Общая электротехника: Учебное пособие

Г.С. Курахтина

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА 

Петропавловск-Камчатский 2007

1

Камчатский государственный технический университет Кафедра радиооборудования судов

Г.С. Курахтина

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей вузов региона

Петропавловск-Камчатский 2007 2

УДК 621.3(075.8) ББК 31.2я72 К93

Рецензенты: В.В. Потапов, доктор технических наук, профессор кафедры естественнонаучных и технических дисциплин филиала Дальневосточного государственного технического университета (ДВПИ им. В.В. Куйбышева) в г. Петропавловске-Камчатском И.Г. Проценко, доктор технических наук, заместитель директора ФГУП «Камчатский центр связи и мониторинга»

Курахтина Г.С. К93

Общая электротехника: Учебное пособие. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2007. – 144 с. ISBN 978–5–328–00157–1 Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания дисциплины «Общая электротехника», входящей в основную образовательную программу подготовки специалистов по техническим специальностям государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Пособие содержит необходимую информацию для изучения студентами и курсантами теоретических и практических вопросов по общей электротехнике.

УДК 621.3(075.8) ББК 31.2я72

ISBN 978–5–328–00157–1

© КамчатГТУ, 2007 © Курахтина Г.С., 2007 3

Оглавление Введение ................................................................................................................................. 6 Глава 1. Электростатика и постоянный ток ........................................................................ 8 1.1. Общие понятия ........................................................................................................ 8 1.1.1. Электромагнитное поле ....................................................................................... 8 1.1.2. Электрическое поле ............................................................................................. 9 1.1.3. Магнитное поле .................................................................................................... 10 1.2. Электростатика........................................................................................................ 10 1.2.1. Электрическое поле ............................................................................................. 10 1.2.2. Электронная теория строения вещества ............................................................ 10 1.2.3. Закон Кулона ........................................................................................................ 11 1.2.4.Характерные свойства электростатического поля............................................. 12 1.2.5. Напряженность электрического поля ................................................................ 12 1.2.6. Линии электрического поля ................................................................................ 13 1.2.7. Потенциал точки поля ......................................................................................... 14 1.2.8. Напряжение между двумя точками поля. .......................................................... 14 1.2.9. Связь между напряжением и напряженностью электрического поля. ........... 15 1.2.10. Проводник в электрическом поле .................................................................... 16 1.2.11. Диэлектрик в электрическом поле ................................................................... 17 1.2.12. Токи смещения и проводимости ...................................................................... 19 1.2.13. Электрическая емкость ...................................................................................... 19 1.2.14. Параллельное соединение конденсаторов ....................................................... 20 1.2.15. Последовательное соединение конденсаторов ............................................... 21 1.2.16. Расчет батарей при смешанном соединении конденсаторов ......................... 23 1.2.17. Энергия поля конденсатора .............................................................................. 25 1.2.18. Электрический ток (ток проводимости) .......................................................... 25 1.2.19. Постоянный ток.................................................................................................. 26 1.2.20. Электрическая цепь ........................................................................................... 26 1.2.21. Источник электромагнитного поля .................................................................. 27 1.2.22. Электродвижущая сила источника. Напряжение источника ......................... 28 1.2.23. Проводимость проводника. Сопротивление проводника. ............................ 29 1.2.24. Закон Ома............................................................................................................ 30 1.2.25. Работа и мощность электромагнитного поля .................................................. 31 1.2.26. Зависимость напряжения источника от тока нагрузки .................................. 32 1.2.27. Режимы работы источника................................................................................ 32 1.2.28. Максимальная мощность источника ................................................................ 33 1.2.29. Последовательное соединение в электрической цепи ................................... 34 1.2.30. Первый закон Кирхгофа .................................................................................... 34 1.2.31. Параллельное соединение в электрической цепи ........................................... 35 1.2.32. Еще раз о напряжении ....................................................................................... 36 1.2.33. Смешанное соединение в электрической цепи ............................................... 39 1.2.34. Второй тип задачи .............................................................................................. 42 1.2.35. Анализ электрической схемы ........................................................................... 43 1.2.36. Второй закон Кирхгофа ..................................................................................... 44 Практические задания .................................................................................................. 46 Глава 2. Однофазный и трехфазный токи ........................................................................... 54 2.1. Переменный ток ...................................................................................................... 54 2.1.1. Общие понятия и определения ........................................................................... 54 2.1.2. Векторное изображение синусоидальных величин .......................................... 56 2.1.3. Электрическое сопротивление............................................................................ 57 2.1.4. Индуктивное сопротивление .............................................................................. 58 4

2.1.5. Емкостное сопротивление .................................................................................. 58 2.1.6. Цепь переменного тока только с активным сопротивлением ......................... 59 2.1.7. Цепь переменного тока только с индуктивностью .......................................... 59 2.1.8. Мгновенная мощность в цепи только с индуктивностью ............................... 61 2.1.9. Последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности ................................................................................. 59 2.1.10. Последовательное соединение нескольких разнородных сопротивлений. ...................................................................................... 60 2.1.11. Цепь переменного тока только с емкостью .................................................... 61 2.1.12. Последовательное соединение активного сопротивления и емкости .......... 63 2.1.13. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости ............................................................................................. 64 2.1.14. Физическая сущность явлений, возникающих при резонансе ...................... 66 2.1.15. Получение резонанса напряжений................................................................... 67 2.1.16. Треугольник токов............................................................................................. 68 2.1.17. Проводимости в цепях переменного тока ....................................................... 69 2.1.18. Резонанс токов ................................................................................................... 70 2.1.19. Резонанс токов в идеальном контуре .............................................................. 71 2.1.20. Резонанс токов в реальном контуре................................................................. 72 2.1.21. Резонансное сопротивление контура............................................................... 73 2.1.22. Влияние коэффициента мощности (cos φ) на использование мощности источника электрической энергии (генератора, трансформатора) ........ 74 2.2. Трехфазный ток ...................................................................................................... 76 2.2.1. Общие понятия .................................................................................................... 74 2.2.2. Трехфазный генератор. Трехфазная ЭДС ......................................................... 77 2.2.3. Несвязанная трехфазная система ....................................................................... 78 2.2.4. Четырехпроводная трехфазная система ............................................................ 78 2.2.5. Свойства четырехпроводной трехфазной системы («звезда – звезда» с нулевым проводом) ................................................................................................... 79 2.2.6. Соединение потребителей треугольником ....................................................... 81 2.2.7. Ненормальные режимы работы системы при соединении потребителей треугольником ....................................................................................... 82 2.2.8. Соединение источников энергии звездой и треугольником ........................... 82 2.2.9. Вращающееся магнитное поле трехфазного тока ............................................ 82 Практические задания ................................................................................................... 83 Глава 3. Электромагнетизм и магнитная индукция ........................................................... 95 3.1. Электромагнетизм .................................................................................................. 95 3.1.1. Магнитное поле. Магнитная индукция ............................................................. 95 3.1.2. Магнитные линии. Магнитный поток ............................................................... 95 3.1.3. Магнитное поле проводника с током. Взаимодействие проводников с током. Действие магнитного поля на проводник с током ...................................... 96 3.1.4. Магнитная проницаемость ................................................................................. 98 3.1.5. Напряженность магнитного поля....................................................................... 100 3.1.6. Закон полного тока .............................................................................................. 100 3.1.7. Магнитное поле тороида (кольцевой катушки) ............................................... 101 3.1.8. Кривые намагничивания железа ........................................................................ 102 3.1.9. Гистерезис. Петля гистерезиса ........................................................................... 103 3.1.10. Магнитная цепь. Расчет магнитной цепи ........................................................ 104 3.1.11. Электромагниты ................................................................................................ 106 3.2. Электромагнитная индукция ................................................................................. 107 3.2.1. Общий закон электромагнитной индукции ...................................................... 107 3.2.2. Явление самоиндукции. Индуктивность цепи ................................................. 109 5

3.2.3. Индуктивность катушки с железным сердечником.......................................... 110 3.2.4. Энергия магнитного поля .................................................................................... 111 3.2.5. Явление взаимоиндукции.................................................................................... 111 3.2.6. Индукционные вихревые токи............................................................................ 113 Практические задания ................................................................................................... 114 Глава 4. Электрические измерения ...................................................................................... 120 4.1. Общие сведения ...................................................................................................... 120 4.2. Системы электроизмерительных приборов.......................................................... 122 4.3. Маркировка электроизмерительных приборов .................................................... 122 4.4. Требования, предъявляемые к измерительному прибору ................................... 123 4.5. Общее устройство, детали и узлы электроизмерительных приборов ............... 123 4.6. Приборы магнитоэлектрической системы ........................................................... 125 4.7. Приборы электромагнитной системы ................................................................... 126 4.8. Приборы электродинамической системы ............................................................. 127 4.9. Ферродинамические приборы ............................................................................... 128 4.10. Приборы индукционной системы ....................................................................... 129 4.11. Термоэлектрические приборы ............................................................................. 130 4.12. Выпрямительные приборы ................................................................................... 130 4.13. Приборы электростатической системы .............................................................. 131 4.14. Вибрационные приборы ....................................................................................... 131 4.15. Логометры.............................................................................................................. 132 4.16. Измерение токов и напряжений .......................................................................... 133 4.17. Измерение мощности в цепях постоянного и однофазного переменного токов ............................................................................... 134 4.18. Измерение мощности в цепях трехфазного тока ............................................... 136 4.19. Измерение энергии в цепях переменного тока .................................................. 136 4.20. Измерение сопротивлений ................................................................................... 137 4.21. Измерение сопротивлений методом амперметра и вольтметра ....................... 138 4.22. Измерение сопротивлений омметром ................................................................. 138 4.23. Мегомметры .......................................................................................................... 139 4.24. Измерение сопротивлений, емкостей и индуктивностей методом Уитстона. ......................................................................... 140 4.25. Цифровые измерительные приборы ................................................................... 140 Практические задания ................................................................................................... 143 Литература ...................................................................................................................... 144

6

Введение В связи с развитием науки и техники возрос объем необходимых знаний, который за время пребывания в вузе должны получить, проработать и закрепить в памяти будущие специалисты. Это входит в противоречие с ограниченностью времени обучения, которое, естественно, нельзя увеличивать. Устранить указанное противоречие можно путем совершенствования учебного процесса. При этом надо разрабатывать и применять более совершенные формы и методы обучения в течение всего учебного года, постулируя по принципу: «Мы изучаем, чтобы знать. Чтобы знать, надо помнить. Чтобы помнить, надо запомнить». Как лучше всего это сделать? Психологи утверждают, что в запоминании огромное значение имеют два фактора. Первый сводится к следующему: все, что мы изучаем с интересом, оставляет наиболее прочный след в памяти. Второй фактор заключается в осознании важности и необходимости запоминания. У каждого приступающего к изучению в той или иной мере проявляется, конечно, действие второго фактора. А вот первый фактор – интерес к запоминанию – не всегда себя проявляет. Часто, читая учебник или слушая лекцию, приходится напрягать волю, чтобы понять автора учебника или преподавателя. Большой интерес к обучению создают обучающие и контролирующие программы компьютера, но они не отвечают полностью таким требованиям педагогики, как простота и доступность, необходимая обучающимся в любое удобное для них время. Кроме того, программы не могут проследить правильность рассуждений обучающихся на вопрос «Почему?», в результате чего при неверных рассуждениях можно нажать клавишу, соответствующую правильному ответу. Данное пособие частично устраняет эти недостатки. Его можно использовать для закрепления теоретических знаний и проверки степени усвоения материала. При общей хорошей подготовке это пособие можно использовать и для изучения теории дисциплины. Пособие доступно каждому – им можно пользоваться в любое время и в любом месте, особенно если сделать его в виде карманного блокнота и иметь при себе. Существенно то, что из относительно небольшого времени, необходимого для решения задач, бóльшая часть затрачивается на электротехническую сторону решения. Математические операции, не представляющие интереса с точки зрения электротехники, сведены к минимуму. Естественно, сокращение математической части решения дает возможность проработать большее количество задач и рассмотреть большее количество различных электротехнических вопросов. Решение большинства качественных задач без цифрового расчета заставляет понимать функциональную зависимость между различными физическими величинами и явлениями, приучает к логическому мышлению, благодаря чему лучше усваивается целый ряд абстрактных понятий. Самостоятельная проработка дисциплины с использованием данного пособия должна строиться, на наш взгляд, следующим образом. Прежде чем отвечать на вопросы и решать задачи, необходимо изучить и проработать материал каждой темы и раздела по учебнику, конспекту лекций или данному пособию. В процессе работы над материалом надо давать ответы на каждую задачу, относящуюся к данной теме, разделу с обязательным объяснением, почему дан именно этот, а не иной ответ. Если при этом встречаются затруднения, то следует еще раз по учебнику или данному пособию повторить соответствующий параграф или главу. Очень полезно обсудить каждую задачу в группе, а при необходимости следует обратиться за консультацией к специалисту. Задачи пособия могут быть использованы для проверки знаний перед лабораторными и практическими работами, проведения зачета, контрольных работ и зачета по дисциплине. При заочной и дистанционной системах обучения данное пособие можно использовать для контроля своих знаний. 7

Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК 1.1. Общие понятия 1.1.1. Электромагнитное поле Все наблюдаемые или изучаемые электротехнические процессы являются тем или иным проявлением действия электромагнитного поля, которое, в свою очередь, является определенным видом материи. Электротехника как наука занимается изучением электромагнитного поля, способов получения и преобразования электрической энергии, т. е. изучением практического применения электромагнитных явлений. Электромагнитное поле как вид материи характеризуется непрерывным распределением в пространстве, обладает энергией и массой, следовательно, и инерцией. Электромагнитное поле может быть получено за счет других видов материи и само может быть преобразовано в другие виды материи. Электромагнитное поле имеет кажущуюся противоречивость проявления – в виде непрерывного, сплошного и в виде отдельных частиц – корпускул. Электромагнитное поле действует с определенной механической силой на неподвижные и движущиеся электрические заряды, а в пространстве распространяется со скоростью света. У человека нет такого органа, который мог бы воспринимать (осязать) электромагнитное поле, за исключением таких его форм, как свет и тепло. В результате этого электромагнитное поле воспринимается как нечто абстрактное, воображаемое людьми, что создает определенную трудность при изучении электромагнитного поля. Материя имеет две формы существования: в виде вещества и в виде поля (электромагнитного, гравитационного, ядерного). Элементарной частицей многих веществ, имеющей все признаки данного вещества, является молекула. У целого ряда веществ такой частицей является атом. Различных веществ и молекул очень много. Различных элементов, а следовательно, атомов на сегодняшний день больше ста. Элементарной частицей электромагнитного поля является фотон, который имеет все признаки данного электромагнитного поля. Атомы различных элементов имеют различные признаки и свойства. Аналогично этому фотоны различных электромагнитных полей отличаются друг от друга. Электромагнитное поле проявляет себя с двух сторон: с одной стороны, в виде электрического поля, с другой – в виде магнитного поля. Электромагнитное поле нельзя рассматривать как смесь или соединение электрического и магнитного полей. Электрическое и магнитное поля являются как бы сторонами одной и той же медали – электромагнитного поля. Всякая материя (или ее частица) обладает массой и энергией. Масса любого тела не является величиной неизменной, так как она зависит от скорости движения тела – материи. При относительно малых скоростях движения масса движущегося тела и масса тела, находящегося в покое, не отличаются друг от друга. При скоростях, близких к скорости света, масса движения имеет такой же порядок, как и масса покоя. Есть и такие формы материи, у которых отсутствует масса покоя. Так, фотон не обладает массой покоя, а имеет только массу движения. Известно, что материя не исчезает, а переходит из одной формы существования в другую. Примером преобразования одного вещества в другое является любая химическая реакция. Электромагнитное поле как вид материи качественно отличается от вещества, но оно может быть преобразовано в вещество и возникнуть за счет вещества. Так, фотон гамма-лучей, приблизившись к ядру атома вещества, под действием ядерных сил пере8

ходит в вещественные частицы – электрон и позитрон. Позитрон, соединяясь с ближайшим электроном, образует два фотона электромагнитного поля – свет. Электромагнитное поле проницаемо, т. е. в одном и том же объеме может быть несколько электромагнитных полей. Электромагнитное поле обладает свойством прерывности и непрерывности. На первый взгляд кажется, что эти свойства исключают одно другое, но это не так. Некоторые вещества также обладают этими, как будто противоположными, свойствами. Свойство прерывности (корпускулярности) электромагнитного поля состоит в том, что оно проявляет себя как совокупность элементарных частиц – фотонов. Но ведь и каждый газ проявляет себя как совокупность элементарных частиц – молекул. Непрерывность электромагнитного поля обусловлена следующим. К примеру, точечный источник (излучатель) электромагнитного поля мощностью в 100 Вт, работающий при частоте в 1 МГц, за 1 с излучает 4,8 · 1016 фотонов через 1 см2 шаровой поверхности радиусом в 5 км. Естественно, что при таких условиях весьма трудно заметить корпускулярность электромагнитного поля, поэтому оно воспринимается как нечто непрерывное, сплошное. Но подобным же свойством обладают некоторые вещества, например газы. В 1 см3 при атмосферном давлении содержится примерно столько же молекул, сколько проходит фотонов через 1 см2 поверхности в вышеприведенном примере. Газ тоже проявляет себя в виде сплошного, непрерывного – каждую его молекулу трудно заметить. Электромагнитное поле является определенным видом материи и обладает массой и энергией. Согласно известному закону, между массой и энергией любого материального тела существует зависимость, выражаемая формулой A = mc 2 ,

где А – энергия материального тела; m – масса материального тела; c = 3⋅108 – скорость света. Так, генератор Братской электростанции, имеющий мощность 225 тыс. кВт, выделяет за 1 с A = 225⋅106 Дж энергии, а за год Aг = 225 ⋅106 ⋅ 3 600 ⋅ 24 ⋅ 365 = 71⋅1014 Дж. Масса электромагнитного поля, обладающего этой энергией, составит: Aг ⋅10 3 71 ⋅1014 ⋅10 3 71 ⋅1017 m= = = = 78 г. С2 (3 ⋅108 ) 2 9 ⋅1016

1.1.2. Электрическое поле Как указывалось выше, электрическое поле является одной из сторон электромагнитного поля. В ряде случаев проявляется только одна из сторон электромагнитного поля – электрическое поле. В таком случае говорят, что здесь есть электрическое поле. В разделе электростатики изучают электростатическое поле, т. е. поле, неподвижное для наблюдателя. Характерной особенностью электростатического поля является то, что оно действует с определенной механической силой как на движущиеся, так и на неподвижные электрические заряды. Только электрическое поле может заставить двигаться электрические заряды, находящиеся внутри твердого проводника. Из курса физики известны различные способы электризации физических тел, т. е. способы, с помощью которых физическое тело приобретает избыток или недостаток числа электронов по сравнению с их числом в электрически нейтральных телах (трение одного тела о другое, помещение проводника в электролит, тепловое или световое воз9

действие, давление и пр.). Известно, что если есть электрический заряд, то в пространстве, окружающем этот заряд, имеется электрическое поле. Это надо понимать так. В процессе электризации того или иного тела создается электрическое поле, связанное с этим телом. Центром поля является данное физическое тело (электрический заряд), а само поле занимает определенный объем около этого тела (заряда). Теоретически поле распространяется до бесконечности. Электрическое поле в каждой точке характеризуется напряженностью E и потенциалом φ. Напряженность электрического поля – это силовая характеристика данной точки поля, а потенциал – ее энергетическая характеристика. Энергия электрического поля распределяется в пространстве, занимаемом электрическим полем. Для отображения формы и других особенностей электрического поля введены электрические силовые линии. Это позволяет привлечь такое могучее оружие человека, как зрение, для понимания сложных абстрактных понятий об электрическом поле. В природе электрических силовых линий нет. 1.1.3. Магнитное поле Магнитное поле является одной из сторон электромагнитного поля. Характерным признаком магнитного поля является то, что оно действует с определенной механической силой на движущиеся электрические заряды (на электрический ток). Направление силы действия магнитного поля на ток определяется правилом левой руки. Магнитное поле в каждой точке характеризуется магнитной индукцией, которая является силовой характеристикой точки магнитного поля. Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл) и численно равна механической силе, действующей на каждый метр прямолинейного проводника с силой тока 1 А, расположенного так, что эта сила максимальна. Магнитное поле обладает энергией, распределенной в пространстве, занимаемом магнитным полем. Картину магнитного поля изображают при помощи магнитных силовых линий. 1.2. Электростатика

1.2.1. Электрическое поле Данная тема изучает электростатическое поле, которое возникает при электризации тел. Сущность электризации состоит в том, что в теле создается тем или иным способом избыток или недостаток электронов относительно количества положительных зарядов этого тела. В электрически нейтральном теле число положительных зарядов в точности равно числу отрицательных зарядов. Возникшее при электризации электрическое поле называется электростатическим, так как это поле связано с наэлектризованными неподвижными телами, т. е. оно не изменяется относительно наблюдателя с течением времени. 1.2.2. Электронная теория строения вещества Как известно, атом любого элемента состоит из ядра и электронной оболочки, окружающей ядро. Ядро имеет положительный заряд, а электронная оболочка – отрицательный заряд, равный заряду ядра атома. Ядро атома состоит из протонов и нейтронов. Электрическая оболочка состоит из электронов, движущихся по определенным орбитам 10

с громадной скоростью ( 6 ⋅1015 об/с). Число электронов в нейтральном атоме в точности равно числу протонов ядра атома. Схемы строения трех атомов приведены на рис. 1. (Поскольку речь идет только о строении атомов и не рассматривается вопрос о ядерных превращениях, поэтому не приводятся другие элементарные частицы вещества.)

а б в Рис. 1.1. Модели атомов водорода (а), гелия (б), лития (в)

Электроны, образующие электронную оболочку ядра атома, вращаются вокруг ядра на различных уровнях. Самый устойчивым уровнем является тот, в котором всегда находятся восемь электронов. Элемент, у которого в наружном слое-уровне находятся восемь электронов, является химически нейтральным, т. е. он не вступает ни в какие химические соединения с другими элементами. Элементы, у атомов которых на наружном уровне (наружной орбите) меньше четырех электронов, сравнительно легко отдают эти электроны атомам других элементов. Элементы, у атомов которых на наружной орбите больше четырех электронов, стремятся дополнить этот наружный слой до восьми за счет атомов других элементов. Атомы с избытком или недостатком электронов относительно числа положительных зарядов (протонов) обладают уже иными свойствами и называются ионами. Процесс электризации физических тел сводится к тому, что тем или иным способом создается избыток или недостаток электронов за счет изменения количества электронов наружного электронного слоя. Но в процессе этой электризации обязательно происходит преобразование определенного вида материи и расходуется связанная с ней энергия. 1.2.3. Закон Кулона Известно, что наэлектризованные тела взаимодействуют друг с другом с определенной силой, не приходя в непосредственное соприкосновение. Заряженные тела взаимодействуют друг с другом через электрические поля, которые входят в непосредственное соприкосновение друг с другом. Ранее отмечалось, что при электризации тела и создании электрического заряда возникает электрическое поле, связанное с этим телом и этим зарядом. Величина электрического заряда тела может характеризовать электрическое поле, связанное с этим зарядом. В дальнейшем мы будем говорить о силе взаимодействия зарядов, что следует понимать как силу взаимодействия электрических полей заряженных тел. Закон Кулона математически выражается формулой F=

Q1 Q2 4πεα R 2

где F – сила взаимодействия Н; Q1 , Q2 – величины зарядов, К; R – расстояние между зарядами, м; 11

,

ε a – величина, называемая абсолютной диэлектрической проницаемостью, которая, в свою очередь, является произведением двух коэффициентов: εа = ε0ε, где ε0 – электрическая постоянная, имеющая размерность Ф/м, и определенной численной величины, 1 . Величина ε а физического смысла не имеет, но введение ее и магнитравной 4π9 ⋅109 ной постоянной μ (речь о ней пойдет позже) позволило создать единую международную систему единиц СИ вместо одновременно применявшихся трех систем единиц, что позволило упростить и упорядочить множество технических расчетов. Величина ε – диэлектрическая проницаемость. Данная величина, имея вполне определенный физический смысл, и определяет физический смысл ε 0 . С одной стороны, ε определяется как величина, показывающая, во сколько раз уменьшится сила взаимодействия электрических зарядов в данной среде по сравнению со взаимодействием в вакууме (это определение вытекает из формулы закона Кулона). С другой стороны, ε – величина, характеризующая степень поляризации диэлектрика под действием электрического поля (об этом речь пойдет позже). Оба эти определения верны и отражают одну и ту же сущность явления. Предпочтительнее пользоваться вторым определением, так как на практике с этим приходится встречаться чаще всего.

1.2.4. Характерные свойства электростатического поля Электростатическое поле создается при электризации физических тел. Оно всегда связано с наэлектризованными телами, электрическими зарядами. Центром электростатического поля является наэлектризованное тело, т. е. электрический заряд. Электростатическое поле распределено в пространстве, окружающем электрический заряд, и теоретически распространяется до бесконечности. Характерным признаком электростатического поля является его действие с определенной механической силой как на неподвижные, так и на движущиеся в этом поле электрические заряды. Только электрическое поле может действовать с определенной механической силой на неподвижные заряды. Только электрическое поле может привести в движение до этого неподвижные электрические заряды, находящиеся в проводнике. Электрическое поле, как и всякая материя, обладает массой и энергией. Энергия электрического поля распределена во всем пространстве, занимаемом полем. Электрическое поле в каждой точке характеризуется напряженностью и потенциалом. 1.2.5. Напряженность электрического поля Напряженность электрического поля – это силовая характеристика точки поля. Напряженность поля характеризуется силой, с которой поле действует на электрический заряд, внесенный в данную точку поля. Напряженность электрического поля – векторная величина. За направление вектора напряженности электрического поля принимают направление силы, с которой поле действует на положительный заряд. Напряженность электрического поля обозначается буквой E. Если нас интересует электрическое поле, связанное с зарядом Q1 , то для определения напряженности этого поля внесем в него другой заряд – Q2 . Сила их взаимодействия будет определена по QQ формуле F = 1 2 2 . Как видно, сила, с которой поле заряда Q1 действует на заряд Q2 , 4πε a R зависит от величины вносимого заряда. Для того чтобы можно было сравнивать напряженности различных точек исследуемого поля, принято заряд Q2 брать равным единице. В этом случае сила F будет за12

Q1 ) . Тем самым сила будет характеризовать точку 4πε a R 2 исследуемого поля. Последнее выражение равно напряженности электрического поля, Q1 т. е. E = . В том случае, когда заряд Q2 не равен единице, а равен Q2 единиц, то 4πε a R 2 силу, действующую на единицу заряда (на единичный заряд, равный одному кулону), найдем из соотношения висеть только от заряда Q1 ( F =

Q1 Q2 F Q1 = = . 2 Q2 4 πε α R Q2 4 π a R 2 Данная величина является напряженностью электрического поля в данной точке и измеряется в В/м. 1.2.6. Линии электрического поля Электрическое поле не действует ни на один из органов чувств, которые имеются у человека. Следовательно, человек не может непосредственно воспринимать электрическое поле. Это создает большие трудности при его изучении, так как все сказанное о форме и других особенностях поля можно только воображать, но нельзя видеть или ощущать его непосредственно. Чтобы как-то использовать для изучения электрического поля могучее оружие человека – зрение – введены линии электрического поля, которые позволяют изобразить картину электрического поля (рис. 2).

Рис. 1.2. Примеры изображения электрического поля при помощи силовых линий: а – электрическое поле одиночного положительного заряда; б – электрическое поле одиночного отрицательного заряда; в – электрическое поле двух разноименных зарядов; г – электрическое поле двух одноименных зарядов

Чтобы электрические силовые линии отображали картину электрического поля, их надо проводить по определенному закону. Этот закон заложен в самом определении силовых линий. Линии электрического поля – это линии, касательная к каждой точке которых совпадает с вектором напряженности электрического поля. На рис. 2, а–г представлены картины электрических полей уединенных зарядов, а также двух разноименных и одноименных зарядов. Изображение картины поля для двух или нескольких зарядов производится на основании параллелограмма и многоугольника сил. 13

1.2.7. Потенциал точки поля Потенциал точки поля является энергетической характеристикой точки поля. Потенциал характеризует потенциальную энергию точки поля. Как известно, мерой энергии, в том числе и потенциальной, является работа. Таким образом, по величине работы, совершаемой полем, мы можем судить об энергии поля. Работа поля сводится к перемещению электрического заряда силами поля и равняется произведению силы на путь. Но сила зависит и от величины перемещаемого заряда. Значит, чтобы охарактеризовать электрические свойства в данной точке, необходимо всегда знать работу, совершаемую полем при перемещении единичного заряда, т. е. заряда, равного 1 К. Кроме того, вносимое заряженное тело должно быть достаточно малых размеров, чтобы не исказить картину рассматриваемого поля. Найдем, чему же равен путь, по которому должен перемещаться заряд из рассматриваемой точки поля, с тем чтобы определить всю потенциальную энергию данной точки. Путь этот должен заканчиваться там, где кончается действие рассматриваемого поля, т. е. в бесконечности. Таким образом, мы пришли к определению потенциала. Потенциал точки поля численно равен работе, затрачиваемой полем на перемещение единичного заряда из данной точки в бесконечность или, наоборот, из бесконечности в данную точку поля. Все зависит от знака поля и знака перемещаемого заряда. Будем считать (так принято) поле положительным, если оно связано с положительным зарядом. Потенциалы всех точек этого поля положительны. Поле, связанное с отрицательным зарядом, отрицательно. Потенциалы всех точек отрицательного поля отрицательны. Положительные и отрицательные поля имеют такой же смысл, как положительные и отрицательные числа в теории чисел. Нулевым потенциалом обладает точка, где нет энергии, т. е. где нет поля. А эта точка находится в бесконечности. Если обозначить через Aα∞ работу на перемещение заряда Q2 из точки а до бесконечности, Α Дж; = В) , т. е. потенциал точки а математически можно выразить слето ϕα = α∞ ( Q2 К дующим образом. Потенциал измеряется в вольтах. Указанная формула является символической, ибо пользоваться ею трудно. Потенциал любой точки электрического поля заряда Q1 , находящейся от центра заряда на расстоянии R, определяется по формуле

ϕ=

Q1 . 4πε α R

1.2.8. Напряжение между двумя точками поля б а В электрическом поле, связанном с зарядом Q, рассмотрим две точки: а и б (рис. 1.3). Обозначим потенциалы этих точек соответственно через ϕ a и ϕб . Величины потенциалов этих Рис. 1.3. точек можно выразить равенствами Α Α ϕα = α∞ и ϕб = б∞ , где величина Аα∞ обозначает работу, затраченную исследуемым Q2 Q2 Α полем на перемещение заряда Q2 из точки a до бесконечности. Отношение α∞ как раз Q2 и будет равно потенциалу точки a и работе по перемещению единичного заряда от точ-

14

Aб∞ . Точки a и б Q2 взяты так, что они лежат на одной силовой линии, и работу на перемещение заряда от точки a до бесконечности можно представить состоящей из двух слагаемых. Одно слагаемое – работа на участке между точками a и б , а второе – работа на перемещение заряда от точки б до бесконечности, т. е. Αа∞ = Αаб + Αб∞ . Следовательно, потенциал в точке a можно выразить так: ки до бесконечности. Таков же смысл величины Aб∞ и отношения

ϕa =

Aa∞ + Aб∞ Aa∞ = . Q2 Q2

Из чертежа (рис. 1.3) и формул потенциалов точек a и б видно, что потенциал точки a больше потенциала точки б . Найдем эту разность:

ϕ a − ϕб =

Aaб + Aб Aб∞ Aaб − = . Q2 Q2 Q2

Иначе говоря, разность потенциалов точек a и б равна отношению энергии, затраченной на перемещение заряда Q2 между этими точками, к величине заряда Q2 . Другими словами, разность потенциалов между точками a и б равна работе, затраченной на перемещение единичного заряда между точками, а это и есть напряжение между двумя точками:

U аб =

Ааб Дж = ϕ a − ϕб ( = В) . Q2 К

Напряжение между двумя точками характеризует работу (энергию), затрачиваемую на перемещение единичного заряда между этими точками. Напряжение измеряется в вольтах, работа – в джоулях. Один вольт – это такое напряжение между двумя точками, когда между ними перемещается заряд в один кулон и при этом совершается работа в один джоуль. 1.2.9. Связь между напряжением и напряженностью электрического поля Этот вопрос удобнее рассмотреть для равномерного электрического поля. Поле называется равномерным, если напряженности всех его точек имеют одно и то же значение, а силовые линии параллельны друг другу. Такое поле образуется между двумя большими плоскостями, заряженными разноименными зарядами (рис. 4). Работа на перемещение заряда Q2 между указанными плоскостями подсчитана так:

Ааб = Fl = EQ2l.

Рис. 1.4

С другой стороны, эту же работу можно выразить следующей формулой: Aаб = U аб Q2 ,

или

U абQ2 = EQ2l, откуда

E=

U аб В =( ), l М 15

т. е. напряженность электрического поля равна напряжению, приходящемуся на единицу длины. Теперь понятна и единица напряженности:

B Uaб =( ). l Μ 1.2.10. Проводник в электрическом поле E=

Проводниками называются тела, в которых имеются электрические заряды, способные перемещаться под действием электрического поля. В твердых проводниках такими зарядами являются свободные электроны (образующиеся за счет электронов наружных орбит атомов), которые слабо связаны с ядрами атомов и легко переходят от одного атома к другому. В жидкостях и газах перемещающимися зарядами являются ионы. Представим себе электрическое поле уединенного положительного заряда (рис. 1.5). Поместим в это поле проводник, поперечное сечение которого (на том же рис. 1.5) изображено в виде круга.

Рис. 1.5

Свободные электроны проводника под действием сил электрического поля будут перемещаться к левой стороне проводника (рис. 1.5), а в правой стороне их окажется недостаточно, вследствие чего положительные заряды там будут преобладать. Таким образом, под действием электрического поля в проводнике произойдет разделение разноименных зарядов. До каких пор будет продолжаться это разделение? Видимо, до тех пор, пока не перестанут действовать силы электрического поля на свободные электроны проводника. И этот момент обязательно настанет, так как внутри проводника возникает свое электрическое поле, направленное навстречу внешнему электрическому полю. Картину электрического поля, образовавшегося внутри проводника, легко изобразить, если провести силовые линии между разделившимися зарядами проводника (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Когда поле, созданное внутри проводника, будет равно внешнему полю, тогда и прекратится разделение разноименных зарядов. Результирующее же поле внутри проводника будет равно нулю. Таким образом, внутри проводника, находящегося в электрическом поле, электрическое поле равно нулю. Это явление используется для экрани16

рования деталей или устройств, которые надо защитить от воздействия внешних трических полей. В этом случае защищаемое устройство помещается внутри металлического полого цилиндра или металлической сетки. Электрическое поле под действием внесенного в него проводника изменит свою форму так, что силовые линии станут перпендикулярны поверхности проводника. В этом легко убедиться, если посмотреть на рис. 1.7, где взят один электрон, подошедший к левой поверхности и испытывающий действие силы F заряда Q. Разложим силу F на две силы: FN и Fτ. Составляющая сила FN стремится вырвать электрон с поверхности проводника. Под действием этой силы электрон двигаться не может. Составляющая сила Fτ перемещает электрон по поверхности проводника. Но по мере перемещения электрона по поверхности проводника сила Fτ будет уменьшаться, а сила FN – расти. Электрон только тогда сделается неподвижным, когда сила Fτ сделается равной нулю. FN

Рис. 1.7

Таким образом, если проводник находится в электрическом поле и в проводнике не происходит перемещения электрических зарядов, то силы электрического поля направлены перпендикулярно поверхности проводника, т. е. под действием проводника меняется картина электрического поля.

Рис. 1.8

В данном случае она будет иметь вид, изображенный на рис. 1.8, где проводник как бы разрывает электрические силовые линии внешнего электрического поля . 1.2.11. Диэлектрик в электрическом поле Диэлектриками, или изоляторами, называют такие вещества, где нет свободных электрических зарядов, которые могут, двигаясь с места на место, покидать пределы своего атома, своей молекулы. Практически в каждом диэлектрике есть свободные электроны или ионы, но количество их ничтожно мало по сравнению с проводником. В целом ряде случаев мы не будем учитывать наличие в диэлектрике свободных электрических зарядов. Наименьшей частицей вещества, имеющего все его признаки, является молекула. Молекулы диэлектриков делятся на две группы: неполярные и полярные. У неполярных 17

молекул центры положительного и отрицательного зарядов совпадают, и такая молекула является электрически нейтральной, с какой бы стороны к ней ни подходили. Примером такого строения является молекула водорода. У других веществ центры положительных и отрицательных зарядов молекулы не совпадают, и такие молекулы называются полярными. Примером полярной молекулы является молекула газа SO2 . Рассмотрим на примере атома водорода, как ведет себя диэлектрик с неполярными молекулами, если его поместить в электрическое поле. То, что произойдет с одним атомом, будет происходить и с другими. На рис. 1.9 схематически изображен атом водорода, не находящийся в электрическом поле. Благодаря громадной частоте вращения электрона вокруг ядра действие заряда электрона можно уподобить действию шара, диаметр которого равен диаметру орбиты электрона. Заряженный шар малого диаметра ведет себя так, как будто бы весь заряд сосредоточен в центре шара, – в данном случае там, где находится и положительный заряд ядра атома водорода. В результате во внешнем пространстве их поля (электрона и ядра атома) взаимно компенсируются. Но как только атом окажется во внешнем поле, ядро атома и электронная оболочка станут испытывать силы F1 и F2 , направленные в противоположные стороны. В результате действия этих сил орбита вращения электрона деформируется и несколько сместится относительно ядра атома (рис. 1.10). Центры положительного и отрицательного зарядов не будут совпадать, а атом будет восприниматься как диполь . Такое же произойдет с целой группой атомов (молекул) подобного диэлектрика (рис. 1.11). С левой стороны диэлектрика будет наблюдаться наличие отрицательного заряда, с правой стороны – положительного. Если в электрическое поле поместить диэлектрик, молекулы которого уже поляризованы (диполь) даже при отсутствии внешнего электрического поля (рис. 1.12), то на каждый диполь будет действовать пара сил ( F1 и F2 ) внешнего электрического поля.

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Диполи такого диэлектрика будут стремиться расположиться своими осями вдоль линий поля. Однако этому упорядочению расположения препятствует тепловое движение. В результате произойдет лишь некоторый поворот диполей в направлении поля. Диэлектрик окажется поляризованным и степень его поляризации пропорциональна напряженности поля. В заключение можно сформулировать следующие выводы: 1. Под действием электрического поля диэлектрик поляризуется, т. е. становится полярным. 2. Под действием внешнего электрического поля в диэлектрике создается свое собственное поле, направленное навстречу внешнему, но внутреннее поле диэлектрика все18

гда меньше внешнего. Результирующее поле в диэлектрике будет меньше внешнего поля в отличие от проводника, где внешнее поле полностью компенсируется внутренним полем и результирующее поле в проводнике равно нулю. 3. Степень поляризации диэлектрика характеризуется диэлектрической проницаемостью ε . Она показывает, во сколько раз ослабляется внешнее поле в диэлектрике под действием внутреннего поля. Теперь понятно, почему сила взаимодействия электрических зарядов в диэлектрике меньше, чем в вакууме. 1.2.12. Токи смещения и проводимости Если рассматривать конечный результат, то под действием электрического поля проводник и диэлектрик ведут себя как будто одинаково. Действительно, под действием внешнего поля и в проводнике, и в диэлектрике оказались с одной стороны положительные заряды, а с другой – отрицательные. Но механизм образования этих зарядов в проводнике и диэлектрике был совершенно различен. Действительно, в проводнике к одной его стороне подошли отрицательные заряды (электроны) из толщи самого проводника. При этом чем больше размер проводника, тем больше путь, пройденный электронами. Это было реальное направленное движение электрических зарядов, а такое движение и есть электрический ток. Таким образом, ток, возникающий в результате направленного движения электрических зарядов (электронов), называется током проводимости. В диэлектрике также происходило перемещение электрических зарядов, но это перемещение оставалось в пределах атома, молекулы. Заряд не покидал своего атома, свою молекулу. Происходило только некоторое смещение зарядов с прежнего их места при образовании диполя или перемещение зарядов при повороте диполя. Но это было направленное движение – это был электрический ток. Такой ток называется током смещения. Он возникает в диэлектрике только в момент изменения электрического поля. Если поле не изменяется, то ток смещения отсутствует. В свою очередь, ток проводимости может существовать как в момент изменения поля, так и в том случае, если поле не изменяется. Ток проводимости в диэлектрике при нормальных условиях мал, но он растет с ростом температуры диэлектрика, так как повышение температуры облегчает условия ионизации молекул. При большой напряженности электрического поля происходит расщепление молекулы диэлектрика на ионы, а это уже обеспечивает в диэлектрике ток проводимости такой величины, что диэлектрик становится проводником. Напряженность электрического поля, при которой начинается ионизация молекул диэлектрика, называется пробивной напряженностью (электрической прочностью) диэлектрика. 1.2.13. Электрическая емкость Под электроемкостью понимают способность тела сосредоточивать электрическое поле (электрические заряды). Если взять металлический уединенный шар радиусом R , имеющий электрический заряд Q , то между величиной заряда Q и потенциалом поверхности шара существует зависимость, выражаемая формулой

ϕ=

Q , 4πε a R

т. е. величина потенциала ϕ поверхности шара прямо пропорциональна величине за19

ряда Q, находящегося на поверхности шара. Q Отношение для данного шара есть величина постоянная. Она обозначается букϕ вой C и называется емкостью. Емкость шара C = 4πε0 R зависит только от геометрических размеров шара и диэлектрической проницаемости диэлектрика, окружавшего шар. Речь идет о емкости уединенного тела.

Рис. 1.13

Емкость шара C равна единице, если на нем находится заряд, равный единице, т. е. одному кулону. При этом потенциал поверхности шара равен одному вольту. ЕдиК ницей емкости является фарада ( Ф = ). Это очень большая единица. Нетрудно подсчиВ тать, что такой шар, как наша Земля, обладает емкостью меньше одной фарады. Дольными единицами емкости будет микрофарада (мкФ), равная 10−6 Ф, и пикофарада (пФ), равная 10 −12 Ф. На емкость проводника оказывает влияние соседство других проводников. Соседство других проводников увеличивает емкость данного проводника: чем ближе проводники расположены друг к другу, тем больше будет емкость. Речь идет о емкости между проводниками. В этом случае емкость будет равна отношению величины заряда, расположенного на одном проводнике, к напряжению между проводниками:

C=

Q К ( = Φ) . U В

Два провода, изолированные диэлектриком, называются конденсатором. Если проводники выполнены в виде плоских пластин, то такой конденсатор называется плоским. Емкость плоского конденсатора рассчитывается по формуле

С=

εаS , d

где S – площадь одной пластины, м2; d – расстояние между пластинами (толщина диэлектрика), м. На рис. 1.13 показаны различные виды конденсаторов. 1.2.14. Параллельное соединение конденсаторов Часто параметры одного конденсатора не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к нему в данной схеме (не подходит емкость или напряжение, на которое он рассчитан, или то и другое вместе). В этом случае приходится брать несколько конден20

саторов и соединять их так, чтобы группа этих конденсаторов (батарея) удовлетворяла требованиям, предъявленным к емкости в данной схеме. Конденсаторы соединяются между собой параллельно, последовательно или смешанно. Конденсаторы будут соединены параллельно в том случае, если их обкладки с одной стороны подсоединены к одной общей точке, а обкладки с другой стороны – к другой общей точке (рис. 1.14). Батарея с параллельно соединенными конденсаторами обладает следующими свойствами: 1. Заряд батареи равен сумме зарядов, накопленных всеми конденсаторами, т. е.

Рис. 1.14

Q = Q1 + Q2 + Q3 . Действительно, величина заряда каждого конденсатора равна количеству электричества, которое получил каждый конденсатор от источника. Заряд, израсходованный для этого источником, и будет зарядом батареи, равным количеству электричества, которое накоплено всеми конденсаторами. 2. Напряжения на параллельно соединенных конденсаторах равны между собой, так как эти напряжения равны разности потенциалов точек a и б :

U = U1 = U 2 = U 3 . 3. Заряды на параллельно соединенных конденсаторах пропорциональны их емкости, так как

U1 =

Q1 , C1

U2 =

Q2 , C2

или

Q1 Q2 = , C1 C2 откуда

Q1 C1 = . Q2 C2 4. Общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей всех конденсаторов. Поскольку

Q1 = C1U1 , Q2 = C2U 2 , Q3 = C3U 3 , Q = CU , Q = Q1 + Q2 + Q3 , то

CU = C1U1 + C2U 2 + C3U 3 . Так как все напряжения равны между собой, то будем иметь следующее соотношение:

C = C1 + C2 + C3 . 1.2.15. Последовательное соединение конденсаторов

21

Схема последовательного соединения конденсаторов представлена на рис. 1.15. Батарея с последовательно соединенными конденсаторами обладает следующими свойствами: б 1. На конденсаторах будут одинаковые по величине заряды, которые равны заряду всех батарей, поскольку от источника энергии заряды поступают только на внешние обкладки батареи, а на внутренних обкладках заряды возникают за счет разделения зарядов в соединительных проводах и обкладках конденсаторов, т. е. Рис. 1.15 Q = Q1 = Q2 = Q3 . 2. Общее напряжение батареи при последовательно соединенных конденсаторах равно сумме напряжений отдельных конденсаторов. Так как

U1 = ϕα − ϕв , U 2 = ϕв − ϕc , U 3 =ϕc −ϕ d , то

U1 + U 2 + U 3 = ϕα − ϕв + ϕв − ϕc + ϕc − ϕd = ϕa − ϕd . Разность жe потенциалов точек а и d равна общему напряжению, т. е.

U = U1 + U 2 + U 3 . 3. При последовательном соединении конденсаторов их напряжения обратно пропорциональны их емкостям. Поскольку

Q1 = Q2 и Q1 = C1U1 , Q2 = C2U 2 то

C1U1 = C2U 2 , откуда

U 2 C1 = . U1 C2 4. Общая емкость последовательно соединенных конденсаторов C1 , C2 , C3 подсчитывается по формуле

1 1 1 1 = + + . С С1 С2 С3 Это легко доказать. Для последовательно соединенных конденсаторов C1 , C2 , C3 имеем следующую формулу:

U = U1 + U 2 + U 3 , Q = Q1 = Q2 = Q3 . Так как

U=

Q Q Q Q , U1 = 1 , U 2 = 2 , U 3 = 3 , C1 C2 C3 C

то

Q Q1 Q2 Q3 = + + . C C1 C2 C3 Следовательно,

1 1 1 1 = + + . С С1 С2 С3 22

Для двух последовательно соединенных конденсаторов общую емкость целесообразно подсчитывать по формуле

C12 =

С1С2 . С1 + С2

Как правило, конденсаторы соединяются последовательно для уменьшения напряжения, приходящегося на каждый конденсатор. Если имеющиеся конденсаторы по емкости и напряжению не подходят для использования в той или иной схеме или устройстве, то их соединяют смешанно. Смешанное соединение конденсаторов есть сочетание последовательно и параллельно соединенных конденсаторов. 1.2.16. Расчет батарей при смешанном соединении конденсаторов Когда требуется рассчитать батарею из смешанно-соединенных конденсаторов, то первая трудность, с которой встречаются студенты (курсанты), состоит в том, что они неверно представляют себе, когда, при каких условиях конденсаторы соединены параллельно и при каких – последовательно. Конденсаторы соединены последовательно только в том случае, когда к точке соединения двух конденсаторов больше ничего не присоединено, т. е. эта точка не является точкой разветвления. Конденсаторы соединены параллельно только в том случае, когда их обкладки с одной стороны присоединены к одной общей точке, а обкладки с другой стороны – к другой общей точке, т. е. обе эти точки являются точками разветвления. Когда находится общая емкость двух или нескольких конденсаторов, то эту эквивалентную емкость целесообразно обозначать так, чтобы по самому обозначению было понятно, какие конденсаторы заменяют этот эквивалентный конденсатор. Например, надо найти общую емкость третьего С3 и четвертого С4 конденсаторов. В этом случае их общую емкость целесообразно обозначить через С3,4 независимо от того, параллельно или последовательно они соединены. Аналогично эквивалентную емкость пяти конденсаторов, со второго по шестой включительно, можно обозначить через С2–6. Нахождение общей емкости при смешанном соединении конденсаторов не вызывает больших трудностей, но нахождение напряжения на каждом конденсаторе дается не всем легко. Каким образом это целесообразно делать, рассмотрим на следующем примере. Возьмем батарею конденсаторов, изображенную на рис. 1.16. Пусть нам известна емкость каждого конденсатора и напряжение источника: С1 = 24 мкФ, С2 = 5 мкФ, С3 = 4 мкФ, С4 = 12 мкФ, U = 1 200 В. Требуется найти напряжение на каждом конденсаторе и величину заряда каждого конденсатора. Для того Рис. 1.16 чтобы приступить к расчету, надо разобраться, каким образом соединены между собой конденсаторы. Из схемы (рис. 1.16) видно, что третий и четвертый конденсаторы соединены между собой последовательно. В этом случае их общая емкость C3, 4 находится по формуле

C3, 4 =

4 ⋅12 С3С4 = = 3 мкФ. С3 + С4 4 + 12

Если третий и четвертый конденсаторы заменить эквивалентным им конденсатором C3, 4 = 3 мкФ, то схема будет иметь вид, представленный на рис. 1.17. Согласно схе23

ме конденсаторы C 2 и C3, 4 соединены между собой параллельно и их общая емкость определяется как C2− 4 = C2 + C3, 4 = 5 + 3 = 8 мкФ. После замены конденсаторов C 2 и

C3, 4 одним конденсатором C2− 4 схема примет следующий вид (рис. 1.18): конденсатор C1 соединен с конденсатором C2− 4 последовательно, при этом общая емкость всей батареи C1− 4 находится по формуле

С1− 4 =

24 ⋅ 8 C1C2− 4 = = 6 мкФ . C1 + C2− 4 24 + 8

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Поскольку известно общее напряжение, приложенное к батарее, и общая емкость ее, то можно найти общий заряд, накопленный батареей:

Q = UC1−4 = 1200⋅ 6 ⋅10−6 = 7,2 мК. Этот заряд будет равен заряду первого конденсатора Q1 , так как первый конденсатор по отношению ко всем остальным конденсаторам включен последовательно, а при последовательном соединении конденсаторов заряды на них одинаковы и равны общему заряду всех последовательно соединенных конденсаторов. Следовательно, Q1 = Q = 7,2 мК. Емкость первого конденсатора известна, и это дает возможность найти напряжение, приходящееся на первый конденсатор:

U1 =

Q1 7,2 ⋅10 −3 = 300 В. C1 = 24 ⋅10 −6

Напряжение на втором конденсаторе является одновременно напряжением на конденсаторе C3− 4 и равно разности общего напряжения и напряжения первого конденсатора, т. е.

U 2 = U 3−4 = U − U1 = 1 200 − 300 = 900 В, поскольку при последовательном соединении конденсаторов общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, а первый конденсатор по отношению к остальным конденсаторам включен последовательно. Зная напряжение второго конденсатора и его емкость, найдем заряд второго конденсатора:

Q2 = U 2C2 = 900 ⋅ 510−6 = 4,5 мК. Зная напряжение на третьем и четвертом конденсаторах U3,4 и их общую емкость, найдем общий заряд третьего и четвертого конденсаторов:

Q3, 4 = U 3, 4C3, 4 = 900 ⋅ 3,10−6 = 2,7 мК . Заряд на третьем конденсаторе равен заряду четвертого конденсатора и заряду обоих конденсаторов, так как конденсаторы третий и четвертый соединены последовательно, т. е. 24

Q3 = Q4 =Q 3, 4 = 2,7 мК.

Поскольку нам известны емкости третьего и четвертого конденсаторов и заряды на них, то напряжение на третьем и четвертом конденсаторах будут найдены по формулам

U3 =

Q3 2,7.10−3 Q4 2,7.10 −3 U = = 675 В ; = = = 225 В. 4 4,10 −6 C3 C4 12.10 −6

Заряды третьего и четвертого конденсаторов можно найти и как разность зарядов первого и второго конденсаторов на основании свойства параллельного и последовательного соединения конденсаторов: Q3 = Q4 = Q3, 4 − Q2 = 7,2 − 4,5 = 2,7 мК . Постепенное упрощение с вычерчиванием схем надо делать только тогда, когда нет твердого навыка в определении способа соединения конденсаторов в сложной схеме. При наличии навыка эти упрощения делаются в уме, без вычерчивания упрощенных схем.

1.2.17. Энергия поля конденсатора Электрическое поле обладает энергией. Конденсатор обладает тем свойством, что сосредоточивает электрическое поле. Следовательно, в заряженном конденсаторе будет находиться определенное количество электрической энергии. Энергия электрического поля конденсатора может быть подсчитана по следующей формуле: CU 2 Q 2 QU A= = = . 2 2C 2

1.2.18. Электрический ток (ток проводимости) Если среда, содержащая электрические заряды, которые способны перемещаться с одного места на другое, подвергается действию электрического поля, то эти заряды начнут двигаться в направлении действия сил поля. Заряды будут двигаться упорядоченно – это и есть электрический ток. Заряды могут перемещаться упорядоченно как угодно долго, если они нигде не будут накапливаться. Это возможно только в замкнутой цепи. В состав замкнутой цепи обязательно должен входить, кроме проводящей среды (содержащей свободные электроны или ионы), также источник электромагнитного поля. В проводящей среде (проводах), как и в проводах самого источника электромагнитного поля, электрические заряды начинают двигаться под действием электрического поля источника. Величина магнитного поля, окружающего проводник с током, пропорциональна этому току, поэтому величина тока характеризует величину магнитного поля, окружающего проводник с током. Ток является индикатором магнитного поля. Если электрический заряд q под действием силы электрического поля F переместился на расстояние l, то на это была израсходована энергия электрического поля A = Fl . Следовательно, для того чтобы существовал ток в проводнике, надо расходовать энергию, которая в этом случае преобразуется в тепло. Если же на проводник с током действуют другие поля – внешние магнитное и электрическое, то эти поля стремятся изменить направление движения зарядов, оттеснить их к какой-либо боковой поверхности провода. В результате этого провод начнет перемещаться в направлении действия сил электрического или магнитного поля. Электрическая энергия в этом случае преобразуется в механическую энергию. Электриче25

ский проводник, каково бы ни было его назначение в электротехническом устройстве, является потребителем электрической энергии. Но в проводнике электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии. Носителем электрической энергии является электромагнитное поле. Внутри источника электромагнитного поля электрические заряды движутся под действием сторонних сил навстречу силам электрического поля. В этом случае электромагнитное поле, созданное работой сторонних сил, излучается из провода, являющегося составной частью источника. Электромагнитное поле излучается в окружающее пространство. Если же источник соединен с потребителем проводами, то эти соединительные провода изменяют форму электромагнитного поля так, что оно начинает распространяться вдоль проводов от источника к потребителю. Для этого только и предназначены провода.

1.2.19. Постоянный ток Как указывалось выше, электрический ток есть результат совместного действия магнитного и электрического полей на проводник. Другими словами, ток есть результат воздействия электромагнитного поля на проводящую среду, Если электромагнитное поле не изменяется по величине и направлению, то возникающий в этом случае ток называется постоянным, т. е. постоянный ток – это ток, не изменяющийся по величине и направлению. За направление тока принимается направление напряженности электрического поля в проводнике, которое и вызывает движение электрических зарядов. Это направление совпадает с направлением движения положительных зарядов и обратно направлению движения отрицательных зарядов. Количественной характеристикой тока является сила тока, которая вычисляется по формуле

I=

Q , t

где Q – количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за t с, Кл. Сила тока измеряется в амперах. Один ампер – это сила тока, при которой через поперечное сечение проводника проходит 1 Кл электричества за 1 с. Кратными и дольными единицами силы тока являются килоампер (кА), миллиампер (мА), микроампер (мкА). Плотность тока – это величина тока, приходящаяся на 1 мм2 поперечного сечения проводника: δ=

I A ( ). S мм 2

1.2.20. Электрическая цепь Электрический ток может длительно существовать только в замкнутой электрической цепи. Электрическая цепь обязательно содержит три элемента: потребитель, источник и провода.

26

Потребитель предназначен для преобразования электрической энергии, т. е. электромагнитного поля. Источник создает электромагнитное поле. Провода изменяют форму электромагнитного поля так, чтобы оно распространялось вдоль проводов от источника к потребителю. На рис. 1.19 условно изображены источник, потребитель и провода. Электрическая цепь содержит два участка: внешний и внутренний. Внешний участок образуют Рис. 1.19 потребитель и провода, внутренний – сам источник энергии. На внешнем участке цепи ток идет от плюса к минусу, совершая на внутреннем участке движение по замкнутому пути – от минуса к плюсу. Основным условием длительного существования тока является то, что он нигде не теряется. Сколько электрических зарядов вышло из какого-либо участка цепи, столько их и войдет в этот участок с противоположной стороны. Не может быть убыли или накопления электрических зарядов на каком-либо участке цепи. 1.2.21. Источник электромагнитного поля Электромагнитное поле, как и всякий другой вид материи, создается только в результате преобразования одних видов материи в другие. Чтобы создать электромагнитное поле, надо преобразовать какую-то материю, затратить какую-то энергию. Электромагнитное поле можно создать различным образом за счет преобразования различных видов энергии. Материя имеет две формы существования: в виде вещества и в виде поля. Поле может быть связано с веществом, но может существовать и самостоятельно. Поле может находиться внутри вещества (внутри молекулы, атома, вещества) и до некоторых пор при определенных условиях не проявлять себя. Можно создать такие условия, при которых поле покинет границы данного вещества и будет существовать самостоятельно, что и осуществляется в гальваническом элементе (например, угольно-цинковом). Исходными веществами (материей) угольно-цинкового элемента являются цинк и серная кислота (ее водный раствор). Каждый атом цинка, как и молекула серной кислоты, представляет из себя два иона (положительный и отрицательный), прочно «сцементированные» электрическими полями этих ионов. Но поскольку существует внутриатомное электрическое поле каждого атома этих веществ, то существует и внутриатомное магнитное поле этих атомов, которое обладает энергией. В некоторых веществах это поле не проявляет себя за пределами молекулы. Пo окончании работы гальванического элемента образуются такие вещества, как сернокислый цинк, каждая молекула которого также имеет определенное электромагнитное поле, и водород, каждая молекула которого обладает своим собственным внутримолекулярным полем. Кроме сернокислого цинка и водорода получена еще электрическая энергия, т. е. электромагнитное поле данного источника. Величина этого электромагнитного поля будет равна разности между внутримолекулярными полями исходных веществ и внутримолекулярными полями полученных веществ. Работу по преобразованию цинка и серной кислоты в сернокислый цинк и водород с высвобождением части внутримолекулярного поля исходных веществ выполнили сторонние силы. Они же создали и электромагнитное поле источника. В результате можно сделать следующий вывод. Источник электромагнитного поля создает электромагнитное поле. Это поле, воздействуя на электрическую цепь, состоящую из проводов и потребителя, заставляет перемещаться свободные электрические заряды, находящиеся в проводах и потребителях, и тем самым создает ток. Если на каком-либо участке цепи нет зарядов, могущих перемещаться (в том случае, когда есть участок в составе цепи, который не является проводником), то в такой цепи тока не будет, хотя электрическое поле действует на этот участок цепи. В данном случае это означает разрыв цепи. 27

1.2.22. Электродвижущая сила источника. Напряжение источника Одной из важнейших величин, характеризующих источник электромагнитного поля, является его электродвижущая сила. Для того чтобы существовал ток в цепи, надо прежде всего создать электрическое поле источника, которое, в свою очередь, создается работой сторонних сил. В гальваническом элементе сторонние силы разделяют разносторонние заряды, входящие в состав молекул исходных веРис. 1.20 ществ. В электрических машинах сторонние силы в проводнике, движущемся в магнитном поле, переносят свободные электроды к одному концу этого проводника, создавая на нем избыток электронов, а на другом – недостаток их, а значит, два полюса источника – положительный и отрицательный. При замыкании полюсов источника проводником в цепи возникает ток, т. е. источник начинает передавать электромагнитное поле вдоль проводов к потребителю. Это поле и проявляет себя через ток в цепи. Движение зарядов во внешней цепи осуществляется силами электрического поля. Движение зарядов во внутренней цепи совершается против действия сил электрического поля и осуществляется сторонними силами (рис. 1.20). Таким образом, сторонние силы совершают работу по разделению разноименных зарядов, т. е. по созданию электрического поля источника. Величина сторонней силы, действующей на единичный заряд, определяется исключительно конструкцией источника. При этом чем меньше сторонние силы затрачивают энергии на перенесение зарядов внутри источника, тем больше энергия электромагнитного поля. Работа сторонних сил равна энергии электрического поля плюс энергия, затраченная на перенесение зарядов внутри источника. Энергия электрического поля целиком расходуется во внешней цепи, когда цепь замкнута. Величину работы сторонних сил, приходящейся на единицу заряда, мы можем определять, подсчитав энергию, израсходованную на внешнем и внутреннем участках цепи, когда по ним переместился заряд определенной величины. В системе СИ принято брать заряд, равный 1 Кл. Таких образом, энергия, выделенная на внешней и внутренней цепях при перемещении по ним заряда в 1 Кл, будет численно равна полной работе сторонних сил источника. Величину этой работы сторонних сил и называют электродвижущей силой источника. Таким образом, ЭДС источника характеризует работу сторонних сил, затраченную ими на разделение заряда в 1 Кл и перенесение его к полюсам источника внутри источника. Если сторонние силы разделили заряд величиною Q кулон и при этом совершили А1 джоулей работы, а на его перенесение внутри источника – А0 джоулей энергии, то ЭДС источника определится как E=

A1 + Ao A1 Ao = + . Q Q Q

A1 – энергия электричеQ ского поля, приходящаяся на заряд в 1 Кл и расходуемая во внешней цепи. Эта составляющая ЭДС называется внешним падением напряжения, или просто напряжением источника. Следовательно, напряжение источника говорит о том, сколько джоулей электрической энергии расходуется во внешней цепи на перемещение заряда в 1 Кл. ВтоA рое слагаемое 0 – это энергия, расходуемая сторонними силами на перемещение заряда Q в 1 Кл внутри источника. Она называется внутренним падением напряжения. Внешнее падение напряжения обозначается буквой U, внутреннее U0. Тогда

Отсюда видно, что ЭДС состоит из двух слагаемых, где

28

E = U1 + U o . ЭДС и напряжение измеряются в вольтах: E=

A Дж = В ). ( Q Кл

За направление ЭДС принимается направление действия сторонних сил на положительный заряд. Это направление совпадает с направлением действия электрического поля на положительный заряд во внешнем участке цепи. Это же направление принимается за направление электрического тока. Электроны же перемещаются в противоположном направлении. Отмечено также, что ЭДС равна сумме внешнего и внутреннего напряжений. При холостом ходе внутреннее падение напряжения равно нулю (нет переноса зарядов внутри источника), поэтому ЭДС будет равна внешнему падению напряжения. В этом случае ЭДС характеризует электрическое поле источника в режиме холостого хода. При нагрузке электрическое поле источника будет меньше, так как часть энергии сторонних сил будет тратиться на перемещение зарядов внутри источника и только часть ее будет создавать электрическое поле. Это означает, что электрическое поле при нагрузке характеризуется напряжением источника. Напряжение на участке цепи характеризует ту энергию, которая расходуется электрическим полем на перемещение заряда в один кулон по данному участку цепи. Один вольт – это такое напряжение между двумя точками, когда между ними перемещается заряд в 1 Кл и при этом совершается работа в 1 Дж. Напряжение источника характеризует электрическое поле источника. Ток характеризует магнитное поле источника. Напряжение и ток совместно характеризуют электромагнитное поле источника. 1.2.23. Проводимость проводника. Сопротивление проводника Проводимость характеризует свойство проводника проводить электрический ток. Этим свойством обладают только те вещества, которые имеют свободные электрические заряды, т. е. заряды, способные перемещаться с места на место. Величина тока на любом участке неразветвленной цепи определяется свойством всех элементов, составляющих цепь. В связи с тем, что не может быть накопления зарядов на любом участке цепи, количество движущихся зарядов на любом участке цепи будет одинаковым. Сколько зарядов вышло из какого-либо участка цепи, столько же их войдет в этот участок с противоположной стороны. Если мы возьмем однородный проводник, образующий внешний участок электрической цепи, то величина тока будет зависеть от величины напряженности электрического поля в проводнике и количества свободных электрических зарядов, находящихся в каждой единице объема проводника. Следовательно, плотность тока в проводнике может быть выражена равенством I δ = = γE , s где E – напряженность электрического поля; γ – удельная проводимость, т. е. величина, характеризующая количество свободных зарядов, находящихся в единице объема проводника. Величина тока будет определятся как I = γES ,

но поскольку E =

U , то l 29

I =γ

U γS S =U . l l

γS обозначается буквой g и называется проводимостью проводника. l Следовательно, I = Ug . Проводимость проводника измеряется в сименсах (См). На практике при расчетах удобнее пользоваться величиной, обратной проводимости и называемой сопротивлением проводника, так как проводимость во многих случаях, особенно в радиотехнических цепях, выражается очень малой величиной. Сопротивление обозначается буквой R и вычисляется по формуле Выражение

l 1 = = R. g γS Сопротивление следует понимать как противодействие проводника (среды) возникновению в нем тока при действии электромагнитного поля. Сопротивление измеряется в омах (Ом), килоомах (кОм), мегаомах МОм). Величина, обратная удельной про1 водимости, называется удельным сопротивлением: ρ = . Удельная проводимость равна γ проводимости проводника длиною в 1 м при площади поперечного сечения 1 мм2 и при температуре 20º, что видно из равенства l γ = g при l = 1 м, S = 1 мм2 , γ = g . S Аналогично определяется и удельное сопротивление, т. е. удельное сопротивление – это сопротивление проводника длиною в 1 м при поперечном сечении 1 мм2 и температуре 20º, что видно из равенства S ρ = R при l = 1 м, S = 1 мм 2 , ρ = R . l

1.2.24. Закон Ома Ранее получено уравнение для тока

I =U

γS , l

которое можно записать так:

I=

U . l γS

Знаменатель в правой части последнего равенства представляет сопротивление R, после чего получим U I= . R Данное равенство и выражает закон Ома для участка цепи. Этот закон Ом установил экспериментально, но, как видим, его можно получить и на основании теоретических рассуждений. Закон Ома для участка цепи целесообразно выразить следующим образом: ток на данном участке цепи прямо пропорционален напряжению на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению этого участка. 30

Исходя из формулы закона Ома

R=

U I

установлена единица сопротивления. При U = 1 B и I = 1 A сопротивление равно единице, которая называется Омом. Известно, что ЭДС равна сумме внешнего и внутреннего падений напряжений, т. е.

Е = U + Uо. Если R – сопротивление внешнего участка цепи, R0 – сопротивление внутреннего участка цепи, I – величина тока в цепи, то последнее равенство можно записать так:

E = IR + IR0 , откуда

I=

E . R + R0

Полученное равенство и выражает закон Ома для замкнутой цепи: ток в замкнутой цепи прямо пропорционален ЭДС источника и обратно пропорционален сопротивлению замкнутой цепи. При изучении общей теории процессов, происходящих в электрической цепи, считают, что внутреннее сопротивление источника R0 не изменяется, ток в замкнутой цепи при неизменной ЭДС определяется величиной внешнего сопротивления цепи.

1.2.25. Работа и мощность электромагнитного поля Ранее было установлено, что напряжение равно энергии, затрачиваемой на перемещение единичного заряда по данному участку цепи: U=

Отсюда

A . Q

A = UQ ,

т. е. работа–энергия равна произведению напряжения на количество прошедшего электричества. Так как Q = It ,

то

A = UIt .

Следовательно, работа равна произведению напряжения на ток и время прохождения тока. Ранее указывалось, что напряжение характеризует электрическое поле, а ток – магнитное поле. Следовательно, сама формула, выражающая энергию, подтверждает, что электрическая энергия является энергией электромагнитного поля, которое «работает» – расходует энергию на любом участке цепи. Из основной формулы энергии электромагнитного поля получим две производных. Так как U = IR , то A = I 2 Rt . С другой стороны,

I=

U , R

следовательно,

31

A=

U2 t. R

Энергия электромагнитного поля измеряется в джоулях (Дж), килоджоулях (кДж) и мегаджоулях (МДж). Формула энергии электромагнитного поля A = IRt выражает закон Ленца–Джоуля. Этот закон Ленц и Джоуль установили независимо друг от друга экспериментально. Но этот закон выводится и теоретически. Мощность – это работа, совершаемая в единицу времени (на практике – за 1 с), т. е.

P=

A . t

Так как мы имеем три формулы, по которым можно подсчитать энергию электромагнитного поля, то будем иметь и три расчетные формулы мощности: U2 . P = UI , P = I 2 R, P = R Основная формула мощности P = UI опять подтверждает, что это мощность электромагнитного поля, так как напряжение характеризует электрическое поле, а ток – магнитное поле. Произведение тока на напряжение характеризует электромагнитное поле, его мощность. Мощность измеряется в ваттах (Вт), киловаттах (кВт) и мегаваттах (МВт).

1.2.26. Зависимость напряжения источника от тока нагрузки Из формулы закона Ома для замкнутой цепи

I=

E R + R0

найдем уравнение для ЭДС:

E = IR + IR0 . Так как произведение IR выражает напряжение источника U, то

E = U + IR0 . Следовательно,

U = E − IR0 , т. е. напряжение источника равно его электродвижущей силе минус внутреннее падение напряжения. При рассмотрении данного вопроса мы предполагаем, что ЭДС источника Е и внутреннее сопротивление источника R0 остаются неизменными. Тогда из равенства

U = E − IR0 видно, что с ростом тока нагрузки I напряжение источника уменьшается, и наоборот.

1.2.27. Режимы работы источника Для источника электрической энергии характерными являются четыре режима работы: холостой ход, номинальный режим, короткое замыкание и режим отдачи максимума мощности. При холостом ходе ток нагрузки I равен нулю. В этом случае

U = E − OR0 , т. е. U = E . 32

Это позволяет измерить ЭДС любого источника, так как ЭДС равна напряжению источника при холостом ходе. Ток нагрузки может быть равен нулю только при таком сопротивлении внешнего участка цепи, которое равно бесконечности, что видно из формулы закона Ома

I=

E =0. ∞ + R0

При холостом ходе полезная мощность, характеризующая энергию, расходуемую на внешнем участке цепи, будет равна нулю, так как

P = UI = U ⋅ 0 = 0. При сопротивлении внешнего участка R = 0 наступает короткое замыкание источника. В этом случае ток достигает максимального значения: E E I= = . 0 + R0 R0 Этот ток во много раз больше допустимого, так как R0 – величина малая, что может сопровождаться разрушением источника. При коротком замыкании напряжение на внешнем участке цепи равно нулю: (U = IR = I ⋅ 0 = 0) .

Полезная мощность источника также будет равна нулю:

P = UI = 0 ⋅ I = 0. Номинальный режим – это режим, при котором ток источника равен наибольшему длительно-допустимому значению. Номинальные данные всегда указываются на паспортах источников потребителей. Обычно номинальный режим соответствует максимальному значению КПД. Номинальная мощность всегда меньше максимальной мощности, которую может развить источник.

1.2.28. Максимальная мощность источника Радиотехнические устройства (передатчики) иногда приходится настраивать на режим отдачи максимальной мощности. Необходимость эта возникает при плохой проходимости радиоволн. В этом случае для того, чтобы принять требуемую информацию от передатчика, приходится повышать его мощность, а следовательно, надо знать, как можно получить максимум мощности. Известно, что

P = I 2R и I =

E . R + R0

Тогда P=

E2R . ( R + R0 ) 2

В знаменателе квадрат двух слагаемых заменим квадратом их разности. Но для того, чтобы величина знаменателя не изменилась, прибавим к квадрату разности двух членов величину 4RR0. Тогда получим: P=

E2R E2 . = ( R − R0 ) 2 + 4 RR0 ( R − R0 ) 2 + 4 R0 R

33

Числитель E2 – величина неизменная. В этих условиях мощность Р, равная дроби, будет наибольшей тогда, когда знаменатель будет наименьшим. Знаменатель будет наименьшим при R = R0. Последнее равенство и является условием отдачи максимума мощности, т. е. источник будет отдавать максимум мощности, когда внешнее сопротивление равно внутреннему. В этом режиме ток источника будет равен половине тока короткого замыкания. Действительно,

I=

E R + R0

при R = R0 , или I =

E E = . R0 + R0 2 R0

На основании изложенного можно графически показать изменение U, R, P при изменении тока нагрузки от нуля до короткого замыкания (рис. 1.21). 1.2.29. Последовательное соединение в электрической цепи По укоренившейся терминологии под сопротивлением понимают элемент электрической цепи, в которой электрическая энергия преобразуется в другой вид энергии. Любой потребитель электрической энергии называется сопротивлением. Этой терминологии мы будем придерживаться и в данном пособии. Часто внешний участок электрической цепи образуется не одним, а несколькими потребителями (сопротивлениями), соединенными между собою последовательно, параллельно или смешанно. Если сопротивления в электрической цепи соединены друг за другом без какихлибо разветвлений и по всем сопротивлениям проходит один и тот же ток, то такое соединение называется последовательным. К характерным свойствам последовательной цепи относятся следующие: 1. Ток во всех участках последовательной цепи один и тот же, так как он не может никуда ответвляться. 2. Общее напряжение при последовательном соединении равно сумме напряжений на отдельных участках (рис. 1.22). Рис. 1.22 Данное свойство подтверждают следующие уравнения: U 1 = ϕ a − ϕв , U 2 = ϕв − ϕ с , U 3 = ϕc − ϕ d , U1 + U 2 + U 3 = ϕa − ϕв + ϕв − ϕс + ϕс − ϕ d , т. е. U1 + U 2 + U 3 = U .

3. При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных участков. Так как U = U1 + U2 + U3 и U = IR, U1 = IR1, U2 = IR2, U3 = IR3, то IR = IR1 + IR2 + IR3, т. е. R = R1 + R2 + R3. 4. При последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям этих участков. Это положение вытекает из того, что ток на всех участках один и тот же, а напряжения на участках равны произведениям тока на соответствующие сопротивления.

1.2.30. Первый закон Кирхгофа Рис. 1.21

34

Данный закон применяют к узлам и точкам разветвления электрической цепи. Поскольку в любой точке цепи не может быть накопления или убыли электрических зарядов, следовательно, сколько электрических зарядов подошло к узлу, к точке разветвления электрической цепи, стольРис. 1.23 ко же их и уйдет. В соответствии с этим первый закон Кирхгофа читается так: сумма токов, подходящих к точке разветвления, равна сумме токов, уходящих из точки разветвления. Этот закон (рис. 1.23) выражается математически следующим равенством:

I1 + I2 = I3. 1.2.31. Параллельное соединение в электрической цепи Параллельным соединением называется такое соединение, при котором один зажим каждого из сопротивлений присоединяется к одной общей точке электрической цепи, а другой зажим присоединяется к другой общей точке электрической цепи. Таким образом, между двумя точками электрической цепи включается неРис. 1.24 сколько сопротивлений, образующих параллельные ветви (рис. 1.24). К характерным свойствам при параллельном соединении относятся следующие: 1. Напряжения на параллельно соединенных сопротивлениях одинаковы (U = U1 = U2 = U3), так как все они равны разности потенциалов точек a и в. 2. Общий ток при параллельном соединении равен сумме токов отдельных ветвей (согласно первому закону Кирхгофа):

Ι = Ι1 + Ι 2 + Ι 3 . 3. Общая проводимость при параллельном соединении равна сумме проводимостей отдельных ветвей. Так как ток равен произведению напряжения на проводимость участка (ветви), т. е.

Ι = Ug1 , I 2 = Ug 2 , I.3 = Ug3 , то

Ug = Ug1 + Ug2 + Ug3 . Отсюда

g = g1 + g 2 + g3 , или

1 1 1 1 = + + . R R1 R2 R3 Общее сопротивление только двух параллельных ветвей подсчитывается по формуле

R12 =

R1 R2 . R1 + R 2

4. При параллельном соединении токи в ветвях обратно пропорциональны сопро35

тивлениям ветвей. Поскольку

U1 = U 2 , то

I1 R1 = 12 R 2 . Следовательно,

I1 R2 = . I 2 R1 При параллельном соединении потребители работают независимо друг от друга. При последовательном же соединении изменение одного сопротивления сопровождается изменением тока в других сопротивлениях, что не обеспечивает независимой работы отдельных потребителей, включенных между собой последовательно. 1.2.32. Еще раз о напряжении Ранее было указано, что напряжение характеризует электрическое поле и численно равно той энергии, которая расходуется или будет израсходована на перемещение заряда в 1 Кл по данному участку цепи. Иногда можно слышать такие выражения: напряжение сюда пришло, напряжение подходит и т. п. Эти выражения неверны. Напряжение приходить и уходить не может. Надо говорить так: напряжение здесь теряется, гасится (в том смысле, что здесь расходуется, теряется энергия); напряжение приложено (т. е. здесь созданы условия для расхода энергии); здесь происходит падение напряжения (т. е. здесь расходуется часть энергии источника). Следует отметить, что до сознания тех, кто приступает к изучению электротехники, не сразу доходит, что такое напряжение. Попытаемся глубже вникнуть в понимание существа напряжения, закона Ома и первого закона Кирхгофа на примере составления электрических схем для питания различных потребителей от одного источника энергии. Пусть дано следующее значение: составить электрическую схему для питания энергией трех потребителей от источника, имеющего напряжение U = 100 В. Первый потребитель рассчитан на напряжение U1 = 60 В и ток I1 = 3 А. Второй потребитель рассчитан на напряжение U2 = 75 В и ток I2 = 1 А. Третий потребитель рассчитан на напряжение U3 = 30 В и ток I3 = 4 А. Непосредственно к клеммам источника нельзя подключить ни один из данных потребителей, так как напряжение источника выше напряжения, на которое рассчитан любой из этих потребителей. Напряжение источника 100 В означает, что с каждым зарядом, равным 1 Кл и проходящим любыми путями по внешней цепи от одной клеммы источника (плюс) к другой клемме (минус), обязательно будет израсходовано 100 Дж энергии. Первый же потребитель требует, чтобы с каждым зарядом в 1 Кл, проходящим через него, выделялось ровно 60 Дж энергии – ни больше ни меньше. Для второго потребителя необходимо, соответственно, чтобы с каждым зарядом в 1 Кл, проходящим через него, расходовалось точно 75 Дж, а для третьего потребителя – 30 Дж энергии. Ту лишнюю энергию, которую источник расходует или будет расходовать во внешней цепи на перемещение заряда в 1 Кл, надо израсходовать на сопротивлениях, которые придется устанавливать на пути движения заряда, проходящего через каждый потребитель. На пути движения заряда в 1 Кл, проходящего через первый потребитель, надо установить сопротивление, на котором расходовалось бы 40 Дж энергии при прохождении данного заряда через это сопротивление. На пути заряда, проходящего через второй по36

требитель, надо поставить сопротивление, на котором следует израсходовать 25 Дж, а на пути заряда, проходящего через третий потребитель – сопротивление, на котором надо израсходовать 70 Дж энергии. Эти устанавливаемые сопротивления называются дополнительными, или гасящими, сопротивлениями. В данном случае можно сказать, что на этих сопротивлениях надо погасить лишнее напряжение. Энергия, расходуемая на дополнительных сопротивлениях, тратится без пользы. Следовательно, надо стараться так располагать потребители, чтобы на дополнительных сопротивлениях расходовалось как можно меньше энергии. Потребитель будем изображать в виде прямоугольников. В них отметим напряжения и токи, на которые они рассчитаны (рис. 1.25). Меньше всего требуется погасить напряжение при питании второго потребителя, так как он рассчитан на наибольшее напряжение. Этот потребитель и подключим первым к источнику, но между потребителем и источником установим гасящее (дополнительное) сопротивление, на котором необходимо погасить 25 В напряжения (рис. 1.26). Следующим по величине напряжения является первый потребитель, который можно подключить непосредственно к клеммам источника или к клеммам ав второго потребителя. Целесообразнее подключить первый потребитель к клеммам ав – в этом случае потребуется погасить напряжение ΔU2 = 15 В на дополнительном сопротивлении.

Рис. 1.25

Рис. 1.26

Если подключить первый потребитель к клеммам источника, то потребуется погасить 40 В напряжения (рис. 1.27). Продолжая подобные рассуждения, видим, что третий потребитель целесообразнее подключить к клеммам cd с включением дополнительного сопротивления R3, на котором надо погасить ΔU3.

Рис. 1.27

Рис. 1.28

Произведем расчет дополнительных сопротивлений, для чего надо найти токи, протекающие по этим сопротивлениям. Сопротивление R3 включено последовательно с третьим потребителем, следовательно, по нему течет ток I III = I 3 = 4a . Тогда

R=

ΔU 3 30 = = 7,5 Ом . I3 4

Токи будем обозначать следующими индексами в дополнительных сопротивлениях римскими цифрами (II, III, IIII), а потребителей – арабскими ( I1 , I 2 , I 3 ). По первому зако37

ну Кирхгофа для точки с найдем ток III во втором дополнительном сопротивлении:

I II = I III + I1 = 4 + 3 = 7 А . Сопротивление R2 будет найдено по формуле

R2 =

ΔU 2 15 = Ом . I II 7

По первому закону Кирхгофа для точки а найдем ток первого сопротивления:

I I = I II + I 2 = 8 А . Сопротивление R1 находим по формуле

ΔU 25 = ≅ 3 Ом. II 8 При составлении электрических схем надо добиваться, чтобы схема была самая экономичная, т. е. имела наибольший возможный КПД. Самой экономичной схемой по расходу энергии будет такая, в которой потребители расположены так, что ток источника будет наименьшим. В составленной схеме (рис. 1.29) ток источника I = 8 А. Соответственно мощность источника составит 800 Вт. Чтобы составить наиболее экономичную схему, необходимо соединять потребителей последовательно и параллельно так, чтобы приходилось гасить наименьшую величину напряжения источника. При этом надо добиться, чтобы к потребителю прикладывалось только то напряжение, на которое он рассчитан, и по потребителю проходил только тот ток, на который он рассчитан. Из вышеприведенного примера следует вывод о том, что последовательно можно соединять первый и третий потребители, у которых сумма напряжения равна 90 В, а лишние 10 В напряжения источника погасим на дополнительном сопротивлении R1 (рис. 1.29). Между точками aв напряжение равно 90 В. К точкам ав присоединим второй потребитель и последовательно с ним – дополнительное сопротивление R2, на котором погасим напряжение 15 В. Но такая схема не будет нормально работать, так как при последовательном соединении ток один и тот же, а первый и третий потребители рассчитаны на разные токи. Ток I1 = 3 А, пройдя первый потребитель, пойдет и в третий, но третий потребитель требует ток I 3 = 4 А. Чтобы это обеспечить, включим параллельно первому потребителю дополнительную проводимость в виде сопротивления R3, по которому пойдет ток IIII = 1 А (рис. 1.30). R1 =

Рис. 1.29

Рис. 1.30

Теперь схема будет работать нормально. Произведем расчет дополнительных сопротивлений R1, R2 и шунтирующего сопротивления R3. Сопротивление R3 включено параллельно первому потребителю, следовательно, напряжение на нем составит 60 В. Тогда

38

R3 =

U1 U 60 = 1 = = 60 Ом . 1 I 3 − I 4 I III

Сопротивление R2 найдем из равенства

R2 =

ΔU 2 15 = = 15 Ом . I2 1

По первому закону Кирхгофа ток II равен сумме токов: I I + I III + I 2 .

Следовательно,

II = 3 +1+1 = 5 А . ΔU1 10 = = 2 Ом . II 5 В данной схемe ток источника равен 5 А, а в предыдущей – 8 А. Мощность источника в первой схеме равна 800 Вт, во второй – 500 Вт. Следовательно, вторая схема экономичнее первой. Сопротивление определим так: R1 =

1.2.33. Смешанное соединение в электрической цепи Только параллельное или только последовательное соединение потребителей (сопротивлений) встречается редко. На практике схемы электротехнического и радиотехнического устройств представляют собой обычно смешанное соединение, т. е. имеются сочетания последовательно и параллельно соединенных сопротивлений. Смешанное соединение сопротивлений не обладает какими-то особыми свойствами по сравнению с теми, о которых говорилось для параллельного или последовательного соединения сопротивлений. Расчет целей при смешанном соединении потребителей и питании от одного источника энергии производится на основе закона Ома, первого закона Кирхгофа и твердом знании свойств последовательного и параллельного соединения потребителей (сопротивлений) постоянного тока. Задачи на смешанное соединение потребителей бывают двух типов. Метод их решения различен. В задачах первого типа заданы все сопротивления и напряжение источника. Требуется определить величины токов, напряжений или мощностей в отдельных участках. В задачах второго типа требуется определить напряжение источника или сопротивление какого-либо участка цепи. Рассмотрим решение задач первого типа. Для примера возьмем схему, приведенную на рис. 1.31. Даны: U = 120 В; R1 = 6 Ом; R2 = 42 Ом; R3 = 9 Ом; R4 = 48 Ом; R5 = 6 Ом; R6 = 15 Ом; R7 = 30 Ом. Определить токи на всех участках цепи. Решение этой задачи разбивается на два этапа.

Первый этап Для любой конфигурации схемы данный этап всегда один и тот же. Надо упростить схему так, чтобы можно было воспользоваться одним из выражений закона Ома:

I=

U E ; I= . R R + R0

Иначе говоря, необходимо, чтобы схема приняла вид, изображенный на рис. 1.32. 39

Рис. 1.31

Рис. 1.32

Для упрощения схемы необходимо определить в ней участки последовательно или параллельно соединенных сопротивлений, чтобы их можно было заменить одним эквивалентным им сопротивлением. В нашем случае видно, что сопротивления R6 и R7 соединены параллельно. Кроме них, нет ни параллельно, ни последовательно соединенных сопротивлений. Заменим сопротивления одним эквивалентным им сопротивлением R6, 7. При обозначении эквивалентного сопротивления индексы будут обозначать номера тех сопротивлений, которые заменяет эквивалентное сопротивление. Пока не приобретен навык упрощения схем в уме, необходимо вычерчивать упрощенные схемы на бумаге. После замены сопротивлений R6 и R7 сопротивлением R6,7 схема будет иметь вид, указанный на рис. 1.33. Величину сопротивления R6,7 подсчитаем по известной формуле

R6,7 =

R6 R7 15 ⋅ 30 = = 100 Ом . R6 + R7 15 + 30

Рис. 1.33

Из рис. 1.33 видно, что сопротивления R5 и R6, 7 соединены последовательно. Заменив сопротивления R5 и R6, 7 эквивалентным им сопротивлением R5–7, получим

R5−7 = R5 + R67 = 6 + 10 = 16 Ом . После этого схема примет вид, указанный на рис. 1.34, где сопротивления R4 и R5–7 соединены параллельно. Заменим их сопротивлением R4–7, которое подсчитаем по формуле

R 3− 7 =

48 ⋅16 R1 R5−7 = = 12 Ом, R4 + R5−7 48 + 16

Рис. 1.34

и вычертим новую схему (рис. 1.35). В этой схеме сопротивления R3 и R4–7 соединены последовательно. Заменим их сопротивлением R3–7 и подсчитаем его:

R3−7 = R3 + R4−7 = 9 + 12 = 21 Ом . Вычертим новую схему (рис. 1.36), на которой видно, что сопротивления R2 и R4–7 соединены параллельно. Заменим их сопротивлением R2−7 :

R2−7 =

42 ⋅ 21 R2 R3−7 = = 14 Ом . R2 + R3−7 42 + 21

Вычертим новую схему (рис. 1.37), которая позволяет применить закон Ома и найти ток источника, являющийся одновременно током первого сопротивления:

I = I1 =

120 U = = 6 А. R1 + R2−7 6 + 14 40

Рис. 1.35

Рис. 1.36

Рис. 1.37

На этом заканчивается первый этап решения задачи.

Второй этап Вернемся к схеме (рис. 1.31) и для удобства вычертим ее еще раз (рис. 1.38). При питании от одного источника энергии легко указать направления токов в каждом сопротивлении (рис. 1.38). Мы нашли общий ток, который является током, проходящим через первое сопротивление. Зная величину этого сопротивления, можно найти напряжение, теряемое на первом сопротивлении:

U1 = I1 R1 = 6 ⋅ 6 = 36 В. Напряжение на втором сопротивлении U2 меньше напряжения источника на величиРис. 1.38 ну падения напряжения на первом сопротивлении U1, так как напряжение источника всегда равно сумме падений напряжений на сопротивлениях внешнего участка цепи, по которым мы перемещаемся по ходу тока от одной клеммы источника (плюс) до другой клеммы (минус), независимо от того, по каким путям тока мы при этом перемещаемся. Это значит, что напряжение источника в нашем случае равно, во-первых, напряжению на первом сопротивлении плюс напряжение на втором сопротивлении; во-вторых, сумме падений напряжений на первом, четвертом и третьем сопротивлениях; в-третьих, сумме падений напряжений на первом, пятом, шестом (или седьмом) и третьем сопротивлениях. На основании изложенного можно написать:

U 2 = U − U1 = 120 − 36 = 84 В . Поскольку величина второго сопротивления задана и напряжение, приложенное к нему, найдено, то по закону Ома можно найти ток во втором сопротивлении:

I2 =

U 2 84 = = 2 А. R2 42

Нам известен ток источника, а этот ток, в соответствии с первым законом Кирхгофа, для точки с равен сумме второго и третьего токов:

I = I2 +I 3 . В этом равенстве неизвестен ток третьего сопротивления, который определяется так:

I3 = I − I 2 = 6 − 2 = 4 А . Величина третьего сопротивления задана, а ток в нем найден. Следовательно, напряжение на этом сопротивлении легко подсчитать:

U 3 = I 3 R3 = 4 ⋅ 9 = 36 В . 41

Напряжение на четвертом сопротивлении U4 меньше напряжения второго сопротивления на величину напряжения, приложенного к третьему сопротивлению. Следовательно,

U4 = U2 – U3 = 84 – 36 = 48 В. Другими словами, напряжение четвертого сопротивления меньше напряжения источника на величину напряжения первого и третьего сопротивлений:

U 4 = U − (U1 + U 3 ) = 120 − (36 + 36) = 48 В . По закону Ома находим ток четвертого сопротивления:

I4 =

U 4 48 = =1 А . R4 48

Применим первый закон Кирхгофа для точки а или в. Для точки а

I1 =I 2+ I 4 + I 5 , для точки в

I3 = I 4 + I5 . В каждом из этих уравнений нам неизвестен ток пятого сопротивления, следовательно, найдем его следующим образом:

I 5 = I1 − ( I1 + I 4 ) = 6 − (2 + 1) = 3 А, или I 5 = I 3 − I 4 = 4 − 1 = 3 А . Используя закон Ома, найдем падение напряжения на пятом сопротивлении:

U 5 = I 5 R5 = 3 ⋅ 6 = 18 В. Напряжение на шестом и седьмом сопротивлениях меньше напряжения на четвертом сопротивлении на величину падения напряжения на пятом сопротивлении согласно свойствам параллельного и последовательного соединения сопротивлений. Тогда

U 6 = U 7 = U 4 − U 5 = 48 − 18 = 30 В, или

U 6 = U − (U1 + U 5 + U 3 ) = 120 − (36 − 18 + 36) = 30 В. Решение задач первого типа не вызывает трудностей, какой бы сложной ни казалась предложенная схема. Применяя рассмотренный прием решения, можно найти без особых трудностей необходимые величины.

1.2.34. Второй тип задачи Задачи второго типа, в которых неизвестно или напряжение источника, или какое-либо сопротивление внутри схемы, являются задачами более трудными в том смысле, что нельзя заранее указать путь их решения для любого условия, основываясь только на тех приемах решения, которые рассмотрены выше. Рис. 1.39 Рассмотрим задачу второго типа. Для примера возьмем схему, приведенную на рис. 1.39. Даны: R1 = 5 Ом; R2 = 159 Ом; R3 = 30 Ом; R4 = 24 Ома; R5 = 16 Ом; R6 = 12 Ом; I4 = 2 А. Найти напряжение источника. 42

Зная ток четвертого сопротивления и величину этого сопротивления, найдем по закону Ома напряжение на четвертом сопротивлении:

U 4 = I 4 R4 = 2 ⋅ 24 = 48 В . Сопротивления пятое и шестое по отношению к четвертому сопротивлению соединены параллельно. Следовательно, напряжение на каждом из них составит 48 В. Это позволяет найти токи в пятом и шестом сопротивлениях:

I6 =

48 U 6 48 U = = 4 А ; I5 = 5 = = 3 А. R6 42 R5 16

По первому закону Кирхгофа ток в третьем сопротивлении равен сумме токов четвертого, пятого и шестого сопротивлений. Следовательно,

I3 = I 4 + I5 + I6 = 2 + 3 + 4 = 9 А . По закону Ома можно найти падение напряжения на третьем сопротивлении:

U 3 = I 3 R3 = 9 ⋅ 30 = 270 В. Второе сопротивление по отношению к сопротивлениям третьему и четвертому, пятому и шестому соединено параллельно. Следовательно, напряжение на втором сопротивлении равно сумме напряжении на третьем и четвертом сопротивлениях: U 2 = U 3 + Uϕ = 270 + 48 = 318 В. Дальше найдем ток второго сопротивления:

I2 =

U 2 318 = = 2 А. R2 159

По первому закону Кирхгофа ток первого сопротивления равен сумме токов второго и третьего сопротивлений:

I1 = I 2 + I 3 = 2 + 9 = 11 А. Найдем напряжение на первом сопротивлении:

U1 = I1 R1 = 11⋅ 5 = 55 В. Напряжение источника равно сумме напряжений на первом и втором сопротивлениях или сумме напряжений на первом, втором и четвертом (пятом или шестом) сопротивлениях. Следовательно,

U = U1 + U 2 = 55 + 318 = 373 В, или

U = U1 + U 3 + U 4 = 55 + 270 + 48 = 373 В. 1.2.35. Анализ электрической схемы Мы изучаем законы и свойства электрических цепей при различном соединении потребителей для того, чтобы эти знания применять при анализе процессов, происходящих в электрических цепях. Можно знать формулировку закона, можно перечислить свойства цепи при том или ином способе соединения потребителей. Но если не понимать процессов, происходящих в цепях при изменении каких-либо параметров, то можно считать, что законы не усвоены и свойства схемы не поняты. Проверить, насколько 43

усвоены законы постоянного тока и свойства цепи при различном соединении потребителей, очень легко. На рис. 1.40 изображена электрическая схема с пятью сопротивлениями. Если студент (курсант) правильно объясняет, что происходит с токами в каждом сопротивлении при уменьшении или увеличении одного (любого) из этих сопротивлений, не производя никаких расчетов, то можно смело считать, что этот студент (курсант) хорошо знает законы постоянного тока. Разумеется, это объяснение он должен давать для любой схемы, а не только для изобраРис. 1.40 женной на рис. 1.40. На примере данной схемы покажем, как целесообразнее всего проводить подобный анализ. Требуется объяснить, как изменятся токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R4 уменьшить, а напряжение источника U остается неизменным. Если уменьшается одно из сопротивлений схемы, то и общее сопротивление в цепи уменьшается. Соответственно при увеличении любого из сопротивлений схемы общее сопротивление цепи увеличивается. В данном случае при уменьшении сопротивления R4 общее сопротивление цепи уменьшается, в результате чего общий ток (это будет ток первого сопротивления I1 ) увеличится. Увеличение тока I1 вызывает увеличение напряжения на первом сопротивлении ( U1 = I1R1 ) и уменьшение напряжений U 2 и U3,4,5, так как U2 = U – U1. Уменьшение напряжения U2 будет сопровождаться уменьшением тока I 2 . Ток I 3 увеличится, поскольку I 3 = I1 − I 2 . В результате увеличения тока I3 напряжение U3 = I3R3 увеличится, а напряжение U4 = U5 уменьшится, так как U4 = U2 – U3. При этом U2 уменьшилось, a U3 возросло. Можно рассуждать и так:

U4 = U – (U1 + U3). Но U, по условию, осталось неизменным, a U1 и U3 увеличились. В результате U можно сделать такой вывод: напряжения U4 и U5 уменьшились, тем самым ток I 5 = 5 R5 уменьшился, так как R5 не изменилось. Ток I 4 = I 3 − I 5 увеличился, поскольку I3 увеличился, a I5 уменьшился.

1.2.36. Второй закон Кирхгофа Этот закон обычно применяется при расчете электрических цепей с несколькими источниками питания. Для цепи, изображенной на рис. 1.41, напряжение между точками а и в может быть выражено следующими уравнениями:

U ав = E1 − I1R1 , U ав = E2 − I 2 R2 , U ав = I 3 R3 . Из этих уравнений видно, что правые части их равны между собою, т. е.

E1 − I1R1 = E2 − I1R1 = E2 − I 2 R2 , откуда 44

Рис. 1.41

(1)

E1 − E2 = I1R1 − I 2 R2 . Соответственно будем иметь:

E1 = I1R1 + I 3 R3 , E1 = I1R1 + I 3 R3 ,

(2)

E2 − I 2 R2 = I 3 R3 , E2 = I 2 R2 + I 3 R3 .

(3)

Уравнения 1–3 выражают второй закон Кирхгофа, который читается так: во всяком замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа обходят выбранный контур в произвольном направлении. ЭДС и падения напряжения считаются положительными (ставятся в уравнение со знаком +), если направления ЭДС и соответствующих токов совпадают с направлением обхода контура; ЭДС и падения напряжения считаются отрицательными, если направления ЭДС и токов в соответствующих сопротивлениях противоположны направлению обхода контура. Любую сложную схему с каким угодно числом источников питания можно рассчитать, применяя законы Кирхгофа. При решении подобных задач произвольно задают направления токов в ветвях и составляют столько уравнений, сколько имеется неизвестных величин (токов, сопротивлений или ЭДС), применяя первый закон Кирхгофа для отдельных точек разветвления и второй закон Кирхгофа для отдельных внутренних контуров. Ветвь – это участок цепи, заключенный между двумя точками разветвления, вдоль которого ток имеет одно и то же значение. Ветвь может включать в себя одно или несколько последовательно соединенных сопротивлений с источником энергии или без такового, а также может состоять только из источника энергии без сопротивлений. Составленные уравнения должны быть независимыми друг от друга: одно из них не должно быть следствием других. Поэтому если цепь имеет n точек разветвления, то по первому закону Кирхгофа составляется лишь (n – 1) уравнений. Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. При этом надо следить за тем, чтобы в контур, для которого составляется уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, еще не входившая ни в один из ранее рассмотренных контуров. Если при решении получается отрицательное значение тока в какой-либо ветви, то это указывает на то, что ток в этой ветви имеет направление, обратное тому, каким мы задались. В качестве примера рассмотрим схему на рис. 1.42. В данном случае мы имеем две точки разветвления: в и c. Схема состоит из трех ветвей, каждая из которых заключена между точками c и в. Первая ветвь включает в себя сопротивление R4, источник E1 и сопротивление R3, по которым проходит один и тот же ток. Обозначим его как I3 и будем считать, что ток идет по направлению часовой стрелки. Рис. 1.42 Вторая ветвь включает в себя одно сопротивление R4. Ток, идущий по нему, обозначим через I1 и будем считать, что он идет слева направо. Третья ветвь включает сопротивление R2 и источник E2. Будем считать, что ток по этой ветви идет справа налево, и обозначим его через I2. В схеме имеются три ветви, следовательно, имеются три различных тока: I1, I2, I3, которые и надо определить. Раз мы имеем две точки разветвления (п = 2), следовательно, по первому закону 45

Кирхгофа мы можем написать одно уравнение (n – 1) для точек разветвления в или c. Напишем это уравнение для точки в:

I1 + I 3 = I 2 . По второму закону Кирхгофа мы можем написать три уравнения, так как имеем три контура: первый – afвca , второй – afвkвca, третий – вkdcв. Но нам требуется (и мы можем написать) только два независимых уравнения согласно второму закону Кирхгофа. Напишем эти уравнения для первого и третьего контуров. Обходя первый и третий контуры по часовой стрелке, приписывая токам и ЭДС знаки плюс, когда их направления совпадают с направлением обхода, и знаки минус, когда их направления противоположны направлению обхода, получим два уравнения: для первого контура:

E1 = I 3 ( R4 + R3 ) − I1R1; для третьего контура:

E2 = I1R1 + I 2 R2 . Решая совместно ранее полученное уравнение по первому закону Кирхгофа и эти два уравнения, найдем токи I1 , I 2 , I 3 . Всегда следует проверять правильность решения составленных уравнений подстановкой полученных значений I1 , I 2 , I 3 в каждое начальное уравнение. Практические задания 1. По какой формуле подсчитывается сила взаимодействия электрических зарядов: 1)

Q1 ; 4 πε а R 2

2)

Q1 Q2 4 πε а R

2

;

3)

Q1 . 4 πε а R

2. На одной из вершин равностороннего треугольника находится заряд Q. Напряженность электрического поля в центре треугольника равна 4 В/м. Чему равна напряженность поля в центре треугольника, если: а) на двух других вершинах треугольника будут находиться электрические заряды того же знака и той же величины? б) на двух других вершинах будут находиться заряды такой же величины, но противоположного знака с зарядом Q? 3. Какие величины вычисляются по этим формулам:

1)

Q ; 4 πεа R 2

2)

Q1 Q2 ; 4 πεа R 2

4. Электрическое поле заряда Q имеет в точке в потенциал, равный 4 В. Чему будет равен потенциал в точке в, если: а) в точку с поместить заряд, равный заряду Q и того жe знака; б) в точку с поместить заряд, равный заряду Q, но противоположного знака. 46

3)

Q1 ; 4 πε а R

4)

U . l

5. В одной из вершин квадрата находится заряд Q, при этом потенциал электрического поля в центре квадрата равен 10 В. Чему равен потенциал в центре квадрата, если во всех вершинах его будут находиться заряды одного знака и одинаковой величины? 6. Какой конденсатор накопит наибольший заряд при одинаковом напряжении на них и при геометрических размерах, пропорциональных чертежу? 7. На каком конденсаторе будет наибольшее напряжение?

8. Какие величины вычисляются по этим формулам: εа S Q ; 2) ; d εl 9. Какой конденсатор имеет наибольшую емкость, если геометрические размеры пропорциональны чертежу? 1) U

10. На каком конденсаторе больше накоплено энергии?

будет

11. Напряжение на третьем конденсаторе равно 40 В. Чему равны напряжения на остальных конденсаторах и общее напряжение? 12. Электрическое поле второго конденсатора С2 обладает энергией в 100 Дж. Какой энергией обладает электрическое поле первого конденсатора С1? 13. Конденсаторы, соединенные по указанной схеме, имеют одинаковую емкость. Напряжение на втором конденсаторе составляет 60 В. Какое напряжение на первом конденсаторе?

47

Q ε S 3) а ; d

4)

QU . 2

14. Конденсаторы, соединенные по указанной схеме, имеют одинаковую емкость. Заряд на первом конденсаторе равен 12 мкК. Какой заряд на третьем конденсаторе?

15. Батареи собраны на одинаковых конденсаторах. Какая из них накопит наибольший заряд при одинаковом напряжении на батареях? 16. Батареи собраны из одинаковых конденсаторов. Какую из них можно подключить под наибольшее напряжение?

17. Батареи собраны из одинаковых конденсаторов. Какая из них имеет наибольшую емкость? 18. Какая из батарей конденсаторов обладает наибольшим запасом электрической энергии? (Конденсаторы имеют одинаковую емкость.) 19. Конденсаторы соединены по указанной схеме, при этом С1 = С2 = С4 = 6 мкФ, а С3 = 3 мкФ. Чему равна общая емкость батареи?

20. Конденсаторы соединены по указанной схеме. При этом С1 = 4 мкФ, C2 = 2 мкФ, С3 = 4 мкФ, С4 = 6 мкФ, С5 = 6 мкФ. Заряд на пятом конденсаторе равен 5 мкК. Чему равняется заряд всей батареи? 21. Конденсаторы соединены по указанной схеме. Заряд на шестом конденсаторе равен 20 мкК. Чему равно напряжение источника?

48

22. Конденсаторы соединены по указанной схеме. При этом C1 = C3 = C5 = C6 = 4 мкФ, а С2 = С4 = 2 мкФ. Напряжение на пятом конденсаторе (U5) равно 50 В. Чему равно напряжение источника? 23. Известно, что С1 = 4 мкФ, С2 = 8 мкФ, C3 = 8 мкФ. Что произойдет с величиной заряда на втором конденсаторе, если конденсаторы С1 и С3 поменять местами? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 24. Известно, что С1 = 12 мкФ, С2 = 12 мкФ, C3 = 6 мкФ. Что произойдет с напряжением на четвертом конденсаторе, если конденсаторы С1 и С3 поменять местами ? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 25. Какие величины вычисляются по этим формулам:

E 1) R; R + R0

U2 2) ; P

P U ; 4) . 2 l R ρ S 26. Какие величины вычисляются по этим формулам: UQ 1) ; t

P 2) 2 ; I

3)

U 3) UI ; 4) l . γS

27. Какие величины вычисляются по этим формулам:

E2 R I 1) UI ; 2) UQ ; 3) ; 4) ρ . 2 ( R + R0 ) S 28. Какие величины вычисляются по этим формулам: 1) I 2 Rt ; 2)

U2 E 2R t ; 3) ; ( R + R0 ) 2 R

29. Лампы рассчитаны на одно напряжение. Какая из них будет давать больше света?

49

4)

Il . γS

30. Что произойдет с общим током цепи, если увеличить сопротивление R3? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 31. На каком из трех сопротивлений выделяется наибольшее количество энергии? Ответ: 1) на сопротивлении R1; 2) на сопротивлении R2; 3) на сопротивлении R3. 32. Лампы рассчитаны на одинаковые напряжения. Какая из них будет давать больше света? Ответ: 1) лампа № 1; 2) лампа № 2; 3) лампа № 3. 33. Что произойдет с током в потребителе R2, если отключить потребитель R4? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 34. Что произойдет с нагрузкой на генераторе, если увеличить сопротивление R2? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 35. На изображенной на рисунке схеме поменяли местами сопротивления R1 и R2. Что стало с током в цепи? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 36. Что произойдет с напряжением на сопротивлении R1, если уменьшить величину сопротивления R3? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 37. Что произойдет с нагрузкой на генератор, если сопротивление R2 уменьшить? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

50

38. На каком участке цепи будет наибольший ток?

39. На каком из трех сопротивлений будет наибольшее напряжение?

40. На каком из трех сопротивлений выделяется наибольшее количество энергии?

41. Какая из этих схем собрана правильно?

а

б

42. В какой из трех схем мощность будет наибольшая при одинаковом общем токе в цепи, если сопротивления в схемах одинаковые? Ответ: 1) схема а; 2) схема б; 3) схема в. 43. Какая из этих схем собрана правильно?

а

б

в

а

б

в

в

44. По мере горения электрической лампочки часть металла с поверхности нити накала лампы испаряется и нить делается тоньше. Как изменяется вследствие этого мощность лампы? Ответ: 1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.

51

45. Что произойдет с напряжением источника, если сопротивление R1 увеличится? (E = const.) Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 46. Какой источник отдает максимум мощности?

а

б

в

47. В какой схеме вольтметр показывает электродвижущую силу источника?

а 48. На чертеже показаны графики изменения напряжения, сопротивления и мощности при изменении нагрузки от холостого хода до короткого замыкания. Какая из этих кривых изображает график изменения напряжения? 49. На чертеже показаны графики изменения напряжения, сопротивления и мощности при изменении нагрузки от холостого хода да короткого замыкания. Какая из этих кривых изображает график изменения мощности? 50. Что произойдет с током в сопротивлении R3, если уменьшить сопротивление R1? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 51. Какой величины будет сопротивление R4, если оба вольтметра показывают одинаковое напряжение?

52

б

в

52. Сопротивления R1, R2, R3 имеют одинаковую величину и соединены по схеме, изображенной на рисунке. На сопротивлении R2 выделилось 100 Дж тепла. Сколько выделилось тепла за это же время на сопротивлении R1? 53. На каком из трех сопротивлений выделяется наибольшее количество тепла?

54. Какая из трех схем выделяет наибольшее количество энергии, если сопротивления в схемах одинаковые?

а 55. Что произойдет с напряжением на потребителе R5, если замкнуть выключатель В? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 56. Что произойдет с напряжением источника, если уменьшить сопротивление R2? (E = const.) Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 57. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R4 уменьшить при неизменном напряжении источника? 58. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R3 увеличить при неизменном напряжении источника?

59. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R3 уменьшить при неизменном напряжении источника? 53

б

в

60. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R4 увеличить при неизменном напряжении источника? 61. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R4 увеличить при неизменном напряжении источника? 62. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R5 уменьшить при неизменном напряжении источника? 63. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R2 увеличить при неизменном напряжении источника? 64. Как соединены между собой сопротивления на схеме? Как изменятся (увеличатся или уменьшатся) токи в каждом сопротивлении, если сопротивление R4 увеличить при неизменном напряжении источника?

Глава 2. ОДНОФАЗНЫЙ И ТЕХФАЗНЫЙ ТОКИ 2.1. Переменный ток

2.1.1. Общие понятия и определения Переменный ток – это ток, изменяющийся с течением времени по величине и направлению. В общем случае переменный ток – сложный ток, изменения которого не подчиняются какой-либо закономерности (рис. 2.1). На практике чаще всего приходится иметь дело с периодическим током. Периодический ток – это переменный ток, изменения которого повторяются периоди54

Рис. 2.1

чески через равные промежутки времени, называемые периодом. Период обозначается буквой Т (рис. 2.2). Периодический ток вообще – ток сложной формы. Его изменения могут быть самыми различными, но у него уже есть определенная закономерность изменения: в каждый новый период он изменяется точно так же, как и в предыдущий. В технике обычно имеют дело с самым простым периодическим током – синусоидальным, изменения которого совершаются по закону синуса. Под термином «переменный ток» понимают ток синусоидальный. Все токи, изменяющиеся по любому другому закону (несинусоидальному), называют несинусоидальными токами. Рис. 2.2 На рис. 2.3. показан график синусоидального тока, на котором отмечены некоторые величины, характеризующие переменный ток. Значения тока в данный момент времени (например, в t1 , t2 , t3 , t 4 ), представленные на рис. 2.3 ординатами, которые заключены между графиками тока и осью абсцисс, называются мгновенными значениями i1 , i2 , i3 , i4 . Мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС обозначаются малыми буквами i, u , e . Среди мгновенных значений наибольшее значение синусоидальной величины называется амплитудой. Амплитуды тока, напряжения и ЭДС обозначаются большими буквами с индексом m ( I m , U m , Em ) . Период – это отрезок времени, по истечении которого изменения периодических величин повторяются. Период измеряется в секундах (с). Число периодов за 1 с называется частотой, обозначается буквой f и измеряется 1 Рис. 2.3 в герцах ( f = ). T При вращении проводника в равномерном магнитном поле с постоянной угловой скоростью ω в проводнике индуктируется синусоидальная ЭДС e = Em sin ωt . Если магнитное поле двухполюсное, то время одного оборота рамки равно периоду Т. Если генератор имеет p пар полюсов, то за один оборот совершается p периодов. Уравнение ЭДС (тока или напряжения) может иметь и другой вид. Все зависит от того, как выражать угловую скорость ω . Для двухполюсного генератора угловую скорость можно определить так: ω=

2π 360 , ω = 2πf , ω = , T T

тогда уравнения синусоидальной ЭДС или другой величины будут иметь следующий вид: e = Em sin ωt , e = Em sin

2π t , e = Em sin 2πft. T

Если вращать в магнитном поле не одну, а несколько рамок, жестко скрепленных между собою под некоторыми углами α1 , α 2 , α 3 , то ЭДС, индуктируемые в рамках, будут отличаться друг от друга только тем, что они будут достигать одноименных значений (одинаковых по названию) не одновременно, а в различные моменты времени. В этом случае говорят, что синусоидальные величины не совпадают по фазе – между 55

ними есть сдвиг фаз. Такие синусоидальные чины в начальный момент времени ( t = 0 ) будут иметь разные значения. Если синусоидальные величины имеют одинаковую частоту, но одноименных значений досРис. 2.5 тигают в различные моменты времени, то они не совпадают по фазе – между ними есть сдвиг фаз. Угол, определяющий значения синусоидальной величины в начальный момент времени, называется начальной фазой. Уравнения синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, имеют следующий вид:

e1 = Em sin(ωt + ψ1 ), e2 = Em sin(ωt + ψ 2 ), e3 = Em sin(ωt + ψ 3 ) . В этих уравнениях углы ψ1 , ψ 2 , ψ 3 являются начальными фазами. Угол сдвига фаз равен разности начальных фаз:

ψ12 = ψ1 − ψ 2 , ψ13 = ψ1 − ψ 3 , ψ 23 = ψ 2 − ψ 3 . Угол, определяющий значение синусоидальной величины в данный момент времени, называется фазой. В приведенных выше уравнениях для первой ЭДС (е1) фазой является угол ωt + ψ1 , для второй ЭДС (е2) – угол ωt + ψ 2 , для третьей ЭДС (е3) – угол ωt + ψ 3 . На рис. 2.4 приведены графики синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, отмечены углы начальных фаз и углы сдвига фаз. Любая периодическая величина полностью может быть охарактеризована некоторыми постоянными величинами, которые в этом случае называются ее параметрами. Так, Рис. 2.4 параметрами синусоидальных величин (тока, напряжения, ЭДС и др.) являются амплитуда, период или частота, начальная фаза или сдвиг фаз. Если мы знаем параметры синусоидальной величины, то мы знаем о ней все.

2.1.2. Векторное изображение синусоидальных величин В основу векторного изображения синусоидальных величин положено следующее: при вращении вектора длиною, равной амплитудному значению синусоидальной величины, против часовой стрелки со скоростью ω проекция вектора на вертикальную ось изменяется по закону синуса, т. е. по тому же закону, по какому изменяется мгновенное значение синусоидальной величины. Для векторного изображения синусоидальной величины вектор, равный ее амплитудному значению, откладывают к горизонтальной оси под углом, равным начальной фазе. Ток, представленный уравнением i = I m sin(ωt + ψ ) , векторно изображается так, как это показано на рис. 2.5. На рис. 2.6, б, в показано, как векторно находить сумму двух синусоидных величин, представленных векторами (рис. 2.6, а), применяя правило параллелограмма и треугольника (многоугольника).

56

а

б

в Рис. 2.6

На рис. 2.7, б, в, г показаны три способа нахождения разности синусоидальных величин, представленных векторно на рис. 2.7, а.

а

б

в

г Рис. 2.7

Эффективность действия переменного тока оценивается так называемым действующим, или эффективным, его значением. Действующее значение переменного тока равно такому значению постоянного тока, которое вызывает такой же тепловой эффект, как и рассматриваемый переменный ток. Для синусоидальных величин действующее значение равно амплитудному значению, деленному на 2 . Действующие значения тока, напряжения, ЭДС обозначаются такими же буквами, как и для постоянного тока:

Im U E , U= m, E= m . 2 2 2 2.1.3. Электрическое сопротивление I=

Сопротивление понимается как некоторое препятствие прохождению электрического тока. Эти препятствия могут иметь различную физическую сущность, а следовательно, и характер сопротивления бывает различным. Однако каким бы ни был характер сопротивления, на нем всегда теряется часть напряжения источника, что и является признаком наличия сопротивления на данном участке цепи. Из этого следует, что если на участке цепи теряется часть напряжения источника, то этот участок обладает сопротивлением. Напряжение на участке цепи может теряться по разным причинам. Одна из них состоит в том, что на участке цепи электрическая энергия преобразуется в другую форму энергии (тепловую, световую и т. д.). В данном случае говорят, что этот участок обладает активным сопротивлением. Для постоянного тока сопротивление определяется наличием физических носителей тока – электрических зарядов, способных перемещаться под 57

действием сил электрического поля. Если носителей тока (свободных электронов в твердых телах, ионов в жидкостях и газах) в единице объема данного вещества много, то тело обладает небольшим сопротивлением. Если же этих носителей тока мало, то тело обладает большим сопротивлением (при прочих равных условиях), так как во втором случае ток будет меньше, чем в первом. Активное сопротивление проводника переменному току больше сопротивления постоянному току из-за явления поверхностного эффекта – оттеснения тока из центра проводника к его поверхности. Благодаря этому уменьшается площадь поперечного сечения проводника для переменного тока по сравнению с постоянным током. Практически активное сопротивление подсчитывается по формуле

R=

P , I2

где P – мощность, потребляемая на данном участке цепи; I – действующее значение переменного тока. Активное сопротивление обозначается буквой R, а на чертеже знаком

.

2.1.4. Индуктивное сопротивление Если на участке цепи теряется часть напряжения источника на уравновешивание ЭДС самоиндукции, то говорят, что этот участок обладает индуктивным сопротивлением. Электродвижущая сила самоиндукции согласно правилу Ленца противодействует всякому изменению тока. Если по цепи течет переменный ток, то причиной возникновения ЭДС самоиндукции является именно изменение тока. ЭДС самоиндукции препятствует прохождению переменного тока, а внешне мы воспринимаем это как наличие некоторого сопротивления в данной цепи. Конечно, не надо отождествлять величину ЭДС с величиной индуктивного сопротивления, но несомненно, что это сопротивление и ЭДС прямо пропорциональны, так как ЭДС прямо пропорциональна произведению величины тока и индуктивного сопротивления. Индуктивное же сопротивление для линейных элементов не зависит от величины тока. Индуктивное сопротивление обозначается буквой X L , а на чертеже знаком . 2.1.5. Емкостное сопротивление Емкость влияет также на величину тока в цепи, следовательно, она проявляет себя как некоторое сопротивление. Для постоянного тока (рассматриваем только установившийся процесс) емкость обладает бесконечно большим сопротивлением. Это означает разрыв в цепи, так как тока в такой цепи не будет. Емкость, включенная в цепь переменного тока, уменьшает величину тока (рассматриваем случай, когда в цепи нет индуктивности). Когда напряжение сети растет, то конденсатор заряжается, накапливаемые заряды на обкладках конденсатора противодействуют вновь подходящим зарядам (одноименные заряды отталкиваются) и ток в цепи уменьшается. При уменьшении напряжения источника конденсатор разряжается – и этим поддерживает ток в цепи. Следовательно, конденсатор противодействует изменению тока, т. е. он противодействует прохождению переменного тока, а это мы и воспринимаем как определенное сопротивление. Сопротивление конденсатора называется емкостным сопротивлением и обозначается буквой X c , а на схеме знаком --||--. 58

2.1.6. Цепь переменного тока только с активным сопротивлением В данной цепи отсутствуют индуктивность и емкость, а имеется только активное сопротивление, преобразующее электрическую энергию в другой вид энергии (рис. 2.8). При напряжении источника u = U m sin ωt ток в U U цепи i = = m sin ωt = I m sin ωt совпадает по фазе с R R U напряжением. Здесь I m = m является амплитудой R тока. Разделив обе части равенства на 2 , получим

I=

Рис. 2.8

U , R

т. е. для этой цепи и действующих значений тока и напряжения формула закона Ома имеет такой же вид, как и для постоянного тока. Мгновенная мощность в цепи только с активным сопротивлением всегда положительна: P = I m sin ωt ⋅ U m sin ωt = I mU m sin 2 ωt = Pm sin 2 ωt .

Это означает, что электрическая энергия всегда направляется от источника к потребителю, где и преобразуется в другие виды энергии. Средняя мощность Р – отношение энергии, израсходованной за период ( AT ), к продолжительности периода – равна произведению действующего значения тока на действующее значение напряжения: T

P=

T

∫ pdt ∫ U

AT 0 = T T

=

I sin 2 ωtdt

m m

0

T

= UI ,

На рис. 2.9 показаны графики напряжения, тока и мощности этой цепи, а также векторная диаграмма тока и напряжения. Рис. 2.9

2.1.7. Цепь переменного тока только с индуктивностью При прохождении по такой цепи тока i = I m sin ωt (рис. 2.10) в цепи возникает ЭДС саdi моиндукции e = − L , прямо пропорциональная dt ~ скорости изменения тока. При синусоидальном изменении тока (рис. 2.11) наибольшая скорость его будет в момент прохождения тока через нулевые значения, и ЭДС Рис. 2.10 в эти моменты будет наибольшая. При наибольшем значении тока I m скорость его изменения равна нулю, и ЭДС в эти моменты време-

59

ни тоже будет равна нулю. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции препятствует всякому изменению тока, благодаря чему в моменты нарастания тока она всегда действует навстречу току (ток и ЭДС будут иметь разные знаки). В моменты убывания тока ЭДС действует в том же направлении, что и ток (ток и ЭДС будут иметь одинаковые знаки). Согласно второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи будем иметь u + eL = iR = 0.

Тогда

u = − eL = L

di . dt

Поскольку

i = I m sin ωt , то u=L

dI m sin ωt = I m ωL cos ωt . dt

При cos ωt = 1 напряжение будет максимальным, т. е. u = U m = I m ωL , и значение напряжения в любой момент времени можно записать так:

π u = U m cos ωt = U m sin(ωt + ). 2 Другими словами, в чисто индуктивной цепи напряжение опережает ток на четверть периода, а ЭДС будет противоположна по фазе напряжению и будет отставать по фазе от тока на четверть периода. Так как

U m = I m ωL , Um Im = ωL , 2 2 то I=

U U , = ωL X L

при этом величина X L = ωL = 2πfL называется индуктивным сопротивлением.

Рис. 2.11

60

На рис. 2.11 приведены графики тока, магнитного потока, ЭДС самоиндукции, напряжения, а также изображена векторная диаграмма тока, ЭДС и напряжения чисто индуктивной цепи. Указанные графики иллюстрируют изложенный выше физический процесс, происходящий в данной цепи.

2.1.8. Мгновенная мощность в цепи только с индуктивностью

Мгновенная мощность равна произведению мгновенного значения тока на мгноU I венное значение напряжения, т. е. p = ui = U m cos ωt ⋅ I m sin ωt = m m sin 2ωt = UI sin 2ωt . 2 Она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой по сравнению с частотой тока и напряжения (рис. 2.12). Из уравнения мощности p = UI sin 2ωt видно, что мощность бывает положительной и отрицательной. Электрическая энергия направляется к потребителю, когда мощность положительная. Если же мощность отрицательная, то энергия направляется от потребителя к источнику. Средняя мощность такой цепи равна нулю, т. е. T

∫ pdt

A Pcp = T = 0 T T

Рис. 2.12

T

=

∫ UI sin 2ωt 0

T

=0.

Другими словами, в этой цепи нет расхода энергии, а есть только обмен энергией между источником и потребителем. На рис. 2.12 приведены графики напряжения, тока и мощности чисто индуктивной цепи.

2.1.9. Последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности

При последовательном соединении ток во всех участках цепи один и тот же и равен I А (рис. 2.13). Напряжение, теряемое на активном сопротивлении, совпадает по фазе с током и равно U R . Это напряжение называется активным падением напряжения U. Рис. 2.13 Напряжение на индуктивном сопротивлении будем обозначать как U L . Оно опережает по фазе ток на четверть периода и равно IX L . Общее напряжение при последовательном соединении равно сумме напряжений на отдельных участках. Поскольку расчет ведется для действующих значений, то эта сумма будет геометрической, т. е. напряжения надо складывать векторно (рис. 2.14). Полученный треугольник называется треугольником напряжений. Из него видно, что при последовательном соединении активного сопротивления и индуктивности общее напряжение опережает ток на угол ϕ . В этой цепи активное падение напряжения, индуктивное падение напряжения и общее напряжение связаны как стороны прямоугольного треугольника, т. 61

е. U = U a2 + U L2 = ( IR) 2 + ( IX L ) 2 = I R 2 + X L2 , откуда

I=

U R 2 + X L2

.

Рис. 2.14

Величина, стоящая в знаменателе, имеет размерность сопротивления, обозначается буквой z и называется полным сопротивлением. Последняя формула I=

U R +X 2

2 L

=

U z

выражает закон Ома для данной цепи. Если каждую сторону треугольника напряжений разделить на ток, то получится треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений (рис. 2.15). Из треугольника сопротивлений следует: z = R 2 + X L2 , R = z 2 − X L2 , R X X L = z 2 − R 2 , cos ϕ = , sin ϕ = L . z z

Рис. 2.15

т. е. активное, индуктивное и полное сопротивления связаны между собой как стороны прямоугольного треугольника. Если каждую сторону треугольника напряжений умножить на ток (а треугольник сопротивлений на квадрат тока), то получится треугольник мощностей (рис. 2.16), где P = U a I = I 2 R = S cos ϕ = UI cos ϕ – активная мощность, которая показывает количество электрической энергии, ежесекундно преобразуемой в другой вид энергии, Вт; S = UI = I 2 z – полная, или кажущаяся, мощность, которая показывает количество электрической энергии, ежесекундно доставляемой электромагнитным полем потребителю. Измеряется она в вольт-амперах (ВА). Множитель cos ϕ называется коэффициентом мощности и характеризует степень использования энергии электромагнитного поля потребителем: Рис. 2.16 cos ϕ =

Ua R P = = . U z S

Величина Q = U L I = I 2 X L = S sin ϕ = UI sin ϕ – реактивная мощность, измеряемая в вольт-амперах реактивных (ВАр). Она характеризует скорость обмена энергией между источником и потребителем.

2.1.10. Последовательное соединение нескольких разнородных сопротивлений Пусть будут соединены последовательно две катушки индуктивности, каждая из которых обладает как активным, так и индуктивным сопротивлением (рис. 2.17). Ток во всех участках цепи одни и тот же.

62

Рис. 2.17

При его прохождении на всех участках цепи создаются падения напряжения, которые соответственно определяются по формулам

U a1 = IR1 , U L1 = IX L1 , U a 2 = IR2 , U L 2 = IX L 2 , причем активные падения напряжения U a1 и U a 2 совпадают по фазе с током, а индуктивные напряжения U L1 и U L 2 опережают ток по фазе на четверть периода. Чтобы найти общее напряжение, сложим векторно все напряжения в такой же последовательности, как это изображено на схеме (рис. 2.17). В результате получим векторную диаграмму, изображенную на рис. 2.18, из которой следует: oв = (oa) 2 + (aв ) 2 , где oв = U , oa = U a1 + U a 2 , aв = U L1 + U L 2 . Следовательно,

Рис. 2.18

U = (U a1 + U a 2 ) 2 + (U L1 + U L 2 ) 2 .

Так как U a1 = IR1 , U a 2 = IR2 , U L1 = IX L1 , U L 2 = IX L 2 , то U = ( IR1 + IR2 ) 2 + ( IX L1 + IX L 2 ) 2 = I ( R1 + R2 ) 2 + ( X L1 + X L 2 ) 2 . Решение этого уравнения относительно тока дает формулу закона Ома для этой цепи I=

U ( R1 + R2 ) 2 + ( X L1 + X L 2 ) 2

=

U . z

Обобщая последнее выражение для какого угодно числа разнородных сопротивлений, можно записать: z = (∑ R ) 2 + (∑ X L ) 2 .

Иначе говоря, общее сопротивление при последовательном соединении разнородных сопротивлений равно квадратному корню из квадрата суммы активных сопротивлений плюс квадрат суммы индуктивных (реактивных) сопротивлений.

2.1.11. Цепь переменного тока только с емкостью В данной цепи отсутствуют активное сопротивление и индуктивность – имеется только емкость (рис. 2.19).

63

Рис. 2.19

При напряжении u = U m sin ωt , приложенном к цепи, ток, определяемый по формуле dq Cdu CdU m sin ωt i= = = = CU m ω cos ωt , dt dt dt будет опережать по фазе напряжение на четверть периода. При cos ωt = 1 ток будет наибольшим:

i = I m = U m ωC .

Тогда значение тока в любой момент времени можно записать как π i = I m cos ωt = I m sin(ωt + ) , 2 где амплитуда тока

I m = U m ωC . Разделив обе части последнего равенства на

2 , получим

Im Um = ωC , 2 2 или U U = , 1 XC ωC где последние равенства выражают закон Ома для чисто ем1 1 = костной цепи. Выражение имеет размерность соωC 2πfC противления и называется емкостным сопротивлением. Оно обратно пропорционально частоте и емкости, что графически представлено на рис. 2.20. Мгновенная мощность в чисто емкостной цепи, опредеРис. 2.20 ляемая по формуле U I π p = ui = U m sin ωt ⋅ I m sin(ωt + ) = U m I m sin ωt cos ωt = m m sin 2ωt , 2 2 изменяется по закону синуса с двойной частотой. Средняя мощность в этой цепи, определяемая по формуле I = UωC =

T

∫ pdt

T

∫0 UI sin 2ωt AT 0 = = Pcp = , T T T равна нулю. В цепи, содержащей только емкость, нет расхода энергии, а есть только обмен энергией между источником и потребителем. На рис. 2.21 показаны Рис. 2.21 графики и векторная диаграмма напряжения и тока, а также график мощности в цепи, содержащей только емкость. По графикам видно, что в первую четверть периода напряжение растет, конденсатор заряжается, растет и энергия электрического поля конденсатора. Когда напряжение достигнет максимума, энергия CU m2 поля WC = Дж. Во вторую четверть периода конденсатор разряжается, электриче2 ское поле убывает, убывает и накопленная в первую четверть периода энергия, которая отправляется обратно к источнику. В третью четверть периода будет то же, что и в первую четверть, только полярность электрического поля конденсатора будет обратной. 64

2.1.12. Последовательное соединение активного сопротивления и емкости На рис. 2.22 показана цепь с последовательным соединением активного сопротивления и емкости. Напряжение на активном сопротивлении называется активным падением напряжения. Оно обозначается как U a и по закону Ома равно произведению тока на активное сопротивление. Это напряжение совпадает по фазе с током. Напряжение на емкости называется емкостным падением напряжения и по закону Ома равно произведению тока на емкостное сопротивление:

Рис. 2.22

U C = IX C . Емкостное напряжение отстает по фазе от тока на четверть периода. Общее напряжение U равно сумме напряжений на последовательно соединенных сопротивлениях. Так как расчет ведется для действующих значений, то это должна быть геометрическая сумма. На рис. 2.23 она представлена как сумма векторов напряжений U a и U c . Полученный прямоугольный треугольник называется треугольником напряжений. Из данной векторной диаграммы следует, что при последовательном соединении активного сопротивления и емкости напряжение отстает по фазе от тока на угол ϕ . Активное, реактивное и полное напряжения связаны между собой как Рис. 2.23 стороны прямоугольного треугольника. На основании того же треугольника напряжений можно написать следующее: U = U a2 + U c2 = ( IR ) 2 + ( IX c ) 2 = I R 2 + X c2 , I =

U R +X 2

2 c

=

U . z

Последнее равенство выражает закон Ома для этой цепи, где z = R 2 + X C2 является полным сопротивлением. Если каждую сторону треугольника напряжений разделить на ток, то получим треугольник сопротивлений (рис. 2.24). Из этого треугольника следует: z = R 2 + X C2 , r = z 2 − X C2 , X C = z 2 − R 2 , cos ϕ =

Рис. 2.24

R X , sin ϕ = C . z z

Рис. 2.25

Если каждую сторону треугольника напряжений умножить на ток (а треугольник сопротивлений умножить на квадрат тока), то получим треугольник мощностей (рис. 2.25). 65

2.1.13. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости На рис. 2.26 изображена рассматриваемая цепь. Здесь возможны три характерных случая, каждый из которых следует рассмотреть отдельно. 1. X L > X C . Напряжения на каждом сопротивлении подсчитываются по известным формулам U a = IR, U L = IX L , U C = IX C .

Общее напряжение находится как геометрическая сумма напряжений на отдельных участках. Сложение целесообразно вести по правилу многоугольника (рис. 2.26). Одним катетом получившегося прямоугольного треугольника является разность индуктивного и емкостного падений напряжений, которая называется реактивным напряжением:

Рис. 2.26

U p = U L −UC . Поскольку U L = IX L , U C = IX C ,

следовательно, U P = IX L − IX c = I ( X L − X c ) = IX . Разность индуктивного и емкостного сопротивлений обозначается буквой X и называется реактивным сопротивлением. Нетрудно видеть, что X L и X c являются частными случаями реактивного сопротивления, поэтому они часто называются реактивными сопротивлениями соответственно индуктивности или емкости. На реактивном сопротивлении, в отличие от активного сопротивления, нет расхода энергии. Из построенной векторной диаграммы (рис. 2.27) следует:

Рис. 2.27

U = U a2 + U P2 = ( IR ) 2 + ( IX ) 2 = I R 2 + X 2 ,

откуда I=

U R +X 2

2

=

U R + (X L − XC ) 2

2

=

U R 2 + ( ωL −

1 2 ) ωC

=

U . z

Последнее равенство выражает закон Ома для общего случая последовательного соединения. Ранее полученные выражения закона Ома были частными случаями. Активная и полная мощности для такой цепи подсчитываются по тем же формулам, которые указывались ранее. Реактивная мощность в общем случае подсчитывается по формуле Q = U P I = I 2 X = S ⋅ sin ϕ = UI ⋅ sin ϕ . Физический смысл полной, активной и реактивной мощностей такой же, какой приводился ранее. Треугольник мощностей показан на рис. 2.28. 2. X C > X L . Рис. 2.28

66

Находим напряжения на каждом сопротивлении: U a = IR, U L = IX L , U C = IX C . Так как X C > X L , то U C > U L . Общее напряжение найдем как геометрическую сумму напряжений на каждом участке, для чего построим векторную диаграмму напряжений (рис. 2.29). Из векторной диаграммы напряжений видно, что в этой цепи ток опережает напряжение по фазе на угол ϕ . Первым катетом получившегося прямоугольного треугольника является активное падение напряжения U a = IR . Вторым катетом прямоугольного треугольника является разность индуктивного и емкостного напряжений, которая называется реактивным напряжением. Это напряжение принято рассчитывать по формуле U p = U L −UC .

Рис. 2.29

В данном случае оно получится отрицательным, что и будет указывать на преобладание емкостного сопротивления над индуктивным. Если же реактивное напряжение будет со знаком плюс, то это указывает на то, что индуктивное сопротивление больше емкостного. Так как U L = IX L , а U c = IX c , то U p = IX L − IX C = I ( X L − X C ) = IX , где X = X L − X C называется реактивным сопротивлением. В данном случае оно будет иметь знак минус, что опять указывает на преобладание емкостного сопротивления над индуктивным. Если же реактивное сопротивление положительное, то индуктивное сопротивление больше емкостного. Общее напряжение найдем из прямоугольного треугольника: U = U a2 + U P2 = ( IR ) 2 + ( IX ) 2 = I R 2 + X 2 .

Решим это уравнение относительно тока I . В итоге получим выражение U U U U I= = = = . 2 2 2 2 z 1 2 R +X R + (X L − XC ) ) R 2 + ( ωL − ωC Последние равенства выражают закон Ома для данной цепи. Вид этих формул такой же, какой получен в условии X L > X C . Это указывает на то, что наконец получена формула закона Ома, выражающая общий случай и пригодная для расчета любой последовательной цепи. Здесь R = ∑ R , X L = ∑ X L , X C = ∑ X C , а под полным сопротивлением

z надо понимать следующее: z=

∑R

2

+ (∑ X L − ∑ X C ) 2 .

3. X L = X C (резонанс напряжений). При X L = X C будем иметь следующие равенства: U a = IR, U L = IX L , U C = IX C , U L = UC ,

U P = U L − U C = 0,

U = U a2 + U p2 = U a ,

X = X L − X C = 0,

z = R 2 + X 2 = R,

R = 1, ϕ = 0. z В такой цепи ток и напряжение совпадают по фазе. Цепь по отношению к источнику ведет себя так, как будто бы в ней нет ни индуктивности, ни емкости. На рис. 2.30 приведена векторная диаграмма и графики напряжений и тока данной цепи. Рассмотренный случай получил название резонанса напряжений. cos ϕ =

67

Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении индуктивности и емкости, если индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению. Это означает равенство энергий магнитного и электрического полей. Равенство энергий обусловлено равенством реактивных мощностей индуктивности и емкости:

Рис. 2.30

PL = I 2 X L , PC = I 2 X C . Поскольку сопротивления равны ( X C = X L ) , а ток один и тот же, то и мощности будут равны ( PL = PC ) . При резонансе напряжений общее напряжение равно напряжению на активном сопротивлении. Общее сопротивление равно активному сопротивлению, ток и напряжение совпадают по фазе. При резонансе напряжений напряжения на индуктивности и емкости могут быть во много раз больше напряжения источника, что является вредным в технике сильных токов, так как возможен пробой изоляции трансформаторов, реакторов и кабелей. В технике слабых токов (радиотехнике) на использовании резонанса напряжений работает целый ряд устройств. 2.1.14. Физическая сущность явлений, возникающих при резонансе Если электрическая цепь обладает индуктивностью, то она сосредоточивает магнитное поле. В такой цепи напряжение опережает ток на угол ϕ . В цепи, обладающей емкостью, сосредоточивается электрическое поле. В такой цепи ток опережает напряжение на угол ϕ . Следовательно, действие магнитного поля противоположно действию электрического поля на фазовые соотношения тока и напряжения. Если же цепь одновременно обладает индуктивностью и емкостью, то в ней сосредоточиваются магнитное и электрическое поля. Действие одного поля (например, магнитного) здесь компенсируется действием другого поля (электрического). Если же энергии этих полей равны, то действие одного поля полностью компенсируется действием другого поля и цепь носит чисто активный характер, что и имеет место при резонансе напряжений. В этом случае с ростом тока растет магнитное поле, а напряжение на конденсаторе уменьшается, как уменьшается и электрическое поле (ток и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе на четверть периода). Когда ток будет максимальным, энергия магLI 2 нитного поля достигнет максимума ( m ), напряжение конденсатора станет равным ну2 лю и электрическое поле исчезнет. Затем ток в цепи начнет уменьшаться – уменьшается и магнитное поле. Напряжение же на конденсаторе начнет расти, при этом увеличивается и электрическое поле. Когда ток станет равным нулю, магнитное поле исчезнет. Но в это время напряжение на конденсаторе достигнет наибольшего значения и энергия CU m2 ), после чего процесс повторится. Друэлектрического поля достигнет максимума ( 2 гими словами, происходит непрерывный процесс преобразования магнитного поля в электрическое и наоборот. В такой цепи источник энергии не участвует в обмене энергией ни с емкостью, ни с индуктивностью, из-за чего и нет сдвига фаз между током и напряжением. Обмен энергией происходит только между емкостью и индуктивностью. 68

2.1.15. Получение резонанса напряжений 1 . В последнее раωC венство входят три независимые друг от друга величины: частота, индуктивность и емкость. Изменяя одну из трех величин при неизменных двух других, рано или поздно можно достигнуть резонанса. Заранее можно подсчитать, при какой частоте наступит резонанс при неизменных 1 индуктивности и емкости: ωp = . Соответственно, можно найти резонансную инLC 1 1 дуктивность ( Lp = 2 ) и емкость (Cp = 2 ) . ωC ωL Посмотрим, что будет с параметрами цепи ( R, X L , X C , X , z, I ), если изменять одну из указанных величин (частоту, индуктивность или емкость). Рассмотрим получение резонанса изменением частоты в цепи (рис. 2.32). Активное сопротивление вообще с ростом частоты увеличивается. Однако в тех пределах, в каких приходится изменять частоту, оно остается практически неизменным, что изображено прямой, которая почти параллельна оси абсцисс (рис. 2.31). Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и представляет прямую, проходящую через начало координат, угол наклона которой определяется величиной индуктивности L . Резонанс напряжений возникает при X L = X C , т. е. при ωL =

Рис. 2.31

Рис. 2.32

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте X C =

1 , что изоωC

бражено соответствующей кривой (рис. 2.31). Реактивное сопротивление X = X L − X C представляется ординатами, заключенными между графиками сопротивлений X L и X C (рис. 2.31). Полное сопротивление Z = R 2 + X 2 будет изменяться с изменением реактивного сопротивления, так как активное сопротивление неизменно. При ω = 0 полное сопротивление Z стремится к ∞, в момент резонанса Z = R, а затем Z будет расти, что изображено соответствующим графиком (рис. 2.31). Ток в цепи при неизменном напряжении обратно пропорционален сопротивлению Z : I=

U . Z

Характер изменения всех величин при изменении ω показан на рис. 2.31, в соответствии с которым при подходе к резонансу общее сопротивление уменьшается, в момент резонанса оно становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а затем возрастает. Ток в цепи при подходе к резонансу увеличивается, в момент резонанса достигает наибольшего значения, а затем уменьшается. При частоте меньше резонанс69

ной цепь носит емкостный характер ( X C > X L ) , после резонанса – индуктивный характер ( X L > X C ) , а в момент резонанса – чисто активный (Х = 0). Изменения тех же величин при получении резонанса изменением индуктивности и емкости показаны на рис. 2.33, 2.34.

Рис. 2.33

Рис. 2.34

2.1.16. Треугольник токов При последовательном соединении ток на всех участках цепи один и тот же, общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных участках. Чтобы легче найти общее напряжение, были введены понятия активного и реактивного напряжений. Активное, реактивное и полное напряжения связаны между собою как стороны прямоугольного треугольника. При параллельном соединении напряжение на участках цепи одно и то же, а общий ток равен сумме токов отдельных ветвей. Токи в ветвях в зависимости от характера потребителей могут иметь различный угол сдвига фаз по отношению друг к другу и напряжению сети. Для удобства нахождения общего тока и рассмотрения процессов, происходящих в электрической цепи, введено понятие активных и реактивных токов. Пусть общий ток и напряжение двух цепей представлены векторами (рис. 2.35). Для обоих случаев разложим общий ток на две составляющие. Одну составляющую найдем как проекцию общего тока на вектор напряжения, и эта составляющая называется активным током I a . Активный ток – это такой ток, который совпадает по фазе с напряжением. Другую составляющую найдем как проекцию вектора тока на направление, перпендикулярное вектору напряжения. Эта составляющая называется реактивным током ( I p ) . Реактивный ток – это ток, сдвинутый по фазе на четверть периода по отношению к напряжению (рис. 2.35). На рис. 2.35, а реактивный ток отстает от напряжения по фазе. Отставание тока от напряжения по фазе на Рис. 2.35 четверть периода возможно только в чисто индуктивной цепи, поэтому такой ток называют индуктивным током и обозначают как I L . На рис. 2.35, б реактивный ток опережает по фазе напряжение на четверть периода. Опережение по фазе тока относительно напряжения на четверть периода возможно только в чисто емкостной цепи. Этот ток обозначают через I C и называют емкостным током. Изобразив отдельно общий ток и его составляющие, получим треугольник токов (рис. 2.36). Из треугольника токов следует: I = I a2 + I p2 , I a = I cos ϕ, I p = sin ϕ ,

т. е. активный, реактивный и полный токи связаны между собою как стороны прямоугольного треугольника. Рис. 2.36 Воспользуемся вышеизложенными рассуждениями для расчета U цепи, изображенной на рис. 2.37, а. Ток I1 , равный , будет током активным: R I1 = I a = 70

U . R

U , будет током реактивным, отстаюXL щим по фазе от напряжения на четверть периода: I 2 = I L . Ток U I3 = будет также реактивным током, но опережающим XC напряжение на четверть периода, т. е. I 3 = I C . Изобразим эти токи на векторной диаграмме (рис. 2.37, б). Чтобы найти общий ток, надо сложить три тока: I a , I L и I C . Для этого найдем вначале общий реактивный ток, который в общем случае равен разности индуктивного и емкостного токов: Ток I 2 , равный

Рис. 2.37

I p = I L − IC . Теперь ясно, что общий ток как гипотенуза прямоугольного треугольника, равен

I a2 + I p2 . Для расчета цепи при параллельном соединении потребителей используют введенное понятие об активных и реактивных токах. Для этого в каждой ветви находят следующие величины: zi = (∑ Ri ) 2 + (∑ X L − ∑ X C ) 2 , cos ϕi =

∑ R , sin ϕ = ∑ X i

zi

i

zi

i

.

После этого можно найти токи в ветвях и их активные и реактивные составляющие: U I i = , I ai = I i cos ϕi , I pi = I i sin ϕi . zi

Затем найдем общий активный ток как арифметическую сумму активных токов отдельных ветвей:

I a = I a1 + I a 2 + .... + I an . Общий реактивный ток равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей: I p = I p1 ± I p 2 ± .... ± I pn . Теперь можно найти и общий ток:

I = I a2 + I p2 .

2.1.17. Проводимости в цепях переменного тока

Из закона Ома для постоянного тока известно, что ток прямо пропорционален приложенному напряжению и проводимости цепи. Это положение целиком применимо и к переменному току. Общий ток определяется как I = Uy ,

где y – полная проводимость. Активный ток вычисляется по формуле I a = Ug ,

где g – активная проводимость. 71

Реактивный ток определяется как I p = Ub ,

где b – реактивная проводимость. Из этого следует, что общий ток и его активная и реактивная составляющие прямо пропорциональны напряжению, приложенному к соответствующим проводимостям. Установим соотношения между сопротивлениями и проводимостями: R U R 1 U = U 2 = Ug ; I = = Uy , или y = ; I a = I cos ϕ = z z Z Z Z X U X = U 2 = Ub; I p = I sin ϕ = Z Z Z или R R X X , b= 2 = 2 . g= 2 = 2 2 Z R +X Z R +X2 Интересно отметить, что при R << x с ростом активного сопротивления активный ток растет, что видно из формулы R . I a = Ug = U 2 R +X2 При R >> x реактивный ток растет при увеличении реактивного сопротивления, что видно из формулы x . I p = Ub = U 2 R + x2 Если каждую сторону треугольника токов разделить на напряжение, то получим треугольник проводимостей (рис. 2.38). Из треугольника проводимостей имеем

y = g 2 + b2 , g = y 2 − b2 , b = y 2 − g 2 .

Рис. 2.38

При расчете цепи методом проводимостей активную проводимость цепи находят как арифметическую сумму проводимостей отдельных ветвей, реактивную проводимость – как алгебраическую сумму проводимостей ветвей. Полную проводимость подсчитывают по формуле y = g 2 + b2 . 2.1.18. Резонанс токов

Резонанс токов, как и резонанс напряжений, возникает в электрической цепи при равенстве энергий магнитного и электрического полей: LI m2 CU m2 . = 2 2

В данном случае действие магнитного поля полностью скомпенсировано действием электрического поля. В результате этого отсутствует обмен энергией между источником и потребителем, ток и напряжение совпадают по фазе, cos ϕ = 1, ϕ = 0 , т. е. цепь носит чисто активный характер. Резонанс напряжений возникает в цепи, в которой участки, сосредоточивающие магнитное и электрическое поля, соединены последовательно. Резонанс же токов возникает в цепи, когда эти участки соединены параллельно, в результате чего при подходе к резонансу токов и напряжений цепи ведут себя по-разному. 72

При подходе к резонансу напряжений ток в цепи растет, и в момент резонанса он достигает наибольшего значения. При подходе к резонансу токов общий ток в цепи уменьшается, и в момент резонанса он достигает наименьшего значения. При подходе к резонансу напряжений общее сопротивление цепи уменьшается, и в момент резонанса оно достигает минимума. При подходе в резонансу токов общее сопротивление цепи растет, и в момент резонанса оно достигает максимума. 2.1.19. Резонанс токов в идеальном контуре

Схема идеального контура, т. е. электрической цепи без потерь ( R = 0 ), приведена на рис. 2.39. Токи в ветвях находим по формулам

IL =

U U , IC = . XL XC

Пусть X L > X C . Это означает, что I L < I C , мощность Рис. 2.39 магнитного поля ( PL = UI L ) меньше мощности электрического поля ( PC = UI C ) . Общий ток равен разности токов I L − I C (рис. 2.40, а). Если уменьшать X L , то ток I L будет расти. При X L = X C токи I L и I C станут равными ( I L = I C ). Это же произойдет и с мощностями магнитного и электрического полей. В цепи наступит резонанс токов. Общий ток, равный разности токов ( I L − I C ) , станет равным нулю (рис. 2.40, б). Если продолжать уменьшать X L , то ток I L будет расти, при этом начнет расти и общий ток, равный разности токов: I L − I C = I (рис. 2.40, в).

а

б

в

Рис. 2.40

Исходя из данного примера можно сделать вывод, что при подходе к резонансу токов общий ток уменьшается, следовательно, общее сопротивление растет. В момент резонанса общий ток достиг нуля (в идеальном контуре), следовательно, общее сопротивление достигает наибольшего значения (в идеальном контуре оно равно бесконечности). При резонансе токов происходит следующее: с ростом напряжения конденсатор заряжается, ток в конденсаторе уменьшается. При u = U m ток станет равным нулю, энергия электрического поля достигнет максимума: CU m2 . 2 73

Затем напряжение, изменяясь по закону синуса, уменьшится. Конденсатор начнет разряжаться через индуктивность. По мере уменьшения напряжения электрическое поле будет убывать, ток – расти. Будет расти и энергия магнитного поля. При U = 0 ток ста⎛ LI m2 ⎞ ⎟⎟ , нет максимальным ( i = I m ). Энергия магнитного поля достигнет максимума ⎜⎜ 2 ⎝ ⎠ а энергия электрического поля станет равной нулю. Вслед за этим ток начнет уменьшаться. Возникающая ЭДС самоиндукции стремится поддерживать ток, протекающий в том же направлении, и конденсатор начнет заряжаться. По мере того, как уменьшается ток, напряжение будет расти, а конденсатор станет заряжаться. При этом энергия электрического поля растет, а энергия магнитного поля убывает. При u = U m ток равен нулю. ⎛ CU 2 ⎞ ⎟⎟ , а магнитного поля не будет. Энергия электрического поля достигнет максимума ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ После этого процесс повторится. В данном случае происходит непрерывное преобразование электрического поля в магнитное и наоборот, что и является формой существования электромагнитного поля.

2.1.20. Резонанс токов в реальном контуре Реальный контур изображен на рис. 2.41. Такой контур содержит активное сопротивление RL в индуктивной ветви, а также сопротивление RC в емкостной цепи. Резонанс возникает при равенстве энергий магнитного и электрического полей, что соответствует равенству PL = PC , т. е. UI L = UI C , откуда I L = I C . При резонансе токов равны реактивные токи катушки индуктивности и конденсатора. Обычно в резонансных контурах активное сопротивлеРис. 2.41 ние катушки индуктивности значительно больше активного сопротивления конденсатора, вследствие чего активный ток катушек индуктивности I1a больше активного тока конденсатора I 2 a . С другой стороны, реактивное сопротивление катушки больше ее активного сопротивления, в результате чего реактивные токи I L и I C больше активных токов ветвей (рис. 2.42). Так как реактивный ток цепи, определяемый разностью реактивных токов в ветвях ( I p = I L − I C ) , равен нулю, то Рис. 2.42

общий ток цепи I = I a2 + I p2 = I a будет чисто активным и равным сумме активных токов ветвей: I = I a = I1a + I 2 a .

Наличие активного тока в цепи означает поглощение контуром электрической энергии, которая преобразуется в тепло на активных сопротивлениях контура. Благодаря непрерывному возмещению потерь энергий в контуре за счет энергии источника в реальном контуре происходит непрерывный процесс преобразования энергии магнитного поля в электрическое, т. е. поддерживается непрерывный колебательный процесс.

74

2.1.21. Резонансное сопротивление контура Сопротивление контура току источника называется резонансным сопротивлением z p . Величина его будет найдена из уравнения zp =

U . I

При резонансе общий ток является активным током: I = I1a + I 2 a . Он практически равен активному току катушки индуктивности из-за малой величины активного тока конденсатора, из чего следует: zp =

U U = . I a I1a

В свою очередь, I1a = I1 cos ϕ1 , U R ; cos ϕ1 = L . z1 z1 Следовательно,

где I1 =

zp =

U z 2 R 2 + ( ωL ) 2 U = = 1 = L . I1 cos ϕ1 U RL RL RL z1 z1

Ранее указывалось, что RL меньше ωL , поэтому RL2 значительно меньше (ωL) 2 . Не будет большой ошибки, если величиною RL2 в последнем равенстве пренебречь. Тогда zp =

(ωL) 2 . RL

Это и есть одна из формул, по которой можно подсчитать резонансное сопротивление контура, обозначаемое в радиотехнике через Roe . Следует подчеркнуть, что условием резонанса токов является равенство реактивных токов в ветвях ( I L = I C ) , но это не означает равенства реактивных сопротивлений ветвей X L и X C . U , Действительно, если I L = I1 sin ϕ1 , I C = I 2 sin ϕ 2 и I1 sin ϕ1 = I 2 sin ϕ 2 , I1 = Z1 X U X I2 = , sin ϕ1 = L , sin ϕ2 = C , то Z1 Z2 Z2 U X L U XC = , z1 z1 z2 z2

X L XC = 2 . Знаменатели в последнем z12 z2 равенстве не равны, так как всегда в момент резонанса I1 > I 2 (рис. 2.42). Следовательно, z 2 > z1 . Если знаменатели z1 и z 2 не равны, то это обусловливает неравенство числителей X L и X C . т. е. условием резонанса токов является равенство

75

2.1.22. Влияние коэффициента мощности ( cos ϕ ) на использование мощности источника электрической энергии (генератора, трансформатора) Каждая электрическая машина характеризуется своей мощностью, которая называется номинальной мощностью. Номинальная мощность определяется наибольшей допустимой температурой нагрева, обусловленной потерями энергии в самой машине (в магнитопроводе и обмотках). Потери энергии в магнитопроводе машины вызываются вихревыми токами и гистерезисом. Эти потери зависят от величины магнитного потока машины, а магнитный поток определяется напряжением. Потери в обмотках машины пропорциональны квадрату тока. Таким образом, потери в машине, а следовательно, и ее температура определяются величиной ее напряжения и тока и не зависят от угла сдвига фаз между ними. Отсюда и введены понятия номинального тока I H и номинального напряжения U H – это наибольшие длительно-допустимые величины для данной машины. Номинальная мощность и есть произведение номинального напряжения на номинальный ток, а это будет полная, или кажущаяся, мощность ( S H = I HU H ) , измеряемая в ВА. Полное использование мощности генератора (трансформатора) возможно при его работе с номинальным напряжением, номинальным током и при cos ϕ , так как в этом случае он развивает наибольшую активную мощность, равную кажущейся мощности: P = U H I H cos ϕ = U H I H = S H .

В этом случае генератор вырабатывает и отдает наибольшее длительно-допустимое количество энергии. При cos ϕ < 1 и номинальном токе генератор дает энергии меньше, чем он мог бы дать. Больше энергии он не может дать, так как для этого надо увеличить ток (который станет больше номинального), что приведет к перегреву генератора. При cos ϕ < 1 в составе тока генератора, помимо активной составляющей I a , которая и участвует в преобразовании электрической энергии в другой вид энергии, есть еще реактивный ток I p , который не участвует в преобразовании электрической энергии в другой вид энергии, но нагревает соединительные провода и обмотку генератора. Наличие этого тока вызывает неоправданные потери энергии в проводах и генераторе. Чтобы полностью использовать генератор, электростанцию, сети, надо разгрузить их от реактивного тока, но реактивный ток необходим двигателям и аппаратам, ибо он обусловливает наличие в них магнитного потока, без которого машины и аппараты работать не могут. Источником реактивного тока лучше использовать не генератор и трансформатор, а другое устройство, которое не вырабатывает электрическую энергию. Устанавливать это устройство надо вблизи потребителя реактивного тока, благодаря чему от реактивного тока будет разгружена и линия электропередач. Такими устройствами являются конденсаторы и синхронные компенсаторы. Если бы ток такого конденсатора был равен реактивному (индуктивному) току потребителя, то общий ток конденсатора и индуктивного потребителя был бы чисто активным, только он поступал бы от генератора через сеть к данным потребителям. Установка работала бы с коэффициентом мощности, равным единице, что позволило бы использовать электростанцию и сеть на полную мощность. 2.2. Трехфазный ток

2.2.1. Общие понятия В предыдущем разделе рассмотрена теория однофазной системы (однофазного тока), в которой имеется только один источник электрической энергии. Однофазные системы (однофазный ток) применяются для питания только маломощных потребителей. 76

Кроме однофазной системы применяются многофазные системы, в которых имеется некоторое число источников энергии. Их ЭДС имеют одинаковую частоту и амплитуду, но сдвинуты по фазе на определенную часть периода. Наибольшее применение получили трехфазные системы. В настоящее время электрическая энергия повсеместно производится, передается и потребляется преимущественно как энергия трехфазных систем. Трехфазной системой называется система, состоящая из трех электрических цепей одной частоты, ЭДС которых сдвинуты по фазе на одну треть периода. Применяются только симметричные системы с ЭДС одинаковой амплитуды. Каждая отдельная цепь трехфазной системы называется фазой. Трехфазная система обладает следующими достоинствами: 1) обеспечивает экономию проводниковых материалов (по весу – до 50%) по сравнению с однофазной системой; 2) позволяет создать круговое вращающееся магнитное поле; 3) позволяет использовать самые совершенные по конструктивным и эксплуатационным свойствам электродвигатели.

2.2.2. Трехфазный генератор. Трехфазная ЭДС Электрическая энергия вырабатывается трехфазными генераторами, состоящими из трех однофазных генераторов, ЭДС которых имеют одинаковую частоту и амплитуду, но сдвинуты по фазе на одну треть периода. Трехфазный генератор конструктивно представляет одну машину, но может работать так, как три самостоятельных однофазных генератора. Из теории однофазного переменного тока известно, что если проводник (рамку) вращать с постоянной скоростью в равномерном магнитном поле, то в нем будет индуктироваться синусоидальная ЭДС. То же самое происходит и при неподвижной рамке, но вращающемся магнитном поле (что конструктивно проще). В трехфазном генераторе имеются три одинаковые рамки (обмотки), расположенные в пространстве под углами 120º относительно друг друга и пересекающиеся одним и тем же вращающимся магнитным полем, благодаря чему в обмотках индуктируются синусоидальные ЭДС, сдвинутые по фазе на одну треть периода. ЭДС, индуктируемые в фазах (обмотках) трехфазного генератора, называются фазными ЭДС и могут быть записаны уравнениями

e A = Em sin ωt ; eB = Em sin(ωt − 120o ); eC = Em sin(ωt − 240o ) . ЭДС e A , eВ , eС изображены графически (рис. 2.43) и векторно (рис. 2.44), что соответствует записи в комплексной форме: E A = EФ e j 0 , E B = EФ e − j120 , EC = EФ e − j 240 .

Рис. 2.43

Рис. 2.44

Каждая отдельная обмотка трехфазного генератора является самостоятельным источником и сокращенно называется фазой генератора. 77

2.2.3. Несвязанная трехфазная система На электрической схеме трехфазный генератор условно принято изображать в виде трех обмоток, расположенных под углом 120° относительно друг друга в виде звезды или треугольника (рис. 2.45). Каждая обмотка (фаза) генератора имеет начало и конец. Принято обозначать начало первой фазы буквой А, ее конец – буквой Х. Соответственно, начало второй фазы обозначают буквой В, конец – буквой Y. Рис. 2.45 Начало третьей фазы – буквой С, конец – буквой Z. Как уже указывалось, каждая фаза трехфазного генератора может являться самостоятельным источником электрической энергии. К каждой из фаз могут быть подключены свои потребители. Изображенная на рис. 2.46 система называется несвязанной трехфазной системой. Токи в фазах трехфазной системы определяются равенствами

IA =

E E EA , I B = B , IC = C , ZA ZB ZC

где Z A , Z B , Z C – сопротивления фаз (сопротивления фазы генератора, соединительных проводов и потребителя); Рис. 2.46 I A , I B , I C – токи в этих фазах. Несвязанная трехфазная система позволяет получить круговое вращающееся магнитное поле, однако не имеет других преимуществ перед однофазной системой. Поэтому она практически не используется.

2.2.4. Четырехпроводная трехфазная система Работа системы (потребителей) не изменяется, если три обратных провода заменить одним (рис. 2.47). В этом случае токи будут определяться прежними равенствами

IA =

E EA E , I B = B , IC = C . ZA ZB ZC

Другими словами, замена трех проводов одним обратным проводом не изменила величин токов в поРис. 2.47 требителях. Полученная система называется четырехпроводной трехфазной, которая имеет преимущества, отмеченные выше, перед однофазной системой. В полученной системе приняты следующие названия и обозначения: 1. Точка, в которой объединены концы фаз генератора, обозначается буквой О и называется нулевой точкой генератора. Соответственно, имеется нулевая точка потребителя O1 . 78

2. Провод, соединяющий нулевые точки генератора и потребителя, называется нулевым проводом. 3. Ток нулевого провода равен геометрической сумме фазных токов: •

•

•

•

Io = I A+ I B+ IC . 4. Провод, соединяющий начало фазы генератора с потребителем, называется линейным проводом. 5. Ток в линейном проводе называется линейным током. 6. Ток в обмотке (фазе) генератора и ток в фазе потребителя называются фазными токами. 7. Напряжения между линейными проводами и нулевым проводом называются фазными напряжениями: U ϕA = U A , U ϕB = U B , U ϕC = U C . 8. Напряжения между линейными проводами называются линейными напряжениями:

U AB , U BC , U AC .

2.2.5. Свойства четырехпроводной трехфазной системы («звезда – звезда» с нулевым проводом) К данным свойствам относятся следующие: 1. Система нормально работает при любом распределении нагрузки между фазами, так как изменение нагрузки (тока) в одной из фаз не сопровождается изменением тоU U U ков в других фазах, ибо I A = A , I B = B , I C = C (здесь ЭДС заменены напряженияZA ZB ZC ми, под сопротивлениями понимаются сопротивления фаз потребителей, а не сопротивления всей фазы, включая сопротивление генератора). Это справедливо при сопротивлении нулевого провода, равном нулю. 2. Доказательство. Линейное напряжение больше фазного на 3 . Если заземлить точку О (что практически и делается), то ϕo = 0 . Тогда

U A = ϕ A − ϕO = ϕ A ; U B = ϕ B − ϕO = ϕ B ; U C = ϕC − ϕO = ϕC . Соответственно, •

•

•

U AB = ϕ A − ϕ B или U AB = U A − U B .

Другими словами, линейное напряжение равно разности фазных напряжений. Поскольку •

•

U A = U Ф e j 0 и U B = U Ф e − j120 , то

•

U AB = U Ф e j 0 − U Ф e − j120 = U Ф (cos 0 − j sin 0) − U Ф (cos120o − j sin 120o ) = = U Ф (1 + j 0) − U Ф (−0,5 − j

3 3 3 ) = U Ф (1 + 0,5 + j ) = U Ф (1,5 + j ) = 3U Ф e j 30 . 2 2 2

Следовательно, U л = 3U ϕ . Докажите это построением векторной диаграммы фазных и линейных напряжений. В данном случае надо воспользоваться следующим правилом: разность двух векторов определяется третьим вектором, который соединяет концы первых и направлен в 79

сторону уменьшаемого. На рис. 2.48 вектор U AB равен разности векторов U A и U B , т. е. •

•

•

U AB = U A − U B .

Рис. 2.48

Рис. 2.49

3. Ток нулевого провода равен геометрической сумме действующих значений фазных токов: •

•

•

•

Io = I A+ I B+ IC . 4. При равномерной нагрузке фаз ток нулевого провода равен нулю. •

•

•

Доказательство. Так как I A = I Ф e j 0 , I B = I ф e − j120 , I C = I Ф

j120

•

•

•

•

, то I o = I A + I B + I C =

IФ (e j 0 + e− j120 + e j120) = I Ф (cos 0 + j sin 0 + cos120 − j sin 120 + cos 120 + j sin 120) = I Ф (1 − 0,5 − 0,5) = 0. В этом случае отпадает необходимость в нулевом проводе и образуется соединение «звезда – звезда» без нулевого провода. Следует помнить, что эта система работает нормально только при равномерной нагрузке. 5. Если нагрузка неравномерная, но имеет одинаковый характер, то ток нулевого провода всегда меньше тока линейного провода. Это позволяет брать нулевой провод меньшего сечения, чем линейный. 6. Четырехпроводная трехфазная система позволяет иметь два напряжения, отличающиеся друг от друга на 3 . Нулевой провод играет следующую роль: при его применении можно подключать к четырехпроводной системе и однофазные потребители, так как каждая фаза в этом случае работает независимо от других. При наличии нулевого провода нулевая точка потребителя O1 всегда находится в центре топографической (векторной) диаграммы напряжения (рис. 2.49) независимо от распределения нагрузки между фазами (падение напряжений в соединительных проводах и генераторе не учитывается). Благодаря этому фазные напряжения не изменяются при изменении нагрузки. К ненормальным режимам работы четырехпроводной трехфазной системы («звезда – звезда» с нулевым проводом) относятся: 1. Обрыв линейного провода, это эквивалентно выключению потребителя соответствующей фазы. Работа других фаз не изменяется. Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 2.51. 2. Короткое замыкание в фазе потребителя (при условии, что линейные напряжения остаются неизменными при любых условиях работы). Пусть произошло короткое замыкание фазы А. В этом случае потенциал нулевой точки O1 примет потенциал точки А и напряжения на других фазах увеличатся в 3 (рис. 2.53). 3. Обрыв нулевого провода. При симметричной нагрузке это повреждение не вызывает никаких изменений в работе. Точка O1 останется в центре топографической (векторной) диаграммы напряжений. Если же нагрузка неравномерная, то нулевая точка сместится из центра. Это озна80

чает, что напряжения на всех фазах потребителя изменятся, причем напряжение будет меньше на той фазе, где нагрузка больше. Проследим за изменением положения точки O1 на топографической диаграмме при изменении нагрузки фазы А от короткого замыкания до холостого хода при неизменной одинаковой нагрузке фаз В и С. При коротком замыкании фазы А точка O1 будет иметь потенциал точки А. При холостом ходе (обрыв фазы А) точка O1 расположится на середине отрезка, соединяющего точки В и С на топографической диаграмме (рис. 2.50), так как в Рис. 2.50 этом случае фазы В и С соединены последовательно и находятся под линейным напряжением U BC . Следовательно, при изменении нагрузки фазы А от холостого хода до короткого замыкания точка O1 будет скользить по медиане (рис. 2.52) треугольника. Это позволяет найти напряжения на всех фазах при любой величине нагрузки фазы А.

Рис. 2.51

Рис. 2.52

Рис. 2.53

Применяя это рассуждение для неравномерной нагрузки других фаз, нетрудно найти положение точки O1 на топографической диаграмме, следовательно, и напряжения на фазах. Четырехпроводная трехфазная система применяется для одновременного питания как трехфазных, так и однофазных потребителей.

2.2.6. Соединение потребителей треугольником Если потребители присоединить между линейными проводами, то они окажутся соединенными в виде треугольника (рис. 2.54). Трехфазная система при присоединении потребителей треугольником имеет следующие свойства: 1. Система (потребители) нормально работает при любом распределении нагрузки между фазами, так как Рис. 2.54 изменение нагрузки в одной фазе не сопровождается изменением токов в других фазах. Действительно, токи в потребителях (фазные токи) подсчитываются по уравнениям, которые показывают независимую работу потребителей (фаз):

I AB =

U AB U U ; I BC = BC ; I AC = AC . Z AB Z BC Z AC

Сказанное справедливо при равенстве нулю сопротивлений линейных проводов. 2. При равномерной нагрузке линейные токи больше фазных в 3 . Доказательство. Напишем, например, для точки А уравнение по первому закону Кирхгофа: •

•

•

I A + I CA = I AB , 81

откуда •

•

•

I A = I AB − I AC , т. е. линейный ток равен разности фазных токов. Так как •

•

I AB = I φ e j 0 , I CA = I φ e j120 , •

•

то I A = I Л = I φ e j 0 − I φ e j120 = I φ (cos 0 + j sin 0) − I φ (cos120 + j sin 120) I φ (1 + j 0 + 0,5 − j

3 )= 2

3 ) = 3I φ e − j 30 , или I Л = 3I φ . 2 Докажите это же для линейных токов I B и I C . Постройте векторную диаграмму фазных и линейных токов, пользуясь правилами, указанными для напряжений. = I φ (1,5 − j

2.2.7. Ненормальные режимы работы системы при соединении потребителей треугольником К данным режимам относятся: 1. Обрыв линейного провода. При равномерной нагрузке и обрыве линейного провода на фазах, присоединенных к этому проводу, напряжение уменьшится в два раза, так как эти фазы окажутся соединенными между собою последовательно, а по отношению к третьей фазе – параллельно и включены под линейное напряжение. При неравномерной нагрузке напряжение на потребителях будет прямо пропорционально их сопротивлениям. 2. Короткое замыкание в потребителе означает короткое замыкание между линейными проводами. В исправных потребителях не произойдет никаких изменений.

2.2.8. Соединение источников энергии звездой и треугольником Соединять трехфазные источники энергии надо так, чтобы сумма ЭДС трех фаз была равна нулю – это основное свойство трехфазной системы. Чтобы обеспечить указанное правило при соединении звездой, надо объединить в одной точке О или все концы фаз (Х, У, Z) или их начала (А, B, С). При соединении треугольником к общей точке (вершине треугольника) надо присоединить начало и конец соседних фаз. Ни в коем случае нельзя соединять в одной точке начала двух фаз или их концы. В этом случае произойдет опрокидывание одной из фаз, что будет сопровождаться током короткого замыкания внутри генератора. Чтобы убедиться в правильности указанных суждений, постройте векторную диаграмму ЭДС трех фаз. При этом считайте, что ЭДС имеет положительное направление от конца фазы к ее началу. 2.2.9. Вращающееся магнитное поле трехфазного тока Трехфазная система позволяет создать круговое вращающееся магнитное поле при неподвижных обмотках магнитопровода. На неподвижном цилиндрическом магнито82

проводе в пазах с внутренней стороны размещают три ки, расположенные в пространстве под углом 120°. Для простоты каждую обмотку можно представить как один разомкнутый виток (рис. 2.55). Обмотки соединены звездой (концы соединены в одной точке, а начала присоединены к трехфазной сети). Условимся считать ток положительным, если он течет от Рис. 2.55 начала обмотки к ее концу, а отрицательным – от конца к началу (можно взять и противоположное условие). Пусть при t = 0 значение токов в фазах соответствует векторной диаграмме (рис. 2.56, а). Согласно векторной диаграмме ток в первой фазе течет от начала к концу, а во второй и третьей фазах – от конца к началу, что и отмечено крестиками и точками в соответствующих проводах обмоток. Теперь, применив правило буравчика, изобразим картину магнитного поля (рис. 2.56, а), где ось поля расположена горизонтально. Через 1/3 периода токи в фазах будут соответствовать векторной диаграмме (рис. 2.56, б). Для этого же момента и по тем же правилам изображено магнитное поле над векторной диаграммой. На рис. 2.56 видно, что ось магнитного поля повернулась за 1/3 периода на 120°. На рис. 2.56, в показаны векторная диаграмма токов и магнитное поле через 2/3 периода. При сравнении картин магнитных полей (рис. 2.56, а, б, в) видно, что магнитное поле вращается и в данном случае за один период делает один оборот. На этом принципе и основана работа самых распространенных асинхронных двигателей.

а

б Рис. 2.56

83

в

Практические задания

1. Какой график соответствует уравнению u = U m sin(ωt + 90o ) ?

2. Какому вектору тока соответствует уравнение i = I m sin(ωt + 120o ) ?

3. Какому вектору тока соответствует уравнение i = im sin( ω t – 150º)?

4. Два тока представлены векторами. На какой из трех приведенных векторных диаграмм дано решение уравнения i1 − i2 = i3 ?

5. Два тока представлены векторами:

Напишите уравнения, показывающие, какие действия произведены с токами согласно нижеприведенным векторным диаграммам. 6. Что произойдет с величиною переменного тока в катушке, если ее фарфоровый сердечник заменить латунным? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 7. На рисунке приведен график тока цепи, содержащей индуктивность. В какой момент времени: t1 , t 2 или t3 – будет наибольшая ЭДС самоиндукции?

84

8. На рисунке показаны графики тока, напряжения и электродвижущей силы самоиндукции для чисто индуктивной цепи. Какой из этих графиков представляет ЭДС?

9. Что произойдет с величиной переменного тока, если в катушке ее фарфоровый сердечник заменить на стальной? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 10. На рисунке показаны графики напряжения, тока и мощности для цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 11. На рисунке показаны графики изменения активного, индуктивного и емкостного сопротивлений как функции частоты. Какой из этих графиков представляет емкостное сопротивление?

12. На рисунке показаны графики напряжения и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 13. На рисунке показаны графики тока и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 14. На рисунке показаны графики напряжения и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 15. На рисунке показаны графики тока и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 85

16. На рисунке показаны графики напряжения и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 17. На рисунке показаны графики тока и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 18. На рисунке показаны графики тока и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 19. На рисунке показаны графики напряжения и мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 20. На рисунке показан график мощности цепи переменного тока. Что включено в эту цепь? Ответ: 1) активное сопротивление; 2) индуктивность; 3) емкость. 21. Какой цепи могут соответствовать следующие уравнения: u = U m sin( ωt + 120 o ) , i = I m sin(ωt + 30o ) ?

22. Какой цепи могут соответствовать уравнения u = U m sin( ωt + 30 o ) , i = I m sin(ωt + 90o ) ?

23. Какой цепи могут соответствовать уравнения u = U m sin(ωt − 60 o ) , i = I m sin(ωt − 90o ) ?

86

24. Для какой цепи возможны приведенные графики тока и напряжения?

1

2

3

25. В какой из трех схем лампочка горит более ярко?

26. Что произойдет с активной мощностью цепи, если увеличить емкость конденсатора? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 27. Что произойдет с cos ϕ , если уменьшить индуктивность? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 28. На рисунке приведена электрическая цепь и рядом дана векторная диаграмма напряжений при заданной частоте сети. Что произойдет с напряжениями Ua, U L , U C и углом ϕ , если увеличить частоту при неизменном напряжении цепи? 29. На рисунке приведены электрическая цепь (а) и векторная диаграмма напряжений (б). Что произойдет с напряжениями U a , U C , U L и углом ϕ , если уменьшить емкость при неизменном напряжении сети? 30. Для изображенной на рисунке схемы известно, что r < X L < X C . Нарисуйте векторную диаграмму напряжений для этого случая. Как изменится векторная диаграмма, если увеличить частоту при прежнем напряжении сети? 31. Что происходит с напряжением на активном сопротивлении, если уменьшить индуктивность при X L > X C ? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 87

а

б

32. Что произойдет с cos ϕ , если уменьшить емкость? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 33. Что происходит с напряжением на активном сопротивлении, если частота увеличивается и Х > 0? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 34. Что происходит с напряжением на активном сопротивлении, если частота увеличивается и X < 0 ? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 35. В какой из трех схем лампочка горит более ярко?

36. Что произойдет с cos ϕ , если изменить индуктивное сопротивление? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 37. Что произойдет с напряжением на активном сопротивлении, если уменьшить емкость при X L < X C ? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 38. Цепь настроена в резонанс. Что происходит с напряжением на активном сопротивлении, если увеличить индуктивность? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 39. Для какой из электрических схем возможно изменение угла ϕ от –90° до +90° при постоянной величине напряжения и изменении частоты?

88

40. Что произойдет с током в емкости, если увеличить индуктивность? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 41. В какой лампочке яркость горения увеличивается с увеличением частоты?

42. Для изображенной схемы (а) дана векторная диаграмма токов (б). Как изменятся токи, если увеличить частоту при прежней величине напряжения? Нарисуйте векторную диаграмму. а

б

43. В какой лампочке яркость горения уменьшается с увеличением частоты?

44. На рисунке показан график изменения полного сопротивления цепи переменного тока как функция частоты. Как включены в этой цепи индуктивность и емкость? Ответ: 1) последовательно; 2) параллельно. 45. На рисунке показан график изменения полного сопротивления цепи переменного тока как функция частоты. Как включены в этой цепи индуктивность и емкость? Ответ: 1) последовательно; 2) параллельно. 46. Что произойдет с cos ϕ , если изменить индуктивное сопротивление? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 47. В какой схеме лампочка горит ярче?

а

89

б

48. Для цепи, изображенной на схеме, известно, что

R1 = X C > X L = R2 . Нарисуйте векторную диаграмму активных и реактивных токов ветвей и общего тока. Как изменятся эти токи, если увеличить частоту? Покажите это на другой векторной диаграмме. 49. Что произойдет с напряжением на активном сопротивлении, если увеличить индуктивность? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 50. В какой из трех схем наблюдается наибольший общий ток при одинаковом напряжении источника?

51. На приведенной здесь схеме необходимо повысить cos ϕ до 1, но напряжение на потребителях должно остаться прежним. Нарисуйте схему включения конденсатора для обеспечения данного уровня, а также векторную диаграмму, на которой надо показать необходимый ток конденсатора. 52. Приведена векторная диаграмма для электрической цепи, состоящей из двух параллельных ветвей. При этом известно следующее: I1a = I 2 p , I 2 a = I1 p , R1 = 8 Ом, z 2 = 10 Ом .

Нарисуйте электрическую схему цепи и определите X 1 , R1 , X 2 . 53. Потребители рассчитаны на одинаковое напряжение и одинаковую мощность. Чему равен ток нулевого провода, если ток I A = 10 A ? Ответ: 1) 10 А; 2) 17,3 А; 3) 0. 54. Что произойдет с током I A , если вторую лампу заменить на лампу большей мощности того же напряжения? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 90

55. Что произойдет с током I A , если оборвется нулевой провод? (Лампы рассчитаны на одинаковое напряжение.) Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 56. Какая из ламп дает наибольшее количество света, если лампы рассчитаны на одно напряжение?

57. Что произойдет с током в нулевом проводе, если одну из трех одинаковых ламп заменить на лампу большей мощности того же напряжения? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 58. Что произойдет с током I C , если первую из трех одинаковых ламп заменить на лампу большей мощности того же напряжения? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 59. Лампы рассчитаны на одно напряжение. Какая из них горит ярче?

60. Для изображенной на рисунке цепи (а) дана векторная диаграмма ее напряжений (б). В какой фазе включена лампа наибольшей мощности, если лампы рассчитаны на одинаковые напряжения? а

б

61. Для изображенной на рисунке цепи (а) дана векторная диаграмма (б). Что произошло с электрическими лампочками, если судить по векторной диаграмме? а

91

б

62. Для изображенной на рисунке цепи (а) дана векторная диаграмма напряжений (б). Что произошло с электрическими лампочками, если судить по векторной диаграмме? а

б

63. Для изображенной на схеме цепи (а) дана векторная диаграмма напряжений (б). Какое произошло повреждение, если судить по векторной диаграмме? а

64. Что произойдет с током I B в цепи с одинаковыми лампами, если третью заменить лампой меньшей мощности того же напряжения? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 65. Потребители рассчитаны на одинаковое напряжение и одинаковую мощность. Чему равен ток I C , если ток первого потребителя равен 10 А? Ответ: 1) нельзя определить; 10 2) ; 3 3) 10 3 ; 4) 10 . 66. Какая из этих ламп дает наибольшее количество света, если все они рассчитаны на одинаковое напряжение?

67. На каждой из трех векторных диаграмм векторно находится или линейный ток, или линейное напряжение. На какой из этих диаграмм находится линейный ток? 68. Что произойдет с током I B в цепи с одинаковыми лампами, если вторую заменить на лампу большей мощности того же напряжения? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится 92

б

69. Напряжение сети равно 220 В. Чему равно напряжение на втором потребителе при обрыве провода С, если все потребители одинаковы? Ответ: 1) 220 В; 220 2) В; 3 3) 110 В. 70. Оборвана фаза А. Какая из этих ламп дает наименьшее количество света, если лампы рассчитаны на одно напряжение?

71. Генератор, имеющий фазное напряжение 127 В, соединен звездой, потребитель – треугольником. Ток линейного провода равен 3,8 А. Чему равно сопротивление фазы потребителя при равномерной нагрузке? 72. Генератор соединен треугольником, а потребитель – звездой. Линейное напряжение составляет 380 В. Сопротивление каждой фазы потребителя Z = 10 Ом. Чему равен ток в фазе генератора? 73. Генератор с фазным напряжением, равным 127 В, соединен звездой, а потребитель, имеющий сопротивление фазы Z = 10 Ом, соединен треугольником. Чему равен ток в фазе генератора? 75. Генератор соединен треугольником, а потребитель – звездой. Напряжение генератора составляет 220 В, ток фазы генератора – 12,7 А. Чему равно сопротивление фазы потребителя, если нагрузка равномерная? 76. Согласно векторной диаграмме ЭДС фаз генератора (а) укажите концы В, X, Y, Z фаз обмоток генератора (б).

а

93

б

77. В какой схеме имеется ошибка?

78. Согласно векторной диаграмме ЭДС фаз генератора (а) укажите на схеме концы С, X, У, Z фаз обмоток генератора (б).

а

79. В изображенной на рисунке схеме (а) токи в фазах потребителя представлены векторной диаграммой (б). Покажите путь прохождения тока каждой фазы в данный T момент времени и через . 4

94

б

а

б

Глава 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 3.1 Электромагнетизм

3.1.1 Магнитное поле. Магнитная индукция Данная тема изучает процессы, происходящие в неизменяющемся с течением времени магнитном поле. Ранее отмечалось, что магнитное поле является одной из сторон электромагнитного поля. Характерным признаком магнитного поля является то, что оно действует с определенной механической силой на электрические заряды, движущиеся в этом магнитном поле. Магнитное поле (как одна из сторон электромагнитного поля) является одним из видов материи, обладает энергией, которая распределена во всем пространстве, занимаемом магнитным полем. Магнитное поле характеризуется свойством непрерывности, а также свойством передавать взаимодействие с очень большой, но конечной скоростью. Магнитное поле возникает при изменении электрического поля или создается источником электромагнитного поля. Магнитное поле в каждой точке характеризуется магнитной индукцией, которая обозначается буквой В. Магнитная индукция – это силовая характеристика данной точки магнитного поля. Магнитная индукция характеризуется той механической силой, с которой действует или действовало бы магнитное поле на ток (движущиеся заряды), проходящий через данную точку поля. Величина этой силы определяется по формуле F = BI l , где В – величина магнитной индукции в данной точке поля; l – длина прямого проводника, находящегося в магнитном поле; I – величина тока, проходящего через проводник. Таким образом, величину магнитной индукции можно определить по формуле B=

F . Il

Магнитная индукция численно равна силе, измеряемой в ньютонах (Н), с которой поле действует на провод длиной 1 м при токе 1 A (имеется в виду, что проводник с током в магнитном поле размещается так, что сила действия поля на него максимальна). Из указанной выше формулы можно вывести и размерность магнитной индукции:

[В] = ⎡⎢ F ⎤⎥ = ⎣ Il ⎦

H Дж/м ВА ⋅ с В ⋅ с Вб = = = 2 = 2. Ам ам ам 2 м м

Единица магнитной индукции имеет специальное название – тесла (Тл). Магнитная индукция является векторной величиной. За направление вектора магнитной индукции принимают направление, в котором устанавливается северный конец магнитной стрелки. 3.1.2. Магнитные линии. Магнитный поток Магнитное поле, как и электрическое поле, не воспринимается ни одним из известных органов чувств, что создает большие трудности при изучении магнитного поля, поскольку то, что уже известно нам о форме и других особенностях магнитного поля, можно только воображать в уме, но нельзя видеть и ощущать. Магнитные линии, которые в природе не существуют, введены для того, чтобы использовать зрение человека при изучении магнитного поля. 95

Для правильного изображения картины магнитного поля магнитные линии надо проводить так, чтобы касательная к каждой точке магнитной линии совпадала с вектором магнитной индукции. Не существующим в природе магнитным линиям приписывают определенные свойства, что помогает в ряде случаев лучше понять явления, происходящие в магнитном поле. В этом мы убедимся чуть позже. К данным свойствам относятся следующие: 1. Магнитные линии всегда замкнуты и стремятся сократиться по длине. 2. Если магнитные линии имеют одно направление, то отталкиваются друг от друга. 3. Если магнитные линии имеют противоположные направления, то уничтожают друг друга. 4. Магнитные линии результирующего магнитного поля не пересекаются друг с другом. Величина магнитного поля, пронизывающего определенную площадь, характеризуется магнитным потоком. Таким образом, магнитный поток является количественной характеристикой магнитного поля. Часто вместо термина «магнитное поле» применяют термин «магнитный поток». Под этими терминами понимают одну и ту же сущность. Магнитное поле называется однородным, когда векторы магнитной индукции имеют одинаковую величину и параллельны друг другу. Магнитные линии такого поля имеют одинаковую густоту и параллельны друг другу. Для изображения однородного поля принято проводить через единицу площади такое количество магнитных линий, которое численно равно значению магнитной индукции в центре единичной площадки. При таком условии через площадь S будет проходить ВS магнитных линий. Произведение ВS равно магнитному потоку Ф, т. е. Ф = ВS. С этой точки зрения под магнитным потоком Ф можно понимать число магнитных линий, пронизывающих площадь S, т. е. магнитный поток – это совокупность магнитных линий, пронизывающих рассматриваемую площадь. Тогда мы можем подсчитать магнитную индукцию В по формуле В=

Ф , S

что позволяет под магнитной индукцией понимать плотность магнитных линий. Ф справедлива только для однородного магнитного поля. В общем Формула В = S случае магнитную индукцию следует вычислять по формуле B=

dФ . dS

Магнитный поток измеряется в веберах (Вб). 3.1.3. Магнитное поле проводника с током. Взаимодействие проводников с током. Действие магнитного поля на проводник с током Ранее указывалось, что провода электрической цепи изменяют форму электромагнитного поля. Если электромагнитное поле распространяется вдоль проводов от источника к потребителю, то в проводах возникает электрический ток. При изучении длинных линий подробно будет рассмотрен вопрос о характере и форме электромагнитного поля двухпроводной линии. Здесь же рассматривается только магнитное поле, связанное с проводником, по которому течет электрический ток. Известно, что если по проводнику 96

течет ток, то связанное с этим проводом магнитное поле будет изображаться магнитными линиями в виде концентрических окружностей, направление которых определяется правилом буравчика (рис. 3.1). Каждый провод, по которому течет ток, окружен своим собственным магнитным полем. Естественно, что если в соседстве с проводом, по которому течет ток, окажется другой провод с током, то эти провода будут взаимодействовать с определенной силой, так как основным признаком магнитного поля является действие его с определенной механической силой на токи, оказавшиеся в пространстве, где Рис. 3.1 распространено это магнитное поле. Провода с токами будут взаимодействовать между собою с определенной механической силой, и направление действия этих сил легко объяснить на основании свойств магнитных линий. Пусть имеются два провода с токами разных направлений, которые расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 3.2). Направления токов в проводах обозначены соответственно крестиком и точкой, а магнитное поле изображено магнитными линиями в виде окружностей (стрелками обозначено их направление). Между проводами, в плоскости расположения проводов, магнитные линии идут в одном направлении – Рис. 3.2 в этом случае они отталкиваются друг от друга. Силы отталкивания F1 и F2, равные друг другу, приложены к проводам (рис. 3.2), из чего следует вывод: провода с токами разных направлений отталкиваются. На рис. 3.3 показаны два провода с токами одного направления (для простоты будем считать, что токи в проводах равны по величине, следовательно, и магнитные поля проводов одинаковы, что изображено одинаковым числом магнитных линий). На основании свойств магнитных линий видно, что в пространстве между проводами, в плоскости расположения провоРис. 3.3 дов, результирующее магнитное поле равно нулю, а в остальном пространстве магнитное поле имеется. Это может соответствовать только форме магнитного поля этих проводов (рис. 3.4). Так как магнитные линии стремятся сократиться по длине, то, естественно, провода с токами одного направления притягиваются. Формула, по которой подсчитывается сила взаимодействия проводов, будет указана ниже. Приведем еще один пример того, как, используя свойства магнитных линий, можно объяснить некоторые физические процессы. Указывалось, что магнитное поле действует на проводник с током, находящимся в магнитном поле (ток может быть только в проводнике), с силой F = BI l . Пользуясь свойствами магнитных линий, опредеРис. 3.4 лим направление этой силы. На рис. 3.5 изображено магнитное поле между полюсами постоянного магнита и магнитное поле проводника с током, находящегося в этом магнитном поле (магнитные линии его изображены пунктирными линиями). На рис. 3.5 видно, что слева от провода магнитные линии обоих полей направлены навстречу друг другу, и результирующий магнитный поток будет равен разности магнитных полей. Справа от провода магнитные линии обоих полей идут в одном направлении, и результирующий магнитный поток равен сумме магнитных линий. С учетом этого на рис. 3.6 изображено результирующее магнитное поле. Помня, что си97

ловые линии стремятся сократиться по длине, приходим к выводу, что в данном случае сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током, направлена влево. К этому же выводу придем и на основании известного правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы магнитные линии входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению тока в проводе, то большой палец левой руки укажет направление электромагнитной силы F (рис. 3.7).

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Как же распределяется магнитное поле в пространстве, окружающем проводник с током? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно знать закон, по которому определяется магнитная индукция в любой точке. Если по проводнику течет ток I (рис. 3.8), то магнитная индукция в точке m, находящейся от центра проводника на расстоянии а, I определяется по формуле B = μ a . Это говорит о том, что маг2πа нитная индукция в любой точке прямо пропорциональна току I, обратно пропорциональна длине магнитной линии, проходящей через рассматриваемую точку ( 2πа ), и зависит от среды, окружающей Рис. 3.8 проводник. Величина μ а характеризует физические свойства среды и называется абсолютной магнитной проницаемостью. Теперь можно легко вывести формулу, по которой подсчитывается сила взаимодействия проводов с током. Пусть в магнитном поле прóвода с током I1 на расстоянии а находится провод с током I2 (рис. 3.9). Тогда магнитное поле провода 1 будет действовать на провод 2 с силой F = B1I2l. Поскольку В1 = μ а

I1 , 2πа

то F = μа

Рис. 3.9

I1 II I 2l , или F = μ а 1 2 l . 2πа 2πа

Рассуждая подобным образом, мы придем к выводу, что магнитное поле провода 2 будет действовать на провод 1 с такой же силой.

3.1.4. Магнитная проницаемость Мы уже говорили, что магнитная индукция зависит также от физических свойств среды, и это обстоятельство учитывается коэффициентом μ а , называемым абсолютной магнитной проницаемостью. 98

Абсолютную магнитную проницаемость представляют как произведение коэффициентов μ 0 и μ , т. е. μ а = μ 0μ , где μ 0 – магнитная постоянная, которая имеет определенное Гн ⎛ Гн ⎞ . численное значение, равное 4π ⋅ 10–7, и размерность ⎜ ⎟ , т. е. μ 0 = 4π ⋅ 10–7 м ⎝ м ⎠ Физическая сущность абсолютной магнитной проницаемости определяется коэффициентом μ , который называется магнитной проницаемостью. Магнитная проницаемость характеризует способность среды под действием внешнего поля (намагничивающего поля) создавать свое собственное магнитное поле, т. е. она характеризует способность среды намагничиваться. Для вакуума (пространства, в котором ничего нет из того, что в данное время известно науке) магнитная проницаемость μ равна единице. Это означает, что вакуум никак не реагирует на магнитное поле, вошедшее в вакуум. Вместе с тем абсолютная магнитная проницаемость μ а для вакуума имеет определенное числовое значение, равное 4π ⋅ 10–7, и размерность: μ а = μ 0μ = μ 0 ⋅1 = 4π ⋅10 −7

Гн . м

Гн введена при создании единой системы единиц СИ. Ввем Гн 1 Ф удалось создать единую систему единиц СИ. и ε0 = дением μ а = 4π ⋅10 −7 9 м 4π ⋅ 9 ⋅10 м Есть вещества, для которых μ немного меньше единицы (медь, серебро, углерод, кремний и др.) – они называются диамагнитными. Диамагнитные вещества под действием внешнего поля создают свое собственное поле, направленное навстречу внешнему, намагничивающему полю, в результате чего результирующее поле в такой среде будет меньше намагничивающего поля. Диамагнитные вещества ослабляют внешнее намагничивающее поле. Есть вещества, для которых величина μ равна единице или немного больше единицы (вольфрам, марганец, платина и др.). Такие вещества называются парамагнитными. Под действием внешнего намагничивающего поля они создают свое собственное поле, очень слабое, которое совпадает с направлением намагничивающего поля. В результате этого результирующее поле в данной среде будет таким же, как намагничивающее, или немного больше его. Есть вещества, для которых величина μ значительно больше единицы. Такие вещества под действием внешнего намагничивающего поля создают свое собственное поле, во много раз (тысяч и даже сотен тысяч раз) больше, чем намагничивающее поле. К таким веществам относятся железо, кобальт, никель и некоторые сплавы. Они называются ферромагнитными. Результирующее поле в ферромагнитной среде, равное сумме намагничивающего поля и поля, созданного самою средою, будет во много раз больше намагничивающего поля. Таким образом, магнитная проницаемость μ показывает, во сколько раз проницаемость данной среды больше проницаемости вакуума. Ранее указывалось, что магнитная индукция подсчитывается по формуле Величина μ 0 = 4π ⋅10 −7

B = μa

I I = μ 0μ . 2πа 2πa

Исходя из этой формулы можно заключить, что магнитная индукция характеризует результирующее магнитное поле в данной точке, т. е. она характеризует одновременно намагничивающее поле и поле, созданное самой средой.

99

3.1.5. Напряженность магнитного поля Напряженность магнитного поля обозначается буквой Н. Как и магнитная индукция, она характеризует точку магнитного поля и связана соотношением B = μ a H , откуда B H= . Нам известно, что μa I B = μa , 2πa тогда I μa B 2πa = I , или H = I . H= = μa μa 2πa 2πa I ⎞ ⎛ Сравнивая формулу, по которой определяется магнитная индукция ⎜ B = μ a ⎟, 2πa ⎠ ⎝ I ⎞ ⎛ с формулой, по которой подсчитывается напряженность магнитного поля ⎜ H = ⎟, 2πa ⎠ ⎝ можно установить, что напряженность магнитного поля не зависит от свойств среды. Это означает, что напряженность магнитного поля является характеристикой только внешнего, намагничивающего поля, т. е. магнитного поля источника, распространяющегося вдоль провода, которое и определяет величину тока в проводе. Магнитная же индукция характеризует общее, результирующее магнитное поле в данной точке, которое состоит из намагничивающего поля и поля, созданного самою средою. С этой точки зрения напряженность магнитного поля Н должна только численно отличаться от магнитной индукции. Для диамагнитных и парамагнитных веществ они должны как можно меньше отличаться друг от друга. В то же время для ферромагнитных веществ число, выражающее магнитную индукцию, должно быть во много раз больше числа, выражающего напряженность магнитного поля. В действительности же числа, выражающие величины напряженности магнитного поля и магнитной индукции, не связаны этой закономерностью. Более того, единицы измерения магнитной индукции и напряженности магнитного поля различные. Если магнитная индукция измеряется в теслах, то напря⎛А⎞ женность магнитного поля – в амперах на метр ⎜ ⎟ , что видно из формулы ⎝м⎠

[H ] = ⎡⎢

I ⎤ А ⎥= . ⎣ 2πa ⎦ м

Все дело в том, что магнитная проницаемость вакуума μ 0 имеет размерность и определенное численное значение. Это несколько усложняет понимание физической сущности напряженности магнитного поля, но зато введение величины μ 0 позволило создать единую систему измерения СИ.

3.1.6. Закон полного тока I ⎞ ⎛ Воспользуемся полученным выражением напряженности поля ⎜ H = ⎟ для вы2πa ⎠ ⎝ вода этого закона. Из последнего равенства найдем, что I = H 2πa , где 2πa есть длина магнитной линии, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 3.10). Из формулы 100

I = H 2πa видно, что произведение напряженности магнитного поля на длину магнитной линии равно току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этой магнитной линией. Данное положение является простейшей формой закона полного тока. Рассмотрим это в более общем виде. Пусть мы имеем три провода (можно взять сколько угодно), по которым текут токи Рис. 3.10 I1 , I 2 и I 3 в направлениях, указанных стрелками (рис. 3.11). Около каждого провода имеется свое магнитное поле, которые складываются с магнитными полями других проводов. В итоге образуется результирующее магнитное поле. Одна из магнитных линий результирующего поля изображена на рис. 3.11. Напряженность в каждой точке этой линии обозначена через Н. Для данного случая закон полного тока читается так: алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхРис. 3.11 ность, ограниченную магнитной линией, равна произведению напряженности магнитного поля на длину магнитной линии. Математически это можно выразить формулой

I1 − I 2 + I 3 = Hl , где l – длина магнитной линии, которая ограничивает поверхность, пронизываемую токами. 3.1.7. Магнитное поле тороида (кольцевой катушки) На основании закона полного тока устанавливается простая зависимость между токами и величинами, характеризующими магнитное поле. Проще всего эти соотношения установить на кольцевой катушке (тороиде) с током. На рис. 3.12 изображен тороид, имеющий w витков, распределенных равномерно по тороиду. Средняя магнитная линия тороида имеет радиус R. Пользуясь законом полного тока, можем написать: Iw = H 2πR = Hl , Рис. 3.12 где Iw – сумма токов, которые пронизывают поверхность, ограниченную магнитной линией; l = 2πR – длина магнитной линии; H – напряженность магнитного поля в любой точке этой магнитной линии. Исходя из этого можно вычислить напряженность магнитного поля через величины, легко поддающиеся измерению или вычислению:

H=

Iw . l

Это позволяет вычислить магнитную индукцию: B = μa H = μa

Iw , l

а также магнитный поток, который заключен внутри сечения тороида: Ф = BS = μ a 101

Iw S. l

Если написать закон полного тока для контура, ограниченного окружностями 1 и 2 (рис. 3.12), то легко можно убедиться, что за пределами сечения тороида магнитного поля нет. Цилиндрическую катушку (соленоид) можно рассматривать как часть тороида, имеющего бесконечно большой радиус (рис. 3.13). Напряженность магнитного поля в центре соленоида можно подсчитать по формуле wH =

Рис. 3.13

Iw . l

Эту формулу следует применять для соленоида, длина которого l значительно больше его диаметра d. Произведение тока на число витков называется ампер-витками. Напряженность магнитного поля равна числу ампер-витков, приходящихся на единицу длины (один метр) соленоида: H=

Iw . l

Эту величину называют еще удельными ампер-витками. 3.1.8. Кривые намагничивания железа Известно, что по напряженности магнитного поля Н можно подсчитать магнитную индукцию В по формуле B = μa Н . К сожалению, этой формулой можно пользоваться только для устройств, не содержащих железа (ферромагнитных материалов). Абсолютное же большинство электротехнических устройств содержит железо, следовательно, значения магнитных величин В и Ф в этих устройствах не поддаются расчету через величины, легко измеряемые и вычисляемые. Так и было в свое время, когда устройства, содержащие железо, изготовлялись только опытным путем. Эту трудную проблему разрешил известный физик А.Г. Столетов. Исследуя изменения магнитных свойств стали при изменении напряженности намагничивающего поля, в котором находится сталь, А.Г. Столетов пришел к выводу, что между намагничивающим полем (напряженностью поля) и магнитными свойствами стали (магнитной индукцией) существует определенная зависимость, которую можно выразить при помощи графика. А.Г. Столетов помещал в катушку испытываемый образец стали, а через обмотку катушки пропускал ток. При изменении величины тока изменялась и напряженность магнитного Iw поля H = . При этом изменялась магнитная индукция l В для каждого значения напряженности магнитного поля. Рис. 3.14 Результаты измерений сводились в таблицу, по которой вычерчивался график (рис. 3.14). Этот график, показывающий зависимость магнитной индукции в стали от напряженности намагничивающего поля, называется кривой намагничивания. Имея кривые намагничивания для каждого сорта стали, можно найти значение магнитной индукции для любого значения напряженности магнитного поля или наобо102

рот. Таким образом, равенство B = μ a Н для ферромагнитных материалов решается графически, что и делают при расчете всех электрических машин и аппаратов. Способность ферромагнитных тел намагничиваться объясняется наличием в них самопроизвольно намагниченных микроскопических областей, которые можно рассматривать как элементарные магнитики. Под действием намагничивающего поля эти магнитики поворачиваются в направлении поля и тем создают собственное поле данного тела. При этом магнитное поле ферромагнитного тела может быть во много раз больше намагничивающего поля. Для кривой намагничивания характерны три участка. Прямолинейный участок оа (рис. 3.14) соответствует ненасыщенному состоянию стали; участок аб – колено кривой намагничивания, на котором замедляется рост магнитной индукции при прежнем росте напряженности поля; участок после точки б соответствует насыщенному состоянию стали, когда сталь исчерпала свои магнитные свойства и все элементарные магнитики уже ориентированы вдоль направления внешнего поля. 3.1.9. Гистерезис. Петля гистерезиса Выше был рассмотрен процесс намагничивания ферромагнитных материалов, т. е. процесс, показывающий изменение магнитных свойств этого вещества при возрастании намагничивающего поля (напряженности поля) от нуля до определенного значения. Ферромагнитным материалам часто приходится находиться в магнитном поле, изменяющемся как по величине, так и по направлению (сердечники трансформаторов, электрических машин и аппаратов). Как же изменяются магнитные свойства ферромагнитных материалов при их перемагничивании? Допустим, что по намагничивающей катушке проходит ток, меняющийся по величине и направлению. Увеличивая ток, доводим магнитную индукцию до значения Вм. Затем, уменьшая ток, будем уменьшать напряженность поля (рис. 3.15), при этом уменьшается и магнитная индукция. Но при одних и тех же значениях напряженности поля магнитная индукция будет теперь несколько больше, чем при увеличении напряженности поля (участок ДА). Доведя напряженность поля до нуля, получим значение магнитной индукции, которое называется остаточной индукцией (отрезок ОА). Явление отставания изменений магнитной индукции от соответствующих изменений напряженности внешнего поля Рис. 3.15 называется гистерезисом. Изменив направление намагничивающего тока в катушке, изменим и направление напряженности поля. Доведя ее до некоторого значения ОС, называемого задерживающей (коэрцитивной) силой, получим магнитную индукцию, равную нулю. При дальнейшем увеличении напряженности поля индукцию можно довести до значения – Вм. Далее, уменьшив напряженность поля до нуля, получим магнитную индукцию, равную остаточной индукции. Наконец, изменив еще раз направление напряженности поля и увеличивая ее, можно снова получить положительное максимальное значение магнитной индукции. Таким образом, при циклическом перемагничивании ферромагнитного тела зависимость B = f ( H ) графически выражается замкнутой кривой ДАСД1А1С1Д, называемой петлей гистерезиса. Ферромагнитные материалы разделяются на магнитомягкие и магнитотвердые. Магнитомягкие материалы легко намагничиваются и легко размагничиваются, имеют узкую петлю гистерезиса. Магнитотвердые материалы трудно намагнитить, но они длительное время сохраняют остаточный магнетизм и имеют широкую петлю гистерезиса. 103

Перемагничивание связано с затратой энергии, которая превращается в тепло. Количество энергии, затрачиваемой на один цикл перемагничивания, пропорционально площади петли гистерезиса. Потери энергии, связанные с процессом перемагничивания, называются потерями на гистерезис. 3.1.10. Магнитная цепь. Расчет магнитной цепи Каждое электротехническое устройство (машина, трансформатор, аппарат) имеет две цепи – электрическую и магнитную. Электрическая цепь – это элементы устройства, по которым проходит (замыкается) электрический ток. Магнитная цепь – это элементы устройства, по которым замыкается (проходит) магнитный поток. Расчет электрической цепи осуществляется на основании законов Ома и Кирхгофа, а также свойств последовательной и параллельной электрических цепей. Рассмотрим, как осуществляется расчет магнитной цепи, без которого не могут быть созданы ни одна машина, ни один аппарат. Что надо понимать под выражением «рассчитать магнитную цепь»? Рассчитать магнитную цепь – это значит по заданному магнитному потоку (магнитной индукции) определить необходимые для этого ампер-витки, или наоборот – по заданным ампер-виткам найти магнитный поток (магнитную индукцию). Iw , следовательно, Так как Ф = BS и B = μ a Н , то Ф = μ a HS . В свою очередь, H = l Iw Iw l l Iw = w Ф = μa S , или Ф = (где Rм = ), очень сходно с формулой R = , выl Rм μa s γS l μa S l ражающей электрическое сопротивление. Естественно, что Rм = выражает магнитμa s Iw (где Iw – магнитодвижущая сила) называют ное сопротивление и формулу Ф = Rм формулой закона Ома для магнитной цепи. Формула закона Ома для магнитной цепи имеет вид Ф=

Iw l μa S

и устанавливает зависимость между магнитным потоком и ампер-витками, что и требуется для расчета магнитной цепи. К сожалению, этой формулой можно пользоваться только для участков магнитной цепи, не содержащих железа, так как для железа магнитная проницаемость μ а не является величиной постоянной, а зависит от магнитного состояния железа (от магнитной индукции.) Ниже приводится практический метод расчета магнитных цепей, содержащих железо. При расчете магнитной цепи, содержащей железо, целесообразно придерживаться следующей последовательности, если необходимо найти ампер-витки по заданному магнитному току: 1. Вычертить магнитопровод (магнитную цепь) в масштабе. 2. Провести среднюю магнитную линию. 3. Разбить магнитопровод на участки, содержащие один и тот же материал и имеющие примерно одинаковое сечение. 4. Определить длину магнитной линии на каждом участке. 104

5. Подсчитать поперечное сечение каждого участка. 6. Подсчитать величину магнитной индукции на каждом участке, для чего магнитный поток, проходящий по участку, разделить на поперечное сечение участка: В=

Ф . S

7. Для участков, содержащих железо, определить по найденной магнитной индукции с помощью кривых намагничивания напряженность магнитного поля Н, т. е. ампервитки на 1 м длины участка. Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре определяется по формуле H=

B B = . μ 0 4π ⋅10 −7

8. Определить ампер-витки для каждого участка цепи как произведение напряженности магнитного поля в данном участке на длину магнитной линии в нем: Iwi = H i li .

9. Определить ампер-витки для всего магнитопровода как сумму ампер-витков отдельных участков: Iw = Iw1 + Iw2 + ... + Iwn .

10. Задаваясь значением тока I, найдем требуемые витки: w=

Iw . I

Весь расчет следует вести, заполняя при этом таблицу, которая приведена ниже. Для примера приведен расчет магнитопровода, изображенного на рис. 3.16 (размеры указаны в мм, но в расчетные формулы все размеры надо проставлять в м). Пусть надо создать в воздушном зазоре магнитопровода магнитный поток Ф = 5,4 мВб. Требуется определить необходимое число витков для этого магнитопровода при условии, что по виткам должен протекать ток I = 15 А. Проведем среднюю магнитную линию и разобьем Рис. 3.16 магнитопровод на участки, номера которых указаны в кружках (рис. 3.16). Пусть материалом участка № 1 будет литая сталь, № 2 – электротехническая сталь, № 3 – чугун, № 4 – литая сталь, № 5 – воздушный зазор. Все расчеты сведены в таблицу, приведенную ниже. Таблица расчета магнитной цепи Номер участков и их материал

Длина магнитной линии l , м

Поперечное сечение S, м2

№ 1. Литая сталь № 2. Электротехническая сталь № 3. Чугун № 4. Литая сталь № 5. Воздух

0,19 0,205 0,25 0,12 0,005

0,004 0,003 0,005 0,0045 0,0045

105

В=

Ф

, Тл

S 1,35 1,8 1,08 1,2 1,2

Н, А/м

Iwi = H i li ,

А · виток 1 800 342 13 600 2 790 13 500 3 380 1 300 157 956 000 4 780 Итого 11 449

Для нахождения напряженности магнитного поля для участков, содержащих железо, необходимо на графике кривой намагничивания (рис. 3.17) провести горизонтальную линию, соответствующую найденному значению магнитной индукции, до пересечения с кривой намагничивания. Затем провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с соответствующей горизонтальной осью, где и найдем напряженность магнитного поля на данном участке.

Рис. 3.17

Искомое число витков определяется как w=

11 449 = 763. 15

Кривые намагничивания используемых материалов представлены на рис. 3.17. 3.1.11. Электромагниты

Электромагнитом называется соленоид с железным сердечником. Электромагнит является одним из основных элементов контакторов, магнитных пускателей, большинства реле, измерительных приборов и другой аппаратуры. Назначение электромагнитов – притягивать якорь при достижении определенного значения тока в катушке. В зависимости от конструкции электромагнит притягивает якорь одним полюсом или обоими полюсами. Сила притягивания однополюсного электромагнита подсчитывается по формуле B2S 7 F= 10 , 8π

а двухполюсного – по формуле F=

B2S 7 10 , 4π

где F – сила притяжения; В – магнитная индукция в воздушном зазоре между якорем и сердечником электромагнита; S – площадь соприкосновения якоря с полюсом электромагнита. 106

3.2. Электромагнитная индукция

3.2.1. Общий закон электромагнитной индукции

В данном разделе изучаются процессы, происходящие в электрической цепи, находящейся в изменяющемся магнитном поле. Под термином «электромагнитная индукция» понимается явление возникновения ЭДС в проводнике, когда проводник находится в изменяющемся магнитном поле. Явление электромагнитной индукции было открыто на основании серии опытных исследований, проведенных М.Фарадеем. Он же в 1831 г. сформулировал закон электромагнитной индукции: при движении проводника в магнитном поле в проводнике индуктируется ЭДС, равная числу магнитных линий, пересекаемых проводником за одну секунду. Дж. Максвелл, развивая математическую теорию электромагнитной индукции, дал более общую формулировку закона электромагнитной индукции: электродвижущаяся сила, индуктируемая в контуре (витке), равна скорости изменения магнитного потока внутри контура, взятой с обратным знаком, что выражается формулой e = −

dФ . dt

Закон электромагнитной индукции, сформулированный Фарадеем и Максвеллом, можно иллюстрировать на большом числе примеров. Рассмотрим некоторые из них. Предположим, что прямолинейный проводник движется в магнитном поле со скоростью V параллельно самому себе и в то же время перпендикулярно полю (рис. 3.18). Вместе с проводником с той же скоростью будут перемещаться положительные заряды ядер атомов и свободные электроны этого проводника. Движущиеся положительные заряды образуют ток, направление которого совпадает с направлением движения положительных зарядов. Движущиеся отрицательные заряды тоже образуют ток, направление которого противоположно направлению движения отрицательных зарядов. Образовавшиеся токи находятся в магнитном поле. На токи положительных зарядов магнитное поле будет действовать с силой F1, а на токи отрицательных зарядов – с силой F2. Направление сил F1 и F2 определяется правилом левой руки. В этом случае силы магнитного поля F1 и F2 выступают в роли сторонних сил, разделяющих разноименные заряды и тем самым создающих электрическое поле. Действительно, под действием силы F2 свободные электроны сосредоточатся на ближнем конце проводника, а на дальнем конце будет их недостаток, т. е. там преобладают положительные заряды (рис. 3.21). Силы электрического поля Fэл будут направлены навстречу сторонним силам. При постоянной скорости движения проводника разделение зарядов (создание электрического поля) будет происходить до тех пор, пока сторонние силы не уравновесятся силами электрического поля. При равенстве этих сил движение зарядов прекратится и на концах проводника установится разность потенциалов, равная ЭДС, индуктируемой в проводнике. Подсчитаем величину ЭДС, индуктируемой в проводнике длиною l и движущемся со скоростью V в равномерном магнитном поле с индукцией В. Пусть за время t проводник прошел расстояние, равное Vt (рис. 3.19), вычертив при этом площадь S (она заштрихована), и тем самым пересек Ф = ВS магнитных линий. Ф Так как S = lVt , то Ф = ВlVt . Следовательно, за 1 с проводник пересек = BlV t магнитных линий, чему и равно значение ЭДС, индуктируемой в движущемся проводнике, т. е. e = BlV . Движущийся в магнитном поле проводник может стать источником электрической энергии, в котором ЭДС имеет направление от минуса к плюсу (рис. 3.19). Направление ЭДС, индуктируемой при движении проводника в магнитном поле, как известно, определяется по правилу правой руки (рис. 3.21). Если расположить 107

правую руку так, чтобы магнитные линии входили в ладонь, а отогнутый большой палец совпадал с направлением движения проводника, то вытянутые четыре пальца укажут направление индуктируемой ЭДС. Правило правой руки (рис. 3.19) подтверждает правильность наших теоретических рассуждений относительно ЭДС, возникающей в проводнике, который движется в магнитном поле.

Рис. 3.18

Рис. 3.19

Рис. 3.20

Рис. 3.21

Выше приводилась формула ЭДС индукции e = BlV , которая соответствует закону электромагнитной индукции в формулировке Фарадея. Выведем формулу ЭДС индукции, которая будет соответствовать закону электромагнитной индукции в формулировке Максвелла. dB Как известно, V = , где dB – путь, пройденный за время dt. Тогда dt e = BlV = Bl

dB . dt

dФ , т. е. ЭДС индукции равна скорости измеdt dФ показывает ненного магнитного потока, сцепленного с проводником. Формула e = dt только величину ЭДС индукции без учета ее направления. Направление ЭДС индукции в общем случае определяется правилом Ленца. Это должно учитываться в формуле со dФ знаком минус, т. е. e = − . Если контур состоит из w одинаковых витков, то dt

Так как ldB = dS и BdS = dФ , то e =

e = −w

dФ . dt

Э.Х. Ленц сформулировал в 1633 г. следующее правило: ЭДС индукции имеет всегда такое направление, что созданный ею ток противодействует причине возникновения ЭДС Закон электромагнитной индукции в сочетании с правилом Ленца является основным законом электротехники. Рассмотрим на нескольких примерах проявление правила Ленца. Движению разомкнутого проводника в магнитном поле нет никакого электромагнитного противодействия. Стоит только этот проводник замкнуть на сопротивление R (рис. 3.22), как в цепи возникает ток, который будет идти и по рассматриваемому проводнику в направлении действия ЭДС. На возникший в проводнике ток I будет действовать магнитное поле Ф с силой F = BIl , направление которой Рис. 3.22 определяется правилом левой руки. Из рис. 3.22 видно, что сила F действует в сторону, противоположную направлению движения проводника, т. е. сила F препятствует движению проводника в магнитном поле, а это движение и является причиной возникновения ЭДС. Таким образом, для движения замкнутого про108

водника в магнитном поле нужно приложить внешнюю силу, равную и противоположно направленную тормозной силе, т. е. необходим первичный двигатель, работа которого и преобразуется в электрическую энергию. Мощность, развиваемая двигателем, равна электрической мощности в данной цепи, т. е. P = FV = IBlV = IE .

Плоскость, ограниченная замкнутым проводником (рис. 3.23), пронизывается уменьшающимся магнитным потоком Ф1. Согласно закону электромагнитной индукции и правилу Ленца, в проводнике возникает такой ток, что магнитное поле проводника Ф2 (ток) будет противодействовать изменению магнитного потока Ф1. Это возможно только в том случае, если магнитное поле проводника с током будет иметь направление такое же, как и наРис. 3.23 правление магнитного потока Ф1. В данном случае проявляется тенденция сохранения неизменным магнитного потока, пронизывающего данную площадь. Применяя правило буравчика к магнитному потоку Ф2, найдем, что ток в проводнике замыкается против часовой стрелки, если смотреть сверху. Правило Ленца в электротехнике эквивалентно закону инерции в механике. Нетрудно убедиться, что если часть замкнутого контура движется в магнитном поле (рис. 3.24) и при этом величина магнитного поля, пронизывающего плоскость, ограниченную этим контуром, увеличивается, то магнитное поле контура (тока) будет иметь направление, противоположное направлению возрастающего магнитного поля. В этом легко убедиться, применяя правило правой руки для определения направления ЭДС, индуктируемой в контуре, и правило буравчика для определения наРис. 3.24 правления магнитного поля контура Фк. 3.2.2. Явление самоиндукции. Индуктивность цепи

Явление самоиндукции – это частный случай явления электромагнитной индукции. Всякое электротехническое устройство имеет две цепи – магнитную и электрическую, которые охватывают друг друга. Если по проводнику течет изменяющийся ток, то, следовательно, цепь замкнута и вокруг этого проводника изменяется магнитное поле, сцепленное с проводником. Согласно закону электромагнитной индукции изменяющееся магнитное поле будет индуктировать в этом проводнике ЭДС. Она, в свою очередь, будет индуктироваться в том самом проводнике, по которому течет изменяющийся ток. Рассмотренное явление называется явлением самоиндукции, индуктируемая ЭДС – ЭДС самоиндукции, которую обозначают через eL . Величина ЭДС самоиндукции определяется по формуле eL = − w

Умножим данное равенство на

dФ . dt

di . Получим уравнение di eL = − w

dФ di . dt di

Переставим местами множители в знаменателе, после чего получим eL = − w

dФ di , di dt

109

dФ = L является для данной цепи величиной постоянной, так как ток и магнитный di поток, а следовательно, и их приращения прямо пропорциональны друг другу, если в dФ называется индуктивсостав магнитной цепи не входит железо. Коэффициент L = w di ностью цепи (или ее части) и измеряется в генри (Г). Произведение wФ обозначают буквой ψ и называют потокосцеплением. Тогда индуктивность цепи равна потокосцеплению, приходящемуся на ток в один ампер:

где w

L=

wdФ dψ ψ = = . di di I

Следовательно, индуктивностью в 1 Г обладает цепь или ее участок (катушка), имеющая потокосцепление в 1 Вб при токе в 1 А. Индуктивность следует рассматривать как способность цепи сосредоточивать магнитное поле. ЭДС самоиндукции целесообdi разнее всего выражать формулой eL = − L , так как L можно вычислить через геометdt рические размеры цепи. Закон же изменения тока обычно известен. Поэтому L=

ψ wФ wBS wμ a HS = = = = I I I I

wμ a

Iw S 2 l , или L = w μ a S . l I

Эта формула позволяет вычислить индуктивность катушки, где w – число витков; S – площадь; l – длина катушки; μ a – абсолютная магнитная проницаемость сердечника катушки. 3.2.3. Индуктивность катушки с железным сердечником

Выше отмечалось, что индуктивность (отношение между потокосцеплением и током) является постоянной величиной для цепей, не содержащих железо. Если же магнитная цепь содержит железо, то в этом случае индуктивность зависит от магнитного состояния железа (стали). Между магнитной индукцией и потокосцеплением существует прямая пропорциоIw нальность: ψ = BSw , как и между током и напряженностью магнитного поля: H = . l Магнитная индукция и напряженность магнитного поля связаны между собой кривой намагничивания. Соответственно потокосцепление и ток будут связаны между соB бой таким же графиком (рис. 3.25). Так как μ а = , то всегда индуктивность пропорH циональна магнитной проницаемости, которая зависит от магнитного состояния стали. Действительно, для точки m магнитная проницаемость μ a и индуктивность L пропорциональны tgα1 , а для точки n – tgα 2 . Из чертежа (рис. 3.25) видно, что в ненасыщенной части магнитная проницаемость и индуктивность имеют наибольшие значения. По мере насыщения стали магнитная проницаемость и индуктивность уменьшаются, что изображено соответствующим графиком (рис. 3.25). Свойство катушки с железным сердечником изменять индуктивность при изменении в ней тока широко используется в схемах автоматического регулирования. Рис. 3.25 110

3.2.4. Энергия магнитного поля

Возникновение ЭДС самоиндукции подчиняется правилу Ленца, т. е. ЭДС самоиндукции препятствует всякому изменению тока в цепи. Из-за этого при включении цепи ток в ней нарастает не мгновенно до значеU ния I = , а в течение определенного времени. По этой R же причине ток не спадает мгновенно до нуля. При размыкании цепи и в месте разрыва цепи возникает искра (в маломощных цепях) или электрическая дуга (в мощРис. 3.26 ных устройствах). График изменения тока при замыкании и размыкании цепи показан на рис. 3.26. В интервале t1 − t 2 ток нарастает, растет и магнитное поле цепи, на что также расходуется часть энергии источника, которая будет равна энергии магнитного поля. Энергия, расходуемая источником на образование магнитного поля цепи за время dt , вычисляется по формуле dA = −eL idt . Когда же ток достигнет конечного значения, то энергия магнитного поля цепи определяется как t2

AL = ∫ − eL idt . t1

Поскольку eL = − L

di , dt

то 1

AL = ∫ Lidi = 0

LI 2 Дж . 2

3.2.5. Явление взаимоиндукции

Явление взаимоиндукции является частным случаем явления электромагнитной индукции. Две катушки расположены рядом. По первой катушке проходит изменяющийся ток. Вокруг нее возникает изменяющееся магнитное поле Ф1, часть которого Ф12 пересекает и вторую катушку, сцепленную с витками первой катушки (рис. 3.27). В этом случае во второй катушке индуктируется ЭДС взаимоиндукции, вычисляемая по формуле Рис. 3.27

eM = − w2

dФ12 . dt

Рассмотренное явление называется явлением взаимоиндукции. Если катушки расположены так, что весь магнитный поток первой катушки пронизывает витки второй катушки (Ф12 = Ф1), – это возможно, когда обе катушки равномерно размещены на тороиде, – то в данном случае dH1μ a S dФ1 dB S = − w2 1 = − w2 = − w2 eM = − w2 dt dt dt

111

d

i1w1 μa S w w μ S di1 di l = 1 2 a =M 1. l dt dt dt

w1w2μ a S = M является величиной постоянной, где w1 и w2 – соответственно l число витков первой и второй катушек; μ a – абсолютная магнитная проницаемость сердечника тороида; l – длина средней магнитной линии тороида. Коэффициент М называется взаимной индуктивностью и измеряется в генри (Г). Установим физическую сущность коэффициента М. Для этого умножим выражение dФ12 di eM = − w2 на такую единицу, как 1 , и получим dt di1

Здесь

weM = − w2

dФ12 di1 . dt di1

Поменяем местами множители в знаменателе: dФ12 di1 eM = − w2 . di1 dt Следовательно, w dФ M = 2 12 . di Если магнитная цепь не содержит железа, то w dФ M = 2 12 . I1 Таким образом, взаимная индуктивность устанавливает связь между величиною потокосцепления второй катушки ( w2Ф12 = ψ12 ) с током первой катушки и равна отноψ шению потокосцепления ψ12 к току, т. е. M = 2 . I1 Взаимная индуктивность равна одному генри, если ток в первой катушке изменяется со скоростью один ампер за одну секунду, а во второй катушке индуктируется ЭДС в di один вольт, что видно из формулы eM = − M 1 . dt Установим соотношение между индуктивностями двух индуктивно связанных катушек и их взаимной индуктивностью. Индуктивность первой катушки определяется как L1 =

индуктивность второй катушки как

w12μ a S , l

w22μ a S . l Произведение индуктивностей катушек находится по формуле L2 =

w12 w22μ a2 S 2 . l2 Извлекая квадратный корень из последнего выражения, получим L1 L2 =

L1 L2 =

w1w2μ a S =M, l

т. е. при максимальной магнитной связи взаимная индуктивность двух катушек равна квадратному корню из произведений величин индуктивностей этих катушек. Под максимальной магнитной связью понимают такую магнитную связь, когда весь магнитный поток одной катушки пронизывает вторую катушку, что возможно только при равномерном расположении витков обеих катушек по всей длине тороида. 112

На практике, как правило, только часть магнитного потока одной катушки пронизывает вторую. В этом случае L1 L2 > M , поэтому M = K L1 L2 ,

где К – коэффициент магнитной связи двух катушек, величина которого может изменяться от нуля (магнитная связь отсутствует) до единицы (наибольшая возможная магнитная связь). На явлении взаимоиндукции основана работа трансформаторов. 3.2.6. Индукционные вихревые токи

Индукционные вихревые токи – это токи, которые возникают в массивных проводах, стержнях и дисках, находящихся в изменяющемся магнитном поле. В этом случае массивный проводник представляет собой по существу замкнутый виток, находящийся в постороннем магнитном поле. На рис. 3.28 пунктиром показан путь, по которому может замыкаться ток, если вектор магнитной индукции перпендикулярен Рис. 3.28 плоскости рассматриваемого контура. На практике это явление используется в индукционных печах. На использовании индукционных вихревых токов основана работа и некоторых других электротехнических устройств. Наличие вихревых токов сопровождается преобразованием электрической энергии в тепло. В ряде случаев это бесполезная трата энергии, следовательно, вихревые токи нежелательны. С целью уменьшения потерь от вихревых токов в электрических машинах и аппаратах стальные сердечники, через которые проходит переменный магнитный поток, набирают из отдельных изолированных листов или проволок, параллельных линиям индукции. Благодаря этому поперечное сечение отдельных частей будет меньше, и в контурах, по которым замыкаются вихревые токи, будет наводиться меньшая ЭДС dФ (e = − ). Кроме того, сечения контуров, по которым замыкаются вихревые токи, dt уменьшатся, а сопротивление этих контуров возрастет. Уменьшение ЭДС и увеличение сопротивления вызывают уменьшение вихревых E2 токов и, следовательно, потерь энергии ( P = ). R Потери энергии от индукционных вихревых токов пропорциональны квадрату числа циклов перемагничивания за 1 с (частоте) f, квадрату максимального значения магнитной индукции Вm, квадрату поперечного размера сердечника d, а также весу сердечника G. Иными словами, они могут быть выражены формулой

PF = kGf 2 B 2 md 2 , где k – коэффициент пропорциональности. В стальных сердечниках имеют место, кроме потерь энергии от вихревых токов, потери на гистерезис, которые бывают обыкновенно значительно больше, чем потери от вихревых токов. Потери на гистерезис при максимальном значении магнитной индукции более 1 Тл пропорциональны числу циклов перемагничивания за 1 с (f), квадрату максимального значения магнитной индукции (Вm) и весу стали (G), что выражается формулой

PH = k1 fB 2 mG , где k1 – коэффициент пропорциональности. 113

Практические задания

1. Расскажите о правилах, поясняемых данными рисунками:

а

б

в

2. Какое магнитное поле характеризует магнитная индукция? Ответ: 1) намагничивающее магнитное поле; 2) магнитное поле среды; 3) результирующее магнитное поле.

3. Какие тела относятся к парамагнитным? Ответ: 1) μ < 1 ; 2) μ >> 1 ; 3) μ ≥ 1 . 4. Какое магнитное поле характеризует напряженность магнитного поля? Ответ: 1) намагничивающее поле; 2) магнитное поле среды; 3) результирующее магнитное поле. 5. На рисунке изображены четыре магнитные линии. На какой из них наибольшая напряженность магнитного поля?

6. Соленоиды имеют одинаковые размеры и одинаковое число витков, но подключены под разное напряжение. В каком из них наибольшая напряженность магнитного поля? а

7. Какая величина наиболее полно характеризует магнитное поле в электрическом устройстве? Ответ: 1) магнитный поток; 2) магнитная индукция; 3) магнитная проницаемость. 114

б

в

8. Что остается неизменным в данном объеме пространства, занимаемом магнитным полем, если в него вносит материалы с различной магнитной проницаемостью? Ответ: 1) магнитный поток; 2) магнитная индукция; 3) напряженность магнитного поля.

9. Какой рисунок отображает магнитное состояние железа, соответствующее точке а кривой намагничивания?

10. Петли гистерезиса для трех материалов вычерчены в одном масштабе. Какой материал целесообразно использовать для сердечников электромагнитов переменного тока?

11. При какой напряженности поля (Н1, Н2, Н3) электромагнит будет обладать наибольшей чувствительностью к колебаниям напряжения на нем?

12. Расскажите о правиле, поясняемом данным рисунком.

13. Три одинаковые рамки движутся по-разному в одном и том же магнитном поле. Направление движения рамок указано стрелками. В какой из них имеется индуктивный ток? Обоснуйте свой ответ.

115

14. Расскажите о явлениях, поясняемых данными рисунками.

а

б

15. Для чего применяется правило левой руки? Ответ: 1) для определения направления ЭДС; 2) для определения направления силы, действующей на проводник с током; 3) для определения направления тока в проводнике. 16. Одна сторона разомкнутого витка движется под действием силы F со скоростью V в магнитном поле. Что надо сделать с силой F при замыкании рамки, чтобы скорость движения V осталась неизменной? Обоснуйте свой ответ. Ответ: 1) увеличить; 2) уменьшить; 3) не изменять. 17. Для чего применяется правило правой руки? Ответ: 1) для определения направления ЭДС; 2) для определения направления силы, действующей на проводник с током; 3) для определения направления магнитного потока. 18. Внутри проводника указанной формы изменяется магнитный поток так, что в каждой прямолинейной части его индуктируется ЭДС, равная 2 В. Чему равняется общая ЭДС проводника? Ответ: 1) 0 В; 2) 4 В; 3) 8 В; 4) 16 В. 19. Проводник указанной формы движется перпендикулярно магнитным силовым линиям так, что в каждой горизонтально расположенной части его индуктируется ЭДС, равная 2 В. Чему равняется общая ЭДС проводника? Ответ: 1) 0 В; 2) 2 В; 3) 6 В. 20. Проводник указанной формы движется перпендикулярно магнитным силовым линиям так, что в каждой горизонтально расположенной части его индуктируется ЭДС, равная 2 В. Чему равняется общая ЭДС проводника? Ответ: 1) 0 В; 2) 2 В; 3) 4 В; 4) 8 В. 116

21. Магнитный поток, охватываемый кольцевым проводником, растет. Укажите направление индукционного тока в проводнике.

22. Какой сердечник целесообразно применить для увеличения индуктивности катушки? Ответ: 1) диамагнитный; 2) парамагнитный; 3) ферромагнитный. 23. При прежнем значении тока в катушке возрос ее магнитный поток. Что стало с индуктивностью катушки? Ответ: 1) увеличилась; 2) уменьшилась; 3) не изменилась. 24. Для увеличения индуктивности катушки наиболее целесообразно: 1) увеличить число витков в два раза; 2) увеличить площадь катушки в два раза; 3) уменьшить длину катушки в два раза. 25. Электрическая цепь, содержащая соленоид, периодически разрывается. Что произойдет с искрою, возникающей в момент разрыва цепи, если в соленоид внести железный сердечник? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. 26. Плоскость качания маятника расположена между полюсами электромагнита. При отсутствии тока в катушке электромагнита маятник качается длительное время. При подаче тока в электромагнит качания маятника быстро прекращаются. Где здесь проявляется правило Ленца?

27. На рисунке изображен график изменения тока в электрической цепи (а). Как изменится форма графика тока при замыкании и размыкании цепи, если в соленоид электрической цепи внести железный сердечник (б)? а

117

б

28. На рисунке изображен график изменения тока в электрической цепи. Начертите график изменения ЭДС самоиндукции этой цепи.

29. При прежней величине изменяющегося тока в первой катушке и прежних параметрах катушек ЭДС второй катушки возросла. Что стало с коэффициентом связи катушек? Ответ: 1) увеличился; 2) уменьшился; 3) не изменился.

30. Индуктивность первой катушки равна 2 Гн, индуктивность второй катушки – 8 Гн. Чему равна их взаимная индуктивность? Ответ: 1) 0 Гн; 2) 4 Гн; 3) 10 Гн; 4) 16 Гн.

31. Что вычисляется по этим формулам: 1) M

di dψ di ; 4) L . ; 2) K L1 L2 ; 3) dt di dt

32. Две катушки, имеющие индуктивности соответственно 2 Гн и 8 Гн, размещены на общем магнитопроводе. Коэффициент их связи равен единице. Чему равна их взаимная индуктивность? Ответ: 1) 0 Гн; 2) 4 Гн; 3) 10 Гн; 4) 16 Гн.

33. Как надо разместить две катушки, чтобы уменьшить коэффициент связи между нами? Ответ: 1) рядом друг с другом; 2) одну под другой; 3) перпендикулярно друг другу. 34. По какой формуле подсчитывается ЭДС: w 2μ a S Iw wФ ; 2) ; 3) BlV ; 4 . 1) L l I 118

35. В одну из двух магнитносвязанных, замкнутых на себя катушек быстро вдвигают северным полюсом магнит. Укажите направление индуктивного тока во второй катушке, если на нее смотреть сверху. (Магнитное поле постоянного магнита не влияет на вторую катушку.)

36. Алюминиевый диск под действием механической силы вращается в магнитном поле постоянного магнита. Что произойдет со скоростью вращения диска, если отодвинуть магнит (несколько увеличить r)? Ответ: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

119

Глава 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ 4.1. Общие сведения

Измерение, т. е. определение числового значения той или иной величины, играет важную роль в жизни человечества. Измерения, и особенно электрические измерения, в настоящее время составляют неотъемлемую часть любого производства. Улучшение качества продукции и повышение производительности труда в значительной степени обусловлены тем, насколько хорошо организовано измерительное хозяйство предприятия. Автоматическое управление производством, автоматизация процессов и контрольных операций также неразрывно связаны с измерениями, так как нельзя управлять тем или иным процессом без контроля его показателей. Запуск искусственных спутников, межпланетных кораблей, вывод их на заданную орбиту связан с непрерывным процессом сложнейших измерений. Из всех видов измерений во всех отраслях промышленности наибольшее развитие в настоящее время получили электрические измерения. Электрические измерения практически не зависят от расстояния. Измерения, производимые на автоматических метеорологических установках в горах, дрейфующих станциях, передаются на Большую землю. Измерения, производимые на искусственных спутниках, межпланетных кораблях, передаются на Землю на очень большие расстояния. Электроизмерительные приборы позволяют непрерывно производить измерения и запись изменений измеряемой величины. Электрические измерения позволяют производить операции над неэлектрическими величинами, предварительно преобразовав их в электрические. Например, скорость, температура, давление, уровень жидкости и другие величины преобразовываются в электрические величины и измеряются электроизмерительными приборами. Измерить какую-либо величину – это значит сравнить ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Следовательно, для всякого измерения нужны: система единиц измерения, вещественно воспроизведенные единицы измерения и технические средства, при помощи которых измеряемые величины сравниваются с единицами их измерения. В нашей стране принята Международная система единиц (СИ). Точно изготовленный образец величины, принятый за единицу измерения, называется мерой. Сравнение измеряемой величины с образцовой в большинстве случаев производится при помощи измерительных приборов. Приборы и меры, предназначенные для измерения, называют рабочими. Приборы и меры, предназначенные для градуировки и проверки рабочих мер и приборов, называют образцовыми. Образцовые меры, изготовленные с наивысшей достижимой на данном уровне техники точностью, называют эталонами. При всяком измерении результат измерения несколько отличается от действительного значения измеряемой величины. Разность между показанным прибором значением измеряемой величины Апр и действительным значением A∂ измеряемой величины называют абсолютной погрешностью прибора. Обычно абсолютная погрешность обозначается буквой Δ (дельта), которая ставится перед буквой, обозначающей измеряемую величину. Таким образом, Δ A = Aпр − A∂ , Δ I = I пр − I ∂ , Δ U = U пр −U ∂, ΔP = Pпр − P∂ . За действительное значение измеряемой величины принимается значение, показанное образцовым прибором. Величина, равная абсолютной погрешности, но взятая с обратным знаком, называется поправкой. Поправка обозначается буквой ∂ (дельта), т. е. δ = −Δ Α . Для получения истинного значения измеряемой величины надо к показанию прибора прибавить поправку δ, т. е. A∂ = Aпр + δ, I ∂ = I пр + δ . 120

Абсолютная погрешность не характеризует качества измерения. Последнее оценивается относительной погрешностью Δ % , представляющей собой отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины: Δ% =

Aпр − A∂ A∂

100% =

ΔA 100%. A∂

Согласно существующему стандарту электроизмерительные приборы по степени точности делятся на восемь классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Числа, указывающие класс точности прибора, обозначают наибольшую допустимую погрешность, выражаемую в процентах от номинального предела измерения прибора, т. е. они указывают так называемую наибольшую допустимую приведенную погрешность. Приведенной погрешностью γ (гамма) называют отношение абсолютной погрешности к номинальному пределу измерения прибора. Приведенная погрешность выражается в процентах: γ=

Aпр − A∂ A ном

100% =

ΔA 100%. A ном

Номинальный предел – наибольший предел измерения прибора. По классу точности прибора всегда можно подсчитать наибольшую возможную абсолютную погрешность показания (в %): ΔA=γ

A ном . 100%

Для лучшего использования точности прибора им следует производить измерения величин, значения которых лежат во второй половине шкалы. В этом легко убедиться, исходя из следующих соображений. Как указывалось, точность измерения определяется относительной погрешностью: ΔΑ% =

ΔΑ 100%. A∂

Умножим и разделим правую часть на Аном. Тогда ΔΑ% =

ΔΑ A 100% ном . A∂ A ном

Поменяв местами множители в знаменателе, получим ΔA% =

ΔA ΔA 100% ном . Aном A∂

Однако ΔA 100% = γ, Aном

следовательно, ΔA% = γ

Aном . A∂

Последняя формула показывает, что погрешность измерения равна погрешности прибора (классу точности), умноженной на отношение номинального предела прибора к показанию прибора. 121

4.2. Системы электроизмерительных приборов

Электроизмерительные приборы классифицируются по системам в зависимости от того, какое физическое явление используется в данном приборе для целей измерения, или иначе – по способу преобразования измеряемой величины во вращающий момент. К важнейшим системам электроизмерительных приборов относятся: , если в при1. Магнитоэлектрическая система, приборы которой имеют знак боре противодействующий момент создается спиральной пружиной или растяжкой. Логометры этой системы имеют знак . Принцип действия приборов основан на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита с проводником, по которому проходит измеряемый ток. 2. Электромагнитная система, приборы которой имеют знак , если в приборе противодействующий момент создается спиральной пружиной, или знак для логометров. Принцип действия приборов основан на втягивании ферромагнитного сердечника в катушку, по которой течет измеряемый ток. 3. Электродинамическая система, приборы которой имеют знак , если в приборе противодействующий момент создается спиральной пружиной, или знак для логометров. Принцип действия приборов основан на взаимодействии проводников, по которым проходит измеряемый ток. 4.

Ферродинамические приборы имеют знак

, если противодействующий

для логометров. Ферродинамимомент создается спиральной пружиной, или знак ческие приборы отличаются от электродинамических наличием ферромагнитного сердечника. 5.

Индукционная система, приборы которой имеют знак

, а логометры – знак

. Принцип действия этих приборов основан на взаимодействии магнитных полей электромагнитов с токами, индуктируемыми в подвижной части прибора. 6. Термоэлектрические приборы имеют знак или . Приборы этой системы представляют собой сочетание механизма магнитоэлектрической системы с термопарой. и представляют 7. Выпрямительная система, приборы которой имеет знак собой сочетание измерительного механизма магнитоэлектрической системы с полупроводниковым выпрямителем. 8. Вибрационная система, приборы которой имеют знак . Принцип действия основан на увеличении амплитуды колебаний стальной пружины при совпадении собственной частоты с частотою вынужденных колебаний. 9. Электростатическая система имеет знак . Принцип действия приборов этой системы основан на взаимодействии электрически заряженных проводников. 4.3. Маркировка электроизмерительных приборов

Для того чтобы легко получить необходимые сведения об электроизмерительном приборе, установлена специальная система маркировки. Согласно ГОСТ на лицевой стороне прибора, обычно на шкале, должны быть указаны при помощи условных обозначений следующие данные: – род измеряемой величины (например, A, V , W ); – класс точности прибора (0,05; 0,1; 0,2; 0,5 и т. д.); 122

ГОСТ, по которому прибор изготовлен (ГОСТ 8711–60 и т. д.); род измеряемого тока: постоянный (–), переменный (~), постоянный и переменный ( ),трехфазный ( ); – –

система прибора ( ). рабочее положение прибора: вертикальное ( ),горизонтальное ( ),под углом 60° ( ∠ 60º); – испытательное напряжение изоляции (знак – цифра в звездочке, обозначающая – –

)); киловольты ( – защита прибора от магнитных электрических полей (по защищенности от внешних полей приборы разделены на две категории – I и II: категория защиты от магнитных полей обозначается знаками или ; от электрических полей – знаками или

); тип (шифр) прибора ( Э 330 и т. п.); год выпуска и заводской номер прибора (1992,11275 и т. п.); фабричная марка завода-изготовителя; частота, при которой может работать прибор (50, 45–1 500). Отечественные заводы при составлении шифров приборов обозначают систему прибора следующими буквами: М – магнитоэлектрическая, Д – электродинамическая, Э – электромагнитная, Ц – выпрямительная, Т – термоэлектрическая. После буквы обычно ставят цифры (М 154, Э 309, Д 533, Ц 315). В зависимости от условий эксплуатации приборы делятся на три группы: – группа А – приборы, предназначенные для работы в закрытых, сухих, отапливаемых помещениях; – группа Б – в закрытых, неотапливаемых помещениях; – группа В – приборы для работы в полевых или морских условиях. Буква, обозначающая группу по условиям эксплуатации, может стоять после цифр в шифре прибора (например, Д502Б), но может стоять и отдельно. – – – –

4.4. Требования, предъявляемые к измерительному прибору

1. Включение приборов в цепь не должно изменять режима работы цепи. 2. Погрешность показаний не должна превышать допустимых величин. 3. Отсчет показаний должен быть предельно прост (желательно иметь отсчет непосредственно в практических единицах). 4. Энергия, потребляемая прибором, должна быть мала. 5. Показание прибора не должно зависеть от внешних факторов. 6. Прибор по конструкции должен быть прост, дешев, надежен в эксплуатации и не бояться перегрузок. 7. Стрелка прибора должна быстро устанавливаться на соответствующем показании. 4.5. Общее устройство, детали и узлы электроизмерительных приборов

Во всяком электроизмерительном приборе имеются подвижная и неподвижная системы. Подвижная часть прибора под действием измеряемой электрической величины перемещается относительно неподвижной. По углу отклонения подвижной системы судят о численном значении измеряемой величины. Отклонение подвижной системы прибора из нулевого положения вызывается действием на нее вращающего момента. Для того чтобы стрелка прибора давала определенное отклонение, а не уходила за край шкалы при наличии любого вращающего момента, необходимо, чтобы на подвижную сис123

тему оказывал влияние, кроме вращающего момента, еще и противодействующий момент, возрастающий с увеличением отклонения подвижной системы из нулевого положения. При установившемся отклонении должно быть равенство моментов ( M BP = M ПР ) . Если вращающий момент прямо пропорционален измеряемой величине (например, току: M ВР = k1 I ), а противодействующий момент прямо пропорционален углу отклонения подвижной системы от нулевого положения ( M ПР = k 2 α) , то при устаноk вившемся отклонении k 2 α = k1 I , откуда α = 1 I = kI , т. е. угол отклонения подвижной k2 системы прямо пропорционален измеряемой величине (току). Такой прибор будет иметь равномерную шкалу. У равномерной шкалы расстояния между всеми ее делениями одинаковы (рис. 4.1). Если вращающий момент находится в более сложной зависимости от измеряемой величины, то шкала будет неравномерной (рис. 4.2). Для уменьшения погрешностей отсчета, Рис. 4.1 Рис. 4.2 вызываемых неправильным положением глаза наблюдателя относительно отсчетного устройства, в точных переносных приборах шкалы делают зеркальными. При отсчете значения измеряемой величины по зеркальной шкале необходимо так смотреть на стрелку и шкалу, чтобы со стрелкой не было видно ее изображения в зеркале. Противодействующий момент в большинстве приборов создается спиральной пружиной из фосфористой или оловянноцинковой бронзы, один конец которой прикрепляется к подвижной системе, а второй – к неподвижной части прибора (рис. 4.3). Противодействующий момент, развиваемый пружиной при закручивании ее на один градус, называется удельным моментом bh 3 Рис. 4.3 и подсчитывается по формуле M уд = E , где L – общая длина 12 L ленты пружины; h – толщина ленты пружины; в – ширина ленты пружины; Е – модуль упругости материала, из которого сделана пружина. Момент, развиваемый пружиной при закручивании ее на угол α, подсчитывается по формуле M пр = αM уд , т. e. он прямо пропорционален углу закручивания пружины. Подвижная система приборов укрепляется на осях или полуосях, растяжках или подвесках (рис. 4.4). Ось изготовляется в виде алюминиевой или латунной трубки, в которую завальцовываются стальные керны (рис. 4.5). Значительно реже ось изготавливается в виде тонкого цилиндрического стального стержня, а керны представляют собой одно целое с осью. Концы кернов опираются на подпятник и имеют закругленную форму. Подпятник в большинстве случаев состоит из опорного камня и винта, в котором камень закреплен (рис. 4.6). Материалом для опорного камня служат драгоценные или полудрагоценные камни (алмаз, рубин, сапфир, а в большинстве приборов – агат). Точное положение концов оси в середине чашечки подпятника весьма важно для правильной работы прибора. Ничтожное смещение концов оси в сторону вызывает заметное изменение положения конца стрелки.

Рис. 4.4

Рис. 4.5.

124

Рис. 4.6

Для того чтобы отклонение подвижной системы определялось только вращающим и противодействующим моментами, необходимо устранить влияние силы тяжести, т. е. надо уравновесить подвижную систему. Уравновешивание подвижной системы осуществляется с помощью трех или двух грузиков – миниатюрных гаечек, навинченных на рычаги (рис. 4.7). Подвижная система прибора обРис. 4.7 ладает инерцией и вместе с упругой пружиной образует колебательную систему. В результате стрелка прибора, прежде чем принять новое положение, совершает ряд колебаний около положения равновесия. Чтобы сократить продолжительность этих колебаний, измерительные приборы снабжаются успокоителями. Применяются воздушные и магнитоиндукционные успокоители. В воздушном успокоителе поршенек или крылышко движутся в цилиндре или коробочке и своим трением о воздух сокращают продолжительность колебаний подвижной системы (рис. 4.8). В магнитоиндукционном успокоителе торможение создается токами, индуктируемыми в алюминиевом диске, цилиндре или каркасе при движеРис. 4.8 нии их между полюсами постоянного магнита (рис. 4.8). В результате толчков при перегрузках, остаточной деформации пружин, температурных влияний и других причин стрелка невключенного прибора может стоять не на нулевом делении. Для того чтобы иметь возможность в таких случаях установить стрелку в нулевое положение, прибор снабжается корректором (рис. 4.9). Корректор состоит из рычага, свободно опирающегося на ось, и винта с эксцентричным пальцем. К одному концу рычага прикрепляется спиральная пружина, а в вилку другого конца рычага входит эксцентричный палец. При повороте винта поворачивается рычаг, в результате чего пружина закручивается или раскручивается. Вследствие этого стрелка, поворачиваясь в ту или Рис. 4.9 иную сторону, устанавливается на нулевом делении. 4.6. Приборы магнитоэлектрической системы

В воздушном зазоре между стальными цилиндрами 8 и полюсными башмаками 2 постоянного магнита (рис. 4.10, а) создается равномерное, радиально направленное магнитное поле (рис. 4.10, б). В этом зазоре находится прямоугольная рамка 3, укрепленная на двух полуосях. К одной из полуосей прикреплена указательная стрелка прибора 7. В последние годы в высокочувствительных приборах рамка укрепляется на растяжках. Ток к рамке (катушке) подводится через две спиральные пружины, которые вместе с тем создают противодействующий момент. Подвижная система прибора вместе со спиральными пружинами и корректором изображена на рис. 4.10, в.

а

б

в Рис. 4.10

125

На каждую сторону рамки при прохождении по ней тока действует магнитное поле постоянного магнита с силой F = BILW , где В – магнитная индукция в воздушном зазоре; I – ток, проходящий через прибор; L – длина стороны рамки; W – число витков рамки. d Силы F создают вращающий момент M ВР = 2 F , где d – диаметр рамки. Подста2 вив в выражение момента значение силы F, получим:

M BP = BdLIW . Так как dL = S – площадь рамки, то M BP = BSWI . Этот момент поворачивает рамку на угол α, при котором вращающий момент уравновешивается противодействующим моментом, создаваемым пружинами прибора: M ПР = αM Уд . При установившемся равноBSW BSW весии M BP = M ПР , или BSWI = αM Уд , откуда α = через Si , поI . Обозначив M Уд M Уд лучим: α = Si I (для данного прибора Si является величиной постоянной). Из данного равенства видно, что угол отклонения подвижной системы прямо пропорционален току. Это BSW называется чувстозначает, что шкала прибора будет равномерной. Величина Si = M Уд вительностью прибора и равна углу отклонения подвижной системы, приходящемуся на α единицу тока: Si = . Чем больше чувствительность прибора, тем меньшей величины ток I можно им измерять. Величина, обратная чувствительности, называется постоянной при1 I бора: = Ci , т. е. Ci = . Постоянная прибора показывает цену деления шкалы. Si α Прибор имеет магнитоиндукционный успокоитель – алюминиевый каркас рамки, находящийся в магнитной поле. К достоинствам приборов этой системы можно отнести следующие: приборы чувствительны, так как имеют сильное магнитное пола (В = 0,2–0,3 Тл), точны, не боятся влияния внешних магнитных полей, имеют равномерную шкалу, потребляют мало энергии. К недостаткам относятся следующие: приборы пригодны только для измерения постоянного тока, через рамку можно пропускать ток не более 100 мА. Приборы применяются для контрольных лабораторных и технических измерений в цепях постоянного тока. 4.7. Приборы электромагнитной системы

Данные приборы состоят из катушки 1 (рис. 4.11, а), ферромагнитного сердечника 3 (лепестка), укрепленного на одной оси с указательной стрелкой 4. На этой же оси 2 укреплены поршенек воздушного успокоителя 8 или алюминиевый лепесток магнитоиндукционного успокоителя. Противодействующий момент создается спиральной пружиной 5. При налиа б чии тока в катушке создается магнитное поле, которое Рис. 4.11 намагничивает сердечник и втягивает его внутрь катушки, тем самым вызывая поворот подвижной системы. Каждой величине тока соответствует определенный поворот указательной стрелки. Вращающий момент прямо пропорционален силе, с которой притягивается ферромагнитный лепесток магнитным полем катушки. Сила притяжения прямо пропорциональна квадрату тока, как сила притяжения электромагнита. (Принципиальная схема прибора приведена на рис. 4.11, б.) 126

Так как F =

M вр = Fb =

B2S 7 10 , то 8π 2

2

(M a H ) S 7 B S 7 10 b = 10 b = 8π 8π

( Ma

IW 2 ) S Ma 2W 2 Sb 7 2 7 t 10 b = 10 I = cl 2 , 2 8π 8πI

где b – расстояние от точки приложения силы F до оси. Противодействующий момент, создававшийся спиральной пружиной, определяется как M ПP = αM Уд . При установившемС 2 ся отклонении M BP = M ПР , или сI 2 = αM Уд , откуда α = I . Это означает, что угол отM Уд клонения подвижной системы пропорционален квадрату тока, т. е. шкала прибора будет неравномерной. В действительности значение коэффициента С сильно изменяется по мере перемещения сердечника (лепестка), что дает возможность приблизить шкалу прибора к равномерной. Путем подбора формы и расположения ферромагнитного лепестка относительно катушки удается сделать шкалу электромагнитного прибора почти равномерной. Так как вращающий момент пропорционален квадрату тока, то его направление не изменяется при изменении направления тока в катушке, что позволяет данным прибором измерять как переменный, так и постоянный токи. Так как обмотка (катушка), по которой проходит измеряемый ток, неподвижна, то ее можно делать из проволоки любого сечения, что позволяет выпускать приборы этой системы, рассчитаные на токи большой величины (до трехсот ампер). Количество железа в магнитном поле прибора относительно мало, и большая часть длины магнитных линий проходит по воздуху. В силу этого приборы, во-первых, имеют малую чувствительность; во-вторых, боятся влияния внешних магнитных полей; в-третьих, требуют значительной затраты намагничивающих ампер-витков для получения удовлетворительного вращающего момента. В силу последнего обстоятельства прибор потребляет значительную мощность (2–20 ватт). Вследствие влияния гистерезиса и индукционных вихревых токов трудно изготовить прибор с точностью выше класса 1,5. В последние годы наша промышленность выпускает так называемые астатические приборы этой системы, которые можно изготовить более точными (класс 0,5–1,0). В астатических приборах имеются две катушки и два ферромагнитных лепестка, укрепленных на одной оси так, что внешнее магнитное поле создает два вращающих момента, направленных в противоположные стороны, благодаря чему исключается влияние внешних магнитных полей. Приборы электромагнитной системы имеют то достоинство, что они пригодны для измерения в цепях переменного и постоянного токов, обладают большой перегрузочной способностью, просты по устройству, имеют невысокую стоимость. Электромагнитные приборы применяются главным образом для технических измерений в цепях переменного тока промышленной частоты. 4.8. Приборы электродинамической системы

Электродинамический прибор состоит из двух катушек: подвижной и неподвижной (рис. 4.12). Подвижная катушка укреплена на одной оси с указательной стрелкой и поршеньком воздушного успокоителя. Ток к подвижной катушке подводится через спиральные пружинки, которые вместе с тем создают противодействующий момент. Неподвижная катушка выполняется обычно из двух катушек, соединенных последовательно. Через просвет между катушками проходит ось подвижной катушки. Неподвижная катушка выполняется из небольшого числа витков сравнительно толстого провода. Подвижная катушка выполняется с большим числом витков тонкой проволоки. 127

На рис. 4.12, а показана принципиальная схема устройства прибора, а на рис. 4.12, б дан эскиз конструкции этого же прибора. При прохождении тока по неподвижной катушке внутри этой катушки создается магнитное поле, от взаимодействия которого с током подвижной катушки создается пара сил FF. Сила взаимодействия между катушками пропорциональна произведению токов, проа б Рис. 4.12 ходящих в них ( F = C1 I1 I 2 ) . Следовательно, и вращающий момент пропорционален произведению токов в катушках ( М вр = кI1 I 2 ) . Катушки в приборе могут соединяться между собой последовательно, параллельно или смешанно. Противодействующий момент может быть выражен так же, как указывалось ранее: М пр = αМ уд . При установившемся равновесии М вр = М пр , т. е. кI1 I 2 = αМ уд , к I1 I 2 , следовательно, шкала прибора будет квадратичной. На рис. 4.12, б М уд показана схема прибора, какой ее принято изображать на чертежах. В амперметрах, рассчитанных на ток более 0,5 А, катушки соединяются между собой параллельно. Через подвижную катушку должен проходить ток не более 0,1 А. В вольтметрах катушки соединяются между собой последовательно. Магнитное поле прибора замыкается по воздуху, вследствие чего оно относительно слабое. Для получения достаточного вращающего момента необходимо иметь значительное число ампер-витков, в силу чего приборы потребляют относительно большое количество энергии. Слабость собственного магнитного поля обусловливает малую чувствительность прибора и зависимость показаний от внешних магнитных полей. Эти приборы плохо выносят перегрузку, так как трудно обеспечить запас прочности из-за наличия тока в подвижной системе. Прибор имеет высокую стоимость. Шкала у прибора неравномерная. Благодаря отсутствию железа прибор может быть весьма точным. Электродинамические приборы пригодны для измерения в цепях переменного и постоянного токов, так как направление вращающего момента не изменяется при одновременном изменении токов в катушках. Электродинамические приборы применяются для контрольных, лабораторных и технических измерений в цепях переменного тока промышленной частоты.

откуда α =

4.9. Ферродинамические приборы

Принцип работы ферродинамических приборов такой же, как электродинамических. Они отличаются от электродинамических приборов наличием железа в магнитной цепи прибора. Неподвижная катушка укрепляется в пазах стального ярма 1. Внутри подвижной катушки (рис. 4.13, а) имеется стальной сердечник 2. В принципе его конструкция может быть сходна с конструкцией прибора магнитоэлектрической системы (рис. 4.13, б). Применение стали увеличивает магнитное поле прибора, что, с одной стороны, выа б зывает увеличение вращающего момента и Рис. 4.13 позволяет делать эти приборы более надеж128

ной конструкции, с другой – применение стали связано с увеличением погрешности из-за гистерезиса и вихревых токов. Ферродинамические приборы применяются для технических измерений в цепях переменного тока промышленной частоты. 4.10. Приборы индукционной системы

Индукционный прибор состоит из алюминиевого диска 1 (рис. 4.14), укрепленного на одной оси с указательной стрелкой 2 и спиральной пружиной 3. Диск охватывается двумя электромагнитами 4, обмотки которых соединены параллельно. При прохождении тока по обмоткам электромагнитов магнитные потоки этих электромагнитов Ф1 и Ф2 , пронизывая диск, при своем изменении индуктируют в диске вихревые токи i1 и i2 . Ток в диске i1 , наведенный потоком Ф1 , находится в той части диска, которая пронизывается потоком Ф2 . Ток i1 и магнитный поток Ф2 взаимодействуют между собой с силой F1 . Ток i1 , наведенный потоком Ф2 , находится в той части диска, которая пронизывается магнитным потоком Ф1 . Ток i2 и магнитный поток Ф1 взаимодействуют между собой с силой F2 . Под влиянием этих сил будет создаваться вращающий момент М вр = kI1 I 2 sin ϕ , где угол ϕ – угол сдвига фаз между индукционными токами диска или токами катушек электромагнитов (рис. 4.15). На рис. 4.16 показан индукционный прибор с одним электромагнитом. Второй электромагнит заменяет короткозамкнутый виток, охватывающий часть магнитопровода первого электромагнита. Каждому значению измеряемого тока соответствует определенный угол отклонения подвижной системы, по которому и судят о значении измеряемой величины. Индукционные приборы пригодны только для работы в цепях переменного тока строго определенной частоты. Они обладают сильным магнитным полем и значительным вращающим моментом, что позволяет иметь надежную и прочную конструкцию и снижает влияние внешних магнитных полей и перегрузок. Индукционные приборы имеют класс точности 1,5–2,5. Индукционные приборы применяются главным образом для измерения электрической энергии в цепях переменного тока промышленной частоты.

Рис. 4.14

Рис. 4.15

Рис. 4.16

Электромагнитными, электродинамическими и индукционными приборами затруднительно измерять малые переменные токи и напряжения промышленной частоты и практически невозможно производить измерения в цепях повышенной и высокой частот. Для этих целей используют прибор магнитоэлектрической системы, снабженный соответствующим преобразователем, смонтированным, как правило, в одном корпусе с магнитоэлектрическим прибором. Такими приборами являются термоэлектрические и выпрямительные. 129

4.11. Термоэлектрические приборы

Эти приборы состоят из магнитоэлектрического измерительного механизма, соединенного с термопреобразователем. В качестве термопреобразователя используют одну или несколько термопар, представляющих собой два проводника А и В (рис. 4.17), выполненных из разнородных материалов и соединенных между собой в точке спая С. Под действием тепла, выделяемого в нагревателе измеряемым током, в Рис. 4.17 термопаре возникает термоэлектродвижущая сила E1 , измеряемая магнитоэлектрическим прибором И. Шкала его может быть проградуирована в единицах измеряемого тока или в других величинах, функционально связанных с током. Величина термоэлектродвижущей силы зависит от разности температур места спая и свободных концов термопары, а также от материалов проводников термопары. В практике электрических измерений наибольшее распространение получили следующие термопары: железо – константен, манганин – конотантан, хромель – конотантан, хромель – копель. Допустимая температура нагрева точки спая указанных термопар составляет 200–600ºС. Величина термо-электродвижущей силы составляет 10–45 мВ. Для нагревателей обычно используют вольфрам или нихром. Величина термоэлектродвижущей силы пропорциональна квадрату тока, протекающего по нагревателю. Термоэлектрические приборы пригодны для измерения как постоянного, так и переменного токов, при этом шкала приборов – квадратичная. В зависимости от способа нагрева спая различают термопары контактные и бесконтактные. В контактных преобразователях место спая приваривают к нагревателю. У бесконтактных преобразователей спай отделен от нагревателя изоляционным материалом (например, стеклом). Для повышения чувствительности прибора несколько термопар соединяются между собой последовательно, для чего можно использовать только бесконтактные термопары. Приборами термоэлектрической системы можно измерять малые переменные токи и напряжение промышленной частоты, а также производить измерения в цепях повышенной частоты. Прибор имеет класс точности 0,5–1,5. Эти приборы имеют малый срок службы термопары, боятся перегрузок, их показания зависят от окружающей температуры. Данные приборы имеют неравномерную шкалу измерения. 4.12. Выпрямительные приборы

Эти приборы представляют собой соединение магнитоэлектрического измерительного механизма с полупроводниковым выпрямителем. Большое применение получили полупроводникоа б вые диоды. Используются приборы с однотактной и двухтактной схемами выпрямления. В однотактРис. 4.18 ной схеме выпрямления ток проходит через прибор только одну половину периода (рис. 4.18, а). В двухтактной схеме ток проходит через прибор обе половины периода (рис. 4.18, б). Приборы с двухтактной схемой выпрямления более чувствительны. Шкала выпрямительного прибора равномерная, кроме начальной части (менее 10% шкалы). Точность выпрямительных приборов невелика из-за многочисленных источников значительных погрешностей, класс точности не выше 1,5. Высокая чувствительность, малое собственное потребление энергии являются основными достоинствами выпрямительных приборов. Низший предел измерения вольтметров – около 0,3 В при токе 1 мкА, ам130

перметров – около 0,2 мкА при падении напряжения около 1 мкА. По габаритам тельный прибор не отличается от обычного магнитоэлектрического прибора. Эти приборы применяются для измерения в цепях переменного тока частотою до 1,5 Мгц. 4.13. Приборы электростатической системы

В электростатическом приборе имеются два металлических электрода сравнительно большой поверхности, хорошо изолированные друг от друга. Один из электродов укреплен неподвижно, другой посажен на ось или повешен на упругой подвеске. С подвижным электродом скрепляются стрелка и успокоитель. При включении напряжения на зажимы прибора электроды разноименно заряжаются и взаимно притягиваются, чем и создается вращающий момент. Противодействующий момент образуется благодаря упругости подвески или Рис. 4.19 спиральной пружины. На рис. 4.19 показано схематически устройство электростатического прибора. На основании прибора укреплена стойка 1, к которой подвешен подвижный электрод 2, представляющий собой тонкую металлическую пластинку размерами примерно 25 × 90 мм. Кроме подвижного, имеются еще два неподвижных электрода 3 и 4. Электрод 4 изолирован от электрода 3, а электроды 3 и 2 электрически соединены между собой. При наличии напряжения на зажимах прибора электрод 2 отталкивается от одноименно заряженного электрода 3 и притягивается к электроду 4. Нить 5, свободно проходящая через отверстие в электроде 3, соединяет подвижный электрод 2 с поводком на оси стрелки прибора. Таким путем механическая сила взаимодействия заряженных электродов преобразуется во вращающий момент. Противодействующий момент создается спиральной пружиной или упругой подвеской. Успокоитель магнитоиндукционный состоит из алюминиевого сектора 6 и постоянного магнита 7. Отличительное свойство и главное преимущество электростатических вольтметров – это ничтожное собственное потребление энергии в цепях переменного тока и отсутствие потребления в цепях постоянного тока. Данная особенность обеспечивает возможность измерять электростатическим вольтметром напряжения в цепях малой мощности. Приборы этой системы нечувствительны к колебаниям частоты, а также к внешним магнитным полям и температуре. Электростатические вольтметры применяют для измерения (в цепях с маломощными источниками) и при лабораторных исследованиях (в цепях высокого напряжения). 4.14. Вибрационные приборы

В приборах этой системы подвижная часть выполняется в виде набора упругих стальных пластин, которые под действием переменного поля колеблются с частотой, равной частоте измеряемого переменного тока. Вибрационные приборы бывают двух типов: с непосредственным и косвенным возбуждением. В приборах первого типа переменное магнитное поле воздействует непосредственно на каждую из стальных пластин прибора. В приборах с косвенным возбуждением магнитное поле воздействует на якорь, колебания которого механически передаются пластинам, укрепленным на упругом основании. Принципиальная схема такого прибора показана на рис. 4.20. Электромагнит состоит из магнитопровода и обмотки, которая питается переменным током. Частота колебаний Рис. 4.20 131

основания 3 и якоря 2, укрепленных на упругих пластинчатых пружинах 5, определяется частотой этого переменного тока и соответствует ей. Одна из пластин 4, у которой частота собственных колебаний равна частоте колебаний якоря, будет иметь наибольшую амплитуду колебаний. Покрасив загнутый под прямым углом конец пластины в белый цвет, мы увидим при ее колебании белую полоску, ширина которой равна ширине пластинки, а длина – двойной амплитуде колебаний. Такое устройство можно проградуировать в единицах измеряемой частоты и по шкале (рис. 4.21), а также можно отсчитывать значения частоты. Рис. 4.21 4.15. Логометры

Во всех рассмотренных приборах различных систем имеется механический противодействующий момент, обычно создаваемый спиральной пружиной, а вращающий момент зависит от величины тока, протекающего через прибор. Ток, в свою очередь, зависит от величины напряжения, следовательно, показания прибора изменяются с изменением величины напряжения. В ряде случаев необходимо иметь приборы, показания которых мало бы зависели от напряжения источника. К таким приборам и относятся логометры, в которых противодействующий момент создается, подобно вращающему моменту, электрическим путем. Следовательно, для логометра характерно отсутствие механического противодействующего момента. Наибольшее распространение получили логометры магнитоэлектрической, электродинамической и ферродинамической систем. Схема устройства магнитоэлектрического логометра приведена на рис. 4.22. Неподвижной частью логометра служит постоянный магнит с полюсными наконечниками и сердечником из мягкой стали. Подвижная часть состоит из двух рамок, жестко скрепленных между собой под углом в 60 или 90° и насаженных на одну ось с указательной стрелкой. Ток к обмоткам рамок подводится через серебряные спирали, не создающие механического момента. Взаимодействие токов, протекающих по обмоткам рамок, с магнитным полем постоянного магнита создает два вращающих момента. Если направление токов в рамках будет противоположным, то и вращающие моменты будут противоположно направлены. Магнитное поле в воздушном зазоре между полюсными наконечниками и сердечником делается неравномерным, что достигается либо формой наконечников (рис. 4.22, б), либо формой неподвижного сердечника (рис. 4.22, а). а б Из-за неравномерности зазора вращающие Рис. 4.22 моменты оказываются зависимыми от положения подвижной части. Если по обмотке одной из рамок протекает ток I1 , а по обмотке второй рамки – ток I 2 , то на подвижную часть логометра будут действовать два вращающих момента M 1 и M 2 : M 1 = B1S1W1 I1 , M 2 = B2 S 2W2 I 2 ,

где B1 , B2 – индукции в зазоре; S1 , S 2 – площадь рамок; W1 , W2 – число витков рамок. Под воздействием этих противоположно направленных моментов подвижная часть будет поворачиваться в сторону большего момента. При повороте одна рамка из более узкого зазора с большей индукцией начнет перемещаться в более широкий зазор с меньшей индукцией, а вторая рамка – наоборот. Вследствие этого момент одной рамки начнет увеличиваться, а момент второй рамки – уменьшаться. Поворот будет продолжаться до установившегося отклонения подвижной части, когда вращающие моменты 132

I1 B2 S 2W2 = . Так как S1 , I 2 B1S1W1 I B SW S 2 , W1 и W2 для данного прибора – величины постоянные, то 1 = C1 2 , где C1 = 2 2 . B1 I2 S1W1

уравновесятся, т. е. M 1 = М 2 , или B1S1W1 I1 = B2 S 2W2 I 2 . Отсюда

Отношение

B2 определяется положением рамок в воздушном зазоре. Поэтому из поB1

I1 соответствует I2 только одно положение подвижной части. Следовательно, шкала прибора может быть проградуирована в единицах величины, определяющей отношение токов в рамках. При помощи соответствующих измерительных схем можно обеспечить зависимость токов в рамках от самых разнообразных физических величин, что дает возможность весьма широко использовать логометры. Магнитоэлектрические логометры применяют наиболее часто в качестве приборов для непосредственного измерения сопротивлений, а именно в виде омметров и мегомметров. Устройства логометров электродинамической и ферродинамической систем аналогичны устройству магнитоэлектрических логометров. Однако в этих приборах происходит взаимодействие токов подвижных катушек не с магнитным полем постоянного магнита, а с магнитным полем неподвижной катушки. В логометрах данных систем подвижная часть состоит из двух рамок, жестко скрепленных между собой под определенным углом и насаженных на одну ось с указательной стрелкой. При протекании токов по подвижным и неподвижной катушкам создаются два противоположно направленных вращающих момента, поворачивающих подвижную часть до их уравнивания. Установившееся отклонение, как и в магнитоэлектрических логометрах, определяется отношением токов подвижных катушек.

следнего уравнения можно заключить, что каждому отношению токов

4.16. Измерение токов и напряжений

Приборы, служащие для измерения тока (амперметры) и напряжения (вольтметры), устроены по существу совершенно одинаково и отличаются друг от друга способом включения в сеть, а также относительной величиной своего сопротивления. Амперметр должен всегда включаться последовательно с потребителем, чтобы по нему проходил ток потребителя, подлежащий измерению. Сопротивление амперметра должно быть настолько малым, чтобы в нем не происходила сколько-нибудь заметная потеря напряжения. В тех случаях, когда затруднительно или нецелесообразно пропускать через амперметр весь измеряемый ток, для расширения предела измерения амперметра применяют дополнительную проводимость – шунт. Рис. 4.23 Его включают последовательно с потребителем, в котором хотят измерить ток, а амперметр подключают параллельно шунту (рис. 4.23). Пусть требуется измерить ток I , который в n раз больше допустимого тока прибора I a , т. е. I = I a n , при этом I = I a + I ш (рис. 4.23). Распределение токов между шунтом I R и амперметром обратно пропорционально их сопротивлениям: a = ш . Отсюда I ш Ra I R I R Rш = a a = a a . Iш I − Ia 133

Так как I = I a n , то Rш =

I a Ra R = a , т. е. I a (n − 1) n − 1

⎛ I ⎞ Ra , где n – шунтирующий множитель ⎜⎜ n = ⎟⎟ . n −1 Ia ⎠ ⎝ Шунты изготовливаются по ГОСТ, при этом калиброванные шунты – на напряжения 45, 75, 100 150 мВ. Рис. 4.24 Конструкции некоторых шунтов показаны на рис. 4.24. Шунтами снабжаются амперметры магнитоэлектрической системы. Для электромагнитных, электродинамических и индукционных амперметров применение шунтов нецелесообразно: точность измерения весьма низка из-за температурных и частотных влияний. Для переносных приборов вышеуказанных систем применяется секционирование катушек, т. е. катушки подразделяются на несколько секций, которые в зависимости от требуемого предела и измерения могут быть соединены параллельно, последовательно или смешанно. При измерении переменного тока для расширения пределов измерения амперметры включают через измерительные трансформаторы. Вольтметр – это, в сущности, амперметр с большим внутренним сопротивлением, шкала которого проградуирована в вольтах, так как при постоянном сопротивлении вольтметра теряемое в нем напряжение пропорционально силе тока, проходящего через вольтметр: U в = I в Rв . Умножая силу тока, протекающего через вольтметр, на сопротивление вольтметра, получим напряжение на его зажимах, которое и откладывают на шкале прибора. Таким образом, вольтметр показывает напряжение, теряемое в нем самом. Следовательно, для измерения напряжения на каком-либо участке вольтметр необходимо включать параллельно данному участку, так как при параллельном соединении напряжения на всех участках одинаковы. Чтобы включение вольтметра не оказывало заметного влияния на сопротивление участка цепи между точками, когда к ним присоединяется вольтметр, а также для уменьшения расхода энергии в вольтметре сопротивление его должно быть по возможности большим, а в идеальном случае – равным бесконечности. Для расширения предела измерения вольтметра включают последовательно с ним добавочное сопротивление. В этом случае измеряемое напряжение распределяется между вольтметром и добавочным сопротивлением. Пусть требуется измерить напряжение в m раз больше того, на которое рассчитан вольтметр: U = U в m . Из рис. 4.25 видно, что U = U в + U g . Поскольку

Rш =

Рис. 4.25

U в = I в Rв и U g = I в Rg , то U = I в Rв + I в Rg . Так как U = U в m , то

I в Rв m = I в Rв + I в Rg , откуда Rg = Rв (m − 1) . Последняя формула позволяет рассчитать требуемое добавочное сопротивление. Его необходимо включить последовательно с вольтметром для измерения напряжения, которое в m раз больше того, на которое рассчитан вольтметр. Калиброванные добавочные сопротивления изготовливаются на токи 0,5; 1,0; 3,0; 5,0; 7,5; 15; 30 и 60 мА. 4.17. Измерение мощности в цепях постоянного и однофазного переменного токов

Мощность в цепи постоянного тока подсчитывается по формуле P = UI . Следовательно, измеряя ток амперметром и напряжение вольтметром, можно легко определить мощность в данной цепи. 134

Измерить мощность в цепи постоянного тока можно одним электродинамическим прибором (электродинамическим ваттметром). Для этого неподвижная катушка включается последовательно с потребителем, т. е. как амперметр. Подвижная катушка с добавочным сопротивлением включается параллельно потребителю, т. е. как вольтметр (рис. 4.26). Вращающий момент, создаваемый в приборе, находится по формуле Рис. 4.26 M в = kI1 I 2 . Если сопротивление R будет постоянным, то U U I 2 = , где R = R1 + Rg . Следовательно, M в = kI1 = k1 I1U = k1 P . Так как угол отклонеR R ния прямо пропорционален вращающему момент, то он прямо пропорционален мощности. По углу поворота судят о величине мощности цепи постоянного тока. Шкала ваттk метра равномерна, так как M ПР = αM Уд , αM Уд = k1 P , откуда α = 1 P . M Уд Активная мощность в цепи переменного тока определяется формулой P = UI cos ϕ . Для измерения мощности применяют электродинамический или индукционный прибор, включаемый по схеме (рис. 4.27). Для мгновенных значений можно написать, что u M МГН = ki1i2 = ki1 = k1i1u = k1 P , т. е. мгновенный момент вращения r1 + rg i

M cp

I

i

1 1 1 = ∫ M мгн dt = ∫ K1i1udt = ∫ K1 Im sin ωt ⋅ Um ⋅ sin(ωt + ϕ)dt = T 0 T 0 T 0

K1Um Im i K Um Im i 1 sin ωt ⋅ sin(ωt + ϕ)dt = 1 ∫ ∫0 2 [cos ϕ − cos(2ωt + ϕ)]dt = K1Ul cos ϕ 0 T T

прямо пропорционален мгновенной мощности. Если мгновенный момент вращения пропорционален мгновенной мощности, то средний вращающий момент также пропорционален средней мощности. Противодействующий момент определяется как и при установившемся отклонении M ПР = αM Уд k UI cos ϕ k k1UI cos ϕ = αM Уд , откуда α = 1 = 1 P , т. е. угол M Уд M Уд поворота пропорционален активной мощности и шкала ваттметра равномерна. Индукционный ваттметр отличается от ранее расРис. 4.27 смотренного индукционного прибора только тем, что одна из обмоток электромагнита изготовливается как последовательная, а вторая – как параллельная. Кроме того, в ваттметрах активной мощности ток в параллельной обмотке сдвигается по фазе от напряжения на 90°, а в ваттметрах реактивной мощности он совпадает по фазе с напряжением. Изменение направления тока в одной из обмоток ваттметра вызывает отклонение его подвижной системы в противоположную сторону. Поэтому при включении ваттметра следует обратить внимание на разметку его зажимов. Зажим последовательной обмотки ваттметра, присоединяемый к генератору, носит название генераторного и отмечается звездочкой. Зажим параллельной обмотки ваттметра, соединяемый с последовательной обмоткой, также носит название генераторного и отмечается тем же условным знаком (рис. 4.28). Большинство выпускаемых ваттметров рассчитаны на токи 5 и 10 А. Рис. 4.28 135

4.18. Измерение мощности в цепях трехфазного тока

Мощность трехфазной системы равна сумме мощностей отдельных фаз, т. е. P = PA + PВ + Pc = U A I A cos ϕА + U В I В cos ϕВ + U С I С cos ϕc .

Из этого следует, что для измерения мощности необходимо включить в цепь три ваттметра так, чтобы каждый из них измерял мощность отдельной фазы. После этого надо сложить их показания. При равномерной нагрузке можно измерить мощность одним ваттметром, затем его показание умножить на три. В трехпроводной трехфазной системе мощность можно измерить двумя ваттметрами. Мгновенная мощность в цепи трехфазного тока вычисляется по формуле P = PA + PB + PC = uA iA + uBiB + uCiC .

В трехпроводной сети всегда iA + iB + iC = 0 , откуда iC = −iA − iB . Подставив это значение тока в выражение мощности, получим: P = uA iA + uBiB + uC ( −iA − iB ) ,

или P = (uA − uC )iA + (uB − uC )iB .

Так как разность фазных напряжений равна линейному напряжению: uA − uC = uAC и uB − uC = uBC ,

то P = uACiA + u BCiC = P1 + P2 ,

т. е. мгновенная мощность цепи трехфазного тока может быть представлена суммой слагаемых P1 + P2 . Активная мощность цепи трехфазного тока также может быть представлена суммой двух слагаемых: P=

Рис. 4.29

1 T

i

1

Т

∫ pdt = T ∫ (U 0

0

j + U BC jB )dt = U AC I A cos ϕ1 + U BC I B cosϕ2 ,

AС A

где ϕ1 – угол между векторами U AC и I A ; ϕ 2 – угол между векторами U BC и I B . Измеряя мощность двумя ваттметрами и складывая их показания, получим мощность трехфазной системы. На рис. 4.29 показана схема включения двух ваттметров для измерения мощности в трехпроводной трехфазной сети. 4.19. Измерение энергии в цепях переменного тока

Электрическая энергия потребляется главным образом из сетей переменного тока. Постоянный ток получают преимущественно путем преобразований переменного тока в постоянный ток. Учет израсходованной энергии производится, как правило, на стороне переменного тока. Электрическая энергия измеряется приборами, называемыми счетчиками. Используются счетчики индукционной системы, которые имеют следующие отличия от ранее рассмотренного индукционного прибора: отсутствует спиральная пружина, а противодействующий (тормозной) момент создается взаимодействием магнитного поля посто136

янного магнита с индукционными токами, наводимыми этим полем в алюминиевом диске; ось прибора соединена со счетным механизмом, измеряющим число оборотов диска; электромагниты размещают под прямым углом по отношению друг к другу. Внешний вид такого счетчика, у которого снята крышка, показан на рис. 4.30, а принципиальное устройство прибора – на рис. 4.31. Счетчик включается в сеть как ваттметр, следовательно, его вращающий момент прямо пропорционален мощности: M B = k1 P .

Рис. 4.30

Рис. 4.31

Этот вращающий момент вызывает вращение диска счетчика. При вращении диска в поле постоянного магнита в диске будут возникать индукционные токи, взаимодействие которых с полем того же магнита создает тормозной момент, пропорциональный скорости вращения диска: M T = k 2 n . При постоянной нагрузке скорость вращения диска счетчика будет постоянной, что соответствует равенству вращающего и тормозного моментов: M B = M T , т. е. k1 P = k 2 n , k откуда P = 2 n = kn . Умножая обе части последнего уравнения на время t , получим k1 A = Pt = knt = kN ,

где А – израсходованная энергия; N = nt – число оборотов диска счетчика за время t. A Величина k = – постоянная счетчика, равная количеству электрической энергии, N израсходованной за один оборот диска счетчика. По числу оборотов счетчика судят о величине израсходованной энергии. 4.20. Измерение сопротивлений

Электрические сопротивления можно разделить на три группы: 1) малые сопротивления (до 1 Ом); 2) средние сопротивления (от 1 Ом до 100 кОм); 3) большие сопротивления (больше 100 кОм). Последовательные обмотки измерительных приборов и аппаратов, якорные обмотки электрических машин, короткие провода и шины обладают малым сопротивлением. Обмотки напряжения измерительных приборов, обмотки возбуждения электрических машин и аппаратов, линии передач характеризуются средними сопротивлениями. Сопротивления изоляции относятся к большим сопротивлениям. 137

4.21. Измерение сопротивлений методом амперметра и вольтметра

Этот метод дает результаты невысокой точности. Сущность его состоит в том, что искомое сопротивление определяют по закону Ома согласно данным измерения напряжения и тока как частное от деления показания вольтметра на показание амперметра: U RX = B . Возможные схемы включения амперметра и вольтметра для измерения сопроIa тивления показаны на рис. 4.32. Независимо от того, как будут включены приборы, результат, полученный по их показаниям, будет отличаться от действительного значения измеряемого сопротивления. Это объясняется тем, что в схеме, изображенной на рис. 4.32, а, амперметр покажет ток I a , который больше, чем ток, протекающий по измеряемому сопротивлению I X , на величину тока вольтметра I B . Таким образом, резульU тат, полученный по формуле RX = B , будет меньше действительного значения R X . Ia Ia

а

б Рис. 4.32

Вольтметр, включенный по схеме, изображенной на рис. 4.32, б, покажет напряжение U B , которое больше напряжения U X , приложенного к измеряемому сопротивлению RX , на величину падения напряжения I a Ra в амперметре. Таким образом, резульU тат, полученный по формуле R X = B , будет больше действительного значения RX . Ia Для получения результатов без указанных погрешностей нужно знать сопротивление приборов и значения измеряемого сопротивления подсчитывать по формулам U −I R UB (рис. 4.32, а) и RX = B a a (рис. 4.32, б). Если сопротивления приборов RX = Ia Ia − IB неизвестны, то малые сопротивления (соизмеримые с сопротивлением амперметра) следует измерять по схеме, приведенной на рис. 4.32, а, а сопротивления, соизмеримые с сопротивлением вольтметра – по схеме, приведенной на рис. 4.32, б. В этих случаях погрешности измерений будут небольшими.

4.22. Измерение сопротивлений омметром

Омметр – это, в сущности, амперметр, шкала которого проградуирована в омах. Действительно, при неизменном напряжении ток обратно пропорционален сопротивлению цепи. При всяком изменении сопротивления будет изменяться величина тока в приборе-измерителе, что позволяет проградуировать шкалу прибора в омах. Омметры выпускают согласно ГОСТ следующих классов точности: 1 и 1,5; 2,5 и 4. В качестве измерителя в омметре используют магнитоэлектрический прибор (иногда с механическим противодействующим моментом), но чаще всего логометр, показания которого мало зависят от напряжения источника. 138

В зависимости от величины измеряемых сопротивлений эти приборы изготавливают либо по последовательной схеме, либо по параллельной. На схеме, приведенной на рис. 4.33, а, с изменением величины R X будут изменяться показание измерителя. При R X , равном нулю, что равносильно замкнутому ключу k, угол отклонения измерителя будет наибольшим, а при разомкнутом ключе и сопротивлении RX , равном бесконечности, никакого отклонения измерителя не произойдет. Таким образом, шкалу измерителя можно проградуировать в единицах сопротивления. При этом она будет отличаться от шкал обычных приборов: нуль указан справа, а максимальное значение (бесконечность) – слева. Деления шкалы будут неравномерными. На рис. 4.33, б показана параллельная схема омметра. При разомкнутом ключе k U , а если ключ k замкнут, ток увеличится ток в цепи измерительного механизма I = R + rn U по формуле I = . Согласно данrn RX R+ rn + RX ной формуле шкалу прибора можно проградуировать в единицах измеряемого сопротивления. По этой схеме прибор имеет неравномерную шкалу, но нуль и верхний а б предел измерения расположены как у обычРис. 4.33 ных измерительных приборов – соответственно слева и справа. Последовательная схема применяется при измерении больших сопротивлений, а параллельная – при измерении средних сопротивлений. Как при последовательном, так и при параллельном включениях прибора с противодействующим механическим моментом его показания правильны только при постоянном значении напряжения. Батарейки сухих элементов, применяемые в приборах в качестве источников питания, меняют свое напряжение с течением времени. Следовательно, приборы обязательно должны иметь приспособление для устранения влияния изменений напряжения. Таким приспособлением в большинстве приборов служит магнитный шунт, выполненный в виде стальной пластинки, расположенной около полюсных наконечников постоянного магнита. Если при помощи винта, головка которого выведена наружу на корпус прибора, смещать магнитный шунт относительно полюсных наконечников, то можно изменять величину магнитной индукции в воздушном зазоре. При изменении магнитной индукции изменяется, в свою очередь, величина вращающего момента, действующего на рамку, при одном и том же токе в ее обмотке. Также выпускаются омметры, в которых регулирующим моментом служит не магнитный шунт, а регулируемое сопротивление. Регулируемое сопротивление включают параллельно измерителю в омметрах с последовательной схемой или последовательно измерителю в омметрах с параллельной схемой. 4.23. Мегомметры

Мегомметры – это омметры, предназначенные для измерения больших сопротивлений. В качестве измерителей в них используют логометры, а источником служит генератор постоянного тока, вращаемый от руки. На рис. 4.34, а показана схема мегомметра с последовательным включением измеряемого сопротивления RX и одной из рамок логометра при измерении больших сопротивлений. Токи I1 и I 2 , протекающие по рамкам, соответственно определяютcя как 139

U U и I2 = , где r1 и r2 – сопротивления рамок логометра. Как известно, r1 + R0 r2 + RX положение подвижкой части логометра определяется отношением токов в рамках, т. е. I U (r2 + RX ) r2 + R X . Следовательно, при постоянных значениях r1 , r2 и R0 α= 1 = = I 2 1 U (r1 + R0 ) r1 + R0 угол α зависит только от R X . Точно так же угол отклонения α прибора (рис. 4.34, б) не зависит от напряжения питания, а определяется только значением измеряемого сопротивления R X . В качестве примера на рис. 4.35 приведена прина б ципиальная схема весьма распространенного меРис. 4.34 гомметра MIIOI. Измерителем служит магнитоэлектрический логометр. Двухполюсный переключатель П позволяет переключать прибор с последовательной схемы ( MΩ ) на параллельную ( kΩ ). Соответственно, шкала прибора имеет два ряда отметок. Для отвода токов утечки от измерительного механизма, а также для исключения влияния сопротивления изоляции между зажимами Л (линия) и З (земля), к которым подключается измеряемое сопротивление, в приборе имеется металлический экран вокруг зажима Л, соединенный с зажимом Э и одним из полюсов генератора. Центробежный регулятор скорости в сочетании с логометром обеспечивает независимость показаний прибора от скорости вращения ротора генератора. Рис. 4.35 I1 =

4.24. Измерение сопротивлений, емкостей и индуктивностей методом Уитстона

При помощи моста Уитстона сопротивления можно измерять с точностью до 0,001%. На рис. 4.36 приведена схема моста, в одну диагональ которого включают источник питания, а в другую – измеритель (чувствительный прибор с нулем посредине шкалы). Эта схема обладает тем свойством, что при некоторых величинах сопротивлений плеч моста ток в измерительном приборе будет равен нулю. Такой мост называют уравновешенным. При других же величинах сопротивлений плеч моста через прибор будет протекать ток, который может Рис. 4.36 быть измерен прибором. Ток через прибор не протекает, если потенциалы точек А и В будут равны. В этом случае через сопротивления R X и R2 будет протекать один и тот же ток I1 , а через сопротивления R3 и R4 – ток I 2 . Тогда можно написать: I1 RX = I 2 R3 , I1 R2 = I 2 R4 . Разделив I R IR первое равенство на второе, получим уравнение 1 X = 2 3 , откуда RX R4 = R2 R3 , т. e. I1 R2 I1 R4 при равновесии моста произведения сопротивлений противоположных плеч равны межR ду собой. Искомое R X найдем из формулы RX = R2 3 . Из нее следует, что для опредеR4 ления неизвестного сопротивления R X не обязательно знать величины сопротивлений R3 и R4 – достаточно знать их отношение, что и учитывается в конструкции мостов.

140

При измерении добиваются равновесия моста путем изменения сопротивления R2 и R R отношения 3 , а затем по формуле R X = R2 3 подсчитывают искомое сопротивление. R4 R4 Измерение емкости и индуктивности

При питании моста переменным током можно иметь компактные мосты для измерения емкости и индуктивности. При питании моста переменным током в измерителе будет отсутствовать также ток, если потенциалы точек А и В будут равны между собой (рис. 4.37). В этом случае имеем уравнения I1Z1 = I 2 Z 3 , I1Z 2 = I 2 Z 4 , где Z1 = r1 + jx1 , Z 2 = r2 + jx2 , Z 3 = r3 + jx3 , Z 4 = r4 + jx4 . Мост будет уравновешен при равенстве произведений сопротивления противоположных плеч моста:

Рис. 4.37

Z1 Z 4 = Z 2 Z 3 ,

или

(r1 + jx1 )(r4 + jx4 ) = (r2 + jx2 )(r3 + jx3 ) , r1r4 + jr4 x1 + jr1 x4 − x1 x4 = r2 r3 + jr3 x2 + jr2 x3 − x2 x3 . Два комплексных числа равны друг другу, если в отдельности равны их действительные и мнимые части. На этом основании можно записать условие равновесия моста: r1r4 − x1 x4 = r2 r3 − x2 x3 , r4 x1 + r1 x4 = r3 x2 + r2 x3 .

При r1 = r2 = r3 = r4 = 0 условием равновесия моста является следующее соотношение: x1 x4 = x2 x3 , что практически легко осуществить, если в каждом плече моста включить только емкости, причем одна из них (например, c1 ) может быть неизвестной. Неизвестную емкость можно определить исходя из следующих равенств. Поскольку x1 =

1 1 1 1 , x2 = , x3 = , x4 = , ωc1 ω c2 ωc3 ωc4

то 1 1 1 1 , = ωc1 ωc4 ωc2 ωc3 откуда c1c4 = c2 c3 и c1 = c2

c3 . c4

c3 , добиваются равновесия моста. В качестве измерителя c4 можно использовать магнитоэлектрические гальванометры с полупроводниковым выпрямителем. Гальванометры – приборы высокой чувствительности. Мосты, все плечи которых представляют емкости, достаточно громоздки. Можно сделать компактный мост, если r1 = r2 = x3 = x4 = 0 . В этом случае условием равновесия

Изменяя c2 и отношение

141

моста является равенство r4 x1 = r3 x2 , откуда

x1 = x2

r3 . Если r4

1 1 1 1 r3 r = и x2 = , то , откуда c1 = c2 4 . Такой мост ωc1 ω c2 ωc1 ωc2 r4 r3 показан на рис. 4.38. Он широко применяется для измерения емкостей. Если x1 = ωL1 и r Рис. 4.38 r x2 = ωL2 , то ωL1 = ωL2 3 . Отсюда L1 = L2 3 , r4 r4 где L1 ( F = С1 I1 I 2 ) – искомая индуктивность. Рис. 4.39 Такой мост показан на рис. 4.39. Он позволяет производить измерение индуктивностей.

x1 =

4.25. Цифровые измерительные приборы

Цифровой электроизмерительный прибор – это такой прибор, в котором значение измеряемой электрической величины представлено в виде цифр. Показания цифровых приборов легче читать, к тому же они обеспечивают большую точность, чем аналоговые. Однако аналоговые приборы дают возможность проследить за быстрыми изменениями тока и напряжения. Цифровые приборы применяются для измерений практически всех электрических величин (постоянного и переменного напряжения и тока, сопротивления, емкости, индуктивности, добротности и др.), а также неэлектрических величин (например, давления, температуры, скорости), предварительно преобразованных в электрические. Принцип действия цифровых измерительных приборов основан на автоматическом преобразовании непрерывной, или аналоговой, измеряемой величины в дискретные сигналы в виде кода, в соответствии с которым ее значение отображается на дисплее в цифровой форме. Представление аналоговых сигналов в виде дискретного кода очень удобно, поскольку в таком виде аналоговые сигналы могут вводиться в компьютер или передаваться по каналам телеметрии. Большинство цифровых электроизмерительных приборов состоит из следующих частей: измерительной цепи, выполняющей необходимые аналоговые преобразования измеряемой величины (измерительный мост, измерительный усилитель, преобразователь напряжения во временной интервал и др.), аналого-цифрового преобразователя и дешифратора, в котором кодированный сигнал преобразуется в соответствующее число и затем отображается на дисплее. Существует несколько методов преобразования непрерывной величины в дискретную, из которых наибольшее распространение получил метод числоимпульсного кодирования. Этим методом измеряемая величина преобразуется в пропорциональное ей число импульсов, которое подсчитывается цифровым электронным счетчиком. Электронные счетчики ведут счет импульсов, как правило, в двоичной системе исчисления. Применение двоичной системы исчисления в цифровых приборах обусловлено тем, что для записи чисел в ней нужны элементы, имеющие всего два устойчивых состояния. Результат измерения, полученный в двоичной системе исчисления, с помощью специального устройства – дешифратора переводится в десятичную систему, а затем выдается на световое табло.

142

Практические задания

1. Какой прибор даст наименьшую погрешность измерения, если все приборы показывают одинаковое напряжение? Подсчитайте наибольшую возможную абсолютную погрешность измерения каждым прибором. 2. Какая деталь прибора позволяет устранить влияние силы тяжести подвижной системы на показания прибора?

3. На рисунке показана подвижная часть одного из измерительных приборов. Какая деталь служит для установки стрелки невключенного прибора на нуль? 4. Из какого материала изготовлена деталь № 3 данного прибора? Ответ: 1) сталь; 2) алюминий; 3) латунь.

5. Какая деталь обеспечивает высокую чувствительность данному прибору?

6. На рисунке показана подвижная часть одного из измерительных приборов. Какая деталь входит в состав успокоителя (демпфера)?

7. Из какого материала изготовлена деталь № 4 данного прибора? Ответ: 1) алюминий; 2) пермаллой; 3) латунь.

143

8. Конструкция какой детали позволяет данному прибору не бояться перегрузок?

9. Какая деталь принципиально не позволяет использовать этот прибор для точных измерений в цепях переменного и постоянного токов?

10. На рисунке показаны шкалы амперметра магнитоэлектрической, электромагнитной и электродинамической систем. Какой из этих приборов относится к электродинамической системе?

11. Даны марки приборов некоторых систем: 1) Ц 435; 2) М 157; 3) Д 533; 4) Э 309. Приборы какой из этих систем, имеющих механический противодействующий момент, можно изготовить с одной спиральной пружиной? 12. Приведены условные знаки некоторых систем электроизмерительных приборов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Прибором какой системы целесообразно измерять малые переменные напряжения? 13. Даны шифры или условные знаки некоторых систем измерительных приборов: 1) Ц 52; 2) ; 3) Э 113; 4) . Приборы какой системы с одинаковым успехом можно применять для точных измерений переменных и постоянных токов и напряжений? 14. Какой из этих приборов можно использовать для измерения в цепях постоянного и переменного токов?

а

б

144

в

15. Приведены шифры или условные знаки некоторых систем измерительных при; 2) ; 3) Ц 315; 4) Э 59. боров: 1) Приборы какой системы пригодны для измерения в цепях высоких частот? 16. Приведены условные знаки некоторых систем измерительных приборов: ; 2) ; 3) ; 4) . Какой системы должен быть ваттметр, пригодный для измерений только в цепях переменного тока? 1)

17. Какой из этих приборов применим для измерений в цепях переменного тока строго определенной частоты?

а

б

в

18. Каким из этих приборов можно производить измерения в цепях постоянного и переменного токов?

а

б

в

19. Ниже приведены шифры или условные знаки некоторых систем измерительных приборов: 1) ; 2) М 154; 3) Д 529; 4) . Приборы какой системы меньше всего боятся перегрузок? 20. Какой из этих приборов целесообразно использовать для точных измерений в цепях переменного тока?

а

б

в

21. Ниже приведены шифры или условные знаки некоторых систем измерительных ; 4) . приборов: 1) М 116; 2) Д 174; 3) Прибор какой из этих систем имеют наибольшую механическую мощность? 145

22. Приведены условные знаки некоторых систем измерительных приборов: 1)

; 2) ; 3) ; 4) . Какой системы должен быть ваттметр, пригодный для измерения в цепях переменного и постоянного токов? 23. Приведены условные знаки некоторых систем измерительных приборов:

1)

; 2) ; 3) ; 4) . Приборы какой системы меньше всего боятся внешних магнитных полей?

24. Какой прибор как измеритель целесообразно использовать в омметрах, чтобы показания его мало зависели от величины напряжения?

а

б

в

25. Что целесообразно измерять данным прибором? Ответ: 1) энергию; 2) мощность; 3) сопротивление.

Литература

1. Анвельт М.Ю. Сборник задач по общей электротехнике. – М.: Высш. шк., 1968. 2. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил и др. – М.: Энергия, 1989. – 258 с.: ил. 3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 1. – М.: Энергия, 1981. – 536 с.: ил. 4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высш. шк., 1984. – 559 с.: ил. 5. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи. – М.: Энергия, 1978. – 432.: ил. 6. Матханов П.А. Основы анализа электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1990. – 400 с.: ил. 7. Теоретические основы электротехники. Т. 1: Основы теории линейных цепей / Под ред. П.А. Ионкина. – М.: Высш. шк., 1979. – 544 с.: ил. 8. Попов В.П. Основы теории цепей. – М.: Высш. шк., 1998. – 575 с.: ил. 9. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.: ил. 10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.: ГИФМЛ, 1962. – 680 с.: ил. 11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1977. – 720 с.: ил. 146

Учебное пособие

Курахтина Галина Сергеевна

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Редактор Г.Ф. Майорова Технический редактор Е.Е. Бабух Набор текста Г.С. Курахтина Верстка, оригинал-макет Е.Е. Бабух Подписано в печать 08.10.2007 г. Формат 61*86/8. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman Авт. л. 14,21. Уч.-изд. л. 14,61. Усл. печ. л. 18,18 Тираж 40 экз. Заказ № 873 Издательство Камчатского государственного технического университета Отпечатано полиграфическим участком издательства КамчатГТУ 683003, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

147