Моделирование процессов переноса в турбулентных течениях: Учебное пособие

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

Б.Б. Илюшин

Моделирование процессов переноса в турбулентных течениях учебное пособие

НОВОСИБИРСК 1999 1

“... где турбулентность воды возбуждается где турбулентность воды сохраняется надолго где турбулентность воды затухает.... ” Леонардо да Винчи, 1500 г. Из повседневного опыта нам известно, что наряду с плавным “спокойным” характером движения жидкости существует режим течения, когда поток проявляет свойства непредсказуемости и неупорядоченности. Первый тип течения называется ламинарным (“слоистым” лат.), последний - турбулентным (“беспорядочным” лат.). Подавляющее большинство реально встречающихся в природе и технике течений является именно турбулентными. Исследовательский интерес к ним обусловлен не только тем, что турбулентные течения являются самой распространенной формой движения жидкостей и газов, но и с чисто теоретической точки зрения, поскольку турбулентные течения представляют собой пример нелинейной механической открытой системы с очень большим числом степеней свободы. В современной науке термин “турбулентность” применяется не только в механике жидкости, но и по отношению к другим системам, для которых характерен переход от регулярного движения к хаотическому, определяемый нелинейными процессами. Это понятие вошло практически во все области физики. Первым научным задокументированным наблюдением турбулентности можно считать рукопись Леонардо да Винчи (см. рис. 1). Если ее рассматривать через зеркало, можно прочесть следующие строки: “doue la turbolenza dellacqua sigenera doue la turbolenza dellcq simantiene plugno doue la turbolenza dellacqua siposa.... ” Их перевод послужил эпиграфом к этому параграфу. Эта рукопись датируется концом 15 началом 16 века. Однако, лишь в конце 19 века появилась теория турбулентности вместе с замечательными работами Осборна Рейнольдса. Проблема турбулентности до сих пор остается открытой проблемой гидромеханики, несмотря на то что в течении целого века привлекала внимание многих выдающихся исследователей. Столь необычно большой срок от первых наблюдений этого явления до его теоретического осмысления, естественно, связан со сложностью рассматриваемой проблемы. До сих пор не существует общего подхода к описанию турбулентного движения жидкости. За более чем 150-летнюю историю были развиты различные подходы - статистический, структурный и динамический - для описания феномена турбулентности. Результаты, полученные в каждом из них, зачастую относились к разным задачам и отвечали на вопросы, возникающие в качественно различных экспериментальных ситуациях. В периоды своего возникновения и развития эти подходы представлялись их сторонниками единственно приемлемыми и поэтому они развивались параллельно и практически независимо. Лишь в последние 20 лет наметилась тенденция к их объединению в единую теорию турбулентности. В настоящем курсе не рассматриваются подробно динамический и структурный подходы исследования турбулентности, не вводится формальное определение турбулентности, а используется интуитивные представления об этой форме движения жидкости и газа.. Обсуждаются свойства турбулентного движения, с акцентом на методы его описания. Цель настоящего курса - понять и научится рассчитывать турбулентность. Рис. 1. Фотография рукописи Леонардо да Винчи.

2

1. Что такое турбулентность Можно сказать, что турбулентное течение - это поток, который является беспорядочным во времени и пространстве. Однако это, конечно, не может рассматриваться как точное математическое определение. Потоки, называемые "турбулентными", могут обладать различной динамикой, могут быть трехмерными или иногда квазидвумерными, могут проявлять свойства хорошо организованных структур. Общее свойство турбулентных течений заключается в том, что они способны смешивать переносимые величины (импульс, тепло, вещество) намного быстрее, чем это происходит под воздействием только молекулярной диффузии. Это свойство, конечно, является наиболее важным для людей, занимающихся турбулентностью в практических приложениях, где определяющей является информация о коэффициентах турбулентного переноса тепла, а также о величине турбулентного сопротивления (которое зависит от интенсивности рассеивания импульса в потоке). Дадим определение турбулентности в таком виде1: - Во-первых, турбулентное течение должно быть непредсказуемым в том смысле, что малая неопределенность характеристик течения в начальный момент времени будет расти и, таким образом, точное детерминированное предсказание результата их эволюции будет невозможным; - Во-вторых, оно должно удовлетворять свойствам интенсивного перемешивания. - В-третьих, оно должно характеризоваться широким диапазоном пространственных длин волн. Такое определение позволяет, в частности, использовать термин "турбулентность" по отношению к некоторым двумерным течениям. Оно также подразумевает, что определенные безразмерные параметры, характеризующие поток, должны быть намного больше единицы. В самом деле, если l - характерный размер наибольших энергосодержащих турбулентных вихрей, а uˆ - величина турбулентных пульсаций скорости, то достаточно грубая аналогия между процессами перемешивания под воздействием турбулентности и некогерентного случайного блуждания позволяет определить коэффициент турбулентной диффузии, который будет пропорционален luˆ . Таким образом, если ν и γ - молекулярные коэффициенты диффузии импульса (который в дальнейшем будем называть коэффициентом кинематической молекулярной вязкости) и теплоты (молекулярной теплопроводности) соответственно, то увеличение степени смешения для этих двух переносимых величин предполагает, что два безразмерных параметра luˆ / ν и luˆ / γ должны быть много больше единицы. Первый из этих параметров называется числом Рейнольдса Re = luˆ / ν , а второй - числом Пекле Pe = luˆ / γ . В дальнейшем мы убедимся, что при больших числах Рейнольдса отношение наибольших масштабов к наименьшим должно иметь порядок Re 3 / 4 . В этом смысле второе из отмеченных выше свойств турбулентных течений согласуется с третьим. В заключение данного параграфа отметим еще одно важное свойство турбулентности. Существует много экспериментальных и расчетных данных, показывающих, что турбулентr r r ные течения являются вихревыми, то есть завихренность ω = ∇ × u - не равняется нулю по крайней мере в некоторых областях пространства. Поэтому интересно, как турбулентность возникает в течении, изначально являющимся безвихревым2?. Этот процесс, очевидно, обусловлен вязкостью, поскольку из теоремы Кельвина непосредственно следует, что нулевая завихренность сохраняется в процессе движения идеальной жидкости3. Присутствие же границ или препятствий накладывает условие нулевой скорости на твердой поверхности, которое порождает завихренность. Производство завихренности затем увеличивается под влиянием различных механизмов, в частности, за счет описанного ниже механизма растяжения вихревых нитей, и, таким образом, в этих областях течение, как правило, становится турбулентным. 1

См. монографию М.Лесьера “Турбулентность в жидкостях” Например, в однородном потоке 3 Идеальная жидкость - это жидкость, в которой эффекты молекулярной вязкости не учитываются 2

3

Методы описания структуры турбулентных течений Будем считать, что, в области макроскопических масштабов, превышающих микроскопические молекулярные масштабы, течение жидкости удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных, называемых уравнениями Навье-Стокса. Вполне доказано, что эти уравнения правильно описывают турбулентные течения, даже в случае гиперзвуковых течений до числа Маха порядка 15. Наименьший макроскопический масштаб δl d по порядку величины меньше Колмогоровского диссипативного масштаба η 4, и намного больше чем среднее значение длины свободного пробега молекул. Фактически, уравнения Навье-Стокса включают в себя величины типа скорости, давления, температуры, плотности, которые усреднены по пространству элементарного объема размера ≈ δl d . Однако с математической точки зрения, пространственные масштабы в этих уравнениях могут быть сколь угодно малы. Начнем с постулата, что движение турбулентной жидкости удовлетворяет принципу Ньютоновского детерминизма: если исходные положения и скорости известны для начального момента времени t 0 5, то для них существует только одно возможное состояние течения в любой момент времени t > t 0 . Математически, это - не более чем предположение о существовании и единственности решений уравнений Навье-Стокса: такая теорема доказана для двумерного случая и только для конечных времен в трехмерном случае. Физически, однако, следует ожидать, что наличие молекулярной вязкости в уравнениях Навье-Стокса сгладит решения достаточно для того, чтобы исключить появление сингулярностей и бифуркаций6. Из этих рассуждений следует вывод, что турбулентность в жидкостях - детерминированное явление, хотя эффект нелинейности делает ее развитие очень сложным. С первого взгляда кажется невозможным теоретически описать для произвольных времен детерминированное развитие турбулентного течения. Тем не менее, с учетом интенсивного развития в последнее время возможностей численных расчетов, мы покажем далее один из многообещающих подходов, основанных на численном моделировании. Действительно, за последние два десятилетия наблюдается стремительный прогресс в развитии возможностей компьютеров, до такой степени, что численное решение уравнений Навье-Стокса для ряда турбулентных течений теперь стало доступным. Также очень полезно использовать стохастические методы и рассматривать различные флуктуирующие величины как случайные функции. Для полностью развитой турбулентности, эти функции должны быть статистически независимыми при трансляции (однородность) и вращении (изотропность). Ниже мы рассмотрим динамику однородной изотропной турбулентности, в частности, процесс переноса энергии между различными масштабами движения. Основное внимание мы акцентируем на одноточечных статистических моделях турбулентности, совмещающих в себе вычислительную эффективность с достоверностью получаемых с их помощью результатов, достаточной для многих прикладных задач. Завершая этот раздел, подчеркнем, что, вероятно, ошибочно противопоставлять так называемые детерминистский и статистический подходы к описанию турбулентности. Детерминистский метод, если говорить о численном моделировании, может оказаться чрезвычайно дорогим, и тогда статистическая теория или моделирование могут быть очень полезными. Анализ развития методов моделирования турбулентных течений показывает, что в ближайшие 100 лет метод статистических моментов останется основным инструментом в прикладных расчетах реальных турбулентных течений. 2. Структура турбулентности Уравнение Навье-Стокса 4

этот масштаб является наименьшим характерным масштабом турбулентности, подробнее см. ниже. с заданными граничными условиями и определенными внешними возмущениями 6 Здесь, мы рассматриваем эволюцию системы с фиксированными внешними параметрами. Теория "бифуркаций" рассматривает смену одного устойчивого состояния системы на другое, при изменении одного из внешних параметров. 5

4

В своих лекциях по физике, посвященных гидродинамике и турбулентности, Ричард Фейман пишет: Часто люди в каком-то неоправданном страхе перед физикой говорят, что невозможно написать уравнение жизни. А может быть и можно. Очень возможно, что на самом деле мы уже располагаем достаточно хорошим приближением, когда пишем уравнение квантовой механики: Hψ = −

h ∂ψ i ∂t

(2.1)

Конечно, если бы мы располагали только этим уравнение и не могли наблюдать сами биологические явления, то не смогли бы теоретически воссоздать их. Фейман полагал, что сходная ситуация имеет место для турбулентного потока несжимаемой жидкости7. Уравнение Навье-Стокса известно со времени работы Навье (1823г.): ~ 1 ∂ ~ ∂u~i ~ ∂ ~ ∂2 ~ +uj ui , p+ν ui = f i − ∂t ∂x j ∂x j ∂x j ρ ∂xi

(2.2)

∂ ~ ui = 0 , ∂xi

где ui - скорость жидкости, p давление, ρ плотность, ν вязкость, а f i - внешние массовые силы. Тильда означает, что рассматриваются мгновенные величины. Второе уравнение системы (2.2) называется уравнением неразрывности. Система уравнений (2.2) замкнута. Дополнив ее начальными и краевыми условиями мы будем иметь полностью поставленную математическую задачу. Сразу отметим важное свойство системы (2.2) - нелинейность уравнения НавьеСтокса. Нелинейность системы означает, что процессы, протекающие в них, не удовлетворяют принципу суперпозиции. Аналитическое описание процессов в нелинейных системах затруднено в виду отсутствия общих методов решения нелинейных уравнений. Наиболее доступно изучение динамики слабонелинейных систем. Нелинейность в таких системах проявляется в возникновении малых поправок к решению линеаризованных уравнений8. При исследовании сильнонелинейных систем, за исключением ограниченного числа точно решаемых случаев, используется численное моделирование. Разделяют два класса нелинейных систем - консервативные системы, в которых энергия сохраняется и диссипативные системы, в которых энергия диссипирует или поступает в систему от внешних источников. В следующем параграфе будет показано, что движение вязкой жидкости является диссипативной системой. Второе важное свойство уравнения Навье-Стокса - параметр при старшей производной. Если уравнения системы (2.2) записать в безразмерном виде с использованием характерного линейного масштаба течения L и характерной скорости U , при старшей производной в уравнении Навье-Стокса появится безразмерный параметр числу Рейнольдса Re =

UL ν

ν UL

- величина, обратная

. Очевидно, что величина этого параметра определяет вклад в об-

щий баланс уравнения эффектов вязкости жидкости на рассматриваемом масштабе течения L и, как следствие, определяет свойства решения системы (2.2). Выше отмечалось, что система (2.2) описывает диссипативные нелинейные системы. В следующем параграфе будет показано, что именно вязкие эффекты отвечают за диссипативные свойства рассматриваемых систем. Указанный параметр, фактически, устанавливает отношение между масштабами всей системы и масштабами на которых эти диссипативные свойства имеют место. Для выяснения характера движений жидкости, сформировавшегося под воздействием роста возмущений, перепишем уравнение Навье-Стокса в виде: 7

Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать несжимаемую жидкость. Этот метод активно используется в гидродинамике, в частности для исследования ламинарно-турбулентного перехода.

8

5

∂u~i ∂ =− ∂xi ∂t

~ ⎡~ ∂ϖ p 1~ ~ ⎤ ~ k ~ ~ ⎢ ρ + 2 u j u j ⎥ + f i + eijk u j ϖ k − νeijk ∂x , ⎣ ⎦ j

(2.3)

~ = e ( ∂u~ / ∂x ) - вектор завихренности. Для получения (2.3) где eijk - символ Леви-Чивита, ϖ i ijk k j

использовались следующие очевидные преобразования: ⎛ ∂u~ ∂u~ j ∂u~ u~ j i = u~ j ⎜ i − ⎜ ∂x j ∂xi ∂x j ⎝

⎞ ~ ∂u~ j ~ + ∂ ⎛⎜ 1 u~ u~ ⎞⎟ , ⎟+uj = −eijk u~ j ⋅ ϖ k j j ⎟ ∂xi ∂xi ⎝ 2 ⎠ ⎠ ~ ∂u~ j ⎞ ⎟ = − νeijk ∂ϖ k . − ∂x j ∂xi ⎟⎠

∂ 2 u~i ∂ ⎛⎜ ∂u~i =ν ∂x j ∂x j ∂x j ⎜⎝ ∂x j ~ = 0 , без внешних теченя ϖ ν

(2.4)

В случае безвихревго сил в (2.3) вязкий член и часть инерционноi го члена исчезают и (2.3) сводится к уравнению Бернули. Таким образом, процесс вязкой диссипации в безвихревом течении отсутствует. Диссипация энергии в вязкой жидкости Наличие вязкости приводит к диссипации энергии в тепло. Вычислим скорость превращения кинетической энергии потока несжимаемой жидкости в тепло. Полная кинетическая энергия жидкости равна: Et =

ρ ~2 ∫ u dV . 2V

(2.3)

Производная по времени от этой энергии имеет вид: ∂u~ ∂ Et = ρ ∫ u~i i dV . ∂t ∂t V

Подставляя для производной

∂u~i ∂t

(2.4)

ее выражение согласно уравнению Навье-Стокса: ∂u~i ∂u~ 1 ∂p 1 ∂σ ik , = −u~k i − + ∂t ∂x k ρ ∂xi ρ ∂x k ⎛ ∂u~ ∂u~ j ⎞ ⎟, σij = μ⎜ i + ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠

(2.5) (2.6)

в результате получим: ρ ∫ u~i V

~ ~ ⎤ ~2 ⎡ ⎡ ∂u~i ∂u~ ∂p ~ ∂σik ⎤ ~ ∂ ⎛⎜ u + p ⎞⎟ − ∂ui σ ik + σ ∂ui ⎥ dV . dV = − ∫ ⎢ρu~i u~k i + u~i − ui ik ⎥ dV = − ∫ ⎢ρuk ∂xk ∂xk ⎥ ∂xi ∂xk ⎦ ∂xk ⎜⎝ 2 ρ ⎟⎠ ∂t ∂xk V⎣ V ⎢⎣ ⎦

Учитывая уравнение неразрывности

(2.7)

∂u~i = 0 , выделим дивергентный член в выражении стоя∂xi

щим под интегралом и преобразуем интеграл по объему в интеграл по замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем: ∂Et ∂ = −∫ ∂t ∂ x S k

⎡ ⎤ ⎛ u~ 2 p ⎞ ~ ∂u~ + ⎟ − ui σ ik ⎥ dS − ∫ σ ik i dV . ⎢ρu~k ⎜ ⎜ 2 ρ⎟ ∂x k ⎢⎣ ⎥⎦ V ⎝ ⎠

(2.8)

Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в объеме благодаря наличию потока энергии через поверхность этого объема. Второй член представляет собой уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией. Рассматривая движение жидкости в системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится, распространим интегрирование на весь объем жидкости. В этом случае интеграл по поверхности исчезает: ∂Et ∂u~ = − ∫ σik i dV . ∂t ∂xk V

(2.9) 6

Подставляя выражение для σik в несжимаемой жидкости и учитывая, что: σik

⎛ 1 ∂u~i ∂u~i ∂u~k ∂u~i 1 ∂u~k ∂u~k ⎞ μ ⎛ ∂u~i ∂u~k ∂u~i ⎟⎟ = ⎜⎜ = μ⎜⎜ + + + ∂xk ⎝ 2 ∂xk ∂xk ∂xi ∂xk 2 ∂xi ∂xi ⎠ 2 ⎝ ∂xk ∂xi

2

⎞ ⎟⎟ , ⎠

(2.10)

окончательно получаем формулу для диссипации энергии: ∂u~ ∂Et μ ⎛ ∂u~ = − ∫ ⎜⎜ i + k ∂t 2 V ⎝ ∂xk ∂xi

2

⎞ ⎟⎟ dV . ⎠

(2.11)

Таким образом, диссипация приводит к уменьшению кинетической энергии жидкости, поскольку интеграл в (2.11) всегда положительный. Заметим, что полученный результат не зависит от формы движения жидкости, он справедлив и для ламинарного и для турбулентного режимов течения. Качественная схема развития и структуры турбулентности Выше мы отметили важные свойства уравнений (2.2.), описывающих движение вязкой жидкости: нелинейность и параметр ReL =

UL , определяющий диапазон масштабов течеν

ния на котором проявляются диссипативные свойства системы. Определим масштабы диссипации η и uˆη из условия: Reη = 1 (т. е ηuˆη = ν ). Так при ReL << 1 масштабы диссипации оказываются больше масштабов рассматриваемой системы. В этом случае любое возмущение в системе подвержено диссипации и будет затухать. В отличие от этого при ReL >> 1 движение жидкости с масштабами порядка UL > ηuˆη оказываются практически бездиссипативными, поскольку здесь отсутствует механизм вязкого затухания. Как следствие, это движение становится неустойчивым, поскольку возмущения на этом масштабе будут расти, в конечном счете разрушая его. Размеры системы не позволяют расти возмущениям масштаба больше L , поэтому возбуждаться будут моды размера l 1 < L , которые, в свою очередь, так же будут неустойчивы при больших числах Рейнольдса. Таким образом формируется целая иерархия неустойчивых возмущений, которые полностью изменяют характер движения жидкости. Процесс рождения движений все меньших и меньших масштабов прекратится лишь по достижении минимального масштаба η . Движения минимального масштаба устойчивы и практически далее не распадаются, поскольку они существенно диссипативны и их энергия расходуется в основном на преодоление вязких сил, рассеивается, переходя в теплоту. Пока неустойчивость основного течения масштаба L приводит к появлению все новых и новых позмущений первого порядка, процесс последовательного дробления всех бездиссипативных возмущений не прекращается и создает непрерывный поток энергии по вниз масштабам. Описанный выше сценарий развития возмущений дает представление о механизме развития и структуре турбулентного режима течения. Отметим определяющую роль нелинейности уравнений Навье-Стокса в развитии такого сценария, поскольку взаимодействие возмущений разного масштаба возможно только в нелинейной системе9. Феноменологическую картину такого течения (каскад Ричардсона) удобно представить в виде, показанном на рис. 2. Вихри разных масштабов изображены овалами, разнесенными на разные строки согласно своим размерам. Энергия в изображенный каскад масштабов поступает на самом крупном масштабе, спускается по каскаду вниз, до вихрей размера порядка η и рассеивается под воздействием вязкости. В рамках этого представления скорость поступления энергии в каскад, скорость переноса энергии вниз по каскаду и скорость ее рассеивания на диссипативных масштабах одинакова (обозначим ее ε ). Кроме того, такая картина течения предполагает локальность взаимодействия между вихрями: вихри масштаба l n могут взаимодействовать только с вихрями размера l n + 1 и l n − 1 , т.е. предполагается, что взаимодействие вихрей, масштабы которых сильно отличаются, можно рассматривать как 9

Механизм такого нелинейного взаимодействия (“механизм растяжения вихревых трубок”) мы подробно рассмотрим ниже.

7

перенос мелких вихрей под воздействием поля скорости крупных вихрей ε без обмена энергией между ними. Вследствие хаотичности процесса передачи энергии от движений данного масштаба к движению меньших масштабов анизотропность, неоднородность и нестационарность осε редненного движения должны все меньше и меньше сказываться на статистическом режиме пульсаций все меньших и меньших масштабов. Поэтому можно утверждать, что влияние среднего течения практически переε стает сказываться на структуре пульсаций (за исключением лишь наиболее Рис. 2. Схема каскада турбулентных вихрей. крупномасштабных). Подробнее механизм обмена энергией между вихрями мы рассмотрим ниже, а сейчас перейдем к важным следствиям описанного механизма трансформации энергии в турбулентных течениях. Масштабная инвариантность Еще одним важным свойством уравнений (2.2) является масштабная инвариантность (скейлинг) в пределе Re → ∞ . Легко видеть, что при масштабном преобразовании: t → λ1− h t , r r r r 10 r → λr , u → λh u (где λ и h - действительные числа) все слагаемые уравнения Навье-Стокса умножатся на λ2h −1 , кроме последнего, связанного с вязкостью, которое умножается на λh − 2 . Поэтому при ReL << 1 допустимо только h = −1 . В этом случае масштабная инвариантность эквивалентна хорошо известному в гидродинамике принципу подобия по числу Рейнольдса. Если же рассматривать предел бесконечно больших чисел Рейнольдса, то существует бесконечное число скейлинговых групп, параметризованных скейлинговым показателем h , который может быть любым действительным числом. Заметим, что масштабная инвариантность уравнений (2.2) в отличие от других видов симметрий (сдвиг по времени и в пространстве, вращение, четность и преобразование Галилея) не является макроскопическим следствием основных симметрий уравнений Ньютона, описывающих микроскопическое движение молекул. Она проявляется как результат использования приближения сплошной среды в модели (2.2). Спектр турбулентных пульсаций Один из наиболее часто применяемых на практике методов анализа стационарной случайной функции заключается в изучении энергетического спектра11: E(ω) =

1 − iωτ ∫ R(τ )e dτ , 2π R

R(τ ) =< u(t) ⋅ u(t + τ) >= ∫ E(ω)e iωτ dω

(2.14)

R

где R( τ ) - корреляция скорости u (угловые скобки обозначают усреднение). Другой функцией, представляющей значительный интерес в теории турбулентности, является структурная функция второго порядка Dn ( τ ) : D(τ ) =< ( u(t) − u(t + τ) )2 > .

(2.15)

Структурная функция второго порядка связана с функциями R( τ ) и E( ω ) соотношениями: 10

Мы не указываем преобразование для давления, поскольку последнее может быть исключено из уравнения Навье-Стокса применением оператора дивергенции. 11 Здесь будут рассматриваться только одномерные спектры

8

D(τ ) = 2( R( 0 ) − R( τ )) = 2 ∫ E(ω)( 1 − e − iωτ )dω.

(2.16)

R

Для турбулентности особенно важным классом структурных функций является случай, когда D( τ ) подчиняется степенному закону: D( τ ) = Aτ γ ,

(2.17)

где A - положительный численный коэффициент и 0 < γ < 2 . Нетрудно видеть, что функции (2.17) представимы в виде (2.16), если за энергетический спектр приять степенные функции вида: E ( ω ) = Cω−( γ + 1 ) ,

(2.18)

где С - численный коэффициент. Аналогичные соотношения справедливы и для пространственных структурных функций и спектра энергии, зависящего от волнового вектора k . Величина волнового вектора связана с масштабом вихрей: k = 2π / l (размер вихря приблизительно определяется доминирующей длинной волны его движения). D(ρ ) =< ( u( r ) − u( r + ρ ))2 >= 2 ∫ E(k)( 1 − e − ikρ )dk .

(2.16)

R

Рассматривая каскадный перенос энергии, изображенный на рис. 2, заметим, что такой механизм трансформации энергии предполагает, что в области масштабов L > l > η (или соответсвующих значениях волнового вектора) единственным размерным параметром, определяющим свойства турбулентности, является ε 12. Учитывая размерность величины ε , спектр энергии для масштабов рассматриваемого интервала будет иметь вид впервые предсказанный Колмогоровым в 1941 г.: E( k ) ~ ε 2 / 3 k −5 / 3 , а с учетом (2.17), (2.18) для структурной функции получим D( ρ ) ~ ε 2 / 3 ρ 2 / 3 . Применяя указанное в предыдущем параграфе масштабное преобразование и учитывая, что D( ρ ) → λ2h D( ρ ) и ρ → λρ для ε получаем ε → λ3h −1ε . Масштабная инвариантность ε налагает условие на скейлинговый показатель h = 1 / 3 . Таким образом, спектр турбулентных пульсаций схематично можно изобразить в виде, показанном на рис. 3. Условно спектр можно разбить на три области. Коротковолновая область спектра соответствует масштабам диссипации кинетической энергии турбулентности в тепло под воздействием вязкости. Эта область содержит сравнительно малую часть энергии турбулентности. Соответствующие ей пульсации имеют сложную статистическую структуру - характеризуются значительными по величине коэффициентами эксцесса (с существенно негауссовым распределением). При моделировании турбулентных течений в рамках метода статистических моментов13 их влияние на процессы турбулентного переноса полагается пренебрежимо малым и учитывается только основная роль пульсаций данного интервала - сток кинетической энергии турбулентности. В случае развитой турбулентности скорость вязкой диссипации с хорошей точностью равна спектральному потоку энергии турбулентности и для ее определения не требуется рассмотрение сложной статистической структуры мелкомасштабных пульсаций.

12

Предположение о том, что ε является единственным размерным параметром, определяющим свойства турбулентности в указанном интервале масштабов, в действительности нарушается. Эксперименты свидетельствуют о флуктуационном поведении ε характеризующимся значительными коэффициентами эксцесса (отражающими перемежающийся характер этой величины). Учет перемежаемости в рамках фрактальной модели турбулентности приводит к поправке скейлингового показателя и, как следствие, к отличному от Колмогоровского закону энергетического спектра. Однако здесь этот вопрос рассматриваться не будет, поскольку пермежаемость в основном сосредоточена в области малых (диссипативных) масштабов, соответствующие им пульсации содержат малую часть энергии турбулентности и не оказывают определяющего влияния на процессы турбулентного переноса. 13 О методе статистических моментов см. ниже.

9

Область масштабов L > l > η описывается Колмогоровским законом и характеризуется локально изотропной структурой турбулентных пульсаций. Эта область называется инерционным интервалом спектра. Статистические свойства пульсаций инерционного интервала с хорошей точностью описываются равновесной ФПВ (Гауссовой), а движение жидких частиц (или частиц примеси) в поле изотропной турбулентности подобно броη уновскому движению. Интервал энергии соответствуюη щий длинноволновым (крупномасштабным) пульсациям, напротив, содержит основную часть энергии турбулентности и, в основном, определяет характер турбулентного переноса. Длинноволновые пульсации соответствуют крупномасштабным вихревым структурам (КВС). Они характеризуются сравнительно большим временем релаксации и содержат информацию о предыстории и структуре усредненного течения (эффект памяти). Поэтому, как правило, эта область спектра анизотропна, а ФПВ (существенно негауссова), характеризуется значительными по величине коэффициентами Рис. 3. Спектр турбулентных пульсаций. асимметрии и эксцесса. Таким образом, пульсации интервала энергии и инерционного интервала спектра представляют основной объект исследования в задачах моделирования турбулентных течений14. Оценка масштабов турбулентности. Описанная выше схема механизма трансформации энергии турбулентности от среднего течения к вихрям диссипативного интервала предполагает, что поток энергии в области инерционного интервала не зависит от волнового числа. Поскольку ε имеет размерность энергии на единицу массы в единицу времени, анализ размерности дает: ε ~ uˆl3 / l , где uˆl характерная скорость вихрей масштаба l . Тогда можно записать: 3 U 3 uˆη uˆl3 = = ; l L η

3 3 η ⎛ η ⎞ uˆη =⎜ ⎟ ⋅ 3 L ⎝L⎠ U

3

3

⎛L⎞ ⎛L⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ReL− 3 , η ⎝ ⎠ ⎝η⎠

(2.17)

откуда следует оценка масштабов: η = Re L− 3 / 4 . L

(2.18)

(2.18) позволяет оценить число степеней свободы в турбулентных течениях: 3

⎛L⎞ N = ⎜⎜ ⎟⎟ = ReL9 / 4 . ⎝η⎠

14

(2.19)

Сложная статистическая структура крупномасштабных вихревых образований с одной стороны и их определяющая роль в динамике турбулентного течения с другой стимулируют развитие метода описания турбулентности, основанного на точном разрешении крупных вихрей с привлечением параметризаций для учета мелкомасштабных пульсаций (LES- метод). 10

(2.19) показывает, что турбулентность характеризуется большим числом степеней свободы. Так для течения с ReL = 10 6 число степеней свободы будет ~ 1014 ! Механизм растяжения вихревых трубок Для выяснения механизма дробления турбулентных вихрей и формирования описанного выше каскадного процесса трансформации энергии турбулентности перепишем уравне~ применив операцию ние Навье-Стокса без учета внешних сил в терминах завихренности ϖ i “ротор” ( e pli

∂ ∂xl

): ~ ∂ϖ p ∂t

+ u~ j

~ ∂ϖ p ∂x j

~ −ϖ j

∂u~ p ∂x j

=ν

~ ∂ 2ϖ p ∂x j ∂x j

.

(2.20)

Для получения (2.20) использовалось следующее очевидное тождество: ~ ⎡ ∂u~ j ⎛ ∂u~ ⎡ ~ ∂u~i ⎤ ∂u~ j ∂u~i ~ ∂ ∂u~ ⎞ ∂u~ ∂u~ j ⎤ ~ ∂ϖ ∂u~ p ⎜ i − j ⎟+ j +uj ⎥ +uj , e pli i = e pli ⎢ ⎢u j ⎥ = e pli ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x x x x x x x x ⎢ ⎥ j ⎥⎦ l j j l i ⎠ l i ⎦ j ⎣⎢ ⎣ l ⎝ j ~ ~ ~ ⎡ ∂u~ j ⎛ ∂u~ ∂u~ ⎞ ∂u~ ∂u~ j ⎤ ~ ∂u p . (2.21) ~ ∂u j = −ϖ ~ ) ∂u j + 0 = ( δ δ − δ δ )ϖ ⎜ i − j ⎟+ j ⎥ = e pli ( −eijk ϖ e pli ⎢ k pk lj pj lk k l ∂xl ∂xl ∂xl ⎢⎣ ∂xl ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠ ∂xl ∂xi ⎥⎦

e pli

∂ ∂xl

В (2.20) использованы уравнение неразрывности и равенство нулю произведения антисимметричного и симметричного тензоров (в (2.20) “немой” индекс l может быть заменен на j). Заметим, что: ~ ~ ~ ~ ⎛⎜ ∂ui + ∂u j ~ ∂ui = 1 ϖ ϖ j j ∂x j 2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi

⎞ 1 ~ ⎛ ∂u~i ∂u~ j ⎟ + ϖ j⎜ − ⎟ 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎠ ⎝

⎞ ~ ~ ⎟ = ϖ j sij , ⎟ ⎠

∂u~ j ∂u~ ~ , sij := i + ∂x j ∂xi

(2.22)

(где ~sij - тензор скоростей деформаций), поскольку второе слагаемое в (2.22) равно самому себе15 с обратным знаком, а это означает, что оно равно нулю: ~ ~ ~ ⎛⎜ ∂ui − ∂u j ϖ j⎜ ⎝ ∂x j ∂xi

⎞ ~ ϖ ~ ⎟ = ekij ϖ j k; ⎟ ⎠

~ ~ ~ ⎛⎜ ∂ui − ∂uk ϖ k⎜ ⎝ ∂xk ∂xi

⎞ ~ ϖ ~ ~ ~ ⎟⎟ = e jik ϖ k j = − ekij ϖ j ϖ k . ⎠

(2.23)

Тогда уравнение (2.20) можно записать в виде: ~ ~ ~ ∂ϖ ∂ 2ϖ ~ ∂ϖ i = ϖ ~ ~ i +u i . j j sij + ν ∂t ∂x j ∂x j ∂x j

(2.24)

Рассмотрим эволюцию завихренности вихревых трубок масштаба l , соответствующего инерционному интервалу (т. е Rel >> 1 ). Изменение во времени завихренности может быть описано уравнением: dϖ i = ϖ j sij . dt

(2.25)

Пусть поле деформаций двумерно и предположим в целях упрощения, что s11 = − s22 = s 16, где s - постоянная, не зависящая от времени, а s12 = 0 . Тогда из уравнения (2.25) следует: ϖ1 = ϖ0 e st ,

ϖ 2 = ϖ0 e − st ,

ϖ12 + ϖ 22 = 2ϖ02 ch( 2 st ).

(2.26)

Таким образом, суммарная завихренность увеличивается при всех положительных значениях st. Эти простые расчеты показывают, что вихревые трубки растягиваются (с уменьшением 15 16

Аналогично (2.21) “немой” индекс j может быть заменен на k. След тензора sij равен нулю в силу уравнения неразрывности.

11

Рис. 4. Растяжение вихревых трубок в двумерном поле скоростей деформаций: 1 - растяжение, 2 - сжатие.

Рис. 5. Увеличение скорости деформации ∂u2 ∂x3 при растяжении вихревых трубок вдоль оси x1 .

диаметра) очень быстро, тогда как увеличение размеров вихрей характеризуется существенно меньшей скоростью. Следовательно, процесс эволюции двух взаимно перпендикулярных вихревых трубок, находящихся в поле постоянного сдвига скорости, происходит таким образом, что в среднем вихревые трубки растягиваются, что, очевидно, приводит к уменьшению первоначального масштаба (см. рис.4). Кроме того, процесс растяжения сопровождается вторичными эффектами, которые противодействуют медленному нарастанию ϖ 2 , как описывается ниже. По-прежнему пренебрегая вязкостью, из закона сохранения момента количества движения можно получить, что произведение завихренности на квадрат радиуса должно оставаться постоянным. Другими словами, в отсутствие сил вязкости, в процессе растяжения циркуляция скорости вокруг вихревых элементов должна оставаться постоянной. Таким образом, кинетическая энергия вращательного движения увеличивается за счет кинетической энергии движения со скоростью u1 , вызывающего растяжение вихря. При этом масштаб движения в плоскости ( x 2 , x3 ) уменьшается. Следовательно, растяжение в одном направлении приводит к уменьшению размеров и увеличению составляющих скорости в двух других направлениях, вследствие чего растяжению подвергаются вихревые трубки, имеющие составляющие завихренности вдоль этих направлений (см. рис.5). На рис. 5 показано, как при растяжении двух параллельных вихревых трубок вдоль оси x1 возрастает величина составляющей скорости u2 (которая имеет положительный знак в верхней полуплоскости ( x 2 , x3 ) и отрицательный - в нижней). При этом увеличивается скорость деформаций, которые воздействуют на вихрь ϖ 2 , заставляя его растягиваться. Растяжение вихря ϖ 2 порождает новое поле деформаций, которые вызывают растяжение других вихрей и т.д. Этот процесс продолжается, и масштаб длины в таком течении уменьшается на каждой очередной его стадии, до тех пор, пока эффекты вязкости пренебрежимо малы. Брэдшоу предложил графическую схему (рис. 6), которая показывает, как растяжение вдоль оси x1 приводит к интенсификации движения вдоль осей x 2 и x3 , вызывающей растяжение меньших масштабах вдоль осей x 2 и x3 и интенсификацию движения вдоль осей x1 , x 2 и x3 соответственно. Таким образом, исходное растяжение в одном направлении приводит к прогрессивно нарастающему растяжению во всех трех направлениях. Поэтому влияние направленности средней скорости деформации ослабляется при каждом новом растяжении и, как следствие, мелкомасштабные вихри в турбулентном течении должны иметь универсальную структуру, которая является однородной и изотропной. Ранее указывалось, что энергией могут обмениваться только вихри сравнимых размеров. Разъясним это утверждение. Рассмотрим энергетический спектр и вихрь на его фоне в виде энергетического возмущения, локализованного как в пространстве волновых чисел, так и в физическом пространстве. Будем представлять вихрь в энергетическом спектре в виде 12

x1 x2

x3

x1 x3

x2

x1

x3 x1

x2

x2 x3

x2

x1

x3

x1

x2

x3

1 0 2

0 1 1

0 1 1

2 6

3 5

3 5

10

11

11

22

21

21

x1 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x2 Рис. 6. Графическая схема Брэдшоу, иллюстрирующая, как при растяжении вихревых трубок происходит дробление масштабов и уменьшается эффект анизотропии.

вейвлета, т.е. отдельный вихрь размера l 1 с характерным волновым числом k1 = 2π / l 1 проявляется как энергетическое возмущение в интервале волновых чисел [k1 − k1 / 2 , k1 + k1 / 2] (см. рис. 7). Энергия, соответствующая этому вихрю, составляет ~ k1 E( k1 ) и, следовательно, характерная скорость этого вихря ~ [k1 E( k1 )]1 / 2 . Тогда характерная ско-

рость деформации вихря: s( k1 ) ~

[k1 E( k1 )]1 / 2 l

~

[

]

1/ 2 1 3 k1 E ( k1 ) . 2π

Для вихрей инерционного интервала энергетический спектр подчиняется закону Колмогорова: E( k ) ~ k −5 / 3 , поэтому скорость деформации оценивается как: s( k1 ) ~ k12 / 3 . Скорость деформации, создаваемая вихрями с волновым числом k 2 = k1 / 3 (значение величины k 2 вычисляется из условия сопряжения двух вейвлетов: k 2 + k 2 / 2 = k1 − k1 / 2 ) будет ~ k12 / 3 ( 1 / 3 )2 / 3 , а отношение: s( k 2 ) / s( k1 ) ~ 0.5 . Скорость деформации, создаваемая вихрями второго по порядку более крупного размера k 3 = k 2 / 3 = k1 / 9 дает: s( k 3 ) / s( k1 ) ~ 0.25 . Таким образом, в суммарную скорость деформаций, воздействующую на вихри размера l = 2π / k1 , вклад 50% дают ближайшие по порядку более крупные вихри, 25% - следующие более крупные вихри и т.д. Отсюда следует, что энергией обмениваются в основном соседние по размерам вихри. В заключение данной главы, заметим, что рассмотренные выше оценки, конечно, не могут претендовать на математическую строгость и являются качественными. Однако они дают представление о механизме развития и структуре турбулентности, достаточное для изучения методов моделирования турбулентных течений, процессов турбулентного переноса импульса, тепла и вещества.

E(k)

-5/3

~k

k3 k2 k1 k k1 k3 k2 Рис. 7. Представление отдельных вихрей в виде вейвлетов. 13