Количественные методы анализа хозяйственной деятельности

Ричард Томас

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Перевод с английского

Издательство «Дело и Сервис» Москва 1999

ББК 65.9 Научное редактирование русского перевода: Башкатов Б.И. - к.э.н., доцент, профессор кафедры макроэкономической международной статистики и национальных счетов Московского Государственного университета экономики, статистики и информатики; Матвеева В.М. " к.э.н., доцент кафедры статистики и финансов Российского университета дружбы народов. Ричард Томас КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ/Пср. с англ. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 1999. - 432 с. ISBN 0-13-231119-4 (англ.) ISBN 5-8018-0044-1 (русск.) В книге изложены важнейшие методы количественного анализа дея­ тельности различных предприятий: .методы сбора и анализа данных, кор­ реляционно-регрессионный метод, методы прогнозирования, моделиро­ вания, управления запасами и др. Книга содержит большое количество конкретных ситуаций, прорабо­ танных примеров и упражнений. Рассчитана на широкий круг читателей — бизнесменов, экономис­ тов, специалистов в области бухучета, маркетинга и менеджмента, работ­ ников государственного управления, депутатов различного уровня, а так­ же профессорско-преподавательский состав и студентов экономических специальностей.

Полное или частичное воспроизведение или размноженир каким-либо способом материалов, опубликованных в данном издании, допускается только с письменного разрешения издательства «Дело и Сервис». ISBN 0-13-231119-4 (англ.) ISBN 5-8018-0044-1 (русск.)

ББК 65.9

© Издательство «Дело и Сервис», 1999. Quantitative Methods for Business Studies by Richard Thomas. Copyright © 1997. All Rights Reserved. Published by arrangement with the original publisher, Prentice Hall Europe, a Simon & Schuster Company.

Эта книга посвящается Лайзе Джейн, которая вот уже многие годы дарит мне любовь и силы

Предисловие к русскому изданию Переход российской экономики от централизованного планирования к рыночным принципам вызвал необходимость коренной перестройки форм и методов функционирования народнохозяйственного механизма. Это повлекло за собой перестройку методов анализа хозяйственной деятельности, базирую­ щегося на широком прИлМенении теоретической статистики, теории вероятно­ стей и линейного программирования. В данной работе в доступном виде изложены важнейшие принципы коли­ чественного анализа деятельности различных экономических единиц на конк­ ретных примерах предприятий, фирм, банков и других учреждений. Все главы работы построены по единому принципу: сначала излагаются теоретические вопросы данной главы (с иллюстрацией конкретных примеров), затем даются задания для выполнения практических работ. В конце каждой гла­ вы содержатся основные выводы, которые в сжатом виде отражают ее содержа­ ние. В работе расмотрены все важнейшие направления количественного анализа хозяйственой деятельности предприятий (основы теоретической статистики и теории вероятностей, при.менение корреляционно-рсфсссионного метода для изучения взаимосвязей экономических яапений и процессов). Кроме того, в работе изложена статистическая методология решения конкретных менеджерс­ ких и маркетинговых задач (управления проектами, управления запасами, ана­ лиза доходности финансовых вложений). При.менение линейного программиро­ вания в экономике показано в работе на основе решения транспортной задачи. Просим обратить внимание, что в предложенных автором практических приме­ рах в качестве временных периодов приводятся 1997 и 1998 г. В реальности же, с точки зрения статистической обработки информации, эти сведения никак не могут быть сейчас представлены, так как в научный оборот поступают сведения только за 1996 г. Весьма важным является включение в работу раздела, посвященного про­ гнозированию социально-экономических явлений, которое во многом помогает принятию правильных экономических решений. Поэтому данная работа является необходи.мой и полезной для широкого круга читателей, работающих в области экономики или интересующихся ею; бизнесменов, эконо.мистов, специалистов в области бухучета, маркетинга и менеджмента, работников государственного управления, депутатов различного уровня, а также профессорско-преподавательского состава и студентов эконо­ мических специальностей. Башкатов Б.И., Матвеева В.М., научные редакторы русского перевода

предисловие Цель этой книги — познакомить читателя с различными количественными методами, применяемыми в бизнесе и менеджменте. Эти методы приобретают все большее значение при принятии управленческих решений, когда для их обоснования требуется найти рациональные и логические аргументы. На прак­ тике это часто ведет к анализу затрат и финансовой стороны дела, хотя многие аналитические приемы можно применять и в других областях жизни. Я надеюсь, что эта книга позволит читателю уяснить существо применяемых в настоящее время многочисленных аналитических инструментов. Эта книга особенно рекомендуется для тех, кто учится на факультетах бизнеса и менеджмента, поскольку они найдут в ней отличный материал по самым разнообразным аналитическим приемам. В частности, книга содержит большое количество конкретных ситуаций, проработанных примеров и упражнений, что поможет приобрести требуемые навыки. Но хотелось бы отметить, что в ней не просто описываются соответ­ ствующие приемы — здесь сделана попытка показать их применение в реальных условиях. Мы считаем, что следует научить человека не только производить соответствующие вычисления и использовать определенные подходы, но и оце­ нивать полученные результаты и принимать адекватные решения, исходя из имеющейся информации. Основной упор в этой книге сделан на количественные методы и менедж­ мент, но для лучшего понимания материала в нее включено несколько глав по статистике. Главы книги построены так, что они, в принципе, самодостаточны, и за редким исключением их можно читать в любой последовательности. Это обеспе­ чивает известную гибкость при освещении тем вне зависимости от структуры кур­ са. Более того, чтобы облегчить изучение, каждая глава состоит из: — цели и введения; — двух конкретных хозяйственных ситуаций; — многочисленных проработанных примеров; — упражнений после каждой значимой темы; — краткого содержания главы и дополнительных упражнений. Вопросы, приведенные в «Упражнениях» в конце каждой главы, помечены как легкие (Е), несложные (I) и трудные (D). Такое разделение — чисто субъек­ тивное и зависит от конкретной рассматриваемой темы. В книгу также включены соответствующие статистические таблицы, список дополнительной литературы по каждой главе и ответы на упражнения с нечет­ ными номерами. Я хотел бы поблагодарить многочисленных рецензентов книги, которые ока­ зали мне бесценную помощь и дали ряд советов по содержанию. В частности, мне особо хотелось бы отметить: Кристи Давидсон (Университет Напьер), Гвин Джоунс (Университет Лондон Гилдхолл), В. Е. Платт (Колледж Халтон, Виднее), Рэя Кента (Университет Стирлинга), Эдвина Ромейна (Университет Эразмус). Я также хотел бы поблагодарить Мелани Брукс за ее усилия по проверке математических примеров в тексте. Мне хотелось бы поблагодарить Джона Ятеса и Карри Хой за их помощь и поддержку при подготовке этой книги. И наконец, я хочу поблагодарить свою жену Лайзу за ее поддержку в процессе всей работы. Автор

Глава 1

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

СОДЕРЖАНИЕ > > > > > > > > >

ГЛАВЫ

Методы сбора данных Сведение данных в таблицы Графическое отображение информации Средние Сравнение средних Показатели вариации Интерпретация показателей вариации Сравнение показателей вариации Методы последующего анализа данных

ЦЕЛИ: > объяснить методы сбора данных > рассмотреть методы сведения данных в таблицы и их фафического ото­ бражения > научить вычислению описательных статистических показателей > объяснить необходимость использования статистических показателей > научить использованию статистических показателей при оценке коммер­ ческой информации

Введение Для современного руководителя все больщую значимость приобретает при­ менение основных методов представления и пояснения коммерческой инфор­ мации, которые лежат в основе формирования имиджа и маркетинговой стра­ тегии многих предприятий. Достаточно взять годовой отчет любого предприя­ тия, чтобы понять, до какой степени статистика и представление данных стали частью деловой жизни. Все реже встречаются годовые отчеты, не содержащие анализа данных и их представления в фафическом виде. Как по форме, так и по содержанию методы представления данных способствуют лучшему понима-

8

ГЛАВА 1

нию. Качественная информация порождает правильные решения, сама же она существенно выифывает от фамотного использования и отображения данных. Поэтому для современного руководителя становится важным умение получать, представлять и объяснять данные. Коммерческая задача

Сбор данных

Н

Анализ данных

1 I

Информация

Н

Принятое I решение |

Рис. 1.1. Значение анализа данных при принятии решения

Рис. 1.1 иллюстрирует значение анализа данных при принятии управлен­ ческих рещений. Для выполнения конкретной коммерческой задачи осуществ­ ляется сбор необходимой информации. Посредством использования методов анализа данных руководитель получает сведения, облегчающие процесс приня­ тия рещения. В данной главе описаны основные способы графического и цифрового отображения данных, которые, по возможности, отрабатываются на практи­ ческих хозяйственных ситуациях, связанных с необходимостью принятия реше­ ния. Конкретный пример

Фармацевтическая компания «Хартвудз»

«Хартвудз» — это крупная транснациональная фармацевтическая компа­ ния с региональными штаб-квартирами в Нью-Йорке, Лондоне, Бонне и Сиднее. Компания состоит из нескольких подразделений, включая научноисследовательское, производственное, отделы маркетинга и сбыта. Все под­ разделения управляются независимо друг от друга из региональных штабквартир. Пик объема прибыли компании пришелся на середину и конец 80-х годов, когда на рынок был выпушен новый ряд медицинских препаратов собственной разработки, в том числе антидепрессант, лекарственное сред­ ство от артрита, женские противозачаточные таблетки и несколько лекарств для борьбы с ВИЧ-инфекцией. Компания «Хартвудз» представляет собой акционерное общество открыто­ го типа: акции компании котируются на Лондонской фондовой бирже. Макси­ мальная цена за акцию была отмечена в 1993 г. и составила 11.40 ф. ст. В следу­ ющие пять лет цены на акции постепенно падали и в середине 1995 г. цена опустилась до самой нижней отметки за указанный период и составила 8.25 ф. ст. за акцию. Данное падение курса акций было вызвано возникшими сомнени­ ями относительно некоторых продуктов компании, в том числе лекарств для борьбы с ВИЧ-инфекцией. В компании разрабатываются различные количественные и финансовые аналитические материалы, включаемые в годовые обзоры, финансовые отчеты и внутренние информационные бюллетени. Анализу подвергаются показатели рентабельности, доходы, расходы и объем производства. Для проведения такого рода анализа можно использовать описываемые в соответствующих разделах данной главы методы.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

Конкретный пример

«Спиц энд Коль, Лтд» (Маркетинговые исследования)

Компания «Спиц энд Коль» была создана в 1978 г. и специализируется в области маркетинговых исследований. Головная контора находится в Мюн­ хене, имеются отделения в Сан-Франциско и Гонконге. Компания обслужи­ вает значительное количество коммерческих и государственных структур. Основу деятельности компании составляет проведение исследований рынка по заказам государственных и частных организаций, а также разработка и проведение кампаний по продвижению на рынок новых и существующих товаров и услуг. В настоящее время компания «Спиц энд Коль» имеет около 2000 сотрудни­ ков, работающих в различных странах. Компания гордится отличным качеством предоставляемых услуг и обслуживания клиентов. За каждым клиентом закреп­ лен конкретный щтатный работник или рабочая группа. Таким образом, каж­ дый конкретный проект ведет от начала до конца конкретный назначенный работник, поэтому в его лице клиент получает постоянную и действенную помощь. Все клиентские счета ведутся централизованно в головной конторе или отделениях, благодаря чему отслеживаются затраты по осуществлению проекта и сохраняется соответствующий подход к обслуживанию клиентов. Работники компании имеют разнообразные навыки и умения. Помимо художников-фафиков, дизайнеров и специалистов по рекламе в компании работа­ ют большие коллективы по разработке планов исследований и проведению анали­ за полученных данных. Эти коллективы включают специалистов по составлению опросных листов и проведению опросов, а также статистиков, отвечающих за об­ работку и анализ получаемых данных. Методы анализа данных будут рассмотрены в данной главе и, по возможности, подкреплены примерами. 1.1. Методы сбора данных Первый этап любого количественного анализа состоит в сборе необходи­ мой информации. Для проведения сбора данных существует множество мето­ дов, мы же рассмотрим приведенные ниже. 1.1.1. Обращение к имеющимся материалам Такие материалы могут содержать внутреннюю и внещнюю информацию. Например, внутренняя отчетность компании по вопросам производства, сбыта и кадрового состава может дать необходимые сведения. Такого рода сведения могут быть представлены на бумажных носителях, однако, скорее всего, они входят в компьютерную базу данных компании, что облегчает доступ к конк­ ретной информации. Далее, не составляет труда приобрести внещние публика­ ции, например «Ежемесячный сборник по статистике» или «Экономические тенденции», издаваемые Центральным статистическим управлением. Данные публикации содержат щирокий спектр сведений в масщтабах страны, напри­ мер, тенденции роста численности населения и изменения его демографичес­ кого состава, сведения о доходах и ценах, обороте в торговле, объеме выпуска продукции и тенденциях потребления. Также могут оказаться полезными при сборе необходимых сведений и другие внещние публикации, например стати-

10

ГЛАВА 1

стические материалы местных органов власти, своды маркетинговых исследова­ ний и отчеты коммерческих структур. Полученная из этих источников инфор­ мация получила название вторичной, так как ее сбор не носит конкретного целевого характера. Информация также считается вторичной, если целью ее сбора не являлось проведение текущего анализа. 1.1.2. Опросные листы При отсутствии текущей информации методы сбора данных должны быть ориентированы на достижение конкретной цели. Один из очевидных методов сбора так называемых первичных данных состоит в использовании опросных листов. Данный метод сбора данных обеспечивает относительно низкую себес­ тоимость получения данных из большой выборки. Например, опросные листы могут быть использованы для сбора информации об отношении работников предприятия к изменениям в условиях труда и вознафаждения. Опросные ли­ сты могут быть различны по типу, например обычные для самостоятельного заполнения (используемые при сборе информации по почте) или для заполне­ ния с подсказкой (когда лицо, проводящее сбор данных, может помочь в разъяс­ нении сути вопросов). Особо тщательно следует подходить к оформлению оп­ росных листов, с тем чтобы избежать включения в них уводящих, двусмыслен­ ных или наводящих вопросов. Качественное оформление опросных листов лежит в основе сбора надеж­ ной и ценной информации. Чтобы качественно оформить опросный лист, не­ обходимо изрядно потрудиться, при этом существует, тем не менее, ряд реко­ мендаций, которые, возможно, помогут вам. Процесс оформления опросного листа состоит из нескольких основных этапов, а именно: 1. Предварительного опроса или «мозговой» атаки, когда выясняются тип и объем требуемой информации. 2. Составления чернового варианта опросного листа. 3. Проведения внутренней обкатки чернового варианта опросного листа, в том числе первичного анализа формулировок вопросов с целью обеспечения их ясности для ответов. 4. Проведения предварительного сбора данных путем рассылки опросных листов небольшим фуппам респондентов с целью дальнейшей обкатки формы и содержания. 5. Составления окончательного варианта опросного листа по результатам обкатки и предварительного сбора данных. 6. Проведения основного сбора данных по полной выборке. Оформление действенных опросных листов и формулирование необходи­ мых вопросов, возможно, станет проще, если вы воспользуетесь следующими рекомендациями: > Цель опросного листа должна быть изложена в его начале или в сопро­ водительном письме. > Язык вопросов должен быть, по возможности, простым, следует избе­ гать жаргона или технической терминологии. > Количество вопросов должно быть сведено к минимуму. > По возможности следует использовать вопросы, требующие ответа «Да/ Нет» или предлагающие несколько вариантов ответа. > Вопросы открытого типа следует использовать в редких случаях и же­ лательно только в конце опросного листа.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

11

> Не следует использовать наводящие вопросы. > Следует избегать включения двусмысленных вопросов. > Вопросы личного характера или потенциально шокирующего характера следует включать только при необходимости. 1.1.3. Устные опросы

Устные опросы как метод получения первичной информации более до­ рогостоящи и трудоемки. Этот метод часто предпочтителен по сравнению с опросными листами при необходимости сбора информации о текущей конъ­ юнктуре. Любая шокирующая, противоречивая информация обычно считает­ ся неприемлемой при проведении анкетирования. Так, в примере, приве­ денном в предьщущем разделе, где речь идет об отношении работников к изменениям в условиях труда и вознафаждения, возможно, более уместно в качестве основного метода сбора данных применить устные опросы. К отри­ цательным моментам применения данного метода относятся повышенные издержки, большие временные затраты и необходимость привлечения соот­ ветствующим образом подготовленных специалистов. Кроме того, скорее всего, объем собранной информации окажется меньше, в силу того, что изза ограниченности продолжительности проведения опроса придется умень­ шить размер выборки. 1.1.4. Наблюдение

В ряде случаев для сбора необходимой информации лучше использовать метод наблюдения. Например, при сборе данных относительно использования различных средств и приспособлений, имеющихся в распоряжении работников ресторанного, гостиничного или рекреационного бизнеса, возможно, лучше провести наблюдения, а не конкретизировать обстоятельства путем устного опроса работников. Более того, наблюдение и отслеживание объектов в непос­ редственной производственной среде может дать более надежные данные, не­ жели опрос заинтересованного персонала. Настоящая книга не ставит своей целью подробно описать все процессы, связанные со сбором данных. Однако нет сомнений, что сбор данных — самая важная составная часть процесса анализа данных. Использование неподходящих методов сбора данных может привести к получению некачественной информации и неверных результатов анализа. Спо­ собы и методы, описываемые в настоящей книге, основываются на допущении того, что собранные данные надежны. Процесс сбора данных включает тща­ тельный отбор критериев, к которым относятся и изложенные ниже, а именно: Конкретная коммерческая задача. Определяется целями организации и руко­ водящего состава. Задача, подлежащая рассмотрению, может также зависеть от финансовых офаничений, временных рамок и наличия опыта в проведении соответствующих исследований. Определение совокупности. Так называемая «генеральная совокупность» включает в себя всех индивидуумов, которые, вероятно, могли бы быть охвачены в ходе проведения исследования. Очертить конкретную (выбороч­ ную) совокупность не всегда просто, как это кажется на первый взгляд. Возьмем, к примеру, анализ условий труда и вознафаждения работников. Какая совокупность рассматривается в данном случае? Вполне возможно,

12

ГЛАВА 1

что искомая совокупность охватывает всех работников, а может быть, толь­ ко работников определенного уровня или работающих на конкретном месте. Кроме того, можно расширить рамки совокупности за счет охвата потенци­ альных работников, например взрослого населения определенной местнос­ ти, имеющего соответствующие навыки и умения. Все это необходимо четко очертить, прежде чем приступать к сбору требуемой информации. Основа выбора. Используется для вычленения представительной выборки из уже определенной совокупности. В отнощении всех работников такой осно­ вой может служить обычная система учета работников. Также в качестве основы можно использовать, например, списки членов профессиональных организа­ ций, клубных учреждений, а возможно, и телефонные справочники или даже списки избирателей. Основа выбора является важным элементом всего процесса и, будучи неверно определенной, способна существенным образом повлиять на пригодность собранной информации. Например, если мы хотим охватить все домашние хозяйства, то телефонный справочник в этом случае не может слу­ жить полностью корректной основой. Более того, она, вероятно, наведет нас на неверные выводы, даже если мы ставим целью охватить только телефонизи­ рованные домашние хозяйства, так как небольшая часть таких хозяйств не фигурирует в справочнике. Объем выборки. Количество собранной информации зависит от различ­ ных факторов, в том числе использованных методов сбора данных, имеющихся средств, конкретной исследуемой совокупности и требуемой точности результатов. В целом, при условии объективности выборки увели­ чение объема выборки, скорее всего, повысит надежность полученных ре­ зультатов. Уровень активности. Уровень активности представляет собой важный фак­ тор при определении надежности собранных данных. Например, если при объе­ ме выборки в 1000 единиц в ходе обследования достигнут уровень активности, равный только 10%, то это означает, что фактически собранные данные охва­ тывают лишь 100 членов совокупности. Более того, полученные результаты, вероятно, будут основаны на необъективной выборке, не являющейся истинно представительной для данной совокупности. Так, уровень активности при об­ следованиях с применением самостоятельно заполняемых анкет крайне низок: зачастую он не превышает 10%. Метод выбора. Обычно используется та или иная разновидность метода «случайного выбора», если только совокупность достаточно большая и все ее члены не могут быть охвачены обследованием. Метод простого случайно­ го выбора состоит в чисто произвольном отборе из данной совокупности. Например, можно пронумеровать всех членов совокупности и произвести наугад выбор номеров. К разновидности данного метода относится метод типического выбора. При этом методе совокупность разбивают на несколько групп, состоящих из членов с общей характеристикой, а затем производит­ ся случайный отбор из каждой группы. Таким образом обеспечивается при­ емлемое представительство от каждой выделенной группы в окончательной выборке. Например, работников предприятия можно разделить на менедже­ ров, администраторов и технический персонал. Окончательная выборка фор­ мируется путем произвольного отбора из каждой группы. При других обсто­ ятельствах можно использовать и другие методы выбора: многоступенчатый, групповой и долевой.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

13

1.2. Сведение данных в таблицы Данные, собранные с использованием вышеизложенных методов, в том виде, в каком они есть, представляют собой «сырую» информацию. Их можно сушественно упростить путем сведения в таблицы по фуппирующим признакам. На приведенных ниже примерах показаны основные используемые при этом приемы. Пример 1

Приводимая первичная информация содержит данные о еженедельном жаловании выборки из 40 техников, занятых на крупном промышленном про­ изводстве. (Суммы указаны в ф. ст.): 750 670 446 760 802

410 505 725 535 625

520 370 632 756 437

604 660 720 682 520

810 515 590 330 440

610 860 694 785 584

770 654 424 575 610

690 550 649 835 710

Данные в таком виде трудно анализировать. Чтобы они наполнились смыслом, их необходимо свести в таблицу. Стандартный метод представле­ ния таких данных заключается в составлении таблицы частот, как это пока­ зано ниже. В целях упрощения значения необходимо сгруппировать следую­ щим образом: а) Найдите наибольшее и наименьшее значения. В нашем примере самая большая цифра — 860 ф. ст., а самая маленькая — 330 ф. ст. Таким образом, мы определили, по крайней мере, общий диапазон таблицы частот. б) Далее необходимо определиться, каким образом разбить указанный диапазон на группы или интервалы группировки. Как правило, весь диапазон разбивают приблизительно на 5—10 фупп. Конечно, это все­ го лишь рекомендация, и во многих случаях целесообразно проводить разбивку на большее или меньшее число фупп. Далее, обычно фуппы имеют одинаковую интервальную протяженность, что, впрочем, иног­ да представляет неудобство. Интервалы фуппировки данных могут быть определены в 100 ф. ст. Таким образом, мы можем подсчитать количе­ ство работников, зарабатывающих от 300 до 400 ф. ст., от 400 до 500 ф. ст. и т. д. Недельное жалование

Точки

от от от от от от

// {Щ НИ на

300 400 500 600 700 800

до до до до до до

399 499 599 699 799 899

ф. ф. ф. ф. ф. ф.

ст. ст. ст. ст. ст. ст.

ЦН

1111 на II III

////

Рис. 1.2. Таблица распределений

Количество работников 2 5 ^ 12 8 4

14

ГЛАВА 1

в) Затем можно использовать таблицу распределений для подсчета значе­ ний в указанных интервалах, как это показано на рис. 1.2. После этого исходные данные могут быть сведены в таблицу, как это по­ казано ниже: Недельное жалование (ф. ст.) Количество работников:

300- 400- 5002 5 9

600- 700- 80012 8 4

Обратите внимание на форму записи интервалов группировки. Интервал 300— охватывает жалование от 300 ф. ст. и выше, но ниже первой цифры ин­ тервала следующей фуппы, т. е. ниже 400 ф. ст. Если не оговорено иное, под­ разумевается, что интервалы имеют одинаковую длину. Таким образом, каждая Фуппа в данной таблице представлена интервалом величиной в 100 ф. ст. То есть последняя фуппа 800— охватывает жалование от 800 ф. ст. и выше, до 900 ф. ст. включительно. Пример 2

Ежедневный выпуск антидепрессанта «горгонол» производства компании «Хартвудз» за последние пятьдесят рабочих дней приведен ниже. Лекарство выпускается в виде таблеток весом 20 мг, каждая упаковка содержит 36 табле­ ток. Нижеприведенные цифры показывают количество упаковок (в тыс. ед.), произведенных за рабочую неделю: 24.1 22.6 23.0 27.5 23.4

26.3 29.1 24.6 24.0 24.5

22.9 25.4 20.2 25.2 21.4

28.4 24.5 23.0 24.4 22.5

22.2 25.3 26.3 22.2 27.6

24.5 23.2 23.7 20.9 23.1

22.7 24.2 21.1 25.1 28.9

21.3 23.7 23.0 23.0 21.8

22.8 26.7 24.0 24.0 23.9

25.6 23.6 25.8 23.8 25.7

Из таблицы видно, что в первый обследуемый день объем выпуска соста­ вил 24.1 тыс. упаковок. Другими словами, было произведено 24 100 упаковок. Аналогично, во второй день было произведено 26 300 упаковок и так далее за каждый из 50 дней, как это показано. Объем выпуска колеблется в диапазоне от 20.2 до 29.1. На рис. 1.3 представ­ лена таблица распределений, составленная на основе вышеприведенных дан­ ных с разбивкой на соответствующие интервалы фуппировки. Таким образом, в окончательном виде таблица частотности выглядит сле­ дующим образом: Ежедневный выпуск продукции (тыс. упаковок): Количество дней определенного выпуска:

20—

22—

24—

26— 28—

6

19

17

5

3

Данную таблицу можно в дальнейшем использовать для последующего анализа ежедневного объема производства подобно тому, как это будет описа­ но в других разделах данной главы.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

15

Пример 3

Начальнику отдела кадров фармацевтической компании «Хартвудз» была поставлена задача провести анализ показателей невыхода работников на работу. Ежедневный выпуск продукции (тыс. упаковок) 20222426— 28—

Точки

Количество дней

на нн нн ни нн ни mi II нн III

6 19 17 5 3

H+t 1

Рис. 1.3. Таблица распределения объема производства

Количество работников, отсутствовавших на работе за последние 30 дней, приведено ниже: 5 2 19

0 10 7

15 6 12

1 0 1

23 0 5

6 11 16

5 2 0

18 13 14

8 6 4

10 3 8

Такие данные называются дискретными, так как переменная (количество отсутствовавших) может быть представлена только точными значениями, т. е. целыми числами. Для такой переменной интервалы фуппировки в таблице ча­ стот, в отличие от предьщущих примеров, где указывался только нижний пре­ дел, обычно имеют и верхние и нижние пределы. Точки

Количество отсутствовавших 0—4 5-9 10—14 15—19 20-24

Количество дней отсутствия

////

////

ТГГТ

ТТТТ

10 9 6 4 1

нн 1111

нн 11111 1

Рис. 1.4. Таблица распределения количества отсутствовавших

На рис. 1.4 представлена таблица распределения, которая позволяет оце­ нить частоты для каждого интервала. На основе этой таблицы можно получить следующую таблицу частот: Количество отсутствовавших: Количество дней отсутствия:

0-4

5-9

10-14

15-19

20-24

10

9

6

4

1

На основании полученной таблицы частот можно продолжить анализ по­ казателей невыхода на работу, как это будет описано далее в этой главе.

16

ГЛАВА 1

1.3. Графическое отображение Наглядное отображение полученных данных является одним из наиболее часто используемых первичных методов анализа. В данном разделе будут пред­ ставлены различные фафические методы для иллюстрации определенных ти­ пов данных. При проведении анализа хозяйственной деятельности наиболее распространены следующие виды фафиков: > гистограммы; > столбиковые диаграммы; > линейные графики; > секторные диафаммы. Другие используемые фафики и диафаммы зачастую являются разновиднос­ тями четырех вышеперечисленных. На последующих примерах будет показано, в каких случаях для отображения данных применяется тот или иной вид фафика. 1.3.1. Гистограммы

Гистофамма является самым лучшим средством отображения данных таб­ лиц частот. Т Определение. Гистограмма — это диаграмма, используемая для отобра ния данных из таблицы частот в виде отдельных столбцов. • На рис. 1.5 представлена гистофамма, отображающая данные по недельно­ му жалованию, которые мы свели в таблицу в предыдущем разделе: Недельное жалование (ф. ст.): Количество работников:

300- 400- 500- 600- 700- 8002 5 12 8 4 9

Каждый столбец гистофаммы отображает значение частот для определен­ ного интервала фуппировки. Например, два работника, получающие от 300 до 400 ф. ст., представлены первым столбцом диафаммы. В общем, размеры стол­ бцов гистофаммы пропорциональны отображаемому ими значению частот. Некоторые трудности возникают при отображении с помощью гистофам­ мы дискретных данных. Обычно на диафамме между столбцами нет разрывов. Однако если взять таблицу частот, содержащую дискретные данные, например сведения о невыходах на работу, приведенные ниже, то станет видно, что между последовательными интервалами фуппировки есть разрывы. Количество отсутствовавших: Количество дней:

0-4 10

5-9 9

10-14 6

15-19 4

20-24 1

Например, первый интервал заканчивается на 4, а второй начинается с 5. Однако фактического разрыва между интервалами нет, и данный факт должен быть отражен на гистофамме. Это достигается путем устранения разрывов и сведения столбцов вокруг срединного промежуточного значения. Так, столбцы 0—4 и 5—9 сведены на диафамме на 4'/2 по горизонтальной шкале. На рис. 1.6 представлена окончательная гистофамма данных невыхода на работу. Вышеиз­ ложенное звучит сложно, и на практике срединные промежуточные значения между столбцами по шкале горизонтали (т. е. 4^/2, 9'/2, 14V2 и т. д.) не пока­ зываются.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

17

Скорее всего, интервалы группировки будут просто указаны, как они есть. ш о X

о (О

со

а о ш с; о

300

400

500 600 700 Недельное жалование

800

900

Рис. 1.5. Гистограмма доходов

"2

(0-4)

42

(5-9)92

(10-14) 14г (15-19) 19г (20-24) 242

Количество отсутствовавших

Рис. 1.6. Гистограмма показателей невыхода на работу 1.3.2. Столбиковые диаграммы Столбиковые диафаммы часто используются для отображения данных, относящихся к нечисловым, или качественным, переменным. Например, на рис. 1.7 представлена столбиковая диаграмма, отображающая дневную выработ­ ку четырех производственных предприятий. (Цифры приведены в тыс. долл. США.) Предприятие: Дневная выработка:

А 12

Б 6

В 9

Г 14

Столбиковая диафамма —- это один из немногих видов фафиков, которые можно располагать как горизонтально, так и вертикально. На рис. 1.8 представ­ лено стоимостное выражение экспорта ряда стран за определенный месяц. (Циф­ ры приведены в 10 млн. долл. США.) Страна: США Канада Великобритания Франция Германия Экспорт: 700 350 170 210 480

ГЛАВА 1

18

15

2

5 -

I

I

Предприятия

Рис. 1.7. Объем выпуска продукции

о

100 .,

Экспорт (10 млн. долл. США) 200 300 400 500 600 700 ,

,

Т

1

1

800

1

1—

США 3

Канада

1

О- Великобритания О Франция

1

Германия

Рис. 1.8. Сравнение стоимостных показателей объема экспорта

< 40

Предприятия Январь

И М Февраль

Рис. 1.9. Объем выпуска продукции

I

I Март

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

19

Предприятия Январь

I

Ь М Февраль

1 Март

Рис. 1.10. Объем выпуска продукции Столбиковая диаграмма имеет несколько разновидностей, например на­ слоенные и сложные столбиковые диаграммы, представленные на рис. 1.9 и 1.10, на которых отображены объемы производства четырех предприятий за три следующих друг за другом месяца. 1.3.3. Линейные графики Линейные графики (иначе называемые ломаная частотности) могут ис­ пользоваться для отображения данных в двух основных случаях. Во-первых, линейные графики часто используются для отображения данных за определен­ ный временной период. Например, на рис. 1.11 представлен линейный график объема продаж фармацевтической компании «Хартвудз» за десятилетний пери­ од на основе данных из нижеприведенной таблицы: Годы: Объем продаж (ф. ст.):

1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 19

25

22

21

23

23

28

26

32

34

40 30 ^.-•——^^

"

^

^ 20 га о- 10 ш ^ VD

о

О 1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

Годы

Рис. 1.11. Фармацевтическая компания «Хартвудз»: объем продаж Из линейного фафика видно, что за исключением небольшого снижения объема продаж в 1988—1989 годах на протяжении всего десятилетнего периода наблюдался устойчивый рост объема продаж. Другой важной областью применения линейных фафиков является сравни­ тельный анализ двух или более наборов данных. В целом, при отображении данных

20

ГЛАВА 1

только одной таблицы частот, лучше всего использовать гистофаммы Однако при наличии нескольких наборов данных (более одного) линейные фафики гораздо более показательны Например, рассмотрим недельное жалование (в ф ст.) выбор­ ки из сорока работников на двух предприятиях, как это отражено ниже* Количество работников 300- 400- 500- 600- 700- 800Предпр А 5 4 12 Предпр Б 14 1 7 Линейные фафики, представленные на рис 1 12, отражают доходы на двух предприятиях Каждое значение частот отображено точкой в центре соответ­ ствующего интервала группировок Линейные фафики представляют собой иде­ альное средство для проведения сравнения наборов данных Например, из на­ шего фафика видно, что доходы работников предприятия А в целом выше, чем работников предприятия Б При необходимости этот же фафик можно применить для отображения доходов работников еще нескольких предприятий

400

300

500 600 700 Количество работников

-^ Предприятие А

800

900

-•- Предприятие Б

Рис. 1.12. Фармацевтическая компания «Хартвудз»: недельные доходы работников 1.3.4. Секторные диаграммы

Использование секторных диаграмм представляет собой альтернативный метод отображения данных Основное назначение этого вида фафиков состоит в отображении отдельных значений относительно общего количества. Напри­ мер, данные, приведенные ниже, показывают годовые затраты нескольких отделов, связанные с определенной фуппой товаров Отдел

Произведет- Сбыта венный

Расходы (млн ф ст)

17

Марке- Исследотинга вательский

Материальнотехнического обеспечения

9

Секторная диафамма, представленная на рис 1 13, отображает долю каж­ дого отдела в общих расходах Например, из диафаммы видно, что почти по-

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

21

ловима общих расходов, связанных с товаром, приходится на производствен­ ные затраты. Производство (47.2%)

Сбыт (25.0%)

Материально-техническое обеспечение (5.6%)

Маркетинг (8.3%) Исследования (13.9%)

Рис. 1.13. Распределение расходов по отделам 1.4. Упражнения: представление данных и их сведение в таблицы 1. (Е) Маркетинговой компании «Фриц энд Коль» заказали провести иссле­ дование распространения ряда журналов и газет на территории Великобритании. Нижеприведенные данные отражают количество читателей некой общенациональ­ ной газеты за период в 50 дней. (Цифры приведены в 10 тыс. читателей.):

121 135 ПО 137 123

102 140 150 127 145

132 148 94 146 114

142 117 135 154 130

139 125 144 136 125

114 134 111 105 149

136 120 145 138 128

142 156 145 137 107 134 128 133 146 153 143 124 133 118 136

а) Составьте таблицу частот на основании этих данных. б) На основании таблицы частот нарисуйте гистограмму. в) Изложите свою точку зрения на использование других видов графиков, например линейных, Х1ля отображения такого рода данных. 2. (1) В таблице приведены объемы продаж (в тыс. ф. ст.) небольшого пред­ приятия по пошиву одежды за период в 40 дней: 16.8 15.6 8.0 14.0 10.2 9.2 10.4 7.5 10.9 17.4 13.6 6.3 12.5 15.3 8.1 12.0 16.2 12.7 14.6 19.0 17.0 9.7 15.1 10.2 17.9 11.0 14.2 10.7 8.6 11.2 15.7 11.5 8.3 13.2 12.2 11.5 6.9 11.7 18.3 14.9

а) Сведите данные в таблицу и составьте соответствующий график. б) Прокомментируйте форму графика. Она вас не удивляет? Что могло послужить причиной появления такой формы и как можно проверить, пра­ вильно ли она отражает распределение значений объема продаж?

22

ГЛАВА 1

3. (1) с помощью соответствующей диафаммы сравните недельные объемы продаж (в тыс. ф. ст.) двух предприятий за прощедщие 100 недель:

Предприятие А Предприятие Б

20-

Количество недель 25- 30- 35- 40-

45-

50-

15 10

26 22

9 7

5 4

19 25

15 22

11 10

4. (Е) С помощью секторной диаграммы отобразите объемы продаж фарма­ цевтической компании «Хартвудз» на мировых рынках в 1996 г. Цифры приве­ дены в 10 млн. долл. США.): Регион Европа Австралия Азия Сев. Америка Ю. Америка Африка

Объем продаж 70 25 40 130 20 15

1.5. Средние Среднее значение (иногда называемое показателем позиции или показателем центра) является наиболее важным специальным статистическим показателем, используемым для обобщения данных. Среднее значение дает представление о наиболее «типичном» или «центральном» значении в интервале изменения пере­ менной. Часто опубликованные материалы, например отчеты предприятий, со­ держат средние значения различных переменных. Например, средняя заработная плата, средний объем выпуска, средняя продолжительность рабочей недели и сред­ ний объем продаж — все эти термины часто встречаются в той или иной форме. При рассмотрении такого рода статистических показателей особое внимание сле­ дует уделить точному выяснению методики расчета указанных средних. Имеется несколько таких методов, и каждый из них зачастую дает рпзличные результаты. В данном разделе описаны три наиболее часто используемые в больщинстве практи­ ческих ситуаций «средние». Т Определение. Средняя — это статистический показатель «середины» или «центра» исследуемых данных. А 1.5.1. Средняя арифметическая Средняя арифметическая, или, обычно, просто средняя, используется наи­ более часто для определения среднего значения. Более того, для многих людей средняя — это единственное рассматриваемое значение. Основное достоинство использования данного показателя состоит в наличии стандартной математи­ ческой формулы. Данный факт, по крайней мере, обеспечивает объективность полученных значений. Далее приведены несколько примеров расчета средней арифметической. Т Определение. Средняя арифметическая получается путем деления суммы всех значений на их количество. •

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

23

Пример 1 Недельный доход каждого из пяти работников составляет соответственно: 400, 350, 520, 440 и 490 ф. ст. Средняя арифметическая этих значений получается путем деления суммы значений на их количество. Таким образом, средняя =

400+350+520+440+490 2200 ^.„ 3 =—т—=44U.

Следовательно, средний недельный доход для данной группы работников составляет 440 ф. ст. В общем виде, при п значениях х среднее рассчитывается по формуле x = Y, х/п. X (буква феческого алфавита «сигма») означает «сумма». Таким образом, формула читается как сумма х, деленная на п. Пример 2 Рассмотрим приведенную ниже таблицу частот, содержащую данные невы­ ходов на работу за последние 20 дней. Количество отсутствовавших: Количество дней отсутствия:

1 2 4 7

3 5

4 2

5 2

Среднее значение количества отсутствовавщих в день рассчитывается путем деления суммы значений на количество дней. В данной таблице отмечено 4 дня, когда бьшо только по одному отсутствовавшему, 7 дней — по 2 и т. д. Для получения среднего необходимо суммировать все эти значения и разделить их на число (20), как это показано ниже: Средняя =

1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+4+4+5+5 — .

В упрощенном виде это будет выглядеть так: 4x1 + 7x2 + 5x3 + 2x4 + 2x5 Средняя =

=

4 + 14 + 15 + 8 + 10 51 ^ ^^ =20 = ^-^^-

Таким образом, в среднем, согласно значению средней арифметической, на предприятии отмечено 2.55 дня невыходов на работу в день. Рассмотрим элементы данной формулы. У нас имеется следующая таблица частот: Количество отсутствовавших (х): Количество дней (/):

1 4

2 7

3 5

4 2

5 2

24

ГЛАВА 1

Переменная (количество отсутствовавших) обозначается х, а частота (ко­ личество дней) — / Среднее /получается путем суммирования произведений значений/и со­ ответствующих значений х и последующего деления суммы на общее количе­ ство значений, получаемое путем суммирования значений частот. Таким образом, при наличии таблицы частот средняя рассчитывается по следующей формуле:

If Пример 3

Формула, приведенная в предыдущем примере, может быть использована для любых данных, сведенных в таблицу частот. Однако если в таблице указаны интервалы группировки, тогда необходимо брать срединные значения каждого интервала в качестве значений х. Рассмотрим следующую таблицу частот, со­ держащую доходы группы работников: Недельный доход (ф. ст.): Количество работников:

300- 400- 500- 600- 700- 8002 5 9 12 8 4

Расчет среднего значения на основании этих данных обычно производится с помощью таблицы, как это показано ниже: X

(срединные значения)

f

fx

350 450 550 650 750 850

2 5 9 12 8 4

700 2250 4950 7800 6000 3400

Итого:

Z/=40

Х А = 25100

Получаем среднее: _ ЕА

25100

Таким образом, средний доход данной группы работников составляет 627.5 ф. ст. Данное значение можно использовать для различных целей. Во-первых, оно используется как средство описания данных. Так, ссылка на среднюю за­ работную плату может служить показателем доходов работников данного пред­ приятия. Во-вторых, это значение можно использовать при сравнении двух и более наборов данных. Например, средняя заработная плата на другом пред-

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

25

Приятии составляет 700 ф. ст., что позволяет нам некоторым образом судить об уровнях доходов работников, относящихся к разным предприятиям. Далее, та­ кого рода информация может, например, стать ориентиром и существенной отправной точкой при переговорах между работниками и администрацией по вопросу увеличения заработной платы. Однако средняя может быть искажена экстремальными значениями, и поэтому к ее использованию следует подходить с осторожностью. Например, если один работник из одной из названных фупп станет получать 2000 ф. ст. в неделю, тогда полученная средняя арифметическая существенно изменится. 1.5.2. Мода

Средняя набора значений может быть получена путем определения моды Моду можно коротко определить как значение, наиболее часто встречающе­ еся в наборе данных. Это наиболее «типичное» значение среди данных, и часто его считают более репрезентативным, т.е. более достоверным, нежели среднюю арифметическую. На последующих примерах мы рассмотрим поря­ док получения моды на основании данных, представленных в том или ином виде. Т Определение. Мода — это средняя, получаемая путем установления наи лее часто встречающегося значения в наборе данных. • Пример 1

Нижеприведенные значения показывают количество работников, отсут­ ствовавших на работе за период в 10 дней: 3, 5, 2, 1, 4, 3, 2, О, 3, 6 Здесь видно, что наиболее часто встречается цифра 3. Отсюда мода равня­ ется 3 работникам. Таким образом, среднее количество работников, отсутство­ вавших на работе, можно определить как равное 3. Пример 2

В таблице приведено количество отсутствовавших на работе за последние три недели (21 день): Количество отсутствовавших: Количество дней:

0 2

1 2 8 6

3 3

4 2

Из таблицы частот следует, что чаше всего (8 дней) отсутствовало по одному работнику. Таким образом, мода равняется 1 работнику. Как видно на примере такой простой таблицы частот, определение моды не представляет труда. Мы просто находим и соотносим ее со значением соответствующей пере­ менной. Однако если таблица частот содержит интервалы фуппировки, то процесс определения становится более сложным, что мы и увидим на сле­ дующем примере.

26

ГЛАВА 1

Пример 3

Рассмотрим недельные доходы фуппы из 40 работников, что мы уже де­ лали ранее: Недельный доход (ф. ст.): Количество работников:

02

4 0 0 - 5 0 0 - 6 0 0 - 7 0 0 - 800 5 8 12 4 9

В процессе фуппировки значений в интервалы, как в данном примере, мы потеряли значительную часть исходной первичной информации. Например, невозможно точно определить наиболее часто встречающееся характерное зна­ чение. Может не быть двух работников, получающих одинаковую зарплату, отсюда — и единственной моды. Параллельно мода может оказаться в любом из интервалов фуппировки данной таблицы. Например, если два работника полу­ чают точно 300 ф. ст. и больще ни один работник не получает одинаковой с другим зарабртной платы, тогда, строго говоря, мода составляет 300 ф. ст. Но это даже и не близко к значению средней! Так как существенная часть инфор­ мации отсутствует, нам необходимо на основании имеющихся данных опреде­ лить наиболее вероятное значение моды. Из таблицы видно, что наиболее часто повторяется интервал 600—700 ф. ст. Отсюда естественно предположить, что мода находится в пределах данного интервала. Можно определить моду как срединное значение в данном интервале, т. е. 650 ф. ст. И хотя в этом есть резон, все же лучще определить среднее относительно значений частот по обе стороны наибольшего значения. Мы видим, что значение частот для интервала, меньшего 600—700, больше значения частот для интервала, большего 600—700. Поэтому более веро­ ятно, что мода находится в первой половине интервала фуппировки 600—700. Например, она может быть равна не 650 , а 640 ф. ст. или 630 ф. ст.

М(3да Недельный доход

Рис. 1.14. Гистограмма доходов

Один из принятых методов получения приемлемого значения моды состо­ ит в использовании гистофаммы, как это показано на рис. 1.14. Как это видно из рисунка, мода определяется следующим образом: проводим прямую линию от верхнего правого угла самого большого столбца к правому верхнему углу левого от него столбца, затем прямую линию от верхнего левого угла к верх-

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

27

нему левому углу правого от него столбца Из точки пересечения этих двух прямых проводим перпендикуляр к линии горизонтальной оси. Точка пересече­ ния перпендикуляра с линией горизонтальной оси дает значение моды. Как это видно на графике, значение моды составляет 643 ф. ст. Следует отметить, что в данном случае мы отошли от первоначального определения моды как наиболее частотного значения. Значения моды, получен­ ные вышеизложенным способом, вряд ли будут наиболее частотными по при­ чинам, которые мы уже осветили. Однако данный способ определения моды имеет право на существование, и во многих практических ситуациях он позво­ ляет лучше других методов, в том числе метода средней арифметической, ус­ тановить «среднее» значение. 1.5.3. Медиана Еще один способ определения среднего значения набора данных заключа­ ется в получении медианы. В ряде случаев это наиболее приемлемый и очевид­ ный вариант выявления центрального значения. В буквальном смысле, медиана — это срединное значение при условии, что данные выстроены в ранжирован­ ном порядке. На последующих примерах вы познакомитесь со способом опреде­ ления медианы. Т Определение. Медиана — это среднее, полученное путем выявления «цент­ рального» значения в перечне данных, расположенных в ранжированном порядке. • Пример 1 Найдите медиану заработной платы на основании следующих данных: 500, 450, 290, 760, 375, 430, 410 ф. ст. Для определения медианы эти данные необходимо расположить в ранжи­ рованном порядке (по возрастанию или убыванию): 290, 375, 410, 430, 450, 500, 760 ф. ст. Срединное значение в данной последовательности — это значение чет­ вертое по счету, т. е. 430 ф. ст. Таким образом, медиана равна 430 ф. ст. Медиана — это значение, разделяющее единицы совокупности на две рав­ ные части. Поэтому обычно количество значений до и после медианы дол­ жно быть одинаковым. В данном примере имеется по три значения до и после медианы. Имеет смысл рассмотреть общую формулу, которая определит место медианы в совокупности. Например, в данном примере медиана представле­ на четвертым значением из общей совокупности, состоящей из семи значе­ ний. В общем виде, при наличии я значений медиана = [(л+1)/2]-й порядковый номер. Таким образом, в перечне, состоящем из пяти значений, медиана = [(5+1)/2]-й порядковый номер = 3-й номер. Аналогично, в последовательности из 10 значений медиана = [(10+1)/2]-й порядковый номер = [5'/2]-й (то есть номер, что находится посередине между 5-м и 6-м значениями).

28

ГЛАВА 1

Пример 2 Рассмотрим таблицу частот, отображающую количество невыходов на ра­ боту за период в три недели (21 день): Количество отсутствовавших: Количество дней:

0 2

1 2 8 6

3 3

4 2

Согласно данной таблице, обшее количество дней равно п = Х / ~ 21. Отсюда медиана = \{п + 1)/2]-е или [(21 + 1)/2]-е = 11-е значение. Теперь необходимо из этих данных выбрать 11-е значение. Есть 2 дня, в которые не отмечено невыходов; есть 8 дней, в которые отмечено по I невы­ ходу. Следовательно, первые десять значений — это О или 1. Таким образом, 11-е значение — это 2. Итак, медиана равна 2-м работникам.

Пример 3 Процесс первоначального определения медианы с целью получения сред­ него значения может быть распространен на таблицы частот, содержащие ин­ тервалы фуппировки, как это видно на следующем примере. Рассмотрим зара­ ботную плату фуппы работников, что мы уже делали ранее: Недельный доход (ф. ст.): 3 0 0 - 4 0 0 Количество работников: 2 5

500- 600- 700- 8009 12 8 4

В данной таблице сумма значений равна п = Х / ~ ^0. Отсюда, медиана = \{п + 1)/21-е или [(40 + 1)/21-е = (20.5)-е значение. Видно, что первые три интервала вк.лючают всего 16 работников; в следующем интервале (600 — 700 ф. ст.) находятся еще 12 работников. Та­ ким образом, (20.5)-е значение входит в данный интервал. Следовательно, медиана находится в интервале 600 — 700 ф. ст. Кроме выявления интервала группировки необходимо определить фактическое значение (20.5)-е значе­ ние. Это можно сделать с помощью интегратьной кривой распределения (стрелки). Т Определение. Стрелка — это графическое отображение накопленной частоты. • Накопленная частота, приведенная ниже в таблице, определяется путем выявления частотности ниже определенного значения. Например, частота ниже 300 (т. е. количество работников, получающих менее 300 ф. ст.) равна нулю. Аналогично, частота ниже 400 равна 2. а частота ниже 500 — 7 (т. е., согласно таблице, имеется семь работников, зарабатыва­ ющих менее 500 ф. ст.). В полном виде таблица накопленной частоты приведена ниже:

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

Недельный доход (Ф. ст.)

Накопленные частоты (частотность ниже определенного значения)

300 400 500 600 700 800 900

О 2 7 16 28 36 40

29

Значения таблицы накопленных частот можно представить в виде фафика, как это показано на рис. 1.15.

300

400

500

600 I 700 800 Медиана Недельный доход (ф. ст.)

900

Рис. 1 . 1 5 . Таблица накопленной частоты

Посредством вычерчивания кривой, соединяющей нанесенные точки, мы можем определить нетабличные значения. Как это показано на фафике, (20.5)-е значение определяется путем проведения от точки 20.5 на вертикальной оси прямой, параллельной горизонтальной оси, до ее пересечения с кривой и построения из точки пересечения перпендикуляра до его пересечения с гори­ зонтальной осью. Полученное значение есть значение медианы. Следует отме­ тить, что на практике, если точки накопленной частоты соединены прямыми линиями, тогда еще можно получить приемлемое значение медианы. Теорети­ чески же идеальная кривая, проходящая через отмеченные точки, позволяет получить оптимальное значение. Однако обычно этого трудно достичь с нобходимой точностью. График, представленный на рис. 1.15, определяет значение медианы, равное 638 ф. ст. Таким образом, мы можем сказать, что «центральное» значение зара­ ботной платы составляет 638 ф. ст. Следовательно, половина работников зарабатывает менее 638 ф. ст. и другая половина — более 638 ф. ст. Данный способ определения средней может быть весьма полезен. Ведь для некоторых переменных, в том числе касающихся доходов, значение медианы считается наиболее реалистичным.

ГЛАВА 1

30

1.6. Сравнение средних Три метода получения «средней», описанные в данном разделе, соверщенно равнозначны. У каждого метода есть достоинства и недостатки, которые сведены в таблицу, представленную на рис. 1.16. Метод Средняя арифметическая

Достоинства Рассчитывается по формуле Очевиден для большинства людей

Недостатки — Может быть искажено экстремальными значениями — Не всегда репрезентативен с точки зрения данных

Мода

— Простота получения — Оптимален с точки зрения выявления «типичного» значен1/1я из совокупности данных

Медиана

— Фактическое «центральное» значение — Определение на основе графика — Обычно считается наиболее или соответствующего математичес­ репрезентативным значением кого метода

— Определение на основе графика {хотя имеется математический вариант) — Не подходит для «нестандартного» распределения, т. е. включающего два и более максимума

Рис. 1.16. сравнение методов определения «средних» Метод, основанный на вычислении средней арифметической, или просто средней, обычно считается наиболее приемлемым. Он очевиден: просто сложи­ те имеющиеся значения и поделите сумму на их количество. Все просто, в том числе отработка данных таблиц частот. Однако, несмотря на всю эту простоту, зачастую этот метод наименее адекватен. Рассмотрим распределение заработной платы на рис. 1.17. Данная диафамма иллюстрирует типичное распределение доходов всех работников крупной организации. Это положительно асимметрич­ ное распределение, с областью больших отклонений в правой части диафаммы. Доходы основной массы работников представлены в левой части диафаммы. Только несколько работников имеют доходы, представленные у верхней фаницы диафаммы. Вот эти-то несколько работников и искажают значение средней, и «усредненное» значение, полученное путем расчета арифметической сред­ ней, превышает приемлемо репрезентативное значение. Значение моды соот­ ветствует максимальному значению частот, представленных в распределении. При такой форме распределения это значение находится в области нижних значений заработной платы и поэтому также не является полностью репрезен­ тативным. Значение медианы, как центральное значение, выступает в роли компромиссного решения и часто считается наилучшим показателем. На рис. 1.17 представлены значения средней, моды и медианы. Эти три показателя будут находиться в соответствии друг с другом, только если распределение данных симметрично. Если распределение отрицательно асимметрично, тогда последовательность значений меняется на обратную. Так, средняя будет наи­ меньшим значением, а мода — наибольшим. На рис. 1.18 представлены три типа распределения с соответствующими показателями трех «средних». Рисунки про­ сто отображают форму каждого распределения. Так, проведенные кривые очер­ чивают контуры соответствующей гистограммы. Например, на рис. 1.18 (i) ото­ бражена форма, представляющая такое же распределение, что мы видим и на рис. 1.17.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

Мода

\

Медиана

\

31

Доходы Средняя

Рис. 1.17. Распределение доходов

Мода Медиана Средняя

Средняя Медиана Мода

Мода Медиана Средняя

Рис. 1.18. Сравнение распределений 1.7. Упражнения: средние

1. (Е) В таблице приведены данные по отсутствовавшим на работе за пери­ од в 60 рабочих дней: Количество отсутствовавших: Количество дней:

О 12

1 2 16 11

3 6

4 8

5 3

6 4

Определите среднюю, медиану и моду по этим данным. Какой показатель, по вашему мнению, наиболее приемлем в данном случае? 2. (I) Имеются данные по кредитовым остаткам 50 клиентов банка: Остаток (ф. ст.): Количество счетов:

О- 200- 400- 600- 800- 100012 18 10 6 3 1

Определите средний остаток путем вычисления:

32

ГЛАВА 1

а) средней; б) моды; в) медианы. Прокомментируйте разницу в полученных значениях. 3. (I) Найдите значения средней, медианы и моды на основании следую­ щих таблиц частот: (i) Заработная плата (ф. ст.): Количество работников:

200-- 3 0 0 - 4 0 0 - 5 0 0 - 6 0 0 4 7 6 5 3

(ii) Количество отработанных сверхурочных часов: 0Количество работников: 3 (iii) Недельная прибыль (тыс. ф. ст.): Количество недель:

27 013

413 5!7

610 1011

88 159

105 206

124 254

1.8. Понятие вариации Средние, описанные в предыдущих разделах, являются важным средством характеристики данных, а также проведения сравнения наборов данных. Одна­ ко во многих случаях показатели средней недостаточны для проведения прием­ лемого различия между разными распределениями. Рассмотрим простой пример сравнения понедельной заработной платы всех работников двух предприятий (см. рис. 1.19). Предположим, что все другие показатели идентичны, то есть предприятия одинаковы по размеру, условиям работы и предоставляемым по­ собиям и льготам. Также следует отметить, что для получения средней на осно­ вании двух наборов данных по заработной плате использовался один и тот же метод расчета, в соответствии с которым приведенные значения — средние арифметические. Единственное реальное различие между предприятиями состо­ ит в уровне оплаты работников. Из таблицы видно, что средняя заработная плата на предприятии Б несколько выше, чем на предприятии А. Таким обра­ зом, при наличии выбора на основании данной информации многие из нас предпочли бы пойти работать на предприятие Б. Вместе с тем средние не дают нам всей картины в целом. Например, для проведения более качественного сравнения было бы полезно выяснить верхнюю и нижнюю планки заработной платы на двух предприятиях. Так, таблица, представленная на рис. 1.20, дает в сравнении дополнительную информацию по двум предприятиям. На основании этой дополнительной информации предприятие А предстает в более благопри­ ятном свете: мы видим, что минимальная заработная плата на двух предприя­ тиях аналогична, но на предприятии А гораздо выше максимальная заработная плата. Таким образом, хотя для многих работников предприятия Б средний уровень заработной платы выше, чем на предприятии А, на последнем значи­ тельно выше потенциал в том, что касается заработной платы. Все работники предприятия Б получают одинаковую заработную плату. Это означает, что прак­ тически отсутствуют условия для роста работника и стимулы к такого рода росту минимальны. Напротив, на предприятии А имеется существенный резерв для роста. Диапазон заработной платы здесь значительно шире, что свидетель­ ствует о существенном разбросе в уровне оплаты различных категорий работни­ ков, иначе говоря, в данной организации имеется существенный стимул для тех, кто ставит перед собой высокие цели. С учетом данной информации про-

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

33

цесс выбора между двумя предприятиями становится более сложным. Наиболее амбициозные работники предпочтут работать на предприятии А, а низкоопла­ чиваемые работники — на предприятии Б. Понедельная заработная плата (ф. ст.)

А

Предприятие Б

Средняя

400

420

Рис. 1.19. Сравнение средних Понедельная заработная плата (Ф. ст.)

А

Б

Средняя Максимальная Минимальная

400 1000 350

420 500 350

Предприятие

Рис. 1.20. Сравнение предприятий

Данный пример иллюстрирует ситуацию, при которой средние не дают полной картины: помимо показателей среднего значения полезно получить данные по разбросу в двух наборах данных. В данном разделе мы рассмотрим некоторые меры разброса, которые можно использовать для этих целей. 1.8.1. Размах вариации

Размах вариации — это самая простая мера разброса набора данных. Размах вариации — промежуток между наибольшим и наименьшим значениями рас­ пределения. На последующих примерах вы познакомитесь с порядком расчета размаха вариации. Т Определение. Размах вариации — это простая мера вариации, вычисляем путем вычитания наименьшего значения в наборе данных из наибольшего. • Пример 1

Найдем размах вариации на основании значений недельного дохода не­ большого розничного предприятия за последние десять недель. (Данные приве­ дены в тыс. ф. ст.) 12, 20, 15, 8, 5, 14, 22, 13, 10, 17. Чтобы получить размах вариации, необходимо найти наибольшее и наи­ меньшее значения в последовательности данных. Таковыми в данном приме­ ре являются цифры 22 (максимальное значение) и 5 (минимальное значе­ ние). Следовательнй, размах вариации рассчитывается следующим образом: Размах вариации = 22 — 5 = 17. Таким образом, для этих данных размах вариации составляет 17 000 ф. ст.

34

ГЛАВА 1

Пример 2

В таблице приведены данные по количеству отсутствовавших на работе за последние 50 дней: Количество отсутствовавших: Количество дней:

3 2

4 5

5 6 7 8 9 1 0 7 12 11 6 4 3

Согласно данной таблице, наибольшее количество отсутствовавших за день составило 10 человек, а наименьшее — 3 человека. Таким образом, размах вариации равен 10 — 3 = 7 человек. Пример 3

В таблице приведены данные объема производства небольшого предприя­ тия по производству электроники за период в 40 недель: Объем производства (тыс. долл. США): Количество недель:

203

249

2812

3215

367

404

Согласно данной таблице, наибольшее возможное значение находится ниже 44 000 долл. США (при допушении, что интервалы фуппирования имеют оди­ наковую протяженность). Аналогично, наименьшее возможное значение состав­ ляет 20 000 долл. Отсюда для этих данных размах вариации равняется 44 000 — 20 000 = 24 000 долл. 1.8.2. Межквартильный размах

Размах, описанный в предьщущем разделе, имеет ряд недостатков. В це­ лом, размах нельзя удовлетворительно применять при сравнении наборов дан­ ных, так как он может быть легко искажен экстремальными отдельными зна­ чениями. Например, в следующей таблице приведены данные по недельной заработной плате 100 работников предприятий А и Б соответственно: Недельная заработная плата (ф. ст.): 2 0 0 - 3 0 0 - 4 0 0 - 5 0 0 - 6 0 0 - 7 0 0 - 8 0 0 - 900 Количество работников: предпр. А: 25 13 0 0 1 38 23 0 предпр. Б: 25 14 0 0 0 38 23 0 Размах для каждого набора данных составляет соответственно: для предприятия А размах = 1000 — 200 = 800 ф. ст. для предприятия Б размах = 600 — 200 = 400 ф. ст. Как видно, вариация согласно размаху для предприятия А в два раза боль­ ше вариации для предприятия Б. Однако при исследовании исходных таблиц частот эту разницу можно отнести на счет единственного работника, получаю-

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

35

щего в интервале 900—1000, в сравнении с еще одним работником предприя­ тия Б, получающим в интервале 500—600. Таким образом, одно экстремальное значение полностью исказило значение размаха. Поэтому на этот размах не стоит полагаться при проведении приемлемого сравнения наборов данных. Сле­ довательно, требуется альтернативный способ определения величины вариации. Для этих целей приемлемой величиной считается значение межквартильного размаха. Межквартильный размах получают путем исключительного рассмотре­ ния «размаха» для центральных 50% значений набора данных. На рис. 1.21 пред­ ставлено распределение набора данных. Если мы опустим 25% наименьших зна­ чений и 25% наибольших, тогда мы получим, как это показано на рисунке, размах, включающий центральные 50% значений, т. е. межквартильный размах. Два крайних значения из центральных 50% называются квартилями. Межквар­ тильный размах (IQR) — расстояние между меньшей квартилью (Q^) и боль­ шей квартилью (Qi), как это показано на рисунке. Квартили можно получить во многом аналогично тому, как мы определяли медиану ранее. Ведь медиана — это середина распределения и является [(и + 1)/2]-м порядковым значением.

Рис. 1.21. Расчет межквартильного размаха

Аналогично, меньшая квартиль находится на расстоянии в 1/4 от начала распределения, а большая квартиль — на расстоянии в 3/4. Таким образом, эти квартили можно рассчитать следующим образом: Меньшая квартиль, 0,

п+ \

-е порядковое значение;

Большая квартиль, Qj = [^/4{п + 1)|-е порядковое значение. Имея эти значения, получаем межквартильный размах:

IQR = (Зз - 0.. • Определение. Межквартильный размах — это разница между большей меньшей квартилями. Данное значение показывает размах для центральных 5 данных. • В последующих примерах рассмотрим порядок расчета межквартильного размаха.

36

ГЛАВА 1

Пример 1 В таблице приведены данные произвольной выборки из 15 акций, котиру­ емых на Лондонской фондовой бирже: 2.20 3.17 2.10

1.50 0.96 0.58

3.00 7.83 1.75

5.55 1.65 1.20

4.42 2.58 3.74

Расположим эти значения в числовой последовательности: 0.58, 0.96, 1.20, 1.50, 1.65, 1.75, 2.10, 2.20, 2.58, 3.00, 3.17, 3.74, 4.42, 5.55, 7.83. В данном примере значение п = 15. Таким образом,

п + \) J \5+\) _(\6) ~~А~)~[

4 )~\Т)~

^'^ порядковое значение.

Четвертое значение в последовательности равно 1.50. Следователь­ Q = 1.50 ф. ст. Аналогично, Qi = ^4(п + 1) = V4(15 + 1) = 3/4(16) = 12-е порядковое значение. Двенадцатое значение в последовательности равно 3.74. Следовательно, Qy = 3.74 ф. ст. Итак, имея значения квартилей, мы можем определить межквартильный размах как IQR = Q^ — Q] = 3.74 — 1.50 = 2.24 ф. ст. но,

Пример 2 Найдем значение межквартильного размаха на основании таблицы данных по количеству единиц определенных товарных запасов на складе за последние 100 дней: Единиц товарных запасов: Количество дней:

3 4

4 12

5 6 7 8 9 22 20 16 12

8

10 6

В данном примере п = 100. Таким образом, л + П riOO + l^i ПОП Г.И ~^)~[ 4—)~{'~4~)~^^^)'^ порядковое значение. (25'/4) порядковое значение в данной таблице равно 5. Это видно из того, что первые четыре значения равны 3, а последующие двенадцать значений все равны 4. Таким образом, 16-е значение равно 4. Исходя из этого, следующие 22 значения все равны 5. То есть (25^/4) порядковое значение — 5. Отсюда, d = 5 единица.м товарных запасов. Аналогично, Q, = 3/4(л + 1) = 3/4(100 + 1) = 3/4(101) = (753/4)-е порядковое значение.

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

37

Изучение таблицы частот показывает, что 74-е значение есть 7, а 75-е — 8. Отсюда (75^4)-е порядковое значение — 8. Следовательно, Оз = 8 единицам товарных запасов. Итак, межквартильный размах составляет: IQR = Q^— Q, = S — 5 = 3 еди­ ницам. Пример 3

Найдем значение межквартильного размаха из таблицы данных по недель­ ной заработной платы группы работников: Недельная заработная плата (ф. ст.): 300Количество работников: 28

400- 500- 600- 700- 80047

49

17

9

5

В данном примере общее количество работников л = 155. Таким образом,

(3,

155 + 1

п+ \

156

= 39-е значение.

Аналогично", ft = V4(« + 1) = 3/4(155 + 1) = 3/4(156) = 117-е значение. Данные значения могут быть получены с помощью кривой аналогично тому, как мы ранее определяли медиану. На рис. 1.22 представлена кривая на­ бора данных, вычерченная на основании значений таблицы нарастающей час­ тотности: Недельная заработная плата (ф. ст.): Нарастающая частотность:

300

400

500

600

700

800

900

О

28

75

124

141

150

155

200

117-е значение

300

400*v

500 Qi

^600 Оз

Рис. 1.22. Определение квартилей

700

800

900

38

ГЛАВА 1

Значения квартилей, полученные с помощью кривой, как это показано на рис. 1.22, следующие: меньшая квартиль, Q, = 425 ф. ст. большая квартиль, Q^ = 585 ф ст Отсюда межквартильный размах IQR - Q^ — Q^ = 585 — 425 = 160 ф. ст 1.8.3. Среднеквадратическое отклонение Одной из наиболее важных характеристик вариации является значение среднеквадратического отклонения, обычно обозначаемое л или ст Основное достоинство среднеквадратического отклонения состоит в том, что его можно рассчитать с помощью объективной математической формулы, а не путем оце­ ночных методов, как в случае с межквартильным размахом Среднеквадратичес­ кое отклонение выборки значений можно рассчитать по следующей формуле

Среднеквадратическое отклонение s =\1-=-^ V п

— •

Как вариант, среднеквадратическое отклонение может быть рассчитано на основании данных таблиц частот с помощью одной из следующих формул'

Среднеквадратическое отклонение s = i

^гт

"ipv"?—^ ' •

На последующих примерах вы познакомитесь с порядком расчета средне­ квадратического отклонения Т Определение. Среднеквадратическое отклонение есть мера вариации, полу­ чаемая путем извлечения квадратного корня из средней суммы квадратов отююнений между каждым значением и арифметической средней •

Пример 1 Ниже приведено количество сверхурочных часов, отработанных фуппой из десяти работников: 2 3 5 1 0 1 7 4 2 5 Количество сверхурочных часов — это переменная, обозначаемая х, д^ш которой мы хотим найти значение среднеквадратического отклонения. Сначала находим среднюю арифметическую: п

10

' •

Теперь мы можем вычислить значения (х — J ) путем вычитания значения среднего ( х ) из каждого значения х, как это показано ниже' {х -хУ - 1 0 2 - 2 - 3 - 2 4 1 - 1 2 Далее возводим все эти значения в квадрат: (х -хУ1 О 4 4 9 4 16 1 1 4

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

39

Находим сумму значений: {х -хУ = 44. Таким образом, среднеквадратическое отклонение рассчитывается следую­ щим образом: IZ{x-xf [44 г-г - , „ „ = д=-^ ^—= — = V4.4= 2.1 с точностью до одной десятой. \ п V 10 Пример 2

Рассмотрим таблицу, содержащую данные по количеству единиц товарных запасов за период в сто дней: Единиц товарных запасов: Количество дней:

3 4

4 12

5 22

6 20

7 16

8 12

9 8

10 6

Средняя арифметическая и среднеквадратическое отклонение по этим дан­ ным можно получить, сведя последние в таблицу, как это показано ниже. Ко­ личество единиц товарных запасов есть рассматриваемая переменная, обознача­ емая X, а количество дней есть соответствующая частота, обозначаемая / Сна­ чала рассчитываем среднюю арифметическую ( х ) по формуле Y.-f^/T.f • Затем получаем остающиеся три колонки значений. X

3 4 5 6 7 8 9 10

f

fx

4 12 22 20 16 12 8 6 100

12 48 110 120 112 96 72 60 630

X —

X

-3.3 -2.3 -1.3 -0.3

0.7 1.7 2.7 3.7

(х-хГ

f(x

10.89 5.29 1.69 0.09 0.49 2.89 7.29 13.69

-хУ

43.56 63.48 37.18 1.80 7.84 34.68 58.32 82.14

329

Теперь с помощью значений второй и третьей колонок получаем: 1 / х = 6 3 0 и Z / = 100. Следовательно, среднее х = E A / Z / ~ 630/100 = 6.3 единицы. С помощью этого значения х остающиеся колонки рассчитываются, как показано. Итак, значение Y,f{x-x)

равняется 329.

Таким образом, среднеквадратическое отклонение рассчитывается следую­ щим образом: Среднеквадратическое отклонение

\Ы^-^? •^1 ^ у

[329 ^ ^ ~-\|Т00"

единицы.

40

ГЛАВА 1

Обычно считается, что альтернативная формула расчета проще: Среднеквадратическое отклонение s = J „ г—\^) • Используя эту формулу, необходимо только рассчитать среднюю арифме­ тическую, а затем составить дополнительную колонку со значениями Y^fx^, как это показано ниже: fx

3 4 5 6 7 8 9 10 Итого

fx'

4 12 22 20 16 12 8 6

12 48 110 120 112 96 72 60

36 192 550 720 784 768 648 600

100

630

4298

ZA_630 По таблице получаем арифметическую среднюю у /• ~ юо ~ ^"^ единицы Аналогично, среднеквадратическое отклонение л|~у~7—(•^) = J-—т~(6.3) = л/42.98 - 39.69 = л/3.29 = 1.81 единицы, как и при расчете с помощью первой формулы.

Пример 3

И наконец, рассмотрим таблицу сфуппированной частоты недельной за­ работной платы: Недельная заработная плата (ф. ст.): Количество работников:

300- 400- 500- 600- 700- 8002 5 9 12 8 4

Вычисления средней арифметической и среднеквадратического отклоне­ ния сведены в следующую таблицу:

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

X (срединные значения)

f

fx

41

fx^

350 450 550 650 750 850

2 5 9 12 8 4

700 2250 4950 7800 6000 3400

Итого

Z/=40

Х А = 2 5 100

245 1 012 2 722 5 070 4 500 2 890

^ А

000 500 500 000 000 000

= 16 440 000

Далее получаем арифметическую среднюю: _ 2 А 25100 ' = 1 7 = ~ 4 Г = 627.5. Аналогично, вычисляем среднеквадратическое отклонение: Среднеквадратическое отклонение ^ ||6440000_^g27.5)^ =^4\ 1000 - 393756.25 = V17243.75 = 131.32 ф. ст.

1.9. Интерпретация меры вариаций В предыдущем разделе мы рассмотрели ряд показателей вариаций, которые можно использовать при обобщении данных. В частности, эти значения удобны при сравнении наборов данных, что видно из последующих примеров. Пример 1 Маркетинговая компания «Спиц энд Коль» провела обследование уровня заработной платы в электронной промышленности и строительной отрасли Результаты, приведенные ниже, основаны на произвольной выборке из 1000 работников, занятых в каждой из отраслей. Статистические данные (недельная заработная плата) (ф. ст.) Средняя арифметическая Среднеквадратическое отклонение

Отрасль промышленности Электроника

Строительство

500 80

400 120

Значения средней арифметической, приведенные в таблице, показывают, что средняя заработная плата в электронной отрасли выше, чем в строительной. Таким образом, в целом работники электронной отрасли зарабатывают боль­ ше, чем работники строительной отрасли. Однако в строительной отрасли выше значение среднеквадратического отклонения. Это указывает на то, что в стро-

42

ГЛАВА 1

ительстве вариация значений заработной платы больше, чем в электронике. Соответственно, в строительстве отмечена большая вариация значений зара­ ботной платы, в то время как в электронике значения заработной платы рас­ положены более плотной фуппой. Среднеквадратическое отклонение показыва­ ет величину вариации для определенного набора данных. Следовательно, боль­ шее значение среднеквадратического отклонения свидетельствует о большей вариации значений. Согласно результатам, приведенным в таблице, значения заработной платы в электронике более близки друг к другу и, в целом, более близки к значению арифметической средней, нежели в строительстве. Сходное сравнение можно провести на основании различных статистичес­ ких показателей — например, тех, что сведены в нижеприведенную таблицу при обследовании аналогичного набора данных. Статистические данные (недельная заработная плата) (ф. ст.) Медиана Межквартильный размах

Отрасль промышленности Электроника

Строительство

470 140

350 220

Значения медианы показывают, что средняя заработная плата в электро­ нике выше, чем в строительстве. Данные также показывают, что в электронной отрасли половина обследованных работников получают менее 470 ф. ст., а дру­ гая половина — более 470 ф. ст. Аналогично, в строительной отрасли значение в 350 ф. ст. является центральной точкой раздела обследованных работников на две одинаковые фуппы. Межквартильный размах дает интервал, содержащий «центральные» 50% работников. Для работников строительной отрасли значе­ ние размаха больше, что свидетельствует о большей вариации значений зара­ ботной платы в данной отрасли. Пример 2 Производственное подразделение фармацевтической компании «Хартвудз», базирующееся в Лондоне, выпускает ряд лекарственных препаратов, в том числе «батротомин», предназначенный для снятия симптомов артрита. Использование «кооперации» на «Хартвудз» требует осушествления контроля за деятельностью отдельных производственных коллективов и проведения глубокого анализа его результатов. В настоящее время в производстве «батротомина» задействованы три коллектива (А, Б и В). В таблице приведены результаты анализа дневной выработки вышеуказанных коллективов за прошедшие три месяца. Дневная выработка (тыс. таблеток) Средняя арифметическая Среднеквадратическое отклонение

Производственные коллективы Коллектив А Коллектив Б Коллектив В 45 2.5

48 8.2

39 4.0

Прежде всего, сравним значения средней арифметической для трех кол­ лективов. Из приведенных данных следует, что коллектив Б работает лучше других, коллектив А идет к нему вплотную, а коллектив В дает наихудшие результаты. Конечно, проведение такого рода сравнения подразумевает, что все остальные исходные идентичны. Например, предполагается, что коллективы

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

43

применяют одну и ту же технику, имеющую одинаковую производительность, а также сходны и прочие условия, например количество сырья. Сравнение становится более сложным при анализе значений среднеквадратического отклонения. Из полученных значений следует, что у коллектива Б отмече­ на гораздо большая вариация значений дневной выработки, а у коллектива А она наименьшая. Это говорит о том, что у ко..тлектива А дневная выработка относи­ тельно устойчива, а у коллектива Б — очень неустойчива. У коллектива В значение вариации находится посредине. Это указывает на возможное наличие серьезных проблем в коллективе Б. Так как возможная вариация очень высока, то для данно­ го коллектива трудно спрогнозировать объем дневной выработки. Напротив, у кол­ лектива А объемы дневной выработки очень устойчивы, и поэто.му для данного коллектива гораздо проще спрогнозировать объем дневной выработки. С точки зре­ ния управления коллектив Б может испытывать определенные трудности. Напри­ мер, большие значения разброса могут быть вызваны недисциплинированностью работников, большим количеством пропусков работы по болезни или отсутствием контроля со стороны руководства. Потенциально коллектив Б может увеличить объем выпуска, то есть при улучшении устойчивости он может добиться даже более вы­ сокого среднего объема дневной выработки.

1.10. Сравнение вариации Три меры вариации, описанные в предьщущих разделах, даны в сравнении на рис. 1.23. Метод Размах

Межквартильный размах

Среднеквадратическое отклонение

Достоинства — Простота определения — Очевидная интерпретация значения — Относительная простота — Приемлем как метод сравнения наборов данных — Определение квартилей дает представление о «форме» распределения — Рассчитывается по математической формуле — Может использоваться как единственный в своем роде метод определения некоторых распределений данных

Недостатки — Плох при сравнении данных — Легко искажается отдельными экстремальными значениями — Оценка требует применения графического или альтернативного метода определения

— Однако формула не всегда дает правильные результаты! — Трудно интерпретировать единичные значения

Рис. 1.23. Сравнение вариации

В целом, межквартильный размах и среднеквадратическое отклонение дают приемлемое значение разброса, и оба этих метода могут использоваться как средство сравнения двух и более наборов данных. Как вариант, вместо указания межквартильного размаха более информативной может оказаться простая кон­ статация значений большей и меньшей квартилей. Размах редко применяется при сравнении наборов данных, так как, что было показано в предыдущих разделах, его значение может быть легко искажено отдельными экстре.мальны.ми значениями. Среднеквадратическое отклонение — это не только отличный способ сравнения вариации в наборах данных. Его также можно использовать как фактически единственное в своем роде средство определения некоторых распределений (см. главу 2, посвященную вероятности).

44

ГЛАВА 1

1.11. Упражнения: вариация 1. (Е) Найдите размах и межквартильный размах для каждого из приведен­ ных ниже наборов данных; (i) 10, 4, 7, 12, 3, 2, 15, 8, 9, 6, 7, 4, 10, 30, 9, 8, 13, 10, 16 (ii) 4, 20, 5, 28, 12, 7, 8, 3, 1, 10, 16, 19, 8, 5, 3, 22, 19, 12, 30 Прокомментируйте различия между этими двумя наборами данных на ос­ новании полученных показателей вариации. 2. (I) В таблице приведены данные по заработной плате 50 работников, занятых в компании «Рэндольф»: Недельная заработная плата (ф. ст.): 300- 400- 500- 600- 700Количество работников: 5 20 15 7 3 (i) Найдите медиану и межквартильный размах значений заработной пла­ ты в данной компании. (ii) Найдите медиану и межквартильный размах значений заработной пла­ ты в другой организации (компании «Шварцкопф») и сравните полученные результаты с (i): Недельная заработная плата (ф. ст.): 200- 300- 400- 500- 600- 700800Количество работников: 3 7 12 13 9 4 2 3. (D) Найдите медиану и среднеквадратическое отклонение для следую­ щих наборов данных: (i) Недельный объем производства на среднем сталеплавильном заводе за период в 50 недель: Объем производства (тыс. тонн): 20- 30- 40- 50- 6070Количество недель: 7 14 11 9 6 3 (ii) Месячный доход предприятия за последние 100 месяцев: Месячный доход (ЮОтыс. ф. ст.): 246810Количество месяцев: 19 35 26 14 6 (iii) Недельный объем продаж розничного магазина электроники за пери­ од в 80 недель: Недельный объем продаж (10 тыс. ф. ст.): 10- 1418- 22- 26- 3034Количество недель: 10 7 15 23 17 5 3 4. (D) Для проведения последующего анализа в конце каждой недели фик­ сировалась цена на акции на Лондонской фондовой бирже на момент закрытия торгов. В таблице приведено распределение цен на акции фармацевтической компании «Хартвудз» за два года: 1993 и 1995. Цена за акцию (ф. ст.)

1993 г.

1995 г.

8.00— 8.50— 9.00— 9.50— 10.00— 10.50— 11.00—

О 2 9 11 14 9 7

5 12 18 14 3 О О

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

45

Найдите соответствующие значения средних и вариации для приведенных наборов данных. Прокомментируйте различия в ценах. 5. (I) В таблице сравниваются объемы выпуска двух производственных ли­ ний по весу произведенных изделий. Контрольный вес изделия составляет 50 г, и обследование выборок из 100 изделий с каждой производственной линии дало следующие результаты. Производственная линия

Арифметическая средняя

Среднеквадратическое отклонение

А Б

5М 50^0

02 1J

Прокомментируйте различия в полученных результатах. Вы согласны, что линия Б «лучше», чем линия А? 1.12. Другие методы анализа данных В предьщущих разделах мы рассмотрели некоторые приемы анализа данных. Однако, существуют и другие показатели, которые иногда используются при анализе хозяйственной деятельности. В данном разделе мы вкратце остановимся на них. 1.12.1. Дисперсия Иногда значение дисперсии приводится как мера вариации вместо среднеквадратического отклонения. Это значение — просто квадрат среднеквадратического отклонения. Так, его можно получить по следующей формуле: Дисперсия — Y f

v-"^) •

Дисперсию можно использовать при проведении сложного анализа при объединении различных наборов данных. Значения дисперсии могут быть объе­ динены напрямую, а значения среднеквадратического отклонения — нет. Однако достоинство среднеквадратического отклонения состоит в том, что оно дается в единицах измерения анализируемой переменной, например в ф. ст., если мы рассматриваем доход или заработную плату. Обычно, в большинстве случаев, предпочтение отдается среднеквадратическому отклонению. Т Определение. Дисперсия — это мера вариации, получаемая путем возвед ния в квадрат среднеквадратического отклонения. • 1.12.2. Коэффициент вариации При рассмотрении различных распределений с существенно отличными значениями арифметической средней для проведения более реалистичного сравнения применяется коэффициент вариации. Например, распределение с большим значением арифметической средней, вероятно, даст большую ва­ риацию. То есть, базовое сравнение вариации с помощью среднеквадрати­ ческого отклонения или квартилей может и не дать какой-либо дополни­ тельной информации. Коэффициент вариации позволяет сравнить вариацию

46

ГЛАВА 1

относительно величины рассматриваемых данных. Значение получается сле­ дующим образом: , , Коэффициент вариации =

Среднеквадратическое отклонение Среднее арифметическое

,„„ " ^^^-

Т Определение. Коэффициент вариации — это особый показатель вариации, получаемый путем соотношения среднеквадратического отклонения и арифмети­ ческой средней и выражаемый в процентах. • Полученное значение дает среднеквадратическое отклонение в процентах от арифметической средней. Например, рассмотрим следующие наборы данных: Значение данных

Среднее арифметическое

Среднеквадратическое отклонение

А Б

200 300

50 60

Таблица показывает, что среднее значение Б больше среднего значения А. Кроме того, разброс данных Б больше, чем разброс данных А. Однако когда мы рассчитаем коэффициент вариации для каждого набора данных, нам предста­ нет иная картина: Да1шые А: коэффициент вариации = 50/200 х 100 = 25%. Данные Б: коэффициент вариации = 60/300 х 100 = 20%. Анализ показывает, что при соотнесении со средними значениями вариа­ ция в Б меньше, чем в А. Следует отметить, что в отличие от других значений, представленных в данном разделе, коэффициент вариации не является «овеществленной» мерой разброса. Например, при рассмотрении заработной платы большинство показа­ телей выражены в используемой денежной единице, скажем, в фунтах стерлин­ гов. В противоположность этому коэффициент вариации не зависит от исполь­ зуемой единицы измерения. 1.12.3. Персентиль* Ранее мы рассмотрели вычисление квартилей для набора данных. На прак­ тике M0I7T быть указаны и значения персентилей. В этом случае исходные дан­ ные разбиваются на 1/100. Таким образом, 10-й персентиль ~ это значение, находящееся на расстоянии 10% от начала набора данных. Например, если 10-й персентиль в распределении значений недельной заработной платы составляет 300 ф. ст., то это означает, что 10% работников получают меньше 300 ф. ст., а 90% — больше. Персентили могут быть получены с помощью кривой, как это показано на следующем примере. Рассмотрим распределение значений заработной платы в крупной органи­ зации: Недельная заработная плата (ф. ст.): 200- 300- 400- 500- 600- 700- 800- 900% работников: 5 20 30 19 14 7 4 1 * Персентиль — одна сотая часть числа, т.е. 1%; десиль — одна десятая часть числа, т.е. 10%; квинтиль — одна пятая часть числа, т.е. 20%; квартиль — одна четвертая часть числа, т.е. 25%. (Примеч. науч. ред.)

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

47

На рис. 1.24 вы видите кривую и порядок определения с помощью фафика 20-го и 80-го персентилей. Получены следующие значения: 20-й персентиль = 375 ф. ст., 80-й персентиль = 645 ф. ст. Таким образом, только 20% работников получают меньше 375 ф. ст., а 20% работников получают свыше 645 ф. ст. Такие значения можно использовать для обобщения и сравнительного анализа наборов данных. 100

**

*1

X Я t-

I

ш

If •

о

•80

ас о;

а ее га X

а га

60

40

>. ,20 О ^

1

_„.--^ 1 п ШГ I I I 200 300 400 , / 20-й персентиль

1

500

1

I

600 \700

1

800

1

900

1

1000

80-й персентиль

Рис. 1.24. Определение персентилей

1.12.4. Показатель асимметрии Как уже говорилось ранее, значения различных типов «средних» могут .меняться в зависимости от формы распределения. На рис. 1.18 приведены три типичных распределения. Когда данные сим­ метричны, тогда значения арифметической средней, медианы и моды совпада­ ют. Напротив, когда распределение положительно асимметрично, т. е. шлейф длиннее в правой части распределения, тогда арифметическая средняя является наибольшим значением, а мода — наименьшим. То же самое относится и к отрицательно асимметричному распределению, когда шлейф длиннее в левой части шкалы. Все это подводит к способу измерения формы (или асимметрии) данных. Нижеприведенные значения дают два сходных показателя асимметрии: Асимметрия или

Мода _ Средняя арифметическая Среднеквадратическое отклонение

3 X (Средняя арифметическая — Медиана) Среднеквадратическое отклонение

Данное значение равно нулю для симметричного распределения. Далее, эти значения положительны для положительно асимметричного распределения и отрицательны для отрицательно асимметричного распределения.

48

ГЛАВА 1

• Определение. Асимметрия — это показатель формы (степени симметр распределения. • 1.13. Краткое содержание главы Точное и эффективное использование данных ифает важную роль в жизни современных предприятий и их руководителей. Правильно отобранные и про­ анализированные первичные данные лежат в основе принятия управленческих решений и таким образом способствуют повышению качества работы и конку­ рентоспособности организации. В настоящей главе мы рассмотрели ряд методов анализа данных, в том числе сведение первичных данных в таблицы и графи­ ческое представление информации. Данные, собранные в ходе обследований, анкетирования, опросов, наблюдения или из печатных источников, могут ана­ лизироваться многими способами. К методам первичного анализа данных отно­ сится составление таблиц частот на основе исходных данных, а также соответ­ ствующих фафиков, таких как гистофаммы, столбиковые диафаммы, линей­ ные фафики или секторные диафаммы. Часто такого рода базовый анализ данных обеспечивает достаточное коли­ чество информации для составления внутренних циркуляров, хозяйственных отчетов и открытых материалов. Однако для последующего анализа собранных данных, если в таковом будет необходимость, потребуются методы сводной статистики. К двум наиболее важным методам обобщения данных относится расчет средней и меры вариации. Средние можно рассчитывать по-разному, но наиболее часто используются значения арифметической средней, медианы и моды. Аналогично, имеется несколько показателей вариации, которые можно использовать. Сюда относятся такие два значимых показателя, как значения среднеквадратического отклонения и квартилей. Средние дают срединное значение собранных данных и дают представле­ ние о наиболее «типичном» значении в фуппе данных. Как таковые, их можно использовать при сравнении и сопоставлении наборов данных, например сред­ ней заработной платы, объема производства, объема продаж и доходов. Необ­ ходимо сравнивать только однородные показатели. Например, будет неправиль­ но сравнивать заработную плату, рассчитанную по медиане, в одной компании со средним арифметическим значением заработной платы в другой компании. Такое сравнение сомнительно и абсолютно бесполезно. Таким образом, важно, чтобы при рассмотрении таких показателей пользователь совершенно точно знал, по какой методике получены анализируемые данные. Отчет, просто кон­ статирующий, что средняя заработная плата составляет 450 ф. ст., без ссылки на примененную методику может привести к искажениям и субъективизму. Показатели вариации, такие как среднеквадратическое отклонение и межквартильный размах, можно использовать при сравнении наборов данных с точки зрения «вариации» или «дисперсии» значений. Эти показатели придают дополнительный вес сравнительному анализу данных и могут оказаться осно­ вой при распознавании распределений со сходными средними. 1.14. Дополнительные упражнения 1. (Е) Постройте соответствующие фафики на основе следующих наборов данных: (i) В ходе исследования способа передвижения работников к месту работы были получены следующие результаты:

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

49

Способ

передвижения

Автомобиль

Поезд

78

12

Количество работников

Автобус Мотоцикл Пешком Другой 22

8

30

10

(и) Покажите разбивку общих расходов кр упной окружной больницы по статьям расходов Статья расходов Персонал Оборудование Здания Услуги % от общих расходов 40 25 20 15 (пО Месячный доход среднего магазина электроники за последние 36 месяцев Доход (10 тыс ф ст) 40- 50- 60- 7080Количесгво месяцев 3 7 14 8 4 (iv) Сравните данные объема продаж трех компании за последние четыре года 1995

1996

1997

1998

30 18 24

25 22 26

26 28 19

32 33 14

Преднр А Предпр Б Предпр В

2 (I) В таблице приведены данные по количеству работников, опоздавших на работу за последние пятьдесят дней (Фиксировались только опоздания свы­ ше пяти минут )

15 12 20 11 5

22 18 9 4 24

8 7 0 10 9

26 2 12 19 15

10 12 16 6 11

6 15 10 3 13

1 7 20 8 16

16 23 11 14 11

10 13 7 28 8

17 3 9 14 14

(О Составьте на основании этих данных таблицу частот и вычертите гистофамму (и) Из данных полученной таблицы рассчитайте значения средней ариф­ метической и среднеквадратического отклонения (ill) Сравните полученные значения с данными по второй компании, где за аналогичный период средняя арифметическая равна 18 опоздавшим, а среднеквадратическое отклонение — 3 5 опоздавшим 3 (I) Найдите среднюю арифметическую, медиану и моду по следующим данным (i) Распределение возрастов выборки из 40 работников Возрастной диапазон (лет) 20— 30— 40— 50— 60— Котичесгво работников 6 15 10 7 2 (и) Процент брака в 30 выборках, произведенных на линии Процент брака Количество выборок

О— 2

2— 5

4— 9

6— 8

8— 5

10— 1

(ш) Почасовая ставка всех работников (за исключением управленческого персонала) в крупной компании обрабатывающей отрасли промышленности

50

ГЛАВА 1

Почасовая ставка (ф. ст.): Процеит персонала:

3.00- 4 . 0 0 - 5.00- 6.00- 7.00- 8.00- 9.0020

34

30

10

4

1

1

4. (I) Найдите медиану и межквартильный размах с целью сравнения сле­ дующих данных: Недельная заработная плата (ф. ст.): 200- 300- 400- 500- 600- 700- 800-900Количество работников: Пред пр. А: 25 38 23 14 0 0 0 0 18 24 10 3 1 Предпр. Б: 22 17 5 Прокомментируйте различия в уровне заработной платы в двух компаниях. 5. (D) Рассчитайте среднюю арифметическую и среднеквадратическое от­ клонение на основании следующих наборов данных: (i) Цена акций «Йеллоу Трэм Ко» при закрытии торгов на Нью-Йоркской фондовой бирже за период в 20 дней: Максимальная цена за акцию (ф. ст.): Количество дней:

5.00- 5.20- 5.40- 5.60- 5.80- 6.002 3 7 4 3 1

(ii) Диаметр выборки из 80 шайб, применяемых в мостостроительстве: Размеры (мм): 20- 22- 2426- 28Количество изделий: 16 26 18 12 8 (iii) Расстояния, зафиксированные группой торговых представителей за одну неделю в июне 1996 г.: Расстояние (миль): 200- 300- 400- 500- 600- 700Количество представителей: 3 4 10 3 4 2 6. (I) На основании данных таблицы прокомментируйте различия в ценах акций двух компаний. (Цифры приведены в ф. ст., а цены даны на момент закрытия торгов за последние 60 дней). Компания Средняя арифметическая Среднеквадратическое отклонение

Хоупс Лтд.

Шварц Ко

4.00 1.50

4.40 0.60

Можно ли сказать, что цены на акции «Хоупс Лтд» более неустойчивы, чем цены на акции «Шварц Ко»? 7. (I) В таблице приведен анализ деятельности трех производственных кол­ лективов в том, что касается дневной выработки за прошедший год. (Цифры даны в тыс. единиц в день).

Медиана Межквартильный размах

Производственный коллектив А Б В 18 16 19 2 5 10

СВОДНАЯ СТАТИСТИКА

51

8. (I) Выстройте гистограммы на основании следующих наборов данных: (i) Недельная заработная плата произвольной выборки работников: Недельная заработная плата (ф. ст.): 200- 250- 300- 350- 400- 450- 500Количество работников: 4 14 20 17 11 7 3 (ii) Количество сверхурочных часов, отработанных фуппой работников за неделю: Количество сверхурочных: О— 2— 4— 6— 8— 10— Количество работников: 2 6 13 15 8 5 (iii) Количество работников, опоздавших на работу за период в 65 дней: Количество опоздавших работников: 0 Количество дней: 25 9. (I) (i) С помощью сложной производства пяти предприятий за Компания А Б В Г Д

1 2 3 4 5 6 7 13 7 9 5 2 3 1 столбиковой диафаммы покажите объемы трехлетний период: Объем производства (млн. ф. ст.

996 г.

1997 г.

1998 г.

20 15 7 30 16

26 19 12 26 13

32 14 22 19 17

(ii) Не лучше ли в данном случае использовать наслоенную столбиковую диафамму? Постройте и этот вариант графика и прокомментируйте различия между этими способами отображения информации. 10. (D) Последнее обследование предпочтений телезрителей дало следую­ щие результаты по возрастным фуппам аудитории двух известных сериалов, показанггых на американском телевидении в 1996 г. (Цифры приведены как процент данной возрастной категории от общего количества зрителей.): Возраст (лет): Профамма А: Программа Б:

10- 20- 30- 40- 50- 60- 70- 80- 900 34 23 5 1 2 7 19 9 34 0 0 0 13 40 12 1 0

Найдите среднюю арифметическую и среднеквадратическое отклонение возраста зрителей этих двух профамм. Прокомментируйте различия в возрасте между двумя фуппами и по возможности объясните их.

Глава 2

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

СОДЕРЖАНИЕ > > > > > > > > > > > > >

ГЛАВЫ

Основы оценки вероятности Комбинация событий Дерево вероятностей Анализ решения Ожидаемые значения Дерево решений Биноминальное распределение Распределение Пуассона Непрерывное распределение вероятностей HopMajibHoe распределение Доверительные пределы Значимость и выборка Проверка гипотезы

ЦЕЛИ: > довести содержание и объяснить использование основных правил опре­ деления вероятности > научить методикам анализа, например, использованию дерева решений при принятии хозяйственных решений > научить вычислению вероятностей с помощью дискретного и непрерыв­ ного распределения > научить применению доверительных пределов при определении значи­ мости > научить применению критериев проверки гипотезы на основании значе­ ний средней

Введение Изучение вероятности может помочь руководителю в принятии решений по широкому кругу вопросов. Во многих случаях при решении хозяйственных проблем присутствует элемент неопределенности. Например, будут ли клиенты

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

53

покупать новую группу товаров'' Будут ли наши конкуренты подгонять цены под нас'' Приведет ли наша рекламная кампания к увеличению объема продаж? Примут ли сотрудники предложенную систему вознаграждения'' Сможет ли наша учебная программа привести к повышению производительности'' Вот такое множество проблем, требуюших принятия управленческих решений, несут в себе неопределенности такого рода. Изучение вероятности затрагивает неопре­ деленность и имеет целью определить объективные измерители для ряда потен­ циальных событий Так, в таких специфических областях, как управление рис­ ками и обеспечение гарантии качества, применяются разнообразные методы оценки вероятности Знание правил оценки вероятности может помочь руководителю при оцен­ ке возможности наступления отдельных событий и повысить качество прини­ маемых решений Оценка вероятности также поможет руководителю уяснить практические возможности выборочных исследований Необходимо понять со­ отношение результатов, полученных при выборке, и фактических характерис­ тик совокупности Например, в ходе маркетингового исследования было уста­ новлено, чго 20% выборки из 50 потенциальных клиентов предпочитают марку X С тем чтобы принять осознанное решение по потенциалу данной марки, необходимо уяснить, насколько полученные выводы распространяются на всю совокупность потребителей Например, означает ли это, что 20% всех потребителей предпочтут марку X'' Насколько вероятно, что фактический процент составляет менее 10%'' Эти вопросы подразумевают знание основ распределения вероятностей, о чем и пойдет речь в данной главе Конкретный пример

Корпорация «Даунбрукс»

«Даунбрукс» — кондитерская фабрика, расположенная в Манчестере (Ан­ глия) Компания производит ряд шоколадных изделий, в том числе популярные батончики «Биг-Байт» и шоколадные трюфеля «Труфл». Компания основана в 1876 г и с тех пор ни разу не закрывалась. Компания насчитывает свыше 300 сотрудников, занятых непосредственно на производстве в Манчестере, и еще 60 человек административно-управленческого аппарата головной конторы, рас­ положенной в 3 милях от фабрики. Компания осушествляет сбыт ряду предпри­ ятий оптовой торговли, а также напрямую в крупные сети розничных магази­ нов В 1985 г «Даунбрукс» открыла свой первый розничный магазин в Манчес­ тере, в котором реализует только изделия собственного производства, в том числе «домашние» сладости. С тех пор компания открыла еше пятнадцать мага­ зинов во всех уголках Великобритании, в том числе в Ливерпуле, Бристоле, Эдинбурге и Кантербери Компания использует различные методы принятия решений с учетом ве­ роятности в таких областях деятельности, как разработка товара, маркетинг и контроль качества Например, компания должна оценить успешность нового товара и на основании этого принять решения, связанные с текущими и пер­ спективными производственными планами. Далее, тщательно отслеживается качество товаров В частности, по товарам массового производства, например батончиком «Биг-Байт», регулярно проводятся выборочные проверки Доля выбраковки по этим выборкам указывает на вероятное количество брака во всей партии Определение цены на товары и выставление гарантий качества при

54

ГЛАВА 2

зак^чючении договоров поставки частично основываются на этих вероятностных показателях. Далее в этой главе мы на конкретных примерах рассмотрим мето­ ды, используемые «Даунбрукс». Конкретный пример

Клиника Св. Иосифа

Клиника Св. Иосифа находится в Нью-Йорке и насчитывает свыше 1400 человек лечебно-медицинского персонала. Клиника рассчитана на 2000 пациен­ тов. В состав клиники входит научно-исследовательский отдел при городском Центре медицинской подготовки. В клинике имеется 1000 палат на 1 пациента, а также свыше 600 многоместных палат (в основном на 2 или 4 койки). Кроме того, клиника располагает работающим круглосуточно, без выходных и празд­ ничных дней, отделением скорой помощи. В последнее время руководство клиники прибегает к найму внешних кон­ сультантов, в задачу которых входит изучение различных проблем, в том числе связанных с комплектованием, уходом за больными, а также резким ростом в последнее время расходов на медицинское обслуживание и, соответственно, платы за лечение. Как и многие другие больницы Нью-Йорка, клиника Св. Иосифа сталкивается с одной специфической проблемой: в настоящее время загруженность коечного фонда составляет приблизительно 80%. То есть в сред­ нем 20% коек ежедневно не заняты. Несмотря на это, отмечены случаи, когда из-за повышенного притока пациентов, особенно из районов бедствия, коеч­ ного фонда не хватало. Это приводило к тому, что тяжелых пациентов прихо­ дилось в срочном порядке направлять для лечения в другие больницы. Руковод­ ство рассматривает данную проблему как одну из приоритетных и поставило задачу изучить поступления больных и вероятность отсутствия мест на момент их поступления. Применение вероятности при изучении зафуженности коечно­ го фонда и общих вопросов спроса и предложения будет рассмотрено на при­ мерах, приведенных в данной главе.

2.1. Основы оценки вероятности Вероятность наступления события можно описать как возможность, выра­ женную числовым значением. Оно может быть представлено либо в процентах (от О до 100%), либо фактическим значением (от О до 1). Например, в ходе последнего обследования настроений служащих компании «Даунбрукс» было установлено, что 30 из 50 обследованных работников удовлетворены организа­ ционными изменениями, внедренными в 1996 г. Т Определение. Вероятность события выражается как значение в промежут­ ке от О до I. Вероятность, равная О, указывает на невозможность наступления события, а вероятность, равная 1, показывает, что событие обязательно наступит. А С точки зрения вероятности полученную информацию можно представить следуюши.м образом: при выборочном обследовании процент удовлетворенных работников составил 30/50 х 100 = 60. Таким образом, мы можем сказать, что имеется 60%-ная вероятность того, что работник выразит удовлетворение. Или вероятность того, что работник удов-

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

55

летворен, составляет 30/50 = 0.6. В общем виде основной метод расчета вероят­ ности наступления события описан следующей формулой: Количество вариантов возможного D Iнаступления события Вероятность события = -т^ . Общее количество возможных исходов Это можно записать в более общем виде. Вероятность наступления события X определяется как Количество вариантов возможного наступления X (со ытие ) — Общее количество возможных исходов Таким образом, в отнощении предьщущего случая вероятность того, что работник удовлетворен, равна Количество удовлетворенных работников рт^ •= Общее количество работников

_ тг, ,СА _ п г — зи/эи — и.о. '

Аналогично, рассмотрим другую проблему, связанную с компанией «Даунбрукс». Например, при выборочном обследовании 140 покупателей в магази­ не в Кантербери 35 покупателей сказали, что предпочитают батончики «ВигБайт» трюфелям «Труфл». С точки зрения вероятности данную информапию можно представить следующим образом: Вероятность того, что покупатель предпочитает «Биг-Байт» = _ Количество покупателей, заявивших о своем предпочтении «Виг-Байт» _ Общее количество опрошенных покупателей = 35/140 = 0.25

Или в процентах: 0.25 х 100 = 25%. Понимание основ оценки вероятности может оказать руководителю по­ мощь при принятии решений на основе простых данных. Например, начальник отдела кадров компании «Даунбрукс» может проявить интерес к информации относительно удовлетворенности работников новой организации. Выборочное обследование 50 человек, которое мы уже обсуждали, показало, что только 60% работников удовлетворены. Это может подвести руководителя к пересмотру структуры и внесению в нее дополнительных изменений, или же заставить его улучшить систему доведения информации с тем, чтобы работники лучше поня­ ли преимущества уже проведенных изменений. Ана.,'1огично, начальник отдела сбыта может заинтересоваться популярно­ стью альтернативных товаров. Вероятность того, что покупатели предпочтут «БигБайт», равная 0.25 (т. е. 25%), может подвести к методу оценки возможных объемов продаж указанных товаров. Такие оценки базисной вероятности будут применяться и далее в тексте при анализе различных хозяйственных задач.

2.2. Комбинация событий Часто вычисление вероятностей связано с рассмотрением ряда различных событий. Соотношение между этими события.ми оказывает влияние на оценку соответствующих вероятностей. В частности, необходимо уяснить следующие понятия Дополняющие друг друга события. Два события называются дополняющими друг друга, если они вместе охватывают весь диапазон вероятностей. Например,

56

ГЛАВА 2

дополняющими друг друга событиями при исследовании настроений работни­ ков являются «удовлетворенность изменениями» и «неудовлетворенность изме­ нениями». Будет обязательным тот или иной результат, при условии, что работ­ никам не предлагаются другие варианты ответов. Рассмотрим простой вопрос, гребующий при исследовании ответов «Да» или «Нет». Эти ответы дополняют друг друга, при условии что отсутствуют другие варианты ответа, например «Не знаю». Взаимоисключающие события. Два события являются взаимоисключающи­ ми, если отсутствует возможность их одновременного наступления. Например, возьмем исследование предпочтений покупателей. Имеются два взаимоисклю­ чающих события: во-первых, «предпочтение батончиков «Биг-Байт» и, во-вто­ рых, «предпочтение трюфелей «Труфл». Они взаимно исключают друг друга, так как покупатели не могут одновременно предпочесть и то и другое. Они вынуждены выбрать что-нибудь одно из предложенного. Аналогично, понятия «удовлетворенность» и «неудовлетворенность» работников по поводу измене­ ний в организационной структуре также взаимно исключают друг друга. Работ­ ники не могут быть одновременно и удовлетворены, и не удовлетворены. Независимые друг от друга события. Два события не зависят друг от друга, если каждое из них полностью не зависит от факта наступления другого. Так, если происходит одно из событий, то это не меняет вероятность наступления другого. Например, рассмотрим следующую ситуацию: первое событие заклю­ чается в выражении работником удовлетворенности, а второе — в отдании покупателем предпочтения батончикам «Биг-Байт». Эти два события не связаны друг с другом, и вероятность наступления одного из них не влияет на вероят­ ность наступления второго. Таким образом, речь идет о независимых друг от друга событиях. Знание соотношения между событиями позволяет нам определить вероят­ ность комбинации событий. Вероятность наступления нескольких событий оп­ ределяется с помощью формул, которые мы рассмотрим ниже. 2 . 2 . 1 . Правило сложения Если два события {X и Y) взаимно исключают друг друга, тогда вероят­ ность наступления того или другого определяется путем сложения индивиду­ альных значений вероятности. То есть В (событие А'или событие У) = В (собы­ тие X) + В (событие Y) или, в упрощенном виде: В (А'или Y) = В {X) + B{Y). • Определение. Вероятность наступления события X или Y рассчитывается как В (X U.7U Y) = В(Х) + B(Y), при условии, что события X и Y взаимно иск,7ючают друг друга. •

Пример 1 Если 25% покупателей предпочитают батончики «Биг-Байт», а 50% — «Труфл», тогда вероятность того, что покупатель предпочтет «Биг-Байт» или «Труфл», рассчитывается следующим образом. ' Имеем: В («Биг-Байт») = 25% = 0.25.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

57

Аналогично: В («Труфл») = 50% = 0.50. Следовательно, так как эти события взаимно исключают друг друга, то: В («Биг-Байт» или «Труфл») = В («Виг-Байт») + В («Труфл») = 0.25 + 0.5 = 0.75 (или 75%). Пример 2 При выборочной проверке качества 200 «домашних» кондитерских изделий компании «Даунбрукс» получены следуюшие результаты: Качество: Количество изделий:

Высшее 140

Приемлемое 40

Брак 20

То есть, согласно этой выборке: В (Высшее) = 140/200 = 0.7. Аналогично, В (Приемлемое) = 40/200 = 0.2 и В (Брак) = 20/200 = 0.1. Все три категории качества взаимно исключают друг друга. Таким образом, чтобы, например, рассчитать вероятность получения изделий высшего и при­ емлемого качества, необходимо: В (Высшее или Приемлемое) = В (Высшее) + В (Приемлемое) = 0.7 + 0.2 = 0.9 (или 90%). Пример 3 Предыдуший пример можно применить к и^тлюстрации дополняющих друг друга событий. Например, рассмотрим вероятность «получения брака» или «непо­ лучения брака». Эти два события дополняют друг друга, так как одно или другое событие должно наступить. Кроме того, они взаимно исключают друг друга, так как не могут наступить одновременно: ведь невозможно одновременно получить изделие, которое и было бы бракованным и не было им! Таким образом, совокуп­ ная вероятность того, что получится брак и не получится брак, должна равняться 1 (100%). Это можно записать в следующем виде: В (Брак или Не брак) = В (Брак) + В (Не брак) = 1. Следовательно, путем трансформации получаем: В (Не брак) = 1 - В (Брак). Возьмем значения из предыдущего примера: В (Брак) = 0.1. Следователь­ но, В (Не брак) = 1 — 0.1 = 0 . 9 (или 90%). Данный пример иллюстрирует другое правило, которое в общем виде можно записать следующим образом: В (ие X) = \ -

Р (Х).

То есть, если, например, вероятность получения изделий высшего каче­ ства равна 0.7, тогда вероятность получения изделий не высшего качества равна 1 - 0.7 = 0.3 (или 30%). 2.2.2. Правило умножения Если два события не зависят друг от друга, тогда вероятность наступления обоих событий рассчитывается путем перемножения индивидуальных значений вероятности. То есть:

58

ГЛАВА 2

В (событие X и событие К) = В (событие X) х В (событие Y). Или, Б упрощенном виде: В {X и Y) = В (Х) X В (К) Т Определение: Для двух событий X и Y вероятность наступления и X и Y рассчитывается как В (X и Y) = В (X) х В (Y), при условии, что события X и Y не зависят друг от друга. •

Пример 1

Нам уже известно, что 25% покупателей предпочитают «Биг-Байт», а 60% работников удовлетворены новой организационной структурой. Данную инфор­ мацию можно обобщить следующим образом: В (предпочтение «Биг-Байта») = 0.25; В (удовлетворенный работник) = 0.6. Так как эти два события не зависят друг от друга, то вероятность наступ­ ления обоих рассчитывается следующим образом: В (предпочтение «Биг-Байта» и удовлетворенный работник) = В (предпоч­ тение «Биг-Байта») х В (удовлетворенный работник) = 0.25 х 0.6 = 0.15 (или 15%).

Пример 2

В компании «Даунбрукс» из общего числа работников 70% составляют мужчины, а 30% — женщины. Как уже отмечалось, 60% работников выразили удовлетворение по поводу организационных изменений. Сделав допущение, что между полом и настроениями нет взаимосвязи, вероятность того, что произ­ вольно выбранный работник окажется мужчиной, не довольным изменениями, мы рассчитываем следующим образом: В (неудовлетворенный работник) = 1 — В (удовлетворенный работник) = 1 - 0.6 = 0.4. А также: В (работник мужского пола) = 0.7 (70%). Таким образом, В (Неудовлетворенный и Мужчина) = В (Неудовлетворен­ ный) X В (Мужчина) = 0.4 х 0.7 = 0.28 (или 28%).

Пример 3

В головную контору компании «Даунбрукс» регулярно поступают заказы на кондитерские изделия. Установлено, что за прошлый год 24% заказов пришлось на батончики «Биг-Байт» и что 30% заказов по стоимости превышали 5000 ф. ст. Очевидно, что взаимосвязи между стоимостью заказов и наличием в них батон­ чиков «Биг-Байт» нет. Чтобы оценить вероятность того, что следующий заказ будет вк^тючать батончики «Биг-Байт» и его стоимость превысит 5000 ф. ст., мы применим правило умножения, как это показано ниже.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

59

Мы знаем, что В (Заказ на «Биг-Байт») = 0.24 (или 24%). А также: В (Заказ стоимостью свыше 5000 ф. ст.) = 0.3 = (или 30%). Таким образом, В (Заказ на «Биг-Байт» и стоимостью свыше 5000 ф. ст.) = В («Биг-Байт») X В (Свыше 5000 ф. ст.) = 0.24 х 0.3 = 0.072 (или 7.2%). 2.2.3. Сложные события Во многих примерах необходимо использовать комбинацию правил умно­ жения и сложения, которые мы описали в предыдущем разделе. Рассмотрим такие простейшие примеры. Пример 1 Рассмотрим заказы, поступающие в «Даунбрукс»: 24% заказов включают батончики «Биг-Байт» и 20% заказов включают «Труфл». Приняв допущение, что между этими-изделиями нет взаимосвязи, давайте оценим вероятность того, что заказ будет содержать только одно наименование, а не оба. Другими слова­ ми, мы хотим оценить вероятность того, что заказ будет содержать «Биг-Байт», а не «Труфл», или же «Труфл», а не «Биг-Байт». Вероятность того, что заказ будет содержать только одно из наименований (а не оба), рассчитывается следующим образом: В (включено только одно наименование) = В («Биг-Байт» и не «Труфл» или не «Биг-Байт» и «Труфл»). Согласно правилам, когда в сочетании событий есть союз «и», мы пе­ ремножаем значения вероятности (подразумевая, что они не зависят друг от друга); и когда в сочетании событий есть союз «или», мы складываем зна­ чения вероятности (при условии, что события взаимно исключают друг друга). Таким образом, В (только одно наименование) = В («Биг-Байт») х В (не «Труфл») + В (не «Биг-Байт») х В («Труфл») = 0.24 х 0.8 + 0.76 х 0.2 = 0.192 + + 0.152 = 0.344 (или 34,4%). Итак, свыше трети заказов, вероятно, будут содержать только одно из этих изделий.

Пример 2 Компания «Даунбрукс» использует различные методы оценки при подборе новых руководящих работников, в том числе тесты на математическую фамотность и логику речи. По прошлому опыту известно, что 60% кандидатов прохо­ дят тест на математическую грамотность и 80% кандидатов — тест на логику речи. Приняв допущение, что прохождение одного теста не влияет на результат прохождения второго теста, мы можем найти вероятность получения произ­ вольно выбранным кандидатом различных результатов. Например, давайте рас­ смотрим вероятность того, что такой кандидат: а) пройдет оба теста; б) прой­ дет только один тест; или в) не пройдет оба теста. Мы имеем значения вероятности успеха при прохождении отдельных тес­ тов: В (сдал Математику) = 0.6, В (сдал Логику) = 0.8.

60

ГЛАВА 2

Таким образом, В (провалил Математику) = 0.4 и 5 (провалил Логику) = 0.2. а) В (прохождение обоих тестов) = В (сдал Математику и сдал Логику) = В (сдал Математику) х В (сдал Логику) (поскольку эти два теста не зависят дру1 от друга) = 0.6 X 0.8 = 0.48 (или 48%). Следовательно, 48% кандидатов, вероятно, пройдут оба теста. б) В (прохождение только одного теста) = В (сдал Математику и провалил Логику или провалил Математику и сдал Логику) = В (сдал Математику) х X В (провалил Логику) + В (провалил Математику) х В (сдал Логику) = 0.6 х X 0.2 + 0.4 X 0.8 = 0.12 + 0.32 = 0.44 (или 44%). Следовательно, 44% кандидатов, вероятно, пройдут только один из тестов. в) В (непрохождение обоих тестов) = В (провалил Математику и провалил Логику) = В (провалил Математику) х В (провалил Логику) = 0.4 х 0.2 = 0.08 (или 8%). Следовательно, только 8% кандидатов не пройдут оба теста. Примечание. Три рассмотренные здесь вероятности являются единственно возможными. Кандидат должен пройти оба, пройти один или провалить оба теста. Других вариантов нет. Это видно, если взглянуть на полученные значения. Их сумма равна 0.48 + 0.44 + 0.08 = 1 (100%).

2.3. Упражнения: базисная вероятность 1. (Е) По прошлым результатам известно, что около 20% изделий, произ­ веденных на данной линии, имеют дефекты. Если из производимых здесь изде­ лий произвольно выбрать два, то какова будет вероятность, что: а) оба не имеют дефектов; б) оба имеют дефекты; в) только одно имеет дефекты. 2. (Е) 30% управленцев-стажеров в клинике Св. Иосифа не прошли двух­ годичного обучения. Если два стажера приступят к обучению в один и тот же день, то какова вероятность, что: а) оба стажера закончат курс обучения; б) только один стажер закончит курс обучения. 3. (1) Установлено, что 55% пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клиники Св. Иосифа, являются лицами мужского пола. Более того, 10% от числа поступивших нуждаются в повторном обращении. (i) Найдите вероятность того, что следующий поступивший в отделение пациент: а) окажется женщиной; б) не потребует дальнейшего лечения; в) окажется мужчиной и не потребует дальнейшего лечения; г) окажется женщиной и не потребует дальнейшего лечения. (ii) Имеются два произвольно выбранных пациента из числа поступивших в определенный день. Оцените вероятность того, что: а) они оба мужчины; б) они оба требуют дополнительного лечения; в) только один пациент требует дополнительного лечения; г) первый пациент требует лечения, а второй является женщиной; д) только один пациент — женщина.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

61

2.4. Дерево вероятностей Использование деревьев вероятностей может упростить определение слож­ ных вероятностей, связанных с несколькими взаимозависимыми событиями. Дерево вероятностей представляет собой фафическое отображение затронутых вероятностей. Далее на примерах мы продемонстрируем применение данного подхода.

Пример 1

Рассмотрим пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клини­ ки Св. Иосифа. Установлено, что 80% пациентов отправляются домой в течение первых нескольких часов после медицинского обследования и оказания неболь­ шой помощи. Остальные 20% помещаются в один из корпусов (А и Б). 60% пациентов попадают в корпус А и 40% — в корпус Б. Ежедневно в корпусах проводят обходы два консультанта — г-н Хале и г-жа Элдер. Г-н Хале осмат­ ривает 70% пациентов корпуса А и только 10% пациентов корпуса Б. Г-жа Элдер консультирует всех остальных пациентов. Какова вероятность того, что пациент, поступивщий в отделение скорой помощи, окажется под присмотром г-на Халса? Эта сложная ситуация может быть отображена с помощью дерева вероятностей, показанного на рис. 2.1. Верщина дерева показывает прибытие пациента. Далее пациента либо отправляют домой, либо кладут в стационар, что показано двумя ветвями. Затем пациент поступает в один из корпусов, что видно на рисунке, где его и осматривает один из консультантов. Вероятности каждого события приведены на дереве вероятностей. Индивидуальные вероят­ ности можно перемножить, с тем чтобы получить вероятность попадания в крайнюю конечную точку любой из ветвей. Прибытие пациента

Принят в стационар 0.2

Корпус Б 0.4

Г-жа Элдер 0.9

Рис. 2 . 1 . Дерево вероятностей Например, вероятность того, что пациент будет направлен в корпус Б и окажется под присмотром г-жи Элдер, рассчитывается путем перемножения всех вероятностей данного направления дерева. Т. е. вероятность этого равна

62

ГЛАВА 2

0.2 X 0.4 X 0.9 = 0.072 (или 7.2%). Аналогично, вероятность того, что пациент, посгупивший в отделение скорой помощи, окажется под присмотром г-на Халса, определяется путем сложения вероятностей соответствующих ветвей дерева. В данном примере имеются две ветви, ведущие к г-ну Халсу. Таким образом, данная вероятность равна: (0.2 х 0.6 х 0.7) + (0.2 х 0.4 х 0.1) = 0.084 + 0.008 = = О 092. Таким образом, 9.2% пациентов, поступающих в отделение, в конце концов встретятся с г-ном Халса. Оставляем вам возможность провести расчет вероятности того, что пациент поступит ко второму консультан­ ту, г-же Элдер.

2.5. Анализ решений Анализ решений включает использование различных приемов, помога­ ющих руководителю выбрать наиболее приемлемые решения в данных об­ стоятельствах. Как уже отмечалось во введении к данной главе, приемы оценки вероятности могут использоваться руководителем при принятии ре­ шений. Имеется ряд практических приемов принятия решений, в которых задействованы вероятностные подходы. Такие приемы необходимы, так как во многих случаях при принятии решений отсутствует точная значимая информация. Наличие вероятностей обычно обусловливает рассмотрение ряда альтернативных решений. Руководитель должен принять решение на основа­ нии перечня альтернатив, что, возможно, затем выявит новый ряд альтернажв, требующих анализа. Например, финансовый аналитик должен принять решение по вопросу инвестирования средств клиента. Первое решение может состоять в отборе ряда компаний из общего перечня объектов инвестирования. Здесь могут иметь место вероятности, связанные с возможностью извлечения прибыли в течение перво­ го года по каждой из рассматриваемых компаний. Закончив отбор компаний для вложений, необходимо для каждого случая определить сумму инвестиций. И снова могут иметь место вероятности в отношении того что касается эффектив­ ности вложений, например прибыльности и долговременной доходности. В ка­ честве одною из критериев принятия решения можно определить максимиза­ цию ожидаемой прибыли от инвестиций. Расчет ожидаемой стоимости будет показан в следующем разделе главы. Однако при принятии окончательного решения могут возникнуть и дру­ гие критерии. При этом дополнительно возникает, например, необходимость учета фактора риска. Некоторые инвестиционные стратегии могут нести в себе существенный риск получения убытка. В то же время высокорискован­ ные вложения могут также содержать и вероятность получения значительно большей прибыли. Аналитик должен решить, идти ли на высокорискован­ ные инвестиции на основании существования вероятности извлечения боль­ шей прибыли, или же остановиться на малорискованном варианте и мень­ шей прибыли. Вероятно, высокорискованная стратегия максимизирует ожи­ даемую прибыль, однако окончательное решение может быть принято в пользу альтернативного малорискованного инвестиционного портфеля с более низкой доходностью.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

63

2.6. Ожидаемые значения Во многих простых ситуациях ожидаемое значение переменной получают умножением вероятности на общее количество значений. Например, в ранее рассмотренном примере вероятность того, что работник удовлетворен измене­ ниями в организационной структуре, оказалась равной 0.6. Таким образом, из общей численности работников в 360 человек ожидаемое количество удовлет­ воренных работников составляет 360 х 0.6 = 216 человек. Аналогично, если вероятность включе[{ия батончиков «Биг-Байт» в заказы составляет 0.24, тогда в пакете из 50 заказов ожидаемое количество заказов, включающих «Биг-Байт», равно 50 X 0.24 = 12. Вышеописанный процесс можно расщирить в отношении более слож­ ных проблем. В общем виде, ожидаемое значение переменной получается путем умножения каждой вероятности на соответствующее значение и пос­ ледующего суммирования произведений. Это можно представить следующим образом: Ожидаемое значение равно

l{x)=^ZXB{x), где В(Х) — вероятность наступления X. Ожидаемое значение можно считать оценкой среднего значения перемен­ ной.

Пример 1

В последний месяц отслеживалось количество пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клиники Св. Иосифа. Было установлено, что количе­ ство пациентов, поступающих каждые пять минут, составляло от О до 4 человек. В таблице приведена вероятность поступления определенного количества паци­ ентов в течение 5-минутного отрезка времени: Количество поступающих пациентов: 0 Вероятность: 0.1

1 2 0.3 0.3

3 0.2

4 0.1

Из таблицы видно, что существует вероятность в 10% того, что в ука­ занный отрезок времени не поступит ни одного пациента; вероятность в 30% того, что поступит один пациент, и т. д. для остальных значений. Ко­ личество поступающих пациентов можно обозначить X, а связанные вероят­ ности — В(Х). Ожидаемое количество пациентов, поступящих в течение ука­ занного отрезка составляет: 1{X) = 'LX-B{X) = О X 0.1 + 1 X 0.3 + 2 X 0.3 + 3 X 0.2 + 4 X 0.1 = = О + 0.3+ 0.6 + 0.6 + 0.4 = 1.9. Таким образом, в соответствии с данной информацией можно ожидать поступления за 5-минутный отрезок времени чуть менее 2 пациентов в сред­ нем.

64

ГЛАВА 2

Пример 2 В последние три месяца компания «Даунбрукс» ежедневно реализовывала трюфели «Труфл» в количестве от 2 до 8 ящиков, что видно из приведенной ниже таблицы Каждый яшик содержит 144 батончика Количество реализованных ящиков Вероятность

2 3 4 5 6 7 8 0 04 0 07 0 32 0 26 0 16 0 09 0 06

Ожидаемое количество ежедневной реализации (в ящиках) можно рассчи­ тать следующим образом Z ( ^ ) = Z ^ В{Х) = 2 x 0 04+ 3 x 0 07 + 4 x 0 32 + 5 x 0 2 6 + 6 x 0 16 + ь 7 х 0 09 + 8 х 0 06 = 0 08 + 021 + 1 2 8 + 1 30 + 0 96 + 0 63 + 0 48 = = 4 94 ящика Таким образом, ожидаемое количество реализации (в ящиках) составляет чуть менее 5 ящиков в день 2.7. Дерево решений Использование дерева решений может помочь представить козжретную проблему и установить вероятность наст>тения конкретных событии и их ожидаемые значения Такого рода диаграммы ведут к построению более простого дерева вероятностей, которое использовалось для иллюстрации кон­ кретных вероятностей, связанных с последовательностью исходов Дерево рещений иллюстрирует результаты конкретных принимаемых решений, а также вероятный результат с точки зрения критических факторов, таких, как прогнозные доходы и расходы Дерево решений состоит из двух основных частей «решении» и «вероят­ ностных событий» Они представлены квадратами и кругами, как это показано на рис 2 2 Эти решения и вероятностные события связаны, что видно из пос­ ледующих примеров • Определение. Дерево решений — это графическое отображение ситуации, имеющей несколько альтернативных решений С помощью рассчитанных ожидае­ мых значении дерево решений позволяет выявить наиболее приемлемое решение для каждого этапа •

Пример 1 Предпо южим, что вы владеете акциями сгоимостью 1000 ф ст Вы должны принять решение относительно того, держать ш акции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 ф ст Вероятность 20%-ного роста курсовой стоимости акции составляет О 6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20% — О 4 Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизиро­ вать ожидаемую прибыть'

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

65

Решения

Вероятностные события

Рис. 2.2. Составные части дерева решений

Сначала необходимо решить, что делать с акциями: купить еще, все продать или все держать. Это отображено с помощью дерева решений на рис. 2.3. Диафамма содержит величину доходов или расходов в случае при­ нятия того или иного решения. Например, вариант «продажи» даст доход в 1000 ф. ст. (показан как +1000 на дереве). В противоположность этому, вари­ ант «покупки» принесет расходы в сумме 500 ф. ст. (показаны как —500 на дереве). Если вы продадите акции, тогда их у вас будет ноль. Если вы просто будете держать акции, то в случае 20%-ного подъема на рынке их стоимость составит 1200 ф. ст., а в случае 20%-ного спада — 800 ф. ст. В другом случае, после покупки акций еще на 500 ф. ст., при подъеме рынка вы окажетесь обладателем акций стоимостью 1800 ф. ст., а при падении — стоимостью 1200 ф. ст. Данные значения указаны в конце каждой ветви в правой части дерева решений (см. рис. 2.4). Дерево также показывает вероят­ ности возможных событий (т. е. рост или падение курсовой стоимости ак­ ций), а также денежные средства, затраченные или полученные при этом. Например, покупка акции стоит 500 ф. ст. (т. е. в данной точке диаграммы указано —500 ф. ст.). Аналогично, продажа акций даст доход в 1000 ф. ст., и это указано рядом с соответствующей ветвью дерева. Покупка

Рис. 2.3. Покупать, продавать или ни то, ни другое

Начиная с правой стороны и двигаясь влево, производится расчет ожида­ емых значений, как это показано на рис. 2.5. Таким образом, ожидаемое значе­ ние в блоке вероятностных событий А рассчитывается путем умножения каж-

66

ГЛАВА 2 Рост курсовой стоимости

1800

1200

Рост курсовой стоимости 1200

800 (0.4)

Рис. 2.4. Дерево решений дой вероятности на значение в конце ветви, т. е. ожидаемое значение в блоке А составляет 0.6 х 1800 + 0.4 х 1200 = 1560 ф. ст. Аналогично, ожидаемое значение для блока Б составляет 0.6 х 1200 + 0.4 х 800 = 1040 ф. ст. И наконец, можно принимать решение на основании вывода ожидаемых значений по соответствующим ветвям обратно к блоку решений В. Три возмож­ ных пути обратно к блоку В дают следующие значения: Вариант 1: 1560 — 500 = 1060 ф. ст. Вариант 2: О + 1000 = 1000 ф. ст. Вариант 3: 1040 + О = 1040 ф. ст.

Ожидаемое значение

Рост курсовой стоимости 1800

1200

1200

800 Ожидаемое значение

Рис. 2.5. Ожидаемые значения

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

67

Следовательно, на основании данного критерия с целью максимизации ожидаемой стоимости акций вы предпочтете вариант 1. Таким образом, вы решите купить еще акций на сумму в 500 ф. ст., что даст вам ожидаемую чистую прибыль в 1060 ф. ст. Это значение показано в блоке В, а путь решения вьшелен, как показано на рисунке. Следует отметить, что этот простой способ при­ нятия решения, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска, о чем мы поговорим в разделе 2.5. Пример 2

Начальник отдела маркетинга компании «Даунбрукс» рассматривает воз­ можность запуска нового продукта. Необходимо принять ряд решений, связан­ ных со сбытом этого нового продукта. Сначала необходимо решить, попытаться ли немедленно приступить к сбыту, предварить его исследованием рынка или же полностью отказаться от проекта. Проведение маркетингового исследования обойдется приблизительно в 50 000 ф. ст. Сбыт товара обойдется в 100 000 ф. ст., так как потребуется закупить дополнительное оборудование и понести затраты по его монтажу и наладке. Отказ от проекта, в конечном счете, сэкономит компании 250 000 ф. ст. на расходах на содержание персонала. Если компания решится на проведение маркетингового исследования, тогда вопрос, продавать новый товар или отказаться от него, все еще останется от­ крытым. Вероятность оценочных объемов продаж будет зависеть от того, прово­ дилось маркетинговое исследование или нет, а также от результатов такого исследования, которые могут оказаться либо положительными, либо отрица­ тельными. В таблице приведены вероятности различных объемов продаж нового продукта с учетом и без учета маркетингового исследования. В компании оце­ нивают, что высокий объем продаж принесет валовый доход в размере 1 млн. ф. ст., средний — 500 000 ф. ст. и низкий — только 200 000 ф. ст. Дерево решений, приведенное на рис. 2.6, иллюстрирует возможные реше­ ния, а также оценки вероятностей наступления возможных событий. Оценочная вероятность объемов продаж Объем продаж

Высокий Средний Низкий

Без маркетингового исследования

0.2 0.4 0.4

С проведением маркетингового исследования Положительный ответ

Отрицательный ответ

0.4 0.4 0.2

0.1 0.1 0.8

Вероятности, указанные в таблице, отмечены на этом дереве решений. Также отмечены различные затраты. Например, проведение маркетингового исследования стоит 50 000 ф. ст. (сокращенно 50К) и показано на диафамме как отрицательное значение.

68

ГЛАВА

2

Положительно

Высокий 0.4 ЮООК Средний 0.4 500К 200К Низкий 0.2 250К

Проводить маркетинговое исследование

Высокий 0.1 ЮООК 'Средний 0.1 500К 200К Низкий 0.8 250К Высокий 0.2 ЮООК Средний 0.4 -^ 500К - 200К Низкий 0.4 250К

Рис. 2.6. Запуск нового продукта

И наконец, начиная с правой стороны и идя в обратном направлении, рассчитываем ожидаемые значения. Например, ожидаемое значение в блоке А, отмеченном на рис. 2.7, получается следующим образом: 0.4 х 1 000 000 + 0.4 х X 500 000 + 0.2 X 200 000 = 640 000 ф. ст. Продвигаясь в обратном направлении от данного вероятностного события, получаем блок решений, помеченный как Б, в котором содержится максимальное ожидаемое значение от двух ветвей (продавать или отказаться). Вариант «продавать» дает ожидаемое значение в сумме 540 000 ф. ст. (т. е. уже рассчитанные 640 000 ф. ст. за вычетом 100 000 ф. ст. реализационных издер­ жек). Как вариант, «отказ» от продукта дает ожидаемое значение, равное 250 000 ф. ст. Таким образом, решение в данной ситуации будет состоять в том, чтобы продавать, что дает ожидаемое значение в 540 000 ф. ст. (это показано как 540К внутри блока Б). Аналогичным образом получаем ожидаемое значение для вероятностного события (блок В): 0.7 х 540 000 + 0.3 х 250 000 = 453 000 ф. ст. В окончательном виде ситуация представляется таким образом, что для максимизации ожидаемой прибыли компании необходимо: (i) провести маркетинговое исследование и (ii) если результаты маркетингового исследования положительны, присту­ пить к сбыту продукта, а если отрицательны — отказаться от продукта. Дерево решений показывает, что ожидаемая прибыль, основанная на этих решениях (блок Г), равна 403 000 ф. ст. По этим примерам видно, что процессы, задействованные при определе­ нии «наилучшего» решения, основываются на максимизации ожидаемых значе­ ний. Такой подход, по всей видимости, приемлем в условиях неоднократного принятия сходных решений. В этом случае ожидаемое значение дает оценку среднего (например, средней прибыли) из большого множества решений. Од­ нако в ситуациях, когда требуется принимать нестандартные, т. е. разовые ре­ шения, такой подход, учитывающий ожидаемые значения, может оказаться неэффективным. Так, в примере 1 вариант «покупать» дает максимальное ожи­ даемое значение, равное 1060 ф. ст. Однако, как мы видим, если выбрать дан-

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

69

ный вариант стоимостью 500 ф. ст., конечное значение рыночной стоимости акции составит либо 1800, либо 1200 ф. ст. в зависимости от подъема или спада на рынке. Таким образом, если мы отнимем 500 ф. ст., то чистая стоимость акции составит 1300 или 700 ф. ст. Данные значения сопоставимы со значени­ ями 1200 или 800 ф. ст. при выборе варианта 3 (держать акции) и, тем более, со значением 1000 ф. ст. варианта 2. Высокий О 4 ЮООК Средний О 4 500К 200К Низкий О 2 250К Проводить маркетинговое исследование

Высокий 0.1 ЮООК ий 0.1 500К 200К Низкий О 8 250К

Отказаться

Высокий О 2 ЮООК Средний 0.4 ^ 500К 200К Низкий 0.4 250К

Рис. 2.7. Запуск нового продукта Как мы видим, различные критерии принятия решения могут привести к появлению разнообразных альтернатив. Так, решение может основываться на максимизации минимально возможной прибыли. В этом случае вариант 3 (при котором минимальная прибыль составляет 800 ф. ст.) лучше, чем вариант 1, при котором можно оказаться в конечном счете только с 700 ф. ст. Фактически вариант 2 (продать акции) является самым безопасным, так как при этом будут точно получены 1000 ф. ст. На этом простом примере видно, что применение ожидаемых значений не всегда есть лучший или наиболее приемлемый путь. Таким образом, дерево решений необходимо использовать с осторожнос­ тью, с известной долей здравого смысла, и при этом всегда следует точно указывать, какие были отобраны критерии принятия решения. 2.8. Упражнения: дерево решений 1. (Е) Возьмем покупателей, приходящих в магазин компании «Даунбрукс». В зависимости от того, какие изделия конкретно они покупают в этом магази­ не, всех покупателей можно разбить на несколько групп: 60% покупают «до­ машние» шоколадные изделия, 20% покупают кондитерские изделия массового производства, остальные покупают другие изделия, например ириски. Из обще­ го числа сделавших покупки 30% покупателей снова приходят в магазин в течение следующего месяца. Из них 5% жалуются на качество «домашних» шоколадных изделий, 15% — на изделия массового производства и 10% — на остальные изделия. Нарисуйте дерево вероятностей, представляющее этих покупателей, и используйте его для определения вероятности того, что:

70

ГЛАВА 2

а) покупатель купит «домашние» шоколадные изделия и вернется в тече­ ние месяца с жалобой; б) покупатель купит изделия массового производства и больше не придет; в) покупатель подаст жалобу. 2. (Е) В таблице приведены данные по дневной выработке крупного пред­ приятия обрабатывающей отрасли промышленности. Цифры приведены в ящи­ ках производимой продукции. В каждом ящике содержится 1000 кг продукции. Ящики запечатаны и готовы к транспортировке. Дневная выработка (количество ящиков): Процент дней:

4 7

5 14

6 21

7 34

8 12

9 8

10 4

Найдите ожидаемое количество ящиков, производимых за день. Поясните фактический смысл полученного значения 3. (I) На предприятии необходимо принять решение относительно того, какой из двух товаров производить. Средств имеется только для производства одного товара. Затраты на наладку производства товара А составляют 10 000 ф. ст., а для товара Б они равны 15 000 ф. ст. Другие расходы, включая издержки по содержанию персонала и стоимость материалов, аналогичны. Для прогноза вероятных объемов продаж каждого из товаров использовались результаты мар­ кетингового исследования. Вероятности прогнозной валовой прибыли без учета затрат на наладку приведены в таблице: Валовая прибыль Высокая (50 000 ф. ст.) Низкая (20 000 ф. ст.)

Товар А

Товар Б

0.7 0.3

0.8 0.2

(i) С помощью дерева решений определите, какой товар вы начнете про­ изводить с целью максимизации ожидаемой прибыли. (ii) Повторите упражнение со значением 70 000 ф. ст. для «высокой» оцен­ ки прибьыи. Что-нибудь изменится в ваших рекомендациях?

2.9. Биноминальное распределение Рассмотрим результаты проверки качества, проведенной компанией «Даунбрукс» на линии по выпуску шоколадных батончиков «Биг-Байт». Известно, что из каждых десяти изделий одно бракованное. Таким образом, 10% продук­ ции выбрасывается и не идет в продажу. Эту информацию можно записать следующим образом: В (бракованный батончик) = 1/10 = 0.1. Аналогично, В (не бракованный) = 9/10 = 0.9. Иногда батончики «Биг-Байт» продаются в упаковке по четыре в каждой под названием «Семейные». Вероятность того, что в упаковке из 4 штук один батончик окажется бракованным, рассчитывается следующим образом. Будем считать, что каждому батончику в упаковке присвоены соответственно буквы А, Б. В и Г. Вероятность того, что один батончик в упаковке окажется брако­ ванным, определяется, как это показано ниже: В (один бракованный) = В (А бракованный и Б, В, Г не бракованные) + В (Б бракованный и А, В, Г не бракованные) -ь В (В бракованный и А, Б, Г не

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

71

бракованные) + В (Г бракованный и А, Б, В не бракованные) = 0.1 х0.9х0.9х X 0.9 + 0.9 X 0.1 X 0.9 X 0.9 + 0.9 х 0.9 х 0.1 х 0.9 + 0.9 х 0.9 х 0.9 х 0.1 = 4 х хО.1 X (0.9)' = 0.2916. Так же мы можем определить вероятность не бракованных батончиков в упаковке: В (нет бракованных) = В (А, Б, В, Г все не бракованные) = 0.9 х 0.9 х X 0.9 X 0.9 = (0.9)" = 0.6561. Аналогично можно определить вероятность того, что два, три или четыре батончика бракованные. Результаты расчетов приведены в таблице: Количество бракованных батончиков: 0 Вероятность: 0.6561

1 2 0.2916 0.0486

3 0.0036

4 0.0001

Это иллюстрирует конкретный пример биноминального распределения. Биномина^тьное распределение можно описать исходя из следующих критериев: 1. Возможны только два исхода (например, бракованный или нет, «Да» или «Нет»); и 2. Имеется фиксированное число повторяющихся проб (обозначаемое как л); и 3. Пробы не зависят друг от друга. и 4. Вероятность исхода остается неизменной для всех проб (обозначается как р). Приведенный пример иллюстрирует биноминальное распределение, так как: (1) Имеется всего два возможных исхода, т. е. батончик окажется бракован­ ным или батончик окажется хорошим. (2) Число повторяющихся независимых проб равно 4 (количеству батончи­ ков в упаковке). (3) Вероятность того, что батончик бракованный, всегда равна 0.1. Таким образом, в данном примере мы имеем биноминальное распределе­ ние, где « = 4 и /7 = 0.1. Вероятность получения г благоприятных исходов при п пробах в биноми­ нальном распределении определяется следующим образом: В (г благоприятных исходов) = "С^р''[\ - р)"'"^, где г = О, 1, 2, 3, ..., п. Одна из составляющих формулы биноминальной вероятности требует до­ полнительного разъяснения. Число комбинаций п предметов, взятых г за один раз, обозначается "С^. Значение "С^ получается по формуле "Г

"•

' г!(я-г)!' где л! (л-факториал) = п (п — 1)(« — 2) ... 3-2-1. Обратите внимание, что данное правило определения факториалов распространяется на положительные целые числа. Значение О! = 1 является исключением из этого правила. Т Определение. Биноминальное распределение можно использовать для расче­ та вероятностей при условиях, когда: (i) имеется только два возможных исхода в пробе (например, благоприятный исход или неблагоприятный исход); (и) незави­ сящие друг от друга пробы повторяются некоторое число раз (п); (Hi) вероятность благоприятного исхода (р) неизменна в каждой пробе. •

72

ГЛАВА 2

Пример 1 (факториалы) Найдите значения следующих факториалов: (О 5!; (ii) 2!3!; (in) ^ 7 ^ . Расчеты приведены ниже: (i) 5! = 5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 120. (ii) 2!3! = (2 • 1)(3 • 2 • 1) = (2)(6) = 12. 6! _ 6-54-3-21 _ 720 _ 720 ^ (iii) = 4!2!"(4-3-2-lX2-l)"24-2~ 48 ~ •

Пример 2

(комбинации)

Найдите количество комбинаций: (i) 3Q; (ii) *Q; (iii) ' Q . Расчеты приведены ниже: r^ зг = 3! _ 3 2 1 _ 6 ^'' ' 2!1! (21){1) 2 ^ ^"^

'

,..., 5„

6! _ 654-3-21 _ 720 4!2!~4-3-2-1-2-1" 48 ~ 5!

(ill) ^С, =

'

54-3-21 =-.

120 ,

г- =

=1.

5! О! (54-3-2-1)1 120

Обратите внимание, что О! = 1. Пример 3 (биноминальная вероятность) В ходе проверки производственной линии было установлено, что один шоколадный батончик из десяти — бракованный. Для партии из четырех батон­ чиков найдите вероятность получения данного количества бракованных батон­ чиков. Это типичная задача биноминального распределения со следующими пара­ метрами: р = В (получение бракованного) = 1 из 10 = 0.1; п = число проб = количество проверенных батончиков = 4. На основании этой информации мы можем по формуле рассчитать вероят­ ности получения любого количества бракованных батончиков: В {г благоприятных исходов) = "СгР''{\ - р)"''^ • Например, вероятность получения небракованных батончиков в партии из четырех штук получается подстановкой л = 4, /7 = 0.1 и г = 0 в выражение, как это показано ниже:

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

73

в (0) = ^С„(0 1)М1 - о 1Г-" = 0!4!"^^^^° (0-9)'="11Гз1т ' i^^-^^^^) = = 1 1 . (0.6561) = 0.6561 Аналогично, вероятность получения одного бракованного батончика из партии из 4 штук определяется как:

В (1) = ^с, (0.1)' (1 - 0.1)^-1 = 7ГзТ(01)' (0.9)^ = т И т ^ ^ ' ) (0'^29) = = 4.(0.1)(0.729) = 0.2916. Далее по аналогичной методике находим: 4! В (2 бракованных) = "Сз (0.1)^ (1 - 0.1)"-^ = ^7^(0-1)^ (0.9)^ = 0.0486. 4! В (3 бракованных) = ^С, (0.1)^ (1 - 0.1)^-^ = ^(^•'^У

(0.9)' = 0.0036.

4! В (4 бракованных) = •'С4 (0.1)^ (1 - O.l)^-" = ^7^(0.1)' (0.9)" = 0.0001. Результаты вычислений дают биноминальное распределение, которое было представлено в начале этого раздела и которое мы повторяем ниже: Количество бракованных батончиков: Вероятность:

0 0.6561

1 2 0.2916 0.0486

3 0.0036

4 0.0001

Пример 4 В клинике Св. Иосифа, находящейся в Нью-Йорке, вероятность того, что койка не занята, составляет 20%. Возьмите произвольную выборку из 5 коек и рассчитайте вероятность того, что количество незанятых коек: а) максимально одна; б) более двух. И снова для вычислений воспользуемся формулой биноминального рас­ пределения. В данном примере мы имеем: р = В (незанятая койка) = 0.2, п = количество коек = 5. (i) Вероятность того, что самое большее одна койка не занята, эквивален­ тна вероятности того, что нет ни одной свободной койки или только одна койка не занята, т. е. В (максимум 1) = .6 (О или 1) = В (0) + В {\). Итак, В(0) = 'Со (0.2)0(1 - 0.2)'-» = оТ5Т(0-2)° (0.8)' = b s t S ' l ^^^ (0-32768)= = 0.32768. 5! Аналогично, В (1) = 'С, (0.2)' (1 - 0.2)^-' = ут;^ (0.2)' (0.8)^ = 0.4096. Следовательно, В (максимум 1) = В (0) + В (1) = 0.32768 + 0.4096 = = О 73728.

74

ГЛАВА 2

Таким образом, вероятность того, что максимум одна койка из пяти будет не занята, равна 74%. (И) В (более 2) = В О или 4 или 5 не занятых коек). Это можно записать как 1 — В (2 или менее незанятых коек) = 1 — В (О или 1 или 2 койки) = 1 - {В (0) + В (1) + В (2)}. Мы уже рассчитали вероятности (0) и (1) в п. (i). Следовательно, необхо­ димо только применить формулу биноминального распределения, чтобы полу­ чить вероятность того, что две койки будут не заняты: 5! В (2) = 'Cj (0.2)^ (1 - 0.2)'-^ = ^ТзТ(0-2)^ (0.8)' = 0.2048. Следовательно, вероятность того, что более двух коек будут не заняты, равна: В (более 2) = 1 - (В(0) + В(1) + В(2)} = 1 - (0.32768 + 0.4096 + 0.2048) = = 1 - 0.94208 = 0.05792. Таким образом, имеется почти 6%-ная вероятность того, что более двух коек будет не занято.

2.10. Распределение Пуассона Распределение Пуассона можно использовать для определения вероятнос­ тей ряда событий, наступающих при следующих обстоятельствах: 1. Количество наступающих событий рассматривается на заданном времен­ ном интервале. 2. Не зависящие друг от друга события наступают случайным образом. 3. Среднее (арифметическое) количество наступающих событий известно и постоянно. В общем виде вероятность наступления г событий можно вычислить по формуле Пуассона: В (г событий) ""

е-^хх' /•!

где ц — среднее количество наступающих событий и г = О, 1, 2, 3, ... Формула Пуассона включает экспоненциальную функцию е'^ , которую можно найти из экспоненциальных таблиц по значению ц. Т Определение. Распределение Пуассона можно использовать для определения вероятностей, когда события наступают случайным образом и известно среднее количество наступающих событий (\\.). • Пример 1 Рассмотрим пример с бракованными шоколадными батончиками, выпус­ каемыми на производственной линии «Даунбрукс». Установлено, что каждую минуту в среднем производится два бракованных батончика. Брак получается случайным образом, и его поэтому нельзя спрогнозировать. В данном примере события (т. е. бракованные батончики) наступают слу­ чайным образом, и нам известно среднее количество (ц = 2) брака. Поэтому вероятность отсутствия брака в данную минуту можно рассчитать по формуле Пуассона:

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

75

Значение е~^ = 0.13534 можно взять из экспоненциальных таблиц. (0.13534)-1 Следовательно, В (0) =-^^ —^—= 0.13534. Таким образом, существует 13.534%-ная вероятность отсутствия брака в каждую данную минуту. Аналогично можно получить вероятность получения любого количества брака. Например, вероятность получения трех бракованных батончиков равна: е-2.23

(0.13534)-8

В (3) =-^г'=—6"^^"^

^^°^'

Пример 2 Начальнику отдела охраны труда и здоровья крупного предприятия обра­ батывающей отрасли промышленности поставлена задача проанализировать уровень травматизма работников в производственных коллективах. В этой орга­ низации в среднем каждые два года имеет место один серьезный несчастный случай. Вычислите вероятность того, что в данный год произойдет более двух несчастных случаев. На основании того, что несчастные случаи происходят случайным обра­ зом, .мы имеем распределение Пуассона со средним значением ц = 0.5 несча­ стных случаев в год. Вероятность того, что произойдет более двух несчастртых случаев, равна: В (более 2) = 1 - {В (О или 1 или 2)} = 1 - {В (0) + В (1) + В (2)}. Итак, с помощью формулы Пуассона получаем: В (0) =

е^^-05°

(0.60653).1 =^ >-= 0.60653.

Аналогично, В (1) ^-

e^5.Q5i (0.60653)(0.5) ~^ = ^- '±-1=

ТУ

1

0.30327

и e^5.Q52 (0.60653)(0.25) В (2) =^ ^ = ^^ '-^ '-= 0.07582. 2! 2 Таким образом, получаем искомую вероятность: В (более 2) = 1 - (0.60653 + 0.30327 + 0.07582) = 1 - 0.98562 = 0.01438. То есть, имеется 1.4%-ная вероятность того, что в любой данный год произойдет более двух несчастных случаев.

2.11.

Упражнения: биноминальные распределения и распределения Пуассона

1. (Е) Один из десяти пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клиники Св. Иосифа, нуждается в однодневном пребывании в ста-

76

ГЛАВА 2

ционаре для проведения наблюдений и дополнительных анализов. Для груп­ пы из шести поступаюших пациентов какова вероятность того, что среди них окажется: (i) только один такой пациент; (ii) более двух таких пациентов; (iii) менее двух таких пациентов. 2. (Е) Начальник отдела сбыта крупной оптовой организации считает, что один из трех «заходов вслепую» его реализаторов закончится продажей. Если реализатор сделает пять таких заходов к потенциальным клиентам, какова ве­ роятность того, что это закончится: (i) ничем; (ii) одной продажей; (iii) двумя продажами; (iv) более чем двумя продажами. 3. (I) Начальник отдела кадров крупной организации обнаружил, что при подборе руководителей среднего звена только один из четырех канди­ датов отвечает всем требованиям первичного отбора. Для группы из 10 кан­ дидатов найдите вероятность того, что количество кандидатов, прошедших первичный отбор, окажется: (i) менее 2 человек; (ii) два человека или более; (iii) более двух человек.

2.12. Непрерывное распределение вероятностей В предьщущих разделах мы познакомились с дискретным распределением ве­ роятностей, когда рассматриваемая переменная могла принимать только опреде­ ленные (дискретные) значения. Например такие переменные, как количество брака, количество поступаюших пациентов и количество несчастных случаев, могут быть выражены только целыми числовыми значениями. В этом разделе мы рассмотрим непрерывное распределение, когда теоретически переменная может иметь любое значение в пределах заданного диапазона. Ранее в этой главе вы столкнулись с понятием ожидаемых величин. При­ меры, приведенные в разделе 2.6, включали использование простого распреде­ ления вероятностей, основанного на оценке предыдуших значений. Например, в таблице приведены данные по дневному объему продаж компании за после­ дние 50 дней: Дневной объем продаж (ф. ст.): 1000- 2000- 3000- 4 0 0 0 - 5000- 6000Количество дней: 2 6 18 13 7 4 Данную информацию можно преобразовать в распределение вероятностей. Например, в течение 2-х дней из последних 50 (т. е. для 4% от общего количе­ ства дней) объем продаж составил от 1000 до 2000 ф. ст. Следовательно, веро­ ятность достижения объема продаж в 1000 ф. ст. можно выразить как 0.04. Ана­ логичным образом находим остальные вероятности, которые вы видите в при­ веденной ниже таблице: Дневной объем продаж (ф. ст.): Вероятность:

1000- 2 0 0 0 - 3000- 4000- 5000- 60000.04 0.12 0.36 0.26 0.14 0.08

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

77

Диафамма данного распределения представлена на рис. 2.8. Площадь каж­ дого столбца диаграммы пропорциональна соответствующей вероятности. На­ пример, площадь затемненного столбца составляет 12% от общей площади. Ана­ логично, площадь столбцов, отображающих три последние интервала (4000—, 5000— и 6000—), составляет 48% от общей площади. Такой подход — отличный метод определения вероятностей по распределению вероятностей. На рис. 2.9 представлена диафамма, которая отражает альтернативный способ отображе­ ния тех же самых данных. Линейный фафик используется для очерчивания общей формы распределения, в то время как гистофамма очерчивает каждый интервал фуппировки отдельно. Этот фафик можно аналогичным образом использовать для отображения вероятностей. Пространство под линией можно использовать для определения вероятностей. Например, затемненный участок на рис. 2.9 показывает вероятность объема продаж свыще 4000 ф. ст. (т. е. всех значений вдоль горизонтальной оси, начиная с 4000 ф. ст.). Если мы примем, что общая площадь пространства под линией равна 1, тогда любой рассмотрен­ ный участок будет точно равняться вероятности. Так, затемненный участок на рис. 2.9 равняется 0.48 (48% от общей площади). IS

ш 404

1

8 03-т

1о.2 о L-

о

/''/•'х

1000

2000

1 ,

"^

3000 4000 5000 Дневной объем продаж

1

6000

7000

Рис. 2.8. Вероятность, представленная гистограммой

1000

2000 3000 4000 5000 Дневной объем продаж

6000

7000

Рис. 2.9. Вероятность, представленная участками На рис. 2.10 представлено распределение вероятностей недельной заработ­ ной платы на предприятии. Приняв допущение, что общая площадь простран-

78

ГЛАВА 2

ства под кривой равняется 1, мы считаем, что затемненный участок отображает вероятность того, что работник получает от 400 до 500 ф. ст. в неделю. Т Определение. Пространство, лежащее под линией графика непрерывного рас­ пределения вероятностей, можно использовать для оценки вероятности перемен­ ной, находящейся между заданными пределами. •

200

300

400 500 600 700 800 900 Недельная заработная плата

1000 1100

Рис. 2.10. Вероятность, определяемая с помощью затемненного участка 2 . 1 3 . Нормальное распределение Нормальное распределение является одним из наиболее важных видов рас­ пределения вероятностей, используемых при принятии управленческих реше­ ний. Этот вид распределения можно обнаружить во многих практических при­ мерах, и он особенно ценен при рассмотрении выборок из большой совокуп­ ности. Норма^тьное распределение, представленное на рис. 2.11, — симметрич­ ное, колоколообразное и может быть полностью определено значениями сред­ ней арифметической и среднеквадратического отклонения. Средняя арифмети­ ческая (ц) определяет центр распределения, а среднеквадратическое отклоне­ ние (о) определяет его разброс. На рис. 2.12 показано, как разница в значениях средней арифметической влияет на положение фафика, а на рис. 2.13 показа­ но, как увеличение значения среднеквадратического отклонения меняет размах кривой. Однако, несмотря на изменение значений арифметической средней и среднеквадратического отклонения, базовая форма нормального распределе­ ния, определенная нормальной кривой, сохраняется.

Среднеквадратическое отклонение = о

Средняя арифметическая = ц

Рис. 2 . 1 1 . Нормальное распределение

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

79

Средне­ арифметическое - 15 / Средне­ арифметическое окое = 10 /

/ \ /

Х \ /

\ \

\

Среднеарифметическое = 20

Рис. 2.12. Изменения в значении средней арифметической

Рис. 2.13. Изменения в значении среднеквадратического отклонения (с. к. о.) Как мы уже говорили в предьщущем разделе, вероятности могут быть пу­ тем определения участка под кривой. Итак, общая площадь пространства под любой нормальной кривой равна общей вероятности (= 1). Рассмотрим нор­ мальную кривую со средней арифметической, равной 200, и среднеквадратическим отклонением, равным 50. Это распределение представлено на рис. 2.14, а вероятность нахождения значения в пределах между 240 и 280 показана затем­ ненным участком. Определение участков под нормальной кривой требует сложной математи­ ческой формулы. Данный процесс упрощается при использовании особых таб­ лиц. Обычно это таблицы «стандартного нормального распределения», где сред­ няя арифметическая равна О, а среднеквадратическое отклонение — 1. Любое нормальное распределение с заданной средней арифметической (ц) и задан­ ным среднеквадратическим отклонением (о) можно привести к этому стан­ дартизованному распределению с помощью следующей формулы:

Значение z, определяемое по данной формуле, дает расстояние между значением {х) и средней арифметической ((i), выраженной относительно коли­ чества среднеквадратических отклонений. Таблицы нормального распределения, как, например, те, что приведены в конце данного пособия, помогают определить участок под стандартной нор­ мальной кривой за определенным значением z, как это видно на рис. 2.15. С

80

ГЛАВА 2

помощью комбинации этих значений можно рассчитать любую вероятность, что вы увидите на последующих примерах. Участок, показанный на рис. 2.15 равен вероятности переменной, находящейся за определенным значением (х). Т Определение. Нормальное распределение представлено симметричной, колоколообразной кривой, определяемой значениями средней арифметической (\i) и среднеквадратического отклонения (с). •

Среднеквадратическое отклонение = 50

240 280 Средняя арифметическая = 200

Рис. 2.14. Нормальная кривая, средняя арифметическая = 200, среднеквадратическое отклонение = 50

Среднеквадратическое отклонение = о

Средняя арифметическая = ц

Рис. 2.15. Участок под нормальной кривой

Пример 1 Выборочное обследование в компании «Даунбрукс» показало, что вес упа­ ковки с шоколадом представляет собой нормальное распределение со средним значением 400 г и среднеквадратическим отклонением в 20 г. Определим веро­ ятность того, что произвольно выбранная упаковка окажется весом: (i) свыше 425 г; (ii) до 410 г; (iii) до 380 г; (iv) свыше 395 г; (v) между 390 и 412 г.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

81

На примерах решения этих отдельных задач мы покажем, как применяются таблицы стандартного нормального распределения. (i) На рис. 2.16 представлена искомая вероятность как затемненный учас­ ток за точкой 425 г. Значения арифметической средней (ц) и среднеквадратического отклонения (а) указаны на рисунке. Сначала необходимо определить величину стандартного отклонения: х-\х 425 - 400 25 Z =-

ст

20

20

= 1.25.

Теперь с помощью таблиц при z = 1.25 находим, что затемненный участок составляет 0.1057. Таким образом, вероятность того, что вес упаковки составит свыше 425 г, равна 0.1057 (или 10.57%).

а =20

и = 400

425

Рис. 2.16. Нормальное распределение веса

(ii) На рис. 2.17 представлена искомая вероятность до 410 г. И снова мы рассчитываем значение г = (х -- \х)/а - (410 — 400)/20 = 10/20 = 0.5. Участок, взятый из таблицы согласно z = 0.5, равен 0.3085. Это участок за указанным значением. Чтобы найти участок до указанного значения, мы просто отнимаем его от 1 (общая площадь под кривой). Следовательно, искомый участок равен 1 — 0.3085 = 0.6915. Таким образом, вероятность того, что вес упаковки ока­ жется меньше 410 г, составляет 0.6915 (или 69.15%). (iii) На рис. 2.18 представлен искомый участок и расчет значения zХотя значение z — офицательное, мы все равно можем применить табли­ цы нормального распределения, где приводятся только положительные значе­ ния. Нормальная кривая симметрична, и поэтому участок в левой части фафика полностью соответствует участку в правой части графика. Следовательно, при Z = —1 мы просто находим значение г = +1 и, соответственно, получаем искомую вероятность. Таким образом, вероятность того, что упаковка окажется весом менее 380 г, составляет 0.1587 (или 15.87%).

410 й = 400

Рис. 2.17. Вес упаковки до 410 г

82

ГЛАВА 2

ст=20

380

Z =

400

380-400 20

-20 20

-1

Рис, 2 . 1 8 . Вес упаковки до 380 г

(iv) На рис. 2.19 представлен искомый участок, а также расчет значения z. И снова значение z отрицательное. Однако в этом случае соответствующее по­ ложительное значение z находится в левой части фафика. Далее по таблице находим, что этот участок равен 0.4013. Следовательно, искомый участок равен 1 — 0.4013 = 0.5987. Искомая вероятность составляет 0.5987 (или 59.87%).

Z =

20

20

= -0.25

Рис. 2 . 1 9 . Вес упаковки свыше 395 г

(v) Участок между двумя фзницами (390 и 412 г) требует расчета двух значений z, а участок между этими значениями определяется путем комбина­ ции полученных по таблице значений. На рис. 2.20 представлен искомый учас­ ток, а также расчет значений zУчастки в обеих частях графика находятся по таблице. Так, участок свыше 412 г находим при z = 0.6. Аналогично, участок до 390 г находим при Z = 0.5. То есть при z — 0.6 участок свыше 412 г составляет 0.2743, и при Z = 0.5 участок до 390 г составляет 0.3085. Искомый участок между 390 и 412 г получаем путем вычитания этих двух значений из общего участка, равного 1. Таким образом, искомый участок равен 1 — (0.2743 + 0.3085)= = 1 - (0.5828) = 0.4172. Таким образом, вероятность того, что вес упаковки окажется между 390 и 412 г, составляет 0.4172 (или 41.72%).

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

390

83

412

,_390-400_ ^ с ' ^ " ' ^ ° °

^^_412-400_пп

Рис. 2 . 2 0 . Вес упаковки между 390 и 412 г

Пример 2

В клинике Св. Иосифа используются различные методы оценки при отборе управленческого персонала. Так, на основе результатов, полученных за после­ дние пять лет при использовании свыше 3000 различных тестов в разных реги­ онах страны, был специально разработан оценочный тест. Его результаты пред­ ставляют собой нормальное распределение со средним количеством баллов 55 и среднеквадратическим отклонением 14. При наличии списка из 20 предварительно отобранных кандидатов оце­ ним, сколько из них получат по результатам данного теста количество баллов: (О более 70 и (ii) между 40 и 60. (О На рис. 2.21 представлена вероятность получения более 70 баллов. Зна­ чение Z рассчитано и показано там же. По таблицам нормального распределе­ ния находим, что вероятность получения более 70 баллов составляет 0.1423. Следовательно, ожидаемое количество кандидатов, которые получат более 70 баллов, равно 0.1423 х 20 = 2.846, т. е. приблизительно трем.

z=

70-55 , „ ^ и. =1.07

Рис. 2 . 2 1 . Количество баллов более 70

(и) На рис 2.22 представлен искомый участок между 40 и 60, а также расчет двух значений искомых z. По таблице нормального распределения нахо-

84

ГЛАВА 2

лим, что выделенный участок равен 0.4983. Таким образом, ожидаемое количе­ ство кандидатов, получащих между 40 и 60 баллами, равно 0.4983 х 20 = 9.966, или приблизительно десяти кандидатам.

Z =-

40

40 60 - 5 ^ . = 55 Ж, I 60-55 _, =-1.07 0.36 14 ••"• ' 14

Рис. 2.22. Количество баллов между 40 и 60 Следует отметить, что в данном примере сделано допущение, что количе­ ство ба..1Лов, набранных в ходе оценочного тестирования, есть «непрерывная» переменная, т. е. она может равняться любому значению в пределах заданного диапазона. Иначе говоря, количество баллов необязательно офаничено целыми числами, т. е. это может быть любое значение, например 52.6 или 49.861. В противоположность этому, если количество баллов считается «дискретным», т е может быть только целым числом, то для использования нормального рас­ пределения при оценке вероятностей необходимо внести «поправку на не­ прерывность» Например, вероятность получения 40 баллов определяется путем нахождения участка под нормальной кривой между 39.5 и 40.5. Аналогично, вероятность количества баллов между 40 и 50 находится на участке между 39.5 и 50 5.

2.14. Упражнения: нормальное распределение 1 (Е) Имеется нормальное распределение со средней арифметической, равной 40, и среднеквадратическим отклонением, равным 10. Найдите участок под норма^тьной кривой: а) более 45; б) менее 30; в) между 42 и 52; г) менее 48; л) между 28 и 55. 2 (I) Установлено, что почасовые ставки фуппы квалифицированных ра­ ботников из всех отраслей экономики США представляют собой нормальное распределение со средним значением 12 долл. СШ.Л в час и среднеквадратичес­ ким отк,1онение.м в 2 долл. США в час. (О Найдите вероятность того, что произвольно взятый квалифицирован­ ный работник имеет почасовую ставку: а) свыше 16 долл. США; б) свыше 10 долл. США; в) менее 12 долл. США;

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

85

г) между 10 и 14 долл. США; д) между 7 и 11 долл. США. (ii) Какова вероятность того, что такой работник получает в пределах од­ ного среднеквадратического отклонения средней арифметической? (iii) При наличии фуппы из 50 таких работников сколько из них, по вашему мнению, получают свыше 15 долл. США в час? 3. (1) Установлено, что количество пациентов, поступающих еженедельно на лечение в клинику Св. Иосифа, представляет собой нормальное распределе­ ние со средней арифметической в 400 пациентов и среднеквадратическим отю'юнением в 90 пациентов. (i) Найдите вероятность того, что в данную неделю количество пациентов, поступающих в клинику: а) более 500 человек; б) .менее 250 человек; в) 350 — 450 человек; г) 400 - 480 человек; д) 420 — 520 человек. (ii) В течение данного года (52 недели) каково количество недель, на которые придется более 550 поступлений клиентов?

2.15. Доверительные пределы Рассмотрим задачу определения количества коек, необходимого в специа­ лизированном отделении клиники Св. Иосифа. Общее количество ежедневно необходимых коек представляет собой нормальное распределение со средней арифметической в 60 и среднеквадратическим отклонением в 10. Руководство .хочет быть в достаточной степени уверено, что имеется необходимое число коек для удовлетворения ежедневных потребностей. Фактически руководство установило, что количество имеющихся коек должно быть достаточным, по крайней мере, на 99 дней из каждых 100. Задача состоит в том, чтобы определить, сколько коек должно иметься в отделении для выполнения данного условия. На рис. 2.23 представлено распре­ деление ежедневно необходимого количества коек. Как уже сказано, задача состоит в том, чтобы найти такое значение х, при котором участок за этим значением составляет максимум 1%, что и показано на диафамме. Следуя ме­ тодике, описанной в предыдущем разделе, попробуем рассчитать z'_ X - J.I _ X - 6 0

^~"Т '""То""' Итак, значение х неизвестно. Однако значение z, которое соответствует шлейфовому участку в 1% (= 0.01), можно взять из таблицы нормального рас­ пределения. Ближайшее значение z равно 2.33, что соответствует участку в 0.0099. Таким образом, получаем уравнение: .V-60 =2.33 Перестановкой получаем: х — 60 = 2.33 х 10, т. е. х — 60 = 23.3. Итак, X = 23.3 + 60 - 83.3. Таким образом, если в отделении имеется 84 койки, то вероятность того, что в нем не смогут разместить всех поступающих пациентов, состав­ ляет менее !%. 10

86

ГЛАВА 2

И = 60

Рис. 2.23. Нормальное распределение, при котором 1% значений больше X Данный метод можно приспособить для вычисления доверительных преде­ лов. Такие пределы обозначают диапазон значений, который содержит задан­ ную пропорцию от общего количества значений вокруг среднего арифметичес­ кого. Например, 95%-ные доверительные пределы в нормальном распределении можно получить по формуле ц + 1.9ст. Эти пределы, показанные на рис. 2.24, определяют два значения, между которыми помещаются центральные 95% зна­ чений распределения. Таким образом, щлейфовые участки, соответственно сле­ ва и справа от данных значений, составляют только 2.5% от общей площади каждый. Для такого шлейфового участка значение z из таблицы равно 1.96. Следовательно, значение г— (х— |i)/a = 1.96. Таким образом, имеем д: — ц = = 1.96а и отсюда х = ц + 1.96ст. Аналогично получаем нижний предел, который равен (I — 1.96а. Например, 95%о доверительные пределы для веса упаковок с шоколадом производства компании «Даунбрукс», где средний вес составляет 400 г, а среднеквадратическое отклонение — 20 г, равны ц + 1.9а = 400 + 1.96 х 20 = 400 + 39.2, или от 360.8 до 439.2 г. Итак, мы можем быть на 95% уверены, что вес упаковки с шоколадом находится в пределах от 360.8 до 439.2 г.

Среднеквадратическое отклонение = а

ц - 1.96а

ц -I- 1.96<j Средняя арифметическая = ц

Рис. 2.24. 95%-ные доверительные пределы Данный подход лежит в основе ряда методов контроля качества, исполь­ зуемых в промышленности и производстве. Доверительные пределы служат ори­ ентиром в том, что касается ожидаемого диапазона для конкретных перемен­ ных. Любое значение, оказавшееся в ходе исследования за пределами этого

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

87

ожидаемого диапазона, можно считать подозрительным, и за этим может пос­ ледовать более тщательная проверка общего «качества» продукции. Кроме 95%-ных пределов, иногда при некоторых обстоятельствах исполь­ зуются и дру1ие доверительные пределы, например' 99%-ные доверительные пределы ц + 2.58ст; 99 8%-ные доверительные пределы: ц + 3.09(т Так, например, 99%-ные доверительные пределы для веса упаковки шоко­ лада (сходный пример мы уже рассматривали) составляют ц + 2.58а = 400 + ± 2 58 X 20 = 400 ± 51.6, т е от 348.4 до 451 6. Следовательно, мы можем быть на 99% уверены, что вес упаковки с щоколадом будет в диапазоне от 348.4 до 451.6 г. Оставляем вам возможность рассчитать 99.8%-ные доверительные пределы для данного распределения. Использование альтернативных доверительных пределов важно при реше­ нии задач, требующих большей или меньшей степени точности. Например, избыточный или недостаточный вес упаковки с шоколадом не столь важен, сколь отклонения в весе основных химических компонентов лекарственного препарата Таким образом, различные доверительные пределы используются в соответствии с важностью рассматриваемой переменной. Т Определение. Доверительные пределы определяют верхнее и нижнее значе­ ния, между которыми помещается центральная пропорция от совокупности На­ пример, 95%-ные доверительные пределы определяют границы, в пределах которых находится 95% всех возможных значений •

2.16. Значимость и выборка Во многих случаях выборка из совокупности производится с тем, чтобы сделать выводы относительно этой совокупности Это часто происходит тогда, когда совокупность слишком большая, чтобы включать в обследование все ее элементы Возьмем, например, вопрос контроля качества в компании «Даунбрукс», ежегодно производяихей миллионы батончиков «Биг-Байт». Невозмож­ но проверить каждое изделие, и поэтому проводится регулярная выборочная проверка группы изделий. Даже в случае с меньшими по размеру совокупнос­ тями необходимо выборочное обследование, как, например, в ситуациях, ког­ да это связано с уничтожением обследуемого продукта. Например, одна из проверок качества изделий компании «Даунбрукс» состоит в их обследовании после завершения расфасовки. При этом упаковка вскрывается, и проверяется количество изделий, а также их качество. Очевидно, что такой проверке нельзя подвергнуть все изделия, иначе придется вскрывать все, что расфасовано Надежность выборок в отношении точности определения признаков сово­ купности зависит от ряда факторов. Это обеспечение «произвольности» выбо­ рок с тем, чтобы они были репрезентативны относительно всей совокупности, а также их достаточно большого объема с тем, чтобы попытаться избежать «урохтивых» результатов. Часто рассматривается такая важная характеристика, как выборочная сред­ няя Производится выборка из совокупности, и находится ее средняя арифме­ тическая Полученный результат позволяет сделать выводы по всей совокупно­ сти В цетом, если совокупность имеет среднюю арифметическую ц, то выбо­ рочная средняя может быть относительно близка к этому значению И действи-

88

ГЛАВА 2

тельно, если взять много выборок, то средняя арифметическая выборочных средних будет равна ц. Полезно рассмотреть распределение этих выборочных средних при решении практических задач, например, связанных с контролем качества. Выборочные средние окажутся разбросанными вокруг значения ц. Можно ли спрогнозировать разброс этих средних? Известно, что если совокуп­ ность имеет среднеквадратическое отклонение а, то распределение выборочных средних будет иметь среднеквадратическое отклонение о/л/л , где п — объем выборки. Т Определение. Если выборки объемом п взяты из совокупности со средней арифметической ц и среднеквадратическим отклонением а, то распределение вы­ борочных средних имеет среднюю арифметическую ц и среднеквадратическое от­ клонение a/Jn . А

Пример 1 Рассмотрим совокупность упаковок с шоколадом весом 400 г производства компании «Даунбрукс». Вся продукция имеет среднюю арифметическую 400 г и среднеквадратическое отклонение 20 г. Каждый час из произведенной продук­ ции отбираются и взвешиваются по 25 упаковок, а затем фиксируется выбороч­ ное среднее. Эту информацию можно использовать для определения распреде­ ления этих выборочных средних. Мы знаем среднее совокупности ц = 400 и среднеквадратическое отклонение совокупности а = 20, а также объем выборок п = 25. Эти данные позволяют нам определить вероятные значения выборочных средних. Распределение выборочных средних определяется следуюшим образом. Среднее выборочных средних ц = 400 г. Среднеквадратическое отклонение выборочных средних: а _ 20 20 ^ ^ ^ ^ 5 = 4 г. Таким образом, данная информация позволяет нам определить вероят­ ность того, что выборочные средние нахохштся в пределах заданных диапазонов. Например, вероятность того, что выборочная средняя превышает 405 г, пока­ зана вьщеленным участком под кривой на рис. 2.25. Обратите внимание, что среднеквадратическое отклонение, используемое при вычислении z, есть среднеквадратическое отклонение выборочных средних a/JnZ=

405 - 400 , ^^ -^ = 1.25.

По таблице нормального распределения находим, что вьщеленный участок равен 0.10565. Таким образом, существует вероятность в 10.565% того, что вы­ борочная средняя превышает 405 г. На основании той же самой информации мы можем рассчитать ожидаемую вариацию для выборочных средних. Например, при условии нормального распределения 95%-ные доверительные пределы для выборочных средних рассчитываются следующим образом:

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

89

400 ± 1.96 X 4 = 400 + 7.84, т. е. от 392.16 до 407.84 г.

Среднеквадратическое отклонение = -pz = 4 4п

405 Средняя арифметическая ц=400

Рис. 2.25. Распределение выборочных средних Таким образом, мы можем быть на 95% уверены, что любая выборка из 25 упаковок на этом производстве будет иметь среднюю арифметическую от 392.16 до 407.84 г. Это дает основу для определения значимости выборочной средней. Если полученная средняя находится вне ожидаемого диапазона, тогда она на­ зывается «значимой». Значение вне диапазона достаточно маловероятно, и по­ этому оно может подсказать нам, что на производстве возникла проблема. Например, если установлено, что выборка из 25 упаковок имеет среднюю арифметическую, равную 410 г, то, похоже, вес упаковок значительно превы­ шает заданный вес. Поэтому мы должны еще раз проверить производственный процесс и скорректировать его там, где это необходимо. Пример 2 Известно, что дневная выработка трюфелей «Труфл» представляет собой нормальное распределение со средней арифметической 2500 изделий и среднеквадратическим отклонением 300 изделий в день. После запуска новой установ­ ки на производстве в течение 50 дней проводилось выборочное обследование, в ходе которого была зафиксирована среднедневная выработка в 2600 изделий Начальник производственного отдела считает, что это свидетельство того, что запуск новой установки привел к увеличению выработки. Чтобы проверить дан­ ное утверждение, рассмотрим распределение выборочных средних и попробуем установить, насколько сильно изменилось новое значение среднего. Первоначальная совокупность имеет среднюю, равную ц = 2500, и среднеквацратическое отклонение а = 300. Если из этой совокупности взять выборки из 50 значений, то распределение выборочных средних будет иметь среднее ц= 2500 и среднеквадратическое отклонение а/л/« = 300/V50 =300/7.07 = 42 43. Далее, для данной совокупности 95%-ные доверительные пределы значений выборочных средних определяются по формуле: 2500 + 1.96 х 42.43 = 2500 + + 83.16 = от 2416.8 до 2583.2 изделия. Таким образом, для старой установки любая выборка продукции в течение 50 дней, скорее всего, имеет среднюю в данном диапазоне.

90

ГЛАВА 2

Отсюда следует, что выборочная средняя вне этого диапазона маловероят­ на То есть арифметическая средняя, равная 2600, значима, что указывает на маловероятность ее достижения на старом оборудовании. Следовательно, сово­ купность показателей дневной выработки изменилась. Это подтверждает заявле­ ние начальника производственного отдела о том, что при использовании ново­ го оборудования выработка стала другой. 2.17. Проверка гипотезы Процесс, описанный в предыдущем разделе, подвел нас к рассмотрению вопроса о проверке гипотезы. Во многих практических ситуациях мы делаем допущения относительно совокупности, которые, возможно, требуют объек­ тивной проверки. Такие допущения называют «гипотезами», и они могут быть подтверж.1ены или, наоборот, развенчаны с помощью соответствующих крите­ риев проверки гипотезы, в которых задействованы понятия вероятности. В этом разделе мы рассмотрим допущения, включающие понятие средней арифмети­ ческой совокупности, и представим критерии, которые можно использовать при рассмотрении таких допущений. Пример 1 (при известном среднеквадратическом отклонении) В компании «Даунбрукс» полагают, что средний вес определенного щоколадного изделия составляет 400 г. Известно, что среднеквадратическое отклоне­ ние при этом равно 20 г. На линии выборочно обследовали 100 изделий и установили, что среднее арифметическое составляет 402 г. Проверим, опровер­ гает ли данное обследование предположение о средней совокупности. В данном примере мы имеем: в выборке: среднее х = 402, объем выборки п = 100; в совокупности: среднеквадратическое отклонение сг = 20. Исходное допущение (называемое нулевой гипотезой) состоит в том, что средняя совокупности (ц) составляет 400 г. Если это утверждение ложно, тогда альтернативное допущение состоит в том, что средняя не равна 400 г. Процесс формулирования нулевой гипотезы и альтернативной гипотезы можно представить следующим образом: Но: ц = 400 (нулевая гипотеза); Н,: ц ;t 400 (альтернативная гипотеза). Если нулевая гипотеза верна, то совокупность имеет среднюю ц = 400 и среднеквадратическое отклонение о = 20. Если взять выборки из 100 изделий, то распределение выборочных средних (как показано в предыдущем разделе) будет иметь среднюю ц = 400 и среднеквадратическое отклонение а/>/л = = 20/VlOO =20/10= 2. Гипотеза проверяется путем рассмотрения того, является ли полученная выборочная средняя «значимой», иначе говоря, находится ли это значение вне доверительных пределов. Вместо вычисления доверительных пределов и сравне­ ния их с полученным значением мы можем пойти по другому пути. Необходимо только провести расчеты по следующей формуле:

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

91

Это значение затем можно сравнить с таким критическим значением, как 1.96, если мы берем 95%-ные доверительные пределы. Таким образом, в данном примере , ^ х - ц ^ 402-400^ 2 cy/^[^~ 20/л/100 "20/10" Итак, значение z (= 1) меньше 1.96 и поэтому «не значимо» при 95%-ных доверительных пределах. (В том, что касается предыдущего раздела, это означа­ ет, что выборочная средняя находится внутри 95%-ных доверительных преде­ лов.) Следовательно, мы можем принять нулевую гипотезу, т. е. мы принимаем Но. Отсюда следует, что данная выборка не заставила нас усомниться в допуще­ нии того, что средний вес изделия составляет 400 г. Таким образом, мы не можем воспользоваться фактами, полученным в ходе данного выборочного об­ следования, чтобы доказать, что параметры производства не выдерживаются. Пример 2 (среднеквадратическое отклонение неизвестно)

Когда мы пользуемся критериями проверки гипотезы на практике, средне­ квадратическое отклонение совокупности нам, как правило, не известно. Обычно среднеквадратическое отклонение рассчитывается на основе выбо­ рочного значения. Среднеквадратическое отклонение совокупности обычно обо­ значается как ст, а среднеквадратическое отклонение выборки — как s. Формула для Z, используемая для проверки гипотез по больщим выбор­ кам, может быть дополнена среднеквадратическим отклонением выборки, как это показано ниже: _ X- ц _

X - \х

п-1 Эта преобразованная формула, включающая среднеквадратическое откло­ нение выборки {s), получена путем определения «наилучшего» значения среднеквадратического отклонения совокупности (а), что мы сейчас и опишем. Дисперсия совокупности будет, скорее всего, несколько больше дисперсии выборки, и поэтому «наилучшее» значение получается по следующей формуле: 2

«

2

п-1 Путем перестановки получаем п

п-\

и наконец, после извлечения квадратного корня получаем

92

ГЛАВА 2

л/л

л/« - 1

Таким образом, мы приходим к формуле, представленной вначале. Значение z затем можно сравнить с 1.96 при 5%-ном уровне значимости, т. е. при 95%-ных доверительных пределах, или же с другими значениями, например 2.58 при 1%-ном уровне значимости, т. е. при 99%-ных доверительных пределах. Рассмотрим следующий пример: предполагается, что среднедневной доход компании от реализации составляет 2000 долл. США. В течение 20 дней выбо­ рочной проверки средний доход от реализации составил 1800 долл. США в день со среднеквадратическим отклонением 300 долл. США в день. Проверьте допу­ щение с помощью соответствующих критериев оценки гипотезы. Имеем: нулевая гипотеза HQ: |I = 2000; альтернативная гипотеза Н,: ц т^ 2000. Мы можем проверить это на основе выборки, объем которой п = 20, выборочное среднее х = 1800 и среднеквадратическое отклонение s = 300. Имея эти значения, рассчитаем z по формуле _ х - ц ^1800-2000 _ -200 _ -200 ^-200 _ ^ V ^ / ^ ^ ~ ЗОО/л/20^ " ЗОО/л/i? ~ 300/4.359 " 68.82 "

' "

Значение z — 2.91 больще 1.96 и поэтому значимо при 5%-ном уровне значимости. (Обратите внимание, что в данном случае при определении значи­ мости результата знак не играет роли.) Это говорит о том, что нулевая гипотеза скорее ложна. Поэтому мы отбрасы­ ваем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную. На основании выборки мы заключаем, что средняя совокупности вряд ли равна 2000 долл. США. Другими словами, среднедневной доход в этой компании, вероятно, не равен 2000 долл. США. С помощью такого рода критериев оценки гипотез мы можем исследовать характеристики совокупности на основании выборочных данных.

2.18.

Упражнения: доверительные пределы и значимость

1. (Е) Имеется нормальная совокупность со средним, равным 240, и сред­ неквадратическим отклонением, равным 60. (i) Найдите 95%-ные доверительные пределы для значений в данной сово­ купности. (ii) Если из данной совокупности взять выборку из 100 единиц, то каковы 95%-ные доверительные пределы для выборочного среднего? 2. (1) Стоимость заказов, поступающих на предприятие, обычно представ­ ляет собой нормальное распределение со средней стоимостью 20 000 ф. ст. и среднеквадратическим отклонением в 5000 ф. ст. Имеется портфель в 100 заказов. Найдите, какова вероятность того, что средний заказ (выборочная средняя) и.меет стоимость свыще 21 000 ф. ст. 3. (I) Количество заказов, поступающих на предприятие, обычно представ­ ляет собой нормальное распределение со средним количеством 120 заказов в неделю и среднеквадратическим отклонением 42 заказа в неделю.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

93

(i) Для периода в 10 недель определите вероятность того, что среднее количество заказов, полученных за неделю, составит: а) свыше 140; б) менее 135; в) между 115 и 130. (ii) Найдите 95%-ные доверительные пределы для среднего количества заказов, полученных за этот десятинедельный период. (iii) Вы удивитесь, если среднее количество заказов, полученных за деся­ тинедельный период, составляли 150? Обоснуйте свой ответ, а также изложите выводы, которые можно было бы сделать на основании такого значения. 4. (D) В течение 1996 г. в клинике Св. Иосифа количество необходимых коек представляло собой нормальное распределение со средним арифметическим 1800 вдень и среднеквадратическим отклонением 190 вдень. В течение первых 50 дней 1997 г. среднедневная потребность в койках составила 1830. Один из старших администраторов клиники заявил, что это является доказательством того, что потребности в койках изменились по сравнению с 1996 г. Вы согласны с этим? Значима выборочная средняя за 1997 г.?

2.19. Краткое содержание главы В данной главе рассматривается понятие вероятности и ее применение в различных хозяйственных ситуациях. Вероятность используется для отражения возможности наступления альтернативных событий в условиях неопределенно­ сти. Руководитель может получить преимущество, если он знаком с методами определения вероятности и использует их при принятии решений. В данном контексте в качестве одного из методов мы рассмотрели определение вероятно­ сти с помощью дерева решений. Дерево решений можно использовать для ото­ бражения нескольких возможных решений и их последствий в числовом изме­ рении в том, что касается, например, затрат, прибыли, доходов. Следует отме­ тить, что, несмотря на свою полезность, при описании вариантов возможных решений данный метод лишь частично затрагивает всю проблемную область. Например, предполагается, что пользователь метода знает вероятности наступ­ ления случайных событий, представленных в дереве решений. В целом, эффек­ тивное использование дерева решений возможно только в сочетании с другими методами, и только тогда, на основании всей имеющейся информации, можно сформулировать реалистичные решения. В этой главе мы также рассмотрели распределение вероятностей. В частно­ сти, нормальное распределение, определяемое значениями средней арифмети­ ческой и среднеквадратического отклонения. Непрерывное распределение веро­ ятностей играет важную роль, оно возникает в ряде реальных ситуаций и осо­ бенно полезно при рассмотрении результатов выборочного обследования. На­ пример, независимо от формы распределения, очерчиваемой исходной сово­ купностью, при взятии больших выборок и определении значений средних эти средние имеют тенденцию, что является фактом, приближаться к нормальному распределению. Знание такого распределения позволяет оценить вероятности различных переменных, например результаты оценочных тестов, критические объемы производства, поступление пациентов и длительность реализации про­ екта. Далее, нормальное распределение можно использовать при прогнозирова­ нии вероятностного диапазона получаемых значений, что достигается путем оценки участков под нормальной кривой. Это лежит в основе некоторых прак-

94

ГЛАВА 2

тических действий, например, проведения контроля качества, когда выборки сравниваются с отрицательными значениями, а затем в зависимости от резуль­ татов обследования принимаются соответствующие меры. Значения, лежащие вне «ожидаемого» диапазона, называются «значимыми». Понятие «значимости» можно использовать в процессе проверки гипотез. В данной главе мы рассмот­ рели один из методов проверки гипотез, в котором фигурировала средняя арифметическяя совокупность. И наконец, в главе приведены примеры на основе компьютерных программ по вопросам определения вероятностей, доверитель­ ных пределов и значимости выборочного среднего.

2.20. Дополнительные упражнения 1. (Е) Из прошлого опыта известно, что 10% работников опаздывают на работу, а другие 4% работников ежедневно отсутствуют на работе. (i) Найдите вероятность того, что в какой-то день работник: а) не опоздает на работу; б) не будет отсутствовать. (ii) Для двух не связанных между собой дней определите вероятность того, что работник: а) опоздает в каждый из этих дней; б) опоздает в первый день и будет отсутствовать на второй; в) будет на месте в оба дня; г) будет отсутствовать в один из дней; д) будет отсутствовать в один из дней и не опоздает в другой день. 2. (Е) Вероятность поступления в приемный покой клиники Св. Иосифа пациента в любую данную минуту составляет 0.4. (i) Определите вероятность того, что за две последовательные минуты: а) не поступит ни одного пациента; б) пациент поступит только во вторую минуту; в) пациенты поступят в обе минуты; г) поступит только один пациент. (ii) Дежурный по приемному покою на пять минут оставляет свое рабочее место для решения административного вопроса. Какова вероятность того, чтс по возвращении его будут ожидать пациенты? 3. (I) Промышленная группа «Уокер энд Шмидт» наняла менеджера пс управлению рисками, с тем чтобы тот оценил риски, связанные с рядом дей­ ствий, и разработал защитные варианты на случай возникновения серьезны\ осложнений. Для выполнения поставленной задачи менеджер должен рассмот­ реть ряд потенциально неблагоприятных исходов, которые могут повлиять на деятельность компании, особенно в том, что касается вопросов производства и транспортировки. В связи с этим менеджер оценивает вероятность наступления некоторых событий с целью выработки приоритетов в отношении требуемьи защитных мер. (i) Менеджер установил, что вероятность серьезного пожара, который приводит к остановке производства, в любой данный месяц составляет около 2%. Это считается неприемлемым, что подтверждается рассмотрением следую­ щих вероятностей. Определите вероятность того, что пожаров не будет: а) в течение 3-х месяцев; б) в течение 6-ти месяцев; в) в течение 2-х лет.

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

95

Каковы выводы для компании по данной ситуации? (и) Вероятность взлома или кражи товара в любую данную неделю состав­ ляет 1% Какова вероятность того, что: а) в течение четырех недель взломов не будет; б) в течение четырех недель будет зафиксирован по меньшей мере один взлом 4 (1) (О Станки, используемые в основной производственной зоне компа­ нии «Уокер и Шмидт», производят оценочно готовой продукции на 300 000 долл США в день каждый. Отсюда видно, что остановка одного из станков на продолжительное время может нанести компании серьезный ущерб. Вероят­ ность того, что какой-то станок встанет в любой данный день, оценивается равной О 03 У компании в наличии пять таких станков. С помощью биноминального распределения определите вероятность того, что в любой данный день: а) не сломается ни один из станков; б) только один станок сломается; в) по меньшей мере два станка выйдут из строя. Как компания может исправить положение? (И) В среднем в компании два небольших несчастных случая на производ­ стве в месяц. С помощью распределения Пуассона оцените вероятность того, что в любой данный месяц число небольших несчастных случаев составит: а) менее двух; б) более трех. 5 (1) Автоматическая упаковочная машина, применяемая компанией «Даунбрукс», пакует шоколадные изделия в упаковки со средним весом 500 г и среднеквадратическим отклонением в 5 г. Если вес упаковок представляет собой нормальное распределение: (О Определите вероятность того, что произвольно выбранная упаковка будет весить' а) до 496 г, б) до 486 г; в) свыше 510 г. (и) Найдите 95%-ные доверительные пределы для веса упаковок. (ill) Компания стремится к тому, чтобы вес любой упаковки не отличался от официально проставленного более чем на 10 г. В случае нарушения этого параметра покупателю предоставляется право на получение возмещения пол­ ной стоимости покупки. Каков вероятный процент покупателей, которые по­ требуют такое возмещение? (iv) Компания «Даунбрукс» поставляет эти упаковки в крупную сеть роз­ ничных магазинов. Розничные магазины осуществляют жесткий контроль каче­ ства, включая проведение выборочных проверок поставленной продукции. Так, проверяется вес ящика (144 упаковки) и определяется средний вес упаковки. Поставленная партия полностью возвращается компании «Даунбрукс», если средний вес в партии составляет менее 499 г. Исходя из этого определите, каков вероятный процент возвратов. Каковы последствия этого для руководства компания'' Как они могут исправить положение? 6 (I) Компания «Зендалл» производит и сбывает товары для дома, в том числе различные моющие порошки. Недавно компания разработала новое мою­ щее средство и теперь хочет организовать его продвижение на рынок. По оцен­ кам компании, рекламная кампания товара, приблизительной стоимостью в 2

96

ГЛАВА 2

млн. ф. ст., обеспечит ему 80% шансов на успех. По результатам маркетингового исследования компания оценивает, что с такой рекламной поддержкой товар может принести доход в сумме 6 млн ф. ст.; если же товар провалится, то доход составит только ].5 млн. ф. ст. Результаты исследования, а также опыт запуска товаров говорят о том, что без такой рекламной поддержки вероятность успеха составит только 40%. Также без предварительной рекламной кампании товар даже в случае успеха на рынке принесет доход, равный только 4.5 млн. ф. ст., а в случае провала — 0.7 млн. ф. ст. С помощью дерева решений дайте компании совет относительно того, начинать рекламную кампанию или нет. 7. (D) Крупная консультационная компания по вопросам управления, на­ ходящаяся в Лондоне, должна принять решение об установке новой компью­ терной системы. Компания предварительно отобрала три системы (А, Б и В), которые, как в ней считают, ей подходят. Однако системы существенно разнят­ ся по возможностям и цене: система А стоит 1.5 млн. ф. ст., система Б — 2 млн. ф. ст., а система В — 4 млн. ф. ст. Кроме того, также разнится и ожидаемая отдача от этих систем в течение 5 лет: для системы А она составляет 3 млн. ф. ст., для системы — 5 млн. ф. ст., а для системы В — 6.5 млн. ф. ст. Ряд других компаний уже установили у себя систему В, и она считается полностью надежной. Веро­ ятность полной надежности других систем такова: для системы А она составляет 60%, а для системы Б — 80%. Если компания установит либо систему А, либо систему Б и такая система проявит себя неудовлетворительно, тогда будет не­ обходимо принимать решение относительно либо модификации системы, либо покупки взамен другой. Стоимость модификации любой из систем составляет 1 млн. ф. ст. Но если новая система проявит себя хорошо, то трудностей никаких нет; если же плохо, тогда придется решать относительно того, модифицировать ли эту вторую систему или же установить систему В. С помощью дерева решений проиллюстрируйте ситуацию и дайте компа­ нии рекомендации, какие действия лучше всего предпринять. Прокомменти­ руйте приемлемость данного метода. Какие другие вопросы, по вашему мне­ нию, должны быть учтены при принятии данного решения. 8. (I) В компании «Даунбрукс» 6% персонала — менеджеры, 10% — адми­ нистраторы и 30% связаны с реализацией. Остальные заняты на производстве. Если произвольно выбрать двух работников из общего списка, то какова веро­ ятность того, что: а) оба окажутся менеджерами; б) никто из них не занимается реализацией; в) только один занят на производстве; г) только один не является администратором; д) один — менеджер, а другой занимается реализацией. 9. (D) В клинике Св. Иосифа рассматривается вопрос приобретения нового сканера для замены в научно-исследовательском отделе имеющегося, требую­ щего серьезного усовершенствования. Имеется три варианта: (i) купить новый сканер стоимостью 1 млн. долл. США; (ii) модифицировать имеющийся, затра­ тив 0.6 млн. долл. США; (iii) оставить все как есть. В случае приобретения нового сканера отдача от него оценивается в 2 млн. долл. США. Однако существует 20%ная вероятность того, что новый сканер все же потребует доработки и это обойдется еще в 0.2 млн. долл. США, прежде чем он заработает на полную мощность. Аналогично, если модифицировать имеющийся сканер, существует все же вероятность в 10%, что потребуется проводить дополнительные работы,

о с н о в ы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

97

стоимостью 0.1 млн. долл. США. Оценочный доход от модифицированного ска­ нера составляет 1.5 млн. долл. США, но при этом он все же будет уступать в производительности новому. Если оставить все, как есть, то оценочный доход составляет только 0.6 млн. долл. США. Что вы порекомендуете клинике в данной ситуации? 10. (I) Число отсутствующих на работе работников в среднем составляет 3 человека в день. Невыходы на работу в компании носят случайный характер. С помощью распределения Пуассона определите вероятность того, что в любой данный день число отсутствующих будет: (i) ноль человек; (ii) только один человек; (iii) менее двух человек; (iv) минимум три человека. 11. (I) Пациентки поступают случайным образом в родильное отделение клиники Св. Иосифа с частотой 6 человек в час. Какова вероятность того, что в течение получаса: (i) не поступит никто; (И) поступит менее двух пациенток; (iii) поступит более трех пациенток. 12. (D) Известно, что среднедневный объем производства на сборочной линии составляет 1200 единиц. После введения новой системы вознафаждения и предоставления льгот производственным рабочим в течение 50 дней было проведено выборочное обследование, в ходе которого было установлено, что среднедневный объем выпуска составил 1240 единиц со среднеквадратическим отклонением 150 единиц. Начальник отдела кадров утверждает, что новая сис­ тема вознафаждения и предоставления льгот привела к изменению объема выпуска. С помощью метода оценки гипотезы проверьте допущение, что сред­ недневный объем выпуска так и остался равным 1200 единицам. Прокомменти­ руйте полученные результаты.

Глава 3

СООТНОШЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВЫ

> Отображение соотношений > Линейная и нелинейная зависимость > Линейный коэффициент корреляции > Ранговая корреляция > Интерпретация коэффициента корреляции > Коэффициент детерминации > Линия «наилучшего соответствия» > Методы регрессии > Нелинейная зависимость > Множественная регрессия ЦЕЛИ: ^ научить анализу зависимости между двумя переменными с помощью фафических методов > научить вычислять коэффициенты корреляции с целью определения силы зависимости >> научить использовать методы регрессии для получения простых прогно­ зов > разъяснить различия между линейной и нелинейной зависимостью ^ научить использованию зависимости в хозяйственных ситуациях при принятии управленческих решений Введение В предыдущих главах мы рассмотрели основы анализа единичных перемен­ ных, как-то заработной платы, объема производства, рентабельности и объема продаж Во многих хозяйственных ситуациях для проведения реалистичного анализа необходимо рассмотреть соотношение таких значений Часто бывает так, что в какой-то конкретной ситуации две или более переменных соотносят­ ся дру1 с другом Например, заработную плату можно увязать с объемом про­ изволе гва, объем продаж определяется затратами на рекламу, прибыль соотно-

СООТНОШЕНИЯ

99

сится с затратами. Знание соотношения между различными переменными мо­ жет сослужить добрую службу при принятии управленческих решений. Напри­ мер, такой показатель, как объем продаж, зависит от расходов на рекламу или влияет ли увеличение заработной платы, на рост объема производства, способ­ ствует принятию стратегии управления. Более того, такие соотношения могут быть полезны при составлении базисных прогнозов. Например, если увеличить расходы на рекламу на такую-то сумму, как изменится объем продаж? Или, насколько надо увеличить расходы на рекламу, чтобы добиться 5%-ного увели­ чения объема продаж? Вот такие вопросы мы и рассмотрим в этой главе. Конкретный пример

Компания «Петлокс»

Компания «Петлокс» основана в 1876 г. в Бостоне, штат Массачусетс. Ком­ пания производит на основе крупяных продукты к завтраку. Среди ее популяр­ ных продуктов — Wheat Flakes, Barley Crisps и Rice Pops. За последние годы компанией разработаны новые продукты, в том числе Petlocks Swiss Muesli, который стал второй по популярности маркой после Wheat Flakes. Основное производство компании «Петлокс», как и раньше, находится на окраине Бостона Кроме того, имеются производственные и складские объекты в Джексоне, штат Миссисипи, в Тусоне, штат Аризона, и Миннеаполисе, штат Миннесота. Головная контора находится в Бостоне и включает отделы маркетинга, сбыта, материально-технического обеспечения и НИОКР. В компа­ нии занято свыше 2000 человек (с учетом обособленных подразделений). Джо Симмонс, начальник отдела маркетинга, последние четыре года от­ слеживает ход реализации всех продуктов компании. В рамках осуществления контроля он затребовал провести исследование соотношения объемов продаж всех продуктов. Кроме того, осушествляется сбор информации по основным конкурентам компании «Петлокс» на этом рынке: в частности, фиксируются и анализируются объемы продаж по основным маркам. Такая информация позво­ ляет Симмонсу делать ценные прогнозы по объемам продаж ряда продуктов, исходя изданных прошлых лет по самой компании и по ее конкурентам. Кроме того, Симмонс затребовал от отдела сбыта предоставить отчет об эффективноста прошлой рекламы, а также включить в него анализ соотношения расходов на рекламу и объема продаж. Конкретный пример

Компания «Квик-Тайм Коуч»

Компания «КТК» владеет парком из 240 автобусов, которые распределены по шести региональным отделениям по всей территории Великобритании. От­ деления находятся в Ньюкасле, Саутге.мптоне, Кардиффе, Данди, Ланкастере и Бирмингеме. Каждое отделение имеет свой парк от 30 до 50 машин. Автобусы (с водителями «КТК») предназначены для частного найма. Много автобусов арендуется местными организациями, которые используют их для регулярных поездок, например для перевозки работников на работу и с работы. Иногда автобусы сдаются в аренду частным лицам и предприятиям. Некоторые туристаческие компании время от времени арендуют автобусы для проведения экс­ курсий, дневных прогулок, а также для более продолжительных, недельных или двухнедельных, поездок в Европу.

100

ГЛАВА 3

Головная контора «КТК» находится по месту расположения отделения в Ланкастере и состоит из 350 человек административного, управленческого и технического персонала. Каждое региональное отделение имеет в своем составе аппарат управления во главе с директором отделения. В аппарат также входят начальник транспортного отдела и начальник отдела сбыта. Всего в компании работает 800 штатных и внештатных сотрудников. Начальник отдела кадров головной конторы занят в настоящее время ана­ лизом порядка отбора и приема на работу, который ныне действует в «КТК» Например, отбор всех руководителей низшего звена осуществляется на основа­ нии результатов прохождения профессиональных тестов, собеседований и ис­ пытательного периода Лайза Грегори, которая является начальником отдела кадров, считает, что нынешние подходы компании к вопросам подбора персо­ нала могут быгь усовершенствованы без ущерба для качества принимаемых решений относительно пригодности того или иного кандидата. Она предложила консультантам рассмотреть данную проблему и подготовить отчет по ряду воп­ росов, в том числе о соотношении между результатами, полученными канди­ датами на различных этапах, а также о том, можно ли было предугадать неко­ торые результаты на более ранних этапах. Кроме того, Грегори запросила ана­ лиз пригодности текущей практики отбора, исходя из результатов, полученных кандидатами, и их нынешних показателей работы.

3.1. Отображение соотношений При использовании многих аналитических методов на первом этапе часто полезно попытаться фафически отобразить полученные данные. Такой подход может привести к решению задачи, и отпадет необходимость прибегать к сложным ана­ литическим приемам. Но, к сожалению, фафическое отображение данных часто недооценивают в качестве инструмента делового общения. График разброса поле­ зен с точки зрения иллюстрации возможного соотношения наборов данных. На последующих примерах мы рассмотрим, как пользоваться этим фафиком. Пример 1 В таблице приведены данные по месячным объемам продаж двух популяр­ ных марок продуктов, производимых компанией «Петлокс». (Значения приведе­ ны в млн. до.тл. США).

Barley Krisps Rice Pops

Янв.

Февр.

3,0 2,6

3,4 2,4

Месяц Март Апр. 3,8 2,8

4,1 3,2

Май

Июнь

3,9 2,7

4,4 3,2

Объемы продаж двух продуктов можно проиллюстрировать с помощью фафика разброса. График разброса на рис. 3.1 содержит несколько точек, пред­ ставляющих пары значений из таблицы. Оси фафика представляют только по одной переменной каждая. На рис. 3.1 горизонтальная ось соответствует объему продаж Barley Krisps, а вертикальная ось — Rice Pops. Каждая точка офажает объем продаж двух продуктов за данный месяц. Например, в январе, когда

СООТНОШЕНИЯ

101

объем продаж Barley Krisps достиг 3 млн. долл. США, объем продаж Rice Pops составил 2.6 млн. долл. Это показано одной точкой на графике. Как это видно из графика, между двумя наборами данных, по-видимому, существует взаимосвязь. Точки лежат в узкой области, протянувшейся от левого низа к правому верху графика. Это указывает на то, что низкие месячные объемы продаж Barley Krisps обычно соответствуют низким объемам продаж Rice Pops. Таким образом, увеличение объема продаж одного продукта будет обычно соответствовать увеличению объема продаж второго продукта. Соотно­ шение, конечно же, не идеально, что видно из цифр за январь и февраль. В эти два месяца объем продаж Barley Krisps рос, а у другого продукта он падал. Из фафика нельзя сделать вывод о том, существует или нет определенное соотношение между данными объемов продаж. Однако из фафика точно видно, что связь между двумя продуктами вероятна. Месячный объем продаж (млн долл. США)

2.5

30

35

4 Barley Krisps

45

50

Рис. 3 . 1 , Сравнение объемов продаж

Пример 2 Группа из восьми предварительно отобранных кандидатов на руководящую должность в компании «КТК» проходила оценочные тесты. Результаты двух тестов, оценивавших пригодность кандидатов с точки зрения знания основ проведения расчетов и вычислений, а также умения логически излагать свои мысли, приведены в таблице: Кандидаты Математика Логика речи

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

3

12 16

14 19

15 21

15 15

18 22

19 17

20 13

23 21

График разброса для этого набора данных представлен на рис. 3.2. Горизон­ тальная ось показывает баллы кандидатов за тест по математике, а вертикаль­ ная ось — баллы за тест по логике речи. Точки разбросаны по значительной области фафика, указывая на то, что между двумя наборами баллов не суще­ ствует очевидной взаимосвязи. Например, кандидат, получивший наибольшее количество баллов по логике речи, получает «средний» балл по математике. Аналогично, кандидат, получивший наименьшее количество баллов по логике

102

ГЛАВА 3

речи, хорошо справился с тестом по математике. Таким образом, из графика видно, что два оценочных теста дают крайне различные результаты. Кандидат хорошо выполняюший задания одного из тестов, необязательно столь же ус­ пешно справится со вторым. В целом результаты одного из тестов не позволяют предсказать результаты второго теста.

14 16 18 20 22 Баллы за тест по математике

24

26

Рис. 3.2. Сравнение результатов тестов Данное обстоятельство ставит под сомнение пригодность этих двух те­ стов для использования при отборе кандидатов на предлагаемую должность Если полученные результаты не связаны, тогда тесты, возможно, дают не значащую информацию, что вредно при отборе наилучшего кандидата на предлагаемую должность. Из графика видно, что два теста проверяют не связанные друг с другом навыки и умения. Таким образом, начальник отде­ ла «КТК» может заключить, что при отборе нецелесообразно использовать оба эти теста. И наоборот, возможно, тесты специально используются для проверки различных навыков. Политика «КТК» может быть ориентирована на отбор только тех кандидатов, кто хорошо себе проявит в обоих тестах Отсюда, в нашем примере, только кандидат 3, похоже, обладает необходи­ мыми навыками. 3.2. Линейная и нелинейная зависимость Как мы уже отметили в предьщущем разделе, фафик разброса может по­ мочь в определении, имеется или нет зависимость между двумя наборами дан­ ных. Если зависимость существует, то она либо линейная, либо нелинейная Линейная зависимость представлена прямыми линиями, а нелинейная зависи­ мость — кривой. На последующих примерах мы покажем соотношения обоих типов. Пример 1 Рассмотрим приведенную ниже таблицу, в которой отражены объемы про­ даж компании «Петлокс» за 10 лет. (Цифры обозначают объемы продаж, выра­ женные в млн. упаковок Barley Krisps):

СООТНОШЕНИЯ

Год: Объем

1988

1989

19

22

продаж:

1990 1991

27

26

1992

1993

30

32

1994 1995

36

37

103

1996 1997

39

42

Рис. 3.3. График объема продаж На рис. 3.3 эти данные представлены в виде фафика разброса. По горизон­ тальной оси указан год, а по вертикальной оси — объем продаж в млн. упаковок. Из фафика видно, что между годом и объемом продаж, похоже, существу­ ет некая зависимость. В принципе, объем продаж увеличивается с каждым го­ дом. Зависимость не идеальна, хотя точки лежат очень близко к прямой линии, что видно на графике. Таким образом, зависимость между годом и объемом продаж, скорее всего, линейная. Пример 2

А теперь рассмотрим не количественный объем продаж, а выручку от реали­ зации компании «Петлокс». В таблице приведена годовая выручка от реализации «Barley Krisps» за аналогичный десятилетний период. (Цифры обозначают млн. долл. США): Год: 1988 Выручка от реа­ лизации: 14

1989 1990 1991 15

17

20

1992 1993 1994 1995 1996 1997 24

30

48

49

59

67

Эти данные представлены на рис. 3.4. И снова, похоже, фафик разброса показывает на существование зависимости между годом и объемом выручки. Точки, нанесенные на графике, больше соответствуют кривой, а не прямой линии, как это показано на графике. Такой тип нелинейной зависимости часто возникает при отображении данных экономического характера, где инфляционные процессы искажают исходные цифры. Возможно, если дан­ ные, представленные в нашем примере, сравнить в реальном выражении, без учета инфляции, то полученный в результате график представит линей­ ную зависимость. Для подтверждения этого необходим дальнейший анализ фактических данных.

ГЛАВА 3

104

'92 93 Годы

Рис. 3.4. График выручки от реализации 3 . 3 . Линейный коэффициент корреляции Как это уже было показано в предыдущих разделах, график разброса можно использовать для иллюстрации того, имеется или нет зависимость между двумя переменными. Однако полученный фафик может оказаться достаточно субъектив­ ным. При использовании фафика наличие или отсутствие зависимости между дан­ ными все же зачастую определяется исходя из личного мнения. Рассмотрим, на­ пример, фафик на рис. 3.1. Точки разбросаны в достаточно широком диапазоне. Похоже, что большие значения одной переменной соответствуют большим значе­ ниям другой и, наоборот, малые значения двух переменных соответствуют друг другу. Однако зависимость не является идеальной, и, возможно, если нанести еще несколько точек, мы, вероятно, получим еще больший их разброс. И наоборот, дополнительные точки на фафике могут указать на более сильную зависимость. Таким образом, мы видим, что фафик не может дать определенного ответа отно­ сительно того, есть или нет зависимость между переменными. График разброса — это субъективный аналитический инструмент, и здесь требуется более объектив­ ный подход. Такой подход может заключаться в вычислении коэффициента корре­ ляции, о чем мы будем говорить в этом разделе. Степень «прямолинейной» зависимости можно измерить с помощью Пирсоновского коэффициента корреляции. Это значение, обычно просто называемое линейным коэффициентом корреляции, измеряет степень линейной зависимости между двумя переменными хиуи рассчитывается по следующей формуле: г=

Y,xy-nxy

^(Zx'-nxl^y'

пу')

Значение линейного коэффициента корреляции, обозначаемое как г, ле­ жит между —1 и +1. Значения, близкие к +1 или —1, указывают на хорошую корреляцию между двумя переменными. Графики разброса, представленные на рис. 3.5, иллюстрируют различные коэффициенты корреляции для различных наборов данных. Эти фафики должны помочь нам понять и интерпретировать диапазон вероятных значений г

СООТНОШЕНИЯ

105

На рис. 3.5 (i) представлена ситуация, когда имеется идеальная корреляция между двумя переменными. Все точки фафика лежат точно на прямой линии. Имеется прямая (или положительная) корреляция между двумя переменными, так как увеличение значения одной переменной всегда соответствует увеличе­ нию значения другой переменной. Это можно отобразить прямой линией с положительной крутизной. Линейный коэффициент корреляции в данной ситу­ ации будет равен +1. График разброса на рис. 3.5 (ii) показывает ситуацию, когда имеется неко­ торая степень положительной корреляции. Точки лежат в узкой полосе, направ­ ленной слева направо и вверх. Данный фафик схож с фафиком на рис. 3.1. (I) Идеальная корреляция 30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

О

О 4

6

8

10

(li) Некоторая положительная корреляция

0

12

(III) Отсутствие корреляции 30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

О

О 10

12

14

2

4

6

8

10

12

14

(IV) Некоторая отрицательная корреляция

О

10

12

14

(V) Идеальная обратная корреляция

Рис. 3.5. Сравнение коэффициентов корреляции График на рис. 3.5 (ii) показывает, что увеличение значений одной пере­ менной соответствует увеличению значений второй переменной. В этом случае значение коэффициента корреляции будет близко к +1, например, значения порядка 0.8 или 0.9 вполне вероятны. Линейный коэффициент корреляции тем ближе к +!, чем точки ближе к прямой линии. На рис. 3.5 (iii) представлена ситуация, при которой между двумя перемен­ ными нет зависимости. Точки разбросаны по всему фафику, так что невозмож­ но проследить какой бы то ни было логики. В этом примере коэффициент корреляции будет близок или равен нулю. На рис. 3.5 (iv) показана определенная степень отрицательной (или обрат­ ной) зависимости. Точки лежат вразброс в узкой полосе, направленной слева направо и вниз. Это указывает на то, что увеличение значений одной перемен­ ной соответствует уменьшению значений другой переменной В этом случае значение коэффициента корреляции будет офицательным и стремиться к —1, т.е., например, могут быть получены значения порядка —0.7, —0.8.

106

ГЛАВА 3

На последнем графике, рис. 3.5 (v), показана идеальная обратная корреля­ ция между лв>мя переменными. Все точки лежат на прямой линии с отрица­ тельной крутизной. Это указывает на то, что когда значения одной переменной увеличиваются, мы можем быть уверены, что значения другой переменной буду1 уменьшаться. Такие данные дадут коэффициент корреляции, равный —1 Т Определение. Коэффициент корреляции является инструментом измерения тесноты линейной зависимости между двумя переменными. Значение коэффициеь та корреляции находится в пределах от — / до +7. А С тем, чтобы лучше уяснить сущность коэффициента корреляции, целесооб­ разно рассмотреть еще один фафик разброса. Нельзя не обратить внимание на тот факт, что значение г только определяет степень корреляции между двумя пере­ менными. Это просто показатель «прямолинейной» зависимости переменных. Таким образом, мы можем получить нулевое значение коэффициента кор­ реляции даже в том случае, если между двумя переменными существует опре­ деленная зависимость. Такая ситуация представлена на рис. 3.6. Значение г на основании л и х данных, скорее всего, близко к нулю, хотя со всей очевидно­ стью ясно, 410 между переменными существует идеальная зависимость.

О

2

4

6

8

10

12

14

Рис. 3.6. Отсутствие прямолинейной зависимости Одгоко данную зависимость можно рассматривать как нели1(ейную; можно соединить все точки фафика разброса плавной кривой. Отсюда, хотя между переменными и существует определенная зависимость, эта зависимость — не пря.молинейная, и потому корреляция равна нулю. Пример 1 Рассмотрим значения х тл у, приведенные в таблице: х1 2 3 4 5 у 3 5 7 9 11 Мы предоставляем вам возможность самостоятельно нарисовать фафик разброса, чтобы отобразить пары значений х я у. Видно, что между двумя пе­ ременными существует прямая зависимость. Все точки лежат на прямой линии, показывая идеальную корреляцию. Таким образом, как нам уже известно, ко­ эффициент корреляции должен быть равен +1. Данный пример будет использо­ ваться Д;'1я иллюстрации методов вычисления коэффициента корреляции. Коэф­ фициент корреляции рассчитывается путем нахождения соответствующих сумм

СООТНОШЕНИЯ

107

Z^^ • ИУ'^ ^ Ц^У • Кроме того, для расчета средних, х и у, будут использова1ься суммы Х-^ и ИУ • Нижеприведенная таблица используется для расчета искомых сумм. Значе­ ния X и у приведены в первых двух колонках, а остальные колонки использу­ ются для вычисления искомых значений.

Итого:

1 2 3 4 5 15

3 5 7 9 11 35

1 4 9 16 25 55

у2

ху

9 25 49 81 121 285

3 10 21 36 55 125

Суммы, полученные из данной таблицы, таковы: 1 х = 15; Х У = 35; ^х^ = 55; ^.У^ = 285; 1 х у = 125. Таким образом, средние значений х и у могут быть вычислены следующим образом: _ 1х

15 -

х = ^ ^ = — = 3; п 5

п 5 Теперь мы можем вычислить линейный коэффициент корреляции: J^xy-nxy

125-5-37

'(Tx'-nx'lZy'-nf) 125-105 ^(55-45)(285-245)

^(55-5.32)(285-5-72) 20 20 20 ^(10)(40) V400 20

Следовательно, как и ожидалось, значение г равно +1. Это указывает на идеальную корреляцию между двумя переменными. Пример 2

Рассмотрим вновь количество баллов, полученных кандидатами при про­ хождении ими двух оценочных тестов. Итак, результаты таковы:

Математика (х) Логика речи (у)

А

Б

В

Кандидат Г Д

12 16

14 19

15 21

15 15

18 22

Е

Ж

3

19 17

20 13

23 21

Степень корреляции можно вычислить с помощью уже описанного коэф­ фициента корреляции. Мы имеем два набора данных: баллы за математику и

ГЛАВА 3

108

логику речи. Их можно обозначить двумя переменными х и у, как это показано в таблице Теперь с помощью таблицы можно вычислить линейный коэффици­ ент корреляции Итак, согласно таблице мы имеем следующие суммы: Хх= 136; Zy= 144; ^х^ = 2404; Х>'^ = 2666; ^ху= 2460. Таким образом, средние значений х и у определяются следующим образом

п

144 8 ху

Итого:

12 14 15 15 18 19 20 23

16 19 21 15 22 17 13 21

144 196 225 225 324 361 400 529

256 361 441 225 484 289 169 441

192 266 315 225 396 323 260 483

136

144

2404

2666

2460

Значение коэффициента корреляции составляет: г-

Y^xy-nxy _ 2460-817-18 ^{Т.х^-пх^^у^ -пу^) ^(2405-8172)(2666-818^)

2460 - 2448 \/(2404-2312X2666-2592)

12

12

12

л/9274 л/бШ 82.511

Следовательно, г = 0.145. Таким образом, значение г близко к нулю, указывая на то, что корреля ция между двумя наборами результатов тестов маловероятна. Это может приве­ сти к пересмотру перечня тестов для использования при отборе кандидатов н; должности, предлагаемые «КТК». Более глубокая интерпретация фактического значения коэффициента корреляции будет рассмотрена далее в тексте это? главы. В частности, для точности определения коэффициента корреляции необ­ ходимо учитывать объем выборки. 3.4. Упражнения: корреляция 1. (Е) Наборы данных отражают результаты группы кандидатов при про­ хождении ими тестов. С помощью фафика разброса проиллюстрируйте пол)ченные результаты, а также вычислите коэффициент корреляции для каждок случая. Прокомментируйте зависимость между результатами двух тестов в каж дом из примеров:

СООТНОШЕНИЯ

(i)

Кандидат Тест X Тест Y (п) КандидатТест L Тест М (ill) Кандидат: Тест S Тест 7'

А 2 3 А 2 8 А 2 1

Б 3 5 Б 2 7 Б 3 1

В 5 9 В 4 6 В 5 3

Г 6 il

9 17

г

д

109

д

5 5 Г 7 4

7 4

д

8 6

2 (I) Начальник отдела маркетинга компании «Петлокс» запросил прове­ сти анализ месячных расходов на рекламу и соответствующих объемов продаж всей выпускаемой продукции В таблице приведены данные по месячным объе­ мам выручки от реализации Barley Knsps, а также суммам расходов на рекламу данного продукта:

Выручка (млн долл США)' Реклама (100 тыс долл США)

Янв

Месяц Февр Март Апр Май

3.0

34

38

41

39

44

45

49

22

25

21

27

26

29

2.6

24

Июнь Июль Авг

Вычислите степень корреляции между двумя наборами значений и про­ комментируйте зависимость между расходами на рекламу и объемом выручки от реализации Barley Krisps.

3.5. Ранговая корреляция Ранее представленная формула коэффициента корреляции предполагает, что две переменные могут быть измерены точно. Затем показатели измерений исполь­ зуются в качестве значений хиув формуле корреляции Во многих случаях суще­ ствует вероятность того, что некоторые переменные нельзя точно измерить Более того, даже если такие измерения и получены, есть вероятность того, что получен­ ные значения окажутся в ряде случаев недостоверными. Рассмотрим, например, результаты фуппы кандидатов на рабочую вакансию при прохождении ими двух оценочных тестов. Один из кандидатов получил 19 по математике и 17 по логике речи Означает ли это на самом деле, что этот кандидат более силен в математике, чем Б логике'' Сравнимы ли эти результаты напрямую'' Теперь рассмотрим резуль­ таты теста по математике. Кандидат А получил 12 баллов, а кандидат Д — 18 бал­ лов Другими словами, кандидат Д получил на 50% баллов больше, чем кандидат А Говорит ли это о том, что Д на 50% лучше А? Вряд ли. Скорее всего, единствен­ ное, что мы можем вывести из полученных ими баллов, это то, что Д показал себя лучше, чем А Фактическая разница между полученными баллами менее значима и может привести к неверному истолкованию. В самом лучшем случае результаты тестов могут указать на относительные различия между кандидатами. Эти результа­ ты тестов позволяют нанимателю расположить кандидатов в порядке их показате­ лей Так, например, в тесте по математике лучшим был кандидат 3, вторым — Ж и в конце списка — кандидат А. То есть результаты позволяют нам разнести канди­ датов в порядке их показателей Таким образом, мы можем проранжировать кан­ дидатов на основании их показателей в тесте по математике и проделать то же

110

ГЛАВА 3

самое в юм, что касается теста по логике речи. Зависимость между этими двумя последовагельностями может быть определена путем вычисления Спирмановского коэффициента ранговой корреляции по следующей формуле:

«(/7^ - I ) •

В этой формуле п — количеству значений и J — разница между парами рангов. Она дает такое же значение, что и коэффициент корреляции производ­ ного момента, рассчитанный на основе рангов. Как мы видим, эта формула гораздо проще и одновременно дает объективный показатель корреляции меж­ ду двумя наборами данных. На последующих примерах мы рассмотрим вычис­ ление коэффициента ранговой корреляции. Т Определение. Коэффициент ранговой корреляции является показателем из­ мерения ciLibi линейной зависимости между двумя наборами рангов. Значение коэф­ фициента ранговой корреляции также лежит в пределах от —I до +1. А

Пример 1 Рассмотрим показатели продаж двух торговых представителей за 6 месяцев. (Цифры приведены в тыс. ф. ст.): Месяц: Представитель А: Представитель Б:

Март 20 15

Апр. 30 20

Май 17 23

Июнь Июль 34 27 29 19

Авг. 25 16

В ряде случаев цифры — всего лишь оценочные показатели, но можно предположить, что они верны с ошибкой в пределах 1000 ф. ст. Вместо того, чтобы рассматривать фактические значения, давайте проранжируем продажи каждого представителя за каждый месяц указанного периода. Так, представитель А добился наивысшего показателя в июне. Таким образом, для А июню присваивается порядковый номер 1. Аналогично, следующий по величине показатель достигнут в апреле, которому, следовательно, присваивается порядко­ вый номер 2, и т. д. Подобным же образом образом ранжируем показатели предста­ вителя Б. Эти порядковые номера приведены в следующей таблице: Месяц: Представитель А: Представитель Б:

Март 5 6

Апр. 2 3

Май 6 2

Июнь Июль 1 3 1 4

Авг. 4 5

Мы видим, что оба представителя получили наивысшие показатели в июне. Зависимость между показателями деятельности двух представителей может быть определена с помощью коэффициента ранговой корреляции. Для вычисления этого коэффициента необходимо получить значения п и d. Очевидно, что для этих данных количество пар значений п составляет 6. Значения d (разница между соответствующими порядковым номерами) приведены ниже: Месяц: Разница (d):

Март -1

Апр. -1

Май 4

Июнь Июль 0 -1

Авг, -1

СООТНОШЕНИЯ

Значения сР составляют: сР: \ 1 16 О

1

111

1

Таким образом, сумма сР есть Y^d^ — 20. И наконец, вычисляем коэффициент ранговой корреляции по формуле

п[п'-\]

6(6^-1)

210

635

Следовательно, г = 0.429. Значение г достаточно мало — похоже, что зависимость между двумя на­ борами рангов отсутствует. Таким образом, корреляция между двумя наборами показателей продаж слабая. Необходимы дополнительные данные, например, объемы продаж за более продолжительный период времени, с тем чтобы про­ вести дальнейший анализ зависимости между рангами, полученными для двух торговых представителей. Пример 2 Рассмотрим результаты оценочн ых тестов восьми каш [идатов: Кандидат: Математика Логика речи

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

3

12 16

14 19

15 21

15 15

18 22

19 17

20 13

23 21

Эти показатели можно использовать для ранжирования кандидатов в по­ рядке полученных ими результатов по каждому из тестов. Так, по математике кандидат 3 стал первым и поэтому ему присваивается порядковый номер 1, Ж - 2, и Е - 3. Однако некоторая сложность возникает в случае, когда два кандидата имеют одинаковое количество баллов за какой-нибудь из тестов. Примером этому могут служить результаты по математике, когда два кандидата В и Г получили по 15 баллов. В такой ситуации обоим кандидатам следует присвоить один и тот же порядковый номер. Приведенное ранжирование получено путем определения среднего порядкового номера при условии различимости значений. Так, канди­ датам В и Г могли бы быть присвоены порядковые номера 5 и 6. Таким образом, средний порядковый номер для этих двух кандидатов составляет 5 1/2. Точно так же в случае с тестом по логике речи: кандидаты В и 3 оба получили по 21 баллу, и каждому присвоен порядковый номер 2 1/2. В таблице приведены порядковые номера кандидатов по итогам каждого из двух тестов:

Математика Логика

А 8 6

Б 7 4

Кандидат В Г Д 5'/2 51/2 4 2'/2 7 1

Е 3 5

Вычисляем разницы между порядковыми значениями:

Ж 2 8

3 1 21/2

112

ГЛАВА 3

d: 1 Ъ Ъ Значения (Р равны: сР: Л 9 9

-11/2

3

-2

-6

-11/2

2.25

9

4

36

2.25

Таким образом, имеем Y.^'^ ~ 1S.S. И наконец, вычисляем коэффициент ранговой корреляции по формуле: г-\

-^1^-1

^^^•^) -1 453

453_

Следовательно, г = 0.101. Это значение г показывает, что между двумя наборами значений суще­ ствует крайне незначительная корреляция. То есть кандидат с высоким местом по результатам одного из тестов может оказаться на любом месте по результа­ там другого. Следует отметить, что ранее рассчитанный коэффициент корреля­ ции производного момента для данного набора значений составил 0.145. Таким образом, мы видим, что два коэффициента корреляции могут дать сходные результаты. Однако это происходит не всегда. Возможна ситуация, когда при наличии корреляции между рангами двух наборов данных между фактическими значениями корреляция окажется незначительной. В таком случае результаты трудно анализировать, и поэтому часто необходим сбор дополнительной ин­ формации, с тем чтобы получить более убедительные доказательства.

3.6. Интерпретация линейного коэффициента корреляции Как мы уже отмечали в предьщущих разделах, если коэффициент корреля­ ции близок к +1 или —1, то это указывает на то, что две рассматриваемые переменные находятся в тесной связи. Вопрос заключается в том, как интер­ претировать эту «тесноту»? Например, многие из нас согласятся, что г = 0.99 указывает на значимую корреляцию между переменными. Аналогично, значе­ ние г = 0.003 близко к нулю, и, следовательно, по нашему мнению, это ука­ зывает на незначительную корреляцию. Промежуточные значения г, как-то +0.5, —0.4 или +0.3 достаточно трудно истолковать, и поэтому требуется дополни­ тельное исследование. На практике значимость значения г в большой степени зависит от объема выборки. Это можно проиллюстрировать на простом примере. Вспомните, что ко­ эффициент корреляции — это показатель того, насколько близко точки фафика разброса лежат относительно прямой линии. Если все точки находятся на прямой линии, то коэффициент корреляции равен 1. А теперь рассмотрите ситуацию, ког­ да на фафике отмечены только две точки. В таком случае точки должны лежать на прямой линии. Попробуйте-ка на графике разброса поставить две точки, которые нельзя было бы соединить прямой! Следовательно, при наличии только двух точек коэффициент корреляции наверняка равен г— 1 (или —1). Однако очевидно, что это значение г необязательно подразумевает наличие зависимости между этими двумя переменными. Для проведения приемлемого в какой-то степени анализа корреляции необходимо иметь, по крайней мере, три точки на фафике разброса. Таким образом, при небольших по объему выборках даже значения г, близкие к 1, могут не означать наличия значимой корреляции. Например, если на фафике раз­ броса имеется тысяча точек, то значение г = 0.1 достаточно, чтобы показать не­ кую корреляцию между переменными.

СООТНОШЕНИЯ

113

Имеются различные статистические критерии, которые используются для оценки значимости данного значения г Но их описание выходит за пределы данного пособия. Однако следует сказать, что эти критерии осно­ вываются на учете доверительных пределов для значений г. Например, мож­ но показать, что при условии отсутствия корреляции между двумя перемен­ ными 95%-ные доверительные пределы для значения г, где п = 10, состав­ ляют от —0.632 до +0.632. Следовательно, если две переменные не соотно­ сятся вообще, то значение г, вероятно, лежит в указанном диапазоне. Та­ ким образом, для того чтобы указать на «значимость» корреляции между двумя переменными, значение г должно оказаться вне этого диапазона, т. е. быть больше +0.632 или меньше —0.632. В таблице на рис. 3.7 приведены значимые значения г для п значений и 95%ных доверительных пределов. Обратите внимание, что значения г могут быть как положительными, так и отрицательными. Из этой таблицы видно, что по мере увеличения объема выборки (л), критическое значение г уменьшается. Так, на­ пример, для я = 3 значение г должно быть минимум 0.997, чтобы мы могли сде­ лать вывод о наличии корреляции между двумя переменными. А при объеме вы­ борки п = 100 значение г свыше 0.19 указывает на весьма слабую корреляцию. п З 4 5 г 0.997 0.950 0.878

6 7 8 9 1 0 1 5 0.811 0.755 0.707 0.666 0.632 0.51

20 0.44

50 0.35

100 0.19

Рис. 3.7. Значимые значения линейного коэффициента корреляции Следует отметить, что значимые значения, приведенные на рис. 3.7, мож­ но использовать при анализе как коэффициента корреляции производного момента, так и коэффициента ранговой корреляции, который мы рассматрива^ти ранее. • Определение. Если значение коэффициента корреляции (г) оказывается зна­ чимым, то это свидетельствует о вероятности наличия некой степени линейной зависимости между двумя рассматриваемыми наборами данных. А

Пример 1 Для фупиы из двадцати кандидатов коэффициент корреляции между дву­ мя наборами результатов тестирования составляет +0.5. Начальник отдела кад­ ров утверждает, что эти данные указывают на то, что два теста не находятся во взаимосвязи, так как коэффициент корреляции не близок к 1. Что вы скажете по этому поводу? На первый взгляд, значение г = 0.5, как кажется, не указывает на наличие корреляции. Однако если мы посмотрим на значимые значения, приведенные на рис. 3.7, то скажем, что при л = 20 любое значение г, равное или большее 0.44, является значимым. Таким образом, коэффициент корреляции, равный 0.5, указывает на наличие корреляции. Следовательно, есть вероятность на-шчия зависимости между двумя результатами тестирования, иначе говоря, кан­ дидат, который хорошо проявит себя в одном из тестов, может с большей вероятностью проявить себя с лучшей стороны и в друго.м тесте.

114

ГЛАВА 3

Пример 2 Проводится анализ эффективности затрат на рекламу с точки зрения их воздействия на объем выручки от реализации: в течение последних 10 ме­ сяцев фиксировались объемы выручки, а также соответствующие расходы на рекламу. Коэффициент корреляции производною момента полученных дан­ ных оказался равен 0.6. Указывает ли это на то, что две переменные нахо­ дятся во взаимосвязи? В этой ситуации мы должны установить, является ли значение г = 0.6, полу­ ченное при объеме выборки п = 10, значимым. Согласно таблице на рис. 3.7, зна­ чение г для этого объема выборки составляет 0.632. Следовательно, значение г (=0.6) не считается значимым при условии 95%-ных доверительных пределов. Та­ ким образом, данная величина не является убедительным доказательством того, что имеется зависимость между расходами на рекламу и месячным объемом вы­ ручки от реализации. Однако значение г столь близко к «значимому», что, вероят­ но, между данными показателями все же существует зависимость. Необходим сбор дополнительной информации, как-то о расходах на рекламу и объеме выручки от реализации за более продолжительный период времени. Следует отметить, что в этом примере величина корреляции, возможно, не самый лучший критерий оценки. На подсознательном уровне существует вероятная взаимосвязь между расходами на рекламу и выручкой от реализации. Если такой взаимосвязи нет, то тогда можно, в какой-то мере, предположить, что компания тратит деньги на рекламу впустую. Однако зависимость может оказаться несколько более сложной, чем мы можем показать на этом простом примере анализа. Так, затраты на рекламу в какой-то конкретный месяц могут не вызвать увеличения объема реализации в течение нескольких последующих месяцев. Следовательно, между затратами на рекламу и соответствующим изме­ нением объема продаж может возникнуть временной разрыв. Продолжитель­ ность разрыва зависит от продвигаемого товара. Например, в случае с такими товарами, как газеты и сигареты, реклама может оказать немедленное воздействие. И наоборот, на продвижение таких товаров, как автомобили, стиральные машины, телевизоры и микрокалькуля­ торы, реклама может возыметь действие по прошествии более продолжитель­ ного периода времени. Таким образом, при исследовании корреляции между этими двумя переменными необходимо, возможно, учесть поправку на «вре­ менной разрыв». Другими словами, нам стоило бы исследовать корреляцию между .месячными расходами на рекламу и соответствующим объемом реализа­ ции со сдвигом в один или два месяца. Таким способом мы смогли бы показать реальную эффективность рекламы, а также определить вероятный разрыв меж­ ду расходами на рекламу и объемами выручки от реализации.

3.7. Коэффициент детерминации Коэффициент детерминации представляет собой альтернативный показа­ тель степени зависимости между двумя переменными. Данное значение вычис­ ляется путем возведения в квадрат коэффициента корреляции (г). Таким образом, Коэффициент корреляции = /^. Коэффициент детерминации часто более предпочтителен, чем коэффициент корреляции, так как его можно использовать для количественного определения

СООТНОШЕНИЯ

115

характеристики, связывающей две переменные. Это значение дает пропорцию об­ щего изменения одной переменной {у), которую можно объяснить изменением второй переменной (х). Эта величина часто выражена в процентах. Рассмотрим, к примеру, ситуацию, когда коэффициент корреляции между объемом выручки от реализации и расходами на рекламу составляет 0.8. Таким образом, г = 0.8, а коэффициент детерминации /^ = 0.82^ = 0.64 (= 64%). Следовательно, это показывает, что 64% изменений в объеме реализации мож­ но объяснить изменениями в расходах на рекламу. Такой способ описания зависимости между двумя переменными подводит нас к рассмотрению причины и следствия. Из двух анализируемых переменных одна является причиной (х), а другая — следствием {у). Например, надежды возлагаются на то, что реклама вызовет изменение объема реализации. Таким образом, мы можем сказать, что расходы на рекламу являются «причиной», а объем реализации — «следствием». Рассмотрим вероятную ситуацию, при кото­ рой коэффициент корреляции между двумя переменными составляет +1. Итак, г= +1, а коэффициент детерминации г^ = 1. Это подразумевает, что 100% изменений в объеме реализации вызваны изменениями в расходах на рекламу. В таком случае изменения в расходах на рекламу автоматически вызы­ вают пропорциональные изменения в объемах реализации, что для любого руководителя службы маркетинга ситуация идеальная. На практике, конечно, крайне маловероятно, что степень корреляции будет столь идеальной. Даже когда зависимость между двумя переменными значима, требуется учет множе­ ства других факторов. Так, для примеров такого рода вполне обычным значени­ ем коэффициента детерминации будет показатель в диапазоне от 0.1 до 0.3. Например, коэффициент детерминации, равный 0.2 (20%), показывает, что 20% изменений в объеме реализации вызван изменениями в расходах на рекла­ му. Во многих хозяйственных ситуациях 20%-ный результат служит более чем адекватным обоснованием необходимости продолжать рекламирование. При истолковании значений коэффициента корреляции и коэффициента детерминации следует проявлять осторожность. Существует вероятность получе­ ния очень высоких значений коэффициента корреляции при отсутствии какойлибо прямой зависимости между двумя рассматриваемыми переменными. Рас­ смотрим, например, следующую ситуацию, когда мы имеем для анализа со­ бранные за 10 лет данные по стоимости экспорта из Великобритании и средней цене стиральных машин во Франции: Год 1990 1991 1992 1993 1994 Экспорт (млн. ф. ст.) Цена (тыс. фр. фр.)

1995 1996

1997 1998 1999

20

24

30

28

32

36

39

50

48

53

1.5

1.6

1.9

2.0

2.5

2.5

2.6

2.9

3.0

3.5

Данные переменные были отобраны ввиду фактического отсутствия пря­ мой зависимости между ними. Итак, мы можем вычислить коэффициент кор­ реляции между этими двумя переменными при х — стоимости экспорта из Великобритании и у — цене стиральных машин во Франции. Коэффициент корреляции составляет г = 0.9635. Таким образом, коэффициент детерминации /^ = 0.9635^ = 0.928 = 92.8%. Такой коэффициент детерминации, видимо, указывает на то, что 92.8% изменений в цене стиральных машин во Франции вызваны колебаниями в стоимости экспорта из Великобритании. Такая зависимость называется ложной,

116

ГЛАВА 3

так как прямая зависимость между переменными, очевидно, незначительна. Коэффициент корреляции оказывается значимым в этом случае по той причи­ не, что обе переменные связаны с третьей переменной, т. е. с временным периодом. Такое следствие часто встречается при анализе экономических дан­ ных, взятых за длительный период времени, поскольку важным фактором здесь может стать инфляция. Чтобы установить наличие истинной зависимости между двумя переменными, необходимо устранить элемент инфляции при рассмотре­ нии этих переменных и заново вычислить корреляцию. Вышеприведенный при­ мер представляется несколько более сложным, так как уровень инфляции в разных странах может быть неодинаков. Однако в целом между двумя значени­ ями уровня инфляции вероятно существование зависимости, что и может дать ложную корреляцию между различными финансовыми и экономическими по­ казателями, взятыми за продолжительный период времени. Т Определение. Коэффициент детерминации, вычиагяемый путем возведен квадрат значения коэффициента корреляции, показывает объем изменения менной (у), относимый на счет изменений в значении другой переменной (х). 3.8. Упражнения: ранговая корреляция и значимость 1. (I) в таблице приведены рейтинговые номера, присвоенные по итогам собеседования 10 принятым на работу работникам. В таблице также приведены рейтинговые номера этих же работников, присвоенные им их непосредствен­ ными руководителями, которым было предписано дать относительную оценку показателей их работы по итогам закончившегося финансового года Работник А Б В Г Д Е Ж 3 И К Собеседование 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 Показатели работы 3 5 2 8 1 4 6 7 9 10 (i) С помощью Спирмановского коэффициента ранговой корреляции оп­ редели ге степень корреляции между двумя наборами рейтинговых номеров. (ii) Будет ли эта корреляция значимой при 95%-ных доверительных преде­ лах? Каковы ваши выводы по итогам анализа относительно пригодности собе­ седования в процессе отбора? 2. (I) Проведено сравнение прогнозов четырех финансовых аналитиков отно­ сительно изменений на фондовом рынке с фактическими колебаниями. Для каж­ дого случая произведено вычисление коэффициента корреляции производного момента. Аналитиков попросили оценить изменения некоторых индикаторов фон­ дового рынка: индекса Доу-Джонса', индекса Никкей-Доу и индекса ФТ100. В таб­ лице приведены значения коэффициента корреляции между прогнозами аналити­ ков и фактическими значениями за период в 20 недель. Корреляция между прогнозами аналитиков и фактическими значениями

Доу-Джонс Никкей-Доу ФТ 100

Аналитик А

Аналитик Б

Аналитик В

Аналитик Г

0.8 0.4 0.5

0.85 0.72 0.36

0.55 0.84 0.15

0.77 0.82 -0.15

' Об индексе Доу-Джонса и других деловых индексах см.: Словарь-справочник по междуна­ родному учету, который готовится к печати в 1998 г. в издательстве ДИС.

СООТНОШЕНИЯ

117

(i) прокомментируйте степень корреляции в каждом случае и истолкуйте эти значения с точки зрения качества прогнозирования рыночных колебаний каждого из четырех аналитиков (и) Можете ли вы утверждать, что один из них явно превосходит других в качестве сделанных прогнозов'' Обоснуйте свой ответ (ill) Прокомментируйте предсказуемость трех индикаторов фондового рынка сопасно данным таблицы Какой из индикаторов, как вам кажется, предсказать проще всего'' (iv) С помощью соответствующею оценочного критерия подтвердите зна­ чимость полученных коэффициентов корреляции 3 . 9 . Линия «наилучшего соответствия» При исследовании зависимости между двумя переменными мы уже отметили целесообразность фафического отображения данных В дополнение к вычислению силы зависимости с по\гощью фафика разброса мы также можем проанализиро­ вать «форму» зависимосги Этого можно достичь путем проведения линии «наи­ лучшего соответствия» между всеми точками на фафике Например, фафик на рис 3 8 иллюстрирует зависимость между месячными объемами продаж двух това­ ров за последние два года Из фафика видно, что между двумя наборами данных существует сильная прямая зависимость «Наилучшая» прямая линия проведена по центру ючек графика разброса График на рис 3 4 показывает «наилучшую» кри­ вую для серии значении В данных примерах линия «наилучшего соответствия» по­ зволяет нам оценить другие значения на основе имеющихся данных Этот процесс описывается в постедующих разделах

40 45 50 Объем продаж товара I

Рис. 3.8. Месячные объемы продаж

55

60

118

ГЛАВА 3

3.10. Методы регрессии Методы рефессии используются для определения зависимости между дву­ мя или более переменными. Во многих случаях такую зависимость целесообраз­ но представить в математическом виде. Например, между расходами на рекламу (х) или объемом выручки (у) вероятно наличие зависимости. В таком случае нам бы хотелось выразить значение у через х. Например, такое простое выраже­ ние, как у - Юх, говорит нам, что объем продаж в десять раз больше суммы затрат на рекламу. На практике, понятно, зависимость не выглядит столь про­ сто, как в этом примере. Однако процесс нахождения уравнения, связывающе­ го две переменные х и у, важен и часто осуществим. Мы уже рассмотрели в общих чертах использование графика разброса для иллюстрации зависимости между двумя переменными х и у: мы наносим на [•рафик точки, прйгс^авляющие пары значений двух переменных. Прямая линия «наилучшего соответствия*, проведенная через эти точки, называется линией рефессии. Уравнение"линии рефессии имеет следующий вид: у = а + Ьх. Это — прямолинейное уравнение, взаимосвязывающее хи у. Значения кон­ стант а и b могут быть рассчитаны с помощью следующей формулы:

Путем преобразования уравнения рефессии мы можем на основе средних значений для х и у вычислить значение а: а = у-Ьх . Значения а и b затем подставляются в общее уравнение для определения зависимости между хну. Например, а равно \0, а b — 20, тогда уравнение рефессии выглядит следующим образом: у = 10 +20х Далее это уравнение можно использовать для вычисления у для заданного значения х. Например, если х = 5, то подстановка этого значения в уравнение рефессии дает у = W + 20.5 = 10 + 100 = ПО. Таким образом, при х = 5 у = ПО. Такие вычисления в ряде случаев фор­ мируют основу для проведения прогнозирования. Обратите внимание, что уравнение у = а + Ьх используется для нахождения ожидаемого значения у для заданных значений х. Это следует учитывать при рещении практических задач, когда не ясно, какая из переменных есть х, а какая — у. Переменная, представленная х, — это известное значение, а пере­ менную у необходимо вычислять. Возьмем в качестве примера зависимость между расходами на рекламу и объемом продаж. В этом случае, скорее всего, задача будет состоять в оценке объема продаж при задании значений расходов на рекламу. То есть расходы на рекламу — величина известная (х), а неизвестная переменная (у) — это объем продаж. Т Определение. Линия регрессии — это линия «наилучшего соответствия», проходящая через точки графика разброса. Уравнение линии регрессии имеет вид у = а + Ьх, где а и b могут быть рассчитаны по формуле, приведенной выше. •

СООТНОШЕНИЯ

119

Пример 1

Рассмотрим значения хну,

приведенные в следующей таблице:

х: у:

5 11

1 2 3 5

3 7

4 9

Если у вас достаточно хорошая математическая подготовка, то вы сразу скажете, что между двумя переменными существует идеальная зависимость. В каждом случае значение у можно получить путем удвоения значения х и прибав­ ления 1. Фактически уравнение, связывающее х и у, имеет вид: у=

I + 2х.

А теперь давайте с помощью методов регрессии проиллюстрируем, как эту зависимость установить по правилам. Прежде всего, нанесем значения х и у на фафик, как это показано на рис. 3.9. Из рисунка видно, все точки лежат на прямой линии. Обычно, зависимость между двумя переменными не будет столь очевид­ ной, и сначала, как правило, потребуется установить степень корреляции. Так, в таблице ниже приведены необходимые вычисления, которые потребуются для определения коэффициента корреляции: ху

Итого

1 2 3 4 5

3 5 7 9 11

1 4 9 16 25

9 25 49 81 121

3 10 21 36 55

15

35

55

285

125

Рис. 3 . 9 . График зависимости х от у По таблице находим суммы:

1 20

ГЛАВА 3 ^r=

15, Х У = 35, X J C ^ = 55, Y.y'=

285, ^ху=

125.

Вычисляем средние для значений х vi у \У=

п

5

=3

35 =7 п ' 5

Далее вычисляем коэффициент корреляции' Y^xy-nxy г-

[Zx--nx'\Yy^-nf)

125-105 7(55 - 45)(285 - 245)

125-537 J ( 5 5 - 5 3^)(285-5 7^) 20 Vi040

20 20 V400 20-

Следовательно, г = 1, указывая на идеальную зависимость между двумя переменными Итак, мы можем теперь определить зависимость между переменными xi\ у следующим образом Сравнение прямой линии можно записать как у = а + Ьх, где а w b вычис­ ляются по следующей формуле ^__

Ъ^-пху (\х^-пхЛ'

а также а = у-Ьх .

7 =20 Таким образом, значение b — 1 2 5 - 5 3 — — 5 5 - 5 3 ^ 10 Обратите внимание, что при вычислении а, мы сначала вычисляем b по формуле коэффициента корреляции. Итак, b = 2. Далее получаем значение а = у-Ьх= 7 - 2 - 3 = 7 -- 6 Итак, а = \. Путем подстановки значений а и b в общее уравнение у = а + Ьх получаем уравнение линии регрессии у = I + 2х Это уравнение можно использовать для вычисления значений у при заданных значениях х. Например, если мы хотим найти значение у при х = 6, то, подставив заданное значение в уравнение регрессии, получаем > ' = 1 + 2 - 6 = 1 + 12=13 Следовательно, по уравнению рефессии при х = 6у= 13. Аналогичным обра­ зом можно получить другие значения у путем подстановки заданных значений х Пример 2 Рассмотрим данные по объему продаж компания «Петлокс» за 10 лет (Циф­ ры приведены в млн. упаковок Barley Knsps.):

СООТНОШЕНИЯ

Год: Объем

121

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

продаж:

19

22

27

26

30

32

36

37

39

42

Вы уже видели эти данные раньше: они представлены фафиком разброса на рис. 3.3. График, похоже, указывает на наличие линейной зависимости. С помощью коэффициента корреляции мы можем определить степень корреля­ ции между годом и объемом продаж. В при.мерах такого рода целесообразно упростить вычисления, придав каждому голу свой код. Так, 1988-й можно счи­ тать годом 1, 1989-й — 2 и т д. Итак, рассмотрим следующие данные: Год (х): 1 Объем продаж (у): 19

10 22

27

26

30

32

36

37

39

42

Коэффициент корреляции между этими переменными можно вычислить так, как это показано в таблице ниже. По таблице получаем суммы: Х х = 55, X J = 310, Y,x'=

385, Zy'=

10124, Z ^ =

1909 ху

Итого;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

19 22 27 26 30 32 36 37 39 42

55

310

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

361 484 729 676 900 1024 1296 1369 1521 1764

19 44 81 104 150 192 252 296 351 420

10124

1909

Итак, получаем средние для значений х и у: _ Zx п

55 = 5.5; 10

1>'_310 = 31 п 10 Вычисляем степень корреляции с помощью коэффициента корреляции: У=

Значение Хху - пху

1909-10(5.5X31)

г=

^(Zx^-"x^)(ly^-ny^)

J(385-I0(5.5)^](l0124-10(31)^

1909-1705

204

204

204

J(385-302.5X10124-9610)

^(82.5X514)

V42405

205.92

= 0.99.

-| 2 2

ГЛАВА 3

Значение г = О 99 указывает на высокую значимость корреляции между двумя переменными х и у. Следовательно, соотношение переменных можно выра5ить прямолинейным уравнением Это уравнение можно записать как у = а + Ьх, где а и b вычисляются по формулам Y.xy - пху

и а = у-Ьх

^ 1909-10(5 5X31) 204 Таким образом, значение о5— = 7ггт385-10(5 5^ 82 5 Следовательно, b = 2,473 Далее, получаем значение а~у-Ьх= 31 — 2 473(5 5) = 31 — 13 6015 Следовательно, а = 17.3985 Таким образом, уравнение рефессии у = а -^ + Ьх = 17 4 + 247х Данное уравнение теперь можно использовать при прогнозировании объе­ ма продаж на будущие периоды Например, для прогноза объема продаж на 1998 I (юн 11-й) мы подставляем х = 11 в уравнение регрессии Отсюда полу­ чаем у = 17 4 + 2 47(11) = 17 4 + 27 17 = 44 57 Таким образом, оценка объема продаж на 1998 г составляет 45 Точность прогнозной величины не должна быть больше точноеги исходных данных, и поэтому мы округляем полученное зна­ чение до ближайшего целого числа Таким образом, прогнозный объем продаж Bailey Krisps на 1998 г составляет 45 млн упаковок С помощью уравнения рефессии можно сделать прогноз объема продаж на 1999 г (год 12-й) составляет у = 17 4 + 2 47(12) = 47 То есть, по прогнозам, объем продаж в 1999 г составит 47 млн упаковок Barley Krisps Надежность таких оценок зависит от различных факторов, что необходимо учитывать при использовании метода рефессии Например, хотя пpoшJ^ыe показа­ тели являются одним из факторов прогнозирования объема продаж в будущем, другие составляющие анализа, как-то ценообразование, конкуренты и расходы на рекламу, могут оказаться более важными. Далее, точность оценок, скорее всего, уменьшается в зависимости от временной удаленности прогноза от исходного на­ бора данных Так, прогноз Fia 1998 г , вероятно, окажется более точным, нежели про1ноз на 1999 г И ясно, что прогноз объеч1а продаж на 2050 г может, при испо1ьзовании ною метода, оказаться абсолютно неточным

3.11. Упражнения: методы регрессии 1 (Е) Найдите степень корреляции между следующими парами значений х и у Определите уравнение рефессии у = а + Ьх для каждого случая (0

X

у (и)

X

У (ui)

г

У

2 8 2 10 2 3

3 11 3 8 3 7

4 14 4 8 4 4

5 17 5 5 5 9

6 20 6 4 6 6

Для каждого из этих примеров с помощью уравнения рефессии определите значение у при v = 7 и прокомментируйте вероятную точность этих прогнозов

СООТНОШЕНИЯ

123

2. (I) в одном из упражнений раздела 3.4 было необходимо вычислить коэффициент корреляции для следующих данных: Месяц Янв. Февр. Март Апр. Объем продаж (млн. долл. США) 3.0 Расходы на рекламу (ЮОтыс. долл. США) 2.2

Май Июнь Июль Авг.

3.4

3.8

4.1

3.9

4.4

4.5

4.9

2.5

2.1

2.7

2.6

2.9

2.6

2.4

Определите уравнение регрессии по этим данным для оценки месячно­ го объема продаж товара в зависимости от заданных расходов на рекламу. С помощью этого уравнения оцените объем продаж на сентябрь при затратах компании на рекламу в сумме 300 000 долл. США. Является ли полученная оценка приемлемой? Прокомментируйте степень корреляции между этими двумя переменными. 3. (I) Лайза Грегори, начальник отдела кадров «КТК», запросила провести анализ текущей практики компании по отбору персонала. Существует мнение, что один из оценочных тестов, используемых в процессе отбора, является непригод­ ным для этих целей. В таблице ниже приведены результаты по данному тесту деся­ ти работников, отобранных за последние пять лет. Под ними приведены оценки их трудовой деятельности со стороны их непосредственных руководителей. Работник Результаты теста Показатели работы

А

Б

11

13

4

5

В

Г

15 7

Д 15

7

Е 16

8

Ж 17

6

З 17

9

7

И 18 8

К 19

19 9

(i) Найдите степень корреляции между результатами тестирования и оцен­ ками показателей работы. (ii) С помощью метода рефессии спрогнозируйте оценку деятельности работника, который получил бы 14 баллов по результатам тестирования. Про­ комментируйте надежность такой оценки.

3.12. Нелинейная зависимость Во многих практических ситуациях зависимость между двумя переменными может быть нелинейной. Для проведения последующего анализа такой зависи­ мости имеется ряд методов. На последующих примерах мы опишем два подхода к анализу подобных ситуаций. Пример 1 Пример, ранее представленный на рис. 3.4, показывает, что объемы продаж отображены кривой. Данная ситуация типична при анализе экономических дан-

124

ГЛАВА 3

ных, которые подвержены воздействию инфляции. Эти данные могут быть преоб­ разованы в линейную зависимость путем логарифмического преобразования. Рас­ смотрим пример на рис. 3.4, где представлены следующие данные: Год; 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Объем продаж: 14 15 17 20 24 30 48 49 59 67 «Известная» переменная (л:) — это год, а «неизвестная» переменная — объем продаж. Итак, с помощью логарифмов значений объема продаж получим значения у. Присвоив каждому году свой код: 1, 2, 3, ... и получив логарифмы значений объема продаж, составим следующую таблицу: 1 14

Объем продаж Логарифм (объем продаж)

2 15

1.15

3 17

4 20

1.18 1.23

1.30

Год (х) 5 6 24 30 1.38

7 48

1.48

8 49

9 59

10 67

.68 1.69 1.77 1.83

График на рис. 3.10 показывает зависимость между годом (х) и логарифмом объема продаж (^у). Степень корреляции рассчитывается обычным способом при X — годы ]л у — логарифм (объем продаж), как это показано в таблице ниже: X

Итого:

у

х^

у^

ху

1 2 3 4 5 6 7 8

1.15 1.18 1.23 1.30 1.38 1.48 1.68 1.69

1 4 9 16 25 36 49 64

1.3225 1.3924 1.5129 1.69 1.69 2.1904 2.8222 2.8561

1.15 2.36 3.69 5.20 6.90 8.88 11.76 13.52

9 10

1.77 1.83

81 100

3.1329 3.3489

15.93 18.30

55

14.69

385

22.1729

87.69

Из таблицы берем следующие суммы: Y^x= 55, Y.y= 14.69, Y.x^= 385, Y.y^ = 22.1729, X ^ = 87.69. Вычисляем средние значений х и у: п

10

,- = 1 > : = 1 ^ = 1.469. л 10 Степень корреляции вычисляем с помощью коэффициента корреляции: Значение

г-

Zxy-nxy j^x^-nx^)^y^-nf)

89.69-10(5.5)(1.469) /j385-10(5.5)'}{22.1729-10(1.469)'

СООТНОШЕНИЯ

78.69 - 80.795

6.895

6.895

|(385-302.5){22.1729-10(1.469)^)

^-^Р-^Щ

6.895 : 0.986. 6.996

^^^^^^

f 1.9 а 1.8

125

• М

с

1'' ю 1.6

•

•

2.

5 1.5

•

•е0. 1.4 се

•

§. 1.3 1.2 1.1 1

ш

• • 1

•

'

•

L...

' -

5 6 Годы

1.

1

J......

10

Рис. 3.10. Анализ объема продаж Значение г = 0.986 указывает на большую значимость корреляции между двумя переменными х и у. Следовательно, две переменные могут быть соотне­ сены в прямолинейном уравнении. Это уравнение можно записать в виде у =^ а + Ьх, где а и b вычисляются по формулам Y,xy-nxy

и a = y~bx

Таким образом, значение Ь = 6.895/82.5. Следовательно, b = 0,0836. Далее, значение а = у - Ьх = 1.469 - 0.0836(5.5)= 1.0092. Следовательно, а = 1.0092. Итак, уравнение регрессии у = а + Ьх = 1.0092 + 0.0836х Далее данное уравнение можно использовать для оценки значения у для заданного значения X Таким образом, при оценке объема продаж на 1998 г. (где х — \\) имеем: у = 1.0092 + 0.0836(11) = 0.9196 + 1.0092 = 1.9288. Следовательно, в 11-й год логарифм объема продаж составляет 1.9288. Путем обратного преобразования с помощью антилогарифма получаем оценку объема продаж в 84.9. То есть объем продаж в 1998 г. оценива­ ется в сумме 85 млн. долл. США при условии сохранения прямолинейной зависимости.

1 26

ГЛАВА 3

Пример 2

Л^чыернативный подход к анализу нелинейной зависимости состоит в под­ гонке номина^тьного выражения к имеющимся данным. Другими словами, пе­ ременные хну могут быть соотнесены с помощью уравнения со степенями х. Общее уравнение можно записать в следующем виде: >' = flo -ь а.х + OjX^ + fljX^ + ... Значения констант а^, а,, Oj» ••• могут быть вычислены путем рещения системы нормальных уравнений. Для упрощения этого можно рассмотреть квадратическую зависимость между дву.мя переменными в виде: у = Од + fl|X +

QiX^.

Значения а^, о, и Oj могут быть вычислены с помощью следующих уравнений: 'Zy^^nn + a^Y^x + ajZ^'^ ;

Рассмотрим исходные данные по объему продаж, приведенные в предыдутем примере: х: 1 2 4 3 5 6 7 8 10 9 у: 14 15 17 20 67 24 30 48 49 59 По этим данным мы имеем: п = 10, Х>'= 343, Х ^ = 2404, Х х ^ = 19194, Х х = 55, Х-^^ = 385, Y.x^= 3025, Х^" = 25333. Подставив эти значения в уравнение, получаем 343 = lOflu + 55а, + 38502; 2404 = 55flo + 385fl| + 3025^2; 19194 = 385ао + 3025а, + 2533302Решив эти уравнения, получаем о„ = 12.3333, о, = 0,106, 02 = 0,561. Следовательно, уравнение взаимосвязи OQ, О,, О, ^ И у выглядит следующим образом' у =12.133 + О.Юбх + 0.561д:^ Подставив значение jc = 11 в это уравнение, получим 81 млн. долл. США. Однако, мы уже говорили об этом ранее, при экстраполировании следует со­ блюдать осторожность в выводах, так как значения за пределами существующих данных могут быть неточными.

3.13. Множественная регрессия Во многих практических случаях модель линейной рефессии, которая описы­ вает взаимосвязи переменных хну, яатяется слишком упрощенной. В целом, зна-

СООТНОШЕНИЯ

127

чение ) может быть определено рядом переменных х,, лгз, Xj, В таких случаях уравнение множественной рефессии может использоваться в следующем виде у = bo + й|Х| + ЬуХ2 + byX-i +

Значения коэффициентов рефессии AQ, /),, b-^, могут быть получены путем с южных математических вычислений, которые не являются предметом данною пособия В целом, такой анализ можно провести с помощью имеющихся стандар1ных сгагистических компьютерных программ Пример 1

Рассмотрим месячные объемы продаж продукта компании «Петлокс» Фак­ тический объем продаж за месяц может зависеть от ряда факторов, таких, как цена за единицу, расходы на рек,1ам> в предыдущем месяце и количество ра­ ботников, занятых сбытом продукции В таком примере прогнозируемое значе­ ние {у) есть месячный объем продаж в млн долл США К независимым пере­ менным, которые используются при прогнозировании у, относятся v, — розничная цена единицы товара (долл США), Xj — расходы на рекламу за предществовавщий месяц (10 тыс долл США), X, — общее количество работников, занятых сбытом Выборка из восьми месяцев за последние два года дает следующие значе­ ния неременных У

X,

Х2

Хз

4,0 5,2 3,8 2,9 4,6 4,5 3,7 5,0

1,00 0,90 1,10 1,20 0,95 0,90 1,00 0,95

8 9 6 5 7 6 6 10

24 26 20 18 20 30 27 28

С помощью модели множественной рефессии получаем для этого набора данных следующее уравнение рефессии y=9S-5

95Х| + О 18x2 - О ОЗхз

Далее это уравнение рефессии можно использовать для оценки объема продаж при заданных значениях независимых переменных Например, если цена за единицу составляет 1 10 долл , расходы на рекла­ му за предьщущий месяц — 60 000 долл , и сбытом занимается 30 человек, то объем продаж можно спрогнозировать следующим образом Объем продаж 9 8 - 5 95(1 10) + О 18(6) - О 03(30) = 9 8 - 6 545 + 1 08 - 0 9 = 3 435 млн долл Таким образом, при данных условиях прогнозный объем продаж составля­ ет 3 4 млн долл Для исследования вероятной точности такого прогноза можно провести более углубленный анализ Но и само полученное уравнение рефес­ сии уже несет в себе определенную ценную информацию Так, анализ коэффи­ циентов трех переменных указывает в определенной степени на относительную важность каждой переменной уравнения Как это видится при анализе имею-

128

ГЛАВА 3

щихся данных, цена за единицу (л-,) является наиболее важной при прогнози­ ровании возможного объема продаж за какой-либо месяц в будущем. На это указывает относительно высокий коэффициент данной переменной. И наобо­ рот, коэффициент X, очень мал, указывая на то, что количество работников, занятых сбытом, оказывает незначительное влияние на текущий объем продаж. Ясно, что все эти оценки следует рассматривать с осторожностью. Так, полу­ ченная модель может быть приемлемо точна, при условии что независимые переменные х,, х^ и дг, лежат в заданных пределах; вне этих пределов модель может оказаться абсолютно ненадежной. Например, в нашем случае диапазоны трех переменных таковы: х,(0.90 — 1.20), x-^ib — 10), jc^(18 — 30). Поэтому модель окажется неприемлемой при прогнозировании объемов продаж при заданной цене в 2.00 долл. или наличии 50 работников, занятых сбытом. 3.14. Краткое содержание главы В главе рассмотрен анализ зависимости между двумя или более наборами зна­ чений. Графики разброса можно использовать для иллюстрации любой связи меж­ ду двумя переменными. Однако результаты, полученные из таких фафиков, суще­ ственно субъективны. Для последующего и углубленного анализа зависимости не­ обходимо использовать объективный показатель. Одним из таких показателей яв­ ляется линейный коэффициент корреляции, который оценивает близость соотно­ шения двух переменных. Этот коэффициент, обозначаемый /•, измеряет степень корреляции, или линейной зависимости, между двумя переменными. Значение коэффициента корреляции лежит в пределах от —1 до +1. Значения г, близкие к + 1 или —1, указывают на наличие сильной зависимости между двумя переменны­ ми. И наоборот, значения, близкие к нулю, показывают, что зависимость мала. Фактические значения линейного коэффициента корреляции, которые указыва­ ют на наличие значимой корреляции, зависят от объема выборки. Так, коэффици­ ент корреляции /•= 0.8 при выборке из 10 пар значений менее значим, чем линей­ ный коэффициент корреляции, равный г = 0.7, при выборке из 100 значений. Значимость коэффициента можно подтвердить с помощью доверительных преде­ лов. Коэффициент детерминации, вычисляемый путем возведения в квадрат зна­ чения коэффициента корреляции, также можно использовать для определения зависимости между переменными. В определенных обстоятельствах можно использовать коэффициент ранго­ вой корреляции в качестве альтернативного показателя оценки зависимости между двумя наборами значений. Так, часто трудно получить точные показатели некоторых значений, и поэтому единственный надежный .метод состоит в рас­ становке переменных по порядку, иначе говоря — в ранжировании значений. Коэффициент корреляции ранжированных значений называется коэффициен­ том ранговой корреляции, и он вычисляется по упрощенной формуле, которая приведена в этой главе. Значимая корреляция между двумя переменными под­ разумевает наличие линейной зависимости между ними. Методы рефессии можно использовать для определения уравнения «наилучшей» прямой линии, линии регрессии. Уравнение регрессии записывается в виде у = а л- Ъх. Это уравнение можно использовать для оценки значения у при заданном значении х. Так, например, объем выручки от реализации можно рассчитать исходя из заданной суммы расходов на рекламу. Нелинейная зависимость между переменными дол­ жна быть преобразована в линейную, и только потом следует проводить базо­ вый анализ регрессии.

СООТНОШЕНИЯ

129

с помощью множественной регрессии можно рассматривать более сложные уравнения, где неизвестную переменную у рассчитывают на основе ряда незави­ симых переменных х,, Xj, Xj, ... Методы корреляции и рефессии лежат в основе ряда методов оценки и прогнозирования, используемых в бизнесе и экономике.

3.15. Дополнительные упражнения 1. (Е) В таблице указано количество машин, которые «КТК» имеет в каж­ дом из своих шести региональных отделений. Ниже показан среднемесячный доход отделений в 1997 г. Отделение Ньюкасл 30

Количество машин Средний доход (100 тыс ф ст)

71

Саупемптон Кардифф 40 35 8.3

68

Данди Ланкастер 38 50 73

Бирмингем 47

91

94

(i) Вычислите коэффициент корреляции между количеством машин и месяч­ ным доходом отделений «КТК». Прокомментируйте значимость этого значения. (ii) Определите уравнение регрессии, соотносящее эти две переменные, и с его помощью оцените среднемесячный доход предлагаемого к открытию седь­ мого отделения с парком из 20 машин. Прокомментируйте пригодность данной оценки. Какие дополнительные факторы могут влиять на точность и надежность такого рода прогнозов? 2. (1) Во время недавних переговоров между работниками и руководством представители профсоюза пожаловались на слабость управления, выражающу­ юся в потерях времени из-за нехватки материалов и выхода оборудования из строя. В настоящее время в компании действует система оплаты труда, согласно которой до 25% заработной платы работника формируется за счет дополнитель­ ных начислений по результатам производительности труда. Участники перего­ воров со стороны профсоюза сделали упор на то, что работники теряют в заработной плате не по своей вине. Для подтверждения этого они представили данные по средним суммам начислений за производительность труда группе из 50 работников в сравнении с временными потерями за период в 10 недель. Неделя

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Средняя сумма начислений за производительность труда (ф. ст.)

Потери производственнего времени (%)

40 35 20 25 45 60 75 40 20 50

8 6 10 11 5 4 4 6 12 8

(i) Вычислите коэффициент корреляции для этого набора данных с тем, чтобы установить наличие зависимости между начислениями за производитель­ ность труда и процентом потерь производственного времени.

130

ГЛАВА 3

(ii) Является ли полученное значение коэффициента корреляции значи­ мым? Прокомментируйте результаты и обсудите ответ руководства на основа­ нии этих данных. (iii) Можно ли эти данные использовать для определения среднего размера начислений, полученных работниками по результатам труда за любую данную неделю, в течение которой были отмечены 6%-ные временные потери? Рассчи­ тайте это значение с помощью метода регрессии и npoKOMMCFiTHpyftTe его на­ дежность. 3. (I) На крупном промышленном предприятии при проведении курса тех­ нической подготовки, предназначенного для всех принятых работников рабо­ чих специальностей, было установлено, что имеется зависимость между возра­ стом работника и временем, необходимым для освоения определенных навыков и умений. В таблице приведен возраст восьми работников, выбранных произ­ вольно, а также время, необходимое для выработки у них навыков в опреде­ ленной области. Работн!ик Возраст (лет) Время подго­ товки (часов)

А 18

Б 19

В 20

Г 21

22

д

Е 23

Ж 29

3 38

4

3

4

6

5

8

6

7

(i) С помощью метода регрессии определите продолжительность подготов­ ки, необходимую для нового работника в возрасте 30 лет. (ii) Определите коэффициент корреляции и прокомментируйте точность ва­ шей оценки в том, что касается части (1). Какие другие факторы могут повлиять на продолжительность подготовки, необходимой для каждого работника? 4. (I) В таблице приведены объемы продаж компании за период в 10 лет' Год 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Объем продаж (млн. долл. США):

20

18

15

19

26

24

30

28

33

37

(i) Нарисуйте график разброса по этим данным и проведите «наилучшую» прямую линию. (ii) С помощью соответствующего метода получите уравнение линии рефессии для объема продаж в зависимости от года. На основании этого уравнения спрог­ нозируйте объем продаж компании на 1998 г. Прокомментируйте вероятную точ­ ность этой оценки. Сравните это значение со значением, полученным по линии «наилучшего соответствия», проведенной при выполнении задания (i), и проком­ ментируйте любое полученное расхождение. 5. (1) Начальник отдела сбыта электронной компании, расположенной в Мельбурне, проанализировал показатели работы своих подчиненных. Он установил, что имеется некая зависимость между общим объемом продаж и количеством личных визитов каждого торгового представителя к к^тиентам. В таблице приведены эти значения для шести торговых представителей за период в один месяц:

СООТНОШЕНИЯ

Среднее количество визитов в день Общий объем продаж (тыс. долл. США)

Пред ста:витель В Г

А

Б

0.9

1.1

1.4

22

18

24

131

Д

Е

1.7

2.5

3.2

21

45

38

(i) Определите степень корреляции между эти.ми двумя переменными: (ii) Начальник отдела кадров использовал эту информацию, чтобы призвать своих сотрудников к увеличению числа личных контактов, так как, по ею мне­ нию, это приведет к увеличению объема продаж. Прокомментируйте данное ут­ верждение, выделите другие факторы, которые могли бы иметь значение. 6. (D) Предполагается, что зависимость между месячными затратами на рекламу и соответствующими объема.ми продаж имеет вид у = а + bsx ^ где 1.С — расходы на рекла.му, г. у — объем продаж. Рассмотрите следующую табли­ цу, в которой приведены данные по объему продаж и затратам на рекламу за предыдущие двенадцать месяцев. Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль ABiycT

Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

Расходы на рекламу (100 ф. ст.) 4.1 6.2 5.8 7.9 8.6 3.0 5.0 7.2 8.4 10.6 11.0 7.0

Объем продаж (100 ф. ст.) 15.6 16.8 15.9 16.6 16.4 15.9 15.8 17.0 16.9 18.2 17.5 15.9

(i) Нанесите эти значения на график разброса. Объясните, исходя из по­ лученного графика, является ли эта зависимость линейной или нелинейной. (ii) Вычислите степень корреляции между х и >' и прокомментируйте эту зависимость. (iii) Определите уравнение рефессии у от показателя х и с его помощью оцените объем продаж на любой данный месяц при условии, что затраты на рекламу составят 2000 ф. ст. (iv) Прокомментируйте значение, полученное в части (Ш) и поясните причины, по которым такой прогноз может быть неточен. 7. (D) Многие работники компании «Петлокс» выражают серьезное недо­ вольство недавно введенной системой аттестации по итогам года. Один из до­ водов состоит в том, что аттестация работника на основании мнения двух менеджеров может быть крайне субъективной. Кроме того, аттестация имеет большое значение, так как по ее результатам принимается решение о преми­ ровании работника по итогам года. Существует мнение, что две оценки менед­ жеров мало согласуются между собой. Начальник отдела кадров компании «Пет-

132

ГЛАВА 3

локс» поставил задачу провести исследование данной проблемы. Для установле­ ния зависимости между оценками разных менеджеров двух из них попросили дать независимую оценку деятельности 12 сотрудников своего отдела. Менедже­ ры, г-жа Тантон и г-н Райт, оценивали работников по шкале от 1 до 20, где «1» соответствует очень плохим показателям, а «20» указывает на отличные показатели. Результаты приведены в таблице ниже: Работник А Б В Г Д Е Ж 3 И К Л М

Оценки менеджеров г-жа Тантон г-н Райт 12 16 10 6 8 11 18 14 15 9 14 13

10 13 11 9 7 14 19 17 16 10 12 10

(i) С помощью коэффициента ранговой корреляции установите зависи­ мость между двумя наборами оценок. (Обратите внимание, что приведенные значения — это не рейтинговые номера, а фактические показатели оценки деятельности.) (ii) Прокомментируйте значимость коэффициента ранговой корреляции, а также зависимость на основании оценок двух менеджеров. Можно ли по этой информации сделать вывод о том, что оценки менеджеров являются надежным индикатором показателей деятельности работников? (iii) Дальнейший анализ можно провести с помощью линейного коэффи­ циента корреляции. Установите зависимость между двумя наборами оценок. Дает ли это какую-нибудь дополнительную информацию? Приведите свои доводы относительно того, почему в примере такого рода этот показатель может ока­ заться лучше или хуже, чем коэффициент ранговой корреляции.

Глава 4

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

СОДЕРЖАНИЕ

> > > > > > >

ГЛАВЫ:

Простой процент Сложный процент Ставка процента в годовом исчислении Чистая дисконтированная стоимость А.мортизация Аннуитет и фонд погашения Оценка инвестиций

ЦЕЛИ:

> научиться использовать различные методы вычисления суммы процен­ тов к уплате > уяснить применение расчетов процентной ставки при амортизации и дисконтировании > научиться использовать приемы оценки и сравнения инвестиционных предложений на основании значений чистой дисконтированной сто­ имости и внутренней нормы рентабельности > научиться вычислять стоимость вложений, таких, как аннуитет и фонд погашения Введение

Использование финансовой информации часто имеет первостепенное зна­ чение при принятии хозяйственных решений. В этой главе рассматривается ряд методов анализа финансовых данных и, в частности, стоимость денег во време­ ни. Это неизбежно затрагивает рассмотрение понятия «процент» и того, как изменения процентных ставок влияют на принятие соответствующих хозяй­ ственных решений. Эти решения распространяются на такие широкие области, как капиталовложения, ссуды и займы, и учитывают такие факторы, как амор­ тизация, инфляция и налоговые скидки. На последующих конкретных примерах мы покажем сферу применения финансовой математики.

134

ГЛАВА 4

Конкретный пример

Компания «Торнберри»

Компания «Торнберри Бэйкириз» основана в конце 50-х годов нашего века Первоначально компания обосновалась в центре Лос-Анджелеса и занималась выпечкой хлебобулочных и кондитерских изделий для местного потребления В 60-е юды отмечался быстрый рост объемов продаж изделий компании, и к 1975 г нгиюБын оборот превысил 300 млн долл. США Компания и в да^чьнейшем постепенно наращивала объемы производства, и в 1995 г. оборот составил 1 3 млрд долл США Компания дополнительно развернула крупные производ­ ства по веси территории США и Канады, в том числе в Окленде, Новом Орлеане, Ванкувере и Монреале. Ныне используемое самое современное и высокотехнолошчное производ­ ственное оборудование уже ничем не напоминает то, с чем компания скромно начинала свою деятельность В компании считают, что вложения в такое обору­ дование имеют первосюненное значение для того, чюбы обеспечить предложе­ ние высококачественных изделии по конкурентной WIIQ Леонард Килби, ди­ ректор по производству компании «Торнберри», ошечает за принятие решении по вопросам приобретения наиболее приемлемого оборудования и другой тех­ ники При принятии таких решении необходимо учитывать качество предлага­ емых изле.тии, розничную цену, а также условия погашения кредитов. Так, в последнее время решения по большей части склонялись в пользу лизинга, а не приобретения Использование основных методов определения стоимости денет во времени (с учетом амортизации и чистой дисконтированной стоимости) лежит в основе формирования оптимальной стратегии компании Так, недавно компания внедрила систему по предоставлению автомобилей в пользование руководителей высшего и среднего звена На первом этапе ко.мпанпя приобрела несколько автомобилей для своих сотрудников Однако затем с помощью методов финансовой математики бьию просчитано, что наиболее эффективно с точки зрения затрат брать машины в аренду с последующим правом «o6paiHoio выкупа» работниками, и это позволило компании увеличип; парк машин, предназначенных для управленцев.

Конкретный пример

Консультационная группа «Паркер и Джеймсон»

Группа «Паркер и Джеймсон» базируется в Великобритании и имеет в своем составе подразделение аналитиков по хозяйственным и финансовым вопросам Эти аналитики предлагают разнообразные услуги частным лицам и корпоративным клиентам. Компания с местом нахождения в Лондоне дает консулыации и оказывает помощь по ряду вопросов, например консультации по вопросам инвестиций. Компания предлагает проведение оценки инвестиций и, при необходимо­ сти, может управлять инвестиционным портфелем от имени клиента. Предла1аются консультации по вопросам кредитования и по вопросам на­ логовых льют В составе компании имеется группа специалистов, консультирующих по вопросам капитальных ссуд и ипотеки.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

135

Коисулыации но вопросам ссуд, займов и имвесшции ориентированы на каждою клиента в отдельности, в швисимости от ею статуса как налоюплательишка и имеющихся льгот по налогообложению Рекомендации по таким вопросам, как прибыль на инвестицию или сто­ имость кредитных ресурсов, подразумеваю! использование финансово-матема­ тических методов, например чистой дисконтированной стоимости, внутренней нормы рентабельности, дисконтирования и амортизации Эти понятия и будут рассмотрены в последующих разделах этой главы 4 . 1 . Простой процент Рассмотрим ситуацию, когда исходная сумма денег помещается на сбере1агетып>1и счет под фиксированный процент При этом процент выплачивается непосредственно инвестору, а не прибавляется к исходной сумме вложения Это пример варианта размещения денежных средств под простои процент Так, ести мы вложим 200 ф ст под 5% годовых, то в конце каждою года будем получать процентный доход в размере 5% от первоначальной суммы вложения Следовательно, ежегодно мы будем получать 5% от 200 ф ст , при условии, что денежные средства не изымаются по окончании этого срока. То есть в конце кaжJгoгo года мы будем получать по 10 ф ст С этим простым примером связано несколько вгячислений, и приводимая нггже формула BKjrro4aer в себя несколько составляющих (Она приводится ис­ ключительно в демонстрационных целях ) Пусть Р — основная сумма, или сумма вложения, и г — процентная став­ ка, ныражеггггая в процентах Тогда процентный доход (/), гголучаемыи в конце каж/гого ггериода, вг>гчисляется по фopмyJгe /

Рх-100

В более общем виде процентный доход, получаемый за п периодов, вычисгяется по формуле / = Гх

100 И наконец, сумма денежных средств в распоряжении иггвестора по окон­ чании п периодов складывается из суммы процентного дохода и суммы перво­ начального вложения Это представлено следующей формулой, где Л обозначает сумму денежных средств в распоряжении инвестора: 100

Эти формулы в равной степени пригодггы для вычисления процента к уплате за пользование заемными средствами с фиксированной суммой по став­ ке простого процента На последующих примерах мы рассмотрим вычисление простого процента по этим формулам

136

ГЛАВА 4

Пример 1 Частное лицо помешает 800 ф. ст. на депозит в банке по ставке простого процента из расчета 4% годовых. Вычислите, какую сумму инвестор будет иметь на счете через два года. В данном примере, исходя из стандартной формулы, мы имеем: Р ~ первоначальное вложение, так называемая «основная сумма», — 800 ф. ст.; г — процентная ставка — 4% годовых; п — временной период инвестиции — 2 года. Следовательно, процентный доход инвестора составляет;

Таким образом, за два года инвестор получит 64 ф. ст. Поэтому через два года на счете инвестора будет 864 ф. ст. Пример 2 Рассмотрим ситуацию, когда компания «Торнберри» (ее мы представили ранее в этой главе) занимает денежные средства под простой процент сроком на три года. Сумма заемных средств составляет 200 000 долл. США, фиксирован­ ная процентная ставка — 6% годовых из расчета простого процента сроком на 3 года. В этом примере мы имеем: Р — сумма заемных средств — 200 000 долл; г — годовая процентная ставка — 6%; п — количество лет — 3. Следовательно, сумма процентов к уплате за три года составляет: / , ^ . ^ = 200000.12^=36 000^ Таким образом, при исходной сумме кредита в 200 000 долл. компания выплатит 36 000 долл. в виде процентов. 4 . 2 . Сложный процент Основное различие между простым и сложным процентом можно описать следующим образом. Процент на инвестицию называется простым, если он не прибавляется к исходной сумме в конце каждого периода. И наоборот, если процент прибавляется к исходной инвестиции, то фактически инвестированная сумма увеличивается, и процентный доход от такой новой суммы инвестиции также увеличивается в той же самой пропорции. Это получило название компаундинга, или сложения процентов, и на такую инвестицию зарабатывается процентных доход исходя из сложного процента. Например, если 100 долл. положены на счет под 10% годовых по ставке сложного процента, то в конце первого года на счете окажется 110 долл.,

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

137

которые складываются из 100 долл. — суммы исходного вложения и 10 долл. — суммы процентного дохода. В течение второго года проценты из расчета 10% годовых начисляются на совокупную сумму в 110 долл. То есть в течение вто­ рого года инвестиция принесет 11 долл. дохода. После же двух лет общая сумма вложения увеличится до 121 долл. Аналогично, за третий год инвестиция при­ несет 12.10 долл. дохода (10% от 121 долл.). Как видно, с каждым годом инве­ стиция приносит все больший процентный доход. Воспользуемся уже знакомым нам уравнением. Мы имеем: Р — основная сумма (т. е. сумма вложения); г — процентная ставка, выраженная в %. Тогда сумма процентного дохода, получаемого в конце каждого периода, вычисляется по формуле 100 Далее, сумма в конце периода увеличилась до: А-Р+Рх-!^

100 •

Это выражение можно записать в следующем виде: А=:Р\\ + -

looJ'

И наконец, сумма денежных средств в распоряжении инвестора по окон­ чании п периодов рассчитывается по формуле А= Р {\ л- г/100)". Иногда для получения этого значения применяется ачьтернативная форму­ ла, в которой процентная ставка выражена в десятичных долях (R). То есть если процентная ставка составляет 12%, то Л = 0.12. Сумму после п периодов тогда можно записать как А =Р {\ + Яу. Эти формулы предполагают выплаты в конце каждого периода. Во многих практических ситуациях могут производиться дополнительные выплаты. Так, если мы рассматриваем годичный период, а выплаты производятся ежемесячно (т е. 12 раз в году), тогда формулу необходимо видоизменить. При т выплатах за период сумма денежных средств по окончании п периодов составляет:

I

\00т)

или ^ пт

А = Р\ ] + ~

т

На последующих примерах мы рассмотрим вычисления по этим формулам с применением сложного процента.

138

ГЛАВА 4

Пример 1

500 ф ст помещаются на депозит под 7% годовых Вычислите общую сумму на счете после четырех лет и сумму процентного дохода, полученную за этот период В этом примере имеем Р = 500 ф ст и г = 7% Через четыре года (п - 4) общая сумма BJIOжeния составит А -^ Р (\ + г/100)" = 500 (1 + 7/100/ = 500 (1 + О 07)'' = = 500 (1 3108) = 655 4 Таким образом, по окончании четырех лет сумма инвестиции составит 655 4 ф ст Ошдовательно, мы видим, что исходное вложение принесло за четыре юла процентный доход в сумме 155 4 ф ст Пример 2

Рассмотрим вложение в 1000 долл США под процентную ставку в в% годовых Проценгы начисляются ежеквартально Общая сумма на счете по окон­ чании пяти тет рассчитывается следующим образом A^PU-J^] [ lOOmJ ' где Р = 1000, г = 6%, л = 5, W = 4 (4 периода в году) Отсюда ^ = ^ = 1000 1+—^— I 100x4J

=1000(1+0015)^°-1000х13469= 1346 9 $ ^ '

Сравните полученное значение с общей суммой на счете в случае, если проце}1ты выплачиваются ежегодно В этом случае А = ]000\\+~] V

1 ООу

= 1338 20 ДОЛ!

Таким образом, даже когда годовая процентная ставка остается неизмен­ ной, увеличение количества периодов в ы т а т уветичивает общую сумму при­ были на а,1ожение Попробуйте рассчитать общую сумму на счете при ежемесяч­ ном начислении процентов Пример 3

Рассмотрим вложение в 500 ф ст на депозит под 10% годовых По оконча­ нии каждого юла докладывается еще 100 ф ст Вычислим сумм\, накопленную по истечении первых четырех лет В конце первого года накопленная сумма равна 500 (1 + 10/100)' = 550 После этого докл11дываются еще 100 ф ст , что дает итог в сумме 650 ф с г

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

139

В конце второго года сумма равна 650 (1 +10/100)' = 715 Докладываются еще 100 ф ст , что дает в итоге 815 ф ст В конце третьего года сумма равна 815 (1 + 10/100)' = 896 50 Докладываются еще 100 ф с г , что дает в сумме 996 50 ф ст В конце четвертого года сумма равна 996 5(1 + 10/100)' = 1096 15 Прибавив еще 100 ф ст по окончании четвертого года, получим общую сумму в 1196 15, полученную от вложения в целом 900 ф ст за период в четыре года

4.3. Упражнения: простой и сложный процент 1 (Е) Вычислите сумму простого процентного дохода при вложении на следующих условиях (i) 10 000 ф ст под 5% годовых на 4 года, (и) 6000 ф ст под 12% годовых на 18 месяцев, (щ) 2500 ф ст под 8% годовых на 6 1/2 лет 2 (I) В таблице приведены планируемые суммы накоплений от вложения исходной суммы в 1000 ф ст за определенное количество лет Год

Сумма в конце года (ф ст ) при годовой ставке сложного процента

2%~ 1 2 3 4

1020 1040,40 1082,43

'4% 1081 1124,86 1169,86

6% 1191,02

8% 1060 1166,40 1259,71

(О Заполните пропуски в таблице с помощью формулы сложного про­ цента (ц) С помощью табтицы найдите итоговые накопления от следующих вло­ жении а) 2000 ф ст пол 4% годовых на 3 года, б) 10 000 ф ст под 8% годовых на 4 года, в) 500 ф ст под 6% годовых на 2 юда 3 (I) Найдиге сумму накоплений от следующих вложений при условии, что процент начисляется ежемесячно и прибавляется к исходной сумме (О 4000 ф ст под 6% 10Д0ВЫХ на 18 месяцев, (п) 1000 ф ст под 1% годовых на 3 года

4.4. Ставка процента в годовом исчислении Ставка процента в годовом исчислении есть чистый процент, уплачивае­ мый за пользование кредитом или потучаемый от инвестиции, в котором учи­ тывается сложение процентов за несколько временных периодов Так, в иредьщущем разделе мы рассмотрели задачу вычисления суммы годового слож­ ного процента при ежеквартальном начислении процентов Во многих случаях вложение приращивает сумму процентов ежемесячно, хотя указана только го­ довая ставка процента Согласно законодательству Великобритании для таких вложении обязательно указание ставки процента в годовом исчислении, с тем чтобы можно было реально сравнить инвестиционные предложения или вари­ анты кредитования

140

ГЛАСА 4

Пример 1 Рассмотрим вложение в 100 ф. ст. под 6% годовых при ежемесячном начис­ лении процентов. Указанная ставка в 6% — это так называемая номинальная ставка процента, и она реально не отражает суммы процентного дохода при такого рода вложениях. В этом примере мы имеем основную сумму Р = 100 ф. ст., г = 6% и число выплат в год т = 12. Для периода в один год (л = 1) накопленная сумма рассчитывается по формуле 1x12

А = Р\\+-^\

=100 1+—-—

=100(1.005)'^= 106.17 ф. ст.

Таким образом, вложение в 100 ф. ст. принесло за год 6.17 ф. ст. Поэтому ставка процента в годовом исчислении составляет 6.17%. Пример 2 Компания — эмитент кредитных карточек взимает 2.4% в месяц с сумм дебетового остатка. Номинальная ставка процента составляет 2.4 х 12 = 28.8% в год. Однако она не является чистой процентной ставкой, применяемой в отно­ шении держателей кредитных карточек. Чистая ставка, т. е. процентная ставка в годовом исчислении, рассчитывается следующим образом. Рассмотрим задолженность в 1 долл. США в течение года. Имеем: /• = 1, « = 1, m = 12 и г = 28.8%. Получаем накопленную сумму:

/ , If 28.8 A = P\\ + --L^\V" =1 ^°-^ 1 lOO/nV V 100xl2J

1x12

=(1.024)'^= 1.3292 долл. ^ '

Это означает, что чистая ставка процента по этому кредиту составляет 32.93%. Следует отметить, что базовую формулу сложного процента можно ис­ пользовать в такого рода примерах. Мы знаем, что процентная ставка составля­ ет 2.4% в месяц, и при исходной сумме в 1 долл., инвестированной на год, получаем: А = Р {\ + /-/100)" = 1 (1 + 2.4/100)'' = (1.024)'' = 1.3292$, что аналогично значению, полученному при использовании альтернативного подхода. 4 . 5 . Чистая дисконтированная стоимость В этом разделе мы рассмотрим сумму вложения, необходимую для накоп­ ления конкретного объема вложений в заданный момент времени в будущем. Так, если через два года нам понадобится 500 ф. ст., то сколько средств необ-

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

141

ходи.мо вложить сейчас, чтобы добиться этого? Это значение называется теку­ щей ценностью будущей потребности. Стандартная формула определяет сто­ имость будущего вложения исходя из заданной текущей стоимости. Следова­ тельно, если эту формулу перевернуть, то мы сможем вычислить текущую сто­ имость исходя из будущей потребности. Так, мы знаем, что А = Р (1 + г/100)", где Р — текущая стоимость, а А — накопленная, или будущая, стоимость. Путем преобразования формулы получа­ ем: Р = Ах^ (l+r/lOO)" В качестве варианта используется понятие чистой дисконтированной сто­ имости, которая получается путем вычитания исходного вложения из будущей стоимости. Таким образом, Чистая дисконтированная стоимость = Ах

(1+г/100)"

'

где Р обозначает текущую стоимость, а А — будущую стоимость. Понятие текущей стоимости связано с вычислениями с применением дис­ контирования. В процессе дисконтирования стоимость денег рассматривается в их движении в обратном направлении во времени. Это сопоставимо с понятием компаундинга, когда мы рассматриваем стоимость денег в их движении вперед во времени.

Пример 1

Инвестиционное предложение состоит в фиксированной норме прибыли из расчета 8% годовых в течение 5 лет. Давайте рассмотрим, какую сумму необходимо вложить сейчас, чтобы по истечении указанного срока накопить 2000 ф. ст. Имеем: А = 2000, г = 8% и л = 5. Следовательно, текущую стоимость можно вычислить следующим образом: р = Ах

? =2000х i—^ = 2000х—-^ = 1361.17 ф. ст. (l+r/lOO)" (1+0.08)' 1-469328 ^

Итак, сейчас необходимо вложить 1361.17 ф. ст., чтобы через пять лет эта сумма превратилась в 2000 ф. ст.

Пример 2

При ставке сложного процента 6% в год рассмотрим два варианта едино­ временного вложения определенной суммы. По первому варианту через три года мы будем иметь 1000 ф. ст., а по второму варианту - 1200 ф. ст. через пять лет. Эти два варианта можно сравнить, рассчитав для каждого случая чистую

142

ГЛАВА 4

дисконтированную стоимость Для первою варианта текущая стоимость опреде­ ляется как Р = Ах

! =1000х—1_^=839 6 2 ф ст (1+/-/100)" (106)' Для второго варианта текущая стоимость равна Р = Ах

^ =1200х—?—=896 71 ф ст (l+r/lOO)" (106)

Следовательно, как это видно из полученных значений, текущая стоимосгь при втором варианте выше, чем при первом Поэтому, исходя из приведенных вычислений, второй вариант вложения кажется более выгодным Следует отме­ тить, что на практике для определения наилучшею варианта инвестирования приходится учитывать и другие факторы, о чем мы поговорим позднее в этой главе Пример 3 Рассмотрим вложение в 1000 долл , которое станет 2000 долл через четыре года При условии годовой ставки дисконта в 8% можно рассчитать чистую дисконтированную стоимость Чистая дисконтированная стоимость

-Ах

1

(1+Г/100)'

где Р — текущая стоимость = первоначальное вложение — 1000 долл , А — окончательная стоимость вложения — 2000 долл , г — ставка дисконта — 8%, п — чисю периодов — 4 Итак, Чистая дисконтированная стоимость = Ах

1

7^"~

(l+r/lOO)" =2000х

(1+8/100)' (13605) ! - - 1 0 0 0 = , •^^,^^,-1000 = 147005-1000= 470 05

Таким образом, при условии, что ставка дисконта в 8% достаточно реаль­ на, вложение все же выгодно, хотя, конечно, неплохо было бы рассмотреть и другие варианты вложений с целью установления, является ли полученное значение чистой дисконтированной стоимости оптимальным Пример 4 Рассмотрим ситуацию, когда требуется 100 ф ст на конец периода вло­ жения Чтобы вычислить сумму вложения в настоящий момент, воспользу-

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

143

емся формулой текущей стоимости, как это показано в предыдущих приме­ рах Так, при условии юдовой процентной ставки в 10% в течение трех лег текущая стоимость составляет Р = Ах 1 (l+r/lOO)"

P ^ 1 0 0 x - l - = 100x—L~~-100x0751= 75 10 ф ст (llf 1331

Таким образом, вложив 75 10 ф ст сейчас, через три года мы будем иметь 100 ф ст Для данного вложения существует дисконтирующий множитель, рав­ ный" О 751 В нашем примере дисконтирующий множитель — это просто значе­ ние 1/(1 + г/100)" = О 751 В целом, вычисления с применением дисконтирова­ ния могут быть сложны, и для облегчения вычислении Moiyr использоваться таблицы дисконтирования В этих таблицах приведены дисконтирующие множи­ тели, соответствующие различным процентным ставкам в зависимости от вре­ менного периода Так, в таблице ниже приведены дисконтирующие множители для процентных ставок от 4 до 10% и для периодов от 1 года до 5 лет Количество лет 4% 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0

962 925 889 855 822

Годовая процентная ставка 8% 6% 0 0 0 0 0

943 890 840 792 747

0 0 0 0 0

926 857 794 735 681

10% 0 0 0 0 0

909 826 751 683 621

Такую таблицу можно использовать для определения суммы вложения, необходимой для достижения определенной суммы в течение заданного пери­ ода времени Так, если через 5 лет при ставке процента в 6% требуется иметь сумму в 500 ф ст , то необходимая сумма вложения находится по таблице стедующим образом вложение на пять лет при процентной ставке 6% имеет дисконтирующий множитель О 747, что видно из таблицы Следовательно, сум­ ма, которую необходимо вложить сейчас, чтобы потом иметь 500 ф ст , рассчи­ тывается следующим образом О 747 х 500 = 373 50 ф ст

4.6. Упражнения: Ставка процента в годовом исчислении и текущая стоимость 1 (Е) Вычислите ставку процента в годовом исчислении на основании текущей информации, где процентные ставки даны в процентах годовых В каждом из стучаев определите накопленную сумму на конец года (i) Вложение 100 ф ст при номинальной ставке 6% с ежемесячным начис­ лением процентов (п) Вложение 500 ф ст при номинальной ставке 10% с ежеквартальным начислением процентов (щ) Вложение 1000 ф ст при номинальной ставке 7% с начислением про­ центов каждые полгода 2 (1) Определите сумму вложения, необходимую сейчас, с тем чтобы по окончании указанных периодов накопить означенные суммы при условии, что процентный доход прибавляется к сумме вложения по окончании года

144

ГЛАВА 4

(i) 2000 долл. США через два года при 10% годовых. (ii) 5000 долл. США через три года при 6% годовых. 3. (I) Определите сумму вложения, необходимую сейчас, с тем чтобы на­ копить сумму в 1000 ф. ст. по окончании заданных периодов: (i) за пять лет при 4% годовых; (ii) за два года при 7% годовых; (iii) за шесть лет при 10% годовых. 4. (1) Найдите чистую дисконтированную стоимость для каждого из следу­ ющих вложений и обоснуйте, какое из вложений, на ваш взгляд, наиболее выгодное: (i) Текушее вложение в 1000 ф. ст., которое за два года должно вырасти до 1600 ф. ст. при ставке дисконта 6%. (ii) Текущее вложение в 3000 ф. ст., которое за четыре года должно выра­ сти до 6000 ф. ст. при ставке дисконта 10%. (Ш) Текущее вложение в 10 000 ф. ст., которое за шесть лет должно выра­ сти до 24 000 ф. ст. при ставке дисконта 8%.

4.7. Амортизация Амортизацию предмета можно определить способом, сходным с методами сложного процента. Если стоимость предмета (или актива) уменьшается по фиксированной процентной ставке (г) за период, то стоимость этого предмета после и периодов рассчитывается по следующей формуле: А„ = АоИ - г/100)", где Д, — текущая стоимость и А„ — стоимость после п периодов. Значение г называется нормой амортизации. Данную формулу можно трансформировать в выражение нормы амортиза­ ции, как это показано ниже:

/•=10о[1-!!/л/л'. На последующих примерах мы рассмотрим использование этих формул. Пример 1 Стоимость одного из тестозамесочных агрегатов компании «Торнберри» в настоящее время составляет 300 000 долл. США. При условии нормы амортиза­ ции 10% в год определите стоимость агрегата через четыре года. В этом примере мы имеем: Текущая стоимость Ад — 300 000 Норма амортизации = г = 10% Число лет = л = 4 С помощью формулы амортизации определяем: А„ = Ло(1 - г/ЮОУ = 300 000 (0.9)' = 300 000 х 0.6561 = 196 830 долл. Таким образом, стоимость этого агрегата через четыре года будет равна 196 830 долл., т. е. за указанный период произойдет снижение его стоимости на сумму 103 170 долл.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

145

Пример 2

Предмет, приобретенный два года назад за 2000 ф. ст., в настоящее время оценивается в 1200 ф. ст. Определите норму амортизации для данного предмета. Норму амортизации можно вычислить по следующей формуле: г = 100fl-5;//4„//lo] = 10o[l-2/(l 200/2000)1 = 100[l-Va6l = 100[l-0.775] = 100x0.225 = = 22.5. Стоимость данного предмета уменьщается по годовой ставке 22.5%.

4.8. Аннуитет и фонд погашения Аннуитет — это соглашение, согласно которому производится взнос фик­ сированной разовой денежной суммы, взамен чего через/или в течение огово­ ренного срока получают либо разовую сумму, либо периодические платежи. Например, индивидуальный предприниматель может изъявить желание внести разовую сум.му в аннуитет с тем, чтобы по прошествии определенного периода времени ежемесячно получать пенсию. Фонд погашения — это альтернативный вариант аннуитета, когда произ­ водятся периодические взносы фиксированной суммы денежных средств для достижения конкретной цели в определенный момент времени. Ряд формул, используемых в таких расчетах, могут быть сложны. Одна­ ко в данном контексте все же целесообразно упомянуть одну конкретную формулу. Рассмотрим разовую сумму А, вложенную в начале периода. Если / — сумма, прибавленная к сумме вложения или вычтенная из нее в конце каждого года, то накопленная сумма в конце п лет представлена следующей формулой:

^

'

'

г/100

Первый элемент в этом выражении служит для вычисления накопленной стоимости от первоначального вложения {А), второй элемент служит для вы­ числения сум.мы, накопленной от периодических платежей. Эту формулу можно преобразовать в выражение для периодических плате­ жей Если первоначально вложена сумма {А) при ставке процента г в год, то для получения в итоге суммы S через п лет необходимы периодические платежи (/) в конце каждого года, где / рассчитывается по формуле /•/100 5-^(1+^/100)" /=/1(1+/-/100)"-1

Эту формулу можно несколько упростить с помощью альтернативного выражения для процентной ставки R = г/ЮО. Тогда выражение для периодической суммы вложения / имеет следующий вид:

146

ГЛАВА 4

R\S-A{I+R)"

/ = _i

На последующих примерах мы рассмотрим эти формулы аннуитета.

Пример 1 Рассмотри.м первоначальное вложение в 1000 ф. ст., за которым в течение четырех лет ежегодно производились регулярные платежи в сумме 500 ф. ст. При условии годовой процентной ставки в 10% стоимость вложения в конце этого периода определяется по формуле

^

'

'

/-/100

где Л — исходная сумма — 1000 ф. ст.; / — ежегодные платежи — 500 ф. ст.; г — годовая процентная ставка — 10%; п — число лет — 4. Подстановкой этих значений в выражение получаем: , и 500(1+10/100)"-500 , , , 500(1.4641)-500 5=1000(1+10/100) + ^^ L 1 = 1000(1.4641)+ !^ >- - = = 1464.1 + 2320.5 = 3784.60 ф. ст. Обратите внимание, что два элемента формулы служат для вычисления накопленных сумм для каждого элемента вложения. Так, в этом примере исход­ ное вложение в 1000 ф. ст. прирастает до 1464.10 ф. ст. через четыре года. Анало­ гично, ежегодные платежи в сумме 500 ф. ст. прирастают до итогового значения в 2320.50 ф. ст. (Сюда включен и заключительный платеж в 500 ф. ст. в конце четвертого года.) Поэтому общая стоимость вложения складывается из этих двух значений.

Пример 2 При раз.мещении исходной суммы в 10 000 ф. ст. на вклад под 6% годовых и снятии 1500 ф. ст. в конце каждого года какая сумма останется на счете через пять лет? В этом случае мы имеем А = 10 000, г = 6%, л = 5, и периодический платеж есть величина отрицательная, так как происходит снятие денег со счета, Таким образом, / = —1500, и окончательная сумма по прошествии указанного периода составит:

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

147

,„ / I f r l O O ' - / „ _ , ,, ,5 -1500^U6/100 - ~Ь00 5=-^(Ur/U)0)%--^ i = 10000 1+6/100 + i '—-^ '^ ' > r/100 ^ ' '' 6/100 , -1500(1 33823)+!500 - 10000(133823)+ = -^ —^ = 11382 30 - 8455 75 - 4926 55. 0 06 Следовательно, no окончании указанного периода на счете останется 4926 55 ф С1 Обрагше внимание, что составные части этого ответа таковы: значение 13382 30 ф ст — это сумма, коюрая могла бы быть на C4eie через 5 лет при исходном вложении в 10 000 ф ст ; значение 8455.75 ф. ст. вк^тючает изъятие со счета ia данньп! период (пя1ь раз по 1500 ф. ст.), а также потери процент ною дохода, вызванные вышеуказанными изъятиями. Пример 3

Инвестор хочет вложить 5000 долл. США сейчас с последующими пери­ одическими взносами в конце каждого юда в течение следующих щссти лет При условии процентои ставки 8*^ какие суммы необходимо вносшь в конце каждою года для приращения исходного вложения до суммы в 20 000 долл. в течение шести лет? В эюм случае мы должны применить формулу для регулярных платежей' /•'100 .V"'1(1) л, 100)" /=

где г = 8%, S — искомая сумма — 20 000 ф. ст., А — исходное вложение, равное 5000 долл , и лг = 6 лет. Значение 8/100[20000-5000(1+8/100)']

0.08[ 20000-5000(1.58687)]

(1+8/100)"-1

1.58687-1

О 08(20000-7934 35] Следовательно, ежегод1!0 необходимо довносить 1644.75 долл., чтобы приpaciHTb исходное в.1ожение до 20 000 долл. через 6 лет Пример 4

Инвестиционная ко.мпания предлагает аннуитет, при котором первонача^тьный разовый взнос в сумме 12 000 ф. ст. будет приносить по 2000 ф. ст. в конце каждого года в течение следующих десяти лет. Установите выгодность этого вложения при условии номинальной ставки процента в 7%.

148

ГЛАВА 4

На первый взгляд, данное вложение представляется разумным. При вложении 12 000 ф. ст. мы получим 20 000 ф. ст. в виде частичных платежей. Однако если мы учтем заданную ставку процента, то задача окажется более сложной. Чтобы понять это, давайте определим, какова должна быть первоначальная сумма вложения для последующего получения частичных платежей по 2000 ф. ст. В этом случае мы имеем: Регулярный платеж (т. е. изъятие) / = —2000. Ставка процента г = 7%. Итоговое значение вложения ^ = О, так как через 10 лет вложение закон­ чится. Число лет п = 10. Подставим эти значения в формулу аннуитета:

^

'

'

г/ЮО

Таким образом, получаем:

'

'

>

7/100

, , ,10 -2000(1.96715)'%2000 0 = ^(1.96715)'Ч L _ J ; О = /4(1.96715) -

27 632.86.

Таким образом, путем преобразования уравнения получаем /1(1.96715) = 27 632.86. Следовательно, А = 14 047.15 ф. ст. Таким образом, аннуитет стоит разового взноса в сумме 14 047.15 ф. ст. при условии сохранения ставки процента на заданном уровне. Поэтому аннуитет с первоначальным взносом в 12 000 ф. ст. представляется хорошим вложением. Понятно, что окончательное решение по целесообразности того или иного вложения зависит от ряда других факторов, в том числе показателей инфляции и альтернативных вариантов, предлагаемых другими компаниями. Пример 5 Определите сумму, подлежащую выплате в конце каждого года в счет по­ гашения ипотечного кредита на сумму 60 000 ф. ст., вьщанного на 15 лет под 5% годовых. В этом примере мы имеем исходную сумму /1 = 60 000 ф. ст. и сумму в конце периода S = Q. Заданный период погашения задолженности л = 15 лет и про­ центная ставка г = 5%. Итак, мы имеем:

^

'

'

г/100

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

^

'

>

149

5/100

0 = 60000(2 078928)+-^^

bz_;

0 = 124735 68 + /(21.57856) , -124735 68 „„„^. Следовательно, / = с-,ос^ ~" 5/80.54 . 2157856 Ипотечный кредит будет гаситься выплатами по 5780.54 ф. ст. в конце каж­ дого юда в течение 15 лет Общая стоимость ипотечного кредита составляет 15 X 5780 54 ф сг. = 86708 10 ф ст

4.9. Упражнения: амортизация и аннуитет 1 (Е) Предмет, стоящий 5000 ф ст., уменьшает свою стоимость с нормой 6% в год Определите стоимость этого предмета в конце года 2, 3 и 4 2 (I) Станок, стоивший при приобретении 3 года назад 10 000 доля США, в иасюящее время оценивается только в 4000 долл Определите годовую норму амортизации для этого станка 3 (I) Определите стоимость вложения в конце заданного периода на осно­ вании следующей информацииСО Первоначальное вложение в 1000 ф ст с последующими ежегодными довзносами в сумме 400 ф ст в течение трех лет под 8% годовых. (и) При отсутствии первоначального взноса в конце каждого года в тече­ ние 5 лет делаются взносы по 1000 ф ст. под 4% годовых. ( т ) Первоначальное вложение в сумме 5000 ф ст с изъятием 1000 ф ст в конце каждого года в течение 4 лет при ставке процента 6% в год 4 (I) При первоначальном вложении в 2000 ф. ст определите, какую сумму необходимо довносить в конце каждого года для накопления заданной суммы через определенное количество лет' (О 5000 ф ст через 4 года при 8% годовых; (и) 10 000 ф ст через 6 лет при 10% годовых, (ui) 10 000 ф ст через 6 лет при 4% годовых 5 (I) Определите сумму ежегодных выплат в счет погашения кредита в течение заданного периода (О 50 000 ф ст через 20 лет при 8% годовых; (и) 40 000 ф ст через 10 лет при 6% годовых, ( т ) 25 000 ф ст через 4 года при 10% годовых

4.10. Оценка инвестиций Мы можем использовать методы сложения процентов, амортизации и те­ кущей стоимости, уже описанные ранее в этой главе, при рассмотрении целе­ сообразности инвестиций или при сравнении различных вариантов вложения средств При оценке инвестиции дополнительно вводится понятие внутренней нормы рсшабельности Это доход в процентах от суммы инвестиции, рассчи­ танный ио чистой дисконтированной стоимости и часто называемый отдачей

150

ГЛАВА 4

Более конкретно это можно описать как ставку дисконта по проекту, которая лает чистую дисконтированную стоимость, равную нулю. Это определение зву­ чит несколько странно, и поэтому на последующих примерах .мы покажем применение данной методики. А пока, в общем виде, если А„ — сумма, вло­ женная сейчас, и А„ — стоимость инвестиции через п лет, то мы получаем формулу 1

Ао = А„^

(l+r/lOO)

А„ -"(l+r/lOO)"

Мы уже встречались с этой формулой текущей стои.мости. Если А^^ w А„ известны, то тогда мы можем определить значение г — внутреннюю норму рентабельности. Данную формулу можно представить в обобщенном виде с учетом прибы­ ли на вложение в рахчичные периоды. Так, если исходное вложение А^ дает доход /1, в конце первого года, Aj — в конце второго года и т. д., то общая формула расчета г выглядит так; ^^ =

4

I

(1+/-/100)'

-^2

(1+r/lOOf

,

>^3

(1+r/IOOf

^

"•

Вычислить г по этой сложной формуле — дело крайне непростое, и поэто­ му обычно прини.маются оценочные методы. На практике мы рассматриваем различные нормы отдачи и находим чистую дисконтированную стоимость пу­ тем сравнения текущей стоимости с суммой исходного вложения. Для получе­ ния наилучшей оценки внутренней нормы рентабельности (г) мы рассматрива­ ем какое-нибудь значение г, которое дает небольшую положительную чистую дисконтированную стоимость, и второе значение г, которое дает небольшую отрицательную чистую дисконтированную стоимость. Затем с помощью графи­ ческих методов мы можем определить значение внутренней нормы рентабель­ ности между этими двумя величинами, которое дает нулевую чистую дискон­ тированную стоимость.

Пример 1 Рассмотрим исходное вложение 1000 долл. США в оборудование, что, как ожидается, принесет доход в 1600 долл. в конце второго года. Внутреннюю норму рентабельности (г) для данного вложения получаем по формуле А„ л =(l+r/lOO)" где Л = 1000, Д, = 1600 и /I = 2. Следовательно, 1000

'600 (1+г/100)^

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

151

Путем перестановки вычисляем г и получаем г = 26.5. Таким образом, внутренняя норма рентабельности для данного вложения составляет 26.5% в год. Пример 2 Рассмотрим первоначальное вложение в сумме 2400 ф. ст., которое дает 1200 ф. ст. в конпе первого года, 800 ф. ст. в конце второго года и 500 ф. ст. в конце фетьего года. Внутреннюю норму рентабельности можно вычислить по следующей формуле:

(1+Л/100)

(l+r/lOO)^ (1+г/100)^

где Л = 2400, Л, = 1200, А^ = 800 и А , = 500. ^,„„ 1200 2400 = -

800

500

(1+r/lOO)' (1+r/lOO)^ {\+r/lOOf ' Данное уравнение трудно использовать для вычисления г. Поэтому можно применить фафический метод. Мы имеем: Чистая дисконтированная стоимость = 1200 (1+r/lOO)

-+

800

500 ^,„^ Г-+ г~2400 (1+r/lOO)^ (1+r/lOO)

Рассмотрим значения г, при которых чистая дисконтированная стоимость близка к нулю. (Здесь лучше всего использовать компьютер). Так, метолом проб и ошибок мы на.ходим, что при г = 4% чистая дисконтированная стоимость составляет —62.01 и при л = 2% чистая дисконтированная сто­ имость составляет +16,57. Следовательно, значение внутренней нормы рен­ табельности лежит в пределах от 2 до 4%. С помощью простого графи­ ческого метода получаем значение внутренней нормы рентабельности, как это показано на рис. 4.1. Значения г в пределах от 2 до 10% нанесены на график, при этом вычисления производились согласно тому, как мы описы­ вали ранее. Из фафика на рис. 4.1 видно, что оценочное значение внутренней нор.мы рентабельности находится чуть выше 2%, приблизительно на уровне 2.5%. Други.ми словами, отдача от этого вложения очень мала, и, возможно, необходимо исследовать другие варианты, с тем чтобы определить, какому инвестиционно­ му плану отдать предпочтение. Более точную оценку можно получить путем оценки чистой дисконтированной стоимости при значениях г, взятых с мень­ шим интервалом. Так, если определить чистую дисконтированную стоимость для значений г = 2%, 2.2%, 2.4%, 2.6%, 2.8% и 3%, то полученное значение будет более точным. Однако на практике такая степень точности, вероятно, будет не нужна, если только не рассматривается два или более вариантов со схожей доходностью.

152

ГЛАВА 4 Оценка внутренней нормы рентабельности

о о 2 s: о

(О

ш о а о

о X

Годовая норма (%)

Рис. 4 . 1 . Чистая дисконтированная стоимость

Пример 3

Консультант фуппы «Паркер и Джеймсом» помогает компании провести сравнение различных вариантов инвестиций. Так, например, можно провести сравнение внутренней нормы рентабельности нескольких вариантов. Рассмот­ рим два приведенных ниже варианта. Каждый из рассматриваемых проектов требует первоначального капиталовложения в сумме 1 млн. ф. ст. Оценки объема прибыли в течение четырех лет представлены в таблице: Проект А Б

Прибыль в конце года (тыс. ф. ст.) 1997 200 450

1998 400 500

1999 600 250

2000 250 150

Простое сравнение двух вариантов может заключаться в сопоставлении общего объема прибыли за четырехлетний период. В нашем случае проект А принесет 1 450 000 ф. ст., а проект Б — 1 350 000 ф. ст. Следовательно, выглядит так, что проект А — более удачное вложение. Однако при этом, конечно, не учитывается стоимость денег во времени. Проект Б приносит большую прибыль в первые годы, тогда как проект А начинает приносить более существенную прибыль позднее. Метод внутренней нормы рентабельности поможет осязаемо сравнить эти два варианта. Для проекта А чистая дисконтированная стоимость рассчитывается, как показано ниже. (Цифры даны в тыс. ф. ст. Таким образом, первоначальное вложение на сумму в 1 млн. ф. ст. в расчете показано как 1000.) Чистая дисконтированная стоимость (ЧДС) = 200 400 600 (1+Г/100) (1+;./100)' (1+r/lOOf

250 (1+Г/100)'

1000.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

153

Значение чистой дисконтированной стоимости может быть определено для различных значений г. Например, при г = 12% ЧДС = 83.4, при г = 14% ЧДС = 36.2 и при г =16% ЧДС = —7.9. С помощью этих значений определяем оце­ ночное значение внутренней нормы рентабельности — где-то на уровне 15.6%. Аналогично, для проекта Б ЧДС находим следующим образом: ипп ЧДС = 7

450

500

Г7Т7л+

250 Т+

150 Г+

.... 2" "1000.

(l+r/lOO) (1+r/lOO) (l+r/lOO) (1+r/lOO) При различных г имеем следующие значения ЧДС: при г = 14% ЧДС = 37.0, при г = 16% ЧДС = 2.5 и при г = 18% ЧДС = -30.0. То есть внутренняя норма рентабельности составляет около 16.2%. Отсюда простое сравнение внутренней нормы рентабельности показывает, что проект Б имеет более высокую прогнозную отдачу: компании будет рекомен­ довано при рассмотрении двух вариантов отдать предпочтение проекту Б.

4.11. Упражнения: оценка инвестиций 1. (Е) Найдите норму внутренней рентабельности для каждого из трех описанных проектов при условии первоначального вложения 10 000 ф. ст. Далее приведены прогнозы по доходам от инвестиций по окончании указанных пери­ одов. (Обратите внимание, что это разные инвестиции.): (i) год 1: 12 000 ф. ст.; (И) год 2: 11 000 ф. ст.; (iii) год 3: 14 000 ф. ст. 2. (I) С помощью фафического метода или другим способом определите норму внутренней рентабельности для следующих инвестиций: (i) (-) Инвестиция составляет 5000 ф. ст. Доход на конец каждого года: год 1 — 4000 ф. ст., год 2 — 3000 ф. ст. (ii) Инвестиция составляет 20 000 ф. ст. Доход на конец каждого года: год 1 — 12 000 ф. ст., год 2 — 8000 ф. ст., год 3 - 4000 ф. ст. 3. (I) Директор по производству компании «Торнберри» должен при­ нять решение относительно приобретения нового технологического оборудо­ вания по выпечке хлебобулочных изделий. В настоящее время рассматривает­ ся вопрос приобретения одной из двух линий, и поэтому финансовый ди­ ректор компании «Торнберри» рекомендовал при принятии решения учесть различные факторы, в том числе внутреннюю норму рентабельности. В таб­ лице указана стоимость каждой линии (в долл. США), а также соответству­ ющий ожидаемый доход: Линия А (в долл. США) Б (в долл. США) Первоначальное вложение Прибыль на конец года Год 1 Год 2 Год 3 Год 4 Год 5

250 000

180 000

80 000 120 000 100 000 100 000 60 000

120 000 100 000 90 000 70 000 50 000

154

ГЛАВА 4

Как видно, линия А дороже линии Б Однако эта разница может быть перекрыта большей доходностью, связанной с более высокой производитель­ ностью линии А (О Определите норму внутренней рентабельности в каждом из случаев и на основании этой информации порекомендуйте директору по производству, какой вариант выбрать (И) Прокомментируйте использование внутренней нормы рентабельности в качестве показателя оценки инвестиций Какие другие факторы необходимо учесть директору по производству''

4.12. Краткое содержание главы В этой главе рассмотрены некоторые основные методы, связанные с опре­ делением динамика доходности финансовых вложений Так, эти методы ис­ пользуются для исчисления общей суммы процентов к уплате по кредитам по формулам простого и сложного процента Процентная ставка в годовом исчис­ лении представляет собой стандартный показатель, отражающий реальную го­ довую ставку процента к уплате Формулу сложного процента можно к тому же несколько видоизменить для анализа износа актива во времени Вычисление чистой дисконтированной стоимости (ЧДС) используется для определения стоимости инвестиции в текущих ценах с учетом возможного дохода по проше­ ствии определенного периода времени Эти методы можно применять для определения общей стоимости анну­ итета, при котором вносится фиксированная сумма и взамен получают либо р,азовую сумму, либо регулярные выплаты Альтернативой аннуитету являет­ ся фонд погашения, когда в течение определенного периода времени про­ изводятся регулярные выплаты с целью накопления определенной суммы в конце временного периода Также рассмотрено понятие вн>тренней нормы рентабельности, которая служит для расчета отдачи от инвестиции Внутрен няя норма рентабельности рассчитывается путем нахождения ставки дискон­ та для инвестиции, при которой чистая дисконтированная стоимость равна нулю Эти спожные приемы требуют применения компьютера с целью об­ легчения вычислений Описанные методы используются в хозяйственной деятельности, в том числе при — оценке инвестиций, когда необходимо обосновать вложение капитала в конкретный проект или провести объективный сравнительный анализ двух ити более проектов, — принятии финансовых решений, связанных с вопросами кредитования, — решении различных задач, связанных с учетом, например при оценке активов и начислении износа

4.13. Дополнительные упражнения 1 (Е) Вычислите общую сумму процентного дохода на следующие вложе­ ния при условии, что в каждом из случаев процентная ставка приводится в годовом исчислении (О 1000 ф IT по ставке простого процента в 6% на 10 лет, (п) 500 ф ст по ставке простого процента в 8% на 6 лет, (ill) 700 ф ст по ставке простого процента в 9% на 30 месяцев,

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

155

(iv) 2000 ф. ст. по ставке сложного процента в 4% на 3 года с ежегодным начислением процентов; (v) 400 ф. ст. по ставке сложного процента в 7.5% на 4 года с ежегодным начислением процентов; (vi) 10 000 ф. ст. по ставке сложного процента в 12% на 2 года с ежемесяч­ ным начислением процентов. 2. (Е) Вычислите ставку процента в годовом исчислении на основании следующей информации: (i) 6% в год с ежеквартальным начислением; (ii) 6% в год с ежемесячным начислением; (iii) 10% в год с ежегодным начислением; (iv) 10% в год с начислением каждые 6 месяцев; (v) 10% в год с ежемесячным начислением. 3. (I) Вычислите чистую дисконтированную стоимость следующих вложе­ ний и определите, какое вложение наиболее выгодно при условии годовой ставки дисконта в 8%: (i) Вложение 5000 долл. США с доходом в 4000 долл. в конце 1-го года и в 2000 долл. в конце 2-го года. (ii) Вложение 10 000 долл. с доходом в 4000 долл. в конце первых трех лет. (iii) Вложение 8000 долл. с доходом в 10 000 долл. в конце 2-го года. 4. (I) (1) С помощью таблицы дисконтирующих множителей, приведенной в разделе 4.5, определите сумму вложения, необходимую для накопления оп­ ределенной суммы по окончании заданного периода: а) необходимо накопить 2000 долл. за четыре года при 8% годовых; б) необходимо накопить 6000 долл. за пять лет при 10% годовых. (ii) Найдите соответствующие дисконтирующие множители для следую­ щих процентных ставок в зависимости от указанного срока, и на основании этого в каждом случае определите сумму вложения, необходимого для накоп­ ления в итоге 20 000 долл.: а) 5% за три года; б) 9% за четыре года; в) 11% за шесть лет. 5. (Е) (i) Определите стоимость актива по прошествии определенного ко­ личества лет при заданной годовой норме амортизации: а) Первоначальная стоимость — 5000 ф. ст., через четыре года, при норме 6%. б) Первоначальная стоимость — 2400 долл. США, через три года, при норме 3%. в) Первоначальная стоимость — 6400 ф. ст., через пять лет, при норме 10%. (ii) Найдите годовую норму амортизации на основании следующей инфор­ мации: а) Первоначальная стоимость — 1000 ф. ст., стоимость через четыре года — 500 ф. ст. б) Первоначальная стоимость — 4000 ф. ст., стоимость через три года — 3000 ф. ст. 6. (I) На11дите стоимость инвестиции в конце указанного периода при следующих условиях: (i) Первоначальная разовая сумма — 2000 ф. ст. Дополнительно в конце каждого года довкладывается 500 ф. ст., на три года, под 10% годовых.

156

ГЛАВА 4

(ii) Первоначального взноса нет. В течение 4 лет инвестируется в конце года 1000 ф. ст. под 8% годовых. (iii) Первоначальная разовая сумма — 15 000 ф. ст. В течение 5 лет 1000 ф. ст. снимается со счета в конце каждого года. Ставка процента — 7% годовых. (iv) Первоначальная разовая сумма — 30 000 ф. ст. В течение 3 лет изыма­ ется 500 ф. ст. в месяц. Ежегодно начисляется процентный доход из расчета 10% годовых. 7. (I) Определите сумму каждой выплаты, необходимой для погашения следующих кредитов: (i) 50 000 долл. США под 6% годовых, ежегодные выплаты в течение 10 лет; (ii) 100 000 долл. под 8% годовых, выплаты каждые 6 месяцев в течение 6 лет: (iii) 40 000 долл. под 9% годовых, выплаты ежемесячно в течение 4 лет; (iv) 60 000 долл. под 8% годовых, выплаты ежеквартально в течение 5 лет. 8. (D) Финансового консультанта консультационной фуппы «Паркер и Джеймсон» попросили сравнить несколько вариантов кредитования капиталь­ ных проектов. Для исходной суммы кредита в 100 000 ф. ст. имеется несколько возможных вариантов погашения задолженности в течение 5 лет. Ниже приво­ дится краткое описание этих вариантов: Вариант 1. Ежемесячные выплаты. Низкая ставка процента на первом эта­ пе: 4% годовых в первые два года. В оставшиеся три года ставка составляет 9% годовых. Вариант 2. Ежемесячные выплаты. Фиксированная номинальная ставка процента — 8% годовых в течение 5 лет. Вариант 3. Выплаты каждые 6 месяцев. Фиксированная номинальная ставка процента — 8.2% годовых в течение 5 лет. (i) Рассчитайте общую сумму выплат по каждому варианту. Дает ли срав­ нение полученных значений ответ на вопрос, какой вариант самый лучший? (ii) Вычислите ЧДС для каждого варианта, проведите сравнительный ана­ лиз полученных результатов и обоснуйте свой выбор варианта.

Глава 5

ИНДЕКСЫ

СОДЕРЖАНИЕ > > > > > > > > > > >

ГЛАВЫ:

Простые индексы Индексы с переменной (цепной) базой Общие индексы Взвешенные агрегаты Индекс Ласпейреса Индекс Пааше Сравнение индексов Ласпейреса и Пааше Другие индексы Количественные индексы Индексы стоимости жизни Другие деловые индексы

ЦЕЛИ: > > > > >

уяснить применение индексов в хозяйственной деятельности научиться методам расчета индексов уяснить методы взвешивания при составлении индексов понять методы расчета ценовых и количественных индексов научиться использовать индексы при проведении сравнительного ана­ лиза данных > познакомиться с публикуемыми в печати экономическими индексами

Введение В последние годы индексы находят все большее применение в хозяйствен­ ной и управленческой деятельности. Основное предназначение индексов состо­ ит в отображении уровня изменения конкретного значения. Так, индексы ши­ роко применяются для отражения изменений в стоимости жизни, ценах на акции, объеме промышленного производства, валютообменных курсах. Они дополняют многие другие экономические и финансовые данные. Индекс пока­ зывает процентное изменение определенного значения за какой-то период вре­ мени. Другими словами, полученный индекс — это процент какого-либо зна-

158

ГЛАВА 5

чения по сравнению с заданным (базисным) периодом. Эта информация может быть очень полезна при сравнении изменений в различных финансовых факто­ рах и анализе поведения конкретного фактора, что мы и покажем на последу­ ющих конкретных примерах.

Конкретный пример

«Бритиш-Америкэн Парте, Лтд».

«Бритиш-Америкэн Парте Компани, Лтд» (БАПК Лтд) — это многонаци­ ональная машиностроительная корпорация, основная деятельность которой состоит в производстве и сбыте компонентов из стали и сплавов, применяемых при сборке различных механических и электрических приспособлений. Голов­ ная контора БАПК находится в Чикаго; в Сингапуре находится региональная контора, отвечающая за операции на Дальнем Востоке, а в Тулузе — регио­ нальная контора, обслуживающая операции в Европе и Африке. Цены на сырьевые материалы, например сталь, нефть и уголь, являются важными индикаторами, влияющими на прибыльность операций компании. Руководство компании использует различные индексы в качестве показателей этих цен с целью выработки стратегии ценообразования и долговременной инвестиционной политики. Также тщательно отслеживаются и другие индексы, например индексы промышленного производства в крупных индустриальных странах. Такие индексы могут указать на вероятность неудовлетворенности оп­ ределенных рынков, чем БАПК может воспользоваться. Основные производственные центры компании находятся в Великобрита­ нии, США, Индонезии и Нигерии. Вспомогательные производства размещены в Германии, Голландии, Польше и Бразилии. Руководители, работающие в конкретных странах, используют индексы, например те, что отражают измене­ ния в стоимости жизни и уровне заработной платы в стране, для проведения переговоров по оплате и условиям труда местной рабочей силы. Также на осно­ вании таких статистических показателей разрабатываются новые стратегии оп­ латы труда и предоставления льгот.

Конкретный пример

Официальная статистика Великобритании

Также как и в других крупных промышленных странах, в Великобрита­ нии правительственные службы публикуют различные статистические сведе­ ния, отражающие рост, изменение и поведение множества экономических. финансовых и социологических показателей. Многие статистические сведе­ ния представлены в виде индексов. Они публикуются Центральным статис­ тическим управлением в ряде изданий, например, в «Ежегодном сборнике статистических данных», «Ежемесячном своде статистических данных», а также в «Имплоймент газет» и «Экономик треидз». В виде индексов пред­ ставлено невероятно большое количество данных. К широко известным ста­ тистическим показателям относится индекс розничных цен, показывающий изменения в стоимости жизни. Также рассчитываются индексы для отраже­ ния изменений в таких показателях, как объем промышленного производ­ ства, торговый баланс, объем розничного и оптового товарооборота, цены на товары и кредитные ставки.

ИНДЕКСЫ

159

Помимо того, что такая информация адекватно отражает положение в раз­ личных областях жизни страны, она может использоваться и в политических целях как партией власти, так и оппозицией. Каждая сторона обычно делает упор на различные аспекты индексов с тем, чтобы показать эффективность или, наоборот, неэффективность текущей политики правительства. При этом индексы могут стать мощным средством достижения своих целей, так как они понягны большей части населения. Индекс можно легко интерпретировать, и для этого HCI необходимости глубоко знать фактическую механику проводимых расчетов. Поэтому такие статистические показатели являются важным полити­ ческим средством доведения определенного рода информации, и связано это с тем что они способны оказать немедленное и сильное воздействие на разнооб­ разную аудиторию. Дополнительная информация по индексам, публикуемым в Великобритании и США, приведена в разделах 5.14 и 5.15.

5 . 1 . Простые индексы Индекс показывает изменение в процентах от данного значения за опре­ деленный период времени. Этот исходный период называется базовым. Так, индекс значения в базовом периоде составляет 100 (т. е. 100%). Другие индексы для других периодов рассчитываются исходя из базового периода. Например, индекс цены на какой-либо товар в 1999 г. составляет 120 по сравнению с 1995 г., взятом в качестве базового периода. Это говорит о том, что в период с 1995 по 1997 г. цена на товар увеличилась на 20%. Аналогично, индекс за тот же период второю товара составил 95. Это значит, что товар упал в цене на 5% за указанный период. Таким образом, индекс позволяет в простой форме проил­ люстрировать изменение определенного значения, например цены. В общем виде, когда производится расчет ценового индекса, то если />„ — цена базового периода и /?, — цена текущего периода, тогда индекс, показыва­ ющий изменение цены начиная с базового периода и заканчивая текущим периодом, имеет следующий вид: Простой индекс =—^хЮО. Ро Из формулы видно, что текущая цена делится на базовую цену, и затем результат умножается на 100 для получения значения в процентах. • Определение. Индекс показывает в процентах изменение значения начиная с базового периода и конная текущим периодом. Обычно индекс базового периода равен 100. А

Пример 1 В таблице приведены цены на сырую нефть за баррель в период с 1995 по 2000 г.: ГодЦена за баррель (долл. С Ш А ) :

1995

1996

1997

20

22

21

1998 1999 2000 18

23

25

160

ГЛАВА 5

Взяв 1995 г. в качестве базового года, мы можем вычислить индекс цен за каждый последующий год, как это показано ниже. В 1995 г. (базовом периоде) индекс цен условно составляет 100. В 1996 г. индекс цен рассчитывается следующим образом: п Цена в 1996 г. ,^„ 22 ,__ , , . „ , i^x|f)()= ^ X 100 = X 100 = 110% Ро Цена в 1995 г. 20 Индекс за 1996 г. показывает, что цена сырой нефти выросла на 10% начиная с базового периода (1995 г.). Цена в 1997 г. ,„„ 21 ,„„ ,„^„, Аналогично, в 1997 г. индекс = „ ,„„^ х 100= х 100 = 105%. Цена в 1995 г. 20 Цена в 1998 г. ,^^ 18 ,^„ „^„, В 1998 г. индекс цены = „ - , „ „ , х 100= х 100 = 90%. Цена в 1995 г. 20 Этот индекс показывает, что в 1998 г. цена упала на 10% по сравнению с базовым 1995 г. 23 В 1999 г. индекс цены = —х100 = 115%. 25 И наконец, в 2000 г. индекс цены = — х 1 0 0 = 125%. Таким образом, мы имеем последовательность индексов цены на сырую нефть, взяв 1995 г. в качестве базового: Год: Индекс цены:

1995 100

1996 110

1997 105

1998 90

1999 115

2000 125

Пример 2

В таблице приведены индексы промышленного производства в Великобри­ тании за период с 1996 по 1999 г., где 1996 — базовый год: Год: Индекс производства:

1996 1997 100 104

1998 ПО

1998 108

Все значения выражены в процентах, при этом в качестве базового взят 1996 г. Так, за два года, с 1996 по 1998 г., промышленное производство вырос­ ло на 10%. Эти индексы можно использовать для отображения ежегодных изменений объема производства. Например, рассмотрим период с 1997 по 1998 г., когда индексы составили соответственно 104 и 110%. Фактическое процентное изме­ нение за этот годовой период можно вычислить следующим образом: Индекс за 1998 г. на основе 1997 г. =-—х100 = 105.8% . 104

Он показывает, что объем производства вырос на 5.8% в 1997 г. по срав­ нению с 1998 г.

ИНДЕКСЫ

161

Аналогично, сравнив индексы за 1998 и 1999 юлы, получим •^xlOO-98 2% ПО Это юворит о том, что в 1998 г обьем производства упал на 1 8% по сравнению с 1999 г

5.2. Индексы с переменной (цепной) базой В предыдущих примерах \\ы рассмотрели индексы, которые рассчитывались относительно постоянной базы Однако, что мы и показали на втором примере, при расчете индексов можно брать разные базовые периоды На последующих примерах мы уточним это положение, а также сравним два метода составления индекса Итак, рассмотрим два подхода Индекс с постоянной базой каждое значение сравнивается со значением одного и того же базового периода Индекс с переменной (цепной) базой каждое значение сравнивается со значением предыдущего периода И вновь, как в первом, так и во втором случае индекс выражен в процен­ тах Пример 1 Рассмотрим таблицу, где приведена средняя недельная заработная плата работников обрабатывающей промышленности США Год Средняя недельная заработная плата (долл США)

1995

1996

1997

1998

420

438

446

450

Взяв 1995 г в качестве базовою, получим индексы с постоянной базой 1996 438/420 х 100 = 104 3 1997 446/420 х 100 = 106 2 1998 450/420 х 100 = 107 1 В противоположность этому, индексы с переменной (цепной) базой рас­ считываются к предыдущему периоду 1996 438/420 х 100 == 104 3 1997 446/438 х 100 == 101 8 1998 450/446 х 100 = 100 9 Рассчитанные здесь индексы с переменной базой показывают процентные изменения год за годом Такие значения дают более ясное видение ежегодных изменений в размере недельной заработной платы Так, индекс с переменной базой за 1993 г , составивший 100 9, четко показывает, что за год по сравнению с 1992 г заработная плата существенно не изменилась Индекс с постоянной базой за 1993 г, составивший 107 1, не показывает этого, и для того, чтобы указать на отсутствие реальных изменений, необходимо сделать ссылку на предьшущий год, когда индекс был равен 106 2 Однако индексы с переменной базой плохо определяют реальные различия между последовательностью лет Например, за 1992 и 1993 гг индексы с пере-

162

ГЛАВА 5

менной базой составили соответственно 101.8 и 100.9. Такие значения можно неверно истолковать — так, как будто они показывают, что заработная плата в 1993 г. меньше, чем в 1992 г., а это совершенно не так. Таким образом, эти значения необходимо анализировать с осторожностью, и в большинстве прак­ тических случаев предпочтение отдается индексам с постоянной базой. Т Определение. Индекс с постоянной базой рассчитывается путем сравнения каждого последующего значения с постоянным значением базового периода. В ка­ честве варианта используется индекс с переменной (цепной) базой, когда каждое значение сравнивается с предшествующим ему значением. •

5.3. Индексы общие Ранее мы рассмотрели вычисление индексов единичных значений во вре­ мени. Одна из больших трудностей, связанных с вычислением индексов, возни­ кает тогда, когда проводится сравнение сложных данных. Так, чтобы сравнить стоимость жизни за два года, необходимо учесть цены на многие предметы, например, продукты питания, жилье, одежду, электричество и транспорт. Из­ менения по каждой из этих позиций повлияют на общую стоимость жизни, и поэтому необходимо каким-то образом свести эти изменения в единый показа­ тель. Рассмотрим расчет индекса цены для нескольких товаров. Два простых метода определения единого индекса, сочетающего все изменения отдельных значений, основаны на применении понятий среднего арифметического и про­ стого агрегата. Теперь в нескольких словах охарактеризуем эти методы. Пользуясь теми же самыми обозначениями, запишем: текущая цена пред­ мета — р„ базовая цена предмета — /JQ. Простой средний индекс определяется путем нахождения среднего значения всех отдельных относительных показателей цены. Другими словами, рассчитывает­ ся соотношение текущей и базовой цены каждого товара, затем эти соотношения (или так называемые относительные показатели) суммируются, и их сумма делит­ ся на количество значений (л). Можно пользоваться следующей формулой: Простой средЕтий индекс = — — ^хЮО. п В качестве варианта можно рассчитать простой афегатный индекс путем сопоставления суммы текущих цен с суммой базовых цен, которые делятся друг на друга, а полученное значение умножается на 100, чтобы показать результат в процентном выражении. Используется следующая формула: Простой агрегатный индекс = ~;' ' хЮО.

Z/'o Далее рассмотрим эти индексы на примерах. Пример 1 Руководство «БАНК Лтд» внимательно отслеживает изменение цен на раз­ личные товары, например железо, сталь и медь. В таблице приведены средние цены по этой фуппе товаров в 1994 и 1995 гг.:

ИНДЕКСЫ Товар

163

Це»на товара за тонну (долл. США) 1994 г.

1995 г.

25 34 64

24 38 80

Железо Сталь Медь

Общий индекс цен на эти три товара в 1995 г. при базовом 1994 г. рассчи(ываегся следующим образом: п .. ^ 1(л//^о) . . . (24/25 + 38/34 + 80/64) Простои средний индекс =—^^ ^х100=-^^ ^х100 = п 3 (0.96 4 1II8+ 1.25) 3328 -^ ''"Л00-^^^^^х100= 110.9. 3 3 То есть за указанный период цены на товары выросли в среднем на 10.9%. XT'

Как вариант, простой агрегатный индекс = :=—^-х100 = LPo (24 + 38 + 80) 142 = )(-хШ0 = -^х100= 115.4. (25 + 34 + 64) 123 Полученный по этой методике общий индекс показывает, что цены на товары выросли в среднем на 15,4%. Как видно из этого примера, результаты, полученные с помощью этих двух альтернативных методов, могут существенно разниться. Поэтому руковод­ ству «БАПК» трудно истолковать эти результаты. В целом при расчете общего индекса необходимо тщательно выбирать наиболее приемлемый метод. В после­ дующих разделах мы рассмотрим более тонкие методы. • Определение. Индекс для совокупности товаров можно определить по сле­ дующей формуле: ^

п

Простой агрегатный индекс =-^—^хЮО, LPo где р, — текущая цена и рд — базовая цена каждого товара. Альтернативой является простой средний индекс, определяемый по фор­ муле Простой средний индекс =——

^хЮО.Ж

5.4. Взвешенные агрегаты Основные методы определения индексов для совокупности цен имеют один существенный недостаток. Оба метода предполагают равную важность каждого товара группы. В целом, конечно же, такое встречается редко. Изменение цены

164

ГЛАВА 5

на некоюрые ювары можегбыть гораздо значимее колебаний цены других. При расчете общего индекса задача заключается в том, чтобы определить приемле­ мый вес каждого товара. Взвешенный агрегатный индекс основывается на та­ ком подходе и рассчитывается по следующей формуле: Взвешенный афегагный индекс = ^

'- хЮО ,

где W = вес каждого товара в расчете. Последуюшие примеры посвяпгемы рассмотрению этого более тонкого метода Пример 1

Рассмотрим проблему анализа изменений в ценах на биржевые товары, которая стоит перед «БАПК». В таблице приведены цены на биржевые товары за два [ода, а также вес каждого товара: Биржевой товар Железо Сталь Медь

Цена за тонну (долл. США) 1998 г. 1999 г.

Вес 7 12 1

25 34 64

24 38 80

Вес, приведенный в таблице, отражает относительную важность каждого товара. Так, из таблицы видно, что цена на медь наименее значима в этой группе, а цена на сталь считается в двенадцать раз важнее. Вычисления по этому методу взвешенного агрегата приведены в таблице ниже. Вес обозначен w, текущие цены — р, и базовые цены — р^. Товар Железо Сталь Медь Всего:

W

7 12 1 20

Ро(1998 г.) р, (1999 г.)

25 34 64

24 38 80

wpp

wp,

175 408 64 647

168 456 80 704

Из таблицы берем следующие суммы: 2]**' = 10. Z^/'o = 647, J^wp, =704 Итак, рассчитаем общий индекс цен на биржевые товары: Взвешенный агоегатный индекс = - ^ — ^ х 100 = ——х100 = 108.8 . Z wpo 647 Это указывает на то, что по сравнению с 1996 г. в 1997 г. цены на эту группу биржевых товаров выросли на 8.8%. Так мы получили гораздо более реальную картину воздействия из.менения цен на биржевые товары на деятель­ ность «БАПК». Вес каждой позиции может рассчитываться исходя из количе­ ства используемого товара. Очевидно, что вес товаров в данной фуппе будет другим для другой компании и, возможно, изменится в рамках той же самой

ИНДЕКСЫ

165

компании через некоторое время Об этом мы поговорим более подробно в последующих разделах этой главы • Определение. Индекс цен для совокупности товаров с учетом веса каждого определяется по формуле Взвешенный агрегатный индекс A l ^ x l O O , где W — вес каждого предмета А

5.5. Упражнения: простые и взвешенные индексы 1 (Е) В таблице приведена средняя цена на сталь (в ф ст за тонну) за период в пять лет, с 1994 по 1998 г Год Цена на сталь

1994 250

1995 255

1996 260

1997 236

1998 224

(О Рассчитайте индекс цен на сталь за каждый год, взяв в качестве базо­ вой цену на сталь в 1994 г (и) Рассчитайle индекс цены на сталь с переменной базой за каждый год (ui) Поясните, что отражают полученные наборы индексов 2 (1) В таблице приведены данные по стоимости импорта из стран ЕС в Великобританию в период с 1995 по 1999 г (Цифры даны в млн ЭКЮ ) Год Стоимость импорта

1995 1210

1996 1135

1997 1278

1998 1340

1999 1434

(О Рассчитайте индексы с постоянной и переменной базой за каждый год в период с 1993 по 1997 i , (и) Прокомментируйте полученные значения, а также объясните разницу между двумя индексами за каждый год 3 (I) На основании данных таблицы определите общий индекс цен на биржевые товары в 1998 г , взяв в качестве базовых цены 1996 г Товар А Б В

Цены (доля США за единицу) 1996 г 1998 г 3 00 2 34 1 98

3 60 2 20 2 70

4 (I) (i) При усчовии, что вес трех товаров — А, Б и В составляет 5, 1 и 14 соответственно, определите взвешенный агрегатный индекс цен в 1998 г , исходя из цен в 1996 г (п) А если бы вес составлят 10, 3 и 2 соответственно'' Как бы это сказаюсь на полученных результатах'' Объясните HajTH4He разницы между двумя наборами результатов

166

ГЛАВА 5

5.6. Индекс Ласпейреса Как было показано в предыдущих разделах, при расчете индексов совокуп­ ности товаров гораздо более реальные результаты получаются путем взвешива­ ния каждого товара При определении индексов цен взвещивание часто произ­ водится исходя из соответствующих количественных показателей по каждому товару Таким образом, если q — количество каждого товара, то это значение можно подставить вместо более общего значения веса (w) в формулу взвешен­ ного ai-peiaia В результате формула общего индекса получит следующий вид Индекс =

^^хЮО

Трудность с данной формулой состоит в том, что количества определен­ ных товаров могут изменяться в течение периода, за который производится расчет индекса Поэтому возникает вопрос какой количественный показатель следует учитывать'' При расчете индекса Ласпейреса учитываются количествен­ ные значения базового периода Таким образом, эгот общий индекс рассчиты­ вается по следующей формуле Индекс Ласпейреса = •^^о^' xlOQ, где 9о — количественные значения базового периода Индекс Ласпейреса часто называют базовым взвешенным индексом Рассмот­ рим на примере, как происходит расчет этого индекса Пример 1 Рассмотрим задачу связанную с определением изменения в «стоимости жизни» «Стоимос1Ь жизни» включает в себе чпюгие составляющие, в том числе стоимость продуктов питания, транспортных услуг и одежды Для того чтобы учесть изменения в стоимости продуктов питания, составляется типичная «кор­ зина» товаров В табтице приведены цены на некоторые продукты за 1996— 1997 гг , а также средний еженедельный объем покупок на семью по каждой позиции в 1996 г Продукты

Хлеб Масло Молоко Мясо

Еженедельный объем в 1996 г 5 4 8 3

Цена за единицу (ф ст ) 1996 г

1997 г

0,80 0,52 0,42 1,80

0,98 0,50 0,37 1,85

Итак, при /5о — базовая цена, q^^ — базовое количество и /?, — текущая цена потучаем следуюихую табчицу расчета индекса Ласпейреса

ИНДЕКСЫ

Продукты

Qo

Pa

Pi

Хлеб Масло Молоко Мясо Итого

5 4 8 3

0.80 0.52 0.42 1.80

0.98 0.50 0.37 1.85 14.84

QoPo 4 2.08 3.36 5.4 15.41

167

QoPi 4.9 2 2.96 5.55

По таблице получаем следующие итоговые суммы: Z'?oPo= 14,84 и X-ZoA = 15.41. Итак, теперь можно рассчитать общий индекс для этой группы товаров: Индекс Ласпейреса = Х^оР;^^ 100 = 1 ^ x 1 0 0 = 103.8 . 1^0/'о И.84 Это показывает, что продовольственная «корзина» за год подорожала на 3.8%. Т Определение: Ценовой индекс Ласпейреса рассчитывается с учетом базо­ вых количественных показателей в качестве веса по следующей формуле: Ценовой индекс Ласпейреса =

° ' хЮО,

где р, — текущая цена, рд — базовая цена и дд — базовое количество каждого товара. А

5.7. Индекс Пааше Альтернативный подход к расчету общих индексов состоит в замене коли­ чественных показателей базового периода (индекс Ласпейреса) количествен­ ными показателями текущего периода. Этот индекс получил название индекса Пааше, и он рассчитывается по следующей формуле: Индекс Пааше == ^ ^ ' ^ ' хЮО, где д, — количественные показатели по каждому предмету в текущем периоде. Этот индекс часто называют текущим взвешенным индексом. Рассмотрим на примере порядок его расчета. Пример 1 Рассмотрим задачу определения индекса заработной платы фуппы работ­ ников. В таблице приведены данные о средней недельной заработной плате трех Фупп работников в период с 1997 по 1998 г., а также среднее количество работников в каждой фуппе по состоянию на 1998 г.:

168

ГЛАВА 5

Группа

Количество работников

Технический персонал Производственный персонал Неквалифицированные работники

Недельная заработная плата (ф. ст.) 1997 г. 1998 г.

180

450

470

270

340

355

450

260

275

Далее представлена таблица с расчетами по определению индекса Пааше. В этом примере заработную плату для целей вычисления индекса можно считать «ценой». Группа Технический персонал Производственный персонал Неквалифицированные работники Итого:

q_,

Ра

р,

д,Ро

д,р,

180

450

470

81 000

84 600

270

340

355

91 800

95 850

450

260

275

117 000

123 750

289 800

304 200

Индекс Пааше = J - ^ ^ x 100 = ^ ^ ^ ^ х 100 = 105.0 . Y^qiPo 289800 Этот индекс показывает, что заработная плата за указанный период вы­ росла в среднем на 5%. • Определение. Ценовой индекс Пааше рассчитывается с учетом текущих количественных показателей в качестве веса по следующей формуле: Ценовый индекс Пааше =

' ' хЮО

Ич.Ро где р, — текущая цена, рд — базовая цена ид, товара. •

— текущее количество каждого

5.8. Сравнение индексов Пааше и Ласпейреса Методы Ласпейреса и Пааше — это два распространенных подхода к рас­ чету общих индексов. По своей сути индекс Ласпейреса учитывает изменение стоимости «корзины» товаров при условии, что то количество товаров, которое приобреталось в базовом периоде, осталось таким же и в текушем периоде. И наоборот, индекс Пааше предполагает, что текущее количество также значимо и для базового периода. У каждого метода определения индекса есть свои преимущества и недо­ статки, о чем мы и поговорим в этом разделе. На первый взгляд, мы могли бы заключить, что индекс Пааше более приемлем по причине того, что в нем учитываются «последние» сведения. Индекс Ласпейреса учитывает количествен­ ные показатели базового периода, и с течением времени они могут все более

ИНДЕКСЫ

169

и более терять свою значимость. Однако во многих практических ситуациях количественные изменения во времени незначительны и не оказывают серьез­ ною воздействия на значение индекса. Индекс Ласпейреса имеет ряд преимуществ практического плана. В ча­ стое ги, при расчете индекса используется упрощенный метод вычислений, что гакже упрощает и последующий анализ. Рассмотрим, например, поря­ док расчета двух индексов. При использовании метода Ласпейреса необходи­ мо знагь только количественные показатели базисного периода. Поэтому на основании текущих цен можно рассчитать любой индекс. И наоборот, в индексе Пааше необходимо учитывать текущие количественные показатели. Следовательно, такой индекс невозможно рассчитать, пока не будут изве­ стны текущие количественные показатели. Представьте, какого огромного объема работы это может полребовать при расчете серии индексов. Так, если нам нужны ежемесячные индексы цен на фуппу товаров, тогда нам необ­ ходимо знать не только текущие цены по каждой позиции, но также и соответствующее количество, приобретенное в текущем месяце. Итак, теку­ щие цены могут быть известны уже в начале месяца, тогда как количе­ ственные показатели в лучшем случае станут известны в конце месяца. Та­ ким образом, индекс Ласпейреса можно рассчитать раньше, чем индекс Пааше. Более тою, сбор и обработка количественных показателей по каж­ дой позиции может оказаться совсем непростой задачей и привести к дли­ тельным задержкам в расчетах индекса Пааше. Дополнительное преимущество индекса Ласпейреса состоит в том, что возможно прямое сопоставление отдельных индексов в цепочке значений, так как они относятся к одной и той же «корзине» товаров. Цепочка же индексов Пааше не поддается столь простому сравнению, так как каждый индекс рассчитывается при этом с учетом только своих количе­ ственных показателей. А это может сильно повлиять на полученные значения индексов. Далее в таблице сведеР1ы воедино преимущества и недостатки каждого из методов определения индексов. Метод расчета

Преимущества

Недостатки

Индекс Ласпейреса

— Легче получить данные (базовый взвешенный) — Проще сравнить цепочку индексов

— Можно рассматривать как устаревший показатель — Плох, когда количественные показатели существенно меня­ ются

Индекс Пааше (текущий взвещенный)

— Использует последнюю информацию

— Трудно рассчитывать — Трудности с определением новых количественных показа­ телей по каждой позиции

В целом, индекс Ласпейреса используется в большинстве практических ситуаций. Единственное исключение составляет случай, когда количественные показатели меняются существенным образом в промежутке между следующи.ми друг за другом периодами. В таких ситуациях, очевидно, лучше прибегнуть в целях объективности к индексу Пааше.

170

ГЛАВА 5

Пример 1

Рассмотрим вновь пример, связанный с расчетом индекса «корзины» про­ довольственных товаров В таблице приведены цены на товары за каждый год, а также соответствующие средние еженедельные объемы покупок Продукты

Еженедел ьный объем 1996 г

Хлеб Масло Молоко Мясо

Це1на за единицу

(Ф 1997 г

5 4 7 3

ст.)

1996 г 0 0 0 1

4 3 10 2

1997 г 1 0 0 1

80 52 42 80

08 54 35 95

В следующей таблице приведены необходимые расчеты по методам Ласпей­ реса и Пааше Продукты

Чо

q

Хлеб Масло Молоко Мясо

5 4 7 3

4 3 10 2

Ро 0 0 0 1

80 52 42 80

Итого

Р 1 0 0 1

80 54 35 95

ЧоРо

ЯоР

qPo

ЯР,

4

54

32

2 08 2 94

1 56

4 32 1 62

54

2 16 2 45 5 85

42 36

35 39

14 42

15 86

12 56

13 34

Получаем значения индексов Ирадекс Ласпейреса = А ^ 2 ^ х 1 0 0 = ^^—х100= 110 0 ИЧоРо 14 42 Индекс Пааше = ^ ^ ' ^ ' х100 = -!^-^х100 = 106 2 LQiPo 12 56 Как можно видеть, в этом примере мы имеем очевидное расхождение между двумя значениями общего ценового индекса Одна из трудностей, свя­ занных с использование базовых или текущих количественных показателей для проведения вычислений, состоит в зависимости от самих цен Так, если цена на товар увеличивается, то тогда имеется тенденция к снижению его количества И аналогично, уменьщение цены на товар может привести к увеличению спроса Поэтому у тех товаров, которые больше других выросли в цене, наметится снижение текущих количественных показателей А это значит, что индекс Па­ аше, учитывающий текущие количественные показатели, может в этом случае недооценить воздействие вышеприведенных последствий И наоборот, умень­ шение цены на данный товар может привести к росту текущего количества А это значит, что индекс Ласпейреса, учитывающий базовое количество, может не отразить последствия снижения цены Вышеприведенный пример и показы­ вает эти расхождения Обратите внимание, что больше всего выросли в цене хлеб и мясо, и в каждом случае происходит снижение в уровне потребления этих продуктов Также один товар (молоко) со временем упал в цене, что привело к росту спроса Вот эти последствия и об\словили то, что мы имеем

ИНДЕКСЫ

171

два итоговых значения, где за один и тот же период индекс Пааше, равный 106.2, значительно меньше индекса Ласпейреса.

5.9. Упражнения: индексы Ласпейреса и Пааше 1. (1) В таблице приведены цены на акции четырех компаний на конец апреля 1997 и 1998 г. Также приведен средний дневной объем сделок по каждой акции: Компания

Цена акции (ф. ст.) 1997 г. 1998 г.

«Адаме Ко» «Бартлетт Лтд» «Крейн энд Партнерз» «Даунбрукс»

2.54 1.15 3.60 2.10

2.80 2.34 3.88 2.35

Колич(зство продами ых акций 1997 г.

1998 г.

2000 1200 3000 1800

2400 3400 2900 2050

(i) Вычислите общий индекс цен на акции четырех компаний в 1998 г., взяв в качестве базовых цены на акции в предьщущем году: а) примените метод Ласпейреса; б) примените метод Пааше. (ii) Прокомментируйте расхождения между двумя полученными индекса­ ми. Какой индекс, по вашему мнению, наиболее приемлем для отражения из­ менений в ценах на акции за указанный период? 2. (D) В таблице приведены розничные цены на автомобили в период с 1997 по 1999 г., а также объемы их продаж в Великобритании за каждый год. Модель

«Алтро» «Бистро» «Кастро»

Розничные цены (без налогов) 1997 г. 1998 г. 6000 7450 10 350

6080 8090 11 950

1999 г. 6110 8990 12 675

Количество продан ных штук (10 тыс.) 1997 г. 1998 г. 1999 г. 6,5 6,4 4,0

8,0 5,8 3,7

8,8 5,7 2,8

(i) Вычислите общий индекс цен на автомобили по методу Ласпейреса, взяв за базовый 1997 г. (ii) Какой другой метод можно применить в этом случае? Скажите, не считая, даст ли альтернативный метод другое значение? Если да, то скажите, будет оно больше или меньше, приведите ваши доводы.

5.10. Другие индексы Несмотря на недостатки методов Ласпейреса и Пааше, полученные таким образом индексы остаются наиболее популярными. И действительно, индекс Ласпейреса используется обычно из-за своей простоты. Однако так как указан­ ные методы имеют свои недостатки, о чем мы уже говорили ранее, существует еще ряд альтернативных методов вычисления индексов. В этих методах попыта­ лись соединить преимущества методов Ласпейреса и Пааше, и обычно в их основе лежит нечто «среднее» этих двух индексов. В данном разделе мы рассмот­ рим индексы Маршалла-Эджуорта и Фишера.

172

ГЛАВА 5

Индекс Маршалла-Эджуорта учитывает соотношение суммы базисного и текущего количества в базисных и текущих ценах, что позволяет анализировать изменение цен на совокупность товаров. Итак, общее количество (^о + Q) за два периода используется в качестве весового показателя. Формула индекса имеет следующий вид: Индекс Маршалла-Эджуорта =

; °— ;

хЮО.

В качестве альтернативы этому индексу имеется идеальный индекс Фише­ ра,' который учитывает производное индексов Ласпейреса и Пааше: Идеальный индекс Фишера =

^^oPi 21Ч\Р\\ ^JQQ \У1.ЧйРоАЪЯ\Рй) Оба эти индекса считаются лучшими показателями изменения цен на со­ вокупность товаров по сравнению с индексами Ласпейреса и Пааше. Однако оба метода учитывают текущее количество и, следовательно, имеют те же са­ мые недостатки, что и метод Пааше. Для вычисления этих индексов требуется проделать офомную работу, и по причине постоянного изменения количе­ ственных показателей сопоставление реальных значений затруднено. Пример 1

Рассмотрим И1щекс заработной платы различных фупп работников (см таблицу). Вследствие реорганизации в компании произошли значительные из­ менения в структуре рабочей силы, что видно из данных таблицы. В результате сокращения общее количество работников уменьшилось, к тому же существен­ ные изменения претерпели и условия оплаты труда трех категорий работников, что выразилось в их резкой дифференциации. Категории

Количество работников

Технический персонал Производственный персонал Неквалифицированные работники

Недельная заработная плата (ф. ст.)

1998 г.

1999 г.

1998 г.

1999 г.

180

210

470

505

270

230

355

360

450

340

275

255

Далее приведена таблица расчетов общих индексов: Категории

q^

Технический персонал Производствен­ ный персонал Неквалифици­ рованные ра­ ботники

Итого

q,

РоРо

РоР,

Я.Ра

180 210 470 505

84 600

90 900

98 700

106 050

183 300

196 950

270 230 355 360

95 850

97 200

81 650

82 800

177 500

180 000

450 340 275 255

123 750

114 750

р»

р,

304 200 302 850

Я,Р,

(Чо + Qi) Ро (
93 500

86 700

217 250

201 450

273 850

275 550

278 050

578 400

ИНДЕКСЫ

173

По итоговым суммам рассчитываем индексы: Индекс Ласпейреса = ^ ^ " ^ ' х100= ^^^^^^х100 = 99.6 ; S-ZoPo 304200 Индекс Пааше = ^ 1 - ^ x 1 0 0 = ^ ^ ^ ^ ^ ^ x 1 0 0 = 100.6; Zl\Pi 273850 Индекс Маршалла-Эджуорта = ^ f r ^ ^ ' ( ^ ' х 100 = ^ ^ ^ ^ x 1 0 0 = 100.1 ; Х{Яо+Я\)Ро 578050

I^oPiYliLPi

Идеа^тьный индекс Фищера = , т^ ^^г\\L4oPoy\L4\Po

(100 =

Как видно из полученных результатов, индексы Марщалла-Эджуорта и Фи­ шера имеют значения в промежутке между значениями индексов Ласпейреса и Фишера. Эти значения показывают, что если взять всех работников в целом, за период с 1997 по 1998 г. заработная плата практически не изменилась.

5.11. Упражнения: другие индексы 1. (D) В таблице приведены данные по средней плате за обучение студентов Университета Бланделлз в период с 1996 по 1998 г. Форма обучения

Полная Один день в неделю Только вечерняя Короткие курсы

Плата за обучение (долл. США) 1996 г. 1998 г. 2200 950 550 225

2800 1050 650 325

Число студентов (тыс.) 1996 г.

1998 г.

35 12 9 12

41 10 15 25

(i) Вычислите следующие индексы платы за обучение в 1998 г., исходя из цен 1996 г.: а) Индекс Маршалла-Эджуорта; б) Идеальный индекс Фишера. (ii) Проком.ментируйте расхождения в полученных значениях и поясните, какой индекс, а возможно, и вообще никакой, из двух вы бы предпочли в данной ситуации.

5.12. Индексы физического объема В предьщущих разделах мы сосредоточились на вычислении ценовых индек­ сов, учитывающих количественные показатели в качестве весовых характерис­ тик. Существует множество практических ситуаций, когда необходимо измерить

174

ГЛАВА 5

изменение в количественных показателях. При определении значений таких индексов в качестве весовых характеристик можно взять цену единицы каждого товара. В этом случае цены и количественные показатели просто взаимно заме­ няются в соответствующих формулах. Так, простой агрегатный индекс физического объема имеет вид:

с учетом веса каждого товара получаем формулу Взвешенный агрегатный индекс

=^—^хЮО-

Весовые характеристики в этой формуле можно заменить текущими или базовыми ценами, в результате получаем: Индекс физического объема Ласпейреса = •^^"^' хЮО; ZPOQO

Индекс физического объема Пааше - ^^''' х 100. LP,4o А теперь рассмотрим на примерах применение этих формул. Пример 1 В таблице приведены объемы потребления товаров компанией «БАНК Лтд» в период с 1997 по 1998 г. Товар Железо Сталь Медь

Объем (тыс. тонн) 1997 г. 1998 г. 60 108 8

70 120 10

Общий индекс физического объема за 1998 г. при 1997-м, взятом в каче­ стве базового года, рассчитывается слех1ующим образом: Индекс физического _ Х?, ,АА 70+120 + 10 ,„„ 200 ,„„ , , - . nei-upxtc ~ -^—xlUU = — х100 = — - X 1 0 0 = 1 1 J . D . °^^^'^^ Х'7о 60+108 + 8 176

Пример 2 Руководство «БАПК» считает, что ранее рассчитанный простой индекс не дает реального изменения объема потребления, так как потребление отдельных товаров более значимо из-за их стоимости.

ИНДЕКСЫ

175

В таблице приведены объемы потребления товаров за два года, а также цена за тонну для каждого товара: Объем (тыс. тонн) 1998 г.

Цена

Товар

(долл. США за тонну)

1997 г.

20 29 68

60 108 8

Железо Сталь Медь

70 120 10

Как видно из таблицы, изменение объема потребления меди более значи­ мо, так как медь — дорогой товар. Цены на товары можно использовать в виде весовых характеристик в следующей формуле' IOOВзвешенныи агрегатный индекс = ^v^ - i^- x хши-

(20x70 + 29x120 + 68x10) 5560 => ^х 100 = ^ ^ ^ x 1 0 0 = 114.0. 20x60 + 29x108 + 6 8 x 8 4876

Пример 3

В таблице приведены цены и объемы потребления товаров за два года. Товар

Це на (долл. США за тонну) 1997 г. 1998 г.

Железо Сталь Медь

20 29 68

25 34 64

Объем (тыс. тонн) 1997 г.

1998 г.

60 108 8

70 120 10

По этим данным вычислим индексы Ласпейреса и Пааше. В этом нам по­ может следующая таблица расчетов индексов: Товар

Ро

Д

Чо

q,

РоЧо

М

ДЧо

Р,Я,

Железо Сталь Медь

20 29 68

25 34 64

60 108 8

70 120 10

1200 3231 544 4876

1400 3480 680 5560

1500 3672 512 5684

1750 4080 640 6470

Итого

По итоговым суммам имеем: Количественный индекс Ласпейреса =^=-^2^x100 = х100 = 114.0. X PQQQ 4876 Количественный индекс Пааше = •^ ^'^'...х100 = —-—х 100 = 113.8. XPI^O 5684 Т Определение. Индекс физического объема измеряет изменения в количестве (объеме) в промежутке между текущими и базовым периодами. Два значимых индекса физического объема рассчитываются по методам Ласпейреса и Пааше, где цены рассматриваются в качестве весовых характеристик товаров.

176

ГЛАВА 5

;100

Индекс физического объема Ласпейреса

ЛРОЧО

Индекс физического объема Паашс — ^ ^'^' хЮО , l.P,Qo где q, — текущее количество, Qg — базовое количество, р, — текущая цена и рд — базовая цена каждого товара •

5.13. Упражнения: индексы физического объема 1 (Е) В таблице приведены данные за 1997 и 1998 г по среднедневному объему выпуска продукции на одной из компаний Код товара

Обьем выпуска (единиц) 1997 г 1997 г.

А3045 В2074 А1790

300 120 260

240 45 330

(О Вычислите общий индекс объема производства в 1998 г , по сравнению с 1997 г (и) Если цена продажи каждого из товаров составляет 30, 220 и 100 ф. ст соответственно, то каково значение общего взвещенного агрегатного индекса'' 2 (I) BычиcJIитe количественные индексы Ласпейреса и Пааще по данным объема выпуска, приведенным в упражнении 1 и в следующей таблице: Цена

Код товара

(Ф

ст за единицу)

1997 г

1998 г

30 220 100

40 194 140

А3045 В2074 А1790

3. (D) В таблице приведены розничные цены на автомобили и объемы их продаж в Великобритании в период с 1997 по 1999' Модель

Нозничная цена (без налогов) 1998 г 1999 г

1997 г «Алтро» «Бистро» «Кастро»

6000 7450 10 350

6080 8090 11 950

6110 8990 12 675

Продано (10 тыс штук) 1997 г 6,5 5,4 4,0

1998 г 8,0 5,8 3,7

1999 г 8,8 5,7 2,8

(i) Вычислите общий индекс объема продаж автомобилей за каждый год по методу Ласпейреса, взяв 1996 г в качестве базового (и) По этим же данным рассчитайте индекс Пааще за каждый год и про­ комментируйте расхождения в полученных значениях

5.14. Индексы стоимости жизни Индекс «стоимости жизни» является важным показателем, который находит различное применение в хозяйственной практике Знание таких изменений помо-

ИНДЕКСЫ

177

laci pa (рабатынать новые тарифные ссгки оплаты труда работников, а также устанавлтипь опюпыс и розничные цены для покупателей. Во всех крупных промыш.u'HHbix CI ранах ре1улярно публикуются собственные индексы стоимости жизни. В Великобритании )ioi индекс называется индексом розничных цен, а в США — iHxiCKCoM пофсбительских цен Оба эти индекса рассчитываются сходным обраJOM, о чем мы и расскажем далее. PaccMoipHM индекс розничных цен, который дает информацию об измене­ ниях цен и Великобритании. Данный индекс рассчитывается, начиная с 1914 г., и ом измеряет изменения в «корзине» товаров, приобретаемых «средней семь­ ей». Корзина включает различные товары, в том числе: — иролукИ)! питания; — алкоюльные напитки; — 1абачные изделия; — одежду и обувь; — жилье; — фанспорт и средства передвижения; ~ топливо и электричество; — услуги Сум.ма расходов по каждой из этих позиций определяются по результатам ежетодною обследования расходов семьи. Эти результаты используются в качестве весовых харак1ерис1ик при расчете общего индекса. Итак, индекс розничных цен рассчи1ывается по методу Ласпейреса как базовый взвещенный индекс, и его зна­ чения ежемесячно публикуются Центральным статистическим управлением Вели­ кобритании. Весовые характеристики меняются ежегодно по результатам обследо­ вания расходов семьи. Аналогично, в США индекс потребительских цен рассчи­ тывается исходя из изменений цен на более чем 400 товаров и услуг. Основные категории в этой группе таковы: — продукты питания и напитки; — жилье; — одеж;та; — транспорт; — медицинское обслуживание; — развлечения. Индекс потребительских цен рассчитывается в США с 1919 г. для измере­ ния «стоимости жизни». Его главное назначение состоит в том, чтобы отражать уровень инфляции в стране и служить основой при проведении переговоров по поводу заработной платы. Начиная с 1940 г. этот статистический показатель публикуе1ся Федеральным бюро по статистике труда в издании «Monthly Labour Review». Весовые характеристики, используемые при расчетах, определяются порезулыатам исследования потребительских расходов. Эти характеристики ре­ гулярно уточняются по получении новых результатов исследований. Один из доводов критиков индексов, типа индекса розничных цен и индекса потреби­ тельских цен, состоит в том, что они неточно измеряют изменения в стоимости жизни. Оба индекса фактически измеряют изменения цен для потребителя. И хотя эти изменения могут отражать отдельные моменты, связанные со стоимо­ стью жизни, все же необходимо учитывать и другие факторы. Так, эти индексы не учитывают изменения в налогообложении доходов, а также в выплатах в общенациональные фонды страхования и социальной защиты. Очевидно, что эти факторы оказывают важное воздействие на покупательную способность населения. Чтобы устранить этот недостаток, в дополнение к этому рассчиты­ ваются индексы, учитывающие и изменения розничных цен, и изменения в области налоюобложения, а также социального страхования и защиты.

178

ГЛАВА 5

Помимо этого критики этих индексов приводят и другие доводы: — Такой индекс является показателем роста цен для «типичной» семьи. Вопрос состоит в том, какую семью считать типичной. Многие домашние хо­ зяйства могут фактически не вписаться в эту модель, а потому в отношении большей их части такой индекс может ввести в заблуждение. — Индекс не учитывает качество приобретаемых товаров. Так, неверно учи­ тывать снижение стоимости товара, например картофеля, если качество этого то­ вара ухудшилось по сравнению с прошлым годом. Для получения объективной картины общих ценовых изменений необходимо сравнивать аналогичные объекты, — Некоторые слои населения полностью исключены при определении весовых характеристик каждого товара. Так, при расчете индекса розничных цен не учитываются домашние хозяйства с наибольшими доходами, которые со­ ставляют 3% от общего числа домашних хозяйств, а также те, которые состоят только из пенсионеров. Таким образом, для данных слоев населения индекс потребительских цен может оказаться плохим индикатором изменения цен. По этой причине рассчитываются и другие индексы, измеряющие рост цен. Так, в Великобритании используются два «пенсионерских» индекса, которые соответственно рассчитываются для оди­ ноких пенсионеров и семей, состоящих из двух пенсионеров. Эти индексы имеют существенно другие весовые характеристики по отдельным товара\*в сравнении с теми, что используются при определении общего индекса розничных цен. Более того, в США рассчитываются два варианта индекса потребительских цен. Это ин­ декс для лиц, проживающих в городской местности (наемных рабочих и чиновни­ ков) и имеющих источники дохода в виде заработной платы, а также индекс для потребителей, проживающих в городской местности. Второй индекс охватывает большую часть населения и потому используется чаще. Пример 1 Проведем анализ заработной платы в компании «БАПК Лтд». В Великобри­ тании в период с 1994 по 1999 г. индекс средней заработной платы составил: Год: 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Индекс заработной платы: 100 106 108 112 115 122 Это указывает на устойчивый рост средней заработной платы работников «БАПК». Такого рода информация может использоваться руководством «БАПК» в будущих переговорах по поводу заработной платы, а так.же в качестве инфор­ мационного материала, адресованного действующим работникам и подтверж­ дающего непрерывный рост заработной платы внутри компании. Такая инфор­ мация может также с успехом использоваться во внешних публикациях с целью укрепления имиджа компании, например для того, чтобы показать очевидную щедрость компании по отношению к своим работникам. Однако если мы проанализируем эту информацию с точки зрения стоимо­ сти жизни, то наши оценки могут поменяться. Так, индекс розничных цен куда лучше оценивает реальное увеличение заработной платы на предприятии. В таб­ лице приведены значения индекса розничных цен в период с 1994 по 1999 г, где 1994 г. взят в качестве базового: Год: Индекс розничных цен:

1994 1995 1996 100 104 109

1997 1998 115 121

1999 130

ИНДЕКСЫ

179

Сопоставление индекса розничных цен и индекса заработной платы на этом предприятии показывает, что реа^тьные доходы работников за период с 1994 по 1999 г упали Более peaJIИcтичныи индекс заработной платы можно получить, вычтя прирост, вызванный инфляцией Так, возьмем индекс зара­ ботной платы за 1995 г , который равен 106 Соответствующий индекс рознич­ ных цен равен 104 Эги индексы можно сопоставить следующим образом Индекс реа^тьнои заработрюи платы = 106/104 х 100 = 101 9 Это показывает, что «покупательная способность» работников увеличилась только на 1 9% за год Аналогично можно рассчитать индекс заработной платы за 1996 I с учетом инфляции Индекс = 108/109 х 100 = 99 1 Что говорит о том, что покупательная способность работников за два юда упала на О 9% Остальные индексы заработной платы с учетом инфляции рас­ считываются аналогично Год 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Индекс реальной заработной платы 100 101 9 99 1 97 4 95 0 93 8 Эти индексы свидетельствуют об устойчивом снижении «реальных» доходов работников «БАПК» Очевидно, что такая информация может использоваться пред­ ставителями трудового коллектива для иллюстрации факта постоянного снижения реальных доходов в период с 1994 по 1999 i И наоборот, руководство, конечно же, попытается поставить доходы в зависимость от других изменений, например объема производства, продолжительности рабочей недели, а также общенацио­ нальных показателей в области заработной платы, цен и занятости

5.15. Другие деловые индексы Одним из наиболее часто испочьзуемых деловых индексов является показа­ тель, измеряющий изменения стоимости акций В Великобритании в этом отноше­ нии наиболее популярен фондовый индекс ФТ 100 Этот индекс, рассчитываемый «Файненшл Тайме», измеряет изменения цены на 100 наиболее высококачествен­ ных акций, котируемых на Лондонской фондовой бирже Значение индекса ФТ 100 — это взвещениая средняя ценовых индексов отдельных акций Весовые харак­ теристики при определении этого индекса регулярно меняют, и таким образом одни компании включают в этот список, а другие исключают из него по мере того, как меняется их рейтинг в цене акции Как вариант, существует также ин­ декс ФТ по обыкновенным акциям промышленных предприятий, которые коти­ руются на Лондонской фондовой бирже Это1 индекс рассчитывается на основе цен на акции тридцати рыночных лидеров британской промышленности Сходным индексом является индекс Доу-Джонса, который измеряет изме­ нение цен на Нью-Йоркском фондовом рынке Индексы, подобные индексу ФТ и индексу Доу-Джонса, отличаются от индексов, которые мы рассматрива1И ранее, тем, что для них базовое значение равно 1000. а не 100, как обычно Так, индекс ФТ 100, равный 3500. показывает что цены на акции с начаш базисного периода выросли в среднем на 250% Другими важными индексами деловой активности являются Индекс объема промышленного производства, который учитывает объем про­ изводства на ряде оюбранных предприятии из рахшчных отраслей Весовые харак-

180

ГЛАВА 5

теристики в данном индексе определяются исходя из доли каждой отрасли в вало­ вом внуфеннем продукте (ВВП) Великобритании за определенный год. Так, в 1990 г весовые характеристики основных производственных отраслей составили' — Горнодобывающая промышленность — 85. — Электроэнергетика, газо- и водоснабжение — 95. — Обрабатывающие отрасли промышленности — 835. Также публикуются и другие, близкие по своей сути к названным индек­ сы, например индекс валового внутреннего продукта и индекс «реального рас­ полагаемого национального дохода». В США сходный индекс называется и1шексом про.мышленного производ­ ства. Он ежемесячно публикуется в Federal Reserve Bulletin и рассчитывается по формуле, сходной с той, что применяется в методе Ласпейреса, на основе учета объема производства в обрабатывающей и добывающей промышленнос­ ти, а также в сфере коммунальных услуг. Этот индекс используется в качестве показателя роста или упадка экономики США. Индекс цен производителя рассчитывается на основе изменений цен при­ близительно на 11 000 наименований товаров и материалов, используемых и производимых в Великобритании. В настоящее время 1995 г. взят в качестве базисного периода, а весовые характеристики основываются на объеме сделок по каж;гой категории товаров и услуг. База подлежит изменению каждые пять лет, что связано с изменением технических требований и продукции, выпуска­ емой промышленностью Великобритании. Аналогичный индекс существует и в США. Он ежемесячно публикуется в издании Бюро статистики труда и основывается на ценах приблизительно 10 000 товаров. Этот индекс представлен по различным категориям товаров, например сырью, по полуфабрикатам и готовой продукции, а также по различным отрас­ лям промышленности. Индекс цен с учетом налогового бремени применяется в Великобритании и рас­ считывается с тем, чтобы устранить некоторые слабые места, связанные с индек­ сом розничных цен. Он предназначен для измерения изменений в реальной поку­ пательной способности физических лиц. Этот индекс измеряет изменения, кото­ рые должны произойти в валовом доходе работников, с тем чтобы с учетом коле­ баний розничных цен их покупательная способность оставааась неизменной. Индекс средней заработной платы дает инфор.мацию об изменениях в уровне средней заработной платы всех работников в Великобритании. Расчет производит­ ся исходя из изменений в заработной плате в основных отраслях экономики, както в обрабатывающих и производственных отраслях, а также в сфере услуг. Суще­ ствует и схожий ишхекс, который рассчитывается ежемесячно исходя из уровня заработной платы на единицу объема производства, т. е. производится conocTaaieние доходов работников с учетом их доли в ВВП. Такие индексы могут быть полезны при отслеживании результатов деятель­ ности предприятия, сравнении показателей с общенациональными показателя­ ми деятельности, а также при выработке стратегии на основе статистических показателей по стране и в мире. Эти индексы можно найти в различных источниках, в том числе в следу­ ющих изданиях; — Economic Trends, ежемесячном издании с ежегодным приложением, публикуемом Статистической службой Великобритании. — Employment Gazette, издаваемой ежемесячно совместно с ЦСУ и Мини­ стерством образования и занятости.

ИНДЕКСЫ

181

— Monthhy Digest of Statistics, публикуемом ЦСУ. — Main Economic Indicators, издаваемом ежемесячно Организацией по со­ трудничеству и развитию. — New Earnings Swevey, публикуемом ежегодно ЦСУ. — International Yearbook of industrial Statistics, в прошлом Industrial Statistics Handbook, издаваемом Организацией Объединенных Наций по промышленно.му развитию.

5.16. Краткое содержание главы Индексы используются для измерения изменений в определенной серии значений. Наиболее широко известны индексы, учитывающие изменения в ценах, например индексы «стоимости жизни» и фондовые индексы. Индекс — есть выражение текущего значения в процентах от значения базисного периода. Простой ценовой индекс сопоставляет текущую цену, обозначаемую р,, с ба­ зовой ценой, обозначаемой р^, и рассчитывается следующим образом: Простой ценовой индекс =-^х100. Ро Индекс цен на фуппу товаров рассчитывается с учетом весовых характерис­ тик каждого товара. Один из способов расчета общего индекса представлен ниже: Взвешенный афегатный индекс = •^

' хЮО,

где W — весовая характеристика каждого товара. Часто при определении весовых характеристик учитываются количественные показатели по каждому товару. Далее приведены два широко используемых индек­ са, где в качестве весовых характеристик выступают количественные показатели: (базисный взвешенный) Индекс Ласпейреса = L,4QPI ^JQQ; ЪЯоРа (текущий взвешенный) Индекс Пааше = ^4iPi хЮО.

Ъя,Ра Индекс физического объема можно определить, используя цены в каче­ стве весовых характеристик. Так, общие количественные индексы можно рас­ считать следующим образом: Индекс физического объема Ласпейреса = •^^°^' хЮО; ТРаЯа Индекс физического объема Пааше = •^^'^' хЮО. Многие из нынешних деловых индексов рассчитываются по методу Лас­ пейреса с периодическим уточнением базисного периода. Такие индексы отражают изменения в розничных и оптовых ценах, ценах на акции, объеме промышленного производства, уровне средней заработной платы и т. д.

ГЛАВА 5

182

5.17. Дополнительные упражнения 1. (Е) (i) Вычислите индекс заработной платы за каждый год на основании следующих данных (1993 = 100): Год: Средняя годовая заработная плата (тыс. ф. ст.):

1993

1994

1995

1996

1997

1998

16

17.2

18.5

18.7

19.0

20.2

(ii) В качестве варианта можно рассчитать по этим данным индексы с переменной базой. Определите их значения и объясните преимущества и недо­ статки этих двух методов. 2. (I) Найдите общий индекс цен за 1997 г. (1996 = 100) по каждой фуппе товаров: Цена за единицу (ф. ст.)

Товар

(i)

1996 г.

1997 г.

22 14 6 20

26 19 6 16

А Б В Г (И)

Товар

Вес

А Б В Г

15 7 10 4

Цена за единицу (ф. ст.) 1997 г. 1996 г. 26 19 6 16

22 14 6 20

3. (I) (i) Определите ценовые индексы Ласпейреса и Пааше для группы товаров: Товар

А Б В Г

Количество продами(ых единиц 1996 г. 1997 г.

10 40 15 8

20 20 30 22

Цена за1 единицу (ф. ст.) 1996 г. 1997 г

22 14 6 20

26 19 6 16

(ii) Прокомментируйте расхождения между двумя значениями, получен­ ными в задании (i). (iii) Обоснуйте преимущества и недостатки каждого из двух методов рас­ чета индекса. 4. (I) В таблице приведены почасовые ставки оплаты для различных фупп работников некого предприятия:

ИНДЕКСЫ Число работников

Почасовая ставка оплаты (доля США) 1997 г 1995 г

Категория работников 1 II III

4 75 5 30 7 75

4 50 5 00 6 25

183

1995 1

1997 г

240 170 50

220 130 85

(i) Вычислите индексы Ласпеиреса и Пааше за 1997 г (1995 = 100) (И) Вычислите индексы Ласпеиреса и Пааше по количественному составу работников за 1997 г (1995 = 100) (ш) Прокомментируйте расхождения между двумя индексами в каждом из случаев 5 (D) (О Дайте определение а) индекса с постоянной базой, б) индекса с цепной базой Прокомментируйте различия между двумя подходами и приве­ дите примеры, где возможно применение этих индексов (и) Определите цепной индекс Ласпеиреса за 1997 и 1998 i (1996 = 100) по следующим данным Товар

1 2 3

Продажная цена (Ф ст) 1997 г 1998 г

Приобретенное количество 1996 г

1997 г

1998 г

1996 г

120 60 90

130 50 120

150 30 100

4 50 3 60 2 20

4 60 4 10 2 05

4 60 4 55 2 30

(ui) Как вариант, рассчитайте индекс Ласпеиреса с цепной базой за каж­ дый год (1997 и 1998 г) Прокомментируйте расхождения, если таковые будут иметь место 6 (D) В таблице приведены два набора индексов, рассчитанных за период с 1994 по 1999 г Индексы учитывают общий объем производства (в млн ф ст ) определенной отрасли промышленности Великобритании и изменения рознич­ ных цен

Индекс объема производства Индекс розничных цен

1994

1995

1996

Год 1997

1998

1999

100

107

112

116

119

126

100

104

109

115

121

130

(О Путем сравнения этих индексов прокомментируйте фактический рост объема производства в данной отрасли (и) Вычислите новый индекс объема производства, учитывающий послед­ ствия инфляции

Глава 6

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ У > > > > > > > > > > >

ГЛАВЫ:

Элементы временного ряда Выделение тренда: методы регрессии Выделение тренда: скользящие средние Выделение тренда: центрированные скользящие средние Выделение тренда: экспоненциальное сглаживание Сезонные колебания Сезонные колебания: метод сложения Сезонные колебания: метод умножения Циклические колебания Беспорядочные колебания: ошибки прогнозирования Эффективность моделей прогнозирования Прочие вопросы, связанные с прогнозированием

ЦЕЛИ: > уяснить основные методы прогнозирования деловой активности > научиться анализировать различные возможные модели прогнозирова­ ния > научигься изменять прогнозирование в коммерческой деятельности > научиться определять пригодность и надежность примененных методов > у.меть сравнивать эффективность и точность различных методов

Введение Методы прогнозирования деловой активности являются важным инструменто.м в процессе принятия решений. Способность составить надежные оценки буду­ щих показателей, например спроса на товары, стоимости материалов, производ­ ственной себестоимости и затрат на рабочую силу, обеспечивает многим предпри­ ятиям преимущество в конкурентной борьбе. Такие прогнозы можно использовать при принятии тактических и стратегических решений. В одной из предыдущих глав Nfbi описали метод прогнозирования с помощью приемов рефессии. Такие при­ емы приемлемы при рассмотрении причинно-следственной зависимости между

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

185

переменными. Так, например, можно спрогнозировать объем продаж на основе изменения цен или расходов на рекламу. Однако существуют и альтернативные методы прогнозирования, которые задействуют приемы анализа временных рядов. Методы прогнозирования, которые мы опишем в этой главе, строятся на учете исторических данных и выработке оценок исходя из прошлых значений. Конкретный пример

«Ассошиэтид Петролеум Инк» (АПИ)

АПИ — это многонациональная компания, занимающаяся главным обра­ зом'товарами химического и топливного производства. Компания управляет международной сетью производственных и оптовых предприятий, а также име­ ет договоры о франшизе на более чем 12 000 бензозаправочных станций в 40 странах мира. Структурно компания состоит из отдельных подразделений, в частности сбыта и продаж нефтепродуктов, маркетинга, производственного и разведочного. Подразделение сбыта и продаж компании АПИ, которое возглавляет Питер Халлиган, в 1997 г. имело оборот свыше 1 млрд. долл. США. Исполнительное руко­ водство подразделения проявляет все большую обеспокоенность в связи с отсут­ ствием глубоких прогнозов по таким направлениям, как возможности увеличения спроса, валютообменный курс доллара США, стоимость затрат на добычу и раз­ ведку нефти. Для выработки оценок по ряду показателей исходя из прошлых дан­ ных была приглашена консультационная группа «Ноекен». С тем чтобы оценить различные переменные, интересующие АПИ, аналитики деловой активности, нанятые «Ноекен», помимо качественных методов воспользовались приемами про­ гнозирования на основе временных рядов. На примере АПИ мы в этой главе рассмотрим ряд примеров, связанных с прогнозированием. Конкретный пример

Клиника Св. Иосифа

На примере клиники Св. Иосифа (см. главу 2) мы также рассмотрим примене­ ние методов прогнозирования. Для того чтобы исполнительному руководству кли­ ники было проще принимать стратегические и текущие решения, необходимо получить ряд прогнозных оценок. Так, например, краткосрочные решения по ком­ плектованию лечебных покоев и других служб клиники персоналом зависят от прогнозов по наличию спроса, в частности по количеству стационарных пациен­ тов, а также больных, находящихся на амбулаторном лечении. Далее, в настоящее время руководство клиники рассматривает вопрос расширения, что связано с уве­ личением числа лечебных покоев и созданием новых служб. Такие решения будут частично основываться на долговременных прогнозах относительно возможного спроса и ожидаемых в связи с этим доходов. Именно эти примеры мы и рассмот­ рим в данной главе. 6 . 1 . Элементы временных рядов Ряд значений, взятых за временной период, называется временным рядом. Для того чтобы оценить поведение таких рядов, целесообразно разделить эти

186

ГЛАВА 6

значения на несколько составляющих. В этом разделе мы коротко опишем эти составляющие, а методы их оценки будут рассмотрены в последующих разделах. В целом, каждое значение временного ряда может состоять из следующих со­ ставляющих: тренда, циклических, сезонных и случайных колебаний. Эти со­ ставляющие можно описать следующим образом. Тренд. Данную составляющую можно рассматривать в качестве общей на­ правленности изменений определенных значений, взятых на протяженном от­ резке времени. Например, объемы продаж бензопродуктов компании АПИ в Европе выказывают общее увеличение в период с 1981 по 1996 г. На графике (рис. 6.1.) отображены объемы продаж за указанный период, а также линия общей тенденции продаж. Понятно, что, несмотря на колебания от одного года к другому, общая тенденция свидетельствует об увеличении этих значений. Циклические колебания. Помимо тренда ряда значений часто очевидно при­ сутствие циклической составляющей. Эти составляющие показывают колебания относительно линии тренда для периодов свыще одного года. График на рис. 6.1 показывает возможную циклическую составляющую ряда значений объема про­ даж. В период с 1983 по 1988 г. значения в основном расположены ниже линии тренда, а вот после 1990 г. значения, как правило, расположены над линией тренда. Цикличность колебаний финансовых и экономических показателей ча­ сто соответствует циклам деловой активности: резкому спаду, оживлению, бур­ ному росту и застою. Сезонные колебания. Многие ряды значений демонстрируют периодичность колебаний на протяжении года или более. Сезонные колебания можно вычле­ нить после анализа тренда и циклических колебаний. Так, например, на рис. 6.2 представлен график месячных объемов продаж мазута компании АПИ в Европе в период с 1994 по 1997 г.

1981 '82 '83

'84 '85 '86 '87 '88

'89 '90

'91

'92

'93

'94 '95

'96

Годы

Рис. 6 . 1 . Объемы продаж компании АПИ Значения объема продаж ясно указывают на наличие определенных сезонных колебаний. Например, объем продаж в зимние месяцы обычно выще, в летние месяцы он падает, а осенью снова начинает нарастать. Такие сезонные колебания типичны для некоторых показателей деловой активности, в частности для объе­ мов продаж, уровня безработицы, цен на некоторые товары, транспортных издер­ жек и издержек по сбыту продукции. Многие сезонные колебания отмечаются в

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

187

рамках годичного периода, хотя такой характер изменчивости может проявиться и на более коротком отрезке времени. Так, объем производства на предприятии об­ рабатывающей отрасли может в течение дня складываться из «сезонных» факторов. В первый час работы объем производства может все время быть на меньшем уров­ не по причинам организационного порядка; в течение дня могут быть отмечены и другие колебания, связанные с регулярными перерывами, передачей смены и тех­ ническим осмотром в конце рабочего дня. Случайные колебания. Эти составляющие представляют собой случайные элементы, которые обычно невозможно предугадать. Например, случайные колебания в объеме производства могут быть вызваны незапланированными остановками и поломками оборудования, плохим качеством материалов или социальным напряжением на производстве. Такие колебания выявляются путем снягия тренда, циклических и сезонных колебаний для данного значения. То, чго остается, и есть беспорядочное отклонение. И хотя такое значение нельзя предугадать заранее, его все же целесообразно учитывать при определении ве­ роятной точности принятой модели прогнозирования. Мы остановимся еще на этом вопросе в других разделах данной главы. 250

Янв.

1994

Янв.

1995

Янв. Месяцы

1996

Янв.

1997

Рис. 6.2. Объемы продаж компании АПИ 6.2. Выделение тренда: методы регрессии Методы применения рефессии для получения прогнозных значений исходя из имеющихся данных описаны в главе 3. На последующих примерах мы рассмот­ рим применение метода рефессии при прогнозировании временных рядов. Пример 1 В таблице приведены данные по годовому объему продаж моторного масла компании АПИ в Северной Америке:

188

ГЛАВА 6 Год 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Годовой объем продаж (млн доля США) 170 120 105 156 189 107 167 205 178 156 189 235 203 267 239

Как видно из фафика на рис 6 3, имеются существенные колебания показатечеи объема продаж Однако отмечается видимая тенденция к увеличению объема продаж, и соответствующий тренд можно выделить с помощью методов регрессии Линия регрессии показана на фафике (рис 6 3) Из графика видно, что зависимость определена не столь четко, как в предыдущем примере Так, коэффициент корреляции для этих данных будет значительно меньше по вели­ чине, и вообще может оказаться незначимым Долговременный тренд может быть линейным или нелинейным Эти данные трудно анализировать из-за силь­ ных расхождений между соседними значениями Часто, когда мы имеем дело с такого рода данными, необходимо сгла/шть колебания, и только потом можно сделагь какой-либо имеющий смысл прогноз Методы сглаживания данных вре­ менных рядов будут более подробно рассмотрены в последующих разделах

1984 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 971998

Годы

Рис. 6.3. Данные объема продаж компании АПИ 6.3. Выделение тренда: скользящие средние Метод скользящих средних позволяет «сгладить» ряд значений с тем, чгобы вьщелить тренд При использовании этого метода берется среднее (обычно

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

189

Среднее арифметическое) фиксированного числа значений. Затем это вычисле­ ние повюряется по всему ряду значений. Полученные скользящие средние обо­ значат общий тренд временною ряда. Число значений, которое используется при вычислении среднего, определяет результат сглаживания. В целом, чем больше точек берется, тем сильнее сглаживаются данные. Рассмотрим данные предьщущего примера, которые представлены на рис. 6.4. С помощью скользящих средних можно сгладить колебания объемов продаж на временных промежутках. Например, в нижеприведенной таблице представлены ис­ ходные объемы продаж, а также скользящие средние, рассчитанные по каждым 3 (трем) значениям (так называемые трехточечные скользящие средние). Год

Годовой объем продаж (млн. долл. США)

1984

170

1985 . 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

120 105 156 189 107 167 205 178 156 189 235 203 267 239

Трехточечные скользящие средние

131,67 127,00 150,00 150,67 154,33 159,67 183,33 179,67 174,33 193,33 209,00 235,00 236,33

Эти скользящие средние рассчитаны следующим образом. Первые три значения объема продаж (1984—1986 гг.) складываются, а затем делятся на три: получаем значение первого скользящего среднего. Итак, Первое скользящее среднее =

170 + 120 + 105 395 ,^, ^_ = - г - = 131.67.

Это значение записывается по центру значений, по которым рассчитыва­ лось среднее значение, и поэтому в таблице значение скользящего среднего, полученное первым, стоит против 1985 г. Следующее значение скользящего среднего рассчитывается так: Второе скользящее среднее =

120 + 105 + 156 381 ,^^ ^-г = - — = 127.

Полученное значение ставится в центр диапазона, т. е. в таблице оно стоит против 1986 г. Далее проводим аналогичные вычисления по трем зна­ чениям вплоть до последнего набора значений за 1996—1998 гг., где значе­ ние скользящего среднего равно 236.33. И вновь, обратите внимание, что последнее полученное значение записывается по центру диапазона, т. е. напротив 1997 г.

ГЛАВА 6

190

<

а о

200

ю о 100 о

1984 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 1998 Годы • Объем продаж

«Скользящие средние

Р и с . 6 . 4 . Объемы продаж компании АПИ и скользящие

средние

На рис. 6.4 показано, как трехточечные скользящие средние существенно сгла­ дили график. Были сняты многие колебания исходных данных, и полученный на­ бор значений более четко показывает тренд данных. Таким образом, можно делать прогнозы исходя из оценок линии регрессии, составленной по значениям сколь­ зящих средних. Однако трехточечные скользящие средние все еще выказывают некоторые колебания. Ряд можно сгладить еще больще, если увеличить число то­ чек при вычислении значений скользящих средних Так, например, в таблице ниже приведены значения скользящих средних, рассчитанные по 7 точкам на основе тех же самых данных. Год 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Годовой объем продаж (млн. долл. США)

Семиточечные скользящие средние

170 120 105 156 189 107 167 205 178 156 189 235 203 267 239

144,86 149,86 158,14 165,43 170,14 176,71 190,43 204,71 209,57

Семиточечные скользящие средние дают консистентный тренд для этого ряда данных. На графике (рис. 6 5) показаны трех- и семиточечные скользящие средние. Мы видим, что семиточечные скользящие средние образуют более сыаженную линию с меньшими колебаниями, чем трехточечные.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

191

Из л ой вступи гельной части вы должны уяснить, что увеличение числа гочск при вычислении скользящих средних ведет к большему сглаживанию .1НИИИ гренда. Поэтому можно утверждать, что чем больше точек взято для иычисления скользяпшх средних, тем линия тренда «лучше». Но при этом мо­ жет возникнуть вопрос: а почему не рассчитать средние по 10, 11 или даже 15 точкам? Дело в том, что чем больше точек мы берем для вычисления скользя­ щих средних, тем меньше конечных значений мы получаем. Так, сравним два набора скользящих средних, рассчитанных в нашем примере. Мы получили 13 трехточечных скользящих средних и только девять семиточечных скользящих средних. Посчитайте, сколько значений скользящих средних вы получите, если при вычислении возьмете 9 или 11 точек. Отсюда, когда необходимо ре­ ши! ь, сколько точек брать для вычислений, то следует найти компромисс между их большим числом (чтобы обеспечить относительную сглаженность графика) и малым (чтобы получить достаточное количество значений). Зада­ ча такою рода упрощается в ситуациях, когда имеется очевидная периодич­ ность данных. Рассмотрите, например, значения, которые циклично повторяюгся каждые пять точек: скажем, объем продаж товара достигает своего пика на 5-й, 10-й и 15-й год. В этом случае данные можно сгладить пяти­ точечными скользящими средними.

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1998

Годы —*— Объемы продаж

—•— Трехточвчныв скользящие средние

—А- Семиточечныв скользящие средние

Рис. 6.5.

Объемы продаж компании АПИ и два набора скользящих средних

ГЛАВА 6

192

6.4. Выделение тренда: центрированные скользящие средние При вычислении скользящих средних по четному количеству точек может возникнуть сложность с тем, как расположить результаты Как мы уже отмечали в предыдущих примерах, значение скользящего среднего ставится по центру диапазона взятых значений. Если у нас четное число значений, то это значит, чю фактически скользящее среднее должно быть поставлено по срединной ючке между строк Например, возьмем данные по объему продаж, коюрые мы рассматривали в предыдущем разделе. Рассчигаем четырехточечные скользящие средние и сведем их в таблицу. Чтобы упростить пример, возьмем юлько не­ сколько первых значений. Год

Объем продаж (млн. долл. США)

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

170 120 105 156 189 107 167 205

Четырехточечные скользящие средние 137.75 142.50 139 25 154.75 167 00

Обратите внимание, что значения скользящих средних приведены по цен­ тру соответствующего диапазона значений. Так, первое скользящее среднее, рассчитанное по значениям за 1984—1987 i r , поставлено посередине между 1985 и 1986 годами. Аналогичным образом записываются и другие четырехто­ чечные скользящие средние. Последнее скользящее среднее за период 1988— 1991 II поставлено по центру этого диапазона между 1989 и 1990 гг. При дальнейщем анализе этих данных нам придется рассматривать сколь­ зящие средние и соответствующие фактические значения. Для этого вычисля­ ются центрированные скользящие средние. Они рассчитываются путем нахож­ дения среднего каждой пары значений скользящих средних Это есть — двухто­ чечная скользящая средняя скользящих средних. Полученные значения приве­ дены в таблице ниже. Год 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Объем продаж (млн. долл. США)

Четырехточечные скользящие средние

Центрированные скользящие средние

170 120 105 156 189 107 167 205

137.75 142.50 139.25 154.75 167.00

140.88 147.00 160.88

А теперь центрированные скользящие средние можно использовать для прогнозирования тренда. Значения, если их нанести на график, совпадут по горизонтальной оси с исходными данными. Рассчитайте самостоятельно четы­ рехточечные скользящие средние, а затем центрированные скользящие средние для всех данных таблицы объема продаж, приведенной в предыдущем разделе

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

193

6.5. Выделение тренда: экспоненциальное сглаживание Альтернативный подход к устранению колебаний в ряде значений состоит в использовании метода экспоненциального сглаживания. Каждое сглаженное значение рассчитывается путем сочетания предьщущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. В этом случае текущее значение времен­ ного ряда взвещивается с учетом сглаживающей константы, обычно обознача­ емой а. Сам расчет производится по следующей формуле: S, = аХ, + (1-а) 5,_„ где S, — текущее сглаженное значение; X, — текущее значение временного ряда; S,_^ — предьщущее сглаженное значение; а — сглаживающая константа. Значение всегда находится в пределах от О до 1, и в каждом конкретном случае необходимо выбрать наиболее приемлемое значение. Вас не должна смущать эта внешне сложная математическая формула. Ре­ альный механизм вычисления сглаженных значений с использованием экспо­ ненциального сглаживания не сложнее тех вычислений, что мы применяли при определении значений скользящих средних в предьщущем разделе. Рассмотрим этот вопрос вновь на примере объемов продаж компании АПИ. В таблице при­ ведены соответствующие объемы продаж, а также сглаженные значении при сглаживающей константе а = 0,1. Год

Объем продаж (млн. долл. США)

Экспоненциальное сглаженное значение (а=0.1)

170 120 105 156 189 107 167 205 178 156 189 235 203 267 239

170 00 165.00 159.00 158.70 161.73 156.26 157.33 162.10 163.69 162.92 165.53 172.47 175.53 184.67 190.11

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Сглаженные значения, которые приведены в третьей колонке таблицы, все рассчитаны по значению текущему, а также предьщущему сглаженному. Первое сглаженное значение (1984 г.) — просто чистая копия значения объема продаж, так как предьщущее значение отсутствует. При вычислении использу­ ется общая формула сглаживания: S, = CLX, + (1—а)5',__|. Значение а=0,1, и поэтому выражение принимает следующий вид: S, = 0.\Х, + (1-0.1)5,_,; S, = ОЛХ, + 0.95, - 1.

194

ГЛАВА 6 Так, сглаженное значение в 1985 г. рассчитывается следующим образом: '^1985 ~

"•1'1^198'; "*" " • " ' J 1 9 8 4 -

Итак, сглаженное значение в 1984 г. есть З^щ, = 170. Далее, значение объема продаж в 1985 г. есть Х^^^,, = 120. Отсюда сглаженное значение в 1985 г.: ^'„gs = 0.1 X 120 + 0.9 X 170 = 12 + 153 = 165. Аналогично рассчитываем сглаженное значение в 1986 году: .9„8, = 0.1А'„8(, + 0.95'„85 = 0.1 X 105 + 0.9 X 165 = 10.5 + 148.5 = 159. Аналогичным образом рассчитаны и остальные сглаженные значения, при­ веденные в этой таблице. На рис. 6.6 показаны исходные значения объема продаж, а также экспо­ ненциально сглаженные значения при а = 0.1. Как видно из фафика на рис. 6.6, метод экспоненциального сглаживания действительно существенно сгла­ живает ряд значений. И вполне логично использовать эти значения для оцен­ ки тренда в последующие годы. Однако, некоторые сложности возникают при использовании столь малых значений, как 0.1, например. Основной недоста­ ток состоит в том, что между изменениями в исходном ряду значений и соответствующими изменениями в ряду сглаженных значений отмечается лаг (или запаздывание). Так, мы видим, что анализируемые данные демонстриру­ ют восходящий тренд объема продаж. Однако скользящие средние «медленно» обозначают этот тренд. Обратите внимание, что на фафике (рис. 6.6) все сглаженные значения за последние пять лет находятся под фактическими зна­ чениями объема продаж. В целом, чем меньше значение а, тем менее оно чувствительно к изменениям тренда в данном временном ряду. Чтобы решить эту проблему, мы можем взять большее значение а. Рассмотрим, например, значение сглаживающей константы, равное а = 0.3. В таблице ниже приведены сглаженные значения, рассчитанные по этой константе. Год 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Объем продаж (млн. долл. США)

Экспоненциальное сглаженное значение (а= 0.3)

170 120 105 156 189 107 167 205 178 156 189 235 203 267 239

170.00 155.00 140.00 144.80 158.06 142.74 150.02 166.51 169.96 165.77 172.74 191.42 194.89 216.52 223.27

Они получены по той же самой методике. Так, первое сглаженное значение в 1985 г. просто копирует значение объема продаж. Далее сглаженные значения рассчитываются по уже рассмотренной нами формуле.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

195

Например, сглаженное значение за 1985 г.: 0.3)5„«4 = 0.3 X 120 + 0.7 X 170 = 36 + 119. То есть L^igs, = 155. Остальные сглаженные значения рассчитываются аналогичным образом. На рис. 6.7 даны в сравнении ряды сглаженных значений, полученных при различ­ ных сглаживающих константах с целью выделения тренда.

300

<

э 250 о с; с; о

ее

200

с; 2

О

а с ш

150

\D

о IS

о ш о о

100

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Годы -•- Обьем продаж

Рис. 6.6.

-•-

Сглаженные значения

Объемы продаж компании АПИ и экспоненциально сглаженные значения

При анализе расхождений результатов применения двух сглаживающих констант при выделении тренда следует обратить внимание на два момента. Вопервых, временной лаг, который очевиден при а=0.1, гораздо менее выражен при а=0.3. В целом, чем больше значение при вычислении сглаженных значе­ ний, тем последние более чувствительны к изменениям в последних значениях временного ряда. То есть в этом случае сглаженные значения отстают от значе­ ний временного ряда не столь сильно, как это происходит при более малых значениях сглаживающей константы. Этот фактор не играет никакой роли, если отсутствует существенное изменение в общем тренде временного ряда. Однако он крайне важен при составлении прогнозов, когда отмечается значимое вос­ хождение или нисхождение общего тренда временного ряда. Значения, полу­ ченные в нащем примере при а=0.3, лучше отражают общий тренд, чем те, которые рассчитаны при а=0.1, что видно из рис. 6.7.

196

ГЛАВА 6

И, во-вторых, необходимо учитывать то, что при более низких значениях достигается большее сглаживание данных, а это позволяет выделять тренд с большей точностью. Например, посмотрим на фафик, представленный рис. 6.8. Ряд значений, полученных при сглаживаюшей константе а=0.3, при относи­ тельной сглаженности все же выказывает гораздо больше отклонений, чем ряд, полученный при а=0.1.

250

I о 5

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Объем продаж -*•

Рис. 6.7.

Годы -т- Сглаживающая константа = О 1

Сглаживающая константа = 0 3

Два ряда сглаженных значений объемов продаж компании АПИ

Следовательно, для каждого конкретного случая придется выбирать наиболее приемлемое значение сглаживающей константы. Малое значение приводит к боль­ шему сглаживанию значений, а большое значение более точно отражает измене­ ния тренда. В большинстве случаев значение сглаживающей константы лежит в пре­ делах от 0.1 до 0.3, однако в ряде случаев возможно использование и других значе­ ний а, находящихся вне этого диапазона. 6.6. Упражнения: выделение тренда

1. (Е) Далее приведены данные за 20 дней по количеству пациентов, про­ ходящих через отделение радиологии клиники Св. Иосифа в течение дня: День: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Количество пациентов: День: Количество пациентов:

35 11

29 12

40 13

30 14

52 15

22 16

19 17

30 18

47 19

28 20

22

16

51

40

35

57

28

33

42

39

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

197

(i) Нанесите указанные значения на фафик. Оставьте место по горизон­ тальной оси для 21-го дня. (ii) Вычислите по этим данным пятиточечные скользящие средние и на­ несите полученные значения на график. (iii) Проведите линию «наилучшего соответствия» через точки скользящих средних, продолжите эту линию и оцените, какое количество пациентов может быть обслужено на 21-й день. Проанализируйте вероятную точность сделанного прогноза. 2. (I) На основе данных предыдущего задания: (i) При а=0.1 вычислите сглаженные значения за 20 дней. (ii) Нанесите полученные сглаженные значения на фафик и спрогнози­ руйте количество пациентов, которые могут быть обслужены на 21-й день. Как эта оценка соотносится со значением, полученным на основе скользящих сред­ них? (iii) Повторно выполните задания (i) и (ii) при сглаживающей константе а=0.1. Сравните полученные результаты. 3. (1) В таблице приведены данные по годовому объему продаж автомоби­ лей в Великобритании за период с 1986 по 1997 г.: Год 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Объем продаж (100 тыс. автомобилей) 3.8 4.7 3.9 2.7 2.9 2.3 3.0 3.6 2.9 3.7 4.5 4.2

(i) С помощью трехточечных скользящих средних выделите тренд. Нанесите на фафик исходные данные и значения скользящих средних. (ii) Продолжите линию фенда и спрогнозируйте объем продаж автомоби­ лей на 1998 и 1999 гг. (Обратите внимание, что тренд может быть нелинейным). (Ш) При а = 0.1 вычислите сглаженные значения объема продаж автомоби­ лей и нанесите полученные значения на фафик. На основании этого сделайте оценки относительно объема продаж на 1998 и 1999 гг. Какой из методов вьщеления фенда в этом примере, по ващему мнению, наиболее приемлем и почему?

6.7. Сезонные колебания Сезонная составляющая может быть очевидна во многих случаях, где за­ действованы финансовые и экономические показатели. На последующих приме­ рах мы рассмофим два метода, которые часто используются при оценке сезон­ ных колебаний. Метод сложения используется в случаях, когда сезонные составляющие отно­ сительно постоянны по всему анализируемому временному периоду. При этом

198

ГЛАВА 6

значение временного ряда можно представить как сумму тренда и сезонной со­ ставляющей. В общем виде этот метод можно описать следующей формулой: X, = Т, + S,, где X, — фактическое значение в периоде /; Т, — тренд в периоде /; S, — сезонное отклонение в периоде /. Метод умножения используется, ко1яа сезонные составляющие изменяются пропорционально значениям тренда по всему анализируемому временному пе­ риоду В этом случае значение временного ряда можно представить как про­ изведение тренда и сезонной составляющей. При этом формула вычисления имес! следующий вид: Х,= Т,х S, Графики, представленные на рис. 6.8, показывают два временных ряда и соответствующие линии тренда. На рис. 6 8 (i) отклонения от тренда относи­ тельно постоянны, а на рис. 6.8 (ii) oткJ^oнeния нарастают по мере восхожде­ ния тренда. На этих простых примерах видно, что в первом случае (i) следует применить метод сложения, а во втором (ii) — метод умножения. (|) Метод сложения 35

(м) Метод умножения JU 25

20

15

10

*

, Лл л АЛгл/ ".1\/^/ / \ J W^V v V V год 1

год 2

год 3

год 4

год 5

год 6

Рис. 6.8. Сравнение методов сложения и умножения Необходимо отметить, что сезонные составляющие (S,), присутствующие в обеих формулах, рассчитываются не одинаково, а ь зависимости от избранного

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

199

метода В последующих разделах мы рассмотрим, как определять сезонную со­ ставляющую в зависимости от того, какой метод применяется Те примеры, которые приводятся далее, используют скользящие средние для выделения значений тренда Однако, при определении тренда можно пользоваться и дру­ гими методами, например методом экспоненциального сглаживания

6.8. Сезонные колебания: метод сложения В этом разделе мы рассмотрим порядок вычисления сезонных колебаний при условии приемлемости метода сложения Итак, мы воспользуемся следую­ щее формулой'

х,= т, + s„ где Х, — фактическое значение в периоде /, Т, — тренд в периоде i; S, — сезонное отклонение в периоде ; Путем перестановки мы можем выразить сезонную составляющую через другие значения Итак,

s, = x. - т,. Другими словами, сезонная составляющая (или сезонное отклонение) можно рассчитать путем вычитания тренда из исходного значения временного ряда Как мы уже говорили ранее, тренд можно выделить с помощью скользя­ щих средних Таким образом, если из исходных значений вычесть скользящие средние, то остаток можно использовать в качестве оценочного показателя сезонного отклонения.

Пример 1 В таблице приведены данные по объему продаж мазута компании АПИ в странах Восточной Европы в период с 1994 по 1997 гг (Данные приведены в тыс. баррелей за каждый четырехмесячный период года ) Год 1994 1995 1996 1997

Объем продаж мазута (тыс. баррелей) Янв —апр Май—авг Сайт.—дек. 35 36 41 45

15 19 22 26

42 44 47 52

Исходя из приведенных значений, можно сказать, что данные объема про­ даж четко выказывают наличие сезонной составляющей Каждый год повторя­ ется определенная ситуация в том, что касается объема продаж. Нет ничего удивительного в том, что объемы продаж мазута имеют тен­ денцию к снижению в летний период и достигают пика в начале зимнего периода. Это колебание между последовательными значениями можно сгладить скользящими средними, как это показано в таблице на стр. 200. Здесь взяты трехточечные скользящие средние, так как в показателях объема продаж при­ сутствует ежегодная повторяемость, выраженная тремя значениями.

ГЛАВА 6

200 Год

Период

1994

Янв.- апр. М а й - авг. Сент. -дек. Янв.- апр. М а й - авг Сент, -дек. Янв.- апр. Май- авг. Сент, -дек. Янв.- апр. Май- авг. Сент, -дек.

1995

1996

1997

Объем продаж (тыс. баррелей) 35 15 42 36 19 44 41 22 47 45 26 52

Трехточечные средние

30.67 31.00 32.33 33.00 34.67 35.67 36.67 38.00 39.33 41.00

Я-А '94 С-Д М-А Я-А '96 С-Д М-А Я-А '98 С-Д М-А Я-А '95 С-Д М-А Я-А '97 С-Д М-А Период -•- Объем продаж • • Трехточечные скользящие средние Р и с . 6 . 9 . Объемы продаж мазута

На графике (рис. 6.9) показаны значения объема продаж, а также трех­ точечные скользящие средние. Последние можно использовать при прогно­ зировании направленности тренда после 1997 г. Из фафика видно, что каж­ дый год показатели объема продаж выказывают достаточную стабильность. А теперь рассмотрим сезонную составляющую в этом ряду значений объема продаж. Колебания в обе стороны относительно линии тренда достаточно постоянны. Таким образом, в данном случае метод сложения, похоже, наи­ более приемлем. Сезонную составляющую можно выделить путем вычитания значений скользящих средних из исходных показателей, о чем мы уже го­ ворили ранее. Полученные разности, обычно называемые отклонениями, приведены в таблице на стр. 201. Для периода январь—апрель 1994 г. значение скользящей средней отсут­ ствует, и поэтому первое значение отклонения рассчитывается для следующего периода. В период май—авг. 1994 г. фактический объем продаж составил 15, а

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

201

соответствующее значение скользящего среднего — 30.67. Далее рассчитываем отклонение: 15 — 30.67 = —15.67. AHajiorH4Ho, в сентябре—декабре 1994 г. отклонение рассчитывается путем вычитания скользящего среднего из объема продаж, что дает нам 42 — 31 = 11. Точно так же рассчитаны и другие значения отклонений, приведенные в таб­ лице. Объем продаж (тыс. баррелей)

Год

Период

1994

Янв,—апр. Май—авг. Сент.—дек. Янв.—апр. Май—авг. Сент.~дек. Янв.—апр. Май—авг. Сент —дек. Янв.—апр. Май—авг. Сент.—дек.

1995

1996

1997

35 15 42 36 19 44 41 22 47 45 26 52

Трехточечные скользящие средние

Отклонения

30.67 31.00 32.33 33.00 34.67 35.67 36.67 38.00 39.33 41.00

—15.67 11.00 3.67 —14.00 9.33 5.33 -14.67 9.00 5.67 -15.00

«Сезоны» (или периоды) в течение года рассматриваются отдельно в целях проведения анализа сезонных колебаний. Так, за период январь—апрель мы имеем следующие значения отклонений: 1995 г. 3.67; 1996 г. 5.33; 1997 г. 5.67. Обратите вР1имание, что за 1994 г. нет отклонения. Итак, значения откло­ нений показывают расхождения между фактическими значениями объема про­ даж и значениями скользящих средних в определенные заданные периоды. Среднее этих значений позволяет получить простой оценочный показатель се­ зонных колебаний за январь—апрель в другие годы. Так, сезонное отклонение за янв.—апр. рассчитывается следующим образом: 3.67 + 5.33 + 5.67 14.67 , „„ ^ =— -4.89, Ана.,1огично можно рассчитать сезонные колебания в другие периоды: Май—август:

-15.67-14.00-14.67-15.00 -59.34 т = — - — = 14.83.

Обратите внимание, что значения отклонений в мае—августе взяты из таблицы. И наконец, сезонные колебания в сентябре—декабре рассчитываются сле­ дующим образом: ^ ^ « 11-00 + 9.33 + 9.00 29.33 „ ^^ Сентябрь—декабрь: г = —г—= 9.78. Полученные такие образом значения сезонных колебаний можно сложить со значениями тренда для выработки прогнозных показателей объема продаж. Так, чтобы спрогнозировать объем продаж в каждый из периодов 1998 г., мы

202

ГЛАВА 6

можем определить тренд по скользящим средним и прибавить значения сезон­ ных колебаний. На рис. 6.10 представлен график объема продаж и скользящих средних. Линия тренда продолжена, чтобы оценить значения тренда в каждом из пери­ одов 1998 г. Как вариант, можно рассчитать эти оценочные показатели математически с помощью уравнения регрессии. Из графика на рис. 6.10 находим, что оценоч­ ные значения тренда в каждом из периодов 1998 г. составляют соответственно: Янв.-апр.: 43; май—авг.: 44; сент.—дек.: 45. Сложив эти оненочные значения тренда со значениями сезонных колеба­ ний, которые мы уже рассчитали по методу сложения — X, = 7] + S„ получаем прогнозные показатели объема продаж в каждо.м из периодов 1998 г., а и.менно: Янв.-апр.: 43 + 4.89 = 47.89 (= 48); Май-авг.: 44 -

14.83 = 29.17 ( - 29);

Сент.-дек.: 45 + 9.78 = 54.78 (= 55). Понятно, что прогнозные показатели нельзя показывать с больщей точно­ стью, че.м исходные данные. Поэтому значения следует округлять до ближайщего целого числа. Таки.м образом, мы имеем следующие прогнозные показатели на 1998 г.: Янв.—анр.: 48 000 баррелей; Май-авг.: 29 000 баррелей; Сснт.—дек.: 55 000 баррелей. Отсюда общий объем продаж на 1998 г. оценивается в 132 000 баррелей. 60

Оценочные показатели по тренду

50

5 40

30

20

10 L J I 1 1 1 1 1 I 1 I I I I I L Я-А '94 С-Д М-А Я-А '96 С-Д М-А Я-А '98 С-Д М-А Я-А '95 С-Д М-А Я-А '97 С-Д М-А Период -•- Обьем продаж

-•- Трехточечные скользящие средние

Рис. 6.10. Оценочные показатели объема продаж по тренду

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

203

Пример 2

В эгом примере мы рассмотрим ситуацию, когда при вычислении скользя­ щих средних берется четное число значений. В этом случае для определения тренда временного ряда мы будем пользоваться значениями центрированных скользящих средних. В таблице ниже представлены данные по двухмесячному объему производства среднего предприятия обрабатывающей отрасли промыш­ ленности, расположенного в Дублине (Цифры общего объема производства за каждые два месяца даны в тоннах ):

1995

Период

120 132 106 98 88 94

Янв —февр Март—апр. Май—июнь Июль—авг Сент.—окт Нояб —дек

Объем производства (тонн) 1997 г. 1996 г.

119 125 99 98 86 90

1998 г.

110 119 102 89 79 88

107 114 92 88 75 80

Объем производства выказывает определенную ежегодную закономерность. Таким образом, скользящие средние, рассчитанные за годовой период, позво1ЯЮТ выделить тренд В нашем случае рассчитываются шеститочечные скользя­ щие средние. 140

130 о И 120

Оценочные показатели по тренду

ПО с 100

I

90 80 70 60 50

I I I I I ' ' • • • • -t_i UJЯ-Ф М-И C-0 Я-Ф М-И C-O Я-Ф М-И C-O Я-Ф М-И C-0 М-АИ A Н-Д M-A И-А H Д M-A И-А Н-Д M-A И-А Н-Д

I

I

Период -*- Объем производства

-»- Центрированные скользящие средние

Рис. 6 . 1 1 . Объем производства за каждые два месяца Так получается, что эти скользящие средние не соответствуют точно како­ му-либо значению объема производства, и поэтому в таблице они помещаются по центру между строк. Итак, мы рассчитали центрированные скользящие сред­ ние и поместили их в таблицу — типа той, что приведена на стр. 204. Затем получаем значения отклонений путем вычитания значений центрированных

204

ГЛАВА 6

СКОЛЬЗЯЩИХ средних из значении объема производства и тоже помещаем их в таблицу, как это показано. Год

1995

1996

1997

1998

Период

Янв —февр Март—апр Май—июнь Июль—авг Сент —окт Нояб —дек Янв —февр Март—апр Май—июнь Июль—авг Сент —окт Нояб - д е к Янв —февр Март—апр Май—июнь Июль—авг Сент —окт Нояб —дек Янв —февр Март—апр Май—июнь Июль—авг Сент —окт Нояб —дек

Объем производства

Шеститочечные скользящие средние

120 132 106 98 88 94 119 125 99 98 86 90 110 119 102 89 79 88 107 114 92 88 75 80

106 106 105 103 103 103 102

Центрированные скользящие средние

33 17 00 83 83 50 83

106 105 104 103 103 103 102 100 100 100 98 98 97 96 95 94 94 93

10' 33 100 33 100 83 99 33 98 17 97 83 97 33 96 ЬО 94 83 94 67 94 00 92 67

25 58 42 83 63 17 08 83 58 08 75 00 58 92 67 75 33 33

Отклонения

-8 -17 -10 15 21 -4 -4 -14 -10 9 20 4 -8 -17 -7 12 19 -1

25 58 42 17 33 17 08 83 58 92 25 00 58 92 67 25 67 33

Значения объема производства и центрированные скользящие средние представлены на графике (рис. 6.11). Из графика видно, что центрированные скользящие средние используются при получении оценочных показателей тренда на следующий год (1999). Согласно графику оценочные показагели по тренду в каждом из периодов 1999 г. составляют. янв.-февр.. 90.6, март—апр.. 89.8, май—июнь. 89.1, июль—авг.. 88.3, сент.—окт.. 87.5, нояб.—дек. 86.8 Сезонные колебания рассчитываются как средние отклонения в каждом из периодов (см таблицу). Год ISQ": 19S6 1997 1998 Среднее

Я^в —февр

Map"'—атр

15 9 12 12

21 20 19 20

17 92 25 45

33 25 67 42

Май—июнь -4 4 -1 -0

17 00 33 50

Июль—авг

Сент —окт

Нояб —дек

- 8 25 - 4 08 - 8 58

- 1 7 58 - 1 4 83 -1792

- 1 0 42 - 1 0 58 - 7 67

- 6 97

- 1 6 78

- 9 56

Эти значения сезонных колебаний можно сложить с оценочными показа­ телями тренда и получить прогнозные показатели объема производства в каж­ дом из периодов 1999 г.. янв.-февр.: 90.6 + 12.45 = 103.05 = 103 тонны, март-апр.: 89.8 + 20.42= 110.22 = ПО тонн; май-июнь. 89.1 - 0.5 = 88.6 = 89 тонн, июль-ав1.. 88.3 - 6.97 = 81.33 = 81 тонна;

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

205

сент.-окт.: 87.5 - 16.78 = 70.72 = 71 тонна; нояб.—дек.: 86.6 — 9.56 = 77.24 = 77 тонн. Точность и надежность таких прогнозов мы рассмотрим позднее. Однако следует подчеркнуть, что прогнозная модель полностью основана на данных прошлых периодов. Предполагается, что все другие факторы неизменны и что и тренд, и сезонные колебания ведут себе так же, как это следует исходя из имеющихся исторических данных. Пример 3

На этом примере мы более подробно рассмотрим процесс определения сезонных колебаний. Фактические значения сезонных колебаний, которые мы рассчитсьчи в предыдущих примерах, необходимо скорректировать с учетом небольшого заданного смещения. Давайте снова рассмотрим пример 1. Там мы получили следующие значения отклонений: Год 1994 1995 1996 1997 Среднее

Янв.—февр.

Май—авг

Сент.—дек.

3.67 5.33 5.67 4.89

-15.67 -14.00 -14.67 -15.00 -14,84

11.00 9.33 9.00

Общее среднее отклонение:

9.78 —0.06

В таблице приведены значения отклонений и средние отклонения в каждом из периодов. Итоговое среднее арифметическое трех средних показателей 6.89, — 14.84 и 9.78 равно —0.06. Если подходить строго, то итоговое среднее должно равняться нулю при отсутствии задания смещения прогноза. Следовательно, чтобы получить ноль, необходимо скорректировать среднее отклонение в каж­ дом из периодов. Это можно сделать, прибавив 0,06 к каждому из значений. Таким образом, в чистом виде оценочные значения сезонных колебаний выг­ лядят так: янв.-апр.: 4.89 + 0.06 = 4.95; май-авг.: -14,84 + 0.06 = -14.78; сент.-дек.: 9.78 + 0.06 = 9.84. Затем мы можем прибавить эти значения к оценочным показателям тренда и получить наиболее надежные прогнозные показатели. Во многих ситуациях эта корректировка сезонных колебаний не оказывает сильного влияния на итого­ вые оценки. Однако, с тем чтобы избежать смещения при выработке прогноза, нам все же следует это сделать.

6.9. Сезонные колебания: метод умножения В этом разделе мы рассмотрим порядок вычисления сезонных колебаний при использовании метода умножения. То есть мы будем пользоваться следую­ щей формулой: где X, — текущее значение в периоде /;

206

ГЛАВА 6

Т, — тренд в периоде /, S, — сезонное о1к^тонсние в пе[)иоле / Путем Пересинонки мы можем выразить сезонную составляющую через другие значения. Итак, S. = XJT,. Дру1ими словами, сезонную сос1авляюшую можно рассчитать путем деле­ ния фенда и исходного значения временною ряда. В одном из методов при выделении гренда мы берем скользящие средние. То есть если поделить исход­ ные значения на скользящие средние, го мы получим оценочные значения сезонного о1Клонения. Все это мы покажем на последующих примерах. Пример 1

КомпаР1ия по управлению недвижимостью разрабатывает долговременную стратегию приобре1ения нежилого фонда. Компания пригласила консультантов по вопросам хозяйственной деятельности, с тем чтобы они составили прогноз на следующие пять лет относительно уровня арендной платы за сдачу внаем помещений хозяйс1венно1о назначе1П1Я В кзблице приведены данные по сред­ ней заявленной годовой арендной плате за съем деловых помещений в цент­ ральной части Лондона в период с 1993 по 1997 гг. Информация сведена за каждые четыре месяца. Цифры приведены в сто­ имости одного квадратного метра арендуемого помещения. Год

Годовая плата за аренду помещения (ф. ст. за кв. м) Янв,—февр. Май—авг. Сент.—дек.

1993 1994 1995 1996

120 138 160 184

100 120 138 162

121 142 163 182

1997

208

175

206

Этот пример вновь демонстрирует сильное присутствие сезонной составля­ ющей Часто на практике трудно репшть, какой метод применить: сложения или умножения. В приниигш, если колебания остаются неизменными, то лучше применять метод сложения. В этом случае, который мы рассматриваем сейчас, колебания увеличиваются по мере восхождения третща. Давайте рассмотрим размер значений в 1993 г. (100 в мае—августе и 121 в сентябре—декабре) и аналогичный размер в 1997 году (175 в мае—августе и 206 в сентябре—декабре). Мы видим, что внешне разрыв увеличивается, и поэтому можно воспользо­ ваться .методом умножения, который в этом случае, вероятно, более приемлем. Тренд можно выделить с помощью трехточечных скользящих средних. При использовании метода умножения сезонную составляющую можно вьщелить путем деления исходных данных на значения тренда. Так, на стр. 207 приведена таблица с данными по арендной плате, где в четвертой колонке даны значения грехточечных скользящих средних. В последней колонке приведены коэффици­ енты, полученные в результате деления значений арершной платы на скользя­ щие средние. Итак, коэффициенты в последней колонке получены путем деле­ ния значений арендной платы на соответствующие скользящие средние. Первое

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

значение скользящей средней по таблице соответствует этот период стоимость аренды составляла 100 ф ст , имела значение в 113 67 ф ст Таким образом, имеется 100/113 67 = 0 88 Другие коэффициенты, приведенные аналогичным образом Период

Год 1993

1994

1995

1996

1997

Янв ~апр Май—авг Сент —дек Янв -апр Маи-авг Сент —дек Янв —апр Май—авг Сент —дек Янв —апр Май—авг Сент —дек Янв —апр Май—авг Сент —дек

Арендная плата

маю—августу 1993 i В а скользящая средняя коэффициент, равный в таблице, рассчитаны

Трехточечные скользящие средние

Коэффициенты

113 67 119 67 126 33 133 33 140 67 146 67 153 67 161 67 169 67 176 00 184 00 188 33 196 33

0 88 1 01

120 100 121 138 120 142 160 138 163 184 162 182 208 174 206

207

1 09 0 90 1 01 1 09 0 90 1 01 1 08 0 92 0 99 1 10 0 89

Эти коэффициенты можно использовать для определения сезонной состав1яющеи временного ряда Это можно сделать очень просто — путем нахождения «среднего» коэффициента для каждого «сезона» в отдельности Оценочные зна­ чения сезонных колебаний представлены в следующей таблице Год 1993 1994 1995 1996 1997 Среднее

Янв —апр 1 1 1 1 1

09 09 08 10 091

Май—авг 0 0 0 0 0 0

88 90 90 92 89 898

Сент —дек 1 1 1 0

01 01 01 99

1 005

Как и в предьшущем примере, когда мы применяли метод сложения, тренд можно опредетить графически по средним скользящим На фафике (рис 6 12) показаны данные по стоимости аренды, а также трехточечные скользящие сред­ ние Линия тренда проведена через скользящие средние и продолжена дальше, с тем чтобы получить прогнозные показатели по каждому периоду 1998 г Со­ гласно фафику, эти показатели на 1998 г таковы янв—апр 203, май—авг 210, сент—дек 217 Умножив эти значения на значения сезонной составляющей (метод умно­ жения), получим прогнозные оценки относительно стоимости аренды в 1998 г , а именно янв - а п р 203 X 1 090 = 221 ф ст , маи-авг 210 х О 898 = 189 ф ст , сеиг - д е к 217 х 1 005 = 218 ф ст

208

ГЛАВА 6 250

200

Оценки по тренду

150

100

.•ЗО!-!.

_|

I

|__|

L.

Я-А С-Д М-А И-А С-Д М-А И-А С-Д М-А М-А И-А С-Д М-А И-А С-Д М-А И-А С-Д -*- Арендная плата

Период - * Трехточечные скользящие средние

Рис. 6.12. Годовая арендная плата за помещение Другие прогнозные значения по будущим периодам можно получить, про­ должив линию тренда до искомой отметки и последующим умножением полу­ ченных оценочных значений на уже рассчитанные сезонные колебания. Пример 2 Фактические оценочные показатели сезонных колебаний необходимо скорректировать с учетом смещения, о чем мы уже говорили, когда рас­ сматривали метод сложения. Рассмотрим предыдущий пример. В таблице со­ браны значения коэффициентов и средних коэффициентов, которые мы уже рассчитали: Год

Янв.-апр.

Май-авг.

Сент.-дек.

1.09 1.09 1.08 1.10 1.090

0.88 0.90 0.90 0.92 0.89 0.898

1.01 1.01 1.01 0.99

Итоговый средний коэффициент

0.998

1993 1994 1995 1996 1997 Среднее

1.005

Средние коэффициенты для каждого «сезона» составляют по расчетам 1.090. 0.898 и 1 005. Оценка считается объективной, если общее значение средних составляет 1. В нашем примере итоговая средняя составляет 0.998. Поэтому вно­ сится корректировка в оценочные значения сезонных колебаний путем деления всех средних на 0.998. Таким образом, в этом примере сезонные колебания составляют по оценкам: я н в - а п р . : 1.090/0.998 = 1.092; май-авг.- 0.898/0.998 = 0.900; сент.-дек.: 1.005/0.998 = 1.007.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

209

Эти скорректированные значения сезонных колебаний умножаются на оценочные значения тренда, и таким образом мы получаем более качественный прогноз.

6.10. Упражнения: методы сложения и умножения 1 (Е) В таблице приведены данные по общей стоимости экспортных зака­ зов некой компании в период с 1993 по 1996 гг. Год

Общий объем экспорта (млн. ф. ст.) Янв.—апр. Май—авг. Сент.—дек.

1993 1994 1995 1996

4.5 5.1 5.4 6^

5.6 5.9 6.8 6^

4.9 5.2 5.8 6J

(i) Выделите тренд с помощью трехточечных скользящих средних. (ii) Вычислите сезонные колебания и спрогнозируйте стоимость экспорта компании на аналогичные три периода 1997 г. 2. (I) В таблице приведены данные по общему объему продаж газеты одно­ го кана;лского издательства в период с 1994 по 1997 гг. Цифры отражают сред­ недневный тираж (в 100 тыс. экз.) поквартально: Дневной объем продаж газеты Период I квартал II квартал III квартал IV квартал

1994 г.

1995 г.

1996 г.

1997 г.

2.2 2.9 3.3 2.4

2.6 3.2 3.6 2.7

2.9 3.4 3.9 2.8

3.2 3.6 4.2 3.1

(i) Нанесите эти значения на фафик. (ii) С помощью тренда и сезонных колебаний спрогнозируйте объем тира­ жа в каждом квартале 1998 г. Примените метод сложения. (iii) Какой метод — сложения или умножения — более приемлем в этом примере По методу умножения спрогнозируйте объем тиража и сравните ре­ зультаты, полученные с помощью этих двух методов. 3. (I) В таблице приведены данные по постановке на учет новых автомоби­ лей в Великобритании в период с 1994 по 1997 г.:

Год 1994 1995 1996 1997

Новые машины, поставленные на учет (тыс. шт.) Янв.—апр. Май—авг. Сент.—дек. — 225 282 334

220 264 352 410

431 530 650 770

(i) Нанесите на фафик эти значения, а также скользящие средние, чтобы выделить тренд (ii) Какой метод наиболее приемлем для составления прогноза по этому временному ряду?

210

ГЛАВА 6

(iii) С помощью выбранного вами метода спрогнозируйте количество новых автомобилей, которые будут поставлены на учет в каждом из периодов 1998 г. (iv) Каков ващ прогноз относительно количества новых автомобилей, ко­ торые будут поставлены на учет в январе—апреле 1999 г.?

6.11. Циклические колебания Выявление циклической составляющей временного ряда может оказаться край­ не сложным. И обычно это возможно только тогда, когда имеются данные за про­ должительный период времени. Метод сглаживания ряда значений с помощью скользящих средних или экспоненциального сглаживания устраняет сезонные и случайные колебания данных, а оставшиеся значения складываются из тренда и циклических составляющих. Данное пособие не имеет своей целью отдельно рас­ смотреть вопросы, связанные с циклическими колебаниями. Больщинство мето­ дов анализа рассматривают тренд и циклические составляющие как единое целое. Однако все же целесообразно проанализировать пример, в котором данные с оче­ видностью выказывают циклические колебания. На графике (рис. 6.13) показаны значения объема продаж автомобилей в Ве­ ликобритании в период с 1966 по 1996 гг. На фафике представлены как количе­ ство проданных за год автомобилей, так и соответствующие пятиточечные сколь­ зящие средние. График выказывает наличие циклической составляющей во вре­ менном ряду. В этот период наличествует общий восходящий тренд объема продаж автомобилей. Однако видны низшие и высшие точки, которые соответствуют цик­ лам экономической активности, а именно периодам бурного экономического ро­ ста и резкого спада. Так, например, скользящие средние вьщают периоды пика в 1971, 1979 и 1987 гг. «Дно» каждого цикла соответствует периодам резкого спада в 1974—1975, 1982 и 1991 — 1992 годах. Скользящие средние помогают вычленить эти составляющие, особенно в тех случаях, когда из данных невозможно устранить существенные случайные колебания. Такие циклические движения типичны для ряда экономических показателей, которые до некоторой степени повторяют цикл деловой активности, отражающий общее состояние экономики.

100

//'~'\»^

. 80 о о 60

Тренд?

y^J'^^jr

40

• Nf^^^^^\/

20

-'

П

jf

' '

J J

'

'

•

'

•

'

1

1970

• ' •

I

I

1

'

•

•

'

•

1980 1975

'

•

'

'

1990 1985

I l l

'98 1995 '97 '99

Годы Годовой объем продаж —•— Пятиточечные скользящие средние

Рис. 6.13. Объемы продаж автомобилей в Великобритании

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

211

На рис. 6.13 показан вероятный прогноз тренда, включающего цикличес­ кую составляющую. Линия тренда восходит в течение следующих двух лет, а потом снова начинает опускаться. Оценки тренда можно дополнить сезонной составляющей, чтобы спрогнозировать объем продаж автомобилей на каждый квартал или каждый месяц, как мы это делали раньще. Модели прогнозирова­ ния, которые учитывают выраженные циклические составляющие, можно пред­ ставить в следующем виде: Метол сложения: X, = Т, + S, + С,. Метод умножения: X, — Т, х S, х С„ где С, — циклическая составляющая в периоде /. Другою рода циклические колебания могут возникнуть при прогнозирова­ нии спроса/предложения в соответствии с жизненным циклом конкретных товаров. Так, в общем виде жизненный цикл товара состоит из этапов зарож­ дения, роста, зрелости и упадка. Рассмотрим, например, зарождение нового товара, скажем мобильного телефона. Вначале объем продаж такого рода товара крайне мал, когда только «новаторы» или люди, помешанные на технике, хотят его купить. На стадии роста все больше людей проявляют интерес к данному товару, при этом цена на него падает, а сопутствующие ему услуги становя1ся все более качественными. Стадия зрелости достигнута тогда, ко1да основная масса потенциальных покупателей уже приобрела мобильный теле­ фон. За Э1ИМ следует снижение объема продаж, и эту тенденцию можно изме­ нить только путем внедрения новых усовершенствованных товаров взамен уже сушесгвуюмшх. На рис. 6.14 показан жизненный цикл товара: его этапы и соот­ ветствующие объемы продаж. Этот цикл можно включить в модель прогнозиро­ вания. и его можно рассматривать как составную часть тренда или же самосто­ ятельную циклическую составляющую.

о

О

Рост Зарождение

Упадок Зрелость

Временной период

Рис. 6.14, Жизненный цикл товара 6 . 1 2 . Случайные колебания: ошибки при прогнозировании Случайные изменения встречаются в большинстве реальных временных ря­ дов. Определение степени и величины этих случайных колебаний может помочь

212

ГЛАВА 6

нам в установлении точности примененной модели прогнозирования. Такие случайные колебания можно рассматривать в качестве ошибок прогноза. Эти ошибки следует выявлять путем сопоставления прогнозной модели с реально полученными показателями. Например, определенная модель применяется для составления прогноза общего объема продаж за первый квартал, мы получаем результат и сравниваем прогноз с фактически достигнутым объемом продаж. Разность между прогнозным значением и фактическим показателем и есть до­ пущенная ошибка (или случайное отклонение). При оценке эффективности модели прогнозирования используются стати­ стические показатели, в частности средняя ошибка и среднеквадратическая ошибка. На последующих примерах мы рассмотрим вышеназванные понятия. Пример 1

Составлен прогноз по количеству пациентов, которые в течение дня могут обратиться за помощью в отделение радиологии клиники Св. Иосифа. В таблице приведены данные прогноза, а также количество фактически обратившихся пациентов за период в восемь дней: 1 28 35

Прогноз (/",): Фактический показатель:

2 30 28

3 35 40

День 4 5 29 27 28 31

6 24 19

7 30 33

8 31 32

Обозначив прогнозные значения как F, и фактические показатели как Х„ мы можем найти ошибку прогнозирования путем вычитания, т. е. вычислив X, — F,. Итак, X, - F;. 7, - 2 , 5, - 1 , 4, - 5 , 3, 1. Средняя (арифметическая средняя) этих ошибок рассчитывается по обшей формуле: Средняя ошибка = —^

, п

где п — количество рассматриваемых значений. В нашем примере средняя ошибка =—^—'-

'•^ = — = 1.5.

Это говорит о том, что в среднем фактическое число пациентов в 1.5 раза больше прогнозного значения означает, что используемая модель прогнозиро­ вания обычно недооценивает число обращающихся пациентов. В этом случае, возможно, стоит проанализировать примененную модель и внести в нее кор­ ректировки. В идеале средняя ошибка равна нулю, т. е. отрицательные и положи­ тельные значения ошибки компенсируют друг друга. Однако мы должны ска­ зать, чго в нашем примере значение средней получено по очень малой выборке. Больший объем выборки, например, данные за целый год, позволит нам оп­ ределить вероятную точность прогнозирования с большей степенью достовер­ ности.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

213

Среднеквадратическое этих ошибок вычисляется по следующей формуле: Среднеквадратическое = J ^ V

'

'-^ . п

В нашем примере мы имеем: {X, -F,f:

49, 4, 25, 1, 16, 25, 9, 1.

По этим данным находим 2 ( ^ / ~ ^lY

~ '•^^•

Отсюда среднеквадратическое = у[\ 30/8 = Vl6.25 = 4.03 . Это значение в определенной степени указывает на точность примененной модели прогнозирования. Малое значение среднеквадратического указывает на большую надежность прогнозной модели. Среднеквадратическое можно исполь­ зовать для оценки доверительных пределов любого прогноза. Это значение мож­ но применять как оценочный показатель среднеквадратического отклонения, и при условии того, что ошибки образуют нормальное распределение, 95%-ные доверительные пределы для фактического значения, основанного на прогнозе F, onpeflCj^roTCH следующим образом: F + 1.96 среднеквадратическое. То есть при вычислении доверительных пределов мы берем формулу для нормального распределения, описанную во второй главе. Данная формула так­ же предпола1ает отсутствие смещения в модели прогнозирования. Так, при большом объеме выборки средняя ошибка оказалась равной нулю. Если она не равна нулю, то остаточный член также необходимо включить в формулу опре­ деления доверительных пределов. Итак, давайте предположим, что в нашем примере согласно полученному прогнозу в какой-то из дней за помощью обратится 40 пациентов. Следователь­ но, мы можем вычислить 95%-ные доверительные пределы: F±1.96 среднеквадратическое = 40+1.96x4.03 = 40 + 7.9 = 32.1 — 47.9 Итак, .мы .можем быть на 95% уверены, что в этот день число пациентов составит от 32 до 48 человек Пример 2

В одном из предьщущих примеров мы рассмотрели прогноз по объему про­ изводства за два месяца некой компании из Дублина. Были получены оценки на 1997 год, при этом использовался линейный тренд и метод сложения. Прогноз­ ные значения даны в тоннах: янв.—февр.: 103; март—апр.: ПО; май—июнь: 89; июль—авг.: 81; сент.—окт.: 71; нояб.—дек.: 77; Фактические значения объема продаж в 1997 году составили: янв.—февр : ПО; март—апр.: 107; май—июнь' 79; июль—авг.: 90 сент.—окт.: 72; нояб.—дек.: 75.

214

ГЛАВА 6

В нижеприведенной таблице представлена фактические значения (Х,), про­ гнозные показатели (F,), а также колонки с вычислениями Из таблицы находим:Х(>^, - ^ , ) = 2 и j;^{X, - F,f Средняя ошибка = —^—7

^ = — = 0.33.

6

Итого:

= 244. Та КИМ образом,

6

К 110 107

F_, 103 110

X,-F, 7 -3

(X, - F,)^ 49 9

79 90 72 75 533

89 81 71 77 531

—10 9 1 :::;2_ 2

100 81 1 4 244

Среднеквадратическое равно •} ^ '

-J

=V40.67 = 6.38 .

Итак, рассмотрим прогноз в 90 тонн в качестве объема производства на следующий период. Если предположить, что ошибки образуют нормальное рас­ пределение со средним, равным нулю, то доверительные пределы для значений фактического объема производства рассчитываются следующим образом: F±l,96 среднеквадратическое = 90±1.96х6.38 = 90±12.5 = от 77.5 до102.5 Таким образом, при этом прогнозе фактический показатель объема произ­ водства может быть от 77 до 103 тонн, что указывает на то, что прогнозная модель не выдает очень надежного результата. Во многих ситуациях вероятная ошибка в 12.5 тонны при прогнозе в 90 тонн (или 14%-ная ошибка) может быть неприемлемой.

6.13. Эффективность моделей прогнозирования Эффективность модели, используемой при прогнозировании, можно из­ мерить с помощью приемов, описанных в предьшушем разделе Главным обра­ зом, нас интересует точность прогнозных значений Ошибка прогноза — это разница между прогнозным и фактическим значениями. Независимо от приме­ ненной модели важно оценить ее эффективность с точки зрения точности, и в идеале ошибки прогноза должны быть сведены к минимуму. Эффективность конкретной модели зависит от ряда факторов, о которых мы и расскажем да­ лее.

Имеющиеся данные Исторические данные, которые используются при выработке модели про­ гнозирования, играют чрезвычайно важную роль. В идеале желательно иметь большое количество данных за значительный период времени. Так, чтобы спрог­ нозировать покупательский спрос на 1998 г., обычно недостаточно просто взять

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

215

данные за предшествующий юн Чтобы выдать надежную модель, возможно, понадобятся дар1ные, по крайней мере, лл 4—5 лет Более того, используемые данные должны быть «гипичрсыми» с точки зрения ситуации Так, в октябре 1986 [ мировые финансовые рьн1ки иснытсши серьезные 110трясения в резуль­ тате резкого обвала цен на акции Таким образом, если взять данные из этого нетипичного периода, то они окажутся непригодными для составления прогно­ зов относительно цен на акции в аналогичные периоды в будущем Перед тем, как сформировать прогнозную модель, необходимо устранить некоторые дан­ ные, которые не являются типичными в общем временном ряду Используемая модель прогнозирования Точность прогноза однозначно зависит от применяемой модели Однако, вынтесказанное не означает, что при составлении того или иного прогноза приемлема только какая-нибудь одна модель Вполне возможно, что в ряде случаев несколько различных модетеи выдадут относительно надежные оценки В любой модели прогнозирования основным XICMCHTOM является тренд В боль­ шинстве рассмотренных в этой ыаве примеров предполагается, что тренд явля­ ется линейным Но это может бьиь и не так, и многие временные ряды, свя­ занные с хозяйственной и финансовой деятельностью, выказывают нелиней­ ный тренд Другими элементами модели прогнозирования являются сезонные и циклические колебания, а также случайные колебания, которые невозможно предсказать в определенные временные точки Сочетание этих элементов также является важной частью модели Крайне важно выбрать наиболее приемлемый метод — сложения или умножения, что можно сделать, исходя из прошлых данных Другие модели строятся с ^четом соотношений с другими переменными по меюду регрессии, о чем мы юворили в предыдущей главе Так, например, такая переменная, как покупате гьскии спрос на нефтепродукты, может зави­ сеть от других переменных, в частности, oi расходов на рекламу, ценообразо­ вания, процентных ставок и ва7потообменных курсов Это так называемые при­ чинно-следственные связи, и зачастую они обеспечивают большую точность и надежность прогноза по сравнению с моделями прогнозирования на основе временных рядов Признание модели объективной Прежде чем использовать моде ib для составления реальных прогнозов, ее необходимо проверить на объективность, с тем чтобы обеспечить точность прогнозов Этого можно достичь несколькими путями (О На основе имеющихся исторических данных создается модель Затем фактические данные сравниваются с соответствующими оценками, полученны­ ми с помощью этой модели Расхождения между двумя значениями покажут, как модель проявит себя при опредетении будущих значений Однако при всем этом существует вероятность того, что степень точности прогнозирования ока­ жется искаженной, так как вполне вероятно, что модель внутри диапазона испочт>_уемых данных проявит себя лучше, чем на временных периодах вне эюю диапазона (и) Результаты модели можно сравнить с фактическими значениями, ког­ да те появятся Так, мы можем применить модель, чтобы спрогнозировать спрос

216

ГЛАВА 6

В январе 1998 г Когда будут получены фактические данные за январь, тогда можно проверить точность модели. Недостаток такого подхода состоит в том, что проверка «беспристрастности» модели может занять много времени. В прин­ ципе, модель можно проверить только на продолжительном временном отрезке Понятно, что этот метод проверки часто используется, но чтобы не тратить много времени, все равно необходимо провести первичную проверку. (in) В попытке устранить до некоторой степени недостатки, описанные в пун­ ктах (О и (и), мы можем разработать модель прогнозирования исходя из усеченноIO набора имеющихся исторических данных. Например, если у нас есть показатели объема продаж за период с 1990 по 1997 гг., мы можем выработать модель на основе значении только за 1990—1996 гг. Остальные показагели, т. е. показатели за 1997 1 , можно использовать для сравнения с прогнозными показателями, полу­ ченными с помощью этой модели. Такого рода проверка более реалистична, так как она фактически моделирует прогнозную ситуацию Недостаток этого метода состой г в том, что самые последние, а следовательно, и наиболее значимые пока­ затели исключены из процесса формирования исходной модели Внесение изменений в существующую модель В свете того, что мы только что рассказали относительно проверки модели, очевидно, что для того, чтобы уменьшить ожидаемые ошибки, придется вно­ сить изменения в уже существующую модель. Такие изменения вносятся на нрогяжении всего времени, когда модель применяется в реальной жизни. И, безусловно, модель необходимо уточнять при изменении обстоятельств Изменения можно вносить непрерывно в том, что касается тренда, сезонных и циклических колебаний, а также любого используемого причинно-следствен­ ного соотношения. Эти изменения затем проверяются с помощью уже описан-

С С

Сбор данных

Разработка модели

Использование модели для составления прогнозов

Оценка результатов

Уточнение модели (при необходимости)

Рис. 6.15. Разработка модели прогнозирования

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

217

ных методов. Как видно из рис. 6.15, процесс оформления модели включает в себя несколько этапов: сбор данных, выработку исходной модели, проверку, уточнение — и опять все сначала на основе непрерывного сбора дополнитель­ ных данных с целью обеспечения надежности модели в качестве источника прогнозной информации. Внешние факторы Те приемы и методы, которые мы описали в этой главе, позволяют выра­ ботать модели прогнозирования, основанные главным образом на исторических данных. При этом предполагается, что ситуация в будущем не будет сильно отличаться от настоящей. Таким образом, все значимые факторы либо учтены в модели прогнозирования, либо, предположительно, неизменны в течение всего времени, когда ею пользуются. На практике же точность прогнозных зна­ чений зависит от ряда внешних факторов и непредвиденных обстоятельств. На­ пример, объем продаж ряда товаров может зависеть от следующих факторов: — забастовок, приводящих к исчезновению товаров из продажи; — запуска новых товаров конкурентами, смены ими рек^1амной кампании и политики ценообразования; — стихийных бедствий, например пожара, землетрясения или наводнения; — изменений в системе налогообложения в стране, изменения процентных ставок и валютообменных курсов. Зачастую эти факторы невозможно предугадать, и поэтому они не включа­ ются в модель прогнозирования. Однако если вы пользуетесь методами прогно­ зирования, то должны знать важность этих дополнительных факторов. 6.14. Другие вопросы, связанные с прогнозированием Большая часть примеров, приведенных в данной главе, описывают основ­ ные методы выработки моделей прогнозирования. Во-первых, в большинстве случаев предполагается, что тренд — линейный. Далее, стандартный метод выделения тренда основывается на скользящих средних, хотя мы осветили и другие методы, в том числе экспоненциального сглаживания. Во-вторых, при получении прогнозных данных использовались все имеющиеся значения, тогда как на практике это может быть не лучшим вариантом, особенно в тех слушях, когда собранные данные включают некоторые нетипичные значения. На приме­ рах этого раздела мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с практичес­ ким прогнозированием, при этом предполагается, что вы уже достаточно хоро­ шо усвоили основные методы прогнозирования, в частности знаете, как выде­ лять тренд и выявлять и вычислять сезонные составляющие. Пример 1 На фафике (рис. 6.16) показаны цены на сырье, используемое производ­ ственной компанией. Цены даны в ф. ст. за тонну сырья. Цены на товарных рынках фиксировались на ежемесячной основе в тече­ ние шести лет. На фафике представлены средние цены за месяц в течение 1992—1997 гг. По горизонтальной шкале отложены годичные отрезки с поме­ сячной разбивкой начиная с января месяца. Также проведена линия тренда по

218

ГЛАВА 6

значениям годичных скользящих средних Тренд выказывает непрерывный рост цен в течение шести лет. Принятие допущения о линейности тренда в течение этого периода дало бы неточные результаты В ценах на биржевые товары при­ сутствует сезонная составляющая, которая часто скрыта из-за существенных беспорядочных колебаний. Однако можно обнаружить, что в середине каждого года цена находится в самой низшей точке. Цены обычно достигают пика в декабре—январе, а в летние месяцы они снижаются Далее, колебания нараста­ ют по мере восхождения тренда. В частности, данные за 1996—1997 гг. выказы­ вают сильные колебания относительно линии тренда по сравнению с более ранними периодами. Следовательно, в этом случае стоит, по всей видимости, применить метод умножения.

1992

1993

1994 1995 1996 Годы (с помесячной разбивкой)

—— Среднемесячная цена

1997

—Тренд

Рис. 6.16. Цены на биржевой товар Таким образом, любой прогноз на следующий год будет основываться на следующих посылках: — имеется нелинейный тренд (похоже, наличествует «экспоненциальный» рост в указанный период); — необходимо применять метод умножения; — присутствуют сильные случайные колебания. В то же время из-за сильных случайных колебаний в этом временном ряду цены на биржевой товар представляются непредсказуемыми. В частности, значе­ ния в конце 1996 и 1997 гг. имеют отклонение сильнее ожидаемого, а это может привести к пересмотру оценок сезонного отклонения. Далее, не учтена цикличес­ кая состав^шющая. Часто происходит так, что цены на биржевые товары повторя­ ют стандартный цикл деловой активности — от бурного роста до резкого спада. Тот этап, который мы видим на фафике, возможно, отражает фазу роста в этом цикле, и в ближайшем будущем можно ожидать разворота тренда. Долговременный тренд цен на все биржевые товары — нисходящий. Это вид­ но из фафика на рис. 6.17, в котором представлено движение индекса цен на все не нефтяные товары начиная с 1920 г. Обпщй тренд этого ряда — линейный. Одна­ ко очевидно, что тренд не сможет все время оставаться линейным, так как иначе

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

219

ценовой индекс опусипся ниже нулевой отметки, обозначив таким образом ну.1евые цены на биржевые ювары Участки, где цены на товары существенно отли­ чаются от тренда, относятся к периоду начала 30-х годов, т. е. великой депрессии, когда цены нл биржевые товары были крайне низки по сравнению с трендом, а ыкже к периоду в 70-х и начсые 80-х годов, когда цены были очень высокими в условиях общей финансовой стабильности и устойчивого роста мировой экономи­ ки Тренд, приведенный \id рис 6 17, необходимо учитывать при прогнозировании цен на конкретные биржевые товары (см предыдущий пример в этом разделе). Итак, при про1 нозировании, например, процентных ставок, валютообменных курсов, цен на акции, объема производства и объемных индексов целесообразно учитывать методы рсфессии и другие факторы 120 110 -

1920

•25•30•=5•40•'*^•50•5^•60'^^70•^^•80•^^•90'^^

Годы

Рис. 6 . 1 7 . Цены на биржевые товары

Пример 2

Рассмотрим движение цен на акции на рис. 6.18. На фафике представлено движение фондового индекса в период с 1977 по 1994 гг. Цены фиксировались и заносились на график в конце каждого квартала в течение всего указанного периода Фондовый индекс в начале 1977 г. принят за 100. Как можно видеть, к 1994 г. фондовой индекс почти достиг отметки в 1000 Это говорит о том, что за восемнадцать лет цены на акции выросли практически в 10 раз. График показывает устойчивый рост цен на акции в период между 1977 г. и началом 1987 г и сильный рост в последующие годы. Таким образом, общий тренд похоже соответствует кривой, которую мы рассматривали в предыдущем при­ мере (см рис 6 16) Цены на акции росли очень плавно до краха в конце 80-х годов В октябре 1987 г цены на акции на Лондонской фондовой бирже упали в среднем на 30% Это отражено на фафике на рис. 6 18. Из фафика видно, что в течение трех лет цены на акции вернулись к предкризисному уровню Еще один мини-крах цен случился в 1991 г., но с 1992 г. цены на акции опять стали быстро расти. При определении долговремен­ ного тренда целесообразно устранить некоторую часть имеющихся данных. На-

220

ГЛАВА 6

пример, из графика можно убрать быстрый рост и последующее падение цен в 1987 I Это позволит лучше определить долговременную тенденцию для ряда значении Однако такие мощные колебания следует учесть на зак^тючительном jrane проведения анализа, с тем чтобы заложить в прошоз возможность слу­ чайных колебании Периоды за 1987 и 1991 г значимы с точки зрения опреде­ ления вероятной точности долювременных прогнозов, составленных на основе oio6paiHibix данных В целом, цены на акции нельзя рассматривать изолирован­ но Для получения более точных краткосрочных и среднесрочных прогнозов относительно пе}] на акции существуют различные экономические показатели, в частности объем новых заказов, потребитепьских товаров, заказов на станки и оборудование, а также общая уверенность в промышленном росте

• ' " • '

1977

78 79 80

'

81 82 83

'

• ••

84 8S 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Годы (с поквартальной разбивкой)

Рис. 6 . 1 8 . Движение фондового индекса

6.15. Краткое содержание главы В этой главе мы рассмотрели некоторые базовые методы прогнозирования, которые применяются при анализе ряда данных за указанный период времени Эти методы используют вычленение из фактических исторических показателей нескольких составляющих Обычно временные ряды состоят из следующих эле­ ментов — Тренда Показывает общий тип изменений в исторических данных — Сезонных колебаний Это колебания вокру! тренда, которые возникают на регулярной основе Обычно такие регулярные колебания возникают в пери­ оды до одного года — Циклических колебаний Эти колебания возникают в периоды свыше одного года Они часто присутствуют в финансовых данных в соответствии со cTaiiaapTHbiM циклом деловой активности, состоящим из резкого спада, роста, бурною роста и застоя — Случайных колебании Это непредсказуемые случайные колебания, при­ сутствующие в большинстве реальных временных рядов Анализ таких колеба­ ний можно использовать для вычисления вероятных ошибок и оценки надеж­ ности примененной модели прогнозирования

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

221

Были рассмотрены различные способы вычленения этих составляющих из временных рядов, а именно — С1лаживагше графика с помощью скользящих средних, центрированных скользящих средних или экспоненциального сглаживания — Оценка тренда с помощью линейной и нелинейной рефессии — Выявление сезонности, определяющей выбор метода сложения и ни метода умножения — Анализ ощибок для сравнения прогноза по модели с фактическими данными с целью проверки пригодности и надежности модели Помимо описанных здесь статистических методов также важно учитывать и тюбые внещние факторы, которые могут оказать влияние на рассматриваемые переменные Например, спрос на товар может быть подвержен влиянию вне­ шних воздействий, в частности деятельности, политики ценообразования и рекламной стратегии конкурентов Во многих практических ситуациях эти вне­ шние факторы оказывают большее воздействие на надежность прогнозов, не­ жели описанные нами статистические факторы Часто такие факторы учитыва­ ются методами регрессии в модели прогнозирования, как это описано в преды­ дущей главе Использование этих методов помогает получить жизненно важную информацию, необходимую при принятии тактических и стратегических управ­ ленческих решении

6.16. Дополнительные упражнения 1 (Е) В таблице приведены данные по числу пациентов, которые ежеднев­ но обслуживались в микробио10гическом отделении клиники Св Иосифа Дан­ ные зафиксированы за период в четыре недели Неделя

Пи Вт Ср Чт Пт Сб Во

1 15 14 17 20 28 14 7

2 17 15 20 19 25 15 8

3 17 18 19 22 30 14 10

4 16 17 22 21 29 13 9

(О С помощью семиточечных скользящих средних вьшелите тренд данного временного ряда С помощью фафика или другим способом оцените тренд на каждый день 5-й недели (и) С помощью метода сложения оцените «сезонные колебания» этих дан­ ных и спрогнозируйте количество посещений на каждый день 5-й недели ( т ) Прокомментируйте точность этого прогноза, а также то, как руковод­ ство клиники может применить такого рода информацию 2 (I) Исходя из вышеприведенных данных получите альтернативный про­ гноз количества посещении в 5-ю неделю по методу умножения Считаете ли вы, что этот метод более пригоден'' Обоснуйте 3 (I) В таблице приведены данные по ежегодному финансированию иссле­ довательской деятельности невро южческого центра к,тиники Св Иосифа (Циф­ ры даны в 100 тыс дотт США)

222

ГЛАВА 6

Год Финансирование Год Финансирование

1985 43 1993 105

1986 32 1994 126

1987 57 1995 150

1988 70 1996 12 5

1989 1990 1991 1992 92 67 75 89 1997 146

(О с помощью пятиточечных скользящих средних сгладьте этот временной ряд и графически опеиите значения тренда в 1998 и 1999 гг (и) Сравните зти оценки с оценками, полученными с помощью экспо­ ненциального сглаживания при С1лаживаюшей константе, равной О 2 (ш) Прокомментируйте расхождения между двумя полученными оценками и приведите ваши доводы относительно того, какие из них, по вашему мне­ нию, более надежны 4 (D) В таблице приведены данные по количеству фупповых туров, при­ обретенных через местного туристического агента Данные сведены покварталь но за 4 юда Год 1993 1994 1995 1996

Количество приобретенных групповых туров 1 КБ

2 КБ

3 КБ

4 КБ

234 250 276 274

410 438 452 460

296 310 334 336

140 150 164 178

(О Нарисуйте фафик этого ряда значений По фафику определите, какой мегод — сложения или умножения — лучше применить, чтобы получить намчучшие оценочные показатели объема продаж фупповых туров (и) С помощью скользящих средних оцените треыд на каждый кварта1997 I (ш) По методу, принятому в пункте (i), найдите сезонные колебания и оцените объем продаж фупповых туров в каждом KsapTajie 1997 i (iv) Прокомментируйте вероятную Точность ваших оценок Поясните, как такие оценки можно использовать в туристическом бизнесе (v) Приведите другие факторы, которые могут повлиять на объем продаж групповых туров Как эти факторы можно учесть в модели прогнозирования'' 5 (D) Фактические объемы продаж туров за квартал в 1997 г составили 1 KB 260, 2 KB 470, 3 кв . 360, 4 кв ПО (i) Сравните эти значения с оценками, полученными в предьшушем зала НИИ, и найдите среднюю ошибку прогнозирования (и) По этим же самым значениям вычислите среднеквадратическое эти^ ошибок (ш) При условии, что ошибки образуют нормальное распределение, нгч> дите 95%-ные доверительные пределы для оценок на 1997 г , полученных ис ходя из прошлых данных (iv) Прокомментируйте надежность прогноза, составтенного исходя и^ проведенных вычислений Не проводя дополнительных вычислений, скажите что новою вы привнесете в модель прогнозирования в свете фактических пока зателеи id 1997 i

Глава 7

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВЫ

> Характеристика управления запасами > Модель оптимального размера заказа > Формула оптимального размера заказа > Скидки за количество > Цикл заказа > Дефицит > Модель размера производственного заказа > Неопределенный спрос > Модель периодической проверки > Другие модели управления запасами > Практические вопросы ЦЕЛИ > Уяснить основные характеристики моделей управления запасами > Научиться рассчитывать по формуле оптимальный размер заказа > Научиться анализировать влияние скидок на определение оптимального размера заказа > Уметь определять размер партии, когда пользователь одновременно яв­ ляется и производителем > Научиться анализировать более сложные модели, в частности те, кото­ рые учитывают неопределенный спрос > Уяснить различие между методами непрерывной и периодической про­ верки > Овладеть практическими вопросами, связанными с определением поли­ тики управления запасами

224

ГЛАВА 7

раслях материально-технического снабжения. Однако и другие отрасли эко­ номики, в частности торговля и служба сервиса, также зависят от эффек­ тивности управления имеющимися запасами. Текущий уровень наличных запасов может оказаться одним из рещающих факторов успешной деятель­ ности предприятия. Затраты на хранение слишком больших запасов могут свести на нет доходность; точно так же неотъемлемо сопряжено с рисками поддержание запасов на слишком низком уровне — проблема очевидна: если запасы кончаются, то невозможно выполнить заказы покупателей и клиентов. Таким образом, необходимо найти компромиссное решение этих проблем с помощью аналитических методов, и именно о них пойдет речь в последующих разделах. Конкретный пример

Автомобильная компания CMG

CMG — это небольшая компания по производству автомобилей, располо­ женная в Кингстоне, что недалеко от Торонто (Канада). Компания производит спортивные автомобили с малым объемом цилиндров и имеет годовой оборот в размере свыше 10 млн. долл. США. Компания осуществляет сборку трех разных моделей спортивных машин в основном из компонентов, приобретаемых у других предприятий. Самостоятельно CMG производит только некоторые специально разработанные кузовные части. CMG насчитывает около 180 рабочих, занятых на производстве, а также двадцать человек административно-управленческого аппарата. CMG реализует автомобили напрямую покупателям. Так, компания не имеет торговых представителей и сбытовой сети. Покупатели .MOI^T заказать автомобили от CMG по телефону или лично, и компания гарантирует постав­ ку любой модели по спецификации покупателя в течение шестинедельного периода. Модели в стандартной спецификации, например, с обычным цветом кузова и базовым набором внутренних элементов, могут быть поставлены в значительно более короткие сроки. Компания столкнулась с трудностями поддержания на необходимом уров­ не запасов некоторых необходимых компонентов. В прошлом, случалось, не оказывалось в наличии основных компонентов, что приводило к задержкам в сборке и срыву сроков поставки клиентам. Ральф Прентис, руководитель службы материально-технического снабжения, так прокомментировал эту ситуацию: «При сборке мы используем более 2000 различных компонентов. В сборе мы приобретаем только двигатели, коробки передач и электронику. Остальные компоненты требуют дополнительной сборки, и любые пробле­ мы с уровнем запасов могут привести к серьезным срывам производствен­ ных графиков. Моя работа состоит в том, чтобы обеспечить наличие исход­ ных материалов и элементов узлов тогда, когда это необходимо. Одна из наших трудностей состоит в том, что мы имеем небольшие складские пло­ щади, что ограничивает наши возможности по хранению запасов, особенно крупногабаритных». На примере CMG мы проиллюстрируем различные проблемы, связанные с управлением запасами, а также их возможные решения.

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

Конкретный пример

225

Фармацевтическая группа «Литлвудз»

Группа «Литлвудз» управляет более чем 20 различными точками в южной Англии. Все магазины, принадлежащие «Литлвудз», имеют аптечные отделы, где покупатели могут приобрести лекарства по рецептам. Покупатели могут также приобрести лекарства, отпускаемые без рецепта, и ряд других товаров, в том числе косметику, парфюмерию, туалетные принадлежности и витамины. Центральный склад, расположенный в Саутгемптоне, используется для склади­ рования всех товаров для этих магазинов. В конце каждого рабочего дня каждый магазин подает заявку на товары, которая удовлетворяется по мере наличия. Генеральный директор «Литлвудз» Миртл Ахмад дал указания, что период удовлетворения заявок магазинов на лекарства и нелекарственные товары не должен превышать двух рабочих дней. В прошлом этого было трудно достичь. В частности, чтобы заказать и получить на склад от поставщика некоторые лекар­ ства, отпускаемые по рецепту, требовалось две недели. Спрос на некоторые из таких лекарств неустойчив, и в ряде случаев компания сталкивалась с трудно­ стями, когда возникал неожиданно высокий спрос на эти наименования. Проблемы, связанные с управлением запасами, не офаничиваются только центральным складом «Литлвудз». Каждый магазин имеет незначительные запа­ сы, и крайне важно, чтобы все широкораспространенные лекарства, отпуска­ емые по рецепту, имелись в наличии при обращении покупателя. Было установ­ лено, что с ростом конкуренции в этом секторе рынка стало очень трудно удержать клиента, и если заказ не исполнить немедленно, то клиента можно потерять. Два дня на исполнение заказа — срок неудовлетворительный, и, ско­ рее всего, покупатель попытается получить нужные ему товары в другом месте. Это может стать источником проблем в долговременной перспективе, так как покупатель переключится в этом случае на конкурента.

7.1. Характеристика управления запасами Управление запасами включает в себя заказ, хранение и поставку товаров или изделий. По виду запасы подразделяются на сырье, полуфабрикаты и гото­ вые изделия. Основные причины хранения запасов таковы: 1. Необходимо обеспечить их наличие. Хранение запасов обеспечивает не­ медленное удовлетворение спроса. Запасы действуют как буфер против ненор­ мально высокого потребления и колебаний предложения. Таким образом, при чрезмерном спросе или продолжительных задержках поставок запасы способ­ ствуют удовлетворению большей части потребностей. Более того, при наличии запасов не возникает разрыва между покупательским спросом и поставкой то­ вара. 2. Необходимо оптимизировать количество товаров. Для производства или при заказе изделий в наиболее экономных количествах часто необходимо хра­ нить изделия, которые не требуются немедленно. Производство или заказ еди­ ничных изделий по мере их востребования могут на практике оказаться непри­ емлемыми по причине связанных с этим чрезмерных издержек. На крупные заказы можно часто получить скидки, но для их хранения требуются складские помещения. В последнее время появились технологии, в частности технология, кото­ рую условно можно назвать технологией «точно вовремя», позволяющие избе-

226

ГЛАВА 7

жать хранения значительных запасов. Эти технологии мы рассмотрим позднее. Однако во многих случаях просто необходимо иметь некоторое, офаниченное количество запасов, и в последующих разделах мы покажем, как применение базовых приемов позволяет обеспечить эффективность этого процесса с наи­ меньшими затратами. Методы управления запасами помогают ответить на следующие вопросы: а) Когда заказывать новые изделия? б) Сколько их заказывать? Для того чтобы ответить на эти вопросы, было разработано несколько моделей управления запасами. Стандартные модели управления запасами, кото­ рые описываются в последующих разделах, предполагают знание некоторых понятий, в частности следующих: Спрос. Определение потребностей покупателей может на практике оказать­ ся делом сложным. Простые модели используют, когда спрос постоянен, хотя в целом, очевидно, необходимо применять вероятностные оценки спроса. Спрос на некоторые изделия может зависеть от количества заказов на другие товары. Например, спрос на компоненты, используемые CMG, взаимоувязан. Для каж­ дой модели автомобиля постоянное количество деталей и узлов. Следовательно, спрос на одну какую-нибудь деталь или узел автоматически выражает потреб­ ность в ряде других. И наоборот, спрос на конкретное изделие может исключать другие изделия ряда. Так, потребность в двухлитровых двигателях исключает установку на конкретной машине любого другого двигателя, а также очерчива­ ет круг сопутствующих компонентов. Время выполнения заказа. Это время, которое уходит у поставщика на по­ ставку товара после получения заказа. Например, время выполнения заказа на некоторые лекарства, поступающего от «Литлвудз», составляет две недели. Ча­ сто эта величина не является постоянной. Так, поставщик может пообещать выполнить поставку в течение определенного периода времени, например, в течение трех дней с даты получения заказа. Таким образом, практически время выполнения заказа может составить один, два или три дня. Дефицит. Дефицит возникает, когда спрос превышает наличные запасы. В этом случае покупательский спрос нельзя удовлетворить немедленно. С дефици­ том борются различными способами в зависимости от ситуации. Например, есть такие ситуации, когда дефицита просто стараются не допустить. Так, на производстве нехватка любого из основных изделий может привести к полной остановке, а это убытки и абсолютно неприемлемо на большинстве произ­ водств. Дефицит также ведет к немедленному снижению объема продаж. Так, если покупатель не может приобрести лекарство в магазинах «Литлвудз», то он идет в другое место. Или, как вариант, дефицит может просто привести к срыву поставки изделия. Расходы на хранение запасов. Затраты, связанные с хранением товаров, включают в себя расходы на рабочую силу, арендную плату, освещение и обофев складских помещений. Такие затраты обычно указываются в сумме издер­ жек на единицу товара за определенный период времени. Например, стоимость хранения одной коробки передач на складе CMG составляет 1 долл. в неделю. При определении расходов на хранение можно учитывать и другие факторы, например, начисление износа. Расходы на подготовку заказа. Это расходы, связанные с размещением заказа на товары, и считается, что они не зависят от размера заказа. Например, админи­ стративные расходы по составлению и отсылке заказа могут быть постоянны неза-

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

227

висимо от количества заказываемых изделий. Аналогично, поставщик может взи­ мать фиксированную плату за упаковку, транспортировку и доставку товаров не­ зависимо от заказанного количества. Расходы на подготовку заказа указываются в сумме постоянных издержек на подготовку одного заказа. Так, например, «Литлвудз» несет расходы в сумме 15 ф. ст. за каждый заказ, размещаемый у одного из своих поставщиков, компании «Бикэмс», независимо от размера заказа. Затраты на приобретение. Это затраты, связанные с заказом отдельных из­ делий. Эти затраты указываются в сумме издержек на единицу товара. Так, например, цена с учетом затрат головной фары, устанавливаемой на одной из моделей CMG, составляет 18 долл. США за единицу. Затраты вследствие дефицита (нехватки запасов). Дополнительные издержки могут возникнуть при нехватке запасов. Например, компании, возможно, при­ дется платить сверх обычной цены приобретения с тем, чтобы ускорить постав­ ку изделия, иначе в долгосрочной перспективе можно потерять доходы из-за ухода клиентов. Затраты вследствие нехватки запасов могут иногда указываться в сумме издержек на единицу товара, не имеющегося в наличии. Однако оценка таких издержек может быть субъективной, особенно когда оцениваются сто­ имость ухода покупателей и возможное снижение доходов в будущем. Приведенные здесь понятия используются в ряде моделей управления за­ пасами, о которых и пойдет речь в этой главе.

7.2. Модель оптимального размера заказа Модель оптимального размера заказа — одна из самых простых моделей управления запасами. Иногда ее называют моделью оптимального размера партии. Данная модель используется для оценки размера заказа на определенный то­ вар, обеспечивающего минимизацию общей стоимости запасов данного товара. Данная модель предполагает наличие следующих условий: Неизменяемость спроса. Спрос на товар известен и равен D за временной период, например, спрос на данный товар может быть равен 500 в год. Нулевой цикл заказа. Предполагается, что товары будут поставлены без задержки. То есть размещенный заказ выполняется немедленно. Бездефицитность. Товар должен быть всегда в наличии. То есть все потреб­ ности покупателей могут быть немедленно удовлетворены. Неизменность цены приобретения. Расходы на приобретение единицы товара постоянны. Обозначаются как Р. Расходы на хранение запасов. Расходы на хранение запасов (обозначаются как Н) можно определить как установленную сумму издержек на единицу товара. Часто указывается в процентах (/) от цены приобретения единицы то­ вара. То есть расходы на хранение запасов составляют H=iP на единицу товара за определенный временной период. Используя эту простую модель, можно фафически представить уровень запасов конкретного товара, как это показано на рис. 7.1. По горизонтальной оси графика отложены временные отрезки. Также показан уровень запасов в начале периода (месяц 0). Далее уровень запасов постепенно снижается с посто­ янной скоростью и наконец достигает нулевой отметки. В этой точке происхо­ дит поступление новой партии товара, и уровень запасов немедленно увеличи­ вается до своего максимального значения. Количественное увеличение совпада­ ет с размером заказанной партии. Далее уровень запасов опять все время сни­ жается, и цикл снова повторяется. Такое простое фафическое отображение

228

ГЛАВА 7 Размер заказа = Q

ш

О

о м с со го

Время между заказами

.

1

Д.

•S. Q

ш

2

\

VO

о

N\

\

1

J 10

12

Месяцы

•Рис. 7 . 1 . Уровень запасов во времени

полезно при анализе различных переменных, используемых в модели опти­ мального размера заказа. На фафике представлены две переменные, которые необходимо рассчитать. Это размер заказа и время между двумя последователь­ ными заказами. На графике также выделен средний уровень запасов данного товара, который равен половине размера заказа. Так, если размер заказа обо­ значить как Q, то средний уровень запасов равен Q/2. Имея такую информацию о запасах, можно оценить оптимальный размер заказа на товар. Как это делать, вы узнаете из последующих примеров. Т Определение. Оптимальный размер заказа или оптимальный размер партии — это то количество единиц товара, которое необходимо включить один заказ, с тем чтобы минимизировать общую стоимость запасов и удовле рить потребности владельца. • Пример 1

Оптовик имеет устойчивый спрос на 50 единиц некоего товара в месяц. Стоимость приобретения единицы товара составляет 6 ф. ст., а затраты на хра­ нение единицы этого товара, по оценкам, равны 20% от его стоимости в год. Стоимость размещения одного заказа составляет 10 ф. ст. в виде административ­ ных расходов независимо от заказанного количества. Имея эту информацию, мы можем рассчитать все значимые затраты и попытаться определить оптимальный размер заказа на данный товар. Рассмотрим все затраты, связанные с этим товаром на протяжении года, при условии определенного размера заказа. Например, если 25 единиц товара заказывается в каждой партии, то затраты будут следующими: Затраты на приобретение = Количество товара, приобретенного за год х X Стоимость единицы товара. Итак, оптовику необходимо 50 единиц товара в месяц, то есть 600 единиц в год. Стоимость единицы товара составляет 6 ф. ст. Следовательно, затраты на приобретение: 600 х 6 ф. ст. = 3600 ф. ст. Расходы на хранение запасов = Стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения в год х Средняя стоимость запасов. Стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения составляет 20%. Средний уровень запасов составляет половину размера заказа. Таким образом, средний уровень запасов: 25/2 = 12.5.

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

229

Отсюда средняя стоимость запасов; 12.5 х 6 ф. ст. = 75 ф. ст. Следовательно, расходы на хранение; 0.2 х 75 ф. ст. = 15 ф. ст. Расходы на подготовку заказа = Количество заказов в год х Расходы на подготовку одного заказа. Итак, ежегодная потребность составляет 600 единиц, а размер заказа — 25 единиц. Таким образом, количество заказов в год равно 600/25 = 24. Стоимость подготовки одного заказа оставляет 10 ф. ст. Отсюда расходы на подготовку заказа; 24 х 10 ф. ст. = 240 ф. ст. Отсюда получаем общую сумму затрат оптовика; Общие затраты = Стоимость приобретения + Расходы на хранение + + Расходы на подготовку заказа = 3600 + 15 + 240. Общие затраты равны; 3855 ф. ст. при размере заказа в 25 единиц товара. А теперь попробуем найти тот размер заказа, который минимизирует об­ щие затраты оптовика. Тс вычисления, которые мы проделали выще, можно сделать и по другому значению размера заказа, а затем сравнить полученные результаты. Возьмем, например, размер заказа, равный 50. Итак, годовые зат­ раты составят; Затраты на приобретение = Количество товара, приобретенного за год х X Стоимость единицы товара = 600 х 6 ф. ст. = 3600 ф. ст. Расходы на хранение = стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения в год х средняя стоимость запасов. Средняя стоимость запасов; — х6 ф. ст. = —х6 ф. ст. = 25 х 6 ф. ст. = 150 ф.ст. 2 2 Итак, расходы на хранение равны; 0.2 х 150 ф. ст. = 30 ф. ст. И наконец, Расходы на подготовку заказа = Количество заказов в год х расходы на подготовку одного заказа. Количество заказов за год; 600/50 = 12. Отсюда расходы на подготовку заказа; 12 х 10 ф. ст. = 120 ф. ст. В сумме всех затрат получаем; Общие затраты; 3600 + 30 + 120. Общие затраты составляет 3750 ф. ст. при размере заказа, равном 50. Эти вычисления можно повторять и для других значений размера заказа до получения оптимальной оценки. Далее в таблице сведены эти вычисления по ряду значений размера заказа Q. Z) обозначает годовой спрос, Р — стоимость единицы товара (6 ф. ст.) и / — коэффициент затратности хранения запасов (0.2). Размер заказа (0)

25 50 100 200

Средний Затраты на приобретение уровень запасов (0/2) (РО) 12.5

25 50 100

3600 3600 3600 3600

Расходы на хранение (0/2)//Р

15 30 60 120

Расходы на подготовку заказа C[DIQ)

240 120 60 30

Общие затраты

3855 3750 3720 3750

230

ГЛАВА 7

Обратите внимание, что затраты на приобретение остаются неизменными при всех значениях размера заказа (Q). Это происходит потому, что спрос не меняется, и, следовательно, независимо от размера заказа за указанный период необходимо приобрести определенное таксированное количество единиц товар. При условии отсутствия скидок на крупные заказы годовые затраты на приобретение также должны остаться неизменными. Следовательно, для того чтобы определить опти­ мальный размер заказа, необходимо только сравнить затраты, связанные с хране­ нием и подготовкой заказа. Эти затраты нанесены на фафик, представленный на рис. 7.2. На нем видно, что две затратные переменные (расходы на подготовку за­ каза и расходы на хранение запасов) изменяются в зависимости от размера заказа. По мере увеличения размера заказа расходы на хранения растут в прямой пропор­ ции. Это как раз тот случай, когда чем больше размер заказа, тем больше средний уровень запасов, а по нашей модели расходы на хранение находятся в прямой зависимости от этой величины. И наоборот, расходы на подготовку заказа умень­ шаются по мере увеличения размера заказа. Понятно, что чем больше единиц то­ вара включено в каждый заказ, тем меньше заказов необходимо сделать за указан­ ный период. Итак, расходы, связанные с подготовкой и отсылкой заказов, снижа­ ются при увеличении размера заказа. Минимальное значение обших затрат находится в точке пересечения фафиков расходов на хранение и расходов на подготовку заказа, как это показано на рис. 7.2. Это значение соответствует оптимальному размеру заказа, который в нашем примере оказался равен 100. Итак, проведенный анализ позволяет нам рекомендовать включать в заказ 100 единиц товара. Так как потребность в товаре составляет 50 единиц в месяц, то будет достаточно размешать один заказ в два месяца. Периодичность разме­ щения заказов в определенный отрезок времени можно рассчитать с помощью выражения D/Q. В нашем примере D = годовая потребность = 600, и мы уже знаем, что оптимальный размер заказа составляет 100 единиц товара; Q = размер заказа = 100. Следовательно, периодичность размещения заказов равна 600/100 = 6 за­ казов в год (или один заказ каждые два месяца). 300

100

150

250

Размер заказа

Рис. 7.2. Стоимость запасов в зависимости от размера заказа

Пример 2 Миртл Ахмад, генеральный директор «Литлвудз», попросил вас разрабо­ тать политику подачи заказов с центрального склада на все основные лекар-

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

231

ства, которые необходимы магазинам компании. Рассмотрим одно из наимено­ ваний: ингалятор «Бекотайд» для астматиков. Пусть постоянная потребность в этом средстве составляет 400 единиц в неделю. Ингалятор при приобретении стоит 3 ф. ст. за штуку. По оценкам, средняя стоимость хранения на складе 100 ингаляторов составляет 2 ф. ст. в неделю. Размещение одного заказа у поставщи­ ков обходится компании в 12 ф. ст. в виде ад.министративных расходов. На ос­ новании этой информации определим оптимальный размер заказа на данный товар, а также периодичность размещения заказов. Давайте рассмотрим недельные затраты, связанные с хранением и подготов­ кой заказа на этот товар. Напомним, что стоимость приобретения товара неизмен­ на, и поэтому она не влияет на оптимальный размер заказа. Однако следует отме­ тить, что стоимость приобретения может оказаться наиболее значимым показате­ лем при оценке общих затрат, и поэтому о ней не следует забывать при проведе­ нии окончательного анализа затрат на содержание запасов. Рассмотрим размер заказа в 100 ингаляторов. Это значит, что средний уровень запасов данного товара составляет 50. В нашем примере расходы на хранение — 2 ф. ст. на 100 единиц в неделю. Отсюда расходы на хранение: 2 ф. ст. х 50/100 = 1 ф. ст. в неделю. Далее, Расходы на подготовку заказа на подготовку одного заказа.

Количество заказов в неделю х Расходы

При недельной потребности в 400 единиц необходимо размещать 400/100 = 4 заказа в неделю. Отсюда расходы на подготовку заказа: 4 х 12 ф. ст. = 48 ф. ст. Сложив эти два значения расходов, получим общие недельные затраты: 1 + 48 = 49 ф. ст. Аналогичным образом можно проанализировать другие значения размера заказа. В таблице ниже приведены недельные расходы на хранение и подготовку заказа при различных значениях размера заказа {Q): Размер заказа (0)

Средний уровень запасов ( 0 / 2 )

Расходы на хранение (0/2)Н

Расходы на подготовку заказа C(D/Q)

100 200 400 600 800 1000 1200

50 100 200 300 400 500 600

1 2 4 6 8 10 12

48 24 12 8 6 4.8 4

Общие затраты 49 26 16 14 14 14.8 16

Эти данные представлены на фафике на рис. 7.3. Из него видна та же самая модель динамики затрат: с увеличением размера заказа расходы на хранения уве­ личиваются, а расходы на подготовку заказа уменьшаются. Минимальная сумма расходов приходится на пересечение кривых фафика и соответствует размеру за­ каза приблизительно в 700 единиц. Таким образом, оптимальный размер заказа равен 700. При наличии спроса, равного 400 в неделю, такой размер заказа позво­ ляет размещать заказы каждые 700/400 = 1.75 недели. То есть время между разме­ щением двух последовательных заказов составляет менее двух недель. Все это указывает на один из недостатков такого анализа. Размер заказа, рассчитанный по этому методу, возможно, окажется неудобным с точки зре-

232

ГЛАВА 7

ния периодичности размещения заказов. Если говорить о данном примере, то, может быть, заказы лучше размещать каждые две недели при размере партии в 800 единиц. Мы поговорим об этом более подробно в последующих разделах этой главы. На практике оптимальный размер заказа служит в качестве ориен­ тира того, какой размер заказа наиболее экономичен, но при этом окончатель­ ный размер заказа может определяться с учетом и других факторов. 60 50

• v\

£ 40

а 30 со

"Х ^\

Минимальныв общие эатраты Общие затраты

20 10

О »—0"

г

1

200

400

1

600

• Расходы на хранение Расходы на подготовку*аказа

800

1000

1200

Размер заказа

Рис. 7,3. Стоимость запасов 7.3. Формула оптимального размера заказа Значение оптимального раз.мера заказа, которое мы в предыдущих приме­ рах определяли с помощью графического метода, можно рассчитать и по мате­ матической формуле. Эта формула основывается на нахождении минимального значения на фафике исходя из общих затрат. Мы приведем эту формулу в данном разделе, однако в задачу настоящего пособия не входит описание того, как она получена. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: D — постоянный спрос в определенный период времени; Р — цена приобретения единицы товара; С — расходы на подготовку одного заказа; Н — расходы на хранение единицы товара за указанный период времени. Имея эти переменные, рассчитываем значение оптимального размера за­ каза по следующей формуле: Оптимальный размер заказа = EOQ =

2CD Н

Далее, расходы на хранение часто выражены в виде (/), т. е. коэффициента затратности хранения запасов за указанный период времени. Итак, при расходах на хранение Н= /7'формула приобретает следующий вид: _„„ flCD Оптимальный размер заказа = t o g = J—— Получив значение оптимального размера заказа, обозначаемого Q, мы можем определить периодичность размещения заказов: Периодичность размещения заказов = D/Q за указанный период времени.

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

233

Чтобы проиллюстрировать эти формулы, давайте снова рассмотрим зада­ чи, которые мы решали с помощью фафического метода. Пример 1

В предыдущем примере у оптовика был устойчивый спрос на 50 единиц какого-то товара в месяц. Стоимость приобретения единицы товара составляет 6 ф. ст., а расходы на его хранение оцениваются в 20% от стоимости запасов в год. Размещение одного заказа обходится оптовику в 10 ф. ст. в виде админис­ тративных расходов независимо от его размера. Возьмем стандартный период времени, равный одному году. Тогда мы имеем: D — годовой спрос — 50 X 12 = 600; Р — стоимость приобретения единицы товара — 6 ф. ст.; С — расходы на подготовку заказа — 10 ф. ст.; Н — расходы на хранение единицы товара в год — //*, где / = 20% или 0.2. Далее по формуле находим: г. [2С^ /2x12x400 rr^r^rz^ ,_. Оптимальный размер —J -л — = ^/10000 = 100. Как мы видим, формула оптимального размера заказа дает такой же ре­ зультат, что и графический метод. Полученный результат говорит о том, что для минимизации затрат размер заказа должен составить 100 единиц, при этом периодичность размещения заказов должна быть равна 600/100 = 6 раз в год. Пример 2

Согласно примеру 2 предьщущего раздела имеем: D — спрос в неделю — 400 Р — цена приобретения — 3 ф. ст. Я — расходы на хранение — 2 ф. ст. на 100 единиц в неделю = 0.02 ф. ст. на единицу в неделю; С — расходы на подготовку заказа — 12 ф. ст. за один заказ. По формуле находим: {ШВ 12x12x400 /.„„^„^ .„-„ оптимальный размер заказа = •\/~Б~~д1—К^—- ^45uuuu - оу/.й Следовательно, чтобы минимизировать затраты, рекомендуется размер за­ каза в 693 единицы. В предьщушем примере, когда мы использовали графичес­ кий метод, результат составил приблизительно 700 единиц. Формула оптималь­ ного размера заказа подтверждает приемлемость этого значения. Однако, ясно, что вряд ли размер заказа составит 693 единицы. На практике, если округлить это значение до 700, то получится более реальная цифра. Как мы уже говорили, воз.можно, будет выбран размер заказа в 800 единиц, так как в этом случае периодичность размещения заказов будет более реальной и целесообразной, то есть составит две недели.

234

ГЛАВА 7

7.4. Упражнения: оптимальный размер заказа 1(E) Спрос на определенный тип холодильника в «ЛБС Дискаунт Март» постоянен и составляет 100 единиц в месяц. Каждый холодильник стоит 200 долл. США, а расходы на хранение составляют 5% от общей стоимости запасов в год. Согласно расчету стоимость обработки «АБС» одного заказа составляет 40 долл. в виде адмииисфативных и постоянных транспортных расходов. (i) С помощью графического метода определите затраты, связанные с за­ казами размером от 40 до 160 ед1шиц. (ii) С помощью соответствующей формулы рассчитайте оптимальный раз­ мер заказа на данный товар. (iii) С помощью соответствующей формулы рассчитайте оптимальный раз­ мер заказа на данный товар. (iv) Как часто «АБС» следует направлять заказы на этот товар? (v) Рассчитайте общие головые затраты на приобретение и хранение дан­ ного товара при условии использования оптимального размера заказа. 2. (!) Мащиностроительная компания, расположенная в Мельбурне (Ав­ стралия), ежегодно использует некий товар на сумму в 21 000 долл. США. Расходы на подготовку одного заказа составляют 30 долл., а расходы на хранение на складе — приблизительно 9% от средней стоимости запасов в год. Если единица данного товара стоит 3 долл., то каков оптимальный размер заказа: (i) примените графический метод (ii) рассчитайте по формуле. Сравните полученные результаты.

7.5. Скидки за количество Часто цена на какой-либо товар не является постоянной. Стоимость при­ обретения может зависеть от размера размещенного заказа, и многие постав­ щики предлагают привлекательные скидки на большие заказы. То есть во мно­ гих практических ситуациях простой метод определения размера заказа при фиксированной цене за единицу товара (Р) может оказаться неприемлемым. На графике (рис. 7.4) показана кривая общих затрат, учитывающая расходы на подготовку заказа и хранение запасов в ситуации, когда стоимость единицы товара меняется в зависи.мости от размера заказа. Как видно из фафика, по­ ставщик предлагает скидки на заказы, включающие от 5 и более единиц това­ ра, и еще большие скидки на заказы от 12 и более единиц товара. Из графика видно, что в тех точках, где размер заказа составляет 5 или 12, общие затраты снижены. Влияет ли это на величину оптимального раз.мера заказа, необходимо рассматривать на конкретных примерах. Из графика также видно, что опти­ мальный размер заказа составляет приблизительно 8. Скидки на заказы от 12 и более единиц товара не снижают существенно общие затраты, и, следователь­ но, в принципе ими вряд ли воспользуются. При рассмотрении вопроса о том, пользоваться или нет предлагаемыми скидками, необходимо рассчитать связанные с этим дополнительные затраты и возможную экономию. Так, заказ крупной партии обычно ведет к увеличению расходов на хранение по причине задействования дополнительных складских площадей. И наоборот, можно получить дополнительную экономию за счет снижения расходов на подготовку заказа.

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

235

10

Размер заказа

Рис. 7.4. Общая стоимость запасов, включая скидки

Пример 1 В одном из предьщущих примеров мы рассчитали оптимальный размер заказа на основании следующих данных: D — 600 единиц в год f — 6 ф. ст. за единицу / — 20% за единицу в год С— 10 ф. ст. за заказ При этом оптимальный размер заказа составил 100 единиц. Предположим, что поставщик предлагает следующие скидки при покупке крупных партий товара: а) 4%-ная скидка при заказе от 200 и более единиц; б) 8%-ная скидка при заказе от 1000 и более единиц. Вопрос состоит в том, пользоваться ли какой-либо из этих скидок. Рассмотрим общие затраты для различных размеров заказов. (1) Прежде всего, если мы берем стандартное значение оптимального раз­ мера заказа, равное 100, то в среднем годовые затраты составляют: Стоимость приобретения = Годовой спрос х Цена приобретения = = 600 X 6 = 3600 ф. ст. Расходы на хранение = Расходы на хранение единицы товара х средний уровень запасов. Так, расходы на хранение единицы товара равны 20% от 6 ф. ст. = 1.20 ф. ст., а средний уровень запасов = 100/2 = 50. Следовательно, расходы на хранение: 1.20 ф. ст. х 50 = 60 ф. ст. Расходы на подготовку заказов = количество заказов в год х расходы на подготовку одного заказа = 600/100 х 10 ф. ст. = 6 х 10 ф. ст. = 60 ф. ст. Следовательно, общая стоимость запасов составляет 3600 + 60 -ь 60 = 3720 ф. ст. (2) А теперь рассмотрим затраты при условии размещения заказов на 200 единиц товара при 4%-ной скидке на цену приобретения.

236

ГЛАВА /

Итак, Стоимость приобретения = годовой спрос х цена приобретения В нашем случае цена приобретения 6 ф ст А О 96 (при 4%-нон скидке) = 5 76 ф ст Следовательно, стоимость приобретения 600 х 5 76 ф ст = 3456 ф ст Расходы на хранение = расходы на хранение единицы товара х средний уровень запасов То есть, расходы на хранение единицы товара = 20% от 5 76 ф ст = 1 152 ф ст (Обратите внимание, что здесь мы берем для расчета цену со скидкой ) И средний уровень запасов 200/2=100 Таким образом, расходы на хране­ ние составляют 1 152 ф ст х 100 = 115 20 ф ст Расходы на подготовку заказов = Количество заказов в год х расходы на подготовку одного заказа = 600/200 х 10 ф ст = 3 х 10 ф ст = 30 ф ст Следовательно, при размере заказа в 200 единиц общая стоимость запасов составляет 3456 + 115 2 + 30 = 3601 20 ф ст (3) Аналогич}1ым образом рассмотрим затраты при размещении заказов от 1000 и более единиц товара при наличии 8%-нои скидки на цену приобретения Имеем Стоимость приобретения = Годовой спрос х Цена приобретения В этом атучае цена приобретения 6 ф ст х О 92 (при 8%-нои скидке) = 5 52 ф ст Итак, годовая стоимость приобретения - 600 х 5 52 ф. ст = 3312 ф ст Расходы на хранение = Расходы на хранение единицы х Средний уровень запасов В зтом случае расходы на хранение единицы товара равны 20% от 5 52 ф ст , или 1 104 ф ст , и средний уровень запасов составляет 1000/2 = 500. Сле­ довательно, расходы на хранение 1 104 ф ст х 500 = 552 ф ст Расходы на подготовку заказов =• количество заказов в год х расходы на подготовку одного заказа = 600/1000 х 10 ф ст = О 6 х 10 ф ст = 6 ф ст Обратите внимание, что в этом случае необходимы в среднем О 6 заказа в год Следовательно, при размере заказа в 1000 единиц общая стоимость запасов 3112 + 552 + 6 =3870 ф ст А теперь сведем полученные значения общих затрат по трем размерам заказов в габлиц\ Размер заказа 100 200 1000

Расходы на Стоимость приобретения хранение 3600 3456 3312

60 115,2 552

Расходы на подготовку заказов 60 30 6

Обш,ие затраты (Ф с т ) 3720,00 3601,00 3870,00

Из таблицы видно, что затраты минимизированы при размещении заказов размером в 200 единиц товара и получении при этом 4%-ной скидки 8%-ная скид­ ка при размещении заказов размером в 1000 единиц и более не имеет смысла чи­ сто с точки зрения затрат Как видно из таблицы, CKitUKa, получаемая при при­ обретении 1000 единиц товара, перевешивается дополнительными расходами на хранение, возникающими при складировании ботьшого количества запасов

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

237

Итак, исходя из затрат, в данном случае рекомендуется приобретать това­ ры партиями по 200 штук в каждой. 7.6. Время выполнения заказа (цикл заказа) В предыдущих разделах мы не учитывали возможных задержек в поставке заказанных товаров. Такая задержка, называемая циклом заказа, есть время между размещением заказа и поставкой заказанных товаров. Знание цикла зака­ за позволяет нам определить наиболее приемлемое время размещения заказов. Рассмотрим, например, ситуацию, когда спрос на товар постоянен и составля­ ет 10 единиц в день, а время исполнения заказа на данный товар составляет три дня. В период исполнения заказа потребность составит 30 единиц. Следова­ тельно, для того чтобы избежать дефицита, на момент размещения заказа за­ пасы должны составлять не менее 30 единиц товара. Этот уровень запасов назы­ вается точкой заказа товара. В принципе, если спрос постоянен и составляет Д а цикл заказа L, тогда уровень, при котором должно произойти размещение заказа для того, чтобы избежать дефицита, составляет: Точка заказа = LD. Точка заказа и цикл заказа приведены на рис. 7.5. Необходимо отметить, что на этом фафике уровень запасов следует той же самой модели, что и в одном из предьщущих примеров. Таким образом, мы можем применить формулу оптимального размера заказа, которой мы пользовались в предьщущих разделах. Знание цикла заказа может повлиять на формулирование политики по разме­ щению заказов. Так, в предьщущих примерах конкретизировалась периодич­ ность размещения заказов, или время между заказами, например: размещать заказ на 30 единиц товара каждые 2 месяца. Как вариант, если мы знаем цикл заказа, то можно точно определить точку заказа, например: размещать заказ на 30 единиц товара тогда, когда уровень запасов составит 12 единиц товара. В этой простой модели, где спрос постоянен, фактические результаты аналогичны. Однако в последующих, более сложных моделях определение политики разме­ щения заказов компании может оказаться значимым при оценке эффективно­ сти мероприятий по управлению запасами.

6

8

Месяцы

Рис. 7.5. Уровень запасов

• Определение. Цикл заказа запасов есть время между размещением заказ получением товара. • • Определение. Точка заказа есть минимальный уровень наличных запасов при котором необходимо разместить новый заказ, чтобы избежать дефицит

238

ГЛАВА 7

7 . 7 . Отсутствие запасов (дефицит) В предьшущих разделах нами было принято допущение, что запасов всегда имеется в наличии в достаточном количестве для удовлетворения спроса. Если запасов недостаточно для удовлетворения спроса, то возникает дефицит. С этой ситуацией можно бороться различными способами в зависимости от конкрет­ ных условий. Так, можно предположить, что в случае дефицита все покупатели будут потеряны: покупатель просто пойдет к другому поставщику и приобретет то, что ему нужно. Понятно, что с учетом этого вероятность возникновения дефицита должна, по возможности, быть сведена к минимуму. Однако может сложиться так, что в силу ряда причин риска возникновения дефицита невоз­ можно избежать. Например, может быть недостаточно складских площадей для хранения запасов, если их создавать, исходя из оптимального размера заказа. Следовательно, размер заказа необходимо соответственно уменьщить, и таким образом дефицит может возникать чаще, чем того хотелось бы. Другой сценарий возникает, когда ухода покупателей удается избежать при наличии дефицита. Так, покупатели, возможно, готовы подождать некоторый не­ продолжительный срок до получения товара, или же их удается убедить подож­ дать, например, обещанием снизить цену. В таких случаях можно и не потерять клиентов, и выполнить невыполненные заказы. На фафике (рис. 7.6) представле­ на ситуация, допускающая дефицит. Из фафика видно, что дефицит возникает через определенные промежутки времени. Дефицит показан как отрицательный уровень запасов в данный период. По получении новой партии происходит удов­ летворение всех невыполненных заказов. Таким образом, максимальное значение уровня запасов меньще значения оптимального размера заказа. ш 80 о га с

—

О

(О

о Дефицит -20 0

2

4 Месяцы

7.6. Уровень запасов при возникновении дефицита Возможно, это именно то положение вещей, к которому компания и стре­ мится. Способность выполнять невыполненные заказы может привести к сокраще­ нию общих затрат компании. Так, что видно из рис. 7.6, средний уровень запасов снижен, что выразилось в снижении расходов на хранение. Однако здесь могут возникнуть дополнительные затраты. Например, на материальные затраты придет­ ся отнести скидки покупателям в качестве компенсации за задержку поставки. К нематериальным затратам можно отнести ухудшение репутации и имиджа вслед­ ствие неспособности немедленно удовлетворить спрос. 7.8. Упражнения: скидки за количество и цикл заказа 1. (I) Фармацевтическая группа «Литлвудз» приобретает каждый год около 3000 упаковок одеколона «Пьюрити». Стоимость приобретения одной упаковки

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

239

составляет 5 ф. ст., а расходы на подготовку заказа — 20 ф. ст. независимо от размера заказа. Расходы на хранение составляют, по оценкам, 5% от средней стоимости запасов в год. (i) Рассчитайте оптимальный размер заказа на данный товар. (ii) Определите точку заказа при условии одномесячного цикла заказа данного товара. (iii) Поставщик «Пьюрити» предлагает следующие скидки при покупке крупных партий товара: а) 5%-ную скидку при заказе 1000 и более упаковок; б) 8%-ную скидку при заказе 2000 и более упаковок. Исходя из затрат, какой размер заказа на данный товар вы бы рекомендо­ вали? 2. (I) Сеть супермаркетов «Бэджер» ежегодно приобретает 60 000 упаковок моющего порощка. Одна упаковка стоит 2 ф. ст., а подготовка одного заказа обходится в 16 ф. ст. Расходы на хранение в среднем составляют 25 ф. ст. на 100 упаковок в год. «Бэджер» применил модель оптимального размера заказа, с тем чтобы определить наиболее приемлемый объем заказа на данный товар. Но поставщик предложил 4% скидку на заказы от 6000 и более упаковок. Следует ли компании принять это предложение? 7.9. Модель размера производственного заказа Б предьщущих примерах мы рассматривали пополнение запасов из внешних источников. При этом товар поступал одной партией, и уровень запасов немед­ ленно увеличивался с нижней точки до требуемого уровня, как это показано на рис. 7.1. На практике в ряде случаев держатель запасов является одновременно и поставщиком. Например, автомобильный завод CMG при сборке использует специально разработанные части кузова, которые там же и производятся. Таким образом, при поступлении заказа начинается изготовление этих частей, и уро­ вень запасов растет постепенно по мере его исполнения. На фафике (рис. 7.7) представлен уровень запасов в данной ситуации, то есть тогда, когда держатель запасов является одновременно и производителем. Вопрос здесь заключается в том, чтобы определить оптимальный размер заказа, или размер производствен­ ного заказа. Из графика видно, что запасы растут по мере выполнения произ­ водственного заказа. В точке, где заказ выполнен, его производство прекраща­ ется. После этого запасы уменьщаются так же, как и в базовой модели опти­ мального размера заказа. На диаграмме представлена идеальная ситуация, когда допускается полное истощение запасов до начала нового производственного цикла по пополнению уровня запасов. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: D — спрос за период времени; Р — цена приобретения единицы продукции; С — затраты по наладке производства; / — коэффициент затратности хранения за период времени; R — норма выработки за период времени. Имея эти переменные, мы можем определить оптимальный размер произ­ водственного заказа по следующей формуле: 2CD Размер производственного заказа ~-\iipl\-j)/jA

или

2CD vjfh-D/jA

240

ГЛАВА 7

Окончание производства

Начало новог цикла производства 6 Месяцы

8

12

Р и с . 7 . 7 . Уровень запасов (размер производственного заказа) В данном случае средний уровень запасов составляет: Средний уровень запасов = у М — ^ Также на практике важно оценить максимальный уровень требуемых запа­ сов. По этой модели, чтобы определить максимальный уровень запасов, необ­ ходимо просто удвоить средний уровень запасов. Следовательно, Максимальный уровень запасов

1 - ^ R

В производственной модели точка заказа требует более тщательного рас­ смотрения. В большинстве случаев точка заказа определяется как DL. Однако если цикл заказа продолжителен и размещение нового заказа должно произой­ ти в течение срока выполнения текущего заказа, то необходимо видоизменить формулу точки заказа. На фафике (рис. 7.8) представлена такого рода ситуация. Из фафика видно, что уровень запасов растет в течение производственного периода, а затем уменьшается до нуля, когда и начинается новый производ­ ственный цикл. Время, через которое начинается новый производственный цикл, таково, что производственный заказ должен быть размещен еще в процессе производства предьшущей партии. Общее время между началом двух циклов производства обозначается как Т и рассчитывается следующим образом: Г = Q/D. Время, необходимое для окончания одного производственного цикла, обо­ значается как г. t = Q/R.

Таким образом, время, когда имеющиеся изделия использованы, а про­ изводство их не ведется, есть Г—f. Если цикл заказа меньше этого значения, то, как мы уже показывали раньше, точка заказа есть DL. Однако если цикл заказа превышает это значение, то точка заказа рассчитывается по формуле {R—D)x [{T—L). Итак, точка заказа определяется следующим образом: Томка заказа = D х L, если L < T—t или Точка заказа = {R—D) х (D—L), если L > T—t. Обратите внимание, что эти формулы предполагают, что нормы выпуска (R) превышают спрос (D). Если спрос превышает норму выпуска, то произве-

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

241

денного всегда будет не хватать для удовлетворения имеющихся потребностей, и придется дополнительно пополнять запасы за счет внешних источников. На данную ситуацию указывают отрицательные значения, полученные по указан­ ной формуле. Далее, если норма выпуска (Я) равна спросу (D), то средний уровень запасов будет равен нулю, что иллюстрирует ситуацию «точно вовре­ мя», о которой мы поговорим позже в этой главе. Окончание производства

f

Точка заказа

ЦиклХзаказа (L) \

'

2

/

'' ~ '

'

\

/

\

нового

N

цикла

. Vr-1

4

\

/Начало

\

\ /

/

6

10

12

Г • * -

Рис. 7.8.

Уровень запасов и время между производственными циклами

На последующих примерах мы покажем, как использовать эти формулы при работе с моделью размера производственного заказа. Пример 1

Рассмотрим проблему управления запасами в компании CMG. Для сборочной линии компании требуется в неделю 10 единиц некоего кузовного щитка. Эти щитки можно производить ежедневно в количестве 3-х штук в день, в течение всей неде­ ли. Затраты на наладку производства данного щитка составляют 1000 долл. США, и затраты на производство единицы продукции составляют 120 долл. В компании оценивают, что годовые расходы на хранение данного изделия составляют 20% стоимости средних запасов. В данную оценку включены расходы на хранение и поддержание изделий в отличном пост-производственном состоянии. Необходимо определить размер производственного заказа, минимизирую­ щий общую стоимость запасов. В этом примере мы имеем: D — годовой спрос: 10 х 52 = 520 (при условии того, что производство равномерно в течение всего года, т. е. 52 недель); Р — стоимость одного щитка — 120 долл. С — затраты на наладку — 1000 долл. / — коэффициент затратности хранения в год = 20% (или 0,2). R — норма выпуска — 3 штуки в день — 21 в неделю: 21 х 52 = 1092 в год. По формуле находим: 2CD Размер производственного заказа = pp^i_o/R) 2x1000x520 = 782728.8 = 287.6. 0:х120х(1-0.4726)

2x1000x520

р.2х120х(1-520/1092)

242

ГЛАВА 7

Итак, округлив полученное значение, мы можем рекомендовать размер про­ изводственного заказа в количестве 290 щитков. В действительности, наверно, лучще определить производственные объемы исходя из заданного количества недель. Так, за 14 недель производство щитков составит 14 х 21 = 294 щтуки. То есть если начальник производства не хочет дробить недели, то в качестве оптимального раз­ мера он может рекомендовать заказ в количестве 294 штуки. Рассмотрим размер производственного заказа в количестве 250 щтук. Для производства такой партии потребуется чуть менее 14 недель. Такого количества щитков будет достаточно для сборки мащин в течение 29 недель. Следователь­ но, в течение первых 14 недель будет осуществляться производство щитков, и одновременно они будут использоваться при сборке. По окончании этого пери­ ода в течение последующих 15 недель производство щитков не требуется, и на линии сборки будут использоваться имеющиеся запасы. В конце этого 29-недельного периода производство следует возобновить для пополнения запасов. Средний уровень запасов рассчитывается следующим образом: Of, D)_2% (, 520) Средний уровень = " у 1 ' ~ " ^ | - ~ ^ ' < | i ~ 7 Q ^ I = 145 х (1 — 0.4762) = 76.0. запасов Таким образом, средний уровень запасов составляет приблизительно 76 щитков. А максимальный уровень запасов этих щитков составляет 76 х 2 = 152 щтуки. Этот максимальный уровень запасов может указывать на то, что такой размер производственного заказа неприемлем. Так, если складские площади таковы, что не могут обеспечить складирование более 100 единиц продукции, то тогда необходимо пересмотреть размер производственного заказа. В данной главе мы далее рассмотрим и другие факторы такого порядка. Пример 2 Рассмотрим вышеприведенный пример, но с учетом дополнительной ин­ формации, касающейся цикла заказа. Время, необходимое для наладки произ­ водства щитков, составляет 4 недели. Это значит, что начальнику производства потребуется четыре недели с даты поступления заявки, прежде чем он сможет приступить к производству заказанных изделий. Таким образом, заказ на про­ изводство новой партии щитков должен поступить за четыре недели до израс­ ходования запасов. За четыре недели будет израсходовано 4 х 10 = 40 щитков. Следовательно, когда уровень запасов достигнет 40 щитков, необходимо сде­ лать заявку на производство новой партии — иначе говоря, разместить заказ. Это можно показать, как точку заказа, равную 40 изделиям. Давайте рассмотрим эту проблему, применив формулу точки заказа, кото­ рую мы представили ранее. Мы знаем, что время между последовательными циклами производства составляет: Т = Q/D = 290/520 = 29/52 года = 29 недель. Далее, время, необходимое для завершения производственного цикла, составляет: г = Q/R=

290/1092 = 0,266 года = 13.8 недель.

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

243

Следовательно, T—t = 29 — 13,8 = 15,2 недели: (Эти значения, при необ­ ходимости, можно выразить в годах.) Далее, мы видим, что Д=4) меньше Т— t. Поэтому точка заказа рассчитывается как DZ, = =10 х 4 = 40. На графике (рис. 7.9) показаны уровень запасов и точка заказа данного изделия. 200

ш О ^ 150 Э

о ш h-

о ш i 100 с; о

Точка заказа Цикл = 20

/

50 Точка заказа Цикл = 4 1

Ж л

-1

. 1

11 Ч 16

—1

21

1

26

—j_V_

31 Ч

1

36

1 —

41

Размещение заявки на производство

I

J

1

46

51

56

Недели

Рис. 7.9. Наличные запасы

В качестве варианта рассмотрим ситуацию, где цикл заказа составляет 20 недель. В этом случае цикл {L) больше, чем T—t, и поэтому мы применим вторую формулу точки заказа: Точка заказа = {R-D){T-L) = (1092 - 520)(29/52 - 20/52). (Обратите внимание, что во всех составляющих формулы необходимо ис­ пользовать одинаковые временные периоды. В нашем случае норма выпуска (R) и спрос (D) даны в единицах в год, и поэтому и временные периоды Т и L должны быть выражены в годах, то есть цикл в 20 недель равен 20/52 года.) Итак, находим точку заказа: (572) х (9/52) = 99. В этом случае заявку на производство новой партии необходимо подать, когда уровень запасов в предьщущем производственном цикле достигнет 99 единиц. То же самое мы видим на рис. 7.9. 7 . 1 0 . Неопределенный спрос

Во многих практических ситуациях спрос на какое-либо изделие вряд ли бу­ дет постоянным, как то мы допускали в предьщущих примерах. В целом, точные потребности в данном товаре будут неопределенными. В этом разделе мы рассмот­ рим ситуации, где спрос соответствует известным распределениям вероятностей. Другими словами, мы рассмотрим ситуации, когда спрос точно не известен, но можно установить его вероятность. Так, в предьщущих примерах мы считали, что спрос постоянен и равен 30 единицам товара в день. То есть если цикл заказа

244

ГЛАВА 7

известен и равен 3 дням, то потребность в течение цикла заказа составляет 90 единиц товара. Потребность в течение цикла заказа является важным фактором, так как это позволяет определить, достаточно ли запасов для того, чтобы не допусгить дефицита. В ситуации неопределенности спрос можно выразить с точки зре­ ния вероятности. Например, спрос в течение цикла заказа соответствует следую­ щему распределению вероятностей: Спрос (количество единиц): Вероятность:

10 0.2

20 0.5

30 0.3

С помощью этого распределения вероятностей мы можем определить веро­ ятность того, что запасы закончатся при данной политике подачи заказов. Так, если заказы размещаются, когда уровень запасов достигает 20 единиц, то при данном распределении спроса существует 30%-ная (0.3) вероятность того, что запасы закончатся до поступления новой партии товара. При решении основных моментов управления запасами необходимо дать ответы на следующие вопросы: — Каков оптимальный размер заказа? — Какова точка заказа? — Каковы затраты? — Какова вероятность того, что можно остаться без запасов? Часто на эти вопросы можно ответить, исходя из первоначальных потреб­ ностей, выраженных с точки зрения вероятности. Так, целесообразно учесть уровень обслуживания, отражающий процент заказов, которые должны быть удовлетворены в течение цикла заказа. Например, если требуемый уровень об­ служивания составляет 95%, то это значит, что мы хотим быть на 95% уверены в том, что спрос в течение цикла заказа будет удовлетворен. Это можно запи­ сать в следующем виде: Уровень обслуживания = В (удовлетворение спроса в течение цикла заказа). Следует отметить, что это имеет отношение к вероятности дефицита: В (удовлетворение спроса в течение цикла заказа) = 1 — .5 (дефицит в течение цикла заказа). Имея заданный уровень обслуживания, можно определить необходимую точку заказа, что делается в зависимости от того, какому из двух общих распре­ делений вероятностей соответствует спрос: однородному или нормальному. Пример 1

(однородное распределение)

Однородное распределение вероятностей — это такое распределение, при котором все значения в пределах заданного диапазона могут наступить с оди­ наковой вероятностью. Рассмотрим, например, ситуацию с компанией CMG, когда спрос на двигатели в течение цикла заказа соответствует следующему однородному распределению вероятностей: Спрос (количество единиц): Вероятность:

5 0,2

6 0,2

7 0,2

8 0,2

9 0,2

Необходимо, чтобы вероятность удовлетворения спроса в течение цикла за­ каза была не менее 90%. Какова должна быть точка заказа при данных условиях?

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

245

В этой задаче фебуемый уровень обслуживания составляет 90%. Это значит, чго вероятность удовлетворения спроса в течение цикла заказа должна быть не менее О 9. Или это можно выразить в следующем виде: В (дефицит в течение цикла заказа) <. 0.1. Теперь нам видно, что в течение цикла заказа вероятность того, что спрос составит 9, равна 0.2. Таким образом, если точка заказа составляет только 8, то вероя1ность дефицита равна 0.2. Это неприемлемо при заданных условиях. Сле­ довательно, точка заказа должна находиться на уровне 9. Это фактически обес­ печит полное удовлетворение спроса, иначе говоря, В (дефицит в течение цик­ ла заказа) равен О, и, следовательно, уровень обслуживания составляет 100%. Пример 2

(нормальное распределение)

Время, которое необходимо фармацевтической группе «Литлвудз» для по­ лучения заказанного лекарства, составляет три дня. Спрос на данное лекарство в течение трехдневного периода представляет собой нормальное распределение со средним, равным 220 г, и среднеквадратическим отклонением, равным 50 г. Какова точка заказа данного лекарства, обеспечивающая вероятность дефицита на уровне менее 2%?

ц = 220

Рис. 7.10. Нормальное распределение спроса.

График на рис. 7.10 показывает распределение спроса в течение цикла заказа. Распределение ~ нормальное, со средним ц. = 220 и среднеквадратичес­ ким отклонениемст= 50 г. На рис. 7.10 показана точка (х), за которой находится голько 2% спроса. Затемненный участок на фафике показывает вероятность (2%) выше значения х. Это значение и есть идеальная точка заказа, так как спрос превысит его только в 2% случаев. По таблице нормального распределе­ ния находим: х-\х _ JC-220

z = ~^~

.50

= 2.05.

Далее путем перестановки получаем х = 2.05 х 50 + 220 = 322.5. Таким образом, при точке заказа в 323 г обеспечивается вероятность дефицита менее 2% Точка заказа является одним из элементов, необходимых для определения оптима^тьной политики подачи заказов на данный товар. Другим необходимым элементом формирования такой политики является оптимальный размер зака­ за, определение которого мы рассмотрим на последующем примере.

246

ГЛАВА 7

Пример 3

(нормальное распределение)

Для получения заказа на процессорные микрочипы 586 производителю компьютеров требуется четыре дня. Стоимость одного чипа составляет 17 ф. ст., а затраты на подготовку заказа оцениваются в 30 ф. ст. в виде административных расходов. Расходы на хранение одного чипа оцениваются в 10 ф. ст. в год из-за необходимости поддерживать температурный режим и идеальную чистоту. Фак­ тическое количество чипов, необходимое компании, непостоянно в каждый из дней, но представляет собой нормальное распределение со средним за четырех­ дневный период, равным 700, и среднеквадратическим отклонением, равным 200 штукам. Производитель хочет определить оптимальный размер заказа данного това­ ра, а также найти точку заказа, обеспечивающую вероятность дефицита на уровне не более 1%. Итак, определяем оптимальный размер заказа, как мы это делали рань­ ше, — исходя из значений спроса, расходов на подготовку заказа, расходов на хранение и цены приобретения единицы товара. В этом примере следует взять среднее значение спроса. Кроме того, стандартный период равен четырем дням. То есть расходы на хранение за год должны быть преобразованы, и только потом полученное значение можно подставить в формулу оптимального разме­ ра заказа. Мы имеем: D — средний спрос за 4 дня — 700; Р — цена приобретения единицы товара — 17 ф. ст.; Н — расходы на хранение за 4 дня: 10 ф. ст. х 4/365 = 0.1096 ф. ст. (считаем, что в среднем в году 365 дней); С — расходы на подготовку заказа — 30 ф. ст. По этим значениям рассчитываем оптимальный размер заказа: Оптимальный размер = yl2CD/H =V2x30x700/0.10959 = 7383246.65 = 619 заказа Следовательно, согласно этому расчету мы можем рекомендовать размер заказа в количестве 620 микрочипов.

ц = 700

Рис. 7 . 1 1 . Повышение спроса на 1%

Следующий вопрос который необходимо решить, — это определить, когда размещать такой заказ. При этом мы будем исходить из того, что требуемая

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

247

вероятность дефицита не должна превышать 1%. Мы знаем, что спрос в течение цикла заказа представляет собой нормальное распределение со средним в 700 и cpeдмeквai^paтичecким отклонением в 200. График на рис. 7.11 показывает это нормальное распределение. На фафике также вьщелен участок в 1% от общей площади. Значение .v, показанное на фафике, и есть точка заказа, обеспечивающа>1 В (дефицит в течение цикла заказа) на уровне не более 0.01 (1%). По таблице нормального распределения находим: х-а х-700 _ - Z =—- = = 2.33 . ст 200 Путем перестановки получаем х = 2.33 х 200 + 700 = 1166. То есть мы делаем вывод, что оптимальная политика подачи заказов есть размещение за­ каза на 620 микрочипов, когда уровень запасов достигает 1166 штук или менее. Эту политику необходимо проводить с осторожностью. Когда мы указыва­ ем уровень запасов как равный 1166, то мы просто в нашем примере имеем в виду наличные запасы. В целом уровень запасов складывается из наличных за­ пасов и задержанных заказов. Это особенно важно тогда, когда, как в данном случае, спрос в течение цикла заказа может превзойти размер заказа. В таких случаях в работе могут оказаться два заказа одновременно.

7.11.

Упражнения: оптимальный размер заказа и вероятностный спрос

1. (Е) Машиностроительной компании требуется 120 узлов в месяц для производства готового изделия. Узлы могут производиться на месте в объеме 200 штук в месяц. Каждый узел стоит 60 долл. США, и, по оценкам, компания тратит 30 долл. в год на хранение 10 узлов. Затраты на наладку каждого нового производственного цикла составляют 220 долл. (i) Определите размер производственного заказа на данный узел. Исходя из этого, какой размер заказа вы бы рекомендовали? (ii) Исходя из этого размера заказа нарисуйте график уровня запасов дан­ ных узлов в течение двух лет. 2. (I) Станции обслуживания AMG необходимо два дня для получения нового завоза дизельного топлива. Спрос в течение двух дней представляет собой нормальное распределение со средним, равным 3000 галлонов, и среднеквадратическим отклонением, равным 800 галлонов. (i) Определите точку заказа данного товара, обеспечивающую вероятность дефицита на уровне не более 2%. (ii) С учетом точки заказа нарисуйте фафик уровня запасов при условии стандартного объема завоза в 6000 галлонов. (iii) Расходы по доставке составляют 50 ф. ст. в виде транспортных расходов независимо от количества завоза. Дизельное топливо обходится в 1.80 ф. ст. за гал­ лон, и, по оценкам, расходы по хранению топлива составляют 12 ф. ст. в день за 1000 галлонов. Определите оптимальный размер заказа данного товара.

7.12. Модель периодической проверки В предьщущих примерах мы рассмотрели ситуацию, когда производился заказ фиксированного количества товара через промежутки времени различной

248

ГЛАВА 7

продолжительности Эти модели предполагают осуществление постоянного кон1роля за уровнем запасов, с тем чтобы по достижении точки заказа немедленно произвесж размещение нового заказа. На практике такой контроль, возможно, будег неосущес1вим' требуется непрерывно проверять запасы, что может по1злемь за собой ненужные расходы и существенные затраты рабочего времени. Далее, если мы работаем с несколькими наименованиями товаров, то может случиться так, что при использовании временных промежутков различной дли­ тельности придется размещать отдельные заказы на отдельные наименования, вмесю тс го чтобы одновременно заказать несколько. Это может потребовать дополнительных усилий административного аппарата, что во многих случаях вряд ли целесообразно, а то и невозможно. В качестве варианта мы рассмотрим модель периодической проверки, когда уровень запасов проверяется через установленные промежутки времени, и тогда же производится размещение заказа на требуемое количество товаров. То есть те­ перь мы можем провести различие между двумя моделями управления запасами: • Непрерывная проверка — фиксированный размер заказа, различные вре­ менные промежутки между заказами. • Периодическая проверка — переменный размер заказа, фиксированные промежутки времени между заказами. Когда мы применяем модель периодической проверки, то необходимо дать ответы на следующие вопросы: — Каков промежуток времени между заказами? — Каков должен быть размер заказа? — Какова вероятность дефицита? — Каковы связанные с этим затраты? Как и в слу^ше с моделью непрерывной проверки, которую мы уже рас­ смотрели, выщеперечисленные факторы взаимосвязаны. Так, если мы знаем конкретный промежуток времени между заказами и требуемый уровень обслу­ живания (или вероятность удовлетворения спроса), тогда мы можем рассчитать размер заказа для данной ситуации. Последующие примеры предполагают знание распределения спроса. В общем виде, если переменная X распределена со средним ц и среднеквадратическим отклонением ст, тогда любое кратное этой переменной, например аХ, будет рас­ пределено со средним а|1 и среднеквадратическим отклонением Vacr. Так, напри­ мер, если ежедневный спрос на товар имеет среднюю, равную 340 единицам товара, и среднеквадратическое отклонение, равное 50 единицам товара, то спрос за двухдневный период будет распределен со средним ц = 2 х 340 = 680 и сред­ неквадратическим отклонением ст = 2 х 50 = 70.7. Пример 1 Рассмотрим вопрос формирования политики подачи заказов компании «Литлвудз», который мы уже затрагивали ранее. Мы проанализировали следую­ щую информацию, связанную с запасами некоего лекарственного препарата: цикл заказа — 3 дня; спрос в течение цикла заказа нормально распределен со средним, равным 220 г, и среднеквадратическим отклонением, равным 50 г; требуемый уровень обслуживания — 98% (т. е. вероятность дефицита < 2%).

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

249

Предположим, что уровень запасов проверяется каждые шесть дней. Нам необходимо принять решение, какое количество товара заказать в зависимости от того, каким окажется уровень запасов. Рассмотрим, например, ситуацию, когда в ходе какой-либо проверки было установлено, что уровень запасов со­ ставляет 400 г лекарства. Необходимо заказать достаточное количество лекарства, с тем чтобы хватило запасов для покрытия спроса в течение следуюших девяти дней. Это объясняет­ ся тем, что количества должно хватить не только до следующего периода про­ верки, но и в течение того времени, которое необходимо для получения сле­ дующего заказа. Следующий период проверки будет через шесть дней, а следу­ ющий заказ поступит через три дня после этого. Уровень запасов, необходимый для покрытия периода проверки и цикла заказа, называется уровнем пополне­ ния запасов. График на рис. 7.12 показывает уровень запасов в течение двух периодов проверки. Обратите внимание, что первый заказ должен быть доста­ точен, пока не поступит второй заказ, что произойдет на 9-й день. Итак, в среднем спрос на это лекарство в течение 3-х дней составляет 220 г. Следовательно, в среднем спрос за 9 дней составит 220 х 9/3 = 660 г. То есть уровень пополнения запасов составляет 660 г. Так как у нас остается 400 г, то нам необходимо заказать только 260 г с тем, чтобы удовлетворить средний спрос. Однако такой подход к подаче заявок представляется неудовлетворитель­ ным, так как в этом случае мы сможем удовлетворить только 50% заявок. Это объясняется тем, что при нормальном распределении существует 50%-ная ве­ роятность получения значения выше среднего. При требуемом уровне обслужи­ вания в 98% в этом случае необходимо пересмотреть размер заказа. Мы знаем, что спрос за три дня нормально распределен со средним, равным 220 г, и среднеквадратическим отклонением, равным 50 г.

Уровень пополнения

О

о Я5 с « п

Заказ (Q)

л

I Ш ш

о

>а.

Период проверки •*

•

Дни

Рис. 7.12. Периодическая проверка — размер заказа

ГЛАВА 7

250

Следовательно, спрос за девять дней нормально распределен со средним ц = 220 X 9/3 = 660 г и среднеквадратическим отклонением ст = 50 х .^9/3 = 50 х X 1.732 = 86.6. График на рис. 7.13 показывает необходимый уровень пополнения запасов, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания. Значение (/?), указанное на фафике, можно получить по таблице нормального распределения: <: =

а

~ 86.6

2.05.

Далее, путем перестановки получаем: R = 2.05 X 86.6 + 660 = 837.5.

Рис. 7.13. Уровень пополнения запасов Округлив полученное значение, находим, что уровень пополнения запасов составляет 838 г. Так как мы уже имеем 400 г в запасах, то дополнительно нам требуется заказать только 438 г. Такое количество обеспечит вероятность дефи­ цита в течение указанного периода на уровне менее 2%. На практике размеша­ ется приемлемый размер заказа, т. е. 400 или 500 г. А теперь попробуйте самостоятельно определить уровень пополнения, если требуемый уровень обслуживания составляет 99%.

7.13. Упражнения: модель периодической проверки 1. (I) На табачной фабрике дневная потребность в табачном листе пред­ ставляет собой однообразное распределение (см. таблицу ниже): Потребность (тонн): 12 13 14 15 16 17 18 19 Вероятность: 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 (i) Если табачный лист можно приобрести у местного оптовика при цикле заказа в один день, а запасы проверяются в конце каждого дня, то каков уровень пополнения, обеспечивающий уровень обслуживания не менее 98%? (ii) Если запасы проверяются каждые два дня, то как это отразится на уровне пополнения? (iii) При условии, что цикл заказа составляет 2 дня, пересчитайте уровень пополнения исходя из того, что периодические проверки проводятся каждые два дня.

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

251

(iv) Было установлено, что потребность представляет собой не однород­ ное, а нормальное распределение со средним за день в 15.5 тонны и среднеквадратическим отклонением в 2 тонны. Пересчитайте на этой основе уровень пополнения, полученный в пп. (i)—(iii). 2. (D) «Адамс-Кимбер (АК) Лтд» поставляет широкий набор дверей и дверных приспособлений. Известно, что недельная потребность в люксовых при­ способлениях в сборе с бронзовой ручкой представляет собой нормальное рас­ пределение со средним в 38 и среднеквадратическим отклонением в 8. «АК Лтд» получает эти приспособления от местного поставщика, цикл заказа составляет 5 дней. В «АК Лтд» уровень запасов данного изделия проверяется каждые две недели. (i) Если «АК Лтд» хочет обеспечить уровень обслуживания не менее 96%, то каков необходимый уровень пополнения? (ii) Если поставщика удастся убедить снизить продолжительность цикла заказа до трех дней, то как это отразится на уровне пополнения? Если при проверке установлено, что уровень запасов составляет 20 приспособлений, то какое их количество вы бы порекомендовали заказать? (iii) Стоимость приспособления составляет 24 ф. ст., расходы по хране­ нию — 10% в год. Если оформление одного заказа обходится «АК Лтд» в 20 ф. ст. в виде административных расходов, то каков оптимальный размер заказа данного товара? Прокомментируйте расхождение между этим значением и раз­ мером заказа, рекомендованным в п. (ii). Почему эти два значения различны? 7.14. Другие модели управления запасами Модели управления запасами, которые мы представили в этой главе, ос­ новываются на допущениях относительно необходимого уровня запасов и веро­ ятного спроса на какой-то единичный товар. Эти модели предназначены глав­ ным образом для управления «готовыми изделиями», т. е. товарами, которые напрямую реализуются покупателям или клиентам. Последние разработки и методы управления запасами нацелены на анализ более сложных ситуаций, о чем мы и поговорим далее. Планирование потребностей в материалах Методы планирования потребностей в материалах можно использовать при производстве товаров, проходящих в своем изготовлении несколько этапов. При использовании метода планирования потребностей в материалах анализируются уровни запасов и сырья, далее, единичных компонентов и узлов, а также го­ товых изделий. В принципе, если известен спрос на готовое изделие, то можно достаточно точно спрогнозировать и связанные с его производством потребно­ сти. Так, если «CMG» получает заказ на изготовление конкретной модели спортивного автомобиля по спецификации заказчика, то можно установить точные потребности в компонентах, например кузовных частях, что определяет потребности в сырье, например типе применяемой стали и краски. Управление запасами, когда потребность в одном изделии зависит от потребности в изде­ лии более высокого порядка и задействуются все соответствующие связи, мож­ но осуществлять с помощью планирования потребностей в материалах. С помо­ щью этого метода в производственном графике предприятия определяются потребности в запасах различных компонентов. Фактический заказ этих компо-

252

ГЛАВА 7

нентов может рассчитываться различными методами, в том числе методами периодической проверки и оптимального размера заказа. Однако при этом ме­ тод планирования потребностей в материалах учитывает еще и время размеще­ ния таких заказов исходя из спроса на готовые изделия. Рассмотрим производственную компанию «Адамс-Кимбер Лтд», располо­ женную в Барнсли (Англия). Эта компания выпускает двери и дверные приспо­ собления для предприятий строительной отрасли и частных лиц. Так, компа­ ния, в частности, выпускает дверные ручки, замки, нажимные пластины и шарниры. Они выпускаются в различных спецификациях, при этом в качестве материалов используются алюминий, сталь, нержавеющая сталь и бронза. Ди­ аграмма на рис. 7.14 показывает потребности в изделиях, вызванные получени­ ем заказа на дверную ручку в сборе, далее именуемую ДРС. Как видно из диаграммы, заказ на определенную ДРС порождает потребности в иерархичес­ ки расположенных изделиях. Чтобы выпустить данное изделие, некоторые ком­ поненты потребуются немедленно, тогда как другие понадобятся позднее в процессе завершения сборки. Таким образом, спрос на готовое изделие не только вызывает потребность в компонентах, но и определяет время, когда каждый из этих компонентов потребуется. Вот эти идеи и лежат в основе планирования потребностей в материалах. Для использования метода планирования потребностей в материалах необ­ ходима сложная информационная система, увязывающая отдельные изделия и готовый товар. Такая система автоматически формирует заявки на определен­ ные изделия исходя из спроса на готовый товар. ДРС 1

1

Замок в Сборе

Собственно ручка в сборе

_L

1 1 Пластины и накладки

Шарниры и насадки

1

•

•

1

Ручки (2)

Шпиндель (1)

Крышки (2)

Защелки (2)1

Рис. 7.14. Иерархия запасов компании «Адамс-Кимбер Лтд» Методы «точно вовремя»

Метод «точно вовремя» при управлении запасами основывается на устра­ нении любых ненужных запасов. Согласно ему, в любой данный момент време­ ни не должно быть свободных наличных запасов. В конкретный момент должны быть в наличии только те запасы, которые необходимы для завершения изго­ товления данного изделия. Если производителю удается достичь идеала, то есть нулевых запасов, или близко подойти к этому, то тогда можно добиться суще­ ственной экономии за счет стоимости запасов. Так, чем меньше запасы, тем меньше затраты на хранение и непроизводительные расходы и тем больше кассовая прибыль. Одной из известных разновидностей этого метода является так называемая система «Канбан», внедренная «Тойотой» в 80-е годы. При этой системе произ­ водство компонента начинается тогда, когда он требуется в следующей точке

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

253

линии сборки. Система охватывает весь процесс производства: от обработки сырья и изготовления компонентов вплоть до выпуска готовой продукции. Производство или сборка идет вниз по цепочке, при этом весь процесс производства координируется от начала до конца, и не остается большого ко­ личества неиспользованных запасов. Система «Канбан» включает в себе три основные элемента управления запасами: Контейнеры. В них находится определенное количество частей, использу­ емых на следующем этапе производства. Фактическое количество частей соот­ ветствует размеру заказа, рассчитываемому по простым методам управления запасами. Карточки движения. Карточки (или «канбаны») используются в качестве разрешительного документа на передвижение контейнеров из одной производ­ ственной точки в другую. По ним определяется количество контейнеров, а также их место на производственной линии. Производственные карточки. Используются в качестве разрешительного до­ кумента на производство контейнера с частями (или узлами). Сочетание контейнеров, производственных карточек и карточек движения позволяет наиболее эффективно использовать запасы, что обеспечивает сниже­ ние уровня запасов до минимума. Следует отметить, что для того, чтобы методы «точно вовремя» срабатывали в приемлемой форме, необходимо плотно интег­ рировать всех внешних поставщиков в производственную цепь. Система обеспе­ чивает наличие сырья и других изделий тогда, когда это необходимо. При этом предполагается, что поставщики смогут обеспечить быстрые сро­ ки поставки при стопроцентном качестве.

7.15. Практические вопросы Модели, представленные в этой главе, позволят практику в вопросах уп­ равления запасами увидеть изнутри различные проблемы и возможные вариан­ ты их решения в том, что касается управления запасами и разработки эффек­ тивной политики подачи заказов. Однако следует подчеркнуть, что во многих случаях эти варианты являются в лучшем случае лишь первым шагом на пути к оптимальному решению. Часто разработка политики подачи заказов по опи­ санным нами методам должна вестись в свете практического опыта. Сложность большинства реальных жизненных ситуаций определяет практически стопро­ центную необходимость внесения различных поправок прежде, чем будет полу­ чено практическое оптимальное решение. Например, модели оптимального раз­ мера заказа и периодической проверки основываются на исходных допущени­ ях, которые зачастую слишком упрощены. В частности, могут увести в сторону допущения, касающиеся постоянного или вероятностного спроса. Далее мы вкратце укажем на те многочисленные факторы, которые влияют на пригод­ ность методов управления запасами, описанными в этой главе. Анализ спроса. Модели предполагают, что спрос постоянен или выражен с точки зрения вероятности. Практическая ситуация может оказаться гораздо более сложной. Например, спрос может складываться из крупных заказов от постоянных клиентов и отдельных заказов от других покупателей. Так, у «АК Лтд», производителя дверных приспособлений, имеется ряд покупателей. Зака­ зы поступают на крупные партии достаточно регулярно от сети розничных .магазинов «Дий», хотя их невозможно полностью спрогнозировать. Другие,

254

ГЛАВА 7

небольшие заказы поступают от частных лиц или мелких торговцев. Их спрог­ нозировать вообще невозможно, хотя на их долю приходится более 30% от общего числа заказов, поступающих в адрес «АК Лтд». Далее, часто спрос на отдельные товары подвержен сезонным колебаниям. Так, объем продаж спортивных автомобилей канадской компании CMG вес­ ной выще, как и летом, а вот зимой отмечается малая активность. Объем про­ даж некоторых лекарств, в частности против астмы и сенной лихорадки, также имеет тенденцию к росту в летние месяцы. Очевидно, что при выработке поли­ тики подачи заказов необходимо учитывать наличие сезонного фактора. Контроль за уровнем запасов. Контроль за использованием запасов и от­ слеживание количества наличных запасов являются важными аспектами управ­ ления запасами. Так, эти моменты ключевые при использовании модели пери­ одической проверки, где уровень запасов в данный момент времени определяет размер заказа. На практике крайне сложно получить точную, актуальную ин­ формацию по состоянию запасов. Использование компьютеризированных систем управления запасами и подачи заказов облегчило эту задачу, но и это не решает всех проблем. Так, ни одна система не может отследить несанкцио­ нированное использование запасов, например в случае воровства или незареги­ стрированных хищений. В лучшем случае делается оценка таких дополнительных потерь. Отсюда следует, что периодически необходимо сверять текущие запасы, что и делается в ходе инвентаризации, и таким образом уточняются официаль­ ные данные по запасам. Во многих случаях инвентаризация будет проводиться только раз или два в году. То есть важно осознать, что большую часть времени учетные данные по запасам могут быть неточными, и поэтому необходимо создать в системе достаточный резерв для того, чтобы можно было перекрыть последствия несанкционированного использования. Практические размеры партий. Во многих ситуациях не всегда представля­ ется возможным заказать именно такое количество товара, которое нам хоте­ лось бы. Например, некоторые товары могут быть отпущены только в опреде­ ленном количестве. Фармацевтическая компания «Литлвудз», к примеру, при­ обретает некоторые лекарства в жидкой форме в двухлитровых (2000 мл) бу­ тылках. То есть если по расчетам оптимальный размер партии данного товара составляет 2740 мл, то тогда необходимо округлить это значение до 4000 мл или до 2000 мл, со всеми вытекающими отсюда возможными изменениями в расходах на хранение, периодичности размещения заказов и общей стоимости запасов. Аналогично, станция обслуживания AMG получает топливо для про­ дажи покупателям партией на бензовоз. Бензовоз вмещает максимум 8000 гал­ лонов, и поэтому, если по расчетам оптимальный размер заказа составляет 12 000 галлонов, то такое количество может оказаться неприемлемым. Срок годности при хранении. Это важная характеристика, учитываемая при определении уровня запасов. Так, многие лекарства, складированные в аптеках «Литлвудз», имеют короткий срок годности хранения. То есть общий уровень запасов в любой момент времени не должен превышать количества, необходи­ мого в течение срока годности товара. Рассмотрим хранение хлеба в крупном магазине. Хлеб необходимо употребить в течение 5 дней, а текущий спрос на него составляет 1000 булок в день. Следовательно, максимальный уровень запа­ сов данного товара должен быть не более 5000 булок. На практике же уровень запасов товара может быть значительно ниже этой цифры. Однако если взять формулу оптимального размера заказа, то можно получить, что по отношению собственно к затратам оптимальное количество равно 6000 булок. Для опреде-

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

255

ления реальной стоимости запасов данного товара также необходимо учесть и другие факторы, в частности потери. Цикл заказа. В большинстве примеров в данной главе содержится допуще­ ние о том, что время получения заказа фиксировано. На практике это обычно переменная величина. Поставщики могут обещать обеспечить поставку товара в течение определенного срока. Однако даже в этом случае могут возникнуть трудности с прогнозированием цикла заказа по причине непредвиденных об­ стоятельств, скажем, плохих погодных условий, забастовок, транспортных про­ блем. В любой используемой модели необходимо учесть изменчивость цикла заказа. Возможно, это можно совместить с изменчивостью спроса в моделях, которые мы рассмотрели ранее. Так, в ряде примеров в данной главе мы рас­ сматривали спрос в течение цикла заказа. Если и спрос и цикл заказа подвер­ жены изменениям, то их можно представить одной переменной, как «Спрос в течение цикла заказа», которую можно дальше анализировать с применением уже описанных нами методов. Так, если спрос в течение цикла заказа окажется нормально распределен, то можно проанализировать вероятный уровень обслу­ живания при определенной политике подачи заказов. Складские моищости. Очевидно, что при решении вопроса о том, какое количество данного товара заказывать, необходимо учесть такой фактор, как имеющиеся складские мощности. Обычно размер заказа не может превышать имеющиеся складские мощности. Исключением из этого правила является ис­ пользование планового дефицита как части стратегии управления запасами. Так, при поступлении партии выполняются сначала неудовлетворенные заявки по­ купателей, а затем остаток складируется. Например, магазин, реализующий телевизоры в розницу, может также до определенной степени пользоваться аналогичным методом. Покупатели могут быть согласны подождать день или два до получения своего товара. В таком случае поставщикам может быть дан заказ на прямую поставку покупателю. И наоборот, там, где дефицит недопустим, складские мощности определяют максимальную планку размера заказа. Яркий пример тому — ситуация со станцией обслуживания, продающей топливо сво­ им клиентам. Станция обслуживания AMG имеет емкости для хранения 5000 галлонов этилированного топлива. Таким образом, это автоматически офаничивает размер заказа данного товара. Взаимосвязанные товары. Системы управления запасами, описанные в этой главе, затрагивали только одноименные товары. На практике компании, вполне возможно, придется приобретать несколько товаров у одного поставщика. Поэто­ му более эффективно включить несколько товаров в один заказ поставщику. Сле­ довательно, периодичность заказа таких товаров должна совпадать, и ее нельзя рассматривать в отдельности для каждого товара. Далее, как мы уже говорили при­ менительно к системам планирования потребностей в материалах «точно вовре­ мя», потребности во многих изделиях, особенно на производстве, взаимосвязаны. Так, потребность покупателя в готовом изделии породит цепь потребностей в уз­ лах, компонентах и сырье. В такой ситуации расчет оптимального размера заказа и размера производственного заказа по одноименным товарам становится бессмыс­ ленным, и следует учитывать соотношение между товарами. Затраты. Во многих случаях нельзя точно определить цену за единицу данного товара. Помимо скидок при покупке крупных партий, о чем мы гово­ рили ранее, могут появиться и другие факторы, которые оказывают воздей­ ствие на цену за единицу товара. Сюда относятся дополнительные стимулы, предлагаемые поставщиками, например бесплатная перевозка/доставка, отсрочка

256

ГЛАВА 7

платежей и скидки на «наборы» нескольких изделий. Далее, на оценку общей стоимости, особенно товаров с длительными сроками поставки или хранения, могут повлиять инфляционные процессы, что также необходимо учитывать. Другие затраты, которые мы учитывали при рассмотрении первых моделей управления запасами, — это расходы на подготовку заказа и хранение запасов. На практике такие затраты трудно оценить, и они Moiyr меняться по мере изменения стратегии размещения заказов. Так, во многих простых моделях за­ ложены постоянные затраты на размещение заказа на партию товара. На прак­ тике же затраты в целом могут состоять из постоянных и переменных затрат. Административные расходы могут быть постоянны независимо от размера зака­ за, но стоимость упаковки и поставки, вероятно, возрастет при увеличении размера заказа. Точно так же расходы на хранение будут состоять из постоянных и переменных затрат. Например, расходы по аренде, освещению, обофеву и укомплектованию складского помещения могут оставаться относительно посто­ янными независимо от количества товаров на складе. В противоположность это­ му другие расходы на хранение, например амортизационные расходы и эксп­ луатационные расходы, будут зависеть от уровня запасов на складе.

7.16. Краткое содержание главы В этой главе мы представили ряд методов управления запасами, которые должны были ответить на следующие практические вопросы: — Какое количество товара необходимо заказывать? — Когда следует размещать заказ? — Каковы затраты? — Каков риск возникновения дефицита? Мы описали некоторые важные модели управления запасами, в частности модель оптимального размера заказа, основанную на учете постоянного спроса (D), фиксированной цены за единицу товара (F), расходов на хранение (//), которые иногда дают как процент (/) от стоимости запасов, а также расходов на подготовку заказа (С). С помощью этой модели рассчитывается оптимальный размер заказа, минимизирующий расходы на подготовку заказа и хранение запасов. При этом применяется следующая формула: 12CD jlCD Оптимальный размер —•d~7j~ или J ~ T ^ В этом случае средний уровень запасов составляет Q/2, а периодичность размещения заказов — D/Q. Знание цикла заказа (L), т. е. времени, необходимо­ го для получения заказа, позволяет найти точку заказа. Модель размера производственного заказа исходит из тех же посылок, что и модель оптимального размера заказа, но дополнительно к этому пользователь является также и производителем с известной нормой выпуска (/?). В этом слу­ чае оптимальный размер производственного заказа рассчитывается по следую­ щей формуле: 2CD Размер производственного заказа ( 0 = 1^.^ -^

или

2CD 1 .^.^_

.•

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

257

С помощью этой модели находим, что Средний уровень запасов = ^ [ • — ^ Если спрос выражен с точки зрения вероятности, то важно учесть следую­ щий фактор: Уровень обслуживания = В (удовлетворение спроса в течение цикла заказа) + (1 — В) (дефицит в течение цикла заказа). Далее можно определить точку заказа, обеспечивающую фебуемый уро­ вень обслуживания. Еще одной важной моделью управления запасами является модель перио­ дической проверки. В этом случае запасы проверяются через определенные ин­ тервалы времени, и, исходя из имеющегося уровня запасов, производится раз­ мещение заказа соответствующего объема. В этом слуше, если спрос выражен с точки зрения вероятности, а также нам известен требуемый уровень обслужи­ вания, мы можем определить размер заказа относительно уровня пополнения запасов, который является тем уровнем запасов, что необходим для покрытия спроса в течение промежутка времени между проверками и в течение срока исполнения заказа. Следует подчеркнуть, что эти модели рассматривают вопросы размера за­ каза, периодичности размещения заказов и уровней обслуживания в основном с точки зрения вероятности и финансовой стороны дела. Но на практике есть и другие факторы, которые влияют на формирование оптимальных стратегий размещения заказов, в частности, сюда относятся: срок годности товара при хранении, складские мощности, изменчивость рынка и соотношение между отдельными наименованиями товаров. Мы также рассмотрели новые методы управления запасами, в частности модели планирования потребностей в мате­ риалах «точно вовремя» 7.17. Дополнительные упражнения 1. (Е) При условии, что спрос на товар постоянен, найдите оптимальный размер заказа и общую годовую стоимость запасов исходя из следующих дан­ ных: (i) Спрос — 330 в месяц, расходы на подготовку заказа — 30 ф. ст. за заказ, расходы на хранение запасов — 10 ф. ст. на единицу в год, цена за единицу — 150 ф. ст. (И) Спрос — 200 в неделю, расходы на подготовку заказа — 25 ф. ст. за заказ, расходы на хранение — 10% средней стоимости запасов в год, цена за единицу — 36 ф. ст. (iii) Спрос — 400 в день, расходы на подготовку заказа — 50 ф. ст. за заказ, расходы на хранение — 45 ф. ст. на 100 единиц в месяц (30 дней), цена за единицу — 99 ф. ст. 2. (I) Если в задании один держатель запасов является также и производи­ телем, то рассчитайте размер производственного заказа по каждому наимено­ ванию товара, учитывая при этом, что норма выпуска составляет: (i) 1000 в месяц; (ii) 15000 в год (при условии производства в течение 52 недель в году);

258

ГЛАВА 7

(iii) 5000 в неделю (при условии производства в течение 7 дней в неделю). 3. (I) Магазин «Томас-Матеус» (Т-М) имеет запасы телевизоров, аудио- и видеотехники, а также компьютеров. Новый компьютер обходится Т-М в 1100 долл. США. Ежегодные расходы на хранение оцениваются в 8% от стоимо­ сти запасов. Расходы на подготовку заказа составляют приблизительно 65 долл. за заказ, а ожидаемый спрос составляет 40 компьютеров в месяц. (i) Найдите оптимальный размер заказа и рассчитайте связанные с этим ежегодные затраты на хранение. (ii) Если складские помещения позволяют хранить только максимум 50 компьютеров, то как это отразится на общих ежегодных затратах? (iii) Поставщик компьютеров предложил Т-М 5%-ную скидку при покуп­ ке не менее 250 компьютеров. При условии, что со складскими помещениями все нормально, порекомендуете ли вы Т-М воспользоваться этой скидкой? (iv) Если цикл заказа составляет два месяца, то какова точка заказа с учетом оптимального размера заказа? 4. (I) Местный гипермаркет продает в среднем 1200 пинт молока в день. Спрос нормально распределен со среднеквадратическим отклонением в 300 пинт в день. По оценкам, 5% данного товара теряется в день по причине нару­ шения упаковки и порчи. Расходы на подготовку заказа составляют 20 ф. ст. за заказ, а каждая пинта обходится гипермаркету в 0.25 ф. ст. (i) Найдите оптимальный размер заказа на данный товар. Какой размер заказа вы порекомендуете исходя из полученных результатов? При таком раз­ мере заказа какова точка заказа, обеспечивающая уровень обслуживания в 95% с учетом того, что цикл заказа составляет один день? (ii) Уровень запасов проверяется в начале каждого дня, и затем размеща­ ется заказ на соответствующее количество товара, который поступает днем позже. Найдите уровень пополнения, обеспечивающий по крайней мере 95%ный уровень удовлетворения потребностей покупателей. (iii) При условии, что срок хранения данного товара составляет 2 дня, после чего он должен быть снят с продажи и отправлен на свалку, является ли, по ващему мнению, уровень пополнения, рассчитанный в задании (ii), разум­ ным? При условии, что при данной проверке запасы составили 1500 пинт молока, сколько пинт вы бы заказали для следующего дня? Какова вероятность того, что запасы, имеющиеся сегодня, останутся нераспроданными и завтра? (iv) Если цикл заказа составляет 2 дня, а запасы проверяются также каж­ дые 2 дня, то какой уровень пополнения обеспечивает 95%-ный уровень обслу­ живания? 5. (D) Сеть детских магазинов «Тойз-Ю-Р» продает оригинальные детские домики стоимостью 345 долл. По оценкам, недельный спрос на этот товар нормально распределен со средним в 130 единиц и среднеквадратическим от­ клонением в 40 единиц. Расходы на подготовку заказа составляют 95 долл. за заказ, а коэффициент затратности хранения — 13% от средней стоимости за­ пасов в год. (i) Найдите оптимальный размер заказа и общие годовые затраты на этот товар. (ii) Если цикл заказа составляет 6 недель, то какая точка заказа обеспе­ чивает уровень обслуживания не менее 90%? (iii) Компания «Тойз-Ю-Р» хочет изменить порядок размещения заказов, и при этом рассматривается модель периодической проверки. Если запасы иг­ рушечных домиков проверять каждые 8 недель и цикл заказа составляет 6 не-

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

259

дель, то какой уровень пополнения запасов необходим для того, чтобы обеспе­ чить такой же уровень обслуживания, что и в задании (ii)? (iv) Если запасы проверять каждые четыре недели, то как это отразится на вашем ответе по заданию (iii)? 6. (I) «Адамс-Кимбер (А-К) Лтд» производит различные дверные приспо­ собления. Спрос на некое дверное приспособление постоянен и составляет 2000 в год. Это приспособление состоит из нескольких компонентов, которые про­ изводятся на месте. Так, А-К может производить оригинальную дверную плас­ тину, входящую в состав приспособления, в объеме 50 штук в день. В году 300 производственных дней. Стоимость пластины составляет 3.50 ф. ст., а расходы на хранение — 17% от стоимости запасов в год. Затраты на наладку нового производства составляют 320 ф. ст. (i) Определите размер производственного заказа, который минимизирует затраты компании. (ii) Какова продолжительность выпуска дверной пластины, и какой раз­ рыв имеется между двумя последовательными производственными периодами? (iii) Если для того, чтобы начать новый производственный период, необ­ ходимы две недели, то каков уровень запасов, при котором следует заказать производство этих изделий? 7. (D) Компания по производству автомобилей CMG использует стандар­ тную коробку передач на всех моделях спортивных машин. Спрос на автомоби­ ли от CMG постоянен и составляет 70 машин в месяц. Коробка передач стоит 295 долл. США, и при ее хранении амортизационные расходы составляют 25% в год. Каждый новый заказ зарубежному поставщику обходится в 400 долл. независимо от размера заказа. (i) В настоящее время компания регулярно заказывает коробки передач в количестве, которого хватает на два месяца. Оцените затраты CMG за год. (ii) Сравните эти затраты с затратами, которые компания несла бы, если бы размещала заказы в оптимальном объеме. (iii) Если новый поставщик предложит CMG тот же самый товар по цене 300 долл. при расходах на подготовку заказа только в сумме 50 долл., будет ли такое предложение эффективным с точки зрения затрат? (iv) Если CMG не поменяет поставщика, а последний предложит 3%-ную скидку на приобретение не менее 200 коробок передал, порекомендуете ли вы воспользоваться таким предложением?

Глава 8

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВЫ

> Формулирование задачи линейного программирования > Графическое решение > Краткое описание фафических методов > Максимизация и минимизация > Особые случаи > Симплексный метод: максимизация с офаничениями со знаком < > Симплексный метод: минимизация с офаничениями со знаком > > Транспортная задача > Несбалансированная транспортная задача > Задача максимизации > Интерпретация результатов: вопросы управления ЦЕЛИ > уяснить использование методов линейного профаммирования при опти­ мизации > научиться формулировать объективную функцию и офаничения по ус­ ловиям задачи > научиться применять графические и симплексные методы при решении задач линейного профаммирования > научиться применять соответствующие методы при решении транспорт­ ных задач > уметь интерпретировать полученные результаты и уяснить недостатки описанных методов Введение Применение методов линейного профаммирования позволяет руководителю решать различные задачи оптимизации в условиях офаничения. Например, руко­ водитель производства принимает решения относительно норм выпуска ряда го­ товых изделий, с тем чтобы максимизировать прибыль компании. Такие нормы зависят от различных условий, в частности, от наличия ресурсов и покупательс-

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

261

кою спроса Тому же самому руководителю, возможно, также придется решать задачу распределения конкретных заданий между работниками, что зависит от ограничений по их числу, опыту и продолжительности рабочего времени, направ­ ленных на минимизацию затрат Далее, исследователю рынка, возможно, потре­ буется решать задачу выбора способа сбора информации в кратчайшие сроки. Ре­ шения таких задач — например, типа следующих- сколько опросов провести, сколь­ ко анкет отослать, будут зависеть от условий требуемой точности результатов, на­ личия времени и сотрудников Кроме того, начальнику сбыта крупного снабжен­ ческого предприятия придется принимать решения по наиболее эффективному способу доставки товаров в ценфы сбыта, с тем чтобы минимизировать затраты в зависимости от надичия товаров и потребностей в них Ситуации такого рода, требующие максимизации или минимизации задан­ ною линейного выражения зависимости от различных линейных Офаничений, или сдержек, могут быть разрешены с помощью линейного программирования В данной 1лаве представлены базовые приемы решения задач линейною про­ граммирования с помощью графических и других анадитических средств.

и . Конкретный пример

Компания по производству холодильного « оборудования «Стенлюкс»

«Стенлюкс» — многонационадьная производственно-сбытовая компания с головной конторой в Стокгольме, Швеция Компания производит различное хо­ лодильное оборудование — от небольших домашних холодильников и морозиль­ ников до крупных коммерческих холодильных установок для предприятий опто­ вой и розничной торговли, в последнее время «Стенлюкс» начада поставлять на европейский рынок оборудование по кондиционированию воздуха. Производство разбито по трем направлениям: бытовая техника, техника для коммерческих целей и оборудование по кондиционированию воздуха. Каж­ дые шесть месяцев Ральф Стернберг, руководитель производства бытовой тех­ ники, с помощью сотрудников отдела материально-технического обеспечения выверяет производственный фафик компании Затраты на наладку, связанные с переходом на выпуск новой продукции, высоки, и поэтому необходимо тщательно спланировать ассортимент продукции На производстве бытовой тех­ ники заняты шесть производственно-трудовых коллективов, каждый из кото­ рых, при необходимости, может производить отдельный вид продукции. Ис­ пользование линейного программирования предоставляет Радьфу Стернбергу важный объективный инструмент принятия правильных решений — исходя из Офаничений по рабочему времени, наличию сырья, спроса на товар и кадендарного плана зафузки станков и одновременной максимизации прибыли под­ разделения компании. Компания «Стенклюкс» располагает рядом сбытовых цен­ тров по всей Европе, в том числе в таких крупных городах, как Лейпциг в Германии, Лион во Франции и Бирмингем в Великобритании. Руководителю сбытом Бьорну Шолеру поставлена задача сократить общие транспортные рас­ ходы Им рассматриваются более эффективные способы транспортировки гото­ вой продукции с тем, чтобы минимизировать затраты и время транспортировки в условиях Офаничений по наличию товара и спроса на него. При решении данной задачи применяются методы линейного программирования, о чем мы и поговорим далее в этой главе.

262

ГЛАВА 8

Конкретный пример

Консультационная группа по вопросам финансов и инвестиции «Wiley-Macken»

Консультационная группа «Вили-Макен» имеет головную контору в Лон­ доне, а также филиалы в Бонне и Милане. Группа проводит консультации и выдает рекомендации по различным финансовым вопросам, в частности по вопросам инвестиций, налогообложения, страхования и заработной платы, а также оформляет юридические документы по финансовой деятельности. Обыч­ ная задача, которую ставят перед ней клиенты, — это оценка инвестиционного портфеля с целью максимизации возможного дохода и одновременной мини­ мизации связанных с этим рисков. Эти две цели часто несовместимы, и поэто­ му необходимо найти компромиссное решение, а также согласовать его с кли­ ентом, исходя из пожеланий последнего относительно уровня риска. Простые задачи могут состоять в анализе небольшого числа вариантов вложений в акции. Клиенту необходим совет, вкладывать ли деньги в определенные акции, и если да, то сколько. По акции каждого наименования имеется информация, в час­ тности вероятный годовой доход (на основе текущей цены) и риск возникно­ вения убытков (с точки зрения вероятности). Возможно, клиент уже решил для себя, в какие акции и сколько вложить. В любом случае, «Вили-Макен» посо­ ветует, сколько и каких акций купить, с тем чтобы максимизировать достиже­ ние выбранной цели. Для решения таких задач оптимизации можно использо­ вать линейное профаммирование. 8 . 1 . Формулирование задачи линейного программирования Задача линейного профаммирования — это такая задача, в которой опреде­ ленное выражение (именуемое объективной функцией) должно быть оптимизи­ ровано (максимизировано или минимизировано) при наличии ряда офаничений. Как объективную функцию, так и офаничения можно представить в виде линей­ ных (прямолинейных) выражений. Такие задачи часто возникают в практических ситуациях, и поэтому целесообразно остановиться на том, как их решать. Поста­ новка задачи включает в себе следующие основные моменты: (1) Определение переменных, которые будут использоваться. (2) Определение выражения объективной функции с учетом переменных. (3) Определение офаничений. Когда задача поставлена, можно применить методы, позволяющие опти­ мизировать решения. В этом разделе на примерах мы рассмотрим, как практи­ чески осуществить этот этап, т. е. как поставить задачу. • ОпределениеТ Задача линейного программирования включает в себе оптими­ зацию выражения, именуемого объективной функцией, при наличии ряда ограничений. А

Пример 1 Рассмотрим производственные задачи компании «Стенлюкс». Компания производит широкий ассортимент домашних холодильников, при этом суще­ ствует конкретная проблема, связанная с производством холодильников марок

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

263

А470 И А370. Обе модели приносят прибыль: А470 — 70 долл. каждый и А370 — 60 долл. каждый. Компания ставит целью максимизировать прибыль. Имеются ограничения по количеству, в котором могут быть произведены эти два холо­ дильника. Так, хия производства А470 требуется 3 человека-часа, а для произ­ водства А370 — 2 человека-часа. Общее количество человеко-часов для произ­ водства этих двух моделей составляет 3000. Далее, стоимость сырья для модели А470 составляет 50 долл., а для модели А370 — 60 долл. Потолок недельной сметы по сырью для этих двух моделей составляет 75 000 долл. На основании этой информации можно приступить к формулированию задачи: (1) Определение переменных, которые будут использоваться. Компании надо определиться относительно того, сколько холодильников каждой модели производить, с тем чтобы максимизировать прибыль. Количе­ ство каждого холодильника и есть рассматриваемые переменные. Итак, мы можем определить переменные следующим образом: X — количество модели А470, произведенной в неделю; и у — количество модели А370, произведенной в неделю. Компания хочет найти значения х w у, чтобы максимизировать прибыль. (2) Определение объективной функции. Объективная функция — это выражение, которые мы хотим оптимизиро­ вать. В этом примере мы хотим максимизировать прибыль, которую мы должны выразить через переменные, определенные в п. 1. Мы знаем, что каждая модель холодильника приносит определенную прибыль, а именно: А470 — 70 долл.; А370 — 60 долл. Таким образом, если в неделю компания производит л: холодильников А470 и у холодильников А370, тогда общая прибыль от этих холодильников находит­ ся из следующего выражения: Прибыль = 70x + бОу. Это объективная функция, которую необходимо максимизировать. (3) Определение ограничений.

А теперь мы должны определить все офаничения по выпуску продукции через переменные х w у. Как уже отмечалось выще, существуют два ограничения. Во-первых, име­ ющееся количество человеко-часов. Всего имеется 3000 человеко-часов, а при производстве А470 требуется 3 человеко-часа, а при производстве А370 — 2 человеко-часа. Рассмотрим количество человеко-часов, необходимое для производства х хо­ лодильников А470 и у холодильников А370. На каждый холодильник А470 уходит при производстве 3 человеко-часа, и поэтому для производства х этих холодиль­ ников потребуется Зх человеко-часов. Аналогично, для производства у холодиль­ ников модели А370 потребуется 2;^ человеко-часов. Таким образом, общее количе­ ство часов, необходимое для производства этих двух моделей, составляет Общее количество часов = Зх + 1у. Суммарная величина не может быть больще 3000 человеко-часов, и, сле­ довательно, мы можем написать следующее неравенство: Зх + 2^ < 3000. Это определяет одно из офаничений по производству номенклатурного ряда. Второе офаничеиие связано с расчетами за сырье. Для А470 фебуется

264

ГЛАВА 8

сырье на сумму 50 долл., а для А370 — на сумму 60 долл. При х А470 и у А370 это дает общую сумму затрат на сырье в виде: Общие затраты = 50х + 60j. Потолок недельной сметы составляет 75 000$, и поэтому мы имеем; 50х + в^у < 75 000 Ограничения по общему количеству человеко-часов и общим затратам определяют два основных условия решения этой задачи. Следует отметить, что существует еще два очевидных условия, которые необходимо учесть, а именно: переменные х и у, которые показывают количество производимых холодильни­ ков, не могут иметь отрицательные значения. Таким образом, мы имеем еще два офаничения, т. е. ограничения о «положительности», которые записывают­ ся в следующем виде: X > О и у > 0. Этим и завершается формулирование задачи линейного программирования. В итоге мы имеем следующее: (1) л: — количество производимых холодильников А470; у — количество производимых холодильников А370. (2) Мы хотим максимизировать объективную функцию: Прибыль = 70д; + бОу. (3) При наличии следующих ограничений: Зх + 2у < 3000; 50л: + бОд' < 75 000; X > О, у > 0. Решение такого рода задачи будет рассмотрено в следующем разделе. Пример 2 Финансовый консультант от «Вили-Макен» консультирует клиента по оп­ тимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства в два наименования акций крупных предприятий в составе группы «Хансон», много­ национального конгломерата компаний, представленных в горнодобывающей, химической отраслях, а также табачной промышленности. Анализируются ак­ ции «Хансон-Иквити» и «Фар-Ист». Цены на акции следующие: «Хансон-Иквити» — 6 ф. ст. за акцию; «Фар-Ист» — 4 ф. ст. за акцию. Всего в наличии 30 000 ф. ст., направляемых на инвестиции в эти акции. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук. И наконец, по оценкам «Вили-Макен», прибыль от инвестиции в эти две акции в следующем году составит: «Хансон-Иквити» — 1.20 ф. ст.; «Фар-Ист» — 1.00 ф. ст. Задача консультанта состоит в том, чтобы вьщать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиции.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

265

Это — задача оптимизации, которую можно решить через постановку за­ дачи линейного программирования: (1) Определение переменных, которые будут использоваться. Задача заключается в том, чтобы определить, какое количество акций каж­ дого наименования приобрести. Мы имеем следующие переменные: X — количество приобретенных акций «Хансон-Иквити» и у — количество приобретаемых акций «Фар-Ист». (2) Определение объективной функции. Цель состоит в оптимизации прогно­ зируемого дохода от инвестиции в эти акции. Мы знаем, что прогнозируемая при­ быль по акции «Хансон-Иквити» составляет 1.20 ф. ст. Поэтому если приобретается хэтах акций, то прогнозная прибыль будет равна 1.20л: ф. ст. Аналогично, прогно­ зируемая прибыль по каждой акции «Фар-Ист» — 1.00 ф. ст., и у этих акций в случае их приобретения могут принести прибыль в размере ЬООуф. ст. Таким образом, общая прогнозируемая прибыль от вложения в эти две акции составит: Прибыль на инвестицию = 1.20х ф. ст. + 1.00>' ф. ст. В упрощенном виде это можно записать следующим образом: Прибыль на инвестицию = 1.2х + 1у = \.2х + у. Это и есть объективная функция, которую мы хотим максимизировать. (3) Определение офаничений. Существует ряд условий, которые должны быть соблюдены при решении этой задачи. Они связаны с суммой средств, имеющихся для вложения в акции, а также с количеством акций, которое клиент хочет приобрести. Рассмотрим сумму средств, имеющуюся для инвестиций. У клиента в нали­ чии максимум 30 000 ф. ст. Акции «Хансон-Иквити» стоят 6 ф. ст. за штуку, и X этих акций при приобретении обойдутся клиенту в 6х ф. ст. Аналогично, каждая акция «Фар-Ист» стоит 4 ф. ст., и приобретение у таких акций будет стоить 4у ф. ст. Отсюда общая сумма вложения в эти акции составляет: Общая сумма вложения = 6х + 4у. Так как эта сумма не может превышать 30 000 ф. ст., то мы имеем следу­ ющее офэничение: 6х + 4у < 30 000. Во-вторых, имеется условие по количеству акций в инвестиционном пор­ тфеле. Клиент хочет приобрести максимум 6000 акций. Итак, общее количество приобретаемых акций — это х + у. И это выражение должно быть меньше или равно 6000. Поэтому второе условие: X + у < 6000. В-третьих, клиент уточнил, что акций одного наименования должно быть не более 5000 штук. Это дает нам еще два условия: О < X < 5000; и О < у < 5000. В итоге мы получаем следующее: (1) X — количество приобретаемых акций «Хансон-Иквити»; у — количество приобретаемых акций «Фар-Ист».

266

ГЛАВА 8

(2) Мы хотим максимизировать объективную функцию: Прибыль на инвестицию = 1.2х + у. (3) При наличии следующих условий: 6л: + 4^ < 30 000; X + у < 6000; О < л: < 5000, и О < у < 5000. И вновь, решение этой задачи мы рассмотрим позднее.

8.2. Графическое решение В этом разделе мы рассмотрим решение задачи линейного профаммирования с помощью фафических методов. Необходимо отметить, что такой метод имеет практический смысл только при рассмотрении двух неизвестных переменных (на­ пример, X и з'), и он непригоден при решении задач с более, чем двумя неизвес­ тными. Так, если руководитель производства «Стенлюкс» захочет определиться по количеству трех и более различных моделей холодильников, то в этом случае фафический метод применять нельзя. Аналогично, аналитик по инвестициям «ВилиМакен» не сможет пользоваться фафическим методом при оптимизации портфе­ ля из более чем двух акций. То есть вы видите, что фафический метод крайне офаничен. Однако он дает полезное представление о том, как вести поиск опти­ мальных решений, что может оказать помощь при анализе более сложных задач с большим количеством переменных. Мы рассмотрим фафическое решение задач линейного профаммирования на данных тех примеров, что приведены в предьщущем разделе. В принципе, метод состоит из двух этапов: (1) отображения области допустимых решений согласно данным офаничений. (2) нахождения оптимального значения объективной функции внутри этой области. Пример 1 Рассмотрим задачу, связанную с руководителем производства «Стенлюкс» Необходимо принять решение относительно того, в каком количестве произво­ дить два изделия. Далее приведены условия задачи: (1) X — количество производимых холодильников А470; у — количество производимых холодильников А370. (2) Мы хотим максимизировать объективную функцию: Прибыль = 70х + бОу. (3) При наличии следующих офаничений: Зх + 2у < 3000; 50х + бОу < 75 000;

^ > 0. >' > ОДавайте рассмотрим решение этой задачи в два этапа: (1) Отображение области допустимых решений. Первое, что необходимо сделать при фафическом решении задачи, это отобразить офаничения. Рас-

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

267

смотрим неравенство Зх + 2у < 3000. Область, удовлетворяющая этому усло­ вию, будет по одну из сторон прямой линии: Зх + 2у = 3000. Чтобы нарисовать эту прямую линию, достаточно только нанести две точ­ ки. В принципе, проще всего нанести эти точки при х = О и у = 0. Так, если х = О, имеем 3 х О + 2>' = 3000. Отсюда 2у = 3000, у = 1500. Аналогично, при у = О имеем Зл: + 2 х О = 3000. Отсюда Зл: = 3000, х = 1000. Таким образом, равенство Зх + 2у = 3000 включает точки: х = О, у = 1500 и л: = 1000, у = 0. Эти точки можно нанести на фафик, как это показано на рис. 8.1. Итак, область, удовлетворяющую неравенству Злг -ь 2^ < 3000, можно ото­ бразить, выделив участок по одну из сторон от линии Зх + 2у = 3000. Чтобы определить, по какой из сторон от линии находится этот учасок, достаточно взять одну точку и определить, отвечает она или нет условиям неравенства. Так, при х = О и у= О имеем 3 x 0 + 2 x 0 = 0. Это значение меньще 3000 и, следовательно, удовлетворяет условиям неравенства. Отсюда следует, что вьщеленная область, удовлетворяющая условиям не­ равенства Зд: + 2;' < 3000, включает точку л: = О, ^ = 0. Область показана на графике (рис. 8.1).

О

5Q0

100Ь\

1500

2000

X

Рис. 8 . 1 . Область, отвечающая условию Зх + 2у < 3000 Аналогичным образом наносим область, отвечающую второму ограниче­ нию: 50;с + бОу < 75 000. Сначала рассмотрим равенство 50л: + бОу = 75 000. Во-первых, нанесем две точки: при х = 0: 50 х О + 6Qy = 75 000. Отсюда бОу = 75 000 и ^^ = 1250. Далее, при у = 0: 50л: + 60 х О = 75 000. Отсюда 50x = 75 000 и х = 1500. Следовательно, прямую линию 50х + бОу = 75 000 можно нанести через точки X = О, у = 1500 и X = 1500, у = Q. Далее, точка при х = О и у = О удовлетворяет условиям неравенства и поэтому входит в область, показанную на фафике (рис. 8.2). Теперь возьмем другие два неравенства: х > О и у > 0. Их МОЙСНО отобра­ зить, выделив на графике только положительные значения. Эту область мы ВИДИМ на рис.

8.3.

268

ГЛАВА 8

И наконец, области, которые мы получили на предьшущих графиках, можно совместить, чтобы получить область, удовлетворяющую всем ограничениям: Зх + 2у < 3000; 50х + бОу < 75 000; X > О, у > 0.

График на рис. 8.4 показывает область, которая удовлетворяет всем ограни­ чениям. Эта область называется областью допустимых рещений, так как она содержит все допустимые решения задачи линейного программирования. Т Определение. Область допустимых решений — это область, полученная тем графического отображения ограничений конкретной задачи и включающ возможные решения оптимизации. А 2500

2000

1500

10QP:

50Q

1000

150О\

2000

X

Рис. 8.2. Область, удовлетворяющая условию 50х + бОу < 75 000 2500

2000 1500

1000

500

500

1000

1500

2000

X

Рис. 8.3. Область, удовлетворяющая условию х > О и у > О

(2) Оптимизация значения объективной функции. Любая точка в области допустимых решений может быть решением задачи максимизации прибыли. Нам только остается найти ту точку, которая максими­ зирует эту функцию. Так называемая объективная функция имеет следующий вид' Прибыль = 70л: + бОз'.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

269

2500

Рис. 8.4. Сочетание ограничений

Мы можем взять любую точку в области допустимых решений и вычислить соответствующую прибыль. Так, область допустимых решений содержит точку х = =500 wy= 500. Эти значения дают прибыль в сумме: 70 х 500 + 60 х 500 = 65 000 долл. США. Нам необходимо выяснить, дадут ли другие значения хну более высокое значение прибыли. Вместо того, чтобы рассматривать отдельные точки, как мы это только что сделали, мы можем применить альтернативный, более действен­ ный подход. Рассмотрим конкретное значение прибыли, например 30 000 долл. Получаем следующее уравнение: 70x + вОу = 30 000.

Это прямолинейное уравнение можно нанести на график с областью допу­ стимых решений, как это показано на рис. 8.5. Любая точка на этой линии даст прибыль в 30 000 долл. А теперь рассмотрим большее значение прибыли, напри­ мер 50 000 долл. Получаем уравнение 70х + вОу = 50 000.

И снова это уравнение можно нанести на график, как это показано на рис. 8.6. Как мы видим, полученная линия параллельна исходной линии. То же самое по­ лучится, если нанести и третью линию по другому значению прибыли, напри­ мер 70 000 долл. Уравнение 70х + Ь^у = 70 000 долл. можно нанести на график, как это показано на рис. 8.7. Мы видим, что линии прибыли параллельны друг другу, и по мере увеличения прибыли линии все более удаляются от исходной точки фафика (х = О, у = 0). Применив этот подход, мы получим, что линия максималь­ ной прибыли проходит через точку, указанную на графике, представленном на рис. 8.8. Точка, указанная на фафике, дает оптимальное решение этой задачи. Оп­ тимальное решение соответствует точке, где jc = 375 и у = 937. Обратите внимание, что эти приблизительные значения получены прямо из графика. Итак, мы получили следующее решение задачи. Рекомендуется, чтобы компания «Стенлюкс» выпускала еженедельно изде­ лия в следующей пропорции: количество холодильников А470 = 375; количество холодильников А370 = 937.

270

ГЛАВА 8 2500

2000

1500

1000

1000

1500

2000

X

Рис. 8.5. Отображение прибыли, равной 30 000 долл. 2500

2000

1.000

1500

2000

Рис. 8.6. Линии, отображающие два значения прибыли

2500

sbsL \^оос 1000

1500

2000

Рис. 8.7. Параллельные линии различных значений прибыли

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

271

Это даст максимальную прибыль в размере: Прибыль = 70x + 60>' = 70 X 375 + 60 х 937 = 82 470 долл. в неделю. (3) Альтернативный метод оптимизации. Альтернативный метод можно использовать для получения оптимального зна­ чения объективной функции исходя из знания области допустимых решений. Из­ вестно, что оптимальное значение лежит на границе области допустимых реше­ ний. Фактически оптимальное значение всегда находится в угловой точке области допустимых решений. (Хотя и другие пограничные точки также могут показать аналогичное оптимальное значение. Такой пример мы рассмотрим позднее.) 2500

2000

1500 Оптимальное решение х = 375, у = 937

sbeT^NlpO 000

1500

2000 X

Рис. 8 . 8 . Максимизация прибыли

На основании этих сведений оптимальное значение можно получить, про­ сто вычислив значение объективной функции в каждой из угловых точек. Так, рассмотрим область допустимых решений на рис. 8.4. Эта область по­ казана на рис. 8.9. Давайте вычислим значения функции прибыли: прибыль составляет 70x + бОу для всех угловых точек этой области. Точка А. Она показана на рис. 8.9 и соответствует значениям х = О и у = 1250. В этой точке прибыль равна: 70 х О + 60 х 1250 = 75 000 долл. 2500

2000

1500

Точка А х=0, у=1250

*^

Точка Б х ^ 3 7 5 , у=937

1000

500 V

0^^ 500 Точка Г х=0, у=0

Точка В л-==1000, У=0

1000

1500

2000

X

Рис. 8.9. Угловые точки области допустимых решений

272

ГЛАВА 8

Точка Б. Эга точка дает значения х = 375 ]л у ~ 937. По этим значениям х и у получаем прибыль, равную 70 х 375 + 60 х 937 = 82 470 долл. Точка В. Соответствует значениям х = 1000 и >» = 0. В этой точке объектив­ ная функция — прибыль равна: 70 х 1000 + 60 х О = 70 000 долл. Необходимо отметить, что в этой области допустимых решений имеется еще одна угловая точка. Она показана на рис. 8.9 буквой Г, где х = Ои>' = 0. В этой точке прибыль равна: 7 0 x 0 + 6 0 x 0 = 0 долл. По этим вычислениям видно, что максимальная прибыль возникает в точ­ ке Б, где X = 375 и у = 937. Этот результат подтверждает значения, полученные с помощью уже описанного нами метода.

8.3. Краткое описание графических методов С помощью графических методов вы можете установить оптимальное зна­ чение объективной функции при наличии ряда офаничений. Для этого: (1) Отобразите область допустимых решений. Это делается путем выделе­ ния участков, которые отвечают условиям всех неравенств, отражающих огра­ ничения по задаче. Такая область, которая удовлетворяет всем условиям, назы­ вается областью допустимых решений. (2) Найдите оптимальное значение объективной функции. Для этого най­ дите такую точку в области допустимых решений, которая оптимизирует (мак­ симизирует или минимизирует) объективную функцию. При поиске такой точ­ ки можно применить два подхода: а) возьмите любое значение объективной функции. По этому значению нанесите прямую линию на графике. Далее параллельно сдвигайте эту линию до тех пор, пока она не дойдет до края области допустимых решений. Достигнутая точка даст оптимальное значение объективной функции или б) вычислите значения объективной функции для всех угловых точек области допустимых решений. Одна из этих точек даст оптимальное значение.

8.4. Максимизация и минимизация На последующих примерах мы рассмотрим графический метод решения задачи линейного профаммирования. В предьшущем примере мы рассматривали задачу максимизации, где все офаничения были выражены в виде неравенств, т. е. «<». В принципе, задачи линейного профаммирования могут иметь различ­ ные по виду Офаничения, то есть там может быть сочетание >, < и =. Но и задачи минимизации также важны. Так, компания может поставить задачу минимизировать затраты, рабочее время и убытки. На последующих примерах мы и рассмотрим применение фафического метода в таких случаях. В целях упрощения подачи материала будем считать, что задача уже сфор­ мулирована, и поэтому в дальнейшем в примерах даны готовые объективные функции и ограничения. Пример 1 Имеются следующие офаничения: 5х + 2у < 90;

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

273

Зх + 4>' > 110; X > О, у > О

Найдите значения х и у, с тем чтобы найти оптимальные значения функ­ ций: а) Максимизация Р = 20л: + 30>'. б) Минимизация С = 2х + 20^. Эта задача линейного программирования решается следующим образом. (1) Найдите область допустимых решений Мы должны определить об­ ласть, которая отвечает всем необходимым условиям. Рассмотрим 5х + 2у <, 90. Для уравнения 5х + 2у = 90 мы можем нанести две точки следующим образом: при х = 0: 5 х О + 2;' = 90 и j ' = 45. Аналогично, при >» = 0: 5х + 2 х О = 90 и х = 18. Точки X = О, >> = 45 и X = 18, у = О можно нанести на фафик и провести прямую линию 5х + 2>' = 90. Область, отвечающая условиям этого неравенства, находится под линией.

Рис. 8.10. Область допустимых решений. Аналогичным образом рассмотрим другое неравенство: Зх + 4^ > ПО. Уравнение Зх + 4у= 110 дает точки х = О, >' = 27.5 и j» = О, х = 36.67. Эти точки можно нанести на график и провести прямую линию уравнения. В этом случае неравенство идет со знаком «>», и, следовательно, область выделяется над пря­ мой линией. Эти два ограничения вместе с условиями х>0 и у>0 дают область допустимых решений, которая показана на рис. 8.10. (2) Найдите оптимальное значение. В данной задаче необходимо оптимизировать две объективные функции. а) Рассмотрим объективную функцию Р = 20х +30j'. Мы хотим максими­ зировать эту функцию. Рассмотрим угловые точки области допустимых решений. На фафике (рис. 8.11) показаны эти угловые точки. Они дают следующие значения объективной функции: Точка А: X = О и >» = 45, тогда /» = 20 х О + 30 х 45 = 1350. Точка Б: X = 10 и >' = 20, тогда /> = 20 х 10 + 30 х 20 = 700. Точка В: х^ О и у = 27.5, тогда Р = 20 х О + 30 х 27.5 + 825. Следовательно, мы видим, что максимальное значение Р= 1350 получает­ ся при X = О и >' = 45.

274

ГЛАВА 8 70 60 Точка А

V

51

40

30 20 10 О 50

Рис. 8 . 1 1 . Угловые точки области допустимых решений б) Теперь рассмотрим аналогичным образом минимизацию объективной функции С = 2х + 20у. И снова, мы можем найти значения этой функции по угловым точкам: Точка А: л: = О и >' = 45, тогда С = 2 х О + 20 х 45 = 90. Точка Б: л: = 10 и у = 20, тогда С = 2 х 10 + 20 х 20 = 420. Точка В: X = О и у = 27.5, тогда С = 2 х 0 + 2 0 х 27.5 = 550. Следовательно, минимальное значение С = 420 наступает при х = 10 и >' = 20. Пример 2 Минимизируйте выражение С = 120л: + ЮОу при следующих условиях: 4х+ Зу > 60; Юх + 5у > 120; бд: + 12>' > 120; О < X < 18; О < у < 25. (1) Область допустимых решений показана на рис. 8.12. Обратите внимание, что три основные условия даны со знаком «>», и поэтому вьшеленная область поднимается над линией. Условие ;с < 18 показывает участок слева от прямой ли­ нии X = 18. Аналогично, условие у < 25 показывает участок ниже линии у = 25. Сочетание этих участков и дает область допустимых решений, которую вы видите. (2) Угловые точки области дадут оптимальное значение объективной фун­ кции С: Точка А: л: = О, :и = 25: С = 120 X О + 100 х 25 = 2500. Точка Б: X = 18, у = 25: С = 120 х 18 + 100 х 25 + 4660. Точка В: л: = 18, у = 1: С = 120 х 18 + 100 х 1 = 2260. Точка Г: X = 12, у = 4: С = 120 х 12 + 100 х 4 = 1840. Точка Д: X = 6, у = 12: С = 120 X 6 + 100 х 12 = 1920. Точка Е: X = О, у = 24: С = 120 X О + 100 х 24 = 2400. Таким образом, минимальное значение С = 1840 получается при х = 12 и у = 4. Можно заметить, что иногда метод вычисления значений объективной функции по всем угловым точкам области допустимых решений может оказать-

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

275

ся достаточно неук^тюжим Альтернативный метод отображения на графике объек­ тивной функции и последовательного параллельного сдвига для полумения минимального значения в этом примере, возможно, предпочтительнее. На рис. 8 13 показана объективная функция, где С = 3000, т. е проведена прямая линия 120.Y + 100>' = 3000. Теперь эту линию .можно параллельно сдвигать вниз до получения минимального значения в точке х — 12, у = 4. Это подтверждает значения, полученные с помощью другого метода. 35 30 А

Б

у=25

2bs у 15 х=18

^

4х+3у=60

5 П

0

5

V

.В

1о\

15\

20^

• 25

30

35

Рис. 8.12. Область допустимых решений

о

5

10

15

20

ZS-

30

35

X

Рис. 8.13. Оптимальное значение области допустимых решений 8.5. Особые случаи При решении задач линейного программирования существует ряд потен­ циальных трудностей. В этом разделе мы рассмотрим особые случаи нахождения решений по таким задачам. В частности, мы рассмотрим следующие случаи: — Неразрешимость. Ситуация, когда у задачи нет решения. — Множественность решений. В этом случае имеется несколько возможных решений, которые все дают оптимальное значение объективной функции. — Безграничность. Это ситуация, когда у оптимального значения нет пре­ дела. В этом разделе мы рассмотрим по одному примеру для каждого из этих случаев.

276

ГЛАВА 8

(Неразрешимость)

Пример 1

В этой ситуации мы имеем дело с ограничениями, которые не позволяют определить область допустимых решений. Нет таких точек, которые могли бы удовлетворить всем условиям. Например, рассмотрим следующие офаничения: 4.x + 5у > 40; Юл- + 2у < 30; у < 3,

,v > 0.

Эти условия сходны с условиями примера 2 предыдущего раздела, за ис­ ключением того, что некоторые неравенства имеют обратный знак. Два главных условия дают область А, как это показано на рис. 8.14. Условие у < 3 дает область Б на фафике. Видно, что точек, которые находились бы в обеих областях, нет, и поэтому нет точек, которые отвечали бы всем условиям. Таким образом, эта ситуация неразрешима, и для нее нельзя получить опти­ мального решения. На практике это будет ситуация, при которой существуют такие ограничения по затратам, людским и материальным ресурсам, которые делают производство чего-либо невозможным! 20

\ \ у

Y

^.^

Область А Область 6

5 У=3

0 6

8

Рис. 8.14. Две разъединенные области

Пример 2

(множественность решений)

Рассмотрим задачу максимизации выражения Р = Sx + Юу при следующих ограничениях: 4х + 5у < 40; \0х + 2у < 30; у > 3, X > 0. График, представленный на рис. 8.15, показывает область допустимых решений с учетом этих ограничений. На графике также проведена линия Р = Sx + 10>' = 40. Эту линию можно сдвигать в направлении к краю области допустимых решений. Видно, что эта линия параллельна одной из линий по границе области. Поэтому максимальное значение Р находится в любой точке по этой линии.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

277

Таким образом, мы имеем множественность решений по этой задаче оптими­ зации. Так, следующие точки все дают максимальное значение Р= Sx + Юу = 80: ([) X = О, у = 8 (ii) X = 0.125, у = 7.9 (iii) X = 0.5, у = 7,6 (iv) х = \, у = 7.2 Фактически имеется неофаниченное количество решений для х ]л у, даю­ щих максимальное значения Р = 80. Однако конечные точки отрезка прямой считаются базовыми решениями данной задачи.

2

\

4

\

^ ^ 6 8

^

Рис. 8.15. Множественность решений Пример 3

(безграничность)

Рассмотрим задачу максимизации значения Р = Sx + 6у при следующих условиях: 4х + 5v > 40; \0х + 2у > 30; >' > 3 и X > 0. График, представленный на рис. 8.16, показывает область допустимых ре­ шений, которые удовлетворяют всем условиям. Видно, что эта область не имеет фаницы в правом верхнем углу, и, следовательно, отсутствует предел макси­ мальных значений д: и у. Таким образо.м, решение таково, что х и >» должны быть бесконечны. На практике такая ситуация может возникнуть, если при поста­ новке задачи упущено из вида одно или несколько условий. Так, если х и у — количества двух производимых изделий, то, в качестве верхней фаницы, сле­ дует ввести Офаничение по вероятному покупательскому спросу на эти товары или по наличию людских, материальных или финансовых ресурсов. 8.6. Упражнения: графические методы 1 (Е) Отобразите на фафике области допустимых решений исходя из сле­ дующих условий(i) 2х + у < 50, X + Зу < 90, х, у > 0: (ii) Зх + 2у < 12, 4л- -I- 5;^ > 20, х, у > О: (ill) 4.V + у < 90, 2х + у < 50, X + у < 40, X, у > 0; (iv) Злг + 10>' > 30, 4х + 8у > 32, 3.v + Юу < 36, х, >> > 0.

278

ГЛАВА 8 20

\ 15

У 10

Область допу^;тимых решении

5

0 12

Рис. 8.16. Безграничная область допустимых решений 2. (I) В следующих примерах приведен ряд условий, выраженных через х и у. На 5?сновании этих ограничений найдите в каждом из случаев положительные значения х и у, которые оптимизируют требуемое выражение: (i) X + >' < 20, 2х + у < 30. Максимизировать Р = Ах + Ъу. (ii) 5х + 81 < 120, 6л- + Ъу < 90, 5х + Зд' < 90 Максимизировать Р = 10х + \\у. (iii) lOx + 4у < 400, Ъх + Sy > 300, х < 20. Максимизировать Р = 2х + Ъу vi минимизировать С = х + 4j'. (iv) X + J' > 50, Зх + 2>' > 120, х < 60, >' < 70 Минимизировать С = 7х + 8^ и максимизировать Р = х + 6>'. 3. (I) Компания производит два товара — А и Б. Товары требуют большого объема работ, проводимых в два приема. В таблице показано количество часов, затрачиваемое на выпуск единицы товара на каждом из этапов: Товар А Б

Человеко-часов на единицу Этап 1 Этап 2 3 2

4 5

В неделю общее количество часов, которое можно затратить на каждом из этапов, составляет: этап 1 — 60 часов, этап 2 — 1 0 0 часов. От продажи единицы каждого из товаров компания получает прибыль в размере 50 ф. ст. (i) Сколько единиц каждого наи.менования должна производить компа­ ния, чтобы максимизировать общую прибыль''

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

279

(ii) Если компания получает прибыль в размере 40 ф. ст. за единицу товара А и 60 ф. ст. за единицу товара Б, то как это скажется на ваших рекомендациях относительно количества каждого наименования? 4. (I) Клиент рассматривает вопрос вложения средств в ценные бумаги. В частности, он решил вложить сумму не более 10 000 долл. США в два наиме­ нования акций: компаний «Арнольд Инк» и «Бассет Компани». В настоящее время цена каждой акции следующая: «Арнольд Инк» — 5.00 долл., «Бассет Компании» — 7.50 долл. Ожидаемый процентный доход по каждой из бумаг следующий: «Арнольд Инк» — 8%, «Бассет Компани» — 10%. Максимальная сумма вложения в одну из бумаг составляет 6000 долл. Сформулируйте эту задачу как задачу линейного программирования и оп­ ределите количество акций каждого наименования, которое следует приобрес­ ти с тем, чтобы максимизировать вероятный доход от вложения средств. 8.7. Симплексный метод: максимизация при ограничениях со знаком <

Как мы уже отмечали, графические методы, описанные в предыдущих разделах, приемлемы только в отношении задач с не более чем двумя неизве­ стными (например, xw у).В большинстве практических ситуаций число неизве­ стных может быть гораздо большим. Симплексный метод — один из наиболее известных подходов к решению задач линейного программирования через ал­ гебраические методы. Симплексный метод применяется в самых разнообразных компьютерных профаммах, предназначенных для решений таких задач. Этот подход мы представим на последующих примерах. Т Определение. Симплексный метод — математический подход к решени задач линейного программирования. Это стандартный метод решения задач лее чем двумя переменными. • Пример 1

Рассмотрим задачу, которую мы уже решали раньше с помощью фафического метода. Это задача по определению количества холодильников каждой модели с целью максимизации прибыли. Задача была сформулирована следующим образом: (1) X — количество производимых холодильников А470; у — количество производимых холодильников А370. (2) Мы хотим максимизировать объективную функцию: Прибыль = 70х + бОу. (3) При условии следующих офаничений: Зх + 2у < 3000; 50х + бОу < 75 000; X > О, у > 0. При использовании симплексного метода решение достигается в несколь­ ко этапов.

280

ГЛАВА 8

Этап 1. Введем так называемые «свободные переменные» в ограничения с тем, чтобы выразить их как уравнения. Так, неравенство Зх + 2^ < 3000 можно превратить в равенство, добавив в левую часть свободную переменную 5,. Так мы получим следующее уравнение: Зх + 2у + li'i = 3000. Аналогично, добавляем свободную переменную S^ ко второму условию: 50х + бОу + 152 = 75 000. Свободные переменные можно также ввести в объективную функцию Р = = 70х + ЬОу: Р= 70х + бОу + 05, + 0^2. Это можно записать следующим образом: О = -Р + 70х + бОу + OS, + 05j. Этап 2. Поместим полученные уравнения в таблицу, как это показано ниже: Ряд 1 2 3

Базис S, S, —Р

Значение 3000 75 000 0

X

3 50 70

У 2 60 60

S, 1 0 0

S, 0 1 0

в колонках X, у, 5, и ^2 указаны коэффициенты этих переменных в уравнениях. Так, условие Зх + 2>' + 151 = 3000 показано в ряду 1 таблицы. В этом уравнении коэффициент X = 3, >' = 2, 5, = 1. В этом же уравнении коэффициент 5, = 0. Аналогично, ряд 2 таблицы представляет второе условие, а ряд 3 показы­ вает уравнение объективной функции Р. В колонке «Базис» указаны переменные, которые могут дать решение зада­ чи. В этом «первоначальном» решении мы видим, что 5, = 3000 и ^2 = 75 000 при /• = 0. Другие переменные (х и >») в этом решении равны нулю. Иначе говоря, если мы не будем производить холодильники ни одной из мо­ делей, то наша совокупная прибыль будет равна О долл. В этом случае у нас оста­ нется неиспользованных 3000 человеко-часов и 75 000 долл. недельной сметы. Этап 3. На этом этапе нам необходимо преобразовать таблицу, с тем чтобы определить, имеется ли лучшее решение этой задачи. Для этого мы делаем следующее: (i) Находим осевую колонку. Это колонка с наибольшим положительным значением в последнем ряду (см. таблицу ниже). Осевая колонка обозначается с Ряд 1 2 3

Базис S, —Р

Значение 3000 75 000 0

X

3 50 70

У 2 60 60

S, 1 0 0

S, 0 1 0

Осевая колонка

(ii) Находим осевой ряд. Для этого мы делим каждое число в колонке значений на соответствующее число осевой колонки. Это показано в следующей таблице:

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Ряд 1 2 3

Базис

Значение 3000 75 000 0

—Р

281

X

У

S,

S,

Значение/ось

3 50 70

2 60 60

1 0 0

0 1 0

3000/3=1000 75000/50=1500

(iii) Находим осевое значение. Оно находится на пересечении осевой ко­ лонки и осевого ряда. В таблице это значение вьшелено жирны.м щрифтом Ряд 1 2 3

Значение

Базис

3000 75 000 0

S, S, —Р

X

У

S,

S.

3 50 70

2 60 60

1 0 0

0 1 0

(iv) Делим каждое число в осевом ряду на осевое значение. Осевой ряд — это ряд 1. Все числа этого ряда делятся на осевое значение (3), как это показано в следующей таблице: Ряд 1 2 3

Базис

Значение 1000 75 000 0

S, —Р

X

1 50 70

У 0.667 60 60

S,

S,

0.333 0 0

0 1 0

(v) Приводи.м каждое другое значение осевой колонки к нулю. Для этого отнимем кратное число осевого ряда из других рядов. Так, в ряду 2 осевой колонки (колонки х) мы имеем значение 50. Чтобы привести это значение к нулю, мы можем провести вычисление по формуле: ряд 2 — 50 х (ряд 1). В таблице это дано в сокращенном виде как /?2 — 50 х Л1. Аналогично, значение в ряду 3 можно привести к нулю путем вычисления Rj — 70 х R^. Ряд R2 - 5 0 X R1 R3 — 70 X R1

1 2 3

Базис Значение X Зг -Р

1000 25000 70 000

х

у 1 О О

S,

0.667 0.333 26.667 —16.667 13.333 23.333

S2 О 1 О

Обратите внимание, что в этой таблице базисное значение в осевом ряду замещено на переме!{ную в осевой колонке, иначе говоря, 5, замещено на х в колонке «Базис». Так мы получили более качественное решение. Итак, при значении х = = 1000 прибыль увеличилась до 70 000 долл. Этап 4. Уточняем, можно ли полученное решение сделать еще лучше. Если все значения в последнем ряду таблицы отрицательные или равны нулю, то тогда мы получили оптимальное решение. Если нет, тогда решение можно сде­ лать лучше, и мы повторяем процесс снова, начиная с этапа 3. В вышеприведенной таблице мы имеем 13.333 в последнем ряду, и потому это решение можно улучшить. Итак, повторяем процесс, как ранее: (i) Находим осевую колонку. Осевая колонка — это колонка с наибольшим положительны.м числом в последнем ряду, т. е. в этой таблице осевая колонка — это колонка у, где и находится значение 13.333. (ii) Находим осевой ряд. Для этого делим значение на число в осевой колонке. Наименьшее полученное значение определяет осевой ряд, как это показано в таблице ниже:

282 Ряд 1 2 3

ГЛАВА 8 Базис X Зг —Р

Значение 1000 25 000 —70 000

X

У

S,

S,

Значение/ось

1 0 0

0 667

26.667

- 0 333 —16 667 —23 333

0 1 0

1000/0 667 = 1500 25000/26 667 == 937 5

13 333

4 Осевая колонка (ill) Находим осевое значение В предыдущей таблице оно было вьшелено жирным шрифтом и находилось на пересечении осевого ряда и осевой колонки (iv) Делим числа в осевом ряду на осевое значение И получаем таблицу Ряд R2/26,667

Базис

Значение

х

у 0"б67

1

X

1000

i

2

Sj

937 5

О

3

-Р

-70000

О

S^

S2

0 333

О

1—0

625 О 0375

13 3 3 3 - 2 3 333

О

(v) Приводим каждое другое число осевой колонки к нулю Далее в таблице приведены необходимые вычисления, как это делать Обратите внимание, что ба­ зисная переменная Sj в осевом ряду замещена переменной у в осевой колонке 3 667xR2

R3— 13 333xR2

Ряд

Базис Значение

1 2 3

375 937 5 У —Р -—82500 82500 X

х

у 1 0 О 0

0 1 О 0

S,

Зг

О 75 —О 025 —О 625 0.0375 —15—05

Мы снова подошли к этапу 4, где уточняем, можно ли получить более оптимальное решение Все значения в нижнем ряду таблицы отрицательные или равны нулю, и поэтому более оптимального решения нет Таблица дает следующее решение X = 375, у = 937 5, что дает максимальную прибыль /* = 82 500 долл В этом примере значения хну — это количество холодильников двух разных моделей, которое необходимо производить в неделю То есть эти числа должны быть целыми Поэтому, округлив полученные по таблице значения, получаем X — количество производимых холодильников А470 — 375, и у = количество производимых холодильников А370 — 937 Эти значения меняют значение максимальной прибыли, которая рассчи­ тывается по этим данным по формуле Р = 70х + бОу, и в итоге мы имеем максимальную прибыль в 82 470 долл Этот ответ подтверждает результаты, по­ лученные с помощью графического метода в разделе 8 2 Следует отметить, что если требуется округлять решения, то это потенциаль­ но несет в себе некоторые осложнения Например, есть случаи, когда оптималь­ ные целочисленные решения могут достаточно отличаться от решений, получен­ ных стандартным методом линейного программирования Мы больше не будем останавливаться на этом вопросе, так как это находится вне рамок данного посо­ бия и связано с применением методов «целочисленного профаммирования» Пример 2

Рассмотрим задачу линейного программирования с более чем двумя пере­ менными Это, по сути, расширенный предьщущий пример с холодильниками компании «Стенлюкс» Применим симплексный метод

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

283

Компании «Стенлюкс» необходимо принять решение относительно произ­ водства номенклатурного ряда из трех моделей холодильников: А470, А370 и В270. Прогнозируемая прибыль от продажи единицы изделия составляет: А470: 70 долл.; А370: 60 долл.; В270: 50 долл. Количество человеко-часов, необходимое для производства единицы изде­ лия, составляет: А470: 3 часа; А370: 2 часа; В270: 2.5 часа. Стоимость сырья, необходимого для производства единицы изделия, со­ ставляет: А470: 50 долл.; А370: 60 долл.; В270: 40 долл. Компания имеет 3000 человеко-часов и смету в 75 000 долл. для производ­ ства этих моделей. Далее, спрос на модель А470 вряд ли превысит 250 штук. Задачу можно сформулировать следующим образом: (i) Переменные: X — количество производимых холодильников А470; у — количество производимых холодильников А370; Z — количество производимых холодильников В270. (п) Нам необходимо максимизировать Р = 70х + бОу + 50z(iii) При наличии следующих ограничений: а) человеко-часов: 2х + 2у + 2.5 < 3000; б) сырье: 50х + бОу + 40z < 75 000; в) спрос: X < 250. Итак, для решения этой зада»ш симплексным методом мы делаем следующее. Этап 1. Вводим свободные переменные, чтобы привести ограничения к равенству: Зх + 2>' + 2.5^ + "У, = 3000; 50д: + 60>' + 40^ + 52 = 75 000; л: + 5з = 250. Мы хотим максимизировать Р = 70х + 60j + 50^ -ЬО^, + О^У; + QS^. Это уравнение можно записать так: О = —Р + 70х + вОу + 50г + О^, -I- 0^2 + О^з.

Этап 2. Помещаем уравнения в симплексную таблицу (см. ниже): Ряд

Базис

Значение

S, S, 5з -Р

3000 75 000 250 0

1 2 3 4

X

У

Z

S,

8з

S3

3 50 1 70

2 60 0 60

2.5 40 0 50

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Осевая колонка — это колонка с наибольшим положительным значением в нижнем ряду. Осевой ряд находим путем деления числа в колонке значений на число в осевой колонке (см. таблицу ниже): Ряд 1 2 3 4

базис S, 5з -Р

Значение 3000 75 000 250 0

X

У

г

S,

S,

Зз

Значение/ось

3 50 1 70

2 60 0 60

2,5 40 0 50

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

3000/3 = 1000 75000/50= 1500 250/1 = 250*

Наименьшее значение, полученное при делении чисел из колонки значе­ ний на числа из осевой колонки, определяет осевой ряд. Следовательно, осевое

284

ГЛАВА 8

значение находится на пересечении осевого ряда и осевой колонки, и оно показано жирным шрифтом. В принципе, на этом этапе мы приводим осевое значение к 1. В нашем случае значение уже равно 1, поэтому вычисления не нужны. И наконец, мы приводим другие значения в осевой колонке к нулю, от­ нимая кратные числа осевого ряда из каждого остающегося ряда. Эти вычисле­ ния приведены в таблице ниже. Обратите внимание, что базисная переменная (д:) осевого ряда получена из осевой колонки:

Я1 - ЗхЯЗ R2 - 50хЯЗ Осевое значение Д4 - 70хДЗ

Ряд

Базис

1 2 3 4

S, 5з X

-Р

Значение

X

У

Z

S,

S,

S,

2250 62500 250 -17500

0 0 1 0

2 60 0 60

2.5 40 0 50

1 0 0 0

0 1 0 0

-3 -50 1 -70

Оптимальное решение еще не получено, так как в нижнем ряду еще есть положительные значения. Новая осевая колонка определяется по максимально­ му значению в этом нижнем ряду, а для нахождения осевого ряда мы вычис­ ляем соотношение числа в колонке значений с числом в осевой колонке: Ряд 1 2 3 4

Базис S, S, X

-Р

Значение 2250 62500 250 -17500

X

У

г

S,

S,

Зз

0 0 1 0

2 60 0 60

2.5 40 0 50

1 0 0 0

0 1 0 0

-3 -50 1 1

Значение/ось 1125 1041.67 -

Ряд 2 — осевой ряд. Осевое значение 60 приводится к единице путем деления всех значений в этом ряду на 60. Этот скорректированный ряд 2 (ука­ зываемый как новый ряд 2 или NR2) используется для вычислений при при­ ведении всех других значений осевой колонки к нулю: Я1 - 2хШ2 Я2/60 ЯЗ Я4-60ХЛ/Я2

Ряд

Базис

1 2 3 4

S, у X -Р

Значение 166.67 1041.67 250 -80000 0

X

У

2

S,

S,

5з

0 0 1 0

0 1 0 0

1.167 0.667 0 10

1 0 0 0

-0.333 0.0167 0 -1

-1.333 -0.833 1 -20

И снова в нижнем ряду все еще есть положительные значения, и поэтому мы повторяем процесс. Колонка z есть осевая колонка, а осевой ряд находим путем деления значения на ось (см. таблицу ниже): Ряд Осевой ряд

1 2 3 4

Базис Значение S, У X

-Р

166.67 1041.67 250 -80000

X

1'

Z

S,

S,

S,

0 0 1 0

0 1 0 0

1.167 0.667 0 10

1 0 0 0

-0.033 0,0167 0 -1

-1.333 -0.833 1 -20

Значение/ось 142.86* 1562.5

—

Осевое значение (1.167) приводится путем деления каждого значения в первом ряду (осевом ряду) на 1.167. Другие числа в осевой колонке приводятся к нулю путем вычитания кратного нового ряда (NR1) из каждого ряда (см. таблицу ниже):

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Я1/1 167 R2 - 0 667xNR1

ЯЗ 4 - lOxNRI

Рял 1 2 3 4

Базис Значение Z

У X

-Р

142 86 946 43

250 -81428

X

V

Z

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

S,

S,

285

S,

0 857 -0 0286 -1 143 -0 571 0 0358 -0 071

0

0

1

-8 57

-0 714

-8 57

Теперь мы получили оптимальное решение, так как в нижнем ряду табли­ цы нет положительных чисел Таким образом, максимальная прибыль Р = 81 428 долл. будет достигнута при производстве холодильников в следующих количествах: X — количество моделей А470 = 250; у — количество моделей А370 = 946; Z — количество моделей В270 = 142. Обратите внимание, что значения х, у и z округлены, и поэтому окончатель­ ное значение общей прибыли будет несколько отличаться от приведенною.

8.8. Симплексный метод: минимизация при ограничениях со знаком > На предыдущих примерах мы рассмотрели симплексный метод решения задач по максимизации объективной функции при офаничениях со знаком «:<», например л: <. 250 и Зх + 2>' < 3000. В этом разделе мы рассмотрим задачу .минимизации объективной функции при ограничениях со знаком «>.». Это при­ менимо в ситуациях, когда мы хотим минимизировать издержки производства за счет более жестких ограничений по использованию рабочего времени, люд­ ских и материальных ресурсов, а также машинного времени. Примеры такого рода могут быть преобразованы в задачи максимизации с последующим применением методов, описанных в предьщущем разделе. Если имеется задача минимизации, тогда соответствующая задача максимизации называется двойственной. Процесс решения двойственной задачи показан на последующих примерах. Пример 1 Рассмотрим производственные задачи компании «Стенлюкс». Компания должна принять решение по недельному объему выпуска двух моделей стираль­ ных машин- стандарт и де-люкс. Затраты, связанные с производством этих сти­ ральных машин, таковы: стандарт: 80 долл.; де-люкс: ПО долл. Количество человеко-часов, необходимое для производства единицы каж­ дого изделия, следующее: стандарт: 4 часа; де-люкс: 5 часов. В стиральной машине модели «стандарт» устанавливается один приводной ремень, а на модели «де-люкс» — два для повышения надежности. Согласно долговременному соглашению с поставщиками, еженедельно поставляется не менее 700 приводных ремней. При производстве стиральных машин требуется проведение сварочных ра­ бот, при этом на единицу изделия необходимо затратить: стандарт — 20 мин, де-люкс — 16 мин. Автоматическое сварочное оборудование необходимо использовать не ме­ нее 130 часов в неделю, в противном случае существенно возрастают эксплуа­ тационные расходы.

286

ГЛАВА 8

Задача принимает следующий вид: (i) X — количество производимых стиральных машин «стандарт»; у — количество производимых cTnpajibHbix машин «де-люкс». (ii) Мы хотим минимизировать объективную функцию: С = 80л: + ПО;'. (iii) При наличии следующих ограничений: а) количество человеко-часов: 4х + 5у >_ 2000; б) приводные ремни: 1х + 2>' > 700; в) продолжительность сварочных работ: 20х + \ву >_ 7800. (Обратите внимание, что 130 часов = 7800 минут.) Для нахождения этой двойственной задачи мы взаимно переставим ряды и колонки и одновременно поменяем знаки < и >, то есть показатели х дадут нам двойственное условие АХ + 1У + 20Z < 80, а показатели у — второе условие: 5Х + 2Y + 16Z< 110. Мы хотим максимизировать с = 2000J+ 700Г+ 7800Z Теперь мы можем применить симплексный метод для решения этой задачи. Для этого: Этап 1. Вводим свободные переменные для преобразования уравнений, как это показано ниже: 4А' = 1Г + 2 0 Z + 15, = 80; SX + 2Y+ 16Z+ 16-2 = ПО. Уравнение объективной функции можно записать в следующем виде: - с + 2000^ + 700 У + 7800Z + 05", + 05^ = 0. Этапы 2 и 3. Уравнения можно свести в таблицу (здесь уже показаны осевая колонка и вычисления по определению осевого ряда): Ряд 1 2 3

Базис

Значение

X

У

Z

S,

S,

Значение/ось

S, S, —с

80 110 0

4 5 2000

1 2 700

20 16 7800

1 0 0

0 1 0

4«* 6.875

Эти ряды трансформируются сначала путем приведения осевого значения к 1, а затем приведения остальных значений осевой колонки к О, как это показано в таблице ниже: Ряд R1/20 R2 - 16xNR1 R3 - 7800xNR1

1 2 3

Базис Значение Z Sj -с

4 46 -31200

X

У

Z

S,

S,

Значение/ось

0.2 1.8 440 * *

0.05 1.2 310

1 О О

0.05 -0.8 -390

О 1 О

20** 25.556

Эта же таблица показывает, откуда начинать повторно процесс определе­ ния новой осевой колонки и вычисления «значение/ось» с целью установления осевого ряда. Колонка X — это осевая колонка с наибольшим положительным значени­ ем. Этот ряд делится на 0.2 для приведения осевого значения к 1, а другие значения в других рядах приводятся к О, как это показано ниже: Ряд R1/0.2 R2-1,8xNR1 R3 - 440xNR1

1 2 3

Базис Значение X Sj -с

20 10 -40000

X

У

Z

S,

S,

Значение/ось

1 О О

0.25 0.75 200

5 -9 -2200

0.25 -1.25 -500

О 1 О

80 13.333**

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

287

Из этой таблицы видно, что осевая колонка — это колонка Y, а ряд 2 — осевой ряд Разделив ряд 2 на О 75, мы приведем осевое значение к 1, а также соответственно приведем другие значения осевой колонки к О, как это показа­ но ниже Ряд R 1 - 0 25xNR2 R2/0 75 R3 - 200xNR2

1 2 3

Базис Значение X 16 667 У 13 333 - с -42666 67

X

У

Z

1 О О

О 1 О

8 -12 200

S,

Sj

Значение/ось

0 667 - 0 333 2 083** - 1 6 6 7 1333 - 1 1 1 1 - 1 6 6 6 7 - 2 6 6 67

Необходимо отметить, что в этой таблице следует рассматривать только положительные значения соотношения «значение/ось» Итак, первый ряд — это осевой ряд, а осевое значение находится в первом ряду колонки Z Повторим процесс, как это показано ниже R1/8 R2 + 12xNR1 R3 - 200NR1

Ряд

Базис

Значение

X

У

Z

S^

1 2 3

Z У -с

2 083 38 333 -43083 33

0.125 15 -25

О 1 О

1 0 083 0 - 0 667 О - 1 8 3 33

Sj - 0 042 0 833 - 2 5 8 33

Мы получили, таким образом, решение, так как в нижнем ряду нет поло­ жительных значений А теперь обработаем результаты этой последней таблицы В последнем ряду для колонки Si имеем —183 33, и для колонки 6*2 258 33 Эти значения дают решение исходной задачи минимизации X = 183 33, у = 258 33 и с = 43083 Следовательно, мы будем рекомендовать компании производитьX — количество стиральных машин «стандарт» — 183; у — количество стиральных машин «де-люкс»' 80 х 183 + ПО х 258, т е затраты — 43020 долл Обратите внимание на расхождение между значением затрат по таблице и только что полученным значением Это является следствием округления пофешностеи Однако, мы об этом уже говорили ранее, округление может при­ вести к получению неоптимальных решений, и поэтому, когда вы делаете это, будьте внимательны Чтобы избежать необходимости округления, мы можем принять полученные решения за 183 33 машины «стандарт» и 258 33 машины «де-люкс» Отсюда следует, что в течение трех недель выпуск должен составить 550 машин «стандарт» и 775 машин «де-люкс»

8.9. Упражнения: симплексный метод 1 (Е) С помощью симплексного метода получите значения следующих переменных, которые оптимизируют заданную объективную функцию' (О Имеется х + 1 < 20, 2х + у < 30, х > О, у > 0. Необходимо максимизировать Р = 4х + Зу (п) Имеется 2х + Зу + 4^ < 240, X + 5у + 2г < 300; 2х + у + Z < 150; X, у тл Z >. О

Необходимо максимизировать Р = 10х + 5у + 8^

288

ГЛАВА 8

(ill) Имеется 4х + 2у + z < 400; Зх + 5у < 240; у + 2z < 200, ^> >' и ^ > О Необходимо максимизировать: Р = 15д: + 10>' + Sz 2 (D) Рассмотрим задачу принятия решения относительно вложения средств в ряд акций. Компания «Вили-Макен» консультирует клиента по этому вопросу Рассматриваются три наименования акций, которые имеют следуюшие теку­ щие цены за единицу: «Хансон-Иквити»: 6 ф ст.; «Фар-Ист»" 4 ф ст.;

«Максвелл Менеджд»: 5 ф. ст. Всего имеется средств к вложению на сумму 30 000 ф ст Компания «ВилиМакен» оценила риски, связанные с вложением в эти наименования акций, по шкале от 1 до 10 баллов. 1 балл означает очень надежное, безрисковое вложе­ ние, а 10 баллов — крайне высокорискованное вложение. Клиент хочет, чтобы вложение было достаточно надежным, и он желает, чтобы средняя оценка инвестиционного портфеля не превышала 5 баллов Указанные акции оценива­ ются с точки зрения риска следующим образом: «Хансон-Иквити»' 3, «ФарИст» 8, «Максвелл-Менеджд»: 6. По прогнозным расчетам прибыль от вложения на одну акцию за год со­ ставит «Хансон-Иквити»: 1.00 ф. ст. «Фар-Ист»: 2.00 ф ст , «Максвелл-Ме­ неджд»: 1 50 ф. ст. Далее, было решено, что акций «Фар-Ист» должно быть приобретено не более 2000 штук. С помощью симплексного метода определите, какое количество акций каждого наименования должен приобрести клиент, чтобы максимизировать прогнозируемую прибыль от инвестиции за год.

8.10. Транспортная задача Транспортные задачи обычно связаны с анализом доставки товаров от разных источников по различным направлениям. Так, у предприятия может иметься несколько складов, предназначенных для отправки товаров в различ­ ные точки страны. В этом случае необходимо принять решение относительно оптимального способа передвижения этих товаров, с тем чтобы минимизиро­ вать затраты, время на перевозку и задействованные при этом ресурсы. Такою рода задача относится к отдельному типу задач линейного программирования Мы имеем ряд ограничений, скажем, потребности точек назначения и наличие возможностей, и хотим минимизировать затраты. Поэтому мы можем сформу­ лировать транспортную задачу как задачу линейного программирования и далее применить для получения решения симплексный метод. Однако в том, что касается перевозок, ограничения даются в особой форме, и целесообразен упрощенный метод решения. При решении транспортной задачи процесс нахождения решения идет по той же самой цепочке, что используется при симплексном методе. Первона­ чально находится некое «решение», которое затем проверяется на оптималь­ ность Если результат отрицательный, то мы ищем лучшее решение, что про­ должается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение. Этот метод повтора показан на диафамме, представленной на рис. 8.17

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

289

Условия задачи

'' Нахождение первого начального распределения Нахождение лучшего распределения

1'

Является ли это оптимальным распределением?

;к

Нет

Да

1

Решение получено

Рис. 8 . 1 7 . Транспортная задача

На последующих примерах мы рассмотрим решение такого рода задач. Пример 1

Производственная компания располагает тремя производственными лини­ ями и двумя площадями первичного складирования. Изделия складируются партиями на площадях первичного складирования и далее отправляются поку­ пателям. Ежедневно три производственные линии — А, Б и В вьщают соответствен­ но 20, 50 и 20 партий товара. Далее в таблице показано время, которое затра­ чивается для передвижения товаров с участков производства в зоны хранения. Вре.мя дано в минутах на партию. Из таблицы видно, что для передвижения товаров от линии А в зону 1 требуется 7 минут. Точно так же для передвижения партии от линии Б в зону 1 требуется только 4 минуты. Задача состоит в том, чтобы определить, какие складские помещения луч­ ше всего использовать при передвижении товаров из различных производствен­ ных зон, с тем чтобы минимизировать время доставки. Все это можно предста­ вить в виде задачи линейного программирования, как это показано ниже: Время, затраченное на передвижение товаров (мин) Зоны складирования 1 2

А

Производственные линии Б

В

7 4

4 3

6 5

Мы будем пользоваться следующими обозначениями: Хд, ~ количество партий, перемещаемых от линии А в зону 1. Офаничения таковы: Хм + Л:Б, + Хв, < 60; ^А2 + Чг + -^В2 < 30; ^А1 + х^2 < 20; х^, ^Б1 + Хп ^Б2 < 50;

290

I ЛАВА 8

< 20, > О

Мы хотим минимизировать общее время, представ^пенное следуюи1им вы­ ражением I = 7хл, -t 4x^2 f 4хы + Зхи + бхщ + 5хв2 Эга сложная задача линейного программирования с шестью переменными может быть решена в более простои форме следующим образом Данные по времени, необходимые для выпускай складирования продукции, представлены в таблице ниже Зона складирования

Производственные линии Б В

А 1 2 Итого

20

Всего

7

4

ь

4

J

5

50

60 30 90

20

Обратите внимание, что время указано в правом нижнем углу каждой клетки таблицы Это стандартный способ представления информации в приме­ рах, которые мы приводим в этом раэделе. Цель состоит в том, чтобы опреде­ ли гь, как лучше всего передвигать продукцию из производственных зон в зоны складирования Так, например, сколько из 20 партий, произведенных в зоне А, необходимо переместить в каждую из зон складирования? Метод, который мы сейчас приведем, поможет получить оптимальное решение Этап I Нахождение первонач;1льного распределения. На этом этапе необходимо найти некое допустимое распределение. Для этого существует несколько подходов. Например, разумно рассмотреть «наиме­ нее затратные» маршруты Другими словами, необходимо рассмотреть те марш­ руты, которые наименее затратны (или, как в нашем примере, забирают мень­ ше всего времени), и соответственно направить по ним максимальные потоки произведенной продукции. Что касается нашего примера, кратчайший путь — это маршрут из зоны Б в зону 2, когда для доставки продукции (партии) требуется только 3 минуты Таким образом, в качестве первоначального распре­ деления нам следует направить максимальное количество (т. е. 30) по этому маршруту Зона 2 может принять максимум 30 партий товара, поэтому ничего больше мы не можем направить по этому маршруту Итак, мы проставляем данные по второму ряду (зона 2), как это показано в таблице ниже. А 1 2 Итого

Б 7 4

20

В 4

30 3 50

6

—

5

20

Всего 60 30 90

Рассмотрим следующий кратчайший маршрут, приходящийся на оставшиеся пустые клетки таблицы. В нашем примере время перемещения из зоны В в зону 1 составляет 4 минугы. Следующие 20 партий могут быть оставлены в этой клетке, для того чтобы разместить всю партию товаров в зоне В, как показано ниже А 1 2 Ито1 о

7 4

20

Б 20 , 30 , 50

В в S

20

Всего 60 30 90

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

291

Следующий кратчайший маршрут пролегает из зоны В в зону 1 (6 минут), куда можно направить 20 партии И наконец, остающиеся 20 партий распреде­ ляются в последнюю клетку таблицы (из зоны А в зону 1) В таблице ниже показано первонача^тьное распределение 1 2 Итого

А 23

, 4

50

Б 20 , 30 т 50

В 20

, 5

20

Всего 60 30 90

По этой таблице мы можем вычислить время, необходимое для передвиже­ ния всех партии, а именно Общее время = 20 х 7+ 20 х 4 + 20 х 6 + 30 х 3 = 140 + 80 + 120 + 90 = 430 мин Итак, с помощью этого подхода мы определили, что для перемещения всех партий в зоны сю1адирования потребуется всего 430 минут Этап 2 Является ли это оптима^гьным распределением'^ Вполне возможно что первонача^пьное распределение не минимизирует общие затраты (время) Для того чтобы проверить, является ли полученное распределение оптимальным, мы делаем следующее Этап 2(a) определение скрытых затрат Затраты на передвижение единицы продукции по каждому из направлений можно рассматривать как два отдельных вида затрат затраты (время) на пере­ мещение из данной производственной зоны (столбцовые затраты) и затраты (время) на принятие на конкретный ск,тад (рядные затраты) Каждые рядные и столбцовые затра1Ы называются скрытыми затратами Скрытые затраты оцениваются с помощью только распределенных клеток Для этого необходимо разбить общие затраты в каждой из клеток на рядные и столбцо­ вые ззфаты Прежде чем начать делать это, необходимо сделать допущение о еди­ нице затрат Обычно в таких случаях делаются допущения о том, что затраты в первом ряду равны нулю, а другие затраты рассчитываются исходя из этого значе­ ния Нулевые скрытые заграгы в ряду 1 показаны в следующей таблице 1 2 Итого

А 20

,

~~

•>

20

Б 20 30 50

, ,

в

20

20

Всего «

60 0

"^

30 90

С помощью распределенных KJTCTOK МЫ можем вычислить остающиеся скры­ тые затраты Так, маршрут от А к 1 имеет общие «затраты» в 7 Они разбиты между рядными затратами в О и столбцовыми затратами в 7 То есть можно посчитать, что затраты принятия на ск^тад 1 равны О, а затраты перемещения из зоны А равны 7 Аналогично, общие затраты для маршрута от Б к 1 состав­ ляют 4 Рядные затраты составляют О, а столбцовые — 4 Точно так же находим, что столбцовые затраты по зоне В составтяют 8 Эти затраты приведены в стедуюшей т а б и т е 1 2 Итого

А 20 , А

Б 20 , 30 т

20 ,

50 4

в

Всего

20 ,

60 0

"^ 20 ,

30 90

292

ГЛАВА 8

Аналогично, общие затраты по маршруту Б—2 составляют 3 минуты, стол­ бцовые затраты составляют 4, а рядные дотжны быть соответственно —1 (Об­ ратите внимание, что сумма рядных и столбцовых затрат должна равняться затратам в каждой из клеток ) Таким образом, мы можем вывести скрытые затраты в следующую таблицу А

Б

В

1 2

20 ,

20 е

Итого

20 .

20 , 30 , 50 .

4

Всего 60 0

30 „,

5

20.

90

Этап 2(6) сравнение скрытых затрат с общими А теперь рассмотрим пустые (или нераспределенные) клетки в таблице В каждом случае найдем разницу между общими затратами и суммой двух связан­ ных скрытых затрат Так, на маршруте В — 2 общие затраты составляют 5 Скры­ тые затраты для этой клетки составляют —1 в ряду и 6 в колонке. То есть мы считаем следующим образом 5 ~ (—1 -ь 6) = 5 — 5 = О Аналогичным образом мы можем провести вычисления для другой пустой клетки (А—2) Результаты этих вычислений показаны в таблице в верхнем левом углу соответствующей клетки А 1 2 Итого

Б

20 ,

20 ,

4

30 3 50 4

-2

20 .

В

Всего

20 е 0 5

20 ,

60 0

30 _,

90

Что касается пустых клеток, то если в них проставляются по результатам вычислении отрицательные значения, это означает, что распределение не яв­ ляется оптимальным Результаты вычислении приводятся в верхнем левом углу пустых клеток Так, маршрут А—2 дает в нашем случае отрицательное значение Следовательно, можно найти лучшее решение, обеспечивающее большее сни­ жение затрат Этап 3 Получение лучшего распредетения Этап 3(a) введение X в клетку Посмотрим на самое большое отрицательное значение в этих клетках, как они были рассчитаны на этапе 2(6) В этом примере имеется только один мар­ шрут (А—2), который дает отрицательное значение Следовательно, мы попро­ буем поставить в эту клетку как можно больше других значений Поэтому вве­ дем X в эту клетку, как это показано в таблице ниже' 1 2 Итого

А

Б

20 , -^ +х , 20 ,

20 , 30 3

50 ,

В

Всего

20 в U 5

20 е

60 0

30 _,

90

Этап 3(6) подкорректируем другие распределенные клетки Гели мы вводим X в маршрут А—2, то необходимо скорректировать другие маршруты, чтобы не изменились итоговые значения в рядах и колонках Мы должны добавить и вычесть X в других клетках, чтобы добиться этого Обратите внимание, что другие пустые клетки не должны использоваться для этой цели

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

293

Иначе говоря, для того чтобы сохранить итоговое значение колонки А в 20, необходимо привести маршрут А—1 на значение X. Аналогично поступаем с маршрутом Б—2. Что касается маршрута Б—1, то его необходимо увеличить на значение X, чтобы сохранить другие итоговые значения. Все эти корректи­ ровки приведены в таблице ниже: 1 2 Итого

А 20—X 7 -2 + X 4 20

Б 20 + X 4 30 — X 3 50

В 20 е 0

20

5

Всего 60 0 30_, 90

Этап 3(в): найдем максимальное значение X. Посмотрим на клетки, которые были изменены в нашей таблице, т. е. на те, которые содержат +Х или —X. Мы хотим, чтобы значение X было по воз­ можности максимальным, с тем чтобы максимизировать снижение затрат. Един­ ственное офаничение состоит в том, что эти клетки не могут давать отрица­ тельные значения. В нашем примере клетки содержат следующие значения: 20 — X, 20 + X, -^Х и 30 — А'. Значение X может быть величиной до 20, и при этом ни одно из этих значений не будет отрицательным. (Любое значение А'более 20 сделает хотя бы одно из этих значений отрицательным.) Следовательно, мак­ симальное значение X = 20. Этап 3(г): получение нового распределения. Подставив значение А" = 20 в таблицу, мы получим новое распределение, как это показано далее. Целесообразно рассмотреть время, необходимое для перемешения всех партий при данном распределении: Общее время = 40 х 4 + 20 х 6 -I- 20 ж 4 -Ь 10 х 3 = 160 + 120 + 80 + 30 = 390 мин. Как мы видим, этот результат лучше значения первоначального распреде­ ления: А 1 2 Итого

7

20 , 20

Б 40, 10. 50

В 20 6 5

20

Всего 60 30 90

Этап 4. Продолжим улучшение распределения. Этапы 2 и 3 повторяются до тех пор, пока лучшего распределения уже не получается. Рассмотрим этап 2 при новом распределении. а) Скрытые затраты определяются с использованием только распределен­ ных клеток, как это показано в таблице ниже. Считается, что в первом ряду скрытые затраты равны 0: А 1 2 Итого

7

20 д 20 S

Б 40 , 10 3 50 ,

В 20 6 5

20 6

Всего 60 0 30 _, 90

б) в пустых клетках вычисляются разницы между общими и скрытыми затратами:

294

ГЛАВА 8

А 1 2 Итого

2 7

20 . 20 ,

В 20 «

Б 40 , 10 .

0 5

20 в

50 4

Всего 60 0

30 _, 90

в) в этой таблице в левом верхнем углу клеток нет отрицательных значе­ ний. То есть улучшить распределение дальше нельзя. Следовательно, мы полу­ чили оптимальное решение этой задачи. Итак, время, требуемое для перемещения партий из производственных зон в зоны складирования, минимизируется при следующем распределение: Из зоны А: 20 партий в зону 2. Из зоны Б: 40 партий в зону 1 и 10 партий в зону 2. Из зоны В: 20 партий в зону 1. В итоге на это уйдет 390 минут. Такое оптимальное решение может быть не единственным, то есть суще­ ствует вероятность того, что имеются и другие варианты, позволяющие пере­ мещать товары из производственных зон в зоны складирования в пределах 390 минут. Следует отметить, что данный метод решения основывается на наличии достаточного количества «распределенных» клеток в таблице для того, чтобы можно было вычислить скрытые затраты. Для таблицы 2 х 3 (2 ряда и 3 колон­ ки) в этом примере четыре распределенные клетки были достаточны. В прин­ ципе, если у нас имеется таблица т х п (т рядов и п колонок), то нам необ­ ходимо т + п — I распределенных клеток. Если это условие не соблюдено, то задача считается «дегенеративной», и для получения решения необходимо при­ менить дополнительные приемы. Пример 2

(транспортная задача в компании «Стенлюкс»)

Руководителю сбыта компании «Стенлюкс» поставлена задача рассмотреть текущие способы перевозки и предложить альтернативные варианты, направлен­ ные на минимизацию затрат. Имеется три основные центра сбыта — в Лейпциге, Лионе и Бирмингеме. Коммерческие холодильные установки производятся на трех основных производствах в Стокгольме, Триесте и Руане. Далее в таблице приведе­ ны затраты по перевозке единицы изделия с производства в центр сбьгга (ф. ст. на единицу изделий): Транспортные расходы (ф. ст. на единицу изделия)

Центры сбыта Производства Стокгольм Триест Руан

Лейпциг 30 18 12

Ежемесячно выпуск продукции составляет: Стокгольм: 120 единиц; Триест: 40 единиц; Руан: 90 единиц. Потребности центров сбыта таковы:

Лион 14 8 6

Бирмингем 16 22 14

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

295

Лейпциг: 100 единиц; Лион: 80 единиц; Бирмингем: 70 единиц. Данные по транспортным расходам при перевозке изделий с производства в центры сбыта, а также показатели потребностей и объема выпуска приведены в таблице ниже. Обратите внимание, что расходы указаны в нижнем правом углу каждой клетки;

30

14

16

1в

8

22

12

6

14

Общий выпуск 120 40 90

80

70

250

Лейпциг Стокгольм Триест Руан Итого:

Лион

100

Бирмингем

А теперь приступим к решению задачи по оптимизации транспортировки изделий с целью минимизации расходов. /Ьтя этого: Этап I. Первоначальное распределение получаем путем отнесения максимально возможного количества изделий на наименее затратные маршруты. Так, маршрут Лион—Руан — самый дешевый, и поэтому туда мы относим максимально 80 изде­ лий. Таким образом, удовлетворяются потребности Лиона, что указано в колонке 2. Следующий по дешевизне маршрут— Руан—Лейпциг. По этому маршруту от­ правляем еще 10 изделий, что полностью выбирает объем выпуска в Руане. По этому методу получаем следующее г1ерво}1ачальное распределение:

Стокгольм Триест Руан Итого:

Лейпциг 50зо 40,в 10,г 100

Лион

Бирмингем 70,6

14 8

?2

80„ 80

14

70

Общий объем выпуска 120 40 90 250

Этап 2. Теперь, рассчитав скрытые затраты, посмотрим, является ли это оп­ тимальным решением. Используя только распределенные клетки, мы разобьем об­ щие затраты, показанные в каждой клетке, на рядные и столбцовые затраты. Мы начинаем с затрат в О в перво.м ряду. Эти скрытые затраты показаны в нижнем правом углу каждой клетки в итоговой колонке и итоговом ряду: Лейпциг Стокгольм Триест Руан

40 ,в 10 „

Итого:

100

5 0 30

Лион 14

Бирмингем 70

8

80, 80

„ 22

—"

70

14

Общий объем выпуска 120 40 90 250

0 -12

-а,.

А теперь, используя только пустые клетки, мы вычислим разницу между показанными общими затратами и сум.мой рядных и столбцовых скрытых затрат. Так, в клетке, отображающей маршрут Стокгольм—Лион, затраты составляют 14, а показатели скрытых затрат — О (в ряду) и 24 (в колонке). Путем вычис­ ления 14 — (О + 24) получаем результат (—10). Это значение, а также значения для других пустых клеток показаны в левом верхнем углу этих клеток:

296

ГЛАВА 8

Лейпциг Стокгольм Триест Руа н

5 0 30 4 0 ,8 10 п

Бирмингем

Лион -10

70

10

—л

22

3

100

120 40 90

16

18 16

80 6

14

70

80

Общий объем выпуска 0 -12 -18

250

Далее посмотрим на самое большое отрицательное значение в верхнем левом углу, чтобы определить, куда направить дополнительные изделия. Мар­ шрут Стокгольм—Лион имеет значение —10, и, следовательно, мы должны добавить +Хв эту клетку. Другие распределенные клетки необходимо скоррек­ тировать таким образом, чтобы сохранить итоговые значения в рядах и колон­ ках, как это показано ниже:

Стокгольм Триест Руан Итого

Лейпциг

Лион

50-х ,„

-'°+х „

4 0 ,8 1 0 + Х ,2

—4

100 30

Бирмингем 70 „ 14

120 40 90

,6

250

18 22

в 80—X 6

16

70

8 0 24

Общий объем выпуска 0 _,2 _,8

Из таблицы, в которой максимальное значение X равно 50, становится ясным, что если X будет больше 50, то, по крайней мере, одно распределение (маршрут Стокгольм—Лейпциг) будет отрицательным Поэтому мы устанавли­ ваем А' = 50 для того, чтобы получить новое улучшенное распределение, как показано в следующей таблице. Лейпциг Стокгольм Триест Руан Итого

по

40 60

,8 ,2

100

Лион 50 „

Бирмингем 70 ,«

8

22

30 е 80

14

70

Общий объем выпуска 120 40 90 250

Этот процесс повторяется до максимального улучшения распределения. Весь процесс вычисления скрытых затрат с помощью распределенных кле­ ток и затем нахождения разницы для пустых клеток приведен в таблице ниже. В таблице также показано прибавление X в клетку, дающую отрица­ тельное значение этой разницы, которая представлена в верхнем левом углу каждой пустой клетки: Лейпциг Стокгольм Триест Руан Итого

10 30

4 0 - х ,8 6 0 -ь X ,2 100 20

Лион 50

Общий объем выпуска

70

120

0

40

_2

90 250

^

„

„

8

-^ ^ Х 8 30-X 5

80

Бирмингем 22 6 14

„

70

,в

Из этой таблицы находим, что максимальное значение X составляет 30. Подставив это значение Хв распределение, получим следующую таблицу. В эту таблицу также включены вычисления по скрытым затратам, с тем чтобы опре­ делить, возможно ли дальнейшее улучшение:

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Лейпциг Стокгольм Триест Руан Итого

Лион 50 „ 30 3

в

10 90 100

,в „ ,,

Бирмингем 70 ,« 12 22

4

10 14

80

„

70

,в

297

Общий объем выпуска 120 40 90 250

0 ^ _„

Мы видим, что в этой таблице в левом верхнем углу клеток нет отрица­ тельных значений. То есть дальнейшее улучшение невозможно, и таблица вьщает оптимальное распределение. Следовательно, оптимальный план перевозок, обеспечивающий миними­ зацию затрат, выглядит следующим образом: 50 изделий из Стокгольма в Лион; 70 изделий из Стокгольма в Бирмингем; 10 изделий из Триеста в Лейпциг; 30 изделий из Триеста в Лион; 90 изделий из Руана в Лейпциг. Общие затраты при такой стратегии перевозок составляют-. 50 X 14 + 70 X 16 + 10 X 18 + 30 X 8 + 90 X 12 = 3320 ф. ст. в месяц. 8.11. Упражнения: транспортная задача 1. (I) В таблице приведены расходы по перевозке товаров с четырех фабрик на три склада, расположенные в различных местах. Расходы даны в $ на едини­ цу товара. Склады X Y Z

Фабрики А

Б

В

Г

15 40 25

10 35 15

45 20 9

30 35 15

Месячный объем выпуска фабрик следующий: А: 8 единиц; Б: 17 единиц; В: 11 единиц; Г: 10 единиц. Месячная потребность складов следующая: X: 11 единиц; Y: 13 единиц; Z: 22 единицы. С помощью соотвегствующего метода найдите оптимальную стратегию пе­ ревозки товаров от фабрик к складам, которая позволит минимизировать об­ щие затраты. 2. (I) Электронная компания имеет четыре центра сбыта и четыре крупных розничных магазина, расположенных в Калифорнии. Расстояния между центра­ ми и магазинами указаны в таблице. Также указано количество партий компь­ ютерных систем, имеющихся в наличии в каждом из центров сбыта, и потреб­ ность в них в каждом из магазинов: Розничные магазины А Б В Г Всего в наличии

1 90 350 300 40 8

Це игры сбыта 2 3 60 130 200 300 4

450 300 350 110 18

4 300 450 500 250 10

Потребность 6 7 10 17 40

298

ГЛАВА 8

С помощью метода решения транспортных задач предложите маршруты пере­ возки партий компьютерных систем, которые минимизируют общий километраж. 8.12. Несбалансированная транспортная задача Транспортные задачи, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе, считаются сбалансированными, так как общие потребности равны в каждом случае общему наличию. Если этого не происходит, то мы имеем дело с несба­ лансированной задачей, которую и рассмотрим на последующем примере. Рассмотрим прельщущую задачу по перемещению товаров из производ­ ственных зон (А, Б и В) на склады (1 и 2). В таблице указано время, необхо­ димое для перемещения товаров из производственных зон на склады, а также общий объем выпуска по трем зонам и общие складские мощности. (Время дано в минутах и показано в правом нижнем углу каждой клетки): Б

А 1 2 Итого

В

7 4

3

20

Итого 45 30

6

4

5

50

20

Это несбалансированная задача, так как общие складские мощности (75 единиц) меньше, чем общий объем выпуска (90 единиц). Необходимо сбалан­ сировать эту задачу путем включения дополнительной строчки, но итоговые значения рядов и колонок должны остаться прежними. В этом примере мы вводим дополнительный ряд (называемый псевдорядом) со значением 15, как это показано в таблице ниже: А 1 2 Псевдо Общий объем выпуска

Б

В

7

4

6

4

3

5

0

0

0

20

Общие мощности 45 30 15 90

20

50

Обратите внимание, что затраты в псевдоряде равны нулю. Цель вклю­ чения дополнительного ряда в таблицу в том, чтобы получить для решения сбалансированную задачу. Теперь и складские мощности, и общий объем выпуска равны 90. Теперь данную задачу можно решать таким же способом, который мы применяли в предыдущих примерах. Во-первых, находим первоначальное рас­ пределение исходя из наименее затратных маршрутов. Любой из маршрутов с нулевыми затратами можно использовать как первоначальное распределение. Так, маршрут из зоны А на склад 3 имеет распределение в 15 единиц. Оставше­ еся распределение показано в таблице ниже. Таблица также используется для вычисления скрытых затрат по распределенным маршрутам и разницы между общими затратами и скрытыми затратами для пустых клеток: 1 2 Псевдо Общий объем выпуска

А 5 -X -2+Х 15 20

7 4

Б

в

20 + Х4 30 — X ,

20

3

0 1 1

0 7

Всего 6

0

50

4

0

20

6

45 0 30 ., 15 _7 90

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

299

Значение X вводится в клетку с наибольшим отрицательным значением в верхнем левом углу, то есть в клетку, отображающую маршрут А—2. Другие клетки затем корректируются, с тем чтобы сохранить итоговые значения рядов и колонок. Максимальное значение X составляет 5, что дает улучшенное рас­ пределение, как это показано в таблице ниже. И снова вычисляются скрытые затраты, с тем чтобы определить, можно ли еше улучшить полученное распределение. Б

в

7

25-^X4

20-Хе

45 0

5+Х 4

ЗО-Хз

0

30 _, 15 ^ 90

А 1

2

2 Псевдо Общий объем выпуска

1&-Хо 20

5

1

-'+Хо

0

50

5

Итого

4

20

6

Из этой таблицы видно, что маршрут В—3 можно использовать для даль­ нейшего сокращения затрат. В эту клетку вводится переменная А", а другие клет­ ки соответственно корректируются. Обратите внимание, что при корректировке итоговых значений можно пользоваться только распределенным клетками. В этом примере мы видим, что все распределенные клетки требуют корректировки с тем, чтобы сохранить имеющиеся итоговые значения. По этой таблице нахо­ дим, что максимальное значение X составляет 15, и этот результат показан в таблице ниже. И снова мы вычисляем скрытые затраты на предмет возможности дальнейшего улучшения распределения: Б

А 1 2 Псевдо Общий объем выпуска

2 7

20

4

1

В 4

10

, 0

15

0

50

4

20

е

2

5

.

40

0

20

5

Итого

0

45

0

30 _, 15 в 90

Из этой таблицы видно, что при вычислениях в пустых клетках не возникает отрицательных значений. Следовательно, распределение невозможно улучшить, поэтому общие затраты минимизируют следующие маршруты: Производственная зона А: 20 единиц на склад. Производственная зона Б: 40 единиц на склад 1 и 10 единиц на склад 2. Производственная зона В: 5 единиц на склад 1. Остаток произведенной продукции из зоны В останется неиспользован­ ным, что видно из соответствующего значения (15 единиц) псевдоряда.

8.13. Задача максимизации В предьщущих примерах мы рассмотрели приемы минимизации ресур­ сов, в частности времени или затрат, при решении конкретной транспор­ тной задачи. Эти же методы можно применять и в ситуациях, когда необ­ ходимо максимизировать значения. Так, мы можем поставить задачу макси­ мизировать доход или прибыль за счет распределения перевозок. Процесс максимизации требует модифицировать описанные ранее приемы — в час-

300

ГЛАВА 8

стности, задачу минимизации, как это показано в таблице ниже. Рас­ смотрим эту таблицу, в которой показан ожидаемый доход от реализа­ ции коммерческих холодильных установок в зависимости от того, какие производства и центры сбыта будут задействованы. (Валовая прибыль приведена в 100 ф. ст. на единицу):

Производства Стокгольм Триест Руан

Лейпциг 20 32 38

Центры об ыта Лион 36 42 44

Бирмингем 34 28 36

Итак, из таблицы видно, что изделие, произведенное в Стокгольме и отправленное в Лейпциг, принесет прибыль в 2000 ф. ст. (Обратите внимание, что в этой таблице цифры даны в 100 ф. ст.) Задача заключается в том, чтобы определить оптимальные маршруты пере­ возок, с тем чтобы максимизировать общую валовую прибыль. Месячный объем производства следующий: Стокгольм: 120 ед., Триест: 40 ед., Руан: 90 сд. Потребности центров сбыта таковы: Лейпциг: 100 ед., Лион: 80 ед., Бир­ мингем: 70 ед. Вместо решения этой задачи как задачи .максимизации мы преобразуем эту информацию в задачу мини.мизации. Показатели прибьыи, указанные в первой таблице, из.меняются следую­ щим образом: 1. Находим по таблице наибольшее значение прибыли. 2. Вычитаем каждое значение из наибольшего значения прибыли. Полученные цифры можно рассматривать как затраты, и для того что­ бы макси.мизировать прибыль, мы можем минимизировать эти «затраты». Так, из первой таблицы находим, что максимальное значение прибыли составляет 44. Теперь вычитаем каждое значение из 44 и получаем следую­ щую таблицу. (Валовая прибыль в 100 ф. ст. на единицу.)

Производство Стокгольм Триест Руан

Лейпциг 24 12 6

Це чтры сбыта Лион 8 2 0

Бирмингем 10 16 8

То есть мы преобразовали информацию в задачу минимизации, как это показано в таблице ниже: Общий объем Лейпциг Стокгольм Триест Руан Итого

Лион

24

а

10

12

2

16

0

8

6

inn

Бирмингем

ЯП

7П

выпуска 120 40 90

pfin

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

301

с помощью приемов минимизации, описанных в предыдущих примерах, получаем следующее оптимальное решение:

Лейпциг Стокгольм Триест Руан Итого

-24

10 „

50 30

90 е

100

Бирмингем

Лион 8 2

70

,0 16 8

0

70

80

Общий объем выпуска 120 40 90 250

Такое распределение максимизирует общую прибыль, как это показано в таблице ниже. Показатели затрат преобразуются обратно в исходные значения прибыли, и они показываются в нижнем правом углу каждой ячейки: Лейпциг Стокгольм Триест Руэн Итого

20

10 „ 90 ,„ 100

Бирмингем

Лион 50 30

^ .,

70 .^

44

36

9(1

80

70

Общий объем выпуска 120 40 90 250

При таком распределении максимальная прибыль составит: 10 X 32 + 90 X 38 + 50 X 36 X 42 + 70 ж 34 = 9180. Так как цифры в таблице даны в 100 ф. ст., то максимальная валовая прибыль составит 918 000 ф. ст. 8.14. Упражнения: задачи максимизации и несбалансированные задачи 1. (1) В каждой из последующих задач определите оптимальный способ перевозки товаров со складов в розничные магазины. В таблицах транспор­ тные расходы указаны на единицу товара. Также приведены данные по по­ требностям розничных магазинов и наличию единиц товара на складах. (Циф­ ры даны в ф. ст.): (i) Розничный магазин 1 2 3

А 5 4 6

Склад Б 7 9 10

Всего в наличии

40

30

Всего необходимо

в 10 9 12 20

25 25 50

ГЛАВА 8

302 (и)

Розничный магазин 1 2 3 Всего в наличии

Всего необходимо

Склад

А

Б

В

7 4 6

6 4 3

5 6 4

20

35

3S

15 30 40

2 (D) В таблице ниже приведена сумма прибыли, получаемая при транс­ портировке единицы изделия между производством и центром сбыта. (Цифры даны в долл США на единицу ) Розничный магазин 1 2 3 Всего необходимо

Всего необходимо

Склад

А

Б

В

30 25 31

40 34 20

33 26 19

40

30

30

25 25 50

С помощью метода решения транспортных задач найдите оптимальные маршруты перемешения требуемых товаров с целью максимизации ожидаемой прибыли

8.15. Интерпретация результатов: вопросы управления При получении решений оптимизации с по.мощью симплексного мето­ да или методов решения транспортных задач их необходимо интерпретиро­ вать с точки зрения реальности и практического смысла Так, возьмем зада­ чу, которую мы уже рассматривали в этой главе относительно соотношения объемов выпуска различных моделей холодильников в компании «Стенлюкс». На первом этапе мы определили количество каждой из моделей, которое необходи.мо производить, чтобы максимизировать прибыль при наличии ограничений по сырью и рабочему времени. Полученное решение дало опгимальное количество по произволе 1ву каждой из моделей. В этом примере мы установили, то ежедневно необходимо производить 375 холодильников модели А470 и 937 холодильников мoдeJ^и А370, чтобы получить в итоге валовую прибыль в 82 470 долл США Полученные результаты необходимо проанализировать в свете ряда дополнительных факторов, и не всегда при­ нимать их за данность. Так, прежде чем принять окончательное решение по оптимальному соотношению объемов выпуска, руководителю может потре­ боваться оценить эти результаты с уметом дополнительной информации. При этом необходимо учесть следующие факторы' 1. Возможно, придется рассмотрегь дополнительные ограничения. Так, данная производственная задача, вполне возможно, связана с использова­ нием дополнительных материалов, Г1ри\1еняемых исключительно при выпус­ ке данной .модели Количество таких материалов ограничено, и поэтому необходимо ввести дополнительное ограничение при использовании симп­ лексного метода.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

303

2 Могут существовать и дру1ие факторы вне исходной задачи, которые втияют па приюлпость полученных резупьгатов Например, при решении данной }адачи необходимо учес1ь вопросы, связанные с реализацией и мар­ кетингом Так, покупательский спрос может ограничить число производи­ мых холодильников или же изменить соотнощение между количеством каж­ дой из моделей Если установлено, что спрос на модель А370 не превыщает 600 щтук в неделю, то тогда предтагаемое количество к производству не­ приемлемо Поэтому при нахождении решения также иногда следует учесть ограниче­ ние по возможному спросу 3 Номенклатура продукции также окажет воздействие и на другие сферы деятельности, в частности, необходимо учесть имеющиеся в наличии складские мощности 4 Объективная функция может выглядеть более сложной, чем в наших примерах Так, было сделано допущение о том, что показатель прибыли от производства единицы конкретной модели не изменяется На практике же фак­ тическая прибыль может изменяться по мере увеличения объема производства Так, имеются постоянные затрагы, связанные с производством, в частности капшальные, т е затраты на оборудование и хранение Кроме того, существуют и переменные затраты, в частности эксплуатационные расходы по оборудова­ нию и дополнительные затраты по содержанию рабочей силы Часто дополни­ тельный объем выпуска приводит к экономии Так, маловероятно, что прибыль от модели А470 будет всегда равна 70 лотл за единицу Если эти холодильники производятся в небольших количествах то, скорее всего, прибыль на единицу будет значительно ниже Фактически при снижении объема производства за определенный уровень возникнут убытки Все вышеперечисленное делает фун­ кцию прибыли гораздо более сложной, и может в реальности оказаться так, что в таких случаях методы линейного программирования, которые мы описали в этой главе, непригодны 5 На номенклатуру продукции окажут влияние и внешние факторы Так, при принятии окончательного решения необходимо учесть поведение конку­ рентов на этом рынке, вопросы ценообразования, а также планы продвижения товара и маркетинговые мероприятия Аналогичным образом при решении транспортных задач необходимо учесть дополнительные факторы, которые могут повлиять на окончательное распределение Мы рассмотрели транспортную задачу компании «Стенлюкс», связанную с перемещением коммерческих холодильных установок с трех производств в три центра сбыта С помощью соответствующих приемов мы получили распределение установок по транспортным потокам, которые минимизирует транспортные расходы Однако необходимо учесть еще и дру­ гие факторы, в частности — Складские площади если складские площади в разных местах офаничены, то перемещение необходимою количества товаров согласно распределе­ нию, полученному методом решения транспортных задач, возможно, придется разнести по определенным периодам — Транспортные расходы количество изделий, перемещаемых между объек­ тами, может повлиять на стоимость этих изделий Так, использование транс­ портного средства с большей вместимостью может снизить издержки на едини­ цу изделия

304

ГЛАВА 8

— Размер партии во многих случаях целесообразно перевозить определен­ ное количество изделии в одной партии Например если транспортное средство можег перевозить максимум шесть изделий, то, вероятно, наиболее эффектив­ но с точки зрения затрат перевозить товары в количествах, кратных этому значению Вопросы, поднятые в этом разделе, говорят о том, что результаты, полу­ ченные с помощью аналитических приемов, необходимо тщательно анализиро­ вать и видоизменять с учетом дополнительных факторов. Ясно, что просто минимизировать затраты или максимизировать прибыль без учета других факто­ ров обычно недостаточно 8.16. Краткое содержание главы В этой главе мы рассмотрели приемы линейного программирования при решении задач оптимизации. Типичный пример — максимизация прибыли пред­ приятия за счет определения соответствующей номенклатуры производства. Кроме того, задачи линейного профаммирования могут быть направлены на минимизацию переменных, в частности затрат. Выражение, которое необходи­ мо оптимизировать, называется объективной функцией. Эта функция высчитывается при наличии ряда офаничений Одна из самых больших трудностей при решении такого рода задач состоит в исходной постановке задачи, когда необ­ ходимо определить офаничения, представить их в виде неравенств и вьщать выражение объективной функции. При решении простых задач только с двумя переменными можно применить графический метод. Для более сложных задач применяется симплексный метод. Одной из разновидностей задач линейного профаммирования являются транспортные задачи Такие задачи решаются с помощью специальных при­ емов, которые заключаются в сведении транспортных расходов в таблицу и их сравнении с наличием товаров и потребностью в них. При этом используется метод iTOBTopa, когда определяется первоначальное распределение, которое затем мы проверяем с целью улучшения. Если его можно улучшить, то мы получаем новое распределение, и процесс повторяется до тех пор, пока дальнейшее улучшение становится невозможным. 8.17. Дополнительные упражнения 1. (Е) В таблице указано время, необходимое для производства двух наименований товаров последовательно в каждом из трех производственных цикловТовар 1 2

Цикл А 20 30

Кол-во минут на цикл Цикл Б Цикл В 10 40 20 30

Компания получает прибыль в 40 долл. США за единицу товара 1 и 50 долл. за единицу товара 2 На каждый из циклов имеется всего; цикл А: 1600 мин; цикл Б: 1000 мин; цикл В: 2400 мин С помощью фафического метода определите, в каком коли­ честве необходимо выпускать каждый из товаров, чтобы максимизировать об­ щую прибыль.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

305

2 (I) Владелец розничного магазина по продаже электроники должен приня1ь решение по ассортименту запасов компьютеров В частности, он решил выбрать модели А ТХВ 486 ДЧ и/или Б. ТХВ 586 SX Заказы на ком­ пьютеры размешаются ежемесячно, и они исполняются на следующий день Складские помещения рассчитаны максимум на 30 компьютеров Обе модели занимают одинаковое место. Цена приобретения составляет, модель А. 500 ф. ст., модель Б. 800 ф ст У владельца магазина имеется в месяц 20 100 ф. ст. свободных средств на приобретение этих компьютеров. Он получает прибыль в размере 200 ф ст за каждый ко.мпькяср модели А и 300 ф. ст. за каждый компьютер модели Б Из прошлого опыта известно, что месячный объем продаж модели Б не превысит 20 единиц Порекомендуйте владельцу магазина, сколько и какой модели ему ежемесячно следует приобретать, чтобы максимизировать ожидае­ мую прибыль. 3 (Г) Тот же самый владелец магазина (см. задание 2) должен решить, сколько и какой модели закупать при наличии ряда ограничений В каждом из случаев найдите оптимальное количество компьютеров к приобретению (|) Имеются складские площади на 50 компьютеров. Стоимость приобретения компьютеров, модель А. 300 ф ст , модель Б 500 ф сг Владелец магазина располагает 21 000 ф ст Он зарабатывает на модели А 150 ф сг , на модели Б ~ 200 ф. ст Максимизируйте валовую прибыль (и) Имеются сктадские площади на 100 компьютеров. Владелец магазина должен приобрести не менее 20 штук каждой модели Расходы на подютовку заказа, включая транспортные расходы и адми­ нистративные издержки, составляют для модели А 20 ф. ст., и для модели Б — 24 ф. ст Стоимость приобретения компьютеров, модель А. 400 ф ст , модель Б 500 ф ст Владелец магазина хочет направить от 24 000 до 44 000 ф ст на закупку обеих моделей. Минимизируйте расходы на подготовку заказа. Почему может оказаться так, что полученное значение по количеству ком­ пьютеров не является оптимальным*^ 4 (I) Рекламное агентство решает вопрос о размещении рекламных мате­ риалов в средствах массовой информации. Рекламу можно разместить на мест­ ном радио, в местной газете и на щитах. По оценкам, в каждом из случаев рек^тама может дойти до 3000 человек (радио), 6000 человек (газета) и 2500 человек (щиты) Стоимос1ь размещения одного рекламного материала составляет местное радио 800 ф ст , местная газета 500 ф ст., щиты 400 ф ст Всего на рекламу выделено 15000 ф ст., и не более 15 рекламных .матери­ алов может быть размещено в одном из средств С помощью симплексного метода определите, сколько рекламных матери­ алов и где следует разместить, чтобы максимизировать охват населения рекла­ мой товара 5 (I) Производитель хочет определить оптимальные дневные объемы вы­ пуска трех товаров — А, Б и В, которые максимизируют прибьыь. Имеются следующие ограничения

306

ГЛАВА 8 Товар

А Б В Всего имеется в наличии

Кол-во персонала, требуемого для выпуска единицы товара 4 3 3

Кол -во сырья на единицу товара

Maiшино-часы

5 8 6

1 1 2

700

1200

300

Оценочная валовая прибыль от единицы товара составляет: товар А: 50 долл., товар Б: 40 долл., товар В: 30 долл. С помощью симплексного метода порекомендуйте производителю опти­ мальные дневные объемы выпуска этих товаров. 6. (1) Производитель ковровых покрытий выпускает ковровые покрытия шириной 10, 12 и 15 футов и реализует их розничным торговцам рулонами по 200 футов. Для производства одного рулона требуется следующее количество щерсти: покрытие шириной 10 футов: 40 кг; покрытие шириной 12 футов: 45 кг; покрытие шириной 15 футов: 50 кг. Шерсти имеется в количестве только 2750 кг. Общий объем продаж руло­ нов шириной 12 и 10 футов вряд ли превысит 30 штук. Производитель уже получил заказы на производство 20 рулонов шириной 15 футов. На каждом рулоне производитель получает следующую прибыль: покрытия шириной 10 футов: 400 ф. ст.; покрытие шириной 12 футов: 500 ф. ст.; покрытие шириной 15 футов: 600 ф. ст. Найдите, сколько рулонов каждого вида необходимо производить, чтобы максимизировать прибыль. 7. (I) В таблице ниже приведены расходы на транспортировку партий товаров с трех фабрик (А, Б и В) к четырем складам (Г, Д, Е и Ж). В таблице также указаны количество товара на каждой из фабрик и вмести­ мость складов: Фабрика А Б В Спрос

Склады (расходы на 1 партию Г Е Д 20 10 15 70

40 25 45 50

15 25 30 90

в ф. ст.)

ж

Предложение

30 35 20

60 100 80 240

30

С помощью метода решения транспортных задач определите .маршруты, по которым следует направлять товары, с тем чтобы минимизировать общие расходы. 8. (D) Производитель моющих средств производит три наименования това­ ров: «Физ», «Шут» и «Зум». На единицу товара компания получает следующую прибыль: «Физ»: 40 ф. ст.; «Шут»: 30 ф. ст.; «Зум»: 25 ф. ст.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

307

Потребности для производства одной партии приведены в таблице ниже: Товар «физ» «Шут» «Зум» Всего

Химические вещества (мг) 20 16 22 в наличии в день 1000

Машинное время (мин) 8 7 6 400

Человеко-часов (мин) 10 10 8 400

(i) С помощью симплексного метода определите, сколько партий и какого моющего средства необходимо производить в день с тем, чтобы максимизиро­ вать общую прибыль. (ii) Если ежедневный выпуск «Зум» не должен превышать 25 партий, то как это повлияет на полученное вами решение?

Глава 9

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ > > > > > > > > > > > > > >

ГЛАВЫ

Разработка имитационных моделей Случайные числа Использование случайных чисел в моделировании Моделирование спроса Управление запасами Возникновение дефицита Учет затрат Сравнение стратегий управления запасами Задачи массового обслуживания Время ожидания Анализ расходов/доходов Практическое применение Моделирование нормальной переменной Оценка методов моделирования

ЦЕЛИ: > научиться применять случайные числа при моделировании переменных > научиться применять моделирование при анализе решений по вопросам управления запасами > овладеть применением моделирования при решении задач массового об­ служивания > уяснить значение моделирования при решении различных хозяйственных задач.

Введение Методы моделирования можно использовать при принятии управленческих решений тогда, когда чисто аналитические методы либо неприменимы, либо неприемлемы. Моделирование — это использование моделей, отображающих реальную жизненную ситуацию. Далее с этой моделью можно работать, с тем чтобы проанализировать возможные альтернативные решения данной пробле-

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

309

МЫ. Процесс моделирования может задействовать относительно простые при­ емы для решения крайне сложных задач. Часто моделирование позволяет руко­ водителю глубже понять суть задачи и оценить преимущества и недостатки альтернативных стратегий и возможных решений. Наконец, методы моделиро­ вания — это малозатратный, эффективный и безрисковый подход к экспери­ ментированию, которое вряд ли возможно в реальной жизни. Методы моделирования обычно требуют проведения большого количества повторяющихся действий и времени. Поэтому в большинстве практических ситуаций целесообразно использовать компьютер. В настоящее время имеются различные программы моделирования, которые помогают создавать реалистич­ ные модели. О них мы поговорим позднее в этой главе. К типичным хозяйствен­ ным задачам, где можно эффективно использовать моделирование при приня­ тии управленческих решений, относятся следующие: — Управление запасами. — Работа системы массового обслуживания. — Производственное планирование. — Анализ рисков. — Использование ресурсов. Последующие конкретные примеры — это как раз те случаи, когда при принятии управленческих решений можно использовать методы моделирова­ ния.

Конкретный пример

^^^У^*^ "° техническому обеспечению компании «Редналл»

Компания «Редналл» занимается предоставлением компьютерных услуг в основном клиентам, расположенным в Европе. К этим услугам относятся: кон­ сультации по установке компьютеров, приобретению программного обеспече­ ния и развитию систем. Компания может предоставлять как первоначальные консультации, так и полномасштабные услуги с оказанием помощи по компо­ новке, развитию и установке систем, а также с предоставлением долговремен­ ного сопровождения с целью быстрого и эффективного устранения возникаю­ щих трудностей. Услуги по техническому обеспечению, предоставляемые компанией «Ред­ налл» — это существенный элемент политики по работе с клиентами, способ­ ствующий появлению новых коммерческих возможностей. Пользователи систем могут позвонить по телефону в службу технического обеспечения «Редналл» и получить консультации и помощь по следующим вопросам: — использование прикладных пакетов; — неисправности аппаратных средств; — устранение сбоев в программных средствах; — приобретение дополнительных средств. Некоторые из этих вопросов можно решить по телефону, но многие тре­ буют более сложной работы, включая привлечение определенного числа со­ трудников и выезд к клиенту. В рамках «Редналл» имеется несколько групп техническою обеспечения, каждая из которых занимается конкретным направ­ лением поддержки пользователей. Все запросы клиентов фиксируются и разно­ сятся по направлениям После этого назначается один или несколько сотрудни-

310

ГЛАВА 9

ков из числа соответствующей группы для проведения запрошенных работ. Использование моделирования в этом случае может помочь более четко пред­ ставить распределение нафузки по фуппам и определить, сколько и где со­ трудников требуется для того, чтобы минимизировать время, уходящее на об­ служивание отдельных клиентов. То есть компания «Редналл» может использо­ вать моделирование в целях улучшения обслуживания клиентов и, соответ­ ственно, повышения своего делового имиджа. Кроме того, в компании суще­ ствует озабоченность в отношении неоднократно возникавшего дефицита ряда аппаратных средств, что приводило к срыву сроков поставок клиентам. Компании необходимо пересмотреть требования к уровню запасов по не­ которым крупным позициям, и здесь также помощь может оказать моделирова­ ние. Конкретный пример

Рискованный бизнес: афера с банком «Бэрингз»

В начале 1995 г. банк «Бэринг Бразерс» стал фактически неплатежеспособ­ ным в результате сделок с деривативами в Юго-Восточной Азии. Банк «Бэ­ рингз» был небольшим, но имел большую историю. Основанный в 1762 г. Фрэнсисом и Джоном Бэрингами, банк быстро приобрел международную ре­ путацию, что позволило в 1818 г. французскому министру иностранных дел Дюку де Ришелье назвать его в ряду великих держав Европы вместе с Англией, Францией, Пруссией, Австрией и Россией. В 90-х годах нашего столетия банк продолжал считаться устойчивым, надежным учреждением. В 80-е годы банк «Бэрингз» начал работу с деривативами на рынках ЮгоВосточной Азии. Одно из наиболее прибыльных подразделений империи «Бэ­ рингз» как раз и занималось проведением операций за счет собственных средств. Операции с так называемыми деривативами заключаются в инвестировании крупных денежных сумм исходя из роста и падения на мировых финансовых рынках. В принципе, такого рода инвестиции — это азартная ифа с невероят­ ной прибылью в случае успеха и риском фомадных убытков в обратном случае. В начале 90-х годов отдел, возглавляемый Ником Лисоном в Сингапурском отделении банка «Бэрингз», приносил офомные прибыли от операций на этом рынке. Но так случилось, что в начале 1995 г. офомные суммы были вложены в надежде на рост японского фондового рынка (измеряемого индексом Никкей). Индекс же «Никкей» в то время падал, и банку «Бэрингз» приходилось выпла­ чивать все большие и большие суммы на поддержание своей позиции. В конце концов банк «Бэрингз» был вынужден обратиться за помощью в Банк Англии с тем, чтобы продолжить торговлю. Так как Банк Англии и другие финансовые учреждения имели мало информации по точной сумме убытков и кредиторской задолженности банка «Бэрингз», то они не пошли ему навсфечу. В результате этого был объявлен процесс ликвидации. Как бьыо установлено ликвидатора­ ми, задолженность банка составила около 850 млн. ф. ст. при активах только в 400 млн. ф. ст. В конечном итоге банк был приобретен голландской банковской фуппой 1NG и продолжил операции под своим именем. Риск, связанный с деривативами, можно проиллюсфировать с помо­ щью моделирования. И если бы такие методы моделирования были приме­ нены в свое время, то это могло бы уберечь высшее руководство банка от

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

311

рисков, связанных с работой на рынке деривативов. По крайней мере, ре­ зультаты моделирования заставили бы их усилить контроль за этой деятель­ ностью. Однако необходимо отметить, что на таком изменчивом и непредсказу­ емом рынке использование методов моделирования — это один из многих инструментов управления, используемых для оценки рисков. Очевидно, что взлет и падение финансовых рынков связаны с другими экономическими факторами. Использование анализа корреляции и регрессии (см. главу 3) вместе с моделированием может дать реалистичную информацию, которая позволит проверить различные инвестиционные стратегии. Вместе с тем сле­ дует подчеркнуть, что сложность этих вопросов диктует необходимость при­ менения наряду с моделированием и других самых разнообразных методов принятия решений. 9 . 1 . Разработка имитационных моделей

Процесс моделирования включает разработку и проверку соответствующих моделей. Процесс начинается с выявления «хозяйственной» задачи, как это показано на рис. 9.1. Выявление хозяйственной задачи 1

1

'

Сбор информации

1

i Построение имитационной модели

1

'' прогонка модели

1

'' Решения

1

Рис. 9 . 1 . Разработка имитационной модели

Из рисунка видно, что исходной точкой, с которой начинается разработка имитационной модели, является постановка хозяйственной задачи, например, проведение анализа колебаний покупательского спроса или выручки от реали­ зации. Для того чтобы было достаточно информации для построения рабочей модели, производится сбор данных. Далее с моделью работают, и полученные результаты могут указать на необходимость ее доработки. И наконец, результа­ ты можно использовать в процессе принятия решений. В этом процессе можно задействовать различные приемы моделирования. Однако в этой главе мы остановимся на базовых подходах, использующих эм­ пирические и вероятностные данные. При этом применяются случайные числа, о чем мы и поговорим в следующем разделе.

312

ГЛАВА 9

9.2. Случайные числа Некоторые переменные можно смоделировать с использованием случай­ ных чисел. Такие числа выдаются компьютером и часто приводятся в публику­ емых статистических таблицах. Ниже представлен набор случайных чисел:

89 34 52 85 68

07 65 49 46 22

37 11 98 51 13

29 80 44 73 71

28 34 80 10 56

08 14 04 83 35

75 92 42 99 76

01 48 37 24 16

21 83 87 49 69

63 91 96 70 94

Случайные числа — это двузначные числа в диапазоне от 00 до 99. Любое однозначное число (0—9) может появиться с одинаковой вероятностью, и в этом нет закономерности, и поэтому невозможно предсказать, какое число будет следующим в последовательности чисел. То же самое и в случае с дву­ значными случайными числами, которые представлены в таблице: любое дву­ значное число в диапазоне от 00 до 99 может появиться с одинаковой вероят­ ностью. Вероятность того, что появится 16, такая же, как и для 34, 02, 87 или любого другого двузначного числа. Каждое число имеет 1%-ную вероятность появления. В следующем разделе мы рассмотрим, как эти числа используются при моделировании заданной переменной. • Определение. Случайное число может быть любым в диапазоне от 00 и 99, при этом все числа имеют одинаковую вероятность появления. Такое случайное число невозможно предсказать. •

9.3. Использование случайных чисел в моделировании На последующих примерах мы рассмотрим использование случайных чисел при моделировании различных хозяйственных ситуаций.

Пример 1 Рассмотрим объем выпуска на сборочной линии средней компании по производству электроники. В таблице ниже приведены данные по количеству холодильников, выпускаемых в час (наблюдения фиксировались в течение пос­ леднего месяца): Кол-во холодильников, производимых в час: Процентная частота:

3 15

4 45

5 30

6 10

Объем выпуска на сборочной линии можно смоделировать с помощью случайных чисел, о чем мы и поговорим далее. Итак, мы хотим смоделировать объем выпуска исходя из данных таблицы. Объем выпуска за какой-либо конкретный час непредсказуем, хотя мы и зна­ ем, что холодильники производятся в количестве от 3 до 6 штук в час. Мы также знаем вероятность выпуска определенного количества холодильников. Так, имеется 15%-ная вероятность выпуска 3 штук, 45%-ная вероятность выпуска 4

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

313

штук и т. д. Чтобы смоделировать это, мы можем произвольно выбрать число и использовать первые 15% этих чисел для отображения выпуска 3 штук. Анало­ гично, следующие 45% этих чисел будут отображать выпуск 4 штук, а выпуск 5 и 6 штук более представлен соответственно последующими 30 и 10%. Имеется 100 двузначных случайных чисел (00—99). То есть, первые 15 чисел (00—14) могут представлять выпуск 3 штук. Все это можно свести в таблицу, как это показано ниже: Объем выпуска в час: 3 Случайные числа: 00—14

4 15-59

5 60—89

6 90-99

Таким образом, любое случайное число от 00 до 14 укажет на выпуск 3 штук, от 15 до 59 — на выпуск 4 штук и т. д. Так, если получаем случайное число 72, то оно соответствует выпуску 5 штук (так как оно находится в диа­ пазоне от 60 до 89). Таким способом можно смоделировать объем выпуска в течение несколь­ ких часов. Полученные значения на продолжительном отрезке времени будут соответствовать исходному процентному распределению объемов выпуска. Пол­ ная модель выпуска в течение 10 часов приведена в таблице ниже: Час

Случайное число

Объем выпуска

1 2 3

89 07 37

5 3 4

4 5 6 7

29 28 08 75

4 4 3 5

8 9 1^

01 21 63

3 4 5

Случайные числа, использованные при моделировании, взяты из первой строки случайных чисел, приведенных в предьщущем разделе. Для каждого часа берется случайное число, и получаем соответствующее значение объема выпус­ ка. Так, для первого часа берем случайное число 89. Это число лежит в диапа­ зоне 60—89 и, следовательно, соответствует выпуску 5 штук, что и показано в третьем столбце таблицы. Аналогичным образом получены и другие значения объема выпуска в час, представленные в этой таблице. Когда в ходе моделирования значения получены, далее их можно исполь­ зовать при анализе переменных, например нормы выработки, требуемых склад­ ских площадей, скорости проведения упаковочных работ и требуемых средств перевозки. Такого рода примеры мы рассмотрим далее в этой главе. Пример 2

Рассмотрим крушение банка «Бэрингз» в 1995 г. Одна из главных при­ чин краха заключалась в проведении рискованных операций с деривативами. В этот период банк вложил существенные средства во фьючерсный контракт на индекс «Никкей 225». Фактически банк ставил на повышение или пони-

314

ГЛАВА 9

жение этого индекса в течение определенного периода времени. Повышение индекса могло принести банку большую прибыль. Отсутствие движения или падение индекса могло обернуться убытками. В таблице ниже приведено недельное процентное изменение индекса «Никкей» в течение одного из периодов 1994 г.: Недельное изменение: Процент недель:

-3% - 2 % - 1 % 10 10 20

0% 20

+ 1% +2% +3% 25 10 5

Случайные числа можно использовать, чтобы смоделировать процентное изменение индекса «Никкей» в течение 15 недель исходя из показателей про­ шлого периода. Случайные числа и соответствующие значения изменения индекса «Ник­ кей» приведены в таблице: Недельное изменение: - 3 % - 2 % - 1 % 0% +1% +2% +3% Случайные числа: 00-09 10-19 20-39 40-59 60-84 85-94 95-99 То есть, из таблицы видно, что, например, случайное число в диапазоне от 00 до 06 покажет 3%-ное понижение значения индекса «Никкей». Аналогич­ но, случайное число в диапазоне 10—24 покажет 2%-ное понижение и т. д. В таблице далее показаны значения процентного изменения, которые получены с помощью случайных чисел, взятых из ранее приведенной таблицы случайных чисел. В таблице показано относительное изменение индекса «Никкей» в тече­ ние 15-недельного периода. Исходя из этой модели можно сделать вывод о том, что для вложения существенных средств в «Никкей» время неподходя­ щее. В этот период индекс рос только в течение пяти разных недель. Далее, среднее процентное изменение в течение 15 недель составляет —0.7%. Одна­ ко следует отметить, что на практике прошлые показатели индекса никогда не будут единственным индикатором возможных будущих изменений. В реа­ листичной модели необходимо учесть и другие факторы, например колеба­ ния на мировых рынках, валготообменный курс и платежный баланс. Неделя

Случайное число

Процентное изменение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

89 07 37 29 28 08 75 01 21 63 34 65 11 80 34

+2 -3 —1 -1 —1 —3 +1 -3 -1 +1 -1 +1 —2 +1 -1

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

315

Метод использования случайных чисел для моделирования заданной ситу­ ации (описанной с точки зрения вероятности) можно использовать в различ­ ных случаях при анализе задач и альтернативных решений. В этой главе мы рассмотрим разнообразные примеры, чтобы проиллюстрировать процесс моде­ лирования. 9.4. Моделирование спроса Рассмотрим пример, связанный с хранением электротоваров на складе. В таблице ниже показан спрос на некую модель телевизора: Ежедневный спрос (кол-во телевизоров): Процентная частота:

0 10

1 22

2 37

3 28

4 3

С помощью случайных чисел мы можем смоделировать спрос на эти теле­ визоры, исходя из ранее наблюдаемой процентной частоты. Как и в предыдущим примере, можно взять двузначные случайные числа. Первые 10% случайных чисел (00—09) показывают нулевой спрос, следую­ щие 22% - спрос на 1 телевизор и т. д. В таблице ниже показаны случайные числа, которые будут использоваться при моделировании спроса на телеви­ зоры; Ежедневный спрос (кол-во телевизоров): Случайные числа:

0 1 2 3 4 00-09 10—31 32—68 69—96 97—99

С помощью таблицы случайных чисел можно смоделировать спрос на те­ левизоры в течение определенного периода. В таблице показана модель спроса в течение 15 дней: День

Случайные числа

Спрос

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

89 07 37 29 28 08 75 01 21 63 34 65 11 80 34

3 О 2 1 1 О 3 О 1 2 2 2 1 3 2

Модель спроса, представленная в этой таблице, может быть использована при определении требуемых складских площадей и разработке политики разме­ щения заказов на конкретные товары с целью оптимизации критических фак-

316

ГЛАВА 9

торов успеха, в частности затрат, рентабельности или объема выручки от реа­ лизации.

9.5. Управление запасами В предыдущем примере мы смоделировали дневной спрос на телевизоры в течение определенного количества дней. Проанализируем дополнительную ин­ формацию, которая может быть полезна при рассмотрении задач управления запасами: (i) Исходный уровень запасов составляет 12 телевизоров. (ii) Уровень запасов проверяется в начале каждого дня. Когда он становит­ ся менее 10 (включительно), размещается заказ на новую партию из 8 телеви­ зоров. (iii) Заказ исполняется за 2 дня. Путем моделирования спроса в течение 15 дней установите: а) средний уровень запасов; б) количество заказов, которое необходимо разместить в течение этого периода. В таблице ниже показан спрос, смоделированный за 15 дней. (Эти данные мы получили в предьщущем разделе.) В таблице также показаны уровень запа­ сов в начале каждого дня и получение по времени новых заказов. В этой таблице значения в столбцах получены следующим образом: День 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Исходный уровень Спрос запасов 12 9 9 7 14 13 13 10 10 9 15 13 11 10 7

3 0 2 1 1 0 3 0 1 2 2 2 1 3 2

Размещенные заказы

Полученные заказы

8 8

8 8

8

Урове нь запасов при закрытии 9 9 7 14 13 13 10 10 9 15 13 11 10 7 5

(i) Спрос. Эти значения смоделированы с помощью случайных чисел, как это показано в предьщущих разделах. (ii) Исходный уровень запасов. В день 1 исходный уровень запасов известен и равен 12. В последующие дни исходный уровень запасов равен уровню запасов по закрытии предыдущего дня. (iii) Размещение заказов. Заказ на 8 телевизоров размещается в тот день, когда уровень запасов становится равен 10 или менее телевизорам. Обратите внимание, что до получения текущего заказа другие заказы не размещаются. (iv) Получение заказов. Доставка 8-ми телевизоров займет два дня после размещения заказа. (v) Уровень запасов при закрытии. Уровень запасов в конце каждого дня рассчитывается следующим образом:

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

317

Уровень запасов при закрытии = Исходный уровень запасов — Спрос + + Полученные заказы. С [юмощью этой модели мы можем оценить различные показатели, в ча­ стности: (i) Средний уровень запасов. Рассчитывается исходя из исходных уровней запасов. Следует сложить значения исходного уровня запасов за каждый из 15 дней и поделить сумму на 15. То есть средний уровень запасов равен 162/15 =• 10.8 телевизора. (ii) Частота размещения заказов. Мы видим, что в течение всего периода только три заказа имели место. Обратите внимание, что третий заказ в конце этого периода еще не получен. • Определение. Метод моделирования можно использовать при анализе вопро­ сов управления запасами, при этом случайные числа используются для моделирова­ ния переменных, в частности спроса и сроков поставки. •

9.6. Возникновение дефицита С помощью моделирования мы можем проанализировать конкретную по­ литику размещения заказов и определить, есть ли вероятность возникновения дефицита. Дефицит — это такое положение вещей, когда спрос на товар превыщает текущий уровень запасов. Дефицит может стать серьезной головной болью для поставщиков, так как неудовлетворенный спрос может означать не только снижение немедленных продаж, но и уход покупателей в долгосрочной перспективе, а также увеличение расходов, ухудшение отнощений с клиентами и уменьшение доходов. Т Определение. Дефицит возникает тогда, когда в определенной точке време­ ни спрос не может быть удовлетворен. • В предыдущем примере дефицит не возникал. Уровень запасов на конец дня никогда не доходил до нуля, и все потребности можно было удовлет­ ворить. То есть модель показывает, что политика компании по размещению заказов, когда производится заказ партии из 8 телевизоров при достижении уровня запасов отметки в 10 или менее телевизоров, является консерватив­ ной и обеспечивает отсутствие дефицита. Это достигается за счет наличия относительно высокого уровня запасов в любое данное время. В некоторых случаях высокий уровень запасов нежелателен по причине того, что может быть недопустимо дорог. В такой ситуации компания, возможно, готова пойти на риск возникнове­ ния дефицита в обмен на снижение уровня запасов. На последующем примере смоделирована другая политика размещения заказов. Рассмотрим ситуацию, когда размещается заказ на 4 телевизора при достижении уровня запасов отметки в 4 или менее телевизоров. При усло­ вии, что все другие факторы остались неизменными, и используя те же самые значения модели спроса, получаем приведенную ниже таблицу. Данная модель показывает ухудшение ситуации по мере израсходования первоначального высокого уровня запасов. Видно, что принятие такой альтер­ нативной стратегии размещения заказов снижает уровень запасов и повышает риск возникновения дефицита, что приводит к снижению объема выручки от реализации. Обратите внимание, что значения в этой таблице предполагают,

ГЛАВА 9

318

что любой неудовлетворенный спрос вследствие отсутствия текущих запасов приводит к упущенной выгоде Модель не учитывает задержек в удовлетворении спроса, например удов­ летворения спроса предыдущего дня за счет новых поставок Однако при необ­ ходимости это можно учесть в более реалистичной модели. День

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

\f)

Исходный уровень запасов 12 9 9 7 6 5 5 2 2 1 3 1 0 3 (1

Спрос

3 0 2 1 1 0 3 0 1 2 2 2 1 3 2

Размещенные заказы

Полученные заказы

4 4 4 4 4

Неудовлетворенный Уровень запасов спрос при закрытии 9 9 7 6 5 5 2 2 11 3 1 1 0 3 0 0 ?

9.7. Учет затрат Продолжим рассмотрение модели, составленной в предыдущих примерах Теперь проанализируем затраты, связанные с управлением запасами. Известно следующее (О Продажная цена телевизора составляет 100 ф ст (и) Затраты вследствие дефицита составляют 150 ф ст на непродан­ ную единицу То есть если есть спрос, который нельзя удовлетворить, мы отнимаем 150 ф ст из дохода, чтобы показать снижение прибыли в будущем (ill) Затраты на хранение запасов составляют 5 ф ст в день на 1 телевизор (исходя из исходного уровня запасов) \4одель, разработанная в предыдущем примере, может быть использована для определения следующих показателей' (О Общею количества проданных телевизоров. (и) Общего объема выручки от реализации. (ill) Общих затрат на хранение запасов (iv) Общих убытков вследствие дефицита (v) Среднедневной прибыли Эти показатели можно использовать для оптимизации политики размеще­ ния заказов на данное наименование товара. Далее в таблице приведены соответствующие вычисления. Из таблицы видно, что за смоделированный 15-дневный период мы имеем следующие значения" (О Всего продано 20 телевизоров. (и) Общий объем выручки от реализации составил 2000 ф. ст. (ill) Общие затраты на хранение запасов составили 325 ф ст

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

319

(iv) Общие потери вследствие дефицита составили 450 ф. ст. (как следствие потерь требований за этот период). (v) Общая прибыль (вычитаем затраты на хранение и вследствие дефицита из общей выручки) составила 1225 ф. ст. (vi) Среднедневная прибыль составила 1225/15 = 81.67 ф. ст. День

Исходный уровень запасов

Спрос

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

12 9 9 7 6 5 5 2 2

3 0 2 1 1 0 3 0 1 2 2 2 1 3 2

1(+4)

3 1 0(+4)

3 0

Продано

Не удов­ летворено

Выручка

Затраты на хранение

300 0 200 100

0 300 0 100 200 200 100 100 300 0

60 45 45 35 30 25 25 10 10 5 15 5 0 15 0

300

2000 ф ст

325 ф ст

450 ф ст

too

20

Итого

Затраты вследствие дефицита

150

Прибыль

240 -45 155 65 70 -25 275 -10 90 195 185 -55 100 285 -300 1225 ф ст

Дальнейший анализ модели может выявить и другие интересные факты Так, похоже ситуация начинает ухудшаться после первого дня, когда имелся высокий уровень запасов. Чтобы получить более верное впечатление о фактической ситуация, модель следует выстроить на более продолжительном отрезке времени. Ведь только noaie снижения высоких уровней запасов появляется более реальная картина. Так, дефицит, который ведет к появлению дополнительных затрат и утере клиентов, возникает только в конце периода (первый дефицит возникает на 12-й день этой 15-дневной модели). То есть мы видим, что более реальное представление мы получим, увеличив продолжительность модели.

9.8. Сравнение стратегий управления запасами Оптовик хочет сравнить преимущества и недостатки двух стратегий разме­ щения заказов в условиях неопределенности спроса. Имеется два варианта по­ литики размещения заказов: (i) заказывать партии из 10 единиц товара при точке заказа 10; (ii) заказывать партии из 15 единиц товара при точке заказа 15. Уровень запасов проверяется в начале каждого дня. В прошлом году дневной спрос на этот товар выглядел следующим образом: Дневной спрос: Процент-

4 10

5 15

6 25

7 30

20

Имеется и другая дополнительная информация, а именно: (i) Затраты на хранение запасов составляют 15 ф. ст. на единицу товара в день

320

ГЛАВА 9

(ii) Затраты на подготовку заказа составляют 50 ф. ст. на один заказ в виде административных издержек, транспортных расходов и расходов на упаковку. (iii) Финансовые потери в результате утраты престижа фирмы оценивают­ ся в 30 ф. ст. за каждое потерянное требование. (iv) Поставка осуществляется в начале третьего дня с даты раз.мещения заказа. (v) Уровень запасов на начало первого дня составляет 17 единиц товара. С помощью модели мы можем определить наиболее эффективную и эко­ номную политику размещения заказов. Для моделирования дневного спроса на этот товар можно взять двузначные случайные числа. Имеется 10%-ная вероятность спроса в 4, и это можно пред­ ставить первыми десятью случайны.ми числа.ми (т. е. 00-09). Итак, в итоге по­ лучаем следующую таблицу; Дневной спрос: 4 Процент: 10 Случайные числа: 00-09

5 15

6 25

7 30

8 20

10-24

25--49

50-79

80-99

С помощью таблицы случайных чисел, которую мы дали в начале этой главы, .мы смоделируем спрос на данный товар. Далее в таблице приведена .модель на 10 дней при размере и точке заказа в 10 единиц. День

Уровень запасов на начало дня

Спрос

Продано

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17 9 5 0 0(+101 4 0 0(-10) 6 1

8(891 4(071 6(37) 6(29) 6(28) 4(08) 7(75) 4(01) 5(211 7(63)

4 5 0 6 4 0 4 5 1

Итого

57

37

в

Затраты Уровень запасов на подготовку на конец заказа дня 9 5 0 0 4 0 0 6 1 0

Затраты на хранение

Затраты вследствие дефицита

255

150 90 15

180

255 165 105 160 200 60 210 200 90 195

930 ф. ст

600 ф. ст.

1680 ф ст

50

1J5

-

75

50

~ —

50

— — 150ф. ст

Всего затра^

-

150 60

—

—

30 180

... —

210

—

Значения в колонках таблицы получены следующим образом: (i) Уровень запасов на начало 1-го дня составляет 17 единиц. Далее, начи­ ная со 2-го дня, запасы на начало дня равны уровню запасов на конец преды­ дущего дня. Исключение составляют дни, когда поступает новая партия. В этот день размер партии прибавляется (+10) к уровню запасов на начало дня и соответственно учитывается при расчете затрат на хранение запасов. (ii) Спрос моделируется с помощью случайных чисел, ьзятых из ранее приведенной таблицы. Взятые случайные числа даны в этой колонке в скобках. (iii) Объем продаж равен спросу при условии наличия достаточных запа­ сов на начало дня. Если спрос превышает уровень запасов на начало дня, то объем продаж равен уровню запасов на начало дня. (iv) Уровень запасов на конЛх дня равен уровню запасов на начало дня минус объем продаж плюс объем поступления.

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

321

(v) Затраты на размещение заказа составляют 50 ф. ст. В этом примере заказы размещаются тогда, когда уровень запасов достигает 10 или менее еди­ ниц. Новая партия из 10 единиц поступает на третий день с даты размещения заказа и прибавляется в день поступления к уровню запасов на начало дня. (vi) Затраты на хранение запасов рассчитываются путем умножения уров­ ня запасов на начало дня на 15 ф. ст. (В уровень запасов на начало дня включа­ ется поступление новой партии, если таковое происходит в этот день.) (vii) Любое неудовлетворенное требование обходится компании в 30 ф. ст. Количество потерь требований в течение любого дня рассчитывается как разни­ ца между спросом и уровнем запасов на начало того дня, когда спрос превы­ шает уровень запасов на начало дня. То есть затраты вследствие дефицита рас­ считываются путем умножения этой разницы на 30 ф. ст. (viii) Общие затраты рассчитываются путем сложения значений трех предьщущих показателей: затрат на подготовку заказа, затрат на хранение и потерь вследствие дефицита. Как видно, смоделированная в этой таблице политика размещения заказов не является эффективной. Имеется большое количество потерь требований. При спросе в 57 единиц объем продаж за указанный период составил только 37 единиц. Это, скорее всего, неприемлемо в большинстве случаев независимо от других затрат. А теперь рассмотрим ту же самую модель при другой политике размещения заказов, когда размер партии составляет 15 при точке заказа 15. В таблице при­ ведена эта модель (спрос остался прежним): День

Уровень запасов на начало дня

Спрос

Продано

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17 9 5 0

8(89) 4(07) 6(37) 6(29) 6(28) 4(08) 7(75) 4(01) 5(21) 7(63) 57

8 4 5 0 6 4 5 4 5 6

0(+15)

9 5 0(+15)

11 6 Итого

47

Уровень Затраты запасов на подготовку на конец заказа дня

9 5 0 0 9 5 0 11 6 0

50

Затраты на хранение

255 135 75

-50

50

150 ф ст

225 135 75 225 165 90 1380 ф ст

Затраты Всего затрат вследствие дефицита

30

255 185 105 180 275 135 135 275 165 120

300 ф ст.

1830 ф ст

— — 30 180

— — 60

— —

Из этой таблицы видно, что новая политика размещения заказов лучше. В частности, при этой политике меньше потерь требований: при спросе в 57 единиц объем продаж составил 47 единиц. В целом уровень запасов выше, а отсюда выше и затраты по хранению (всего 1380 ф. ст. по сравнению с преды­ дущим итогом в 930 ф. ст.). И наоборот, вследствие более высокого уровня запасов реже возникает дефицит, и поэтому меньше потери вследствие дефи­ цита (сравните 30 ф. ст. с 600 ф. ст.). Вместе с тем при новой политике возросли общие затраты (сравните 1830 ф. ст. и 1680 ф. ст.). На первый взгляд, получается. что исходная политика лучше. Однако в модели не учитывается фактический доход от реализации этих товаров, и если мы это учтем, то вполне вероятно, что политика заказа партиями по 15 единиц окажется более эффективной. Так, за десятидневный период объем продаж вырос с 37 до 47. Если единица товара приносит 200 ф. ст., то в указанный период доход вырос на 2000 ф. ст. Это

322

ГЛАВА 9

компенсирует небольшие дополнительные затраты на хранение запасов. С дру­ гой стороны, если единица товара приносит только 2 ф. ст. дохода, то тогда, возможно, необходимо изменить политику. Из этих аргументов следует, что при анализе результатов моделирования необходимо проявлять осторожность. Но при этом очевидно, что полученные модели дают четкое представление о процессах и могут помочь руководителю выработать наиболее приемлемую политику размещения заказов при наличии определенных условий. Далее можно провести моделирование затрат при раз­ личных значениях запасов. Так, в таблице показаны общие затраты (в ф. ст.) в течение двадцатидневного периода при различных значениях размера и точки заказа. Во всех случаях использовалась одна и та же последовательность из двад­ цати значений спроса: Размер заказа (партии)

Точка заказа

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

3450 3440 3440 3415 3415 3415

3450 3470 3470 3550 3550 3550

3615 3845 3845 4750 4750 4750

4675 5700 6050 6780 9230 9580

5290 6430 6445 8205 8955 10455

Из этой таблицы видно, что размер заказа в 10 единиц при точке заказа в 5 единиц минимизирует общие затраты. То есть такой вариант можно предложить в качестве оптимально возможного решения данной задачи по размещению заказов. Но вполне вероятно, что это связано с относительно высокими затратами на хранение (15 ф. ст. на единицу в день). Это означает, что затраты удерживаются на низком уровне за счет простого удержания запасов на минимуме. Однако при такой низкой точке заказа есть вероят­ ность того, что большая часть требований не будет удовлетворена. Для боль­ шинства поставщиков такое положение вещей обычно абсолютно неприем­ лемо. Более четкое представление об эффективности этих стратегий можно получить путем сопоставления прибыли за тот же самый период. В таблице ниже приведены значения числой прибыли при условии, что единица това­ ра приносит валовую прибыль в 100 ф. ст. (без учета затрат на хранение, приведенных ранее): Размер заказа (партии) Точка заказа

5 10 15 20 25 30

5 750 1160 1160 1685 1685 1685

10

15

20

25

3295 3630 3630 4550 4550 4550

5585 5155 5755 6350 6350 6350

4225 5400 5050 4920 2470 2120

4110 3170 3955 3495 2745 1245

И вновь, значения в этой таблице получены с помощью той же самой последовательности произвольно выбранных значений спроса. При других зна-

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

323

чениях мы бы получили другие результаты. Но они были бы похоже на те, что мы имеем в этой таблице. Для получения более реалистичной оценки ожидае­ мой прибыли в каждом случае можно взять среднее значение по результатам нескольких прогонов модели. Тем не менее эта таблица все же указывает на возможные решения данной задачи максимизации прибьыи. Видно, что размер заказа в 15 единиц дает относительно постоянный уровень прибыли для целого диапазона точек заказа. 400

12

14

16

1£

24

26

Точка заказа •OQ=10

•0Q=15

-*-OQ=20

• 00=25

- ^ OQ=30

Рис. 9.2. Средняя дневная прибыль Это неудивительно, так как такое количество наиболее близко к среднему спросу за три дня, что соответствует циклу заказа по этому товару. Эти значения можно отобразить на графике, чтобы показать влияние раз­ личных значений на размер и точку заказа. На рис. 9.2 дано дальнейшее моде­ лирование этой ситуации на протяжении 100 дней. На графике отображена среднедневная прибыль, полученная при моделировании продаж в течение 100 дней при различных значениях двух переменных: по горизонтали показана точ­ ка заказа, а по вертикали — значения среднедневной прибыли. Линии представ­ ляют ряды значений для различных размеров заказа. Из фафика видно, что размер заказа в 15 единиц дает устойчивую линию с небольшими отклонени­ ями в зависимости от значения точки заказа. Но из фафика также следует, что размер заказа в 20 единиц увеличивает размер прибыли, особенно при точке заказа в 10 единиц. Чтобы подтвердить эти результаты, необходимо проработать новые модели с другими значениями спроса.

9.9. Упражнения: модели управления запасами 1. (Е) С помощью случайных чисел смоделируйте спрос на товары в тече­ ние 10 дней. Спрос распределен следующим образом: (i) Спрос: 1 2 3 4 Процент: 20 40 30 10 (ii) Спрос: 5 10 15 20 25 Процент: 12 27 32 19 10 (iii) Спрос: 0 1 2 3 4 5 Процент: 5 10 13 33 22 17

324

ГЛАВА 9

2. (i) Магазин электротоваров «ABC» в Нью-Йорке реализует различные электротовары, в том числе системы Hi-Fi, проигрыватели лазерных дисков, стиральные машины и холодильники. Дневной спрос на стиральные машины «Электролуп де-люкс» распределен следующим образом: Дневной спрос: Процент:

1 10

2 30

3 30

4 20

5 5

6 5

Запасы обычно пополняются при достижении уровня в 6 единиц и менее, при этом размер заказа составляет 8 стиральных машин, а цикл заказа — 3 дня. При условии, что первоначальный запас составляет 10 стиральных машин, определите с помощью метода моделирования спрос на этот товар в течение 20 дней. Какова вероятность возникновения дефицита при проведении такой по­ литики размещения заказов? 3. (D) Рассмотрим задачу из п. 2. Но введем дополнительную информацию: а) Стиральные машины продаются в розницу по цене 300 долл. США за штуку. б) Стоимость приобретения у производителя одной машины составляет 150 долл.. в) Затраты на оформление заказа составляют 50 долл. на один заказ в виде административных издержек и расходов по доставке. г) Неудовлетворенная потребность обходится «ABC» в 200 долл. (i) Повторно смоделируйте ситуацию, как в п. 2, но с учетом дополни­ тельной информации. Определите дневные доходы и расходы, связанные с реализацией стиральных машин. (ii) Не лучше ли заказывать по 10 машин в одной партии при точке заказа в 8 или менее? Отработайте этот вопрос на новой модели. (iii) Как насчет других стратегий размещения заказов? Что если компании заказывать по 20 машин при точке заказа от 10 и ниже? Смоделируйте эту ситуацию на отрезке в 10 дней, чтобы показать, почему такая стратегия, ско­ рее всего, неразумна.

9.10. Задачи массового обслуживания Моделирование можно использовать для решения задач, связанных с мас­ совым обслуживанием. Такие ситуации обычны там, где есть покупатели, а также товары или заказы, поступающие в определенное время, при этом об­ служивание осуществляется в определенной последовательности (иначе говоря, в последовательности их прибытия). Далее перечислен ряд примеров, когда мы сталкиваемся с вопросами массового обслуживания: (i) Клиенты приходят в банк и выстраиваются в одну очередь, которая обслуживается несколькими окнами. Интенсивность входящего потока укажет на оптимальное количество окон, которые должны быть открыты в любое оп­ ределенное время. (ii) Клиентские заказы поступают на центральную базу предприятия и затем распределяются фуппой работников по соответствующим отделам. Глав­ ное, чтобы эти заказы обрабатьгвались быстро и эффективно, а количество занятых этим работников и последовательность выполнения ими своих дей­ ствий можно отнести к вопросам массового обслуживания. (iii) Готовые изделия на выходе линии сборки должны быть отправлены на центральный склад. Места для готовой продукции там немного, и поэтому

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

325

главное — быстро эти товары отработать и отправить. Товары, по сути, образу­ ют очередь на выходе со сборочной линии, и за этим необходим внимательный контроль. (iv) Машины подъезжают к основному дорожному перекрестку с извест­ кой интенсивностью. Светофору можно задать определенное время переключе­ ния цветов, с тем чтобы минимизировать скопление машин и время прохож­ дения ими этого перекрестка. Во всех этих примерах методы моделирования позволят провести деталь­ ный анализ заданной ситуации и сравнить решения по конкретным вопросам. Эти вопросы зачастую связаны с такими переменными, как длина очереди, время ожидания и затраты, а также с тем, как их удержать на самом низком уровне. В большинстве случаев при проведении такого рода анализа необходимо учесть основополагающие сведения по структуре входящего потока, интенсив­ ности входящего потока и времени обслуживания. На последующих примерах мы рассмотрим анализ задач массового обслу­ живания с помощью методов моделирования.

9.11. Интенсивность входящего потока Руководство крупной бензозаправочной станции обеспокоено тем, что теряются клиенты из-за длительного времени ожидания, которое иногда необ­ ходимо, чтобы заправить машину. В течение недели проводилось внимательное обследование интенсивности въезда машин в зону обслуживания. В таблице ниже приведены данные по интенсивности входящего потока; Время между двумя последовательными прибытиями: 1 2 Процент клиентов: 60 25

3 10

4 5

Обратите внимание, что это обычный способ определения интенсивности входящего потока. Альтернативный способ состоит в простом подсчете клиен­ тов, прибывающих в течение определенных периодов времени. Например, в таблице ниже показано количество прибывших клиентов: Количество клиентов, прибывающих в минуту: Процент минут:

О 55

1 35

2 10

Хотя эта информация и имеет ценность, все же при моделировании лучше фиксировать время между прибытием клиентов (интервал между пос­ ледовательными поступлениями требований), а не число прибытий за опре­ деленный период. Из таблицы видно, что после прибытия клиента имеется 60%-ная вероятность того, что следующий клиент прибудет через минуту, и 25%-ная вероятность того, что следующий клиент подъедет в течение вто­ рой минуты. Т Определение. Интервал между последовательными поступлениями требо­ ваний определяет разность во времени прибытия клиентов в ситуациях, связанных с массовым обслуживанием. • Для моделирования последовательного прибытия клиентов можно ис­ пользовать случайные числа. Так, если взять двузначные случайные числа,

326

ГЛАВА 9

то первые 60 чисел (00—59) покажут интервал в I минуту. Следующие 25 случайных чисел (60—84) покажут интервал в 2 минуты и т. д. (см. таблицу ниже): Интервал между последовательн ым прибытием клиентов (мин): 1 Процент клиентов: 60 Случайные числа: 00-59

2 25 60-84

3 10 85-94

4 5 95-99

Далее в таблице показано прибытие первых десяти клиентов на станцию. Случайные числа, которые используются при моделировании, взяты в скобки. Итак, мы смоделировали интервалы последовательного прибытия клиен­ тов. Мы исходим из того, что отсчет начинается с О, и видно, что первый клиент прибывает тремя минутами позже. Второй клиент прибывает с интерва­ лом в 1 минуту, то есть он прибывает на четвертой минуте. В принципе, фак­ тическое время прибытия любого клиента получается путем прибавления вре­ менного интервала по клиенту ко времени прибытия предшествующего клиента. Как видно из модели, десять клиентов прибыли в первые четырнадцать минут. Клиент 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Интервал 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2

Время прибытия

(89) (07) (37) (29) (28) (08) (75) (01) (21) (63)

3 4 5 6 7 8 10 11 12 14

Данную информацию можно далее использовать при анализе различных ме­ тодов обслуживания. Такого рода задача обозначена на последующем примере. 9.12. Модели обслуживания Очевидно, что для анализа конкретной задачи массового обслуживания необходимо располагать информацией по длительности обслуживания клиентов. Далее в таблице приведены данные по времени, которое затрачивается на об­ служивание клиентов на бензозаправочной станции: Время обслуживания (мин) 2 3 4 5 6 Процент клиентов: 20 30 20 15 15 Время обслуживания можно смоделировать с помощью двузначных чисел, как мы это делали ранее. Так, первые 20 случайных чисел (00—19) показывают время обслуживания в 2 минуты. Далее в таблице приведены случайные числа, которые отражают определенное время обслуживания: Время обслуживания (мин) Случайные числа:

2 00-19

3 4 20-49 50-69

5 70-84

6 85—99

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

327

Итак, получаем время обслуживания первых десяги клиентов, приезжаю­ щих на станцию (см таблицу далее) Случайные числа, которые используются при моделировании, указаны в скобках Интервалы и время обслуживания можно проанализировать как единое целое для определения длины очереди в этом конкретном случае Далее вы видите еще одну таблицу, в которой даны уже смоделированные интервалы и время прибытия, а также длина очереди по прибытии каждого следующего клиента на станцию В таблицу заложено условие о том, что одномоментно может быть обслужен только один клиент. То есть мы в данном случае рассмат­ риваем станцию самообслуживания с одной колонкой, или же обычную стан­ цию с одним дежурным. Клиент

Время обслуживания

1 2 3 4 5 6 7 8

3 (34) 4 (65) 2(11) 5 (80) 3 (34) 2 (14) 6 (92) 3 (48)

9

5 (83)

10

6 (91)

Клиент

Время прибытия

Длина очереди

Время обслуживания

Время начала обслуживания

Время окончания обслуживания

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 10 11 12 11

0 1 2 2 3 4 4 5 5 6

3 4 2 5 3 2 6 3 5 6

3 6 10 12 17 20 22 28 31 36

6 10 12 17 20 22 28 31 36 42

Обратите внимание, что в длину очереди включены все клиенты, ожида­ ющие обслуживания. То есть сюда включен прибывший клиент, но не включен клиент, который в это время обслуживается Время прибытия (колонка 2) и время обслуживания (колонка 4) уже нами смоделированы с помощью случайных чисел. В колонке «Время начала обслужива­ ния» указано время, когда начинается обслуживание клиента, и в колонке «Время окончания обслуживания» — когда обслуживание заканчивается. Для первого кли­ ента «время начала обслуживания» есть время прибытия, так как другие клиенты в это время не обслуживаются. После первого клиента «время начала обслужива­ ния» есть «время окончания обслуживания» предьщущею клиента. Т Определение. Задачи массового обслуживания можно анализировать пут моделирования таких переменных, как интервал между последовательным пр тием клиентов и время обслуживания клиентов •

328

ГЛАВА 9

Длина очереди, т. е. количество клиентов, ожидающих обслуживания, оп­ ределяется следующим образом: (i) Берется время прибытия клиентов, например клиент 5 прибывает на 7-й минуте. (ii) С учетом «времени начала обслуживания» и «времени окончания об­ служивания» предьщущих клиентов определяется, кто обслуживается в текущий момент, например на 7-й минуте, все еще обслуживается клиент 2 (так как «время начала обслуживания» клиента 2 равно 6, а «время окончания обслужи­ вания» — 10, (iii) Далее рассчитывается длина очереди как номер текущего клиента минус номер клиента, который сейчас обслуживается. Необходимо учитывать, когда время прибытия клиента совпадает со «вре­ менем начала» или «временем окончания» обслуживания предыдущего клиента. Так, клиент 7 прибывает на 10-й минуте. В это время как раз заканчивается обслуживание второго клиента и начинается обслуживание третьего. Отсюда следует, что в очереди у нас только 4 клиента, включая клиента 7.

9.13. Время ожидания Модель, показанная в предыдущем разделе, может быть использована для анализа времени ожидания по каждому из клиентов. Это важная переменная при анализе массового обслуживания, и для соответствующего руководителя она будет важным индикатором удовлетворения покупательского спроса. В таблице дана модель прибытия и обслуживания десяти клиентов на бен­ зозаправочной станции, а также имеется дополнительная колонка со временем ожидания по каждому клиенту: Клиент

Время прибытия

Длина очереди

Время обслу­ живания

Время ожидания

Время начала обслу­ живания

время окончания обслу­ живания

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 10 11 12 14

0 1 2 2 3 4 4 5 5 6

3 4 2 5 3 6 6 3 5 6

0 2 5 6 10 12 12 17 19 22

3 6 10 12 17 20 22 28 31 36

6 10 12 17 20 22 28 31 36 42

В этой таблице время ожидания рассчитано как разница между временем прибытия и временем начала обслуживания каждого клиента. Из этой модели видно, что положение на этой станции может быстро выйти из-под контроля. По мере анализа модели мы наталкиваемся на два разительных обстоятельства. Во-первых, длина очереди очень быстро увеличивается: так, десятый покупа­ тель прибывает, когда в очереди уже ждут обслуживания шесть клиентов. Вовторых, по этой причине быстро нарастает время ожидания последующих кли­ ентов. Первому покупателю ждать не надо, а 10-му клиенту в этой модели придется ждать 22 минуты, прежде чем его обслужат. Очевидно, что такое

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

329

положение вешеи нельзя далее терпеть Есть вероятность потери клиентов, так как они не захотяг ждать все больше и больше времени Для руководителя этой станции имеется несколько возможных решений Наиболее очевидное состоит в том, чтобы увеличить количество одномоментно обслуживаемых клиентов Так, для этого можно либо увеличить число колонок, либо шгат персонала Далее в таблице приведена модель ситуации, когда имеется две колонки Используются аналогичные данные по времени прибытия и времени обслуживания Это сде­ лано для того, чтобы можно было провести прямое сравнение с исходной ситуацией и, гаким образом, выяснить, повлияет ли это существенным обра­ зом на положение вещей Клиент

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Время прибытия

Длина очереди

Время обслу­ живания

Время ожидания

Время начала обслу­ живания

Время окончания обслу­ живания

3 4 5 6 7 8 10 11 12 14

0 0 1 1 2 1 2 2 3 2

3 4 2 5 3 2 6 3 5 6

0 0 3 2 1 3 3 2 4 5

3 4 6 8 8 11 13 13 16 19

6 8 8 13 11 13 19 16 21 25

По этой модели одномоментно может обслуживаться два клиента То есть клиенты 1 и 2 прибывают, и их немедленно обслуживают Когда прибывает клиент 3, то ему надо подождать, пока не закончат обслуживание одного из предьшущих клиентов Будьте внимательны при определении длины очереди по мере прибытия других клиентов В частности, помните о том, что в текущий момент обслуживается два клиента, и ни один из них не стой г в очереди Так, к примеру, клиент 7 прибывает на десятой минуте В это время обслуживаются два клиента клиент 4 (время начала обслуживания — 8 и время окончания обслуживания — 13) и клиент 5 (время начала обслуживания — 8 и время окончания обслуживания — 11) То есть все клиенты после 5-го находятся в очереди, включая 6-го и 7-го Среднее время ожидания по одному клиенту и средняя длина очереди для одного клиенга являются полезными индикаторами работы при таких обстоя­ тельствах Так, мы смоделировали две ситуации, когда используется 1 и 2 ко­ лонки соответственно, и получили следующие результаты Ситуация

Среднее время ожидания

Средняя длина очереди

Есть одна колонка Есть две колонки

10 5 мин 2 3 мин

3 2 машины 1 4 машины

Очевидно, что при наличии второй колонки снижаются время ожидания и длина очереди Ситуация, когда имеется одна колонка, даже хуже, чем можно предположить исходя из средних значений, выведенных в этой таблице По модели видно, что время ожидания и длина очереди все время увеличивается То есть если построить модель на более продолжительный отрезок времени,

330

ГЛАВА 9

например по первым двадцати или более клиентам, то разница между двумя смоделированными ситуациями станет еще большей. Даже при наличии второй колонки отмечается небольшое, едва уловимое увеличение времени ожидания и длины очереди с течением времени. Таким образом, можно сделать вывод о том, что в этих условиях необхо­ димы три колонки, чтобы обеспечить удовлетворительное обслуживание клиен­ тов, прибывающих на бензозаправочную станцию. Смоделируйте самостоятель­ но ситуацию, когда одномоментно можно обслуживать трех клиентов.

9.14. Анализ расходов и доходов Помимо анализа таких переменных, как длина очереди и время ожидания, совершенно очевидно, что необходимо проанализировать возможные доходы и расходы. В предьщущих моделях мы установили, что при увеличении числа то­ чек обслуживания (в нашем случае — колонок) растет число клиентов, кото­ рых можно обслужить, и, следовательно, растет возможный доход. Однако су­ ществует предел количества точек обслуживания, которые можно организовать. За определенным уровнем расходы по организации новых точек обслуживания не оправданы с точки зрения возможного увеличения доходов. Проанализируем предьщущую модель, но с учетом уже следующей дополнительной информации. Бензин отпускается дежурными по бензозаправочной станции. Каждый дежур­ ный получает 5 ф. ст. в час. В среднем один клиент приносит 2 ф. ст. Далее, рассмотрим еще одно дополнительное условие, связанное с прибытием клиен­ тов на станцию: если длина очереди составляет 2 клиента или более, то любой прибывающий уезжает, не дожидаясь обслуживания. Это пример более реаль­ ной ситуации, потому что на практике клиенты не любят ждать неопределен­ ное время в ожидании обслуживания. В приведенной таблице дана новая модель с условием работы двух дежурных: Клиент

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

время

Время прибытия

Длина очереди

Время обслуживания

Время ожидания

бремя начала обслуживания

окончания обслуживания

3 4 5 6 7 8 10 11 12 14

0 0 1 1 2 1 2 2 2" 1

3 4 0 5 3 2 6 3

0 0 3 2 1 3 2

3 4 6 8 8 11 13 13

6 8 6 13 11 13 19 16

2 2 2 2 2 2 2 2

—

—

_

—

—

6

"5

2

16

22

Доход (ф. ст.)

2

В этой модели длина очереди не должна превышать 2-х клиентов. Иначе говоря, если в очереди уже 2 клиента, то следующий прибывающий клиент уезжает, не дожидаясь обслуживания. Следовательно, приемлемо, если прибы­ вающий клиент становится вторым в очереди. Так, по нашей таблице видно, что клиент 5 становится вторым в очереди, и, аналогично, клиенты 7 и 8 оба прибывают, когда в очереди 1 клиент, то есть клиент 9 стал бы третьим в очереди. В данной модели такая ситуация неприемлема, и по условиям этот клиент уезжает, не дожидаясь обслуживания. В таблице это отмечено знаком** в колонке длины очереди. По остальным позициям в этом ряду проставлены пропуски, так как отсутствуют переменные для анализа.

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

331

Мы ВИДИМ, что после первых 22 минут уже обслужено 9 клиентов (это показано временем окончания обслуживания по клиенту 10). Далее, общий доход за это время составляет 18 ф. ст. Можно оценить часовой доход по этой модели следующим образом: 60/22 х 18 ф. ст. = 49 ф. ст. Обратите внимание, что более точную оценку можно получить путем мо­ делирования ситуации на более продолжительном отрезке времени. Имеется двое дежурных, каждый из них получает по 5 ф. ст. в час, то есть расходы на содержания персонала составляют 10 ф. ст. в час. Следовательно, суммарная прибыль составляет 39 ф. ст. в час. Очевидно, что аналогичный анализ можно провести для определения доходности при условии наличия большего числа дежурных. Так, если мы возьмем эту модель, но при условии наличия 3-х дежурных, то единствен­ ное существенно ее отличие будет состоять в том, что клиент 9 будет об­ служен. Это даст дополнительный доход в 2 ф. ст. на 22-минутном отрезке при дополнительных расходах в 5 ф. ст. в час. Видно, что преимущества привлечения услуг дополнительного дежурного минимально выгодны, сле­ довательно, не надо привлекать четырех или более дежурных. Из этого при­ мера видно, что использование модели может дать дополнительную инфор­ мацию в процессе принятия управленческих решений, в частности в том, что касается привлечения людских ресурсов.

9.15. Практическое применение Один из отделов компании «Редналл» оказывает немедленную помощь по вопросам, связанным с программным обеспечением, поставляемым и/или раз­ работанным компанией. Далее в таблице приведена частота телефонных звон­ ков, поступающих в этот отдел: Время между последовательными звонками (мин) Процент звонков:

5 15

10 26

15 33

20 17

25 9

Каждый звонок принимается немедленно на центральном пульте, далее клиента переадресуют в соответствующую службу и просят подождать. Каждый запрос принимается отдельным служащим отдела, при этом время разговора различно (см. таблицу ниже): Продолжительность разговора: Процент звонков:

10 5

15 20

20 30

25 35

30 10

С помощью моделирования определим оптимальное количество служащих в этом отделе. Обратите внимание, что недопустимо, чтобы клиенты ждали помощи более 10 минут. Как и в предьщущих примерах, можно использовать случайные числа для моделирования заданных переменных. В частности, можно взять следующие случайные числа: Время между звонками (мин): Случайные числа:

5 00-14

10 15-40

15 41-73

Аналогично, время на обслуживание клиентов:

20 74-90

25 91-99

332

ГЛАВА 9

Продолжительность разговора (мин) Случайные числа.

10 00-04

15 05-24

20 25-54

25 55-89

30 90-99

Руководитель службы технического обеспечения затребовал информацию о том. сколько времени обычно клиент ожидает помощи, а также сколько кли­ ентов ожидают помощи в любой данный момент времени. Модель можно ис­ пользовать для определения численности персонала, необходимого для оказа­ ния удовлетворительной и эффективной помощи в реальном режиме времени. Далее в таблице приведена модель количества запросов, поступающих на пульт службы технического обеспечения при условии, что обслуживание про­ изводится только одним служащим этой службы: Клиент

1 2 3 4 5

Время между звонками

Длина поступ­ ления

Длина очереди

Время обслужи­ вания

Время ожидания

20 (89) 5 (07) 10(37) 10(29) 10(28)

20 25 35 45 55

— 1 2 2 3

20 (52) 20 (49) 30(98) 20 (44) 25 (80)

0 15 25 45 55

Время начала обслуживания

Время окончания обслуживания

20 40 60 90 110

40 60 90 110 135

Числа в скобках — это случайные числа, использованные для моделирова­ ния времени между звонками и времени обслуживания. Как видно из таблицы, после первых нескольких клиентов возникает не­ допустимая ситуация: время ожидания и количество клиентов, ожидающих об­ служивания, нарастают очень быстро. Очень быстро возникнет, таким образом, ситуация, когда клиенты не за­ хотят ждать более и по причине плохого обслуживания они постараются найти ту организацию, которая обеспечит им более удовлетворительное обслужива­ ние. Отсюда следует, что необходимо увеличить штат работников этого важного направления клиентской службы Далее вы увидите повторение модели, при условии 15 запросов и при условии работы двух служащих. Когда работают двое служащих, ситуация, похоже, достаточно стабильна. Иногда возникает небольшая очередь, но затем она рассасывается. В этой моде­ ли максимальное время ожидания составляет 10 минут, и почти половина (7 из 15) клиентов вообще не ждут, прежде чем их обслужат. Очевидно, что привле­ чение к этой работе еще одного сотрудника улучшит ситуацию и обеспечит предоставление иемед;1енной помощи большей части клиентов. Клиент

Время между звонками

Длина поступ­ ления

Длина очереди

Время обслужи­ вания

время ожидания

Время начала обслуживания

Время окончания обслуживания

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

20 (89) 5(07) 10(37) 10(29) 10(28) 5 (08) 20(75) 5 (01) 10(21) 15 (63) 10(34) 15 (65) 15 (65) 20 (80) 10(34)

20 25 35 45 55 60 80 85 95 110 120 135 140 160 170

_ — 1 — 1 2 — 1 1 — 1 1 1 — -

20 (52) 20 (49) 30 (98) 20(44) 25 (80) 10 (04) 20(42) 20 (37) 25 (87) 30(96) 25 (85) 20 (46) 20(51) 25 (73) 15 (10)

0 0 5 0 10 10 0 5 5 0 5 5 10 0 0

20 25 40 45 65 70 80 90 100 110 125 140 150 160 170

40 45 70 65 90 80 100 110 125 140 150 160 170 185 185

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

333

Это можно будет сказать на основании модели с тремя служащими Резуль­ таты такого моделирования позволяют провести сравнение при различной уком­ плектованности штата отдела Так, конечные результаты можно свести в след>юшую таблицу Число служащих

Среднее время ожидания (мин)

1 2 3

85 4 2

Как видно из таблицы, увеличение штата ведет к снижению времени ожи­ дания Можно спорить о том, влияет ли существенным образом на время ожи­ дания использование более двух сотрудников Здесь придется решать руководи­ телю, стоит ли увеличить штат в свете дополнительных затрат и получаемой выгоды Далее, можно смоделировать все запросы, поступаюш,ие на центральный пульт компании «Редналл» Так, информация по фактическому виду запросов и их адресации по соответствующим отделам позволит провести анализ всей си­ стемы обслуживания клиентов Ниже в таблице приведено процентное количе­ ство звонков, адресованных в различные отделы компании «Редналл» за про­ шедшие три месяца Отделы. Аппаратных средств Разработки программного обеспечения Разработки систем Консультирования по вопросам применения программных пакетов

Процент звонков 10% 15% 20% 55%

Моделирование запросов, поступающих в «Редналл», позволит провести анализ услуг, предоставляемых по другим направлениям В результате это может привести к пересмотру поли гики комплектования отделов и перераспределе­ нию людских ресурсов

9.16. Упражнения: задачи массового обслуживания 1 (Е) Покупатели подходят к кассе супермаркета с интенсивностью, ко­ торая приведена в таблице ниже 1 2 3 4 5 40 30 10 10 10 Обычно на обслуживание одного покупателя уходит две мин>ты Смодели­ руйте подход первых 20 клиентов к кассе и определите хьтину очереди при подходе каждого из них 2 (I) Рассмотрите задачу, поставленную в п 1, если фактическое время обслуживания покупателей различно и распределяется следующим образом

Интервал (мин) Процент

Время обслуживания (мин) 1 2 Процент 10 20 Смоделируйте подход первых 20 покупателей очереди и среднее время ожидания для каждою

3 4 5 30 35 5 и определите среднюю длину из них

334

ГЛАВА 9

3 (D) Вводится дополнительное условие о том, что если три покупателя уже стоят в очереди в ожидании обслуживания, то следующий покупатель направляет­ ся к другой кассе Смоделируйте ситуацию, как в п 2, и определите среднее время ожидания и среднюю длину очереди за указанный отрезок времени 4 (D) Покупатели подходят к прилавку с интенсивностью, приведенной в таблице Интервал (мин) Процент

1 15

2 25

3 25

4 15

5 10

6 5

7 5

Каждый служащий штата обслуживает этих покупателей со следующей скоростью Время обслуживания (мин) Процент

2 5

3 10

4 10

5 15

6 20

7 20

8 10

9 10

(О При условии наличия только одного сотрудника, обслуживающего покупателей, смоделируйте прибытие 25 клиентов, исходя из следующей ин­ формации а) Каждый покупатель тратит в среднем 15 ф ст б) Если очередь более 2-х человек, то покупатель уходит из мамзина, не дожидаясь обслуживания в) Определено, что каждый покупатель, уходящий, не дожидаясь обслу­ живания, обходится компании в 30 ф ст потерянных требований и престижа С помощью моделирования определите а) Среднюю длину очереди б) Число ушедших покупателей в) Общий дневной доход (при условии, что магазин открыт в течение 10 часов в день) г) Общий чистый доход (рассчитывается как доход минус расходы, свя­ занные с потерей «гудвила» (и) Повторите моделирование ситуации, но при условии, что за прилав­ ком обслуживают клиентов два работника

9.17. Моделирование нормальной переменной В предыдущих примерах мы рассматрив,1лн модепирование дискретных пе­ ременных А теперь давайте рассмотрим ситуации, когда требуется cмoдeJiиpoвать непрерывные переменные, в частности те которые соответствуют нор­ мальному распределению Пример 1 Дневная выручка от реализации небольшой компании представляет собой нормальное распределение со средней в 10 000 дол'г США и среднеквадратическим отклонением в 3000 долл Дневную выручку от реализации можно смо­ делировать с помощью таблиц случайных нормальных отклонении Далее в таб­ лице приведены также случайные чисча, выданные с помощью компьютера Эти чисаа — случайные величины, которые нормально распределены со сред­ ним, равным О, и среднеквадратическим отклонением, равным 1

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ -0 136 0.171 -0.037 -0 941 0.757

0 099 -0 321 -0 839 1.615 0.155

-2 479 -1.646 0 931 0.134 0.350

0.451 -0.781 0.433 1 464 -0.337

-0 998 0.635 0 089 -0.787 -0 001

0.986 2 054 1 302 -0 533 0 030

0 461 1 722 -0.129 -0.291 0.203

0 555 0 246 -1.562 -1 177 -1 087

0.963 1.560 0.850 2.211 -0 855

335 0 398 -0 880 0.055 0 241 0.562

Значения из этой таблицы могут быть преобразованы для моделирования любой нормальной переменной путем их умножения на значение среднеквадратического отклонения и прибавления значения среднего. Чтобы смоделировать дневную выручку в этом примере, берется значение из таблицы и умножается на 3000 (среднеквадратическое отклонение), а затем к произведению прибавляется 10000 (средняя). То есть, первое значение из этой таблицы (—0,136) вьшает следующую величину дневной выручки: Дневная выручка = -0,136 х 3000 + 10000 = 9592 ф. ст. То есть, дневную выручку за 10 дней можно смоделировать, как это пока­ зано в таблице ниже: День

Случайное число

Дневная выручка (ф. ст.)

1

—0.136

9592

2 3

0.099 —2.479

10297 2563

4 5 6 7 8 9 10

0.451 —0.998 0.986 0.461 0.555 0.963 0.398

11353 7006 12958 11383 11665 12889 11194

Такую модель можно использовать при рассмотрении различных вари­ антов, связанных с рекламой, комплектованием и расходами, с целью оп­ ределения наиболее эффективных способов применения имеющихся ресур­ сов. Пример 2

Создана простая модель для прогнозирования месячных колебаний значе­ ния индекса «Никкей» исходя из прошлых колебаний фондового индекса ДоуДжонса. В процентном отношении месячное изменение «Никкей» (N) можно рассчитать исходя из прошлых колебаний Доу-Джонса (D) следующим обра­ зом: N = 1.3D - 0.4 + I. Изменение индекса Доу-Джонса Переменная I — нерегулярное изменение, которое нормально распределе­ но со средним О и среднеквадратическим отклонением 0.8. Используя эту зави­ симость, мы можем смоделировать изменения индекса «Никкей» исходя из прошлых колебаний индекса Доу-Джонса. Например: если за какой-либо месяц индекс Доу-Джонса вырастает на 2%, то, согласно модели, изменение индекса «Никкей» составит: N = 1.3D — 0.4 + I =

ГЛАВА 9

336

1,3 X 2 — 0.4 + ! = 2.2 + I. Значение 1 можно смоделировать с помощью случайных нормальных отклонений, как это показано в предьщущем примере. Далее в табли­ це даны значения месячных изменений индекса Никкей в соответствии с данной моделью. В таблице даны оценки колебаний индекса «Никкей» на основании про­ шлых колебаний индекса Доу-Джонса. То есть изменения индекса Доу-Джонса за месяц 1 используются для оценки изменения индекса «Никкей» за месяц 2. Аналогично, оценка изменения индекса «Никкей» за десятый месяц основыва­ ется на колебаниях индекса Доу-Джонса за месяц 9. Значения D введены в модель, а все другие значения рассчитаны по схеме, приведенной выше. Месяц

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Изменение Случайное индекса число Доу-Джонса (D%) 1.0 2,2 1,4 0,5 -0,5 -1,0 —1,2 -0,5 0,7 —

— 0,171 —0,321 —1,646 —0,781 0,635 2,054 1,722 0,246 1,560

Нерегулярные колебания (1)

Изменение индекса «Никкей» {N%)

— 0,137 —0,257 —1,317 -0,625 0,508 1.643 1,378 0,197 1,248

— 1.0 2.2 0,1 -0.4 —0,5 —0,1 —0,6 -0.9 1,8

Такую модель можно проверить в реальной жизни, путем сравнения прогнозных значений N с фактическими значениями изменения индекса. То есть первоначально модель проверяется на прошлых данных, с тем чтобы определить, насколько оценки N близки к фактическим значениям. Таким способом можно подтвердить достоверность модели, а также скорректиро­ вать ее с учетом новой информации. Результаты такого моделирования мож­ но использовать при анализе различных инвестиционных стратегий и свя­ занных с ними рисков. Когда получена приемлемая модель, потенциальный инвестор может проверить различные Подходы к инвестициям на основании изменений индекса Доу-Джонса, и при этом он не будет нести каких-либо финансовых потерь. 9.18. Оценка методов моделирования Использование моделирования может стать важным инструментом приня­ тия управленческих решений и дает ряд преимуществ, а именно: — Обеспечивает учет неопределенности. Так, к неопределенным перемен­ ным относятся будущий спрос, цены конкурентов, сроки поставки, интенсив­ ность потока покупателей и изменение процентных ставок. Сложная модель может включать в себе разнообразные переменные такого рода. — Позволяет проводить сравнение альтернативных вариантов. Применение моделирования позволяет неоднократно пользоваться полученной моделью при анализе альтернативных стратегий и их воздействия на различные факторы. Так, мы можем проанализировать воздействие различной политики ценообразова­ ния на спрос. — Позволяет отслеживать множественные исходы.

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

337

Сложные имитационные модели можно использовать для отслеживания поведения различных показателей, в частности прибыли, объема продаж, рас­ ходов и уровня клиентского обслуживания. — Обеспечивает непротиворечивость данных. Применение имитационной модели дает возможность непротиворечивым и стандартизованным образом проанализировать различные данные. Не имея такой модели, легко впасть в субъективизм при проведении сравнения, в результате чего выходные данные могут оказаться ошибочными. — Устраняет риски. Использование моделей не несет в себе каких-либо существенных рисков. Если бы не было модели, то различные стратегии при­ шлось бы проверять в реальной ситуации. Так, можно увеличить цену на товар и понаблюдать, как это скажется на объеме продаж или спросе, или сократить численность персонала и посмотреть, как это скажется на уровне обслужива­ ния клиентов. Такой процесс связан с рисками потерь доходов или клиентов. Применение моделирования позволяет устранить такие риски. — Дает экономию средств. Имитационные модели относительно дешевы. Когда создана подходящая модель, можно отработать различные ситуации прак­ тически даром и за относительно короткий отрезок времени. Однако использование моделей имеет и недостатки, а именно: — Затратность процесса разработки модели. Разработка сложных моделей может отнять много времени и средств. Реалистичные модели могут включать большое количество переменных со значительным разбросом возможных вы­ ходных данных. Разработка такой модели может оказаться нежелательной. На практике лучше выстроить упрощенный вариант модели, которую можно про­ верить и превратить в практический инструмент. — Сложность. Практические имитационные модели могут быть неверо­ ятно сложны и громоздки. Отсюда могут возникнуть сложности с подтвер­ ждением пригодности модели, а также с анализом результатов имитацион­ ных прогонов. Такая сложность ведет к тому, что имитационная модель вьщает ненадежные данные, что может увести ничего не подозревающего руково­ дителя в сторону.

9.19. Краткое содержание главы В этой главе мы рассмотрели различные варианты применения методов моделирования в хозяйственной деятельности. В данных методах применяются случайные числа в качестве основы моделирования различных количественных и финансовых данных. Полученные значения можно далее использовать для проверки возможных явлений и процессов, при этом проверка осуществляется на искусственной ситуации и не несет в себе рисков. В этой главе мы рассмот­ рели основные направления применения моделирования, а именно: Управление запасами. Это направление требует учета различных перемен­ ных, в частности спроса на конкретные товары, а также норм выпуска и вре­ мени поставки. Сочетание этих переменных в одной модели позволяет руково­ дителю рассмотреть несколько вариантов хранения запасов. Так, с помощью методов моделирования можно оценить и сравнить требуемый уровень запасов, требуемую точку заказа, сроки и периодичность поставок, а также производ­ ственные фафики. Массовое обслуживание. Очереди могут возникнуть в самых различных слу­ чаях, например при обслуживании покупателей предприятиями розничной и

338

ГЛАВА 9

оптовой торговли, при образовании пробок на выходе производственных и сборочных линий, при приеме телефонных звонков, а также при обмене ин­ формацией между пользователями компьютерной сети и другим оборудованием. Здесь можно смоделировать такие переменные, как время и частота прибытия, время обслуживания и использования определенного числа точек обслужива­ ния. Изменения в одной или многих из этих переменных меняют то, как обслу­ живаются «покупатели». Обслуживание, предоставляемое клиентам, можно высфоить исходя из таких статистических показателей, как средняя длина оче­ реди, среднее время ожидания и среднее время обслуживания. Использование методов моделирования поможет руководителю принять решение относительно наиболее приемлемых путей улучшения обслуживания клиентов. Моделирование рынков. Можно смоделировать различные переменные, связанные с деятельностью торговых и производственных предприятий, в частности объем продаж, спрос, колебания числа клиентов, ценовые изме­ нения, объем производства, производственный контроль качества и теку­ честь кадров. Эти переменные часто моделируются с учетом непредсказуемо­ го элемента, который можно смоделировать с помощью случайных чисел. В этих случаях приемлемо моделирование переменных с нормальным распре­ делением. Можно смоделировать и другие ситуации с непредсказуемыми составляю­ щими, что дает возможность проанализировать возможные альтернативные решения и выдать оптимальные решения. Моделирование — это важный инст­ румент в тех случаях, когда невозможно применить приемлемые аналитические методы. Процесс моделирования дает ряд преимуществ, в том числе возмож­ ность анализировать сложные ситуации при условии неопределенности и вьщавать различные возможные исходы. Эти методы можно использовать при прове­ дении глубокого анализа при низких издержках и отсутствии рисков. К недо­ статкам метода относится сложность и затратность разработки приемлемой ими­ тационной модели, учитывающей многочисленные нюансы, возникающие в большей части практических ситуаций.

9.20. Дополнительные упражнения 1. (I) Пациенты поступают в отделение скорой помощи крупной городской центральной больницы со следующей интенсивностью: Время между моментами прибытия последовательных пациентов (мин.): Процент прибытий:

2 5

4 10

6 12

8 23

10 27

12 16

14 7

В последние три месяца проводился анализ времени, которое необходимо на обслуживание одного пациента. Обслуживание включает первичный опрос пациента, короткое обследование, диагноз возможного заболевания и переад­ ресовку для прохождения дальнейшего лечения. Далее пациента обычно пере­ мещают в отдел рентгенологии или сканирования, или же в другое отделение больницы для постановки точного диагноза и оказания специализированной помощи. На начальном этапе работы с пациентом обычно задействуется млад­ ший врач, и далее в таблице дано время обслуживания пациентов согласно проведенному наблюдению:

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Время обслуживания (мин): Процент пациентов:

10 15

12 21

14 19

16 17

18 15

20 9

339

22 4

(i) Смоделируйте прибытие первых пятнадцати пациентов в отделение скорой помощи при условии, что имеется только один дежурный доктор, за­ нимающейся их приемом на первом этапе. Прокомментируйте данную ситуа­ цию с точки зрения предоставляемого обслуживания. (ii) При условии, что имеется два дежурных врача, воспроизведите модель для пятнадцати пациентов и определите среднее время ожидания и среднюю длину очереди. (iii) Если поставить дополнительно еще одного дежурного врача, то по­ влияет ли это существенным образом на ситуацию с обслуживанием? 2. (I) На производственной линии изготавливаются готовые изделия, при этом их выпуск в час составляет: Количество изделий, производимых в час: Процент часов:

25 5

26 12

27 21

28 19

29 17

30 14

31 12

Далее готовые изделия поштучно перемещают в зону ожидания, где их складируют штабелями перед отправкой. Каждые четыре часа партия из 100 изделий отправляется на центральный склад, который находится в другом ме­ сте на территории завода. (!) Смоделируйте поступление и транспортировку этих изделий на отрезке в 20 часов. В качестве условия вводится наличие 50 изделий в зоне ожидания на начало моделирования. Определите количество изделий в зоне ожидания в кон­ це каждого часа, а также среднее количество изделий, находящихся там. (ii) Повторите моделирование, но при условии, что партии из 100 изделий отправляются на центральный склад по мере их формирования. Отправка менее ста изделий за один раз не считается необходимой. Как это влияет на среднее количество изделий в зоне ожидания? Кроме того, повлияет ли серьезным образом такой новый подход на частоту перевозок изделий на склад? 3. (D) На центральном складе крупного образовательного учреждения хранятся различные канцелярские принадлежности, предназначенные для раз­ личных факультетов и отделов и представляемые последним по их заявкам. Часто требуются три наименования: бумага для принтера, бумага для ксе­ рокса и пленка для проектора. Эти наименования хранятся в отдельном складском помещении, которое более приспособлено для раздачи. Заявки поступают на этот склад по телефону, и при наличии заказанные матери­ алы немедленно отправляются по назначению. Далее в таблице приведена интенсивность поступления заявок: Время между двумя последовательными звонками (мин): Процент звонков:

4 13

5 7

6 10

7 25

8 23

9 17

10 5

По каждому из звонков запрашивается только одно наименование. Далее в таблице показан процент звонков по каждому наименованию: Наименование: Процент звонков:

Бумага для принтера 25

Бумага для ксерокса 55

Пленка для проектора 20

340

ГЛАВА 9

Смоделируйте поступление следующих двадцати звонков с учетом следую­ щей информации: (i) Текущий уровень запасов материалов: Наименование: Бумага для Бумага для Пленка для принтера ксерокса проектора Количество: 30 40 10 (ii) При заказе обычно отправляется партия из 5 единиц каждого наиме­ нования в адрес соответствующего отдела. Если запасов не имеется в таком количестве, то направляются остатки. (iii) Каждые полчаса автоматизированная система управления запасами проверяет уровень запасов по каждому наименованию и отправляет заявку на центральный склад, когда уровень запасов становится меньше 10 единиц. Зака­ зываются следующие размеры партий: Наименование: Бумага для Бумага для Пленка для принтера ксерокса проектора Размер партии: 80 120 40 (iv) Заказанные материалы обычно доставляются в течение четырех часов с момента заказа. Смоделируйте средний уровень запасов по каждому наименованию на складе, а также зафиксируйте все случаи отсутствия материалов при поступ­ лении заявок факультетов и отделов, так что их невозможно исполнить немедленно. 4. (D) Владелец средних размеров магазина по продаже одежды в розницу пересматривает политику размещения заказов на одну из моделей джинсов. Недельный спрос на джинсы «Релис-супер» распределяется, как это показано в таблице ниже: Недельный спрос: 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 Процент недель: 15 35 25 15 10 (i) Смоделируйте спрос на отрезке в 15 недель и оцените средний недель­ ный спрос (для целей этого моделирования возьмите срединные значения из каждого диапазона). (ii) Определите средний недельный доход и средние недельные затраты на основании значений, полученных при моделировании согласно п. (1), и с уче­ том следующих данных: Розничная цена пары джинсов — 40 ф. ст. Цена приобретения — 25 ф. ст. за пару. Размер партии — 50 пар джинсов. Затраты на размещение заказа = 40 пар. Точка заказа — 40 пар. Цикл заказа — 2 недели. Затраты на хранение — 2 ф. ст. на 1 пару. Исходный уровень запасов — 90 пар. Потери вследствие дефицита — 10 ф. ст. на 1 пару. (iii) Повторите моделирование при условии, что цикл заказа непостоянен и распределяется следующим образом: Цикл заказа (число недель): Процент заказов:

1 2 20 45

3 30

4 5

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

341

(iv) Подумайте, как моделирование можно использовать для определения оптимального размера заказа с целью максимизации прибыли. 5. (D) Ранее в этой главе мы в качестве примера рассмотрели работу банка «Бэрингз» с деривативами в начале 90-х годов. При анализе рисков, связанных с этим видом вложения, используется следующая информация. Во фьючерсные контракты «Никкей 225» делаются регулярные вложения. Такие вложения приносят либо прибыль, либо убыток в зависимости от пове­ дения индекса «Никкей». Далее в таблице дано недельное процентное измене­ ние этого индекса за прошлый год: Процентное изменение; Процент недель:

-4 3

-3 10

-2 15

-1 15

0 20

+1 20

+2 15

+3 12

При вложении 1 млн. долл. США каждую неделю такие изменения индекса Никкей дают следующую прибыль или убыток: Процентное изменение: —4 —3 —2 —1 О Прибыль/убыток (млн. долл.) -1.0 -0.6 -0.4 -0.2 -0.1

+1

+2

+0.2 +0.8

+3 +1.5

(i) Смоделируйте изменение индекса «Никкей» на отрезке в 20 недель и определите прибыль или убыток по каждой неделе исходя из вложения 1 млн. долл. Какова средняя недельная прибыль/убыток? Какова общая прибыль/убы­ ток за 20 недель? (ii) Фактическая сумма вложения каждую неделю зависит от следующего: В первую неделю вкладывается 1 млн. долл. В последующие недели вложение определяется исходя из процентного из­ менения за предьщущую неделю, как это показано в таблице ниже: Процентное изменение: Вложение (млн. долл):

—4

—3

—2

—1

О

+1

+2

+3

10

7

4

2

1

1

1

О

С помощью уже смоделированного процентного изменения индекса «Ник­ кей» определите недельное вложение, а также показатели прибыли и убытка за период в 20 недель. (iii) Попробуйте разработать инвестиционную сфатегию исходя из процент­ ного изменения, показанного в п. (ii). Так, оцените следующую альтернативную стратегию: предположим, что 1 млн. долл. вложен в первую неделю. Далее при воз­ никновении убытка (т. е. если отмечено отрицательное изменение за предшество­ вавшую неделю) сумма вложения на текущей неделе удваивается. Продолжайте удваивать сумму вложения до получения дохода, затем опять перейдите к сумме в 1 млн. долл. (Это упрощенный вариант того, что в действительности случилось с вложением банка «Бэрингз» в начале 1995 г. Пытаясь перекрыть прошлые убытки, необходимо вкладывать все большие и большие суммы.) Проверьте эту новую стра­ тегию на модели и определите общую прибыль или убыток, который можно полу­ чить в результате принятия такого инвестиционного плана. 6. (I) Компания «Кноплер Инк» из Сан-Диего создала простую модель для оценки дневной выручки от реализации конкретного товара, исходя из цены за единицу этого товара. При цене за единицу товара (Р) в промежут-

342

ГЛАВА 9

ке от 20 долл. до 100 долл. дневная выручка от реализации (S) рассчитыва­ ется как: S = 6000 - 20Р + V. Значение V — непредсказуемые колебания, которые в целом нормально распределены со средним О и среднеквадратическим отклонением 1000 долл. (i) При цене за единицу 50 долл. смоделируйте дневную выручку от реали­ зации данного товара на отрезке в 15 дней. По этой модели определите среднюю выручку от реализации данного товара за указанный период. (ii) Возьмите другое значение цены за единицу товара, переделайте модель и рассмотрите, как это скажется на выручке от реализации на отрез­ ке в 15 дней. 7. (I) На производственной линии табачной фабрики «Кристофер Форд», расположенной в Батон-Руж (Луизиана), инспекцией по проверке качества было установлено, что вес партии из 200 сигарет нормально распределен со средним 100 г и среднеквадратическим отклонением 1.2 г. Партии из 200 сигарет, вес которых менее 98.5 г, бракуются и пускаются на переработку. Смоделируйте производство первых 20 партий из 200 сигарет и зафиксируй­ те, какие партии бракуются. Сколько партий забраковано при этом модели­ ровании? Проанализируйте другие стратегии по контролю за качеством, в частности выбраковка партий весом менее 99.5 г или более 101 г. Как это повлияет на количество брака? Сравните ваши результаты с ожидаемым количеством брака по методу нормального распределения вероятностей, который мы описали ранее в этой книге. 8. (D) Компания «Редналл», о которой мы говорили в начале этой главы в разделе конкретных примеров, имеет складское помещение, где хранятся наиболее популярные персональные компьютеры и периферия. Компания испытала трудности, связанные с возникновением дефицита и невозможностью удовлетворить требования клиентов. На этом неустойчивом и сильно конкурентном рынке требования клиентов, которые не могут быть удов­ летворены немедленно, часто теряются и отходят другим поставщикам. Поэто­ му важно иметь в запасе наиболее популярные модели с тем, чтобы можно было немедленно удовлетворить потребности покупателей. Рассмотрим вопросы, связанные с хранением компьютера SX486/33. Цена приобретения компьютера составляет 500 ф. ст., а «Редналл» реализует ее кли­ ентам по базовой цене 700 ф. ст. и получает прибыль в сумме 200 ф. ст. с одного компьютера. За прошлый год недельный объем продаж SX486/33 распределился следующим образом: Недельный объем продаж: Процент:

1 2 5 10

3 20

4 30

5 25

6 10

С учетом административных и транспортных расходов было установлено, что эффективно заказывать компьютеры у производителя партиями по 10 штук. Затраты на размещение заказа составляют 60 ф. ст. в виде административных издержек, а также расходов на упаковку и транспортировку. Компания заказы­ вает новую партию компьютеров, когда уровень запасов достигает отметки 8 или менее единиц. Уровень запасов проверяется в начале каждой недели. Цикл заказа составляет три недели. То есть заказ, размещенный в первую неделю обязательно попадает в запасы в начале 4-й недели. Затраты на хранение составляют 10 ф. ст. на компьютер в неделю.

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

343

Смоделируйте спрос на это! товар на отрезке в 12 недель при условии, что в начале первой недели в запасах имелось 12 компьютеров SX486/33s, а также определите по ^юму периоду следующее' (|) общее количество проданных компьютеров; (и) количество потерь требований по причине дефицита (считайте, что если требование невозможно удовлетворить немедленно, то оно теряется), ( т ) общую выручку от реализации, (iv) среднюю недельную прибыль Прокомментируйте эту политику размещения заказов и сравните ее с дру­ гой, при условии, что точка заказа составит 12 компьютеров 9 (D) На производственной линии изготавливаются бутылки и покупаются партиями по 1000 штук Произведенные партии немедленно перемещаются на склад и поступают туда со следующей интенсивностью Интервал (мин). Процент

2 5

4 10

6 15

8 28

10 26

12 16

Грузовики регулярно прибывают на склад и разгружаются партиями с од­ ной точки Далее в таблице дано время, которое уходит на разгрузку одного грузовика Время разгрузки (мин) Процент'

10 30

12 35

14 20

16 8

18 5

20 2

(i) Смоделируйте прибытие и разгрузку первых пятнадцати партий на складе Прокомментируйте ситуацию Каково среднее количество партий, ожидаю­ щих разфузки на складе? (и) При условии того, что имеегся две точки разгрузки, то есгь два грузовика могут разгружаться одновременно, смоделируйте эту ситуацию и определиle среднее количество партий, ожидающих разгрузки Достаточно ли двух точек разгрузки, чтобы справиться с потоком выпускаемой продук­ ции'' Ьсли нет, то как вы определите, сколько точек разгрузки необходимо'' 10 (I) Запросы к^тиентов поступают на центральный пульт компании «Редналл» со следующей интенсивностью' Время между звонками (мин). Процент звонков

1 П

2 15

3 21

4 25

5 18

6 5

7 4

Эти запросы переадресуются четырем основным отделам компании Далее в таблице дана процентная доля звонков, поступающих в адрес этих отделов Отделы

Процент звонков

Аппаратных средств

Разработки профаммного обеспечения

10

15

Разработки Консультаций систем по вопросам применения программ 20

55

Среднее время, необходимое для ответа клиенту, разнится от отдела к отделу Далее в таблице указано время, необходимое в каждом из отделов, чтобы закончить разговор*

344

ГЛАВА 9

Отделы:

Продолжи­ тельность разговора (мин):

Аппаратных средств

Разработки программного обеспечения

12

10

Разработки Консультаций систем по вопросам применения программ 20

Смоделируйте первые двадцать телефонных звонков на «Редналл» и зафик­ сируйте время ожидания для звонящих в разные отделы при условии, что в каждом отделе на запросы отвечает только один сотрудник. Каково среднее количество звонящих, ожидающих помощи от отделов?

Глава 10

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВЫ

> Конкретные примеры > Составление сетевого графика > Использование псевдодействий > Расчет времени > Анализ методом критического пути > Определение и расчет резерва времени > График Ганта > Планирование ресурсов > Сокращение сроков действий и стоимость срочной программы > Метод оценки и пересмотра планов (ПЕРТ) > Альтернативные методы построения сетевых фафиков ЦЕЛИ: > > > > >

уяснить применение сетевых графиков в управлении проектом научиться составлять графики по данным отдельных действий научиться применять графики Ганта при распределении ресурсов научиться применять вероятностные методы в сетевом анализе уметь сопоставлять основные методы построения сетевых фафиков

Введение Сетевой анализ включает ряд приемов, которые используются при пла­ нировании и претворении в жизнь взаимосвязанных мероприятий. Эти при­ емы особенно полезны при управлении проектом, когда использование се­ тевых графиков помогает осуществлять контроль за проектами, направлять ресурсы туда, где это необходимо, и отслеживать затраты. На практике приемы анализа временной последовательности операций часто более целе­ сообразны при осуществлении сложных проектов, включающих проведение многих сотен операций. При этом лучше всего использовать соответствую­ щие программные пакеты.

346

ГЛАВА 10

^ . Конкретный пример *^ гг

Консультационная группа ,. 1 «Гилфорд и партнеры»

Группа «Гил<})орд и партнеры» оказынает консультационные услуги при осуществлении проектов гражданского строительства. Головная контора компа­ нии находится в Великобритании. Также имеются разбросанные по всему миру (})илиалы, в том числе в Лос-Анджелесе и Далласе (США), Гонконге и Мель­ бурне (Австралия). Многие из последних крупных проектов гражданского строmejH>cTBa осуществляются компанией в Австралии и Юго-Восточной Азии. Эти проекты вк,чючают [фоектирование и строительство мостов, тоннелей, офисов и промып!ленных зданий, а также строительство крупной автодороги. Компания располагает опытом работы по всем направлениям, связанным с ре^шизацией такого рода проектов. Самое важное здесь — управление много­ миллионными суммами и осуществление жесткого контроля за их расходовани­ ем. Обычно компанию нанимают для реализации проекта в течение определен­ ного срока: все это накладывает свои ограничения и ставит задачи распределе­ ния ресурсов в строгом соответствии с объявленными сроками. Так, недавний проект по заказу правительства Австралии включал проектирование и строительсгво u(occe на окраине Сиднея. Компания «Гилфорд и партнеры» занима­ лась при этом первичной съемкой местности, выверкой на местах, проектиро­ ванием собственно дороги, а также дорожных объектов, в частности мостов, развязок и съездов. Вслед за этими первыми этапами последовало написание заявок на проведение строительных работ и получение соответствующих разре­ шений. В качестве субподрядчиков для проведения собственно строительных работ были выбраны местные строительные компании, а компания «Гилфорд и партне­ ры» должна была осуществлять контроль за всеми этапами проведения работ. Компания подписала контракт на осуществление этого крупного проекта, в котором были оговорены сроки окончания различных этапов работ, а также конечные сроки завершения строительства. В контракте также были оговорены штрафные санкции за нарушение графика работ на каждом из этапов, а также дополнительные выплаты в случае досрочного окончания всего строительства в целом. Очевидно, что при данных обстоятельствах крайне важно плотно отслеживать ход работ на каждом из этапов и выявлять отставание от фафика. Если же такое отставание от фафика происходит, то руководителю проекта необходимо найти сшьтернативные возможности по исправлению положения и возврату к исходному графику, иначе могут быть наложены штрафные са!1кции. При такой ситуации, возможно, потребуется перераспределить ресурсы, в частности перебросить персоиач на другие объекты или же, при необходимости, привлечь дополнительный персонал. В этом несомненную помощь окажут руководителю любые имеющиеся методы и приемы. В настоящее время для организаций вроде «Гилфорд и партне­ ры» использование сетевого анализа является обыденным делом. Конкретный пример

Переоснащение QE2: беда для «Кунард»

Переоснащение океанского лайнера QE2, о чем писалось много разного, проходило в период с ноября 1994 г. по январь 1995 г. Лайнер полностью пре­ образился: были существенно переделаны места общего пользования и каюты

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

347

пассажиров, полностью перепланирован ряд помещении, в том числе основ­ ной ресторан, а танцевальный зал превратили в свою рода театр. Кроме того, в каютах заменили ванные, туалеты и душевые; на корабле сменили электрику, кое-где убрали перегородки, перепланировали проходы, заново отделали бары и общие комнаты, а также перестелили ковры. Основные работы по переоборудованию проводились в Гамбурге (Германия), а остальные работы должны были быть закончены по возвращении корабля в Сауггемптон (Англия). Х1ая переоснащения корабля были наняты немецкие и анг­ лийские подрядчики, которые привлекли к работам огромную армию электри­ ков, строителей, слесарей, маляров, оформителей и уборщиков. Всего на прове­ дение основной части работ было отведено 18 дней в промежутке между заплани­ рованными круизами, места на которые уже были выкуплены. Случилось так, что переоснащение продлилось дольще, чем было заплани­ ровано. Это привело к отмене однонедельного «предрождественского» круиза и существенным срывам по двум другим круизам (через Атлантику в Нью-Йорк и Карибскому круизу в период рождества и Нового года) по причине продол­ жения работ. Но проблемы для «Кунард» (фирмы-владельца QE2) на этом не закончились. Перед отплытием в Нью-Йорк на судно не сумели вовремя полу­ чить сертификат безопасности, и произоиита задержка еще на 36 часов Все эти неприятности привели к существенным убыткам для компании, что выразилось не только в потере доходов и выплате компенсации (всего около 14 млн $), но и в потере имиджа и доверия со стороны клиентов. Очевидно, что методы сетевого анализа просто идеально подходят ляя такого крупного проекта, когда имеется взаимозависимость большого числа задач, требующих привлечения различных специалистов, нескольких суб­ подрядчиков, а также решения серьезных вопросов материально-техничес­ кого обеспечения. Но их не применили с пользой для дела, что и доказы­ вается огромным количеством жалоб и претензий. К задачам управления такого рода проекта относятся: определение продолжительности работ, пла­ нирование огромного количества разнообразных мероприятий и привлече­ ние различных специалистов. Очевидно, что если какое-либо мероприятие на раннем этапе проекта не будет исполнено в срок, то это породит так называемую цепную реакцию, которая многократно увеличит эту задержку в процессе реализации проекта. В этой главе мы рассмотрим сетевые фафики по данному конкретному примеру.

10.1.

Сетевые графики: использование обозначений с помощью стрелок

Сетевой фафик включает в себя операции и события Каждую операцию можно отобразить с помощью стрелки. События, показывающие начало и окон­ чание каждой операции, обозначаются кружками и обычно пронумерованы На рис 10 1 представлена одна операция с кружками в начале и конце. Простое отображение одной операции может включать следующие эле­ менты Операция А: транспортировка товаров с завода на склад Кружок 1: начало операции А, т. е. товары можно отправлять. Кружок 2: окончание операции А, т. е. транспортировка товаров завер­ шена.

348

ГЛАВА 10

•

^

^

«

Рис. 1 0 . 1 . Отображение операции с помощью стрелки

Рис. 10.2. Сетевой график взаимосвязанных операций Такие элементы фуппируются вместе для отражения взаимозависимости между операциями. Единичные события, представленные кружками, могут обозначать начало или окончание какого-то количества единичных операций. Так, на рис. 10.2 показан кружок 1, указывающий на начало трех операций (А, Б и В), а кружок 6 показывает на окончание двух операций (Е и Ж). Обратите внимание, что в сетевых фафиках можно использовать и другие обозначения. В частности, в большинстве программных пакетов по управлению проектом используются кружки, а не стрелки для обозначения операций. Такое обозначение вы также увидите далее в этой главе 1 0 . 2 . Сетевые графики проектов: пример Сетевой фзфик на рис. 10.3 отображает ряд несложных мероприятий по организации учебного курса. На фафике показаны различные операции, кото­ рые необходимо выполнить, чтобы завершить проект Операции обозначены стрелками. Кружки пронумерованы и указывают на начало и окончание каждой операции.

Рис. 10.3. Составление сетевого графика по учебному курсу

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

349

Из графика ясно видна зависимость между операциями Так, согласно гра­ фику, заявления можно принимать только после размещения рекламы о курсе Далее, курс можно запускать только по получении заявлений и подготовки документации по курсу. Использование сетевых графиков позволяет отображать сложные связи между различными операциями Т Определение. Сетевой график — это графическое отображение связей м различными операциями. • 10.3. Составление сетевых графиков Чтобы составить сетевой график, необходимо иметь следующую информа­ цию. (О перечень требуемых мероприятий; (а) взаимозависимость мероприятий, то есть их очередность Пример 1

Рассмотрим следующую таблицу, в которой приведен перечень мероприя­ тий по расширению завода. Мероприятия А Б В Г Д. Е

За каким мероприятием следует

Спланировать новую площадку Переехать во временные помещения Построить новый завод Подготовить персонал Установить оборудование Перевести производство на новую площадку

— А А Б В Г^Д

В таблице дана очередность по каждой операции Так, перед мероприятием А (спланировать новую площадку) ничего нет Перед мероприятием В идет мероприятие А То есть это нам говорит о том, что новый завод нельзя постро-

Перевести производство

Рис. 1 0 . 4 . Сетевой график расширения завода

350

ГЛАВА 10

ить (мероприятие В), не спланировав новую площадку (мероприятие А). Ме­ роприятию Е предшествуют мероприятия Г и Д. Это подразумевает то, что производство будет переведено на новое место (мероприятие Е) только после подготовки персонала (Г) и установки оборудования (Д). Сетевой график, составленный по этим мероприятиям, показан на рис. 10.4. Обратите внимание, что на графике мероприятия (обозначенные стрелка­ ми) имеют буквенное обозначение, а кружки, указывающие на начало и окон­ чание мероприятий, пронумерованы. Нумерация кружков почти произвольна. Единственное правило, которое необходимо соблюдать при присвоении номе­ ров кружкам, это то, что по каждому мероприятию номер кружка, обознача­ ющего его начало должен быть меньше номера окончания мероприятия. Эти номера можно использовать для отражения (или описания) мероприятий, и это одно из главных требований при компьютеризации процесса составления сетевых графиков. Так, мероприятие А идет от кружка 1 к кружку 2 (1—2). Ана^'югично, мероприятие Б — от 2 к 3, В — от 2 к 4 и т. д. Пример 2 Рассмотрим первый конкретный пример, приведенный в начале этой гла­ вы. Речь идет о консультационной группе «Гилфорд и партнеры». Первичные мероприятия

За каким мероприятием следует

A. Первичная съемка и работа на месте Б. Проектирование дороги B. Подача заявлений и получение разрешений на строительство Г. Подготовка места Д. Строительство связующих дорог Е. Строительство основной трассы Ж. Установка знаков, освещения и т. п. 3. Завершение и сдача работ

~ А Б Б Г В, Д В, Д Ж

Р и с . 1 0 . 5 . Сетевой график строительства дороги

Проектирование и строительство крупной автомагистрали по северной окраине Сиднея включало большое количество взаимосвязанных мероприятий. Для целей настоящего примера этот строительный проект разбит на небольшое число первичных мероприятий. Эти мероприятия даны в таблице ранее, где также указана их очередность.

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

351

Сетевой график этой группы мероприятий показан на рис 10 5 Обратите внимание, что мероприятие А открывает проект, а завершение мероприятий Е и 3 знаменует окончание реализации проекта Пример 3

В начале главы мы представили конкретный пример переоснащения оке­ анского лайнера QE2 в 1994—1995 гг, когда на борту корабля проводились большие работы по переделке большей части мест общественного пользова­ ния Этот огромный проект был разбит на несколько подпроектов, требо­ вавших привлечения конкретных специалистов Так, перед группой электри­ ков, задействованных в проекте, были поставлены следующие задачи (см таблицу ниже) Задания А Б В Г Д Е Ж 3 И К

Снять светильники Очистить и подготовить участки работы Повысить мощность источников питания Перекинуть секции Поставить дополнительные розетки Поставить новые светильники Изменить схему проводки Изменить схему освещения Проверить освещение Проверить всю электросистему

Предшествующее задание — — — Б А Г Б Д В, Ж, 3 Е, И

Сетевой график этих мероприятий приведен на рис 10 6

Рис. 1 0 . 6 . Сетевой график переоборудования QE2

10.4.

Псевдомероприятия

Иногда связи между мероприятиями не так просто отобразить из-за их необычной зависимости. В отдельных случаях можно вводить псевдомероприя­ тия для отображения правильной очередности Псевдомероприятие можно рас­ сматривать как мероприятие, не требующее ни средств, ни времени, и именно так оно учитывается при проведении вычислений

352

ГЛАВА 10

Пример 1 Рассмотрим следующий перечен!ь меропри[ятий: Мероприятие

За каким мероприятием следует

А Б В Г Д

Б А А, В

Можно попробовать составить сетевой фафик этих мероприятий так, как это показано на рис. 10.7. Обратите внимание, что во всех сетевых графиках один кружок указывает на начало проекта и один — на окончание проекта. График на рис. 10.7 почти правилен. Однако из графика не видно того, что Д следует за А и В, как это дано в таблице. На графике на рис. 10.7 мероприятие Д следует только за мероп­ риятием В. Чтобы показать, что мероприятие Д также следует за А, в сетевой фафик вводится псевдомероприятие (показываемое ->), как это отображено на сете­ вом графике на рис. 10.8.

Рис. 10.7. Пробный сетевой график (неполный)

Рис. 10.8. Сетевой график с включением псевдомероприятия

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

353

Пример 2 Рассмотрим следующий перечень из четырех мероприятий по небольшому проекту. Мероприятие

За каким мероприятием следует

А Б В Г

А А Б, В

Сетевой график этих мероприятий можно представить так, как это сде­ лано на рис. 10.9. Хотя этот график и правильно показывает очередность, он не имеет соответствующей формы. Так, включение мероприятия А можно определить как (1-^2). Но, исходя из графика на рис 10.9, мероприятия Б и В невозможно различить таким же образо.м, так как они оба описываются как (2->3). То есть необходимо каким-либо образом иначе отобразить эти мероприятия. Чтобы исправить график, можно ввести псевдомероприятие, как это показано на рис. 10.10. Как .мы видим, мероприятия Б и В начина­ ются здесь в одном кружке, но теперь заканчиваются в разных кружках. То есть Б можно описать как (2->4), а В как (2->3). При этом график не пере­ стал отражать правильность очередности, мероприятия Б и В идут за А, а мероприятие Г идет за Б и В.

Рис. 10.9. Неправильный сетевой график

Рис. 10.10. Использование в сетевом графике псевдомероприятия

354

ГЛАВА 10

Пример 3 Было установлено, что перечень мероприятий по проекту строительства автомагистрали, осуществляемому под руководством компании «Гилфорд и партнеры», определен неправильно. Правильная очередность приведена в таб­ лице ниже. Сетевой график по этим мероприятиям приведен на рис. 10.11. В этот гра­ фик необходимо ввести два псевдомероприятия. Мероприятия В и Г начинаются в одном и том же кружке, и возникает желание и закончить их оба в одном и том же кружке, и после этого приступить к Д и Е. Но два мероприятия не могут начинаться в одном и том же кружке и заканчиваться в одном и том же круж­ ке, и, чтобы избежать этого, вводится псевдомероприятие. По аналогичной причине вводится и псевдомероприятие вслед за мероприятием Е — с тем, чтобы мероприятия Д и Е могли идти параллельно. Первичные мероприятия

Очередность

A. Первичная съемка и работа на месте Б. Проектирование дороги B. Подача заявлений и получение разрешений на строительство Г. Подготовка места Д. Строительство связующих дорог Е. Строительство основной трассы Ж. Установка знаков, освещения и т. п. 3. Завершение и сдача работ

Б Б В, Г В, Г Д,Е Ж

Рис. 10.11. Проект строительства дороги

Пример 4

В результате пересмотра перечня электромонтажных работ при переос­ нащении QE2 был получен следующий список мероприятий и их очередно­ сти:

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

355

Очередность

Задания А Снять светильники Б Очистить и подготовить участки работы В Повысить мощность источников питания Г Перекинуть секции Д Поставить дополнительные розетки Е Поставить новые светильники Ж Изменить схему проводки 3 Изменить схему освещения И Проверить освещение К Проверить всю электросистему

А, Б А Г А, Б Д В, Ж, 3 Е, И

Рис. 10.12. Проект переоснащения QE2

Изменена очередность для мероприятий Г и Ж В результате появился но­ вый сетевой график с включением псевдомероприятия, как на рис. 10 12 Вве­ дение псевдомероприятия необходимо потому, что Г и Ж оба следуют за двумя мероприятиями А и Б, а Д следует только за А 10.5. Упражнения:

составление сетевых графиков

1 (Е) Составьте сетевые графики исходя из следующих условий: (i)

Мероприятия А Б В Г

(и)

Мероприятия А Б В Г Д Е

Очередность — — А Б Очередность — А А Б Г В

356

ГЛАВА 10 (iii

Мероприятия A Б В Г Д

(iv)

Мероприятия А Б В Г Д Е Ж

Очередность — А — В А, Г Очередность — А А А Б, Г Д В

2. (I) Производство состоит из трех этапов: 1, II и III. На этапе I проводится сборка В и Г. На этапе II проводится сборка Б с В и Г. На этапе III добавляется компонент А к тому, что собрано на этапе II. И, наконец, готовое изделие пакуется для отправки. С помощью псевдомероприятий, если это необходимо, составьте сетевой фафик следующих мероприятий: Производство А. Производство Б. Производство В. Производство Г. Этап I. Этап И. Этап III. Упаковка. 10.6. Расчет времени Общая продолжительность проекта является важным фактором при управ­ лении проектами, требующими проведения большого количества мероприятий. Общую продолжительность можно рассчитать по сетевому фафику при усло­ вии, что известна продолжительность каждого мероприятия, требуемого в со­ ответствии с проектом. Пример 1

Рассмотрим проект из QICCTH мероприятий (А, Б, В, Г, Д и Е). Продолжи­ тельность каждого мероприятия приведена в таблице ниже. Сетевой фафик этих мероприятий представлен на рис. 10.13. Обратите вни­ мание, что на фафике указана продолжительность каждого из мероприятий. Кроме этого, все кружки пронумерованы таким образом, что номер начала события меньше номера окончания события.

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ Мероприятия А Б В Г Д Е

357

Очередность

Продолжительность (недель)

Б Б А, В Г

5 4 2 6 7 1

Рис. 10.13. Сетевой график с продолжительностью мероприятий

Чтобы определить общую продолжительность проекта, необходимо опре­ делить самое раннее и самое позднее время в каждом из кружков сетевого фафика. Чтобы вписать эти значения в фафик, каждый кружок поделен на три части, как это показано на рис. 10.14. В каждом кружке имеется три значения: номер события, самое раннее время события и самое позднее время события. О номере события мы уже говорили в предыдущих примерах. Самое раннее время и самое позднее время по каждому событию (т. е. по каждому кружку) рассчи­ тывается, как это показано далее. Самое раннее время события рассчитывается следующим образом: 1. В кружок первого события в проекте ставится ноль. Это — время в начале проекта. 2. Самое раннее время по последующим событиям рассчитывается путем прибавления продолжительности мероприятия к самому раннему времени пред­ шествовавшего события. Самое раннее время события |бытия

_^

Номер события

_ Самое позднее время события

Рис. 10.14. Обозначения, используемые в сетевом графике

3. Если два или более мероприятий ведут к одному событию, тогда самое раннее время рассчитывается по каждому маршруту, и берется наибольшее полученное значение. Запомните, что кружок показывает окончание всех ме­ роприятий, которые ведут к нему. Самое раннее время в каком-либо кружке определяется исходя из самого длинного маршрута, и поэтому берется самое большое значение. Данный процесс называется «пасом вперед». Самое раннее время событий указано на фафике на рис. 10.15. Самое раннее время в кружке

358

ГЛАВА 10

2 должно быть рассчитано до получения значения в кружке 3. Далее рассчиты­ ваются значения для кружков 3 и 4, и только потом можно получить значение для кружка 5. Кружок 5 показывает окончание проекта. На этом этапе мы видим, что самое раннее проект может быть завершен в течение 13 недель. А теперь рассчитаем самое позднее время по каждому событию: (i) В последнем кружке проекта самое позднее время события равно само­ му раннему времени события. Это кажется логичным, так как самое позднее время окончания всего проекта должно обычно быть таким же, что и самое раннее время окончания. Другими словами, мы не хотим, чтобы проект длился дольше, чем необходимо. Вводим это значение. (li) Самое позднее время предшествующих событий рассчитывается путем вычитания продолжительности мероприятия из последующею самого позднего времени события. (iii) Если два или более мероприятий отходят от одного события, то рас­ считывается самое позднее время по каждому маршруту, и берется наименьшее полученное значение. Этот процесс называется «пасом назад», и полученный в окончательном виде сетевой график представлен на рис. 10.16.

Рис. 10.15. Сетевой график с самым ранним временем («пас вперед»)

Рис. 10.16.

Сетевой график с самым ранним и поздним временем («пас назад»)

Такой сетевой график используется при дальнейшем анализе совокупности мероприятий. Обратите внимание, что в ряде случаев самое раннее и позднее время в последнем кружке необязательно должно быть одинаково. Так, у нас

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

359

могут быть самые крайние сроки завершения проекта, которые не равны само­ му раннему времени окончания работ Так, по сетевому графику на рис 10 16 нас могут попросить завершить проект в течение 15 недель Это значение можно тогда использовать в качестве самого позднего времени в кружке 5 и соответ­ ственно рассчитать самое позднее время по другим событиям Однако, не имея такой дополнительной информации, мы будем считать, что все проекты дол­ жны быть завершены как можно раньше, и поэтому самое раннее и позднее время Б последнем кружке обычно должно быть одним и тем же Пример 2 В таблице приведена продолжительность электрических работ при реализа­ ции проекта по переоборудованию QE2 Задания А Б В Г Д Е Ж 3 И К

Снять светильники Очистить и подготовить участки работы Повысить мощность источников питания Перекинуть секции Поставить дополнительные розетки Поставить новые светильники Изменить схему проводки Изменить схему освещения Проверить освещение Проверить всю электросистему

Очередность

Продолжительность (дней)

— — — А, Б А Г А, Б Д В, Ж, 3 Е, И

2 1 6 5 2 3 3 2 1 1

Сетевой график этих мероприятий приведен на рис 10 17 Обратите внима­ ние, что при определении самого раннего и самого позднего времени в каждом кружке псевдомероприятия (с нулевой продолжительностью) рассматриваются так же, как и любое другое мероприятие Из сетевого графика видно, что электрические работы могут быть завершены в течение 11 дней

Рис. 10.17.

Сетевой график проекта по переоборудованию QE2 с указанием продолжительности

360

ГЛАВА 10

Пример 3 В таблице приведен расширенный перечень первичных мероприятий ком­ пании «Гилфорд и партнеры» по строительному проекту (см. предыдущие раз­ делы). В таблицу включены дополнительные мероприятия, а также продолжи­ тельность каждого из мероприятий, предусмотренных проектом. Первичные мероприятия A. Первичная съемка и работа на месте Б. Проектирование дороги B. Подача заявлений и получение разрешений на строительство Г. Составление плана по защите окружающей среды Д. Подготовка места Е. Строительство связующих дорог Ж. Строительство основной трассы 3. Установка знаков, освещения и т. п. И. Рекультивация К. Завершение и сдача работа

Очередность

Продолжительность (недель)

А

8

Б

8

Б Б

7 10 30 26 7 8 3

в,д в,д

Е, Г, Ж Г, Ж 3, И

Сетевой график этих мероприятий приведен на рис. 10.18. Самое раннее и самое позднее время событий рассчитывается так же, как и в предьщущем примере. В график, как это видно, пришлось ввести два псевдомероприятия. Т Определение: Каждый кружок сетевого графика мож:ет нести информа­ цию о самом раннем и самом позднем времени определенного события. •

Рис. 10.18. Дополненный проект строительства 10.7. Анализ методом критического пути Анализ методом критического пути заключается в определении того/тех маршрута/маршрутов в сетевом графике, которые особым образом влияют на общую продолжительность. Этого можно достичь путем вычисления самого раннего и самого позднего времени событий, как это показано в предьщущем разделе. Действия на критическом пути называются критическими действиями.

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

361

Такие действия не имеют гибкости, если проект должен закончиться в срок. Так, чтобы закончить весь проект согласно фафику, критические действия должны начинаться вовремя и заканчиваться в пределах отведенного времени.

X - не критическое действие

X - не критическое действие

X - не критическое действие

X - критическое действие

Рис. 1 0 . 1 9 , Примеры критических и не критических действий

Любое отклонение от времени начала, продолжительности или времени окончания критического действия неизбежно повлияет на общую продолжи­ тельность проекта. В сетевом фафике критическое действие можно определить следующим образом: (i) Самое раннее и самое позднее время начала одинаково. (ii) Самое раннее и самое позднее время окончания одинаково. (iii) Разница между временем начала и окончания равна продолжительно­ сти действия. На фафике на рис. 10.19 показаны несколько случаев, когда действие X является критическим или не критическим. Т Определение. Анализ методом критического пути зак.1ючается в использо­ вании сетевых графиков при onpede^icHuu «критических» мероприятий проекта. Критические действия не гибкие и должны начинаться и заканчиваться вовремя для того, чтобы проект был завершен в срок. • Пример 1

На рис. 10.20 показан один из сетевых фафиков, который мы рассматри­ вали в предьшущем разделе. В этом фафике критические действия обозначены следующим образом: Критическое действие: Н • Не критическое действие: • Из этого фафика видно, что общая продолжительность проекта составляет 13 недель, а критический путь — Б -->В-->Д. Все другие действия не являются критическими. Так, действие А не явля­ ется критическим, так как оно может начаться в день О и закончиться в день

362

ГЛАВА 10

6, что в итоге составляет шесть дней, тогда как для выполнения действия требуется только пять дней В целом действия А, Г и Е не являются критическими То есть если сокра­ тить продолжительность любого из этих действий, то это не скажется на обшей продолжительности проекта Но если изменить продолжительность любого из критических действий (Б, В или Д), то это скажется на общей продолжитель­ ности проекта

Рис. 10.20. Сетевой график с указанием критического пути

10.8. Примеры анализа методом критического пути

Пример 1 Определите общую продолжительность проекта исходя из нижеприведен­ ного перечня действий Действие

Очередность

Продолжительность (дней)

А Б В Г Д

— А, В В Б_Г

5 4 3 3 2

На рис 10 21 представлен сетевой график этих действий Обратите вни­ мание что при составлении графика необходимо ввести псевдомероприя­ тие, чтобы показать очередность действия Б за А и В, а действие Г следует только за В Обращаем ваше внимание на то, что псевдомероприятия должны учи­ тываться при вычислении самого раннего и самого позднего времени в кружках сетевого графика Продолжительность псевдомероприятия равна нулю Критический путь для этих действий — это А, Б и Д Другие действия (В и Г) не являются критическими Обшая продотжитечьность проекта составляет И дней

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

363

Рис. 10.21. Анализ методом критического пути Пример 2

Критический путь по электрическим работам в рамках проекта по QE2 (см. также рис. 10.17) представлен на рис. 10.22.

Рис. 10.22. Критический путь в проекте по QE2 Пример 3

Аналогично, сетевой фафик по строительному проекту (см. предыдущий раздел) имеет критический путь, как это показано на рис 10 23

Рис. 10.23. Критический путь в строительном проекте

364

ГЛАВА 10

10.9. Упражнения: анализ методом критического пути 1. (Е) Определите общую продолжительность проекта и критический путь исходя из нижеприведенных сетевых графиков: (I)

(")

(111)

2 (!) Составьте сетевые графики, определите критический путь и об­ щую продолжительность проекта исходя из нижеприведенных перечней дей­ ствий: Действие

Очередность

П родолжител ьность

А Б В Г Д

— А ~ — Г

3 2 7 5 6

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ (II)

(III)

Действие

Очередность

П родолжител ьность

А Б В Г Д Е Ж 3

А А А Б В Г Е,Ж

5 2 4 1 7 3 4 6

Действие

Очередность

Продолжительность

А Б В

Г Д Е Ж

365

10 5 2 3

А В Б А,Д Б

1 8 б

3. (I) (О Определите общую продолжительность проекта и критический путь исходя из нижеприведенного перечня мероприятий по расщирению заво­ да: Мероприятие A. Б. B. Г. Д Е.

Спланировать новую площадку Переехать во временные помещения Построить новый завод Подготовить персонал Установить оборудование Перевести производство на новую площадку

Очередность

А А Б В

Продолжительность (месяцев)

8 3 15 10 4

Г,Д

(li) Если на подготовку персонала уйдет 20 месяцев, повлияет ли это на общую продолжительность проекта? При этом новом значении мероприятия Г пересчитайте самое раннее и самое позднее время в каждом кружке с тем, чтобы прояснить эту новую ситуацию.

10.10. Резерв времени: определения «Резерв времени» — это количественный показатель подвижности или за­ пасного времени по каждому действию в сетевом фафике. Критические дей­ ствия — не гибкие и поэтому имеют резерв времени, равный нулю. Имеется три вида резерва времени, которые мы можем рассчитать: Суммарный резерв времени — качественный показатель времени, на кото­ рое может быть задержано завершение действия без ущерба для общих сроков проекта. Его можно рассчитать по каждому действию в сетевом графике по следу­ ющей формуле Суммарный резерв = Самое позднее время окончания — Самое раннее время начала — Продолжительность

366

ГЛАВА 10

Свободный резерв времени — количественный показатель времени, на кото­ рое может быть задержано завершение действия без ущерба для общих сроков проекта и времени начала последующих действий. Свободный резерв времени можно рассчитать следующим образом: Свободный резерв времени = Самое раннее время начала следующего действия — Самое раннее время начала — Продолжительность. Прьшечание. Самое раннее время начала следующего действия обычно рав­ но самому раннему времени окончания текущего действия, если только за ним не следует псевдодействия. Независимый резерв времени — количественный показатель времени, на которое завершение действия может быть задержано без ушерба для общих сроков проекта, а также времени начала последующих действий или времени окончания предшествующих действий. Независимый резерв времени рассчитывается следующим образом: Независимый резерв времени = Самое раннее время начала следующего действия — Самое позднее время Ha4ajia — Продолжительность. Эти виды резерва времени можно использовать при анализе подвижности определенных действий, и они могут быть полезны при пересмотре сроков дей­ ствий по проекту, когда в этом возникает необходимость. Обладая такой информа­ цией, можно определить, какие действия можно перепланировать по времени с минимальным ущербом для других действий и общих сроков проекта. Т Определение. Резерв времени — это количественный показатель подвижно­ сти определенного действия при условии обязательного завершения проекта в ми­ нимально возможные сроки. Суммарный, свободный и независимый резервы времени показывают величину подвижности определенного действия исходя из своего воз­ действия на предыдущие и последующие действия. •

10.11. Расчет резерва времени Резерв времени, о котором мы говорили в предыдущем разделе, возмож­ но, будет необходимо рассчитать по всем действиям в сетевом фафике. Мы это проиллюстрируем только на одном действии. Пример 1 Рассмотрим действие X, представленное на рис. 10.24 (продолжительность дана в днях). Обратите внимание, что действие — часть сетевого графика, и другие действия могут начаться и завершиться в двух нарисованных кружках. Из графика мы имеем следующую информацию по действию X: Продолжительность — 5 дней. Самое раннее время начала — день 20. Самое раннее время начала следующего действия (действия Y) — день 40. Самое позднее время начала — день 30. Самое позднее время окончания — день 50. Резерв времени рассчитывается по этим данным следующим образом: (i) Суммарный резерв времени = Самое позднее время окончания — Са­ мое раннее время начала — Продолжительность = 50 — 20 — 5 = 25 дней. Это

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

367

означает, что срок завершения действия X может быть задержан на период до 25 дней без ущерба для общей продолжительности проекта. Но такая задержка может повлиять на сроки предшествующих или последующих событий. (ii) Свободный резерв времени = Самое раннее время начала следующего действия — Самое раннее время начала — Продолжительность = 40 — 20 — 5 = 15 дней. Действие X можно задержать до 15 дней без ущерба для любого последующего действия и общих сроков проекта. (iii) Независимый резерв времени = Самое раннее время начала следую­ щего действия — Самое позднее время начала — Продолжительность = 40 — 30 — 5 = 5 дней. Действие X можно задержать до 5 дней без ущерба для пред­ шествующих или последующих событий, а также общих сроков проекта.

Рис. 10.24. Расчет резерва времени

Пример 2

Рассмотрим фафик на рис. 10.25. Из фафика имеем следующую информа­ цию по действию S: Продолжительность — 4. Самое раннее время начала — 5. Самое раннее время начала следующего действия — 13. (Обратите внима­ ние, что следующее реальное действие — это U.) Самое позднее время начала — 12. Самое позднее время окончания — 20.

Рис. 10.25. Часть сетевого графика с псевдодействием

Резерв времени рассчитывается следующим образом: (i) Суммарный резерв времени = Самое позднее время окончания — Са­ мое раннее время начала — Продолжительность = 20 — 5 — 4 = 11. (ii) Свободный резерв времени = Самое раннее время начала следующего действия — Самое раннее время начала — Продолжительность = 13 — 5 — 4= 4. (iii) Независимый резерв времени = Самое раннее время начала следую­ щего действия — Самое позднее время начала — Продолжительность = 13 — 12 -4=3.

ГЛАВА 10

368

Отрицательное значение в любом из этих расчетов указывает на нулевой ре­ зерв времени. Поэтому независимый резерв времени по действию S равен нулю. 10.12. Резерв времени в сетевом графике: примеры

Пример 1

Рассмотрим сетевой график на рис. 10.26. Продолжительность действий указана в неделях, также вьщелены критические действия. Расчеты резервов времени по этим действиям приведены в таблице ниже

Рис. 10.26. Пример сетевого графика с критическим путем

Первые шесть столбцов в этой таблице взяты непосредственно из сетевого фафика. Резервы времени рассчитаны по методам, описанным в предьщущем примере. Действие

А Б В Г

ц

Е Ж

Продолжи­ тельность (недель) (1)

Самое раннее время начала (2)

Самое позднее время начала (3)

6 5 3 2 7 3 4

0 0 5 8 5 5 12

0 0 5 10 5 5 12

Самое Самое раннее позднее время время окончания окончания (5) (4) 8 5 3 12 12 16 16

10 5 10 12 12 16 16

Суммарный резерв времени

Свободный резерв времени

Незави­ симый резерв

(5Н2)-(1)

(4Н2)-(1>

(4НЗН1)

4 0 2 2 0 8 0

2 0 0 2 0 8 0

2 0 0 0 0 8 0

Примечание. Самое раннее время окончания в столбце (4) равно самому раннему времени начала последующего действия. Рассмотрим действие А. Его можно задержать до 4-х недель (как это указа­ но в столбце суммарного резерва времени) без ущерба для общих сроков про­ екта. Но действие А можно задержать только до 2-х недель (как показывает свободный резерв времени) без ущерба для времени начала последующих дей­ ствий. Действие В имеет суммарный резерв времени до 2-х недель, а также нулевые свободный и независимый резервы времени. То есть, хотя продолжи­ тельность действия В можно увеличить до 2-х недель без ущерба для общих сроков проекта, такое изменение повлияет на сроки некоторых предшествую-

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

369

щих и последующих действий. И наоборот, для действия Е все виды резерва времени одинаковы (8 недель), что говорит о том, что продолжительность этого действия можно увеличить до 8 недель без ущерба для общих сроков проекта, а также сроков других действий. Обратите внимание, что все значения резерва времени по критическим действиям (Б, Д и Ж) равны нулю, что указывает на то, что любое уве­ личение продолжительности этих действий повлияет на продолжительность всего проекта Пример 2 В таблице ниже приведен расчет резерва времени по мероприятиям строи­ тельного проекта, возглавляемого компанией «Гилфорд и партнеры», о кото­ ром мы говорили в предыдущих разделах. Меропри­ ятие

А Б В Г Д Е Ж 3 И К

Самое позднее время начала (3)

Самое раннее время окончания (4)

Самое позднее время окончания (5)

Суммарный резерв времени

Свободный резерв времени

(1)

Самое раннее время начала (2)

{5)-(2Н1)

(4Н2Н1)

Незави­ симый резерв времени (4)-(ЗН1)

6 8 8 7 10 30 26 7 8 3

0 6 14 14 14 24 24 54 50 61

0 6 14 14 14 24 24 54 53 61

6 14 24" 50 24 54 50" 61 61 64

6 14 24 53 24 54 53 61 61 64

0 0 2 32 0 0 3 0 3 0

0 0 2 29 0 0 0 0 3 0

0 0 2 29 0 0 0 0 0 0

Продолжи­ тельность (недель)

Примечание. Самое раннее время окончания, обозначенное ** в столбце (4) этой таблицы, получено со ссылкой на самое раннее время начала после­ дующих мероприятий. Так, из фафика видно, что самое раннее время оконча­ ния действия В приходится на 22-й день. Но за этим мероприятием следует псевдомероприятие, которое не следует учитывать в этом процессе. За псевдо­ мероприятием самое раннее время начала последующего мероприятия (и Д, и Е) приходится на 24-й день. Аналогично, для мероприятия Ж самое раннее время начала последующего мероприятия (без учета псевдомероприятий) при­ ходится на 50-й день. Рассмотрим мероприятие Г из этой таблицы. Ясно, что есть существен­ ная гибкость в отнощении того, когда можно проводить это мероприятие. Суммарный резерв времени в 32 говорит о том, что это мероприятие можно задержать на срок до 32 недель, или же увеличить на этот же срок его продолжительность, и при этом весь проект можно завершить вовремя. Но такое изменение в отношении Г влияет на другие мероприятия. Это видно по значениям свободного и независимого резервов времени, которые оба равны 29. То есть продолжительность мероприятия Г можно увеличить на срок до 29 недель без ущерба для времени начала или окончания других мероприятий по проекту.

370

ГЛАВА 10

10.13. Упражнения: резерв времени 1 (Е) Вычислите суммарный, свободный и независимый резервы времени исходя из нижеприведенного сетевого фафика (Продолжительность дана в днях )

2 (1) (i) Составьте сетевой фафик исходя из нижеприведенного перечня действий Действие

Очередность

Продолжительность (дней)

Б А Г,Д Б

10 10 15 5 20 15 20

А Б В Г

Д Е Ж

(и) Рассчитайте суммарный, свободный и независимый резервы времени по каждому действию (ш) В силу незапланированных изменений действие Г может занять до 10 дней Прокомментируйте это с учетом значений резерва времени, рассчитанно­ го для данного действия

10.14. График Ганга График Ганта иначе отображает совокупность действий На нем отмечается время начала и окончания действия, и с его помощью легко видно, какие из действий должны проистекать в любой временной точке График Ганта особен­ но полезен при управлении проектом и планировании ресурсов Рассмотрим сетевой фафик на рис 10 27 (Этог пример рассматривался в разделе 10 12 )

Рис. 10.27. Сетевой график

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

371

Исходя и J JTOIX3 [рафика можно составить график Ганта Для этого 1 Опожите fio горизонтальной шкатс значения продолжительности всего проекта (от О до !6 недель в этом примере) 2 По одной пинии отложите все критические действия Ю

11

^2

13

14

15

Ж

_,

« _1 3

н-

1 Г

-Н

А

I

1

Рис. 10.28. График Ганта 3 Отложите вдоль отдельных тинии другие действия отметьте самое раннее время начата и продолжительность каждого действия, а также значения сум­ марного резерва времени (т е вплоть до самого позднего времени окончания) 4 В HaMcLic и в конце каждой линии поставьте номера кружков (событии) Па рис 10 28 приведен график Ганта, составленный на вышеприведенном примере Обратите внимание, что пунктирная линия j [ на графике Ганта обо!начаст суммарный резерв времени по каждому действию 10.15. Планирование ресурсов График Ганта дает возможность пользователю определить, какие действия имеют место в любой данный момент Это помогает руководителю определить требуемые ресурсы в определенные моменты в течение выполнения проекта Рсс>рсы можно отобразить с помощью гистограммы Гистограмма может также помочь руководителю проанализировать варианты распределения ресурсов при возникновении проблем с выполнением запланированного графика Например, рассмотрим действия, представленные на вышеприведенном графике Ганта Дтя выполнения каждого действия в установленные сроки тре­ буется опрсдстонное количесгво nepcoHiuia Действие

Потребность в рабочей силе

А Б В Г Д Е Ж

2 1 3 2 2 3 1

Потребность в рабочей силе, т е число работников, необходимое для вы­ полнения каждого действия, приведены в таблице выше В этом примере пред-

372

ГЛАВА 10

полагается, что работники относятся к однородной группе и что Д;тя действий по проекту требуются одни и те же профессиональные навыки и умения Из Iрафика Ганта видно, какие действия имеют место каждую неделю Так, в недели с 1 по 5 проводятся действия А и Б На неделе 6 осуществляются дей­ ствия А, В, Д и Е На неделе 7 и 8 выполняются действия В. Д и Е и т. д. Эти действия можно связать с потребностями в ресурсах, например в ра­ бочей силе Так, из таблицы видно, что для действия А требуется 2 единицы персона,'1а, для Б — 1 единица, и поэтому в недели с 1 по 5, когда оба эти действия имеют место, нам необходимы 3 единицы персонала для завершения JTHX действии Аналогично, в неделю 6, когда осуществляются действия А, В, Д и Е, нам необходимо максимум 10 единиц персонала Такой анализ потребностей можно провести по каждой неделе срока выпол­ нения проекта Далее потребности в рабочей силе можно отобразить на графике, как л о показано на рис 10 29 Мы видим, что в течение недели 6 мы имеем мак­ симальные потребности в рабочей силе (10 единиц) При определенных обстоя­ тельствах такие потребности могут быть невыполнимы Мы можем попробовать уменьшить эти потребности путем перепланирования действий по фафику Ганта. Например, действие Е можно закончить в любое время вплоть до недели 16

14

15

16

Недели Рис. 10.29. Потребность в рабочей силе по графику Если действие Е начинается в 12-ю неделю вместо 5-й, мы получаем скор­ ректированную потребность в рабочей силе, показанную на рис. 10 30. Из этого графика теперь видно, что максимальная потребность в рабочей силе составля­ ет 7 единиц персонала Аналогично, время начала других действий может еще больше снизить потребности в рабочей силе. Так, если задержать на неделю начало действии В и Г, то можно еще сократить потребности в рабочей силе В данном случае для руководителя основной подход состоит в том, чтобы «вы­ ровнять» потребности в ресурсах, например в рабочей силе на протяжении всего проекта. Таким образом, мы сначала смотрим на «пики» потребностей, а потом пытаемся снизить их путем сдвига одного или нескольких действий. Кри­ тические действия нельзя сдвинуть без ущерба для общих сроков проекта. Из

УПРАВЛЬНИЕ ПРОЕКТАМИ

373

графика Ганта, который показывает суммарный резерв времени, видно, на­ сколько можно сдвинуть каждое из действий. Но при этом учет свободного и независимого резервов времени может помочь в том, какие действия перепла­ нировать. Так, первый вариант состоит в том, чтобы взять значение независи­ мого резерва времени по какому-либо действию, так как только при этом сохраняется общая продолжительность проекта, а также нет последствий для предшествующих или последующих действий. Не следует думать, что процесс выравнивания ресурсов по времени дли­ тельности проекта является единственным, а то и самым лучшим подходом Так, такой подход .может оказаться непригодным при планировании потребно­ стей в рабочей силе в данном примере, так как мы не учитываем особые профессиональные навыки, которые могут быть необходимы для совершения определенных действий. Например, нельзя использовать работников другой специальности на прокладке дорожного полотна или укладке кирпичей' Далее, необходимо учитывать, что некоторые ресурсы лучше не выравнивать. Так, здесь мы у!итываем и финансовую сторону дела — возможно, для улучшения денежного оборота предприятие пойдет на то, чтобы отложить платежи на более поздние сроки, а не равномерно распределять их в пределах сроков про­ екта.

14

15

16

Недели

Рис. 10.30. Скорректированная потребность в рабочей силе 10.16. Упражнения: график Ганта и ресурсы 1 (Е) Составьте сетевой график и график Ганта исходя из следующих перечней действий.

(О

Действие А Б В Г Д

Очередность

Продолжительность (дней)

Б А, В Б

2 4 5 3 4

374

ГЛАВА 10 Действие

Очередность

Продолжительность(дней)

А Б В Г Д Е

— Б А А В, Г, Д

4 3 1 6 2 5

>!<

Д

Z

Действие

Очередность

Продолжительность (дней)

А Б В Г Д Е Ж

_ А Б А В В Г,Д

4 5 3 7 2 6 2

A

2. (!) а) Составьте сетевой график исходя из следующего перечня дей­ ствий: Действие

Очередность

Продолжительность (дней)

А Б В Г Д Е Ж 3

А Б В, Г Б Б Ж

3 5 4 6 9 8 3 2

G) Определите критический путь и общую продолжительность проекта. в) Составьте график Ганта. г) При условии, что для выполнения каждого действия необходим один работник, составьте фафик потребностей в рабочей силе на протяжении всего проекта 3. (I) Д^счее в таблице приведен перечень действий по проекту, В таблице 1акже указано количество работников, которое необходимо для заверщения каждого действия в срок: Действие А Б В Г Д Е Ж 3 И

к

Очередность

— А А Б Б

г.д в г,д

Е.Ж

Продолжительность (недель)

Количество работников

10 4 3 12 8 10 7 6 15 6

2 3 1 4 2 3 1 2 2 1

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

375

а) Составьте сетевой график этих действий Укажите критический путь и общую продолжительность проекта б) Составьте график Ганта этих действий и диаграмму потребностей в рабочей силе на протяжении всего проекта в) Какова максимальная потребность в рабочей силе'' Можно ли ее сни­ зить путем изменения времени начала какого-либо из действий'' Если да, то определите минимальную потребность в рабочей силе для завершения проекта в срок 10.17. Стоимость срочной программы В этом разделе мы рассмотрим возможность сокращения продолжительно­ сти проекта На практике этого иногда можно достигнуть за счет использования дополнительных ресурсов, например рабочей силы или внеурочного времени, и отсюда вытекают дополнительные расходы Такие расходы называются сто­ имостью срочной профаммы, а процесс сокращения продолжительности назы­ вается авралом Рассмотрим следующий пример Далее в таблице приведена нормальная и авральная продолжительность каждого действия, а также соответствующие расходы (Обратите внимание, что расходы — это общие расходы по каждому действию, а не расходы за неделю ) Действие

А Б В Г Д Е Ж

Очередность

— — А А А Б, В Д,Е

Продолжительность (недель) Аврал Норм 10 6 4 14 8 3 12

8 5 4 10 6 2 9

Затраты (100 ф ст) Норм

Аврал

12 10 6 11 20 6 14

17 11 6 21 23 9 20

Во-первых, нарисуем сетевой фафик этих действий при условии нормаль­ ной продолжительности (см рис. 10 31, где также указано самое раннее и по­ зднее время событий)

Рис. 1 0 . 3 1 . Сетевой график с «нормальной» продолжительностью Из графика видно, что (О Общая продолжительность проекта составляет 30 недель

ГЛАВА 10

376

(ii) Критический путь есть А, Д, Ж График Ганта по этим действиям приведен на рис 10 32 А теперь рассмотрим задачу сокращения продолжительности этого проекта Так, если мы хотим завершить проекл за 28 недель, то как можно это сделать с минимальными дополнительными затратами'' Рассмотрим стоимость ускорения каждого из этих действий Например, действие можно завершить не за 10 недель при стоимости 1200 ф ст , а за 8 при стоимости 1700 ф ст Итак, сокращение продолжительности на 2 недели влечет за собой дополнительные расходы в 500 ф ст Отсюда следует, что если взглянуть на эту задачу упрощенно, то можно сделать вывод о том, что сокращение сроков действия А на одну неделю обовдется в 250 ф ст На практике же стоимость срочной профаммы может и не находиться в прямой пропорции с общим периодом сокращения Далее в первой таблице показаны затраты по сокращению сроков каж­ дого из действии В последней колонке дана стоимость сокращения продотжитсльности действия на одну неделю, которая рассчитана как резупьтат деления увеличения стоимости на количество сокращаемых недель Недели

0 1

2

4

I I I I

6

8

i I I I I

ID I

12 I

I

14 I

I

18 20 -г? 24 26 28 30

16 I

I

I

I

'

• • ' '

'

»

•

•

•

'

1 _

Ж

-*- С -I

-f

1

-*•-{

Рис. 1 0 . 3 2 . График Ганта с «нормальной» продолжительностью

Де/ствк'е

А Б В Г Д Е Ж

Продолжительность ( 1едели) Норм Аврал Сокрашение 10 6 4 14 8 3 12

8 5 4 10 6 2 9

2 1 0 4 2 1 3

Норм

Стоимость Аврап

12 10 6 11 20 6 14

17 11 6 21 23 9 20

Уа ='личение Сто^-мос ь со<х>аие ^-иp на нелет-о (Ф ст 5 1 0 10 3 3 6

250 100

— 25" '50 300 200

Дтя того чтобы сократить общую продотжитетьность проекта, необходимо сократить продолжительность одного или ботее критических действии Сокра­ щение продолжительности не критических действии не окажет влияния на общую продолжительность проекта

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

377

К критическим действиям в этом примере относятся следующие: Действие

Стоимость сокращения на неделю (ф. ст.)

Д Ж А

150 200 250

Критические действия приведены в таблице по мере увеличения стоимости сокращения продолжительности. Из таблицы видно, что дещевле всего сократить продолжительность действия Д. Итак, мы принимаем решение сократить продол­ жительность действия Д до 7 недель при дополнительных расходах в 150 ф. ст. По этим новым данным составляем новый сетевой фафик (см. рис. 10.33). Из графика видно, что продолжительность проекта сокращена до 29 недель.

Рис. 1 0 . 3 3 .

Сетевой график при сокращенной продолжительности действия Д

Обратите внимание, что действия В и Е также становятся критическими. Это означает, что для того, чтобы сократить продолжительность проекта еще на неделю, сокращения действия Д будет недостаточно. Путь А^В->Е->Ж зай­ мет все те же 29 недель. Следовательно, необходимо сократить продолжитель­ ность одного из следующих действий: (i) действия А (стоимость сокращения — 250 ф. ст.). (ii) действия Ж (стоимость сокращения — 200 ф. ст.). (iii) действий Д и Е (стоимость сокращения 150 ф. ст. + 300 ф ст. = 450 ф. ст ) Из этих вариантов видно, что дещевле всего сократить продолжительность действия Ж. Поэтому, для того чтобы сократить общую продолжительность проекта, мы сократим продолжительность действия Ж до И недель при допол­ нительных затратах в 200 ф. ст. По этим новым данным составляем новый сетевой график (см. рис. 10.34) Теперь продолжительность всего проекта сокращена до 28 недель. Обратите внимание, что сокращение продолжительности на одну неделю необходимо проводить одномоментно, так как сокращение продолжительности какого-либо одного действия может привести к тому, что другие действия ста­ нут критическими. Поэтому после каждого внесенного изменения рекомендует­ ся тщательно проанализировать новый сетевой фафик. Итак, процесс сокращения продолжительности проекта до желаемого уров­ ня можно описать следующим образом: (i) Составьте сетевой фафик действий и найдите критический путь.

378

ГЛАВА 10

(ii) Проанализируйте стоимость сокращения продолжительности каждого из критических действий. Найдите то действие, которое дешевле всего сокра­ тить по срокам. (iii) Сократите продолжительность самого дешевого действия. (iv) Составьте новый сетевой график и найдите критический путь. (v) Повторяйте пп. (ii) и (iv) до получения желаемого уровня продолжи­ тельности или до тех пор, пока сокращение возможно.

Рис. 10.34.

Сетевой график с последующими изменениями продолжительности

Обращаем ваше внимание на то, что при сокращении продолжительности можно применять и другие методы. Так, можно сократить продолжительность всех действий, а затем увеличить продолжительность наиболее дорогостоящих действий, и так продолжать до получения требуемой продолжительности про­ екта. 10.18. Упражнения: сокращение продолжительности 1. (I) В таблице ниже приведены перечень действий, а также нормальные и сокращенные сроки и соответствующие затраты: Действие А Б В Г

д

Е Ж

Очередность

— А

— А Б, В Г

Продолжительность(недель)

Затраты (100 ф от)

Норм

Сокращ

Норм

4 2 3 4 5 1 2

3 2 2 2 3 1 1

5 3 4 6 8 2 3

Сокращ 8

— 6 11 10

— 6

(i) Составьте сетевой фафик этих действий и определите общую продол­ жительность проекта. (ii) Вы хотите сократить продолжительность проекта на две недели. Как вы это сделаете и каковы будут дополнительные затраты? (iii) Проанализируйте, есть ли возможность еще больше сократить продол­ жительность проекта. Какова минимально возможная продолжительность про­ екта исходя из имеющейся информации? Во что обойдется такое сокращение сроков'^

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

379

Рис. 10.35. Пример сетевого графика

2. (D) На сетевом фафике на рис. 10 35 отображены действия с продолжи­ тельностью в неделях. Максимальное количество недель, на которое можно сократить каждое действие, а также соответствующие затраты на неделю при­ ведены в таблице ниже: Действие

Максимальный период сокращения (недель)

Затраты на сокращение сроков на неделю (Ф- ст.)

А Б В Г Д Е Ж 3 И К Л

2 3 1 4 5 2 1

250 150 300 400 120 250 300 175 180 240

0 3 4 5

(i) Найдите критический путь и общую продолжительность проекта (ii) Определите наиболее эффективный с точки зрения затрат вариант сокращения продолжительности проекта на неделю. (iii) Далее попробуйте сократить сроки еще на одну неделю. Во что это обойдется'' (iv) Не принимая во внимание затраты, определите минимальную продол­ жительность проекта. 1 0 . 1 9 . Метод оценки и пересмотра планов (ПЕРТ)

Методы, которые мы уже рассмотрели в этой главе, исходят из того, что продолжительность всех действий по проекту известна. На практике это вещь невозможная, и продолжительность можно только спрогнозировать исходя из прошлого опыта. Использование ПЕРТ позволяет проводить более сложный анализ поставленной задачи. Этот метод заключается в определе­ нии крайних сроков каждого действия и их наиболее вероятной продолжи­ тельности.

380

ГЛАВА 10

Например, в таблице ниже дана наиболее вероятная, максимально воз­ можная и минимально возможная продолжительность некоего действия Макси­ мальная оценка часто называется пессимистической, а минимальная — опти­ мистической. Действие

Оценочная продолжительность (дней) Наиболее вероятная Оптимистическая Пессимистическая

19

28

16

Ожидаемую (среднюю) продолжительность этого действия можно оценить как взвешенное среднее трех оценочных показателей следующим образом: г\^,.„^ .„ „„^„ ..^„„, ,,г.^^, _ Оптимистическая + 4 х Наиболее вероятная + Пессимистическая _ Ожидаемая продолжительность = -z '^ = b

^ 16 + 4 X 19 + 28 6

16 -1- 76 + 28 6

120

_ 20

Отсюда ожидаемая продолжительность этого действия — 20 дней. Это зна­ чение будет использоваться при анализе с помощью сетевого графика. Далее, целесообразно оценить показатель разброса (среднеквадратическое отклонение) с тем, чтобы проанализировать возможный разброс в продолжи­ тельности всего проекта. Методы нормального распределения, описанные в главе 3, позволяют оценить среднеквадратическое отклонение (ст) исходя из диапа­ зона' 99.8% доверительные пределы равняются приблизительно ц + За, что по­ казано на графике на рис. 10.36. То есть три среднеквадратических отклонения в любую из сторон от среднего фактически захватят все из значений распреде­ ления

Рис. 1 0 . 3 6 . Доверительные пределы нормального распределения

Отсюда, разница между максимальным и минимальным значениями в этом распределении составляет приблизительно 6 среднеквадратических отклонений. Поэтому разумная оценка среднеквадратического отклонения определяется сле­ дующим образом: _ _ Диапазон .

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

381

То есть а = Максимальное значение — Минимальное значение 6 Что является определением среднсквадратического отклонения по форму1С ^ = Пессимистическое значение — Оптимистическое значение 6 В нашем примере это означает, что сред неквад рати чес кос отклонение дей­ ствия А (обозначается как А) составляет 28-16 12 а ^ = 2 дня Итак, действие А имеет ожидаемую продолжительность в 20 дней со среднеквадратическим отклонением в 2 дня Такого рода анализ можно провести по каждому действию, предусмотренному проектом Ожидаемая продолжительность и среднеквадратическое отклонение про­ должительности всего проекта могут быть получены путем сочетания ожидае­ мых значений и среднеквадратических отклонений всех критических действии Так, если действия А, Б и В являются критическими с ожидасхмыми значени­ ями Ед, Ер и Ев и среднеквадратическими отклонениямиСтд,а^ и Ов, то общая продолжительность проекта определяется следующим образом Ожидаемая продолжительность проекта = Ед + Eg -•- Ед Отклонение в продолжительности = а\ "•" o l + QR 2 : среднеквадратическое отклонение = J al, >д + Ов + СТв В следующем разделе приведены примеры использования этих методов в управлении проектом Т Определение, ПЕРТ использует понятия неопределенности при оценке сро­ ков и вероятностей при определении ожидаемой продолжительности действий в рамках проекта •

10.20. Примеры ПЕРТ Пример 1 Рассмотрим следующий перечень действий Оценочная продолжительность(дней) Действие

Очередность

А Б В Г Д Е

А — В В Л

Наиболее вероятная

Оптимисти­ ческая

Пессимисти­ ческая

9 8 4 5 8 3

8 7 3 5 7 2

16 9 5 5 15 4

382

ГЛАВА 10

Ожидаемая продолжительность этих действий рассчитывается следующим образом Действие А: ожидаемая продолжительность = (8 + 4 x 9 + 16)/6 = 60/6 = 10 дней Действие Б: ожидаемая продолжительность = (7 + 4 x 8 + 9)/6 = 8 дней. Действие В: ожидаемая продолжительность = (3 + 4 x 4 + 5)/6 = 4 дня. Действие Г: ожидаемая продолжительность = (5 + 4 x 5 + 5)/6 = 5 дней. Действие Д: ожидаемая продолжительность = (7 + 4 x 8 + 15)/6 = 9 дней. Действие Е: ожидаемая продолжительность = ( 2 + 4 x 3 + 4)/6 = 3 дня. Сетевой фафик этих действий с их ожидаемой продолжительностью пред­ ставлен на рис. 10.37. Как видно из графика, критические действия — А и Б. Для действия А: Ожидаемая продолжительность = 10 дней. ^ Р-0 16-8 8 , „ Среднеквадратическое отклонение = —-—-—-—-—= 1.33 дня 6

6

6

Для действия Б: Ожидаемая продолжительность = 8 дней. 9-7 Среднеквадратическое отклонение =—7-= 0.33 дня. о Ожидаемая продолжительность проекта: 10 + 8 = 18 дней со среднеквадратическим отклонением: V a i + 4 = A/1-33^ +0.33^ = Vl-778 + 0.11 - л / Ш = 1.37 дня.

Рис. 10.37. Сетевой график с ожидаемой продолжительностью Эти значения можно использовать при дальнейшем анализе проекта. На­ пример, можно определить вероятность того, что продолжительность проекта превысит 20 дней. При условии, что продолжительность проекта нормально распределена, это можно сделать следующим образом: Среднее продолжительности проекта -~ 18 дней. Среднеквадратическое отклонение продолжительности проекта — 1.37 дня. Распределение всей продолжительности проекта показано на рис. 10.38. Вероятность того, что продолжительность составит более 20 дней — вьщеленный участок. А теперь для определения этого участка мы вычислим нормированную случайную величину:

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

383

с помощью таблиц нормального распределения находим, что выделенный участок — О 072. Это указывает на то, что имеется 7.2%-ная вероятность того, что продол­ жительность проекта превысит 20 дней. Далее можно провести анализ возмож­ ных колебаний продолжительности всего проекта.

Продолжительность проекта

м = 18

Рис. 10.38.

Вероятность того, что продолжительность проекта превысит 20 дней

Пример 2 Рассмотрим строительный проект под управлением «Гилфорд и партне­ ры», о котором мы говорили ранее. Сначала мы проанализировали конкретные оценки продолжительности каждого действия по этому проекту. Теперь же мы рассмотрим более реалистичную ситуацию, когда продолжительность действий оценивается в диапазоне значений. Оценочные значения продолжительности приведены в таблице ниже: Оценочная продолжительность(недель) Первичные мероприятия

А Б В Г Д Е Ж 3 И К

Первичная съемка и работа на месте Проектирование дороги Подача заявлений и получение разрешении на строительство Составление плана по охране окружающей среды Подготовка места Строительство связующих дорог Строительство основной трассы Установка знаков, освещения и т п Рекультивация Завершение и сдача работ

Наиболее вероятная (НВ)

Пессимистическая

(0)

А

5 5

6 7

7 15

В

4

8

12

5 6

5 7 10 20 5 5 3

7 10 33 26 7 8 3

9 13 38 32 9 11 3

Очередность

—

в,д в.д

Е.Г,Ж Г, Ж

з,и

Оптимистическая

(П)

Эти оценки позволяют нам определить ожидаемую продолжительность каждого действия по формуле

384

ГЛАВА 10

О + 4НВ + П 6 Т. е. ожидаемая продолжительность каждого действия такова: Мероприятия: А Б В Г Д Е Ж З И Ожидаемая продолжительность (недель)6 8 8 7 10 30 26 7 8 Ожидаемая продолжительность

К 3

Критический путь — А, Б, Д, Е, 3, К (см. рис. 10 23). Среднеквадратическое отклонение продолжительности критического дей­ ствия находим по формуле П-0 6 Соответственно, критические действия имеют следующие среднеквадратические отклонения: Среднеквадратическое отклонение

Действие: Среднеквадратическое отклонение:

К

Д 0.33

1.67

1

4.67

0.67

О

Эти значения позволяют нам определить среднеквадратическое отклонение продолжительности всего проекта: Среднеквадратическое отклонение продолжительности всего проекта = = ^0,33^+1.674 1^- 4.67Ч 0.67^ =5.1 недели. Руководитель проекта от компании «Гилфорд и партнеры» может теперь использовать эту информацию для определения вероятности завершения про­ екта в пределах указанного срока. Такого рода информация может быть исключительно важна при определе­ нии приемлемости контракта с точки зрения сроков завершения и возможных штрафов в случае срыва этих сроков.

Продолжительность npoeicra

Рис. 10.39. Вероятность того, что проект будет закончен более чем через 70 недель Например: компании «Гилфорд и партнеры» предложен контракт, в кото­ рый заложено в разделе санкций, что в случае если проект не будет завершен в течение 70 недель, то на компанию будет наложен штраф в сумме 100 000 ф. ст., при этом за каждую неделю сверх установленного срока будет взиматься

УПРАВЛЕНИЕ [1Р0ЕКТАМИ

385

дополнительно по 30 000 ф. ст. штрафа. В данной ситуации исходя из нормаль­ ного распределения вероятность попасть под штрафные санкции следующая проект имеет ожидаемую продолжительность в 64 недели при среднеквадратическом отклонении, равном 5.1 недели. На рис. 10.39 представлена нормально распределенная продолжительность проекта, и выделен участок, который указывает на вероятность незавершения проекта в течение 70 недель, после чего идут штрафы. По таблицам нормаль­ ного распределения находим, что такая вероятность равна приблизительно 0.12. То есть компания «Гилфорд и партнеры» имеет 12%-ную вероятность понести штрафы по предложенному контракту Это может удержать компанию от заклю­ чения контракта и почти наверняка вызовет дополнительные переговоры по пересмотру продолжительности проекта и снижению штрафных сумм.

10.21. Упражнения: ПЕРТ 1. (I) Предположим, что общая продолжительность проекта определяется тремя действиями А, Б и В. Далее в таблице даны оценки продолжительности этих критических действий. Оценочная продолжительность (недель) Вероятная Оптимистическая Пессимистическая

Действие А Б В

10 6 14

5 4 6

21 8 16

(i) Вычислите ожидаемую продолжительность каждого действия и таким образом оцените ожидаемую продолжительность проекта (ii) Возьмите оптимистические и пессимистические оценки продолжитель­ ности действий и определите срсднеквадратическое отклонение каждого крити­ ческого действия. С помощью этих значений получите оценку сред неквад ратического отклонения продолжительности всего проекта. (lil) При условии нормального распределения оцените вероятность того, что продолжительность проекта. а) больше 34 дней, б) менее 28 дней, в) от 27 до 33 дней. (iv) Каковы доверительные пределы продолжительности этого проекта? 2. (D) В таблице приведен перечень действий и соответствующие оценки наиболее вероятной, самой пессимистической (наибольшей) и са.мой оптими­ стической (наименьшей) продолжительности. Действие

Очередность

А Б В Г Д Е Ж 3 И

— А

— — Г А Б,В,Д Г Е, Ж

Оценочная продолжительность (недель) Оптимисти­ Пессимисти­ ческая ческая 15 29 8 12 8 18 9 7 7 9 16 36 10 14 14 22 20 48

Наиболее вероятная 19 10 16 8 4 32 12 21 43

386

ГЛАВА 10

(i) Получите оценки ожидаемой продолжительности этих действий (ii) С помощью ожидаемых значений составьте сетевой график этих дей­ ствий. (ill) Найдите ожидаемую продолжительность всего проекта и среднеквадратическое отклонение этой продолжительности. (iv) При условии нормального распределения оцените вероятность того, что проект продлится: а) более 95 дней; б) менее 87 дней; в) от 92 до 96 дней. 10.22. Сетевой график: альтернативный метод — «действие в узле» В предыдущих разделах этой главы мы использовали один из конкретных методов составления сетевых графиков. Он заключается в том, что действия обозначаются стрелками, а начало и окончание событий — узлами (кружками). Альтернативный метод состоит в том, что действия указываются в узлах, а стрелки просто используются для отображения очередности. Одно из преиму­ ществ этого метода заключается в том, что в сетевой график нет необходимости вводить псевдодействия. Этот подход часто закладывается в компьютерные па­ кеты по управлению проектом. Пример 1

Рассмотрим следующий перечень действий: Действие

Очередность

А Б В Г Д

— Б А, В Б

Сетевой фафик на рис. 10.40 составлен обычным методом, т. е. действия обозначены стрелками. Альтернативный метод, при котором действия указаны в узлах, показан на рис. 10.41. Пример 2

Рассмотрим другую фуппу действий: Действие

Очередность

А Б В Г

— А А Б, В

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

387

Эти действия можно отобразить любым из фафиков, представленных на рис. 10 42. Обратите внимание, что при методе «действия в узлах» не надо вводить псевдодействия. Это одна из причин того, почему подход «действие в узле» к составлению графиков проще, чем метод «действие над стрелкой». Но трудно­ сти при дальнейшем анализе, в частности при расчете времени, приводят к гому, что многие обучаемые часто считают, что подход «действие над стрел­ кой» проще при решении вручную небольших задач, связанных с использова­ нием сетевых фафиков.

Рис. 10.40. Сетевой график «действия над стрелкой»

Рис. 1 0 . 4 1 . Сетевой график «действия в узлах» Действие над стрелкой

Действие в узле

Рис. 10.42. Сравнение сетевых графиков

388

ГЛАВА 10 Действие^

Продолжительность

Самое раннее время окончания Самое раннее время / начала j Самое позднее время начала

Рис. 10.43.

самое позднее время окончания

Обозначения, используемые при методе «действие в узле»

10.23. Расчет времени При использовании подхода «действие в узле» самое раннее и самое по­ зднее время начала и окончания указывается в узлах. Каждый из узлов разби­ вается на несколько клеточек, как это указано на рис. 10.43. При расчете времени по таким графикам можно использовать следующий метод: 1. Для расчета самого раннего времени начала действия возьмите самое раннее время окончания предыдущего действия. Если таких действий несколь­ ко, то возьмите наибольшее значение. 2. Для расчета самого раннего времени окончания прибавьте самое раннее время начала к продолжительности действия. 3. Повторите шаги 1 и 2 для всех действий 4. В узле «Конец» поставьте самое раннее время окончания равным самому позднему времени окончания. 5. Самое позднее время окончания действия рассчитайте по самому поздне­ му времени начала последующего действия. Если таких действий несколько, то возьмите самое маленькое значение. 6. Рассчитайте самое позднее время начала путем вычитания продолжи­ тельности из самого позднего времени окончания. 7. Повторите шаги 5 и 6 для всех действий. Пример 1

Рассмотрим простой пример с перечнем из четырех действий (см. таблицу ниже): Действие

Очередность

Продолжительность (недель)

А Б В Г

— А, Б Б

5 20 15 25

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

«•—.

389

шшшш

шшшт •шшшл

яилшш

'ЕЮ ••Еа

•шшшш

идвм

MMMiM

Рис. 10.44. Расчет времени

Эти действия показаны на сетевом графике на рис. 10 44. Сравните его самостоятельно с сетевым фафиком «действия над стрелками». Часто вопрос выбора метода — сугубо личное дело. Пример 2

Методом «действие в узле» составьте фафик перечня действий. Рассчитайте самое раннее и самое позднее время начала и окончания, а также общую продолжительность проекта; Действие А Б В Г Д Е Ж

Очередность — — Б А, В Б Б

г,д

Продолжительность(недель) 6 5 3 2 7 3 4

Методом «действие в узле» мы получим сетевой график, который приведен на рис. 10.45. Из этого фафика видно, что общая продолжительность проекта составляет 16 недель. Критические действия — это те, у которых самое раннее и самое позднее время начала одинаково, а также одинаково самое раннее и самое позднее время окончания. То есть мы видим, что в этом сетевом фафике критические действия — это Б, Д и Ж. Примечание. Эти действия мы уже отображали на сетевом фафике методом «стрелки» в примере 1 раздела 10.12. Сравните самостоятельно два метода со­ ставления фафика по этим рисункам. 10.24. Упражнения: сетевые графики «действия в узлах»

1. (I) Составьте сетевой фафик перечня действий методом «действия в узлах». Найдите критический путь и обшую продо.!жигельнос!ь проекта.

390

ГЛАВА 10

Рис. 10.45. Сетевой график «действия в узлах»

(i)

(ii)

(iii)

Действие

Очередность

Продолжительность(недель)

А Б В Г Д Е

— А Б Б В

10 5 3 4 6 12

Действие

Очередность

Продолжительность (недель)

А Б В Г Д Е

— — А, Б Б В, Г В, Г

4 10 8 13 5 22

Действие

Очередность

Продолжительность (недель)

А Б В Г Д Е

— — — А, Б, В В

8 4 2 5 6 7

в.д

г,д

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

391

10.25. Оценка результатов анализа с помощью сетевых графиков При управлении проектами имеется ряд ключевых вопросов, на которые необходимо дать ответы. Это: (i) Сколько времени уйдет на выполнение проекта? (ii) Есть ли вероятность отклонения от этой оценки? (iii) Когда отдельные действия должны начинаться и заканчиваться? (iv) Какие действия являются критическими при определении времени окончания проекта? (v) Какова гибкость прочих действий? Эти вопросы могут быть проанализированы с помощью сетевых графиков. Преимущества такого подхода в следующем: — Сетевые фафики являются относительно простыми инструментами, позволяющими управлять сложными проектами. — Сетевые графики помогают принимать рещения при перепланировании ресурсов, когда это необходимо. — Сетевые графики позволяют руководителю сверять ход выполнения про­ екта с контрольными сроками. Но при использовании этого метода имеются и некоторые практические трудности: — Часто трудно оценить продолжительность действий в рамках проекта. — Могут быть трудности при определении взаимозависимости некоторых действий в рамках сложного проекта. — Анализ нескольких различных необходимых ресурсов повышает слож­ ность задачи. Тем не менее такие трудности делают анализ с помощью сетевых гра­ фиков еще более необходимым, так как любой другой менее объективный подход таит в себе опасность. Применение компьютерных систем при со­ ставлении сетевых графиков и проведении соответствующего анализа спо­ собствует повышению уровня возможной сложности при рассмотрении кон­ кретных проектов.

10.26. Краткое содержание главы В этой главе рассмотрены различные приемы, призванные помочь в управ­ лении проектом. Эти приемы сводятся в основном к проведению анализа с помощью сетевых графиков. В процессе этого выполняются следующие дей­ ствия: — Составляется сетевой фафик. С помощью обозначений «действие над стрелкой» или «действие в узле» мы получаем графическое отображение всего проекта и его составных частей (действий). — Проводится анализ методом критического пути. При этом определяется оценочная продолжительность отдельных действий и анализируется степень подвижности каждого из действий. Действия, не имеющие подвижности, считаются критическими. Продолжительность таких действий нельзя изменить без ущерба для продолжительности всего проекта. Другие действия, которые не оказывают немедленного воздействия на продолжительность проекта, считают-

392

ГЛАВА 10

ся не критическими. Такого рода анализ отдельных действий проводится с по­ мощью сетевых графр1ков. Проводится распределение ресурсов. Составление графиков Ганта на основе сетевых графиков позволяет руководителю проанализировать ресур­ сы, необходимые для выполнения проекта. Так, можно оценить и спланиро­ вать потребности в рабочей силе на весь период осуществления проекта. При недостатке ресурсов можно с помощью графиков Ганта перепланировать действия. — Анализируется возможность сокращения сроков. В процессе переплани­ рования проекта, возможно, потребуется сократить сроки отдельных действий. В результате этого могут измениться ресурсные и стоимостные показатели про­ екта. Так, руховодитель может проана^аизировать, какие действия сократить по с])окам с учетом увеличения расходов и воздействия на продолжительность проекта. Руководитель, конечно, захочет свести расходы, связанные с сокраще­ нием сроков, до миниму.ма. И вновь, такого рода анализ можно провести с помощью сетевых графиков. - Проводится анализ методом ПЕРТ. На практике часто невозможно спрогнозировать точную продолжительность каждого действия в рамках про­ екта. Так, при осуществлении строительных проектов существует целый ряд факторов, оказывающих воздействие на продолжительность действий, в ча­ стности укомплектованность персоналом и оборудованием, и даже погода. Для того, чтобы более реалистично оценить проект, анализируется возмож­ ный диапазон продолжительности каждого действия. Метод ПЕРТ заключа­ ется в вероятностной оценке проекта. Так, его можно использовать при определении вероятности того, ч ю проект продлится сверх установленного срока. Все более важное значение приобретает использование компьютерных програм.м при управлении крупными проектами. Если нет пакета Microsoft Project, то использование электронных таблиц может существенно облегчить вычисле­ ния, связанные с некоторыми аспектами планирования проекта, что мы и показ;и1И на ряде примеров. В целом методы сетевого анализа дакл' руководителю мощный инструмент планирования проекта и управления и.м. Для многих руководителей — это са­ мые важные методы количественного анализа хозяйственной деятельности в Г0.Ч1, чю касается управления людскими и другими ресурсами.

10.27. Дополнительные упражнения 1. (I) Начальник отдела подготовки кадров крупной многонациональной финансовой организации получил задачу разработать и организовать новый курс по хозяйственному моделированию для руководителей среднего звена. Вначале, для того чтобы получить представление о возможной продолжи­ тельности такого курса, начальник подготовил перечень первичных мероп­ риятий. Далее в таблице приведен перечень мероприятий по подготовке учебного курса: (i) Составьте сетевой график этих мероприятий (используйте метод «дей­ ствие над стрелкой») и покажите взаимозависимость между ними.

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

393

(ii) Найдите критический путь и общую продолжительность проекта. Опре­ делите, когда можно будет начать учебный курс. (iii) Составьте график Ганта, чтобы показать имеющуюся подвижность каждого из мероприятий. Мероприятия A. Б. B. Г. Д. Е. Ж. 3.

Составить курс Разработать документацию по курсу Подготовить объявление Прорекламировать курс Принять заявления Подготовить помещения Составить полные списки участников Начать курс

Очередность

Продолжительность (недель)

— А А В, Е Г А Д Б, Ж

4 6 3 2 2 1 1 2

(iv) Рассчитайте резервы времени по каждому действию. Расскажите, как эти показатели можно использовать при управлении всем проектом в целом. (v) Если на подготовку документации по курсу уйдет фактически 9 не­ дель, то как это скажется на сроках проведения курса? Составьте, исходя из этих новых данных, другой сетевой график и определите, когда, по-новому, начнется курс. 2. (I) Далее приведены задачи по найму новых работников в компанию «Рейнольде и Пэтчинг», производственное предприятие, расположенное в Великобритании. Эти задачи разработаны сотрудником по найму персонала из управления кадров. Также указаны очередность выполнения задач и сро­ ки: (i) Составьте сетевой фафик этих действий по найму новых работников. (ii) Определите отрезок времени от составления перечня вакансий до приступления работником к исполнению своих обязанностей. Задачи A. Б. B. Г. Д. Е. Ж. 3. И. К. Л.

Составить список вакансий Определить требования к должности Составить новые формы Поместить объявления Собрать резюме Подготовить специалистов по проведению собеседования Подготовить тесты на пригодность Обработать результаты/составить основной список кандидатов Провести интервью Отобрать кандидатов Кандидаты приступают к работе

Очередность

Продолжительность (недель)

— А Б Б В, Г

3 2 2 4 2

Б Д

2 3

Е, Ж Е, Ж 3, И К

1 2 2 8

(iii) Какие действия критические? Обоснуйте значимость этих действий. (iv) Составьте фафик Ганта для этих задач.

394

ГЛАВА 10

(v) Если тесты на пригодность нельзя составить раньше, чем подготовить специалистов по проведению собеседования, то как это повлияет на общие сроки? 3. (I) Далее приведен перечень действий по разработке новой информаци­ онной системы компании от назначения фуппы по осуществлению проекта до полного ввода системы. (i) Определите критический путь и общую продолжительность этого про­ екта (ii) Составьте график Ганта по этим действиям (iii) На основании графика Ганта составьте фафик расходов — при усло­ вии, что каждое действие оплачивается по его завершении. Действие

Очередность

Продолжительность (недель)

Затраты (ф. ст.)

—

4 3 8 6 4 3 12 8

500 1000 3000 1500 1000 500 6000 3000

6 4 6 4

2600 1000 3500 800

А Б 6 Г Д Е Ж 3 И

Назначить руководителя проекта Поставить задачи Собрать необходимую информацию Определить потребности Рассмотреть варианты решений Оценить варианты технических средств Разработать программные решения Разработать инструкции Установить оборудование и программное обеспечение К Опробовать компьютерную систему Л Подготовить персонал М Полностью сдать систему в эксплуатацию

А Б Б Г

в,д в.д в,д Е,Ж И

з.к Л

(iv) При условии, что подготовка персонала начнется после действий Ж и 3, составьте новый сетевой фафик. Как такое изменение скажется на общей продолжительности проекта? 4. (D) В местной больнице озабочены тем, что пациенты, поступающие в отделение фавматологии, обслуживаются недостаточно бысфо. Руководство больницы наняло консультантов для анализа текущей практики. В хоте первич­ ного ознакомления был выявлен следующий перечень действий; Действие

А Б В Г.

Поступление пациента Ожидание свободного врача Дежурный находит медицинскую книжку Первичный осмотр пациента Анализ крови д Е Рентген Ж Результаты анализа крови 3 Результаты рентгена И. Заключительный осмотр пациента К Постановка диагноза

Очередность

— А А Б В, Г В. Г

д

Е Ж,3 И

Оценочная продолжительность (мин) Наиболее вероятная

Оптимисти­ ческая

Пессимисти­ ческая

10 30 15 20 25 45 15 25 15 20

3 15 5 15 10 20 10 15 10 15

20 75 25 30 35 60 25 45 30 30

(i) Составьте сетевой фафик этих действий на основании наиболее веро­ ятной их продолжительности и оцените общую продолжительность.

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

395

(li) Методом ПЕРТ определите ожидаемую продолжительного каж­ дого действия. На основании этих значений составьте новый сетевой график. (iii) Определите среднеквадратическое отклонение продолжительности дейсгвии на критическом пути, и таким образом определите среднеквадрати­ ческое отклонение общей продолжительности. (iv) При условии нормального распределения найдите вероятность того, что время между поступлением в отделение и постановкой диагноза. а) более 3-х часоп; б) менее 2-х часов. (v) Найдите 95%-ные доверительные пределы продолжительности этого процесса 5 (D) В таблице ниже приведен перечень мероприятий по расщирению производства в связи с открытием второго завода. Программой расщирения предусматривается перевод персонала с существующего завода (завода А) на новый завод (завод Б). Далее приведены детали этой про­ граммы, в том числе обычная продолжительность и расходы, а также сокращенная продолжительность и соответствующие расходы по каждому действию: Действие

А Б В

Найти новых инструкторов Подготовка новых инструкторов Новые инструкторы замещают старых на А Г Наем новых работников для А Д Подготовка новых работников на А Е Перевод инструкторов на Б Ж Подготовка инструкторов на Б 3 Перевод нового оборудования на Б И Перевод персонала с А на Б К Подготовка персонала на Б Л Завод Б начинает производство

Продолжительность (недель)

Расходы (1000 ф ст)

Очередность

Обычн

Сокращ прогр

Обычн

Сокращ прогр

—

10 8

8 4

2 3

4 5

2 10 6 3 4 15 4 8 3

2 8 4 2 3 12 2 5 2

1 2 5 1 2 12 2 5 8

1 3 7 2 3 21 5 8 10

А Б

в,з

Г Б В, Е А Д,Ж И К

(О Составьте сетевой фафик и определите критический путь проекта. (ii) Определите стоимость сокращения сроков каждого действия на одну неделю Определите, как лучще всего сократить продолжительность всего про­ екта на одну неделю. (iii) Если вы хотите сократить продолжительность проекта еще на две недели, то как это сделать и во что это обойдется с точки зрения дополнитель­ ных расходов. 6 (Е) Проект состоит из щести действий, которые приведены в таблице ниже Продолжительность каждого действия определена как наиболее вероят­ ная, максимальная и минимальная:

396

ГЛАВА 10

Действие

Очередность

А Б В Г Д Е

А. Г Б Д —

д

Наиболее вероятная 20 7 4 6 12 15

Продолжительность (дней) Максимальная Минимальная 25 8 5 10 16 20

19 5 3 5 10 11

(i) Составьте сетевой фафик по ожидаемой продолжительности каждого действия и найдите критический путь. (ii) При условии, что действия на критическом пути должны быть завер­ шены в минимальные сроки, то как это скажется на общей продолжительности проекта? (iii) Определите ожидаемую продолжительность и среднеквадратическое отклонение всего проекта. (iv) При условии нормального распределения определите 95%-ные дове­ рительные пределы продолжительности проекта.

ПРИЛОЖЕНИЯ

основы

МАТЕМАТИКИ

Цель данного раздела — напомнить некоторые математические приемы так как многие примеры в этом пособии предполагают, что читатель имеет требуемые навыки Если вы не поймете какую-либо из нижеизложенных тем то мы рекомендуем вам обратиться к базовому учебнику по математике с тем чтобы подняться до необходимого уровня Далее в этом разделе мы рассмотрим следующие темы > Проценты > Соотношения > CiencHH и корни > Подстановка > Простые уравнения > Знак суммы

Проценты Процент показывает относительную величину определенного зна"ения в сравнении с общим На последующих примерах мы рассмотрим вычисление проценгов Пример 1

Проценты и дроби взаимозаменяемы Так, 30% можно записать как 30/100 Это также можно записать в десятых как О 3 Десятые или дроби можно преобразовать в проценты путем умножения на 100 Например 0 65 как процент О 65 х 100 = 65% Ана^тогично, дробь ^/А как процент ^/4 х 100 = 75% Пример 2

Рассмотрим ситуацию, когда 20% заработной платы человека уходит на налоги Если работник получает 400 ф ст , то сумма уплаченного налога рассчи тывается следующим образом 20 Уплаченный налог = 20% от 400 ф ст = - ~ х400 = 0,2 х 400 = 80 ф ст Итак, работник из заработка в 400 ф ст уплачивает налог в сумме 80 ф ст Пример 3

В компании работает 200 человек персонала, из них 40 человек — в отделе сбыта 40 можно выразить как процент от общей рабочей силы (200) следую щим образом

400

ПРИЛОЖЕНИЯ

40 Процент персонала в отделе сбыта = ~ ^ х 100 = 0.2 х 100 = 20%.

Соотношения Соотношение дает сравнение одного значения с другим и может быть выражено дробью. Пример 1

Каждую неделю семья тратит 120 долл. на питание и 30 долл. на электри­ чество. Соотношение расходов на питание и расходов на электричество состав­ ляет 120 к 30. Часто это записывается как 120 : 30, хотя его можно записать как дробь: 120/30. Используя дроби, мы видим, что и другие варианты записи в равной степени пригодны. Например, 120/30 — это то же самое, что 60/15, или 12/3, или 4/1, а также множество других комбинаций. Аналогично, соотношение 120: 30 — это то же самое, что 4 : 1 . Это означает, что на каждые 4 долл., потра­ ченные на питание, приходится 1 долл., потраченный семьей на электриче­ ство. Пример 2

Наследство в 1000 ф. ст. поделено между двумя людьми (Джеймсом и Джо­ ан) в соотношении 3 : 7. Это значит, что на каждые 3 ф. ст., полученных Джеймсом, Джоан получает 7 ф. ст. Это можно выразить иначе. Например: по этому соотношению Джеймс получает 3 ф. ст. из каждых 10 ф. ст. наследства, или 3/10 от общей суммы. Следовательно, Джеймс получает 3/10 от 1000 ф. ст. = ^/ю х 100 = 300 ф. ст. А Джоан получает 7/10 от общей суммы = VlO х 100 = 700 ф. ст. Пример 3

Смета расходов компании поделена между тремя отделами (маркетинга, производства и контроля качества) в соотношении 12 : 3 : 5. Из общей сметы в 40 000 долл. мы можем определить, сколько выделено каждому отделу. Напри­ мер, соотношение показывает, что на каждые 12 долл., вьщеленные отделу маркетинга, отдел производства получает 3 долл., а отдел контроля качества — 5 долл.. То есть отдел маркетинга получает 12/20 от общей сметы, отдел про­ изводства — 3/20, а отдел контроля качества — 5/20. Отсюда каждый отдел получает: Отдел маркетинга = Т"" х 40 000 = 0.6 х 40 000 = 24 000 долл.

о с н о в ы МАТЕМАТИКИ

401

3 Отдел производства = -,^ >^ 40 000 = 0.15 х 40 000 = 6000 долл. 5 Отдел контроля качества =

х 40 000 = 0.25 х 40 000 = 10 000 долл. 20

Степени и корни

В этом пособии во многих формулах используются степени и корни. Сте­ пень числа показывает, сколько раз число умножается на само себя. На после­ дующих примерах мы рассмотрим использование степеней и корней и то, как облегчить сложные вычисления. Пример 1

Рассмотрим 4^. Это читается как 4 во 2-й степени (или 4 в квадрате). Итак, 4- — это то же самое, что 4 x 4 = 16. Аналогично, 2' (2 в 3-й степени) = 2 х 2 х 2 = 8 и З ' ' = 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Как видно из этих примеров, число степени показывает, сколько раз зна­ чение умножается на самое себя. Пример 2

Если у нас есть выражение, где число возводится в степень и затем умно­ жается на такое же число, возведенное в другую степень, то результат получа­ ется путем простого сложении степеней. Так, возьмем следующее выражение: 2^ X 2\ Его значение можно найти, взяв две составляющие отдельно, т. е. 2^ = 2 х 2 х 2 = 8и25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. Отсюда, 2' х 2^ = 8 х 32 = 256. Как вариант, исходное выражение можно получить путем простого сложе­ ния степеней, т. е. 2' х 2' = 2^^' = 2* = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256, Аналогично, 3^ х 3^ = 3^^^ = 3* = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729. Пример 3

Использование корней необходимо в ряде простых формул анализа дан­ ных. Корень квадратный числа — это значение, которое при возведении в квадрат дает исходное число. Это гораздо легче вычислить, чем сказать сло­ вами! Возьмем J~[^. Искомое — это число, которое при возвещении в квадрат дает 16. Мы знаем, что 4^ = 16. Следовательно, у'Тб^ = 4. Аналогично, ^ = 3, так как 3^ = 9. 14—1670

402

ПРИЛОЖЕНИЯ

•J^ = 5, так как 5^ = 25. , ^ 5 ~ 6- т^зк как 6^ = 36. Обычно чтобы найти корень квадратный чисел, необходимо воспользо­ ваться калькулятором.

Арифметические действия Значение арифметического выражения можно правильно найти только в том случае, если соблюдать установленный порядок совершения различных дей­ ствий. Итак: 1. Скобки. То, что находится в скобках, вычисляется в первую очередь. 2. Возведение в степень. Возведение в степень производится до других ариф­ метических действий, но после нахождения значения в скобках. 3. Деление и умножение — далее находим частные и производные зна­ чений. 4. Сложение и вычитание — значения складываются и вычитаются в конце вычислений. На последующих примерах мы рассмотрим порядок арифметических дей­ ствий.

Пример 1

Возьмем выражение 4 + 6/2. Из двух действий — сложения и деления — сначала выполняется деление. Поэтому мы сначала выполняем деление 6/2, а затем прибавляем 4, т. е. 4 + 6/2 = 4 + 3 = 7. С другой стороны, значение выражения (4 + 6)/2 = (10)/2 = 5. Из этих двух простых примеров видно, как применение скобок может изменить результат.

Пример 2

Возьмем выражение (3 х 4 — 2) х 3/(1 + 4). В этом выражении сначала находим значения в скобках. Внутри скобок мы также следуем установленной последовательности действий. То есть в выражении ( 3 x 4 — 2) мы сначала находим производное, а затем производим вычитание. Итак, (3 X 4 - 2) = 12 - 2 = 10 и (1 + 4) = 5. Отсюда (3 X 4 - 2) X 3/(1 + 4) = (10) х 3/(5). Далее производится деление, т. е. 3/5 = 0.6, и получаем (10) х 3/(5) = = (10) X 0.6 = 6. А теперь возьмем другое выражение: (5 X 8 - 6 X 3) X 20/(12 X 2 X 1) - 7 = (40 - 18) X 20/(24 + 1) - 7 = = (22) X 20/(25) - 7 = 22 X 0.8 - 7 = 17.6 - 7 = 10.6.

о с н о в ы МАТЕМАТИКИ

403

Пример 3 И наконец, рассмотрим выражение со степенями: (4 + 2 х 3)V(3 + 3^). Возведение в степень производится до других действий, но после нахождения значения в скобках. Итак, (4 + 2 X 3)^ = (4 + 6)2 = 10^ = 100 и 3 + 3^ = 3 + 9 = 12. Отсюда (4 + 2 X 3)V(3 + 3^) = 100/12 = 8,333. Подстановка Во многих аналитических методах используется подстановка в алгебраичес­ кой формуле. На последующих примерах мы рассмотрим подстановку в простых алгебраических выражениях.

Пример 1 В приведенном выражении необходимо найти значение у при данных зна­ чениях х: у=Ъ{х+\)

+ 2(2х + 3).

Чтобы получить значение у, необходимо подставить в формулу какое-ни­ будь значение х. Например: если д: = 5, то, подставив это значение в исходное выражение, получим: з; =3 X (5 + 1) + 2 X (2 X 5 + 3). Далее, следуя последовательности совершения действий, получаем: J = 3 X (6) + 2 X (10 + 3) = 18 + 2 X (13) = 18 + 26 = 44. То есть мы знаем, что при х = 5 значение у - 44. Аналогичным образом можно подставить другие значения х, чтобы полу­ чить значение у.

Пример 2 Имеется выражение, где S выражено через г: •S = (2г + ЪУ. Значение S при / = 4 находим следующим образом: S = (2 X 4 + 3)2 = (8 + 3)2 = I F = 121. Аналогично, при t = 3 значение 5 = (2 х 3 + 3)^ = (6 + 3)^ = 9^ = 81. При необходимости можно подставить другие значения /.

404

ПРИЛОЖЕНИЯ

Пример 3

Имеем А

2(3B-2)+6(5-Z?) 2В-1

Мы хотим получить значение А при В = 4. Подставив значение В в выраже­ ние, получаем: _2х(Зх4-2)+6х(5-4) Далее, 2х(12-2)+6х{1) _ 2х(10)+6 _ 20+6 8-1 7 7 А = 3.714 до 3-го знака после запятой.

Простые уравнения

Многие методы, описанные в этом пособии, в том числе методы корреля­ ции и рефессии в главе 3 и линейного программирования в главе 8, требуют решения простых линейных уравнений, которые мы рассмотрим на последую­ щих примерах. Пример 1

Решим уравнение 5х + 2 = 17. Для решения этого уравнения необходимо преобразовать уравнение с тем, чтобы неизвестная переменная {х в этом примере) оказалась сама по себе в одной части уравнения, а все числа — в другой. Главное правило при преобразовании уравнения состоит в том, что необходимо делать одно и то же с обеими частями уравнения. Например: если вы прибавите 2 к левой части уравнения, то же самое необходимо сделать и с правой частью уравнения. Точно так же вы можете умножать, делить или вычитать, но при условии, что вы делаете это с обеими частями уравнения. В этом уравнении, для того чтобы выделить х с множителем, мы должны убрать +2 в левой части уравнения. Это можно сделать путем вычитания 2. Помните, что это необходимо делать в обеих частях уравнения. Путем вычита­ ния 2 из обеих частей уравнения получаем: 5х + 2 - 2 = 17 - 2. Это сводится к 5х = 15.

основы МАТЕМАТИКИ

405

Теперь, чтобы получить чисто х, мы должны разделить на 5. И снова это делается в обеих частях уравнения: 5 " 5• Отсюда получаем, что х = 3, и таким образом решение уравнения най­ дено. Пример 2

Решим следующее уравнение: (2х + 4) + (4х + 5) = Зх + 30. В этом уравнении сначала следует соединить все «подобные» члены. Други­ ми словами, соберите вместе все члены с х и аналогичным образом все посто­ янные значения (или только числа). Так, в левой части уравнения имеем члены с х (2х и 4х), которые можно объединить, как это показано ниже: 2х + 4х + 4 + 5 = Зх + 30. То есть мы имеем: 6х + 9 = Зх + 30. А теперь соберем вместе все члены с х в левой части уравнения, а все константы — в правой. Действуем так, как это описано в примере 1. Вычитаем 9 из обеих частей уравнения: 6х + 9 - 9 = Зх + 30 - 9. Получаем: 6х = Зх + 21 Вычитаем Зх из обеих частей уравнения: 6х — Зх = Зх + 21 — Зх. Получаем: Зх = 21. И наконец, делим обе части на 3 и получаем: 3x_2J_ 3 ' 3•

Отсюда, X = 7. Пример 3

Решим уравнение

(2х+4)^5 (4-Зх) 3 •

Трудность этого уравнения состоит в том, что члены с х находятся над и под дробью. Сначала необходимо преобразовать уравнение в линию. Умножим обе части на (4 — Зх):

406

ПРИЛОЖЕНИЯ

Члены (4 — Зх) слева отменяют друг друга, и мы получаем: (2JC

+ 4) = 5/3 X (4 -

2х).

Умножим обе части уравнения на 3; 3 X (2х ^- 4) = 3 X 5/3 X (4 - Зх). Правую часть можно упростить: 3 X (2х + 4) = 5 X (4 - Зх). Теперь умножаем члены в скобках: Зх 2 х + 3 x 4 = 5 x 4 — 5хЗх. Это дает: 6х + 12 = 20 — 15х. Теперь соберем «подобные» члены вместе: 6х + 15х = 20 — 12. Получаем простое уравнение: 21х = 8. И наконец, делим обе части на 21 и получаем: х = 21/8. Это можно записать, как х - 0.38 с двумя знаками после запятой.

Знак суммы Знак суммы используется во многих статистических формулах. Вы с ним встретились в главе 1 этого пособия. Но если вы не знакомы с этим обозна­ чением, то целесообразно рассмотреть ряд дополнительных примеров по его применению. В принципе, греческая буква Е («сигма») означает сумму. То есть если вы видите формулу с 1х, то это значит, что необходимо найти сумму всех значе­ ний X. Аналогично, Zy — сумма значений у, а Еху — сумма производных х и у. А сейчас несколько примеров. Пример 1

Рассмотрим следующую таблицу, которая содержит значения х и соответ­ ствующие значения у: х: 1 2 3 4 5 у: 2 5 4 8 11 Мы можем найти следующие суммы: Хх = 1 + 2 + 3 + 4+ 5 = 15. Zy = 2 + 5 + 4 + 8 + 1 1 = 30. Можно получить производные от х и у: ху:1х2 2x5 3x4 4x8 5x11 То есть мы имеем ху: 2 10 12 32 55 Отсюда Zxy = 2 + 10 + 12 + 32 + 55 = 111.

о с н о в ы МАТЕМАТИКИ

407

Пример 2 По данным из примера 1, найдем следующие значения:

(О Ех^

(ii) I /

("i) & J & 1

Далее приведены вычисления: (О Чтобы найти YiX^, необходимо найти значения х \ а затем их сумму. Далее приведены значения х-: х'I' 2' 32 42 5' I.e. х': 1 4 9 16 25 Отсюда 2 х ^ = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55. (И) Аналогично, Х у ^ = 2^ + 5^ + 4^ + 8^ + I P = 4 + 25 + 16+ 64 + 121. Отсюда E.V^ = 230. (iii) Мы уже нашли три суммы, входящие в это выражение. Из примера 1 мы знаем, что 5]дг=15, 2^^=30 и ^ху — Ш -

(1^Х1>') 05НЗО) 450 Отсюда, имеем —=:; Z,xy запятой.

^^^^

—rrz—-ТТТ — 4.054 до третьего знака после 111 111

408

ПРИЛОЖЕНИЯ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ

ТАБЛИЦЫ

Участки под стандартной нормальной кривой

В таблице даны значения заштрихованной части графика, как это показано на рисунке: Z

0,00

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 ',7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,5000 0,4602 0,4207 0,3821 0.3446 0,3085 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841 0,1587 0,1357 0,1151 0,0968 0,0808 0,0668 0,0548 0,0446 0,0359 0,0287 0,02275 0,01786 0,01390 0,01072 0,00820 0,00621 0,00466 0,00347 0,00256 0,00187

0,01 0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409 0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814 0,1562 0,1335 0,1131 0,0951 0,0793 0,0655 0,0537 0,0436 0,0351 0,0281 0,02222 0,01743 0,01355 0,01044 0,00798 0,00604 0,00453 0,00336 0,00248 0,00181

0,02 0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0.3372 0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788 0,1539 0,1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.0643 0.0526 0.0427 0,0344 0,0274 0,02169 0,01700 0,01321 0,01017 0,00776 0,00587 0,00440 0,00326 0,00240 0,00175

0,03 0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0,3336 0,2981 0,2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.1515 0.1292 0,1093 0,0918 0,0764 0,0630 0,0516 0,0418 0,0336 0,0268 0,02118 0,01659 0,01287 0,00990 0,00755 0,00570 0,00427 0,00317 0,00233 0,00169

0,04 0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0.3300 0,2946 0,2611 0,2296 0.2005 0,1736 0.1492 0,1271 0,1075 0,0901 0,0749 0,0618 0.0505 0.0409 0,0329 0.0262 0.02068 0,01618 0,01255 0,00964 0,00734 0,00554 0,00415 0,00307 0,00226 0,00164

0,05 0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264 0,2912 0,2578 0.2266 0.1977 0,1711 0,1469 0,1251 0,1056 0,0885 0,0735 0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0256 0,02018 0,01578 0,01222 0,00939 0,00714 0,00539 0,00402 0,00298 0,00219 0,00159

0,06 0,4761 0,4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.2877 0.2546 0,2236 0,1949 0,1685 0,1446 0,1230 0,1038 0,0869 0,0721 0,0594 0,0485 0.0392 0.0314 0,0250 0,01970 0,01539 0,01191 0,00914 0,00695 0,00523 0,00391 0,00289 0,00212 0,00154

0,07

0,08

0,09

0,4721 0,4325 0.3936 0,3557 0,3192 0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660 0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708 0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0.0244 0,01923 0,01500 0,01160 0,00889 0,00676 0,00508 0,00379 0,00280 0,00205 0,00149

0,4681 0,4286 0.3897 0.3520 0,3156 0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635 0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694 0,0571 0,0465 0.0375 0.0301 0.0239 0,01876 0.01463 0,01130 0,00866 0,00657 0,00494 0,00368 0,00272 0,00199 0,00144

0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2776 0,2451 0,2148 0,1867 0,1611 0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681 0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233 0,01831 0,01426 0,01101 0,00842 0,00639 0,00480 0,00357 0,00264 0,00193 0,00139

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

409

Случайные числа1 46 61 32 68 41 04 88 17 26 45 00 57 38 43 20 44 11 64 98 73 75 17 48 24 92 01 55 95 33 17 33 91 17 01 11 80 45 98 79 13

30 30 18 80 77 9 38 75 58 34 55 47 02 06 35 71 55 99 76 13 55 77 64 63 18 15 19 35 58 01 34 52 60 53 94 52 81 20 64 42

07 37 78 55 42 21 21 96 99 59 80 47 78 82 84 85 10 75 27 96 87 79 03 76 04 30 01 71 58 40 65 37 55 12 62 19 16 64 27 66

19 52 65 38 75 03 84 05 36 27 29 23 34 77 87 61 56 09 17 76 80 84 99 68 01 17 50 23 08 97 13 36 57 69 16 59 57 62 16 63

49 62 09 39 43 12 80 00 56 64 50 18 03 64 84 46 40 81 44 80 45 39 44 97 43 37 63 36 69 36 58 76 58 89 70 33 29 18 20 81

79 72 24 18 25 30 89 82 28 05 46 57 50 77 80 11 97 22 23 48 86 80 76 36 03 46 36 62 38 61 35 90 25 29 27 71 56 80 98 28

46 04 67 55 28 53 29 61 14 80 48 10 39 92 47 16 33 09 53 17 20 73 71 48 02 18 31 00 90 87 43 00 57 18 01 79 97 44 55 46

62 54 97 14 29 23 31 07 87 83 15 52 53 22 67 18 24 22 96 54 80 03 12 00 86 61 36 97 82 15 03 80 83 85 55 00 86 18 91 27

410

ОТВЕТЫ

ОТВЕТЫ Ответы на все нечетные вопросы

Глава 1 Раздел 4 1. (О Количество читателей (10 тыс.): 90— 100— 110— 120— 130— 140— 150Количество дней; 1 3 6 9 1 5 1 2 4 (iii) Гистограмма для единичного набора данных. Линейный график для проведения сравнения. 3. Линейный график. Раздел 7 1. Среднее = 2.117, медиана = 2, мода = 1 3. (i) Среднее = 434 ф. ст., медиана = 433 ф. ст., мода = 375 ф. ст. (и) Среднее = 6,76, Медиана — 6,5, Мода — 5.3. (iii) Среднее = 11.67, Медиана = 10.2, Мода = 7. Раздел 11 1. (i) Диапазон = 28, межквартильный размах = 6. (ii) Диапазон = 29, аежквартильный размах = 14. 3. (i) Среднее = 45.4, среднеквадратическое отклонение = 13.96. (ii) Среднее = 6.06, среднеквадратическое отклонение = 2.25. (iii) Среднее = 22.85, среднеквадратическое отклонение = 6.17 5. Б ближе к цели, но менее совместима. Раздел 15 1. (i) Столбцовая диаграмма, (ii) Секторная диаграмма, (iii) Гистограмма. (iv) Линейный график. 3. (i) Среднее = 41, медиана = 39.7, мода = 36.4. (ii) Среднее = 5.8, медиана = 5.89, мода = 5.6. (iii) Среднее = 5,01 ф. ст., медиана = 4,90 ф. ст., мода = 4,78 ф. ст. 5. (i) Среднее = 5.56, среднеквадратическое отклонение = 0.261. (ii) Сред­ нее = 24.25, среднеквадратическое отклонение = 2.48. (iii) Среднее - 476.92, среднеквадратическое отклонение = 140.21. 7. У В — самый высокий средний показатель, а у А — самый надежный объем выпуска.

Глава 2 Раздел 3 1. а) 0.64 6)0.04 в) 0.32. 3. (i) а) 0.45, б) 0.9, в) 0.055, г) 0.405.

ОТВЕТЫ

411

(ii) а) 0.3025, б) 0.01, в) 0.18, г) 0.045, д) 0.495. Раздел 8 I. а) 0.009, б) 0.14, в) 0.024 3. (i) А; 31 000 ф. ст. (ii) А и В; 45 000 ф. ст. Раздел П 1. (i) 0.3543, (ii) 0.0159, (iii) 0.8857. 3. (i) 0.2440, (ii) 0.7560, (iii) 0.4744. Раздел 14 I. a) 0.3085, 6) 0.1587, в) 0.3057, г) 0.7881, д) 0.8181. 3. (i) a) 0.1335, 6) 0.0478, в) 0.4215, г) 0.3130, д) 0.3209. (ii) 2 недели. Раздел 18 1. (i) 122.4-357.6 (ii) 228.24-251.76. 3. (i) a) 0.0661, 6) 0.1294, в) 0.4210 (ii) 93.67-146.03. (iii) Да, вне ожидаемого диапазона. Раздел 21 1. (i) а) 0.9, б) 0.96 (ii) а) 0.01, б) 0.004, в) 0.9216, г) 0.0768, д) 0.072. 3. (i) а) 0.941, б) 0.886, в) 0.616 (ii) а) 0.9606, б) 0.0394. 5. (i) а) 0.2119, б) 0.0026, в) 0.0028 (ii) 490.2-509.8. (iii) 4.55%. (iv) 0.82%. 7. Рекомендовать приобрести Б, если неудачно, то модифицировать. При­ быль = 2.8 млн.

Глава 3 Раздел 4 1. (i) 1. (ii) -0.969. (iii) 0.971. Раздел 8 1. (i) 0.588. (ii) Нет. Раздел 11 1. (i) I, у= Зх -\- 2 (ii) -0.968, у = -\.5х 3. (i) 0.989 (ii) 6.

+ 13. (iii) 0.530, у = 0.8л: + 2.6.

Раздел 16 1. (i) 0.911, значимо, (ii) у = 0.134х + 2.647, 5.3 3. (i) у = 0.153Х + 1.734, 6 часов (ii) 0.607. 5. (i) 0.844.

412

ОТВЕТЫ

Глава 4 Раздел 3 1 (О 2000 ф ст (и) 1080 ф ст ( т ) 1300 ф ст 3 (|) 4375 72 ф ст (и) 2039 89 ф ст Раздел 6 1 (О 6 17%, 106 17 ф ст (и) 10 38%, 551 91 ф ст (ш) 7 12%, 1071 22 ф ст 3 (О 821 93 ф ст (и) 873 44 ф ст (ш) 564 47 ф ст Раздел 9 1 4418 ф ст , 4152 92 ф ст , 3903 75 ф ст 3 (1)2558 27 ф ст (и) 5416 32 ф ст (ш) 1937 77 ф ст 5 (О 5092 61 ф ст (и) 5434 72 ф ст (ш) 7886 77 ф ст Раздел 11 1 (О 20% (и) 4 9% (ш) 11 9% 3 (Л А 15%, Б 42 6%

Раздел 14 1 (О 600 ф ст (и) 240 ф ст (ill) 157 50 ф ст (iv) 249 73 ф ст (v) 134 19 ф ст (vi) 2697 35 ф ст 3 (О 418 38 долл , 308 39 долл , 573 39 долл 5 (i) d) 3903 75 ф ст , б) 2190 42$, в) 3779 14 ф ст (и) а) 15 9%, б) 9 7 (О 6793 40 долл (и) 10 655 20 долл (ш) 995 40 долл (iv) 3669 40 долл

Глава 5 Раздел 5 1 (О 100, 102, 104, 94,4, 89,6 (и) 100, 102, 101 96, 90 77, 94 02 3 116 12 Раздел 9 1 (i) а) 115 39 б) 124 2 Раздел 11 1 (i) а) 125 71 б) 125 68 Раздел 13 1 (О 110 57 (и) 122 55 3 (О 100, 107 36, 103 0 (и) 100, 106 70, 101 11 Раздел 18 1 (1) 100, 107 5 115 6, 116 9, 118 8, 126 3 (и) 100, 107 5, 107 6, 101 1, 1016, 106 3 3 (О 120 2, 106 9 5 (и) 102 99, 108 18 (ш) 102 99, 105 00

ОТВЕТЫ

413

Глава 6 Раздел 6 I. (iii) 40 пациентов. 3. (ii) 4.5, 4.9. (iii) 3.8, 39. Лучше скользящие средние. Раздел 10 1. (!) Тренд: 6,7, 6,85, 7,0 (ii) Прогноз: 6,4, 7,4, 6,7 3. (ii) Мультипликативный (iii) 401, 349, 891 Раздел 17 1. (i) Тренд: 19.2, 19.3, 19.4, 19.5, 19.6, 19.7, 19.8. (ii) Прогноз: 18.0, 18.1, 21.9, 22.5, 29.9, 16.5, 10.4. 3. (i) 15.3, 16.2. (ii) 11.2, 11.8. 5. (i) Прогноз: 295, 479, 356, 194. Средняя ошибка = —31. (ii). Среднеквадратическое = 45.7. (iii) Прогноз: 1.96 среднсквадратического.

Глава 7 Раздел 4 1. (iii) Оптимальный размер заказа — 98. (iv) Ежемесячно (v) 980 долл. + стоимость единицы товара. Раздел 8 1. (i) 693. (ii) 250. (iii) а) Затраты = 14 429 ф. ст. 6) Затраты = 14 060 ф. ст.

Раздел 11 1. (i) Размер производственного заказа = 727.720 каждые 6 месяцев. Раздел 13 1. (i) 37. (ii) 55. (iii) 73. (iv) 39, 59, 78. Раздел 18 1. (i) 154, 1541 ф. ст. (ii) 380, 1368 ф. ст. (iii) 1633, 735 ф. ст. 3. (i) 27.2343 долл. (ii) Да, общие затраты снижены до 512 175 долл. 5 (i) 436. (ii) 1088. (iii) 2538. 7. (i) 7562.50 долл. (ii) оптимальный размер заказа = 95, затраты = 7040 долл. (iii) Общая экономия = 330 долл. (iv) Да, снижает затраты на более чем 5000 долл. в год.

Глава 8 Раздел 6 3. (i) 14 и 8. (ii) О и 20. Раздел 9 1. (i) 10.10; Р = 70. (ii) 60, О, 30; Р - 840. (iii) 73.5, 39, 98.1; Р = 1925.5.

414

огвЕГы Раздел 1 X Y Z

II А I 2 5

Б О О 17

В О II О

Раздел 14 (i) А 1 О 2 5 3 35 (ii) А 1 О 2 20 3 О

Б 25 О 5 Б О 10 25

В О 20 О В 15 О 15

Г 10 О О

Раздел 18 I. 40, 26, прибыль ^ 2900 долл. 3 (!) 0.42; 8400 ф. ст. (ii) 20.32; 1168 ф. ст. 5. 117.6, 76.5 0; 8940 долл. 7. S Т и V А О О 60 О Б 50 50 О О В 20 О 30 30 Общие затраты — 4450 ф. ст.

Глава 9 Раздел 9 1. С помощью случайных чисел 89, 07, 37, 29, 28, 08, 75, 01, 21, 63. (1) 3, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 3. (ii) 20, 5, 10, 10, 10, 5,20, 5, 10, 15. (iii) 5, 1, 3, 3, 3, 1, 4, О, 2, 4. 3. (i) Средний дневной доход — приблизительно 750 долл., средние днев­ ные расходы — приблизительно 360 долл. (ii) Уменьшение случаев возникновения дефицита и небольшое снижение расходов по оформлению заказов. Раздел 16 1. Средняя длина очереди — около 2.5. 3. Средняя длина очереди — около 2.3, среднее время ожидания — около 6 минут. Раздел 21 1. (i) Среднее время ожидания — около 60 минут, средняя длина очереди — около 4.4. (ii) Среднее время ожидания — около 6 минут, средняя длина очереди — около 1. (Ш) Время ожидания и длина очереди равны нулю.

ОТВЕТЫ

415

2. Дефицит на бумагу для ксерокса и пленку для проектора. Слишком много времени уходит на доставку! Необходимо поднять точку заказа. 5. (i) Убыток — 1000 долл в неделю; 20 000 долл. за 20 недель, (ii) Общая сумма вложения — около 50 млн. долл.. Убыток — около 1000 долл. в неделю. 7. Количество выбраковок — около 2.

Глава

10

Раздел 9 1, (i) А, В, Д. Ж: 17. (ii) А, В, Г, Е, 3: 29. (iii) Б, Е, 3, К: 23. 3. (1) 30 месяцев: А, В, Д, Е. (ii) Без изменений. Раздел 13 I. Б; суммарный резерв времени = 2; Г: суммарный резерв времени = свободный резерв времени = 2; Д: суммарный резерв времени = свободный резерв времени = независимый резерв времени = 5. Все другие значения равны нулю. Раздел 16 1. (i) Б, В, Г; 12 дней, (ii) А, Г, Е: 15 недель, (iii) А, Б, В, Е: 18 недель. 3. а) А, Г, И; 37 недель, в) Максимальная потребность = 10 работников; сдвинуть В и Е, потребность снижается до 6 работников. Раздел 18 1. (i) А, Д; 9 недель (ii) Сократить Д на 2 недели и В на 1 неделю. Общие дополнительные расходы = 4000 ф. ст. (iii) 6 недель. Стоимость сокращения сроков = 7000 ф. ст. Раздел 21 I. (i) Ж = 11, Е = 6, М = 13. Всего 30 недель. (ii) Среднеквадратическое отклонение = 3.21. (iii) а) 0.116 б) 0.268 в) 0.35. (iv) 24—36 дней. Раздел 24 1. (i) А, Б, В, Е; 30 недель (ii) Б, Г, Е; 45 недель (Ш) А, Г, Е; 20 недель Раздел 28

1 (ii) А, В, Г, Д, Ж, 3; 14 недель, (iv) Резерв времени по Б и Е — 2 недели. Остальные значения равны нулю. (v) Увеличьте продолжительность на 1 неделю. 3. (i) А, Б, Г, Д, Ж, И, К, Л; 49 недель, (iv) Сократить до 39 недель. 5. (i) А, 3, Г, Д, И, К, Л; 56 недель, (ii) Сократить Г (500 ф. ст.). (iii) Сократить сроки Г еще на 1 неделю (500 ф. ст.) и / или А, Д или К на 1 неделю (1000 ф. ст.).

Литература для дополнительного

чтения

Ниже показано, какой материал можно взять для дополнительного изучен настоящего пособия Количественные методы Дополнительная литература

Р. Томас Гл 1

Гл 2

Anderson et al, An Introduction to Management Science, West Publishing Company, St Paul, USA, 1994

Гл 14

Ball, Quantitative Approactiee to Management, Butterworth-Heinemann, Oxford, 1991

Гл 4 и 5

Black, Business Statistics - An Introductory Course, West Publishing Company, St Paul, USA, 1992 BPP, Quantitative Methods - Business Basics, BPP Publishing, London, 1955 Carter/Williamson, Quantitative Modelling for Management and Business, Pitman, London,1996 Curwin/Slater, Quantitative Mettiods for Business Decisions, Chapman & Hall, London,1991

Гл 3

Гл 4

Гл 5

Гл 6

Гл 6

Гл 4 - 9 Гл 9

Гл 9 и

Гл 9

Г л 1-4

Eppen et a l , Introductory Management Science, Prentice Hall, New Jersey, USA, 1993

Гл 9

Гл 5

Гл 14

Гл 18

Keller et a l , Statistics for Management and Economics, Duxbury Press, 1994 Kvanli et a l , Introduction to Business

Гл 20

Statistics, West Publishing Company, St Paul, USA, 1992

Гл 16

Mathur/Solow, Management Science The Art of Decision Making, Prentice Hall, New Jersey, USA, 1994 Morris, Quantitative Approaches in Business Studies, Pitman, London, 1993 Гл 3 - 6

Гл 16 Гл 15

Гл 7

Количественные методы Дополнительная литература

Р. Томас Гл 1

Гл г

Гл 3

Гл 4

Гл 5

Oakshott, Quantitative Approaches to Decision Making. DP Publications, 1993

Гл 14

Piascik, Applied Mathematics for Business and the Social and Natural Sciences, West Publishing Company, St Paul, USA, 1991

Гл 4

Targett, Analytical Decision Making, Pitman, London, 1996 Toh/Hu, Basic Business Studies An Intuitive Approach, West Publishing Company, St Paul, USA, 1991

Гл 14 и 15

Гл 2 и З

Гл 18

Waters, A Practical Introduction to Management Science, Addison Wesley, 1994 Winston, Operations Research Applications and Algorithms, Duxbury Press, 1991 Wisniewski, Quantitative Approaches for 0вс15юп Makers, Pitman, London, 1994

Гл 6

Гл З и 4

Гл 10

Гл 15

Гл 4

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Альтернативная гипотеза 90 Амортизация 144 Анализ методом критического пути Анализ решений 62 Анализ рисков 309 Анкеты 9 Аннуитет 145 Асимметрия 47

360

Базовый взвешенный индекс 166 Безграничность 275 Биноминальное распределение 70

В Вариация 32—43 Вероятность 52—97 Взаимоисключающие события 56 Взвешенные агрегаты 163—164 Внешние факторы при прогнозировании Внутренняя норма рентабельности 150 Временные рядь' 185—186 Время ожидания 328—329 Время событий 360 Вторичные данные 10 Выборочное исследование 87—89

217

График Ганта 370 Графическое отображение

«Действие в узле» 386—387 Дерево вероятностей 61 Дерево решений 64 Дефицит 238,317 Дисконтирование 141 Дисконтирующий множитель 143 Дисперсия 45 Доверительные пределы 85 Доверительные пределы, продолжительность проекта Дополняющие друг друга события 55

Затраты вследствие дефицита 227 Затраты на приобретение 227, 235 Затраты по наладке производства 239 Значимость и выборка 87

379, 380

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

И Идеальный индекс Фишера 172 Индекс Ласпейреса 166, 168—171 Индекс Маршалла-Эджуорта 172 Индекс объема промышленного производства 179 Индекс Пааше 167—171 Индекс розничных цен 176 Индекс средней заработной платы 180 Индекс цен производителей 180 Индекс цен с учетом налогового бремени 180 Индексы 157—183 Индексы обш,ие 162 Индексы с переменной (цепной) базой 161 Индексы стоимости жизни 176 Индексы физического объема 173—176 Интенсивность входящего потока 325 Интервал между поступлениями требований 325 Использование обозначений с помощью стрелок 347—348 Использование ресурсов 309 Исследование расходов семей 176

К Квартили 34 Комбинации 72 Комбинация событий 55 Коэффициент вариации 45 Коэффициент детерминации 114 Коэффициент корреляции 104 Кривая 29, 37 Критические действия 360

Л Линейная и нелинейная зависимость 102 Линейное программирование 260—307 Линейный график 19 Линия «наилучшего» соответствия 117

м Максимальный уровень запасов 240 Максимизация 272 Максимизация, транспортировка 299—300 Массовое обслуживание 309, 324 Массовое обслуживание, доходы и расходы 330—331 Медиана 27—29 Межквартильный размах 34 Метод выбора 12 Метод оценки и пересмотра планов 379—385 Метод сложения 199,211 Методы моделирования 308—344 Минимизация 272 Множественная регрессия 126 Множественность решений 276 Мода 25—26, 30—31 Модели обслуживания 326 Модели прогнозирования 214

419

420

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Моделирование, оценка методов 336 Моделирование, разработка имитационной модели 3 Моделирование, управление запасами 316 Моделирование нормальной переменной 334—335 Моделирование спроса 315 Модель периодической проверки 247

н Наблюдение 11 Накопленная часота 29 Независимые друг от друга события 56 Независимый резерв времени 366—368 Нелинейная зависимость 123 Неопределенный спрос 243—246 Непрерывное распределение вероятностей 76 Неразрешимость 276 Несбалансированная транспортная задача 298 Норма выработки 239 Нормальное распределение 78—84, 245—247 Нулевая гипотеза 90

Область допустимых значений 266—272 Объективная функция 263 Объем выборки 12 Ограничения 262—263 Однородное распределение 244—245 Ожидаемая продолжительность 379 Ожидаемые значения 63 Оптимальное количество товаров 225 Оптимальный размер заказа 227—234 Оптимизация 262 Основа выбора 12 Основная сумма 133 Основы оценки вероятности 54 Отображение соотношений 100—101 Оценка инвестиций 149 Ошибки прогнозирования 211

п Первичные данные 9—10 Первоначальное распределение 290 Периодическая проверка 247 Персентиль 46 Пирсоновский коэффициент корреляции 104 Планирование потребностей в материалах 251 Планирование ресурсов 371—372 Правило сложения 56 Правило умножения 57 Признание модели объективной 215 Принятие решений 8, 309 Проверка гипотезы 90 Прогнозирование 184—222 Продолжительность проекта 356—359 Производственное планирование 309 Простой агрегатный индекс 162

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Простой процент 135 Простой средний индекс 162 Простые индексы 159—160 Процентная ставка 135 Псевдомерприятия 351

Размах вариации 33 Размер заказа 229—231 Размер производственного заказа 239—242 Ранговая корреляция 109—111 Распределение Пуассона 74 Расходы по размещению заказа 226 Расходы на хранение запасов 225—227 Регрессия 118—122 Резерв времени 365

Сбор данных 9 Сведение данных в таблицы 13—21 Свободный резерв времени 366—368 Сводная статистика 7—51 Сглаживающая константа 193 Сезонные колебания 197 Секторная диаграмма 20 Сетевой анализ, оценка 391 Сетевые графики 347—350, 386—387 Сетевые графики «пас назад» 358 Сетевые графики «пас вперед» 358 Сетевые графики, расчет времени 356—359 Симплексный метод, максимизация 279—284 Симплексный метод, минимизация 285—287 Система «Канбан» 252 Скидки на количество 234—236 Складские мощности 255 Скользящие средние 188 Скрытые затраты 291 Сложные события 59 Сложный процент 136 Случайные колебания 211—213 Случайные числа 312 События 347 Совокупность 11 Сокращение продолжительности 378 Соотношения 98—132 Спирмановский коэффициент ранговой корреляции Спрос 315—316 Среднеквадратическая ошибка 212—214 Среднеквадратическое отклонение 38—40 Средние 22—24, 27—29 Средний уровень запасов 240 Средняя арифметическая 22 Срок годности при хранении 254 Ставка дисконта 142 Ставка процента в годовом исчислении 139 Стоимость срочной программы 375

110

421

422

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Столбиковые диаграммы 17 Суммарный резерв времени 366—367 Суммирование ( I ) 23

Таблица распределений 13 Таблица частотности 14 Текущий взвешенный индекс 167 Точка заказа 322 «Точно вовремя» 252 Транспортировка, интерпретация результатов 302—303 Транспортная задача 297 Тренд 186 Тренд, методы регрессии 187 Тренд,нелинейный 217—218 Тренд, скользящие средние 188—191 Тренд, центрированные скользящие средние 192 Тренд, экспоненциальное сглаживание 193—195

Управление запасами 223—259, 316 Управление запасами, сравнение стратегий Управление проектами 345—396 Уровень активности 12 Уровень обслуживания 244 Устные опросы 11

319—322

Ф Факториалы 72 Федеральное бюро по статистике труда 177 Финансовая математика 133—156 Фондовые индексы 335—336 Фонды погашения 145—148 Формула оптимального размера заказа 232

Центрированные скользящие средние Цикл заказа 237, 255 Циклические колебания 210

192

ч Чистая дисконтированная стоимость

э Экспоненциальная функция 74 Экспоненциальное сглаживание 193

140—143

ОГЛАВЛЕНИЕ предисловие к русскому изданию Предисловие Глава 1 . СВОДНАЯ СТАТИСТИКА Введение 1 1 Методы сбора данных 1 11 Обращение к имеющимся материалам 1 12 Опросные листы 1 13 Устные опросы 1 14 Наблюдение 12 Сведение данных в таблицы 13 Графическое отображение 13 1 Гистограммы 132 Столбиковые диаграммы 133 Линейные графики 134 Секторные диаграммы 14 Упражнения представление данных и их сведение в таблицы 1 5 Средние 15 1 Средняя арифметическая 152 Мода 153 Медиана 16 Сравнение средних 17 Упражнения средние 18 Понятие вариации 18 1 Размах вариации 18 2 Межквартильный размах 183 Среднеквадратическое отклонение 19 Интерпретация меры вариаций 1 10 Сравнение вариации 1 11 Упражнения вариация 1 12 Другие методы анализа данных 112 1 Дисперсия 112 2 Коэффициент вариации 112 3 Персентиль 1 12 4 Показатель асимметрии 1 13 Краткое содержание главы 1 14 Дополнительные упражнения Глава 2 . О С Н О В Ы Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т И Введение 2 1 Основы оценки вероятности 2 2 Комбинация событий 221 Правило сложения 222 Правило умножения 223 Сложные события

5 6 7 7 9 9 10 11 11 13 16 16 17 19 20 21 22 22 25 27 30 31 32 33 34 38 4'' 43 44 45 45 45 46 47 48 48 52 52 54 55 56 57 59

424

2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Упражнения: базисная вероятность Дерево вероятностей Анализ решений Ожидаемые значения Дерево решений Упражнения: дерево решений Биноминальное распределение Распределение Пуассона Упражнения: биноминальные распределения и распределения Пуассона Непрерывное распределение вероятностей Нормальное распределение Упражнения: нормальное распределение Доверительные пределы Значимость и выборка Проверка гипотезы Упражнения: доверительные пределы и значимость Краткое содержание главы Дополнительные упражнения

60 61 62 63 64 69 70 74 75 76 78 84 85 87 90 92 93 94

Глава 3. СООТНОШЕНИЯ Введение 3.1. Отображение соотношений 3.2. Линейная и нелинейная зависимость 3.3. Линейный коэффициент корреляции 3.4. Упражнения: корреляция 3.5. Ранговая корреляция 3.6. Интерпретация линейного коэффициента корреляции 3.7. Коэффициент детерминации 3.8. Упражнения: ранговая корреляция и значимость 3.9. Линия «наилучшего соответствия» 3.10. Методы регрессии 3.11. Упражнения: методы регрессии 3.12. Нелинейная зависимость 3.13. Множественная регрессия 3.14. Краткое содержание главы 3.15. Дополнительные упражнения

98 98 100 102 104 108 109 112 114 116 117 118 122 123 126 128 129

Глава 4 . ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Введение 4.1. Простой процент 4.2. Сложный процент 4.3. Упражнения: простой и сложный процент 4.4. Ставка процента в годовом исчислении 4.5. Чистая дисконтированная стоимость 4.6. Упражнения: ставка процента в годовом исчислении и текуш,ай стоимость 4.7. Амортизация

133 133 135 136 139 139 140 143 144

ОГЛАВЛЕНИЕ

4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13.

Аннуитет и фонд погашения Упражнения: амортизация и аннуитет Оценка инвестиций Упражнения: оценка инвестиций Краткое содержание главы Дополнительные упражнения

425

145 149 149 153 154 154

Глава 5. ИНДЕКСЫ Введение 5.1. Простые индексы 5.2. Индексы с переменной (цепной) базой 5.3. Индексы общие 5.4. Взвешенные агрегаты 5.5. Упражнения: простые и взвешенные индексы 5.6. Индекс Ласпейреса 5.7. Индекс Пааше 5.8. Сравнение индексов Пааше и Ласпейреса 5.9. Упражнения: индексы Ласпейреса и Пааше 5.10. Другие индексы 5.11. Упражнения: другие индексы 5.12. Индексы физического объема 5.13. Упражнения: индексы физического объема 5.14. Индексы стоимости жизни 5.15. Другие деловые индексы 5.16. Краткое содержание главы 5.17. Дополнительные упражнения

157 157 159 161 162 163 165 166 167 168 171 171 173 173 176 176 179 181 182

Глава 6 . ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

184

Введение 6.1. Элементы временных рядов 6.2. Выделение тренда: методы регрессии 6.3. Выделение тренда: скользящие средние 6.4. Выделение тренда: центрированные скользящие 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16.

средние Выделение тренда: экспоненциальное сглаживание Упражнения: выделение тренда Сезонные колебания Сезонные колебания: метод сложения Сезонные колебания: метод умножения Упражнения: методы сложения и умножения Циклические колебания Случайные колебания: ошибки при прогнозировании Эффективность моделей прогнозирования Другие вопросы, связанные с прогнозированием Краткое содержание главы Дополнительные упражнения

184 185 187 188 192 193 196 197 199 205 209 210 211 214 217 220 221

426

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 7 . УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ Введение 7.1. Характеристика управления запасами 7.2. Модель оптимального размера заказа 7.3. Формула оптимального размера заказа 7.4. Упражнения: оптимальный размер заказа 7.5. Скидки за количество 7.6. Время выполнения заказа (цикл заказа) 7.7. Отсутствие запасов (дефицит) 7.8. Упражнения: скидки за количество и цикл заказа 7.9. Модель размера производственного заказа 7.10. Неопределенный спрос 7.11. Упражнения: оптимальный размер заказа и вероятностный спрос 7.12. Модель периодической проверки 7.13. Упражнения: модель периодической проверки 7.14. Другие модели управления запасами 7.15. Практические вопросы 7.16. Краткое содержание главы 7.17. Дополнительные упражнения

223 223 225 227 232 234 234 237 238 238 239 243

Глава 8 . ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Введение 8.1. Формулирование задачи линейного программирования 8.2. Графическое решение 8.3. Краткое описание графических методов 8.4. Максимизация и минимизация 8.5. Особые случаи 8.6. Упражнения: графические методы 8.7. Симплексный метод: максимизация при ограничениях со знаком < 8.8. Симплексный метод: минимизация при ограничениях со знаком > 8.9. Упражнения: симплексный метод 8.10. Транспортная задача 8.11. Упражнения: транспортная задача 8.12. Несбалансированная транспортная задача 8.13. Задача максимизации 8.14. Упражнения: задачи максимизации и несбалансированные задачи 8.15. Интерпретация результатов: вопросы управления 8.16. Краткое содержание главы 8.17. Дополнительные упражнения

260 260 262 266 272 272 275 277

Глава 9 . МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Введение 9.1. Разработка имитационных моделей 9.2. Случайные числа

308 308 311 312

247 247 250 251 253 256 257

279 285 287 288 297 298 299 301 302 304 304

ОГЛАВЛЕНИЕ

93 94 95 96 97 98 99 9 10 9 11 9 12 9 13 9 14 9 15 9 16 9 17 9 18 9 19 9 20

427

Использование случайных чисел в моделировании Моделирование спроса Управление запасами Возникновение дефицита Учет затрат Сравнение стратегий управления запасами Упражнения модели управления запасами Задачи массового обслуживания Интенсивность входящего потока Модели обслуживания Время ожидания Анализ расходов и доходов Практическое применение Упражнения задачи массового обслуживания Моделирование нормальной переменной Оценка методов моделирования Краткое содержание главы Дополнительные упражнения

312 315 316 317 318 319 323 324 325 326 328 330 331 333 334 336 337 338

Глава 1 0 . УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ Введение 10 1 Сетевые графики использование обозначений с помощью стрелок 102 Сетевые графики проектов пример 103 Составление сетевых графиков 104 Псевдомероприятия 105 Упражнения составление сетевых графиков 106 Расчет времени 107 Анализ методом критического пути 108 Примеры анализа методом критического пути 109 Упражнения анализ методом критического пути 10 10 Резерв времени определения 10 11 Расчет резерва времени 10 12 Резерв времени в сетевом графике примеры 10 13 Упражнения резерв времени 10 14 График Ганта 10 15 Планирование ресурсов 10 16 Упражнения график Ганта и ресурсы 10 17 Стоимость срочной программы 10 18 Упражнения сокращение продолжительности 10 19 Метод оценки и пересмотра планов (ПЕРТ) 10 20 Примеры ПЕРТ 10 21 Упражнения ПЕРТ 10 22 Сетевой график альтернативный метод — «действие в узле» 10 23 Расчет времени 10 24 Упражнения сетевые графики «действия в узлах»

345 345 347 348 349 351 355 356 360 362 364 365 366 368 370 370 371 373 375 378 379 381 385 386 388 389

428

ОГЛАВЛЕНИЕ

10.25. Оценка результатов анализа с помощью сетевых графиков 10.26. Краткое содержание главы 10.27. Дополнительные упражнения

391 391 392

ПРИЛОЖЕНИЯ

397

Основы математики

399

Статистические таблицы

408

Ответы

410

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ЧТЕНИЯ

416

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

418