Спектральная устойчивость неотрицательных самоспряженных операторов

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 76–111 УДК 517.55+517.95 СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОС...

Author: Буренков В.И. | Ламберти П.Д. | Де Кристофорис М.Л.

19 downloads 146 Views 397KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 76–111 УДК 517.55+517.95

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ c 2006 г.

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

АННОТАЦИЯ. Данный обзор посвящен спектральной устойчивости равномерно эллиптических дифференциальных операторов при изменении области определения и соответствующим оценкам отклонения собственных значений. Подробно рассмотрены два подхода. Первый подход предполагает деформацию области определения преобразованием определенного класса и изучение спектральной устойчивости в терминах этого преобразования. Второй подход основан, главным образом, на понятии оператора перехода и позволяет сравнивать собственные значения для близких в том или ином смысле областей.

1.

ВВЕДЕНИЕ

Данная обзорная работа посвящена некоторым задачам спектральной устойчивости для неотрицательных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Особое внимание уделяется равномерно эллиптическим дифференциальным операторам с однородными краевыми условиями. Материал обзора основан на работах [4, 18–22, 29, 32, 36–44]. Нашей основной задачей является изучение отклонений собственных значений λn [Ω] неотрицательного самосопряженного равномерно эллиптического оператора, заданного на открытом множестве Ω ⊂ RN , при изменении Ω (в качестве примера можно рассматривать первую, вторую или третью краевую задачу для оператора Лапласа). Другими словами, требуется сравнить собственные значения λn [Ω1 ] и λn [Ω2 ], соответствующие двум близким открытым множествам Ω1 и Ω2 . Существует два основных подхода к решению этой задачи. При первом (более классическом) подходе предполагается, что Ω2 = φ(Ω1 ), где φ — преобразование, удовлетворяющее определенным условиям. Фактически, в этом случае изучается зависимость собственных значений λn [φ(Ω1 )] от преобразования φ. Преимуществом здесь является то, что становится возможным получить не только результаты о непрерывности, но и более сильные результаты о регулярности, включая дифференцируемость и аналитичность. Другое преимущество состоит в том, что предположения об открытом множестве Ω1 минимальны. Данный подход развит в рамках общей теории возмущений, восходящей к работам Ф. Реллиха (см. [57]) и подробно изложенной в монографии Т. Като [6]. Ему следовали многие авторы, среди которых мы отметим [34–38, 40, 41, 44, 56, 59]. Здесь этот подход рассматривается в разделе 4. Однако заметим, что для двух заданных множеств Ω1 и Ω2 , вообще говоря, сложно найти такое удовлетворяющее требуемым свойствам преобразование φ, что Ω2 = φ(Ω1 ). Второй, более общий, подход не использует преобразования φ и позволяет непосредственно сравнивать собственные значения λn [Ω1 ] и λn [Ω2 ], см. [4, 18–22, 29, 32, 45, 53, 54]. Этот подход рассматривается в разделе 3. При изучении непрерывной зависимости собственных значений от открытого множества Ω первый подход является, по сути, частным случаем второго. Более того, задача оценки отклонения λn [Ω2 ] от λn [Ω1 ] может рассматриваться как частный случай еще более общей задачи сравнения собственных значений двух самосопряженных операторов, действующих в двух гильбертовых пространствах. А именно, для двух (неограниченных) неотрицательных самосопряженных операторов H1 и H2 с компактными резольвентами, действующими в гильбертовых пространствах H1 и H2 , можно изучать неравенства типа λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + cn δ(H1 , H2 ),

(1.1) c

2006 РУДН

76

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

77

где cn > 0, а δ(H1 , H2 ) — заданная «мера близости» H1 и H2 . (Как обычно, собственные значения λn [H] неотрицательного самосопряженного оператора H с компактной резольвентой упорядочиваются в виде неубывающей последовательности и каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность.) Анализ методов, использованных рядом авторов для доказательства неравенств типа (1.1), показал наличие схожих моментов, что инициировало введение понятия оператора перехода и привело к общей теореме о спектральной устойчивости [4, 19]. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что справедливость неравенства (1.1) при всех n ∈ N эквивалентна существованию оператора перехода с H1 на H2 (см. пункт 3.1). Эта теорема применима к операторам вида X (−1)m Dα Aαβ (x)Dβ u , x ∈ Ω, |α|=|β|=m

с однородными краевыми условиями. Здесь коэффициенты Aαβ удовлетворяют условию равномерной эллиптичности. При фиксированных коэффициентах собственные значения λn [Ω] такого оператора зависят только от Ω. Вообще говоря, эти собственные значения не являются устойчивыми при возмущении области определения. Более того, произвольное преобразование открытого множества может приводить к неожиданным спектральным эффектам (см. примеры 3.8, 3.9 и 3.10, а также [7, с. 420] и [33]). Таким образом, чтобы гарантировать устойчивость собственных значений, необходимо сузить класс допустимых преобразований открытого множества. В разделе 3 показано, что для операторов произвольного порядка имеет место устойчивость собственных значений, если деформация не выводит область определения из некоторого фиксированного семейства открытых множеств с непрерывной границей (см. теоремы 3.5 и 3.14). Там же приведены оценки для отклонения собственных значений. В некоторых случаях удается оценить отклонение собственных значений через изменение меры множества. Наиболее точная оценка получена для операторов второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле или Неймана. В этом случае существуют числа cn , εn > 0 такие, что |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| 6 cn |Ω1 M Ω2 |, если |Ω1 M Ω2 | < εn , для всех открытых множеств Ω1 , Ω2 , принадлежащих некоторому фиксированному семейству открытых множеств класса C 1,1 (см. теоремы 3.12 и 3.18). Кроме того, ряд квалифицированных оценок для |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| известен в случае негладких открытых множеств (см. теоремы 3.3, 3.6 и 3.7, а также работы [29, 32, 53, 54]). Для операторов второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле условие регулярности границы можно заменить на условие выполнения определенного неравенства типа Харди. В этом случае также можно доказать устойчивость собственных значений и получить соответствующие оценки (см. теорему 3.7). В случае однородного краевого условия Неймана справедлив весьма общий результат о полунепрерывности сверху в предположении, что деформированная область содержится в исходной (см. теорему 3.13), и получены квалифицированные оценки близости собственных значений. В теоремах 3.9 и 3.16 рассматриваются однородные краевые условия Дирихле и Неймана: утверждается, что в случае непрерывных по Липшицу коэффициентов Aα,β существуют числа cn , εn > 0 такие, что |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| 6 cn εγ , если (Ω1 )ε ⊂ Ω2 ⊂ (Ω1 )ε и 0 < ε < εn для всех Ω1 и Ω2 , принадлежащих некоторому фиксированному семейству открытых множеств класса C 0,γ . Третья краевая задача рассматриваются в пункте 3.4. В этом случае изучается зависимость собственных значений λn [Ω, h] от множества Ω и функции h, входящей в краевое условие. В частности, множество Ω может оставаться неизменным, а функция h изменяться. При более сильных ограничениях на класс допустимых деформаций можно доказать утверждения о регулярности более высокого порядка для собственных значений (как функций области определения). Именно, для данного открытого множества Ω ⊂ RN можно рассмотреть преобразования, задаваемые липшицевыми или локально липшицевыми гомеоморфизмами φ (гомеоморфизм

78

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

φ можно считать элементом банахова пространства преобразований, непрерывно вложенного в обычное полунормированное пространство липшицевых отображений множества Ω в RN ). Таким образом, собственные значения λn [φ(Ω)] эллиптического оператора, заданного на φ(Ω), можно рассматривать как функции переменного преоборазования φ и изучать свойства их дифференцируемости по φ. Для простоты мы ограничиваемся рассмотрением оператора Лапласа с однородными краевыми условиями Дирихле или Неймана. Хорошо известно [7], что отображение φ 7→ λn [φ(Ω)] является непрерывным и даже липшицевым (см. пункт 4.1 и работы [27, 38, 40, 41]). Кроме того, хорошо известно [34, 35, 56], что простые собственные значения вещественно-аналитически зависят от φ. В случае кратных собственных значений ситуация более сложная, поскольку кратность собственных значений может изменяться при деформации области. Вообще говоря, собственное значение λn [φ(Ω)] кратности m > 2 может распадаться на m простых собственных значений при сколь угодно малом изменении φ (см. теорему 4.7 и работы [49–51]). По теореме Реллиха—Надя (см. теорему 4.6 и работы [35, 57, 58]) при возмущении φε преобразования φ, аналитически зависящем от скалярного параметра ε ∈ R, собственные значения, на которые разделяется собственное значение λn [φ(Ω)] кратности m, могут быть описаны m вещественно-аналитическими функциями параметра ε. Однако теорема Реллиха—Надя не верна для возмущений, зависящих от двух и более параметров (см. пример 4.1). В этом случае имеет смысл рассматривать элементарные симметрические функции собственных значений, которые вещественно-аналитически зависят от φ. (см. теорему 4.5). Из вещественной аналитичности элементарных симметрических функций собственных значений следует, что собственные значения вещественно-аналитически зависят от φ в случае, когда преобразования φ сохраняют кратность этих собственных значений (см. пункт 4.2). В пункте 4.3 изучается структура множества преобразований φ, сохраняющих кратность собственных значений. Это множество должно быть многообразием конечной коразмерности в пространстве преобразований φ (см. [1, 26, 39, 43, 46–48, 60]). Большинство результатов раздела 4, которые обычно формулируют для гладких областей определения Ω и гладких преобразований, верны также в более общем случае негладких областей и липшицевых преобразований φ. Эти результаты сформулированы нами при минимальных ограничениях на открытые множества Ω. Здесь же рассматривается задача о зависимости собственных функций от области определения. Доказаны липшицева и аналитическая зависимость от φ для так называемых собственных проекторов, т. е. ортогональных проекторов на пространство, порожденное собственными функциями (см. теоремы 4.2, 4.4 и 4.5). 2.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Принцип минимакса. Пусть H — гильбертово пространство1 со скалярным произведением (·, ·)H , и пусть оператор H : Dom(H) → H, где Dom(H) — плотное линейное подмножество H, является неотрицательным, самосопряженным и линейным, кратко H — неотрицательный, самосопряженный и линейный оператор на H. Предположим, что оператор H имеет компактную резольвенту, т. е. для некоторого λ ∈ C множество значений H − λI совпадает с H и обратный оператор (H − λI)−1 : H → H существует и компактен2 . Тогда все собственные значения оператора H неотрицательны и имеют конечную кратность, спектр оператора H является счетным множеством, не имеющим конечных предельных точек, и состоит из всех собственных значений оператора H. Будем считать, что собственные значения упорядочены в виде неубывающей последовательности и каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность. Пусть λn [H], n ∈ N, — n-й элемент этой последовательности (отметим, что λn [H] → ∞ при n → ∞). Здесь N обозначает множество натуральных чисел. Обозначим также N0 = N ∪ {0}. Собственные числа λn [H] можно выразить с помощью принципа минимакса, формулировку которого мы сейчас напомним (см. теорему 4.51 в [30]). Для конечномерного подпространства L 1 2

Гильбертово пространство мы всегда считаем бесконечномерным и сепарабельным. Отсюда следует, что это верно для любого λ из резольвентного множества H.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

79

пространства Dom(H) положим µ(L) := sup

(Hf, f )H : f ∈ L, f 6= 0 . (f, f )H

(2.1)

Рассмотрим числа µn [H] := inf {µ(L) : L ⊂ Dom(H), dim L = n} ,

(2.2)

где n ∈ N. Отметим, что числа µn [H] определены для любого оператора H : Dom(H) → H. Теорема 2.1 (принцип минимакса). Пусть H — неотрицательный самосопряженный линейный оператор на H с компактной резольвентой. Тогда λn [H] = µn [H],

n ∈ N.

(2.3)

Как известно, для любого неотрицательного самосопряженного линейного оператора H на H существует квадратный корень H 1/2 из H, т. е. определенный единственным образом неотрица тельный самосопряженный линейный оператор H 1/2 : Dom H 1/2 → H такой, что Dom(H) ⊂ Dom H 1/2 ⊂ H, причем f ∈ Dom(H) тогда и только тогда, когда f ∈ Dom H 1/2 и H 1/2 f ∈ Dom H 1/2 , и такой, что H 1/2 H 1/2 f = Hf для всех f ∈ Dom(H). Таким образом, (Hf, g)H = H 1/2 f, H 1/2 g H для всех f ∈ Dom(H) и g ∈ Dom H 1/2 (см. [30, пункт 4.3]). Квадратный корень из оператора H дает другое вариационное описание спектра оператора H, которое существенно используется в дальнейшем. Именно, для конечномерного подпространства L 1/2 пространства Dom H положим ( ) H 1/2 f, H 1/2 f H 0 µ (L) := sup : f ∈ L, f 6= 0 . (2.4) (f, f )H Рассмотрим числа n o µ0n [H] := inf µ0 (L) : L ⊂ Dom H 1/2 , dim L = n ,

(2.5)

где n ∈ N. Тогда справедлив следующий результат (см. теорему 4.5.3 в [30]). Теорема 2.2. Пусть H — неотрицательный самосопряженный линейный оператор на H. Тогда µn [H] = µ0n [H], n ∈ N. (2.6) Следствие 2.1. Пусть H — неотрицательный самосопряженный линейный оператор на H с компактной резольвентой. Тогда λn [H] = µ0n [H],

n ∈ N.

(2.7)

Отметим, что при n = 1 формулы (2.3) и (2.7) принимают вид (Hf, f )H λ1 [H] = inf : f ∈ Dom(H), f 6= 0 = (f, f )H ) ( H 1/2 f, H 1/2 f H = inf : f ∈ Dom H 1/2 , f 6= 0 . (2.8) (f, f )H Если λ1 [H] > 0, то из (2.8) следует −1/2 −2 λ1 [H] = kH −1 k−1 kH→H . H→H = kH

2.2. Равномерно эллиптические операторы. Пусть Ω — открытое множество в RN . Напомним понятие неотрицательного самосопряженного равномерно эллиптического оператора, ассоциированного с формальным дифференциальным выражением X Lu = (−1)m Dα Aαβ (x)Dβ u , x ∈ Ω, (2.9) |α|=|β|=m

с однородными краевыми условиями Дирихле или Неймана.

80

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

При всех m ∈ N обозначим через W m,2 (Ω) пространство Соболева всех комплекснозначных функций из L2 (Ω), у которых все обобщенные производные порядка m принадлежат L2 (Ω). В пространстве W m,2 (Ω) введем норму X kukW m,2 (Ω) = kukL2 (Ω) + kDα ukL2 (Ω) , |α|=m

∂ α1 +...+αN u — обобщенная производная функции u порядка α на Ω, а |α| = α1 + ∂xα1 1 . . . ∂xαNN m,2 . . . + αN для всех мультииндексов α = (α1 , . . . , αN ) ∈ NN 0 . Обозначим через W0 (Ω) замыкание в m,2 W (Ω) множества всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω. При всех |α| = |β| = m рассмотрим ограниченные измеримые вещественнозначные функции Aαβ на Ω, удовлетворяющие равенствам Aαβ = Aβα и условию равномерной эллиптичности X Aαβ (x)ξα ξβ > θ|ξ|2 (2.10) где Dα u =

|α|=|β|=m

при всех x ∈ Ω и ξ = (ξα )|α|=m , где |ξ| обозначает евклидов модуль вектора ξ и θ > 0 не зависит от x и ξ. Пусть V (Ω) — замкнутое подпространство в W m,2 (Ω), содержащее W0m,2 (Ω). Рассмотрим следующую задачу на собственные значения: Z Z X α β Aαβ D u D vdx = λ uvdx (2.11) Ω |α|=|β|=m

Ω

для всех функций v ∈ V (Ω); ищутся функции u ∈ V (Ω), u 6≡ 0 на Ω (собственные функции) и числа λ ∈ C (собственные значения). Интегральное тождество (2.11) — это формулировка в обобщенном смысле задачи на собственные значения оператора (2.9) с соответствующими однородными краевыми условиями. Выбор подпространства V (Ω) определяется краевыми условиями. Как обычно, в случае V (Ω) = W0m,2 (Ω) мы говорим об однородных краевых условиях Дирихле, а в случае V (Ω) = W m,2 (Ω) — об однородных краевых условиях Неймана. Напомним следующий известный результат (см. теорему 4.4.2 в [30]). Теорема 2.3. Пусть m ∈ N, Ω — открытое множество в RN такое, что вложение N V (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, и θ > 0. Предположим, что при всех (α, β) ∈ NN 0 × N0 таких, что |α| = |β| = m, на Ω заданы ограниченные и измеримые вещественнозначные функции Aαβ , причем Aαβ = Aβα и выполнено условие (2.10). Тогда существует неотрицательный самосопряженный линейный оператор HV на L2 (Ω) с 1/2 компактной резольвентой такой, что Dom HV = V (Ω) и Z X 1/2 1/2 HV u, HV v 2 = Aαβ Dα u Dβ v¯dx (2.12) L (Ω)

Ω |α|=|β|=m

при всех u, v ∈ V (Ω). При этом, если λ — собственное значение оператора HV , а u — соответствующий собственный вектор, то выполняется равенство (2.11) для всех v ∈ V (Ω), и наоборот. В дальнейшем, говоря о неотрицательном самосопряженном равномерно эллиптическом операторе на Ω с однородными краевыми условиями Дирихле (V (Ω) = W0m,2 (Ω)) или Неймана (V (Ω) = W m,2 (Ω)), мы всегда имеем в виду оператор HV : Dom (HV ) → L2 (Ω), определяемый этой 1/2 теоремой (напомним, что u ∈ Dom (HV ) тогда и только тогда, когда u ∈ V (Ω) и HV u ∈ V (Ω)). В частности, если Lu = −∆u, то рассматривается оператор Лапласа в области Ω с однородным краевым условием Дирихле или Неймана. Напомним, что для любого открытого множества Ω с конечной мерой на RN вложение m,2 W0 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно. Если Ω при этом ограничено и имеет непрерывную границу, то вложение W m,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) также компактно (см. теорему 1.4 [52, с. 17] и теорему 8 [17, с. 169]).

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

81

2.3. Классы открытых множеств. Для любого множества E ⊂ RN и любого ρ > 0 обозначим Eρ = {x ∈ E : dist(x, ∂E) > ρ} . Напомним следующее определение. Пусть ρ > 0, s, s0 ∈ N, s0 6 s, и пусть {Vj }sj=1 — семейство ограниченных открытых прямоугольных параллелепипедов, а {rj }sj=1 — семейство поворотов. Говорят, что ограниченное открытое множество Ω ⊂ RN имеет непрерывную границу с параметрами ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 , или, кратко, Ω принадлежит классу C(ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), если s S (i) Ω ⊂ (Vj )ρ и (Vj )ρ ∩ Ω 6= ∅ при всех j = 1, . . . , s; j=1

(ii) Vj ∩ ∂Ω 6= ∅ при всех j = 1, . . . s0 и Vj ⊂ Ωρ при всех s0 < j 6 s; (iii) существуют такие вещественные числа ajl , bjl , что ajl < bjl при всех j = 1, . . . , s и l = 1, . . . , N, rj (Vj ) = { x ∈ RN : ajl < xl < bjl , l = 1, . . . , N } при всех j = 1, . . . , s и rj (Ω ∩ Vj ) = {x ∈ RN : ajN < xN < gj (¯ x), x ¯ ∈ Wj } при всех j = 1, . . . , s0 , где x = (¯ x, xN ), x ¯ = (x1 , . . . , xN −1 ), Wj = {¯ x ∈ RN −1 : ajl < xl < bjl , l = 1, . . . , N − 1}, а функции gj равномерно непрерывны на Wj ; кроме того, ajN + ρ 6 gj (¯ x) 6 bjN − ρ при всех j = 1, . . . , s0 и x ¯ ∈ Wj . Пусть ω : [0, ∞[→ [0, ∞[ — непрерывная возрастающая функция такая, что ω(0) = 0 и inf

06a61, 0
ω(a + b) − ω(a) > 0. b

Говорят, что ограниченное открытое множество, имеющее непрерывную границу с параметрами ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 , принадлежит классу C 0,ω(·) (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), где M > 0, если все функции gj удовлетворяют условию |gj (¯ x) − gj (¯ y )| 6 M ω(|¯ x − y¯|) при всех x ¯, y¯ ∈ Wj . Пусть 0 < γ 6 1 и ω(a) = aγ при всех a > 0. Тогда если Ω принадлежит классу C 0,ω(·) (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), то Ω имеет непрерывную по Гельдеру границу; говорят, что Ω принадлежит классу C 0,γ (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ) или Lip (γ, M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ). Говорят, что ограниченное открытое множество в RN принадлежит классу C 1,γ (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), если функции gj дифференцируемы и удовлетворяют условию ∂gj ∂gj ∂g j x) 6 M, x) − (¯ y ) 6 M |¯ x − y¯|γ ∂xi (¯ ∂xi (¯ ∂xi при всех x ¯, y¯ ∈ Wj и i = 1, . . . , N − 1. Говорят, что Ω принадлежит классу C l (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), l ∈ N, если все функции gj таковы, что sup sup |Dα gj (¯ x)| 6 M. ¯∈Wj 16|α|6l x

Также говорят, что Ω принадлежит классу C 0,ω(·) , C 0,γ и т. д., если оно принадлежит классу {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), C 0,γ (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ) и т. д. с некоторыми параметрами M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 .

C 0,ω(·) (M, ρ, s, s0 ,

82

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

3. СОБСТВЕННЫЕ 3.1.

ЗНАЧЕНИЯ БЛИЗКИХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Операторы перехода. Общая теорема о спектральной устойчивости.

3.1.1. Операторы перехода. Пусть H1 и H2 — два непустых семейства гильбертовых пространств. Для любых H1 ∈ H1 и H2 ∈ H2 обозначим через H1 = H1 (H1 ) и H2 = H2 (H2 ) неотрицательные самосопряженные линейные операторы с компактными резольвентами на H1 и H2 соответственно. Требуется сравнить собственные значения λn [H1 ] и λn [H2 ], n ∈ N, операторов H1 и H2 . Пусть ϕn [H1 ] и ϕn [H2 ] — соответствующие собственные векторы. Мы будем считать, что они выбраны так, что множества {ϕn [H1 ]}n∈N и {ϕn [H2 ]}n∈N ортонормированы. Обозначим через Ln [H1 ] ли∞ S нейную оболочку множества {ϕ1 [H1 ], . . . , ϕn [H1 ]} и обозначим L[H1 ] = Ln [H1 ]. Аналогично n=1

определим Ln [H2 ] и L[H2 ]. В силу теоремы 2.1 и следствия 2.1, чтобы сравнить собственные значения λn [H1 ] и λn [H2 ], мы можем сравнивать величины µn [H1 ] и µn [H2 ] или µ0n [H1 ] и µ0n [H2 ]. Нам будет удобнее рассматривать числа µ0n [H1 ] и µ0n [H2 ]. Следующее определение, данное в [4, 19], описывает в общем виде условия близости операторов H1 и H2 , обеспечивающие близость собственных значений λn [H1 ] и λn [H2 ]. Определение 3.1. Пусть H1 и H2 — два непустых семейства гильбертовых пространств и B1 = {H1 (H1 ) : H1 ∈ H1 },

B2 = {H2 (H2 ) : H1 ∈ H2 },

где H1 (H1 ) и H2 (H2 ) — неотрицательные самосопряженные линейные операторы с компактными резольвентами на H1 и H2 соответственно. Рассмотрим отображение δ : B1 × B2 → [0, ∞) (меру близости операторов H1 ∈ B1 и H2 ∈ B2 ) 0 , δ 00 6 ∞ при всех m, n ∈ N. и числа amn , bmn такие, что 0 6 amn , bmn < ∞ и 0 < δmn mn Пусть заданы операторы H ∈ B и H ∈ B . Говорят, что линейный оператор T12 : L[H1 ] → 1 1 2 2 1/2 Dom H2 является оператором перехода с H1 на H2 с мерой близости δ и параметрами amn , bmn , (i) (ii) (iii) (iv)

0 00 (коротко: оператор перехода с H на H ), если выполнены следующие условия: δmn и δmn 1 2 0 ; (T12 ϕn [H1 ], T12 ϕn [H1 ])H2 > 1 − ann δ(H1 , H2 ), n ∈ N, если δ(H1 , H2 ) < δnn 0 ; |(T12 ϕm [H1 ], T12 ϕn [H1 ])H2 | 6 amn δ(H1 , H2 ), m, n ∈ N, m 6= n, если δ(H1 , H2 ) < δmn 1/2 1/2 00 ; (H2 T12 ϕn [H1 ], H2 T12 ϕn [H1 ])H2 6 λn [H1 ] + bnn δ(H1 , H2 ), n ∈ N, если δ(H1 , H2 ) < δnn 1/2 1/2 00 . |(H2 T12 ϕm [H1 ], H2 T12 ϕn [H1 ])H2 | 6 bmn δ(H1 , H2 ), m, n ∈ N, m 6= n, если δ(H1 , H2 ) < δmn

3.1.2. Общая теорема о спектральной устойчивости. Следующий общий результат был сформулирован в [4] и доказан в [19]. Теорема 3.1. Пусть H1 , H2 , B1 , B2 и δ заданы определением 3.1. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (s1 ) для любого n ∈ N существуют числа 0 6 cn < ∞ и 0 < εn 6 ∞ такие, что неравенство (3.1)

λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + cn δ(H1 , H2 )

выполнено для всех H1 ∈ B1 и H2 ∈ B2 , удовлетворяющих неравенству δ(H1 , H2 ) < εn ; 0 , δ 00 6 ∞ такие, что (s2 ) для любых m, n ∈ N существуют числа 0 6 amn , bmn < ∞ и 0 < δmn mn для любых H1 ∈ B1 и H2 ∈ B2 существует оператор перехода T12 с H1 на H2 с мерой 0 00 . близости δ и параметрами amn , bmn , δmn и δmn Кроме того, если справедливо утверждение (s2 ), то неравенство (3.1) выполнено для всех H1 ∈ B1 и H2 ∈ B2 , удовлетворяющих неравенству δ(H1 , H2 ) < εn , cn = 2(an λn [H1 ] + bn ), где  an = 

n X k,l=1

1/2 a2kl 

 , bn = 

n X

k,l=1

εn = min{δn0 , δn00 , (2an )−1 },

(3.2)

1/2 b2kl 

0 00 , δn0 = min δkl , δn00 = min δkl . k,l6n

k,l6n

(3.3)

Эта теорема сводит доказательство неравенств типа (3.1) к задаче нахождения соответствующего оператора перехода.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

83

3.1.3. Замечания. Сделаем ряд замечаний, которые могут оказаться полезными при использовании этой теоремы. 1. Операторы перехода T12 не обязательно должны быть определены на всем пространстве 1/2 Dom H1 или быть в каком-то смысле ограниченными из L[H1 ] в H2 . 2. Если T12 : L[H1 ] → Dom (H2 ) , то можно не использовать квадратный корень из H2 , поскольку условия (iii) и (iv) в определении 3.1 становятся эквивалентными условиям (v) (H2 T12 ϕn [H1 ], T12 ϕn [H1 ])H2 6 λn [H1 ] + bnn δ(H1 , H2 ), n ∈ N, (vi) |(H2 T12 ϕn [H1 ], T12 ϕn [H1 ])H2 | 6bmn δ(H 1 , H2 ), m, n ∈ N, m 6= n. 1/2 Однако условие T12 : L[H1 ] → Dom H2 дает б´ольшую свободу при конструировании 1/2 оператора T12 , поскольку Dom H2 ⊃ Dom (H2 ) . Кроме того, иногда легче описать область 3.

4. 5.

6.

7.

определения H 1/2 , чем область определения H. Если δn0 = ∞, δn00 = ∞ или an = 0, то соответствующая величина в выражении min{δn0 , δn00 , (2an )−1 } из формулы (3.2) отсутствует. В частности, если верно утверждение (s2 ) с δn0 = δn00 = ∞ и an = 0, то εn = ∞ и неравенство (3.1) выполнено без каких либо ограничений на δ(H1 , H2 ). Если верно утверждение (s2 ) с amn = bmn = 0, m, n ∈ N, то λn [H2 ] 6 λn [H1 ]. Если H1 = {H1 }, H2 = {H2 } и B1 = {H1 }, B2 = {H2 }, где H1 и H2 — фиксированные гильбертовы пространства, то числа amn и bmn зависят от H1 и H2 . В этом случае, для того чтобы гарантировать, что в неравенстве (3.1), где cn определено формулой (3.2), слагаемое cn δ(H1 , H2 ) мал´о, нужна дополнительная информация о числах amn и bmn . Пусть H1 = {H1 }, где H1 — фиксированное гильбертово пространство, H2 — бесконечное семейство гильбертовых пространств, B1 = {H1 } и B2 = {H2 (H2 ) : H2 ∈ H2 }. Тогда числа amn и bmn зависят от оператора H1 и семейства операторов B2 (а не от какого-либо конкретного оператора из семейства B2 ). Поэтому слагаемое cn δ(H1 , H2 ) в неравенстве (3.1), где cn определено формулой (3.2), может быть сколь угодно малым, если оператор H2 ∈ B2 достаточно близок к оператору H1 в том смысле, что мера близости δ(H1 , H2 ) операторов H1 и H2 достаточно мала. Предположим, что H1 = H2 , B1 = B2 = B, мера близости δ симметрична и верно утверждение (s2 ). Тогда из теоремы 3.1 следует, что двусторонняя оценка |λn [H1 ] − λn [H2 ]| 6 2cn δ(H1 , H2 )

(3.4)

при всех n ∈ N, если δ(H1 , H2 ) < εn . Кроме того, если Λn = sup λn [H] < ∞ для любого H∈B

n ∈ N, то из неравенства (3.4) следует |λn [H1 ] − λn [H2 ]| 6 2˜ cn δ(H1 , H2 ),

(3.5)

где c˜n = 2(an Λn + bn ), что дает равномерную оценку для H1 , H2 ∈ B. В этом случае величина 2˜ cn δ(H1 , H2 ) может быть сколь угодно малой, если H1 , H2 ∈ B и δ(H1 , H2 ) достаточно мало. 8. Неравенство (3.1) дает оценку сверху для λn [H2 ], вообще говоря, при фиксированном n. Однако если  1/2  1/2 ∞ ∞ X X a= a2kl  , b =  b2kl  < ∞, δ 0 = inf δn0 , δ 00 = inf δn00 > 0, k,l=1

k,l=1

n∈N

n∈N

то из неравенства (3.1), где cn и εn определены формулой (3.2), вытекают следующие оценки для всего спектра оператора H2 . Если amn = 0 при всех m, n ∈ N, то sup(λn [H2 ] − λn [H1 ]) 6 2bδ(H1 , H2 ) n∈N

при δ(H1 , H2 ) < min{δ 0 , δ 00 }. В противном случае пусть число n0 ∈ N таково, что λn0 [H1 ] > 0. Тогда b λn [H2 ] 61+2 a+ δ(H1 , H2 ) sup λn0 [H1 ] n>n0 λn [H1 ] при δ(H1 , H2 ) < min{δ 0 , δ 00 , (2a)−1 }.

84

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

9. Пусть n ¯ ∈ N. Если при n ¯ = 1 неравенства (i) и (iii) и при n ¯ > 1 неравенства (i)–(iv) в определении 3.1 выполняются только для m, n 6 n ¯ , то утверждение (s1 ) с n 6 n ¯ эквивалентно 1/2 утверждению (s2 ) с m, n 6 n ¯ . В этом случае T12 : Ln¯ [H1 ] → Dom H2 . 10. Пусть δn : B1 × B2 → [0, ∞[ при всех n ∈ N. Если в пунктах (i) и (iii) определения 3.1 заменить δ(H1 , H2 ) на δn (H1 , H2 ), а в пунктах (ii) и (iv) заменить δ(H1 , H2 ) на max{δm (H1 , H2 ), δn (H1 , H2 )}, то из утверждения (s2 ) будет следовать неравенство (3.1) с max δm (H1 , H2 ) вместо δ(H1 , H2 ), если max δm (H1 , H2 ) < εn . 16m6n

16m6n

11. Доказательство необходимости в теореме 3.1 довольно простое. Действительно, если вначале определить оператор T12 по формуле T12 ϕn [H1 ] = ϕn [H2 ], n ∈ N, а затем продолжить его до линейного оператора на L[H1 ], то условия (i) и (ii) определения 3.1 будут выполнены с 0 00 = ε и b 00 amn = 0 и δmn = ∞, а условия (iii) и (iv) — с bnn = cn , δnn n mn = 0, δmn = ∞ в случае m 6= n. Определенный таким образом оператор T12 является в некотором смысле наилучшим. Однако использовать его для доказательства неравенств типа (3.1) смысла нет, так как для его задания требуется слишком много информации: нужно знать все собственные функции ϕn [H1 ] и ϕn [H2 ], а следовательно, все собственные значения λn [H1 ] и λn [H2 ]. Поэтому следует искать такие операторы перехода, которые определяются без использования ϕn [H1 ] и ϕn [H2 ], но при этом, по возможности, близки к оператору перехода, определенному выше. Это можно сделать следующим образом. 1/2 1/2 Пусть оператор T12 : Dom H1 → Dom H2 линеен, и пусть для любых орто 1/2 гональных элементов f, g ∈ Dom H1 существуют числа 0 6 a(f, g), b(f, g) < ∞ и 0 < δ 0 (f, g), δ 00 (f, g) 6 ∞ такие, что: (i0 ) (T12 f, T12 f )H2 > (f, f )H1 − a(f, f )δ(H1 , H2 ), если δ(H1 , H2 ) < δ 0 (f, f ), 0 (ii0 ) |(T 12 f, T12 g)H2 | 6 a(f, g)δ(H1 , H2 ), если δ(H1 , H2 ) < δ (f, g), 1/2 1/2 1/2 1/2 (iii0 ) H2 T12 f, H2 T12 f 6 H1 f, H1 f + b(f, f )δ(H1 , H2 ), H2

H1

если δ(H1 , H2 ) < δ 00 (f, f ), 1/2 1/2 6 b(f, g)δ(H1 , H2 ), если δ(H1 , H2 ) < δ 00 (f, g). (iv0 ) H2 T12 f, H2 T12 g H2 Тогда T12 — оператор перехода в смысле определения 3.1, где amn = a(ϕm [H1 ], ϕn [H1 ]), bmn = b(ϕm [H1 ], ϕn [H1 ]) и т. д. Предположения, сделанные выше, являются более жесткими, чем в определении 3.1, но преимущество заключается в том, что они не используют собственные значения λn [H1 ] и собственные векторы ϕn [H1 ]. Идея применения теоремы 3.1 состоит в использовании различных операторов перехода T12 , удовлетворяющих условиям (i0 )–(iv0 ), что позволяет получить неравенства (i)–(iv) и, следовательно, неравенство (3.1), используя только некоторые свойства ϕn [H1 ] и ϕn [H2 ]. 12. Условия (i) and (ii) в определении 3.1 можно заменить следующим условием: для всех векторов f ∈ Ln [H1 ] таких, что kf kH2 = 1, выполнено неравенство (T12 f, T12 f )H2 > 1 − an δ(H1 , H2 ),

(3.6)

если δ(H1 , H2 ) < δn0 . Условия (iii) и (iv) в определении 3.1 можно заменить следующим условием: для тех же f , что и выше, выполнено неравенство 1/2

1/2

(H2 T12 f, H2 T12 f )L2 (Ω2 ) 6 λn [H1 ] + bn δ(H1 , H2 ),

(3.7)

если δ(H1 , H2 ) < δn00 . Наконец, условия (i)–(iv) в определении 3.1 можно заменить условиями (3.6)–(3.7). Во всех этих случаях утверждение теоремы 3.1 остается справедливым (с соответствующими очевидными изменениями). В частности, если выполнены условие (3.6) и условия (iii) и (iv) в определении 3.1, то имеет место неравенство (3.1) с числами cn и εn , определенными равенствами (3.2), в которых числа an и δn0 теперь определены формулой (3.6), а числа bn и δn00 — формулой (3.3). Иногда удобно доказывать неравенство (3.1) в два этапа: сначала переходя с оператора H1 на некоторый оператор H3 , а затем с H3 на H2 . В этом случае полезна следующая лемма.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

85

Лемма 3.1. Пусть Hk , k = 1, 2, 3, — непустые семейства гильбертовых пространств, и пусть Bk = {Hk (Hk ) : Hk ∈ Hk }, где Hk (Hk ) — неотрицательные самосопряженные линейные опера0 , δ 00 6 ∞ при торы на Hk , с компактными резольвентами. Пусть 0 6 amn , bmn < ∞ и 0 < δmn mn всех m, n ∈ N. Предположим, что K > 1, δ : (B1 ∪ B3 ) × (B2 ∪ B3 ) → [0, ∞) и для всех H1 ∈ B1 , H2 ∈ B2 и H3 ∈ B3 выполнено (3.8)

δ(H1 , H3 ) + δ(H3 , H2 ) 6 Kδ(H1 , H2 ).

Пусть для некоторых H1 ∈ B1 , H2 ∈ B2 и H3 ∈ B3 операторы T13 и T32 являются операторами перехода c H1 на H3 и с H3 на H2 соответственно с мерой близости δ и параметрами 0 , δ 00 . amn , bmn , δmn mn Тогда для всех n ∈ N выполнено 3cn λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + Kδ(H1 , H2 ) (3.9) 2 при δ(H1 , H2 ) < εn /K, где cn и εn определены формулой (3.2). Для H1 ∈ B1 и H2 ∈ B2 из существования оператора перехода T12 с H1 на H2 , вообще говоря, не следует существования оператора перехода с H2 на H1 . По этой причине B1 и B2 часто являются разными семействами операторов, вследствие чего рассуждения, использованные для доказательства оценки (3.4), становятся неприменимыми. В этом случае можно пользоваться следующим вариантом леммы 3.1. Лемма 3.2. Пусть Hk , Bk , k = 1, 2, 3, — такие же, как в лемме 3.1, и пусть 0 6 amn , bmn < ∞ 0 , δ 00 и 0 < δmn mn 6 ∞ при всех m, n ∈ N, K > 1. Пусть мера близости δ : B × B → [0, ∞), где B = B1 ∪ B2 ∪ B3 , симметрична и удовлетворяет неравенству (3.8). Далее, пусть для некоторых H1 ∈ B1 , H2 ∈ B2 и H3 ∈ B3 операторы T12 , T23 и T31 являются операторами перехода с H1 на H2 , с H2 на H3 и с H3 на H1 соответственно с мерой близости δ 0 , δ 00 . и параметрами amn , bmn , δmn mn Тогда для любого n ∈ N |λn [H1 ] − λn [H2 ]| 6 3Kcn δ(H1 , H2 ), (3.10) если δ(H1 , H2 ) < εn /K, где cn и εn определены формулой (3.2). В дальнейшем мы будем рассматривать только следующий случай: H1 = L2 (Ω1 ), Ω1 ∈ A1 , H2 = L2 (Ω2 ), Ω2 ∈ A2 , где A1 и A2 — непустые семейства открытых множеств в H1 (L2 (Ω1 )), Ω1 ∈ A1 , и H2 (Ω2 ) вместо H2 (L2 (Ω2 )), Ω2 ∈ A2 .

RN .

(3.11)

Будем писать H1 (Ω1 ) вместо

3.1.4. Примеры операторов перехода. Доказательство большинства формулируемых далее утверждений о спектральной устойчивости основаны на теореме 3.1 и вышеприведенных замечаниях. Прежде чем перейти к ним, рассмотрим некоторые примеры, дающие представление о том, какими могут быть операторы перехода. Пример 3.1. Пусть Ω1 ⊂ Ω2 — непустые открытые множества в RN и A1 = {Ω1 } , A2 = {Ω2 } . Пусть H1 — оператор Лапласа на Ω1 с однородным краевым условием Дирихле, а H2 — оператор Лапласа наΩ2 с однородным краевым условием Дирихле, и пусть δ(H1 , H2 ) = 0. В этом случае 1/2 1/2 1,2 = W01,2 (Ω2 ). Предположим, что вложение W01,2 (Ω2 ) ⊂ Dom H1 = W0 (Ω1 ) и Dom H2 L2 (Ω2 ) компактно. Следовательно, вложение W01,2 (Ω1 ) ⊂ L2 (Ω1 ) также компактно. Тогда H1 и H2 имеют компактные резольвенты. Пусть T12 — оператор продолжения нулем, определенный по формуле f (x), x ∈ Ω1 , (T12 f )(x) = 0, x ∈ Ω2 \ Ω1 , для всех f ∈ L2 (Ω1 ). Хорошо известно, что T12 : W01,2 (Ω1 ) → W01,2 (Ω2 ), ∇T12 f = T12 ∇f при всех f ∈ W01,2 (Ω1 ) и по теореме 2.3 1/2 1/2 = (∇f, ∇g)L2 (Ωk ) . Hk f, Hk g 2 L (Ωk )

86

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

Таким образом, T12 является оператором перехода от H1 к H2 с мерой близости δ = 0 и парамет0 00 = ∞ при всех m, n ∈ N. Следовательно, λ [H ] 6 λ [H ]. Таким рами amn = bmn = 0, δmn = δmn n 2 n 1 образом, это хорошо известное неравенство (ср. [7, гл. VI, пункт 2.1]) вытекает из теоремы 3.1. Пример 3.2. Пусть (α1 , β1 ) ⊂ (α2 , β2 ), β2 − α2 < ∞, A1 = {(α1 , β1 )} , A2 = {(α2 , β2 )} . Пусть Hk — одномерный оператор Лапласа на интервале (αk , βk ) с однородным краевым условием Ней 1/2 1,2 мана, k = 1, 2, и пусть δ(H1 , H2 ) = 0. В этом случае Dom Hk = W (αk , βk ). Положим   f (α1 ), x ∈ (α2 , α1 ), f (x), x ∈ (α1 , β1 ), (T12 f )(x) =  f (β1 ), x ∈ (β1 , β2 ), для всех f ∈ W 1,2 (α1 , β1 ), где f (α1 ) и f (β1 ) — следы функции f в точках α1 и β1 соответственно. Хорошо известно, что T12 : W 1,2 (α1 , β1 ) → W 1,2 (α2 , β2 ), и по теореме 2.3 1/2 1/2 Hk f, Hk g 2 = (f 0 , g 0 )L2 (αk ,βk ) . L (αk ,βk )

Отсюда следует, что оператор T12 удовлетворяет условию (3.6) с an = 0 и δn0 = ∞ и условиям (iii) 00 = ∞. Следовательно, в силу теоремы 3.1 и замечания 12 в и (iv) определения 3.1 с bmn = 0 и δmn пункте 3.1.3 при любом n ∈ N справедливо неравенство λn [H2 ] 6 λn [H1 ]. Отметим, что это неравенство, очевидное при подстановке явных выражений для λn [H1 ] и λn [H2 ], следует из теоремы 3.1 без использования каких-либо формул для λn [H1 ], λn [H2 ], ϕn [H1 ] и ϕn [H2 ]. Тем же способом монотонность собственных значений доказывается и в более общем случае, когда (Hk u)(x) = −(p(x)u0 (x))0 , x ∈ (αk , βk ), где p — фиксированная ограниченная действительнозначная функция такая, что inf p(x) > 0. Отметим, что для произвольных p нет явных формул x∈(α2 ,β2 )

для λn [Hk ]. Пример 3.3. Пусть Ω1 — непустое открытое множество в RN , где N > 2, A1 = {Ω1 }, A2 = {ηΩ1 }0<η<1 , а H1 и H2 — операторы Лапласа на Ω1 и Ω2 ∈ A2 с однородными краевыми условиями Дирихле. Хорошо известно, что если Ω2 = ηΩ1 ∈ A2 , то λn,2 = η −2 λn,1 при всех n ∈ N. Тем не менее интересно выяснить, какой результат дает применение теоремы 3.1 в этом случае. Для Ω2 = ηΩ1 ∈ A2 положим δ(H1 , H2 ) = 1 − η N и (T12 f )(y) = f (y/η) , для всех f ∈ W01,2 (Ω1 ). Можно проверить, что оператор H2 и λn [H2 ] 6 η −2 λn [H1 ](1+2N (1−η)), если 2−N < η <

y ∈ Ω2 , T12 является оператором перехода с H1 на 1, что «близко» к равенству λn,2 = η −2 λn,1 ,

если Ω2 близко к Ω1 , т. е. η близко к 1. Пример 3.4. Пусть Ω1 — открытое множество в RN , а Φ(Ω1 ) — семейство всех «билипшицевых» отображений φ множества Ω1 в RN , т. е. таких, что φ и φ(−1) удовлетворяют условию Липшица. Пусть A1 = {Ω1 } , A2 = {φ(Ω1 ) : φ ∈ Φ(Ω1 )}, а H1 и H2 — операторы Лапласа на Ω1 и Ω2 ∈ A2 с однородными краевыми условиями Дирихле или Неймана. Доказательство большинства утверждений в разделе 4 основаны на изучении свойств оператора перехода, определенного по формуле (−1)

T12 f = f ◦ φ12

для всех f ∈ W01,2 (Ω1 ) или f ∈ W 1,2 (Ω1 ) соответственно, где φ12 ∈ Φ(Ω1 ) таково, что φ12 (Ω1 ) = Ω2 . Пример 3.5. Пусть Ω1 — область в RN класса C 2 . Напомним, что (Ω1 )ε = {x ∈ Ω1 : d(x, ∂Ω1 ) > ε} для любого ε > 0. Пусть A1 = {Ω1 }, A2 = {Ω2 : (Ω1 )ε ⊂ Ω2 ⊂ Ω1 }, а H1 и H2 — операторы Лапласа на соответственно Ω1 и Ω2 ∈ A2 с однородными краевыми условиями Дирихле. Следуя [32], введем функцию  0 < d(x, ∂Ω1 ) 6 ε,  0, (d(x, ∂Ω1 ) − ε)/ε, ε < d(x, ∂Ω1 ) 6 2ε, µ(x) =  1, 2ε < d(x, ∂Ω1 ),

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

87

для всех x ∈ Ω1 и положим (T12 f )(x) = µ(x)f (x), x ∈ Ω2 , для всех f ∈ W 1,2 (Ω1 ). В доказательстве утверждения о спектральной устойчивости в [32] (см. замечания в пункте 3.2) фактически было установлено, что T12 является оператором перехода с H1 на H2 с мерой близости δ(H1 , H2 ) = ε. Пример 3.6. Пусть Ω1 — открытое множество в RN класса C 0,γ (M, ρ, s, {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), где n 0 < γ 6 1 и ε > 0. Положим A1 = {Ω1 } , A2 = Ω2 : (Ω1 )ε ⊂ Ω2 ⊂ Ω1 , Ω2 ∈ C 0,γ M, ρ, s, {Vj }sj=1 , o {rj }sj=1 , A3 = {Ω3 = φε (Ω1 )} , где φε (x) = x − Bε

γ

s X

ξj ψj (x),

j=1 (−1)

ξj = rj (eN ), eN = (0, . . . , 0, 1), {ψj }sj=1 — стандартное разбиение единицы, подчиненное покрытию {Vj }sj=1 , а константа B > 0 настолько велика, что Ω3 = φε (Ω1 ) ⊂ (Ω1 )ε . Пусть Hk — операторы Лапласа на Ωk ∈ Ak , k = 1, 2, 3, с однородными краевыми условиями Неймана, а мера близости δ определена формулой δ ≡ εγ . Доказательство утверждения о спектральной устойчивости в [18] (см. теорему 3.16) фактически основано на лемме 3.2 со следующими операторами перехода: оператор перехода T12 с H1 на H2 — оператор сужения с Ω1 на Ω2 , т. е. 1/2 T12 f = f Ω2 , f ∈ Dom H1 = W 1,2 (Ω1 ); оператор перехода T23 с H2 на H3 — оператор сужения с Ω2 на Ω3 , т. е. 1/2 T23 f = f Ω3 , f ∈ Dom H2 = W 1,2 (Ω2 ); оператор перехода T31 с H3 на H1 — оператор суперпозиции, определенный по формуле 1/2 T31 f = f ◦ φε , f ∈ Dom H3 = W 1,2 (Ω3 ). Подобные операторы перехода также использовались в работе [22] при изучении спектральной устойчивости третьей краевой задачи для оператора Лапласа (см. пункт 3.4). Пример 3.7. Доказательство непрерывности собственных значений равномерно эллиптического дифференциального оператора порядка m с однородным условием Дирихле (см. теорему 3.3 ниже) может основываться на следующих операторах перехода. Пусть n ¯ ∈ N, ε > 0 и пусть функции us ∈ C0∞ (Ω1 ), s = 1, . . . , n ¯ , таковы, что kϕs [H1 ] − us kW m,2 (Ω1 ) < ε. Кроме того, пусть G — ограниченное открытое множество, удовлетворяющее условию n ¯ [

supp us ⊂ G ⊂ Ω1 .

s=1

Для всех Ω2 таких, что G ⊂ Ω2 ⊂ Ω1 , положим T12 ϕs [H1 ] = us ,

s = 1, . . . , n ¯,

и продолжим T12 до линейного оператора, заданного на Ln¯ [H1 ] (см. также замечание 9 в пункте 3.1.3).

88

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

3.2. Равномерно эллиптические операторы с однородными краевыми условиями Дирихле. В этом пункте мы будем рассматривать неотрицательные самосопряженные равномерно эллиптические операторы, ассоциированные с формальными дифференциальными выражениями (2.9) на открытых множествах Ω ⊂ RN с однородными краевыми условиями Дирихле (см. пункт 2.2). Кроме того, предположим, что коэффициенты Aαβ фиксированы и определены на открытом множестве, содержащем все рассматриваемые открытые множества Ω. Таким образом, собственные значения зависят только от Ω. Поэтому мы будем писать H[Ω], λn [Ω], ϕn [Ω], L[Ω] вместо HV , λn [HV ], ϕn [HV ], L[HV ] соответственно, где V (Ω) = W0m,2 (Ω). 3.2.1. Непрерывность собственных значений. Для полноты изложения сформулируем упомянутое в примере 3.1 утверждение о монотонности собственных значений оператора Лапласа с краевым условием Дирихле. Теорема 3.2. Пусть m ∈ N, θ > 0 и Ω1 — непустое открытое множество в RN такое, что вложение W0m,2 (Ω1 ) ⊂ L2 (Ω1 ) компактно. Предположим, что коэффициенты Aαβ определены на Ω1 и удовлетворяют условиям теоремы 2.3. Тогда для любого n ∈ N и непустого открытого множества Ω2 ⊂ Ω1 выполнено λn [Ω1 ] 6 λn [Ω2 ]. (3.12) Замечание 3.1. Из этой теоремы следует, что собственные значения полунепрерывны снизу, если Ω2 ⊂ Ω1 и Ω2 приближается к Ω1 в каком-либо смысле, в частности, если |Ω2 \ Ω1 | → 0. Однако последнее предположение является слишком слабым для того, чтобы собственные значения были непрерывны, так как из непрерывности при таком предположении следовало бы равенство λn [Ω2 ] = λn [Ω1 ] для всех Ω2 ⊂ Ω1 , удовлетворяющих условию |Ω1 \ Ω2 | = 0, что не имеет места. Более того, каковы бы ни были числа cn , εn > 0, «обратное» неравенство λn [Ω2 ] 6 cn λn [Ω1 ] для всех Ω2 ⊂ Ω1 , удовлетворяющих условию |Ω2 \ Ω1 | < εn , не выполняется. Это показывает следующий пример. k i π(r − 1) πr h S , , k ∈ N. Рассмотрим одномерные операПример 3.8. Пусть N = 1, Ωk = k k r=1 торы Лапласа на Ωk с однородными краевыми условиями Дирихле. Тогда h n − 1 i2 λn [Ωk ] = k 1 + , n ∈ N, k hn − 1i n−1 где обозначает целую часть числа . Таким образом, при k > 2, Ωk ⊂ Ω1 , |Ω1 \ Ωk | = 0 k k и при всех n ∈ N lim λn [Ωk ] = ∞. (3.13) k→∞

Если Ω2 ⊂ Ω1 и Ω2 приближается к Ω1 в более сильном смысле, то собственные значения становятся непрерывными. Это показывает следующая теорема. Теорема 3.3. Пусть выполнены предположения теоремы 3.2. Пусть Ωk — открытые множества, содержащиеся в Ω1 при любых k ∈ N, k > 2, и такие, что ∞ [ Ωk ⊂ Ωk+1 , Ωk = Ω1 . (3.14) k=2

Тогда lim λn [Ωk ] = λn [Ω1 ].

k→∞

(3.15)

Если Ω2 ⊃ Ω1 и Ω2 приближается к Ω1 , то требуются более сильные предположения, чтобы обеспечить непрерывность собственных чисел. Теорема 3.4. Пусть непустые ограниченные открытые множества Ωk в RN таковы, что ∞ \ Ωk ⊃ Ωk+1 , k > 2, Ωk = Ω1 . k=2

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

89

Предположим, что коэффициенты Aαβ определены на Ω2 и удовлетворяют условиям теоремы 2.3. Более того, предположим, что для любого открытого множества G ⊃ Ω1 существует число kG такое, что Ωk ⊂ G для всех k > kG , и что ∞ \

W0m,2 (Ωk ) = W0m,2 (Ω1 ).

(3.16)

k=2

Тогда выполняется (3.15). По поводу теорем 3.3 и 3.4 см. [14, 15]. В [14] также показано, что условие устойчивости пространств (3.16) является существенным для справедливости равенства (3.16). Пусть задано открытое множество Ω1 ⊂ RN с непрерывной границей. Вначале рассмотрим возмущения Ω2 множества Ω1 , удовлетворяющие условию (Ω1 )ε ⊂ Ω2 ⊂ (Ω1 )ε при достаточно малых ε > 0, где (Ω1 )ε = x ∈ RN : dist(x, Ω1 ) < ε .

(3.17)

Теорема 3.5. Пусть M > 0, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 и ω — такие же, как в пункте 2.3. Пусть N m ∈ N и θ > 0. Предположим, что при всех (α, β) ∈ NN 0 × N0 таких, что |α| = |β| = m, s S коэффициенты Aαβ — липшицевы вещественнозначные функции, заданные на Vj и удовлеs j=1 S творяющие равенству Aαβ = Aβα и условию (2.10) при всех x ∈ Vj . j=1

Тогда существует непрерывная функция f, отображающая интервал [0, ∞[ в себя, такая, что f (0) = 0 и при любом n ∈ N существуют такие числа cn , εn > 0, что |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| 6 cn f (ε)

(3.18)

RN

для всех ε ∈]0, εn [ и всех открытых множеств Ω1 , Ω2 ⊂ класса C 0,ω(·) M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 , удовлетворяющих условию (3.17). Теорема 3.5 доказана в [21]. 3.2.2. Оценки устойчивости собственных значений. В этом пункте мы рассмотрим операторы второго порядка. Таким образом, будем рассматривать только случай m = 1. При некоторых дополнительных предположениях о множестве Ω1 можно получить квалифицированные оценки для |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]|. Теорема 3.6. Пусть Ω1 — непустое ограниченное односвязное открытое множество в R2 . Тогда для любого n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что для собственных значений оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле выполнена оценка λn [Ω1 ] 6 λn [Ω2 ] 6 λn [Ω1 ] + cn ε1/2

(3.19)

для всех ε ∈]0, εn [ и всех открытых множеств Ω2 , удовлетворяющих условию (Ω1 )ε ⊂ Ω2 ⊂ Ω1 .

(3.20)

Этот результат был доказан при n = 1 в работе [54], а также иным методом для всех n ∈ N в [29, 32]. Теорема 3.7. Пусть Ω1 — непустая ограниченная область (т. е. непустое связное открытое множество) в RN такое, что для некоторых c, a > 0 выполнено следующее неравенство типа Харди: Z Z Z |f (x)|2 2 2 dx 6 c |∇f (x)| dx + a |f (x)|2 dx (3.21) d(x)2 Ω1

для всех f ∈

W01,2 (Ω1 ),

Ω1

где d(x) = dist(x, ∂Ω1 )

Ω1

90

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

Тогда для любого n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что для собственных значений оператора Лапласа с краевым условием Дирихле выполнена оценка λn [Ω1 ] 6 λn [Ω2 ] 6 λn [Ω1 ] + cn ε2/c

(3.22)

для всех ε ∈]0, εn [ и всех открытых множеств Ω2 , удовлетворяющих условию (3.20). Замечание 3.2. Если Ω1 — ограниченное односвязное открытое множество в R2 , то неравенство (3.21) выполняется при c = 4 и a = 0 (см. [13] и теорему 1.5.10 в [28]). Таким образом, из теоремы 3.7 следует теорема 3.6. Если Ω — ограниченное выпуклое открытое множество в RN , то неравенство (3.21) выполняется при c = 2 и a = 0 (см. [31]). Кроме того, если Ω1 принадлежит классу C 2 , то неравенство (3.21) выполняется при c = 2 и некотором 0 6 a < ∞ (см. [16]); следовательно, в последних двух случаях показатель степени 2/c в оценке (3.22) равен 1, что является неулучшаемым результатом. Теорема 3.8. Пусть Ω1 — ограниченная область в RN класса C 2 , 0 < θ < θ1 < ∞. Тогда для любого n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что для собственных значений любого равномерно эллиптического оператора второго порядка с ограниченными измеримыми вещественнозначными коэффициентами и с постоянными эллиптичности θ и θ1 выполнено неравенство √ (3.23) λn [Ω1 ] 6 λn [Ω2 ] 6 λn [Ω1 ] + cn ε θ/θ1 для всех ε ∈]0, εn [ и всех открытых множеств Ω2 , удовлетворяющих условию (3.20). Это утверждение p было доказано в работе [32], где также было выдвинуто предположение о том, что показатель θ/θ1 является неулучшаемым. Следующая теорема показывает, в частности, что при более √ сильных предположениях о коэффициентах можно получить оценку (3.23), в которой вместо ε θ/θ1 стоит просто ε. Теорема 3.9. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, θ > 0 и пусть 0 < γ 6 1. Предположим, что коэффициенты Aαβ удовлетворяют условиям теоремы 3.5. Тогда для любого n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| 6 cn εγ

(3.24)

для всех ε ∈ [0, εn [ и всех открытых множеств Ω1 , Ω2 в RN класса C 0,γ M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 , удовлетворяющих условию (3.17). Теорема 3.10. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, и пусть θ > 0, 2 < p 6 ∞. Пусть Ω1 — открытое множество в RN класса C 0,1 M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 . ∞ S

Предположим, что коэффициенты Aαβ определены на

Vj и удовлетворяют условиям тео-

j=1

ремы 2.3, а также выполнены соотношения ϕn [Ω1 ] ∈ W 1,p (Ω1 )

(3.25)

при всех n ∈ N. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что λn [Ω1 ] 6 λn [Ω2 ] 6 λn [Ω1 ] + cn |Ω1 \ Ω2 |1−2/p для всех открытых множеств Ω2 ⊂ Ω1 класса C 0,1 M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 , удовлетворяющих условию |Ω1 \ Ω2 | < εn .

(3.26)

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

91

Замечание 3.3. Если Ω1 принадлежит классу C 1,γ (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), а коэффициенты Aαβ принадлежат пространству C 0,γ (Ω1 ) при некотором 0 < γ 6 1, можно положить p = ∞ в (3.25), откуда получим неулучшаемый показатель 1 − 2/p = 1 в оценке (3.26). При еще более сильных предположениях о множествах Ω1 и Ω2 можно оценить |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| сверху через меру симметрической разности |Ω1 M Ω2 |. Теорема 3.11. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, и пусть θ > 0, 2 < p 6 ∞. Предположим, что коэффициенты Aαβ — ограниченные измеримые функции, определенные на s S при всех x ∈ Vj .

s S

Vj и удовлетворяющие равенству Aαβ = Aβα и условию (2.10)

j=1

j=1

Кроме того, предположим, что A — непустое семейство открытых множеств класса C 0,1 (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ) такое, что sup kϕn [Ω]kW 1,p (Ω) < ∞

(3.27)

Ω∈A

при всех n ∈ N. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| 6 cn |Ω1 M Ω2 |1−2/p

(3.28)

для всех Ω1 , Ω2 ∈ A, удовлетворяющих условию |Ω1 M Ω2 | < εn . Теорема 3.12. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, и пусть θ > 0. Предположим, что коэффициенты Aαβ удовлетворяют условию теоремы 3.5. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| 6 cn |Ω1 M Ω2 | для всех открытых множеств Ω1 , Ω2 в ряющих условию |Ω1 M Ω2 | < εn .

RN

класса

C 1,1 (M, ρ, s, s0 , {V

(3.29) s s j }j=1 , {rj }j=1 ),

удовлетво-

Теоремы 3.9–3.12 доказаны в [19]. 3.3. Равномерно эллиптические операторы с однородными краевыми условиями Неймана. В этом пункте рассматриваются неотрицательные самосопряженные равномерно эллиптические операторы, ассоциированные с формальными дифференциальными выражениями (2.9) на открытых множествах Ω ⊂ RN с однородными краевыми условиями Неймана (см. пункт 2.2). Кроме того, предполагается, что коэффициенты Aαβ фиксированы и определены на открытом множестве, содержащем все рассматриваемые открытые множества Ω. Таким образом, собственные значения зависят только от Ω. Поэтому мы будем писать H[Ω], λn [Ω], ϕn [Ω], L[Ω] вместо HV , λn [HV ], ϕn [HV ], L[HV ] соответственно, где V (Ω) = W m,2 (Ω). 3.3.1. Непрерывность собственных значений. Начнем с формулировки следующего утверждения о полунепрерывности, которое в некотором смысле заменяет свойство монотонности (см. теорему 3.2). Теорема 3.13. Пусть m ∈ N, θ > 0, а Ω1 — фиксированное непустое открытое множество в RN такое, что вложение W m,2 (Ω1 ) ⊂ L2 (Ω1 ) компактно. Предположим, что коэффициенты Aαβ определены на Ω1 и удовлетворяют условиям теоремы 2.3. Тогда для любого n ∈ N и любого ε > 0 существует σ > 0 такое, что для всех непустых открытых множеств Ω2 ⊂ Ω1 таких, что вложение W m,2 (Ω2 ) ⊂ L2 (Ω2 ) компактно и |Ω1 \ Ω2 | < σ, имеет место неравенство λn [Ω2 ] 6 λn [Ω1 ] + ε. Замечание 3.4. Эта теорема, доказанная в [18], устанавливает полунепрерывность сверху собственных значений при условии, что Ω2 ⊂ Ω1 и |Ω1 \ Ω2 | → 0. Непрерывность в общем случае не имеет места.

92

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

Если вложения W m,2 (Ωk ) ⊂ L2 (Ωk ) компактны при k ∈ N, k > 2, Ωk ⊂ Ω1 и lim |Ω1 \ Ωk | = 0,

(3.30)

k→∞

то по теореме 3.13 при всех n ∈ N lim λn [Ωk ] 6 λn [Ω1 ].

k→∞

Без дополнительных предположений о множествах Ωk «обратное» неравенство λn [Ω1 ] 6 cn lim λn [Ωk ] k→∞

(3.31)

не выполняется ни при каких cn > 0 даже для оператора Лапласа с краевым условием Неймана. Это показывает следующий пример. k i π(r − 1) πr h S , , k ∈ N, как в примере 3.8. Рассмотрим k k r=1 одномерные операторы Лапласа на Ωk с однородными краевыми условиями Неймана. Тогда h n − 1 i2 λn [Ωk ] = k , n ∈ N. k

Пример 3.9. Пусть N = 1 и Ωk =

Таким образом, при k > 2 и Ωk ⊂ Ω1 равенство (3.30) выполнено, и для всех n > 1 λn [Ω1 ] > 0,

lim λn [Ωk ] = 0.

k→∞

(3.32)

В данном случае нарушается условие (3.14). Однако, даже если это более сильное условие выполнено, неравенства (3.31) могут не иметь места. Это показывает следующий пример (ср. [7, с. 420]). Пример 3.10. Пусть N = 2, Ω1 =]0, 1[×]0, 1[, и пусть при k ∈ N, k > 2, определены множества Ωk = Ωk,1 ∪ Ωk,2 ∪ Ωk,3 , где Ωk,1 =]0, 1[ × ]0, 1 − 2−k [,

Ωk,2 =]2−1 − 2−4k , 2−1 + 2−4k [ × [1 − 2−k , 1 − 3 · 2−k−2 ],

Ωk,3 =]0, 1[ × ]1 − 3 · 2−k−2 , 1 − 2−k−1 [. Рассмотрим одномерные операторы Лапласа на Ωk с краевыми условиями Неймана. Тогда выполнено условие (3.14), λ2 [Ω1 ] > 0 и lim λ2 [Ωk ] = 0. Это означает, что константы Чигера множеств Ωk k→∞

(см. [23, 25]) стремятся к нулю при k → ∞; иначе было бы lim λ2 [Ωk ] > 0. k→∞

Однако если границы множеств Ω1 и Ω2 непрерывны и выполняются некоторые ограничения на параметры, характеризующие множества Ω1 и Ω2 , то можно доказать устойчивость собственных значений при всех m, n ∈ N. Имеет место следующее утверждение о равномерной непрерывности. Теорема 3.14. Пусть параметры M > 0, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 и ω — такие же, как в пункте 2.3. Пусть m ∈ N и θ > 0. Предположим, что коэффициенты Aαβ удовлетворяют условиям теоремы 3.5. Тогда существует непрерывная возрастающая функция f, отображающая интервал [0, ∞[ в себя, такая, что f (0) = 0 и для любого n ∈ N существуют такие числа cn , εn > 0, что неравенство (3.18) выполнено для всех ε ∈]0, εn [ и всех открытых множеств Ω1 , Ω2 ⊂ RN класса C 0,ω(·) (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), удовлетворяющих условию (3.17). Теорема 3.14 доказана в [20].

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

93

3.3.2. Оценки устойчивости собственных значений. В этом пункте мы рассмотрим операторы второго порядка. Таким образом, изучается случай m = 1. При некоторых ограничениях на собственные функции ϕn [Ω1 ] можно получить квалифицированные оценки разности λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]. Теорема 3.15. Пусть θ > 0, 2 < p 6 ∞, а Ω1 — фиксированное непустое открытое множество в RN такое, что вложение W 1,2 (Ω1 ) ⊂ L2 (Ω1 ) компактно. Предположим, что коэффициенты Aαβ удовлетворяют условиям теоремы 3.11. Кроме того, предположим, что ϕn [Ω1 ] ∈ Lp (Ω1 ) при всех n ∈ N. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что λn [Ω2 ] 6 λn [Ω1 ] + cn |Ω1 \ Ω2 |1−2/p для всех непустых открытых множеств Ω2 ⊂ Ω1 таких, что вложение W 1,2 (Ω2 ) ⊂ L2 (Ω2 ) компактно и |Ω1 \Ω2 | < εn . Теорема 3.16. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, и пусть 0 < γ 6 1. Предположим, что коэффициенты Aαβ удовлетворяют условиям теоремы 3.11. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что неравенство (3.24) выполнено для всех ε ∈]0, εn [ и всех открытых множеств Ω1 , Ω2 ⊂ RN класса C 0,γ M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 , удовлетворяющих условию (3.17). В случае Ω2 ⊂ Ω1 теорема 3.16 была доказана в работе [18]. При еще более сильных ограничениях на множества Ω1 и Ω2 можно получить оценки сверху для |λn [Ω1 ] − λn [Ω2 ]| через меру симметрической разности |Ω1 M Ω2 |. Теорема 3.17. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, и пусть θ > 0, 2 < p 6 ∞. Предположим, что коэффициенты Aαβ — ограниченные измеримые функции, заданные на s S всех x ∈ Vj .

s S

Vj и удовлетворяющие равенству Aαβ = Aβα и условию (2.10) при

j=1

j=1

Кроме того, предположим, что A — непустое семейство открытых множеств класса C 0,1 (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ) такое, что неравенство (3.27) верно при всех n ∈ N. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что неравенство (3.28) выполнено при всех Ω1 , Ω2 ∈ A, удовлетворяющих условию |Ω1 M Ω2 | < εn . Теорема 3.18. Пусть параметры M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3, и пусть θ > 0. Предположим, что коэффициенты Aαβ удовлетворяют условиям теоремы 3.14. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn , εn > 0 такие, что неравенство (3.29) выполнено для всех открытых множеств Ω1 , Ω2 ⊂ RN класса C 1,1 (M, ρ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 ), удовлетворяющих условию |Ω1 M Ω2 | < εn . Теоремы 3.15, 3.17 и 3.18 были доказаны в работе [19]. Замечание 3.5. В теоремах 3.10, 3.11, 3.15 и 3.17 неравенства, означающие устойчивость собственных значений, зависят от свойств интегрируемости и дифференцируемости собственных функций. В этой связи отметим работы [5, 10–12, 19, 45, 53, 54], в которых были доказаны различные оценки. 3.4. Оператор Лапласа с третьим однородным краевым условием. В этом пункте изучается спектральная устойчивость третьей краевой задачи для оператора Лапласа в области Ω класса C 0,1 . Рассмотрим неотрицательную измеримую функцию h на ∂Ω и квадратичную форму в L2 (Ω), определенную по формуле R ( R |∇f |2 dx + h| tr f |2 dσ, f ∈ W 1,2 (Ω), QΩ,h [f ] = Ω ∂Ω +∞, f ∈ L2 (Ω) \ W 1,2 (Ω),

94

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

где dσ обозначает обычную поверхностную меру на ∂Ω, а tr f — след на ∂Ω функции f из пространства Соболева W 1,2 (Ω). Для третьей краевой задачи с функцией h в краевом условии оператор Лапласа в области Ω определяется как неотрицательный самосопряженный оператор HΩ,h , действующий в L2 (Ω) и ассоциированный с квадратичной формой QΩ,h . Рассмотрим следующую задачу на собственные значения: HΩ,h [u] = λu. (3.33) Отметим, что классическая формулировка задачи (3.33) в области с гладкой границей такова: ∂u + hu = 0 на ∂Ω, ∂ν где ν — единичный вектор внешней нормали к ∂Ω. Нас интересует поведение собственных значений задачи (3.33) при изменении области Ω и функции h. Более точно, вместо множества Ω и функции h рассмотрим множества Ω1 , Ω2 такие, что Ω2 ⊂ Ω1 , и функции h1 , h2 и приведем двустороннюю оценку для собственных значений задачи (3.33), соответствующих множеству Ω1 и функции h1 , через собственные значения, соответствующие множеству Ω2 и функции h2 . Если h = 0, то имеем задачу Неймана, которая рассматривалась в пункте 3.3. Отметим основное отличие задачи Неймана от третьей краевой задачи. В случае задачи Неймана оценки собственных значений зависят только от соответствующих характеристик близости областей Ω1 и Ω2 , тогда как в случае третьей краевой задачи оценки зависят также от соответствующих характеристик близости границ ∂Ω1 и ∂Ω2 и близости функций h1 и h2 . Определим оператор Лапласа в случае третьей краевой задачи с помощью следующей теоремы. −∆u = λu

в Ω,

Теорема 3.19. Пусть Ω — ограниченная область в RN класса C 0,1 . Пусть h — неотрицательная функция такая, что h ∈ LN −1 (∂Ω) при N > 3 и h ∈ Lp (∂Ω) при некотором p > 1 в случае N = 2. Тогда существует неотрицательный самосопряженный линейный оператор HΩ,h с 1/2

компактной резольвентой, действующий в L2 (Ω) и такой, что Dom HΩ,h = W 1,2 (Ω) и Z Z 1/2 1/2 HΩ,h u, HΩ,h v 2 = ∇u∇¯ v dx + h(tr u)(tr v¯) dσ (3.34) L (Ω)

Ω

для всех u, v ∈

∂Ω

W 1,2 (Ω).

Собственные значения и собственные функции оператора HΩ,h зависят только от Ω и h. Поэтому мы будем писать λn [Ω, h], ϕn [Ω, h] вместо λn [HΩ,h ], ϕn [HΩ,h ] соответственно. Введем следующие характеристики близости для ∂Ω1 , ∂Ω2 и h1 , h2 . Определение 3.2. Пусть параметры M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3. Пусть Ω1 , Ω2 — ограниченные области в RN класса C 0,1 M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 с соответ0

0

ствующими семействами функций {g1,j }sj=1 , {g2,j }sj=1 , удовлетворяющими условию (iii) пункте 2.3. Пусть также h1 ∈ L1 (∂Ω1 ) и h2 ∈ L1 (∂Ω2 ). Положим s0 Z X |∇g1,j (x)| − |∇g2,j (x)| dx, G(∂Ω1 , ∂Ω2 ) ≡ j=1W j 0

s Z X h1 ◦ rjt (x, g1,j (x)) − h2 ◦ rjt (x, g2,j (x)) dx. L(h1 , h2 ) ≡ j=1W j

Если h1 ∈ L∞ (∂Ω1 ), h2 ∈ L∞ (∂Ω2 ), то положим n o a(h1 , h2 ) ≡ max kh1 kL∞ (∂Ω1 ) , kh2 kL∞ (∂Ω2 ) , kh1 k2L∞ (∂Ω1 ) , kh2 k2L∞ (∂Ω2 ) . Отметим, что существуют числа k1 , k2 > 0 такие, что k1 kh1 − h2 kL1 (∂Ω) 6 L(h1 , h2 ) 6 k2 kh1 − h2 kL1 (∂Ω)

(3.35)

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

95

для любой области Ω = Ω1 = Ω2 , удовлетворяющей требованиям определения 3.2 и для всех h1 , h2 ∈ L1 (∂Ω). Следующая теорема дает оценку сверху для λn [Ω2 , h2 ] в терминах λn [Ω1 , h1 ] и введенных выше характеристик близости. Теорема 3.20. Пусть параметры M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn > 0 и εn > 0 такие, что λn [Ω2 , h2 ] < λn [Ω1 , h1 ] + cn |Ω1 \ Ω2 | + a(h1 , h2 ) (|Ω1 \ Ω2 | + G(∂Ω1 , ∂Ω2 )) + L(h1 , h2 ) (3.36) RN

C 0,1

M, δ, s, s0 , {V

для всех ограниченных областей Ω1 , Ω2 ⊂ класса что Ω2 ⊂ Ω1 , |Ω1 \ Ω2 | 6 εn , и всех неотрицательных функций h1 ∈ L∞ (∂Ω1 ) и h2 ∈ L∞ (∂Ω2 ).

s j }j=1 ,

{rj }sj=1

таких, (3.37)

В случае Ω ≡ Ω1 = Ω2 , применяя теорему 3.20 и меняя местами h1 и h2 , с помощью неравенства (3.35) можно получить оценки сверху и снизу для λn [Ω, h2 ] в терминах λn [Ω, h1 ] и kh1 − h2 kL1 (∂Ω) для всех неотрицательных функций h1 , h2 ∈ L∞ (∂Ω). Однако непосредственно можно доказать следующее несколько более точное утверждение. Теорема 3.21. Пусть параметры M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3. Тогда при любом n ∈ N существует число cn > 0 такое, что λn [Ω, h1 ] − cn kh1 − h2 kL1 (∂Ω) 6 λn [Ω, h2 ] 6 λn [Ω, h1 ] + cn kh1 − h2 kL1 (∂Ω) (3.38) для всех ограниченных областей Ω ⊂ RN класса C 0,1 M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 и всех неотрицательных функций h1 и h2 , удовлетворяющих условию теоремы 3.19. Теперь с помощью оценки снизу для λn [Ω2 , h2 ] в терминах λn [Ω1 , h1 ], которая требует более сильных предположений о регулярности границы области Ω1 , получим следующую двустороннюю оценку. Теорема 3.22. Пусть параметры M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 и {rj }sj=1 — такие же, как в пункте 2.3. Пусть также α > 0 и 0 < γ 6 1. Тогда при любом n ∈ N существуют числа cn > 0 и εn > 0 такие, что λn [Ω1 , h1 ] − cn εγ 6 λn [Ω2 , h2 ] 6 λn [Ω1 , h1 ] + cn ε (3.39) для всех 0 < ε < εn , всех ограниченных областей Ω1 ⊂ RN класса C 1,γ M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 и всех неотрицательных функций h1 ∈ L∞ (∂Ω1 ) таких, что kh1 kL∞ (∂Ω1 ) 6 α и |h1 (x) − h1 (y)| : x, y ∈ ∂Ω, x 6= y 6 α, sup |x − y|γ а также для всех ограниченных областей Ω2 ⊂ RN класса C 0,1 M, δ, s, s0 , {Vj }sj=1 , {rj }sj=1 таких, что (Ω1 )ε ⊂ Ω2 ⊂ Ω1 , G(∂Ω1 , ∂Ω2 ) 6 ε, ∞ и всех неотрицательных функций h2 ∈ L (∂Ω2 ) таких, что kh2 kL∞ (∂Ω2 ) 6 α,

L(h1 , h2 ) 6 ε.

Результаты этого раздела были получены в [22]. 3.5. Операторы типа Неймана. В этом пункте, на основе общей теоремы 3.1, мы получим ряд утверждений для некоторых классов операторов, включающих в себя неотрицательные равномерно эллиптические линейные дифференциальные операторы с однородными условиями Неймана. Таким образом, мы обобщим некоторые результаты пункта 3.3. Все утверждения этого пункта доказаны в [21].

96

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

3.5.1. Полунепрерывность сверху собственных значений. Пусть Ω1 , Ω2 ⊂ RN — непустые открытые множества, и пусть R1 и R2 — операторы сужения на Ω1 и Ω2 соответственно. Будем предполагать, что операторы H1 и H2 удовлетворяют условию монотонности, которое определяется следующим образом. Определение 3.3. Пусть Ωk — непустые открытые множества в RN , а Hk — неотрицательные самосопряженные линейные операторы в L2 (Ωk ), k = 1, 2. Будем говорить, что оператор H2 монотонно подчинен оператору H1 на множестве Ω1 ∩ Ω2 , если 1/2

1/2

kH2 R2 f kL2 (Ω1 ∩Ω2 ) 6 kH1 R1 f kL2 (Ω1 )

(3.40) 1/2 для всех функций f, заданных на Ω1 ∪ Ω2 и удовлетворяющих условиям R1 f ∈ Dom H1 и 1/2 R2 f ∈ Dom H2 . При этом будем писать H2 4 H1 .

Если Ω2 ⊂ Ω1 , то неравенство (3.40) принимает вид 1/2

1/2

kH2 R2 f kL2 (Ω2 ) 6 kH1 f kL2 (Ω1 )

1/2

(3.41)

1/2

для всех f ∈ Dom H1 , удовлетворяющих условию R2 f ∈ Dom H2 . Кроме того, если Ω1 = Ω2 , то из соотношения H2 4 H1 следует неравенство (3.42)

(H2 f, f )L2 (Ω1 ) 6 (H1 f, f )L2 (Ω1 )

для всех f ∈ Dom (H1 ) ∩ Dom (H2 ) . (Напомним: запись H2 6 H1 означает, что Dom (H2 ) ⊂ Dom (H1 ) и выполнено неравенство (3.42) для всех f ∈ Dom (H2 ) .) Как и в пункте 3.3, начнем с утверждения о полунепрерывности. Теорема 3.23. Пусть Ω1 — непустое открытое множество в RN , а H1 — неотрицательный самосопряженный линейный оператор в L2 (Ω1 ) с компактной резольвентой. Кроме того, пусть A2 — непустое семейство непустых открытых множеств Ω2 , содержащихся в Ω1 , и для всех Ω2 ∈ A2 пусть H2 = H2 (Ω2 ) — неотрицательные самосопряженные линейные операторы с компактными резольвентами, действующие в L2 (Ω2 ) и такие, что 1/2 H2 4 H1 , R2 : L[H1 ] → Dom H2 . (3.43) Тогда для любого n ∈ N и любого ε > 0 существует σ > 0 такое, что для всех непустых открытых множеств Ω2 ∈ A2 , удовлетворяющих условию |Ω1 \Ω2 | < σ, выполнено неравенство (3.44)

λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + ε.

3.5.2. Оценки устойчивости собственных значений. Чтобы получить результат, более точный, чем в теореме 3.23, требуется дополнительная информация о собственных функциях оператора H1 . Следующая теорема дает оценку близости собственных значений в терминах |Ω1 \Ω2 | при условии, что собственные функции оператора H1 принадлежат Lp (Ω1 ) с некоторым p, где 2 < p 6 ∞. Теорема 3.24. Пусть 2 < p 6 ∞. Пусть Ω2 ⊂ Ω1 — непустые открытые множества в RN , а H1 и H2 — неотрицательные самосопряженные линейные операторы, действующие в L2 (Ω1 ) и L2 (Ω2 ) соответственно, с компактными резольвентами. Предположим, что кроме условия (3.43) также выполнено соотношение L[H1 ] ⊂ Lp (Ω1 ). Тогда для любого n ∈ N

λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + cn |Ω1 \ Ω2 |1−2/p ,

(3.45)

если |Ω1 \ Ω2 | < εn , где cn = 2λn [H1 ]

n X k=1

kϕk [H1 ]k2Lp (Ω1 \Ω2 ) ,

εn =

2

n X

!p/(2−p) kϕk [H1 ]k2Lp (Ω1 \Ω2 )

.

(3.46)

k=1

В теоремах 3.23 и 3.24 рассматривался случай непустых открытых множеств Ω1 , Ω2 ⊂ RN таких, что Ω2 ⊂ Ω1 . Теперь рассмотрим открытые множества Ω1 и Ω2 общего положения, что потребует некоторых дополнительных предположений о регулярности собственных функций.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

97

Определение 3.4. Пусть 1 6 p 6 ∞. Пусть Ω — непустое открытое множество в RN , а H — неотрицательный самосопряженный линейный оператор, действующий в L2 (Ω). Положим n o Z p (Ω) = f ∈ Dom H 1/2 : kf kZ p (Ω) < ∞ , (3.47) где kf kZ p (Ω) =

kf k2Lp (Ω)

+ kH

1/2

f k2Lp (Ω)

1/2

.

(3.48)

Отметим, что пространство Z p (Ω) зависит не только от p и Ω, но также от оператора H. Напомним, что для двух непустых открытых множеств Ω1 , Ω2 ⊂ RN (не обязательно таких, что одно содержится в другом) и для двух множеств Z(Ω1 ) и Z(Ω2 ) функций, заданных на Ω1 и Ω2 соответственно, оператор E12 , отображающий Z(Ω1 ) в Z(Ω2 ), называется оператором продолжения, если для всех f ∈ Z(Ω1 ) функции f и E12 (f ) совпадают на множестве Ω1 ∩ Ω2 . Если Ω2 ⊂ Ω1 , то E12 (f ) = R2 (f ) для всех f ∈ Z(Ω1 ). Теорема 3.25. Пусть 2 < p 6 ∞. Пусть Ω1 и Ω2 — непустые открытые множества в RN , а H1 и H2 — неотрицательные самосопряженные линейные операторы, действующие в L2 (Ω1 ) и L2 (Ω2 ) соответственно, с компактными резольвентами. Предположим, что L[H1 ] ⊂ Z p (Ω1 ), H2 4 H1 и существует ограниченный линейный оператор продолжения E12 : L[H1 ] → Z p (Ω2 ),

(3.49)

где пространство L[H1 ] снабжено нормой k · kZ p (Ω1 ) . Тогда для любого n ∈ N λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + cn |Ω1 M Ω2 |1−2/p ,

(3.50)

если |Ω1 M Ω2 | < εn , где 2

cn = 2(λn [H1 ] + kE12 k )

n X

kϕk [H1 ]k2Z p (Ω1 ) ,

X p/(2−p) n 2 εn = 2 kϕk [H1 ]kZ p (Ω1 )

k=1

(3.51)

k=1

и kE12 k обозначает норму оператора E12 . Замечание 3.6. Если Ω1 ⊂ Ω2 , то неравенство (3.50) можно заменить неравенством λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + c˜n |Ω2 \ Ω1 |1−2/p , где c˜n = 2kE12 k2

n X

kϕk [H1 ]k2Z p (Ω1 ) ,

k=1

без каких-либо ограничений на |Ω2 \ Ω1 |. Двустороннюю оценку для λn [H2 ] можно получить, применяя теорему 3.25 к парам Ω1 , Ω2 и Ω2 , Ω1 . Сначала дадим следующее определение. Определение 3.5. Пусть Ωk — непустые открытые множества в RN , а Hk — неотрицательные самосопряженные линейные операторы, действующие в L2 (Ωk ), k = 1, 2. Будем говорить, что операторы H1 и H2 согласованы на множестве Ω1 ∩ Ω2 , если H2 4 H1 и H1 4 H2 . Теорема 3.26. Пусть 2 < p 6 ∞, τ > 0 и Mn , νn > 0 при всех n ∈ N. Пусть A — непустое семейство непустых открытых множеств в RN . При всех Ω ∈ A пусть H(Ω) — неотрицательные самосопряженные линейные операторы, действующие в L2 (Ω), с компактными резольвентами такие, что для любого n ∈ N λn [H(Ω)] 6 νn ,

(3.52)

kϕn [H(Ω)]kZ p (Ω) 6 Mn .

(3.53)

98

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

Предположим, что для любых Ω1 , Ω2 ∈ A операторы H1 ≡ H(Ω1 ) и H2 ≡ H(Ω2 ) согласованы на множестве Ω1 ∩ Ω2 и существует ограниченный линейный оператор продолжения E12 : L[H1 ] → Z p (Ω2 )

(3.54)

такой, что kE12 k 6 τ, где пространство L[H1 ] снабжено нормой k · kZ p (Ω1 ) . Тогда для любого n ∈ N |λn [H1 ] − λn [H2 ]| 6 cn |Ω1 M Ω2 |1−2/p

(3.55)

для всех Ω1 , Ω2 ∈ A, удовлетворяющих условию |Ω1 M Ω2 | < εn , где X p/(2−p) n n X 2 2 2 cn = 2(νn + τ ) Mk , εn = 2 Mk . k=1

(3.56)

k=1

Непосредственное применение теоремы 3.26 не всегда удобно, так как требует описания пространств Z p (Ω). Чтобы преодолеть эту трудность, можно изменить определение 3.3 и рассматривать известные пространства функций, например пространства Соболева. Рассмотрим семейства нормированных пространств X q (Ω) комплекснозначных функций, заданных на Ω, где 2 6 q 6 ∞, а Ω ⊂ RN — непустые открытые множества. Пусть выполнены следующие условия: (A) если Ω2 ⊂ Ω1 и f ∈ X q (Ω1 ), то R2 f ∈ X q (Ω2 ) и kR2 f kX q (Ω2 ) 6 kf kX q (Ω1 ) ; 1

(B) если |Ω| < ∞, 2 6 q < r 6 ∞ и f ∈ X r (Ω), то f ∈ X q (Ω) и kf kX q (Ω) 6 |Ω| q Этим условиям удовлетворяют, например, пространства Лебега ва W m,q (Ω).

Lq (Ω)

− r1

kf kX r (Ω) .

и пространства Соболе-

Теорема 3.27. Пусть X q (Ω) — нормированные пространства, удовлетворяющие условиям (A) и (B), где 2 6 q 6 ∞. Пусть 2 < p 6 ∞ и c > 0. Пусть Ω1 и Ω2 — непустые открытые множества в RN , а H1 и H2 — неотрицательные самосопряженные линейные операторы с компактными резольвентами, действующие в L2 (Ω1 ) и L2 (Ω2 ) соответственно. Предположим, что для некоторого нормированного пространства Y (Ω1 ) выполнено соотношение L[H1 ] ⊂ Lp (Ω1 ) ∩ Y (Ω1 ). Предположим также, что 1/2

1/2

kH2 R2 f k2L2 (Ω2 ) 6 kH1 R1 f k2L2 (Ω1 ) + ckR21 f k2X 2 (Ω2 \Ω1 ) (3.57) 1/2 1/2 для всех функций f, заданных на Ω1 ∪ Ω2 , таких, что R1 f ∈ Dom H1 , R2 f ∈ Dom H2 и сужение R21 f функции f на Ω2 \ Ω1 принадлежит X 2 (Ω2 \ Ω1 ). Кроме того, пусть существует ограниченный линейный оператор продолжения 1/2 E12 : L[H1 ] → X p (Ω2 ) ∩ Dom H2 ,

(3.58) 1/2 где пространство L[H1 ] снабжено нормой k · kY (Ω1 ) , а пространство X p (Ω2 ) ∩ Dom H2 — нормой k · kX p (Ω2 ) . Тогда для любого n ∈ N λn [H2 ] 6 λn [H1 ] + cn |Ω1 M Ω2 |1−2/p , если |Ω1 M Ω2 | < εn , где n n X X 2 2 2 kϕk [H1 ]kY (Ω1 ) , cn = 2 λn [H1 ] kϕk [H1 ]kLp (Ω1 \Ω2 ) + ckE12 k

(3.59)

(3.60)

k=1

k=1

X p/(2−p) n 2 εn = 2 kϕk [H1 ]kLp (Ω1 \Ω2 ) . k=1

(3.61)

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

99

Теорема 3.28. Пусть X q (Ω) — нормированные пространства, удовлетворяющие условиям (A) и (B), где 2 6 q 6 ∞. Пусть 2 < p 6 ∞, τ, c > 0 и Mn , νn > 0 при всех n ∈ N. Пусть A — непустое семейство непустых открытых множеств в RN . Для всех Ω ∈ A пусть Y (Ω) — нормированные пространства, а H(Ω) — неотрицательные самосопряженные линейные операторы, действующие в L2 (Ω), с компактными резольвентами такие, что для всех n ∈ N выполнено неравенство (3.52) и неравенства kϕn [H(Ω)]kLp (Ω) , kϕn [H(Ω)]kY (Ω) 6 Mn . (3.62) Предположим, что для любых Ω1 , Ω2 ∈ A операторы H1 ≡ H(Ω1 ) и H2 ≡ H(Ω2 ) удовлетворяют условию (3.57) и существует ограниченный линейный оператор продолжения 1/2 E12 : L[H1 ] → X p (Ω2 ) ∩ Dom H2 (3.63) такой, что kE12 k 6 τ, где пространство L[H1 ] снабжено нормой k · kY (Ω1 ) , а пространство 1/2 X p (Ω2 ) ∩ Dom H2 — нормой k · kX p (Ω2 ) . Тогда для любого n ∈ N |λn [H1 ] − λn [H2 ]| 6 cn |Ω1 M Ω2 |1−2/p при всех Ω1 , Ω2 ∈ A, удовлетворяющих условию |Ω1 M Ω2 | < εn , где X p/(2−p) n n X cn = 2(νn + cτ 2 ) Mk2 , εn = 2 Mk2 . k=1

4. УСТОЙЧИВОСТЬ

(3.64)

(3.65)

k=1

СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ ОБЛАСТИ

В этом разделе рассматривается подход к оценке близости собственных значений при возмущении области, отличный от изученного в предыдущем разделе. Именно, рассматриваются возмущения области Ω ⊂ RN в виде липшицевого или локально липшицевого гомеоморфизма φ области Ω на φ(Ω). В этом случае исходную задачу можно свести к задаче изучения семейства самосопряженных операторов, аналитически зависящих от параметра φ. Как упоминалось во введении, можно получить некоторые утверждения об устойчивости собственных значений при минимальных предположениях о регулярности рассматриваемых открытых множеств. Для этого применяются абстрактные методы, развитые в работах [37, 40] для семейств операторов в гильбертовом пространстве с переменным скалярным произведением. В пункте 4.1 сформулированы результаты о глобальной липшицевости собственных значений и собственных функций как функций преобразования φ, а в пункте 4.2 приведены результаты об аналитичности. Для простоты ограничимся рассмотрением оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле или Неймана. 4.1. Глобальная липшицевость. Рассмотрим деформации области Ω ⊂ RN с помощью локально липшицевых преобразований Ω → RN . Положим n o N Φloc (Ω) = φ ∈ L1,∞ (Ω) : φ инъективно1 , ess inf | det ∇φ| > 0 , Ω

где L1,∞ (Ω) обозначает пространство всех функций из L1loc (Ω), имеющих обобщенные производные из L∞ (Ω). Если φ ∈ Φloc (Ω), то справедливы следующие утверждения. • Множество φ(Ω) открыто, и φ является гомеоморфизмом Ω на φ(Ω). Если Ω имеет конечную меру, то и φ(Ω) имеет конечную меру. • Отображение из L2 (Ω) в L2 (φ(Ω)), определенное по формуле u 7→ u ◦ φ(−1) , является линейным гомеоморфизмом L2 (Ω) на L2 (φ(Ω)). Эта же формула задает линейный гомеоморфизм пространства W 1,2 (Ω) на W 1,2 (φ(Ω)) и линейный гомеоморфизм W01,2 (Ω) на W01,2 (φ(Ω)), причем справедливо правило дифференцирования суперпозиции. 1

Точнее, инъективно непрерывное преобразование из класса эквивалентности φ.

100

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

• Вложение W 1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) (соответственно W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω)) компактно тогда и только тогда, когда компактно вложение W 1,2 (φ(Ω)) ⊂ L2 (φ(Ω)) (соответственно W01,2 (φ(Ω)) ⊂ L2 (φ(Ω))). Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора Лапласа в области φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле или Неймана. Получим неравенства липшицевского типа для изменения собственных значений и собственных функций при изменении φ. Нам будет удобно использовать псевдометрики δ и δ 0 на Φloc (Ω), определенные по формулам n δ(φ1 , φ2 ) ≡ k |det∇φ1 | − |det∇φ2 | kL∞ (Ω) + o

+ (∇φ1 )−1 (∇φ1 )−t |det∇φ1 | − (∇φ2 )−1 (∇φ2 )−t |det∇φ2 | L∞ (Ω) , δ 0 (φ1 , φ2 ) ≡ k |∇φ1 − ∇φ2 | kL∞ (Ω)

(4.1)

для всех φ1 , φ2 ∈ Φloc (Ω). Близость собственных значений и собственных функций оператора Лапласа будем оценивать в терминах этих псевдометрик. Полученные оценки будут глобальными в том смысле, что никаких ограничений на величины δ(φ1 , φ2 ) и δ 0 (φ1 , φ2 ) накладываться не будет. Доказательства оценок из этого пункта содержится в работах [40, 41]. 4.1.1. Оператор Лапласа с однородным краевым условием Дирихле. Пусть Ω — область в RN такая, что вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно. Тогда вложение W01,2 (φ(Ω)) ⊂ L2 (φ(Ω)) также компактно и оператор Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле имеет дискретный спектр. Как обычно, обозначим через λn [φ(Ω)] соответствующие собственные значения. В этом пункте рассматриваются утверждения о глобальной липшицевости по φ собственных значений λn [φ(Ω)] и соответствующих собственных функций. Напомним, что если вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, то константа Пуанкаре  R 1/2  2    |u| dx    Ω 1,2 cD [Ω] = sup R : u ∈ W (Ω) \ {0}  0 2    |∇u| dx  Ω

конечна. Справедливо следующее утверждение о глобальной липшицевости (см. также результат в [27]). Теорема 4.1. Пусть N > 2. Тогда существуют две функции Λ и Λ0 , отображающие множество ]0, +∞[2 ×[0, +∞[3 в [0, +∞[, убывающие по первым двум переменным и возрастающие по остальным трем переменным, такие, что −1 λn [φ1 (Ω)] − λ−1 n [φ2 (Ω)] 6 6 Λ ess inf |det∇φ1 | , ess inf |det∇φ2 | , k |∇φ1 | kL∞ (Ω) , k |∇φ2 | kL∞ (Ω) , cD [Ω] δ(φ1 , φ2 ) 6 Ω Ω 6 Λ0 ess inf |det∇φ1 | , ess inf |det∇φ2 | , k |∇φ1 | kL∞ (Ω) , k |∇φ2 | kL∞ (Ω) , cD [Ω] δ 0 (φ1 , φ2 ) (4.2) Ω

Ω

для всех n ∈ N, всех непустых областей Ω ⊂ RN таких, что вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, и для всех φ1 , φ2 ∈ Φloc (Ω). Функции Λ и Λ0 зависят только от N, а правая часть неравенства (4.2) не зависит от n ∈ N. Замечание 4.1. Если φ2 = Rφ1 + c, где R — ортогональная матрица размера N × N, а c ∈ RN , то δ(φ1 , φ2 ) = 0 и, в силу неравенства (4.2), λn [φ1 (Ω)] = λn [φ2 (Ω)] (как и следовало ожидать). Теперь рассмотрим зависимость от φ собственных функций оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле. Первая трудность, связанная с собственными функциями, заключается в том, что при изменении φ меняется их область определения. Эту проблему можно решить с помощью «обратного переноса» («трансплантации», см. [55]) собственных функций на Ω. Именно, если ϕ — собственная функция, определенная на φ(Ω), то можно изучать изменение функции ϕ ◦ φ при изменении φ; в

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

101

этом случае область определения функции ϕ ◦ φ не меняется. Отметим, что ϕ ∈ W01,2 (φ(Ω)), следовательно, ϕ ◦ φ ∈ W01,2 (Ω). Кроме того, в пространстве W01,2 (φ(Ω)) можно естественным образом ввести скалярное произведение Z ∇v1 ∇¯ v2 dy ∀ v1 , v2 ∈ W01,2 (φ(Ω)), φ(Ω)

которое порождает следующее скалярное произведение в пространстве W01,2 (Ω) Z Qφ [u1 , u2 ] = ∇(u1 ◦ φ(−1) )∇(¯ u2 ◦ φ(−1) )dy ∀u1 , u2 ∈ W01,2 (Ω).

(4.3)

φ(Ω)

Другая трудность связана с кратными собственными значениями: соответствующие им нормированные собственные функции выбираются не единственным способом. Кроме того, при изменении φ может измениться кратность собственного значения. Эту трудность можно преодолеть, рассматривая соответствующий ортогональный проектор на линейное пространство, порожденное конечным числом собственных функций, и изучая изменение такого проектора при изменении φ. Иногда такой проектор называют «собственным проектором», см. [6]. Рассмотрим конечное множество индексов F ⊂ N и определим множество Φloc,D (Ω, F ) = {φ ∈ Φloc (Ω) : λm [φ(Ω)] ∈ / {λn [φ(Ω)] : n ∈ F } ∀m ∈ N \ F }

(4.4)

таких преобразований, для которых собственные значения с индексами из F не равны как элементы из спектра с учетом кратности ни одному из остальных собственных значений. Пусть φ ∈ Φloc,D (Ω, F ). Рассмотрим линейное пространство ED [φ, F ], порожденное множеством функций o n u ∈ W01,2 (Ω) : −∆[u ◦ φ(−1) ] = λn [φ(Ω)]u ◦ φ(−1) при некотором n ∈ F . Другими словами, ED [φ, F ] является линейным пространством, порожденным «φ-обратным переносом» всех собственных функций оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле, соответствующих собственным значениям с индексами из F. Рассмотрим ортогональный проектор PF,D [φ] пространства W01,2 (Ω) на пространство ED [φ, F ], соответствующий введенному выше скалярному произведению Qφ , и сформулируем утверждение о глобальной липшицевости проектора PF,D [φ] ∈ L(W01,2 (Ω), W01,2 (Ω)) по φ ∈ Φloc,D (Ω, F ), где пространство L(W01,2 (Ω), W01,2 (Ω)) снабжено нормой, ассоциированной со стандартной нормой в W01,2 (Ω). Оказывается, что оценка близости проекторов зависит также от вещественного числа −1 dD [φ] = min{|λ−1 n [φ(Ω)] − λm [φ(Ω)]| : n ∈ F, m ∈ N \ F }.

(4.5)

Имеет место следующий результат. Теорема 4.2. Пусть N > 2. Пусть F — конечное подмножество множества N. Тогда существуют две функции Γ и Γ0 , отображающие множество ]0, +∞[4 ×[0, +∞[3 в [0, +∞[, убывающие по первым четырем переменным и возрастающие по остальным трем переменных, такие, что kPF,D [φ1 ] − PF,D [φ2 ]kL(W 1,2 (Ω),W 1,2 (Ω)) 6 0 0 6 Γ ess inf |det∇φ1 | , ess inf |det∇φ2 | , dD [φ1 ], dD [φ2 ], k|∇φ1 |kL∞ (Ω) , k|∇φ2 |kL∞ (Ω) , cD [Ω] δ(φ1 , φ2 ) 6 Ω Ω 0 6 Γ ess inf |det∇φ1 | , ess inf |det∇φ2 | , dD [φ1 ], dD [φ2 ], k|∇φ1 |kL∞ (Ω) , k|∇φ2 |kL∞ (Ω) , cD [Ω] δ 0 (φ1 , φ2 ) Ω

Ω

(4.6) для всех непустых областей Ω ⊂ RN таких, что вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, и всех φ1 , φ2 ∈ Φloc,D (Ω, F ). Идея доказательств теорем 4.1 и 4.2 заключается в следующем. Переходя к резольвенте оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле, с помощью замены переменных можно

102

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

доказать, что существует ограниченный оператор Hφ , отображающий пространство W01,2 (Ω) в себя, собственные значения которого совпадают с обратными величинами собственных значений оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле. Оператор Hφ оказывается компактным и самосопряженным относительно скалярного произведения Qφ , определенного формулой (4.3). Таким образом, неравенства (4.2) можно доказать, применяя принцип минимакса к оператору Hφ и скалярному произведению Qφ . Неравенства (4.6) можно упростить, используя формулу Рисса для собственных проекторов (см. [58] или гл. 3, раздел 6 и с. 276, 277 в [6]). Применяя эту формулу, получим Z 1 (Hφ − ξI)−1 dξ, (4.7) PF,D [φ] = − 2πi γ

где I — тождественный оператор, а γ — подходящий замкнутый контур на плоскости, внутри которого лежат только собственные значения оператора Hφ с индексами из F. Отсюда с помощью выбора контура γ и детального анализа зависящих от φ величин в равенстве (4.7) можно получить неравенство (4.6). 4.1.2. Оператор Лапласа с однородным краевым условием Неймана. Пусть Ω — область конечной меры в RN такая, что вложение W 1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно. Тогда множество φ(Ω) имеет конечную меру, вложение W 1,2 (φ(Ω)) ⊂ L2 (φ(Ω)) компактно, и оператор Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Неймана имеет дискретный спектр. Как обычно, обозначим через λn [φ(Ω)] соответствующие собственные значения. Напомним, что если вложение W 1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, то константа Пуанкаре  R 1/2  2   Z  |u| dx    Ω 1,2 R cN [Ω] = sup : u ∈ W (Ω) \ {0}, udx = 0  2 dx   |∇u|   Ω

Ω

конечна. Теорема 4.3. Пусть N > 2. Тогда существуют две функции Λ и Λ0 , отображающие множество ]0, +∞[2 ×[0, +∞[3 в [0, +∞[, убывающие по первым двум переменным и возрастающие по остальным трем переменным, такие, что неравенства (4.2) (в которых cD [Ω] заменено на cN [Ω]) выполнены для всех n > 2 и всех непустых областей Ω ⊂ RN с конечной мерой таких, что вложение W 1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно. Собственные функции рассматриваются так же, как в случае оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле. Отметим, что собственные функции оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Неймана принадлежат пространству W 1,2 (φ(Ω)). В пространстве W 1,2 (φ(Ω)) естественным образом вводится скалярное произведение Z (v1 v¯2 + ∇v1 ∇¯ v2 )dy ∀ v1 , v2 ∈ W 1,2 (φ(Ω)), φ(Ω)

которое переносится на W 1,2 (Ω) в виде скалярного произведения Z ˆ φ [u1 , u2 ] = Q u1 ◦ φ(−1) u ¯2 ◦ φ(−1) dy + Qφ [u1 , u2 ] ∀ u1 , u2 ∈ W 1,2 (Ω). φ(Ω)

Пусть F — конечное подмножество множества N. Рассмотрим множество Φloc,N (Ω, F ), определенное так же, как множество (4.4). Для каждого φ ∈ Φloc,N (Ω, F ) рассмотрим ортогональный проектор PF,N [φ] пространства W 1,2 (Ω) на пространство EN [φ, F ] относительно скалярного произвеˆ φ , где EN [φ, F ] — пространство, порожденное множеством функций u ∈ W 1,2 (Ω) таких, дения Q что u ◦ φ(−1) является собственной функцией оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Неймана, соответствующей собственному значению λn [φ(Ω)] при некотором n ∈ F. Имеет место следующая теорема, в которой dN [φ] определено аналогично формуле (4.5).

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

103

Теорема 4.4. Пусть N > 2. Пусть F — конечное подмножество множества N \ {1}. Тогда существуют две функции Γ и Γ0 , отображающие множество ]0, +∞[4 ×[0, +∞[3 в [0, +∞[, убывающие по первым четырем переменным и возрастающие по остальным трем переменным, такие, что kPF,N [φ1 ] − PF,N [φ2 ]kL(W 1,2 (Ω),W 1,2 (Ω)) 6 6 Γ ess inf |det∇φ1 |, ess inf |det∇φ2 |, dN [φ1 ], dN [φ2 ], k|∇φ1 |kL∞ (Ω) , k|∇φ2 |kL∞ (Ω) , cN [Ω] δ(φ1 , φ2 ) 6 Ω Ω 0 6Γ ess inf |det∇φ1 | , ess inf |det∇φ2 | , dN [φ1 ], dN [φ2 ], k|∇φ1 |kL∞ (Ω) , k|∇φ2 |kL∞ (Ω) , cN [Ω] δ 0 (φ1 , φ2 ) Ω

Ω

для всех непустых областей конечной меры Ω ⊂ RN таких, что вложение W 1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, и всех φ1 , φ2 ∈ Φloc,N (Ω, F ). 4.2. Аналитичность. Теперь рассмотрим возмущения области Ω ⊂ RN вида φ(Ω), где φ — билипшицевый гомеоморфизм из Ω на φ(Ω). Положим     |φ(x) − φ(y)| Φ(Ω) = φ ∈ (Lip(Ω))N : inf >0 , (4.8)   x,y∈Ω, |x − y| x6=y

где Lip(Ω) — пространство всех непрерывных по Липшицу вещественнозначных функций на Ω. Введем в Lip(Ω) норму, делающую Lip(Ω) банаховым пространством, непрерывно вложенным в полное полунормированное пространство (Lip(Ω), |·|1 ), где |f |1 — константа Липшица для функции f ∈ Lip(Ω). Можно доказать следующие утверждения. • Множество Φ(Ω) открыто в (Lip(Ω))N , и Φ(Ω) ⊂ Φloc (Ω). • Если φ ∈ Φ(Ω), то φ−1 ∈ Φ(φ(Ω)). Ниже мы приведем некоторые утверждения об аналитической зависимости от φ собственных значений и собственных функций оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле или Неймана. Доказательства всех утверждений, рассмотренных в этом пункте, содержатся в работах [37, 44]. 4.2.1. Оператор Лапласа с однородным краевым условием Дирихле. Как уже было отмечено, известно, что простые собственные значения зависят от φ аналитически. Именно, можно доказать, что если F = {n} , n ∈ N, то отображение Φ(Ω) ∩ Φloc,D (Ω, F ) 3 φ 7→ λn [φ(Ω)] вещественно-аналитично. В частности, отображение Φ(Ω) 3 φ 7→ λ1 [φ(Ω)] является вещественно-аналитическим, так как собственное значение λ1 [φ(Ω)] простое для всех φ ∈ Φ(Ω) и соответственно Φ(Ω) ∩ Φloc,D (Ω, {1}) = Φ(Ω). Если же |F | > 1, то ситуация более сложная, поскольку у кратных собственных значений кратность может изменяться при деформации области. Однако оказывается, что проектор PF,D [φ] и симметрические функции собственных значений с индексами из F зависят от φ аналитически. Имеет место следующая теорема. Теорема 4.5. Пусть Ω — область в RN такая, что вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно. Пусть F — конечное подмножество множества N, и пусть ΦD (Ω, F ) = Φ(Ω) ∩ Φloc,D (Ω, F ). Тогда верны следующие утверждения. (i) Множество ΦD (Ω, F ) открыто в (Lip(Ω))N . Отображение множества ΦD (Ω, F ) в L W01,2 (Ω), W01,2 (Ω) , заданное формулой ΦD (Ω, F ) 3 φ 7→ PF,D [φ], является вещественно-аналитическим. (ii) Пусть s ∈ {1, . . . , |F |} . Функция, отображающая ΦD (Ω, F ) в R и каждому φ ∈ ΦD (Ω, F ) ставящая в соответствие число X ΛF,s [φ] = λn1 [φ(Ω)] · · · λns [φ(Ω)], (4.9) n1 ,...,ns ∈F, n1 <...<ns

104

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

является вещественно-аналитической. Утверждение (i) доказывается либо с помощью формулы (4.7), либо с помощью теоремы о неявных функциях, применяемой к некоторому функциональному уравнению, которому удовлетворяет проектор PF,D [φ]. Далее, исходная задача на собственные значения сводится к конечномерной задаче с помощью сужения оператора Hφ на образ проектора PF,D [φ] и представления его в виде матрицы с элементами, аналитически зависящими от φ. Симметрические функции собственных значений оператора Hφ определяются с точностью до знака коэффициентами характеристического полинома этой матрицы. Отсюда следует утверждение (ii). Из этой теоремы следует, что кратные собственные значения аналитически зависят от множества таких преобразований φ, которые сохраняют их кратность. Положим ΘD (Ω, F ) = {φ ∈ ΦD (Ω, F ) : λn [φ(Ω)] имеют одно и то же значение λF [φ(Ω)] ∀n ∈ F } . Отметим, что вещественно-аналитические функции !1/s −1 |F | ΛF,s [·] , s

(4.10)

s = 1, . . . , |F |,

отображающие ΦD (Ω, F ) в R, совпадают на ΘD (Ω, F ) с функцией φ 7→ λF [φ(Ω)]. Таким образом, имеет место следующий результат. Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.5. Тогда функция, отображающая φ ∈ ΘD (Ω, F ) в λF [φ(Ω)] ∈ R, является вещественно-аналитической. В случае когда φ ∈ ΦD (Ω, F )\ΘD (Ω, F ), собственные значения λn [φ(Ω)] с индексами n ∈ F могут быть не дифференцируемыми по φ. Это происходит из-за явления бифуркации, которое описывается известной теоремой Реллиха—Надя о собственных значениях семейства самосопряженных операторов, зависящих от скалярного параметра. Воспользуемся этой теоремой. Положим Z Υ[φ, v1 , v2 , λ, ψ] = (∇v1 ∇¯ v2 − λv1 v¯2 ) div ψ ◦ φ(−1) dy − φ(Ω)

Z −

t (−1) (−1) ∇v1 ∇ ψ ◦ φ +∇ ψ◦φ ∇¯ v2t dy (4.11)

φ(Ω)

(Lip(Ω))N ,

для всех φ ∈ Φ(Ω), ψ ∈ v1 , v2 ∈ W 1,2 (φ(Ω)) и λ ∈ R. Применение теоремы Реллиха—Надя (см. теорему 1, с. 33, в [57]) к соответствующей матрице, представляющей собой ограничение оператора Hφ на образ собственного проектора, дает следующий результат (см. также [35]). Теорема 4.6. Пусть Ω — область в RN такая, что вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компакт˜ = λn [φ(Ω)] ˜ ˜ но. Пусть m, n ∈ N и φ˜ ∈ Φ(Ω) таковы, что λ = . . . = λn+m−1 [φ(Ω)] является собственным значением кратности m. Пусть I — открытый интервал в R, содержащий начало координат, а {φε }ε∈I — вещественно-аналитическое семейство функций из Φ(Ω), причем ˜ φ0 = φ. Тогда существует m вещественно-аналитических функций ζ1 , . . . , ζm , отображающих интервал I (или, возможно, сужение I) в R, таких, что {λn+h [φε (Ω)] : h = 0, . . . , m − 1} = {ζ1 (ε), . . . , ζm (ε)} .

(4.12)

При этом значения в нуле первых производных функций ζ1 , . . . , ζm совпадают с собственными значениями матрицы ˜ ϕn+h , ϕn+k , λ, ˜ φ˙ 0 ] , (4.13) Υ[φ, h,k=0,...,m−1 dφε ˙ где φ0 = , а ϕn , . . . , ϕn+m−1 — произвольный ортонормированный базис в собственном dε ε=0 ˜ ˜ подпространстве пространства L2 (φ(Ω)), соответствующем собственному значению λ.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

105

˜ Замечание 4.2. Если ϕn+h ∈ W 2,2 (φ(Ω)) при всех h = 0, . . . , m − 1 и φ˙ 0 ∈ (L∞ (Ω) ∩ Lip (Ω))N , то Z h i ˜ ˜ ˙ div ∇ϕn+h ∇ϕ¯tn+k φ˙ 0 ◦ φ˜(−1) dy. Υ[φ, ϕn+h , ϕn+k , λ, φ0 ] = − (4.14) ˜ φ(Ω)

Из теоремы 4.6 следует существование такого числа δ > 0, что функции, отображающие ε ∈ I в λn+h [φε (Ω)], вещественно-аналитичны в I ∩ [0, δ[ и в I ∩ ] − δ, 0]. Однако эти функции могут не быть вещественно-аналитичными в открытой окрестности нуля. Например, если |F | = 2 и матрица (4.13) имеет два простых собственных значения, то обе функции ε 7→ λn+h [φε (Ω)], h = 0, 1, не дифференцируемы в нуле, поскольку их левые и правые производные в нуле не совпадают. В конечномерном случае нетрудно построить примеры, показывающие, что теорема Реллиха— Надя неверна для семейств операторов, зависящих от параметра, принадлежащего многомерному векторному пространству. Пример 4.1. Собственными значениями матрицы 1 + χ1 + χ3 χ2 A(χ1 , χ2 , χ3 ) = (4.15) χ2 1 − χ1 + χ3 p являются числа 1 + χ3 ± χ21 + χ22 при всех (χ1 , χ2 , χ3 ) ∈ R3 . Матрица A(0, 0, 0) имеет единственное собственное значение λ = 1, кратность которого равна двум. Очевидно, невозможно упорядочить собственные значения матрицы (4.15) так, чтобы их можно было представить в окрестности нуля двумя аналитическими p функциями от (χ1 , χ3 , χ3 ). Однако очевидно также, что особенность, порождаемая слагаемым χ21 + χ22 , исчезает при χ21 + χ22 = 0. Поэтому если сузить функцию A(·) на ось χ3 , полагая χ1 = χ2 = 0, то матрица A(0, 0, χ3 ) будет иметь единственное собственное значение 1 + χ3 , аналитически зависящее от χ3 . Отметим, что ось χ3 является в точности множеством таких χ, для которых собственные значения матрицы имеют постоянную кратность, равную двум, а при χ3 = 0 совпадают с собственным значением λ = 1 (ср. следствие 4.1). 4.2.2. Оператор Лапласа с однородным краевым условием Неймана. Tеоремы 4.5 и 4.6 и следствие 4.1 без существенных изменений переносятся на случай оператора Лапласа с однородным краевым условием Неймана. Именно, если дана область конечной меры Ω ⊂ RN такая, что вложение W 1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно, то симметрические функции ΛF,s , определенные аналогично формуле (4.9), зависят от φ ∈ ΦN (Ω, F ) = Φ(Ω) ∩ Φloc,N (Ω, F ) вещественно-аналитически. Следовательно, кратное собственное значение λF [φ(Ω)] аналитически зависит от множества ΘN [Ω, F ], определенного аналогично формуле (4.10). Кроме того, если дано преобразование φ˜ ∈ Φ(Ω) такое, ˜ = λn [φ(Ω)] ˜ ˜ что λ = . . . = λn+m−1 [φ(Ω)] является собственным значением кратности m, и вещест˜ то собственные значения венно-аналитическое семейство {φε }ε∈I функций из Φ(Ω), где φ0 = φ, ˜ могут быть описаны вещественно-аналитическими функλn+h [φε (Ω)], совпадающие при ε = 0 с λ, циями так же, как в теореме 4.6. Производные этих функций в нуле обладают тем же свойством, что в теореме 4.6. Отметим, что если собственные функции ϕn+h в случае однородным крае˜ вого условия Неймана принадлежат W 2,2 (φ(Ω)) и φ˙ 0 ∈ (L∞ (Ω) ∩ Lip(Ω))N , то соответствующая матрица (4.13) имеет более простой вид Z h i ˜ ˜ ˙ ˜ n+h ϕ¯n+k φ˙ 0 ◦ φ˜(−1) dy. (4.16) div ∇ϕn+h ∇ϕ¯tn+k − λϕ Υ[φ, ϕn+h , ϕn+k , λ, φ0 ] = ˜ φ(Ω)

4.2.3. Приложение. Укажем одно приложение теоремы 4.5, иллюстрирующее некоторые преимущества рассмотренного в этом разделе подхода. Напомним, что теорема Релея—Крана—Фабера утверждает, что минимум первого собственного значения оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле достигается, среди всех областей в RN с данной конечной мерой, на шаре. Других минимумов не существует. Одним из способов доказательства второго утверждения в классе гладких областей является применение некоторых из рассмотренных выше результатов о возмущении области (см. [24, 34]).

106

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

Пусть Ω — гладкая область с конечной мерой в RN . Для любого φ ∈ Φ(Ω) мера φ(Ω) выражается формулой Z V[φ] = |det∇φ|dx. (4.17) Ω

Отметим, что функционал V является вещественно-аналитическим. Если Ω доставляет минимум первого собственного значения оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле при условии ограничения объема |Ω| = constant, то тождественное отображение I области Ω на себя является критической точкой для функционала, отображающего φ ∈ Φ(Ω) в λ1 [φ(Ω)] на множестве уровня {φ ∈ Φ(Ω) : V[φ] = |Ω|} функционала V. Следовательно, существует число c ∈ R (множитель Лагранжа) такое, что d|φ=I λ1 [φ(Ω)] = c d|φ=I V[φ]. Используя теоремы 4.5, 4.6 и замечание 4.2, применяя формулу Остроградского—Гаусса к правой части равенства (4.14) и дифференцируя правую часть равенства (4.17), получим Z Z ∂ϕ1 2 φ˙ 0 · νdσ = c φ˙ 0 · νdσ ∂ν ∂Ω

Ω

для всех φ˙ 0 ∈ (Lip(Ω) ∩ L∞ (Ω))N , где ν обозначает внешнюю единичную нормаль к ∂Ω. Напо∂ϕ1 мним, что можно выбрать ϕ1 > 0 на Ω. Отсюда следует, что производная постоянна на ∂Ω. ∂ν Следовательно, функция ϕ1 является решением следующей переопределенной задачи:    −∆u = λu в Ω, u=0 на ∂Ω, (4.18) ∂u   постоянна на ∂Ω. ∂ν Можно доказать, что если существует положительное решение задачи (4.18), то Ω является шаром (см. доказательство в [34]). Таким образом, при ограничении объема шар является единственной критической точкой для первого собственного значения оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле. Интересно отметить, что в случае когда Ω является шаром, вообще говоря, при ограничении объема шар является критической точкой также и для симметрических функций собственных значений оператора Лапласа с однородным краевым условием Дирихле. Это эквивалентно тому, что следующая переопределенная система  −∆uj = λF uj в Ω,    uj = 0 на ∂Ω, 2 (4.19) P ∂uj   постоянна на ∂Ω  j∈F ∂ν имеет решение. Здесь uj , j ∈ F, — ортонормированный базис пространства собственных функций, соответствующих кратному собственному значению λF . Интересной задачей было бы классифицировать множества Ω, для которых задача (4.19) имеет нетривиальное решение (более подробно см. [42]). Аналогичные результаты верны для оператора Лапласа с однородным краевым условием Неймана. 4.3. Сохранение кратности собственных значений. 4.3.1. Оператор Лапласа с однородным краевым условием Дирихле. Хорошо известно, что кратность собственного значения λn [Ω] эллиптического оператора может меняться при возмущении Ω. В работе [49] доказано, что для заданной области Ω ⊂ RN класса C 3 можно найти преобразования φ : Ω → RN , сколь угодно близкие к тождественным в смысле C 3 (Ω, RN ), такие, что все собственные значения оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле являются простыми.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

107

Теорема 4.7. Пусть Ω — ограниченная область в RN класса C 3 . Тогда для любого ε > 0 существует преобразование φ ∈ Φ(Ω) ∩ (C 3 (Ω))N , удовлетворяющее условию sup sup |Dα (φ(x) − x)| < ε, 06|α|63 x∈Ω

такое, что все собственные значения оператора Лапласа на φ(Ω) с однородным краевым условием Дирихле являются простыми. Более широкий класс эллиптических операторов рассмотрен в работах [50, 51]. Естественно, представляется интересным выяснить, существуют ли преобразования множества Ω, сохраняющие кратность собственных значений, и изучить структуру множества таких преобразований (см. [1, 26, 43, 46–48]). Следующая теорема дает достаточные условия того, что такое множество преобразований является банаховым многообразием конечной коразмерности (см. [43, 46–48, 60]). Теорема 4.8. Пусть Ω — непустое связное открытое множество в RN и вложение W01,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) компактно. Пусть m, n ∈ N и F = {n, n + 1, . . . , n + m − 1}. Пусть φ˜ ∈ ΘD (Ω, F ), а ϕn , . . . , ϕn+m−1 — вещественный ортонормированный базис пространства собственных функ˜ ций, соответствующих собственному значению λF [φ(Ω)], относительно стандартного ска2 ˜ лярного произведения в L (φ(Ω)). Пусть ϑ — размерность вещественного векторного пространства матриц размера m × m, определенных формулой ˜ ϕn+h , ϕn+k , λF [φ(Ω)], ˜ ˜ ϕn , ϕn , λF [φ(Ω)], ˜ Υ[φ, ψ] − δhk Υ[φ, ψ] : h,k=0,...,m−1 N ψ ∈ (Lip(Ω)) . (4.20) m(m + 1) −1 и в Φ(Ω) существует открытая окрестность V˜ преобразования φ˜ 2 такая, что ΘD (Ω, F ) ∩ V˜ содержится в вещественно-аналитическом банаховом подмногообm(m + 1) разии коразмерности ϑ в пространстве (Lip(Ω))N . Кроме того, если ϑ = − 1, то 2 ˜ ˜ окрестность V можно выбрать так, что ΘD (Ω, F ) ∩ V будет вещественно-аналитическим m(m + 1) банаховым подмногообразием коразмерности − 1 в (Lip(Ω))N , а его касательным 2 пространством в точке φ˜ будет пространство ψ ∈ (Lip(Ω))N : ˜ ϕn+h , ϕn+k , λF [φ(Ω)], ˜ ˜ ϕn , ϕn , λF [φ(Ω)], ˜ Υ[φ, ψ] − δhk Υ[φ, ψ] = 0 . (4.21) Тогда 0 6 ϑ 6

h,k=0,...,m−1

Замечание 4.3. Условие ϑ = Арнольда» [26] (см. также [1]).

m(m + 1) − 1 соответствует так называемой «сильной гипотезе 2

˜ При более сильных предположениях о φ(Ω) можно уточнить значение ϑ. Для заданного от◦

крытого множества Ω ⊂ RN через W 1,1 (Ω) обозначим пространство функций u ∈ W 1,1 (Ω) таких, ◦

что продолжение u нулем в RN принадлежит W 1,1 (RN ). Напомним, что W01,1 (Ω) ⊂ W 1,1 (Ω) и эти пространства совпадают, если Ω ∈ C. (По поводу более слабых предположений, обеспечивающих совпадение этих пространств см. [3], где также получены необходимые и достаточные условия o 1,1

на Ω, при которых W01,p (Ω) =W

(Ω) при p > n.)

˜ Теорема 4.9. Пусть выполнены условия теоремы 4.8. Предположим, что ∂ φ(Ω) имеет 2,2 ˜ равную нулю N -мерную лебегову меру и ϕn+h ∈ W (φ(Ω)) при всех h = 0, . . . , m − 1. ˜ Пусть q обозначает каноническую проекцию пространства W 1,1 (φ(Ω)) на фактор-простран◦ 1,1 1,1 ˜ ˜ ство W (φ(Ω))/W (φ(Ω)).

108

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС ◦

˜ ˜ Тогда ϑ равно размерности подпространства пространства W 1,1 (φ(Ω))/ W 1,1 (φ(Ω)), порожденного множеством {q [Dϕn+h Dϕn+k − δhk Dϕn Dϕn ] : h, k = 0, . . . , m − 1} .

(4.22)

˜ Теорема 4.10. Пусть выполнены условия теоремы 4.9. Предположим, что φ(Ω) принадлежит ˜ классу C 0,1 и ϕn+h ∈ C 1 φ(Ω) при всех h = 0, . . . , m − 1. ˜ Тогда ϑ равно размерности подпространства пространства L1 (∂ φ(Ω)), порожденного множеством ∂ϕn ∂ϕn ∂ϕn+h ∂ϕn+k − δhk : h, k = 0, . . . , m − 1 . ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν В следующих примерах, применяя теорему 4.10, найдем точное значение ϑ (см. [46, 48]). Пример 4.2. Пусть Ω — ограниченная область в RN класса C 1,1 , φ˜ — тождественное преобраm(m + 1) зование области Ω и m = 2. Тогда ϑ = − 1. Следовательно, преобразования области Ω, 2 сохраняющие кратность собственных значений, равную двум, образуют многообразие коразмерности ϑ = 2. Пример 4.3. Пусть N = 3, Ω является шаром, а φ˜ — тождественное преобразование области Ω. Напомним, что в этом случае для каждого нечетного числа m существует собственное значение кратности m оператора Лапласа на Ω с однородным краевым условием Дирихле. В частности, m(m + 1) для всех собственных значений кратности m = 3 имеем ϑ = − 1. Следовательно, пре2 образования шара в R3 , сохраняющие кратность собственных значений, равную трем, образуют многообразие коразмерности ϑ = 5. 4.3.2. Оператор Лапласа с однородным краевым условием Неймана. Теоремы 4.8–4.10 без существенных изменений переносятся на случай оператора Лапласа с однородным краевым условием Неймана. Для полноты изложения сформулируем соответствующие результаты (см. [39]). Теорема 4.11. Пусть Ω — непустое связное открытое множество в RN и вложение ⊂ L2 (Ω) компактно. Пусть m, n ∈ N, n > 2 и F = {n, n + 1, . . . , n + m − 1}. Пусть φ˜ ∈ ΘN (Ω, F ), а ϕn , . . . , ϕn+m−1 — вещественный ортонормированный базис собствен˜ ного подпространства, соответствующего собственному значению λF [φ(Ω)], относительно 2 ˜ стандартного скалярного произведения в L (φ(Ω)). Пусть ϑ — размерность вещественного векторного пространства матриц размера m × m, определенных формулой ˜ ϕn+h , ϕn+k , λF [φ(Ω)], ˜ ˜ ϕn , ϕn , λF [φ(Ω)], ˜ Υ[φ, ψ] − δhk Υ[φ, ψ] : h,k=0,...,m−1 ψ ∈ (Lip(Ω))N . (4.23) W 1,2 (Ω)

m(m + 1) −1 и в Φ(Ω) существует открытая окрестность V˜ преобразования φ˜ 2 такая, что ΘN (Ω, F ) ∩ V˜ содержится в вещественно-аналитическом банаховом подмногообm(m + 1) разии коразмерности ϑ в пространстве (Lip(Ω))N . Кроме того, если ϑ = − 1, то 2 окрестность V˜ можно выбрать так, что ΘN (Ω, F ) ∩ V˜ будет вещественно-аналитическим m(m + 1) банаховым подпространством коразмерности − 1 в (Lip(Ω))N , а его касательным 2 пространством в точке φ˜ будет пространство ψ ∈ (Lip(Ω))N : ˜ ˜ ˜ ˜ Υ[φ, ϕn+h , ϕn+k , λF [φ(Ω)], ψ] − δhk Υ[φ, ϕn , ϕn , λF [φ(Ω)], ψ] = 0 . (4.24) Тогда 0 6 ϑ 6

h,k=0,...,m−1

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

109

˜ Теорема 4.12. Пусть выполнены условия теоремы 4.11. Предположим, что ∂ φ(Ω) имеет рав2,2 ˜ ную нулю N -мерную лебегову меру и ϕn+h ∈ W (φ(Ω)) при всех h = 0, . . . , m − 1. ◦ ˜ ˜ Тогда ϑ равно размерности подпространства пространства W 1,1 (φ(Ω))/ W 1,1 (φ(Ω)), порожденного множеством {q [Mhk − δhk M00 ] : h, k = 0, . . . , m − 1} , (4.25) где ˜ Mhk ≡ Dϕn+h Dϕn+k − λF [φ(Ω)]ϕ (4.26) n+h ϕn+k для всех h, k = 0, . . . , m − 1. ˜ Теорема 4.13. Пусть выполнены условия теоремы 4.12. Предположим, что φ(Ω) принадле 0,1 1 ˜ жит классу C и ϕn+h ∈ C φ(Ω) при всех h = 0, . . . , m − 1. ˜ Тогда ϑ равно размерности подпространства пространства L1 (∂ φ(Ω)), порожденного множеством {Mhk − δhk M00 : h, k = 0, . . . , m − 1} . Пример 4.4. Пусть N = 2, Ω = ]0, π[×]0, π[ и φ˜ — тождественное преобразование области Ω. Известно, что λ2 [Ω] = 1 является собственным значением кратности два и соответствующее пространство собственных функций натянуто на функции v1 (y1 , y2 ) = cos y1 и v2 (y1 , y2 ) = cos y2 (см., m(m + 1) например, разделы 5 и 4, гл. 5, в [7]). Тогда согласно теореме 4.13 имеем ϑ = − 1. Сле2 довательно, преобразования множества Ω, сохраняющие кратность собственного значения λ2 [Ω], образуют многообразие коразмерности ϑ = 2. Авторы благодарны профессору Э. Киссину за полезные замечания. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 05-01-01050) и INTAS (проект № 05-1000008-8157). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Арнольд В. И. Моды и квазимоды// Функциональный анализ и его приложения. — 1972. — 6. — С. 12–20. 2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения — М.: Наука, Физматлит, 1996. 3. Буренков В. И. Приближение функции из пространств Wpr (Ω) финитными функциями для произвольного открытого множества Ω// Труды МИАН. — 1974. — 131. — C. 51–63. 4. Буренков В. И., Ламберти П. Д. Спектральная устойчивость неотрицательных самосопряженных операторов// Докл. АН. — 2005. — 403 (2). — С. 1–6. 5. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Равномерные оценки на замкнутой области собственных функций эллиптического оператора и их проихводных// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1960. — 24. — С. 883–896. 6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. 7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том I. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. 8. Слободецкий Л. Н. Теория потенциала для параболических уравнений// Докл. АН. — 1955. — 103. — С. 19–22. 9. Смолицкий Х. Л. Оценки производных фундаментальных функций// Докл. АН. — 1950. — 74. — С. 205–208. 10. Эйдус Д. М. Оценки модулей собственных функций// Докл. АН. — 1953. — 90. — С. 973–974. 11. Эйдус Д. М. Некоторые неравенства для собственных функций// Докл. АН. — 1956. — 107. — С. 796– 798. 12. Якубов В. Я. Точные оценки для L2 -нормализованных соственных функций эллиптического оператора// Докл. АН. — 1993. — 331 (3). — С. 286–287. 13. Ancona A. On strong barriers and an inequality on Hardy for domains in Rn // J. London Math. Soc. — 1986. — 34. — С. 274–290. 14. Babyshka I. Ustoichivost’ oblasti opredeleniya po otnosheniyu k osnovnym zadacham teorii ˆ differentsial’nykh uravnenii// Chekhoslovatskii Mat. Zh. — 1961. — 11, № 86. — C. 76–105; 165–203. 15. Babuska I., Vyborn y´ R. Continuous dependence of eigenvalues on the domain// Chekhoslovatskii Mat. ˆ ´ Zh. — 1965. — 15, № 90. — C. 169–178. 16. Brezis H., Marcus M. Hardy’s inequalities revisited// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). — 1998. — 25. — С. 217–237. 17. Burenkov V. I. Sobolev spaces on domains. — Stuttgart—Leipzig: B. G. Teubner, 1998.

110

В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ, М. ЛАНЦА ДЕ КРИСТОФОРИС

18. Burenkov V. I., Davies E. B. Spectral stability of the Neumann Laplacian// J. Differential Equations. — 2002. — 186. — С. 485–508. 19. Burenkov V. I., Lamberti P. D. Spectral stability of general nonnegative self-adjoint operators with applications to Neumann-type operators// В печати. 20. Burenkov V. I., Lamberti P. D. Spectral stability of Dirichlet second order uniformly elliptic operators// Готовится к печати. 21. Burenkov V. I., Lamberti P. D. Spectral stability of high order uniformly elliptic operators// Готовится к печати. 22. Burenkov V. I., Lanza de Cristoforis M. Spectral stability of the Robin Laplacian// В печати. 23. Buser P. On Cheeger’s inequality λ1 > h2/4 // Proc. Sympos. Pure Math. — 1980. — 36. — С. 29–77. 24. Chatelain T. A new approach to two overdetermined eigenvalue problems of Pompeiu type// ESAIM Proc. — 1997. — 2. — С. 235–242. Электрон. публик. 25. Cheeger J. A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian// Problems in Analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969). — N. J.—Princeton: Princeton Univ. Press, 1970. — С. 195–199. 26. Colin de Verdi`ere Y. Sur une hypoth`ese de transversalit´e d’Arnold// Comment. Math. Helv. — 1988. — 63. — С. 184–193. 27. Cox S. J. The generalized gradient at a multiple eigenvalue// J. Funct. Anal. — 1995. — 133. — 30–40. 28. Davies E. B. Heat kernels and spectral theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 29. Davies E. B. Eigenvalue stability bounds via weighted Sobolev spaces// Math. Z. — 1993. — 214. — С. 357– 371. 30. Davies E. B. Spectral theory and differential operators. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 31. Davies E. B. A review on Hardy inequalities// The Maz’ya Anniversary Collection, Vol. 2 (Rostock, 1998). — Birkh¨auser, Operator Theory: Advances and Applications. — 1999. — 110. — С. 55–67. 32. Davies E. B. Sharp boundary estimates for elliptic operators// Math. Proc. Camb. Phil. Soc. — 2000. — 129. — С. 165–178. 33. Hempel R., Seco L. A., Simon B. The essential spectrum of Neumann Laplacians on some bounded singular domains// J. Funct. Anal.. — 1991. — 102. — С. 448–483. 34. Henry D. Topics in nonlinear analysis. — Mar¸co: Univ. Brasilia, Trabalho de Matem´atica № 192, 1982. 35. Henry D. Perturbation of the Boundary in Boundary-Value Problems of Partial Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, London Mathematical Society Lecture Notes № 318, 2005. 36. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. An analyticity result for the dependence of multiple eigenvalues and eigenspaces of the Laplace operator upon perturbation of the domain// Glasgow Math. J. — 2002. — 44. — С. 29–43. 37. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. A real analyticity result for symmetric functions of the eigenvalues of a domain dependent Dirichlet problem for the Laplace operator// Journal of Nonlinear and Convex Analysis. — 2004. — 5. — С. 19–42. 38. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. Lipschitz type inequalities for a domain dependent Neumann eigenvalue problem for the Laplace operator// H. G. W. Begehr, R. P. Gilbert, M. E. Muldoon, and M. W. Wong (Eds.), Advances in Analysis, Proc. 4th Int. ISAAC Congr. York Univ., Toronto, Canada, 11–16 August 2003. — World Scientific Publishing, 2005. 39. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. Persistence of eigenvalues and multiplicity in the Neumann problem for the Laplace operator on nonsmooth domains// Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Suppl. — 2005. — 76. — С. 413–427. 40. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. A global Lipschitz continuity result for a domain dependent Dirichlet eigenvalue problem for the Laplace operator// Z. Anal. Anwendungen. — 2005. — 24. — С. 277– 304. 41. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. A global Lipschitz continuity result for a domain dependent Neumann eigenvalue problem for the Laplace operator// J. Differential Equations. — 2005. — 216. — С. 109– 133. 42. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. Critical points of the symmetric functions of the eigenvalues of the Laplace operator and overdetermined problems// J. Math. Soc. Japan. — В печати. 43. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. Persistence of eigenvalues and multiplicity in the Dirichlet problem for the Laplace operator on nonsmooth domains// Mathematical Physics, Analysis, and Geometry. — В печати. 44. Lamberti P. D., Lanza de Cristoforis M. A real analyticity result for symmetric functions of the eigenvalues of a domain dependent Neumann problem for the Laplace operator// В печати. 45. Lapidus M. L., Pang M. M. H. Eigenfunctions of the Koch snowflake domain// Comm. Math. Phys. — 1995. — 172. — С. 359–376.

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

111

46. Lupo D., Micheletti A. M. On multiple eigenvalues of selfadjoint compact operators// J. Math. Anal. Appl. — 1993. — 172. — С. 106–116. 47. Lupo D., Micheletti A. M. On the persistence of the multiplicity of eigenvalues for some variational elliptic operator on the domain// J. Math. Anal. Appl. — 1995. — 193. — С. 990–1002. 48. Lupo D., Micheletti A. M. A remark on the structure of the set of perturbations which keep fixed the multiplicity of two eigenvalues// Rev. Mat. Apl. — 1995. — 16. — С. 47–56. 49. Micheletti A. M. Perturbazione dello spettro dell’operatore di Laplace, in relazione ad una variazione del campo// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). — 1972. — 26. — С. 151–169. 50. Micheletti A. M. Perturbazione dello spettro di un operatore ellittico di tipo variazionale, in relazione ad una variazione del campo// Ann. Mat. Pura Appl. — 1973. — 97. — С. 267–281. 51. Micheletti A. M. Perturbazione dello spettro di un operatore ellittico di tipo variazionale, in relazione ad una variazione del campo. II// Ricerche Mat. — 1976. — 25. — С. 187–200. 52. Necas J. Les M´ethodes directes en theorie des equations elliptiques. — Paris: Masson et Cie, 1967. ˇ 53. Pang M. M. H. Approximation of ground state eigenfunction on the snowflake region// Bull. Lond. Math. Soc. — 1996. — 28. — С. 488–494. 54. Pang M. M. H. Approximation of ground state eigenvalues and eigenfunctions of Dirichlet Laplacians// Bull. London Math. Soc. — 1997. — 29. — С. 720–730. 55. Polya G., Schiffer M. Convexity of functionals by transplantation// J. Anal. Math. — 1954. — 3. — С. 245– ´ 346. 56. Prodi G. Dipendenza dal dominio degli autovalori dell’operatore di Laplace// Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A. — 1994. — 128. — С. 3–18. 57. Rellich F. Perturbation theory of eigenvalue problems. — New York: Gordon and Breach Science Publisher, 1969. 58. Riesz F., Nagy B. Functional analysis. — New York: Gordon and Breach Science Publisher, 1969. 59. Sokolowski J., Zolesio J. P. Introduction to shape optimization. Shape sensitivity analysis. — Berlin: ´ Springer, 1992. 60. Teytel M. How rare are multiple eigenvalues?// Comm. Pure Appl. Math. — 1999. — 52. — С. 917–934. 61. Troianiello G. M. Elliptic differential equations and obstacle problems. — New York—London: Plenum Press, 1987.

Виктор Иванович Буренков Cardiff School of Mathematics, Cardiff University, Senghennydd Road, Cardiff, CF24 4AG, United Kingdom E-mail: [email protected] Pier Domenico Lamberti Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, Universit`a degli Studi di Padova, Via Belzoni 7, 35131 Padova, Italy E-mail: [email protected] Massimo Lanza de Cristoforis Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, Universit`a degli Studi di Padova, Via Belzoni 7, 35131 Padova, Italy E-mail: [email protected]

Спектральная устойчивость неотрицательных самоспряженных операторов

Recommend Documents