したしむ物理数学 (したしむ物理工学)

●したしむ物理工学●

した しむ

物理 数学 著

志 村 史 夫  小林久理 眞 

朝倉書店

まえがき

本 シ リー ズ の 「発 刊 に あ た っ て 」 で,私

  本 シ リー ズ は,ま

は

ず 読 者 に 「物 理 学 」 に親 し み,興 味 を持 っ て も ら う こ と

を 目標 と して い る.そ の た め に,何 よ り も ま ず 概 要 を感 覚 的 に 理 解 して も ら う た め に 図 を多 用 した こ と,数 式 の 導 入 は感 覚 的 理 解 を助 け る の に 有 効 な 範 囲 に止 め た こ と,を 特 長 に し て い る.… … そ し て,将 来 の 世 界 を背 負 う こ と に な るの で あ ろ う若 い 人 た ち へ の願 い は,「 自然 科 学 」の 学 習 を 通 して,懐 疑 す る精 神 と,「自然 」の 不 思 議 さ に 驚 嘆 す る心 を 養 っ て 欲 しい と い う こ とで あ る.大 切 な こ とは,難 解 な 数 式 や 複 雑 な 事 項 を憶 え る こ と で は な くて,自 然 を見 つ め,科 学 的 な精 神,思

と述 べ た.も

考 法 を 自分 の もの に す る こ とだ と思 う.

ち ろ ん,こ の 気 持 ち はい ま も変 わ ら な い.

  この よ う に,本

シ リー ズ の特 長 の 一 つ は 「数 式 の導 入 は感 覚 的 理 解 を助 け る

の に 有 効 な 範 囲 に止 め た こ と」な の で あ るが,“ 近 代 科 学 の 祖” とい うべ き ガ リ レイ が 「自然 の書 物 は 数 学 の 言 葉 に よ っ て 書 か れ て い る」 と述 べ て い る し,ニ ュ ー トンが1686年

に公 刊 した 大 著 『プ リン キ ピア』 の 「序 文 」で 述 べ た よ うに

「近 代 の人 び と は,実 体 的 形 相 と超 自然 性 と を排 して,自 然 現 象 を数 学 の 諸 法 則 に従 わ せ よ う と努 め て きた 」 の で あ る(ち な み に 『プ リン キ ピア(Principia)』 の正 式 書 名 は 『自然 哲 学 の 数 学 的 原 理 』で あ る).つ

ま り,数 学 あ る い は 数 式 が

「自然 」 を 理解 す る上 で極 め て 有 力 な 「言 語 」 で あ り,「手 段 」 で あ る こ と は い う まで もな い.平 た くい え ば,数 学 あ る い は 数 式 は 「外 国 語 」 の 一 種 で あ り, 外 国 へ 行 った 時,多

少 で も外 国 語 を理 解 で きた 方 が 何 か と便 利 で あ る の と同 じ

よ う に,多 少 で も数 学 あ る い は数 式 とい う 「外 国 語 」 を使 え れ ば 自然 現 象 を整 理 し,理 解 す る の に 大 い に役 立 つ もの で あ る.   した が っ て,自 然 現 象 を扱 う物 理 学 を学 習 し よ う とす る場 合,基

礎数 学の素

養 が す で に十 分 に身 に つ け られ て い る こ とが 望 ま しい が,昨

今 の 大 学(あ

るい

は高 専)入 学 以 前 の教 育 事 情 を鑑 み る と,そ れ を全 学 生 に求 め る の は 困 難 で あ る.ま た,物 理 学 と数 学 との 関連 が よ く理 解 さ れ て い る わ け で もな い の が 現 実 で あ る.そ

こ で,強

く求 め られ るの が 「物 理 数 学 」 な る教 科 書 で あ り,事 実,

少 な か らず の 入 門 書,教 科 書 が公 刊 され て い る.し か し,こ の 分 野 の 「古 典 的 名 著 」と もい うべ き,マ ー ジ ナ ウ ・マ ー フ ィの 『物 理 と化 学 の た め の 数 学 』(1943) は も と よ り,「 入 門 書 」と銘 打 っ て さ え も決 して 理 解 しや す い もの で は な い 「教 科 書 」が 少 な くな い.そ れ らの ほ とん どが 「数 学 の 教 科 書 」然 と し て お り,「 物 理 現 象 の 理 解 を助 け るた め の 数 学 の教 科 書 」 と は私 に は 決 して 思 えな い ので あ る.   外 国 語 が 好 きな 人 も嫌 い な 人 も,得 意 な 人 も苦 手 な人 も い る よ う に,数 学 と い う 「外 国 語 」 が 好 きな 人 も嫌 い な人 も,得 意 な人 も苦 手 な人 もい る.数 学 と い う 「外 国語 」が 嫌 い な 人,苦 手 な 人 が 「数 学 の教 科 書 」 然 と し た 「物 理 数 学 」 の 教 科 書 を手 に した な ら ば,物 理 も嫌 い な 人,苦 手 な人 に な っ て し ま うの で は な い か と恐 れ る.   外 国 へ 行 っ て 困 らな い 程 度 の外 国語 力 を身 に つ け た 日本 人 は,い ず れ も相 当 の 努 力 と苦 労 を して い る はず で あ る.彼 らが そ の よ う な努 力 や 苦 労 を厭 わ な か った の は,多 分 例 外 な く,外 国語 を使 う こ との必 要性 を実 感 し,外 国語 を使 え る こ との便 利 さ,喜 び を知 っ た か らだ ろ う と思 う.

  本 書 は,読 者 に,た

とえ多 少 で も,数 学 あ るい は数 式 とい う 「外 国語 」 を理

解 す る こ とが 自然 現 象 を整 理 し理 解 す る の に大 い に役 立 つ もの で あ る こ と を実 感 して も ら い,数 学 あ る い は 数 式 とい う 「外 国 語 」 を使 え る こ との便 利 さ,喜 び を知 って も ら う こ とを 目的 と し て い る.そ の た め に,数,数

式 を 単 に抽 象 的

に羅 列 す る こ とな く,常 に,具 体 的 な物 理 現 象 と関 連 づ け,ま

た図示 によって

視 覚 的 に理 解 す る こ とを重 視 す る.そ

して,数 学,数 式 を単 に受 動 的 に学 習 す

るの で は な く,能 動 的 に使 うた め の訓 練 も重視 す る.そ の よ う な 「訓 練 」 を苦 痛 に感 じ る読 者 に は,と りあ えず,第

１章 と第 ２章 を読 ん で い た だ きた い.「物

理 数 学 」に 親 近 感 を 持 っ て い た だ け るで あ ろ う こ と は,筆 者 と し て 自信 が あ る. 何 事 も,ま ず は,そ れ に 「した し む」こ とが 大 切 で あ る.先

を急 ぐ こ とは な い.

  巷 に は,あ た か も簡 単 に外 国 語 が修 得 で きそ うに 宣伝 す る 「教 材 」 や 「会 話 学 校 」 が〓 れ て い るが,よ

ほ どの大 天 才 で な い か ぎ り,日 本 人 に とっ て の 外 国

語 が 簡 単 に修 得 で き る よ うな 「王 道 」 は絶 対 に な い.そ れ 相 当 の 努 力,苦 不 可 欠 で あ る.あ

くま で も 「外 国 語 」 で あ る数 学,数 式 を学 習,修

す る場 合 も本 質 的 に は 同 じで あ る.本 書 は,決

労は

得 しよう と

して 「簡 単 に数 学,数

式 が修 得

で き る よ う に な る教 科 書 」で は な い.そ の よ うな幻 想 は捨 て な くて は な ら な い. あ くまで も,筆 者 は読 者 の興 味 を引 き 出 し,持 続 させ,努 力,苦 に した い と思 っ て い るの で あ る.そ

労 が実 る よう

して,読 者 に,自 然 現 象 を整 理 し理 解 す る

の に 「数 学 」が大 い に役 立 つ もの で あ る こ と を実 感 して い た だ きた い の で あ る.   本 書 が,筆 者 の この よ う な 「願 い 」 を叶 え て くれ る もの で あ る か は,読 者 の 御 判 断 を仰 ぐほ か は な い.本 書 の読 者,あ

る い は指 導 者 の方 々 か ら,本 書 の 内

容,構 成 な どに 関 す る建 設 的 な御 意 見,御 批 判 を頂 戴 で きれ ば幸 甚 で あ る.

  最 後 に,筆 者 の 意 図 を理 解 し,本 書 の 出 版 に御 協 力 い た だ い た朝 倉 書 店 企 画 部,編

集 部 の 各 位 に御 礼 申 し上 げた い.ま た,本 書 で用 い た 図 の作 成 に協 力 し

て くれ た 静 岡 理 工 科 大 学 志 村 研 究 室 の院 生 ・伊 藤 辰 巳君 をは じ め とす る諸 君 に も深 く感 謝 し た い. 2002年

師走

筆者を代表 して 志 村 史 夫

目

次

１. 序

論

  １

1.1  自 然 科 学 と 数 学   1.2  数  

２

14

1.2.1 

数 の歴史 

14

1.2.2 

数 の種 類  

20

チ ョツ ト休 憩 ● １  ピ タ ゴ ラス  演習問題 

２. 座

39

標

  41

2.1  平 面 と 空 間 の 数 量 化 2.1.1 

遠 近法

2.1.2 

座標 の導入

  44

2.1.3 

座標 変換 

48

  42

  42

2.2  位 相 空 間 と図 形 の 数 量 化 2.2.1 

位相 空間 

2.2.2 

図形 の数量化  

演習問題 

  53

53 55

チ ョ ツ ト休 憩 ● ２  デ カ ル ト

  57

58

３.  関 数 と グ ラ フ

  59

3.1  関 数 の 導 入  

60

3.1.1 

物 体 の運 動 の 表 現  

3.1.2 

関数発見 の背景 

3.2 ｎ

38

次関数  

66

60 63

3.2.1 

１次 関 数

 66

3.2.2 

２次 関 数

  69

3.2.3 

３次 関 数  

3.2.4 

４次 関 数

3.3  三 角 関 数  

73   79

80

3.4  指 数 関 数 と対 数 関 数  

83

チ ョ ツ ト休 憩 ● ３  ア ー ベ ル と ガ ロ ア

演習問題  

４.微

  87

89

分 と積 分

 91

4.1  微 分 法 と積 分 法   4.1.1 

微 分法 

92

4.1.2 

積 分法 

95

4.2  微 分 ・積 分 計 算   4.2.1 ｎ

次関数

92

99

  99

4.2.2 

三 角関数

  105

4.2.3 

指 数 関 数 と対 数 関 数  

4.2.4 

テ イ ラー 展 開  

121

4.3  偏 微 分 と微 分 方 程 式   4.3.1 

偏微分 

4.3.2 

微 分 方程 式  

111

123

123 126

チ ョ ツ ト休 憩 ● ４  ラ イ プ ニ ツ ツ と ニ ュ ー トン  

演習問題 

130

５. ベ ク トル とベ ク トル 解 析 5.1  ベ ク トル の 基 礎  

ス カ ラ ー とベ ク トル

5.1.2 

ベ ク トル の 表 現  

5.2  ベ ク トル の 演 算   和 と差  

136

 131

132

5.1.1 

5.2.1 

128

136

 132 134

5.2.2 

積

  139

5.2.3 

ベ ク トル の 微 分  

5.2.4 

演算子

5.2.5 

ベ ク トル 演 算 と電 磁 気 学  

チ ョ ツ ト休 憩 ● ５ 演 習問題 

145

  147

マ ック ス ウ エル  

155 161

162

６. 線 形 代 数

163

6.1  連 立 方 程 式 と行 列   6.1.1 

164

連 立 方 程 式 と解  

6.1.2 行列 

164

165

6.2  線 形 代 数 の 物 理 的 展 開   6.2.1 

連 成 振 り子  

6.2.2 

量 子力学

172

  181

チ ョ ツ ト休 憩 ● ６  ケ イ リー  

演習 問題 

172

185

187

７. 確 率 と統 計

189

7.1  確 率 と 統 計 の 基 礎  

190

7.1.1 

場 合 の 数 ・順 列 ・組 み 合 わ せ

7.1.2 

確 率 と集 合  

194

7.1.3 

確 率の分布 

200

7.2  物 理 学 へ の 応 用  

203

  190

7.2.1 

量 子 論 的 粒 子 の存 在 状 態  

7.2.2 

ス ター リン グ の 方 式  

7.2.3 

ガ ウス 分 布 とポ ア ツ ソ ン分 布  

チ ョ ツ ト休 憩 ● ７ パ ス カ ル   演習問題  

219

203

208

218

209

演習問題 の解 答

  221

参考図書

  226

索

  227

引

１ 序  論   わ れ わ れ は さ ま ざ ま な 事 物,事

象 の 中 で,能

動 的 ・受 動 的 な 生 活 を送 っ て い

る.日 常 的 に は ほ とん ど意 識 す る こ と が な い が,そ れ は 瞬 間 的 な “判 断"を 繰 り返 し て い る の で あ る.わ そ の よ うな"判

断"が

蓄 積 さ れ た 結 果 で あ ろ う.そ

の よ うな 生 活 の 中 で わ れ わ れ わ れ 一 人 一 人 の 人 生 は, の"判

断"の

基 準 は何 な の

だ ろ う か.   そ れ は,「 尺 度 」 と 「単 位 」が 異 な る幾 種 類 も の 「物 差 し 」 だ ろ う と思 う.わ れ わ れ は,意

識 す る と しな い と に か か わ らず,そ

の よ う な 「物 差 し」 を持 っ て

い て,そ れ を対 象 に 当 て は め て,形 や 大 小 や 色 や 遅 速 を判 断 し て い る の で あ る. 換 言 す れ ば,使 断"を,そ

う 「 物 差 し」の選 択,適

して"人

生"を

否 が 得 られ る情 報 の 価 値 を決 定 し,"判

大 き く左 右 す る こ と に な る.

  こ の よ う な 「物 差 し」 の こ と を考 え て み る と,１,２,３,… とい うよ うな "数 の 概 念" ,ち ょ っ と大 袈 裟 に い え ば"数 学 的 な 考 え"の 重 要 性 に改 め て 気 づ くの で あ る.   本 書 は 「物 理 数 学 」 に した しむ こ と を 目的 に し て い る の で あ る が,そ

れ は,

「自然 の 書 物 は 数 学 の 言 葉 に よ っ て書 か れ て い る 」と い う ガ リ レ イ(1564‐1642) の 言 葉 を じ っ く り と味 わ う こ とで もあ る.本 章 で は,ま ず,そ の 下 準 備 と して, 自然 科 学 と数 学 と の 関 係,"数"の 何 を い ま さ ら,と

い う感 想 を持 た れ る か も知 れ な い が,普

前 と思 っ て い る"数"と い か.特

に"０(ゼ

世 界,数 式 に つ い て概 観 す る.数 に つ い て は,

ロ)の

い う もの を,じ 発 見"の

段,あ

ま りに も当 り

っ く り考 え て み る の も面 白 い の で は な

話 に は わ くわ くす る は ず だ.

1.1  自 然 科 学 と数 学   自然 科 学 が 対 象 とす る の は,自 然 界 に起 こっ て い る現 象,あ

る い は 自然 の 実

態 で あ り,自 然 科 学 は 自然 を認 識 す る学 問 で あ る.そ して,自 然 科 学 の 本 質 は, 自然 を対 象 に した 知 的 好 奇 心 を満 足 させ る こ とで あ り,自 然 科 学 とい う学 問 を 進展 させ る最 も基 本 的 な駆 動 力 は そ の 知 的 好 奇 心 で あ る と思 う.こ の点 が,明 確 な る物 質 的 な 目的 と損 得 ・経 済 観 念 を持 つ"技 術"と ろ う.し か し,そ の よ う な"技 術",特

大 き く異 な る こ とで あ

に"工 業 技 術"の 多 くは 自然 科 学 を土 台

に して い る.   物 理 学 者 と して も文 学 者 と して も名 高 い寺 田 寅 彦(1878‐1935)は,「

科学 者

と芸 術 家 」 と題 す る随 筆 の 中 で 「科 学 者 の研 究 の 目的 物 は 自然 現 象 で あ っ て そ の 中 に な ん らか の未 知 の 事 実 を発 見 し,未 発 の 新 見 解 を見 い だ そ う とす るの で あ る.(中 略)ま た 科 学 者 が この よ う な新 しい事 実 に逢 着 した 場 合 に,そ

の事 実

の実 用 的 価 値 に は全 然 無 頓 着 に,そ の 事 実 の奥 底 に徹 底 す る まで これ を突 き止 め よ う とす る … 」(『寺 田 寅 彦 随 筆 集 第 一 巻 』 岩 波文 庫,1947)と   こ の よ うに,"科

学"と"技

述 べ て い る.

術"は 互 い に異 な る次 元 の もの で あ る が,そ れ ら

が 強 い相 互 作 用 を持 つ こ と も事 実 で あ る."科 学"と"技

術"は

相 補 的 で あ り,

正 の 相 乗 効 果 を持 っ て い るの で あ る(志 村 史 夫 『文 明 と人 間 』 丸 善 ブ ッ ク ス, 1997).   さて,い

う まで も な い こ とだ が,自

然 科 学 を進 め るの は人 間 で あ る し,自 然

科 学 とい う学 問 は 自然 と人 間 との つ な が りで で き る もの で あ る.本 書 の 「ま え が き」で,数 学("数"の

学 問)が

「自然 」を 理 解 す る上 で極 め て有 力 な 「言 語 」

で あ る,と 述 べ た の で あ る が,"数"と

い う もの が 自然 界 に存 在 す るわ け で は な

い.す べ て の 言 語 と同 様 に,数 学 とい う 「言 語 」 も人 間 に よ っ て作(創)ら

れ

た もの で あ る.だ か ら,冒 頭 に 掲 げ た 「自然 の 書 物 は数 学 の 言 葉 に よ っ て 書 か れ て い る 」 と い う ガ リ レオ の言 葉 は注 意 して読 まれ な けれ ば な らな い.   中谷 宇 吉 郎 の 『科 学 の 方 法 』(岩 波 新 書,1958)と

い う本 は,科 学 に携 わ る,

あ る い は科 学 を勉 強 す るす べ て の 者 に とっ て の必 読 書 と もい うべ き名 著 で あ る が,特

に,こ の 中 の一 章 「科 学 と数 学 」 に は,自 然 科 学 と数 学 と の関 係 が 余余すす

とこ ろ な く書 か れ て い る.是 非 読 まれ る こ とを お す す め した い.

  前 述 の よ う に,自 然 科 学 が対 象 とす るの は 自然 界 に起 こ っ て い る現 象,自 の 実 態 で あ る が,"数"お

よ び 数 学 は人 間 に よ っ て創 られ た もの で あ る.実

然 に興

味 深 い こ とに,こ の よ う な人 間 が 頭 の 中 で 創 りあ げ た 数 学 と,自 然 現 象 そ の も の との 間 に,い ろ い ろ深 い つ な が りが あ るの だ.実

は,自 然 界 に 法則 とい う も

の が あ る のか な い の か ， とい うの は大 きな 問 題 な の で あ るが,法 則 が あ る と仮 定 して 組 み立 て た の が 自然 科 学 で あ り,そ の"組

み立 て"に 大 きな 貢 献 を し て

い るの が,人 間 が 創 りあ げ た 数 学 で あ る.中 谷 宇 吉 郎 の 言 葉 を借 りれ ば,「 自然 界 か ら現 在 の科 学 に適 した 面 を抜 き出 して,法 則 を つ くって い る 」 とい う こ と もで き よ う.   と も あれ,わ

れ わ れ が 観 察 す る物 に は"大

き さ"と"形"と

は物 を規 定 す る上 で 大 切 な二 つ の 要 素 で あ るが,い きた の は,い

くつ か の 理 由 か ら,主

  有 形 無 形 を 問 わ ず,物 き さの も の,つ

の大 き さ(量)を

ま り"単 位"を

論 しな けれ ば な らな い.こ の"現 象""法 則"が

と して"大

ま まで の 科 学 が 取 り扱 っ て

きさ(量)"で

あ っ た.

取 り扱 うに は,同 じ性 質 で 一 定 の 大

決 め て,そ の"単 位"の"何

の “何 倍"の

が あ る.こ れ ら

「何 」 が"数"で

倍"で

あ る か を議

あ る.以 下,自

然界

数 式 の 形 で 書 き表 わ さ れ る こ とを具 体 例 で 調 べ て み よ う.

■ 自然 現 象 と数 式   まず,わ れ わ れ に と っ て最 も身 近 か な 自然 現 象 の一 つ で あ る物 体 の 落 下 に つ い て 考 え て み よ う.

図1.1 

物 体 の落 下

表1.1  物体 の落下 時間 と落下距離

図1.2  落下 す る物 体の落下 時間 と 落下距 離 との関係

  図1.1に

示 す よ う に,無 風 状 態 の 晴 れ た 日に,超 高 層 ビル の 屋 上 か ら鉄 製 の

ボ ー ル を落 下 させ て み る(物 理 学 の 用 語 で は,こ の よ う な落 下 を 自 由落 下 と呼 ぶ).そ の ボ ー ル の 落 下 の様 子 を高 速 シ ャ ッタ ー の カ メ ラ で 記 録 し,物 体 の落 下 時 間ｔ[秒]と

落 下 距 離ｄ[メ

で あ っ た とす れ ば,表1.1の ラ フ に ま とめ る と図1.2の   表1.1を

ー トル]と の関 係 を ま とめ る と,そ の測 定 が正 確 よ うな 結 果 が 得 られ るだ ろ う.表1.1の

結 果 をグ

よ う にな る.

眺 め て い るだ け で は,落 下 の 法 則 が な か な か 思 い つ か な い か も知 れ

な いが,図1.2を

眺 め れ ば,何

とな く"法 則"が 見 え て くる の で は な い だ ろ う

か.結 論 をい え ば,落 下 時 間ｔ[秒]と

落 下 距 離ｄ[メ

ー トル]と

の間 には

(1.1) と い う 数 式 で 表 わ さ れ る"法 [メ ー トル ／秒]と

則"が

い う値 を 持 つ.つ

存 在 す る の で あ る.ａ

は 定 数 で,ほ

ぼ4.9

ま り,

(1.2) とい う 自 由落 下 の"法 則"を 表 わ す数 式 を用 い れ ば,"何"秒

後 の落 下 距 離 で も

求 め られ る こ と に な る.   と こ ろ で,物 体 の 自 由落 下 の 法 則 を表 わ す 式(1.1)に

含 ま れ る項(変 数)は

落 下 時 間ｔ と落 下 距 離 ｄだ け で,物 体 の重 さ,あ る い は大 き さ を表 わ す項 が な い.つ

ま り,物 体 の 重 さ や大 き さの 影 響 は無 視 して よ い の だ ろ う か.例

えば,

(ｂ)

(ａ) 図1.3 

図1.3(a)に

(ｃ)

落 下 の速 さ に 与 え る物 体 の 重 さの 影 響

示 す よ う に,同 じ大 き さ の 木 製 ボ ー ル と鉄 製 ボー ル を同 時 に 落 下 さ

せ た 時,「 常 識 的 」に考 え れ ば,軽

い木 製 ボ ール よ り重 い 鉄 製 ボ ー ル の 方 が 速 く

落 下 しそ うな気 が す る.事 実,古 代 ギ リシ ア時 代 以 来,ガ リ レオ の 時代 ま で は, そ の よ うに考 え られ て い た.し か し,図1.3(b),(ｃ)に

示 す よ う に,木 製 ボー ル

と鉄 製 ボ ー ル と を強 力 接 着 剤 で 一 体 化 した 場 合 は ど う な るで あ ろ う か.   鉄 製 ボ ー ル は速 く落 下 し よ う と し,木 製 ボ ー ル は ゆ っ く り と落 下 し よ う とす る の で,そ れ らが 一 体 化 した物 体 は,(ｂ)に 示 す よ う に中 間 の速 さで 落 下 す る で あ ろ う.し か し,ま た,重

い物 ほ ど速 く落 下 す る とい う の で あ れ ば,一 体 化 し

た物 体 は 一 番 重 い の で,(ｃ)に 示 す よ う に,最

も速 く落 下 し な け れ ば な らな い.

まっ た く同 じ対 象 に つ い て 二 つ の 異 な っ た結 論 が 出 る の は矛 盾 で あ る.   詳 し くは,「 力学 」の 教 科 書 を参 照 して い た だ き た い が,ガ

リレ オ は 「真 空 中

で はす べ て の 物 体 は 同 じ よ うに落 下 す る」 と結 論 した の で あ る.   結 局,式(1.1)で

表 わ され る物 体 の 自 由落 下 の 法 則 は,「 真 空 中 に お い て は」

とい う条 件 つ き で,よ

り整 備 され た もの に な る.

  い ま,自 由落 下 の 法 則 は"わ か った"の

で あ るが,そ

れ で は,物 体 は なぜ 落

下 す るの か.   い さ さ か話 が前 後 す るが,手

で 持 っ た物 体 を空 間 で放 す と,そ の物 体 は落 下

す る.ま た,野 球 の 打 球 は,ド ー ム球 場 の 天 井 に引 っ掛 か る よ うな こ とが な い 限 り,必 ず落 下 す る.こ の よ う な こ とは,わ れ わ れ が 日常 的 に経 験 す る こ とで, 異 論 を は さ む余 地 が な い の だ が,よ く考 え て み れ ば,不 思 議 な こ とで は な い か. 実 は,こ の よ う に"当

り前 の こ と"を"不

思 議"と

思 う こ と自体,大

変なこと

図1.4  落 下す る物体に作用 する下向 きの力

図1.5 

万 有 引 力 に よ る地 球 と りん ご との"衝

な の で あ る.ニ ュ ー トン(1642‐1727)は,り

突"

ん ご が木 か ら落 ち るの を見 て,

万 有 引 力 の 法 則 を発 見 した.さ す が に大 天 才 で あ る.   物 体 が 落 下 す る とい う こ と は,図1.4に

示 す よ う に そ の 物 体 に下 向 きの 力 が

加 わ って い る とい う こ とで あ る.   一 般 に,物 体 に 力 を伝 え る(作 用 させ る)に 質)が

必 要 で あ る.と

は,ロ ー プ や 棒 な どの媒 介(物

ころ が,空 中 を落 下 す る物 体 に,そ の よ う な ロ ー プ や 棒

が つ い て い る わ けで は な い.つ

ま り,落 下 す る物 体 は,上 か ら棒 で押 され て い

る わ け で も,下 か ら ロー プ で 引 っ張 られ てい る わ けで もな い の で あ る.   この よ う に,物 体 を落 下 させ る力 が,ニ

ュ ー トンが 明 らか に した"万 有 引 力"

と呼 ば れ る もの で あ った.宇 宙 の す べ て の物 体 は,宇 宙 の他 の す べ て の物 体 を 引 っ張 っ て い る,つ を及 ぼ す,と

ま り,す べ て の物 体 は,他 の す べ て の物 体 に引 力 とい う力

い うの が"自 然 現 象"で あ る.し た が って,図1.4に

ご の"落 下"と

い う現 象 は,よ

よ る地 球 と りん ご との"衝 突"な

り正 確 に は,図1.5に

る種 の"力"で

示 す よ うに,万 有 引 力 に

の で あ る.

  宇 宙 の す べ て の 物 体 に作 用 す る"引 力"と が,あ

示 した りん

い う力 は 目 に は見 え な い が,そ れ

あ る こ とは確 か で あ る.

  球 形 の物 体 に作 用 す る力 を図1.6に

示 す よ う な架 空 の 力 線 で表 わ して み よ う

(後述 す る電 気 力 線 や 磁 力 線 と異 な り,こ の よ う な力 線 は い ま だ観 測 され て い な

(ａ)

(ｂ)

図1.6 

球 形 の 物 体 に作 用 す る力

い ので あ る が).図1.6は

図1.7 

２個 の物 体 が 作 る力 線

球 の 中 心 を含 む断 面 を表 わ し て い る.物 体 に 作 用 す る

力 は,球 の 中心 に向 か う直 線(力 線)で

表 わ され,力

は物 体 の質 量 に比 例 す る と考 え る.図1.6に

線 の 数(力

の"大

き さ")

示 す物 体 の 力 線 が 全 部 で Ｎ 本 あ

った とす る.球 の 中 心 か ら半 径ｒ の球 の 表 面 積 は4πr2だ か ら,そ の 球 表 面 上 の 力 線 の面 密 度 はN/4πr2で

あ る.つ

ま り,力 線 の 全 量 が 不 変 で あ れ ば,力 の 大

き さ は距 離 の ２乗 に反 比 例 す る こ と にな る.図1.6に

示 さ れ る球 表 面 Ａ と球 表

面 Ｂ に お け る力 線 の 面 密 度 を比 較 す れ ば,こ の こ と を視 覚 的 に理 解 で き るだ ろ う.   次 に,図1.7(a)に

示 す よ う な完 全 に独 立 す る質 量m1とm2(m1＞m2)の

物

体 に作 用 す る 力 の 力 線 を考 え る.前 述 の よ う に,宇 宙 の す べ て の 物 体 が互 い に 引 力(万 有 引 力)を 及 ぼ し合 っ て い るの で,"完

全 に独 立 す る"２ 物 体 を描 く図

1.7(a)は 架 空 の もの で あ る.い ま,例 え ば,m1:m2=3:2と 質 量 に比 例 す る と して,図1.7で

はm1の

す る.力 線 の 数 は

物 体 の 力 線 を12本,m2の

物体 の力

線 を ８本 に して あ る.こ れ らの ２物 体 が 互 い に作 用 した 場 合 の力 線 の様 子 は図 1.7(b)の よ う に な る.こ れ らの物 体 に作 用 し合 う力 の 大 きさ は,図1.6の

説明

か ら も明 らか な よ う に,物 体 間 の距 離 ｄ の ２乗 に反 比 例 す る こ とに な る.   い ま述 べ た"万 有 引 力"と い う自然 現 象 を ま とめ て み る と,「 す べ て の 物 体 は, 他 の す べ て の物 体 に引 力 を及 ぼ し,そ の 引 力 の大 き さ は,引

き合 う両 物 体 の 質

量 に比 例 し,両 物 体 間 の距 離 の ２乗 に 反 比 例 す る」とい う こ とに な る.こ れ が, 万 有 引 力 の 法 則 と呼 ば れ る も ので あ る.引 力 を Ｆ とす れ ば,万 有 引 力 の 法則 は

(1.3) と い う簡 単 な 数 式 で 表 わ さ れ る こ と に な る.Ｇ で,G=6.67×10-11[Nm2/㎏2]と る).例

え ば,質

は 万 有 引 力 定 数 と 呼 ば れ る定 数

い う値 を 持 っ て い る(単 位 に つ い て は 後 述 す

量1㎏

の 物 体 が ２個,1mの

作 用 す る 引 力 は,6.67×10-11[N]と

距 離 に あ る と き,そ れ ら の 物 体 に

い う こ と に な る.こ

て 生 じ る 力 を 重 力 と も 呼 ぶ."重

の よ う に,質

力"は 狭 い 意 味 で は,地

量 に よっ

球 上 の 静 止 して い る物

体 が 地 球 か ら受 け る 力 の こ と で あ り,地 球 の 万 有 引 力 が 主 で あ る が,厳 地 球 の 自 転 に 起 因 す る 向 心 力 も加 わ る.向 場 合 で も,引

力 の1/290に

密 に は,

心 力 は 赤 道 上 で 最 大 に な る が,そ

す ぎ な い の で,"重

力"を 地 球 の 場 に 限 ら ず,一

の 般 の

万 有 引 力 の 意 味 で 使 っ て も よ い だ ろ う.   こ こ で ち ょ っ と寄 り道 を し て,式(1.3)の   式(1.3)の

左 辺 の Ｆ は"力"で

意 味 に つ い て 考 え て み よ う.

あ る."力"に

も機 械 的 な 力 の ほ か に 精 神 力

や 気 力 や 眼 力 な ど さ ま ざ ま な 種 類 の も の が あ る が,式(1.3)の す る よ うな

「静 止 し て い る 物 体 に 運 動 を 起 こ し,ま

を 変 え よ う とす る 作 用 」 を 持 つ 物 理 的 な(機 辺 は 質 量 お よ び 距 離 と い う"量"で 体 を 動 か す よ う な 能 力,つ な"力"と"量"と て み れ ば,こ

が

ま り"力"は

右

の も の に は,物

こ ろ が,式(1.3)は

その よう

と い っ て い る の で あ る.よ

意 味 す る こ と は,次

く考 え

の よ う な こ と な の で あ る.

力 と い う機 械 的 な 力 が 働 く.そ

れ わ れ が 知 っ て い る 単 位 で 測 定 す る と,あ

示 す の は,そ

で あ る.式(1.3)の

の よ う な"量"そ

な い.と

「 互 い に 等 し い(=)」

  質 量 を 持 っ た 物 体 同 士 の 間 に は,引

て,そ

械 的 な)力

い て い る物 体 の速 度

れ は い さ さ か 奇 妙 な こ と で あ る.

  し か し,式(1.3)が

の 力 を,わ

あ る.こ

た,動

左 辺 の Ｆ は後 述

の 数 値 で あ る.質

量 の 異 な る 物 体 や,物

の 時 の Ｆ を 測 定 し て み る と,式(1.3)の

つ ま り,式(1.3)は,「"力"が"量"に

し て,そ

る 数 値 が 得 ら れ る.Ｆ

が

体 間 の異 な る距 離 に つ い

よ う な 関 係 が 得 られ る の で あ る.

等 し い」 とい う こ と を直 接 的 に い っ て

い る わ け で は な い の で あ る.   例 え ば,み

か ん ４個 を100円

で 買 っ た 場 合,「 み か ん ４個 ＝100円

」と い う 「等

式 」 が成 り立 つ よ う な もの で あ る.し か し,論 理 的 に い え ば,「 ４個 の み か ん」 とい う物 体 が 「100円 」 とい う金額(あ

る い は貨 幣)と

等 し い は ず が な い.

  純 粋 な 数 学 の場 合 とは異 な り,物 理 学 に お け る 「等 式 」 あ るい は 「関 係 式 」 とは,こ の よ うな もの で あ る と理 解 し て い た だ きた い.   閑 話 休 題.   万 有 引 力 が 作 用 す るの は空 間 で あ り,物 質 的 な 媒 質 で は な い.何 か,あ 理 量 に よ っ て 変 化 が 生 じ る よ うな空 間 を"場"と 作 用 す る"場"は,重

呼 ぶ.い

る物

ま上 に述 べ た 重 力 が

力場 と呼 ば れ る.

  物 理 学 の特 徴 の 一 つ は,"物 質"だ け を問 題 に す る の で は な く,こ の よ うな"場" と呼 ばれ る空 間 を も問 題 に す る こ とで あ る.物 理 学 は"目 に 見 え な い"空 間 の 性 質 や か ら く り を も対 象 とす るの で あ る.そ こ に,物 理 学 の 面 白 さ と難 し さが あ る よ う に思 わ れ る.こ の よ うな"場"を

考 え る時 に,大

きな 役 割 を果 た す の

が 数 学 で もあ る.   さ て,こ こで も う一 度,図1.4，1.5を

眺 め な が ら万 有 引 力 の法 則 を考 え て み

よ う.   地 球 と りん ご の質 量 を それ ぞ れ Ｍ,ｍ

と し,地 球 と りん ご との距 離 を ｄ(そ

れ ぞ れ を"質 点"と 考 えれ ば,ｄ は両 者 の 中 心 点 間 の 距 離 に な る)と す れ ば,地 球 と りん ごに 作 用 す る引 力 Ｆ は

(1.4) で 与 え ら れ る.こ

こ で 忘 れ て は な ら な い の は,こ

に 共 通 に 作 用 す る 力 で あ る.つ

の Ｆ は,地

ま り,こ の 力 Ｆ で 地 球 が り ん ご を 引 っ 張 っ て い

る の と 同 時 に り ん ご も地 球 を 引 っ 張 っ て い る の で あ る.地 比 べ れ ば,圧 倒 的 にM≫mだ 地 球 上 に"落

下"し

球 と りん ご の 両 者

球 と りん ご の 質 量 を

か ら,軽 い り ん ご が さ っ と 引 っ 張 ら れ て(動 い て)

た と い う こ と な の で あ る.

  と こ ろ で,式(1.3)を

知 っ た 上 で,式(1.1),図1.3を

見 直 す と,一

瞬,疑

問 が 生 じ る の で は な い だ ろ う か.   物 体 を 自 由 落 下 さ せ る 力 は 重 力(万 に 示 さ れ る よ う に,物 に 示 す よ う に,重

体 の 質 量(の

い 物 体(m1)の

有 引 力)で 積)に

あ り,そ

比 例 す る.つ

方 が 軽 い 物 体(m2)よ

の 大 き さ は 式(1.3) ま り,図1

.8に 模 式 的

り も大 き な力 で地 球 に

図1.8 

引力(Ｆ)の 質 量(ｍ)依 存 性

引 っ張 られ るの で あ る.２ 倍 の 重 さ の 物 体 は ２倍 の大 き さ の重 力 を受 け て い る はず で あ る.だ とす れ ば,図1.3(a)に

示 す よ うに,重 い 物 体 の 方 が 速 く落 下 す

るの で は な い だ ろ うか.   わ れ わ れ は,日 常 的 経 験 か ら, 移 動 距 離(d)=移

動 速 度(v)× 移 動 時 間(t) 

(1.5)

で あ る こ と を知 って い る(物 理 学 的 定 義 で は後 述 す る よ う に,速 度 と速 さ と は 同 じで は な い が,こ

こで は便 宜 上"速 度"と い う言 葉 を用 い る こ とに す る).表

1.1に 示 した 落 下 時 間 と落 下 距 離 との 関 係 か ら落 下 時 間 と落 下 速 度(時 後 の 速 度)と

の 関係 を グ ラ フ で 表 わ して み る と図1.9の

実 線 の よ う に な る.速

度 が 落 下 時 間 に対 し直線 的 に増 大 して い る こ とが わ か る.一 方,例 道 路 を時 速36キ

ロ メ ー トル(秒 速10メ

ー トル)の

間ｔ 秒

え ば,直 線

同 じ速 度 で 走 っ て い る 自 動

車 の 時 間−速 度 の関 係 は,図 中,破 線 で 示 す よ うに な る.つ ま り,速 度 は時 間 に 無 関 係 に一 定 で あ る.こ の よ うな 運 動 を等 速 度 運 動 と呼 ぶ.   式(1.5)を

書 き改 め る と 速度=

とな る.つ

ま り,図1.9の

距 離の変化/ 時間

(1.6)

破 線 で 表 わ さ れ る よ う な等 速 度 運 動 の 場 合 は,あ

る

一 定 時 間 内 の距 離 の変 化 量 が 一 定 で あ る,と い う こ とで あ る.そ れ に対 し,自 由落 下 運 動 の場 合 は,時 間 ご とに 速 度 が 変 化 して い る の で あ る.時 間 に 対 す る 速 度 変 化 の 割 合 を加 速 度 と定 義 す る と

図1.9 

落下時間 と 落 下 速 度 との 関 係

加速 度=

速 度/ 時間 

(1.7)

と な り,

速 度=加 速 度 ×時 間 で あ る.加 速 度 を α で表 わ せ ば,図1.9に

 (1.8)

示 さ れ る 自 由落 下 運 動 に お い て,落

下 か らｔ秒 後 の 落 下 速 度ｖ は

(1.9) で与 え られ る.し た が っ て,こ のｔ 秒 間 の 平 均 落 下 速 度ｖ は

(1.10) とな る.   さ て,こ

こで,日 常 生 活 の 中で わ れ わ れ が 物 体 の 運 動 の速 度 を増 す,つ

まり

加 速 す る(加 速 度 を与 え る)場 合 の こ とを考 え て い た だ きた い.自 動 車 を運 転 して い る時 は ア ク セ ル を踏 む.自 転 車 に乗 っ て い る時 な らば,一 層 強 い力 で ペ ダ ル を踏 むだ ろ う.つ ま り,加 速 度 は 力 を加 え る こ とに よっ て 得 られ る の で あ る.ま た,た

と え同 じ力 を加 え て も,物 体 の重 さ(質 量)に

よ って,加 速 の さ

れ 方 は異 な る.わ れ わ れ は,日 常 的経 験 か ら 「物 体 の加 速 度 は,そ の 物 体 に 加 え られ る力 の大 き さ に比 例 し,物 体 の 質 量 に反 比 例 す る 」 とい う"自 然 現 象"

を知 っ て い る.   い ま まで に用 い た文 字 を使 っ て,こ れ を数 式 で 表 わ せ ば

(1.11) と な り,Ｆ,α,ｍ

に 適 当 な 単 位 を 当 て は め る と,こ

の比 例 式 は

(1.12) とい う等 式 にな るの で あ る.   だ い ぶ 回 り道 を した よ うで あ るが,こ

こで 当初 の疑 問 「重 い物 体 の 方 が 速 く

落 下 す るの で は な い だ ろ うか 」 に 立 ち戻 ろ う.こ の疑 問 を い い換 えれ ば 「重 い 物 体 の 方 が落 下 速 度 が 大 きい,つ

ま り加 速 度 が 大 きい の で は な い だ ろ うか 」 と

い う こ とで あ る.   式(1.9)でv=αtと で あ れ ば,上 (1.12)に

表 わ され る か ら,も し,α が 重 い 物 体 ほ ど大 き くな るの

の 疑 問 の 答 は 「そ の 通 り!」 と い う こ と に な る.し か し,式

示 さ れ る よ う に,加 速 度 α は重 量ｍ

に反 比 例 す る の で あ る.こ の ま

まで は,重 い物 体 ほ ど落 下速 度 が小 さ くな っ て し ま うが,前 述 の よ う に,物 体 に作 用 す る力(万

有 引 力)は

質 量 に比 例 す る ので,そ

の比 例 定 数 をｇとす れ ば

(1.13) つ ま り,落

下 の 加 速 度 は 一 定 値 ｇ と な り,こ

量 に 依 存 し な い 」 と い う"自

然 現 象"を

  な お,式(1.5),(1.10),(1.13)か

こ で 「物 体 の 落 下 速 度 は 物 体 の 質

知 る こ と に な る.

ら,自

由落 下 運 動 にお け る落 下 距 離 ｄ と

落 下 時 間ｔ との 関 係 は

(1.14) で 与 え ら れ る.式(1.1)と(1.4)と

の 比 較 か ら,実

は,ａ

は1/2gと い う 値 を 持

つ 定 数 で あ っ た こ と が わ か る.   ま た,ｔ 秒 後 の 落 下 速 度ｖ

は

(1.15) で 与 え られ る こ とに な る.こ の 定 数ｇ は重 力 の 加 速 度 と呼 ばれ,そ

の値 は地 球

上 の場 所 に よ って 多 少 異 な るが,平 ■ 科 学,技

均 的 に は9.8[m/s2]と

い う値 で あ る.

術,工 学 と数 学

  す で に 述 べ た よ うに,"科 学(science)"と"技 質 的 に 異 な る もの で あ るが,近 年,そ

術(technology)"は

互 い に本

れ らが 互 い に強 い相 乗 効 果 を持 ち,そ

ぞ れ が そ れ ぞ れ の発 展 に大 き く寄 与 し て い る.ま さ に,科 学 と技 術 は"車 輪"で

れ

の両

あ る.

  この 科 学 と技 術 と似 た 言 葉 に"工 学"が あ る.周 知 の よ う に,工 学 は"engineer ing"の 訳 語 で あ り,国 語辞 典 に は 「基 礎 科 学 を工 業 生 産 に応 用 して生 産 力 を 向 上 さ せ るた め の応 用 的 科 学 技 術 の総 称.古 方 法 を指 す 意 味 に 用 い た が,の

くは専 ら兵 器 の 製 作 お よび 取 扱 い の

ち 土 木 工 学 を,さ

らに現 在 で は物 質 ・エ ネ ル ギ

ー ・情 報 な どに か か わ る広 い範 囲 を含 む .」(『広 辞 苑 』)と 書 か れ て い る.こ れ だ と,"技 術"と"工

学"と の違 い が,あ

ま りは っ き り しな い の で あ るが(事 実,

日本 で は,両 者 が 同 義 語 に扱 わ れ る こ とが 多 い),"engineering"に

は 「問題 を

巧 み に処 理 す る こ と」 とい う意 味 も含 まれ て い る.つ ま り,工 学 が 科 学 と技 術 を使 って"問 題 を処 理 す る"の で あ る.問 題 を処 理 す る た め に は,段 取 り,設 計 が 重 要 で あ り,そ の時,数

学 が 具 体 的 な 形 で大 い に貢 献 す る こ と は 明 らか で

あ ろ う.   さ て,こ

こで,前 掲 の 中 谷 宇 吉 郎 の 次 の 言 葉 を読 んで み よ う.

  と こ ろで 数 学 は,一 番 は じ め に い っ た よ う に,人 間 の頭 の 中 で 作 ら れ た も の で あ る.そ れ で い く ら 高 度 の 数 学 を使 っ て も,人 間 が 全 然 知 ら な か っ た こ とは,数 学 か ら は 出 て こ な い.し か し人 間 が 作 っ た とは い っ て も,こ れ は個 人 が 作 った もの で は な い.い わ ば人 類 の 頭 脳 が 作 っ た も の で あ る.そ れ で 基 本 的 な 自然 現 象 の 知 識 を,数 学 に翻 訳 す る と,あ と は数 学 とい う人 類 の 頭 脳 を 使 っ て,こ

の知 識 を 整 理 し た り,発 展 させ た りす る こ とが で き る.従 っ て

個 人 の 頭 脳 で は と う て い到 達 し得 られ な い と こ ろ ま で,人 間 の 思 考 を 導 い て い っ て くれ る.そ

こ に ほ ん と う の 意 味 で の 数 学 の 大 切 さが あ る.

  現 在 の 科 学 で は,数 学 を離 れ て は,第 一 に物 理 学 も化 学 も成 り立 た な い. 数 学 な ど は あ ま り用 い て い な い よ う に 見 え る他 の 科 学 の 部 門 に お い て も,物 理 学 や 化 学 は使 っ て い る の で,間 接 に は深 い つ な が りを も っ て い るわ け で あ る.数 学 と い う も の は,以 上 述 べ た よ う に,個 人 の 思 考 の 及 ぼ な い と こ ろ に 使 っ て い く と き に,非 常 な 力 を発 揮 す る も の な の で あ る.下 手 をす る と,数

学 が 論 文 の 飾 りに 使 わ れ る 場 合 もあ るが,そ 意 味 を な し て い な い こ と は,い

う い う場 合 に は,数 学 が あ ま り

う まで もな い.   (『科 学 の 方 法 』 岩 波 新 書,1958)

  本 書 の 読 者 に は,中

谷 宇 吉 郎 が い う と こ ろ の 「ほ ん と う の 意 味 で の 数 学 の 大

切 さ 」 を 理 解 し て い た だ き た い.数 ま た,"大

切 な 数 学"と"飾

学 は,決

り の 数 学"と

し て"飾

り"で

は な い の で あ る.

を区別 で き る力 をつ け て い た だ きた い

と思 う.   本 項 の 最 後 を,現

代 物 理 学 の 創 始 者 の 一 人,ハ

の 次 の 言 葉 で 締 め く く りた い.近 科 学(technical 

science),技

イ ゼ ン ベ ル ク(1901‐1976)

年 に お け る 自 然 科 学(natural  science),応

術,工

学,そ

用

し て 数 学 との 関 係 を 誠 に 的 確 に と ら

え た 言 葉 に 思 わ れ る.

  自然 科 学 と応 用 科 学 ・ 工 学 との 関 連 は,初

め か ら相 互 補 助 的 な もの で あ っ

た.応

し い装 置 の 発 明 は,自 然 に 関 す

用 科 学 ・工 学 の 進 歩,道

る よ り多 くの,よ

具 の 改 良,新

り正 確 な,実 験 に 基 づ く知 識 の 基 礎 を 提 供 し た .ま た,自

然 の よ り深 い 理 解 と,自 然 法 則 の 究 極 的 な 数 式 化 は,応 用 科 学 ・工 学 の 新 し い応 用 へ の 道 を切 り開 い た. (W.Heisenberg

1.2 

"Physics  and Philosophy"Harper&Brothers,1958,志

村 訳)

数

1.2.1  数 の 歴 史 ■バ ビ ロニ ア とエ ジ プ ト   近 年,日

本 の各 地 で 縄 文 時 代 の大 規 模 遺 跡 が 発 見 され,世 界 の 文 明 史 に 関 わ

る通 説 に 異 論 が 唱 え られ る 可能 性 もあ るが,一 般 的 に は,人 類 最 古 の 文 明 は, チ グ リス ・ユ ー フ ラ テ ス 両 川 の 流 域 の メ ソポ タ ミア(バ

ビ ロニ ア)と

ナ イ ル川

流 域 の エ ジ プ トで 発 祥 した とさ れ て い る.数 学 は 文 明 の重 要 な 要 素 の 一 つ で あ った ら し く,数 学 の歴 史 も同 じ くメ ソ ポ タ ミア とエ ジ プ トに端 を発 す る.古 代 数 学 も数 学 の歴 史 も大 変 面 白 い の で あ るが,残 念 な が ら紙 幅 の 関 係 で深 入 りで きな い.興 味 の あ る読 者 は巻 末 に掲 げ た参 考 図 書 １),２),６),８),11)な 読 ん で いた だ きた い.

どを

  こ こで は,数 学 の第 一 歩 で あ る"数"の

歴 史 に つ い て概 観 す る こ とに す る.

本 書 が 述 べ よ う とす る 「物 理 数 学 」 と は直 接 的 な関 係 は な い の で あ るが,事 や現 象 を記 述 す る上 で の"数"の

物

有 用 性 を理 解 して も ら えれ ば幸 い で あ る.

  わ れ わ れ 自身 の幼 時体 験 か ら考 え て み て も,人 類 は(そ 物 も)誕 生 の 頃 か ら 「ひ とつ,ふ た つ,み

して,多

分,他

の動

っつ … 」 と数 え る こ とを知 っ て い た

の で は な い か と思 わ れ る.数 え る"道 具"と

して は,極

自然 に,最

も身 近 な 左

右 の手 の 指 が 使 わ れ た で あ ろ う.   しか し,数 えた 結 果 を表 現 す る記 号 で あ る"数"が

発 明 され,"数

の概 念"に

達 す る まで に は人 類 の誕 生 か ら数 百 万 年 とい う長 い 年 月 を要 した.   紀 元 前 約5000年,メ

ソポ タ ミア 南 部 のバ ビロ ニ ア に文 明 を興 し た シ ュ メ ー ル

人 は早 くか ら文 字 と数 記 号 を持 っ て い た と考 え られ る.木 や 石 に乏 しか った メ ソ ポ タ ミア で は,川 が 運 ん で来 た 多 量 の粘 土 を使 っ て記 録 用 の 粘 土 板 を作 っ た. 粘 土 板 が 軟 か い う ち に葦 の 茎 を尖 らせ た 尖 筆 で記 した の で,い わ ゆ る模 形 文 字 が 今 日 に伝 え られ て い るの で あ る.発 掘 され た粘 土 板 が 考 古 学 者 に よ っ て 解 読 され 始 め た の は19世 紀 に な っ て か らで あ る.   当 然 数 字 も楔形 で あ り,〓 と〓 と〓 の ３種 の基 本楔 形 で 表 わ さ れ,10進

法と

60進 法 が 混 用 され て い る.粘 土 板 の 数 学 文 書 もい くつ か 発 見 さ れ て お り,紀 元 前19∼16世

紀 頃 の古 バ ビ ロ ニ ア 時代 の もの に は事 務 計 算 や 土 木 計 算 が,紀 元 前

６世 紀 頃 の新 バ ビ ロニ ア時 代 の もの に は天 文 計 算 が 記 され て い る とい わ れ る.   バ ビ ロ ニ ア の数 学 と ほ ぼ 同 じ頃 の起 源 を持 つ エ ジ プ トの 数 学 に使 わ れ た 数 記 号 は,他 の文 字 と同様 に,図1.10に

示 す よ うな"象 形 文 字"で あ る.10の

位に

対 して それ ぞ れ異 な った 記 号 を配 し て お り,基 本 的 に は10進 法 で あ る.科 学 的 に興 味 深 い こ とが 記 され た パ ピル ス紙 が15点

ほ ど発 見 され て お り,そ れ らの 中

で 最 古 の もの と考 え られ て い るの は,ヒ ク ソス王 朝 時代 の紀 元 前17世 れ た"リ

ン ド ・パ ピル ス"と 呼 ばれ る もの で あ る.こ

角形,台

形 の 面 積 の計 算 法 が 記 され て い る.

  な お,"リ

紀 に書 か

こに は,長 方 形,円,三

ン ド・ パ ピル ス"の 名 前 は,イ ギ リス の豪 商A.H.リ

ン ドが1858年

に エ ジ プ トで 買 い取 り,後 に大 英 博 物 館 の所 有 にな った こ とに 由 来 す る.そ れ が ア イ ゼ ン ロー ル に よ っ て 解 読 され た の は1877年

の こ とで あ る.

図1.10 

エ ジ プ トの 数 記 号(象

形 文 字)

■ ギ リシ ア   バ ビ ロニ ア,エ

ジ プ トの数 学 は,い わ ば実 用 的 な もの で あ り,実 生 活 に密 接

す る個 別 的,経 験 的 知 識 で あ っ た が,こ の が古 代 ギ リ シア 人 だ っ た.こ

れ を 統 一 的 な理 論 的 体 系 に築 き あ げた

こ に,科 学 と して の 純 粋 数 学 が誕 生 した の で あ

る.し た が っ て,前 者 を 数学 と区 別 し,"算 術"と 呼 ぶ こ と も可 能 か も知 れ な い.   こ こで ギ リ シア の数 学 に つ い て深 入 りす る余 裕 は な い が,"自 観 点 か ら,ピ

タ ゴ ラ ス(前570年

頃‐ 前500年

  ピ タ ゴ ラ ス(古 典 ギ リ シア 語 で は"ピュ あ るが,こ

頃)に

つ い て述 べ て お きた い.

ー タ ゴ ラ ー ス"の 発 音 に近 い そ う で

こで は慣 例 に従 って"ピ タ ゴ ラス"と 記 す)は

な どで"数 学 者"と も紀 元 前5∼4世

然 科 学 と数"の

して有 名 な の で あ るが,実

「ピ タ ゴ ラ ス の定 理 」

は,彼 の 数 学 上 の 業 績 は い ず れ

紀 の ピ タ ゴ ラ ス学 派 の 人 た ち に よ る も の な の で あ る.ピ タ ゴ

ラス は紀 元 前 ６世 紀 後 半,哲 学 ・数 学 ・音 楽 ・天 文 学 の"殿 堂"を 設 立 した が, これ は秘 密 主 義 の 宗 教 的 結 社 の よ うな もの だ っ た.そ して,ピ タゴ ラ ス は,そ の"開 祖"と

して神 格 化 され,紀 元 前 ４世 紀 に はす で に神 秘 的 な存 在 に な っ て い た.

  と もあ れ,ピ

タ ゴ ラ ス学 派 の教 義 は 「宇 宙 に は 美 し い数 の 調 和 が あ る」 とい

う もの だ った.ピ

タ ゴ ラ ス学 派 に属 した ピ ロ ラ オ ス(前390年

頃 没)は

「認 識

され る もの は す べ て 数 を持 つ,と い うの は数 な くして は何 ひ とつ 思 惟 さ れ る こ と も認 識 され る こ と もで き な い か らで あ る」「数 は世 界 の諸 事 物 が 永 遠 に存 続 し っづ け るた め の も っ と も強 力 で 自生 的 な紐 帯 で あ る」 とい っ て い る(内 山勝 利 編 『ソ ク ラ テ ス以 前 哲 学 者 断 片 集 第Ⅲ 分 冊 』 岩 波 書 店,1997).   と こ ろで,「 数 学(mathematics)」

は,も

と も とギ リ シア 語 の"mathema(学

図1.11 

古 代 ギ リシア の 数 字

ば れ る もの)"を 語 源 とす る"mathematike(学

問 の 技 術)"で

あ り,こ れ を今

日の数 学 の 意 味 で初 めて 用 い た の は ピ タ ゴ ラ ス学 派 な の で あ る.   数 学 の統 一 的 理 論 体 系 を築 きあ げ た 古 代 ギ リシ ア人 で あ っ た が,彼 た"数 字"は,決

して バ ビ ロ ニ ア,エ

ジ プ トの"数 字"に

らが 用 い

優 る もの で は な か っ

た.   ギ リシ ア は 古 代 に お い て ２種 の記 数 法 を使 っ て い た.   一 つ は,図1.11(a)に

示 す よ うな,１ を表 わ す Ｉを除 い て は ギ リ シ ア数 詞 の頭

文 字 か ら とっ た もの で,紀 元 前 ７世 紀 頃 か らア テ ネ を 中心 とす る ア ッチ カ地 方 で 用 い られ た"ア ッチ カ記 号"と 呼 ば れ る もの で あ る.例

え ばΓ はПΕΝΤΕ(5)

の 頭 文字П の 古 い形 で あ り,Χ はΧΙΛΙΟΙ(1000)の 頭 文 字 で あ る.ま た,紀 元 前 ５世 紀 頃 か らは,(ｂ)に 示 す よ うに,ギ リシ ア 語 の ア ル フ ァベ ッ トを も っ て順 次,数

を表 わ す"ア

  い ず れ にせ よ,大

ル フ ァベ ッ ト記 号"が 用 い られ た. きな 数 の 表 示 は極 め て複 雑 に な り,計 算 な どの 作 業 に は極

め て 不便 な もの で あ る こ とが容 易 に理 解 で き る だ ろ う.ギ

リシ ア に お い て,幾

何 学 に比 べ,代 数 学 が あ ま り発 達 しな か った 一 因 は,こ の よ うな 記 数 法 に あ る の で は な い だ ろ うか. ■ イ ン ド記 数 法   い ま まで,バ

ビ ロニ ア,エ

ジ プ ト,ギ リ シア で 使 わ れ た 古 代 の数 字 を見 て き

た の で あ る が,そ ろそ ろ,わ れ わ れ が 現 在 使 用 して い る1234567890と

い う算 用

図1.12 

算 用数字の変遷

数 字 に話 を進 め よ う.   この算 用 数 字 は一 般 に ア ラ ビ ア数 字 と呼 ば れ るの で,起

源 が ア ラ ビア に あ る

と思 わ れ が ちで あ る.し か し,事 実 は 少 し異 な り,起 源 は イ ン ドの ブ ラ ー フ ミ ー 数 字 で あ り,そ れ が ア ラ ビ ア を経 て 中 世 ヨ ー ロ ッパ に拡 が り今 日 の形 に 定 着 した の で あ る.し た が っ て,本 来,イ ン ド‐ア ラ ビア 数 字 と書 か れ るべ きで あ る が,以 下,混

乱 を避 け る た め に算 用 数 字 とい う言 葉 を使 う こ と にす る.

  イ ン ドで 数 字 の 使 用 が 確 認 され る の は,紀 元 前 ３世 紀 の ア シ ヨー カ王 碑 文 に お い て で あ る.図1.12に

示 す よ うな,現 代 の算 用 数 字 の起 源 とな る ブ ラ ー フ ミ

ー 数 字 が 確 認 され る最 古 の もの は サ ンケ ー ダ で発 見 され た 銅 板 の銘 文 で ,そ

こ

に 記 載 さ れ る年 号 か ら ６世 紀 末 期 の もの と考 え られ る.イ

と

も と,古 代 イ ン ド語(ブ

ラ ー フ ミー,カ

ン ドの数 字 は,も

ロー シュ テ ィー)の 数 詞 の は じ め に あ

る字 母 を省 略 して 作 った もの で,そ れ が ８世 紀 末 に ア ラ ビ ア に伝 わ り,ヨ ー ロ ッパ 諸 国 を経 て 今 日 の算 用 数 字 に至 っ て い る の で あ る.ち な み に,わ が 国 で 算 用 数 字 が 一 般 に使 わ れ る よ う にな っ た の は明 治 時 代 に 入 っ てか らで あ る.   イ ン ド記 数 法 が 画 期 的 な こ と は,ゼ ロ(０)の り」に よ る記 数 法 に な って い る こ とで あ る.つ 個 の 数 字 を用 い るだ けで,あ

導 入 に よ っ て,そ れ が 「位 取 ま り,１ か ら ９,そ して ０の10

らゆ る数 を 自由 に書 き表 わ し得 る の で あ る.イ

ド記 数 法 の 簡 便 さ を 図1.10や1.11と

図1.12と

ン

を見 比 べ て 実 感 し て い た だ き

た い.   例 え ば"三 十 二"と"三 す るた め に は,ど

百 二 十"と"三

う して も"空 位"を

百 二"を32,320,302と

表 わ す"０"が

書 い て 区別

必 要 で あ る.つ

ま り,空

位 を 表 わ す記 号 な し に は位 取 り記 数 法 は成 り立 た な い の で あ る.こ の “空 位(ゼ

ロ)"の 導 入 こ そ イ ン ド記 数 法 の真 髄 で あ り,イ ン ド記 数 法 こ そ唯 一 の 「計 算 数 字 」で あ り,ま た 唯 一 の す ぐれ た 「記 録 数 字 」で もあ る の で あ る(吉 田洋 一 『 零 の発 見 』 岩 波 新 書,1939).   記 数 法 に お け る"空 位(ゼ ロ)"の 発 見 は単 に数 字 と し て の一 記 号 の 発 明 に と ど ま らず,何

も な い"ゼ ロ"と い う数 の認 識,ひ

い て は"ゼ ロ(０)"と

い う 「数 」

を 用 い て 行 な う計 算 法 の 発 明 を も導 い て い る.前 項 で 述 べ た こ とか ら も明 らか な よ う に,今

日の 科 学,技 術,そ

り得 な い.そ

うい う意 味 で,イ

り得 な か っ た,と

し て工 学 の 発 展 は"数""数

学"な く して は あ

ン ド記 数 法 な く して今 日の 科 学 ・技 術 文 明 は あ

い っ て も決 して 過 言 で は な い だ ろ う.

  "ゼ ロ の 発 見"が 古 代 バ ビ ロニ ア,エ ジ プ トあ るい は ギ リ シア 人 で は な くして, な ぜ イ ン ド人 に よ っ て な さ れ た の だ ろ うか.   そ れ は,イ

ン ド哲 学 に脈 々 と流 れ て い る 「空 の 思 想 」 「空 の論 理 」 と無 関 係 に

は思 え な い が,こ

こ で は これ 以 上 の 深 入 りは避 け よ う.た だ ひ た す ら,イ ン ド

人 の天 才 に感 激 して お きた い と思 う.   これ で,数

お よび 数 学 の歴 史 の 概 観 を終 え るが,わ

が 国 の歴 史 的 な 数 学(算

術)お よび 江 戸 時 代 の 日本 人 の"数 学 観"を 知 る上 で誠 に興 味 深 い,お

よ そ400

年 前 の 江戸 時 代 に書 か れ た吉 田光 由 『塵 劫 記 』 を紹 介 して お き た い.大 矢 真 一 校注 『 塵 劫 記 』(岩 波 文 庫,1977)や の魅 力 』(研 成 社,2000)な

佐 藤 健 一 『江 戸 の ミ リオ ン セ ラ ー 「塵 劫 記 」

どで,そ の 内 容 を知 る こ とが で き る.

■10進 法   以 下,余

談 で あ る.

  本 節 の 冒 頭 で述 べ た よ うに,わ れ わ れ は数 を数 え る時,ふ つ う １,２,３, … と数 えて い き,10で 桁 上 げ をす る.こ れ は10進 法 と呼 ば れ る数 え方 で あ る. この10進 法 は,古 代 よ り諸 民 族 で 用 い られ,特 に イ ン ド,ア ラ ビ ア で発 達 した もの で あ るが,起 源 は明 らか に,わ れ わ れ の 手 と足 の 指 の 数 が そ れ ぞれ10本 あ る こ とに 深 く関 わ っ て い る.指 を使 って 数 を数 え,そ の 数 が10に

で

な る と一 杯

に な り,桁 上 げ の必 要 が 生 じた の で あ る.こ れ と同 じ考 え 方 に よ れ ば,イ

カも

10進 法 で よ い が タ コ に は ８進 法 が 便 利 とい う こ とに な る.   周 知 の よ う に,コ

ン ピ ュ ー タ に よ る情 報 処 理 は 「ON」 また は 「OFF」 の組 み

合 わせ で行 わ れ るの で,計 算 に は ０と １で 成 り立 って い る ２進 法 が 使 わ れ て い

る.２ 進 法 で は ２よ り大 き な 数 字 に な る と桁 上 げ さ れ るの で,10進 比 べ る と表 記 が 長 くな っ て厄 介 に思 え るが,表 記 法 自体,ま

法 の数字 と

た 計 算 過 程 は極 め

て 単 純 明 快 で あ る.   10進 法,２ 進 法 の ほ か に,わ れ わ れ に とっ て身 近 な の は,60秒 は １時 間 とい う60進 法 と,12個

が １ダ ー ス,12ダ

は １分,60分

ー ス が １グ ロ ス,あ

るい は

12イ ンチ が １フ ィ ー トとい う12進 法 で あ る.こ の よ う な60進 法 や12進

法の歴

史 的 あ るい は文 化 的 背 景 を調 べ て み る と面 白 い.当 然 の こ となが ら,い ず れ に も,な る ほ ど と思 わ れ る理 由が あ る もの で あ る.例 え ば,12進 運 行,つ

法 は太 陽 や 月 の

ま り暦 と密 接 な 関 係 が あ る.誠 に興 味 深 い こ とに,最 近 の研 究 に よれ

ぼ ， 日本 の縄 文 時 代 に は12進 法 が 使 わ れ て い た ら しい(伊 達 宗 行 『「数 」 の 日 本 史 』日本 経 済新 聞 社,2002).ま

た,英 語 の 数 詞 に お い てone(１)か

らtwelve

(12)ま で は個 別 の表 現 が あ る こ と に も12進 法 の影 を見 る こ とが で き るだ ろ う.

1.2.2  数 の種 類   古 代 ギ リシ ア の ピ タ ゴ ラ ス 派 は「宇 宙 に は美 しい 数 の 調 和 が あ る 」 「認 識 さ れ る もの は すべ て 数 を持 つ」 とい った.事 用 い た数 式 で 表 わ され る.い

実,自 然 界 の さ ま ざ ま な法 則 が,数

ま さ ら… と思 わ れ る か も知 れ な いが,い

を

まわ れ わ

れ は どの よ うな 数 を知 っ て い る の か ，そ れ ら は何 を,ど の よ うに 表 現 す るの か ， を復 習 して お くこ と も無 意 味 で は な い だ ろ う.ま ず は じめ に,図1.13に 類 を ま とめ て お こ う.

図1.13 

数の種類

数 の種

■整数   数 と い う も の は,も い は,い

ま も),指

の を 数 え る 必 要 性 か ら生 ま れ た も の で あ る.幼

を 折 り な が ら 「ひ とつ,ふ

た よ う に(余 談 な が ら,も

た つ,み

っ つ,…

と い う 数 で あ る.こ

の よ う に,１

に １を 加 え て 得 ら れ る 数 を 総 称 し て 自 然 数 と呼 ぶ.一

と い う よ う に 表 わ さ れ る.自

然 数ｎ

般 に,自

々

然数 は

に次 々 に １を加 え て得 られ る数 で あ

とい う 自然 数 は

「０ よ り １だ け 大 き い 数 」

と い う 自 然 数 は 「０ よ り ２ だ け 大 き い 数 」 と い う こ と が で き る.

  そ れ で は,ゼ

ロ(０)よ

  も ち ろ ん,物

体 を 「１個,２

は 不 要 で あ る.し

り小 さ な 数 は ど う す れ ば よ い の か.

か し,い

個,…

に 定 め た"温

」 と数 え る 場 合 に は"０

う ま で も な い こ と で あ る が,数

数 量 を 測 る 時 し か 使 わ れ な い,と

す る.こ

は,１

か ら 始 ま り,次

ン ド人 の 天 才 に よ っ て,「 何 も な い 」"ゼ ロ(０)"と

い う 数 が 導 入 さ れ た の で あ る が,１

沸 点 を100℃

」 と もの を数 え

く ら で も大 き な 数 に な り得 る.

  前 項 で 述 べ た よ う に,イ

で あ り,２

る

の を数 え る 時 の 指 の 使 い 方 は 国 に よ っ て 異 な る),基

本 的 な の は １,２,３,…

る か ら,い

時(あ

度"の

い う も の で は な い.例 場 合,氷

点(0℃)よ

10℃ 低 い 温 度 が-10℃

い う記 号 を 用 い る.0℃

え ば,水

体 的 な もの の の 氷 点 を0℃,

り低 い 温 度 は 実 際 に 存 在

の よ う な 場 合 に 導 入 さ れ る の が,図1.14(a)に

ス)の 数 字 で あ り,"−"と

は,具

よ り小 さ な 数"

示 す よ う な,負(マ よ り1℃

イナ

低 い 温 度 が-1℃,

と い う 具 合 で あ る.こ の よ う に,自 然 数 に"マ イ ナ ス(−)"

図1.14 

負(マ

イ ナ ス)の

数の導入

図1.15 

数直線

をつ けた数 を負 の整 数 あ る い はマ イ ナ ス の 整 数 と呼 ぶ.こ

れ に対 し,自 然 数 は

正 の整 数 あ る い は プ ラ ス の 整 数 と も呼 ば れ る.   負 の 数 の導 入 は,あ

る規 準 点 を ゼ ロ(０)に

し て,そ の 点 か らの"大

・小"

を論 じ る時 に も便 利 で あ る.   例 え ば,図1.14(b)に 高 さ をゼ ロ(０)に

示 す よ う に,陸 地 の 高 さ は,世 界 中 で ほ ぼ一 定 の海 面 の

し な け れ ば 表 わ し よ うが ない だ ろ う.ま た,海

面 をゼ ロに

す れ ば,海 底 の深 さ を負 の 数 で 表 わ す の が便 利 で あ る.   い ま,図1.15の と して,そ

よ うに,１ 本 の 直線 を引 い て,そ の 上 の １点 を"ゼ ロ(０)"

こか ら左 右 に 一 定 の 間 隔 で 印 を つ け,０ か ら右 の 方 へ １,２,３,… ，

左 の 方 へ−1,−2,−3,…

とす れ ば,整 数 の 全 体(０ も整 数 に含 め られ る)が １

直 線 上 に順 序 よ く定 め られ る(こ の よ うな直 線 を数 直 線 と呼 ぶ).   この よ う な"負(−)"の

概 念 は,整 数 の み に導 入 され る ば か りで は な く,図

1.13に 示 され る す べ て の数 に 導 入 され るの で あ る.わ れ わ れ は,日 常 的 に も, 自然 科 学 の み な らず あ ら ゆ る分 野 の 事 象 を学 ぶ上 で も,こ の “負 の 数""負 念"に

は計 り知 れ な い"恩 恵"を 受 け て い る."負

の概 念"は,"ゼ

存 在 な くして は あ り得 な い こ と を思 え ば,改 め て"ゼ

ロ(０)の

の概

ロ(０)"の 発 見"の

偉大

さ が理 解 で き るだ ろ う. ■物 理 学 的 な"マ

イ ナ ス(−)"の

  い ま述 べ た よ う に,"負

意味

の 数"の 導 入 の 恩 恵 は計 り知 れ な い の で あ る が,物 理

学 に お い て"マ イ ナ ス(−)"の

概 念 は"数"の

場 合 の み な らず極 め て重 要 な意

味 を持 つ.具 体 例 で 見 て み よ う.   電 気(電 荷)を

持 っ た 物 体(帯 電 体)が

２個 あ った 場 合,そ

の帯電体 間 にあ

る種 の 力(電 気 力)が 働 くこ とを わ れ わ れ は知 っ て い る.そ の 力 は,物 体 が 持 っ て い る電 荷 量 の 積 に比 例 し て,物 体 間 の 距 離 の ２乗 に反 比 例 す るの で あ る. これ は,電 気 の 最 も基 本 的 な法 則 で あ り,ク ー ロ ンの 法則 と呼 ば れ る もの で あ

図1.16 

る.物 体 の 電 荷 量 をQ1,Q2,２

電荷 Ｑ の電気力線

物 体 間 の 距 離 を ｄ とす れ ば,２ 物 体 間 に働 く電

気 力 Ｆ は,定 数 をｋ と して

(1.16) で 与 え られ るの で あ る.   式(1.16)は,図1.6に

示 した 力 線 の 場 合 と同 様 に,図1.16に

を考 え れ ば 導 くこ とが で き るが,そ

示す電気 力線

の過 程 の 説 明 は省 略 す る.

  こ こで,万 有 引 力 の法 則 を表 わ す

(1.3) を思 い 出 せ ば,ク ー ロ ンの 法 則 が 万 有 引 力 の 法則 と全 く同 じ形 の 数 式 で表 わ さ れ て い る こ と に気 づ くだ ろ う.   と こ ろが わ れ わ れ は,電 荷 に は"性

質"が

異 な る ２種 類 の もの が あ り,図

1.17に 示 す よ う に,同 種 の 電 荷 に は互 い に反 発 す る斥 力 が 働 き,異 種 の 電 荷 に は互 い に 引 き合 う引 力 が 働 く,と い う"自 然 現 象"が 数 式 の 形 は 同 じで あ っ て も,こ れ が,電

あ る こ と も知 っ て い る.

気 力 と引 力 の み の 万 有 引力 との 大 きな

違 い で あ る.   そ こで,こ の ２種 類 の電 荷 を正 ・負 の 電 荷 とい う こ と に し て,そ れ ぞ れ の基 本 単 位 を+q,-qで

表 わ し,図1.18(球

状 空 間 の 断 面)に 示 す よ うに,+qと

-qは それ ぞ れ逆 向 きの 電 気 力 線 を持 つ とい う こ とに す るの で あ る.   そ して,図1.17に

示 し た斥 力,引

力 とい う現 象 を図1.19に

力 線 で説 明 す る の で あ る.は っ き りさせ て お き た い が,図1.17は

示 す よ う な電 気 自然 現 象 を 示

(ａ)斥

力(ｂ)引

図1.17 

力

２帯 電 体 に働 く電 気 力

(ａ)(ｂ）) 図1.18 

正 の電 荷(ａ)と 負 の電 荷(ｂ)

(ａ)(ｂ) 図1.19 

２個 の 電 荷 に生 じ る電 気 力 線.(ａ)同

す も の で あ り,図1.18,1.19は,そ

種 電 荷,(ｂ)異

種 電荷

の よ うな 自然 現 象 を説 明 す る た め に人 間 が

創 っ た 科 学 的 内 容 を 表 わ す も の で あ る.   こ こ で,も   図1.15で は,０

う一 つ 注 意 が 必 要 で あ る. 説 明 し た 数 の 場 合 の 正(プ

ラ ス)あ

る い は 負(マ

よ り大 き い あ る い は 小 さ い と い う こ と を 意 味 す る.ま

プ ラ ス は"余

っ て い る"を,マ

イ ナ ス は"足

上 述 の 電 荷 や 力 学 で 使 わ れ る プ ラ ス(＋),マ

り な い"を

イ ナ ス)と た,数

量 にお け る

意 味 す る.と

イ ナ ス(−)は,そ

い うの

こ ろ が,

の よ うな 意 味

で は な くて,同 一 の次 元 で,反 対 の 性 質 を持って い る,と い う意 味 で あ る.そ して,こ れ は,あ

く まで も,人 間 が 便 宜 上,勝 手 に決 め た もの で あ る.

  そ こで,図1.17(a)の 場 合 は−Fが

場 合 を式(1.16)に

当 て は め れ ば＋Fが

得 られ,(ｂ)の

得 られ る こ とに な るが,＋ Ｆ と−Ｆ は,そ れ ぞ れ 「大 き さが 同 じ」

で あ り 「性 質 が 逆 」 を意 味 す る こ と にな る. ■分 数 と小 数   図1.20に

示 す よ うに,日 常 的 な経 験 か ら考 え て も,１ 個 の もの を何 個 か に等

分 割 す る こ とか ら,分 数 とい う数 の 誕 生 は容 易 に想 像 で き る.図1.21に

示すよ

う に,図1.15に

は 自然

数)す れ ば,よ

示 した数 直 線 の単 位 目盛 の １を細 分 割 し,ｍ り小 さ な単 位 目盛1/mが

等 分(ｍ

得 られ る.

 話 が 前 後 した が

の よ う にn/m(n,mは

自然 数)で 表 わ され る数 を分 数 と呼 び,ｍ

を分 子 とい う.図1.21か

を分 母,ｎ

ら も明 らか な よ う に,分 数 に も正 ・ 負 の 値 が あ る.ま

た,自 然 数 は分 母 が1(m=1)で

あ る特 殊 な分 数(n/1)と

考 え る こ と もで き る.

  次 に,小 数 に つ い て述 べ る.   わ れ われ が 日常 的 に用 い る10進 法 で は,次 第 に大 き くな る 自然 数 を

(ａ)ロ

ー プ の 分 割(1/2×2) 図1.20 

図1.21 

(ｂ)ピ 分数の誕生

数 直 線 の分 割(分

数 の 導 入)

ザ の 分 割(1/8×8)

とい う よ うに,10を

基 本 とす る節 目で 切 っ て ま と め て い く.

 同様 の考 え を次 第 に小 さ くな る 方 に 適 用 す れ ば

と い う 節 目 が 得 られ る.こ の こ と を,図1.15に ば 図1.22の

よ う に な る だ ろ う.周

を小 数,１

の 桁 の 右 側 に あ る"."を

示 した 数 直 線 に な らっ て表 わ せ

知 の よ う に,図1.22に

見 ら れ る0.1や0.05

小 数 点 と呼 ぶ の で あ る が,改

学 用 語 で 定 義 す れ ば 「絶 対 値 が １ よ り小 さ く,０ 記 数 法 で 表 わ し た 数 」 と い う こ と に な る.例

で な い 実 数(後

え ば,1.23の

め て小 数 を数 述)を

位 取 り

よ う に整 数 の部 分 が

０で な い 場 合 は 特 に 帯 小 数 と呼 ぶ.   分 数 と 小 数 の 導 入 に よ っ て,自

然 数 の 世 界 を さ ら に微 小 な と ころ まで考 え ら

れ る よ う に 数 の 概 念 の 拡 張 が な さ れ た.分 土 台 に し て 導 入 さ れ た の で あ る が,そ

数 は 線 分 割,小

数 は10進

法 の概 念 を

れ らが どの よ うに 関 係 して い るの か に つ

い て 考 え て み よ う.   ま ず,小 1/10n,…

数 は,図1.22に

示 す よ う な 目 盛,つ

ま り1/10,1/102,1/103,…,

と い う分 数 を 目 盛 と し て い る か ら,ど の よ う な 小 数 で も分 数 で 表 わ す

こ とが で き る.例

え ば,0.329は

で あ り,1.329は

図1.22 

小数の導入

で あ る.い い換 えれ ば,通 常 の小 数(有 限 小 数)は 分 数 を略 記 した もの で あ る.   と こ ろが,す

べ て の分 数 が す っ き りした 小 数 で 表 わ せ る と は限 らな い.

  例 え ば,1/3(＝1÷3)を

小 数 で表 わ そ う とす る と

と い う形 に書 か ざ る を得 な い."…"と が 続 い て切 れ る こ とが な い,と

い う の は,ど

こ まで も"３"と

い う数 字

い う意 味 で あ る.こ の よ う に,小 数 点 以 下 ど こ

まで も数 字 が続 くよ う な小 数 を"通 常 の小 数(有 限小 数)"に 対 し て無 限 小 数 と 呼 ぶ.   また,1/7＝1÷7を

筆 算 で(あ る い は膨 大 な 桁 数 を持 つ 計 算 機 で)計 算 す る と,

つ ま り1/7を 小 数 で 表 わ そ う とす る と

と な り,"142857"を

無 限 に 繰 り返 す 小 数 と な る.こ

の よ う に,ど

数 列 を繰 り返 す 小 数 の こ と を 循 環 小 数 と呼 び,0.142857142857… 表 わ す.上

記 の1/3＝0.3333…

  さ て,い

う ま で もな い こ とだ が

で あ る.し

か し,手

操 作 す れ ば,そ

も循 環 小 数 で,こ

元 に あ る 計 算 機,例

の 結 果 は"１"で

れ は0.3と

こ ま で も同 じ は0.142857と

表 わ さ れ る.

え ば ８桁 の 計 算 機 で,"(1÷3)×3"を

は な く て"0.9999999"と

な る.つ

ま り,計

算

機 に よれ ば

な の で あ る.こ れ は,1/3と  物 理 学 に お い て は,さ

い う分 数 を小 数 で 表 わ した 結 果 の 不 合 理 で あ る.

ま ざ まな測 定 や 実 験 を行 な い,そ

ン ピ ュ ー タ ー を 用 い て 処 理 す る 機 会 が 少 な く な い.そ (1÷3)×3≠1の

の結 果 を計 算機 や コ の よ う な 時,上

述の

例 が 示 す よ うな 分 数 と小 数 の違 い か ら生 じる"不 合 理"を 理 解

し て お く こ とが 大 切 で あ る.た とえ,１ と0･9999999と

の差 自体 は小 さ く と も,

そ の差 が 重 畳 され れ ば 大 き な値 に な っ て し ま うの で あ る.   また 同 時 に,コ

ン ピ ュー タ ー あ るい は測 定 装 置 の 表 示 す る数 値 の 意 味(精

や 有 効 数 字)を 深 く考 え る こ とな し に,そ の ま ま"測 定 値"と

度

し て扱 う愚 を避

け て欲 しい と思 う. ■ 有 理 数 と無 理 数   周 知 の よ う に,円 の直 径 と円 周 との比 を円 周 率 と呼 び,普 通 π(パ イ)と い う ギ リシ ア 文 字("周 囲"を 意 味 す るギ リシ ア語 の 頭 文 字)で 表 わ す.つ

ま り,あ

る円 の 直 径 を ｄ,そ の 円周 の長 さ をｃ とす れ ば

(1.17) とい う関 係 が あ る.一 般 人 は,π=3.14と

憶 え て い る の で あ るが,実 は,と の π

は 非 常 に"厄 介 もの"な の で あ る.π の値 の 求 め方 自体,非 る が,こ い(例

常 に興 味 深 い の で あ

こで は紙 幅 の 関 係 で省 略 す る.読 者 自身 で是 非 と も調 べ て い た だ きた

え ば,巻 末 に掲 げ る参 考 図 書 ４)や ５)など を参 照 す る と よい) .

  さて,π の値 に つ い て は 古代 よ り知 られ て い たが,古 代 ギ リシ ア の ア ル キ メ デ ス(前287‐

前212)は

を見 出 した.こ

と な る.ま

た,波

れ を小 数 で 表 わ せ ば,ほ

動 の 研 究 で 名 高 い,オ

‐1695)は,1654年

ラ ン ダ の 物 理 学 者 ・ホ イ ヘ ン ス(1629

に

と い う 値 を 得 て い る.日

本 で は,ホ

松 茂 清(1608‐1695)が1663年 述)を

ぼ

イ ヘ ン ス と同 じ 頃,江

に3.1415926と

戸 時 代 の 和 算 家 ・村

小 数 点 以 下 ７桁 ま で 正 し い 値(後

示 し て い る.

  現 在 で は,コ

ン ピ ュ ー タ ー を 駆 使 し て,小

が 求 め ら れ て い る.例

え ば 小 数 点 以 下1000桁

数 点 以 下,億

の桁 まで π の 近 似 値

の近 似 値 を示 す と

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640  62862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253  59408128481117450284102701938521105559644622948954930881964428810975665  93344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339  36072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925  90360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186  11738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194  91298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171  76293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609  17363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611  21290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510  59731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171  01000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115  95628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164 201989…

と な る.し

か し,こ

数 な の で あ る.コ の は,恐 ば,そ

れ は,あ

く ま で も"近 似 値"で

あ り,π

の実 際 の 値 は無 限小

ン ピ ュ ー タ ー で 求 め ら れ る 小 数 点 以 下 １億 桁 の 近 似 値 と い う

る べ き 精 度 の"近 似 値"で は あ る が,π

が 無 限 小 数 で あ る こ とを考 え れ

れ で も ほ ん の 最 初 の 一 部 分 が 求 め ら れ た に 過 ぎ な い の で あ る.

  こ の π の よ う に,小 数 が 無 限 に 展 開 す る 数 は,n/mと な い.こ

の よ う な 数 を 無 理 数 と 呼 ぶ.こ

わ さ れ る 数 を 有 理 数 と呼 ぶ.こ

い う分 数 の 形 に表 わ せ

れ に 対 し て,n/mと

こで,図1.13を

見 る と,無

理 数 に 含 ま れ て い る の で 若 干 混 乱 す る か も知 れ な い が,分 を 展 開 し た 結 果 が 無 限 小 数 に な っ た と し て も,あ   一 般 に 正 の 数ａ

い う分 数 の形 で表 限 小 数(分

数)が 有

数(n/m)は,そ

れ

く ま で も有 理 数 で あ る.

に 対 し て,２ 乗 す る とａ に な る よ う な 正 の 数 を√aと

表 わ し,

√ａ をａ の 平 方 根 あ る い は ル ー トａ と い う の は 周 知 の こ と で あ る.例 え ば22=4 だ か ら√4=2で

あ る.同

様 に,32=9だ

√ 2は 無 理 数 で1.41421356…   と こ ろ で,余 "rational

か ら√9=3で

と無 限 に小 数 展 開 す る.√3や√10も

談 な が ら,「 有 理 数 」 「無 理 数 」 と い う の は,そ

number""irrａtionａl

っ て い る."rational"は

number"の

「"理"が

訳で

こ ろ が 例 え ば, 同 様 で あ る. れ ぞれ英 語 の

「理 」 は"rational"の

あ る 」 と い う 意 味 で あ る か ら,そ

語 を 「有 理 数 」 「無 理 数 」 と 訳 す の は 適 当 に 思 え る.し な 意 味(n/mで

あ る.と

表 わ さ れ る か 否 か)を

か し,そ

訳 にな れ ぞれ の英

れ ぞれ の数 学 的

考 え れ ば,「 理 が 有 る 」 「理 が 無 い 」 と い

(ａ)

(ｂ) 図1.23 

う の は 少 し ヘ ン な の で は な い か.実 由 来 す る 形 容 詞 で あ る."n/m"は か ら,本

(ｃ)

直 角 三 角 形 と正 方 形

は,"rationa1"は,名

詞 の"ratio(比)"に

ま さ し く"比(n:m)"を

表 わ す もの で あ る

当 は,「 有 比 数 」 「無 比 数 」 と 呼 ぶ べ き だ ろ う と思 う が ．

  閑 話 休 題.   さ て,い

ま ま で 無 理 数 に つ い て 述 べ て き た の は,実

は,ピ

タ ゴ ラ ス 学 派 の 「宇

宙 に は 美 し い 数 の 調 和 が あ る 」と い う 言 葉 を再 度 考 え て み た か っ た か ら で あ る.   そ も そ も,ピ 図1.23(a)に

タ ゴ ラ ス を 有 名 に し て い る 「ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 」 と い う の は,

示 す よ うな 直 角 三 角形 の 各 辺 の 間 に

(1.18) と い う 関 係 が 成 り立 つ と い う こ と で あ る.こ て も面 白 い の で,是

非,自

の 定 理 の 証 明 は"頭

る.一

よ う な 関 係 が あ れ ば,こ

般 に,式(1.18)を

ル と い う.(3,4,5)の

し

分 自 身 で 試 み て い た だ き た い.

  ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 は 逆 も 成 り 立 つ の で あ っ て,三 (1.18)の

の 体 操"と

角 形 の ３辺 の 長 さ に 式

の 三 角 形 は ｃを斜 辺 とす る直 角 三 角 形 と な

満 た す 自 然 数 の 組(a,b,c)を ほ か に(6,8,10)や(5,12,13)な

ピ タ ゴ ラ ス ・ト リ プ ど が ピ タ ゴ ラ ス ・ト リ

プ ル で あ る.   ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 は,確 か に 「美 し い 数 の 調 和 」に 思 え る.し

か し,図1.23(b)

に 示 す 直 角 二 等 辺 三 角 形 は,「 宇 宙 に は 美 し い 数 の 調 和 が あ る 」と い う ピ タ ゴ ラ ス 派 の 根 底 を 揺 が す よ う な 大 き な 問 題 を 提 起 し た の で あ る.も 等 辺 三 角 形 の 場 合 に も,式(1.18)に と は い う ま で も な い.問   い ま,図1.23(b)でa=1と

題 は,直

ち ろ ん,直

角二

示 さ れ る ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 が 成 り立 つ こ 角 二 等 辺 三 角 形 の 辺 の 長 さ の 比 に 起 こ る.

す れ ば,ピ

タ ゴ ラ ス の 定 理 よ り,12+12=c2で

あ

り,c2=2,つ

ま り ｃ=√2と な る.上 述 の よ う に,√2は 無 理 数 で あ る.こ の こ

と は,図1.23(c)に の 長 さが,決

示 す,極 め て調 和 の とれ た 図 形 で あ る は ず の 正 方 形 の対 角 線

し て １辺 の長 さの 比 と して表 わ せ な い と い う こ とで あ る.こ れ で

ど う し て 「宇 宙 に は美 しい 数 の 調 和 が あ る」 とい え よ うか.   また,古 来,最

も完 全 な形 と され て きた の は 円 で あ るが,直 径 が １で あ る 円

の 円 周 は π で あ り,こ れ も比 で表 わ せ な い無 理 数 で あ る.   この よ う に,自 然 界 の 中 で最 も美 し い調 和 を持 つ よ うな 正 方 形 や 円 の 中 の 通 約 不 可能 な無 理 数(無

比 数)の 存 在 は,ピ タ ゴ ラ ス学 派 に 致 命 的 な打 撃 を与 え

得 る もの だ っ た の で あ る.   筆 者 自 身 は,正 方形 や 円 に無 理 数(無

比 数)が

内 在 して い る こ とが 不 思 議 で

な ら な い の で あ る が,読 者 諸 氏 は い か が な もの で あ ろ うか. ■ 実 数 と虚 数  初 等 代 数 学 で は正 の数(＋)と

とい う こ とに な っ て い る.上

負 の 数(−)の

掛 け算 の積 の符 号 につ い て

２段 の 積 の 符 号 の 意 味 を理 解 す るの に問 題 は な い

だ ろ う.し か し,(−)に(−)を

掛 けた 結 果 が(＋)に

な るというのは少々理

解 に苦 しむ の で は な い だ ろ う か.こ の こ とを,中 谷 宇 吉 郎 は 「汚 い絵 具 で まず く描 い た ら傑 作 の絵 が で きた どい う よ うな こ と」 と い っ て い る.描 か れ た絵 が 傑 作 か 否 か と い うの は"感 性"に

も依 存 す る こ とな の で,実

際 に,絵

この よ うな こ とが あ っ て も不 思 議 で は な い か も知 れ な い が,"理

の世 界 で

性"の 数 学 の世

界 で は ち ょっ とヘ ン な気 が す る.こ こ で は,人 間 が そ の よ うな代 数 学 を作 っ た の だ,と 理 解 して お こ う(そ の考 え方 に つ い て は,巻 末 の 参 考 図 書 ５)など を参 照 す る と よ い).し か し,図1.17,1.19に を斥 力,(−)を

示 した〓 と〓 の 電 荷 の 相 互 作 用 で(＋)

引力 と考 えれ ば,上 記 の(＋)と(−)の

掛 け算 の 積 の符 号 は

す ん な り と理 解 で き るだ ろ う.   い ず れ にせ よ,い にせ よ無 理 数 にせ よ

ま まで にわ れ わ れ が 扱 った 数ａ に つ い て は,そ れ が 有 理 数

で あ り,例

えば

と な る よ う な 数ｘ は 存 在 し な い の で あ る.い い 換 え る とx2+1=0,よ い え ば,ａ を 正 の 数 と す るx2+a=0と い こ と に な る.ま

場"か

い う よ う な ２次 方 程 式 に は 解 が 存 在 し な

た 同 様 に(x±a)2≧0だ

りx2-4x+20=0の

か ら,例

え ば(x-2)2+16=0,つ

よ う な ２次 方 程 式 に も 解 が 存 在 し な い.こ

ら考 え る と誠 に 困 っ た 状 況 で あ る.ま

  実 は,数

り一 般 的 に

学 的 に 不 便 な だ け で は な く,物

た,誠

ま

れ は,数 学 の"立

に 不 便 で も あ る.

理 現 象 を 説 明 す る 上 で も 「２乗 し た

数 は 負 に な ら な い 」 と い う制 約 は な い 方 が あ りが た い の で あ る.   そ れ で は,と あ る.そ

い う こ と で 新 た に 導 入 さ れ た の が"２ 乗 す る と−1に

の よ う な 数 を"ｉ"と

い う記 号 で 表 わ す とす れ ば

で あ る.（-i)2=(-1)2×(i)2=i2=-1と

と な る.つ x2 +4=0の

ま り,２

を ２乗 す る と−16に

な るか ら

次 方 程 式x2+1=0の

解 は2iと−2iに

な る 数"で

な る.ま

解 はｉ と−iと

な る.同

た 前 掲 の(x-2)2+16=0の

様 に,例

えば

解 は,(x-2)

な る こ とか ら

で あ り,

と求 め られ る.   ２乗 す る と負 に な る よ う な 数,一 般 的 にbiと 書 か れ る よ うな 数 は虚 数 と呼 ば れ る.ま た,"ｉ"を

虚 数 単 位 と呼 ぶ.そ

して,虚 数 以 外 の 数 を 実数 と呼 ぶ.こ

の よ う な虚 数 単 位ｉ を導 入 す る こ とに よ っ て,す べ て の 数 は

  a+bi 

(a,bは

と い う 形 で 表 わ さ れ る こ と に な る.そ (図1.13参

照).ａ

と呼 ぶ が,実

を 実 数 部 分(あ

実 数)

し て,こ

れ を 複 素 数 と総 称 す る の で あ る

る い は 実 部),ｂ

を 虚 数 部 分(あ

る い は 虚 部)

数 は 虚 部 が ０で あ る複 素 数 と み な す こ とが で き る.ま

た,実

部が

０ で あ る 複 素 数 を 純 虚 数 と 呼 ぶ.   余 談 な が ら,"２ (imaginary

乗 す る と 負 に な る 数"と

number)"な

し た の で あ る.日

の で,そ

本 語 の"虚

い つ も"image"す

い う の は,い

わ ば"仮

想 的 な数

の 頭 文 字 を と っ て 虚 数 単 位 の 記 号 を"ｉ"に

数"は"imaginary

number"の

訳 な の で あ る が,

る こ と を 重 要 視 し て い る筆 者 は"imaginary"を"虚(ウ

の"と

訳 す こ と に,い

さ さ か 抵 抗 を感 じ て い る."imaginary

数"と

訳 さ れ る べ き で は な い だ ろ う か.

ソ)

number"は"仮

  閑 話 休 題.   わ れ わ れ は,さ

ま ざ ま な 自 然 現 象 を 観 測 と い う 行 為 を 通 し て 認 識 し,そ

測 を 実 数 で 表 わ す の で あ る が,便

宜 上,虚

を 豊 富 に す る こ と が で き る の で あ る.一   周 知 の よ う に,電

数 を 導 入 す る こ と に よ っ て"表

現"

例 を 挙 げ て み よ う.

気 に は 直 流 と 交 流 が あ る が,一

て い る 電 気 の ほ と ん ど は 交 流 で あ る.図1.24(a)に に 対 し 大 き さ も 向 き も 一 定 で あ る が,交

の観

般 家 庭 や 工 場 な どで使 わ れ 示 す よ う に,直 流 電 流 は 時 間

流 は(ｂ)に 示 す よ う に 大 き さ と 向 き が

周 期 的 に 変 化 す る(こ の よ う な 電 流 は 一 般 に 正 弦 波 交 流 と呼 ば れ る).日

本 では

交 流 の 周 波 数 は 静 岡 県 の 富 士 川 を境 に し て,東

あ る.

  こ の よ う な 正 弦 波 交 流 の 電 流 Ｉ を,図1.25に

で50Hz,西

示 す よ う に,ｘ 軸 を 実 部,ｙ

(ａ)

図1.24 

で60Hzで

(ｂ) 直 流(ａ)と 正 弦 波 交 流(ｂ)

軸

図1.25 

交 流 を表 わ す ベ ク トル と 複素数平面

を虚 部 とす る複 素 数 平 面(こ る)上 の ベ ク トル(第

の よ う な"座 標 平 面"に

つ い て は第 ２章 で 説 明 す

６章 で詳 述 す る)

(1.19) で 表 わ す と,交 流 回路 の 計 算 が 非 常 に簡 単 に な るの で あ る.例 対 値(電

え ば,交 流 の 絶

流値)を｜ Ｉ｜,位相 角 を θとす れ ば,そ れ ら は そ れ ぞ れ

(1.20)

(1.21) で 求 め られ る. ■指 数 と対 数   以 上 で 図1.13に

挙 げ た す べ て の"数"に

つ い て説 明 した の で あ るが,こ

の 最 後 と して,自 然 現 象 を数 式 化 して扱 う上 で,ま

の章

た 自 然界 の大 き さ を理 解 す

る上 で 非 常 に便 利 な 指 数 と対 数 に つ い て述 べ て お き た い.特 に,17世

紀 の初 め

に考 案 され た 対 数 に よ っ て 天 文 学 に使 わ れ る よ うな 膨 大 な 数 の計 算 が 著 し く簡 単 に な り,そ れ まで の 空 論 的 自然 科 学 が 実証 的 自然 科 学 へ と大 きな 飛 躍 を遂 げ た の で あ る.   指 数 は す で に何 度 も登 場 して い る の で あ る が,こ

こで 改 め て簡 単 に 復 習 して

お こ う.   真 言 宗 の 開 祖 ・空 海(774-835)は

真 言 密 教 の 世 界 観 を述 べ た 『吽字 義 』 の

中 で,も の の大 き さや 量 が 相 対 的 で あ る こ と を,「 ガ ン ジ ス河 の砂 粒 の 数 も,宇 宙 の広 が りを考 え れ ば 多 い とは い えず,ま

た全 自然 の 視 野 か ら見 れ ば,微 細 な

塵 芥 も決 し て 小 さ い と は い え な い 」 と い う た と え で 述 べ て い る.つ の 認 識 は あ く ま で も相 対 的 で あ り,相 然,世

は,わ

対 的 な 規 準 を 尺 度 と し た の で は,真

界 を 見 極 め る こ と は で き な い,と

  こ こ で,自

常 的 な 長 さ"で

間

の 自

戒 め て い る の で あ る.

然 界 の も の の 大 き さ を 比 較 し て み よ う.も

れ わ れ の"日

ま り,人

の の 大 き さ を考 え る に

あ る メ ー トル(ｍ)を

基準 にす るのが よい

だ ろ う.   例 え ば,わ

れ わ れ が 住 む 地 球 の 直 径 は 赤 道 で 約13000000mで

河 系 の 半 径 は お よ そ1000000000000000000000mで 絶 す る大 き さ で あ る.ま

た,す

あ る.宇

あ る.ま

宙 は まさに想像 を

べ て の 物 質 は 原 子 か ら で き て い る が,そ

の 大 き さ は お よ そ0.0000000001mで

あ る.こ

  想 像 を 絶 す る こ と は と も か く,０ が21個 小 数 点 以 下 に ０が ９個 も 並 ぶ,0.0000000001と

も 並 ぶ1000000000000000000000や, い う よ うな数 字 は扱 うの に非 常

さ れ る の が 指 数 と い う便 利 な 数 で あ る.例

え ば,10000は10×10×10×10と

う よ う に,10を

表 わ す.ま

1/10で,こ

の1/10を10-1と

こ とが で き る.こ

す れ ば,10-1を

の よ う に,10の

の原 子

れ は 想 像 を 絶 す る小 さ さ で あ る.

に 不 便 で あ る(０ の 数 を 間 違 え る こ と は 容 易 に 想 像 で き る だ ろ う).そ

４回 掛 け た 数 だ か ら104と

た,銀

こで 導 入 い

た,0.001は1/10×1/10×

３回 掛 け た 数 だ か ら10-3と

表わ す

右 肩 につ い て い る数 を指 数 と呼 ぶ の で あ る.

この 指 数 を用 い れ ば

で あ り,ま

た

で あ る.ま

た

と な る.   自 然 界 に 存 在 す る さ ま ざ ま な も の を メ ー トル(ｍ)の わ し た の が 図1.26で あ る が,物

あ る.こ

単 位 で 指 数 を使 っ て表

の よ う に,自 然 界 に は さ ま ざ ま な 大 き さ の も の が

理 の 世 界 で は 一 般 に,原

子 の 大 き さ(10-10m)の

程度 以下 の世界 を

図1.26 

微 視 的(ミ

自然 界 の もの の大 き さ の比 較(原 康 夫 『量 子 の 不 思 議 』 中公 新 書,1985よ 一 部 改 変)

ク ロス コ ピ ック)世 界,略

して ミク ロ世 界,わ

れ わ れ の 日常 的 な 感

覚 に合 致 す る大 き さか ら宇 宙 規 模 の 大 きさ まで の 世 界 を 巨 視 的(マ ック)世 界,略

し てマ ク ロ世 界 と呼 ぶ.こ

と呼 ば れ るが,そ

ク ロス コ ピ

の 中 間 の 世 界 は メゾ ス コ ピ ック 世 界

れ ぞ れ の境 界 は 必 ず し も明 確 で は な い.ち

界 の現 象 を説 明 す るの が 古 典 物 理 学,ミ

り

な み に,マ

ク ロ世

ク ロ世 界 の 現 象 を説 明 す る の が量 子 物

理 学 と呼 ばれ る もの で あ る.   以 下,指

数 に 関 す る一 般 的事 項 を整 理 して お こ う.

  あ る数 がamで

表 わ され る時,ａ を, ｍ

を指 数 と呼 ぶ.そ

して

(1.22)

と定 義 す る.ま

た

(1.23)

で,こ

れ ら を 指 数 法 則 と い う.

  さ て,N=amは は,Ｎ

「ａ のｍ

乗 は Ｎ で あ る 」 と い う 意 味 で あ る が,こ

れ は 「ｍ

に な る ま で ａ を 掛 け 合 わ せ た 数 で あ る 」と い っ て も同 じ こ と で あ る.こ

れ を数 式 で

(1.24) と 表 現 し,ａ

を 底,ｍ

をａ を 底 と す る Ｎ の 対 数(logarithm),Ｎ

真 数 と呼 ぶ."log"は"logarithm(対   図1.26に

示 す 数 は,10を

と対 数 と の 関 係 は,例

数)"を

を 対 数ｍ

縮 め た 記 号 で"ロ

グ"と

の

読 む.

底 と し た 指 数 で 表 わ さ れ て い る が,こ の 場 合 の 指 数

えば

(1.25) とな る.10を

底 とす る対 数 は特 に常 用 対 数(common 

底 の10を 略 し,logNと   前 述 の よ う に,17世

logarithm)と

呼 ば れ,

書 か れ る こ とが 多 い. 紀 以 降,対 数 の 導 入 は膨 大 な数 の 計 算 を著 し く簡 単 に す

る恩 恵 を もた ら した.複 雑 な計 算 を簡 単 に行 な え る計 算 機 が 一 般 に普 及 した現 在,わ

れ わ れ が 計 算 に お け る対 数 の 恩 恵 を感 じ る こ と は ほ とん どな くな っ て し

まっ た が,自 然 現 象 を グ ラ フ化 す る上 で,対 数 の 恩 恵 は依 然 と して 甚 大 で あ る. これ に つ い て は第 ３章 で 述 べ る こ と にす る.   底 が10で

あ る対 数 を常 用 対 数 と呼 ぶ こ と は既 に述 べ た が,こ こ で,自 然 対 数

とい う もの を簡 単 に紹 介 した い.   数 学 の 中 で,そ

し て物 理 現 象 を説 明 す る上 で 最 も重 要 な役 割 を演 ず る 数 の 一

つ に記 号"ｅ"で 表 わ され る数 字 が あ り,そ れ は2.71828… このｅ を底 とす る対 数,つ lnNで

表 わ す.つ

ま りlogeNを

と続 く無 理 数 で あ る.

自然 対 数(natural logarithm)と

呼 び,

まり

(1.26) で あ る.ま

た,emをexp

表 わ す"exponential"の

mと

頭 の ３文 字 を と っ た も の で あ る).例

学 の 分 野 の 数 式 に はeE/kTと exp(E/kT)の   な お,常

書 き 表 わ す こ と も 多 い("exp"は

「指 数 の 」 を え ば,固

体 物理

い う よ う な 項 が し ば し ば 現 わ れ る が,こ

れ を

よ う に 書 くの で あ る. 用 対 数 と自然 対 数 との 関 係 は

(1．27)

で あ り,ln  10の 値 は お よ そ2．3026な

の で

(1.28) とな る.   この"ｅ"の 意 味,そ る の か,に

の値,そ

つ い て は第 ３章,第

て い た だ き た い.こ

して ｅを底 とす る対 数 が なぜ 自然 対 数 と呼 ば れ ４章 で 述 べ るの で,そ

れ まで 楽 しみ に 待 って い

こで は,微 分 ・積 分 に 関係 し て登 場 す る対 数 は常 に 自然 対

数 で あ る,と い う こ とだ け述 べ て お こ う.

チ ョ ツ ト休 憩 ● １

ピタ ゴ ラス   数学 の世 界 には数 多 くの 「 定理 」 があ るが,特 に数 学 に縁 が ある人 でな くて も,誰 でも 知 って いるのが 「ピタ ゴラスの 定理 」 では な いだろ うか.試 み に辞 書 で 「定 理(theorem)」

を 調 べ て み る と よ い.「 ピ タ ゴ ラ ス の 定 理

(Pythagoras'theorem)」

を例 と して挙 げ てい る辞書 が少 な くな いはず

で ある.も ちろん,こ の 定理 の名 前は 古代ギ リシアの ピタ ゴラス(Pythagoｒas ,前570頃―

前500頃)に

由 来す るも ので ある.

  と ころが,ピ タ ゴラス 自身 は著 作 は何 も遺 して いな いの である.そ の 理由 の ーつは,著 作 を遺 す媒 体(パ ピル ス,粘 土板 な ど)が な か ったた め とも 考え ら れ て いる.つ ま り 「 パ ピル スが輸 入さ れ る以前 に仮 に学 者が いた に しても,そ の名 や 思想 が後 代 に残 る機 会 はす こぶ る乏 しか った 」(吉 田 洋一 「零 の発 見』) の であ ろう.し か し,ピ タ ゴラス につ いて いえ ば,さ らに特殊 な事 情が あ った よ うで ある.   つ ま り,ピ タ ゴラス は"ピ タ ゴラス学 派"の 創 始者 ・総 帥 ではあ るが,そ の "学派"は 今 日的な意 味での"学 問的 グルー プ"で は な く ,宗 教 的な結 社 であ っ た.そ して,そ の結 社員 のみ に ピタ ゴラスの 思想 を"口 伝"し,彼 らはそ れ を 外 部 に洩 らさ な いこと にな って いたよ うであ る.し たが って,た とえ手元 にパ ピル スが あ ったと しても,ピ タ ゴラスの 思想 ある い は定理 が書 き記 され るこ と はなか ったの では ないか と思 われ る.   この ような 秘密的傾 向 は,近 代 ・現代 にお いて も決 して珍 ら しいこと ではな い.日 本 の職 人 技や 芸道 伝授 の 際 の 「 見 て 身体 で 覚 える」 ことや 「― 子 相 伝」 は普通 に行な われ ている こと であ る.江 戸時 代 に書か れた 和算 のテキ ス トであ

る 『塵劫 記』 な どを読 ん でも,算 術 が"芸 事"の 一つ であ った こ とが よ くわか る.古 代 ギ リシア にお いても,数 学 や思 索す る ことな どが"芸 事"の 一 つで あ った ことは想 像 に難 くな い.   したが っ て,今 日,ピ タ ゴラスの 名が 冠せ られ て いる定理 そ の他 が ピタ ゴラ ス 自身が 発見 したもの で あるか,あ る いは ピタ ゴラス派 の学 徒(結 社員)が 生 み 出 したも ので ある か は定か では ない.し か し,そ れ は重要 な 問題 で はな いだ ろ う.い ずれ にせ よ,ピ タ ゴラス は,へ ロ ドトス(前485頃−

前425)に

シア人 の中 でも傑 出 した 知者 」そ してヘラ ク レイ トス(？― 前460)に

「 ギリ 「あ りと

あ らゆ る人間 の 中で も っとも よ く探 求を お こな い,この よ うな書 物を 抜粋 して, 自分 の 知恵,博 識,詐 術 をつ くりだ した 」,さ らにポル ピュ リオ ス(生 没年?) に 「 そ の容姿 は自由人 にふさ わ しいもの で,背 丈 があ り,そ の 声,そ の 品格, そ の他 どれ を とっ てもき わだ った優 美さ と調和 を備 え て いた」(内 山勝利 編 『ソ クラテ ス以前 哲 学者 断片 集 第 Ｉ分 冊』岩 波書 店)と いわ しめた ほ ど偉大 で魅 力 的 な人物 だ ったの で ある.   ピタ ゴラ ス学 派の教 義 「 宇 宙 には美 し い数 の調和 が ある」 を も う一度,か み しめた い.

■演 習問題   1.1  数 学 は 言 語 の 一 種 で あ る,と

い う言 葉 の 意 味 を 説 明 せ よ.

  1.2  自然 界 の 「法 則 」 と呼 ば れ て い る もの は,人 の か,あ

間 と は 無 関 係 に 自然 界 に 存 在 し て い る も

る い は 人 間 が 創 り 出 し た も の か ， 考 え よ.

  1.3  万 有 引 力 の 法 則 はF=Gm1  を持 つ 力 で あ る が,左 る も の が 「等 し い(=)」

辺 は[質

m2/d2と

量2/距 離2]と

い う 式 で 書 き 表 わ さ れ る.左 辺 は 具 体 的 な"機 能" い う あ る種 の"量"で

あ る.ま

と い う こ と に疑 問 を感 じ な い の だ ろ う か.こ

っ た く次 元 の 異 な

の よ う な 「等 式 」の 意 味

に つ い て 説 明 せ よ.   1.4  手 元 に あ る 計 算 機 を 用 い て(1÷3)×3を よ.そ

して,分

あ れ ば,そ

数 と小 数 の 違 い,そ

計 算 し,そ

の 答 が １に な ら な い こ と を 確 か め

れ ら の 関 係 に つ い て 考 え よ.も

し,答

が １にな る計 算機 が

の 計 算 機 は 「ど の よ う な 計 算 」 を して い る の か を考 え よ.

  1.5  対 数 を 使 っ て,2200x3300の log3＝0.477と

す る.

積 が 何 桁 の 数 に な る か 求 め よ.た

だ しlog2＝0.301,

２ 座   科 学 史 上,自

標

然 観 革 命 は何 度 か あ る が,そ

け て起 こ っ た.具 体 的 に は,ガ に よ る"近 代 科 学"の

形 成 を 指 す.こ

の が べ ー コ ン(1561−1626)の

上 で,実

紀 か ら17世

紀 にか

ニ ュ ー トン(1642−1727)

の “近 代 科 学"の

思想 的推進 力 にな った

「自 然 支 配 の 理 念 」 と デ カ ル ト(1596−1650)

の 「機 械 論 的 自然 観 」 で あ っ た.近 ベ ー コ ン に発 し て い る.べ

の 一 つ は16世

リ レ イ(1564−1642)や

代科 学 の出発 点 といわれ る実証 主義 思想 は

ー コ ン は,ま

ず 資 料 を 集 め,そ

験 と観 察 に 基 づ く帰 納 的 方 法 を重 視 し た.そ

れ を 整 理,分

して,人

類 した

間 を 自然 か ら切

り離 し て 客 観 化 し,人 間 に よ る 自 然 支 配 の 方 法 の 確 立 を 目 指 した.   一 方,べ

ー コ ン よ りや や 遅 れ て 登 場 した デ カ ル トは,旧

哲 学 の 「自然 の す べ て の 変 化 や 運 動 は,そ

れ ぞ れ あ る 目 的 を 実 現 す る過 程 で あ

る」 と い う考 え を否 定 し,普 遍 的 な 運 動 原 因,基 明 す る こ と を 提 唱 した の で あ る.デ 大 か つ 広 範 で あ る が,中

来 の ア リス トテ レ ス

本 法 則 を も っ て 自然 現 象 を説

カ ル トの 近 代 科 学 に対 す る 思 想 的 貢 献 は甚

で もす べ て の 科 学 へ の 最 大 の 影 響 力 を持 ち,後

性 へ と つ な が っ た の は座 標 系(デ

カ ル ト座 標)の

の生産

発 見 で あ る.

  空 間 を 表 わ す 客 観 的 で 科 学 的 な 新 し い 方 法 で あ る デ カ ル ト座 標 は近 代 科 学 の 最 初 の 大 発 明 の 一 つ で あ り,こ れ に よ っ て,宇

宙 を,そ

こ とが 可 能 に な っ た.空

つ の座 標 が 与 え ら れ れ ば,は

間 の す べ て の 点 は,３

き り と位 置 を 定 め る こ とが で き る の で あ る.デ

カ ル ト座 標 は,ニ

っ て"科 学 的 な 地 図"位 相 空 間 へ と発 展 させ られ る.そ 数 式 で 表 わ す こ と を可 能 に す る.

して自然 を数量化 す る

して,自

っ

ュ ー トン に よ 然 現 象 を 関 数,

2.1  平 面 と空 間 の数 量 化 2.1.1  遠 近 法   ま ず は,図2.1に

示 す絵 を見 て い た だ きた い.

  これ は15世 紀 の ヴ ェ ネ ツ ィ ア派 の 画 家 ・ク リヴ エ リ(1430頃−1495頃)の 「受 胎 告 知(聖 エ ミデ ィ ウ ス を伴 な う大 天 使 ガ ブ リエ ル)」 と題 す る絵 で あ る が, 注 目 して い た だ き た い の は,こ の 絵 が典 型 的 な遠 近 法(厳 近 法)で

密 に は 後 述 す る線 遠

描 か れ て い る こ とで あ る.

  遠 近 法 とい うの は,３ 次 元 の 自然 の物 象 を 目 に見 え るの と同 じ よ う な距 離 感 で ２次 元 の平 面 に表 現 す る 方 法 で あ る.遠 近 法 に は,図2.1に

示 す よ うな 幾 何

学 的 な 透 視 図 法 で あ る線 遠 近 法 の ほ か に,近 景 か ら遠 景 に向 か っ て 大 気 の 厚 さ

図2.1 

ク リヴ エ リ 「受 胎 告 知 」 (ロ ン ドン ・ナ シ ョ ナ ル ギ ャ ラ リー 蔵)

図2.2 

デュ ー ラー の 銅 版 画

が 変 化 す る こ とに よ って 色 彩 が異 な る こ と を考 慮 した色 彩 遠 近 法,ま

た物象 が

次 第 に か す む こ とに 着 目 した 消 失 遠 近 法 が あ る.   こ こで 注 目 す る線 遠 近 法 は,ル ネ サ ン ス期(13世

紀 末 ∼15世 紀 末),こ

の時

代 の写 実 主 義 的 な 自然 再 現 とい う課 題 の も とに イ タ リア で,建 築 家 ・彫 刻 家 の ブル ネ レ ス キ(1377-1446)に

よ って 開 発 され た もの で あ る.空 間 を あ る一 っ

の 視 点 か ら描 く遠 近 法 は,人 間 の理 性 に よ る一 つ の 「発 明 」 で あ り,こ れ に よ っ て絵 画 は よ り 「写 実 的 」 に な っ た(そ れ を逆 手 に とっ た の が 「だ ま し絵 」 と 呼 ば れ る もの で あ る).   次 に,図2.2を

見 て い た だ きた い.

  これ は,線 遠 近 法 を探 求 した ドイ ツ の 版 画 家 ・デュ ー ラ ー （1471-1528)が 描 い て い る"遠 近 法 の 実 践 風 景"で あ る.左 側 の モ デ ル と右 側 の 画 家 の 問 に"格 子"の 衝 立 が 立 て られ て い る.そ して,画 家 が ス ケ ッ チ す る画 用 紙 に も同様 の "格 子"が 引 か れ て い る こ と に注 目 して いた だ きた い .画 家 は格 子 を通 して モ デ ル を見 て,各 升 目 の 中 の"像"を る.こ の よ う な"道 具"を

画 用 紙 上 の 同 じ升 目 の 中 に 写 して い くの で あ

使 え ば,遠 近 法 幾 何 学 の 法 則 に従 っ て,ど

の ような

場 面 で も物 象 で も写 実 的 に描 く こ とが で き る.   遠 近 法 を用 い た絵 画 は確 か に 「写 実 的 」 で は あ る.し か し,３ 次 元 空 間 の 物 象 を ２次 元 の 平 面 に写 実 的 に描 くた め に は,自 然 な 姿 や 形 を歪 め な けれ ば な ら な い こ と も事 実 で あ る.遠 近 法 で 描 か れ る 「自然 」 は あ く まで も格 子 に張 りつ け られ た 人 為 的 な 「自然 」 で あ る.実 ル トの思 想 は,自 然 を"科 学 の 格 子"に

は,本 章 の 冒 頭 で述 べ た べ 一 コ ン や デ カ 張 りつ け る こ とだ っ た の で あ る.

  と こ ろで,日 本 の絵 巻物 に は は っ き りし た遠 近 法 は認 め られ な い が,水 墨 画

の 世 界 で は 中 国 ・宋 代(11世

紀)に

す で に色 彩 遠 近 法,消 失 遠 近 法 が取 り入 れ

られ て い る.

2.1.2  座 標 の 導 入 ■条坊   シ ナ ・前 漢 か ら唐 まで の 首 都 で あ った 長 安(現 在 の 西 安)は

世界史 に燦然 と

輝 く大 都 で あ る.特 に栄 え た の は前 漢,唐 の時 代 で,唐 の長 安 は東 西 約10km, 南 北 約8kmの た.そ

大 規 模 な もの で,宮 城 ・皇 城(官 庁)・ 住 宅 地 を 持 つ 計 画 で あ っ

の市 街 の 特 徴 は,大 小 の道 路 が 東 西 ・南 北 に走 り,格 子 状 の街 区 を構 成

し て い た こ とで あ る.長 安 の 最 盛 期 は玄 宗 帝 の 頃(８ 世 紀 前 半)で,人

口 は100

万 に達 し,シ ル ク ロ ー ドの 中 心 をな す 国 際 的 な文 化 都 市 だ っ た.日 本 の 朝 廷 か ら派 遣 され た 吉 備 真 備(693-775),最 澄(767-822),空 海(774-835)ら "遣 唐 使"は 長 安 の 華 や か さ に さ ぞ か し驚 い た こ とで あ ろ う .   日本 史 上 最初 の 大 規 模 な都 は,710年 城 京(現 在 の 奈 良 市 街 西 方)で

図2.3 

の

に長 岡 京 か ら遷 都 され て 造 営 さ れ た 平

あ る.近 年,こ

平 城 京 の 区 画(条

の平 城 京 の 大 規 模 な発 掘 調 査 が

坊 図)

行 な わ れ,図2.3に

示 す よ う な全 貌 が 明 らか に な って い る.

  この よ うに,大 路 ・小 路 に よ っ て 分 けた 格 子 状 の 市 街 の 区画 を条 坊 とい うの で あ る が,平 城 京(そ

して794年

造 営 の 平 安 京 も)の 条 坊 は長 安 の も の の模 倣

で あ る.平 城 宮 を中 心 位 置 に定 め,南 北 は ９条 に,東 西 は朱 雀 大 路 を挟 む左 右 両 京 を各 ４坊 に 分 けて い る.   東 西 と南 北 の 方 向 に整 然 と区 画 さ れ た 現 在 の都 市 と して は,日 本 で は京 都 と 札 幌 が 有 名 で あ る.京 都 の 町 は,東 西 方 向 に走 る道 は図2.3と 二 条 と数 え るが,南

同 じ よ う に 一 条,

北 方 向 の道 に は堀 川 通 りや 烏 丸 通 りの よ うな 名 前 が つ け ら

れ て い る.札 幌 の道 に は東 西 と南 北 に数 字 が 割 りふ られ,交 差 点 は北 １条 西 ３ 丁 目,通 称"北 １西 ３"(有 名 な時 計 台 が あ る所)の よ う に非 常 に わ か りや す い. ち ょっ と"一 般 法 則"を

知 りさ え す れ ば,札 幌 の 町 中 で 道 に迷 う こ とは な い だ

ろ う.   現 代 の 日本 の 都 市 の 中 で 札 幌 や 京 都 の 区画 は非 常 にわ か りや す い が,図2.3 を見 れ ば平 城 京 の 条 坊 の一 層 の 簡 明 さ は一 目瞭 然 で あ ろ う.平 城 京 の 南 西 の 隅 を拡 大 した 図2.4(便 宜 上,漢

数 字 を算 用 数 字 に改 め た)で 各 交 差 点 を(条,坊)

で 指 定 す る こ と を考 え て み よ う.例 え ば,交 差 点 Ａ,Ｂ,Ｃ (8.5,3.5),(8.75,2.25)で

は それ ぞ れ(8,3),

極 め て 正 確 に表 わ せ る.大 路 に挟 まれ た小 路 の 間

に さ ら に小 小 路 を設 けれ ば,場 所 を さ らに細 密 に,数 値 で 指 定 で き る.   この よ うな古 代 都 市 の 条 坊 あ るい は現 代 都 市 の 格 子 状 の 区 画 は本 節 で 述 べ る 座 標 平 面,そ

して そ れ を ３次 元 空 間 に拡 張 した座 標 空 間 の"源"と

図2.4 

平 城 京 の交 差 点

考 え るこ と

もで き るだ ろ う. ■ デ カ ル 卜座 標   す で にx-y座

標 系 の こ とを知 っ て い る現 代 の わ れ わ れ が,図2.3に

示 した よ

う な条 坊 図 を眺 め れ ば,デ カ ル トの 「座 標 の発 見 」 が そ れ ほ ど大 発 見 な の だ ろ うか,と

思 うか も知 れ な い.し か し,そ れ は 「コ ロ ン ブ ス の 卵 」 とい う もの で

あ ろ う.事 実,長 安 や 平 城 京 の条 坊 を知 る シナ人 や 日本 人 か ら「座 標 の 発 見 者 」 は生 まれ な か った の で あ る.   実 は,デ カ ル トの座 標 の 発 見 を 導 い た の は長 安 や 平 城 京 の 条 坊 で は な く,前 述 の 遠 近 法 の 発 明 で あ っ た.こ

こで,も

う一 度,図2.2の

銅 板 画 の 中央 に描 か

れ て い る格 子 の衝 立 を 見 て い た だ きた い.線 遠 近 法 の道 具 で あ る こ の格 子 の衝 立 の 画期 性 は,そ れ が 空 間 を,そ

して 自然 界 を 区画 した こ とで あ る.こ の 区 画

が 自 然 界 を数 量 化 し,空 間 を客 観 的 に表 わ す デ カル ト座 標 とい う大 発 見 に つ な が っ た の で あ る.   話 が 前 後 す るが,「 座 標 」 を定 義 して お こ う.   平 面(空

間)内

の 各 点 の位 置 を正 確 に表 わ す た め に,一 定 の 方 式 で 定 め られ

る ２個(３

個)の

実 数 の組,ま

た,そ

の実 数 の 一 つ 一 つ を座 標 と呼 ぶ.後 述 す

る よ うに座 標 系 に は極 座 標 とい う よ う な もの もあ るが,デ カル トが 図2.5(a)に 示 す よ うな直 交 座 標 を 用 い た の で,斜

交座 標(ｂ)を も含 め た 平 行 座 標 を デ カ ル

ト式 の 座 標 と い う意 味 で,一 般 に デ カ ル ト座 標 と呼 ぶ. ■ 座 標 平 面 と座 標 空 間   以 下,最

も一 般 的 な直 交 座 標 に基 づ い て 説 明 す る.

  図2.6に

示 す よ うに平 面 上 に縦 と横 の 方 向 に,直 交 す る ２本 の 直 線(軸)を

引 く.こ の ２本 の 直 線 は 図1.15に

示 した 数 直 線 で あ るが,線 上 の 目盛 に対 応 す

(ａ)  直交座標

(ｂ)  斜交座標 図2.5 

デ カ ル ト座 標

図2.6 

座 標平面

図2.7 

座標 空間

る数 は整 数 に限 らず 実 数 で よい.一 般 的 に は,横 方 向 の 数 直 線 をｘ 軸,縦 の 数 直 線 をｙ軸と 標 平 面(x-y座

ぶ.こ

標 平 面)で

の よ うなｘ 軸 とｙ 軸 に よ っ て 表 わ さ れ た 平 面 が 座 あ る.点

Ｐ を(a,b)で

表 わ した 時,(a,b)を

の座 標 とい う.ま た,ａ を Ｐ のｘ 座 標,ｂ をＰ のｙ 座 標 と呼 び,点 が(a,b）

方向

で あ る こ とをP(a,b)と

表 わ す.O(0,0)を

Ｐ

Ｐ の座標

座 標 原 点(あ

るいは

単 に原 点)と 呼 ぶ.   座 標 平 面 はｘ 軸 とｙ 軸 に よ っ て ４つ の 部 分 に分 け られ るが,そ れ ぞ れ の 部 分 に は 図2.6に

示 す よ うに第 １象 限,…,第

  デ カ ル ト座 標 は図2.7に

４象 限 とい う名 前 が つ け られ て い る.

示 す よ う に ３次 元 空 間 に対 して も定 義 で き る.こ の

よ う な ３次 元座 標 に よ っ て 表 わ さ れ る空 間 が 座 標 空 間(x-y-z座 る.座 標 空 間 は,ま

標 空 間)で

あ

さ に,自 然 界 を"科 学 の格 子"に 張 りつ け る も の で あ っ た.

３次 元 座 標 の導 入 に よ っ て,そ れ まで は と りと め の な か っ た 空 間 の す べ て の 点 が,正 確 に,数 量 的 に扱 わ れ 得 る よ うに な った の で あ る.こ の デ カ ル トの座 標 空 間 は,ニ ュ ー トン と い う天 才 の 手 に よ って,科 学 で 最 も幅 広 く使 わ れ る位 相 空 間(後 述)と

な り,す べ て の 変 化 は位 相 空 間 の 座 標 上 の数 学 的 操 作 に還 元 さ

れ る よ う に な っ た.こ の よ うな 意 味 に お い て,デ の 大 発 明 で あ る とい っ て も過 言 で は な い だ ろ う.

カル ト座 標 は 近 代 科 学 の 最 初

2.1.3  座 標 変 換 ■極座標   座 標 は 点 の 位 置 を数 量 的 に表 わ す もの な ので,直

交座標 や斜交座標 に限った

もの で は な い.場 合 に よ っ て は,点 の位 置 を他 の 方 式 で 定 め た 方 が よ い こ と も あ る.そ れ は ち ょ う ど,数 を 表 わ す の は10進 法 に限 った こ とで は な く,ONOFFの

動 作 を基 本 とし た コ ン ピ ュー タ ー に は ２進 法 が 適 して い る,と い う こ と

に似 て い る.   自然 界 の 回 転 や 振 動 を伴 な う よ うな さ ま ざ ま な現 象 を扱 う上 で 便 利 な極 座 標 とい う もの を以 下 に述 べ よ う.   極 座 標 は 図2.8に

示 す よ う に,点 の位 置 を一 定 点(原 点 Ｏ)か らの 距 離ｒ と

方 向 θ とに よっ て表 わ す 方式 の座 標 で あ る.こ の(r,θ)を

点 Ｐ の 極 座 標 と呼

ぶ.   極 座 標(r,θ)は,以

下 の 式 に よ っ て,図2.6に

示 す よ うな 直 交 座 標 系 の座

(ａ)

(ｂ)

図2.8 

極座標

図2.9 

等 速 円運 動(ａ)と 単振 動(ｂ)

標 に変 換 で き る.

(2.1)

  図2.8に

示 す 点 Ｐ は第 １象 限 の 中 に描 か れ て い る が,点

Ｐ が どの 象 限 に あ

っ て も極 座 標 で 表 わ され る こ とは い う まで もな い.つ ま り,点 Ｐ が ど こに あ っ て も,そ の極 座 標(r,θ)が 決 ま る.し か し,点 Ｐ が 原 点 に一 致 す る時 はr(=0) は決 ま る が θは 定 ま らな い.こ の よ うに極 座 標 に は い くつ か の 弱 点 が あ る もの の,次

に示 す 等 速 円運 動 と単 振 動 との 関係 を考 え る よ うな 場 合 に は非 常 に便 利

で あ る.   い ま,図2.9(a)の

よ う に,テ ー ブル 上 で半 径ｒ の 等速 円 運 動 を し て い る点 Ｐ

を考 え る(最 近 は ほ とん ど見 られ な くな っ て し ま った が,回 転 す る レ コ ー ド盤 の端 に置 か れ た小 さ な消 し ゴム の よ うな もの を想 像 す る と よ い).各 時 点 に お け る点 Ｐ の 位 置 を表 わ す の が 極 座 標(r,θ)で 真 横 か ら見 た とす れ ば,図2.9(b)に

あ る.こ の 等 速 円 運 動 す る点 Ｐ を

示 す よ うに,Ｐ は １と ７の 点 の 間 の 往 復 を

繰 り返 す 振 動 を す る こ とが わ か る.   図2.9(a)で,回

転 の 中心 を Ｏ,回 転 角 を θ,Ｐ の軸 上 へ の 投 影 点 を Ｒ とす れ

ば,式(2.1)よ

り

(2.2) とな る.点 通 過)し

Ｐ の 回転 の 角 速 度 を ω とす れ ば,Ｐ が １の点 をス タ ー ト(あ るい は

て か らｔ 時 間 後 の 回 転 角 θ は (2.3)

で 与 え ら れ,式(2.3)を

式(2.2)に

代入 すれ ば

(2.4) と な る.回

して

転 の 周 期 をＴ

と す れ ば,ω=2π/Tな

の で,こ

れ を 式(2.4)に

代入

図2.10  等速円運動す る質点 Ｐの時間的変位x(t)を 示す余弦 曲線

(2.5) を得 る.   式(2.5)と

図2.9(a)に

示 され る 円 周 上 の各 点 とを対 応 させ て 図 示 す れ ば,時

間ｔ と変 位ｘ との 関 係 が 図2.10の

よ う に示 され る.

■座 標 変 換   直 交 座 標 系 の 座 標 と極 座 標 との 互 い の 変 換 は 式(2.1)を 用 い て行 な え ば よ い.   次 に,同

じ直 交 座 標 内 に お け る座 標 変 換 に つ い て 述 べ る.

  説 明 を簡 単 にす るた め,以 下 座 標 の第 １象 限 に つ い て 述 べ る が,座 標 変 換 が す べ て の 象 限 に当 て は ま る こ と,ま た さ ら に ３次 元 の座 標 空 間 に まで 拡 張 され 得 る こ とは い う まで も な い だ ろ う.   図2.11(a)に る.点Ａ,Ｂ

示 され るx-y座

標 平 面 上 の 点A(xa,ya), 

の座 標 は原 点 Ｏ を基 準 に した もの,つ

B(xb，ya)を

考え

ま り原 点 Ｏ か らの 相 対 的

位 置 を表 わ す もの で あ る.し か し,点 Ｂ の 点Ａ に対 す る相 対 的 位 置,あ る い は 運 動 を議 論 す る よ うな場 合 は,図2.11(b)の

よ う に,点Ａ を新 た な原 点O'と

す

るx'-y'座 標 平 面 を考 え た 方 が よ い だ ろ う.こ れ は ち ょ う ど,透 明 な ア ク リル 板 に描 か れ たx-y座

標 軸 を原 点 Ｏ の位 置 か らO'の

もの で あ る.紙 の上 に 書 か れ た 点Ａ,Ｂ 標は

位 置へ 平行移 動 す る よ うな

の 位 置 は変 わ ら な いが,そ れ ぞ れ の 座

(ａ)

(ｂ) 図2.11 

に 変 わ る.こ  x -y座

座標 変 換(平

行 移 動)

れ が 座 標 交 換 で あ る.

標 とx'-y'座

標 との 間 に は

(2.6)

(2.7)

の 関 係 が あ る.こ れ を座 標 変 換 の 式 と呼 ぶ.   例 え ば,図2.12に

示 す よ うに,x'-y'座

標 系 がx-y座

標 系 のｘ軸 方 向 に等 速

度ｖ で移 動 し て い る場 合,座 標ｘ,ｘ'の 変 換 式 は

(2.8)

と な る.こ

れ は 一 般 に ガ リ レ オ 変 換 と呼 ば れ て い る も の で あ る.

  つ い で な の で 書 き 添 え て お くが,ア 時 空 間(x,y,z,ct)を

提 唱 した20世

イ ン シ ュ タ イ ン(1879-1955)が 紀 以 降 は,ロ

４次 元

ー レ ン ツ 変 換 と呼 ば れ る

図2.12  座標系の等速度平行 移動

座 標(x,y,z)に

図2.13 

座 標 変 換(回

転)

加 え時 間(ｔ)の 変 換 式 が含 まれ る ものが あ るが,紙

合 上 こ こで は深 入 り しな い.要

幅の都

は,自 然 界 は空 間 と時 間 が 互 い に 独 立 して い る

もの で はな く,両 者(時 空)が か らみ合 っ て 成 立 して い る,と い う こ とで あ る.   い ま述 べ た 座標 軸 の平 行 移 動 に よ る座 標 変 換 は直 進 運 動 な どを 扱 う時 に便 利 で あ る が,物 理 学 あ る い は 工 学 上 の 問題 に は座 標 軸 を 回転 す る こ と に よ っ て 記 述 が 簡 明 に な る よ う な もの が 少 な くな い.こ の よ うな場 合,図2.13に

示す よう

に,原 点 Ｏ は そ の ま ま の位 置 で,座 標 軸 を反 時 計 回 りに角 θだ け 回転 し て座 標 変 換 を行 な う.   こ の場 合 の新 ・旧座 標 の変 換 式 は三 角 関 数 を用 い て

(2.9)

(2.10)

とな る.   図2.12に

示 した 等 速 度 平 行 移 動 の場 合 と同様 に,新 座 標 系x'-y'が

に対 して 等 角 速 度 ω で 回 転 す る場 合 は,式(2.3)に

旧座 標 系

示 した よ う に,θ を ωtで

置 換 す れ ば よ い.   この よ うな座 標 軸 の 回転 に よ る座 標 変 換 は,例 え ば,回 転 運 動 体 の 遠 心 力 や コ リオ リ力 の 解 析 に有 効 で あ る.詳 た い.

し くは,力 学 の教 科 書 を参 照 して い た だ き

2.2  位 相 空 間 と図 形 の数 量 化 2.2.1  位 相 空 間   デ カル トに よ って 発 明 さ れ た座 標 平 面,座 標 空 間 は,ニ ュ ー トン とい う大 天 才 に よ っ て,自 然 界 の す べ て の 運 動 を座 標 上 の 数 学 的操 作 に還 元 し得 る位 相 空 間 へ と発 展 さ せ られ た.位 相 空 間 と は,物 体 の 位 置 と運 動 量 を座 標 と した 多 次 元 空 間 で あ り,物 体 の 運 動 状 態 を記 述 す る の に 絶 大 な威 力 を 発 揮 す る もの で あ る.そ

し て さ らに,位 相 空 間 は,物 体 の 運 動 状 態 を単 に記 述 す るだ け で な く,

それ を 予 測 す る もの で もあ る.実 は,こ の"予 力 を与 え る こ とに な っ た の で あ る.ニ な 地 図"と

測"と

い う能 力 が 科 学 に絶 大 な

ュー トン の位 相 空 間 は,ま

さ に"科 学 的

な った.

  わ れ わ れ は デ カ ル ト座 標 に よ っ て,空 間 内 の 物 体 の位 置 を数 量 的 に,正 確 に 記 述 で き る よ うに な っ た.し か し,自 然 界 に不 動 の もの は存 在 しな い.運 動 し て い る物 体 は瞬 間 瞬 間 に お い て,そ の 位 置 を変 え て い るの で あ る.つ

ま り,現

実 的 な 物 体 を扱 うた め に は,時 間変 換 に伴 な い 連 続 的 に変 化 す る物 体 の位 置 を 示 す座 標 が 必 要 で あ る.つ な らな い.そ

ま り,デ カ ル ト座 標 に"時 間 軸"を

導入 しなければ

の結 果,物 体 が 時 間 と共 に ど の よ う に動 き,ど の よ う に変 化 した

か を描 け る し,ま た"未 来 の 時 間"を 考 慮 す れ ば,ど の よ うに動 き,ど の よ う に変 化 す るか とい う"予 測"を

す る こ とが で き るの で あ る.

■ 時 間 と位 置   ア イ ン シ ュ タイ ンの 相 対 性 理 論 が 登 場 す る と話 が や や こ し くな るが,わ

れわ

れ は み な,過 去 か ら未 来 へ と移 る時 間 の 中 を通 り抜 け て い る と考 え られ る.過 去 が 再 び訪 れ る こ とは な い し,通 常 は,物 体 に よ っ て時 間 の進 み 方 が 異 な る と い う こ と もな い(光 速 に近 い速 さで運 動 す る物 体 に お い て は話 が 少 々 厄 介 に な る の だ が).時 間 の 尺 度 を空 間 と同 じ よ う に と り,物 体 の位 置 の 時 間 的 変 化 を 示 した の が 図2.14で

あ る.座 標 は位 置 と時 間 を表 わ す の に使 わ れ て い る.

  物 体 Ａ は,時 間 が 経 っ て も同 じ場 所 に静 止 し て い る.と こ ろが 物 体 Ｂ,Ｂ'は 止 まる こ と な く一 定 の速 度 で 動 き続 け て い る.物 体 Ｃ は どの よ う な運 動 を して い る の だ ろ うか.こ

の よ うな 軌 跡 に見 覚 えは な い か.記 憶 力 の よ い読 者 は,図

1.2に 示 した 自 由 落 下 す る物 体 を 思 い 出 す の で はな い だ ろ うか.実

は,図2.14

図2.14 

の Ｃ は,図1.2「

物体 の位置の時間的変化

落 下 距 離 」 を 「位 置 」 に描 き直 した もの で あ る.

  こ う し て,わ れ わ れ は,物 体 が 時 間 と共 に ど の よ うに 動 き,物 体 の 位 置 が ど の よ う に変 化 した か を描 け る よ う に な っ た.し か し,こ れ は,未 来 を予 測 す る に は 不 十 分 で あ っ た し,す べ て の 物 体 に普 遍 的 に適 用 で き る もの で は な か っ た の で あ る. ■運 動 量 の 導 入   ニ ュー トン は,運 動 量 とい う新 しい座 標 を導 入 す る こ とで,デ

カ ル ト座 標 を

さ ら に飛 躍 的 に拡 張 した.   重 い物 体 と軽 い物 体 が,あ

る物 体 に衝 突 した 時,そ れ らの 速 度 が 同 じ で も,

あ る物 体 に与 え る衝 撃 は異 な る.例 え ば,大

き な ダ ン プ カ ー と小 さな バ イ ク が

同 じ速 さで 正 面 衝 突 した 場 合,バ イ クが 受 け る衝 撃 は圧 倒 的 に大 き い.そ れ は, 重 い(質 量 が 大 きい)物 体 の 方 が 大 き な運 動 量 を持 つか らだ とい う.   と こ ろで,1.1節 単 に触 れ た が,こ

で 「速 度 」 と 「速 さ」の意 味 が 互 い に異 な る とい う こ とに簡

  式(1.6)で"速

こで 両 者 の 違 い を は っ き りさせ て お こ う. 度"を

示 した が,実

は厳 密 に は式(1.6)は"速

さ"を 示 す

もの で あ る.速 さ に,運 動 の方 向 を考 慮 した もの が 速 度 で あ る.自 動 車 の 運 転 席 に は"速 度 計"が

あ り,例 えば"時 速60km"な

ど とい う表 示 を す るが,表

示 され るの は あ く まで も"速 さ"で あ って 速 度 で は な い.真 北 に 時 速60kmで 進 む 時 と真 南 に時 速60kmで

進 む 時 は"速 さ"は 同 じで あ るが"速 度"は 同 じ

で は な い.同 じ速 さ で 曲 線 道 路 を進 む時,方 向 は常 に変 化 して い るわ け だ か ら, 速 度 は常 に変 化 して い る.し た が っ て,あ の計 器 は正 し くは"速 れ る べ き もの で あ る.

さ計"と

呼ば

図2.15 

位 相 空 間 図(位

置 と運 動 量 の 座 標)

  さ て,運 動 量 と は,運 動 に お け る慣 性 で,具 体 的 にい え ば,そ の 物 体 の 「質 量 」 と 「速 度 」 の積 の こ とで あ る.し た が っ て,上 述 の 時 速60kmで っ て い る車(物 体)と

同 じ速 さで 真 南 に向 っ て い る車(物

体)は

真北 に向

互 い に逆 の 運

動 量 を持 つ こ と に な る.   デ カル トは物 体 の 位 置 を 示 す の に 図2.7に 標 空 間)を

導 入 した.さ

示 した よ う な ３つ の位 置 座 標(座

ら に,ニ ュ ー トン は,物 体 の 動 き を決 め るの に ３つ の

運 動 量 座 標 を必 要 と した.つ

ま り,物 体 の 位 置 と運 動 を完 全 に記 述 す る た め に

は ６座 標 を 含 む ６次 元 空 間 が必 要 とな る.そ の よ うな 空 間 は実 在 し な い が,そ の よ う な こ とは 重 要 な 問 題 で は な い の で あ る.位 置 と運 動 量 の座 標 を使 え ば, 物 体 の あ らゆ る瞬 間 の 位 置 や速 度(速 さ と方 向)を 示 す こ とが で き る の で あ る. それ が 実 質 的 に ６次 元 空 間 で あ り,位 相 空 間 と呼 ば れ る もの で あ る.   図2.14の

物 体A∼Cの

位 置 と運 動 量 との 関 係 を,位 相 空 間 図 で 表 わ せ ば 図

2.15の よ うに な る.物 体 Ａ は あ る位 置 に静 止 して い る(速 度 ＝0)か は0で あ る.Ｂ は一 定 の速 度(運 動 量)で ゆ っ く り と動 い て い る.B'は 大 き な一 定 の速 度(運 動 量)で 動 い て い る.ま た,自 の 加 速 度(ｇ)を

ら運 動 量 Ｂより

由落 下 す る物 体 Ｃ は 一 定

受 け,運 動 量 を増 加 させ なが ら運 動 を続 け て い る.

  こ の よ うな位 相 空 間 の発 見 に よ っ て 自然 は 「対 象化 」 され,近 代 科 学 者 た ち は,ど ん な事 象 も分 析,論 理 的 解 析,予

測,制 御 で き る とい う自信 を深 め た の

で あ る.

2.2.2  図 形 の 数 量 化   デ カ ル ト座 標 に よ っ て平 面 と空 間 が数 量 化 され,ニ っ て近 代 科 学 が ス ター トした と い っ て も よ い.そ

ュー トン の位 相 空 間 に よ

うい う意 味 で,デ カ ル ト座 標

(ａ) 直 線 図2.16 

は偉 大 な発 明 な の で あ る.さ

(ｂ) 三 角 形 図形 の座 標 表 示

らに,空 間 の す べ て の 点 を座 標 で 表 わ す とい う概

念 は,図 形 の 数 量 化 を も可 能 に した.ち

ょっ と大 袈 裟 な言 葉 を使 え ば,幾 何 学

と代 数 学 との 融 合 を もた ら した の で あ る.こ の こ とが 次 章 で 詳 述 す る 関 数 とい う概 念,そ

して,そ の グ ラ フ化 とい う,ま さ に,自 然 界 の諸 現 象 を理 解 す るの

に画 期 的 な 手 法 へ とつ な が るの で あ る.   以 下,本

章 を終 え る に あ た り,ま た 次 章 の 下準 備 と して,図 形 の 数 量 化 につ

い て簡 単 に触 れ て お き た い.   例 え ば,図2.16(a)に (a,c),(b,d)と

示 す 線 分PQを

考 え る.両 端 の 点 Ｐ,Ｑ

い う座 標 で 表 わ す と線 分PQの

を それ ぞれ

長 さ,つ ま り点PQ間

の距

離 DPQは ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 よ り

(2.11)

図2.17 

円の座標表示

で 表 わ さ れ る.   ま た,図2.16(b)に

示 す よ う な 直 角 三 角 形 を 考 え れ ば,そ

の 面 積SPQRは

(2.12) で与 え られ る.   また,例

え ば 円 の よ う な図 形 も図2.17に

示 す よ うに座 標 平 面 状 に描 け ば

(2.13) とい う方 程 式 を満 足 す る 点 Ｐ の軌 跡(座

標 群)と

して 表 現 さ れ る の で あ る.

チ ョ ツ ト休 憩 ● ２

デカル 卜   試 み にデカル ト(Rene  Descartes,1596−1650)を 人名 辞典,哲 学 ・ 思想 辞典な どで 調べ てみ る と 「フラ ンスの哲 学者,数 学者,貴 族,軍 人」 な ど と紹介 され て いる.事 実,デ カ ル トは 「 我 思 う,ゆ え に我 あ り(Cogito sum)」

, ergo の 言葉 で有名 な哲 学 者で あ り,ま た本 章 で述べ た ような 天才 的数 学 者

であ った ばか りでな く,王 侯貴 族 と しても軍人 と して も多忙 な生 活 を送 った よ うで ある.彼 は 「私が 欲 し いの は平穏 と休 息 だけ だ」とい う言 葉 も遺 して いる.   デカ ル トの生涯 や著 作 につ いて は他書(例 えば,野 田又夫 編 『デカ ル ト』 中 公 バ ックス,1978)に 任せ る と して,近 代 科学 革命 の思想 的 指導 者 と して のデ カル トにつ いて簡単 に触れ てお きた い.ち なみ に,近 代科 学革 命 の最 大の 実践 的貢 献者 は間違 いな く,本 章 にも しば しば登場 した ニュー トン(〈チ ョッ ト休 憩 ●４〉参 照)で あろ う.   自然を機 械 とみな す こと によ って,人 間 が自然 の力 を手段 と して,あ る いは 道具 と して利用 する ことを可 能 にする.こ れ がデ カル トの思 想,つ ま り 「 機械 論的 自然観 」が 推進 した"近 代科 学"の 態 度 であ り,科 学 が 自然 を 「支配 」し, 利用 する技 術を生 む こ とにな った ので ある.事 実,人 類 は この時 以来 今 日ま で 数世紀 にわ た り科 学 と技術 の 「果実」を謳歌 してきたの で ある."近 代 科 学"発 祥の地 ・西 欧か ら遠 く離れ た この 日本 でも,19世 紀 末か ら,そ の"お こぼれ" にあず か って いる.  と もあれ,べ ー コ ンの 「自然 支 配の理念 」 とデカ ル トの 「 機械 論 的 自然観 」

が思 想的 推進 力 とな り,18世 紀の 「 産 業革 命」 を経 て,今 日の巨 大な科 学 ・技 術文 明 を築き あげ てき た ことは確 か であ る.つ ま り,革 命的 な科学 の発展 には, その 土台 とな るべ き科学 が必 要 であ るこ とは いう までも な いが,そ れ に加 え"推 進力"と なる 思想 が不可 欠 だ ったの である.   実 は,中 国(シ ナ)で は,ヨ ー ロ ッパで 「 産業 革命 」が起 こる何 百年 も前 に, 産 業 革命 に必 要な すべ ての技 術 を発 明 していた.に もか かわ らず,中 国で"近 代 科 学"が 生 まれ る ことはな か った し,産 業革 命も起 こ らな か ったの は,そ れ を推 進す る 「思想」 に欠 け て いたか らであ る.   そ れ では,な ぜ,中 国 にはその よ うな 「思想 」が 欠 けて いたのか.こ の点 に つ いて興 味の ある読 者 は志村 史夫 『 文 明 と人 間』(丸 善 ブ ック ス,1997)を

読ん

で いただ きた い.

■演 習 問題  2.1  絵 画 技 術 史 にお ける遠 近 法 の発 明 の功 は何 か.ま た,罪 が あ る とす れ ば,そ れ は どの よ うな こ とか.論 ぜ よ.  2.2  古 代 都 市 ・ 西 安 や平 城 京 の 条坊 は明 らか に座標 平 面 の"源"と

考 え られ るが,中 国(シ

ナ)や 日本 で デ カル ト座標 平 面 や 座標 空 間 の概 念 は生 まれ なか った.そ れ はなぜ だ ろ うか.考 えて み よ.  2.3  自然 科 学 に お け るデ カル ト座 標 の 画期 性 につ い て説 明 せ よ.  2.4  ニ ュー トンの位 相空 間 の 画期 性 につ い て説 明 せ よ.

３ 関 数 とグ ラ フ   こ れ ま で の 章 で,自 して,そ

然 界 の 現 象 と数 学 との 関 係 や さ ま ざ ま な 種 類 の"数",そ

れ ら の 考 え 方,実

例 に つ い て学 ん で き た.例

え ば,図1.9は

物体 が 自

由 落 下 す る場 合 の 落 下 時 間 と落 下 速 度 との 関 係 を 示 す も の で あ った.そ ら は,落 下 時 間 と落 下 速 度 との 間 に は,明

らか に一 定 の"関

係"が

の 図か

見 出 せ る.

つ ま り,落 下 時 間 をｔ と し,落 下 速 度 をｖ とす れ ば,ｖ はｔ の 値 に よ っ て 決 ま る. この よ う に,変

わ っ て い く数(変 数)ｔ が あ り,も

っ て 定 ま る時,ｖ は,グ 図1.2や

ラ フ で 示 す こ と に よ っ て,よ 前 述 の 図1.9に

  本 章 で は,ま

う一 つ の 変 数ｖ がｔ の値 に よ

はｔ の 関 数 で あ る と い う.関 数 で 表 わ され る"変 数"間 の 関 係

ず,さ

り一 層 は っ き りす る.そ

ま ざ ま種 類(形)の

関 数 に つ い て 触 れ,そ

で 示 す こ とに よ っ て 視 覚 的 に理 解 す る こ と を 目 指 す.そ ま な 物 理 的 現 象 を 理 解 し,そ の で あ る."関

の 例 は,す

で に,

示 さ れ て い る.

れ は,自

れ らをグ ラフ 然界 のさ まざ

の 法 則 を見 出 す 上 で 非 常 に 大 きな 力 を発 揮 す る も

数 と グ ラ フ"は,物

理 数 学 の,ま

さ に 真 髄 で も あ る.

3.1  関 数 の 導 入 3.1.1  物 体 の 運 動 の 表 現 ■解析幾何 学   前 章 で 述 べ た よ うに,人 間 は古 くか ら 図形 を使 って い ろ い ろな 考 え を表 現 し た り,深 め た り して きた.そ の 証 拠 の 一 つ に,エ

ジ プ トの ピラ ミッ ドや ギ リ シ

ア のパ ル テ ノ ン神 殿 な どの 古 代 建 造 物 に設 計 図 が あ った こ とが挙 げ られ る.ま た,古 代 ギ リシ ア人 が 幾何 学 の才 能 に恵 ま れ て い た こ とは,そ の 最 高 傑 作 と し て の ユ ー ク リ ッ ド(前300頃)の

「幾 何 学 」 が,ア

ラ ビ ア人 を通 して 近 代 の 数

学 者 に 多 大 の 影 響 を及 ぼ した こ と一 つ を とっ て も明 らか で あ る.   幾 何 学 と初 歩 的 な代 数 学 の 長 い 時 代 を経 て,前 章 で 述 べ た よ う に デ カ ル トが 「解 析 幾 何 学 」つ ま り 「幾何 学 の対 象 で あ っ た 図 形 を座 標 を用 い る こ とで数 値 的 に表 現 し て,代 数 学,解

析 学 に結 び つ け る学 問 」 に思 い至 っ た こ とは,簡 単 に

い え ば,人 間 が 図 面,図 形 を 数 値 に変 換 す る方 法 を 発見 した とい う こ とで あ る. これ は,後 の数 学 の発 展,数 学 の物 理 学 へ の利 用 の こ とを考 えれ ば,極 め て 偉 大 な 発 見,発 明 で あ っ た.し

か し,そ れ だ け で は ま だ,本 章 で 述 べ る"関 数"

に は 到 達 で き な い. ■座 標 軸 内 の 運 動 曲線   さて,わ れ わ れ に と っ て身 近 な物 体 の運 動 を例 に,関 数 に つ い て考 えて み よ う.   部 屋 の 中 に迷 い 込 ん だ 虫 が 飛 ぶ様 子 や 飛行 機 が 大 空 に残 す 飛 行 機 雲 を 目で 追 っ て い る と,い つ の間 に か 飛 行 曲線 の よ う な もの が 描 け る こ とに 気 づ くだ ろ う. これ は図3.1に

示 す よ うに,複 雑 な 曲線 の場 合 もあ れ ば,ほ

とん ど直 線 の 場 合

もあ る.   図3.1に

示 す 飛 行 機 の運 動 曲 線(飛 行 曲線)を,x-y直

び 飛 び の点 だ け をx-y座

標 で 数値 化 す れ ば 表3.1の

交 座 標 軸 に お け る飛

よ うに な る.こ の 場 合,基

準 と してｘ 座 標 の 数 値 を選 べ ば,飛 行 曲 線 に お い て 一 つ のｘ 座 標 に 対 し てｙ 座 標 が 一 つ だ け決 ま る.こ の よ う なｙ はｘ の 一 価 関 数 で あ る.   と ころ が,虫 の 複 雑 な飛 行 曲 線 の 場 合 は,同

じ(x,y)座

方 向 の座 標 が ２個 以 上 存 在 す る.す なわ ち,x-y平

標 に対 応 す る高 さ

面 上 に 限 れ ば,ｙ はｘ の多

表3.1

図3.1 

虫 と飛 行 機 の運 動 曲線

価 関 数 で あ る.   しか し,い ま述 べ た飛 行 曲 線 のx-y直

交座 標 面 上 で の 表 現 は,前 章 で述 べ た

遠 近 法 の場 合 と同 じ よ う に,本 当 の もの で は な い.空

や天 井 に写 し と られ た 曲

線 の影 の よ う な もの で あ る.本 当 の 曲線 を表 わ す た め に は,図3.2の

よ う に,

高 さ方 向 の 座 標 軸(通 常,ｚ 軸)を 導 入 し な け れ ば な らな い.そ の よ うな ３次 元 x-y-z直 交 座 標 系 を用 い れ ば,飛 行 物 体 の飛 行 の 各 瞬 間 の 位 置 を一 点 に確 定 す る こ とが で き る.つ

ま り,そ の意 味 で は確 か に一 価 関 数 と呼 んで もよ い よ う に

思 わ れ る.   と こ ろが,こ

の こ と も厳 密 に考 え る と少 し怪 し くな る.例

Ａ ,Ｂ の よ う に,も し,x-y平

点

面 上 の あ る点 Ｐ で 正 確 に重 な る飛 行 が 行 な わ れ

た 場 合 は ど う な る の で あ ろ うか.こ い て"変 数"は

え ば,図3.3の

こで 重 要 に な るの が,表 現 した い関 係 に お

何 か と い う定 義 を正 確 に行 な う こ とで あ る.

  つ ま り,飛 行 曲線(よ

り一 般 的 に い え ば,"図 形 で表 現 され た もの")を

数値

化 す る作 業 で は,少 な く と も 「変 数 」 と,そ れ で 表 現 され る 「数 値(関 数)」 を 正 確 に認 識 す る こ とが 必 要 に な る.そ の よ う な"関 係"が

きち ん と決 め られ る

こ とに よ って は じめ て,変 数 と関数 が 理 解 で きる の で あ る. ■関数   通 常 の 関 数 とは,読 者 の み な さん が 中 学 校 や高 校 で 学 習 して きた で あ ろ う

(3.1)

図3.2 

３次 元 座 標 に よ る

図3.3 

飛行曲線の表現

３次 元 座 標 に お け る "多 価"飛 行 曲線

の よ う な表 示 の もの で あ る.   こ こで,f(x)と

表 現 した"ｆ"は

英 語 の"function(は

た ら き,機 能)"の

頭

文 字 で あ り,関 数 が ま さ に変 数ｘ に機 能 して,あ るい は,は た ら き か けて,そ の 結 果 とし て値ｙ を もた らす とい う こ と を意 味 す る.   い ま図3.1∼3.3で

述 べ た よ う に 「物 体 の飛 行 曲 線 」 を座 標 で 表 現 す る場 合,

そ の運 動 の 基 準 座 標 は,飛 行 を観 察 して い る 「私 」 が か って に決 め る こ と に な る.「 私 」に とっ て,そ の 座 標 の原 点 は,飛 行 機 に つ い て は"地 平 線 の あ る地 点" で も よ い し,虫 の飛 行 につ い て は"部 屋 の 隅 に あ る柱 の根 元"で あ る.そ れ らの 原 点 か ら ２次 元(平

面)あ

るい は ３次 元(空

も よ いわ けで

間)の 直 交 座 標 を

考 え るの が 普 通 で あ ろ う.   例 え ば,３ 次 元 直 交 座 標 の 各 軸 の 値 は一 般 的 に

(3.2) の よ うに表 現 され る.こ

こで,ａ ，ｂ,ｃ は具 体 的 な数 値 で,そ れ は"単 位 長 さ"

の 選 び 方 で決 ま る.   とこ ろ で,ニ

ュー トン が物 体 の 運 動 の 数 値 化 を 考 えた 時,と

問題 が こ こで顔 を出 す こ とに な る.彼

て も深 く悩 ん だ

は,デ カ ル トの 「解 析 幾 何 学 」 に強 く影

響 され,次 章 で述 べ る微 分 積 分 学 を考 え出 した際 に も,そ れ が 本 質 的 に は 数 学 的 な 問 題 で あ る に もか か わ らず,物 体 の 運 動 の軌 跡 と微 分 積 分 学 との 関 係 を強

く意 識 し続 けた の で あ る.ニ で あ った.つ

ュー トン は,本 質 的 に 物 理 学 者 と して 思 考 す る人

ま り,彼 が 悩 ん だ の は"時 間"と

  この こ とは,2.2.1項

い う存 在 で あ る.

で"位 相 空 間"と して す で に 説 明 した こ とで あ るが,別

の視 点 か ら も う一 度 簡 単 に述 べ て お こ う.   物 体 の 運 動 に は,"ど

の 場 所"つ ま り"ど の座 標 位 置"に 存 在 す るか,と

いう

こ との ほ か に,必 ず"い つ"存 在 す る の か,あ

る い は"い つ"存 在 した の か と

い う"時 間"の 問 題 が含 まれ る こ とに な る.つ

ま り,2.2.1項

で 述 べ た よ う に,

「時 間 」は ３次 元 空 間 内 の 運 動 に お け る第 ４の 変 数 と して,ど

う して も必 要 に な

る の で あ る.   ニ ュー トン は 当面 の 方 法 と して,基 準 とな る座 標 上 の距 離 の 単 位 と して,あ る基 準 時 間(瞬 間)内

に移 動 す る距 離 を とる こ とで,座 標 上 の距 離 に時 間 を直

結 させ る こ と に した.し か し,こ の こ と は,彼 が その 後 も考 え ざ る を得 な い 重 大 な問 題 を含 んで い た の で あ る.そ

して,そ

の 問題 が 多 くの 数学 者 に よ っ て研

究 され た こ とが,次 章 で述 べ る微 分 積 分 学 の 基 礎 を徐 々 に強 固 に す る こ とに大 き く寄 与 した.

3.1.2  関 数 発 見 の背 景   これ か ら具体 的 な さ ま ざ まな 関 数 の説 明 に 入 る の で あ るが,そ

の前 に,物 理

学 の み な らず哲 学 的 に も大 きな転 換 を もた らす こ とに な った 思 想 を数 式 か ら導 き出 した デ カ ル トや ニ ュー トンの 時 代 的,思

想 的 背 景 に つ い て 簡 単 に触 れ て お

きた い.以 下 の 説 明 の 中 に登 場 す る関 数 の数 学 的 表 示 に つ い て は,と

りあ えず

は深 く考 え て い た だ か な くて よ い.次 節 以 下 で 具 体 的 な 関 数 を学 習 した後 に, も う一 度,本 項 を読 ん で い た だ くの が 望 ま しい.   デ カ ル トにせ よ,ニ ュ ー トン にせ よ,彼 らが 研 究 を始 めた 頃 の ヨー ロ ッパ は, 現 在 の わ れ わ れ か らは想 像 が 困 難 な ほ ど"中 世 的"な 状 態 に あ っ た.つ 彼 の す ぐ前 の 世 代 の先 輩 格 の ケ プ ラ ー(1571-1630)の

ま り,

母 親 は"魔 女 裁 判"に

か け られ た し,デ カ ル トは 常 に宗 教 裁 判 にか け られ る心 配 を しな が ら 自分 の研 究 の 公 表 を した り,し な か った り して い た ら しい し,か の ニ ュ ー トンが 錬 金 術 に深 い興 味 を持 っ て い た こ とな ど を考 え る と,彼 環 境,す

な わ ち"中 世 的"な

らは 現 代 とは き わ め て 異 な る

時 代 に生 きて い た の で あ る.

  デ カ ル ト と ニ ュ ー ト ン が,現 それ は デ カ ル トに よ る

在 に ま で 及 ぶ 思 想 上 の 大 発 見 を し た と す れ ば,

「空 間 」 の 意 味 の 再 発 見 で あ り,ニ

間 」 の 意 味 の 再 発 見 で あ ろ う と思 わ れ る.デ

ュ ー トン に よ る 「時

カ ル トに よ っ て

「空 間 を 量 的 に 扱

う こ と」 と 「量 を 空 間 で 表 現 す る こ と 」 が 可 能 に な っ た の で あ る が,こ

れ は,

そ れ ま で の 古 代 ギ リ シ ア の 幾 何 学 や 自 然 哲 学 と比 べ て 画 期 的 な こ と で あ っ た.   ま た,ニ ュ ー ト ン の 伝 記 作 者 と し て 現 在 最 も 評 価 の 高 い ウ ェ ス ト フ ォ ー ル が, ニ ュ ー ト ン に 対 し て 「他 の 偉 大 と さ れ る 科 学 者 の 誰 と も 違 っ た,ま

っ た く隔 絶

した 能 力 の 持 ち 主 で あ る と い う 印 象 を 受 け る 」 と 書 い て い る が(R.S.Westfall, "The

Life

of Isaac

Newton",Cambridge

ニ ュ ー ト ン が 大 天 才 で あ る だ け で は な く,常

University

Press,1993),そ

れ は

人 を超 越 した 世 界 に生 きて い た と

い う 意 味 も含 ん で い る と 思 わ れ る.   し た が っ て,ニ

ュ ー トンが

(3.3) の多 項 式,整

級 数 展 開 に微 積 分 の す べ て が 含 ま れ て い る と した理 由,発

見の心

理 は,本 質 的 に は現 代 人 に は理 解 不 能 なの か も しれ な い.   こ こに 現 わ れ て い る各 項 の 関 数 は,ま さ に,次 節 以 下 で 具 体 的 に述 べ よ う と す る関 数 で あ り,少 し複 雑 に見 え る理 由 は上 式 が 多 くの 関 数 の和,つ

ま り通 常

の名 称 と して の 「多 項 式 」 あ る い は 「整 級 数 式 」 な ど呼 ばれ る形 を して い るか らで あ る.   これ らの式 の う ち,上 の ３つ を

(3.4) の よ うに切 り取 っ て示 す と,不 思 議 な こ とが 見 え て く るの で は な い だ ろ うか.

高 校 で微 分 や積 分 を少 しで も学 習 した経 験 の あ る読 者 は,何 部 分 が,こ

とな く面 白 そ う な

れ らの 単 純 な 多項 式 の 中 に 含 まれ て い る こ と を感 じる の で は な い だ

ろ うか.   左 辺 の ｈ と右 辺 の 第 １項 を無 視 し て,こ れ ら の 多 項 式 を 眺 め て い た だ き た い.詳

し くは 次章 で 述 べ る と して,こ

こで はニ ュ ー トンが,以 上 の よ う な展 開

式 の 中 に微 分 積 分 学 の す べ て が 含 まれ て い る,と い っ て い た こ とだ け を指 摘 し て お きた い.   一 方,デ

カ ル トに と っ て は整 式 が 重 要 で あ った.彼

に つ い て考 え た.つ

ま り,あ ら ゆ る数 字 を"桁"に

は小 数 と整 式 との類 似 性

着 目 して 表 示 して み る と,

例 えば

(3.5) の よ う に な る.  こ の こ と は す で に1.2.2項

で 示 し た こ と で あ る が,こ

れ を拡 げ れ ば

(3.6) とい う整 式 が 現 わ れ る こ とが 納 得 で き るだ ろ う.   次 節 以 下 で 述 べ る種 々 の 関 数 の一 つ一 つ が 不 思 議 な ほ ど多 くの物 理 的 内 容 を 表 現 して い る こ と は デ カ ル トや ニ ュ ー トン も認 識 して い た.し た が っ て,そ らの集 合 体(和

と差)に

よ っ て 構 成 さ れ る も の の 中 に宇 宙,自

れ

然 界 の秘 密 の 多

くが 封 じ込 め られ て い る と,彼 ら は確 信 して いた の で あ ろ う.   こ こで,も

う一 つ 指 摘 して お か な け れ ば な ら な い の は,ギ

リシ ア時 代 の 思 想

(自 然 哲 学)の 特 徴 が く静 止 〉に あ る とす る と,デ カル ト,ニ ュー トン以 後 の 近 代 ヨー ロ ッパ で 芽 生 えた 思 想 の特 徴 が 〈変 化 〉 に あ る とい う点 で あ る.こ の こ と は,少

し追 加 説 明 が 必 要 か も しれ な い.つ

ま り,簡 単 に述 べ れ ば,次 章 で 学

ぶ微分 ・ 積 分 の 内 容 に何 か 思想 上 の本 質 的 な発 展 あ るい は転 回 が あ る とす る と, そ れ は変 化 が な く,静 止 し て い る 「関 係 」 だ けの 世 界 観 か ら,動 的,ダ ッ ク に変 化 して い く世 界 観 に飛 び移 った 点 に あ る とい え そ う で あ る.   さて,い

よ い よ,具 体 的 な,種 々 の 関 数 に つ い て 学 ぶ こ とに し よ う.

イナ ミ

3.2 ｎ 次 関 数 3.2.1  １次 関 数 ■一 般 形   １次 関 数 の一 般 形 を整 式 で 表 示 す れ ば

(3.7) とな る.こ

こ で ａ,ｂ は 定 数 で あ り,変 数ｘ に つ い て数 値 ｙ が定 義 され る.つ

ま り,変 数ｘ をａ 倍 し て,そ れ に定 数ｂ を加 え れ ば 数 値ｙ が 決 ま る とい う こ と で あ る.こ れ を グ ラ フで 表 わ せ ば 図3.4の 基 本 形 で あ るy=xと

よ う にな る.図 中 に は,こ の 関 数 の

い う関 数 の グ ラ フ も示 して あ る.

  この 関 数 で 表 示 さ れ る物 理 現 象 はた くさ ん あ る.図1.9に 間(ｔ)と

落 下 速 度(ｖ)と

示 した 自由 落 下 時

の関係 が まさし く

(1.15) で あ った.ま

た,図3.1に

示 した飛 行 機 の 飛 行 曲線 を理 想 化(微

ず か な 曲 りを無 視)し た 直 線 も式(3.7)で

表 わ され る図3.4の

小 な振 動 や わ よ う な直 線 に な

る だ ろ う.   あ る特 定 の 方 向 に ま っす ぐ移 動 して い る物 体 はx-y平

面 上 で直線 的 な運動

を す る.し た が っ て,そ の物 体 の 位 置 は基 準 とな る軸,こ

の場 合 はｘ 軸 の位 置

(座標)が 決 まれ ば一 義 的 にｙ 軸 上 の 座 標 も決 ま る.上 記 の 式(1.15)で

図3.4 

１次 関 数 の グ ラ フ

図3.5 

運 動 す る ２物 体 Ａ,Ｂ 相 互 関係 を表 わ す 傾 き

は,ｘ

の

座 標 が 時 間ｔ,ｙ 座 標 が 速 さｖ に対 応 して い るわ け で あ る.   １次 関 数 の第 一 の 特 徴 は,"傾

き"ａ が 一 定 で,ｘ の どの よ うな 変 化 量 △xに

対 して も,ｙ の 変 化 量 △yが 正 確 にa× △xと な る こ とで あ る.こ い う もの に つ い て,も

の"傾 き"と

う少 しニ ュー トン流 に考 えて み よ う.

  図3.4のy=ax+bが

示 す よ うに,ｘ 軸 の小 さな 変 化 に対 してｙ 軸 上 の 変 化

量 を対 応 させ る と,こ の 関 数 の 傾 きａ が 決 ま る.次 章 で 詳 し く論 じ る よ うに, ニ ュ ー トンの 考 え方 で は,図3.5に の微 少 な 移 動 が,"瞬 とす る.そ して,そ

示 す よ う に,ｘ 軸 上 を移 動 して い る物 体 Ａ

間"の 時 間ｔ に起 こ る と定 義 して,そ の 瞬 間 移 動 距 離 をｄ の物 体Ａ の 速 度(速 さ)vAはｘ

軸 方 向 にvA=d/tと

きる.こ のｘ 軸 を基 準 軸 と して,別 の物 体 Ｂが 速 さvBでｙ る とす る.こ

こで は,Ａ

け移 動 す る間 に,物 体 Ｂ はy+d(vB/vA)だ

この よ う に考 え る と,Ａ 傾 きがvB/vAと

軸 方 向 に移 動 して い

と Ｂの 運 動 の始 点(原 点)が 一 致 し て い る と考 え る.

これ らの 物 体 Ａ,Ｂ が 運 動 す る場 を直 交 す るx-y平 Ａ がx+dだ

表 示で

面 で 表 わ す とす る と,物 体 け移 動 す る こ と に な る.

と Ｂの ２物 体 に つ い て 運 動 の相 互 関 係 を 表 わ す 曲 線 の

し て現 わ れ る.こ こ で,１ 次 関 数 とは,こ の値vB/vAが

一定 の運

動 をす る物 体 Ａ と Ｂの 相 互 関 係 を表 示 す る もの で あ る,と 考 え る こ とが で き る の で あ る.   以 上 の 説 明 を,何 だ か,簡 単 な こ とをわ ざ と複 雑 に考 え て い る の で は な い か, と思 った 読 者 も少 な くな い だ ろ う.し か し,ニ ュ ー トンの 考 え 方 の 根 底 に は, 図 形,曲 線,関 数 な ど とい う もの は,運 動 す る物 体 間 の 相 互 関係 を表 わ そ う と す る とき に現 わ れ る,と い う認 識 が あ った の で あ る.そ の こ とが,ニ

ュー トン

の ニ ュ ー トン ら し い考 え 方 で もあ る.   いず れ に して も,ニ い方 が,こ

ュー トン の 時 間 と運 動 との相 関 につ い て の 巧 妙 な 取 り扱

こ に現 わ れ て い る.つ

ま り,「絶 対 」 時 間 とい う 「伸 び縮 み しな い」

時 間ｔ の 経 過 す る間 に物 体 が 移 動 す る距 離 を運 動 の基 準 と し て,２ 物 体 の 相 対 運 動 を表 現 して い く方 法 で あ る.   こ こで,上 記 の ニ ュ ー トンの 考 え 方 を再 度,簡 単 な 言 葉 で説 明 す れ ば,「物 体 Ａ は速 度vAでｘ

軸 上 を直 線 運 動 し,物 体Ｂ は速 度vBでｙ

上 を直 線 運 動 す る

と,そ れ らの 相 互 関係 を表 わ す 直 線 は １次 関数 で あ り,そ の傾 き はvB/vAに る」 とい う こ とに な る.

な

図3.6 

双曲線

  ニ ュー トン の考 え 方 の,よ

図3.7 

理 想 気体 のP-V曲

り詳 細 な検 討 は次 章 で行 な う.と

数 は簡 単 な よ う に思 え て 重 要 な存 在 で あ る.物 理 現 象,例 わ す あ らゆ る 曲線(図3.1参

線

もか く,１ 次 関

え ば物 体 の 運 動 を表

照)に 高 校 の 数 学 で 学 ん だ 「接 線 」 を引 く こ と は,

力学 の 「速 さ(速 度)」 を考 え る こ とに相 当 す る.そ れ は,そ の運 動 曲線 の あ る 点 に つ い て接 線 と して定 義 され る １次 関 数 を考 え る こ と と深 く関係 して い る か らで あ る. ■双 曲 線   双 曲 線 は 円 錐 曲 線 の一 種 で,そ の一 つ は 図3.6に あ る意 味 で,１ 次 関 数 と関 連 深 い 関 数 な の で,こ   な お,「 双 曲線 関 数 」とい うの は,ま h(x))"と

示 した よ うな 形 を し て い る. こで と りあ げ る こ とに す る.

っ た く別 の"ハ イパ ボ リッ ク ・サ イ ン(sin

か"ハ イ パ ボ リ ック ・コサ イ ン(cosh(x))"と

い う三 角 関数 に関 連

す る関 数 な の で 注 意 が 必 要 で あ る.   図3.6に

示 す双 曲線 を数 式 で 表 現 す れ ば

(3.8) で あ る(実 際 は,図3.6のx-y直 存 在 す るが,そ

交座 標 の 第 ３象 限 に も,も う一 つ の 双 曲線 が

れ は描 い て い な い).

  この よ うな 関数 は,物 理 学 の い ろ い ろ な場 面 で 現 わ れ て くる.例 え ば図3.7は 熱 力 学 に 登 場 す る気体 の 圧 力(Ｐ)と

体 積(Ｖ)と

の 関 係 を示 す もの で,こ

れは

(3.9) とい う理 想 気 体 の状 態 方 程 式 で表 わ され る.こ こ で,ｎ は考 え て い る気 体 の モ ル 数,Ｒ

は気 体 定 数,Ｔ

は 温度 で あ る.式(3.9)は

熱 力 学 に お け る基本 式 で は あ

図3.8 

静 電 ポ テ ンシ ャル(φ)の 摸式 図

るが,通 常,温

度 と気 体 量 を一 定 と して 考 え る場 合 が 多 い の で,簡 単 に右 辺 を

定 数 Ｃ と して

(3.10) とな り,こ れ は 式(3.8)と

同 型 の双 曲 線 型 の関 数 で あ る.式(3.10)と

図3.7

が意 味 す る こ とは,気 体 の圧 力 を増 す と体 積 が減 少 し,体 積 が 増 す と圧 力 が 減 少 す る,と い う極 め て 直 感 的 に 理 解 しや す い もの で あ る.   この 型 の も う一 つ の 代 表 的 な物 理 量 は,電 磁 気 学 に登 場 す る静 電 ポ テ ン シ ャ ル,す な わ ち電 位 で あ る.点 電 荷 が 形 成 す る静 電 場 か ら求 め られ る電 位 φ は, 図3.8に

示 す よ うな 形 で,電 荷 か らの 直 線 距 離(ｒ)に

逆 比 例(φ∝1/r)し

て

減 衰 して い く.つ ま り Ｃ を定 数 と して

(3.11) とい う双 曲線 型 の 関 数 に な る.

3.2.2  ２次 関 数 ■一 般 形   中 学 校 で 学 習 した ２次 関 数,２ 次 方 程 式 に は強 い 印 象 が あ る読 者 が 多 い と思 わ れ る.２ 次 関 数 の 一 般 形 は

図3.9 

基 本 的 な ２次 関 数 の グ ラ フ

(3.12) で 表 わ さ れ る.こ

こ で も １次 関 数 の 場 合 と同 様 に,ｘ が 変 数 で ａ,ｂ,ｃ

は定 数

で あ る.   最 も単 純 な ２次 関 数y=x2の ,ｂ,ｃ 広 く,あ 関数y=x2で

が い ろ い ろ な 値 を と る こ と で,こ る い は 狭 く な っ た り,上 は,図3.9に

化 △yが(△x)2,つ   こ の ２次 関 数 は,す 1.2を,い

グ ラ フ は 図3.9の

ま り,△y=(△x)2と

か に も"落 下"ら

定数ａ

の グ ラ フ が 平 行 移 動 し た り,幅

下 が 反 転 し た り す る の で あ る.し

示 す よ う に,ｘ

で に 図1.2に

よ う に な る.式(3.12)の

か し,２

が 次

座 標 の 変 化 △xに 対 す るｙ 座 標 の 変 い う関 係 は 常 に 保 た れ て い る.

示 し た 自 由 落 下 の 現 象 に 現 わ れ て い る.図

し い 図3.10に

描 き 直 し て ２次 関 数 に つ い て 考 え て

み よ う.   落 下 の 方 向 に-y軸 10)か

ら-(1/2)gtと

か ら,落

を とれ ば,落 下 開 始 か らｔ 秒 後 の 平 均 落 下 速 度 は,式(1. 考 え る こ と が で き る.そ の 平 均 速 度 でｔ 秒 間 落 下 し た の だ

下 距 離 は,式(1.14)で

も示 し た よ う に,-(1/2)gt2に

 ｘ 軸 方 向 に 等 速 度ｖ で 運 動 を 始 め た 物 体 に つ い て,x-y座

な る. 標(x,y)と

時 間

の 関 数 と し て の 運 動 に こ だ わ っ て,ｔ 秒 後 の 運 動 体 の 位 置 を 考 え る と,原 点 か ら 見 て

(3.13) (3.14) とな る.こ れ らの 式 か ら時 間ｔ の 因 子 を消 去 す る と

図3.10 

自 由落 下 の

図3.11 

放物線

２次 関 数

(3.15) が 得 られ,関 数 の 形 と して はy=-cx2に

な る.こ の グ ラ フ は,図3.9の

反 転 させ た 形 で あ り,そ の幅 は,重 力 加 速 度ｇ とｘ 軸 方 向 の 速 度vxか れ る定 数c(=g/2vx2)で

上下 を ら求 め ら

決 ま る.こ の グ ラフ は,物 体 を投 げ上 げた 時,そ

体(放 物)の 軌 跡 の 形(図3.11)と

の物

同 じな の で放 物 線 と呼 ば れ るの で あ る.実

際 の放 物 線 の形 は"放 物"の 初 期 条 件 に よっ て 異 な る が,基 本 的 に は ２次 関 数 とな る.   ２次 関 数 は,こ

こ で述 べ た 放 物 線 運 動 の ほ か に も非 常 に多 くの物 理 現 象 に現

わ れ る.例 え ば,物 体 の面 積 や 領 域 に関 連 した よ うな現 象 で あ る.な ぜ な ら, そ れ ら は,距 離ｒ の ２乗,す

なわ ちr2で 表 現 され る もの だ か らで あ る.

■x-2関 数 の 物 理 現 象   １次 関 数 に関 連 し て双 曲線(xy=1)に (y=x2)と

関 連 す るy=x-2で

つ い て述 べ た の で,こ

こで,２ 次 関 数

表 現 され る物 理 現 象 につ い て 述 べ て お こ う.

  この 関 数 形 で表 現 され る物 理 現 象 の典 型 は,第

１章 で 述 べ た万 有 引 力 の 法 則

や ク ー ロ ン の法 則 で あ り,そ れ ら は

(1.3)

(1.16) と い う 式 で 表 わ さ れ た.こ な っ て い る.

れ ら の 式 は い ず れ もF=d-2,つ

ま りy=x-2の

形 に

  こ こで,式(1.16)で

表 わ され る クー ロ ン力 Ｆ につ い て物 理 学 的 な観 点 とそ

れ を表 現 す る関 数 の観 点 の 両 者 か ら詳 し く考 えて み よ う.   式(1.16)の 定 数ｋ を物 理 的 定 数 で 書 き直 し,以 下 の議 論 の便 宜 上,ｄ

をｒ に

書 き換 え る と,式(1.16)は

(3.16) とな る.こ

こで,ε0は 真 空 の誘 電 率 で あ る.

  クー ロ ン力 に つ い て研 究 した フ ァ ラ デ イ(1791-1867)は,一 ら外 部 の 空 間 に放 射 状 に電 気 力線(図1.16参 い た.そ

つの電荷 Ｑ か

照)が 発 生 して い る こ と に気 が っ

の電 気 力 線 を一 つ の物 理 的 実 在 と認 めれ ば,電 気 的 な 力 は この 電 気 力

線 を通 して伝 え られ る と考 え られ る こ と は,重 力 の場 合 と共 に第 １章 で述 べ た. この 電 気 的 な空 間 の こ とを,マ 1.1節 で も述 べ た が,"場"と つ)と

ッ ク ス ウ ェル(1831-1879)は い う概 念 は 空 間 自体 が"あ

電 場 と呼 ん だ.

る性 質"を 帯 び る(持

い う,そ れ まで に は な か っ た まっ た く新 しい考 えで あ る.電 場 Ｅ は

(3.17) で 表 わ さ れ る.こ の 電 場 の 断面 を模 式 的 に描 い た の が 図1.16だ の 空 間 ら し く立 体 的 に描 き直 した の が 図3.12で

が,こ れ を 実 際

あ る.電 荷 Ｑ を 囲 む球 状 の 面

(等電 場 面)を 考 え,こ の 面 上 の電 場 の 総 和Etotalを 求 め て み る と,半 径ｒ の 球 の 表 面 積 は4πr2な の で

図3.12 

空間電場の模式図

(3.18) とな る.つ

ま り,半 径ｒ に 関 係 な く,電 場 の総 和 は一 定 値 に な る こ とが 示 さ れ

る.こ の 事 実 は,電 磁 気 学 で は極 め て 重 要 で あ り,ガ ウ ス の 法 則 と呼 ば れ て い る.式(3.18)が

意 味 す る こ と(つ ま り,ガ ウ ス の 法 則)は

した 電 気 力線 の 数(図1.16参

照)は

増 え も減 り も しな い 」 とい う もの で あ る.

  と こ ろ で,こ の 電 場 の定 義 式(3.17)に うか.ま

「電 荷 Ｑ か ら発 生

は一 つ の 欠 点 が あ る.そ れ は何 だ ろ

ず,読 者 自身 で考 えて み て い た だ きた い.

  つ ま り,距 離ｒ が どん どん小 さ くな っ て い っ た場 合 の 電 場 の 大 き さ に関 す る 問 題 で あ る.   式(3.17)を

眺 め れ ば明 らか な よ う に,r→0の

場 合,電

場 の大 き さ,別 の い

い 方 をす れ ば電 気 的 な 力 の 大 き さ は ど ん どん 大 き くな り,E→∞ ま うの で あ る.実 は,こ の こ とは,双

と発 散 し て し

曲線 の と こ ろ で述 べ た 電 位 に つ い て もい

え る こ と なの で あ る.   それ で は,式(3.17)で

表 わ され る電 場 は,実 験 的 に は どの 程 度 の距 離 まで

正 し い の で あ ろ う か.   現 在 まで の 実 験 結 果 に よれ ば,10-15m,つ き さの10万

分 の １程 度,あ

ま り図1.26を

参 照 す る と原 子 の 大

る い は原 子 核 の大 き さ の1/10程

度 まで は式(3 .16)

が 成 立 す る よ うで あ る.

3.2.3  ３次 関 数 ■一 般 形   ３次 関 数 の一 般 形 はy=x3で

あ る.物 理 現 象 に お い て ３次 関 数 が現 わ れ る の

は,そ の 現 象 が物 体 の体 積 に関 係 す る よ うな場 合 で あ る.   例 え ば,あ る物 理 現 象 に 関 係 す る領 域 が 半 径ｒ の 球 だ とす れ ば,そ の領 域 の 体 積 は(4π/3)r3で あ り,こ の領 域 内部 の 物 体 が 周 囲 の 系全 体 よ り も単 位 体 積 あ た りａ とい う絶 対 値 で表 わ され る分 だ けエ ネ ル ギ ー の 低 い 状 態 に あ る とす る. こ の場 合,エ

ネ ル ギ ー の代 りに熱,あ

る い は温 度 と い う感 覚 的 な,漠 然 と した

(ｂ)

(ａ) 図3.13 

イ メ ー ジ の もの を考 え て も よ い.と 体 の エ ネ ル ギ ー はa(4π/3)r3だ

析 出 核 と界 面 形 成

もか く,そ の領 域 が 存 在 す る こ とで,系 全

け低 下 す る こ と に な る.

  多 くの 物 理 現 象 で は,こ の よ うに 周 囲 の 部 分 と異 質 の 領 域 が 形 成 され る と, そ の 表 面,つ ば,あ

ま り周 囲 との 界 面 部 分 を形 成 す る エ ネ ル ギ ー が 必 要 とな る.例 え

る金 属 や セ ラ ミ ック ス の 相 の 内 部 に,別 の相 が析 出 す る場 合 な どの よ う

に,析 出 核 の生 成 が それ に あ た る.   そ の よ うな場 合,図3.13(a)に

示 す よ う に,球 の 内 部 と外 部 との 界 面 を形 成 す

るエ ネ ル ギー は界 面 の 面 積 に比 例 す る と考 え られ る.単 位 面 積 あ た りの 界 面 エ ネ ル ギ ー をｂ とす れ ば,半 径ｒ の 球 の 表 面 積 は4πr2だ か ら,そ 全 界 面 エ ネル ギ ーEsはb(4πr2)と な エ ネ ル ギー で あ るの で,系

の球 状 領 域 の

な る.こ れ は,新 た に 界 面 を作 る た め に必 要

全 体 と して は増 加 エ ネ ル ギ ー で あ り,図 示 す れ ば

図3.13(ｂ)の よ う に な る.   結局,こ

の よ うな析 出 核 が 生 成 さ れ る時,系 全 体 と して は,上 記 の エ ネ ル ギ

ー の低 下 と増 加 を考 慮 す る と

(3.19) の エ ネ ル ギー 変 化 が 生 じる こ と に な る.式(3.19)の き直 す と,こ の よ うな 領 域 を形 成 す る エ ネ ル ギ ー は

定 数 部 分 を簡 略 化 して 書

図3.14 

３次 関 数 Ｅ のｘ 依 存 性

図3.15 

析 出核 の 成長 と消 滅

(3.20) とい う ３次 関 数 の 一般 形 で 表 わ され る.   式(3.20)のｘ

に具 体 的 に数 値 を代 入 して み る と,ｘ の値 が 小 さ い(x＜B/A)

場 合 は,常 にx2＞x3で ち は第 ２項 の+Bx2が 値 がB/Aを

あ る.つ ま り,図3.14に

示 す よ う に,ｘ が 小 さ な値 の う

優 勢 で あ り,全 体 の エ ネ ル ギ ー は増 加 す る.し か し,ｘ の

超 え る とエ ネル ギ ー は減 少 す る こ とに な る.

  こ の こ と を物 理 的 に い え ば,図3.15に

示 す よ う に,こ こで 論 じて い る よ うな

小 さ な体 積 の領 域 が 形 成 さ れ る場 合,は

じ め は界 面 の 形 成 が 領 域 の形 成 を不 利

に す るが,あ

る し きい 値(上 記 の 説 明 で はx=B/A)を

超 え る と,領 域 が 大 き

くな る ほ どエ ネ ル ギ ー 的 に有 利 に な り,領 域 は成 長 して い くこ とに な る. ■ ３次 関 数 の 物 理 現 象   この よ う に,３ 次 関数 は ２次 関 数 な ど と組 み合 わ され て,物 理 現 象 を定 量 的 に説 明 す る上 で 重 要 な役 割 を演 じる.   ３次 関 数 が 現 わ れ る物 理 的 現 象 の も う一 つ の例 を考 え て み よ う.   それ は,双 曲線 の項 で も触 れ た熱 力 学 に お け る気 体 の状 態 方程 式 に関 係 す る. 少 し複 雑 に感 じ られ る読 者 も多 い と思 わ れ るが,こ か,か

の 方 程 式 は歴 史 が 古 いせ い

な り深 い 内容 を盛 り込 ん だ 形 で展 開 され て い る.

図3.16 

気 体 の 圧 力 と体 積 との 関 係

図3.17 

気体 分 子 の 大 き さ を考 慮 した 気 体 の 体 積

 理 想 気 体 の 状 態 方 程 式 が,１ モ ル の 気 体(気 体 分 子 が 約6×1023個 団)に つ い て,以

存 在 す る集

下 の よ う に表 現 さ れ る こ と はす で に述 べ た.

(3.9')   これ は,温 度 Ｔ が 決 まれ ば,気 体 の 圧 力 Ｐ と体 積Ｖ

の積 が 一 定 に保 た れ る

こ とを 意 味 す る.こ の状 態 方 程 式 が 成 り立 つ場 合,図3.16に

示 す よ うに,温 度

を一 定 に保 っ て変 化 を調 べ る と,圧 力 が増 せ ば 体 積 は小 さ くな る し,体 積 が増 せ ば圧 力 は小 さ くな る.な お,理 想 気 体 とは 「分 子 間 に相 互 作 用 が な い気 体 分 子 集 団 」 の こ とで あ る.   次 に,よ

り現 実 的 な 気 体 分 子 の運 動 に つ い て 考 えて み よ う.

  つ ま り,ま ず,図3.17に

示 す よ うに,気 体 を構 成 す る分 子 の 大 き さ と分 子 間

の 相 互 作 用 を考 え る の で あ る.こ れ ら を考 慮 す る と,気 体 分 子 が 実 際 に動 き 回 れ る体 積 は,気 体 分 子 自体 の全 体 積 ａ を差 し引 い た(V-a)で

あ ろ う.し た が

っ て,式(3.9')は

(3.21) と書 き改 め られ

(3.22) が 得 ら れ る.

図3.18 

  さ ら に考 慮 す べ きは,図3.18に の密 度 ρ に比 例(P∝ρ)し,密

気体分子の相互作用

描 く よ う に,そ もそ も気 体 の 圧 力 は構 成 分 子 度 は体 積 に反 比 例(ρ∝1/V)す

る こ とで あ り,

ま た分 子 間 の 相 互 作 用 の大 き さ も分 子 の 密 度 に ほ ぼ比 例 す る と い う こ とで あ る.つ

ま り,分 子 間 に引 力 が 働 く場 合,圧 力 の減 少 は密 度 の ２乗 に比 例(体

の ２乗 に反 比 例)し

積

て起 こ る こ とに な る.以 上 の こ とを考 慮 して 数 式 で 表 現 す

れ ば,式(3.22)は

(3.23) とな る.こ こで,ｂ は分 子 間 の 相 互 作 用 の 大 き さ や分 子 種 に よ る圧 力 に及 ぼ す 影 響 の 違 い に 関係 す る定 数 で あ る.こ の 状 態 方 程 式 を変 形 す る と

(3.24) と な り,こ

れ を さ ら に変 形 す る と

(3.25) とい うや や 複 雑 な三 次 方 程 式 が現 わ れ る.こ れ は,Ｖ

についての

(3.26) とい う三 次 方 程 式 に な っ て い る.  物 理 的 に い え ば,式(3.25)は

通 常,温

度 Ｔ を変 化 させ た場 合 のP-V曲

線

図3.19 

"現 実 気 体"のP-V曲

線

図3.20 

の変 化 を考 え るた め に使 わ れ る.式(3.10)が い て は図3.7に 図3.19に

双 極 子 が 形 成 す る電 場

適 用 で き る理 想 気 体 の場 合 に つ

示 し た の で あ るが,上 記 の"現 実 気 体"の 状 態 方 程 式 の場 合 は,

示 す よ うに,体 積 が 小 さ な領 域 で極 小 圧 力 を示 す よ う な関 数 形 にな っ

て い る.こ の よ うな 極 小(あ 一 つ で あ るが

るい は極 大)が 現 わ れ る こ と は ３次 関 数 の特 徴 の

,上 記 の 現 象 の場 合,そ

界 よ り も低 い場 合,体 領 域 が 現 わ れ,こ

れ を物 理 的 に解 釈 す る と,温 度 が あ る限

積 の減 少 と と もに 分 子 間 引 力 の効 果 が 顕 著 にな るP-V

の 分 子 間 引 力 に よ る圧 力 低 下 が観 測 さ れ得 る程 度 に大 き くな

る と い う こ とで あ る. ■x-3関 数 の 物 理 現 象   こ こで,x-3と

い う関 数 が 現 わ れ る物 理 現 象 に つ い て も簡 単 に触 れ て お こ う.

  そ の よ うな物 理 現 象 の一 例 は,図3.20に 場 で あ る.点

示 す よ うな電 気 双 極 子 が 形 成 す る電

Ｐ に お け る電 場 の 大 き さ を,距離ｒ

の 関 数 φ(r)と

し て表 わ せ

ば

(3.27) が 成 り立 つ ．   ま た,式(3.27)は,図3.20の

電 荷+q,-qを

磁 極 Ｎ,Ｓ

に置 き換 え た磁 気

モ ー メ ン トが 形 成 す る磁 気 ポ テ ン シ ャ ル の 大 き さ に も適 用 で き る .

3.2.4 

４次 関 数

■一 般 形

  ４次 関 数,特

に,そ の 最 も単 純 な形 で あ る

(3.28) の グ ラ フ を 図3.21に   図3.21に

示 す.

示 さ れ るy=x4の

グ ラ フ を 眺 め る と,そ れ は 一 見,y=x・x=x2の

２次 関 数 に 似 て い る よ う に 思 え る.し

か し,

(3.29)

(3.30) で 考 え,図3.21の

中 に描 い て み る と,そ れ らの 間 に大 き な違 い が 現 わ れ て くる.

それ ら は共 通 してy=0の

時,ｘ 座 標 のx=1,-1を

関 数 に現 わ れ る よ う な極 大,極

通 るが,２ 次 関 数 に は ４次

小 値 が存 在 し な い.

■ ４次 関 数 の 物 理 現 象   ４次 関 数 に よ っ て 表 現 さ れ る物 理 現 象 の例 と し て は,「強 誘 電 体 に お け る結 晶 構 造 の 歪 み の安 定 点 」 や 「強磁 性 体 が 自発 磁 化 を生 じ る 際 の磁 化 と全 エ ネル ギ ー との 関 係 」 な どが 挙 げ られ る.ま た,４ 次 関 数 は,物 理 学 に とっ て極 め て重 要 な相 転 移 と呼 ば れ る現 象 を一 般 化 して扱 お う とす る場 合 に も現 わ れ て くる表

図3.21 

４次 関 数 と ２次 関 数 の グ ラ フ

(ａ) 図3.22 

(ｂ) 強誘 電 体 の 原 子 位 置(ａ)と エ ネ ル ギ ー(ｂ)

現 で あ る.   例 えば,強 誘 電 体 結 晶 の 中 央 の 原 子 位 置 とエ ネ ル ギ ー との関 係 を図3.22に 単 に示 す.よ 微 妙 な"ズ

簡

く知 られ て い る よ うに,強 誘 電 体 で は結 晶 を構 成 す る原 子 位 置 の

レ"に

よっ て誘 電 性 が変 化 す る が,そ の ズ レが原 子 配 置 の対 称 性 を

乱 す 場 合 に全 体 の エ ネ ル ギ ー が 低 下 す る.単 純 な場 合,図3.22(a)に に,ズ レ が 左 右 い ず れ の 方 向 に あ っ て も,同

示す よう

じ よ う なエ ネ ル ギ ー 状 態 に な る.

原 子 の位 置ｘ とエ ネル ギ ー Ｅ との 関 係 が 図3.22(b)に

示 され る の で あ るが,こ

れ は ま さ し く ４次 関 数 で与 え られ る 関係 な の で あ る.   以 上,ｎ 次 関 数 の 説 明 と して は,４ 次 関 数 で終 りにす る が,そ れ は,物 理 学 の ほ とん どの分 野 で,そ

れ以 上 の 高 次 の 方程 式 の 必 要 性 が 認 め られ な い か らで あ

る.

3.3  三 角 関 数 ■ 三 角 関 数 の 一 般 形 と変 換   す で に第 １章,第

２章 で 触 れ た よ う に,物 理 学 に お い て,三 角 関 数 は振 動 や

波 動 な どの 周 期 的運 動 を表 現 す るた め に有 用 で あ る.三 角 関 数 は,正 弦(sin) 関 数,余

弦(cos)関

グ ラ フ を 図3.23に

数,そ

して 正 接(tan)関

示 す(cotに

  さ らに,sin-1,cos-1,tan-1で

つ い て は後 述). 表 示 され る逆 三 角 関 数 と呼 ば れ る関 数 や 双 曲

線 の項 で簡 単 に触 れ たsinh,cosh,tanhで が,こ

数 を基 本 と して い る.こ れ らの

表 示 され る双 曲線 関 数 も存 在 す る

れ ら は いず れ も三 角 関 数 を基 本 と した 関 数 群 で あ る.

  以 下,第

１章,第

２章 で の 説 明 と若 干 重 複 す る が,三 角 関 数 とそ れ で 表 現 さ

図3.23 

三角関数 のグラフ

れ る物 理 現 象 に つ い て 述 べ る.   図3.24(図2.9も

参 照)に 示 す よ う な物 体 の 回転 運 動 な ど を考 え る際,回

転

角度 を θ と表 現 す る と,三 角 関 数 のcosθ やsinθ を用 い て 回転 運 動 の 各 瞬 間 に お け る物 体 の 位 置 を 表 わ す こ とが で き る.つ

ま り,こ の よ うな 円運 動 は,

2.1.3項 で述 べ た よ う に

(2.1)

の よ うな 座 標 変 換 で,三 角 関 数 に直 交座 標 を用 い た 表 現 との互 換 性 を持 たせ る

図3.24  物体 の回転運 動

こ とが で き る.ま

た,図2.8に

示 し た よ う に,ど

ち らの 座 標 系 を用 い て も平 面

上 の あ ら ゆ る 点 を 示 す こ と が で き る.   図3.23を 2πn+θ(た

参 照 し,い

く つ か の 基 本 事 項 を 確 認 し て お こ う.角

だ しｎ は 整 数)に

り,cosθ=cos(2πn+θ)で

あ り,こ

れ はsinθ

  い ま さ ら 記 す 必 要 は な い と思 う が,ラ 360゜に 相 当 す る.図2.8,2.9を

度 θを 角 度

変 更 し て も三 角 関 数 の 値 に 変 化 は 生 じ な い やtanθ

ジ ア ン 表 示 の2π

見 れ ば,2π

.つ

ま

で も同 じ こ とで あ る. は通 常 の 角 度 表 示 の

の整 数 倍 の 角 度 を 回 転 させ る こ と

は,円 上 で １周(360゜ 回 転)す る こ と に 対 応 す る こ と が 容 易 に 理 解 で き る だ ろ う .   ま た,図3.23を

見 れ ば,回

転 角 が π/2で あ っ た 場 合,つ

れ の 関 数 をｘ 軸 方 向 に π/2だ け ず ら し て み る と,θ に な り,sin関

数 がcos関

数 に,cos関

数 が(−)sin関

(コ タ ン ジ ェ ン ト)関 数(tanθ=B/Aの す る こ とが 理 解 で き る で あ ろ う.ま

数 に,tan関

時,cotθ=A/Bに た,回

ま り図 中 で,そ

を θ+π/2へ

れ ぞ

回転す る こと 数 は(−)cot

な る 関 数)に

転 角 が π で あ っ た 場 合,つ

変化

ま り θ+

π の 場 合 も結 果 は 異 な る が 同 様 の 変 換 が 起 こ る .そ の 結 果 に つ い て は,読 者 自 身 が 図3.23を

見 て 考 え て い た だ きた い.

■ 三 角 関 数 の 定 理 ・公 式   三 角 関 数 に 関 連 し て,自 あ る.そ

然 科 学 の さ ま ざ ま な 分 野 で 用 い ら れ る 定 理 ・公 式 が

れ ら の 公 式 の ほ と ん ど は 高 校 ま で の 数 学 に 登 場 し て い る が,こ

し復 習 し て お こ う.ま

ず 第 一 は"加

法 定 理"と

呼 ば れ る も の で,sin関

こで 少 数,cos

関 数 につ い て は

(3.31) (3.32) で あ る.   加 法 定 理 が 得 ら れ る と,そ の 結 果 の 拡 張 に よ っ て,２ 倍 角 の 三 角 関 数(sin 2θ な ど)や

３倍 角 の三 角 関 数(sin3θ

な ど)をsinθ

半 角(θ/2)に つ い て の 公 式 や三 角 関 数 の和 や 差,積

とcosθ で 表 示 で き る し, も互 い に 別 の 表 現 で 表 示 で

き る.そ れ ら も高 校 の 数 学 の復 習 と し て,演 習 問 題 な どを通 して 確 認 して お く と よい だ ろ う.   また,図3.25に

示 す よ う な 円 に 内 接 す る 三 角 形 に関 し,次 の よ うな 公 式 も よ

図3.25 

く知 ら れ て い る.な 意 味 で,他

お,以

下 の 式 で,Ｒ

円 に内 接 す る三 角形

は 円 の 半 径,ま

たsinAはsin∠Aの

も同 様 で あ る.

(3.33)

(3.34)

(3.35)   これ らの 公 式 は上 か ら正 弦 公 式,第

１余 弦 公 式,第

２余 弦 公 式 と呼 ばれ て い

る.

3.4  指 数 関 数 と対 数 関 数 ■一 般 形  第 １章 で す で に説 明 した よ う に,物 理 学 に頻 繁 に登 場 す る関 数 の代 表 が こ こ で述 べ る指 数 関 数 と対 数 関数 で あ る.そ れ らの 一 般 形 はそ れ ぞ れ

(3.36) (3.37) で,そ

れ ら の グ ラ フ は 図3.26に

は べ き指 数),ａ

を 底(て

い)と

示 さ れ る.式(3.36)の 呼 ぶ.

  物 理 学 で 最 も 一 般 的 な の は,a=10の

場 合で

中 のｘ を 指 数(正

確 に

図3.26 

指 数 関 数 と対 数 関 数 の グ ラ フ

(3.38) の 時,

(3.39) で あ る.   こ の よ う な 指 数 関 数 を 用 い る こ と の 利 点 は,第

１章 で 述 べ た よ う に,大

数 値 を 簡 単 に 表 記 で き る こ と で あ る.例 え ば,10000×1000と は,そ の ま ま で は10000000と 104,1000=103と が 指 数(べ

い う掛 け算 の答 え

い う 表 記 に な る.と こ ろ が,指 数 を 用 い て10000=

す る と,上 記 の 計 算 は104×103=104+3=107た

き 指 数)の

きな

和 に な り,極

変 り,積 の 計 算

め て 簡 潔 明 瞭 な 表 記 に な る.し

熱 力 学 に 登 場 す る ア ボ ガ ド ロ 数(∼6×1023)の

た が っ て,

よ うな膨 大 な 数 値 を扱 う に は指

数 表 示 が 不 可 欠 で あ る こ と は 容 易 に 理 解 で き る だ ろ う.   上 に述 べ た 計 算 例 は す で に 指 数 関 数 の 掛 け 算 の 方 法 を 示 して い る の で あ る が,1.2.2項

で 述 べ た 指 数 法 則 に つ い て 復 習 し て お い て い た だ き た い.そ

さ れ る 一 般 的 な 規 則 が 成 り立 つ こ と は,a=10と

お い て,ｍ,ｎ

に い ろ い ろ な数

値 を 入 れ て 実 際 の 計 算 を し て み る と よ く理 解 で き る だ ろ う.た だ し,も 必 ず し もa=10に あ る が,前

限 る 必 要 は な い.a=10は,10進

こ に記

ち ろ ん,

法 を用 い る時 に重 要 な の で

述 の コ ン ピ ュ ー タ ー の 計 算 に 使 わ れ る ２進 法 に お い て はa=2の

場

合 の指 数 関 数 が 使 わ れ るの で あ る. ■"ｅ"と ネ イ ピア   さ て,指 数 関 数 の話 で 忘 れ て はな ら な い の は,第 "ｅ"で 表 わ さ れ る 数 で あ る.こ れ は,さ

１章 で 予 告 して お い た 記 号

まざ ま な物 理 現 象 を説 明 す る上 で 最 も

重 要 な 役 割 を演 ず る数 で あ る.こ の ｅを底 とす る対 数,つ 数 と呼 び,lnxで

ま りlogexを

自然 対

表 わ す こ とは第 １章 で述 べ た.ま た,こ のｅ の値 は,2.71828…

と続 く無 理 数 で あ る こ と もす で に述 べ た.こ の"ｅ"が 持 つ"特 別 の 意 味"に つ い て は4.2.3項

で 述 べ る こ とに して,こ

こで は対 数 の発 明 者 で あ り,"ｅ"の

み の 親 と も考 え られ て い る ネ イ ピア(1550-1617)に る."チ

ョ ッ ト休 憩"の

つ い て の"余 談"を

生

述べ

つ も りで 読 ん で い た だ きた い.

  ネ イ ピ ア は16世 紀 の 半 ば に ス コ ッ トラ ン ドの城 に生 ま れ た.つ

ま り"〓"と

い う称 号 を持 つ 家 柄 の 生 まれ で あ る.彼 は セ ン トア ン ド リュ ー ス大 学(日 は ゴル フ コー ス で 有 名)で 学 び,初 期 の 関 心 は宗 教,軍 で,数 学 の専 門 家 で は な か っ た.し

事,天 文,航

か し,そ れ らの 活動 の 後 に,彼

と級 数 に つ い て,当 時 と して は先 端 的 な 理 解 を得 て い た.そ

本で

海術 な ど は三 角 関 数

して"対 数"の 研

究 に入 っ た の で あ る.   彼 の発 想 に は,も ち ろ ん 指 数(関 数)の は,あ

らゆ る数 を"何

知 識 が基 礎 とし て存 在 して いた.彼

らか の 数"の 指 数 で 表 わ す こ とが で き れ ば,ど れ だ け大

き な数 の掛 け算 や 割 り算 も,単 な る足 し算 と引 き算 で 表 現 で きる,と に気 づ い た の で あ る.そ を,そ の"何

い うこと

らか の数"と

して,現 在 か ら考 え る とや や 曖 昧 な １よ りも小 さ な 数 して 選 ん で,非 常 に 多 くの数 値 を そ の 数(1-10-7)

の 指 数 計 算 で 表 わ す数 表 作 りを始 め た.   一 説 に よ る と,そ の よ うな 数 表 作 りに20年

間 も費 や した よ うで あ るが,そ の

計 算 が す べ て 手 計 算 で行 な わ れ た こ と はい う ま で も ない.計 算 内 容 自体 は,現 在 の 卓 上 計 算 機(電 卓)で

行 な え ば １日 もか か らな い で あ ろ う量 だ が,重

要な

の は,そ の よ うな計 算 を意 図 し た発 想 で あ る.彼 の 発 想 が"ｅ"を 底 とす る 自然 対 数 の基 礎 に な っ た こ と は間 違 い な い.   "ｅ"の 不 思議 さ につ いて は次 章 で も触 れ るの で,楽 きた い.

しみ に して お い て い た だ

図3.27 

分 子 集 団 Ａ,Ｂ

と それ ら の合 体

■指 数 関 数 ・対 数 関 数 で表 示 され る物 理 現 象   指 数 関 数,対 数 関 数 で表 わ され る物 理 現 象 は少 な くな い が,こ

こで は一 例 と

して統 計 力 学 で用 い られ る場 合 に つ い て簡 単 に説 明 して お こ う.   い ま,図3.27に

示 す よ う に,２ 個 の 分 子 集 団 Ａ,Ｂ を考 え る.集 団 Ａ はWA

と表 わ され る状 態 数 だ け い ろ い ろ な"状 態"を

とる と し よ う.こ

こで は代 表 例

と して エ ネ ル ギー 状 態 を考 え る.つ ま り,集 団 Ａ に属 す る そ れ ぞ れ の 分 子 に全 エ ネル ギーEAを

分 配 す る"仕 方"を それ ぞ れ"状 態"と 呼 ぶ こ とに す る.も ち

ろん,１ 個 １個 の 分 子 の 区 別 は つ か な いの で,あ る エ ネ ル ギ ーEj,を 持 つ 分 子 が 何 個 存 在 す る か を表 に した よ うな もの が,そ れ ぞ れ の"状 態"の 集 団 Ｂ に つ い て も同 様 で,こ の集 団 の 全 エ ネル ギ ー はEB,状   こ こで,集

団 Ａ,Ｂ

態 数 はWBと

す る.

を合 わ せ て考 え る と状 態 数 は ど う な る で あ ろ うか.

  そ れ ぞ れ の 集 団 の と り得 る状 態 数WA,WBの 状 態数 に な る.つ

表 現 に な る.

積(=WA・WB)が

集 団全 体 の

ま り,例 え ば,集 団 Ａ が ５通 りの 状 態 を とれ て,集

通 りの状 態 を とれ るの で あ れ ば,こ れ ら を合 わ せ た場 合 は5×7=35通

団 Ｂが ７ りの状 態

が とれ る と考 え る の で あ る.   一 方,エ ネ ル ギ ー は両 集 団 の それ ぞれ の エ ネ ル ギ ー の 和(=EA+EB）

とな る

はず で あ る.   以 上 の状 態 数 とエ ネ ル ギ ー の両 方 の 要 求,す

な わ ち"積"と"和"を

同時 に

満 た す 関 数 を考 え る と,指 数 関 数 に思 い 至 る.さ

らに,次 章 で 述 べ る微 分 や 積

分 の 性 質 まで考 え る と指 数 関 数 の 中 で 一 番 扱 いや す い の がexな り,状 態 数 に対 応 す る内 容 を 関 数ex(=W)で

の で あ る.つ ま

表 わ し,そ のｘ の部 分 に エ ネ ル

ギ ー に対 応 す る 内容 を表 現 す る こ とに して,EA=xA，EB=xBと

すれ ば 大 変 具 合

が よい の で あ る.こ れ は結 果 的 に

(3.40) とい う形 で ま とめ られ,こ

の 式 が 図3.27の

内容 を う ま く表 現 し て い る の で あ

る.   指 数 関 数 は,は

じめ,天 文 学 者 の よ う に頻 繁 に大 き な数 値 を扱 う人 々 に よ っ

て そ の価 値 が 認 め られ た の で あ るが,今 理 学 の み な らず,あ

日で は,こ

らゆ る分 野(図1.26参

こ で簡 単 に 説 明 した 統 計 物

照)で 必 要 不 可 欠 な 関 数 に な っ て い

る.   対 数 を使 った 物 理 学 上 の 重 要 な 式 は,何

とい っ て も

(3.41) で表 わ され るエ ン トロ ピー Ｓ に 関 す るボ ル ツ マ ンの 関 係 式 で あ ろ う.こ こで, kBは ボ ル ツマ ン定 数,Ｗ

は上 述 の"状 態 数"(ボ

呼 ぶ)で あ る.な お,式(3.41)の え ば,本

ル ツ マ ン は,熱 力 学 的 重 率 と

物 理 的 な意 味 につ い て は熱 力 学 の 教 科 書(例

シ リー ズ 『した しむ 熱 力 学 』)を 参 照 して いた だ きた い.

チ ョ ッ ト休 憩 ● ３

アー ベ ル と ガ ロ ア   ア ー ベ ル(Niels Galois,1811-1832),代 した 二 人 は,な

Henrik

Abel,1802-1829)と

ぜ か 共 通 の 不 幸 を 背 負 っ て い た よ う に 思 わ れ る.そ

「 世 の 中 と の 折 り合 い が 悪 い 」と い う こ と で あ る.ま て い た だ き た い.ア ー ベ ル は27歳 て は,20歳

ガ ロ ア(Evariste

数方 程 式の 解法 や解の 存在 につ いて優 れ た業績 を遺

ず,こ

の 不幸 と は

の 二人 の生 没年 を見

に な る か な ら な いか で 没 し,ガ ロア に い た っ

そ こ そ こ で 死 去 し て い る.

  アー ベル は,処 女論文 として 『方程式 の代 数 的解法 』 があ る よう に,５ 次方 程 式 以上 の高 次方程 式 は,代 数 的に は解 けな いこと を証 明 した.こ の 研究 は, は じめガ ウス に認 め られ る こ とを期待 して書か れた が,ガ ウス はす でに 「 代数 方 程 式 は必ず根 を 有す る」 と いう有名 な証 明を 終え て いたわ け で,ア ーベ ルの 論文 の主 旨 にあま り興 味を示 さ なか った ようで ある.ア ーベ ル は,さ らにパ リ にも 出か け,コ ー シー(1789-1857)に

も認め られ よ うと論 文 を提 出 したが,

これ も冷 淡 に扱わ れ た.た だ し,彼 の 数学 研究 は,こ の 間 も楕 円関数 論,級 数 論,ア ー ベル 関数 な どに拡 が り深ま って いっ た.ま た,専 門 の数 学者 と は いえ な いが,こ の 時代 の重 要 な数学 雑誌 を発行,編 集 したク レル レ(1780-1855) は アーベ ルの 仕事 を高 く評価 して,援 助 して くれた.   そ の名 を冠 した演算 子 で,量 子力 学を 学ぶ者 は必 ず知 る こ とにな るエル ミー ト(1822-1901)は,「

ア ーベル は,彼 の あと に続 く数学 者 に,優 に150年 分の

仕事 を残 した」 と評 して彼 の業 績 を称え てい る.し か しな が ら,ア ーベ ルの実 人 生は悲 しい.彼 は,中 央 ヨーロ ッパへ の旅 行の成 果が 思 う ほどで なか った こ とに落胆 して,ノ ル ウ ェイ に戻 っ たが,多 人 数の家 族の 家 計 は,す べて 彼の肩 にかか っ てお り,気 の休 まる 時のな い状 態で過 ご した.結 局,病 を 得て,婚 約 者 を遺 して死去 す るの である が,そ の死 の ３日後 にク レル レか らベ ル リン大学 教 授へ の招 請状 が届 け られた ので ある.   一方 の ガ ロアは,地 方 の市 長で あ った父を 政治 的な圧 力 の中 で亡 くした.そ の 事件 も あ って,彼 は世 の中 の不 正を激 しく憎ん だ よう であ る.数 学の 才能豊 か な人 物 に共通 す るよ う に,幼 いと いって よ い年 頃か ら数 学の 才能 を示 し,古 典 的 と いえる数 学者 の著 書 を直接 学ん で いった.高 等 学校 時代 の彼 は,本 当の 数学上 の 才能 を示 して いた にもか かわ らず,教 師達か らは冷 た く扱 われ た よう で,芳 しい評 判は遺 って いな い.   さ ら に,当 時も 今も フ ランスの 最高 学府 であ る高等 理工 科学 校(エ コール ・ ポ リテク ニク)の 入学試 験 では,試 験 官の質 問 が低級 で,自 分 を侮 辱 して いる と感 じた 彼 は,試 験官 に黒板 用の ス ポン ジを投 げつ けた,と い う逸 話 も遺 って いる.当 然,結 果 は不 合格 であ った.   強烈な 自負 心 と,世 の中 に対す る不 信感 の中 で,彼 は アー ベル と同 じよ うに 代数 方程 式の 解 につ いての研 究 を進 めたの で あるが,彼 の 提 出 した論文 は結局, 内容 の証 明,説 明が不 十分 で ある ことか ら,却 下さ れた.お そ ら く,彼 は証 明 を 省略 しす ぎたの で あろ う.後 世 の 数学者 が冷 静 に判断 すれ ば,ガ ロアの 自分 の仕 事(現 在 の"群 論"の 基礎 を構成 す る)に 対す る価値 判 断 と,彼 の論 文を 却下 した査読 者(高 名 な ポア ッソン(1781-1840)で

あ った)の 判断 の双 方 と

も 納得 でき るも の であろ うが,ガ ロア にと っては,こ れ も世 の 中の 自分 に対す る迫害 と思 えた で あろ う.

 そ して彼 は恋 愛事 件 にか らん だ決闘("仕 組 まれ た"と いう意 見 もあ る)に よ っ て,腹 部 に銃 弾を 受 けて,数 日後 に死去 した.21歳 であ った.

■演 習問題  3.1  本 章 で説 明 した各 関 数(１ 次関 数 や ２次関 数 な ど)で 表 わ され る物理 現 象 や 日常 生活 にお け る現象 の具体 例 を挙 げ よ.  3.2 ｎ 次 関数 で表 わ され る物 理 現象 で,ｎ が偶 数 の場 合 と奇 数 の場 合,そ れ ぞれ の特 徴 を 簡単 に説 明せ よ.  3.3  ３種 類 の三 角 関 数(y=sinx,cosx,tanx)を

グ ラ フ に表 わ して,ｘ の 増加 に つれ て

繰 り返 し同 じｙ 値 が 現 わ れ る こ と を確認 せ よ.  3.4 x-y平 面 上 にy=exとy=lnxを て考 えてみ よ.  3.5  変 数(パ ラ メー タ ー)がｘ

描 いて み よ.そ して,両 関数 の対 称 性 の理 由 につ い

の 関 数f(x)の

意 味 を一 般 論 と して言 葉 で 説明 せ よ.

４ 微分 と積分   数 学 史 上,偉

大 な 発 明 は少 な くな い が,微

した もの の一 つ で あ る こ と は 間 違 い な い.物 象 を定 量 的 に 理 解 す る上 で,微

分 法 と積 分 法 が そ れ らの 中 で 傑 出 理 学 の 現 象,特

分 ・積 分 は不 可 欠 で あ る.ま

に 運 動 に 関 す る現 た,微

分 と積 分 の

考 え方 は 大 学 で 学 ぶ ほ とん ど す べ て の 分 野 で使 わ れ て お り,理 工 系 の 分 野 は も と よ り,例 え ば,経

済 学 で 市 場 の 動 き を 解 析 す る場 合 や 社 会 学 で 人 口 や 社 会 構

成 に つ い て 統 計 処 理 を 行 な う場 合 に も必 要 で あ る.こ 要 性"か ら,高 校,大

学 の数 学 に お い て,多

  しか し,そ の 割 に は,微 揄さ れ る よ う に,苦

分 は 「微か に分 か る」,積 分 は 「分か っ た 積 り」 と揶

手 意 識 を 持 つ 学 生 は(文 系 で は も と よ り,理 系 で あ っ て も)

少 な く な い の が 現 状 で あ る.そ 問 題 は,微

の よ うな 微 分 ・ 積 分 の"重

くの 時 間 を割 い て 学 ぶ わ け で あ る.

の 理 由 と して は い くつ か 考 え られ る が,最

分・ 積 分 を具 体 性 の な い"数

学"と

大の

して 学 ぶ こ とで は な い だ ろ う か.

  本 書 は 「物 理 数 学 」 に し た し む た め の 本 で あ り,「 数 学 」 の 教 科 書 で は な い. あ く まで も,物 理 現 象 を 定 量 的 に,あ

る い は解 析 的 に説 明 す る 道 具 と して の 数

学 を学 ぶ た め の も の で あ る か ら,本 章 で も物 理 現 象 に適 用 され た 微 分 法 と積 分 法 に つ い て 述 べ る.前 提 知 識 は ほ とん ど必 要 と し な い よ う に 基 礎 的 な こ とか ら 説 明 す る の で,"苦 手"と す る読 者 もあ ま り心 配 せ ず に読 み 進 ん で い た だ きた い.   ま ず第 一 に 大 切 な こ とは,細

か い 公 式 を憶 え る よ う な こ とで は な く,微 分 と

積 分 の"考

き ち ん と理 解 す る こ と で あ る.

え 方"や"意

味"を

4.1  微 分 法 と積 分 法 4.1.1  微 分 法 ■時 間 の 導 入   まず,微 分 法 の基 本 につ い て考 え る.   図4.1に

示 す よ う に,数 直 線 上 に あ る位 置 を指 定 して,こ れ を点Ａ

と し よ う.

そ の 点 か ら距 離ｘ に あ る点Ｂ と点Ａ との 関 係 を考 え る.   も し,わ れ わ れ に い つ も時 間 が た っぷ りあ って,あ

る場 所 で 何 時 何 分 に待 ち

合 わ せ る とい う よ うな 厳 密 な約 束 事 が あ ま り重 要 で は な い生 活 を送 っ て い る と した ら,こ の数 直 線 上 の 点Ａ か ら点Ｂ に到 達 す る の に どれ く ら い の 時 間 が か か るか ， な ど とい う問 い に は あ ま り意 味 が な い だ ろ う.い つ に な っ て も よい か ら とに か く点Ｂ に到 達 す れ ば よ い の で あ る.   しか し,近 代 に入 って,人 々 は 日常 的 に 時 間 を気 に す る よ う に な り,時 計 が 用 い られ る よ うに な った.さ

らに,情 報 を で き るだ け早 く手 に 入 れ よ う とい う

人 々 が 多 くな る と,"速 度"や"速 うな 時 期 が や っ て きた の が,ち   さて,図4.2に

さ"を 測 る こ とが 重 要 に な っ て くる.そ の よ ょ う ど300∼400年

前 で あ った.

示 す よ う に,時 間ｔ の 経 過 に つ れ て 生 じ る位 置 の 変 化(A‐B

間 の距 離ｘ の 変 化)に つ い て考 え る.つ ま り,あ る物 体 が は じめ の 点Ａ か ら点 Ｂあ る い は点B'に

向 か っ て移 動 して い く場 合 の こ とを考 え る.こ の 場 合,1.1

節 で 述 べ た よ うに,"平 均 速 度"あ る い は"平 均 速 さ"を 考 え よ う とす れ ば,"あ る時 間 △t"ご との"移 動 距 離"を 考 えれ ば よ い.そ の 時,図4.2に

図4.1 

数値線上の点

図4.2 

示 した よ う

時 間 の経 過 に対 す る位 置 の 変 化

図4.3  直線運動 の時間 と

図4.4  曲線運動 の時間 と

移動距離 との関係

移動 距離 との関係

な 等 速 度 運 動(点 図3.11に

Ｂ)と

単 位 時 間 △tご と に移 動 距 離 が 変 化 す る 図1.2や

示 した 放 物 運 動 の よ うな加 速 度 運 動(点B')の

場 合 で は,速 度(速 さ)

の定 義 を考 え直 す 必 要 が あ る こ と を感 じ られ るの で は な い だ ろ うか.つ

ま り,

直 線 運 動 の よ うな場 合 と放 物 線 運 動 の よ うな場 合 の 速 度(速 さ)を 扱 う時 の"注 意"で

あ る.な お,読 者 は す で に"速 度"と"速

て い る と思 うの で,以 下"速 度"と

さ"の 区 別 を十 分 に 了 解 され

表 記 す る.

  1.1節 で 述 べ た こ との 復 習 に な るが,直 線 運 動 の 場 合 は 図4.3の の座 標 をxA， 点 Ｂ の 座 標 をxBと

よ う に点 Ａ

し,移 動 に要 した 時 間 をｔ とす れ ば,平 均 の

速 度ｖ は

(4.1) と表 示 され る.   と こ ろ が,図4.2の

点B'の

よ う に,瞬 間 ご と に 速 度 が 変 化 す る場 合 は,

式(4.1)の よ うな単 純 な"平 均 速 度"は 適 用 で き な い こ と は読 者 も了 解 され る で あ ろ う.な ぜ な ら,物 体 が 移 動 して い く経 路 が 直 線 で は な く曲線 な の で,か り短 時 間 の移 動 を考 え て も,は

な

じめ の点 と到 達 点 を考 え る だ け で は瞬 間 ご との

速 度 を正 し く求 め るこ とは で き な い の で あ る.   そ こ で,図4.4の

よ う に,点B'に

至 る まで の 運 動 を分 割 して 考 え る こ とに す

る.運 動 を分 割 す る と面 倒 なの は,こ れ まで 基 準 と して 考 え て い た 時 間 や 距 離 も分 割 す る必 要 が 生 じ る こ とで あ る.す な わ ち,図4.4の

横 軸 に 時 間ｔ,縦 軸 に

距 離ｘ を と り,そ の軸 を等 時 間 間 隔 △tご と に刻 む こ とに す る.縦 軸 に は各 時 刻 ま で に移 動 した 直 線 距 離ｘ を と り,各 時 間 に お け る そ の移 動 距 離 を,

(4.2) と して表 示 す る と,単 位 時 間 △tが 経 過 す る た び に,微 小 距 離 △xj分,移 動 距 離 が 増 え る.こ の よ う に す れ ば,単 位 時 間 ご とに 式(4.1)を て 得 られ る速 度 の"精 度"は

その区間 に当て はめ

全 体 の平 均 速 度 よ り も は るか に 高 く,あ る程 度 正

確 に各 瞬 間 の速 度 を表 現 して い る こ とが 理 解 で き るだ ろ う. ■微 分 法 の 考 え方   図4.4に

示 した"分 割 の 思 考"を 厳 密 に した もの が微 分 法 の考 え方 の基 礎 に

ほ か な ら な い.   微 分 法 で 求 め よ う とす る の は,上 記 の よ うな 物 体 の運 動 の 場 合 で あ れ ば,運 動 の各 瞬 間 に お け る速 度 に相 当 す る もの で あ る.こ の こ と を数 学 的 に表 現 す れ ば,時 間 を基 準 軸 に して移 動 距 離 を表 わ す 図4.4の なわ ち各 瞬 間)に ま り,図4.5に

よ うな運 動 曲 線 の 各 点(す

お け る"接 線 の傾 き"を 求 め よ う とす る こ と に相 当 す る.つ

示 す よ う にt-x平

面 で考 えれ ば,時 間 △tが 経 過 す る た び に移 動

距 離ｘ が どの よ うに 変 化 す るか を,式(4.1)に

式(4.2)の

考 え方 を 導 入 し,

各 瞬 間 の速 度ｖ を

(4.3) と表 現 した こ とに相 当 す る.   も う少 し詳 し く考 え直 す と,こ の 考 え方 の 根 本 に あ るの は,い 曲線 の 場 合,上

に述 べ た よ うな"分 割"を

ろい ろ な 運 動

ど こま で細 か くす れ ば,各 点 の速 度

図4.5 

曲 線 上 の 各 点 の 接 線 の傾 き

が"精 確"あ

る い は"正 確"に

求 まっ た とい え るの だ ろ うか,と

る.微 分 積 分 学 が 産 声 をあ げた17世 ラ イ プ ニ ッ ツ(1646‐1716)の

紀 か ら18世 紀 初 頭,つ

い う こ とで あ

ま りニ ュ ー トンや

時 代 に は,こ の 問題 は そ れ ほ ど深 刻 に は考 え ら

れ て い な か った.単 純 に い え ば,あ

る程 度 細 か く分 割 す れ ば"正 確"と

いって

よ い だ ろ う,と 考 え られ て い た の で あ る.   こ こで も,詳 しい 議論 は先 送 りに して,単 位 時 間 △tの 間 の 微 小 移 動距 離 △x を,そ の微 小 移 動 間 の速 度 が"正 確"に 求 ま る まで小 さ く した場 合 を 「△xを 極 限 まで 小 さ く した 」 とい う こ と に して先 に進 む こ と に し よ う.   な お,式(4.3)自

体 が,基 準 点 か ら運 動 して い る物 体 まで の 距 離ｘ を時 間ｔ の

関 数 と して 表 わ し た場 合 の,距 離 の時 間 に対 す る"微 分"(ｘ)を 表 現 して い る.

4.1.2  積 分 法 ■積 分 法 の 考 え方   い ま,微 分 法 に よ り運 動 の速 度 が 正 確 に求 め られ る こ とを述 べ た.そ の よ う な 速 度(瞬

間 ご とに変 化 して い て もよ い)の 運 動 が連 続 して 起 こ る こ とで,最

終 的 に物 体 が どの よ う な運 動 を した こ と にな る の か,少

し固 苦 し くい え ば,運

動 の 軌 跡 が どの よ う な もの に な るの か を知 ろ う とす るの が 「積 分 法 」 で あ る. い い 換 え れ ば,微 分 法 が,運 動 の 結 果 を分 解 し て,各 瞬 間 につ い て解 析 し よ う とす る手 法 で あ れ ば,積 分 法 は,分 解 さ れ た 各 瞬 間 か ら,再 び運 動 の 結 果 を導 く手 法 で あ る.つ ま り,微 分 と積 分 は,物 理 的 に い えば,互 係"に

あ る.

図4.6 

落 下 運 動 の 時 間 と速 度

い に"裏 返 しの 関

  こ の 関係 を 具 体 例 で考 え て み よ う.   図1.1,1.9で

示 した物 体 の 落 下 運 動 を,図4.6に

示 す よ う に,各 瞬 間 △tご

とに速 度 がg△tず つ増 加 す る運 動 と して 考 え る.こ の よ うな場 合,速 度ｖ は時 間ｔ の 経 過 に つ れ て,v=gt(式(1.15))と

表 現 さ れ る よ う に徐 々 に大 き くな

っ て い く.こ の よ う な運 動 の 時 間 に対 す る速 度 の変 化 率 が,式(1.7)で 加 速 度 とい う物 理 量 で あ る.図4.6で

示 した

縦 棒 の 長 さ は時 間経 過 に つ れ て 大 き くな

っ て い く速 度 の 大 き さ を表 わ す こ とに な る.こ の時,あ

る時 刻ｔ か ら次 の 瞬 間

t +△tま で の 間(非 常 に 短 い △tの 間),速

一 定 で あ る と考 え る.

  運 動 の開 始(t=0)か

ら,あ

る時 刻Ｔ

度 はv=gtで

まで に経 過 した 時 間 を"瞬 間"△tを 単

位 と して 表 現 す れ ば,図4.6の

原 点 か ら時 間t=Tま

… ，N個)足

まり

し合 わ せ た か,つ

で に △tを 何 個(１,２,３,

(4.4) と な る.   その 時 刻 Ｔ にお け る物 体 の 落 下 速 度 はv=g(N△t)で

あ り,そ の速 度 で,あ

る時 刻 Ｔ か ら"瞬 間"△tの 間,物 体 の 落 下 運 動 が 継 続 す る.こ の よ う な こ と を, どん どん 経 過 す る時 間 の 各 時 刻 ご とに考 え れ ば,落 下 距 離 の総 和ｙ は

(4.5) とい う級 数 和 で 与 え られ る.   こ こで,記 号"Σ"は,そ

れ に続 く数 式 を 番 号ｎ ご と にす べ て 足 し合 わ せ る

こ とを 意 味 す る.記 号 Σ の 上 下 の記 号 はｎ が 番 号 ０か ら Ｎ ま で 変 化 す る範 囲 の総 和 を と る,と い う宣 言 で あ る.式(4.5)の ば,縦 棒(矩

内容 は,図4.6に

つ い て考 えれ

形)の 面 積 の 総 和 で あ り,こ れ を具 体 的 に計 算 して み る と

(4.6) と な る.こ

の 式 の 中 のN(N+1)/2が(1+2+3+…+N)の

  時 間 間 隔 △tを"極 に な る の で あ る が,そ 考 え,式(4.6)は

限(△t→0)"ま の 場 合,Ｎ

で 小 さ く と る と,積

計 算 結 果 で あ る. 分 計算 を行 なう こと

は 極 め て 大 き な 数 に な る の で,N+1〓Nと

(ａ) 図4.7 

(ｂ)

積 分 ・微 分 の 関係(ａ)と 足 し算 ・引 き算 の 関 係(ｂ)

(4.7) と な る.こ

こ でN△t(=T)=tと

お け ば,式(1.14)と

同 じ形 の

(4.8) が 得 られ る.  以 上 の 内容 を， 積 分 記 号"∫(イ

ン テ グ ラ ル)"を 用 い て 表 現 す る と

(4.9) と な る.   式(4.9)の"∫t0gtdt"の

意 味 を 図4.6に

即 し て 説 明 すれば，

「時 間0∼tの

間 で

(∫t0)時間 間 隔 △tを 極 限 ま で小 さ く して(dt)求 め た，y=gtの 級数 の総和」 で ある ． な お"∫(関 数)dt"は 「ｔで(関 数)を 積 分 す 」と い う意 味 で あ る.   つ ま り,積 分 とい う もの は本 来"面 積"の

足 し算 な の で あ る.面 積 を求 め た

い 場 所 を無 限 に細 か く分 け(こ れ が 図4.6に

示 され る幅 △tの 縦 長 の 矩 形 で あ

る),そ れ を無 限 個 足 し合 わ せ る とい う"仮 想 の 足 し算"で あ る.こ れ が積 分 の 考 え方 で あ る. ■微 分 と積 分 との 関 係   こ こで,前 述 の微 分 と積 分 との 関 係 を考 え て み よ う.   時 間 ご との物 体 の 運 動 速 度 と運 動 距 離 との 関係 は

(ａ)

(ｂ) 図4.8 

矩形の面積

と表 わ す こ とが で き るだ ろ う.こ の こ とを 一 般 的 に表 わ せ ば,図4

.7(ａ)の よ う

に な る.こ れ は ち ょ う ど,(ｂ)に 示 す足 し算 と引 き算 との 関 係 に 等 しい こ とに気 づ くの で は な い だ ろ うか.つ

ま り,積 分 と微 分 は"表 裏 一 体"な

の で あ る.

  以 上 で 微 分 法 と積 分 法 の 考 え方 を説 明 した の で あ るが,積 分 法 に つ い て若 干 補 足 説 明 を して お き た い.   図4.6の

説 明 を 読 ん で,矩 形 の 先 端 の部 分 につ い て少 し不 安 を感 じた 読 者 も

お ら れ る の で は な い だ ろ うか(そ

の よ う な 読 者 は感 覚 が 鋭 い!) .つ

ま り,

図4.8(ａ)に 示 す よ う に,矩 形 の面 積 は常 に実 際 の運 動 曲線(図 の場 合 は直 線 で あ るが)に

よ っ て得 られ る面 積 よ りも少 し大 きい の で は な い か,と

い う疑 問 を

覚 え るの で は な い だ ろ うか.   数 学 的 に は 図4.8(ｂ)の よ う に,矩 形 の 中 心 位 置 を運 動 曲 線 に ぴ っ た り合 わ せ る こ とを考 えて 実 際 の 面 積 に近 似 さ せ れ ば よ い.し か し,本 当 の と こ ろは, 図4.9に

示 す よ う に,す べ ての 議 論 をｘ 軸 の 問 題 に集 約 して 考 え 直 せ ば,位 置

ｘに左 右 か ら近 づ い て くるx-△xとx+△xを

ど こま で 近 づ け れ ば(つ ま り,

△xを どれ だ け 小 さ くす れ ば),微 分 や 積 分 が 「正 し い」 こ と に な るの か ， とい う疑 問 に答 え る必 要 が あ る の だ が,筆 者 自身 も,こ の"極 理 解 で きて い な い の で あ る.

図4.9 

位 置ｘ へ の接 近

限 の 問 題"を

深 くは

4.2  微 分 ・積 分 計 算 4.2.1 ｎ 次 関 数 ■微 分 法 の 基 礎   前章 で,４ 次 関 数 ま で のｎ 次 関 数 に つ い て 述 べ,そ れ らの 物 理 学 に お け る応 用 の一 端 に触 れ た.4.1.1項

で 述 べ た よ う に,単 純 な直 線 運 動 は １次 関 数 で 表 示

で き,物 理 学 的 に は,そ の傾 きが"速 度"と を,小 さ い こ とを 表 わ す 記 号"△"を

し て理 解 で き る.つ

ま り式(4.1)

用 い て 一 般 的 に表 わ す と

(4.10) とな り,こ れ は式(4.3)と   と こ ろで,1.1節

同 じに な る.

や4.1.1項

で論 じた よ うに,落 下 運 動 の 場 合,重 力 加 速 度 を

ｇとし て,自 由 落 下 を 時 間ｔ だ け続 けた 場 合 の落 下 距 離 がgt2/2と ｔにお け る落 下 速 度 はgtで

な る時,時 刻

あ る が,こ れ ら ２つ の 物 理 量 の 関 係 は,数 学 的 に ど

の よ う に説 明 さ れ るの で あ ろ うか.   落 下 運 動 は図1.2に れ る.こ こで,図1.2を

示 した よ う な落 下 時 間 と落 下 距 離 との 関 係 と し て表 わ さ い か に も落 下 らし く図4.10の

よ う に描 き直 す こ とに す

る.見 て の とお り,変 数 で あ る時 間ｔ に対 し落 下 距 離ｙ は ２次 関 数 的 に変 化 す る(各 式 に"−"符

号 が つ い て い る こ とに注 意).こ

積 分 の 内 容 で もあ る.再 度 述 べ れ ば,図4.10に 線 の傾 き」(p.94参

図4.10 

照)が,そ

落下運動

の こ と は,図4.6で

述 べた

示 され る各 点(各 時 刻)の

「接

の 時 刻 にお け る速 度 にな るわ けで あ る(図4.5参

図4.1l 

運 動 曲線 の 微 小 部 分

照).   4.1.1項

で 述 べ た よ う な"瞬 間"ご

間t+△tの れ る.こ

と の 速 度 は,ま

区 間 で 定 義 し て お い て,あ の こ と を 図4.10と

ず 時 間ｔ を 始 点 と し て,時

と で 「△t→0」

対 照 し な が ら,肝

とす る こ とに よ っ て 得 ら

心 な 部 分 を 拡 大 し た 図4.11で,

も う少 し 詳 し く考 え て み よ う.

(4.11)  こ こ で,約

束 ど お り 「△t→0」

とす る と,式(4.11)は

(4.12) とな る.つ

ま り,図4.10に

見 られ る落 下 速 度(ｖ)と"接

線 の傾 き"と の 関 係

が 得 られ た わ けで あ る.再 度 強 調 す れ ば,こ の よ う な考 え方 が 数 学 と して の微 分 法 の 基 礎 に な っ て い る. ■微 分 と微 分 方 程 式   次 に,２ 次 以 上 の 次 数 のｎ 次 関 数 に つ い て 考 え て み よ う.例 え ば,図3.22に 示 した 結 晶 の 単 位 胞 の 中 央 に存 在 す る原 子 が 中 心 か ら多 少 左 右 にず れ た 位 置 に ２個 の 平 衡 点 Ａ,Ｂ を持 っ て い る場 合 の こ とを考 え る.物 理 学 で い う とこ ろ の "平 衡 状 態"は 「エ ネル ギ ー が極 小 の 状 態 」で あ るか ら ,原 子 位 置 の 平 衡 点 は エ ネル ギ ー 曲 線 の極 小 点 に置 き換 え られ る.   こ の よ うな エ ネ ル ギ ー 曲 線 を位 置ｘ の 関 数E(x)と

して 表 わ す と式(3.30)

の よ うに

(4.13) と な る.こ り,x=1,-1の

の 関 数 は 図4.12に

示 さ れ る よ う にx=0の

時 はE(1)=E(-1)=0で

の 方 向 で も １ よ り大 き く な る とE(x)の

あ る.さ

時,E(0)=1・1=1で ら に,ｘ

あ

の値が正負 いずれ

値 も そ れ に つ れ て 大 き く な る.

図4.12 

エ ネ ル ギ ー 曲線 の 極 小 点 と原 子 位 置 の平 衡 点

図4.13 

関数xnの

部分の拡大

  この よ う な 関 数 で エ ネ ル ギ ー 極 小 のｘ 座 標 つ ま り原 子 位 置 の平 衡 点 は,数 学 的 にい え ば,曲 線 の 接 線 の傾 き(微 分 係 数)が

ゼ ロ の位 置 で あ り,図4.12に

お

け る点Ａ と点 Ｂ で あ る.こ の よ うな 「傾 き ゼ ロ」す な わ ち 微 分 した 結 果 が ゼ ロ とい う こ との数 学 的 表 現 は

(4.14) とい う もの に な る.こ れ が,後 述 す る微 分 方 程 式 の最 も簡 単 な例 で あ る.つ り,あ る関 数 に つ い て の情 報 が 微 分 した形 で 与 え られ,そ

ま

れ か ら元 の 関 数 形 を

導 き出 す の が 「微 分 方 程 式 を解 く」 とい う こ とな の で あ る.   式(4.13)を 結 局,い

具 体 的 に計 算 す る と,x4，x3,x2,ｘ

の 項 と定 数 項 が 現 わ れ る.

ろ い ろ な物 理 現 象 を表 わ す 関 数 に つ い て は,式(4.14)の

よ う な方 程

式 を解 い て 答 を 見 出 す の で あ るか ら,ｎ 次 関 数 の微 分 につ い て 知 る こ とが 重 要 に な る こ とを理 解 して い た だ きた い.   そ こで,こ れ まで の 議 論 の 最 も一 般 化 さ れ たy=xnと

い う関 数 の傾 き,つ ま

り微 分 の 求 め方 を 考 え る こ と にす る.   どの よ う な関 数 で あれ,そ の一 部 を拡 大 して い くと,図4.13の

よ うに,ほ と

ん ど直 線 に近 い もの に な る.し た が っ て,こ れ まで 用 い て きた位 置ｘ とx+△x 間 の傾 き を求 め る とい う手 法 が どん な関 数 に対 して も適 用 で き る の で あ る.関 数y=xnに

適用 す る と

(4.15) とい う表 現 に な る が,一 つ 留 意 しな けれ ば な らな い の は,最 終 的 に は △x→0と

い う"△ｘ を極 限 まで 小 さ くす る操 作"を 行 な う こ とで あ る.こ の操 作 を通 常 の 教 科 書 的 に 記述 す れ ば,式(4.15)は

(4.16) と な る.こ

こで,記 号"lim"は

英 語 の"limit(極 限)"の こ とで あ る.こ の よ う

な 関 数 を一 般 に導 関 数 と呼 ぶ.関 数ｙ に対 し,導 関 数 はy'で 表 わ され る.   こ こで再 度 確 認 して お きた いの は,式(4.16)の に 「微 分 を行 な う」 こ と,つ ま り図4.13に こ とは,物 理 的 に い え ば,何

よ う に極 限 を と っ て数 学 的

示 す よ う に"接 線 の 傾 き"を 求 め る

らか の物 理 量 の 関 数 と して 表 示 さ れ る もの の"変

化 率"を 求 め る操 作 に対 応 して い る とい う こ とで あ る.例 え ば,力 学 に お い て は物 体 の"移 動 距 離"に 対 す る"速 度"で

あ り,"速 度"に 対 す る"加 速 度"で

あ る.ま た,電 磁 気 学 に お い て は"電 位"に

対 す る"電 場"で

あ る.

■数学的扱 い   以 下 で は,物 理 的 な イ メ ー ジか らは 多 少 離 れ て,数 学 的 な表 現 に こだ わ っ て 説 明 す る.面 倒 臭 い と思 わ れ る読 者 は飛 ば して 読 ん で も構 わ な い が,で きれ ば, し ば しの 間"数 学 的 雰 囲 気"を   式(4.16)の

味 わ っ て い た だ きた い.

導 関 数 に つ い て考 え る時,最

な け れ ば な らな いの は(x+△x)nの

も重 要 で あ り,ま た 注 意 深 く扱 わ

部 分 で あ る.こ の 部 分 は,具 体 的 に計 算 す

る と,数 値ｎ に よ っ て,２ 次,３ 次,さ き換 え た場 合 の 展 開 式 が 式(3.3)で

らに 高 次 の 項 が 現 わ れ る.△x=hと

あ っ た.

  こ こで一 般 的 なｎ 次 関 数 に つ い て 考 え る こ とに して,式(3.3)に 式 の最 後 の もの を式(4.16)に

置

示 し た展 開

代入 す る と

(4.17) と な る(２

行 目 の 式 の 第 ３項 目 以 下 で は ｈ,h2,h3，

…,hnの

式 が 残 る がh→0

で 消 え て し ま う).   結 局,数

学 的 な 結 論 と し て,ｎ

次 関 数(n＞1)の

微 分 の結 果 は

(4.18) の よ う に ま と め ら れ る.   な お,関 数y=xnの nxn-1の 積 分 がy=xnに よ う に,一

微 分(導 関 数)がy=nxn-1に な る とい う こ とで もあ る

般 的 結 論 と し て,微

な る と い う こ と は,関 数y= .つ

分 の 逆 演 算 が 積 分("微

ま り,図4.7(ａ)に

示 した

分 と積 分 と は 表 裏 一 体")

とい う こ と を実 感 と して 理 解 し て い た だ きた い.   こ こ で 再 び 物 理 的 な 例 と し て 物 体 の 自 由 落 下 距 離y=-gt2/2(図4.10参 の 場 合 に 戻 っ て 考 え る と,そ

れ が,上

こ と は す ぐ に 理 解 で き る だ ろ う.し

照)

の議 論 を ２次 関 数 に適 用 した も ので あ る たが っ て

(4.19) とな る.   また,図4.12に

示 した結 晶 内 の 原 子 平 衡 位 置 の 問 題 で は,式(4.13)の

よう

な エ ネ ル ギ ー 関 数 が与 え られ る の で,４ 次 の 項 を最 高 次 とす る関 数 の微 分 で 中 心 原 子 位 置 に対 す る エ ネ ル ギ ー の 変 化 曲線(関 数)が 与 え られ る.し た が って, 安 定 点 は,式(4.14)の

よ うな 微 分 方 程 式 を式(4.18)の

一 般 規 則 に従 っ て 次

の よ う に計 算 す れ ば よ い.

(4.20)   これ は ３次 方 程 式 で あ る の で,解 が,そ

れ ら は 図4.12に

(x=0)の

はｘ の 値 と して ３つ の 数 値 が 与 え られ る

示 した よ う に,安 定 点(A,B)２

つ と中心 の極 大 点

こ とで あ る.そ れ らの 点 で は"接 線 の 傾 き"が い ず れ もゼ ロで あ る こ

とは理 解 で き る だ ろ う. ■-n次

関数

  次 に 同 じｎ 次 関 数 で も一 般 形 がy=x-nの

場 合 に つ い て 考 え よ う.

  こ の よ うな 関 数 で表 わ され る物 理 現 象 の例 と して は,1.2.2項

で述 べ た 電 位

と電 場 との 関 係 が あ る.こ の 例 に微 分 法 を適 用 す る前 に,物 理 的 内 容 を再 確 認

し て お く と,図1.16に

示 し た よ う に,電

気 力 線 が 電 荷 Ｑ か ら 発 生 し て い る 時,

そ の 力 線 の 数 が 電 場 の 強 さ を 表 現 し て い る と考 え る こ と が で き る.こ E=kQ/x2」(ｋ

は 定 数)と は,電

ー ロ ン 力F=kQQ'/x2(式(1

場 が 働 き か け る 相 手 の 電 荷Q'が

.16)で

はF=kQ1Q2/d2)と

の

「電 場

決 ま れ ば,ク

い う力 に 変 化 す る も

の で あ っ た.   物 体 に 力 が 働 き 続 け,物 る.つ

体 が 空 間 内 を あ る距 離 移 動 す る と,"仕

事"が 発 生 す

まり

(4.21) で あ る.も し,力 が 位 置 に よ っ て 変 化 す れ ば,短 い 距 離 ご とに 上 式 の 仕 事 を 求 め,そ れ らの 和 を と る こ とに よっ て 各 位 置 につ い て の力 を移 動 距 離 に対 して 求 め る よ うな 操 作 が 積 分 で あ る.し た が っ て,ク ー ロ ン力 が働 く結 果 と し て行 な わ れ る仕 事 は,ク ー ロ ン力 を距 離 に つ い て 積 分 す る こ と,つ ま り数 式 で は

(4.22) で あ るが,い

ま の と こ ろ積 分 の"範 囲"は

決 め な い で お こ う.ち な み に,こ の

よ うな 積 分 範 囲 を規 定 し な い積 分 は不 定 積 分 と呼 ば れ る.   式(4.22)の

計 算 結 果 を得 よ う とす る時,微 分 の逆 演 算 が 積 分 で あ る こ と(図

4.7参 照)を 思 い 出 す とよ い.す y =-1/xで

な わ ち,微 分 してy=1/x2の

あ る こ とを確 認 で きれ ば,答

形 に な る関 数 が

を見 つ け る こ とが で き る.式(4.17)

の 考 え方 を適 用 して み よ う.は じ ま り は関y=-1/xの

微分 な ので

(4.23) とな る.   相 手 の電 荷 量 に よ っ て,実 際 に ク ー ロ ン力 が 働 くの で あ るか ら,相 手 の 電 荷 量 が 決 まっ て い な い電 場 は,概 念 と し て"仮 想 的 な 仕 事"と れ る.こ の よ う な関 係 を微 分 と積 分 の 概 念 を用 い て 表 わ せ ば

して 電 位 が 考 え ら

と な る だ ろ う(図4.7参   結 局,ク

照).

ー ロ ン力(空 間 の 性 質 だ け と り出 せ ば"電 場")を 距 離 につ い て積 分

す る と,静 電 エ ネ ル ギー(空 間 に つ い て は"電 位")に

な る とい う関 係 が,数 学

に お け る微 分 と積 分 で 表 現 さ れ る こ とが 了解 で き る だ ろ う.す な わ ち,電 位 と 電 場 との 関 係 は,落 下 距 離 と落 下 速 度 との 関 係 と同 じで あ る.な お,物 理 的 に は,あ

る場 所 の 間 で 電位 が どの程 度 異 な る か を表 現 す るの が,読 者 も よ く知 っ

て い る で あ ろ う電 圧 で あ る.   以 上 の 結 果 を数 学 的 に 関 数y=x-nに 則 が 適 用 で き,dy/dx=-nx-(n+1)で

拡 張 す れ ば,や

は り式(4.18)の

あ る.こ れ を式(4.18)に

一般 規

な ら っ て一 般 形

で表わせ ば

(4.24) と な る.   式(4.24)に

つ い て 数 学 的 な 証 明 を 行 な う た め に は,こ

れ を

(4.25) と 書 き 直 し,

(4.26) とい う級 数 を用 い る こ とに な るが,こ

の級 数 の 意 味 を含 め た 詳 しい 解 説 は演 習

問 題 に ま わ す こ と に し よ う.

4.2.2 

三角 関数

■ 関 数cosxと

関 数sinx

  三 角 関 数 で 表 わ さ れ る 物 理 現 象 の 代 表 が"振 参 照).

動 と波 動"で

あ る(図2.8,2.9

(ａ) 図4.14 

  まず,三

角 関 数 の う ち,余

数(sinx)の

(ｂ)

余 弦 関 数(cosx)と

弦(コ

正 弦 関数(sinx)

サ イ ン)関

数(cosx)と

正 弦(サ

イ ン)関

微 分 と積 分 に つ い て 述 べ よ う.

  図4.14(ａ),(ｂ)にy=cosx,y=sinxと y'(す な わ ち"接

線 の 傾 き")の

そ れ ら を 微 分 して 得 ら れ る 導 関 数 グ ラ フ を 示 す.こ

れ らの 関 数 の 間 に

(4.27) (4.28) の 関 係 が 成 り立 つ こ とが 納 得 で き る だ ろ う.つ ま り,sin関 数 で 表 わ され る 回転 運 動 や 波 動 運 動 の 曲 線 の 接 線 の傾 き は,同 にcos関

じ位 相 角(ｘ)のcos関

数 で あ り,逆

数 で 表 わ され る運 動 曲線 の接 線 の傾 き は同 じ位 相 角(ｘ)の-sin関

で表 わ され る.と

数

り あ えず は(物 理 学 的 に は),こ れ ら の重 要 な 関 係 を図 形 的 に

納 得 して し ま え ば よい の だ が,こ

こで 一 応,式(4.27),(4.28)を

数 学 的 に表

現 し直 す と

(4.29) (4.30) と な る.

  こ こ で,3.3節

で 述 べ た 加 法 定 理 を 適 用 す る と,式(4.29),(4.30)の"lim"

の 中 は それ ぞれ

(4.31)

(4.32) とな る.一 見,複 雑 そ うで は あ る が,よ

く見 れ ば,上 記 の計 算 は単 純 な 四 則 演

算 の み しか 行 な っ て い な い こ とに気 づ くだ ろ う.恐 れ る に は及 ば な い.自 分 自 身 で実 際 に 計 算 を行 な い,上 記 の 結 果 を確 認 して い た だ きた い.   これ らの計 算 結 果 を そ れ ぞ れ 式(4.29),(4.30)に

代 入 して み る と

(4.33)

の ２項 目 の 計 算 結 果 が 重 要 で あ る こ と が 理 解 で き る の で は な い だ ろ う か .   こ こ で,△x→0と

い う極 限 を 求 め る 時,cos△x-1,sin△x,そ

す べ て ゼ ロ に 近 づ い て い くの で,式(4.33)の い く よ う で い さ さ か 不 安 で あ る.こ  △x→0と

示 す.こ

は 単 調 に ゼ ロ に 近 づ い て い き,△xが ど 一 致 す る と い う こ と で あ る.つ

近 づ いて

の こ とを グ ラ フで 考 え て み よ う.

い う 極 限 に 近 づ い て い く過 程 に お け るcos△x,sin△xの

△xの 数 値 の 変 化 を 図4.15に

し て△xは

Ａ,Ｂ は い ず れ も0/0に

２関 数 と

の 図 か ら 明 ら か な こ と は,sin△xと△x 十 分 に ゼ ロ に近 づ く と両 者 の 値 は ほ とん

ま り,sin△x〓△xで

あ る .し た が っ て,十

分

な精 度 で

(4.34) が い え る の で あ る.   一 方,cos△xは

図4.15に

示 さ れ る よ う に,値

が い つ も １ よ り小 さ い が,△x

図4.15 

△x→0に

よ る変 化

図4.16 

磁 場 と磁 気 モ ー メ ン ト

が ゼ ロ に 近 づ く よ り も は る か に 速 く １ に 近 い 値 に な る こ と が わ か る だ ろ う.す な わ ち,△x→0の は,分

時,一

子(cos△x-1)の

に 接 近 し て い く.こ

見,0/0に

近 づ く よ う に 見 え る(cos△x-1)/△xの

方 が 分 母(△x)よ

値

り も は る か に 大 き なｘ の 値 で ゼ ロ

の こ とか ら

(4.35) が い え る の で あ る.   以 上 の 結 果,式(4.34),(4.35)を

式(4.29),(4.30)に

関 数 の 微 分 と し て,式(4.27),(4.28)と こ れ ら の 結 果 は,物

代 入 す る と,三

角

い う 重 要 な 結 果 が 得 ら れ る の で あ る.

理 学 の い た る と こ ろ で 利 用 さ れ る の で あ る が,こ

こで は簡

単 な 応 用 例 を 一 つ だ け 示 し て お こ う.   磁 気 学 に お い て は,磁 場 Ｈ 中 に 磁 気 分 極Ｊ が 置 か れ て い る 時,磁 気 分 極Ｊ の 磁 気エ ネルギー Ｅ は

(4.36) で 表 わ さ れ る こ とが 知 られ て い る.こ こで,磁 場 Ｈ は 読 者 の イ メー ジ さ れ る も の で よ い が,磁 気 分 極Ｊ は,磁 石 で い え ばN-S極

の対 が どの程 度 の"強 さ"の

磁 石 とな っ て い る か を示 す も ので あ る.   こ こで 角度 θは 図4.16に あ る.式(4.36)に

示 した よ う に,磁 場 方 向 と磁 気 分 極 の な す 角 度 で

示 さ れ る よ う に,こ の 回転 角 度 θが 変 化 す るの で あ るか ら

エ ネ ル ギ ー Ｅ の 回転 角 度 θに つ い て の微 分 は,あ る種 の"力"を

表 わ す こ とが

予 想 され る.実 際,こ の よ うな 力 が 存 在 し,そ れ は 図4.16に

示 す よ う に 回転 力

(トル ク)と 呼 ば れ て い る.そ れ を数 式 で 表 現 す れ ば

(4.37) とな る.   この よ う な回 転 力 に つ い て は,定 義 に よ り,ど ち ら の方 向 を プ ラ ス(＋)に す るか が 決 ま る.通 常 は角 度 θ を小 さ くす る方 向 に力 が 働 くの で,式(4.37) の符 号 は マ イナ ス,つ

ま り,回 転 力=-HJsinθ

と表 示 す る.

  この よ う に,"ト ル ク"の よ うな磁 場 に よ り与 え られ る磁 気 力 と磁 気 エ ネ ル ギ ー との 関係 は三 角 関 数 の 微 分 と,そ の 逆 演 算 と して の 積 分 で表 わ され るの で あ る.   な お,磁 気 学 の 話 の つ い で に付 言 す る と,Ｎ 極 と Ｓ極 の ペ ア で しか 確 認 され て い な い磁 気 モ ー メ ン ト(小 さ な磁 石 を想 像 す れ ば よい が,最 小 の もの は磁 石 に使 わ れ る鉄 原 子 や 電 子 ス ピ ン な どで あ る)を 空 間 の"均 一 磁 場"内

に置 く と,

それ が ど ん な に 強 い磁 場 で あ っ て も上 述 の 回転 力 以 外 に は何 らの 力 も受 け な い.小 磁 石 が あ る方 向 に 引 きず られ る よ うな 力 を受 け るの は,磁 場 に勾 配 が あ る場 合 だ け で あ る.な ぜ な らば,均 質 な磁 場 中 に あ る小 磁 石 は,そ の 空 間 中 の ど こ に い て も,全

く同 じエ ネ ル ギー を持 つ か らで あ る.砂 場 で 磁 石 を使 っ て砂

鉄 を集 め られ る の は,磁 石 の 磁 場 が 遠 くで は小 さ くな る磁 場 勾 配 を持 つ こ と と, 砂 の 中 の 磁 石 を動 き まわ す こ とで,磁 石 と砂 鉄 が 直 接,接 触 す る か ， その 磁 石 の 動 きが 場 所 ご とに磁 場 変 化 を 作 り出 して い るか らで あ る. ■ 関数tanx   次 に,正 接(タ

ン ジ ェ ン ト)関 数(tanx)の

微 分 に つ い て説 明 す る が,こ

関 数 の物 理 現 象 へ の適 用 につ い て は 単 純 な ものが 見 つ か ら な い の で,以

の

下 は三

角 関数 の微 分 の 説 明 を完 結 す る もの と理 解 して い た だ きた い.興 味 の な い読 者 は飛 ば して 先 に進 ん で も構 わ な い.   まず,一 つ の 簡 単 な計 算 を確 認 して お こ う.

(4.38)   この式 の左 辺 と右 辺 とが 等 し い こ とは 四 則 演 算 で証 明 で き る の で,読 者 自 身 で 計 算 して み て い た だ きた い.

  正 接 関(tanxの

定 義 はtanx=sinx/cosxで

sinxと1/cosxの

あ り,こ

積 で あ る.こ れ をF(x)=sinxとG(x)=1/cosxの

え,こ

れ か らF(x)G(x)の

て,式

の簡略化 のた めに

れ は ２つ の 関 数 積 と考

微 分 に つ い て 調 べ る こ と に す る.以 下 の 説 明 に お い

(4.39)

と い う 表 示 を 用 い る.   関 数y=F(x)G(x)の

導関数 は

(4.40) な の で,こ

れ に 式(4.39)を

代入 す る と

(4.41) と な る.こ

こ に,式(4.38)を

代 入 し,以

下 の計 算 は読 者 自身 で 行 な っ て い た

だ き た い.   式(4.38)の の"中

味"だ

右 辺 の ３項 の そ れ ぞ れ に つ い て 極 限 を と る 操 作 を 行 な う 時,そ け を取 り出せ ば

(4.42) とな る.  式(4.41)の

内容 どお りの極 限 を と る と,式(4.42)の

各 項 は微 分 を意 味 す

る こ とに な る か ら,そ の計 算 結 果 を微 分 記 号 で 表 わ す と

(4.43) と な り,y=F(x)G(x)を

上 式 に代 入 す れ ば 一 般 形 と し て

(4.44) が 得 られ る.dy/dx=y′(こ

のy′ は 前 出 で あ るが,こ

記 号 と呼 ば れ る も の で あ る)を 用 い て 式(4.44)を

れ は ラ グ ラ ン ジ ュの微 分

書 き直 せ ば

(4.45) と な る.   こ の 式 を 実 際 に 関 数tanxに

応 用 し て み よ う.

  前 述 の よ う に,tanx=sinx/cosxで き直 す こ と も で き る.こ

あ り,こ

れ はsinx=tanx・cosxと

の こ と と,式(4.45),(4.27),(4.28)を

書

用 い ると

(4.46) が 得 られ る こ と を読 者 自身 で 確 認 し て い た だ きた い.

4.2.3 

指 数 関 数 と対 数 関 数

■ 関 数exとax   まず は じ め に,指

数 関 数 の 中 で 特 に 重 要 な 関 数exに

  指 数 関 数 の 中 で,関 4.17に

数y=exと

示 す.y=axで,ａ

の グ ラ フ は 必 ずP(0,1)を   図4.17の

関 係 が 深 い 関数y=2xとy=3xの

の 値 に 関 係 な くx=0の

の 接 線 の 傾 き を 求 め て み よ う.方

算 出 す る.

時,y=1に

グ ラ フ を図 な る か ら,y=ax

通 る.

グ ラ フ の 範 囲 をx=0,1,2付

②1.0∼1.1,③2.0∼2.1の

つ い て 考 え る.

近 に 限 っ て み て,そ

法 は 極 め て 単 純 で,例

の ３点 付 近 の 関 数

え ば,①x=0∼0.1,

３つ の 狭 い 範 囲 の 傾 き をｘ の 値 を 代 入 す る こ と で

図4.17 y=2xとy=3xの

グ ラ フ

図4.18 y=exの

グ ラ フ

(4.47)

  こ の よ う な 結 果 を 見 る と,関 数y=2xの

傾 き は,数

体 の 数 値 よ り も常 に 少 し小 さ い(約70%の 常 に 少 し 大 き い(約115%の

大 き さ)こ

値ｘ

大 き さ)が,関 と が わ か る.ま

数y=3xに

おけ

は 約0.7,y=3xで

は

な る.

  こ れ ら の こ と か ら類 推 す る と,ｘ 値 が 一 値 す る"特 は,こ

自

お いては

た,点P(0,1)に

る 接 線 の 傾 き を 実 際 に グ ラ フ 上 で 求 め て み る と,y=2xで 約1.1と

を 代 入 し た 関 数ｙ

の"特

殊 な 数 値"が

体 の 値 と傾 き の

２ と ３ の 間 に 存 在 す る こ と が 予 想 さ れ る.実

殊 な 数 値"が1.2.2項

e(=2.71828182…)な

値 に 対 し て 関 数y=ax自

の で あ る.つ

お よ び3.4節

で 触 れ た 自然 対 数 の 低

ま り,

(4.48) と な る.こ

の 関 数y=exの

グ ラ フ を 図4.18に

示 す.式(4.48)か

らP(0,1)に

お け る傾 き が １に な る こ とは,す

ぐに了 解 で き る で あ ろ う.

  この"ｅ"は 誠 に興 味 深 い数 値 で あ る.な ぜ な ら,あ る物 理 現 象 で,微 分 方 程 式 がdy/dx=yと

な る場 合 も一 般 式 と し てdny/dxn=y(n=1,2,3,…)と

場 合 も,い つ で も,こ の指 数 関 数y=exを

なる

解 と して 用 い る こ とが で き る の で あ

る.   実 は,こ

の よ うな 物 理 現 象 は 少 な くな い.回 転 運 動,波

動 運 動 な ど,同

じパ

タ ー ンが 繰 り返 され る周 期 的現 象 の 多 くが,こ の 関 数 を使 っ て考 え られ る こ と に な る.   こ こで,一 般 形 指 数 関 数y=axの

導 関 数 を 求 め て み よ う.こ れ は,こ れ まで

述 べ た こ とを 当 て はめ る と

(4.49) の よ う な も の に な る は ず で あ る.こ

こ でa=eで

あ れ ば 前 述 の よ う に,微 分 し て

も 元 の 関 数 形 と 同 じ形 の 関 数 が 現 わ れ る か ら,式(4.49)の

後 半 部 分 は,a=e

と お い て,

(4.50) で あ る.   関 数y=ebxに

つ い て は,微

分 の 結 果 と し てebxは

と 同 様 の 極 限 を と っ た 結 果,数

値ｂ

そ の ま ま 残 る が,式(4.50)

も残 る こ と に な る(す

な わ ち,debx/dx=

bebx). ■ 三 角 関 数 と指 数 関 数 と の 合 体   次 に,

(4.51) とい う関 数 に つ いて 考 え る.い

ま は唐 突 に思 え るだ ろ うが,こ

の形 の関 数 は指

数 関 数 と興 味 深 い 共 通 点 が あ る の で あ る.こ

こ に,式(4.27)と(4.28)の

結

果 を用い る と

(4.52)

(4.53) とい う結 果 が 得 られ る.   こ こで,式(4.51)と(4.53)と

を見 比 べ る と,微 分 す る と元 の 関 数 形 が現

わ れ る指 数 関 数 との類 似 性 に気 づ くの で は な い だ ろ うか .た だ し,微 分 演 算 を １回行 な う ご とに元 の 関 数 形 の 前 に出 る は ず の係 数 部 分 が,２ う と,式(4.53)の

計 算 結 果 の よ う に,２ 乗 して-1に

が 課 せ られ て い る よ うで あ る.「 ２乗 す る と-1に

回 掛 け 算 を行 な

な っ て欲 し い とい う条 件

な る数 」 とい うの は1 .2.2項

で 述 べ た虚 数ｉ で あ る.   先 ほ ど示 したy=ebxの

微 分 と上 記 の三 角 関 数 の 和 を 総 合 す る と,b=iの

場

合

(4.54) と い う 公 式 が 成 り立 つ こ と に な る.こ

れ が,物

理 学 に お い て も極 め て 広 く用 い

ら れ る オ イ ラ ー の 公 式 で あ る.   こ の 公 式 は,微 が で き る.つ

分 計 算 に な じ ん だ 読 者 に は別 の 方 法 で簡 単 に証 明 し直 す こ と

ま り,左 辺 を ２回 微 分 す る と,d2(eix)/dx2=i2eix=-eixで

こ れ は,式(4.51)に

示 し た 関 数 の ２回 微 分 の 結 果 で あ る 式(4

あ り, .53)と

まった

く同 じ で あ る.   こ の 結 論 は,図4.19に

示 す よ う な 複 素 数 軸 を 描 い て み る と,応 用 範 囲 が 極 め

て 広 い こ と に 納 得 で き る の で は な い だ ろ う か.な 描 き換 え た も の で あ る.図 式(4.54)の

右 辺 のcosxが

な る.位 相 角ｘ(図1.25で

の よ う に,横

お,こ

軸 に 実 数 軸,縦

実 数 軸 と な り,sinxが

の 図 は 図1.25の

内容 を

軸 に 虚 数 軸 を と る と,

虚 数 軸 に表 わ され る こ と に

は θ)が 増 加 す る場 合,図4.19に

示 す よ う に,式(4 .54)

図4.19 

図4.20 

複素数軸

図4.21 

位 相 角 θ と波動 の運 動 速 度ｖ

波 動 の進 行 面

の右 辺 が 表 現 して い る量 は反 時 計 方 向 に 回転 す る もの とな る.し た が って,左 辺 の 指 数 関 数eixが 表 わ して い る内 容 も同様 に回 転 す る.   この よ うな 数 学 的 表 現 が 適 用 され る代 表 的 な物 理 現 象 は,す で に何 度 も登 場 して い る波 動 で あ る.図4.20に

示 す よ うに,位 相 角 θの 時 間 に対 す る増 加 の速

さが 波 動 の 運 動(回 転 あ る い は振 動)の 速 度 に対 応 す る.角 速 度 は 式(2.3)に 示 した よ う に,θ=ωtと

い う表 現 の ω で 表 わ さ れ る.例 えば,波 長 を λ とす る

と,時 間ｔ 経 過 後 の 波 動 の進 行 面 は,図4.21に

示 す よ うに,進 行 距 離 をｘ軸 に

表 わ せ ば,原 点 か ら見 て

(4.55) の 位 置 に あ る こ と に な る.   な お,こ

の 部 分 の 説 明 は,図2.7∼2.8と

た だ く と わ か り や す く,ま   図4.22に

示 す よ う に,波

そ れ ら につ い て の説 明 を参 照 して い

た 理 解 も 深 ま る と 思 わ れ る. 動 の 進 行 方 向 にｘ 軸 を と る と,波

動 が 距 離ｘ 進 行

図4.22 

波動 の 進 行 距 離

図4.23 

逆位相 の波動

した 場 合 に は,原 点 か らそ の 位 置 まで の 間 にx/λ 個 の"波"が な る.波 長 λ の 逆 数 は振 動 数(通 常"ν"と 図2.8に

示 し た よ う に １回 の運 動(振 動)は

位 相 角 θ=2π に相 当 す る.そ の数"を 波 数k=2π/λ

存 在 す る こ とに

い う記 号 で 表 わ さ れ る)で あ るが, 円 で い え ば １周 に 相 当 し,そ れ は

して,位 相 角 で表 わ した 単 位 距 離 に存 在 す る"波

と定 義 す る.も う一 度,図2.8と

図2.9と

の関係 をよ く

見 て い た だ きた い.   結 局,物

理 的 な波 動 につ い て は,"位 置"に 関 す る変 化 と"時 間"に 関 す る変

化 が あ る こ とが 理 解 で き る.指 数 関 数eiθ を用 い る と,そ の よ うな 波 動 の様 子 は

(4.56) と表 現 さ れ る こ とに な る.   こ の よ うに 少 し複 雑 な表 現 に な っ て も,指 数 関 数 の微 分,積

分 の規 則 は守 ら

れ て い る.す な わ ち,常 に

(4.57) で あ る.

  以 上 の 指 数 関 数eixの 表 現 法 に慣 れ るた め に,こ こで 試 しに,図4.23に

示す

よ うな 完 全 に逆 位 相 の 波 動 を重 ね 合 わ せ て み よ う.第 一 の 波 動 の 位 相 角 を θ, 第 二 の 波 動 の 位 相 角 を-θ とす る.重 ね 合 わ せ の結 果 は,実 数 軸 上 の 振 動 成 分 の みが 残 り,虚 数 軸 上 の成 分 は打 ち 消 し合 っ て消 滅 す る こ と に な る.そ 数 式 で表 現 す る と

の ことを

(4.58) とな る. ■ オ イ ラ ー の公 式 の 応 用   以 上 の よ うな 計 算 結 果 は,わ れ わ れ に新 た な知 識 を与 えて くれ る.す な わ ち, 三 角 関 数 は 式(4.54)の

オ イ ラ ー の 公 式 を用 い る と,指 数 関eiθ

に よ る新 しい

定義式

(4.59)

で 表 現 で き るの で あ る.   オ イ ラ ー の公 式 が 新 た な"世 界"を 切 り開 く道 具 に な り得 る感 触 を持 た れ た の で は な い だ ろ うか.こ   図4.24に

の道 具 の 使 い 方 の 例 を以 下 に示 す.

示 す よ う に,大 き さ と位 相 が 異 な るさ ま ざ まな 波 動 が 多 数 存 在 して

い る場 合 の こ と を考 え る.以 下 に述 べ る こ とは,波 動 の"重 ね 合 わ せ の 原 理" を理 解 す る上 で 大 い に役 立 つ概 念 で あ る.個 々 の物 理 現 象 につ い て まだ 学 習 が 終 って い な い読 者 は,以 下 の 記 述 の 内 容 の雰 囲 気 を味 わ っ て も ら うだ けで よ い.   水 面 上 で 多数 の 波 動 が 重 ね 合 わ さ れ る場 合 を考 え て も よ いが,こ 学 を学 ぶ 読 者 が 出会 うで あ ろ う結 晶 学 や 固体 構 造 論(本

図4.24 

れ か ら物 理

シ リー ズ 『した しむ 固

さ ま ざ ま な大 き さ の位 相 の 波 動

体 構 造 論 』 な ど参 照)に う.多

お け るＸ 線 回折 や 電 子 線 回折 を念 頭 に置 く こ とに し よ

くの場 面 で現 わ れ るの は

(4.60) とい う数 式 に よ る表 現 で あ る.な お,Ajはｊ

番 目 の波 動 の 振 幅 で あ り,Ｆ につ

い て は後 述 す る.   Ｘ線 回 折 の場 合,振 よ い)す

幅 に相 当 す るの は照 射 した Ｘ線 を 回 折(反 射 と思 って も

る各 原 子 の"能 力"で

あ る.各 原 子 で位 相 角 が 異 な る理 由 は,試 料 に

入 射 したＸ 線 が そ れ ぞれ の原 子 に 到 達 す る ま で の距 離 と回折 され たＸ 線 が検 知 器 に到 達 す る ま で の距 離 がＸ 線 の 波長(通 常1.0∼1.5×10-10m程

度)に 比 べ 各

原 子 間 で 十 分 に大 き く異 な る か らで あ る.   結 晶 質 の物 質 で は,同

じ原 子 配 置 の原 子 団 単 位(単 位 胞 と呼 ば れ る)が

元 的 に 規 則 正 し く繰 り返 して 結 晶 全 体 を構 成 す る の で,そ

３次

の単 位 胞 の 各 原 子 に

つ い て の み 位 相 角 を きち ん と決 定 で きれ ば,結 晶 全 体 に 関 す る十 分 な情 報 が 得 られ るの で あ る.た

だ し,こ こで 注 意 しな け れ ば な らな い の は,Ｘ 線 の 回 折 波

は位 置 に 関 す る位 相 で す べ て が 決 ま っ て い て,時 間 に対 して は定 在 波(本 ー ズ 『した しむ振 動 と波 』 な ど参 照)で に つ い て の 回 折 波 の 合 成 を図4.25に 表 現 に注 意 し て い た だ きた い.多

シリ

あ る こ とで あ る

示 す.こ

.そ の よ うな"単 位"

こで は,各 波 動 の"和"の

図形 的

くの 波 動 が 重 ね合 わ され て,最 終 的 に,あ

図4.25 

回析 波 の 合 成

る

大 きな 波動 に集 約 さ れ るわ け で あ る.Ｘ 線 回折 学 な ど で は,式(4.60)で され る"Ｆ"を

表わ

構 造 因 子 と呼 ぶ(加 藤 範 夫 『Ｘ線 回折 と構 造 評 価 』(朝 倉 書 店)

な どを参 照).こ の よ うな 表 現 の も う少 し詳 しい解 説 を演 習 問 題 で 取 りあ げ る つ も りで あ る. ■対数関数   対 数 関 数 を用 い る物 理 量,物

理 現 象 も大 変 多 い.す で に,統 計 熱 力 学 に お け

るエ ン トロ ピー Ｓ に つ い て は式(3.41)で lnx(=logex)に

説 明 した.以 下,自 然 対 数 関数y=

つ い て 述 べ る.

  まず,自 然 対 数 関 数 の 導 関 数 を求 め て み よ う.こ め に,△x=hと

こで も記 号 を簡 単 に す るた

して展 開 式 を示 す.

(4.61) と な る.  ｘ が ど の よ う な 値 で あ ろ う と,h→0の が っ て,式(4.61)のlimの

時,h/xも

ゼ ロ に 近 づ い て い く.し た

中の極限 は

(4.62) と な り,こ

こ でh/x=α

とす る と

(4.63) とい う簡 単 な 式 に な っ て し ま う.   も し,こ

の 関 数ｙ が,α

→0の

時,あ

る 値ｂ に 近 づ い て い く と す る と

(4.64) で,こ

の 式 を こ の ま ま 計 算 し て み る と,α

→0の

時

(4.65) と な る.こ

の 式 は,指

数 関 数 の 説 明 の 際,式(4.50)で

と な っ て も ら い た い と 考 え た 内 容 で あ る.こ 「表 裏 一 体 の 関 係 」 が 見 出 せ る だ ろ う.こ x =eyと

が

α→0(h→0)の

こ で も,指

時,b=1

数 関 数 と対 数 関 数 の

の こ と を 数 式 で 表 わ せ ば,y=lnxと

「裏 表 」 の 関 係 に あ る と い う こ と で あ る.

  結 論 と し て は,h→0の

時,式(4.62)が

１に な れ ば,対

数 関 数 の微 分 は

(4.66) と な る.当

然

(4.67) と い う積 分 計 算 も成 り立 って い る.   こ の結 果 は,関 数y=xnの

項 で残 っ て い た 「 微 分 してx-1と な る関 数 は どの

よ う な もの か 」と い う疑 問 の答 えが,実 は対 数 関数y=lnxで

あ った こ とを意 味

して い る.   こ こで,ま

とめ て確 認 して お きた い.

  指 数 関数 と対 数 関 数 の 導 関 数 は い ず れ も,内 容 的 に は 同 じで あ る式(4.50) と(4.65)が

成 立 して い れ ば,極 め て簡 単 で きれ い な 関 数 に整 理 され る の で あ

るが,そ れ は対 数 関 数 の 底 がｅ の 場 合 に限 られ る.こ こで も う一 度 図3.26と 4.18を

図

じ っ く り と眺 め て い た だ きた い.

■対数関数 の応用例   対 数 関 数 の 応 用 に つ い て 簡 単 に紹 介 す る.   こ こで も,3.4節 kBlnWに

で と りあ げ た,エ

ン トロ ピー に 関 す る ボル ツ マ ン の 式S=

つ い て 考 え よ う.

  考 え て い る物 理 系 の状 態 数 Ｗ をグ ラ フ に す る と,多 くの 系 で,図4.26に す よ う な エ ネ ル ギ ー Ｅ との関 係 が描 け る.た だ し,こ い る もの は,例

示

こで"状 態 数"と 呼 ん で

えば,こ の 系 がｎ 個 の単 原 子 の 気 体 で構 成 され て い る 時,１ 番

目か らｎ 番 目 まで の 原 子 の エ ネ ル ギ ー がE1,E2， …Enと 指 定 され る場 合 を １つ の状 態 と し,全 エ ネ ル ギ ー Ｅ が 取 り得 る す べ て の 状 態 の 数 を意 味 す る.図 に示

図4.26 エ

ネ ル ギー Ｅ と 状 態 数 Ｗ との 関 係

さ れ る よ う に,系 W(E)は

が 持 つ 全 エ ネ ル ギ ー が 増 加 す る と,系 の 取 り得 る状 態 数

急 激 に増 加 す る.

  系 の エ ネ ル ギ ー が 変 化 す る時,エ うか.こ

ン トロ ピ ー は どの よ うな 変 化 を す るの だ ろ

の疑 問 に答 え る た め の 数 学 的 操 作 が,エ

ン トロ ピ ー の 式 を エ ネ ル ギ ー

に つ い て 微 分 す る こ とに な る.つ ま り,S=kBlnWを

Ｅ に つ い て 微 分 す るの で

あ るが,そ

の結 果 は

(4.68) とな る.実 は,系 が あ る全 エ ネ ル ギ ー 値 Ｅ を とる場 合 につ い て 考 え る と,そ の 時 の エ ン トロ ピー の 変 化 状 況 を表 わ す 上 式 は,熱 量(エ

ネ ル ギ ー)Ｑ

ロ ピー の 相 互 依 存 性 を表 わ して お り,定 数kBが 単 位 とし てQ/T,つ 温 度 を持 っ て い るの でdS/dEの

単 位 は 温度 の 逆 数(1/T)に

とエ ン ト ま り熱 量/

な る.こ れ は,絶

対 温 度 の 定 義 で もあ る.   以 上 の 「熱 力 学 」 に関 す る事 項 の 詳 細 に つ い て は,本 シ リー ズ 『した し む熱 力 学 』 な ど を参 照 して い た だ きた い.

4.2.4  テ イ ラ ー展 開   物 理 学 の あ ら ゆ る分 野 で,数 式 を使 った 論 理 展 開 が 行 な わ れ るが,テ 展 開 ほ ど基 本 的 な手 法 は な い とい え よ う.物 理 学 に お い て,テ

イラー

イ ラ ー展 開 は四

則 演 算,微 分 ・積 分 と同 等 の割 合 で 使 わ れ る とい っ て も よい ほ ど一 般 的 で あ る.

図4.27 

ま た,テ

基 本 変数ｘ の関 数E(x)

イ ラ ー展 開 は微 分 法 の拡 張 の 一 種 で も あ る.

  物 理 現 象 の数 学 的 表 現 に用 い られ る関 数 は,ｎ 次 関数,指 数 関 数,対 数 関数, さ らに 三 角 関 数 な ど比 較 的 単 純 な もの だ け で はな い.現 実 的 に は相 当複 雑 な関 数 形 で な けれ ば表 現 で き な い現 象 も あ る.し か し なが ら,考 えて い る現 象 を表 現 す る関 数 が,あ

る物 理 量 を基 本 変 数 と して 表 現 で き る こ とだ け は保 証 され て

い る場 合 が あ る.例 え ば,磁 性 体 の 自由 エ ネ ル ギ ー Ｆ(系 全 体 の エ ネ ル ギ ー 状 態 を統 計 熱 力 学 の対 象 と して 考 え る場 合 の エ ネ ル ギ ー)が,磁

性 体 の磁 化(Ｍ)

の 関 数 で 表 わ され る場 合 や,誘 電 体 の 自 由 エ ネ ル ギ ー Ｆ が,あ る原 子 の結 晶 単 位 胞 内 に お け る位 置 の"ず れ(ｘ)"の 関 数 と して 表 現 さ れ る場 合 の

(4.69) (4.70) な どで あ る.   例 え ば,図4.27に

示 す よ う に,あ る物 体 のエ ネ ル ギ ー Ｅ が基 本 変 数ｘ の 関

数 と して表 現 され る場 合,す な わ ちE=E(x)に の 基 準 値 をx=aと

し て,E(a)か

エ ネル ギ ー を考 え る.図4.27に

つ い て考 え る.こ の 場 合,変 数

ら少 し,あ る い は"あ る程 度"離 れ た 状 態 の 示 した よ う に,E(x)の

関 数 形 が どの よ う な も

の で あ れ,基 準 値 ａか ら少 し離 れ た 状 態 の エ ネ ル ギー で あ れ ば,そ の 時 の変 数 値 をｘ と して

(4.71) の よ う に近 似 的 に表 現 で き る こ とは納 得 で き る だ ろ う.こ の こ とは 図4.27の

内

容 に対 応 して い る.   で は,"近

似 的"に で は な く,も っ と正 確 にエ ネ ル ギ ー 値 を知 りた い場 合 は ど

う した らよ い だ ろ う か.そ の こ とは,図4.27の さ れ た 部 分 を"追

い か け る"こ

中 の 拡 大 図 で"誤 差"と して残

とに相 当 す る.こ の誤 差 を あ くまで 図 形 的 に考

え る と,変 数ｘ の 存 在 す る位 置 の 前 後 で エ ネ ル ギ ー Ｅ の 曲 線 の 傾 きが 変 化 し て い る に もか か わ らず,そ れ を考 慮 して い な い こ とに 誤 差 の発 生 原 因 が あ る こ とが理 解 で き るだ ろ う.そ こで,基 準 値 ａ にお け る傾 きdE/dxの d2E/dx2に

注 目 す る と,関 数E(x)の

変 化,つ ま り

傾 きに つ い て

(4.72) と い う 表 現 を 得 る.式(4.72)に

つ い て,(x-a)を

基 本 的 な間 隔 と し て積 分 す

る と

(4.73) とい う表 現 に 到 達 す る.   これ が テ イ ラ ー 展 開 の基 本 で あ る.数 学 的 に は,ｎ 階 微 分 項 まで続 く表 現 に つ い て説 明 しな けれ ば な らな い が,物 理 学 上 の 多 くの 問題 で は,式(4.73)に

示

す ２階微 分 項 まで の 表 現 で十 分 で あ り,そ れ 以 上 の次 数 の 項 が 重 要 に な る こ と は ほ とん どな い の で あ る.

4.3  偏 微 分 と微 分 方 程 式 4.3.1

偏微 分

  式(4.54)に

示 し た オ イ ラ ー の 公 式 は,実

数 軸 と虚 数 軸 に 示 さ れ る ２種 類 の

ま っ た く異 な る 数 値 の 和 で 表 現 さ れ る 極 め て"数 「eix=cosx+isinx」 z=ax+byと

と い う 内 容 は,一

学 的"な

も の で あ っ た.そ

般 化 す れ ばA=B+iCと

い う 関 数 と類 似 の も の で あ る.つ

の

い う表 現 や

ま り,広 い 意 味 で 考 え る と,あ る

１つ の 量 が ２ つ の 要 素 に よ っ て 表 現 さ れ て い る わ け で あ る(こ

の よ う な"現

象"

を理 解 す る こ と は,物 理 学 に お い て の み な らず,人 生 に お い て も極 め て重 要 と 思 わ れ る).こ れ らの 表 現 で,右 辺 の第 １項 と第 ２項 の量 は それ ぞ れ加 え た り引 い た りす る こ とが で き な い独 立 の 数 値(独

立 変 数)で

あ る.実 数 軸 上 の 量 を虚

数 軸 の量 に,あ るい はｘ 軸 に表 現 され た量 をｙ 軸 上 の量 に直 接 変 換 す る こ と は で き な い の で あ る.   その よ うな場 合 の 最 も単 純 な 例 と して

(4.74) とい う関 数 に つ い て 考 え て み よ う.   この 関 数 は,変 数 で あ る(x,y)の を意 味 し て い る.実 際,こ

数 値 を指 定 す る と,数 値ｚ が求 ま る こ と

の よ う な現 象 は 物 理 学 の分 野 に 限 らず 世 の 中 に も多

く見 られ るの で あ る.例 え ば,あ

る技 術 系 の会 社 の 技術 力 をｘ,営 業 力 をｙ と

す れ ば,そ の 会 社 の総 合 力ｚ は式(4.74)の

よ うに表 現 で き るだ ろ う.ま た,

あ る人物 の 知 能 程 度 をｘ,人 格 をｙ で 表 わ せ ば,そ

の人 物 の価 値 も式(4.74)

で表 現 で き る か も しれ な い.い ず れ の場 合 も,係 数ａ,ｂ は社 会 情 勢 や 環 境 に よ っ て 変 化 す る だ ろ う.   さて,物 理 数 学 に戻 って,式(4.74)で

表 わ され る よ うな 関 数 の,そ

れぞれ

の変 数 につ い て の微 分 と積 分 に つ い て 考 え よ う.   い ま,変 数 と し てｘ とｙ の ２つ が あ る こ とを知 っ て い るの で あ るが,ま ず １ つ の変 数ｘ の み に着 目 し,他 の 変数ｙ は あ た か も定 数 の よ うに変 化 しな い と み な した場 合 の 微 分 に つ い て 考 え る.こ

の場 合 の微 分 記 号 は"dz/dx"の

"∂z/∂x"と い う もの を用 い る.こ の"∂z/∂x"と て い る関数ｚ の値 を左 右 す る変 数 が ２個(以

替 わ りに

上)あ

い う記 号 の 意 味 は 「い ま考 え る こ とを知 っ て い る が,い

まは他 の 変 数 の 変 化 に つ い て は 目 を つ ぶ っ て,変 数ｘ の み の変 化 が 関 数ｚ の 値 を どの よ う に変 え る の か を考 え る」 と い う"宣 言"で あ る.こ の よ う な微 分 を 偏 微 分("偏"は"か   式(4.74)で

た よ っ て い る"と い う意 味 で あ る)と 呼 ぶ.

表 わ され る関ｚ

の値 は,図4.28に

示 す よ うに,ｘ 軸 方 向 とｙ

軸 方 向 の ２つ の 変 化 率 を持 って い る.つ ま り,偏 微 分 係 数(接 線 の 傾 き)はｘ 軸 方 向 とｙ 軸 方 向 で 異 な るわ けで あ る.図 に示 され る よ うに,ｚ 値 の変 化dzはｘ 値 とｙ 値 の 変 化 の和 と して

図4.28 

関 数z=ax+by と そ の接 線

(4.75) の よ う に 表 現 さ れ る.   関 数z=ax+byの

場 合,∂z/∂x=a,∂z/∂y=bで

あ る こ とが偏 微 分 の定 義 か

ら 明 ら か で あ る か ら,式(4.75)は

(4.76) とな る.   また,z=cxyの

場 合 は,∂z/∂x=cy,∂z/∂y=cxと

な り,dz=cy×dx+cx×

dyと な る こ とは了 解 で き るだ ろ う.   偏 微 分 の 物 理 学 にお け る具 体 的 な応 用 例 と して,す

で に何 度 か 触 れ た理 想 気

体 の状 態 方 程 式 に つ い て 考 え て み よ う.   理 想 気 体 の状 態 方 程 式 は

(3.9) とい う も の で あ っ た.こ れ を圧 力 Ｐ に つ い て の 表 現

(4.77) に直 し,圧 力 が 体 積Ｖ

と温 度 Ｔ に どの よ う に依 存 す るか を数 学 で表 現 す る と

(4.78) とな る.   この よ う な簡 単 な 例 か ら も予 想 で きる よ う に,い ろ い ろ な 変 数 に よ っ て決 ま る物 理 量(そ

れ らが 実 験 的 測 定 対 象 に な る)を 表 現 し よ う とす る場 合,こ

の偏

微 分 の考 え方 が 非 常 に重 要 で あ る こ とを是 非 と も理 解 して い た だ きた い.

4.3.2  微 分 方 程 式   微 分 方 程 式 の考 え方 に つ い て は,す で に4.2.1項

で 簡 単 に 述 べ た.そ

あ る物 理 現 象 が 微 分 を含 む方 程 式 で 示 さ れ て い る場 合,図4.7に

れ は,

示 す ような関

係 か ら,微 分 す る以 前 の 物 理 量 間 の関 数 関 係 を導 き出 そ う とす る もの で あ る.   以 下,本 章 で 述 べ て き た こ と を基 礎 に して,バ ネ の 運 動 を具 体 例 と し て微 分 方程 式 に つ い て考 え み よ う.   図4.29に

示 す よ う に,バ ネ がｘ だ け伸 び た 時,バ ネ は物 体 を-kxの

き戻 そ う とす る.つ 質 量ｍ

ま り,バ ネ の 力 が"-kx"で

力 で引

表 現 され る こ と に な る.一 方,

の物 体 に働 く力 は,質 量 とそ の速 度 の 時 間 変 化 の積 で あ り,そ れ が-kx

に等 しい わ けで あ るか ら

図4.29 

バネの運動

(4.79) とい う関 係 式 が 得 られ る.こ れ が,バ 運 動 方 程 式,す 形(ｘ)に

ネ と物 体 の"力 関 係"に

ついて導 かれた

な わ ち微 分 方程 式 で あ る.こ の 関係 式 は 「２階 微 分 し た ら元 の

戻 る関 数 は何 か 」 とい う問題 を提 示 して い る こ とに な る.

  こ こ で,記 憶 力 の よ い読 者 は

(4.27)

(4.28) を 思 い 出 す か も し れ な い.式(4.27),(4.28)を

そ れ ぞ れ も う一 度 微 分 す る と

(4.80)

(4.81) が 得 られ る.こ れ らの 式 は,式(4.79)と う.つ

同 形 に な っ て い る こ とに気 づ くだ ろ

ま り,こ の計 算結 果 は,符 号 を含 め て,式(4.79)の

微 分方程 式の解 に

な り得 る こ とが 理 解 で き る.   微 分 方程 式 の 最 も基 本 的 な もの と して,す

でに

(4.14) を示 して あ るが,上 記 の例 を一 般 化 す れ ば

(4.82)

(4.83) (4.84) の よ う に 表 現 で き る だ ろ う.

  式(4.82)の

形 の 微 分 方 程 式 の 簡 単 な例 は,す で に説 明 した よ う に,一 定 速

度ｖ で 運 動 して い る物 体 の 時 間 ご との 移 動 距 離 を知 ろ う とす る場 合 で あ る.す な わ ち,

(4.85) とな る.こ の 式 の 最 後 に つ けた"Ｃ"は 積 分 定 数 と呼 ば れ る もの で,上 記 の 問題 で い え ば,出 発 点 のｘ 座 標 で あ る.こ の積 分 定 数 が 重 要 で な い 多 くの 問題 もあ るが,上

の問 題 の よ うに,あ る一 定 時 間 運 動 した 後 の物 体 の 位 置(ｘ 座 標)自 体

を知 りた い よ うな 場 合 は 欠 か す こ とが で きな い こ とが理 解 で き るで あ ろ う.  式(4.83)の

形 の 微 分 方 程 式 が 上 述 のバ ネ の 運 動 で あ った.

 式(4.84)の

形 の 微 分 方 程 式 の 具 体 例 は,す で に何 度 か 論 じた 電 位 と電 場 の

関係 で

(4.86) と表 現 され る.こ れ は一 見,微 分 方 程 式 の 形 に な っ て い な い と思 わ れ る か も知 れ な い が,よ

く見 れ ば,y=φ

で あ って,式(4.84)の

形 の微分 方程式 である こ

とが理 解 で き るだ ろ う.  指 数 関 数ex型

の 解 を 持 つ もの な ど,上 にあ げた 微 分 方 程 式 以 外 に も,い くつ

もの 重 要 な微 分 方 程 式 もあ るが,こ

こで は 考 え方 を説 明 す る こ と を主 旨 と し,

これ以 上 の詳 細 に つ い て は 数 学 の 教 科 書 に譲 る こ とに した い.

チ ヨ ツ ト休 憩 ● ４

ラ イ プ ニ ッ ツ とニ ュー トン   こ の ２人 の 知 的 巨 人 を短 い コ ラ ム で 論 じ る こ と は 難 し い が,簡 う 気 持 ち で 述 べ た い と 思 う の で,ぜ

ひ 読 者 自 身 で,よ

単 な紹 介 とい

り詳 し い伝 記 等 に あ た っ

て み て い た だ き た い.   ラ イ プ ニ ッ ツ(Gottfried 

Wilhelm 

Leibniz,1646‐1716)は,現

ドイ ツ の ラ イ プ ツ ィ ヒ で 知 識 階 級 の 家 庭 に 生 ま れ た.は よ う で あ る が,彼

は,あ

在の

じめ に法律 学 を学ん だ

る 意 味 で 万 能 の 天 才 で あ る の で,哲

学,法

律 学,言

語

学,数 学 など 多 くの 分野 でそ れぞ れ,普 通人 で あれ ば,十 分 に 一生 分の 仕事 を な した といえる.例 えば,哲 学 分野 で よ く知 られ て いるの はライ プ ニ ッツの 「 モ ナ ド」 で ある.デ 力 ル トが物質 を連 続 と捉 えたの に対 し,彼 は 「 モ ナ ド論」 に よ って,生 命 と意 識 さえ を持つ 原子 を世 界の根 源 と して考 えた.両 者 の対 立 は, 広 義 に解釈 して換 言 すれ ば,物 質 は連続 する 波動 か,あ る いは不 連続 な粒 子 か と いう,量 子 力学 の 問題 にま で容易 に発 展さ せ られるの で ある.   彼の 数学研 究 は,26歳 の ときホ イヘ ンス(1629‐1695)に 数 学 を学 ぶ こ とか ら本格 的 にな った よ うで ある.微 分 積分 学 に対 す る彼の基 本姿 勢 は,「曲線 の接 線 を 引いて直 線 を得 るこ とと,与 え られ た直線 を接 線 とする 曲線 を求 め る こと は,ち ょ うど"逆 問題"で ある」,と いう幾何 学 と解 析学 の両方 にまた がる 純粋 な 数学 的問題 であ っ た.こ の発 想 は後述 する ニュー トンの発想 とは明 瞭 に異な る.ま た,彼 の物理 学 にお ける 考え 方 は,デ 力ル トが運動(量)に たの に対 し,"力"と,現

重 きを お い

代 流 に いえ ば エネル ギー に中心 をお くも ので あ った.

実 は,こ の点 が上述 の哲 学 的な モナ ド論 と強 く相関 して いるの であ る.   また,彼 は現在の 数学 基礎 論や 論理 学の 基礎 とな った言 語も 含む 広範 な形 式 論理 学の構 想 を描 いて いたが,こ れ は彼の 多忙 のため に着 想だ けで 具体 的 な成 果 とな らなか った.た だ し,彼 の この 分野 の能 力は,今 日微 分演 算 子 に用 い ら れ る 「d/dx」や 積分 記号 「∫ 」を,彼 が 提案 した こと にも生 かされ て い ると考 え られ る.   彼 は,以 上の よ うな多 方面 の重 要な 知的 活動 を行 ったが,実 人 生 にお け る活 動で は,法 律,行 政 の専 門家 と しての それ が,も っ とも顕著 で ある.彼 は,ハ ノー ヴ ァー 選帝侯 の 外交 官と して活 動 し,ナ ポ レオ ンの エ ジプ ト遠征 な どを, 自国 の政治 的安全 の ため に画策 す る ことな ども行 った ら しい.結 局,八 ノー ヴ ァー 宮廷の顧 問 官や ベル リン学 士院 院長 な どを歴任 したが,ど うい うわ けか, 最 終 的に は閑職 にまわ され,死 後,さ び しく共 同墓 地 に埋 葬 され たよ うで ある.  一 方,ニ ュー トン(lsaac  Newton,1642‐1717)は,比

較 的裕 福な 地主

階 級 に生 まれ,ケ ン ブ リッジ大 学の トリニテ ィ力 レ ッジに学ん だ.彼 とラ イ プ ニ ッツの共通 点 は,彼 も粒子 や質 点 を発想 の原 点 に選ぶ人 であ った ことで ある . 彼 の光学 研究 で も,波 動 と して の光 よ りも,粒 子 と しての 光(光 子)の 立場 に こだわ った し,微 分 積分 学 でも,２ 物体の 運動 時の相 対的 な速度 とその 変 化率 に注 目 して研 究を進 め た.   ちなみ に,彼 の微 分法 は,当 初,あ る量 の増加 の増 加率 を考 える こ とか ら思 考 が始 まって お り,"流 率 法"と 訳 すべ き名称 で呼 ばれ て いた.逆 に積 分法 は"流 量法"と 呼ばれ て いた よう であ る.簡 単 にニュ ー トンの考 え方 を紹介 す る と, ２つ の運 動 物 体間 の 軌 跡 がy=axと "０"とす る と,y+y0＝a（x+x0)（ｙ,ｘ

表 現 で き る場 合,"瞬 間 の 移 動 距 離"を が"変 化率"で ある)が 成立 し,結 局

y/x=aと

な っ て,う ま く瞬間 の移動 距離 は消 えて くれ る．この 最終 結果 は今 日

の 記法 で は,dy/dx＝aで

ある.

  ニ ュー トン は学界 で はケ ンブ リッジ大 学ル ー力 ス教 授職 を務 め たが,よ り世 間的な 名誉 に無 関心 で はな く,英 国 造幣局 長 官,国 会 議員 な ど を歴任 した.彼 の場 合 は,そ の 死去 も国 家的 でき ごと と して扱 わ れ,亡 骸 は ウエ ス トミ ンスタ ー 寺院 に葬 られ た.ち なみ に,英 国の数 学界 が18世 紀 に一 時停 滞 したの は,ニ ュー トンの 微積 分学 の名誉 を守 らん と して,英 国側 が ヨー ロ ッパ 大陸 にお ける 微積 分 学の 発展 に,無 関心 を装 った ため とも いわ れて いる.そ れ だ け,ニ ュー トンの 「 力 」 は偉大 だ ったの である.ち なみ に,い ま では ほとん ど見 かけな い が,ニ ュー トンは長 ら く英 国の １ポ ン ド紙 幣の 「 顔 」 であ った.

■ 演 習 問 題.  4.1  日常 の物 理 現 象 で微 分 や積 分 の考 え方 を使 って い る例 を挙 げ,そ れ が どの よ うに使 わ れ てい るか説 明 せ よ.  4.2  以下 の導 関 数 を物 体 の運 動 に適 用 す る場 合,x+hに

お け るｈ が ど こまで 小 さ くな れ

ば"十 分"と い え るか,自 分 の考 え を述 べ よ.

 4.3  以 下 の 数 式 を証 明 せ よ.

ヒン ト ：(x-h)を

右 辺 に掛 けて計 算 す る.

  4.4  積 分 法 の説 明 にあ る"短 冊"は 底 辺 の 長 さがΔxで あ るが,こ の △xは 問題4.2のｈ

と

どの よ うな関 係 に あ るだ ろ うか,説 明 せ よ.   4.5  速 度ｖ で運 動 す る物 体 の 移動 距 離 と積 分 法 との関 連 を 自分 の 言葉 で説 明 せ よ.   4.6  関 数y=exp(ix)を

４回続 けて微 分 す る と,ど の よ うな関 数 に な るか.

  4.7  ギ リシア人 は静 的 な,完 全 調 和 の世 界 を深 く信 じ,愛 した といわ れ る.一 方,近 代 に なっ て,人 間 が獲 得 した 新 しい知識,智 恵 は,変 化 す る もの,あ るい は,小 さ くて直感 的 に は 十 分把 握 で きな い もの を表現 し よ う とす る こ とで あ る といわ れ る.こ の よ うな近 代 の 考 え と 微 分積 分 学 の発 展 と は深 く関 連 して い るが,そ れ は どの よ うな 関連 か.自 分 の考 え を述 べ よ.

５  ベ ク トル とベ ク トル解析

  自然 現 象 を扱 う物 理 学 に は,長

さ,距 離,時

な ど な ど の物 理 量 が 登 場 す る.こ

れ ら の 物 理 量 を 導 入 し,そ れ ら を 数 学 的 に 処

間,速

さ,質 量,エ

ネ ル ギ ー,

理 す る こ とに よ っ て,自 然 現 象 を定 量 的 に 把 握 す る こ とが 可 能 に な る の で あ る. また,本

書 の テ ー マ で あ る"物 理 数 学"が

一 般 の"数 学 的 数 学"と

る の は,こ

の よ う な 具 体 的 な物 理 量 を具 体 的 に扱 う点 に あ る,と

  実 は,い

ま上 に 挙 げ た 長 さ,距 離,…,エ

大 き く異 な もい え る.

ネ ル ギ ー と い う物 理 量 は"大 き さ"

だ けで 決 ま る ス 力 ラ ー と呼 ば れ る量 で あ る.物 理 学 に登 場 す る物 理 量 に は,こ れ らの ほ か に,"大

き さ"だ

な どの 物 理 量 もあ る.こ

考 え な け れ ば な ら な い.本 を考 え れ ば,さ

け で は 決 ま ら な い 速 度,加

れ ら の 物 理 量 は"大 書 で も,す

し て"大

き さ"と"向

場,

理 量 の"向

き"の 重 要 性 は,

き さ"だ け で 決 ま る量 で あ る ス カ ラ ー に対

き"を 有 す る量 をベ ク トル と呼 ぶ.

  ベ ク トル は物 理 現 象 を 表 現 す る 上 で,ま 極 め て 重 要 で あ る.本 章 で は,ベ ぶ こ と に す る.

場,磁

き(方 向)"を

で に何 度 も触 れ た 物 体 の 運 動 な ど の こ と

ま ざ ま な 物 理 現 象 を 扱 う上 で,物

特 に 説 明 す る まで も な い だ ろ う."大

速 度,力,電

き さ"の ほ か に"向

た,物

理 現 象 を 動 的 に理 解 す る 上 で

ク トル の 基 礎,演

算 法 を 物 理 現 象 に則 して 学

5.1  ベ ク トル の 基 礎 5.1.1  ス カ ラ ー とベ ク トル   自然 界 の 事 象 に は,図5.1に 置)に

よ って あ る数 値(標

示 す 地 図 の 等 高 線 の よ う に,そ れ ぞ れ の場 所(位

高)が 決 ま って い る もの と,図5.2に

の 風 力 分 布 の よ うに"大 き さ(数 値)"と"向

示 した 気 象 図

き"の 二 つ の要 素 に よ って 表 わ さ

れ る もの が 存 在 す る.   ま た,現 実 的 に は起 こ りに くい こ とか も知 れ な い が,あ

る人 が あ る人 に 「交

差 点 Ｘ か ら速 さｖ で 時 間ｔ だ け運 転 して き て下 さ い.そ こが Ｐ 点 で す が,私 は そ こ で待 って い ま す.」 とい っ て待 ち 合 わ せ た とす る.し か し,待 ち人 は 時 間ｔ を は る か に過 ぎて も こな い.待 ち人 は,確 か に速 さｖ で 時 間ｔ だ け車 で 走 っ た の で あ る が,交 差 点 Ｘ か らの 方 向 が 異 な って い た の で あ る.こ れ は,走 行 の 向 き を指 定 しな か っ た た め に 生 じた トラ ブ ル で あ っ た.   前 述 の よ う に,"大 した 標 高 や温 度,密 一方

,図5.2に

き さ"の み で 決 ま る量 はス カ ラ ー と呼 ばれ る.図5.1に 度 な どは"向

示

き"を 考 え る必 要 が な い ス カ ラ ー量 で あ る.

示 した 風 力 や単 な る"速 さ"と 異 な る速 度 は"大 き さ(強

さ)"

と"向 き"を 指定 し な けれ ば十 分 な 意 味 を為 さ な いベ ク トル 量 で あ る.   物 理 量 の 中 に は,"大

き さ"と"向

な い もの が 少 な くない.思

図5.1 

き"の 両 者 を指 定(測 定)し

なければな ら

い つ く ま ま に並 べ て み て も,原 子 内部 の 電 子 の 角 運

等高線

図5.2 

天気図

図5.3 

図5.4 

動 量,流

２個 の磁 石 間 の 鉄 粉 体

磁 力 線 の概 念 図

体 の運 動,固 体 の 内 部 の歪,応

図5.5 

３次 元 の 磁 力 線 の概 念 図

力 な ど,さ ら に太 陽 系 の よ う な極 め て

大 きな 惑 星 系空 間 内 の物 質 の 運 動 な ど,小 さ な ス ケ ー ル か ら大 き な ス ケ ー ル の もの まで,多

くの 物 理 現 象 はベ ク トル で表 現 され る もの で あ る.

  例 え ば,図5.3の

よ うに,２ 個 の 磁 石 の 間 の 空 間 に置 か れ た細 か い鉄 粉 を観

察 して み よ う.鉄 粉 は,な ぜ か 左 右 の 磁 石 を つ な ぐ何 本 か の 線 上 に並 ぼ う と し て い る か の よ うに 見 え る.実 は,２ 個 の 磁 石 の 間 に は,図5.4に よ うに,ベ

ク トル と し て の磁 力 線 が 存 在 し,図5.3の

鉄 粉 の 分 布 は,そ の よ う

なベ ク トル を 目 に見 え る形 に した もの な の で あ る.図5.3,5.4に と図 は ２次 元 的 な もの な の で,上 記 の ベ ク トル はx-y平

模 式 的 に描 く

示 され る写 真

面 上 に存 在 す る ２次 元

ベ ク トル とい う こ と にな る.し か し,２ 個 の磁 石 間 の 空 間 は,実 際 に は ３次 元 空 間 で あ る の で,実

際 の 磁 力 線 を立 体 的 に描 け ば 図5.5の

合 は,３ 次 元 のx-y-z空

よ う に な る.こ の 場

間 で ベ ク トル を表 現 し な け れ ば な らな い.

5.1.2 

ベ ク トル の 表 現

  ベ ク トル を 図 で 表 わ す 場 合 に は,図5.6の さ"は

ベ ク トル 量 の"大

量 の"向き"で

も あ る.ベ

ベ ク トル は-Aと   な お,ベ

き さ"を

示 し,矢

ク トルＡ

と"大

よ う に 矢 印 を 用 い る.矢 印 の"向 き さ"が

き"は,そ

印 の"長

の ま ま ベ ク トル

同 じ で,"向

ぎ"が

正反対 な

表 示 さ れ る.

ク トル を 文 字 で 表 示 す る 場 合,"Ａ"と

の よ う に"Ａ"の

上 に"→"を

い う 太 文 字 を使 う 場 合 と"〓"

乗 せ る 場 合 が あ る が,本

書 で は前 者 の 表 示 法 を用

い る こ と に す る.   あ る 点 を ベ ク トル の 始 点(原 ベ ク トル は,そ

点)と

し て 決 め る と,２

次 元 ベ ク トル と ３次 元

れぞれ

(5.1) (5.2) と表 示 され る.こ こ で(x,y),(x,y,z)は

そ れ ぞ れ の ベ ク トル の 終 点 の,２ 次

元 平 面 あ る い は ３次 元 空 間 に お け る座 標 で あ る.こ の(x,y)あ

る い は(x,y,z)

はベ ク トル の 内 容 を表 現 す る もの で あ り,平 面 あ るい は空 間 座 標 の 各 方 向 の"大 き さ"で あ り,こ れ らは ベ ク トル の成 分 と呼 ば れ る.つ トル の表 現 方 法 は,第

ま り,こ の よ う なベ ク

２章 で 説 明 した 平 面 あ るい は空 間 内 の位 置 の 座 標 表 示 法

と同 じで あ る.   例 え ば,人 物 の 総 合 的 な能 力 を(知 力,体 力,人

格)の

３成 分(項

目)で 表

わ し,総 合 力 を ３次 元 ベ ク トル の 大 き さで 評 価 す る こ とを考 え る.思 い切 っ て 単 純 化 し,各 成 分 に つ い て ５段 階 評 価 した 場 合 人 物A=(5,4,5) 人 物B=(2,3,3) と な れ ば,人

物Ａ は 人 物 Ｂ よ り も優 れ た 人 物 と い う こ と に な る.し

図5.6 

ベ ク トル の表 示

か し,

人 物A=(5,3,3) 人 物B=(3,5,3) 人 物C=(3,3,5)

の よ うな 結 果 に な っ た場 合,ど

の 人 物 が 最 も優 れ て い るか とい う結 論 を下 す の

は 困難 で あ る.そ れ は,環 境,状

況 に応 じた ３項 目 の そ れ ぞれ の"重 み"に 依

存 す る こ とで あ ろ う.   読 者 は上 記 の よ う な例 を ひ どい単 純 化 だ と思 うか も知 れ な いが,学 校 の 成 績 を教 科 ご との 偏 差 値 で 表 わ した り,勤 務 す る会 社 で の人 物 評 価 な ど,社 会 の さ ま ざ ま な 場 面 で,こ

の よ う に単 純 化 され た 評 価 法 が 用 い られ て い る とい う事 実

は否 定 で き な い の で あ る.も ち ろ ん,そ れ が 正 しい か ど うか は ま っ た く別 の 問 題 で あ る.   さ て,話  x-y平

を数 学 のベ ク トル に戻 す.

面 あ るい はx-y-z空

間 を直 交座 標 系 で 表 わ し,ｘ,ｙ,ｚ の 各軸 の 方 向

に基 準 単 位 の 大 き さ(通 常 は １ とす る)を 持 つベ ク トル を そ れ ぞ れｉ,ｊ,ｋ(こ れ ら は単 位 ベ ク トル あ る い は基 準 ベ ク トル と呼 ばれ る)と す る と,式(5.1), (5.2)は

それぞれ

(5.3) (5.4) と表 現 さ れ る.式(5.4)の

(ａ)

内 容 を 図 示 し た もの が 図5.7で

図5.7 

あ る.

(ｂ) 直 交 座 標 系 の単 位 ベ ク トル(ａ)と 任 意 の ベ ク トルA(b)

5.2  ベ ク トル の 演 算 5.2.1  和 と差   物 理 現 象 に は加 減 計 算 が 単 純 に 成 り立 つ も の が 多 くあ る.例 kmで

走 行 して い る 自動 車 か ら 時 速50kmで

を 見 る と,あ た か も時 速10kmで

え ば,時 速40

同 じ方向 に走 行 してい る自動車

進 ん で い る よ う に見 え る.こ れ は,よ

く知 ら

れ た 「ガ リレオ の相 対 性 」 で あ る.ま た,こ れ ま で に何 度 か 説 明 した 磁 場 や 電 場 の よ う に,例

えば 磁 場ａ エ ル ス テ ッ ド(Oe)が

存 在 す る場 合 に,さ

ル ス テ ッ ドを加 え る と,そ の位 置 の 磁 場 は単 純 にa+bエ

ル ス テ ッ ドに な る.こ

の よ うな 現 象 で は"重 ね 合 わ せ が 可 能 で あ る"と い う(117ペ も典 型 的 な"重

ね合 わ せ が可 能 な現 象"で

  と こ ろが,図5.8に 同 じで も,時 速50kmの

らにｂ エ

ージで触れ た波動

あ る).

示 す よ う に,２ 台 の 自動 車 の時 速(速 自動 車Ｂ が 時 速40kmの

さ)は 上 述 の例 と

自 動車Ａ の進 行 方 向 と,あ る

角 度 θ を持 つ方 向 に進 ん で い る場 合 は話 が 別 で あ る.例

えば,θ が た ま た ま約

37°で あ れ ば,自 動 車Ａ か ら自動 車Ｂ を見 る と,段 々 遠 ざか りつ つ あ る もの の, い つ もほ ぼ 同 じ速 さ で 並 走 して い る よ うに見 え るで あ ろ う.そ の 理 由 は,図5.8 に示 す よ う に,自 動 車Ｂ の 自動 車Ａ の 進 行 方 向 の速 度 成 分 が ほ ぼ40kmだ

から

で あ る.自 動 車Ａ の 進行 方 向 の 単 位 ベ ク トル をｉ と して,そ れ に直 角 方 向 の単 位 ベ ク トル をｊ とす る と,自 動 車Ａ,Ｂ

図5.8 

走 行 す る 自動 車 の速 度(速 さ と方 向)

の進 行 状 態 を表 わ す速 度 ベ ク トル は

図5.9 

直 交 座 標 上 の 自動 車 Ａ,Ｂ

の速 度 ベ ク トル

とな る.こ れ を図5.7に Ａ，B2台

示 す直 交 座 標 に な ら っ て表 わ せ ば図5.9の

の 自動 車 が 同 時 に出 発 した 地 点(図5.9の

よ う に な る.

０)に 立 っ て ２台 の 自動

車 を見 て い る人 に とっ て は,自 動 車 Ａ は 自分 か ら真 っす ぐに(ベ に)離 れ な が ら進 ん で い る の に対 し,自 動 車 Ｂ は時 速30kmで

ク トルｉ 方 向

ど ん どん ベ ク ト

ルｊ 方 向 にず れ て い っ て し ま う よ う に見 え るの で あ る.   結 局,ベ

ク トル の 和 や差 は,単 位 ベ ク トル の成 分 に分 解 して考 えれ ば よい こ

と に な る. 例 え ば, 

〓の場 合,

とな る.こ れ らの計 算 は誠 に簡 単 で あ ろ う.要 は,各 成 分 を混 同 せ ず に,同

じ

単 位 ベ ク トル の 成 分 に つ い て 通 常 の加 減 計 算 を行 な え ば よ い の で あ る.   前 章 で 実 数 軸 と虚 数 軸 で 表 わ した複 素 数 の場 合 と して,振 動 や 波 動 を表 わ す

(4.54) を 示 し た が(図4.19参

照),こ

の 式 を書 き改 め た

(5.5) も一 種 の ベ ク トル 表 現 で あ る(図4.24,4.25,5.9参 向(cosθ

方 向)と 虚 数 軸 方 向(sinθ

照).す

方 向)の 値 の"和"と

なわ ち,実 数 軸 方 し て波 動 が 表 現 さ

れ て い るの で あ る.   前 章 の118ペ

ー ジ で触 れ た 結 晶 の 単 位 胞 内 の 各 原 子 か らの Ｘ 線 回 折 現 象 で,

も しＮ 個 の 原 子 が そ れ ぞ れ Ｘ線 を 回 折 す る と,式(5.5)の (θ)も 各 原 子 ご とに 異 な る.そ

よ う な波 動 の 位 相

こで,単 位 胞 全 体 の 合 成 波 動 は それ ぞれ の 原 子

図5.10 

ベ ク トル の重 ね 合 わ せ

の 回 折 波 の重 ね合 わ せ と して 表 現 さ れ るの で あ る.す な わ ち

(5.6) とな る(式4.60参

照).

  現 実 に観 測 され る 回 折 Ｘ線 の 強 度(｜Fj｜)はベ ク トル の絶 対 値 で あ るの で,図 5.10に 示 す よ うに,各 成 分 の 加 減 計 算 の結 果 の み が 考 慮 され る こ と に な る.結 局,合 成 され た 回 折 波 動 は

(5.7) の 強 度 を持 つ こ と に な る.   この よ うに,ベ

ク トル の 加 減 計 算 は そ れ ほ ど複 雑 な もの で は な い.通

値 の 加 減 計 算 と ま っ た く同 じ計 算 式 の 取 り扱 い が で き るの で あ る.例

図5.11 

ベ ク トル の 加 減(和

と差)

常の数 え ば,

図5.12 

図5.11に +Cで

ベ ク トル の 加 法

示 す よ う に,A-B=Cと

図5.13 

ベ ク トル の 倍 変 換

い う 表 現 で 表 わ さ れ る 計 算 内 容 はA=B

あ る こ と が 図 の 上 で も よ く理 解 で き る で あ ろ う.A=B+Cは,一

Ｂ と Ｃ を ２辺 と す る 平 行 四 辺 形 の 対 角 線 をＡ と す る 図5.12に も表 わ さ れ る.ま

般 的 に

示 す よ うな 図 で

た

(5.8) は 明 ら か で あ ろ う.   さ ら に,図5.13に

示 す よ うに

(5.9) も容 易 に理 解 で き るだ ろ う.こ れ を ベ ク トル の倍 変 換 と呼 ぶ.

5.2.2  積 ■ ス カ ラー 積(内 積)   こ こで,物 理 学 に お け る"仕 事(Ｗ)"の

定 義 を 思 い 出 して み よ う.「 物 体 に

力 Ｆ を作 用 させ,距 離 Ｌ だ け動 か した 時 の 〈F・L〉」 と定 義 され るの が 物 理 学 上 の"仕 事"で

あ る.こ れ を数 式 で 表 わ せ ば

(5.10) とな る.実

は,こ の"力

Ｆ"と"距離Ｌ"は

ベ ク トル 量 で あ り,力 の 向 き と物

体 の移 動 の 方 向 とが 一 致 す る と力 の す る仕 事Ｗ

が 最 大 に な り,そ れ らが 互 い

に直 交 す る場 合 は Ｗ は ゼ ロ に な る.こ れ を数 学 的 に表 現 す れ ば,力 の 向 き と移 動 の 方 向 との 間 の 角 度 を θ とす れ ば,仕 事 Ｗ は力 の 移 動 方 向 の 成 分Fcosθ

図5.14 

仕 事 の定 義

図5.15 

ベ ク トル の 内 積

に移 動 距 離 Ｌ を掛 けた もの で

(5.11) で 与 え ら れ る(図5.14参   図5.14に

照).

示 さ れ る例 の よ う に,物 理 学 で は ２つ の ベ ク トル 物 理 量 を 掛 け 合 わ

せ て 新 し い 物 理 量 が 定 義 さ れ る こ と が 少 な く な い.そ

の 一 つ が,〈 ベ ク トル 〉・

〈ベ ク トル 〉=〈 ス カ ラ ー 〉の よ う に,新 し い 物 理 量 が ス カ ラ ー に な る 場 合 で あ る.   い ま,図5.15に 間 の 角 度 θ は0≦ 式(5.11)が

示 す よ う な ２つ の ベ ク トルＡ,Ｂ θ≦2π と す る.図5.14と

意 味 す る の は,ベ

ルＡ 方 向 に 落 とす 影 の 長 さ,す の よ う な"積"は

当 然,ス

図5.15を

を 考 え る.ベ

ク トルＡ,Ｂ

参 照 し て い た だ き た い が,

ク トルＡ の 長 さ(｜Ａ｜)に,ベ

ク トル Ｂ が ベ ク ト

な わ ち｜B｜cosθ を 掛 け 合 わ せ る こ と で あ る .そ

カ ラ ー に な る.こ

の よ う な ベ ク トル の 積 を 内 積 あ る

い は ス カ ラー 積 と呼 び

(5.12) とい う数 式 で 表 現 す る.θ=π/2の 時,つ ま り両 ベ ク トル が 直 交 す る場 合 はA・B =0と な る.   こ の よ うな ベ ク トル の 掛 け算 で表 わ され る物 理 現 象 は少 な くな い.例 え ば, 流 速 をベ ク トルＡ で 表 わ さ れ る よ う な均 質 な"流 れ"が 存 在 して い て,そ の 流 れ が ベ ク トルＢ 方 向 に,ど の程 度 の"成 分"つ

ま り"作 用 す る能 力"を 持 つ か を

知 ろ う とす る場 合 で あ る.物 理 学 に お け る具体 的 な例 と して は,図5.16に

示す

図5.16  磁場 Ｈ と磁気分極 Ｊ

図5.17 

"流 れ"Ａ

の"面"へ

の 流 入

よ うに,均 質 磁 場 Ｈ が あ る方 向 に存 在 して い て,そ の 中 に磁 気 分 極Ｊ を置 い た 場 合 が あ る.こ の よ う な場 合,磁

気 分 極 の 持 つ エ ネル ギ ー Ｅ は

(5.13) の よ う にス カ ラ ー積 で 表 現 さ れ る.式 の頭 に マ イ ナ ス符 号 が つ け られ て い るの は,θ=0の

時 に エ ネ ル ギ ー が 最 低 に な る よ う に考 え るた め で あ る.つ ま り,Ｈ

と Ｊ とが 直 交 す る(θ=π/2)時,エ

ネ ル ギ ー が 最 大 に な る.

  ベ ク トル の ス カ ラ ー積 に つ い て,も   図5.17に

示 す よ う に,面積

うな 均 質 な"流

う一 つ 重 要 な例 を あ げ よ う.

Ｓ の面 に 流 速,流 量 をベ ク トルＡ で 表 わ さ れ る よ

れ"が 流 入 す る とす る.こ の よ う な場 合,こ

発 展 させ た 考 え方 を 用 い る と便 利 で あ る.つ

れ まで の例 を少 し

ま り,考 え て い る面 に 垂 直 に,面

積 に比 例 す る大 き さの ベ ク トル を導 入 す るの で あ る.こ の よ うな ベ ク トル を Ｓ と し,そ れ がＡ と成 す 角 度 を θ とす る.   面 Ｓ と"流 れ"が 平 行 な 場 合,す れ"は な い.一 方,面

な わ ち θ=π/2の 場 合 に は,面

Ｓ と"流 れ"が 垂 直 な 場 合,す

(5.12)か ら も明 らか な よ う に,面

Ｓ を通 る"流

な わ ち θ=0の 場 合 は,式

Ｓ は"流 れ"を 一 杯 に受 け止 め る こ とに な る.

  この よ う な考 え 方 は多 くの物 理 現 象 の理 解 に応 用 さ れ る.例 え ば,図5.18に 示 す よ う に,電 荷 Ｑ か ら発 生 す る 電 気 力 線 密 度(図1.16参

照)を ベ ク トルＡ で

表 わ し,そ の電 荷 を取 り囲 む 球 面 の 単位 面 積 をベ ク トル Ｓで表 わ せ ば,そ の単 位 面積 を通 過 す る電 気 力 線 量 は,ま

さ に,ス カ ラー 積A・Sと な る.

  この 場 合,電 荷 Ｑ か ら発 生 す る 電 気 力 線 の総 量(図1.16参

照)は,以

下のよ

図5.18 

電 荷 Ｑ か ら発 生 す る電 気 力 線

う に,そ の球 面 す べ て を被 い つ くす よ う に面 積 Ｓ の総 和 につ いて ス カ ラー 積 を 求 め る こ とで 得 られ る.つ

ま り,数 式 で 表 現 す れ ば

(5.14) と な る.こ の 数 式 が 意 味 す る の は 球 面 上 の ベ ク トルＡ の 総 和 で あ り,そ れ は,電 気 力 線 密 度 が 方 向 に よ っ て 異 な る場 合 に お い て も 成 り立 っ て い る..   さ ら に,図5.18か

ら理 解 で き る よ う に,球

積 ベ ク トル Ｓ は ど こ で も平 行,つ

ま り θ=0な

面 上 で は 電 気 力 線 ベ ク トルＡ と面 の でcosθ=1と

な り,式(5.14)

は

(5.15) と な り,計 算 結 果 は球 面 の 面 積(=∑｜S｜)と

電 気 力 線 密 度 の絶 対 量(=｜A｜)の

単 純 な掛 け算 に な る こ とが わ か る.実 は,こ

の よ う な物 理 学 の 内 容 は電 磁 気 学

に お け る ガ ウ ス の 法 則 の"積 分 形"と 呼 ばれ る もの で あ る.ま た,こ の よ うな 現 象 は電 磁 気 学 以 外 の物 理 分 野 に も しば し ば現 わ れ る もの で あ る.   こ こ で,ス カ ラ ー積 の計 算 の基 本 を 図5.7(a)に

示 した ３次 元 直 交 座 標 の 単 位

ベ ク トル ｉ,ｊ,ｋ で記 して お く こ とに す る.

(5.16)

  式(5.16)の き た い.

よ う に な る 理 由 に つ い て は,読

者 自 身 で 確 認 して お い て い た だ

図5.19 

回転 運 動 す る物 体

図5.20 

ア ンぺ ー ル の 法 則

■ベ ク トル 積(外 積)   ベ ク トル の"積"に の だが,そ

は,ス カ ラー 積(内 積)と

は異 な る"第

２の 積"が

ある

れ は物 理 学 上 の具 体 例 か ら説 明 を 始 め た 方 が 理 解 しや す いか も知 れ

な い.   図5.19に

示 す よ う に,回 転 運 動 して い る質 量ｍ

の物 体 を考 え る.日 常 的 感

覚 か ら,回 転 速 度ｖ が 大 き な場 合 ほ ど,物 体 は大 き なエ ネ ル ギ ー を持 っ て い る よ う に思 わ れ る.力 学 に は,運 動 量,エ ネ ル ギ ー,そ して 角 運 動 量 の ３つ の 「保 存 則 」が あ る.そ の うち,角 運 動 量 Ｌ は,円 運 動 の 場 合,図5.19に に回 転 運 動 の 中 心 Ｏ か らの直 線 距 離ｒ(半 径)と 質 量ｍ

示 した よ う

の物 体 の 運 動 曲線 の 接

線 方 向 の速 度ｖ を 用 い て

(5.17) と表 現 さ れ る.   また,「 太 陽 の周 りを公 転 す る惑 星 の 公 転 半 径ｒ が 一 定 時 間 に 掃 く面 積 は一 定 で あ る」 とい うケ プ ラ ー の 第 ２法 則(面 積 速 度 一 定 の 法 則)は い るが,こ

の こ と を数 式 で 表 わ せ ば(図5.19参

照,Ｏ

よ く知 られ て

を太 陽,質 量ｍ

の物 体

を惑星 と考 え る),

(5.18) とな る.   角度 運 動 量 Ｌ は 円運 動 の 半 径,物 体 の 質 量,回 転 運 動 の 接 線 速 度 に比 例 す る物 理 量 で あ る.類 似 の物 理 量 は 角運 動 量 以 外 に もあ る.例 え ば,図5.20に

示す よ

図5.21 

ベ ク トル 積

うに,電 線 に 電 流Ｉ が 流 れ て い る場 合,電 線 の 周 囲 の空 間 に磁 力 線 が 発 生 す る こ とは ア ンぺ ー ル の 法 則 と し て知 られ て い る.こ の 時,発 生 した磁 力 線 の様 子 を細 か い 鉄粉 の 分 散 で調 べ て み る と,図 の よ うに,電 流 が 流 れ る方 向 に垂 直 な 面 内 に,電 線 か らの 距 離 に 反比 例 す る 強 さで 存 在 して い る こ とが わ か る.磁 力 線 の 数(磁 場 の 強 さ)は 電 流 量 に比 例 し,発 生 方 向 は電 線 か ら測 定 位 置 まで の 最 短 直 線 の 方 向 と電 流 の 方 向 の両 方 に垂 直 で あ る.こ の よ うな 磁 力 線 の発 生 の 様 子 も,先 に 説 明 した 角 運 動 量 の 直 線 距 離 と運 動 速 度 の 方 向 の 関 係 と同 じで あ る.   以 上 の よ うな関 係 を表 現 す る た め の 数 学 的手 段 が,こ 積(外 積)で

れ か ら述 べ るベ ク トル

あ る.

  任 意 の ベ ク トルＡ,Ｂ に対 し,ベ ク トル積 はA×Bと な意 味 を図 示 す る のが 図5.21で,そ

の 内 容 は,ベ ク トル 積 に関 与 す る ２つ の ベ

ク トルＡ,Ｂ が 作 る平 行 四 辺 形(θ=π/2の 合 は正 方 形)の

表 わ され る.こ の 具 体 的

場 合 は直 方 形,さ

面 積 の 大 き さ に対 応 す る長 さ(大

らに｜A｜=｜B｜の場

き さ)を 有 し,面 に垂 直 な 方

向 に伸 び たベ ク トル Ｃ を求 め る こ とに相 当 す る.つ

ま り,

(5.19) で あ る.な お,規 則 と して,ベ ク トル Ｃの 方 向 は,ベ ク トル 積 の記 号A×Bの 方 に あ るベ ク トル(Ａ)か

ら後 方 に あ るベ ク トル(Ｂ)に

ネ ジ が 進 む 方 向 を プ ラ ス(＋)方

右 ネ ジ を回 転 させ て,

向 と決 めて い る.

  ベ ク トル 積 につ い て も計 算 の 基 本 を 図5.7(a)に 位 ベ ク トルｉ,ｊ,ｋ

前

示 した ３次 元 直 交 座 標 の 単

で記 して お こ う.

(5.20)

図5.22 

  さ て,先

述 の 角 運 動 量,ケ

ケ プ ラー の第 ２法 則

プ ラ ー の 第 ２法 則 を 図5.22を

参 照 し,ベ

ク トル 積

を 用 い て も う一 度 考 え て み よ う.   式(5.17)で

表 わ さ れ る 角 運 動 量Ｌ

合 に 最 大 に な り,平

は,ｒ

と運 動 量P(=mv)が

行 の 場 合 に は ゼ ロ に な る.な

お,上

直 交 す る場

記 の 説 明 で 太字 で 書 か

れ る ｒ,Ｐ,ｖ

は す べ て ベ ク トル 量 で あ る こ と に 留 意 し て い た だ き た い.こ

式(5.17)を

ベ ク トル 積 で 表 現 す る と

こで

(5.21) と な り,図5.22に

示 す よ う に,ｒ

と Ｐ が 成 す 角 度 を θ とす れ ば

(5.22) と な る(図5.21参

照)(上

式 の 文 字 は す べ て ス カ ラ ー 量 を 意 味 す る).

  ベ ク トル 積 に つ い て は,一

般 的 に 次 の 関 係 式 が 成 り立 つ .

(5.23)

5.2.3  ベ ク トル の 微 分   前 章 で 述 べ た 関 数 の 微 分 の考 え 方 はベ ク トル に も適 用 で き る.ま た,事 実, 力学 や 電 磁 気 学 に し ば しば登 場 す る関 係 式 にベ ク トル の微 分 が あ る.特 に,ベ ク トル の ス カ ラ ー積,ベ

ク トル積 の 時 間微 分 を考 え る こ とが 多 い.

  例 え ば,２ 次 元 や ３次 元 の位 置 ベ ク トル ｒを考 え,こ の ベ ク トル に前 章 で述 べ た 導 関 数 の 考 え 方 を適 用 して み る と

(5.24) とな るが,こ れ は,極 限 を と る こ と も含 め て,通 常 の微 分 と ま っ た く同 じ内 容 で あ る.実 際 にベ ク トル の 微 分 を計 算 す る場 合 に は,多 少 の 技 術 に 習 熟 す る必 要 が あ るに して も,計 算 の 意 味 自体 は明 瞭 で あ る.   も し,ベ ク トル ｒがx-y平

面 上 の ベ ク トル で あ れ ば,式(5.24)はｘ

方 向 とｙ

方 向 の,そ れ ぞ れ の 方 向 に お け る微 分 を意 味 す る.こ の 平 面 に お け る 単 位 ベ ク ト ル を図5.7(a)に

示 す よ う にｉ,ｊ とす れ ば,位 置 ベ ク トル ｒの 時 間 微 分 の 内容 は

(5.25) と 分 解 で き る.こ

こ で,v(t)は

も ち ろ ん 通 常 の 意 味 の 速 度 ベ ク トル で あ る.

  以 下 に,ベ

ク トル の ス カ ラ ー 積,ベ

ク トル 積 の 時 間 微 分 に 関 す る 一 般 式 を 示

し て お く.こ

こ で,ａ

ク トルＡ,Ｂ

は ス カ ラ ー,ベ

は 時 間 の 関 数 と す る.

(5.26)

(5.27)

(5.28)   以 上 の"基 礎 知 識"を 用 い て,式(5.21)で

表 わ され る角 運 動 量 Ｌ の 時 間 微

分 を行 な って み よ う.

(5.29)

と な る.こ

こ で,運

動 方 程 式m(d2r/dt2)=Fを

用 い れ ば,上

式 は

(5.30)

と な る.こ

こで,Ｎ

は力 の モ ー メ ン トで あ る.す

な わ ち,角 運 動 量 の 時 間 的 変

化 は力 の モ ー メ ン トに等 し い こ とが わ か る.い い 方 を換 えれ ば,力 の モ ー メ ン ト とは,角 運 動 量 の 時 間 的 変 化 の こ とで あ る.   力 学 の 問題 を解 く場 合 は,上 述 の ベ ク トル の 時 間 微 分 が 大 活 躍 す る わ けで あ るが,も う一 つ 重 要 なベ ク トル の 微 分 は位 置 に つ い て の もの で あ る.す な わ ち, ３次 元 空 間 を図5.7(ａ)に 示 す 単 位 ベ ク トルｉ,ｊ,ｋ で表 現 す る時,そ れ ぞ れ の 単 位 ベ ク トル 方 向 の位 置 に対 す る偏 微 分 が

(5.31) で 表 わ さ れ るの で あ る.以 下 の 話 で は,こ れ らの 偏 微 分 が 主 役 に な る.

5.2.4  演 算 子 ■勾配   ベ ク トル の微 分 が 用 い られ る場 合,基

本 に な るの は平 面 あ るい は空 間 の 各 方

向 に対 す る微 分 で あ る.し た が っ て,式(5.31)に な演 算 子(関

あ る各 成 分 が,そ

数 を他 の 関 数 に対 応 させ る演 算 記 号,例

そ の 導 関 数 に対 応 させ る 演 算 子)で

の基本的

え ば,微 分 記 号 は 関 数 を

あ る.

  例 え ば,あ る位 置 につ い て,ス カ ラー 量 を規 定 す るス カ ラー 関 数 をψ(x,y, z)と す る.ｘ,ｙ,ｚ

に関 す る偏 微 分 係 数

(5.32) をｘ,ｙ,ｚ

成 分 と す る ベ ク トル をψ(x,y,z)の

gradφ と書 く(図5.1参

照)."∇"は"ナ

勾 配(gradient)と

い い,

ま た は∇φ ブ ラ"と

読 む.す

なわ ち

(5.33) で あ る.ま

た,式(5.33)を

(5.34) と書 き

(5.35) と お い て,こ

れ を ベ ク トル 演 算 子(ハ

ば,式(5.34)の∇ψ

ミル トン の 演 算 子 と呼 ば れ る)と

は ベ ク トル 演 算 子∇

  余 談 な が ら"∇"は

上 記 の よ う に"ナ

と ス カ ラ ー 量ψ

ブ ラ"と

読 む が,こ

代 ヘ ブ ラ イ の10∼12弦 の 竪 琴 の 意 味 で あ る."∇"の "nabl a"が 想 像 で き る だ ろ う.   と こ ろ で,式(5.33)を る し,も

し"同

い だ ろ う,と

じ も の"で

あ る な ら ば,わ

思 う の が 人 情 で あ る.実

で は な い の で あ る が,余 は"grad"を

れ は"nabla"で

  さ て,∇

古

琴"そ

じ も の"の

して

よ う に思 え

ざ わ ざ ２つ の 記 号 を 作 ら な くて も よ

は,"grad"と"∇"は

計 な 混 乱 を 避 け る た め に,こ

ま っ た く 同 じ もの こ で は と り あ え ず,"∇"

さ ら に 記 号 化 し た も の と 考 え て お い て よ い だ ろ う."∇"の

あ る 式(5.35)を

定 義で

し っ か り と 理 解 し て お け ば よ い.

の 物 理 現 象 へ の 適 用 に つ い て 簡 単 に 触 れ て お こ う.

  式(1.16)に

示 し た ク ー ロ ン の 法 則 は,電

の 中 心 か ら の 直 線 距 離 ｄ に 対 し て1/d2に る.電

の 積 を意 味 す る.

形 か ら"竪

見 る と"grad"と"∇"は"同

考 えれ

場 Ｅ は ベ ク トル 量 で あ る が,そ

シ ャ ル)φ

荷 Ｑ に よ っ て生 じ る電 場 Ｅ が 電 荷 比 例 し て 減 少 す る,と

い う もの で あ

の 電 場 か ら 求 め ら れ る 電 位(静 電 ポ テ ン

との 関 係 は

(5.36) で 与 え ら れ て い る.式(5.35)に

示 さ れ る∇ の 定 義 を よ く考 え て,式(5.36)

が 意 味 す る 内 容 を 理 解 し て い た だ き た い. ■発 散   grad(∇)と

い う 演 算 は,図5.23の

高 に 当 た る も の の"勾

配"を

トル 関A(x,y,z)と

よ うな等 高 線 で 表 わ さ れ る図 で い え ば標

求 め る 操 作 で あ る.次

に,電

し て 表 現 さ れ る物 理 量 の 場 所(位

求 め る こ と を 考 え よ う.そ gence)と

い う も の で あ る.

  こ の"発

散"は,物

の た め に 行 な う 演 算 が,以

理 的 に い え ば,あ

場 Ｅ の よ う に,ベ 置)に

ク

対 す る勾 配 を

下 に 述 べ る 発 散(diver

る 空 間 内 の 物 理 量 の"出

入 り"に

つい

て 考 え る も の で あ る.   図5.24に

示 す よ う に,空

間 内 の あ る 点P(x,y,z)か

ら座 標 軸 の 方 向 に 微

図5.23 

ポ テ ン シ ャル 図,ま

た は 「山」 の等 高 線 図

図5.24 

小 な線 分dx,dy,dzを

"箱"に

流 入 す る物 理 量Ａ

と り,そ れ らを ３辺 とす る"箱"を

設 定 し,こ の 箱 に

出 入 りす る物 理 量Ａ に つ い て考 え て み よ う.図 中 ア ミカ ケ を施 したｘ 軸 に垂 直 な面（ｘ面)か ら箱 の 中 に 流入 す る物 理 量 は,Ｐ 面 の面 積dydzの積Axdydzで 成 分 はAx+(∂Ax/∂x)dxに ∂x)dx}dydzに

に お け るＡのｘ 成 分Axとｘ

表 わ さ れ る.ｘ 面 に相 対 す るx'面

で は,Ａ のｘ

な る の で,x'面 か ら流 出 す る物 理 量 は{Ax+(∂Ax/

な る.し た が っ て,箱 か ら流 出 す る物 理 量 のｘ 成 分 の総 量 は

(5.37) とな る.こ の考 え方 をｙ 軸,ｚ 軸 方 向 につ い て も同様 に適 用 す る と,３ 次 元 空 間 内 の箱 か ら流 出 す る物 理 量 の 総 量 は

(5.38)

と な る.   と こ ろ で,こ こ で 考 え て い る 箱 の 体 積 はdxdydzで ば,式(5.38)は

あ り,こ れ をdVと

表 わせ

単 位 体 積 か ら 流 出 す る 物 理 量 を 意 味 す る こ と に な る.

  ま た,式(5.38)の

値 が 負 の 時 は,流

入 す る物 理 量 を 意 味 す る こ と は い う ま

で も な い だ ろ う.   式(5.38)の()の

中 の ∂Ax/∂x,∂Ay/∂y,∂Az/∂zは

そ れ ぞ れ ベ ク トル

Ａ のｘ 方 向,ｙ 方 向,ｚ 方 向 の 勾 配 を 表 わ す も の で あ り,そ れ ら の 和,す 式(5.38)の()内

を"ベ

ク トルＡ の 発 散"と

なわち

呼 び

(5.39) と定 義 す る."div"は"divergence(発 と読 む("ダ

イ バ ー ジ エ ン ト"と

か る よ う に,divAは   例 え ば,水

散)"の

ら もわ

ス カ ラ ー で あ る. の 速 度 をｖ と す る と,divvは

単 位 体 積 か ら 外 に 流 れ 出 る 水 の 量,す

る.当

れ を"ダ イ バ ー ジ エ ン ス"

読 ま せ る 教 科 書 も あ る).式(5.39)か

の 流 れ を 考 え る 場 合,そ

に な る.divvが

略 で,こ

負 に な る 場 合 は,単

然 の こ と な が ら,流

な わ ち,単 位 時 間,単

れ の 発 生(湧

出)や

単 位 時 間 に,

位 体 積 の 湧 出 量 を表 わ す こ と

位 体 積 に流 入 す る水 の 体 積 で あ 消 滅 が な い 所 で はdivは

ゼロにな

る.   図5.25は"div"あ   こ こ で,前

述 の∇(ベ

る い は"湧 ク トル)と

出"の

概 念 を模 式 的 に 描 く も の で あ る.

ベ ク トルＡ の ス カ ラ ー 積 を 考 え て み よ う.

図5.25 

"div"あ

る い は"湧

出"

(5.40) と な り,こ

こ で ∂/∂xとAxの

積 を ∂Ax/∂xの

よ うに書 け ば

(5.41) と な り,式(5.39)か

ら

(5.42) が 得 られ る.

(5.43) と な る.   と こ ろ で,∇2を

ベ ク トル 演 算 子∇

と∇ の ス カ ラ ー 積 と考 え れ ば

(5.44) と な り,

(5.45)

が 得 ら れ,∇ ・(∇ψ)は ス カ ラ ー 演 算 子∇2を

ψ に作 用 させ た もの と考 え る こ とが

で き る.こ

読 む)を

ラ プ ラス の 演 算 子 あ る い は ラ プ ラ シ

ル タ)を

用 い る こ と も あ る.

の∇2("ナ

ア ン と 呼 ぶ.∇2の

ブ ラ ２乗"と

か わ り にΔ(デ

 微 分 方 程 式

(5.46) は ラ プ ラ ス の 方 程 式 と呼 ばれ,理

論 物 理 学 な ど に し ば しば登 場 す る.

  さて,い

ま まで に し ば しば登 場 した 電 場 Ｅ(x,y,z)の

もそ もベ ク トル で 表 示 さ れ る もの な ので,以

よ うな 物 理 量 は,そ

上 に述 べ た こ とか ら

(5.47) が 得 ら れ る こ と を,読   こ の 結 果 で,よ 演 算 子∇

者 自 身 で 確 認 し て い た だ き た い.

く認 識 し て お か な け れ ば な ら な い の は,ベ

の ス カ ラ ー 積 は ス カ ラ ー 量(数

値)に

な る こ と で あ る.勾

の 場 合 は ス カ ラ ー 量 の 勾 配 を 計 算 し て ベ ク トル 量(∇)が 散(div)で え ば,標

は,ベ

ク トル と ベ ク トル

得 ら れ た の に 対 し,発

ク トル 量 の 発 散 が ス カ ラ ー 量 に な っ た の で あ る.つ

高 の よ う な 数 値 か ら 勾 配 を 求 め よ う とす る な ら ば,各

現 し な け れ ば な ら な い が,流 単 な る 数 値(ス

配(grad)

カ ラ ー)が

量 の よ う な ベ ク トル 量 の 発 散(湧

ま り,例

方 向 の 成 分 で表 出)を 求 め る と,

現 わ れ る の で あ る.

■ 回転   重 要 な ベ ク トル 演 算 子 に は,も

う一 つ"回

転(rotation)"と

呼 ばれ る もの が

あ る.   ほ と ん ど の 数 学 の 教 科 書,ベ 義 さ れ る の で あ る が,何

ク トル 解 析 の 教 科 書 で は い き な り"回

転"が

の こ と か さ っ ぱ りわ か ら な い の が 普 通 で あ る(正

定 直 に

告 白 す れ ば,筆 者 も,学 生 の 頃,さ "勾 配( grad)"や"発 散(div)"は

っ ぱ り わ か ら な か っ た).い

ま まで に述 べ た

何 と な く見 当 が つ く し,物

理 現 象 とし て も

イ メ ー ジ し や す い の で あ る が,"回

転(rotation)"は

す ぐに は イ メ ー ジで き な い

の で あ る.   ま ず は じ め に 理 解 し て お か ね ば な ら な い の は,そ は 変 位,力,速

度 な ど を 表 わ す"矢

印(大

き さ と 向 き)"の

る 現 象 を も 表 わ す も の で あ る と い う こ と で あ る.例 し の 軸 が"矢

印"で

も そ もベ ク トル と い う も の

あ る と考 え る の で あ る.つ

え ば,ぐ

ま り,ま

ほ か に,ぐ

る ぐ る回

る ぐる回 る ネ ジ 回

ず は じ め に 「回 転 もベ

ク トル で あ る 」 と い う こ と を 頭 に 入 れ て い た だ き た い.   ベ ク トル 演 算 子"回

転"はrot(ロ

い う 記 号 で 表 わ さ れ,rotAあ の 呼 び 名 で あ る が,本

ー テ ー シ ヨ ン)あ

る い はcur1Aの

書 で は 一 般 的 な"rot"を

る い はcurl(カ

よ う 表 記 さ れ る."curl"は 用 い る こ と に す る.

ー ル)と 英 国式

(ａ)

(ｂ)

(ｃ) 図5.26 

"rot"の

図5.27 

概 念

"rot"の

説明図

  ベ ク トル の 回転 とい う演 算 は文 字 通 り,ベ ク トル の 回転 成 分 を求 め る とい う 内容 で あ る.例

え ば,ベ

ク トルA(x,y,z)に,こ

の演 算 を行 な いrotAを

め る とい う こ と は,ベ ク トルＡ の あ る軸,つ ま りrotAを

求

考 え て い る軸(図5.26

の概 念 図 で い え ばｘ 軸)の まわ りの 回転 成 分 を求 め る こ と を意 味 す る.前 述 の よ う に,こ れ はgradやdivと   以 下,具 体 的 な 例 で"rotA"を   図5.27に

比 べ る と感 覚 的 に と らえ に くい. 説 明 した い.

示 す よ うに,４ 枚 プ ロペ ラ を あ る流 れ の 中 に置 い て み る.考 え て い

るの は ２次 元 平 面 上 の 出来 事 で あ る の で,流 れ もx-y平 も し,図5.27(a)の

面 で 表 示 す る とす る.

よ う に ４枚 の プ ロ ペ ラの １枚 １枚 が ま っ た く同 じ流 れ を 受

け止 め て い る とす る と,プ ロペ ラ は回 転 し な い.回 転 が起 る時 は,図5.27(b)の 場 合 の よ う に,あ

る羽 が 受 けた 力 を そ の反 対 側 の 羽 が 打 ち消 す こ とが で きな く

な った 時 で あ る.   い ま,座 標 軸 を回 転 さ せ て 図5.27(c)の

よ う にｘ 方 向 とｙ 方 向 に ２枚 ず つ羽

が あ る場 合 を考 え る.反 対 側 の羽 も同 じ方 向 の 力 を 受 け るが,そ

の力 がｙ 方 向

に働 くａ とｂ の羽 で,ｘ 方 向 の 位 置 に よっ てｙ 方 向 に働 く力 が 違 う場 合 に,こ の ２枚 の 羽 に は 回転 し よう とす る力 が 残 る こ と にな る.こ の こ とを数 式 で 表 し

て み よ う.   流 れ を表 わ す ベ ク トル をA=(Ax,Ay)と

す る.流 れ のｙ 方 向 の成 分Ayのｘ

方 向 の 位 置 に よ る変 化 は ∂Ay/∂xで あ り,流 れ のｘ 方 向 の 成 分Axのｙ

方 向の

位 置 変 化 に よ る変化 は ∂Ax/∂yで あ る.こ の ２つ の 要 素 が 合 成 さ れ て プ ロペ ラ の 回転 が 起 る に は,∂Ay/∂x+∂Ax/∂y≠0と   た だ し図5.27(c)か

な る必 要 が あ る.

ら理 解 で き る よ う に,こ の 時 注 意 す べ き こ と は,流 れ を測

定 す る場 所 を,例 え ばx(+)方

向 に移 動 す る とy(+)方

向 へ の 流 れ が 小 さ くな

る時,ｘ の増 加 は プ ロペ ラ を押 す力 の 減 少 を もた らす か ら,ａ と ｂの羽 は同 じy (+)方 向 に押 さ れ な が ら も,羽

ａの 右 回 転 力 を羽 ｂの左 回転 力 が 消 し きれ な く

な る の で,全 体 と して プ ロペ ラ の右 回転 力 が 現 れ る の で あ る.   この と き,ｙ軸 方 向 の ２枚 の 羽 に も右 回 転 の 成 分 が 現 れ る よ うに す る に は,ｙ の 増 加 はx(+)方

向 の押 す 力 の 増 加 を もた ら して くれ な くて は な らな い.つ ま

り,流 れ を測 定 す る場 所 のｘ 座 標 の プ ラ ス 方 向 移 動 がｙ 方 向 へ押 す 力 の減 少 を もた ら し,ｙ 座 標 の プ ラス 方 向 へ の移 動 がｘ 方 向 へ 押 す 力 の 増 加 を もた らす 時,(右)回

転 成 分 は 大 き くな る.し た が っ て,回 転 成 分 の増 減 を論 ず るな ら ば,

ｘ方 向 とｙ 方 向 の偏 微 分 は逆 方 向 に増 加 す べ きで あ る.   以 上 の 内容 を数 式 で表 示 す る と,回 転 の成 分 は

(5.48) と表 示 され る.こ れ が プ ラ ス の時,プ ロペ ラ はx-y平 て右 まわ りに 回 転 す る.回 転 運 動 につ い て は,右 で い く方 向 を(＋)と

定 義 す る場 合 が 多 い.つ

面 に垂 直 な方 向 を軸 と し

ネ ジ が 「ね じ る」 こ とで 進 ん

ま り,以 上 の 説 明 で は 図 面 の 表

か ら裏 へ ネ ジ が 進 む こ とに な る.   この 議 論 を ３次 元 に拡 張 す る と, (5.49) と い う 回 転 成 分 を持 つ こ と に な る.た

だ し,こ

と プ ロ ペ ラ の 進 行 方 向 を 逆 転 さ せ た の で,頭 だ き た い.教

科 書 に よ っ て,回

意 味 で も 重 要 で あ る.そ

し て,こ

の 式(5.49)で

の体 操 の つ も りで 考 え て み て い た

転 方 向 は 反 対 に な る の で,そ こ で"rot"が

は,式(5.48)

登 場 し,

の こ と を理 解 す る

(5.50)

と定 義 され,

(5.51) が 得 ら れ る.な

お,divの

場 合 と 同 様 に,rotA=∇

×Aと

表 現 で き る.

5.2.5  ベ ク トル 演 算 と電 磁 気 学   読 者 が大 学 の 学 部 で 学 ぶ 物 理 学 で,こ

こま で説 明 し て きた ベ ク トル の 演 算 が

最 も頻 繁 に 現 わ れ る の は電 磁 気 学 で あ ろ う.本 章 の締 め く く り と して,そ れ ら に つ い て簡 単 に触 れ て お く こ とに す る.詳 細 に つ い て は,本

シ リー ズ 『した し

む電 磁 気 』 な ど の教 科 書 を参 照 して い た だ きた い. ■ マ ッ ク ス ウ ェル の 方 程 式   歴 史 的 に い え ば,電 磁 気 学 の確 立 に最 も貢 献 した の は フ ァ ラ デ イ とマ ッ クス ウ ェル で あ る.人 類 は,フ

ァラ デ イ の 「電 磁 誘 導 」 の 実 験 で は じ め て電 気 と磁

気 との 相 関 を明 瞭 に理 解 し た の で あ る.さ ら に,電 磁 気 学 の す べ て が マ ック ス ウ ェル の 方 程 式 と呼 ば れ る ４つ の 数 式 で 表 現 され た.   こ こ で は,電 磁 気 学 の 内 容 を説 明 す る こ とが 主 旨 で は な い の で,以 下,数 の"形"を

式

示 す こ とに す る.す な わ ち,

(5.52)

が マ ッ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 と呼 ば れ る もの で あ る.こ こで,Ｅ

は磁 場,Ｂ

は磁

束 密 度,ρ は電 荷 密 度,ｔ は時 間,ｃ は光 速,ε0は 真 空 の 誘 電 率,μ0は 真 空 の透 磁 率,そ

し て Ｉ は電 流 量 で あ る.

  これ らの 方 程 式 の意 味 を,そ れ ぞ れ 言 葉 で 説 明 す れ ば，  ①

電 場 の 「湧 出」＝体 積 内 の 電 荷 密 度

 ②

磁 束 密 度 の 「湧 出 」=0

 ③

電 場 の 「渦 」+磁 束 密 度 の 時 間 変 化 ＝0

 ④

磁 場 の 「渦 」-電 場 の時 間 変 化 ＝ そ の 「渦 」 の 内部 を貫 く電 流量

とな る.さ ニ,あ

ら に,① は正(+)や

負(-)の

電 気(電 荷)が 作 る電 気 力 線 は ウ

る い は栗 の イ ガ の よ う な放 射 状 で あ る,②

も な い)ル ー プ(輪)状

は磁 場 は閉 じた(始 点 も終 点

で あ る,③ は磁 場 の時 間 的 変 化 は電 場 を作 り出 す,そ

して ④ は電 流 と,電 場 の時 間 的 変 化 は磁 場 を作 り出 す,と

い う こ と を表 わ して

い る ので あ る.   さ らに付 け加 えれ ば,① は ガ ウ ス の 法 則,③

は フ アラ デ イ の 法 則,そ

して④

は ア ンぺ ール の法 則 の 数 式 に よ る表 現 に な っ て い る.   式(5.52)に

示 す数 式 に,divやrotの

い くぶ ん 複 雑 な計 算 を行 な う こ とで,

電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー を計 算 す る こ とが で き る.ま た,事 実,マ

ッ クス ウ ェ ル は,

これ らの 式 か ら電 磁 波 の 存 在 を 予 測 し,光 が 電 磁 波 の一 種 で あ る こ と を洞 察 し た の で あ る.そ の よ うな 物 理 の 内 容 は,ま

さ し く天 才 に よ る ドラ マ テ ィ ッ ク な

自然 探 求 の物 語 で あ る.読 者 自 身 も,ベ ク トル や ベ ク トル解 析 計 算 の腕 前 を上 げ て,そ

の物 語 の 内容 を味 わ っ て い た だ き た い.

  以 下 にガ ウ ス の定 理 とス トー ク ス の 定 理 に つ い て 述 べ る.ベ う分 野 の 基 本 的 項 目 で はあ るが,ど る.し た が っ て,こ

ク トル 解 析 と い

ち ら も数 学 的 に も少 しめ ん ど う な定 理 で あ

こで取 り上 げ て い る電 磁 気 学 を応 用 例 と して概 念 的 に説 明

す る. ■ ガ ウス の定 理   囲 わ れ た体 積 の 内部 に 「何 か 」(例 え ば 「電 荷 」)が 存 在 し,そ れ が 存 在 す る こ とが 原 因 で,外 部 に 向 っ て,ベ

ク トル 量 と して表 示 され る「あ る もの 」(例 え

ば 「電 場 」 ま た は 「電 気 力 線 」)が 放 出 さ れ て い る とす る.そ の 「何 か 」 を包 み 込 む 表 面 全 体 につ い て 放 出 され る 「あ る もの 」 の 総 和 を求 め る と,そ の総 和 量

∫v∇ ∇

は体 積 内 に あ る 「何 か 」 の量 に 比 例 す る は ず で あ る.   そ の こ とを積 分 を用 い て表 記 す る と以 下 の よ う に な る. (定数)×(∫v(「何 か 」 の密 度)dV(=体 =∫s(ある

積 中 の 「何 か 」 の総量))

も の)・ndS

こ こで 「・n」は,表 面 の 単 位 面 積 に相 当 す る面 積 ベ ク トル と,こ の 演 算 子(「 ・ 」) の前 の 「あ る もの 」 の ス カ ラ ー積 を意 味 す る.つ

ま り,す で に説 明 した 単 位 面

積 当 た りの 「あ る もの 」 の量 を 求 め る計 算 内容 で あ る.   も う一 つ の見 方 と して,こ の体 積 表 面 か ら放 出 され る 「あ る もの 」,例 え ば 「電 気 力 線 」 また は 「電 場 」 の総 量 は,体 積 全 体 か らの 「あ る もの」 の 「湧 き 出 し」 の 総 量 と同 じで あ る.つ ま り, ・(ある も の)dV=∫s(ある

 結 局,上

も の)・ndS

の ２つ の 関 係 の右 辺 は 同 じ も の で あ るか ら,ま と め る と,あ る体 積

に つ い て 以 下 の 関係 が 求 ま る. ・(ある も の)=(定

数)×(「 何 か 」 の 密 度)

 以 上 の 内 容 を,ガ ウ ス の 定 理 とい う.事 実,「 あ る もの 」を電 場,そ

の原因 と

な る 「何 か 」を 電 荷 とす る と,こ の 内 容 は電 場 に つ い て の ガ ウス の 法 則 で あ る.   上 記 の ガ ウス の 定 理 を数 式 で表 現 す る と

(5.53) と な る(い

ま こ こで は,こ の 数 式 の詳 細 な 意 味 に つ い て こだ わ る必 要 は な い).

こ の 式 の 全 体 を 眺 め る と,積 分 記 号 の 中 に 本 節 で 学 ん だ ス カ ラ ー 積 と発 散 (div=∇ ・)の 計 算 が入 っ て い る.ま た,積 分 を 「何 」 に対 して行 な って い る か に つ い て は,左 辺 は 面 積dSに

つ い て で あ り,右 辺 は体 積dVに

つ い て で あ る.

両 辺 に あ る ベ ク トルＡ は,こ れ まで の 説 明 に従 え ば,物 理 量 の"流 れ"で あ る.   さ ら に細 部 を見 る た め に,こ の 定 理 の概 念 を図5.28に

示 す.式(5.53)の

左

辺 の ベ ク トルｎは単 位 面積 に垂 直 で長 さ を1(｜n｜=1)と す る(つ ま り,ｎ は面 積

図5.28 

ガ ウス の 定 理 の 概 念

の 単 位 ベ ク トル で法 線 ベ ク トル と呼 ば れ る こ と もあ る).よ く考 え て み る と,こ の ベ ク トル ｎ は,１ 辺 の 長 さ が １(単 位 長 さ)で あ る面積 素 片 の"面 積"の ベ ク トル積 に よ る表 現 で あ る と理 解 で き る.つ は,図5.28に

ま り,式(5.53)の

左 辺 の(A・n)

示 す よ うに,あ る物 理 量 の"流 れ"Ａ が 単 位 面 積 を通 過 す る量 を

表 現 して い る こ とに な る.ス カ ラ ー積 の定 義 か ら,面 に垂 直 に流 れ 出 す 時 に流 量 は最 大 に な る.す な わ ち,左 辺 全 体 で,あ

る空 間 を包 み込 ん で い る面 全 体 か

ら流 れ 出 す物 理 量 を表 現 し て い るわ け で あ る.   右 辺 の(∇ ・A)は,流

れＡ の,考

えて い る体 積 か らの"湧 出"で あ る こ と は,

ベ ク トル の発 散 の 計 算 の 意 味 か ら明 ら か で あ ろ う.し た が っ て,ガ

ウ ス の定 理

の 物 理 的 な意 味 を改 め て 言 葉 で 表 現 す れ ば 「空 間 の表 面 か らの 流 出 量 」 ＝ 「空 間 の体 積 か らの湧 出量 」 と い う こ と に な る.   微 小 な 体 積ΔVに

つ い て 考 え る 場 合,式(5.53)は

(5.54) と書 き 改 め ら れ,こ

れ よ り

(5.55) が 得 られ る.   こ こで,ベ ク トルＡ をベ ク トル Ｅ に置 き換 え,そ れ を電 場 と考 え れ ば,上 記 の ガ ウ ス の 「定 理 」 か ら 「あ る空 間 に 発 生(発 散)す

る電 場 は,そ の 空 間 を取 り

囲 む表 面 全 体 にわ た っ て の 電 場 の総 和 で あ る」 とい うガ ウ ス の 「法 則 」 が 導 か

∫s

れ る こ とに な る. ■ ス トー ク ス の 定 理   次 に,原 因 とな る 「何 か 」(例 え ば 「電 流 」)が あ る と,そ の 周 囲 で 「渦 」 を ま く 「あ る もの 」(た と え ば 「磁 場 」)が 発 生 す る よ うな 現 象 を考 え る.   あ る 閉 じた 線 分 が あ る とす る.そ の 線 分 に 沿 っ て 「あ る もの 」 の線 積 分(後 述)を 求 め る時 は,そ の 「経 路 」(閉 じた線 を思 い 浮 か べ れ ば よい)に 沿 う 「あ る もの 」の 成 分 を線 積 分 す る と よい.す

な わ ち,「 ・ds」は 経 路 の短 い長 さ(ds)

と演 算 子(「 ・」)の 前 「あ る もの 」 の ス カ ラー 積 を意 味 す る と決 め る と,以 下 に示 す よ うに,経 路 上 に 落 ち た 「あ る もの 」の 影 を経 路(ｓ)に 沿 っ て積 分 す る も の で あ る. ∫c (あ る も の)・ds

  一 方,閉

じた 経 路 の つ く った 面 を考 え る(ま

るい 枠 の 中 に シ ャ ボ ン玉 用 の 膜

を張 った と き,そ の 「 膜 面 」を考 え る とよ い).膜 ベ ク トル を前 述 の ベ ク トルｎ と して,そ

の 単 位 表 面 積 に相 当 す る面 積

の小 さな 面 積 の 中 で 「あ る もの 」の 「渦 」

の 量 を 「∇×(あ る もの)」 と表 現 す る.そ の 小 さ な 「渦 」 の面 全体 で の総 和 は (∇×(あ る も の))・ndS

の よ う に な る.「 あ る も の 」が 磁 場 で あ れ ば,「∇ ×(あ る も の)」は 「磁 場 の 「渦 」」, つ ま り ア ン ぺ ー ル の 法 則 に よ れ ば,「 磁 場 の"渦"」 か 」)で あ る.そ

し て,そ

の 原 因 で あ る 「電 流 」(＝ 「何

の 方 向 は 面 に垂 直 で あ る.

  上 で 説 明 し た ２つ の 表 示 法 の 内 容 は,同

じ で あ る と 考 え て,

∫c (あ る も の) ds=∫s(∇×(ある

も の))・ndS

と表 示 す る と,こ れ が ス トー ク ス の 定 理 の 表 現 とな る.つ ま り この 定 理 は,閉 じた 経 路 に沿 って の 線 積 分 は その 経 路 が 張 る面 に お け る面 積 分 と同 じで あ る, とい う内 容 に な る.   また,ス

トー ク ス の定 理 は,発 生 して い る物 理 量 の 主 成 分 が"回 転"成 分 で

あ る時 の 関係 を表 現 して い る とい え る.い

い換 え る と,ガ ウ ス の 定 理 が 直 線 的

に発 生 す る"湧 出"量 に 関 す る もの で あ った の に対 し,ス

トー ク ス の 定 理 は"渦"

に関 す る定 理 で あ る.そ れ は,例

え ば,ア

ンぺ ー ル の法 則 に お け る電 流 の 周 囲

に発 生 す る磁 場 の よ うな もの で あ る.   dsをdrと

書 き換 えて ス トー ク ス の定 理 を数 式 で 表 現 す れ ば

(5.56) の よ うに な る.   こ こで も う一 度 両 辺 の積 分 計 算 の意 味 を考 え て み よ う.右 辺 の 面 積 に つ い て の積 分 は,∇ ×Aが

結 局 はあ るベ ク トル 量 に な る こ と を考 え る と,ガ ウ ス の定 理

で も現 わ れ た の で 納 得 で き るだ ろ う.し か し,左 辺 の積 分 の"ｃ"と い う添 え字 が不 明 で あ る.こ れ は 「経 路 積 分 」 あ るい は前 述 の 「線 積 分 」 と呼 ばれ る積 分 計 算 を意 味 し,あ

る経 路(線)上

のＡ の 値(経 路 を適 当 に選 べ ばｘ,ｙ,ｚ

上 の一 定 値 で 表 現 で き る)と 経 路 長 と を掛 け合 わ せ れ ば よい .つ でベ ク トルＡ の成 分 がAxで

あ れ ば,経 路 長Δxの

場 合 のAxΔxが

各軸

ま り,ｘ 軸 上 そ れに相 当

す る.   こ の よ うな 計 算 をｙ 軸,ｚ 軸 それ ぞ れ の 方 向 で 行 な い,そ れ らの総 和(経 路 １ 周 分)を 求 めれ ば よい の で あ る.し た が っ て,式(5.56)の

左 辺 全 体 の 意 味 は,

ベ ク トルＡ で 表 現 さ れ て い る物 理 量 を考 え て い る領 域(面)の 周 囲 で １周 分 積 分 す る こ とで あ る.一 方,右 辺 の積 分 の 中 は,ベ ク トルＡ の"回 転"成 分 を 求 め て, 面 に垂 直 な成 分 を 全 表 面 で総 和 し た もの で あ る.以 上 の概 念 を 図5.29に

示 す.

  ス トー クス の定 理 も電 磁 気 学 にお い て,非 常 に重 要 な役 割 を演 じて い る.ガ ウ ス の 定 理 の 場 合 と同様 に,式(5.56)の

右 辺 を微 小 面 積 に 限 っ て考 えて み る

と,式(5.56)は

(5.57) とな り

図5.29 

ス トー ク ス の 定 理 の 概 念

(5.58) が 得 ら れ る.   こ こ で,ベ ク トルＡ を ベ ク トルＢ(磁 束 密 度)に "∇ ×B"と い う項 が 現 わ れ る が ,こ れ は,式(5.52)に

置 き 換 え る と,右

辺 に は

示 す マ ック ス ウ ェ ル の

方程 式④ の ア ンぺ ー ル の 法 則 の別 表 現 で あ る以 下 の 式

(5.59) の左 辺と な り,結局,右

辺 の 第 １項 の∂E/∂tは"変位電流"と

呼 ばれ る一種の電

流 で あ る ので,こ れ は 電 流 Ｉ と同 等 で あ る.ま た,単 位 面 積(｜n｜=1,ΔS=1) に つ い て の 表 現 に直 せば,図5.29の∫cA・drは∫cB・drに,∇

×Aは∇

×Bに

書 き直 せ るの で,こ れ は,電 流 Ｉ の周 囲 を回 る磁 束 密 度Ｂ を 表 現 して い る こ と が 理 解 で き るだ ろ う.こ

こで,電 流 Ｉ もベ ク トル 量 に した の は,考 え て い る面

の法 線 ベ ク トルｎ 方 向 の電 流 量 が 重 要 で あ る か らで あ る.

チ ョッ ト休 憩 ● ５

マ ッ ク ス ウ エル   ベ ク トル 解 析 は,固 体 の 回 転 運 動 で 用 い ら れ る"テ を表 現 す る た め に 用 い られ る"ス

ピ ノ ー ル"と

学 と,同

れ は"回

し,数

じ分 野 に分 類 さ れ る.そ

転 系"に

学 的 な 分 類 は ど の よ う な も の で あ れ,物

用 は,非

常 に広 く,か

ン ソ ル"や,電

い っ た,物

子 ス ピン

理 学で用 いられ る数

つ い て の 数 学 で あ る.し

か

理 学 に お け る ベ ク トル 解 析 の 応

つ 非 常 に 有 用 な 表 現 手 段 を も た ら す こ と は,ど

の 分野 で

あ れ 物 理 学 を 学 ば れ た 読 者 は 納 得 さ れ る で あ ろ う.   ベ ク トル 解 析 に つ い て,誰

を 人 物 評 論 で 取 り あ げ る か ， 正 直 に 申 し上 げ る と

少 し 考 え込 ん で し ま っ た.ラ

プ ラ ス(1749‐1827)は

が,あ

ま り教 育 的 な 人 で は な い よ う な 気 が し た.ガ

も し た が,彼 (James  だ し,彼

ど うであ ろ うとも 思 った ウ ス(1777‐1855)と

思 い

の 電 磁 気 学 と の 関 連 を 考 え て い る う ち に,結 局 マ ッ ク ス ウ ェ ル

Clerk  Maxwell,1831‐1879)に は 数 学 者 で は な い し,実

し異 質 の 登 場 人 物 か も 知 れ な い.

す る こ と に 決 め た の で あ る.た

験 物 理 学 者 の 側 面 も あ っ た 人 で あ る の で,少

  彼 の本 来の 家 系 は,セ カ ン ドネ ームの"ク ラー ク"家 に属 して いる."マ ック ス ウ ェル"と いう姓 は,そ れ ほ ど由緒あ るも の ではな い ら しい.そ れ はと もか く,彼 はス コ ッ トラン ド生 まれで ある.14歳 か ら頭 角 を現わ しては いたが ,は じめ エデ ィンバ ラ大学 で学 び,24歳 の ときケ ン ブ リッジ大 学の トリニテ ィカ レ ッ ジに入 学 した.本 章 で取 りあ げたベ ク トル解 析 に関連 した数 学的手 法 を用 い て電磁 気学 を集 大成 した 「マ ックス ウエル の方程 式 」 を提出 したの は,彼 が若 い頃か ら注 意深 くフ ァラデ イ(1791‐1867)の 実験 ノー トと研 究 報告 を検 討 し た結 果 で ある.   彼 は,そ の長 くはな い人 生の 晩 年,1874年 にケ ン ブ リッ ジ大 学 のキ ヤヴ ェン デ ィ ッシユ 研究 所の 初代 教授 に任命 され た.そ の 前年 に は,古 典 的名著 と して 今 でも有 名 な"Treatise

0f Electricity

and

Magnetism"を

執筆 し

た.   筆者 には,フ ァラデ イの 提案 した 「 場」 と いう名称 と内容 に,彼 が流体 力学 や ベ ク トル 解析 の手 法 を用 いて表 現 を与え た こと による 「 電 場」 と 「磁場 」の 出現 と,そ れか ら発 展 した 「 電磁 波」 の予言,さ らに 「 光 速 」 に関す る洞察 力 は,人 間の 知力 に関 す る最高級 の 証明 のーつ に思 われ る.   マ ックス ウ ェルの 方程 式 には,本 章 で学ん だ ダイバ ー ジ ェンス(div）,ロ ー テー シ ョン(rot)が 物理 的内 容の すば ら しい表現 手段 と して用 い られ,か つ, 時間 に よる 電場 と磁場 の偏 微分 と合 わせ て,数 式 と しての対 称 性の よ い,あ る 種の 調和 が現 われ て いる.こ れ らの ４つの 美 し い方程 式 は,永 遠 に評 価 され, 賞賛 され続 ける であ ろう.

■演 習問題   5.1  角 度60゜ で交 わ って い る ２つ のベ ク トルＡ,Ｂ の 長 さ を １とす る.ス カラ ー積Ａ ・Ｂ お よびベ ク トル積A×Bを 求 め よ.   5.2  中 心 か ら の 距 離ｒ が ３次 元 直 交 座 標 でr=√x2+y2+z2で φ∝1/rに 演 算 子∇ を働 か せ た結 果 を求 め よ.   5.3  電場E(x,y,z)の

発 散(div)を

表 わ さ れ る 時,電 位

求 め よ.

  5.4  電 磁 気 学 に お け る 「マ ックス ウ ェル の 方程 式 」を発散(div)と って 物理 的 内容 に翻 訳 せ よ.

回転(rot)の

概念 を使

  5.5  「 ガ ウス の定 理 」,「ス トー クス の定 理」と電 磁 気 学 に お け る 「ガ ウス の 法則 」,「ア ンぺ ー ル の法 則 」 との関 係 を説 明せ よ .

６ 線形代数   物 理 現 象 に 限 らず,現

実 の 事 象 に数 学 を 用 い る 場 合,最

は １次 方 程 式 で あ る.例

え ば,あ

も頻 繁 に 現 わ れ る の

る本 をｂ ペ ー ジ 目 か ら読 み 始 め て,毎

日ａ ペ

ー ジ ず つ 読 む とす る と,ｘ 日 後 に はｙ ペ ー ジ ま で 読 み 終 え て い る こ とに な る こ と を 方 程 式 で 表 わ せ ばy=ax+bで

あ る.こ

の よ う な方 程 式 は,物 理 現 象 と し

て,原 点 か ら直 線 距 離 がｂ の 位 置 か ら同 じ方 向 に時 速ｖ で 運 動 す る物 体 のｔ 時 間 後 の 原 点 か らの 距 離 は ｄ で あ る,と い う こ と を 表 わ すd=vt+bと

同 じで あ

る.   "線 形 代 数"な ど とい う と,い さ さ か 仰 仰 し く思 わ れ る が,そ の 基 本 は １次 式 ax =bを 満 た すｘ を求 め る こ とで あ り,わ れ わ れ が 中 学 生 の 頃 か ら した しん で い る(？)１

次 方 程 式 を解 く こ と な の で あ る.

  と も あ れ,線

形 代 数 は学 問 と し て 完 成 され て お り,数 学 の 他 の分 野 は も と よ

り,理 学 系,工

学 系 の み な ら ず 経 済 学 の 分 野 に ま で 広 く応 用 さ れ て い る.線 形

代 数 の 根 幹 を 成 す の は,行

列 ・行 列 式,ベ

礎 につ い て は 前 章 で 述 べ た の で,本

ク トル な ど で あ る が,ベ

ク トル の 基

章 で は主 と し て 行 列 ・ 行 列 式 と"線 形 代 数"

に 関 連 す るベ ク トル に つ い て 述 べ る.

6.1  連 立 方 程 式 と行 列 6.1.1  連 立 方 程 式 と解   本 章 の 扉 でax=b,y=ax+bと

い う よ う な最 も基 本 的 な 方程 式 に つ い て 述

べ た が,変 数ｘ の 数 が 増 え て,２ 変 数x1,x2で は,変 化 量ｙ は,そ の"依 存 性"が"１

表 示 し な け れ ば な ら な い現 象 で

次"で 表 現 され る 限 り,

(6.1) の よ う な ２変 数 関 数 で表 示 で きる.こ い て の変 化 率 を示 して い る(4.3.1節

こで,係 数a1,a2は

それ ぞれ の変 数 につ

参 照).

  この よ うな 表 現 方 法 は 変 数 の 数 が い く ら増 え て も同 じで あ る.つ ま り,定 数 ｂを省 略 す れ ば

(6.2) の よ うな 数 式 で表 現 で き る.   さ て,前 掲 のy=ax+bを

一 般 化 した

(6.3) の 内 容 を 図6.1の

よ うにx-y平

面 上 で表 わ す と(第 ３章 参 照),ｘ とｙ とは直 線

関係 に な る(こ の こ とが"線 形代 数"の 基 本 で もあ る).中 学 校 の 数 学 で 学 習 し た よ う に,こ の よ う な直 線 が ２本(Ａ,Ｂ)存 が 交 点 を持 つ 時,数 式 の"内 容"は

在 し,図 に 示 した よ うに,そ れ ら

大 き く拡 が る.

図6.1 x-y平

面 上 に お け る ２本 の

直 線 と それ らの 交点

  つ ま り,あ る直 線 関 係 Ａ に あ るｘ とｙ とで 表 示 され る"も の"あ る い は"量" に つ い て,別 の 直 線 関 係 Ｂ が 同 時 に成 り立 つ の は,ど の よ う な(x,y)の

組み

合 わせ で あ るか ， とい う問 い に 対 す る答 が,一 般 的 に,次 の 連 立 方 程 式 を解 く こ とで求 め られ る の で あ る.

(6.4)

  この 連 立 方 程 式 の 解(x,y)は,物

理 現 象 で い え ば,直 線 Ａ で 表 わ され る運

動 を して い る物 体 Ａ と直 線 Ｂ で 表 わ され る運 動 を し て い る物 体 Ｂ とが,x-y 平 面 上 で 衝 突 す る座 標 に対 応 す る.   具体 的 に,式(6.4)の

連 立 方 程 式 の解 を 求 め て み よ う.Ａ の 両 辺 にb'を,Ｂ

の 両 辺 にｂ を掛 け,両 式 の 差 を求 め る と

(6.5) (6.6) とな り

(6.7) が 求 ま る.同

様 に,ｙ

を求 め る と

(6.8) と な る.た

だ し,ab'-a'b≠0で

あ る.

  こ の よ う な 連 立 方 程 式 の 解 の 求 め 方 が,中 学 校 で 学 ん だ 一 般 的 な 方 法 で あ る.

6.1.2

行

列

■ 行 列 表 示 と行 列 式   式(6.4)の

よ う な 一 般 的 な 連 立 方 程 式 の 解 は,式(6.7),(6.8)で

て い る の だ か ら,こ

れ を"解

の 公 式"と

そ の ま ま 憶 え る の は 少 々 大 変 で あ る.ま

与 え られ

し て 憶 え て し ま え ば よ い の で あ る が, た,"解

の 公 式"に

と ど ま らず,今

後の

線 形 代 数 の 展 開 に重 宝 す る新 しい"表 示 方 法"を 知 っ て お く と便 利 で あ る.そ れ は,

(6.9) の よ う な表 示 方 法 で,こ れ を行 列 表 示 と呼 ぶ.()の

中 の部 分 が 行 列 と呼 ばれ

る も の で あ り,"行"と"列"が

(6.10)

の よ う に 区 別 さ れ て い る.   式(6.9)は

(6.11) の 意 味 で あ る.こ の よ う な計 算 を行 な う こ と を行 列 計 算 と呼 ぶ(記 号 と し て detAと

も記 す)が,そ

の計 算 の 結 果 を行 列 ご と に表 示 した もの は行 列 式 と呼 ば

れ る.一 般 に,行 列 が()で な お,式(6.9)∼(6.11)に

表 わ さ れ るの に対 し,行 列 式 は｜｜で表 わ され る . 示 さ れ るａ,ｂ ，ｃ,ｄ(行

数 式 で も どち らで も よ い の で あ るが,こ

こで は数(あ

列 要 素 とい う)は 数 で も る い は数 を表 わ す 文 字)

と して お こ う.   式(6.11)の

意 味 は,要 す る に,右 辺 の 式 を左 辺 の よ う に,"枠"に

入 れ て書

く とい う こ とで もあ る.枠 に入 れ た 行 列 計 算 の ル ー ル は簡 単 で,左 上 か ら右 下 へ の対 角 線 に沿 っ て掛 けた もの(つ ま り,a×d)か 線 に沿 っ て 掛 け た もの(つ の で あ る.   具 体 例 と し て,例 え ば

ま り,c×b)を

ら,左 下 か ら右 上 へ の 対 角

引 く(符 号 を マ イ ナ ス に して 足 す)

を計 算 して み よ う.

と な る.   式(6.11)は 列Ａ

２行 ２列 の 行 列(2×2行

は,m×n行

列 と い い,そ

列)で

あ る が,一

般 的 にｍ

行ｎ 列 の 行

れ は

(6.12)

と 書 か れ る.2×2行   以 下,2×2行

列 の よ う なn×n行

列 の"和"と"差"に

列 は正 方 行 列 と呼 ばれ る . つ い て 簡 単 に 示 し て お く.

(6.13)

(6.14)   こ こで,行 列 の積 につ い て も簡 単 に触 れ て お く.   積 は,和 や 差 と比 べ る とや や 複 雑 な の で あ る が,演 算 の ル ー ル さ え知 れ ば, 難 し い こ と は な い だ ろ う.   一 般 にm×l行

列A=(aij)とl×n行

列B=(bjk)の

積ABは

(6.15) を要 素 に 持 つm×n行

列 Ｃ と定 義 され る.〓

を略 して 単 にΣ で表 わ せ ば

(6.16)

に な る.   こ の 積 の 定 義 は 一 見 複 雑 で は あ る が,言

葉 で 表 現 す れ ば 「積ABの(i,k)

要 素 は,行 列 Ａ の 第ｉ 行 の 要 素,ai1,ai2,…

，ailと 行 列 Ｂ の 第ｋ 列 の 要 素b1k,

b2k， … ，blkと +ailblkで

を そ れ ぞ れ 番 号 順 に 掛 け 合 わ せ た も の の 和aj1b1k+ai2b2k+…

あ る 」と い う こ と に な る.し

と思 わ れ る の で,簡

単 な2×2行

か し,こ

れ で も,何

だ か は っ き りし な い

列 で 具 体 的 に積 を 求 め て み よ う.

の 時,

(6.17)

と な る.ま

た

(6.18)

とな り,一 般 に Ａ と Ｂ がn×n行

列 の場合

(6.19) で あ る.こ

れ は ， 前述 の 加 法 の 時 に

(6.20) とい う交 換 法 則 が成 り立 つ の と異 な る点 で あ る.  な お,行 列

〓に 対 し,

〓を逆 行 列 と呼 び,

(6.21)

の よ う に表 示 す る. ■ 連 立 方 程 式 の解   さ て,前 項 で述 べ た 連 立 方 程 式

(6.4)

の 解 を行 列 式 を使 っ て 求 め て み よ う.   式(6.4)の

形から

(6.22) を 定 義 す る と,式(6.7),(6.8)に

示 した 解 は

(6.23)

と簡 単 に 表 現 で き る.以 上 の よ う な 解 法 を,ク こ の 分 母 は,解ｘ,ｙ

に 共 通 で あ り,式(6.4)の

組 を そ っ く り含 ん だ も の に な っ て い る.一 あ るｃ,c’

ラ メ ル の 公 式 に よ る 解 法 と 呼 ぶ.

をｘ に つ い て はａ,a'の

方,分

位 置 に,ｙ

て 枠 組 を と っ た も の に な っ て い る.式(6.23)を

連 立 方程 式 の 左 辺 の係 数 の 枠 子 の 方 は,式(6.4)の つ い て はｂ,b'の

確 認 す る こ と に し よ う.

位置 に置 い

２元 １次 の 連 立 方 程 式(6.4)

の 解 の 公 式 と し て 憶 え て し ま う と誠 に 便 利 で あ る.そ 章 末 の 演 習 問 題6.1で

右 辺 に

の"便 利 さ"に つ い て は,

図6.2  回転 系変換座標

■回転運動   以 下,い

ま まで に述 べ た こ との 応 用 と して,物 体 の 回 転 運 動 を行 列 式 を使 っ

て 考 え る こ とに す る.   回 転 系 の座 標 変 換 に つ い て は,す で に図2.12で て,再 度,図6.2を

述 べ た が,復 習 の 意 味 も込 め

用 い て 説 明 す る.

  幾 何 学 的 な考 察 か ら,x-y座

標 系 に お け る位 置(x,y)とx'-y'座

標 系 にお

け る位 置(x',y')は

(2.10)

で 関 係 づ け ら れ る.   式(2.10)は

行 列 を用 い る と

(6.24)

と表 示 で き る.こ

こで

(6.25)

で あ る.

 Ａは2×2行

列 で,こ れ は 回転 を表 現 す る行 列 で あ る.式(6.25)を

行 列計算

図6.3 

回 転 系"逆"座

標変換

の ル ー ル に従 って 計 算 す る と

(6.26)

と な る.図6.2か

ら もわ か る よ う に,回

転 運 動 の 時,座

距 離 が 常 に 一 定 で あ る こ と と,式(6.26)の

結 果,つ

標 原 点 か ら物 体 まで の ま り係 数 に つ い て の 行 列

式 の 値 が １で あ る こ と の 関 係 は 重 要 で あ る.   こ こ で ま っ た く逆 に,図6.3の

よ う に"逆"変

換 座 標 を 考 え る と,

(2.9)

で あ り,こ れ を行 列 を用 い て表 示 す れ ば

(6.27)

とな る.A-1は

前 述 の よ うにＡ の 逆 行 列 で,い ま こ こで 考 え て い る回 転 運 動 に

関 して い え ば,行 列 Ａ と行 列A-1は

逆 方 向 の 回 転 を意 味 して い る.

  式(2.10)で 表 わ され る物 理 現 象 に,時 間ｔ の 経 過 に応 じて 角 度 が変 化 す る 回

転 運 動 が あ る.例 dθ/dtと

え ば,回

転 角 θ を 角 速 度 ω を使 っ て θ=ωtで

表 わ す と,ω=

な っ て 上 記 の よ う な 運 動 を 表 現 す る こ と に な る.

6.2  線 形 代 数 の 物理 的展 開 6.2.1  連 成 振 り子 ■ 方程 式 の ベ ク トル 的 理 解   以 下,こ

こ まで に説 明 して き た事 項 を少 し遠 目 に見 直 す こ とで,線 形 代 数 の

応 用 が さ らに拡 が って い くこ とを見 て み よ う.   そ の よ う な拡 が りの 中 で,固 有 値,固 有 ベ ク トル,さ

ら に行 列 の対 角 化 と呼

ば れ る操 作 は特 に重 要 で あ る.少 し寄 り道 を して,式(6.1)や(6.4)の

意味

を再 度 考 え る こ とか ら始 め よ う.

(6.1') と い う 式 で,変

数x1,x2を

平 面 を 考 え る.こ

れ は,式(6.1')で

あ る 座 標(a1x1,a2x2)で の 構 成 要 素 を 変 数x1,x2の x2要 素 のa2倍 (6.1)に (図2.10に

直 交 す る 基 準 軸 に と っ て,図6.4の

表 わ さ れ るｙ と い う 数 値 を ２次 元 平 面 上 の

表 示 し た こ と に な る.言

葉 を換 え れ ば,ｙ

基 本 構 成 要 素 に 分 解 し て,そ れ ぞ れx1要

の 和 と し て 表 現 す る こ と に な る.た

存 在 す る 定 数ｂ

よ う な ２次 元 の

は,x1-x2平

とい う もの 素 のa1倍,

だ し,式(6.1')で

は式

面 の"底 上 げ"数 値 と 考 え て 無 視 し て い る

示 す 平 行 移 動 に よ る 座 標 変 換 を し た こ と に も な る).

図6.4 

２ 次 元x1-x2平

面

図6.5 

  実 は,図6.4に

連 立 方 程 式 の"ベ

基 づ く上 記 の 説 明 は,式(6.1')を"ベ

こ と に な る の で あ る が,そ

れ に 気 づ い た だ ろ う か.つ

ク トル 的"理

ク トル 的"に

解

理 解 した

ま り,変 数x1,x2の

それ

ぞ れ の 方 向 に 単 位 ベ ク トル を 考 え た こ と に 相 当 す る の で あ る.   こ の よ う な 考 え 方 を,連

立方程 式

(6.4)

に も適 用 して み よ う.   こ こで は,基 本 構 成 要 素 は変 数ｘ とｙ に な り,数 値 らｃ,c'がそれ らの 基 本 要 素 に成 分 分 解 され て 表 示 され て い る こ とに な る.つ ま り,ｃ やc'がx-y平

面上

に あ る位 置 に相 当 す る.   さ らに発 想 を拡 げ て,数 値cやｃ'の

方 向 を単 位 ベ ク トル 方 向 と考 え て ベ ク ト

ル 的 な イ メ ー ジで と らえ直 す と,図6.5に

示 す よ う に,c-c'(直

交)座 標 空 間 が

存 在 し て い る と考 え る こ と もで き る.そ の 時,そ れ ら はx-y平 面 とは独 立 して c-c'平 面 を構 成 して い る こ とに な る.な お,c-c'座 標 が 直 交 座 標 で あ るか ど う か は,一 般 的 に は不 明 で あ るが,こ   また,c-c’ 座 標 平 面 がx-y座 ば,結 局,そ 図6.5に

こで は そ の よ うに 考 え て お こ う.

標 平 面 が あ る角 度 だ け 回転 し た も の と考 えれ

の よ う な理 解 は式(2.10)の

示 され る よ う に,あ

内容 と同 じ こ とに な る.そ

うす る と,

る適 当 な 角度 だ け回 転 す る と,ｃ がｘ 要 素,c'が

ｙ要 素 だ け で構 成 され て い る状 態 を見 出 す こ とが で き るだ ろ う.こ

の ような操

作 は単 な る 図形 的 な ， あ るい は数 学 的 な遊 び の よ うに 思 え るか も知 れ な い が, 実 は,以 下 の具 体 例 で 示 す よ う に,物 理 学 上 の さ まざ まな 考 え 方 を 表 現 す るの

図6.6 

２個 の連 成 振 り子

図6.7 

連 成 振 り子 の 再 帰 現 象

に大 変 有 効 な の で あ る. ■連 成 振 り子 問 題 の 重 要 性   力 学 の 問題 に よ く現 わ れ る連 成 振 り子 の う ち,最

も単 純 な の は図6.6に

示す

よ うな ２個 の 振 り子 か ら成 る もの で あ る.   本 題 に入 る 前 に余 談 的 な こ とを述 べ る.   現 代 社 会 に お い て は,高 性 能 の コ ン ピ ュー タ ーが 安 価 に,そ 入 れ られ る の で あ るが,ほ ん の50年

して 簡 単 に手 に

ほ ど前 ま で は,単 純 な 計 算 しか で き な い も

ので も簡 単 に は手 に入 れ られ な い 高 価 な計 算 機 器 だ っ た.そ

の よ うな コ ン ピ ュ

ー タ ー の ,科 学 分 野 にお け る最 初 期 の 応 用 例 の 一 つ が,図6.6に

示 す よ うな 連

成 振 り子 の 運 動 を計 算 物 理(方 程 式 を直 接 解 くの で は な く,数 値 計 算 で 方程 式 の 解 の状 態 を逐 次 調 べ て い く物 理 学 の 一 分 野)で 検 討 す る もの で あ っ た.   有 名 な例 と して は,べ ー タ崩 壊 の研 究 で有 名 な フ ェル ミ(1901‐1954)の 導 で 行 な わ れ た,128個

の １次 元 連 成 振 り子 が 時 間 と共 に どの よ うな 振 動 を し

て い くか を検 討 す る計 算 が あ る.初 期 状 態(各 振 り子 の 位 置,運 振 動 が 連 続 し て い く と,長 時 間 の 振 動 の後 に,必 ず,そ る とい う の がポ ア ン カ レ(1854‐1912)の 測"で あ っ た(図6.7参

指

照).そ

れ は,あ

動 状 態)か

ら

の初 期 状 態 が 再 現 さ れ

「 再 帰 定 理 」 と呼 ば れ る数 学 的 な"予 る種 の"思 考 実 験"の 結 論 なの で あ る

が,現 実 に実 験 的 に確 認 す る こ とは,糸 の よ じれ や 空 気 抵 抗 な ど,さ ま ざ ま な 要 因 の た め に 不 可 能 で あ っ た.そ

こで,フ

ェル ミは,ポ

ア ン カ レの 予 測 を計 算

で 確 か め よ う と した の で あ る.   結 果 は,ポ

ア ン 力 レの 予 測 どお りだ っ た.

  連 成 振 り子 の 振 動 問題 自体 は,現 実 的 に は そ れ ほ ど重 要 で は な い か も知 れ な い が,こ の よ う な計 算 その もの は極 め て重 要 な の で あ る.例 レ ク トロ ニ ク ス文 明"の 基 盤 は 半 導 体 結 晶 で あ るが,結

え ば,現 代 の"エ

晶格 子 を構 成 す る原 子

は互 い に連 成 振 り子 の よ う に結 合 した 状 態 に あ り,そ の よ う な原 子 の 振 動 の理 解 は物 理 学 的 に も工 学 的 に も極 め て 重 要 だ か らで あ る.そ の よ う な"格 子 振 動" を表 現 す る数 学 モ デ ル の 基 本 が,図6.6に 問 題 な の で あ る.も ち ろん,バ

示 す よ うな ２個 の連 成 振 り子 の 振 動

ネ に相 当 す る の は 原 子 間 の結 合(エ

ネ ル ギ ー)

で あ る. ■ 連 成 振 り子 の 振 動   さ て,図6.6を

参 照 して,物 理 的 な問 題 を考 え る こ とに し よ う.

  同 じ長 さ(ｌ)の糸 に 吊 る さ れ た 左 右 に振 動 す る質 量ｍ の 球 状 物 体 を Ａ,Ｂ

と

す る.こ れ らの物 体 に は,地 球 上 で運 動 す る限 り,垂 直 下 向 き に重 力 加 速 度 ｇに よ っ て重 力mgが

働 く.図 か ら理 解 で きる よ う に,こ の 重 力 が 物 体 の横 方 向 の 運

動 に寄 与 す るが,そ

の運 動 方 向 に働 く力 は

(6.28)

(6.29) で 表 示 で き る.こ

こで は,図

の右 方 向 にｘ 軸 の プ ラ ス(＋)方

向 を決 め,吊

る

され た 場 所 の鉛 直 線 か らｘ 軸 へ の ず れ を物 体 Ａ,Ｂ に つ い て そ れ ぞ れx1,x2と した.さ らに,物 体 Ａ,Ｂ はバ ネ定 数ｋ のバ ネ に よ って 結 合 され て い る とし た. つ ま り,こ の バ ネ の 長 さがｘ だ け伸 び る と,そ の 伸 び と反 対 方 向 にkx(伸 方 向 を ＋方 向 とす る と-kx)の

びの

力 が働 くこ とに な る.

  この よ うな連 成 振 り子 で は

(6.30)

(6.31)

図6.8 

バ ネが 伸 び縮 み す る場 合 の ｙ座 標 のず れΔy

と い う運 動 方 程 式 が 成 り立 つ.   し か し,厳 合 だ け,位

密 に 考 え る と,物

置x1とx2が

体 Ａ,Ｂ

間 の バ ネ が ま っ た く伸 び 縮 み し な い 場

同 じｙ 座 標 を 持 つ こ と に な る.し

示 す よ う に,そ れ ら のｘ 座 標 が 異 な る時 は,Δyの ぞ れ のｙ 座 標 に も影 響 さ れ る.し は 十 分 に 小 さ く,し

か し,こ

た が っ てΔy=0と

た が っ て,図6.8に

た め に ２物 体 間 の 距 離 は そ れ

こ で は 話 を 単 純 に す る た め に,振

し,２

物 体 間 の 距 離(バ

動

ネ の 長 さ)はｘ

座 標 の 相 違 の み で 表 現 で き る も の と し た.   式(6.30),(6.31)の

両 辺 をｍ

で 割 り,g/l=α, 

k/m=β

とお く と

(6.32) (6.33) とい う比 較 的簡 単 な連 立 方 程 式 が で きる.連 成 振 り子 が 定 常 的 な振 動 を し て い る 限 り,こ れ らの ２式 は物 体 Ａ,Ｂ の運 動 を記 述 す る連 立 方程 式 で あ る.  式 を も う少 し整 理 し て線 形 代 数 との 関 連 を 考 え る前 に,全 般 的 な見 通 し を よ くす る た め に,式 の 変 形 と,こ の連 立 方 程 式 の解 の 形 に つ い て 考 え て お こ う.  式(6.32)と

式(6.33)を

加 え,ま た 式(6.32)か

ら式(6.33)を

引 くこ と

によって

(6.34)

(ｂ)

(ａ)

図6.9 

２個 の 連成 振 り子 の 振 動

(6.35) を 得 る.   次 に,x1+x2=f1, x1-x2=f2と の 物 理 的 内 容 は 図6.9か

お き,-α-2β=-γ ら 明 瞭 で あ ろ う.つ

あ る.こ

れ らf1, f2

ま り,(ａ)に 示 す よ う に,物 体 Ａ と

Ｂ が 揃 っ て 同 じ 方 向 に 振 動 す る 場 合（f2=0)と,(ｂ)に 動 す る 場 合（f1=0)で

と お く と,そ

示 す よ う に反 対 方 向 に振

れ ら の 置 き換 え を そ れ ぞ れ 式(6.34),(6.35)

に代 入 す る と

(6.36)

(6.37) と い う簡 単 な 形 に到 達 す る.   こ こ で,記 憶 力 の よい 読 者 は第 ４章 で述 べ た ２階 微 分 の 式 (4.81)

(4.80) を思 い 出 す か も知 れ な い.上 式 のｘ を θ に置 き換 え,２ 階 微 分 の 記 号 「"」 を使 って 書 き改 め る と

(6.38)

(6.39) が 得 ら れ る.   こ こ で,式(6.38)のsinθ

で θ=ωtと

変換 す ると

(6.40)

(6.41) と な る.   さ ら に,4.2.3項

で 議 論 した

「オ イ ラ ー の 公 式 」

(4.54) を 思 い 出 す と,式(6.36),(6.37)の

解 はeiωtの 形 に 落 ち 着 き そ う で あ る .実

際,

(4.57) を 思 い 出 せ ば,y=eiωtに

つ いて

(6.42)

(6.43) とい う結 果 が 得 られ る ので あ る.   結 局,振

り子 の 運 動 状 態 を表 わ す 変 数f1,f2つ

ま りx1, x2は 指 数 関数eiωtに

関 連 した 形 に落 ち着 きそ うで あ る. ■ 固 有 値 と固 有 ベ ク トル   以 上 の よ うな 準 備(い 32),(6.33)を

さ さか 長 い 準 備 だ っ た が)を

して,も

う一 度,式(6.

見 てみ よ う.た だ し,今 度 は両 式 を ま とめ て行 列 を使 っ た 表 示

に す る.

(6.44)

  この よ う に行 列 表 示 され る 内容 が連 成 振 り子 の 運 動 を表 わ す 連 立 方 程 式 な の で あ る.   こ こで,こ

の後 の 議論 の た め に,少

右 辺 の 第 一 の()を

し名 称 を説 明 して お こ う.式(6.44)の

取 り出 し

(6.45)

とす る.こ

の よ うな 行 列 は,各 要 素 をaijと 表 示 した 場 合(ｉ 行ｊ 列 の行 列 の 要

素),aij=ajiで

あ る.つ ま り,要 素 が"対 称 的"に な っ て い る の で,こ の よ う な

行 列 を 特 別 に対 称 行 列 と呼 ぶ.ま た,aij=-ajiの   また,一 般 的 に,m×n行

列,例

場 合 は反 対 称 行 列 と呼 ば れ る.

えば

の行 と列 を 入 れ 替 え た行 列 を転 置 行 列 と呼 び,ATで

表 わ す.上 記 の行 列Ａ に対

し

で あ る.対

称 行 列 は 転 置 行 列 と し て の 性 質 も 持 っ て い る こ と は わ か る だ ろ う.

  さ て,も

し 式(6.44)で

が 式(6.42),(6.43)の と,そ

表 現 さ れ る 運 動 を す る 振 り子 Ａ,Ｂ

の 位 置(x1,x2)

よ う な 指 数 関 数eiωtに 関 連 す る 形 で 表 わ さ れ る と す る

の ２次 元 ベ ク トル は

(6.46) の よ う な 形 に な る と 考 え ら れ る.そ

の 場 合,式(6.43)で

表 現 され る運 動 は

(6.47) の よ う に な る だ ろ う.   この よ う な形 の解 が,一 般 的 な振 り子 や 連 成 振 り子 の議 論 に極 めて 都 合 の よ

い こ とは,上 述 の説 明 を見 直 し て い た だ け れ ば,理 解 で き るだ ろ う.こ の よ う な解 が 存 在 す る と,式(6.44)は

(6.48)

の よ う に な る.-ω2=λ

と し,式(6.48)を

(6.49)

の よ う に変 形 す る.   この よ うな ベ ク トル(a,b)は

λ に対 す る固 有 ベ ク トル と呼 ば れ る.ま た,

解 に とっ て 重 要 な係 数 で あ る λ を固 有 値 と呼 ぶ.固 有 値 と固 有 ベ ク トル は,少 な くと も,連 立 方 程 式 を満 た す 解 の 一 つ で あ る.   さ て,式(6.49)の

右 辺 の 内容 を対 応 す る左 辺 の 各 項 の部 分 に移 項 す る と

(6.50)

が 得 られ る.こ

こで留 意 し て い た だ き た い の は,左 辺 の 係 数 に 関 す る行 列 が,

こ の 段 階 で も や は り対 称 行 列 に な っ て い る こ と で あ る.こ (a,b)=(0,0)以

の 形 の行 列 が

外 の 解 を持 つ 条 件 は,左 辺 の行 列 の 行 列 式 が ゼ ロ に な る こ と

で あ る.こ の こ とは,係 数 に 当 た る部 分 か ら式(6.50)が

出 て こ な くて は い け

な い の で,数 式 で

(6.51) と書 き表 わ され る.こ の"Ｉ"は 単 位 行 列 と呼 ばれ る もの で,2×2行

列 の場 合 は

(6.52)

で あ る.   式(6.51)の

よ うな 方 程 式 は 固有 方 程 式 あ る い は特 性 方 程 式 と呼 ばれ る.そ

の 解 λ が 固 有 値 で,そ れ に対 応 す るベ ク トル 解 が 固 有 ベ ク トル とい うわ け で あ る.   固 有 値,固

有 ベ ク トル と は,簡 単 に い え ば,多

くの 要 素 か ら成 る複 雑 な依 存

性 が あ る よ う に見 え る現 象 に対 し て,そ の 基 準 とな る"基 底 空 間"を 提 供 す る もの で あ る,と し て理 解 して い た だ きた い.   ま た,連 立 方 程 式 の係 数 か ら作 られ る行 列 が,対 称 行 列 に な る とい う こ と を 物 理 学 的 に解 釈 す る と 「そ の 連 立 方 程 式 で 表 わ され る運 動(現 対 称 性 を 持 っ て い る」 とい う こ とで あ る.そ

象)が 何 らか の

して,そ の 運 動 の"軸"に

相 当す

る よ うな 直 交 行 列 を形 成 す る固 有 ベ ク トル 系 に よ っ て,固 有 値 に 象 徴 さ れ る よ うな対 称 性 を用 い た表 現 が 数 学 的 に 可 能 な わ け で あ る.   本 来 は,連 成 振 り子 の運 動 の 解 を 導 く と ころ まで 説 明 しな けれ ば い け な い の か も知 れ な いが,そ

れ は他 の よ り数 学 的 な教 科 書 に ゆず る.こ

こで は,現 象 の

物 理 的側 面 と数 学 的構 造 を い さ さ か 深 く説 明 した とい う こ とで,こ の あ た りに と どめ る こ とに す る.

6.2.2  量 子 力 学 ■量 子 論 的 粒 子 の 挙 動   ア イ ン シ ュ タ イ ンの 光 子 説 と,そ れ を支 持 す る実 験 事 実 に よ っ て,光(電 波)は

波 動 性 と粒 子性 を合 わ せ 持 つ も ので あ る こ とが 明 らか にな った.こ

うな 光 子 説 とボ ー ア の"前 期 量 子論"を ‐1987)は,エ

ネ ル ギ ー Ｅ,質 量ｍ

磁 のよ

飛 躍 的 に発 展 さ せ た ド ・ブ ロ イ (1892

を持 ち,速

さｖ で運 動 す る粒 子 を

(6.53)

(6.54) で与 え ら れ る振 動 数ｖ と波 長 λ を持 つ 波 動 とみ な し,こ れ を物 質 波 と呼 ん だ. た だ し,こ こで,ｈ は プ ラ ン ク定 数 で あ る.   ミク ロ世 界,マ 持 つ が,マ

ク ロ世 界 に お い て,運 動 す るす べ て の物 質 ・物 体 は波 動 性 を

ク ロ世 界 で は定 数 ｈ に比 べ,運

動 量(mｖ)が

文 字 通 り桁 違 い に 大 き

い か ら,実 効 的 に λ〓0と な っ て 波動 性 が 意 識 され る こ とは な い.し か し,ミ ク

図6.10 

ス リ ッ トを通 過 す る粒 子

図6.11 

ス リッ トを通 過 す る波

ロ世 界 の 電 子 の よ う な量 子 論 的 粒 子 の 場 合 は波 動 性 を無 視 で き な くな る.   この よ うな ミ ク ロ世 界 の 粒 子 の存 在 状 態,挙 動 を定 量 的 に 扱 う数 学 的 手 法 が 量 子 力 学(波 動 力 学,行 列 力 学)と 呼 ば れ る も の で あ る.こ の量 子 力 学 に よれ ば,粒 子 の運 動 状 態 は,波 動 の 時 間 的 ・空 間 的 変 動 を表 わ す 波 動 関 数 と呼 ば れ る関 数 で 記 述 さ れ る こ とに な る.   以 下,こ

の 波 動 関 数 に つ い て 簡 単 に述 べ るの で あ るが,こ

こ まで で"数 学 漬"

に な っ た 頭 を休 め る意 味 で,余

談 と して,"粒 子"と"波

動"の 特 徴 を視 覚 的 に

眺 め て み よ う.頭 の"休 憩"を

必 要 と しな い読 者 は,こ の部 分 を飛 ば し て先 へ

進 ん で い た だ い て も構 わ な い.   図6.10に

示 す よ う に,多 数 の 粒 子 が Ａ,B2個

に向 か っ て運 動 し,こ の壁 が 粒 子 の 運 動 量(エ あ り,か つ緻 密 で あ る とす る.こ の時,こ

の 窓(ス リ ッ ト)が 開 い た 壁 ネ ル ギ ー)に 対 し十 分 に 強 固 で

の壁 を通 過 で き る粒 子 は,Ａ

あ るい

は Ｂ の窓 を通 過 した もの に限 られ る.も し,後 方 に ス ク リー ン を置 い て お け ば, そ の ス ク リー ン上 に は通 過 した 粒 子 の衝 撃 に よ る何 らか の,局 在 的 な 痕 跡 が得 られ る はず で あ る.ま た,そ

の こ とに よっ て粒 子 の 局 在 性 が 明 らか に な る は ず

で あ る.   しか し,一 つ の 波 は,図6.11に

示 す よ うに,Ａ ， Ｂ の 両 方 の ス リ ッ トを 同時

に通 過 し,ホ イ ヘ ンス の 原 理 に従 っ て,そ れ ぞれ Ａ， Ｂ を新 た な 波 源 とす る波 と して進 行 す る.   そ して,そ れ ら の波 は互 い に干 渉 す る(そ の"干 渉"が で あ る).

波動性 の絶対 的証拠

(ａ)

(ｂ)

図6.12 

(ａ)

ス リ ッ トを通 過 す る 粒 子(ａ)と 波(ｂ)

  例 え ば,図6.10に と す る.後 れ ば,そ

(ｂ)

図6.13 

示 す よ う な 状 況 で,左

方 の ス ク リー ン(ボ

の 結 果 は 図6.12(a)の

ー ド)に

示 す よ う な 状 況 で,左 6.12(b)に

側 か ら音 波(水

当 た っ た ボ ー ル の 位 置 と数 の 統 計 を 取

  し か し,図6.10に き,図6.13(a)に

軸 が ボ ー ドの 位 置 を 示 し,

る い は 確 率)を

示 す.一

面 の 波 で も よ い)を

示 す よ う な"干 渉 縞"が 生 じ る.こ

粒 子 の 場 合 に は 起 こ り得 な い,波

(ｄ)

側 か ら 投 手 が ボ ー ル を 何 度 も投 げ た

よ う に な る だ ろ う.縦

横 軸 は ボ ー ル の 個 数 に 相 当 す る 強 度(あ

(ｃ)

２個 の ス リ ッ トを通 過 す る量 子 論 的 粒 子

方,図6.11に

送 っ た と す れ ば,図

の よ う な 干 渉 と い う 現 象 は,通

常,

な ら で は の 現 象 で あ る.

示 さ れ る粒 子 が 量 子 論 的 粒 子 の 場 合 は,そ の 解 釈 は さ て お 示 す よ う な"干 渉 縞"が 現 わ れ る こ とが 実 験 的 に 確 か め ら れ て

い る.   そ し て,図6.13に と,干

示 す よ う に,(ａ)→(ｂ)→

渉 縞 が 消 え,つ

わ れ て く る の で あ る.ま

… と粒 子 の 数 を 少 な く して い く

ま り波 動 性 が 消 え て,粒 た,図6.13の(a)→(d)を

  さ て,こ

在 性,不

逆 に(d)→(a)と

個 １個 の 量 子 論 的 粒 子 は 波 動 性 を 示 さ な い が,あ 性 を 現 わ す,と

子 性(局

可 分 性)が

現

考 え れ ば,１

る量 以 上 の集 団 に な る と波 動

い う こ と に な る.

の あ た り の 議 論 の 詳 細 に つ い て は,本

な ど を 参 照 し て い た だ く と し て,話

を"数

学"に

シ リ ー ズ の 『し た し む 量 子 論 』 戻 す こ と に し よ う.

■波動関数   詳 しい話 は省 略 す るが,電 子 の よ う な量 子 論 的 粒 子 の物 理 的 状 態 が,波 動 関 数(一 般 に"ψ"と

い う記 号 で 表 わ さ れ る)と 呼 ば れ る関 数 に よ っ て表 現 され る

の で あ る.   い ま,こ の 波 動 関 数 ψで 表 わ さ れ る状 態 に あ る粒 子(以 下,量 意 味 で あ る)に つ い て,あ

子 論 的粒 子 の

る物 理 量 を測 定 した とす る.そ の こ とは,量 子 力 学

で は,波 動 関 数 ψ に 物 理 量 を観 測 す る こ とに対 応 す る演 算 子Ａ を働 か せ て,観 測 値 α を得 る とい う表 現,つ

まり

とい う表 示 で 説 明 され る.   この よ う な表 示 を,す で に説 明 した線 形代 数 学 の 言 葉 で 説 明 す る と,観 測 値 α は固 有 値,波

動 関 数 ψ は 演 算 子Ａ に と って 固 有 関数(固 有 ベ ク トル)に 対 応

す る.状 態 が一 つ しか な く,物 理 量 も一 つ しか 測 定 され な け れ ば,そ の よ うな 観 測 は 常 に定 常 値 しか 与 え な い の で 議 論 の余 地 は な い.し か し,実 際 に は,複 数 の状 態 が 可 能 で あ り,一 般 的 に は,そ れ に対 応 し て複 数 の 観 測 値 が 現 わ れ る 可 能 性 が あ る(も 得 る が).つ

ち ろ ん,複 数 の 状 態 に対 し,観 測 値 が一 つ とい う こ と も あ り

ま り,上 記 の 表 示 は

(6.55) とい う表 示 に変 更 され る だ ろ う.こ こで"ｎ"は 状 態 や 測 定 値(固 有 値)を 区別 す る記 号 で あ る.   計 算 の詳 細 は量 子 力 学 の 教 科 書 に任 せ るが,こ ま り,物 理 量)を 求 め る に は,式(6.55)に 対 応 す る波 動 関 数ψm(ｎ

の よ う な場 合 の 固 有 値αn(つ

示 したｎ 番 目 も含 め て固 有 状 態 に

番 目 と別 の状 態 に つ い て も考 え る の で 添 え字 はｍ に

した)を 導 入 し,波 動 関 数 とし て可 能 性 の あ るす べ て につ い て

(6.56) に つ い て の計 算 が 必 要 に な る.こ こで,ψ＊mはψmの 共 役複素 数(∫ψ＊mψmdτ=1)で あ る.

  この 式 の 意 味 は,簡 単 に い え ば,物 理 量αnを 与 え る物 理 的 状 態 が 起 こ る確 率 が,波 動 関 数 ど う しの"重

な り"を 計 算 す る積 分 で与 え られ る,と

い う こ とで

あ る.   正 直 に い え ば,計 算 の 詳 細 に こ だ わ ら な い こ と に し て も,普 通 の 感 覚 で 式 (6.56)全

体 が 意 味 す る こ と を理 解 す るの は困 難 で あ る.つ ま り,わ れ わ れ の 日

常 的 感 覚 で は,波 動 関数 ψn.で表 わ され る"状 態"に つ い て,測 定 値 つ ま り"物 理 量 αn"が必 然 的 に 結 び つ い て い る と思 わ れ る の に対 し,こ こで は,物 理 量 αn は演 算 子 要 素Amnを って,番 号ｍ

知 る こ と に よ って 求 ま る,と 考 え て い る の で あ る.し た が

とｎ で 規 定 さ れ る演 算 子 の 各 要素Amnを

知 る こ とが,そ の ま ま

物 理 量 を知 る こ とに な るわ け で あ る.こ の要素Amnはm×n行

列 で あ る.

  具 体 的 な計 算 は量 子 力 学 の 教 科 書 に任 せ る と して,物 理 的 な 内 容 と線 形 代 数 との 関 係 だ け に つ い て説 明 を続 け る.   上 述 した 量 子 力 学 上 の 問題 は,数 学 的 に解 釈 す る と,す で に 説 明 した 線 形 代 数 の 固 有 値 問 題 と ま った く同 等 の意 味 内 容 に相 当 す るの で あ る.な 数(複 素 関 数 で あ る)に 働 か せ て,必 ず 実 数 の固 有 値(人

お,波 動 関

間 は物 理 量 を 必 ず 実

数 と して 測 定 す る)を 与 え る演 算 子 が"エ ル ミー ト演 算 子"と

呼 ばれ る もの で

あ る.こ の 演 算 子 の性 質,具 体 的 な計 算 は 量 子 力 学 の教 科 書 を参 照 して い た だ け れ ば,必 ず 詳 し く説 明 さ れ て い る.   線 形代 数 は,物 理 学 に お け る応 用 と して は,上 述 の量 子 力 学 に お け る応 用 が 最 も重 要 で あ ろ うが,あ

る大 き さ を持 っ た物 体 の 回 転 トル クが 設 計 上 重 要 な 機

械 工 学 の 分 野 や,物 質 の 流 れ,移

動,さ

らに 変 形 な どを問 題 とす る分 野 に お い

て も必 須 の 道 具 で あ る.こ の章 の 内 容 を基 礎 に して さ らに学 習 を続 けて い た だ き た い.

チヨ ツト休憩 ●６ ケ イ リー   ケイ リー(ArthurCayley,1821―1895)は 行列 と行 列 式 と呼 ばれる 分野 の 開拓者 で ある.彼 は英国 人の 父 とロ シア人の 母の 間 に生 ま れ,若 く して数学 の才 能 を発揮 した.大 学ま での 教育 課程 では,彼 の ため だけ に数 学の特 別 ク ラ

ス が作 られ た ほど期 待さ れた.そ して,事 実,彼 は ケ ンブ リッ ジ大 学の 数学 優 等 生試 験 を首位 で通 過 した.し か し,同 じ分 野 のも うー人 の立 役者 と いえ るシ ル べ スタ ー(1814―1897)と

同様 に,彼 は生 計 の道 と して法律 家 を選ん で法 学

校 に学 ん だ.ラ イ プニ ッツ(1646―1716)の 場 合 も含め て,な ぜ か法 律家 と"二 束 のわ ら じ"を 履 く数学 者が 多 いが,そ の傾 向 は現代 で あれ ば,法 律学 よ りも 経 済学 で あろ うか.   彼 は42歳 の 時,ケ ン ブ リッジ大 学の 数学 教授 とな った が,そ れ まで にす でに 200篇 あ ま りの 数学論 文 を著 して いた.そ の 後 は,女 性 に大学の 門戸 を 開 くため に努 力 した ことを含 め,人 格 的 にも非常 に優 れ,思 いや りにあふれ た人 物 と し て優れ た 数学上 の業 績を 上 げつつ,平 穏 な 人生 を送 った.   彼 が研 究 した分野 の うち,数 学 上の変 換 に関 する 「 不変 式論 」 と呼 ばれる分 野 が発 展 して,行 列 と行 列式 の分野 に結 び つ いたの であ るが,彼 が その 内容 を 理 解 し,公 表 したの は1858年 であ った と され ている.こ の分野 が物 理学 に大 き な展 望を もた らしたの である が,そ の端 的な 例が1925年 に現 われ た八イ ゼ ンベ ル ク の 「行列 力学」 と呼 ばれ る 「 量 子 力学 」の 表現 方法 で ある.本 文 中に も述 べ た よ うに,量 子の 存在確 率の 基本 で ある波 動 関数 は,数 学 的に単 純化す れ ば, 物 理 量を 得る ための 操作 に対応 す るエル ミー ト(直 交,複 素)演 算 子の 固有 関 数 で ある ことが要請 され る.そ の場 合,物 理量 はそ の関 数の 固有値 で ある.こ の ことを 実際 の測 定 に適 用す る際 に,行 列 計算 が有用 となる.つ ま り,ケ イ リ ーの 研究 か ら70年 ほ ど して,彼 の 数 学 は物 理学 を根 本 的 に変 革 する 手段 と し て,再 度,世 の中 に現わ れ出 た こと になる.   とこ ろで,人 間 的な話 題 と してシル べ スター とケ イ リーを 比較す る こと は, 興 味 深 い ことであ る.す なわち,こ の19世 紀 イギ リス数 学界 の２ 巨頭 は,卒 業 大学 も同 じで,と も に法 律家 と して生 計を 立 てたの ち数 学界 に復帰 す るな ど, 類 似 の経 歴 を経た よ うに見 えるが,シ ルべ スタ ーの 人生 はケ イ リー ほ ど順風 満 帆 ではな か った.彼 は,ユ ダヤ人 で あっ たの で,当 時の 英国の 大学 で は差別 さ れた の であ る.卒 業時 の数学 優等 生試 験 も ２位(実 際の成 績 は首位 に相 当 した) で あっ た し,立 派 な業績 と受 賞歴 に もかか わ らず,就 職 先 と して希 望 した大 学 か らは再 三拒 否さ れた.彼 は56歳 で英 国の 陸軍 大学 教授 を退 役 したが,そ れ ま でも,ま た,退 役 時 にもかな り不 当な 扱 いを受 けた よ うであ る.   彼 の人 生 が明る くな るの は,そ の後,米 国 ジ ョンズ ・ホ プキ ンス大学 の教授 にな っ てか らで,学 問 的 にも最盛 期の 勢 いを取 り戻 し,米 国 数学界 の レベル の 向上 に も大 き く貢 献 した.さ らに晩年 と いえる1883年 にオ ックス フ ォー ド大 学 の数 学教 授 と して英国 に復帰 した.彼 は,ケ イ リー 同様,人 生 の最 後 まで数 学 的 な能 力,情 熱が 持続 した よう で,最 晩年 にも レベ ルの 高 い研 究 を行な ってい る.

 最 後 に付 け加 えれ ば,彼 ら ２人の も うーつ の共 通点 と して,深 い文 学的教 養 が ある.彼 ら はギ リシア 語,ラ テ ン語の 古典語 以外 に数力 国語 に通 じ,そ れ ら の 国の文 学 にも 深 く した しん で いたよ うで ある.あ る 人の 感想 と して,シ ル べ ス ターの 論文 や 総説 を読 む と,そ の 文章 の背 後 に古典 文学 の豊 かな 素 養が 見え 隠れ す るの で,そ の こと自体 に酔 って しま う,と い うもの があ る.誠 に興味 深 い人 物 ２人 に よっ て,今 日の線 形代 数学 は 開拓 され たわ けで ある.

■演 習問題  6.1  連 立 方程 式

を ク ラ メ ル の 公 式 を 用 い て 解 け.   6.2  固 有 値 を λ,固

有 ベ ク トル を(a,b)と

す る.

の λ を 求 め よ.   6.3  行 列

に つ い て,(a)A+B,(b)A-Bを   6.4

求 め よ.

 〓の 固有 値 を求 め よ.

  6.5

に お い て,σ1σ2=iσ3,σ2σ3=iσ1,σ3σ1=iσ2が   6.6  下 図 に 示 す よ う に,質

量ｍ

成 り立 つ こ と を 示 せ.

の ２個 の 振 り子(質

個 の バ ネ で 結 ば れ た 連 成 振 動 の 運 動 方 程 式 を 導 け.

点)が

強 さ が 等 し い(バ

ネ 定 数k)3

７ 確 率 と統計

  物 理 学 に お い て確 率 の概 念 と統 計 は大 変 重 要 で あ る.例

え ば,前

量 子 論 的 粒 子 の 挙 動 は 「確 率 」 的 に しか 把 握 で き な い し,熱 統 計 力 学 は,そ

章 で触 れた

力学 の基礎 とな る

の名 称 どお り確 率 と統 計 の 考 え 方 を 基 盤 に して 成 立 し た.し

か

も,統 計 力 学 は現 在 の 物 理 学 の 中 で 最 も重 要 な 分 野 の 一 つ で あ り,現 在 で も非 常 な 勢 い で 発 展 して い るの で あ る.   そ れ で は,物 理 学 に な ぜ 確 率 や 統 計 が 必 要 に な っ た の だ ろ う か.   現 在 の 物 理 学 の 重 要 な"態

度"の

一 つ は,原

子 や それ を構 成 す る素 粒 子 を 基

本 要 素 と し て,い ろ い ろ な現 象 を 説 明 し よ う とす る こ とで あ るが,気 体 や 液 体, さ ら に 固 体 を 構 成 す る 原 子 の 数 は,周 １モ ル の 気 体 に は,約6×1023個(ア の 気 体 分 子 が 含 まれ て い る.し 挙 動 を理 解 す る た め に は,ど ば な ら な い の で あ る.ま 象 は,原

知 の よ う に膨 大 な も の で あ る.例

ボ ガ ド ロ数)と い う想 像 を絶 す る ほ ど 多 く

た が っ て,そ

の よ うな 膨 大 な 数 の 分 子 や 原 子 の

う して も"確 率"や"統

た,上

え ば,

記 の よ う に,量

計"の

助 け を借 り な けれ

子 論 の 世 界(ミ

理 的 に確 率 的 に しか 把 握 で き な い の で あ る(ハ

ク ロ世 界)の

現

イ ゼ ンべ ル ク の 不 確 定

性 原 理).   しか し,確 率 論 と呼 ば れ る数 学 の 分 野 を開 拓 し た パ ス カ ル(本 ッ ト休 憩 ● ７〉参 照)や 前 の 数 学 者,思

ラ プ ラ ス(1749―1827)は,原

想 家 で あ るの で,当

然,確

説 明 す る た め に研 究 した わ け で は な い.彼 や 賭 け 事 な ど,あ

章 末 の 〈チ ヨ

子 の 存 在 が 証 明 され る以

率 や 統 計 を上 述 の よ うな 物 理 現 象 を ら は,も

っ と単 純 に,ト

ま り上 品 で は な い分 野 も含 め て,世

ラ ン プ遊 び

の 中 の 出 来 事 を"論 理 的"

に 考 え よ う と した こ とが 発 端 だ っ た の で あ る.   つ ま り,確 率 や 統 計 は,物 理 現 象 の 理 解 に役 立 つ ば か りで な く,日 常 生 活 に お い て も,特 に 賭 け事 が 好 き な 人 に と っ て は,大

い に役 立 つ もの な の で あ る.

し っ か り勉 強 して い た だ きた い.(し か し,筆 者 は賭 け事 を 勧 め て い るわ け で は な い.念

の た め.)

7.1  確 率 と統 計 の基 礎 7.1.1 

場 合 の 数 ・順 列 ・組 み 合 わ せ

■ 場 合 の 数 と確 率   サ イ コ ロ は ６面 で で き て い る.各 れ て い る.こ が ら"を

面 に は １,２,…

の サ イ コ ロ を 振 る と ど れ か １つ の 面(目)が

出 る(こ

記 さ

の よ う な"事

数 学 用 語 で は 事 象 と い う).

  サ イ コ ロ に い か さ ま が な い 限 り,あ ば,ど

， ６個 の"目(●)"が

る い は サ イ コ ロ が き ち ん と作 ら れ て い れ

れ か １つ の 目 が 出 る確 率 が1/6に

て い る だ ろ う.こ (1,2,…6の

の こ と を,ち

な る こ と は,誰

ょ っ と も っ た い ぶ っ て い う と,起

目 の ど れ か が 出 る こ と)は,ど

起 こ る が,そ

で も子 供 の 頃 か ら知 っ こ り得 る 状 態

の 場 合 も 同 じよ う に1/6の

れ は サ イ コ ロ の 目 が ６通 り可 能 で,１

確率 で

回 だ け サ イ コ ロ を 振 る と,

そ の う ち ど れ か 一 つ が 現 わ れ る の で 「確 率 は1/6」 と い う こ と で あ る.こ

の こと

を数 式 で は

(7.1) と表 わ す.ま

た,そ

れ ぞ れ の 目 が 出 る確 率 は

(7.2) と な る.こ

こ で,n(j)は,ｊ

上 述 の よ う に １で あ る.つ て も,１

と い う 目 が 出 る"場 合 の 数"で,サ ま り,サ

と書 け ば よ い の だ が,ト

イ コ ロ の 場 合 は,特

  も し,サ

般 的 に はn(j)と

イ コ ロ の 場 合 に,目

ー プ(2 ,4,6)の

ど と書 か な く

っ と数 が 多 い ほ か の 現 象 を考 え る

表 記 す る の で あ る. を 奇 数 の Ａ グ ル ー プ(1,3,5)と

２つ の 組 に 分 け れ ば,Ａ

プ の 目 が 出 る 確 率 も 同 じ1/2に

にn(j)な

ラ ン プ な ど に 考 え を 拡 張 し よ う とす る場 合,

同 じ 数 の 札 が ４枚 存 在 す る わ け で あ る し,も 場 合 に 備 え て,一

イ コ ロ の 場 合 は,

な る が,そ

偶 数 の Ｂ グル

グル ー プ の 目が 出 る確 率 も Ｂグ ル ー れ を 式(7.2)の

よ う に考 えれ ば

(7.3)

(7.4) とな る.つ

ま り,「 １で も ３で も５ で も,奇 数 で あ れ ば どん な 目 で も よ い」とい

う の は,上 記 の よ うに,場 合 の 数 の 足 し算(n(1)+n(3)+n(5)=3)と

な るわ

け で あ る.   と こ ろで,例 え ば,サ イ コ ロ を ２回 続 け て 振 る こ とに して,１ 回 目 は奇 数(Ａ), ２回 目 は偶 数(Ｂ)の 目が 出 る確 率 を知 る た め に は,ま ず,そ の よ うな そ れ ぞれ の場 合 の 数 を計 算 しな けれ ば な らな い.１ 回 目 に 出 る可 能 な 目が ６つ,２ も同 じ で あ る の で,２ 回 振 る の で あれ ば,6×6=36通 "組 み合 わ せ")が 可 能 で あ る .

回目

りの場 合 の 数(後 述 す る

  １回 目 に 奇 数 が 出 る の は ３通 り,２ 回 目 に偶 数 が 出 るの も ３通 りだ か ら,１ 回 目 は奇 数,２ 回 目偶 数 と続 い て 出 る場 合 の 数 は3×3=9通 っ て,上 記 の よ う な事 象 が起 こ る確 率 は9/36=1/4と

りで あ る.し た が

な る.

  上 述 の よ う な事 象 を連 続 事 象 と呼 ん で も よ い が,そ の 事 象 の数 を数 式 で 表 現 す れば

(7.5) とい う掛 け算 に な る. ■順 列  一 般 に,異 な るｎ 個 の もの を １列 に 並 べ る並 べ 方 の数(場 合 の 数)の 総 数 は

(7.6) に な る こ と は 理 解 しや す い だ ろ う.そ   ま た,例 に,ｎ

え ば,ト

個 の う ち,ｐ

よ う な 場 合,ｎ

し て,こ

の"n!"を

「ｎの 階 乗 」 と読 む.

ラ ン プ の 札 の 中 に は 同 じ 数 の 札 が ４枚 含 ま れ る が,一 個 が 同 じ も の,ｑ

個 が 同 じ も の,…ｔ

個 が 同 じ も の,と

般的 い う

個 を １列 に 並 べ る 並 べ 方 の 総 数 は

(7.7) で 求 め ら れ る.こ て い た だ き た い.例

の よ う な 公 式 が な ぜ 成 り立 つ に か に つ い て は 読 者 自 身 で 考 え え ば,３

種 の 果 物(メ

ロ ン,リ

ン ゴ,ミ

カ ン と し よ う)が

そ れ ぞ れ １個,２

個,３

個,合

計 ６個 あ る よ う な 場 合,そ

並 べ 方 の 数 な ど を 考 え て み る と よ い(本

れ ら を １列 に 並 べ る

物 の果 物 を実 際 に並 べ て み れ ばわ か り

や す い だ ろ う).   次 に,異 な るｎ 個 の も の か らｒ 個 取 り出 し て 並 べ る 並 べ 方 の 数 に つ い て 考 え て み る.こ

こ でｒ は ０か らｎ ま で の 数 で あ る.上 記 のn!はr=nの

場合 の こ と

で あ る.   こ の よ う に,「 異 な るｎ 個 の もの か らｒ 個 取 り 出 し て 並 べ る 並 べ 方 」は,ｎ 個 か らｒ 個 取 る 順 列 と 呼 ば れ る.そ し て,そ の 並 べ 方 の 総 数 はnPr.で こ の"P"は"permutation(順

列)"の

表 わ され る.

頭 文 字 で あ る .nPrは,式(7.6)で,

ｎか らｒ 番 目 ま で の 掛 け 算 で 止 め る こ と に よ っ て 得 ら れ る.つ

ま り,(n-r)よ

り小 さ な 数 の 積 は 不 要 な わ け で あ る の で

(7.8) とな る. ■ 組 み 合 わせ   順 列 の ほ か に,確 率,統 る.例 え ば,ト 枚 の"組

計 の基 礎 的 な概 念 と して組 み 合 わ せ とい う もの が あ

ラ ン プ の 異 な る ５枚 の カ ー ドの 中 か ら ３枚 を選 ぶ とす れ ば(３

み合 わ せ"を 作 る とす れ ば)全 部 で 何 通 りあ るだ ろ うか,と

い うよう

な こ と を考 え る こ とが 基 本 で あ る.   順 列 の 場 合,異 な るｎ 個 の もの か らｒ 個 を選 び 出 し,順 番 を気 に し て並 べ た の で あ るが,組 み合 わ せ を考 え る場 合 は,順 番 は どう で も よい .つ ま り,ｒ 個 が 要 素 に な っ て い る集 団 の 数 を考 え るの で あ る.例 え ば,３ 個 の 数(1,2,3)に つ い て,順 列 で は 〈1,2,3〉 組 み合 わせ の場 合,〈1,2,3〉 な す.し

と 〈1,3,2〉 と 〈1,3,2〉

を 区別 しな け れ ば な らな か っ た が, は要 素 が 同 じ な の で 同 じ もの と み

た が っ て,区 別 し な け れ ば な ら な い の は,要 素 とし て他 の 数 が入 れ 替

わ った 場 合(例

え ば,３ の 替 わ りに ４が 入 った 場 合)で

あ る.

  この よ う な組 み 合 わ せ の総 数 を求 め るの は,異 な るｎ 個 の 要 素 か らｒ 個 を選 ん で,そ のｒ 個 の順 番 は気 に し な い,と い うの だか ら,逆 に,ｒ 個 の 数 の順 番

は何 通 りあ る か を計 算 して,そ の 数 で順 列 の 数(nPr)を つ ま り,そ の よ うな 組 み合 わ せ の 数 をnCrで

割 れ ば よ い の で あ る.

表 わ し,数 式 で 表 現 す る と

(7.9)

と な る.な   例 え ば,異

お,"C"は"combination(組

み 合 わ せ)"の

頭 文 字 で あ る.

な る ５枚 の カ ー ド か ら ２枚 を 選 ぶ 組 み 合 わ せ の 数 は

(7.10) とな る. ■ 物 理 学 にお け る簡 単 な応 用   確 率 ・統 計 の物 理 学 へ の 重 要 な応 用 例 に つ い て は 次 節 で 述 べ るが,こ

こで は

簡 単 な 応 用 例 に つ い て考 え て み よ う.   物 理 学 に よ く出 て く る問 題 と して,図7.1に

示 す よ うに,「ｎ個 の 要 素 をｒ 個

の組 に分 類 す る,し か し,そ れ ぞ れ の 組 に属 して い る要 素 は互 い に区 別 で き な い 」 とい うよ うな もの が あ る.   この よ うな問 題 が な ぜ 重 要 か とい え ば,例 えば,固 体 中 のｎ 個 の 電 子 が 異 な るエ ネ ル ギー 準 位 の状 態 に おか れ て い る よ うな場 合 の 統 計 的 計 算 が し ば し ば重 要 に な る か らで あ る.   この 場 合 の考 え 方 は,比 較 的 簡 単 で あ る.   まずｎ 個 の 電 子 か ら,あ るエ ネ ル ギ ー 準 位E1に

属 し て い るr1個 の 電 子 を取

り出 す.個 々 の 電 子 の 区別 は で きな い の で,こ れ はnCr1の 計 算 で あ る.次 に,

図7.1 ｎ

個 の 要 素 のｒ 組 へ の 分 類

残 りの(n-r1)個

の 電 子 か ら エ ネ ル ギ ー 準 位E2に

こ の 組 み 合 わ せ の 数 はn-r1Cr2で る が,例

え ば,エ

あ る.結 局,こ

ネ ル ギ ー 準 位 がE1,E2に

属 し て い るr2個

を 取 り出 す.

の よ う な 操 作 を繰 り返 す の で あ

限 られ る場 合 の 計 算 をす る と

(7.11) と な る.こ

こ で,r3!は,E1とE2に

の こ とで あ る が,こ

属 さ な い 電 子 の 数 に 関 す る 項(n-r1-r2)!

こ で 考 え て い る す べ て の 電 子 がE1,E2の

と す れ ば,n-r1-r2=0で

あ り,階 乗 計 算 の 約 束 で0!=1だ

いずれ かに属す る か ら,こ

の 場 合,式

(7.11)は

(7.12) とな る.  以 上 の こ と を一 般 化 す る と,ｎ 個 の 要 素 をｒ 組 に分 類 す る組 み 合 わ せ の 数 は

(7.13) と い う数 式 で 表 現 さ れ る.こ

こ で,一

般 にnjはｊ

番 目の 組 に 属 す る 要 素 数 を意

味 す る こ と を 憶 え て お い て い た だ き た い.   と こ ろ で,式(7.13)は

7.1.2 

式(7.7)と

同 じ も の で あ る こ と に 気 づ い た だ ろ う か.

確 率 と集 合

■統 計 的 確 率   ま ず,"確 う に,考

率"と い う 考 え 方 で あ る が,本

え て い る 対 象 で,起

象(例

え ば"Ａ"と

に,事

象 Ａ の 確 率 はP(A)と

(確 率)"の   こ こ で,ま

章 の 冒 頭 の サ イ コ ロ の例 で 述 べ た よ

こ り得 る す べ て の 事 象 の 数 がｎ

い う事 象)に

の 中 で,ｒ

限 っ て 起 こ る こ との 確 率 はr/nで

い う記 号 で 表 わ さ れ る .こ

個の事

あ る.一

の"Ｐ"は"probability

頭 文 字 で あ る. た 話 を サ イ コ ロ の 例 に 戻 そ う.サ

の 絶 好 の モ ノ だ か ら で あ る.

イ コ ロ は"確

率"を

考 え る場

般

図7.2 

  先 述 の よ う に,サ は 明 ら か だ が,例

イ コ ロ の1∼6の

目 が 出 る 確 率 は,い

ず れ の 場 合 も1/6な

の

え ば サ イ コ ロ を １回 振 っ た 時,「 １」 の 目 が 出 た と す る と,こ

の 場 合 の 「１」 が 出 る(出

た)確

率 は1/1(こ

分 子 は 「１」 が 出 た 回 数)=1(100%)で

あ り,い

の 分 母 は サ イ コ ロ を 振 っ た 回 数,

あ る.ま

っ た 時,「 １」 の 目 が ３回 出 た と す る.こ は3/10で

大数の法則

イ コ ロ を10回

続 け て振

の 場 合,「 １」 の 目 が 出 る(出

ま述 べ た ば か りの1/6と

る 回 数 を 増 や し て い く と,図7.2に

た,サ

は 異 な る.と

こ ろ が,サ

た)確

イ コ ロ を振

示 す よ う に,「 １」 の 目 が 出 る(も

ほ か の 数 の 目 の 場 合 も)確 率 は 間 違 い な く,式(7.2)で

率

ち ろ ん,

表 わ さ れ る1/6に

近 づ

い て い く の で あ る.   サ イ コ ロ をｎ 回 振 っ た 時,「 １」の 目 が 出 た 回 数 を Ｓ とす る と,s/nを 数 と い う.一 般 的 に は,あ

る 事 象 の 総 数ｎ

起 こ っ た 回 数 を Ｓ と す れ ば,値S/nを   図7.2に

示 し た よ う に,総 数ｎ

に 一 定 の 値 Ｐ に 近 づ い て い く.こ

に 対 し て,そ

相対度

の事 象 の 中 の 事 象 Ａ が

事 象 Ａ の 相 対 度 数 と い う の で あ る. を 増 や し て い く と,こ の 相 対 度数S/nは の こ と を 一 般 的 な 数 式 で,4.1節

次第

で述 べ た 極

限 の 概 念 を用 い て 表 現 す れ ば,

(7.14) とな り,こ の Ｐ を特 に統 計 的 確 率 と呼 ぶ.も ち ろ ん,現 実 的 に はｎ を無 限大 に す る こ とは で きな い の で あ るが．  以 上 の サ イ コ ロの 例 で示 され る よ う に,１ 回 １回 は互 い に無 関 係 な試 行(独 立試 行)(例

え ば,サ イ コ ロ を振 る,と い うよ うな こ と)をｎ 回 繰 り返 す 時,事

象 Ａ が 起 こる 回 数 を Ｓ とお く と,試 行 の 回 数ｎ が大 き くな る に 従 っ て,相 対 度 数 S/nはP(A)=Pに

近 づ い て い く.こ れ が 図7.2に

示 され る大 数 の 法 則 と呼

ばれ る もの で あ る.   と こ ろで,余 談 な が ら,１ 個 の サ イ コ ロ をｎ 回 振 る場 合 と,ま っ た く同 じ と み な せ るｎ 個 の サ イ コ ロ を同 時 に振 った 場 合(い ず れ の場 合 も,ｎ は無 限 大 と は い わ な い ま で も十 分 に大 き な数 とす る),例 い は相 対 度 数)は

え ば,「 １」の 目 が 出 る確 率(あ る

同 じ に な る の だ ろ うか .実 は,こ

の 問題 は,統 計 力 学 あ る い

は統 計 物 理 学 の 教 科 書 に は必 ず 出 て い る 「エ ル ゴ ー ド問題 」 あ る い は 「エ ル ゴ ー ドの仮 説 」 と呼 ば れ る もの で あ る.興 味 の あ る読 者 は 自分 自身 で 調 べ て(勉 強 し て)い た だ きた い. ■集合   確 率 は,全 体 の場 合 の 数 を分 母 に して計 算 さ れ るの で あ るか ら,必 ず １よ り も小 さ い は ず で あ る.こ の こ とは

(7.15) と表 現 で き る.   い ま,全 体 の場 合 の"数"を

図7.3に

示 す よ う な長 方 形(の 面 積)で

表わす

とす る.こ れ は全 事 象 を表 わ して お り,こ の よ う な集 合 を全 体 集 合 と呼 ぶ こ と に す る.そ

して,こ の よ うな全 事 象(全 体 集 合)の 中 で,事 象 Ａ の集 合(こ れ

は全 体 集 合 か ら見 れ ば部 分 集 合 と呼 ば れ る)を 図 の〓 で 表 わ す.   事 象 Ａ が 起 こる確 率 がP(A)で れ を Ａ の余 事 象 と呼 ぶ)と

あ った が,事 象 Ａ が 起 こ ら ない 事 象 を Ａ(こ

し,Ａ の 確 率 をP(A)で

表 わす と

(7.16) で あ る.図7.3で

い え ば,長 方 形 全 体 か ら Ａ の部 分 集 合 を 引 い た 部 分 に相 当 す

図7.3 

集 合 と確 率

図7.4 

和 集 合(A∪B∪C…)

る.   式(7.16)お

よ び 図7.3か

ら

(7.17) は 明 らか で あ ろ う.  例 え ば,物 質 全体 で Ａ は 固体 の 集 合 だ とす る と,式(7.16)で は,固 体 以 外 の物 質(液 体,気

表 わ され た の

体)の 割 合 で あ る.

  この よ うな考 え方 を よ り一 般 化 して,こ れ まで に 人 間 が 認 識 し て い る物 質 を, 図7.4に

示 す よ う に,あ る基 準 に よ っ て Ａ,Ｂ,Ｃ,…

に 分 類 す る場 合 に つ い て

考 えて み よ う.   分 類 Ａ,Ｂ,Ｃ,…

に重 な りが な い(そ れ ぞ れ が独 立事 象)限 り,あ る物 質 が

それ ぞ れ の 分 類 に属 す る確 率 を定 義 し よ う とす れ ば

(7.18) で あ っ て,分 類 が 完壁 で あ れ ば

(7.19) と な る.た

だ し,N=A,B,C,…

  も し,よ

り大 き な 別 の 分 類 法 で Ｚ と い う 分 類 が あ り,そ の 中 に 分 類 Ａ と 分 類

Ｂ が 含 ま れ る よ う な 場 合,そ

で あ る.

の こ とを

(7.20) と 表 わ す.こ

の 記 号"⊃"は

つ い で に い え ば,式(7.19)の

「含 ま れ る 」 と い う意 味 を 表 わ す 論 理 記 号 で あ る. 左 辺 のP(A+B+C+…)と

い う表 現 は,論

理記

図7.5 

号 を用 い れ ばP(A∪B∪C…)と

積事象

な り,こ の記 号"∪"は 形 通 り"カ ッ プ(cup)"

と呼 ば れ,各 集 合 の和 を とる こ と を意 味 し,そ の 結 果 は和 集 合 と呼 ば れ る.例 え ば,事 象 Ａ また は事 象 Ｂ が 起 こ る事 象 は,事 象 Ａ と事 象 Ｂ の和 事 象 と呼 ば れ,記

号

(7.21) で 表 わ す. ■加法定理   さ て,図7.5に

示 す よ うに,分 類 Ａ と分 類 Ｂ が 部 分 的 に重 な って い る場 合 の

こ と を考 え よ う.こ の よ う な重 な りの 部 分(図 の ア ミカ ケ 部 分)は,事

象 Ａで

もあ り事 象 Ｂ で もあ る事 象 を意 味 し,こ れ を事 象 Ａ と事 象 Ｂ の 積 集 合 と呼 び, 記号

(7.22) で 表 わ す.こ

の 記 号 は 形 の 上 か ら"キ ャ ッ プ(cap)"と

も"キ ャ ッ プ"(∩)も

呼 ば れ る."カ

意 味 内 容 を よ く表 現 し て い る 記 号 な の で,理

ッ プ"(∪) 解 は容 易 で

あ ろ う.   例 え ば,図6.10,6.11で い 出 し て み る.古 る.と

こ ろ が,図6.13に

に 合 わ せ 持 っ の で あ る.す   積 事 象A∩Bの

述 べ た 粒 子(事

典 物 理 学 的 に は,粒

示 し た よ う に,量 な わ ち,A∩Bは

確 率 をP(A∩B),和

象 Ａ)と

波 動(事

象 Ｂ)の

こ とを 思

子 と波 動 は 互 い に ま っ た く別 の モ ノ で あ 子 論 的粒 子 は粒 子 性 と波 動 性 を 同 時 量 子 論 的 粒 子 を 表 わ す こ と に な る. 事 象A∪Bの

確 率 をP(A∪B)と

す れ

ば,

(7.23)

とな る が,こ の 式 の意 味 は,図7.5を (そ して 図7.5も)を

見 れ ば明 瞭 で あ ろ う.念 の た め に,式(7.23)

言 葉 で 表 現 す れ ば 「事 象 Ａ あ る い は事 象 Ｂ で あ る確 率 は,

両 事 象 の そ れ ぞ れ の 確 率 を加 え た もの か ら,両 方 に ま た が る事 象 の確 率 を引 け ば 求 ま る」 とな る.   式(7.23)は

確 率 の加 法 定 理 と呼 ば れ る重 要 な 定 理 で あ る.

■乗 法 定 理   また,サ

イ コ ロ の 話 をす る.

  １個 の サ イ コ ロ を続 けて ２回 振 る場 合 の 目 の 出 方 につ い て 考 え る.１ 回 目の サ イ コ ロ の 目の 出方 は,２ 回 目 の 目 の 出 方 に ま っ た く影 響 を与 え な い か ら,こ れ らの 試 行 は独 立 試 行 で あ る.   この よ うな場 合,例

え ば １回 目 に偶 数 の 目が 出 て,２ 回 目 に ４以 下 の 目 が 出

る確 率 を求 め て み よ う.  単 純 に ２回 サ イ コ ロ を振 っ て起 こ り得 る総 事 象 は6×6=36通 で,１ 回 目 に 偶 数 が 出 る事 象 を Ａ,つ ま りA={2,4,6},２ が 出 る 事 象 を Ｂ,つ ま りB={1,2,3,4}と

す る と,A∩Bの

りで あ る.こ こ 回 目 に ４以 下 の 目

場 合 の数 は3×4=

12通 りな の で

(7.24) また

(7,25)

(7.26) で あ る.式(7.24)∼(7.26)よ

り

(7.27) とな る こ とが 了 解 で きる だ ろ う.つ ま り,上 記 の 結 果 を 一 般 的 な 数 式 で 表 わ せ ば

(7.28) が得 られ る.こ れ は確 率 の乗 法定 理 と呼 ば れ る も の で あ る.

  物 理 現 象 の 連 続 事 象 の 中 に は乗 法 定 理 が 適 用 で き る もの が 少 な くな い の で, 式(7.28)を

理 解 して お く こ と は大 切 で あ る.

7.1.3  確 率 の 分 布 ■確率密度分布   対 象 とす る確 率 変数ｘ に対 し,そ の 変 数 値 が 現 わ れ る確 率 に対 応 す る確 率 密 度(関 数)f(x)が

定 義 され て い る とす る.た だ し,こ れ まで に何 度 も登 場 した

サ イ コ ロ の場 合 は,ど の 目 が 出 る確 率 も同 じ1/6な の で,関 数 は一 定 値 し か示 さず,f(x)=1/6で

あ る.ま た,こ の 場 合,１,２,…

と い う飛 び 飛 び の 確 率 変

数 に対 して しか値 を持 た な い(こ れ を離 散 的 とい う).   物 理 学 に お い て よ く取 り上 げ られ る電 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 な ど も本 質 的 に は 離 散 的 で あ る が(こ の こ とが 量 子 物 理 学 の 大 き な特 徴 で あ る),そ

の"飛 び 飛 び

の 間 隔"が 非 常 に小 さ く,ま た 電 子 の 数 も非 常 に 多 い の で,確 率 密 度 関 数 は実 効 的 に連 続 的 に な る.そ

して,そ の 様 子 は,基 本 的 に 図7.6に

示 す よ うな もの

で あ る. ■期待値   確 率(あ

る い は確 率 密 度)と

深 い 関 係 に あ る値 に期 待 値 とい う もの が あ る.

本 章 の扉 に 述 べ た よ うに,確 率 は 賭 け事 と深 い 関 係 に あ る が,そ

の賭 け事 を思

い 浮 か べ れ ば,期 待 値 とい う もの が 実 感 で き るの で は な い だ ろ うか .   一 般 に一 つ の 試 行 で,あ る量 がc1,c2,c3,…,cnと そ の 確 率 が そ れ ぞれp1,p2,p3,…,pnで

い う値 の い ず れ か を と り,

あ る時,

(7.29)

図7.6 

確率密度分布

で 表 わ さ れ る Ｅ を 期 待 値 と定 義 す る の で あ る.こ 待 値)"の

の"E"は"expectation(期

頭 文 字 で あ る.

  式(7.29)を

一般 的な数式で表現 すれ ば

(7.30)

(7.31) と な る.式(7.30)は

離 散 的 な 場 合,式(7.31)は

連 続 的 な 場 合 で あ る.な

期 待 値 を 表 わ す 記 号 と し て Ｅ の ほ か に μ が 使 わ れ る 場 合 も あ る.こ " expectation"の 頭 文 字 で あ る"E"を 用 い た の で あ る が,こ れ は,物 通 常,エ い.し

ネ ル ギ ー や 電 場 を 表 わ す"Ｅ"と か し,そ

お,

こ で は, 理学 では

混 同 さ れ て あ ま り よ く な い か も知 れ な

れ ぞ れ が 登 場 す る場 面 が 異 な る の で 大 き な 支 障 に は な ら な い だ

ろ う.   サ イ コ ロ の 例 で,期

待 値 を 計 算 し て み よ う.

  サ イ コ ロ の 目 の 数 は 離 散 的 で あ り,そ 式(7.30)を

れ ぞ れ の 目 が 出 る 確 率 は1/6な

の で,

用 いて

(7.32) と な る.   し か し,サ

イ コ ロ の 目 に は"3.5"と

数 値 を"期 待 値"と

い う よ う な も の は な い の で,こ

い わ れ て も ピ ン と こ な い か も知 れ な い.例

の 目 の 数 の 平 均 値"を

の ような

え ば,"サ

イ コロ

求 め よ う とす れ ば

(7.33) と な り,意 値"と

味 す る 内 容 は 式(7.32)と

同 じ に な る.つ

ま り"期

待 値"を"平

均

考 え る こ と も可 能 で あ る.

  こ こ で,も

う 少 し"期

待 値"ら

し い も の を 考 え る こ と に す る.

  「物 理 数 学 」の 教 科 書 の 中 の 例 と し て は 好 ま し く な い か も知 れ な い が,確 "期 待 値"に した しん で も らう た め に ,あ え て,宝 く じ の 例 を あ げ る.   サ イ コ ロ を振 っ て,出

た 目 の 数 の10000倍

率 と

の賞 金 が も らえ る よ うな 宝 く じが

あ る とす る.つ い こ と に,こ で).こ

ま り,１

が 出 た ら １万 円,６

の 宝 く じ に は"外

れ"が

の 宝 く じ を 買 っ た 人 は,い

(7.29)にc1=1万

円,c2=2万

が 出 た ら ６万 円 で あ る.あ

な い(サ

イ コ ロ に は ０ とい う目 が な い の

く ら の 賞 金 を"期 待"で

円,…

，c6=6万

りが た

き る の だ ろ う か.式

円,p1=p2=…=p6=1/6を

代

入 し,

(7.34) を得 る.   つ ま り,こ の 宝 くじ を買 っ た 人 は平 均 的 に35000円

の賞 金 を期 待 で き る,と

い う こ とで あ る.し た が っ て,こ

の よ うな 宝 くじ を売 る方 の 立 場 に 立 て ば,あ

く まで も平 均 的 に で はあ るが,１

枚35000円

以 上 で 売 らな けれ ば利 益 が 出 な い

こ とに な る. ■分 散 と標 準 偏 差   期 待 値 Ｅ が 求 ま つて い て も,具 体 的 な 観 測 値xjが

そ の Ｅ の 周 辺 で"揺

らい

で"い る の が 普 通 の 自然 現 象 で あ る.例 え ば,氷 の 温 度 と して"期 待"さ

れる

の は0℃ で あ るが,実

際 の 氷 の温 度 は0℃ 近 辺 で揺 らい で い る はず で あ る.物

理 学 的 に重 要 な の は,そ の よ うな"揺

ら ぎ"の 程 度 が 大 き い の か 小 さ い の か を

示 す 基 準 を設 け る こ とで あ る.そ の 基 本 に な るの が 分散 と標 準 偏 差 と呼 ばれ る もの で あ る.   これ らの 基 本 的 な 考 え 方 は,期 待 値 Ｅ と実 際 の 観 測 値xjの

差Δx=xj-E

に基 づ い て い る.   当 然 の こ とな が ら,"揺

らぎ"は プ ラ ス とマ イ ナ ス の両 方 向 に存 在 す る だ ろ う

か ら,Δxは プ ラス に もマ イ ナ ス に も な る の で あ るが,た とえΔxが

どれ だ け大

き くて も,プ ラ ス とマ イ ナ ス の 揺 らぎ の 出 現 が 同 じ で あ れ ば,単 純 な 差 を と る よ うな 数 学 的 操 作 で は,揺 ち,ま

ら ぎが ０に な っ て し ま う の で不 都 合 で あ る.す な わ

った く揺 らぎ が な い場 合 との 区別 が で きな くな っ て し ま う.

  そ こで,差(xj-E)の

２乗 を とっ て

(7.35)

(7.36) とい う計 算 を行 な い,σ2を 分 散,σ

自体 を標 準 偏 差 と呼 ぶ こ と にす る.こ の よ

う なσ2あ るい は σの 値 に よ って,揺

ら ぎの 大 き さ が 客 観 的 に表 わ さ れ る こ と

に な る.   ま た,も

う,ウ

ンザ リか も知 れ な い が,読

者 も学 校 で さん ざん 聞 か され て き

た で あ ろ う偏 差 値 に つ い て も説 明 して お こ う.   偏 差 値 は,

(7.37) で 定 義 さ れ る値 で あ る.つ ま り,100点 50点 と して,標 準 偏 差(σ)を

満 点 の 試 験 の点 を例 に す れ ば,平 均 点 を

基 準 に し て,各 学 生 の得 点ｘ が平 均 値 に対 し,

どの 程 度 上 か あ るい は下 か を表 現 し て い るの で あ る.よ り面 白 くな い,あ

く考 え て み れ ば,あ

ま

るい は快 くな い 数 値 で あ る と思 う.こ の よ うな 数 値 に は,あ

ま り付 き合 い た くな い もの で あ る.

7.2  物 理 学 へ の 応 用 7.2.1  量 子 論 的 粒 子 の 存 在 状 態 ■確率 的存在   電 子 の よ う な量 子 論 的粒 子 の 特 徴 は図6.13に を 同時 に 有 す る こ とで あ る.も よ り本 質)は,そ

示 した よ うに,粒 子 性 と波 動 性

う一 つ の 重 要 な,あ

る い は 厄 介 な 特 徴(と

いう

の存 在 状 態 が 古 典 物 理 学 的 粒 子 の よ う に確 定 的 に決 め られ る

も の で は な く,"確 率"的

に しか 表 現 で きな い こ とで あ る.

  つ ま り,電 子 は"確 率 の 波"と

して と らえ られ る.そ の解 釈 を め ぐっ て は現

在 で も論 争 が あ る よ うな課 題 な の で あ るが,"確 的 な解 釈 と して は極 め て有 効 で あ る.と

率 の波"と い う考 え方 は,実 用

ころ で,"確 率"と い うの は,す べ て の

物 体 の 運 動 を一 義 的 に記 述 す るニ ュ ー トン力 学 に は登 場 しな い概 念 で あ る.   さて,電

子 の 波 動 性 が事 実(電 子 顕 微 鏡 や 電 子 線 回 折 な どに よ って 実 証 され

て い る)で あ る こ とか ら,前 述 の よ うに,そ

の運 動状 態 は波 動 の 時 間 的 ・空 間

図7.7  電子の波動性の確率解釈

的 変 動 を表 わ す 波 動 関 数 ψ(x,t)で

記述 され な け らば な らな い.古 典 的 波 動 論

に お い て は一 般 に,p(=｜ψ｜2)は,物

質 密 度 分 布 を表 わ す.と

子 物 理 学 の解 釈 に よ れ ば,こ

のp(=｜ψ｜2)を 量 子 論 的 粒 子 の 存 在 確 率 密 度 分 布

と考 え る の で あ る.こ の 時,ψ   図7.7は,あ

こ ろ が,現 在 の 量

は確 率 振 幅 と呼 ば れ る.

る時 刻ｔ で の 各 点(ｘ 軸 方 向)の 確 率 振 幅 ψ を表 わ す とす る.

これ は,時 刻ｔ に お い て,１ 個 の電 子 が存 在 す る確 率 を表 わ す もの で,電 子 が ど こ に存 在 す るか 確 定 で きな いが,各 点 で 発 見 され る確 率 は｜ψ｜2に 比 例 す るの で あ る.例 え ば,Ａ 点 の ψ(波の 高 さ)が Ｂ点 の 高 さ の ２倍 で あ っ た とす れ ば,電 子 が Ａ 点 に発 見 さ れ る確 率 は Ｂ点 に発 見 さ れる 確 率 よ り も4(=｜2/1｜2)倍 大 き い.ま た,Ｃ 点 で は ψ=0だ

か らp=0に

な り,こ の 点 に電 子 が 存 在 す る こ とは

な い.Ｄ 点 に お い て,ψ ＜0に な っ て い るが,存 在 確 率 は｜ψ｜2に 比 例 す るか ら支 障 は な い.   さて,こ こで 図6.13で

述 べ た 問題 に戻 る.つ ま り,１ 個 の電 子 自体 が波 動性

(干渉 現 象 を起 こす能 力)を 持 つ とす れ ば,Ａ ，B2個

の ス リ ッ トを同 時 に 通 過

しな けれ ば な らな い の で あ る.そ の よ う な こ とは,図6.10で

説 明 した よ うに,

古典 物 理 学 的粒 子 に は不 可 能 で あ る.し か し,量 子 論 的粒 子 で あ る電 子 の場 合 に は実 際 に起 こ っ て い る こ とな の で あ る.こ の不 可解 な現 象 を 実 用 的 な意 味 で 説 明 す る のが 確 率 解 釈 で あ る.   ス リッ トＡ を 通 過 す る 電 子 の 波 動 関数 を ψA,ス リ ッ トＢ を通 過 す る電 子 の 波 動 関数 を ψBと す れ ば,電 子 が ス リ ッ トＡ,ス リ ッ トＢ を通 過 す る確 率 は,そ れ ぞれ

(7.38)

(7.39) に比 例 す る.そ し て,１ 個 の 電 子 が 両 方 の ス リ ッ トを 同 時 に通 過 す る確 率pAB は,重 ね 合 わ せ の 原 理 に よ っ て

(7.40) に比 例 す る.こ こ で注 意 す べ き こ と は,重 ね合 わ せ るの は確 率 その もの で は な くて,確 率 振 幅 で あ る こ とで あ る.１ 個 の電 子 が 波 動 性 を持 つ た め に は,２ 個 の ス リ ッ トを同 時 に通 過 しな けれ ば な らな い が,そ の こ とを定 量 的 に 表 わ す の が 式(7.40)で

あ る.つ

ま り,「 １個 の 電 子 は,確 率 的 に,２ 個 の ス リ ッ トを 同

時 に通 過 す る」 の で あ る.   電 子 が な ぜ その よ うな 奇 妙 な振 る舞 い を す るの か ， と問 わ れ れ ば,そ れ が 量 子 論 的 粒 子 とい う も の で あ る,と 答 え る ほ か は な い.   以 上 の よ う に,量 子 論 的 粒 子 が 存 在 す る位 置 は"確 率"で 表 わ さ れ るの で あ るが,そ

れ を 図7.8に

束 と呼 ぶ.波 中 のΔxは

示 す よ う な"確 率 の 波 形"で

束 の 中 で,振

表 わ す こ とに し,こ れ を波

幅 が 大 きい と ころ ほ ど電 子 の 存 在 確 率 が 大 き い.図

波 束 の お よ その 拡 が り を表 わ し,こ れ はハ イ ゼ ンベ ル ク の 不 確 定 性

原 理 に よ る原 理 的 な不 確 定 性 を意 味 す る. ■波 の 収 縮  繰 り返 し述 べ た よ う に,量 子 論 的 粒 子 の 存 在 位 置 は,図7.8に

示 した よ うに,

常 にΔxの 不 確 定 さ を持 つ"確 率 振 幅 の 波"で 表 わ され る.念 の た め,図7.8を も う一 度 説 明 して お く.粒 子 はΔxの 範 囲 内 の 各 点 で 確 率 的 に存 在 し,そ の 各 点 の存 在 状 態 が 共 存 して お り(波 束),そ れ ば,図7.8に

れ ぞ れ の 波 動 関数 が ψ1,ψ2,… ， ψnで あ

示 され る波 動 関 数 ψ は重 ね 合 わ せ の原 理 に よ っ て

(7.41) とな るわ けで あ る.何 度 も強 調 す る よ うに,粒 子 はΔxの 範 囲 内 の ど こか に存 在

図7.8 

量 子 論 的 粒 子 の確 率 的 存 在 ・波 束

図7.9 

観 測 に よ る波(波

動 関 数)の

収縮

す る こ と はわ か って い るが,確 定 的 な あ る一 点 を 指 定 す る こ とは原 理 的 に不 可 能 な の で あ る.   と こ ろが,い

ま,何 らか の方 法 で粒 子 を観 測 した とす る と,図6.13(d)で

示

した よ う に,そ の 粒 子 の 位 置 は確 定 的 に決 定 す る.つ ま り,こ の観 測 の 瞬 間 に, それ まで の 量 子 論 的 粒 子 の波 動 性 が 喪 失 し,粒 子 性(局

在 性)が 現 わ れ る の で

あ る.こ の こ とは,例 え ば,そ の観 測 点 が Ａ だ とす れ ば,図7.9に

示 す よ うに,

観 測 の 瞬 間 に"確 率 の 波"が 観 測 点 の Ａ に収 縮 す る こ とを 意 味 す る.こ の こ と を波 の収 縮 あ る い は波 束 の 収 縮 とい う.観 測 の瞬 間 に,粒 子 は Ａ点 以 外 の場 所 に存 在 し な い こ とに な るの だ か ら,そ の 瞬 間 に式(7 .41)は

(7.42) に変 化 した こ とに な る.こ の観 測 に よ っ て もた ら され る ψ→ ψAを波 動 関 数 の 収 縮 とい う.   上 記 の説 明 で は,粒 子 の"確 率 の 波"が

Ａ 点 に収 縮 した,つ

ま り,粒 子 は Ａ

点 で 観 測 され た もの で あ るが,そ も そ も,Ａ 点 で 観 測 され る か ，Ａ 点 以 外 の点, 例 え ば Ｂ 点 あ る い は Ｃ点 で 観 測 され る か は,わ か らな い の で あ る.仮 に Ｂ 点 で 観 測 され た とす れ ば,波 動 関 数 の収 縮 は,ψ →ψBで あ るが,初 期 状 態 ψ が 同 じ で も収 縮 の 結 果 が ψAに な る か ψBに な るか は わ か ら な い の で あ る.量 子 力 学 が 与 え る の は,そ れ ぞ れ が 起 こ る確 率 がpAあ

る い はpBだ

て,観 測 に よ る波 の 収 縮 は純 粋 に 非 因 果 的,そ

け で あ っ た.し た が っ

して 確 率 的 な 事 象 で あ る.こ れ

は,粒 子 が存 在 す る場 所 が,人 為 的 な観 測 とい う行 為 に よ っ て,あ

た か もサ イ

コ ロ を振 る こ と に よ っ て 決 め られ る こ とを意 味 す るの で は な い だ ろ うか.も ろ ん,各"目"の

確 率 は サ イ コ ロの場 合 の よ うに,均 等 な1/6と

ち

い うわ けで は

な いが,基 本 的 に はサ イ コ ロ に よっ て 決 ま る の と同 等 の 純 粋 に確 率 的 な事 象 で あ る.し か し,自 然 界 の現 象 が 人 為 的 な"サ

イ コ ロ遊 び"に

よ っ て決 定 され 得

る もの で あ ろ うか.量 子 力 学 の理 論 に よれ ば,そ の答 え は 「決 定 され 得 る」 と い う こ とに な る.   量 子 力 学 は,原 子 や 素 粒 子 な ど ミ ク ロ世 界 の現 象 の解 明 に適 用 され て,少 な くと も実 用 的見 地 か らい え ば完 全 な る成 功 を収 め て い る.そ の理 論 的 予 言 はい まだ か つ て実 験 に よ っ て裏 切 られ た こ とが な い の で あ る.そ の よ う な実 験 結 果 の 一 つ が,図6.13の

示 した 電 子 の挙 動 で あ る.し か し,量 子 論 の 発 展 に大 きな

貢 献 を した プ ラ ン ク,ア イ ン シ ュ タ イ ン,ド は,こ の “原 理 と して の確 率"に

・ブ ロ イ,シュ

異 を唱 えた の で あ る.と

レ ー デ ィ ンガ ー ら くに ア イ ン シ ュ タ イ

ンは,「 神 様 はサ イ コ ロ遊 び な ど しな い」 とい う有 名 な 言 葉 を遺 した.こ

図7.10 

観 測 に よ る波 の収 縮 と確 率 解 釈 の繰 り返 し

れ が,

量 子 論 に お け る,い わ ゆ る"観 測 問 題"の

発 端 で あ る.

 Δxの 幅 の 中 の 粒 子 の確 率 的 存 在 位 置 が,観 測 に よ っ て Ａ 点 に決 定 す る こ と は 実 験 的 事 実 で あ り,そ れ に対 す る解 釈 が 図7 .9に 示 す 確 率 的 に生 じ る"波 の 収 縮"と い う もの で あ っ た.こ の よ う に,観 測 とい う行 為 に よ っ て,波

はＡ点

に収 縮 す る の で あ るが,観 測 後 の粒 子 は ど うな るの で あ ろ うか .Ａ 点 に収 縮 し た波(鋭 図7.10に

い ピ ー ク)は,そ

の 瞬 間 に は 拡 が りを 持 た な い の で あ るが,観 測 後 は

示 す よ う に次 第 に 周 囲 に拡 が っ て い く.つ ま り,粒 子 の 存 在 は再 び 確

率 解 釈(波 動 性)に 支 配 さ れ る こ と に な る.そ その 瞬 間 に,波

し て,再 び 観 測 が 行 な わ れ れ ば,

は収 縮 し(そ の 場 所 は予 測 で き な い)粒 子 性 を示 す .こ の よ う

な 解 釈 に従 えば,量 子 論 的粒 子 は粒 子 性(波

の 収 縮)と

波 動 性(確

率 解 釈)を

繰 り返 す こ とに な る.

7.2.2  ス タ ー リン グの 公 式   統 計 力 学 の は じめ に,図7.11に

示 す よ う な た くさ ん の箱 に 多 くの ボ ー ル を 分

配 す る 問題 が しば しば 登場 す る.こ の 問題 は,多

くの量 子 論 的粒 子 が,そ れ ぞ

れ の エ ネ ル ギ ー状 態 に あ る と きの 様 子 な ど を考 え るた め の もの で あ る.つ ま り, 量 子 論 の世 界 で は,粒 子 は 飛 び飛 び の エ ネ ル ギ ー の 塊,す

な わ ち量 子 と考 え る

こ とが で き(そ もそ も,こ の こ とが量 子 論 の語 源 で あ る),そ れ は,飛 び 飛 び の エ ネ ル ギ ー状 態 の み が 許 さ れ る振 動 子 と考 え る こ と も可 能 で あ る.   そ こで,図7.11の とみ な す と,図7.11に

箱 を量 子 の エ ネ ル ギ ー 状 態(準

位 と呼 ぶ),ボ

ー ル を量 子

示 され るの は,あ る量 子 系 の エ ネ ル ギ ー 分 配 の 問題 に 相

当す る こ とに な る.あ る分 配 方 法(状

態)に 相 当 す る状 態 数 Ｗ は

(7.43)

図7.11 

エ ネ ル ギ ー の分 配

で 表 現 され る.ち

な み に,式(7.43)は

Ｎ は全 量 子 数,njは   さて,こ

式(7.13)と

同 じ もの で あ る.こ こで,

そ れ ぞれｊ 番 目 の エ ネ ル ギ ー 状 態 に あ る量 子 数 で あ る.

こで は 確 率 統 計 学 や 統 計 力 学 自体 の説 明 に は 深 入 り し な い で,式

(7.43)の 取 り扱 い に 注 目す る.通 常 の物 理 や 化 学 の 問題 で は,Ｎ の数 値 は1023 の よ うに 非 常 に大 き な もの で あ る.こ の よ うな 場 合,ス

タ ー リン グ の 公 式 と呼

ばれ る

(7.44) と い う近 似 式 を 使 う こ とが で き る.   3.4節

で 述 べ た よ う に,1023と

い う よ うな 非 常 に 大 きな 数 値 を扱 う時 に は対

数 を 使 う の が 便 利 で あ る.式(7.44)の

対数 を とると

(7.45) と な る.こ

こ で"O(1/N)"は"オ

い は"1/N以

下 の 微 小 量"の

ー ダ ー(1/N)"と

読 み,"1/N程

度"あ

る

意 味 で あ る.

  特 に Ｎ が 大 き い 時,式(7.45)は

(7.46) とな る.   この よ う な近 似 式 は,統 計 力 学 で は しば し ば使 わ れ る もの で あ る.

7.2.3  ガ ウ ス 分 布 とポ ア ッ ソ ン分 布 ■ 確 率 関数 の 最 大 値   Ａ と Ｂ の ２種 類 の状 態 を とる"も の"を 考 え よ う.例 う な,ス ピ ン量 子 数ms=±1/2の

え ば,図7.12に

示す よ

電 子 ス ピ ンで あ る.身 近 な例 で は,白 黒 の碁

石 の集 団 で あ る.   あ る系 全 体 で ス ピ ン数 が Ｎ の時,上 向 きス ピ ン の数 がｎ とす れ ば,下 向 きス ピ ンの 数 はN-nで る状 態 数Ｗ

あ る.そ の よ う な ス ピ ン 系 の,あ るエ ネ ル ギ ー 状 態 に お け

は,式(7.43)よ

り

(7.47)

図7.12 

電子ス ピン

と な る.   こ こ で,上 向 き ス ピ ンｎ 個 の 状 態 が 起 こ る 確 率P(n)を と も か く,ｎ こ の 時,上 p+q=1で

計 算 す る こ と に す る.

個 の 上 向 き ス ピ ン を 含 む 全 状 態 数 が 式(7.47)で

向 き の ス ピ ン が 発 生 ず る 確 率 をｐ,下 あ る),式(7.47)はｐ

を 示 し て い る.し

がｎ

た が っ て,式(7.47)に

回,ｑ

表 現 され て い る.

向 き の そ れ をｑ と す る と(当 然

が(N-n)回

の 確 率 で起 こ る こ と

相 当 す る状 態 の 起 こ る 確 率 は

(7.48) で表 わ され る だ ろ う.   そ うす る と,状 態 数Ｗ

と,そ の 状 態 が起 こ る確 率 の積 と して,

(7.49) が 得 られ る.こ の 式 は,ｎ の 値 に 関 係 な く成 立 す る も の で,例 Ｎ 回 振 っ て,"１"の

え ば,サ

イ コロを

目 がｎ 回 出 る 確 率 に 適 用 す る 場 合 は,p=1/6("１"の

目が

出 る 確 率),q=5/6("１"以

外 の 目 が 出 る 確 率)を

代 入 し て計 算 す れ ば よ い の で

あ る.   統 計 的 問 題 は,P(n)が る.Ｎ

最 大 と な る状 態 は どの よ う な もの か ，とい う こ とで あ

が 十 分 に 大 き い 場 合,P(n)が

す よ う に(図7.6参

照),ｎ

最 大 値P(n)maxを

に 対 す る 関 数P(n)の

が 理 解 で き る だ ろ う.そ の よ う なn(n*と 個 存 在 す る 可 能 性 の 中 で,も

が 便 利 で あ る.関 数P(n)の

す る)は,上

示

向 き ス ピ ン 数ｎが1∼N 率 の 大 き い)数

常 に 大 き な 値 を 考 え る 時 は,対

傾 き が ０の 時,lnP(n)の

.13に

傾 き が ０に な る 時 で あ る こ と

っ と も起 こ り や す い(確

い ま ま で に何 度 も述 べ た よ う に,非

と る の は,図7

で あ る. 数 を とるの

傾 き も ０ に な る.そ

こ で,

図7.13 

関 数1nP(n)を

式(7.49)か

P(n)の

最大値

ら計 算 す る と

(7.50) と な る.   以 下 に 述 べ る 計 算 は 少 々 長 い の で,頭 し て,結

果 だ け 見 る だ け で も よ い.た

が 痛 く な る よ う に 感 じ る 読 者 は,飛 だ し,計

ば

算 経 過 を す べ て 示 す の で,ゆ

っ

く り た ど っ て い くの は 難 し く な い だ ろ う.   さ て,第

４章 で 述 べ た こ と を 図7.13で

確 認 す る と,関

数1nP(n)の(グ

ラフ

の)傾

き が ０ と い う こ と は,1nP(n)のｎ

につ い て の微 分 が ０ とい う こ とで あ

る.し

た が っ て,式(7.50)と

用 い て(以

式(7.46)を

下,P(n)の(n)を

省 略),

(7.51)

と な る.

  以 上 の計 算 は,一 見,複 雑 で 面 倒 で あ る が,実 際 に 順 を追 っ て み れ ば,見 掛 け ほ どで は な い こ と に気 づ く と思 うの で,是 非,自

分 自身 で 確 か め て い た だ き

た い.   さ ら に,式(7.51)の

結果 か ら

(7.52) と な り,式(7.51)に

前 述 のp+q=1を

代入 す る と

(7.53) とい う,大 変 興 味 深 い結 果 が 得 られ る.   これ まで の"長

つた ら しい"計 算 で 何 が 求 まつ た の か と い う と,最

そ う な上 向 きの ス ピ ン数ｎ(図7.13参

照)は,全

も実 現 し

ス ピ ン数 Ｎ に 上 向 きの ス ピ

ンの 出 現 確 率ｐ を掛 け合 わ せ る こ と に よ っ て得 られ る,と い う単 純 な 結 果 な の で あ る.言 葉 で い っ て し まえ ば誠 に 当 り前 に思 え る こ とが,数 式 の長 い計 算 で 求 め られ たわ け で あ る.式(7.53)で

得 られ た"ｎ"は,上

出現 し そ うな個 数 とい う こ とで,前 述 の よ う に"n*"と

向 きの ス ピ ン の最 も 記 述 す る こ とに し よ う.

■ガウス分布   さて,い

よ い よ,本 項 の"見

出 し"に あ るガ ウ ス 分 布 の表 現 式 ま で,あ

と一

歩 の と こ ろ まで きた.   ス ピ ン数n*の

近 くで,確 率 関 数P(n)の

形 が ど うな る か を知 りた け れ ば,

4.2.4項 で 述 べ た テ イ ラー 展 開 を用 いれ ば よ く,そ れ は

(7.54) と な る.

  こ の 展 開 で,右 辺 の 第 ２項 が ０ に な る こ と が,関 数P(n)が で あ っ た(図7.13参

照).そ

こ で,式(7.54)か

最 大 値 を と る条 件

ら第 ２項 が 消 え て,

(7.55) と な る(4.2.4項

で 述 べ た よ う に,物

理 学 上 の 多 く の 問 題 で は,２

階 微 分 項 まで

考 慮 す る だ け で 十 分 で あ る).   式(7.55)に

式(7.51)を

も う 一 回 微 分 し た 結 果 と,そ

の 結 果 にn*=Np(=n)

を 用 い る と,

(7.56) が 得 ら れ,式(7.55)と

合 わ せ て,

(7.57) が 求 ま る.  こ こ で,n-n*=xと

お け ば

(7.58) とな り,こ れ を規 格 化 した 一 般 的 な 関 数 と して

(7.59) とす る時(ａ は定 数),こ の 関 数 で表 わ され る 図7.14に

示 す よ うな確 率 分 布 の こ

と をガ ウ ス 分 布 あ る い は正 規 分 布 と呼 ぶ の で あ る.式(7.59)お 示 され る定 数ａ が 関 数 の"幅"の

よ び 図7.14に

程 度 を表 わ す こ とに な る.

図7.14 

ガ ウ ス(正 規)分

布

■ ボ ア ッ ソ ン分 布   次 に,式(7.49)をp≪1,n≪Nの

条件 下 で 考 え て み る.こ の 条 件 は,前 述

の 電 子 ス ピ ン の例 で い え ば,非 常 に多 数(Ｎ

個)の ス ピ ンか ら成 る系 で,下 向

きス ピ ンの 出 現 確 率 が 上 向 きス ピ ン の そ れ に比 べ て圧 倒 的 に大 きい(p≪q)場 合 に相 当 す る.   便 宜 上,式(7.49)を

以 下 に再 掲 す る.

(7.49) まず,n≪Nと

い う条 件 か ら

(7.60) が 導 か れ る.Ｎ Ｎ

は 非 常 に 大 き な 数 な の で,N-1,N-2,…N-n+1は

すべて

と み な せ る か ら で あ る.

  次 に,式(7.49)のqN-nの

部 分 に 注 目 し,こ

れ をy=qN‐nと

お くと

(7.61) と な り,対 数 関 数 の テ イ ラ ー 展 開 か ら得 られ るln(1+x)〓xを n≪

Nな

用 い,ま

たp≪1,

ので

(7.62) と な る.   式(7.60),(7.62)を

式(7.49)に

代 入 す る と

(7.63) が 得 られ る.式(7.63)は

一 般 的 な 関 数 と し て,NP=λ,n=xと

お き か えれ

ば,

(7.64)

図7.15 

ポ ア ッ ソ ン分 布

と表 示 され,こ の よ う な 関 数 で 表 わ され る確 率 分 布 はポ ア ッ ソ ン分 布 と呼 ば れ, そ れ は,図7.15に

示 さ れ る よ う な分 布 を示 す.

  この よ う な分 布 も,ガ ウ ス分 布 と並 ん で,物 理 現 象 を考 え,表 現 す る 際 に し ば しば現 わ れ る もの で あ る. ■ボ ル ツ マ ン分 布   こ こで も う一 度,図7.11と

以 下 に再 掲 す る式(7.43)を

見 て い た だ きた い.

(7.43)   こ こで,例 え ば,Ｎ 個 の 量 子 が 多 くの エ ネ ル ギ ー状 態(njと して 区別 され る) に分 配 され て収 ま って い る系 を考 え る.こ の状 態 数 を表 わ す 関 数Ｗ 対 数 を とる と(い つ で も,大

につ いて

きな 数 を扱 う時 に頼 りに な る の が 対 数 で あ る ！)

(7.65) と な る.な お,総

和(Σ)はｊ

に つ い て で あ る が,数

を 用 い て 近 似 計 算 を 行 な う と,結

式 上ｊ は 省 略 し た .式(7.46)

果 は

(7.66) とな る.こ の 式 の 各ｊ 準 位 に あ る 量 子 の 数 が ほ ん の 少 し 変 動 し た と す る .そ の よ う な 変 動(変

分)を

い ま ま で は"Δnj"と

す る こ と に す る."δ"も"微

小 変 化"に

少 し 意 味 が 膨 ら ん で い て,"ち 意 味 あ い が 込 め ら れ て い る.さ

表 記 し た が,こ

こ で は"δnj"と

は 違 い な い の で あ る が,"Δ"と

表記 比 べ,

ょ う ど落 ち 着 き ど こ ろ と な る 最 小 変 化 量"と い う ら に,"δ"が

関 数 に 働 く場 合 に も,そ

の関数 に

対 して 同様 の 意 味 あ い が 込 め られ る こ と に な る.こ の"Δ"と"δ"に

ついての

数 学 的 に厳 密 な議 論 に つ い て は,「 変 分 法 」とい う分 野 に関 す る事 項 で説 明 され る.興 味 の あ る読 者 は 自分 自身 で調 べ て いた だ きた い.   さて,各njの

変 分 に関 わ る関 数lnW自

体 の 変 分 を考 え る こ と にす る.つ ま

り,数 式 上 は

(7.67) とな る.こ れ が,状 態 数Ｗ

に つ い て の 変 分 計 算 の結 果 で あ る.

  統 計 力 学 で考 えて い る 系 で は,こ の状 態 数(の 対 数)lnWの 条 件 が付 帯 して い る.つ

変 分 に,２ つ の

ま り,考 え て い る系 で は全 量 子 の 数 は一 定 で あ る とい

う条 件 と,全 量 子 が 持 っ て い るエ ネ ル ギ ー の総 和 も一 定 で あ る とい う条 件 で あ る.そ れ らの 条 件 を数 式 で表 わ せ ば

(7.68) (7.69) と な る.こ

こ で,εjは

各 準 位 の エ ネ ル ギ ー で あ り,Ｅ

は系 全 体 の エ ネ ル ギ ー で

あ る.   さ て,あ

る 系 が 絶 対 温 度 Ｔ に 保 た れ て い る 時,圧 倒 的 に 状 態 数 が 多 い 状 態 が

温 度 Ｔ の"平 衡 状 態"の は ず だ,と し た が っ て,こ

こ で の 問 題 は,状

い う の が 統 計 力 学 の 基 本 的 な 考 え 方 で あ る. 態 が 最 大 値 を 持 っ て い て,式(7.68),(7.69)

の 条 件 が 満 た さ れ て い る よ う な 関 数 形 を 求 め る こ と で あ る.そ は,式(7.67)と

式(7.68),(7.69)の

れ は,定

性 的に

内 容 の全 体 の バ ラ ン ス を考 え る こ とに

相 当 す る.   た だ し,単

位 が 異 な る 関 数 の 和 を 考 え る 以 上,単

け る 必 要 が あ る.通

常,式(7.68),(7.69)の

位 合 わ せ の た め の 係 数 を掛

和 を とると

図7.16 

量 子 エ ネル ギ ー の分 配

(7.70)

とい う結 果 が 得 られ る.こ の こ とを物 理 的 に解 釈 して模 式 的 に示 す の が 図7.16 で あ る.な お,こ の よ うな 取 り扱 い 方 を"ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定 係 数 法"と (具体 的 に は,式(7.70)中   式(7.70)を 関 数lnW(nj)と

呼ぶ

の α,β の こ とで あ る).

構 成 す る ３項 の 単 位 に つ い て 考 え て み る と,第

１項 の 状 態 数 の

量 子 の個 数 で あ る第 ２項 の単 位 は 無 次 元(単 位 な し)と 考 えて

よ い.し か し,エ ネ ル ギ ー と個 数 の積 で あ る第 ３項 は,他 の ２項 と次 元(単 位) を合 わ せ よ う とす れ ば,係 数 β の 単 位 が(エ ネ ル ギ ー)-1で あ る こ とが 必 要 で あ る.な お,係 数 α と β の符 号(+,-)に

つ い て は,物 理 的 な考 察 か ら こ こ の 記

述 の よ う に な っ た.   数 学 的 に 厳 密 な議 論 は 別 に して,各 準 位 に あ る量 子 の 数njは,全 じつ ま"が 合 っ て い れ ば(条 件 を満 た す状 態 数Ｗ と),変 動 して もよ い.つ よ うな"こ

体 と して"つ

が ほ ぼ最 大 値 を とっ て い る こ

ま り,δnjは 任 意 の 数 値 と考 え る こ とが で き る.そ の

と"が 式(7.70)で

確実 に達成す るための条件 は

(7.71) で あ る.そ

して,こ の 条 件 を 満 た す た め に は,ｊ 番 目に あ る量 子 の 数njが

(7.72) と い う 形 を し て い れ ば よ い の で あ る.式(7.72)を

書 き直 して

(7.73) の よ う に整 理 した もの がボ ル ツ マ ン分 布 と呼 ばれ る もの で あ る.こ の 式 で,A= exp(←α)で

あ り,定 数ｋ が ボ ル ツ マ ン因 子(定

  読 者 は物 理 学 の さ ま ざ まな場 面 で,こ

数)と

呼 ばれ る定 数 で あ る.

の ボ ルツ マ ン分 布 や ボ ルツ マ ン定 数 に

出 会 うだ ろ う.

チ ョッ ト休 憩 ● ７

パ ス カル   パス カル(Blaise  Pascal,1623―1662)を こ こで取 り上 げた理 由は,彼 が ラプ ラス(1749―1827)に 先駆 け た確率 論の 創始 者 と いわ れ るか らであ る. た だ し,彼 は ヨーロ ッパが 中世 か ら近 代 を迎え る時 代 を生 きた人 であ る.し た が って,当 時 は科 学や 哲学 と文学,さ ら に宗 教の 垣根 は現 在 よ りも非常 に低 く, それ らの 各分 野の 問題 は分 離され てお らず,渾 然 一体 とな って人 間の前 に立 ち はだ か って いた.   パ スカ ルは 非常 に多面 的 な活動 を した人 であ る.こ の章 の議 論 に直接 関連 す る 「パス カルの 三角 形」 で知 られ る確率 論 につ なが る仕事 以外 に,わ れわ れ は 気体 につ いての 「 パ スカル の原理 」,幾 何 学 にお ける 「 パ ス カルの 定理(複 比 の 定理)」 や,い まだ に刺激 的な 部分 を含 むと され る著書 『円錐 曲線論 』,さ らに 哲 学的 エ ッセー 『パ ンセ』な ど,350年

あま り前 の 時代 を生 きた 人 で,か つ 日本

とは何 の関 連 もな いにも かかわ らず,少 なか らず の 日本 人 が彼 の仕事 の うちの 多 くを 記憶 し,現 代 的な 問題点 も含 むもの と して 読ん でさ え いる.  彼 は,現 代人 か らみれ ば複雑 な人 物で ある.非 常 に単 純化 して説明 すれ ば, デ カル トの 思考 の哲学 的側 面 は,物 質(連 続 す る もの)と しての人 間の 身体 と, 完全 に抽 象 的存在 と もいえ るそ の精神(難 しく"思 惟"と 呼 ん でもよ い)が, こうも一 体 化 して動き 得る(そ れ が全 体 と しての 人 間活 動で ある が)理 由 には, 結局 「 神 」の 存在 を考 えな いわ けに は いか な い,と い う部分 があ る.こ の よう な思 考が パ スカル の一 生 に深 く関 連 したヤ ンセ ン派の キ リス ト教徒'(ポ ール ・ ロワイヤ ル修 道院 派)に は 不十分 な思 考 に感 じられ た.し か も,デ カル トは ヤ ンセ ン派 に対 立的 な ジェス イ ッ ト派の 中で教 育 され た人 であ った.   したが っ て,デ カル トやパ スカ ルが数 学者 と しての 側面 を もち,そ れ で いて 哲学 者や 宗教 家(特 に後 者)で も あ った理 由は,彼 らが 自分の 能力 を多 面的,

最 大 限 に発 揮 しよ う と した,な ど とい う現代人 の考 えそ うな も ので はな い．結 局,彼 らに とって"数 学"的 考 察が,人 間の純 粋の"思 惟"的 側 面 がも っとも 鋭利 に現 われ 出た 精神 活動 で ある以 上,そ れ によ って この世 界 が深 く理 解 でき る こと は,人 間の 思惟 が偉 大 である こ との証 明に なる.し た が って,自 分 自身 でその 創 造を 行な う こと は,こ の世 界の構 造 と,人 間の 理性 の相 互 作用 に関 す る"(楽 しい)実 験"で も あ ったわ けであ る.   彼 の宗 教的 活動 を,才 能を無 意味 な方 向 に消費 した と断 じる 書物 も ある.し か し,彼 の時代 の ヨーロ ッパ 圏に住 む知識 人 は,多 かれ 少な かれ,政 治,哲 学, 宗教,自 然 学,数 学 な どの い くつか に多面的 に参 加 して いたの で ある.そ して, その よ うな活 動の 理由 は,先 に論 じた よう に,人 間存在 とは何 か とか,神 の 存 在の証 明 とか い った,当 時の人 々 にと って 自己存在 の根 底 に関 わる 問題 が,多 面的 な検 討を 必要 と した ため であ る.   彼 は結 局,精 神 のバ ラ ンス を失 って若 くして死ぬ こと にな る が,彼 が 取 り上 げ た問題 は,そ の 思想 分野 に限 っても,現 代 にも受 け継 がれ て検 討 を必 要 とす る もの である.例 え ば,デ カル トが 人間 の思惟,思 考,運 動 な どを 総合 的 にい くら解 明 して も,パ スカ ルが 問題 と し,そ の よう な次元 よ りも 上位 に ある 「 人 間 は何 故 生き な けれ ばな らな いのか 」 とか,「 人間 に とって 絶対 に必 要 な"愛" (色々な次 元の)は,ど

こか ら来 て,ど の よ うな構造 で発 生,持 続 す るも のな の

か」 と いう問 いは,人 間 に とって永 遠の 問題 であ ろ う.彼 の 活 動を振 りかえ っ て見 てみ る と,"数 学"は 自然科 学の 一部 と いえるの で あろ うか と,疑 いた くな るの で ある.

■演習 問題  7.1  あ る容 器 の 中 で,理 想 気体 を構 成 す る粒 子(気 体 分 子)が 互 い に独 立 に動 き回 っ てい る とす る.い ま,容 器 を Ａ,Ｂ の 部分 に ２等 分す る.粒 子 の 数 が(a)1個,(b)2個

の 場合,粒

子 が Ａ,Ｂ に存 在 す る確 率 を求 め よ.  7.2  ス タ ー リング の公 式(近 似 式) (7.44) でN=2の

場合 とN=10の

場 合 の"近 似度"を 確 か め よ.

 7.3  異 な る元 素 Ａ,Ｂ,…,Ｊ ばAB)を

が10個

あ る.こ れ らの元 素 か ら ２個 を選 ん で化 合 物(例 え

作 る とす る と,い くっ の異 なる化 合 物 が可 能 か.た だ し,ABとBAは

同 じ もの と

み な す.  7.4  Ｎ 個 の気 体 分 子 が 入 っ て い る容 器 が あ る.こ の 容器 を左 右 の部 分 に分 け る.気 体 分 子 が左 に入 る確 率 をｐ,右 に入 る確 率 をｑ とした 時,左 側 にｎ 個 入 る確 率 を求 め よ.

演習問題の解答

■ 第 １章   1.1  省 略(本

文 参 照).

  1.2  省 略(本

文 参 照).

  1.3  省 略(本

文 参 照).

  1.4  省 略(本

文 参 照).

  1.5

 2200×3300＝Nと

す れ ば,logN=203.3だ

  対 数 を使 わ な い で,こ

か ら,Ｎ

は204桁

の 答 を 求 め る場 合 の こ と を 考 え れ ば,対

の 数 で あ る. 数 の便 利 さ を実 感 で

き る で あ ろ う.

■ 第 ２章   2.1  省 略(本

文 参 照).

  2.2  省 略.各

自 考 え て い た だ きた い.

  2.3  省 略(本

文 参 照).

  2.4  省 略(本

文 参 照).

■ 第 ３章   3.1  一 次 関 数 で は,速 度 一 定 の物 体 の 移 動 距 離 と移 動 時 間 との 関 係,毎 月 同 額 の 貯 金 を し た 時 のｘカ 月 後 の貯 金 総 額 な ど.そ の ほ か,読

者 自身 で 考 え て い た だ きた い.

  3.2  偶 数 次 数 の 関 数 は プ ラ ス 方 向 とマ イ ナ ス 方 向 が 基 本 的 に 対 称 で あ る.一 方,奇 数 次 関 数 で は 非 対 称 で あ る.こ 最 大 の 利 用 価 値 で あ る.た

の よ う な 特 徴 が,物

理 現 象 の 表 現 に 用 い られ る場 合 の

だ し,物 理 の 世 界 に お け る"対 称 性"に

は 難 しい 理 屈 が た

く さん 存 在 す る こ と に 留 意 し て い た だ き た い.   3.3  省 略(図3.23参

照).

  3.4  省 略(図3.26参

照).

  3.5  省 略(本

文 参 照).

■ 第 ４章   4.1  例 え ば,微 分 に つ い て は,自 動 車 の運 転 中,加 速 や 減 速 す る 際,ア

クセルや ブ

レ ー キ の 踏 み 込 み 具 合 を 調 節 す る時 に 無 意 識 に使 わ れ て い る.積 分 に つ い て は,例

え

ｙ

ば 風 呂 に お湯 を入 れ る場 合,時

々 様 子 を 見 て,蛇

口 を開 い た り閉 め た りす る こ とで あ

る.   4.2  簡 単 に い え ば,運

動 の軌 跡 で あ る曲線 が直 線 で近 似 で きる よ うにな る まで

ｈを 小 さ く とれ ば よ い.   4.3  単 純 な 指 数 関 数 の 掛 け 算 で あ る.自 分 の 力 で 計 算 し て欲 し い.そ

して,式 の 左

辺 が い か に 巧 妙 に 右 辺 の 計 算 か ら 出 て く る か ， 味 わ っ て い た だ きた い.   4.4  hとΔxと

は必 ず し も同 じ に な る必 要 は な い.読

者 自身 で考 えて い た だ きた

い.

  4.5  省 略(本

文 参 照).

  4.6  元 の 関 数exp(ix)と   4.7  省 略(本

同 形 に な る.

文 を 参 照 し,ま

さ に 自分 の 考 え を述 べ て い た き た い).

■ 第 ５章  5.1

5.2 ｘ 方 向 に つ い て は

と な り,ｙ 方 向,ｚ 方 向 も そ れ ぞ れ 同 様 な の で,演

算 子∇ を働 か せ た 結 果 は

この 結 果 か ら,電 位 と電 場 と の 関 係 と して

 5.3  電 場 の 表 現 は

ｘ成 分 を計算 す る と

,ｚ 成 分 に つ い て も同 時 に計 算 して 総 和 を 求 め る と

  つ ま り,３ 次 元 空 間 内 で,ど 電 荷 を 含 ま な い 空 間(箱)内

こ か遠 くに あ る電 荷 に よ っ て 生 じ て い る電 場 を,そ

の

で の"湧 出 量"を 測 定 す る と,結 局 「湧 出 は ゼ ロで あ る 」

とい う こ とで あ る.   5.4  第 １式(ガ い て お り,第

ウ ス の 法 則)と

３式(フ

第 ２式(磁

ア ラ デ イ の 法 則)と

束,磁

第 ４式(ア

場 の 湧 出 は ゼ ロ)は"発

散"を 用

ンぺ ー ル の 法 則)は"回

転"を

用 い て い る.   5.5  省 略(本

文 参 照).

■ 第 ６章   6.1公

式(6.17)に

よ り

6.2  行 列 部 分 が 対 称 行 列 に な っ て い る こ と に 注 意 す る.こ

の固有 方程 式 は

  6.3

  6.4  問 題6.2と 値 方 程 式AX=λXよ

固有値

λ ＝1,3.

同 じ設 問 で あ る!?(そ れ に気 づ け ば十 分 で あ る)し た が っ て,固 り

有

  6.5  こ こに 示 す行 列 σ1,σ2,σ3は 量 子 学 で 重 要 な パ ウ リ行 列 と呼 ば れ る も の で あ る.積

を 求 め る に は,式(6.18)を

 6.6  振 り子 Ａ,Ｂ

こ こでk/m=ω2と

と な る.こ

参 照 す る と よ い.

のｘ 軸 方 向 の 変 位 を それ ぞ れx1,x2と

すると

お く と,上 式 は そ れ ぞ れ

こ でX=(x1,x2)

■ 第 ７章   7.1  (ａ) Ａ,Ｂ   (ｂ)粒

い ず れ の 場 合 も1/2で

子 が ２個 の 場 合,起

Ｂ,(ⅲ)n1が

Ｂ,n2が

等 確 率 な の で,そ

Ａ,そ

こ り得 る事 象 は,(ｉ)２

れ ぞ れ が1/4に

場合

個 と も Ａ,(ⅱ)n1が

Ａ,n2が

し て(ⅳ ）２個 と も Ｂの ４通 りで あ る.こ れ ら は い ず れ も

と し て は 同 じな の で,１ 個 が Ａ,１   7.2  N=2の

あ る.

な る.た だ し,(ⅱ),(ⅲ)の

場 合,粒

子 の個数 配分

個 が Ｂ に存 在 す る確 率 は1/4+1/4＝1/2と

な る.

誤 差 は 約4%.   N=10の

場合

誤 差 は 約1%.   物 理 学 に お い て,式(7.44)は

膨 大 な 数 の場 合 に 使 わ れ るの で,"近

似 度"が 極 め て

高 い こ とが 実 感 で き る こ とで あ ろ う.   7.3  式(7.9)にn=10,r=2を

  7.4  式(7.49)の

代 入 す る.

応 用 問 題 で あ る.

左 側 にｎ 個 入 る確 率 をP(n)と

す れ ば,

(7.49)

参考図書

  数 学 の 教 科 書 は た く さ ん あ る が,以 下 に,数 学 に興 味 を持 ち,親 し み,さ ら に 基 礎 を学 ぶ 上 で 有 益 と思 わ れ る 書 を 発 行 年 順 に 掲 げ て お く.こ れ ら は,本 書 執 筆 に 当 た り, 筆 者 自身 が 参 考 に さ せ て い た だ い た 書 で も あ る.こ の 場 を借 りて,各 書 の 著 者,訳 者, 発 行 者 の 方 々 に,心

  １) 吉 田 洋 一

か らの 感 謝 の 気 持 を 申 し述 べ させ て い た だ く.

『 零 の 発 見 』(岩 波 新 書,1939)

  ２) 武 隈 良 一 『数 学 史 』(培 風 館,1959)   ３) Ｆ.ラ イ フ(久 保 亮 五 監 訳)『 統 計 物 理(上)(下)』(丸   ４) 吉 田 光 由(大

善,1970)

矢 真 一 校 注)『 塵 劫 記 』(岩 波 文 庫,1977)

 ５) 志 賀 浩 二 『数 学 が 生 まれ る物 語 第 １週 ∼ 第 ６週 』(岩 波 書 店,1992)  ６) 林  隆 夫 『イ ン ドの 数 学 』(中 公 新 書,1993)  ７) 吉 田   武 『オ イ ラー の 贈 物』(海 鳴 社,1993)  ８) エ ミー ル ・ノ エ ル(辻  ９) E.T.ベ

ル(田

  雄 一 訳)『 数 学 の 夜 明 け』(森 北 出 版,1997)

中   勇,銀

林   浩 訳)『 数 学 を つ く っ た人 び と(上)(下)』(東

  京 図 書,1997)  10) E.マ

オ ー ル(伊

理 由 美 訳)『 不 思 議 な 数ｅ の 物 語 』(岩 波 書 店,1999)

 11)  伊 達 宗 行 『「 数 」 の 日本 史 』(日 本 経 済 新 聞 社,2002)

索  引

■人  名

パ ス カ ル   189,218 ピ タ ゴ ラ ス   16,38

ア イ ゼ ン ロ ー ル   15

ピ ロ ラ オ ス   16

ア イ ン シ ュ タ イ ン   51,53,

フ ァ ラ デ イ  72,155,162

207

フ ェ ル ミ   174

１次 関 数   66 １次 方 程 式   163 位 置 ベ ク トル  145 一 価 関 数   60

プ ラ ン ク   207

移 動 距 離   92,93,128 イ ン ド―ア ラ ビア 数 字   18

ア ー ベ ル   87

ブ ル ネ レ ス キ   43

イ ン ド記 数 法   17

ア ル キ メ デ ス   28

べ 一 コ ン   41,57

引 力   ６,23

ウ ェ ス トフ ォ ー ル   64

へ ラ ク レ イ トス   39

エ ル ミ ー ト  88

へ ロ ド ト ス   39

渦   159

ポ ア ッ ソ ン  88

『吽字 義 』  34

ガ ウ ス   161

ポ ア ン カ レ   174

加 藤 範 夫  119 ガ リ レイ(ガ リレオ) ｉ,

ホ イ ヘ ン ス   28,129

運 動   129 ―の 軌 跡   95

ア シ ョ ー カ 王  18

ボ ル ツ マ ン   87

運 動 曲線   60,99,98

１ ,41 ガ ロ ア  87

マ ッ ク ス ウ ェ ル  72,155,161

運 動 距 離   97 運 動 速 度   97

吉 備 真 備  44

マ ー フ ィ ⅱ

運 動 方 程 式   127,146,176

空 海  34,44

村 松 茂 清   28

運 動 量   54,143,145

ク レ ル レ  88

ユ ー ク リッ ド 60

エ ジ プ ト  14,15

ケ イ リー   185 ケ プ ラ ー  63

吉 田 光 由  19

ｘ座 標   47

吉 田 洋 一  19

Ｘ線 回折   118,137

ク リヴ ェ リ  42

コ ー シ ー  88

『Ｘ線 回 折 と構 造 評 価 』  ラ イ プ ニ ッ ツ   95,128,186

最 澄  44 シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー  207

ラ プ ラ ス   161,189,218

x‐y‐z座 標 空 間   47

リ ン ド  15

ｎ階 微 分   123

シ ルべ ス タ ー   186 デ カ ル ト  41,46,53,57,60,

■あ 行

119

x‐y座 標 平 面   47

ｎ次 関 数   100 エ ネ ル ギ ー  74,86,129,143 エ ネ ル ギ ー 曲 線  100

ア シ ョー カ 王 碑 文   18

エ ネ ル ギ ー 準 位   193

デ ュ ー ラ ー   43

ア ッチ カ 記 号   17

寺 田 寅 彦 ２

ア ー ベ ル 関 数  88

m×n行列  167 エ ル ゴ ー ドの仮 説   196

ア ボ ガ ドロ数  84,189

エ ル ゴ ー ド問題   196

ア ラ ビア 数 字   18

エ ル ミー ト演 算 子   185

ア ル フ ァベ ッ ト記 号   17 ア ンぺ ー ル の 法 則  144,156,

エ レ ク トロ ニ クス 文 明   175

62,63,65,129,218

ド ・ブ ロ ィ  207

中 谷 宇 吉 郎   ２,13,31 ニ ュ ー ト ン   ｉ,６,41,47,53, 57,62,63,65,67,95,128,

160,161

129

円運 動   81 遠 近 法   42,46 演 算 子   147

ネ イ ピ ア   85

位 相 角  114,116 位 相 空 間   47,53,63

円周 率   28 遠 心 力   52

ハ イ ゼ ン ベ ル ク   14,186,189

位 置   116

円 錐 曲線   68

エ ン ト ロ ピ ー  87,120

オ イ ラ ー の 公 式  114,117, 178

関係式 ９

空 の論 理   19

干 渉   182

空 論 的 自 然 科 学   34

干 渉縞   183

楔形 文 字   15

関 数   41,59,61

応 用 科学   14

関 数形   122

組 み合 わ せ   192 位 取 り  18

大 きさ  ３

観 測値  184

グ ラ デ ィエ ン ト  147

温 度   121

観 測問 題  208

グ ラ フ  59

■か  行

ク ラ メ ル の 公 式   169

解   164

機 械 論 的 自然 観  57 幾 何 学   17,60

階 乗 計 算   194

技 術   ２,13

外 積   144

基 準 ベ ク トル   135

計 算 数 字   19

解 析 幾 何 学   60,62

軌 跡   57

回 折   118

期 待 値   200

結 晶 格 子   175 ケ プ ラー の 第 ２法 則   143

回 折 波   118 回 折 波 動   138

気 体 の 状 態 方 程 式   75

現 実 気 体   78

回 転   152

基 底 空 間   181

工 学  13

回 転 運 動   81,106,113,170

逆 演 算   103

回 転 角   49

交換 法 則   168 工 業 技 術  ２

回 転 成 分   153

逆 行 列   168 逆 三 角 関 数   80

回転 力   154

級 数 論   88

合 成 波   118

界 面 エ ネ ル ギ ー   74

級 数和   96 行   166

合 成 波 動   137

共 役 複 素 数   184

光 速   162

強 磁 性 体  79

勾 配   147,152 交 流   33

ガ ウス の 定 理   157 ガ ウ ス の 法則   73,142,156, 157 ガ ウ ス 分布   212 科 学   13 科 学 と数学   ２

クー ロ ン の 法則   22,71,148 クー ロ ン力   72,104

気 体 分 子   75

強 誘 電 体   79 行列  165,185 ―の対 角 化   172

格 子 振 動   175

構 造 因 子   119

誤 差   123 コサ イ ン  80,106

『科 学 の 方 法 』  ２

行 列 計 算   166,170

古 典 物 理 学   36

角 運 動 量   143,145,146 角 速 度   49

行 列 式   165,185

固 有 関 数   184

行 列 表 示   165

固 有 値   172,178,180,184

確 率   185,189,190,210

行 列 要 素  166

確 率 解 釈   208

行 列 力 学  186

固 有 ベ ク トル   172,178,180, 184

確 率 関 数   212

極 限   95,98

確 率 振 幅   204,205 確 率 的 存 在   203

極 座 標   46,48 曲 線 の 傾 き  123

確 率 の 波   203,206

極 大 点   103

確 率 変 数   200

巨 視 的 世 界   36

確 率 密 度   200 重 ね 合 わ せ の 原 理   117,205

虚 数   32

最 小 変化 量   215 サ イ ン  80,106

固有 方 程 式   180 コ リオ リ力  52

■さ  行

虚 数 単 位   32

座 標   44,46

仮 数   33 加 速 度   10,11

虚 数 部 分  33

座 標 空 間   45,47

虚 部   33

座 標 群   57

加 速 度 運 動  93

距 離   139

座 標 系   46

形  ３

ギ リシ ア  16

座 標 原 点   47

傾 き  67,99

座 標 平 面   34,45,47

加 法 定 理  82,198

近 似 値   29 近 代 科 学   57

ガ リレ オ の相 対 性   136 ガ リレ オ 変換   51

空 位   18

カ ー ル  152

空 の 思 想   19

座 標 変 換   50,81,170,172 ―の 式   51 三 角 関 数   52,80,82,105,113 ―の 微 分   108

自 由落 下  ４,11,70

正 弦 公 式   83

３次 関数  73

自 由落 下 時 間  66

静 止   65

３次 元 ベ ク トル  134 ３次 方程 式   77,103

重力 ８ ―の加 速 度   12

整 数   21 正 接 関 数   80,109

重力場 ９

静 電 エ ネ ル ギ ー  105

シ ュ メー ル人   15

産 業 革 命  58

算 用 数 字   17 時 間  63,92,116 時 間 軸  53

瞬 間   63,96,100

静 電 場   69 静 電 ポ テ ン シ ャ ル  69,148

循 環 小 数  27

精 度   28,94

時 間 と位 置   53 時 間微 分   146

純 虚 数   33

正 の整 数   22

順 列   191

正 方行 列   167

象 形 文 字   15

積 集 合   198

磁 気 エ ネ ル ギ ー  108

象 限   47

析 出  74

色 彩 遠 近 法  43

消 失 遠 近 法  43

析 出核   74

磁 気 分 極   108,141

小 数  25

積 分  97

磁 気 ポ テ ン シ ャル   78

小 数 点   26

積 分 記 号   97,129

磁 気 モ ー メ ン ト  78

状 態   86

積 分 定 数   128

時 空   52

状 態 数   86,120,209

積 分 法  95

仕 事   104,139

衝突 ６ 条 坊   44,45

斥 力   23 接 線   68

乗 法 定 理   199 常 用 対 数   37

絶 対 温度   121

し きい値  75

事 象   190 指 数   34,35,83 指 数 関 数  83,86,111,113, 116,120,179 ―の 導 関 数   120

磁 力 線   ６,133 『塵 劫 記 』  19,39

―の傾 き  94,99,124 絶 対 時 間  67 ゼ ロ  18

指 数 法則   36,84

真 数   37

『零 の 発 見 』 

自然 科 学   ２,14,219

振 動   80,105

線 遠 近 法   42

自然 現 象 と数 式   ３

振 動 子   208

線 形 代 数   163,172,185

自然 支 配 の理 念   57

振 動 数   116

自然 数  21

振 動 成 分   116

全 事 象  196 全 体 集合   196

自然 対 数   37 自然 対 数 関 数   119 ―の 導 関 数   119 磁 束 密度   156,161

19

線 分   56 数   ３,14 ― の 概 念   15

双 曲線   68,75

― の 種 類   20

双 曲線 関 数   68,80

実証 的 自然 科 学   34

数 学   ２,３,16,219

相 対 度 数   195

10進 法   15,19,84

数 式   41

相 転 移   79

実数   26,32

数 直 線   22,92

速 度   10,54,99

実数 部 分   33

ス カ ラ ー   131,132

速 度 ベ ク トル   136

質点  ９

ス カ ラ ー 関 数   147

存 在 確 率 密 度 分 布   204

実 部   33

ス カ ラ ー 積   140,142,146,

質 量   11

150,152,157

■た  行

磁 場   108,141,159

ス カ ラ ー 量   132,152

対 称 行 列   179

自発 磁 化   79

図 形 の 数 量 化   56

帯 小 数   26

尺度  １

ス タ ー リ ン グ の 公 式   209

対 数   34,37

斜 交 座 標  46

ス トー ク ス の 定 理   159

写 実 主 義  43

ス ピ ノー ル

代 数 学   17 対 数 関 数   83,86,119

 161

―の微 分   120

自 由 エ ネ ル ギ ー   122 周 期   49 周 期 的運 動  80

正 規 分 布   213

大 数 の法 則   195

整 級 数 式   64

代 数 方 程 式   88

集 合   196

整 級 数 展 開   64

ダ イバ ー ジ ェ ン ス  150,162

12進 法   20

正 弦 関 数   80,106

ダ イバ ー ジ ェ ン ト  150

楕 円 関 数 論  88

等 速 度 運 動   10,93

微 視 的 世 界  36

多 価 関 数   60

特 性 方 程 式   180

微 小 移 動 距 離   95

多 項 式   64

微 小 距 離   94

単 位   １,３

独 立 試 行   195 独 立 事 象   197

単 位 行 列   180

独 立 変 数   124

単 位 時 間   94 単 位 ベ ク トル   135 単 位 胞   118 タ ン ジ ェ ン ト  80,109

微 小 変 化   215 ピタ ゴ ラ ス学 派   16,30,38 ピタ ゴ ラ ス ・ ト リプル   30

■な 行

ピタ ゴ ラ スの 定 理   16,30,38

内 積   140

微 分   95,97,100,124

長 岡 京   44 ナ ブ ラ  147

微 分 演 算 子   129

力  ６,８,129,139 ―の モ ー メ ン ト  147

波 の 収縮   208

微 分 係 数   101

長安   44

2×2 

直 交座 標   46

２階微 分   177

微 分 法   92

直 流   33

２次 関数   69,79,99

直 角 三 角 形   30

２次 元 ベ ク トル   134

微 分 方程 式   100,101,126, 127

２進 法   19,84

標 準 偏 差   202,203

底   36,83

微 分 演 算   114

微 分 積 分   62 167

２変 数関 数   164

定 在 波   118 定 数   218 テ イ ラ ー 展 開   121,212 デ カ ル ト座 標   41,46,53 デル タ  151

微 分 積 分 学   129

ファ ラ デ イ の 法則   156 熱 力 学 的 重 率  87 熱 量   121 ■ は 行

不 確 定 性 原 理   189,205 複 素 数   33,137 複 素 数 軸   114 複 素 数 平 面   34

電 圧   105

場   ９,72

物 質 波   181

電 位   69,128,148

場 合 の数   190 ハ イパ ボ リツ ク ・コ サ イ ン

物体の落下 ３ 不 定 積 分   104

電 荷 密 度   156

  68 ハ イパ ボ リッ ク ・サ イ ン  68

電 荷 量   22

波 数   116

部 分 集 合   196

電 気 力 線   ６,23,72,156

波 束 の 収 縮   206

電 気 力 線 密 度   141

波 長   116

不 変 式 論   186 プ ラス の 整 数   22

電 気 力   23

発 散   73,148,152

プ ラ ー フ ミー 数 字   18

電 磁 気 学   155,162

波 動   80,105

プ ラ ン ク定 数   181

電 子 ス ピ ン  161,209 電 子 線 回 折   118

波 動 運 動   106,113

振 り子   179

波 動 関 数   182,184,186,205 ―の 収 縮   206

分割   93 分 散  202

転 置 行 列   179

波 動 性   181,203,208 バ ネ の 運 動   126

点電 荷   69

バ ビ ロニ ア   14,15

分 子 集 団  86

電場   72,104,128,148,156

ハ ミル トンの 演 算 子   148

分 数  25

電 流   159

速 さ  10,54

電 荷  23,104,141,156 展 開 式   102

電 磁 波   156,162,181 テ ン ソル  161

物 理 量   131 負 の 整 数   22

―の 思 考   94 分 子 間 引 力  78

反 射   118

平 均 速 度   92,93

導 関 数   102

『パ ンセ 』  218

統 計   189

反 対 称 行 列   179

平 均 値   201 平 行 座 標  46

統 計 的 確 率   195

万 有 引 力定 数   ８

平 衡 状 態   100

統 計 熱 力 学   119

万 有 引 力 の法 則   ６,23,71

平 城 京   44

統 計 力 学   86,189,209 等 時 間 間 隔   94

光  156,181

平 方 根   29 べ き指 数   83

等式  ９

飛 行 曲線   60

ベ ク トル  131,134,152

―の 演 算   136

密 度   77

―の 回 転   153 ―の 成 分   134 ―の 倍 変 換   139

落 下 距 離  ４,99 落 下 時 間   ４,99

無 限 小 数   27 無 比 数   30,31

落 下 速 度   11,66,70,96 ラ プ ラ シ ア ン  151

―の 微 分   145 ベ ク トル 演 算   155

無 理 数   29,31

ラ プ ラ ス の演 算 子   151

ベ ク トル 演 算 子   148,152

メ ゾス コ ピ ッ ク世 界   36

ラ プ ラ ス の 方程 式   151

ベ ク トル 解 析   161

メ ソポ タ ミア  15

ベ ク トル 積   144,145,146,

面 積   97

158 ベ ク トル 量  132,139

面 積 速 度 一 定 の 法 則   143 面 積 ベ ク トル  157

離 散 的   200

偏差 値   203

モ ナ ド  129

変 数   59,61,124

物 指 し  １

粒 子 性   181,203,208 量   ３,８

変 化   65

偏 微 分   123 偏 微 分 係 数   124,147 変 分 法   216

■や   行

力線 ６ ―の面 密 度   ７ 理 想 気 体 の 状 態 方 程 式  68, 125

量 子   208 量 子 数   209

有 限 小 数  27

量 子 物 理 学   36

有 効 数 字  28

量 子 力 学   129,181,184,186

ポ ア ッ ソ ン分布   214

湧 出量   150

量 子 論 的 粒 子   181,183,203

ホ イ ヘ ンス の 原理   182

誘 電 性  80

法線 ベ ク トル  158

有 比 数  30

『方 程 式 の 代 数 的 解 法 』  88

有 理 数  29

ル ー ト  29

放 物 線   71

余 弦 関 数  80,106

列   166

保 存 則   143 ボ ル ツ マ ン 因子  218

余 弦 公 式   83

連 成 振 り子   174,175,179

４次 関 数   79

連 続 事 象   191 連 立 方程 式   164,165,169,

リ ン ド ・パ ピル ス  15

放 物 運 動   93

ボルツ マ ン定 数  87,218 ボルツ マ ン の関 係 式   87 ボルツ マ ン分 布   215,218

■ま  行 マ イ ナ ス の整 数   22 マ ク ロ世 界   36,181 マ ッ ク ス ウ エル の 方 程 式  155,161,162 ミ ク ロ 世 界   36,181,189

４次 元 時 空 間   51 余 事 象   196 ■ ら  行 ラ グ ラ ン ジ ュの 微 分 記 号   111 ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定 係 数 法   217

  173,180 60進

法   15,20

ロ ー テ ー シ ョ ン   152,162 ロ ー レ ン ツ 変 換   51

■わ  行

ラ ジ ア ン  81

ｙ座 標   47

落 下 ６

和 事 象   198

落 下 運 動   96,99

和 集 合   198

著者 略歴   志 村 史 夫(し        

む ら ・ふみ お)

1948年  東 京 ・駒 込に生 まれ る 1974年  名 古屋工 業大学大 学院修 士課程 修了(無 機材 料工 学) 1982年  工学 博士(名 古屋 大学 ・応用物 理) 現 在  静 岡理工科 大学教 授,ノ ー スカ ロライナ州立 大学 併任教 授

  小 林 久 理 眞(こ

ばや し ・くりま)

  1952年  北海 道 に生 まれ る   1982年  東京 工業大 学総合 理工学研 究科材 料科 学専攻         博士 課程修 了   現  在  静岡理 工科 大学理工 学部物 質科学 科助教 授         工学博 士

〈した しむ物 理 工 学 〉

した しむ物 理数学

定価 はカバ ーに表示

2003年 ２月10日   初 版第 １刷

著 者 志

村

 小

林

発行者 朝 発行所

史 久

倉

株式 会社 朝

理

夫 眞

邦

造

倉 書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号 電

FAX 

〈 検 印省 略 〉

4‐254‐22768‐X

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〓2003〈 無 断複写 ・転載 を禁 ず〉 ISBN

 162‐8707

話  03(3260)0141

C3355

教文 堂 ・渡 辺製本

Printed in Japan

〈した しむ物 理 工 学 〉 核 とな る考 え方 に重 点 を置 き,真 の理解 をめ ざす 新 しい入 門 テキ ス ト 静岡理工科大 志 村 史 夫 著 〈した しむ 物 理 工 学 〉

し た

し む 振

22761‐2  C3355 

A5判 

静岡理工科大  志 村 史 夫 監修

動

と 波

168頁  本 体3200円

静岡理工科大  小 林 久理 真  著

〈し た しむ 物 理 工 学 〉

し

た

し

22762‐0 C3355 

む

A5判 

電

磁

気

160頁 本 体2700円

静岡理 工科大  志 村 史 夫  著 〈した しむ 物 理 工 学 〉

し

た

し

22763-9  C3355 

む

A5判 

静岡理工科大  志 村 史 夫  監修

量

子

論

176頁  本 体3200円

静岡理工科大  小 林 久理 真 著

〈し た しむ 物 理 工 学 〉

し

た

し

22764‐7 C3355 

む

A5判 

磁

性

196頁 本 体3500円

静岡理工科大  志村史夫著 くし た しむ 物 理 工 学 〉

し た し む 固 体 構 造 論 22765‐5 C3355 

A5判 

184頁 本 体3400円

日常の生活 で,振 動 と波 の現象に接 して いるこ と は非常 に多い。本書 は身近 な現象 を例に あげなが ら,数 式は感覚的理解 を助 け る有効 な範 囲に とど め,図 を多用 し平易 に基礎 を解 説。 〔 内容〕 振 動／ 波／音／電磁波 と光／物質 波／波動現象 電磁気学の土 台 となる骨格部分 をて いね いに説明 し,数 式のもつ意 味 を明解にす るこ とを 目的。〔 内 容〕力学の概 念 と電磁気 学／数 式 を使 わない電 磁 気学 の概要／電磁気学 を表現す るための数学 的道 具／数学的表現 も用 いた電磁 気学／応用／ ま とめ 難解 な学問 とみ られ ている量子力学の世界。 実は その仕組み を知れ ば身近 に感 じられ るこ とを前提 に,真 髄 ・哲学 を明らか にす る書。 〔 内容 〕 序論 ： さまざまな世界／古典物理 学か ら物理学へ／ 量子 論の核心／量子論 の思想／ 量子力学 と先端 技術 先端的技術か ら人 間生活 の身近 な環境に まで浸透 している磁性 につ き,本 質 的な面 白さを堪能 すべ く明解 に説 き起 こす。 〔内容〕 序 論／磁性の世 界の 階層性／電磁気学／古典論／ 量子論／磁性／磁 気 異方性／磁壁 と磁 区構造／保磁 力 と磁化反転 原子や分子の構成要素が ３次元的に規則正 しい周 期性 を持 って配列 した物質 が結晶であ る。本 書で は その美 しさを実感 しなが ら,物 質の構造へ の理 解 を平易に追求す る。 〔内容〕 序 論／原子 の構 造 と 結合／結晶／表面 と超微粒 子／ 非結晶／格 子欠陥

静岡理工科大  志村史夫著

エ ン トロ ピー,カ

〈し た し む物 理 工 学 〉

う に熱 力 学 は 難 解 な学 問 と受 け 取 られ て い るが, 本 書 で は基 本 的 な数 式 をべー ス に 図 を 多用 し具 体 的 な記 述 で 明 解 に説 き起 す 〔内 容 〕序 論 ／ 気 体 と熱 の 仕 事 ／ 熱 力 学 の 法 則 ／ 自由 エ ネ ル ギー と相 平衡

し

た

し

22766‐3 C3355 

む

A5判 

熱

力

学

168頁 本 体3000円

静岡理工科大  志村史夫著 〈し た し む物 理 工 学 〉

し た

し む 電

22767‐1 C3355 

A5判 

子

物

性

200頁 本 体3400円

学習院大  江 沢  洋著

現

代

13068‐  C3042

量子論的粒子 である電子(エ レク トロン)のはた ら きの基本的 な理論 につ き,数式 を最小 限に とどめ, 視覚的 ・感覚的理解 が得 られ るよう図 を多用 して いね いに解説 〔目次〕 電子物性 の基礎／導電性 ／誘 電性 と絶縁性／半導体物性／ 電子放出 と発光 理 論 物 理 学 界 の 第 一 人者 が,現 代 物 理 学 形 成 の経

物   A5判 

英国 クイー ン ズカ レ ッ ジ Ｋ.ギッブ 前上 智大  笠  耐 訳

理

学

584頁 本 体7000円 ス著

ゆ か い な 物 理 実 験 13084‐8  C3042 

ル ノー サ イ クル に 代 表 さ れ る よ

A5判 

288頁 本 体3900円

緯 を歴 史 的 な実 験 装 置や 数 値 も出 し なが ら具 象 的 に 描 き 出す テ キ ス ト。 数 式 も出 て く るが,そ の場 所 で丁 寧 に 説 明 し て い る の で,予 備 知 識 は 不 要 。 こ の一 冊 で力 学 か ら統 一 理 論 に まで 辿 りつ け る ！

30人の生徒 を物理の授業 に惹 きつけ る秘訣 は ？ 「ゆかいな物理 実験 」を使 うこ と。30年間の物理 の 授業 で体得 した興 味深 く楽 しい600のア イデ アを すべ ての現場教師 に贈 る。 〔 内容〕一般物理学／ 力 学／波 と光／熱物理学／電磁気 学／現代 物理 学  上 記 価 格(税 別)は2003年

ｌ月現 在