О компьютерном сопровождении преподавания математики

Аннотация В методической разработке кратко изложен опыт по компьютерному сопровождению математических курсов в колледже, приводится попытка аргументировано доказать эффективность такого сопровождения в процессе преподавания математических дисциплин. Этот опыт, естественно, не может быть примером и образцом для преподавателей различных дисциплин. Работа комиссии физико-математических дисциплин по компьютеризации преподавания - одно из многих направлений в поиске применения компьютерных технологий в учебном процессе. Разработка составлена в соответствии с «Положением о всероссийском конкурсе современных технологий обучения в образовательном процессе специальных учебных заведений» и призвана представить инновационный опыт автора. В разработке раскрывается содержание, методика и эффективность применения компьютерного сопровождения преподавания математики.

Автор: Капустин Е.И .

Содержание 1.О чем речь (предисловие с предупреждением)……………..3 2.О программах…………………………………………………4 3.О применении программ…………….……………………….7 4.Краткие аннотации программ………………………………13 Приложения. Программы.

О чем речь? (предисловие с предупреждением) Настоящая работа посвящена описанию опыта преподавания математических дисциплин с КОМПЬЮТЕРНЫМ СОПРОВОЖДЕНИЕМ (далее КСМ – компьютерное сопровождение математики). Лет 15 назад, когда в колледже был оборудован первый компьютерный класс с БК-0010, я, мои коллеги, студенты, проявившие желание программировать, приступили к разработке программ, иллюстрирующих математические понятия и решающих математические задачи. В последнее время программы переведены на QBASIC (далее QB), постоянно дорабатываются и разрабатываются новые. Впрочем, о самих программах речь пойдет в следующей главе. Там же будет приведена аргументация эффективности применения программ на QB. В чем же мое предупреждение? Предлагаю всем тем, кто считает, что QB лишь язык «для домохозяек», что «изобретать велосипед» в век мощных систем компьютерной математики (далее СКМ) и интернета вредно и не нужно, предлагаю отложить настоящую работу и далее не читать. Автору хорошо знакомы многие СКМ, такие как, MathCad, Mathematica 5, Maple 9, MathLab, Advanced Grapher, 3D Gapher, Master Function 2.0, Wise Calculator, Approximator и другие. Более того, на старших курсах обучаю студентов работе с этими программами. Со старшекурсниками разрабатываем алгоритмы решения многих классов математических задач, в особенности по аппроксимации функций, в программе Excel как альтернативу методу наименьших квадратов с использованием «поиска решения». Есть намерение обнародовать наши разработки по этому вопросу в ближайшем будущем. И, тем не менее, разрабатываю и применяю программы на QB. И это не «ностальгия», не чудачество, а один из путей повышения эффективности обучения математическим дисциплинам. Это т.н. обучающие программы? И да, и нет. Они очень отличаются от классической обучающей системы Боревского Л.Я., также хорошо известной автору. Применяемые программы на QB не альтернатива СКМ и обучающим программам, а нечто иное. В работе будет сделана попытка доказательства эффективности их применения. Работа обращена к тем, прежде всего преподавателям математики, кто занимается аналогичными вопросами, кто разрабатывает и применяет аналогичные программы, кто ценит огромные математические возможности QB. Почему размещаю это в сети? В надежде найти единомышленников для сотрудничества, может быть, получить рецензию, или, хотя бы отзыв, в лучшем случае – оценку. Еще раз направляю скептиков к третьему абзацу предисловия… Если же интерес проявлен, то рекомендую дальнейшее ознакомление с представляемым опытом работы вести за компьютером. Для этого установите в корневой каталог диска С файл perech.bas и папку КSМ. В этой папке помещены программы, о которых, собственно, и идет речь. Разумеется, на Вашем компьютере установлена, желательно русскоязычная, среда QB. По мере изложения, описания методики КСМ буду часто ссылаться на конкретные программы. Для сокращения объема этой работы откажусь от наименования программ, и буду делать ссылки по двойному индексу каталога. Например,

2

программа «Вычисление криволинейного интеграла» будет иметь индекс 6.4. Это означает, что она размещена в 6-ом разделе под номером 4 и точно так же в головном файле perech.bas. Все приводимые мной доказательства эффективности применяемой методики преподавания математики могут показаться неубедительными без «компьютерного сопровождения» прочтения этой работы. Описание своего опыта буду вести от первого лица, так как я работал вместе со студентами, помогающими мне составлять, тестировать и отлаживать программы, о которых идет речь, и иногда буду употреблять местоимение «мы», имея в виду своих коллег, применяющих настоящую методику. И еще одно предупреждение. В этой работе не рассматриваются вопросы собственно программирования, потому что программы, с точки зрения стиля, культуры программирования, не выдерживают никакой критики: устаревшие алгоритмы, «долгоиграющие» конструкции и т.д. Главные требования к программам - дидактические, так как они должны сопровождать преподавание курса, и математические, так как они должны выдавать безупречные результаты.

О программах Настоящие программы использовались и используются для компьютерного сопровождения курсов “Математика”, “Элементы высшей математики”, “Высшая математика”, “Математика и информатика”, ”Математическая статистика” и других. Большинство их направлено на применение на уроках математики в группах младших курсов всех специальностей. Краткие аннотации этих программ приведены в последней главе. В них очень кратко изложены математические возможности программ, т.е., что конкретно программы «могут» считать, выполнять, рисовать и т.д. В аннотациях не отображены дидактические возможности программ: как, когда и каким образом применяется на уроках математики та или иная программа. Этому вопросу будет посвящен следующий раздел. Программы прежде всего решают задачи, обозначенные в их названиях и в аннотациях: находят корни уравнений и систем уравнений, раскладывают функции в ряды, вычисляют определенные, двойные и криволинейные интегралы, пределы функций в точке и на бесконечности, строят графики, исследуют функции, находят математическую зависимость, интерполируют и экстраполируют и т.д. и т.п. Но главное их назначение в том, что они носят учебно-демонстрационный характер, помогая студенту освоить математические идеи и методы. Программы в целом охватывают главные разделы математики, изучаемой в колледже, некоторые популярные приложения и не претендуют на высокую математическую строгость и всеобъемлемость математической тематики. Их применение в обучении студентов на протяжении ряда лет позволило добиваться более глубоких знаний и, что немаловажно, развития интереса к изучению математики и выполнению собственных творческих работ. Большая часть программ уже продолжительное время используется на занятиях: с одной стороны - помогает осваивать математику и другие дисциплины, с другой - для тех, кто программирует и разрабатывает прикладные программы, является материалом для их доработок и совершенствования с целью расширения классов решаемых задач, умножения возможностей их применения и удобства использования. Программы никак не защищены от доступа и могут быть использованы не только по своему функциональному назначению, но и быть в процессе дальнейшей переработки. Вместе с тем - это завершенные программные материалы, решающие математические, учебные, дидактические задачи. Программы рассчитаны на пользователя, который имеет предоставление о задачах, рассматриваемых им “совместно” с ПЭВМ, и имеет некоторые навыки программирования (вызвать и изменить строку, подпрограмму, изменить список данных в операторе DATA и т.д.) и первоначальные умения работы на IBM. 3

Какие источники появления программ? Сами «изобретаем» велосипед или используем опубликованные наработки? Нет однозначного ответа на этот вопрос. Источники самые разные, главное – достижение цели: повышение эффективности преподавания математики. Адаптируем к QB опубликованное. В основе многих наших программ программы из [1]. Используем и переводную литературу, так, программа 2.4 переложена на QB из [3], периодику. Например, демонстрационная программа 3.5 и развлекательная 12.1 пришли к нам из журналов «Информатика и образование». Таких программ меньшинство. Несколько больше тех, в которых сочетается опубликованная математическая основа и наши многообразные доработки. Примеры – 2.1, 2.2, 8.2, 7.1. Большая же часть программного обеспечения КСМ – это чисто наши «внутриколледжные» разработки. Программа 2.4 – из переводной литературы, как было сказано, а 2.5 – это наше. Сравните, особенно в методическом плане: студент перед использованием этой программы решал графическим методом задачу линейного программирования на бумаге. Некоторые программы разрабатываются и тестируются не один год, переходя от одного поколения программирующих студентов к другому. Постоянно работаем над программами главы 7. Работала программа 7.1, разбивая [a;b] равномерно. А что если отрезок разбить по Чебышеву, получится полином лучшего приближения? – Спросили студенты. Отладили, качество приближения лучше (судим по величине максимального отклонения полинома от заданной функции на отрезке). Я же предложил студентам разбивать отрезок случайными числами, сделать десятки и сотни просчетов и, действительно, к нашему восторгу, таким способом всегда находится полином наилучшего приближения. Посмотрите и Вы 7.1. Мы не встречали аналогов в литературе большего количества наших программ, таких как 1.7, 7.5, 7.6, 7.7, 5.8, 9.2, 9.3, 10.2, 4.3, 4.2 и многих других. Но вернемся к вопросу: нужны ли «доморощенные» программы на устаревающем языке в век распространенных СКМ, о чем уже шла речь в предисловии. Мой однозначный ответ – нужны. В группах повышенного уровня обучения по специальности 2202 веду дисциплину «Вычислительная математика». Вместе с рассмотрением численных методов, изучаю со студентами методику использования названных СКМ, как было сказано, неплохо ориентируюсь в этих системах и сам. Более того, на экзамене по этой дисциплине запрещаю пользоваться бейсик - программами, а если студент не может «заставить» общеизвестную систему решить ту или иную задачу и обращается к нашим программам, то его рейтинг снижается. Нет, бейсик - программы не альтернатива серьезным ПМП. Задачи перед ними разные. Если ПМП – для профессионального использования, то наши программы – для учебных целей, но, подчеркну еще раз, с точки зрения собственно решения математических задач они почти безупречны, ими удобно пользоваться. (Заметим в скобках, не то что некоторыми СКМ). Постановкой задач, разработкой алгоритмов занимались многие преподаватели. В их же составлении, отладке, тестировании, оформлении принимали участие как преподаватели так и студенты, имеющие желание и способности программировать. Большинство программ хорошо отлажены, дают верные математические результаты, неплохо оформлены. Все они составлены на популярном QB. В них постоянно вносятся изменения, улучшающие возможности, удобство работы с ними и оформление. Но, их можно дорабатывать, и вообще, использовать в качестве исходного материала для разработки более сложных и разветвленных программ, чем и занимаются пытливые студенты под моим руководством. Мог бы сделать многостраничный отзыв о СКМ, как по методике их использования в учебном процессе, так и по математическому содержанию. Но коротко. Очень непросто порой получить решения некоторых классических задач. Например, как в MathCad для функции y = f(x), заданной на [-L;L] получить классический тригонометрический ряд ∞ a0 nπx nπx + ∑ (a n Cos + bn Sin ) , изобразить на мониторе функцию, первые гармоники, их L 2 L 1 сумму? Наши программы 6.3 и 6.4 делают это не только математически правильно, но и на 4

удовольствие студентам, очень наглядно. (Впрочем, о методике применения наших программ речь – в следующем разделе.) Готовясь к занятиям на пятом курсе, знакомлюсь с системой Master Function 2.0 (версия от января 2003 года, значит новый продукт!) и обнаруживаю, что ничего нового по сравнению с уже используемой нами Advanced Grapher нет, более того, у «новейшей» программы гораздо меньше возможностей. Правда, автор Гришин А., не успевший оформить справочную систему, «научил» свою программу строить прямую по двум точкам и параболу по трем – да(!), большое дело, а вот то, что у квадратного уравнения могут быть комплексные корни, Master не знает. Еще пример. Изучаю новую для меня систему Wise Calculator, какие возможности и как широк круг вычислительных задач! Читаю задачу: «Собственные числа симметричной матрицы», странно, а почему только симметричной, в силу широкого использования ля исследования кривых и поверхностей? А почему не для произвольной квадратной матрицы? Посмотрите нашу программу 2.1, пусть не очень быстро (таков алгоритм), но вычисляет все собственные числа произвольной квадратной матрицы, правда, при отсутствии кратных. Приведенные и многие другие факторы не позволяют мне отказаться от разработки и применения бейсик - программ в учебном процессе. Мог бы привести целый ряд примеров преимущества использования бейсик - программ В папке КСМ программы не только по компьютерному сопровождению преподавания математики. В разделах 11 и 12 собраны программы, не относящиеся собственно к математике. Эти программы призваны показать круг наших программистских интересов, заинтересовать студентов программированием. В папке нет тестов по математике, тем более с выборочным ответом, не приемлю: в компьютерном классе студенты должны работать за компьютерами, а не отгадывать номера правильных ответов! Хотя мы умеем делать программы-тесты, яркий пример – программа 11.6, составленная по заказу коллег экономических дисциплин. В разделе 12 программа 12.1 пришла к нам из журнала, все остальное – чисто авторское. Запустите программу 12.2, что это развлечение или пособие по астрономии? Я не знаю, но студенты в восторге. Некоторые программы находятся в работе не один год. В порядке самокритики. В папке содержатся (а, значит, используются на уроках) программы, скажем так, не абсолютно оттестированные. Так программа 1.5 «просматривает» кратные корни полиномов. А программа 1.7 может «не заметить» графически очевидного решения системы уравнений. Программа 9.4 порой «затрудняется» правильно определить характер сходимости знакочередующегося ряда. О всех недостатках знаю и не скрываю их от студентов, более того, такие недостатки могут подтолкнуть творческих студентов к поиску новых алгоритмов. Так студент Родников А. взял «сырец» - очень плохо работающую программу 4.2, около двух лет работал над ней, придумывая алгоритмы и подходы, и какая получилась программа! В каких общеизвестных СКМ можно так четко и наглядно получить все асимптоты графиков функций? В связи со сбоями в работе программ сделаю попытку пошутить. Студенты, как правило, жалуются на свою память: «А я забыл». Я же, когда мы сталкиваемся со сбоями, жалуюсь на свой ум: «Не могу пока найти приемлемого алгоритма или отладить ту или иную конструкцию…» И еще об авторстве. В титрах программ (на студенческом сленге – «оформиловках») много разных фамилий, это мои коллеги, которые вместе со мной формулировали задачи, и, конечно, программирующие студенты, которые, как известно, себя любят. Пусть это обилие не смущает, в КСМ нет программ, к которым не имел бы отношения, даже если и фамилии моей там нет. Подчеркну еще раз, что программы находятся в постоянной доработке. Программирующие студенты работают над ними в колледже в нашем клубе КСМ (компьютерное сопровождение математики), но и устанавливают их на домашних компьютерах, получают «домашнее» задание по их совершенствованию.

5

И еще два замечания. «Подключение» файлов папки KSM к perech.bas проведено нами в последний период и не исключено, что эта работа сделана безупречно. В этом случае нужную программу можно загрузить непосредственно в QB по имени файла.

О применении программ Многолетний опыт применения программ сопровождения математических курсов говорит о повышении эффективности преподавания и успешности усвоения студентами фундаментальных математических понятий и скорейшего закрепления их навыков в решении практических математических задач. Применение этих компьютерных программ позволяет сделать преподавание математических курсов более эффективным, а процесс обучения – интересным и наглядным. Главная особенность этих программ – разнообразие дидактических целей их применения. Это и чисто демонстрационные программы, работающие в режиме наглядных пособий и позволяющие студенту изучить, повторить, закрепить, обобщить круг изучаемых или уже изученных математических вопросов. И естественно, проверить математическую правильность выполнения практических, самостоятельных и контрольных работ. Эти программы с одной стороны пришли на смену техническим средствам – учебным кинофильмам, диафильмам и т.д. Но если в кинофильме, например, ничего изменить нельзя, все в нем детерминировано, то компьютерные программы одни и те же вопросы могут демонстрировать во множестве самых разных вариантов, только необходимо ввести иные исходные данные. С другой стороны – программы в сознании и практике обучаемых связывают математическое образование с компьютерными технологиями, их использование помогает студентам младших курсов осваивать компьютер. Занятия в компьютерном классе проводятся не блочно, а по мере изучения учебного материала и неотделимо с ним связаны. О самих программах рассказано в предыдущем разделе, здесь же пойдет речь о методике их применения на уроках математики, проводимых в компьютерном классе. Вначале несколько принципиальных положений. Занятия, проводимые в компьютерном классе: • должны быть разнообразны и решать различные методические цели – получения новых знаний, повторения, закрепления, самопроверки и т.д.; • их содержание должно полностью соответствовать содержанию занятий, проводимых в кабинете математики; • это не занятия по изучению компьютерных технологий или языка программирования, а, именно, это занятия МАТЕМАТИКОЙ, только с использованием не мела, доски, конспекта, а компьютерных программ; • индивидуальны изначально, ведь, как правило, студент «один на один» с компьютером; • не должны быть занятиями контроля знаний, тем более выборочные тесты, основное назначение программ – обучение; • на них не должны использоваться традиционные для занятий по изучению компьютерных технологий инструкции, главный путеводитель на таких занятиях – конспект студента (кстати, у нас разработаны инструкции по использованию почти каждой программы, где подробно «расписано» что ввести, что выбрать и т. д., но мы сознательно отказались от них, потому что теряется математическое содержание работы за компьютером); Большинство программ позволяют студенту проверить свои аналитические изыскания, выполненные на уроках, на самостоятельных или контрольных работах. При этом проверяется не только численный результат, работа программ сопровождается наглядной графикой и, главное, разветвленным «математическим» диалогом со студентом. И в этом - основное достоинство эффективности применения этих программ. Ведь ведение диалога с программой требует от студента не только навыков работы на ПЭВМ, знания элементов языка, но и определенного уровня математических умений. Не изучив в 6

определенной мере математическую суть вопроса, вести содержательный диалог с программой безрезультатно, и этот фактор стимулирует познавательную активность студентов: неудобно чувствовать себя перед компьютером дискомфортно. Мы отказались от составления подробных инструкций по использованию этих программ. Опыт показал, что работа за компьютером по инструкции лишает студентов самой сути – мыслить математическими категориями во время диалога с программами. В некоторых программах так и обращаюсь к студентам: «Не спрашивайте преподавателя, «а что вводить», вспоминайте занятия в кабинете математики». Приведу примеры реализации перечисленных и некоторых других принципов. Это будут фрагменты уроков, доказательства эффективности, даже необходимости, использования тех или иных программ. По тексту, по кавычкам, будет понятно о чем речь. Очень рекомендую моему рецензенту (или оппоненту?) загружать ту или иную программу и вместе со мной и моими студентам и убеждаться в том, что мы на правильном пути. *** «Уважаемые студенты. Мы продолжаем рассматривать вопрос о наибольшем и наименьшем значении функции двух переменных на заданной области D. В кабинете математики мы подробно решили задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции z = xy(4 – x – y) на области, заданной прямыми x = 0; y = 0; x + y = 8, и получили 64 результат: zmin = z(4;4) = -64 и zmax = z(4/3;4/3) = . Открывайте конспекты и давайте же 27 проверим полученные результаты. Загрузите программу 6.2. Внимательно посмотрите, как и куда ввести исследуемую функцию и еще более внимательно – как правильно задать область интегрирования». Выполнив все это (при затруднениях консультация преподавателя обеспечена) студенты получают, естественно, те же численные результаты, которые получили на уроках. По заданию преподавателя студенты выполняют еще несколько самых разнообразных упражнений, затем получают свои, выполненные накануне самостоятельные работы и проверяют правильность полученных аналитически результатов по программе. *** Большинство программ сочетают демонстрационную и поисковую стороны. Можно и в кабинете математики объяснить студентам о задании кривых в полярных координатах, параметрическими уравнениями, уравнением f(x,y) = 0. А программы 3.1, 3.2 и 3.3 помогают преподавателю продолжить это объяснение за персональными компьютерами. Они содержат широкий набор известных замечательных кривых, а так же предоставляет студенту ввести уравнение «своих» кривых, ввести отрезок изменения аргументов и наблюдать их построение. Студенты с удовольствием конспектируют с экранов мониторов, вчитываются в исторические названия кривых, их уравнений, восхищаются самими кривыми. Нет предела воображению, когда студенты конструируют кривые. Студент Руденко С. предложил ввести 1 при рассмотрении кривых в полярных координатах r(φ) = (сам придумал 100 100 Cos ϕ + Sin100ϕ или прочитал где-то?). Студенты ввели, запустили программу, восхитились и назвали Стаса математическим Малевичем, понятно почему. *** Как угодно можно доказать общеизвестный математический факт: сумма гармонических колебаний одинаковой частоты есть гармоническое колебание той же частоты: на языке дифференциального уравнения y` + ω2y = 0, на языке векторной алгебры, на частном примере с микрокалькулятором в руках. Убеждаются студенты? Да. Но гораздо убедительнее запустить на компьютерном занятии программу 4.3. Студенты самостоятельно вводят амплитуды и начальные фазы двух гармонических колебаний, дают команду на их сложение и получают гармоническое колебание: и параметры А, φ и все три графика, имеют возможность проверить истинность утверждения численно. Эта программа позволяет складывать гармонические колебания различных частот. На уроке преподаватель сказал, 7

суммой в этом случае будет периодическая функция, но не гармоническое колебание, конкретнее, как будет выглядеть график суммы не просто. А в п.2 воображению студентов нет предела: они вводят самые разные частоты, амплитуды, начальные фазы и восхищаются графическим результатом. А если на материальную точку гармонические колебания действуют перпендикулярно (это уже физика), то по какой траектории будет перемещаться эта точка? Правильно, у нас есть программа 11.3. Студенты вводят самые невероятные соотношения частот и получают самые разные фигуры Лиссажу. Предлагаю моим оппонентам также просто проделать это в MathCad, например… *** Дифференциальные уравнения – центральная и непростая тема математического анализа. Аналитическое решение – одно, численные методы решения дифференциальных уравнений – уже другое. Мне удается соединить две стороны этого процесса. Студент получает задание «Найти частное решение дифференциального уравнения y’ – y = 1 при начальных условиях y(0) = 2. Вычислить y(0.5) на микрокалькуляторе. Это он проделывает в кабинете математики, разделяя переменные, находит сначала общее решение дифференциального уравнения y = Cex – 1, затем, используя начальные условия, находит частное решение y = 3ex – 1. И с помощью микрокалькулятора находит значение искомой функции при х = 0.5 y = 3.946. Далее работа продолжается за компьютером: студент запускает программу 8.2 и проводит с ней содержательный диалог. ПЭВМ: Вы ввели правую часть дифференциального уравнения dy/dx = f(x;y)? Студент: Нет. ПЭВМ: Остановите программу и введите f(x;y). Студент понимает, что для численного решения дифференциального уравнения его необходимо разрешить относительно производной, что и проделывает: y’ = y + 1 и вводит в программу ….= y + 1. Диалог продолжается. ПЭВМ: Введите начальные условия. Студент: x0 = 0; y0 = 2 ПЭВМ: Введите конечное значение аргумента. С: xk = 0.5 ПЭВМ: Введите n - число разбиений отрезка [0; 0.5]. Здесь могут возникнуть вопросы. Что ввести? Как повлияет вводимое n на точность результата, на скорость выполняемых расчетов и т.д. Здесь уместна консультация преподавателя. Студент: n = 10. ПЭВМ: Получите таблицу значений аргумента и искомой функции. В последней строке таблицы студент читает x10 = 0.5 y10 = 3.946 Переход в графику: студент наблюдает 10 точек в системе координат и имеет возможность вычислять промежуточные значения искомой функции. Задача решена. А наиболее способные студенты могут продолжить диалог. Программа продолжает задавать вопросы и давать предложения, такие как: Полиномом какой степени Вы хотите аппроксимировать решение дифференциального уравнения на отрезке [0; 0.5]? Удовлетворены ли Вы точностью аппроксимации? Хотите выбрать полином иной степени? Для сравнения значений функции и полинома введите значение аргумента из отрезка [0; 0.5] и т.д. Большая часть программ работает именно по такой методике: вычисление интегралов (определенных, несобственных, криволинейных, двойных), решение уравнений, систем уравнений (линейных и нелинейных), разложение аналитических функций в степенные ряды, исследование сходимости числовых рядов, вычисление пределов функций в точке и на бесконечности, решение типовых задач теории вероятностей, решение задачи линейного программирования, построение поверхностей в трехмерном пространстве, задачи по исследованию функций одной и двух переменных и т.д. *** Наиболее ценны те программы, которые помогают преподавателю раскрыть сущность и содержание непростых для понимания вопросов математики. Так весьма непросто объяснить второкурсникам идеи аппроксимации периодических функций 8

тригонометрическим рядом. Помогут программы 9.2 и 9.3. Студент вводит в подпрограмме заданную на одном периоде функцию, как вариант, заданную несколькими аналитическими выражениями, вводит полупериод и получает не только коэффициенты Фурье, но и графически несколько периодов заданной функции, графики первых (5-15 по желанию студента) гармоник и, главное, их «графическую» сумму, чем и достигается эффект применения программы. Для оценки эффективности применения этих программ очень рекомендую запустить их моему рецензенту. *** Часть программ носит чисто демонстрационный характер. Например, программа 3.4 «Асимптоты графиков функций» содержит несколько десятков дробно-рациональных и трансцендентных функций. Студент выбирает функцию по ее аналитическому выражению, наблюдает построение графика и асимптот, записывает их уравнения, отвечает на вопросы преподавателя, проверяет свои аналитически полученные результаты по отысканию асимптот и построению графиков и т. д. А вот уже упоминавшаяся программа 4.2 позволяет студенту ввести свою дробно-рациональную функцию (отдельно числитель и знаменатель), отрезки изменения аргумента и функции и получить график функции, асимптот и их уравнения. *** При изучении «Теории вероятностей» студенты знакомятся с законом нормального распределения, учатся вычислять вероятность попадания непрерывной случайной величины «ковыряясь» в таблицах функции F(x). Интересно им? Не всегда… Но процесс этот можно и увидеть и проверить свои решения, загрузив программу 10.2. Главное достоинство программы, помимо выдачи правильных численных результатов, - графика. Студент ВИДИТ на экране монитора и кривую Гаусса, и закрашенный интервал. Проверяет «правило трех сигм», вычисляет вероятность отклонения непрерывной случайной величины от математического ожидания. Рекомендую посмотреть. Программа 10.1 графически закрепляет знания студентов по дискретным случайным величинам и их числовым характеристикам. *** Тема математического анализа «Ряды» очень важна для будущих специалистов специальности 2202, они должны знать, как в вычислительной технике реализуется вычисление самых различных функций, если по теории вся вычислительная техника от калькулятора до мощных ЭВМ «умеет» только складывать и вычитать числа в двоичной системе счисления. Программа 9.1 помогает мне не только организовать работу студентов по разложению функций в степенные ряды, но и с помощью наглядной графики еще раз объяснить и закрепить саму идею разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена. *** Очень популярны на обобщающих компьютерных занятиях многозадачные программы, которые охватывают обширный материал по целым темам и разделам. Это программы 5.1, 5.2, 6.1. Все задачи студент когда-то выполнял аналитически: отыскивал уравнения касательной и нормали, вычислял интегралы, находил наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и т.д. и т.д. Пришло время повторить, закрепить, проверить себя. Под эти программы разработан обширный дидактический материал: студент на компьютерном занятии получает индивидуальную карточку – задание. А преподавателю на таких занятиях очень просто проводить контроль знаний и умений. Достаточно (даже молча!) несколько минут посидеть рядом со студентом, работающим за РС, как все станет ясно по тому, КАК студент ведет диалог с программой и как он оформляет результаты в конспекте. Ведь на мониторе одно, а в конспекте (или на листе для самостоятельной работы) – другое. Например, отыскивает студент уравнение касательной, программа выдает: k = -3, b = 12, студент же в конспекте пишет: уравнение касательной y = -3x + 12, значит он понимает «о чем речь». 9

Не только типовые задачи предлагаю на таких занятиях студентам. У них разные способности, различная скорость мышления и работы за компьютером. Для таких студентов готовлю индивидуальные задания. Например, функция задана на отрезке [-1;1] двумя формулами: при -1 ≤ x ≤ 0 y = -x, при 0 < x ≤ 1 y = (x – 1)2 ; Сформируйте на отрезке [-1;5] три таких «импульса», выведите на монитор, вычислите заряд, который несет этот импульс. Студент обращается к программе 5.2, вспоминает популярный вопрос математики «Преобразования графиков функций», «напрягает» свои умения в QB и, как правило, справляется с заданием. Вычислить заряд? Вот они «межпредметные связи»: необходимо сообразить, что с точки зрения математики – вычислить определенный интеграл. *** Необходимо отметить, что не все задачи, решаемые студентами за ПЭВМ, они могут решить на бумаге. Это и понятно, если студент понимает поставленную задачу, если осознанно ее решает за компьютером, то можно считать, его математическое образование не страдает. Так, очень непросто студентам – второкурсникам дается материал по работе с таблично заданными функциями (ТЗФ), построению интерполяционных полиномов, формулами и методами интерполирования. Помимо программ главы 7, для второкурсников создана программа 5.3, решающая большое количество задач, причем, многие из низ студенты не могут решить без компьютера, но они что и как делает программа. Как бы хорошо преподаватель не разъяснял студентам с помощью доски и мела идеи интерполирования по Лагранжу и сплайн – интерполирования, лучше все таки увидеть и просчитать за компьютером. Лучший вариант – использование проектора (уроки с его применением проводятся, но далеко не все). В качестве аргумента эффективности использования такой программы для объяснения этого непростого вопроса математики приведу лучше вариант заданий по работе с ТЗФ Функция задана таблично: х -3 -1 2 4 7 9 11 у 4 -1 -1 1 5 5 -1 Используя полиномиальное и сплайнИнтерполирование найти 1) значения функции при х -2; 1; 2.5; 6.6; 8; 10.5

3) нули функции 4) экстремумы функции

2) значения производной при 5) интеграл на [3; 10] х -1.5; 1.8; 5.5 И что очень важно при выполнении этих заданий: студент не только получает численные результаты, записывает, докладывает преподавателю, но он ВИДИТ решения задач на экране монитора мониторе. Не обходится и без рассуждений типа: значения полиномиального и сплайн - интерполирования порой значительно расходятся, как быть, что правильно, что ошибочно?… Хороший материал для дальнейшей беседы со студентами. *** Эффективно применение компьютерных программ при рассмотрении вопросов, изучаемых как в курсе математики, так и физики. На бинарном уроке на основе названных программ с коллегой Павловой Г.И. «математика + физика». по теме «Гармонические колебания» объяснялась физическая суть вопросов, связанных с гармоническими колебаниями в природе и технике, сложение гармонических колебаний. Аналитически с помощью формул тригонометрии доказывалось, что сумма гармонических колебаний одинаковой частоты – гармоническое колебание той же частоты. Убедительно для студента? А за компьютером убедительно. Студент вводит частоту, различные амплитуды и начальные фазы и получает три графика гармонических колебаний – слагаемых и суммы, имеет возможность численно проверить результат, введя значение любого аргумента из 10

наблюдаемого промежутка. Вводя же различные частоты, студент получает сумму периодическую функцию, но не гармоническое колебание. Еще больший эффект приносит работа студентов с программой «Фигуры Лиссажу»: можно выбрать предлагаемые программой гармонические колебания, можно ввести «свои» частоты и начальные фазы и наблюдать кривые. Вопрос «Модулирование колебаний» также рассматривается с помощью компьютерной программы. Студент вводит частоты и амплитуды модулируемого и модулирующего колебаний, далее эффектная графика позволяет понять суть вопроса. Преподаватель предлагает ввести амплитуду модулирующего колебания большей чем модулируемого. Так студент с помощью ЭВМ выходит на новое для него понятие физики – биения. Упомянутые программы предоставляют студенту возможность проведения «экспериментов», вводя различные исходные данные. Разумеется, не только обязательный учебный материал охватывают описываемые программы. Пакет содержит много интересных программ по вопросам, которые не являются обязательными для изучения в колледже. Так на повышенном уровне обучения и во внеклассной работе используются программы раздела 7 по построению интерполяционных полиномов, аппроксимации функций, нахождению аналитического выражения для таблично заданной функции, аппроксимации таблично заданной функции двух переменных плоскостью и поверхностью второго порядка и т.д. Программы эти непростые вопросы решают математически правильно, главное наглядно и доступно для студентов! Предлагаю конкурс. Войдите в Mathcad, откройте [2] на странице 402 (Рис. 18.7 Полиномиальная регрессия), а мой студент загрузит программу 7.3. Не будем далее сравнивать, что проще, доступней и понятней. В этой связи шутливая зарисовка с экзамена по вычислительной математике. Студент выпускной группы, вычислив двойной интеграл в Mathcad, вдруг загружает бейсик - программу (6.3). На мой вопрос – зачем? – отвечает что-то насчет «береженного…» и что стоит проверить результат, в котором засомневался. Эта комичная ситуация (результаты, выданные общемировой математической системой, проверяются в примитивном бейсике) наводит на меня грусть: видимо «избаловал» студентов доступностью в изучении сложных вопросов. *** Интересно для студентов проходят итоговые занятия по отдельным темам или группе тем. На них студентам приходится быстро переключаться от одного математического вопроса к другому, а преподаватель имеет хорошую возможность, видя насколько сознательно ведет диалог с программой студент и задавая попутные вопросы, делая подсказки, для контроля усвоения учебного материала. Кстати, о помощи студентам со стороны преподавателя на компьютерных занятиях. Студенты знают «золотое» правило: чем меньше преподаватель оказывает помощи студенту во время работы, тем выше его рейтинг в освоении математики. И еще о контроле во время работы студентов за компьютерами. Не проверяю, как правило, качество работы конкретного студента по правильности численного результата, а стараюсь оценить осознанность диалога студента с программой, осмысленность его «математической деятельности» в этом диалоге, связь в его мышлении материала, изученного в кабинете математики и закрепляемого за ПЭВМ. Потому у студентов нет таких настроений: «не выкладываться» на уроках, по минимуму работать дома, но за то в компьютерном классе проявлять высший математический пилотаж. Они понимают, что чудес не бывает, и чтобы не сидеть перед компьютером «………….» надо серьезно заниматься математикой на всех уроках и дома. В заключение этого раздела разработки приведу один вариант задания по темам математического анализа. 1. Найти интервалы монотонности функции f(x) = 3x4 + 8x3 – 6x2 – 24x + 11

11

∞

3 ⎞ ⎛ ∑ ln⎜⎝1 − n 2 ⎟⎠ Исследовать на сходимость n=2

2.

3. lim x −3

x 3 − x − 24 x +1 − 2

∞

4. ∫ ( 6 x − 1) e − 2 x dx ; .

5. Вычислить f’(1,45), если

−1

f(x)=

xe −2 x + 3x x2 + 2

*** Как уже отмечалось, студенты со мной разрабатывают не только математические программы, компьютеризируем мы и физику. Наряду с известными обучающими программами, разрабатываем свои. Например, студент выполняет лабораторную работу «Определение емкости конденсатора», снимает показания микроамперметра в определенные моменты времени, затем вводит в программу 11.1 полученные показания, получает аналитическое выражение процесса разряда конденсатора, его график. После введения напряжения заряда конденсатора программа вычисляет несобственный интеграл и выдает окончательный результат – емкость конденсатора. *** Экзамен по математике в группах второго курса проводится в компьютерном классе. Каждое задание экзаменационных билетов, требующее получения численных результатов, завершается фразой: проверить на ПЭВМ. Такая необычная форма проведения экзамена требует и от студентов и от преподавателя способности быстрого переключения с одного вида деятельности к другому и, как правило, такой экзамен занимает времени больше нормативного. Но на таком экзамене преподаватель видит математическую осознанность диалога студента с программой. *** Заключение. Это изложение опыта по компьютерному сопровождению математических курсов в колледже, аргументированное доказательство эффективности такого сопровождения далеко не полно. Чтобы почувствовать эффективность такой постановки преподавания математики рекомендую энтузиастам – преподавателям попробовать его использовать. Наша работа по компьютеризации преподавания дисциплин комиссии - одно из многих направлений в поиске применения компьютерных технологий в учебном процессе.

Перечень программ и имена файлов КРАТКИЕ АННОТАЦИИ ПРОГРАММ

1. Решение уравнений и систем уравнений. 1.Решение кубического уравнения (KUBUR) Эта простая в использовании программа определяет все три корня кубического уравнения. Пользователь вводит только коэффициенты уравнения a3, a2 ,a1,a0 и получает действительные или сопряжённые комплексные корни и действительный. Программа выдает также представление кубического многочлена в виде сомножителей. 2. Исследование расчетных формул (FORMUL) Эта программа адресована преподавателям и студентам, проводящим вычислительные операции по совокупности расчетных формул (например, при расчете курсового проекта), в которых по заданному значению аргумента вычисляется значение параметра - результата. Программа решает и обратную задачу: по конечному заданному результату (часто определяемому ГОСТами, техническими условиями, в программе «у») определяет начальный входной параметр (в программе «х»). Совокупность расчётных формул задаётся пользователем в подпрограмме. Программа снабжена инструкцией, внимательное изучение которой, позволяет продуктивно с ней работать. 12

3.Вычисление действительных корней уравнения различными методами (KORNIK) Хорошо оформленная программа служит для определения действительных корней уравнения f(x) = 0, наглядно демонстрирует процесс отделения корня и уточняет его различными методами. Программу рекомендуется применять как дополнение к изложению численных методов отделения и уточнения действительных корней уравнений, для практического определения корней, для изучения приёмов программирования методов уточнения корней на бейсике, и как хороший пример организации диалога пользователя с ПЭВМ. 4.Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона (NELINS) Настоящая программа решает cистемы n нелинейных уравнений с n неизвестными. Богата вычислительными возможностями и имеет большую демонстрационную ценность: она позволяет студенту - пользователю “наблюдать” итерационный процесс. С другой стороны, в ней удачно реализован метод Ньютона, что позволяет найти решение практически любой системы нелинейных уравнений. 5.Все корни полинома (КРОL) Программа по введённым коэффициентам полинома отыскивает все (действительные и комплексные) корни этого полинома практически любой степени; удобна для работы начинающих пользователей. 6.Корни функции (KORFUN) Программа вычисляет с заданной точностью нули функции, задаваемой пользователем, помогает начинающему выбрать интервал, содержащий один действительный корень. Удобная графика позволяет сделать процесс решения уравнений наглядным и занимательным. 7.Графический метод решения систем уравнений (s_graf) Пользователь задает левые части уравнений системы f(x,y) = 0; g(x,y) = 0 и прямоугольник поиска решений. Программа в декартовой системе координат строит кривые f(x,y) = 0; g(x,y) = 0, находит координаты точек пересечения, уточняет корни. Вся работа программы сопровождается графически. Несмотря на то, что программа работает, скажем так, не быстро, студентам нравится с нею работать. Однако, иногда «просматривает» очевидные решения, требует продолжения тестирования.

2. Линейная алгебра 1.Операции с матрицами (MATRICA) Это многозадачная программа. Она находит для введённой пользователем квадратной матрицы обратную матрицу и убеждает пользователя в правильности результата, находя их произведение; находит матрицу - произведение двух вводимых с клавиатуры прямоугольных матриц. приводит прямоугольную или квадратную матрицу к треугольной или трапецевидной форме методом прямоугольников, печатая все промежуточные состояния процесса преобразования исходной матрицы, вычисляет детерминант квадратной матрицы. Решает матричные уравнения вида А*Х = В и Х*А = В, находит собственные числа квадратной матрицы. Удобна в работе, в частности в процессе введения матриц. Позволяет студентам проверить результаты безмашинных вычислений. 2.Решение систем линейных уравнений (LSISTЕМ) Программа решает системы линейных уравнений размерности nxn, и системы, в которых число уравнений превышает число неизвестных (т.н. переопределённые системы).

13

Удобна в работе, в особенности, при системы.

введении расширенной матрицы коэффициентов

3 Составление систем линейных уравнений (SSLU) Программа существенно отличается от вех других рассматриваемых программ: она не имеет отношения к классическим численным методам и адресована прежде всего преподавателю, составляющему дидактические материалы по теме “Решение систем линейных уравнений”. Программа выдаёт расширенную матрицу системы линейных уравнений по задаваемым числу уравнений и неизвестных, значениям искомых неизвестных и целочисленному промежутку для коэффициентов системы аij. Программа генерирует расширенные матрицы систем линейных уравнений трёх видов: число уравнений совпадает с числом неизвестных, число уравнений превышает число неизвестных - так называемая система неопределенных линейных уравнений и, наконец, система, имеющая в общем случае множество решений - число неизвестных превышает число уравнений. 4.Решение задачи линейного программирования (LPROGR) Программа решает задачу линейного программирования симплекс-методом, демонстрируя все промежуточные состояния процесса решения. Пользователь вводит систему ограничений в стандартном виде, коэффициенты целевой функции (линейной формы), индексы базисных переменных и значение целевой функции при объявленных базисных переменных. Решение выдаётся подробное: базисные переменные, их значения и минимум целевой функции. 5.Графический метод решения задач линейного программирования (LP_GRAF) Программа решает классическую задачу линейного программирования: отыскивает методом Монте – Карло максимум и минимум линейной формы на системе ограничений из двух переменных. Главное ее достоинство - наглядная и удобная графика. По этой программе студенты проверяют правильность безмашинного решения этих задач. Недостаток очевиден – только для двух переменных.

3.Электронные альбомы 1.Кривые, заданные параметрическими уравнениями (PARAM) Программа даёт возможность пользователю ознакомиться с некоторыми замечательными кривыми, заданными параметрическими уравнениями: x = f1(t); y = f2(t). Пользователь имеет также возможность самостоятельно задать уравнения x = f1(t); y = f2(t) отрезок изменения параметра t и наблюдать и изучать заданную кривую. 2.Кривые в полярных координатах (POLAR) Программа позволяет пользователю ознакомиться с некоторыми замечательными кривыми, заданными в полярных координатах уравнением: r = f(φ), а также даёт возможность самостоятельно задать уравнение кривой, не вошедшей в список некоторых “замечательных” кривых, отрезок изменения аргумента и изучать её. 3. Неявно заданная функция. Замечательные кривые. (KRIVAY7) Программа позволяет пользователю строить кривую, заданную уравнением f(x,y)=0. Пользователь задает в программе левую часть уравнения f(x,y)=0, ориентировочно отрезок изменения х, отрезок по y и получает кривую. Программа также строит 14 замечательных кривых. Пользователь может выбрать их по названиям, наблюдать их построение, записать их уравнения. 4.Асимптоты графиков функций (ASIMPT) 14

Это демонстрационная программа, позволяющая увидеть 32 графика функций, имеющих горизонтальные, вертикальные и/или наклонные асимптоты. Программа вместе с графиком функции строит асимптоты и даёт их уравнения. Полезно применение программы после изучения студентами соответствующего раздела дифференциального исчисления. Эффектная графика делает такое закрепление особенно актуальным. 5.Построение поверхности z = f(x,y) (XYZ) Программа делает попытку обеспечить наглядность в изображении поверхности в пространственной системе координат, так что при работе с этой программой необходимо напрячь свое пространственное воображение. Рекомендуется при изучении поверхностей второго порядка в курсе математики. Внимательно посмотрите пп. 1 - 5 меню - там общеизвестные поверхности, сравните компьютерное их изображение с многочисленными рисунками в учебниках и задачниках. Помните, что программа не изобразит геометрической фигуры, ограниченной поверхностью (например, эллипсоид), а построит часть его поверхности. Тройка чисел в верхней левой части экрана - это координаты вектора проецирования, т.е. построенную поверхность пользователь видит из его конца. Если полюбовались поверхностями п.6 и п.7, то можете вводить свои уравнения, необходимо помнить, что уравнения поверхности задаются в программе не в популярном каноническом виде, а в виде z = f(x,y), поэтому в своих уравнениях поверхностей прежде всего нужно выразить z. 6.Свойства и графики элементарных функций (FUNKCII) Чисто информативная программа, призванная для закрепления студентами указанного вопроса. Программа не завершена и находится сейчас в «работе». Включена в перечень «на перспективу».

4.Введение в математический анализ 1.Вычисление пределов функций (PREDEL) Программа вычисляет пределы функций, задаваемых пользователем в строке 20, на бесконечности, в точке, а так же односторонние пределы в точке, хорошо оформлена, удобна в использовании, особенно в случаях, когда студенту необходимо проверить свои результаты, полученные аналитически. 2.Графики дробно - рациональных функций и их асимптоты. (GRAFDBF) Эта программа позволяет пользователю ввести свою функцию, области изменения аргумента и функции, наблюдать поиск асимптот (вертикальных, горизонтальных, наклонных), построение этих асимптот, и, естественно, графика функции. Построение графика разрывной функции - не простая задача, и получить компьютерное подтверждение правильности своих исследований и построений - естественное желание студента. Программа на основе развитого диалога решает ещё целый ряд задач: находит корни, вычисляет интегралы, определяет наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и т.д. (См. программу FUN1). 3.Сложение гармонических колебаний (SGK) Программа по введённым параметрам двух гармонических колебаний (амплитуды, частоты, начальные фазы ) находит параметры суммарного колебания: для колебаний одинаковой частоты - гармоническое колебание, для колебаний различных частот результирующую сумму. Работа программы сопровождена наглядной графикой. Имеется возможность проверить правильность суммирования для конкретных значений аргумента.

5.Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1.Функция непрерывная на отрезке (FUN1) 15

Эта учебно - демонстрационная программа по введённому пользователем аналитическому выражению непрерывной на [a,b] функции строит красочный график, позволяет решить целый ряд задач: дифференцирование, интегрирование, отыскание корней функции, уравнения касательной и нормали, вогнутости и точки перегиба и др. Решения этих задач сопровождаются графическими иллюстрациями и хорошо организованным диалогом с пользователем. Эту повторительно - обобщающую программу желательно использовать на занятиях после изучения студентами основных разделов анализа: введения, дифференциального и интегрального исчислений и после ознакомления с основными идеями численных методов. 2.Кусочно-непрерывная функция (FUN11) Эта программа аналогична предыдущей, решает с графической демонстрацией те же задачи. Но функцию можно задавать несколькими формулами в подпрограмме, для чего необходимы элементарные знания QB. 3. Таблично заданная функция (FUNTAB) Программа по введённым пользователем узлам интерполирования строит красочный график, выделяя узлы. Студент выбирает самостоятельно способ интерполирования: полиномиальное или сплайнами. Программа позволяет решить целый ряд задач (аналогично программе FUN1): дифференцирование, интегрирование, отыскание корней функции, уравнения касательной и нормали, вогнутости и точки перегиба и др. Решения этих задач сопровождаются графическими иллюстрациями и хорошо организованным диалогом с пользователем. 4.Производная аналитической функции (PROIZA) Учебная программа предназначена для закрепления основной теоремы дифференциального исчисления, построения графиков функции, заданной аналитически и её производной, вычисления значений функции и её производной, а так же для проверки “безмашинного” выполнения заданий по построению графиков, нахождению максимумов и минимумов функций, характера монотонности функции и её экстремумов. Программа проста в использовании и используется при первом знакомстве студентов с методами применения дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков. 5.Производная таблично заданной функции (PROIZT) Программа по координатам хi,уi, задаваемым пользователем строит график этой табличной функции, строит график её производной и по вводимому х вычисляет интерполяционные значения у и у’ Причем, предоставляется возможность выбора способа интерполирования: либо по формуле Лагранжа, либо сплайнами. Пользователь также имеет возможность выбрать отрезок построения графиков не только на отрезке xmin,xmax, но и на отрезке [а,b], где xmin < а < b < xmaх. 6.Интегрирование функций по формуле Симпсона (INTEGR) Здесь соединены популярные программы вычисления определенного интеграла с любой степенью точности как для функции, заданной аналитическим выражением так и для функции, заданной n парами (Xi,Yi), среди которых нет пар с одинаковыми Хi. Для последних предоставляется возможность при интегрировании два способа выбора интерполирования: по формуле Лагранжа или кубической сплайн - функцией. 7.Вычисление несобственных интегралов (NESIN) Программа вычисляет несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом и интегралы с особой точкой в начале и/или в конце отрезка интегрирования. В случае 16

расходимости несобственного интеграла программа предлагает пользователю проверить его на сходимость. В случае, если особая точка внутри отрезка интегрирования, пользователь разбивает его, как в безмашинной практике, на два отрезка. 8.Геометрические приложения определенного интеграла(GPOI) Учебно - демонстрационная программа поможет тем, кто впервые знакомится с понятием определенного интеграла и его приложениями, снабжена наглядной графикой. Выполняет и вычислительные операции: вычисляет площадь криволинейной трапеции, длину дуги плоской кривой, объем и площадь поверхности тела вращения. 9. Площадь между кривыми f(x) и g(x) (F&G) Программа вычисляет площадь между кривыми, задаваемыми пользователем. Два режима работы: площадь, ограниченную y = f(x) и y = g(x) и x = a, x = b; ограниченную y = f(x) и y = g(x) между точками их пересечения, для чего программа решает уравнение f(x) = g(x). Выполняет наглядный чертеж. 10. Вычисление интеграла методом Монте-Карло (IMK) Программа вычисляет определённый интеграл и площадь по задаваемой пользователем подынтегральной функции и пределам интегрирования, очень наглядно показывает область интегрирования и демонстрирует собственно метод.

6..Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух переменных 1.Функция двух переменных (FUN2P) По введённой пользователем z=f(x;y) программа строит семейства кривых в системе координат XOZ или в YOZ, а также изображение поверхности в системе OXYZ. Помимо графики, обеспечивающей наглядность, программа решает ряд численных задач: вычисление частных производных, нахождение уравнения касательной плоскости, max и min z на прямоугольнике, двойной интеграл на прямоугольнике, производную по направлению и некоторые другие. 2.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных на области D (nn fun2p) Программа наглядно определяет наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных на задаваемой пользователем области. Для успешной работы студенту необходимо ввести функцию двух переменных, пределы по «х» и по «у» (здесь необходимо быть особо внимательным!) и прямоугольник, включающий в себя всю область. Наглядность и точность обеспечены. 3.Вычисление двойного интеграла (DINTEGR) Программа вычисляет двойной интеграл от функции двух переменных, задаваемой пользователем. Область интегрирования (четыре функции) также задаётся пользователем. Снабжена наглядной графикой, что помогает студенту осмыслить идею интегрирования на области. Метод Монте-Карло, реализованный в этой программе, не позволяет достигать быстрого уточнения значения интеграла. 4.Вычисление криволинейного интеграла (KRINT) Программа вычисляет криволинейный интеграл по задаваемым пользователем P(x,y) и Q(x,y) и пути интегрирования. Интегрирование по прямым, параллельным осям координат проводится отдельными задачами. Интересная, наглядная графика позволяет видеть не только путь, но и процесс интегрирования, даёт возможность легко проверить результаты безмашинного вычисления интегралов.

7. Аппроксимация функций 17

1.Построение интерполяционного полинома для непрерывной на отрезке функции (POLIN1) Программа “строит” аппроксимирующий полином для аналитические заданной функции на отрезке: вычисляет его коэффициенты, строит графики функции и полинома, позволяет сравнивать значения функции и полинома для значений аргумента из указанного отрезка. Может быть очень полезна для “преобразования” сложных эмпирических формул в простое полиномиальное выражение любой устраивающей (по точности аппроксимации) степени, особенно, если отрезок аргумента относительно невелик. Программа позволяет пользователю разбивать отрезок равномерно, по Чебышеву или случайными числами. В последнем случае делается сотни (можно и тысячи) просчетов в поисках такого разбиения отрезка, чтобы приближение было наилучшим. 2.Построение интерполяционного полинома для пар (Xi; Yi) (POLIN2) Программа строит полином по введённым координатам (xiyi) точек. Глагол “строит” в этой и в других “полиномиальных” программах имеет два смысла: во-первых, построить полином - это отыскать его коэффициенты an,an-1,an-2,...a0, во-вторых, выполнить построение графика полинома. Настоящая программа выполняет обе указанные задачи, а также позволяет находить интерполяционные значения полинома, демонстрируя эти поиски графически. 3.Построение аппроксимирующего полинома заданной степени для пар (Xi; Yi) (POLIN4) Программа строит аппроксимирующий полином для пар (хiyi) любой природы, т.е. осуществляет полиномиальную регрессию таблично заданных функций, результатов экспериментов, опытных данных и т. д. Таким образом, среди пар х,y могут быть пары с одинаковым первым элементом. Программа определяет коэффициенты полинома, строит его график и находит его значения по вводимому пользователем значению аргумента, как интерполяционные, так и экстраполяционные. Для чёткого срабатывания графической части программы вводимая последовательность xi должна быть неубывающей. 4.Регрессия общего вида: построение аналитического выражения для таблично заданной функции (REGRK) Программа предоставляет молодому пользователю широкие возможности для нахождения аналитической зависимости y = f(x),наилучшим образом аппроксимирующей n пар xi,yi Только в программе не зафиксированы аналитические выражения fj(x) а пользователь имеет полную свободу в выборе структуры, вида, и т.д. аппроксимирующей функции F(x) в форме F(x) = k1*f1(x) + k2*f2(x) + k3*f3(x) + ... + kj*fj(x) где fm(x) пользователь задаёт самостоятельно как их количество, так и их вид, программа вычисляет коэффициенты k1,k2,k3,...,km,...,kj cреднее квадратическое отклонение, сроит график F(x), что позволяет пользователю наглядно оценить “качество” построенной им функции. И, наконец, предоставляет возможность находить интерполяционные значения F(x). 5.Интерполирование таблично заданной функции двух переменных (ITAB1) Программа интерполирует таблично заданную функцию двух переменных для значений первого аргумента х из интервала хmin, хmax и второго y из интервала ymin, ymax. Интерполированные значения функции z(x,y) вычисляются по интерполяционной формуле Лагранжа и с помощью сплайн-интеполяции: оба вычисляемых значения объективно верны, дело пользователя, какое значение использовать в практических технических расчётах (литература рекомендует пользоваться сплайн-интерполяцией). 6.Аппроксимация таблично заданной функции двух переменных плоскостью (APLOS)

18

Программа по табличной зависимости zij = f(xiyj) находит аппроксимирующую плоскость виде: z(x,y) = ax + by + c (1), т.е. определяет коэффициенты a,b,c уравнения плоскости, реализует линейную регрессию точек пространства, заданных своими координатами (x,y,z). Программа также по уравнению построенной плоскости интерполирует, экстраполирует, строит семейства прямых z = ax + byj + c (где х непрерывное, yj - заданные дискретные значения) и, аналогично, z = axi + by + c строит также плоскость в трёхмерном пространстве, в смысле попытки графического изображения в системе координат OXYZ в QB. 7.Аппроксимация таблично заданной функции двух переменных поверхностью второго порядка (APOV) Программа по табличной зависимости Zij = F(XiYj) находит аппроксимирующую поверхность второго порядка в виде: z(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + fy + e (1), т.е. оределяет коэффициенты a,b,c,d,f,e уравнения поверхности. Программа также сроит семейства кривых в системе кооррдинат XOZ при непрерывном х и дискретных yj , то же в системе YOZ при непрерывном y и дискретных хi , и изображает поверхность (1) в трёхмерном пространстве. Программа интерполирует, экстраполирует заданную табличную функцию и определяет её частные производные. 8.Подбор аналитически заданной функции по координатам точек (VFUN) Программа подбирает для таблично заданной функции простое аналитическое выражение из предложенного набора, как то: y = ax + b, y = ax2+ b, y = alnx + b и т.д. перечень в меню программы. Пользователь оценивает точность аппроксимации ТЗФ аналитической функцией по среднему квадратическому отклонению и из наглядных соображений: программа строит в декартовой системе координат точки (xi,yi) и график аппроксимирующей функции f(x,a,b). Пользователь самостоятельно выбирает вид функции f(x), вводя её номер в меню, программа вычисляет параметры a,b и обеспечивает графическую наглядность аппроксимации. 9.Полиномиальная регрессия непрерывной на отрезке функции (POLIN3) Программа строит уравнения полиномиальной регрессии для непрерывной на отрезке функции. Функцию, отрезок, степень полинома задает пользователь. Задача решается тремя способами: при равномерном разбиении отрезка, при разбиении его по Чебышеву. Качество приближения во втором случае, естественно, выше. Недавно нами предложен новый способ: разбиваем отрезок случайными числами, ведем сотни просчетов, запоминаем наилучший полином по критерию «наименьшего максимального» отклонения и к восторгу студентов получаем «лучший» полином, чем те, что получены первыми двумя способами. Предлагаю моим оппонентам проделать то же в какой либо СКМ…

8. Дифференциальные уравнения 1. Поле направлений дифференциального уравнения (POLE) Программа преследует, прежде всего учебные цели и призвана продемонстрировать обучаемому основные понятия первоначального знакомства с решением дифференциальных уравнений первого порядка: поле направлений дифференциального уравнения, выделения в нем по заданным начальным условиям единственной кривой, таблица значений искомой функции и др. Для применения программы необходимо разрешить дифференциальное уравнение относительно производной, т.е. представить его в виде dy/dx = f(x,y) и задать отрезок для х [x-начальное,х-конечное] и для y [y-начальное,y-конечное] и начальные значения. Программа изображает поле направлений дифференциального уравнения на указанном прямоугольнике, печатает таблицу значений х,у, строит график функции, удовлетворяющей начальным условиям. 19

2.Решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта (RUNGEP) Программа предназначена для решения дифференциальных уравнений первого порядка: разрешенных относительно производной y’ = f (x,y), при заданных начальных условиях Y(x0) = Y0, и для демонстрации решения. Она выдает таблицу значений x,y на задаваемом отрезке [x0, xk], строит аппроксимирующий решение полином, задаваемой пользователем степени, находит его интерполяционные значения из указанного отрезка. 3.Решение дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта (DUFUR2) Цель программы - решение дифференциальных уравнений второго порядка, разрешённых относительно второй производной. Программа выводит таблицу значений y и dy/dx на отрезке [x,x+nh], строит на этом отрезке графики y и dy/dx и интерполирует значения y и dy/dx для х из указанного интервала, таблицу значений функции и её первой производной возможно распечатать на принтере. Очень наглядная графика.

9. Ряды 1.Разложение аналитически заданной функции в степенной ряд (STEPRL) Программа вычисляет коэффициенты степенного ряда Маклорена - Тейлора для функции, задаваемой пользователем (строка 30), строит график этой функции на отрезке [аl,a+l], где а - точка в окрестности которой проводится разложение в степенной ряд, l полупериод - число, задаваемое пользователем для масштабирования системы координат. Программа дает возможность построить графики аппроксимирующих многочленов P1,P2,P3,P4,... ,т. е. первых членов степенного ряда, вычислять значения функции и Pi при х из указанного промежутка, оценивать “cтепень точности” приближения функции степенным рядом. Программа имеет не только вычислительный характер - отыскивает коэффициенты степенного ряда - но и демонстрационно - наглядный: помогает студенту осмыслить саму cуть аппроксимациии функции рядом в окрестности указанной точки. 2.Аппроксимация периодической функции тригонометрическим рядом (GARM) Эта программа даёт наглядные представления о распространении функции как периодической на множестве R, вычисляет коэффициенты тригонометрического ряда, строит графики гармонических колебаний - первых членов ряда (т.н. первых гармоник разложения ряда) и графически суммирует их. Помимо чисто вычислительных функций программа является наглядным пособием по изучению идей и математического смысла аппроксимации функции тригонометрическим рядом, в особенности, на первых этапах познания и изучения этих не простых в математике вопросов. С её помощью можно легко проверить известные разложения в ряд Фурье и собственные (безмашинные) изыскания по определению коэффициентов тригонометрического ряда. 3.Разложение периодической функции по синусам или по косинусам (GARM1) Программа аналогична предыдущей по дидактическим целям и выполняемым математическим задачам, она позволяет пользователю распространить введённую функцию как чётную или как нечётную на R и получить коэффициенты разложения в ряд Фурье по косинусам или синусам. Богатая графика: функция на двух периодах [-2l,2l], графики гармоник и, естественно, график их суммы. 4.Исследование сходимости числового ряда (СНRYD) Простая программа по введённой формуле общего члена числового ряда вычисляет предел на бесконечности, чем проверяется необходимый признак сходимости, и проверяет выполнение достаточного радикального признака Коши, выдаёт соответствующие сообщения. В том случае, если ряд сходится, вычисляется его сумма. Программа полезна

20

как инструмент проверки безмашинных положительными членами.

исследований сходимости числовых рядов с

10. Теория вероятностей 1.Числовые характеристики дискретной случайной величины (DSV) Программа по заданным значениям дискретной случайной величины и их вероятностям (с клавиатуры или в операторе DATA ) вычисляет математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Строит наглядную диаграмму. 2.Закон нормального распределения (ZNR) Программа по вводимым пользователем математическому ожиданию и дисперсии непрерывной случайной величины строит кривую Гаусса и проводит вычисления вероятности попадания СВ в заданный интервал и вероятности отклонения СВ от математического ожидания на заданную величину. Интегрирование f(x) сопровождается наглядным графическим подтверждением. 3.Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Пуассона, Лапласа. (BERNUL) Программа удобно, просто и быстро решает указанные задачи: вычисляет вероятность появления события k раз ( от k1 до k2 раз, более k раз, менее k раз ) по указанным в названии формулам. Очень удобна для проверки результатов безмашинного варианта решения. Новичкам даст хороший урок по организации диалога с ПЭВМ, т.к. имеет очень разветвленное меню.

11. Некоторые прикладные программы 1.Определение ёмкости конденсатора (обработка результатов лабораторной работы) (KONDEN) Настоящая программа позволит студентам, изучающим параллельно физику и основы программирования соединить знания и практический опыт выполнения лабораторной работы с умением вести несложный диалог с ПЭВМ. Программа по введённой табличной зависимости тока разряда конденсатора от времени определяет его заряд и по известному напряжению, зарядившему конденсатор, его ёмкость. Программа отыскивает экспоненциальную регрессию зависимости тока разряда конденсатора, строит экспоненту, интегрирует ее, (так определяется заряд), определяет емкость - выполнением этих подзадач, в особенности графической части, достигается высокая степень наглядности: экспериментальные данные опыта по физике зримо переходят в окончательный результат. Программу возможно использовать для построения любой экспоненциальной зависимости по n координатам X1,Y1;X2,Y2;...Xn,Yn и проинтегрировать на промежутке от нуля до бесконечности, например, при исследовании затухающих процессов в электротехнике. Пересев от лабораторной установки к компьютеру студент должен иметь: значение напряжения U и таблицу зависимости I(t), при этом помнить, что теоретически конденсатор, разряжаясь по экспоненте, никогда не может разрядиться до нуля, потому последнее измерение не должно быть I(tn) = 0, несмотря на показания Вашего миллиамперметра. 2.Преобразование чисел из одной системы счисления в другую(SS) Программа преобразует числа из одной системы счисления в другую в различных вариантах и режимах: одно число, выдаёт таблицу преобразованных чисел, печатает эту таблицу на принтере. В силу этого разнообразия предусмотрен разветвлённый диалог с пользователем, рекомендуется быть внимательным при вводе данных и выборе вариантов. Программу можно использовать на занятиях по информатике и математике, а также она 21

может быть полезна тем, кто работает с системными программами и кому приходится оперировать с числами в иной (не 10) системе счисления. 3.Фигуры Лиссажу (LISSAG) Наглядная графическая программа позволяет пользователю выбрать из приведённого списка параметрических уравнений гармонических колебаний интересующее и “зреть” соответствующую фигуру Лиссажу на экране монитора. Пользователь имеет возможность построить “свои” фигуры Лиссажу, отсутствующие в предлагаемом списке, присваивая значения частот w1 и w2, начальных фаз f1 и f2 в уравнениях x = Cos(w1t + f1) и y = Cos(w2t + f2) - большая свобода выбора и наблюдений за собственными экспериментами. 4.Закон распределения вероятности скоростей идеального газа (IDGAZ) Исследовательская программа по физике, использующая аппарат теории вероятностей. По вводимым пользователем предельной скорости идеального газа, массе молекулы и температуре газа по К° программа позволяет решать целый ряд задач, таких как: определение наивероятнейшей, средней, среднеквадратичной скоростей, вероятность попадания в указанный интервал скоростей, строит графики распределения вероятностей и другие. Применению программы студентами должно предшествовать довольно основательное изучение соответствующего вопроса курса физики и, естественно, под руководством и контролем преподавателя. 5.Модулированные колебания (MODKOL) Демонстрационная программа по физике, электротехнике. Пользователь вводит амплитуды и частоты модулируемого и модулирующего гармонических колебаний и наблюдает на экране монитора графики этих колебаний: немодулированного, модулированного. Вводя различные значения амплитуд и частот можно получить самые различные случаи амплитудного модулирования, например, если задать амплитуду модулирующего колебания большей амплитуды модулируемого колебания, то получим т. н. биения. Программа заменит многие технические средства, демонстрирующие этот интересный вопрос физики. 6. Тест по курсу «Теория бухгалтерского учета» (TEST_TBU) Программа сделана по заказу преподавателя бухгалтерского учета Ткаченко С.В., которая в процессе разработки теста неоднократно консультировала студента Цыбулько Р. Описание структуры и возможностей теста занимает немело места. Опыт составления теста с выборочным ответом и случайным порядком задаваемых вопросов, с выставлением оценки и анализом ошибок явно удался. Кстати, этот файл самый большой по объему, в нем много текстового материала, много математики и хороших программных решений.

12 Познавательно-развлекательные программы 1.Японское гадание по 12-тилетнему циклу по дате рождения (SAN) Простая программа определяет “жизненный уровень” по дате рождения в циклах: 12-24-... Интересно! (из журнала ИиО)

0-

2.Фазы луны (SELENA) Программа определяет “форму” луны, лунный день в день работы с ней, фазу луны в любой день в прошлом и будущем, демонстрирует изменения формы видимой части луны изо дня в день, начиная с указанной даты, определяет дни новолуний и полнолуний для интересующего периода. Интересная программа по астрономии?...по математике?... или для развлечения?...(чисто авторская разработка) 3.Игра в кости (KOSTI) 22

Увлекательная игра человека с IBM в кости по простым, но интересным правилам, попробуйте, потренируйте свою выдержку и интуицию. (идея – из переводной книжки, программа наша) 4.Ваш биологический год (BIOGOD) Некоторые психологи утверждают, что эмоциональное, физическое состояние человека в любой день от дня рождения до дня рождения определяется только датой его рождения. Посмотрите на свои биоциклы, может быть это действительно так? Снабжена своеобразной графикой и подробными комментариями к каждому периоду. Интересно! 5.Ваши биоритмы (BRITM) Программа по введенной пользователем дате рождения определяет физическое, эмоциональное и интеллектуальное состояние на сегодня, на любой день. Строит графики состояния человека на текущий месяц, на любой, введенный пользователем месяц. Программа, как бы несколько удовлетворяет интерес молодых людей к собственной личности. В оформлении использована богатая цветовая гамма.

Литература 1.Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам. – М,: 1987 2.Дьяконов В.П. MathCad 2001. Учебный курс. – Санкт-Петербург,: 2001 3.Банди Б. Основы линейного программирования. - М.: Радио и связь, 1989 4.Данилина Н.И. и др. Вычислительная математика. - М.: Высшая школа, 1985

23