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ.
Ɋɢɫ. 2.47. ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɤɜɚɧɬɢɥɿɜ Ⱦɥɹ ɜɟɥɢɤɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ ɡɪɭɱɧɿɲɟ ɤɨɪɢɫɬɭɜɚɬɢɫɹ ɮɭɧɤɰɿɹɦɢ MS Excel =ɉȿɊɋȿɇɌɂɅɖ() ɿ =ɄȼȺɊɌɂɅɖ(). ɇɚ ɪɢɫ. 2.47 ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ F4 ɿ G4 ɜɧɟɫɟɧɨ =ɉȿɊɋȿɇɌɂɅɖ($C$4:$C$23;D4) ɿ =ɄȼȺɊɌɂɅɖ($C$4:$C$23;E4) ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. Ɏɭɧɤɰɿɹ =ɉȿɊɋȿɇɌɂɅɖ(ɦɚɫɢɜ; k) ɩɨɜɟɪɬɚɽ k-ɢɣ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɿɡ ɦɚɫɢɜɭ ɞɚɧɢɯ (ɡɧɚɱɟɧɧɹ k ɡɚɞɚɽɬɶɫɹ ɜ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿ ɜɿɞ 0 ɞɨ 1 ɜɤɥɸɱɧɨ). ɐɸ ɮɭɧɤɰɿɸ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɟɠɿ ɩɪɢɣɧɹɬɧɨɫɬɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ ɤɭɪɫ ɧɚɜɱɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɰɢɩɥɿɧɢ ɬɿɥɶɤɢ ɬɢɦ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ, ɹɤɿ ɧɚɛɪɚɥɢ ɛɚɥɿɜ ɧɟ ɦɟɧɲ, ɧɿɠ 75-ɣ ɩɪɨɰɟɧɬɢɬɶ. əɤɳɨ k ɧɟ ɽ ɤɪɚɬɧɢɦ 1/(n – 1), ɬɨ ɮɭɧɤɰɿɹ =ɉȿɊɋȿɇɌɂɅɖ() ɜɢɤɨɧɭɽ ɿɧɬɟɪɩɨɥɹɰɿɸ ɞɨ k-ɨɝɨ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɹ. Ⱦɥɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɤɜɚɪɬɢɥɿ. Ɏɭɧɤɰɿɹ MS Excel =ɄȼȺɊɌɂɅɖ(ɦɚɫɢɜ; k) ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ ɞɨ ɬɚɛɥ. 2.3 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚɪɬɢɥɹ.
52
Ɍɚɛɥɢɰɹ 2.3
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɄȼȺɊɌɂɅɖ()MS Excel Ɂɧɚɱɟɧɧɹ k
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚɪɬɢɥɹ Ɇɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɉɟɪɲɭ ɤɜɚɪɬɢɥɶ (25-ɭ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ) Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɦɟɞɿɚɧɢ (50-ɭ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ) Ɍɪɟɬɸ ɤɜɚɪɬɢɥɶ (75-ɭ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ) Ɇɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
0 1 2 3 4
ɑɟɪɟɡ ɤɜɚɪɬɢɥɿ ɦɨɠɭɬɶ ɜɢɡɧɚɱɚɬɢɫɹ ɱɢɫɥɨɜɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ, ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɟɪɟɞɧɽ ɤɜɚɪɬɢɥɶɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ – ɰɟ ɦɿɪɚ ɪɨɡɤɢɞɭ ɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɯ, ɹɤɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɦɚɽ ɦɟɞɿɚɧɭ Md. «ɑɭɬɥɢɜɨɸ» ɦɿɪɨɸ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɽ ɧɚɩɿɜɿɧɬɟɪɤɜɚɪɬɢɥɶɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ȿ. ȼɨɧɨ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɩɨɥɨɜɢɧɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ, ɹɤɨɦɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɨɥɨɜɢɧɚ ɨɛɫɹɝɭ ɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɬɨɛɬɨ E = 0,5(Q3 – Q1), ɞɟ Q3 ɿ Q1 – 3-ɣ ɿ 1-ɣ ɤɜɚɪɬɢɥɿ.
ɇɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ ɇɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ – ɰɟ ɞɚɧɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɦɚɫɢɜɭ ɏ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 2.48), ɳɨ ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɲɥɹɯɨɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ʀɯ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ zj
xj X sx
,
(2.21)
ɞɟ xj – ɡɧɚɱɟɧɧɹ j-ɝɨ ɟɥɟɦɟɧɬɚ ɩɟɪɜɢɧɧɨɝɨ ɦɚɫɢɜɭ ɞɚɧɢɯ ɏ;
X ɿ s x – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɦɚɫɢɜɭ ɏ1; z j – ɧɨɪɦɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ɍɚɤ, ɧɨɪɦɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ1-ɝɨ ɟɥɟɦɟɧɬɚ z1 ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ (ɪɢɫ. 2.48): z1
x1 X sx
1 3,79 | 1,71 . 1,63
ɇɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɭ ɬɚɤɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ: x ɞɥɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ (ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ A:B ɪɢɫ. 2.48) ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ X ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ s x ɭ ɪɹɞɤɚɯ 16 ɿ 17 ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ
53
ɮɭɧɤɰɿɣ =ɋɊɁɇȺɑ() ɿ =ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ();
Ɋɢɫ. 2.48. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɢɡɨɜɚɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ Z x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ɋ2 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =(B2-$B$16)/$B$17 ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ ɧɨɪɦɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ –1,71; x ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ɋ3:ɋ15 (ɪɢɫ. 2.49); x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ C16 ɿ C17 ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɯ ɡɦɿɧɧɢɯ Z ɿ ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɜɨɧɢ ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ 0 ɿ 1;
Ɋɢɫ. 2.49. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɢɡɨɜɚɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ Z x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ D:H ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ fx ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ ɿ fz ɧɨɪ54
ɦɨɜɚɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ() (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 2.48 – 2.49) ɿ ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 2.50 ). fx
0
1
2
fz
0,30
0,30
0,20
0,20
0,10
0,10
0,00 3 4
0,00
5
6
7
-3
8X
-2
-1
0
1
2
3Z
(ɚ) (ɛ) Ɋɢɫ. 2.50. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɚɧɢɯ: ɚ) ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ; ɛ) ɫɬɚɧɞɚɪɬɢɡɨɜɚɧɢɯ Ɂ ɪɢɫ. 2.50 ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɝɪɚɮɿɤɢ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ ɿ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɿɞɟɧɬɢɱɧɿ ɡɚ ɮɨɪɦɨɸ, ɨɫɿ ɨɪɞɢɧɚɬ ɩɪɨɯɨɞɹɬɶ ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɫɟɪɟɞɧɿɯ: ɞɥɹ ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɤɥɚɞɚɽ 3,79, ɞɥɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɯ – 0,00. Ɋɿɡɧɢɦɢ ɽ ɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ – 1,63 ɿ 1,00 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. Ɇɟɬɨɞ ɧɨɪɦɚɥɿɡɚɰɿʀ ɞɨɜɨɥɿ ɱɚɫɬɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɚɯ (ɞɢɜ., ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɨɡɞɿɥ 2.3). Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ⱦɚɣɬɟ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɨɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɐɌ. 2. əɤ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɦɨɞɭ, ɦɟɞɿɚɧɭ ɿ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɜɢɛɿɪɤɢ. 3. ɉɨɹɫɧɿɬɶ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɭɧɿɦɨɞɚɥɶɧɿɫɬɶ» ɿ «ɛɿɦɨɞɚɥɶɧɿɫɬɶ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. 4. əɤ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ, ɹɤɳɨ ɞɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɱɚɫɬɨɬ? 5. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɜɢɛɿɪɤɨɜɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ, ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ. 6. əɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɿ ɟɤɫɰɟɫɭ? 7. ɓɨ ɬɚɤɟ ɩɨɱɚɬɤɨɜɿ ɬɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ? 8. əɤɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɨɦɟɧɬɿɜ? 9. ɓɨ ɬɚɤɟ «ɤɜɚɧɬɢɥɶ», ɹɤɿ ɤɜɚɧɬɢɥɿ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ? 55
10. əɤɟ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɿɫɧɭɽ ɦɿɠ ɤɜɚɪɬɢɥɹɦɢ ɿ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɹɦɢ? 11. ɓɨ ɨɡɧɚɱɚɽ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɧɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ», ɹɤɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ? 12. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɬɪɶɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɜ MS Excel. 13. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɭ ɪɨɛɨɬɭ ʋ 3.
2.3. ɄɈɊȿɅəɐȱɃɇɂɃ ȺɇȺɅȱɁ Ɂɚɜɞɚɧɧɹɦ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɧɟ ɥɢɲɟ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɡɚɰɿɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɬɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɢɩɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɐɌ ɿ ɜɚɪɿɚɰɿɣ ɨɡɧɚɤ ɆɆ, ɚ ɣ ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ, ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɨɝɨ ɧɚɩɪɹɦɭ ɬɚ ɿɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɿ. ɉɨɪɿɜɧɸɸɱɢ ɪɿɡɧɿ ɜɢɞɢ ɡɜ’ɹɡɤɿɜ, ɦɨɠɧɚ ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɬɪɢ ɬɢɩɢ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɟɣ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ X ɿ Y: ɮɭɧɤɰɿɨɧɚɥɶɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɜɿɞ ɏ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ; ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɜɿɞ ɏ; ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɜɿɞ ɏ. Ɉɬɠɟ, ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɡɚɝɚɥɶɧɨɸ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ. Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɽ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɸ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɧɨɸ, ɮɭɧɤɰɿɨɧɚɥɶɧɚ – ɪɨɡɝɥɹɞɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɨɤɪɟɦɢɣ ɜɢɩɚɞɨɤ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ.
ɋɭɬɧɿɫɬɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ʉɨɪɟɥɹɰɿɹ (ɜɿɞ ɥɚɬ. correlatio – ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ) – ɰɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ, ɳɨ ɧɨɫɢɬɶ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɿ ɡɜ'ɹɡɤɢ ɦɨɠɧɚ ɜɢɜɱɚɬɢ ɧɚ ɹɤɿɫɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɡ ɞɿɚɝɪɚɦ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ X ɿ Y (ɪɢɫ. 2.51) ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦ ɱɢɧɨɦ ʀɯ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɭɜɚɬɢ. Ɍɚɤ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɩɿɞɜɢɳɟɧɧɹ ɪɿɜɧɹ ɨɞɧɿɽʀ ɡɦɿɧɧɨɸ ɫɭɩɪɨɜɨɞɠɭɽɬɶɫɹ ɩɿɞɜɢɳɟɧɧɹɦ ɪɿɜɧɹ ɿɧɲɨʀ, ɬɨ ɣɞɟɬɶɫɹ ɩɪɨ ɩɨɡɢɬɢɜɧɭ ɤɨɪɟɥɹɰɿɸ ɚɛɨ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ (ɪɢɫ. 2.51 ɚ, ɛ). əɤɳɨ ɠ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɨɞɧɿɽʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɫɭɩɪɨɜɨɞɠɭɽɬɶɫɹ ɡɧɢɠɟɧɧɹɦ ɡɧɚɱɟɧɶ ɿɧɲɨʀ, ɬɨ ɦɚɽɦɨ ɫɩɪɚɜɭ ɡ ɧɟɝɚɬɢɜɧɨɸ ɤɨɪɟɥɹɰɿɽɸ ɚɛɨ ɡɜɨɪɨɬɧɢɦ ɡɜ’ɹɡɤɨɦ (ɪɢɫ. 2.51 ɝ, ʉ). ɇɭɥɶɨɜɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɡɚ ɜɿɞɫɭɬɧɨɫɬɿ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɡɦɿɧɧɢɯ (ɪɢɫ. 2.51 ɜ). ɉɪɨɬɟ ɧɭɥɶɨɜɚ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ 56
ɦɨɠɟ ɫɜɿɞɱɢɬɢ ɥɢɲɟ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ, ɚ ɧɟ ɜɡɚɝɚɥɿ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɛɭɞɶ ɹɤɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɡɜ’ɹɡɤɭ . Y 7
Y 7
Y 7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0 0
1
2
3
4
5
6
7 X
0 0
1
2
3
4
5
6
7 X
0
ɛ) rxy § +0,88
a) rxy = +1,00 Y 7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
1
2
3
4
5
ɝ) rxy § –0,60
6
7 X
2
3
4
5
6
7 X
5
6
7 X
ɜ) rxy § 0
Y 7
0
1
Y 6 5 4 3
0 0
1
2
3
4
5
6
7 X
ʉ) rxy = –1,00
0
1
2
3
4
ɞ)
Ɋɢɫ. 2.51. Ⱦɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ X ɿ Y: a) ɫɬɪɨɝɚ ɩɨɡɢɬɢɜɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ; ɛ) ɫɢɥɶɧɚ ɩɨɡɢɬɢɜɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ; ɜ) ɧɭɥɶɨɜɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ; ɝ) ɩɨɦɿɪɧɚ ɧɟɝɚɬɢɜɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ; ʉ) ɫɬɪɨɝɚ ɧɟɝɚɬɢɜɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ; ɞ) ɧɟɥɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɍ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɡɞɟɛɿɥɶɲɨɝɨ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡɜ'ɹɡɤɢ ɧɟɥɿɧɿɣɧɿ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 2.51 ɞ). ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɦɨɬɢɜɚɰɿʀ ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɩɿɞɜɢɳɭɽ ɟɮɟɤɬɢɜɧɿɫɬɶ ɧɚɜɱɟɧɧɹ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɧɚɫɬɭɩɚɽ ɡɧɢɠɟɧɧɹ ɩɪɨɞɭɤɬɢɜɧɨɫɬɿ (ɟɮɟɤɬ «ɩɟɪɟɦɨɬɢɜɚɰɿʀ» – ɡɚɤɨɧ Ƀɟɪɤɫɚ–Ⱦɨɞɫɨɧɚ). Ʉɿɥɶɤɿɫɧɚ ɦɿɪɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ’ɹɡɤɭ ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚɦɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ – 1 ɞɨ +1. ȼɿɞ’ɽɦɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɭɤɚɡɭɸɬɶ ɧɚ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ, ɞɨɞɚɬɧɿ – ɧɚ ɩɪɹɦɢɣ. ɇɭɥɶɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɠɟ ɫɜɿɞɱɢɬɢ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɡɜ'ɹɡɤɭ. ȱɧɬɟɧɫɢɜɧɿɫɬɶ ɡɜ'ɹɡɤɭ (ɫɥɚɛɤɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ – ɩɨɦɿɪɧɢɣ – ɫɭɬɬɽɜɢɣ – ɫɢɥɶɧɢɣ) ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ. Ɇɟɬɨɞɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɦɿɪɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɯ ɡɜ’ɹɡɤɿɜ ɬɿɫɧɨ ɩɨɜ'ɹɡɚɧɿ ɿɡ ɜɠɢɜɚ-
57
ɧɢɦɢ ɜɢɦɿɪɸɜɚɥɶɧɢɦɢ ɲɤɚɥɚɦɢ (ɬɚɛɥ. 2.4)8. Ɍɚɛɥɢɰɹ 2.4
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɥɶɧɢɯ ɲɤɚɥ
ɇɨɦɿɧɚɥɶɧɚ
Ɋɚɧɝɨɜɚ
ȱɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚ (ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ)
ɒɤɚɥɢ ɨɡɧɚɤɢ Y
ɒɤɚɥɢ ɨɡɧɚɤɢ X ȱɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚ Ɋɚɧɝɨɜɚ (ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ) Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy ; Ⱦɢɯɨɬɨɦɿɱɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ij ; Ɍɟɬɪɚɯɨɪɢɱɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rtet Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ (ɩɪɢ ɭɦɨɜɿ, ɹɤɳɨ ɞɥɹ ɯ ɲɤɚɥɭ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɚɛɨ rs; IJ Ʉɟɧɞɚɥɥɚ ; ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ ɩɟɪɟɬɜɨɪɢɬɢ ɜ ɪɚɧɝɨɄɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɜɭ ɲɤɚɥɭ) ɤɨɧɤɨɪɞɚɰɿʀ W Ɍɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ Ɋɚɧɝɨɜɨɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb; ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ Ȼɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɰɿʀ rbis rb
ɇɨɦɿɧɚɥɶɧɚ
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɚɫɨɰɿɚɰɿʀ Ɏ; Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɧɬɢɧɝɟɧɰɿʀ ɘɥɚ Q; Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɫɩɪɹɠɟɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ
ȼɢɜɱɟɧɧɹ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɨɡɧɚɤɚɦɢ, ɹɤɿ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɩɨɱɢɧɚɽɬɶɫɹ ɡ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɨɝɨ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ.
Ʌɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ Ʌɿɧɿɣɧɢɣ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɞɥɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ, ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy n
¦ (x rxy
i
x) ( y i y )
i 1
n
¦ (x i 1
,
n
x) ¦ ( y i y ) 2
i
(2.22)
2
i 1
ɞɟ ɯɿ ɿ yɿ – ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ ɿ Y; x ɿ y – ɫɟɪɟɞɧɿ ɏ ɿ Y; n – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ. iÆÌÑÆÚÊÑ ÐÊÖÒÉÍ ÔÒÌÔÆؾѱ¾ Ì ÈͱÒÔÍÕÖÆÑÑÅÐ ±ÒÐÓ’áÖÊÔÑÒ ÖÊØÑ±Í ÐÒËÑÆ ÌÑÆÎÖÍ ¾ ÓÉÔ¾ÚÑͱ¾ [56]. 8
58
Ɏɨɪɦɭɥɚ (2.22) ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɚ, ɹɤɳɨ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ ɯɿ ɿ yɿ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ zx ɿ zy, ɿ ɜɢɝɥɹɞɚɬɢɦɟ ɬɚɤ: n
¦ (z rxy
ɞɟ z x
x
zy )
i 1
,
n 1
(2.23)
y Y – ɧɨɪɦɨɜɚɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ ɿ Y. sy
x X ɿ zy sx
ɉɪɢɤɥɚɞ 2.7. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɏ ɿ Y ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.52 ɞɜɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɮɨɪɦɭɥ (2.22) ɿ (2.23). ɋɩɨɫɿɛ 1. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɨɰɿɧɢɬɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɨɡɧɚɤɚɦɢ ɏ ɿ Y ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ (ɪɢɫ. 2.52); Y 30 25 20 15 10 5
ɏ
0 100
105
110
115
120
Ɋɢɫ. 2.52. Ⱦɿɚɝɪɚɦɚ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɨɡɧɚɤ x ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɥɿɧɿɣɧɚ, ɿ ɩɪɨɞɨɜɠɢɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy (ɪɢɫ. 2.53 ɿ 2.54); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ16 ɿ ɋ16 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x ɿ y x
1 n ¦ xi n i1
y
112,00 ;
1 n ¦ yi n i1
18,17 ;
x ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ F15 ɿ G15 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ: n
¦ (x
i
x) 2
n
¦(y
386,00 ;
i 1
i 1
59
i
y) 2
311,67 ;
Ɋɢɫ. 2.53. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rxy x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ H18 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɭ ɞɨɛɭɬɤɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ: n
¦ (x
i
x) ( y i y ) 242,00 ;
i 1
x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ17 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rxy ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: rxy
242,00 386,00 311,67
| 0,70 .
Ɋɢɫ. 2.54. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ rxy Ɂɧɚɱɟɧɧɹ rxy § +0,70 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɫɭɬɬɽɜɢɣ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɨɡɧɚɤɚɦɢ.
60
ɋɩɨɫɿɛ 2. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ rxy ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.55, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɢɫ. 2.56.
Ɋɢɫ. 2.55. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ rxy ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ x ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ16 ɿ ɋ16 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x ɿ y ; x ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ17 ɿ ɋ17 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ sx ɿ sy;
Ɋɢɫ. 2.56. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ rxy ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ x ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ D ɿ E ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɧɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ zx ɿ zy (ɡɜɟɪɧɿɬɶ ɭɜɚɝɭ, 61
ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0, ɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ – 1,00); x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ18 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rxy ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ (2.23); ȼɢɫɧɨɜɤɢ. Ɉɞɧɟ ɬɟ ɫɚɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ rxy § +0,70 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɞɜɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. Ɇɟɬɨɞɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɜɢɝɥɹɞɚɸɬɶ ɛɿɥɶɲ ɥɚɤɨɧɿɱɧɨ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy ɦɨɠɧɚ ɬɚɤɨɠ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ().
ɇɟɥɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɉɪɢɤɥɚɞ 2.8. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɜɿɤɨɦ (ɡɦɿɧɧɚ X) ɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɞɨɩɨɦɿɠɧɨɝɨ ɬɟɫɬɭ «ɰɢɮɪɚ-ɡɧɚɤ» ɲɤɚɥɢ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ ɞɨɪɨɫɥɢɯ ȼɟɤɫɥɟɪɚ (ɡɦɿɧɧɚ Y). ɍɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɡɚ ɜɿɤɨɦ ɞɚɧɿ 15 ɨɫɿɛ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.58. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɨɰɿɧɢɬɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ (ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ) ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɨɡɧɚɤ ɜɿɤɭ (X) ɿ ɬɟɫɬɭ (Y) ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ (ɪɢɫ. 2.57); Ɍɟɫɬ, y 14 12 10 8 6 4 6
10
14
18
22
26
30
34
38
ȼɿɤ , ɯ
Ɋɢɫ. 2.57. Ⱦɿɚɝɪɚɦɚ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɨɡɧɚɤ x ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɧɟɥɿɧɿɣɧɚ – ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɤɪɭɬɨ ɡɪɨɫɬɚɸɬɶ ɞɥɹ ɨɫɿɛ ɜɿɤɨɦ ɜɿɞ 10 ɞɨ 22 ɪɨɤɿɜ, ɞɨɫɹɝɚɸɬɶ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɩɨɜɿɥɶɧɨ ɡɦɟɧɲɭɸɬɶɫɹ. əɤɿɫɧɚ ɤɚɪɬɢɧɚ ɞɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɞɥɹ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨʀ ɦɿɪɢ ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ – ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ, ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ 0 ɞɨ 1: 62
K y2, x ɞɟ SS ɜɧɭɬɪ
n
n
i 1
i 1
1 SS ɜɧɭɬɪ / SS ɡɚɝɚɥ ,
(2.24)
¦ si ¦ ( yi y ) 2 – ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɚ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢ-
ɥɟɧɶ yɿ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ y ; SS ɡɚɝɚɥ
s 2y ( n 1) – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ;
x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɶ si ɨɤɪɟɦɨ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɿɤɨɜɨʀ ɝɪɭɩɢ (ɜɿɤɨɜɿ ɝɪɭɩɢ ɜɢɞɿɥɟɧɨ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɢɦɢ ɪɹɞɤɚɦɢ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.58 ɿ 2.59); x ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ D3 ɜɢɪɚɡ =(C3-ɋɊɁɇȺɑ($C$3:$C$4))^2. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ D4 (ɜɿɤɨɜɚ ɝɪɭɩɚ 10 ɦɿɫɬɢɬɶ ɥɢɲɟ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɟɫɬɭ);
Ɋɢɫ. 2.58. Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɟ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ K y2,x § 0,67
Ɋɢɫ. 2.59. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ K y2,x
x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ si ɞɥɹ ɿɧɲɢɯ ɜɿɤɨɜɢɯ ɝɪɭɩ, ɞɟ x = 14, 18, 22, 26, 30, 34 ɿ 38; x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D18 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ SSɜɧɭɬɪ (ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(D3:D17)); x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D19 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ SSɡɚɝɚɥ (ɜɢɪɚɡ =Ⱦɂɋɉ(C3:C17)*(A17-1)); x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D20 ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ Ș2y,x (ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =1-D18/D19); x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D21 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ɞɥɹ ɜɫɶɨɝɨ ɦɚ63
ɫɢɜɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ(B3:B17;C3:C17). Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɧɭɥɸ (rxy § –0,04), ɳɨ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ (ɧɿɛɢɬɨ) ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ; x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɨɤɪɟɦɨ ɞɥɹ ɱɚɫɬɢɧ ɦɚɫɢɜɭ: ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D22 ɞɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 10 ɞɨ 22, ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D23 ɞɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 26 ɞɨ 38 . Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 10 ɞɨ 22 ɪɨɤɿɜ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɜɢɫɨɤɟ ɞɨɞɚɬɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (rxy§+0,83), ɳɨ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɽ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ, ɹɤɢɣ ɦɨɠɧɚ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɬɢ ɧɚ ɞɿɚɝɪɚɦɿ. Ⱦɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 26 ɞɨ 38 ɪɨɤɿɜ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɜɿɞ'ɽɦɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (rxy§–0,69), ɳɨ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɭɽɬɶɫɹ ɹɤ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨ2 ɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ K y , x | 0,67 ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɽ ɜɢɫɨɤɿɣ ɪɿɜɟɧɶ ɧɟ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ
ɡɜ’ɹɡɤɭ ɡɦɿɧɧɢɯ X Y. ɋɥɿɞ ɡɜɟɪɧɭɬɢ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ ɞɥɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ Ș2y,x ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɜɤɚɡɭɸɬɶ ɿɧɞɟɤɫ y, ɚ ɩɨɬɿɦ – ɯ, ɹɤɢɣ ɽ ɦɿɪɨɸ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ Y ɩɨ X. ȼɚɠɥɢɜɨ ɡɚɡɧɚɱɢɬɢ, ɳɨ ɞɥɹ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ rxy = ryx, ɩɪɨɬɟ Ș2y,x ɿ Ș2x,y ɦɚɬɢɦɭɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. əɤɳɨ ɡɜɟɪɧɭɬɢɫɹ ɞɨ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ (ɪɢɫ. 2.57), ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɜɿɞɡɧɚɱɢɬɢ ɬɨɣ ɮɚɤɬ, ɳɨ ɞɥɹ ɨɫɨɛɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɿɤɨɦ 10 ɪɨɤɿɜ (ɏ=10), ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɸ ɨɰɿɧɤɭ ɬɟɫɬɭ ɭ 8 ɛɚɥɿɜ (Y=(7+9)/2=8), ɭ ɬɨɣ ɱɚɫ ɹɤ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɬɟɫɬɭ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ 8 ɛɚɥɿɜ ɜɿɤ ɨɫɨɛɢ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɹɤ ɛɥɢɡɶɤɨ 10, ɬɚɤ ɿ ɛɥɢɡɶɤɨ 38 ɪɨɤɿɜ. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɜɚɠɥɢɜɢɯ ɞɥɹ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɪɚɡɨɦ ɡ ɨɰɿɧɤɨɸ ʀɯɧɶɨʀ ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ ɭ ɪɨɡɞɿɥɿ 5.6. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ ɡɚ-
ɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɭ ɫɢɬɭɚɰɿɹɯ, ɤɨɥɢ ɤɨɠɧɚ ɹɤɿɫɧɚ ɨɡɧɚɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɛɿɥɶɲ ɧɿɠ ɡ ɞɜɨɯ ɝɪɭɩ. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɫɩɪɹɠɟɧɨɫɬɿ (k1 k2): K
M2 ( k1 1)(k 2 1) 64
,
(2.25)
ɞɟ k1 ɿ k2 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɝɪɭɩ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɨɡɧɚɤɢ (ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɏ ɿ Y). Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɨɜɩɰɿɜ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɫɩɪɹɠɟɧɨɫɬɿ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ (k1 = k2):
ɋ
M2 , ɞɟ 1M 2
M2
2 § k 2 § n xy ¨ ¨ ¦ k1 ¨ x 1¨ n x © ¨ ¦¨ n y 1 y ¨ ¨ ©
·· ¸¸ ¸¸ ¹ ¸ 1. ¸ ¸ ¸ ¹
(2.26)
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ ɡɦɿɧɸɸɬɶɫɹ ɜɿɞ 0 ɞɨ 1. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.9. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɩɪɢɧɚɥɟɠɧɿɫɬɸ ɨɫɿɛ ɞɨ ɩɟɜɧɨʀ ɫɨɰɿɚɥɶɧɨʀ ɝɪɭɩɢ ɬɚ ʀɯ ɩɫɢɯɿɱɧɢɦɢ ɫɬɚɧɚɦɢ (ɬɚɛɥ. 2.5). Ɍɚɛɥɢɰɹ 2.5 Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɝɪɭɩ ɡɚ ɩɫɢɯɿɱɧɢɦɢ ɫɬɚɧɚɦɢ ɋɨɰɿɚɥɶɧɿ ɝɪɭɩɢ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ Y) ɫɬɭɞɟɧɬɢ ɫɥɭɠɛɨɜɰɿ ɩɟɧɫɿɨɧɟɪɢ ȼɫɶɨɝɨ
ɉɫɢɯɿɱɧɿ ɫɬɚɧɢ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ X) Ɇɨɧɨɬɨɧɿɹ ɇɭɞɶɝɚ ɋɚɦɨɬɧɿɫɬɶ Ⱥɫɬɟɧɿɹ 10 43 7 5 42 14 25 6 51 11 10 33 103 68 42 44
ȼɫɶɨɝɨ: 65 87 105 257
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ⱦɥɹ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɡ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨɸ ɤɿɥɶɤɿɫɬɸ ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ (k1 k2) ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ. x ȼɧɟɫɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭ ɬɚɛɥɢɰɸ ɪɢɫ. 9.20 ɿ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɬɚɤɿ ɞɿʀ: – ɪɨɡɩɢɫɚɬɢ ɞɨɤɥɚɞɧɿɲɟ ɜɢɪɚɡ ij2, ɜɢɯɨɞɹɱɢ ɡ ɭɦɨɜ k1 = 3 ɿ k2 = 4:
M2
2 § k 2 § n xy ¨ ¨ ¦ k 1 ¨ x 1¨ n x © ¨ ¦ ny y 1¨ ¨ ¨ ©
·· ¸¸ ¸¸ ¹ ¸ 1 ¸ ¸ ¸ ¹
k2 § n2 ¨ xy
· ¦ ¨ n ¸¸ x 1© x ¹ n1
k2 § n2 ¨ xy
· ¦ ¨ n ¸¸ x 1© x ¹ n2
– ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɤɪɟɦɿ ɫɤɥɚɞɨɜɿ (ɪɢɫ. 2.60 ɿ 2.61):
65
k2 § n2 ¨ xy
¦¨ n
x 1©
n3
x
· ¸ ¸ ¹ 1
. (2.27)
§ n xy2 ¨ ¦ ¨ x 1 © nx n1
· ¸ ¸ ¹
§ n xy2 ¨ ¦ ¨ x 1 © nx n2
· ¸ ¸ ¹
k2
A1
k2
A2
§ n xy2 · ¸ ¸ 1© x ¹ n3
k2
A3
¦ ¨¨ n x
3 2 9 2 3 2 12 14 12 8 11 | 0,538 ; 16 82 2 2 4 2 2 2 14 12 8 11 | 0,454 ; 16
3 2 12 12 8 2 14 12 8 11 | 0,513 . 13
Ɋɢɫ. 2.60. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ
Ɋɢɫ. 2.61. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ij2: 66
ij2 = 0,538+0,454+0,513–1 § 0,505.
– ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ K
M2
0,505
( k 1 1)(k 2 1)
(3 1)(4 1)
| 0,45 .
ȼɢɫɧɨɜɤɢ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɑɭɩɪɨɜɚ K § 0,45 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɩɨɦɿɪɧɭ ɜɡɚɽɦɧɭ ɡɜ’ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ Y ɿ ɏ. ɇɚɩɪɚɜɥɟɧɧɹ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ Ʉ ɧɟ ɜɤɚɡɭɽ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɚ ɮɨɪɦɨɸ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. ɓɨ ɬɚɤɟ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ? Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ. 2. əɤɿ ɜɢɞɢ ɡɜ’ɹɡɤɿɜ (ɬɪɢ ɬɢɩɢ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɟɣ) ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ X ɿ Y ɦɨɠɧɚ ɜɢɞɿɥɢɬɢ? 3. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ. 4. əɤɢɣ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɪɹɦɢɦ, ɚ ɹɤɢɣ – ɡɜɨɪɨɬɧɢɦ? 5. əɤ ɹɤɿɫɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ (ɧɟɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ) ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ? 6. ȼ ɹɤɢɯ ɦɟɠɚɯ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚɦɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ? 7. əɤ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ (ɧɟɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ) ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ? 8. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɟɪɫɨɧɚ. 9. ȼ ɹɤɢɯ ɦɟɠɚɯ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ? 10. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ. 11. ȼ ɹɤɢɯ ɦɟɠɚɯ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ? 12. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 2.7 – 2.9. 13. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 4 – ʋ 6.
67
2.4. ɊȿȽɊȿɋȱə
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɡɜ’ɹɡɤɢ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɸɬɶɫɹ ɧɟ ɥɢɲɟ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ, ɚ ɣ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ, ɹɤɿ ɞɨɩɨɜɧɸɸɬɶ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɝɨ. Ɉɫɧɨɜɧɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ – ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɜ’ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɿ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɨɝɨ ɿɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɿ ɬɚ ɧɚɩɪɹɦɭ. Ɉɫɧɨɜɧɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɽ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɹ ɮɨɪɦɢ ɿ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɡɦɿɧɧɢɯ. Ɋɟɝɪɟɫɿɹ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɡɚ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɨɞɧɿɽʀ ɨɡɧɚɤɢ (ɡɦɿɧɧɚ ɏ) ɡɧɚɯɨɞɢɬɢ ɫɟɪɟ-
ɞɧɿ (ɨɱɿɤɭɜɚɧɿ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿɧɲɨʀ ɨɡɧɚɤɢ (ɡɦɿɧɧɚ Y), ɡɜ'ɹɡɚɧɨʀ ɡ ɏ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɣ ɜɢɞ ɜɡɚɽɦɨɡɜ'ɹɡɤɿɜ ɧɟɜɿɞɨɦɢɣ, ɨɞɧɟ ɡ ɝɨɥɨɜɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ ɞɨɛɨɪɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ Y = f (X), ɝɪɚɮɿɤ ɹɤɨɝɨ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɬɨɱɤɢ (ɚɛɨ ɞɨɫɢɬɶ ɛɥɢɡɶɤɨ ɞɨ ɧɢɯ) ɿ ɬɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɡɜ'ɹɡɭɽ ɡɦɿɧɧɿ ɏ ɿ Y. ȼɢɪɚɡ Y = f (X) ɦɚɽ ɧɚɡɜɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɪɟɝɪɟɫɿʀ, ɮɭɧɤɰɿɹ f (X) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɟɝɪɟɫɿʀ, ɚ ʀɯɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ – ɥɿɧɿʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ. Ɋɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɜɢɹɜɥɹɽ ɤɿɥɶɤɿɫɧɭ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ-ɮɚɤɬɨɪɚ (ɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ) ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɚɛɨ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɨɡɧɚɤɮɚɤɬɨɪɿɜ (ɧɟɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ). ɐɹ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɨɞɧɨɦɿɪɧɨɸ ɱɢ ɛɚɝɚɬɨɦɿɪɧɨɸ (ɦɧɨɠɢɧɧɨɸ), ɹɤ ɥɿɧɿɣɧɨɸ, ɬɚɤ ɿ ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɸ. Ɉɞɧɨɦɿɪɧɚ ɥɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ Ɉɞɧɨɦɿɪɧɚ ɥɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ ɩɪɢɩɭɫɤɚɽ ɬɿɥɶɤɢ ɞɜɿ ɡɦɿɧɧɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɟ-
ɡɚɥɟɠɧɭ ɏ ɿ ɡɚɥɟɠɧɭ Y, ɚ ɬɚɤɨɠ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ ;=ɚ0 + ɚ1·X. Ʌɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɢɹɜɥɹɬɢ, ɧɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɨɞɧɿɽʀ ɨɡɧɚɤɢ ɩɪɢ ɡɦɿɧɿ ɿɧɲɨʀ. ɉɨɛɭɞɨɜɚ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɯ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɚ0 ɿ ɚ1: a1
¦( x X )( y Y ) ; ¦( x X )
(2.28)
Y a1 X ,
(2.29)
i
i
2
i
a0
ɞɟ Y ɿ X – ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ Y ɿ ɏ. ȼɢɛɿɪ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɚ0 ɿ ɚ1 ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ «ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ 68
~ 2 ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ» ɬɚɤ, ɳɨɛ ɫɭɦɚ ¦( yi Yi )
¦( y
i
a0 a1 X i ) 2 ɛɭɥɚ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɨɸ.
əɤɳɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ ɜɢɫɬɭɩɚɽ Y ɚ ɡɚɥɟɠɧɨɸ – ɏ, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɥɿɧɿɣ~
ɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɛɭɞɟ ɦɚɬɢ ɿɧɲɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɬɢɩɭ X =b0 + b1·Y. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ b0 ɿ b1 ɜɿɞɪɿɡɧɹɬɢɦɭɬɶɫɹ ɜɿɞ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɚ0 ɿ ɚ1. ɉɪɢɤɥɚɞ 2.10. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɭɫɩɿɲɧɨɫɬɿ ɧɚɜɱɚɧɧɹ (Y) ɜɿɞ ɡɚɬɪɚɱɟɧɨɝɨ ɱɚɫɭ (X). ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.62. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɚ0 ɿ ɚ1 : – ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ15 ɿ ɋ15 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɊɁɇȺɑ(B3:B13) ɿ =ɋɊɁɇȺɑ(C3:C13) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɫɢɜɿɜ X § 2,39 ɿ Y § 4,09; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D3:H13 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɿ, ɞɨɛɭɬɤɢ ɿ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.63; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ F14:H14 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɞɨɛɭɬɤɿɜ ɿ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D17 ɿ D17 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɚ1 ɿ ɚ0 ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɿɜ =F14/G14 ɿ =C15-D17*B15: ɚ1 = 7,11/5,19 § 1,37 ɿ ɚ0 = 4,09–1,37·2,39 § 0,82;
Ɋɢɫ. 2.62. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ
69
Ɋɢɫ. 2.63. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ – ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȱ3:ȱ13 ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ; ɡɚ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ;=0,82+1,37·X. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȱ3 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =$D$18+$D$17*B3. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚ ȱ; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ17:ɇ18 ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ~
ɪɟɝɪɟɫɿʀ b0 ɿ b1 ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ X =b0 + b1·Y; – ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D21 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ =F14/ɄɈɊȿɇɖ(G14*H14) ɚɛɨ =ɉɂɊɋɈɇ(B3:B13;C3:C13), ɨɬɪɢɦɚɬɢ rxy§ 0,76; – ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ (ɪɢɫ. 2.64). Y 7 X =0,67+0,42Y 6 5 4 Y= 0,82+1,37X 3 2
ɏ
1 1
1,5
2
2,5
3
3,5
Ɋɢɫ. 2.64. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ 70
4
~
ȼɢɫɧɨɜɤɢ. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ;=0,82+1,37·X ɚ ɬɚɤɨɠ X =0,67 + 0,42·Y (ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɟɝɪɟɫɿʀ) ɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɨɝɨ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ. Ɉɬɪɢɦɚɧɿ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɿ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɩɪɨɝɧɨɡɭɸɱɢ ɮɭɧɤɰɿʀ: ɩɟɪɲɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɽ Y ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɏ, ɞɪɭɝɟ – ɧɚɜɩɚɤɢ, ɏ ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ Y (ɡɜɢɱɚɣɧɨ, ɹɤɳɨ ɬɚɤɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ ɦɚɽ ɫɟɧɫ).
Ɇɧɨɠɢɧɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ
Ɇɧɨɠɢɧɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ – ɰɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɥɿɧɿɣɧɨɸ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɽɸ m ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ1, ɏ2, …, ɏm. ɇɚɣɩɪɨɫɬɿɲɢɣ ɜɚɪɿɚɧɬ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ ɞɥɹ m=2, ɤɨɥɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɫɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɨɞɧɿɽʀ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɜɿɞ ɞɜɨɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ1 ɿ ɏ2. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚɤɨʀ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ: ~ (2.30) Y B1 X 1 B2 X 2 B0 , ɞɟ B1 b1 s y / s1 ; b1
B2
b2 s y / s2 ;
( ry1 ry 2 r12 ) /( 1 r122 ) ;
B0 b2
Y Â1 X 1 Â2 X 2 ; ( ry 2 ry1 r12 ) /( 1 r122 ) ;
sy, s1, s2 , Y , X 1 , X 2 – ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Y , ɏ1 ɿ ɏ2 ; ry1, ry2, r12 – ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɩɚɪɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ɦɿɠ Y ɿ ɏ1, Y ɿ ɏ2, ɏ1 ɿ ɏ2. Ⱦɥɹ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡɜ'ɹɡɤɭ, ɡ ɨɞɧɨɝɨ ɛɨɤɭ, ɡɦɿɧɧɨʀ Y, ɚ ɡ ɿɧɲɨɝɨ – ɞɜɨɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ1 ɿ ɏ2, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ:
R y 1, 2
b1 ry1 b2 ry 2 .
(2.31)
ɉɪɢɤɥɚɞ 2.11. ɋɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɜɿɞ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿʀ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ1 ɿ ɏ2 ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 2.65. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɿ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ (ɪɢɫ. 2.65 ɿ 2.66): – ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ15:D15 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɊɁɇȺɑ(B3:B14), =ɋɊɁɇȺɑ(C3:C14) ɿ =ɋɊɁɇȺɑ(D3:D14), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Y § 4,00, X 1 § 5,83 ɿ X 2 §3,17; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ16:D16 ɜɧɟɫɬɢ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(B3:B14), 71
=ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(C3:C14), =ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(D3:D14) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ sy § 0,74; s1 § 2,17 ɿ s2 § 1,11 ; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ17:ȼ19 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɩɚɪɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ() ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ry1 § 0,68; ry2 § 0,11 ɿ r12 § –0,21; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ20 ɿ ȼ21 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡɢ =(B17-B18*B19)/(1-B19^2) ɿ =(B18-B17*B19)/(1-B19^2), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b1 § 0,74 ɿ b2 § 0,27; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȿ20:ȿ22 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡɢ =B20*B16/C16, =B21*B16/D16 ɿ =B15-E20*C15-E21*D15, ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ȼ1 § 0,25; ȼ2 § 0,18 ɿ ȼ0 § 1,97;
Ɋɢɫ. 2.65. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɬɚ ɦɧɨɠɢɧɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ Ry-1,2 – ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȿ3:ȿ14 ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ; ɡɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɬɢɩɭ ;=0,251·X1+0,18·X2+1,97. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ3 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =$E$20*C3+$E$21*D3+$E$22. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɢ ȿ4:ȿ14; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ22 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɄɈɊȿɇɖ(B20*B17+B21*B18) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ry-1,2 § 0,73. 72
Ɋɢɫ. 2.66. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɬɚ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ɋɟɝɪɟɫɿɣɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ;=0,251·X1+0,18·X2 +1,97 ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɡɚ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɏ1 ɿ ɏ2. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɬɚɤɿ: ; § 2,83 ɞɥɹ ɏ1=2 ɿ ɏ2=2 ɿ ; § 3,08 ɞɥɹ ɏ1=3 ɿ ɏ2=2 ɬɚ ɿɧ. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ R y 1, 2 §0,73 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɫɭɬɬɽɜɢɣ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɨʀ Y, ɡ ɨɞɧɨɝɨ ɛɨɤɭ, ɿ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɏ1 ɿ ɏ2, ɡ ɞɪɭɝɨɝɨ, ɩɪɨɬɟ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɤɥɚɞ ɭ ɤɨɪɟɥɹɰɿɸ ɤɨɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɨɤɪɟɦɨ ɧɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɽɬɶɫɹ ɦɨɠɥɢɜɢɦ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɿɞɟɸ ɦɟɬɨɞɿɜ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɹɤ ɡɚɫɨɛɭ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ. 2. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɸɱɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɨɞɧɨɦɿɪɧɨʀ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ. 3. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɸɱɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ. 4. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 2.10 – 2.11. 5. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɭ ɪɨɛɨɬɭ ʋ 7.
73
3. ɈɋɇɈȼɂ ɌȿɈɊȱȲ ɃɆɈȼȱɊɇɈɋɌȿɃ
Ɉɫɧɨɜɧɢɦ ɡɚɜɞɚɧɧɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɨɩɢɫ ɿ ɩɨɹɫɧɟɧɧɹ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɩɨɜɟɞɿɧɤɢ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɢɪɿɲɭɽ ɰɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɜɢɜɱɟɧɧɹɦ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ – ɜɢɛɿɪɤɢ. Ⱦɨɫɥɿɞɠɭɸɱɢ ɬɭ ɱɢ ɿɧɲɭ ɜɢɛɿɪɤɭ, ɦɚɸɬɶ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ʀʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɭ (ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɭ) ɩɪɢɪɨɞɭ, ɬɨɛɬɨ ɜɢɛɿɪɤɭ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶ ɹɤ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ, ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɩɟɜɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ⱦɥɹ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɪɝɚɧɿɡɭɸɬɶ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ (ɿɫɩɢɬɢ, ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɬɨɳɨ) ɩɪɢ ɩɟɜɧɢɯ (ɜɿɞɨɦɢɯ) ɭɦɨɜɚɯ. Ɉɬɠɟ, ɨɰɿɧɸɸɱɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɭ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɚ ʀʀ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ, ɦɢ ɩɨɫɬɿɣɧɨ ɦɚɽɦɨ ɫɩɪɚɜɭ ɿɡ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɸ ɧɚɛɭɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ. ȼɪɚɯɨɜɭɸɱɢ ɬɟ, ɳɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɜɢɜɱɚɽ ɬɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɹɤɚ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɸ ɛɚɡɨɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ, ɪɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɿ ɡɚɤɨɧɨɦɿɪɧɨɫɬɿ ɰɿɽʀ ɝɚɥɭɡɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɡɧɚɧɶ. ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɬɚɤɨɠ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɸ, ɹɤɚ ɩɿɞɥɹɝɚɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿɣ ɨɛɪɨɛɰɿ. ɋɥɨɜɨ «ɟɦɩɿɪɢɱɧɚ» ɨɡɧɚɱɚɽ ɬɟ, ɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɩɪɨɜɨɞɹɬɶɫɹ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ (ɞɨɫɥɿɞɿɜ ɚɛɨ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ). Ɂ ɰɿɽʀ ɠ ɩɪɢɱɢɧɢ ɞɥɹ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ» ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɬɟɪɦɿɧ «ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɮɭɧɤɰɿɹ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɞɟɹɤɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɨɬɪɢɦɚɧɨ n ɡɧɚɱɟɧɶ: x1, x2, … xn. ɐɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢɪɨɞɧɨ ɜɜɚɠɚɬɢ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿɽɸ ɧɚɛɨɪɭ ɡ n ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɨɸ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x), ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɹɤɨʀ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ, ɡɧɚɣɬɢ. ɓɨɛ ɨɰɿɧɤɢ ɛɭɥɢ ɜɿɪɨɝɿɞɧɢɦɢ, ɜɢɛɿɪɤɚ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɧɢɰɶɤɨɸ (ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɸ). Ȳʀ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɩɨɜɢɧɧɿ ɡɛɿɝɚɬɢɫɹ ɚɛɨ ɛɭɬɢ ɛɥɢɡɶɤɢɦɢ ɞɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɞɨɫɹɝɬɢ, ɹɤɳɨ ɝɚɪɚɧɬɭɜɚɬɢ ɜɫɿɦ ɨɛ'ɽɤɬɚɦ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɞɧɚɤɨɜɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɬɪɚɩɢɬɢ ɭ ɜɢɛɿɪɤɭ. 74
3.1. ȼɂɉɊɈȻɍȼȺɇɇə ɌȺ ɉɈȾȱȲ Ɉɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɿ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ɂ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɲɥɹɯɨɦ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɨɞɟɥɸɜɚɧɧɹ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. ȼɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ – ɰɟ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɟɜɧɢɯ ɞɿɣ ɚɛɨ ɭɦɨɜ, ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɜɿɞɧɨɜɢɬɢ
ɞɨɜɿɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɿɜ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦɢ ɚɛɨ ɭɱɧɹɦɢ ɬɟɫɬɭ). ȿɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ (Ȧ) – ɦɨɠɥɢɜɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ,
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɨɞɧɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ: «ɜɢɤɨɧɚɧɨ» – «ɧɟ ɜɢɤɨɧɚɧɨ», «1» – «0»). ɉɨɧɹɬɬɹ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɧɟ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɿɧɲɿ ɩɪɨɫɬɿɲɿ ɩɨɧɹɬɬɹ. ɋɮɨɪɦɭɥɸɽɦɨ ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɨɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ, ɩɨɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɡ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɹɦɢ, ɧɚ ɨɩɢɫɨɜɨɦɭ ɪɿɜɧɿ. ɋɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɭɫɿɯ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ {Ȧ1, Ȧ2, …, Ȧn} ɭɬɜɨɪɸɽ ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ :( Z : ). Ɂɚɩɢɫ ɭ ɞɭɠɤɚɯ ɱɢɬɚɽɬɶɫɹ: «ȿɥɟɦɟɧ-
ɬɢ Ȧ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ :». ɍ ɩɨɞɚɥɶɲɨɦɭ ɜɜɚɠɚɬɢɦɟ, ɳɨ ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ : ɽ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɫɤɿɧɱɟɧɚ. ȼɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɩɨɞɿɽɸ A ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɫɹɤɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ, ɳɨ
ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɚɛɨ ɧɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ. ȼɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɹɤ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ ɨɞɧɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ), ɬɚɤ ɿ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ { Ȧ1, Ȧ2, …, Ȧm} ɿɡ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɨɞɿɣ {Ȧ1, Ȧ2, …, Ȧn} (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ m ɡɚɜɞɚɧɶ ɿɡ n ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɯ, ɞɟ m n). Ⱦɥɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ Ⱥ( Z A ), ɬɨɛɬɨ ɟɥɟɦɟɧɬɢ Ȧ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɩɨɞɿʀ Ⱥ. ɍ ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ ɩɨɞɿɹ Ⱥ( Ⱥ : ) ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɨɞɿɣ :. Ⱦɨɫɬɨɜɿɪɧɨɸ ɽ ɩɨɞɿɹ V, ɹɤɚ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɧɟɨɞɦɿɧɧɨ ɩɨɜɢɧɧɚ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ. ɇɟɦɨɠɥɢɜɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ U, ɹɤɚ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɧɟ ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ.
ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨɸ ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɧɟɩɨɹɜɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ. Ⱦɨɛɭɬɤɨɦ Ⱥ ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ ɋ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɫɩɿɥɶɧɿɣ ɩɨɹɜɿ ɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɿ ɩɨɞɿʀ ȼ, ɬɨɛɬɨ C
Ⱥ ȼ. 75
ɋɭɦɨɸ Ⱥ ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ ɋ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɩɨɹɜɿ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɿɽʀ ɡ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɚɛɨ ȼ, ɬɨɛɬɨ C
Ⱥ ȼ.
ɉɨɞɿʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶɫɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɧɚɫɬɚɧɧɹ ɨɞɧɿɽʀ ɧɿɹɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɧɟ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɩɨɹɜɭ ɿɧɲɨʀ, ɿɧɚɤɲɟ ɜɨɧɢ ɽ ɡɚɥɟɠɧɢɦɢ.
ɉɨɞɿʀ ɽ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɜɨɧɢ ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɿɧɚɤɲɟ ɜɨɧɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɫɭɦɿɫɧɢɦɢ. ɇɿɹɤɿ ɞɜɿ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ
ɩɨɞɿʀ ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɪɚɡɨɦ. ɉɨɜɧɨɸ ɝɪɭɩɨɸ ɩɨɞɿɣ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɬɚɤɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɞɥɹ ɹɤɨʀ ʀɯɧɹ ɫɭɦɚ ɽ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨɸ ɩɨɞɿɽɸ :. ȱɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, ɭ ɪɟɡɭɥɶ-
ɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɞɥɹ ɩɨɜɧɨʀ ɝɪɭɩɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɩɨɞɿɣ ɧɟɨɞɦɿɧɧɨ ɩɨɜɢɧɧɚ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɡ ɧɢɯ.
Ɉɬɠɟ, ɩɟɪɲɢɦ ɤɪɨɤɨɦ ɩɪɢ ɩɨɛɭɞɨɜɿ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɪɟɚɥɶɧɨɝɨ ɹɜɢɳɚ ɽ ɜɢɨɤɪɟɦɥɟɧɧɹ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɹɤ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ, ɬɚɤ ɿ ɫɤɥɚɞɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ʀɯɧɿɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ (ɡɚɥɟɠɧɿ – ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, ɫɭɦɿɫɧɿ – ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɿ ɬ.ɩ.), ɚ ɬɚɤɨɠ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ (ɫɭɦɢ, ɞɨɛɭɬɤɭ, ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ ɬɚ ɿɧ.). ɉɪɨɬɟ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɜɢɳɟ ɩɨɧɹɬɿɣɧɢɣ ɚɩɚɪɚɬ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ ɧɚ ɨɩɢɫɨɜɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɧɟ ɡɞɚɬɧɢɣ ɞɨ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɰɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɚ, ɡɧɚɱɢɬɶ, ɧɟ ɞɚɽ ɤɨɪɟɤɬɧɨʀ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɭ ɩɨɛɭɞɨɜɿ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɿ. ɉɪɢɣɧɹɬɢɣ ɭ ɫɭɱɚɫɧɿɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɧɚɭɰɿ ɚɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɢɣ ɩɿɞɯɿɞ ɞɨ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɪɨɡɪɨɛɧɢɤɨɦ ɹɤɨɝɨ ɛɭɜ Ⱥɧɞɪɿɣ Ɇɢɤɨɥɚɣɨɜɢɱ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜ (1903-1987), ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ. ȱ ɯɨɱɚ ɨɫɧɨɜɢ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɛɭɥɨ ɫɮɨɪɦɨɜɚɧɨ ɪɚɧɿɲɟ (XVII-XVIII ɫɬ.), ɧɿɠ ɫɬɜɨɪɟɧɨ ɬɟɨɪɿɸ ɦɧɨɠɢɧ (ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦɭ ɜ ɏɏ ɫɬ.), ɨɫɬɚɧɧɹ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɬɟɨɪɿɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɭ ɹɤ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɩɪɨɜɨɞɢɬɢ ɞɨɤɚɡɢ, ɞɨɜɨɞɢɬɢ ɬɟɨɪɟɦɢ, ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɪɨɝɨɫɬɿ. ɉɪɨɿɥɸɫɬɪɭɽɦɨ ɨɫɧɨɜɧɿ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɚɩɚɪɚɬɭ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ.
76
Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ
Ɉɫɧɨɜɧɿ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɭɜɚɬɢ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ – ɚɥɝɟɛɪɢ Ȼɭɥɹ – ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɿɚɝɪɚɦ ȼɟɧɧɚ (ɪɢɫ. 3.1).
ɚ) ȼ ɧɚɥɟɠɢɬɶ : B:
ɛ) ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ A B
ɜ) ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ F=B
B ɿ C ɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ: ɞɨɛɭɬɨɤ ȼ·ɋ ɫɭɦɚ ȼ+ɋ
ɝ) ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɿɫɬɶ ȼ =ȍ\ȼ
B ɿ D ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ: ɞɨɛɭɬɨɤ ȼ·D ɫɭɦɚ ȼ+D
ʉ) ɩɟɪɟɬɢɧ
ɞ) ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ
ɽ) ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ
B C
B*C
B*D
ɟ) ɩɟɪɟɬɢɧ B D= Ø Ɋɢɫ. 3.1. Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ
Ɂ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɩɨɞɿʀ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶɫɹ ɹɤ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ (Ⱥ, B, C, ...) ɦɧɨɠɢɧɢ : ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ. Ɉɬɠɟ, ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ – ɰɟ ɞɟɹɤɚ ɦɧɨɠɢɧɚ :, ɚ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿ ɩɨɞɿʀ – ɰɟ ʀʀ ɟɥɟɦɟɧɬɢ Ȧ. Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚɦɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ Ⱥ ɿ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ȼ ɩɨɜɧɨʀ ɦɧɨɠɢɧɢ : ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ. əɤɳɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧ, ɹɤɚ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ Ⱥ, ɬɨ ɫɬɜɟɪɞɠɭɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɩɨɞɿɹ Ⱥ ɬɚɤɨɠ ɜɿɞɛɭɥɚɫɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɿ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɡ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.1. Ɂɚɞɚɧɨ ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ (ɦɧɨɠɢɧɚ :) ɹɤ ɫɭɤɭɩ-
ɧɿɫɬɶ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ɍ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɡɚɮɿɤɫɨɜɚɧɨ ɧɢɡɤɭ ɩɨɞɿɣ. ɉɨɞɿʀ Ⱥ, B, C, D ɿ F ɹɤ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɦɧɨɠɢɧɢ : ɜɤɥɸɱɚɥɢ ɬɚɤɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ: A={2,3}; B={2,3,4,5}; C={3,4,5,6}, D={6,7,8,9} ɿ F={2,3,4,5}. Ɂ’ɹɫɭɜɚɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ. 77
Ɋɿɲɟɧɧɹ:
ɚ) ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ ɜɫɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ B={2,3,4,5} ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɦɧɨɠɢɧɢ :={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ɂɚ ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɞɨ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɩɨɞɿɹ B ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɨɞɿɣ :, ɬɨɛɬɨ B : (ɪɢɫ. 3.1ɚ); ɛ) ɭɫɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ={2,3} ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ B={2,3,4,5}, ɬɨɦɭ ɭ ɪɚɡɿ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɜɿɞɛɭɜɚɬɢɦɟɬɶɫɹ ɿ ɩɨɞɿɹ B. ɍ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚ-
ɰɿʀ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɭ ɪɚɡɿ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿɹ Ⱥ ɫɩɪɢɱɢɧɸɽ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ B. Ɍɚɤɭ ɨɩɟɪɚɰɿɸ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ «ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ» ɿ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɹɤ A B (ɪɢɫ. 3.1ɛ);
ɜ) ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ F ɿ B ɫɤɥɚɞɚɸɬɶɫɹ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ: B={2,3,4,5} ɿ F={2,3,4,5}. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɩɨɞɿɹ B ɡɚɜɠɞɢ ɫɩɪɢɱɢɧɸɽ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ F, ɬɨɛ-
ɬɨ B F . ɍ ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ ɩɨɞɿɹ F ɫɩɪɢɱɢɧɸɽ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ B, ɬɨɛɬɨ F B . Ɉɬɠɟ, ɩɨɞɿʀ F ɿ B ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿ. ȿɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿɣ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɹɤ F=B (ɪɢɫ. 3.1ɜ); ɝ) ɩɨɞɿɹ ȼ , ɹɤɚ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ ɧɟ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ ȼ, ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨɸ ɩɨɞɿʀ ȼ. ɉɪɨɬɢɥɟɠɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ
ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ B, ɬɨɛɬɨ B = : \ ȼ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {2,3,4,5}={1, 6, 7, 8, 9}. Ɂɜɿɞɫɢ ȼ ={1, 6, 7, 8, 9} (ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ ɧɚ ɪɢɫ. 3.1ɝ); ʉ) ɞɨɛɭɬɨɤ ȼ·ɋ ɩɨɞɿɣ ȼ ɿ ɋ – ɰɟ ɩɨɞɿɹ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɫɩɿɥɶɧɿɣ ɩɨɹɜɿ ɿ ɩɨɞɿʀ ȼ, ɿ ɩɨɞɿʀ ɋ. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɩɨɞɿɣ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɩɟɪɟɬɢɧɨɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ȼ ɿ ɋ: B C = {2,3,4,5} {5,6,7,8}={5}. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɩɨɞɿɣ ȼ·ɋ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ, ɤɨɥɢ ɞɟɹɤɿ
ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɹɤ ɦɧɨɠɢɧɿ ȼ, ɬɚɤ ɿ ɦɧɨɠɢɧɿ ɋ (ɪɢɫ. 3.1ʉ). ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɫɩɿɥɶɧɨɸ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧ ={5}; ɞ) ɫɭɦɚ ȼ+ɋ ɩɨɞɿɣ ȼ ɿ ɋ – ɰɟ ɩɨɞɿɹ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɩɨɹɜɿ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɿɽʀ ɡ ɩɨɞɿɣ ɚɛɨ ȼ, ɚɛɨ ɋ. ɋɭɦɚ ɩɨɞɿɣ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɽɸ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ȼ ɿ ɋ: B * C = {2,3,4,5} * {5,6,7,8}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Ɉɬɠɟ ɫɭɦɚ ɩɨɞɿɣ ȼ+ɋ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ, ɤɨɥɢ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɹɤɚɫɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧ ɡ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.1ɞ); Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɩɨɞɿɣ ȼ·ɋ ɿ ɫɭɦɚ ɩɨɞɿɣ ȼ+ɋ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɢɯ ɜɢɳɟ ɡɚ ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ (ɪɢɫ. 3.1 ʉ, ɞ ), ɦɚɸɬɶ ɦɿɫɰɟ ɞɥɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨ78
ɞɿɣ B ɿ C, ɹɤɿ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɜɚɬɢɫɹ ɪɚɡɨɦ. ɉɪɨɬɟ ɩɨɞɿʀ, ɹɤɿ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ, ɽ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɦɢ. Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɞɨɛɭɬɤɭ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ·D ɿ ɫɭɦɢ ɰɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ+D ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɨɜɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 3.1ɟ, ɽ; ɟ) ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ ɞɨɛɭɬɨɤ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ·D ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɩɟɪɟɬɢɧɨɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ȼ ɿ D: B D = {2,3,4,5} {6,7,8,9}={}=Ø. ȼ ɪɟ-
ɡɭɥɶɬɚɬɿ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɬɚɤ ɡɜɚɧɭ ɩɨɪɨɠɧɸ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɭ Ø, ɹɤɿɣ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɧɟɦɨɠɥɢɜɚ ɩɨɞɿɹ. əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɢɫ. 3.1ɟ, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ȼ ɿ D ɧɟ ɦɚɸɬɶ ɫɩɿɥɶɧɢɯ
ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ – ɜɨɧɢ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ. Ɉɬɠɟ ɞɨɛɭɬɨɤ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ·ɋ ɽ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨɸ ɩɨɞɿɽɸ;
ɽ) ɫɭɦɚ ȼ +D ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ ɿ D ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ȼ ɿ D: B * D = {2,3,4,5} * {6,7,8,9}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ɋɭɦɚ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɜɤɥɸɱɚɽ ɜɫɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿ ɩɨɞɿʀ ɤɨɠɧɨʀ ɨɤɪɟɦɨʀ ɩɨɞɿʀ (ɪɢɫ. 3.1ɽ). Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚɦɢ. Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɩɨɞɿɣ ɿɡɨɦɨɪɮɧɨ ɜɿɞɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɚɥɝɟɛɪɿ ɦɧɨɠɢɧ. Ɉɞɧɚɤ ɭ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɞɥɹ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɥɚɫɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɫɜɨʀ ɬɟɪɦɿɧɢ, ɹɤɿ ɞɟɳɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɜɿɞ ɬɟɪɦɿɧɿɜ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɬɟɪɦɿɧɨɥɨɝɿɱɧɢɦɢ ɪɹɞɚɦɢ ɰɢɯ ɞɜɨɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɞɢɫɰɢɩɥɿɧ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɚɛɥ. 3.1. Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.1
ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɬɟɪɦɿɧɿɜ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ Ɍɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɉɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȿɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ ɉɨɞɿɹ Ⱦɨɫɬɨɜɿɪɧɚ ɩɨɞɿɹ ɇɟɦɨɠɥɢɜɚ ɩɨɞɿɹ ɉɨɞɿɹ, ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɚ B ɋɭɦɚ Ⱥ+ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ Ⱦɨɛɭɬɨɤ Ⱥ·ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɉɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɉɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɫɭɦɿɫɧɿ
Ɍɟɨɪɿɹ ɦɧɨɠɢɧ Ɇɧɨɠɢɧɚ ȿɥɟɦɟɧɬ ɰɿɽʀ ɦɧɨɠɢɧɢ ɉɿɞɦɧɨɠɢɧɚ ɉɿɞɦɧɨɠɢɧɚ, ɳɨ ɡɛɿɝɚɽɬɶɫɹ ɡ ɦɧɨɠɢɧɨɸ ɉɨɪɨɠɧɹ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ Ø Ⱦɨɩɨɜɧɟɧɧɹ B, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ B Ɉɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ Ⱥ * ȼ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ Ⱥ ɿ ȼ ɉɟɪɟɬɢɧ Ⱥ ȼ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ Ⱥ ɿ ȼ ɉɟɪɟɬɢɧ Ⱥ ȼ = Ø, ɩɨɪɨɠɧɹ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ ɉɟɪɟɬɢɧ Ⱥ ȼ Ø, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ ɧɟ ɩɨɪɨɠɧɹ
79
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿɣ
ȼɢɩɚɞɤɨɜɭ ɩɨɞɿɸ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɞɛɚɱɢɬɢ ɥɢɲɟ ɡ ɞɟɹɤɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ – ɰɟ ɱɢɫɟɥɶɧɚ ɦɿɪɚ ɨɛ'ɽɤɬɢɜɧɨʀ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɰɿɽʀ ɩɨɞɿʀ
(ɿɧɬɭʀɬɢɜɧɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ). Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ Ɋ(Ⱥ). əɤɳɨ ɡɞɿɣɫɧɸɜɚɬɢ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ, ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɤɨɧɫɬɚɬɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɪɿɡɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɩɨɞɿʀ ɦɨɠɭɬɶ ɦɚɬɢ ɪɿɡɧɭ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɨɹɜɢ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨʀ ɩɨɞɿʀ U ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, Ɋ(U) = 0. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ V ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ, Ɋ(V) = 1.
Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(A) ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɦɿɠ ɧɭɥɟɦ ɿ ɨɞɢɧɢɰɟɸ: 0Ɋ(A) 1. ȱɧɤɨɥɢ ɩɨɞɿʀ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɪɿɜɧɨɦɨɠɥɢɜɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɜɜɚɠɚɬɢ ɞɟɹɤɿ ɡ ɧɢɯ ɛɿɥɶɲ ɦɨɠɥɢɜɢɦɢ, ɚɧɿɠ ɛɭɞɶɹɤɿ ɿɧɲɿ. əɤɳɨ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɩɨɞɿɣ: 1) ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɩɨɜɧɭ ɝɪɭɩɭ; 2) ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ; 3) ɪɿɜɧɨɦɨɠɥɢɜɿ, ɬɨ ɜɨɧɢ ɦɚɸɬɶ ɧɚɡɜɭ «ɜɢɩɚɞɤɢ». Ʉɥɚɫɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ – ɰɟ ɱɢɫɥɨ Ɋ(A), ɞɨ ɹɤɨɝɨ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɜɿɞɧɨ-
ɲɟɧɧɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ:
P( A)
ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ _ ɩɨɹɜɥɟɧɶ _ ɛɚɠɚɧɨʀ _ ɩɨɞɿʀ _ A . ɡɚɝɚɥɶɧɚ _ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ _ ɦɨɠɥɢɜɢɯ _ ɩɨɞɿɣ
(3.1)
əɤɳɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɫɥɿɞɭ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɫɯɟɦɢ ɜɢɩɚɞɤɿɜ, ɬɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɹɤ ɜɿɞɧɨɫɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿʀ Ⱥ:
P ( A)
m n
,
(3.2)
ɞɟ m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɿɜ ɚɛɨ ɫɩɪɢɹɬɥɢɜɢɯ ɩɨɞɿɣ; n – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɿɜ.
Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɫɹɝɨɦ n ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ fi(ɯɿ)=mi/n ɦɨɠɧɚ ɬɪɚɤɬɭɜɚɬɢ ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɿ(ɯɿ) ɩɨɹɜɢ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɚɪɿɚɧɬ ɯɿ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.2. Ɂɧɚɣɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɳɨ ɫɬɭ-
ɞɟɧɬ ɧɚ ɿɫɩɢɬɚɯ ɡ 20 ɪɿɜɧɨɦɨɠɥɢɜɢɯ ɛɿɥɟɬɿɜ (ɰɟ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɿɜ) ɜɢɬɹɝɧɟ ɡ ɩɟɪɲɨɝɨ ɪɚɡɭ ɛɿɥɟɬ ʋ7 (ɛɚɠɚɧɢɣ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ). 80
Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿɣ m=1, ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɚ-
ɞɤɿɜ n=20. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ – ɰɟ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ m / n:
P( A)
m n
1 20
0,05 5% .
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɬɹɝɬɢ ɡ ɩɟɪɲɨɝɨ ɪɚɡɭ ɛɿɥɟɬ ʋ7 ɫɤɥɚɞɚɽ 0,05 ɚɛɨ 5%. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.3. ɋɬɭɞɟɧɬ ɡɧɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɥɢɲɟ ɧɚ 5 ɟɤɡɚɦɟɧɚɰɿɣɧɢɯ ɛɿɥɟɬɿɜ ɿ ɧɟ
ɡɧɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɿ ɧɚ ɪɟɲɬɭ 15 ɛɿɥɟɬɿɜ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɩɟɪɲɢɣ ɜɢɬɹɝɧɭɬɢɣ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɛɿɥɟɬ ɜɢɹɜɢɬɶɫɹ ɬɚɤɢɦ, ɧɚ ɹɤɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɡɧɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɿ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɛɿɥɟɬɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽ 5+15=20 (n=20), ɫɩɪɢɹɬɥɢɜɢɯ
ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɜɫɶɨɝɨ 5 (m=5). Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ:
P ( A)
m n
5 20
0,25 25%
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɬɹɝɬɢ ɛɚɠɚɧɢɣ ɛɿɥɟɬ ɫɤɥɚɞɚɽ 0,25 ɚɛɨ 25%.
Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ɽ ɨɫɧɨɜɧɢɦ ɩɨɧɹɬɬɹɦ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ, ɩɪɨɬɟ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɿ ɤɥɚɫɢɱɧɿ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɧɚɜɟɞɟɧɿ ɩɪɢɤɥɚɞɢ ɞɚɸɬɶ ɥɢɲɟ ɡɚɝɚɥɶɧɟ ɿɧɬɭʀɬɢɜɧɟ ɭɹɜɥɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɨɰɿɧɤɢ ɬɚ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. ɐɿ ɦɟɬɨɞɨɥɨɝɿɱɧɿ ɩɿɞɯɨɞɢ ɧɟ ɞɚɸɬɶ ɫɬɪɨɝɢɯ ɱɢɫɟɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ. ɇɟ ɜɫɿ ɩɨɞɿʀ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɪɿɜɧɨɦɨɠɥɢɜɢɦɢ, ɧɟ ɜɫɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɦɨɠɧɚ ɨɰɿɧɸɜɚɬɢ ɹɤ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɱɚɫɬɨɬ, ɧɟɹɫɧɨ ɿ ɬɟ, ɫɤɿɥɶɤɢ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɬɪɟɛɚ ɡɞɿɣɫɧɸɜɚɬɢ ɬɚ ɿɧ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɭ ɪɚɦɤɚɯ ɚɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɩɿɞɯɨɞɭ ɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ, ɳɨ ɛɭɥɚ ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɚ Ⱥ.Ɇ. Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɢɦ. Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ. ɇɟɯɚɣ ɫɤɿɧɱɟɧɚ ɦɧɨɠɢɧɚ :={Ȧ} ɽ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ, ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɞɟɹɤɨɦɭ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɧɨɦɭ9 ɞɨɫɥɿɞɨɜɿ. ɇɟɯɚɣ ɤɨɠɧɿɣ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿɣ ɩɨɞɿʀ Ȧ, ɹɤɚ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɦɧɨɠɢɧɿ :, ɬɨɛɬɨ
Z : , ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ P(Ȧ), ɬɨɛɬɨ P(Ȧ)0. ɑɢɫɥɨ P(Ȧ) ɨɡɧɚɱɢɦɨ ɹɤ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ȧ, ɩɪɢɱɨɦɭ ɫɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɜɫɿɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1, ɬɨɛɬɨ:
¦ P(Z )
1.
(3.3)
Z:
ɉɚɪɚ {:, Ɋ} ɽ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡɿ ɫɤɿɧɱɟɧɨʀ 9
ɋɬɨɯɚɫɬɢɱɧɢɣ (ɜɿɞ ɝɪɟɰ. stochastikos – ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɣ ɭɝɚɞɭɜɚɬɢ), ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɣ, ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɣ. 81
ɦɧɨɠɢɧɢ : ɿ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ Ɋ, ɹɤɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ ɧɚ ɦɧɨɠɢɧɿ : ɿ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ ɭɦɨɜɿ (3.3). Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɞɟɹɤɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ, ɳɨ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɩɨɞɿʀ Ⱥ:
P( A)
¦ P(Z ) .
(3.4)
Z A
Ɍɨɞɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ ɱɢɫɥɨɜɭ ɮɭɧɤɰɿɸ Ɋ(Ⱥ), ɜɢɡɧɚɱɟɧɭ ɧɚ ɫɤɿɧɱɟɧɿɣ ɦɧɨɠɢɧɿ :={Ȧ}, ɹɤɚ ɽ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ, ɹɤɳɨ
ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɬɪɢ ɭɦɨɜɢ (ɚɤɫɿɨɦɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ): 1) Ɋ(Ⱥ) 0 ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ Ⱥ : ; 2) Ɋ(:)=1; 3) Ɋ(Ⱥ1 * Ⱥ2 * Ⱥ3 * ...) = Ɋ(Ⱥ1)+ Ɋ(Ⱥ2)+ Ɋ(Ⱥ3)+... ɞɥɹ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ (Ⱥi Ⱥj = Ø, i j). Ɉɬɠɟ, ɫɤɨɧɫɬɪɭɣɨɜɚɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɦɨɠɧɚ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɩɪɢ ɩɨɛɭɞɨɜɿ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɦ ɡ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɹɦ ɦɨɧɟɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɣ ɩɪɨɫɬɿɪ {:, Ɋ}, ɞɟ : = {Ƚ,ɐ} – ɦɧɨɠɢɧɚ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ; P(Ƚ) = P(ɐ) = ½ – ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ; ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ: Ƚ – «ɜɢɩɚɜ ɝɟɪɛ», ɐ – «ɜɢɩɚɥɚ ɰɢɮɪɚ». Ⱥɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɝɨɞɢɬɶɫɹ ɡ ɿɧɬɭʀɬɢɜɧɢɦ, ɡɝɿɞɧɨ ɡ ɹɤɢɦ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ – ɰɟ ɱɢɫɥɨ ɜɿɞ 0 ɞɨ 1, ɳɨ ɽ ɡɛɿɝɨɦ ɱɚɫɬɨɬɢ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɩɪɢ ɧɟɨɛɦɟɠɟɧɨɦɭ ɱɢɫɥɿ ɩɨɜɬɨɪɟɧɶ ɿ ɩɨɫɬɿɣɧɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. Ɂ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɞɿʀ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɭɦɨɜ (3.3) ɿ (3.4) ɜɢɩɥɢɜɚɸɬɶ ɿɧɲɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ: 4) Ⱦɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨʀ ɩɨɞɿʀ P( A) 1 P( A) . 5) ɋɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ:
P( A) P( A) 1 . 6) Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ɋ(:) = 1 (ɡɚ ɚɤɫɿɨɦɨɸ 2). 7) Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨʀ ɩɨɞɿʀ Ɋ( : ) = 1 – Ɋ(:) = 1 – 1 = 0. 8) Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ Ⱥ·ȼ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ: P( Ⱥ ȼ)
P( A) P( B) . Ɂ ɞɿ-
ɚɝɪɚɦɢ ɪɢɫ. 3.2ɚ ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɿ B ɦɚɸɬɶ ɡɚɝɚɥɶɧɭ (ɫɭɦɿɫɧɭ) ɩɥɨɳɭ 82
ɩɨɞɿɣ (ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ), ɬɨɦɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ɋ(Ⱥ·ȼ )> 0. 9) Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɭɦɢ Ⱥ+ȼ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
P( Ⱥ ȼ)
P( A) P( B) P( A B) , ɞɟ P( A B) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ
ȼ. Ɂ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɢɫ. 3.2ɛ ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɦɚɸɬɶ ɫɭɦɿɫɧɭ ɩɥɨɳɭ ɩɨɞɿɣ, ɹɤɚ
ɦɟɧɲɚ ɡɚ ɫɭɦɭ ɨɤɪɟɦɨ ɜɡɹɬɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɞɨɛɭɬɤɭ Ⱥ·ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɭɦɢ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ɋ(B+C) < Ɋ(ȼ)+ Ɋ(ɋ ).
ɛ) P( Ⱥ ȼ ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) ɚ) P( Ⱥ ȼ) P( A) P( B) Ɋɢɫ. 3.2. Ƀɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɿ ɫɭɦɢ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ B 10) Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ Ⱥ·ȼ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ. Ɂ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɢɫ. 3.3ɚ ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɧɟ ɦɚɸɬɶ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɩɥɨɳɿ, ɩɟɪɟɬɢɧ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ ɽ ɩɨɪɨɠɧɹ ɦɧɨɠɢɧɚ Ø ɩɨɞɿɣ, ɬɨɦɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ɋ(Ⱥ·ȼ) = 0.
11) Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɭɦɢ Ⱥ+ȼ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɫɩɪɨɳɟɧɨɸ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: Ɋ(Ⱥ+ȼ) = Ɋ(Ⱥ) + Ɋ(ȼ). Ɂ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɢɫ. 3.3ɛ ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɧɟ ɦɚɸɬɶ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɩɥɨɳɿ ɩɨɞɿɣ, ɹɤɚ ɛ ɡɦɟɧɲɭɜɚɥɚ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɫɭɦɭ ɨɤɪɟɦɨ ɜɡɹɬɢɯ ɩɨɞɿɣ B ɿ C.
ɚ) Ɋ(Ⱥ·ȼ) = 0 ɛ) Ɋ(Ⱥ+ȼ) = Ɋ(Ⱥ) + Ɋ(ȼ). Ɋɢɫ. 3.3. Ƀɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɿ ɫɭɦɢ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ B 12) ɋɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɜɫɿɯ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ {Ⱥ1, Ⱥ2, …, Ⱥn}, ɳɨ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɩɨɜɧɭ ɝɪɭɩɭ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ P(Ⱥ1) + P(Ⱥ2) +, …, + P(Ⱥn) = 1
ɚɛɨ
n
¦ P( Ai )
1.
i 1
ɉɪɢ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɿ ɦɟɬɨɞɿɜ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ 83
ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɩɨɧɹɬɬɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɩɨɞɿɣ. ɉɨɞɿʀ Ⱥ, ȼ, ɋ, ... ɽ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ʀɯɧɶɨɝɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɨɛɭɬɤɨɜɿ
ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɤɨɠɧɨʀ ɡ ɧɢɯ ɨɤɪɟɦɨ: Ɋ(Ⱥ·ȼ·ɋ...) = Ɋ(Ⱥ)·Ɋ(ȼ)·Ɋ(ɋ)... . Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɰɢɦ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɚɛɨ ɧɟɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɨɞɧɿɽʀ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɧɟ ɩɨɜɢɧɧɟ ɜɩɥɢɜɚɬɢ ɧɚ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɚɛɨ ɧɟɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɿɧɲɨʀ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɩɪɢ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨɦɭ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɿ ɞɜɨɯ ɦɨɧɟɬ ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ: ȽȽ, Ƚɐ, ɐȽ, ɐɐ (ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ: ȽȽ – ɞɥɹ ɩɟɪɲɨʀ ɦɨɧɟɬɢ ɜɢɩɚɜ ɝɟɪɛ ɿ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨʀ – ɬɟɠ ɝɟɪɛ; ɐȽ – ɞɥɹ ɩɟɪɲɨʀ – ɰɢɮɪɚ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨʀ – ɝɟɪɛ ɿ ɬ.ɞ.). Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɩɨɞɿʀ ɬɢɩɭ «Ƚ – ɞɥɹ ɩɟɪɲɨʀ ɦɨɧɟɬɢ ɜɢɩɚɜ ɝɟɪɛ» ɿ «Ƚ – ɞɥɹ ɞɪɭɝɨʀ ɦɨɧɟɬɢ ɜɢɩɚɜ ɝɟɪɛ» ɽ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɡɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɧɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ½, ɬɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ȽȽ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ½ · ½ = ¼. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɿɧɲɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɬɚɤɨɠ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ¼. Ɂɜɿɞɫɢ ɫɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɜɫɿɯ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɨɞɢɧɢɰɿ. ɍɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ
əɤɳɨ ɩɨɞɿɹ Ⱥ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɿ, ɹɤɟ ɨɛɦɟɠɟɧɟ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɦɢ ɭɦɨɜɚɦɢ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿʀ ȼ, ɬɨ ɦɿɪɚ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ P( A | B) . Ɉɬɠɟ, ɭɦɨɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ P( A | B) ɧɚɡɢɜɚɽɬɶ-
ɫɹ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɨɛɱɢɫɥɟɧɚ ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɩɨɞɿɹ ȼ ɜɠɟ ɜɿɞɛɭɥɚɫɹ. ɍɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɞɥɹ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ. Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɟɪɟɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɡɜɢɱɚɣɧɭ:
P( A | B)
P( A) , ɚɛɨ P( B | A)
P( B) .
Ɉɬɠɟ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɩɨɞɿʀ (ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ) ɧɟ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɹɜɢ ɿɧɲɨʀ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
P( Ⱥ ȼ)
P( A | B) P( B) .
(3.5)
ɍɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ|ȼ) ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɩɨɞɿɹ ȼ ɜɿɞɛɭɥɚɫɹ, ɬɨɛɬɨ P(ȼ) > 0, ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɡ (3.5): P( A | B) 84
P( Ⱥ ȼ) . P( B)
(3.6)
Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɮɨɪɦɭɥɚ ɫɩɪɨɳɭɽɬɶɫɹ ɿ ɩɪɢɣɦɚɽ ɜɠɟ ɜɿɞɨɦɢɣ ɜɢɝɥɹɞ:
P( Ⱥ ȼ)
P( A) P( B) .
ɉɪɢɤɥɚɞ 3.4. ȼ ɚɤɚɞɟɦɿɱɧɿɣ ɝɪɭɩɿ 15 ɯɥɨɩɰɿɜ ɿ 10 ɞɿɜɱɚɬ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɞɜɨɽ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɿ ɩɿɞɪɹɞ ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɜɢɹɜɥɹɬɶɫɹ ɞɿɜɱɚɬɚɦɢ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɛɚɠɚɧɚ ɩɨɞɿɹ Ⱥ (ɜɢɛɿɪ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ-ɞɿɜɱɚɬ) ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɩɨɞɿɣ: ȼ1 (ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɣ ɜɢɛɿɪ ɨɞɧɿɽʀ ɞɿɜɱɢɧɢ) ɿ ȼ2 (ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɣ ɜɢɛɿɪ ɳɟ ɨɞɧɿɽʀ ɞɿɜɱɢɧɢ), ɬɨɛɬɨ P( Ⱥ)
P( B1 B2 ) . Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ
ɩɨɞɿʀ ȼ1 – Ɋ(ȼ1). ɇɚɫɬɚɧɧɹ ɩɨɞɿʀ ȼ2 ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɩɿɫɥɹ ɩɨɞɿʀ ȼ1 ɿ ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ P( B2 | B1 ) . Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ1 ɿ ȼ2 ɞɨɪɿɜɧɸɽ: P( B1 B2 )
P( B1 ) P( B2 | B1 ) .
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ȼ1 ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɞɿɜɱɚɬ (10) ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (10+15), ɬɨɛɬɨ P(B1 )
10 0,4 . 10 15
ɇɚɫɬɚɧɧɹ ɩɨɞɿʀ ȼ1 ɡɦɿɧɸɽ ɭɦɨɜɢ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɞɿʀ ȼ2, ɚ ɫɚɦɟ: ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɞɿɜɱɚɬ (10–1)=9, ɿ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (9+15)=24. Ɍɨɞɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ȼ2 ɹɤ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɞɿɜɱɚɬ (9) ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (24) ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ P(B2 | B1 )
9 0,375. 9 15
Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ Ɋ( Ⱥ)
P( B1 B2 )
P( B1 ) P( B2 | B1 )
0,4 0,375 0,15 15% .
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɛɨɪɭ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ-ɞɿɜɱɚɬ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ 15%.
Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɩɪɨɫɬɿɪ ɩɨɞɿɣ (ɦɧɨɠɢɧɚ ȍ) ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ n ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ – ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ H 1 , H 2 , H 3 , !, H n (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.4).
Ɋɢɫ. 3.4. ɉɪɨɫɬɿɪ ɩɨɞɿɣ { H 1 , H 2 ,!, H n } ȍ 85
Ɂ ɪɢɫ. 3.4 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɨɞɿɸ Ⱥ ɦɨɠɧɚ ɭɹɜɢɬɢ ɹɤ ɫɭɦɭ ɞɨɛɭɬɤɿɜ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ɤɨɠɧɨʀ ɡ ɩɨɞɿɣ H 1 , H 2 ,!, H n (ɫɭɦɚ ɩɟɪɟɬɢɧɿɜ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ Ⱥ ɡ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚɦɢ ɇɿ): Ⱥ=Ⱥ·ɇ1+Ⱥ·ɇ2+...+Ⱥ·ɇn =
n
¦ Ⱥ ɇɿ . ɿ 1
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ (ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ) ɜɢɡɧɚɱɢɬɶɫɹ n
¦ P( Ⱥ ɇ ɿ ) .
P( A)
ɿ 1
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ (ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ) ɜɢɡɧɚɱɢɬɶɫɹ: n
P ( A)
¦ P( A | H i ) P( H i ) .
(3.7)
i 1
ȼɢɪɚɡ (3.7) ɽ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɹɤɳɨ ɩɨɞɿɹ Ⱥ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɫɢɫɬɟɦɢ ɩɨɞɿɣ. ɉɨɞɿʀ H 1 , H 2 ,! , H n ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɝɿɩɨɬɟɡɚɦɢ, ɡɚ ɹɤɢɦɢ ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɩɨɞɿɹ Ⱥ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.5. ɍ ɬɪɶɨɯ ɝɪɭɩɚɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɸ 28, 20 ɿ 25 ɨɫɿɛ) ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɢ ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ 7, 2 ɿ 5 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɽ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɨɦ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɪɨɫɬɿɪ ɩɨɞɿɣ (ɦɧɨɠɢɧɚ ȍ) ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ 3-ɯ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ – ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ H 1 , H 2 , H 3 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.5). ɉɨɞɿɹ Ⱥ – ɰɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ – ɜɢɛɨɪɭ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɚ-ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɚ ɡ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ Ɋ(Ⱥ).
Ɋɢɫ. 3.5. ɉɪɨɫɬɿɪ ɩɨɞɿɣ { H 1 , H 2 , H 3 } ȍ Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (n=3): 3
P( A)
¦ P( A | ɇi ) P(ɇi )
P( A | ɇ1 ) P(ɇ1 ) P( A | ɇ 2 ) P(ɇ 2 ) P( A | ɇ3 ) P(ɇ3 ) .
i 1
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ1 (ɩɨɞɿʀ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɡ 1-ʀ ɝɪɭɩɢ ):
P( ɇ 1 )
28 28 20 25 86
28 | 0,38 . 73
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ2 (ɩɨɞɿʀ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɡ 2-ʀ ɝɪɭɩɢ):
P( ɇ 2 )
20 28 20 25
20 | 0,27 . 73
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ3 (ɩɨɞɿʀ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɡ 3-ʀɝɪɭɩɢ):
P( ɇ 3 )
25 28 20 25
25 | 0,34 . 73
ɍɦɨɜɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɹɤ:
P( A | ɇ 1 )
7 28
0,25 ;
P( A | ɇ 2 )
2 20
0,10 ;
P( A | ɇ 3 )
5 25
0,20 .
Ɂɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɹɤ: P( A)
P( A | ɇ1 ) P(ɇ1 ) P( A | ɇ 2 ) P(ɇ 2 ) P( A | ɇ 3 ) P( ɇ 3 ) ɚɛɨ
P( A) 0,25 0,38 0,10 0,27 0,20 0,34 | 0,095 0,027 0,068 | 0,19 . ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɡ ɬɪɶɨɯ ɝɪɭɩ ɫɬɭɞɟɧɬ ɽ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɨɦ, ɫɤɥɚɞɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 0,19 ɚɛɨ 19%. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.6. ȼ ɚɤɚɞɟɦɿɱɧɿɣ ɝɪɭɩɿ ɡ 10 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ, ɳɨ ɩɪɢɣɲɥɢ ɧɚ ɟɤɡɚɦɟɧ, 3 ɫɬɭɞɟɧɬɢ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, 4 – ɞɨɛɪɟ, 2 – ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ ɿ 1 – ɩɨɝɚɧɨ. ȼɿɞɦɿɧɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɦɨɠɟ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɢ ɧɚ ɜɫɿ 20 ɩɢɬɚɧɶ, ɞɨɛɪɟ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ – ɧɚ 16, ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ – ɧɚ 10 ɩɢɬɚɧɶ, ɩɨɝɚɧɨ – ɧɚ 5 ɩɢɬɚɧɶ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɤɥɢɤɚɧɢɣ ɡ ɰɿɽʀ ɝɪɭɩɢ ɫɬɭɞɟɧɬ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɶ ɧɚ ɞɜɚ ɡɚɞɚɧɢɯ ɩɢɬɚɧɧɹ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɪɨɫɬɿɪ ɩɨɞɿɣ (ɦɧɨɠɢɧɚ ȍ) ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ 4-ɯ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ – ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ H 1 , H 2 , H 3 , H 4 (ɞɢɜ ɪɢɫ. 3.6).
Ɋɢɫ. 3.6. ɉɪɨɫɬɿɪ ɩɨɞɿɣ { H 1 , H 2 , H 3 , H 4 }ȍ ɉɨɞɿɹ Ⱥ – ɰɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ – ɜɢɛɨɪɭ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɚ, ɹɤɢɣ ɭɫɩɿɲɧɨ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɶ ɧɚ ɞɜɚ ɡɚɞɚɧɢɯ ɩɢɬɚɧɧɹ. Ɋ(Ⱥ) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɰɿɽʀ ɩɨɞɿʀ ɪɨɡ87
ɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (n=4): 4
P( A)
¦ P( A | ɇi ) P(ɇi ) . i 1
ȼɢɫɭɜɚɽɦɨ ɱɨɬɢɪɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɹɜɢ (ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɤɥɢɤɭ ɧɚɜɦɚɧɧɹ) ɬɨɝɨ ɱɢ ɿɧɲɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɨɸ: – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ1 : ɰɟ ɛɭɞɟ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ1) = 3/10 = 0,3; – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ2 : ɰɟ ɛɭɞɟ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɞɨɛɪɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ2) = 4/10 =0,4; – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ3 : ɰɟ ɛɭɞɟ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ3) = 2/10 = 0,2; – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ4 : ɰɟ ɛɭɞɟ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ4) = 1/10 = 0,1. ɍɦɨɜɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɨɸ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ (ɩɨɞɿɣ ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ). Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ɦɧɨɠɟɧɧɹ: – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ1) = (20/20)ǜ(19/19) = 1; – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɞɨɛɪɟ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ2) = (16/20)ǜ(15/19) § 0,63; – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ3) = (10/20)ǜ(9/19) § 0,24; – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɞɜɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ4) = (5/20)ǜ(4/19) § 0,053. Ɂɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɹɤ: P( A) ɚɛɨ
P( A | ɇ1 ) P(ɇ1 ) P( A | ɇ 2 ) P(ɇ 2 ) P( A | ɇ 3 ) P(ɇ 3 ) P( A | ɇ 4 ) P(ɇ 4 )
Ɋ(Ⱥ) = 1·0,3+0,63·0,4+0,24·0,2+0,053·0,1 § 0,605 § 60,5%. ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɢɤɥɢɤɚɧɢɣ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɶ ɧɚ ɞɜɚ ɡɚɞɚɧɢɯ ɩɢɬɚɧɧɹ, ɫɤɥɚɞɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 0,605 ɚɛɨ 60,5%. 88
Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɚɣɽɫɚ Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɫɢɫɬɟɦɢ ɩɨɞɿɣ-ɝɿɩɨɬɟɡ H 1 , H 2 ,!, H n , ɡɚ ɭɦɨɜɧɢɦɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ ɹɤɢɯ P( A | ɇ1 ) , P( A | ɇ 2 ) , ! , P( A | ɇ n ) ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɰɹ ɩɨɞɿɹ Ⱥ. ɉɪɨɬɟ ɜɚɠɥɢɜɢɦ ɡɚɜɞɚɧɧɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɽ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɭɦɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ P(ɇ ɿ | A) ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇɿ, ɹɤɳɨ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɩɨɞɿɹ Ⱥ ɜɠɟ ɜɿɞɛɭɥɚɫɹ. Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ Ɋ(ɇɿ · Ⱥ) = Ɋ(ɇɿ) · Ɋ(Ⱥ | ɇɿ) = Ɋ(Ⱥ) · Ɋ(ɇɿ | Ⱥ). Ɂɜɿɞɫɢ P( ɇ i | A)
P( ɇ i ) P( A | ɇ i ) . P ( A)
(3.8)
əɤɳɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ Ɋ(Ⱥ) ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (3.7), ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɮɨɪɦɭɥɭ Ȼɚɣɽɫɚ:
P ( ɇ i | A)
P( ɇ i ) P( A | ɇ i ) n
¦ P( H i ) P( A | H i )
,
(3.9)
i 1
ɞɟ ɇ1 , ɇ 2 ,!, ɇ n – ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ, ɳɨ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɩɨɜɧɭ ɝɪɭɩɭ. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɚɣɽɫɚ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ «ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɧɿ»10 ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(ɇɿ | Ⱥ) ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ «ɚɩɪɿɨɪɧɢɯ»11 ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ Ɋ(ɇɿ) «ɝɿɩɨɬɟɡ» ɇɿ . ɉɪɢɤɥɚɞ 3.7. Ɂɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 3.6 ɜɢɤɥɢɤɚɧɢɣ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬ ɜɿɞɩɨɜɿɜ ɧɚ ɬɪɢ ɡɚɞɚɧɢɯ ɩɢɬɚɧɧɹ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɰɟɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɽ: ɚ) ɜɿɞɦɿɧɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ; ɛ) ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: ȼɢɫɭɜɚɽɦɨ ɱɨɬɢɪɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɹɜɢ (ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɤɥɢɤɭ ɧɚɜɦɚɧɧɹ) ɬɨɝɨ ɱɢ ɿɧɲɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɨɸ: – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ1 : ɰɟ ɛɭɜ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ1) = 3/10 = 0,3; – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ2 : ɰɟ ɛɭɜ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɞɨɛɪɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ2) = 4/10 = 0,4;
10 11
a posteriori (ÏÆÖ.) – ÑÆ ÒÕÑÒÈ ÉÒÕÏɾ. a priori (ÏÆÖ.) – ÉÒ ÉÒÕÏɾ. 89
– ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ3 : ɰɟ ɛɭɜ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ3) = 2/10 = 0,2; – ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ4 : ɰɟ ɛɭɜ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɩɨɹɜɢ Ɋ(ɇ4) = 1/10 = 0,1. ɍɦɨɜɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɬɨɝɨ ɱɢ ɿɧɲɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɨɸ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶɫɹ ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɬɪɶɨɯ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ (ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ). Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ɦɧɨɠɟɧɧɹ: – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ1) = (20/20)ǜ(19/19)ǜ(18/18) = 1; – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɞɨɛɪɟ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ2) = (16/20)ǜ(15/19)ǜ(14/18) § 0,491; – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ3) = (10/20)ǜ(9/19)ǜ(8/18) § 0,105; – ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ, ɳɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ|ɇ4) = (5/20)ǜ(4/19)ǜ(3/18) § 0,009. Ɂɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ Ȼɚɣɽɫɚ: ɚ) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɰɟ ɛɭɜ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, ɫɤɥɚɞɚɽ
P ( ɇ 1 | A)
P( ɇ 1 ) P( A | ɇ 1 ) 4
¦ P( H i ) P( A | H i )
,
i 1
ɚɛɨ P ( ɇ 1 | A)
0 ,3 1 | 0,58 | 58 % ; 0,3 1 0, 4 0, 491 0,2 0,105 0,1 0,009
ɛ) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɰɟ ɛɭɜ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ, ɫɤɥɚɞɚɽ
P ( ɇ 2 | A)
0,1 0,009 | 0,002 | 0,2% . 0,3 1 0,4 0,491 0,2 0,105 0,1 0,009
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚ ɜɫɿ ɬɪɢ ɩɢɬɚɧɧɹ ɞɚɜ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 58%, ɭ ɬɨɣ ɱɚɫ ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɥɹ ɩɨɝɚɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɨɝɨ ɫɤɥɚɞɚɽ ɥɢɲɟ 0,2%. Ɉɬɪɢɦɚɧɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɬɚɤɨɠ ɦɨɠɟ ɨɡɧɚɱɚɬɢ, ɳɨ ɩɪɨɰɟɞɭɪɚ ɿɫɩɢɬɭ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɤɪɢɬɟɪɿɹɦɢ ɦɚɽ ɞɨɜɨɥɿ ɜɢɫɨɤɢɣ ɪɿɜɟɧɶ ɞɿɚɝɧɨɫɬɢɱɧɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ – ɩɨɪɿɜɧɹɣɬɟ 58% ɞɥɹ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɚ ɿ 0,2% ɞɥɹ ɩɨɝɚɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ. 90
ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ Ⱦɥɹ ɪɿɲɟɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɜɚɠɥɢɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ, ɹɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ, ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ ɿ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɹ.
ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɨɸ ɡ m ɪɿɡɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɰɢɯ ɫɚɦɢɯ m ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ Pm ɬɚɤɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ-ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɹɤɿ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɢɧ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɥɢɲɟ ɦɿɫɰɟɦ ɪɨɡɬɚɲɭɜɚɧɧɹ ɫɜɨʀɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: Pm
m!,
(3.10)
ɞɟ m!=1·2·3·…·m – ɮɚɤɬɨɪɿɚɥ ɱɢɫɥɚ m (ɩɪɨɬɟ 0!=1). ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ a, b, c (m =3) ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3!=1·2·3=6, ɚ ɫɚɦɟ ɬɚɤɿ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ: abc; acb; bac; bca; cab; cba.
Ɋɨɡɦɿɳɟɧɧɹɦ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ m ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. ɉɪɢɱɨɦɭ ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɚɥɟ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɦɿɫɰɹɦɢ ʀɯ ɪɨɡɬɚɲɭɜɚɧɧɹ, ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɪɿɡɧɢɦɢ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ-ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ Anm ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: Anm
n(n 1)(n 2) ! (n m 1) ɚɛɨ
Anm
n! . (3.11) (n m)!
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ a, b, c (n=3) ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ ɩɨ ɞɜɚ ɨɛ'ɽɤɬɢ (m=2) ɛɭɞɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ A32
3 2
6 , ɚ ɫɚɦɟ ɬɚɤɿ ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ:
a b ; b a ; a c ; c a ; b c ; c b.
Ʉɨɦɛɿɧɚɰɿɽɸ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ m ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. ɉɪɨɬɟ ɨɛ’ɽɤɬɢ-ɤɨɦɛɿɧɚɰɿʀ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɢɦ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɬɚɤɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɋnm ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: C nm
n! m!(n m)!
m ɚɛɨ C n
n(n 1)(n 2) ! (n m 1) . (3.12) m!
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ a, b, c (n=3) ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ ɩɨ ɞɜɚ ɨɛ'ɽɤɬɢ (m=2) ɛɭɞɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ: 91
C 32
3! 1 2 3 2! (3 2)! 1 2 1
3 , ɚ ɫɚɦɟ: a b ; a c ; b c .
Ɉɬɠɟ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɋnm (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m) ɦɟɧɲɟ ɡɚ Anm (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m) ɭ Pm ɪɚɡɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɦɿɠ ɩɨɧɹɬɬɹɦɢ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ ɿɫɧɭɽ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ: C nm
Anm . Pm
(3.13)
ɉɪɢɤɥɚɞ 3.8. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɭ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɿ ɡ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ ɜɢɬɹɝɭɜɚɧɧɹɦ ɲɟɫɬɢ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ «ȿ», «ɉ», «Ɋ» ɿ ɬ.ɞ. ɦɨɠɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɉɊɈɐȿɋ»? Ɋɿɲɟɧɧɹ: ȼɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɹ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɜɢɬɹɝɭɜɚɧɧɿ ɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ ɤɚɪɬɨɤ ɡ ɥɿɬɟɪɚɦɢ ɛɟɡ ɩɨɜɟɪɧɟɧɧɹ. ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɚ «ɉɊɈɐȿɋ» ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɸ ɩɨɞɿɽɸ ɫɟɪɟɞ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɡ 6 ɥɿɬɟɪ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɞɥɹ n=6 ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ Pm: Pm = n! = 6! = 1ǜ2ǜ3ǜ4ǜ5ǜ6 = 720. Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɽ P ( A)
1 | 0,0014 | 0,14% . 720
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɉɊɈɐȿɋ» ɡ ɲɟɫɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɤ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,14%. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.9. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ» ɡ ɞɟɫɹɬɢ ɨɤɪɟɦɢɯ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɚ «ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ» ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɸ ɩɨɞɿɽɸ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
ɡ
10
ɥɿɬɟɪ,
ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɹɤɢɯ
ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ
ɹɤ
n!=10!=3628800. ɉɪɨɬɟ ɞɟɹɤɿ ɥɿɬɟɪɢ ɩɨɜɬɨɪɸɸɬɶɫɹ («Ɇ» – 2 ɪɚɡɢ, «Ⱥ» – 3 ɪɚɡɢ, «Ɍ» – 2 ɪɚɡɢ), ɬɨɦɭ ɿɫɧɭɸɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ, ɹɤɿ ɧɟ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɫɥɨɜɚ. Ⱦɥɹ ɥɿɬɟɪɢ «Ɇ» ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɳɨ ɧɟ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɫɥɨɜɚ ɛɭɞɟ 2!=1ǜ2=2; ɞɥɹ ɥɿɬɟɪɢ «Ⱥ» – 3!=1ǜ2ǜ3=6; ɞɥɹ ɥɿɬɟɪɢ «Ɍ» – 2!=1ǜ2=2. Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ,
ɳɨ
ɧɟ
m=2!ǜ3!ǜ2!=1ǜ2ǜ1ǜ2ǜ3ǜ1ǜ2=24.
92
ɡɦɿɧɸɸɬɶ
ɫɥɨɜɚ
ɛɭɞɟ
Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɽ P ( A)
24 | 0,0000066 | 0,0007% . 3628800
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɛɥɢɡɶɤɨ 0,0007%. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.10. Ɂɚɥɿɤɨɜɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɦɿɫɬɢɬɶ 5 ɩɢɬɚɧɶ, ɧɚ ɤɨɠɧɟ ɡ ɹɤɢɯ ɩɪɨɩɨɧɭɸɬɶɫɹ ɞɜɿ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɿ «ɌȺɄ» ɿ «ɇȱ». ɉɪɚɜɢɥɶɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ ɨɞɧɟ ɩɢɬɚɧɧɹ ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɭ 1 ɛɚɥ, ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɚ – ɭ 0 ɛɚɥɿɜ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɱɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ, ɫɤɥɚɫɬɢ ɡɚɥɿɤ, ɬɨɛɬɨ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɧɟ ɦɟɧɲ 4-ɯ ɛɚɥɿɜ? Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɫɤɥɚɞɚɧɧɹ ɡɚɥɿɤɭ – ɰɟ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ 4-ɯ ɚɛɨ 5-ɬɢ ɛɚɥɿɜ ɡ 5-ɬɢ ɦɨɠɥɢɜɢɯ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɰɿɽʀ ɩɨɞɿʀ Ɋ(Ⱥ) = Ɋ(4)+Ɋ(5). Ɂɚɥɿɤɨɜɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ ɦɿɫɬɢɬɶ ɩ’ɹɬɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. əɤɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ, ɬɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɤɨɠɧɨʀ ɛɚɠɚɧɨʀ ɪ(1) ɿ ɤɨɠɧɨʀ ɧɟɛɚɠɚɧɨʀ ɪ(0) ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɿ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɩɨ ½, ɬɨɛɬɨ ɪ(1) = ɪ(0) = ½ = 0,5. Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ: 4 ɛɚɥɢ – Ɋ(4)=ɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(0)ǜɋ54 = 0,55ǜ5 = 5/32 = 0,15625 = 15,625%; 5 ɛɚɥɿɜ – Ɋ(5)=ɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɋ55 = 0,55ǜ1 = 1/32 = 0,03125 = 3,125%. Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɞɚɧɧɹ ɡɚɥɿɤɭ Ɋ(Ⱥ) = 15,625% + 3,125% = 18,75%. ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: Ɂɝɿɞɧɨ ɭɦɨɜɚɦ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɡɚɥɿɤ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɱɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɧɚ 5 ɩɢɬɚɧɶ ɡɚɜɞɚɧɧɹ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 18,75% (ɩɪɨɬɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟ ɫɤɥɚɫɬɢ ɡɚɥɿɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1 – 18,75% = 81,25%). Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɧɹɬɶ «ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ», «ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ», «ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ», «ɩɨɜɧɚ ɝɪɭɩɚ ɩɨɞɿɣ», «ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɩɨɞɿɹ». 2. əɤɿ ɩɨɞɿʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɧɟɦɨɠɥɢɜɢɦɢ ɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɢɦɢ, ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɿ ɡɚɥɟɠɧɢɦɢ? 3. əɤɿ ɩɨɞɿʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɫɭɦɿɫɧɢɦɢ ɿ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɦɢ? 4. ɇɚɡɜɿɬɶ ɿ ɨɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɬɢɩɢ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ (ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ, ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ, ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ, ɞɨɛɭɬɨɤ, ɫɭɦɚ). 5. ɓɨ ɬɚɤɟ «ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ» ɿ ɹɤ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɤɥɚɫɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ? 93
6. əɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɸɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɧɟɦɨɠɥɢɜɢɯ ɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ? 7. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɭɦɢ ɬɚ ɞɨɛɭɬɤɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɿ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ. 8. Ɂɚ ɹɤɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ ɬɚɤɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ, ɹɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ, ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ ɿ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɹ? 9. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɭ ɪɚɦɤɚɯ ɚɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɩɿɞɯɨɞɭ. 10. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɬɪɢ ɚɤɫɿɨɦɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ. 11. ɓɨ ɬɚɤɟ «ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ»? 12. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. 13. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɿ ɩɨɹɫɧɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ Ȼɚɣɽɫɚ. 14. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 3.1 – 3.9.
3.2. ȼɂɉȺȾɄɈȼȱ ȼȿɅɂɑɂɇɂ Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ȼɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ – ɰɟ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɹɤɚ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɦɨɠɟ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɩɟɜɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (ɿɡ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɫɜɨʀɯ ɡɧɚɱɟɧɶ) ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ. ȼɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɦɨɠɧɚ ɧɚɡɜɚɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ (ɧɟ ɨɛɨɜ’ɹɡɤɨɜɨ ɱɢɫɟɥɶɧɭ) ɡɦɿɧɧɭ ɏ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɯ ɫɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ {ɯ}. Ɋɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶ ɞɢɫɤɪɟɬɧɭ ɿ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.
Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɳɨ ɩɪɢɣɦɚɽ ɫɤɿɧɱɟɧɟ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡ ɦɧɨɠɢɧɢ, ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɹɤɨʀ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɧɭɦɟɪɭɜɚɬɢ. ɇɟɩɟɪɟɪɜɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɦɨɠɥɢɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨ ɡɚɩɨɜɧɸɸɬɶ ɞɟɹɤɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ.
Ɋɹɞɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɹɤ ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ – ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɬɚɛɥɢɰɿ, ɞɟ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɞɨ ɧɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ p1, p2, ..., pn (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 3.2), ɬɚɤ ɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɝɪɚɮɿɱɧɨɝɨ ɡɨɛɪɚɠɟɧɧɹ (ɪɢɫ. 3.7).
94
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.2 Ɋɹɞɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ( ɯɿ )
ɯ1
ɯ2
ɯ3
...
ɯn
Ƀɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ( pɿ )
p1
p2
p3
...
pn
Ɋɢɫ. 3.7. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ Ɋɹɞɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɭ ɮɨɪɦɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ:
f (X )
p1 , ° ° p2 , °p , ° 3 ° ® p4 , ° ° p5 , ° p6 , ° °¯ p 7 ,
X
x1 ;
X
x2 ;
X
x3 ;
X
x4 ;
X
x5 ;
X
x6 ;
X
x7 .
ȼ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɰɟ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɹɤ f(X) = P(ɏ=ɯ) – ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ f(X) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ P(ɏ=ɯ) ɬɨɝɨ, ɳɨ ɡɦɿɧɧɚ ɏ ɩɪɢɣɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ. Ɂɚ ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɡ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɩɨɞɿɹɦɢ, ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ, ɳɨ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɽ ɫɤɿɧɱɟɧɚ ɦɧɨɠɢɧɚ ɰɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ :={ɯ}. Ʉɨɠɧɨɦɭ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn, ɹɤɟ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɦɧɨɠɢɧɢ :, ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ – ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ p1, p2, ..., pn, ɬɨɛɬɨ pɿ = P(ɏ = ɯɿ) 0, ɩɪɢɱɨɦɭ ɫɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɨɹɜɢ ɜɫɿɯ ɟɥɟ95
ɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ: n
¦ ɪɿ
1.
(3.14)
ɿ 1
Ɉɬɠɟ, ɩɚɪɭ {:, Ɋ} ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡɿ ɫɤɿɧɱɟɧɨʀ ɦɧɨɠɢɧɢ ɡɧɚɱɟɧɶ : ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɿ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ Ɋ, ɹɤɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ ɧɚ ɦɧɨɠɢɧɿ ɡɧɚɱɟɧɶ : ɿ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ ɭɦɨɜɿ (3.14). əɤɳɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɽ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɬɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɱɚɫɬɨɬ ɦɨɠɧɚ ɬɚɤɨɠ ɬɪɚɤɬɭɜɚɬɢ ɹɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ – ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ ʀɯɧɶɨʀ ɩɨɹɜɢ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɥɚɫɢɱɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ (ɞɢɜ. ɩɨɧɹɬɬɹ ɤɥɚɫɢɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ), ɬɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɢ ɹɤ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɩɪɨɬɟ, ɥɢɲɟ ɡɚ ɩɟɜɧɢɦɢ ɭɦɨɜɚɦɢ ɿ ɨɛɦɟɠɟɧɧɹɦɢ (ɦɨɜɚ ɩɪɨ ɧɢɯ ɣɬɢɦɟ ɧɢɠɱɟ). Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɩɨɛɭɞɨɜɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.11. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɿɞɿɛɪɚɧɨʀ ɡ ɚɤɚɞɟɦɿɱɧɨɝɨ ɩɨɬɨɤɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɨɛɫɹɝɨɦ 20 ɨɫɿɛ (ɬɚɛɥ. 3.3). Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.3
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɿ xɿ ɿ xɿ
1 4 11 5
2 2 12 3
3 6 13 5
4 3 14 4
5 5 15 6
6 4 16 3
7 5 17 4
8 4 18 2
9 1 19 5
10 5 20 3
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɬɚɛɥ. 3.3 ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɯɿ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ mi ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ. ɑɚɫɬɨɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɚ ɛɭɞɶɹɤɢɦ ɜɿɞɨɦɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɿ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ A3:ɋ9. ɋɭɦɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɩɨɜɢɧɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɬɨɛɬɨ
7
¦ mi
20 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ɋ10 ɪɢɫ. 3.8);
ɿ 1
x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍɿ = P(ɏ = ɯɿ) ɜɧɟɫɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɭ D3 ɜɢɪɚɡ 96
=C3/$C$10, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ D4:D9;
x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȿ3:ȿ9 ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ pɿ = P(ɏ ɯɿ); x ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ (ɪɢɫ. 3.9).
Ɋɢɫ. 3.8. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
Ɋɢɫ. 3.9. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
Ɉɬɠɟ, ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 3.8 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ) pƍ(ɯ) = P(ɏ = ɯ) ɿ p(ɯ) = P(ɏ ɯ), ɧɚ ɪɢɫ. 3.9 ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ. ɋɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍɿ = P(ɏ = ɯɿ) ɦɚɽ ɧɚɡɜɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɞɢɜ. ɫɬɨɜɩɱɢɤ D ɪɢɫ. 3.8 ɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɭ ɪɢɫ. 3.9). Ʉɨɠɧɟ ɨɤɪɟɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ pƍɿ ɤɨɠɧɨɝɨ ɨɤɪɟɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯɿ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ , ɬɨɛɬɨ P(ɏ = ɯɿ). ɋɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍɿ ɭɫɿɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯɿ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɩɨɜɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ, ɬɨɛɬɨ
n
¦ ɪɿc
1 . əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɢɫ. 3.8 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ D10), ɰɹ ɜɢɦɨɝɚ
ɿ 1
ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ: 0,00+0,05+0,10+0,20+0,25+0,30+0,10=1,00. ɋɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pɿ = P(ɏ ɯɿ) ɦɚɽ ɧɚɡɜɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɞɢɜ. ɫɬɨɜɩɱɢɤ ȿ ɪɢɫ. 3.6 ɿ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɣ ɝɪɚɮɿɤ ɪɢɫ. 3.7 ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɯɨɞɢɧɨɤ ɡ ɧɚɫɢɱɟɧɧɹɦ ɞɨ 1,00). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɩɨɤɚɡɭɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ pɿ ɞɥɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɯɿ , ɬɨɛɬɨ P(ɏ ɯɿ). Ʉɨɠɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɽ ɫɭɦɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍɿ ɭɫɿɯ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯɿ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ, ɬɨɛɬɨ: p j
j
¦ ɪɿc .
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ j = 4 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ4
ɿ 1
97
ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ p4
4
¦ ɪɿc
0,00 0,05 0,10 0,20 0,35 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ6 ɪɢɫ. 3.6).
ɿ 1
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡ ɩɨɜɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ (ɮɚɤɬɢɱɧɨ, ɰɟ ɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ. ȱ ɞɿɣɫɧɨ, ɞɥɹ j = n ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ p n
n
¦ ɪɿc
1 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ9 ɪɢɫ. 3.6
ɿ 1
ɚɛɨ ɨɫɬɚɧɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɚ ɝɪɚɮɿɤɭ ɪɢɫ. 3.7).
Ɂɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɽ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ, ɳɨ ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɽ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɦɨɠɥɢɜɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɞɨ ɧɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ. Ɂɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɡɚɞɚɧɨ ɮɭɧɤɰɿɹɦɢ:
x ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) F(x) = P(X x);
(3.15)
x ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) f(x) = P(X = x).
(3.16)
Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ. Ɍɚɤ, ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 3.8 ɮɭɧɤɰɿɹ F(x) ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ:
F ( x)
0.05, ° °0.15, °0.35, ° ® °0.60, °0.90, ° °¯1.00,
x d 1; x d 2; x d 3; x d 4; x d 5; x d 6;
Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɣ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x). Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɜ’ɹɡɚɧɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹɦ: j
¦ f ( xi )
F (x j )
(3.17)
ɿ 1
Ⱦɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɬɚɤɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ: – ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) = F '(x). ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ f(x) ɽ ɩɟɪɲɨɸ ɩɨɯɿɞɧɨɸ ɜɿɞ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x); – ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɧɟɜɿɞ'ɽɦɧɚ, ɬɨɛɬɨ f(x) 0, ɿ ɦɚɽ ɬɚɤɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ: 98
f
³ f ( x)dx
1.
(3.18)
f
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɧɚɞɚɽ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɭ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɨɦɭ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ (3.18) ɹɤ ɩɥɨɳɿ (ɞɢɜ. ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɭ ɩɥɨɳɭ ɧɚ ɪɢɫ. 3.10), ɹɤɚ ɡɜɟɪɯɭ ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ f(x), ɚ ɡɧɢɡɭ – ɜɿɫɫɸ ɚɛɫɰɢɫ ɭ ɦɟɠɚɯ – x +. Ɋɨɡɦɿɪ ɩɥɨɳɿ ɡɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɦ (3.18) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) ɞɥɹ ɩɟɜɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, x = ɚ) ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: ɚ
³ f ( x)dx .
F (ɚ )
(3.19)
f
Ɋɢɫ. 3.10. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ
Ɋɢɫ. 3.11. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ
ɜɢɡɧɚɱɟɧɨɦɭ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ (3.18)
ɜɢɡɧɚɱɟɧɨɦɭ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ (3.19)
ȱɧɬɟɝɪɚɥ (3.19) ɿ ɮɭɧɤɰɿɹ F(ɚ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɬɚɤɨɠ ɦɚɸɬɶ ɫɟɧɫ ɩɥɨɳɿ (ɞɢɜ. ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɭ ɩɥɨɳɭ ɧɚ ɪɢɫ. 3.11), ɹɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɡ ɬɪɶɨɯ ɛɨɤɿɜ: ɡɜɟɪɯɭ – ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ f(x), ɡɧɢɡɭ – ɜɿɫɫɸ ɚɛɫɰɢɫ ɭ ɦɟɠɚɯ – x ɚ, ɡ ɩɪɚɜɨɝɨ ɛɨɤɭ – ɨɪɞɢɧɚɬɨɸ, ɹɤɚ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ x = ɚ. Ⱦɥɹ x = + ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F()=1, ɬɨɛɬɨ
F (f )
f
³ f ( x)dx
1.
(3.20)
f
Ɉɬɠɟ, ɩɨɪɿɜɧɸɸɱɢ ɚɥɝɟɛɪɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɚɩɚɪɚɬɨɦ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɦɨɠɧɚ ɞɿɣɬɢ ɞɨ ɜɢɫɧɨɜɤɭ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞ99
ɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɿɡɨɦɨɪɮɧɨ ɜɿɞɬɜɨɪɸɸɬɶɫɹ ɧɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.12. əɤ ɜɿɞɨɦɨ ɡ ɩɫɢɯɨɞɿɚɝɧɨɫɬɢɤɢ, ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ (ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɡɚ ɜɿɤɨɦ ɨɫɿɛ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɹɽɬɶɫɹ ɡɚ ɡɚɤɨɧɨɦ, ɛɥɢɡɶɤɢɦ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ12, ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɹɤɨɝɨ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
f ( x)
§ ( x IQ) 2 · 1 1 ¸, exp¨¨ e 0,5(( x IQ ) / V ) ɚɛɨ f ( x) 2V 2 ¸¹ V 2S V 2S © 2
ɞɟ f(x) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ P(IQ = x) ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɩɪɢɣɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x; IQ ɿ ı – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ; ʌ § 3,14; ɟ § 2,71. Ⱦɥɹ ɩɟɜɧɨɝɨ ɤɨɧɬɢɧɝɟɧɬɭ ɿɧɞɢɜɿɞɭɭɦɿɜ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
IQ =100 ɿ ı =15. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ ɜ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɿɞ IQɦɿɧ = 50 ɞɨ IQɆɚɤɫ = 150. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: ɚ) IQ 80; ɛ) IQ >110; ɜ) ɭ ɦɟɠɚɯ 70 < IQ 90; ɝ) ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɡɚ ɦɟɠɚɦɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ 80 < IQ 120. Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ɋɨɡɪɚɯɭɽɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(x) ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥ F(x) ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ ɜ ɭɤɚɡɚɧɨɦɭ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɡ ɿɧɬɟɪɜɚɥɨɦ 10 (ɪɢɫ. 3.10). Ⱦɟɬɚɥɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɿɡɧɿɲɟ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɦɭ ɪɨɡɞɿɥɿ. ȼɚɠɥɢɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ ɽ ɞɨɫɹɝɧɟɧɧɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨʀ ɧɨɪɦɚɥɿɡɚɰɿʀ, ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɹɤɨʀ ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɤɪɢɜɨɸ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) ɩɨɜɢɧɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɨɞɢɧɢɰɿ. əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɤɨɦɿɪɤɢ ɋ14 ɪɢɫ. 3.10, ɰɹ ɜɢɦɨɝɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ. ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ IQ (ɪɢɫ. 3.13). Ɏɨɪɦɚ ɝɪɚɮɿɤɚ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(IQ) ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ «ɞɡɜɨɧɭ». ȼɨɧɚ ɽ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ =100. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥ F(IQ) ɞɨɫɹɝɚɽ ɧɚɫɢɱɟɧɧɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 1,00.
12
fÒ±ÏÆÉÑÛÊ ÜÒÉÒ ÑÒÔÐÆÏßÑÒÒ ÌƱÒѾ ÔÒÌÓÒÉϾ ÉÍÈ. ÔÒÌÉÏ 3.4. 100
Ɋɢɫ. 3.12. Ɍɚɛɥɢɰɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ IQ
Ɋɢɫ. 3.13. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ IQ
ɋɥɿɞ ɡɜɟɪɧɭɬɢ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ P(IQ 100) = 0,50. ȱɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ =100 ɫɤɥɚɞɚɽ 50%. ɇɚ ɪɢɫ. 3.13 ɰɟ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɿɣ ɩɥɨɳɿ, ɹɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽ 50% ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ. Ⱥɧɚɥɿɬɢɱɧɨ ɰɟ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɬɚɤ:
F ( x d 100)
100
³ f ( x)dx = 0,50.
f
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɭɧɤɬɢ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɳɨɞɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ. ɚ) ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ 80, ɬɨɛɬɨ Ɋ(IQ 80). ɐɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ ɪɢɫ. 3.14, ɞɥɹ ɹɤɨʀ F(80) § 0,091 (ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0,091 ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡ ɬɚɛɥ. ɪɢɫ. 3.12). Ⱥɧɚɥɿɬɢɱɧɢɣ ɡɚɩɢɫ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
F ( x d 80)
80
³ f ( x)dx
§ 0,091.
f
Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(IQ 80) § 0,091 = 9,1%. ɛ) ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ ɧɟ ɦɟɧɲɟ 110, ɬɨɛɬɨ Ɋ(IQ>110). Ɂɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ ɪɢɫ. 3.15 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɢɬɭɚɰɿʀ, ɤɨɥɢ ɬɪɟɛɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɩɨɞɿɸ Ⱥ{IQ>110}, ɹɤɚ ɽ ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹɦ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ{IQ d 110} . ɋɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ. Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ 101
ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ɋ(IQ>110) = 1 – Ɋ ( IQ d 110) ɿ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɢɣ ɡɚɩɢɫ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɬɚɤɢɣ: F ( x ! 110) 1 F ( x d 110) 1
110
³ f ( x)dx
= 1 – 0,748 § 0,252.
f
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ F(110) = 0,748 ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡ ɬɚɛɥ. ɪɢɫ. 3.12. Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(IQ>110) § 25,2%.
Ɋɢɫ. 3.14. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɧɟ
Ɋɢɫ. 3.15. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɧɟ
ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ 80, ɚɛɨ Ɋ(IQ 80) § 9,1%
ɦɟɧɲɟ 110, ɬɨɛɬɨ Ɋ(IQ>110) § 25,2%
ɜ) ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɟ ɦɟɧɲɟ 70, ɚɥɟ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ 90, ɬɨɛɬɨ Ɋ(70 IQ 90). Ɂɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ ɪɢɫ. 3.16 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɢɬɭɚɰɿʀ, ɤɨɥɢ ɡ ɩɨɞɿʀ Ⱥ1{IQ 90} ɬɪɟɛɚ ɜɢɥɭɱɢɬɢ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɨɞɿʀ Ⱥ2{IQ 70}. Ɍɨɞɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɪɿɡɧɢɰɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ Ɋ(Ⱥ1) ɿ Ɋ(Ⱥ2) ɩɨɞɿɣ Ⱥ1 ɿ Ⱥ2, ɬɨɛɬɨ Ɋ(70 IQ 90) = Ɋ(IQ 90) – Ɋ(IQ 70). ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ: 90
90
70
70
f
f
³ f ( x)dx ³ f ( x)dx ³ f ( x)dx
F (90) F (70) , ɚɛɨ
F(90) – F(70) = 0,253 – 0,023 § 0,23. Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(70 IQ 90) § 23%.
102
Ɋɢɫ. 3.16. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ
Ɋɢɫ. 3.17. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ
Ɋ(70 IQ 90) § 23%.
Ɋ(80 IQ >120) §18,2%.
ɝ) ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɡɚ ɦɟɠɚɦɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ 80 < IQ 120, ɬɨɛɬɨ Ɋ(80 IQ >120). ɐɿɣ ɩɨɞɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɭɦɚ ɞɜɨɯ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɢɧ ɩɥɨɳɿ ɪɢɫ. 3.17. Ɋɿɲɟɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɭ 2-ɯ ɜɚɪɿɚɧɬɚɯ: 1-ɣ ɜɚɪɿɚɧɬ. ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɞɜɨɯ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ1{IQ 80} ɿ Ⱥ2{IQ >120} ɡ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ Ɋ(Ⱥ1) ɿ Ɋ(Ⱥ2) ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ1) ɩɨɞɿʀ Ⱥ1 ɜɢɡɧɚɱɢɬɶɫɹ ɹɤ 80
³ f ( x)dx
F (80) , ɚɛɨ ɡ ɬɚɛɥ. ɪɢɫ. 3.12 ɦɚɽɦɨ F(80) § 0,091.
f
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ2) ɩɨɞɿʀ Ⱥ2 ɜɢɡɧɚɱɢɬɶɫɹ ɹɤ ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ ɞɨ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ 2 {IQ d 120} ɚɛɨ Ɋ(Ⱥ2) = 1 – Ⱥ 2 {IQ d 120} , ɚ ɫɚɦɟ
F ( x ! 120) 1
120
³ f ( x)dx
1 F (120) ɚɛɨ
f
F ( x ! 120) 1 F ( x d 120) 1
120
³ f ( x)dx
= 1 – 0,909 § 0,091.
f
Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɫɭɦɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ Ɋ(Ⱥ1) ɿ Ɋ(Ⱥ2) ɩɨɞɿɣ Ⱥ1 ɿ Ⱥ2, ɬɨɛɬɨ Ɋ(Ⱥ) = Ɋ(Ⱥ1) + Ɋ(Ⱥ2) = 0,091 + 0,091 § 0,182 § 18,2%. 2-ɣ ɜɚɪɿɚɧɬ. ɉɨɞɿɸ Ⱥ{80IQ >120} ɦɨɠɧɚ ɡɜɟɫɬɢ ɿ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ ɞɨ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ , ɹɤɭ ɩɨɡɧɚɱɢɦɨ ȼ{80 IQ 120} (ɞɢɜ. ɧɟɡɚɮɚ103
ɪɛɨɜɚɧɭ ɩɥɨɳɭ ɪɢɫ. 3.17). Ɍɨɞɿ Ɋ(Ⱥ) = 1– Ɋ(ȼ). ɉɨɞɿɹ ȼ{80 IQ 120} ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ (ɞɢɜ. ɜɢɳɟ ɩ. «ɜ»), ɤɨɥɢ ɡ ɩɨɞɿʀ ȼ1{IQ 120} ɬɪɟɛɚ ɜɢɥɭɱɚɬɢ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɨɞɿʀ ȼ2{IQ 80}. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(ȼ) ɩɨɞɿʀ ȼ ɽ ɪɿɡɧɢɰɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ Ɋ(ȼ1) ɿ Ɋ(ȼ2) Ɋ(ȼ) = Ɋ(IQ 120) – Ɋ(IQ 80). Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ Ɋ(Ⱥ) = 1– Ɋ(ȼ) = 1 – [Ɋ(IQ 120) – Ɋ(IQ 80)]. ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ: 1
120
³ f ( x)dx
80
80 ª120 º 1 « ³ f ( x)dx ³ f ( x)dx» 1 >F (120) F (80)@ , ɚɛɨ ¬ f ¼ f
1– [F(120) – F(80)] = 1 – [0,909 – 0,091] = 1– 0,818 § 0,182 § 18,2%. Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɧɟ ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɜɿɞ 80 ɞɨ 120, ɬɨɛɬɨ Ɋ(80 IQ >120), ɫɤɥɚɞɚɽ 18,2%. Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ: ɹɤɳɨ ɝɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɿ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɿ ɩɥɨɳɿ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɡɚ ɪɨɡɦɿɪɨɦ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(Ⱥ) ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɹɤ ɩɨɞɜɨɽɧɚ ɩɥɨɳɚ ɨɞɧɿɽʀ ɡ ɱɚɫɬɢɧ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, Ɋ(Ⱥ) = 2·Ɋ(80 IQ) = 2·0,091 § 0,182 § 18,2%. Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ ɿ ɡɜɨɪɨɬɧɨʀ ɡɚɞɚɱɿ: ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɹɤɨʀ ɡɚɞɚɧɨ. Ɍɚɤ, ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 3.12 ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,05 (5%) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɜɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 75,3. Ɂ ɝɪɚɮɿɤɚ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(IQ) ɪɢɫ. 3.18 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ, ɹɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(IQ) ɿ ɨɪɞɢɧɚɬɨɸ IQ = 75,3. ȱɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, F(IQ) = Ɋ(IQ 75,3) = 0,05. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ IQ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɹɤɨʀ ɫɤɥɚɞɚɽ 20% ɚɛɨ 0,20. Ɂ ɪɢɫ. 3.19 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,20 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ, ɹɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(IQ) ɿ ɨɪɞɢɧɚɬɨɸ IQ = 87,4. ȱɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, F(IQ) = Ɋ(IQ 87,4) = 0,20.
104
Ɋɢɫ. 3.18. Ƀɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ Ɋɢɫ. 3.19. Ƀɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,20 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ 75,3
ɡɧɚɱɟɧɧɹ IQ 87,4
ɇɚ ɞɚɧɨɦɭ ɟɬɚɩɿ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɞɨɪɟɱɧɨ ɡɝɚɞɚɬɢ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ» ɿ ɧɚɞɚɬɢ ɣɨɦɭ ɞɨɞɚɬɤɨɜɨɝɨ ɡɦɿɫɬɨɜɧɨɝɨ ɫɟɧɫɭ. əɤ ɜɢɡɧɚɱɚɥɨɫɹ ɜɢɳɟ, ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɿ ɞɿɥɹɬɶ ɨɛɫɹɝ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɧɚ ɫɬɨ ɱɚɫɬɢɧ, ɬɨɛɬɨ ɜɿɞɨɤɪɟɦɥɸɸɬɶ ɜɿɞ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɩɨ 0,01 ɱɚɫɬɤɢ (ɩɨ 1%). Ɋɿ – ɰɟ ɿ-ɣ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ – ɦɟɠɚ, ɧɢɠɱɟ ɡɚ ɹɤɭ ɥɟɠɚɬɶ ɿ ɜɿɞɫɨɬɤɿɜ ɡɧɚɱɟɧɶ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɩ’ɹɬɢɣ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɶ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 30 (ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ Ɋ5 = 30), ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ 5% ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɏ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɸɬɶ 30. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(ɏ), ɹɤɿ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ 0 ɞɥɹ F(–) ɞɨ 1 ɞɥɹ F(+), ɬɚɤɨɠ ɡɪɭɱɧɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɫɬɨ ɱɚɫɬɢɧ ɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɿɜ. əɤɳɨ ɰɿɧɚ ɲɤɚɥɢ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(ɏ) ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ 0,01 (1%), ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɜɢɳɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɤɨɦɟɧɬɭɜɚɬɢ ɭ ɬɚɤɿɣ ɫɩɨɫɿɛ: x ɞɥɹ F(IQ) = Ɋ(IQ75,3) = 0,05 = 5% ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ Ɋ5 = 75,3 – ɩ’ɹɬɨɦɭ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ, ɹɤɢɣ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ 75,3; x ɞɥɹ F(IQ) = Ɋ(IQ 87,4) = 0,20 = 20% ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ Ɋ20 = 87,4 – ɞɜɚɞɰɹɬɨɦɭ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ, ɹɤɢɣ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ 87,4. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɹ ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɇɈɊɆɈȻɊ(ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ; ɫɟɪɟɞɧɽ; ɫɬ.ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ). Ɍɚɤ, Ɋ5 = ɇɈɊɆɈȻɊ(0,05;100;15) = 75,3; ɚ Ɋ20 = ɇɈɊɆɈȻɊ(0,20;100;15) = 87,4. 105
ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ȼɢɩɚɞɤɨɜɭ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɏ ɦɨɠɧɚ ɩɨɜɧɨɰɿɧɧɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɜɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɞɿɣ Ȧɿ, (ɮɭɧɤɰɿɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ ɧɚ ɩɪɨɫɬɨɪɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȍ). Ɏɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɢ (ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ) ɚɛɨ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ (ɞɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ) ɞɚɽ ɜɢɱɟɪɩɧɭ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿɸ ɳɨɞɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɉɪɨɬɟ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡɚɜɠɞɢ ɬɿɥɶɤɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɿ ɽ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿɽɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɭ ɤɨɧɤɪɟɬɧɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ. ɋɚɦɚ ɠ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɽ ɥɢɲɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹɦ, ɹɤɟ ɫɥɭɠɢɬɶ ɨɫɧɨɜɨɸ ɞɥɹ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɿ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɦɨɞɟɥɸɸɬɶɫɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ. ɑɚɫɬɨ ɜɜɚɠɚɸɬɶ, ɳɨ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ, ɿɫɩɢɬɢ, ɞɨɫɥɿɞɢ ɩɪɨɜɨɞɹɬɶɫɹ ɡɚ ɫɯɟɦɨɸ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɿɫɩɢɬɿɜ. Ɉɬɠɟ, ɧɟɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ – ɨɞɧɟ ɡ ɛɚɡɨɜɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɳɨ ɥɟɠɢɬɶ ɜ ɨɫɧɨɜɿ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ ɜɫɿɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɧɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ. Ɍɨɦɭ ɫɥɿɞ ɦɚɬɢ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ɞɟɹɤɿ ɜɚɠɥɢɜɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ: x ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɿ Y, ɜɢɡɧɚɱɟɧɿ ɧɚ ɬɨɦɭ ɠ ɫɚɦɨɦɭ ɩɪɨɫɬɨɪɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶɫɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɚ ɿ b ɩɨɞɿʀ {X=a} ɿ {Y=b} ɽ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ; x ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɿ Y ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, ɚ ɿ b - ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X+a ɿ Y+b ɬɚɤɨɠ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ; x ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɿ Y ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, ɚ f(X) ɿ g(Y) – ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɡ X ɿ Y ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɟɹɤɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ f ɿ g, ɬɨ f(X) ɿ g(Y) – ɬɚɤɨɠ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ X ɿ Y ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, ɬɨ ɏ 2 ɿ 3·Y +4 ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, ɚ ɬɚɤɨɠ ln(X ) ɿ ln(Y) ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ. ɍ ɩɪɚɤɬɢɰɿ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɰɿɥɤɨɦ ɞɨɫɬɚɬɧɿɦ ɽ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɱɢɫɟɥɶɧɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ, ɳɨ ɨɰɿɧɸɸɬɶ ɰɟɧɬɪ ɝɪɭɩɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɦɿɪɭ ʀɯɧɶɨɝɨ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ, ɫɬɭɩɿɧɶ ɜɡɚɽɦɨɡɜ’ɹɡɤɭ ɪɿɡɧɢɯ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɿɜ ɛɚɝɚɬɨɦɿɪɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. ɍ ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ, ɡɧɚɸɱɢ ɥɢɲɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɡɚɤɨɧɿɜ, ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɭɫɩɿɲɧɨ ɜɿɞɧɨɜɥɟɧɨ ɡɚ ɫɜɨʀɦɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɦɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ, 106
ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ. Ɍɨɠ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢ ɨɫɧɨɜɧɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɳɨ ɞɚɸɬɶ ɡɦɨɝɭ ɱɢɫɟɥɶɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɬɚɤ ɡɜɚɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ «ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ» (ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[X], ɦɨɞɭ Ɇo[X] ɿ ɦɟɞɿɚɧɭ Ɇd[X]), ɚ ɬɚɤɨɠ «ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɨɫɬɿ» (ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ D[X], ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ SD[X]) .
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ. Ɉɞɧɿɽɸ ɡ ɜɚɠɥɢɜɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɽ ʀʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[X] (ɿɧɨɞɿ ɣɨɝɨ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ). Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɽ ɱɢɫɥɨ
M[X ]
¦ X (Z ) P(Z ) ,
(3.21)
Z:
ɞɟ ɏ(Ȧ) – ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɨɬɪɢɦɚɧɟ ɭ ɩɨɞɿʀ Ȧ; Ɋ(Ȧ) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɩɨɞɿʀ Ȧ; ȍ – ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ ȍ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.13. Ɉɛɱɢɫɥɢɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɱɢɫɥɚ, ɳɨ ɜɢɩɚɞɚɽ ɧɚ ɜɟɪɯɧɿɣ ɝɪɚɧɿ ɿɝɪɨɜɨɝɨ ɤɭɛɢɤɚ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɪɨɫɬɿɪ ȍ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ 6 ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ {Ȧ1, Ȧ2, …, Ȧ6}. Ʉɨɠɧɿɣ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿɣ ɩɨɞɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. Ⱦɥɹ ɿɝɪɨɜɨɝɨ ɤɭɛɢɤɚ ɰɟ ɱɢɫɥɨ ɜɿɞ 1 ɞɨ 6 ɧɚ ɣɨɝɨ ɝɪɚɧɹɯ: X(Ȧ1) = 1, X(Ȧ2) = 2, ... X(Ȧ6) = 6. ȼɫɿ ɩɨɞɿʀ ɦɚɸɬɶ ɪɿɜɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ Ɋ(Ȧ1) = Ɋ(Ȧ2) =... Ɋ(Ȧ6) = 1/6. Ɂɜɿɞɫɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ:
M[X ]
¦ X (Z ) P(Z )
Z:
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6
21 6
3,5 .
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[X]=3,5. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɩɪɨɫɬɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɡ ɦɧɨɠɢɧɨɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɏ(ȍ)= {x1, x2, …, xn} ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ n
M[X ]
¦ ɯɿ Ɋ ( ɏ ɿ 1
ɯɿ ) .
(3.22)
ɋɟɧɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɚɪɬɨ ɪɨɡɤɪɢɬɢ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.14. ɋɟɪɟɞɧɹ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ, ɳɨ ɩɪɢɩɚɞɚɽ ɧɚ ɨɞɧɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ, ɦɨɠɟ ɩɟɜɧɢɦ ɱɢɧɨɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɜɚɬɢ ɹɤɿɫɬɶ ɧɚɜɱɚɧɧɹ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɩɪɢɣɧɹɬɢ, ɹɤɳɨ ɩɪɢɩɭɫɬɢɬɢ, ɳɨ ɨɤɪɟɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ 107
ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɝɪɭɩɭɸɬɶɫɹ ɛɿɥɹ ɰɶɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ. ɍ ɬɚɛɥ. ɪɢɫ. 3.20 ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɞɚɧɿ ɿɫɩɢɬɿɜ: xɿ – ɦɨɠɥɢɜɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡ ɩ’ɹɬɢ ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɯ; mɿ – ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɶ ( ¦ mi
m ). ɇɟɨɛɯɿɞɧɨ ɪɨɡɪɚ-
ɯɭɜɚɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɹɤ ɨɪɿɽɧɬɨɜɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɞɨɫɹɝɧɟɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɚɛɨ ɹɤɨɫɬɿ ɧɚɜɱɚɧɧɹ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: x ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ D (ɪɢɫ. 3.20) ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯɿ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ fi = mi/m, ɩɪɢɣɧɹɜɲɢ ʀɯ ɡɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋɿ (ɏ = ɯɿ). Ɍɚɤɟ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɟ ɩɪɢ ɜɟɥɢɤɿɣ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. x ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ ȿ (ɪɢɫ. 3. 20) ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɜɚɠɟɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯɿ ·fi. x ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ (ɪɢɫ. 3.21 ).
Ɋɢɫ. 3.20. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɋɢɫ. 3.21. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ x Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ: n
M[ X ]
¦ ɯɿ f (ɯɿ )
0 0,02 1 0,04 2 0,06 3 0,12 4 0,32 5 0,44 4,00 .
ɿ 1
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ, ɡɞɨɛɭɬɟ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɿɫɩɢɬɿɜ, ɛɥɢɡɶɤɟ ɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[X] = 4,00 ɿ ɦɨɠɟ ɫɥɭɠɢɬɢ ɨɪɿɽɧɬɨɜɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɹɤɨɫɬɿ ɧɚɜɱɚɧɧɹ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɹɤɳɨ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɚ ɿ ɧɟɜɿɞ'ɽɦɧɚ, ɮɭɧɤɰɿɹ f(x) ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɬɚɤɚ, ɳɨ ɯ
F ( x)
³ f ( x)dx .
f
Ɍɨɞɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨ 108
(3.23)
f
M[X ]
³ x f ( x)dx .
(3.24)
f
ɉɪɢɤɥɚɞ 3.15. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɡ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɿɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ ɿɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [a, b].
Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɇɚ ɪɢɫ. 3.22. ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɝɪɚɮɿɤ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɏ ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [a, b].
Ɋɢɫ. 3.22. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ Ɋɢɫ. 3.23. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [2, 4] ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [a, b] Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M[X] ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɹɤ ɜɢɡɧɚɱɧɢɣ ɿɧɬɟɝɪɚɥ ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ ɜɿɞ – ɞɨ +, ɚ ɫɚɦɟ f
³ x f ( x)dx .
M[X ]
f
ɓɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [–, +] ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɧɚ ɬɪɶɨɯ ɨɤɪɟɦɢɯ ɞɿɥɹɧɤɚɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɯ:
f ( x)
°0, ° 1 , ® °b a ° ¯0,
f d x a; a d x d b; . b x d f.
Ɂɜɿɞɫɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M[X] ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ M[X ]
ɚɛɨ M [ X ]
f
a
b
f
f
a
1
f
b
b
a
1
³ x f ( x)dx ³ x 0dx ³ x b a dx ³ x 0dx ³ x b a dx
b
1
³ x b a dx a
1 b ³ xdx ba a 109
2 b
1 x ba 2
a
1 b2 a2 ba 2
ba . 2
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M [ X ]
ba . Ⱦɥɹ 2
ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [a, b], ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, a = 2 ɿ b = 4, ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M [ X ]
42 2
3 . ɇɚ ɪɢɫ. 3.23. ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɝɪɚɮɿɤ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɭ [2, 4] ɿ ɜɿɞɦɿɱɟɧɨ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ M[X] = 3.
ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɦ (ɬɨɛɬɨ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɢɦ ɡɚ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɯ1, ɯ2, …, ɯn) ɚɧɚɥɨɝɨɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɽ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ X
1 n ¦ xi . ni1
ɉɨɹɫɧɟɧɧɹ ɬɚɤɨɝɨ ɩɟɪɟɯɨɞɭ ɜɿɞ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɞɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɿɞ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M[X]) ɞɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ X ) ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɹɤ ɡɦɟɧɲɟɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɞɟ ɦɨɠɥɢɜɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɽ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ – ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ ʀɯ ɩɨɹɜɢ ɭ ɜɢɛɿɪɰɿ. Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɨɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɨɜɚɧɿ ɳɟ ɞɜɨɦɚ ɦɿɪɚɦɢ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɰɟɧɬɪɭ: ɦɨɞɨɸ Ɇɨ[X] ɿ ɦɟɞɿɚɧɨɸ Md[X]. Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ɇɨɞɨɸ Ɇɨ[X] ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɟ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɩɪɢ ɹɤɨɦɭ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɞɨɫɹɝɚɽ ɦɚɤɫɢɦɭɦɭ13. Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɦɨɞɨɸ ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɿɦɨɜɿɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡ ɪɢɫ. 3.21 ɦɨɠɧɚ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ, ɳɨ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ 0,44 ɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 5. Ɉɬɠɟ, ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɽ ɦɨɞɨɸ Ɇɨ[X] = 5,00. əɤɳɨ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɽɬɶɫɹ ɥɢɲɟ ɞɥɹ ɨɞɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ X (ɪɢɫ. 3.21), ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɭɧɿɦɨɞɚɥɶɧɢɦ (ɨɞɧɨɦɨɞɚɥɶɧɢɦ), ɹɤɳɨ ɞɥɹ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɧɟɫɭɫɿɞɧɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ – ɩɨɥɿɦɨɞɚɥɶɧɢɣ. Ɇɨɞɚ ɽ ɩɪɢɪɨɞɧɨɸ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɸ ɰɟɧɬɪɚ ɝɪɭɩɭɜɚɧɧɹ ɭ ɪɚɡɿ ɭɧɿɦɨɞɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ. ɉɨɥɿɦɨɞɚɥɶɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɫɜɿɞɱɚɬɶ ɩɪɨ ɫɭɬɬɽɜɭ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. Ȳɯɧɽ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɞɨɰɿɥɶɧɟ ɞɥɹ ɡɚɜɞɚɧɶ ɤɥɚɫɢɮɿɤɚɰɿʀ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɦɨɞɭ Ɇɨ[X], ɹɤ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ (ɪɢɫ. 3.24), 13
qÔÒÓÒѾÐÒ ÓÒÔÈÑÅÖÍ ÙÊ ÒÌÑÆÚÊÑÑÅ Ì ÒÌÑÆÚÊÑÑÅÐ ÈÍÇÔ±ÒÈÒ ÐÒÉÍ nÒ. 110
ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɩɨɯɿɞɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɡɚ ɭɦɨɜ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨɫɬɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɚ ɩɟɜɧɨɦɭ ɩɪɨɦɿɠɤɭ [a, b]. ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɦ ɚɧɚɥɨɝɨɦ Ɇɨ[X] ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɽ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɦɨɞɚ Ɇɨ
– ɹɤ ɜɚɪɿɚɧɬɚ, ɹɤɚ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɡɭɫɬɪɿɱɚɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɛɿɪɰɿ.
Ɋɢɫ. 3.24. Ɇɨɞɚ Ɇɨ[X] ɽ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɳɿɥɶ- Ɋɢɫ. 3.25. Ɇɟɞɿɚɧɚ Ɇd[X] ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ
ɡɚ ɭɦɨɜ Ɋ(ɏ Ɇd[X]) = Ɋ(ɏɆd[X])
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ɇɟɞɿɚɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɟ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ɇd[X], ɩɪɢ ɹɤɨɦɭ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɡɦɿɧɧɨɸ ɏ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɧɟ ɜɢɳɟ ɡɚ Ɇd[X] ɿ ɧɟ ɧɢɠɱɟ Ɇd[X], ɬɨɛɬɨ
Ɋ( ɏ Ɇd[X] ) = Ɋ( ɏ Ɇd[X] ). Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɽɸ ɦɟɞɿɚɧɚ Ɇd[X] – ɰɟ ɬɨɱɤɚ ɧɚ ɚɛɫɰɢɫɿ, ɱɟɪɟɡ ɹɤɭ ɩɥɨɳɚ, ɳɨ ɥɟɠɢɬɶ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɞɿɥɢɬɶɫɹ ɧɚɜɩɿɥ – ɧɚ ɞɜɿ ɪɿɜɧɿ ɱɚɫɬɢɧɢ S1=S2 (ɪɢɫ. 3.25). ɍ ɪɚɡɿ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɦɟɞɿɚɧɢ
Ɇd ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɟɥɟɦɟɧɬɭ ɰɶɨɝɨ ɪɹɞɭ ɿ ɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɦɟɞɿɚɧɢ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 2.2). ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ:
x ɹɤɳɨ X1, X2, ..., Xn – ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ (ɬɨɛɬɨ Xɿ ɿ Xj ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɞɥɹ i j ), ɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɫɭɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɫɩɨɞɿɜɚɧɶ ɰɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
Ɇ[X1 + X2 + … + Xn] = Ɇ[X1] + Ɇ[X2] + ...+Ɇ[Xn];
(3.25)
x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɞɨɛɭɬɤɭ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X1, X2, ..., Xn ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɨɛɭɬɤɨɜɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɰɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ 111
Ɇ[X1 · X2 · … · Xn] = Ɇ[X1] · Ɇ[X2] · ... ·Ɇ[Xn];
(3.26)
x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɤɨɧɫɬɚɧɬɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɚɦɿɣ ɤɨɧɫɬɚɧɬɿ M[a] = a;
(3.27)
x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɪɿɡɧɢɰɿ X– M[X] ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ M[X– M[X]] = 0;
(3.28)
x ɹɤɳɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɿ Y ɜɢɡɧɚɱɟɧɿ ɧɚ ɬɨɦɭ ɠ ɫɚɦɨɦɭ ɩɪɨɫɬɨɪɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ, a ɿ b – ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ
M[aX+bY] = aM[X] + bM[Y].
(3.29)
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɩɨɤɚɡɭɽ, ɧɚɜɤɨɥɨ ɹɤɨʀ ɱɢɫɟɥɶɧɨʀ ɦɿɪɢ ɝɪɭɩɭɸɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɉɪɨɬɟ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɬɚɤɨɠ ɦɚɬɢ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɢɦɿɪɸɜɚɬɢ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ (ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ) ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɳɨɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ. Ɍɚɤɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ ɽ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɬɚ ʀʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ, ɚ ɫɚɦɟ M[(X – Ɇ[ɏ])2 ]. Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨ14 D[ X ] M[(X M[ X ])2 ],
ɚɛɨ
n
D[ X ]
(3.30)
¦ f (xi ) ɯɿ M[ X ] . 2
ɿ 1
ɇɚ ɪɢɫ.3.26 ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ – ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ f(xi) – ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[ɏ] (ɤɨɦɿɪɤɚ ȿ9) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ D[X] (ɤɨɦɿɪɤɚ G9).
14
s2.
qÔÒÓÒѾÐÒ ÓÒÔÈÑÅÖÍ ÙÊ ÒÌÑÆÚÊÑÑÅ Ì ÒÌÑÆÚÊÑÑÅÐ ÈÍÇÔ±ÒÈÒ ÉÍÕÓÊÔÕ 112
Ɋɢɫ. 3.26. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ Ɇ[ɏ] ɿ D[X] ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ.3.27 ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[ɏ] ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ D[X] ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɚ 3.14, ɚ ɬɚɤɨɠ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɇ[ɏ] = 4,00 (ɤɨɦɿɪɤɚ ȿ9) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ D[X] = 1,00 (ɤɨɦɿɪɤɚ G9). Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɩɨɤɚɡɭɽ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɝɪɭɩɭɸɬɶɫɹ ɛɿɥɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 4,00, ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɹɤɢɯ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ 50% ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ. ɉɪɨɬɟ, ɧɚɜɤɨɥɨ ɬɚɤɨɝɨ ɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɠɭɬɶ ɝɪɭɩɭɜɚɬɢɫɹ ɣ ɿɧɲɿ ɞɚɧɿ.
Ɋɢɫ. 3.27. Ɍɚɛɥɢɰɹ ɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ Ɇ[ɏ]=4,00 ɿ D[X]=1,00 Ɂ ɪɢɫ.3.28 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[ɏ] = 4,00 ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ
D[X] = 2,32 ɽ ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɨɸ, ɧɿɠ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 3.27. ɉɪɨ ɡɧɚɱɧɭ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɣ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ.
Ɋɢɫ. 3.28. Ɍɚɛɥɢɰɹ ɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ Ɇ[ɏ]=4,00 ɿ D[X]=2,32 ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɩɨɪɿɜɧɹɬɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɢɫ. 3.27 ɿ 3.28 ɿ ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɹɤɿ ɩɨɫɬɿɣɧɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɧɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɚɯ:
x ɹɤɳɨ ɏ – ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɚ ɿ b – ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, Y = aɏ+b, ɬɨ 113
D[aɏ+b] = a2D[X]
(3.31)
(ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ ɚ ɹɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɫɲɬɚɛɭ ɫɭɬɬɽɜɨ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ, ɬɨɞɿ ɹɤ ɱɢɫɥɨ b – ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɡɫɭɜɭ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɧɟ ɜɩɥɢɜɚɽ);
x ɹɤɳɨ X1, X2, ..., Xn – ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ (ɬɨɛɬɨ Xɿ ɿ Xj ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɞɥɹ i j ), ɬɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɫɭɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ D[X1 + X2 + … + Xn] = D[X1] + D[X2] + ...+D[Xn].
(3.32)
ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ (3.25) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ (3.32) ɦɚɸɬɶ ɜɚɠɥɢɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢ ɜɢɜɱɟɧɧɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɚɛɨ ɜɢɦɿɪɿɜ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶɫɹ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ, ɹɤ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿʀ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɂ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɬɿɫɧɨ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɣ ɳɟ ɨɞɢɧ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ – ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ. Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɦ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɧɟɜɿɞ'ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ
SD[ X ] D[ X ] .
(3.33)
Ɉɬɠɟ, ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɏ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɡɜ’ɹɡɚɧɨ ɡ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ. ɍ ɬɟɨɪɿʀ ɬɚ ɩɪɚɤɬɢɰɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɬɚɤɨɠ ɜɚɠɥɢɜɭ ɪɨɥɶ ɜɿɞɿɝɪɚɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ – ɬɚɤ ɡɜɚɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ (ɩɨɱɚɬɤɨɜɿ ɿ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ), ɹɤɿ ɽ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɉɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ k-ʀ ɫɬɟɩɟɧɿ ɰɿɽʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ:
v~k
M [ X k ] .15
(3.34)
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɏ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ k-ʀ ɫɬɟɩɟɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɰɿɽʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɜɿɞ ɣɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ:
~ m k ɚɛɨ
~ m k
M > X M ( X )@ , k
M [ X a]k , ɞɟ a
15
(3.35) M [X ] .
Ⱦɥɹ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɦɟɬɧɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɦɨ ɬɿ ɠ ɫɚɦɿ ɥɿɬɟɪɢ, ɳɨ ɿ ɞɥɹ ɦɨɦɟɬɧɿɜ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ, ɚɥɟ ɡ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɡɧɚɤɨɦ ˜ («ɬɿɥɶɞɚ»). 114
Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ (ɹɤɿ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɯɿ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɪɿ) ɿ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɢɯ (ɡɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ f(ɯ)) ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 3.4.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.4
Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ȼɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɚ ɇɟɩɟɪɟɪɜɧɚ
Ɇɨɦɟɧɬ ɉɨɱɚɬɤɨɜɢɣ
v~k
n
¦ xik pi
f
³ xi
v~k
k
i 1
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ
n
¦ ( xi a) k pi
~ m k
~ m k
i 1
f ( x)dx
f f
³ ( xi a)
k
f ( x)dx
f
əɤ ɿ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɯ ɪɹɞɤɿɜ ɦɨɦɟɧɬɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɦɚɸɬɶ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɣ ɫɟɧɫ:
ɉɟɪɲɢɣ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=1) ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɽ ʀʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ:
v~1
M[ X ] P .
(3.36)
Ⱦɪɭɝɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=2) ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ D[X] ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ: ~ m 2
n
¦ (x
i
a) 2 pi
D[ X ] V 2 .
(3.37)
i 1
Ɍɪɟɬɿɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=3) ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ: ~ m 3
n
¦ ( xi a) 3 p i . i 1
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ Ⱥ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ: ~ m 3
V3
1
n
¦ ( xi a ) 3 pi V3
A.
(3.38)
i 1
ɑɟɬɜɟɪɬɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=4) ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɤɪɭɬɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.
115
~ m 4
n
¦ ( xi a ) 4 p i i 1
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɨɦ ɟɤɫɰɟɫɭ ȿ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɥɨ: ~ m 4
V
4
3
ª 1 « 4 ¬V
n
º
i 1
¼
¦ ( xi a ) 3 p i » 3
E.
(3.39)
ɇɚ ɨɫɧɨɜɿ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (ɞɢɜ., ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɨɡɞɿɥɢ 4 ɿ 5). əɤ ɜɿɞɡɧɚɱɚɥɨɫɹ ɜɢɳɟ, ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɜɚ ɩɚɪɚɥɟɥɶɧɢɯ ɪɹɞɤɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ: ɩɟɪɲɢɣ – ɦɚɽ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɩɪɚɤɬɢɤɢ (ɰɟ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ), ɞɪɭɝɢɣ – ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɿʀ (ɰɟ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ). ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɰɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 3.5.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.5
ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɣ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ 1. ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɿɞɧɨɫɧɚ mi /n 2. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ fi 3. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ fi
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɿ Ɏɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) n
¦ f ( xɿ )
n
¦ fi
1
ɿ 1
1
f
³ f ( x)dx
i 1
1
f
4. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Fj
Ɏɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) j
Fj
¦ f ( xi )
F (x j )
j
¦ fi
ɿ 1
x
i 1
F ( x)
³ f ( x)dx
f
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[X]
5. ɋɟɪɟɞɧɽ X
n
X
M[X ]
¦ f i xi ¦ fi
¦ ɯɿ f ( ɯ ɿ ) ɿ 1 f
M[X ]
³ x f ( x)dx
f
6. Ɇɨɞɚ Mo 7. Ɇɟɞɿɚɧɚ Ɇd
Ɇɨɞɚ Ɇɨ[X] Ɇɟɞɿɚɧɚ Md[X] 116
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.5 ɩɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ 8. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ s
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ D[X]
2 x
n
s x2
¦ f (xi ) ɯɿ M[ X ]
D[ X ]
1 ¦ f i ( xi X ) 2 n 1
2
ɿ 1
f
D[ X ]
2 ³ f (x) ɯ M[ X ]
f
9. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ s x
sx
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ SD[ X ]
s x2
SD[ X ]
D[ X ]
Ɉɬɠɟ, ɦɟɬɨɸ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ – ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɪɟɚɥɶɧɨ ɿɫɧɭɸɱɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ. Ɍɚɤ, ɩɫɢɯɨɥɨɝɢ, ɩɟɞɚɝɨɝɢ, ɿɧɲɿ ɮɚɯɿɜɰɿ ɩɪɚɰɸɸɬɶ ɭ ɪɟɚɥɶɧɿɣ ɫɮɟɪɿ, ɨɛ’ɽɤɬɚɦɢ ɹɤɨʀ ɽ ɨɫɨɛɢ, ɝɪɭɩɢ ɨɫɿɛ, ɤɨɥɟɤɬɢɜɢ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɫɥɭɠɚɬɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ. ɉɪɨɬɟ ɨɫɧɨɜɧɚ ɦɟɬɚ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ – ɰɟ ɡɞɨɛɭɬɬɹ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɧɧɹ, ɚ ɡɧɚɧɧɹ ɿɫɧɭɽ ɜ ɿɞɟɚɥɶɧɿɣ ɮɨɪɦɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ. Ɂɜɿɞɫɢ ɜɢɧɢɤɚɽ ɩɪɨɛɥɟɦɚ ɤɨɪɟɤɬɧɨɝɨ ɩɟɪɟɯɨɞɭ ɜɿɞ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ. ɐɟɣ ɩɟɪɟɯɿɞ ɩɨɬɪɟɛɭɽ ɚɧɚɥɿɡɭ ɹɤ ɡɚɝɚɥɶɧɢɯ ɦɟɬɨɞɢɱɧɢɯ ɩɿɞɯɨɞɿɜ, ɬɚɤ ɿ ɫɬɪɨɝɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɩɿɞɫɬɚɜ. ɉɪɢɧɰɢɩɨɜɭ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɬɭɬ ɜɿɞɤɪɢɜɚɽ ɡɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɟ ɨɛʉɪɭɧɬɭɜɚɧɧɹ ɹɤɨɦɭ ɛɭɥɨ ɧɚɞɚɧɟ əɤɨɛɨɦ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ (1654-1705), ɉɚɮɧɭɬɿɽɦ Ʌɶɜɨɜɢɱɟɦ ɑɟɛɢɲɟɜɢɦ (1821-1894) ɬɚ ɿɧɲɢɦɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚɦɢ XIX ɫɬ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɩɨɧɹɬɬɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. 2. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɚ ɿ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ? 3. Ɂ ɹɤɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɣ ɩɪɨɫɬɿɪ? 4. əɤ ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ? 5. əɤ ɡɜ’ɹɡɚɧɿ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɮɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(x) ɿ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x)? 6. ɇɚɞɚɣɬɟ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɭ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɸ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ F (f)
f
³ f ( x)dx
f
117
1.
7. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɮɭɧɤɰɿɹ ɹɤɨɝɨ F ( x d 100)
100
³ f ( x)dx = 0,50.
f
8. əɤɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ ɩɥɨɳɿ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ? 9. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ ɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ? 10. əɤ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɡɚ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɟɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ? 11. ɓɨ ɬɚɤɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ? 12. ɉɨɹɫɧɿɬɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. 13. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɞɢ ɿ ɦɟɞɿɚɧɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. 14. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. 15. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. 16. əɤɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɿ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ? 17. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɨɱɚɬɤɨɜɨɝɨ ɿ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ? 18. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 3.11 – 3.15.
3.3. ɁȺɄɈɇ ȼȿɅɂɄɂɏ ɑɂɋȿɅ16 ɉɨɜɬɨɪɧɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ əɜɢɳɚ ɿ ɩɪɨɰɟɫɢ, ɳɨ ɜɢɜɱɚɽ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɹ, – ɰɟ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɫɤɥɚɞɧɿ ɩɨɞɿʀ. Ɍɨɦɭ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɛɚɡɢ ɨɩɢɫɭ ɬɚɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɡɪɭɱɧɨ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. Ɍɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɬɚ ɿɫɩɢɬɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɩɪɢ ɞɟɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɩɪɢɤɥɚɞɨɦ ɬɚɤɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. Ɂ ɤɥɚɫɢɱɧɨɝɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ – ɰɟ ɱɢɫɥɨ, ɞɨ ɹɤɨɝɨ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ
ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ. Ⱦɨ ɬɨɝɨ ɠ ɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ, ɿ ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶɫɹ ɜ ɞɨɥɹɯ ɨɞɢɧɢÑÒÉ ÓÍÛ¾Öß «ÌƱÒÑÍ ÈÊÏͱÍØ ÚÍÕÊÏ», ÐÆáÚÍ ÑÆ ¾ÈÆÌ ÒÕÑÒÈÑ ÖÊÒÔÊÐÍ (cÊÔѾÏÏ, yÊÇÍÛÊÈÆ, ÙÊÑÖÔÆÏßÑÒ ɝÔÆÑÍÚÑÒ ÖÊÒÔÊÐÍ ÖÆ Ñ.). 16
118
ɰɿ, ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɦɿɳɟɧɿ ɦɿɠ ɧɭɥɟɦ ɿ ɨɞɢɧɢɰɟɸ, ɯɨɱɚ, ɹɤ ɜɿɞɨɦɨ,
ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɿ ʀʀ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟ ɫɩɿɜɩɚɞɚɸɬɶ ɜ ɿɞɟɚɥɿ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ, ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɜɤɚɡɚɬɢ ɞɨ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɚɩɪɿɨɪɧɨɸ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɢ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɿ ɦɨɧɟɬɢ ɧɚɩɟɪɟɞ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɜɨɧɚ ɦɨɠɟ ɜɩɚɫɬɢ ɜɝɨɪɭ «ɝɟɪɛɨɦ» ɚɛɨ «ɰɢɮɪɨɸ». Ɍɭɬ ɦɨɠɥɢɜɿ ɥɢɲɟ ɞɜɿ ɩɨɞɿʀ, ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɹɤɢɯ (ɹɤɳɨ ɦɨɧɟɬɚ ɿɞɟɚɥɶɧɚ) ɨɞɧɚɤɨɜɿ: P(«ɝɟɪɛ») = P(«ɰɢɮɪɚ») = ½ = 0,5. ȱɧɲɚ ɫɢɬɭɚɰɿɹ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɦɿɫɰɟ ɩɪɢ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɹɯ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɩɥɢɜɭ ɧɨɜɢɯ ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɣ ɚɛɨ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɢɤ ɧɚ ɨɤɪɟɦɢɯ ɨɫɿɛ (ɲɤɨɥɹɪɿɜ, ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɬɨɳɨ) ɚɛɨ ɧɚ ɜɟɫɶ ɤɨɥɟɤɬɢɜ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɚɤɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɩɟɪɟɞɛɚɱɢɬɢ ɧɚɩɟɪɟɞ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɬɚɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɚ ɬɿɥɶɤɢ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɞɨɫɥɿɞɭ, ɬɨɛɬɨ ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɿ. Ⱦɥɹ ɩɪɚɤɬɢɤɢ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɚɩɚɪɚɬɭ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɜɚɠɥɢɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ ɩɢɬɚɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɱɢ ɫɩɿɜɩɚɞɚɸɬɶ ɚɩɪɿɨɪɧɿ (ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɿ) ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦɢ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ) ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɦɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɚɫɬɨɬ? ȱ ɹɤɳɨ ɬɚɤ, ɬɨ ɩɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ? Ⱦɚɸɱɢ ɩɪɢɧɰɢɩɨɜɨ ɩɨɡɢɬɢɜɧɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ ɰɟ ɩɢɬɚɧɧɹ, ɱɢɫɥɟɧɧɿ ɞɨɫɥɿɞɢ ɿ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɚɥɢ, ɳɨ ɱɚɫɬɨɬɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɬɢɩɭ
m ɧɚɛɥɢɠɚn
ɸɬɶɫɹ ɞɨ ʀɯɧɿɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ p ɭ ɦɿɪɭ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɩ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɨɞɧɭ ɣ ɬɭ ɠ ɦɨɧɟɬɭ ɩɿɞɤɢɞɚɬɢ ɜɟɥɢɤɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɚɡɿɜ, ɬɨ ɜ ɹɤɨɦɭɫɶ ɱɢɫɥɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɜɢɩɚɞɟ «ɝɟɪɛ», ɚ ɜ ɿɧɲɢɯ ɜɢɩɚɞɟ «ɰɢɮɪɚ». ɉɪɢɦɿɬɧɨ ɬɟ, ɳɨ ɱɢɦ ɛɿɥɶɲɟ ɡɞɿɣɫɧɟɧɨ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɬɢɦ ɟɦɩɿɪɢɱɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɞɿʀ ɫɬɚɽ ɛɥɢɠɱɨɸ ɞɨ ʀʀ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (ɞɥɹ ɿɞɟɚɥɶɧɨʀ ɦɨɧɟɬɢ ɪ=0,5). ȱɫɧɭɸɬɶ ɿ ɩɪɹɦɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɿ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɱɚɫɬɨɬɚ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɞɟɹɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɛɥɢɡɶɤɚ ɞɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɨʀ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɦɿɪɤɭɜɚɧɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɡ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɹɦ ɦɨɧɟɬɢ (ɬɚɛɥ. 3.6). Ɂ ɬɚɛɥ. 3.6 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ n ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɱɚɫ-
ɬɨɬɢ ɩɨɞɿʀ ɜɿɞ ʀʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ
m p ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ. ɍ ɰɶɨɦɭ ɮɚɤɬɿ ɽ ɩɪɨɹɜ ɞɿʀ n
ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ: ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɪɢ ɡɪɨɫɬɚɧɧɿ 119
ɱɢɫɥɚ ɞɨɫɥɿɞɿɜ ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ, ɚ ɰɟ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɰɿɧɸɜɚɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɡɚ ɞɚɧɢɦ ɞɨɫɥɿɞɿɜ.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.6
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ
ɏɬɨ ɩɪɨɜɨɞɢɜ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ
Ȼɸɮɮɨɧ ɉɿɪɫɨɧ: ɩɟɪɲɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ ɉɿɪɫɨɧ: ɞɪɭɝɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ
ɑɢɫɥɨ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ
ɑɢɫɥɨ ɩɨɞɿɣ ɜɢɩɚɞɚɧɧɹ «ɝɟɪɛɨɦ»
n
m
m n
p
m p n
4 040
2 048
0,5069
0,5000
0,0069
12 000
6 019
0,5016
0,5000
0,0016
24 000
12 012
0,5005
0,5000
0,0005
Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɚ ɑɚɫɬɨɬɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ɩɨɞɿʀ
ȼɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɱɚɫɬɨɬɢ ɜɿɞ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ
Ɂɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɨɫɢɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɢɜɧɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɿ ɦɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɭ ɛɚɡɭ. ȼɢɫɧɨɜɤɢ ɡɚɤɨɧɭ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɸɬɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɨɫɥɿɞɢ Ʉɟɬɥɟ: ɜ ɭɪɧɭ ɩɨɦɿɳɚɥɢ 20 ɛɿɥɢɯ ɿ 20 ɱɨɪɧɢɯ ɤɭɥɶ, ɩɨɬɿɦ ɜɢɬɹɝɭɜɚɥɢ ɡ ɧɟʀ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɨɞɧɭ ɤɭɥɸ, ɪɟɽɫɬɪɭɜɚɥɢ ʀʀ ɤɨɥɿɪ ɿ ɩɨɜɟɪɬɚɥɢ ɤɭɥɸ ɧɚɡɚɞ. Ʉɨɠɧɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ ɩɨɜɬɨɪɸɜɚɥɢ ɛɚɝɚɬɨ ɪɚɡɿɜ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɹɜɢ ɛɿɥɨʀ ɚɛɨ ɱɨɪɧɨʀ ɤɭɥɿ ɡɚɥɢɲɚɥɚɫɹ ɩɪɢ ɰɶɨɦɭ ɩɨɫɬɿɣɧɨɸ, ɪɿɜɧɨɸ 1/2 (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 3.7).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.7
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɫɥɿɞɿɜ Ʉɟɬɥɟ ɑɢɫɥɨ ɜɢɣɧɹɬɢɯ ɤɭɥɶ 4 16 64 256 1022 4096
Ɂ ɧɢɯ ɨɩɢɧɢɥɨɫɹ ɛɿɥɢɯ ɱɨɪɧɢɯ 1 3 8 8 28 36 125 131 526 496 2066 2030
ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɛɿɥɢɯ ɿ ɱɨɪɧɢɯ ɤɭɥɶ 0,33 1,00 0,78 0,95 1,06 1,02
Ɂ ɬɚɛɥ. 3.7 ɜɢɞɧɨ, ɹɤ ɿɡ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɛɿɥɢɯ ɿ ɱɨɪɧɢɯ ɤɭɥɶ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɨɞɢɧɢɰɿ.
120
Ɂɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɫɬɜɟɪɞɠɭɽ, ɳɨ ɱɚɫɬɨɬɚ
m ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɛɭɞɟ ɫɤɿɥɶɤɢ ɡɚn
ɜɝɨɞɧɨ ɛɥɢɡɶɤɨɸ ɞɨ ʀʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ, ɹɤɳɨ ɱɢɫɥɨ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ n ɧɟɨɛɦɟɠɟɧɨ ɡɪɨɫɬɚɽ. Ɇɨɠɧɚ ɜɡɹɬɢ ɫɤɿɥɶɤɢ ɡɚɜɝɨɞɧɨ ɦɚɥɟ ɱɢɫɥɨ İ ɿ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɣɨɝɨ ɡ ɪɿɡɧɢɰɟɸ ɦɿɠ ɜɿɞɧɨɫɧɨɸ ɱɚɫɬɨɬɨɸ ɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɩɨɞɿʀ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɰɹ ɪɿɡɧɢɰɹ ɩɟɪɟɜɢɳɢɬɶ ɱɢɫɥɨ İ, ɩɪɚɝɧɭɬɢɦɟ ɞɨ ɧɭɥɹ ɩɪɢ ɩɪɚɝɧɟɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɩ ɞɨ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɫɬɿ: m ½ ° ° P® p ! H ¾ o 0 . n °¯ nof °¿
Ɉɬɠɟ, ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɞɿʀ ɿ ʀʀ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟ ɫɩɿɜɩɚɞɚɸɬɶ, ɩɪɨɬɟ ɪɿɡɧɢɰɹ ɦɿɠ ɧɢɦɢ ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɡɚɤɨɧɨɦɿɪɧɨɫɬɿ ɜɢɹɜɥɹɸɬɶɫɹ ɬɿɥɶɤɢ ɭ ɛɚɝɚɬɨɪɚɡɨɜɢɯ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɬɚɤɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ n ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ ɡɧɚɱɧɨɸ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ ɫɬɜɟɪɞɠɭɽ: ɹɤɳɨ m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɜ n ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ, ɚ ɪ ɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɚɫɬɚɧɧɹ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɜ ɤɨɠɧɿɦ ɡ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɬɨ ɩɪɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɦɭ İ>0 ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ m ½ p (1 p) . P® p t H ¾ d n nH 2 ¯ ¿
(3.40)
ɐɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɽ ɩɟɪɲɢɦ ɜ ɿɫɬɨɪɿʀ ɜɚɪɿɚɧɬɨɦ ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɿ ɩɨ ɫɭɬɿ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɩɨɱɚɬɤɨɦ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɹɤ ɝɚɥɭɡɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɧɚɭɤɢ. ȼɿɞɬɨɞɿ ɬɟɨɪɿʀ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ ɫɬɚɸɬɶ ɨɫɧɨɜɨɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɰɿɧɢɬɢ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ n ɩɪɢ ɩɟɜɧɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ʀɯ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɹ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.16. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɫɤɥɚɞɟ ɡɚɥɿɤ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 90%. ɋɤɿɥɶɤɢ ɬɪɟɛɚ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ, ɳɨɛ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ 80% ɜɢɹɜɢɬɢ ɭɫɩɿɲɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ. ɉɨɯɢɛɤɚ ɩɪɢ ɰɶɨɦɭ ɧɟ ɩɨɜɢɧɧɚ ɩɟɪɟɜɢɳɭɜɚɬɢ 10%. Ɋɿɲɟɧɧɹ: 121
ȼɢɡɧɚɱɢɦɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ: ɪ = 0,90 – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɫɤɥɚɞɟ ɡɚɥɿɤ; İ = 0,10 – ɩɨɯɢɛɤɚ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ; m ½ P ® p t 0,10¾ =0,80 – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ. ¯n ¿
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɢɬɢ ɩɨɯɢɛɤɭ ɭ 10% ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽ ½ m P ® p 0,10¾ =1 – 0,80 = 0,20. ¿ ¯n
ɉɪɢ ɰɶɨɦɭ ɩɨɜɢɧɧɚ ɜɢɤɨɧɭɜɚɬɢɫɹ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ ɩɪɚɜɨʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɜɢɪɚɡɭ (3.40)
p(1 p ) 0,20 . nH 2 Ɂɜɿɞɫɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ, ɹɤɢɯ ɬɪɟɛɚ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ, ɜɢɡɧɚɱɢɬɶɫɹ ɹɤ n!
p(1 p) 0,20 H 2
0,90 (1 0,90) 0,20 (0,10) 2
0,90 0,10 0,20 0,01
45.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɞɥɹ ɬɨɝɨ, ɳɨɛ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ 80% ɜɢɹɜɢɬɢ ɭɫɩɿɲɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡ ɩɨɯɢɛɤɨɸ ɧɟ ɜɢɳɟ 10%, ɬɪɟɛɚ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɛɿɥɶɲɟ ɧɿɠ 45 ɨɫɿɛ. Ɉɞɧɢɦ ɡ ɩɪɢɧɰɢɩɨɜɢɯ ɩɢɬɚɧɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ İ ɿ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ n. ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ ɰɟ ɩɢɬɚɧɧɹ ɬɚɤɨɠ ɞɚɽ ɡɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.17. Ⱦɥɹ ɭɦɨɜ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 3.16 ɨɰɿɧɢɬɢ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ n ɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ İ ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɡɧɚɱɟɧɶ İ (0,1; 0,05; 0,01). Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ n ɡɝɿɞɧɨ ɡ ɬɟɨɪɟɦɨɸ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ (3.40) ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ İ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ ɧɚ ɪɢɫ. 3.29. əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɢɫ. 3.29 (ɞɢɜ. ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ D ɿ E), ɩɪɢ ɡɦɟɧɲɟɧɧɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ İ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɧɟɨɛɯɿɞɧɢɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ n ɡɪɨɫɬɚɽ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨ İ2.
122
Ɋɢɫ. 3.29. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ n ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ İ ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɱɢɦ ɠɨɪɫɬɤɿɲɿ ɭɦɨɜɢ İ ɳɨɞɨ ɡɦɟɧɲɟɧɧɹ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɸ ɱɚɫɬɨɬɨɸ ɩɨɞɿʀ ɬɚ ʀʀ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ, ɬɢɦ ɛɿɥɶɲɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɩɨɬɪɟɛɭɸɬɶ ɬɚɤɿ ɞɨɫɥɿɞɢ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɢɲɟɜɚ Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɢɲɟɜɚ ɫɜɿɞɱɢɬɶ: ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ1, ɏ2, ..., ɏn ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɣ ɿɫɧɭɽ ɱɢɫɥɨ C ɬɚɤɟ, ɳɨ D[Xɿ] C ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɿ = 1, 2, ..., n, ɬɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ İ>0 ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ
X X 2 ! X n M [X1] M [X 2 ] ! M [X n ] ½ C t H ¾ d 2 . (3.41) P® 1 n n ¯ ¿ nH ɇɟɪɿɜɧɿɫɬɶ (3.41) ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɿɧɚɤɲɟ
1 n 1 n ½ lim P ® ¦ X i ¦ M [ X i ] H ¾ 1. n of n n i 1 ¯ i1 ¿
(3.42)
Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
1 n ¦ X i ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ni1
ɫɩɨɞɿɜɚɧɶ
1 n ¦ M[ X i ] ɦɟɧɲ ɧɿɠ ɧɚ İ, ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ 1 ɩɪɢ ɡɪɨɫɬɚɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ni1
ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ İ. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɢɲɟɜɚ ɽ ɪɨɡɜɢɬɤɨɦ ɿ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹɦ ɬɟɨɪɟɦɢ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ Ⱦɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɰɿɥɟɣ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɬɚɤɢɣ ɜɚɪɿɚɧɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɤɨɥɢ ɜɫɿ ɏɿ ɦɚɸɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M[ɏɿ]=Ɇ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ D[ɏɿ]=D. Ɍɨɞɿ ɭ ɹɤɨɫɬɿ ɨɰɿɧɤɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ
123
ɏ
X1 X 2 ! X n n
1 n ¦ Xi , ni1
ɡɜɿɞɤɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɜɢɡɧɚɱɚɬɶɫɹ ɹɤ
M[X ]
ª1 n º M « ¦ Xi» ¬n i 1 ¼
D[ X ]
ª1 n º D« ¦ X i » ¬n i 1 ¼
n 1 M [¦ X i ] n i 1 n 1 D[¦ X i ] 2 n i 1
1 n ¦ M[X i ] ni1
M,
D n
D.
1 nD n2
Ɍɨɞɿ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ (3.41) ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ
^
`
P ɏ M[X ] t H d
D[ X ]
H2
(3.43)
ɚɛɨ
^
`
P ɏ M tH d
D . nH 2
(3.44)
Ɏɨɪɦɭɥɚ (3.44) ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɏ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ (ɞɨɫɥɿɞɿɜ, ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ) ɹɤ ɡɚɜɝɨɞɧɨ ɛɥɢɡɶɤɨ ɡɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɫɜɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M [X ] : p ɏ o M[X ].
(3.45)
Ɉɬɠɟ, ɜɢɪɚɡ (3.45) ɽ ɞɨɤɚɡɨɦ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɏ ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɫɜɨɝɨ ɚɧɚɥɨɝɚ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɇɚ ɰɶɨɦɭ ɜɚɠɥɢɜɨɦɭ ɜɢɫɧɨɜɤɭ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 4). ɉɪɢɤɥɚɞ 3.18. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɜɿɞɯɢɥɢɬɶɫɹ ɜɿɞ ɫɜɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ ɧɿɠ ɧɚ ɬɪɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: ȼɢɡɧɚɱɢɦɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ɑɟɛɢɲɟɜɚ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ:
ɏ ɿ M [ ɏ ] – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ;
SD[ ɏ ] ɿ D[ɏ ] – ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ;
124
H
3 SD[ ɏ ] – ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɪɿɡɧɢɰɿ ɏ M [ X ] ;
^
`
P ɏ M [X ] H – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ, ɹɤɭ ɬɪɟɛɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡ ɭɦɨɜ ɡɚɞɚɱɿ.
^
`
Ɂɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ɑɟɛɢɲɟɜɚ ɦɚɽɦɨ P ɏ M [ X ] t H d
D[ X ]
H2
.
D[ ɏ ] ɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ İ = 3 SD[ ɏ ] ɩɪɚɜɚ ɱɚɫ-
Ɂ ɭɪɚɯɭɜɚɧɧɹɦ ɜɢɪɚɡɭ SD[ ɏ ] ɬɢɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ D[ X ]
H2
D[ X ] (3 SD[ X ]) 2
D[ X ] 9 D[ X ]
^
`
1 1 , ɬɨɛɬɨ P ɏ M [ X ] t H d 9 9
Ɂ ɬɟɨɪɟɦɢ ɑɟɛɢɲɟɜɚ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ
^
`
^
`
1 P ɏ M [X ] H = 1 – P ɏ M [ X ] t H d . 9 Ɍɨɞɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ, ɹɤɭ ɬɪɟɛɚ ɨɰɿɧɢɬɢ, ɜɢɡɧɚɱɢɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ
^
`
P ɏ M[X ] H ! 1
1 9
8 | 0,89 17. 9
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɜɿɞɯɢɥɢɬɶɫɹ ɜɿɞ ɫɜɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ ɧɿɠ ɭ ɬɪɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ, ɫɤɥɚɞɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 0,89 ɚɛɨ ɛɿɥɹ 89%. Ɂ ɬɟɨɪɟɦ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ ɿ ɑɟɛɢɲɟɜɚ ɹɤ ɡ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɯ ɮɨɪɦ ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɬɨɣ ɮɚɤɬ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɪɢ ɡɪɨɫɬɚɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ, ɳɨ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɰɿɧɸɜɚɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ.
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɞɜɚ ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɝɪɚɧɢɱɧɨʀ ɬɟɨɪɟɦɢ. 1. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɞɥɹ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɞɨɞɚɧɤɿɜ – ɬɟɨɪɟɦɚ Ʌɿɧɞɟɛɟɪɝɚ-Ʌɟɜɿ. Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X1, X2, ..., Xn ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦɢ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦɢ M[Xɿ] = ȝ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ D[Xɿ] = ı2 (ɿ = 1, 2, ..., dÍÌÑÆÚÊÑÆ ÒÙÑ±Æ ÑÒÉ ÌÆÑÍËÊÑÒá, ÑÆÓÔͱÏÆÉ, ÉÏÅ ÑÒÔÐÆÏßÑÒÒ ÔÒÌÓÒÉϾ ÈÒÑÆ Õ±ÏÆÉÆ ÇÏÅ 0,997 (ÌÆ ÖƱ ÌÈÆÑÍÐ ÌƱÒÑ ÖÔßÒØ ÕÍÐ, ÉÍÈ. ÔÒÌÉÏ 3.4). 17
125
n) ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ Ɇ[X1 + X2 + … + Xn] = Ɇ[X1] + Ɇ[X2] + ...+Ɇ[Xn] = nȝ,
(3.46)
2
(3.47)
D[X1 + X2 + … + Xn] = D[X1] + D[X2] + ...+D[Xn] = nı . ȼɢɡɧɚɱɢɦɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɭ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Un ɹɤ
Un
X1 X 2 ! X n M[X1] M[X 2 ] ! M[X n ] D[ X 1 ] D[ X 2 ] ! D[ X n ]
.
Ɂ ɭɪɚɯɭɜɚɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ (3.46) ɿ (3.47) ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Un ɜɢɝɥɹɞɚɬɢɦɟ ɹɤ Un
X 1 X 2 ! X n nP
V n
.
(3.48)
Ⱦɥɹ ɜɟɥɢɱɢɧɢ Un ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M[Un] = 0, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ D[Un] = 1. Ɍɨɞɿ ɩɪɢ nĺ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɯ ɿɫɧɭɽ ɝɪɚɧɢɰɹ § X X 2 ! X n nP · x¸ lim P¨ 1 nof V n © ¹
) ( x) ,
(3.49)
ɞɟ ĭ(ɯ) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ) ( x)
x
³ M (t )dt ,
(3.50)
f
ɞɟ ij(t) – ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
M (t )
t2
1 2 e . 2S
(3.51) n
¦ Xi
əɤɳɨ ɜɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ, ɳɨ X 1 X 2 ! X n
n X , ɬɨ ɡɦɿɧɧɭ Un ɦɨɠ-
i 1
ɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɹɤ
Un
n X nP V n
X P
V
n
(3.52)
ɿ ɝɪɚɧɢɰɹ (3.48) ɩɪɢɣɦɚɽ ɛɿɥɶɲ ɡɧɚɣɨɦɭ ɮɨɪɦɚ ɡɚɩɢɫɭ
§X P · lim P¨¨ n x ¸¸ nof © V ¹
N (0,1) ,
(3.53)
ɞɟ N(0,1) - ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɦ, ɪɿɜɧɢɦ ɨɞɢɧɢɰɿ. ɍ ɞɟɹɤɢɯ ɡɚɞɚɱɚɯ ɧɟ ɡɚɜɠɞɢ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ ɿɫɧɭɜɚɧɧɹ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɞɨɞɚɧɤɿɜ. ɋɭɬɧɿɫɬɶ ɰɢɯ ɭɦɨɜ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɠɨɞɧɢɣ ɡ ɞɨɞɚɧɤɿɜ 126
ɧɟ ɩɨɜɢɧɧɢɣ ɛɭɬɢ ɞɨɦɿɧɭɸɱɢɦ, ɜɧɟɫɨɤ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɨɞɚɧɤɚ ɜ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɞɭɠɟ ɦɚɥɢɦ ɭ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɿ ɡ ɭɫɿɽɸ ɫɭɦɨɸ. 2. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɞɨɞɚɧɤɿɜ – ɬɟɨɪɟɦɚ Ʌɹɩɭɧɨɜɚ. Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X1, X2, ..., Xn ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦɢ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦɢ M[Xɿ] = ȝɿ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ D[Xɿ] = ıɿ2 0 (ɿ = 1, 2, ..., n) ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɢ Un ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ
Un
X 1 X 2 ! X n P1 P 2 ! P n
(3.54)
ªn º D «¦ X i » ¬i 1 ¼
Ɍɨɞɿ ɩɪɢ nĺ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɯ ɿɫɧɭɽ ɝɪɚɧɢɰɹ
§ · ¨ ¸ ! P P ! P X X X ¨ 1 ¸ n n 2 1 2 x¸ lim P¨ n of n ª º ¨ ¸ D «¦ X i » ¨ ¸ ¬i 1 ¼ © ¹
) ( x) ,
(3.55)
ɞɟ ĭ(ɯ) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɍ ɪɚɡɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɞɨɞɚɧɤɿɜ ɦɚɽɦɨ
ªn º ȝ1 = ȝ2 = ... = ȝn = ȝ , D «¦ X i » ¬i 1 ¼
D[ X 1 X 2 ! X n ] nV 2 ɿ ɬɟɨɪɟɦɚ Ʌɹ-
ɩɭɧɨɜɚ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬɶ ɭ ɬɟɨɪɟɦɭ Ʌɿɧɞɟɛɟɪɝɚ-Ʌɟɜɿ (3.49). ɋɟɧɫ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɝɪɚɧɢɱɧɨʀ ɬɟɨɪɟɦɢ ɬɚɤɢɣ: ɹɤɳɨ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɽ «ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɜɟɥɢɤɢɦ», ɬɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɮɨɪɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ȝ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ X ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɛɥɢɡɶɤɢɣ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ. Ɉɬɠɟ, ɨɰɿɧɤɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ɡɚ ɣɨɝɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ X ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɭɜɚɬɢ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɋɯɟɦɚ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɬɚɤɨɸ:
x ɜɢɛɢɪɚɽɦɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ n ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɏ1, ɏ2, …, ɏn ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɰɿɥɟɣ n ɩɨɜɢɧɧɨ ɛɭɬɢ ɧɟ ɦɟɧɲɟ 30, ɬɨɛɬɨ n30);
x ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɦɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ X
127
1 n ¦ ɏi ; ni1
x ɜɢɤɨɧɭɽɦɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɿ ɮɨɪɦɭɥɸɽɦɨ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɞɢɜ., ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɨɡɞɿɥ 5.4). ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ – ɰɟ ɤɥɚɫ ɬɟɨɪɟɦ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɳɨ ɡɚɬɜɟɪɞɠɭɸɬɶ, ɳɨ ɫɭɦɚ ɜɟɥɢɤɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ (ɚɛɨ ɫɥɚɛɤɨ ɡɚɥɟɠɧɢɯ) ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɛɥɢɡɶɤɢɣ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ. Ⱦɭɠɟ ɜɚɠɥɢɜɨ ɬɟ, ɹɤ ɞɿɸɬɶ ɬɿ ɩɪɢɱɢɧɢ, ɡ ɹɤɢɯ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɫɭɤɭɩɧɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɚɛɨ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ: ɹɤɳɨ ɞɿɸɬɶ ɚɞɞɢɬɢɜɧɨ (ɬɨɛɬɨ ɲɥɹɯɨɦ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ), ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɦɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɹɤɳɨ ɦɭɥɶ-
ɬɢɩɥɿɤɚɬɢɜɧɨ (ɬɨɛɬɨ ɞɿʀ ɨɤɪɟɦɢɯ ɩɪɢɱɢɧ ɩɟɪɟɦɧɨɠɭɸɬɶɫɹ), ɬɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɏ ɽ ɛɥɢɡɶɤɢɦ ɧɟ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ, ɚ ɞɨ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ ɥɨɝɚɪɢɮɦɿɱɧɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ, ɬɨɛɬɨ ɧɟ ɏ, ɚ lnX ɦɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ. əɤɳɨ ɠ ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɞɿɽ ɨɞɢɧ ɿɡ ɰɢɯ ɞɜɨɯ ɦɟɯɚɧɿɡɦɿɜ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɩɿɞɫɭɦɤɨɜɨɝɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɭ, ɬɨ ɩɪɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɿɱɨɝɨ ɩɟɜɧɨɝɨ ɫɤɚɡɚɬɢ ɧɟ ɦɨɠɧɚ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. əɤɿ ȼɢ ɡɧɚɽɬɟ ɩɪɹɦɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɿ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɱɚɫɬɨɬɚ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɞɟɹɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɛɥɢɡɶɤɚ ɞɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. 2. ȼ ɱɨɦɭ ɽ ɩɪɨɹɜ ɞɿʀ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ? 3. ɉɪɨɤɨɦɟɧɬɭɣɬɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɫɥɿɞɿɜ Ʉɟɬɥɟ. 4. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɿ ɩɨɹɫɧɿɬɶ ɬɟɨɪɟɦɭ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ. 5. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɿ ɩɨɹɫɧɿɬɶ ɬɟɨɪɟɦɭ ɑɟɛɢɲɟɜɚ. ɑɢɦ ɜɨɧɚ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɬɟɨɪɟɦɢ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ? 6. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɿ ɩɨɹɫɧɿɬɶ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɭ ɝɪɚɧɢɱɧɭ ɬɟɨɪɟɦɭ ɞɥɹ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɞɨɞɚɧɤɿɜ (ɬɟɨɪɟɦɭ Ʌɿɧɞɟɛɟɪɝɚ-Ʌɟɜɿ). 7. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɿ ɩɨɹɫɧɿɬɶ ɬɟɨɪɟɦɭ Ʌɹɩɭɧɨɜɚ. 8. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 3.16 – 3.18.
128
3.4. ɌȿɈɊȿɌɂɑɇȱ ɊɈɁɉɈȾȱɅɂ ȼɂɉȺȾɄɈȼɂɏ ȼȿɅɂɑɂɇ
Ɂɦɿɫɬ ɤɥɚɫɢɱɧɢɯ ɡɚɤɨɧɿɜ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ (ɫɯɨɞɢɬɶɫɹ ) ɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɰɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. ȱɧɲɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ɫɯɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ.
Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ.
Ȼɿɥɶɲɿɫɬɶ ɡɚɜɞɚɧɶ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɩɭɫɤɚɸɬɶ ɜɿɞɨɦɢɦɢ ɿɡ ɫɚɦɨɝɨ ɩɨɱɚɬɤɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭɫɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɫɤɥɚɞɚɸɬɶ ɩɨ 0,5). ɋɩɢɪɚɸɱɢɫɶ ɧɚ ɡɧɚɧɧɹ ɰɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɤɥɚɞɧɢɯ ɩɨɞɿɣ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɤɨɠɧɢɣ ɿɫɩɢɬ ɨɞɧɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ (ɤɨɠɧɚ ɩɨɞɿɹ ȱ) ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɲɟɫɬɢ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧɿ (ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ), ɬɨɛɬɨ ȱ={Ȧ1,
Ȧ2, …, Ȧn}, ɞɟ n = 6. Ʉɨɠɧɚ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧɿ ɦɚɽ ɥɢɲɟ ɞɜɚ ɧɚɫɥɿɞɤɢ: ɩɪɹɦɢɣ (ɛɚɠɚɧɢɣ) – «ɜɢɤɨɧɚɧɨ» (ɚɛɨ «1») ɿ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɣ (ɧɟɛɚɠɚɧɢɣ) – «ɧɟ ɜɢɤɨɧɚɧɨ» (ɚɛɨ «0»). Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɚɪɿɚɧɬ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ «ɛɚɣɞɭɠɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ, ɹɤɢɣ ɧɚɦɚɝɚɽɬɶɫɹ ɫɤɥɚɫɬɢ ɿɫɩɢɬ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɱɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɧɚ ɡɚɜɞɚɧɧɹ. Ɍɨɞɿ ɦɨɠɧɚ ɩɪɢɣɧɹɬɢ, ɳɨ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿ ɩɨɞɿʀ ɦɚɬɢɦɭɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ:
ɪ(1)=ɪ(0)=1/2=0,5. Ⱦɥɹ ɫɩɪɨɳɟɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɜɢɤɥɚɞɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɩɨɡɧɚɱɢɦɨ ɹɤ ɪ, ɬɨɛɬɨ ɪ(1) = ɪ. Ɍɨɞɿ:
ɪ(1) = ɪ = 0,5 ; ɪ(0) = 1–ɪ(1) = (1–ɪ) = 1 – 0,5 = 0,5. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ (ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ) m ɦɨɠɟ ɤɨɥɢɜɚɬɢɫɹ ɜɿɞ 0 (ɠɨɞɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ) ɞɨ 6 (ɭɫɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɿɫɩɢɬɭ ɜɢɤɨɧɚɧɨ). Ɋɨɡɪɚɯɭɽɦɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɜ ɫɤɥɚɞɧɿɣ ɩɨɞɿʀ ȱ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧɿ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ m «ɛɚɠɚɧɢɯ» ɧɚɫɥɿɞɤɿɜ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɪ ɿ, ɡɪɨɡɭɦɿɥɨ,
n-m «ɧɟɛɚɠɚɧɢɯ» ɧɚɫɥɿɞɤɿɜ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ (1–p). Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɨɞɧɿɽʀ ɬɚɤɨʀ ɫɤɥɚɞɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ȱ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɨɛɭɬɤɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɿ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɹɤ: 129
p m (1 p) n m . ɉɪɨɬɟ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɚɪɿɚɧɬɿɜ ɫɤɥɚɞɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȱ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɤɿɥɶɤɿɫɬɸ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ:
n! . m!( n m)!
C nm
Ɍɨɦɭ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɫɤɥɚɞɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ȱ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ:
Pn (m)
C nm p m (1 p ) n m .
(3.56)
ɐɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɫɤɥɚɞɧɢɯ ɩɨɞɿɣ – ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɣ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ. ɇɚ ɪɢɫ. 3.30 ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɣɨɝɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɥɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ n = 6, p = 0,5; ɧɚ ɪɢɫ. 3.31 – ɝɪɚɮɿɤɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨʀ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ. ɇɟɨɛɯɿɞɧɨ ɦɚɬɢ ɧɚ ɭɜɚɡɿ, ɳɨ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ – ɰɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ. Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɪɭɱɧɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ =ȻɂɇɈɆɊȺɋɉ(m; n; p; l), ɳɨ ɜɯɨɞɢɬɶ ɞɨ ɫɤɥɚɞɭ MS Excel. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɞɢɫɤɪɟɬɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɞɟ m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɭɫɩɿɯɿɜ; n – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ; p – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɭɫɩɿɯɭ; l – ɩɚɪɚɦɟɬɪ, ɹɤɢɣ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɬɢɩ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (1 – ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ, 0 – ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ).
Ɋɢɫ. 3.30. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (n = 6; p = 0,50)
Ɋɢɫ. 3.31. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (n = 6; p = 0,50)
Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɿ ɞɥɹ ɿɧɲɢɯ ɚɩɪɿɨɪɧɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɛɚɠɚɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ. ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɞɥɹ «ɫɥɚɛɤɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɫɤɥɚɞɚɽ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 30% ɚɛɨ 0,3. ɇɚ ɪɢɫ. 3.32 ɧɚɜɟɞɟɧɨ 130
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɥɹ n = 6, p = 0,3; ɧɚ ɪɢɫ. 3.33 – ɝɪɚɮɿɤɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨʀ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
Ɋɢɫ. 3.32. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (n = 6; p = 0,30)
Ɋɢɫ. 3.33. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (n = 6; p = 0,30)
Ⱦɥɹ «ɫɭɦɥɿɧɧɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ ɛɿɥɶɲɟ 50%, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 70% ɚɛɨ 0,7. ɇɚ ɪɢɫ. 3.34 ɿ 3.35 ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɥɹ n = 6, p = 0,7, ɚ ɬɚɤɨɠ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
Ɋɢɫ. 3.34. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (n = 6; p = 0,70)
Ɋɢɫ. 3.35. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (n = 6; p = 0,70)
Ɋɿɡɧɢɰɸ ɦɿɠ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɦɨɠɧɚ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɬɢ ɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɝɪɚɮɿɤɚɯ. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɩɪɨɤɨɦɟɧɬɭɜɚɬɢ ɪɢɫ. 3.31, 3.33 ɿ 3.35. Ɉɫɧɨɜɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɿ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɨɫɬɿ ɞɥɹ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɬɚɤ: 131
x ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ X = n · p; x ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ s x2
n p (1 p ) ;
x ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ s x
s x2 .
ɇɚ ɪɢɫ. 3.36 ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɰɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɿɞ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ.
Ɋɢɫ. 3.36. Ɂɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɜɿɞ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɞɿʀ ɪ əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 3.36, ɞɥɹ «ɛɚɣɞɭɠɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ (ɪ = 0,5) ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɤɥɚɞɚɽ 3 ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿʀ, ɞɥɹ «ɫɥɚɛɤɨɝɨ» (ɪ = 0,3) – ɜ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ 1,8 ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿɣ; ɞɥɹ «ɫɭɦɥɿɧɧɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ (ɪ = 0,7) – ɜ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ 4,2 ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɡ 6 ɦɨɠɥɢɜɢɯ. ɇɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɭɜɚɬɢ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɦɟɬɨɞɢɤɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜ ɪɿɲɟɧɧɿ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ. ɉɪɢɤɥɚɞ 3.19. ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 3.37 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ
ɞɚɧɢɦɢ (ɿɫɩɢɬɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡɚ ɬɟɫɬɚɦɢ) ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ ɭɫɩɿɯɭ p(1) = 0,50 ɿ ɧɟɭɫɩɿɯɭ p(0) = 1– p(1) = 1–0,50 = 0,50.
132
Ɋɢɫ. 3.37. ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ əɤ ɜɢɞɧɨ ɡ ɪɢɫ. 3.37, ɝɪɚɮɿɤ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ «ɪɟɚɥɶɧɨʀ ɫɢɬɭɚɰɿʀ» ɫɭɬɬɽɜɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ «50/50». ɐɟ ɞɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɩɨɞɿɜɚɬɢɫɹ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ ɪɟɚɥɶɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɿɫɩɢɬɿɜ ɡɭɦɨɜɥɟɧɿ ɛɿɥɶɲɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ «ɭɫɩɿɯɿɜ» ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɬɨɛɬɨ ɪ(1) > ɪ(0). Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨ ɪɟɚɥɶɧɭ ɡɞɚɬɧɿɫɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ (ɳɨ ɡɭɦɨɜɥɸɸɬɶ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɿɫɬɶ, ɦɨɬɢɜɚɰɿɹ, ɿɧɬɟɥɟɤɬ ɚɛɨ ɿɧɲɿ ɱɢɧɧɢɤɢ) ɦɨɠɧɚ ɡɚɮɿɤɫɭɜɚɬɢ ɱɟɪɟɡ ɧɟɜɿɞɨɦɭ (ɩɨɤɢ ɳɨ) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ*. Ɂɧɚɣɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ* ɦɨɠɧɚ ɧɚɜɿɬɶ ɩɪɨɫɬɢɦ ɞɨɛɨɪɨɦ (ɡɛɿɥɶɲɭɸɱɢ ɚɛɨ ɡɦɟɧɲɭɸɱɢ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɧɚɛɥɢɡɢɬɢ («ɩɿɞɬɹɝɧɭɬɢ») ɝɪɚɮɿɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨ ɝɪɚɮɿɤɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɂɪɨɡɭɦɿɥɨ, ɳɨ ɬɚɤɟ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ «ɪɭɱɧɢɦ» ɲɥɹɯɨɦ ɧɟ ɽ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɦ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ*. Ɋɿɲɟɧɧɹ:
Ɉɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ* ɦɨɠɧɚ ɞɨɫɹɝɬɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɤɨɦɩ'ɸɬɟɪɧɢɯ ɿɧɬɟɪɚɤɬɢɜɧɢɯ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɟɣ MS Excel ɭ ɬɚɤɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ:
x ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɢɲɿ ɚɤɬɢɜɿɡɭɜɚɬɢ ɿ ɧɚɛɥɢɡɢɬɢ ɞɨɧɢɡɭ ɬɨɱɤɭ ɝɪɚɮɿɤɚ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 0,31 ɞɨ ɬɨɱɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ 0,16 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.38).
x ɜɧɚɫɥɿɞɨɤ ɰɶɨɝɨ ɡ'ɹɜɢɬɶɫɹ ɞɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ «Ⱦɨɛɿɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ», ɜ ɹɤɨɦɭ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ, ɹɤ ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 3.39; 133
Ɋɢɫ. 3.38. ɇɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ x ɩɿɫɥɹ ɤɨɦɚɧɞɢ ɈɄ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɩɨɜɿɞɨɦɥɟɧɧɹ ɩɪɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɞɨɛɨɪɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ – «Ɋɿɲɟɧɧɹ ɡɧɚɣɞɟɧɨ» (ɪɢɫ. 3.40);
Ɋɢɫ. 3.40. ȼɿɤɧɨ Ɋɢɫ. 3.39. ȼɿɤɧɨ «Ⱦɨɛɿɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ» «Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɛɨɪɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ» x ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȿ12 ɡ’ɹɜɢɬɶɫɹ ɧɨɜɟ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ, ɹɤɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 0,72, ɚ ɜ ɟɥɟɤɬɪɨɧɧɿɣ ɬɚɛɥɢɰɿ – ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ. Ɂɦɿɧɢɬɶɫɹ ɬɚɤɨɠ ɿ ɮɨɪɦɚ ɝɪɚɮɿɤɚ ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɢɣ ɧɚɛɥɢɡɢɬɶɫɹ ɞɨ ɝɪɚɮɿɤɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɪɢɫ. 3.41).
Ɋɢɫ. 3.41. ɇɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ 134
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ «ɭɫɩɿɯɭ» ɫɤɥɚɞɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 72% (ɪ = 0,72) ɿ ɛɿɥɶɲ
ɧɿɠ ɭɞɜɿɱɿ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɧɚɫɥɿɞɤɿɜ (1– ɪ) = 0,28. ɍ ɡɦɿɫɬɨɜɧɨɦɭ ɩɥɚɧɿ ɰɟ ɦɨɠɟ ɨɡɧɚɱɚɬɢ, ɳɨ, ɩɨ-ɩɟɪɲɟ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɡ ɛɿɥɶɲɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɦɨɠɧɚ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɡɚ ɧɚɫɥɿɞɨɤ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ, ɩɨ-ɞɪɭɝɟ, – ɩɪɨɰɟɞɭɪɚ ɿɫɩɢɬɭ ɦɚɽ ɩɟɜɧɢɣ ɪɿɜɟɧɶ ɞɿɚɝɧɨɫɬɢɱɧɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɳɨɞɨ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɞɨɫɹɝɧɟɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ. ɇɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ
Ɋɨɛɨɬɢ ə. Ȼɟɪɧɭɥɥɿ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɪɢɜɚɬɧɿ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɿɧɲɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɿɜ XVII-ɏVIII ɫɬ. ɡ ȯɜɪɨɩɢ ɡɝɨɞɨɦ ɨɮɨɪɦɢɥɢɫɹ ɜ ɬɟɨɪɿɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. ɍ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɩɟɪɿɨɞ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɨɫɧɨɜɧɨɸ ɩɪɨɛɥɟɦɨɸ ɞɚɧɨʀ ɬɟɨɪɿʀ ɛɭɥɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɫɤɥɚɞɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɩɪɢ ɧɚɝɨɞɿ ɩɟɜɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɹɜ ɧɚ ɡɪɚɡɨɤ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢɯ ɜɢɳɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɡ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɹɦ ɦɨɧɟɬ. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɞɥɹ ɬɚɤɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɛɭɥɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ, ɩɪɨɬɟ ɞɥɹ ɜɟɥɢɤɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɩɪɢ 20 000 ɩɿɞɤɢɞɚɧɶ ɦɨɧɟɬɢ ɜɢɩɚɞɭɬɶ 5000 ɚɛɨ ɛɿɥɶɲɟ «ɝɟɪɛɿɜ») ɬɚɤɿ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɜɢɝɥɹɞɚɥɢ ɞɭɠɟ ɝɪɨɦɿɡɞɤɢɦɢ. ɇɚ ɩɨɱɚɬɤɭ XVIII ɫɬ. ɞɟ Ɇɭɚɜɪɭ (1667-1754) ɜɞɚɥɨɫɹ ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɜɚɬɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɨɪɦɭɥɢ f ( x)
(x P)2 ½ 1 exp ® ¾ 2V 2 ¿ V 2S ¯
(3.57)
ɞɟ f(x) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ; ȝ ɿ ı – ɫɟɪɟɞɧɽ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ. Ɏɭɧɤɰɿɹ f(x) ɨɬɪɢɦɚɥɚ ɧɚɡɜɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ
)( x)
x
³ f (t )dt .
(3.58)
f
MS Excel ɦɿɫɬɢɬɶ ɮɭɧɤɰɿɸ =ɇɈɊɆɊȺɋɉ(x; ȝ; ı; l), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɛɨ ɮɭɧɤɰɿʀ ĭ(ɯ), ɚɛɨ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(x) ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɯ ȝ ɿ ı. ɉɚɪɚɦɟɬɪ l ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɮɨɪɦɭ ɮɭɧɤɰɿʀ: ɹɤɳɨ l=0, =ɇɈɊɆɊȺɋɉ() ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ĭ(ɯ), ɿɧɚɤɲɟ f(x). ɇɚ ɪɢɫ. 3.42 ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =ȻɂɇɈɆɊȺɋɉ() ɿ =ɇɈɊɆɊȺɋɉ(). 135
Ɋɢɫ. 3.42. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ (n = 6; p = 0,5; ȝ = 3; ı = 1,22) ɇɚ ɪɢɫ. 3.43 ɿ 3.44 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɧɚɛɨɪɿɜ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ: ɩɟɪɲɢɣ (n = 6; p = 0,5; ȝ = 3; ı = 1,22) ɿ ɞɪɭɝɢɣ (n = 10; p = 0,5; ȝ = 5 ɿ ı = 1,58). Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ȝ ɿ ı ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɡ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
Ɋɢɫ. 3.43. Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ (n = 6; p = 0,5; ȝ = 3; ı =1,22) ɉɨɪɿɜɧɸɸɱɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɤɪɢɜɢɯ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ, ɦɨɠɧɚ ɤɨɧɫɬɚɬɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɮɭɧɤɰɿɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɰɿɥɤɨɦ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɽ ɮɭɧɤɰɿɸ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ȼɿɥɶɲ ɬɨɝɨ, ɿɡ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɿ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ |b(x)-f(x)| /n ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ (ɞɥɹ n = 6 ɫɤɥɚɞɚɽ 0,54% ; ɞɥɹ n = 10 – 0,24%). 136
Ɋɢɫ. 3.44. Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ (n =10; p = 0,5; ȝ=5; ı = 1,58) ɍɧɿɜɟɪɫɚɥɶɧɿɫɬɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɜɨɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ ɭ ɹɤɨɫɬɿ ɫɜɨʀɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɿɜ ɨɞɧɿ ɡ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ – ɫɟɪɟɞɧɽ ȝ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı, ɚ ɬɚɤɨɠ «ɩɪɚɰɸɽ» ɿ ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ, ɿ ɞɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (3.56) ɡɚɞɚɽ ɥɢɲɟ ɞɟɹɤɭ ɬɢɩɨɜɭ ɮɨɪɦɭ ɝɪɚɮɿɤɚ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɝɨ «ɞɡɜɨɧɭ», ɜɿɞɨɦɨɝɨ ɩɿɞ ɧɚɡɜɨɸ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨʀ ɤɪɢɜɨʀ. Ɇɿɧɹɸɱɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ȝ ɿ ı, ɦɨɠɧɚ ɡɪɭɲɭɜɚɬɢ ɤɨɧɤɪɟɬɧɭ ɧɨɪ-
ɦɚɥɶɧɭ ɤɪɢɜɭ ɜɡɞɨɜɠ ɱɢɫɥɨɜɨʀ ɨɫɿ ɨɪɞɢɧɚɬ ɿ ɦɿɧɹɬɢ ʀʀ ɪɨɡɦɚɯ . ɇɚ ɪɢɫ. 3.45 ɝɪɚɮɿɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɨ ɞɥɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ȝ ɿ ɪɿɡɧɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɩɪɨɚɧɚɥɿɡɭɜɚɬɢ ɫɯɨɠɿɫɬɶ ɿ ɪɿɡɧɢɰɸ ɰɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ.
137
Ɋɢɫ. 3.45. ɋɿɦ'ɹ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɉɨɩɭɥɹɪɧɿɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɨ ɜɢɫɧɨɜɤɚɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɝɪɚɧɢɱɧɨʀ ɬɟɨɪɟɦɢ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɜ ɩɪɢɪɨɞɿ, ɫɨɰɿɚɥɶɧɿɣ, ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɿɣ ɫɮɟɪɚɯ ɿ ɫɢɬɭɚɰɿɹɯ ɛɚɝɚɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɽ ɫɭɦɚɦɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ. ɋɟɪɟɞ ɫɿɦɟɣɫɬɜɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɨɫɨɛɥɢɜɟ ɦɿɫɰɟ ɡɚɣɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɹɤɢɣ ɦɚɽ ɧɭɥɶɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ȝ = 0 ɿ ɨɞɢɧɢɱɧɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı = 1 f ( z)
1 z2 exp{ } 2 2S
(3.59)
Ƚɪɚɮɿɤ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(z), ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ĭ(z) ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ
ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɚɛɨ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ18, ɚɛɨ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɢɯ ɩɪɨɝɪɚɦ, ɡɨɤɪɟɦɚ, ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =ɇɈɊɆɊȺɋɉ() ɿ =ɇɈɊɆɋɌɊȺɋɉ() (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.46). ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɜɿ ɩɪɢɬɚɦɚɧɧɿ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ:
x ɩɥɨɳɚ, ɹɤɚ ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1; x ɤɪɢɜɚ ɝɪɚɮɿɤɭ ɧɟ ɩɟɪɟɬɢɧɚɽ ɜɿɫɶ z ɯɨɱɚ ɿ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɧɟʀ ɭ ɦɿɪɭ ɬɨɝɨ, ɹɤ z ɫɬɚɽ ɛɿɥɶɲɟ ɬɪɶɨɯ, ɚɥɟ ɧɿɤɨɥɢ ʀʀ ɧɟ ɬɨɪɤɚɽɬɶɫɹ;
x ɧɚɣɜɢɳɚ ɬɨɱɤɚ ɤɪɢɜɨʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ 0,3989 ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɚ ɧɚɞ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ z ; 18
Ȼɨɥɶɲɟɜ Ʌ.ɇ., ɋɦɢɪɧɨɜ ɇ.ȼ. Ɍɚɛɥɢɰɵ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. – Ɇ.: ɇɚɭɤɚ, 1965 (1-ɟ ɢɡɞ.), 1968 (2-ɟ ɢɡɞ.), 1983 (3-ɟ ɢɡɞ.). 138
Ɋɢɫ. 3.46. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
x ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚ ɤɪɢɜɚ ɡɚɜɠɞɢ ɛɭɞɟ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɳɨɞɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɿ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɨʀ ɱɟɪɟɡ z = 0, ʀʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿɹ ɿ ɟɤɫɰɟɫ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɧɭɥɸ;
x ɜɫɹɤɭ ɿɧɲɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɭ ɤɪɢɜɭ ɦɨɠɧɚ ɫɭɦɿɫɬɢɬɢ ɿɡ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɸ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɨɪɦɚɥɿɡɚɰɿʀ (ɩɟɪɟɯɿɞ ɜɿɞ ɡɦɿɧɧɨʀ ɯ ɞɨ z ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 2.2 ) xi P
zi
V
;
(3.60)
x ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X 1 ɿ X2 ɦɚɸɬɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ N(ȝ1; ı1) ɿ N(ȝ2; ı2) ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ, ɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ (X 1 + X2) ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ N ( P1 P 2 ; V 12 V 22 ) ;
x ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X1, X2, ..., Xn ɽ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɿ ɦɚɸɬɶ ɨɞɢɧ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ N(ȝ; ı), ɬɨ ʀɯɧɽ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ X
X1 X 2 ! X n n
ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ N ( P ; V / n ) . əɤ ɜɿɞɨɦɨ, ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɤɪɢɜɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. Ɂɚ139
ɝɚɥɶɧɚ ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɸ ɤɪɢɜɨɸ, ɞɟ ɚɛɫɰɢɫɚ z ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ f ɞɨ f , ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1. Ⱥ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ ɬɨɝɨ, ɳɨ z ɛɭɞɭɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ
ɛɭɞɶ ɹɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (ɜɿɞ f ɞɨ f ), ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 1 (ɚɛɨ 100%). Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ z ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɿɞ z1 ɞɨ z2, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ
ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨʀ ɩɥɨɳɿ ɩɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɸ ɤɪɢɜɨɸ, ɨɛɦɟɠɟɧɭ ɡ ɛɨɤɿɜ ɰɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ. Ⱦɥɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɨʀ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨʀ ɤɪɢɜɨʀ (ɞɟ ı =1) ɡɧɚɱɟɧɧɹ z ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɭɜɚɬɢ ɜ ɨɞɢɧɢɰɹɯ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ «z ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ –1ı ɞɨ +1ı», ɚɛɨ «z ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ –1 ɞɨ +1». Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ z ɜɿɞ –1ı ɞɨ +1ı ɩɥɨɳɚ (ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ȝ ± ı) ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 0,683 (ɚɛɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ 68,3%). Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ z ɜɿɞ –2ı ɞɨ +2ı ɩɥɨɳɚ (ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ȝ ± 2ı) ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,954 (ɚɛɨ 95,4%). Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ z ɜɿɞ –3ı ɞɨ +3ı ɩɥɨɳɚ (ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,997 (ɚɛɨ 99,7%). ɋɥɿɞ ɡɜɟɪɧɭɬɢ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ 99,7% ɡɧɚɱɟɧɶ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (ɬɨɛɬɨ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ ɜɫɿ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ) ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ ɜ ɦɟɠɚɯ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ± 3ı. ɐɟɣ ɮɚɤɬ ɨɬɪɢɦɚɜ ɫɜɨɽɪɿɞɧɭ ɧɚɡɜɭ «ɡɚɤɨɧ ɬɪɶɨɯ ɫɢɝɦ». əɤ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ? ɉɨɪɹɞ ɡ ɤɥɚɫɢɱɧɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ, ɹɤɿ ɜɢɝɥɹɞɚɸɬɶ ɡɚɧɚɞɬɨ ɝɪɨɦɿɡɞɤɢɦɢ ɿ ɞɭɠɟ ɧɟɡɪɭɱɧɢɦɢ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨ ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɬɚɛɥɢɰɿ. ɉɪɨɬɟ ɧɚɣɩɨɬɭɠɧɿɲɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɿ ɡɚɫɨɛɢ. ɓɨɛ ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ (ɩɥɨɳɭ), ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ z ɜɿɞ –1ı ɞɨ +1ı , ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɤɨɧɚɬɢ 3 ɞɿʀ: x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ1 ɞɥɹ z ɜɿɞ f ɞɨ –1ı ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ
=ɇɈɊɆɊȺɋɉ(–1; 0; 1; 1), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 15,866%; x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ2 ɞɥɹ z ɜɿɞ f ɞɨ +1ı ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ
=ɇɈɊɆɊȺɋɉ(+1; 0; 1; 1), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 84,134%; x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɪ = ɪ2 – ɪ1 = 84,134% – 15,866% = 68,269% § 68,3%..
ȼ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɱɚɫɬɨ ɜɢɧɢɤɚɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɜɢɪɿɲɭɜɚɬɢ ɡɜɨɪɨɬɧɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɬɢɩɭ: «ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ z, ɹɤɨɦɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɟɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ». ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z, ɩɨɱɢɧɚɸɱɢ ɜɿɞ –, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ 5%? 140
Ɂ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɬɚɤɟ z, ɹɤɟ ɨɛɦɟɠɭɽ ɨɪɞɢɧɚɬɨɸ ɡɥɿɜɚ 5% ɩɥɨɳɿ ɩɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɸ ɤɪɢɜɨɸ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.47).
Ɋɢɫ. 3.47. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ N(0,1) ɦɚɽ ɩɚɪɚɦɟɬɪ z 0,05 § –1,64 Ɍɪɚɞɢɰɿɣɧɨ ɰɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɬɚɤɨɠ ɜɢɪɿɲɭɜɚɥɨɫɹ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ. ɉɪɨɬɟ, ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɪɨɩɨɧɭɜɚɬɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ MS Excel =ɇɈɊɆɈȻɊ( ɪ; ȝ; ı), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ, ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ, ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı. Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɪ0,05, ȝ = 0 ɿ ı = 1 ɮɭɧɤɰɿɹ =ɇɈɊɆɈȻɊ(0,05; 0; 1) ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z § –1,64485. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɞɥɹ ɪ0,01 =ɇɈɊɆɈȻɊ(0,01;0;1) ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z § –2,32635 ɿ ɬ.ɞ. Ⱦɥɹ ɛɟɡɥɿɱɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ ɤɪɢɜɢɯ, ɳɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɢɧ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ȝ ɿ ı, ɜɚɠɥɢɜɨɸ ɡɚɝɚɥɶɧɨɸ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɸ ɽ ɬɟ, ɳɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɩɥɨɳɿ (ɹɤɚ ɚɫɨɰɿɸɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ) ɩɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɸ ɤɪɢɜɨɸ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɜɢɪɚɠɟɧɚ ɜ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ȝ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɯ ı. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 95% ɩɥɨɳɿ ɩɿɞ ɤɪɢɜɨɸ ɥɟɠɢɬɶ ɜ ɦɟɠɚɯ ɞɜɨɯ ı ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ (ɹɤɳɨ ɬɨɱɧɨ ɜɢɡɧɚɱɚɬɢ, ɬɨ 95% ɩɥɨɳɿ ɥɟɠɢɬɶ ɜ ɦɟɠɚɯ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ɜɿɞ –1,96ı ɞɨ +1,96ı (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.48);
141
Ɋɢɫ. 3.48. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ N(0,1) ɦɚɽ ɩɚɪɚɦɟɬɪ |z 0,025| § 1,96 ȼɚɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɜ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɢɯ ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɿ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɹɫɧɸɽɬɶɫɹ ɜɢɫɧɨɜɤɚɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɝɪɚɧɢɱɧɨʀ ɬɟɨɪɟɦɢ, ɹɤɚ ɽ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚɥɶɧɢɦ ɩɪɨɹɜɨɦ ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ.
Ɇɿɠ ɬɢɦ ɜ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɯ ɩɪɢɤɥɚɞɧɢɯ ɡɚɞɚɱɚɯ ɧɨɪɦɚɥɶɧɿɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɿɡ ɡɚɝɚɥɶɧɢɯ ɦɿɪɤɭɜɚɧɶ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɧɟ ɦɨɠɥɢɜɨ. ɇɨɪɦɚɥɶɧɿɫɬɶ ɜɚɪɬɨ ɩɟɪɟɜɿɪɹɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɚɛɨ ɠ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 5.3). Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ», ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ Ɏɿɲɟɪɚ
ɉɪɢ ɩɨɛɭɞɨɜɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ ɛɟɡɭɦɨɜɧɨ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɟ ɦɿɫɰɟ. ɉɪɨɬɟ ɧɚɦɚɝɚɧɧɹ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɣɨɝɨ ɞɥɹ ɦɨɞɟɥɸɜɚɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɭ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɦɭ ɪɚɡɿ ɧɟ ɡɚɜɠɞɢ ɽ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɢɦɢ. Ȼɿɥɶɲ ɿɫɬɨɬɧɨ ɬɟ, ɳɨ ɛɚɝɚɬɨ ɦɟɬɨɞɿɜ ɨɛɪɨɛɤɢ ɞɚɧɢɯ ɡɚɫɧɨɜɚɧɨ ɧɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧɚɯ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ ɯɨɱɚ ɣ ɿɧɲɿ, ɚɥɟ ɛɥɢɡɶɤɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɞɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ. Ʉɪɿɦ ɬɨɝɨ, ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɲɢɪɨɤɨ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɟɧɿ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ F2 (ɯɿɤɜɚɞɪɚɬ), t ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ F Ɏɿɲɟɪɚ.
142
Ɋɨɡɩɨɞɿɥ Ȥ2 (ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ) – ɰɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X = X12 + X22 + ... + Xn2,
(3.61)
ɞɟ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X1, X2, ..., Xn ɽ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɿ ɦɚɸɬɶ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ N(0,1). Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɞɨɞɚɧɤɿɜ n ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ «ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ t ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ – ɰɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
U n , X
T
(3.62)
ɞɟ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ U ɿ X ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, U ɦɚɽ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ N(0,1), ɚ X – ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɡ n ɫɬɭɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ. ɉɪɢ ɰɶɨɦɭ n ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ «ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ.
Ɋɨɡɩɨɞɿɥ F Ɏɢɲɟɪɚ – ɰɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
F
1 X1 k1 , 1 X2 k2
(3.63)
ɞɟ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ1 ɿ ɏ2 – ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɿ ɦɚɸɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ k1 ɿ k2 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. Ɉɬɠɟ, ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ F2 (ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ), t ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ F Ɏɿɲɟɪɚ ɽ ɩɨɯɿɞɧɢɦɢ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɰɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɞɨɤɥɚɞɧɿɲɟ. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ Ȥ2 «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ» ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɫɯɟɦɨɸ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭ-
ɜɚɧɶ, ɹɤɳɨ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɫɟɪɟɞɧɿɦ (ȝ=0) ɿ ɨɞɢɧɢɱɧɢɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɦ (ı=1) ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜɢɥɭɱɚɬɢ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ n ɡɧɚɱɟɧɶ X1, X2, ..., Xn, ɚ ɩɨɬɿɦ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ ɫɭɦɭ ʀɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ (X1)2 + (X2)2 + …+ (Xn)2. ɍ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɛɚɝɚɬɨɪɚɡɨɜɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɰɢɯ ɫɭɦ ɛɭɞɭɬɶ ɦɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ Ȥn2 (ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ) ɡ n ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ. Ⱥɧɚɥɿɬɢɱɧɚ ɮɨɪɦɚ ɡɚɩɢɫɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥn2 ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
f F 2 ( x, n )
n
1
1
x
x2 e 2 , n §n· 2 2 *¨ ¸ ©2¹
(3.64)
ɞɟ f Ȥ2 (x, n) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2; n – ɱɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫ143
ɬɿ; ī() – ɝɚɦɚ-ɮɭɧɤɰɿɹ, ɹɤɚ ɡɪɭɱɧɨ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜ Excel ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ =EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ()). Ɏɭɧɤɰɿɹ f Ȥ2 (x, n)>0 ɞɥɹ x 0 ɿ f Ȥ2 (x, n)=0 ɞɥɹ x<0. ɇɚ ɪɢɫ. 3.49. ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɡɧɚɱɟɧɶ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ 2
Ȥ ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ (2; 3 ɿ 5).
Ɋɢɫ. 3.49. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2 Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2 ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, n=2 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɧɟɫɬɢ: x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ2 ɜɢɪɚɡ =1/EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ(B$1/2)); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ3 ɜɢɪɚɡ =B2/2^(B$1/2); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ5 ɜɢɪɚɡ =B$3*$A5^(B$1/2-1)*EXP(-$A5/2); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ6:ȼ15 – ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ. ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ ɋ ɿ D ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2 ɞɥɹ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n=3 ɿ n=5. əɤ ɜɢɞɧɨ ɡ ɝɪɚɮɿɤɿɜ, ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n ɪɨɡɩɨɞɿɥ Ȥ2 ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɫɟɪɟɞɧɿɦ n ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɦ
2n . əɤɳɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɹɤ ɫɭɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ n ɧɟɡɚɥɟɠ-
ɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ X1, X2, ..., Xn, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ,
s
2 x
2 1 n 2 (¦ X i n X ) n 1 i 1
2
1 nX ( X 12 X 22 " X n2 ) , n 1 n 1
ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ sx2 ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ Ȥ2n. Ɍɨɦɭ ɩɪɢɪɨɞɧɨ, ɳɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ Ȥ2 ɜɢ144
ɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɚɯ ɳɨɞɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 5.4) . Ɋɨɡɩɨɞɿɥ t ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨ-
ɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɥɢɲɟ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɽ «ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɜɟɥɢɤɢɦ» – ɧɚ ɰɟ ɡɜɟɪɬɚɽ ɭɜɚɝɭ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ. ɉɪɨɬɟ ɜ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɧɟ ɽ «ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɜɟɥɢɤɢɦ». ɍ ɰɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɿɧɲɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ. Ɉɞɧɢɦ ɿɡ ɧɚɣɜɚɠɥɢɜɿɲɢɯ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ:
f t ( x, n )
§ n 1· *¨ ¸ 2 © 2 ¹ §¨1 x ·¸ n ¸¹ §n·¨ n S *¨ ¸ © ©2¹
n 1 2
,
(3.65)
ɞɟ ft(x, n) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ; n – ɱɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ; ī() – ɝɚɦɚ-ɮɭɧɤɰɿɹ. ɇɚ ɪɢɫ. 3.50. ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ (1; 2 ɿ 8) ɿ ɞɥɹ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n=1 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɧɟɫɬɢ: x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ2 ɜɢɪɚɡ =EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ((B$1+1)/2)); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ3 ɜɢɪɚɡ =EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ(B$1/2)); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ4 ɜɢɪɚɡ =B2/B3/ɄɈɊȿɇɖ(B$1*ɉɂ()); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ7 ɜɢɪɚɡ =B$4*(1+$A7^2/B$1)^(-(B$1+1)/2); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ8:ȼ19 ɜɧɟɫɬɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ; ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ ɋ ɿ D ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n=2 ɿ n=8. ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ ȿ – ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɞɥɹ ɱɨɝɨ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ7 ɫɥɿɞ ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɇɈɊɆɊȺɋɉ(A7;0;1;0). Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ (1; 2 ɿ 8) ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉ(). Ɍɚɤ, ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ F7 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɧɟɫɬɢ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉ(ABS($A7);F$1;1), ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ F8:F13. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ F14 ɜɧɟɫɬɢ =1–ɋɌɖɘȾɊȺɋɉ(ABS($A14);F$1;1), ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ F15:F19. Ɍɚɤɿ ɠ ɞɿʀ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ G ɿ H. 145
Ɋɢɫ. 3.50. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ N(0,1) Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȱ7 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɇɈɊɆɊȺɋɉ(A7;0;1;1), ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȱ8:ȱ19. ɇɚ ɪɢɫ. 3.51. ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɫɿɦɟɣɫɬɜɨ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ (1; 2; 8), ɚ ɬɚɤɨɠ ɝɪɚɮɿɤ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ N(0,1).
ɚ) ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɛ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ Ɋɢɫ. 3.51. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ N(0,1)
146
əɤ ɜɢɞɧɨ, ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɧɨ ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ʉɨɥɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɫɬɚɽ «ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɜɟɥɢɤɢɦ», ɬɨɛɬɨ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ n o f , ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. ɇɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɚɯ ɳɨɞɨ ɫɟɪɟɞɧɿɯ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 5.4). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ F Ɏɿɲɟɪɚ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɫɯɟɦɭ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ
ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɤɨɥɢ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ (ȝ=0 ɿ ı=1) ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɮɨɪɦɭɸɬɶ ɩɟɪɲɭ ɡɦɿɧɧɭ ɏ1 ɡ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ» ɿ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n, ɚ ɩɨɬɿɦ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦ ɲɥɹɯɨɦ ɮɨɪɦɭɸɬɶ ɞɪɭɝɭ ɡɦɿɧɧɭ ɏ2 ɡ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ» ɿ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ m. ɇɨɜɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɳɨ ɦɚɽ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ, ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟɬɶɫɹ ɡ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ
F
X1 n
X2 . m
(3.66)
Ɏɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ
f F ( x, n, m)
§nm· m *¨ ¸ m © 2 ¹ § m · 2 x 2 1 §1 m x · ¨ ¸ ¨ ¸ n ¹ §n· §m· n © *¨ ¸ *¨ ¸ © ¹ ©2¹ © 2 ¹
nm 2
,
(3.67)
ɞɟ fF (x, n, m) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ; n ɿ m – ɱɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ; ī() – ɝɚɦɚ-ɮɭɧɤɰɿɹ. ɇɚ ɪɢɫ. 3.52. ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɧɚɛɨɪɿɜ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n ɿ m (2 ɿ 3; 5 ɿ 4; 20 ɿ 4 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ). Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n=2 ɿ m=3 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɧɟɫɬɢ: x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ3 ɜɢɪɚɡ =EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ((B$1+B$2)/2)); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ4 ɜɢɪɚɡ =EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ(B$1/2)); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ5 ɜɢɪɚɡ =EXP(ȽȺɆɆȺɇɅɈȽ(B$2/2)); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ6 ɜɢɪɚɡ =B3/B4/B5*(B$2/B$1)^(B$2/2); x ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ7 ɜɢɪɚɡ =B$6*$A8^(B$2/2-1)*(1+B$2/B$1*$A8)^(-(B$2+B$1)/2);
147
x ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ8:ȼ18 – ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ȼ7 ɜɢɪɚɡɢ.
Ɋɢɫ. 3.52. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ ɋ ɿ D ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɏɿɲɟɪɚ ɞɥɹ ɿɧɲɢɯ ɧɚɛɨɪɿɜ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n ɿ m. Ɂ ɪɢɫ. 3.52. ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ n ɿ m ɪɨɡɩɨɞɿɥ Ɏɿɲɟɪɚ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɫɟɪɟɞɧɿɦ m/(n–2). Ɏɭɧɤɰɿɹ fF (x, n, m)>0 ɞɥɹ x0 ɿ fF (x, n, m) = 0 ɞɥɹ x <0. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ Ɏɿɲɟɪɚ ɽ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɸ ɛɚɡɨɸ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ, ɳɨ ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɢɛɿɪɨɤ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨ ɜɢɬɹɝɧɭɬɢɯ ɿɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɹɤɢɯ ɫɤɥɚɞɚɽ F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ: F=s12/s22, ɞɟ s12 ɿ s22 – ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 5.4).
Ⱦɥɹ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ», ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ Ɏɿɲɟɪɚ ʀɯɧɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥ. 3.8. ɇɚ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɯ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, Ɏɿɲɟɪɚ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ, ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɬɚ ɿɧ. (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥɢ 5 ɿ 6). Ɍɚɛɥɢɰɿ ɡɧɚɱɟɧɶ ɰɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ ɜ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿɣ ɥɿɬɟɪɚɬɭɪɿ ɚɛɨ ɫɤɨɪɢɫɬɚɬɢɫɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɮɭɧɤɰɿɹɦɢ MS Excel, ɡɨɤɪɟɦɚ: =ɇɈɊɆɊȺɋɉ(), =ɇɈɊɆɋɌɊȺɋɉ(), =ɏɂ2ɊȺɋɉ(), =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉ(), =FɊȺɋɉ().
148
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.8
ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɉɚɪɚɦɟɬɪɢ
ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ
ɓɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
§ n 1· *¨ ¸ 2 © 2 ¹ §¨1 x ·¸ n ¸¹ §n·¨ n S *¨ ¸ © 2 © ¹
Ɏɿɲɟɪɚ
ɏɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ Ȥ2(x;n)
t(x;n) n 1 2
n
1 n 2
§n· 2 *¨ ¸ ©2¹
1
x2 e
F(x;n,m) x 2
§nm· m *¨ ¸ m © 2 ¹ § m · 2 x 2 1 §1 m x · ¨ ¸ ¨ ¸ n ¹ §n· §m· n © *¨ ¸ *¨ ¸ © ¹ ©2¹ © 2 ¹
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿ-
M[(n)] = 0
M [F(n, m) ]
M[Ȥ2(n)] = n
ɜɚɧɧɹ
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ
n , n2
D[ t(n) ]
n , n2
V [t(n)]
ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ.
D [Ȥ2(n)] = 2n
D [F(n, m) ]
V [ F 2 (n)]
2n
V [F(n, m)]
As = 0
Es
6 , n4
m 2( n m 2)
,
(m 2) n(m 4) ɩɪɢ m>4
2
Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ
2m 2 (n m 2) , n(m 2) 2 (m 4) ɩɪɢ m>4
ɩɪɢ n>2
ȿɤɫɰɟɫ
m , n2
ɩɪɢ n>2
ɩɪɢ n>2 ɋɬɚɧɞ.
n m 2
As
Es
ɩɪɢ n>4
23
As
(2n m 2) 8(m 4) (m 6) n(n m 2)
n
12 n
,
ɩɪɢ m>6
Es
3(m 6)(2 0.5 As2 ) , n 8 ɩɪɢ n>8
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. ɉɪɨ ɳɨ ɫɬɜɟɪɞɠɭɽ ɬɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ? 2. ɉɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ «ɩɪɚɰɸɽ» ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ? 3. əɤɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɦɚɸɬɶ ɝɪɚɮɿɤɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨɝɨ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ? 4. əɤɚ ɨɫɧɨɜɧɚ ɿɞɟɹ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɦɟɬɨɞɢɤɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜ ɪɿɲɟɧɧɿ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ? 5. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɮɭɧɤɰɿɣ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. 149
6. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ. 7. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, Ɏɿɲɟɪɚ ɿ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ» ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ? 8. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɨɦ 3.19. 9. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɭ ɪɨɛɨɬɭ ʋ 8.
150
4. ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇȿ ɈɐȱɇɘȼȺɇɇə
ɉɨɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ
Ɉɫɧɨɜɧɨɸ ɦɟɬɨɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɽ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɿɣɫɧɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ. ɉɪɢ ɰɶɨɦɭ ɜɢɛɿɪɤɚ ɩɨɜɢɧɧɚ ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɞɨɛɪɟ ɜɿɞɬɜɨɪɸɜɚɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɬɨɛɬɨ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɧɢɰɶɤɨɸ ɚɛɨ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɸ. ɓɨɛ ɞɨɫɹɝɬɢ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɫɬɿ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɇɚɣɩɨɲɢɪɟɧɿɲɢɦɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɿ (ɩɪɨɫɬɿ ɿ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɧɿ), ɫɬɪɚɬɢɮɿɤɨɜɚɧɿ ɬɚ ɤɥɚɫɬɟɪɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɉɪɨɫɬɚ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɮɨɪɦɭɽɬɶɫɹ ɡɿ ɫɩɢɫɤɭ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ
ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɫɢɫɬɟɦɨɸ ɜɿɞɛɨɪɭ, ɳɨ ɝɚɪɚɧɬɭɽ ɪɿɜɧɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɧɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɨɛ'ɽɤɬɚ ɭ ɜɢɛɿɪɤɭ. ɍ ɰɶɨɦɭ ɜɚɪɿɚɧɬɿ ɪɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶ ɬɪɢ ɝɪɭɩɢ: ɜɫɸ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɭ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ; ɝɪɭɩɭ ɪɚɧɞɨɦɿɡɚɰɿʀ, ɡ ɹɤɨʀ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶɫɹ ɜɿɞɛɿɪ; ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɭ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɭ ɜɢɛɿɪɤɭ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɰɿ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɝɨ ɜɿɞɛɨɪɭ ɮɨɪɦɭɸɬɶ ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ ɝɪɭɩɭ ɩɨɬɟɧɰɿɣɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ. ɉɿɫɥɹ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ʀɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɹɸɬɶ ɩɨ ɝɪɭɩɚɯ ɪɿɜɧɨɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ. ȼ ɨɫɧɨɜɭ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɣ ɪɚɧɞɨɦɿɡɚɰɿʀ ɩɨɤɥɚɞɟɧɨ ɩɪɨɰɟɫ ɝɟɧɟɪɚɰɿʀ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ ɩɫɟɜɞɨɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɱɢɫɟɥ. ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɪɢɧɰɢɩɚɦ ɪɿɜɧɨɿɦɨɜɿ-
ɪɧɿɫɧɨɝɨ ɜɿɞɛɨɪɭ ɿ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɸ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɞɚɽ ɜɟɥɢɤɢɣ ɫɩɢɫɨɤ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɫɹɝɨɦ 100 ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɛɫɹɝɨɦ 100000 ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɩɟɪɲɢɣ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɣ ɨɛ'ɽɤɬ (ɿɧɞɟɤɫ), ɚ ɩɨɬɿɦ ɜɡɹɬɢ ɳɟ 99 ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɿɧɞɟɤɫɿɜ, ɩɪɢɱɨɦɭ ɤɨɠɧɢɣ ɧɚɫɬɭɩɧɢɣ ɨɛ'ɽɤɬ ɩɨɜɢɧɟɧ ɜɿɞɫɬɨɹɬɢ ɜɿɞ ɩɟɪɲɨɝɨ ɜɡɹɬɨɝɨ ɧɚ k ɩɨɡɢɰɿɣ. ɋɬɪɚɬɢɮɿɤɨɜɚɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɝɚɪɚɧɬɭɽ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɿɫɬɶ ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɨɫɿɛ ɩɨ
ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɸ ɞɨ ɨɛɪɚɧɢɯ ɭ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɭ ɫɤɥɚɞɿ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɩɪɢɫɭɬɧɿɦɢ ɽ 600 ɨɫɿɛ ɠɿɧɨɱɨʀ ɿ 400 – ɱɨɥɨɜɿɱɨʀ ɫɬɚɬɿ, ɬɨ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɨɛɫɹɝɨɦ ɭ 100 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɩɨɜɢɧɧɚ ɡɛɟ151
ɪɟɝɬɢ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɟ (60% ɿ 40%) ɩɪɟɞɫɬɚɜɧɢɰɬɜɨ ɨɫɿɛ ɤɨɠɧɨʀ ɫɬɚɬɿ. ɍ ɪɚɡɿ ɩɪɨɫɬɨʀ (ɚɛɨ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ) ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɹɤɿɫɧɟ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɧɟ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɨɫɿɛ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɧɟɚɞɟɤɜɚɬɧɢɦ ɞɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɫɬɪɚɬɢɮɿɤɨɜɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɦɟɠɟɧɨ ɬɢɦ, ɳɨ ɞɨɫɢɬɶ ɱɚɫɬɨ ɫɤɥɚɞ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɳɨɞɨ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɿɞɝɪɭɩ ɡɚɥɢɲɚɽɬɶɫɹ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦ. Ʉɥɚɫɬɟɪɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɡɞɚɬɧɚ ɜɢɪɿɲɭɜɚɬɢ ɩɪɨɛɥɟɦɭ ɧɟɩɨɜɧɨɬɢ ɫɤɥɚɞɭ ɩɿɞɝɪɭɩ
ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ. Ʉɥɚɫɬɟɪɧɢɣ ɦɟɬɨɞ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɩɨɟɬɚɩɧɢɣ ɜɢɛɿɪ ɝɪɭɩ (ɤɥɚɫɬɟɪɿɜ), ɚ ɧɟ ɨɤɪɟɦɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɚ ɩɟɪɲɨɦɭ ɟɬɚɩɿ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɭɜɚɬɢɫɹ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɫɩɢɫɤɭ ɛɚɡɨɜɢɯ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɞɢɫɰɢɩɥɿɧ. Ɍɨɞɿ ɝɪɭɩɨɸ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɫɩɢɫɨɤ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɪɿɡɧɢɯ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨɫɬɟɣ, ɳɨ ɜɿɞɜɿɞɭɸɬɶ ɡɚɧɹɬɬɹ ɡ ɩɟɜɧɨɝɨ ɧɚɜɱɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɟɞɦɟɬɚ. əɤɳɨ ɫɩɢɫɨɤ ɞɢɫɰɢɩɥɿɧ ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɜɟɥɢɤɢɣ (30-40 ɝɪɭɩ), ɦɨɠɧɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜɿɞɿɛɪɚɬɢ 8-10 ɬɚɤɢɯ ɝɪɭɩ. əɤɳɨ ɝɪɭɩɢ ɧɟɱɢɫɥɟɧɧɿ, ɦɨɠɧɚ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɬɢ ɜɫɿɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ, ɹɤɳɨ ɧɿ – ɦɨɠɧɚ ɫɮɨɪɦɭɜɚɬɢ ɛɿɥɶɲ ɞɪɿɛɧɿ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɋɬɭɩɿɧɶ ɿ ɝɥɢɛɢɧɚ ɪɨɡɝɚɥɭɠɟɧɧɹ (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɟɬɚɩɿɜ ɝɪɭɩɭɜɚɧɧɹ) ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɦɟɬɨɸ ɬɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ. Ʉɥɚɫɬɟɪɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɦɟɧɲ ɧɚɞɿɣɧɿ, ɧɿɠ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɿ ɿɡ-ɡɿ ɧɚɹɜɧɨɫɬɿ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɟɬɚɩɿɜ ɜɿɞɛɨɪɭ, ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɹɤɢɯ ɞɨɞɚɽ ɫɜɨɸ ɩɨɯɢɛɤɭ. ɍ ɪɚɡɿ ɠ ɪɚɧɞɨɦɿɡɨɜɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤ ɪɢɡɢɤɭɽ ɥɢɲɟ ɨɞɢɧ ɪɚɡ. Ɍɨɦɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɬɟɨɪɿɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ ɡɞɟɛɿɥɶɲɨɝɨ ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɚɧɚɥɿɡɿ ɜɥɚɫɧɨ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɭ ɨɫɧɨɜɭ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ
ɫɤɥɚɞɚɽ ɡɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɡɝɿɞɧɨ ɡ ɹɤɢɦ ɩɪɢ ɧɟɨɛɦɟɠɟɧɨɦɭ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ (ɫɯɨɞɹɬɶɫɹ ɡɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ) ɞɨ ɩɟɜɧɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 3.3).. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɫɤɿɧɱɟɧɧɨʀ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ X ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ sx2 ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɫɜɨʀɯ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ (ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ı2 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ). ɍ ɪɚɡɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨʀ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (N = ) ɡɚɦɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ı2 ɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ M[X] ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ D[X] ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ.
Ɉɬɠɟ, ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ (ɨɛɫɹɝ N) ɿ ɜɢɛɿɪɤɚ (ɨɛɫɹɝ n) ɦɨɠɭɬɶ ɯɚɪɚɤ152
ɬɟɪɢɡɭɜɚɬɢɫɹ ɬɢɦɢ ɠ ɫɚɦɢɦɢ ɡɦɿɫɬɨɜɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ: ɞɥɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɨɧɢ ɦɚɸɬɶ ɧɚɡɜɭ «ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ», ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ – «ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ» (ɬɚɛɥ. 4.1). ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɹɤ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚ-
ɱɟɧɧɹ ɧɟɜɿɞɨɦɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ. Ɍɚɛɥɢɰɹ 4.1
Ɉɫɧɨɜɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɋɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ɉɛɫɹɝ
Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ: ȝ ı2 ı ȡxy N
ȼɢɛɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ: X
sx2 sx rxy n
~
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɨɰɿɧɤɚ 4 – ɰɟ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ, ɹɤɚ ɦɿɫɬɢɬɶ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿɸ ɩɪɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ 4 . Ȼɿɥɶɲ ɬɨɝɨ, ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɹɤɚ ɜ ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɪɟɚɥɿɡɭɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɹɤ n ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn ~ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ). Ɉɬɠɟ, ɨɰɿɧɤɚ 4 ɹɤ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɿ ɜɿɞ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɿ ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n. ɍɡɚɝɚɥɶɧɸɸɱɢ ɜɢɳɟɫɤɚɡɚɧɟ, ɨɰɿɧɤɨɸ ɦɨɠɧɚ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ ɮɭɧɤɰɿɸ
~
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ 4 ( x1 , x2 , " xn ) , ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɹɤɨʀ ɪɨɛɥɹɬɶ ɜɢ-
ɫɧɨɜɤɢ ɳɨɞɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ 4 ( X ) . ɉɪɨɬɟ ɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɪɿɡɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɜɿɞ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɭ ɹɤɨɫɬɿ ɨɰɿɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ (ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ) ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɪɨɩɨɧɭɜɚɬɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ: ɫɟɪɟɞɧɽ, ɦɨɞɭ, ɦɟɞɿɚɧɭ, ɹɤɿ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥɿ 2.2) ɦɨɠɭɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɇɚ153
ɡɜɚɬɢ «ɧɚɣɤɪɚɳɢɣ» ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɹɤ ɨɰɿɧɤɭ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ. ɉɪɢɧɰɢɩɨɜɨ ɰɟ ɦɨɠɧɚ ɡɪɨɛɢɬɢ ɥɢɲɟ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɪɨɡ-
~
ɩɨɞɿɥɭ ɨɰɿɧɤɢ, ɚ ɫɚɦɟ: ɹɤɳɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɨɰɿɧɤɢ 4 n ɤɨɧɰɟɧɬɪɭɽɬɶɫɹ ɩɨɛɥɢɡɭ ɿɫɬɢɧɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ 4 , ɬɨ ɡ ɛɿɥɶɲɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɦɨɠɧɚ ɩɪɢɣɧɹɬɢ, ɳɨ ɨɰɿɧɤɚ ɧɟɡɧɚɱɧɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɬɢɦɟɬɶɫɹ ɜɿɞ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ. ɋɬɪɨɝɨ ɤɚɠɭɱɢ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɨɰɿɧɤɢ ɜɿɞ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɹɤɧɚɣɦɟɧɲɢɦ:
~ M [4 n 4 ] 2
min .
(4.1)
Ɍɚɤɚ ɨɫɧɨɜɧɚ ɭɦɨɜɚ ɫɬɨɫɨɜɧɨ «ɧɚɣɤɪɚɳɨʀ» ɨɰɿɧɤɢ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɿɞɪɨɡɞɿɥɹɸɬɶ ɧɚ ɬɨɱɤɨɜɟ ɬɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɟ.
Ɍɨɱɤɨɜɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɨɰɿɧɨɤ Ɍɨɱɤɨɜɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɞɥɹ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ
ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚɦɢ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɋɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɬɨɱɧɿɫɬɸ (ɚɛɨ ɡ ɩɟɜɧɢɦɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦɢ ɩɨɯɢɛɤɚɦɢ). Ⱦɨ ɬɨɝɨ ɠ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɨɰɿɧɤɢ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ, ɹɤɢɦ ɩɪɢɬɚɦɚɧɧɢɣ ɧɟɤɨɧɬɪɨɥɶɨɜɚɧɢɣ ɪɨɡɤɢɞ ɧɚɜɿɬɶ, ɹɤɳɨ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɡɹɬɨ ɡ ɬɿɽʀ ɠ ɫɚɦɨʀ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɉɪɢ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɿ ɛɚɠɚɧɨ, ɳɨɛ ɜɬɪɚɬɚ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿʀ, ɹɤɚ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɫɭɬɬɽɜɨɸ ɞɥɹ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ, ɛɭɥɚ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɨɸ. Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɬɨɝɨ, ɳɨɛ ɨɰɿɧɤɢ ɛɭɥɢ ɧɚɞɿɣɧɢɦɢ, ɜɨɧɢ ɦɚɸɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɬɢ ɞɟɹɤɢɦ ɜɢɦɨɝɚɦ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɥɨɞɿɬɢ ɩɟɜɧɢɦɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ. Ɉɫɧɨɜɧɢɦɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɨɰɿɧɨɤ ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɿɫɬɶ, ɧɟɡɦɿɳɟɧɧɿɫɬɶ, ɟɮɟɤɬɢɜɧɿɫɬɶ:
~
x ɋɩɪɨɦɨɠɧɿɫɬɶ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɨɰɿɧɤɚ 4 n ɫɩɪɨɦɨɠɧɚ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɩɪɢ ɩɨɫɬɿɣɧɨɦɭ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ( n o f ) ɜɨɧɚ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
~
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ 4 , ɹɤɢɣ ɨɰɿɧɸɽ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ 4 n ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɩɚɪɚɦɟɬ154
ɪɚ 4 , ɤɨɥɢ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɞɨɞɚɬɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ İ ɽ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɢɦ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ~ lim P{| 4 n 4 |! H } 0 . (4.2) n of ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ X ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ X ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɫɜɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ (ɞɢɜ. ɜɢɪɚɡ (3.45)). ɋɩɪɨɦɨɠɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ. ȼɢɦɨɝɚ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɨɰɿɧɤɚ ɦɚɽ ɧɟɫɬɢ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɣ ɫɟɧɫ, ɧɚɛɥɢɠɚɬɢ ɧɚɫ ɞɨ ɿɫɬɢɧɢ ɿ ɧɟ ɛɭɬɢ ɚɛɫɭɪɞɧɨɸ. Ɂ ɞɪɭɝɨɝɨ ɛɨɤɭ, ɭ ɛɿɥɶɲɨɫɬɿ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɪɨɩɨɧɭɜɚɬɢ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɯ ɨɰɿɧɨɤ ɞɥɹ ɨɞɧɨɝɨ ɣ ɬɨɝɨ ɠ ɫɚɦɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ. Ɉɬɠɟ, ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɧɟɨɛɯɿɞɧɚ, ɚɥɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɧɹ ɜɢɦɨɝɚ. Ȳʀ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɞɨɩɨɜɧɢɬɢ ɿɧɲɢɦɢ ɜɢɦɨɝɚɦɢ. x ɇɟɡɦɿɳɟɧɧɿɫɬɶ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɧɟɡɦɿɳɟɧɨɸ, ɹɤɳɨ ʀʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ, ɳɨ ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ. ȼɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ X ɽ ɧɟɡɦɿɳɟɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ Ɇ[ X ]=ȝ, ɱɨɝɨ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɫɤɚɡɚɬɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ. Ⱦɥɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ M[X ]
ª1 n º M « ¦ xi » ¬n i 1 ¼
n 1 M [¦ x i ] n i 1
1 n ¦ M [ xi ] ni1
P . (4.3)
ȼɢɛɿɪɤɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ s2 ɽ ɡɦɿɳɟɧɨɸ ɯɨɱɚ ɿ ÕÓÔÒÐÒËÑÒá ɨɰɿɧɤɨɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɞɨɜɟɫɬɢ ɬɚɤɢɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹɦ M [s 2 ]
ª1 n º M « ¦ ( xi X ) 2 » ¬n i 1 ¼
1 ªn º M ¦ (( xi M [ xi ]) ( X M [ xi ]) 2 » n «¬ i 1 ¼
n n 1 ªn º M «¦ ( x i M [ xi ]) 2 2( X M [ xi ]) ¦ ( xi M [ x i ]) ¦ ( X M [ xi ]) 2 » n ¬i 1 i 1 i 1 ¼
1 ªn º M ¦ ( x i M [ x i ]) 2 2( X M [ x i ]) ( n X nM [ x i ]) n( X M [ xi ]) 2 » n «¬ i 1 ¼ 1 ªn º M ¦ ( x i M [ x i ]) 2 n( X M [ xi ]) 2 » n «¬ i 1 ¼
1ª n º ¦ M [( xi M [ xi ])]2 nM [( X M [ xi ]) 2 ]»¼ n «¬ i 1
155
1ª 2 V2º 1· 2§ « nV n » V ¨1 ¸ n¬ n ¼ © n¹
n 1 2 V n
V2
V2 n
.
pÖËÊ, ÐÆÖÊÐÆÖÍÚÑÊ ÕÓÒÉÈÆÑÑÅ ÈÍÇÔ±ÒÈÒ ÉÍÕÓÊÔÕ ÉÒÔÈÑá
M [s 2 ]
n 1 2 V n
V2
V2 n
.
(4.4)
əɤ ɜɢɞɧɨ, ɨɰɿɧɤɚ s2 ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ ı2 ɽ ɡɦɿɳɟɧɨɸ. ȼɿɞ’ɽɦɧɟ ɡɦɿɳɟɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ı2/n, ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n ɿ ɜ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɞɨɫɹɝɚɽ ɧɭɥɹ, ɹɤɳɨ nĺ . ȼɢɦɨɝɚ ɧɟɡɦɿɳɟɧɧɨɫɬɿ ɨɫɨɛɥɢɜɨ ɱɭɬɥɢɜɚ ɞɥɹ ɦɚɥɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ. ɐɹ ɜɚɞɚ ɨɰɿɧɤɢ s2 ɭɫɭɜɚɽɬɶɫɹ ɩɟɪɟɯɨɞɨɦ ɞɨ ɧɟɡɦɿɳɟɧɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ sˆ 2
n 2 s . n 1
(4.5)
x ȿɮɟɤɬɢɜɧɿɫɬɶ. Ɍɨɱɤɨɜɚ ɨɰɿɧɤɚ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɸ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɦɚɽ ɧɚɣɦɟɧɲɭ ɦɿɪɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɭ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɿ ɡ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɜɢɹɜɥɹɽ ɧɚɣɦɟɧɲɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɭ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɟɪɟɞ ɬɪɶɨɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɰɟɧɬɪɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ X , ɦɟɞɿɚɧɢ Md ɿ ɦɨɞɢ Mo ) ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ X ɿ ɧɚɣɦɟɧɲ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɸ – Mo, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ʀɯɧɿɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ2 2 2 ɧɢɦ ɽ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ s X s Md s Mo [43, ɋ. 100].
Ⱦɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɛɚɠɚɧɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɨɰɿɧɤɢ, ɹɤɿ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɢɦɨɝɢ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ, ɧɟɡɦɿɳɟɧɧɨɫɬɿ ɣ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɿ. Ʉɪɿɦ ɬɨɝɨ, ɜɚɠɥɢɜɨ ɡɧɚɬɢ, ɡɚ ɹɤɢɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɜɢɛɿɪ ɿ ɩɨɛɭɞɨɜɚ ɬɿɽʀ ɱɢ ɿɧɲɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ.
Ɇɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ Ɇɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɪɨɡɤɪɢɜɚɸɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ, ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɹɤɢɯ ɛɭɞɭɸɬɶɫɹ ɪɿɡɧɿ ɦɨɞɟɥɿ «ɧɚɣɤɪɚɳɨɝɨ» ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɢɯ ɱɢ ɿɧɲɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ. ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɛɚɝɚɬɨ ɜɢɞɿɜ ɨɰɿɧɨɤ19, ɫɟɪɟɞ ɹɤɢɯ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɦɟ19
Ⱦɢɜ., ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, Ʉɨɛɡɚɪ Ⱥ.ɂ. ɉɪɢɤɥɚɞɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ. – Ɇ., 2006
[37]. 156
ɬɨɞɢ ɦɨɦɟɧɬɿɜ, ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ, ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ, ɹɤɿ ɫɬɚɥɢ ɜɠɟ «ɤɥɚɫɢɱɧɢɦɢ», ɚ ɬɚɤɨɠ ɦɟɬɨɞɢ «ɰɟɧɡɭɪɭɜɚɧɧɹ», «ɭɪɿɡɭɜɚɧɧɹ», ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ ɬɚ ɿɧ.
Ɇɟɬɨɞ ɦɨɦɟɧɬɿɜ Ɂɚ ɰɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ (ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɨ Ʉ. ɉɿɪɫɨɧɨɦ) ɩɟɜɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ (ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ vk ɚɛɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ mk, ɚɛɨ ɬɢɯ ɿ ɿɧɲɢɯ) ɩɪɢɪɿɜɧɸɸɬɶ ~ ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɞɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ( v~ ɚɛɨ m k
k
ɱɢɧɢ ɏ. ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ (2.13 – 2.20 ), ɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ – ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ (3.14 – 3.39). Ɉɬɠɟ, ɨɰɿɧɤɢ ɧɟɜɿɞɨɦɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɽ ɪɿɲɟɧɧɹɦ ɫɢɫɬɟɦɢ ɪɿɜɧɹɧɶ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɿɜɧɹɧɶ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɤɿɥɶɤɿɫɬɸ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ, ɳɨ ɩɿɞɥɹɝɚɸɬɶ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɸ. ɉɪɢɤɥɚɞ 4.1. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɬɨɱɤɨɜɿ ɨɰɿɧɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɳɨ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɿɜ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɓɿɥɶɧɿɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ f ( x; P , V 2 )
ɧɿɦ P
(x P)2 ½ exp ® ¾ ɡ ɞɜɨɦɚ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ: ɫɟɪɟɞ2V 2 ¿ 2SV ¯ 1
2
M [ X ] v~1 (3.36) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ V 2
~ (3.37), ɹɤɿ ɽ ɩɟɪɲɢɦ D[ X ] m 2
ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɿ ɞɪɭɝɢɦ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦɢ ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɦɚɸɬɶ ɜɢɝɥɹɞ: v1
1 n ¦ xi ɿ m 2 ni1
v 2 v12 .
Ɂɜɿɞɫɢ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɡ ɞɜɨɯ ɪɿɜɧɹɧɶ: 1 n P ¦ xi ° ni1 ° ® 2 n n °V 2 1 x 2 §¨ 1 x ·¸ ¦ i ©n¦ i ° ni1 i 1 ¹ ¯
(4.6)
2 Ɋɿɲɟɧɧɹ ɫɢɫɬɟɦɢ ɪɿɜɧɹɧɶ ɞɚɽ ɨɰɿɧɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ Pˆ ɦɦ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ Vˆ ɦɦ ɡɚ
ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɿɜ
157
°Pˆ ɦɦ ® 2 °¯Vˆ ɦɦ
ɏ
(4.7)
s x2
əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɬɨɱɤɨɜɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɳɨ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɽ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɫɟɪɟɞɧɽ ɏ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ sx2. Ɉɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦ, ɩɨɪɿɜɧɹɧɨ ɩɪɨɫɬɢɦ ɭ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɯ, ɚɥɟ ɡɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɿ ɧɟ «ɧɚɣɤɪɚɳɢɦ». Ɉɫɧɨɜɧɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɨɰɿɧɨɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɦɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ, ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɣ Ɋ.Ɏɿɲɟɪɨɦ.
Ɇɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ Ɉɫɧɨɜɭ ɦɟɬɨɞɚ ɫɤɥɚɞɚɽ ɮɭɧɤɰɿɹ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ L ( x;4 ) , ɹɤɚ ɜɢɪɚɠɚɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɩɨɹɜɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn:
L( x1 , x 2 ,", x n ;4 ) M ( x1 ,4 ) M ( x 2 ,4 ) "M ( x n ,4 ) . Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɦɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ ɡɚ ɨɰɿɧɤɭ ɧɟɜɿɞɨɦɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ 4
~
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɬɚɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 4 n , ɹɤɟ ɦɚɤɫɢɦɿɡɭɽ ɮɭɧɤɰɿɸ
L( x;4 ) 20. ɉɪɢɤɥɚɞ 4.2. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɬɨɱɤɨɜɿ ɨɰɿɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɳɨ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɓɿɥɶɧɿɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ 1
f ( x; P , V 2 )
2SV 2
(x P) 2 ½ exp® i 2 ¾ 2V ¯ ¿
(4.8)
ɿ ɦɚɽ ɞɜɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ: ɫɟɪɟɞɧɽ ȝ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ ı2, ɹɤɿ ɫɥɿɞ ɨɰɿɧɢɬɢ. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ L ( x; P , V 2 )
n
1
(2SV i 1
2
)
n/2
1 exp ® 2 2 V ¯
ɉɿɫɥɹ ɥɨɝɚɪɢɮɦɭɜɚɧɧɹ ɩɨɬɪɢɦɚɽɦɨ
20
Ⱦɢɜ., ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɇ.Ʉɪɟɦɟɪ [41, ɋ. 303-305]. 158
n
¦ (x i 1
i
½ P ) 2 ¾ . (4.9) ¿
1 n ln L (ln V 2 ln(2S )) 2 2V 2
n
¦ (x
i
P)2 .
(4.10)
i 1
Ⱦɥɹ ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ȝ ɿ ı2 ɱɚɫɬɤɨɜɿ ɩɨɯɿɞɧɿ ɡɚ ɰɢɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɪɢɪɿɜɧɹɬɢ ɧɭɥɸ ɿ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɿɜɧɹɧɶ: w ln L ° wP ° ® ° w ln L °¯ wV 2
1
V
2
n
¦ (x
i
P) 0
i 1
n
1 2V 4
¦ ( xi P ) 2 i 1
(4.11)
n 2V 2
0
Ɂ ɩɟɪɲɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɞɥɹ ı2>0) ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ n
¦ (x
i
n
n
n
¦ x ¦ P ) ¦ x
P)
i
i 1
i 1
i 1
i
nP 0 , ɡɜɿɞɤɢ P
i 1
Pˆ ɦɦɩ
ɏ
1 n ¦ xi , ɬɨɛɬɨ ni1 (4.12)
. 2
Ɂ ɞɪɭɝɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɿɫɥɹ ɫɤɨɪɨɱɟɧɧɹ (ɞɥɹ ı >0) ɿ ɩɿɞɫɬɚɧɨɜɤɢ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ 1
V2
n
¦ (x
i
X )2 n
2 0 , ɡɜɿɞɤɢ V
i 1
1 n ( xi ɏ ) 2 , ɬɨɛɬɨ ¦ ni1
2 Vˆ ɦɦɩ
s x2 .
(4.13)
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ ɦɚɬɟ2 ɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Pˆ ɦɦɩ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ Vˆ ɦɦɩ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɳɨ ɦɚɽ
ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɏ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ s x2 . Ɉɰɿɧɤɢ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɿ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ ɞɥɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɫɩɿɜɩɚɞɚɸɬɶ, ɚɥɟ ɬɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ, ɳɨ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ. Ɉɰɿɧɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦɢ ɿ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɧɨ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɦɢ. Ɉɫɧɨɜɧɢɣ ɧɟɞɨɥɿɤ ɰɶɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ ɩɨɜ’ɹɡɚɧɢɣ ɡ ɬɪɭɞɧɨɳɚɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɨɰɿɧɨɤ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɿ ɬɟ, ɳɨ ɞɥɹ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɨɰɿɧɨɤ ɿ ɡɚɛɟɡɩɟɱɟɧɧɹ ʀɯ «ɧɚɣɤɪɚɳɢɦɢ» ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɡɧɚɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɳɨ ɭ ɛɚɝɚɬɶɨɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ ɜɢɹɜɥɹɽɬɶɫɹ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ ɧɟɪɟɚɥɶɧɢɦ.
Ɇɟɬɨɞ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ 159
ȼ ɨɫɧɨɜɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɦɟɬɨɞɭ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɩɨɤɥɚɞɟɧɨ ɭɦɨɜɭ ɦɿɧɿɦɿɡɚɰɿʀ ɫɭɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɚɧɢɯ ɜɿɞ ɬɢɯ, ɳɨ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɨɰɿɧɤɨɸ. ɉɪɢɤɥɚɞ 4.3. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɨɰɿɧɤɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ Pˆ ɦɧɤ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɭɦɨɜɨɸ ɦɿɧɿɦɿɡɚɰɿʀ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ n
¦ (x
u
i
P) 2
min .
(4.14)
i 1
Ⱦɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɤɫɬɪɟɦɭɦɭ ɩɟɪɲɭ ɩɨɯɿɞɧɭ ɮɭɧɤɰɿʀ u ɫɥɿɞ ɩɪɢɪɿɜɧɹɬɢ ɧɭɥɸ du dP
n
2¦ ( xi P ) 0 , ɡɜɿɞɤɢ i 1
n
¦ (x
i
P)
i 1
Ɉɬɠɟ, Pˆ ɦɧɤ
n
¦x i 1
ɏ
.
i
nP
0 ɿ P
1 n ¦ xi . ni1
(4.15)
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɨɰɿɧɤɚ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Pˆ ɦɧɤ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɽ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɏ (ɰɹ ɨɰɿɧɤɚ ɫɩɿɜɩɚɞɚɽ ɡ ɨɰɿɧɤɨɸ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɳɨ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ). Ɇɟɬɨɞ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɦɚɽ ɲɢɪɨɤɟ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɭ ɩɪɚɤɬɢɰɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɧɟ ɜɢɦɚɝɚɽ ɡɧɚɧɧɹ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɿ ɦɚɽ ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɚɩɚɪɚɬ.
ȱɧɬɟɪɜɚɥɶɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ Ɍɨɱɤɨɜɿ ɨɰɿɧɤɢ ɧɚɜɿɬɶ ɭ ɬɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɹɯ, ɤɨɥɢ ɜɨɧɢ ɫɩɪɨɦɨɠɧɿ (ɧɚɛɥɢɠɭɸɬɶɫɹ ɞɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ n), ɧɟɡɦɿɳɟɧɿ (ɭ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ) ɿ ɟɮɟɤɬɢɜɧɿ (ɦɚɸɬɶ ɧɚɣɦɟɧɲɭ ɫɬɭɩɿɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ), ɽ ɜɫɟ ɠ ɬɚɤɢ ɧɚɛɥɢɠɟɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɧɟɜɿɞɨɦɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ. Ȳɯɧɿɦ ɝɨɥɨɜɧɢɦ ɧɟɞɨɥɿɤɨɦ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɬɟ, ɳɨ ɩɪɢ ɦɚɥɨɦɭ ɨɛɫɹɡɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɬɨɱɤɨɜɿ ɨɰɿɧɤɢ ɦɨɠɭɬɶ ɦɚɬɢ ɡɧɚɱɧɟ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɡ ɬɢɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ, ɹɤɢɣ ɜɨɧɢ 160
ɨɰɿɧɸɸɬɶ, ɚ ɰɟ ɦɨɠɟ ɩɪɢɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɝɪɭɛɢɯ ɩɨɦɢɥɨɤ.
ȱɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɱɢɫɟɥɶɧɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ, ɹɤɢɣ ɩɨɤɪɢɜɚɽ21 ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɧɟɜɿɞɨɦɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɐɟɣ ɱɢɫɟɥɶɧɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ (2ǻ) ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɞɨɜɿɪɱɢɦ ɿɧɬɟɪɜɚɥɨɦ, ɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ – ɞɨɜɿɪɱɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ș 22. ɇɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɜɢɛɢɪɚɽɬɶɫɹ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɦ ɞɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ 4 , ɬɨɛɬɨ ( 4 –ǻ, 4 +ǻ ). Ɋɨɡɦɿɪ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n (ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ ɡ ɪɨɫɬɨɦ n) ɿ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɜɿɪɱɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (ɡɛɿɥɶɲɭɽɬɶɫɹ ɩɪɢ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɿ
~
ș ɞɨ ɨɞɢɧɢɰɿ). ȼɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɨɰɿɧɤɢ 4 n ɜɿɞ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ 4 , ɳɨ ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɞɨɜɿɪɱɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ș, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɩɨɯɢɛɤɨɸ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɫɬɿ. Ȳʀ ɧɚɣɛɿɥɶɲɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɽ ɝɪɚɧɢɱɧɨɸ ɩɨɯɢɛɤɨɸ. ȼɢɩɚɞɤɨɜɚ ɩɨɯɢɛɤɚ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɫɬɿ ɜɢɧɢɤɚɽ ɜɧɚɫɥɿɞɨɤ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɞɨɫɥɿɞɠɭɽɬɶɫɹ ɧɟ ɜɫɹ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ, ɚ ɥɢɲɟ ʀʀ ɱɚɫɬɢɧɚ (ɜɢɛɿɪɤɚ). Ȳʀ ɧɟ ɫɥɿɞ ɩɥɭɬɚɬɢ ɡ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɧɨɸ ɩɨɯɢɛɤɨɸ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɫɬɿ, ɹɤɚ ɽ ɧɚɫɥɿɞɤɨɦ ɩɨɪɭɲɟɧɧɹ ɩɪɢɧɰɢɩɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɫɬɿ ɩɪɢ ɜɿɞɛɨɪɿ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɞɨ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɳɨ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɦɿɫɰɟ ɭ ɩɪɚɤɬɢɱɧɿɣ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ.
Ⱦɨɜɿɪɱɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ș ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤɨɦ ɡɚ ɩɪɢɧɰɢɩɨɦ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨʀ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ, ɚ ɫɚɦɟ: ɩɨɞɿʀ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ, ɛɥɢɡɶɤɨɸ ɞɨ 1, ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɜɿɪɨɝɿɞɧɢɦɢ (ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɢɦɢ); ɩɨɞɿʀ ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ, ɛɥɢɡɶɤɨɸ ɞɨ 0, ɜɢɡɧɚɸɬɶɫɹ ɧɟɜɿɪɨɝɿɞɧɢɦɢ (ɧɟɦɨɠɥɢɜɢɦɢ). ɐɟɣ ɩɪɢɧɰɢɩ ɧɟ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɞɨɤɚɡɚɧɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨ. Ⱦɨ ɬɨɝɨ ɠ ɣɨɝɨ ɫɮɨɪɦɭɥɶɨɜɚɧɨ ɞɨ ɨɞɧɨɤɪɚɬɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ. ɉɨɪɭɱ ɿɡ ɩɨɧɹɬɬɹɦ «ɞɨɜɿɪɱɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ» ș ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ» Į. Ɇɿɠ ș ɿ Į ɿɫɧɭɽ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ: ș =1– Į.
Ɋɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į – ɜɤɚɡɭɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɦɢɥɤɢ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ. Ⱦɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɰɿɥɟɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɜɿɪɱɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ș ɚɛɨ 21 s.bÎÈÆÌÅÑ, o. lÔÊÐÊÔ ÖÆ Ñ. ɧɚɩɨɥɹɝɚɸɬɶ ɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɿ ɫɚɦɟ ɫɥɿɜ «ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɩɨɤɪɢɜɚɽ», ɚ ɧɟ «ɦɿɫɬɢɬɶ», ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɦɟɠɿ ɱɢɫɟɥɶɧɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɡɚ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɿ ɬɨɦɭ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ [1, ɋ. 289; 41, ɋ. 320]. 22 ȱɧɨɞɿ ɞɨɜɿɪɱɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɿɜɧɟɦ ɞɨɜɿɪɢ ɚɛɨ ɧɚɞɿɣɧɿɫɬɸ ɨɰɿɧɤɢ. [41, ɋ.. 320].
161
ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į – ɭɫɟ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɪɢɡɢɤɭ ɩɨɦɢɥɤɢ, ɹɤɢɣ ɦɨɠɟ ɫɨɛɿ ɞɨɡɜɨɥɢɬɢ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤ. əɤɳɨ ș (ɞɨɜɿɪɱɚ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ) – ɰɟ ɫɜɨɽɪɿɞɧɢɣ «ɪɿɜɟɧɶ ɞɨɜɿɪɢ» ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ, ɬɨ ɫɟɧɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ Į (ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ) ɦɨɠɧɚ ɬɪɚɤɬɭɜɚɬɢ ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɢɡɢɤɭ ɩɨɦɢɥɢɬɢɫɹ ɩɪɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɿ ɪɿɲɟɧɧɹ. ɍ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɿ ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɡɚɝɚɥɶɧɨɩɪɢɣɧɹɬɢɦɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ș ɿ Į (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 4.2). Ɍɚɛɥɢɰɹ 4.2
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɜɿɪɱɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ș, ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ z Ⱦɨɜɿɪɱɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ș 0,90 (90% ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ) 0,95 (95% ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ) 0,99 (99% ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ) 0,999 (99,9% ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ)
Ɋɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į 0,10 (10%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ) 0,05 (5%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ) 0,01 (1%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ) 0,001 (0,1%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ)
ɉɚɪɚɦɟɬɪ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ zĮ z Į/2 1,28 1,64 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29
Ɇɟɬɨɞɢ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɜɿɪɱɢɯ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɪɟɚɥɿɡɨɜɚɧɨ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦɭ ɧɚ ɞɜɨɯ ɩɿɞɯɨɞɚɯ: ɧɚ ɡɧɚɧɧɿ ɬɨɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɞɥɹ ɦɚɥɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ ɜɢɛɿɪɨɤ ɿ ɧɚ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɧɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɞɥɹ ɡɧɚɱɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ⱦɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɪɨɡɦɿɪɨɦ 2ǻ – ɰɟ ɱɢɫɟɥɶɧɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ, ɹɤɢɣ ɡ ɞɨɜɿɪɱɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ș ɩɨɤɪɢɜɚɽ ɞɿɣɫɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ȝ ɦɨɠɟ ɧɚɥɟɠɚɬɢ ɞɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɿɞ ( X – ǻ) ɞɨ ( X +ǻ), ɞɟ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ X ɽ ɫɟɪɟɞɢɧɨɸ ɰɶɨɝɨ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ. ɒɢɪɢɧɚ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ 2ǻ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɬɨɱɧɨ ɨɛɱɢɫɥɟɧɚ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɨʀ ɞɨɜɿɪɱɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ș (ɚɛɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į) ɿ ɰɿɥɤɨɦ ɩɟɜɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ. ɇɚ ɪɢɫ. 4.1 ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɲɢɪɢɧɭ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɝɨ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ N(0,1). əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɞɨɜɿɪɱɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ș (ɡɦɟɧɲɟɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Į) ɲɢɪɢɧɚ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ 2ǻ ɡɪɨɫɬɚɽ, ɳɨ ɡɧɢɠɭɽ ɬɨɱɧɿɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ⱦɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɞɟɥɶ ɿɧɬɟɪɜɚ162
ɥɶɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ȝ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ: P [ X ', X ' ] ,
ɞɟ '
zD / 2 s x n
(4.16)
; X ɿ sx – ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ; n – ɨɛ-
ɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ; zĮ/2 – ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 4.2) ; Į – ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɜɿɞ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɢɬɶ ǻ ɡɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ .
Ɋɢɫ. 4.1. ɒɢɪɢɧɚ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ 2ǻ ɞɥɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ=0 ȼɢɪɚɡ (4.16) ɫɜɿɞɱɢɬɶ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ȝ ɩɨɤɪɢɜɚɽɬɶɫɹ ɞɿɚɩɚɡɨɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɿɞ ( X –ǻ) ɞɨ ( X +ǻ). Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ǻ~
1 , ɬɨ ɞɥɹ ɩɿɞɜɢɳɟɧɧɹ n
ɬɨɱɧɨɫɬɿ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɿɣ ɞɨɜɿɪɱɿɣ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɫɥɿɞ ɡɛɿɥɶɲɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ n. ɉɪɢɤɥɚɞ 4.4. ȼɢɛɿɪɤɚ ɨɛɫɹɝɨɦ 80 ɨɫɿɛ ɦɚɽ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ X = 100 ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ sx = 5,6. ɇɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ȝ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ zĮ/2 ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɇɈɊɆɋɌɈȻɊ(0,05/2), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 1,96; 163
x ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ȝ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ
'
zD / 2 s x
1,96 5,6
n
80
| 1,23 .
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɫɟɪɟɞɧɽ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ȝ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɿɚɩɚɡɨɧɨɜɿ 100,0 B 1,23 . ȱɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, ɡ ɞɨɜɿɪɱɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ 95% ɫɟɪɟɞɧɽ ȝ ɩɨɤɪɢɜɚɽɬɶɫɹ ɞɿɚɩɚɡɨɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɶ ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ 98,77 ɞɨ 101,23. Ⱦɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɡɪɭɱɧɨ ɨɰɿɧɸɜɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ =ȾɈȼȿɊɂɌ(Į; sx; n). Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 4.4, ɮɭɧɤɰɿɹ =ȾɈȼȿɊɂɌ(0,05; 5,6; 80) ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɜɠɟ ɜɿɞɨɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 1,23. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ. 2.
Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɩɨɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ.
3. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɬɨɱɤɨɜɟ ɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ? 4. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ «ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ» ɜɿɞ « ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ»? 5. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɨɰɿɧɨɤ. 6. əɤɚ ɿɞɟɹ ɦɟɬɨɞɭ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɹɤ ɦɟɬɨɞɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ? 7. ȼ ɱɨɦɭ ɫɭɬɶ ɦɟɬɨɞɭ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨɫɬɿ? 8. əɤɿ ɭɦɨɜɢ ɩɨɤɥɚɞɟɧɨ ɜ ɨɫɧɨɜɭ ɦɟɬɨɞɭ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ? 9.
ȼ ɱɨɦɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɫɭɬɶ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ?
10. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɞɨɜɿɪɱɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ» ɿ «ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ». əɤɟ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɿɫɧɭɽ ɦɿɠ ɧɢɦɢ? 11. ɓɨ ɨɡɧɚɱɚɽ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɿ ɹɤ ɣɨɝɨ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ? 12. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 4.1 – 4.4. 13. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɭ ɪɨɛɨɬɭ ʋ 9.
164
5. ɉȿɊȼȱɊɄȺ ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇɂɏ ȽȱɉɈɌȿɁ 5.1.ɏȺɊȺɄɌȿɊɂɋɌɂɄȺ ɆȿɌɈȾȱȼ ɉȿɊȿȼȱɊɄɂ ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇɂɏ ȽȱɉɈɌȿɁ ɉɨɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɸ ɝɿɩɨɬɟɡɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɜɢɞɭ ɚɛɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɧɟɜɿɞɨɦɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɍ ɤɨɧɤɪɟɬɧɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɮɨɪɦɭɥɸɸɬɶ ɹɤ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɧɚ ɩɟɜɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɩɪɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɩɨɡɧɚɱɚɬɢ ɥɿɬɟɪɨɸ ɇ: (Hypothesis). ɋɮɨɪɦɭɥɶɨɜɚɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ «ɇ: ı2=0,5» ɦɨɠɟ ɱɢɬɚɬɢɫɹ ɬɚɤ: «ɜɢɫɭɧɭɬɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɧɟɜɿɞɨɦɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ı2 ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0,5». Ƚɿɩɨɬɟɬɢɱɧɟ ɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɽ ɚɛɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɢɦ (ɿɫɬɢɧɧɢɦ), ɚɛɨ ɩɨɦɢɥɤɨɜɢɦ (ɯɢɛɧɢɦ), ɳɨ ɩɨɬɪɟɛɭɽ ɣɨɝɨ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ. Ɋɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶ ɩɪɨɫɬɿ ɿ ɫɤɥɚɞɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ. ɉɪɨɫɬɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɨɜɧɿɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɝɿɩɨɬɟɡɚ « ɇ: ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ ȝ=0 ɿ ı=1» ɽ ɩɪɨɫɬɨɸ, ɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ « ɇ: ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɧɟ ɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ» – ɫɤɥɚɞɧɨɸ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɿɞɪɨɡɞɿɥɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɧɭɥɶɨɜɿ ɣ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɿ.
ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ H0. ɐɟ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɨɡɧɚɤ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɝɿɩɨɬɟɡɚ «H0 : ȝ1 – ȝ2 = 0» ɱɢɬɚɽɬɶɫɹ ɬɚɤ: «ɜɢɫɭɧɭɬɚ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɡɧɚɱɭɳɨʀ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ȝ1 ɿ ȝ2». əɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ – ɰɟ ɬɟ, ɳɨ ɦɢ ɯɨɱɟɦɨ ɫɩɪɨɫɬɭɜɚɬɢ, ɹɤɳɨ ɩɟɪɟɞ ɧɚɦɢ ɫɬɨʀɬɶ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɞɨɜɟɫɬɢ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ.
Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɽ ɥɨɝɿɱɧɢɦ ɡɚɩɟɪɟɱɟɧɧɹɦ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɿ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ H1. ɉɪɢɪɨɞɧɨ, ɳɨ ɰɟ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɿɫɧɭɜɚɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɝɿɩɨɬɟɡɚ «H1: ȝ1 – ȝ2 0» ɱɢɬɚɽɬɶɫɹ ɬɚɤ: «ɜɢɫɭɧɭɬɚ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɧɚɹɜɧɿɫɬɶ ɡɧɚɱɭɳɨʀ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ȝ1 ɿ ȝ2». ɇɚɣɱɚɫɬɿɲɟ 165
ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ – ɰɟ ɬɟ, ɳɨ ɦɢ ɯɨɱɟɦɨ ɞɨɜɟɫɬɢ. ɉɪɨɬɟ ɿɫɧɭɸɬɶ ɡɚɜɞɚɧɧɹ, ɤɨɥɢ ɛɚɠɚɧɨ ɩɿɞɬɜɟɪɞɢɬɢ ɧɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɿ ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟ ɪɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɡɚ ɹɤɢɦɢɫɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ. ɇɭɥɶɨɜɭ ɣ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɢ ɭ ɩɚɪɿ: H0: ȝ1 – ȝ2 = 0; H1: ȝ1 – ȝ2 0. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɪɨɛɥɹɬɶɫɹ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɨɞɧɿɽʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɿɧɲɨʀ. Ɋɿɲɟɧɧɹ ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿɫɬɸ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɦɢ ɿ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɦɢ.
ɋɩɪɹɦɨɜɚɧɿ (ɨɞɧɨɛɿɱɧɿ) ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɦɚɸɬɶ ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ: H0 : ȝ 1 ȝ 2
(ȝ1 ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ȝ2);
H1: ȝ1 > ȝ2
(ȝ1
ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ȝ2).
ɇɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɿ (ɞɜɨɛɿɱɧɿ) ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɮɨɪɦɭɥɸɸɬɶɫɹ ɬɚɤ: H0: ȝ1 = ȝ2
(ȝ1 ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ȝ2);
H1 : ȝ 1 ȝ 2
(ȝ1
ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ȝ2).
ɋɩɪɹɦɨɜɚɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɜɢɫɭɜɚɸɬɶ, ɹɤɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɜ ɨɞɧɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɳɟ (ɧɢɠɱɟ), ɧɿɠ ɜ ɿɧɲɿɣ; ɹɤɳɨ ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ ɹɤɢɯɨɫɶ ɞɿɣ ɜ ɨɞɧɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɿɞɛɭɜɚɸɬɶɫɹ ɛɿɥɶɲ (ɦɟɧɲ) ɜɢɪɚɠɟɧɿ ɡɦɿɧɢ, ɧɿɠ ɜ ɿɧɲɿɣ. ɇɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɮɨɪɦɭɥɸɸɬɶ, ɹɤɳɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɞɨɜɟɫɬɢ ɥɢɲɟ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɮɨɪɦɢ ɚɛɨ ɡɧɚɱɟɧɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɡɧɚɤ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɪɨɡɞɿɥɹɸɬɶ ɧɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɣ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɦɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɧɟɜɿɞɨɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɳɨ ɜɯɨɞɢɬɶ ɭ ɞɟɹɤɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɟ ɫɿɦɟɣɫɬɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ. ɉɪɢɩɭɳɟɧɧɹ, ɩɪɢ ɹɤɨɦɭ ɜɢɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɟɜɿɞɨɦɢɣ (ɬɨɛɬɨ ɧɟ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɜɨɧɨ ɜɯɨɞɢɬɶ ɭ ɞɟɹɤɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɟ ɫɿɦɟɣɫɬɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ), ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɝɿɩɨɬɟɡɨɸ. əɤɳɨ ɿ ɧɭɥɶɨɜɚ ɇ0, ɿ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɇ1 – ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ, ɬɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ – ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɟ. əɤɳɨ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɡ ɝɿɩɨɬɟɡ ɇ0 ɚɛɨ ɇ1 – ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɚ, ɬɨ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɽ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɦ ɡɚɜɞɚɧɧɹɦ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɞɿɣɫɧɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ. 166
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ – ɰɟ ɜɢɪɿɲɚɥɶɧɟ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɳɨ ɡɚɛɟɡɩɟɱɭɽ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɟ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɿɫɬɢɧɧɨʀ ɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɩɨɦɢɥɤɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɛɭɞɭɸɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ȍ(ɯ1, ɯ2, ..., ɯn) – ɞɟɹɤɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜɿɞ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ Ȍ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɡ ɩɟɜɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɋɟɪɟɞ ɡɧɚɱɟɧɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ȍ ɜɢɞɿɥɹɸɬɶ ɤɪɢɬɢɱɧɭ ɨɛɥɚɫɬɶ Ȍ ɤɪ ɡ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɸ: ɹɤɳɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ȍɟɦɩ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɨɛɥɚɫɬɿ Ȍ ɤɪ, ɬɨ ɧɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɜɿɞɯɢɥɹɸɬɶ (ɜɿɞɤɢɞɚɸɬɶ), ɿɧɚɤɲɟ – ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶ ɭ ɩɪɚɤɬɢɱɧɿɣ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ ɦɟɬɨɞ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɩɟɜɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɟ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, tɟɦɩ ɞɥɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɿ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɽ ɩɿɞɫɬɚɜɨɸ ɞɥɹ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɱɢ ɫɩɪɨɫɬɨɜɭɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ ɪɚɡɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɹɤɳɨ |tɟɦɩ| |tɤɪ| , ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɨɛɥɚɫɬɿ ɿ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ (ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H1). ɉɪɚɜɢɥɚ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɿɲɟɧɧɹ ɨɛɭɦɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ.
ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɿ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɞɿɥɹɬɶɫɹ ɧɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɣ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɜ ɡɚɜɞɚɧɧɹɯ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɿ ɜɤɥɸɱɚɸɬɶ ɭ ɫɜɿɣ ɪɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɬɨɳɨ. ɐɟ ɬɚɤɿ ɜɿɞɨɦɿ ɤɥɚɫɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ, ɹɤ z-ɤɪɢɬɟɪɿɣ, t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ ɬɚ ɿɧ. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɚɫɧɨɜɚɧɿ ɧɚ ɨɩɟɪɚɰɿɹɯ ɡ ɿɧɲɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ, ɡɨɤɪɟɦɚ, ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ, ɪɚɧɝɚɦɢ ɬɨɳɨ. ɐɟ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ, U-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɬɚ ɛɚɝɚɬɨ ɿɧɲɢɯ. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɩɪɹɦɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɪɿɜɟɧɶ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɚ167
ɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɯ. Ʉɪɢɬɟɪɿʀ ɫɩɪɨɦɨɠɧɿ ɜɢɹɜɢɬɢ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɡɦɿɧɢ ɨɡɧɚɤɢ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɭɦɨɜɢ ɞɨ ɭɦɨɜɢ, ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɡɚɽɦɨɞɿɸ ɞɜɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɭ ɜɩɥɢɜɿ ɧɚ ɡɦɿɧɢ ɨɡɧɚɤɢ. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɞɟɳɨ ɛɿɥɶɲ ɩɨɬɭɠɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ, ɡɚ ɭɦɨɜ, ɹɤɳɨ ɨɡɧɚɤɚ ɜɢɦɿɪɹɧɚ ɡɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɚ. ɉɪɨɬɟ ɡ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ ɦɨɠɭɬɶ ɜɢɧɢɤɧɭɬɢ ɩɟɜɧɿ ɩɪɨɛɥɟɦɢ, ɹɤɳɨ ɞɚɧɿ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɧɟ ɜ ɫɬɚɧɞɚɪɬɢɡɨɜɚɧɢɯ ɨɰɿɧɤɚɯ. Ⱦɨ ɬɨɝɨ ɠ ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ «ɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɿɫɬɶ» ɜɢɦɚɝɚɽ ɞɨɫɢɬɶ ɫɤɥɚɞɧɢɯ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɹɤɢɯ ɡɚɡɞɚɥɟɝɿɞɶ ɧɟɜɿɞɨɦɢɣ. ɇɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɨɡɧɚɤ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ, ɬɨɞɿ ɞɨɜɨɞɢɬɶɫɹ ɡɜɟɪɬɚɬɢɫɹ ɞɨ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɩɨɡɛɚɜɥɟɧɿ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɢɯ ɜɢɳɟ ɨɛɦɟɠɟɧɶ. ɉɪɨɬɟ ɜɨɧɢ ɧɟ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɡɞɿɣɫɧɢɬɢ ɩɪɹɦɭ ɨɰɿɧɤɭ ɪɿɜɧɹ ɬɚɤɢɯ ɜɚɠɥɢɜɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ, ɹɤ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɛɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ, ɡ ʀɯɧɶɨɸ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɡɚɽɦɨɞɿɸ ɞɜɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɭɦɨɜ ɚɛɨ ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɳɨ ɜɩɥɢɜɚɸɬɶ ɧɚ ɡɦɿɧɭ ɨɡɧɚɤɢ. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɜɢɪɿɲɢɬɢ ɞɟɹɤɿ ɜɚɠɥɢɜɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ, ɹɤɿ ɫɭɩɪɨɜɨɞɠɭɸɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɜ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿʀ ɿ ɩɟɞɚɝɨɝɿɰɿ: ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɪɿɜɧɿ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ, ɨɰɿɧɤɚ ɡɫɭɜɭ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ, ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɯ ɨɡɧɚɤ. Ɂɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɞɥɹ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ (ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ) ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɚɜɠɞɢ ɡɞɿɣɫɧɸɸɬɶɫɹ ɡ ɞɨɜɿɪɱɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ, ɿɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, ɧɚ ɩɟɜɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ.
Ɋɿɜɟɧɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ23 Ɋɿɜɟɧɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɦɢ ɜɢɡɧɚɥɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɿɫɬɨɬɧɢɦɢ (ɩɪɢɣɧɹɥɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɿ ɜɿɞɯɢɥɢɥɢ ɧɭɥɶɨɜɭ), ɚ ɜɨɧɢ ɧɚɫɩɪɚɜɞɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɜɤɚɡɭɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ ɧɚ 5%-ɦɭ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ, ɬɨ ɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ 0,05 ɬɨɝɨ, ɳɨ ɜɨɧɢ ɜɫɟ ɠ ɬɚɤɢ ɧɟɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ. Ɋɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ 23
Ⱦɢɜ. ɬɚɤɨɠ ɪɨɡɞɿɥ 4 «ȱɧɬɟɪɜɚɥɶɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ» 168
ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ, ɬɨɞɿ ɹɤ ɜɨɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɚ. ȱɫɬɨɪɢɱɧɨ ɫɤɥɚɥɨɫɹ ɬɚɤ, ɳɨ ɜ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɜɜɚɠɚɬɢ ɧɢɠɱɢɦ ɪɿɜɧɟɦ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 5%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ (Į0,05), ɞɨɫɬɚɬɧɿɦ – 1%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ (Į0,01) ɿ ɜɢɳɢɦ – 0,1%-ɣ ɪɿɜɟɧɶ (Į0,001). Ɍɨɦɭ ɜ ɬɚɛɥɢɰɹɯ ɤɪɢɬɢɱɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɜɢɱɚɣɧɨ ɩɪɢɜɨɞɹɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɪɿɜɧɹɦ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į0,05 ɿ Į0,01, ɿɧɤɨɥɢ Į0,001. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɞɨɬɪɢɦɭɜɚɬɢɫɹ ɩɪɚɜɢɥɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ (H0) ɿ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɭ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ (H1), ɞɨɤɢ ɪɿɜɟɧɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɧɟ ɞɨɫɹɝɧɟ Į=0,05.
ɉɪɚɜɢɥɚ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ: ɹɤɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȍɟɦɩ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ ɜ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɨɛɥɚɫɬɿ | Ȍɟɦɩ | | Ȍɤɪ |, ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ24. ɇɚ ɪɢɫ. 5.1 – 5.3 ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɨɛɥɚɫɬɿ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɨ. Ɋɿɜɟɧɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɩɨ-ɪɿɡɧɨɦɭ ɩɪɢ ɩɟɪɟɜɿɪɰɿ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɿ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ. ɉɪɢ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡɚɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ (ɪɢɫ. 5.1 ɿ 5.2), ɩɪɢ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ – ɞɜɨɛɿɱɧɢɣ (ɪɢɫ. 5.3).
Ɋɢɫ. 5.1. Ʌɿɜɨɫɬɨɪɨɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɚ
Ɋɢɫ. 5.2. ɉɪɚɜɨɫɬɨɪɨɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɚ
ɨɛɥɚɫɬɶ
ɨɛɥɚɫɬɶ
24
ȼɢɧɹɬɤɢ: ɞɥɹ ɞɟɹɤɢɯ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, G-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡɧɚɤɿɜ, Ɍɤɪɢɬɟɪɿɸ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɿ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɡɜɨɪɨɬɧɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ. 169
Ⱦɜɨɛɿɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɫɬɪɨɝɿɲɢɣ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɜɿɧ ɩɟɪɟɜɿɪɹɽ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɢɞɜɿ ɫɬɨɪɨɧɢ, ɿ ɞɥɹ ɧɶɨɝɨ ɩɪɢ ɩɟɜɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɨɧɢ ɭɞɜɿɱɿ ɦɟɧɲɿ, ɧɿɠ ɞɥɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɉɬɠɟ, ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɞɥɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ | Ȍɟɦɩ | | Ȍ Į |, ɞɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ | Ȍɟɦɩ | | Ȍ Į/2 |. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į =0,05 ɤɪɢɬɢɱɧɚ ɡɨɧɚ ɞɥɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɫɤɥɚɞɚɽ Ȍ 0,05 (ɪɢɫ. 5.1 ɚɛɨ 5.2), ɞɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ – Ȍ0,025 (ɪɢɫ. 5.3).
Ɋɢɫ. 5.3. Ⱦɜɨɫɬɨɪɨɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɚ ɨɛɥɚɫɬɶ Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɚɛɨ F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɿɲɟɪɚ, ɡɪɭɱɧɿɲɟ ɨɬɪɢɦɭɜɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel. Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɬɚɛɭɥɶɨɜɚɧɨ ɬɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɳɨ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɦ ɝɿɩɨɬɟɡɚɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɢɣ, ɚ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɦ – ɞɜɨɛɿɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ. Ƚɿɩɨɬɟɡɢ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤɚ ɩɨɜɢɧɧɿ ɡɛɿɝɚɥɢɫɹ ɡɚ ɫɟɧɫɨɦ ɿɡ ɝɿɩɨɬɟɡɚɦɢ, ɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɦɢ ɜ ɨɩɢɫɿ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ.
ɉɨɦɢɥɤɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ ɫɭɩɪɨɜɨɞɠɭɽɬɶɫɹ ɩɨɦɢɥɤɚɦɢ.
ɉɨɦɢɥɤɚ 1-ɝɨ ɪɨɞɭ – ɰɟ ɩɨɦɢɥɤɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ, ɬɨɞɿ ɹɤ ɜɨɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɚ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɚɤɨʀ ɩɨɦɢɥɤɢ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ Į (ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ). Ɉɬɠɟ, Į=P{Ȍ Ȍ ɤɪ | H0} – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ {Ȍ Ȍ ɤɪ}, ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɿɫɬɢɧɚ. əɤɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɦɢɥɤɢ – ɰɟ Į, ɬɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɪɿɲɟɧɧɹ (1– Į). ɑɢɦ ɦɟɧɲɟ Į, ɬɢɦ ɛɿɥɶɲɚ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɢɣɧ170
ɹɬɬɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɪɿɲɟɧɧɹ.
ɉɨɦɢɥɤɚ 2-ɝɨ ɪɨɞɭ – ɰɟ ɩɨɦɢɥɤɚ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ H0 ɬɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɚ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɦɢɥɤɢ 2-ɝɨ ɪɨɞɭ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ȕ. Ɉɬɠɟ, ȕ=P{Ȍ Ȍ ɤɪ | H1} – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ {Ȍ Ȍ ɤɪ}, ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ1 ɩɪɢɣɧɹɬɚ (ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɟɧɚ). Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟ ɩɪɢɩɭɫɬɢɬɢɫɹ ɩɨɦɢɥɤɢ 2-ɝɨ ɪɨɞɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ (1– ȕ) ɿ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɬɭɠɧɿɫɬɸ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ȼ ɬɚɛɥ. 5.1 ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɦɨɠɥɢɜɿ ɩɨɦɢɥɤɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ. Ɍɚɛɥɢɰɹ 5.1
ɉɨɦɢɥɤɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ ɉɪɢɣɧɹɬɟ ɪɿɲɟɧɧɹ
Ɋɟɚɥɶɧɢɣ ɫɬɚɧ ɞɿɣɫɧɨɫɬɿ (ɧɚɦ ɧɟɜɿɞɨɦɢɣ)
ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ
ɇ0 ɿɫɬɢɧɧɚ
ɇ0 ɯɢɛɧɚ
ɇ0 ɩɪɢɣɧɹɬɨ
ɉɪɚɜɢɥɶɧɟ ɪɿɲɟɧɧɹ
ɉɨɦɢɥɤɚ 2-ɝɨ ɪɨɞɭ
ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɟɧɨ
ɉɨɦɢɥɤɚ 1-ɝɨ ɪɨɞɭ
ɉɪɚɜɢɥɶɧɟ ɪɿɲɟɧɧɹ
ɉɨɬɭɠɧɿɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ – ɰɟ ɣɨɝɨ ɡɞɚɬɧɿɫɬɶ ɜɢɹɜɥɹɬɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ, ɬɨɛɬɨ ɜɿɞɯɢɥɹɬɢ ɧɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɩɨɦɢɥɤɨɜɚ. ɉɨɬɭɠɧɿɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦ ɲɥɹɯɨɦ. ȼɢɹɜɥɹɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɞɟɹɤɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɜɢɹɜɢɬɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɬɚɦ, ɞɟ ɿɧɲɿ ɨɩɢɧɹɸɬɶɫɹ ɧɟɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦɢ ɰɟ ɡɪɨɛɢɬɢ, ɬɨɦɭ ɩɪɨɩɨɧɭɽɬɶɫɹ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɛɿɥɶɲ ɩɨɬɭɠɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ. ɉɪɨɬɟ ɩɿɞɫɬɚɜɨɸ ɞɥɹ ɜɢɛɨɪɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɧɟ ɥɢɲɟ ɩɨɬɭɠɧɿɫɬɶ, ɚɥɟ ɣ ɿɧɲɿ ɣɨɝɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ, ɚ ɫɚɦɟ: ɲɢɪɲɢɣ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɞɨ ɞɚɧɢɯ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɢɯ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɨɸ ɚɛɨ ɪɚɧɝɨɜɨɸ ɲɤɚɥɨɸ; ɨɛɦɟɠɟɧɿɫɬɶ ɨɛɫɹɝɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ ɚɛɨ ʀɯɧɹ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɿɫɬɶ ɡɚ ɨɛɫɹɝɨɦ; ɜɟɥɢɤɚ ɿɧɮɨɪɦɚɬɢɜɧɿɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ. Ɍɨɞɿ ɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɦɟɧɲ ɩɨɬɭɠɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ.
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɿɲɟɧɧɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɪ-ɡɧɚɱɟɧɶ ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ (ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ) ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ0 ɨɫɧɨɜɚɧɿ ɧɚ ɮɿɤɫɚɰɿʀ ɮɚɤɬɭ ɩɨɩɚɞɚɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȍɟɦɩ ɭ ɤɪɢɬɢɱɧɭ ɨɛɥɚɫɬɶ Ȍɤɪ, ɹɤɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ ɧɚɩɟɪɟɞ ɮɿɤɫɨɜɚɧɢɦ ɪɿɜɧɟɦ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į. 171
ɉɪɨɬɟ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɭɜɚɬɢ ɡɜɨɪɨɬɧɭ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ: ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɟɦɩ, ɹɤɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɦɭ ɤɪɢɬɟɪɿɽɜɿ Ȍɟɦɩ. ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ, ɹɤɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɟɦɩ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɩɨɞɿʀ ɦɟɧɲɟ ɩɪɢɣɧɹɬɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į , ɬɨɛɬɨ ɡɚ ɭɦɨɜ: ɪɟɦɩ Į (ɞɥɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ); ɪɟɦɩ Į/2 (ɞɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ). ɉɪɢɤɥɚɞ 5.1. ɉɪɢɣɧɹɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɪɿɲɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ0 ɡɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨɸ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. ȿɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ zɤɪɢɬɟɪɿɸ zɟɦɩ = 2,19. Ɋɨɡɝɥɹɧɭɬɢ ɜɚɪɿɚɧɬ ɨɞɧɨɛɿɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ. Ɋɿɲɟɧɧɹ: Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɇɈɊɆɋɌɊȺɋɉ() ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɟɦɩ, ɹɤɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɦɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ zɟɦɩ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ ɰɿɽʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. Ɏɭɧɤɰɿɹ =ɇɈɊɆɋɌɊȺɋɉ(zɟɦɩ) ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 1–ɪɟɦɩ § 0,9857. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɪɟɦɩ § 1–0,9857=0,0143 § 1,43%. ȼɢɫɧɨɜɤɢ ɞɥɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ ɝɿɩɨɬɟɡ: Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɪɟɦɩ<0,05 (0,0143<0,05), H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 5%; ɩɪɨɬɟ ɪɟɦɩ>0,01 (0,0143> 0,01), H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 1%;
Ɍɢɩɢ ɿ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɫɯɟɦɚ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ Ɍɢɩɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɸ ɬɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɿ ɦɟɬɨɞɿɜ ʀɯ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɦɿɫɰɟ ɜ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ. Ɂɚ ɫɜɨʀɦ ɩɪɢɤɥɚɞɧɢɦ ɡɦɿɫɬɨɦ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɳɨɞɨ : x ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɬɢɯ ɱɢ ɿɧɲɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ; x ɱɢɫɟɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ (ɫɟɪɟɞɧɿɯ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɤɨɪɟɥɹɰɿɣ ɬɚ ɿɧ.); x ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɚɛɨ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ x ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɪɿɜɧɿ ɨɡɧɚɤ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨɝɨ ɹɜɢɳɚ ɚɛɨ ɩɪɨɰɟɫɭ; x ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿ ɨɡɧɚɤ.
Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɫɯɟɦɚ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ. ɇɟɡɜɚɠɚɸɱɢ ɧɚ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɿɫɬɶ ɬɢɩɿɜ ɝɿɩɨɬɟɡ ɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɫɯɟɦɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ ɬɚɤɢɯ ɩɪɨɰɟɞɭɪ: 172
1) ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ ɇ0 ɿ ɇ1 ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɡɚɜɞɚɧɶ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ; 2) ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ ɳɨɞɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɨɦɭ ɫɿɦɟɣɫɬɜɭ, ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ ɬɚ ɿɧɲɨʀ ɞɨɞɚɬɤɨɜɨʀ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿʀ; 3) ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į; 4) ɜɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ; 5) ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ; 6) ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɨɛɥɚɫɬɿ ɤɪɢɬɢɱɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ; 7) ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɿɲɟɧɧɹ; 8) ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ; 9) ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɩɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ (ɩɪɢɩɢɧɟɧɧɹ) ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ; 10) ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɡɦɿɫɬɨɜɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɞɜɚ ɫɬɢɥɿ ɜɢɤɥɚɞɭ ɦɟɬɨɞɿɜ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ. Ɂɚ ɨɞɧɢɦ ɮɨɪɦɭɥɸɸɬɶ ɿ ɧɭɥɶɨɜɭ, ɿ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭ ɝɿɩɨɬɟɡɢ (ɚɛɨ ɧɚɛɨɪɭ ɝɿɩɨɬɟɡ), ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɹɤɢɯ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɩɟɜɧɢɦɢ ɤɪɢɬɟɪɿɹɦɢ. ɉɪɢ ɿɧɲɨɦɭ ɫɬɢɥɿ ɜɢɤɥɚɞ ɛɭɞɭɸɬɶ ɹɤ ɚɥɝɨɪɢɬɦɿɱɧɢɣ ɨɩɢɫ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ, ɩɪɨ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɢ ɧɚɜɿɬɶ ɧɟ ɡɝɚɞɭɽɬɶɫɹ. ɍ ɩɨɫɿɛɧɢɤɭ ɩɪɨɩɨɧɭɽɬɶɫɹ ɩɟɪɲɢɣ ɜɚɪɿɚɧɬ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ⱦɚɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɧɹɬɬɸ «ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ». ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɩɪɢɤɥɚɞɢ. 2. ɑɢɦ ɪɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɩɪɨɫɬɿ ɿ ɫɤɥɚɞɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ? 3. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɧɭɥɶɨɜɭ ɬɚ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ. 4. əɤɿ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɿ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ? 5. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɩɨɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. 6. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɣ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ? 7. Ⱦɚɣɬɟ ɩɨɪɿɜɧɹɥɶɧɭ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɿ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ. 8. ɉɪɨ ɳɨ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɩɪɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɿ (ɫɩɪɨɫɬɭɜɚɧɧɿ) ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ? 9. əɤɿ ɬɢɩɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɿɜɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɧɨ ɡɚ173
ɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɜ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ? 10. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɩɪɚɜɢɥɚ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɿɲɟɧɶ ɩɪɢ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɿ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡɚɯ. 11. ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɩɨɦɢɥɤɢ 1-ɝɨ ɿ 2-ɝɨ ɪɨɞɭ? 12. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɫɟɧɫ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɩɨɬɭɠɧɿɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ». 13. əɤ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɿɲɟɧɧɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɪ-ɡɧɚɱɟɧɶ? 14. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɬɢɩɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ. 15. əɤ ɜɢɝɥɹɞɚɽ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɫɯɟɦɚ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ?
5.2. ȽȱɉɈɌȿɁɂ ɓɈȾɈ ɇɈɊɆȺɅɖɇɈȽɈ ɊɈɁɉɈȾȱɅɍ ɈɁɇȺɄ ɉɪɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɿ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɧɚɞɡɜɢɱɚɣɧɨ ɜɚɠɥɢɜɨ ɡɧɚɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ, ɳɨ ɜɢɜɱɚɽɬɶɫɹ. ɉɨ ɫɭɬɿ, ɜɠɟ ɫɚɦɚ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɚ ɡɦɿɧɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɦɚɫɢɜɨɦ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɡ ɩɟɜɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿʀ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɶ. Ɍɨɦɭ ɛɭɞɶ-ɹɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɨɛɪɨɛɤɚ ɩɨɱɢɧɚɽɬɶɫɹ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɡɿ ɫɩɪɨɛɢ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɉɪɚɝɧɟɧɧɹ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɬɢ ɦɟɬɨɞɢ, ɹɤɿ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɞɥɹ ɩɟɜɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɜ ɭɦɨɜɚɯ, ɤɨɥɢ ɪɟɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɝɿɩɨɬɟɬɢɱɧɨɝɨ, ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɟɧɨɸ ɩɨɦɢɥɤɨɸ, ɳɨ ɩɪɢɡɜɨɞɢɬɶ ɭ ɩɿɞɫɭɦɤɭ ɿ ɞɨ ɩɨɦɢɥɤɨɜɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. Ʉɪɢɬɟɪɿʀ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɧɚɡɢɜɚɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɹɦɢ ɡɝɨɞɢ, ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɞɜɿ ɝɪɭɩɢ: ɡɚɝɚɥɶɧɿ ɬɚ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿ [37, ɋ. 20]. Ɂɚɝɚɥɶɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɞɨ ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɶ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɡɝɨɞɭ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɡ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɦ ɦɨɠɥɢɜɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. ɋɩɟɰɿɚɥɶɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɡɝɨɞɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɭ ɪɚɡɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ – ɧɨɪɦɚɥɶɧɨʀ, ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨʀ, ɟɤɫɩɨɧɟɧɰɿɚɥɶɧɨʀ ɬɨɳɨ. Ɍɚɤɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɧɨɫɹɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɧɚɡɜɭ – ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ, ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨɫɬɿ ɣ ɬ.ɩ. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɬɚ ɣɨɝɨ ɝɪɚɮɿɱɧɚ ɜɿɡɭɚɥɿɡɚɰɿɹ ɧɟ ɞɚɸɬɶ ɧɚɞɿɣɧɢɯ ɩɿɞɫɬɚɜ ɞɥɹ ɜɢɫɧɨɜɤɭ ɳɨɞɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɡɧɚɤɢ ɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɡ ɹɤɨʀ ɜɡɹɬɚ ɜɢɛɿɪɤɚ. Ɍɢɦ ɱɚɫɨɦ ɡɧɚɧɧɹ ɰɶɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ ɜɢ174
ɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɛɚɝɚɬɶɨɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɜɢɦɚɝɚɽ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨʀ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. ɋɟɪɟɞ ɦɟɬɨɞɿɜ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡɚɤɨɧɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɛɿɥɹ ɞɜɨɯ ɞɟɫɹɬɤɿɜ ɛɭɥɨ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ. ɇɚɣɛɿɥɶɲ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɟɧɢɦɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɣ ɟɤɫɰɟɫɭ, ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɬɚ ɿɧ. ɉɪɨɬɟ ɜɚɪɬɨ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɜɚɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W, ɹɤɢɣ ɡɚ ɪɟɣɬɢɧɝɨɦ ɩɨɬɭɠɧɨɫɬɿ ɩɨɫɿɞɚɽ ɩɟɪɲɟ ɦɿɫɰɟ [37, C 278]. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɦɟɬɨɞɢɤɭ, ɬɟɯɧɿɤɭ ɣ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ: ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɣ ɟɤɫɰɟɫɭ, ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɿ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ. ɉɪɢɱɨɦɭ ɞɥɹ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɛɭɞɟɦɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɭ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɩɪɢɤɥɚɞɚɯ ɨɞɧɿ ɣ ɬɿ ɫɚɦɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ.
Ʉɪɢɬɟɪɿʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ Ʉɪɢɬɟɪɿʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɞɥɹ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨʀ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɿɫɬɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ⱥɫɢɦɟɬɪɿɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɫɬɭɩɿɧɶ ɧɟɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɫɬɿ, ɟɤɫɰɟɫ – ɫɬɭɩɿɧɶ ɡɚɝɨɫɬɪɟɧɨɫɬɿ (ɡɝɥɚɞɠɟɧɨɫɬɿ) ɤɪɢɜɨʀ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɿ ɡ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ⱦɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ N(ȝ,ı) ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ ȝ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ı2 ɬɪɟɬɿɣ ɿ ɱɟɬɜɟɪɬɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɦɚɸɬɶ ɫɟɧɫ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɿ ɟɤɫɰɟɫɭ. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ Ⱥ ɿ ȿ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɧɭɥɸ:
A
E
m4
V
4
m3
1
V3
V3
3
n
¦ (x
i
P ) 3 pi
0;
i 1
ª 1 «V 4 ¬
n
¦ (x i 1
i
º P ) 3 pi » 3 0 . ¼
(5.1)
Ɉɬɠɟ, ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɽ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɽ «ɿɞɟɚɥɶɧɢɣ» – ɧɟ ɡɚɝɨɫɬɪɟɧɢɣ ɿ ɧɟ ɡɝɥɚɞɠɟɧɢɣ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ D( A)
6 (n 1) ; (n 1) (n 3)
D( E )
24 n (n 2) ( n 3) ( n 5) . ( n 1) 2 (n 3) (n 5) 175
(5.2)
ȼɜɚɠɚɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɩɪɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɭɬɶ ɧɭɥɸ, ɚɥɟ ɪɟɚɥɶɧɨ ɬɚɤɟ ɦɚɣɠɟ ɧɟ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɽɬɶɫɹ. Ɍɨɦɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɜɚɠɚɸɬɶ ɛɥɢɡɶɤɢɦ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ (ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɧɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ), ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɭɦɨɜɢ: Ax d 3 D( A)
E x d 5 D( E ) .
ɿ
(5.3)
Ɍɟɯɧɨɥɨɝɿɱɧɨ ɭ ɰɶɨɦɭ ɦɟɬɨɞɿ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ tA ɿ tE tA
Ax
ɿ
D ( A)
tE
Ex D( E )
.
(5.4)
ɉɪɨ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɭ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɫɜɿɞɱɚɬɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ tA ɿ tE, ɹɤɳɨ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 3 ɿ ɛɿɥɶɲɟ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.2. ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɚɧɢɯ (ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ Ⱥ:ȼ ɪɢɫ. 5.4) ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɡɧɚɤɢ. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ; H1: ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɽɦɨ ɦɟɬɨɞ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɡ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɦ tA ɿ tE: tA
Ax mA
ɿ tE
Ex , mE
(5.5)
ɞɟ Ⱥɯ ɿ ȿɯ – ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ; mA ɿ mE ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ: mA
6 (n 1) ; (n 1) (n 3)
mE
24 n (n 2) (n 3) (n 5) (n 1) 2 (n 3) (n 5)
.
(5.6)
x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ tA ɿ tE (ɪɢɫ. 5.4) ɜɢɤɨɧɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɨɪɦɭɥ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.5). ȼɢɛɿɪɤɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ (Ⱥɯ) ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ (ȿɯ) ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ (2.12ɚ) ɿ (2.12ɛ) ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =ɋɄɈɋ() ɿ =ɗɄɋɐȿɋɋ(). x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɑɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ tA ɿ tE (ɪɢɫ. 5.4) ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɸɬɶ 3 (tA § 0,47 < 3; tE § 0,49 < 3), ɳɨ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɫɬɜɟɪɞɠɭ176
ɜɚɬɢ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɦɿɠ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ.
Ɋɢɫ. 5.4. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ tA ɿ tE
Ɋɢɫ. 5.5. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɿ ɟɤɫɰɟɫɭ tA ɿ tE
ɉɪɨɬɟ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɰɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɞɚɸɬɶ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɞɥɹ ɫɭɦɧɿɜɭ ɳɨɞɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.6), ɳɨ ɩɨɬɪɟɛɭɽ ɞɨɞɚɬɤɨɜɨʀ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ. f
f - ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ
f'
f ' - ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ
3,0
2,50 2,00
2,0
1,50 1,00
1,0
0,50 0,0 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,00 x
Ɋɢɫ. 5.6. ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ
177
Ȼɿɥɶɲ ɬɨɝɨ, ɭ ɧɚɭɤɨɜɿɣ ɿ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿɣ ɥɿɬɟɪɚɬɭɪɿ ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɩɪɢ ɩɨɫɢɥɚɧɧɿ ɧɚ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɣ ɟɤɫɰɟɫɭ ɹɤ ɧɚ ɡɚɫɿɛ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɧɟɪɿɞɤɨ ɡɜɟɪɬɚɽɬɶɫɹ ɭɜɚɝɚ ɧɚ ɡɚɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɰɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɩɟɪɟɜɿɪɹɬɢ ɥɢɲɟ ɞɟɹɤɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɦɿɠ ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɿ ɚɠ ɧɿɹɤ ɧɟ ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦɢ ɤɪɢɬɟɪɿɹɦɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɡɝɨɞɢ Ȥ2 Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ȥ2 ɡɚɫɧɨɜɚɧɨ ɧɚ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɡ ʀʀ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɸ ɳɿɥɶɧɿɫɬɸ. Ⱦɿɚɩɚɡɨɧ ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɪɨɡɛɢɜɚɸɬɶ ɧɚ k ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɿ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɭ 2 F ɟɦɩ
(mi npi ) 2 ¦ np , i i 1 k
(5.7)
ɞɟ mi – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɳɨ ɩɨɬɪɚɩɢɥɢ ɜ ɿ-ɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ; n – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ; pi – ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɩɨɬɪɚɩɢɬɢ ɜ ɿ-ɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ. Ⱦɥɹ ɝɿɩɨɬɟɬɢɱɧɨɝɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɹɤɢɣ ɦɚɽ ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x), ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ pi ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ pi = F(xɿ+1) – F(xɿ), ɬɨɛɬɨ
pi
xi 1
xi 1
xi
xi
f
f
³ F ( x)dx n
Ɂɚ ɭɦɨɜ k<
³ F ( x)dx ³ F ( x)dx
1
¦p i 1
F ( xi 1 ) F ( xi ) .
(5.8)
2 n ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ F ɟɦɩ ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ
i
ɛɥɢɡɶɤɢɣ ɞɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɞɥɹ k–1 ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ. ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟ2 > FD2 . ɡɚ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į, ɹɤɳɨ F ɟɦɩ
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.3. ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɡɝɨɞɢ Ȥ2 ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.2. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ; H1: ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ. 178
2 x ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ F ɟɦɩ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɟɦ-
ɩɿɪɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ mi ɜɿɞ ɨɱɿɤɭɜɚɧɢɯ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ npi (5.7). x ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ F ɟɦɩ (ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɩɨɤɚ2
ɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.7, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.8):
Ɋɢɫ. 5.7. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2 ɜɧɟɫɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ Ⱥ1:ȼ11; ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɥɚɫɿɜ k ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɋɬɟɪɞɠɟɫɚ k=1+3,32ǜlg(n) Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɪɚɡ =ɈɄɊɍȽɅ(1+3,32*LOG(ɋɑȬɌ(A3:B11));0) ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ D10 ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ k=1+3,32ǜlg(18) = 5,2 § 5; ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D11 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɦɿɪ ɤɥɚɫɨɜɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ Ȝ=(xmax–xmin)/k ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ =(ɆȺɄɋ(A3:B11)-Ɇɂɇ(A3:B11))/D10 ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ Ȝ § 2; ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ D3:E8 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ xi ɿ ɤɿɧɰɟɜɢɯ xi+1 ɝɪɚɧɢɰɶ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿɜ ɯɿ ɤɪɚɬɧɢɦɢ 2. Ɇɿɧɿɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ – (ɤɨɦɿɪɤɚ D3), ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɨɫɬɚɧɧɶɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ + (ɤɨɦɿɪɤɚ ȿ8); ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ F3:F8 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ mi ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɑȺɋɌɈɌȺ(). ɋɭɦɚ ɱɚɫɬɨɬ mi ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɬɨɛɬɨ 18; ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ pi ɩɨɬɪɚɩɢɬɢ ɜ ɿ-ɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɹɤ ɪɿɡɧɢɰɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(xɿ+1) – F(xɿ). Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS 179
Excel = ɇɈɊɆɊȺɋɉ(). ɋɟɪɟɞɧɽ ȝ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ıx ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ F10 i F11 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ (ɡɚɭɜɚɠɟɧɧɹ: ɡɚɦɿɧɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚɦɢ ɦɨɠɟ ɩɪɢɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɭɬɬɽɜɨɝɨ ɫɩɨɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ); ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɜɢɪɚɡɢ ɡɚ ɪɢɫ. 5.8 ɿ 2 ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ F ɟɦɩ ,ɳɨ ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ 4,53
Ɋɢɫ. 5.8. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2ɟɦɩ x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2ɤɪ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɏɂ2ɈȻɊ(), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ L9 i 10 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ: Ȥ20,1 § 9,24 ɿ Ȥ20,05 § 11,07. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Ȥ2ɟɦɩ § 4,53 ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ Į=0,1 (Ȥ20,1 § 9,24) , ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ: ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɦɨɠɭɬɶ ɦɚɬɢ ɜɢɧɹɬɤɨɜɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɤɨɧɚɽɦɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ W ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ: 180
2
W
1 ªm º ¦ ani1 ( xni1 xi )»¼ , s 2 «¬ i 1 n
2 ɞɟ n – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ; s
¦ (x
j
x) 2
s x2 (n 1) ; x
n ; ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ 2
n
¦x
j
; m – ɰɿɥɚ ɱɚɫ-
j 1
j 1
ɬɢɧɚ
(5.9)
an i 1 ɞɥɹ ɧɟɜɟɥɢɤɢɯ n ɿ ɿ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 1 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.4. ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɳɨɞɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.2. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ:. H0: ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ; H1: ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ. x ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ W (ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.9, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.10): ņ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɋ2:D11 ɪɨɡɦɿɫɬɢɬɢ ɿɧɞɟɤɫɢ (ɿ) ɿ (n–i+1), ɩɪɢɱɨɦɭ i ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ 1 ɞɨ m (m ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ n/2 = 18/2 = 9);
Ɋɢɫ. 5.9. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ W-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ 181
ņ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȿ2:ȿ11 ɜɧɟɫɬɢ 9 ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɡ ɬɚɛɥ. 1 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ ɡ ɪɹɞɤɚ ɞɥɹ n=18; ņ ɡɚɩɨɜɧɢɬɢ ɤɨɦɿɪɤɢ F2:G11 ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ xi i xn-i+1 ɚɛɨ «ɜɪɭɱɧɭ», ɚɛɨ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿɸ MS Excel =ȼɉɊ(), ɹɤɚ ɡɚ ɿɧɞɟɤɫɨɦ ɭ ɥɿɜɨɦɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜ ɬɿɦ ɠɟ ɪɹɞɤɭ ɿɡ ɡɚɡɧɚɱɟɧɨɝɨ ɫɬɨɜɩɰɹ ɬɚɛɥɢɰɿ; ņ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ H2:H11 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ bi
ani1 ( xni1 xi ) ;
ņ ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ H12 ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɭɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ – (Ȉbi)2, ɬɨɛɬɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɜɢɪɚɡɭ (5.9), ɚ ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ H13 – ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ – s2 ; ņ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ W ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ H14 ɞɨɪɿɜɧɸɽ (Ȉbi)2 / s2 = 0,891; ņ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ W18(0,05) ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡ ɬɚɛɥ. 2 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ. Ⱦɥɹ n=18 ɿ Į=0,05 ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɤɥɚɞɚɽ 0,897 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ɇ15 ɪɢɫ. 5.9).
Ɋɢɫ. 5.10. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ W-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɩɪɚɜɢɥɨɦ: ɹɤɳɨ W<Wn(Į), H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 2Į. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ W § 0,891 ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0,897 ɤɪɢɬɟɪɿɸ W18(0,05), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɳɨɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 0,1. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. Ɋɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɦɿɠ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦ ɿ ɨɱɿɤɭɜɚɧɢɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭ182
ɳɢɦɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 0,1. Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ (ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ, ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ, ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ) ɦɨɠɧɚ ɡɪɨɛɢɬɢ ɬɚɤɿ ɡɚɝɚɥɶɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ: – ɧɭɥɶɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɭ ɪɚɡɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɦɨɠɭɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢɫɹ ɿ ɞɥɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ, ɜɿɞɦɿɧɧɢɯ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ. Ȼɥɢɡɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɞɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɧɟ ɨɛɨɜ'ɹɡɤɨɜɨ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ. ɐɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɫɥɭɠɚɬɶ ɧɟ ɫɬɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ, ɫɤɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ, ɚɛɨ, ɬɨɱɧɿɲɟ, ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ [49]; – ɩɟɪɟɜɚɠɧɚ ɛɿɥɶɲɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɧɟ ɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦɢ, ɬɨɦɭ ɜ ɭɦɨɜɚɯ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɦɚɥɨɣɦɨɜɿɪɧɨ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ. Ʉɨɪɟɤɬɧɿɲɟ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɦɚɥɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ; – ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ, ɹɤ ɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɦɨɦɟɧɬɿɜ, ɧɟ ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦ. Ƀɨɝɨ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɥɢɲɟ ɞɥɹ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ. Ⱦɨ ɬɨɝɨ ɠ, ɧɚ ɩɨɬɭɠɧɿɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɢɥɶɧɨ ɜɩɥɢɜɚɽ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ (k) ɿ ɪɨɡɦɿɪ (Ȝ) ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ, ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ ɰɟɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɦɨɠɧɚ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ, ɹɤɳɨ npi 5; – ɤɨɠɟɧ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɦɚɽ ɫɜɨʀ «ɩɪɨɛɥɟɦɢ», ɿɫɧɭɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɿ ɦɨɞɢɮɿɤɚɰɿʀ ɪɿɡɧɢɯ ɤɥɚɫɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɬɢɩɭ «ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ», ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɭ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɹɯ; ɩɪɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɯ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ (ȝ ɿ ıx) ɧɟ ɡɚɜɠɞɢ ɜɿɞɨɦɿ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤɨɜɿ. Ɂɚɦɿɧɚ ʀɯ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚɦɢ ( ɏ ɿ sx) ɦɨɠɟ ɩɪɢɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɭɬɬɽɜɨɝɨ ɫɩɨɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ; – ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɩɨɬɭɠɧɢɦ ɿ ɩɨɡɛɚɜɥɟɧɢɦ ɜɢɳɟ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɢɯ ɜɚɞ ɜɢɹɜɢɜɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W. Ɂɚ ɪɟɣɬɢɧɝɨɦ ɰɟɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɩɨɫɿɞɚɽ ɩɟɪɲɟ ɦɿɫɰɟ ɫɟɪɟɞ ɞɜɚɞɰɹɬɢ ɨɞɧɨɝɨ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ [37, ɋ.278] ɿ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɧɢɣ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. əɤɿ ɨɫɧɨɜɧɿ ɧɟɞɨɥɿɤɢ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ? 183
2. Ʉɨɥɢ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɜ ɡɚɜɞɚɧɧɹɯ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ? 3. ɉɪɨɚɧɚɥɿɡɭɣɬɟ ɫɯɟɦɭ ɜɢɛɨɪɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɯɚɪɚɤɬɟɪɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɿ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ. 4. Ɉɛʉɪɭɧɬɭɣɬɟ ɩɨɪɿɜɧɹɥɶɧɭ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɬɪɶɨɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ (ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ, ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ, ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ) ɹɤ ɡɚɫɨɛɭ ɨɰɿɧɤɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ. 5. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 5.1 ɿ 5.4. 6. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɭ ɪɨɛɨɬɭ ʋ 10.
5.3. ɉȿɊȿȼȱɊɄȺ ɈȾɇɈɊȱȾɇɈɋɌȱ ȼɂȻȱɊɈɄ ɍ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɡ ɩɟɞɚɝɨɝɿɤɢ ɱɢ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿʀ ɱɚɫɬɨ ɜɢɧɢɤɚɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɡ'ɹɫɭɜɚɬɢ, ɱɢ ɪɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɿ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɡ ɹɤɢɯ ɭɡɹɬɨ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɱɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɚ ɿ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɚ ɝɪɭɩɚ ɭɱɧɿɜ ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɞɨɫɹɝɧɟɧɶ. Ɇɟɬɨɞɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɪɟɚɥɿɡɨɜɚɧɿ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɿ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɞɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ (ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ) ɿ ɡɚɥɟɠɧɢɯ (ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ) ɜɢɛɿɪɨɤ. Ɉɬɠɟ, ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ – ɰɟ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɫɯɨɠɿɫɬɶ ɚɛɨ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɞɜɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ⱦɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɭ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɚɞɚɱɿ ɜɢɝɥɹɞɚɽ ɬɚɤ: ɞɜɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɫɹɝɨɦ n1 ɿ n2 ɜɡɹɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɡ ɞɜɨɯ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɹɤɢɯ F1(x) i F2(x) ɽ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦɢ. ɉɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ʀɯɧɸ ɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ (ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ). ɇɭɥɶɨɜɚ ɣ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɦɚɸɬɶ ɜɢɝɥɹɞ: ɇ0: F1(x) = F2(x); ɇ1: F1(x) F2(x). ȼ ɦɚɬɟɦɚɬɢɰɿ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɦɟɬɨɞɿɜ (ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ) ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɉɪɨɬɟ ɡ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɩɪɢɤɥɚɞɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɭ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤɚ ɧɟɪɿɞɤɨ ɜɢɧɢɤɚɽ ɩɪɨɛɥɟɦɚ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɛɨɪɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɟɪɟɜɿ184
ɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ. Ɍɨɦɭ ɪɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɿ ɩɪɨɚɧɚɥɿɡɭɽɦɨ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɬɚ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɧɟɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɧɟɪɿɞɤɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t, ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɹɤɨɝɨ ɦɚɽ ɜɢɞ: t
X1 X 2 (n1 1) s (n 2 1) s 22 n1 n 2 2 2 1
§1 1 · ¨¨ ¸¸ n n 2 ¹ © 1
,
(5.10)
ɞɟ X 1 ɿ X 2 , s12 ɿ s 22 , n1 ɿ n2 – ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɬɚ ɨɛɫɹɝɢ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɜɢɛɿɪɨɤ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ tɤɪ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɣ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ (n1+n2–2) ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡ ɬɚɛɥɢɰɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(). əɤɳɨ | t | | tɤɪ|, ɬɨ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ (ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɇ0 ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ) ɜɿɞɯɢɥɹɸɬɶ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.5. ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɪɢɫ. 5.11 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭɦɨɜɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0 : ȝ 1 – ȝ 2 = 0
(ȝ1 ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ȝ2);
H1 : ȝ 1 – ȝ 2 0
(ȝ1
ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ȝ2).
x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɧɟɜɿɞɨɦɿ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ; ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ ɪɿɡɧɿ; ɜɢɦɿɪɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɿ. x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.11 ɿ 5.12. ȿɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ tɟɦɩ ɦɨɠɧɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɬɚɤɨɠ ɡ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ: tɟɦɩ
4,72 3,90 (18 1) 1,98 (20 1) 2,09 § 1 1 · ¨ ¸ 14 20 2 © 18 20 ¹
| 1,77.
x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɤɪ ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ 185
ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t0,05 § 2,03 ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ, ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬɭ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ tɟɦɩ
Ɋɢɫ. 5.11. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
Ɋɢɫ. 5.12. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ)
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɉɪɨɬɟ ɫɥɿɞ ɦɚɬɢ ɧɚ ɭɜɚɡɿ, ɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɭɞɟɧɬɚ ɩɟɪɟɜɿɪɹɽ ɧɟ ɡɛɿɝ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɚ ɡɛɿɝ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ – ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɱɿɤɭɜɚɧɶ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɝɿɩɨɬɟɡ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɲɥɹɯɨɦ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɟɦɩ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉ(B27;B26+C26-2;2) (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ29 ɪɢɫ. 5.11 ɿ 5.12 ɪɟɦɩ § 8,48%). əɤɳɨ ɪɟɦɩĮ, ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ. əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɰɹ ɭɦɨɜɚ ɧɟ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ: 8,48% > 5%, ɚ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨ186
ɬɟɡɚ H0 ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ ɩɪɢɣɧɹɬɚ. ȿɤɫɩɪɟɫ-ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɟɦɩ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɌɌȿɋɌ(). Ⱥɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜɢɫɬɭɩɚɸɬɶ: ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɦɚɫɢɜɢ ɿ ɞɟɹɤɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į, ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ Į ɌɌȿɋɌ 1– Į, ɿɧɚɤɲɟ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ30 ɜɧɟɫɟɧɨ ɜɢɪɚɡ =ɌɌȿɋɌ(B3:B20;C3:C22;2;2) ɿ ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɜɠɟ ɜɿɞɨɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɟ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 8,48% (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.11 ɿ 5.12). Ɉɬɠɟ, ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į = 0,05(5%) ɭɦɨɜɚ 5% 8,48% 95% ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ, ɬɨɦɭ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɦɨɠɧɚ ɡɞɿɣɫɧɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ t-ɬɟɫɬ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ» (ɪɢɫ. 5.13).
Ɋɢɫ. 5.13. Ɇɟɧɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» Ⱦɥɹ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿʀ ɰɶɨɝɨ ɡɚɫɨɛɭ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ ɞɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ, ɹɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.14, ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨɦɚɧɞɭ «ɈɄ» ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ t-ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ (ɪɢɫ. 5.15).
187
Ɋɢɫ. 5.14. Ⱦɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ t-ɬɟɫɬ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ»
Ɋɢɫ. 5.15. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ t-ɬɟɫɬɭ Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ t-ɬɟɫɬ (ɪɢɫ. 5.15) ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ (ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ), ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɳɨ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɪɿɲɟɧɧɹ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɦ. ɉɪɨɬɟ ɰɟɣ ɦɟɬɨɞ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɜɢɦɨɝɢ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ.
188
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ Ɍ Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ T ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɢɣ ɧɚ ɩɿɞɯɨɞɿ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɱɿɤɭɜɚɧɶ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɡɜɿɞɤɢ ɜɡɹɬɨ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ: n1 n 2 ( X 1 X 2 )
T
n1 s 12 n 2 s 22
,
(5.11)
ɞɟ ɧɟɜɿɞɨɦɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɡɚɦɿɧɟɧɿ ʀɯɧɿɦɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ. Ȼɿɥɶɲ ɬɨɝɨ, ɩɪɢ ɪɨɫɬɿ ɨɛɫɹɝɿɜ ɜɢɛɿɪɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɍ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ ɡɛɿɝɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɨɱɿɤɭɜɚɧɧɹɦ 0 ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ 1,00. Ɂ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɨɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɍ ɩɪɚɜɢɥɨ ɭɯɜɚɥɟɧɧɹ ɪɿɲɟɧɧɹ ɞɥɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ ɜɢɝɥɹɞɚɽ ɬɚɤ: ɹɤɳɨ |Tɟɦɩ|< z(1-Į/2), ɬɨ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ (ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɱɿɤɭɜɚɧɶ) ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į. ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɧɚɣɛɿɥɶɲɟ ɱɚɫɬɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. Ɍɨɞɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɞɭɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɍ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ ɬɪɟɛɚ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɿɡ ɤɪɢɬɢɱɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ zɤɪ=1,96. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.6. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɜɡɹɬɨ ɡ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.16 ɿ 5.17. ȿɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Tɟɦɩ ɦɨɠɧɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ: T
18 20 (4,72 3,90) 18 1,98 20 2,09
| 1,77 .
x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ɍɤɪ ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɇɈɊɆɋɌɈȻɊ(1-0,05/2), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 1,96. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Ɍɟɦɩ< z0,05 (1,77<1,96), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05.
189
Ɋɢɫ. 5.16. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ T-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
Ɋɢɫ. 5.17. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ T-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ)
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɋɟɪɟɞ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɧɟɪɿɞɤɨ ɿɧɬɟɪɟɫ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɧɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɱɿɤɭɜɚɧɶ ɚɛɨ ɿɧɲɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɚ ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɶ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɡ ɹɤɢɯ ɜɢɬɹɝɧɭɬɿ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ⱥɥɟ ɦɟɬɨɞɢ, ɳɨ ɡɚɫɧɨɜɚɧɿ ɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t ɿ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ Ɍ, ɧɟ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɩɟɪɟɜɿɪɹɬɢ ɝɿɩɨɬɟɡɭ H0 ɳɨɞɨ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɶ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. Ɍɨɦɭ ɜɚɪɬɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ, ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ, Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɬɚ ɿɧ.), ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɧɟ ɽ ɨɛɨɜ’ɹɡɤɨɜɢɦɢ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɩɪɢɧɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɩɟɜɧɨɦɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɨɦɭ ɫɿɦɟɣɫɬɜɭ.
190
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ F1(x) i F2(x) ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɚɽ ɜɢɞ: O
max F1 ( x) F2 ( x) ,
(5.12)
ɞɟ F1(x) i F2(x) – ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɨɤ n1 ɿ n2. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɡɧɚɣɬɢ ɬɨɱɤɭ, ɭ ɹɤɿɣ ɫɭɦɚ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɢɯ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɟɣ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ F1(x) i F2(x) ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲɨɸ (ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɸ), ɿ ɨɰɿɧɢɬɢ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɰɿɽʀ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ. Ⱦɥɹ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡɿɫɬɚɜɥɹɸɬɶ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɿ (ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ) ɱɚɫɬɨɬɢ. ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɧɟɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.7. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɜɡɹɬɨ ɡ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0 : ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɧɟɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ (ɫɭɞɹɱɢ ɡ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɨʀ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɧɢɦɢ); H1 : ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ (ɫɭɞɹɱɢ ɡ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɨʀ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɧɢɦɢ). x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ ɟɦɩ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.18. ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ J ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɪɿɡɧɢɰɿ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɢɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ | F1 – F2 |, ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɢɯ ɫɤɥɚɞɟ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ: Ȝɟɦɩ = max| F1 – F2 | = 0,178. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ ɟɦɩ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.19.
191
Ɋɢɫ. 5.18. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȝ ɟɦɩ x Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɿ n = 20 ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɡɚ ɬɚɛɥ. 3 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ Ȝ0,05 § 0,294.
Ɋɢɫ. 5.19. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ ɟɦɩ x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȝɟɦɩ§0,178 ɦɟɧɲɟ ɡɚ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɸ Ȝ0,05 § 0,294, ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. 192
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ U ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ25 U ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɭ ɬɚɤɢɣ ɫɩɨɫɿɛ. ȼɫɿ ɏ-ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɿ Y-ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɞɪɭɝɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛ’ɽɞɧɭɸɬɶɫɹ. Ɉɛ'ɽɞɧɚɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn1, y1, y2, ..., yn2 (n1 ɿ n2 – ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ) ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɭɸɬɶɫɹ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ. ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn1 ɡɚɣɦɚɸɬɶ ɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɦɭ ɪɹɞɿ ɦɿɫɰɹ ɡ ɧɨɦɟɪɚɦɢ R1, R2, ..., Rn1, ɿɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, ɦɚɸɬɶ ɪɚɧɝɢ R1, R2, ..., Rn1. Ɍɨɞɿ ɫɭɦɚ ɪɚɧɝɿɜ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɟɪɲɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨɸ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ Tx: Tx = R1+ R2 + ...+ Rn1.
(5.13)
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ U ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ U
( n1 n 2 )
n x ( n x 1) Tx . 2
(5.14)
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Tx ɿ U ɥɿɧɿɣɧɨ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ, ɬɨ ɱɚɫɬɨ ɦɨɜɚ ɣɞɟɬɶɫɹ ɧɟ ɩɪɨ ɞɜɚ ɤɪɢɬɟɪɿʀ – ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɿ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ, ɚ ɩɪɨ ɨɞɢɧ – ɤɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ26. Ɇɟɬɨɞ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɡɨɧɭ ɡɧɚɱɟɧɶ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɱɢɫɟɥɶɧɢɦɢ ɪɹɞɚɦɢ, ɳɨ ɩɟɪɟɯɪɟɳɭɸɬɶɫɹ. ɑɢɦ ɦɟɧɲɟ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Uɟɦɩ, ɬɢɦ ɛɿɥɶɲ ɣɦɨɜɿɪɧɨ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ. Ʉɨɥɢ ɨɛɫɹɝɢ ɨɛɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɟɡɦɟɠɧɨ ɡɪɨɫɬɚɸɬɶ, ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɿ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɽ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɧɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦɢ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.8. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɝɪɭɩ) ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: ɇ0: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɨɡɧɚɤɢ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ; 25 26
ȱɧɤɨɥɢ ɰɟɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ [17]. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɦɨɠɟ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢɫɹ ɿ ɨɤɪɟɦɨ. 193
ɇ1: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɨɡɧɚɤɢ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ.
Ɋɢɫ. 5.20. ɉɪɢɫɜɨɽɧɧɹ ɿɦɟɧɿ «ȼɢɛ1» ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ ɞɚɧɢɯ $ȼ$3:$ȼ$20 x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɪɢɫ. 5.20 ɿ 5.21): – ɩɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ1» ɿ «ȼɢɛ2» ɞɜɨɦ ɜɢɛɿɪɤɚɦ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨɦɚɧɞɢ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɦɟɧɸ MS Excel [ȼɫɬɚɜɤɚ –> ȱɦ'ɹ –> ɉɪɢɫɜɨʀɬɢ…]. ɍ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ (ɪɢɫ. 5.20) ɜɧɟɫɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ1» (ɿɦ'ɹ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɛɟɡ ɩɪɨɛɿɥɿɜ), ɚ ɬɚɤɨɠ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ɤɨɦɿɪɨɤ ɞɚɧɢɯ ($ȼ$3:$ȼ$20 – ɚɞɪɟɫɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚ). ɉɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ2» ɞɿɚɩɚɡɨɧɨɜɿ ɞɚɧɢɯ ɋ3:ɋ22 ɡɚ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɦɢ ɞɿɹɦɢ; – ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɪɚɧɠɢɪɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɱɢ ʀɯ ɹɤ ɨɞɧɭ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɭ ɝɪɭɩɭ, ɩɪɢɩɢɫɭɸɱɢ ɦɟɧɲɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɧɢɠɱɢɣ ɪɚɧɝ (ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɚɧɝɿɜ n1 + n2). Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ «Ɋɚɧɝ 1» ɿ «Ɋɚɧɝ 2» ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɜɢɪɚɡ, ɹɤɢɣ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɤɨɦɿɪɤɢ D3 ɜɢɝɥɹɞɚɬɢɦɟ ɹɤ: =(ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1:ȼɢɛ2) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 1) – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 0))/2+ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2;1);
194
Ɋɢɫ. 5.21. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Uɟɦɩ ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɜɢɪɚɡ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ D ɿ E; ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɨɤ n1 ɿ n2. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ24 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1), ɚ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ25 – ɜɢɪɚɡ =ɋɑȬɌ(ȼɢɛ2); – ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ Ɍ1 ɿ Ɍ2 ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ26 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(D3:D20), ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ27 – ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(E3:E22); – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɨɛɫɹɝ nɯ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡ ɛɿɥɶɲɨɸ ɫɭɦɨɸ ɪɚɧɝɿɜ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ28 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ȿɋɅɂ(B26>B27;B24;B25); – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ Ɍx – ɧɚɣɛɿɥɶɲɭ ɡ ɞɜɨɯ (Ɍ1 ɿ Ɍ2 ) ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɫɭɦ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ24 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ȿɋɅɂ(B26>B27;B26;B27); – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
195
U ɟɦɩ
( n1 n2 )
n x (n x 1) Tx , 2
(5.15)
ɞɟ n1 ɿ n2 – ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ; nɯ – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡ ɛɿɥɶɲɨɸ ɫɭɦɨɸ ɪɚɧɝɿɜ; Ɍx – ɧɚɣɛɿɥɶɲɚ ɿɡ ɞɜɨɯ ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɫɭɦ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ25 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =(B24*B25)+B28*(B28+1)/2-B29. Uɟɦɩ=128.00 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.21). x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɚ ɬɚɛɥ. 4 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ ɞɥɹ n1 =18 ɿ n2 =20, ɚ ɬɚɤɨɠ Į = 0,05 ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹU0,05 = 123. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Uɟɦɩ>U0,05 (128>123), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 0,05. Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ: ɞɥɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɇ0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɭɦɨɜɢ Uɟɦɩ > Uɤɪ . x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɨɡɧɚɤɢ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɩɪɢɞɚɬɧɢɣ ɞɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɞɚɧɢɯ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɡɚ ɩɨɪɹɞɤɨɜɨɸ ɲɤɚɥɨɸ. ɉɪɨɬɟ ɭ ɜɚɪɿɚɧɬɿ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɧɟ ɡɚɜɠɞɢ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɜɢɹɜɢɬɢ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ Ȧ2.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ Ȧ2n,m ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɬɢɩɭ ɨɦɟɝɚ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. əɤ ɿ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ, ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɳɨ ɜɡɹɬɨ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ Fn(x) i Gm(x), ɨɛ’ɽɞɧɭɸɬɶɫɹ. Ⱦɥɹ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɨʀ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɨʀ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ ɜɢɛɿɪɤɢ ɯ1, ɯ2, ..., ɯn, y1, y2, ..., ym ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɪɚɧɝɢ Rx1, Rx2, ..., Rxn, Ry1, Ry2, ..., Rym. ȼɢɫɭɜɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɇ0: Fn(x) = Gm(x) ɩɪɨɬɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ1: Fn(x) Gm(x). ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ
Z
³>
@
2
f 2 n ,m
Fˆn ( x) Gm ( x) dHˆ nm ( x) .
f
196
(5.16)
ɞɟ Fˆn ( x) ɿ Gm (x) – ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɨɤ ɨɛɫɹɝɚɦɢ n ɿ m,
n ˆ m ˆ Fn ( x) Gn ( x) – ɟɦɩɿɪɢɱɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɨɛ’ɽɞɧɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ. nm nm
Hˆ n m ( x)
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɥɢɲɟ ɜɿɞ ɪɚɧɝɿɜ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ:
Z n2,m
º 1 ª 1 n 1 m 2 2 «1 / 6 ¦ ( Ri i ) ¦ ( S j j ) » 2 / 3 , nm ¬ mi1 n j1 ¼
(5.17)
ɞɟ Ri – ɪɚɧɝ x(i), Sj – ɪɚɧɝ y(j) ɜ ɨɛ’ɽɞɧɚɧɿɣ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿɣ ɜɢɛɿɪɰɿ. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɦɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɭ (ɩɪɚɜɭ) ɤɪɢɬɢɱɧɭ ɨɛɥɚɫɬɶ. ɉɪɢ ɩɨɬɪɚɩɥɹɧɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ
nm 2 Z n ,m ɭ ɧɚɩɿɜɿɧɬɟɪɜɚɥ {z1-Į, }, ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶnm
ɫɹ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɞɟɹɤɢɯ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɤɜɚɧɬɢɥɿɜ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 5.2. Ɍɚɛɥɢɰɹ 5.2 Į= Z 1-Į =
0,5 0,12
0,15 0,28
0,1 0,35
0,05 0,46
0,025 0,58
0,01 0,74
0,001 1,17
Ⱦɥɹ ɧɟɡɧɚɱɧɢɯ ɡɚ ɨɛɫɹɝɨɦ ɜɢɛɿɪɨɤ (n, m 7) ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ Z
ɞɟ M
§ nm 2 · Z n ,m M ¸ / 45D 1 / 6 , ¨ ©nm ¹
1§ 1 · ¨1 ¸ ɿ D 6© n m¹
(5.18)
1 § 1 ·ª 1 3 § 1 1 ·º ¨ ¸ . ¸ 1 ¨1 45 © n m ¹ «¬ n m 4 © n m ¹»¼
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.9. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: ɇ0: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ; ɇ1: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ. x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɪɢɫ. 5.22 ɿ 5.23): – ɩɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ1» ɿ «ȼɢɛ2» ɞɜɨɦ ɜɢɛɿɪɤɚɦ (ɞɢɜ. ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ Uɤɪɢɬɟɪɿɸ); 197
Ɋɢɫ. 5.22. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȧ2 – ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ D ɿ E ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɚɧɝɢ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɱɢ ʀɯ ɹɤ ɨɞɧɭ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɭ ɝɪɭɩɭ, ɩɪɢɩɢɫɭɸɱɢ ɦɟɧɲɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɧɢɠɱɢɣ ɪɚɧɝ (ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɚɧɝɿɜ n + m). Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ Ri ɿ Si ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɜɢɪɚɡ, ɹɤɢɣ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɤɨɦɿɪɤɢ D3 ɜɢɝɥɹɞɚɬɢɦɟ ɹɤ: =(ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1:ȼɢɛ2) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 1) – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 0))/2+ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2;1); ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɰɟɣ ɜɢɪɚɡ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ D ɿ E, ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɚɧɝɢ;
198
Ɋɢɫ. 5.23. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȧ2 ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɨɦɚɧɞ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɦɟɧɸ MS Excel [ɉɪɚɜɤɚ –> ɋɩɟɰɿɚɥɶɧɚ ɜɫɬɚɜɤɚ…] ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɚɧɝɿɜ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ F ɿ G, ɭɩɨɪɹɞɤɭɜɚɬɢ ɪɚɧɝɢ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ2:ȱ22 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɶ (Ri– i)2 ɿ (Sj–j)2; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ23 ɿ ȱ23 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ (Ri– i)2 ɿ (Sj–j)2 (); ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ n ɿ m, ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȧ2 (5.17), ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ M, D ɿ Z (5.18), ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɧɨɪɦɨɜɚɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Z § 0,22. x ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Z1-Į ɡɚ ɬɚɛɥ. 5.2 ɞɥɹ Į = 0,05. Ʉɜɚɧɬɢɥɶ Z0,95 = 0,46. 199
x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Z
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. ɑɨɦɭ ɨɛɥɚɫɬɶ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɶ ɦɟɬɨɞɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ? 2. Ʉɨɥɢ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t? 3. Ɉɛʉɪɭɧɬɭɣɬɟ ɞɨɰɿɥɶɧɢɦ ɡɚɦɿɧɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɧɚ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ. 4. əɤɿ ɿɫɧɭɸɬɶ ɨɛɦɟɠɟɧɧɹ ɩɪɢ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɿ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ? 5. ɉɪɨɚɧɚɥɿɡɭɣɬɟ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɿ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ, ɹɤɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ 6. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 5.5 ɿ 5.9. 7. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 11 ɿ ʋ 12.
5.4. ɉȿɊȿȼȱɊɄȺ ȽȱɉɈɌȿɁ ɉɊɈ ɑɂɋȿɅɖɇȱ ɁɇȺɑȿɇɇə ɉȺɊȺɆȿɌɊȱȼ Ƚɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɡɭɫɬɪɿɱɚɸɬɶɫɹ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɚɛɨ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɧɨɦɿɧɚɥɨɜɿ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ ɰɟ ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɧɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ H0: ȝ = ɚ ɩɪɨɬɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨʀ H1: ȝ ɚ, ɚɛɨ H2: ȝ > ɚ, ɚɛɨ H3: ȝ < ɚ. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɦɨɠɧɚ ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɞɥɹ ɿɧɲɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ. ɍ ɬɚɛɥ. 5.3 ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɝɿɩɨɬɟɡ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɬɚ ɭɦɨɜɢ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɶ ɞɥɹ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
201
Ɍɚɛɥɢɰɹ 5.3.
Ʉɪɢɬɟɪɿʀ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɉɚɪɚɦɟɬɪ
ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ
ɉɪɢɩɭɳɟɧɧɹ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ
ı2 ɜɿɞɨɦɚ ɋɟɪɟɞɧɽ
H0: ȝ = ȝ0 ı2 ɧɟɜɿɞɨɦɚ
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ
P P0 n V
z
H0: ı2 = ı20
t
ȝ ɧɟɜɿɞɨɦɟ
P P0 s
F2
n 1
( n 1) s x2
V 02
ɉɪɚɜɢɥɨ Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ0 H1: ȝ ȝ0 | z | > z1-Į H2: ȝ > ȝ0 | z | > z1-2Į H3: ȝ < ȝ0 H1: ȝ ȝ0 | t | > t1-Į H2: ȝ > ȝ0 | t | > t1-2Į H3: ȝ < ȝ0 Ȥ2 > Ȥ2Į/2 H0: ı2 ı20 Ȥ2 < Ȥ2 1-Į/2 H0: ı2 > ı20 Ȥ2 > Ȥ2Į H0: ı2 < ı20 Ȥ2 < Ȥ2 1-Į
Ɇɟɬɨɞɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɞɿɥɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɞɜɿ ɝɪɭɩɢ: ɞɥɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɡ ɜɿɞɨɦɨɸ (z-ɤɪɢɬɟɪɿɣ) ɿ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɨɸ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ (t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ). ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɟɪɲɨʀ ɝɪɭɩɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɞɪɭɝɨʀ – ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ (ɩɨɯɿɞɧɢɣ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ). Ɉɛɢɞɜɿ ɦɨɞɟɥɿ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɿ ɞɥɹ ɞɚɧɢɯ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɡɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ ɚɛɨ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ
Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Z, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɿɞɨɦɚ) ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɞɜɨɛɿɱɧɢɣ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ, ɤɨɥɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɿɞɨɦɚ ɦɚɽ ɜɢɞ:
z
P P0 V2
n,
(5.19)
ɞɟ ȝ ɿ ı2 – ɫɟɪɟɞɧɽ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ; ȝ0 ɿ n – ɫɟɪɟɞɧɽ ɬɚ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.10. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɩɪɢɣɧɹɬɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ 40 ɭɱɧɿɜ ɹɤ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɢɣ ɩɪɨɝɧɨɡ, ɳɨ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɬɢɦɟɬɶɫɹ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɨɝɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ 4,0 ɩɪɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ 0,4? 202
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0 : ȝ = ȝ 0 ; H1 : ȝ ȝ 0 . x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ı2 ɜɿɞɨɦɚ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.24, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.25. x ȼɢɛɿɪɤɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɭɱɧɿɜ ȝ0 § 3,88; ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɞɨɪɿɜɧɸɽ z ɟɦɩ
4,0 3,88 0,4
40 | 1,25 .
x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɇɈɊɆɋɌɈȻɊ(1–Į), ɹɤɚ ɭ ɪɚɡɿ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɞɥɹ Į=0,05 ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Z1-0,05 § 1,64 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ18).
Ɋɢɫ. 5.24. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
Ɋɢɫ. 5.25. ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɿɞɨɦɚ )
x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ | z | < z1-0,05 , ɬɨɛɬɨ |1,25| < 1,64, ɧɭɥɶɨɜɚ 203
ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɨɝɨ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɧɟɜɿɞɨɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɨɱɿɤɭɜɚɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ, ɹɤɳɨ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɟɦɩ, ɹɤɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɦɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ zɟɦɩ. Ɍɚɤɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɇɈɊɆɋɌɊȺɋɉ(zɟɦɩ), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɟɦɩ § 0,11 § 11% (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ19). ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɪɟɦɩ Į. ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɰɹ ɭɦɨɜɚ ɧɟ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɪɟɦɩ § 11% > 5%, ɬɨɦɭ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ. Ɍɚɛɥɢɱɧɢɣ ɩɪɨɰɟɫɨɪ MS Excel ɧɚɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɜɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ZɌȿɋɌ(), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 1–ɪɟɦɩ. ɍ ɹɤɨɫɬɿ ɚɪɝɭɦɟɧɬɿɜ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜɢɫɬɭɩɚɸɬɶ: ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɦɚɫɢɜ, ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɨɱɿɤɭɜɚɧɧɹ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (ɭ ɪɚɡɿ ɜɿɞɫɭɬɧɨɫɬɿ ɨɫɬɚɧɧɶɨʀ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ). ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į, ɹɤɳɨ ZɌȿɋɌ<1– Į. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ20 ɜɧɟɫɟɧɨ =ZɌȿɋɌ(A2:D11;B15;ɄɈɊȿɇɖ(B16)) ɿ ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 0,89 ɚɛɨ 89% (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.24 ɿ 5.25). Ɉɬɠɟ, ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɭɦɨɜɚ 89% < 95% ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɿ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ.
Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ t, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɧɟɜɿɞɨɦɚ) Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɤɨɥɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɽ ɧɟɜɿɞɨɦɨɸ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.11. Ɇɟɬɚ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ 40 ɭɱɧɿɜ (ɬɚɛɥɢɰɹ ɪɢɫ. 5.26) – ɨɰɿɧɢɬɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɭɫɩɿɲɧɨɫɬɿ ɭ ɧɚɜɱɚɧɧɿ ɡɚ ɧɨɜɨɸ ɦɟɬɨɞɢɤɨɸ. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɩɪɢɣɧɹɬɢ, ɳɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɩɟɪɟɜɢɳɚɬɶ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɭ 4,0 ɛɚɥɢ? ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: 204
H0 : ȝ = ȝ 0 ; H1 : ȝ > ȝ 0 . x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɧɟɜɿɞɨɦɚ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹɦɢ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɢɣ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ: t
P P0 s2
n 1,
(5.20)
ɞɟ ȝ – ɫɟɪɟɞɧɽ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ; ȝ0, s2 ɿ n – ɫɟɪɟɞɧɽ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɬɚ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ. x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ tɟɦɩ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.26, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.27. ȿɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ: t ɟɦɩ
Ɋɢɫ. 5.26. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
4.20 4,00 0,45
50 1 | 2,09 .
Ɋɢɫ. 5.27. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɧɟɜɿɞɨɦɚ )
x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɧɚ ɡɞɿɣɫɧɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(), ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ ɹɤɨʀ ɽ ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į 205
ɿ ɱɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df = n–1. Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ Į = 0,05 df = 50–1 = 49 ɮɭɧɤɰɿɹ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ() ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɨɞɧɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: t0,05 §2,01. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ |tɟɦɩ| > t0,05 , ɬɨɛɬɨ (2,09 > 2,01), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɩɟɪɟɜɢɳɭɸɬɶ ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɭ 4,0 ɛɚɥɢ. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɬɚɤɨɠ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɪɨɡɿɛɪɚɬɢɫɹ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɿ ɣ ɫɟɧɫɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɟɦɩ (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ19 ɪɢɫ. 5.27).
Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȥ2) ɍ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɡ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿʀ ɿ ɩɟɞɚɝɨɝɿɤɢ ɦɚɸɬɶ ɦɿɫɰɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ, ɤɨɥɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɨɫɬɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ. Ⱦɥɹ ɬɚɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɦɟɬɨɞɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. ɉɟɪɟɞɛɚɱɚɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɿ ɞɚɧɿ ɦɚɸɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.12. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɚ ɜɡɹɬɚ ɿɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ı02=0,25 (ɞɚɧɿ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 6.24)? ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ı2 = 0,25; H1: ı2 0,25. x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹɦɢ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɨɞɟɥɶ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɸ:
F2
(n 1) s x2
V 02 206
,
(5.21)
ɞɟ n – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ; sx2 – ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɛɿɪɤɢ. x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2ɟɦɩ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.28, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.29. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: sx2=0,44. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2ɟɦɩ ɬɚɤɟ: 2 F ɟɦɩ
(30 1) 0,44 | 51,20 . 0,25
Ɋɢɫ. 5.28. Ɉɰɿɧɤɚ
Ɋɢɫ. 5.29. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ
Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2 ɞɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɬɨɱɨɤ (Į/2) ɿ (1– Į/2) ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2, ɹɤɢɣ ɽ ɩɨɯɿɞɧɢɦ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ, ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df = n–1. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ Ȥ2Į/2 ɿ Ȥ21-Į/2 ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɏɂ2ɈȻɊ(). Ⱦɥɹ Į=0,05 ɿ df=29 ɮɭɧɤɰɿɹ ɩɨɜɟɪɬɚɽ: Ȥ20,025 § 45,72 ɿ Ȥ20,975 § 16,05; ɞɥɹ Į=0,01 – ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ: Ȥ20,005 § 52,34 ɿ Ȥ20,995 § 13,12. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 Ȥ2ɟɦɩ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɡɨɧɿ Ȥ2ɟɦɩ > Ȥ20,025 > Ȥ20,975 (51,20 > 45,72 > 16,05), ɧɭɥɶɨɜɚ 207
ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ. ɉɪɨɬɟ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ Ȥ20,005 > Ȥ2ɟɦ ɩ> Ȥ20,995, ɬɨɛɬɨ ɭɦɨɜɚ 52,34 > 51,20 > 13,12 ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 ɽ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɚ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɉɪɨ ɰɟ ɬɚɤɨɠ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɟɦɩ, ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɏɂ2ɊȺɋɉ(), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪɟɦɩ = 0,007 ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2. Ɉɬɠɟ, ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɥɢɲɟ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į=0,01, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ Į/2 ɪɟɦɩ (0,01/2=0,005<0,007). ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɩɪɨɚɧɚɥɿɡɭɜɚɬɢ ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ.
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ (t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ) ɉɪɨɰɟɞɭɪɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ (ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ) ɜɢɛɿɪɨɤ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɨɜɚɧɨ ɭ ɪɨɡɞɿɥɿ 5.3, ɮɨɪɦɭɥɚ (5.10). Ⱦɥɹ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɹɤɳɨ ɽ ɩɪɢɪɨɞɧɚ ɩɚɪɧɿɫɬɶ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɜɿɱɿ – ɞɨ ɬɚ ɩɿɫɥɹ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɭ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɣ ɞɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ: t
ɞɟ d
2d sd
n,
(5.22)
1 ¦ d i – ɫɟɪɟɞɧɽ ɪɿɡɧɢɰɶ; n – ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ; di = (xi1 – xi2) – ɪɿɡɧɢn
ɰɹ ɡɧɚɱɟɧɶ; sd
¦ (d d ) i
n 1
2
– ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ d i . Ⱦɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɧɟ
ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɡ ɹɤɢɯ ɨɛɪɚɧɨ ɞɚɧɿ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.13. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 (0,01) ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ ɞɨ ɿ ɩɿɫɥɹ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨʀ ɞɿʀ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ? ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.30. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: 208
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0 : ȝ 1 – ȝ 2 = 0
(ȝ1 ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ȝ2);
H1 : ȝ 1 – ȝ 2 0
(ȝ1
ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ȝ2).
x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɧɟɜɿɞɨɦɿ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹɦɢ ɭɦɨɜɚɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɨɞɟɥɶ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ: t ɟɦɩ
2d sd
n.
x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ tɟɦɩ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.30, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.31. ȿɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: t ɟɦɩ
2 0,27 11 | 3,87 . 0,47
Ɋɢɫ. 5.30. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ t-
Ɋɢɫ. 5.31. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
ɤɪɢɬɟɪɿɸ
(ɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ) 209
x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(). Ⱦɥɹ ɩɪɢɣɧɹɬɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į=0,05 (0,01) ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df= n–1=11–1=10 ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ: t0,05 § 2,23 (t0,01 § 3,17). x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ tɟɦɩ > t0,01 (3,87 > 3,17), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɉɿɞɫɬɚɜɢ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɨɤ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ, ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01.. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɩɪɨɤɨɦɟɧɬɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɪɟɦɩ.
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ (F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ) ɉɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɧɚɛɚɝɚɬɨ ɰɿɤɚɜɿɲɟ, ɚɧɿɠ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɞɟɹɤɨɦɭ ɩɟɪɟɞɛɚɱɭɜɚɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ. Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ F, ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɹɤɨɝɨ ɦɚɽ ɜɢɞ: F = s12 / s22, ɞɟ
s12
(5.23)
2
ɿ s2 – ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ.
ɉɪɢ ɰɶɨɦɭ ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɹɤ ɨɞɧɚɤɨɜɿ, ɬɚɤ ɿ ɪɿɡɧɿ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.14. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 5.32 ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ? ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ. ɍɦɨɜɚɦ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɚɤɨɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ı21 ɿ ı2, ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɿɡ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ı21 = ı22 (ı21 ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ı22); H1: ı21 ı22 (ı21
ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ı22).
x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɨɞɟɥɶ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ 210
F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɿɲɟɪɚ: Fɟɦɩ = s12 / s22. x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ Fɟɦɩ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.32, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.33. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ s12 § 1,54 s22 § 0,70. Ɂɜɿɞɫɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɬɚɤɟ: Fɟɦɩ= 1,54/0,70 § 2,21. x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ F. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɞɜɚ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Fɤɪ ɞɥɹ ɬɨɱɨɤ (Į/2) ɿ (1– Į/2) F-ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɬɨɛɬɨ: FĮ/2 ɿ F1-Į/2 ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df1 = n1 – 1= 14–1=13 ɿ df2 = n2 – 1= 16–1=15,
Ɋɢɫ. 5.32. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ
Ɋɢɫ. 5.33. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ
F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ)
Ⱦɥɹ ɩɪɢɣɧɹɬɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df1 ɿ df2 ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =FɊȺɋɉɈȻɊ(). Ⱦɥɹ Į = 0,05 ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ F0,025 § 2,92 ɿ F0,975 § 0,33; ɞɥɹ Į = 0,01 211
ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ F0,005 § 4,18 ɿ F0,995 § 0,22. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Fɟɦɩ§ 2,21 ɧɟ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ ɠɨɞɧɿɣ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɡɨɧɿ (0,33 < 2,21 < 2,92), ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɿɫɬɨɬɧɿɫɬɶ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɲɥɹɯɨɦ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɟɦɩ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =FɊȺɋɉ(B23;B22–1;C22–1), ɹɤɭ ɜɧɟɫɟɧɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ28 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.32 ɿ 5.33). əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɪɟɦɩ § 0,072 (7,2%). ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɪɟɦɩ Į. ɍ ɧɚɲɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɧɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į =0,05(5%) ɰɹ ɭɦɨɜɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ: 7,2% > 5%. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ ɩɪɢɣɧɹɬɚ, ɹɤ ɰɟ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɜɢɳɟ. ȿɤɫɩɪɟɫ-ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɎɌȿɋɌ(B3:B18;C3:C18)/2, ɹɤɭ ɜɧɟɫɟɧɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ29 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.32 ɿ 5.33). Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɮɭɧɤɰɿɹ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɞɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɫɥɿɞ ɛɪɚɬɢ ʀʀ ɩɨɥɨɜɢɧɭ. Ⱥɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜɢɫɬɭɩɚɸɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɦɚɫɢɜɢ. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į, ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ Į ɎɌȿɋɌ 1– Į. ɍ ɧɚɲɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɧɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į=0,05 (5%) ɭɦɨɜɚ 5%7,2%95% ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ, ɚ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ. ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ F-ɬɟɫɬ ɞɥɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ» (ɪɢɫ. 5.34).
Ɋɢɫ. 5.34. Ɇɟɧɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» 212
Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ, ɹɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.35, ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨɦɚɧɞɭ «ɈɄ» ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ (ɪɢɫ. 5.36).
Ɋɢɫ. 5.35. Ⱦɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ F-ɬɟɫɬ ɞɥɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ»
Ɋɢɫ. 5.36. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ F-ɬɟɫɬɭ Ʉɨɦɩ'ɸɬɟɪɧɢɣ ɡɚɫɿɛ ɜɢɤɨɧɭɽ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ (ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ), ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ F-ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɹɤɿ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į.
213
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ (t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ) Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɹɤɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɿ ɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɜɢɛɿɪɤɚɦɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t, ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɹɤɨɝɨ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
t
s12 s 22 4 s12 s 22 (1 r122 ) n2
,
(5.24)
ɞɟ s12 ɿ s22– ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ; n – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɚɪ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ; r212 – ɤɜɚɞɪɚɬ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɩɚɪɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ. Ɇɟɬɨɞɢɤɚ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɚ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɭ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.15. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ n ɩɚɪ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ 5.37). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ. ɍɦɨɜɚɦ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɚɤɨɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ n ɩɚɪ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ı21 = ı22 (ı21 ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ı22); H1: ı21 ı22 (ı21
ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ı22).
x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ; ɜɢɦɿɪɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹɦɢ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɨɞɟɥɶ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ: t ɟɦɩ
s12 s 22
.
4 s12 s 22 (1 r122 ) n2
x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.37 ɿ 5.38. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ s12 § 1,60 ɿ s22 § 0,78, ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ r212 § 0,17 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =Ⱦɂɋɉ() ɿ =ɄȼɉɂɊɋɈɇ(). ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɩɪɢɣɦɚɽ ɬɚɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: 214
tɟɦɩ
1,60 0,78 | 1,49 . 4 1,60 0,78 (1 0,17 ) 16 2
Ɋɢɫ. 5.37. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ t-
Ɋɢɫ. 5.38. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
ɤɪɢɬɟɪɿɸ
(ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ)
x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɞɜɚ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɤɪ ɞɥɹ ɬɨɱɨɤ (Į/2) ɿ (1–Į/2) t-ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df=n–2= 16–2=14, ɬɨɛɬɨ: t Į/2 ɿ t 1-Į/2. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ() ɞɥɹ Į = 0,05 ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ t 0,025 § 2,49 ɿ t 0,975 § 0,03; ɞɥɹ Į = 0,01 t 0,005 § 3,29 ɿ t 0,995 § 0,01 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ (ɪɢɫ. 5.37). x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t
ɟɦɩ§
1,49 ɧɟ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ
ɠɨɞɧɿɣ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɡɨɧɿ (0,03 < 1,49 < 2,49), ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0.
215
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ.
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɯɪɚɧɚ q ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ) Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɯɪɚɧɚ q. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.16. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɿɫɬɨɬɧɨɫɬɿ ɪɿɡɧɢɰɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɬɪɶɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 5.39. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ı21 = ı22 = ı23 (ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ); H1: ı21 ı22 ı23 (ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ
ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ).
x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɿɥɶɲɚ ɞɜɨɯ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ; ɜɢɦɿɪɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. x ȼɢɛɿɪ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ q:
q
2 s max
s12 s 22 ! s m2
,
(5.25)
ɞɟ s21, s22, …, s2m – ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ; s2mɚɯ – ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ; m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ. x Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ qɟɦɩ ɿ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.39. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɢɛɿɪɨɤ s2 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =Ⱦɂɋɉ(), ɞɥɹ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ qɟɦɩ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ16 ɜɜɟɞɟɧɨ ɜɢɪɚɡ =ɆȺɄɋ(B15:D15)/ɋɍɆɆ(B15:D15), ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɦ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦ ɰɶɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ: q ɟɦɩ
1,56 | 0,44 . 1,09 1,56 0,87
x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ q-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɚɛɥ. 5 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į = 0,05 ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨ216
ɫɬɿ Ȟ1 = n–1 = 11–1=10 ɿ Ȟ2 = m = 3 ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ q0,05 § 0,60. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ qɟɦɩ< q0,05 (0,44 < 0,60) ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0.
Ɋɢɫ. 5.39. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ
Ɋɢɫ. 5.40. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ
ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ q
ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ q
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ. Ɉɞɧɚ ɡ ɩɟɪɟɜɚɝ ɦɟɬɨɞɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɯɪɚɧɚ q ɽ ɩɪɨɫɬɨɬɚ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ. ɇɟɞɨɥɿɤɨɦ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɬɟ, ɳɨ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɜɢɹɜɥɹɽ ɨɡɧɚɤɢ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɬɿɥɶɤɢ ɭ ɛɿɤ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ.
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ M ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ) Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɧɚɣɩɨɬɭɠɧɿɲɢɦ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɥɹ ɨɡɧɚɤ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. ȼɿɧ ɧɟ ɽ ɨɛɦɟɠɟɧɢɦ ɩɨɩɚɪɧɢɦɢ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹɦɢ ɿ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ. 217
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.17. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɿɫɬɨɬɧɨɫɬɿ ɪɿɡɧɢɰɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɩ'ɹɬɶɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 5.41. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0: ı21 = ı22 = ı23 = ı24 = ı25 (ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ); H1: ı21 ı22 ı23 ı24 ı25 (ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ
ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ).
x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɿɥɶɲɚ ɞɜɨɯ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ. x ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ Ɇ. Ɇ , ɋ
M ɟɦɩ
ɞɟ M
(5.26)
m
¦ (n j lg(s 2j )) ; m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ;
j 1
j 1
2,3026 (lg(s 2 ) ¦ n j
m
nj ɿ s 2j – ɨɛɫɹɝɢ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ (j = 1, 2, …, m); s2
C
¦ ( s 2j n j ) – ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ; ¦nj 1
¦1 / n j 1 / ¦ n j – ɧɨɪɦɭɸɱɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ. 3 (m 1)
x ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ (ɪɢɫ. 5.41 ɿ 5.42): ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ3:L3 ɿ ɇ4:L4 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝɢ nj ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ sj2; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ5:L5 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɞɟɫɹɬɤɨɜɿ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɢɛɿɪɨɤ lg(s 2j ) ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =LOG10(); ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ɇ6 ɡɧɚɣɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɧɢɯ s2, ɹɤɟ ɦɨɠɧɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦɢ: s2
0,84 15 0,92 13 1,05 16 1,76 14 0,57 8 | 1,07 ; 15 13 16 14 8
218
ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ɇ8 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: (lg(s 2 ) ¦ n j
lg(1,0702) (15 13 16 14 8) | 1,95 ;
ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ɇ9 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: m
¦(n lg(s )) j
2 j
15 (0,08) 13 (0,03) 16 0,02 14 0,25 8 (24) | 0,24 ;
j 1
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ10, ɇ11 ɿ ɇ12 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ɇ, ɋ ɿ Ɇɟɦɩ: Ɇ =2,3026(1,95–0,24)§3,92; 1 1 1 1 1 (15 13 16 14 8) 15 13 16 14 8 C 1 | 1,03 ; 3 (5 1)
M ɟɦɩ
M C
3,92 | 3,80 . 1,03
Ɋɢɫ. 5.41. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ Ɇ x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ȼɿɞɧɨɲɟɧɧɹ Ɇ/ɋ ɩɿɞɤɨɪɹɽɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ2 ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df=m–1. Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɇ ɞɥɹ Į=0,05 ɿ df=5–1= 4 ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɏɂ2ɈȻɊ() ɿ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ Ȥ20,05 § 9,49. 219
Ɋɢɫ. 5.42. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ Ɇ x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Ɇɟɦɩ < Ȥ20,05 ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɧɟɡɧɚɱɭɳɢɦɢ. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. ɉɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ z-ɤɪɢɬɟɪɿɣ? 2. əɤɚ ɿɞɟɹ ɦɟɬɨɞɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ, ɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ ɮɭɧɤɰɿɸ MS Excel =ZɌȿɋɌ(). 3. ɉɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɨɰɿɧɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ? 4. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɹɤɳɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɿɫɬɨɬɧɿɫɬɶ ɪɿɡɧɢɰɶ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ? 5. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ t-ɬɟɫɬ ɿɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ». 6. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɚ 220
ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɌɌȿɋɌ(). 7. əɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɪɿɜɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ? 8. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ, ɹɤɳɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɿɫɬɨɬɧɿɫɬɶ ɪɿɡɧɢɰɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ? 9. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɹɤɳɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɿɫɬɨɬɧɿɫɬɶ ɪɿɡɧɢɰɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ? 10. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿʀ Ʉɨɯɪɚɧɚ ɿ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ? 11. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ F-ɬɟɫɬ ɞɥɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ». 12. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɎɌȿɋɌ(). 13. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 5.10 – 5.17. 14. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 13 – ʋ 17.
5.5. ȼɂəȼɅȿɇɇə ȼȱȾɆȱɇɇɈɋɌȿɃ ȱ Ɂɋɍȼɍ ɍ Ɋȱȼɇȱ ɈɁɇȺɄɂ ȼɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ, ɬɪɶɨɦɚ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɱɢɧɧɢɤɚɦɢ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɩɪɢ ɨɰɿɧɰɿ ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ ɜɩɥɢɜɭ ɬɿɽʀ ɱɢ ɿɧɲɨʀ ɦɟɬɨɞɢɤɢ ɧɚɜɱɚɧɧɹ, ɬɪɟɧɿɧɝɭ, ɩɫɢɯɨɚɧɚɥɿɬɢɱɧɢɯ ɡɚɫɨɛɿɜ ɧɚ ɨɫɨɛɢɫɬɿɫɬɶ ɚɛɨ ɝɪɭɩɭ ɨɫɿɛ. ȼɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɦɨɠɟ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢɫɹ ɿ ɹɤ ɦɟɬɚ, ɞɨɫɥɿɞɧɢɰɶɤɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ, ɿ ɹɤ ɟɬɚɩ, ɳɨ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɧɨɜɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ. Ⱦɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ H. Ⱦɨɫɬɨɜɿɪɧɿ ɡɦɿɧɢ («ɡɫɭɜɢ») ɭ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɞɿʀ ɹɤɢɯɨɫɶ ɱɢɧɧɢɤɿɜ ɦɨɠɭɬɶ ɫɬɚɬɢ ɨɛ’ɽɤɬɢɜɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɭ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɿ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ ɡɫɭɜɢ ɞɨɡɜɨɥɹɬɶ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɿ ɞɿʀ ɛɭɥɢ ɿɫɬɨɬɧɢɦɢ. Ⱦɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ ɡɫɭɜɭ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɤɪɢɬɟɪɿʀ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r , ɉɟɣɞɠɚ L.
221
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ ɇ Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ H ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɦɿɠ ɬɪɶɨɦɚ, ɱɨɬɢɪɦɚ ɿ ɬ.ɞ. ɜɢɛɿɪɤɚɦɢ ɡɚ ɪɿɜɧɟɦ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɇ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ ɦɿɫɰɟ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɨɡɧɚɤɢ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɝɪɭɩɢ ɞɨ ɝɪɭɩɢ, ɚɥɟ ɧɟ ɜɤɚɡɭɽ ɧɚ ɧɚɩɪɹɦ ɰɢɯ ɡɦɿɧ. Ƚɿɩɨɬɟɡɢ: ɇ0: ɦɿɠ ɜɢɛɿɪɤɚɦɢ 1, 2, 3 ɿ ɬ.ɞ. ɿɫɧɭɸɬɶ ɥɢɲɟ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɡɚ ɪɿɜɧɟɦ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ; ɇ1: ɦɿɠ ɜɢɛɿɪɤɚɦɢ 1, 2, 3 ɿ ɬ.ɞ. ɿɫɧɭɸɬɶ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɡɚ ɪɿɜɧɟɦ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. Ɉɛɦɟɠɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ: ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į=0,05 ɞɨɩɭɫɤɚɽɬɶɫɹ, ɳɨɛ ɜ ɨɞɧɿɣ ɿɡ 3-ɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɩ = 3, ɚ ɜ ɞɜɨɯ ɿɧɲɢɯ ɩ = 2; ɞɥɹ Į=0,01 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ, ɳɨɛ ɭ ɤɨɠɧɿɣ ɜɢɛɿɪɰɿ ɩ 3. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.18. Ⱦɚɧɿ ɨɩɢɬɭɜɚɧɶ ɩɨɡɢɬɢɜɧɨɝɨ ɫɬɚɜɥɟɧɧɹ (ɭ %) ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɳɨɞɨ ɜɿɞɦɨɜɢ ɜɿɞ «ɲɤɿɞɥɢɜɢɯ ɡɜɢɱɨɤ» (ɩɚɥɿɧɧɹ ɬɸɬɸɧɭ, ɜɠɢɜɚɧɧɹ ɚɥɤɨɝɨɥɸ ɬɨɳɨ) ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 5.43. ɑɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɩɨɡɢɬɢɜɧɨɝɨ ɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡɚ ɪɿɡɧɢɦɢ ɪɨɤɚɦɢ ɧɚɜɱɚɧɧɹ ɞɨ ɜɚɠɥɢɜɨɫɬɿ ɿ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɫɬɿ «ɡɞɨɪɨɜɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɭ ɠɢɬɬɹ»? ȼ ɨɩɢɬɭɜɚɧɧɿ ɩɪɢɣɦɚɥɢ ɭɱɚɫɬɶ 6 ɝɪɭɩ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ 1-ɝɨ ɤɭɪɫɭ, 5 ɝɪɭɩ 2-ɝɨ ɿ ɩɨ ɱɨɬɢɪɢ ɝɪɭɩɢ 3-ɝɨ ɿ 4-ɝɨ ɤɭɪɫɿɜ. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: ɇ0: ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɩɨɡɢɬɢɜɧɨɝɨ ɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ «ɡɞɨɪɨɜɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɭ ɠɢɬɬɹ» ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɤɭɪɫɿɜ; ɇ1: ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɩɨɡɢɬɢɜɧɨɝɨ ɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ «ɡɞɨɪɨɜɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɭ ɠɢɬɬɹ» ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɤɭɪɫɿɜ. x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɶ: ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ; ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ – ɱɨɬɢɪɢ (ɫ =4); ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ. x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ ɇ (ɪɢɫ. 5.43): – ɩɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ'ɹ ɜɢɛɿɪɤɚɦ: «ȼɢɛ1», «ȼɢɛ2», «ȼɢɛ3», «ȼɢɛ4» (ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɿ ɫɤɥɚɞ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɞɢɜ. ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ 5.8); 222
– ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ: Ɉɛɫɹɝɢ, ɋɭɦɢ, ɋɟɪɟɞɧɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =ɋɑȿɌ(), =ɋɍɆɆ() ɿ =ɋɊɁɇȺɑ(); – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɪɚɧɝɢ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɥɹ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɳɨ ɨɛ'ɽɞɧɭɽ ɜɫɿ ɱɨɬɢɪɢ ɨɤɪɟɦɿ ɜɢɛɿɪɤɢ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ «Ɋɚɧɝ1–Ɋɚɧɝ4» ɜɧɟɫɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɤɨɦɿɪɤɢ F3 ɰɟ ɛɭɞɟ: =(ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1:ȼɢɛ2:ȼɢɛ3:ȼɢɛ4) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2:ȼɢɛ3:ȼɢɛ4; 1) – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2:ȼɢɛ3:ȼɢɛ4; 0))/2 + ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2:ȼɢɛ3:ȼɢɛ4;1); ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɜɢɪɚɡ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ F:ȱ («Ɋɚɧɝ1–Ɋɚɧɝ4»); – ɞɥɹ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ «Ɋɚɧɝ1–Ɋɚɧɝ4» ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝɢ nj, ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ Ɍj ɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɚɧɝɿɜ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿɣ =ɋɑȿɌ(), =ɋɍɆɆ() ɿ =ɋɊɁɇȺɑ(); – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɨɛɫɹɝ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ N = 6 + 5 + 4 + 4 = 19. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ12 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(B9:E9; – ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɭɦɭ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɚɧɝɿɜ: c
T
T j2
¦n j 1
36 2 /6 40 2 /5 512 /4 63 2 /4
2178,50 (ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ13 ɜɧɟɫɬɢ
j
ɜɢɪɚɡ =F10^2/F9+G10^2/G9+H10^2/H9+I10^2/I9); – ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ H-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
H ɟɦɩ
ª c T2º 12 j ¦ » 3( N 1) , « N ( N 1 ) n » j 1 j ¼ ¬«
(5.27)
ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ14 ɜɢɪɚɡ =12/B12/(B12+1)*B13-3*(B12+1) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Hɟɦɩ=12/(19ǜ(19+1)ǜ2178,50–3ǜ(19+1)=8,79 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.43). x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ H-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɝɪɭɩ ɫ 5 ɡɨɫɟɪɟɞɠɟɧɨ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɹɯ, ɞɥɹ ɫ > 5 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɤɨɪɢɫɬɭɜɚɬɢɫɹ ɤɪɢɬɢɱɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ⱦɥɹ Į=0,05 ɿ 0,01 ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ Ȟ = c–l = 4–1= 3 ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȥ20,05 ɿ Ȥ20,01 ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɏɂ2ɈȻɊ(), ɹɤɭ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ15 ɿ ȼ16 ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ: =ɏɂ2ɈȻɊ(0,05;3) ɿ =ɏɂ2ɈȻɊ(0,01;3).
223
Ɋɢɫ. 5.43. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɇ ɟɦɩ x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Hɟɦɩ > Ȥ20,05 (8,79>7,81), ɚɥɟ Hɟɦɩ< Ȥ20,01 (8,79<11,34), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɥɢɲɟ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɿ ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɩɨɡɢɬɢɜɧɨɝɨ ɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɪɿɡɧɢɯ ɤɭɪɫɿɜ ɞɨ «ɡɞɨɪɨɜɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɭ ɠɢɬɬɹ» ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɢɧ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ. əɤɳɨ ɰɹ ɪɿɡɧɢɰɹ ɧɟ ɦɨɠɟ ɜɜɚɠɚɬɢɫɹ (ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05) ɞɨɫɬɚɬɧɶɨ ɩɟɪɟɤɨɧɥɢɜɨɸ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɞɨɞɚɬɤɨɜɿ ɿ ɛɿɥɶɲ ɪɟɬɟɥɶɧɿ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɭ ɬɪɶɨɯ ɚɛɨ ɛɿɥɶɲɟ ɭɦɨɜɚɯ ɧɚ ɨɞɧɿɣ ɿ ɬɿɣ ɠɟ ɜɢɛɿɪɰɿ ɿ ɛɭɞɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɹɯ. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ȥ2r ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɮɚɤɬ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɜɿɞ ɭɦɨɜɢ ɞɨ ɭɦɨɜɢ ɡɦɿɧɸɸɬɶɫɹ, ɩɪɨɬɟ ɧɟ ɭɤɚɡɭɽ ɧɚ ɧɚɩɪɹɦ ɰɢɯ ɡɦɿɧ. Ƚɿɩɨɬɟɡɢ: ɇ0: ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɦɢ ɜ ɪɿɡɧɢɯ ɭɦɨɜɚɯ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɥɢɲɟ ɜɢɩɚɞ224
ɤɨɜɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ; H1: ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɦɢ ɜ ɪɿɡɧɢɯ ɭɦɨɜɚɯ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ. Ɉɛɦɟɠɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ: ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ ɨɫɿɛ n2, ɤɨɠɧɚ ɨɫɨɛɚ ɦɚɽ ɩɪɨɣɬɢ ɛɿɥɶɲɟ ɬɪɶɨɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɫ3. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.19. ɇɚ ɪɢɫ. 5.44 ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɿɧɫɬɢɬɭɬɭ (ɡɚ ɦɟɬɨɞɢɤɨɸ Ɉ.ɉ.ȯɥɿɫɟɽɜɚ). ɑɢ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɭ ɪɿɡɧɿ ɪɨɤɢ ɧɚɜɱɚɧɧɹ? ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: ɇ0: ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɦɢ ɜ ɪɿɡɧɿ ɪɨɤɢ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɥɢɲɟ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ; H1: ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɦɢ ɜ ɪɿɡɧɿ ɪɨɤɢ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ. x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɶ: ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ; ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɭɦɨɜ ɫ = 4 (ɫ3); ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ n =10 (n2); ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ. x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r (ɪɢɫ. 5.44): ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɡɚ ɤɨɠɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ (ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɤɭɪɫɭ ɧɚɜɱɚɧɧɹ), ɞɥɹ ɱɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ13 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɊɁɇȺɑ(B3:B12). Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɋ13:ȿ13; ɩɪɨɪɚɧɠɭɜɚɬɢ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ (ɪɚɧɠɢɪɭɜɚɧɧɹ ɡɚ ɪɹɞɤɚɦɢ), ɧɚɪɚɯɨɜɭɸɱɢ ɦɟɧɲɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɦɟɧɲɢɣ ɪɚɧɝ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ16 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =(ɋɑȬɌ($B3:$E3) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;$B3:$E3; 1) – – ɊȺɇȽ(B3;$B3:$E3; 0))/2+ɊȺɇȽ(B3;$B3:$E3;1); – ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɜɫɶɨɝɨ ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ ȼ16:ȿ25; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ26:ȿ26 ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ Tj ɡɚ ɤɨɠɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ F16:F26 ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɛɿɝ ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɫɭɦ ɡɚ ɪɹɞɤɚɦɢ ɿ ɡɚ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɦɢ (ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 10); ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ27:ȼ28 ɜɧɟɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ n ɿ ɫ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭ225
ɧɤɰɿɣ =ɋɑȬɌ(A3:A12) ɿ =ɋɑȬɌ(B3:E3); ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ29 ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɚɧɝɿɜ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ =ɋɍɆɆɄȼ(B26:E26); ɭ
ɤɨɦɿɪɤɭ
ȼ30
ɜɧɟɫɬɢ
ɜɢɪɚɡ
=12/B27/B28/(B28+1)*B29–
3*B27*(B28+1), ɹɤɢɣ ɞɨɡɜɨɥɢɬɶ ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȥ2r ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
F r2
c ª º 12 ¦ (T j2 ) » 3 n (c 1) , « ¬« n c (c 1) j 1 ¼»
(5.28)
ɞɟ ɫ – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɭɦɨɜ; n – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ ɨɫɿɛ. əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r § 15,39.
Ɋɢɫ. 5.44. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r 226
x ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȥ2r-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɞɥɹ Į=0,05 ɿ 0,01 ɦɨɠɧɚ ɬɪɶɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɫ ɿ n: – ɞɥɹ ɫ = 3 ɿ n 9 – ɡ ɬɚɛɥ. 7 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ; – ɞɥɹ ɫ = 4 ɿ n 4 – ɡ ɬɚɛɥ. 8 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ; – ɞɥɹ ɫ>4 ɚɛɨ n>9 – ɡɚ ɤɪɢɬɢɱɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ⱦɥɹ Į=0,05 ɿ 0,01 ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ Ȟ = c–l = 4–1= 3 ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 2
Ȥ
0,05
§ 7,81 ɿ Ȥ20,01 § 11,34 ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ Excel =ɏɂ2ɈȻɊ(),
ɹɤɭ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ31 ɿ ȼ32 ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ: =ɏɂ2ɈȻɊ(0,05;3) ɿ =ɏɂ2ɈȻɊ(0,01;3). ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Ȥ2r > Ȥ20,01 (15,39>11,34), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɿ 0,01 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.44). x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. Ɇɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɦɢ ɜ ɪɿɡɧɿ ɪɨɤɢ ɧɚɜɱɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01. ɉɪɨɬɟ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɬɟɧɞɟɧɰɿɸ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɶ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ, ɰɟ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɡɪɨɛɢɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ, ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɢɯ ɭ ɬɪɶɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɭɦɨɜɚɯ ɧɚ ɨɞɧɿɣ ɿ ɬɿɣ ɠɟ ɜɢɛɿɪɰɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ. L-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɜɢɹɜɢɬɢ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɭ ɜɢɦɿɪɿ ɨɡɧɚɤɢ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɭɦɨɜɢ ɞɨ ɭɦɨɜɢ. Ƀɨɝɨ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ ɪɨɡɜɢɬɨɤ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɜɿɧ ɧɟ ɬɿɥɶɤɢ ɤɨɧɫɬɚɬɭɽ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ, ɚɥɟ ɿ ɜɤɚɡɭɽ ɧɚ ɧɚɩɪɹɦɨɤ ɡɦɿɧ. Ƚɿɩɨɬɟɡɢ: ɇ0: ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɩɟɪɲɨʀ ɭɦɨɜɢ ɞɨ ɞɪɭɝɨʀ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɞɨ ɬɪɟɬɶɨʀ ɿ ɞɚɥɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɟ; H1: ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɩɟɪɲɨʀ ɭɦɨɜɢ ɞɨ ɞɪɭɝɨʀ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɞɨ ɬɪɟɬɶɨʀ ɿ ɞɚɥɿ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɟ. ɉɪɢ ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɿ ɝɿɩɨɬɟɡ ɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ɧɨɜɚ ɧɭɦɟɪɚɰɿɹ ɭɦɨɜ, ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɟɪɟɞɛɚɱɭɜɚɧɢɦ ɬɟɧɞɟɧɰɿɹɦ. 227
Ɉɛɦɟɠɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ: ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ ɨɫɿɛ ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ ɭ ɦɟɠɚɯ 2 n 12, ɤɨɠɧɚ ɨɫɨɛɚ ɦɚɽ ɩɪɨɣɬɢ ɫ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ – 3 ɫ 6. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.20. ɑɢ ɩɿɞɜɢɳɭɽɬɶɫɹ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɚ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɩɪɢ ʀɯ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɦɭ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɡ ɤɭɪɫɭ ɧɚ ɤɭɪɫ ɧɚɜɱɚɧɧɹ ɜ ɿɧɫɬɢɬɭɬɿ (ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.19)? ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ: ɇ0: ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɤɭɪɫɭ ɞɨ ɤɭɪɫɭ ɧɚɜɱɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɟ; H1: ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɤɭɪɫɭ ɞɨ ɤɭɪɫɭ ɧɚɜɱɚɧɧɹ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɟ. x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɶ: ɜɢɦɿɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɿ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ; ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɭɦɨɜ ɫ = 4 (3 ɫ 6); ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ n =10 (2n12); ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ. x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ Lɟɦɩ (ɪɢɫ. 5.45): ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɡɚ ɤɨɠɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ (ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɤɭɪɫɭ ɧɚɜɱɚɧɧɹ), ɞɥɹ ɱɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ13 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɊɁɇȺɑ(B3:B12). Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɋ13:ȿ13; ɩɪɨɪɚɧɠɢɪɭɜɚɬɢ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɫɬɭɞɟɧɬɚ (ɪɚɧɠɢɪɭɜɚɧɧɹ ɡɚ ɪɹɞɤɚɦɢ), ɧɚɪɚɯɨɜɭɸɱɢ ɦɟɧɲɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɦɟɧɲɢɣ ɪɚɧɝ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ16 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =(ɋɑȬɌ($B3:$E3) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;$B3:$E3; 1) – – ɊȺɇȽ(B3;$B3:$E3; 0))/2+ɊȺɇȽ(B3;$B3:$E3;1); ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɜɫɶɨɝɨ ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ ȼ16:ȿ25; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ26:ȿ26 ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ Tj ɡɚ ɤɨɠɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ F16:F26 ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɛɿɝ ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɫɭɦ ɡɚ ɪɹɞɤɚɦɢ ɿ ɡɚ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɦɢ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ27:ȿ27 ɜɧɟɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɨɜɢɯ ɿɧɞɟɤɫɿɜ j: 1, 2, 3, …, ɫ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ28:ȿ28 ɜɧɟɫɬɢ ɡ ɤɥɚɜɿɚɬɭɪɢ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɡɚ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɭɦ ɪɚɧɝɿɜ T*j ɡɚ ɤɨɠɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ; 228
ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ29 ɿ ȼ30 ɜɧɟɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ n ɿ ɫ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɿɜ =ɋɑȬɌ(A3:A12) ɿ =ɋɑȬɌ(B3:E3); ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ31 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆɉɊɈɂɁȼ(B27:E27;B28:E28), ɹɤɢɣ ɞɨɡɜɨɥɢɬɶ ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Lɟɦɩ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɉɟɣɞɠɚ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: c
Lɟɦɩ
¦ ( j T j* ) ,
(5.29)
j 1
ɞɟ ɫ – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɭɦɨɜ; T*j – ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ ɡɚ ɤɨɠɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ; j – ɿɧɞɟɤɫɢ ɧɨɜɨʀ ɧɭɦɟɪɚɰɿʀ ɭɦɨɜ. Ɉɬɪɢɦɚɽɦɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɉɟɣɞɠɚ Lɟɦɩ = 285,5. x ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɉɟɣɞɠɚ Lɤɪ ɞɥɹ Į=0,05 ɿ 0,01 ɦɨɠɧɚ ɡɚ ɬɚɛɥ.9 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ. Ⱦɥɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɫ=4 ɿ n=10 ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɚɤɿ: L0,05 = 266, L0,01 = 272. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Lɟɦɩ > L0,01 (285,5>272), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.45). x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. Ɇɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɫɚɦɨɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɚɬɢɱɧɢɯ ɡɞɿɛɧɨɫɬɟɣ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɦɢ ɜ ɪɿɡɧɿ ɪɨɤɢ ɧɚɜɱɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɭ ɜɢɳɢɯ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɡɚɤɥɚɞɚɯ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ. Ɂɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɭɦɨɜɢ ɞɨ ɭɦɨɜɢ ɬɚɤɨɠ ɽ ɧɟɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ.
229
Ɋɢɫ. 5.45. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ Lɟɦɩ
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ H? 2. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r? 3. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L? 4. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 5.18 – 5.20. 5. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 18 ɿ ʋ 19.
230
5.6. ɉȿɊȿȼȱɊɄȺ ɁɇȺɑɍɓɈɋɌȱ ɄɈȿɎȱɐȱȯɇɌȱȼ ɄɈɊȿɅəɐȱȲ Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɹɤ ɦɿɪɢ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɽ ɬɚɤɨɠ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ, ɧɨɫɹɬɶ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɩɪɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɪɨɛɥɹɬɶ ɧɟ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ȡ (ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɰɶɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɽ ɡɜɢɱɚɣɧɨ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦ), ɚ ɡɚ ɣɨɝɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦ ɚɧɚɥɨɝɨɦ r. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ r ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɢɯ, ɹɤɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨ ɩɨɬɪɚɩɢɥɢ ɭ ɜɢɛɿɪɤɭ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɬɨ ɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ r ɽ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ, ɹɤɚ ɩɨɬɪɟɛɭɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ.. əɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɩɟɪɟɜɿɪɹɸɬɶ ɧɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ’ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɬɨɛɬɨ ɇ0: ȡ = 0. Ⱦɨɫɬɨɜɿɪɧɿɫɬɶ (ɜɿɪɨɝɿɞɧɿɫɬɶ) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɩɪɢɣɧɹɬɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ n.
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɟɪɫɨɧɚ rxy Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rxy ɹɤ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɽ ɦɿɪɨɸ ɨɰɿɧɤɨɸ ɫɜɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ȡxy. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ:
tr
rxy (1 r ) /( n 2) 2 xy
.
(5.30)
ɇɭɥɶɨɜɭ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɇ0 ɜɿɞɯɢɥɹɸɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į, ɹɤɳɨ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (tst) ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tr. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.21. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɭɫɩɿɲɧɿɫɬɸ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡ ɮɿɡɢɤɢ (ɏ) ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ (Y) ɭɱɧɹɦɢ ɡɚɝɚɥɶɧɨɨɫɜɿɬɧɶɨʀ ɲɤɨɥɢ (ɬɚɛɥ. 5.46). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ȼ2:ɋ13 (ɪɢɫ. 5.46) ɨɰɿɧɢɬɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɨɡɧɚɤɚɦɢ ɏ ɿ Y ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ (ɪɢɫ. 5.47);
231
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ: 30
ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ
25 20 15 10 5 0 0
5
10
15
ɡ ɮɿɡɢɤɢ
20
25
30
Ɋɢɫ. 5.46. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ɋɢɫ. 5.47. Ⱦɿɚɝɪɚɦɚ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨrxy § 0,77; t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ tr § 3,87
ɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡ ɮɿɡɢɤɢ (X)i ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ (Y)
x ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɥɿɧɿɣɧɚ. Ɂ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɩɪɹɦɢɣ ɿ ɥɿɧɿɣɧɢɣ (ɪɢɫ. 5.47).ɐɟ ɞɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɞɥɹ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ tr ɞɥɹ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy; x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ14 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ(B2:B13;C2:C13). Ɂɧɚɱɟɧɧɹ rxy § +0,77 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɫɢɥɶɧɢɣ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɨɡɧɚɤɚɦɢ ɏ ɿ Y; x ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ15 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ tr ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ =B14*ɄɈɊȿɇɖ((ɋɑȬɌ(A2:A13)-2)/(1-B14^2)) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tr § 3,87; x ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɨɞɧɨɛɿɱɧɟ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ t0,01 § 2,76. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ17 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(2*B16;ɋɑȬɌ(A2:A13)-2). x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ: Ɉɫɤɿɥɶɤɢ tr >t0,01 (3,87>2,76), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ. x ȼɢɫɧɨɜɤɢ: ɡɧɚɱɟɧɧɹ rxy § +0,77, ɹɤɟ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɫɭɬɬɽɜɢɣ ɩɪɹɦɢɣ ɥɿɧɿɣɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɭɱɧɹɦɢ ɬɟɫɬɨɜɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡ ɮɿɡɢɤɢ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɿɫɬɨɬɧɢɦɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į=0,01.
232
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɿɫɧɨɬɢ ɡɜ'ɹɡɤɿɜ ɦɿɠ ɤɿɥɶɤɿɫɧɢɦɢ ɿ ɹɤɿɫɧɢɦɢ ɨɡɧɚɤɚɦɢ, ɹɤɳɨ ʀɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɨɪɚɧɠɨɜɚɧɿ. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɪɚɧɝɿɜ rs ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: n
rs
1
6 ¦ ( xi y i ) 2 i 1
n (n 2 1)
,
(5.31)
ɞɟ: n – ɨɛɫɹɝ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ; (xi–yi) – ɪɿɡɧɢɰɹ ɪɚɧɝɿɜ i-ɝɨ ɨɛ'ɽɤɬɚ. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ rs ɩɪɢɣɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿ ɜɿɞ –1 ɞɨ +1. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.22. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɧɚɹɜɧɿɫɬɶ ɿ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɟɤɫɩɟɪɬɿɜ ɬɨɥɟɪɚɧɬɧɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ ɜɢɤɥɚɞɚɱɚ (ɡɦɿɧɧɚ X) ɿ ɬɨɥɟɪɚɧɬɧɨɫɬɿ ɞɨ ɿɧɲɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (ɡɦɿɧɧɚ Y). Ⱦɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 5.48.
Ɋɢɫ. 5.48. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
Ɋɢɫ. 5.49. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs
x Ⱦɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rs ɜɧɟɫɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɜɢɪɚɡɢ: – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ D4 ɜɢɪɚɡ =B4-C4, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ –ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ D5: D15; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ4 ɜɢɪɚɡ =D4^2, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȿ5: ȿ15; – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ16 ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(E4:E15); 233
– ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ17 ɜɢɪɚɡ =1-6*E16/A15/(A15^2-1), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0,77: rs
1
6 66 | 0,77 . 12 (12 2 1)
x Ɉɰɿɧɤɚ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rs. ȼɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ rs, ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɧɭɥɶɨɜɭ ɤɨɪɟɥɹɰɿɸ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɝɪɭɩɚɦɢ ɪɚɧɝɿɜ, ɩɨɜ'ɹɡɚɧɢɣ ɡ t-ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. əɤɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ rs ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0 ɿ n >10, ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɞɥɹ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ (n–2) ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: t ɟɦɩ
rs (1
rs2 ) /( n
. 2)
ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ18 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ: =B17/ɄɈɊȿɇɖ((1-B17^2)/(A15-2)), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɟɦɩ § 3,81. Ⱦɥɹ ɦɚɥɢɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (n<10) ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɧɭɥɶ-ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɜɢɦɚɝɚɽ ɬɨɱɧɨɝɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ rs. x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɞɥɹ Į =0,01 ɿ n=15. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ19 ɜɧɟɫɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(0,01/2;A15-2), ɹɤɚ ɞɚɫɬɶ tɤɪ § 3,58. ȼɢɫɧɨɜɤɢ: ɨɫɤɿɥɶɤɢ tɟɦɩ > tɤɪ (3,81 >3,58), ɧɭɥɶ-ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 0,01. ɑɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ rs§0,77 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɫɭɬɬɽɜɢɣ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ.
Ⱦɢɯɨɬɨɦɿɱɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ij Ⱦɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɿɫɧɨɬɢ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɨɡɧɚɤ X ɿ Y, ɹɤɿ ɨɰɿɧɸɸɬɶɫɹ ɭ ɞɜɨɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ 1 ɿ 0, ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ij ɉɿɪɫɨɧɚ:
M
n p xy p x p y p x p y (n p x ) (n p y )
,
(5.32)
ɞɟ: pxy – ɱɢɫɥɨ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ «1» ɿ ɡ X, ɿ ɡ Y; px ɿ py – ɱɢɫɥɨ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ «1» ɡ X ɿ ɡ Y ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ; n – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ. ɉɪɢɤɥɚɞ 5.23. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ’ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɡɚɯɨɩɥɟɧɿɫɬɸ ɭɱɧɿɜ ɫɩɨɪɬɨɦ ɬɚ ʀɯɧɶɨɸ ɫɯɢɥɶɧɿɫɬɸ ɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ. ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 5.50 ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ ɏ ɿ Y: 1 – ɧɚɹɜɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ, 0 – ʀʀ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ. ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
234
x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ij ɩɪɨɜɨɞɢɦɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɚɤɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ: – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ15 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɋɑȬɌ(B3:B14); – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ16 – ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆȿɋɅɂ(B3:B14;"=1";C3:C14); – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ17 – ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(B3:B14); – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ18 – ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(C3:C14); – ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ19 – ɜɢɪɚɡ =(B15*B16-B17*B18)/ɄɈɊȿɇɖ(B17*B18*(B15B17)*(B15-B18)). Ɂɜɢɱɚɣɧɿ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɚɸɬɶ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ij ɉɿɪɫɨɧɚ ɞɥɹ pxy = 5, px = 6, py = 7 ɿ n = 12: M
12 5 6 7 6 7 (12 6) (12 7)
| 0,51 .
x Ɉɰɿɧɤɚ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ij. əɤɳɨ ɩɪɢɣɧɹɬɢ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ij ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɨɩɢɫɭɽɬɶɫɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɫɟɪɟɞɧɿɦ ɿ ɨɞɢɧɢɱɧɢɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɦ, ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɧɭɥɶɝɿɩɨɬɟɡɢ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ: z ɟɦɩ
M n.
ȼɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ20 ɜɢɪɚɡ =B19*ɄɈɊȿɇɖ(B15) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ zɟɦɩ: z ɟɦɩ
0,51 12 | 1,76 .
Ɋɢɫ. 5.50. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ij 235
x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ z-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɞɥɹ Į=0,05 ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɟ ɧɢɠɱɟ zĮ/2 ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (0,025 ɚɛɨ 0,975). ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ21 ɜɧɟɫɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ =ɇɈɊɆɋɌɈȻɊ(1-0,05/2), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ zɤɪ § 1,96. ȼɢɫɧɨɜɤɢ: ɨɫɤɿɥɶɤɢ zɟɦɩ
Ɍɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb Ɍɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɢɯ ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɡɚ ɪɿɡɧɢɦɢ ɲɤɚɥɚɦɢ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɡɦɿɧɧɚ ɏ ɜɢɦɿɪɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ, ɚ ɡɦɿɧɧɚ Y – ɭ ɲɤɚɥɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɢɧ: rpb
Y1 Y 0 sy
n1 n0 , n ( n 1)
(5.33)
ɞɟ Y 1 ɿ n1– ɫɟɪɟɞɧɽ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ Y ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ 1 ɡ X;
Y 0 ɿ n0 – ɫɟɪɟɞɧɽ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ Y ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ 0 ɡ X; sy – ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɫɿɯ n ɡɧɚɱɟɧɶ Y; n = n1 + n0 . ɉɪɢɤɥɚɞ 5.24. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ «ɫɬɚɬɶ» ɿ «ɡɪɿɫɬ» ɪɢɫ. 5.51 ɞɥɹ 15 ɩɿɞɥɿɬɤɿɜ (ɏ = 1 ɞɥɹ ɱɨɥɨɜɿɱɨʀ, ɏ = 0 ɞɥɹ ɠɿɧɨɱɨʀ ɫɬɚɬɿ). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb : ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ3 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɑȬɌ(A3:A12) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ n = 10; ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ4 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɍɆɆ(B3:B12) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ n1=6; ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ5 ɜɧɟɫɬɢ =E3-E4 ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ n0=4; ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ6 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɍɆɆȿɋɅɂ(B3:B12;1;C3:C12)/E4 ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɡɪɿɫɬ ɯɥɨɩɱɢɤɿɜ Y 1 | 167,83 ɫɦ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ7 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɍɆɆȿɋɅɂ(B3:B12;0;C3:C12)/E5 ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ
236
ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɡɪɿɫɬ ɞɿɜɱɚɬ Y 0 | 154 ɫɦ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ8 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(C3:C12) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ sy=11,35; ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ9 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ =(E6-E7)/E8*ɄɈɊȿɇɖ(E4*E5/E3/(E3-1)) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: 167,83 154 64 | 0,63 . 11,35 10 (10 1)
r pb
ɇɚ ɪɢɫ. 5.51 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb, ɧɚ ɪɢɫ. 5.52 – ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ.
Ɋɢɫ. 5.52. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rpb
Ɋɢɫ. 5.51. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ rpb
x Ɉɰɿɧɤɚ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rɪb ɡɜɨɞɢɬɶɫɹ ɞɨ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɧɭɥɶ-ɝɿɩɨɬɟɡɢ (ɇ0: rɪb = 0) , ɞɥɹ ɹɤɨʀ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡ (n–2) ɫɬɭɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ: t
rpb (1 r ) /( n 2) 2 pb
.
(5.34)
Ⱦɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ tɟɦɩ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ10 ɜɧɟɫɬɢ =E9/ɄɈɊȿɇɖ((1-E9^2)/(E3-2)) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɟɦɩ § 2,29. x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(Į/2; n–2). ɉɪɢ Į =0,05 ɿ n=10 ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ256 ɜɧɟɫɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ(0,05/2;E3-2), ɹɤɚ ɞɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɤɪ § 2,75. 237
x ȼɢɫɧɨɜɤɢ: ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɨɬɪɢɦɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɟɦɩ §2,29 ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ tɤɪ§2,75 ɧɭɥɶ-ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ. Ɉɬɠɟ, ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ 95% (Į=0,05) ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɿɛɧɨ, ɳɨ ɭ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ rɪb , ɹɤɢɣ ɩɪɢɣɦɚɽ ɞɨɜɨɥɿ ɫɭɬɬɽɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (0,63), ɧɟ ɽ ɜɿɪɨɝɿɞɧɢɦ! Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ. 2. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ. 3. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ij. 4. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ. 6. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 5.21 – 5.24. 7. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 20 – ʋ 22.
238
6. ȾɂɋɉȿɊɋȱɃɇɂɃ ȺɇȺɅȱɁ Ɉɫɧɨɜɧɨɸ ɦɟɬɨɸ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ, ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚɥɶɧɚ ɤɨɧɰɟɩɰɿɹ ɹɤɨɝɨ ɛɭɥɚ ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɚ Ɏɿɲɟɪɨɦ ɭ 1920 ɪ., ɽ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɝɪɭɩ ɞɚɧɢɯ ɚɛɨ ɡɦɿɧɧɢɯ. əɤɳɨ ɩɨɪɿɜɧɸɸɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞɧɿ ɞɜɨɯ ɝɪɭɩ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɞɚɫɬɶ ɬɨɣ ɠɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ, ɳɨ ɿ ɡɜɢɱɚɣɧɢɣ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɞɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɚɛɨ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɉɪɨɬɟ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɦɚɽ ɩɟɪɟɜɚɝɢ ɨɫɨɛɥɢɜɨ ɞɥɹ ɦɚɥɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɍ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɝɪɭɩ ɡɞɿɣɫɧɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ. ɐɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶɫɹ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɪɨɡɛɢɬɬɹ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ (ɜɚɪɿɚɰɿʀ) ɧɚ ɱɚɫɬɢɧɢ, ɨɞɧɚ ɡ ɹɤɢɯ ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɩɨɦɢɥɤɨɸ (ɬɨɛɬɨ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɨɸ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɸ), ɚ ɞɪɭɝɚ ɩɨɜ'ɹɡɚɧɚ ɡ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɸ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ. əɤɳɨ ɰɹ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɡɧɚɱɭɳɚ, ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɳɨɞɨ ɿɫɧɭɜɚɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɜɿɞɤɢɞɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɩɟɜɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ.
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɭ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɡɦɿɧɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ ɡɦɿɧɢ ɭɦɨɜ ɚɛɨ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɚ. ɋɭɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨɛ ɡɿɫɬɚɜɢɬɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɡɚ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ ɿɡ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ɭɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ, ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɜ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɿ. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɜɢɦɚɝɚɽ ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɬɪɶɨɯ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɚ ɿ ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɞɜɨɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɭ ɤɨɠɧɿɣ ɝɪɚɞɚɰɿʀ. ɉɪɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɿ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ (ɞɢɜ.ɪɨɡɞɿɥ 5). ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɚɧɚɥɿɡɭɽɬɶɫɹ ɜɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɧɚ k ɪɿɜɧɹɯ Ⱥ1, Ⱥ2, ..., Ⱥk. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɿ ɰɟ ɦɨɠɧɚ ɪɟɚɥɿɡɭɜɚɬɢ, ɹɤɳɨ ɡɚɞɿɹɬɢ k ɜɢɛɿɪɨɤ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɝɪɚɞɚɰɿɹɦɢ ɭɦɨɜ. ɇɚ ɤɨɠɧɨɦɭ ɪɿɜɧɿ Ai (ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ) ɩɪɨɜɟɞɟ239
ɧɨ n ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ xi1, xi2, …, xin (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 6.1). Ɍɚɛɥɢɰɹ 6.1 ɇɨɦɟɪɢ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ 1 2 … j … n
Ɋɿɜɧɿ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ Ⱥ2 x21 … x22 … … … x2j … … … x2n … X2 …
Ⱥ1 x11 x12 … x1j … x1n X1
Ⱥk xk1 xk2 … xkj … xkn Xk
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɨɰɿɧɤɢ ɪɿɡɧɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ si2 ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ Ⱥɿ (ɞɥɹ ɩɟɜɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ) ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɡɚɩɢɫɚɧɚ ɹɤ si2
1 n ¦ ( xij x i ) 2 n 1 j 1
2 · º 1 ª n 2 1§ n «¦ xij ¨ ¦ xij ¸ » . n 1 « j 1 n ¨© j 1 ¸¹ » ¬ ¼
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ s 02 , ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ ɩɨɡɚ ɜɩɥɢɜɭ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ s 02
1 k 2 ¦ si k i1
k n 1 ( xij x i ) 2 ¦¦ k (n 1) i 1 j 1
2 · º 1 ªk n 2 1 k § n «¦¦ xij ¦ ¨ ¦ xij ¸ » . k (n 1) « i 1 j 1 n i 1 ¨© j 1 ¸¹ » ¬ ¼
2 Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ s ɜɫɿɯ n·k ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
s2
1 k n ¦¦ ( xij x) 2 , ɞɟ kn 1 i 1 j 1
x
1 k ¦ xi ɿ k i1
xɿ
1 n ¦ xij k j1
.
Ɉɬɠɟ, s2
2 · º 1 ªk n 2 1 § k n «¦¦ xij ¨ ¦¦ xij ¸ » . kn 1 « i 1 j 1 kn ¨© i 1 j 1 ¸¹ » ¬ ¼
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ s Ⱥ2 , ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɡɦɿɧɭ ɫɟɪɟɞɧɿɯ x i ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ:
s A2
1 k ( x i x) 2 ¦ k 1 i 1
.
ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɜɩɥɢɜɭ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɧɚ ɡɦɿɧɭ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɡɜɟɞɟɧɚ ɞɨ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ s Ⱥ2 ɿ s 02 . ȼɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɜɜɚɠɚɬɢɦɟɬɶɫɹ ɡɧɚɱɭɳɢɦ ɧɚ ɪɿɧɿ 240
Į, ɹɤɳɨ ɽ ɡɧɚɱɭɳɢɦ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ s Ⱥ2 / s 02 , ɬɨɛɬɨ ɹɤɳɨ 2
s Ⱥ2 / s 0 > FĮ[k –1; k(n –1)],
ɞɟ k –1; k(n –1) – ɫɬɭɩɟɧɿ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ F-ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, s Ⱥ2 / s 02 – F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ. ɉɪɢɤɥɚɞ 6.1. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɮɚɤɬɨɪ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ ɫɥɿɜ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ʀɯ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ (ɞɚɧɿ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 8.1). ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ. H0: ɮɚɤɬɨɪ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɧɟ ɽ ɛɿɥɶɲ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ; H1: ɮɚɤɬɨɪ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɽ ɛɿɥɶɲ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ. x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ. x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Fɟɦɩ ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɫɭɦ ɩɨ ɫɬɨɜɩɰɹɯ ɿɡ ɫɭɦɨɸ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɭɫɿɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ. Ʉɨɠɧɢɣ ɫɬɨɜɩɟɰɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɽ ɜɢɛɿɪɤɭ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɟɜɧɿɣ ɝɪɚɞɚɰɿʀ ɮɚɤɬɨɪɚ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ. x ȼɜɟɞɟɧɿ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ: n = 6 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ (ɪɹɞɤɿɜ); k = 3 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɮɚɤɬɨɪɿɜ (ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ); nǜk = 6ǜ3 = 18 – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ; j – ɿɧɞɟɤɫ ɪɹɞɤɿɜ ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ 1 ɞɨ n (j =1, 2, …, n); i – ɿɧɞɟɤɫ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ 1 ɞɨ k (i =1, 2, …, k). x Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ (ɞɢɜ. ɪɢɫ 6.1 ɿ 6.2): – ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ13:ȼ15 ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ k
Q1
n
¦¦ x
2 ij
;
i 1 j 1
Q2
1 k ¦ X i2 ; ni1
2
Q3
1 § k · ¨¦ Xi ¸ , kn © i 1 ¹
ɚ ɫɚɦɟ Q1 62 7 2 62 52 ! 52 52
Q3
1 (34 29 23) 2 36
432; Q2
1 (34 2 29 2 23 2 ) 6
421 ;
410,89 ;
– ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Fɟɦɩ ɜ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ16 ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ 241
Fɟɦɩ
s A2 s02
k ( n 1) Q2 Q3 , ɬɨɛɬɨ Fɟɦɩ k 1 Q1 Q2
3(6 1) 421 410,89 | 6,89 . 3 1 432 421
Ɋɢɫ. 6.1. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ Ɋɢɫ. 6.2. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ x Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Fɤɪ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =FɊȺɋɉɈȻɊ() ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɞɥɹ Į = 0,05 (0,01) ɿ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ k –1 = 3–1=2 ɿ k(n –1) = 3(6–1)=15. F0,05 § 3,68 ɿ F0,01 § 6,36. x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Fɟɦɩ >F0,01 (6,89 > 6,36), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0 ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01. x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɫɹɡɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ (ɮɚɤɬɨɪ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ) ɽ ɛɿɥɶɲ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ. ɐɸ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 6.3. Ɉɛɫɹɝ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ
7 6
5,67 4,83
5
3,83
4 3
ɇɢɡɶɤɚ
ɋɟɪɟɞɧɹ
ȼɢɫɨɤɚ
ɒɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ
Ɋɢɫ. 6.3. Ɂɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɢɯ ɫɥɿɜ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ 242
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ» (ɪɢɫ. 6.4).
Ɋɢɫ. 6.4. Ɇɟɧɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɉɿɫɥɹ ɜɜɟɞɟɧɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ (ɪɢɫ. 6.5) ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ (ɪɢɫ. 6.6).
Ɋɢɫ. 6.5. Ⱦɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ
Ɋɢɫ. 6.6. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ (Į = 0,05) 243
Ʉɨɦɩ'ɸɬɟɪɧɢɣ ɩɚɤɟɬ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɜɢɤɨɧɭɽ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ (ɫɭɦɢ, ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ Fɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɬɨɳɨ), ɳɨ ɞɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɞɨɫɥɿɞɧɢɤɨɜɿ ɞɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ.
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜ ɬɢɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ, ɤɨɥɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɽɬɶɫɹ ɨɞɧɨɱɚɫɧɚ ɞɿɹ ɞɜɨɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɧɚ ɪɿɡɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɤɨɥɢ ɪɿɡɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɩɢɧɹɸɬɶɫɹ ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ ɪɿɡɧɢɯ ɩɨɽɞɧɚɧɶ ɞɜɨɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ. Ɇɨɠɟ ɫɬɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɨɞɧɚ ɡɦɿɧɧɚ ɡɧɚɱɭɳɨ ɞɿɽ ɧɚ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɭ ɨɡɧɚɤɭ ɬɿɥɶɤɢ ɩɪɢ ɩɟɜɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɿɧɲɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɨɫɢɥɟɧɧɹ ɦɨɬɢɜɚɰɿʀ ɦɨɠɟ ɩɿɞɜɢɳɭɜɚɬɢ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ ɭ ɜɢɫɨɤɨɿɧɬɟɥɟɤɬɭɚɥɶɧɢɯ ɨɫɿɛ ɿ ɡɧɢɠɭɜɚɬɢ ʀʀ ɭ ɧɢɡɶɤɨɿɧɬɟɥɟɤɬɭɚɥɶɧɢɯ. Ɉɬɠɟ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɨɰɿɧɢɬɢ ɧɟ ɥɢɲɟ ɜɩɥɢɜ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɚɥɟ ɣ ʀɯɧɸ ɜɡɚɽɦɨɞɿɸ. ɋɭɬɶ ɦɟɬɨɞɭ ɡɚɥɢɲɚɽɬɶɫɹ ɬɿɽɸ ɫɚɦɨɸ, ɹɤ ɿ ɩɪɢ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɿɣ ɦɨɞɟɥɿ, ɚɥɟ ɭ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɦɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɛɿɥɶɲɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɝɿɩɨɬɟɡ, ɩɪɨɬɟ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɟɳɨ ɫɤɥɚɞɧɿɲɿ, ɧɿɠ ɜ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɯ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚɯ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɹɽ ɨɫɨɛɥɢɜɿ ɜɢɦɨɝɢ ɞɨ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɤɨɦɩɥɟɤɫɿɜ. Ⱦɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɞɜɨɯ ɝɪɚɞɚɰɿɣ; ɭ ɤɨɠɧɨɦɭ ɨɫɟɪɟɞɤɭ ɤɨɦɩɥɟɤɫɭ ɩɨɜɢɧɧɨ ɛɭɬɢ ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɞɜɨɯ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɭɜɚɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɥɹ ɜɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɡɚɽɦɨɞɿʀ ɝɪɚɞɚɰɿɣ; ɤɨɦɩɥɟɤɫ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɫɢɫɬɟɦɨɸ: ɤɨɠɧɿɣ ɝɪɚɞɚɰɿʀ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɩɨɜɢɧɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɬɢ ɨɞɧɚɤɨɜɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ; ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɚ ɨɡɧɚɤɚ ɩɨɜɢɧɧɚ ɦɚɬɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɮɚɤɬɨɪɢ ɦɚɸɬɶ ɛɭɬɢ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ, ɳɨ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɟɧɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɸ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ-ɱɢɧɧɢɤɚɦɢ. ɉɪɢɤɥɚɞ 6.2. ɑɨɬɢɪɶɨɦ ɝɪɭɩɚɦ ɩɨ 4 ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ ɭ ɪɿɡɧɢɯ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɹɯ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ’ɹɜɥɟɧɧɿ ɿ ɞɨɜɠɢɧɢ ɫɥɨɜɚ ɛɭɥɨ ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɡ 10 ɫɥɿɜ ɞɥɹ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ʀɯ ɱɟɪɟɡ ɞɟɹɤɢɣ ɱɚɫ (ɬɚɛɥ. 6.2).
244
Ɍɚɛɥɢɰɹ 6.2 Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɢɯ ɫɥɿɜ ɪɿɡɧɨʀ ɞɨɜɠɢɧɢ ɿ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ʀɯ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ Ƚɪɭɩɢ:
Ɏɚɤɬɨɪɢ Ⱥ – ɞɨɜɠɢɧɚ ȼ – ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ 1 2 3 4 ɋɟɪɟɞɧɿ:
Ⱥ1ȼ1 Ⱥ2ȼ1 ɤɨɪɨɬɤɿ ɫɥɨɜɚ ɞɨɜɝɿ ɜɢɫɨɤɚ 7 5 5 4 4 3 7 4 5,75 4,00
Ⱥ1ȼ2 Ⱥ2ȼ2 ɤɨɪɨɬɤɿ ɫɥɨɜɚ ɞɨɜɝɿ ɧɢɡɶɤɚ 4 6 3 4 3 7 4 5 3,50 5,50
ɇɟɨɛɯɿɞɧɨ ɞɨɜɟɫɬɢ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɦɿɠ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ ɞɨɜɠɢɧɢ ɫɥɨɜɚ (Ⱥ) ɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ ʀɯ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ (ȼ) ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɽɬɶɫɹ ɜɡɚɽɦɨɞɿɹ: ɩɪɢ ɜɟɥɢɤɿɣ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ ɤɪɚɳɟ ɡɚɩɚɦ'ɹɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɤɨɪɨɬɤɿ, ɩɪɢ ɧɢɡɶɤɿɣ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ – ɞɨɜɝɿ ɫɥɨɜɚ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 6.7. ȼɢɫɨɤɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ ɇɢɡɶɤɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ
ɋɟɪɟɞɧɹ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɧɹ ɫɥɿɜ
6
5,75
5,50
5 4
4,00
3,50
3
Ʉɨɪɨɬɤɿ ɫɥɨɜɚ (Ⱥ1)
Ⱦɨɜ ɝɿ ɫɥɨɜ ɚ (Ⱥ2)
Ⱦɨɜ ɠɢɧɚ ɫɥɿɜ
Ɋɢɫ. 6.7. Ɂɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɢɯ ɫɥɿɜ ɜɿɞ ʀɯɧɶɨʀ ɞɨɜɠɢɧɢ ɿ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ: x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ. Ɂɜɚɠɚɸɱɢ ɧɚ ɭɦɨɜɢ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɫɭɧɭɬɢ ɬɪɢ ɤɨɦɩɥɟɤɬɢ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ, ɹɤɿ ɫɬɨɫɭɸɬɶɫɹ ɜɩɥɢɜɭ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɨɤɪɟɦɨ ɜɿɞ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ, ɜɩɥɢɜɭ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ ɨɤɪɟɦɨ ɜɿɞ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɩɪɨ ɜɩɥɢɜ ɜɡɚɽɦɨɞɿʀ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɿɜ Ⱥ ɿ ȼ. 245
1-ɣ ɤɨɦɩɥɟɤɬ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0(1): ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɫɹɡɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ, ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɿ ɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ, ɽ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ; H1(1): ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɫɹɡɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ, ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɿ ɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ, ɽ ɛɿɥɶɲ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ. 2-ɣ ɤɨɦɩɥɟɤɬ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0(2): ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɫɹɡɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ, ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɿ ɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ, ɽ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ; H1(2): ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɫɹɡɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ, ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɿ ɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ, ɽ ɛɿɥɶɲ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ. 3-ɣ ɤɨɦɩɥɟɤɬ ɝɿɩɨɬɟɡ: H0(3): ɜɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɧɚ ɨɛɫɹɝ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ ɨɞɧɚɤɨɜɢɣ ɩɪɢ ɪɿɡɧɢɯ ɝɪɚɞɚɰɿɹɯ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ ɿ ɧɚɜɩɚɤɢ; H1(3): ɜɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɧɚ ɨɛɫɹɝ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ ɪɿɡɧɢɣ ɩɪɢ ɪɿɡɧɢɯ ɝɪɚɞɚɰɿɹɯ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ ɿ ɧɚɜɩɚɤɢ. x ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ; ɜɢɦɿɪɢ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ. x ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɨɞɟɥɶ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɡɧɚɱɚɬɢ ɬɪɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: FȺ – ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ, ɡɭɦɨɜɥɟɧɭ ɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ; Fȼ – ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ, ɡɭɦɨɜɥɟɧɭ ɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ; FAB – ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ, ɡɭɦɨɜɥɟɧɭ ɜɡɚɽɦɨɞɿɽɸ ɮɚɤɬɨɪɿɜ A ɿ B. x ȼɜɟɞɟɧɿ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ: n = 4 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ (ɪɹɞɤɿɜ ɭ ɝɪɭɩɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ); l = 2 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɮɚɤɬɨɪɿɜ A; m = 2 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɮɚɤɬɨɪɿɜ B; nǜlǜm = 2ǜ2ǜ4 = 16 – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ; k – ɿɧɞɟɤɫ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ 1 ɞɨ n (i = 1, ..n); i – ɿɧɞɟɤɫ ɮɚɤɬɨɪɿɜ A ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ 1 ɞɨ l (j = 1,..l). j – ɿɧɞɟɤɫ ɮɚɤɬɨɪɿɜ B ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ 1 ɞɨ m (k = 1,..m). 246
x Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ FȺ , FB ɿ FȺB ɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɧɨ ɩɨɱɢɧɚɬɢ ɡ ɩɨɛɭɞɨɜɢ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨʀ ɬɚɛɥɢɰɿ, ɳɨ ɜɿɞɬɜɨɪɸɽ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɤɨɦɩɥɟɤɫ (ɪɢɫ.6.8 ɿ 6.9)
Ɋɢɫ. 6.8. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ x Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ : ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ11:ɋ12 ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ x ij
1 n ¦ xijk (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, x11 nk1
1 (7 5 4 7 ) 4
5,75 );
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D3:E10 ɩɨɜɬɨɪɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ; ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ13:ɋ13 ɩɨ ɮɚɤɬɨɪɭ Ⱥ (ɩɨ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ) x *i
1 l ¦ xij (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, x *1 l j1
1 (5,75 3,50) 2
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D11:D12 ɩɨ ɮɚɤɬɨɪɭ ȼ (ɩɨ ɪɹɞɤɚɯ)
247
4,63 );
x j*
1 m ¦ xij (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, x1* mi1
1 (5,75 4,00) 2
4,88 );
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D13:E13 ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɜɢɛɿɪɨɤ 1 l m ¦¦ xijk ( x l m i 1 j 1
x
1 (5,75 4,00 3,50 5,50) | 4,69 ); 22
x Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ18:ȼ22 ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɨɪɦɭɥ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ(ɞɢɜ. ɪɢɫ. 6.9): l
Q0
m
n
¦¦¦ ( x
ijk
x) 2
=Ⱦɂɋɉ(B3:C10)*(B17-1);
i 1 j 1 k 1 l
Q1
l n¦ ( x *i x ) 2
=B14*B15*ɋɍɆɆɄȼɊȺɁɇ(D11:D12;D13:E13);
i 1
m
Q2
m n ¦ ( x j* x ) 2
=B14*B16*ɋɍɆɆɄȼɊȺɁɇ(B13:C13;D13:E13);
j 1
l
Q4
m
n
¦¦¦ ( x
ijk
x ij ) 2 =ɋɍɆɆɄȼɊȺɁɇ(B3:C10;D3:E10);
i 1 j 1 k 1
Q3
Q0 Q1 Q2 Q4
=B18-B19-B20-B22.
x Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ23:ȼ26 ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɨɪɦɭɥ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ: Q1 2 ; s2 (l 1)
s12
Q2 2 ; s3 (m 1)
Q3 2 ; s4 (l 1)(m 1)
Q3 . l m (n 1)
x Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ23:ȼ25: FA
s12 s 42
0,56 | 0,46 ; FB 1,23
s 22 s 42
0,06 | 0,05 ; FAB 1,23
s 32 s 42
14,06 | 11,44 ; 1,23
x Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =FɊȺɋɉɈȻɊ ɞɥɹ ɩɪɢɣɧɹɬɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ. dfA = (l–1)=(2–1)=1, dfB=(m–1)=(2–1)=1, dfAB =(l–1)(m–1)=1 df2=l·m·(n–1)=12. Ɉɬɠɟ, ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ FɤɪȺ , Fɤɪȼ , FɤɪAB ɬɚɤɨɠ ɛɭɞɭɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɿ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ F(1,12) § 4,75.
248
Ɋɢɫ. 6.9. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ FȺ < F(1,12) (0,46 < 4,75) ɿ Fȼ < F(1,12) (0,05<4,75), ɧɭɥɶɨɜɿ ɝɿɩɨɬɟɡɢ H0(1) ɿ H0(2) ɩɪɢɣɦɚɸɬɶɫɹ. ɍ ɬɨɣ ɠɟ ɱɚɫ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ FAB > F(1,12) (11,44 > 4,75), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H0(3) ɜɿɞɤɢɞɚɽɬɶɫɹ . x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɨɛɫɹɡɿ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ, ɳɨ ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɿ ɨɤɪɟɦɨ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ Ⱥ ɿ ȼ, ɧɟ ɽ ɛɿɥɶɲ ɜɢɪɚɠɟɧɢɦɢ, ɧɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ. ɉɪɨɬɟ ɜɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɧɚ ɨɛɫɹɝ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ ɽ ɪɿɡɧɢɦ ɩɪɢ ɪɿɡɧɢɯ ɝɪɚɞɚɰɿɹɯ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ ɿ ɧɚɜɩɚɤɢ. ȼɢɫɧɨɜɤɢ ɩɪɢɣɧɹɬɨ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ MS Excel «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹɦɢ». Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ ɪɢɫ. 6.10 ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ (ɪɢɫ. 6.11).
249
Ɋɢɫ. 6.10. Ⱦɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɞɥɹ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ
Ɋɢɫ. 6.11. ɉɿɞɫɭɦɤɢ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ
250
Ɉɬɠɟ, ɮɚɤɬɨɪɢ ɞɨɜɠɢɧɢ ɫɥɿɜ ɿ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ʀɯɧɶɨɝɨ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ ɨɤɪɟɦɨ ɧɟ ɜɩɥɢɜɚɸɬɶ ɡɧɚɱɭɳɟ ɧɚ ɨɛɫɹɝ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ. Ɂɧɚɱɭɳɨɸ ɜɢɹɜɥɹɽɬɶɫɹ ɜɡɚɽɦɨɞɿɹ ɮɚɤɬɨɪɿɜ: ɤɨɪɨɬɤɿ ɫɥɨɜɚ ɤɪɚɳɟ ɡɚɩɚɦ'ɹɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɩɪɢ ɜɟɥɢɤɿɣ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ, ɚ ɞɨɜɝɿ – ɩɪɢ ɩɨɜɿɥɶɧɿɣ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɪɨɡɿɛɪɚɬɢɫɹ ɡ ɨɬɪɢɦɚɧɢɦɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɬɚ ɤɨɦɟɧɬɚɪɟɦ ɧɚ ɪɢɫ. 6.7 – 6.11. Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɦɟɬɨɞɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. 2. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɛɦɟɠɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. 3. ɇɚɡɜɿɬɶ ɨɫɧɨɜɭ, ɧɚ ɹɤɿɣ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɚɩɚɪɚɬ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. 4. ɇɚɡɜɿɬɶ ɨɫɧɨɜɭ, ɧɚ ɹɤɿɣ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɚɩɚɪɚɬ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. 5. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɛɦɟɠɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. 6. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 6.1 – 6.2. 7. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 23 ɿ ʋ 24.
251
7. ɁȺȼȾȺɇɇə ȾɅə ɋȺɆɈɋɌȱɃɇɈȲ ɊɈȻɈɌɂ 7.1. ɅȺȻɈɊȺɌɈɊɇȱ ɊɈȻɈɌɂ Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɨ ɧɚ ɡɚɤɪɿɩɥɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɡɧɚɧɶ ɬɚ ɪɨɡɜɢɬɨɤ ɧɚɜɢɱɨɤ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɦɟɬɨɞɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɧɚ ɛɚɡɿ ɫɭɱɚɫɧɢɯ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿɣɧɢɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɣ. ɋɬɪɭɤɬɭɪɚ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨʀ ɪɨɛɨɬɢ: ɬɟɦɚ, ɦɟɬɚ, ɩɨɫɢɥɚɧɧɹ ɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɪɨɡɞɿɥ ɩɨɫɿɛɧɢɤɚ, ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ.
Ɍɟɦɚɬɢɤɚ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɢɯ ɪɨɛɿɬ ɅɊ ʋ 1. ɇɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɅɊ ʋ 2. Ɂɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɅɊ ʋ 3. Ɇɿɪɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɬɚ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ ɅɊ ʋ 4. Ʌɿɧɿɣɧɢɣ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɅɊ ʋ 5. ɇɟɥɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɅɊ ʋ 6. ȼɡɚɽɦɧɚ ɡɜ’ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤ ɅɊ ʋ 7. Ɉɞɧɨɦɿɪɧɚ ɥɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ ɅɊ ʋ 8. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɿ ɬɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɅɊ ʋ 9. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɅɊ ʋ 10. Ƚɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɅɊ ʋ 11. ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (1) ɅɊ ʋ 12. ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (2) ɅɊ ʋ 13. Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ ɅɊ ʋ 14. Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ı2 ɅɊ ʋ 15. ȼɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɅɊ ʋ 16. ȼɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɅɊ ʋ 17. ȼɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɅɊ ʋ 18. ȼɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɪɿɜɧɿ ɨɡɧɚɤɢ ɅɊ ʋ 19. ȼɢɹɜɥɟɧɧɹ ɡɫɭɜɭ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɨɡɧɚɤɢ ɅɊ ʋ 20. Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɅɊ ʋ 21. Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ 252
ɅɊ ʋ 22. Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɅɊ ʋ 23. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɅɊ ʋ 24. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 1 ɇɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɨɛɭɞɨɜɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.1, ɩɪɢɤɥɚɞɢ 2.2 – 2.3. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɜ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ, ɝɪɚɮɿɱɧɿɣ ɬɚ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɚɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. 3
5
4
4
2
6
3
5
4
4
4
2
3
5
5
3
4
4
3
5
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 2 Ɂɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɨɛɭɞɨɜɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.1, ɩɪɢɤɥɚɞ 2.4. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɜ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ, ɝɪɚɮɿɱɧɿɣ ɬɚ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɚɯ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. 115 109 119 96 114 91 92 83 83 128 100 107 90 88 105 93 105 103 97 106 112 104 116 85 106 89 102 95 102 92 112 89 78 83 92 77 97 120 114 89 97 80 99 86 96 112 102 117 90 99 80 80 83 87 93 84 87 79 96 114
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 3 Ɇɿɪɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɬɚ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɩɚɧɭɜɚɬɢ ɦɟɬɨɞɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɆɐɌ ɿ ɆɆ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.2. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: Ɂɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɆɐɌ ɿ ɆɆ: ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ: ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ, ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ, ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ, ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ, ɟɤɫɰɟɫɭ; 253
ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel; ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥɭ «Ɉɩɢɫɨɜɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ». 6 6
7 4
3 6
2 4
5 5
5 4
7 5
3 6
4 5
4 6
2 4
8 2
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 4 Ʌɿɧɿɣɧɢɣ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ’ɹɡɨɤ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɰɿɧɤɚ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.3, ɩɪɢɤɥɚɞ 2.7. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɿɚɝɪɚɦɭ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ, ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rɯy ɡɚ ɧɚɜɟɞɟɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ, ɨɰɿɧɢɬɢ ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɡɜ’ɹɡɤɭ. ɿ ɏ Y
1 2 6
2 8 5
3 12 10
4 3 7
5 1 3
6 6 4
7 7 9
8 10 8
9 4 1
10 9 11
11 11 12
12 5 2
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 5 ɇɟɥɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɰɿɧɤɚ ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.3, ɩɪɢɤɥɚɞ 2.8. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɿɚɝɪɚɦɭ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɿ ɯɿ yɿ ɿ ɯɿ yɿ
1 10 7 15 22 11
2 10 8 16 22 12
3 10 9 17 22 12
4 10 9 18 26 9
5 10 10 19 26 10
6 14 8 20 26 11
7 14 9 21 30 8
8 14 10 22 30 9
9 14 11 23 30 9
10 18 9 24 30 10
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 6 ȼɡɚɽɦɧɚ ɡɜ’ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɰɿɧɤɚ ɦɿɪ ɜɡɚɽɦɨɡɜ'ɹɡɤɭ ɨɡɧɚɤ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɿɞɪɭɱɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.3, ɩɪɢɤɥɚɞ 2.9. 254
11 18 10 25 34 7
12 18 11 26 34 9
13 18 12 27 34 10
14 22 11 28 38 8
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: Ɉɰɿɧɢɬɢ ɫɬɭɩɿɧɶ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɞɥɹ ɨɡɧɚɤ ɏ ɿ Y ɡ ɡɚ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɑɭɩɪɨɜɚ (ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ K). ɋɩɟɰɿɚɥɶɧɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ Y) Ɍɟɯɧɿɱɧɿ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɿ ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɿ
ɉɟɪɟɜɚɝɢ ɜɢɞɚɦ ɞɿɹɥɶɧɨɫɬɿ ɭ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ X) Ʉɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɿ ɉɪɢɪɨɞɚ ɋɩɨɪɬ Ɇɢɫɬɟɰɬɜɨ ɦɟɪɟɠɿ 10 43 7 5 42 14 25 6 51 11 10 33
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 7 Ɉɞɧɨɦɿɪɧɚ ɥɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 2.4, ɩɪɢɤɥɚɞ 2.10. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: Ɂɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ (X) ɜɿɞ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ (Y). ɿ ɏ Y
1 2 6
2 8 5
3 12 10
4 3 7
5 1 3
6 6 4
7 7 9
8 10 8
9 4 1
10 9 11
11 11 12
12 5 2
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 8 Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɿ ɬɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɨɛɭɞɨɜɚ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɬɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɱɚɫɬɨɬ, ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 3.4, ɩɪɢɤɥɚɞ 3.19. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: Ɂɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɝɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɩɨɹɜɢ «ɛɚɠɚɧɨʀ» ɩɨɞɿʀ mi =f ( ɯɿ ) ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ : – ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ; – ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ b(x; n, p) ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ n = 8 ɿ ɪ = 0,5; – ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ* ɫɯɢɥɶɧɨɫɬɿ ɞɨ ɩɨɹɜɢ «ɛɚɠɚɧɨʀ» ɩɨɞɿʀ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ «ɛɚɠɚɧɢɯ» ɩɨɞɿɣ
xi
0
1
6
7
8
ɑɚɫɬɨɬɚ
mi
0
20 42 78 60 40 10
3
3
255
2
3
4
5
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 9 ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɬɨɱɤɨɜɨɝɨ ɬɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 4, ɩɪɢɤɥɚɞ 4.4. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: Ɉɰɿɧɢɬɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 (0,05) ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɞɥɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɫɬɚɪɲɨɤɥɚɫɧɢɤɿɜ (n = 40) ɞɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨɝɨ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ. 2 3 4 1
2 1 2 4
2 5 2 3
2 3 2 1
2 3 2 2
3 2 3 2
4 2 4 2
2 2 2 2
3 2 3 2
3 2 3 2
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 10 Ƚɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɡɧɚɤɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.2, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.4. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɳɨɞɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ 16 3
4 7
4 8
5 9
6 15
3 14
4 9
10 11
11 12
8 13
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 11 ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (1) Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.3, ɩɪɢɤɥɚɞɢ 5.7 – 5.8. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ ɿ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ U ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X ɿ Y ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ (nx=18, ny=15).
256
5 7 4 6
X Y
4 8 5 7
6 9 5 8
6 15 8 13
3 14 3 10
5 9 3 9
9 11 10 12
12 12 11
8 13
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 12 ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (2) Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɬɢɩɭ ɨɦɟɝɚ-ɤɜɚɞɪɚɬ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.3, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.9. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ Ȧ2 ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X ɿ Y ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ (nx=18, ny=15). 5 7 4 6
X Y
4 8 5 7
6 9 5 8
6 15 8 13
3 14 3 10
5 9 3 9
9 11 10 12
12 12 11
8 13
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 13 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ȝ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ȝ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.4, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.10. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɜɢɛɿɪɤɢ X ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ (n = 40, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɧɟɜɿɞɨɦɚ) ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 4,00? 5 5
3 3
2 5
5 3
5 3
5 5
3 4
2 2
5 4
5 4
4 5
2 4
2 3
5 4
5 5
2 3
3 4
5 5
3 2
5 5
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 14 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ı2 Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɜɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. 257
Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.4, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.12. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ, ɳɨ ɡɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (n = 26) ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ 1,44? 4 5
5 4
4 4
4 5
4 3
5 4
4 5
5 4
3 3
3 5
5 3
4 5
5 4
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 15 ȼɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɿɯ (ȝ1–ȝ2) ɜ ɭɦɨɜɚɯ ɧɟɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɿ ɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.3, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.5 ɿ ɪɨɡɞɿɥ 5.4, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.13. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɑɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X1 ɿ X2 Ɂɧɚɣɬɢ ɪɿɲɟɧɧɹ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɿɜ ɧɟɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɿ ɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. ȼɢɛɿɪɤɢ X1 X2
24 23
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ 24 38 35 19 25 22 54 34 48 46 47 39
38 45
31 23
28 45
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 16 ȼɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜ ɭɦɨɜɚɯ ɧɟɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɿ ɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.4, ɩɪɢɤɥɚɞɢ 5.14 – 5.15. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɑɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X1 ɿ X2 Ɂɧɚɣɬɢ ɪɿɲɟɧɧɹ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɿɜ ɧɟɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɿ ɡɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. ȼɢɛɿɪɤɢ X1 X2
26 25
38 45
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ 24 39 35 19 25 22 51 34 48 46 47 39
258
31 24
28 45
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 17 ȼɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɥɹ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.4, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.17. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɑɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɪɿɡɧɢɯ ɡɚ ɨɛɫɹɝɨɦ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X1, X2, X2 ɿ X4 ? Ɂɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. ȼɢɛɿɪɤɢ X1 X2 X3 X4
12 24 30 20
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ 25 39 36 21 28 18 44 35 47 38 41 22 41 34 48 33 35 38 44 42 50 38 29
30 40 45 27
35
20
26
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 18 ȼɢɹɜɥɟɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ ɭ ɪɿɜɧɿ ɨɡɧɚɤɢ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɜɿɞɦɿɧɧɿɫɬɶ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ ɇ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.5, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.18. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: Ɉɰɿɧɢɬɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 ɡ ɨɛʉɪɭɧɬɭɜɚɧɧɹɦ ɜɢɛɨɪɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ȼɢɛɿɪɤɢ X1 X2 X3 X4
30 41 11 33
32 35 31 45
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ 14 23 42 42 23 40 42 39 24 34 23 43 54 24 38
10 21
32
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 19 ȼɢɹɜɥɟɧɧɹ ɡɫɭɜɭ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɨɡɧɚɤɢ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɩɟɪɟɜɿɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɦɿɧɢ (ɡɫɭɜɭ) ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r ɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.5, ɩɪɢɤɥɚɞɢ 5.19 –5.20. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: Ɉɰɿɧɢɬɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 ɦɨɠɥɢɜɿ ɡɦɿɧɢ (ɡɫɭɜɢ) ɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɩɨɬɭɠɧɿɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ 259
Ɏɪɿɞɦɚɧɚ ɿ ɉɟɣɞɠɚ. ȼɢɛɿɪɤɢ X1 X2 X3 X4
34 40 24 23
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ 43 34 23 43 12 33 23 42 42 39 34 35 24 38 35 19 25 22 54 34 48 46 47 39
23 35 38 45
43 23 31
34 42 28
23
45
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 20 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɰɿɧɤɚ ɦɿɪ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɩɪɢ ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɯ ɬɢɩɚɯ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɨɡɧɚɤ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.6, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.22. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɏ ɿ Y ɬɚ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɪɚɧɝɨɜɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs. i X Y
1 3 9
2 1 12
3 7 5
4 12 2
5 2 13
6 4 10
7 11 1
8 9 11
9 10 4
10 5 7
11 6 8
12 13 3
13 8 6
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 21 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɰɿɧɤɚ ɦɿɪ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɩɪɢ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɢɯ ɬɢɩɚɯ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.6, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.23. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: ȼɢɹɜɢɬɢ ɡɜ’ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ ɿ Y ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ij. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ij. ɿ ɏ Y
1 0 0
2 1 1
3 0 1
4 0 0
5 1 1
6 1 0
7 0 0
8 1 1
9 0 0
10 0 1
11 0 0
12 1 1
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 22 Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɨɰɿɧɤɚ ɦɿɪ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɩɪɢ ɪɿɡɧɢɯ ɬɢɩɚɯ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 5.6, ɩɪɢɤɥɚɞ 5.24. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ 1: ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɫɬɚɬɬɸ ɩɪɚɰɿɜɧɢɤɿɜ ɞɟɪɠɭɫɬɚɧɨɜ X (1 – ɱɨɥɨɜɿɤɢ, 0 – ɠɿɧɤɢ) ɬɚ ʀɯɧɿɦ ɡɚɪɨɛɿɬɤɨɦ Y (ɭ ɬɢɫ. ɝɪɧ.). 260
Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ. ɿ ɏ Y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 3,5 4,2 3,8 4,0 5,0 4,1 4,0 5,1 3,8 3,6 4,2 4,2 4,8 5,0 4,1
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 23 Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɡɚɫɜɨɽɧɧɹ ɦɟɬɨɞɿɜ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 6, ɩɪɢɤɥɚɞ 6.1. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: Ɍɪɶɨɦ ɝɪɭɩɚɦ ɭɱɧɿɜ (ɩɨ 7 ɨɫɿɛ ɭ ɤɨɠɧɿɣ ɝɪɭɩɿ) ɩɪɨɦɨɜɥɹɥɢɫɹ ɡ ɪɿɡɧɨɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ ɞɟɫɹɬɶ ɫɥɿɜ. ɑɢ ɿɫɧɭɽ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ (ɪɨɡɭɦɿɧɧɹ ɫɟɧɫɭ) ɫɥɿɜ ɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ ʀɯ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ? Ɂɧɚɣɬɢ ɪɿɲɟɧɧɹ «ɬɪɚɞɢɰɿɣɧɢɦ» ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɬɚ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ MS Excel «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ». ɒɜɢɞɤɿɫɬɶ 1:ɧɢɡɶɤɚ 2:ɫɟɪɟɞɧɹ 3:ɜɢɫɨɤɚ
7 5 2
8 6 3
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɢɯ ɫɥɿɜ 8 6 7 5 4 6 3 4 2
5 4 4
8 5 3
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚ ɪɨɛɨɬɚ ʋ 24 Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ Ɇɟɬɚ ɪɨɛɨɬɢ: ɡɚɫɜɨɽɧɧɹ ɦɟɬɨɞɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. Ɍɟɨɪɿɹ: ɉɨɫɿɛɧɢɤ, ɪɨɡɞɿɥ 6, ɩɪɢɤɥɚɞ 6.2. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɑɢ ɜɩɥɢɜɚɸɬɶ ɮɚɤɬɨɪɢ ɞɨɜɠɢɧɢ ɫɥɨɜɚ (ɤɨɪɨɬɤɿ ɿ ɞɨɜɝɿ) ɿ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ʀɯ ɩɪɟɞ’ɹɜɥɟɧɧɹ ɧɚ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɨɛɫɹɝ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɜɿɞɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɥɿɜ? Ɋɿɲɟɧɧɹ ɡɧɚɣɬɢ «ɬɪɚɞɢɰɿɣɧɢɦ» ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ». Ɏɚɤɬɨɪ ȼ (ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɪɟɞ'ɹɜɥɟɧɧɹ) B1 (ɜɟɥɢɤɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ) B2 (ɦɚɥɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ)
Ɏɚɤɬɨɪ Ⱥ (ɞɨɜɠɢɧɚ ɫɥɨɜɚ) A1 (ɤɨɪɨɬɤɿ ɫɥɨɜɚ) A2 (ɞɨɜɝɿ ɫɥɨɜɚ) 9 8 6 7 5 3 3 4 4 3 2 5 7 5 6 7
261
7.2. ɌȿɋɌɈȼȱ ɁȺȼȾȺɇɇə (* – ɩɪɚɜɢɥɶɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ) 1. Ⱥɬɪɢɛɭɬɢɜɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ;
*
2) ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ; 3) ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ. 2. əɤɿ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿ ɪɹɞɢ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɬɿɥɶɤɢ ɩɟɜɧɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɰɿɥɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɢɫɤɪɟɬɧɿ;
*
2) ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɿ. 3. Ʉɨɥɢ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɫɤɥɚɞɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɭ ɪɚɡɿ ɩɨɪɹɞɤɨɜɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ; 2) ɭ ɪɚɡɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ; 3) ɹɤɳɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɚɪɿɚɧɬ ɛɥɢɡɶɤɚ ɞɨ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ.
*
4. ȼɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ – ɰɟ : ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɞɨ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɱɚɫɬɨɬɢ; 2) ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ.
*
5. ɋɭɦɚ ɜɫɿɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 1,00;
*
2) ɡɚɝɚɥɶɧɿɣ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ. 6. ɇɚɤɨɩɢɱɟɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ ɳɟ ɦɚɸɬɶ ɧɚɡɜɭ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ; 2) ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ.
*
7. əɤɢɣ ɬɢɩ ɝɪɚɮɿɤɚ ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ :
262
10
9
8
6
6 3
4 2
6
4 1
0
0
60
70
80
1
0
90 100 110 120 130 140
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɩɨɥɿɝɨɧ; 2) ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ;
* *
8. əɤɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɝɪɚɮɿɤɨɦ f (x) ? f(x)
0,94
0,88
0,16
0,97 0,99
1
0,12
0,13
0,6 0,5
0,08 0,38 0,05
0,4
0,06
0,3
0,25 0,03 0,02
0,13 0,05
0 1820
2125
0,9
0,7
0,66 0,12 0,11 0,11 0,54
0,1
1
0,8
0,77
0,15
0,05
f* (x)
Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɱɚɫɬɨɬ
0,2
0,2 0,01
0,1 0
2630
3135
3640
4145
4650
5155
5660
6165
6670
7175
ȼɿɤɨɜɿ ɤɚɬɟɝɨɪɿʀ
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ; 2) ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ.
*
9. əɤɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɮɭɧɤɰɿɽɸ F(x) ?
F ( x)
0.02, ° °0.48, ° ®0.32, ° °0.14, °0.04, ¯
x
x1 ;
x
x2 ;
x
x3 ;
x
x4 ;
x
x5 .
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɣ; 2) ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɣ; 263
3) ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɢɣ;
*
4) ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɢɣ. 10. əɤɚ ɦɿɪɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿ ɦɚɽ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭ ɱɚɫɬɨɬɭ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɦɨɞɚ;
*
2) ɦɟɞɿɚɧɚ; 3) ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ. 11. ɋɟɪɟɞɢɧɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɦɨɞɚ; 2) ɦɟɞɿɚɧɚ;
*
3) ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ. 12. əɤɚ ɦɿɪɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɧɧɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɹɤɿ ɜɩɥɢɜɚɸɬɶ ɧɚ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɦɨɞɚ; 2) ɦɟɞɿɚɧɚ; 3) ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ.
*
13. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɦɨɞɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ( 5, 4, 5, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3): ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 3; 2) 4; 3) 5.
*
14. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɦɟɞɿɚɧɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ( 5, 4, 5, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3): ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 3; 2) 4;
*
3) 5. 15. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɜɢɛɿɪɤɢ ( 4, 5, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3): ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 264
1) 3; 2) 4;
*
3) 5. 16. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: n
1)
s x2
2)
V2x
*
2 ¦ (xi X )
i 1
n 1
;
N
2 ¦ ( x i P)
i 1
N
.
17. Ɇɿɪɨɸ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɫɥɭɠɢɬɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ;
*
2) ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ; 3) ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ. 18. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) V x
V x2 ;
2) s x
s x2 ;
3) s X
sx . n
*
19. əɤɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɦɚɽ ɛɿɥɶɲɭ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ: ɜɢɛɿɪɤɚ Ⱥ (3,3,4,4,4,5,5) ɱɢ ɜɢɛɿɪɤɚ ȼ (3,4,4,4,4,5) ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɛɿɥɶɲ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ Ⱥ; 2) ɛɿɥɶɲ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ȼ. 20. əɤɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɦɚɽ ɧɭɥɶɨɜɭ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ : ɜɢɛɿɪɤɚ Ⱥ (3,3,4,4,4,5,5) ɱɢ ɜɢɛɿɪɤɚ ȼ (3,4,4,4,4,5) ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ:
265
*
1) ɜɢɛɿɪɤɚ Ⱥ; 2) ɜɢɛɿɪɤɚ ȼ; 3) ɨɛɢɞɜɿ ɜɢɛɿɪɤɢ Ⱥ ɿ ȼ.
*
21. əɤɭ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɚ ɝɪɚɮɿɤɨɦ f (x)? f)x) 30 25 20 15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
ɯ
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɨɞɚɬɧɭ;
*
2) ɜɿɞ'ɽɦɧɭ; 3) ɧɭɥɶɨɜɭ. 22. əɤɢɣ ɟɤɫɰɟɫ ɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɚ ɝɪɚɮɿɤɨɦ f (x)? ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ
f(x) 0,35
ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ
0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0
2
4
6
8
x
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɨɞɚɬɧɢɣ;
*
2) ɜɿɞ'ɽɦɧɢɣ; 3) ɧɭɥɶɨɜɢɣ. 23. əɤ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɹ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ A B : ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ;
*
2) ɩɪɢɧɚɥɟɠɧɿɫɬɶ Ⱥ ɞɨ ȼ. 266
24. əɤ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɹ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ B = : \ ȼ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɿɫɬɶ;
*
2) ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ. 25. əɤ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɹ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ Ⱥ=B: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɩɪɢɧɚɥɟɠɧɿɫɬɶ Ⱥ ɞɨ ȼ; 2) ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ.
*
26. əɤ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɹ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ Ⱥ ȼ : ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ; 2) ɩɟɪɟɬɢɧ.
*
27. əɤ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɹ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ Ⱥ * ȼ : ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ;
*
2) ɩɟɪɟɬɢɧ. 28. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨʀ ɩɨɞɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɨɞɢɧɢɰɿ; 2) ɧɭɥɸ.
*
29. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɨɞɢɧɢɰɿ;
*
2) ɧɭɥɸ. 30. Ʉɨɥɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɹɤ ɜɿɞɧɨɫɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿʀ Ⱥ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɹɤɳɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɫɥɿɞɭ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɫɯɟɦɢ ɜɢɩɚɞɤɿɜ; 2) ɹɤɳɨ ɩɨɞɿʀ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ.
267
*
31. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ «ɛɚɠɚɧɢɯ» ɩɨɞɿʀ 4, ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ «ɧɟɛɚɠɚɧɢɯ» ɩɨɞɿɣ 16. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ «ɛɚɠɚɧɨʀ» ɩɨɞɿʀ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 0,25; 2) 0,20.
*
32. əɤɚ ɡ ɚɤɫɿɨɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ɭɤɚɡɚɧɚ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) Ɋ(Ⱥ) 0 ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ Ⱥ : ; 2) Ɋ(:)1;
*
3) Ɋ(Ⱥ1 * Ⱥ2 * Ⱥ3 * ...) = Ɋ(Ⱥ1)+ Ɋ(Ⱥ2)+ Ɋ(Ⱥ3)+... ɞɥɹ (Ⱥi Ⱥj = Ø, i j). 33. ɋɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɨɞɢɧɢɰɿ;
*
2) ɧɭɥɸ. 34. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ Ⱥ·ȼ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) P( Ⱥ ȼ )
P( A) P ( B ) ;
*
2) P ( Ⱥ ȼ ) 0 . 35. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɛɭɬɤɭ Ⱥ·ȼ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) P( Ⱥ ȼ )
P( A) P ( B ) ;
2) P ( Ⱥ ȼ ) 0 .
*
36. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɭɦɢ Ⱥ+ȼ ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) P ( Ⱥ ȼ )
P( A) P ( B ) P( A B ) ;
2) P( Ⱥ ȼ)
P( A) P ( B ) .
*
37. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɭɦɢ Ⱥ+ȼ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) P ( Ⱥ ȼ )
P( A) P ( B ) P( A B ) ; 268
2) P( Ⱥ ȼ)
P( A) P ( B ) .
*
38. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɟɪɟɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɡɜɢɱɚɣɧɭ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɥɹ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ;
*
2) ɞɥɹ ɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɞɿɣ. 39. əɤɭ ɧɚɡɜɭ ɦɚɸɬɶ ɩɨɞɿʀ H 1 , H 2 ,!, H n ɭ ɮɨɪɦɭɥɿ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿ ɩɨɞɿʀ; 2) ɩɨɞɿʀ-ɝɿɩɨɬɟɡɢ.
*
40. ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɫɥɿɞ ɜɢɫɭɜɚɬɢ ɭ ɪɚɡɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ P( A)
4
¦ P( A | ɇi ) P(ɇi ) ? i 1
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 2 ɝɿɩɨɬɟɡɢ; 2) 3 ɝɿɩɨɬɟɡɢ; 3) 4 ɝɿɩɨɬɟɡɢ.
*
41. ɍ ɮɨɪɦɭɥɿ Ȼɚɣɽɫɚ Ɋ(ɇɿ | Ⱥ) – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɚɩɪɿɨɪɧɚ ɱɢ ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɧɚ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɚɩɪɿɨɪɧɚ; 2) ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɧɚ.
*
42. ɋɤɿɥɶɤɢ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ-ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɦɨɠɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɡ 4-ɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 6; 2) 12; 3) 24.
*
43. ɋɤɿɥɶɤɢ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ-ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ ɦɨɠɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɡ ɞɜɨɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɿɡ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 6; 2) 12;
* 269
3) 24. 44. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ ɦɨɠɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɡ 4-ɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ 2 ɟɥɟɦɟɧɬɢ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 6;
*
2) 12; 3) 24. 45. ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɹɤɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɧɭɦɟɪɭɜɚɬɢ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ;
*
2) ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. 46. əɤɭ ɧɚɡɜɭ ɦɚɽ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pɿ = P(ɏ = ɯɿ) ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ; 2) ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ.
*
47. əɤɭ ɧɚɡɜɭ ɦɚɽ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pɿ = P(ɏ ɯɿ) ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ;
*
2) ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ. 48. əɤ ɡɚɞɚɽɬɶɫɹ ɮɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɮɭɧɤɰɿɽɸ F(x) = P(X x); 2) ɮɭɧɤɰɿɽɸ f(x) = P(X = x).
*
49. Ⱦɥɹ ɹɤɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɜ’ɹɡɚɧɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹɦ F ( x j )
j
¦ f ( xi ) ? ɿ 1
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ;
*
2) ɞɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ. 50.
ɚ
əɤɭ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɭ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɸ ɦɚɽ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F (ɚ )
³ f ( x)dx ?
f
270
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɫɟɧɫ ɩɥɨɳɿ;
*
2) ɫɟɧɫ ɞɨɬɢɱɧɨʀ ɞɨ f(x) ɭ ɬɨɱɰɿ ɚ. 51.
ɓɨ ɨɡɧɚɱɚɽ ɡɚɩɢɫ: F ( x d 80)
80
³ f ( x)dx
= 0,091?
f
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 0,091 – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɯ ɩɪɢɣɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 80; 2) 0,091 – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɯ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 80.
*
52. əɤɢɣ ɜɢɫɧɨɜɨɤ ɳɨɞɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ IQ ɦɨɠɧɚ ɡɪɨɛɢɬɢ ɿɡ ɩɥɨɳɿ, ɹɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ IQ 70 ɿ 90?
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(70 IQ 90) = 0,253; 2) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(70 IQ 90) = 0,276; 3) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ(70 IQ 90) = 0,230.
*
53. ɓɨ ɨɡɧɚɱɚɽ ɡɚɩɢɫ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɿɜ Ɋ10 = 20? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 10% ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɏ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɸɬɶ 20;
*
2) 20% ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɏ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɸɬɶ 10. 54. ȼ ɹɤɨɦɭ ɜɢɪɚɡɿ ɩɪɢɫɭɬɧɹ ɩɨɦɢɥɤɚ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) M[X– M[X]] = 0; 2) M[X– M[X]] = 1.
*
55. əɤɳɨ ɏ – ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɚ ɿ b – ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, Y = aɏ+b, ɬɨ ɹɤɢɣ ɜɢ-
271
ɪɚɡ ɞɥɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɛɭɞɟ ɩɪɚɜɢɥɶɧɢɦ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) D[aɏ+b] = aD[X]+b; 2) D[aɏ+b] = a2D[X].
*
56. əɤɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɦɚɽ ɜɢɪɚɡ § X P · lim P¨¨ n x ¸¸ nof © V ¹
N (0,1) ?
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɬɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ; 2) ɬɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɢɲɟɜɚ; 3) ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚ ɬɟɨɪɟɦɚ.
*
57. ɍɤɚɠɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: m m nm 1) Pn ( m ) C n p ( 1 p ) ;
2) f ( x; P , V )
1
V 2S
e
1 § xP · ¨ ¸ 2© V ¹
*
2
.
58. Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɳɿɥɶɧɿɲɟ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡɚ ɭɦɨɜɢ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɡɦɟɧɲɟɧɧɹ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ; 2) ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ.
*
59. ɉɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɿ Ɏɿɲɟɪɚ … ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ;
*
2) ɜɿɞɞɚɥɹɸɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. 60. Ɍɨɱɤɨɜɚ ɩɨɯɢɛɤɚ ɞɥɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: *
1) sx / n ; 2) s x / 2n ; 61. ȼɟɥɢɱɢɧɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɜɢɛɿɪɤɢ ɽ: 272
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɧɟɡɦɿɳɟɧɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ;
*
2) ɡɦɿɳɟɧɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ. 62. ȼɟɥɢɱɢɧɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɧɟɡɦɿɳɟɧɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ; 2) ɡɦɿɳɟɧɢɦɢ ɨɰɿɧɤɚɦɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ.
*
63. əɤɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɨɰɿɧɤɚ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ( n o f ) ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɬɨ ɜɨɧɚ ɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɸ;
*
2) ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɸ. 64. ȼɟɥɢɱɢɧɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦɢ;
*
2) ɧɟɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦɢ. 65. əɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɨɰɿɧɤɚ ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɸ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɦɨɞɚ Ɇɨ; 2) ɦɟɞɿɚɧɚ Ɇd; 3) ɫɟɪɟɞɧɽ X .
*
66. əɤɟ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɿɫɧɭɽ ɦɿɠ ɞɨɜɿɪɱɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ș ɿ ɪɿɜɧɟɦ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ș =1– Į;
*
2
2) ș =1– Į ; 3) ș =1/Į. 67. əɤ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ P ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 273
1) ɡɦɟɧɲɭɽ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ P ;
*
2) ɡɛɿɥɶɲɭɽ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ P;. 3) ɧɟ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɪɨɡɦɿɪ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ P . 68. əɤɢɣ ɫɦɢɫɥ ɦɚɽ ɩɚɪɚɦɟɬɪ t ɭ ɦɨɞɟɥɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ P
XB
t sx n
?
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) t – ɰɟ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ; 2) t – ɰɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
*
69. əɤ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ P ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɡɦɟɧɲɭɽ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ P ; 2) ɡɛɿɥɶɲɭɽ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ P .
*
3) ɧɟ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɪɨɡɦɿɪ ɞɨɜɿɪɱɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ P . 70. ɇɚɜɟɞɟɧɿ ɧɢɠɱɟ ɧɭɥɶɨɜɚ ɣ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚ ɝɿɩɨɬɟɡɢ H0: ȝ1 ȝ2
(ȝ1 ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ȝ2);
H1: ȝ1 > ȝ2 (ȝ1
ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ȝ2)
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɽ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɦɢ;
*
2) ɽ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɦɢ. 71. əɤɳɨ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɜɤɥɸɱɚɸɬɶ ɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɫɟɪɟɞɧɿ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ), ɬɨ ɜɨɧɢ ɽ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɦɢ ɤɪɢɬɟɪɿɹɦɢ;
*
2) ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɦɢ ɤɪɢɬɟɪɿɹɦɢ. 72. ɉɨɬɭɠɧɿɫɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɜɢɳɚ ɱɢ ɧɢɠɱɚ ɩɨɬɭɠɧɨɫɬɿ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ:
274
1) ɜɢɳɚ;
*
2) ɧɢɠɱɚ. 73. ɓɨ ɬɚɤɟ ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) Į – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɦɢ ɜɢɡɧɚɥɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ, ɚ ɜɨɧɢ ɧɚɫɩɪɚɜɞɿ ɽ ɿɫɬɨɬɧɢɦɢ; 2) Į – ɰɟ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɦɢ ɜɢɡɧɚɥɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɿɫɬɨɬɧɢɦɢ, ɚ * ɜɨɧɢ ɧɚɫɩɪɚɜɞɿ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ. 74. ɉɨɦɢɥɤɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ, ɬɨɞɿ ɹɤ ɜɨɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɚ, ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɦɢɥɤɨɸ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 1-ɝɨ ɪɨɞɭ;
*
2) 2-ɝɨ ɪɨɞɭ. 75. ɉɨɦɢɥɤɚ ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɧɭɥɶɨɜɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ, ɬɨɞɿ ɹɤ ɜɨɧɚ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɚ, ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɦɢɥɤɨɸ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 1-ɝɨ ɪɨɞɭ; 2) 2-ɝɨ ɪɨɞɭ.
*
76. ɉɨɬɭɠɧɿɫɬɸ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɡɞɚɬɧɿɫɬɶ ɧɟ ɩɪɢɩɭɫɬɢɬɢɫɹ ɩɨɦɢɥɤɢ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) 1-ɝɨ ɪɨɞɭ; 2) 2-ɝɨ ɪɨɞɭ.
*
77. Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɨɞɧɨɛɿɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ;
*
2) ɞɜɨɛɿɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ. 78. əɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɦɨɞɟɥɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ȝ1 – ȝ2) ɞɥɹ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɢɯ ɞɚɧɢɯ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɡɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɿ ɧɟɜɿɞɨɦɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ? 275
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ;
*
2) F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ; 3) Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɣ. 79. əɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɪɿɜɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ıɯ2? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ; 2) F-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɿɲɟɪɚ; 3) Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɣ.
*
80. əɤɢɣ ɡ ɬɪɶɨɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɽ ɧɚɣɩɨɬɭɠɧɿɲɢɦ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ; 2) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ W;
*
3) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ. 81. əɤɢɣ ɡ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ ɽ ɛɿɥɶɲ ɡɚɝɚɥɶɧɢɦ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t; 2) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ T.
*
82. ɉɪɢ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɿ ɹɤɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɧɟ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɤɨɧɬɪɨɥɸɜɚɬɢ ɜɢɦɨɝɢ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t; 2) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ T.
*
83. ɉɪɢ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɿ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚɋɦɿɪɧɨɜɚ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ, ɳɨɛ ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɭɥɢ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) n1, n 2 50;
*
2) n1, n 2 50. 84. əɤɢɣ ɡ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ ɽ ɛɿɥɶɲ ɩɨɬɭɠɧɢɦ? 276
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ U; 2) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ T. 3) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ Ȧ2.
*
2
85. Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɡɝɨɞɢ Ȥ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɬɿɥɶɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ;
*
2) ɬɿɥɶɤɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ; 3) ɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ, ɿ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ. 86. Ȝ - ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɬɿɥɶɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ; 2) ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ; 3) ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ, ɚɛɨ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡ- * ɩɨɞɿɥɿɜ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ. 87 Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ M ɉɿɪɫɨɧɚ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ ɤɨɠɧɚ ɡ ɹɤɿɫɧɢɯ ɨɡɧɚɤ (x ɿ y) ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɡɚ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ; 2) ɡɚ ɧɨɦɿɧɚɥɶɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ ɭ ɞɜɨɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ;
*
3) ɹɤɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɿ ɿ ɡɚɫɧɨɜɚɧɿ ɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɯ. 88. əɤɢɣ ɡ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɧɚɩɪɹɦ ɡɦɿɧ ɨɡɧɚɤɢ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɿ ɜɿɞ ɝɪɭɩɢ ɞɨ ɝɪɭɩɢ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ H; 2) ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɬɟɧɞɟɧɰɿɣ ɉɟɣɞɠɚ L.
*
89. əɤɢɣ ɡ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɭ ɬɪɶɨɯ ɚɛɨ ɛɿɥɶɲɟ ɭɦɨɜɚɯ ɧɚ ɨɞɧɿɣ ɿ ɬɿɣ ɠɟ ɜɢɛɿɪɰɿ, ɿ ɛɭɞɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɹɯ? 277
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ H; 2) ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ Ȥ2r.
*
90 əɤɢɣ ɿɡ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɫɩɪɹɠɟɧɨɫɬɿ ɧɟ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɑɭɩɪɨɜɚ (Ʉ);
*
2) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɉɿɪɫɨɧɚ (ɋ). 91. əɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɠɭɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ (Ʉ) ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ (ɋ)? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ –1 ɞɨ +1; 2) ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ 0 ɞɨ +1.
*
92. əɤɳɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɜɿɞ'ɽɦɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɬɨ ɰɟ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ; 2) ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ.
*
93. əɤɳɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɧɭɥɶɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɬɨ ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɰɟ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɡɜ’ɹɡɤɭ; 2) ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɪɿɲɟɧɧɹ.
*
94. Ɂɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɡɪɨɫɬɚɽ ɩɪɢ ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɡɦɟɧɲɟɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ; 2) ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ;
*
95. əɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɠɟ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ –1 ɞɨ +1;
*
2) ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ 0 ɞɨ +1. 96. əɤɳɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 0,67, ɬɨ ɹɤɢɣ ɜɢɫɧɨ278
ɜɨɤ ɫɥɿɞ ɡɪɨɞɢɬɢ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɩɪɢɣɧɹɬɢ ɮɚɤɬ ɿɫɧɭɜɚɧɧɹ ɩɪɹɦɨɝɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ’ɹɡɤɭ; 2) ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɿ ɩɿɫɥɹ ɰɶɨɝɨ ɮɨɪɦɭ- * ɥɸɜɚɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. 97. əɤɳɨ X ɜɢɦɿɪɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɸ ɲɤɚɥɨɸ ɧɚɣɦɟɧɭɜɚɧɶ, ɚ ɡɦɿɧɧɚ Y – ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ ɚɛɨ ɜɿɞɧɨɫɢɧ, ɬɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ: ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɬɨɱɤɨɜɢɣ ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ – rpb;
*
2) ɪɚɧɝɨɜɢɣ ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ – rrb. 98. Ɂɚ ɹɤɢɦ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɪɿɲɟɧɧɹ ɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t; 2) ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɯɿ-ɤɜɚɞɪɚɬ; 3) ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ɏɿɲɟɪɚ F.
*
99. ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɚ ɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɭ ɤɨɠɧɿɣ ɝɪɚɞɚɰɿʀ ɜɢɦɚɝɚɽ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɧɟ ɦɟɧɲɟ 3-ɯ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɚ ɿ ɧɟ ɦɟɧɲɟ 2-ɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɭ * ɤɨɠɧɿɣ ɝɪɚɞɚɰɿʀ; 2) ɧɟ ɦɟɧɲɟ 3-ɯ ɝɪɚɞɚɰɿɣ ɮɚɤɬɨɪɚ ɿ ɧɟ ɦɟɧɲɟ 3-ɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɭ ɤɨɠɧɿɣ ɝɪɚɞɚɰɿʀ. 100. əɤɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: 1) ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɨɰɿɧɢɬɢ ɥɢɲɟ ɜɩɥɢɜ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɮɚɤɬɨɪɿɜ; 2) ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɨɰɿɧɢɬɢ ɥɢɲɟ ɜɡɚɽɦɨɞɿɸ ɮɚɤɬɨɪɿɜ; 3) ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɩɥɢɜ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɿ ʀɯɧɸ ɜɡɚɽɦɨɞɿɸ.
279
*
7.3. ɉɊȺɄɌɂɑɇȱ ɄɈɇɌɊɈɅɖɇȱ ɁȺȼȾȺɇɇə Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 1: ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɑȺɋɌɈɌȺ(), ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» MS Excel. Ƚɪɚɮɿɱɧɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɢ, ɩɨɥɿɝɨɧɭ ɿ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɝɪɚɮɿɤɚ. 2 3
3 3
2 5
2 3
2 3
4 1
2 4
2 3
2 4
2 2
3 4 2 3 3 2 4 2 2 4 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 2: ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ. ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ, ɝɪɚɮɿɱɧɿɣ ɬɚ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɚɯ. 40 60 64 40 42 48 41 17 42 22 44 53 61 59 37 51 51 23 51 45 63 50 52 53 60 50 61 39 61 51 18 33 18 38 43 57 52 54 64 61 Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 3: Ɂɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel, ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ». 5 3
4 5
2 2
2 3
4 5
2 4
2 2
3 3
2 4
2 3
4 5
2 2
3 2
3 2
2 2
3 3
2 4
2 3
4 5
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 4: ɍ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɝɪɭɩɚɯ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ (ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɸ 22, 21, 20 ɿ 25 ɨɫɿɛ) ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɢ ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ 6, 5, 3 ɿ 4 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɛɪɚɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɽ ɜɿɞɦɿɧɧɢɤɨɦ? Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 5: ȼ ɚɤɚɞɟɦɿɱɧɿɣ ɝɪɭɩɿ, ɳɨ ɩɪɢɣɲɥɢ ɧɚ ɟɤɡɚɦɟɧ, 5 ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, 7 – ɞɨɛɪɟ, 2 – ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ ɿ 1 – ɩɨɝɚɧɨ. ȼɿɞɦɿɧɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɦɨɠɟ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɢ ɧɚ ɜɫɿ 25 ɩɢɬɚɧɶ, ɞɨɛɪɟ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ – ɧɚ 20, ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ – ɧɚ 15 ɩɢɬɚɧɶ, ɩɨɝɚɧɨ – ɧɚ 10 ɩɢɬɚɧɶ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɢɤɥɢɤɚɧɢɣ ɝɪɭɩɢ ɫɬɭɞɟɧɬ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɶ ɧɚ ɞɜɚ ɡɚɞɚɧɢɯ ɩɢɬɚɧɧɹ? Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 6: ȼ ɚɤɚɞɟɦɿɱɧɿɣ ɝɪɭɩɿ 4 ɫɬɭɞɟɧɬɢ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨ, 6 – ɞɨɛɪɟ, 3 – ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ ɿ 2 – ɩɨɝɚɧɨ. ȼɿɞɦɿɧɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɦɨɠɟ ɜɿɞ280
ɩɨɜɿɫɬɢ ɧɚ ɜɫɿ 20 ɩɢɬɚɧɶ, ɞɨɛɪɟ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ – ɧɚ 16, ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ – ɧɚ 10 ɩɢɬɚɧɶ, ɩɨɝɚɧɨ – ɧɚ 5 ɩɢɬɚɧɶ. ȼɢɤɥɢɤɚɧɢɣ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬ ɜɿɞɩɨɜɿɜ ɧɚ 2 ɡɚɞɚɧɢɯ ɩɢɬɚɧɧɹ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɰɟɣ ɫɬɭɞɟɧɬ ɽ: ɚ) ɜɿɞɦɿɧɧɨ ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ; ɛ) ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɩɨɝɚɧɨ? Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 7: əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɋɌȺɌɂɋɌɂɄȺ» ɡ ɞɟɫɹɬɢ ɨɤɪɟɦɢɯ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ? Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 8: Ɉɰɿɧɢɬɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 ɿ 0,05 ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɦɚɫɢɜɭ ɬɚɛɥɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ. 2 3
2 1
2 5
2 3
2 3
4 1
2 4
2 3
2 1
2 2
3 3
4 4
2 3
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 9: Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɬɚ ɟɤɫɰɟɫɭ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɨɜɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɡɧɚɤɢ. 2 3
3 3
4 5
3 3
2 3
4 1
2 4
5 3
2 4
4 2
3 4 2 3 3 5 4 2 2 4 2 3 4 2 5 1 3 3 3 2
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 10: ɑɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɫɟɪɟɞɧɽ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 4,50? 5 4
3 2
5 2
3 5
3 5
5 2
4 3
2 5
4 3
4 5
5 3
4 4
3 5
4 2
5 5
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 11: ɑɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɫɟɪɟɞɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɜɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X1 ɿ X2 ? ɿ X1 X2
1 3 3
2 4 3
3 4 3
4 5 4
5 5 4
6 5 4
7 5 4
8 5 4
9 6 5
10 6 5
11 7 5
12 4 5
13 4 4
14 6 3
15 3 4
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 12: ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ X1 ɿ X2 ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05. 281
3 4 1 2 2
X1 5 2 3 2 2
3 2 4 3 4
3 2 4 2 2
3 2 2 2 4
3 4 3 3 3
X2 5 3 3 3 3
3 3 2 3 3
3 3 5 3 3
3 3 4 3 4
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 13: Ɂɪɨɛɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɪɚɦɟɪɚȼɟɥɱɚ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɿ ɏ Y
1 1 5
2 7 6
3 14 10
4 3 7
5 1 3
6 6 4
7 7 9
8 10 8
9 4 1
10 11 12 13 14 15 16 9 11 5 3 10 9 12 11 13 2 8 1 2 4
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 14: ɇɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ. ɿ X1 X2
1 3 3
2 4 5
3 3 6
4 5 4
5 3 5
6 4 6
7 5 5
8 6 4
9 4 5
10 4 6
11 5
12 3
13 4
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 15: ɇɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɇ-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,01 ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. ȼɢɛɿɪɤɢ X1 X2 X3 X4
22 34 12 23
32 35 31 45
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ 14 34 23 43 23 42 42 39 24 38 35 19 54 34 48
12 21
17
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 16: ɇɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ Ȥ2-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɉɿɪɫɨɧɚ ɬɚ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ f(x1) ɿ f(x2). ȼɢɹɜɢɬɢ ɧɚɣɩɨɬɭɠɧɿɲɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ. Ⱥɛɫɨɥɸɬɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ
0
1 6 1
Ɋɨɡɩɨɞɿɥ f(x1) (ɱɚɫɬɨɬɢ) Ɋɨɡɩɨɞɿɥ f(x2) (ɱɚɫɬɨɬɢ)
282
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɏ (ɛɚɥɢ) 2 3 4 33 8 3 16 24 7
5 2
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 17: Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ Y = (ɏ) ɡɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɚɞɟɤɜɚɬɧɿɫɬɶ ɦɨɞɟɥɿ. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. ɏ Y
2 6
8 5
12 10
3 7
1 3
6 4
7 9
10 8
4 1
9 11
11 12
5 2
2 6
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 18: Ɂɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɯɨɬɨɦɿɱɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ij ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɏ ɿ Y. ɿ ɏ Y
1 0 0
2 1 1
3 0 1
4 0 0
5 1 1
6 1 0
7 0 0
8 1 1
9 0 0
10 0 1
11 0 0
12 1 1
13 1 0
14 1 1
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 19: Ɂɚ ɬɚɛɥɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ (ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ: ɏ – ɜɢɞɢ ɫɩɟɰɿɚɥɿɡɚɰɿʀ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɿɧɫɬɢɬɭɬɭ ɮɿɡɢɱɧɨɝɨ ɜɢɯɨɜɚɧɧɹ ɿ ɫɩɨɪɬɭ, Y – ɦɟɬɨɞɢ ɫɚɦɨɪɟɝɭɥɹɰɿʀ, ɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɢ-ɫɩɨɪɬɫɦɟɧɢ). Ɂɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ. Ɇɟɬɨɞɢ ɫɚɦɨɪɟɝɭɥɹɰɿʀ ɩɫɢɯɿɱɧɢɯ ɫɬɚɧɿɜ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɏ) Ⱥɭɬɨɪɟɥɚɤɫɚɰɿɹ Ⱥɭɬɨɝɟɧɧɟ ɬɪɟɧɭɜɚɧɧɹ Ⱥɭɬɨɝɿɩɧɨɡ 8 4 6 12 6 4 11 3 1 15 6 1
ɋɩɟɰɿɚɥɿɡɚɰɿɹ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ Y) Ɏɭɬɛɨɥ Ƚɿɦɧɚɫɬɢɤɚ ȼɚɠɤɚ ɚɬɥɟɬɢɤɚ ɉɥɚɜɚɧɧɹ
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 20: Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɨɰɿɧɢɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ ɿ Y ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɋɩɿɪɦɟɧɚ rs. i 1 2 X 2 1 Y 17 12
3 7 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 3 4 11 9 10 5 6 15 8 17 13 14 16 2 13 16 1 11 4 15 8 3 6 7 9 10 14
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 21: Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ rxy ɡɚ ɧɚɜɟɞɟɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɭɳɿɫɬɶ. ɿ ɏ Y
1 2 6
2 8 5
3 12 10
4 3 7
5 1 3
6 6 4
7 7 9
8 10 8
283
9 4 1
10 11 12 13 14 15 16 9 11 5 3 10 9 12 11 12 2 8 1 2 4
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 22: ɉɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ ɡɝɨɞɢ Ȥ2 ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ 8 9
2 6
8 5
12 10
3 7
1 3
6 4
7 9
10 8
4 1
9 11
11 12
5 2
2 6
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 23: Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɬɨɱɤɨɜɨ-ɛɿɫɟɪɿɚɥɶɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɿɠ ɫɬɚɬɬɸ ɩɪɚɰɿɜɧɢɤɿɜ ɨɫɜɿɬɢ X (1 – ɞɥɹ ɱɨɥɨɜɿɤɿɜ, 0 – ɞɥɹ ɠɿɧɨɤ) ɬɚ ʀɯɧɿɦ ɡɚɪɨɛɿɬɤɨɦ Y (ɭ ɬɢɫ. ɝɪɧ.) ɿ ɏ Y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0,5 1,2 0,8 1,0 2,0 1,1 1,0 2,1 0,8 0,6 1,2 1,2 1,8 2,0 1,1
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 24: ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɫɬɚɬɬɸ X (1 – ɞɥɹ ɱɨɥɨɜɿɤɿɜ, 0 – ɞɥɹ ɠɿɧɨɤ) ɬɚ ɚɤɬɢɜɧɢɦ ɡɚɧɹɬɬɹɦ ɫɩɨɪɬɨɦ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ 1-ɝɨ ɤɭɪɫɭ Y (1– ɪɟɝɭɥɹɪɧɨ ɜɿɞɜɿɞɭɽ ɫɩɨɪɬɢɜɧɭ ɫɟɤɰɿɸ, 0 – ɧɿ). ɿ ɏ Y
1 0 1
2 1 1
3 0 0
4 0 1
5 1 0
6 1 1
7 0 1
8 1 1
9 0 0
10 11 12 13 14 15 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 25: Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɡɪɨɛɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚ 1% ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɳɨɞɨ ɜɩɥɢɜɭ ɪɿɜɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɥɶɧɨɫɬɿ ɧɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɭɫɩɿɲɧɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ 18 ɭɱɧɿɜ. ȼɿɞɩɨɜɿɞɚɥɶɧɿɫɬɶ ɇɢɡɶɤɚ ɋɟɪɟɞɧɹ ȼɢɫɨɤɚ
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɭɫɩɿɲɧɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ (ɛɚɥɢ) 3 1 2 3 3 2 4 5 3 5 4 3 6 4 5 6 5 6
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ʋ 26: Ɂɪɨɛɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚ 5% ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɳɨɞɨ ɜɩɥɢɜɭ ɮɚɤɬɨɪɿɜ Ⱥ ɿ ȼ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 16 ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ, ɹɤɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɭ 4 ɜɢɛɿɪɤɢ. Ɂɚɫɬɨɫɭɜɚɬɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɞɜɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ. Ɏɚɤɬɨɪ ȼ (ɪɿɜɟɧɶ) ȼ1 (ɧɢɡɶɤɢɣ) ȼ2 (ɜɢɫɨɤɢɣ)
Ɏɚɤɬɨɪ Ⱥ (ɪɿɜɟɧɶ) Ⱥ1 (ɜɢɫɨɤɢɣ) Ⱥ2 (ɧɢɡɶɤɢɣ) 8, 5, 4, 6 4, 4, 5, 3 5, 4, 5, 3 5, 7, 7, 6
284
ȾɈȾȺɌɄɂ Ɍɚɛɥɢɰɹ 1 Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ a ni 1 (u10 ) 4
i
n 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
7071
4
6872
1677
5
6646
2413
6
6431
2806
0875
7
6233
3031
1401
8
6052
3164
1743
0561
9
5888
3244
1976
0947
10
5739
3291
2141
1224
0399
11
5601
3315
2260
1429
0695
12
5475
3325
2347
1586
0922
0303
13
5359
3325
2412
1707
1099
0539
14
5251
3318
2460
1802
1240
0727
0240
15
5150
3306
2495
1878
1353
0880
0433
16
5056
3290
2521
1939
1447
1005
0593
0196
17
4968
3237
2540
1988
1524
1109
0725
0359
18
4886
3253
2553
2027
1587
1197
0837
0496
0173
19
4808
3232
2561
2059
1641
1271
0932
0612
0303
20
4734
3211
2565
2085
1686
1334
1013
0711
0422
0140
21
4634
3185
2578
2119
1736
1399
1092
0804
0530
0263
285
Ɍɚɛɥɢɰɹ 2 ȼɿɞɫɨɬɤɨɜɿ ɬɨɱɤɢ ɤɪɢɬɟɪɿɸ W(Į) ɒɚɩɿɪɨ-ȼɿɥɤɚ (Į - ɪɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ) Į 0,01
0,02
0,05
Į 0,10
0,50
27
0,894
0,906
0,923
0,935
0,965
0,935
28
0,896
0,908
0,924
0,936
0,966
0,927
29
0,898
0,910
0,926
0,937
0,966
0,826
0,927
30
0,900
0,912
0,927
0,939
0,967
0,838
0,928
31
0,902
0,914
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0,940
0,967
0,818
0,851
0,932
32
0,904
0,915
0,930
0,941
0,968
0,829
0,859
0,935
33
0,906
0,917
0,931
0,942
0,968
0,806
0,842
0,869
0,938
34
0,908
0,919
0,933
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0,969
0,817
0,850
0,876
0,940
35
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0,920
0,934
0,944
0,969
0,805
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0,913
36
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0,922
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0,945
0,970
0,814
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0,889
0,945
37
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0,924
0,936
0,946
0,970
14
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0,895
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38
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0,925
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0,947
0,970
15
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39
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10
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0,863
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0,906
0,952
40
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17
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41
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18
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42
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0,930
0,942
0,951
0,972
19
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0,879
0,901
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20
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22
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47
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24
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48
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0,947
0,954
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25
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0,901
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49
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0,947
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26
0,891
0,904
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50
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0,938
0,947
0,955
0,974
n
0,01
0,02
0,05
0,10
0,50
3
0,737
0,756
0,767
0,789
0,959
4
0,687
0,707
0,748
0,792
5
0,686
0,715
0,762
0,806
6
0,713
0,743
0,788
7
0,730
0,760
0,803
8
0,749
0,778
9
0,764
0,791
10
0,781
11
0,792
12 13
286
n
Ɍɚɛɥɢɰɹ 3 Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ȝ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɚɛɨ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į Ɋɿɜɟɧɶ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į
Ɉɛɫɹɝ n
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n
n
n
n
n
> 35
287
Ɍɚɛɥɢɰɹ 4 Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɞɥɹ ɪɿɜɧɿɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ ɪ0,05 ɿ ɪ0,01 n1 n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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Ɍɚɛɥɢɰɹ 4. ɉɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ n1
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289
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Ɍɚɛɥɢɰɹ 4. ɉɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ n1
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n2
ɪ=0,05
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290
40
Ɍɚɛɥɢɰɹ 5 Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ q-ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ʉɨɯɪɚɧɚ ɞɥɹ Į=0,05 Ȟ1=n–1 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ, Ȟ2 – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ. Ȟ1
Ȟ2 1
2
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0,0000
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0,0000
0,0000
291
Ɍɚɛɥɢɰɹ 5. ɉɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ Ȟ1
Ȟ2 8
9
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0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
292
Ɍɚɛɥɢɰɹ 6 Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ H-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɪɭɫɤɚɥɚ-ȼɨɥɥɿɫɚ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ ɨɛɫɹɝɿɜ ɜɢɛɿɪɨɤ n1, n2, n3 Ɉɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ n1
n2
n3
H
Ɉɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ p
n1
n2
n3
H
Ɉɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ p
n1
n2
n3
H
p
2
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7,7604 0,009'
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3
3
3
3
2
3
3
3
2
3
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4
4
4
4
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4
4
1
2
3
4
293
5
5
5
5
4
4
4
4
1
2
3
4
Ɍɚɛɥɢɰɹ 6. ɉɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ Ɉɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ n1
n2
n3
H
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3
n1
H
p
n1
n2
n3
H
p
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5
5
5
5
1
n3
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5
n2
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2
2
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3
2
2
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5
1
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3
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5
5
5
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294
Ɍɚɛɥɢɰɹ 7 2
Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȥ r-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɭɦɨɜ ɫ=3 ɿ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ (2n9) n=2 Ȥ2r 0 1 3 4
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p 1,000 0,944 0,528 0,361 0,194 0,028
n=4 Ȥ2r 0,0 0,5 1,5 2.0 3.5 4,5 6,0 6,5 8,0
n=5 Ȥ 2r
p
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p 1,000 0,954 0,691 0,522 0,367 0,182 0,124 0,093 0,039 0,024 0,0085 0,00077
Ɍɚɛɥɢɰɹ 7. ɉɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ n=6 Ȥ2r 0,00 0,33 1,00 1.33 2,33 3,00 4,00 4,33 5,33 6,33 7,00 8,33 9,00 9,33 10,33 12,00
p 1,000 0,956 0,740 0,570 0,430 0,252 0,184 0,142 0,072 0,052 0,029 0,012 0,0081 0,0055 0,0017 0,00013
n=7 Ȥ2r 0,000 0,286 0,857 1,143 2,000 2,571 3.429 3,714 4,571 5,429 6.000 7,143 7,714 8,000 8,857 10,286 10,571 11,143 12,286 14.000
p 1,000 0,964 0,768 0,620 0,486 0,305 0,237 0,192 0,112 0,085 0,052 0,027 0,021 0,016 0,0084 0,0036 0,0027 0,0012 0,00032 0,000021
n=8 Ȥ2r 0,00 0,25 0,75 1,00 1.75 2,25 3,00 3,25 4,00 4,75 5,25 6,25 6,75 7,00 7,75 9,00 9,25 9,75 10,75 12,00 12,25 13,00 14,25 16,00
295
n=9 p
1,000 0,967 0,794 0,654 0,531 0,355 0,285 0,236 0,149 0,120 0,079 0,047 0,038 0,030 0,018 0,0099 0,0080 0,0048 0,0024 0,0011 0,00086 0,00026 0,000061 0,0000036
Ȥ2r 0,000 0,222 0,667 0,889 1,556 2,000 2,667 2,889 3,556 4,222 4,667 5,556 6,000 6,222 6,889 8,000 8,222 8,667 9,556 10,667 10,889 11,556 12,667 13,556 14,000
p 1,000 0,971 0,814 0,865 0,569 0,398 0,328 0,278 0,187 0,154 0,107 0,069 0,057 0,048 0,031 0,019 0,016 0,010 0,0060 0,0035 0,0029 0,0013 0,00066 0,00035 0,00020
Ɍɚɛɥɢɰɹ 8 2
Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȥ r-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɪɿɞɦɚɧɚ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɭɦɨɜ ɫ=4 ɿ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ (2n4) n=2 2
Ȥ
r
n=3 p
Ȥ
2
r
n=4 Ȥ
p
2
r
p
Ȥ2r
p
0,0
1,000
0,0
1,000
0,0
1,000
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5,4
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12,0
0,000072
296
Ɍɚɛɥɢɰɹ 9 Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ L-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɉɟɣɞɠɚ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɭɦɨɜ 3ɫ6 ɿ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɢɯ (2n12) n 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3 – – 28 – 42 41 56 55 54 70 68 66 83 81 79 96 93 91 109 106 104 121 119 116 134 131 128 147 144 141 160 156 153
ɫ (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɭɦɨɜ) 4 5 – 109 60 106 58 103 89 160 87 155 84 150 117 210 114 204 111 197 145 259 141 251 137 244 172 307 167 299 163 291 198 355 193 346 189 338 225 403 220 393 214 384 252 451 246 441 240 431 278 499 272 487 266 477 305 546 298 534 292 523 331 593 324 581 317 570
297
6 178 173 166 260 252 244 341 331 321 420 409 397 499 486 474 577 563 550 655 640 625 733 717 701 811 793 777 888 869 852 965 946 928
Ɋ 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05 0,001 0,01 0,05
ɅȱɌȿɊȺɌɍɊȺ 1. Ⱥɣɜɚɡɹɧ ɋ.Ⱥ. ɢ ɞɪ. ɉɪɢɤɥɚɞɧɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ: Ɉɫɧɨɜ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɩɟɪɜɢɱɧɚɹ ɨɛɪɚɛɨɬɤɚ ɞɚɧɧɵɯ. ɋɩɪɚɜɨɱɧɨɟ ɢɡɞ. – Ɇ.: Ɏɢɧɚɧɫɵ ɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ, 1983. – 471 ɫ. 2.
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НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
Володимир Миколайович РУДЕНКО
МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК Оригінал-макет підготовлено ТОВ «Центр учбової літератури»
Керівник видавничих проектів – Сладкевич Б. А. Підписано до друку 12.07.2011. Формат 60х84 1/16 Друк офсетний. Папір офсетний. Гарнітура PetersburgCTT. Умовн. друк. арк. 17,1. Видавництво «Центр учбової літератури» вул. Електриків, 23 м. Київ 04176 тел./факс 044-425-01-34 тел.: 044-425-20-63; 425-04-47; 451-65-95 800-501-68-00 (безкоштовно в межах України) e-mail:
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