Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 7 (2004). С. 3–158 УДК 517.956.25 ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙ...

Author: Коньков А.А.

5 downloads 254 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 7 (2004). С. 3–158 УДК 517.956.25

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ c 2004 г.

А. А. КОНЬКОВ

АННОТАЦИЯ. Рассматриваются решения коэрцитивных неравенств Lu F (x, u), L F (x, u), определенные на произвольном (возможно неограниченном) Rn , где n 2, L и L — эл подмножестве n n ∂ ∂ ∂2 aij (x) а F — некоторая липтические операторы вида L = aij (x) , L = ∂xj ∂xi ∂xj i,j=1 ∂xi i,j=1 функция.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Дивергентные неравенства с измеримыми коэффициентами . . . . . . . . . . . 1.1. Теорема сравнения для дивергентных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Редукция теоремы 1.1.2 к бесконечно гладкому случаю . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Доказательство соотношения (1.1.13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Доказательство соотношения (1.1.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Недивергентные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Теорема сравнения для недивергентных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Доказательство соотношения (1.1.13) в недивергентном случае . . . . . . . . . . . . 2.3. Доказательство соотношения (1.1.14) в недивергентном случае . . . . . . . . . . . . Глава 3. Решения эллиптических неравенств в неограниченных областях . . . . . . . . 3.1. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . 3.2. Поведение решений. Теоремы единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Субэллиптические функции в неограниченных областях . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Неравенства типа Эмдена—Фаулера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 4. Эллиптические неравенства в областях, принадлежащих R2 . . . . . . . . . . . 4.1. Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Доказательство соотношения (4.1.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Доказательство соотношения (4.1.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 5. Эллиптические неравенства в неограниченных плоских областях . . . . . . . . 5.1. Поведение решений. Теоремы единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Неравенства типа Эмдена—Фаулера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Субэллиптические функции в плоских областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 6. Уравнения и неравенства в окрестности сингулярности . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Устранимые особенности. Оценки решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Случай n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 7. Свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений 7.1. Сингулярные решения второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Быстро растущие решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Уравнения типа Эмдена—Фаулера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Кнезеровские решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Кнезеровские решения уравнений типа Эмдена—Фаулера . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 8 8 10 29 38 49 49 50 52 57 57 60 65 72 76 76 77 86 99 99 103 106 108 109 116 120 120 134 140 143 150 154

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ «Ведущие научные школы» № 1464.2003.1. c 2004 МАИ

3

4

ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ В математической литературе эллиптическим уравнениям и неравенствам, определенным в неограниченных областях, традиционно отводится значительное место. Исторически сложившимися здесь являются следующие две постановки задачи: найти условия, гарантирующие, что всякое решение из заданного класса тривиально (так называемые теоремы типа Лиувилля), и задача о нахождении при r → ∞ точных оценок для максимального значения решения на сфере радиуса r с центром в некоторой фиксированной точке (теоремы типа Фрагмена—Линделёфа). Хорошо известно, что любая неотрицательная гармоническая функция в Rn является константой. Интерес к целым решениям нелинейных уравнений возник после пионерских работ Дж. Б. Келлера [86] и Р. Оссермана [103], которым удалось доказать аналогичное утверждение для уравнения вида ∆u = uλ , где λ > 1 — вещественное число. С тех пор на протяжении более чем полувека интерес к этой проблематике не ослабевает, и к настоящему моменту накоплено поистине огромное количество публикаций. Упомянем лишь работы Х. Бенестрики, Л. Ниренберга [60], М.-Ф. Бидо-Верон [63], Х. Брезиса, В. А. Штраусса [68], Х. Брезиса, К. Кабре [70], Дж. Л. Вазкеза [117], Л. Верона [123], Б. Гидаса, Дж. Спрука [83, 84], В. А. Кондратьева, Л. Верона [88], В. А. Кондратьева, Е. М. Ландиса [11, 13], В. В. Курты [27–30], Э. Митидиери, С. И. Похожаева [40–42] и С. И. Похожаева [45–51]. Имеется также ряд великолепных монографий и обзоров, среди которых отметим книги Э. Митидиери, С. И. Похожаева [43], Дж. Серрина [107] и статью К. Денга и Х. А. Левина [73], содержащие обширную библиографию. Так или иначе, все исследования в упомянутом направлении базируются на априорных оценках, которые, в свою очередь, получаются либо методом сравнения, предполагающим построение нижних опорных решений более простой задачи, по поведению которых можно судить о том, как будет себя вести решение исходного уравнения или неравенства, либо методом, основанным на подборе пробных функций в соответствующих интегральных тождествах. Метод пробных функций хорошо зарекомендовал себя благодаря простоте и широкому классу задач, к которым он применим. Благодаря этому им пользуется значительная часть авторов [27–30, 40–43, 67, 71, 98]. Существенным его недостатком является то, что этот метод не позволяет получать точные результаты в случае нелинейности общего вида. Он эффективен только для уравнений и неравенств типа Эмдена—Фаулера. Кроме всего прочего, это исключительно дивергентный метод и, если речь идет о недивергентных дифференциальных операторах, то от него приходится отказаться. В случае некоэрцитивных неравенств с произвольной нелинейностью точные результаты, касающиеся отсутствия целых нетривиальных решений, можно получить с помощью остроумного приема, предложенного Х. Брезисом и К. Кабре [70]. Однако, в коэрцетивном случае этот прием, к сожалению, не пригоден. Методы, использующие в своей основе принцип сравнения, исторически возникли раньше остальных. Пожалуй, наиболее известным здесь является метод сферического усреднения, снискавший популярность у большого числа математиков [59, 69, 86, 120, 123, 124, 128]. Этот метод позволяет исследовать нелинейности общего вида. К серьезным его недостаткам следует отнести то обстоятельство, что процедура сферического усреднения применима лишь к уравнениям и неравенствам, содержащим оператор Лапласа. Ниже мы излагаем подход, основанный на теоремах сравнения для коэрцитивных эллиптических неравенстств общего вида, с помощью которого можно преодолеть указанную трудность. Договоримся о следующих обозначениях и определениях. Пусть Ω — непустое открытое подмножество Rn , n 2, D = Rn \ Ω, и пусть L — дифференциальный оператор вида n ∂ ∂ aij (x) , (1) L= ∂xi ∂xj i,j=1

ВВЕДЕНИЕ

5

где aij — измеримые функции такие, что aij ≡ aji , и для некоторых вещественных чисел C1 > 0 и C2 > 0 при всех ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn и почти всех x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn C1 |ξ|2

n

aij (x)ξi ξj C2 |ξ|2 .

(2)

i,j=1

Будем также рассматривать оператор L=

n

aij (x)

i,j=1

∂2 , ∂xi ∂xj

(3)

где симметрическая матрица aij (x) при всех x, ξ ∈ Rn удовлетворяет тому же условию (2). Под Qxr и Srx подразумеваются, соответственно, открытый шар Qxr = {y : |y − x| < r} и сфера x Sr = {y : |y −x| = r} радиуса r с центром в точке x. Для всякого множества ω ⊂ Rn его замыкание обозначим через ω, а его границу — через ∂ω. Таким образом, Qxr — замыкание шара Qxr . Если x = 0, то пишем Qr и Qr вместо Q0r и Q0r . Аналогично, пишем Sr вместо Sr0 . Емкостью компакта K ⊂ ω ⊂ Rn относительно открытого множества ω будем называть величину |∇ϕ|2 dx,

cap(K, ω) = inf

(4)

ω

где inf в правой части (4) берется по всем функциям ϕ ∈ C0∞ (ω) таким, что ϕ ≡ 1 в окрестности K. Пусть s > 0. Рассмотрим на компакте K всевозможные меры τ — вполне аддитивные неотрицательные функции множества, определенные на некоторой σ-алгебре подмножеств K, содержащей борелевские множества [52]. Мера τ является допустимой, если dτ (y) 1 при x ∈ Rn \ K. |x − y|s K

Положим Cs (K) = sup τ (K), τ

где верхняя грань берется по всем допустимым мерам. Число Cs (K) назовем s-емкостью множества K [33]. Если s = n − 2, то емкости cap(K, Rn ) и Cs (K) совпадают и являются хорошо известной винеровской емкостью cap(K). Для определенных выше емкостей имеют место следующие свойства [33, 35, 39]: 1) Монотонность. Из включений K1 ⊂ K2 и ω2 ⊂ ω1 вытекают неравенства cap(K1 , ω1 ) cap(K2 , ω2 ),

Cs (K1 ) Cs (K2 ).

2) Полуаддитивность: cap(K1 ∪ K2 , ω) cap(K1 , ω) + cap(K2 , ω), Cs (K1 ∪ K2 ) Cs (K1 ) + Cs (K2 ). 3) Свойство подобия. Предположим, что множества K и ω получаются из множеств K и ω преобразованием подобия с коэффициентом λ > 0, т.е. K = λK и ω = λω. Тогда cap(K , ω ) = λn−2 cap(K, ω),

Cs (K ) = λs Cs (K).

Константой эллиптичности оператора L вида (3) будем называть величину n

=

sup

x∈Rn ,|ξ|=1

i=1 n

aii (x)

aij (x)ξi ξj

i,j=1

.

6

ВВЕДЕНИЕ

Если

1 0 при x ∈ Rn \ {y}, |x − y|s то s-емкость всякого множества будем называть верхней для оператора L [33]. Легко показать, что при s − 2 s-емкость является верхней для L. Допустим, что s > 0, δ > 0 и ν > 1. Для каждой точки x ∈ Ω обозначим L

µ(x; δ, ν) =

sup ρ∈(0,δ|x|)

ρ1−n cap(D ∩ Qxρ , Qxνρ )

(5)

ρ−1−s Cs (D ∩ Qxρ ).

(6)

и µs (x; δ) =

sup ρ∈(0,δ|x|)

Будем изучать неотрицательные решения эллиптических неравенств Lu F (x, u),

(7)

относительно правой части которых предполагается следующее: i) F — локально ограниченная измеримая функция такая, что почти при всех x ∈ Ω и при всех t1 , t2 ∈ [0, ∞) из t1 t2 следует 0 F (x, t1 ) F (x, t2 ).

(8)

Одновременно будут рассматриваться неравенства вида Lu F (x, u),

(9)

для правой части которых справедливо следующее свойство: i ) при всех x ∈ Ω и при всех t1 , t2 ∈ [0, ∞) из t1 t2 следует (8). 1 (ω) ∩ L Под решением неравенства (7) в ω ⊂ Ω подразумевается функция u ∈ W2,loc ∞,loc (ω), ∞ удовлетворяющая для всякой неотрицательной функции ϕ ∈ C0 (ω) интегральному соотношению n ∂u ∂ϕ − aij (x) dx F (x, u)ϕ dx. (10) ∂xi ∂xj ω i,j=1

ω

1 (ω) Как обычно, через W2,loc ∈ D (ω) таких, что w ∈ W 12 (ω

(через L∞,loc (ω)) обозначим пространство обобщенных функций ∩ Qr ) (соответственно, w ∈ L∞ (ω ∩ Qr )) для всех r ∈ (0, ∞). w Решением неравенства (9) в ω ⊂ Ω называется функция u ∈ C 2 (ω), удовлетворяющая неравенству (9) в классическом смысле. Аналогично под решением уравнения Lu = F (x, |u|) sign u в Ω, где

  1, sign t = 0,   −1,

(11)

t > 0, t = 0, t < 0,

1 (Ω) ∩ L будем подразумевать функцию u ∈ W2,loc ∞,loc (Ω) такую, что n ∂u ∂ϕ aij dx = F (x, |u|) sign uϕ dx ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω). − ∂xi ∂xj Ω i,j=1

При этом будем говорить, что

Ω

u ∂Ω = ψ, ◦

(12)

1 (Ω) ∩ L 1 ∞ n где ψ ∈ W2,loc ∞,loc (Ω), если (u − ψ)ϕ ∈ W 2 (Ω) ∀ϕ ∈ C0 (R ). Относительно функции F , стоящей в правой части (11), кроме свойства i), предполагается выполненым также следующее свойство:

ВВЕДЕНИЕ

7

ii) почти при всех x ∈ Ω справедливо условие F (x, 0) = 0, а также условие выпуклости F по последнему аргументу, т.е. для любых неотрицательных вещественных чисел t1 , t2 , s1 , s2 таких, что s1 + s2 = 1, F (x, s1 t1 + s2 t2 ) s1 F (x, t1 ) + s2 F (x, t2 ).

(13)

В случае оператора L вида (3) под решением уравнения Lu = F (x, |u|) sign u

(14)

в Ω, удовлетворяющим условию (12), где ψ ∈ C(∂Ω), подразумевается классическое решение u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω). Для правой части (14), кроме свойства i ), предполагается выполненым следующее свойство: ii ) при всех x ∈ Ω справедливо условие F (x, 0) = 0, а также условие выпуклости F по последнему аргументу (13). Заметим, что в случае, когда множество Ω не ограничено, никакие условия на бесконечности ни на решения уравнений (11), (14), ни на решения неравенств (7), (9) накладываться не будут. 1 (Ω ∩ Q \ Q ), и пусть Ω ∩ S = ∅ ∀r ∈ (R , R) . Обозначим Пусть 0 R0 < R ∞, u ∈ W2,loc r 0 R R0 для каждого r ∈ (R0 , R) (15) M (r; u) = ess sup u, Ω∩Sr

1 (Ω ∩ Q \ где ограничение функции u на Ω ∩ Sr понимается в смысле вложения пространства W2,loc R QR0 ) в L2,comp (Ω ∩ Sr ) (см. [39, с. 58]), а ess sup в правой части (15) берется по (n − 1)-мерной мере Лебега на сфере Sr . Рассмотрим решения неравенств (7) в Ω ∩ QR \ QR0 , для которых

M (r; u) M (ρ; u) при

R0 < r < ρ < R,

(16)

и 0 < M (R0 + 0; u). В дополнение к сказанному потребуем, чтобы

= 0. u

(QR ∩∂Ω)\QR0

(17) (18)

При этом соотношение (18) понимается следующим образом: ◦

ϕu ∈ W 12 (Ω ∩ QR \ QR0 ) Аналогично пишем ◦

u Q

∀ϕ ∈ C0∞ (QR \ QR0 ).

R ∩∂Ω

= 0,

(19)

если ϕu ∈ W 12 (Ω ∩ QR ) ∀ϕ ∈ C0∞ (QR ). В частности, если R = ∞, то (19) превращается в условие

u ∂Ω = 0. (20) В случае оператора L вида (3) под решением неравенства (9) в Ω ∩ QR \ QR0 (в Ω ∩ QR ), удовлетворяющим условию (18) (условию (19) соответственно), будем подразумевать функцию u ∈ C 2 (Ω ∩ QR \ QR0 ) ∩ C(Ω ∩ QR \ QR0 ) (функцию u ∈ C 2 (Ω ∩ QR ) ∩ C(Ω ∩ QR ) соответственно). Очевидно, для таких решений соотношения (9), (15), как и соотношение (18) (соотношение (19) соответственно), следует понимать в классическом смысле. Нам также потребуется следующее определение [7]. Решением обыкновенного дифференциального уравнения m = z(r, m, m )

(21)

на промежутке [R0 , R), удовлетворяющим начальным условиям m(R0 ) = m0 ,

m (R0 ) = m1 ,

(22)

будем называть функцию m : [R0 , R) → (−∞, ∞), абсолютно непрерывную вместе со своей первой производной на промежутке [R0 , R) (при этом в точке R0 имеется ввиду односторонняя производная), удовлетворяющую условиям (22) и такую, что почти при всех r ∈ (R0 , R) имеет место (21).

8

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Несколько слов о структуре этой книги. Логически она состоит из введения и семи глав. Первые четыре главы посвящены коэрцитивным эллиптическим неравенствам общего вида как в дивергентной, так и в недивергентной формах. Материал, изложенный там, основан на работах автора [19] и [90]. В пятой главе исследуются эллиптические неравенства в областях, являющихся подмножествами R2 . Для них приводятся достаточные условия отсутствия положительных решений, а также точные априорные оценки. Большая часть результатов этой главы публикуется впервые. В шестой главе рассматриваются решения эллиптических уравнений и неравенств в окрестности особой точки. Результаты этой главы ранее были опубликованы лишь в краткой форме [20]. Наконец, в седьмой главе дано доказательство ряда утверждений из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые используются на протяжении всей книги. Результаты, содержащиеся там, получены в работе автора [23].

ГЛАВА 1 ДИВЕРГЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1.1. ТЕОРЕМА

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ДИВЕРГЕНТНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Теорема 1.1.1. Пусть 0 R0 < R ∞, Ω — открытое подмножество Rn , n 2, D = Rn \ Ω, SR0 ∩ Ω = ∅, и пусть 0 < a, 1 < σ, 1 < ν, 0 < δ < 1, 1 + δ < θ, 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 — некоторые вещественные числа, а Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что supp Λ ⊂ [θR0 /(1 − δ), ∞) ∩ [R0 /σ4 , ∞) и Λ(r)

inf

x∈Ω∩Qrθ \Qr/θ

µ2 (x; δ, ν) + r−n cap(D ∩ Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4 ) for r > R0 ,

(1.1.1)

где µ(x; δ, ν) определено с помощью (5). Пусть, далее, для F : Ω × [0, ∞) → [0, ∞) справедливо свойство i), с. 6, и при этом f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что f (r, t) ess

inf

x∈Ω∩Qrσ \(Qr/σ ∪QR0 )

f (r, t1 ) f (r, t2 ) при

F (x, t) R0 < r,

при

R0 < r,

0 < t1 t 2 ,

0 < t,

(1.1.2) (1.1.3)

и (1.1.4) f (r, t − 0) = f (r, t) при R0 < r, 0 < t. Предположим теперь, что u — неотрицательное решение неравенства (7) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющее условиям (16), (17) и (18), где M (r; u) определено с помощью (15). Тогда найдутся константы: α > 0, зависящая только от n, a, σ, постоянных C1 , C2 из неравенства (2), β > 0, зависящая только от σ, а также γ > 0, зависящая только от n, δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 , такие, что существует определенное на всем промежутке [R0 , R) решение задачи Коши 1+a m = αf (r, βm) + γΛ(r)m, (1.1.5) m + r (1.1.6) m(R0 ) = M (R0 + 0; u), m (R0 ) = 0, для которого при всех r ∈ (R0 , R) будет выполнена оценка M (r; u) m(r).

(1.1.7)

Теорема 1.1.2. Пусть справедливо предположение теоремы 1.1.1. Тогда найдутся константы: α > 0, зависящая только от n, a, σ, C1 , C2 , β > 0, зависящая только от σ, а также γ > 0, зависящая только от n, δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 , такие, что при всех r ∈ (R0 , R) a r 1 ξ (αf (ξ, βM (ξ; u)) + γΛ(ξ)M (ξ; u)) dξ, (1.1.8) ξ 1− M (r; u) − M (R0 + 0; u) a r R0

где M (r; u) определено с помощью (15).

1.1. ТЕОРЕМА

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ДИВЕРГЕНТНЫХ НЕРАВЕНСТВ

9

Доказательство теоремы 1.1.1. Предположим, что теорема 1.1.2 уже доказана. Покажем, что из неравенства (1.1.8), справедливого при всех r ∈ (R0 , R), следует существование на промежутке [R0 , R) решения задачи Коши (1.1.5), (1.1.6), для которого выполнена оценка (1.1.7). Заметим сначала, что из (1.1.4) вытекает, что для любой измеримой функции ϕ : (R0 , ∞) → (0, ∞) функция f (·, будет измеримой. В самом деле, для натуральных чисел k и N ϕ(·)) также k−1 k , . Тогда найдется вещественное число ξN,k ∈ ωN,k такое, что функция обозначим ωN,k = N N f (·, ξN,k ) измерима. Положим fN (x) =

∞

f (x, ξN,k )χωN,k+1 (ϕ(x)),

k=1

где χω — характеристическая функция множества ω. Тогда fN — измеримая функция, и в то же время fN (x) → f (x, ϕ(x)) при N → ∞ ∀x ∈ (R0 , ∞). Построим теперь последовательность функций mi : [R0 , R) → (0, ∞), i = 0, 1, 2, . . ., полагая m0 (r) ≡ M (R0 + 0; u), a r 1 ξ (αf (ξ, βmi (ξ)) + γΛ(ξ)mi (ξ)) dξ. mi+1 (r) = M (R0 + 0; u) + ξ 1− (1.1.9) a r R0

Рассуждая по индукции, несложно убедиться в том, что при всех r ∈ (R0 , R) справедливы неравенства M (r; u) mi (r) и mi+1 (r) mi (r), i = 0, 1, 2, . . .. Очевидно также, что mi (R0 ) = M (R0 + 0; u), i = 0, 1, 2, . . .. Таким образом, существует функция m : [R0 , R) → (0, ∞) такая, что mi (r) → m(r) при i → ∞ ∀r ∈ [R0 , R). При этом для любого r ∈ (R0 , R) имеем M (r; u) m(r). Переходя в (1.1.9) к пределу при i → ∞, согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости, получим a r 1 ξ (αf (ξ, βm(ξ)) + γΛ(ξ)m(ξ)) dξ. ξ 1− m(r) = M (R0 + 0; u) + a r R0

Осталось только непосредственным дифференцированием проверить, что m является решением задачи Коши (1.1.5), (1.1.6). Доказательство теоремы 1.1.2. Соотношение (1.1.8) будет доказано, если при всех r ∈ (R0 , R) удастся одновременно получить два неравенства a r 2α ξ f (ξ; βM (ξ; u)) dξ (1.1.10) ξ 1− M (r; u) − M (R0 ; u) a r R0

и 2γ M (r; u) − M (R0 ; u) a

a r ξ Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. ξ 1− r

(1.1.11)

R0

Действительно, складывая (1.1.10) и (1.1.11), получим (1.1.8). Далее, при a 1 для любого η ∈ [0, 1] справедлива оценка 1 − η a a(1 − η).

(1.1.12)

В самом деле, в точке η = 1 значения обеих частей (1.1.12) совпадают, в то время как при всех η ∈ [0, 1] производная правой части (1.1.12) не превосходит производной левой части. Очевидно также, что если 0 < a < 1, то 1 − η a 1 − η для любого η ∈ [0, 1]. Таким образом, при всех ξ ∈ [R0 , r] имеем a ξ ξ a 1− 1− r r в случае a 1 и a ξ ξ 1− 1− r r

10

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

в случае 0 < a < 1. Из всего сказанного следует, что (1.1.10) и (1.1.11) будут доказаны, если для некоторых α0 > 0 и γ0 > 0 при всех r ∈ (R0 , R) удастся доказать неравенства r ξ M (r; u) − M (R0 ; u) α0 ξ 1 − f (ξ; βM (ξ; u)) dξ r

(1.1.13)

R0

и

r ξ Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. M (r; u) − M (R0 ; u) γ0 ξ 1 − r

(1.1.14)

R0

При этом постоянные α0 > 0 и γ0 > 0 в (1.1.13) и (1.1.14), вообще говоря, отличаются от соответствующих постоянных α > 0 и γ > 0 в (1.1.10) и (1.1.11), в то время как β > 0 остается прежней. Доказательства (1.1.13) и (1.1.14) весьма трудоемки; этому отдельно посвящаются §§ 1.3 и 1.4. Замечание 1.1.1. Если в теоремах 1.1.1, 1.1.2 потребовать, чтобы u являлось неотрицательным решением (7) на всем множестве Ω∩QR , удовлетворяющим условиям (19) и (17) (условие (16) будет выполнено автоматически в силу принципа максимума), то ограничение на вещественное число δ вида δ < 1 можно снять. При этом вместо включения supp Λ ⊂ [θR0 /(1 − δ), ∞) ∩ [R0 /σ4 , ∞) теперь необходимо, чтобы было справедливо включение supp Λ ⊂ [θR0 , ∞). 1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

Ниже будет показано, что если теорему 1.1.2 удастся доказать при дополнительном предположении, что Ω имеет бесконечно гладкую границу, а коэффициенты aij оператора L, правая часть F неравенства (7) и само решение u являются бесконечно гладкими функциями, то эта теорема будет справедлива и в самом общем случае. Для этой цели нам понадобится аналог принципа максимума для функций M (·, u), определенных с помощью (15). Лемма 1.2.1. Пусть 0 R0 < r0 < r < R ∞, и пусть u — неотрицательное решение неравенства Lu 0 (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющее условию (18). Тогда ess

u = max{M (r0 ; u), M (r; u)}.

sup Ω∩Qr \Qr0

Более того, если для некоторого ρ ∈ (r0 , r) ess

sup

u = M (ρ; u),

(1.2.2)

Ω∩Qr \Qr0

то u — постоянная функция в Ω ∩ Qr \ Qr0 . Для доказательства леммы 1.2.1 нам, в свою очередь, потребуются несколько утверждений, которые приводятся ниже. Лемма 1.2.2. Предположим, что ω ⊂ Rn — ограниченное открытое связное множество, и пусть E — измеримое подмножество ω, причем mes E > 0 и dist(E, ∂ω) > 0. Тогда всякое решение неравенства (1.2.1) в ω такое, что ess sup u = ess sup u ω

является константой.

E

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

11

Доказательство. Обозначим для краткости A = ess sup u. ω

Докажем, что для произвольной точки x ∈ ω найдется ε > 0 такое, что Qxε ⊂ ω, и при этом для любого ρ ∈ (0, ε) след функции u на сфере Sρx совпадает с константой A. Последнее, очевидно, может быть лишь в случае, если u(y) = A почти для всех y ∈ Qxε . Из сказанного непосредственно получим, что множество ω может быть представлено в виде объединения счетного числа измеримых множеств, на каждом из которых функция u почти всюду равна A. Действительно, для любого компакта, принадлежащего ω, существует конечное покрытие, состоящее из открытых шаров, на каждом из которых функция u почти всюду совпадает с A. При этом само множество ω может быть представлено в виде объединения счетного числа таких компактов. Таким образом, справедливость леммы 1.2.2 будет установлена. Итак, пусть x ∈ ω. Построим множество ω ˜ следующим образом. Допустим сначала, что mes (E ∩ Qxε ) > 0 и

ess sup u = A E∩Qx ε

(1.2.3)

для любого ε > 0. Возьмем ε > 0 такое, что Qxε ⊂ ω, и пусть ρ ∈ (0, ε). Положим ω ˜ = Qxρ . Если же найдется ε > 0, для которого Qxε ⊂ ω, и при этом хотя бы одно из соотношений (1.2.3) не имеет места, то положим ω ˜ = ω \ Qxρ , где, по-прежнему, ρ ∈ (0, ε). ˜⊂ω В любом случае, разумеется, существует измеримое множество E ˜ такое, что

˜ > 0, ˜ ∂ω mes E dist E, ˜ > 0, и при этом ess sup u = A. ˜ E

Рассмотрим решение u ˜ задачи Дирихле L˜ u=0 в ω ˜,

u ˜ ∂ ω˜ = u.

(1.2.4) (1.2.5)

Хорошо известно [32], что функция u ˜ непрерывна в ω ˜ , причем, в силу принципа максимума [38], имеем u(x) u ˜(x) A для почти всех x ∈ ω ˜ . В частности, sup u ˜ = A. ˜ E

Обозначим ω ˆ = {y ∈ ω ˜:u ˜(y) = A}. Множество ω ˆ непусто. Покажем, что оно является одновременно открытым и замкнутым в топологии, индуцированной на ω ˜ из Rn . Замкнутость его очевидна в силу непрерывности u ˜. Пусть u ˜(y) = A для некоторого y ∈ ω ˜. ˜ . Положим Найдется вещественное число r > 0 такое, что Qy2r ⊂ ω v =A−u ˜. Функция v неотрицательна в шаре

Qy2r ,

причем, согласно (1.2.4), Lv = 0 в

Qy2r .

Тем самым, для v справедливо неравенство Харнака [99] sup v C infy v, Qyr

Qr

12

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

где C > 0 — некоторая постоянная, откуда, в силу того, что infy v = 0, Qr

Qyr

⊂ω ˆ . Таким образом, множество ω ˆ открыто, поэтому ω ˆ=ω ˜. немедленно получим, что Другими словами, u ˜ ≡ A в ω ˜ . Наконец, согласно условию (1.2.5), след функции u на сфере ˜ также тождественно равен A. Sρx ⊂ ∂ ω Лемма 1.2.3. Предположим, что ω = ∅ — открытое ограниченное подмножество Rn , c ∈ L(ω), и пусть функция u ∈ W21 (ω) является решением неравенства Lu c(x) в

(1.2.6)

ω.

Тогда где u+ (x) = u(x)χω+ (x), ω+ множества ω+ .

Lu+ c(x)χω+ (x) в ω, = {x ∈ ω : u(x) > 0}, а χω+ — характеристическая функция

Доказательство. Пусть ϕ ∈ C0∞ (ω) — произвольная неотрицательная функция, которую везде ниже будем считать фиксированной. Покажем, что n ∂u+ ∂ϕ aij (x) dx c(x)χω+ (x)ϕ dx. (1.2.7) − ∂xj ∂xi ω i,j=1

ω

C ∞ (ω)

и aij ∈ C ∞ (ω), где aij — коэффициенты операШаг 1. Рассмотрим вначале случай u ∈ тора L. Умножая (1.2.6) на ϕ и интегрируя по ω+ , получим n ∂ ∂ aij (x) ϕ dx c(x)ϕ dx, ∂xi ∂xj ω+ i,j=1

ω+

откуда, интегрируя по частям, находим n ∂u ∂ϕ ∂u ϕ dS c(x)ϕ dx, − aij (x) dx + ∂xj ∂xi ∂ν ω+

i,j=1

∂ω+

(1.2.8)

ω+

где ν — внешняя по отношению к ω+ конормаль в точке x ∈ ∂ω+ , определяемая матрицей aij (x), а dS — элемент (n − 1)-мерного объема поверхности ∂ω+ . В силу неотрицательности функции ϕ, имеем ∂u ϕ dS 0, ∂ν ∂ω+

поэтому (1.2.7) немедленно следует из (1.2.8). Без ограничения общности считаем, что ∂ω+ — бесконечно гладкая гиперповерхность в некоторой окрестности supp ϕ. Если это не так, то, используя теорему Сарда, заменим во всех предыдущих рассуждениях функцию u на u − ε, после чего перейдем к пределу при ε → +0. Шаг 2. Рассмотрим теперь самый общий случай. Возьмем неотрицательную функцию w ∈ C0∞ (Q1 ) такую, что w(x) dx = 1. Q1

Положим wk (x) = k n w(kx), ak,ij (x) = aij (y)wk (x − y) dy, ω

n ∂ ∂ ak,ij (x) Lk = ∂xi ∂xj i,j=1

(1.2.9)

1.2. РЕДУКЦИЯ

и ρk (x) =

n

ТЕОРЕМЫ

aij (y)

ω i,j=1

1.1.2

13

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

∂u(y) ∂wk (x − y) dy, ∂yj ∂yi

k = 1, 2, . . . .

(1.2.10)

Операторы Lk являются эллиптическими с теми же постоянными эллиптичности C1 и C2 , что и исходный оператор L. Обозначим через uk , k = 1, 2, . . ., решения краевых задач Lk uk = −ρk (x)

в

(1.2.11)

ω,

◦

uk − u ∈ W 12 (ω).

(1.2.12)

Известно [2], что такие решения существуют, причем uk ∈ C ∞ (ω) для всех k = 1, 2, . . . . Покажем, что эти решения образуют ограниченную последовательность в пространстве W 12 (ω). В самом деле, полагая в (1.2.11) uk − u в качестве пробной функции, будем иметь n ∂uk ∂(uk − u) ak,ij (x) dx = ρk (x)(uk − u) dx. (1.2.13) ∂xj ∂xi ω i,j=1

ω

При этом, согласно (1.2.10), n ∂u(y) ∂wk (x − y) ρk (x)(uk − u) dx = (uk (x) − u(x)) dx aij (y) dy = ∂yj ∂yi ω

=

n ω i,j=1

ω

aij (y)

∂u(y) dy ∂yj

ω i,j=1

(uk (x) − u(x)) ω

∂wk (x − y) dx. ∂yi

Продолжая uk − u нулем за пределы множества ω, очевидно, получим функцию из пространства ◦

W 12 (Rn ). Таким образом, ∂wk (x − y) ∂uk (x) ∂u(x) χω (x) dx (uk (x) − u(x)) dx = wk (x − y) − ∂yi ∂xi ∂xi Rn

ω

для всех y ∈ Rn , i = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . ., где χω — характеристическая функция множества ω. Обозначим ∂wk (x − y) hik (y) = (uk (x) − u(x)) dx. ∂yi ω

Так как оператор усреднения по Стеклову—Шварцу с ядром wk не увеличивает норму в пространстве L2 (Rn ), то ∂uk ∂u + (1.2.14) hik L2 (Rn ) ∂xi L2 (ω) ∂xi L2 (ω) для всех i = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . .. Перепишем далее (1.2.13) в виде n n n ∂uk ∂uk ∂uk ∂u ∂u ak,ij (x) dx = ak,ij (x) dx + aij (x) hik dx, ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ω i,j=1

ω i,j=1

ω i,j=1

откуда, применяя неравенство Гёльдера, находим C1 ∇uk 2L2 (ω) C2 ∇uk L2 (ω) ∇uL2 (ω) + C2 ∇uL2 (ω) hk L2 (ω) , где hk = (h1k , . . . , hnk ), hk L2 (ω)

 1 2 n 2   = hik dx . ω

i=1

Тем самым, принимая во внимание (1.2.14), имеем ∇uk L2 (ω) A∇uL2 (ω) ,

14

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

где постоянная A > 0 зависит только от n, C1 , C2 , откуда, в свою очередь, согласно условию (1.2.12) и неравенству Фридрихса, вытекает ограниченность последовательности uk , k = 1, 2, . . ., в норме пространства W 12 (ω). Таким образом, из последовательности {uk }∞ k=1 можно выделить подпоследовательность 1 (ω) к некоторой функции u {uks }∞ , сходящуюся сильно в L (ω) и слабо в W ˜ ∈ W 12 (ω). При 2 s=1 2 ◦

этом, в силу (1.2.12), имеем u ˜ − u ∈ W 12 (ω). Чтобы не усложнять индексы, будем использовать для подпоследовательности {uks }∞ s=1 то же . обозначение, что и для исходной последовательности {uk }∞ k=1 Покажем, что u ˜ = u. Согласно (1.2.11), находим n ∂uk ∂ψ ak,ij (x) dx = ρk (x)ψ dx ∂xj ∂xi ω i,j=1

для всех ψ ∈

C0∞ (ω), n ω i,j=1

ω

k = 1, 2, . . .. Последнее влечет за собой интегральное тождество n ∂(uk − u) ∂ψ ∂uk ∂ψ aij (x) dx = (aij (x) − ak,ij (x)) dx+ ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ω i,j=1

ρk (x)ψ dx −

+

n

aij (x)

ω i,j=1

ω

∂u ∂ψ dx, ∂xj ∂xi

которое, в силу (1.2.10), может быть переписано для всех достаточно больших k следующим образом: n n ∂(uk − u) ∂ψ ∂uk ∂ψ aij (x) dx = (aij (x) − ak,ij (x)) dx+ ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ω i,j=1

+

n

ω i,j=1

aij (x)

ω i,j=1

где

∂u ∂(ψk − ψ) dx, ∂xj ∂xi

(1.2.15)

wk (y − x)ψ(y) dy.

ψk (x) = ω

Оценим первое слагаемое в правой части (1.2.15), используя неравенство Коши—Буняковского,

n

∂uk ∂ψ

(aij (x) − ak,ij (x)) dx

∂xj ∂xi

i,j=1 ω 1/2 

n

2 1/2  n

2 n

∂ψ

∂uk dx . 

(aij (x) − ak,ij (x))

dx 

∂xi

∂xi

ω j=1 i=1

Аналогично,

ω j=1

n

∂u ∂(ψk − ψ)

aij (x) dx

∂xj ∂xi

i,j=1

ω

1/2  1/2 

2 n n

∂(ψk − ψ) 2

n

∂u

dx .

dx  aij (x) 

∂x ∂x j i

i=1 j=1 i=1 ω

Последовательность

ω

{uk }∞ k=1

ограничена в норме пространства W 12 (ω), в то время как ψk − ψC 1 (ω) → 0 при

k → ∞,

и ak,ij − aij L2 (supp ψ) → 0 при

k→∞

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

15

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

для всех i, j = 1, . . . , n, поэтому, устремляя в (1.2.15) k к бесконечности, получим n ∂(˜ u − u) ∂ψ aij (x) dx = 0 ∂xj ∂xi

(1.2.16)

ω i,j=1

для любого ψ ∈ C0∞ (ω).

◦

◦

Так как C0∞ (ω) плотно в W 12 (ω), то тождество (1.2.16) справедливо также для любого ψ ∈ W 12 (ω), поэтому, полагая в (1.2.16) ψ = u ˜ − u, имеем n ∂(˜ u − u) ∂(˜ u − u) aij (x) dx = 0; ∂xj ∂xi ω i,j=1

отсюда непосредственно следует, что u ˜ = u. Пусть ε > 0 — некоторое вещественное число. Положим ω ε = {x ∈ ω : u(x) > ε}, ωkε = {x ∈ ω : uk (x) > ε}, u(x) − ε, u(x) > ε, ε u (x) = 0 и

uεk (x)

=

uk (x) − ε, 0,

◦

uk (x) > ε,

◦

где k = 1, 2, . . .. Очевидно, uε ∈ W 12 (ω), uεk ∈ W 12 (ω), и при этом ∂uε ∂u = χωε (x) ∂xi ∂xi и

∂uεk ∂uk = χωε (x), ∂xi ∂xi k где χωε и χωkε — характеристические функции множеств ω ε и ωkε соответственно. В силу тривиального неравенства |uεk (x) − uε (x)| |uk (x) − u(x)|,

x ∈ ω,

получим uεk − uε L2 (ω) → 0 при k → ∞. Используя определение производных от обобщенных функций, не составляет труда также показать, что ∂uεk ∂uε ψ dx → ψ dx при k → ∞ (1.2.17) ∂xi ∂xi ω ∞ C0 (ω).

ω

для любой функции ψ ∈ Так как C0∞ (ω) плотно в L2 (ω), а последовательность {uεk }∞ k=1 ограничена в норме пространства W 12 (ω), то предельное соотношение (1.2.17) справедливо и для любой функции ψ ∈ L2 (ω). Поскольку uk − ε ∈ C ∞ (ω), то, как было установлено на предыдущем шаге, n ∂uε ∂ϕ ak,ij (x) k dx − ρk (x)χωkε (x)ϕ dx (1.2.18) − ∂xj ∂xi ω i,j=1

ω

для всех k = 1, 2, . . .. Согласно (1.2.6) и (1.2.10), −ρk (x) ck (x) для всех достаточно больших k и всех x ∈ supp ϕ, где ck (x) = c(y)wk (x − y) dy. ω

(1.2.19)

16

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Таким образом, (1.2.18) влечет за собой неравенство n ∂uεk ∂ϕ ak,ij (x) dx ck (x)χωkε (x)ϕ dx − ∂xj ∂xi ω i,j=1

(1.2.20)

ω

для всех достаточно больших k. Имеем ε ck (x)χωk (x)ϕ dx = (ck (x) − c(x))χωkε (x)ϕ dx+ ω

ω

c(x)(χ (x) − χω+ (x))ϕ dx +

+

c(x)χω+ (x)ϕ dx,

ωkε

ω

k = 1, 2, . . . .

(1.2.21)

ω

Для первого слагаемого в правой части (1.2.21) получим

(ck (x) − c(x))χωε (x)ϕ dx ϕC(ω) ck − cL(supp ϕ) → 0

k

при k → ∞.

ω

В то же время для второго слагаемого справедлива следующая оценка:

c(x)(χωε (x) − χω+ (x))ϕ dx |c(x)ϕ| dx + |c(x)ϕ| dx +

k ω

ωkε \ω+

Последовательность

{uk }∞ k=1

ω 2ε \ωkε

|c(x)ϕ| dx.

ω+

\ω 2ε

сходится к функции u в L2 (ω), а значит и по мере, в частности, mes(ωkε \ ω+ ) → 0 при

k→∞

и

mes(ω 2ε \ ωkε ) → 0 при k → ∞; отсюда непосредственно следует, что |c(x)ϕ| dx → 0 при k → ∞ ωkε \ω+

и

|c(x)ϕ| dx → 0 при k → ∞. ω 2ε \ωkε

Заметим также, что n ω i,j=1

В самом деле,

∂uε ∂ϕ ak,ij (x) k dx → ∂xj ∂xi

n ω i,j=1

+

n ω i,j=1

∂uε ∂ϕ ak,ij (x) k dx = ∂xj ∂xi

n ω i,j=1

aij (x)

n

∂uε ∂ϕ dx ∂xj ∂xi

при

(ak,ij (x) − aij (x))

ω i,j=1

∂(uεk − uε ) ∂ϕ aij (x) dx + ∂xj ∂xi

n ω i,j=1

aij (x)

k → ∞.

∂uεk ∂ϕ dx+ ∂xj ∂xi

∂uε ∂ϕ dx. ∂xj ∂xi

(1.2.22)

При этом первый интеграл в правой части (1.2.22) стремится к нулю при k → ∞ благодаря оценке

n ε

∂uk ∂ϕ

(ak,ij (x) − aij (x)) dx

∂xj ∂xi

i,j=1 ω 1/2 

2 1/2  n

2 n n

ε

∂ϕ

∂uk dx , 

(ak,ij (x) − aij (x))

dx 

∂xj

∂xi

ω j=1 i=1

ω j=1

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

а второй — благодаря соотношению (1.2.17). Таким образом, устремляя в (1.2.20) k к бесконечности, находим n ∂uε ∂ϕ − aij (x) dx c(x)χω+ (x)ϕ dx − ∂xj ∂xi ω i,j=1

(1.2.23)

ω+ \ω 2ε

ω

Далее имеем

|c(x)ϕ| dx.

17

|c(x)ϕ| dx → 0 ω+

при ε → +0,

\ω 2ε

в силу того, что

mes(ω+ \ ω 2ε ) → 0 при ε → +0. Поэтому, переходя в (1.2.23) к пределу при ε → +0, согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости, получим неравенство (1.2.7). Лемма 1.2.3 полностью доказана.

Замечание 1.2.1. В предположениях леммы 1.2.3 u+ , очевидно, будет также удовлетворять неравенству Lu+ c(x)χω0 (x) в ω, где χω0 — характеристическая функция множества ω0 = {x ∈ ω : u(x) 0}. В этом легко убедиться, применив лемму 1.2.3 к функции u + εv, где Lv = −1 в ω,

v = 0,

(1.2.24) (1.2.25)

∂ω

и перейдя затем к пределу при ε → +0. Лемма 1.2.4. Пусть 0 < R0 < R — некоторые вещественные числа, c ∈ L(QR \ QR0 ), и пусть u ∈ W 12 (Ω ∩ QR \ QR0 ) — неотрицательное решение неравенства Lu c(x) в

Ω ∩ QR \ QR0 ,

(1.2.26)

удовлетворяющее условию (18). Доопределим u нулем на все множество QR \ QR0 . Тогда полученная функция, которую мы также будем обозначать через u, является решением неравенства Lu c(x)χΩ (x) в QR \ QR0 , где χΩ — характеристическая функция множества Ω. Доказательство. Обозначим для краткости ω = Ω∩QR \QR0 . Без ограничения общности считаем, что u(x) > 0 почти всюду в ω. Если это не так, то заменим u на u + εv, где v — решение задачи (1.2.24), (1.2.25), и перейдем затем к пределу при ε → +0. Предположим, что ϕ ∈ C0∞ (QR \ QR0 ), и при этом ϕ(x) 0 для всех x ∈ QR \ QR0 . Покажем, что n ∂u ∂ϕ aij (x) dx c(x)ϕ dx. (1.2.27) − ∂xj ∂xi ω i,j=1

ω

Возьмем вещественные числа R0 < r0 < r < R так, чтобы supp ϕ ⊂ Qr \ Qr0 . В силу условия (18), существует последовательность vk ∈ C0∞ (ω), k = 1, 2, . . ., такая, что u − vk W 1 (ω∩Qr \Q 2

r0 )

→ 0 при k → ∞.

(1.2.28)

Найдутся также последовательности открытых множеств {ωk }∞ k=1 с бесконечно гладкими грани, удовлетворяющие следующим свойствам: цами и натуральных чисел {sk }∞ k=1 ∞

ωk = ω,

supp vk ⊂ ωk ,

ω k ⊂ ωk+1 ,

k=1

и

1 < dist (∂ω, ωk ) , sk

k = 1, 2, . . . .

(1.2.29)

18

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим решения краевых задач Lk uk = −ρsk (x) в ◦

ωk ∩ Qr \ Qr0 ,

uk − vk ∈ W 12 (ωk ∩ Qr \ Qr0 ), где операторы Lk и бесконечно гладкие функции ρsk ,k = 1, 2, . . ., определены формулами (1.2.9) и (1.2.10), в которых интегрирование теперь следует производить по шаровому слою QR \ QR0 , а не по ω. Очевидно, uk ∈ C ∞ (ω k ∩ Qr \ Qr0 ), и при этом

uk (Qr ∩∂ω )\Q = 0 k

r0

для всех k = 1, 2, . . . . Продолжим uk нулем на все множество ω ∩ Qr \ Qr0 . Повторяя дословно рассуждения, приведенные в доказательстве леммы 1.2.3, получим, что 1 {uk }∞ k=1 — ограниченная последовательность в пространстве Соболева W 2 (ω∩Qr \Qr0 ). Тем самым, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся сильно в L2 (ω ∩ Qr \ Qr0 ), слабо в ˜ ∈ W 12 (ω∩Qr \Qr0 ). W 12 (ω∩Qr \Qr0 ) и почти всюду на множестве ω∩Qr \Qr0 к некоторой функции u ◦

Причем, согласно (1.2.28), получим u ˜ − u ∈ W 12 (ω ∩ Qr \ Qr0 ). Обозначим эту подпоследовательность так же, как исходную, через {uk }∞ k=1 . Предельным переходом, подробно обоснованным выше, несложно установить справедливость ◦

соотношения (1.2.16) для любого ψ ∈ C0∞ (ω∩Qr \Qr0 ), а значит, и для любого ψ ∈ W 12 (ω∩Qr \Qr0 ). Таким образом, полагая в (1.2.16) ψ = u ˜ − u, получим u ˜ = u. Простым интегрированием по частям, как это делалось в доказательстве леммы 1.2.3 (см. шаг 1), находим n ∂uk ∂ϕ ak,ij (x) dx − ρsk (x)ϕ dx (1.2.30) − ∂xj ∂xi ωk+ ∩Qr \Qr0

i,j=1

ωk+ ∩Qr \Qr0

для всех k = 1, 2, . . ., где ωk+ = {x ∈ ωk : uk (x) > 0}. Согласно (1.2.26) и (1.2.29), −ρsk (x) csk (x) для всех x ∈ ωk , k = 1, 2, . . ., где функции ck определены формулой (1.2.19) с той лишь разницей, что интегрирование в ней теперь следует производить по шаровому слою QR \ QR0 , а не по ω. Тем самым, (1.2.30) влечет за собой неравенство n ∂uk ∂ϕ ak,ij (x) dx csk (x)ϕ dx (1.2.31) − ∂xj ∂xi ωk+ ∩Qr \Qr0

i,j=1

для всех k = 1, 2, . . . . Полагая

ωk+ ∩Qr \Qr0

uk+ (x) =

uk (x), 0,

uk (x) > 0,

k = 1, 2, . . . ,

получаем в пространстве W 12 (ω ∩ Qr \ Qr0 ) ограниченную последовательность. Не теряя общности, 1 можно считать, что {uk+ }∞ k=1 сходится к функции u сильно в L2 (ω ∩ Qr \ Qr0 ), слабо в W 2 (ω ∩ Qr \ Qr0 ) и почти всюду на множестве ω ∩ Qr \ Qr0 . Если это не так, то рассмотрим вместо {uk+ }∞ k=1 подпоследовательность с требуемыми свойствами. Из сказанного следует, что n n ∂uk ∂ϕ ∂uk+ ∂ϕ ak,ij (x) dx = ak,ij (x) dx → ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ωk+ ∩Qr \Qr0

i,j=1

→

n ω i,j=1

ω i,j=1

aij (x)

∂u ∂ϕ dx ∂xj ∂xi

при k → ∞.

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

19

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

Так как u(x) > 0 почти для всех x ∈ ω, а {uk }∞ k=1 сходится к функции u сильно в L2 (ω∩Qr \Qr0 ), а значит, и по мере, то (1.2.32) lim mes(ω ∩ Qr \ (Qr0 ∪ ωk+ )) = 0. k→∞

Покажем, что

csk (x)ϕ dx →

csk (x)ϕ dx −

k → ∞.

ω

ωk+ ∩Qr \Qr0

В самом деле, имеем

при

c(x)ϕ dx

c(x)ϕ dx = ω

ωk+ ∩Qr \Qr0

(csk (x) − c(x))ϕ dx −

= ωk+ ∩Qr \Qr0

c(x)ϕ dx.

(1.2.33)

ω∩Qr \(Qr0 ∪ωk+ )

Прервый интеграл в правой части (1.2.33) стремится к нулю при k → ∞ согласно оценке |csk (x) − c(x)|ϕ dx ϕC(ω) csk (x) − c(x)L(supp ϕ) , ωk+ ∩Qr \Qr0

второй — благодаря соотношению (1.2.32). Таким образом, переходя в (1.2.31) к пределу при k → ∞, непосредственно получим неравенство (1.2.27), которое завершает доказательство леммы. Аналогично доказывается следующее утверждение. Лемма 1.2.5. Пусть 0 < R — некоторое вещественное число, c ∈ L(QR ), и пусть u ∈ W 12 (Ω ∩ QR ) — неотрицательное решение неравенства Lu c(x) в

Ω ∩ QR ,

удовлетворяющее условию (19). Доопределим u нулем на все множество QR . Тогда полученная функция, обозначаемая также через u, является решением неравенства Lu c(x)χΩ (x)

в QR ,

где χΩ — характеристическая функция множества Ω. Доказательство леммы 1.2.1. Итак, предположим, что для некоторого ρ ∈ (r0 , r) имеет место (1.2.2), и пусть r0 < ρ1 < ρ < ρ2 < r. Продолжим u на Qr \ Qr0 , полагая u(x) = 0, если x ∈ ω. Полученная функция, которую также обзначим через u, является решением неравенства (1.2.1) теперь уже во всем множестве Qr \ Qr0 . При этом значения величин M (r0 ; u), M (r; u) и M (ρ; u), разумеется, остаются прежними. Обозначим B = ess sup u. Qρ2 \Qρ1

Очевидно,

M (ρ; u) B.

В самом деле, пусть ψs ∈ C ∞ Qρ2 \ Qρ1 , s = 1, 2, . . ., причем lim u − ψs W 1 (Qρ \Q ) = 0. ρ1 2 2

Определим функции ψ˜s ∈ W 12 Qρ2 \ Qρ1 ∩ C Qρ2 \ Qρ1 , s = 1, 2, . . ., полагая ψs (x) B, ψs (x), ψ˜s (x) = B. s→∞

(1.2.34)

20

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1 Последовательность {ψ˜s }∞ s=1 ограничена в норме соболевского пространства W 2 Qρ2 \ Qρ1 . Тем самым, согласно теореме Банаха—Сакса, для некоторой ее подпоследовательности {ψ˜sk }∞ k=1 имеем lim u − ψˆk W 1 (Qρ

k→∞

2

2 \Qρ1 )

= 0,

где

1 ˜ ψs1 + · · · + ψ˜sk . ψˆk = k А значит, по теореме вложения Соболева [39, с. 58] lim u − ψˆk L2 (Sρ ) = 0.

k→∞

Вместе с тем M (ρ, ψˆk ) B для всех k = 1, 2, . . .. Отсюда непосредственно следует (1.2.34). Наконец, применяя лемму 1.2.2, завершаем доказательство. Заметим, что теорему 1.1.2 достаточно доказать в предположении, что в (16) имеет место строгое неравенство. Действительно, пусть {r ∈ (R0 , R) : ∃ρ ∈ (r, R) M (r; u) = M (ρ; u)} = ∅ и R∗ = sup{r ∈ (R0 , R) : ∃ρ ∈ (r, R) M (r; u) = M (ρ; u)}. Тогда, учитывая (16) и (17), из леммы 1.2.1 получим, что u(x) = A для некоторой постоянной A > 0 почти при всех x ∈ Ω ∩ QR∗ \ QR0 . Отсюда, в силу неотрицательности правой части (7), имеем F (x, A) = 0 почти при всех x ∈ Ω ∩ QR∗ \ QR0 , а так как в теореме 1.1.2 всегда можно считать, что β 1, то из (1.1.2) и (1.1.3) получим f (r, βA) = 0 при r ∈ (R0 , R∗ ). Далее, в силу того, что A > 0, Λ(r) = 0

∀r ∈ (R0 , R∗ ).

(1.2.35)

В самом деле, если R0 < r < max{θR0 /(1 − δ), R0 /σ4 }, то это утверждение очевидно. Пусть max{θR0 /(1 − δ), R0 /σ4 } r < R∗ , тогда найдется x ∈ Ω ∩ Qr \ Q r такой, что Qxδ|x| ⊂ Qr \QR0 . Но из (18) следует, что A ∈ п. 9.2, с. 331], cap(D ∩

Qxδ|x| , Qr

◦

W 12 ((Qr \QR0 )\(D∩Qxδ|x| )).

θ

Таким образом, согласно [39, гл. 9,

\ QR0 ) = 0. Тем самым, доказали, что µ(x; δ, ν) = 0. Совершенно

аналогично из (18) вытекает, что cap(D ∩ Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4 ) = 0, поэтому для получения (1.2.35) остается только воспользоваться соотношением (1.1.1). Предположим, что r ∈ (R0 , R∗ ), тогда (1.1.8), очевидно, справедливо, поскольку обе части (1.1.8) в этом случае тождественно равны нулю. Пусть R0 < R∗ < R, тогда M (r; u) < M (ρ; u) для любых R∗ r < ρ < R, и при этом (1.1.8), разумеется, будет выполнено для всех r ∈ (R0 , R), если для всех r ∈ (R∗ , R) удастся доказать неравенство a r 1 ξ (αf (ξ, βM (ξ; u)) + γΛ(ξ)M (ξ; u)) dξ. ξ 1− M (r; u) − M (R∗ + 0; u) a r R∗

Последнее обстоятельство завершает наше рассуждение. 1) Допустим, что F : Ω × (0, ∞) → [0, ∞) удовлетворяет условию i), с. 6. Определим функцию F˜ : Ω × (0, ∞) → [0, ∞), полагая F˜ (x, t) = F (x, t − 0). Правая часть последнего равенства при этом определена почти при всех x ∈ Ω, так как F (x, t) монотонно не убывает по t почти при всех x ∈ Ω. Для каждого h > 0 построим функцию F˜h : Ω × (−∞, ∞) → [0, ∞), полагая в случае t 0 t  F˜ (x, +0), 0 t h, F˜h (x, t) = h ˜ F (x, t − h), h < t,

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

21

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

и продолжая F˜h для отрицательных t нечетным образом: F˜h (x, −t) = −F˜h (x, t). Наконец, обозначим через Fh функцию, полученную в результате усреднения F˜h по Стеклову по последнему аргументу: ∞ τ −t ˜ 1 ω Fh (x, t) = Fh (x, τ ) dτ, h h −∞

где ω ∈

C ∞ (R) — неотрицательная

четная функция такая, что supp ω ⊂ [−1, 1] и ∞ ω(τ ) dτ = 1. −∞

Для каждого фиксированного h > 0 почти при всех x ∈ Ω и при всех t > 0 выполняется Fh (x, t) F (x, t).

(1.2.36)

Пусть 0 R0 < r0 < r < R, и предположим, что u — неотрицательное решение (7) в Ω∩QR \QR0 , удовлетворяющее условиям (16), (17) и (18) (при этом без ограничения общности можно считать, что в (16) имеет место строгое неравенство). Рассмотрим решение задачи Дирихле Luh = Fh (x, uh ) при x ∈ Ω ∩ Qr \ Qr0 ,

uh ∂(Ω∩Qr \Q ) = u. r0

(1.2.37) (1.2.38)

Как известно (см. [31, гл. 5, теремы 2.1, 3.3]), uh существует и является решением вариационной задачи n ∂v ∂v aij (x) dx + Φh (x, v) dx → ∞, ∂xi ∂xj Ω∩Qr \Qr0

i,j=1

Ω∩Qr \Qr0

◦

v − u ∈ W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ), где

t Φh (x, t) =

Fh (x, τ ) dτ. 0

Почти при всех x ∈ Ω ∩ Qr \ Qr0

u(x) uh (x). (1.2.39) В самом деле, пусть ϕ(x) = u(x) − uh (x), если u(x) > uh (x), и ϕ(x) = 0, если u(x) uh (x). o

В силу (1.2.38), ϕ ∈ W12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ). Возьмем ϕ в качестве пробной функции, тогда вычитая из интегрального неравенства, соответствующего (7), интегральное тождество, соответствующее (1.2.37), получим n ∂(u − uh ) ∂ϕ aij (x) dx (F (x, u) − Fh (x, uh ))ϕ dx. − ∂xi ∂xj Ω∩Qr \Qr0

i,j=1

Ω∩Qr \Qr0

Из (1.2.36), а также из определения функции ϕ следует, что интеграл, стоящий в правой части полученного соотношения, есть неотрицательная величина, поэтому n ∂ϕ ∂ϕ aij (x) dx 0. ∂xi ∂xj Ω∩Qr \Qr0

i,j=1

Отсюда, учитывая (2), получаем ϕ ≡ 0, что доказывает (1.2.39). Тогда uh — неотрицательная функция такая, что 0 < M (ρ; u) M (ρ; uh )

(1.2.40)

22

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

для любого ρ ∈ [r0 , r). Действительно, если ρ = r0 , то, в силу (1.2.38), M (r0 ; u) = M (r0 ; uh ). Пусть ρ ∈ (r0 , r), тогда из (16), согласно лемме 1.2.1, M (ρ; u) = ess

(1.2.41)

u.

sup Ω∩Qρ \Qr0

В то же время из предыдущих рассуждений следует, что ess

sup Ω∩Qρ \Qr0

uh ess

sup

u.

Ω∩Qρ \Qr0

Таким образом, в силу строгого неравенства M (ρ; u) > M (r0 ; u), находим ess

sup Ω∩Qρ \Qr0

uh > M (r0 ; uh ).

Поэтому, снова применяя лемму 1.2.1, можно утверждать, что M (ρ; uh ) = ess

sup Ω∩Qρ \Qr0

(1.2.42)

uh .

Тем самым, в силу (1.2.39), завершаем доказательство (1.2.40). Заметим, что из (1.2.42) и леммы 1.2.1 следует также, что M (ρ1 ; uh ) < M (ρ2 ; uh ) при всех r0 < ρ1 < ρ2 < r. Пусть теперь σ > 1, f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция, для которой справедливы соотношения (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.4). Определим функцию fh : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞), полагая 0, 0 < t h, fh (r, t) = (1.2.43) f (r, t − h), h < t. Тогда fh (r, t) ess

inf

x∈Ω∩Qrσ \(Q r ∪QR0 )

Fh (x, t) при

R0 < r,

0 < t,

(1.2.44)

σ

fh (r, t1 ) fh (r, t2 ) при

R0 < r,

0 < t1 t 2 ,

(1.2.45)

и fh (r, t − 0) = fh (r, t) при R0 < r, 0 < t. Кроме этого, очевидно, fh является измеримой функцией, причем локально ограниченной в силу (1.2.44). Предположим, что для решения uh задачи Дирихле (1.2.37), (1.2.38) справедлива теорема 1.1.2. Иными словами, пусть a ρ

1 ξ ˜ αfh (ξ, βM (ξ; uh )) + γ Λ(ξ)M ξ 1− (ξ; uh ) dξ (1.2.46) M (ρ; uh ) − M (r0 + 0; uh ) a ρ r0

для любого ρ ∈ (r0 , r), где ˜ Λ(ξ) = χ[b,∞) (ξ)Λ(ξ),

(1.2.47)

b = max{θr0 /(1 − δ), r0 /σ4 }, χ[b,∞) — характеристическая функция интервала [b, ∞), δ, θ и σ4 — вещественные числа, а Λ — измеримая функция, удовлетворяющие условиям теоремы 1.1.1. Тогда справедливо неравенство a r

1 ξ ˜ αf (ξ, βM (ξ; u)) + γ Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. (1.2.48) ξ 1− M (r; u) − M (r0 + 0; u) a r r0

В самом деле, из (1.2.38) следует, что M (r; u) = M (r; uh ).

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

23

В то же время из (1.2.40) получаем M (r0 + 0; u) M (r0 + 0; uh ). Далее, из (1.2.42) и леммы 1.2.1 имеем M (r − 0; uh ) = M (r; uh ). Поэтому, устремляя в (1.2.46) ρ к r, с учетом (1.2.40) и (1.2.45) находим a r

1 ξ ˜ M (r; u) − M (r0 + 0; u) αfh (ξ, βM (ξ; u)) + γ Λ(ξ)M ξ 1− (ξ; u) dξ. a r

(1.2.49)

r0

Из (1.1.3), (1.1.4) и (1.2.43) непосредственно видно, что fh (r, t) f (r, t), и lim fh (r, t) = f (r, t)

h→+0

при всех R0 < r, 0 < t. Таким образом, для того чтобы доказать соотношение (1.2.48), надо в (1.2.49) перейти к пределу при h → +0 и воспользоваться теоремой Лебега об ограниченной сходимости. В свою очередь, в пределе при r0 → R0 + 0 из (1.2.48) получаем (1.1.8). 2) Из рассуждений предыдущего параграфа становится ясно, что теорему 1.1.2 достаточно доказать в случае, когда вместо неравенства (7) рассматривается уравнение (1.2.50)

Lu = F (x, u),

правая часть которого помимо свойства i) удовлетворяет также условию: почти при всех x ∈ Ω F (x, t) является бесконечно гладкой по t ∈ (−∞, ∞) функцией такой, что F (x, t) 0 при

t0

(1.2.51)

и F (x, −t) = −F (x, t).

(1.2.52)

В этом пункте будет показано, что в дополнение ко всему сказанному теорему 1.1.2 достаточно доказать в предположении, что граница Ω является бесконечно гладкой границей. Действительно, пусть 0 R0 < r0 < r < R, u — неотрицательное решение уравнения (1.2.50) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющее условиям (16), (17) и (18). Предположим также, что ψ˜k ∈ ◦ W 1 (Ω ∩ QR \ Q ), k = 1, 2, . . ., — последовательность функций такая, что dist(supp ψ˜k , ∂Ω) > 0, и 2

R0

lim u − ψ˜k W 1 (Ω∩Qr \Q

k→∞

2

r0 )

= 0.

◦

Определим функции ψk ∈ W 12 (Ω ∩ QR \ QR0 ), k = 1, 2, . . ., равенством 0, ψ˜k (x) 0, ψk (x) = 0 < ψ˜k (x). min{ψ˜k (x), u(x)}, Тогда ψk → u при k → ∞ почти всюду в Ω ∩ Qr \ Qr0 . В то же время последовательность {ψk }∞ k=1 ограничена в норме пространства W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ), поэтому некоторая ее подпоследовательность сходится слабо в W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ), а также сильно в L2 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ) к функции u. Для простоты будем обозначать эту подпоследовательность также через {ψk }∞ k=1 . При этом 0 ψk (x) u(x)

(1.2.53)

для всех x ∈ Ω ∩ Qr \ Qr0 и, кроме этого, dist(supp ψk , ∂Ω) > 0, k = 1, 2, . . . . Возьмем последовательность открытых множеств с бесконечно гладкими границами {Ωk }∞ k=1 такую, что dist(Ωk , ∂Ω) > 0, Ωk ⊂ Ωk+1 , supp ψk ⊂ Ωk , k = 1, 2, . . . ,

24

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

и

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

∞

Ωk = Ω.

k=1

Для каждого натурального k рассмотрим решение vk задачи Дирихле Lvk = F (x, vk ) при x ∈ Ωk ∩ Qr \ Qr0 ,

vk ∂(Ω ∩Qr \Q ) = ψk . k

(1.2.54) (1.2.55)

r0

В силу неравенства (1.2.53), из принципа максимума имеем vk (x) u(x)

(1.2.56)

почти при всех x ∈ Ωk ∩ Qr \ Qr0 . В то же время, в силу (1.2.51), (1.2.52) и неотрицательности ψk на множестве Ωk ∩ Qr \ Qr0 , из принципа максимума вытекает, что vk (x) 0 почти при всех x ∈ Ωk ∩ Qr \ Qr0 . Наконец, в силу условия supp ψk ⊂ Ωk , из (1.2.55) получим

(1.2.57) vk (Qr ∩∂Ω )\Q = 0. k

r0

Продолжим vk на множество Ω ∩ Qr \ Qr0 , полагая vk (x) = 0 при x ∈ Ωk . Как следует из [31, гл. 5, § 2, с. 362, теорема 2.1], решение задачи Дирихле (1.2.54), (1.2.55), которое можно отождествить с решением соответствующей вариационной задачи, ограничено в норме пространства W 12 (Ω∩Qr \Qr0 ) некоторой константой, не зависящей от k, так как аналогичное утверждение справедливо относительно функций ψk . Тогда из последовательности {vk }∞ k=1 можно выделить подпоследовательность, сходящуюся слабо в W 12 (Ω∩Qr \Qr0 ) и сильно в L2 (Ω∩Qr \Qr0 ) к некоторой функции v ∈ W21 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ). Чтобы не усложнять индексы, будем обозначать эту подпоследовательность также через {vk }∞ k=1 . Докажем, что v является решением краевой задачи Lv = F (x, v) при x ∈ Ω ∩ Qr \ Qr0 ,

v ∂(Ω∩Qr \Q ) = u.

(1.2.58) (1.2.59)

r0

Тогда, в силу единственности решения (1.2.58), (1.2.59), имеем v ≡ u. Пусть ϕ ∈ C0∞ (Ω ∩ Qr \ Qr0 ). Найдется натуральное число k0 такое, что supp ϕ ⊂ Ωk ∩ Qr \ Qr0 для всех k k0 . Тогда n ∂vk ∂ϕ aij (x) dx = F (x, vk )ϕ dx (1.2.60) − ∂xi ∂xj Ω∩Qr \Qr0

i,j=1

Ω∩Qr \Qr0

для всех k k0 . В пределе при k → ∞ (1.2.60) превращается в интегральное тождество n ∂v ∂ϕ aij (x) dx = F (x, v)ϕ dx. − ∂xi ∂xj Ω∩Qr \Qr0

i,j=1

(1.2.61)

Ω∩Qr \Qr0

Действительно, левая часть (1.2.60) при k → ∞ стремится к левой части (1.2.61) в силу того, что 1 {vk }∞ k=1 сходится к v слабо в W 2 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ), в то время как правая часть (1.2.60) стремится к правой части (1.2.61) согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости. Следовательно, функция v удовлетворяет уравнению (1.2.58). Покажем, что для v справедливо также краевое условие (1.2.59). В самом деле, в силу (1.2.55), ◦

vk − ψk ∈ W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ) ◦

для каждого натурального k, причем vk − ψk ограничены в норме пространства W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ) некоторой константой, не зависящей от k, но тогда существует подпоследовательность ◦

∞ 1 {vks − ψks }∞ s=1 последовательности {vk − ψk }k=1 , сходящаяся слабо в W 2 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ), а также

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

25

◦

сильно в L2 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ) к некоторой функции из W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ). В то же время {vks − ψks }∞ s=1 сходится в L2 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ) к v − u, следовательно, ◦

v − u ∈ W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ), и (1.2.59) доказано. Таким образом, v ≡ u, а значит, {vk }∞ k=1 сходится к функции u слабо в W 12 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ) и сильно в L2 (Ω ∩ Qr \ Qr0 ). В частности, {vk }∞ k=1 сходится к u почти всюду в Ω ∩ Qr \ Qr0 . Возьмем ρ0 ∈ (r0 , r). Из неравенства (1.2.56) в этом случае имеем sup Ωk ∩Qρ \Qρ0

vk →

sup

u=

Ω∩Qρ \Qρ0

sup

u

Ω∩Qρ \Qr0

при

k→∞

(1.2.62)

для любого ρ ∈ (ρ0 , r). Заметим, что решения краевых задач (1.2.54), (1.2.55), а также (1.2.58), (1.2.59) непрерывны по Гёльдеру в Ωk ∩ Qr \ Qr0 , соответственно в Ω ∩ Qr \ Qr0 , (см. [31, гл. 5, § 4, с. 374, теорема 4.1]), причем vk , k = 1, 2, . . ., в силу (1.2.57), будут непрерывны по Гёльдеру вплоть до части границы (∂Ωk ) ∩ Qr \ Qr0 множества Ωk ∩ Qr \ Qr0 . По этой причине в (1.2.62) будем писать sup вместо ess sup. Предположим, что r1 ∈ (ρ0 , r). По условию имеем M (r1 ; u) > M (ρ0 ; u). Таким образом, из (1.2.62) и (1.2.41) следует, что найдется натуральное число k1 такое, что sup

vk > M (ρ0 ; u)

Ωk ∩Qr1 \Qρ0

для любого k k1 . Одновременно с этим из (1.2.56) получаем M (ρ0 ; vk ) M (ρ0 ; u), поэтому sup Ωk ∩Qr1 \Qρ0

vk > M (ρ0 ; vk )

при всех k k1 . Из леммы 1.2.1 и последнего неравенства, в свою очередь, находим, что M (ρ; vk ) =

sup Ωk ∩Qρ \Qρ0

vk

(1.2.63)

для любых ρ ∈ [r1 , r), k k1 . Тем самым, имеем M (ρ1 ; vk ) M (ρ2 ; vk ) для любых r1 ρ1 ρ2 < r. ˜ определена с помощью (1.2.47), где b = max{θr1 /(1 − Пусть Dk = Rn \ Ωk , k = 1, 2, . . ., Λ δ), r1 /σ4 }. Из (1.1.1) и включения Dk ⊂ D следует, что ˜ ) µ2k (x; δ, ν) + τ −n cap(Dk ∩ Qτ σ2 \ Qτ σ3 , Qτ σ1 \ Qτ σ4 ) при τ > r1 , Λ(τ inf x∈Ωk ∩Qτ θ \Qτ /θ

где µk (x; δ, ν) =

sup ξ∈(0,δ|x|)

ξ 1−n cap(Dk ∩ Qxξ , Qxνξ ).

Предположим, что для всех k k1 , ρ ∈ (r1 , r) выполнено неравенство a ρ

1 ξ ˜ αf (ξ, βM (ξ; vk )) + γ Λ(ξ)M ξ 1− (ξ; vk ) dξ, M (ρ; vk ) − M (r1 ; vk ) a ρ

(1.2.64)

r1

где f , a, α, β, γ такие же, как в теореме 1.1.1. Из (1.2.41), (1.2.62) и (1.2.63) имеем lim M (ρ; vk ) = M (ρ; u)

k→∞

для любого ρ ∈ [r1 , r). При этом, в силу (1.2.56), для каждого натурального k выполняется неравенство M (ρ; vk ) M (ρ; u).

26

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Таким образом, учитывая (1.1.4), из (1.2.64) по теореме Лебега об ограниченной сходимости при k → ∞ находим a ρ

1 ξ ˜ M (ρ; u) − M (r1 ; u) αf (ξ, βM (ξ; u)) + γ Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. ξ 1− a ρ r1

Переходя в последнем неравенстве к пределу при ρ → r − 0, получим a r

1 ξ ˜ M (r; u) − M (r1 ; u) ξ 1− αf (ξ, βM (ξ; u)) + γ Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. a r

(1.2.65)

r1

Наконец, устремляя в (1.2.65) r1 → R0 + 0, завершаем доказательство (1.1.8). 3) Предположим, что 0 R0 < R < ∞, функция F такая же, как в предыдущем пункте, Ωk — одно из множеств с бесконечно гладкой границей, введенных на с. 23. На протяжении всего этого пункта будем считать k фиксированным, хотя и произвольным натуральным числом. Пусть u — неотрицательное решение уравнения (1.2.50) в Ωk ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющее условиям (16), (17), а также условию

(1.2.66) u (Q ∩∂Ω )\Q = 0. R

k

R0

Без ограничения общности считаем, что в (16) имеет место строгое неравенство (см. с. 20). Пусть ε = dist(Ωk , ∂Ω); тогда F (x, t) определена при всех x из ε-окрестности Ωεk множества Ωk . Возьмем натуральное число m0 > 1/ε. Для всех m m0 определим бесконечно дифференцируемые функции Fm : Ωk × (−∞, ∞) → [0, ∞), усредняя F по Стеклову по первому аргументу: (1.2.67) Fm (x, t) = ωm (y − x)F (y, t) dy, Ωεk

где ωm ∈ C0∞ (Rn ) — неотрицательная четная функция такая, что supp ωm ⊂ Q1/m и ωm (y) dy = 1.

(1.2.68)

Rn

Определим также функции

am ij

равенством am ij (x)

ωm (y − x)aij (y) dy.

= Rn

Рассмотрим решения zm , m m0 , краевых задач Lm zm = Fm (x, zm ) при

zm

x ∈ Ωk ∩ QR \ QR0 ,

∂(Ωk ∩QR \QR0 )

где Lm

= u,

(1.2.69) (1.2.70)

n ∂ ∂ m aij (x) . = ∂xj ∂xi i,j=1

Из (1.2.66) и (1.2.70) имеем

zm (∂Ω

k )∩QR \QR0

= 0.

Очевидно, zm — бесконечно гладкие в Ωk ∩ QR \ QR0 функции вплоть до части границы (∂Ωk ) ∩ QR \ QR0 этого множества. В силу неотрицательности функции u, из принципа максимума получаем, что zm также должны быть неотрицательными в Ωk ∩ QR \ QR0 . Для любых вещественных чисел r0 , r1 , удовлетворяющих неравенству R0 < r0 < r < R, найдется постоянная ζ > 0, не зависящая от m, такая, что решения краевых задач (1.2.69), (1.2.70)

1.2. РЕДУКЦИЯ

ТЕОРЕМЫ

1.1.2

27

К БЕСКОНЕЧНО ГЛАДКОМУ СЛУЧАЮ

ограничены в норме пространства Гёльдера C0,ζ (Ωk ∩ Qr \ Qr0 ) некоторой константой, не зависящей от m (см. [31, гл. 5, § 4, с. 374, теорема 4.1]). Кроме этого, последовательность {zm }∞ m=m0 ограничена в норме пространства W21 (Ωk ∩ QR \ QR0 ) (см. [31, гл. 5, § 2, с. 363]). Тогда из 1 {zm }∞ m=m0 можно выделить подпоследовательность, сходящуюся слабо в W 2 (Ωk ∩ QR \ QR0 ) и сильно в C(Ωk ∩ Qr \ Qr0 ). Более того, можно добиться, чтобы некоторая подпоследовательность последовательности {zm }∞ m=m0 для всякого компакта K ⊂ QR \ QR0 сходилась к функции z ∈ W 12 (Ωk ∩ QR \ QR0 ) ∩ C(Ωk ∩ QR \ QR0 ) слабо в W 12 (Ωk ∩ QR \ QR0 ) и сильно в C(Ωk ∩ K). Чтобы не усложнять индексы, будем обозначать эту подпоследовательность также через {zm }∞ m=m0 . Докажем, что z ≡ u. Для этого надо показать, что z является решением задачи Дирихле Lz = F (x, z) при x ∈ Ωk ∩ QR \ QR0 ,

z ∂(Ω ∩Q \Q ) = u. k

R

(1.2.72)

R0

Пусть ϕ ∈ C0∞ (Ωk ∩ QR \ QR0 ). Согласно (1.2.69), имеем ∂zm ∂ϕ m aij (x) dx = − ∂xi ∂xj Ωk ∩QR \QR0

(1.2.71)

Fm (x, zm )ϕ dx.

(1.2.73)

Ωk ∩QR \QR0

При m → ∞ (1.2.73)) превращается в интегральное тождество ∂z ∂ϕ − aij (x) dx = F (x, z)ϕ dx. ∂xi ∂xj Ωk ∩QR \QR0

(1.2.74)

Ωk ∩QR \QR0

Чтобы доказать последнее утверждение, вычтем из левой части (1.2.73) левую часть (1.2.74): ∂z ∂ϕ ∂zm ∂ϕ aij (x) dx − am dx = ij (x) ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj

Ωk ∩QR \QR0

= Ωk ∩QR \QR0

Ωk ∩QR \QR0

∂(z − zm ) ∂ϕ aij (x) dx + ∂xi ∂xj

(aij (x) − am ij (x))

Ωk ∩QR \QR0

∂zm ∂ϕ dx. ∂xi ∂xj

Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего тождества, стремится к нулю при m → ∞ в 1 силу слабой сходимости последовательности {zm }∞ m=m0 в W 2 (Ωk ∩ QR \ QR0 ) к z. Оценивая второе слагаемое по Коши—Буняковскому, получим

n

∂zm ∂ϕ m

(aij (x) − aij (x)) dx C∇zm L2 (Ωk ∩QR \Q ) aij − am ij L2 (Ωk ∩QR \QR ) ,

R0 0 ∂xi ∂xj

i,j=1

Ωk ∩QR \QR0 где постоянная C > 0 зависит только от ϕC 1 (Ωk ∩QR \Q

R0 )

. Правая часть полученного неравенства

1 стремится к нулю при m → ∞, так как {zm }∞ m=m0 — ограниченная в норме пространства W 2 (Ωk ∩ m QR \QR0 ) последовательность, а aij → aij в L2 (Ωk ∩QR \QR0 ). Таким образом, левая часть (1.2.73) стремится к левой части (1.2.74) при m → ∞. Возьмем компактное множество K ⊂ Ωk ∩ QR \ QR0 такое, что supp ϕ ⊂ K, dist(supp ϕ, Ωk \ K) > 0, и пусть натуральное число m1 удовлетворяет неравенствам m1 m0 и dist(supp ϕ, Ωk \ K) > 1/m1 . Вычитая из правой части (1.2.73) правую часть (1.2.74), согласно (1.2.67)) и (1.2.68), при всех m m1 имеем Fm (x, zm (x))ϕ(x) dx − F (x, z(x))ϕ(x) dx =

Ωk ∩QR \QR0

dy ωm (y − x)F (y, zm (x)) −

dx ϕ(x)

= K

K

Ωk ∩QR \QR0

dy ωm (y − x)F (x, z(x)).

dx ϕ(x) K

K

(1.2.75)

28

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В силу очевидного равенства dx ϕ(x) dy ωm (y − x)F (y, zm (x)) = dx dy ϕ(y)ωm (x − y)F (x, zm (y)), K

K

K

K

которое получается, если поменять порядок интегрирования и при этом обозначить x через y и наоборот, соотношение (1.2.75) может быть переписано следующим образом: Fm (x, zm (x))ϕ(x) dx − F (x, z(x))ϕ(x) dx = Ωk ∩QR \QR0

dy ωm (y − x)(ϕ(y)F (x, zm (y)) − ϕ(x)F (x, z(x))).

dx

= K

Ωk ∩QR \QR0

(1.2.76)

K

{zm }∞ m=m1

— ограниченная в норме пространства C(K) последовательность, точно так же и z Но ограничена в норме C(K), поэтому по свойству i), с. 6, найдется постоянная A > 0, не зависящая от m и x, такая, что для любого m m1 почти при всех x ∈ K выполняется неравенство F (x, z(x)) + sup F (x, zm (ξ)) A.

(1.2.77)

ξ∈K

Тогда, в силу (1.2.68),

dy ωm (y − x)(ϕ(y)F (x, zm (y)) − ϕ(x)F (x, z(x))) AϕC(K)

K

почти при всех x ∈ K. По условию почти при всех x ∈ K функция F (x, t) является бесконечно гладкой по аргументу t ∈ (−∞, ∞). Для любых x, y ∈ K при m m1 имеем ωm (y − x)|ϕ(y)F (x, zm (y)) − ϕ(x)F (x, z(x))| ωm (y − x)F (x, zm (y))|ϕ(y) − ϕ(x)| + ωm (y − x)|ϕ(x)(F (x, zm (y)) − F (x, z(x)))| ωm (y − x) sup F (x, zm (ξ)) sup |ϕ(ξ) − ϕ(x)| + ωm (y − x)|ϕ(x)| sup |F (x, zm (ξ)) − F (x, z(x))|. ξ∈Qx 1/m

ξ∈K

ξ∈Qx 1/m

Отсюда, учитывая (1.2.68) и (1.2.77), получаем оценку

dy ωm (y − x)(ϕ(y)F (x, zm (y)) − ϕ(x)F (x, z(x)))

K

A sup |ϕ(ξ) − ϕ(x)| + |ϕ(x)| sup |F (x, zm (ξ)) − F (x, z(x))|, ξ∈Qx 1/m

ξ∈Qx 1/m

правая часть которой почти при всех x ∈ K стремится к нулю при m → ∞. Таким образом, по теореме Лебега об ограниченной сходимости правая часть (1.2.76) стремится к нулю при m → ∞, а значит, z ≡ u, в силу единственности решения задачи Дирихле (1.2.71), (1.2.72). Предположим, что R0 < r0 < r1 < r < R. Тогда M (ξ; zm ) → M (ξ; u) при m → ∞ равномерно по ξ ∈ [r0 , r]. Так как M (r1 ; u) > M (r0 ; u), то найдется натуральное число m2 m1 такое, что M (r1 ; zm ) > M (r0 ; zm ) ∀m m2 . Из последнего неравенства и леммы 1.2.1 получим M (ρ; zm ) > M (r1 ; zm ) ∀ρ ∈ (r1 , R), поэтому sup zm M (ρ; zm ) = Ωk ∩Qρ \Qr1

при всех m m2 и ρ ∈ (r1 , R). В частности, для любого m m2 из r1 ρ1 < ρ2 < R следует M (ρ1 ; zm ) < M (ρ2 ; zm ). Пусть f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция, для которой имеют место (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.4), и пусть m2 в дополнение к вышесказанному удовлетворяет условиям 1/m2

1.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

29

√ r1 (1/ σ − 1/σ) и 1/m2 r1 − R0 . Тогда при всех m m2 , ρ > r1 и t > 0 выполняется неравенство f (ρ, t)

inf

x∈Ωk ∩Qρ√σ \(Qρ/√σ ∪Qr1 )

Fm (x, t).

Допустим, что 1 M (r; zm ) − M (r1 ; zm ) a

a r

ξ ˜ αf (ξ, βM (ξ; zm )) + γ Λ(ξ)M ξ 1− (ξ; zm ) dξ r

∀m m2 ,

r1

˜ определено соотношением (1.2.47), в котором где Λ θr1 r1 , . b = max 1 − δ σ4 Переходя к пределу при m → ∞, по теореме Лебега об ограниченной сходимости получаем (1.2.65), откуда, в свою очередь, при r1 → R0 + 0 получаем (1.1.8). 1.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

Как было показано выше, можно предположить, что Ω имеет бесконечно гладкую границу, функция F , стоящая в правой части (7), и коэфициенты aij оператора L являются бесконечно гладкими, а само решение неравенства (7) есть непрерывная в Ω ∩ QR \ QR0 и бесконечно гладкая в Ω ∩ QR \ QR0 вплоть до части границы (QR \ QR0 ) ∩ ∂Ω этого множества функция. Кроме этого, без ограничения общности можно считать, что 0 < R0 и в (16) имеет место строгое неравенство (см. с. 20). Пусть σ > 1 — константа из условия теоремы 1.1.1. Положим √ (1.3.1) τ = σ, 1 , (1.3.2) ε= 1 + τ 16τ 2 , (1.3.3) A = max 2τ, τ −1 ε и 1 (1.3.4) β = A−2 . 2 Нам потребуются следующие два известных результата. Лемма 1.3.1 (см. [32, 33]). Пусть u — неотрицательное решение уравнения Lu = 0 в области ω, расположенной в шаре Qxr 0 , имеющей предельные точки на границе шара и содержащей точку x0 . Допустим, что u обращается в нуль на той части границы области ω, которая расположена строго внутри шара Qxr 0 . Тогда существует константа σ0 , зависящая только от C1 , C2 , n, такая, что если mes ω < σ0 rn , то n ε0 r n−1 u(x0 ), sup u > exp 1 ω (mes ω) n−1 где ε0 > 0 — константа, зависящая только от C1 , C2 , n. Из принципа максимума следует, что эта лемма справедлива и для решения неравенства Lu 0. Лемма 1.3.2 (см. [5, 33]). Пусть ω — открытое множество, расположенное между сферами Srx10 и Srx20 , 0 < r1 < r2 ; скажем, что (n − 1)-мерная поверхность Σ, лежащая между Srx10 и Srx20 , разделяет сферы Srx10 и Srx20 в ω, если каждая непрерывная кривая, один конец которой принадлежит Srx10 , другой — Srx20 , а внутренние точки лежат в ω (коль скоро такая кривая существует), необходимо пересекает Σ. Пусть в ω определена симметричная матрица aij , aij ∈ C ∞ , и квадратичная форма n aij (x)ξi ξj удовлетворяет неравенству (2). Тогда существует константа b0 > 0, зависящая i,j=1

30

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

только от C1 , C2 , n, такая, что для любой функции v ∈ C 2 (ω) найдется кусочно-гладкая поверхность Σ, разделяющая Srx10 и Srx20 в ω, причем

osc v mes ω

∂v

, b0

ds ω ∂ν (r1 − r2 )2 Σ

∂ — производная по конормали, определяемой матрицей aij . где ∂ν Лемма 1.3.3. Пусть R0 r1 < r2 < R, функция u является неотрицательным решением неравенства (7) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17)), (18), и пусть M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u). Тогда существует постоянная b > 0, зависящая только от A, C1 , C2 , n, такая, что inf F (x, βM (r2 ; u)). (1.3.5) M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b(r1 − r2 )2 x∈Ω∩Qr2 \Qr1

Доказательство. Разумеется (см. § 1.2), функцию u можно считать классическим решением (7), (18). Пусть x0 ∈ S(r1 +r2 )/2 , u(x0 ) = M ((r1 + r2 )/2; u), и пусть сначала 3 r1 + r2 ;u . (1.3.6) M (r2 ; u) M 2 2 Положим r 1 + r2 ; u + M (r2 ; u), v(x) = u(x) − 2M 2 тогда, очевидно, r1 + r2 ;u (1.3.7) v(x0 ) = M (r2 ; u) − M 2 и r1 + r 2 sup ;u . (1.3.8) v = 2 M (r2 ; u) − M 2 Ω∩Qr2 \Qr1 Рассмотрим открытое множество ω = {x ∈ Ω : v(x) > 0}. В силу (1.3.7) и того, что в (16) соблюдается строгое неравенство, получим x0 ∈ ω. Найдется постоянная τ0 > 0, зависящая только от C1 , C2 , n, такая, что

(1.3.9) mes ω ∩ Qx(r02 −r1 )/4 τ0 (r2 − r1 )n . В противном случае, согласно лемме 1.3.1, выполнялось бы неравенство sup

x

ω∩Q(r0

v > 2v(x0 ),

2 −r1 )/4

что находится в противоречии с (1.3.7) и (1.3.8). Далее, следуя [11, 32], докажем справедливость неравенства x

ω∩Q(r0

osc

2 −r1 )/2

x

\Q(r0

2 −r1 )/4

v

b0 (r2 − r1 )2

16 mes ω ∩ Qx(r02 −r1 )/2 \ Qx(r02 −r1 )/4

×

F (x, u(x)) dx, (1.3.10) x

ω∩Q(r0

2 −r1 )/4

где b0 — постоянная из леммы 1.3.2. x0 x0 и S(r Действительно, по лемме 1.3.2 найдется гиперповерхность Σ, разделяющая S(r 2 −r1 )/4 2 −r1 )/2 в ω ∩ Qx(r02 −r1 )/2 \ Qx(r02 −r1 )/4 , причем

∂v

b0 (r2 − r1 )2

ds. v osc x (1.3.11) x0 0 ω∩Q(r −r )/2 \Q(r −r )/4 16 mes ω ∩ Qx(r02 −r1 )/2 \ Qx(r02 −r1 )/4 Σ ∂ν 2 1 2 1 Поверхность Σ разбивает ω ∩ Qx(r02 −r1 )/2 на два подмножества ω1 и ω2 , одно из которых (пусть это будет ω1 ) содержит ω ∩ Qx(r02 −r1 )/4 . В силу положительности функции v в ω1 , имеем

∂v

0, ∂ν (∂ω1 )\Σ

1.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

31

где ν — внешняя по отношению к ω1 конормаль, определяемая матрицей коэффициентов оператора L. Поэтому ∂v ∂v ds ds. ∂ν ∂ν Σ

∂ω1

Таким образом, из (1.3.11) получаем v

osc

x x ω∩Q(r0 −r )/2 \Q(r0 −r )/4 2 1 2 1

b0 (r2 − r1 )2

16 mes ω ∩

Qx(r02 −r1 )/2

Вместе с тем, используя формулу Грина, находим n ∂v ∂ ∂v ds = aij (x) dx ∂ν ∂xi ∂xj ω1

∂ω1

i,j=1

\

Qx(r02 −r1 )/4 ∂ω 1

∂v ds. ∂ν

F (x, u(x)) dx x

ω∩Q(r0

2 −r1 )/4

(последнее неравенство является следствием включения ω ∩ Qx(r02 −r1 )/4 ⊂ ω1 и неравенства Lv F (x, u), которое, в свою очередь, эквивалентно (7), так как функции u и v отличаются лишь на константу). Тем самым, показана справедливость (1.3.10). Далее из (1.3.4), (1.3.6) и (16), в силу условия M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u), при всех x ∈ ω ∩ Qx(r02 −r1 )/4 имеем 1 u(x) M 2 поэтому

r1 + r 2 ;u 2

βM (r2 ; u),

F (x, u(x)) dx mes ω ∩ Qx(r02 −r1 )/4

x ω∩Q(r0 −r )/4 2 1

Заметим также, что

inf

x∈Ω∩Qr2 \Qr1

F (x, βM (r2 ; u)).

mes ω ∩ Qx(r02 −r1 )/2 \ Qx(r02 −r1 )/4 2−n V1 (r2 − r1 )n ,

где V1 — объем единичного шара в Rn . Таким образом, из (1.3.9), (1.3.10) и двух последних соотношений следут оценка b0 τ0 v 2n−4 (r2 − r1 )2 inf F (x, βM (r2 ; u)), osc x x0 0 V x∈Ω∩Qr2 \Qr1 ω∩Q(r −r )/2 \Q(r −r )/4 1 2

1

(1.3.12)

2

(1.3.13)

1

из которой, учитывая (1.3.8) и очевидное неравенство sup Ω∩Qr2 \Qr1

v

x

получаем (1.3.5). Пусть теперь 3 M (r2 ; u) > M 2

2 −r1 )/2

Положим на этот раз 1 v(x) = u(x) − M 2 Тогда

x

\Q(r0

v,

r1 + r2 ;u . 2

(1.3.14)

2 −r1 )/4

r1 + r2 ;u . 2

r1 + r2 ;u > 0 2 r1 + r2 1 ;u . v = M (r2 ; u) − M sup 2 2 Ω∩Qr2 \Qr1 1 v(x0 ) = M 2

и

osc

ω∩Q(r0

(1.3.15)

(1.3.16)

(1.3.17) (1.3.18)

32

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Пусть ω то же, что и ранее, но только для новой функции v, т.е. ω = {x ∈ Ω : v(x) > 0}. В силу (1.3.17), x0 ∈ ω. Найдется константа τ0 > 0, зависящая только от A, C1 , C2 , n, такая, что имеет место (1.3.9), ибо в противном случае, согласно лемме 1.3.1, выполнялось бы неравенство sup

x ω∩Q(r0 −r )/4 2 1

v > 2A2 v(x0 ),

что противоречит (1.3.17), (1.3.18) и неравенству 2

2

M (r2 ; u) A M (r1 ; u) < A M

r1 + r2 ;u . 2

Повторяя дословно приведенные выше рассуждения, снова приходим к оценке (1.3.13), из которой, в силу (1.3.14) и (1.3.18), получаем r1 + r2 1 b0 τ0 ; u 2n−4 (r2 − r1 )2 inf F (x, βM (r2 ; u)). M (r2 ; u) − M 2 2 V1 x∈Ω∩Qr2 \Qr1 Наконец, осталось заметить, что, в силу (1.3.15), r1 + r2 r1 + r2 1 ;u M (r2 ; u) − M ;u , 2 M (r2 ; u) − M 2 2 2 и соотношение (1.3.5) доказано. Всюду ниже под f подразумеваем измеримую функцию f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞), для которой выполнены соотношения (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.4). Также будем считать, что b(τ − 1) b(τ − 1)2 b , , , (1.3.19) α0 = min Aτ A 4τ где b > 0 — константа из леммы 1.3.3. r2 Следствие 1.3.1. Пусть max R0 , < ξ∗ < min{r2 , σr1 }, R0 r1 < r2 < R, функция u σ является неотрицательным решением неравенства (7)) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17)), (18), и пусть M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b(r2 − r1 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)),

(1.3.20)

где постоянная b > 0 такая же, как в лемме 1.3.3. Доказательство немедленно получается из леммы 1.3.3. Лемма 1.3.4. Пусть R0 ρ < ρ0 < R, τ ρ ρ0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (7)) в Ω ∩ QR \ QR0 , для которого справедливы (18), (16), (17), и при этом M (ρ0 ; u) A2 M (ρ; u). Тогда ρ0 (1.3.21) M (ρ0 ; u) − M (ρ; u) Aα0 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ. ρ

Доказательство. Положим ρi = ρ0 /τ i , i = 1, 2, . . ., и пусть k — максимальное целое число такое, что ρk ρ (напоминаем, что в начале этого параграфа мы условились считать вещественное число R0 положительным, и следовательно, ρ > 0). В силу условия τ ρ ρ0 , имеем, очевидно, k 1. Для всякого целого числа 1 i k − 1 найдется ξ∗ ∈ (ρi , ρi−1 ) такое, что ρi−1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ (ρi−1 − ρi )ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). ρi

С другой стороны, так как ξ∗ ρi−1 =

τ (ρi−1 − ρi ), τ −1

то из (1.3.3), (1.3.19) и следствия 1.3.1 имеем M (ρi−1 ; u) − M (ρi ; u) b(ρi−1 − ρi )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) Aα0 (ρi−1 − ρi )ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)).

1.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

33

Тем самым, для всех натуральных чисел i таких, что 1 i k − 1, получим ρi−1

M (ρi−1 ; u) − M (ρi ; u) Aα0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.22)

ρi

Аналогично найдется ξ∗ ∈ (ρ, ρk−1 ) такое, что ρk−1

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ (ρk−1 − ρ)ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). ρ

В то же время, согласно (1.3.3), (1.3.19) и неравенству τ (ρk−1 − ρ), ξ∗ ρk−1 τ −1 из следствия 1.3.1 имеем M (ρk−1 ; u) − M (ρ; u) b(ρk−1 − ρ)2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) Aα0 (ρk−1 − ρ)ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)), поэтому ρk−1

M (ρk−1 ; u) − M (ρ; u) Aα0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.23)

ρ

Таким образом, суммируя (1.3.22) при всех натуральных i от единицы до k − 1 включительно, а также (1.3.23), получаем (1.3.21). Лемма 1.3.5. Пусть R0 ρ1 < ρ0 < R, τ ρ1 ρ0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (7) в Ω ∩ QR \ QR0 . Тогда, если справедливы соотношения (16), (17), (18), и при этом AM (ρ1 ; u) = M (ρ0 ; u) и ρ1 ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, M (ρ1 ; u) − M (R0 ; u) α0 ξ 1 − ρ1

(1.3.24)

R0

то τ −1 Aα0 M (ρ0 ; u) − M (ρ1 ; u) 4τ

ρ1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.25)

R0

Доказательство. Предположим сначала, что τ R0 ρ1 . Найдется ξ∗ ∈ (R0 , ρ1 ) такое, что ρ1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ (ρ1 − R0 )ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). R0

Учитывая (1.3.3) и (1.3.19), из следствия 1.3.1 находим M (τ ρ1 ; u) − M (ρ1 ; u) b(τ − 1)2 ρ21 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) Aα0 (ρ1 − R0 )ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). Тем самым,

ρ1 M (τ ρ1 ; u) − M (ρ1 ; u) Aα0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ, R0

что является даже более сильным неравенством, чем (1.3.25). Предположим теперь, что τ R0 < ρ1 , и при этом 1 2

ρ1

ρ1 /τ

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ R0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ. R0

(1.3.26)

34

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Из соотношения (1.3.24) получим τ −1 M (ρ1 ; u) − M (R0 ; u) α0 τ

ρ1 /τ

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ; R0

отсюда и из предыдущего неравенства имеем τ −1 M (ρ1 ; u) − M (R0 ; u) α0 2τ

ρ1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.27)

R0

Но M (ρ0 ; u) − M (ρ1 ; u) = (A − 1)M (ρ1 ; u)

A M (ρ1 ; u). 2

Таким образом, (1.3.25) непосредственно следует из (1.3.27). Наконец, пусть τ R0 < ρ1 , и при этом 1 2

ρ1

ρ1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ

R0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.28)

ρ1 /τ

Тогда, повторяя дословно рассуждения, которые ранее привели к (1.3.26), с той лишь разницей, что вместо R0 теперь всюду следует писать ρ1 /τ , получим ρ1 M (τ ρ1 ; u) − M (ρ1 ; u) Aα0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ,

ρ1 /τ

откуда в силу (1.3.28) следует оценка (1.3.25). Лемма 1.3.6. Пусть R0 < r1 < r0 < R, r0 τ r1 , функция u является неотрицательным решением (7) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18), и таким, что AM (r1 ; u) = M (r0 ; u). Пусть также для любого r ∈ (R0 , r1 ) имеет место (1.1.13), тогда M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 2α0

1 1 − r1 r0

r0

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.29)

R0

Доказательство. Поскольку мы считаем (см с. 20), что в (16) имеет место строгое неравенство, то найдется натуральное число m такое, что Am M (R0 ; u) M (r1 ; u) и Am−1 M (R0 ; u) < M (r1 ; u). Доказательство леммы будем вести индукцией по этому числу m. База индукции. Пусть m = 1, тогда A2 M (R0 ; u) M (r0 ; u). Предположим сначала, что τ R0 r0 . Найдется ξ∗ ∈ (R0 , r0 ) такое, что r0

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ (r0 − R0 )ξ∗2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)),

R0

откуда, в силу очевидного неравенства 1 1 ξ 2 τ (r0 − r1 ) τ (r0 − R0 ), − r1 r0 ∗ получим r0 1 1 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ τ (r0 − R0 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). r1 r0 R0

В то же время, согласно (1.3.19) и следствию 1.3.1, M (r0 ; u) − M (R0 ; u) b(r0 − R0 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) 4α0 τ (r0 − R0 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)).

1.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Тем самым,

M (r0 ; u) − M (R0 ; u) 4α0

СООТНОШЕНИЯ

1 1 − r1 r0

r0

(1.1.13)

35

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.30)

R0

Но так как M (r0 ; u) = AM (r1 ; u), A > 2, то 1 1 M (r0 ; u) − M (r1 ; u) > M (r0 ; u) > (M (r0 ; u) − M (R0 ; u)), 2 2 поэтому (1.3.29) непосредственно следует из (1.3.30). Пусть теперь τ R0 < r0 , тогда, применяя лемму 1.3.4, находим r0 r0 Aα0 1 1 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ; M (r0 ; u) − M (R0 ; u) Aα0 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ τ r1 r0 R0

R0

отсюда и из (1.3.3) вновь получаем (1.3.29). Шаг индукции. Предположим, что утверждение леммы справедливо для всех натуральных чисел m < m0 . Докажем, что оно будет также справедливо и для m = m0 . Построим конечную последовательность вещественных чисел {ri }m i=2 , исходя из равенства i A M (ri ; u) = M (r0 ; u). Очевидно, что такая последовательность существует и при этом будет удовлетворять соотношению R0 < rm < rm−1 < · · · < r1 . По определению числа m имеем AM (R0 ; u) M (rm ; u). Обозначим rm+1 = R0 . Допустим сначала, что r0 r0 1 2 ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ. (1.3.31) 2 r1

R0

Заметим, что все предыдущие рассуждения, которые привели к (1.3.30), справедливы и в случае R0 = r1 . Поэтому имеем r0 1 1 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ; M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 4α0 r1 r0 r1

отсюда, учитывая (1.3.31), получаем (1.3.29). Пусть теперь r0 r1 1 ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, 2 R0

R0

и пусть k ∈ {1, . . . , m} — максимальное число такое, что для любого натурального i, удовлетворяющего неравенству 1 i k, при τ ri ri−1 выполнены следующие соотношения: ri−1 ri 1 2 ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, (1.3.32) 2 R0

R0

и (1.3.33) ri−1 − ri εi−1 (r0 − r1 ). Тогда обязательно должен иметь место хотя бы один из случаев, приведенных ниже в п.п. 1)–4). 1) Справедливо неравенство rk rk 1 2 ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, (1.3.34) 2 rk+1

R0

и одновременно τ rk+1 < rk . Применяя лемму 1.3.4, получим rk rk 1 1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ Aα0 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, M (rk ; u) − M (rk+1 ; u) Aα0 r1 r0 rk+1

rk+1

36

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

откуда, в силу (1.3.34) и (1.3.32), находим Aα0 M (rk ; u) − M (rk+1 ; u) k+1 2

1 1 − r1 r0

r0

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

R0

Но согласно определению ri , i = 2, . . . , k + 1, M (r0 ; u) − M (r1 ; u) Ak (M (rk ; u) − M (rk+1 ; u)).

(1.3.35)

Тем самым, r0 k+1 1 A 1 α0 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 2 r1 r0 R0

откуда, в силу неравенства A > 2, следует (1.3.29). 2) Справедливы неравенства τ rk+1 rk и rk − rk+1 > εk (r0 − r1 ).

(1.3.36)

В случае rk+1 > R0 имеем M (rk ; u) = AM (rk+1 ; u). Таким образом, согласно предположению индукции, выполненна оценка M (rk ; u) − M (rk+1 ; u) 2α0

1 rk+1

1 − rk

rk

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ.

(1.3.37)

R0

В случае, когда rk+1 = R0 , дословно повторяя рассуждения, в результате которых было получено 1.3.30, с той лишь разницей, что теперь вместо r0 следует всюду писать rk , а вместо r1 — писать rk+1 , снова приходим к (1.3.37). Далее из (1.3.36) следует, что 1 1 1 1 k ; − >ε − rk+1 rk r1 r0 отсюда, а также из (1.3.32), (1.3.35) и (1.3.37) получаем k r0 Aε 1 1 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ. M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 2α0 2 r1 r0 R0

Осталось заметить, что Aε/2 1, и (1.3.29) доказано. 3) Справедливо неравенство (1.3.34), и rk − rk+1 εk (r0 − r1 ).

(1.3.38)

Найдется вещественное число ξ∗ ∈ (rk+1 , rk ) такое, что rk

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ (rk − rk+1 )ξ∗2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)),

rk+1

откуда в силу (1.3.32), (1.3.34), (1.3.38) и того, что 1 1 ξ 2 r0 − r 1 , − r1 r0 ∗ находим r0 rk 1 1 1 1 2 k+1 − ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ 2 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ r1 r0 r1 r0 R0

rk+1

2k+1 (rk − rk+1 )(r0 − r1 )f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) 2k+1 εk (r0 − r1 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)).

(1.3.39)

1.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

37

В то же время из (1.3.33) и (1.3.38) следует, что ε(r0 − r1 ) , 1−ε поэтому из (1.3.2), а также условия τ r1 r0 получим τ rk+1 r1 . Таким образом, согласно следствию 1.3.1 и соотношению (1.3.19), r1 − rk+1

M (r0 ; u) − M (r1 ; u) b(r0 − r1 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) 4α0 (r0 − r1 )2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)).

(1.3.40)

Далее, в силу (1.3.2), 2ε < 1, поэтому из (1.3.39) и (1.3.40) непосредственно следует (1.3.29). 4) Справедливо неравенство 1 2

rk

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ

R0

rk+1

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ,

(1.3.41)

R0

и одновременно τ rk+1 < rk . Тогда по лемме 1.3.5 имеем τ −1 Aα0 M (rk ; u) − M (rk+1 ; u) 4τ

rk+1

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ R0

τ −1 Aα0 4τ

rk+1 1 1 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, r1 r0 R0

а значит, согласно (1.3.32), (1.3.35) и (1.3.41), выполнена оценка r0 1 τ − 1 A k+1 1 M (r0 ; u) − M (r1 ; u) α0 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ; 4τ 2 r1 r0 R0

из которой, в силу равенства (1.3.3) получаем (1.3.29). Тем самым, лемма 1.3.6 полностью доказана. Доказательство неравенства (1.1.13). Предположим, что r ∈ (R0 , R), и пусть m — минимальное натуральное число такое, что Am M (R0 ; u) M (r; u). Такое число существует, в силу условия M (R0 ; u) > 0. Доказательство неравенства (1.1.13) будем вести индукцией по этому числу m. База индукции. Пусть m = 1, т.е. AM (R0 ; u) M (r; u). Рассмотрим сначала случай τ R0 r. Очевидно, найдется ξ∗ ∈ (R0 , r) такое, что r ξ∗ ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ (r − R0 )ξ∗ 1 − f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). ξ 1− r r R0

В то же время из (1.3.19), следствия 1.3.1 и тривиальной оценки ξ∗ ξ∗ 1 − r − R0 r имеем

ξ∗ f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)), M (r; u) − M (R0 ; u) b(r − R0 ) f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)) α0 (r − R0 )ξ∗ 1 − r 2

откуда получается (1.1.13). Предположим теперь, что τ R0 < r. Тогда по лемме 1.3.4 r r ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ. M (r; u) − M (R0 ; u) Aα0 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ α0 ξ 1 − r R0

R0

Шаг индукции. Пусть (1.1.13) выполнено для всех натуральных m < m0 , тогда оно выполнено и для m = m0 . Докажем это.

38

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Возьмем r1 ∈ (R0 , r) такое, что AM (r1 ; u) = M (r; u). Согласно предположению индукции, r1 ξ f (ξ, βM (ξ; u)) dξ. M (r1 ; u) − M (R0 ; u) α0 ξ 1 − r1

(1.3.42)

R0

Таким образом, если удастся доказать неравенство r1 r 1 ξ 1 − ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, M (r; u) − M (r1 ; u) α0 ξ 1 − f (ξ, βM (ξ; u)) dξ + α0 r r1 r r1

R0

то, складывая (1.3.42) и (1.3.43), моментально получим (1.1.13). В свою очередь, если установим справедливость двух оценок: r ξ M (r; u) − M (r1 ; u) 2α0 ξ 1 − f (ξ, βM (ξ; u)) dξ r

(1.3.43)

(1.3.44)

r1

и

M (r; u) − M (r1 ; u) 2α0

1 1 − r1 r

r1

ξ 2 f (ξ, βM (ξ; u)) dξ,

(1.3.45)

R0

то, складывая их, получим (1.3.43). Предположим сначала, что τ r1 < r. Тогда по лемме 1.3.4 r M (r; u) − M (r1 ; u) Aα0

ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ, r1

откуда сразу следует неравенство (1.3.44). С другой стороны, по лемме 1.3.5 τ −1 Aα0 M (r; u) − M (r1 ; u) 4τ

r1 ξf (ξ, βM (ξ; u)) dξ, R0

откуда получаем (1.3.45). В случае τ r1 r доказательство (1.3.44) дословно повторяет доказательство базы индукции, в то время как (1.3.45) вытекает из леммы 1.3.6. Тем самым, неравенство (1.1.13) полностью доказано. 1.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

Как и выше, предположим, что Ω имеет бесконечно гладкую границу, функция F , стоящая в правой части (7), и коэффициенты aij оператора L являются бесконечно гладкими, а само решение неравенства (7) есть непрерывная в Ω ∩ QR \ QR0 и бесконечно гладкая в Ω ∩ QR \ QR0 вплоть до части границы (QR \ QR0 ) ∩ ∂Ω этого множества функция. Кроме этого, продолжаем считать, что 0 < R0 , и в (16) имеет место строгое неравенство. Пусть ν, δ, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 — константы из условия теоремы 1.1.1. Возьмем в качестве τ произвольное вещественное число такое, что 1+δ < τ < θ, и определим ε и A с помощью (1.3.2) и (1.3.3) соответственно. Существует вещественное число η, удовлетворяющее неравенствам 1 < η ν, 0 < δ < 1/η, 1 + δη < τ и τ /(1 − δη) < θ/(1 − δ). Зафиксируем на протяжении настоящего параграфа какое-то одно подобное значение η. Очевидно, η будет зависеть только от δ, θ, τ . В свою очередь, τ зависит только от δ, θ. Наконец, положим ζ = min{θ/τ, τ /(1 + δη)}. В силу всего ранее сказанного, ζ > 1. Лемма 1.4.1. Пусть x0 ∈ Ω, ρ > 0, функция

0 u ∈ C 2 Ω ∩ Qxηρ ∩ C Ω ∩ Qxηρ0

1.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

39 0

является неотрицательным решением неравенства (1.2.1) в Ω∩Qxηρ , удовлетворяющим условию

u Qx0 ∩∂Ω = 0. (1.4.1) ηρ

Тогда

0 sup u − u(x0 ) b1 ρ2−n cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ sup u, 0

(1.4.2)

0

Ω∩Qx ηρ

Ω∩Qx ηρ

где постоянная b1 > 0 зависит только от n, η, C1 , C2 . 0

Доказательство. Пусть G(x, y) — функция Грина оператора L вида (1) в Ω ∩ Qxηρ , т.е. LG(x, y) = δ(x − y) и G(x, y) = 0 при

0

x, y ∈ Ω ∩ Qxηρ

при

0 x ∈ ∂ Ω ∩ Qxηρ ,

0

y ∈ Ω ∩ Qxηρ .

0

Тогда для любого y ∈ Ω ∩ Qxηρ имеем ∂G(x, y) u(x) dSx + G(x, y)Lu(x) dx, (1.4.3) u(y) = ∂νx 0 0 ∂ (Ω∩Qx Ω∩Qx ηρ ) ηρ

0 0 где νx — внешняя по отношению к Ω ∩ Qxηρ конормаль в точке x ∈ ∂ Ω ∩ Qxηρ , определяемая 0

матрицей aij (x), dSx — элемент (n − 1)-мерного объема границы Ω ∩ Qxηρ . В силу (1.2.1), (1.4.1) и того, что G(x, y) 0, 0

0

при x, y ∈ Ω ∩ Qxηρ , из (1.4.3) для любого y ∈ Ω ∩ Qxηρ имеем ∂G(x, y) u(x) dSx max u u(y) x0 ∂νx Ω∩Sηρ x0 Ω∩Sηρ

x0 Ω∩Sηρ

По известному свойству функции Грина 0

∂ (Ω∩Qx ηρ )

∂G(x, y) dSx . ∂νx

(1.4.4)

∂G(x, y) dSx = 1 ∂νx

0

для любого y ∈ Ω ∩ Qxηρ . Тем самым, ∂G(x, y) dSx = 1 − ∂νx 0

x Ω∩Sηρ

0

Qx ηρ ∩∂Ω

и из (1.4.4) получим

max u − u(y) max u 0

x Ω∩Sηρ

0

x Ω∩Sηρ

0

Qx ηρ ∩∂Ω

∂G(x, y) dSx , ∂νx

∂G(x, y) dSx . ∂νx

(1.4.5)

0

x Возьмем y ∈ S√ ηρ такой, что

u(y) = max u, 0

x Ω∩S√ ηρ

и оценим для этого y значение интеграла, стоящего в правой части (1.4.5), снизу. Рассмотрим решение задачи Дирихле

0 Lv = 0 в Qxηρ \ D ∩ Qxρ 0 ,

= 1, v S x0 = 0. v

x0 D∩Qρ

ηρ

(1.4.6)

(1.4.7) (1.4.8)

40

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В силу неравенства

n

i,j=1 0 x0 Qx ηρ \ D∩Qρ

∂v ∂v aij (x) dx C1 ∂xi ∂xj

|∇v|2 dx,

0 x0 Qx ηρ \ D∩Qρ

из определения емкости (4) находим, что n

∂v ∂v 0 aij (x) dx C1 cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ . ∂xi ∂xj

0

x Qx ηρ \ D∩Qρ

0

(1.4.9)

i,j=1

Если

0 cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ = 0,

то доказательство (1.4.2) не представляет никакого труда. Таким образом, можно считать, что

0 cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ > 0.

0 Тогда из (1.4.9) следует, что v не равно тождественно константе в Qxηρ \ D ∩ Qxρ 0 . Обозначим m = max v. 0

x S√ ηρ

Согласно принципу максимума, m=

max 0

v,

0

x Qx ηρ \Q√ηρ

причем 0 < m < 1, и v(x) < m x0

x0

для любого x ∈ Qηρ \ Q√ηρ . Поэтому множество K = x ∈ Qxηρ0 : v(x) m 0

принадлежит замкнутому шару Qx√ηρ . Одновременно с этим D ∩ Qxρ 0 ⊂ K. Следуя рассуждениям, приведенным в [95], покажем, что

0 m b2 ρ2−n cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ ,

(1.4.10)

где постоянная b2 > 0 зависит только от n, η, C1 , C2 . Положим  0 1 v(x), x ∈ Qxηρ \ K, v˜(x) = m 1, x ∈ K. Определенная таким образом функция v˜ будет являться решением задачи Дирихле 0

L˜ v = 0 в Qxηρ \ K,

v˜ K = 1, v˜ S x0 = 0.

(1.4.11) (1.4.12)

ηρ

Согласно вариационному принципу, n ∂˜ v ∂˜ v aij (x) dx = inf ∂xi ∂xj 0

Qx ηρ \K

i,j=1

0

Qx ηρ \K

n i,j=1

aij (x)

∂ϕ ∂ϕ dx, ∂xi ∂xj

1.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

41

0 где inf в правой части берется по всем функциям ϕ ∈ C0∞ Qxηρ , равным единице в некоторой окрестности множества K. Для любой такой функции ϕ, в силу условия эллиптичности (2), n n ∂˜ v ∂˜ ∂ϕ ∂ϕ v aij (x) dx aij (x) dx C2 |∇ϕ|2 dx. ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj 0

Qx ηρ \K

i,j=1

0

Qx ηρ \K

i,j=1

0

Qx ηρ \K

Минимизируя по ϕ правую часть последнего неравенства, получим n

∂˜ v ∂˜ v 0 aij (x) dx C2 cap K, Qxηρ . ∂xi ∂xj 0

Qx ηρ \K

(1.4.13)

i,j=1

Учитывая (1.4.11) и (1.4.12), имеем n ∂˜ v ∂˜ 1 v ∂˜ v ∂v aij (x) dx = dSx = dSx , ∂xi ∂xj ∂νx m ∂νx 0

Qx ηρ \K

i,j=1

∂K

∂K

0

где νx — внешняя по отношению к Qxηρ \ K конормаль в точке x ∈ ∂K, определяемая матрицей aij (x). Точно так же из (1.4.7) и (1.4.8) следует, что n ∂v ∂v ∂v ∂v aij (x) dx = dSx = dSx . ∂xi ∂xj ∂νx ∂νx

0

x Qx ηρ \ D∩Qρ

Поэтому

m 0

Qx ηρ \K

0

i,j=1

n i,j=1

aij (x)

∂ D∩Qx ρ

∂˜ v ∂˜ v dx = ∂xi ∂xj

∂K

0

n

aij (x)

i,j=1 0 x0 Qx ηρ \ D∩Qρ

∂v ∂v dx, ∂xi ∂xj

откуда, в силу (1.4.9) и (1.4.13), получаем

0 C1 cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ . m C2 cap K, Qxηρ0

(1.4.14)

Из последнего неравенства и очевидной оценки

0 0 0 cap K, Qxηρ cap Qx√ηρ , Qxηρ b3 ρn−2 , где b3 > 0 зависит только от n, η, вытекает (1.4.10). Заметим, что без ограничения общности можно считать, что компакт K имеет бесконечно глад кую границу. Если это не так, то по теореме Сарда [106] найдется вещественное число m ∈ (m, 1), 0 сколь угодно близкое к m и такое, что компакт K = x ∈ Qxηρ : v(x) m имеет бесконечно гладкую границу. Повторяя все приведенные ранее рассуждения с заменой m на m и K на K соответственно, а затем устремляя m к m, опять приходим к (1.4.10). Далее несложно показать, что min v > b4 m, 0

x S√ ηρ

0

x где постоянная b4 > 0 зависит только от n, η, C1 , C2 . Действительно, покроем S√ ηρ конечным чис√ 0 x лом шаров радиуса ( η − 1)ρ/2, центры которых принадлежат S√ηρ . Разумеется, можно добиться, чтобы число этих шаров не превосходило некоторой константы, зависящей только от n, η. Согласно неравенству Харнака [99], на каждом из указанных шаров отношение минимального значения функции v к максимальному не менее некоторой положительной величины, зависящей только от n, C1 , C2 .

42

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Таким образом, из (1.4.10) имеем

0 v(y) b1 ρ2−n cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ ,

(1.4.15)

0

x где y ∈ S√ ηρ удовлетворяет соотношению (1.4.6), b1 = b2 b4 . 0

Ограничивая функцию v на Qxηρ ∩ Ω, применяя формулу Грина и учитывая (1.4.7), (1.4.8), а также то, что по принципу максимума

1, v x0 Qηρ ∩∂Ω

получим оценку

v(y) = 0

Qx ηρ ∩∂Ω

∂G(x, y) v(x) dSx ∂νx

0

Qx ηρ ∩∂Ω

∂G(x, y) dSx . ∂νx

Поэтому, в силу (1.4.15), имеем

∂G(x, y) 0 dSx b1 ρ2−n cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ ; ∂νx 0

Qx ηρ ∩∂Ω

отсюда, а также из (1.4.5) находим, что

0 max u − u(y) b1 ρ2−n cap D ∩ Qxρ 0 , Qxηρ max u. 0

0

x ∩Ω Sηρ

x ∩Ω Sηρ

Осталось заметить, что, в соответствии с принципом максимума, max u = sup u 0

x ∩Ω Sηρ

и

0

Qx ηρ ∩Ω

u(y) = max u u(x0 ), 0

x S√ ∩Ω ηρ

и доказательство неравенства (1.4.2) полностью завершено. Лемма 1.4.2. Пусть 0 < ρ4 < ρ3 < ρ2 < ρ1 , 0 < k1 < 1, 0 < k 2 < 1, ρ2 k1 ρ1 , k2 ρ1 ρ4 k1 ρ3 , и пусть функция u ∈ C 2 Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 ∩ C Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 является неотрицательным решением неравенства (1.2.1) в Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 , удовлетворяющим условиям (16) и

u (∂Ω)∩Qρ \Q = 0. 1

ρ4

Тогда

cap D ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 M (ρ1 ; u), M (ρ1 ; u) − M (ρ2 ; u) b5 ρ2−n 1 где постоянная b5 > 0 зависит только от n, k1 , k2 , C1 , C2 .

(1.4.16)

Доказательство. Во многом доказательство этой леммы сходно с доказательством леммы 1.4.1. Обозначим Π+ = {x = (x1 , . . . , xn ) : xn 0}, Π− = {x = (x1 , . . . , xn ) : xn 0}, D+ = D ∩ Π+ и D− = D ∩ Π− . Пусть G(x, y) — функция Грина оператора L вида (1) в Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 , т.е. LG(x, y) = δ(x − y) при x, y ∈ Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 , G(x, y) = 0 при x ∈ ∂ Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 , y ∈ Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 . Повторяя дословно вывод формулы (1.4.5), с учетом неравенства M (ρ4 ; u) M (ρ1 ; u)

1.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

получим, что для любого y ∈ Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 выполняется неравенство ∂G(x, y) dSx , M (ρ1 ; u) − u(y) M (ρ1 ; u) ∂νx

43

(1.4.17)

(∂Ω)∩Qρ1 \Qρ4

где νx — внешняя по отношению к Ω∩Qρ1 \Qρ4 конормаль в точке x ∈ (∂Ω)∩Qρ1 \Qρ4 , определяемая матрицей aij (x), dSx — элемент (n − 1)-мерного объема гиперповерхности (∂Ω) ∩ Qρ1 \ Qρ4 . Положим K+ = x : dist x, Π+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 ( k1 − k1 )ρ4 . Несложно увидеть, что ∂K+ представляет собой связное множество и K+ ⊂ Q√k1 ρ1 \ Q√k1 ρ3 . Из последнего включения, в частности, имеем

, cap K+ , Qρ1 \ Qρ4 cap Q√k1 ρ1 \ Q√k1 ρ3 , Qρ1 \ Qρ4 b6 ρn−2 1

(1.4.18)

где постоянная b6 > 0 зависит только от n, k1 , k2 . Пусть y ∈ Ω ∩ Sρ2 +(√k1 −k1 )ρ4 такой, что u(y) =

Ω∩Sρ

max √

2 +(

(1.4.19)

u.

k1 −k1 )ρ4

Оценим для этого y значение интеграла, стоящего в правой части (1.4.17). Рассмотрим решение v задачи Дирихле Lv = 0 в Qρ1 \ D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 \ Qρ4 ,

v

= 1, v = v = 0. D+ ∩Qρ2 \Qρ3

Sρ1

Sρ4

Обозначим m = max∂K+ v. Согласно принципу максимума, 0 m 1. Найдется постоянная b7 > 0, зависящая только от n, k1 , k2 , C1 , C2 , такая, что cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 . m b7 ρ2−n (1.4.20) 1 В самом деле, если то (1.4.20) очевидно. Пусть тогда v на множестве Qρ1 0<m<1и

cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 = 0, cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 > 0, \ D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 \ Qρ4 не равно тождественно константе, поэтому v(x) < m ∀x ∈ Qρ1 \ K+ ∪ Qρ4 .

Таким образом, множество

K = x ∈ Qρ1 \ Qρ4 : v(x) m принадлежит K+ . Одновременно с этим D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 ⊂ K.

Повторяя дословно предыдущие рассуждения, которые привели к (1.4.14), получим C1 cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 ; m C2 cap K, Qρ1 \ Qρ4 отсюда, в силу (1.4.18) и тривиальной оценки cap K, Qρ1 \ Qρ4 cap K+ , Qρ1 \ Qρ4 , следует (1.4.20). Как уже было сказано, ∂K+ — связное множество, причем Sρ2 +(√k1 −k1 )ρ4 ∩ ∂K+ = 0, и функция v удовлетворяет уравнению Lv = 0

(1.4.21)

44

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

√ в (( k1 − k1 )ρ4 )-окрестности множества Sρ2 +(√k1 −k1 )ρ4 ∪ ∂K+ . Покроем сферу Sρ2 +(√k1 −k1 )ρ4 ∪ ∂K+ √ конечным числом шаров радиуса ( k1 −k1 )ρ4 /2, центры которых принадлежат Sρ2 +(√k1 −k1 )ρ4 ∪∂K+ , добившись при этом, чтобы общее количество этих шаров не превышало некоторой константы, зависящей только n, k1 , k2 (такая константа, разумеется, существует). На каждом из указанных выше шаров по теореме Харнака [99] отношение минимального значения функции v к максимальному не меньше некоторого положительного числа, зависящего только от n, C1 , C2 . Тогда найдется постоянная b8 > 0, зависящая лишь от n, k1 , k2 , C1 , C2 , такая, что v(y) b8 m, где y ∈ Ω ∩ Sρ2 +(√k1 −k1 )ρ4 удовлетворяет соотношению (1.4.19). Тем самым, из (1.4.20) имеем v(y) 2b5 ρ2−n cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 , (1.4.22) 1 где b5 = b7 b8 /2. Далее, ограничивая v на множество Ω ∩ Qρ1 \ Qρ4 , в силу неравенства

v (∂Ω)∩Qρ \Q 1, 1

ρ4

вытекающего из принципа максимума, применяя формулу Грина, получим ∂G(x, y) ∂G(x, y) v(x) dSx dSx . v(y) = ∂νx ∂νx (∂Ω)∩Qρ1 \Qρ4

(∂Ω)∩Qρ1 \Qρ4

В свою очередь, из последнего неравенства и из (1.4.22) находим, что ∂G(x, y) dSx 2b5 ρ2−n cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 . 1 ∂νx (∂Ω)∩Qρ1 \Qρ4

Отсюда, а также из (1.4.17) имеем

cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 M (ρ1 ; u). M (ρ1 ; u) − u(y) 2b5 ρ2−n 1

В силу условия (16),

(1.4.23)

u(y) = M (ρ2 + ( k1 − k1 )ρ4 ; u) M (ρ2 ; u).

Следовательно, (1.4.23) влечет за собой оценку cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 M (ρ1 ; u). M (ρ1 ; u) − M (ρ2 ; u) 2b5 ρ2−n 1

(1.4.24)

Совершенно аналогично доказывается, что M (ρ1 ; u) − M (ρ2 ; u) 2b5 ρ2−n cap D− ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 M (ρ1 ; u). 1

(1.4.25)

По свойству полуаддитивности емкости cap D+ ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 + cap D− ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 cap D ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 . Таким образом, складывая (1.4.24) и (1.4.25), получаем (1.4.16). Лемма 1.4.3. Пусть R0 /(1 − δη) r1 < r2 < R, r2 τ r1 , и пусть функция u является неотрицательным решением неравенства (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что AM (r1 ; u) M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b9 (r2 − r1 )2 λ2 M (r2 ; u), где λ=

inf

sup

x∈Ω∩Qζr1 \Qr1 ξ∈(0,δ|x|)

ξ 1−n cap D ∩ Qxξ , Qxηξ ,

постоянная b9 > 0 зависит только от n, η, ζ, τ , C1 , C2 .

(1.4.26) (1.4.27)

1.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

45

Доказательство. Если λ = 0, то (1.4.26) очевидно. Будем считать, что λ > 0. В соответствии с определением λ для любого x ∈ Ω, удовлетворяющего соотношению r1 + r2 , (1.4.28) r1 |x| min ζr1 , 2 найдется ξ ∈ (0, δ|x|) такое, что

λ ξ 1−n cap D ∩ Qxξ , Qxηξ . (1.4.29) 2 Предположим сначала, что существуют x ∈ Ω и ξ ∈ (0, δ|x|), для которых одновременно с (1.4.28) и (1.4.29) выполнено также неравенство r2 − r1 ξ . 2η Тогда, с одной стороны, по свойству монотонности емкости имеем

λ (r2 − r1 ) ξ 2−n cap D ∩ Qxξ , Qxηξ ξ 2−n cap Qxξ , Qxηξ b10 , (1.4.30) 4η где b10 > 0 зависит только от n, η. Следовательно, 1 1 λ2 (r2 − r1 )2 . (1.4.31) 16b210 η 2 С другой стороны, M (r2 ; u) − M (r1 ; u)

A−1 M (r2 ; u). A2

(1.4.32)

Перемножая (1.4.31) и (1.4.32), получаем (1.4.26). Пусть теперь для любых x ∈ Ω и ξ ∈ (0, δ|x|) из (1.4.28) и (1.4.29) вытекает неравенство r2 − r1 . ξ< 2η Построим последовательность вещественных чисел ρi ∈ [r1 , r2 ), ξi ∈ (0, (r2 − r1 )/2) и точек xi ∈ Ω ∩ Sρi , i = 0, 1, . . ., следующим образом. Полагаем ρ0 = r1 и возьмем x0 ∈ Ω ∩ Sρ0 , ξ0 ∈ (0, δρ0 ) такие, что u(x0 ) = M (ρ0 ; u) и

λ ξ01−n cap D ∩ Qxξ00 , Qxηξ00 . 2 Предположим далее, что ρi−1 , ξi−1 , xi−1 уже построены, причем r1 + r2 r1 ρi−1 < min ζr1 , . 2 Положим ρi = ρi−1 + ηξi−1 . Если

r1 + r2 , ρi min ζr1 , 2

то на этом процесс обрывается. Если

r1 + r2 ρi < min ζr1 , , 2

то возьмем xi ∈ Ω ∩ Sρi , ξi ∈ (0, δρi ) такие, что u(xi ) = M (ρi ; u) и

λ ξi1−n cap D ∩ Qxξii , Qxηξi i . 2 Заметим, что, в силу неравенств r2 − r 1 ξi−1 < 2η

(1.4.33) (1.4.34)

46

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

и ρi−1

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

r1 + r2 , < min ζr1 , 2

всегда ρi ∈ [r1 , r2 ). Изложенный выше процесс обязан оборваться на конечном шаге. Действительно, существует вещественоое число d > 0 такое, что dist(x i , ∂Ω) > d при всех i = 0, 1, . . .. Если это не так, то для некоторой подпоследовательности xij j=0,1,... последовательности {xi }i=0,1,... lim dist xij , ∂Ω = 0. j→∞

Отсюда, в силу непрерывности функции u на множестве Ω ∩ Qr2 \ Qr1 и условия (18), получаем lim M ρij ; u = lim u xij = 0. j→∞

j→∞

Тем самым, приходим к противоречию с (16) и (17). Значит, согласно (1.4.34), ξi > d при всех i = 0, 1, . . ., поэтому ρi > r1 + iηd. Пусть k — натуральное число такое, что r1 + r2 ρk min ζr1 , 2 и r1 + r2 ρk−1 < min ζr1 , . 2 Применяя лемму 1.4.1, для всех i ∈ {0, . . . , k − 1} имеем

b1 (ρi+1 − ρi )λ sup u, (1.4.35) sup u − u(xi ) b1 ξi2−n cap D ∩ Qxξii , Qxηξi i sup u x x x 2η Ω∩Q i Ω∩Q i Ω∩Q i ηξi

ηξi

ηξi

где b1 > 0 — константа из неравенства (1.4.2). Имеем u(xi ) = M (ρi ; u) по построению xi . В то же время, согласно соотношению 1 M (ρi ; u) 2 M (r2 ; u) A и принципу максимума, получим 1 M (r2 ; u) sup u M (ρi+1 ; u). x A2 Ω∩Q i ηξi

Таким образом, из (1.4.35) находим, что M (ρi+1 ; u) − M (ρi ; u)

b1 (ρi+1 − ρi )λM (r2 ; u). 2ηA2

Суммируя последнюю оценку по всем i ∈ {0, . . . , k − 1}, получим M (ρk ; u) − M (r1 ; u)

b1 (ρk − r1 )λM (r2 ; u). 2ηA2

(1.4.36)

В силу (16), M (r2 ; u) M (ρk ; u). Одновременно с этим, по определению натурального числа k, 1 ζ −1 ρk − r1 min , (r2 − r1 ). 2 τ −1 Полагая b11

b1 = min 2ηA2

1 ζ −1 , 2 τ −1

,

из (1.4.36) получим M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b11 (r2 − r1 )λM (r2 ; u). Поделив обе части (1.4.37) на M (r2 ; u) − M (r1 ; u), приходим к неравенству 1 b11 (r2 − r1 )λ; умножая его на неравенство (1.4.37), приходим к (1.4.26).

(1.4.37)

1.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

47

Лемма 1.4.4. Пусть R0 /(1 − δη) r1 < R/τ , и пусть функция u является неотрицательным решением (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что A2 M (r1 ; u) M (τ r1 ; u). Тогда M (τ r1 ; u) − M (r1 ; u) b12 r12 λ2 M (τ r1 ; u),

(1.4.38)

где λ определено с помощью (1.4.27), постоянная b12 > 0 зависит только от n, η, ζ, τ , C1 , C2 . Доказательство. Если λ = 0, то (1.4.38) очевидно. Поэтому cчитаем, что λ > 0. Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве леммы 1.4.3, построим конечные последовательности вещественных чисел ρi ∈ [r1 , ζr1 ), ξi ∈ (0, δρi ) и точек xi ∈ Ω ∩ Sρi , i = 0, . . . , k − 1, для которых выполнены соотношения (1.4.33), (1.4.34), и при этом ρk = ρk−1 + ηξk−1 ζr1 . Согласно определению ζ, имеем ζ(1 + δη) τ , поэтому ρk τ r1 . Рассуждая, как при выводе формулы (1.4.37), получим M (τ r1 ; u) − M (r1 ; u) b13 r1 λM (τ r1 ; u),

(1.4.39)

где

b1 (ζ − 1) . 2ηA2 Поделив обе части (1.4.39) на M (τ r1 ; u) − M (r1 ; u), приходим к неравенству b13 =

1 b13 r1 λ; умножая его на (1.4.39), получим (1.4.38). Начиная с этого момента, если не оговорено противное, под Λ будем подразумевать измеримую функцию Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞), удовлетворяющую соотношению (1.1.1) и такую, что supp Λ ⊂ [θR0 /(1 − δ), ∞) ∩ [R0 /σ4 , ∞). Следствие 1.4.1. Пусть R0 r1 < r2 < R, r2 τ r1 , max{R0 , r1 /τ } < ξ∗ < r2 , и пусть функция u является неотрицательным решением (1.2.1) в Ω∩QR \QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что AM (r1 ; u) M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b14 (r2 − r1 )2 Λ(ξ∗ )M (ξ∗ ; u),

(1.4.40)

где постоянная b14 > 0 зависит только от n, η, ζ, τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Доказательство. Если Λ(ξ∗ ) = 0, то (1.4.40) очевидно. Пусть Λ(ξ∗ ) > 0, тогда ξ∗ R0 /σ4 и ξ∗ θR0 /(1 − δ). Учитывая, что 1/(1 − δη) < θ/((1 − δ)τ ), получаем r1 r2 /τ ξ∗ /τ R0 /(1 − δη). Применяя лемму 1.4.3, получим M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b9 (r2 − r1 )2 λ2 M (ξ∗ ; u).

(1.4.41)

Одновременно с этим ξ∗2−n cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ ξ∗2−n cap Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ b15 , где b15 > 0 зависит только от n, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 . Тем самым, в силу того, что ξ∗ (r2 − r1 )/(τ (τ − 1)), имеем оценку 1

(r2 − r1 )2 ξ∗−n cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ . 2 b15 (τ (τ − 1))

Умножая последнее неравенство на неравенство (1.4.32), которое, очевидно, справедливо и на этот раз, находим, что M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b16 (r2 − r1 )2 ξ∗−n cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ M (ξ∗ ; u), (1.4.42) где b16 =

A−1 . b15 (Aτ (τ − 1))2

Согласно определениям τ и ζ, Qζr1 \ Qr1 ⊂ Qθξ∗ \ Qξ∗ /θ ,

48

ГЛАВА 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ

когда η ν, поэтому

λ2

НЕРАВЕНСТВА С ИЗМЕРИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

inf

x∈Ω∩Qθξ∗ \Q ξ∗

µ2 (x; δ, ν),

θ

где µ(x; δ, ν) определено равенством (5), и из условия (1.1.1) следует, что λ2 + ξ∗−n cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ Λ(ξ∗ ).

(1.4.43)

Таким образом, складывая (1.4.41) и (1.4.42), получаем (1.4.40). При этом b14 = min{b9 , b16 }/2. Следствие 1.4.2. Пусть R0 r1 < r2 < R, τ r1 r2 τ 2 r1 , r2 max R0 , 2 < ξ∗ < r2 , τ и пусть функция u является неотрицательным решением (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что A2 M (r1 ; u) M (r2 ; u). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b17 (r2 − r1 )2 Λ(ξ∗ )M (ξ∗ ; u), где постоянная b17 > 0 зависит только от n, η, ζ, τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Доказательство. Утверждение следствия 1.4.2 является нетривиальным лишь тогда, когда Λ(ξ∗ ) > 0, откуда, в частности, вытекает, что ξ∗ R0 /σ4 , ξ∗ θR0 /(1 − δ) и r2 /τ R0 /(1 − δη). Дальнейшие рассуждения основаны на использовании лемм 1.4.2 и 1.4.4. Положим ρ1 = r2 , ρ2 = max{ξ∗ σ2 , r1 }, ρ3 = ξ∗ σ3 , ρ4 = ξ∗ σ4 и, соответственно, k1 = max{σ2 , τ −1 , σ4 /σ3 }, k2 = σ4 /τ 2 . Тогда, очевидно, 0 < ρ4 < ρ3 < ρ2 < ρ1 , 0 < k1 < 1, 0 < k2 < 1, ρ2 k1 ρ1 , k2 ρ1 ρ4 k1 ρ3 , и вместе с тем ρ2 ξ∗ σ2 , поэтому cap D ∩ Qρ2 \ Qρ3 , Qρ1 \ Qρ4 cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qρ1 \ Qρ4 b18 cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ , где b18 > 0 зависит только от n, τ , σ1 , σ2 . Последнее неравенство следует из [39, с. 327, § 9.1.1, предложение 1]. Таким образом, применяя лемму 1.4.2, получим M (ξ∗ ; u) cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ , (1.4.44) M (ρ1 ; u) − M (ρ2 ; u) b19 ρ2−n 1 где постоянная b19 > 0 зависит лишь от n, τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Одновременно, согласно лемме 1.4.4,

b r 2 12 ; u 2 r22 λ2 M (ξ∗ ; u), (1.4.45) M (r2 ; u) − M τ τ где

sup ξ 1−n cap D ∩ Qxξ , Qxηξ . λ= inf x∈Ω∩Qζr2 /τ \Qr2 /τ ξ∈(0,δ|x|)

Складывая (1.4.44) и (1.4.45), с учетом того, что M (r2 ; u) − M (r1 ; u) M (ρ1 ; u) − M (ρ2 ; u) и M (r2 ; u) − M (r1 ; u) M (r2 ; u) − M находим

r

2

τ

;u ,

M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b17 (r2 − r1 )2 M (ξ∗ ; u) λ2 + ξ∗−n cap D ∩ Qσ2 ξ∗ \ Qσ3 ξ∗ , Qσ1 ξ∗ \ Qσ4 ξ∗ ,

где

b19 b12 1 b17 = min . , 2 τ 2n τ 2 Осталось воспользоваться неравенством (1.4.43), и доказательство полностью завершено.

Приведенные выше следствия 1.4.1 и 1.4.2 позволяют получить оценку (1.1.14) с помощью техники, продемонстрированной в § 1.3. Вплоть до окончания настоящей главы будем считать, что b(τ − 1) b(τ − 1)2 b , , , γ0 = min Aτ A 4τ где b = min{b14 , b17 }.

2.1. ТЕОРЕМА

49

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Лемма 1.4.5. Пусть R0 ρ < ρ0 < R, τ ρ ρ0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18), и пусть M (ρ0 ; u) A2 M (ρ; u). Тогда ρ0 M (ρ0 ; u) − M (ρ; u) Aγ0

ξΛ(ξ)M (ξ; u) dξ. ρ

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.3.4. Лемма 1.4.6. Пусть R0 ρ1 < ρ0 < R, τ ρ1 ρ0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что AM (ρ1 ; u) = M (ρ0 ; u) и ρ1 ξ Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. M (ρ1 ; u) − M (R0 ; u) γ0 ξ 1 − ρ1 R0

Тогда τ −1 M (ρ0 ; u) − M (ρ1 ; u) Aγ0 4τ

ρ1 ξΛ(ξ)M (ξ; u) dξ. R0

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.3.5. Лемма 1.4.7. Пусть R0 < r1 < r0 < R, τ r1 r0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (1.2.1) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что AM (r1 ; u) = M (r0 ; u). Пусть также для любого r ∈ (R0 , r1 ) имеет место (1.1.14), тогда r0 1 1 − ξ 2 Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 2γ0 r1 r0 R0

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.3.6. Наконец, дословно повторяя рассуждения, с помощью которых было получено (1.1.13), доказываем (1.1.14).

ГЛАВА 2 НЕДИВЕРГЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 2.1. ТЕОРЕМА

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Теорема 2.1.1. Пусть 0 R0 < R ∞, Ω — открытое подмножество Rn , n 2, D = Rn \ Ω, 1 SR0 ∩ Ω = ∅, и пусть 0 < a, 1 < σ, 0 < δ, 1 + 2δ < θ, 0 < υ < υ∗ < , 0 < s — некоторые 2 вещественные числа, а Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что R0 ,∞ (2.1.1) supp Λ ⊂ [θR0 , ∞) ∩ 1 − 2υ∗ и Λ(r) inf µ2s (x; δ) + r−2−s Cs (D ∩ Qυr ) при r > R0 , (2.1.2) x∈Ω∩Qrθ \Qr/θ

где µs (x; δ) определено с помощью (6). Пусть, далее, для F : Ω × [0, ∞) → [0, ∞) справедливо свойство i ), с. 6, и при этом f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что имеют место (1.1.3), (1.1.4) и f (r, t)

inf

x∈Ω∩Qrσ \(Qr/σ ∪QR0 )

F (x, t)

при

R0 < r,

0 < t.

(2.1.3)

50

ГЛАВА 2. НЕДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

Предположим теперь, что u — неотрицательное решение неравенства (9) в Ω ∩ QR , удовлетворяющее условиям (17) и (19), где M (r; u) определено с помощью (15). Тогда если s-емкость является верхней для оператора L (т.е. s − 2, где — константа эллиптичности оператора L), то найдутся постоянные: α > 0, зависящая только от n, a, σ, C2 , β > 0, зависящая только от σ, а также γ > 0, зависящая только от n, δ, θ, υ, υ∗ , s, такие, что существует определенное на всем промежутке [R0 , R) решение задачи Коши (1.1.5), (1.1.6), для которого при всех r ∈ (R0 , R) будет выполнена оценка (1.1.7). Теорема 2.1.2. Пусть справедливо предположение теоремы 2.1.1. Тогда если s-емкость является верхней для оператора L, то найдутся постоянные: α > 0, зависящая только от n, a, σ, C2 , β > 0, зависящая только от σ, а также γ > 0, зависящая только от n, δ, θ, ν, ν∗ , s, такие, что для функции M (r; u), определенной равенством (15), при всех r ∈ (R0 , R) имеет место (1.1.8). Доказательство теоремы 2.1.1 получается с помощью тех же рассуждений, что и теоремы 1.1.1. При этом, разумеется, необходимо, чтобы теорема 2.1.2 была уже доказана. Доказательство теоремы 2.1.2, в свою очередь, основано на двух оценках (1.1.13) и (1.1.14), справедливость которых в случае оператора L вида (3) будет доказана в §§ 2.2 и 2.3 соответственно. Замечание 2.1.1. Если в теоремах 2.1.1 и 2.1.2 потребовать, чтобы вместо соотношения (2.1.2) было выполнено соотношение Λ(r)

inf

x∈Ω∩Qrθ \Qr/θ

µ2s (x; δ) при r > R0

(2.1.4)

и, соответственно, вместо включения (2.1.1) — включение

θR0 ,∞ , supp Λ ⊂ 1 − 2δ

где на этот раз 0 < δ < 1/2, 1 + 2δ < θ, то обе эти теоремы остаются в силе и в случае, когда функция u является неотрицательным решением (9) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17) и (18). При этом γ > 0 будет теперь зависеть лишь от n, δ, θ, s (см. § 2.3). Нам потребуется следующая лемма, аналогичная той, которая ранее была сформулирована для дивергенитных неравенств на с. 10. Лемма 2.1.1. Пусть 0 R0 < r0 < r < R ∞, и пусть u — неотрицательное решение неравенства Lu 0 (2.1.5) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющее условию (18). Тогда u = max{M (r0 ; u), M (r; u)}.

sup Ω∩Qr \Qr0

Более того, если для некоторого ρ ∈ (r0 , r) sup

u = M (ρ; u),

Ω∩Qr \Qr0

то u — постоянная функция в Ω ∩ Qr \ Qr0 . Доказательство стандартно (см., например, [2]). 2.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

В НЕДИВЕРГЕНТНОМ СЛУЧАЕ

Заметим прежде всего, что в случае теоремы 2.1.2 условие (16) выполнено автоматически в силу принципа максимума. Не ограничивая общности, можно также считать, что 0 < R0 и в (16) имеет место строгое неравенство (см. с. 20). Пусть σ > 1 — константа из условия теоремы 2.1.1. Определим вещественные числа τ , ε, A и β с помощью (1.3.1), (1.3.2)), (1.3.3)) и (1.3.4) соответственно.

2.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.13)

51

В НЕДИВЕРГЕНТНОМ СЛУЧАЕ

Лемма 2.2.1. Пусть R0 r1 < r2 < R, функция u является неотрицательным решением неравенства (9) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18), и пусть M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u). Тогда существует постоянная b > 0, зависящая только от C2 , n, такая, что имеет место (1.3.5). Доказательство. Пусть x0 ∈ S(r1 +r2 )/2 ,

u(x0 ) = M

r1 + r2 ;u , 2

функция v определена равенством (1.3.16), и при этом ω = {x ∈ Ω : v(x) > 0}. Определим также функцию w : Qx(r02 −r1 )/2 → [0, ∞), полагая w(x) =

1 |x − x0 |2 inf F (y, βM (r2 ; u)), 2nC2 y∈Ω∩Qr2 \Qr1

(2.2.1)

и пусть λ=

(v − w).

sup

x

ω∩Q(r0

Тогда вследствие того, что

имеем

2 −r1 )/2

r1 + r2 1 ;u , v(x0 ) − w(x0 ) = M 2 2 r1 + r2 1 ; u > 0. λ M 2 2

(2.2.2)

С другой стороны, v−λ=

sup

x

ω∩S(r0 −r 2

sup

x

ω∩S(r0 −r

1 )/2

2

w.

(2.2.3)

1 )/2

Действительно, неравенство v−λ

sup

x

ω∩S(r0 −r 2

sup

x

w

ω∩S(r0 −r

1 )/2

2

1 )/2

вытекает из определения λ. Докажем, что v−λ

sup

x

ω∩S(r0 −r 2

sup

x

ω∩S(r0 −r

1 )/2

2

w. 1 )/2

˜ ∈ (0, λ) такое, что Предположим от противного, что это не так. Тогда найдется λ v<

sup

x

ω∩S(r0 −r 2

1 )/2

˜ w + λ.

sup

x

ω∩S(r0 −r 2

(2.2.4)

1 )/2

Рассмотрим функцию ˜ w(x) ˜ = w(x) + λ. Непосредственой проверкой убеждаемся, что L(v − w) ˜ 0 в ω∩

Qx(r02 −r1 )/2 .

В то же время из (2.2.4) и неотрицательности функции w ˜ в Qx(r02 −r1 )/2 имеем

0 (v − w) ˜ x0 ∂ ω∩Q(r

2 −r1 )/2

x0 ). Таким образом, (заметим, что w(x) ˜ принимает одно и то же значение во всех точках x ∈ S(r 2 −r1 )/2 x0 используя принцип максимума, при всех x ∈ ω ∩ Q(r2 −r1 )/2 получим

v(x) − w(x) ˜ 0,

52

ГЛАВА 2. НЕДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

или, другими словами, ˜ λ

(v − w).

sup

x

ω∩Q(r0

2 −r1 )/2

Полученное противоречие доказывает (2.2.3), из которого, в свою очередь, с учетом (2.2.2) и очевидного неравенства r1 + r2 1 M (r2 ; u) − M ;u sup v, x 2 2 ω∩S 0 (r2 −r1 )/2

получаем

M (r2 ; u) − M

r1 + r2 ;u 2

sup

x

ω∩S(r0 −r 2

w, 1 )/2

откуда, в силу (16) и (2.2.1), следует (1.3.5). Всюду ниже под f подразумеваем измеримую функцию f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞), для которой выполнены соотношения (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.4). Одновременно будем считать, что α0 задано с помощью (1.3.19), где A и τ определены в начале этого параграфа, а b > 0 — константа из леммы 2.2.1. r2 < ξ∗ < min {r2 , σr1 }, R0 r1 < r2 < R, функция u являСледствие 2.2.1. Пусть max R0 , σ ется неотрицательным решением неравенства (9) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18), и пусть M (r2 ; u) A2 M (r1 ; u). Тогда имеет место (1.3.20), где постоянная b > 0 такая же, как в лемме 2.2.1. Доказательство получается из леммы 2.2.1. Лемма 2.2.2. Пусть R0 ρ < ρ0 < R, τ ρ ρ0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (9) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18), и пусть M (ρ0 ; u) A2 M (ρ; u). Тогда справедлива оценка (1.3.21). Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 1.3.4. Лемма 2.2.3. Пусть R0 ρ1 < ρ0 < R, τ ρ1 ρ0 , функция u является неотрицательным решением неравенства (9) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что AM (ρ1 ; u) = M (ρ0 ; u), и при этом имеет место соотношение (1.3.24). Тогда справедлива оценка (1.3.25). Доказательство не отличается от доказательства леммы 1.3.5. Лемма 2.2.4. Пусть R0 < r1 < r0 < R, r0 τ r1 , функция u является неотрицательным решением неравенства (9) в Ω ∩ QR \ QR0 , удовлетворяющим условиям (16), (17), (18) и таким, что AM (r1 ; u) = M (r0 ; u). Пусть также для любого r ∈ (R0 , r1 ) имеет место (1.1.13), тогда справедлива оценка (1.3.29). Доказательство аналогично доказательству леммы 1.3.6. Доказательство неравенства (1.1.13) в недивергентном случае также ничем не отличается от доказательства этого неравенства для дивергентных операторов L, приведенного на с. 37. 2.3.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

В НЕДИВЕРГЕНТНОМ СЛУЧАЕ

Как и в предыдущем параграфе, можно считать, что 0 < R0 и в (16) имеет место строгое неравенство. Напомним также, что в предположениях теоремы 2.1.2 условие (16) выполнено автоматически, в силу принципа максимума. Ниже получим оценку (1.1.14) в случае оператора L вида (3), тем самым, теорема 2.1.2 будет полностью доказана. Допустим, что δ, θ, υ, υ∗ — константы из условия теоремы 2.1.1, а Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что supp Λ ⊂ [θR0 , ∞) ∩ [R0 /(1 − 2υ∗ ), ∞), и выполнено соотношение (2.1.2), где s > 0 таково, что s-емкость является верхней для L (т.е. s − 2, где — константа

2.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

В НЕДИВЕРГЕНТНОМ СЛУЧАЕ

53

эллиптичности оператора L). Возьмем вещественные числа θ0 , θ1 , υ0 , υ1 таким образом, чтобы выполнялись неравенства 1 + 2δ < θ1 < θ0 < θ и υ < υ1 < υ0 < υ∗ . Обозначим через E множество вещественных чисел ρ ∈ (R0 , ∞), для которых inf µ2s (x; δ) > ρ−2−s Cs D ∩ Qυ0 ρ . x∈Ω∩Qρθ0 \Qρ/θ0

Пусть ρ0 ∈ E , тогда найдется открытая окрестность Uρ0 точки ρ0 такая, что для всех ρ ∈ Uρ0 inf µ2s (x; δ) > ρ−2−s Cs D ∩ Qυ1 ρ . (2.3.1) x∈Ω∩Qρθ1 \Qρ/θ1

Тогда существует открытое, а поэтому измеримое множество E1 такое, что E ⊂ E1 ⊂ (R0 , ∞), и для любого ρ ∈ E1 имеет место (2.3.1). Положим также E2 = (R0 , ∞) \ E1 . Очевидно, E2 — измеримое множество, и при этом для всех ρ ∈ E2 выполняется неравенство µ2s (x; δ) ρ−2−s Cs D ∩ Qυ0 ρ . inf x∈Ω∩Qρθ0 \Qρ/θ0

Определим измеримые функции Λ1 и Λ2 равенствами 1 Λ1 (ρ) = Λ(ρ)χE1 (ρ) 2 и

1 Λ2 (ρ) = Λ(ρ)χE2 (ρ), 2 где χE — характеристическая функция множества E. Так как θ1 < θ и υ < υ1 , то из (2.1.2) следует, что µ2s (x; δ) + ρ−2−s Cs D ∩ Qυ1 ρ Λ(ρ) inf x∈Ω∩Qρθ1 \Qρ/θ1

при всех ρ ∈ (R0 , ∞); тогда, с учетом (2.3.1), при всех ρ ∈ (R0 , ∞) получим Λ1 (ρ) Аналогично доказывается, что

inf

x∈Ω∩Qρθ1 \Qρ/θ1

µ2s (x; δ).

(2.3.2)

Λ2 (ρ) ρ−2−s Cs D ∩ Qυ0 ρ

(2.3.3)

для любого ρ ∈ (R0 , ∞). Далее, если для некоторых γ1 > 0 и γ2 > 0 удастся одновременно получить два неравенства r ξ M (r; u) − M (R0 ; u) γ1 ξ 1 − Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ (2.3.4) r R0

и

r ξ Λ2 (ξ)M (ξ; u) dξ, M (r; u) − M (R0 ; u) γ2 ξ 1 − r

(2.3.5)

R0

то, складывая их, получим (1.1.14), где γ0 = min{γ1 , γ2 }/2. Нам потребуется следующий известный результат [3, 4], (см. также [33, гл. 1, § 4, с. 26, лемма 4.1]). 0

0

Лемма 2.3.1. Предположим, что H ⊂ Qxρ \Ω — измеримое по Борелю множество, x ∈ Ω∩Qxρ ,

0 ρ2 = sup dist(y, x), ρ1 = dist H, Sρx , y∈H

0

и пусть u — неотрицательное решение неравенства (2.1.5) в Ω∩Qxρ , удовлетворяющее условию

u Qx0 ∩∂Ω = 0. ρ

Тогда, если s > 0 таково, что s-емкость является верхней для оператора L, то 1 1 Cs (H) sup u. − sup u − u(x) ρs2 ρs1 0 0 Ω∩Qx Ω∩Qx ρ

ρ

(2.3.6)

54

ГЛАВА 2. НЕДИВЕРГЕНТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

В [33] дана несколько иная формулировка этой леммы, однако, доказательство, приведенное там, без каких-либо существенных изменений проходит и в нашем случае. К сожалению, в случае теоремы 2.1.2 доказывать оценку (1.1.14) сразу нельзя, как это делалось для теоремы 1.1.2 в предыдущей главе; необходимо разбить доказательство на два этапа, отдельно для функций Λ1 и Λ2 . Это связано с тем, что не удается подобрать вещественное число τ , аналогичное тому, о котором шла речь в § 1.4 так, чтобы одновременно проходило доказательство как оценки (2.3.4), так и оценки (2.3.5). Именно, для доказательства (2.3.4) потребуется константа τ1 , удовлетворяющая неравенству 1 + 2δ < τ1 < θ1 . Кроме того, в этом случае потребуются еще две постоянные η > 2 и ζ > 1, которые выберем по δ и τ1 так, чтобы выполнялись соотношения 1 + δη < τ1 и ζ = min{θ1 /τ1 , τ1 /(1 + δη)}. Для доказательства (2.3.5) возьмем константу τ2 такую, что 1 1 > τ2 > . (2.3.7) 1 − 2υ∗ 1 − 2υ0 По заданным значениям τi определим вещественные числа εi и Ai , полагая 1 16τi 2 , Ai = max 2τi , , , i = 1, 2. εi = τi + 1 τ i − 1 εi Лемма 2.3.2. Пусть 0 < r1 < r2 < R, r2 τ1 r1 , и пусть u — неотрицательное решение неравенства (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющее условию (19) и такое, что M (r1 ; u) > 0 и A1 M (r1 ; u) M (r2 ; u) A21 M (r1 ; u). Тогда, если s > 0 таково, что s-емкость является верхней для оператора L, то M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b1 (r2 − r1 )2 λ2 M (r2 ; u), где

−1−s x λ= inf sup ξ Cs D ∩ Qξ , (2.3.8) x∈Ω∩Qζr1 \Qr1 ξ∈(0,δ|x|)

постоянная b1 > 0 зависит только от n, s, δ, ζ, τ1 . Доказательство повторяет разницей, что вместо

доказательство леммы 1.4.3 с единственной

x x x емкости cap D ∩ Qξ , Qηξ теперь следует рассматривать емкость Cs D ∩ Qξ . В частности, вместо (1.4.30) теперь надлежит воспользоваться соотношением

λ (r2 − r1 ) ξ −s Cs D ∩ Qxξ ξ −s Cs Qxξ b2 , 4η где b2 > 0 зависит только от n, η, s (а значит, только от n, δ, τ1 , s). Точно также при выборе последовательностей ρi ∈ [r1 , r2 ), ξi ∈ (0, (r2 − r1 )/2), xi ∈ Ω ∩ Sρi , неравенства (1.4.34) заменяются на неравенства

λ ξi−1−s Cs D ∩ Qxξii , i = 0, 1, . . . , k − 1. 2 В связи с этим, вместо оценок (1.4.35) теперь следует воспользоваться оценками

sup u − u(xi ) 1 − (η − 1)−s ξi−s Cs D ∩ Qxξii sup u x

Ω∩Qηξi

x

Ω∩Qηξi

i

1 1 − (η − 1)−s (ρi+1 − ρi )λ sup u, x 2η Ω∩Q i

i

i = 0, . . . , k − 1,

ηξi

вытекающими из леммы 2.3.1. Лемма 2.3.3. Пусть 0 < r1 < R/τ1 , u — неотрицательное решение (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющее условию (19) и такое, что M (r1 ; u) > 0 и A21 M (r1 ; u) M (τ1 r1 ; u). Тогда, если s > 0 таково, что s-емкость является верхней для оператора L, то M (τ1 r1 ; u) − M (r1 ; u) b3 r12 λ2 M (τ1 r1 ; u), где λ определяется с помощью (2.3.8), постоянная b3 > 0 зависит только от n, s, δ, ζ, τ1 . Доказательство аналогично доказательству леммы 1.4.4.

2.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(1.1.14)

55

В НЕДИВЕРГЕНТНОМ СЛУЧАЕ

Следствие 2.3.1. Предположим, что 0 < r1 < r2 < R, r2 τ1 r1 (соответственно, r2 τ2 r1 ), r1 /τ1 < ξ∗ < r2 (соответственно, r1 /τ2 < ξ∗ < r2 ), и пусть u — неотрицательное решение (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющее условию (19) и такое, что M (r1 ; u) > 0 и A1 M (r1 ; u) M (r2 ; u) A21 M (r1 ; u) (соответственно, A2 M (r1 ; u) M (r2 ; u) A22 M (r1 ; u)). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b4 (r2 − r1 )2 Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u);

(2.3.9)

соответственно,

(2.3.10) M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b5 (r2 − r1 )2 Λ2 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u), где постоянная b4 > 0 зависит только от n, τ1 , s, δ, ζ, а постоянная b5 > 0 — только от n, s, υ 0 , τ2 . Доказательство. Оценка (2.3.9) следует из леммы 2.3.2, соотношения (2.3.2) и включения Qζr1 \ Qr1 ⊂ Qθ1 ξ∗ \ Qξ∗ /θ1 (см. доказательство следствия 1.4.1). Для получения (2.3.10) заметим, что ξ∗−s Cs D ∩ Qυ0 ξ∗ ξ∗−s Cs Qυ0 ξ∗ b6 , где b6 > 0 зависит только от n, s, υ0 , откуда следует, что 1 (r2 − r1 )2 ξ∗−2−s Cs D ∩ Qυ0 ξ∗ . 1 2 b6 (τ2 (τ2 − 1)) Умножая последнее неравенство на (1.4.32), в котором следует положить A = A2 , находим M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b5 (r2 − r1 )2 ξ∗−2−s Cs D ∩ Qυ0 ξ∗ M (ξ∗ ; u), где

A2 − 1 . b6 (A2 τ2 (τ2 − 1))2 Осталось воспользоваться неравенством (2.3.3), и оценка (2.3.10) доказана. b5 =

Следствие 2.3.2. Предположим, что 0 < r1 < r2 < R, τ1 r1 r2 τ12 r1 (соответственно, τ2 r1 r2 τ22 r1 ), r2 /τ12 < ξ∗ < r2 (соответственно, r2 /τ22 < ξ∗ < r2 ), и пусть u — неотрицательное решение (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющее условию (19) и такое, что M (r1 ; u) > 0 и A21 M (r1 ; u) M (r2 ; u) (соответственно, A22 M (r1 ; u) M (r2 ; u)). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b7 (r2 − r1 )2 Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u);

(2.3.11)

соответственно,

(2.3.12) M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b8 (r2 − r1 )2 Λ2 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u), где постоянная b7 > 0 зависит только от n, τ1 , s, δ, ζ, а постоянная b8 > 0 — только от s, υ 0 , τ2 . Доказательство. Оценка (2.3.11) следует из леммы 2.3.3, соотношения (2.3.2) и включения Qζr2 /τ1 \ Qr2 /τ1 ⊂ Qθ1 ξ∗ \ Qξ∗ /θ1 (см. доказательство следствия 1.4.2). Для доказательства (2.3.12) воспользуемся леммой 2.3.1. Полагая в ней x0 = 0, ρ = r2 , H = D ∩ Qυ0 ξ∗ и выбирая точку x ∈ Ω ∩ Sr1 таким образом, чтобы u(x) = M (r1 ; u), будем иметь ρ1 = dist (H, Sr2 ) (1 − υ0 )r2

и ρ2 = sup dist(y, x) y∈H

1 + υ 0 r2 . τ2

Тем самым, из (2.3.6) и неравенства r2 τ22 ξ∗ получим M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b9 ξ∗−s Cs D ∩ Qυ0 ξ∗ M (r2 ; u),

(2.3.13)

56

ГЛАВА 2. НЕДИВЕРГЕНТНЫЕ

где b9 = τ2−2s

1 + υ0 τ2

−s

НЕРАВЕНСТВА

− (1 − υ0 )−s

,

причем, в силу (2.3.7), b9 > 0. Согласно принципу максимума, M (r2 ; u) M (ξ∗ ; u). В то же время ξ∗ τ2−2 (r2 − r1 ), поэтому из (2.3.13) находим M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b8 (r2 − r1 )2 ξ∗−2−s Cs D ∩ Qυ0 ξ∗ M (ξ∗ ; u), где b8 = τ2−2 b9 . Осталось только заметить, что (2.3.12) следует из последнего неравенства и (2.3.3). Определим далее вещественные числа γ1 > 0 и γ2 > 0, полагая Bi (τi − 1) Bi (τi − 1)2 Bi , i = 1, 2, γi = min , , Ai τi Ai 4τi где B1 = min{b4 , b7 }, B2 = min{b5 , b8 }. Лемма 2.3.4. Пусть R0 ρ < ρ0 < R, τ1 ρ ρ0 (соответственно, τ2 ρ ρ0 ), функция u является неотрицательным решением (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющим условиям (19), (17), и пусть M (ρ0 ; u) A21 M (ρ; u) (соответственно, M (ρ0 ; u) A22 M (ρ; u)). Тогда ρ0 M (ρ0 ; u) − M (ρ; u) A1 γ1

ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ; ρ

соответственно,

ρ0 M (ρ0 ; u) − M (ρ; u) A2 γ2

ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ. ρ

Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 1.3.4. Лемма 2.3.5. Пусть R0 ρ1 < ρ0 < R, τ1 ρ1 ρ0 (соответственно, τ2 ρ1 ρ0 ), функция u является неотрицательным решением (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющим условиям (19), 17 и таким, что M (ρ0 ; u) = A1 M (ρ1 ; u) (соответственно, M (ρ0 ; u) = A2 M (ρ1 ; u)) и ρ1 ξ Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ; M (ρ1 ; u) − M (R0 ; u) γ1 ξ 1 − ρ1 R0

соответственно, ρ1 ξ Λ2 (ξ)M (ξ; u) dξ. M (ρ1 ; u) − M (R0 ; u) γ2 ξ 1 − ρ1 R0

Тогда τ1 − 1 A1 γ1 M (ρ0 ; u) − M (ρ1 ; u) 4τ1

ρ1 ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ; R0

соответственно, τ2 − 1 A2 γ2 M (ρ0 ; u) − M (ρ1 ; u) 4τ2

ρ1 ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ. R0

Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 1.3.5.

3.1. НЕКОТОРЫЕ

57

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лемма 2.3.6. Пусть R0 < r1 < r0 < R, τ1 r1 r0 (соответственно, τ2 r1 r0 ), функция u является неотрицательным решением (2.1.5) в Ω ∩ QR , удовлетворяющим условиям (19), (17) и таким, что A1 M (r1 ; u) = M (r0 ; u) (соответственно, A2 M (r1 ; u) = M (r0 ; u)). Пусть также для любого r ∈ (R0 , r1 ) имеет место неравенство (2.3.4) (соответственно, неравенство (2.3.5)), тогда r0 1 1 M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 2γ1 − ξ 2 Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ; r1 r0 R0

соответственно, M (r0 ; u) − M (r1 ; u) 2γ2

1 1 − r1 r0

r0

ξ 2 Λ2 (ξ)M (ξ; u) dξ.

R0

Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 1.3.6. Изложенные выше результаты позволяют теперь получить оценки (2.3.4) и (2.3.5) с помощью рассуждений, полностью аналогичных тем, которые в свое время привели к оценке (1.1.13) (см. с. 37).

ГЛАВА 3 РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ Теоремы 1.1.1 и 2.1.1 позволяют получать оценки максимума модуля решений эллиптических неравенств из оценок для решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, не существует нетривиальных неотрицательных решений неравенства (7) (неравенства (9)) в области Ω, удовлетворяющих условиям (20), если каждое решение задачи Коши (1.1.5), (1.1.6) стремится к бесконечности на некотором конечном интервале [R0 , R). 3.1. НЕКОТОРЫЕ

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Нам потребуется ряд утверждений из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вытекающих из более общих результатов, доказанных в последней главе нашей книги. Будем рассматривать уравнения вида w = z(r, w),

(3.1.1)

где z — неотрицательная локально ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая следующему условию. Существуют r∗ , t∗ ∈ (0, ∞) такие, что на множестве {(r, t) : r∗ r, t∗ r t} выполнено неравенство t , (3.1.2) z(r, t) rp(r)g r где p : [r∗ , ∞) → [0, ∞), g : (0, ∞) → (0, ∞) — локально ограниченные измеримые функции, причем g(t1 ) g(t2 ) при

t1 t2 > 0.

(3.1.3)

Кроме этого, будем считать, что z(r, t) монотонно не убывает по t и полунепрерывна снизу по этому аргументу. Пусть ∞ 1 (g(t)t)− 2 dt < ∞. (3.1.4) 1

58

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Определим функцию G∞ равенством ∞ 1 G∞ (ξ) = (g(t)t)− 2 dt.

(3.1.5)

ξ

Аналогично, если

∞ 1 (g(t)t)− 2 dt = ∞,

(3.1.6)

1

то положим ξ H∞ (ξ) =

1

(g(t)t)− 2 dt.

(3.1.7)

1

Обозначим также pσ (r) = ess

inf

r/σξrσ

p(ξ),

(3.1.8)

где σ > 1 — некоторое фиксированное вещественное число. Наконец, введем функцию h∞ , полагая ξ h∞ (ξ) = 1

dt . g(t)

(3.1.9)

Определение 3.1.1 (см. [7]). Решение w уравнения (3.1.1), заданное на конечном промежутке [r∗ , r∗ ), называется сингулярным решением второго рода, если lim sup |w (r)| = ∞, r→r ∗ −0

(3.1.10)

и колеблющимся (неколеблющимся), если оно имеет (не имеет) последовательность нулей, сходящуюся к r∗ . Определение 3.1.2 (см. [33]). Решение уравнения (3.1.1), заданное на всем промежутке [r∗ , ∞), называется правильным, если при любом r ∈ [r∗ , ∞) sup{|w(ξ)| : ξ r} > 0. Правильное решение уравнения (3.1.1) называется колеблющимся (неколеблющимся), если оно имеет (не имеет) последовательность нулей, сходящуюся к ∞. Так как правая часть (3.1.1) — неотрицательная локально ограниченная функция, то всякое решение уравнения (3.1.1), удовлетворяющее условию w(r∗ ) > t∗ r∗ ,

w (r∗ ) > t∗ ,

(3.1.11)

монотонно не убывает и поэтому является неколеблющимся. Более того, (3.1.10) становится эквивалентным соотношению lim w(r) = ∞.

r→r ∗ −0

(3.1.12)

Теорема 3.1.1. Пусть справедливо (3.1.4), и ∞ rpσ (r) dr = ∞.

(3.1.13)

r∗

Тогда всякое непродолжаемое решение уравнения (3.1.1), удовлетворяющее условию (3.1.11), является неколеблющимся сингулярным решением второго рода.

3.1. НЕКОТОРЫЕ

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

59

Теорема 3.1.2. Пусть имеет место (3.1.4), и ∞ rpσ (r) dr < ∞.

(3.1.14)

r∗

Тогда для каждого правильного решения w уравнения (3.1.1), удовлетворяющего условию (3.1.11), при всех r r∗ справедлива оценка   1  2 ∞  −1    ξpσ (ξ) dξ (3.1.15) w (r) AG∞ B , r

где G−1 ∞ — функция, обратная к G∞ , постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ. Теорема 3.1.3. Пусть справедливы соотношения (3.1.6) и (3.1.13). Тогда для каждого правильного решения w уравнения (3.1.1), удовлетворяющего условию (3.1.11), при всех r из некоторой окрестости ∞ справедлива оценка   1  2 r  −1   (3.1.16) ξpσ (ξ) dξ   , w(r) ArH∞ B r∗ −1 — функция, обратная к H , постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ. где H∞ ∞

Теорема 3.1.4. Пусть имеют место (3.1.4) и (3.1.14). Тогда для каждого правильного решения w уравнения (3.1.1), удовлетворяющего условию (3.1.11), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка   1  2 ∞  −1    ξpσ (ξ) dξ w(r) ArG∞ B , r

где G−1 ∞ — функция, обратная к G∞ , постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ. Теорема 3.1.5. Пусть выполнено (3.1.6), и ∞

min{rpσ (r), p1/2 σ (r)} dr = ∞.

(3.1.17)

r∗

Тогда для каждого правильного решения w уравнения (3.1.1), удовлетворяющего условию (3.1.11), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка H∞

A1 w(r) r

+ h∞

A1 w(r) r

r A2

min{ξpσ (ξ), p1/2 σ (ξ)} dξ,

(3.1.18)

r∗

где постоянные A1 > 0, A2 > 0 зависят только от σ. Доказательства приведенных выше утверждений, причем в более общем виде, содержатся в последней главе нашей книги (см. теоремы 7.1.1, 7.1.5, 7.1.2, следствие 7.1.3 и теорему 7.1.3). Заметим, что мы не требуем априори, чтобы правая часть уравнения (3.1.1) была из класса Каратеодори. В этом нет необходимости, так как измеримость и локальная ограниченность z(r, t) вместе с монотонностью и полунепрерывностью этой функции по второму аргументу влекут за собой локальную интегрируемость z(·, ϕ(·)) для всякой локально ограниченной измеримой функции ϕ (подробное рассуждение можно найти на с. 9).

60

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

3.2.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

ПОВЕДЕНИЕ

РЕШЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ

ЕДИНСТВЕННОСТИ

В этом параграфе всюду предполагается, что Ω — неограниченное открытое подмножество Rn , n 2, D = Rn \ Ω, R0 > 0 — некоторое вещественное число такое, что SR0 ∩ Ω = ∅, и для правыx частeй соотношений (7) и (11) (соотношений (9) и (14)) справедлива оценка q(r)g(t) ess

inf

x∈Ω∩Qrτ \(Qr/τ ∪QR0 )

r ∈ (R0 , ∞),

F (x, t) при

t ∈ (0, ∞),

(3.2.1)

(оценка q(r)g(t)

inf

x∈Ω∩Qrτ \(Qr/τ ∪QR0 )

F (x, t)

r ∈ (R0 , ∞),

при

t ∈ (0, ∞)

(3.2.2)

соответственно), где τ > 1, q : (R0 , ∞) → [0, ∞), g : (0, ∞) → (0, ∞) — локально ограниченные измеримые функции, причем для g имеет место (3.1.3). Кроме этого, будем считать, что для F справедливо свойство i, с. 6, когда речь идет об операторе L вида (1), либо свойство i) , когда речь идет об операторе L вида (3). Теорема 3.2.1. Пусть выполнено (3.1.6), и ∞ rq(r) dr = ∞.

(3.2.3)

R0

Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (7) (неравенства (9)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), найдутся константы A > 0, B > 0, зависящие только от n, C1 , C2 , τ , такие, что для всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство   1  2 r  −1   ξq(ξ) dξ   , M (r; u) AH∞ B (3.2.4) R0 −1 — функция, обратная где M (r; u) определено с помощью (15), H∞ — с помощью (3.1.7), H∞ к H∞ .

Доказательство. Так как u ≡ 0 в Ω, то по принципу максимума найдется вещественное число R∗ R0 такое, что M (r1 ; u) M (r2 ; u) > 0 для всех r1 r2 R∗ . Без ограничения общности будем считать, что R∗ = R0 . Возьмем σ = τ 1/2 , и пусть f (r, t) = p(r)g(t − 0),

r ∈ (R0 , ∞),

t ∈ (0, ∞),

(3.2.5)

где p(r) =

sup

q(ξ),

r ∈ (R0 , ∞).

ξ∈(r/σ,σr)∩(R0 ,∞)

Тогда для f справедливы соотношения (1.1.3), (1.1.4), и одновременно, в силу (3.2.1) (в силу (3.2.2)), справедливо неравенство (1.1.2) (неравенство (2.1.3)). С другой стороны, pσ (r)

inf

ξ∈(r/σ,σr)∩(R0 ,∞)

p(ξ) q(r)

∀r ∈ (R0 , ∞).

(3.2.6)

Полагая a = 1, Λ ≡ 0 и применяя теорему 1.1.1, в случае (7), либо теорему 2.1.1, в случае (9), получаем, что для M (r; u) при всех r ∈ (R0 , ∞) выполнено (1.1.7), где m — некоторое решение уравнения 2 (3.2.7) m + m = αf (r, βm), r удовлетворяющее начальным условиям (1.1.6). С помощью замены w = rm (3.2.8)

3.2. ПОВЕДЕНИЕ

приводим (3.2.7) к виду (3.1.1), где

РЕШЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ

61

ЕДИНСТВЕННОСТИ

βt z(r, t) = αrf r, . r

При этом

w (R0 ) = m(R0 ).

w(R0 ) = R0 m(R0 ),

(3.2.9)

(3.2.10)

Далее из (3.2.5) и (3.2.9) получаем, что при всех r R0 , t > 0 справедливо неравенство βt . z(r, t) αrp(r)g 2r Наконец, осталось заметить, что соотношения (3.2.3) и (3.2.6) влекут за собой (3.1.13), где r∗ = R0 , и можно воспользоваться теоремой 3.1.3. Из неравенства (3.1.16), учитывая (3.2.8), при всех r из некоторой окрестности ∞ имеем   1  2 r  −1    ξpσ (ξ) dξ (3.2.11) m(r) AH∞ B , R0 −1 — монотонно не где постоянные A > 0, B > 0 зависят только от n, σ. В силу (3.2.6), и того, что H∞ убывающая функция, из (3.2.11) получаем, что при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка   1  2 r  −1    ξq(ξ) dξ m(r) AH∞ B . R0

Отсюда и из (1.1.7) следует неравенство (3.2.4). Теорема 3.2.2. Пусть выполнены (3.1.4) и (3.2.3). Тогда в Ω не существует отличного от нуля неотрицательного решения неравенства (7) (неравенства (9)), удовлетворяющего условию (20). Доказательство. Предположим от противного, что в Ω существует нетривиальное неотрицательное решение неравенства (7) (неравенства (9)), удовлетворяющее условию (20), и пусть σ, p и f такие же, как в доказательстве теоремы 3.2.1. Применяя теорему 1.1.1 (сответственно, теорему 2.1.1), получаем, что на всем промежутке [R0 , ∞) существует решение уравнения (3.2.7), удовлетворяющее начальным условиям (1.1.6), которое с помощью замены (3.2.8) сводится к определенному на всем промежутке [R0 , ∞) решению w задачи Коши (3.1.1), (3.2.10). Но из теоремы 3.1.1 следует, что w должно быть сингулярным решением второго рода, т.е. для некоторого r∗ ∈ (R0 , ∞) должно быть выполнено соотношение (3.1.12). Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 3.2.3. Пусть, кроме свойства i), с. 6 (свойства i) ), для функции F справедливо также свойство ii), с. 7 (свойство ii) соответственно). Тогда, если имеют место (3.1.4) и (3.2.3), то решение задачи Дирихле (11), (12) (задачи Дирихле (12), (14) соответственно) единственно. Доказательство. Предположим от противного, что существуют два различных решения u1 и u2 задачи Дирихле (11), (12) (задачи Дирихле (12), (14) соответственно). Обозначим u = u1 − u2 . Без ограничения общности можно считать, что ω = {x ∈ Ω : u(x) > 0} = ∅. Функции u1 и u2 непрерывны в Ω (см. [31, с. 387, теорема 4.1]). Тогда множество ω является открытым. Очевидно, что

(3.2.12) u ∂ω = 0, а также Lu = F (x, |u1 |) sign u1 − F (x, |u2 |) sign u2 ; соответственно, Lu = F (x, |u1 |) sign u1 − F (x, |u2 |) sign u2 .

62

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Пусть T1 > T2 > 0 — некоторые вещественые числа. Полагая в (13) s1 = T2 /T1 , s2 = (T1 −T2 )/T1 , t1 = T1 , t2 = 0, получим T2 F (x, T1 ). (3.2.13) F (x, T2 ) T1 Таким образом, F (x, T1 ) − F (x, T2 ) F (x, T1 ) −

T2 T1 − T 2 F (x, T1 ) = F (x, T1 ). T1 T1

Или, другими словами, 1 F (x, T1 ) − F (x, T2 ) F (x, T1 ). (3.2.14) T1 − T 2 T1 Покажем, что почти при всех x ∈ Ω в случае (11) (при всех x ∈ Ω в случае (14)), и при всех τ1 , τ2 ∈ (−∞, ∞) из τ1 τ2 следует 1 (3.2.15) F (x, |τ1 |) sign τ1 − F (x, |τ2 |) sign τ2 2F x, |τ1 − τ2 | . 2 В самом деле, предположим сначала, что τ1 > τ2 > 0. Полагая в (13) t1 = 0, t2 = τ1 − τ2 , s1 = s2 = 1/2, получим 1 (3.2.16) F (x, τ1 − τ2 ) 2F x, (τ1 − τ2 ) . 2 В то же время, если T1 = τ1 , T2 = τ1 − τ2 , то из (3.2.13) вытекает, что F (x, τ1 ) F (x, τ1 − τ2 ) . τ1 − τ 2 τ1 Из последнего неравенства, а также из неравенства (3.2.14), в котором надо взять T1 = τ1 , T2 = τ2 , следует, что F (x, τ1 ) − F (x, τ2 ) F (x, τ1 − τ2 ), откуда с учетом (3.2.16) получаем (3.2.15). Пусть теперь τ1 > 0, τ2 < 0, тогда (3.2.15) получается непосредственно из (13), если взять 1 s1 = s2 = , t1 = τ1 , t2 = |τ2 |. 2 Предположим теперь, что τ2 < τ1 < 0. Легко видеть, что этот случай сводится к случаю τ1 > τ2 > 0 заменой τ1 = −τ2 , τ2 = −τ1 . В заключение остается заметить, что (3.2.15) становится очевидным, если τ1 = τ2 , либо одно из чисел τ1 , τ2 равно нулю. Следовательно, u = u1 − u2 является в ω решением неравенства 1 (3.2.17) Lu 2F x, u 2 в случае (11), (12), или неравенства

1 Lu 2F x, u 2

(3.2.18)

в случае (12), (14). При этом измеримость правой части (3.2.17) будет иметь место, в силу непрерывности по t ∈ [0, ∞) функции F (x, t) почти при всех x ∈ ω (см. i), ii)). Однако, согласно теореме 3.2.2, в ω не может существовать положительное решение неравенства (3.2.17) (соответственно, неравенства (3.2.18)), удовлетворяющее условию (3.2.12). Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 3.2.4. Пусть справедливо (3.1.4), и ∞ rq(r) dr < ∞. R0

(3.2.19)

3.2. ПОВЕДЕНИЕ

РЕШЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ

63

ЕДИНСТВЕННОСТИ

Тогда для каждого неотрицательного решения неравенства (7) (неравенства (9)) в Ω, удовлетворяющего краевому условию (20), найдутся константыrm: A > 0, B > 0, зависящие только от n, τ , C1 , C2 , такие, что почти при всех x ∈ Ω \ QR0 (соответственно, при всех x ∈ Ω \ QR0 )   1  2 ∞    −1   u(x) AG∞ B  ξq(ξ) dξ   (3.2.20) , |x|

где G∞ определено соотношением (3.1.5), а G−1 ∞ — функция, обратная к G∞ . Доказательство. Возьмем σ, p и f такими же, как в доказательстве теоремы 3.2.1. Если u(x) = 0, то (3.2.20) oчевидно. Имеет смысл доказывать теорему в предположении, что u ≡ 0. Согласно принципу максимума, справедливо (16). Пусть M (r∗ ; u) > 0 для некоторого r∗ R0 . При этом, разумеется, должно быть выполнено (3.1.14), ибо в противном случае (см. доказательство теоремы 3.2.2) в Ω не могло бы существовать нетривиальное неотрицательное решение неравенства (7) (соответственно, неравенства (9)), удовлетворяющее условию (20). Применяя теорему 1.1.1 (соответственно, теорему 2.1.1) получим, что на всем промежутке [r∗ , ∞) существует решение m уравнения (3.2.7), удовлетворяющее начальным условиям m (r∗ ) = 0.

m(r∗ ) = M (r∗ +; u),

(3.2.21)

С помощью замены (3.2.8) уравнение (3.2.7) сводится к уравнению (3.1.1) с правой частью, определяемой равенством (3.2.9), при этом (3.2.21) преобразуются к виду w (r∗ ) = M (r∗ + 0; u).

w(r∗ ) = r∗ M (r∗ + 0; u),

(3.2.22)

Используя теорему 3.1.2, с учетом (3.2.22), из (3.1.15), где r = r∗ , имеем   1  2 ∞  −1   M (r∗ + 0; u) AG∞ B ξpσ (ξ) dξ   . r∗

Из последней оценки и из (3.2.6), так как G−1 ∞ — монотонно не убывающая функция, получим   1  2 ∞  −1    ξq(ξ) dξ M (r∗ + 0; u) AG∞ B . r∗

По принципу максимума M (r∗ ; u) M (r∗ + 0; u), и теорема 3.2.4 в случае неравенства (9) полностью доказана. В случае, когда речь идет о неравенстве (7), установлено, что для любого вещественного r∗ > 0 почти при всех x ∈ Ω∩Sr∗ (по (n−1)-мерной мере Лебега на Sr∗ ) имеет место оценка (3.2.20). Покажем, что (3.2.20) также имеет место почти при всех x ∈ Ω по n-мерной мере Лебега. Действительно, пусть ω состоит из тех точек x ∈ Ω, для которых не справедливо (3.2.20). Так как правая часть (3.2.20) измерима, то ω — измеримое по Лебегу множество. С другой стороны, как было сказано выше, mesn−1 (ω ∩ Sr∗ ) = 0 для любого r∗ > 0, а значит, и mesn (ω) = 0. Замечание 3.2.1. Предположим, что соотношение (3.2.1) (соотношение (3.2.2)) выполнено при всех r, t ∈ (0, ∞). Тогда, так как постоянные A > 0, B > 0 в (3.2.20) не зависят от R0 , то, в силу произвольности выбора R0 > 0, оценка (3.2.20) теоремы 3.2.4 верна почти при всех (при всех) x ∈ Ω. Теорема 3.2.5. Пусть

∞

1

min{ξq(ξ), q 2 (ξ)} dξ = ∞.

(3.2.23)

R0

Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (7) (неравенства (9)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), найдутся константы A1 > 0,

64

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

A2 > 0, зависящие только от n, τ , C1 , C2 , такие, что при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство r 1 H∞ (A1 M (r; u)) + h∞ (A1 M (r; u)) A2 min{ξq(ξ), q 2 (ξ)} dξ, (3.2.24) R0

где M (r; u), H∞ и h∞ определены с помощью (15), (3.1.7) и (3.1.9) соответственно. Доказательство опирается на теорему 3.1.5 и в остальном ничем не отличается от доказательства теоремы 3.2.1. Замечание 3.2.2. Теоремы 3.2.1, 3.2.2, 3.2.4 и 3.2.5 остаются, разумеется, в силе, если в их формулировках вместо решений соответствующих эллиптических неравенств в Ω, удовлетворяющих условию (20), рассматривать решения этих же неравенств в Ω \ QR0 , удовлетворяющие условиям (16) и (18), где R = ∞ (см. замечание 2.1.1). Пример 3.2.1. Пусть L = ∆, R0 2, λ 0, Ω = Rn \ QR0 , g(t) = t lnλ (1 + t) и c(x) = |x|s ,

(3.2.25)

где s — некоторое вещественное число. Положим F (x, t) = c(x)g(t). Очевидно, (3.2.1) будет выполнено, если взять q(r) = 2−|s| rs .

(3.2.26)

В то же время (3.1.4) выполнено тогда и только тогда, когда λ > 2, а (3.2.3) эквивалентно неравенству s −2. Таким образом, из теоремы 3.2.2 следует, что при λ > 2 и s −2 любое неотрицательное решение (7) в Ω, удовлетворяющее условию (20), тождественно равно нулю, более того, как следует из теоремы 3.2.3, в этом случае решение задачи Дирихле (11), (12) будет единственным. Покажем теперь, что если 0 λ 2, то в Ω существует положительное решение (7), удовлетворяющее условию (20), какое бы значение ни принимало вещественное число s. Пусть сначала λ = 2, s = −2. Чтобы найти упомянутое выше решение, воспользуемся оценкой (3.2.24), которая в нашем случае приобретает вид A

M (r; u) er , где A > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от n. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что B

B

u(x) = e|x| − eR0

при B 2 будет искомым решением. Пусть λ = 2, s > −2, тогда (3.2.24) перепишется следующим образом: Ar M (r; u) ee

s/2+1

,

где A > 0 зависит только от n, s. Полагая s/2+1

B|x| u(x) = ee

s/2+1

BR0 − ee

,

получаем, что при B max{2, 4/(s + 2)} функция u является положительным решением (7), (20). Пусть 0 λ < 2, s > −2, тогда из (3.2.4) получим, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения (7), (20) при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство (s+2)/(2−λ)

M (r; u) eAr , где A > 0 зависит только от n, s, λ. В качестве примера такого решения возьмем (s+2)/(2−λ)

u(x) = eB|x|

(s+2)/(2−λ)

− eBR0

,

3.3. СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

где

ФУНКЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

B max 2, 2

λ/(2−λ)

2−λ s+2

65

2/(2−λ) # .

Пусть 0 λ < 2, s = −2, тогда (3.2.24) превращается в неравенство M (r; u) eA(ln r)

2/(2−λ)

,

где A > 0 зависит только от n, λ. При этом u(x) = eB(ln |x|) где

2/(2−λ)

− eB(ln R0 )

2/(2−λ)

,

B max 2, 2λ/2−1 (2 − λ) ,

дает пример положительного решения (7), (20). Наконец, если 0 λ 2 и s < −2, то в качестве искомого решения можно взять |s|/2+1

B|x| u(x) = ee

|s|/2+1

BR0 − ee

,

где B max{2, 4/(2 + |s|)}. Несколько более сложными рассуждениями мы могли бы также показать, что в случае 0 λ 2 при любом значении s решение задачи Дирихле (11), (12) не является единственным. 3.3. СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

ФУНКЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Как и в предыдущем параграфе, продолжаем считать, что Ω — неограниченное открытое подмножество Rn , n 2, D = Rn \ Ω, а R0 > 0 — некоторое вещественное число такое, что SR0 ∩ Ω = ∅. Теорема 3.3.1. Пусть Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что для некоторых вещественных чисел 1 < ν, 0 < δ, 1 + δ < θ, 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 (соответственно, 0 < δ, 1 1 + 2δ < θ, 0 < υ < , − 2 s, где — постоянная эллиптичности оператора L) справедливо 2 (1.1.1) (соответственно, (2.1.2)). Тогда, если ∞ ξΛ(ξ) dξ = ∞, (3.3.1) R0

то найдется постоянная C > 0, зависящая только от n, δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 (соответственно, только от n, δ, θ, υ, s), такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) (соответственно, неравенства (2.1.5)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство 1 r 2 , (3.3.2) ξΛ(ξ) dξ M (r; u) exp C R0

где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательство. Положим

а также

1 3 σ1 σ3 θ , , σ = min , 1 + δ σ2 σ4

σ1 σ3 θ ˜1 = , σ ˜2 = σσ2 , σ , σ ˜4 = σσ4 ˜3 = θ˜ = , σ σ σ σ в случае, когда речь идет о (1.2.1), или 1 2 1 θ , , σ = min 1 + 2δ 2υ и 1 1 θ + υ˜ , θ˜ = , υ˜ = συ, υ˜∗ = σ 2 2

66

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

если речь идет о (2.1.5), и определим измеримую функцию ˜ : [R0 , ∞) → [0, ∞) Λ равенством ˜ Λ(r) = χ[b,∞) (r)

sup

Λ(ξ),

ξ∈(r/σ,rσ)∩[R0 ,∞)

˜ 0 , R0 /(1 − 2˜ ˜ 0 в случае неравенства (1.2.1) и b = max{θR υ∗ )} в случае (2.1.5), χ[b,∞) — где b = θR характеристическая функция множества [b, ∞). Тогда по свойству монотонности емкости для всех r ∈ (R0 , ∞) имеем в случае (1.2.1) ˜ inf µ2 (x; δ, ν) + r−n cap(D ∩ Qr˜σ \ Qr˜σ , Qr˜σ \ Qr˜σ ), σ −n Λ(r) 2

x∈Ω∩Qrθ˜\Qr/θ˜

3

1

4

где µ(x; δ, ν) определено с помощью (5), или в случае (2.1.5) ˜ µ2s (x; δ) + r−2−s Cs (D ∩ Qυ˜r ), inf σ −2−s Λ(r) x∈Ω∩Qrθ˜\Q r

θ˜

где µs (x; δ) определено с помощью (6). В то же время ˜ σ (r) Λ

inf

ξ∈(r/σ,rσ)∩[R0 ,∞)

˜ Λ(ξ) Λ(r)

(3.3.3)

для всех r ∈ [σb, ∞). Взяв в теореме 1.1.1 (соответственно, в теореме 2.1.1) a = 1, f ≡ 0, с учетом замечаний 1.1.1 и 2.1.1, получим, что на всем промежутке [R0 , ∞) существует решение уравнения 2 ˜ m + m = γ Λ(r)m, (3.3.4) r удовлетворяющее условиям (1.1.6), для которого будет выполнена оценка (1.1.7). Заменой (3.2.8) уравнение (3.3.4) преобразуется к виду ˜ (3.3.5) w = γ Λ(r)w, при этом начальные условия (1.1.6) превращаются в (3.2.10). В силу (3.3.1) и (3.3.3), при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство r r 1 ˜ σ (ξ) dξ ξΛ ξΛ(ξ) dξ. (3.3.6) 2 R0

R0

Далее, согласно теореме 3.1.3, решение задачи Коши (3.2.10), (3.3.5) при всех r из некоторой окрестности ∞ удовлетворяет оценке   1  2 r   ˜ σ (ξ) dξ   ξΛ w(r) Ar exp B , R0

из которой, учитывая (3.2.8), имеем

  1  2 r    ˜  ξ Λσ (ξ) dξ m(r) A exp B , R0

откуда, в свою очередь, в силу (1.1.7) и (3.3.6), следует (3.3.2). Теорема 3.3.2. Допустим, что в предположении теоремы 3.3.1 вместо (3.3.1) выполнено соотношение ∞ 1 min{ξΛ(ξ), Λ 2 (ξ)} dξ = ∞. (3.3.7) R0

Тогда найдется постоянная C > 0, зависящая только от n, δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 (соответственно, только от n, δ, θ, υ, s), такая, что для каждого не равного тождественно

3.3. СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

ФУНКЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

67

нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) (соответственно, неравенства (2.1.5)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство   r 1 M (r; u) exp C min{ξΛ(ξ), Λ 2 (ξ)} dξ  , (3.3.8) R0

где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательство дословно повторяет доказательство предыдущего утверждения с той лишь разницей, что теперь вместо теоремы 3.1.3 надлежит воспользоваться теоремой 3.1.5. Теорема 3.3.3. Пусть Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что имеет место (3.3.1), и для некоторых вещественных чисел 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 (соответственно, 1 0 < υ < , − 2 s, где — константа эллиптичности оператора L) при всех r ∈ (R0 , ∞) 2 справедливо соотношение Λ(r) r−n cap(D ∩ Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4 );

(3.3.9)

соответственно, соотношение Λ(r) r−2−s Cs (D ∩ Qυr ).

(3.3.10)

Тогда найдется постоянная C > 0, зависящая только от n, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 (соответственно, только от n, υ, s), такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) (соответственно, неравенства (2.1.5)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство   r (3.3.11) M (r; u) exp C ξΛ(ξ) dξ  , R0

где M (r; u) определено соотношением (15). Доказательство. В силу монотонности емкости, для любого r ∈ (R0 , ∞) cap(D ∩ Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4 ) cap(Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4 ) = Arn−2 ; соответственно, Cs (D ∩ Qυr ) Cs (Qυr ) = Ars , где постоянная A > 0 зависит только от n, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , (соответственно, только от n, s, υ). Таким образом, из (3.3.9) (соответственно, из (3.3.10)) следует, что для Λ(r) при всех r ∈ (R0 , ∞) справедлива оценка r2 Λ(r) A. 1

Извлекая из обех частей квадратный корень и домножая на Λ 2 (r), имеем 1

1

rΛ(r) A 2 Λ 2 (r). Поэтому

1

min{rΛ(r), Λ 2 (r)} BrΛ(r) ∀r ∈ (R0 , ∞),

(3.3.12)

− 12

где B = min{1, A }. Из (3.3.1) и (3.3.12) следует (3.3.7). Применяя теорему 3.3.2, получим, что для всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо (3.3.8). Снова воспользовавшись (3.3.12), получаем (3.3.11). Замечание 3.3.1. Теоремы 3.3.1, 3.3.2 и 3.3.3 в случае оператора L в дивергентной форме остаются, разумеется, в силе, если в их формулировках вместо решений соответствующих эллиптических неравенств в Ω, удовлетворяющих условию (20), рассматривать решения этих же неравенств в Ω \ QR0 , удовлетворяющие условиям (16) и (18), где R = ∞. При этом в теоремах 3.3.1 и 3.3.2 следует наложить на δ дополнительное ограничение δ < 1 в случае опрератора L вида (1) или δ < 1/2 в случае оператора L вида (3) и, кроме этого, соотношение (2.1.2) заменить на (2.1.4) (см. замечания 1.1.1 и 2.1.1).

68

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Пример 3.3.1. Для краткости будем рассматривать лишь оператор L в дивергентной форме. 1) Пусть n = 2, и пусть найдется R > 0 такое, что D ∩ Sr = ∅ ∀r R. Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка M (r; u) rC ,

(3.3.13)

где M (r; u) определено соотношением (15), постоянная C > 0 зависит только от C1 , C2 . В самом деле, возьмем в теореме 3.3.3 σ1 = 1, σ2 = 1/2, σ3 = 1/4, σ4 = 1/8. В силу монотоности емкости,

cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr .

Согласно [39, с. 328, п. 9.1.2, предложение 2], правая часть последнего неравенства при всех r 4R не меньше некоторой константы A > 0. Тогда

A r−2 cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 2 ∀r > 4R, r и мы можем в (3.3.9) положить A Λ(r) = χ[4R,∞) (r) 2 , r где χ[4R,∞) — характеристическая функция промежутка [4R, ∞). При этом (3.3.13) непосредственно получается из (3.3.11). 2) Пусть n 3, h 1. Обозначим через Kh+ конус {(x , xn ) : |x | hxn }, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω\QR принадлежит дополнению Kh+ . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка (3.3.13), где постоянная C > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Для доказательства снова воспользуемся теоремой 3.3.3. Пусть σ1 , σ2 , σ3 , σ4 такие же, как и в предыдущем пункте. При всех r > 0 выполняется неравенство

(3.3.14) cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 Ar−2 mes D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , где постоянная A > 0 зависит только от n. Действительно, если K — компакт, принадлежащий ограниченному открытому множеству ω, то, как несложно показать, из определения емкости и неравенства Пуанкаре следует cap(K, ω) A(diam ω)−2 mes ω,

(3.3.15)

где A > 0 — константа в неравенстве Пуанкаре для единичного шара. При всех r 4R имеем, очевидно, D ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Kh+ ∩ Qr/2 \ Qr/4 . Поэтому из (3.3.14) получим

cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 Ar−2 mes Kh+ ∩ Qr/2 \ Qr/4 Brn−2 ∀r 4R, где B > 0 зависит только от n (напоминаем, что h 1). Таким образом, в (3.3.9) можно положить B . r2 Остается применить (3.3.11), и соотношение (3.3.13) доказано. 3) Пусть n = 3, 0 < h < 1, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω \ QR принадлежит дополнению Kh+ . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство Λ(r) = χ[4R,∞)

2 −1

M (r; u) rC(ln h ) ,

(3.3.16)

где M (r; u) определено с помощью (15), постоянная C > 0 зависит только от C1 , C2 . x — цилиндр {(y , y) : |y −x | Обозначим через Zdx куб {y : |yi −xi | < d/2, i = 1, . . . , n}, через Cδ,d δ, |yn − xn | d/2} соответственно.

3.3. СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

69

ФУНКЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Для того, чтобы получить (3.3.16) заметим сначала, что, если r 4R, то x D ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Kh+ ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Crh/24,r/12

(3.3.17)

x x ⊃ Crh/24,r/12 , Qr \ Qr/8 ⊃ Zr/6

(3.3.18)

и одновременно с этим где x = (0, . . . , 7r/24). В силу монотонности емкости, из (3.3.17) получим

x , Qr \ Qr/8 cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 cap Crh/24,r/12

∀r 4R.

Вместе с тем из (3.3.18) (см. [39, с. 327, п. 9.1.1, предложение 1]), следует, что

x x , Qr \ Qr/8 A cap Crh/24,r/12 , Z xr , cap Crh/24,r/12 6

где постоянная A > 0 не зависит от r, h, x. Из [39, с. 330, п. 9.1.3, предложение 1] при 0 < 2δ < d имеем d −1 x x cap(Cδ,d , Z2d ) ∼ d ln δ

(3.3.19)

(3.3.20)

(3.3.21)

(значок ∼ означает, что левая и правая части находятся в конечном отношении, не зависящем от x, d, δ). Поэтому из (3.3.19) и (3.3.20) получим

2 −1 −3 −2 ln ∀r 4R, (3.3.22) r cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 Br h где B > 0 не зависит от r, h. Полагая Λ(r) = Bχ[4R,∞) (r)r

−2

2 −1 ln , h

из (3.3.11) получим (3.3.16). 4) Пусть n 4, 0 < h < 1, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω \ QR принадлежит дополнению Kh+ . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (3.1.3) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство n−3 (3.3.23) M (r; u) rCh , где M (r; u) определено с помощью (15), C > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Доказательство дословно повторяет рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что вместо (3.3.21) теперь следует воспользоваться соотношением x x , Z2d ) ∼ dδ n−3 , cap(Cδ,d

а вместо (3.3.22) — соотношением

r−n cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 Br−2 hn−3 соответственно, где B > 0 зависит только от n. Таким образом, полагая Λ(r) = Bχ[4R,∞) (r)hn−3 r−2 , из неравенства (3.3.11) получим (3.3.23). 5) Пусть n = 3, h > 0. Обозначим через Ch+ полубесконечный цилиндр {(x , xn ) : |x | h, 0 xn < ∞}, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω \ QR принадлежит дополнению Ch+ . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство M (r; u) (ln r)C , где M (r; u) определено с помощью (15), постоянная C > 0 зависит только от C1 , C2 . Для доказательства воспользуемся теоремой 3.3.3. Возьмем 1 1 1 σ1 = 1, σ2 = , σ3 = , σ4 = , R∗ = max{4R, 24h}. 2 4 8

70

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Очевидно, при всех r > R∗ x D ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Ch+ ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Ch,r/12

(3.3.24)

x x ⊃ Ch,r/12 , Qr \ Qr/8 ⊃ Zr/6

(3.3.25)

и одновременно с этим где x = (0, . . . , 7r/24). В силу монотонности емкости, из (3.3.24) получим

x , Qr \ Qr/8 cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 cap Ch,r/12

∀r R∗ .

В то же время из (3.3.25) (см. [39, c. 327, п. 9.1.1, предложение 1]), следует, что

x x x , Qr \ Qr/8 A cap Ch,r/12 , Zr/6 cap Ch,r/12 ,

(3.3.26)

(3.3.27)

где постоянная A > 0 не зависит от r, h, x. Таким образом, из (3.3.26), (3.3.27) и (3.3.21) получим

r −1 ∀r R∗ , r−3 cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 Br−2 ln h где B > 0 не зависит от r, h, и можно в (3.3.9) положить r −1 . Λ(r) = Bχ[R∗ ,∞) (r)r−2 ln h Доказательство завершается применением неравенства (3.3.11). 6) Пусть n 3, Π+ = {x : xn = 0, 0 xn−1 < ∞, −∞ < xn−2 < ∞, . . . , −∞ < x1 < ∞}, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω \ QR принадлежит дополнению Π+ . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка (3.3.13), где постоянная C > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Действительно, при всех r 4R D ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Π+ ∩ Qr/2 \ Qr/4 ⊃ Π+ ∩ Qxr/24

(3.3.28)

x ⊃ Π+ ∩ Qxr/24 , Qr \ Qr/8 ⊃ Zr/6

(3.3.29)

и вместе с тем

где x = (0, . . . , 7r/24, 0). Из (3.3.28), в силу монотонности емкости, получим

cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 cap Π+ ∩ Qxr/24 , Qr \ Qr/8

∀r 4R.

В то же время из (3.3.29) (см. [39, с. 327, п. 9.1.1, предложение 1]), следует, что

x , cap Π+ ∩ Qxr/24 , Qr \ Qr/8 A cap Π+ ∩ Qxr/24 , Zr/6

(3.3.30)

(3.3.31)

где A > 0 не зависит от r, x. Но емкость, стоящая в правой части (3.3.31), при всех r 4R допускает оценку

x (3.3.32) cap Π+ ∩ Qxr/24 , Zr/6 Brn−2 , где B > 0 зависит только от n. x ) и ϕ ≡ 1 в окрестности В самом деле, пусть r > 4R, x = (0, . . . , 7r/24, 0), ϕ ∈ C0∞ (Zr/6

множества Π+ ∩ Qxr/24 . Тогда

2

|∇ϕ(y)| dy x Zr/6

Но

dy Π+ ∩Qx r/24

r/12

−r/12

r/12

−r/12

∂ϕ(y , yn ) 2

∂yn dyn .

∂ϕ(y , yn ) 2 24

∂yn dyn r

3.3. СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

при всех y ∈ Π+ ∩ Qxr/24 . Тем самым, 24 2 |∇ϕ(y)| dy r x Zr/6

dy

Π+ ∩Qx r/24

71

ФУНКЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

24 mesn−1 (Π+ ∩ Qxr/24 ) Brn−2 , r

где B > 0 зависит только от n. Минимизируя самый левый интеграл по ϕ, получим (3.3.32). Таким образом, при всех r 4R из (3.3.30), (3.3.31) и (3.3.32) получим

cap D ∩ Qr/2 \ Qr/4 , Qr \ Qr/8 brn−2 , где постоянная b > 0 зависит только от n. Полагая в (3.3.11) Λ(r) = bχ[4R,∞) r−2 , получаем (3.3.13). 7) Пусть n 2, h > 0. Обозначим через Yh двугранный угол {x : |xn | < hxn−1 }, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω \ QR принадлежит Yh . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство M (r; u) rC/h ,

(3.3.33)

где M (r; u) определено соотношением (15), постоянная C > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Если h 1/4, то (3.3.33) следует из (3.3.13) (см. п. 6) для случая n 3 и п. 1) для случая n = 2). Поэтому можно считать, что h < 1/4. Положим в теореме 3.3.2 δ = 1/2, ν = θ = 2, и пусть x ∈ Ω \ Q4R . Тогда найдется ε > 0, зависящее только от n, такое, что mes(D ∩ Qx2h|x| ) ε(h|x|)n . Таким образом, из (3.3.15) следует, что µ(x; δ, ν)

B , h|x|

где µ(x; δ, ν) определено с помощью (5), постоянная B > 0 зависит только от n. Откуда, в свою очередь, получаем B 2 2 µ (x; δ, ν) ∀r > 4R. inf 2hr x∈Ω∩Qrθ \Q r θ

Тем самым, (1.1.1) будет выполнено, если взять B 2 χ[4R,∞) (r). Λ(r) = 2hr Остается воспользоваться неравенством (3.3.8), и оценка (3.3.33) доказана. 8) Пусть n 2, h > 0. Обозначим через Γh слой {(x , xn ) : |xn | < h, −∞ < xi < ∞, i = 1, . . . , n − 1}, и пусть найдется R > 0 такое, что Ω \ QR принадлежит Γh . Тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство C

M (r; u) e h r ,

(3.3.34)

где M (r; u) определено соотношением (15), постоянная C > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Неравенство (3.3.34) совпадает с аналогичным результатом, приведенным в [33, с. 47, § 6, теорема 6.1]. Ниже покажем, что (3.3.34) может быть также получено из теоремы 3.3.1, что, в частности, свидетельствует о точности оценки (3.3.2). В самом деле, положим в теореме 3.3.1 δ = 1/2, ν = θ = 2, и пусть R∗ = max{4R, 4h}, x ∈ Ω \ QR∗ . Тогда найдется ε > 0, зависящее только от n, такое, что mes(D ∩ Qx2h ) εhn . При этом, очевидно, 2h < δ|x|. Таким образом, из (3.3.15) следует, что µ(x; δ, ν) Bh−1 ,

(3.3.35)

72

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

где µ(x; δ, ν) определено соотношением (5), постоянная B > 0 зависит только от n. Далее из (3.3.35) имеем inf

x∈Ω∩Qrθ \Q r

µ2 (x; δ, ν) B 2 h−2

∀r > 3R∗ .

θ

Поэтому неравенство (1.1.1) будет выполнено, если взять Λ(r) = B 2 h−2 χ(3R∗ ,∞) (r). Для завершения доказательства остается воспользоваться оценкой (3.3.2). 9) Пусть n 3, и пусть для некоторых вещественных чисел 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 найдется измеримая функция Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) такая, что имеют место (3.3.9) и 3.3.1. Тогда из теоремы 3.3.3 следует, что в Ω не существует отличного от тождественного нуля ограниченного неотрицательного решения неравенства (1.2.1), удовлетворяющего условию (20). В частности, если ∞ cap(Di ) = ∞, (3.3.36) Ai(n−2) i=1 где A > 1, Di = D ∩ {x : Ai |x| Ai+1 }, i = 1, 2 . . ., то, полагая σ1 = 1, σ2 = A−1 , σ3 = A−3 , σ4 = A−4 , ∞ Λ(r) = r−n cap(Dj−2 )χ[Aj ,Aj+1 ) (r), j=1

нетрудно убедиться в том, что оба соотношения (3.3.9) и (3.3.1) будут выполнены. В то же время хорошо известно (см. [35, гл. 5, п. 1.1, с. 345, теорема 5.1]), что (3.3.36) является необходимым и достаточным условием отсутствия в Ω ограниченной положительной гармонической функции, равной нулю на ∂Ω. Последнее обстоятельство свидетельствует о точности условия (3.3.1). 3.4. НЕРАВЕНСТВА

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

Пусть τ > 1, R0 > 0, SR0 ∩ Ω = ∅. В этом параграфе будут рассматриваться неравенства Lu c(x)uλ ,

(3.4.1)

Lu c(x)uλ

(3.4.2)

Lu = c(x)uλ sign u,

(3.4.3)

Lu = c(x)uλ sign u,

(3.4.4)

и, соответственно, уравнения

где c : Ω → [0, ∞) — некоторая функция, которая в случаях (3.4.1) и (3.4.3) предполагается локально ограниченной и измеримой. Будем также считать, что для измеримой функции q : [R0 , ∞) → [0, ∞) при всех r ∈ (R0 , ∞) выполнено соотношение q(r) ess

inf

x∈Ω∩Qrτ \(Q r ∪QR0 )

c(x),

(3.4.5)

τ

в случаях (3.4.1) и (3.4.3), либо соотношение q(r)

inf

x∈Ω∩Qrτ \(Q r ∪QR0 ) τ

в случаях (3.4.2)) и (3.4.4).

c(x),

(3.4.6)

3.4. НЕРАВЕНСТВА

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

73

Следствие 3.4.1. Пусть имеет место (3.2.3), тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от n, τ , λ, C1 , C2 , такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (3.4.1) (неравенства (3.4.2)), удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка 1/(1−λ)  r ξq(ξ) dξ  , (3.4.7) M (r; u) A  R0

если 0 λ < 1, и

  1  2 r    ξq(ξ) dξ   , M (r; u) exp A

(3.4.8)

R0

если λ = 1, где M (r; u) определено с помощью (15). Следствие 3.4.2. Пусть λ > 1, и при этом выполнено (3.2.3), тогда решение задачи Дирихле (3.4.3), (12) (задачи Дирихле (3.4.4), (12)) единственно. Более того, в этом случае любое неотрицательное решение неравенства (3.4.1) (неравенства (3.4.2) соответственно) в Ω, удовлетворяющее условию (20) тождественно равно нулю. Следствие 3.4.3. Пусть λ > 1, и при этом имеет место (3.2.19), тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от n, τ , λ, C1 , C2 , такая, что для каждого неотрицательного решения неравенства 3.4.1 (неравенства (3.4.2)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), почти при всех x ∈ Ω \ QR0 (при всех x ∈ Ω \ QR0 соответственно) справедлива оценка −1/(λ−1)  ∞   ξq(ξ) dξ  . (3.4.9) u(x) A  |x|

Следствие 3.4.4. Допустим, что λ = 1 и справедливо (3.2.23), тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от n, τ , λ, C1 , C2 , такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (3.4.1) (неравенства (3.4.2)) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка   r 1 M (r; u) exp A min{ξq(ξ), q 2 (ξ)} dξ  , (3.4.10) R0

где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательства непосредственно получаются из результатов предыдущего параграфа. Пример 3.4.1. Во всех приведенных ниже примерах предполагается, что Ω = Rn \ QR0 , L = ∆. 1) Пусть n 3, функции c и q определены соотношениями (3.2.25) и (3.2.26). Предположим сначала, что 0 < λ < 1, −2 < s, тогда, подставляя (3.2.26) в (3.4.7), получим, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения (3.4.1), (20) при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка M (r; u) Arσ ,

(3.4.11)

где σ = (s + 2)/(1 − λ) > 0, постоянная A > 0 зависит только от n, λ. Покажем, что в Ω существует положительное решение (3.4.1), удовлетворяющее условию (20) и такое, что при r → ∞ левая и правая части (3.4.11) находятся в конечном отношении. Для этого достаточно взять u(x) = (σ(σ + n − 2))−1/(1−λ) (|x|σ − R0σ ) . Пусть, далее, 0 < λ < 1, s = −2, тогда оценка (3.4.7) принимает вид M (r; u) A(ln r)1/(1−λ) ,

(3.4.12)

74

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

где A > 0 зависит только от n, λ. Несложно убедиться, что u(x) = (ln |x|)1/(1−λ) − (ln R0 )1/(1−λ) является положительным решением (3.4.1), (20), для которого обе части (3.4.12) при r → ∞ находятся в конечном отношении. Пусть λ = 1, −2 < s, тогда для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения (3.4.1), (20), согласно следствию 3.4.4, при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство (s+2)/2 , (3.4.13) M (r; u) eAr где постоянная A > 0 зависит только от n, s. Хотя бы одно такое решение существует, причем правая часть (3.4.13) наводит на мысль искать его в виде (s+2)/2 (s+2)/2 − eBR0 . u(x) = eB|x| При этом непосредственные вычисления показывают, что u будет искомым решением, если B 2/(s + 2). Пусть λ = 1, s = −2, тогда (3.4.10) превращается в неравенство M (r; u) rA , где A > 0 зависит только от n. Несложно убедиться, что u(x) = |x|B − R0B при B 1 будет положительным решением (3.4.1), (20). Предположим, что λ > 1, s −2, тогда из следствия 3.4.2 получаем, что решение задачи Дирихле (3.4.3), (12) единственно, и, кроме этого, в Ω каждое неотрицательное решение неравенства (3.4.1), удовлетворяющее условию (20), тождественно равно нулю. В случае s < −2 в Ω всегда существует положительное решение (3.4.1), (20), каким бы ни было значение λ 0. Если s < −2, и одновременно с этим λ > 1, то для каждого такого решения из (3.4.9) почти при всех x ∈ Ω имеем (3.4.14) u(x) A|x|−(s+2)/(λ−1) , где A > 0 зависит только от n, λ, s. Полагая −(s+2)/(λ−1)

u(x) = |x|−(s+2)/(λ−1) − R0

,

непосредственным дифференцированием устанавливаем, что u будет искомым решением. При этом, очевидно, обе части (3.4.14) будут находиться в конечном отношении, когда |x| → ∞. В свою очередь, если s < −2, 0 λ 1, то в качестве искомого решения можно взять (|s|+2)/2

u(x) = eB|x|

(|s|+2)/2

− eBR0

,

где B 2/(|s| + 2). Более того, из рассуждений, приведенных в [54], следует, что соотношение c(x) dx < ∞, c(x) 0, |x|n−2

(3.4.15)

Rn

которое в рассматриваемом случае эквивалентно неравенству s < −2, гарантирует существование у уравнения (3.4.3)) в Ω ограниченного положительного решения, удовлетворяющего условию (20). 2) В качестве примера применения оценки (3.4.8) рассмотрим случай λ = 1, c(x) = 1 при x ∈ Ω и, соответственно, q(r) = 1 при r R0 . Тогда из (3.4.8) для каждого не равного тождественно нулю решения (3.4.1), (20)) при всех r из некоторой окрестности ∞ имеем M (r; u) eAr , где A > 0 зависит только от n. Легко проверить, что u(x) = eB|x| − eBR0 , где B 1, будет указанным выше решением.

3.4 НЕРАВЕНСТВА

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

75

3) Пусть n 3, R0 > e2 , 1 c(x) = |x|−2 ln−1+ε |x| при |x| R0 . 4 Если ε 0, λ > 1, то из следствия 3.4.2 вытекает, что в Ω не существует отличного от тождественного нуля неотрицательного решения неравенства (3.4.1), удовлетворяющего условию (20), и решение задачи Дирихле (3.4.3), (12) является единственным. Предположим, что ε < 0, тогда выполнено (3.4.15), поэтому в Ω при любом λ 0 существует ограниченное положительное решение (3.4.1), (20). При 0 λ 1 независимо от того, какое значение принимает ε, в Ω также существует положительное решение (3.4.1), (20). В качестве такого решения можно, например, взять u(x) = e(ln |x|)

(1+|ε|)/2

− e(ln R0 )

(1+|ε|)/2

.

Определим q : [R0 , ∞) → [0, ∞) равенством  0, R0 r < 2R0 , q(r) = 1 −2 −1+ε − sign(−1+ε)  r ln (2 r), 2R0 r. 16 Учитывая (3.4.10), в случае λ = 1, ε = 0 для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения (3.4.1), (20) получаем оценку M (r; u) (ln r)A , где r изменяется в некоторой окрестности ∞ и A > 0 зависит только от n. В качестве примера такого решения можно привести функцию u(x) = (ln |x|)B − (ln R0 )B , где B 1. Аналогично, если λ = 1, 0 < ε < 1, то неравенство (3.4.10) принимает вид ε

M (r; u) eA(ln r) , где A > 0 зависит только от n, ε. Непосредственным дифференцированием убеждаемся в том, что 1

1

ε

u(x) = e ε (ln |x|) − e ε (ln R0 )

ε

будет положительным решением (3.4.1), (20). Линейный случай λ = 1, ε = 1 рассмотрен в п. 1). В случае λ = 1, ε > 1 из (3.4.10) получаем, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения (3.4.1), (20) при всех r из некоторой окрестности ∞ имеет место неравенство M (r; u) eA(ln r)

(1+ε)/2

,

где A > 0 зависит только от n, ε. Нетрудно видеть, что u(x) = eB(ln |x|)

(1+ε)/2

− eB(ln R0 )

(1+ε)/2

,

где B 1, является примером вышеупомянутого решения. Далее, если 0 λ < 1, ε = 0, то из (3.4.7) получим M (r; u) A(ln ln r)1/(1−λ) ,

(3.4.16)

где A > 0 зависит только от n, λ. Полагая u(x) = (ln ln |x|)1/(1−λ) − (ln ln R0 )1/(1−λ) , непосредственно проверяем, что u является положительным решением (3.4.1), (20), для которого обе части (3.4.16) при r → ∞ находятся в конечном отношении. Наконец, если 0 λ < 1, 0 < ε, то из (3.4.7) получим M (r; u) A(ln r)ε/(1−λ) ,

(3.4.17)

76

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

где постоянная A > 0 зависит только от n, λ, ε. Очевидно также, что в этом случае функция

1 − λ 1/(1−λ) (ln |x|)ε/(1−λ) − (ln R0 )ε/(1−λ) u(x) = ε будет положительным решением (3.4.1), (20) таким, что при r → ∞ левая и правая части (3.4.17) находятся в конечном отношении.

ГЛАВА 4 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ R2 В случае размерности основного пространства n 3 теорема 1.1.1, полученная выше, очевидно, является неулучшаемой. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять a = n − 2, тогда в левой части уравнения (1.1.5) получим радиальную компоненту оператора Лапласа. Разумеется, в случае произвольной размерности n от неравенства a > 0 в условии теоремы 1.1.1 отказаться нельзя, хотя само значение вещственного числа a > 0 может быть произвольным. В то же время, кажется правдоподобным, что при n = 2 в уравнении (1.1.5) все же можно положить a = 0. Доказательству этого утверждения посвящены дальнейшие рассуждения. Всюду ниже будем считать, что L — дифференциальный оператор вида 2 ∂ ∂ aij (x) , (4.0.1) L= ∂xi ∂xj i,j=1

где aij — измеримые функции такие, что aij ≡ aji и для некоторых вещественных чисел C1 > 0 и C2 > 0 при всех x = (x1 , x2 ) ∈ R2 и ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 2

C1 |ξ|

2

aij (x)ξi ξj C2 |ξ|2 .

(4.0.2)

i,j=1

4.1. ТЕОРЕМА

СРАВНЕНИЯ

Теорема 4.1.1. Пусть Ω — непустое открытое подмножество R2 , D = R2 \ Ω, 0 R0 < R ∞, SR0 ∩ Ω = ∅, и пусть 1 < σ, 1 < ν, 0 < δ < 1, 1 + δ < θ, 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 — некоторые вещественные числа, а Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что supp Λ ⊂ [θR0 , ∞) и µ2 (x; δ, ν) + r−2 cap D ∩ Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4 (4.1.1) Λ(r) inf при r > R0 , x∈Ω∩Qrθ \Qr/θ

где µ(x; δ, ν) =

sup ρ∈(0,δ|x|)

ρ−1 cap D ∩ Qxρ , Qxνρ .

(4.1.2)

Пусть, далее, для F : Ω × [0, ∞) → [0, ∞) справедливо свойство i), с. 6, и при этом f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что выполнены соотношения (1.1.2)– (1.1.4). Предположим теперь, что u — неотрицательное решение неравенства (7) в Ω ∩ QR , удовлетворяющее условиям (19) и (17), где M (·; u) определено с помощью (15). Тогда найдутся константы: α > 0, зависящая только от σ, C1 , C2 , β > 0, зависящая только от σ, а также γ > 0, зависящая только от δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 , такие, что существует определенное на всем промежутке [R0 , R) решение обыкновенного дифференциального уравнения 1 (4.1.3) m + m = αf (r, βm) + γΛ(r)m, r удовлетворяющее условиям (1.1.6), для которого при всех r ∈ (R0 , R) будет выполнена оценка (1.1.7).

4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.6)

77

Замечание 4.1.1. Из неравенсва (7) и условия (19), согласно принципу максимума, следует, что M (ρ; u) M (r; u) для всех R0 < ρ r < R. Теорема 4.1.2. Пусть справедливы предположения теоремы 4.1.1. Тогда найдутся константы: α > 0, зависящая только от σ, C1 , C2 , β > 0, зависящая только от σ, а также γ > 0, зависящая только от δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 , такие, r r (4.1.4) M (r; u) − M (R0 + 0; u) ξ ln (αf (ξ, βM (ξ; u)) + γΛ(ξ)M (ξ; u)) dξ ξ R0

что для всех r ∈ (R0 , R), где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательство теоремы 4.1.1. Предположим, что теорема 4.1.2 уже доказана. Заметим прежде всего, что, в силу определения f , для любой измеримой функции ϕ : (R0 , ∞) → (0, ∞) функция f (·, ϕ(·)) тоже является измеримой. Построим последовательность отображений mi : [R0 , R) → (0, ∞), i = 0, 1, 2, . . ., полагая m0 (r) ≡ M (R0 ; u), r r (4.1.5) mi+1 (r) = M (R0 + 0; u) + ξ ln (αf (ξ, βmi (ξ)) + γΛ(ξ)mi (ξ)) dξ, ξ R0

Рассуждая по индукции, несложно убедиться в том, что при всех r ∈ (R0 , R) справедливы неравенства M (r; u) mi (r) и mi+1 (r) mi (r), i = 0, 1, 2, . . .. Очевидно также, что mi (R0 ) = M (R0 + 0; u), i = 0, 1, 2, . . .. Таким образом, существует функция m : [R0 , R) → (0, ∞) такая, что mi (r) → m(r) при i → ∞ ∀r ∈ [R0 , R). Переходя в (4.1.5) к пределу при i → ∞, согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости, получим r r m(r) = M (R0 + 0; u) + ξ ln (αf (ξ, βm(ξ)) + γΛ(ξ)m(ξ)) dξ. ξ R0

Осталось только непосредственным дифференцированием проверить, что m(r) является решением задачи Коши (4.1.3), (1.1.6). Доказательство теоремы 4.1.2, в свою очередь, будет получено, если нам удастся для всех r ∈ [R0 , R) установить справедливость двух приведенных ниже оценок: r r (4.1.6) M (r; u) − M (R0 + 0; u) 2α ξ ln f (ξ, βM (ξ; u)) dξ ξ R0

и

r M (r; u) − M (R0 + 0; u) 2γ

r ξ ln Λ(ξ)M (ξ; u) dξ. ξ

(4.1.7)

R0

Действительно, складывая (4.1.6) и (4.1.7), непосредственно имеем (4.1.4). Заметим также, что теорема 4.1.2 будет доказана в максимальной общности, если ее удастся доказать при дополнительном условии, что граница множества Ω, коэфициенты оператора L, правая часть неравенства (7), а также само решение этого неравенства являются бесконечно гладкими, что в дальнейшем всегда будем предполагать. В самом же общем случае доказательство завершается с помощью предельного перехода, подробно обоснованного в § 1.2. 4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.6)

Итак, пусть σ > 1 — некоторое заданное вещественное число, Ω — непустое открытое подмножество R2 с бесконечно гладкой (возможно пустой) границей, 0 R0 < R ∞, SR0 ∩ Ω = ∅, и ∞ Ω ∩ QR является неотрицательным решением неравенства (7) в Ω ∩ QR , удовлепусть u ∈ C творяющим условиям (19) и (17).

78

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

Будем также считать, что f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция, для которой выполнены соотношения (1.1.2)–(1.1.4). Определим вещественные числа τ и β, полагая 1 1 , β = min β0 , τ = σ2, 32 где β0 > 0 — константа β теоремы 1.1.2, отвечающая случаю n = 2, a = 1. Лемма 4.2.1. Пусть R0 < r 1 < r 2 < R

M (r2 ; u) 16M (r1 ; u).

и

Тогда существует постоянная b > 0, зависящая только от C1 , C2 , такая, что M (r2 ; u) − M (r1 ; u) b(r2 − r1 )2

inf

x∈Ω∩Qr2 \Qr1

F (x, βM (r2 ; u)).

Доказательство этого результата (даже в несколько более общей формулировке) приведено на с. 30. Лемма 4.2.2. Пусть R0 < r1 < r2 < R, τ r1 ρ1 r2 и r1 ρ2 r2 /τ . Тогда r2 ln M (r2 ; u) − M (ρ2 ; u) ρ b1 ρ21 , M (ρ1 ; u) − M (r1 ; u) ln r1 где постоянная b1 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 .

(4.2.1)

Доказательство. Предположим сначала, что √ r2 r2 τ r 1 ρ2 . τ r 1 ρ1 √ и τ τ Рассмотрим решение v1 следующей краевой задачи

v1 Sr = 0, 1

Lv1 = 0 в Qr2 \ Qr1 ,

v1 Sr = M (r2 ; u) − M (r1 ; u). 2

Следуя методам, приведенным в [95], оценим M (ρ1 ; v1 ). Обозначим ω1 = x ∈ Qr2 \ Qr1 : v1 (x) < m1 . m1 = min v1 , Sρ1

В силу принципа максимума, имеем m1 > 0 и

ω1 ⊂ Qρ1 \ Qr1 .

Определим функцию ϕ1 : ω1 ∪ Qr1 → (0, 1] равенством  1 − 1 v (x), x ∈ ω1 , 1 m1 ϕ1 (x) = 1, x ∈ Qr1 . Согласно (4.0.2) и (4), справедлива оценка 2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 aij (x) dx C1 |∇ϕ1 |2 dx C1 cap Qr1 , Qρ1 . ∂xi ∂xj ω1

i,j=1

ω1

С другой стороны, используя формулу Грина, получим 2 1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂v1 dS = − dS, aij (x) dx = ϕ1 ∂xi ∂xj ∂ν m1 ∂ν ω1

i,j=1

(4.2.2)

Sr1

Sr1

где ν — внешняя по отношению к Qr2 \ Qr1 конормаль, определяемая матрицей aij . Пусть теперь ψ1 является решением задачи Дирихле ∆ψ1 = 0 в Qr2 \ Qr1 ,

(4.2.3)

4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

ψ1 Sr = 1,

(4.1.6)

79

ψ1 Sr = 0.

1

2

Тогда, следуя вариационному принципу, находим cap Qr1 , Qr2 =

|∇ψ1 |2 dx.

(4.2.4)

Qr2 \Qr1

Одновременно, полагая w(x) = получим

Qr2 \Qr1

2 i,j=1

M (r2 ; u) − M (r1 ; u) − v1 (x) , M (r2 ; u) − M (r1 ; u)

∂w ∂w aij (x) dx = inf ∂xi ∂xj

2

Qr2 \Qr1

aij (x)

i,j=1

∂ϕ ∂ϕ dx, ∂xi ∂xj

где inf в правой части берется по всем функциям ϕ ∈ C0∞ (Qr2 ), равным тождественно единице в окрестности Qr1 . Таким образом, 2 2 ∂ψ1 ∂ψ1 ∂w ∂w aij (x) dx aij (x) dx, ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj Qr2 \Qr1

i,j=1

Qr2 \Qr1

i,j=1

откуда, учитывая (4.0.2) и (4.2.4), получим 2 1 ∂w ∂w ∂w ∂v1 C2 cap Qr1 , Qr2 dS = − dS. aij (x) dx = w ∂xi ∂xj ∂ν M (r2 ; u) − M (r1 ; u) ∂ν Qr2 \Qr1

i,j=1

Sr1

Sr1

Последнее соотношение, а также соотношения (4.2.2) и (4.2.3) дают следующую оценку: C2 cap Qr1 , Qr2 m1 . (4.2.5) M (r2 ; u) − M (r1 ; u) C1 cap Qr1 , Qρ1 В то же время найдутся натуральное число N и вещественное число ε > 0, зависящие только от τ , такие, что для некоторой последовательности точек zj ∈ Sρ1 , j = 1, . . . , N , справедливы z следующие утверждения: v1 (z1 ) = m1 , v1 (zN ) = M (ρ1 ; v1 ), Qρj1 ε ⊂ Qr2 \ Qr1 при j = 1, . . . , N и z z = ∅ при j = 1, . . . , N − 1. Qρj1 ε/2 ∩ Qρj+1 1 ε/2 По теореме Харнака [99] существует константа b0 > 0, зависящая только от C1 , C2 , такая, что sup v1 b0 inf v1 , z Qρj ε/2

z

Qρj ε/2

j = 1, . . . , N.

1

1

Тем самым, справедливо неравенство M (ρ1 ; u) bN 0 m1 , откуда, в силу (4.2.5), находим

cap Qr1 , Qr2 M (ρ1 ; v1 ) , b2 M (r2 ; u) − M (r1 ; u) cap Qr1 , Qρ1

(4.2.6)

где постоянная b2 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Так как правая часть (7) является неотрицательной функцией, то, применяя принцип максимума, получим (4.2.7) u(x) − M (r1 ; u) v1 (x) для всех x ∈ Ω ∩ Qr2 \ Qr1 . Таким образом, M (ρ1 ; u) − M (r1 ; u) M (ρ1 ; v1 ),

80

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

поэтому из (4.2.6) следует, что

cap Qr1 , Qr2 M (ρ1 ; u) − M (r1 ; u) . b2 M (r2 ; u) − M (r1 ; u) cap Qr1 , Qρ1

(4.2.8)

Далее рассмотрим функцию v2 (x) = M (r2 ; u) − M (r1 ; u) − v1 (x). Обозначим

ω2 = x ∈ Qr2 \ Qr1 : v2 (x) > m2 .

m2 = max v2 , Sρ2

Из принципа максимума имеем M (r2 ; u) − M (r1 ; u) > m2 и ω2 ⊂ Qρ2 \ Qr1 . Считаем, что ω2 имеет бесконечно гладкую границу, в противном случае, в силу теоремы Сарда [106], добьемся этого малым изменением величины m2 . Положим   1 v (x), x ∈ Qr2 \ ω2 , 2 ϕ2 (x) = m2 1, x ∈ ω2. Согласно вариационному принципу, 2 ∂ϕ2 ∂ϕ2 aij (x) dx = inf ∂xi ∂xj Qr2 \ω 2

i,j=1

2

aij (x)

i,j=1

Qr2 \ω 2

∂ϕ ∂ϕ dx, ∂xi ∂xj

(4.2.9)

где inf в правой части берется по всем функциям ϕ ∈ C0∞ (Qr2 ) таким, что ϕ ≡ 1 в окрестности ω 2 . Пусть ψ2 является решением краевой задачи ∆ψ2 = 0 в Qr2 \ ω 2 ,

ψ2 ∂ω2 = 1. ψ2 Sr = 0, 2

Тогда, очевидно,

2

2

|∇ψ2 | dx

C2 cap (ω 2 , Qr2 ) = C2 Qr2 \ω 2

Qr2 \ω 2

aij (x)

i,j=1

∂ψ2 ∂ψ2 dx; ∂xi ∂xj

отсюда, учитывая (4.2.9), получим

2

C2 cap Qρ2 , Qr2 C2 cap (ω 2 , Qr2 ) Qr2 \ω 2

aij (x)

i,j=1

∂ϕ2 ∂ϕ2 dx. ∂xi ∂xj

С другой стороны, по формуле Грина 2 1 ∂ϕ2 ∂ϕ2 ∂ϕ2 ∂v2 dS dS, aij (x) dx = ∂xi ∂xj ∂ν m2 ∂ν Qr2 \ω 2

i,j=1

∂ω2

(4.2.10)

(4.2.11)

∂ω2

где ν — внешняя по отношению к Qr2 \ ω 2 конормаль, определяемая матрицей aij . В то же время, ∂v2 ∂v2 ∂w dS = dS = (M (r2 ; u) − M (r1 ; u)) dS = ∂ν ∂ν ∂ν Sr1

∂ω2

= (M (r2 ; u) − M (r1 ; u)) (M (r2 ; u) − M (r1 ; u)) C1 Qr2 \Qr1

Qr2 \Qr1

Sr1 2 i,j=1

aij (x)

∂w ∂w dx ∂xi ∂xj

|∇w|2 dx (M (r2 ; u) − M (r1 ; u)) C1 cap Qr1 , Qr2 .

(4.2.12)

4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.6)

81

Объединяя вместе (4.2.10), (4.2.11) и (4.2.12), имеем

C1 cap Qr1 , Qr2 m2 , M (r2 ; u) − M (r1 ; u) C2 cap Qρ2 , Qr2

откуда, используя неравенство Харнака, немедленно получаем min v2 Sρ2 cap Qr1 , Qr2 , b3 M (r2 ; u) − M (r1 ; u) cap Qρ2 , Qr2 где постоянная b3 > 0 зависит от τ , C1 , C2 . Заметим далее, что в силу (4.2.7), M (ρ2 ; u) − M (r1 ; u) M (ρ2 ; v1 ), поэтому min v2 = M (r2 ; u) − M (r1 ; u) − M (ρ2 ; v1 ) M (r2 ; u) − M (ρ2 ; u). Sρ2

Следовательно,

cap Qr1 , Qr2 M (r2 ; u) − M (ρ2 ; u) . b3 M (r2 ; u) − M (r1 ; u) cap Qρ2 , Qr2

(4.2.13)

Из последнего соотношения, а также из (4.2.8) находим

b3 cap Qr1 , Qρ1 M (r2 ; u) − M (ρ2 ; u) . M (ρ1 ; u) − M (r1 ; u) b2 cap Qρ2 , Qr2

Осталось только заметить, что для любых вещественных чисел 0 < ρ < ξ 2π cap Qρ , Qξ = , ξ ln ρ √ √ / τ и τ r1 ρ2 r2 /τ полностью доказано. и (4.2.1) в случае √ τ r1 ρ1 r2√ В случае r2 / τ < ρ1 r2 и τ r1 ρ2 r2 /τ имеем M (ρ1 ; u) − M (r1 ; u) M (r2 ; u) − M (r1 ; u)

(4.2.14)

(4.2.15)

и

ρ1 r2 2 ln . (4.2.16) r1 r1 Таким образом, (4.2.1) непосредственно√следует из (4.2.13) √ и (4.2.14). Аналогично в случае τ r1 ρ1 r2 / τ и r1 ρ2 < τ r1 , повторяя рассуждения, с помощью которых было доказано (4.2.13), получим √ cap Qr1 , Qr2 M (r2 ; u) − M ( τ r1 ; u)

, (4.2.17) b3 M (r2 ; u) − M (r1 ; u) cap Q√τ r1 , Qr2 ln

откуда, учитывая (4.2.8), (4.2.15) и тривиальные неравенства

√ M (r2 ; u) − M (ρ2 ; u) M (r2 ; u) − M ( τ r1 ; u)

и ln

r2 r2 ln √ , ρ2 τ r1

(4.2.18) (4.2.19)

снова приходим к (4.2.1).√ √ Наконец, в случае r2 / τ < ρ1 r2 и r1 ρ2 < τ r1 (4.2.1) вытекает из (4.2.14)–(4.2.19). Лемма 4.2.3. Пусть R0 < ρ < r < R, и при этом для любых ξ1 , ξ2 ∈ [ρ, r] таких, что ξ2 /τ ξ1 < ξ2 , справедливо неравенство M (ξ2 ; u) 4M (ξ1 ; u). Тогда r r (4.2.20) M (r; u) − M (ρ; u) b4 ξ ln f (ξ, βM (ξ; u)) dξ, ξ ρ

где постоянная b4 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 .

82

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

Доказательство. Предположим сначала, что r τ 2 ρ. Найдется вещественное число ξ∗ ∈ (ρ, r) такое, что r r r ξ ln f (ξ, βM (ξ; u)) dξ (r − ρ)ξ∗ ln f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)). ξ ξ∗ ρ

Одновременно по лемме 4.2.1 M (r; u) − M (ρ; u) b(r − ρ)2 f (ξ∗ , βM (ξ∗ ; u)), откуда, учитывая, что ξ∗ ln

r r − ξ∗ r − ρ, ξ∗

немедленно получаем (4.2.20). Пусть теперь τ 2 ρ < r. Построим последовательность {ri }∞ i=1 вещественных чисел, полагая ri = −i rτ , i = 1, 2, . . . . Обозначим через k наибольшее натуральное число такое, что ρ rk и rk+1 < ρ. Далее рассмотрим функцию Грина G оператора L в круге Qr : LG(x, y) = −δ(x − y)

при

x, y ∈ Qr ,

и y ∈ Qr .

x ∈ Sr ,

G(x, y) = 0 при

В силу принципа максимума, G(x, y) > 0 для всех x, y ∈ Qr . Возьмем точку y ∈ Sρ ∩ Ω, для которой u(y) = M (ρ; u). Согласно формуле Грина ∂G(x, y) ∂u(x) u(x) dSx − G(x, y) dSx − F (x, u(x))G(x, y) dx, u(y) = ∂νx ∂νx Sr ∩Ω

(4.2.21)

Qr ∩Ω

Qr ∩∂Ω

где νx — внутренняя по отношению к Qr ∩ Ω конормаль, определяемая матрицей aij . Поскольку u и G(·, y) не отрицательны в Qr ∩ Ω, то справедливы неравенства

∂u

∂G(x, y)

0 и 0. ∂νx x∈Sr ∩Ω ∂νx Qr ∩∂Ω С другой стороны, по известному свойству функции Грина ∂G(x, y) dSx = 1. ∂νx Sr

Таким образом, из (4.2.21) находим

M (r; u) − M (ρ; u)

F (x, u(x))G(x, y) dx.

(4.2.22)

Qr ∩Ω

Для правой части (4.2.22) справедливо неравенство F (x, u(x))G(x, y) dx F (x, u(x))G(x, y) dx Qr ∩Ω

=

k−2 i=1

Qr1 ∩Ω

F (x, u(x))G(x, y) dx +

Qri \Qri+1 ∩Ω

F (x, u(x))G(x, y) dx.

Qrk−1 \Qρ ∩Ω

Согласно [95], min G(x, y) b5 ln

x∈Qξ

r ξ

для любого ξ ∈ [rk−1 , r1 ], где постоянная b5 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 .

(4.2.23)

4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.6)

83

Тем самым,

r inf F (x, u(x))G(x, y) dx b5 ln mes Qy(rii −ri+1 )/2 ∩ ωi F (x, βM (ri ; u)) ri x∈Qri \Qri+1 ∩Ω

Qri \Qri+1 ∩Ω

(4.2.24) для любого i ∈ {1, . . . , k − 2}, где

ri+1 + ri ;u , u(yi ) = M yi ∈ S(ri+1 +ri )/2 ∩ Ω, 2 ri+1 + ri 1 ;u . ωi = x ∈ Ω : u(x) > M 2 2 Найдется константа b6 > 0, зависящая только от C1 , C2 , такая,что

mes Qy(rii −ri+1 )/2 ∩ ωi > b6 (ri − ri+1 )2 .

В самом деле, в противном случае, применяя лемму 1.3.1 к функции ri+1 + ri 1 ui (x) = u(x) − M ;u , 2 2 определенной в Qy(rii −ri+1 )/2 ∩ ωi , получим y

sup

Q(ri

i −ri+1 )/2

∩ωi

или, другими словами,

ui > 8ui (yi ),

M (ri ; u) > 4M

ri+1 + ri ;u , 2

что противоречит условию леммы 4.2.3. Следовательно, из (4.2.24) находим r F (x, u(x))G(x, y) dx b7 (ri − ri+1 )2 ln ri Qri \Qri+1 ∩Ω

inf

x∈Qri \Qri+1 ∩Ω

F (x, βM (ri ; u)) ,

где b7 = b5 b6 , откуда, ввиду очевидных соотношений ri −ri+1 = (1−1/τ )ri и ln(r/ri ) ln(r/ri+1 )/2, получим ri r F (x, u(x))G(x, y) dx b8 ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ, ξ Qri \Qri+1 ∩Ω

ri+1

i = 1, . . . , k − 2, где константа b8 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Совершенно аналогично доказывается, что для некоторой постоянной b9 > 0, зависящей только от τ , C1 , C2 , справедлива оценка rk−1

r ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ. ξ

F (x, u(x))G(x, y) dx b9 Qrk−1 \Qρ ∩Ω

ρ

Таким образом, (4.2.20) непосредственно следует из (4.2.22) и (4.2.23). Лемма 4.2.4. Пусть R0 < ρ < r1 < r < R и 2M (r1 ; u) = M (r; u). Тогда r M (r; u) − M (r1 ; u) b10 ln r1

r1 ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ, ρ

где константа b10 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 .

(4.2.25)

84

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

Доказательство. Предположим сначала, что τ 2 r1 r. Полагая в теореме 1.1.2 n = 2, a = 1 (см. также замечание 1.1.1), имеем r r1 ξ r1 f (ξ; β0 M (ξ; u)) dξ α0 1 − ξf (ξ; β0 M (ξ; u)) dξ, M (r; u) − M (ρ; u) α0 ξ 1 − r r ρ

ρ

откуда, учитывая, что ln(r/r1 ) (r − r1 )/r1 τ 2 (r − r1 )/r и 1 M (r; u) − M (r1 ; u) = M (r; u), 2

(4.2.26)

получим (4.2.25). Пусть теперь τ 2 r1 < r. Построим последовательность {ri }∞ i=0 вещественных чисел, полагая ri = r1 τ 1−i , i = 0, 1, 2, . . . . Обозначим через k наибольшее натуральное число такое, что ρ ri для любого i ∈ {1, . . . , k} и одновременно M (ri ; u) 2M (ri−1 ; u). В соответствии с леммой 4.2.3, r r1 r r ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ. M (r; u) − M (rk ; u) b4 ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ b4 ln ξ r1 rk

rk

Тем самым, в силу (4.2.26), 1 r M (r; u) − M (r1 ; u) b4 ln 2 r1

r1 (4.2.27)

ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ. rk

Допустим сначала, что ρ rk+1 . Полагая в теореме 1.1.2 n = 2, a = 1 (см. также замечание 1.1.1), получим rk+1 rk 1 ξ f (ξ; β0 M (ξ; u)) dξ α0 1 − M (rk ; u) − M (ρ; u) α0 ξ 1 − ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ, rk τ ρ

ρ

откуда, согласно неравенству 2M (rk+1 ; u) M (rk ; u), находим α0 M (rk ; u) − M (rk+1 ; u) 2

rk+1 1 1− ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ. τ

(4.2.28)

ρ

Вместе с тем по лемме 4.2.2 r r1 (M (rk ; u) − M (rk+1 ; u)) . M (r; u) − M (r1 ; u) b1 ln τ Тем самым, (4.2.28) переписывается следующим образом: ln

r M (r; u) − M (r1 ; u) b11 ln r1

rk+1

(4.2.29)

ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ, ρ

где постоянная b11 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Далее, по лемме 4.2.1 2

M (rk−1 ; u) − M (rk ; u) b(rk−1 − rk )

rk inf

x∈Ω∩Qrk−1 \Qr

k

F (x, βM (rk−1 ; u)) b12

ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ,

rk+1

где постоянная b12 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . В то же время, применяя лемму 4.2.2, имеем r ln r1 (M (rk−1 ; u) − M (rk ; u)) . M (r; u) − M (r1 ; u) b1 ln τ

4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.6)

85

Следовательно, справедлива оценка r M (r; u) − M (r1 ; u) b13 ln r1

rk ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ,

(4.2.30)

rk+1

где постоянная b13 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Наконец, складывая (4.2.27), (4.2.29) и (4.2.30), находим (4.2.25). Допустим теперь, что rk+1 < ρ rk . В этом случае, повторяя дословно рассуждения, с помощью которых было получено (4.2.30), находим r M (r; u) − M (r1 ; u) b14 ln r1

rk ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ, ρ

где константа b14 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Складывая последнее неравенство с (4.2.27), снова приходим к (4.2.25). Таким образом, лемма 4.2.4 полностью доказана. Доказательство соотношения (4.1.6). Положим b4 b10 , , α = min 4 4 где b4 и b5 — константы лемм 4.2.3 и 4.2.4 соответственно. Пусть r ∈ (R0 , R) — некоторое фиксированное вещественное число. Докажем, что r r M (r; u) − M (ρ; u) 2α ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ ξ

(4.2.31)

ρ

для любого ρ ∈ (R0 , r). Тогда устремляя ρ к R0 , очевидно, получим (4.1.6). Итак, пусть ρ ∈ (R0 , r). Доказательство (4.2.31) будем вести индукцией по минимальному натуральному числу N такому, что 2N M (ρ; u) M (r; u). База индукции. В случае N = 1 неравенство (4.2.31) получается непосредственным применением леммы 4.2.3. Индуктивный шаг. Предположим, что для всех N N0 неравенство (4.2.31) верно. Докажем, что оно справедливо и для N = N0 + 1. Возьмем точку r1 ∈ (ρ, r) такую, что 2M (r1 ; u) = M (r; u). Согласно предположению индукции, r1 r1 (4.2.32) M (r1 ; u) − M (ρ; u) 2α ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ. ξ ρ

С другой стороны, по лемме 4.2.3 r M (r; u) − M (r1 ; u) 4α

r ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ ξ

r1

и одновременно по лемме 4.2.4 r M (r; u) − M (r1 ; u) 4α ln r1

r1 ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ. ρ

Складывая два последних неравенства, получим r r1 r r ξf (ξ; βM (ξ; u)) dξ. M (r; u) − M (r1 ; u) 2α ξ ln f (ξ; βM (ξ; u)) dξ + 2α ln ξ r1 r1

В свою очередь, прибавляя (4.2.33) к (4.2.32), получим (4.2.31).

ρ

(4.2.33)

86

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

4.3.

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

R2

(4.1.7)

Ниже будем предполагать, что 1 < ν, 0 < δ < 1, 1+δ < θ, 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 — некоторые заданные вещественные числа. Кроме этого, как и прежде, считаем, что Ω — непустое открытое (возможно пустой) границей, D = R2 \Ω, 0 R0 < R ∞, подмножество R2 с бесконечно гладкой SR0 ∩Ω = ∅, и при этом u ∈ C ∞ Ω ∩ QR — неотрицательное решение неравенства (1.2.1) в Ω∩QR , удовлетворяющее условиям (19) и (17), где L — оператор вида (4.0.1). Наконец, под Λ будем подразумевать измеримую функцию Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) такую, что supp Λ ⊂ [θR0 , ∞), и при этом справедлива оценка 4.1.1. ˜ σ ˜1 , σ ˜2 , σ ˜3 , σ ˜4 такие, чтобы были выполнены соотношения 1 + δ < θ0 < Возьмем константы θ0 , θ, ˜ ˜4 < σ ˜ 3 < σ3 и σ 2 < σ ˜2 < σ ˜ 1 < σ1 . θ < θ, σ4 < σ Обозначим через E0 множество вещественных чисел ρ ∈ (R0 , ∞), для которых µ2 (x; δ, ν), ρ−2 cap D ∩ Qσ2 ρ \ Qσ3 ρ , Qσ1 ρ \ Qσ4 ρ > inf x∈Ω∩Qρθ0 \Qρ/θ0

где µ(x; δ, ν) определено с помощью (4.1.2). Пусть ρ0 ∈ E0 , тогда найдется открытая окрестность Uρ0 точки ρ0 такая, что для всех ρ ∈ Uρ0 ρ−2 cap D ∩ Qσ˜2 ρ \ Qσ˜3 ρ , Qσ˜1 ρ \ Qσ˜4 ρ > µ2 (x; δ, ν). (4.3.1) inf x∈Ω∩Qρθ˜\Qρ/θ˜

Тем самым, существует открытое, а поэтому измеримое множество E такое, что E0 ⊂ E ⊂ (R0 , ∞) и для любого ρ ∈ E имеет место (4.3.1). Определим измеримые функции Λ1 и Λ2 равенствами 1 Λ1 (ρ) = χ(r0 ,∞)\E (ρ)Λ(ρ) 2 и 1 Λ2 (ρ) = χE (ρ)Λ(ρ), 2 где χω — характеристическая функция множества ω. Из (4.1.1) следует, что для любого ρ ∈ (R0 , ∞) справедлива оценка µ2 (x; δ, ν) + ρ−2 cap D ∩ Qρσ2 \ Qρσ3 , Qρσ1 \ Qρσ4 . Λ(ρ) inf x∈Ω∩Qρθ0 \Qρ/θ0

С другой стороны, inf

x∈Ω∩Qρθ0 \Qρ/θ0

µ2 (x; δ, ν) ρ−2 cap D ∩ Qσ2 ρ \ Qσ3 ρ , Qσ1 ρ \ Qσ4 ρ

для всякого ρ ∈ (R0 , ∞) \ E, поэтому для любого ρ ∈ (R0 , ∞) имеем Λ1 (ρ)

inf

x∈Ω∩Qρθ0 \Qρ/θ0

µ2 (x; δ, ν).

(4.3.2)

Точно также из (4.1.1) следует, что Λ(ρ)

inf

x∈Ω∩Qρθ˜\Qρ/θ˜

µ2 (x; δ, ν) + ρ−2 cap D ∩ Qρ˜σ2 \ Qρ˜σ3 , Qρ˜σ1 \ Qρ˜σ4

для всех ρ ∈ (R0 , ∞), откуда, в силу (4.3.1), находим Λ2 (ρ) ρ−2 cap D ∩ Qρ˜σ2 \ Qρ˜σ3 , Qρ˜σ1 \ Qρ˜σ4

(4.3.3)

для любого ρ ∈ (R0 , ∞). Если нам удастся установить при всех r ∈ (R0 , ∞) справедливость двух следующих оценок: r r (4.3.4) M (r; u) − M (R0 + 0; u) γ1 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ ξ R0

и

r M (r; u) − M (R0 + 0; u) γ2 R0

r ξ ln Λ2 (ξ)M (ξ; u) dξ, ξ

(4.3.5)

4.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.7)

87

где постоянные γ1 > 0 и γ2 > 0 зависят только от δ, ν, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 , то, складывая (4.3.4) и (4.3.5), очевидно, получим (4.1.7) с константой γ = min{γ1 , γ2 }/4. Фиксируем вещественное число τ ∈ (1 + δ, θ0 ), и обозначим через η некоторую константу, удовлетворяющую неравенствам 1 < η ν, ηδ < 1 и 1 + δη < τ . Положим также ζ = min {τ /(1 + δη), θ0 /τ }. Нам потребуются следующие результаты (подробное доказательство см. с. 44 и с. 47). Лемма 4.3.1. Пусть R0 < r1 < r2 < R, r2 τ r1 и 2M (r1 ; u) M (r2 ; u) 4M (r1 ; u). Тогда

M (r2 ; u) − M (r1 ; u) B1 (r2 − r1 )2 λ2 M (r2 ; u),

где λ=

inf

sup

x∈Ω∩Qζr1 \Qr1 ξ∈(0,δ|x|)

ξ

−1

x x cap D ∩ Qξ , Qηξ ,

(4.3.6)

постоянная B1 > 0 зависит только от η, ζ, τ , C1 , C2 . Лемма 4.3.2. Пусть R0 < r1 < R/τ , и при этом 4M (r1 ; u) M (τ r1 ; u). Тогда

M (τ r1 ; u) − M (r1 ; u) B2 r12 λ2 M (τ r1 ; u), где λ определено с помощью (4.3.6), постоянная B2 > 0 зависит только от η, ζ, τ , C1 , C2 . Таким образом (см. с. 47 и с. 48), справедливы следующие два утверждения.

Следствие 4.3.1. Пусть R0 < r1 < r2 < R, r2 τ r1 , max {R0 , r1 /τ } < ξ∗ < r2 , и при этом 2M (r1 ; u) M (r2 ; u) 4M (r1 ; u). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) B3 (r2 − r1 )2 Λ(ξ∗ )M (ξ∗ ; u),

(4.3.7)

где постоянная B3 > 0 зависит только от ν, δ, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Следствие 4.3.2. Пусть R0 < r1 < r2 < R, τ r1 r2 τ 2 r1 , max R0 , r2 /τ 2 < ξ∗ < r2 , и при этом M (r2 ; u) 4M (r1 ; u). Тогда M (r2 ; u) − M (r1 ; u) B4 (r2 − r1 )2 Λ(ξ∗ )M (ξ∗ ; u), (4.3.8) где постоянная B4 > 0 зависит только от ν, δ, θ, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Замечание 4.3.1. Из следствий 4.3.1 и 4.3.2 вытекает, что если в (4.3.7) и (4.3.8) Λ(ξ∗ ) заменить на Λ1 (ξ∗ ), то константы B3 > 0 и B4 > 0 будут зависеть только от ν, δ, θ, C1 , C1 . Далее, если в (4.3.7) и (4.3.8) Λ(ξ∗ ) заменить на Λ2 (ξ∗ ), то B3 > 0 и B4 > 0 будут зависеть только от τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Лемма 4.3.3. Пусть R0 < ρ < r1 < r < R, τ r1 r и 2M (r1 ; u) M (r; u). Тогда r1 r ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, M (r; u) − M (r1 ; u) B5 ln r1

(4.3.9)

ρ

где постоянная B5 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . 1−i , Доказательство. Построим последовательность {ri }∞ i=0 вещественных чисел, полагая ri = r1 τ i = 0, 1, 2, . . . . Обозначим через k наибольшее натуральное число такое, что rk > ρ и 2M (ri ; u) M (ri−1 ; u) для любого i ∈ {1, . . . , k}. Предположим сначала, что rk+1 ρ. Тогда, очевидно, найдется ξ∗ ∈ (ρ, rk ) такое, что rk ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ (rk − ρ)ξ∗ Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u). ρ

88

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

Одновременно, согласно следствию 4.3.2, M (rk−1 ; u) − M (rk ; u) B4 (τ1 − 1)2 rk2 Λ(ξ∗ )M (ξ∗ ; u). Объединяя два последних неравенства, получим rk M (rk−1 ; u) − M (rk ; u) B6

ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, ρ

где B6 = B4 (τ − 1)2 . С другой стороны, по лемме 4.2.2 r r1 (M (rk−1 ; u) − M (rk ; u)) . τ

ln M (r; u) − M (r1 ; u) b1 Таким образом,

r M (r; u) − M (r1 ; u) B7 ln r1

rk (4.3.10)

ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, ρ

где постоянная B7 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . Пусть теперь ρ < rk+1 . Тогда, повторяя предыдущие рассуждения с заменой ρ на rk+1 , получим r M (r; u) − M (r1 ; u) B8 ln r1

rk (4.3.11)

ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, rk+1

где постоянная B8 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . В то же время, полагая в теореме 1.1.2 n = 2 и a = 1 (см. также замечание 1.1.1), находим rk+1 rk 1 ξ Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ γ0 1 − ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ; M (rk ; u) − M (rk+1 ; u) γ0 ξ 1 − rk τ ρ

ρ

откуда согласно лемме 4.2.2 следует, что r M (r; u) − M (r1 ; u) B9 ln r1

rk+1

ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, ρ

где постоянная B9 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . Складывая последнее неравенство с неравенством (4.3.11), снова получаем (4.3.10), где B7 = min{B8 , B9 }/2. Если k = 1, то (4.3.9) непосредственно следует из (4.3.10). Поэтому можно считать, что k 2. Обозначим через s максимальное натуральное число такое, что 1 s < k и r2 (1 − δη) < rs . Для каждого i ∈ {1, . . . , s} через Ξi мы также обозначим множество натуральных чисел j таких, что i j < k и j − i ≡ 0 (mods). Очевидно, r r1 s j ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ = ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ. (4.3.12) rk

i=1 j∈Ξi r j+1

Пусть i ∈ {1, . . . , s} фиксировано, j ∈ Ξi , Iij = [rj+1 (3 + ζ)/4, rj+1 (1 + 3ζ)/4]. Несложно увидеть, что Iij ⊂ (rj+1 , ζrj+1 ). Для каждого t ∈ Iij найдутся a ∈ (0, δt) и x ∈ Ω ∩ St такие, что M (t; u) = u(x) и λij , (4.3.13) a−1 cap D ∩ Qxa , Qxηa 2 где

λij = inf sup ξ −1 cap D ∩ Qyξ , Qyηξ . (4.3.14) y∈Ω∩Qζrj+1 \Qrj+1 ξ∈(0,δ|y|)

4.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Положим Vt = (t − ηa, t + ηa), Ii =

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.7)

89

Iij .

j∈Ξi

По определению Ξi , если t ∈ Iij и t ∈ Iij , где j , j ∈ Ξi и j = j , то Vt ∩ Vt = ∅. Выделим из покрытия {Vt }t∈Ii компакта Ii конечное подпокрытие Ii ⊂

Ni

Vtn .

n=1

Среди всех интервалов Vtn , n = 1, . . . , Ni , найдется интервал, имеющий наибольшую длину. Без ограничения общности можно считать, что этот интервал есть Vt1 = (t1 − ηa1 , t1 + ηa1 ). Обозначим V˜t1 = (t1 − 3ηa1 , t1 + 3ηa1 ). Среди всех интервалов Vtn , n = 1, . . . , Ni , не пересекающихся с Vt1 , в свою очередь, найдется интервал, имеющий максимальную длину. Без ограничения общности считаем, что этот интервал есть Vt2 = (t2 − ηa2 , t2 + ηa2 ). Положим V˜t2 = (t2 − 3ηa2 , t2 + 3ηa2 ). Далее, среди интервалов Vtn , n = 1, . . . , Ni , не пересекающихся с Vt1 и Vt2 , снова возьмем интервал максимальной длины. Считая, что этот интервал есть Vt3 = (t3 − ηa3 , t3 + ηa3 ), обозначим V˜t3 = (t3 − 3ηa3 , t3 + 3ηa3 ). Тем самым, продолжая этот процесс, получим конечные последовательности вещественных чисел tn , an , интервалов Vtn = (tn − ηan , tn + ηan ), V˜tn = (tn − 3ηan , tn + 3ηan ) и точек xn такие, что tn ∈ Ii , an ∈ (0, δtn ), xn ∈ Ω ∩ Stn , n = 1, . . . , ni Ni , причем Vtn ∩ Vtm = ∅, n = m, V˜tn Iij ⊂

u(xn ) = M (tn ; u),

(4.3.15)

tn ∈Iij , n=1,...,ni

и для любого j ∈ Ξi или, другими словами, Qxηann ∩ Qxηamm = ∅, и

и для любого j ∈ Ξi . Для любых j ∈ Ξi и tn ∈ Iij имеем

an

tn ∈Iij , n=1,...,ni

n = m,

ζ −1 rj+1 12η

λ ij an , cap D ∩ Qxann , Qxηann le2 где λij определено с помощью (4.3.14). Положим ni D ∩ Qxann . Di =

(4.3.16) (4.3.17)

(4.3.18)

(4.3.19)

n=1

Так как D = R2 \ Ω имеет бесконечно гладкую границу, то граница множества Di является кусочно-гладкой. Рассмотрим функцию v такую, что Lv = 0 в Qr \ Di ,

(4.3.20) v =0 v = 1, Di

Sr

(напоминаем, что i ∈ {1, . . . , s} фиксировано). Пусть также G(x, y) — функция Грина оператора L в Ω ∩ Qr , т.е LG(x, y) = −δ(x − y)

при

x, y ∈ Ω ∩ Qr ,

G(x, y) = 0 при x ∈ ∂ (Ω ∩ Qr ) , y ∈ Ω ∩ Qr . Согласно принципу максимума, 0 < v(x) < 1 для всех x ∈ Qr \ Di , и G(x, y) > 0 для всех x, y ∈ Ω ∩ Qr .

90

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

√ Возьмем точку y ∈ Ω ∩ S√r1 r такую, что u(y) = M ( r1 r; u). Применяя формулу Грина, получим ∂u(x) ∂G(x, y) u(y) = u(x) dSx − G(x, y) dSx − Lu(x)G(x, y) dx, ∂νx ∂νx Ω∩Sr

Ω∩Qr

Qr ∩∂Ω

где νx — внутренняя по отношению к Ω ∩ Qr конормаль, определяемая матрицей aij , откуда, учитывая (1.2.1), а также неравенство

∂u

0, ∂νx

Qr ∩∂Ω

находим

u(x) Ω∩Sr

∂G(x, y) dSx − u(y) 0. ∂νx

(4.3.21)

В силу положительности функции G(·, y),

∂G(x, y)

0. ∂νx x∈Ω∩Sr

В то же время

Ω∩Sr

∂G(x, y) dSx = 1 − ∂νx

Qr ∩∂Ω

Таким образом, из (4.3.21) следует, что

∂G(x, y) dSx . ∂νx

√ M (r; u) − M ( r1 r; u) M (r; u)

Qr ∩∂Ω

С другой стороны, по формуле Грина ∂G(x, y) v(y) = v(x) dSx ∂νx Qr ∩∂Ω

Qr ∩∂Ω

∂G(x, y) dSx . ∂νx

∂G(x, y) dSx . ∂νx

Объединяя два последних неравенства, получим √ M (r; u) − M ( r1 r; u) v(y)M (r; u).

(4.3.22)

Следуя [95], оценим v(y). Обозначим

√ ω = {x ∈ Qr : v(x) M ( r1 r; v)} .

Считаем, что ω имеет бесконечно гладкую границу; в противном случае, в силу теоремы Сарда √ [106], добьемся этого малым изменением величины M ( r1 r; v), входящей в определение ω. По принципу максимума √ 0 < M ( r1 r; v) < 1 и Di ⊂ ω ⊂ Q√r1 r . Рассмотрим функцию

 

1 v(x), √ ϕ(x) = M ( r1 r; u)  1, Согласно вариационному принципу, 2 ∂ϕ ∂ϕ amn (x) dx = inf ∂xm ∂xn Qr \ω

m,n=1

Qr \ω

x ∈ Q√r1 r \ ω, x ∈ ω. 2 m,n=1

amn (x)

∂ ϕ˜ ∂ ϕ˜ dx, ∂xm ∂xn

(4.3.23)

где inf в правой части берется по всем функциям ϕ˜ ∈ C0∞ (Qr ), равным тождественно единице в окрестности ω. Пусть теперь ψ является решением краевой задачи ∆ψ = 0 в

Q√r1 r \ ω,

4.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ψ ∂ω = 1,

СООТНОШЕНИЯ

ψ S√

r1 r

Принимая во внимание (4.0.2) и (4.3.23), находим |∇ψ|2 dx C2 cap (ω, Qr ) = C2 Qr \ω

2

Qr \ω

В силу монотонности емкости,

m,n=1

amn (x)

m,n=1

∂ψ ∂ψ dx ∂xm ∂xn

∂ϕ ∂ϕ dx. ∂xm ∂xn

(4.3.24)

cap Q√r1 r , Qr cap (ω, Qr ) .

В то же время по формуле Грина 2 Qr \ω

amn (x)

91

= 0. 2

Qr \ω

(4.1.7)

amn (x)

m,n=1

1 = √ M ( r1 r; v)

∂ϕ ∂ϕ dx = ∂xm ∂xn

ϕ ∂ω

1 ∂v dS = √ ∂ν M ( r1 r; v)

∂ω

(4.3.25)

∂ϕ dS = ∂ν

∂v dS, ∂ν

(4.3.26)

∂Di

где ν — внешняя по отношению к Qr \ ω (соответственно, к Qr \ Di ) конормаль, определяемая матрицей amn . Таким образом, объединяя (4.3.24), (4.3.25) и (4.3.26), получаем ∂v dS ∂ν √ ∂Di

. (4.3.27) M ( r1 r; v) C2 cap Q√r1 r , Qr Вместе с тем найдутся натуральное число N и вещественное число ε > 0, зависящие только от τ , такие, что для некоторой последовательности точек zj ∈ S√r1 r , j = 1, . . . , N , справедливы √ zj следующие утверждения: z1 = y, v(zN ) = M ( r1 r; v), Qε√ r1 r ⊂ Qr \ Qr1 ⊂ Qr \ Di при j = 1, . . . , N z

z

j j+1 √ и Qε√ r1 r/2 ∩ Qε r1 r/2 = ∅ при j = 1, . . . , N − 1. По теореме Харнака [99] существует константа b0 > 0, зависящая только от C1 , C2 , такая, что

v b0

sup

z

j Qε√ r

1 r/2

поэтому справедливо неравенство

z

inf

v,

j Qε√ r

j = 1, . . . , N,

1 r/2

√ M ( r1 r; v) bN 0 v(y),

откуда, учитывая (4.3.27), а также (4.2.14), находим r v(y) B10 ln r1

∂v dS, ∂ν

∂Di

где постоянная B10 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Тем самым, (4.3.22) может быть переписано следующим образом: √ r ∂v M (r; u) − M ( r1 r; u) B10 M (r; u) ln dS. r1 ∂ν

(4.3.28)

∂Di

Пусть xn — одна из точек, определенных на с. 89 (см. (4.3.15)–(4.3.18)). Возьмем точку yn ∈ xn Ω ∩ S√ ηan такую, что u(yn ) =

max u.

xn Ω∩S√ ηa

n

92

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

Согласно принципу максимума, u(yn ) u(xn ) = M (tn ; u).

(4.3.29)

Повторяя рассуждения, с помощью которых было доказано соотношение (4.3.21), находим ∂G(x, yn ) u(x) dSx − u(yn ) 0, ∂νx Ω∩Sr

где νx — внутренняя по отношению к Ω ∩ Qr конормаль, определяемая матрицей aij , откуда непосредственно следует, что −1  ∂G(x, yn ) dSx  u(yn ) = M (r; u)  ∂νx Ω∩Sr



 = 1 −

Qr ∩∂Ω

−1

∂G(x, yn )  dSx  ∂νx

u(yn ) (1 − v(yn ))−1 u(yn ).

(4.3.30)

Рассмотрим функцию w(x) = 1 − v(x). Очевидно, из (4.3.20) следует, что Lw = 0 в Qr \ Di ,

w D = 0, w Sr = 1. i

Положим w, c = min xn S√ηa

n

ωn = x ∈ Qx√nηan : w(x) < c .

Можно считать, что ωn имеет бесконечно гладкую границу; в противном случае, в силу теоремы Сарда [106], добьемся этого малым изменением константы c > 0, входящей в определение ωn . Определим также функцию ϕ : ωn → R равенством 1 ϕ(x) = 1 − w(x). c В силу монотонности емкости и условия (4.0.2),

cap D ∩ Qxann , Qxηann cap D ∩ Qxann , ωn 2 1 ∂ϕ ∂ϕ 2 |∇ϕ| dx alm (x) dx. C1 ∂xl ∂xm

n ωn \ D∩Qx an

n ωn \ D∩Qx an

С другой стороны, по формуле Грина 2 1 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dS = dS, alm (x) dx = ϕ ∂x ∂x ∂ν c ∂ν m l

n ωn \ D∩Qx an

l,m=1

Γn

(4.3.31)

l,m=1

(4.3.32)

Γn

где Γn = ∂ D ∩ Qxann , ν — внешняя по отношению к ωn \ D ∩ Qxann конормаль, определяемая матрицей aij . Таким образом, объединяя (4.3.31) и (4.3.32), находим ∂v dS ∂ν Γ

. n c (4.3.33) C1 cap D ∩ Qxann , Qxηann

4.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.7)

93

Далее, найдутся натуральное число N и вещественное число ε > 0, зависящие только от η, xn такие, что для некоторой последовательности точек zj ∈ S√ ηan , j = 1, . . . , N , справедливы слеz

дующие утверждения: z1 = yn , w(zN ) = c, Qεaj n ⊂ Qxηann \ Qxann ⊂ Qr \ Di при j = 1, . . . , N и z z Qεaj n /2 ∩ Qεaj+1 = ∅ при j = 1, . . . , N − 1. n /2 По теореме Харнака [99] существует константа b0 > 0, зависящая только от C1 , C2 , такая, что sup w b0 zinf w, zj

Qεaj

Qεa

j = 1, . . . , N,

n /2

n /2

поэтому справедливо неравенство w(yn ) bN 0 c, откуда, в силу (4.3.33), следует, что

1 − v(yn ) = w(yn )

Γn

∂v dS ∂ν

, B11 cap D ∩ Qxann , Qxηann

где постоянная B11 > 0 зависит только от η, C1 , C2 . Последнее соотношение, а также (4.3.30) влекут за собой оценку

∂v dS B11 cap D ∩ Qxann , Qxηann u(yn ). M (r; u) ∂ν

(4.3.34)

Γn

Принимая во внимание (4.3.19), получим ni ∂v ∂v dS = dS. ∂ν ∂ν ∂Di

n=1Γ n

Тем самым, из (4.3.28) и (4.3.34) вытекает, что ni

√ r cap D ∩ Qxann , Qxηann u(yn ), M (r; u) − M ( r1 r; u) B12 ln r1

(4.3.35)

n=1

где B12 = B10 B11 . √ Согласно принципу максимума, M (r1 ; u) M ( r1 r; u). Объединяя это неравенство с (4.3.35) и (4.3.29), получим ni

r cap D ∩ Qxann , Qxηann M (tn ; u). (4.3.36) M (r; u) − M (r1 ; u) B12 ln r1 n=1

Без ограничения общности можно считать, что вещественные числа tn ∈ Ii , n = 1, . . . , ni , определенные на с. 89 (см. (4.3.15)–(4.3.18)), удовлетворяют условию tm < tn при m < n, в противном случае перенумеруем их. Пусть j ∈ Ξi , при этом i ∈ {1, . . . , s}, как и прежде, остается фиксированным (см. с 88). Найдутся натуральные числа n∗ и n∗ такие, что tn ∈ Iij тогда и только тогда, когда n∗ n n∗ . Для любого такого n, применяя лемму 1.4.1, получим

xn xn (4.3.37) sup u − u(xn ) B cap D ∩ Qan , Qηan sup u, n Ω∩Qx ηan

n Ω∩Qx ηan

где постоянная B > 0 зависит только от η, C1 , C2 . Вместе с тем, по принципу максимума, sup u M (tn + ηan ; u).

n Ω∩Qx ηan

Более того, если n + 1 n∗ , то M (tn + ηan ; u) M (tn+1 ; u). Таким образом, (4.3.37) влечет за собой оценку

sup u, M (tn + ηan ; u) − M (tn ; u) B cap D ∩ Qxann , Qxηann n Ω∩Qx ηan

94

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

откуда, учитывая соотношения (4.3.18) и соотношение 1 M (rj ; u) M (tn ; u) = u(xn ) sup u, 2 n Ω∩Qx ηan находим

1 M (tn + ηan ; u) − M (tn ; u) Bλij an M (rj ; u), 4 где λij определено с помощью (4.3.14). Суммируя последнее неравенство по всем натуральным числам n ∈ [n∗ , n∗ ], находим ∗

n 1 M (tn∗ ; u) − M (tn∗ ; u) Bλij M (rj ; u) an , 4 n=n ∗

откуда, учитывая (4.3.17) и очевидные неравенства M (tn∗ ; u) M (rj ; u) и M (rj+1 ; u) M (tn∗ ; u), получаем M (rj ; u) − M (rj+1 ; u) B13 λij rj+1 M (rj ; u), где постоянная B13 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . Наконец, из (4.3.38) следует, что 1 B13 λij rj+1 . Далее, объединяя (4.3.36), (4.3.18) и (4.3.17), приходим к соотношению

r cap D ∩ Qxann , Qxηann M (tn ; u) M (r; u) − M (r1 ; u) B12 ln r1

(4.3.38)

(4.3.39)

j∈Ξi tn ∈Iij , n=1,...,ni

B14 ln

r λij rj+1 M (rj ; u), r1 j∈Ξi

где постоянная B14 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . Последнее соотношение вместе с (4.3.39) влечет за собой оценку r 2 2 λij rj+1 M (rj ; u), (4.3.40) M (r; u) − M (r1 ; u) B15 ln r1 j∈Ξi

где постоянная B15 > 0 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 . Для каждого j ∈ Ξi , согласно (4.3.2) и (4.3.14), имеем rj

2 ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ τ 2 λ2ij rj+1 M (rj ; u).

rj+1

Таким образом, из (4.3.40) следует, что rj r ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, M (r; u) − M (r1 ; u) B16 ln r1 j∈Ξi rj+1

где B16 = τ −2 B15 , откуда в силу (4.3.12), находим r M (r; u) − M (r1 ; u) B17 ln r1

r1 ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ,

(4.3.41)

rk

где постоянная B17 = s−1 B16 зависит только от ν, δ, θ, C1 , C2 , т.к. натуральное число s, определенное на с. 88, зависит только от τ , δ, η. Складывая (4.3.10) и (4.3.41), получаем (4.3.9). Тем самым, лемма 4.3.3 полностью доказана.

4.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.7)

95

Лемма 4.3.4. Пусть R0 < ρ < r < R, τ ρ r и M (r; u) 2M (ρ; u). Тогда r r M (r; u) − M (ρ; u) B18 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, ξ

(4.3.42)

ρ

где B18 = min {B4 /2, B5 /2}, B4 > 0 и B5 > 0 — постоянные следствия 4.3.2 и леммы 4.3.3 соответственно. −i Доказательство. Построим последовательность {ri }∞ i=1 вещественных чисел, полагая ri = τ r, i = 1, 2, . . . . Доказательство леммы 4.3.4 будем вести индукцией по наименьшему натуральному числу k такому, что rk ρ. База индукции. Пусть k 2, тогда, с одной стороны, найдется ξ∗ ∈ (ρ, r) такое, что r r r ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ (r − ρ)ξ∗ ln Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u) (r − ρ)2 Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u). ξ ξ∗ ρ

С другой стороны, применяя следствие 4.3.2, получим M (r; u) − M (ρ; u) B4 (r − ρ)2 Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u), откуда непосредственно следует (4.3.42). Индуктивный шаг. Предположим, что k0 2 и для всех натуральных чисел k k0 лемма уже доказана. Докажем ее в случае k = k0 + 1. Согласно предположению индукции, r1 r1 (4.3.43) M (r1 ; u) − M (ρ; u) B18 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ. ξ ρ

Таким образом, если будет доказано соотношение r r1 r r M (r; u) − M (r1 ; u) B18 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ + B18 ln ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, ξ r1 r1

(4.3.44)

ρ

то, складывая его с (4.3.43), очевидно, получим (4.3.42). С помощью рассуждений, приведенных в доказательстве базы индукции, несложно увидеть, что r r M (r; u) − M (r1 ; u) 2B18 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ. ξ r1

В то же время, по лемме 4.3.3 r M (r; u) − M (r1 ; u) 2B18 ln r1

r1 ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ. ρ

Тем самым, складывая два последних неравенства, получим (4.3.44). Доказательство оценки (4.3.4). Положим γ1 = min

B5 B18 B3 γ0 , , , 2 2 2 4τ

,

где B5 > 0, B18 > 0 и B3 > 0 — постоянные лемм 4.3.3, 4.3.4 и следствия 4.3.1 соответственно, а γ0 > 0 — константа γ теоремы 1.1.2, отвечающая случаю n = 2, a = 1. Доказательство будем вести индукцией по минимальному натуральному числу k такому, что 2k M (R0 + 0; u) M (r; u). База индукции. Пусть k = 1. Если τ R0 r, то, в силу условия supp Λ ⊂ [θR0 , ∞), правая часть (4.3.4) тождественно равна нулю, тем самым, (4.3.4) тривиально. В то же время, в случае τ R0 < r соотношение (4.3.4) вытекает из леммы 4.3.4.

96

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

R2

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

Индуктивный шаг. Предположим, что для всех натуральных чисел k k0 неравенство (4.3.4) справедливо. Докажем, что оно справедливо и для k = k0 + 1. Возьмем вещественное число r1 ∈ (R0 , r) такое, что 2M (r1 ; u) = M (r; u). Согласно предположению индукции, r1 r1 (4.3.45) M (r1 ; u) − M (R0 + 0; u) γ1 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ. ξ R0

Таким образом, если удастся доказать, что r r1 r r ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, M (r; u) − M (r1 ; u) γ1 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ + γ1 ln ξ r1 r1

(4.3.46)

R0

то, складывая (4.3.45) и (4.3.46), очевидно, получим (4.3.4). В свою очередь, (4.3.46) получается суммированием двух оценок: r r M (r; u) − M (r1 ; u) 2γ1 ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ ξ

(4.3.47)

r1

и r M (r; u) − M (r1 ; u) 2γ1 r1

r1 (4.3.48)

ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ. R0

Несложно увидеть, что в случае τ r1 r (4.3.47) непосредственно следует из леммы 4.3.4, а (4.3.48) — из леммы 4.3.3 соответсввенно. Допустим, что τ r1 > r. Найдется вещественное число ξ∗ ∈ (r1 , r) такое, что r r r ξ ln Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ (r − r1 )ξ∗ ln Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u) (r − r1 )2 Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u). ξ ξ∗ r1

В то же время, согласно следствию 4.3.1, M (r; u) − M (r1 ; u) B3 (r − r1 )2 Λ1 (ξ∗ )M (ξ∗ ; u). Объединяя последние два неравенства, получим (4.3.47). Далее, полагая в теореме 1.1.2 n = 2, a = 1, находим r r1 ξ r − r1 Λ1 (ξ)M (ξ; u) dξ γ0 ξΛ1 (ξ)M (ξ; u) dξ, M (r; u) − M (R0 + 0; u) γ0 ξ 1 − r r R0

R0

откуда, учитывая неравенства ln(r/r1 ) (r − r1 )/r1 τ (r − r1 )/r и M (r; u) − M (r1 ; u) (M (r; u) − M (R0 + 0; u))/2, получаем (4.3.48). Лемма 4.3.5. В предположениях леммы 4.3.3 справедлива оценка r1 r ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ, M (r; u) − M (r1 ; u) B19 ln r1

(4.3.49)

ρ

где постоянная B19 > 0 зависит только от τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . 1−i , Доказательство. Построим последовательность {ri }∞ i=0 вещественных чисел, полагая ri = r1 τ i = 0, 1, 2, . . .. Как и в доказательстве леммы 4.3.3, обозначим через k наибольшее натуральное число такое, что rk > ρ и 2M (ri ; u) M (ri−1 ; u) для любого i ∈ {1, . . . , k}. Повторяя рассуждения, с помощью которых была получена формула (4.3.10), находим rk r ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ, (4.3.50) M (r; u) − M (r1 ; u) B20 ln r1 ρ

где постоянная B20 > 0 зависит только от τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 .

4.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СООТНОШЕНИЯ

(4.1.7)

97

Если k = 1, то (4.3.49) доказано. Поэтому можно считать, что k 2. Обозначим через s ˜4 < rs . Для каждого i ∈ {1, . . . , s} максимальное натуральное число такое, что 1 s < k и r2 σ через Ξi мы также обозначим множество натуральных чисел n таких, что i n < k и n − i ≡ 0 (mod s). Таким образом, r1 s rn ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ = ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ. (4.3.51) i=1 n∈Ξi rn+1

rk

Фиксируем некоторое i ∈ {1, . . . , s}. Для любого n ∈ Ξi найдется tn ∈ (rn+1 , rn ) такое, что rn ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ (rn − rn+1 )tn Λ2 (tn )M (tn ; u). (4.3.52)

rn+1

Положим Π+ = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0 , Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn Di+ =

(4.3.53)

n∈Ξi

и рассмотрим функцию v + такую, что Lv + = 0 in Qr \ Di+ ,

v + D+ = 1, v + Sr = 0. i

Согласно принципу максимума, 0 < v + (x) < 1 для всех x ∈ Qr \ Di+ . Повторяя доказательство неравенства (4.3.28), получим √ r ∂v + M (r; u) − M ( r1 r; u) B21 M (r; u) ln dS, r1 ∂ν ∂Di+

где постоянная B21 > 0 зависит только от τ , C1 , C2 . Отсюда, учитывая (4.3.53), находим √ r ∂v + dS, (4.3.54) M (r; u) − M ( r1 r; u) B21 M (r; u) ln r1 ∂ν n∈Ξi

Γ+ n

+ + где Γ+ ˜3 tn , а ν — внешняя по отношению к Qr \ Di конормаль, опреде˜2 tn \ Qσ n = ∂ Π ∩ D ∩ Qσ ляемая матрицей aml . Для каждого n ∈ Ξi возьмем точку yn ∈ Ω ∩ Stn такую, что u(yn ) = M (tn ; u). Очевидно (см. (4.3.30)), справедлива следующая оценка: M (r; u) (1 − v + (yn ))−1 u(yn ). Определим функцию

w+

(4.3.55)

равенством w+ (x) = 1 − v + (x),

и пусть Tn+

σ ˜ = min σ ˜1 σ ˜2 , σ ˜3 σ ˜4 , = x ∈ R2 : dist x, Π+ ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn < σ ˜ tn , c+ = min w+ ∂Tn+

и

ωn+ = x ∈ Tn+ : w+ < c+ .

Можно считать, что ωn+ имеет бесконечно гладкую границу, в противном случае, в силу теоремы Сарда [106], добьемся этого малым изменением константы c+ > 0, входящей в определение ωn+ .

98

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ

R2

Определим также функцию ϕ+ : ωn+ → R, полагая 1 + w (x). c+ В силу монотонности емкости и условия (4.0.2), C1 cap Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , Tn+ C1 cap Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , ωn+ 2 ∂ϕ+ ∂ϕ+ + 2 |∇ϕ | dx alm (x) dx. (4.3.56) C1 ∂xl ∂xm l,m=1 + + ωn \(Π+ ∩D∩Qσ˜2 tn \Qσ˜3 tn ) ωn \(Π+ ∩D∩Qσ˜2 tn \Qσ˜3 tn ) ϕ+ (x) = 1 −

С другой стороны, по формуле Грина 2 + 1 ∂ϕ+ ∂ϕ+ ∂ϕ+ + ∂ϕ dS = + dS, alm (x) dx = ϕ ∂xl ∂xm ∂ν c ∂ν l,m=1 + Γ+ Γ+ ωn \(Π+ ∩D∩Qσ˜2 tn \Qσ˜3 tn ) n n где ν — внешняя по отношению к

(4.3.57)

ωn+ \ Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn

конормаль, определяемая матрицей aij . Таким образом, объединяя (4.3.56) и (4.3.57), можно показать, что ∂v + dS ∂ν c+

Γ+

n . C1 cap Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , Qσ˜1 tn \ Qσ˜4 tn

(4.3.58)

В то же время найдутся натуральное число m и вещественное число ε > 0, зависящие только от τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , такие, что для некоторой последовательности точек zj ∈ Qr1 \ Di+ , j = 1, . . . , m, z справедливы следующие утверждения: z1 = yn , zm ∈ Tn+ , w+ (zm ) = c+ , Qtnj ε ⊂ Qr \ Di+ при z z j = 1, . . . , m и Qtnj ε/2 ∩ Qtnj+1 ε/2 = ∅ при j = 1, . . . , m − 1. По теореме Харнака [99] существует константа b0 > 0, зависящая только от C1 , C2 , такая, что w+ , sup w+ b0 inf z Qt j ε/2

z

Qt j ε/2

j = 1, . . . , m,

n

n

следовательно, 1 − v + (yn ) = w+ (yn ) B22 c+ , где постоянная B22 > 0 зависит только от τ , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , C1 , C2 . Объединяя последнее неравенство, а также (4.3.55) и (4.3.58), находим ∂v + dS B23 cap Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , Qσ˜1 tn \ Qσ˜4 tn u(yn ), M (r; u) ∂ν Γ+ n

где B23 = C1 /B22 . Тем самым, (4.3.54) влечет за собой оценку r cap Π+ ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , Qσ˜1 tn \ Qσ˜4 tn M (tn ; u), M (r; u) − M (r1 ; u) B24 ln r1 n∈Ξi

где B24 = B21 B23 . Совершенно аналогично доказывается, что r cap Π− ∩ D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , Qσ˜1 tn \ Qσ˜4 tn M (tn ; u), M (r; u) − M (r1 ; u) B24 ln r1 n∈Ξi

где

Π− = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0 .

5.1. ПОВЕДЕНИЕ

РЕШЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ

99

ЕДИНСТВЕННОСТИ

Складывая две последние оценки, по свойству полуаддитивности емкости находим 1 r cap D ∩ Qσ˜2 tn \ Qσ˜3 tn , Qσ˜1 tn \ Qσ˜4 tn M (tn ; u), M (r; u) − M (r1 ; u) B24 ln 2 r1 n∈Ξi

откуда, учитывая (4.3.3), (4.3.51) и (4.3.52), получим r M (r; u) − M (r1 ; u) B25 ln r1

r1 ξΛ2 (ξ)M (ξ; u) dξ,

(4.3.59)

rk

где B25 = (τ − 1)B24 /2. Наконец, складывая (4.3.59) и (4.3.50), завершаем доказательство леммы. Лемма 4.3.6. В предположениях леммы 4.3.4 r r M (r; u) − M (ρ; u) B26 ξ ln Λ2 (ξ)M (ξ; u) dξ, ξ ρ

где B26 = min {B4 /2, B19 /2}, B4 > 0 и B19 > 0 — постоянные следствия 4.3.2 и леммы 4.3.5 соответственно. Доказательство полностью аналогично приведенному выше доказательству леммы 4.3.4. Доказательство неравенства (4.3.5). Положим B19 B26 B3 γ0 , , , , γ2 = min 2 2 2 4τ где B19 > 0, B26 > 0 и B3 > 0 — постоянные лемм 4.3.5, 4.3.6 и следствия 4.3.1 соответственно, а γ0 > 0 — константа γ теоремы 1.1.2, отвечающая случаю n = 2, a = 1. Далее повторяем рассуждения, приведенные при выводе формулы (4.3.4) (см. с. 95).

ГЛАВА 5 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ Ниже будет показано, что в случае размерности основного пространства n = 2 некоторые результаты, полученные ранее, могут быть уточнены. 5.1. ПОВЕДЕНИЕ

РЕШЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ

ЕДИНСТВЕННОСТИ

В этом параграфе будем предполагать, что R0 > 1 и σ > 1 — некоторые фиксированные вещественные числа, Ω — открытое подмножество R2 , SR0 ∩ Ω = ∅, функция F : Ω × [0, ∞) → [0, ∞), стоящая в правой части неравенства (7) (уравнения (11)), удовлетворяет свойству i), с. 6, f : (R0 , ∞) × (0, ∞) → [0, ∞) удовлетворяет соотношениям (1.1.2)–(1.1.4), и при этом ∞ rf (r, t ln r) dr = ∞. (5.1.1) ∀t > 0 mes{r : f (r, t) > 0} > 0 и R0

Также будем предполагать, что для некоторых r∗ ∈ [ln R0 , ∞) и t∗ ∈ (0, ∞) на множестве {(ξ, t) : r∗ ξ, t∗ ξ t} выполнено следующее неравенство :

t 2ξ ξ , (5.1.2) e f e , t ξp(ξ)g ξ где p : [r∗ , ∞) → [0, ∞) и g : (0, ∞) → (0, ∞) — измеримые локально ограниченные функции, и при этом справедливо соотношение (3.1.3).

100

ГЛАВА 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

Теорема 5.1.1. Пусть имеют место (3.1.4) и (3.1.13). Тогда каждое неотрицательное решение неравенства (7) в Ω, удовлетворяющее условию (20), тождественно равно нулю. Более того, если для F справедливо также и свойство ii), с. 7, то решение задачи Дирихле (11), (12) будет единственным. Доказательство. Предположим противное. Пусть u ≡ 0 — неотрицательное решение неравенства (7) в Ω, удовлетворяющее условию (20). Без ограничения общности можно считать, что M (R0 + 0; u) > 0. Согласно теореме 4.1.1, на промежутке [R0 , ∞) существует решение задачи Коши (4.1.3), (1.1.6), где в уравнении (4.1.3) λ ≡ 0. Заменой (5.1.3) w(ξ) = m eξ получаем определенное на промежутке [ln R0 , ∞) решение задачи Коши (5.1.4) w = αe2ξ f eξ , βw , w (ln R0 ) = 0, (5.1.5) w(ln R0 ) = M (R0 + 0; u) > 0, где постоянные α > 0, β > 0 такие же, как и в уравнении (4.1.3). Так как правая часть (5.1.4) не отрицательна, то функция w удовлетворяет также условию w(r∗ ) > 0,

w (r∗ ) 0.

Более того, не ограничивая общности, можно считать, что w (r∗ ) > 0. В противном случае заменим r∗ во всех дальнейших рассуждениях на некоторое ξ0 ∈ [r∗ , ∞) такое, что w (ξ0 ) > 0. Существование такого вещественного числа ξ0 легко доказать, если проинтегрировать уравнение (5.1.4) с учетом первого условия (5.1.1) и (5.1.5). Из (5.1.1) находим, что ∞

e2ξ f eξ , tξ dξ = ∞ ∀t > 0 (5.1.6) r∗

с помощью замены r = eξ в левой части последнего равенства. Тем самым, в силу очевидных соотношений,

ζ

w(ζ) = w(r∗ ) + w (r∗ )(ζ − r∗ ) + α

(ζ − ξ)e2ξ f eξ , βw(ξ) dξ

r∗

ζ α

ζ/2

αζ (ζ − ξ)e2ξ f eξ , βw (r∗ )(ξ − r∗ ) dξ e2ξ f eξ , βw (r∗ )(ξ − r∗ ) dξ 2

r∗

r∗

и w (ζ) = w(r∗ ) + α

ζ

2ξ ξ e f e , βw(ξ) dξ α e2ξ f eξ , βw (r∗ )(ξ − r∗ ) dξ, ζ

r∗

r∗

вытекающих непосредственно из (5.1.4), найдется вещественное число ζ∗ ∈ [r∗ , ∞) такое, что w(ζ∗ ) > t∗ ζ∗ ,

w (ζ∗ ) > t∗ .

(5.1.7)

Таким образом, применяя теорему 3.1.1, находим, что w является сингулярным решением второго рода. Полученное противоречие доказывает первое утверждение теоремы. Пусть теперь функция F является выпуклой по последнему аргументу, и пусть u1 и u2 — два различных решения задачи Дирихле (11), (12). Обозначим u = u1 − u2 . Известно [31, теорема 4.1], что функции u1 и u2 непрерывны в Ω. Таким образом, ω = {x ∈ Ω : u(x) > 0} — открытое множество. Без ограничения общности можно считать, что ω = ∅. Тогда u является положительным решением неравенста (3.2.17) в ω, удовлетворяющим условию (3.2.12) (см. доказательство теоремы 3.2.3).

5.1. ПОВЕДЕНИЕ

РЕШЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ

101

ЕДИНСТВЕННОСТИ

Однако, из рассуждений, приведенных выше, следует, что подобное решение не может существовать. Теорема 5.1.2. Пусть имеют место (3.1.6) и (3.1.13). Тогда существуют постоянные A > 0, B > 0, зависящие только от C1 , C2 , σ, такие, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (7) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство    12  ln r  −1   ξpσ (ξ) dξ   , (5.1.8) M (r; u) A ln rH∞ B ln R0 −1 — функция, обратная где M (r; u), H∞ и pσ определены с помощью (15), (3.1.7) и (3.1.8), a H∞ к H∞ .

Доказательство. Из доказательства предыдущего утверждения находим, что для некоторого ζ∗ ∈ [R0 , ∞) на всем промежутке [ζ∗ , ∞) существует решение уравнения (5.1.4), удовлетворяющее условию (5.1.7). Таким образом, согласно (1.1.7), (5.1.3) и теореме 3.1.3,   1  2 ln r     −1   ξp (ξ) dξ M (r; u) A ln rH∞ C   σ   ζ∗

для всех достаточно больших r, где константы A > 0 и C > 0 зависят только от C1 , C2 , σ. В то же время, в силу (3.1.13), ln r ln r 1 ξpσ (ξ) dξ ξpσ (ξ) dξ, 2 ζ∗

ln R0

если r достаточно велико. Наконец, объединяя две последние оценки, получим (5.1.8). Теорема 5.1.3. Пусть имеет место (3.1.17). Тогда существуют постоянные A1 > 0, A2 > 0, зависящие только от C1 , C2 , σ, такие, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (7) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ выполняется неравенство ln r A1 M (r; u) A1 M (r; u) + h∞ A2 min ξpσ (ξ), p1/2 (ξ) dξ, (5.1.9) H∞ σ ln r ln r ln R0

где M (r; u), H∞ , h∞ и pσ определены с помощью (15), (3.1.7), (3.1.9) и (3.1.8). Доказательство следует из (1.1.7), (5.1.3) и (3.1.18) (см. доказательство теоремы 5.1.2). Замечание 5.1.1. В случае, когда неравенство (5.1.2) выполнено на всем множестве {(ξ, t) : r∗ ξ, 0 < t}, теоремы 5.1.1–5.1.3 остаются в силе и без дополнительного условия (5.1.1). В то же время, если соотношение (5.1.6) не имеет места, то из [7, п. 8.1, с. 207] следует, что у уравнения (5.1.4) на некотором промежутке [ξ0 , ∞), где ξ0 r∗ , существует решение w(ξ), положительное вместе со своей первой производной и имеющее при ξ → ∞ не более, чем линейный рост. Полагая u(x) = w(ln |x|) − w(ξ0 ), находим положительное решение неравенства ∆u αf (|x|, βu)

(5.1.10)

в Ω = R2 \ Qr0 , r0 = eξ0 , удовлетворяющее условию (20) (постоянные α > 0 и β > 0 в (5.1.10) такие же, как в уравнении (5.1.4)). При этом рост u(x) при |x| → ∞ не более, чем логарифмический.

102

ГЛАВА 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

Хорошо известно, что такой же рост имеет любая субгармоническая в Ω = R2 \ Qr0 функция, удовлетворяющая условию (20). Пример 5.1.1. Предположим, что R0 > e2 , λ 0, σ = 2, g(t) = t lnλ (1 + t), 1 c(x) = |x|−2 ln−1+ε |x| при |x| R0 , 4   1 −2 −1+ε − sign(−1+ε) r , r 2R0 , r ln 2 q(r) = 16 0, R0 r < 2R0 .

и

(5.1.11)

(5.1.12)

Пусть также F (x, t) = c(x)g(t) и f (r, t) = q(r)g(t). Тогда будет иметь место (1.1.2). Легко также увидеть, что условие (3.1.4) эквивалентно неравенству λ > 2. В свою очередь, (5.1.1) будет выполнено тогда и только тогда, когда ε −1. Далее, полагая r∗ = ln R0 и p(ξ) = e2ξ q eξ , несложно убедиться, что на множестве {(ξ, t) : r∗ ξ t} будет справедливо (5.1.2). Из (5.1.12) непосредственно находим 1 (5.1.13) p(ξ) ∼ ξ −1+ε при ξ → ∞. 16 Тем самым, (3.1.13) эквивалентно соотношению ε −1. Применяя теорему 5.1.1, получим, что при λ > 2 и ε −1 каждое неотрицательное решение (7) в Ω, удовлетворяющее условию (20), тождественно равно нулю. Одновременно с этим имеет место единственность решения задачи Дирихле (11), (12). Покажем, что если λ 2 либо ε < −1, то у неравенства 1 (5.1.14) ∆u |x|−2 ln−1+ε |x| u lnλ (1 + u) 4 в Ω = R2 \ QR0 существует положительное решение, удовлетворяющее условию (20). Если ε < −1 и λ > 2, то таким решением является функция u(x) = eB(ln |x|) где

(ε+1)/(2−λ)

B max 1, 2λ/(2−λ)

2−λ ε+1

− eB(ln R0 ) 2/(2−λ)

(ε+1)/(2−λ)

,

(5.1.15)

#

ε + λ − 1

, , 2

ε+1

Пусть λ = 2, ε = −1. Согласно теореме 5.1.3, для всякого нетривиального неотрицательного решения u неравенства (7) в Ω, удовлетворяющего условию 20, справедлива оценка M (r; u) e(ln r)

B

при всех r из некоторой окрестности ∞, где постоянная B > 0 не зависит от u. Легко увидеть, что функция B B u(x) = e(ln |x|) − e(ln R0 ) , где B 1, будет искомым решением. Пусть λ = 2 и ε > −1. С учетом (5.1.13) оценка (5.1.8) теоремы 5.1.2 принимает вид B(ln r)(1+ε)/2

M (r, u) ee

при всех r из некоторой окрестности ∞, где постоянная B > 0 не зависит от u. Полагая B(ln |x|)(1+ε)/2 B(ln R0 )(1+ε)/2 − ee , u(x) = ee

5.2. НЕРАВЕНСТВА

где

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

103

1 − ε

2

, B max

, 1 + ε 1 + ε

имеем положительное решение (5.1.14) в Ω = R2 \ QR0 , удовлетворяющее условию (20). Пусть 0 λ < 2 и ε = −1. Подставляя (5.1.13) в (5.1.9), для всякого нетривиального неотрицательного решения (7) в Ω, удовлетворяющего условию (20), получим оценку M (r; u) eB(ln ln r)

2/(2−λ)

при всех r из некоторой окрестности ∞, где постоянная B > 0 не зависит от u. Нетрудно увидеть, что u(x) = eB(ln ln |x|) при

2/(2−λ)

− eB(ln ln R0 )

B max 1, 2 − λ, 2

λ/(2−λ)

2−λ 2

2/(2−λ)

2/(2−λ) #

является положительным решением (5.1.14) в области Ω = R2 \ QR0 , удовлетворяющим условию (20). Пусть 0 λ < 2, ε > −1. Согласно теореме 5.1.2, для каждого нетривиального неотрицательного решения (7) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ выполнена оценка (ε+1) (2−λ) , M (r; u) eB(ln r) где постоянная B > 0 не зависит от u. При этом можно показать, что функция u, определенная соотношением (5.1.15), является решением (5.1.14), (20) в Ω = R2 \ QR0 . Наконец, если ε < −1 и λ 2, то B(ln |x|)(1+|ε|)/2

u(x) = ee

B(ln R0 )(1+|ε|)/2

− ee

,

где B 2/(1 + |ε|), будет положительным решением неравенства (5.1.14) в области Ω = R2 \ QR0 , удовлетворяющим условию (20)). 5.2.

НЕРАВЕНСТВА

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

Как и ранее, будем предполагать, что Ω — открытое подмножество R2 , а R0 > 1 — некоторое вещественное число такое, что SR0 ∩ Ω = ∅. Также считаем, что c : Ω → [0, ∞) и q : [R0 , ∞) → [0, ∞) — локально ограниченные измеримые функции такие, что q(r) ess

inf

x∈Ω∩Qrτ \Qr1/τ

|x|2 c(x)

(5.2.1)

при всех r ∈ (R0 , ∞), где τ > 1 — некоторое заданное вещественное число. Следствие 5.2.1. Пусть λ > 1, и ∞

ρ−1 lnλ ρ q(ρ) dρ = ∞.

(5.2.2)

R0

Тогда каждое неотрицательное решение неравенства (3.4.1) в Ω, удовлетворяющее условию (20), тождественно равно нулю. Более того, решение задачи Дирихле (3.4.3), (12) будет единственным. Доказательство. Положим σ = τ 1/2 и возьмем вещественное число R∗ ∈ [R0τ , ∞) так, чтобы при всех r ∈ [R∗ , ∞) имели место неравенства r1/σ r/σ и rσ σr. Тогда ess

inf

x∈Ω∩Qrσ \Qr1/σ

|x|2 c(x) ess

inf

x∈Ω∩Qσr \Qr/σ

|x|2 c(x)

(5.2.3)

104

ГЛАВА 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

для любого r ∈ [R∗ , ∞). Определим также функцию q˜ : [R∗ , ∞) → [0, ∞), полагая q˜(r) =

sup

(5.2.4)

q(ρ).

r 1/σ <ρ
Тем самым, для любого r ∈ [R∗ , ∞) имеем ess

inf

r 1/σ ρr σ

q˜(ρ) q(r).

(5.2.5)

С другой стороны, согласно (5.2.1) и (5.2.4), для любого вещественного числа r ∈ [R∗ , ∞) выполняется неравенство |x|2 c(x). q˜(r) ess inf x∈Ω∩Qrσ \Qr1/σ

Объединяя последнее неравенство и (5.2.3), при всех r ∈ [R∗ , ∞) получаем σ −2 r−2 q˜(r) ess

inf

x∈Ω∩Qσr \Qr/σ

c(x).

(5.2.6)

Продолжим q˜ на весь промежуток [R0 , ∞), полагая q˜(r) = 0 при r ∈ [R0 , R∗ ), и определим f (r, t) = σ −2 r−2 q˜(r)tλ . В силу (5.2.6), f удовлетворяет соотношению (1.1.2), в котором F (x, t) = c(x)tλ . В то же время неравенство (5.1.2) будет выполнено, если взять p(ξ) = σ −2 ξ λ−1 q˜ eξ .

(5.2.7)

Пусть r∗ = ln R∗ . Докажем справедливость (3.1.13). Из (5.2.5) и (5.2.7) при всех r ∈ [r∗ , ∞) получим оценку pσ (r) σ −λ−3 rλ−1 q (er ) , откуда следует, что

∞ rpσ (r) dr σ r∗

−λ−3

(5.2.8)

∞ rλ q (er ) dr. r∗

Делая в правой части последнего неравенства замену переменной r = ln ρ, согласно соотношению (5.2.2), доказываем справедливость (3.1.13). Наконец, для завершения доказательства следствия 5.2.1 остается применить теорему 5.1.1. Следствие 5.2.2. Пусть 0 λ < 1, имеет место (5.2.2). Тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от C1 , C2 , τ , λ, такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (3.4.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка 1/(1−λ)  r , (5.2.9) M (r; u) A ln r  ρ−1 lnλ ρ q(ρ) dρ R0

где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательство. Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве следствия 5.2.1, из (5.2.8) и оценки (5.1.8) теоремы 5.1.2 непосредственно получаем (5.2.9). Следствие 5.2.3. Пусть

∞

ρ−1 ln ρ q(ρ) dρ = ∞.

R0

Тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от C1 , C2 , τ , такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства Lu c(x)u

(5.2.10)

5.2. НЕРАВЕНСТВА

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

105

в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка   1  2 r    −1  ρ ln ρ q(ρ) dρ  , M (r; u) ln r exp A (5.2.11) R0

где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательство аналогично доказательству предыдущего следствия. Следствие 5.2.4. Пусть ∞

1 min ρ−1 ln ρ q(ρ), ρ−1 q 2 (ρ) dρ = ∞.

R0

Тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от C1 , C2 , τ , такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (5.2.10) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка   r 1 M (r; u) ln r exp A min ρ−1 ln ρ q(ρ), ρ−1 q 2 (ρ) dρ , (5.2.12) R0

где M (r; u) определено с помощью (15). Доказательство вытекает из теоремы 5.1.3. Пример 5.2.1. Ниже считаем, что R0 > e2 . 1) Пусть 0 λ < 1, s = −2, и пусть c(x) определено равенством (3.2.25). Подставляя в оценку (5.2.9) следствия 5.2.2 q ≡ 1, получим, что для любого нетривиального неотрицательного решения неравенства (3.4.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка M (r; u) A(ln r)2/(1−λ) . 2) Пусть c(x) определено с помощью (5.1.11). Возьмем r 2R0 , 2−2−|−1+ε| ln−1+ε r, q(r) = (5.2.13) 0, R0 r < 2R0 . Тогда для этих q(r) и функции c(x), очевидно, выполнено (5.2.1), где τ = 2. При этом соотношение (5.2.2) справедливо тогда и только тогда, когда ε −λ. Таким образом, согласно следствию 5.2.1, в случае λ > 1 и ε −λ каждое неотрицательное решение неравенства (3.4.1) в Ω, удовлетворяющее условию (20), тождественно равно нулю. Одновременно с этим имеет место единственность решения задачи Дирихле (3.4.3), (12). Пусть λ > 1 и ε < −λ. Несложно увидеть, что u(x) = (ln |x|)(1+ε)/(1−λ) − (ln R0 )(1+ε)/(1−λ) является положительным решением неравенства 1 ∆u |x|−2 ln−1+ε |x|uλ (5.2.14) 4 в области Ω = R2 \ QR0 , удовлетворяющим условию (20). В случае 0 λ 1 для любого ε в области Ω = R2 \ QR0 также существует положительное решение неравенства (5.2.14), удовлетворяющее условию (20) (см. пример 3.4.1). Предположим, что λ = 1 и ε = −1. Из (5.2.12) следует, что для любого нетривиального неотрицательного решения неравенства (5.2.10), удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка M (r; u) (ln r)B , где постоянная B > 0 не зависит от u.

106

ГЛАВА 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

Несложно проверить, что при всех B 2 функция u(x) = (ln |x|)B − (ln R0 )B является положительным решением неравенства 1 ∆u |x|−2 ln−2 |x|u 4 в области Ω = R2 \ QR0 , удовлетворяющим условию (20). Допустим, что λ = 1 и ε > −1. Тогда, согласно (5.2.12), для каждого нетривиального неотрицательного решения (5.2.10), (20) получим оценку M (r; u) eB(ln r)

(1+ε)/2

,

где постоянная B > 0 не зависит от u. В случае L = ∆ и Ω = R2 \ QR0 пример вышеупомянутого решения дает равенство u(x) = eB(ln |x|)

(1+ε)/2

− eB(ln R0 )

(1+ε)/2

,

где B 2 max{1, |ε − 1|}/(ε + 1). Пусть 0 λ < 1, ε = −λ. Тогда, с учетом (5.2.13), оценка (5.2.9) следствия 5.2.2 принимает вид M (r; u) B ln r (ln ln r)1/(1−λ) для всех r из некоторой окрестности ∞, где постоянная B > 0 не зависит от u. Легко увидеть, что u(x) = B ln |x| (ln ln |x|)1/(1−λ) − B ln R0 (ln ln R0 )1/(1−λ) при B (1−λ)/4 является положительным решением неравенства (5.2.14) в области Ω = R2 \QR0 , удовлетворяющим условию (20). Таким образом, оценка (5.2.9) является точной. Пусть 0 λ < 1, ε > −λ. Тогда из (5.2.9) и (5.2.13) для каждого нетривиального неотрицательного решения (3.4.1), (20) при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка M (r; u) B(ln r)(1+ε)/(1−λ) ,

(5.2.15)

где постоянная B > 0 не зависит от u. При этом функция u(x) = B (ln |x|)(1+ε)/(1−λ) − B (ln R0 )(1+ε)/(1−λ) при B (1 − λ)/(4(λ + ε)) является решением (5.2.14) в области Ω = R2 \ QR0 , удовлетворяющим условию 20. 5.3.

СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

ФУНКЦИИ В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

Будем считать, что R0 > 1, τ > 1, 0 < δ < 1, ν > 1, θ > 1 + δ, 0 < σ4 < σ3 < σ2 < σ1 1 — некоторые заданные вещественные числа, а Λ : [R0 , ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такая, что SR0 ∩ Ω = ∅ и Λ(r) +

inf

r 1/τ ξr τ

inf

x∈Ω∩Qrτ \Qr1/τ

|x|2 µ2 (x; δ, ν)+

cap D ∩ Qξσ2 \ Qξσ3 , Qξσ1 \ Qξσ4

при

r > R0 ,

(5.3.1)

где µ(x; δ, ν) определено с помощью (4.1.2). Теорема 5.3.1. Пусть

∞ R0

ρ−1 ln ρΛ(ρ) dρ = ∞.

(5.3.2)

5.3. СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

107

ФУНКЦИИ В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

Тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от C1 , C2 , τ , δ, ν, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедлива оценка   1  2 r    −1 ρ ln ρΛ(ρ) dρ  , (5.3.3) M (r; u) ln r exp A R0

где M (r; u) определено равенством (15). Доказательство. Положим σ = τ 1/2 . Возьмем вещественное число R∗ ∈ [R0τ , ∞] такое, что r1/σ r/(1 + 2δ) и rσ (1 + 2δ)r при всех r R∗ . Тогда для любого r ∈ [R∗ , ∞) имеем inf

x∈Ω∩Qrσ \Qr1/σ

|x|2 µ2 (x; δ, ν)

inf

x∈Ω∩Qr(1+2δ) \Qr/(1+2δ)

|x|2 µ2 (x; δ, ν).

˜ : [R∗ , ∞) → [0, ∞), полагая Определим, далее, функцию Λ ˜ Λ(r) = sup Λ(ρ)

(5.3.4)

(5.3.5)

r 1/σ <ρ
при всех r ∈ [R∗ , ∞). ˜ для любого r ∈ [R∗ , ∞) удовлетворяет неравенству Тем самым, Λ ˜ Λ(ρ) Λ(r). ess inf

(5.3.6)

r 1/σ ρr σ

С другой стороны, согласно (5.3.1), (5.3.5) и определению вещественного числа σ, получим ˜ при r > R∗ . |x|2 µ2 (x; δ, ν) + cap D ∩ Qrσ \ Qrσ , Qrσ \ Qrσ Λ(r) inf 2

x∈Ω∩Qrσ \Qr1/σ

3

1

4

Объединяя это неравенство с неравенством (5.3.4), находим ˜ µ2 (x; δ, ν)+ (1 + 2δ)−1 r−2 Λ(r) inf x∈Ω∩Qr(1+2δ) \Qr/(1+2δ)

+r

−2

cap D ∩ Qrσ2 \ Qrσ3 , Qrσ1 \ Qrσ4

при r > R∗ .

(5.3.7)

˜ на весь промежуток [R0 , ∞), полагая Λ(r) ˜ Продолжим Λ = 0 при r ∈ [R0 , R∗ ). Применяя теорему 4.1.1, получим, что на [R0 , ∞) существует решение уравнения 1 ˜ (5.3.8) m + m = γ(1 + 2δ)−1 r−2 Λ(r)m, r удовлетворяющее начальным условиям (1.1.6), причем при всех r ∈ [R0 , ∞) имеет место неравенство (1.1.7). Заменой (5.1.3) уравнение (5.3.8) преобразуется к виду ˜ eξ w, w = γ(1 + 2δ)−1 Λ (5.3.9) а начальные условия (1.1.6) превращаются в (5.1.5). Оценим решение w уравнения (5.3.9) с помощью теоремы 3.1.3. Для этого нужно доказать справедливость (3.1.13), где r∗ = ln R0 , а функция p : [r∗ , ∞) → [0, ∞) определена равенством ˜ eξ . p(ξ) = γ(1 + 2δ)−1 Λ (5.3.10) Для доказательства (3.1.13) заметим, что, в силу (5.3.6), при всех ξ ∈ [ln R∗ , ∞) справедливо неравенство (5.3.11) pσ (ξ) γ(1 + 2δ)−1 Λ eξ , откуда следует, что ∞ ∞ −1 (5.3.12) ξpσ (ξ) dξ γ(1 + 2δ) ξΛ eξ dξ. r∗

r∗

Производя под интегралом, стоящим в правой части (5.3.12), замену переменной ξ = ln ρ и используя соотношение (5.3.2), получаем (3.1.13). Таким образом, (5.3.3) следует из (3.1.16), (5.3.11) и (5.1.3).

108

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ

И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ

Теорема 5.3.2. Пусть ∞

min ρ−1 ln ρ Λ(ρ), ρ−1 Λ1/2 (ρ) dρ = ∞.

(5.3.13)

R0

Тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от C1 , C2 , τ , δ, ν, σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , такая, что для каждого не равного тождественно нулю неотрицательного решения неравенства (1.2.1) в Ω, удовлетворяющего условию (20), при всех r из некоторой окрестности ∞ справедливо неравенство   r (5.3.14) M (r; u) ln r exp A min ρ−1 ln ρ Λ(ρ), ρ−1 Λ1/2 (ρ) dρ , R0

где M (r; u) определено равенством (15). Доказательство. Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 5.3.1, оценим решение w уравнения (5.3.9) с помощью теоремы 3.1.5. Докажем для этого справедливость (3.1.17), где r∗ = ln R0 , а функция p определена равенством (5.3.10). В самом деле, из (5.3.11) следует, что ∞

∞ 1/2 ˜ 1/2 eξ ˜ eξ , γ 1/2 (1 + 2δ)−1/2 Λ dξ. min ξpσ (ξ), pσ (ξ) dξ min γ(1 + 2δ)−1 ξ Λ

r∗

(5.3.15)

r∗

Совершая в правой части (5.3.15) замену ξ = ln ρ, с учетом (5.3.13), получаем (3.1.17). Для завершения доказательства остается заметить, что (5.3.14) следует из (3.1.18), (5.3.11), (5.1.3) и (1.1.7).

ГЛАВА 6 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ В этой главе будем предполагать, что Ω — ограниченное открытое подмножество Rn , n 2, такое, что 0 ∈ Ω, и при этом Sr ∩ Ω = ∅ для любого r ∈ (0, R), где R > 0 — некоторая константа. Будем также предполагать, что F : (Ω \ {0}) × [0, ∞) → [0, ∞) — не убывающая по последнему аргументу функция, такая, что F ∈ L∞ ((Ω \ Qε ) × [0, T ]) для любых вещественных чисел ε ∈ (0, R) и T ∈ (0, ∞). Неотрицательная функция u называется решением неравенства (7) в Ω ∩ QR \ {0}, если u ∈ W21 (Ω ∩ QR \ Qε ) ∩ L∞ (Ω ∩ QR \ Qε ) и F (·, u(·)) ∈ L(Ω ∩ QR \ Qε ) для любого ε ∈ (0, R), и при этом соотношение (10) справедливо для любой неотрицательной функции ϕ ∈ C0∞ (Ω ∩ QR \ {0}). Решение уравнения (11) в Ω ∩ QR \ {0} определяется совершенно аналогично. Будем писать

=0 (6.0.1) u

∂Ω∩QR \{0}

◦

если ηu ∈ W 12 (Ω ∩ QR \ Qε ) для любых ε ∈ (0, R) и η ∈ C0∞ (QR \ Qε ). Разумеется, в случае ∂Ω ∩ QR \ {0} = ∅, например, когда Ω = QR , условие (6.0.1) заведомо выполнено. Решение неравенства (7) (уравнения (11)) в Ω∩QR \{0}, удовлетворяющее условию (6.0.1), имеет устранимую особенность в нуле, если u ∈ W21 (Ω ∩ QR ) ∩ L∞ (Ω ∩ QR ) и F (·, u(·)) ∈ L(Ω ∩ QR ) (соответственно, F (·, |u(·)|) sign u ∈ L(Ω ∩ QR )). Несложно увидеть, что в этом случае функция u является решением неравенства (7) (уравнения (11)) на всем множестве Ω ∩ QR , удовлетворяющим условию (19), в смысле определения, данного во введении.

6.1. УСТРАНИМЫЕ

ОСОБЕННОСТИ.

ОЦЕНКИ

109

РЕШЕНИЙ

Предположим, что u имеет в нуле неустранимую особенность. Следуя [120], будем говорить, что особенность функции u является слабой, если |u(x)| < ∞, lim sup x→0 En (x) где  ln 1 , n = 2, |x| En (x) =  2−n , n 3. |x| В противном случае особенность функции u называется сильной. ОСОБЕННОСТИ.

6.1. УСТРАНИМЫЕ

ОЦЕНКИ

РЕШЕНИЙ

Далее будем считать, что для некоторых вещественных чисел τ ∈ (1, ∞) и t0 ∈ (0, ∞) выполнено следующее соотношение: q(r)g(t) ess

inf

x∈Ω∩Qrτ \Qr/τ

F (x, r2−n t) при

0 < r < R,

t0 < t,

(6.1.1)

где q : (0, R) → [0, ∞) и g : (0, ∞) → (0, ∞) — измеримые функции, причем g монотонно не убывает. Теорема 6.1.1. Пусть имеет место условие (3.1.4), и при этом R ξ n−1 q(ξ) dξ = ∞.

(6.1.2)

0

Тогда у неравенства (7) отсутствуют неотрицательные решения в Ω ∩ QR \ {0}, удовлетворяющие условию (6.0.1) и имеющие сильную особенность в нуле. Доказательство. Предположим от противного, что у неравенства (7) на множестве Ω ∩ QR \ {0} существует решение с сильной особенностью в нуле, удовлетворяющее условию (6.0.1). Обозначим через E решение краевой задачи

LE = −δ(x) в Q2R , E = 0, S2R

где δ(x) — дельта-функция Дирака. Хорошо известно [95], что такое решение существует, положительно в Q2R и удовлетворяет оценке A1 En (x) E(x) A2 En (x)

(6.1.3)

для всех x ∈ QR , где константы A1 > 0 и A2 > 0 зависят лишь от размерности основного пространства n и от постоянных эллиптичности C1 , C2 оператора L. Пусть 1, n = 2, v(x) = E(x), n 3. Рассмотрим преобразование Кельвина от функции u u(x(y)) , u ˜(y) = v(x(y)) где y x(y) = 2 . |y| Положим также F˜ (y, t) = J(y) v(x(y)) F (x(y), v(x(y))t) и n ∂ ∂ ˜ a ˜ij (y) , L= ∂yi ∂yj i,j=1

где 2

a ˜ij (y) = J(y) v (x(y))

n s,k=1

ask (x(y))

∂yi ∂yj ∂xs ∂xk

110

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ

и

И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ

∂x

J(y) = det . ∂y

∂x обозначена матрица Якоби перехода от координат y к координатам x = x(y). ∂y ˜ — равномерно эллиптический оператор в Rn \ Q1/R с постоянными элМожно убедиться, что L липтичности, зависящими только от размерности пространства n и от постоянных эллиптичности C1 , C2 оператора L. Известно [108], что u ˜ является решением неравенства

Здесь через

˜ u F˜ (y, u L˜ ˜) ˜ \ Q1/R , удовлетворяющим условию вΩ

u ˜ ∂ Ω\Q ˜

1/R

= 0,

˜ — образ множества Ω при инверсии относительно единичной сферы. где Ω Согласно принципу максимума, функция ˜ M (r; u ˜) = ess sup u ˜ Sr ∩Ω

либо монотонно убывает на всем интервале (1/R, ∞), либо существует R0 ∈ (1/R, ∞) такое, что на промежутке [R0 , ∞) эта функция монотонно не убывает. Однако, из определения сильной особенности вытекает, что ˜) = ∞. lim M (r; u

(6.1.4)

r→∞

Следовательно, M (·; u ˜) — неубывающая положительная функция на промежутке [R0 , ∞) для некоторого R0 ∈ (1/R, ∞). В силу (6.1.1), найдутся вещественные числа A > 0 и B > 0, зависящие только от n, τ , C1 , C2 , а также C > 0, зависящее только n, τ , C1 , C2 , t0 , такие, что f (r, t) ess где σ = τ 1/2 и

inf

˜ y∈Ω∩Q rσ \(Qr/σ ∪QR0 )

Ap(r)g(Bt − 0), f (r, t) = 0.

F˜ (y, t),

R0 < r,

r ∈ (R0 , ∞),

0 < t,

t ∈ (C, ∞),

Функция p в правой части последнего равенства задана формулой 1 −2−n , r ∈ (R0 , ∞). sup q p(r) = r ξ ξ∈(r/σ,σr)∩(R0 ,∞) Тем самым, применяя теорему 1.1.1, получаем, что на промежутке [R0 , ∞) существует решение уравнения (3.2.7), удовлетворяющее условию m (R0 ) = 0,

˜), m(R0 ) = M (R0 + 0; u

(6.1.5)

для которого при всех r ∈ (R0 , ∞) выполнена оценка M (r; u ˜) m(r), где постоянные α > 0 и β > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 . Заменой (3.2.8) уравнение (3.2.7) преобразуется в уравнение (3.1.1) с правой частью, имеющей вид (3.2.9), а условие (6.1.5) — в условие ˜), w(R0 ) = R0 M (R0 + 0; u

w (R0 ) = M (R0 + 0; u ˜).

Без ограничения общности можно считать, что ˜) > C, βM (R0 + 0; u

6.1. УСТРАНИМЫЕ

ОСОБЕННОСТИ.

ОЦЕНКИ

111

РЕШЕНИЙ

откуда вытекает, что для правой части (3.1.1) справедливо неравенство Bt − 0 z(r, t) Arp(r)g r ˜)r. при всех r R0 и t M (R0 + 0; u Cогласно очевидному соотношению pσ (r) = ess

inf

ξ∈(r/σ,σr)∩(R0 ,∞)

p(ξ) σ

−2−n −2−n

r

1 q , r

r ∈ (R0 , ∞),

условие (6.1.2) влечет за собой (3.1.13). Таким образом, применяя теорему 3.1.1, приходим к выводу, что m(r) стремится к бесконечности на некотором конечном промежутке. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 6.1.2. Пусть имеют место (3.1.6) и (6.1.2). Тогда каждое неотрицательное решение задачи (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку    12  R  −1   ξ n−1 q(ξ) dξ   M (r; u) Ar2−n H∞ B r −1 — функция, обратная к (3.1.7), а постоянные A > 0 и для всех достаточно малых r, где H∞ B > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 .

Теорема 6.1.3. Предположим, что R

min{ξ n−1 q(ξ), ξ (n−2)/2 q 1/2 (ξ)} dξ = ∞.

0

Тогда каждое неотрицательное решение задачи (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку R H∞ (Arn−2 M (r; u)) + h∞ (Arn−2 M (r; u)) B

min{ξ n−1 q(ξ), ξ (n−2)/2 q 1/2 (ξ)} dξ

0

для всех достаточно малых r, где H∞ и h∞ определены с помощью (3.1.7) и (3.1.9), а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 . Доказательство теорем 6.1.2 и 6.1.3 дословно повторяет доказательство теоремы 6.1.1. Единственное отличие состоит в том, что вместо теоремы 3.1.1, теперь следует воспользоваться теоремами 3.1.3 и 3.1.5 соответственно. Теорема 6.1.4. Пусть имеет место (3.1.4), и при этом R ξ n−1 q(ξ) dξ < ∞.

(6.1.6)

0

Тогда для каждого неотрицательного решения задачи (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0} найдется ε > 0 такое, что   1  2 |x|    2−n −1   n−1 G∞ B  ξ q(ξ) dξ   u(x) A|x| (6.1.7)  0

для всех x ∈ Qε ∩ Ω \ {0}, где G−1 ∞ — функция, обратная к (3.1.5), а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 .

112

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ

И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ

Доказательство. Если lim sup |x|n−2 u(x) < ∞,

(6.1.8)

x→0

то (6.1.7) тривиально в силу того, что

  1  2 r  −1   n−1  ξ q(ξ) dξ lim G∞ B =∞

r→∞

0

для любого вещественного числа B > 0. Если (6.1.8) не имеет места, то, очевидно, выполнено (6.1.4), и оценка (6.1.7) следует из теоремы 3.1.4 с помощью рассуждений, приведенных в доказательстве теоремы 6.1.1. Далее нам потребуется одно простое, но весьма полезное утверждение. Лемма 6.1.1. Любое ограниченное неотрицательное решение задачи (7), (6.0.1) в Ω∩QR \{0} имеет устранимую особенность в нуле. Доказательство. Пусть u 0 — решение (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, и при этом u ∈ L∞ (Ω ∩ QR ). Продолжим функцию u нулем на QR \ Ω. Полученное таким образом продолжение будем также обозначать через u. Для него, согласно лемме 1.2.4, справедливо неравенство x ∈ QR \ {0},

Lu F (x, u)χΩ (x),

(6.1.9)

где χΩ — характеристическая функция множества Ω. Возьмем ψ ∈ C0∞ (QR ) такое, что

0 ψ Q 1 R

и

ψ Q = 1. R 2

Для любого ε ∈ (0, 1/2) положим ϕε (x) = ψ(x) − ψ(x/ε). В силу неотрицательности правой части (6.1.9), имеем n ∂u ∂(ϕ2ε u) aij (x) dx 0, ∂xj ∂xi QR i,j=1

откуда непосредственно следует, что n n ∂u ∂u ∂u ∂ϕε 2 ϕε aij (x) dx −2 aij (x) ϕε u dx. ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi QR

i,j=1

QR i,j=1

Согласно условию эллиптичности (2), левая часть последнего неравенства допускает оценку n ∂u ∂u 2 2 2 ϕε |∇u| dx ϕε aij (x) dx, C1 ∂xj ∂xi QR

QR

i,j=1

в то время как правая часть для всякого вещественного числа η > 0 может быть оценена следующим образом: n ∂u ∂ϕε aij (x) ϕε u dx η ϕ2ε |∇u|2 dx + b1 u2 |∇ϕε |2 dx, −2 ∂xj ∂xi QR i,j=1

QR

где постоянная b1 > 0 зависит только от C2 , η. Тем самым, выбирая η > 0 достаточно малым, получим ϕ2ε |∇u|2 dx b2 u2 |∇ϕε |2 dx, QR

где постоянная b2 > 0 зависит только от C1 , C2 .

QR

QR

(6.1.10)

6.1. УСТРАНИМЫЕ

ОСОБЕННОСТИ.

ОЦЕНКИ

113

РЕШЕНИЙ

В то же время для любого ε ∈ (0, 1/2)

2

x

2 2 2 2 2

u |∇ϕε | dx 2 u |∇ψ(x)| dx + 2 u ∇ψ dx ε

QR

QR

QεR

b3 (1 + εn−2 ) mes(QR ) ψ2C 1 (QR ) u2L∞ (QR ) , где постоянная b3 > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Таким образом, устремляя в (6.1.10) ε к нулю, получим |∇u|2 dx < ∞, QR/2

откуда, в частности, находим, что u ∈ W 12 (QR ) ∩ L∞ (QR ). Несложно увидеть, что функция u удовлетворяет условию (19). В самом деле, пусть ϕ ∈ ∞ C0 (QR ). Положим ψk (x) = ψ(kx). Функции ψk ϕu, k = 1, 2, . . ., образуют ограниченную последовательность в норме пространства W 12 (Ω ∩ QR ), сходящуюся в L2 (QR ) к нулю. Согласно теореме Банаха—Сакса, существует последовательность натуральных чисел {ks }∞ s=1 такая, что → 0 при s → ∞, ψ˜s ϕu 1 W 2 (Ω∩QR )

где

1 ψ˜s = (ψk1 + · · · + ψks ) . s Для того, чтобы показать справедливость (19), остается заметить, что ϕu = ψ˜s ϕu + (1 − ψ˜s )ϕu, s = 1, 2, . . . , ◦

где (1 − ψ˜s )ϕu ∈ W 12 (Ω ∩ QR ) для всех натуральных s в силу условия (6.0.1). Докажем теперь, что F (·, u(·)) ∈ L(Ω ∩ QR ). Согласно (6.1.9), n ∂u ∂ϕε F (x, u)χΩ (x)ϕε dx − aij (x) dx ∂xj ∂xi QR

QR

(6.1.11) (6.1.12)

i,j=1

для любого ε ∈ (0, 1/2). Оценивая правую часть последнего неравенства по Гёльдеру, получим 1  1  2 2     F (x, u)χΩ (x)ϕε dx C2  |∇u|2 dx  |∇ϕε |2 dx . QR

QR

QR

При этом, очевидно, 1  1  1  2 2 2       |∇ϕε |2 dx  |∇ψ(x)|2 dx +  |∇ψ(x/ε)|2 dx  QR

QR

QεR

b4 1 + ε(n−2)/2 (mes(QR ))1/2 ψC 1 (QR ) , где постоянная b4 > 0 зависит только от n, C1 , C2 . Тем самым, устремляя в неравенстве (6.1.12) ε к нулю, получим F (x, u)χΩ (x) dx < ∞, QR/2

откуда непосредственно следует (6.1.11). Лемма полностью доказана.

114

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ

И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ

Теорема 6.1.5. Пусть для любого ε > 0 найдутся постоянная κ ∈ (1, ∞) и измеримая функция ψ : (0, R) → [0, ∞) такие, что ψ(r) ess и

inf

x∈Ω∩Qrκ \Qr/κ

F (x, r2−n ε),

r ∈ (0, R),

R ξ n−1 ψ(ξ) dξ = ∞.

(6.1.13)

0

Тогда задача (7), (6.0.1) не имеет в Ω ∩ QR \ {0} неотрицательных решений со слабой особенностью в нуле. Доказательство. Если неотрицательное решение u задачи (7), (6.0.1) ограничено на множестве Ω ∩ QR \ {0}, то по лемме 6.1.1 особенность функции u в нуле устранима. Тем самым, можно считать, что lim sup u(x) = ∞. x→0

Обозначим

u(x) − A, uA (x) = 0,

u(x) > A,

где A = ess

u.

sup Ω∩QR \QR/2

В силу леммы 1.2.3, LuA F (x, uA )χ(0,∞) (uA ) in

Ω ∩ QR \ {0},

где χ(0,∞) — характеристическая функция интервала (0, ∞). Преобразование Кельвина uA (x(y)) u ˜A (y) = v(x(y)) от функции uA является решением задачи ˜ uA F˜ (y, u ˜A )χ(0,∞) (˜ uA ) L˜

˜ в Ω,

u ˜A ∂ Ω˜ = 0,

(6.1.14)

˜ определены в доказательстве теоремы 6.1.1, а Ω ˜ — образ множества Ω ∩ QR \ {0} где v, x(·), F˜ и L при инверсии относительно единичной сферы. Согласно принципу максимума, M (·; u ˜A ) является неубывающей функцией, положительной на промежутке [R0 , ∞) для некоторого R0 ∈ (1/R, ∞). Полагая, далее,  M (R0 ; u ˜A ) ˜A ) u (y) − M (R0 ; u , uA (y) > , A 2 2 u ˆ(y) =  0, имеем ˜ u B|y|−2−n F (x(y), C|y|n−2 )χ(0,∞) (ˆ u) Lˆ

˜ в Ω,

u ∂ Ω˜ = 0,

где B > 0 и C > 0 — некоторые константы. Можно считать, что вещественное число κ в условиях теоремы не превосходит 2. В противном случае заменим κ на min{κ, 2}. Таким образом, согласно теоремам 1.1.1 и 4.1.1, для некоторой неотрицательной функции ψ, удовлетворяющей условию (6.1.13), на промежутке [R0 , ∞) существует решение задачи Коши n−1 1 −2−n m =r ψ ˆ), m (R0 ) = 0 m + , m(R0 ) = M (R0 + 0; u r r такое, что M (r; u ˆ) m(r) для всех r ∈ (R0 , ∞).

6.1. УСТРАНИМЫЕ

ОСОБЕННОСТИ.

ОЦЕНКИ

115

РЕШЕНИЙ

Пусть сначала n 3. Несложно увидеть, что n−2 r ξ 1 1 −1−n dξ 1− ψ ˆ) + ξ m(r) = M (R0 + 0; u n−2 r ξ R0

1 − 22−n n−2

r/2 1 dξ → ∞ при ξ −1−n ψ ξ R0

Пусть теперь n = 2. Тогда r ˆ) + m(r) = M (R0 + 0; u

r → ∞.

√

r 1 1 r 1 −3 −3 dξ ln r ξ ψ dξ → ∞ при ξ ln ψ ξ ξ 2 ξ

R0

r → ∞.

R0

(6.1.15)

Другими словами, функция u имеет в нуле сильную особенность. Следствие 6.1.1. Предположим, что выполнены соотношения (3.1.4) и (6.1.2). Тогда задача (11), (6.0.1) не имеет в Ω ∩ QR \ {0} решений с сильной особенностью в нуле. Доказательство. Для произвольного решения u уравнения (11) в Ω ∩ QR \ {0}, удовлетворяющего условию (6.0.1), обозначим ω+ = {x ∈ Ω ∩ QR \ {0} : u(x) > 0} и ω− = {x ∈ Ω ∩ QR \ {0} : u(x) < 0}. Очевидно, ω+ и ω− — открытые множества, так как функция u непрерывна в Ω ∩ QR \ {0}. Таким образом, для завершения доказательства остается применить теорему 6.1.1 к каждому из этих множеств. Аналогично устанавливается справедливость следствий 6.1.2–6.1.5, которые приводятся ниже. Следствие 6.1.2. Пусть имеют место (3.1.6) и (6.1.2). Тогда любое решение (11), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку    12  R  −1   M (r; |u|) Ar2−n H∞ ξ n−1 q(ξ) dξ   B r −1 — функция, обратная к (3.1.7), а постоянные A > 0 и для всех достаточно малых r, где H∞ B > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 .

Следствие 6.1.3. В предположениях теоремы 6.1.3 любое решение (11), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку R H∞ (Ar

n−2

M (r; |u|)) + h∞ (Ar

n−2

M (r; |u|)) B

min{ξ n−1 q(ξ), ξ (n−2)/2 q 1/2 (ξ)} dξ

0

для всех достаточно малых r, где H∞ и h∞ определены с помощью (3.1.7) и (3.1.9), а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 . Следствие 6.1.4. Пусть имеют место (3.1.4) и (6.1.6). Тогда для любого решения (11), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0} найдется ε > 0 такое, что   1  2 |x|    2−n −1   n−1 |u(x)| A|x| G∞  B  ξ q(ξ) dξ    0

для всех x ∈ Qε ∩ Ω \ {0}, где G−1 ∞ — функция, обратная к (3.1.5), а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от n, τ , C1 , C2 . Следствие 6.1.5. В предположениях теоремы 6.1.5 задача (11), (6.0.1) не имеет в Ω ∩ QR \ {0} решений со слабой особенностью в нуле.

116

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ

И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ

Пример 6.1.1. Рассмотрим уравнение Lu = c|x|s |u|λ sign u в QR \ {0}, где c = const > 0. Полагая g(t) = tλ и q(r) ∼ rs+λ(2−n) , получим из следствий 6.1.1 и 6.1.5, что при λ > 1 и s λ(n − 2) − n особенность в нуле у функции u является устранимой. Заметим, что в случае L = ∆ и s = 0 этот результат был ранее получен в [69]. Пример 6.1.2. Пусть теперь

Lu = c|x|

λ(n−2)−n

1 ln |x|

s

|u|λ sign u

в QR \ {0}, где c = const > 0. Используя следствия 6.1.1 и 6.1.5, приходим к выводу, что при λ > 1 и s −1 особенность функции u в нуле устранима. Последнее утверждение справедливо также для решений уравнений 1 −1 1 −1 1 s λ(n−2)−n Lu = c|x| ln lnk+1 · · · lnk |u|λ sign u |x| |x| |x| в QR \ {0}, где c = const > 0, k 1 — целое число, а 1 1 = $ln ln%& · · · ln' . lnk |x| |x| k

Пример 6.1.3. Пусть u удовлетворяет уравнению Lu = c|x|λ(n−2)−n |u|λ (ln(1 + |u|))s sign u в QR \ {0}, где c = const > 0. Если λ > 1 и s −1, то особенность функции u в нуле устранима. 1 Действительно, возьмем g(t) = tλ ln(s−|s|)/2 t для всех достаточно больших t и q(r) ∼ r−n lns r для всех достаточно малых положительных r, затем применим следствия 6.1.1 и 6.1.5. Аналогичное утверждение справедливо и для решений уравнений Lu = c|x|λ(n−2)−n |u|λ (ln(1 + |u|))−1 · · · (lnk (1 + |u|))−1 (lnk+1 (1 + |u|))s sign u в QR \ {0}, где c = const > 0, а k 1 — целое число. В случае L = ∆ и λ = n/(n − 2) этот результат был получен в [120]. Пример 6.1.4. Рассмотрим уравнение Lu = c|x|s u(ln(1 + |u|))λ ,

(6.1.16)

где c = const > 0. При s −2 и λ > 2 из следствий 6.1.1 и 6.1.5 вытекает, что всякое решение (6.1.16) в QR \ {0} имеет в нуле устранимую особенность. Для того чтобы это показать, достаточно взять g(t) = t lnλ (1 + t), q(r) = r2+s−n и применить следствия 6.1.1 и 6.1.5. Можно без труда обобщить все сказанное на уравнения Lu = c|x|s u(ln(1 + |u|))2 · · · (lnk (1 + |u|)2 (lnk+1 (1 + |u|)λ в QR \ {0}, где c = const > 0, а k 1 — целое число. 6.2. СЛУЧАЙ n = 2 Далее будем предполагать, что Ω ⊂ R2 и R ∈ (0, 1). Пусть также σ > 1 — вещественное число, а f : (0, R) × (0, ∞) → [0, ∞) — измеримая функция такие, что f (r, t) ess

inf

x∈Ω∩Qrσ \Qr/σ

f (r, t1 ) f (r, t2 )

F (x, t)

при 0 < r < R,

при 0 < r < R,

0 < t1 t2 ,

и f (r, t − 0) = f (r, t)

при

0 < t,

0 < r < R,

0 < t.

6.2. СЛУЧАЙ n = 2

117

Покажем, что в случае, когда размерность основного пространства n = 2, результаты предыдущего параграфа могут быть усилены. Теорема 6.2.1. Пусть для любого ε > 0 найдутся постоянная κ ∈ (1, ∞) и измеримая функция ψ : (0, R) → [0, ∞) такие, что 1 , r ∈ (0, R), F x, ε ln ψ(r) ess inf r x∈Ω∩Qrκ \Qr/κ и R ξψ(ξ) dξ = ∞. 0

Тогда задача (7), (6.0.1) не имеет в Ω ∩ QR \ {0} неотрицательных решений со слабой особенностью в нуле. Доказательство. В обозначениях теоремы 6.1.1 ˜ E˜ = 0 в R2 \ Q1/2R , L

E˜ S

1/2R

= 0,

˜ где E(y) = E(x(y)) — преобразование Кельвина от функции E. Возьмем вещественное число η > 0 настолько малым, что ˜ < M (R0 ; u ηM (R0 ; E) ˜A ), ˜A такие же, как в доказательстве теоремы 6.1.5. где R0 и u Полагая ˜ ˜ u ˜A (y) > η E(y), u ˜A (y) − η E(y), u ˆ(y) = 0, в силу (6.1.3) и (6.1.14), находим, что ˜ u B|y|−4 F (x(y), C ln |y|)χ(0,∞) (ˆ u) в Lˆ

˜ Ω,

(6.2.1)

u ∂ Ω˜ = 0,

˜ — образ множества Ω ∩ QR \ {0} при инверсии отногде B и C — положительные константы, а Ω сительно единичной сферы. Доказательство завершается применением теоремы 4.1.1 и соотношения (6.1.15). Далее будем считать, что для некоторых вещественных чисел t∗ > 0 и r∗ ∈ (ln(1/R), ∞) на множестве {(ξ, t) : r∗ ξ, t∗ ξ t} выполнено неравенство

t −2ξ −ξ , e f e , t ξp(ξ)g ξ где p : (r∗ , ∞) → [0, ∞) и g : (0, ∞) → (0, ∞) — измеримые функции, причем g монотонно не убывает. Теорема 6.2.2. Пусть имеют место (3.1.4) и (3.1.13). Тогда каждое неотрицательное решение неравенства (7) в Ω ∩ QR \ {0}, удовлетворяющее условию (6.0.1), не может иметь в нуле сильную особенность. Доказательство. Если особенность в нуле решения u задачи (7), (6.0.1) является сильной, то, устремляя R0 к бесконечности, вещественное число η в доказательстве теоремы 6.2.1 можно сделать сколь угодно большим. В частности, можно считать, что ˜ η E(y) 4t∗ ln |y| для всех y ∈ R2 \ Q1/R . Тем самым, для функции u ˆ, определенной с помощью (6.2.1), получим

−4 ˜ ˜ u B|y| F (x(y), u ˆ + 4t∗ ln |y|)χ(0,∞) (ˆ u) в Ω, u

Lˆ

˜ ∂Ω

= 0,

˜ — образ множества Ω ∩ QR \ {0} при инверсии относительно единичной сферы, а постоянная где Ω B > 0 зависит только от C1 , C2 .

118

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ

И НЕРАВЕНСТВА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОСТИ

Будем считать, что R0 настолько велико, что ln R0 r∗ и 2 ln(|y|/σ) ln |y| для любого y ∈ R2 \ QR0 . Применяя теорему 4.1.1, находим, что на промежутке [R0 , ∞) существует решение задачи Коши 1 1 −4 , βm + 2t∗ ln r , m + m = αr f r r ˆ), m (R0 ) = 0, m(R0 ) = M (R0 + 0; u ˆ) m(r), где постоянные α > 0 и β > 0 удовлетворяющее для всех r ∈ (R0 , ∞) оценке M (r; u зависят только от C1 , C2 , σ. Полагая w(ξ) = βm(eξ ) + 2t∗ ξ, очевидно, получим

w = ce−2ξ f e−ξ , w ,

w(ξ∗ ) > t∗ ξ∗ ,

w (ξ∗ ) > t∗ ,

где ξ∗ = ln R0 , c = αβ. Однако, согласно теореме 3.1.1, функция w должна стремиться к бесконечности на конечном интервале. Таким образом, приходим к противоречию. Заменяя в предыдущих рассуждениях теорему 3.1.1 на 3.1.3, 3.1.5 и 3.1.4 соответственно, получим следующие утверждения. Теорема 6.2.3. Пусть выполнены соотношения (3.1.6) и (3.1.13). Тогда любое неотрицательное решение задачи (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку   1  2 ln 1/r  1 −1    ξpσ (ξ) dξ   M (r; u) A ln H∞  B   r r∗

для всех положительных r из некоторой окрестности нуля, где H∞ определено формулой −1 — функция, обратная к H , а постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ, (3.1.8), H∞ ∞ C1 , C2 . Теорема 6.2.4. Пусть имеет место (3.1.17). Тогда любое неотрицательное решение задачи (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку     ln 1/r AM (r; u) AM (r; u)     min ξpσ (ξ), p1/2 (ξ) dξ H∞  + h∞  B   σ 1 1 ln ln r∗ r r для всех положительных r из некоторой окрестности нуля, где H∞ и h∞ определены формулами (3.1.7) и (3.1.9), а постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ, C1 , C2 . Теорема 6.2.5. Пусть справедливы соотношения (3.1.4) и (3.1.14). Тогда для любого неотрицательного решения задачи (7), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0} найдется ε > 0 такое, что   1  2 ∞  1 −1    u(x) A ln G∞  ξpσ (ξ) dξ   B   |x| ln 1/|x|

для всех x ∈ Qε ∩ Ω \ {0}, где G−1 ∞ — функция, обратная к (3.1.5), а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от σ, C1 , C2 . Из последних утверждений непосредственно следуют следствия 6.2.1–6.2.5, которые приводятся ниже. Следствие 6.2.1. В предположениях теоремы 6.2.1 задача (11), (6.0.1) не имеет в Ω ∩ QR \ {0} неотрицательных решений со слабой особенностью в нуле.

6.2. СЛУЧАЙ n = 2

119

Следствие 6.2.2. Пусть имеют место (3.1.4) и (3.1.13). Тогда любое неотрицательное решение уравнения (11) в Ω ∩ QR \ {0}, удовлетворяющее условию (6.0.1), не может иметь в нуле сильную особенность. Следствие 6.2.3. Пусть выполнены соотношения (3.1.6) и (3.1.13). Тогда любое неотрицательное решение задачи (11), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0} с сильной особенностью в нуле допускает оценку   1  2 ln 1/r  1 −1    ξpσ (ξ) dξ   B M (r; |u|) A ln H∞    r r∗

для всех положительных r из некоторой окрестности нуля, где H∞ определено формулой −1 — функция, обратная к H , а постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ, (3.1.8), H∞ ∞ C1 , C2 . Следствие 6.2.4. Пусть имеет место (3.1.17). Тогда любое неотрицательное решение задачи (11), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0}, имеющее сильную особенность в нуле, допускает оценку     ln 1/r  AM (r; |u|)   AM (r; |u|)  + h∞  B min ξpσ (ξ), p1/2 (ξ) dξ H∞    σ 1 1 ln ln r∗ r r для всех положительных r из некоторой окрестности нуля, где H∞ и h∞ определены формулами (3.1.7) и (3.1.9), а постоянные A > 0, B > 0 зависят только от σ, C1 , C2 . Следствие 6.2.5. Пусть справедливы соотношения (3.1.4) и (3.1.14). Тогда для любого неотрицательного решения задачи (11), (6.0.1) в Ω ∩ QR \ {0} найдется ε > 0 такое, что   1  2 ∞  1 −1    |u(x)| A ln G∞  ξpσ (ξ) dξ   B   |x| ln 1/|x|

для всех x ∈ Qε ∩ Ω \ {0}, где G−1 ∞ — функция, обратная к (3.1.5), а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от σ, C1 , C2 . Пример 6.2.1. Рассмотрим решение уравнения 1 s −2 ln |u|λ sign u Lu = c|x| |x| в QR \{0}, где c = const > 0. Согласно следствиям 6.2.1 и 6.2.2, устранимость особенности функции u в нуле гарантируется условиями λ > 1 и s −λ − 1, которые являются более слабыми, чем аналогичные условия, приведенные в примере 6.1.2 в случае произвольной размерности основного пространства. Пример 6.2.2. Предположим, что Lu = g(u) sign u в QR \ {0}, где положительная монотонно не убывающая функция g удовлетворяет предельному соотношению ln g(t) → ∞. lim t→∞ t Тогда из следствий 6.2.1 и 6.2.2 вытекает устранимость особенности в нуле функции u. Результат, содержащийся в примере 6.2.2, был ранее получен в [9].

120

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА 7 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения порядка m 2 вида w(m) = Q(r, w, . . . , w(m−1) ),

(7.0.1)

где Q принадлежит классу Каратеодори Kloc ([a, ∞) × Rm ), a > 0 [7, с. 9]. Примем следующие обозначения. Под Lloc ([a, ∞)) подразумевается пространство функций w : [a, ∞) → R, интегрируемых по Лебегу на каждом компакте K ⊂ [a, ∞). Аналогично через C˜ nloc ([a, b)), a < b ∞, обозначим множество функций w : [a, b) → R, имеющих абсолютно непрерывные производные w(i) , i = 0, . . . , n, на любом отрезке [a, b∗ ] ⊂ [a, b). Как принято, решением уравнения (7.0.1) на промежутке [a, b), a < b ∞, называется функция 1 w ∈ C˜ m−1 loc ([a, b)), удовлетворяющая уравнению (7.0.1) почти всюду на [a, b) . Пусть τ ∈ (1, ∞) — вещественное число, а E ⊂ R — измеримое множество, причем mes E ∩ (ξ/τ, τ ξ) = 0 для любого ξ ∈ E. Для произвольной измеримой функции f : E → R положим fτ (ξ) = ess

inf

E∩(ξ/τ,τ ξ)

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

f,

ξ ∈ E.

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

Если не указано противное, будем считать, что k ∈ {0, . . . , m − 2}, δ ∈ (0, ∞) и на множестве δ i−1 (r, t0 , . . . , tm−1 ) : a r, tm−i > r , i = 1, . . . , m (i − 1)! выполнено соотношение tk Q(r, t0 , . . . , tm−1 ) rm−k−1 p(r)g m−k−1 , (7.1.1) r где p : [a, ∞) → [0, ∞) принадлежит пространству Lloc ([a, ∞)), а g : (0, ∞) → (0, ∞) — полунепрерывная снизу монотонно не убывающая функция. Определение 7.1.1 (см. [7]). Решение w : [a, ∞) → R уравнения (7.0.1) называется правильным, если sup |w(r)| > 0 r∈[b,∞)

для всякого b ∈ [a, ∞). Определение 7.1.2 (см. [7]). Решение w : [a, b) → R уравнения (7.0.1) на конечном промежутке [a, b), a 0 такое, что w(r) = 0 для любого r ∈ (b − ε, b). Теорема 7.1.1. Пусть σ ∈ (1, ∞), и при этом ∞ g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt < ∞

(7.1.2)

1 1 Заметим, что условие Q ∈ Kloc ([a, ∞) × Rm ) можно Q(r, w, . . . , wm−1 ) ∈ Lloc ([a, ∞)) для любой функции w ∈ (t0 , . . . , tm−1 ) ∈ Γ} ∈ Lloc ([a, ∞)) для любого компактного Q(r, ·, . . . , ·), очевидно, не обязана быть непрерывной для почти

ослабить. Именно, достаточно потребовать, чтобы ˜ m−1 ([a, ∞)) и при этом sup{|Q(·, t0 , . . . , tm−1 )| : C loc множества Γ. При таких предположениях функция всех r ∈ [a, ∞).

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

и

121

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

∞ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ = ∞.

(7.1.3)

a

Тогда каждое непродолжаемое решение уравнения (7.0.1), удовлетворяющее условию w(m−i) (a) >

δ ai−1 , (i − 1)!

i = 1, . . . , m,

(7.1.4)

является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. Напоминаем [44, § 3, с. 23], что решение w ˜ : [a, ˜b) → R уравнения (7.0.1) называется продол˜ жением решения w : [a, b) → R, если b b и w(r) ˜ = w(r) для любого r ∈ [a, b). Решение w : [a, b) → R уравнения (7.0.1) называется непродолжаемым, если для каждого его продолжения w ˜ : [a, ˜b) → R имеет место равенство ˜b = b. Заметим, что правая часть (7.0.1) не определена при r < a. Пример 7.1.1. Рассмотрим уравнение w(m) = q(r) w lnλ (1 + w),

r > a > 0,

(7.1.5)

где q ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция, причем q(r) ∼ rs

при r → ∞

(7.1.6)

для некоторого вещественного числа s (т.е. найдутся константы c1 , c2 ∈ (0, ∞) такие, что c1 rs q(r) c2 rs в окрестности бесконечности). Полагая в теореме 7.1.1 k = 0, g(t) = t lnλ (1 + t) и p(ξ) = q(ξ) χ[1,∞) (ξ), где χ[1,∞) — характеристическая функция множества [1, ∞), получим, что при λ>m и

s −m

(7.1.7)

каждое непродолжаемое решение уравнения (7.1.5), удовлетворяющее неравенствам w(i) (a) > 0,

i = 0, . . . , m − 1,

(7.1.8)

является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. Пусть условие (7.1.7) не имеет места. Покажем, что для некоторой положительной непрерывной функции q вида (7.1.6) на промежутке [a, ∞) существует правильное решение (7.1.5), (7.1.8). Если s < −m либо s = −m и λ < −1, то последнее утверждение вытекает из [7, с. 207, следствие 8.2]. Допустим, что λ < m и s > −m. Легко проверить, что w(r) = Arm−1 eBr

(s+m)/(m−λ)

будет искомым решением для всех A, B ∈ (0, ∞). Предположим далее, что 0 λ < m и s = −m. Очевидно, что равенство w(r) = Arm−1 eB(ln(r/ε))

m/(m−λ)

есть искомое решение для всех A, B ∈ (0, ∞) и достаточно малого ε ∈ (0, ∞), зависящего, вообще говоря, от A, B и a. Пусть −1 < λ < 0 и s = −m. Тогда в качестве требуемого решения можно взять w(r) = Arm−1 eB(ln(r/ε))

1+λ

,

где A, B, ε ∈ (0, ∞), и при этом ε достаточно мало. Точно так же в случае λ = −1 и s = −m таким решением является функция w(r) = Arm−1 eB ln ln(r/ε) ,

A, B ∈ (0, ∞),

при достаточно малом ε > 0. Предположим теперь, что λ = m и s > −m. Тогда искомое решение определяется формулой Br (s+m)/m

w(r) = Arm−1 ee

,

A, B ∈ (0, ∞).

122

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Наконец, если λ = m и s = −m, то необходимым примером служит B

A, B ∈ (0, ∞).

w(r) = Arm−1 er ,

Теорема 7.1.2. Пусть σ ∈ (1, ∞), имеет место (7.1.3), и ∞ g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt = ∞.

(7.1.9)

1

Тогда любое правильное решение (7.0.1), (7.1.4) для всех r из окрестности бесконечности удовлетворяет оценке   1/m−k  r  −1   ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.1.10) w(k) (r) rm−k−1 H∞ C , a

где

ζ H∞ (ζ) =

g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt,

1 −1 H∞

— функция, обратная к H∞ , а постоянная C > 0 зависит только от m и σ.

Пример 7.1.2. Допустим, что w — правильное решение (7.1.5), (7.1.8), где λ m, а q ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция такая, что для некоторого s > −m выполнено соотношение (7.1.6). Тогда, применяя теорему 7.1.2, для всех достаточно больших r получим w(r) Arm−1 eBr если λ < m, или

(s+m)/(m−λ)

(7.1.11)

,

Br (s+m)/m

w(r) Arm−1 ee , (7.1.12) если λ = m, где A > 0 и B > 0 — некоторые константы, не зависящие от w. Ранее (см. пример 7.1.1) было показано, что правые части неравенств (7.1.11) и (7.1.12) сами являются решениями (7.1.5), (7.1.8). Последнее обстоятельство говорит о точности теоремы 7.1.2. Теорема 7.1.3. Предположим, что σ ∈ (1, ∞), и при этом ∞ min{ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ)} dξ = ∞. σ

(7.1.13)

a

Тогда каждое правильное решение (7.0.1), (7.1.4) допускает оценку m−k−1 w(k) (r)/r

g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt +

m−k−1 w(k) (r)/r

1

1

r C

min{ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ)} dξ σ

dt g(t) (7.1.14)

a

для всех r из некоторой окрестности бесконечности, где постоянная C > 0 зависит только от σ и m. Пример 7.1.3. Пусть w — правильное решение уравнения (7.1.5), удовлетворяющее условию (7.1.8), где λ m, а q ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция такая, что q(r) ∼ r−m

при r → ∞.

Тогда, применяя теорему 7.1.3, в которой k = 0, g(t) = t lnλ (1 + t) и p(ξ) = q(ξ)χ[1,∞) (ξ), для всех достаточно больших r находим B w(r) Arm−1 er ,

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

123

если λ = m, или w(r) Arm−1 eB(ln r)

m/(m−λ)

,

если 0 λ < m, где A и B — положительные константы, не зависящие от w. Рассмотрим теперь случай −1 λ < 0. Легко увидеть, что w(r) обладает не более, чем степенным ростом при r → ∞ с показателем степени, зависящим только от q и m. Тем самым, полагая в теореме 7.1.3 k = 0, g(t) = t и p(ξ) = q(ξ) lnλ (1 + w(ξ)), имеем p(ξ) Cξ −m lnλ ξ для всех ξ из окрестности бесконечности, где постоянная C > 0 не зависит от w. В свою очередь, (7.1.14) принимает вид w(r) Arm−1 eB(ln r)

1+λ

,

если −1 < λ < 0, или w(r) Arm−1 eB ln ln r , если λ = −1, для всех достаточно больших r, где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. Наконец, в случае λ < −1 из (7.1.8) и неотрицательности правой части (7.1.5) может быть непосредственно получено, что w(r) Arm−1 для некоторого A ∈ (0, ∞) и любых r ∈ [a, ∞). Согласно [7, с. 207, следствие 8.2], последнее неравенство является неулучшаемым. О точности остальных оценок, приведенных выше, свидетельствует также пример 7.1.1. Следствие 7.1.1. Пусть κ ∈ (1, ∞), справедливо (7.1.2), и при этом lim sup rm−k pκ (r) > 0.

r→∞

(7.1.15)

Тогда каждое непродолжаемое решение (7.0.1), (7.1.4) является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. Доказательство. Возьмем σ = κ 1/2 . Покажем, что из условия (7.1.15) следует (7.1.3). Предположим противное. Тогда ∞

i+1 ∞ σ a ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ = ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ < ∞,

i=0

a

σi a

откуда следует, что i+1 a σ

ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ = 0.

lim

i→∞

σi a

В то же время i+1 a σ

ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ σi a

для любого r ∈

[σ i a, σ i+1 a],

σ − 1 m−k r pκ (r) σ m−k

i = 0, 1, 2, . . .. Таким образом, lim rm−k pκ (r) = 0,

r→∞

что противоречит неравенству (7.1.15). Тем самым, справедливо (7.1.3), и для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 7.1.1. Доказательство теорем 7.1.1–7.1.3 опирается на следующие утверждения.

124

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лемма 7.1.1. Пусть a a∗ < ρ < r < b, γ > 0 и θ > 1 — некоторые вещественные числа, и пусть u : (a∗ , b) → (0, ∞) — решение интегрального уравнения s ξ m−k−1 m−k−1 1 a∗ m−k−1 1− + ξ p(ξ)g(u(ξ))dξ, (7.1.16) u(s) = γ 1 − s (m − k − 1)! s a∗

причем θu(ρ) u(r). Тогда 1 u(r) − u(ρ) gθ (t) (m − k − 1)!

r ξ m−k−1 m−k−1 1− ξ p(ξ) dξ r

(7.1.17)

ρ

для любого t ∈ (u(ρ), u(r)). Замечание 7.1.1. Любое решение уравнения (7.1.16) является монотонно возрастающей функцией, так как первое слагаемое в правой части (7.1.16) монотонно возрастает на промежутке (a∗ , b), а второе — не убывает. Доказательство леммы 7.1.1. Имеем

a∗ m−k−1 a∗ m−k−1 u(r) − u(ρ) = γ 1 − −γ 1− + r ρ ρ ξ m−k−1 1 ξ m−k−1 m−k−1 1− ξ + − 1− p(ξ)g(u(ξ))dξ+ (m − k − 1)! r ρ

a∗

1 + (m − k − 1)!

r ξ m−k−1 m−k−1 1− ξ p(ξ)g(u(ξ))dξ r ρ

1 (m − k − 1)!

r ξ m−k−1 m−k−1 1− ξ p(ξ)g(u(ξ))dξ, r ρ

откуда непосредственно вытекает (7.1.17). Лемма 7.1.2. Пусть w : [a∗ , b) → R, a a∗ (i − 1)! ∗ Тогда на промежутке (a∗ , b) существует решение интегрального уравнения (7.1.16), где 1 w(m−1) (a∗ ), (7.1.19) γ= (m − k − 1)! и при этом для любого r ∈ (a∗ , b) выполнено неравенство w(k) (r) u(r) > 0. (7.1.20) rm−k−1 Доказательство. Интегрируя (7.0.1), при r ∈ (a∗ , b) получим 1 w(m−1) (a∗ )(r − a∗ )m−k−1 + w(k) (r) = w(k) (a∗ ) + w(k+1) (a∗ )(r − a∗ ) + · · · + (m − k − 1)! r 1 + (r − ξ)m−k−1 Q(ξ, w(ξ), . . . , w(m−1) (ξ))dξ. (7.1.21) (m − k − 1)! a∗

w(m−i) (ξ)

В то же время > (δ/(i − 1)!)ξ i−1 для всех ξ ∈ [a∗ , b), i = 1, . . . , m, в силу неотрицательности правой части (7.0.1) и условия (7.1.18). Таким образом, объединяя (7.1.1) и (7.1.21), получаем 1 w(m−1) (a∗ )(r − a∗ )m−k−1 + w(k) (r) w(k) (a∗ ) + w(k+1) (a∗ )(r − a∗ ) + · · · + (m − k − 1)!

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

1 + (m − k − 1)!

125

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

r (r − ξ)m−k−1 ξ m−k−1 p(ξ)g

w(k) (ξ) ξ m−k−1

dξ,

r ∈ (a∗ , b),

a∗

откуда, обозначая v(ξ) = w(k) (ξ)/ξ m−k−1 , находим r − a∗ 1 a∗ m−k−1 (m−1) w + · · · + (a ) 1 − + ∗ rm−k−1 rm−k−1 (m − k − 1)! r r ξ m−k−1 m−k−1 1 1− ξ p(ξ)g(v(ξ))dξ, r ∈ (a∗ , b). + (m − k − 1)! r

v(r) w(k) (a∗ )

1

+ w(k+1) (a∗ )

a∗

Построим последовательность непрерывных функций ui : (a∗ , b) → (0, ∞), i = 0, 1, 2, . . ., полагая 1 a∗ m−k−1 w(m−1) (a∗ ) 1 − u0 (r) = (m − k − 1)! r и

1 a∗ m−k−1 w(m−1) (a∗ ) 1 − + (m − k − 1)! r r ξ m−k−1 m−k−1 1 1− ξ p(ξ)g(ui−1 (ξ))dξ, i = 1, 2, . . . . + (m − k − 1)! r ui (r) =

(7.1.22)

a∗

Индукцией по i несложно показать, что для всех r ∈ (a∗ , b) справедливы неравенства v(r) ui (r) ui−1 (r),

i = 1, 2, . . . .

(7.1.23)

Таким образом, существует функция u : (a∗ , b) → (0, ∞) такая, что ui (r) → u(r) при i → ∞ для всех r ∈ (a∗ , b). Переходя в соотношении (7.1.22) к пределу при i → ∞, согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости, получим (7.1.16), где γ определено с помощью (7.1.19). Из (7.1.23) также следует оценка (7.1.20). Лемма 7.1.3. Предположим, что α ∈ (0, 1], θ, ν ∈ (1, ∞), T1 ∈ (0, ∞) и T2 ∈ [νT1 , ∞) — некоторые вещественные числа, и пусть g : (0, ∞) → (0, ∞) — произвольная измеримая функция такая, что gθ (t) > 0 для всех t ∈ (0, ∞). Тогда  T 1/α 2 T2 dt  , (7.1.24) gθ−α (t)tα−1 dt C g(t) T1

T1

где постоянная C > 0 зависит только от θ, ν, α. Доказательство. Возьмем κ = min{θ1/2 , ν}. Пусть n — максимальное натуральное число такое, что κ n T1 T2 . Определим конечную последовательность {ti }ni=0 , полагая ti = κ i T1 , i = 0, . . . , n−1, и t n = T2 . Имеем 1/α 1/α   T 1/α  2 ti n ti n      gθ−α (t)tα−1 dt = gθ−α (t)tα−1 dt gθ−α (t)tα−1 dt . (7.1.25)  i=1 t

T1

i−1

i=1

ti−1

В то же время для каждого i ∈ {1, . . . , n} найдётся ξi ∈ (ti−1 , ti ) такое, что ti ti−1

gθ−α (t)tα−1 dt (ti − ti−1 )gθ−α (ξi )ξiα−1 ,

126

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

откуда, учитывая, что (ti − ti−1 )ξiα−1 (κ − 1)κ 2(α−1) tαi−1 , получим  1/α ti (κ − 1)1/α κ 2(1−1/α) ti−1   , i = 1, . . . , n. gθ−α (t)tα−1 dt  gθ (ξi )

(7.1.26)

ti−1

Далее ti − ti−1 (κ 2 − 1)ti−1 gθ (ξi ) gθ (ξi )

ti

(7.1.27)

ti−1

для любого i ∈ {1, . . . , n}. Таким образом, объединяя (7.1.26) и (7.1.27), находим 1/α  ti ti dt  −α α−1  , gθ (t)t dt C  g(t) ti−1

dt g(t)

i = 1, . . . , n,

ti−1

где C = (κ − 1)1/α κ 2(1−1/α) /(κ 2 − 1). Для завершения доказательства леммы остается воспользоваться соотношением (7.1.25). Следствие 7.1.2. Пусть α ∈ (0, 1] и β ∈ (0, 1). Тогда, если g : (0, ∞) → (0, ∞) монотонно не убывающая функция, то 1/α  T2 T2 dt   gθ−α (t)tα−1 dt C  g(t) T1

βT1

для всех вещественных чисел 0 < T1 < T2 , где постоянная C > 0 зависит только от β и α. Доказательство. Полагаем в лемме 7.1.3 ν = θ = 1/β. Лемма 7.1.4. Предположим, что γ ∈ (0, ∞), σ, θ ∈ (1, ∞) и a a∗ < ρ < r < b — некоторые вещественные числа, и пусть u : (a∗ , b) → (0, ∞) — решение интегрального уравнения (7.1.16), причем r σρ и θu(ρ) u(r). Тогда u(r) r −1/(m−k) 1/(m−k)−1 gθ (t) t dt A p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

(7.1.28)

ρ

u(ρ)

где постоянная A > 0 зависит только от m, σ, θ. Доказательство. Пусть n — максимальное натуральное число, удовлетворяющее неравенству θ(n+1)/2 u(ρ) u(r). Рассмотрим конечную последовательность вещественных чисел ρ < ρ1 < · · · < ρn < r такую, что u(ρi ) = θi/2 u(ρ), i = 1, . . . , n. Положим также ρ0 = ρ и ρn+1 = r. Тогда θ1/2 u(ρi−1 ) = u(ρi ), i = 1, . . . , n, и θ−1 u(ρn+1 ) < u(ρn ) θ−1/2 u(ρn+1 ). Наконец, обозначим τ = σ 1/2 . Применяя лемму 7.1.1, для всех t ∈ (u(ρi−1 ), u(ρi )), i = 1, . . . , n + 1, получим ρi ξ m−k−1 m−k−1 u(ρi ) − u(ρi−1 ) 1 1− ξ p(ξ) dξ gθ (t) (m − k − 1)! ρi ρi−1

√

ρi pτ ρi−1 ρi ξ m−k−1 m−k−1 1− ξ dξ (m − k − 1)! ρi ρi−1

√ pτ ( ρi−1 ρi ) (m − k − 1)!

(ρi−1 +ρi )/2

(ρi − ξ) ρi−1

m−k−1

ξ ρi

m−k−1

√ dξ B(ρi − ρi−1 )m−k pτ ( ρi−1 ρi ),

(7.1.29)

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

127

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

где постоянная B > 0 зависит только от m и σ. Отсюда u(ρi ) − u(ρi−1 ) 1/(m−k) √ B 1/(m−k) (ρi − ρi−1 )p1/(m−k) ( ρi−1 ρi ) τ gθ (t) ρi 1/(m−k) B p1/(m−k) (ξ) dξ, t ∈ (u(ρi−1 ), u(ρi )), i = 1, . . . , n + 1. σ

(7.1.30)

ρi−1

С другой стороны, u(ρi ) − u(ρi−1 ) 1 − θ−1/2 u(ρi ), i = 1, . . . , n + 1, поэтому

1/(m−k)−1 u(ρi ) − u(ρi−1 ) 1/(m−k) −1/(m−k) 1 − θ−1/2 gθ (t) u1/(m−k)−1 (ρi ) (u(ρi ) − u(ρi−1 )) gθ (t) (7.1.31) для всех t ∈ (u(ρi−1 ), u(ρi )), i = 1, . . . , n + 1. Объединяя (7.1.30) и (7.1.31), получаем ρi −1/(m−k) 1/(m−k)−1 (t) u (ρi ) (u(ρi ) − u(ρi−1 )) A p1/(m−k) (ξ) dξ gθ σ ρi−1

при каждом t ∈ (u(ρi−1 ), u(ρi )), i = 1, . . . , n + 1, где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и θ. В то же время для любого i ∈ {1, . . . , n + 1} существует ti ∈ (u(ρi−1 ), u(ρi )) такое, что u(ρ i)

−1/(m−k)

gθ

−1/(m−k)

(t) t1/(m−k)−1 dt gθ

(ti ) u1/(m−k)−1 (ρi ) (u(ρi ) − u(ρi−1 )).

u(ρi−1 )

Тем самым, u(ρ i)

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

u(ρi−1 )

ρi A

p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

i = 1, . . . , n + 1.

ρi−1

Наконец, суммируя последнее неравенство, получаем (7.1.28). Лемма 7.1.5. Пусть γ ∈ (0, ∞), σ, θ, ν ∈ (1, ∞), τ = min{ν, σ 1/2 }, a a∗ < b ∞, и пусть u : (a∗ , b) → (0, ∞) — решение интегрального уравнения (7.1.16). Тогда для любых вещественных чисел ρ и r, удовлетворяющих неравенствам a∗ < ρ < r < b и νρ r, найдутся последовательность ρ = a0 < a1 < · · · < an = r, а также конечные множества Ξ1 , Ξ2 ⊂ {0, . . . , n − 1} такие, что τ ai ai+1 < τ 2 ai , i = 0, . . . , n − 1, Ξ1 ∪ Ξ2 = {0, . . . , n − 1}, Ξ1 ∩ Ξ2 = ∅, и при этом ai+1 u(r) −1/(m−k) 1/(m−k)−1 gθ (t) t dt A p1/(m−k) (ξ) dξ σ

(7.1.32)

i∈Ξ1 ai

u(ρ)

и

u(r)

u(ρ)

ai+1 dt ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ, B gθ (t)

(7.1.33)

i∈Ξ2 ai

где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m, σ, θ, ν. Доказательство. Обозначим через n максимальное натуральное число такое, что τ n ρ r. Положим ai = τ i ρ, i = 0, . . . , n − 1, и an = r. Очевидно, имеем τ ai ai+1 < τ 2 ai σai , i = 0, . . . , n − 1. Если θu(ai ) u(ai+1 ) для некоторого i ∈ {0, . . . , n − 1}, то, в соответствии с леммой 7.1.4, u(a i+1 )

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

u(ai )

где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и θ.

ai+1

p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

A ai

(7.1.34)

128

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть теперь θu(ai ) > u(ai+1 ) для некоторого i ∈ {0, . . . , n − 1}. Тогда, применяя лемму 7.1.1, для всех t ∈ (u(ai ), u(ai+1 )) получим u(ai+1 ) − u(ai ) √ C(ai+1 − ai )m−k pτ ( ai ai+1 ), gθ (t) где постоянная C > 0 зависит только от m и τ (см. доказательство соотношения (7.1.29)). Отсюда, учитывая оценку ai+1 √ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ am−k i+1 pτ ( ai ai+1 ) ai

и элементарное неравенство ai+1 − ai (1 − 1/τ )ai+1 , находим, что u(ai+1 ) − u(ai ) B gθ (t)

ai+1

ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ

(7.1.35)

ai

для всех t ∈ (u(ai ), u(ai+1 )), где постоянная B > 0 зависит только от m и τ . В то же время существует ti ∈ (u(ai ), u(ai+1 )) такое, что u(a i+1 )

u(ai )

u(ai+1 ) − u(ai ) dt , gθ (t) gθ (ti )

поэтому (7.1.35) может быть переписано следующим образом: u(a i+1 )

u(ai )

dt B gθ (t)

ai+1

ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ.

(7.1.36)

ai

Обозначим Ξ1 = {0 i n − 1 : θu(ai ) u(ai+1 )} и Ξ2 = {0 i n − 1 : θu(ai ) > u(ai+1 )}. Суммируя (7.1.34) по всем i ∈ Ξ1 , получим (7.1.32). Аналогично из (7.1.36) следует (7.1.33). Лемма 7.1.6. Пусть σ, ν ∈ (1, ∞), α ∈ (0, 1], a ρ < r ∞, и при этом νρ r. Тогда  r α r pα (ξ) dξ C  ξ 1/α−1 pσ (ξ) dξ  , (7.1.37) ρ

ρ

где постоянная C > 0 зависит только от σ и ν. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что r < ∞, так как в случае r = ∞ доказательство получается предельным переходом. Как и выше, обозначим через n максимальное натуральное число такое, что τ n ρ r, где τ = min{ν, σ 1/2 }, и пусть ai = τ i ρ при i = 0, . . . , n − 1, и an = r. Тогда  ai+1  r 1/α  1/α 1/α ai+1 n−1 n−1   pα (ξ) dξ  = pα (ξ) dξ  pα (ξ) dξ  . (7.1.38) ρ

i=0 a i

i=0

ai

В силу неравенства τ ai ai+1 < τ 2 ai , имеем ai+1

p (ξ) dξ (ai+1 − α

ai

√ ai )pατ ( ai ai+1 )

1 √ ai+1 pατ ( ai ai+1 ), 1− τ

i = 0, . . . , n − 1.

(7.1.39)

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

129

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

В то же время ai+1

1/α−1

ξ 1/α−1 pσ (ξ) dξ (ai+1 − ai )ai+1

√ √ 1/α pτ ( ai ai+1 ) ai+1 pτ ( ai ai+1 ),

i = 0, . . . , n − 1. (7.1.40)

ai

Объединяя (7.1.39) и (7.1.40), получим 1/α  ai+1 ai+1  pα (ξ) dξ  C 1/α ξ 1/α−1 pσ (ξ) dξ, ai

i = 0, . . . , n − 1,

ai

где C = 1 − 1/τ . Таким образом, из (7.1.38) следует оценка 1/α  r ai+1 r n−1  pα (ξ) dξ  C 1/α ξ 1/α−1 pσ (ξ) dξ = C 1/α ξ 1/α−1 pσ (ξ) dξ, i=0 a i

ρ

ρ

откуда непосредственно следует (7.1.37). Лемма 7.1.7. Пусть γ ∈ (0, ∞), β ∈ (0, 1), σ, ν ∈ (1, ∞), a a∗ < b ∞, и пусть u : (a∗ , b) → (0, ∞) — решение интегрального уравнения (7.1.16). Тогда для любых вещественных чисел ρ и r, удовлетворяющих неравенствам a∗ < ρ < r 0 зависит только от m, β, σ, ν. Доказательство. Положим κ = 1/β, θ = κ 1/2 , ζ = σ 1/2 и τ = min{ν, ζ 1/2 }. Согласно лемме 7.1.5, существуют последовательность ρ = a0 < a1 < · · · < an = r, а также конечные множества Ξ1 , Ξ2 ⊂ {0, . . . , n − 1} такие, что τ ai ai+1 < τ 2 ai , i = 0, . . . , n − 1, Ξ1 ∪ Ξ2 = {0, . . . , n − 1}, Ξ1 ∩ Ξ2 = ∅, и при этом ai+1 u(r) 1/(m−k) −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt A pζ (ξ) dξ, u(ρ)

и

(7.1.42)

i∈Ξ1 ai u(r)

u(ρ)

ai+1 dt B ξ m−k−1 pζ (ξ) dξ, gθ (t)

(7.1.43)

i∈Ξ2 ai

где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m, θ, ζ, ν. Очевидно, справедливо одно из следующих двух соотношений: ai+1 r 1 m−k−1 ξ pσ (ξ) dξ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ 2

i∈Ξ1 ai

или

(7.1.44)

ρ

ai+1 r 1 m−k−1 ξ pσ (ξ) dξ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ. 2

i∈Ξ2 ai

(7.1.45)

ρ

Допустим, что выполнено (7.1.45). Тогда, в силу (7.1.43), находим u(r)

u(ρ)

B dt gθ (t) 2

r ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ. ρ

(7.1.46)

130

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С другой стороны, так как gκ = (gθ )θ , то, применяя лемму 7.1.3, получим 1/(m−k) 1/(m−k)   κu(r) κu(r) u(r) dt  dt    −1/(m−k) gκ (t) t1/(m−k)−1 dt C1  C1  ,   gθ (t) gθ (t) u(ρ)

u(ρ)

(7.1.47)

u(ρ)

где постоянная C1 > 0 зависит только от β и m. Тем самым, объединяя (7.1.46) и (7.1.47), получим  r 1/(m−k) κu(r) −1/(m−k) gκ (t) t1/(m−k)−1 dt B1  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  , ρ

u(ρ)

где B1 = C1 (B/2)1/(m−k) . Далее gκ (t) = g(βt) для почти всех t ∈ (u(ρ), κu(r)), в силу монотонности функции g и определения вещественного числа κ, поэтому κu(r)

−1/(m−k) gκ (t) t1/(m−k)−1 dt = β

u(r)

1 − m−k

u(ρ)

g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt,

βu(ρ)

что немедленно влечет за собой (7.1.41). Предположим теперь, что имеет место (7.1.44). Учитывая неравенство (7.1.42), несложно показать, что m−k   ai+1 m−k u(r)   −1/(m−k) 1/(m−k)  gθ (t) t1/(m−k)−1 dt Am−k pζ (ξ) dξ  . (7.1.48)  i∈Ξ1

u(ρ)

ai

В то же время, согласно лемме 7.1.6, m−k  ai+1 ai+1 1/(m−k)  pζ (ξ) dξ  C2 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ ai

(7.1.49)

ai

для всех i ∈ Ξ1 , где постоянная C2 > 0 зависит только от ζ, τ и m. Действительно, pσ = (pζ )ζ . Напоминаем также, что τ ai ai+1 , i = 0, . . . , n − 1. Таким образом, объединяя (7.1.48), (7.1.49) и (7.1.44), получим m−k  u(r) r  −1/(m−k) 1/(m−k)−1  gθ (t) t dt A1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ,  ρ

u(ρ)

где A1 = Am−k C2 /2. Отсюда вновь следует (7.1.41). Лемма 7.1.8. Пусть γ ∈ (0, ∞), σ, θ, ν ∈ (1, ∞), a a∗ < b ∞, и пусть u : (a∗ , b) → (0, ∞) — решение интегрального уравнения (7.1.16). Тогда для любых вещественных чисел ρ и r, удовлетворяющих неравенствам a∗ < ρ < r 0 зависит только от m, σ, θ, ν. Доказательство непосредственно вытекает из леммы 7.1.5. Доказательство теоремы 7.1.1. Предположим противное. Допустим, что существует непродолжаемое решение w : [a, b) → R уравнения (7.0.1), удовлетворяющее условию (7.1.4), которое не является неколеблющимся сингулярным решением второго рода.

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

131

В силу неотрицательности правой части (7.0.1), получим, что w(i) , i = 0, . . . , m − 1, — положительные монотонно не убывающие функции. Если b < ∞, то для w(m−1) (r) существует конечный предел при r → b − 0. Но в этом случае, согласно элементарным соотношениям r (i−1) (i−1) (r) = w (a) + w(i) (ξ) dξ, i = 1, . . . , m − 1, w a

все производные w(i) (r), i = 0, . . . , m − 2, также имеют конечный предел при r → b − 0, поэтому w может быть продолжено на интервал [a, ˜b) для некоторого ˜b > b. Тем самым, b = ∞, и из леммы 7.1.2 следует, что на промежутке (a, ∞) существует положительное решение интегрального уравнения (7.1.16), где a∗ = a и γ определено с помощью (7.1.19). Последнее утверждение вместе с условиями (7.1.2) и (7.1.3) противоречит лемме 7.1.7. Доказательство теоремы 7.1.2. Предположим, что w — правильное решение (7.0.1), (7.1.4). Тогда, в соответствии с леммой 7.1.2, существует решение u : (a, ∞) → (0, ∞) интегрального уравнения (7.1.16), где a∗ = a и γ задано равенством (7.1.19), удовлетворяющее при всех r ∈ (a, ∞) соотношению (7.1.20). Возьмем β = 1/2, ν = 2 и ρ = 2a. Применяя лемму 7.1.7, получим, что для всех r ∈ (νρ, ∞) выполнено (7.1.41), где постоянная C > 0 зависит только от m и σ. Из условия (7.1.3) следует неравенство r r 1 m−k−1 ξ pσ (ξ) dξ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ (7.1.50) 2 ρ

a

для всех достаточно больших r. В то же время, очевидно, что u(r) → ∞ при r → ∞. В противном случае, устремляя в (7.1.41) r к бесконечности, приходим к противоречию. Таким образом, из (7.1.9) следует, что u(r) u(r) 1 −1/(m−k) 1/(m−k)−1 g (t) t dt g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt. 2 1

(7.1.51)

βu(ρ)

для всех r из некоторой окрестности бесконечности. Объединяя (7.1.41), (7.1.50) и (7.1.51), находим  r 1/(m−k) u(r) g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt B  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  1

a

для всех достаточно больших r, где постоянная B > 0 зависит только от m и σ. Отсюда, в силу оценки (7.1.20), имеем (7.1.10). Доказательство теоремы 7.1.3 повторяет предыдущие рассуждения. Единственная разница состоит в том, что вместо леммы 7.1.7 теперь надлежит воспользоваться леммой 7.1.8, где θ = 2. Следующие результаты важны для теории дифференциальных уравнений в частных производных. Теорема 7.1.4. Пусть σ, ν ∈ (1, ∞), a < b ∞, и пусть w — решение уравнения (7.0.1) на промежутке [a, b), удовлетворяющее условию (7.1.4). Тогда  r 1/(m−k) m−k−1 w(k) (r)/r g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt C  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.1.52) βw(m−1) (ρ)

ρ

для всех вещественных чисел a ρ < r 0 и C > 0 зависят только от m, σ и ν.

132

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Доказательство. Предположим, что a ρ < r < b, и при этом νρ r. Из (7.1.4) и неотрицательности правой части (7.0.1) следует, что w удовлетворяет также условию δ ρi−1 , (i − 1)!

w(m−i) (ρ) >

i = 1, . . . , m.

Тем самым, по лемме 7.1.2 существует решение u : (ρ, b) → (0, ∞) интегрального уравнения 1 ρ m−k−1 u(s) = w(m−1) (ρ) 1 − + (m − k − 1)! s s ξ m−k−1 m−k−1 1 1− ξ p(ξ)g(u(ξ))dξ, (7.1.53) + (m − k − 1)! s ρ

для которого выполнено (7.1.20). Возьмем τ = min{σ 1/3 , ν 1/2 }. Применяя лемму 7.1.7, получим 1/(m−k)  r u(r) g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt C1  ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ  ,

(7.1.54)

τρ

u(τ ρ)/2

где постоянная C1 > 0 зависит только от m и τ . С другой стороны, из (7.1.53) следует, что 1 m−k−1 (m−1) 1 1− w (ρ). u(τ ρ) (m − k − 1)! τ

(7.1.55)

Объединяя (7.1.20), (7.1.54) и (7.1.55), находим 

m−k−1 w(k) (r)/r

g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt C1 

βw(m−1) (ρ)

r

1/(m−k) ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ 

,

(7.1.56)

τρ

где β = (1 − 1/τ )m−k−1 /(2(m − k − 1)!). Далее pτ (ξ1 ) pσ (ξ2 ) для любых ξ1 ∈ [τ ρ, τ 2 ρ] и ξ2 ∈ [ρ, τ ρ], поэтому 2ρ

r

τ ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ

τρ

τ ρ

ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ τρ

ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ, ρ

что влечет за собой неравенство r

1 ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ 2

τρ

r ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ, ρ

откуда, учитывая (7.1.56), имеем оценку (7.1.52). Теорема 7.1.5. Предположим, что σ ∈ (1, ∞), справедливо (7.1.2), и при этом ∞ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ < ∞.

(7.1.57)

a

Пусть также w — правильное решение (7.0.1), (7.1.4). Тогда   1/(m−k)  ∞    ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  w(m−1) (ρ) AG−1  ∞ B ρ

(7.1.58)

7.1. СИНГУЛЯРНЫЕ

133

РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

для любого ρ ∈ [a, ∞), где ∞ G∞ (ζ) =

g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt,

(7.1.59)

ζ

G−1 ∞ — функция, обратная к G∞ , а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m и σ. Доказательство. Устремляем в (7.1.52) r к бесконечности. Следствие 7.1.3. Пусть w — правильное решение (7.0.1), (7.1.4), и пусть i ∈ {0, . . . , m − 1}, σ ∈ (1, ∞), и при этом выполнены соотношения (7.1.2) и (7.1.57). Тогда   1/(m−k)  ∞    ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.1.60) w(i) (r) Crm−i−1 G−1  ∞ B r

для всех r из окрестности бесконечности, где G−1 ∞ — функция, обратная к (7.1.59), а постоянные C > 0 и B > 0 зависят только от m и σ. Доказательство. В случае i = m − 1 доказательство получается применением теоремы 7.1.5. Предположим, что 0 i m − 2. По формуле Ньютона—Лейбница w(i) (r) = w(i) (a) + w(i+1) (a)(r − a) + · · · + 1 + (m − i − 2)!

r

1 w(m−2) (a)(r − a)m−i−2 + (m − i − 2)!

(r − ρ)m−i−2 w(m−1) (ρ) dρ

a

для всех r ∈ [a, ∞), откуда с учетом неравенства (7.1.58) находим 1 w(m−2) (a)(r − a)m−i−2 + w(i) (r) w(i) (a) + w(i+1) (a)(r − a) + · · · + (m − i − 2)!   1/(m−k)  r ∞ A    (r − ρ)m−i−2 G−1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  +  dρ ∞ B (m − i − 2)! a

(7.1.61)

ρ

для всех r ∈ [a, ∞), где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m и σ. В силу монотонности G−1 ∞ , последнее слагаемое в (7.1.61) можно оценить следующим образом:   1/(m−k)  r ∞ A    (r − ρ)m−i−2 G−1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ   dρ ∞ B (m − i − 2)! a

ρ

  1/(m−k)  ∞ m−i−1 A(r − a)    ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  G−1 . ∞ B (m − i − 1)! r

Тем самым, для завершения доказательства остается заметить, что   1/(m−k)  ∞    G−1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ   → ∞ при r → ∞. ∞ B r

Пример 7.1.4. Рассмотрим уравнение (7.1.5), где q ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция, для которой справедливо соотношение (7.1.6). Полагая k = 0, g(t) = t lnλ (1 + t) и p(ξ) = q(ξ) χ[1,∞) (ξ), получаем, что (7.1.2) и (7.1.57) справедливы тогда и только тогда, когда λ > m и s < −m. В этом случае, согласно следствию 7.1.3,

134

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

любое правильное решение (7.1.5), (7.1.8) для любого r из некоторой окрестности бесконечности допускает оценку (s+m)/(m−λ) , (7.1.62) w(r) Arm−1 eBr где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. Несложно убедиться, что для всех A, B ∈ (0, ∞) существует положительная непрерывная функция q, удовлетворяющая условию (7.1.6) и такая, что правая часть неравенства (7.1.62) есть решение (7.1.5), (7.1.8). Таким образом, оценка (7.1.60) является точной. Теорема 7.1.6. Пусть σ, ν ∈ (1, ∞), a < b ∞, и пусть w — решение уравнения (7.0.1) на промежутке [a, b), удовлетворяющее условию (7.1.4). Тогда m−k−1 w(k) (r)/r

g −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt +

βw(m−1 )(ρ)

m−k−1 w(k) (r)/r

dt g(t)

βw(m−1 )(ρ)

r C

min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ)} dξ σ

ρ

для всех вещественных чисел a ρ < r 0 и C > 0 зависят только от m, σ и ν. Доказательство следует из леммы 7.1.2, неравенства (7.1.55) и леммы 7.1.8, в которой следует взять θ = 2 (см. доказательство теоремы 7.1.4). 7.2.

БЫСТРО

РАСТУЩИЕ РЕШЕНИЯ

Ниже будем считать, что p : [a, ∞) → [0, ∞) принадлежит пространству Lloc ([a, ∞)), а g : (0, ∞) → (0, ∞) — произвольная измеримая функция такая, что inf g > 0 Γ

(7.2.1)

для любого компакта Γ ⊂ (0, ∞), и при этом для некоторых k ∈ {0, . . . , m − 2} и δ ∈ (0, ∞) на множестве δ i−1 r , i = 1, . . . , m (r, t0 , . . . , tm−1 ) : a r, tm−i > (i − 1)! выполнено (7.1.1). Определение 7.2.1 (см. [7]). Правильное решение уравнения (7.0.1) называется быстро растущим, если

(7.2.2) lim w(m−1) (r) = ∞. r→∞

Легко видеть, что каждое быстро растущее решение w(r) уравнения (7.0.1) знакоопределено в окрестности бесконечности. Не ограничивая общности, будем рассматривать только те решения, которые являются положительными при больших r. Теорема 7.2.1. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), имеет место (7.1.3), и при этом ∞ −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt = ∞. 1

Тогда каждое положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1) для всех достаточно больших r удовлетворяет неравенству (7.1.10), где ζ H∞ (ζ) =

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt,

1 −1 H∞

— функция, обратная к H∞ , а постоянная C > 0 зависит только от m, σ и θ.

7.2. БЫСТРО

РАСТУЩИЕ РЕШЕНИЯ

135

Пример 7.2.1. Рассмотрим уравнение w(m) = q(r)w−1 lnλ (1 + |w|),

r > a > 0,

(7.2.3)

где q ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция такая, что для некоторого вещественного числа s справедливо соотношение (7.1.6). Предположим сначала, что s − m + 2 > 0. Тогда каждое быстро растущее решение (7.2.3) допускает оценку (7.2.4) |w(r)| Ar(s+m)/2 lnλ/2 r для всех достаточно больших r, где постоянная A > 0 не зависит от w. Действительно, считая без ограничения общности, что w положительно в окрестности бесконечности (в противном случае заменяем w на −w), в силу (7.2.2) и (7.1.6), получим, что A1 rm−1 w(r)

(7.2.5)

и w(r) A2 rs+m при всех достаточно больших r для некоторых A1 , A2 ∈ (0, ∞). Таким образом, полагая в теореме 7.2.1 k = 0, σ = θ = 2, g(t) = t−1 и p(ξ) = ξ −2(m−1) q(ξ) lnλ (1 + w(ξ)) χ[b,∞) (ξ), где b ∈ [a, ∞) достаточно велико, получим p(ξ) ∼ ξ s−2(m−1) lnλ ξ

ξ → ∞;

при

поэтому (7.2.4) следует из (7.1.10). Далее, пусть s − m + 2 = 0, и при этом λ + 1 > 0. Тогда, применяя теорему 7.2.1, находим для любого быстро растущего решения уравнения (7.2.3), что |w(r)| Arm−1 ln(λ+1)/2 r

(7.2.6)

при всех r из окрестности бесконечности, где постоянная A > 0 не зависит от w. Предположим теперь, что s − m + 2 = 0 и λ = −1. Тогда из теоремы 7.2.1 следует, что каждое быстро растущее решение (7.2.3) удовлетворяет неравенству |w(r)| Arm−1 (ln ln r)1/2

(7.2.7)

для всех достаточно больших r, где постоянная A > 0 также не зависит от w. Легко проверить, что правые части (7.2.4), (7.2.6) и (7.2.7) являются решениями уравнения (7.2.3) для соответствующих функций q, подчиняющихся соотношению (7.1.6). Последнее обстоятельство свидетельствует о точности теоремы 7.2.1. Наконец, в случае, когда s − m + 2 < 0 либо s − m + 2 = 0 и λ < −1, уравнение (7.2.3) не имеет быстро растущих решений w. В самом деле, предположим противное, и пусть для определенности w является положительным в окрестности бесконечности. Тогда, интегрируя (7.2.3), согласно (7.1.6) и (7.2.5), получим

lim sup w(m−1) (r) < ∞, r→∞

что противоречит определению быстро растущего решения. Доказательство теоремы 7.2.1 непосредственно вытекает из теоремы 7.2.2, приведенной ниже (см. также доказательство теоремы 7.1.2). Теорема 7.2.2. Пусть σ, θ, ν ∈ (1, ∞), β ∈ (0, 1), и w : [a, ∞) → R — положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1). Тогда найдется a∗ ∈ [a, ∞) такое, что  r 1/(m−k) m−k−1 w(k) (r)/r −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt C  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.2.8) βw(k) (ρ)/ρm−k−1

ρ

для любых вещественных чисел ρ, r ∈ [a∗ , ∞), удовлетворяющих неравенству νρ r, где постоянная C > 0 зависит только от m, σ, θ, ν и β. Доказательство повторяет доказательство леммы 7.1.7, в котором лемму 7.1.5 необходимо заменить на следующее утверждение.

136

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лемма 7.2.1. Пусть σ, θ, ν ∈ (1, ∞) и τ = min{ν, σ 1/2 }. Предположим также, что w : [a, ∞) → R — положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1). Тогда существует a∗ ∈ [a, ∞) такое, что для любых вещественных чисел ρ, r ∈ [a∗ , ∞), удовлетворяющих неравенству νρ r, можно выбрать последовательность ρ = a0 < a1 < · · · < an = r, а также конечные множества Ξ1 , Ξ2 ⊂ {0, . . . , n − 1} такие, что τ ai ai+1 < τ 2 ai , i = 0, . . . , n − 1, Ξ1 ∪ Ξ2 = {0, . . . , n − 1}, Ξ1 ∩ Ξ2 = ∅, и при этом m−k−1 w(k) (r)/r

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

ai+1 A p1/(m−k) (ξ) dξ σ i∈Ξ1 ai

w(k) (ρ)/ρm−k−1

и

m−k−1 w(k) (r)/r

w(k) (ρ)/ρm−k−1

ai+1 dt B ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ, gθ (t) i∈Ξ2 ai

где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m, σ, θ и ν. Доказательство аналогично доказательству леммы 7.1.5. Единственная разница состоит в том, что вместо лемм 7.1.1 и 7.1.4 теперь используются леммы 7.2.3 и 7.2.4, приведенные ниже. (m) (r) 0 почти для всех r из окрестЛемма 7.2.2. Пусть w ∈ C˜ m−1 loc ([a, ∞)), и при этом w ности бесконечности. Обозначим 1 w(m−2) (r∗ )(r − r∗ )m−k−2 + Z(r, r∗ ) = w(k) (r∗ ) + w(k+1) (r∗ )(r − r∗ ) + · · · + (m − k − 2)! 1 w(m−1) (r∗ )(r − r∗ )m−k−1 . (7.2.9) + (m − k − 1)! Тогда либо (7.2.10) w(i) (r) = O rm−i−1 , i = 0, . . . , m − 1, при r → ∞,

либо для всех достаточно больших вещественных чисел r∗ ∈ [a, ∞) функция Z(r, r∗ )/rm−k−1 монотонно возрастает по r в некоторой окрестности бесконечности. Доказательство. Предположим сначала, что ∞ w(m) (ξ) dξ < ∞,

(7.2.11)

a

тогда, интегрируя очевидное равенство w(m−1) (r) = w(m−1) (a) +

r

w(m) (ξ) dξ,

(7.2.12)

a

непосредственно приходим к (7.2.10). Пусть теперь

∞

w(m) (ξ) dξ = ∞;

(7.2.13)

a

тогда из (7.2.12) непосредственно следует, что lim w(m−1) (r) = ∞.

r→∞

В силу монотонности w(m−1) в окрестности бесконечности, находим r w(m−2) (r) = w(m−2) (a) + w(m−1) (ξ) dξ w(m−2) (a) + w(m−1) (r)(r − a) a

для всех достаточно больших r, или, другими словами, w(m−1) (r)r − w(m−2) (r) w(m−1) (r)a − w(m−2) (a).

(7.2.14)

7.2. БЫСТРО

137

РАСТУЩИЕ РЕШЕНИЯ

Тем самым, согласно (7.2.14), w(m−1) (r∗ )r∗ − w(m−2) (r∗ ) > 0 для всех достаточно больших r∗ ∈ [a, ∞). В то же время 1 ∂ Z(r, r∗ ) = (w(m−1) (r∗ )r∗ − w(m−2) (r∗ ))r−2 + O r−3 m−k−1 ∂r r (m − k − 2)!

(7.2.15)

при r → ∞.

Таким образом, учитывая (7.2.15), получим ∂ Z(r, r∗ ) >0 ∂r rm−k−1 при всех достаточно больших r. Замечание 7.2.1. Пусть для некоторой функции w ∈ C˜ m−1 loc ([a, ∞)) выполнено условие (7.2.13). Тогда, используя в качестве базы индукции равенство (7.2.14), индукцией по i можно доказать, что w(i) (r) (7.2.16) lim m−i−1 = ∞, i = 0, . . . , m − 1. r→∞ r В частности, если w является положительным в окрестности бесконечности быстро растущим решением (7.0.1), то для него будет справедливо соотношение (7.2.13), а значит, и (7.2.16); поэтому при всех достаточно больших r имеем w(i) (r)

δrm−i−1 , (m − i − 1)!

i = 0, . . . , m − 1,

(7.2.17)

где δ ∈ (0, ∞) определено на с. 134, откуда, в силу (7.1.1), следует, что правая часть уравнения (7.0.1) является неотрицательной функцией, если r достаточно велико. В этом случае, как было установлено выше, при всех достаточно больших r∗ ∈ [a, ∞) функция Z(r, r∗ )/rm−k−1 монотонно возрастает по r в окрестности бесконечности. Таким образом, w(k) (r)/rm−k−1 также монотонно возрастает в некоторой окрестности бесконечности. Последнее непосредственно следует из интегрального уравнения r ξ m−k−1 Z(r, r∗ ) 1 w(k) (r) 1− = m−k−1 + Q(ξ, w(ξ), . . . , w(m−1) (ξ))dξ, (7.2.18) (m − k − 1)! r rm−k−1 r r∗

где r∗ ∈ [a, ∞) достаточно велико. Лемма 7.2.3. Пусть w : [a, ∞) → R — положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1), и пусть θ ∈ (1, ∞). Тогда найдется a∗ ∈ [a, ∞) такое, что для любых вещественных чисел a∗ ρ < r, удовлетворяющих неравенству θw(k) (ρ) w(k) (r) , ρm−k−1 rm−k−1

(7.2.19)

справедлива оценка w(k) (r) w(k) (ρ) r − m−k−1 m−k−1 ξ m−k−1 m−k−1 1 r ρ 1− ξ p(ξ) dξ gθ (t) (m − k − 1)! r

(7.2.20)

ρ

при всех t ∈ (w(k) (ρ)/ρm−k−1 , w(k) (r)/rm−k−1 ). Доказательство. Согласно лемме 7.2.2 и замечанию 7.2.1, существуют вещественные числа r∗ ∈ [a, ∞) и a∗ ∈ [r∗ , ∞) такие, что w(k) (r)/rm−k−1 и Z(r, r∗ )/rm−k−1 монотонно возрастают по переменной r на интервале [a∗ , ∞), где Z(r, r∗ ) определено с помощью (7.2.9). Более того, можно считать, что для всех r ∈ [r∗ , ∞) имеет место неравенство (7.2.17), поэтому правая часть (7.0.1) является неотрицательной функцией на [r∗ , ∞).

138

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Предположим, что a∗ ρ < r, и при этом выполнено (7.2.19). Тогда, учитывая (7.2.18), получим w(k) (ρ) Z(r, r∗ ) Z(ρ, r∗ ) w(k) (r) − m−k−1 = m−k−1 − m−k−1 + m−k−1 r ρ r ρ ρ ξ m−k−1 1 ξ m−k−1 1− Q(ξ, w(ξ), . . . , w(m−1) (ξ)) dξ+ + − 1− (m − k − 1)! r ρ r∗

1 + (m − k − 1)!

r ξ m−k−1 1− Q(ξ, w(ξ), . . . , w(m−1) (ξ)) dξ r ρ

1 (m − k − 1)!

r 1−

ξ r

m−k−1

Q(ξ, w(ξ), . . . , w(m−1) (ξ)) dξ,

ρ

откуда, в силу (7.1.1), находим w(k) (ρ) 1 w(k) (r) − m−k−1 m−k−1 (m − k − 1)! r ρ

r ξ m−k−1 m−k−1 w(k) (ξ) 1− dξ, ξ p(ξ)g r ξ m−k−1 ρ

что и доказывает (7.2.20). Лемма 7.2.4. Пусть w — положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1). Тогда найдется a∗ ∈ [a, ∞) такое, что для любых вещественных чисел σ, θ ∈ (1, ∞) и ρ, r ∈ [a∗ , ∞), удовлетворяющих неравенствам ρ < r σρ и θw(k) (ρ)/ρm−k−1 w(k) (r)/rm−k−1 , справедлива оценка m−k−1 w(k) (r)/r

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

r A

w(k) (ρ)/ρm−k−1

p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

ρ

где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и θ. Доказательство аналогично доказательству леммы 7.1.4, если вместо леммы 7.1.1 воспользоваться леммой 7.2.3. Теорема 7.2.3. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), справедливо (7.1.57), и при этом ∞ −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt < ∞.

(7.2.21)

1

Тогда любое положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1) для всех достаточно больших ρ удовлетворяет оценке (7.1.58), где ∞ −1/(m−k) (t) t1/(m−k)−1 dt, (7.2.22) G∞ (ζ) = gθ ζ

G−1 ∞

— функция, обратная к G∞ , а постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m, σ и θ.

Доказательство. Положим τ = σ 1/3 . Из теоремы 7.2.2 следует, что  ∞ 1/(m−k) ∞ −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt C  ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ  w(k) (τ ρ)/(2(τ ρ)m−k−1 )

(7.2.23)

τρ

для всех ρ из некоторой окрестности бесконечности, где постоянная C > 0 зависит только от m, τ и θ. В то же время для всех вещественных чисел r∗ ∈ [a, ∞) и r ∈ [r∗ , ∞), очевидно, выполнено соотношение (7.2.18), где Z(r, r∗ ) определено с помощью (7.2.9). При этом, в силу (7.2.16) и (7.1.1),

7.2. БЫСТРО

139

РАСТУЩИЕ РЕШЕНИЯ

для всех достаточно больших r∗ и r таких, что r∗ r, интеграл, стоящий в правой части (7.2.18), не отрицателен. Таким образом, Z(r, r∗ ) w(k) (r) m−k−1 m−k−1 r r для всех достаточно больших r∗ ∈ [a, ∞) и r ∈ [r∗ , ∞). В частности, Z(τ ρ, ρ) w(k) (ρ) w(k) (τ ρ) = + (τ ρ)m−k−1 (τ ρ)m−k−1 (τ ρ)m−k−1 1 1 m−k−2 1 m−k−1 (k+1) (m−2) (m−1) w w (ρ) 1 − (ρ) 1 − (ρ) 1 − w τ τ τ + + ··· + + m−k−2 (τ ρ) (m − k − 2)! τ ρ (m − k − 1)! для всех ρ из некоторой окрестности бесконечности; отсюда находим 1 m−k−1 (m−1) w (ρ) 1 − w(k) (τ ρ) τ (τ ρ)m−k−1 (m − k − 1)! для всех достаточно больших ρ. Объединяя последнее неравенство и (7.2.23), очевидно, получим  ∞ 1/(m−k) ∞ −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt C  ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ  βw(m−1) (ρ)

(7.2.24)

τρ

для всех ρ из окрестности бесконечности, где β = (1 − 1/τ )m−k−1 /(2(m − k − 1)!). Далее несложно показать, что 2ρ

∞

τ ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ

τρ

τ ρ

ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ τρ

и поэтому

∞

1 ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ 2

τρ

−1/(m−k)

gθ βw(m−1) (ρ)

ρ ∈ [a, ∞),

ρ

∞ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ,

ρ ∈ [a, ∞).

ρ

Тем самым, учитывая (7.2.24), получим ∞

ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ,



(t) t1/(m−k)−1 dt B 

∞

1/(m−k) ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ 

ρ

для всех ρ из некоторой окрестности бесконечности, где постоянная B > 0 зависит только от m, σ и θ. Теорема 7.2.3 полностью доказана. Следствие 7.2.1. Предположим, что σ, θ ∈ (1, ∞), i ∈ {0, . . . , m − 1}, и при этом выполнены соотношения (7.1.57) и (7.2.21). Тогда любое положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1) для всех достаточно больших r удовлетворяет неравенству (7.1.60), где G−1 ∞ — функция, обратная к (7.2.22), а постоянные C > 0 и B > 0 зависят только от m, σ и θ. Доказательство повторяет доказательство следствия 7.1.3. Теорема 7.2.4. Пусть для некоторых σ, θ ∈ (1, ∞) имеют место (7.1.3) и (7.2.21). Тогда уравнение (7.0.1) не имеет положительных в окрестности бесконечности быстро растущих решений.

140

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Доказательство. В противном случае, устремляя в неравенстве (7.2.8) r к бесконечности, приходим к противоречию. Следствие 7.2.2. Пусть для некоторых κ, θ ∈ (1, ∞) имеют место (7.1.15) и (7.2.21). Тогда уравнение (7.0.1) не имеет положительных в окрестности бесконечности быстро растущих решений. Доказательство получается из теоремы 7.2.4 с помощью рассуждений, приведенных на с. 123. Теорема 7.2.5. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), и при этом справедливо (7.1.13). Тогда любое положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение уравнения (7.0.1) для всех достаточно больших r удовлетворяет оценке m−k−1 w(k) (r)/r

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt +

m−k−1 w(k) (r)/r

1

1

r C

dt gθ (t)

min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

a

где постоянная C > 0 зависит только от m, σ и θ. Доказательство непосредственно следует из леммы 7.2.1 (см. также доказательство теоремы 7.1.2). 7.3.

УРАВНЕНИЯ

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

В этом параграфе будем изучать уравнения порядка m 2 вида w(m) = q(r) |w(k) |λ sign w,

(7.3.1)

r > a > 0,

где k ∈ {0, . . . , m − 2}, λ ∈ R, а q : [a, ∞) → [0, ∞) — некоторая функция, локально интегрируемая на [a, ∞). Теорема 7.3.1. Пусть λ, σ ∈ (1, ∞) и ∞ ξ λ(m−k−1) qσ (ξ) dξ = ∞.

(7.3.2)

a

Тогда любое непродолжаемое решение уравнения (7.3.1), удовлетворяющее условию w(i) (a) w(a) > 0,

i = 0, . . . , m − 1,

(7.3.3)

является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. Доказательство. Можно считать, не ограничивая общности, что w(i) , i = 0, . . . , m − 1, — положительные функции. В противном случае заменим w на −w. Таким образом, для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 7.1.1, в которой следует взять g(t) = tλ и p(ξ) = ξ λ(m−k−1)−m+k+1 q(ξ). Пример 7.3.1. Предположим, что выполнено (7.1.6). В этом случае соотношение (7.3.2), очевидно, эквивалентно неравенству s −λ(m − k − 1) − 1. В частности, если s −λ(m − k − 1) − 1 и λ > 1, (7.3.4) то из теоремы 7.3.1 следует, что любое непродолжаемое решение (7.3.1), (7.3.3) является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. Не представляет особого труда показать, что условие (7.3.4) является точным. Пусть теперь · · ln' r)−1 (ln · · ln' r)s q(r) ∼ r−λ(m−k−1)−1 (ln r)−1 · · · (ln $ ·%& $ ·%& n

n+1

при

r → ∞,

(7.3.5)

7.3. УРАВНЕНИЯ

ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

141

где n 0 — целое число, а s ∈ R. Легко увидеть, что (7.3.2) справедливо тогда и только тогда, когда s −1. Тем самым, применяя теорему 7.3.1, получим, что при s −1 и

(7.3.6)

λ>1

каждое непродолжаемое решение (7.3.1), (7.3.3) является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. В случае, когда (7.3.6) не имеет места, можно показать, что для некоторой непрерывной положительной функции q, удовлетворяющей соотношению (7.3.5), существует правильное решение (7.3.1), (7.3.3). Таким образом, условие (7.3.6) также является точным. Теорема 7.3.2. Пусть λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞), и при этом выполнено (7.3.2). Тогда любое быстро растущее решение (7.3.1) для всех достаточно больших r удовлетворяет неравенству  r 1/(1−λ) , (7.3.7) |w(k) (r)| Arm−k−1  ξ λ(m−k−1) qσ (ξ) dξ  a

где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и λ. Доказательство вытекает из теоремы 7.2.1. Следствие 7.3.1. Предположим, что λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞) и справедливо (7.3.2). Тогда любое правильное решение (7.3.1), (7.3.3) для всех достаточно больших r допускает оценку (7.3.7), где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и λ. Доказательство. Считая без ограничения общности, что w(a) > 0, согласно (7.3.3) и неотрицательности правой части (7.3.1), получим w(i) (r) εrm−i−1 ,

i = 0, . . . , m − 1,

для некоторого ε ∈ (0, ∞) при всех r a, поэтому из (7.3.1) и (7.3.2) получим r (m−1) (m−1) λ (r) w (a) + ε ξ λ(m−k−1) q(ξ) dξ → ∞ при r → ∞. w a

Тем самым, w является быстро растущим решением, и для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 7.3.2. Пример 7.3.2. Рассмотрим уравнение w(m) = q(r) |w|λ sign w,

(7.3.8)

r > a > 0,

где, как и прежде, q ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция, а λ ∈ (−∞, 1). Если q удовлетворяет соотношению (7.1.6), причем s > −λ(m − 1) − 1, то, согласно следствию 7.3.1, для любого правильного решения (7.3.8), (7.3.3) находим |w(r)| Ar(m+s)/(1−λ)

(7.3.9)

при всех достаточно больших r, где постоянная A > 0 не зависит от w. Пусть теперь s = −λ(m − 1) − 1. Тогда из следствия 7.3.1 вытекает, что каждое правильное решение (7.3.8), (7.3.3) для всех r из окрестности бесконечности допускает оценку |w(r)| Arm−1 ln1/(1−λ) r,

(7.3.10)

где постоянная A > 0 также не зависит от w. Чтобы убедиться в точности оценок (7.3.9) и (7.3.10), достаточно проверить, что правые части этих неравенств сами являются решениями (7.3.8), (7.3.3) при подходящем выборе непрерывной положительной функции q, удовлетворяющей соотношению (7.1.6), и достаточно большом a > 0. Далее предположим, что · · ln' r)−1 (ln · · ln' r)s q(r) ∼ r−λ(m−1)−1 (ln r)−1 · · · (ln $ ·%& $ ·%& n

n+1

при r → ∞,

(7.3.11)

142

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

где n — целое неотрицательное число и s ∈ (−1, ∞). Тогда, применяя следствие 7.3.1, получим, что для любого правильного решения (7.3.8), (7.3.3) справедливо неравенство · · ln' r)(s+1)/(1−λ) |w(r)| Arm−1 (ln $ ·%&

(7.3.12)

n+1

при всех r из окрестности бесконечности, где постоянная A > 0 не зависит от w. Если a > 0 достаточно велико, то для некоторой положительной непрерывной функции q, удовлетворяющей соотношению (7.3.11), правая часть (7.3.12) является правильным решением (7.3.8), (7.3.3), что также свидетельствует о точности оценки (7.3.12). Теорема 7.3.3. Пусть λ, σ ∈ (1, ∞), ∞ ξ λ(m−k−1) qσ (ξ) dξ < ∞,

(7.3.13)

a

и пусть w — правильное решение (7.3.1), (7.3.3). Тогда  ∞ −1/(λ−1) |w(m−1) (ρ)| A  ξ λ(m−k−1) qσ (ξ) dξ  ρ

для любого ρ ∈ [a, ∞), где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и λ. Доказательство вытекает из теоремы 7.1.5. Следствие 7.3.2. Предположим, что λ, σ ∈ (1, ∞), w — правильное решение (7.3.1), (7.3.3), и при этом имеет место (7.3.13). Тогда  ∞ −1/(λ−1) , i = 0, . . . , m − 1, (7.3.14) |w(i) (r)| Arm−i−1  ξ λ(m−k−1) qσ (ξ) dξ  r

для всех r из окрестности бесконечности, где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и λ. Доказательство. Возьмем в следствии 7.1.3 p(ξ) = ξ λ(m−k−1)−m+k+1 q(ξ) и G−1 ∞ (t) = ((λ−1)t/(m− (m−k)/(1−λ) k)) . Следствие 7.3.3. Пусть λ, κ ∈ (1, ∞), и при этом lim sup rλ(m−k−1)+1 qκ (r) > 0.

r→∞

(7.3.15)

Тогда каждое непродолжаемое решение (7.3.1), (7.3.3) является неколеблющимся сингулярным решением второго рода. Доказательство. Возьмем в следствии 7.1.1 p(ξ) = ξ λ(m−k−1)−m+k+1 q(ξ). В случае m = 2 и k = 0 из следствия 7.3.3 следует [7, теорема 17.5]. Теорема 7.3.4. Пусть λ, σ ∈ (1, ∞), и при этом выполнено (7.3.2). Тогда уравнение (7.3.1) не имеет быстро растущих решений. Доказательство. Каждое быстро растущее решение является знакоопределенным в окрестности бесконечности. С другой стороны, если w — решение уравнения (7.3.1), то, очевидно, −w тоже будет решением (7.3.1). Таким образом, если уравнение (7.3.1) имеет быстро растущее решение, то оно также имеет положительное в окрестности бесконечности быстро растущее решение. Тем самым, для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 7.2.4. Точно так же следствия 7.2.1 и 7.2.2 влекут за собой утверждения, приведенные ниже. Следствие 7.3.4. Предположим, что λ, σ ∈ (1, ∞) и справедливо соотношение (7.3.13). Тогда любое быстро растущее решение (7.3.1) для всех достаточно больших r допускает оценку (7.3.14), где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и λ.

7.4. КНЕЗЕРОВСКИЕ

143

РЕШЕНИЯ

Следствие 7.3.5. Пусть λ, κ ∈ (1, ∞), и при этом имеет место (7.3.15). Тогда уравнение (7.3.1) не имеет быстро растущих решений. 7.4. КНЕЗЕРОВСКИЕ

РЕШЕНИЯ

В этом параграфе будут изучаться решения уравнения (7.0.1), удовлетворяющие условию (−1)i w(i) (r) 0 для всех r ∈ [a, ∞),

i = 0, . . . , m − 1,

(7.4.1)

— так называемые кнезеровские решения. При этом, если не оговорено противное, считаем, что для некоторого k ∈ {0, . . . , m − 2} на множестве {(r, t0 , . . . , tm−1 ) : a r, (−1)i ti > 0, i = 0, . . . , k} выполнено неравенство (−1)m Q(r, t0 , . . . , tm−1 ) p(r)g(|tk |), (7.4.2) где p : [a, ∞) → [0, ∞) принадлежит пространству Lloc ([a, ∞)), а g : (0, ∞) → (0, ∞) — произвольная измеримая функция такая, что для каждого компакта Γ ⊂ (0, ∞) имеет место (7.2.1). Замечание 7.4.1. Из соотношений (7.0.1), (7.4.1) и (7.4.2) следует, что (−1)i w(i) , i = 0, . . . , m − 1, — монотонно не возрастающие неотрицательные функции. Причем, если w(j) (b) = 0 для некоторых b ∈ [a, ∞) и j ∈ {0, . . . , m − 1}, то w(j) (r) = 0 для всех r ∈ [b, ∞). В последнем случае, очевидно, w является константой на интервале [b, ∞). Пусть θ ∈ (1, ∞). Положим 1 H0 (ζ) =

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt.

ζ

В случае, когда

1

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt < ∞,

(7.4.3)

0

обозначим

ζ G0 (ζ) =

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt.

0

Под

H0−1

и

G−1 0

будем подразумевать функции, обратные к H0 и G0 .

Определение 7.4.1 (см. [7]). Решение w : [a, ∞) → R уравнения (7.0.1) называется сингулярным первого рода, если существует вещественное число b ∈ (a, ∞) такое, что для любого c ∈ (a, b) max |w(r)| > 0,

r∈[c,b]

и при этом w(r) = 0 для любого r ∈ [b, ∞). Промежуток [a, b) принято называть носителем решения w. Сингулярное решение первого рода с носителем [a, b) является неколеблющимся, если w(r) = 0 при всех r ∈ (b − ε, b) для некоторого ε > 0. Теорема 7.4.1. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), и при этом выполнены условия (7.1.3) и (7.4.3). Тогда каждое решение (7.0.1), (7.4.1) тождественно равняется константе в некоторой окрестности бесконечности. Теорема 7.4.2. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), имеют место (7.4.3), (7.1.57), и при этом для любого c ∈ (0, ∞) справедливо неравенство   1/(m−k)  ∞    (7.4.4) ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  lim sup rk G−1  > 0. 0 c r→∞

r

144

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тогда каждое решение (7.0.1), (7.4.1) тождественно равняется константе в некоторой окрестности бесконечности. Следствие 7.4.1. Предположим, что κ, θ ∈ (1, ∞), имеет место (7.4.3), и

1/(m−k) (r) >0 crp lim sup rk G−1 κ 0 r→∞

(7.4.5)

для любого c ∈ (0, ∞). Тогда каждое решение (7.0.1), (7.4.1) тождественно равняется константе в некоторой окрестности бесконечности. Доказательство. Если выполнено (7.1.3), то доказательство вытекает из теоремы 7.4.1. Тем самым, можно считать, что справедливо (7.1.57). Возьмем σ = κ 1/2 . Очевидно, получим ∞ σr m−k−1 ξ pσ (ξ) dξ ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ (σ − 1)rm−k pκ (r), r ∈ [a, ∞), r

r

откуда, учитывая (7.4.5) и монотонность функции G−1 0 , получаем (7.4.4). Таким образом, для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 7.4.2. Теорема 7.4.3. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), справедливы соотношения (7.4.3), (7.1.57), и для каждого c ∈ (0, ∞)   1/(m−k)  ∞ ∞    dρ ρk−1 G−1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.4.6)  = ∞. 0 c a

ρ

Тогда каждое решение (7.0.1), (7.4.1) тождественно равняется константе в некоторой окрестности бесконечности. Замечание 7.4.2. Если в условиях теорем 7.4.1–7.4.3, а также следствия 7.4.1 дополнительно оговорить, что mes{r a0 : Q(r, t0 , 0, . . . , 0) = 0} > 0 для всех a0 ∈ [a, ∞) и

t0 ∈ (0, ∞),

(7.4.7)

то каждое ненулевое решение (7.0.1), (7.4.1), очевидно, будет неколеблющимся сингулярным решением первого рода. Условие (7.4.7), в частности, выполнено, если k = 0 и при этом имеет место любое из соотношений (7.1.3) или (7.4.5). В случае g(t) = tλ , λ < 1, из следствия 7.4.1, с учетом замечания 7.4.2, вытекает [6, теорема 4]. Пример 7.4.1. Рассмотрим уравнение w(m) = (−1)m p(r)g(w),

r > a > 0,

(7.4.8)

где p : [a, ∞) → [0, ∞) принадлежит пространству Lloc ([a, ∞)), а g : [0, ∞) → [0, ∞) — непрерывная функция, причем (7.4.9) p(r) ∼ rs при r → ∞ s для некоторого s ∈ R (т.е. существуют константы c1 > 0 и c2 > 0 такие, что c1 r p(r) c2 rs для всех r из окрестности бесконечности), g(t) > 0 при t > 0, g(0) = 0 и g(t) = t lnλ t−1 для некоторого λ ∈ R и всех положительных t из окрестности нуля. Применяя теорему 7.4.1 (см. также замечание 7.4.2), получим, что при λ > m и s −m любое ненулевое кнезеровское решение (7.4.8) будет неколеблющимся сингулярным решением первого рода. Покажем, что последнее условие является точным. Допустим, что λ m либо s < −m. Тогда найдется положительная непрерывная функция p, удовлетворяющая соотношению (7.4.9) и такая, что уравнение (7.4.8) обладает правильным кнезеровским решением. В самом деле, если s < −m, то таким решением будет w(r) = A + Brs+m ,

A, B ∈ (0, ∞).

Далее считаем, что A, B, ε ∈ (0, ∞), и при этом ε достаточно мало.

(7.4.10)

7.4. КНЕЗЕРОВСКИЕ

145

РЕШЕНИЯ

Предположим, что λ = m и s = −m. Тогда нужный пример дает равенство B

w(r) = Ae−(r/ε) . Аналогично, если λ = m и s > −m, то вышеупомянутое решение определяется выражением B(r/ε)(s+m)/m

w(r) = Ae−e

.

Несложно также проверить, что функции w(r) = Ae−B(ln(r/ε))

m/(m−λ)

в случае 0 λ < m и s = −m и w(r) = Ae−B(ln(r/ε))

1/(1−λ)

в случае λ < 0 и s = −m удовлетворяют соотношениям (7.4.8), (7.4.1) для некоторых p вида (7.4.9). Наконец, если λ < m и s > −m, то искомым решением является w(r) = Ae−B(r/ε)

(s+m)/(m−λ)

.

Теорема 7.4.4. Пусть w — решение (7.0.1), (7.4.1), и при этом для некоторых σ, θ ∈ (1, ∞) выполнены условия (7.1.57) и (7.4.3). Тогда либо w(k) ≡ 0 в окрестности бесконечности, либо   1/(m−k)  ∞    (−1)k w(k) (ρ) G−1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.4.11)  0 C ρ

для всех ρ ∈ [a, ∞), где постоянная C > 0 зависит только от m, σ и θ. Пример 7.4.2. Рассмотрим уравнение (7.4.8), где функции p и g такие же, как в примере 7.4.1. В случае λ > m и s < −m, согласно теореме 7.4.4, для каждого правильного кнезеровского решения (7.4.8) имеем w(r) Ae−Br

(s+m)/(m−λ)

(7.4.12)

при всех r ∈ [a, ∞), где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. Несложно убедиться, что для любого A ∈ (0, ∞) и достаточно большого B ∈ (0, ∞) найдутся функции p и g, обладающие приведенными в примере 7.4.1 свойствами и такие, что правая часть неравенства (7.4.12) является кнезеровским решением уравнения (7.4.8). Пример 7.4.3. Пусть, как и ранее, p имеет вид (7.4.9) и g : (0, ∞) → (0, ∞) — непрерывная функция такая, что g(t) = t−1 lnλ t−1 для некоторого λ ∈ R при всех положительных t из окрестности нуля. Предположим также, что w — правильное кнезеровское решение (7.4.8) и m + s < 0. Тогда, применяя теорему 7.4.4, для всех r ∈ [a, ∞) получим w(r) Ar(m+s)/2 lnλ/2 (Br),

(7.4.13)

где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. Для того чтобы убедиться в точности последней оценки, достаточно подставить правую часть (7.4.13) в уравнение (7.4.8). Следствие 7.4.2. Пусть σ, θ ∈ (1, ∞), и при этом справедливы неравенства (7.1.57) и (7.4.3). Тогда каждое кнезеровское решение уравнения (7.0.1) либо является константой в окрестности бесконечности, либо для всех r ∈ [a, ∞) допускает оценку   1/(m−k)  ∞ ∞    ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  (7.4.14) w(r) − w(∞) A dρ ρk−1 G−1 , 0 B r

ρ

где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m, σ и θ.

146

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теорема 7.4.5. Предположим, что σ, θ ∈ (1, ∞), имеет место (7.1.3), при этом 1

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt = ∞.

(7.4.15)

0

Тогда каждое решение (7.0.1), (7.4.1) для всех достаточно больших r удовлетворяет неравенству   1/(m−k)  r   (7.4.16) (−1)k w(k) (r) H0−1 C  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  , a

где постоянная C > 0 зависит только от m, σ и θ. Пример 7.4.4. Пусть w — кнезеровское решение уравнения (7.4.8), где функции p и g такие же, как в примере 7.4.1. Согласно теореме 7.4.5, в случае λ < m и s > −m для всех достаточно больших r получим следующую оценку: w(r) Ae−Br

(s+m)/(m−λ)

(7.4.17)

,

где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. Аналогично в случае λ = m и s > −m справедлива оценка Br (s+m)/m

w(r) Ae−e

(7.4.18)

для всех r из окрестности бесконечности, где постоянные A > 0 и B > 0 также не зависят от w. О точности оценок (7.4.17)) и (7.4.18) свидетельствует пример 7.4.1. Теорема 7.4.6. Предположим, что σ, θ ∈ (1, ∞), w — решение (7.0.1), (7.4.1), и при этом ∞

min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ) dξ = ∞. σ

(7.4.19)

a

Тогда либо w(k) ≡ 0 в некоторой окрестности бесконечности, либо 1

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

(−1)k w(k) (r)

1 + (−1)k w(k) (r)

dt C gθ (t)

r

min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ) dξ σ

a

для всех достаточно больших r, где постоянная C > 0 зависит только от m, σ и θ. Пример 7.4.5. Пусть w — правильное кнезеровское решение уравнения (7.4.8), где p и g — функции, рассмотренные в примере 7.4.1, причем s = −m и λ m. Применяя теорему 7.4.6, для всех достаточно больших r находим, что w(r) Ae−r

B

(7.4.20)

если λ = m, w(r) Ae−B(ln r)

m/(m−λ)

(7.4.21)

если 0 λ < m, и w(r) Ae−B(ln r)

1/(1−λ)

(7.4.22)

если λ < 0, где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. Очевидно (см. пример 7.4.1), оценки (7.4.20), (7.4.21) и (7.4.22) являются точными. Для доказательства сформулированных выше результатов потребуются следующие утверждения.

7.4. КНЕЗЕРОВСКИЕ

147

РЕШЕНИЯ

Лемма 7.4.1. Пусть a ρ < r и θ > 1 — некоторые вещественные числа, и пусть w — решение (7.0.1), (7.4.1) такое, что (−1)k θw(k) (r) (−1)k w(k) (ρ) > 0. Тогда r (−1)k w(k) (ρ) − (−1)k w(k) (r) 1 (ξ − ρ)m−k−1 p(ξ) dξ (7.4.23) gθ (t) (m − k − 1)! ρ

для всех t ∈ ((−1)k w(k) (r), (−1)k w(k) (ρ)). Доказательство. Интегрируя (7.0.1), находим (−1)k w(k) (ρ) − (−1)k w(k) (r) = = (−1)k+1 w(k+1) (r)(r − ρ) + · · · + 1 + (m − k − 1)!

r

(−1)m−1 w(m−1) (r)(r − ρ)m−k−1 + (m − k − 1)!

(ξ − ρ)m−k−1 (−1)m Q(ξ, w(ξ), . . . , w(m−1) (ξ)) dξ.

ρ

Таким образом, учитывая соотношение (7.4.2) и замечание 7.4.1, получим r 1 k (k) k (k) (ξ − ρ)m−k−1 p(ξ)g((−1)k w(k) (ξ)) dξ, (−1) w (ρ) − (−1) w (r) (m − k − 1)! ρ

откуда непосредственно следует (7.4.23). Лемма 7.4.2. Предположим, что σ, θ ∈ (1, ∞), ρ ∈ [a, ∞), r ∈ (ρ, ∞), r σρ, и при этом w — решение (7.0.1), (7.4.1) такое, что 0 < (−1)k θw(k) (r) (−1)k w(k) (ρ). Тогда k w (k) (ρ) (−1)

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

(−1)k w(k) (r)

r A

p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

ρ

где постоянная A > 0 зависит только от m, σ и θ. Доказательство повторяет рассуждения, приведенные на с.с. 126–127 с заменой леммы 7.1.1 на лемму 7.4.1. Лемма 7.4.3. Пусть σ, θ, ν ∈ (1, ∞), τ = min{ν, σ 1/2 }, и пусть w — решение (7.0.1), (7.4.1). Тогда для любых вещественных чисел ρ и r, удовлетворяющих неравенствам a ρ < r, νρ r и (−1)k w(k) (r) > 0, найдутся последовательность ρ = a0 < a1 < · · · < an = r, а также конечные множества Ξ1 , Ξ2 ⊂ {0, . . . , n − 1} такие, что τ ai ai+1 < τ 2 ai , i = 0, . . . , n − 1, Ξ1 ∪ Ξ2 = {0, . . . , n − 1}, Ξ1 ∩ Ξ2 = ∅, и при этом k w (k) (ρ) (−1)

ai+1 −1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt A p1/(m−k) (ξ) dξ σ i∈Ξ1

(−1)k w(k) (r)

и

k w (k) (ρ) (−1)

(−1)k w(k) (r)

ai

ai+1 dt ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ, B gθ (t) i∈Ξ2

ai

где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m, σ, θ и ν. Доказательство аналогично доказательству леммы 7.1.5 (с учетом лемм 7.4.1 и 7.4.2). Лемма 7.4.4. Пусть w — решение (7.0.1), (7.4.1), j, l ∈ {1, . . . , m − 1}, j l и κ ∈ (0, 1). Тогда найдется постоянная A > 0, зависящая только от m и κ, такая, что (−1)j Arj w(j) (r) w(κ j r) − w(∞)

(7.4.24)

148

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

для всех r ∈ [κ −j a, ∞) и (−1)j Arj−l w(j) (r) (−1)l w(l) (κ j−l r)

(7.4.25)

для всех r ∈ [κ l−j a, ∞). Доказательство. Так как функции (−1)i w(i) , i = 0, . . . , m − 1, монотонно не возрастают, то ∞ w(κ j r) − w(∞) = −

w (ξ) dξ −

κj r

κj−1 r

w (ξ) dξ −κ j−1 (1 − κ)rw (κ j−1 r)

κj r

для всех r ∈ [κ −j a, ∞) и r

(−1)s w(s) (κr) (−1)s w(s) (κr) − (−1)s w(s) (r) = (−1)s+1

w(s+1) (ξ) dξ

κr

(−1)

s+1

(1 − κ)rw

(s+1)

(r),

s = 1, . . . , j − 1,

для всех r ∈ [κ −1 a, ∞), откуда непосредственно следуют (7.4.24) и (7.4.25). Теорема 7.4.7. Пусть σ, θ, ν ∈ (1, ∞), a ρ < r и νρ r. Тогда для каждого решения (7.0.1), (7.4.1) такого, что (−1)k w(k) (r) > 0, справедливо неравенство k w (k) (ρ) (−1)

−1/(m−k)

gθ

k w (k) (ρ) (−1)

(t) t1/(m−k)−1 dt +

(−1)k w(k) (r)

(−1)k w(k) (r)

r C

dt gθ (t)

min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ) dξ, σ

(7.4.26)

ρ

где постоянная C > 0 зависит только от m, σ, θ и ν. Доказательство непосредственно получается из леммы 7.4.3. Теорема 7.4.8. Предположим, что σ, θ, ν ∈ (1, ∞), β ∈ (0, 1), w — решение (7.0.1), (7.4.1), a ρ < r, νρ r и (−1)k w(k) (r) > 0. Тогда k w (k) (ρ) (−1)

 −1/(m−k)

gθ (−1)k βw(k) (r)

(t) t1/(m−k)−1 dt C 

r

1/(m−k) ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ 

,

(7.4.27)

ρ

где постоянная C > 0 зависит только от m, σ, θ, ν и β. Доказательство повторяет доказательство леммы 7.1.7. Доказательство теоремы 7.4.1. Пусть w — решение (7.0.1), (7.4.1). Если (−1)k w(k) (r) > 0 для всех r ∈ [a, ∞),

(7.4.28)

то, применяя теорему 7.4.8, где r → ∞, приходим к противоречию. Таким образом, w(k) (r) = 0 для некоторого r ∈ [a, ∞), и поэтому w является константой на интервале [r, ∞) (см. замечание 7.4.1). Доказательство теоремы 7.4.4. Как уже было сказано выше, для каждого решения (7.0.1), (7.4.1) либо w(k) ≡ 0 в некоторой окрестности бесконечности, либо имеет место соотношение (7.4.28). В последнем случае для завершения доказательства остается в неравенстве (7.4.27) теоремы 7.4.8 устремить r к бесконечности.

7.4. КНЕЗЕРОВСКИЕ

149

РЕШЕНИЯ

Доказательство теоремы 7.4.2. Предположим противное. Тогда существует решение (7.0.1), (7.4.1), удовлетворяющее условию (7.4.28). Таким образом, согласно теореме 7.4.4 и неравенству (7.4.24) леммы 7.4.4, найдется вещественное число c ∈ (0, ∞) такое, что   1/(m−k)  ∞    ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  lim rk G−1  = 0, 0 c r→∞

r

что противоречит (7.4.4). Доказательство теоремы 7.4.3. Предположим противное. Тогда существует решение (7.0.1), (7.4.1), удовлетворяющее условию (7.4.28). В то же время, в силу оценок (7.4.11) и (7.4.25), в которых следует взять j = k и l = 1, справедливо неравенство   1/(m−k)  ∞ ∞    dρ ρk−1 G−1 ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  A  0 C κ1−k a

ρ

∞ −

dρ w (κ k−1 ρ) = κ 1−k (w(a) − w(∞)) < ∞,

κ1−k a

где A, C ∈ (0, ∞) и κ ∈ (0, ∞) — некоторые константы, что противоречит соотношению (7.4.6). Доказательство следствия 7.4.2. Каждое кнезеровское решение уравнения (7.0.1) либо является константой в окрестности бесконечности, либо удовлетворяет условию (7.4.28). В последнем случае возьмем τ = σ 1/3 . Учитывая лемму 7.4.4, получим (−1)k Aρk−1 w(k) (τ ρ) −w (ρ)

(7.4.29)

для всех ρ ∈ [a, ∞), где постоянная A > 0 зависит только от m и σ. С другой стороны, по теореме 7.4.4   1/(m−k)  ∞    k (k) ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ  G−1  (−1) w (τ ρ) 0 C τρ

для всех ρ ∈ [a, ∞), где постоянная C > 0 также зависит только от m и σ. В то же время, согласно рассуждениям, приведенным на с. 132, 1 2

∞

∞ ξ

m−k−1

ρ

pσ (ξ) dξ

ξ m−k−1 pτ (ξ) dξ,

ρ ∈ [a, ∞).

τρ

Таким образом, так как G−1 0 — монотонно возрастающая функция, то справедливо следующее неравенство:   1/(m−k)  ∞    k (k) ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  G−1  (−1) w (τ ρ), ρ ∈ [a, ∞), 0 B ρ

где B = C/2, откуда, учитывая (7.4.29), находим, что   1/(m−k)  ∞    ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  Aρk−1 G−1  −w (ρ), 0 B ρ

Наконец, интегрируя последнюю оценку, получаем (7.4.14).

ρ ∈ [a, ∞).

150

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Доказательство теоремы 7.4.5. Пусть w — решение (7.0.1), (7.4.1). Если w(k) ≡ 0 в окрестности бесконечности, то неравенство (7.4.16) тривиально, поэтому можно считать, что имеет место (7.4.28) (см. замечание 7.4.1). Фиксируем произвольное ρ ∈ (a, ∞). Согласно (7.4.15), 1

−1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

1 2

(−1)k w(k) (r)

k w (k) (ρ) (−1)

−1/(m−k)

gθ

(t) t1/(m−k)−1 dt

(7.4.30)

(−1)k w(k) (r)

для всех достаточно больших r. Заметим, что w(k) (r) → 0 при r → ∞. В противном случае получили бы противоречие с теоремой 7.4.8. Одновременно, в силу (7.1.3), для всех r из окрестности бесконечности справедливо соотношение (7.1.50). Тем самым, объединяя (7.4.30), (7.1.50) и оценку (7.4.27) теоремы 7.4.8, завершаем доказательство. Доказательство теоремы 7.4.6. Согласно замечанию 7.4.1, можно считать, что выполнено (7.4.28), в противном случае w(k) ≡ 0 в некоторой окрестности бесконечности. Фиксируем ρ ∈ (a, ∞). Условие (7.4.19) влечет за собой неравенство r C

min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) (ξ) dξ σ

ρ

C 2

r

min ξ

m−k−1

pσ (ξ),

p1/(m−k) (ξ) σ

1 dξ −

1/(m−k) gθ (t) t1/(m−k)−1 dt

1 −

(−1)k w(k) (ρ)

a

(−1)k w(k) (ρ)

dt gθ (t)

для всех достаточно больших r, где C > 0 — константа теоремы 7.4.7, в которой следует взять ν = 2, а σ и θ такими же, как и в условии теоремы 7.4.6. Таким образом, для завершения доказательства остается воспользоваться соотношением 7.4.26.

7.5.

КНЕЗЕРОВСКИЕ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

Далее будем изучать уравнения порядка m 2 вида w(m) = (−1)m p(r) |w(k) |λ sign w,

r > a > 0,

(7.5.1)

где k ∈ {0, . . . , m − 2}, λ ∈ R, а p : [a, ∞) → [0, ∞) — локально интегрируемая на промежутке [a, ∞) функция. Теорема 7.5.1. Пусть λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞), и при этом выполнено (7.1.3). Тогда для каждого решения уравнения (7.5.1), удовлетворяющего условию (−1)i w(i) (r)w(r) 0 для всех r ∈ [a, ∞),

i = 0, . . . , m − 1,

(7.5.2)

имеет место тождество w(k) ≡ 0 в некоторой окрестности бесконечности. Доказательство. Предположим, что w : [a, ∞) → R — решение (7.5.1), (7.5.2). Не ограничивая общности, можно считать, что справедливо соотношение (7.4.1). В противном случае заменим w на −w. Для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 7.4.1 (при k = 0 см. также замечание 7.4.2). Замечание 7.5.1. Таким образом, если в предположении теоремы 7.5.1 λ < 0, то уравнение (7.5.1) совсем не имеет кнезеровских решений. В случае, когда m = 2, k = 0 и p монотонно не возрастает, из теоремы 7.5.1 вытекает [7, теорема 17.4].

7.5. КНЕЗЕРОВСКИЕ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

151

Пример 7.5.1. Рассмотрим уравнение w(m) = (−1)m p(r) |w|λ sign w,

r > a > 0,

(7.5.3)

где λ ∈ R, а p — неотрицательная функция, принадлежащая Lloc ([a, ∞)), для которой выполнено (7.4.9). В случае s −m и λ < 1, (7.5.4) согласно теореме 7.5.1, уравнение (7.5.3) не имеет правильных кнезеровских решений. Покажем, что условие (7.5.4) является точным. Предположим, что (7.5.4) не имеет места. Тогда для некоторой непрерывной положительной функции p вида (7.4.9) существует правильное решение (7.5.3)), (7.4.1). Действительно, если s < −m, то искомое решение определяется с помощью (7.4.10). Пусть s = −m и λ = 1. Несложно проверить, что w(r) = Ar−B ,

A, B ∈ (0, ∞),

удовлетворяет соотношениям (7.5.3), (7.4.1), если взять p(r) = B(B + 1) · · · (B + m − 1)rs . Далее, если s > −m и λ = 1, то, очевидно, искомым решением будет функция w(r) = Ae−Br

(s+m)/m

,

где A, B ∈ (0, ∞), и при этом B достаточно велико. Пусть теперь s = −m и λ > 1. Тогда нужный пример дает равенство w(r) = A ln−1/(λ−1) r,

A ∈ (0, ∞).

Наконец, если s > −m и λ > 1, то вышеупомянутым решением является w(r) = Ar−(s+m)/(λ−1) ,

A ∈ (0, ∞).

Пример 7.5.2. Предположим, что в уравнении (7.5.3) неотрицательная функция p ∈ Lloc ([a, ∞)) удовлетворяет условию · · ln' r)−1 (ln · · ln' r)s p(r) ∼ r−m (ln r)−1 · · · (ln $ ·%& $ ·%& n

при r → ∞,

(7.5.5)

n+1

где n 0 — целое число. В частности, если n = 0, то p(r) ∼ r−m lns r

при

r → ∞.

(7.5.6)

Тогда, применяя теорему 7.5.1, получим, что при λ < 1 при

s −1

(7.5.7)

уравнение (7.5.3) не имеет правильных кнезеровских решений. Рассуждениями, несколько более сложными, чем в предыдущем примере, можно показать, что условие (7.5.7) также является точным. Теорема 7.5.2. Пусть λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞), имеет место (7.1.57) и ∞ lim sup r(1−λ)k ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ > 0. r→∞

r

Тогда каждое решение (7.5.1), (7.5.2) тождественно равняется константе в некоторой окрестности бесконечности. Доказательство. Полагаем в теореме 7.4.2 g(t) = tλ и θ = 2. Следствие 7.5.1. Пусть λ ∈ (−∞, 1), κ ∈ (1, ∞) и lim sup rm−λk pκ (r) > 0.

r→∞

Тогда w(k) ≡ 0 для каждого решения (7.5.1), (7.5.2) в некоторой окрестности бесконечности. Доказательство непосредственно вытекает из следствия 7.4.1 (в случае k = 0 см. также замечание 7.4.2).

152

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теорема 7.5.3. Пусть λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞), справедливо (7.1.57), и при этом 1/(1−λ)  ∞ ∞ dρ ρk−1  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  = ∞. a

ρ

Тогда каждое решение (7.5.1), (7.5.2) тождественно равняется константе в некоторой окрестности бесконечности. Доказательство. Воспользуемся теоремой 7.4.3. Теорема 7.5.4. Предположим, что λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞) и выполнено соотношение (7.1.57). Тогда каждое решение (7.5.1), (7.5.2) либо удовлетворяет тождеству w(k) ≡ 0 в окрестности бесконечности, либо для всех ρ ∈ [a, ∞) допускает оценку  ∞ 1/(1−λ) , (7.5.8) |w(k) (ρ)| C  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  ρ

где постоянная C > 0 зависит только от m, λ и σ. Доказательство. Возьмем в теореме 7.4.4 g(t) = tλ и θ = 2. Замечание 7.5.2. В случае k = 0 оценку (7.5.8) можно усилить. Именно, из теоремы 7.4.8 вытекает, что для всех ρ ∈ [a, ∞) справедливо неравенство  ∞ 1/m , |w(ρ)|(1−λ)/m − |w(∞)|(1−λ)/m C  ξ m−1 pσ (ξ) dξ  ρ

где постоянная C > 0 зависит только от m, λ и σ. В случае k 1, очевидно, имеем w(k) (∞) = 0 (см. лемму 7.4.4). Пример 7.5.3. Рассмотрим правильное решение w уравнения (7.5.3), удовлетворяющее условию (7.5.2), где λ ∈ (−∞, 1), а неотрицательная функция p ∈ Lloc ([a, ∞)) подчиняется соотношению (7.4.9), в котором s < −m. Применяя теорему 7.5.4, получим |w(r)| Cr(s+m)/(1−λ) ,

r ∈ [a, ∞),

(7.5.9)

где постоянная C > 0 не зависит от w. Пусть теперь выполнено (7.5.5), причем s < −1. Тогда (7.5.8) принимает вид |w(r)| C(ln · · ln' r)(1+s)/(1−λ) , $ ·%&

r ∈ [a, ∞),

(7.5.10)

n+1

где постоянная C > 0 также не зависит от w. Легко увидеть, что правые части оценок (7.5.9) и (7.5.10) сами являются решениями (7.5.3), (7.5.2) для соответствующих функций p. Таким образом, теорема (7.5.4) является точной. Следствие 7.5.2. Пусть λ ∈ (−∞, 1), σ ∈ (1, ∞), и при этом выполнено (7.1.57). Тогда каждое кнезеровское решение уравнения (7.5.1) либо является константой в окрестности бесконечности, либо для всех r ∈ [a, ∞) удовлетворяет неравенству 1/(1−λ)  ∞ ∞ , |w(r) − w(∞)| C dρ ρk−1  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  r

ρ

где постоянная C > 0 зависит только от m, λ и σ. Доказательство. Полагаем в следствии 7.4.2 g(t) = tλ и θ = 2.

7.5. КНЕЗЕРОВСКИЕ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА

ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА

153

Теорема 7.5.5. Предположим, что λ, σ ∈ (1, ∞) и справедливо (7.1.3). Тогда любое решение (7.5.1), (7.5.2) для всех достаточно больших r допускает оценку  r −1/(λ−1) , |w(k) (r)| C  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ  a

где постоянная C > 0 зависит только от m, λ и σ. Доказательство непосредственно получается из теоремы 7.4.5. Пример 7.5.4. Рассмотрим уравнение (7.5.3), где λ ∈ (1, ∞), а p ∈ Lloc ([a, ∞)) — некоторая неотрицательная функция такая, что имеет место (7.4.9), причем s > −m. Для любого решения (7.5.3), (7.5.2), согласно теореме 7.5.5, находим, что |w(r)| Ar−(s+m)/(λ−1)

(7.5.11)

для всех r из окрестности бесконечности, где постоянная A > 0 не зависит от w. Аналогично в случае s = −m получим |w(r)| A ln−1/(λ−1) r

(7.5.12)

для всех достаточно больших r, где постоянная A > 0 также не зависит от w. Разумеется, обе оценки (7.5.11) и (7.5.12) являются точными (см. пример 7.5.1). Пример 7.5.5. Предположим, что в уравнении (7.5.3), как и прежде, λ ∈ (1, ∞), а неотрицательная функция p ∈ Lloc ([a, ∞)) удовлетворяет соотношению (7.5.5), в котором s > −1. Тогда, применяя теорему 7.5.5, для любого решения (7.5.3), (7.5.2) получим |w(r)| C(ln · · ln' r)−(1+s)/(λ−1) $ ·%&

(7.5.13)

n+1

при всех r из окрестности бесконечности, где положительная постоянная C не зависит от w. Для того чтобы убедиться в точности последнего неравенства, достаточно подставить правую часть (7.5.13) в (7.5.3). Приведем также ряд утверждений, которые могут быть получены из теорем 7.4.5 и 7.4.6 в качестве несложных следствий. Теорема 7.5.6. Пусть σ ∈ (1, ∞), и при этом выполнено (7.1.3). Тогда любое решение уравнения (7.5.14) w(m) (r) = (−1)m p(r) w(k) (r), r > a > 0, удрвлетворяющее условию (7.5.2), допускает оценку  1/(m−k)   r   |w(k) (r)| A exp −B  ξ m−k−1 pσ (ξ) dξ   a

для всех достаточно больших r, где постоянные A > 0 и B > 0 зависят только от m и σ. Теорема 7.5.7. Пусть в предположении теоремы 7.5.6 вместо соотношения (7.1.3) справедливо (7.4.19). Тогда любое решение (7.5.14), (7.5.2) для всех r из окрестности бесконечности допускает оценку   r (ξ) dξ  , |w(k) (r)| A exp −B min ξ m−k−1 pσ (ξ), p1/(m−k) σ a

где положительные константы A и B зависят только от m и σ. Пример 7.5.6. Рассмотрим кнезеровское решение w уравнеия w(m) (r) = (−1)m p(r) w(r),

r > a > 0,

в котором p ∈ Lloc ([a, ∞)) — неотрицательная функция вида (7.4.9).

(7.5.15)

154

ГЛАВА 7. СВОЙСТВА

РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В случае s > −m, согласно теореме 7.5.6, находим |w(r)| Ae−Br

(s+m)/m

(7.5.16)

для всех r из окрестности бесконечности, где постоянные A > 0 и B > 0 не зависят от w. В свою очередь, если s = −m, то из теоремы 7.5.7 будем иметь |w(r)| Ar−B

(7.5.17)

при всех достаточно больших r для некоторых вещественных чисел A > 0 и B > 0, не зависящих от w. Легко проверить, что неравенства (7.5.16) и (7.5.17) являются точными. Пример 7.5.7. Будем считать, что неотрицательная функция p ∈ Lloc ([a, ∞)) в правой части уравнения (7.5.15) имеет вид (7.5.6), и при этом w — решение (7.5.15), (7.5.2). В случае s 0, применяя теорему 7.5.7, получим |w(r)| Ae−B(ln r)

(s+m)/m

при всех r из окрестности бесконечности для некоторых постоянных A > 0 и B > 0, не зависящих от w. Аналогично, если −1 < s < 0, то, согласно той же теореме 7.5.7, |w(r)| Ae−B(ln r)

s+1

для всех достаточно больших r, где вещественные числа A > 0 и B > 0 не зависят от w. Предположим теперь, что выполнено соотношение (7.5.5), в котором n 1 и s > −1. Тогда из теоремы 7.5.7 следует, что любое решение (7.5.15), (7.5.2) удовлетворяет неравенству −B(ln··· ln r)s+1

|w(r)| Ae

$ %& ' n+1

для всех r из окрестности бесконечности, где положительные постоянные A и B не зависят от w. Можно показать, что все приведенные выше оценки являются точными. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Багиров Л. А., Кондратьев В. А. Об эллиптических уравнениях в Rn // Дифференц. уравнения. — 1975. — 11, № 3. — С. 498–504. 2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966. 3. Блохина Г. Н. Теоремы типа Фрагмена—Линделёфа для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка// Докл. АН СССР. — 1965. — 4. — С. 727—730. 4. Блохина Г. Н. Теоремы типа Фрагмена—Линделёфа для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка// Мат. сб. — 1970. 84, № 4. — С. 507—531. 5. Гервер М. Л., Ландис Е. М. Одно обобщение теоремы о среднем для многих переменных// Докл. АН СССР. — 1962. — 4. — С. 761—764. 6. Кигурадзе И. Т. О монотонных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. — 1968. — 181, № 5. — С. 1054—1057. 7. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. 8. Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1992. — № 16. — С. 186–190. 9. Кондратьев В. А., Коньков А. А. О свойствах решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка// Мат. сб. — 1994. — 185, № 9. — С. 81–94. 10. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения// Успехи мат. наук. — 1987. — 42, № 5. — С. 233–234. 11. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка// Мат. сб. — 1988. — 135, № 3. — С. 346–360. 12. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988, — 32. — С. 99–215. 13. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Мат. заметки. — 1988. — 44, № 4. — С. 457–468.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

155

14. Кондратьев В. А., Олейник О. А. О поведении на бесконечности одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области// Докл. РАН. — 1995. — 341, № 4. — С. 446–449. 15. Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д. О положительных решениях некоторых квазилинейных уравнений// Докл. РАН. — 1993. — 331, № 3. — С. 278–280. 16. Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д. О положительных решениях квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка// Докл. РАН. — 1994. — 334, № 4. — С. 427–428. 17. Коньков А. А. О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка// Мат. заметки. — 1996. — 60, № 1. — С. 30–39. 18. Коньков А. А. О поведении решений квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих члены с младшими производными// Мат. заметки. — 1998. — 64, № 6. — С. 946–949. 19. Коньков А. А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств// Изв. РАН. Сер. Мат. — 1999. — 63, № 2. — С. 41–126. 20. Коньков А. А. О поведении решений квазилинейных эллиптических неравенств в окрестности особой точки// Докл. РАН. — 1999. — 366, № 5. — С. 595–598. 21. Коньков А. А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств в областях, расположенных в слое // Дифференц. уравнения. — 2000. — 36, № 7. — С. 889–897. 22. Коньков А. А. О решениях квазилинейных эллиптических неравенств, обращающихся в нуль в окрестности бесконечности// Мат. заметки. — 2000. — 67, № 1. — С. 153–156. 23. Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений// Изв. РАН. Сер. Мат. — 2001. — 65, № 2. — С. 81–126. 24. Коньков А. А. О свойствах решений эллиптических неравенств с нелинейностью в главной части// Докл. РАН. — 2002. — 383, № 1. — С. 15–19. 25. Коньков А. А. Теоремы сравнения для эллиптических неравенств с нелинейностью в главной части// Успехи мат. наук. — 2002. — 57, № 3. — С. 141–142. 26. Коньков А. А. Поведение решений эллиптических неравенств в областях произвольной геометрии// Докл. РАН. — 2002. — 387, № 5. 27. Курта В. В. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Дис. доктора физ.-мат. наук. — М.: МИАН, 1994. 28. Курта В. В. К вопросу об отсутствии целых положительных решений у полулинейных эллиптических уравнений// Успехи мат. наук. — 1995. — 50, № 4. — С. 131. 29. Курта В. В. К вопросу об отсутствии положительных решений у эллиптических уравнений// Мат. заметки. — 1999. — 65, № 4. — С. 552–561. 30. Курта В. В. Об отсутствии положительных решений у полулинейных эллиптических уравнений// Тр. Мат. ин-та РАН. — 1999. — 227. — С. 162–169. 31. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1964. 32. Ландис Е. М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка// Успехи мат. наук. — 1963. — 18, № 4. — С. 3–62. 33. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. — М.: Наука, 1971. 34. Ландис Е. М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1974. — 31. — С. 35–58. 35. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. — М.: Наука, 1966. 36. Лаптев Г. Г. Отсутствие глобальных положительных решений систем полулинейных эллиптических неравенств в конусах// Изв. РАН. Сер. Мат. — 2000. — 64, № 6. — С. 107–124. 37. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств// Тр. Мат. ин-та РАН. — 2001. — 232. — С. 223–235. 38. Мазья В. Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений// Вестн. ЛГУ. — 1972. — № 13. — С. 42–55. 39. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 40. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решений для квазилинейных эллиптических неравенств// Докл. РАН. — 1998. — 359, № 4. — С. 456–460. 41. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в Rn // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1999. — 227. — С. 192–222. 42. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для систем квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в Rn // Докл. РАН. — 1999. — 366, № 1. — С. 13–17. 43. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. — М.: Наука, 2001.

156

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

44. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974. 45. Похожаев С. И. О краевой задаче для уравнения ∆u = u2 // Докл. АН СССР. — 1961. — 140, № 3. — С. 518–521. 46. Похожаев С. И. О разрешимости эллиптических уравнений в Rn с суперкритическим показателем нелинейности// Докл. АН СССР. — 1990. — 313, № 6. — С. 1356–1360. 47. Похожаев С. И. О целых решениях одного класса квазилинейных эллиптических уравнений// Докл. АН СССР. — 1991. — 318, № 6. — С. 1319–1324. 48. Похожаев С. И. Об асимптотике целых радиальных решений квазилинейных эллиптических уравнений// Докл. АН СССР. — 1991. — 320, № 4. — С. 808–813. 49. Похожаев С. И. О целых решениях квазилинейных эллиптических уравнений// Докл. АН СССР. — 1991. — 318, № 4. — С. 815–820. 50. Похожаев С. И. О целых радиальных решениях квазилинейных эллиптических уравнений// Тр. Мат. ин-та РАН. — 1993. — 204. — С. 251–273. 51. Похожаев С.И. Существенно нелинейные емкости, индуцированные дифференциальными операторами// Докл. РАН. — 1997. — 357, № 5. — С. 592–594. 52. Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953. 53. Amann H., Fila M. A Fujita-type theorem for the Laplace equation with a dynamical boundary condition// Acta Math. Univ. Comenian. — 1997. — 66. — С. 321–328. 54. Arend W., Batty C., Benilan Ph. Asymptotic stability of Schr¨odinger semigroups// Math. Z. — 1992. — 209, № 4. — С. 511–518. 55. Bangle C., Essen M. On positive solutions of Emden equations in cone-like domains// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1990. — 112. — С. 319–338. 56. Baras P., Pierre M. Singularites eliminables pour des equations semilineaires// Ann. Inst. Fourier. — 1984. — 34. — С. 182–206. 57. Baras P., Pierre M. Critere d’existence de solutions positives pour des equations semilineaires non monotones// Ann. Inst. H. Poincar´e. — 1985. — 2. — С. 185–212. 58. Bebernes J. Blowup — when, where, and how?// Bull. Soc. Math. Belg. A. — 1988. — 40. — С. 3–45. 59. Benguria R., Lorca S., Yarur C. Nonexistence of positive solutions of semilinear elliptic equations// Duke Math. J. — 1994. — 74. 60. Berestycki H., Nirenberg L. Some qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations in cylindrical domains// Analysis (volume dedicated to J. Moser). Academic Press, New York, 1990. — С. 115–164. 61. Berestycki H., Capuzzo Dolcetta I., Nirenberg L. Probl`emes elliptiques ind´efinis et th´eor`emes de Liouville non lin´eaires// C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. — 1993. — 317. — С. 945–950. 62. Berestycki H., Capuzzo Dolcetta I., Nirenberg L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems //Top. Meth. Nonlin. Anal. — 1995. — 4. — С. 59–78. 63. Bidaut-Veron M.-F. Local and global behavior of solutions of quasilinear equations of Emden—Fowler type// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1989. — 107. — С. 293–324. 64. Bidaut-Veron M.-F., Grillot P. Asymptotic behavior of elliptic system with mixed absoption and source terms// Asymp. Anal. — 1999. — 19. — С. 117–147. 65. Bidaut-Veron M.-F., Raoux T. Asymptotics of solutions of some nonlinear elliptic systems// Commun. Part. Diff. Eq. — 1996. — 21. — С. 1035–1086. 66. Bidaut-Veron M.-F., Veron L. Nonlinear elliptic equations on compact Riemannian manifolds and asymptotics of Emden equations// Invent. Math. — 1991. — 106. — С. 489–539. 67. Birindelli I., Mitidieri E. Liouville theorems for elliptic inequalities and applications// Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. — 1998. — 128. — С. 1217–1247. 68. Brezis H., Strauss W. A. Semilinear second-order elliptic equations in L1 // J. Math. Soc. Japan. — 1973. — 25. — С. 565–590. 69. Brezis H., Veron L. Removable singularities of some nonlinear elliptic equations// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1980. — 75. — С. 1–6. 70. Brezis H., Cabre X. Some simple nonlinear PDEs without solutions// Boll. Unione Mat. Ital. B. — 1998. 8. — С. 223–262. 71. Garisti G., Mitidieri E. Nonexistence of positive solutions of quasilinear equations// Adv. Diff. Equat. — 1997. — 2. — С. 319–359. 72. Clement P., Manasevich R., Mitidieri E. Positive solutions for a quasilinear system via blow-up// ´ Commun. Part. Diff. Eq. — 1993. — 18, № 12. — С. 2071–2106. 73. Deng K., Levin H. A. The role of critical exponent in blow-up theorem// J. Math. Anal. Appl. — 2000. — 243. — С. 85–126.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

157

74. Egnell H. Positive solutions of semilinear equations in cones// Trans. Amer. Math. Soc. — 1992. — 330, № 1. — С. 191–201. 75. Egorov Yu. V., Galaktionov V. A., Kondratiev V. A., Pohozaev S. I. On the necessary conditions of global existence of solutions to a quasilinear inequality in the half-space// C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. — 2000. — 330. — С. 93–98. 76. Eidelman S. D., Kondratiev V. A. Positive solutions of quasilinear Emden—Fowler systems of arbitrary order// Russ. J. Math. Phys. — 1994. — 2, № 4. — С. 535–540. 77. Eidelman S. D., Kondratiev V. A. On the summability in Lp of positive solutions of elliptic equations// Russ. J. Math. Phys. — 2000. — 7, № 2. — С. 205–215. 78. Felmer P., de Figueiredo D. G. Superquadratic elliptic systems// Trans. Amer. Math. Soc. — 1994. — 343. — С. 99–116. 79. Filippucci R., Pucci P. Nonexistence and other properties for solutions of quasilinear elliptic equations// Diff. Integr. Eq. — 1995. — 8. — С. 525–538. 80. Furusho Y., Kusano T., Ogata A. Symmetric positive entire solutions of second-order quasilinear degenerate elliptic equations// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1994. — 127. — С. 231–254. 81. Gallou¨et T., Morel J.-M. Resolution of a semilinear equation in L1 // Proc. Royal Soc. Edinburgh. Ser. A. — 1984. — 96A. — С. 275–288. 82. Galsina A., Mora X., Sola-Morales J. The dynamical approach to elliptic problems in cylindrical domains and a study of their parabolic singular limit// J. Differ. Equat. — 1993. — 102. — С. 244–304. 83. Gidas B., Spruck J. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations// Commun. Pure Appl. Math. — 1981. — 34. — С. 525–598. 84. Gidas B., Spruck J. A priori bounds for positive solutions of nonlinear elliptic equations// Commun. Part. Differ. Eq. — 1981. — 6, № 8. — С. 883–901. 85. Haviland E. K. A note on unrestricted solutions of the differential equation ∆u = f (u)// J. London Math. Soc. — 1951. — 26. — С. 210–214. 86. Keller J. B. On solutions of ∆u = f (u)// Commun. Pure Appl. Math. — 1957. — 10, № 4. — С. 503–510. 87. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. On asymptotic behavior of solutions of some nonlinear elliptic equations in unbounded domains// Partial differential equations and related subjects. Pitman Research Notes in Math. Series, V. 269. — Harlow, Longman, 1992. — С. 163–195. 88. Kondratiev V. A., Veron L. Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations// Asymptotic Analysis. — 1997. — 14. — С. 117–156. 89. Kon’kov A. A. Behavior of solutions of nonlinear second-order elliptic inequalities// Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Appl. — 2000. — 42, № 7. — С. 1253–1270. 90. Kon’kov A. A. On nonnegative solutions of quasilinear elliptic inequalities in domains belonging to R2 // Russ. J. Math. Phys. — 2000. — 7, № 4. — С. 371–401. 91. Kuzin I., Pohozaev S. Entire solutions of semilinear elliptic equations. Progr. Nonlinear Differential Equations and Appl., 1991, Vol. 33. 92. Levine H. A. The role of critical exponents in blowup problems// SIAM Rev. — 1990. — 32. — С. 262–288. 93. Levine H. A., Payne L. E. On the nonexistence of entire solutions to nonlinear second order elliptic equations// SIAM. J. Math. Anal. — 1976. — 7, № 3. — С. 337–343. 94. Li Yi, Santanilla J. Existence and nonexistence of positive singular solutions for semilinear elliptic problems with applications in astrophysics // Differ. Integr. Equat. — 1995. — 8. — С. 1369–1383. 95. Littman W., Stampacchia G., Weinberger B. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients// Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. Ser. 3. — 1963. — 17, № 1–2. — С. 43–77. 96. Mitidieri E. A Rellich type identity and applications// Commun. Part. Diff. Eq. — 1993. — 18. — С. 125– 151. 97. Mitidieri E. Nonexistence of positive solutions of semilinear elliptic systems in Rn // Diff. Integr. Eq. — 1996. — 9. — С. 465–479. 98. Mitidiery E., Pohozaev S. I. Nonexistence of weak solutions for some degenerate elliptic and parabolic problems on Rn // J. Evolut. Eq. — 2001. — 1. — С. 189–220. 99. Moser J. On Harnak’s theorem for elliptic differential equations// Commun. Pure Appl. Math. — 1961. — 14, № 3. — С. 577–591. 100. Ni W.-M. On a singular elliptic equation// Proc. Amer. Math. Soc. — 1983. — 88. — С. 614–616. 101. Ni W.-M., Serrin J. Nonexistence theorems for quasilinear partial differential equations// Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. 2. Suppl. — 1985. — 8. — С. 171–185. 102. Ni W.-M., Serrin J. Nonexistence theorems for singular solutions of quasilinear partial differential equations// Commun. Pure Appl. Math. — 1986. — 39. — С. 379–399. 103. Osserman R. On the inequality ∆u f (u)// Pacific J. Math. — 1957. — 7, № 4. — С. 1641–1647.

158

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

104. Redheffer R. On entire solutions of nonlinear equations// Bull. Amer. Math. Soc. — 1956. — 62. — 408 с. 105. Reichel W., Zou H. Nonexistence results for semilinear cooperative elliptic systems via moving spheres// J. Diff. Eq. — 2000. — 161. — С. 219–243. 106. Sard A. The measure of the critical values of differential maps// Bull. Amer. Math. Soc. — 1942. — 48. — С. 883–897. 107. Serrin J. Positive solutions of prescribed mean curvature problem. N.Y. etc.: Springer, 1998. (Lect. Notes Math.; V. 1340). 108. Serrin J., Weinberger H. F. Isolated singularities of solutions of linear elliptic equations// Amer. J. Math. — 1966. — 88, № 1. — С. 258–272. 109. Serrin J., Zou H. Nonexistence of positive solutions of Lane—Emden systems// Diff. Integr. Eq. — 1996. — 9. — С. 635–653. 110. Serrin J., Zou H. Existence of positive solutions of Lane—Emden systems// Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1998. — 46. — С. 369–380. 111. Serrin J., Zou H. Symmetry of ground states of quasilinear elliptic equations// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1999. — 148. — С. 265–290. 112. Soranzo R. Isolated singularities of positive solutions of superlinear biharmonic equations// Potent. Anal. — 1997. — 6. — С. 57–85. 113. Stampacchia G. Contributi alla regolarizzazione della soluzioni del problemi al contoro equazioni del secondo ordine ellitici// Ann. Scu. Norm. Super. Pisa. Ser. 3. — 1958. — 12. — С. 223–245. 114. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptique second ordre a coefficients discontinus// Ann. Inst. Fourier. — 1965. — 15, № 1. — С. 189–257. 115. Trudinger N. S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations// Commun. Pure Appl. Math. — 1967. — 20. — С. 721–744. 116. Vazques J. L. Existence of solutions bounded at infinity for a semilinear elliptic equations on Rn // Select. Math. — 1980. — 31, № 1. — С. 11–22. 117. Vazques J. L. An a priori interior estimate for the solutions of a nonlinear problem representing weak diffusion// Nonlinear Anal. — 1981. — 5. — С. 95–103. 118. Vazques J. L. On a semilinear equation in R2 involving bounded measures// Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. — 1983. — 95A. — С. 181–202. 119. Vazques J. L., Veron L. Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity// Math. Anal. — 1984. — 269. — С. 119–135. 120. Vazques J. L., Veron L. Isolated singularities of some semilinear elliptic equations// J. Diff. Eq. — 1985. — 60. — С. 301–322. 121. Veron L. Solutions singuliere d’equations elliptiques semilineaires// C. R. Acad. Sci. Ser. A. — 1979. — 288. — С. 867–869. 122. Veron L. Singular solutions of some nonlinear elliptic equation// Nonlinear Anal. Theory, Methods and Appl. — 1981. — 5, № 3. — С. 225–242. 123. Veron L. Comportement asymptotique des solutions d’equations elliptiques semilineaires dans Rn // Ann. Math. Pure Appl. — 1981. — 127. — С. 25–50. 124. Veron L. Global behavior and symmetry properties of singular solutions of nonlinear elliptic equations// Ann. Fac. Sci. Toulouse. Ser. 5. — 1984. — 6. — С. 1–31. 125. Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear equations. Addison Wesley Longman Limited, 1996, Vol. 353. ¨ ¨ 126. Walter W. Uber ganze L¨osungen der Differentialgleichung ∆u = f (u)// Uber. Deutsch. Math. Verein. — 1955. — 57. — С. 94–102. 127. Wittich H. Ganze L¨osungen der Differentialgleichung ∆u = eu // Math. Z. — 1944. — 49. — С. 579–582. 128. Yarur C. Nonexistence of positive singular solutions for a class of semilinear elliptic systems// J. Diff. Equat. — 1996. — 8. — С. 1–22. 129. Zou H. Symmetry of ground states of semilinear elliptic equations with mixed Sobolev growth// Indiana Univ. Math. J. — 1996. — 45. — С. 221–240. 130. Zou H. On positive solutions for semilinear elliptic equations with an indefinite nonlinearity via bifurcation // J. Part. Diff. Eq. 2000. V. 13. С. 133–150. 131. Zou H. Symmetry of ground states for a semilinear elliptic system// Trans. Amer. Math. Soc. — 2000. — 352. — С. 1217–1245.

А. А. Коньков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: [email protected]

Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств

Recommend Documents