О решенных и открытых проблемах в теории многочленов

МАТЕМАТИКА О РЕШЕННЫХ И ОТКРЫТЫХ ПРОБЛЕМАХ В ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ В. А. АРТАМОНОВ Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

ON SOME SOLVED AND OPEN PROBLEMS IN THEORY OF POLYNOMIALS V. A. ARTAMONOV

В настоящей работе рассмотрено множество С[X1 , X2 , …, Xn] всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных X1 , X2 , …, Xn . Изложены основные результаты о многочленах, полученные в XX веке. Приведены некоторые открытые проблемы. ВВЕДЕНИЕ

A brief survey of basic results and open problems of the theory of polynomials is presented.

Возникновение алгебры как науки связано с задачей о решении систем алгебраических уравнений вида fj(X1 , X2 , …, Xn) = 0,

Дан краткий обзор основных результатов и открытых проблем в теории многочленов.

j ∈ J,

(1)

левые части которых fi = fi (X1 , X2 , …, Xn) являются многочленами из С[X1 , X2 , …, Xn]. Основной задачей в этом направлении является описание всех решений системы (1), а также нахождение алгоритма, позволяющего найти все эти решения [1]. Принципиальным шагом в этих исследованиях явился подход, связанный с геометрической интерпретацией решений системы (1). Все решения системы (1) образуют поверхность в n-мерном пространстве Cn. Исследованием геометрических свойств этих поверхностей занимается один из важных разделов алгебры – алгебраическая геометрия [2].

© Артамонов В.А., 2001

СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

110

www.issep.rssi.ru

Элемент (a1 , а2 , …, an) ∈ Cn является решением системы (1), если fj (a1 , а2 , …, an) = 0 для любого j ∈ J. Для нахождения всех решений системы (1) совершаются преобразования, сохраняющие все решения системы (1). В связи с этим мы приходим к следующему определению: две системы вида (1) эквивалентны, если они имеют одинаковые множества решений. Укажем класс преобразований системы (1), при которых мы всегда переходим к эквивалентной системе. Пусть в системе (1) какое-то i-е уравнение fi = 0 заменено либо на уравнение fi + gfj = 0, где j ­ i и g ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], либо на уравнение αfi = 0, где α – ненулевое комплексное число. Эти преобразования системы (1), называемые элементарными, переводят ее в эквивалентную систему. Расширяя это определение, назовем уравнение

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА g = 0, где g = g(X1 , X2 , …, Xn) ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], следствием системы (1), если для любого решения (a1 , а2 , …, an) ∈ Cn системы (1) выполнено равенство g(a1 , а2 , …, an) = 0. Система алгебраических уравнений вида (1), вообще говоря, может быть бесконечной. По теореме Д. Гильберта о базисе любая система уравнений вида (1) эквивалентна своей конечной подсистеме f1 = f2 = … = fm = 0.

(2)

Те ор е ма 1 (теорема Д. Гильберта о нулях). Уравнение g = 0 является следствием системы (2) тогда и только тогда, когда существуют такое натуральное число d и многочлены g1 , g2 , …, gm ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], что в С[X1 , X2 , …, Xn] gd = g1 f1 + g2 f2 + … + gm fm . Следствие 1. Система (2) несовместна тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены g1 , g2 , …, gm ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], что в С[X1 , X2 , …, Xn] 1 = g1 f1 + g2 f2 + … + gm fm . Существуют различные алгоритмы решения системы (2). Отметим лишь важные частные случаи. Пусть система (2) является системой линейных уравнений, то есть fi = ai1X1 + ai2X2 + … + ainXn − bi ,

aij , bj ∈ С,

для всех i = 1, 2, …, m. Наиболее известным способом решения является метод исключения неизвестных Гаусса. Он состоит в следующем. Пусть, например, a11 ­ 0. В этом случае из первого уравнения находим выражение X1 через остальные неизвестные X2 , X3 , …, Xn и подставляем его в последующие уравнения. В результате получаем систему из m − 1 уравнений от n − 1 неизвестной X2 , X3 , …, Xn и т.д. Отметим, что все решения совместной системы (2) в этом случае образуют плоскость размерности n − r в n-мерном комплексном пространстве Cn. Здесь r – ранг матрицы коэффициентов (aij) размера m × n. Другим важным случаем является нахождение решений системы (2) от одной переменной X = X1 . В этом случае система сводится к вычислению корней одного многочлена, именно наибольшего общего делителя системы многочленов (2). Решение этой задачи связано с теорией Галуа. ПРОБЛЕМА СЕРРА В 1955 году известный французский математик ЖанПьер Серр поставил проблему о векторных расслоениях на аффинных пространствах, оказавшую большое

влияние на развитие алгебраической геометрии, гомологической алгебры, K-теории. Приведем ее формулировку в наиболее простом виде. Предположим, что задана система уравнений вида (2). Обозначим через Mat(m, С[X1 , X2 , …, Xn]) множество всех квадратных матриц размера m, все коэффициенты которых лежат в С[X1 , X2 , …, Xn]. Несложно показать, что у матрицы A из Mat(m, С[X1 , X2 , …, Xn]) существует обратная матрица в Mat(m, С[X1 , X2 , …, Xn]) тогда и только тогда, когда ее определитель detA является ненулевой константой. Сформулируем теперь проблему Серра: пусть задана несовместная система уравнений вида (2); нужно показать, что существует такая обратимая матрица A ∈ ∈ Mat(m, С[X1 , X2 , …, Xn]), что (f1 , f2 , …, fm)A = (1, 0, …, 0).

(3)

Заметим, что если число уравнений m = 2, то искомая матрица U всегда существует. Действительно, по теореме Гильберта о нулях существуют такие g1 , g2 ∈ ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], что 1 = g1 f1 + g2 f2 .

(4)

Обозначим через U квадратную матрицу, первая строка которой имеет вид (g1 , −f2), а вторая имеет вид (g2 , f1). Непосредственная проверка показывает, что из (4) вытекает (3). Таким образом, можно предполагать, что m > 2. Проблема Серра была положительно решена А.А. Суслиным (Санкт-Петербург) и Д. Квилленом (Чикаго, США) в 1976 году. В 1978 году А. А. Суслин доказал следующее более сильное утверждение. Теорема 2 (А.А. Суслин). Пусть задана несовместная система уравнений вида (2), где m $ 3. Тогда существует последовательность элементарных преобразований системы (2), переводящая левые части системы (2) в стандартный набор (1, 0, …, 0). Отметим, что для m = 2 это утверждение неверно. Соответствующий пример принадлежит английскому математику П.М. Кону. Несовместную систему уравнений 1 − XY = 0, X 2 = 0 нельзя элементарными преобразованиями свести к системе 1 = 0,

0 = 0.

ПРОБЛЕМА ЯКОБИАНА Перейдем теперь к формулировке некоторых открытых проблем. Рассмотрим набор f1 , f2 , …, fn ∈ С[X1 , X2 , …, Xn].

(5)

Предположим, что система уравнений f1 = b1 , f2 = b2 , …, fn = bn

А Р ТА М О Н О В В . А . О Р Е Ш Е Н Н Ы Х И О Т К Р Ы Т Ы Х П Р О Б Л Е М А Х В Т Е О Р И И М Н О ГО Ч Л Е Н О В

111

МАТЕМАТИКА имеет и притом единственное решение (a1 , a2 , …, an) ∈ ∈ Cn для любого набора (b1 , b2 , …, bn) ∈ Cn, причем существуют такие многочлены g1 , g2 , …, gn ∈ С[X1 , X2 , … …, Xn], что каждое ai = gi(b1 , b2 , …, bn). Предполагается, что многочлены g1 , g2 , …, gn не зависят от набора свободных членов (b1 , b2 , …, bn) ∈ Cn. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из С[X1 , X2 , …, Xn] однозначно представляется в виде многочлена от f1 , f2 , …, fn (и от g1 , g2 , …, gn). На эту ситуацию можно взглянуть и с другой стороны. Система (5) задает полиномиальное отображение f: Cn Cn, при котором

ется многочленом степени не выше 3. Обзор результатов по этой теме можно найти в [3].

f(a1 , a2 , …, an) = ( f1(a1 , a2 , …, an), f2(a1 , a2 , …, an), … …, fn(a1 , a2 , …, an)) = (b1 , b2 , …, bn) ∈ Cn. (6)

f1 , f2 , …, fi − 1 , fi + g(f1 , f2 , …, fi − 1 , fi + 1 , …, fn), fi + 1 , … (7) …, fn ; αf1 , f2 , …, fn

В силу наших предположений отображение f является взаимно однозначным (или биективным). Кроме того, обратное отображение f −1, переводящее (b1 , b2 , … …, bn) ∈ Cn в

для любого i = 1, 2, …, n также обладают этим свойством. Преобразования вида (7) называются ручными. Сформулируем теперь проблему: пусть задана система многочленов (5), для которой каждый многочлен из С[X1 , X2 , …, Xn] однозначно представляется в виде многочлена от многочленов (5). Верно ли, что система (5) получается из системы X1 , X2 , …, Xn с помощью конечного числа ручных преобразований? В частности (см. [3]), является ли ручной при n = 3 система

f −1(b1 , b2 , …, bn) = (g1(b1 , b2 , …, bn), g2(b1 , b2 , …, bn), … …, gn(b1 , b2 , …, bn)) = (a1 , a2 , …, an) ∈ Cn, также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (6) квадратную матрицу J(f ) размера n, в которой на месте (i, j) стоит частная производная ∂fi /∂Xj . Эта матрица называется якобианом отображения f. Таким образом, J(f ) ∈ Mat(m, С[X1 , X2 , …, Xn]). Предположим теперь, что задано другое полиномиальное отображение h: Cn Cn и fh – их композиция (произведение). Из анализа известно, что J(fh) = J(f )J(h). Вычисляя определители, получаем, что det(J(fh)) = det(J(f ))det(J(h)). В частности, если заданы полиномиальные отображения f и f −1, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица E = J(fh) = = J(f )J(h), и, следовательно, det(J(f )) является ненулевой константой. Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение f вида (6), причем det(J(f )) является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Другими словами, будет ли каждый многочлен из С[X1 , X2 , …, Xn] многочленом от f1 , f2 , …, fn? Как отмечено в [3], достаточно решить проблему якобиана в случае, когда n = 2 и степени f1 , f2 не выше 150, а также если n любое, но степени всех многочленов f1 , f2 , …, fn не выше 2. Кроме того, за счет увеличения числа переменных можно считать, что каждое fi явля-

112

РУЧНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ Эта проблема также связана с системами многочленов (5), для которых каждый многочлен из С[X1 , X2 , …, Xn] однозначно представляется в виде многочлена от многочленов (5). Заметим, что если система (5) обладает указанным свойством и g – произвольный многочлен от n − 1 переменной, α – ненулевое комплексное число, то наборы многочленов

f1 = X1 − 2X2u − X3u2,

f2 = X2 + X3u,

f3 = X3 ,

где u = X1X3 + X 22? ПРОБЛЕМА ЗАРИССКОГО Пусть в С[X1 , X2 , …, Xn] выбрано подмножество A, содержащее все константы С и обладающее следующими свойствами: если f, g ∈ A, то f − g и fg лежат в A. Нетрудно убедиться, что если f1 , f2 , …, fm ∈ A и G(X1 , X2 , …, Xm) ∈ С[X1 , X2 , …, Xm] – произвольный многочлен, то его значение G(f1 , f2 , …, fm) ∈ A. Предположим теперь, что существует такой многочлен T ∈ С[X1 , X2 , …, Xm], что каждый элемент f из С[X1 , X2 , …, Xm] однозначно представляется в виде многочлена f = a0 + a1T + … + amT m,

a0 , а1 , …, am ∈ A,

где m, разумеется, зависит от f. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены T1 , T2 , … …, Tn − 1 ∈ С[X1 , X2 , …, Xm], что каждый элемент f из С[X1 , X2 , …, Xm] представляется в виде многочлена от T1 , T2 , …, Tn − 1 , T. Ответ на эту проблему положителен при n = 2 и n = 3. Остается рассмотреть случай n > 3. НЕКОММУТАТИВНЫЕ АНАЛОГИ МНОГОЧЛЕНОВ В последние годы в связи с развитием теории квантовых групп, некоммутативной геометрии и т.д. возникла необходимость найти некоммутативные аналоги

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА многочленов. Построение этих аналогов восходит к принципу неопределенности в квантовой механике. Одним из естественных аналогов является алгебра Вейля An . Элементами этой алгебры являются многочлены от неизвестных

В частности, грассманова алгебра из [5] получается, если qij = −1 при i ­ j. Для приведенных некоммутативных алгебр интересны аналоги сформулированных выше проблем. Более подробно с некоммутативными аналогами многочленов можно познакомиться в обзоре [4] (см. также [5]).

p1 , р2 , …, pn , q1 , q2 , …, qn со стандартным правилом сложения. Умножение индуцируется правилом перестановки (коммутирования) неизвестных. Любые пары этих элементов коммутируют, за исключением пар pi , qi , i = 1, 2, …, n, для которых справедливо равенство piqi − qipi = 1. Для алгебры Вейля имеется естественная реализация в виде алгебры дифференциальных операторов. Действительно, на множестве всех многочленов С[X1 , X2 , …, Xn] линейные комбинации всевозможных конечных произведений операторов qi(f ) = Xi f, pi(f ) = ∂f/∂Xi , i = 1, 2, …, n, составляют алгебру Вейля. Другим аналогом многочленов является мультипараметрическая деформация СQ[X1 , X2 , …, Xn] многочленов. Пусть Q = (qij) – квадратная матрица размера n с комплексными коэффициентами qij , причем qii = qijqji = 1 для всех i, j = 1, 2, …, n. Рассматриваются многочлены от n переменных X1 , X2 , …, Xn , причем сложение многочленов стандартное, а умножение индуцировано правилом коммутирования неизвестных: Xi Xj = qij Xj Xi .

ЛИТЕРАТУРА 1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I: Основы алгебры. М.: Физматлит, 2000. 272 с. 2. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. М.: Мир, 1991. 3. Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian Conjecture // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 7, № 2. C. 287–330. 4. Артамонов В.А. Квантовая гипотеза Серра // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, № 4. C. 3–77. 5. Васильев А.Н. Грассманова алгебра // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. № 4. С. 116–121.

Рецензент статьи Ю.П. Соловьев *** Вячеслав Александрович Артамонов, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. Область научных интересов – кольца, универсальная алгебра и их приложения. Автор более 90 научных работ и двух книг.

А Р ТА М О Н О В В . А . О Р Е Ш Е Н Н Ы Х И О Т К Р Ы Т Ы Х П Р О Б Л Е М А Х В Т Е О Р И И М Н О ГО Ч Л Е Н О В

113