Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть четвертая. Электромагнетизм

Министерство образования и науки Российской Федерации Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Филимонова Л.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для практических занятий по общей и экспериментальной физике Часть четвертая «Электромагнетизм»

(для студентов физико-математического факультета)

Елец – 2005

УДК 531/534

Печатается по решению редакционно-

ББК 22.3я721

издательского совета ЕГУ им. И.А. Бунина

Рецензенты: к.т.н., доцент кафедры радиоэлектроники и компьютерной техники Фортунова Н.А.

Филимонова Л.В. Ф 53 Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть четвертая. Электромагнетизм. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2005. – 103 с.: ил.

Целью данного пособия является оказание помощи студентам в усвоении программного материала по физике через решение типовых задач по разделу «Электромагнетизм». В пособии приводится материал к 6 практическим занятиям, содержащий вопросы для теоретической подготовки к занятию, подробные указания по решению типовых задач, задачи для самостоятельного решения. Темы практических занятий взяты из рабочей программы дисциплины «Общая и экспериментальная физика» и охватывают теоретический материал по основам магнитостатики, системе уравнений Максвелла для электромагнитного поля и электромагнитным волнам. К каждому практическому занятию приводятся подробные указания по решению широкого круга задач, освещая основные законы, понятия и методы, отраженные в лекционном материале. Представленный в каждой теме через методические указания материал достаточен для самостоятельного решения студентами всех приведенных в конце каждого занятия задач. В приложениях приводятся дополнительный материал, посвященный

,

, перечень используемых обозначений и справочный ма-

териал. Учебно-методическое пособие рекомендуется к использованию на практических занятиях по физике со студентами физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина при изучении раздела физики «Электромагнетизм». УДК 531/534 ББК 22.3я721 © ЕГУ им. И.А. Бунина, 2005 © Филимонова Л.В., 2005

2

Введение Усвоение теоретического материала по физике осуществляется полнее и прочнее в процессе решения задач, т.к. в ходе разрешения задачных ситуаций те или иные теоретические знания становятся насущной необходимостью. При этом раскрывается с разных сторон практическая значимость физических знаний, и устанавливаются границы применимости физических теорий. В этой связи, главная цель, поставленная в данном пособии, состоит в том, чтобы как можно полнее показать пути использования и способы применения на практике теоретического материала из раздела «Электричество и магнетизм», изучаемого на лекциях по общей и экспериментальной физике на физико-математическом факультете. Изложенный материал нацелен на решение следующих дидактических задач: - глубокое усвоение и закрепление в памяти студентов основных теоретических положений и законов по указанному разделу физики; - формирование практических умений и навыков применения теории в процессе решения задач; - знакомство с различными математическими приемами и способами получения решения физической задачи в общем виде; - привлечение для вычислений различных информационных технологий. Предлагаемое пособие содержит материал по 6-ти темам практических занятий по общей и экспериментальной физике (согласно рабочей программе), включая:

1) пред-

лагаемые студентам для теоретической подготовки к занятиям вопросы; 2) подробные методические указания по решению широкого спектра задач, 3) задачи для самостоятельного решения. В конце пособия имеются приложения, содержащие дополнительный материал, перечень основных обозначений и используемых формул, справочные таблицы и данные. Предлагаемые для самостоятельного решения задачи могут служить материалом для семестровых заданий по усмотрению преподавателя. Данное пособие содержит весь необходимый минимум материала для подготовки студентов к практическим занятиям по выбранным темам, не требует использования и поиска дополнительных литературных источников, и тем самым экономит время, отводимое студентам для усвоения программного материала по данной дисциплине.

3

Содержание: Введение ……………………………………………………………………… 3 Содержание …………………………………………………………………… 4 Магнитостатика Практическое занятие №1. Магнитное поле тока. Законы Ампера и Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей. Примеры расчета МП токов. ……………………..…………………………… 66 Практическое занятие №2. Магнитный момент контура с током. Теорема о циркуляции вектора B . Магнитное поле частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью ……………………..…………75 Практическое занятие №3. Сила Ампера. Сила Лоренца. Движение

заряженной частицы в МП. …. ………………………………………………… 88 Практическое занятие №4. Механическая работа в МП. Магнитный

поток. Индуктивность. Вещество в МП. Закон полного тока ………….. 99 Электромагнетизм Практическое занятие №5. ЭМИ. Законы Фарадея. Уравнения

Максвелла. Энергия контуров с током и МП. …………………………………100 Практическое занятие №6. Электромагнитные колебания.

Колебательный контур. Переменный электрический ток. ….………………100 Практическое занятие №7. Электромагнитные волны и

их свойства ……………………………………………………………………………444 Приложение 1. Обозначения используемых величин и

их единицы измерения ………………………………………………………. 87 Приложение 2. Основные формулы ……………………………………….. 89 Приложение 3. Характеристики МП тел правильной

геометрической формы ………………………………………………….. 91 Приложение 4. Справочный материал ...………………………………….. 98 Приложение 5. Сведения из математики ………………….…………….. 99 Основная и дополнительная литература ..……………………………. 102

4

Практическое занятие № 1. Тема: Магнитное поле тока. Законы Ампера и Био-Савара-Лапласа. Принцип

суперпозиции магнитных полей. Примеры расчета магнитных полей токов.

Вопросы для подготовки к занятию. 1. Как взаимодействуют постоянные магниты? Что такое компас? 2. Что называется магнитным полем? Как определить его направление? 3. Что является источниками магнитного поля? 4. Что такое элемент тока? Для чего вводится это понятие? 5. Запишите и сформулируйте закон Ампера взаимодействия токов. 6. Поясните нецентральный характер магнитных взаимодействий токов. 7. Как определяется вектор магнитной индукции поля? 8. Запишите и поясните закон Био-Савара-Лапласа. 9. Сформулируйте принцип суперпозиции для магнитных полей. Каковы условия его применимости?

Некоторые замечания к теоретическому материалу. Магнитные взаимодействия – притяжение и отталкивание полюсов постоянных магнитов, взаимодействие проводников с током друг с другом, ориентация магнитной стрелки и др. – осуществляются посредством силового поля, называемого магнитным полем. Андре Мари Ампер (1775-1836), французский физик, математик и химик, свел все многообразие магнитных взаимодействий к взаимодействию токов. Отдельно от электрического поля можно рассматривать лишь постоянное магнитное поле, при этом: 1) источниками постоянного МП являются стационарные электрические токи;

5

2) проводник с током в целом электрически нейтрален и электрическое поле вне провода равно нулю; 3) магнитное поле постоянного тока не меняется со временем, т.к. поток заряженных частиц в каждом участке проводника не меняется со временем. Поле постоянных магнитов также создается токами – микроскопическими замкнутыми токами (молекулярными токами), а также собственными магнитными моментами микрочастиц. Переменное магнитное поле структурно связано с переменным электрическим полем, образуя электромагнитное поле. Магнитное поле оказывает силовое действие на токи. Токи проводимости текут в проводниках. Моделью небольших проводников являются элементы тока Id l (аналоги точечных зарядов в электростатике). В системе СИ закон магнитного взаимодействия элементов тока (закон Ампера) в вакууме имеет вид:

d f12 =

μ0 I1I 2 4π

[

⎡dl , dl , r ⎢ 2 31 12 r12 ⎢⎣

]⎤⎥ . ⎥⎦

(1.1)

Отсюда следует выражение для величины силы F, действующей на единицу длины одного проводника с током (бесконечного) со стороны другого: F=

δ f μ0 I1I 2 = , δl 2π R

(1.2)

где μ0 - магнитная постоянная (см. приложение ). Закон Био-Савара-Лапласа определяет магнитную индукцию d B поля, созданного элементом тока Id l , в точке, положение которой задается радиусвектором r :

dB =

[ ]

μ0 I d l , r . 4π r 3

С учетом (1.3) формула (1.1) запишется в виде:

[

]

d f = I d l, d B ,

6

(1.3)

(1.4)

где d f - сила, действующая со стороны магнитного поля d B , созданного некоторым элементом тока, на элемент тока Id l . Если поле образовано несколькими элементами тока, то суммарная сила равна

[

]

F = ∑ d f i =I d l , B ,

(1.5)

где B = ∑ d Bi .

(1.6)

Численно вектор магнитной индукции равен максимальной силе, действующей на единичный элемент тока в магнитном поле. Метод №1 расчета магнитных полей постоянных токов. ™ Любые электрические токи можно представить в виде системы

элементов тока. ™ Закон Био-Савара-Лапласа (1.3) определяет поле отдельного эле-

мента тока. ™ Принцип суперпозиции (1.6) позволяет суммировать поля элемен-

тов тока, а значит можно вычислить характеристики магнитного поля, создаваемого любыми токами. ™ Таким образом, если ток протекает по линейному проводнику фор-

мы L, то индукция магнитного поля в произвольной точке находится через криволинейный интеграл: B=

[

]

μ0 I d l , r , ∫ 4π L r 3

где радиус-вектор r направлен от элемента тока в рассматриваемую точку поля. Методические указания к решению типовых задач.

Задача №1.1. Контур из провода, изогнутого в форме квадрата (рис. 1) со стороной а=0,5 м, расположен в одной плоскости с длинным прямолинейным про-

7

водом с током I=5 А так, что две его стороны параллельны проводу. Сила тока в

I1=1

контуре

А.

Определите

силу,

действующую на контур, если ближайшая к проводу

сторона

контура

находится

на

расстоянии b=10 см. Направления токов указаны на рис. ? [4,17 мкН]

(8, с. 159)

Указания по решению. В задаче рассматривается магнитное

взаимодействие

токов

I

и

I1.

Возможно несколько способов описания этого взаимодействия. Сила, действующая на контур-квадрат со стороны прямолинейного провода, складывается из сил F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , действующих на каждую из сторон квадрата в отдельности. 1-й способ. На основе закона Ампера для элементов тока:

d f1 =

[ ]⎤⎥ .

μ0 I ⋅ I1 ⎡ d l1, d l , r ⎢ 4π ⎣⎢ r3

⎦⎥

Здесь d f1 - сила, действующая со стороны элемента тока Id l прямолинейного элемент

тока

квадрата,

r

задающий

провода I1d l1

-

на

контура-

радиус-вектор,

положение

I1d l1

относительно Id l (рис. 2). Вектор

векторного

произведения [ d l , r ] направлен перпендикулярно

плоскости

рисунка

dl ⋅ r ⋅ sin(900 + α ) = dl ⋅ r ⋅ cos α .

8

«от

нас»

и

равен

[ ]⎤⎥ направлен влево перпенди-

⎡ d l , d l, r Вектор векторного произведения ⎢ 1 3 r ⎢⎣

кулярно прямолинейному проводу и равен

⎥⎦

dl1 ⋅ dl ⋅ cos α r

2

, т.к. sin 900 = 1 .

Получаем выражение для модуля элементарной силы:

d f1 =

μ0 I ⋅ I1dl1dl ⋅ cos α 4π ⋅ r 2

.

Учтем

l = b tgα , dl =

b dα 2

cos α

,r=

b cos α

тогда d f1 =

μ0 I ⋅ I1dl1 ⋅ cos α 4π ⋅

b2 cos2 α

⋅

μ0 I ⋅ I1dl1 ⋅ cos α dα bdα = . 4π ⋅ b cos2 α

Интегрируя последнее выражение по всему прямолинейному проводу, получим силу, с которой он действует на выбранный элемент тока контура-квадрата. Считая провод бесконечно длинным, проведем интегрирование в пределах −

π 2

<α <

π 2

:

π

π

2

2

f1 = ∫ d f1 = ∫ −

π

2

−

π

π

π

μ0 I ⋅ I1dl1 ⋅ cos α dα μ0 I ⋅ I1dl1 2 = ∫ cos α dα = 4π ⋅ b 4π ⋅ b π −

2

2

μ I ⋅ I dl μ I μ0 I ⋅ I1dl1 2 π cos α dα = 0 1 1 (sin − sin 0) = 0 ⋅ I1dl1. = ∫ 2π ⋅ b 0 2π ⋅ b 2 2π ⋅ b Далее необходимо провести интегрирование полученного выражения по рассматриваемой стороне квадрата. При этом учтем, что все складываемые Элементарные силы f1 одинаково направлены. Получаем:

μ0 I μ I ⋅ I1dl1 = 0 ⋅ I1a . 2π ⋅ b 0 2π ⋅ b

a

F1 = ∫

9

Аналогично находятся и остальные силы F2, F3, F4. Заметим, что F 3 = − F 4 , а F2 получается из F1 простой заменой расстояния b на расстояние a + b , т.е. F2 =

μ0 I

2π ⋅ ( a + b)

⋅ I1a .

Искомая сила равна F = F1 − F2 =

μ0 I ⎛ 1 1 ⎞ -6 ⋅⎜ − ⎟ ⋅ I1a =4,167⋅10 (Н) 2π ⎝ b a + b ⎠

и направлена к проводу, т.е. провод притягивает контур. 2-й способ. На основе представления о действии на контур-квадрат магнитного

поля, созданного прямолинейным проводом. При этом используется, во-первых, формула B =

μ0 I магнитной индук2π r

ции поля прямого длинного проводника с током на расстоянии r от него, направление силовых линий которого (концентрические окружности с центрами на оси прямого проводника) можно определить по правилу правого винта; вовторых, выражение FA = BIl sin α для силы Ампера, направление которой

можно определить по правилу левой руки. Самостоятельно решите задачу вторым способом и сравните полученные результаты. Задача №1.2. По двум параллельным прямым проводникам

длиной l=2 м каждый, находящимся в вакууме на расстоянии d=10 см друг от друга, в противоположных направлениях

текут токи I1=50 А и I2=100 А (рис. 3). Определить силу взаимодействия токов. [20 мН – неверный, т.к. очень грубое приближение: конечная длина заменена бесконечной!] (8, с. 154) Указания по решению. Решим задачу 2-м способом.

10

Для этого сначала на основе закона Био-Савара-Лапласа получим выражение для магнитной индукции поля одного проводника в некоторой точке О на расстоянии d от него (рис. 4). Магнитная индукция элемента тока в точке О равна dB =

[ ]

μ0 I d l , r , 4π r 3

причем вектор d B перпендикулярен плоскости чертежа и направлен «от нас» (при вращении ручки правого буравчика по направлению кратчайшего рас-

стояния от d l к r поступательное движение буравчика направлено искомым образом). Магнитная индукция поля, созданного всем проводником, находится на основе принципа суперпозиции: B = ∫ dB.

С учетом одинакового направления индукций элементарных полей получим модуль вектора магнитной индукции поля проводника B = ∫ dB =

μ0 I dl ⋅ sin α . ∫ 4π r2

Из геометрических соображений имеем: x = d ctgα , dl = dx =

d ⋅ dα d 2 , r = sin α , sin α

тогда

μ0 I d ⋅ sin α ⋅ dα μ0 I α 2 μ0 I = sin α α = (cos α1 − cos α2 ) . B = ∫ dB = d ∫ ∫ 4π 4π d −α 4π d d2 2 1 sin α ⋅ 2 sin α Здесь:

α1 - угол между радиус-вектором, проведенным из начала проводника в данную точку и направлением тока в проводнике;

11

α2 - угол между радиус-вектором, проведенным из конца проводника в данную точку и направлением тока в проводнике (причем из начала в конец проводника идем в направлении тока в нем). Теперь перейдем к нахождению искомой силы. На элемент тока второго проводника действует магнитное

поле

полученной

с

выше

индукцией, формулой

для

определяемой точки,

где

рассматриваемый элемент тока находится. Т.е. при переходе от одного участка проводника к другому меняется магнитная индукция действующего на него поля, т.к. меняются углы α1 и α2 (рис. 5). При этом угол α1 меняется от значения

π 2

до arctg

d =0,05 рад. l

Итак, искомая сила складывается из элементарных сил, с которыми поле в той или иной точке действует на находящийся там элемент тока второго проводника: F = ∑ d f i =I 2 [ d l , B1 ] , где B1 =

μ0 I1 (cos α1 − cos α 2 ) - величина поля 4π d

первого проводника, причем вектор B1 направлен перпендикулярно плоскости рисунка. Т.к. элементарные силы сонаправлены, то F = ∫ d fi .

Для вычислений понадобятся следующие выражения: B1 =

μ0 I1 μ I (cos α − cos(180 − β )) = 0 1 (cos α + cos β ) , 4π d 4π d x = dctgα , dl = dx =

cos β =

l−x 2

d + (l − x )

2

=

Тогда

12

d ⋅ dα , sin 2 α

l − dctgα 2

d + (l − dctgα )

2

.

F=

μ0 I1I 2 0.05 l − dctgα d ⋅ dα μ0 I1I 2 0.05 dα ⋅ (cos α cos β ) (cos α ) + ⋅ = + ∫ ∫ 2 4π d π / 2 4π π / 2 sin 2 α d 2 + (l − dctgα )2 sin α

Полученный интеграл можно вычислить в системе Mathcad: F=

2 − 0.1 ⋅ ctgα 4π ⋅ 10 − 7 ⋅ 50 ⋅ 100 0.05 dα (cos α + )⋅ 2 = ∫ 2 2 4π sin α 0.1 + ( 2 − 0.1 ⋅ ctgα ) π /2

=8,255⋅10-6 (Н)=8,255 (мкН). Если в данном примере заменить выражение для индукции поля конечного проводника выражением индукции поля бесконечного прямого проводника, т.е вместо B1 =

μ0 I1 μ I (cos α1 − cos α 2 ) взять B1 = 0 1 , то расчет приведет к зна4π d 2π d

чению силы 20 мН. Оценим относительную погрешность такой замены:

ε=

0,02 − 0,000008255 ⋅ 100% = 2,422⋅105 (%) !!! 0,000008255

Обратите внимание на то, как важно учитывать размеры реальных проводников. Более того, формулы закона Ампера, закона Био-Савара-Лапласа и их следствия справедливы только для линейных токов, т.е. токов, текущих по проводникам, поперечные размеры которых пренебрежимо малы. Иначе, необходимо учитывать и магнитные свойства самих проводников, по которым течет ток (см. тему «Вещество в магнитном поле»). Задача №1.3. С помощью закона Био-Савара-Лапласа определить магнитную

индукцию поля, созданного бесконечным прямым проводником с током I на расстоянии R от него. Указать направление соответствующего вектора магнитной индукции. [ B =

μ0 I ] (1, с. 290) 2πR

Указания по решению. Рассмотрим небольшой

элемент прямого тока длиной dl. Направление соответствующего вектора элемента тока сов-

13

падает с направлением тока в проводнике. Радиус-вектор точки А, в которой ищем значение магнитной индукции, направлен от участка dl к этой точке. Элемент тока создает в точке А магнитное поле с индукцией, равной dB =

μ0 Idl sin α . 4π r2

Вектор d B направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат проводник и радиус вектор точки А. Т.к. проводник с током прямой (т.е. все элементы лежат в одной плоскости), то вектора d B полей, созданных всеми элементами будут одинаково направлены. Поэтому

∑ d B = ∑ d B = ∑ dB . Получаем выражение для искомой величины в виде

μ0 dl sin α . I∫ 4π L r 2

B = ∫ dB = L

Для нахождения интеграла перейдем к новой переменной: r=

Rdβ R , l = R tgβ , dl = , sin α = cos β . cos β cos2 β

Подставляем и находим интеграл: π

B=

μ0 μ0 Rdβ cos β μ0 I 2 π + sin π ) = μ0 I . I∫ cos β d β I (sin ⋅ = = ∫ 4π L cos2 β 4πR π 4π 2 2 2πR R2 − 3

2

Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу «правого винта»: рукоятку вращаем от направления тока к радиус-вектору, тогда направление поступательного движения правого винта совпадает с направлением вектора B . В данном примере B направлен перпендикулярно плоскости рисунка «на нас». Установите, какие три вектора (расматриваемые в данной задаче) и в какой последовательности образуют правую тройку векторов, поясните графически.

14

Задача №1.4. Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а=15 см, если по рамке течет ток I=10А. [46,4 мкТл] (8, с. 157) Указания по решению. В задаче 1.2 была получена формула для расчета величины магнитной индукции проводника конечной длины. В данной задаче необходимо с ее помощью определить индукции полей, созданных каждой из сторон квадрата в отдельности, а затем воспользоваться принципом суперпозиции полей и с учетом направлений слагаемых векторов определить искомое. Самостоятельно запишите решение задачи, произведите вычисления и сравните ответ. Задача №1.5.

По круговому витку радиуса r=0,1 м циркулирует ток силы

I=1 А. Найдите магнитную индукцию В: а) в центре витка; б) на оси витка на расстоянии b=0,1 м от его центра.

[а) 6,3 мкТл; б) 2,2 мкТл] (7, с. 138)

Указания по решению. Применим метод №1 расчета магнитных полей: если ток протекает по линейному проводнику формы L, то индукция магнитного поля в произвольной точке находится через криволинейный интеграл: B=

[

]

μ0 I d l , r , ∫ 4π L r 3

где радиус-вектор r направлен от элемента тока в рассматриваемую точку поля.

15

а) Магнитная индукция элементарного поля в центре витка по закону Био-

Савара-Лапласа равна dB =

[ ]

μ0 I d l , r , 4π r 3

т.е. вектор d B перпендикулярен плоскости рисунка и численно равен dB =

μ0 I ⋅ dl ⋅ r ⋅ sin 900 μ0 I = ⋅ ⋅ dl . 4π 4π r 2 r3

Учитывая, что все элементы тока на круговом витке одинаково расположены по отношению к центру витка, получим B = ∫ dB = L

μ0 I μ I μ I ⋅ 2 ∫ dl = 0 ⋅ 2 ⋅ 2πr = 0 ⋅ . 4π r L 4π r 2 r

б) Магнитная индукция элементарного поля на оси витка по закону Био-Савара-

Лапласа равна

d Bi =

μ0 I [ d l , r ] . 4π r 3

Отсюда ясно (по определению векторного произведения), что вектор d Bi перпендикулярен плоскости, образованной векторами d l и r1 , т.е. для каждого элемента тока вдоль витка d Bi имеет свое направление. Совокупность векторов d Bi образует коническую поверхность, ось которой совпадает с осью витка (рис. 6 б)). Векторная сумма всех d Bi с учетом симметрии будет направлена по оси витка и численно равна сумме проекций отдельных d Bi на эту ось: dB|| = dB ⋅ sin α =

μ0 I μ I r μ I ⋅r ⋅ 2 ⋅ dl sin α = 0 ⋅ 2 ⋅ dl ⋅ = 0 ⋅ ⋅ dl . 3 r1 4π 4π r1 4π r1 2 2 2 (r + b )

Учитывая, что все элементы тока на круговом витке равноценно расположены по отношению к центру витка, получим B = ∫ dB|| = L

μ0 ⋅ 4π

Ir (r

2

3

∫ dl =

+ b2 ) 2 L

μ0 ⋅ 4π

Ir (r

2

3

+ b2 ) 2

⋅ 2πr =

μ0 2

Ir 2

⋅ (r

2

3

+ b2 ) 2

.

Вычисления удобно проделать в системе Mathcad, результаты совпадают с указанным выше ответом. 16

Задача №1.6. К тонкому однородному проволочному кольцу радиуса r0 подводят ток I. Подводящие провода, расположенные радиально, делят кольцо на две дуги, длины которых l1 и l2 (рис. 7). Найти индукцию магнитного поля в центре кольца. [0] (10, с. 234) Указания по решению. Магнитное поле создается токами I1 и I2, текущими по дугам l1 и l2 кольца, и током I, текущим по подводящим проводам. С учетом принципа суперпозиции искомая величина равна: B = B1 + B 2 + B пр . Каждое из слагаемых может быть найдено по методу №1 (см. выше). 1) Токи в подводящих проводах не создают поля в центре кольца, т.е.

B пр = 0 , т.к. для любого элемента тока этих проводов [ d l , r ] =0, ведь по условию задачи провода расположены радиально. 2) Векторы индукции B1 и B 2 магнитных полей, созданных токами I1 и I2 в центре кольца, как следует из выражения (1.3), направлены перпендикулярно плоскости рисунка и противоположны друг другу. Следовательно, искомая величина индукции магнитного поля в центре кольца B = B1 − B2 . Расчет значений В1 и В2 аналогичен решению задачи 1.5. Получаем: B1 = ∫ dB =

(l1 )

μ0 I1 l1

4πr02

∫ dl =

0

μ0 I1l1 4πr02

и B2 =

тогда B=

μ0

4πr02

17

( I1l1 − I 2 l2 ) .

μ0i2l2 4πr02

.

Соединение проводников l1 и l2 – параллельное, сопротивление каждого из них прямо пропорционально длине (по условию, кольцо однородное). Это значит, что силы токов I1 и I2 обратно пропорциональны сопротивлениям R1 и R2, т.е. обратно пропорциональны длинам дуг l1 и l2: I1 I 2 = R2 R1 = l2 l1 . Следовательно, I1l1 = I 2 l2 , и индукция магнитного поля в центре кольца B=0. Задача №1.7. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток силой I=5 A, согнут под прямым углом (рис. 8). Найти индукцию магнитного поля на расстоянии a = 10 см от вершины угла в точках A и C, лежащих соответственно на биссектрисе прямого угла и на продолжении одной из сторон. [240 мТл; 5 мкТл] (10, с. 235) Указания по решению. В любой точке индукция магнитного поля может быть найдена как векторная сумма индукций полей, созданных токами, протекающими по двум частям 1 и 2 провода: B = B1 + B 2 .

Согласно условию, проводник бесконечно длинный, что позволяет не учитывать магнитное поле,

создаваемое

токами

в

подводящих

проводах, идущих к источнику. Модуль индукции магнитного поля в любой точке, создаваемого каждым из проводников, может быть найден по формуле поля прямого тока конечной длины (см. задачу 1.2 или приложение B=

):

μ0 I (cos α1 − cos α2 ). 4πr0

В точке A, как следует из закона Био-Савара-Лапласа, векторы B1 и B 2 направлены одинаково и перпендикулярны плоскости рисунка. Следовательно, 18

B A = B1A + B2 A , В точке C проводник 1 поля не создает, так как для любого элемента этого проводника [ d l , r ] =0. Поэтому BC = B2C . Вследствие симметричного расположения точки A относительно частей проводника B1A = B2 A , поэтому [см. (2)] B A = 2 B1A .

(4)

Из рис. 9 видно, что для поля проводника 1 в точке A r0 = a sin (π 4 ) = a 2 2;

α1A = α = 0; cos α1A = 1; α 2A = α 2 = π − π / 4; cos α 2 = − 2 2 . Тогда

BA = 2 ⋅

μ0 I

μ I ⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎟ = 2,4 ⋅ 10 − 5 (Тл). ⎟ = 0 ⎜1 + ⎜1 + 2 ⎠ πa 2 ⎝ 2 ⎠ 2⎝ 4π a 2

Для точки C r ′ = a;

α1C = α1 = π 2 ; cos α1 = 0 , α 2C = π ; cos α 2 = −1.

Тогда BC =

μ0 I = 0,5 ⋅ 10 − 5 (Тл). 4πa

Задачи для самостоятельного решения. 1.8. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получите выражения для величины

магнитной индукции поля кругового тока в центре и в точке на его оси. Сравните полученные выражения с формулами приложения . 1.9. Определите магнитную индукцию в центре кругового проволочного витка

радиусом R=10 см, по которому течет ток I =1 А. [6,28 мкТл] (8, с.158) 19

1.10. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с магнит-

ным моментом pm =1,5 А⋅м2 равна 150 А/м. Определите: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке. [11,7 см; 35,1 А] (8, с. 158) 1.11. Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг ядра

по круговой орбите радиусом 52,8 пм. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в центре круговой орбиты. [1,25⋅10-23 Тл] (8, с. 160) 1.12. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат

на одной прямой. Расстояние между катушками l=2 м значительно превышает их линейные размеры. Число витков каждой катушки N=150, радиус витков r=50 мм. С какой силой F взаимодействуют катушки, когда по ним 2

⎛ NIr 2 ⎞ 3 течет одинаковый ток I=1 А? [ F = μ0π ⎜⎜ 2 ⎟⎟ =0,05 мкН] (7, с. 141) 2 ⎝ l ⎠ 1.13. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, рас-

стояние между которыми 15 см, текут токи 70 А и 50 А в одном направлении. Определите магнитную индукцию B в точке, удаленной на 10 см от первого и 20 см от второго проводника. [178 мкТл] (8, с. 153). 1.14. По каждому из четырех длинных прямых параллельных проводников,

проходящих через вершины квадрата (сторона квадрата 30 см) перпендикулярно его плоскости, течет ток 10 A, причем по трем проводникам ток течет в одном направлении, а по четвертому — в противоположном. Определите индукцию магнитного поля в центре квадрата. [B=1, 88·10-5 Тл] (6, с. 253) 1.15. Длинный прямой провод с током I имеет участок в

виде полуокружности радиуса R. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности. [B=μ0I/4π]

20

(6, с. 254)

Практическое занятие № 2. Тема: Магнитный момент контура с током. Теорема о циркуляции вектора B . Магнитное поле частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью. Вопросы для подготовки к занятию.

1. Что понимается под контуром с током? Какова роль контура с током в изучении магнитного поля? 2. Что называется магнитным моментом контура с током? 3. Как проявляется ориентирующее действие магнитного поля? Что оно ориентирует и как? 4. Как определяется крутящий момент, действующий на рамку с током во внешнем магнитном поле? 5. Запишите определение циркуляции векторного поля a , определение циркуляции вектора магнитной индукции B . 6. Как формулируется теорема о циркуляции вектора магнитной индукции и каковы границы ее применимости? 7. Запишите теорему о циркуляции вектора магнитной индукции в интегральной и дифференциальной формах и поясните все обозначения. 8. Как находится вектор магнитной индукции поля движущейся частицы? Что еще можно сказать о поле движущейся частицы?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Плоский замкнутый контур с током, находящийся во внешнем магнитном поле ведет себя аналогично электрическому диполю, помещенному во внешнее электрическое поле, т.е. испытывает на себе ориентирующее действие поля и устанавливается в нем определенным образом (так что его нормаль оказывается направленной вдоль силовых линий). Ориентирующее действие коли-

21

чественно характеризуется вращающим моментом, величина которого зависит как от характеристик поля, так и от характеристик ориентируемого контура. Магнитным

моментом

pm

плоского контура с током называется векторная

величина,

равная

произведению его площади S на силу тока I в нем и направленная вдоль 0

положительной1 нормали n (рис. ): 0

p m = IS ⋅ n .

(2.1)

По аналогии контур с током называют магнитным диполем. Магнитный момент является одной из характеристик магнитного диполя, которая определяет: 1) создаваемое им магнитное поле; 2) взаимодействие диполя с внешним магнитным полем. Вращающий момент M , действующий на рамку с током в магнит-

ном поле, характеризует взаимодействие рамки с полем и выражается через их характеристики: M = [ p m , B]

(2.2)

Аналогично находится механический момент, действующего на электрический диполь в электрическом поле: M E = [ p, E ] Циркуляцией вектора магнитной индукции B по замкнутому кон-

туру L называется интеграл:

∫ B ⋅ d l = ∫ B cos α dl = ∫ Bl dl .

L

L

(2.3)

L

Теорема о циркуляции вектора B : циркуляция вектора B вдоль произ-

вольного замкнутого контура L пропорциональна алгебраической2 сумме токов, охватываемых этим контуром. Коэффициент пропорциональности равен: 1) μ в 1

Направление положительной нормали образует с направлением тока правовинтовую систему. Токи противоположных направлений берутся с противоположными знаками. Положительными считаются токи, направление которых совпадает с направлением положительной нормали. Направление положительной нормали задается положительным направлением обхода контура, которое выбирается произвольно с учетом контекста. 2

22

вакууме; 2) μ0 μ в однородном изотропном магнетике. Приняв для вакуума

μ = 1 , можно записать в общем случае:

∫ B ⋅ d l = μμ0 I .

(2.4)

L

Выражение (2.3) справедливо для произвольных токов и любых контуров. Это выражение иногда называют законом полного тока для вектора магнитной индукции.

Дифференциальная (локальная) форма записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции имеет вид:

rot B = μ0 μ j .

(2.5)

Магнитная индукция поля точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v : 0

μ μ Q[ v, r ] B= 0 ⋅ , 4π r2

(2.6)

где r - радиус-вектор, проведенный от заряда к данной точке поля.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №2.1. В ОМП с индукцией В=0,1 Тл помещена квадратная рамка площадью S=25 см2. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол α =600. Определите: 1) вращающий момент M , действующий на рамку; 2) магнитный момент p m рамки. По рамке течет ток I=1 А. [217 мкН⋅м; 2,5 мА⋅м2] (8, с. 156)

Указания по решению. Изобразим на рисунке плоскость рамки, укажем направление тока в ней и соответственно этому направлению изобразим положительную нормаль n . Магнитный момент p m рамки будет направлен так же как и нормаль n и равен

23

pm = IS .

Вращающий момент согласно (2.2) есть вектор, направленный перпендикулярно векторам p m и B , численно равный

M = pm B sin α . Самостоятельно произведите вычисления и сравните ответ.

Задача №2.2* В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси ОО1.

[ ω = 6 BI m ]

(6, с. 251)

Указания по решению. Рамка с током в магнитном поле находится в устойчивом равновесии при условии, что ее положительная нормаль совпадает с направлением поля. При отклонении рамки от этого положения равновесия на нее начинает действавать вращающий момент, возвращающий ее в положение равновесия. При учете инертности рамки (ее массы или момента инерции I ин ) получаем колебательный процесс, описываемый уравнением движения в виде:

I инα&& = − M вр , где M = [ p m , B ] Распишем:

I инα&& = − B ⋅ pm sin α . Но при малых углах sin α ≈ α , тогда I инα&& = − B ⋅ pm ⋅ α ,

24

α&& = −

B pm ⋅ α = −ω 2 ⋅ α , I ин

отсюда

B pm

ω2 =

I ин

.

Вспомнив из механики определение момента инерции, найдите самостоятельно величину и I ин и завершите решение данной задачи.

Задача №2.3.

Магнитный момент кругового контура с током равен

pm =1 А⋅м2. Радиус контура R=10 см. Найти индукцию В в центре контура. [B =

μ0 2 pm ⋅ =0,2 мТл] (7, с. 140) 4π R 3

Указания по решению. При решении задачи 1.5 а) было получено выражение для величины индукции магнитного поля в центре кругового витка с током:

B=

μ0 I ⋅

2

R

,

где R – радиус витка. Умножим числитель и знаменатель дроби на площадь

S = πR 2 , ограниченную данным контуром, и воспользуемся определением магнитного момента. Получим: B=

μ0 IS 2

⋅

RS

=

μ0 pm . ⋅ 2π R 3

Сравните последнее выражение с выражением для напряженности поля электрического диполя и проведите аналогию.

Задача №2.4. Магнитная индукция В на оси тороида без сердечника (внешний диаметр тороида d1=60 см, внутренний – d2=40 см), содержащего N=200 витков, составляет 0,16 мТл. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора B , определите силу тока I1 в обмотке тороида. [ I1 =

π ( d1 + d 2 ) B = 1 А] (8, с. 155) 2 μ0 N

25

Указания по решению. Тороидом называется кольцевая катушка, имеющая форму тора, на которую намотаны витки провода (рис. ). Тороид с тесно прилегающими друг к другу витками представляет собой симметричный источник магнитного поля, поэтому силовые линии результирующего поля будут иметь вид концентрических окружностей с центрами на оси тороида. Циркуляцией вектора B называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, который в вакууме по теореме о циркуляции этого вектора равен

∫ B ⋅ d l = μ0 I ,

L

где I – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L. Для решения задачи выберем в качестве контура L осевую окружность тороида (т.к. по условию известна величина поля именно на его оси). В силу симметрии магнитная индукция в любой точке этого контура одинакова по величине и направлена по касательной к L. Получаем, с одной стороны:

∫ B ⋅ d l = ∫ B ⋅ dl ⋅ cos 0 = B ∫ dl = B ⋅ L = B ⋅ 2πr ,

L

L

L

где

r=

d1 + d 2 . 4

С другой стороны, контур L охватывает N витков с одним и тем же током (как по величине, так и по направлению), т.е. I = N ⋅ I1 .

Подставляем в выражение теоремы о циркуляции:

B ⋅ 2π ⋅

d1 + d 2 = μ0 N ⋅ I1 , 4

откуда

26

I1 =

π ( d1 + d 2 ) B . 2 μ0 N

Проверьте размерность полученного в общем виде решения. Произведите вычисления и сравните ответ.

Задача №2.5. Определите циркуляцию вектора магнитной индукции для замкнутых контуров. изображенных на рис. , если сила тока в обоих проводниках I=2 А.

[2,51 мкТл⋅м; 5,02 мкТл⋅м; 0]

(8, с. 163)

Указания по решению. Циркуляцией вектора B называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, который в вакууме по теореме о циркуляции этого вектора равен

∫ B ⋅ d l = μ0 I ,

L

где I – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L. 1) Согласно рис. контур 1 охватывает один ток I, причем выбранное направление обхода этого контура является положительным для заданного направления охватываемого им тока (выполняется правило правого винта), поэтому по теореме о циркуляции имеем

Z1 = ∫ B ⋅ d l = μ0 I . 1

2) Криволинейный интеграл по контуру 2 можно представить в виде суммы 2-х интегралов по отдельным составляющим кольцевым замкнутым участкам, для каждого из которых верен результат пункта 1). Т.е. Z 2 = 2 Z1 = 2 μ0 I .

Здесь учли, что противоположным направлениям токов в проводниках соответствуют противоположные направления обхода контуров (по часовой стрелке и против часовой стрелки). 3) Применяя теорему о циркуляции вектора B к контуру 3, получим

Z3 = μ0 ( I − I ) = 0 , 27

т.к. токи, текущие в противоположных направлениях берутся с противоположными знаками. Вычисления проведите самостоятельно.

Задача №2.6. Определить индукцию магнитного поля в центре соленоида, содержащего N=500 витков, если сила тока в обмотке соленоида равна I=10 A. Длина соленоида l=20 см, его диаметр d=4 см. Формулу магнитной индукции бесконечного соленоида считать неприменимой. [ B =

μ0 NI 2

d +l

2

=31 мТл] (11,

с. 26)

Указания по решению. Соленоидом называется цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков проволоки, образующих винтовую линию. Если витки расположены вплотную друг к другу, то соленоид эквивалентен системе N последовательно соединенных круговых токов I одинакового радиуса, имеющих общую ось. В задаче 1.5 было получено выражение для величины магнитной индукции поля кругового тока на его оси:

B=

μ0 2

Ir 2

⋅ (r

2

3

+ b2 ) 2

,

где b – расстояние от плоскости витка до рассматриваемой точки поля. Будем применять эту формулу для элемента

длины

соленоида,

на

витков, расположен на расстоянии х от центра соленоида точки С. Имеем: dB =

μ0 2

⋅

dI ⋅ r 2 (r2 +

где 28

3 x2 ) 2

,

котором dN =

находится и

dx N dx l

который

dI = I ⋅ dN =

d NI dx , r = . l 2

Так как векторы магнитной индукции элементарных полей коллинеарны, то с учетом принципа суперпозиции магнитных полей получаем: l/2

l/2

B = 2 ∫ dB = 2 ∫ 0

μ0 2

0

NI ⋅ r 2

⋅

2

l (r +

3 2 2 x )

dx = μ0

NIr 2 l / 2 ∫ l 0

dx 2

(r +

3

x2 ) 2

.

Найдем значение интеграла в системе Mathcad:

Окончательно получаем значение магнитной индукции в центре соленоида в виде: B = μ0

NIr 2 l ⋅ = 2 2 2 l r d +l

μ0 NI 2

d +l

2

.

Вычисляем: B=

4π ⋅ 10 − 7 ⋅ 500 ⋅ 10 2

0.04 + 0.2

2

= 0.031 =31 (мТл).

Самостоятельно произведите расчет поля внутри соленоида при условии его бесконечной длины и найдите значение относительной погрешности, получаемой при замене соленоида конечной длины бесконечно длинным соленоидом при имеющихся в условии этой задачи значениях данных. Задача №2.7. По длинному прямому проводнику круглого поперечного сечения радиусом R=2 см протекает ток I=100 A, равномерно распределенный по его сечению. Вычислить циркуляцию вектора индукции магнитного поля тока по контуру, имеющему форму квадрата со стороной a=1 см. Центр контура лежит на оси проводника, а его плоскость перпендикулярна к этой оси. Магнитная проницаемость проводника равна μ=1. [0,1 мкТл⋅м] (11. с. 31)

29

Указания по решению. Для нахождения искомой величины воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B :

∫ B ⋅ d l = μ0 μ ⋅ I1 ,

L

где I1 – ток, охватываемый контуром L (рис. ). Т.к. по условию ток I, равномерно распределен по круглому сечению проводника площадью S=π R2 ( j = const ), то S1 I1 a2 I = ⇒ I1 = I ⋅ =I⋅ 2, S S1 S πR где S = a 2 – площадь, ограниченная контуром L. Подставляя в формулу теоремы о циркуляции, получим: Ia 2 Z = ∫ B ⋅ d l = μ0 μ ⋅ 2 . πR L

Вычислим: Z = 4π ⋅ 10 − 7 ⋅ 1 ⋅

100 ⋅ (10 − 2 )2 = 10-5 (Тл⋅м). −2 2 π ⋅ ( 2 ⋅ 10 )

Подумайте, можно ли в этой задаче, зная циркуляцию вектора B , найти значение самого вектора B ? Почему? Задача №2.8.

Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой

скоростью V=2 Мм/с на расстоянии а=20 см друг от друга. Определить максимальную индукцию магнитного поля на прямой, проходящей через середину отрезка, соединяющего протоны, перпендикулярно к плоскости, в которой находятся траектории движения протонов. [ Bmax =

4 3μ0 eV ⋅ 2 =2,46⋅10-18 Тл] (11, с. 34) 9π a

Указания по решению. Будем находить магнитную индукцию поля, созданного каждым из 2-х движущихся протонов, согласно формуле (2.6): 0

μ e[V , r ] B= 0⋅ , 4π r2 30

(2.6)

где r – радиус-вектор, проведенный от протона к искомой точке поля, е – величина элементарного заряда, которому равен заряд протона. В любой точке на заданной прямой индукция результирующего магнитного поля, созданного 2-мя протонами, равна векторной сумме индукций полей каждого из протонов в отдельности: 0

0

μ e[V , r1 ] μ0 e[V , r2 ] B = B1 + B 2 = 0 ⋅ + ⋅ . 4π 4π r12 r2 2 При этом очевидно, что B1 = B2 , т.к. скорости частиц одинаковы и они равноудалены от любой точки заданной прямой. Из рис. видно, что угол между векторами B1 и B2 равен углу между соответствующими радиус-векторами r1 и r2 . Поэтому ясно, что в середине отрезка, соединяющего протоны B = 0 , т.к. B1 ↑↓ B2 . А

значит,

искомая

точка

находится

на

некотором расстоянии d от плоскости, в которой лежат траектории частиц. Проанализируем, как меняется величина магнитной индукции В результирующего поля при изменении расстояния d: 1) с одной стороны, при увеличении d уменьшается угол между слагаемыми B1 и B2 , что приводит к росту значения их векторной суммы (см. рис. ); 2) с другой стороны, при увеличении d увеличивается расстояние от зарядов до рассматриваемой точки, а следовательно уменьшаются величины самих слагаемых векторов, что приводит к уменьшению и их векторной суммы. Из всего сказанного следует, что есть точка экстремума (максимума) для функции B( r ) = 2 ⋅ B1 ( r ) ⋅ cos α ( r ) . Из геометрических соображений имеем

31

a2 r − 4 , где r = r = r , 1 2 r 2

cos α ( r ) =

μ0 e ⋅ V ⋅ 1 ⋅ sin 900 μ0 eV B1 ( r ) = ⋅ = ⋅ . 4π 4π r 2 r2 Тогда 2 a2 2 a r − r − μ0 eV μ0 eV 4 4 B( r ) = 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ = ⋅ . 3 4π r 2π r r 2

Для нахождения точки максимума необходимо найти производную и приравнять ее нулю. Из полученного уравнения выразить значение rmax , тогда искомая величина будет равна B( rmax ) . Для выполнения указанных математических операций и для вычислений будем использовать возможности системы Mathcad:

,

Подставляем rmax =

6 ⋅a : 4

a2 μ0eV rmax − 4 μ0 eV 8 3 4 3μ0 eV = ⋅ = ⋅ = ⋅ 2. 2π 2π 9a 2 9π a rmax 3 2

Bmax Вычислим:

Bmax = 2,46⋅10-18 (Тл).

32

Задача №2.9. Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом r=52,8 пм. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в центре круговой орбиты. [12,568 Тл] (8, с. 160) Указания по решению. Проведем решение двумя способами и сравним полученные результаты. I-й способ. Будем находить величину магнитной индукции поля, созданного

электроном, исходя из формулы (2.6): B=

μ0 eV , ⋅ 4π r 2

(2.6)

где скорость движения электрона найдем из второго

закона

Ньютона,

центростремительное

считая,

ускорение

что

электрону

сообщает кулоновская сила его взаимодействия с положительно заряженным ядром: k

V2 k e2 = ⇒ m V = e ⋅ , e 2 r r ⋅ m r e

тогда искомая величина равна

μ0 e 2 B= ⋅ 4π r 2

k . r ⋅ me

Вычислим в системе Mathcad: 4π ⋅ 10 − 7 (1,6 ⋅ 10 −19 )2 ⋅ B= 4π (52,8 ⋅ 10 −12 )2

9 ⋅ 109 =12,568 (Тл). 52,8 ⋅ 10 −12 ⋅ 9,1 ⋅ 10 − 31

II-й способ. Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току I =

e eV = , T 2πr

тогда по формуле магнитной индукции поля в центре кругового тока получаем: B=

μ0 I 2

⋅

r

=

μ0 2

⋅

μ0 eV eV = ⋅ . 2πr 2 4π r 2

Результаты совпали. 33

Но, подумайте: 1) применим ли закон Кулона к электрону и ядру (ведь электрон не покоится!)? 2) можно ли считать, что электрон в атоме движется с нерелятивистской скоростью?

Задачи для самостоятельного решения. 2.10. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=10 А. Опреде-

лите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора B , магнитную индукцию в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника. [20 мкТл] (8, с. 163) 2.11. Используя теорему о циркуляции вектора B , рассчитайте магнитную ин-

дукцию поля внутри соленоида (в вакууме), если число витков соленоида равно N и длина соленоида равна l. (8, с. 163) 2.12. По тонкой трубе радиусом 2 см течет ток 20 А. Определить индукцию

магнитного поля на расстояниях 1 см и 4 см от оси трубы. (11, с.30) 2.13. По тонкой длинной трубе протекает ток 10 A. На оси трубы расположен

тонкий проводник, по которому течет ток 5 A в обратном направлении. Определить индукцию магнитного поля вне трубы на расстоянии 20 см от ее оси. (11, с.30) 2.14. По двум коаксиальным тонкостенным трубам радиусами 10 см и 30 см

текут токи соответственно 50 A и 100 A в противоположных направлениях, Найти магнитную индукцию в точках на расстояниях 20 см и 40 см от общей оси труб. (11, с.31) 2.15. По длинной трубе с внутренним радиусом 3 см и внешним 4 см протекает

ток с постоянной по сечению плотностью 500 A/м2. Определить магнитную индукцию в точке на расстоянии 10 см от оси трубы. (11, с.31) 2.16. Воздушный соленоид длиной 0,2 м и радиусом 0,3 см имеет 300 ВИТКОВ.

Ток в соленоиде 5A. Применяя теорему о циркуляции для маг-

нитного поля, вычислить индукцию магнитного поля внутри соленоида. 34

Считать это поле однородным и заключенным лишь внутри соленоида. (11, с.31) 2.17. Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью 0,2 Мм/с. Оп-

ределите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии 2 нм от электрона и лежащей на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона и составляющей угол 450 со скоростью движения электрона. [B = 566 мкТл]

(8, с. 160)

2.18. Электрон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v=3,00⋅105

м/с. Найти индукцию В поля, создаваемого электроном в точке, находяo

щейся на расстоянии от него r =1,00⋅10-9 м (10 A ) и лежащей на перпендикуляре к v , проходящем через мгновенное положение электрона. [B =

μ0 ev ⋅ =4,8 мТл] (7, с. 138) 4π r 2

2.19. Определите напряженность магнитного поля, создаваемого электроном,

прямолинейно и равномерно движущимся со скоростью 5000 км/с, в точке, находящейся от него на расстоянии 10 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона. [637 А/м] (8, с. 160) 2.20. Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью

600 км/с. Найти отношение сил электрического и магнитного взаимодействия этих частиц. [ ] (11, с. 30) 2.21. Два равных точечных заряда 0,1 мкКл движутся навстречу друг другу со

скоростью 100 км/с. Найти индукцию магнитного поля в точке на расстоянии 4 см от первого заряда и на расстоянии 3 см от второго в тот момент, когда расстояние между зарядами равно 5 см. [ ] (11, с. 30) 2.22. Два одинаковых точечных заряда 0,2 мкКл движутся в одной плоскости

вдоль взаимно перпендикулярных прямых. Скорости зарядов разны 2 Мм/с и 3 Мм/с. В некоторый момент времени заряды оказываются на одинаковом расстоянии 10 см от точки пересечения их траекторий движения, удаляясь от этой точки. Определить в этот момент времени ин35

дукцию магнитного поля в точке пересечения траекторий зарядов. [

]

(11, с. 30) 2.23. * Тонкостенный цилиндр радиусом 5 см и высотой 10 см, равномерно за-

ряженный с поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м2, вращается с угловой скоростью 10 рад/с вокруг собственной оси. Определить магнитную индукцию в средней точке на оси цилиндра. (11, с. 34) 2.24. ** Непроводящая сфера радиусом 10 см, равномерно заряженная с поверх-

ностной плотностью заряда 5 мкКл/м2, вращается с угловой скоростью 20 рад/с вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти индукцию магнитного поля в центре сферы. (11, с. 34) 2.25. Металлическое кольцо разорвалось, когда ток в кольце был I0. Сделали

точно такое же кольцо, но из материала, предел прочности которого в десять раз больше. Какой ток разорвет новое кольцо? Какой ток разорвет новое кольцо, сделанное из этого более прочного материала, если все размеры

нового кольца

[ I = I 0 10 , I = 2 I 0 10 ]

в два

раза

(6, с. 254)

36

больше размеров старого?

Практическое занятие № 3. Тема: Сила Ампера. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в МП. Вопросы для подготовки к занятию.

1. На какие объекты оказывает силовое действие магнитное поле? 2. Какая сила называется силой Ампера? Запишите выражение для нее и поясните обозначения. 3. Сформулируйте и поясните правило левой руки. 4. Как направлена сила Ампера? Поясните на примере. 5. Какая сила называется силой Лоренца? Какие 2 выражения для силы Лоренца вам известны? В чем их различие? 6. Как направлена сила Лоренца? Поясните на примерах положительно и отрицательно заряженных частиц. 7. Как будет двигаться частица в ОМП, если ее скорость при попадании в МП была направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции? 8. Как будет двигаться частица в ОМП, если ее скорость при попадании в МП была направлена вдоль линий магнитной индукции? 9. Как будет двигаться частица в ОМП, если ее скорость при попадании в МП была направлена под некоторым углом к силовым линиям ОМП?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Из законов Ампера (1.1) и Био-Савара-Лапласа (1.3) следует, что на элемент тока I d l со стороны магнитного поля с индукцией d B , созданного другим элементом тока, действует сила d F = I [ d l , d B ] (1.4). Эта формула справедлива в любом магнитном поле с индукцией d B . Если же поле B создано некоторой конфигурацией токов, то в соответствии с принципом суперпозиции на элемент тока будет действовать сила

37

d F = I [d l , B] ,

(3.1)

F A = ∫ d F = ∫ I [d l , B] ,

(3.2)

а на проводник конечной длины сила L

L

где интегрирование ведется по всей длине проводника. Силу (3.2), действующую со стороны магнитного поля на проводник с током, называют силой Ампера. В случае линейного проводника длиной l с током I из (3.2) следует: 1) сила Ампера численно равна FA = B I l ⋅ sin α ,

(3.3)

2) сила Ампера направлена перпендикулярно к направлению тока и к направлению вектора B индукции магнитного поля. Направление силы Ампера связано с направлением тока в проводнике и с направлением вектора B правилом правого винта3, но удобнее его находить с помощью правила левой руки: • ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор B магнитной индукции был направлен перпендикулярно к ладони и «входил» в ладонь, • вытянутые 4 пальца расположить по направлению тока, • отставленный на 900 в сторону большой палец укажет направление силы Ампера. Магнитное поле оказывает силовое воздействие на движущиеся заряженные частицы. Сила Ампера есть результат действия магнитного поля на

движущиеся заряженные частицы, образующие электрический ток.

3

Векторы

l, B

и

FA

образуют правовинтовую ортогональную тройку векторов.

38

Сила, действующая со стороны магнитного поля на одну движущуюся заряженную частицу, называется силой Лоренца. Из формулы (3.1) можно получить выражение для силы Лоренца:

[ ]

F Л = q v, B ,

(3.4)

где q - заряд частицы, v - скорость ее движения. Из (3.4) следует: 1) сила Лоренца численно равна FЛ = q v B ⋅ sin α ,

(3.5)

2) сила Лоренца направлена перпендикулярно к скорости движения частицы, следовательно, сила Лоренца не совершает работу и не меняет величину скорости частицы4. Под действием силы Лоренца может измениться лишь направление движения частицы. Для определения направления силы Лоренца используются те же правила, что и для силы Ампера. Часто силой Лоренца называют также суммарную силу

[ ]

F = q E + q v, B ,

(3.5)

действующую на заряженную частицу со стороны электрического и магнитного полей. Движение заряженной частицы может рассматриваться как в однородном, так и в неоднородном магнитном поле (табл. 1). Третий случай сводится к совокупности первых двух: если частица влетает под некоторым, отличным от 90°, углом к силовым линиям ОМП, то скорость ее движения можно разложить на 2 составляющие — v ⊥ перпендикулярную к силовой линии магнитного поля и v || направленную вдоль силовой линии. Тогда ясно, что движение вдоль силовой линии происходит с постоянной

4

Из механики известно, что изменение кинетической энергии равно работе всех внешних сил. А работа по определению равна нулю, если угол между силой и перемещением равен 900, т.к. cos 900 = 0.

39

скоростью v|| , а движение в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям, будет круговым с линейной скоростью v ⊥ . Таблица 1. Движение частицы в ОМП

Взаимная ориентация

Траектория движения частицы

Характеристики, используемые для

векторов v

в ОМП

описания этого движения

и B

1. v ⊥ B

Окружность,

лежащая

в

радиус окружности R =

плоскости, перпендикуляр-

mv , qB

ной силовым линиям (вра- период5 вращения T = 2π R = 2π m v qB щение вокруг силовых линий) 2. v ⎪⎪ B

прямая, параллельная сило- _ вым линиям

3.

v

под винтовая линия (спираль

углом α к B

постоянного радиуса и ша-

радиус R =

mv⊥ mv sin α , = qB qB

шаг винтовой линии

га)

h = T ⋅ v|| = T ⋅ v cos α =

2π m v cos α qB

При движении заряженной частицы в неоднородном магнитном поле радиус и шаг ее винтовой траектории будут непрерывно меняться. Если, например, частица движется по направлению возрастания магнитной индукции поля, то радиус винтовой траектории уменьшается; траектория движущейся частицы как бы навивается на линию магнитной индукции поля.

Методические указания к решению типовых задач.

5

Период вращения не зависит от величины скорости.

40

Задача №3.1. В ОМП (В=0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо (рис. ) длины l=3 см, по которому течет ток силы I=0,1 А. Найти результирующую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить? [38 мкН; увеличится в π/2 раз] (10, с. 242) Указания по решению. 1) На элемент тока в магнитном поле действует сила (3.1): d F = I [d l , B] , направление которой определяется по правилу левой руки (рис. ). Силы Ампера, действующие на отдельные участки кольца лежат в одной плоскости (плоскости полукольца), т.е. имеют составляющие по 2-м осям х и у. Результирующая сила, действующая на кольцо, согласно рис. стремиться растянуть его и находится как FA = ∫ dF , L

т.е. FAx = ∫ dFx и FAy = ∫ dFy . L

L

В силу симметрии FAx = ∫ dFx = 0 , L

тогда π /2

FA = FAy = ∫ dFy = ∫ BI ⋅ dl ⋅ cos α = BIR ∫ cos α ⋅ dα = 2 BIR = L

−π / 2

L

2

π

BIl .

Вычислите самостоятельно. 2) Если проводник распрямить, то становится применимой формула (3.3), тогда FA′ = B I l ,

т.е. сила увеличивается в

π 2

раз.

41

Подумайте, чему будет равна сила Ампера в случае, когда полукольцо будет лежать в плоскости, параллельной силовым линиям заданного ОМП? Задача №3.2. Квадратная рамка с током закреплена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтально расположенной стороны. Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле индукции B. Угол наклона рамки к горизонту α, ее масса m, длина стороны a. Найдите ток в рамке. [ I =

mg ⋅ ctgα ] 2 Ba

(6, с. 251). Указания по решению. Верхняя сторона рамки закреплена и относительно нее происходит вращение. На каждую из сторон рамки как на линейный проводник с током действует сила Ампера. При этом действие магнитного поля на боковые стороны рамки сводится к ее растяжению, а на нижнюю сторону действует сила, направленная вправо по рис. . Т.к. рамка находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на нее относительно оси вращения равен нулю: M ( F A ) = M (m g ) , BIa ⋅ a sin α =

BIa ⋅ sin α =

mg a mg ⋅ cos α + ⋅ a cos α , 2 2 4

mg mg ⋅ cos α ⇒ I = ⋅ ctgα 2 2 Ba

Изобразите самостоятельно на рисунке все силы, действующие со стороны магнитного поля на каждую из сторон рамки. Найдите моменты этих сил относительно закрепленной стороны рамки. Задача №3.3. В ОМП перпендикулярно линиям магнитной индукции движется прямой проводник длиной l=40 см. Определите силу Лоренца, действующую на свободный электрон проводника, если возникающая на его концах разность потенциалов составляет U=10 мкВ. [4⋅10-24 Н] (8, с. 161)

42

Указания по решению. При движении проводника с такой же скоростью перемещаются относительно магнитного поля и свободные электроны в нем. Тогда на отдельный свободный электрон действует сила Лоренца F Л = − e ⋅ [ v, B ] . Под ее действием свободные электроны смещаются к одному краю проводника, создавая на его концах разность

потенциалов.

Смещение

электронов

прекращается, когда сила Лоренца уравновешивается силой кулоновского отталкивания электронов. При этом уравниваются и значения работы по перемещению электронов для указанных сил: eU = FЛ l ⇒ FЛ =

eU . l

Вычислите самостоятельно. Задача №3.4. Электрон со скоростью v=1 Мм/с влетает в ОМП под углом

ϕ=600 к направлению поля. Напряженность магнитного поля Н=1,5 кА/м. Покажите, что в этом случае траекторией электрона будет винтовая линия. Определите ее шаг h и радиус R. [9,49 мм; 2,62 мм] (8, с. 161) Указания по решению. I-й этап. Представим заданное движение электрона как сумму двух движений6: 1) движение со скоростью v|| в направлении силовых линий магнитного поля; 2) движение со скоростью v ⊥ в направлении, перпендикулярном этим силовым линиям. Каждое из этих движений рассмотрим по отдельности, а затем сложим полученные результаты для получения ответа к задаче. 1) Если скорость заряженной частицы в ОМП параллельна вектору B , т.е. в формуле (3.5) α = 0 , тогда sin α = 0 и FЛ = q v B ⋅ sin α =0. В этом случае при отсутствии иных силовых полей частица будет двигаться равномерно, а следо6

Вспомните решение задачи в механике о броске тела под углом к горизонту.

43

вательно прямолинейно с постоянной по величине скоростью: за равные промежутки времени будет преодолевать равные расстояния (шаг винтовой линии будет постоянным!). 2) Если скорость заряженной частицы в ОМП перпендикулярна вектору B , т.е. в формуле (3.5) α = 900 , тогда sin α = 1 и FЛ = q v B =const, причем F Л ⊥ v , т.е. сила Лоренца будет играть роль центростремительной силы. В силу того, что значения всех фигурирующих в формулах величин не меняются (модуль скорости, индукция поля и пр.), будут постоянным радиус окружности, по которой будет вращаться частица, и период ее вращения. Вывод: суперпозиция равномерного прямолинейного движения и равномерного движения по окружности в двух взаимно перпендикулярных направлениях дает движение по винтовой линии постоянного радиуса и шага. Что и требовалось показать. II-й этап. Приступим к расчетам. Ясно, что шаг винтовой линии равен

h = v|| ⋅ T , где Т – период вращения. Поэтому прежде необходимо рассмотреть движение электрона под действием силы Лоренца. Запишем 2-й закон Ньютона для электрона в ОМП: FЛ = me ⋅ aцс , mv v⊥2 v v ev⊥ B = me ⇒ eB = me ⊥ ⇒ R = e ⊥ = ⊥ , R R eB γB где γ - удельный заряд электрона. Получаем радиус винтовой линии R=

v ⋅ cos ϕ . γB

Период вращения по определению равен T =

2π R . v⊥

Подставляем выражение для радиуса:

44

T =

2π v⊥ 2π ⋅ = . v⊥ γ B γ B

Завершите решение задачи самостоятельно7, проведите вычисления и сравните ответ. Задача №3.5.

Первоначально α-частица движется свободно со скоростью

v=35⋅105 м/с. В некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное ее скорости ОМП с индукцией В=1 Тл. Найти: а) радиус R траектории частицы; б) модуль и направление ее магнитного момента pm, в) отношение магнитного момента pm частицы к ее механическому моменту М. mα v 2 mα v =7,3 см, pm = =4,1⋅10-14 Дж/Тл, направления p m и B противо[R = 2eB 2B положны,

pm q = α =2,41⋅107 Кл/кг] (7, с. 152) M 2mα

Указания по решению. Свободным называется движение8 при условии отсутствия внешних сил (т.е. не взаимодействующая с другими телами частица вне силовых полей). 1) Учитывая результаты решения предыдущей задачи, можем сказать, что траекторией движения будет окружность радиусом R=

mα v 2π mα ,T = , qα B qα B

где mα и qα - соответственно масса и заряд α-частицы; известно, что qα = 2e . 2) при решении задачи 2.8 затрагивался вопрос об эквивалентности кругового движения заряженной частицы круговому току I =

q . T

В нашем случае имеем

7

Связь между напряженность магнитного поля и магнитной индукцией смотрите в следующем практическом занятии или в приложении . 8 Такое движение является движение по инерции.

45

q 2e I = α = . T T Тогда по определению магнитного момента контура с током получаем 0

p m = IS ⋅ n . Отсюда после подстановки и преобразований получаем

qα qα mα v 2 mα v 2 2 . ⋅π R = ⋅π ( pm = ) = 2π mα T qα B 2B qα B Для определения направления магнитного момента необходимо сделать рисунок, указать направление скорости, индукции поля, силы Лоренца и выяснить направление вращения. Зная, что α-частица положительно заряжена, т.е. направление ее движения по траектории совпадает с направлением эквивалентного кругового тока, легко определить (по правилу правого винта) направление ее магнитного момента и сравнить его с направлением вектора B . Проделайте это самостоятельно. 3) Вспомним, что механическим моментом называется момент импульса частицы, в данном случае относительно центра траектории: M = [ r, p ] , т.е. mα v mα2 v 2 = , M = mα v ⋅ R = mα v ⋅ qα B qα B тогда искомое отношение равно pm mα v 2 qα B q = ⋅ 2 2 = α . M 2 B mα v 2mα Все вычисления предлагается провести самостоятельно и сравнить ответы. Задача №3.6. В направленном вдоль оси х ОМП с индукцией В=10 мТл из некоторой точки О выходит в направлении х слегка расходящийся пучок моноэнергетических электронов, имеющих скорость v=6 Мм/с. Определить расстоя46

ние l от точки О до ближайшей точки, в которой пересекаются траектории всех электронов (точки, в которых фокусируется пучок). [ l =

2π v me =21 мм] (7, с. eB

152) Указания по решению. Часть электронов, скорости которых были точно направлены по оси, не будут испытывать на себе действие магнитного поля и не изменят направления своего движения. Каждый электрон из другой части электронов начнет двигаться по своей винтовой линии, параметры которой будут определяться углом α отклонения первоначального направления его движения от оси х. Как видно из таблицы 1, радиус винтовой линии R=

me v sin α eB

и ее шаг h=

2π me v cos α . eB

Следовательно, большему начальному отклонению α будет соответствовать больший радиус и меньший шаг, т.к. все электроны по условию моноэнергетичны. Кроме того, период вращения T =

2π me eB

для всех электронов будет одинаков. Следовательно, через промежуток времени, равный (кратный) периоду, все электроны снова окажутся на оси х. Это и означает фокусировку пучка электронов. Получаем искомое расстояние l = vT =

2π me v . eB

47

Самостоятельно произведите проверку размерностей и вычисления, сравните ответ. Задача №3.7. Внутренний диаметр дуантов циклотрона d=1 м. Индукция магнитного поля В=1,2 Тл. Ускоряющее напряжение U=100 кВ. Найти: а) максимальную энергию W, до которой могут быть ускорены в этом циклотроне протоны, и конечную скорость v, приобретаемую протонами; б) время τ, в течение которого длится процесс ускорения; в) приближенное значение пути S, прохоB 2e2d 2 Bed димого протонами за это время. [а) W = =17 МэВ, v = =5,8⋅107 м/с; 8m p 2m p Bπd 2 =4,7 мкс; в) 198 м] (7, с. 154) 8U

б) τ =

Указания по решению.Циклотрон – простейший резонансный ускоритель, в котором

переменное

ускоряющее

электрическое поле 3 создается в щели 1 между двумя половинами цилиндрической коробки 2 (дуантами). Частица ускоряется

каждый раз,

когда она, описав под действием магнитного поля полуокружность в дуанте,

входит

в

зазор

между

дуантами. а)

Радиус

описываемой

окружности,

протонами

в

циклотроне ограничена его внутренними размерами: Rmax =

d . 2

Из таблицы 1 берем выражение для радиуса окружности в случае v ⊥ B : R=

mv , qB

48

причем q p = e , m = m p (см с. ) С учетом размеров циклотрона получаем d m p vmax deB . = ⇒ vmax = 2 eB 2m p Тогда Wmax =

2 m p vmax

2

=

d 2e2 B 2 . 8m p

б) Как отмечалось в предыдущей задаче, период не зависит от величины скорости. Поэтому полное время процесса ускорения равно N полупериодам вращения, где N – число актов ускорения частицы в промежутке между дуантами. По закону сохранения энергии ΔW = eU приращение кинетической энергии за один акт ускорения. Тогда N =

Wmax , eU

а искомое время 2 T Wmax π m p d 2 e 2 B 2 π m p π Bd τ =N⋅ = ⋅ = ⋅ 2 = . 2 eU eB 8m p 8U e UB

в) Ясно, что приближенное значение пути S, проходимого протонами за это время, складывается из длин полуокружностей различного радиуса, описываемых протонами в двух дуантах циклотрона. Самостоятельно завершите решение задачи и сравните ответ.

Задачи для самостоятельного решения. 3.8. По тонкому проволочному полукольцу радиусом R = 50 см течет ток I = 1

А. Перпендикулярно плоскости полукольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл. Найдите силу, растягивающую полукольцо. Действие на полукольцо магнитного поля подводящих прово-

49

дов и взаимодействие отдельных элементов полукольца не учитывать. [0,01 Н???????]

(8, с.160)

3.9. По тонкому проводнику, согнутому в форме кольца радиуса R, течет ток

I. Механическая прочность проволоки f0. При каком значении индукции магнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, произойдет разрыв проволоки? [ B =

f0 ] IR

3.10. Поперек магнитного поля индукции 0,1 Тл движется

со скоростью 1 м/с прямой провод длины 0,3 м. Чему равно

напряжение

электрического

поля

между

концами проводника? [0,03 В] (6, с. 271) 3.11. Кольцо радиуса R, по которому циркулирует ток I, поместили в неодно-

родное аксиально-симметричное поле. Ось кольца совпадает с осью симметрии магнитного поля. Индукция магнитного поля B, действующего на ток, направлена под углом a к оси симметрии поля. Масса кольца m. Определите ускорение кольца. [a=(2πRIB·sinα)/m]

(6, с. 252).

3.12. Электрон движется в ОМП с индукцией В=0,1 Тл по окружности. Опре-

делите угловую скорость вращения электрона. [1,76⋅1010 рад/с] (8, с.160) 3.13. Электрон, обладая скоростью v=10 Мм/с, влетел в однородное магнитное

поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля B = 0,1 мТл. Определите нормальное и тангенциальное ускорения электрона. [an=const = 1,76·1014 м/с2, aτ=0] (8, с.160) 3.14. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, движется парал-

лельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии 1 см от него. Определите силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток 10 А. [4,24⋅10-16 Н] (8, с. 161) 3.15. Электрон, влетев в ОМП с В=30 мТл, движется по окружности радиусом

10 см. Определите магнитный момент p m эквивалентного кругового тока. [ pm =

e 2 BR 2 4,21 пА⋅м2] (8, с.155) 2me 50

3.16. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в одно-

родное магнитное поле с магнитной индукцией B = 2 мТл, движется по окружности. Определите радиус этой окружности. [16,1 см] (8, с. 161) 3.17. Электрон, обладая скоростью v = 1 Мм/с, влетает в однородное магнитное

поле под углом a = 60° к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля Н = 1,5кА/м. Определите: 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали. [1) 9,49 мм; 2) 2,62мм] (8, с. 161) 3.18. Электрон движется в ОМП с магнитной индукцией 0,2 мТл по винтовой

линии. Определите скорость электрона, если радиус винтовой линии 3 см, а шаг 9 см. [1,17 Мм/с] (8, с. 161) 3.19. В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях под-

вешен горизонтально проводник массы 0,16 кг и длины 80 см. Концы проводника при помощи гибких проводов, находящихся вне поля, подсоединены к источнику тока. Найдите угол, на который отклоняются от вертикали нити подвеса, если по проводнику течет ток 2 A, а индукция магнитного поля 1 Тл. [45°] (6, с.250) 3.20. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U=300 В и

попав в ОМП, стала двигаться по винтовой линии радиусом R=1 см и шагом [B =

h=4 mαU e

:

см.

Определите

h2 + 4 =1,5 мТл] π 2 R2

51

магнитную

индукцию

поля.

Практическое занятие № 4. Тема: Механическая работа в МП. Магнитный поток. Индуктивность.

Вещество в МП. Закон полного тока.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. Что называется работой силы по перемещению тела (из механики)? 2. Что понимается под механической работой в магнитном поле? Примеры. 3. Запишите общее определение потока векторного поля через поверхность и поясните. 4. Что называется магнитным потоком? Запишите формулу и поясните входящие в нее обозначения. 5. Чему равна работа по перемещению линейного проводника в магнитном поле? 6. Чему равна работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле? В чем разница с предыдущим ответом? 7. Как связаны значения силы тока в замкнутом проводнике и величина магнитного потока через ограниченную им (проводником) поверхность? 8. Что называется индуктивностью? От чего она зависит? 9. Какие процессы происходят в веществе при его помещении во внешнее магнитное поле? 10. Из чего складывается магнитный момент атома? 11. Чем характеризуются магнитные свойства вещества? 12. В чем сходство и различие между диа-, пара- и ферро-магнетиками? Оформить таблицей. 13. Что называется напряженностью магнитного поля? Чем эта величина отличается от вектора магнитной индукции? Когда и для чего применяется? 14. Сформулируйте и запишите закон полного тока. В чем его отличие от теоремы о циркуляции вектора B ? 52

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Вспомним, что механической работой называется работа силы по перемещению тела, на которое она действует:

dA = F ⋅ d r = F ⋅ dr ⋅ cos α = Fdr ⋅ dr , где d r – элементарное перемещение тела. Таблица 2. Механическая работа в магнитном поле

Работа МП при перемещении проводника с током Форма проводника

Линейный проводник

Замкнутый проводник

dA = I ⋅ dФB

dA = I ⋅ dФB

Формула для работы

1) нет тока в провод- 1) нет тока в проводнике; нике;

2) поле однородно, провод-

2) проводник покоит- ник покоится, но его форма Случаи, когда работа

ся;

не совершается9

3) проводник переме- ваемая площадь постоянна;

меняется так, что ограничи-

щается либо в направ- 2) проводник движется, но лении тока, либо в на- поток через ограниченную силовых им поверхность не меняется

правлении линий поля.

(несколько вариантов)

Рассмотрим действие магнитного поля на линейный проводник с током (которое складывается из действия поля на отдельные носители тока). В этом случае на проводник с током I действует сила Ампера F A . Если при этом этот проводник перемещаются, то сила Ампера совершает работу:

dA = F A ⋅ d r = FA ⋅ dr ⋅ cos α = Bn ⋅ I ⋅ l ⋅ dr ⋅ cos α = Bn ⋅ I ⋅ dS ,

9

Приведены лишь некоторые из возможных случаев равенства работы нулю. Подумайте, какие случаи не указаны в таблице.

53

где dS - площадь, описываемая проводником при его движении. С учетом определения магнитного потока запишем:

dA = I ⋅ dФB ,

(4.1)

где dФB – магнитный поток через поверхность, описываемую проводником при движении. Если в магнитном поле перемещается замкнутый проводник (контур) с током, то представим его в виде соединения 2-х незамкнутых проводников и сложим работы, совершаемые при перемещении каждого из них. В итоге получим аналогичное выражение ΔA = I ⋅ ΔФB ,

(4.2)

где ΔФВ – изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром. Таким образом, работа, совершаемая силой Ампера при перемещении линейного проводника с током (контура), равна произведению силы

тока на магнитный поток (изменение магнитного потока) через поверхность, описанную при движении (ограниченную) этим контуром. С определением потока векторного поля мы знакомились в начале изучения раздела «Электричество». В случае магнитного поля можно рассматривать поток вектора B :

ФB = ∫ B ⋅ d S

(4.3)

S

Если плоский контур с током находится в ОМП, то магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром L, равен

ФB = BS ⋅ cos α ,

(4.4)

где S – площадь контура, α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции B . В случае катушки (соленоида или тороида), состоящей из N витков, можно рассматривать как магнитный поток верез один виток ФB , так и пол-

54

ный магнитный поток, сцепленный со всеми N витками, называемый иначе потокосцеплением:

Ψ = N ФB = L I ,

(4.4′)

где L – коэффициент самоиндукции (индуктивность) катушки, I – сила тока в витках катушки. Основываясь на понятии магнитного потока, можно рассмотреть ори-

ентирующее действие магнитного поля. Из (4.2) следует, что МП совершает положительную работу при увеличении магнитного потока через контур. Поэтому ориентирующее действие поля заключается в повороте рамки так, что магнтиный поток через нее будет максимален. А это выполняется при условии перпендикулярности рамки силовым линиям поля. С учетом (4.4) формула (4.2) примет вид:

ΔA = I ⋅ ΔФB = − Δ ( − IBS cos α ) = − ΔW p , где

W p = − IBS cos α = − p m ⋅ B

(4.5)

- потенциальная энергия контура с током в магнитном поле10. Тогда работа, совершаемая при его вращении, равна убыли его потенциальной энергии. Контур с током создает вокруг магнитное поле, так что согласно закону Био-Савара-Лапласа B ∼ I. Но ФВ ∼ В, следовательно, ФВ ∼ I. Введем коэффициент пропорциональности L между силой тока в контуре и магнитным потоком через ограниченную им поверхность, называемый индуктивностью контура: ФB = L I .

(4.6)

Индуктивность контура зависит от его геометрии, т.е. от его размеров, формы, толщины проводов и т.д., а также от магнитной проницаемости среды. Метод нахождения индуктивности контура:

1. Выразить значение магнитной индукции в точках на некоторой поверхности, ограничиваемой данным контуром, через значение силы тока в контуре. 10

Аналогичный вид имеет формула для энергии диполя в электрическом поле.

55

2. Найти магнитный поток через эту поверхность, т.е. получить зависимость магнитного потока от силы тока. 3. Выделить в полученном выжадении искомый коэффициент пропорциональности L =

ФB . I

Орбитальный магнитный момент электрона (обусловленный его движением по замкнутой орбите в атоме) связан с его механическим орбитальным моментом (моментом импульса):

(

где коэффициент −

p m = − 2em ⋅ L ,

e 2m

(4.7)

) называется гиромагнитным отношением. Кроме

того,

электрон

обладает

собственным моментом импульса (спином) и собственным магнитным моментом. Под магнитным моментом атома понимается квантовая11 сумма орбитальных и

собственных

моментов

атомарных

электронов. Магнитный момент вещества складывается

из

магнитных

моментов

атомов. Степень намагниченности вещества в некоторой точке (плотность магнитного момента) характеризует модуль вектора намагничивания P m , направление которого совпадает с направлением намагниченности. Для линейных изотропных сред выполняется соотношение: χ

P m = μm ⋅ B 0 , 0

(4.8)

где B 0 – магнитная индукция внешнего намагничивающего поля. 11

Слова «квантовая сумма» означают, что сложение электронных моментов производится не по прави-

лам векторной алгебры, а по специальным правилам квантовой механики.

56

Коэффициент пропорциональности χm называется магнитной восприимчивостью вещества (характеризует способность вещества к намагничиванию).

Магнитное поле намагниченного вещества пропорционально его магнитному моменту: ′ B = μ0 P m

(4.9)

′ B = B 0 + B = (1 + χ m ) ⋅ B 0 = μ ⋅ B 0

(4.10)

Результирующее поле в веществе:

где μ – магнитная проницаемость вещества. Таблица 3. Классификация магнетиков

Вид магнетика

Магнитная воспиимчивость

Магнитная проницаемость

Парамагнетик

χm ≥ 0

μ ≥1

Диамагнетик

χm ≤ 0

μ ≤1

Ферромагнетик

χm > 0

μ >> 1

Вектор напряженности магнитного поля определяется соотношением:

H =

B

μ0

− Pm .

(4.11)

В теории магнетизма он выполняет такую же роль, как вектор смещения D в теории электричества. Имеет место соотношение между вестором магнитной индукции и напряженностью магнитного поля: B = μ0 μ H .

(4.12)

Закон полного тока: циркуляция вектора магнитной напряженности по любому замкнутому контуру в произвольной среде равна полному12 макроскопическому току, пронизывающему площадь контура. Т.е.

∫ H ⋅ dl = I .

(4.13)

L

12

Понятие полного тока в общем случае включает токи проводимости, переноса и смещения. Их общее свойство – создавать магнитные поля.

57

Дифференциальная форма закона полного тока:

rot H = j .

(4.14)

Формулы закона полного тока применимы и в неоднородных средах.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №4.1. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие ее стороны длиной l=65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Определите магнитный поток, пронизывающий рамку. [ ФB =

μ0 I l ⋅ ln 2 =4,5 мкВб] 2π

(, с. ).

Указания по решению. В задаче 1.3 нами было получено выражение для величины магнитной индукции поля бесконечного прямого тока: B=

μ0 I , 2π r

где r – расстояние от проводника до рассматриваемой точки поля. Воспользуемся им для решения данной задачи. Согласно (4.3) ФB = ∫ B ⋅ d S . S

Т.к. по условию задачи

прямоугольная рамка S

расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет создающий поле ток, то

μ0 I 1 μ0 I 1 μ0 I l 2a dr μ0 I l ФB = ∫ B ⋅ d S = ∫ B ⋅ dS = ∫ dS = 2π ∫ r ⋅ l dr = 2π ∫ r = 2π ⋅ ln 2 . 2π S r S S S a Вычисления произведите самостоятельно, выполнив предварительно проверку размерностей.

58

Задача №4.2. На длинный картонный каркас диаметром d=5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d1=0,2 мм. Определите магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока I=0,5 А. [ ФB =

μ0πd 2 I 4d1

=2 мкВб]

(?, с. ?)

Указания по решению. Т.к. по условию картонный каркас – длинный, то будем считать применимой формулу магнитной индукции бесконечно длинного соленоида (см. приложение..): N ⋅I. l

B = μ0 Плотность намотки, т.е. число

N витков, укладывающихся на единице длины l

соленоида, выражается через диаметр провода обмотки: N l / d1 1 = = . l l d1 Тогда

B =

μ0I d1

.

Далее, учитывая однородность поля внутри соленоида, воспользуемся определением магнитного потока: ФB = ∫ B ⋅ d S = B ∫ dS = BS = S

S

μ0 I πd 2 d1

⋅

4

.

Завершите решение задачи самостоятельно и сравните ответ. Задача №4.3. Рядом с длинным прямым проводом, по которому течет ток I1=10 А, расположена квадратная рамка с током I2=1 А. Рамка и провод лежат в одной плоскости. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна 59

проводу и отстоит от него на расстояние b=100 мм. Сторона рамки а=80 мм. Найти силу F, действующую на рамку, и работу А, которую нужно совершить, 0

чтобы повернуть рамку вокруг ее оси на 180 . A=

μ0 2b + a I1I 2 a ⋅ ln =0,27 мкДж] π 2b − a

[F =

2 μ0 I1I 2 a 2

π ( 4b 2 − a 2 )

=1,5 мкН,

(7, с. 141)

Указания по решению. Рамка находится в магнитном поле B , созданном током I1 в проводе. На каждую сторону рамки действует сила Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки (рис.). Т.к. по условию провод длинный, то можно применить формулу магнитной индукции поля бесконечного прямого тока: B=

μ0 I 1 ⋅ , 2π r

где r – расстояние от провода до рассматриваемой точки поля. На стороны рамки, перпендикулярные проводу, действуют равные и противоположно направленные силы ( F 3 = − F 4 ), а на параллельные проводу стороны рамки действуют различные по величине силы, т.к. они расположены на разных расстояниях от провода: F1 = B1I 2 a , где

B1 =

μ0 I ⋅ 1 . 2π b − a 2

Аналогично: F2 = B2 I 2 a =

μ0 I ⋅ 1 I 2a . 2π b + a 2

Тогда результирующая сила, действующая на рамку, равна F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = F 1 + F 2 ⇒ F = F1 − F2 . Подставляем выражения для сил и получаем

60

F=

μ0 μ μ I I 1 1 ⋅ 1 I 2 a − 0 ⋅ 1 I 2 a = 0 ⋅ I1 I 2 a ⋅ ( − ). a a 2π b − a 2π b + a 2π b− b+ 2

2

2

2

Завершите преобразования самостоятельно. Для нахождения работы, совершаемой внешними силами при повороте рамки на 1800 проследим за изменением магнитного потока сквозь рамку при таком ее повороте: 1. В исходном положении магнитный поток Фm макимален и положителен, т.к. B ↑↑ p m . 2. Далее поток уменьшается до нуля (при повороте на 900) и далее становится отрицательным. 3. При повороте на 1800 поток станоаится равным − Фm . Тогда работа внешних сил будет равна A = − I 2 ΔФ = I 2 (Ф1 − Ф2 ) = I 2 2Фm . Т.к. поле, в котором находится рамка неоднородно, то для нахождения потока необходимо воспользоваться определением: a 2

a μ μ Ia 1 2. Фm = ∫ B( r )dS = 0 I1 ∫ a dr = 0 1 ln a 2π 2π ar r1 b− b− 2 2 b+

r2

b+

Завершите решение задачи самостоятельно, произведите вычисления и сравните ответ. Задача №4.4. Прямой провод длиной l=20 см с током I=5 А, находящийся в ОМП с В=0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля, под действием которых проводник переместился на а=2 см. [2 мДж]

(8, с. 165)

61

Указания по решению. Решим задачу двумя способами. Способ 1. В магнитном поле на проводник с

током действует сила Ампера. Если проводник перемещается, то она совершает работу: A = F A ⋅ S , где S = a . По условию задачи проводник переместился под действием сил поля, следовательно, вектор перемещения сонаправлен с вектором действовавшей силы. Учитывая перпендикулярность проводника линиям инA = BIl ⋅ a .

дукции, получаем искомую величину:

Способ 2. Механическая работа по перемещению проводника с током в маг-

нитном поле согласно (4.1) равна произведению силы тока на магнитный поток через поверхность, описываемую проводником при его движении: A = I ⋅ ФB .

Т.к. поле однородно, то описываемая поверхность будет представлять собой прямоугольник площадью S = l ⋅a, тогда магнитный поток ОМП через нее будет равен ФB = B ⋅ S = B l a , здесь учтено, что проводник перемещается в поле перпендикулярно силовым линиям, а следовательно нормаль к описываемой прямоугольной поверхности будет сонаправлена с линиями поля ( cos 0 = 1 ). Подставляем в выражение для работы и получаем искомое: A = I ⋅ ФB = I ⋅ B l a . Самостоятельно сравните ответы, полученные разными способами и сделайте вывод. Произведите вычисления и сравните ответ. Задача №4.5 Квадратный проводящий контур со стороной l=20 см и током I=10 А свободно подвешен в ОМП с магнитной индукцией В=0,2 Тл. Определите ра-

62

боту, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 1800 вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля. [0,16 Дж]

(8, с. 165)

Указания по решению. В свободном состоянии контур с током устанавливается в магнитном поле так, что магнитный поток через его поверхность максимален ( ФB0 > 0 ) и магнитный момент контура сонаправлен с вектором магнитной индукции поля – это условие минимума потенциальной энергии (4.5). При повороте на 1800 магнитный поток сначала уменьшается до нуля, а потом становится отрицательным, равным − ФB 0 . Искомую работу теперь легко найти вторым способом (см. задачу 4.5) с учетом противоположности знака работы внешних сил по сравнению со знаком работы самого магнитного поля: A = − I ⋅ ΔФB = 2 I ⋅ ФB 0 = 2 I Bl 2 . Подумайте, как можно было бы применить для решения этой задачи первый способ определения работы в магнитном поле. Задача №4.6.Пользуясь определением индуктивности определите индуктивность L длинного соленоида. Указания по решению. Будем пользоваться соотношением (4.4′) между потокосцеплением соленоида и силой тока в его обмотке: Ψ = N ФB = L I , где N – число витков соленоида, I – сила тока в витках. Внутри достаточно длинного соленоида поле однородно, силовые линии направлены вдоль его оси (т.е. перпендикулярно плоскости витка), и магнитная индукция равна B = μ0

N ⋅I, l

63

где l – длина соленоида. Тогда магнитный поток через один виток равен ФB = B S , где S – площадь сечения соленоида, т.е. N ⋅IS , l

ФB = μ0 тогда полный магнитный поток Ψ = N ФB = N ⋅ μ 0

N N2 ⋅ I S = μ0 S ⋅I = L⋅I. l l

Отсюда выделяем выражение для индуктивности: N2 L = μ0 S = μ0 n 2 l S , l

где n =

N - плотность намотки соленоида. l

Задача №4.7. Что произойдет с полем бесконечного соленоида при заполнении соленоида однородным изотропным магнетиком с проницаемостью μ. [В увеличится в раз, Н останется прежним]

(7, с. 143)

Указания по решению. Магнитное поле можно количественно описывать с помощью двух величин: напряженности H и магнитной индукции B . Рассмотрим в чем различие этих характеристик. Во-первых, магнитное поле создается токами (движущимися частицами), а токи бывают различных видов: ток проводимости (макроток), микротоки в атомах вещества, ток смещения (переменное электрическое поле) и др. Поэтому в общем случае результирующее магнитное поле может складываться из различных составляющих: 1) в вакууме при наличии только макротока (проводника с током) магнитное поле описывается векторами H 0 и B 0 , причем B 0 = μ0 H 0 , т.е. различие лишь в постоянном множителе;

64

2) в среде при наличии того же макротока к его магнитному полю добавляется поле микротоков среды, но согласно определению вектора напряженности магнитного поля вектор H описывает лишь поле макротока, тогда H = H 0 . В отличие от H вектор магнитной индукции B складывается из магнитной ин′ дукции поля макро- и микротоков, т.е. B = B 0 + B = μ ⋅ B 0 . Значит, магнитная индукция поля в магнетике увеличивается в μ раз (см. табл. 3).

Задача №4.8. В ОМП с индукцией B 0 помещена бесконечная плоскопараллельная

пластина

из

однородного

и

изотропного магнетика с проницаемостью μ. Пластина расположена перпендикулярно к линиям

B0 .

Определить

магнитную

индукцию B и напряженность магнитного поля H в магнетике. где

H0

-

магнитного поля]

[ B = B0 , H = H 0 / μ ,

напряженность

внешнего

(7, с. 143)

Указания по решению. Запишем условие соленоидальности магнитного поля:

∫ Bd S = 0 .

S

В качестве замкнутой поверхности S выберем цилиндр, образующие которого параллельны силовым линиям поля (рис. ). Тогда интеграл можно представить в виде суммы 3-х интегралов (по боковой поверхноти и по каждому из оснований):

∫ Bd S = ∫ Bd S + ∫ Bd S +

S

S бок

S внеш осн

∫ Bd S = 0 + B0 S + BS = 0 .

S внутр осн

Отсюда ясно, что магнитная индукция поля в магнетике равна магнитной индукции внешнего поля: B = B0 .

65

Напряженность магнитного поля в магнетике найдем через ее связь с магнитной индукцией: H =

B

μ0 μ

и H0 =

B0 B = 0 μ0 ⋅ 1 μ 0

отсюда H =

H0

μ

.

Задача №4.9. В тонком тороидальном соленоиде с радиусом средней линии R и числом витков N сделан тонкий воздушный зазор толщиной d<
∫ H ⋅ dl = N I ,

L

где L – средняя линия тора, охватывающая N токов I. Разложим записанный интеграл на сумму двух интегралов по каждой из областей (сердечник и зазор) в отдельности:

∫ H ⋅ dl =

L

∫ H1 ⋅ d l + ∫ H 2 ⋅ d l .

2πR − d

d

Т.к. соленоид по условию тонкий, то можно принять, что поле внутри него однородно, тогда закон полного тока запишется в виде H1( 2πR − d ) + H 2d = NI , здесь мы учли, что выбранный контур совпадает с силовой линией, а значит в любой точке векторы напряженности поля и элемента длины сонаправлены ( cos 0 = 1 ). Для получения второго независимого равенства, рассмотрим границу раздела сред и воспольземся условием соленоидальности магнитного поля:

66

B1 = B 2 .

Запишем связь между индукцией и напряженностью поля:

μ0 μH1 = μ0 H 2 или μH1 = H 2 т.к. в зазоре μ = 1 .

Подставляем в закон полного тока:

NI

H1( 2πR − d ) + μH1d = NI ⇒ H 1 = , 2π R + ( μ − 1) d

H 2 = μH1 =

μ NI . 2πR + ( μ − 1)d

Значения же магнитной индукции будут одинаковыми и в сердечнике и в зазоре: B1 = B2 =

Задача №4.9.

μ0 μ NI . 2πR + ( μ − 1)d

Соленоид длиной l=20 см, площадью поперечного сечения

S=10 см2 и общим числом витков N=400 находится в диамагнитной среде. Определить силу тока I в обмотке соленоида, если его индуктивность L=1 мГн и намагниченность Рm= 20 А/м внутри соленоида. [2,09 А] (8, с. 177) Указания по решению. Согласно (4.8) намагниченнсоть вещества пропорциональна величине намагничивающего поля: 67

χ

P m = μm ⋅ B 0 , 0 где χ m - магнитная восприимчивость вещества, т.е. для диамагнетика χ m < 0 . Учитывая, что B0 = μ0 H 0 , запишем Pm = χ m H 0 = ( μ − 1) H 0 ⇒ H 0 =

Pm . μ −1

По закону полного тока имеем

∫ H 0 ⋅ d l = N I ⇒ H 0l = N I .

L

Отсюда сила тока с учетом выражения для напряженности будет равна I=

H 0l Pml = . N ( μ − 1) N

Осталось найти магнитную проницаемость вещества. Для этого воспользуемся выражением для индуктивности соленоида, полученным в задаче 4.6: L = μ0 μ

N2 S. l

Завершите решение задачи самостоятельно и сравните ответ. Задача №4.10. В ОМП вносится длинный вольфрамовый стержень (магнитная проницаемость вольфрама μ=1,017). Найдите, какая доля суммарного магнитного поля в этом стержне определяется молекулярными токами. [1,7 %] (8, с. 179) Указания по решению. Согласно (4.10) поле в стержне складывается из внеш′ него поля B 0 и поля микротоков B : ′ B = B 0 + B = μ ⋅ B 0 ⇒ B′ = ( μ − 1) ⋅ B0 , тогда искомая доля запишется так:

λ=

B′ = μ − 1. B0

Для получения доли в процентах необходимо последнее выражение еще домножить на 100%. 68

Задачи для самостоятельного решения. 4.11. В ОМП напряженностью Н=100 кА/м помещена квадратная рамка со сто-

роной а=10 см. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол α=600. Определите магнитный поток, пронизывающий рамку. [628 мкВб] (8, с. 164) 4.12. Две пластины из магнетиков с проницаемостями μ1 и μ2 сложены вместе

и помещены в перпендикулярное к ним ОМП

с

Штриховой

индукцией линией

B0

(рис.

).

показана

воображаемая цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными B 0 , и основаниями площади S, перпен-

дикулярными к B 0 . Чему равны поток ФВ вектора B и поток ФН вектора H через эту поверхность? [ ФВ =0, ФН =

SB0

(

1

μ0 μ2

−

1

μ1

)]

(7, с. 143)

4.13. Напряженность H магнитного поля в центре кругового витка с магнит-

ным моментом pm=1,5 A·м2 равна 150 A/м. Определите: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке. [1) 11, 7 см; 2) 35, 1 А] (8, с.158) 4.14. В ОМП с магнитной индукцией В=0,2 Тл находится квадратный прово-

дящий контур со стороной l=20 см и током I=10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в 300. Определите работу по удалению провода за пределы поля. [0,04 Дж] (8, с. 164) 4.15. Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой катуш-

ки L1=0,12 Гн, второй – L2=3 Гн. Сопротивление второй катушки R2=300 Ом. Определите силу тока I2 во второй катушке, если за время Δt=0,01 с силу тока в первой катушке уменьшить от I1=0,5 А до нуля. [0,1 А] (8, с. 174)

69

4.16. Определите магнитный поток через площадь поперечного сечения ка-

тушки (без сердечника), имеющей на каждом сантиметре длины n = 8 витков. Радиус соленоида r=2 см, а сила тока в нем I=2 А. [2,53 мкВб] (8, с.164) 4.17. Внутри соленоида с числом витков N=200 с никелевым сердечником

(μ=200) напряженность однородного магнитного поля H=10 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника S=10 см2. Определите: 1) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление. [1) 2,51 Тл; 2) 0,502 Вб] (8, с.164) 4.18. Прямой провод длиной l = 20 см с током I = 5 A, находящийся в одно-

родном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля, под действием которых проводник переместился на 2 см. [2 мДж] (8, с. 164) 4.19. Квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10 A

свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией B = 0,2 Тл. Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля. [0,16 Дж] (8, с. 164) 4.20. Оцените индукцию магнитного поля в центре плоского железного кольца

толщины 1 см с внутренним радиусом 10 см и внешним радиусом 20 см. Все атомы железа ориентированы вдоль оси кольца, магнитный момент атома железа равен 2μe = 1,85·10-23 Дж/Тл. [B=4,9·10-2 Тл] (6, с. 255) 4.21. Длинный прямой соленоид, содержащий 5 витков на каждый сантиметр

длины, расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана. Внутри соленоида в его средней части находится магнитная стрелка, установившаяся в МП Земли. Когда по соленоиду пустили ток, стрелка отклонилась на угол 600. Найти силу этого тока, если горизонтальная составляющая МП Земли Н=14 А/м. [48 мА]

70

4.22. Все размеры проводника увеличили в k раз. Во сколько раз изменится ин-

дуктивность проводника? [увеличится в k раз] (6, с. 283) 4.23. Докажите, что отношение орбитального магнитного момента pm электро-

на к его орбитальному механическому моменту Ll (гиромагнитное отношение орбитальных моментов) одинаково для любой орбиты, по которой движется электрон. [ g =

e ] (8, с. 178) 2m

4.24. Напряженность ОМП в платине равна 5 А/м. Определите магнитную ин-

дукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если магнитная восприимчивость платины равна 3,6⋅10-4.

[2,26 нТл] (8, с. 179)

4.25. По круговому контуру радиусом 40 см, погруженному в жидкий кисло-

род, течет ток 1 А. Определите намагниченность в центре этого контура. Магнитная восприимчивость жидкого кислорода χ m =3,4⋅10-3. [4,25 мА/м] (8, с. 179)

71

Практическое занятие № 5. Тема: ЭМИ. Законы Фарадея. Уравнения Максвелла. Энергия контуров с током и МП. Взаимная индуктивность.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. Расскажите об опытах Фарадея, в которых обнаруживается явление ЭМИ. 2. Что называется электромагнитной индукцией? 3. На какие 2 вида делятся явления электромагнитной индукции? 4. Запишите и поясните законы электромагнитной индукции для каждого вида явлений электромагнитной индукции. В чем сходство и в чем различие между ними? 5. Сформулируйте правило Ленца. Приведите примеры его применения. 6. Запишите систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Поясните физический смысл каждого уравнения. 7. Какие задачи решаются с помощью уравнений Максвелла? 8. Как находится энергия уединенного контура с током? Что это за энергия? 9. Из каких слагаемых складывается энергия системы контуров с током? Как меняются эти слагаемые при увеличении расстояния между контурами? 10. Как можно найти энергию магнитного поля? 11. Какими способами можно найти энергию постоянного магнитного поля? 12. Какой из указанных выше способов не применим в случае переменных полей? Почему? 13. Что является носителем магнитной энергии? 14. Что такое взаимная индуктивность? Как ее можно определить?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

72

Явление электромагнитной индукции, открытое в 1881 г. М. Фарадеем, состоит в возникновении электрического тока (называемого индукционным) в замкнутом проводящем контуре при условии изменения магнитного потока через ограниченную этим контуром площадь. Но это лишь частный случай такого рода явлений. Электромагнитной индукцией называется возникновение электродвижущих сил под действием магнитных полей. Явления электромагнитной ин-

дукции подразделяются на два различных вида . Таблица 4. Виды явлений электромагнитной индукции.

Явления ЭМИ первого вида

Явления ЭМИ второго вида

возникновение ЭДС индукции под возникновение индукционных элекдействием переменных магнитных трических напряжений при двиполей

жении материальных тел в магнитных полях

В основе: свойство переменных магнитных полей порождать переменные электрические поля и существовать совместно с ними.

В основе: свойство относительности электрических и магнитных полей, т.е. зависимость характеристик полей от системы отсчета, в которой они наблюдаются.

Механизм:

переменное магнитное Механизм: проводник с током дви-

поле ⇒ вихревое и соленоидальное жется относительно К′ ⇒ относиэлектрическое поле ⇒ индукционная тельно К′ его магнитное поле меняЭДС Eин вдоль контура ⇒ индукцион- ется ⇒ существует в системе

К′

электрическое поле ⇒ электриче-

ный ток в этом контуре.

ские напряжения (5.2) (5.1) Закон ЭМИ: E ′ = [ v, B ] , где E ′ - напряженность электричезнак «минус» связан с направлением ского поля относительно движувозникающей ЭДС (правило Ленца) и щейся со скоростью v системы отсогласуется с законом сохранения счета. Характеристики магнитного энергии. поля одинаковы в неподвижной и движущейся системах отсчета. Закон ЭМИ: Eин = −

dФB dt

,

73

Вихревое электрическое поле принципиально отличается от безвихревого

электростатического поля: его циркуляция не равна нулю, т.е. ∫ E ⋅ d l =Eин. В сплошной проводящей среде оно создает L

систему вихревых токов . В диэлектрической среде оно создает поляризацию с замкнутыми линиями вектора поляри-

зации. Сущность явления электромагнитной индукции, согласно Максвеллу, состоит в создании магнитным полем вихревого электрического поля. Индукционный ток — вторичный эффект, возникающий при наличии проводящих сред. При движении в магнитном поле линейного проводника L можно рассмотреть описываемую («заметаемую») им при движении площадь S, тогда можно показать, что верно равенство

U =−

dФB dt

,

(5.3)

т.е. индуцируемое при движении проводника в магнитном поле электрическое напряжение вдоль кривой L равно взятой с обратным знаком скорости

изменения магнитного потока через площадь, описываемую проводником. Выражения (5.1) и (5.3) подобны, но их физические основы различны. Важно различать интерпретации явлений второго вида наблюдателями в движущейся и в неподвижной системах: ∗ наблюдатели в движущейся системе объясняют эти явления дей-

ствием электрического поля; ∗ наблюдатели в неподвижной системе объясняют их силой Ло-

ренца, действующей на заряды проводника, движущегося в магнитном поле. В системе уравнений Максвелла выделяют структурные и материальные уравнения.

74

Таблица 5. Система уравнений Максвелла.

Интегральная форма

Дифференци-

Физический

альная форма

смысл

⎞

L

S⎝

⎠

rot H = j +

∂D ∂t

токами

(проводимо-

сти и перенома) и переменным

электри-

ческим полем создание

2. ∂ ∫ E ⋅ d l = − ∂t ∫ B ⋅ d S L S

rot E = −

∂B ∂t

электриче-

ского поля переменным магнитным полем создание

3.

магнитного поля

⎛

∂D ∫ H ⋅ d l = ∫ ⎜⎜ j + ∂t ⎟⎟ ⋅ d S

Законы взаимного создания полей, отра-

поля электрическими

жающие физическую структуру электро-

Создание магнитного

1.

элект-

рического поля элек-

∫ D⋅dS = q

S

div D = ρ q

трическими зарядами; наличие

свободных

электрических

заря-

дов. соленоидальность

4.

∫ B ⋅dS = 0

S

div B = 0

магнитных полей; отсутствие

свободных

магнитных зарядов.

D = ε 0ε E ,

отражают

влияние

B = μ0 μ H ,

стики создаваемых в

среды на характериней полей

j =γE

Таким образом, переменное электрическое поле создает магнитное поле, а переменное магнитное поле создает электрическое поле. Такая система не-

75

разрывно друг с другом связанных и непрерывно друг друга порождающих переменных электрического и магнитного полей называется электромагнитным полем.

С помощью уравнений Максвелла решаются прямая и обратная задачи: ∗ по известным распределениям плотности зарядов определяются

характеристики полей как функции координат и времени. ∗ по известным характеристикам полей устанавливают распреде-

ление зарядов и токов. При их решении система уравнений Максвелла дополняется начальными и граничными условиями.

Магнитная энергия контуров с током. 1) Собственная магнитная энергия контура: 2 LI 2 ФB IФB Wm = = = 2 2L 2

(5.4)

2) Полная магнитная энергия системы двух контуров: L1I12 L2 I 22 Wm = + + L21I1I 2 , 2 2

(5.5)

L1I12 L2 I 22 где - собственная магнитная энергия первого контура, — собствен2 2

ная энергия второго контура, L21I1I 2 — взаимная энергия контуров (при увеличении расстояния между ними первые два члена не изменяются, а третий стремится к нулю). 3) Магнитная энергия системы N контуров: Wm

76

1 2

N

∑ I k Φk ,

k =1

(5.6)

где Ф k — полный магнитный поток через контур под номером k (включает собственный магнитный поток и поток через этот контур, созданный токами, текущими по другим контурам). Энергия магнитного поля. 1) Энергия магнитного поля соленоида через силу тока в обмотке: Wm =

Iψ , 2

(5.7)

где ψ — потокосцепление, т. е. магнитный поток через все витки многовиткового контура. 2) Энергия магнитного поля соленоида через характеристику B магнитного поля в соленоиде:

Wm =

B2

2 μ0 μ

⋅ lS .

(5.8)

3) Плотность энергии магнитного поля: wm =

B2

2 μ0 μ

=

μ0 μH 2 2

=

BH . 2

(5.9)

Для постоянных магнитных полей, создаваемых неподвижными постоянными токами, оба подхода равноценны и выполняемые в рамках этих подходов расчеты всегда приводят к одинаковым результатам. Эта равноценность обусловлена тем, что такие токи и поля существуют совместно, образуя неразрывную систему. При переходе к переменным магнитным полям приемлемой оказывается только полевая концепция магнитной энергии, поскольку переменные магнитные и электрические поля образуют электромагнитное поле, которое может существовать самостоятельно, вне связи с токами и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн.

77

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №5.1. Соленоид диаметром d=4 см, имеющий N=500 витков, помещен в

магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью 1 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол α=450. Определить ЭДС индукции ε, возникающей в соленоиде. [ ]

(9, с. ??)

Указания по решению. Воспользуемся законом электромагнитной индукции

Фарадея:

ε = − dФ . dt

Магнитный поток Ф, сцепленный со всеми витками соленоида равен : d2 cos α . Ф = N ⋅ BS cos α = N ⋅ B ⋅ π 4

Подставляем в первое равенство и учитываем, что

dB = v - скорость изменения dt

магнитной индукции, получаем: 2 2 2 ε = d ( N ⋅ B ⋅ π d cos α ) = N ⋅ π d cos α ⋅ dB = N ⋅ π d cos α ⋅ v .

dt

4

4

dt

4

Вычислим 0,04 2 ε = 500 ⋅ 3,14 ⋅ cos 450 ⋅ 10− 3 = 4,443⋅10-4 (В) ≈ 0,44 (мВ). 4 Ответ: 0,44 мВ. Задача №5.2. Тонкий медный провод массой m=5 г согнут в виде квадрата и

концы его замкнуты. Квадрат помещен в ОМП с индукцией В=0,2 Тл так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. определите заряд Q, который протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. Плотность меди ρ m = 8900 кг/м3, удельное сопротивление меди ρ R = 1,7⋅10-8 Ом⋅м. [ Q =

Bm

16 ρ R ρ m

=0,4 Кл]

78

(?, с. ??)

Указания по решению.

Задача №5.3. Имеется железное кольцо квадратного сечения. Средний диаметр

кольца d=300 мм, площадь поперечного сечения S=500 мм2. Кольцо несет на себе обмотку из N=800 витков. По обмотке течет ток I=3 А. В кольце имеется поперечная прорезь ширины b=2 мм. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, найти: а) магнитную проницаемость μ железа при этих условиях; б) поток магнитной индукции через поперечное сечение кольца; в) энергию W1, заключенную в железе, энергию W2 в воздушном зазоре и полную энергию поля W.

[а) μ=3⋅103, б) ФВ =0,7 мВб, в) W1=0,1 Дж, W2=0,7 Дж, W=0,8 Дж]

(7, с.

145) Указания по решению. Заданные

Задача №5.4. Железнодорожные рельсы изолированы друг от друга и от земли

и соединены через милливольтметр. Каково показание прибора, если по рельсам проходит поезд со скоростью 20 м/с? Вертикальную составляющую напряженности магнитного поля Земли принять равной 40 А/м, а расстояние между рельсами 1,54 м. [ ]

(9, с. ??)

Указания по решению. Рельсы, поезд и милливольтметр вместе образуют замк-

нутый контур, расположенный в магнитном поле Земли. При движении поезда меняется площадь, ограниченная этим контуром (на рис. заштрихована). Поэтому по закону Фарадея для электромагнитной индукции в нем индуцируется ЭДС, равная:

ε = − dФ . dt

Здесь Ф – магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром, т.е. Ф = BS = μ0 μH ⋅ S .

79

Площадь контура выразим через длину рельс L и расстояние между ними d: S = d ⋅ L.

Подставляем в закон Фарадея и учитываем, что v =

dL : dt

ε = μ0 H ⋅ d ⋅ v , для воздуха μ=1. По закону Ома для замкнутой цепи имеем:

ε = I ( R + rV ) = IR + IrV = IR + U , где rV - сопротивление милливольтметра, R – сопротивление остальной части цепи (рельс и поезда), I – сила тока в контуре. Учитывая, что между точками подключения прибора напряжение одно и тоже, получим: IR = U ,

тогда

ε = 2U U =

⇒

ε = 1 μ Hdv . 0 2

2

Вычислим: U =

1 ⋅ 4π ⋅ 10− 7 ⋅ 40 ⋅ 1,54 ⋅ 20 =7,741⋅10-4 (В) ≈ 0,77 (мВ). 2

Ответ: 0,77 мВ.

Задача №5.5. Тонкий медный проводник массой 1 г согнут в виде квадрата и

концы его замкнуты. Квадрат помещен в ОМП (В=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определите количество электричества q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. Указания по решению. При вытягивании квадрата в линию меняется магнитный

поток сквозь ограниченную им площадь с начальной величины Ф1 = В ⋅ a 2 ,

80

где a 2 – площадь квадрата со стороной а, до нуля. При этом по закону электромагнитной индукции в замкнутом контуре возникает ЭДС индукции, среднее значение которой равно E=

ΔФ . Δt

где Δt - время вытягивания квадрата в линию. Получаем: Ba 2 E= . Δt

Далее по закону Ома в контуре возникнет ток, среднее значение которого равно I =

E , R

где R – сопротивление проводника квадрата, которое найдем, зная материал и размеры линейного проводника: R = ρR

4a , S

где 4а – периметр квадрата, S – площадь поперечного сечения проводника, ρ R удельное сопротивление меди. Наконец, исходя из определения силы тока найдем суммарный заряд, прошедший по проводнику: Q = I ⋅ Δt .

Осталось связать линейные размеры квадрата и площадь поперечного сечения проводника с массой меди и ее плотностью ρ m : m = ρ mV = ρ m 4a ⋅ S ⇒ S =

m . ρ m 4a

Получаем: Q = I ⋅ Δt = E ⋅

S Ba 2 m B⋅m 1 1 ⋅ Δt = ⋅ ⋅ ⋅ Δt = ⋅ . ρ R 4a Δt ρ R 4 a ρ m 4 a 16 ρ R ⋅ ρ m

Вычислим 1 0,1 ⋅ 10− 3 ⋅ Q= = 0,041 (Кл) 16 1,7 ⋅ 10−8 ⋅ 8,93 ⋅ 103

81

Ответ: 0,041 Кл. Задача №5.6. Индукция постоянного магнитного поля измеряется с помощью

квадратной рамки, размеры которой а×а, вращающейся с угловой скоростью ω. Ось ее вращения перпендикулярна направлению магнитного поля. Амплитуда электрического напряжения, снимаемого с рамки, равна V. Найдите индукцию магнитного поля. Полем проводов пренебречь. [ B =

V ] (6, с. 272) a 2ω

Указания по решению. В

Задача №5.6. Указания по решению. В

Задача №5.6. Две катушки намотаны на 1 общий сердечник. Определите их

взаимную индуктивность, если при скорости изменения силы тока в первой катушке

dI1 =3 А/с, во второй катушке индуцируется ЭДС Е12=0,3 В. dt

Указания по решению. В

Задачи для самостоятельного решения. 4.6. Индуктивность соленоида, намотанного в один слой, равна L=0,5 мГн.

Длина соленоида l=0,6 м, диаметр D=2 см. Определите отношение n витков соленоида к его длине. [ n =

2 D

L

μ0π l

=1454 1/м]

4.7. Какова скорость движения автомобиля, если в его вертикальной антене,

длиной 1,5 м индуцируется ЭДС 6⋅10-4 В. Горизонтальная составляющая

82

МП Земли Н=14 А/м. Направление скорости перпендикулярно магнитному меридиану. 4.8. Прямоуглоная рамка, размеры которой а×b, помещена в магнитное поле

индукции

В,

причем

в

начальный момент времени плоскость дикулярна

рамкиперпенлиниям

поля.

Рамка вращается с угловой скоростью ω. 1) Постройте график зависимости тока в рамке от времени, если сопротивление рамки R. 2) как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки? [1) I = I 0 sin ωt , где I 0 = ω a b M = a 2b 2 B 2

ω R

B ; 2) R

sin 2 ωt ] (6, с. 272)

4.9. Скорость изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную

замкнутым контуром, равна ϕ. Определите заряд на конденсаторе емкости С, который включен в этот контур. [q=Cϕ] (6, с. 278) 4.10. Внутри длинного соленоида с током I находится плоский замкнутый кон-

тур сечения , плоскость которого расположена под углом α к оси соленоида. Число витков на единицу длины соленоида n. Определите магнитный поток через этот контур и взаимную индуктивность контура и соленоида. [ Ф = μ0 ISn sin α , L12 = μ0 Sn sin α ] (6, с. 281) 4.11. Внутри длинного соленоида соосно ему расположен соленоид радиуса r.

Число витков внутреннего соленоида равно N. Число витков на единицу длины внешнего соленоида n. Чему равна взаимная индуктивность этих соленоидов. [ L12 = μ0 ρ r 2

n (cos α + sin α ) ] (6, с. 281) 2

4.12.

83

84

Практическое занятие № 6. Тема: Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Переменный электрический ток. Вопросы для подготовки к занятию.

1. Что называется колебанием? Какие виды колебаний вам известны? 2. Какие колебания называются электромагнитными? 3. Из чего состоит простейший колебательный контур? От чего зависит период (частота) его колебаний? Запишите соответствующие формулы. 4. Какой ток называется переменным? 5. Каковы условия существования переменного тока? 6. Какие элементы могут быть включены в цепь переменного тока? 7. Как ведет себя конденсатор в цепи переменного тока? 8. Как ведет себя катушка индуктивности в цепи переменного тока? 9. Что можно отобразить на векторных диаграммах? 10. Какие характеристики вводятся дополнительно в случае переменного электрического тока? 11. Как найти мощность переменного тока?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Электроемкость

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №4.1. [ ]

(4, с. 88)

Указания по решению. Заданные

85

Практическое занятие №7. Тема: Электромагнитные волны и их свойства.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. Что называется волной? Какие виды волн вам известны? 2. Какими свойствами обладают электромагнитные волны? 3. Что является носителем электрической энергии?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Электроемкость

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №4.1. [ ]

(4, с. 88)

Указания по решению. Заданные

86

Приложение 1. Обозначения используемых величин и их единицы измерения

Величина

Число витков соленоида

Обозначение Единицы измерения

N

-

87

Приложение 2 Основные формулы

закон Кулона

F =k

определение напряженности ЭСП

E=

q1q2 r2

F q

ϕ =U

определение потенциала ЭСП

q

r E = − gradϕ

связь напряженности и потенциала ЭСП связь напряженности и потенциала ЭСП в случае поля сферической или цилиндрической

r dϕ r o ⋅r E (r) = − dr

симметрии определение напряжения вдоль кривой

(

)

r r r U = ∫ E , dl = ϕ1 − ϕ 2 l

1) определение ЭДС=циркуляция; r 2) теорема о циркуляции E в ЭСП (необх. и дост. условие потенциальности ЭСП, т.е. невих-

1)

ξ = ∫ (E , dl )

2)

r r ∫ E , dl = 0

r

(

L

r

)

4

ревой характер) электростатическая теорема ОстроградскогоГаусса (закон создания ЭП зарядами)

Индуктивность соленоида

N2 L = μ0 μ S = μ0 μ n 2 l S l

88

89

Приложение 3 МП линейных токов правильной геометрической формы

Форма тока

Магнитная индукция поля в

Обозначения

некоторой точке Прямой бесконечный

B=

ток I

B=

μ0 I ⋅ 2π r0

r0 – расстояние от

проводника до точки

μ0 I ⋅ (cos α1 − cos α 2 ) , 4π r0

r0 – кратчайшее рас-

стояние от точки до проводника с током,

α1 и α2 – углы между радиус-векторами,

Прямой ток I конеч-

проведенным

ной длины

соот-

ветственно из начала и конца проводника в данную точку, и направлением

тока

в

проводнике; Круговой ток I, радиусом R Бесконечно

длинный

соленоид с током I

B=

μ0 I

B=

μ0

2 2

B = μ0

⋅

⋅

R

– в центре

IR 2 – на оси 2 2 3/ 2 (a + R )

а – расстояние вдоль

оси кругового тока от его центра до точки N – число витков на

N ⋅I l

длине соленоида l

90

Приложение Сравнительная таблица полей Электрическое поле

Магнитное поле

D = ε 0ε E

B = μ0 μ H

D = ε0 E + P E

H =

Wp = − p ⋅ E

W p = − pm ⋅ B

p = ql

pm = I S

q = CU

μ0

− P m ⇒ B = μ0 H + P m

ФB = LI ⇒ I =

A = qU

Wp =

B

A = I ФB

или

1 Ф L B

A = I ΔФB

2 IФB LI 2 ФB Wm = = = 2 2L 2

q 2 CU 2 qU = = 2C 2 2

ε 0εE 2 DE D2 wm = = = 2ε 0ε 2 2

wm =

B2

2 μ0 μ

Эквивалентные заменны

D

B

91

=

μ0 μH 2 2

=

BH 2

E q

H I

C

1 L

U

ФB

Значения некоторых постоянных

название постоянной

значение и размерность

электрическая постоянная

ε 0 = 8,85 ⋅ 10−12 Кл2/(Н⋅м2)

коэффициент пропорциональности

k=

в законе Кулона

1 4πε 0

= 8,9875 ⋅ 109 (Н⋅м2)/ Кл2

элементарный заряд

e = 1,6022 ⋅ 10 −19 Кл

масса электрона

me = 9,109534 ⋅ 10 − 31 кг

масса протона

m p = 1,6726485 ⋅ 10 − 27 кг

масса нейтрона

mn = 1,6749543 ⋅ 10 − 27

магнитная постоянная

μ0 = 4π ⋅ 10 − 7 Н/А2

Свойства смешанного произведения векторов: 1) для любых трех векторов выполняется равенство (a, [b, c ]) = ([a, b], c ) ,

92

Литература. 1.

Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 1. 2-е изд., испр./Под ред. В.Н.

Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2001 – 576 с. 2.

Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 2. 2-е изд., испр./Под ред. В.Н.

Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2001 – 592 с. 3.

Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. 5-е изд., стер. –

М.: «Высшая школа», 1998 – 542 с.: ил. 4.

Физика: Учебник / И.И. Наркевич, Э.И. Волмянский, С.И. Лобко. –

Минск: Новое знание, 2004. – 680 с.: ил. 5.

Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и сту-

дентов вузов. Изд-е 6-е, испр. М.: Наука, 1974. – 944 с.: ил. Задачники 6.

Задачи по физике: Учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Кутузова

и др.; Под ред. О.Я. Савченко. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. гл. ред. физ.мат. лит. 1988. – 416 с., ил. 7.

Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике: учебное посо-

бие для студентов высш.техн.учеб. заведений / И.В. Савельев. – М.: АСТ: Астрель, 2005. – 318, [2] с. 8.

Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов / Т.И. Трофи-

мова. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 384 с.: ил. 9.

Физика: Контрольные задания и методические указания для студентов II

курса инженерно-технических специальностей. Часть 2 / Б.А. Карелин, Е.К. Силина, А.А. Фортыгин. – М.: РГОТУПС, 1999. – 71 с. 10.

Новодворская Е.М. Сборник задач по физике для втузов / Новодворская

Е.М., Дмитриев Э.М. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2005. – 368 с.: ил.

93

11.

Электромагнетизм: контрольные задания по физике для самостоятельной

работы студентов, обучающихся по системе РИТМ, и для студентов заочного факультета / Г.В. Гнидин. – Иваново, 1999. – 44 с.

94