Расчет цепей постоянного тока: Методические указания к выполнению семестрового задания по общей электротехнике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра “Электротехника”

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Методические указания к выполнению семестрового задания №1 по курсу общей электротехники для всех специальностей

ВОЛГОГРАД 2002

УДК 621.3.1 Расчет цепей постоянного тока. Методические указания к выполнению семестрового задания № 1 по общей электротехнике для всех специальностей. /Сост. Доц. А. Н. Шилин, ст. препод. Е. Г. Зенина, Волгоград. гос. тех. ун-т. Волгоград, 2002.- 32 с.

Методические указания содержат общие требования к оформлению семестрового задания, порядок выбора варианта и составления электрической схемы, приведены примеры расчетов указанными методами. Предназначены для выполнения семестровых заданий №1 по общему курсу электротехники для студентов всех специальностей. Ил. 7, библиогр. - 2 назв.

Рецензент С. И. Николаева

© Волгоградский государственный технический университет, кафедра «Электротехника», 2002 г.

1. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАНИЯ 1.1. Задание следует выполнять на отдельных листах формата А4 с одной стороны листа чернилами, шариковой ручкой или на компьютере. Титульный лист выполняется на нелинованных листах с указанием соответствующих реквизитов (см. Приложение 1). 1.2. Начиная решение семестрового задания, необходимо провести анализ электрической схемы. Для этого необходимо задать условно положительные направления токов ветвей; обозначить узлы, ветви и дерево графа, выбрать независимые контуры. 1.3. Электрические схемы выполняются по ГОСТу для каждого метода расчета отдельно с помощью чертежных инструментов остро отточенным карандашом. Все надписи на чертеже производятся карандашом. 1.4. Разобраться, какие физические законы и методы расчета предполагается использовать при решении, выяснить, сколько уравнений необходимо составить для данной электрической схемы при решении различными методами. Произвести математическую запись этих методов. Расчет каждой искомой величины следует выполнить сначала в общем виде, а потом, - подставляя численные значения. 1.5. Промежуточные и конечные результаты расчетов должны быть выделены с обязательным указанием размерности. 2. ПРАВИЛА ВЫБОРА ВАРИАНТА СЕМЕСТРОВОГО ЗАДАНИЯ 2.1. Основой для выбора варианта является порядковый номер студента в журнале преподавателя - №. Числовые значения параметров электрической схемы находятся в таблице вариантов № 1 (см. Приложение 2): для группы №1 – по номеру №; для группы №2 – по номеру (№+10); для группы №3 – по номеру (№+20); для группы №4 – по номеру (№+30); для группы №5 – по номеру (№+40); для группы №6 – по номеру (№+50). 2.2. Источники En и En+2 включаются в ветви последовательно с n и n+2 сопротивлениями последовательно, а источник тока - параллельно n+2 сопротивлению. Величина n определяется по остатку от деления № на 4. Например: №=14, тогда №/4=14/4=3+(остаток 2), следовательно, n=2. 2.3. Направление источников эдс, тока и условно положительные направления токов ветвей принимаются по указанным в топографическом графе (рис. 1-30) (см. Приложение 3).

3. ЗАДАНИЕ Для электрической цепи, соответствующей номеру варианта и графа, изображенного на рис. 1-30, необходимо выполнить следующие задания: 1) Провести анализ электрической цепи. Обозначить ветви, узлы, дерево графа и показать выбор независимых контуров. 2) Составить и рассчитать матрицы сечений и контуров для одного дерева графа цепи. 3) Составить систему уравнений по схеме для токов по законам Кирхгофа, записать уравнения Кирхгофа в матричной форме и рассчитать матрицу. 4) Рассчитать токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. 5) Рассчитать токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов. 6) Результаты расчетов, проведенных всеми методами, свести в таблицу и сравнить между собой. Записать выводы. 7) Составить уравнение баланса мощностей для схемы по результатам расчетов, выполненных одним их методов, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность потребителей (резисторов). 8) Сделать выводы о целесообразности выбора того или иного метода для расчета сложных цепей. 4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 4.1. Анализ электрической схемы По номеру варианта выбираем граф (рис. 1) и составляем электрическую схему, изображенную на рис. 2, со следующими параметрами: Е2 =30 В, Е4 =20 В, J =0,7 А, R0 =12 Ом, R1 =15 Ом, R2 =9 Ом, R3 =36 Ом, R4 =24 Ом, R5 =18 Ом.

Рис. 1

Рис. 2

Заданная электрическая схема содержит 6 ветвей и 4 узла. Направления токов ветвей расчетного графа выберем также как и в заданном графе, где направления ветвей указывали направления включения источников электрической энергии (рис. 3).

Рис. 3 Выбираем одно из деревьев графа, состоящее из ветвей 1, 3 и 4 (рис. 4). Ветви дерева вычерчены утолщенными линиями, ветви связи – тонкими. Рис. 4 Заданному дереву соответствует три независимых контура (рис. 5, а - в).

а)

б)

в)

Рис. 5 4.2. Расчет матриц сечений и контуров Совокупность ветвей связного графа называется сечением, если, вопервых, устранение всех ветвей этой совокупности (узлы графа сохраняются) делает граф несвязным и, во-вторых, после восстановления любой из ветвей этой совокупности вновь образуется связный граф. Сечения на графе (схеме) цепи изображается в виде вогнутой тонкой или штриховой линии, которая проходит через все ветви сечения. При этом токи в ветвях сечений, одинаково ориентированны относительно линии, символизирующей сечение, входят в сумму с одинаковыми знаками – положительными или отрицательными.

Выберем сечения и обозначим их римскими цифрами (рис. 6). Рис. 6 Составим матрицу сечений и матрицу фундаментальных контуров для данного дерева и запишем уравнения Кирхгофа в матричной форме. Матрица сечений, является математическим выражением первого закона Кирхгофа, который имеет следующую формулировку – алгебраическая сумма токов в ветвях любого сечения электрической цепи равна нулю. Матрица сечений содержит NС строк по числу сечений и N В столбцов по числу его ветвей. На пересечении k -ой строки и l - го столбца матрицы может стоять 1, если ветвь ориентирована входящей в сечение, или -1, если она ориентирована выходящей из сечения, или 0, если эта ветвь не входит в сечение. N сечений ⎡ −1 1 1 0 0 0 ⎤ I [ D ] = ⎢ 1 0 0 1 0 −1⎥ II ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 −1 0 1 1 ⎥⎦ III

N ветвей

0 1 2 3 4 5

Из правил умножения матриц и способа формирования матрицы сечений следует, что уравнения по первому закону Кирхгофа для токов сечений можно записать в следующей матричной форме:

⎡I 0 ⎤ ⎢I ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢I ⎥ [ D] ⋅ [ I ] = 0, г де [I ] = ⎢ 2 ⎥ ⎢ I3 ⎥ ⎢I 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ I5 ⎦

– матрица-столбец токов ветвей.

Особенностью ⎡I 0 ⎤ данной схемы являет⎢I ⎥ 1 0 ⎤ ⎡− I 0 I 1 I 2 0 0 ся наличие источника ⎡−1 1 1 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢I 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ тока в четвертой ветви ⎢ 1 0 0 1 0 −1⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = 0 или ⎢ I 0 0 0 I 3 0 − I5 ⎥⎥ = 0 I схемы, поэтому ток в ⎢⎣ 0 0 −1 0 1 1 ⎥⎦ ⎢ 3 ⎥ ⎢⎣ 0 0 − I 2 0 I 4 I 5 ⎥⎦ ⎢I 4 ⎥ этой ветви, входящий ⎢ ⎥ ⎣ I5 ⎦ в уравнение сечений, будет определяться как сумма двух токов – тока источника и тока, протекающего через сопротивление R4: I 4 = J + I R4 . При составлении матрицы контуров используют второй закон Кирхгофа, который формулируется следующим образом – алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре цепи равна нулю. Уравнения по второму закону Кирхгофа в матричной форме имеет следующий вид ⎡U 0 ⎤ ⎢U ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢U ⎥ [ B] ⋅ [U ] = 0 , где [U ] = ⎢U 2 ⎥ – матрица-столбец напряжений ветвей цепи; ⎢ 3⎥ ⎢U 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣U 5 ⎦ [B] –

матрица фундаментальных контуров. Порядковые номера столбцов матрицы фундаментальных контуров [В] соответствуют номерам ветвей, а номера строк – номерам контуров. Если ветвь входит в контур, то в пересечении соответствующего столбца и строки ставятся +1 или -1, а если в контур ветвь не входит, то ставится 0. Знак плюс перед единицей ставится в том случае, если при обходе контура положительное направление тока в ветви совпадает с направлением обхода, в противном случае – ставится знак «минус». От выбора направлений обхода контуров результаты расчетов не зависят, так как изменение направления обхода контура эквивалентно умножению на (-1) обеих частей уравнения. Схеме с выбранными контурами (рис. 5) соответствует матрица сечений. N контура

−1 0 0 ⎤ I 0 −1 0 ⎥ II ⎥ −1 1 −1⎥⎦ III

⎡1 1 0 [ B ] = ⎢0 1 −1 ⎢ ⎢⎣0 0 0

N ветвей 0 1 2 3 4 5 Матрица-столбец напряжений ветвей имеет следующий вид

I0R0 ⎤ ⎡U 0 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢U ⎥ ⎢ R1 I 1 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ I 2 R2 − E 2 ⎢U 2 ⎥ ⎢ [U ] = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ I 3R3 ⎥ ⎢U 3 ⎥ ⎢ ⎢U 4 ⎥ ⎢ I 4 R4 − J 4 R 4 − E 4 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ I 5 R5 ⎦ ⎣U 5 ⎦ ⎣

При составлении матрицы-столбца напряжений идеальный источник тока J и параллельно с ним включенное сопротивление R (рис. 7, а) заменяется эквивалентным источником эдс E с последовательно включенным с ним сопротивлением R (рис. 7, б). При этом эдс эквивалентного источника определяется по формуле E=JR.

а)

б) Рис. 7

Уравнения по второму закону Кирхгофа для заданной цепи имеет следующую матричную форму ⎡ I 0 R0 [ B] ⋅ [U ] = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

R1 I 1

0

− I 3 R3

R1 I 1 0

E 2 − I 2 R2 0

0 − I 3 R3

⎤ E 4 − R4 ( I 4 − J ) 0 ⎥⎥ = 0. R 4 ( I 4 − J ) − E 4 − I 5 R5 ⎥⎦ 0

0

Таким образом, получили системы линейно-независимых уравнений в матричной форме по законам Кирхгофа для определения неизвестных величин I0 -I5. Объединим полученные матрицы и подставим численные значения.

⎡− 1 1 ⎢1 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢ R 0 R1 ⎢ 0 R1 ⎢ 0 ⎣0

1 0 −1 0 − R2 0

0 1 0 − R3 0 − R3

0 0 1 0 − R4 R4

0 ⎤ ⎡I0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 0 I1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −J 1 ⎥ ⎢I2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥×⎢ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎢I3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ I 4 ⎥ ⎢ − E 2 − E 4 − JR 4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − R5 ⎦ ⎣ I 5 ⎦ ⎣ E 4 + JR 4 ⎦

2.3 Метод расчёта, основанный на применении законов Кирхгофа Составим систему уравнений для токов по законам Кирхгофа для заданной схемы с исходными данными (рис. 8). Рис. 8 По возможности необходимо упростить схему, заменив последовательные и параллельные соединения резисторов в ветвях эквивалентными резисторами. В данной схеме таких соединений нет. Для всех узлов схемы, кроме одного, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, которые являются линейно-независимыми: для узла 1 -I0 + I1 + I2 = 0 , для узла 2

I0 + I3 - I 5 = 0 ,

для узла 4

-I2 + I4' + I5 = 0 ,

Если к одному из узлов присоединен источник тока, то ток этого источника тоже должен быть учтен. В приведенных выше уравнениях ток источника тока учтен в уравнении для узла 4: I4' = I4+J. Подставив это выражение в уравнение, получим -I2 + I4 + J + I5 = 0 , или -I2 + I4 + I5 = - J. Поэтому в цепях с источниками тока первый закон Кирхгофа целесообразно записывать в следующем виде:

∑ Ii =∑ J k Т. е. алгебраическая сумма токов в ветвях равна алгебраической сумме токов, обусловленных источниками тока. При этом выбор знаков источников токов в уравнении аналогичен выбору знаков для обычных токов ветвей.

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо выбрать независимые контуры, число которых равно число недостающих уравнений. Независимые контуры выбираем также как и в предыдущем методе (см. рис.5). В каждом контуре выбираем условное положительное направление обхода (рис. 8) и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа: для контура I I0R0 + I1R1 - I3R3 = 0; для контура II I1R1 - I2R2 - I4R4 = -E2 - E4; для контура III -I3R3 + I4R4 - I5R5 = - E4 . Уравнения Кирхгофа представим в матричной форме: 1 ⎡− 1 1 ⎢1 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 −1 ⎢ 0 ⎢ R0 R1 ⎢ 0 R1 − R2 ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0

0

0

1

0

0

1

− R3 0 − R3

0 − R4 R4

0 ⎤ ⎡ I0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 1 ⎥ ⎢ I1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎢I2 ⎥ ⎢ − J ⎥ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ I3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 I4 − E2 − E4 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − R5 ⎥⎦ ⎢⎣ I 5 ⎥⎦ ⎢⎣ E4 ⎥⎦

Подставим значения сопротивлений и рассчитаем матрицу. 0 0 0 ⎤ ⎡I0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡− 1 1 1 ⎢1 0 0 1 0 − 1 ⎥⎥ ⎢⎢ I1 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 0 0 −1 0 1 1 ⎥ ⎢ I 2 ⎥ ⎢− 0,7 ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 12 15 0 − 36 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ I3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 15 − 9 0 − 24 0 ⎥ ⎢ I 4 ⎥ ⎢ − 50 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 0 − 36 24 − 18⎦⎥ ⎣⎢ I 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 20 ⎦⎥

Значения токов равны: I0 =4,31085 А; I1 = -4,00845 А; I2 =8,31931 А; I3 = -0,23324 А; I4 =3,54169 А; I5 =4,07762 А.

Приложение 1 Министерство образования Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра «Электротехника»

Семестровое задание № 1 РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Вариант № ______

Студент: (ФИО)____________ Группа: __________________ Преподаватель: (ФИО)_______ Дата сдачи:________________ (заполняется_ преподавателем) Отметка о зачете:___________

Волгоград, _____ г.

Приложение 2

Приложение 3 Таблица 1 Номер варианта

Номер рисунка

задания 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

(графа) 2 2 29 6 14 4 23 5 24 6 19 22 27 1 16 11 17 3 7 26 28 8 10 9 18 12 4 23 25 14 21 19 2 30 5 13 11 17 3 7 21 15 8 10 9

Параметры электрической схемы

R0

R1

R2

3 30 12,5 12,5 22,5 6 2 2 4,5 2,5 2,5 4 26 26 8 40 20 8 260 12 110 220 14 60 30 24 8 8 18 10 10 16 16 32,5 32,5 10 10 18 60 32,5 30 12,5 12,5 22,5 6

4 25 17,5 25 50 17,5 3,5 5,5 10 5 3,5 5 10 10 16 160 36 26 80 10 160 120 24 80 24 70 14 22 40 20 14 20 20 22,5 12,5 20 14 40 80 22,5 25 17,5 25 50 17,5

5 15 25 30 40 11 5 2,5 8 6 5 6 18 14 12 200 10 18 120 16 200 90 8 44 20 44 20 10 32 24 20 12 12 10,5 5 15 20 32 44 10,5 15 25 30 40 11

R3

R4

R5

En

6 37,5 10 17,5 100 3 6 6 20 3,5 2 7,5 14 16 20 70 24 20 160 28 80 300 18 20 18 12 24 24 80 14 8 30 30 25 20 25 8 80 20 25 37,5 10 17,5 100 3

7 52,5 37,5 20 75 5 10 3,5 15 4 7,5 10,5 20 22 26 300 16 10 220 14 140 160 30 28 16 20 40 14 60 16 30 42 42 12,5 27,5 32,5 30 60 28 12,5 52,5 37,5 20 75 5

8 65 50 37,5 55 7,5 2,75 4 11 7,5 10 13 8 30 24 80 12 12 90 40 240 100 16 100 14 30 11 16 44 30 40 52 52 10 37,5 25 40 44 100 10 65 50 37,5 55 7,5

9 50,5 30 35 35 6,5 6,5 10,5 10 6 7 12 20 24 60 200 40 32 24 12 50 45 40 46 26 40 40 50 60 30 30 50 50 20 25 35 30 60 46 20 50,5 30 35 35 6,5

Ом

En+2

J

10 50 75 62,5 45 6 10 5 9 12,5 15 10 24 32 24 240 45 11 34 16 22 25 12 8 28 19,5 10 16,5 28 38 20 34 34 75 50 37,5 20 28 8 75 50 75 62,5 45 6

А 11 0,6 0,6 0,1 0,5 0,1 1 1 0,5 0,3 0,2 0,5 1 2 0,5 1,5 3 0,5 0,2 2 0,4 0,5 1 0,5 0,5 0,1 1,5 0,2 0,25 0,5 2 0,5 0,5 0,4 0,5 2 2 0,25 0,5 0,4 0,6 0,6 0,1 0,5 0,1

В

44 45 46 47 48 49 50

18 12 24 13 2 15 1

2 2 4,5 2,5 2,5 10 50

3,5 5,5 10 5 3,5 20 200

5 2,5 8 6 5 15 250

6 6 20 3,5 2 25 87

10 3,5 15 4 7,5 32,5 375

2,75 4 11 7,5 10 25 100

1 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

2 22 26 11 29 22 7 20 28 30 25 18 12 4 19 30 13 8 15 27 17 1 16 5 20 3 28 9 10 29 2 25 26 16 21 24 23 14 27 20

3 25 10 325 15 20 135 275 17,5 75 37,5 30 10 12 6,5 7,5 2 10 5 2 65 3 27,5 55 3,5 15 37,5 30 10 325 4 26 26 8 40 20 8 260 12 110

4 45 32,5 100 12,5 25 200 150 30 100 30 87,5 17,5 15 2,5 6,5 5 40 9 6,5 20 2,5 40 30 6 20 30 87,5 17,5 100 5 10 10 16 160 36 26 80 10 160

5 12.5 22,5 150 20 10 250 112 10 55 25 55 25 9 4,5 2,5 3 50 2,5 4,5 30 4 50 22,5 2 11 25 55 25 150 6 18 14 12 200 10 18 120 16 200

6 25 25 200 35 14 100 375 22,5 25 22,5 15 30 22,5 4,5 1 5 17,5 6 5 40 7 20 75 4,5 5 22,5 15 30 200 7,5 14 16 20 70 24 20 160 28 80

7 20 12,5 275 17,5 18 175 200 35,5 35 20 25 50 32,5 5 4 6,5 75 4 2,5 55 3,5 35 40 7,5 7 20 25 50 275 10,5 20 22 26 300 16 10 220 14 140

8 15 15 112 20 15 300 225 20 125 17,5 37,5 13,5 39 2 5,5 8 20 3 3 22,5 5 60 25 4 26 17,5 37,5 13,5 112 13 8 30 24 80 12 12 90 40 240

6,5 10 1 10,5 5 1 10 9 0,5 6 12,5 0,3 7 15 0,2 35 37,5 2 150 625 0,5 Продолжение таблицы 1 9 10 11 32 87.5 0,5 37 25 0,04 17 62,5 0,3 25 55 2 30 35 1,2 34,5 37,5 0,14 24 35 0,15 26 35 0,4 32,5 37,5 0,25 25 50 0,2 24 30 0,4 20 25 2 25,5 30 1 4 15 0,4 5 10 0,6 11 7,5 1 34 12,5 0,5 8,5 15,5 0,5 6,7 5 0,2 4,7 12,5 0,02 7,5 11 1 6,5 7,5 0,15 8,1 7 0,08 7 3 0,5 7,5 8 0,5 25 50 0,2 24 30 0,4 20 25 2 17 62,5 0,3 12 10 0,5 20 24 1 24 32 2 60 24 0,5 200 240 1,5 40 45 3 32 11 0,5 24 34 0,2 12 16 2 50 22 0,4