Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. Анализ парадигмы

Национальная академия наук Украины Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина

Венгеров И.Р.

ТЕПЛОФИЗИКА ШАХТ И РУДНИКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Том I. Анализ парадигмы

Издательство НОРД - ПРЕСС Донецк - 2008

УДК 536-12:517.956.4:622 ББК 22.311:33.1 В29 Рекомендовано к печати Ученым советом ДонФТИ им. А.А.Галкина НАН Украины (протокол № 6 от 26.09.2008 г.). Рецензенты: Ведущий научный сотрудник Института физики горных процессов НАН Украины, д.ф.-м.н., проф. Я.И. Грановский; д.т.н., проф. кафедры физики неравновесных процессов, метрологии и экологии физического факультета Донецкого Национального университета, акад. АИН и АН ВШ Украины Ф.В.Недопекин; зав.кафедрой высшей математики Донецкого государственного университета управления, д.ф.-м.н., проф. Л.Е. Шайхет; зав.отделом аналитических методов механики горных пород Института прикладной математики и механики НАН Украины, д.т.н. Н.С.Хапилова. Венгеров И.Р. В 29 Теплофизика шахт и рудников. Математические модели. Том 1. Анализ парадигмы. — Донецк: Норд-Пресс, 2008. — 632 с. В монографии впервые в мировой литературе проанализирована парадигма математического моделирования процессов переноса импульса, массы и тепла в шахтах и рудниках. Рассмотрены модели процессов переноса в горных массивах и выработках, выявлены их сходство и различие для технологических и аварийных режимов. Сделано обобщение и сформулированы задачи дальнейших исследований (свыше 170). Обзор литературы включает источники за последние 50 лет (около 1900). Сформулированы принципы построения теоретической геотеплофизики. Монография представляет интерес для преподавателей, дипломников, аспирантов, докторантов и исследователей в областях теплофизики горного дела, геофизики, экологии. In the monograph for the first time in the world literature a paradigm of mathematical simulating of impulse, mass, and heat transfer processes in mines is analyzed. The models of transfer processes in mining masses and excavations are discussed, their likeness and distinction for technological and emergency regimes are recognized. A generalization has been carried out and tasks of further investigations are formulated (over 170). The literature review includes sources for the last 50 years (about 1900). Principles of construction of the theoretical geo-thermophysics are formulated. The monograph is of interest for teachers, graduate students, those students working on a thesis, and researchers in the areas of thermophysics of mining, geophysics, ecology.

ISBN 978-966-380-244-2 © И.Р. Венгеров

Автор посвящает эту книгу памяти коллег по работе в МакНИИ: Ольги Касимовой, Лидии Ващенко, Михаила Солодкина, Михаила Иткина, Виктора Акулова, Александра Киреева, Ефима Верховского, Николая Хохотвы, Александра Величко, Ивана Егорова

Для чего столь великих мужей были труды и жизни опасные испытания? Для того ли только, чтобы собрав великое множество различных вещей и материй в беспорядочную кучу, глядеть и удивляться их множесту, не размышляя о их расположении и приведении в порядок. М.В. Ломоносов

...даже если сила тяжести и тепло действуют внутри земного шара на глубинах, которые всегда останутся недоступными, математический анализ позволяет познать законы всех этих явлений. Ж.-Б. Фурье

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

×àñòü 1. Ââåäåíèå…….......................................................................................9 Ãëàâà 1. Òåðìèíîëîãèÿ……...............................................................................9 §1. Òåðìèíû íàóêîâåäåíèÿ……................................................................9 §2. Òåðìèíû ãåîëîãèè è ãåîôèçèêè……...............................................11 §3. Òåðìèíû ãîðíûõ íàóê…….…................................................................13 §4. Òåðìèíû òåïëîôèçèêè…….…..............................................................15 Ãëàâà 2. Ñòðóêòóðà ïàðàäèãìû……................................................................18 §5. Âçàèìîñâÿçè è ñòðóêòóðà íàóê……...................................................18 §6. Ãîðíàÿ òåïëîôèçèêà…….….................................................................21 §7. Ìîäåëè è òåîðèÿ…….........................................................................25 Ãëàâà 3. Ìåòîäîëîãèÿ àíàëèçà…….…...............................................................29 §8. Îáúåêòû èññëåäîâàíèé…….….............................................................29 §9. Êëàññèôèêàöèÿ ìîäåëåé……............................................................31 §10. Ïîñòðîåíèå ìîíîãðàôèè……..........................................................33 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè1...............................................................................……34 ×àñòü 2. Ìàññîïåðåíîñ â ãîðíûõ ìàññèâàõ……............................................41 Ãëàâà 4. Ôëþèäû â ìàññèâàõ.................................................................41 §11. Ãàçû è ãàçîäèíàìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ…….......................................41 §12. Æèäêîñòè â ìàññèâå……...............................................................51 §13. Ïàðàìåòðû ïåðåíîñà……...…............................................................56 Ãëàâà 5. Ìåòàíîïåðåíîñ…… … ........................................................................72 §14. Óãîëüíûå è ïîðîäíûå ïëàñòû……................................................72 §15. Âûðàáîòàííûå ïðîñòðàíñòâà……..................................................…86 §16. Äåãàçèðóåìûå ïëàñòû…….............................................................91 Ãëàâà 6. Ãàçîïåðåíîñ……..............................................................................…97 §17. Ìîäåëè ãàçîïåðåíîñà..............................................................97 Ãëàâà 7. Âëàãîïåðåíîñ............................................................................101 §18. Ýíäîãåííàÿ âëàãà……...….................................................................101 §19. Ýêçîãåííàÿ âëàãà……....................................................................106 Ãëàâà 8. Ïàðàäèãìà ìîäåëèðîâàíèÿ ìàññîïåðåíîñà â ìàññèâàõ.........……109 §20. Ñèñòåìû……...................................................................................109 §21. Ïðîöåññû…….................................................................................110 §22. Ìîäåëè…….....................................................................................110 §23. Ðàçâèòèå ïàðàäèãìû……................................................................124 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè 2……..............................................................................129 5

×àñòü 3. Ìàññîïåðåíîñ â ãîðíûõ âûðàáîòêàõ.......................................……140 Ãëàâà 9. Àýðîìåõàíèêà âûðàáîòîê…… … ........................................................140 §24. Ðóäíè÷íàÿ âåíòèëÿöèÿ……...........................................................140 §25. Ìîäåëè âîçäóøíûõ ïîòîêîâ……...................................................144 Ãëàâà 10. Ãàçîäèíàìèêà âûðàáîòîê…… …......................................................157 §26. Ïðîöåññû ãàçîïåðåíîñà……..........................................................157 §27.Ìîäåëè ãàçîïåðåíîñà â âûðàáîòêàõ…….......................................167 Ãëàâà 11. Ìîäåëè ìàññîïåðåíîñà……..........................................................179 §28. Òåõíîëîãè÷åñêèé ìàññîïåðåíîñ……............................................179 §29. Àâàðèéíûé ìàññîïåðåíîñ……......................................................188 §30. Ïåðåíîñ àýðîçîëåé…….................................................................196 Ãëàâà 12. Ïàðàìåòðû ìàññîïåðåíîñà…….....................................................203 §31. Ïîëÿ ñêîðîñòåé…….......................................................................203 §32. Êîýôôèöèåíòû òóðáóëåíòíîé äèôôóçèè……............................204 §33. Êîýôôèöèåíòû äèñïåðñèè……....................................................210 §34. Êîýôôèöèåíòû ïîãëîùåíèÿ……..................................................212 Ãëàâà 13. Ïàðàäèãìà ìîäåëèðîâàíèÿ ìàññîïåðåíîñà â âûðàáîòêàõ……....214 §35. Ñèñòåìû……...................................................................................214 §36. Ïðîöåññû……................................................................................217 §37. Ìîäåëè....................................................................................……218 §38. Ðàçâèòèå ïàðàäèãìû……...............................................................223 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè 3……...............................................................................……225 ×àñòü 4. Òåïëîïåðåíîñ â ãîðíûõ ìàññèâàõ……..……..........................................237 Ãëàâà 14. Òåïëîñîäåðæàùèå ìàññèâû……....................................................……237 §39. Ìàññèâû è ìîäåëè…….......................................................……..........237 §40. Òåïëîâûäåëåíèå ìàññèâîâ…….....................................................……242 §41. Òåðìîìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ.................................................……249 §42. Òåïëîôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû.................................................……254 Ãëàâà 15. Îäíîðîäíûå èçîòðîïíûå ìàññèâû…….........................................……265 §43. Îäíîðîäíûå êðàåâûå çàäà÷è……..................................................266 §44. Íåîäíîðîäíûå êðàåâûå çàäà÷è……..............................................269 §45. Çàäà÷è ñ ïåðåìåííûìè ïàðàìåòðàìè……....................................275 Ãëàâà 16. Íåîäíîðîäíûå è àíèçîòðîïíûå ìàññèâû…… ..............................284 §46. Ðàäèàëüíî- íåîäíîðîäíûå ìàññèâû……......................................284 §47. Ñëîèñòûå ìàññèâû……..................................................................288 §48. Àíèçîòðîïíûå ìàññèâû……..........................................................291 Ãëàâà 17. Âëàãîñîäåðæàùèå ìàññèâû....................................................……293 §49. Ñïåöèôèêà ïðîöåññîâ òåïëîïåðåíîñà……..................................293 §50. Ôàçîâûå ïåðåõîäû «âîäà-ïàð» ...........................................……..293 §51. Ôàçîâûå ïåðåõîäû «âîäà-ëåä»..............................................…….302 6

Ãëàâà 18. Ïàðàäèãìà ìîäåëèðîâàíèÿ òåïëîïåðåíîñà â ìàññèâàõ……........307 §52. Ñèñòåìû...................................................................................……307 §53. Ïðîöåññû…….................................................................................308 §54. Ìîäåëè…….....................................................................................308 §55. Ðàçâèòèå ïàðàäèãìû……...............................................................310 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè 4……..............................................................................314 ×àñòü 5. Òåïëîïåðåíîñ â ãîðíûõ âûðàáîòêàõ…….......................................334 Ãëàâà 19. Èñòî÷íèêè òåïëà â âûðàáîòêàõ…….............................................334 §56. Òåïëîâîé ðåæèì âûðàáîòîê……...................................................334 §57. Òåïëîïðèòîêè èç ìàññèâà……......................................................339 §58. Òåïëîâûäåëåíèå îòáèòîãî óãëÿ……..............................................354 §59. Äðóãèå òåïëîèñòî÷íèêè è ïðîöåññû ìàññîîáìåíà..............……362 Ãëàâà 20. Ìîäåëè ñòàöèîíàðíîãî òåïëîïåðåíîñà…….................................370 §60. Âûðàáîòêè ñêâîçíîãî ïðîâåòðèâàíèÿ……...................................370 §61. Ïîäãîòîâèòåëüíûå (òóïèêîâûå) âûðàáîòêè…….........................375 §62. Ïðèáëèæåííûå ðàñ÷åòû…….........................................................379 Ãëàâà 21. Ðåãóëèðîâàíèå òåïëîâîãî ðåæèìà……........................................384 §63. Ãîðíîòåõíè÷åñêèå ìåòîäû……......................................................385 §64. Òåïëîòåõíè÷åñêèå ìåòîäû……......................................................386 §65. Îõëàæäàþùèå óñòðîéñòâà……......................................................389 Ãëàâà 22. Ðàçâèòèå ìîäåëåé òåïëîïåðåíîñà……..........................................394 §66. Ìîäåðíèçèðîâàííûå ìîäåëè……................................................394 §67. Ìîäåëè ñîïðÿæåííîãî òåïëîïåðåíîñà…….................................404 §68. Ïàðàäèãìàëüíûå àðòåôàêòû……..................................................409 Ãëàâà 23. Ïàðàäèãìà ìîäåëèðîâàíèÿ òåïëîïåðåíîñà â âûðàáîòêàõ....412 §69. Ñèñòåìû……..................................................................................412 §70. Ïðîöåññû……................................................................................412 §71. Ìîäåëè……....................................................................................413 §72. Ðàçâèòèå ïàðàäèãìû……...............................................................414 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè 5…….............................................................................416 ×àñòü 6. Ìîäåëè ïîäçåìíûõ ïîæàðîâ……...................................................434 Ãëàâà 24. Ïîäçåìíûå ïîæàðû................................................................434 §73. Ýíäîãåííûå ïîæàðû...............................................................……434 §74. Ýêçîãåííûå ïîæàðû……...............................................................438 §75. Áîðüáà ñ ïîæàðàìè……................................................................434 Ãëàâà 25. Ìîäåëè ìàññîïåðåíîñà…….........................................................444 §76. Ìàññîïåðåíîñ â ìàññèâàõ……....................................................444 §77. Ìàññîïåðåíîñ â âûðàáîòêàõ…….................................................450 §78. Ïàðàìåòðû ìàññîïåðåíîñà……....................................................453 7

Ãëàâà 26. Ìîäåëè òåïëîïåðåíîñà……...........................................................454 §79. Òåïëîïåðåíîñ â ìàññèâàõ…….......................................................454 §80. Òåïëîïåðåíîñ â âûðàáîòêàõ….… ..................................................472 §81. Ïàðàìåòðû òåïëîïåðåíîñà…….....................................................486 Ãëàâà 27. Ìîäåëè-àíàëîãè…….....................................................................494 §82. Ñàìîíàãðåâàíèå ïîðîäíûõ îòâàëîâ è øòàáåëåé óãëÿ……...........494 §83. Ôðèêöèîííàÿ òåïëîãåíåðàöèÿ……...............................................498 §84. Äæîóëåâà òåïëîãåíåðàöèÿ……......................................................500 Ãëàâà 28. Ïàðàäèãìà ìîäåëèðîâàíèÿ ïîäçåìíûõ ïîæàðîâ……...................502 §85. Ñèñòåìû……...................................................................................502 §86. Ïðîöåññû……................................................................................502 §87. Ìîäåëè……....................................................................................502 §88. Ðàçâèòèå ïàðàäèãìû……...............................................................502 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè 6……..............................................................................508 ×àñòü 7. Ïðèíöèïû ðàçâèòèÿ ïàðàäèãìû……..............................................518 Ãëàâà 29. Ïàðàäèãìà øàõòíîé òåïëîôèçèêè……........................................518 §89. Ñèñòåìû, ïðîöåññû, ìîäåëè…….................................................518 §90. Ìîäåðíèçàöèÿ ïàðàäèãìû…….....................................................523 Ãëàâà 30. Ëèíåéíûå òåïëîôèçè÷åñêèå ìîäåëè…….....................................525 §91. Ñòàöèîíàðíûå è íåñòàöèîíàðíûå ìîäåëè……...........................526 §92. Ìîäåëè ïåðåíîñà â íåîäíîðîäíûõ ñèñòåìàõ……........................534 §93. Íåîðäèíàðíûå ìîäåëè……...........................................................539 §94. Íåëîêàëüíûå ìîäåëè…….............................................................544 Ãëàâà 31. Íåëèíåéíûå ìîäåëè è îáðàòíûå çàäà÷è...............................549 §95. Êëàññèôèêàöèÿ…….......................................................................549 §96. Íåëèíåéíûå ìîäåëè……..............................................................550 §97. Çàäà÷è òèïà Ñòåôàíà……..............................................................552 §98. Îáðàòíûå çàäà÷è……....................................................................554 Ãëàâà 32. Ïðèíöèïû òåîðåòè÷åñêîé ãåîòåïëîôèçèêè…….…..........................556 §99. Îáúåêòû, ñèñòåìû, ïðîöåññû……...............................................557 §100. Ìîäåëè ãåîòåïëîôèçèêè……......................................................562 §101. Ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ òåîðèè……............................................565 Ëèòåðàòóðà ê ÷àñòè 7……..............................................................................569 Äîïîëíåíèå……..............................................................................................618 Ëèòåðàòóðà ê äîïîëíåíèþ......................................................................626

Часть 1. Введение Глава 1.Терминология.

§1. Термины науковедения Определение терминов науковедения – дисциплины изучающей строе-ние и развитие различных наук, естественно начать с самого понятия «наука». Имеющиеся в фундаментальных источниках типа [1] определения носят слишком общий характер и используют философские термины. Видоизменив и упростив определение [1], получим следующее. Наука – это форма деятельности человека, направленной на получение и систематизацию объективных данных о природных и технологических объектах; результат этой деятельности – сумма знаний об этих объектах и протекающих в них процессах, приведенная в систему; науки имеют иерархическое строение и делятся на отрасли, дисциплины, направления. Цели наук – описание, объяснение и предсказание (прогнозирование) процессов и явлений в исследуемых системах на основе известных законов природы и научных методов исследований с последующим практическим использованием научных знаний. Науки делят на фундаментальные и прикладные, различая их по предмету, цели и применяемым методам исследований [2]. Методы исследований, при всем их многообразии, образуют две укрупненные, тесно взаимодействующие между собой в развитых науках, группы: эмпирические (эксперименты, наблюдения) и теоретические (обобщение данных, формулировка законов и вывод следствий из них, построение и исследование математических моделей) методы[3]. Предмет науки – это сфера материального мира (совокупность объектов и протекающих в них процессов), изучаемая данной наукой [4]. Система – это множество элементов, находящихся в отношениях и в связи друг с другом, образующих определенную целостность, единство [1]. Системы разделяют на материальные (физические – твердое тело, например) и формальные (система научных знаний). Моделируемая (факторизуемая [5] ) система – это теоретическое (абстрагировано – схематизированное) отображение материальной (реальной) системы [5]. Процессом называется последовательная смена состояний изучаемых систем и явлений, в них происходящих [1]. Описание процессов и явлений (эмпирическое) состоит в фиксации результатов опыта (наблюдений и экспериментов) специфическими для данной науки средствами (словесное, табличное, графическое, формульное и др.) Описание, полученное статистической обработкой представительного массива данных, яв-

9

ляется эмпирическим обобщением (закономерностью) [4]. Объяснение явления (процесса), полученное в результате исследований, раскрывает его сущность, устанавливает связь полученного описания с законами, действующими в данной предметной сфере. Законом называется необходимое, существенное повторяющееся отношение между явлениями. Знание законов и их следствий позволяет построить теоретическое описание – теорию т.е. систему основных понятий данной науки (теоретическую парадигму [6]). Наличие научной теории позволяет прогнозировать, т.е. предсказывать явления и ход процессов. С помощью теории также упорядочиваются накопленные знания (сжимаются, концентрируются) и получают новые. Наличие теории служит критерием зрелости науки [7,8]. Иерархическая структура науки заключается в существовании в составе многих наук научных отраслей – «проекций» данной науки на некоторую подобласть объектов, систем, явлений, процессов. Научные отрасли также иерархичны, в них различают научные «дисциплины», состоящие в свою очередь, из «научных областей». Последние объединяют, определенным образом связывают в целостность, некоторую совокупность научных «направлений» – структурных единиц подвижного «научного фронта» [9]. Ряд наук, отрасли которых обрели признаки самостоятельных наук, называют «комплексами наук» (например геология, горная наука [10]). Описанное иерархическое строение наук представляет их «экстенсивный» разрез – охват все большего числа объектов, фактов, процессов. Для характеристики «интенсивного» разреза наук (описания механизмов их углубления, большего проникновения в суть предмета исследований), необходимо рассмотреть термины, описывающие их функционирование (методологию) и развитие. Научная методология рассматривает строение наук, формы и способы научно – познавательной деятельности [4]. Методология включает: объект исследования (изучаемую систему); предмет анализа (процессы и явления в выделенной системе и при ее взаимодействии с другими); задачи (проблемы) исследования; совокупность познавательных средств (исследовательский инструментарий); виды и последовательность исследовательских процедур (методика конкретного исследования). В ходе длительного философско-науковедческого анализа развития различных наук были сформулированы методологические принципы: 1) рассмотрение возможно большего числа явлений; 2) выявление всевозможных связей между ними; 3) обобщение обнаруживаемых закономерностей; 4) полнота изучения явлений и их взаимодействий; 5) определение направлений развития явлений (процессов) [4]. Эти принципы являются детализацией двух основных положений гносеологии: 1). Становление знания следует диалектике единичного, особенного и всеобщего; 2). Научный подход основан на методах анализа (разложения целого на части) и синтеза (воссоздания целостного по его частям) [11]. Важнейшим методологическим понятием является парадигма. Парадигма (по-гречески – пример, образец) – термин, имеющий два основных значения: 1) строгая научная теория, система понятий которой выражает существенные черты действительности; 2)концептуальная схема, мо-

10

дель постановки проблем и их решения, методов исследования, общепринятых в течение определенного периода научным сообществом [6]. Наряду с парадигмой науки или ее отрасли, можно говорить и о более частных парадигмах – научных дисциплин, областей и направлений. Важным науковедческим термином, также предложенным Т. Куном, является «нормальная наука» – совокупность исследований, прочно опирающихся на предшествующие научные результаты, признанные научным сообществом за основу [6]. Иначе говоря, нормальная наука–это исследования, ведущиеся в рамках определенной парадигмы, которая тем самым расширяется и развивается. Совершенствуясь, парадигма может менять свое формальное выражение, сохраняя систему основных понятий (теоретические механики Ньютона, Лагранжа, Гамильтона, Герца и др.). Развитие науки сопровождается изменением ее структуры, отражаемом парадигмой, со временем: стадии медленного эволюционного развития (в рамках нормальной науки) могут переходить в быструю, революционную трансформацию парадигмы («экстраординарная» наука [3,6]).Иногда научные революции затрагивают только узкие группы ученых, работающих в рамках области науки или научного направления – т.н. «малые научные революции» [6]. Толчком к научным революциям обычно является научный кризис – ситуация, когда продолжительное время в рамках нормальной науки не удается справиться с имеющимися фундаментальными или прикладными проблемами (задачами). Преодоление кризиса происходит в результате научной революции, т.е. смены парадигмы.

§2. Термины геологии и геофизики Геология – комплекс наук о составе, строении и истории развития Земли. Включает: стратиграфию, тектонику, минералогию, петрографию, литологию, геохимию и другие науки [1]. Обобщенным объектом изучения в геологии является геологическая среда – сложная, гетерогенная, многофазная материальная система, состоящая из горных пород и содержащихся в них флюидов [12]. Верхнюю часть геологической среды, имеющую газо- и водообмен с земной поверхностью, часто называют «экзотехносферой», т.к. в ней располагается значительная часто технологических (инженерных) объектов: наземные и подземные сооружения, трубопроводы, кабели, транспортные тоннели, карьеры, неглубокие шахты и рудники и др. [13]. Более глубокая часть геологической среды (до предельных глубин разработки полезных ископаемых) – «эндотехносфера» [13]. Объединение этих двух частей можно назвать «геотехносфера», трактуя это понятие как часть геологической среды (от земной поверхности до предельных глубин, достигнутых бурением), в которой сосредоточена технологическая (инженерная) деятельность человека. В геологической среде выделяются геологические тела – ее части, обладающие совокупностью свойств (признаков), по которым они отлича-

11

ются от окружающей среды [12]. Залежи многих полезных ископаемых в геотехносфере образуют пласты – геологические тела относительно однородного состава, ограниченные приближенно параллельными поверхностями – подошвой и кровлей, с толщиной, много меньшей протяженности. Форму пластов имеют большинство осадочных и многие метаморфические горные породы [1]. Для геологической среды в целом (земных недр) характерна макронеоднородность: четко выделяются внутренние геосферы – концентрические сферические оболочки с различными свойствами (литосфера, нижняя и верхняя мантии) и ядро [14]. Геология изучает крайне медленные процессы планетарной эволюции – геологические процессы. Это седиментация, вулканизм, магматизм, метаморфизм, рудообразование и др. [15]. Методы исследования структуры Земли и геологических процессов основаны на изучении природных и искусственных физических полей в ее недрах – геофизических методах. Геофизика (физика Земли) – комплекс наук, исследующих Землю, ее строение и физические свойства, процессы, протекающие в оболочках Земли – геосферах: атмосфере, гидросфере и внутренних геосферах [14]. Подразделяется на науки: физика атмосферы, физика океана, физика «твердой» Земли. Последнюю часто именуют геофизикой (сужая тем самым смысл термина) и выделяют в ней отрасли: сейсмологию, геодинамику, геомагнетизм, гравиметрию, геотермику и др. Геофизика изучает геологическую среду, объекты и системы посредством физических методов. Последние определяются отраслью геофизики, имеют свою специфику экспериментальных и теоретических исследований. В сейсмологии, например, это методы регистрации сейсмических колебаний, анализа и интерпретации сейсмограмм, а в геотермике – измерение температур в скважинах и вычисление тепловых потоков из недр и их температур. Таким образом, геофизика способствует изучению геологических процессов, исследуя геофизические процессы – физические процессы, протекающие в геологической среде. Это процессы распространения колебаний, напряжений, деформаций (геомеханические поля); магнитных и гравитационных полей (геомагнетизм, гравиметрия); температурных полей (геотермика) и др. Теоретическое описание каждого из физических полей строится для соответствующей геофизической системы – модели геологической среды – на основе геологической информации и методов теоретической и математической физики. Геотермика – раздел геофизики, изучающий тепловое состояние и тепловую историю Земли [14]. Исследование процессов массопереноса в геологической среде, тепло- и массопереноса в атмосфере, гидросфере и геотехносфере не входит в ее компетенцию. В литературе встречается термин «подземный тепломассоперенос», обозначающий науку, «смежную» геотермике, но включающую дисциплины: тепломассоперенос в литосфере, термодинамические процессы в горных породах, гидрогеохимические процессы и др. [16÷18]. И в этом случае перечисленные геосферы выпадают из списка объектов исследований. Известны многочисленные термины, обозначающие разделы геофизики, в которых изучается движение флюидов (газов и жидкостей) в недрах Земли: гидрогеодинамика, подземная гидрогазодинамика, геогидродинамика, флюи12

догеодинамика, геофлюидодинамика, гидроаэродинамическая геология, нефтегазовая гидрогеология, геофильтрация, геофизическая гидродинамика [18÷24]. Здесь выделены наиболее адекватные, на наш взгляд, термины.

§3. Термины горной науки Горное дело – производственно-технологическая сфера, включающая способы и средства трудовой деятельности при разведке и разработке месторождений полезных ископаемых и их первичной переработке, а также при строительстве горных предприятий и подземных сооружений различного назначения [10]. Развитие горного дела опирается на данные горной науки. Горная наука – это комплекс наук, целями которых является решение проблем горного дела. К наукам этого комплекса В.В. Ржевский относит [10]: горнопромышленную геологию; физические процессы горного производства; физику и химию горных пород; экологию горного производства; строительную, скважинную и открытую геотехнологии; разработку угольных и сланцевых месторождений подземным способом; горную электромеханику и др. Все эти науки делятся на многочисленные отрасли, дисциплины, области, направления. Наука «Физические процессы горного производства» (далее – ФПГП) включает [10]: геофизику горного производства; физику и химию пластов и залежей (нефтяных, газовых, угольных, сланцевых и др.); механику и теорию устойчивости массивов; подземную гидро- и газодинамику; управление свойствами и состоянием массивов; физику разрушения пород взрывом; аэрологию горных работ; охрану труда и др. Приведенный ( не полный ! ) перечень терминов свидетельствует о неудовлетворительном состоянии классификации горных наук, нечеткости терминологии. Эти дефекты развития горной науки неоднократно отмечались [25÷28]. В результате анализа терминологии, А.А. Борисов пришел к выводу, что адекватным термином для описания целого ряда наук является «горная физика» [25]. Горная физика – наука, изучающая горную среду (горный массив или геологическую среду в зоне воздействия горного предприятия) физические поля и процессы в ней, обусловленные ведением горных работ. Этот термин имеет существенный недостаток – его определением не охватываются объекты, собственно и образующие горные предприятия – горные выработки. По этому термину определяется дисциплина горной физики – «механика горных пород и массивов» (механика недр). Другими дисциплинами, входящими в горную физику, являются: физика горных пород; гидравлика; гидродинамика; акустика; горная теплофизика и др. [25]. Таким образом, ФПГП и горная физика содержат много идентичных дисциплин, что позволяет далее использовать последний термин, пополнив его содержание таким образом, чтобы удовлетворялось следующее определение. Горная физика – это наука, изучающая физические поля и процессы в горных массивах и в горных выработках, обусловленные природными и техногенными факторами. Среди дисциплин ФПГП упоминается и «аэрология горных работ». Более распространенный термин «рудничная аэрология» [29, 30]. Рудничная аэроло-

13

гия дисциплина, изучающая свойства рудничной атмосферы, закономерности движения по горным выработкам потоков воздуха, переноса ими газообразных примесей, пыли и тепла, а также закономерности переноса флюидов в горном массиве [29]. Интеграция этой дисциплины с близкими к ней и входящими в горную физику «подземной гидрогазодинамикой» и «горной теплофизикой» достигается введением термина «горный тепломассоперенос», охватывающим процессы переноса тепла, массы и импульса (включение переноса импульса далее будет обосновано). Горная теплофизика – дисциплина, изучающая тепловые явления и процессы в горном массиве и в выработках, подземных сооружениях и скважинах при строительстве и эксплуатации горных предприятий и других объектов в земных недрах [31]. Горная теплофизика содержит области исследований: теплофизика горных выработок (шахтная теплофизика); горнотехнологическая теплофизика; геотермальная теплофизика. Последняя рассматривает, наряду с процессами теплопереноса, процессы переноса импульса и фильтрацию флюидов (проблема подземных тепловых котлов). В шахтной теплофизике изучение процессов тепломассообмена сводится к изучению теплопереноса в горном массиве и в выработках при учете фазовых переходов «вода–пар» и «вода–лед». Среди всех наук – составляющих комплекса «горная наука» присутствует дисциплина «охрана труда» [10]. Это связано с наличием большого числа природных и технических опасностей, сопровождающих горные работы [32÷34]. Существует также научная дисциплина «горноспасательное дело», в рамках которой исследуются проблемы ведения горноспасательных работ, профилактики и ликвидации подземных аварий (выбросов, взрывов, пожаров, затоплений, химических заражений и др.). Целесообразно, на наш взгляд, объединение этих дисциплин в единую – «безопасность горных предприятий». Безопасность горных предприятий – наука, изучающая штатные (технологические) и аварийные режимы работы горных предприятий, все явления и процессы, представляющие опасность для здоровья и жизни горнорабочих, сохранности природно-технологических комплексов, устойчивости производственных процессов с целью профилактики несчастных случаев и аварий, ликвидации аварий и их последствий. Поскольку большинство аварийных ситуаций в шахтах и рудниках сопровождается процессами переноса тепла, массы, импульса (протекающими в аварийных режимах), безопасность горных предприятий как наука тесно связана с рудничной аэрологией и шахтной теплофизикой (или с горным тепломассопереносом). Их объединяет общность объектов изучения – горные массивы и выработки и методология экспериментальных и теоретических исследований. Горный массив – обособленная часть геологической среды (горная среда), находящаяся в сфере технологического (инженерного) воздействия горного предприятия. Это понятие включает все виды неоднородностей среды и флюиды, в ней содержащиеся [12]. Горные выработки – искусственные полости в горном массиве – инженерные сооружения различной формы и назначения, ограниченные горными породами. К горным выработкам относят скважины [26,27]. 14

§4. Термины теплофизики Терминология этой науки также противоречива, как и горной. Сам термин «теплофизика» в фундаментальных справочниках типа [1] отсутствует, поэтому рассмотрим более общий – «физику». Физика – наука о природе, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира. По изучаемым объектам физика подразделяется на физику элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, твердого тела, плазмы и т.д. К основным разделам теоретической физики относятся: классическая и релятивистская механика, электродинамика, термодинамика, статистическая физика, квантовая механика, квантовая теория поля [1]. Отсюда следует, что к теоретической теплофизике относится термодинамика и статистическая физика. Эти науки в ХХ веке бурно развивались, появились такие их разделы как термодинамика необратимых процессов, квантовая статистика, физическая кинетика. Термодинамика необратимых процессов (далее – ТНП) – макроскопическая теория процессов переноса, изучающая такие явления как теплопроводность, вязкость, диффузия, электрические и магнитные и их комбинации («перекрестные» явления – термодиффузия, бародиффузия, термоэлектричество и др.). Математические модели этих процессов – процессов переноса обычно формулируются как краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных [35÷37]. Существуют другие термины, имеющие близкий к ТНП смысл, например, «макроскопическая теория явлений переноса» [38]. Известны монографии, в названиях которых нет термина «перенос», но рассматриваются тепловые явления: «Теория теплоты» Р. Беккера [39] и «Теплофизика» Ф. Морса [40]. В первой из них не рассматриваются процессы диффузии, массопереноса и фильтрации; вторая – сужает термин «тепло-физика», т.к. рассматривает, в основном, проблемы молекулярной физики и физики фазовых переходов. В таблице 1.1 приведены некоторые из встречающихся терминов теплофизики. Из таблицы 1.1 следует, что принять какое-либо из определений термина «теплофизика» (№ 5), или воспользоваться вместо него каким-либо близким (№№ 2÷4) без оговорок нельзя. Действительно, первое из определений в № 5 сужает теплофизику, сводя ее к процессам теплопереноса; второе утверждает тождественность теплофизики термодинамике, которая является важной, но лишь одной из частей первой; третье – исключает из теплофизики процессы массопереноса и оставляет за ней роль теоретического базиса узкой технической науки; четвертое было бы приемлемым, после исключения из него «тепловых эффектов» (разъяснения этого понятия в [45] нет). Это определение теплофизики близко по смыслу термину «тепло- и массоперенос», однако не в трактовке №№ 3,4 табл.1.1, а в том смысле, который ему придается в [37,45,52,53]. В этих монографиях, авторы которых ученые с мировыми именами, к теплофизике (фактически, без определений) отнесены процессы переноса тепла, массы, импульса, фильтрации в пористых средах. Эта ситуация хорошо иллюстрирует справедливость высказывания Л. Витгенштейна [54]:

15

Таблица 1.1. Теплофизические термины №№ п/п 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

16

Термин

Использование

Определения, описываемые явления и процессы

Источники

Уравнение состояния. I-е и II-е начала термодинамики и их приложения. Правило [41] Название Термомонографии фаз. Законы разбавленных растворов. Сисстатика темы с превращением молекул. I-е и II-е начала термодинамики. Термодинамические процессы. Закон Стефана– Название Термокурса лекций Больц-мана. Равновесные и неравновесное [42] динасостояния. Парадокс Гиббса. Равновесие мика фаз. Неравновесная термодинамика – это общая Неравфеноменологическая, макроскопическая новесная физика, включает: физику континуума; [43] Синоним ТНП термогидродинамику; магнитодинамику вязких динамисред; электродинамику; тепловые явления ка в узком смысле слова; поверхностные явления. Теория Название «…аналитическая теория термодинамики [35] тепло- и монографии неравновесных состояний” массопереноса «Область науки, изучающая самопроиз[44÷ Название вольный необратимый процесс переноса ÷46] монографий; теплоты в пространстве» обозначение «Фактически термодинамика – это теплонауки, иссле- физика», Тепло[47] дующей физика «Теплофизика – теоретические основы тетепловые плотехники» явления «Теплофизика – наука о макропереносах [45] энергии и вещества, сопровождающихся тепловыми эффектами» Синоним «те- Самопроизвольный необратимый процесс Теплоплопепереноса теплоты от более нагретых к ме- [1,48] обмен нее нагретым телам. ренос» Теплоотдача

Термин, определяющий частный случай теплообмена

Теплоотдачей называется процесс теплообмена (теплопереноса) между средами, разделенными отчетливой границей.

Теплопередача

Название монографий;

Теплопередачей называется процесс теплопереноса между средами, разделенными твердыми перегородками.

[49]

[49÷ ÷51]

«Нельзя угадать, как функционирует слово. Нужно взглянуть на его употребление и узнать это оттуда». Термин «макроскопическая» перед «теплофизикой» опускаем, так как нас интересуют приложения теплофизики к горным проблемам (к процессам переноса в шахтах и рудниках); адекватный теоретический метод в этом случае – макроскопическое (феноменологическое) описание, допускающее экспериментальную проверку в натурных условиях. Таким образом, приходим к определению: теплофизика – это наука о макроскопических процессах переноса тепла и массы (процессах тепломассопереноса). Здесь в понятие перенос тепла включены все виды его (теплопроводность, конвекция, излучение, теплопередача), а в понятие перенос массы входят все его виды (диффузия, конвективный массоперенос, вязкое течение – перенос импульса, фильтрация). Совместное рассмотрение процессов «чистого» теплопереноса с переносом импульса и фильтрации, которые относятся, вообще говоря, к гидродинамике, целесообразно по ряду причин. Во-первых, развитие гидродинамики, термодинамики и теории процессов тепломассопереноса было исторически взаимосвязано, в частности одна из первых работ Д. Бернулли по термодинамике (по смыслу) называлась «Гидродинамика» (С.-Петербург, 1738 г.) [55,56]. Во-вторых, в задачах конвективного теплопереноса тепловая и гидродинамическая часть часто неотделимы, так что трудно сказать, чего здесь «больше» – гидродинамики или теплопереноса (вплоть до парадоксального утверждения Г. Шлихтинга: «Явление теплопередачи между твердым телом и жидкой или газообразной средой представляет собой проблему гидродинамики» [57]. Поэтому часто говорят о едином процессе «сопротивления и теплопередачи» (имея в виду гидравлическое сопротивление) [49,51], или включают главу или раздел «Гидродинамика» в монографии по тепломассопереносу [45,48,52,58]. В-третьих, существует обширный круг задач гидродинамики (течения в погранслоях и трубах, свободные струи, фильтрация в пористых средах и др.), в которых уравнения движения имеют форму параболических уравнений типа теплопроводности, либо могут быть к такой форме приведены [51,57,59÷61]. Близость (иногда – тождество) математических моделей различных процессов переноса (тепла, массы, импульса) отмечается практически во всех парадигмообразующих монографиях и учебниках по теплофизике. Математическая модель процесса переноса, это, в общем случае система математических уравнений (алгебраических, дифференциальных обыкновенных, дифференциальных в частных производных, интегродифференциальных) и дополнительных условий (для уравнений в частных производных, именуемых краевыми), дающая теоретическое описание этого процесса, что позволяет предсказать его ход и последствия. Модели, как и описываемые ими процессы, делят на детерминированные и стохастические, основанные на вероятностных методах. Детерминированные модели процессов переноса основаны на законах сохранения энергии, массы и количества движения, гипотезе сплошности и феноменологических соотношениях (Фурье, Фика, Ома, Дарси) [36,53,62]. Далее рассматриваются именно эти модели, в основе которых дифференциальные уравнения (обыкновенные и, преимущественно, в частных производных). 17

Ранее приводились многочисленные термины, используемые для названий наук о процессах переноса тепла и флюидов в недрах Земли (1.1.2). Поскольку мы определили термин «теплофизика», естественно именно на его основе строить термин для прикладной науки – теплофизики Земли. Наилучшее согласование с термином «геофизика», который, очевидно, обозначает совокупность разных «физик Земли» (механику, теплофизику, гравиметрию, магнито- и электрофизику Земли) имеет термин «геотеплофизика». Если из этой науки вычленить и рассматривать те явления, процессы, системы, математические модели которых основанные на методах механики сплошных сред и математической физики, то приходим к термину «математическая геотеплофизика» (МГТФ).

Глава 2. Структура парадигмы Парадигма, как совокупность устоявшихся и общепринятых понятий, теорий, фактов и методов исследования прикладной нормальной науки, определяется взаимосвязями данной науки со «смежными» и фундаментальными науками. Строение (структура) научной парадигмы соответствует строению самой науки. Парадигма также характеризуется спецификой использования общенаучных методов исследований – теоретического и экспериментального [2,6].

§ 5. Взаимосвязи и структура наук Комплексы наук «геофизика» и «горная наука» связаны предметом изучения – геологической средой (в горной науке этот объект называют «горный массив» – выделенная часть геологической среды) и методом исследований (ряд горных наук используют геофизические методы эксперимента). Горногеологические условия разработки месторождений изучаются горной геологией, а сопутствующие ей физические процессы в горных массивах и выработках – горной физикой. Проблемы охраны труда, техники безопасности, профилактики и ликвидации аварий – безопасностью горных предприятий. Эти, входящие в комплекс «горная наука», науки содержат ряд иерархических уровней – научные отрасли, дисциплины, области и направления. Центром этой иерархической системы является «дисциплина», обычно обладающая атрибутами самостоятельной науки: внутренней структурой (состоит из «областей», подразделяющихся на «направления»), собственным предметом и методом исследований. Далее термином «наука» будем обозначать «дисциплину», состоящую из научных областей и направлений. Более высокие иерархические уровни – «отрасль», «наука», «комплекс наук», будем именовать соответственно: «макронаука», «меганаука», «метанаука» (не придавая приставкам количественного содержания).

18

На уровне направления изучаются объекты – целостные фрагменты природных и технологических (или природно-технологических) систем. В шахте такими объектами являются угольные и породные пласты, выработанные пространства, штреки и т.п. При математическом моделировании реальный объект заменяется моделируемой системой. Для характеристики физических свойств системы, когда размеры и форма ее не имеют значения, часто используют термин «среда»: слоисто-неоднородная среда (система); трещиновато-пористая среда (система) и т.п. Совокупность направлений образует область, а последняя имеет дело с более обширной совокупностью объектов – с обобщенными объектами – «макрообъектами». В шахтах и рудниках таких макрообъектов два: горные массивы и горные выработки, которые изучаются и на более высоких иерархических уровнях горной науки. Геотеплофизика имеет более сложную структуру объектов. На уровнях направление – область – наука это «макрообъекты» – массивы и выработки. На уровне макронауки (геотехносферная теплофизика) объекты укрупнены: это шахты, рудники, подземные сооружения, системы геотехнологии, нефтегазовые пласты – «мегаобъекты». На уровне «геотеплофизики» (меганаука) появляются «метаобъекты» – геосферы. Изложенное иллюстрируется таблицей 1.2 и рисунком 1.1. В табл. 1.2, в столбцах от «дисциплины» до «объекта» для горной науки приведены произвольные примеры. Меганаука «безопасность горных предприятий» на уровне научного направления имеет дело с теми же объектами, что и «горная физика». Изучаемые этими меганауками процессы в этих объектах – теплоперенос, массоперенос, перенос импульса также идентичны по физической природе; отличие заключается в том, что в первом случае – при моделировании различных аварий – совокупность величин изучаемых параметров и диапазонов их изменения соответствует аварийным (нештатным) режимам, а во вторых – технологическим (штатным) режимам. Из табл. 1.2 следует также, что если «горная теплофизика» и «рудничная аэрология» интегрируются в «горный тепломассоперенос» – отрасль «горной физики», или в «тепломассоперенос в шахтах и рудниках» – дисциплину в составе «геотеплофизики», то между собой они связаны слабо (хотя первая зародилась внутри второй). При наличии одинаковых объектов (горные массивы и выработки), они отлича ются исследуемыми процессами переноса: горная теплофизика преимущественно изучает теплоперенос (теплопритоки из горных массивов, температурные поля в горных выработках [63÷65]); рудничная аэрология – массоперенос (движение флюидов в массиве, газо- и пылеперенос по выработкам [66÷68]). Различную значимость имеют в рудничной аэрологии и горной теплофизике модели процессов переноса импульса турбулентным ограниченным потоком – аэродинамические модели. В первой из них аэродинамические параметры (расходы и средняя скорость воздушных потоков, профили скоростей в сечениях выработок) непосредственно используются в моделях массопереноса по выработкам [29, 30, 69, 70]. Во второй  парадигма моделирования теплопереноса по горным выработкам основана на стационарных балансовых уравнениях, включающих лишь один 19

аэродинамический параметр – расход воздуха [71÷73]. Далее на примере горной теплофизики рассмотрим строение парадигмы горной науки. Таблица 1.2 Связи и иерархии Комплекс наук

Наука

Отрасль

Дисциплина

Область

Метанаука

Меганаука

Макронаука

Наука

Научная область

Горная теплофизика

Шахтная теплофизика

Рудничная аэро логия

Вентиляция горных выработок

Горная физика

Горный тепломассоперенос

Горная наука Безопасность горных предприятий

Геофизика

20

Геотеплофи зика

Техника безопасности

Предотвращение внезапных выбросов

Геотехносферная теплофизика

Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (теплофизика шахт и рудников)

Направление

Объект

Система

Научное направление Определение теплопритоков из массива

Объект

Система (среда)

Горные породы

Слоистонеоднородная

Разгазирование выработок

Подготовительные выработки

Турбулентный поток с переменным расходом

Предварительная дегазация угольных пластов

Дегазация скважинами, пробуренными с поверхности

Пласт угля со скважинами

Неоднородная, трещиновато- пористая

Теплоперенос

В массиве В выработке

Те же

Те же

Те же

Те же

Массоперенос

В массиве В выработке

Меганаука  геотеплофизика

Атмосфера

Метаобъекты  геосферы Гидро- Геотех- Лито- Мансфера носфера сфера тия

Макронаука  геотехносферная теплофизика

Наука тепломассоперенос в шахтах

Ядро

Мегаобъекты  объекты геотехносферы

Макрообъекты горные массивы и выработки

Шахты и рудники

Подземные сооружения

Объекты геотехнологии

Нефтегазовые пласты

Рис. 1.1. Структура геотеплофизики

§6. Горная теплофизика Горная теплофизика, зародившись в рамках рудничной аэрологии под воздействием запросов промышленности, в 50-е годы ХХ века обрела самостоятельность как организационную, так и идейную, развиваясь на основе собственной парадигмы [64,72÷76]. Характерным для этого развития было расширение круга исследуемых объектов, совершенствование применяемого математического аппарата, издание ряда нормативных, «стандартизирующих» применяемые расчетные методы, документов [31, 34, 75, 77÷84]. В целом, развитие горной теплофизики во второй половине ХХ века соответствовало понятию «нормальная наука». В этом развитии, однако, к началу 80-х годов стали проявляться определенные признаки кризиса. Для количественной характеристики структуры горной теплофизики (распределения числа работ по научным отраслям, соотношений между работами теоретического, экспериментального и внедренческого характера), воспользуемся наукометрическими рекомендациями о повышенной информативности данных научных конференций и совещаний [85]. В таблице 1.3 приведены данные, почерпнутые из сборников тезисов и материалов конференций по горной теплофизике за 30 лет: с 1959 по 1988 годы (более поздние источники, в силу системного кризиса в СССР и странах СНГ, практически отсутствуют). В столбцах Па,%, Пb,%, Пс,% табл. 1.3 приведены округленные проценты докладов соответственно теоретического (обзоры, модели,

21

расчеты), экспериментального и внедренчески – испытательного характера. Для суждения о «весомости» данных каждой конференции, приводятся примерные сведения о количестве ее участников и организаций, ими представляемых. Более детально данные по распределению докладов по областям и методам исследований приведены в таблице 1.4. Данные взяты из Материалов I-й и II-й Всесоюзных конференций «Проблемы горной теплофизики», проводившихся в Ленинградском горном институте в 1973 и 1981 годах и наиболее представительных за последние 50 лет. Эти данные позволяют оценить динамику развития горной теплофизики в 70-е годы (примерно за 10 лет). Приведенные в таблицах 1.3 и 1.4 данные позволяют заключить: 1) развитие горной теплофизики с 60-х по 90-е годы ХХ века происходило по восходящей; 2) наряду с шахтной теплофизикой (теплофизикой горных выработок ) начали интенсивно развиваться отделившиеся от нее другие области – горнотехнологическая и геотермальная теплофизики; 3) доля в потоке работ теоретической направленности (математические модели, совершенствование методов расчета) была высока (в среднем – более 30%); 4) доля экспериментальных работ начала снижаться; 5) работы внедренческо-испытательного характера (освоение новой техники) резко сократились. Высокий (и возрастающий) процент теоретических работ при резком сокращении работ внедренческо-испытательного характера является симптомом кризиса горной теплофизики, начавшем проявляться в 80-е годы. Появилось множество работ, посвященных «дальнейшему уточнению» известных инженерных расчетных методик, при недостаточности новых постановок задач и методов их решения. Целиком посвященная вопросам математического моделирования, XV Сессия Всесоюзного семинара по горной теплофизике (Киев, ИТТФ АН УССР, 1985 г.) показала, что математические модели процессов представляют собой разрозненные краевые задачи переноса, без установления связей между ними, систематизации и классификации этих задач и разработки единого метода их решения. Из тематики докладов следовало, что модели нестационарных линейных процессов переноса составляют примерно 25% общего числа, модели переноса в неоднородных средах – 35%, нелинейные модели – 30% (в основном – задачи типа Стефана). Приближенные и численные методы решения краевых задач излагались в 10% докладов. Попытки координации теоретических исследований по шахтной теплофизике (как в целом по горной теплофизике) предпринимались ведущими учеными. В ряде докладов на различных конференциях анализировалось состояния дел в математическом моделировании, ставились актуальные проблемы (задачи) развития общепринятой теоретической парадигмы, в основе которой были балансовые стационарные (алгебраические и дифференциальные) уравнения теплопереноса по горным выработкам, в которых теплопритоки из горного массива учитывались введенным О.А. Кремневым коэффициентом нестационарного теплообмена Кτ [64]. Наиболее фундаментальные (базисные) задачи приведены в таблице 1.5.

22

Таблица 1.3 Данные конференций и совещаний Место и №№ год проп/п ведения 1. 2. 3. 4.

Луганск, 1961 г. Киев, 1961 г. Киев, 1962 г. Ленинград, 1973 г.

5.

Донецк, 1974 г.

6.

Донецк, 1978 г.

7.

8. 9. 10. 11. 12.

Донецк, 1980 г.

Ленинград, 1981 г. Донецк, 1984 г. Киев, 1985 г.

Наименование конференции или совещания III-я Сессия семинара по горной теплотехнике IV-я Сессия семинара по горной теплотехнике V-я Сессия семинара по горной теплотехнике I-я Всесоюзная научно-техническая конференция «Проблемы горной теплофизики» Всесоюзное научно-техниче-ское совещание «Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках» Всесоюзное научно-практическое совещание «Улучшение тепловых условий труда в глубоких шахтах» Всесоюзная научно-техническая конференция «Геомеханические проблемы высокопроизводительной разработки тонких и средней мощности угольных пластов на глубоких горизонтах». Секция 5 «Управление газовым и тепловым режимом шахт». II-я Всесоюзная научно-техническая конференция «Проблемы горной теплофизики» XIV-я Сессия семинара по горной теплофизике XV-я Сессия семинара по горной теплофизике «Краевые задачи теплопроводности горного массива» XIX-я Сессия семинара по горной теплофизике

Донецк, 1988 г. Сланцы, 1988 г. XX-я Сессия семинара по горной (Ленингр. теплофизике

Коли- Количество чество Пa, Пb, Пc, участ- огани- % % % ников заций 60

23

30

30

40

100

28

20

51

29

200

57

22

54

24

500

98

33

37

30

150

67

20

26

54

90

21

25

45

30

70

18

46

37

17

670

144

44

40

16

60

15

47

34

19

82

20

100





79

23

40

24

36

53

14

36

40

24

обл.)

23

Таблица 1.4 Динамика показателей за 70-е годы

Конференция, год проведения

I-я Всесоюзная конференция «Проблемы горной теплофизики», Ленинград, 1973 г. II-я Всесоюзная конференция «Проблемы горной теплофизики», Ленинград, 1981 г. Отношения показателей конференций 1981 г./1973 г.

Области горной теплофизики 2. Горнотехнологи- 3. Геотермальная 1. Шахтная ческая теплотеплофизика теплофизика физика ВсеВсеВсего Пa, Пb, Пc, го Пa, Пb, Пc, го Пa, Пb, Пc, до- % % % до- % % % до- % % % клаклакла дов дов дов

46

26

35

39

103

38

37

25

75

29

37

34

109

47

38

15

129

42

46

12

196

43

37

20

2,4

1,8

1,1

0,4

1,2

1,1

1,2

0,5

2,6

1,5

1,0

0,6

Из нее следует, что эти базисные задачи являются краевыми задачами теплопереноса в горных массивах. Получение их аналитических решений позволяет найти таковые и для некоторой совокупности более частных (простых) задач. Эти последние будем именовать «задачами оболочки» парадигмы, подчеркивая при этом, по аналогии с базисом и оболочкой в линейной алгебре, их зависимый от базисных задач характер. По решениям задач оболочки обычно находятся величины, представляющие практический интерес: плотность потока тепла на стенке горной выработки; ее температура; коэффициент нестационарного теплообмена Кτ; общее количество тепла, перешедшее из массива в выработку за определенное время проветривания. По этим величинам и точным или приближенным решениям балансовых уравнений для выработок можно находить температуры в различных пунктах их, определять холодопотребность выработок при расчете охлаждающих устройств, находить требуемый по тепловому фактору расход воздуха, т.е. осуществлять инженерные расчеты. Обычно формулы для таких расчетов, вместе с данными о параметрах переноса, горно-геологическими и горно-техническими величинами, необходимыми для их проведения, таблицами или графиками вспомогательных функциональных за24

висимостей и номограммами, сведенные воедино и изложенные в определенном порядке, представляются в форме нормативного документа – методики. Методики используются проектными и строительными организациями, горными предприятиями; в последние десятилетия по ним составляются программы для ЭВМ. Таким образом, парадигма математического моделирования в шахтной теплофизике имеет сложную иерархическую структуру: первый уровень – теоретическое «ядро»; второй уровень – базисные краевые задачи переноса; третий уровень – задачи оболочки и методики инженерных расчетов. Теоретическое «ядро» парадигмы шахтной теплофизики совпадает с таковыми для других областей и горной теплофизики в целом: в него входит совокупность понятий, теорий и методов теплофизики. Сходную с описанной, «трехслойную» структуру «ядро – базис – оболочка» имеют, на наш взгляд, все прикладные и фундаментальные науки, причем не только в теоретическом, но и в экспериментальном разрезе. Отличие прикладных наук от фундаментальных заключается в наличии «сдвига»: «ядру» фундаментальной науки (основные законы природы, фундаментальные эксперименты и наблюдения) в прикладной ничего не соответствует, поскольку ее «ядро» обычно представляет собой «базис» парадигмы фундаментальной науки, дополненный основными фактами, понятиями и объектами прикладной. Соответственно, у фундаментальной науки нет аналога «оболочки» прикладной: фундаментальная «оболочка» порождает прикладной «базис». На рисунке 1.2 схематически изображены структуры парадигмы для фундаментальной науки – теплофизики и прикладной – шахтной теплофизики. Вертикальные обратные связи на рис.1.2 (стрелки, направленные вверх) демонстрируют влияние практики (в широком смысле) на теорию, что является источником развития каждой из парадигм. Горизонтальные прямые связи (стрелки, направленные направо) описывают влияние фундаментальной науки на прикладную, а горизонтальные обратные связи (стрелки, направленные налево) – «запросы» от прикладной науки к фундаментальной, возникающие под воздействием применения первой – инженерной практики.

§7. Модели и теория Структуру, близкую к изображенной на рис. 1.2, имеет и парадигма математического моделирования рудничной аэрологии. Ее ядро, как и у шахтной теплофизики, строится на основе базиса теплофизики. В базисе парадигмы рудничной аэрологии, на уровне объектов, систем и процессов имеются отличия. Рассматривая одинаковые объекты – пласты угля и пород, выработанные пространства, выработки различного назначения, шахтная теплофизика и рудничная аэрология изучают различные процессы, а потому моделируют эти объекты различными системами.

25

Таблица 1.5 Задачи (модели) развития парадигмы шахтной теплофизики №№ п/п

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 9. 10.

11.

12.

26

Задача (математическая модель) 1. Задачи определения Кτ из решений краевых задач Определить температурное поле однородного горного массива при переменной во времени температуре рудничного воздуха (сезонные колебания; чередование потоков с различной температурой при аккумуляции в массиве тепла и холода; изменение температуры воздуха по произвольному закону). Определить температурное поле однородного массива вокруг выработки, изолированной от общешахтной вентиляционной сети в определенный момент времени («нулевой» режим проветривания). Определить температурное поле в массиве вокруг выработки некругового сечения (эллиптическое, прямоугольное, трапециевидное, арочное). Определить температурное поле в массиве с учетом влияния дневной поверхности (выработка неглубокого заложения) и геотермического градиента. Определить температурное поле в слоисто-неоднородном массиве (скважины, стволы, выработки с теплоизолирующими крепями). Определить температурное поле в однородном массиве при переменном расходе воздуха вдоль выработки (выработки с утечками или подсосами). 2. Задачи теплового расчета горных выработок Решить (в форме, пригодной для инженерных расчетов) задачу сопряженного теплопереноса в системе «выработка–массив» Разработать методику теплового расчета лав с учетом влияния десорбции метана и закладки выработанного пространства (твердеющая закладка, гидрозакладка). Разработать методы расчетов теплового режима выработок шахт в зоне вечной мерзлоты. Установить (статистической обработкой максимально возможного числа опытных данных) корреляции – эмпирические обобщения для массообменных процессов. 3. Другие задачи тепловых расчетов. Разработать математическую модель быстропротекающих процессов теплопереноса (применительно к анализу внезапных выбросов угля, породы, газа) Разработать методику тепловых расчетов средств индивидуальной противотепловой защиты горнорабочих глубоких шахт.

Источник

[86], [87], [88]

[86], [89] [86] [86], [89] [86], [88], [89] [87], [89] [86], [89] [86], [87] [87] [86]

[89]

[88], [89]

Рудничная аэрология исследует движение флюидов (жидкостей, газов) в горном массиве и массоперенос газа и пыли рудничным воздухом по выработкам. Моделируемые системы при этом представляются пористыми, трещиновато – пористыми, бипористыми средами (горные массивы) и ограниченными турбулентными потоками с постоянным или переменным расходом (горные выработки). Уравнения переноса в обоих случаях достаточно сложны, т.к. описывают неоднородность среды и физико-химические взаимодействия ее с флюидами – в первом случае, и турбулентный массоперенос потоком с неоднородным профилем скорости – во втором. Иная ситуация в шахтной теплофизике. Согласно сложившейся парадигме, теплоперенос в горном массиве рассматривается в рамках модели сплошной гомогенной среды, наличие в которой пор, трещин, движущихся флюидов учитывается интегрально, через эффективные значения теплофизических параметров [31, 90]. Для горных выработок шахтная теплофизика ограничивается стационарными балансовыми уравнениями, в которых турбулентные параметры воздушного потока не учитываются. Поэтому в шахтной теплофизике число различных моделируемых систем (и, соответственно, число моделей) невелико: при моделировании теплопереноса в массиве – это однородные и неоднородные массивы с фазовыми переходами воды или без них; при моделировании теплопереноса по выработкам обычно их различают по назначению и сроку эксплуатации. Это отличие парадигмальных базисов приводит, естественно, к отличиям в оболочках парадигм рассматриваемых наук. Оболочка парадигмы шахтной теплофизики содержит приближенные формулы, полученные из аналитических решений базисных и оболочечных задач; обладает обширным вспомогательным инструментарием – эмпирическими соотношениями, таблицами констант, графиками и номограммами, систематизированными в многочисленных методиках [71, 73, 83, 84, 91÷93]. В оболочке парадигмы рудничной аэрологии надежных, общепринятых формул для газо- и влагопритоков в горные выработки из массива мало, несмотря на то, что моделей фильтрации флюидов в массиве гораздо больше, чем моделей теплопереноса в массиве (базис парадигмы рудничной аэрологии развит сильнее базиса парадигмы шахтной теплофизики). Это связано с тем, что будучи более сложными, модели массопереноса реже - допускают аналитические решения, чем модели теплопереноса. Более изменчивы, труднее и менее надежно определяются, по сравнению с параметрами теплопереноса, параметры массопереноса (пористость, проницаемость, коэффициент фильтрации). Поэтому в оболочке парадигмы рудничной аэрологии до сих пор преобладают эмпирические формулы, полученные статистической обработкой данных лабораторных, полигонных, шахтных экспериментов [94÷97]. Наличие развитого базиса парадигмы (т.е. многочисленных и разнообразных моделей – краевых задач переноса и их аналитических решений) способствует не только развитию оболочки – расширению использования результатов математического моделирования на практике; оно также позволяет обобщать частные математические модели в более общие, т.е. строить теорию. Математические модели процессов переноса являются теми элементарными парадигмами (в смысле перевода этого термина как образец, стандарт) или 27

«клетками» – исходными научными понятиями [98], из которых строятся парадигмы научных направлений, областей, дисциплин, наук.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПАРАДИГМА теплофизики  фундаментальной науки

ПАРАДИГМА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ шахтной теплофизики  прикладной науки

ЯДРО ПАРАДИГМЫ Термодинамика необратимых процессов. Феноменологические соотношения. Уравнения процессов переноса. БАЗИС ПАРАДИГМЫ Модели сплошных сред. Уравнения переноса в системах различной формы и размерности. Методы решения краевых задач.

ЯДРО ПАРАДИГМЫ Базис парадигмы теплофизики, дополненный данными об объектах, системах и процессах шахтной теплофизики.

ОБОЛОЧКА ПАРАДИГМЫ Решения краевых задач для граничных условий I-IV родов. Решения для тел простейшей формы. Приближенные решения.

БАЗИС ПАРАДИГМЫ Системы и процессы. Математические модели – базисные задачи переноса. Классификация их и методы решения.

ОБОЛОЧКА ПАРАДИГМЫ Задачи оболочки, методы их решения. Соотношения, константы. Методики инженерных расчетов. СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОФИЗИКИ Системы одно- и многомерные, однородные, неоднородные, анизотропные. Теплопроводность, диффузия, тепломассоперенос, фильтрация.

СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ ШАХТНОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ. Горный массив и его части. Горные выработки и их зоны. Теплоперенос и массообмен.

Рис.1.2. Структура парадигм

28

Поэтому анализ парадигмы математического моделирования процессов тепломассопереноса в шахтах и рудниках (т.е. цель наших исследований) может быть осуществлен только путем анализа частных математических моделей – массопереноса и теплопереноса, протекающих в горных массивах и в горных выработках. Рассмотрение возможно большего числа таких моделей (методологический принцип полноты!) позволит осуществить обобщение – выявление классов систем и процессов, описываемых одной и той же базовой моделью, с последующим переходом от совокупности моделей к теории, построенной дедуктивно, т.е. превратить «математическую геотеплофизику» из лозунга в свершившийся факт. Пока же, априорно, говорить о наличии теории в горной теплофизике или в рудничной аэрологии нельзя. Этот факт подтверждает и анализ монографий по этим предметам, вышедших в последние десятилетия, в которых приведены отдельные, разрозненные математические модели различных процессов переноса, но не просматривается теория – приведенное в систему дедуктивно организованное математическое описание этих процессов [30, 31, 67, 68, 70, 72, 75, 77÷80, 82, 99÷108]. Этим и объясняется различие в терминах на рис.1.2, где в одном случае – «теоретическая парадигма теплофизики», а в другом – «парадигма математического моделирования шахтной теплофизики». Путь к построению теории «тепломассопереноса в шахтах и рудниках» (иначе  к математической теплофизике шахт и рудников как к разделу математической геотеплофизики) проходит через этапы: анализ парадигмы математического моделирования процессов переноса тепла и массы в горных массивах и выработках; выявление «лакун» этой парадигмы; постановка и решение базисных задач переноса, ликвидирующих «лакуны» и развивающих парадигму; классификация, структуризация и аксиоматизация всей расширенной совокупности моделей; разработка универсального метода (или небольшого их числа) для решения задач сформированной теории.

Глава 3. Методология анализа §8. Объекты исследований Шахты и рудники являются мегаобъектами (объектами геотехносферы), изучаемыми макронаукой – теплофизикой геотехносферы (Рис. 1.1). На этом иерархическом уровне следует выявить отличие этих мегаобъектов друг от друга. Изучение литературных источников показало, что при наличии различий в объектах, в математическом моделировании процессов тепломассопереноса в массивах и выработках шахт и рудников различий нет [29, 31, 34, 63, 66, 67, 70, 71, 73, 75÷80, 89, 101,102,108]. Таким образом, различать между собой шахты и рудники, анализировать порознь процессы переноса в них, нет необходимости.

29

Горные массивы и выработки – макрообъекты науки «тепломассоперенос в шахтах» существенно отличаются друг от друга. В них протекают различные процессы, моделируемые различными системами. Обобщенный «массоперенос» в горных массивах принимает формы различных режимов фильтрации и (или)диффузии, а в горных выработках – турбулентной диффузии и конвективного массопереноса в потоках с постоянным или переменным расходом. Поэтому математические модели массопереноса в этих макрообъектах рассматриваются и анализируются отдельно. Аналогично – модели теплопереноса в массивах и выработках. На уровне научного направления каждый из макрообъектов представлен совокупностью объектов – выделенных фрагментов природно-технологических систем. Возможное число и разнообразие этих объектов определяется шириной диапазонов изменения горно-геологических и горно-технических условий по шахте, объединению, бассейну. В табл. 1.2 приведены примеры таких объектов: пласт угля со скважиной, подготовительная выработка. Различным объектам, при математическом моделировании протекающих в них процессов, ставятся в соответствие их аналоги – системы. Математическая модель процесса переноса (элементарная парадигма) в конкретном объекте начинает формулироваться с фиксации объекта и выбора (что является не однозначным, творческим процессом) моделирующей его системы. В горной практике, как и в науке, процессы переноса с различными физическими механизмами и способами их математического описания, характеризуют специфическими профессиональными терминами, которые имеют смысл режима или результата идущего процесса. Говорят, в частности, о «разгазировании выработки», «газовом дренаже пласта», «охлаждении массива» и т.п. В ходе математического моделирования эти термины «переводятся» на язык теплофизики, т.е. определяется тот вид (виды) физического процесса переноса, который, по мнению моделирующего, формирует реальную ситуацию (говорят о «факторизации» реального процесса в реальном объекте на математическую модель или модели [5]). Выбор системы и процесса предопределяет (неоднозначно!) вид уравнения переноса. Дополнение этого уравнения граничными условиями (описывающими взаимодействие системы с окружающей средой) и начальным условием (фиксирующим состояние системы в момент времени, принимаемый за начальный) завершает построение математической модели – краевой задачи переноса. Отсюда следует, что различая модели теплопереноса и модели массопереноса, необходимо, при рассмотрении каждой из этих групп моделей, как можно более полно представить «горные процессы» (т.е. процессы, сформулированные на «горном» языке), факторизующиеся далее на процессы соответствующего вида переноса. Таким образом, полная характеристика элементарной парадигмы – математической модели переноса в шахтном объекте – включает: объект, систему, процесс переноса, параметры переноса, краевые (граничные и начальные) условия.

30

§9. Классификация моделей Терминология теплофизики, как указывалось ранее, противоречива. Это относится и к различным системам классификации ее задач и проблем [109]. В рудничной аэрологии и шахтной теплофизике классификация математических моделей отсутствует, поскольку используется, как правило, горная терминология – «модель дегазации», «модель разгазирования», «модель проветривания» и т.п. Анализируя парадигму моделирования процессов тепломассопереноса в шахтах, как часть парадигмы математической геотеплофизики, естественно использовать систему классификации краевых задач в теплофизике, опирающуюся на термины математической физики. Всякая классификация содержит, в общем случае, ряд кластеризаций, т.е. разделение всей совокупности объектов (явлений) на кластеры – множества однородных и в определенном смысле сходных между собой элементов [110]. Если совокупность математических моделей нескольких наук разделить на кластеры, т.е. классифицировать, то можно выявить сходство и различие их парадигм. Бурное развитие многочисленных прикладных дисциплин, базирующихся на теоретической парадигме теплофизики, привело к тому, что «…появились строительная, металлургическая, технологическая теплофизики… Такая, вспомогательная, классификация наук приносит вред, особенно если помнить о математическом моделировании. Основные ординарные, сложные, совместные, сопряженные, взаимосвязанные тепло-массообменные процессы имеют одинаковые математические модели. Процессы теплопроводности, конвекции, радиации … ничем не отличаются от таковых в сельском хозяйстве и ядерной энергетике, в шахте и космосе» [109]. Соглашаясь не во всем с автором приведенной цитаты (теплопроводность и конвекция в шахте и в космосе все же отличаются), надо признать справедливость высказанной им идеи универсальности теплофизики и ее широкого проникновения в огромное множество прикладных наук – «Закономерности тепломассопереноса играют важную роль в агрофизике, гидрологии, физике атмосферы, метеорологии, мерзлотоведении, гляциологии, вулканологии и других науках о Земле» [111]. Далее В.Е. Накоряков указывает, что для таких природно-технологических систем как скважины, шахты, промыслы, подземные сооружения и др. «…условия развития в них процессов тепломассопереноса отличаются некоторыми общими особенностями». Эти «общие особенности», которым соответствует категория «особенное», обобщающая «единичное» и переходящая (в результате синтеза) во «всеобщее», и есть парадигма. Для выявления связей и различий парадигм теплопереноса и массопереноса в горных массивах, парадигм теплопереноса и массопереноса в горных выработках и упомянутых групп между собой, определения лакун в этих парадигмах и направлений их развития, необходимо «спроектировать» каждую из парадигм на некоторый «базис кластеров», т.е. осуществить классификацию всех математических моделей. Это позволит выявить «парадигмообразующие», базисные модели, т.е. продвинуться по пути аксиоматизации, перехода от парадигмы математического моделирования к теоретической парадигме.

31

Станет возможным унифицировать методы теоретического описания различных процессов переноса в различных объектах (в шахтах и рудниках – в рамках настоящей работы и во всей геотехносфере – в перспективе), сжать весьма обширную и рассеянную сейчас информацию. Сущность применения математических методов в прикладных науках заключается в том, что эти методы позволяют построить универсальную теорию: «…теория, построенная для некоторой предметной области, может быть применена и к любой другой, если только в ней объекты и отношения между ними обладают свойствами, зафиксированными в системе аксиом. Аксиоматизация теории ведет к ее обобщению в том смысле, что теперь теория описывает не одну область, а целый класс предметных областей» [98]. При выборе способа классификации математических моделей (краевых задач) тепломассопереноса, воспользуемся, с небольшими изменениями, классификацией Л.А. Коздобы [112]. В ней в качестве независимых классификационных признаков выступают: 1). Прямые и обратные задачи; 2). Ординарные (одна искомая функция) и совместные задачи; 3). Сопряженные (при наличии нескольких контактирующих систем или фаз) и ординарные задачи; 4). Условия однозначности для краевых задач (параметры в них числа или функции); 5). Линейные и нелинейные задачи; 6). Одно-, двух- и трехмерные задачи; 7). Стационарные и нестационарные задачи; 8). Вид уравнения – алгебраические, дифференциальные, в частных производных, интегро-дифференциальные; 9). Вид граничных условий – Дирихле, Неймана, Робина (I-го, II-го, III-го родов). Используя изложенное, строим двухуровневую классификацию. На первом уровне – анализа частной парадигмы моделирования тепло – и массопереноса по отдельности в объектах массивов и выработок (по отдельности), используем кластеры: 1). Прямые и обратные задачи; 2). Размерность и форма моделируемых систем; 3). Стационарные и нестационарные задачи (включая нестационарные системы – с переменными параметрами и подвижными границами); 4). Ординарные и неординарные задачи (последние включают совместные и сопряженные задачи); 5). Краевые условия; 6). Однородные и неоднородные уравнения; 7) Линейные и нелинейные уравнения; 8). Обобщенные (базисные) уравнения переноса; 9). Методы решения краевых задач; 10). Направления развития парадигмы. Последний кластер (признак) структурируется на несколько групп, содержащих направления развития – модели (задачи), отсутствующие в парадигме (лакуны) и те, которые необходимо решать, исходя из логики развития парадигмы и запросов практики. На втором уровне – анализа парадигмы переноса в макрообъектах, используем агрегированные кластеры с внутренней структурой (которой пока не касаемся). Систему этих кластеров строим на бинарной основе: каждому кластеру (признаку) ставится в соответствие такой, для задач которого кластерообразующее свойство отсутствует, например: задачи стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные и т.д. Таким образом приходим к системе кластеров: 1.1) корректные (прямые) задачи; 2.1) локальные задачи; 3.1) ординарные; 4.1) одномерные; 5.1) линейные; 6.1) однородные; 7.1) стационарные. Им соответствуют кластеры «не»: 1.2) некорректные (обратные) задачи; 2.2) нело-

32

кальные задачи; 3.2) неординар-ные; 4.2) неодномерные; 5.2) нелинейные; 6.2) неоднородные; 7.2) неста-ционарные. Полученная иерархическая классификационная схема («дерево переноса») изображена на рисунке 1.3.

Краевые задачи переноса (математические модели) 1.1 Корректные (прямые)

1.2 Некорректные (обратные)

2.1 Локальные

2.2 Нелокальные

3.1 Ординарные

3.2 Неординарные

4.1 Одномерные

4.2 Неодномерные

5.1 Линейные

5.2 Нелинейные

6.1 Однородные

6.2 Неоднородные

7.1 Стационарные

7.2 Нестационарные Рис.1.3. Дерево переноса

§10. Построение монографии Настоящая монография – Теплофизика шахт и рудников. Математические модели состоит из двух томов. Том I – Анализ парадигмы, том II – Базисные модели. В первом томе анализируются частные парадигмы математического моделирования процессов переноса массы и тепла в горных массивах и выработках при штатных и аварийных режимах (в т.ч. при подземных пожарах). Этому посвящены части 2-6 первого тома. В заключительной части 7 дается общая

33

характеристика парадигмы математического моделирования в шахтной теплофизике, трактуемой как раздел более общей парадигмы – теоретической геотеплофизики. Поскольку основой последней служит парадигма моделирования в макроскопической теплофизике, приводится краткий обзор ее моделей. Завершает первый том формулировка принципов построения геотеплофизической теории – целостной системы математических моделей (базисных краевых задач переноса). В Добавлении к первому тому даны краткие обзоры в актуальных для горной науки и практике направлениях за последние 8 – 10 лет. Второй том посвящен изложению математических основ и построению базисных моделей шахтной теплофизики. Излагаются разработанные автором методы построения и исследования математических моделей (формулировки и решения краевых задач), которые иллюстрируются примерами конкретных, в большинстве своем выполненными в рамках НИР по темплану МакНИИ, моделей штатных и аварийных процессов в угольных шахтах. Второй том также состоит из семи частей. Части подразделяются на главы, а главы – на параграфы. Нумерация формул, таблиц и рисунков «привязана» к Частям. Литературные источники также приводятся сразу же после соответствующей Части. Нумерация глав и параграфов сквозная по обоим томам монографии. Содержание и структура обоих томов видны из их Оглавлений.

Литература к части 1 1. Большой энциклопедический словарь. – В 2-х томах – М.: Советская энциклопедия, 1991. – т. 2 – 768 с. 2. Очерки истории и теории развития науки / Под ред. Библера В.С., Грязнова Б.С., Микулинского С.Р. (отв. ред.) – М.: Наука, 1969. – 423 с. 3. Дорфман Я.Г. Эволюция структуры физики. – В кн.: [2], с. 303–324. 4. Елисеев Э.Н., Белов Н.В., Бокий Г.Б. и др. Методология исследования развития сложных систем (естественно – научный подход). – Л.: Наука, Л. о., 1979. – 315 с. 5. Брусиловский Б.Я. Теория систем и система теорий. – Киев: Вища школа, 1977. – 192 с. 6. Кун Т. Структура научных революций. Пер. с англ. – М.: Прогресс, 1977. – 300 с. 7. Маркова Л.А. Об истории естествознания как науке и ее задачах (обзор зарубежной литературы). – В кн.:[2], с. 126–145. 8. Шолпо В.Н. Структура Земли: упорядоченность или беспорядок? – М.: Наука, 1986. – 160 с. 9. Петрова Т.М. Методологические особенности количественного выделения структурных единиц науки. – В кн.: Системные исследования / Ежегодник 1975г. – М: Наука, 1976, с. 43–53.

34

10. Ржевский В.В. Структура горных наук. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, № 5, с. 14–19. 11. Кедров Б.М. Диалектическая логика как обобщение теории естествознания. – В кн. [2], с. 9–34. 12. Огильви А.А. Основы инженерной геофизики. – М.: Недра, 1990.  501 с. 13. Ляховицкий Ф.М., Хмелевский В.К., Ященко З.Г. Инженерная геофизика. – М.: Недра, 1989. – 252 с. 14. Большой энциклопедический словарь. – В 2-х томах – М.: Советская энциклопедия, 1991. – т. 1 – 863 с. 15. Щербак Н.П. Геологическое время и прогнозирование полезных ископаемых. – Киев: Знание, 1984. – 48 с. 16. Лялько В.И. Тепломассоперенос в литосфере. – Киев: Наукова думка, 1985. – 260 с. 17. Дмитриев А.М., Гончаров С.А. Термодинамические процессы в горных породах. – М.: Недра, 1990. – 360 с. 18. Фролов Н.М. Основы гидрогеотермии. – М.: Недра, 1991. – 335 с. 19. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. – М.: Гостоптехиздат, 1963. – 396 с. 20. Олейник А.Я. Геогидродинамика дренажа, – Киев: Наукова думка, 1981. – 283 с. 21. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. – 211 с. 22. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесский В.Д. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. – Л.: Гидрометеоиздат, 1987. – 296 с. 23. Кудряшов А.И. Флюидогеодинамика. – Свердловск: Изд-во Ур. о. АН СССР, 1991. – 226 с. 24. Карцев А.А., Гаттенбергер Ю.П., Зорькин Л.М. и др. Теоретические основы нефтегазовой гидрогеологии. М.: Недра, 1992. – 208 с. 25. Борисов А.А. Проблемы развития горной физики и механики недр. – В кн.: Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова, т. 67, вып.1 / Сб-к трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1975, с. 10–19. 26. Борисов А.А., Матанцев Ф.И., Овчаренко Б.П., Воскобоев Ф.Н. Управление горным давлением. – М.: Недра, 1983. – 168 с. 27. Ржевский В.В. О научных основах расчетов давления горных пород. Часть I – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1982, № 6, с. 1–9. 28. Курленя М.В., Штеле В.И., Шалауров В.А. Развитие технологии подземных горных работ. – Новосибирск: Наука. С. о., 1985. – 184 с. 29. Ушаков К.З., Бурчаков А.С., Медведев И.И. Рудничная аэрология. – М.: Недра, 1978. – 140 с.

35

30. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование динамических процессов рудничной аэрологии. – Киев: Наукова думка, 1981. – 284 с. 31. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизические аспекты освоения ресурсов недр. / Колл. монография. – М.: Недра, 1988. – 336 с. 32. Развитие горной науки в области безопасности труда / Колл. монография. – М.: Недра, 1979. – 167 с. 33. Ржевский В.В., Братченко Б.Ф., Бурчаков А.С., Ножкин Н.В. Управление свойствами и состоянием угольных пластов с целью борьбы с основными опасностями в шахтах. – М.: Недра, 1984. – 327 с. 34. Грядущий Б.А. Исследование опасностей в угольных шахтах, разработка и реализация способов снижения их негативного воздействия. / Научн. доклад по совокупности печатных трудов на соиск. ст. д. т. н. – Днепропетровск: Горная Академия Украины, 1995.  73 с. 35. Лыков А.В., Михайлов Ю.Л. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с. 36. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 304 с. 37. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. – Пер. с англ. – М.: Химия, 1974. – 688 с. 38. Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику. – М.: Иностр. лит-ра, 1969. – 207 с. 39. Беккер Р. Теория теплоты. – Пер. с немец. – М.: Энергия, 1974. – 504 с. 40. Морс Ф. Теплофизика. – Пер. с англ. – М.: Наука, 1968. – 146 с. 41. Ван-дер-Ваальс И.Д., Констамм Ф. Курс термостатики. Часть I. Общая термостатика. – Пер с немец. – М.: ОНТИ, 1936. – 453 с. 42. Лоренц Г.А. Лекции по термодинамике. – Пер. с англ. – М.-Л.: Гостехтеориздат, 1946. – 156 с. 43. Семенченко В.К. Вступительная статья. – В кн.:[36], с. 5–9. 44. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. Часть I. Теплопроводность – М.: Высшая школа, 1970. – 288 с. 45. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. – Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1982. – 280 с. 46. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. / Изд-е 2-е, доп. – М.: Высшая школа, 1985. – 480 с. 47. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 48. Аметистов Е.В., Григорьев В.А., Емцев Б.Г. и др. Тепло – и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник / Под общ. ред. Григорьева В.А. и Зорина В.М. – М.: Энергоиздат, 1983. – 512 с.

36

49. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. Справочное пособие. – М.: Энергоиздат, 1990. – 367 с. 50. Кутателадзе С.С., Боришанский В.М. Справочник по теплопередаче. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1959. – 414 с. 51. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1970. – 375 с. 52. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена / Изд-е 4-е, доп. – Новосибирск. Наука, С. О., 1970. – 659 с. 53. Слеттери Дж.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. – Пер. с англ. – М.: Энергия, 1978. – 448 с. 54. Налимов В.В. Вероятностная модель языка. – М.: Наука, 1979. – 304 с. 55. Толпыго К.Б. Термодинамика и статистическая физика. – Киев: Издво КГУ, 1966. – 364 с. 56. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. / Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1981. – 536 с. 57. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – Пер. с немец. – М.: Изд-во Иностр. лит-ры, 1956. – 528 с. 58. Гребер Г., Эрк С. Основы учения о теплообмене. Пер. с немец. – М. – Л.: ОНТИ, 1936. – 327 с. 59. Померанцев А.А. Курс лекций по теории тепломассообмена. – М.: Высшая школа, 1965. – 350 с. 60. Струминский В.В. Основные направления теоретических исследований проблем турбулентности. – В кн.: Механика турбулентных потоков. – М.: Наука, 1980, с. 28–34. 61. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х томах / Пер. с англ. – М.: Мир, 1990, т.1 – 384 с., т.2 – 392 с. 62. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. – Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М.: Гостехтеориздат, 1953. – 788 с. 63. Дядькин Ю.Д. Борьба с высокими температурами в глубоких шахтах и рудниках. – М.: Углетехиздат, 1957. – 80 с. 64. Щербань А.Н., Кремнев О.А. Научные основы расчета и регулирования теплового режима глубоких шахт. / В 2-х томах. Том 1. Научные основы расчетов теплового режима глубоких шахт. – Киев: Изд-во АН УССР, 1959. – 430 с. 65. Воропаев А.Ф. Теория теплообмена рудничного воздуха и горных пород в глубоких шахтах. – М.: Недра, 1966. – 219 с. 66. Воронин В.Н. Основы рудничной аэро- газодинамики. – М. – Л.: Углетехиздат, 1951. – 491 с. 67. Айруни А.Т. Теория и практика борьбы с рудничными газами на больших глубинах. – М.: Недра, 1981. – 335 с. 68. Колмаков В.А. Метановыделение и борьба с ним в шахтах. – М.: Недра, 1981. – 134 с.

37

69. Ушаков К.З. Аэромеханика вентиляционных потоков в горных выработках. – М.: Недра, 1975. – 167 с. 70. Лайгна К.Ю. Математическое моделирование диффузионных процессов вентиляции штреко – и камерообразных выработок. Т.1 – Таллин: Изд-во ВЦ НИИС Госстроя ЭССР, 1979. – 231 с. 71. Щербань А.Н., Кремнев О.А., ЖуравленкоВ.Я. Руководство по регулированию теплового режима шахт. / Изд-е 3-е, перераб. доп. – М.: Недра, 1977. – 359 с. 72. Воропаев А.Ф. Тепловое кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах. – М.: Недра, 1979. – 192 с. 73. Дуганов Г.В., Баратов Э.И. Тепловой режим рудников. – М.: Госгортехиздат, 1963. – 144 с. 74. Щербань А.Н., Ягельский А.Н., Баратов Э.И. Упрощенные способы тепловых расчетов рудничного воздуха в шахтах Донбасса. – Киев: Изд-во АН УССР, 1958. – 160 с. 75. Дядькин Ю.Д. Основы горной теплофизики для шахт и рудников Севера. – М.: Недра, 1968. – 255 с. 76. Кремнев О.А., Журавленко В.Я. Тепло – и массообмен в горном массиве и подземных сооружениях. – Киев: Наукова думка, 1980. – 384 с. 77. Брайчева Н.А., Черняк В.П., Щербань А.Н. Методы расчета температуры вентиляционного воздуха подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1982. – 184 с. 78. Черняк В.П., Киреев В.А., Полубинский А.С. Нестационарный тепломассоперенос в разрушаемых массивах горных пород. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 79. Добрянский Ю.П. Расчет тепловлажностных режимов подземных объектов на ЭВМ. – Киев: Наукова думка, 1991. – 112 с. 80. Черняк В.П. Тепловые расчеты подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1993. – 199 с. 81. Галицын А.С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1983. – 236 с. 82. Бобров А.И., Аверин Г.В. Теоретические основы переноса импульса, тепла и примеси в горных выработках. – Макеевка – Донбасс: Изд-во Мак НИИ, 1994. – 270 с. 83. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирования температурных условий в угольных шахтах. – Макеевка – Донбасс: Изд-во Мак НИИ, 1979. – 196 с. 84. Кузин В.А., Пучков М.М., Венгеров И.Р. и др. Методика прогнозирования температурных условий в выработках вентиляционных горизонтов глубоких шахт. – Макеевка – Донбасс: Изд-во Мак НИИ, 1984. – 61 с. 85. Несветайлов Г.А., Гуревич И.Г. Наукометрический анализ развития Всесоюзных совещаний по тепломасоообмену. – ИФЖ, 1982, т.43, № 6, с. 1038–1042.

38

86. Щербань А.И. Проблемы прогноза теплового режима шахт и подземных сооружений. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. / Материалы Всесоюзн. научно – техн. конф. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с. 127–132. 87. Дядькин Ю.Д. Актуальные проблемы горной теплофизики. – В кн.: Записки ЛГИ, т. 67, вып.1. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1975, с. 20–30. 88. Дядькин Ю.Д. Успехи и проблемы горной теплофизики. – В кн.: Физические процессы горного производства / Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 11. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 3–10. 89. Щербань А.Н., Черняк В.П. Состояние тепловых условий и задачи в области горной теплофизики. – В кн.: Теплофизические процессы в подземных сооружениях / Труды Международ. Бюро по горной теплофизике. – Киев: Наукова думка, 1980, с. 6–22. 90. Николаев С.А., Николаева Н.С., Саламатин А.Н. Теплофизика горных пород. – Казань: Изд-во КГУ, 1987. – 151 с. 91. Дуганов Г.В., Баратов Э.И. Упрощенный графоаналитический метод тепловых расчетов глубоких Криворожских шахт. – В кн.: Труды Семинара по горной теплотехнике, вып. 3. – Киев: Изд-во АН УССР, 1961, с. 40–46. 92. Величко А.Е. Уточнение и упрощение зависимости теплового расчета рудничного воздуха. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып.1 / Сб-к научн. трудов. – Макеевка – Донбасс: Изд-во Мак НИИ, 1969, с. 53–63. 93. Малашенко Э.Н., Зимин Л.Б., Кузин В.А., Венгеров И.Р. К методике тепловых расчетов тупиковых выработок с кондиционированием воздуха. – Уголь Украины, 1982, № 1, с. 41–42. 94. Руководство по проектированию вентиляции угольных шахт. / Под общ. ред. М.А. Патрушева. – М.: Недра, 1975. – 238 с. 95. Справочник по рудничной вентиляции / Под ред. К.З.Ушакова. – М.: Недра, 1977. – 328 с. 96. Петрухин П.М., Гродель Г.С., Жиляев Н.И. и др. Борьба с угольной и породной пылью в шахтах. – М.: Недра, 1981. – 271 с. 97. Бобров А.И. Борьба с местными скоплениями метана в угольных шахтах. – М.: Недра, 1988. – 148 с. 98. Карлин А.С. О применении математических методов в современной науке – В кн.:[2], с. 405–421. 99. Абрамов Ф.А. Рудничная аэрогазодинамика. – М.: Недра, 1972. – 356 с. 100. Ярембаш И.Ф. Очистка рудничной атмосферы после взрывных работ. – М.: Недра, 1974. – 191 с. 101. Волощук С.Н., Андреев Г.Г., Мельниченко Г.М. Кондиционирование воздуха на глубоком руднике. – М.: Недра, 1975. – 152 с. 102. Хохотва Н.Н., Яковенко А.К. Кондиционирование воздуха при строительстве глубоких шахт. – М.: Недра, 1985. – 183 с.

39

103. Рогов Е.И., Грицко Г.И., Вылегжанин В.Н. Математические модели адаптации процессов и подсистем угольной шахты. – Алма – Ата: Наука, Казах. ССР, 1979. – 240 с. 104. Соколов Э.Н., Качурин Н.М. Углекислый газ в угольных шахтах. – М.: Недра, 1987. – 142 с. 105. Васючков Ю.Ф. Физико – химические способы дегазации угольных пластов. – М.: Недра, 1986. – 255 с. 106. Греков С.П., Калюсский А.Е. Газодинамика инертных сред и разгазирование горных выработок при авариях. – М.: Недра, 1975. – 120 с. 107. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г. Тепловые процессы в горных выработках. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978. – 104 с. 108. Кремнев О.А., Журавленко В.Я. Тепло – и массообмен в горном массиве и подземных сооружениях / Изд-е 2-е, исправ. и доп. – Киев: Наукова думка, 1986. – 344 с. 109. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. – Киев: Наукова думка, 1982. – 360 с. 110. Беляев В.И., Ивахненко А.Г., Флейшман Б.С. Кибернетические методы прогнозирования научно – технического прогресса. – Автоматика, 1968, № 3, с. 49–57. 111. Накоряков В.Е. Предисловие. – В кн.:[31], с. 3–4. 112. Коздоба Л.А. Задачи и методы теории теплообмена. – Промышленная теплотехника, 1997, т. 19, № 6, с. 117–126.

Часть 2. Массоперенос в горных массивах Глава 4. Флюиды в массивах §11. Газы и газодинамические явления В составе рудничного воздуха различают природные и технологические газы [1]. Природные газы: кислород, азот, водяной пар, другие компоненты атмосферного воздуха, газы, содержащиеся в углях и породах (органического, метаморфического, биологического происхождения, продукты радиоактивного распада и прочие). Наиболее опасны из них метан, углекислый газ, сероводород, водород, сернистый газ [2]. Технологические газы выделяются при взрывных работах (продукты разложения взрывчатых веществ), работающих компрессорах и двигателях внутреннего сгорания; к ним можно отнести также газы – продукты горения при пожарах и пожаротушащие газовые смеси. В число рудничных газов входят и весьма токсичные пары ртути, мышьяка, цианистого водорода, сероводород, окись углерода и другие. Природные и технологические газы могут из рудничного воздуха поглощаться (в той или иной степени) горным массивом [1÷4]. При исследованиях различных проблем горного дела (строительства, эксплуатации, техники безопасности) используются математические модели газопереноса в угольных и породных пластах, выработанных пространствах, горных выработках. Известны модели процессов переноса метана, углекислого газа, кислорода, воздуха, инертных и других газов [1÷8]. Мы рассматриваем здесь, главным образом, модели переноса метана, в силу его особого положения в рудничной аэрологии [2]. Метан в горных массивах находится в двух состояниях: свободном и связанном (сорбированном). Газоносность (метаноносность) пласта зависит от его сорбционной емкости, газопроницаемости и давления газа. Сорбционная емкость определяется трещиновато-пористой структурой угля (породы) и сложным комплексом физико-химических взаимодействий в системе "уголь–газ– жидкость". Основные эмпирические количественные закономерности газоносности, установленные в ряде работ, обобщены [9]. Полное количество метана, содержащегося в 1 т угля:

Х = Х с + Х св ,

(2.1)

где Хс, Х св – количества сорбированного и свободного газа соответственно, м3/т. При постоянной температуре t°С и давлении газа P: 41

аbP (2.2) 1 + bP где a,b – параметры изотермы сорбции Лэнгмюра (2.2), для которых, (в средних по Донбассу условиях влажности) установлены корреляции с температурой ( t °С) и степенью метаморфизма угля (характеризуемой выходом летуг чих – V ,%): a = 1,433 ехр (–0,012t)/(0,0225 + 0,00183 V г ), (2.3) Хс =

b = 10–5/(4,52 + 0,137 V г ).

(2.4)

Количество свободного метана:

X oв = Vф ⋅ P / zPa ,

(2.5)

где Vф – объем сообщающихся (фильтрующих) пор угля, м3/т; z – коэффициент cжимаемости метана; Pa – нормальное атмосферное давление, Па. Для углей Донбасса: Vф = 0,0779 – 0,00366 V г + 1,9 · 10–6 (V г )3, V г = 3÷46%. (2.6) Для больших глубин разработки, когда напряжения в пластах превышают 5 МПа, (2.5) преобразуется к виду: (2.7) Х св = [0,0384 − 0,00181 V г + 0,938 ⋅ 10−6 (V г )3 ] ⋅ 10−5 ⋅ P, где P – давление газа в нетронутом массиве (т.е. вдали от поверхности обнажения пласта, в отсутствие надработки или подработки):

P = P(H) = 1,47 ⋅ 105 + 0,098 ⋅ 105 (H − H 0 ), H 0 = 90 exp(0,026 V г ), (2.8) где H , H 0 – глубины залегания пласта и границы метановой зоны соответственно. Приведенные зависимости дают результаты, хорошо согласующиеся с другими расчетными формулами и данными экспериментов (погрешность < 10%) [9]. Газопроницаемость (метанопроницаемость) пластов обусловлена проницаемостью сети эндо- и экзогенных трещин и фильтрующих субмакропор и макропор [1,5]. В зоне влияния горных выработок проницаемость пласта может на 2÷5 порядков превышать природную (М.А. Ермековым и Е.И. Фоминых предложена эмпирическая формула экспоненциального убывания газопроницаемости при удалении от забоя вглубь пласта [5]). Проницаемость вдоль пласта в 2÷4 раза больше, чем по нормали к нему; изменяется она и по мере роста глубины пласта. Газопроницаемость горных пород в 3÷5 раз ниже, чем у угольных пластов. Движение метана в горном массиве осуществляется различными механизмами (имеются различные классификации видов газопереноса [6]). В зави-

симости от размеров пор (от микропор < 3·10–7 см и до пор видимых размеров > 2·10–2 см) это: абсорбция, адсорбция, кнудсеновская диффузия, капиллярная конденсация, газовая диффузия, медленная и интенсивная фильтрация [1]. Ско42

рость выхода метана через поверхности обнажения меняется, в зависимости от глубины, от 2·10–5 до 5·10–5 см/с [6]. При перепадах давлений газа до 1,0 МПа справедлив закон Дарси, а основной механизм метанопереноса в призабойной зоне пласта – фильтрация [1,5]. Газовыделение из обнаженной поверхности пласта угля было впервые рассчитано[10] и найдено экспериментально Г.Д. Лидиным в виде [11]:

q0 , t

q=

(2.9)

где q, q0 – текущее и начальное газовыделение, м3/м2·мин; t – безразмерное время, прошедшее с момента обнажения поверхности. В условиях подготовительных выработок, не подверженных влиянию очистной выемки, были проведены замеры газовыделения на интервале от одного часа до трех месяцев с момента обнажения пласта [11]. Обработка результатов привела к зависимости:

a

q=

t

b

,

(2.10)

где а,b – различны для разных пластов и изменялись в пределах: а = = 0,0037÷3,017; b = 0,553÷0,917. Исследование в лабораторных условиях углей различной степени метаморфизма и трещиноватости привело к аналогичной формуле [12]:

q=

C t

(2.11)

ϕ

где С , ϕ – параметры, различные для разных углей и изменявшиеся в пределах: С ⋅103 = 3,1 ÷ 300,7 ; ϕ = 0,505 ÷ 0,836. Наименьшее значение ϕ = 0,505 соответствовало углю с минимальным раскрытием трещин – (46÷71)·10–4 мм, а наибольшее ϕ = 0,836 соответствовало углю с раскрытием трещин в 1,5÷2 раза большим (антрацит). Газовыделение в выбросоопасных зонах угольных пластов изучалось в [13]. Для отбитого в невыбросоопасных зонах угля была подтверждена формула (2.10) с b = 0,6÷0,7, что интерпретировалось как преобладание механизма поверхностной диффузии в процессе десорбции метана. Для угля, отбитого в выбросоопасной зоне, было получено b = 0,85÷0,9, а для выброшенного угля – b = 0,95÷0,98, что позволяет предположить, в этих случаях, диффузию в газовой фазе, приводящую к повышению начальной скорости газовыделения. Газовыделение из отбитого угля было удовлетворительно описано уравнением диффузии для однородной сферы [14]. Газовыделение выражалось рядом, 2

2

все члены которого содержали параметр r = π Det0,5 ( R A), где De – эффективный коэффициент диффузии; t0,5 – период десорбции половины сорбирован43

ного газа; R – радиус сферической частицы; А = а / ϑ0 ; а – сорбционная емкость

угля; ϑ0 – содержание свободного газа в порах. Эффективный коэффициент диффузии De характеризует интегрально процесс газовыделения (диффузию в микропорах и фильтрацию в макропорах и трещинах). Было показано, что у нарушенных углей De растет с заполнением сорбционного объема, а у ненарушенных – проходит через максимум и снижается. Для исследованных образцов – De ≤ 0,4·10–5 см2/с. Для углей с нарушенной структурой De сравнительно велико и сильно зависит от давления, меняясь с его ростом от 0,6·10–4 до 66·10–4 см2/с. Рост De приводит к увеличению газовыделения из углей, отбитых в опасных зонах. Развивая исследования структуры угля в связи с поиском критериев выбросоопасности, авторы [15] приняли допущения: сорбированный на поверхности пор газ – двумерный; для него справедлива изотерма Фрейндлиха в виде:

Δ W = Κ1 (ΔP)1 / n , где ΔW – избыточная сорбция метана в объеме поры; ΔP – избыточное давление; K1, n – постоянные, зависящие от структуры угля; с нарушением сорбционного равновесия возникает двумерный поток – q = Κ n ΔΡ0 / l , где Kn – коэффициент пропорциональности; ΔP0 – избыточное давление газа над сорбентом; l – характерная длина поры. В результате было найдено: n +1

q=

K n K11/ 2 (ΔP0 ) 2 n

1/ 2

⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ 2 1 ( K t C ) + + ⎜ ⎟ n ⎢ ⎥ ⎣ ⎝ n⎠ ⎦

,

(2.12)

где С – постоянная интегрирования; n = 2,30 и n = 2,31 – соответственно по изотерме избыточной сорбции и по результатам замеров; t – время. Анализ (2.12) в системе координат {t; q–2} показывает, что эта функция – ломанная, состоящая из трех отрезков прямых (с разными угловыми коэффициентами на каждом из трех интервалов изменения t). Это свидетельствует об убывании Kn в процессе десорбции. Шахтные и лабораторные эксперименты показали, что для углей различных стадий метаморфизма, отобранных вне выбросоопасных зон, подобное спрямление (2.12) в координатах{t; q–2} имеет место, а для углей из выбросоопасных зон – нет. Для выбросоопасных зон, когда преобладает диффузия в газовой фазе, Kn зависит от давления газа, а десорбция принимает массовый характер, было получено [15]:

q=

44

a1ΔP0 ⎛ a2 ⎞ ⎜ − 1⎟ , 2 ⎝ t ⎠

(2.13)

где a1, a2 – постоянные, определяемые структурой угля и начальным давлением газа в порах. Формула (2.13) была успешно проверена экспериментально. На основе общепринятых представлений о различных видах метанопереноса определялся преобладающий из них для выбросоопасных зон пластов Донбасса [16]. Изучалась кинетика газовыделения из проб выброшенного угля. Экспериментальные данные обрабатывались на основе формулы (2.13), представленной в виде:

q=

a −b t

(2.14)

Исследовались разные газы: СН4, С2Н6, С3, Н8, Аr, Не. Оказалось, что (2.14) описывает их десорбцию из углей выбросоопасных зон одинаково удовлетворительно. Была выдвинута гипотеза: преобладающий вид газопереноса в угле – активированная кнудсеновская диффузия (обеспечивающая корреляцию коэффициентов диффузии со степенью сорбируемости каждого из газов). Данные по дегазации пластов скважинами свидетельствуют [17]: газовыделения из выбросоопасных пластов с ненарушенной тектонической структурой и невыбросоопасных газоносных пластов практически одинаковы. В выбросоопасных зонах пластов с потенциально выбросоопасной структурой угля и пликативными нарушениями наблюдается высокое начальное газовыделение, интенсивно убывающее со временем. Кривые динамики метановыделения для неопасной и выбросоопасной зон показывают, что на начальном интервале времени t ∈[0, tб] (tб ≈ 10 сут.) в первом случае – имеется линейный рост дебита газа с последующим (при t > tб) довольно плавным уменьшением его (в 2 раза за 120 суток). Во втором случае – рост на интервале t ∈ [0, tб] выше на 20%, затем – резкое падение (на 90% от максимума за 120 суток). Близкий вид имеют кривые q = q(t) для скважин, пробуренных на глубинах 600 и 1000 м, причем для большей глубины и динамика аналогична характерной для выбросоопасной зоны. При разработке автоматизированного (бесскважинного) способа прогноза выбросоопасности [18], ее критерием служило аномально высокое удельное метановыделение при разрушении угля комбайном. Изучалась газоносность в призабойной (2 м впереди забоя) части и нетронутого пласта (8÷10 м впереди забоя). Под влиянием разгрузки пласта от напряжений и его дегазации, газоносность призабойной части пласта неопасных зон снижается на 37÷67%, а в выбросоопасных зонах – на 3,5÷32%, что в среднем в 2 раза меньше. Исследование газопроницаемости K в неопасных и выбросоопасных зонах пласта проводилось искусственным фильтрационным потоком (закачкой в пласт газа под давлением). В обоих случаях получены кривые убывания K (l) с ростом расстояния l от забоя. На расстоянии 1 м от забоя K (1) в невыбросоопасной зоне значительно превышал (в 4÷5 раз) K (1) в выбросоопасной зоне. При l = 1 ÷ 5 м K (l) для невыбросоопасных зон плавно убывает, оставаясь больше, чем для выбросоопасных зон, в которых 45

уже K (3) ≈ 0. Обширные исследования [19] в целом подтвердили эти результаты. Горное давление и формируемые им в угольных пластах напряжения играют важную роль. Перечисленные факторы выбросоопасности – аномальное газовыделение, слабая степень предварительной дегазации, низкое значение коэффициента газопроницаемости в призабойной зоне – обусловлены строением выбросоопасного пласта и его напряженным состоянием. Большинство внезапных выбросов в Донбассе приурочено к углям марок Ж, К, ОС, в опасных зонах которых степень метаморфизма увеличена [20,21]. Локальные напряжения в них увеличены в 2÷3 раза по сравнению с геостатическим, угли менее прочны, более трещиноваты и газоносны. В 80% внезапных выбросов угля, газа и пород они были приурочены к местам резкого изменения мощности пласта – причины локального роста напряжений и метаморфизма. Механизм влияния напряжений на дегазацию призабойной части пласта и ее выбросоопасность рассмотрен в [22]. Теория косвенного влияния горного давления – через деформации и разрушение пласта, приводящие к тепловыделению, росту температуры и интенсивности десорбции метана – предложена в [23]. Рост газового давления при этом может быть весьма существенным (возрастание в 10 и более раз). Пред−1 ложена характеристика для каждого конкретного пласта – δPt = P (∂P ∂t ) – критерий выбросоопасности. Величина δPt есть относительное увеличение газового давления при росте температуры на один градус. Если воспользоваться эмпирической зависимостью [24]:

W=

(38,35 ⋅ 10 −5 t − At + Β) P 1 + (C − 217,2 ⋅ 10

−5

t)P

+ me P,

V г ≤ 21%,

(2.15)

где W – газоемкость угля; t, P – его температура (°C) и давление; me – эффекг тивная пористость; А,В,С – константы, зависящие от V , то можно получить г зависимость δPt = f1(V ) . Нанесение этой зависимости на график для вероятг ности внезапного выброса Ρ = f 2 (V ) [25], показало, что максимумы двух г

кривых практически совпадают при V = 17÷18% [23]. Наряду с различными косвенными признаками, обусловленными напряжениями в пласте, последние могут быть и непосредственным критерием выбросоопасности. Исследования выбросоопасности песчаников показали [26], что предел их прочности на растяжение σ р существенно различен в опасных и неопасных зонах. В выбросоопасных зонах σ р ≈ 30 кг/см2, а в невыбросоопасных σ р ≈ 51 кг/см2. Эффективная пористость песчаника при этом меняется в обратном направлении: в выбросоопасной зоне она возрастает более чем на 30%. 46

Внезапные выбросы угля, газа, пород обусловлены сочетанием ряда факторов, важнейшие из которых – напряженное состояние пласта и газовое давление [26, 27]. Газовый фактор в развязывании внезапного выброса песчаника изучался в [27]. Выявлена неоднородная, зональная структура призабойной части пласта перед выбросом. Процесс разрушения песчаника имеет три стадии: начальная (краткая, с резким возрастанием скорости разрушения), основная (установившаяся, с близкой к стабилизированному уровню скорости разрушения), стадия затухания выброса. Скорость разрушения Wp:

Wp =

l 3 l сл , = t3 tсл

(2.16)

где l з , l сл – поперечные размеры зоны разрушения и отдельного "элементарного" слоя; tз, tсл – соответствующие характерные времена. Движение газа в зоне разрушения песчаника происходит в направлении поверхности обнажения по поровым каналам и вновь образующимся трещинам. Для одномерной фильтрации справедливо:

K ( P12 − P22 ) , Wф = 2μl сл

(2.17)

где W ф – скорость фильтрации; K – коэффициент проницаемости; μ – вязкость метана; Р1, Р2 – начальное и конечное давление газа. Из формул (2.16) и (2.17) следует:

Vф V

=

W ф ⎛ 2l 3 ⎞ ⎜ ⎟, W p ⎜⎝ ql сл ⎟⎠

(2.18)

где V ф ,V – объем метана, выделяющегося из порового в трещинное пространство каждого слоя и начальный объем метана в слое соответственно; q – газоносность песчаника, равная в среднем 2,6 м3/т. Проницаемость в зоне разгрузки ≈10–2 мД. Осредненная по фракциям < 25 мм толщина пластинки песчаника l сл = 1,6 мм. Оценка, произведенная по этим и другим величинам, показала, что в зоне разрушения Vф/V ≈ 1,0, что свидетельствует о том, что работа газа в процессе выброса близка по величине к энергии сжатого газа. Роль газового фактора, выявленная при выбросах песчаника [27], весьма велика и при внезапных выбросах угля [28]. При малом количестве газа в порах угля, отброс его частиц при выбросе не превышает нескольких десятков сантиметров. Причины и механизм внезапных выбросов угля и газа анализировались [29] при предположениях: 1) пласт угля на большой глубине, в состоянии всестороннего сжатия, не содержит свободный газ; 2) подготовка, развитие и протекание выброса имеют свои, определенные временные интервалы; 3) силы горного давления и энергия десорбированного газа действуют не одновременно; 4) выбросоопас47

ному пласту присуща очаговость, зональность – существуют локальные зоны угля с измененными свойствами. Приближение забоя к такой зоне и смещение к ней максимума опорного давления провоцирует в ней интенсивное трещинообразование. Десорбирующийся газ быстро заполняет трещины, в которых резко повышается давление. При его пороговом значении происходит отжатие призабойной, неопасной части пласта в сторону выработки. Давление на обращенной к забою границе опасной зоны быстро падает до атмосферного, чем запускается цепная реакция отделения частиц угля из опасной зоны. На основе принятых предположений и уравнения баланса массы газа при его изотермической десорбции получено: d P ρ 0 RT ⎡ a ( W0 − KP1 / n )γV ⎛ K n S ⎞ ⎤ = −⎜ ⎟P ⎥ , ⎢ dt V0 ⎣ (1 + ψt )b ⎝ μL ⎠ ⎦

(2.19)

где P – давление газа; K, n – параметры уравнения Фрейндлиха W = KP1/n; ρ0 – плотность метана при нормальных условиях; γ – удельный вес угля; V, V0 – соответственно объемы очага выброса и трещинного пространства в нем; Т – температура свободного газа; Kп – коэффициент газопроницаемости; L – расстояние от линии забоя до очага выброса; S – площадь зоны очага выброса; μ – вязкость метана; a, b, ψ – опытные константы из выражения, связывающего поток десорбирующегося газа с начальной (W0) и текущей (W) газоносностями и временем t. Уравнение (2.19) решалось численно. Давление быстро растет, достигает максимума и медленно убывает (выброс затухает). Математическая модель [29], как и ряд других аналогичных, построена на предложениях, существенно упрощающих реальную физическую картину процесса. Это, в частности, изотермичность процесса и игнорирование развития процессов в пространстве. Учет изменения всех величин в газовом балансе (и следующем из него уравнении (2.19)) только со временем, без рассмотрения полевой структуры давления, потоков метана и др. относит эту модель к "точечным" – чисто динамическим моделям. В механике сплошной среды, теориях фильтрации, диффузии и теплопереноса обычно используется более сложный матаппарат – дифференциальные уравнения в частных производных, которые описывают скорости, давления, концентрации и температуры как величины, изменяющиеся во времени и в пространстве. Такой подход реализован в [30], где построена и исследована математическая модель газодинамической стадии внезапного выброса угля и газа. Газоугольная смесь трактовалась как псевдогаз с усредненными скоростью, температурой, давлением и плотностью, движение которого описывалось, в рамках газовой динамики гомогенных смесей (системой уравнений в частных производных в форме Лагранжа). Численная реализация этой системы уравнений привела к ряду интересных результатов, в частности была подтверждена модель послойного отрыва частиц и постоянства скорости движения газоугольной смеси (в определенном интервале времени) [27]. Кинетика десорбции метана – важнейшего процесса подготовительной стадии выброса – исследовалась на математической модели диффузии в пористой сре48

де с эффективной пористостью (формируемой субмакро- и макропорами, поровыми каналами и открытыми микротрещинами). Эта среда – фильтрационное поровое пространство, в которое погружены частицы угля сферической формы с микропорами и микроканалами образующими сорбционное поровое пространство. Уравнение диффузии в сферических сорбционных частицах

⎛ ∂ 2C 2 ∂C ⎞ ∂С = D⎜⎜ + , ⎟, 2 r ∂r ⎟ ∂t ⎝ ∂r ⎠

r ∈ [0, R ) , t > 0

(2.20)

решалось при начальных

С (r,t ) t = 0 = C0 =

aP0 , 1 + aP0

r ∈ [0, R )

(2.21)

и граничных условиях:

C (r,t ) r = R =

aP (t ) , 1 + aP (t )

t > 0.

(2.22)

В (2.20)÷(2.22): D – коэффициент диффузии; P0 – равновесное давление насыщения; R – радиус частицы; a – постоянная Лэнгмюра. Для случая относительно быстрого изменения давления от P0 до Pк , краевая задача решена аналитически, определена динамика десорбции метана. Определяющий решение пара2 метр D / R измерялся в лаборатории при быстром нарушении сорбционного равновесия образцов с различной степенью метаморфизма и тектонической на2 рушенности. Для углей из выбросоопасных зон параметр D / R оказался почти в 20 раз большим, чем для углей невыбросоопасных (характерные величины – 9,5·10–4сек–1 и 4,8·10–5сек–1 соответственно). Было установлено, что при расчетах быстропротекающих газодинамических процессов с учетом сорбированного газа, необходимо использовать не максимальную сорбционную емкость угля (параметр "а" в изотерме Лэнгмюра (2.21)), а её динамически активную часть а∗ = (0,15÷0,25)· а , реагирующую на изменение давления почти мгновенно. В близкой по духу модели [31] использовалась обратная характерная величина – сорбционно-кинетический параметр τ = R2/D. Эксперименты при дав-

лении 0,1 МПа и температуре 30°C показали, что донецкие угли различной нарушенности и стадий метаморфизма сорбируют (за период τ) ≈ 63% равновесного количества метана. Исследование температурной зависимости τ показало, что в интервале t = –140 ÷ +40°C диффузия метана в углях различных стадий метаморфизма носит активированный характер. В развитие этих работ, в [32] экспериментально оценивалась величина а∗ . Была подтверждена ее высокая информативность, предложен метод использования для прогноза выбросоопасности. Углекислый газ широко распространен в магматических, метаморфических, осадочных горных породах и подземных водах; в месторождениях каменного угля, нефти и газа содержится около 1,2·1010 т двуокиси углерода; в ряде шахт 49

выделение углекислого газа превышают выделение метана [4]. Уголь хорошо сорбирует углекислый газ, который может двигаться в нем в двух режимах – фильтрации (по трещинам, субмакро- и макропорам) и диффузии (в микроструктурах угля). В большинстве случаев фильтрации углекислого газа в углях, породах и выработанных пространствах справедлив закон Дарси, но встречаются и отступления от него [4]. Характер изменения проницаемости пластов угля для СО2 по мере удаления от поверхности обнажения вглубь массива аналогичен таковому для метана. При фильтрации углекислого газа в пористой сорбирующей среде уравнение массопереноса имеет вид:

∂М ∂q Κρ + = div( ∇P) + div( D∇q ), ∂t ∂t μ

(2.23)

где M, q – массы свободного и сорбированного СО2 в единице объема угля;

K – коэффициент газопроницаемости по углекислому газу; ρ ,µ – его плотность и вязкость; Р – давление свободного газа в фильтрующем объеме; D – коэффициент диффузии СО2 в угле. Уравнение кинетики сорбционных процессов:

∂q = β[M ( P) − q′( P)], ∂t

(2.24)

где q′( P ) – масса сорбированного газа, соответствующая равновесному состоянию при текущем давлении Р; β – постоянная сорбции (десорбции). Для q ′( P ) предполагается справедливой формула Лэнгмюра, для М(Р) − политропического процесса: 1/ n ⎛P⎞ abP , M ( P ) = m ρ0 ⎜⎜ ⎟⎟ , (2.25) q ′( P) =

1 + bP

⎝ P0 ⎠

где a , b – постоянные изотермы сорбции Лэнгмюра для СО2; m – коэффициент пористости угля; ρ0, Р0 – начальная плотность и давление газа; n – показатель политропы (n = 1,0 – изотерма; n = 1,41 – адиабата). Если в (2.23) пренебречь вторым слагаемым в правой части (т.к. D << Kρ / μ ), принять фильтрационные характеристики постоянными, а поле давлений в пласте – одномерным, то получим: P mμ ∂ϑ ∂ 2ϑ μ ∂q 1 ⎛ ∂ρ ⎞ Φ (ϑ ) = − , Φ (ϑ ) = ⎜ ⎟, ϑ (P) = ∫ ρ (P) d P, (2.26) K ∂t ∂x 2 K ∂t ρ ⎝ ∂P ⎠ 0 где ϑ(P) – функция Л.С. Лейбензона; ρ(P ) – функция, определяемая уравнение состояния (изотерма, адиабата, политропа). Уравнение (2.26) описывает одномерное нестационарное поле давлений газа в пласте при неподвижном забое. При движении забоя со скоростью V = const, в правую часть первого из уравнений (2.26) необходимо добавить член V∂ϑ / ∂x [4].

50

§12. Жидкости в массиве Жидкости в горных массивах, как и газы, можно разделить на две группы – природные (эндогенные) и технологические (экзогенные). К первым относится вода (с растворенными в ней минеральными примесями и газами), ко вторым – водные растворы и суспензии (кислотные, цементные, глинистые и др.) и жидкие (твердеющие) полимеры, используемые для различных технологических воздействий на горные массивы и выработанное пространство [33,34]. Природная вода может находиться в жидком, твердом и парообразном состояниях. В зависимости от характера взаимодействия с твердыми частицами породы (угля), образующими скелет пористой среды, вода подразделяется на связанную и свободную [35,36]. Свободная вода может двигаться в горном массиве; это движение – фильтрация – описывается, в большинстве случаев, законом Дарси [37,38]. Значительная часть шахт и рудников эксплуатируется в сложных гидрогеологических условиях, когда фильтрация в трещиновато-пористых горных породах подземных (рудничных) вод приводит к большим притокам их в горные выработки [33,39,40]. Это требует постоянной откачки воды из шахты, а внезапные прорывы больших масс рудничных вод из водоносных горизонтов и поверхностных водоемов могут носить катастрофический характер [41]. Защита шахт и рудников от подземных вод (на проектном этапе, при строительстве и эксплуатации) требует совершенствования методов прогноза водопритоков в шахты, развитых недостаточно [33,39, 42,43]. Капельная и парообразная влага, поступающая в горные выработки из массива, интенсифицирует в них тепломассообменные процессы, существенно влияет на тепловой режим шахт и рудников [44÷46]. Для оценки массоотдачи (испарения) от отбитой горной массы (угля, руды, породы), транспортируемой по горным выработкам, необходимо знать естественную влажность массива – содержание в порах и трещинах связанной воды. Обширные шахтные исследования [47] и измерения современными радиофизическими методами [48] позволили установить: влажность в образце угля не зависит от места отбора пробы; угли Центрального и Донецко-Макеевского районов Донбасса на глубинах 400÷1000 м имеют естественную влажность от 1 до 3% (кроме случаев обводненности пластов); влажность углей одной и той же шахты на близких глубинах отличается мало; природная влажность не изменяется по простиранию пласта, но уменьшается по мере его углубления; угли в природных условиях насыщены влагой; горные породы имеют различную, но, как правило, большую, чем у углей влажность (аргиллиты, например, 7÷9%). Изменение давления водяных паров с глубиной массива изучалось на основе соотношений теории потенциала влагопереноса А.В. Лыкова [45]:

θ=

u uy uкр uп = = = = const, ′ С ′ С y′ С кр С п′

(2.27)

51

где θ – потенциал влагопереноса; u – удельное влагосодержание (влажность); С ′ – удельная влагоемкость; индексы "у", "кр", "п" обозначают уголь, кровлю и почву пласта соответственно. По (2.27) и накопленным ранее данным о влажности угольных пластов, в предположении постоянства гигроскопических свойств углей в изучаемом интервале глубин (140÷950 м), определялась влажность горных пород. Статистическая обработка большого массива данных (880 проб) показала [45,49]: с глубиной влажность пород убывает по линейному закону; до глубин 750÷780 м породы находятся в состоянии полного гигроскопического насыщения ( ϕ0 = Р/Рн = 1,0; Р, Рн – давления водяных паров на некоторой глубине и давление насыщения паров при температуре массива); с дальнейшим ростом глубины Н, ϕ уменьшается: ϕ (Н) = 1−526·10–6× (Н– 0

0

760); с ростом глубины давление паров в массиве нарастает, что увеличивает влагоотдачу (пароотдачу) пород. Исследования влагоотдачи массива – плотности потока массы водяного пара через поверхность горной выработки к рудничному воздуху – осуществлялись в выработках глубоких угольных шахт [44,46,49] и шахт пильного известняка [50]. В сухих очистных забоях глубоких шахт Донецко-Макеевского района, с 1м2 поверхности стенок выделялось 30÷100 г/час влаги (пара). В сухих подготовительных выработках – на порядок меньше, но большая общая площадь их поверхности приводила к увеличению влажности рудничного воздуха. Повышенная, по сравнению с воздухом, температура пород обеспечивает высокие значения в них влажности. Массообмен пород с воздухом носит нестационарный характер [44,46]. В начальный момент времени влажность массива одинакова и постоянна. В дальнейшем в нем формируется зона осушения, достигающая за 20 часов ширины в 1,5÷2,0 м. Через 40 часов ширина этой зоны 3,0÷3,5 м, а через год – более 6,0 м [46]. Меняется со временем, убывая экспоненциально, и поток влаги из массива в выработку. Размеры пустот (пор и трещин) в части массива, примыкающей к поверхности обнажения велики, поэтому при гигроскопическом состоянии влага в них может содержаться только в парообразном виде. Механизмом переноса является диффузия водяного пара, давление которого в охлажденной зоне массива близко к барометрическому в выработке. Если пренебречь термодиффузией, то потенциалом переноса пара будет относительное давление. Для плотности потока массы qβ можно записать:

q β = βτ (P0 − P)Β − 1

(2.28)

где Р0, Р – давление пара в массиве и парциальное его давление в воздухе; В – барометрическое давление в горной выработке; β τ – коэффициент нестационарного массообмена. Экспериментально определены: для очистных выработок – β = (2,95÷4,60) кг/м2·ч; для откаточных штреков (длина 800÷1000 м, вреτ

мя существования 1÷1,5 года) – β τ = 0,41 кг/м2·ч [44]. 52

Влагоотдача горных пород (известняка) также исследовалась в шахтных условиях [50]. Пористость известняка составляла ≈ 40%, естественная влажность – 13÷14%. Средний диаметр капиллярных пор 100÷200 мкм. Коэффициент массоотдачи определялся по формуле jΠ = β (PΗ − Pc )

(2.29)

где jп – плотность потока влаги, кг/м2·с; β – коэффициент массообмена; Рн, Рс – парциальное давление насыщенного пара и пара, содержащегося в рудничном воздухе. В начальный период (несколько часов после обнажения поверхности) β = 12,7 кг/(м2·с) ГПа, затем уменьшился до β = 8,8 кг/(м2·с) ГПа и оставался практически постоянным, что свидетельствует о медленности процесса осушения массива. Сравнение величин коэффициентов массообмена от поверхности горных пород и от водного зеркала приводит к заключению об очаговом, "пятнистом" характере испарения с поверхности пород. Оценка показала, что суммарная поверхность менисков всех капилляров на 1 м2 поверхности горной породы ≈ 0,8 м2. Ранее высказывались различные точки зрения на локализацию зоны испарения влаги в массиве [51]. Д.К. Скотт считал, что она находится внутри массива, но примыкает к поверхности обнажения очень близко. В [51] были сделаны, на основе аналитических и экспериментальных исследований, следующие выводы: 1) испарение влаги происходит не на поверхности, а в объеме массива; 2) на температуру рудничного воздуха это процесс непосредственно не влияет; 3) тепло фазового перехода при испарении влаги отбирается у горного массива, температура которого и теплопритоки в воздуху снижаются. Температура массива изменяется и при фильтрации в нем рудничных (не обязательно – термальных) вод. Связи температурных полей массивов с фильтрационными полями в них важны для гидрогеологических исследований [42,52]. Нагнетание воды в пласты угля через скважины, как метод борьбы с газовыделением, внезапными выбросами, пылью и подземными пожарами исследовалось и применялось на практике с конца 50-х годов [53÷55]. Было доказано, что упругость, пластичность, прочность увлажненного пласта существенно изменяются, вероятность различных негативных проявлений снижается. Нагнетаемая в пласт вода движется в нем по трещинам и крупным порам, постепенно проникая в переходные и в микропоры, блокируя в них метан. Газопроницаемость угля снижается, затрудняется фильтрация газа из массива. Снижается и способность поглощения кислорода углем, что важно для профилактики пожаров. Эффекты усиливаются при использовании вместо воды водных растворов высокомолекулярных органических и неорганических соединений – химически- и поверхностно-активных веществ (ХАВ, ПАВ), имеющих большую проникающую способность [34]. Для определения скорости перемещения жидкости по единичному каналу (капилляру) под действием напора, создаваемого нагнетательным насосом и капиллярных сил, методом размерностей была получена формула [54]: 53

ϑ = (h + 4,08 ⋅ 10 − 2 d −1α cos θ)( KμL) −1 d 2 ,

(2.30)

где ϑ – скорость жидкости; h – напор насоса; d, L – диаметр и длина канала; θ, μ – краевой угол смачивания и вязкость жидкости; α – коэффициент поверхностного натяжения; K – коэффициент, характеризующий геометрию и шероховатость канала. Структура формулы (2.30) близка к закону Дарси. Уравнение движения влаги по капилляру под действием капиллярных сил (безнапорная пропитка) [53]:

1 d( x) 2 ⎛⎜ 32ημ ⎞⎟ d x 4α cos θ + + + g sin θ − = 0, (2.31) ⎜ γd 2 ⎟ d t d γ x dt2 x dt ⎝ ⎠ где х – расстояние, пройденное влагой по капилляру; t – время; μ, γ – вязкость d2 x

и плотность жидкости; g = 9,8 м2/с; d , α, θ соответствуют (2.30). В пренебрежении малыми членами в (2.31), получено его приближенное решение:

х(t ) =

αd cos θ ⋅ t. 4μ

(2.32)

Зависимости типа x(t) ~ t , как известно, характерны для процессов диффузионного типа, описываемых параболическими уравнениями в частных производных. Это обстоятельство было использовано для описания движения жидкости в угольном пласте уравнением диффузии [53]:

∂W ∂ ⎛ ∂W ⎞ = ⎜D ⎟, ∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠

(2.33)

где W – прирост влажности угля; D – коэффициент диффузии. Решение простейшей краевой задачи для уравнения (2.33) дало уравнение движения "фронта увлажнения": X = 2 Z 0 Dt . (2.34) Параметр Z0 зависит от требуемой точности локализации "фронта увлажнения" (обычно Z0 ≈ 1,8÷2,0). Соответствующие (2.34) формулы вида X = A t были экспериментально подтверждены при увлажнении ряда пластов, в частности для пласта "Кемеровского" А = 4,4, пласта "Волковского" А = 3,85. Более строгое описание процесса увлажнения должно, в отличие от даваемого (2.33), учитывать реально существующую зависимость коэффициента водопроницаемости от газового и горного давлений. Эта зависимость получена эмпирически в виде [53]:

K = A exp[−( BPΓ + CPΜ )],

(2.35)

где постоянные А,В,С характеризуют конкретный пласт угля, а РГ, РМ – газовое и горное давления. Обобщение результатов исследований и практических 54

работ на пластах различных бассейнов позволило дать классификацию видов гидровоздействия на массив [56]. Установлены четыре режима внедрения жидкостей в пласт: фильтрация, гидрорасчленение, гидроразрыв, гидроразмыв. Отличаются три первых из них темпом внедрения жидкости в пласт, что различным образом воздействует на его трещиновато-пористую структуру. Наиболее "жестким" является гидроразрыв – он достигается при темпе закачки жидкости, многократно превышающим естественную приемистость пласта, в котором образуется новая система трещин, ориентированных по направлению к скважине. Область пласта вокруг скважины принимает неоднородную, зональную структуру. Формируются три зоны, начиная от скважины: гидроразрыва, гидрорасчленения, фильтрации, в которых различные пористости и проницаемости. Гидроразмыв может быть осуществлен при любых темпах внедрения жидкости в пласт, поскольку в качестве таковой используются растворы ХАВ, ведущих к растворению минеральных или органических компонентов угля и повышению его проницаемости. При гидродинамических воздействиях на пласт попутно могут решаться задачи диагностики его состояния. Было обнаружено, что при внедрении воды в газонасыщенный уголь, изменения избыточной влаги со временем ΔW = f (t ) ведут себя по-разному в выбросоопасных и неопасных пластах (в первом случае кривые лежат выше, т.к. выбросоопасные пласты нарушены и лучше увлажняются). [57,58]. Закачка тампонажных растворов в трещиновато-пористые горные породы, в закрепные пустоты (с целью упрочнения горных массивов и повышения устойчивости горных выработок, уменьшения водопритоков в них) также один из видов гидровоздействия на массив [59÷62]. Тампонажные растворы, используемые для инъекционного упрочнения горных массивов, делятся на три группы: жидкости, нестабильные суспензии, стабильные суспензии [62]. Жидкостями называют растворы, не содержащие частиц, имеющие вязкость, близкую к воде. Это растворы из химических веществ, синтетических смол и органических вяжущих. Нестабильные суспензии – водные растворы цемента или каменной муки, однородность которых обеспечивается перемешиванием. У стабильных суспензий процесс седиментации сдвинут по времени и начинается после инъекции их в массив. Стабильность достигается пластифицирующими добавками или специальной обработкой. В практике строительства и эксплуатации шахт, рудников и подземных сооружений, в зависимости от вида решаемой инженерной задачи, горно-геологических и гидрогеологических условий, применяются растворы: химические, силикатные, цементно-силикатные, глинистые, глино-цементные, цементные, на основе битума и другие [62]. Математические модели процессов тампонирования используют различные виды уравнений фильтрации, получаемых из закона Дарси, нелинейных и нелокальных соотношений (ньютоновские и неньютоновские жидкости в разных режимах движения) [62÷64]. Отступление от закона Дарси проявляется и при фильтрации обычной воды, когда велика проницаемость массива и скорость потока [37,40,65]. Эксперименты на модели закладочного массива (закладочные мате-

55

риалы – кусковые, мелкозернистые, шихты) показали, что в зоне закладочного массива, примыкающего к очистной выработке, скорость фильтрации связана с гидравлическим уклоном зависимостью, совпадающей с законом фильтрации А.А. Краснопольского [33]:

ϑ = K1 J ,

(2.36)

где ϑ – скорость фильтрации; J – гидравлический уклон (градиент); K1 – коэффициент квадратичной фильтрации. В зоне закладочного массива, сформированной в более ранние периоды времени, где закладочный массив уплотнен высокой нагрузкой и (или) подвергся кольматации, а пористость, проницаемость и коэффициент фильтрации ( K 2 ) имеют более низкие значения, фильтрация вновь подчиняется закону Дарси:

ϑ = K2J .

(2.37)

Этот режим наступает при усадке закладочного массива свыше 10% [65].

§13. Параметры переноса Параметры переноса – это, в общем случае, физические величины, зависящие от искомой функции, пространственных координат и времени и входящие в уравнения переноса и граничные условия краевой задачи. При решении краевых задач переноса (тепло- и массопереноса, диффузии, фильтрации) параметры переноса обычно считаются известными (опреде-ленными заранее экспериментально). К параметрам переноса массы в горных массивах относятся пористость, проницаемость, газо-, влаго- и массоемкость, коэффициенты фильтрации, диффузии, массообмена. Коэффициенты фильтрации флюидов связаны с коэффициентами проницаемости простыми зависимостями [37]. Рассмотрим параметры переноса в последовательности: пористость и газоемкость массивов; коэффициенты газопроницаемости и диффузии; влияние на них природных и технологических факторов; параметры влагопереноса. Общая пористость горного массива в объеме V Σ – это суммарный объем всех полостей (пор и трещин) в нем – Vп. Эффективная пористость Vф (фильтрующий объем) меньше общей на суммарный объем всех имеющихся замкнутых пор и трещин [1,5]. В математических моделях переноса обычно под пористостью понимают отношение VП / VΣ = m , а под эффективной пористостью – отношение Vф / VΣ = me . Характерные значения общей пори-стости уг-

лей и пород Донбасса приведены в таблице 2.1 [1]:

56

Таблица 2.1 Общая пористость

Угли, породы

m, %

Углистые сланцы

Угли коксовые

Угли

Известняки

Песчаники

Песчанистые сланцы

Глинистые сланцы

10,3÷21,8 2,9÷26,5 2,3÷18,3 2,2÷9,0 0,1÷26,7 0,1÷22,4 0,1÷28,9

Эффективная (фильтрующая) пористость значительно меньше общей, в частности для углей: me/m = 15÷45% [5]. Объем фильтрующих пор и трещин (Vф) в углях Донбасса меняется от 0,001 до 0,005 см3/г, а площадь их поверхности 1÷2 м2/г. Фильтрующий объем (эффективная пористость) коррелирует со г степенью метаморфизма пород (выходом летучих V ) согласно (2.6). Эффективная пористость некоторых угольных и породных пластов Кузбасса [7] приведена в таблице 2.2. Влага в порах снижает "пористость по газу" (m) и учитывается "пористостью по жидкости" (mж) введением параметра θ – степенью заполнения пор жидкостью: θ = m ж / m e . Полная эффективная пористость записывается в ви-

де: m e = m ж + m г = m e θ + m e (1 − θ ). Обычно пластовая (природная) вода занимает незначительную долю объема фильтрующих пор [8]. Таблица 2.2. Эффективная пористость Угольные и породные пласты mе, %

Наджуринский

Мощный

Горелый

Кемеровский

Углистые сланцы

6,60

7,35

4,30

2,50

7,0

Песчанистые сланцы

Песчаники

10,2

8,0

Распределение пор по размерам, доли их, содержащих свободный и сорбированный газ для углей различной степени метаморфизма длительно изучались [15,53,54,66]. Эти данные нами не рассматриваются, так они определяют интересующие нас характеристики пористой среды – параметры переноса – интегрально и в уравнения переноса не входят. Изменение давления газа в порах, при его фильтрации вне зоны влияния горных выработок, не влияет на величину напряжений в скелете угольного пласта [8]. Это позволяет считать природную пористость угольного пласта не зависящей от газового давления. В зоне влияния горных выработок, вблизи поверхности обнажения, пористость зависит от газового и горного давления, поскольку массив здесь подвержен дефор-

57

мациям (зоны разгрузки и опорного давления). По мере удаления от поверхности обнажения, вглубь массива пористость убывает, как и при удалении от поверхности земли [1,35,66]. Лабораторные испытания образцов угля показали [1], что коэффициенты сжатия (отношения объемов пор ненагруженных и нагруженных углей) имеют, в среднем, значения: для крупных пор с радиусом rє [75,0; 3·103] нм – 27,0; для пор с rє [25,0; 75,0] нм – 3,0; для пор с rє [12,5; 25,0] нм – 2,6, т.е. при сжатии в большей степени убывает объем больших пор. Пористость деформируемого массива выражается через объемную деформацию ε зависимостью [7]: m ( ε ) = 1 − (1 − m0 ) /(1 + ε ) , (2.38)

где m ( ε ), m 0 – пористости деформируемого и недеформированного массивов. Эмпирическая связь пористости со средними напряжениями в массиве σ [7]:

m(σ) = m00 exp(−aσ) , (2.39) где m00 = m(0) пористость при σ = 0 ; a – экспериментальная константа. В зоне сдвижения деформированного подработкой массива с объемной деформацией ε0 = ε х + ε z , пористость зависит от координат Х (вдоль напластования) и Z (нормально напластованию) [7]:

m = m ( x , z ) = 1 − (1 − m0 ) [1 + ( ε x + ε z )] ,

(2.40)

где m0 – средняя пористость массива вне зоны сдвижения; εх = ∂u x / ∂х ; εz = ∂иz / ∂z ; εх, их, εz, иz – соответственно деформации и смещения по осям х и z. Средняя пористость выработанного (обрушенного) пространства mср получена из (2.40): mcр = m0 + Ah/Vc, (2.41) где m0 – пористость массива до подработки; A – ширина выработанного пространства; h – мощность пласта угля; Vс – объем зоны сдвижения. По данным МакНИИ [67] пористость (пустотность) выработанного пространства при обрушении кровли: mcр = 30÷40%. Пористость выработанного пространства уменьшается по мере удаления от забоя и уплотнения обрушенных пород в пределах 40÷20% [68]. Газоемкость углей зависит от их сорбционной способности, убывающей с повышением влажности, пористости и проницаемости [1]. Полная газоемкость согласно (2.1) есть сумма сорбционной и "свободной" газоемкости. Кроме изотермы Лэнгмюра (2.2) для сорбционной газоемкости известны другие зависимости [34]. Для параметров последних (изотермы И.Л. Эттингера, С.И. Смоляковой, Г.Д. Лидина, Н.В. Шульмана и др.) найдены корреляции с температурой, давлением, выходом летучих (формулы Я.Н. Фертельмейстера, Е.Н. Михайлюты, Р.М. Кривицкой и др.) [34]. Поскольку давление газа с глубиной растет по линейному закону (2.8), формула (2.2) для сорбционной газоемкости может быть представлена в виде 58

Хс =

с( Н − Н о ) , 1 + d (Н − Н о )

(2.42)

где Н, Н0 – глубины залегания пласта и границы метановой зоны; с, d – постоянные, характерные для данного пласта. На глубинах Н ≈ 1000 м средняя газоемкость угольных пластов 25÷30 м3/т, а пород – 4÷6 м3/т. Достигнув, на определенной глубине Нmax максимума, газоемкость начинает убывать (в Донбассе

Нmax ≈ 1300 м). Это обусловлено уменьшением сорбционной емкости при воз-

растании температуры горного массива [6]. Сорбционная емкость углей по углекислому газу в среднем в 2,7 раза выше, чем по метану (температура сжижения СО2 гораздо выше, чем СН4) [4]. Коэффициенты диффузии и проницаемости газа в углях и породах входят, соответственно, в уравнения диффузии (2.20), фильтрации (2.23) и другие, близкие к ним. Диффузия газов в пористых средах (горных массивах) в различных их объемах имеет различный механизм, характеризуется разными коэффициентами диффузии [6]: в микропорах (r < 10–7 cм) – абсорбция и адсорбция, т.е. молекулярная диффузия; при

r = 10–7÷10–6 cм – двумерная или поверхностная (фольмеровская) диф-фузия; в переходных порах (r = 10–6÷10–5 cм) – кнудсеновская диффузия; при r > 10–5 cм – газовая (вязкая) диффузия и медленная фильтрация. В порах с размерами 10–4÷10–2 см, фильтрация становиться преобладающей. Характерные порядки величин коэффициентов диффузии (при t = 20°С, P = 1 ат и в порядке перечисления) [5]: D = 10–9; 10–7; 10–6; 10–5÷10–4 (м2/с). Преобладающая роль того или иного вида переноса в пласте может быть установлена с помощью критерия Ю.Ф. Васючкова Kр [69]:

K p = 4,6875 ⋅10

−2

1/ 2

⎛ P + P ⎞⎛ πM ⎞ r ⎜ 1 2 ⎟⎜ ⎟ μ Τ 2 R ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

(2.43)

где r – приведенный радиус канала переноса; м; Р1, Р2 – давление газа в его начале и в конце, Па; μ – вязкость газа, Па⋅с; М – молярная масса газа; Т – его температура, K; R = 8314 Дж/(моль⋅К). При Kр >> 1 (практически Kр = 10) преобладает диффузионный (вязкий) перенос. На глубинах 800÷1200 м, при средних давлениях до 5÷6 МПа, это условие реализуется для микро- и частично переходных пор, а на пластах, где давление метана снижено до 0,5÷0,8 МПа, эта область расширяется и при учете влаги в порах захватывает микро-, переходные и макропоры [34].

59

Эффективный коэффициент диффузии Dе вводится законом Фика [34]:

qe = − De ∇C ,

22,4 ⋅ 10 − 4 m0 P ρ y abP C= + , RT0 1 + bP

(2.44)

где qe – плотность потока метана, м/с; ∇С – градиент концентрации; De – эффективный коэффициент диффузии метана в угле, суммарно учитывающий молекулярный перенос и сорбционные процессы, м2/с; С – концентрация метана в угле, м3/м3; m0 – эффективная пористость угля; T0 = 273 К; Р – давление газа, Па; а, b – константы уравнения Лэнгмюра. Значение De для карагандинских углей – De = 10–10÷10–8 м2/с получены независимо различными исследователями [34]. При математическом моделировании массопереноса в выработанном пространстве [67] использовалось выражение для эффективного коэффициента диффузии, суммарно характеризующего молекулярную диффузию в поровых каналах и конвективный массоперенос фильтрующимся потоком газовоздушной смеси:

De = ψmD0 + ϕаϑ ,

(2.45)

где De – эффективный, а D0 – молекулярный коэффициент диффузии; ψ, m, ϕ, a – коэффициент извилистости, пористости, геометрический параметр и средний размер частиц пористой среды соответственно; ϑ – модуль скорости фильтрации смеси (скорость утечек через выработанное пространство). В практических расчетах (2.45) записывают в виде:

De = Dm + λϑ ,

(2.46)

где Dm – "молекулярная", а λϑ – "конвективная" составляющие De . Характерные значения этих параметров, принятые при моделировании выноса метана из выработанного пространства [67]:

Dm = 0,2 ⋅ 10 − 4 м2/с; λ = 4 ⋅ 10 − 4 м;

ϑ = (0,5 ÷ 4,0) ⋅ 10 − 2 м/с. Понятие эффективного коэффициента диффузии оказалось плодотворным и при исследовании диффузии (с учетом сорбции) углекислого газа в песчанистом сланце [70]. Решалась обратная задача – определение De = De (C ) . Было приближенно решено нелинейное уравнение диффузии, найдена функция С – концентрация углекислого газа. Затем были определены значения De (C ) : при малой степени θ заполнения пор сорбента газом

( θ = 0,2 ) ,

De = 4,0 ⋅10 −9 м2/с;

θ = 0,9 − De ≈ 9,0 ⋅10 −9 м2/с. 60

при

θ = 0,5,

De = 6,0 ⋅10 −9 м2/с;

при

Фильтрация газов в угольных и породных пластах и в выработанных пространствах в большинстве случаев подчиняется закону Дарси [1,7,8,56,68]:

ϑ = − K ф ∇H = −

K ∇P , μ

(2.47)

где ϑ – вектор скорости газа; ∇H , ∇P – градиенты напора ( H = P / ρg ) и давления; K ф , K – коэффициенты фильтрации и проницаемости; μ – вязкость газа. Как видно из (2.47), K ф = ρgK / μ = gK / ν . Размерность K ф совпадает с размерностью скорости, а для размерности K принята единица один дарси

( D ) : 1D = 1,02 ⋅ 10 −12 м2. Практически чаще используется 1мD = 10 −3 D. Гор-

ные породы – коллекторы нефти и газа (для большинства месторождений – песчаники) имеют коэффициенты проницаемости K = (10 ÷ 10 ) мD. Прони3

−4

−2

цаемость ненарушенных ископаемых углей гораздо ниже: K = (10 ÷ 10 ) мD [8]. В ранних работах по теории фильтрации грунтовых вод, нефти и газа в пластах – коллекторах часто обсуждались наглядные модели пористой среды – "капиллярные" модели, "укладки шаров" и другие [71÷73]. На их основе выводились различные формулы, выражающие проницаемость через пористость, в частности:

K = Am 3 ∑ −2 ,

(2.48)

где K – коэффициент проницаемости; m – пористость (эффективная); ∑ – удельная поверхность пористой среды; A – константа, характеризующая пористую структуру. Формула (2.48) называется уравнением Козени-Кармана [73] и как и другие, аналогичные, она имеет сейчас ограниченное применение при моделировании фильтрации, в основном для оценки влияния деформации массива на параметры переноса в выработанном пространстве [7,74]. В большинстве математических моделей переноса используют значения коэффициента проницаемости, найденные экспериментально (в лабораторных и шахтных условиях). Лабораторные исследования углей Кузбасса позволили установить, что их газопроницаемость по метану колеблется от 0,59 до 66,4 мD. Анизотропия проницаемости (отношение проницаемостей при потоках по напластованию и нормально к нему) для углей различных марок изменяется от 1,3 до 5,6 [66]. Угли Донбасса имеют тот же порядок проницаемости, но анизотропия их выражена более сильно. Газопроницаемость глинистых и песчанистых сланцев, песчаников, алевролитов и других горных пород существенно меньше, чем у углей. Увлажнение образцов углей и пород резко снижает их проницаемость: у углей в 1,3÷9,3 раза, у пород в 3÷11 раз. Проницаемость углей и пород для различных газов существенно изменяется. При испытаниях образцов угля (марок "ПЖ" и "К") и пород (песчаника и алевролита), проницаемость которых убывала в перечисленном порядке, максимальной была проницаемость по водороду

61

(53,0; 30,2; 0,1038; 0,0205 мD), а минимальной – по углекислому газу (22,08; 12,29; 0,0180; 0,0021 мD). Промежуточные значения проницаемостей были получены (в порядке убывания) для метана, воздуха, азота, этана [66]. Коэффициент газопроницаемости зависит от степени карбонизации углей: коксующиеся, паровично-жирные и длиннопламенные угли по данным Г.Д. Лидина [66] имеют проницаемость по углекислому газу на 2÷5 порядков большую, чем антрациты. Проницаемость горных массивов изменяется в широких пределах; она обусловлена многими горно-геологическими и технологическими факторами, что затрудняет корректные лабораторные исследования, результаты которых имеют в основном качественный характер [66]. Шахтные исследования газопроницаемости углей и пород на основе различных математических моделей газопереноса к скважинам осуществлялись Е.Д. Черепенниковым, И.М. Яровым, Р.М. Кричевским, И.А. Чарным, А.Н. Щербанем, А.С. Цырульниковым [66], Р.Н. Кригман, С.В. Кузнецовым, М.Д. Кривицким [8] и другими. Рассматривались одномерные и двумерные обратные задачи; искомые коэффициенты находились сопоставлением результатов измерений с полученными аналитическими или аналоговыми соотношениями. Газопроницаемость углей в призабойной зоне и в глубине пласта определялась при остановленном и движущемся забое. Методом поинтервальных измерений в шпуре (с определением средних по слоям в несколько метров коэффициентов) были изучены пять пластов Донбасса. В частности, в призабойной зоне, при движущемся забое пласта l 3 "Мазурка" в интервалах 0÷4 м; 4÷8 м; 8÷12 м; 12÷15 м; 15÷18 м (от забоя) коэффициенты газопроницаемости оказались равными, соответственно: 11,88; 6,54; 2,31; 0,683; 0,354 мD [66]. Для пяти исследованных пластов газопроницаемость изменялась в пределах 0,01÷12 мD; уменьшалась с глубиной и с удалением от забоя. С приближением к границе зоны влияния выработки (3÷5, иногда 10÷30 м), газопроницаемость принимает значения в 0,01÷0,1 мD, т.е. близкие к природным. Природная газопроницаемость угольных пластов определялась обработкой шахтных замеров методами гидромоделирования и с помощью приближенных аналитических решений. Для ряда угольных пластов Донбасса на горизонтах 630÷915 м были получены значения [8]: пласт m2 "Тонкий" – 82·10–3 мD; пласт l′8 "Двойной" – 1,6·10–4 мD; пласт m3 "Толстый" – 1,2·10–3 мD; пласт k 8 "Нижняя Мария" – 1,8·10–4 мD. Изучение влияния разгрузки массива от горного давления на его газопроницаемость показало [74], что имеется качественно близкая для всех обследованных шахт зависимость – убывание газопроницаемости от забоя вглубь массива. Газопроницаемость угольных целиков исследовалась методом их продувки воздухом [4]. Было подтверждено ее снижение с ростом влажности, проведена статистическая обработка данных, позволившая обосновать логарифмически – нормальный вид функции распределения значений K . В среднем, для целиков угля было получено K ср ≈ 2,0D . Большинство методов определения газопро-

62

ницаемости используют формулу для установившегося дебита газа при одномерном потоке, являющуюся следствием закона Дарси:

KS ( P02 − Pc2 ) , q= 2 PcμR

(2.49)

где q – дебит газа; K – газопроницаемость пласта; S = 2 dl – площадь сечения потока; d , l – диаметр и длина замерной камеры; P0 ,Pc – давления в пусковом и приемном шпурах; R – расстояние между шпурами; µ – вязкость газа. Правомочность использования (2.49) для измерений природной проницаемости пластов установлена [1,4,5,66]. Для разгруженной зоны пласта, где газопроницаемость велика и фильтрация интенсивна, выполнение закона Дарси предполагалось на основе оценок [66]. Экспериментальная проверка этого и, как следствие, правомочности (2.49) и других, следующих из закона Дарси формул, была осуществлена методом радиоизотопной индикации (криптоном – 85) фильтрующегося газа [75]. Полученные данные хорошо ложились на прямую в координатах

{ q, ( P02 − Pc2 ) }, чем было подтверждено выполнение закона Дарси и в призабойной зоне. На удалении от забоя 0,2 м проницаемость была 43,0 мD, а на удалении 0,6 м – 6,6 мD. В боковой стенке выработки проницаемость, по мере удаления вглубь пласта, уменьшалась: на расстоянии 0,2 м – 47,0 мD; 0,5 м – 1,6 мD; 2,0 м – 0,012 мD. Газопроницаемость выбросоопасных углей высокой степени тектонической нарушенности, к которым приурочено около 70% внезапных выбросов угля и газа (Донбасс, Кузбасс, Воркута) определялась одновременно на одних и тех же образцах, но в различных режимах нагружения в лабораторной установке [76]. При нагрузках свыше 15 МПа (глубина – более 600 м), влияние на проницаемость степени нарушенности углей уменьшается (в силу закрытия трещин и макропор). Для углей пласта "Мазур" (IV–V степени нарушенности) получены корреляции:

m = ( 3,758 + 4,78σ ) −1, K = ( 485,3σ −1,61 − 1,28 ) ⋅10 −13 , (2.50) где m – пористость; K – проницаемость; σ – нагрузка ( σ = 4,0÷20,0 МПа).

Для пласта "Александровский" (I степень нарушенности) получено:

K = 0,611σ −1,113 ⋅10 −13 .

(2.51)

Газопроницаемость углей высокой степени нарушенности при малых напряжениях ( σ < 5,0 МПа) на порядок превышает таковую для углей I степени нарушенности. С ростом σ эта разница нивелируется. Газопроницаемость выбросоопасных пород исследовалась в ряде работ. Лабораторные и шахтные измерения показали, что для Донбасса газопроницаемость по азоту в лабораторных условиях – от тысячных долей до первых десятков мD, а в шахтных – (0,18÷3,53)·10–3 мD. Расхождение связано, главным об-

63

разом, с неучетом в лабораторных условиях геостатического давления [77]. Если в лабораторных условиях моделируется горное давление, то, как было показано в работах М.М. Кусакова, Н.С. Гудок, Я.Р. Морозович, А.С. Цырульникова, А.И. Фиалко и др. [77], проницаемость образцов снижается с ростом внешней нагрузки по зависимостям, близким к экспоненциальным. Исследование газопроницаемости песчаников и алевролитов, отобранных в выбросоопасной зоне (шахта "Петровская-Глубокая") осуществлялось на специальной установке, позволявшей регулировать величину нагрузки. Некоторые из результатов [77] представлены в таблице 2.3. Таблица 2.3 Газопроницаемость выбросоопасных песчаников № образцов

1 2 3 4 5

АбсоЭфлютфекная тивная пори- пористость, стость, % % 7,23 3,12 6,46 5,20 10,48 7,21 10,60 8,13 6,70 2,01

Газопроницаемость (K·102 мD) при давлениях (атм) 10

20,00 19,40 132,0 38,80 0,49

35

60

110

160

260

410

0,110 0,049 0,026 20,01 – – 0,630 0,377 0,231 – – – 3,600 2,165 0,569 0,328 0,094 0,018 28,000 22,500 15,000 12,400 8,240 5,550 0,010 – – – – –

Значения коэффициентов проницаемости, полученные в шахтных условиях [78], удовлетворительно согласуются с приведенными в таблице . Динамика газопроницаемости, т.е. закономерность изменения коэффициента газопроницаемости массива со временем, изучена недостаточно. Измерения при остановленном и движущемся забое показали, что кривая изменения газопроницаемости по направлению вглубь пласта K = K(х) во втором случае пролегает выше, чем в первом [66]. Это свидетельствует об изменении газопроницаемости со временем, т.е. K = K(х, t). Такой зависимости в [66] установлено не было. Шахтные измерения газопроницаемости пласта "Пожарный", проводившиеся в течение 20 суток, показали, что кривые K = K(х) через каждые 5 суток проходят выше предыдущих, т.е. наблюдалось увеличение газопроницаемости со временем. Близкий качественно рост К наблюдался и в зоне влияния дегазационных скважин. Объясняются эти факты осушением массива со временем через поверхности обнажения [5]. Обширные исследования газопроницаемости пластов в течение длительного периода (292 суток) были проведеB

H

ны на пластах n8 и n7 (Львовско-Волынский бассейн) [79]. Использовалась

64

B

H

методика [66], пласт n8 зондировался на глубину 9 м, пласт n7 – на 5 м. В первом случае область измерений была разделена на 3 слоя (0÷2,5 м; 2,5÷5,5 м; 5,5÷9,0 м), во втором – на 2 (0÷2,5 м; 2,5÷5,0 м). Коэффициенты газопроницаеВ

H

мости для пласта n8 имели значения: 0,118; 0,046; 0,028 мD, а для пласта n7

значения: 18,5; 9,2 мD. Природные значения газопроницаемости измерялись вне зоны влияния обнажений пластов, в первом случае на расстоянии 15÷20 м от стенки штрека, во втором – 12÷15 м. Они оказались равными, соответственно 0,005 и 1,0 мD. Определение коэффициентов проницаемости по методике [66] основано на том, что вначале находятся значения давления и газоносности, а затем, по (2.49) осуществляются расчеты. Как следует из результатов [79], для давления и газоносности отмечена определенная динамика (кривые, снятые для 10,13,44 и 302 суток), но коэффициенты газопроницаемости для этих моментов времени получены одинаковые. При этом сведений о влажностном состоянии массива не приводится. Изменение газопроницаемости при воздействиях на массив. Ранее были перечислены виды воздействий и указаны цели, ими преследуемые (§12). Воздействие увлажнения угля различными жидкостями изучалось в [53]. Увлажнение угля водой снижало его газопроницаемость, которая при возрастании механической нагрузки на образец плавно убывала. Более резко это явление проявляло себя при увлажнении угля 10%-м раствором мочевиноформальдегидной смолы (с добавкой 0,04% Н2С2О4). Еще большее снижение газопроницаемости наблюдается при увлажнении угля т.н. профилактическими жидкостями – 1%-м раствором феноло-формальдегидной смолы (с добавкой 0,04% NH 4 Cl ) и 2%-м раствором этой же смолы с добавкой 0,2% NH 4 Cl . Увлажнение водой изучалось как в лабораторных, так и в шахтных условиях [53]. В зависимости от величины нагрузки на образец, коэффициент газопроницаемости увлажненных углей в 320÷1200 раз ниже, чем у сухих, причем кратность снижения газопроницаемости максимальна при малых нагрузках, а с их ростом убывает. В шахтных условиях газопроницаемость определялась до и после увлажнения пласта. Радиус увлажнения превышал 8,0 м, снижение газопроницаемости было в 1,8÷7,0 раз. Снижение газопроницаемости было максимальным вблизи нагнетательной скважины и по мере удаления от нее убывало. Ввиду сложности системы "уголь–жидкость–газ" пока нет исчерпывающей теории процесса увлажнения угля, хотя имеются различные математические модели, описывающие отдельные стороны процесса [34,56,80]. При гидрорасчленении пласта происходит раскрытие эндо- и экзогенных трещин, формирование их ориентированной системы [80]. Проницаемость при этом существенно возрастает, что повышает эффективность дегазации. Задача определения коэффициента проницаемости в процессе гидрорасчленения (с целью оптимизации процесса) решалась в [81]. Методика шахтных экспериментов предусматривала закачку жидкости в пласт через скважину, пробуренную с поверхности с варьи-

65

руемым ступенчато темпом нагнетания. При каждом значении его ( q , м3/с) достигалась стабилизация давления на забое скважины и проводились замеры. По полученным данным строилась зависимость q = f ( ΔP ) : q = K пр ΔP , где

ΔP – разность забойного и пластового давлений, н/м2; Kпр – коэффициент приемистости, м5/н.с. Был сделан вывод о выполнении закона Дарси, что позволило определить коэффициент проницаемости К через экспериментально найденные Kпр по формуле:

q=

2 πKh ΔP , μ ln( R к / rc )

(2.54)

где h – мощность пласта; μ – динамическая вязкость жидкости; Rк, rc – радиус действия скважины и радиус скважины соответственно. Начальная газопроницаемость пласта определялась на первом этапе нагнетания – при минимальном значении темпа его ((1÷5)·10–3 м3/с). Результаты исследований газопроницаемости ряда угольных пластов Донбасса позволили сделать выводы [81]: исходная газопроницаемость всех видов углей с ростом глубины уменьшается; в результате гидрорасчленения проницаемость пластов возрастает на 2÷3 порядка; повышение темпа нагнетания жидкости увеличивает проницаемость пласта в большей степени. Физико-химические воздействия на пласт – нагнетание в него химически- и поверхностно-активных флюидов – также приводят к изменению его коллекторских и фильтрационных свойств, способствуют интенсификации дегазации пласта. При нагнетании в угольный пласт раствора соляной кислоты пористость пласта в зоне обработки возрастает на Δm [34]:

Δm =

m0c0 ρ ж 7300ρм

= m0 nB ,

m n = m0 (1 + nB ) ,

(2.55)

где m0 – эффективная начальная пористость пласта; mn – пористость после nкратного обмена раствора; с0 – концентрация раствора кислоты; ρж, ρм – плотности раствора и минерала; В – параметр, определяемый концентрацией раствора. Согласно (2.55) требуется 15-кратный обмен 18%-го раствора для увеличения m0 = 3,0% в полтора раза. Увеличение пористости приводит к увеличению газопроницаемости. По формуле Козени-Кармана (2.48) K ~ m3, по эмпирической формуле А. Леворсена [34]:

K = K 0 exp[ a( m − m0 )],

(2.56)

где K, K0 – возросшая и начальная газопроницаемости; m, m0 – увеличенная и начальная пористости; а – эмпирическая постоянная. При физико-химической

66

обработке трещиновато-пористой среды, увеличение зияния трещин в α раз приводит к росту проницаемости α раз (в силу закона Дарси для трещиноватой среды [40]). Изменение эффективного коэффициента диффузии De при физико-химической обработке пласта угля носит сложный характер. В лабораторных экспериментах с различными составами средств воздействия (ХАВ) диффузионная проницаемость угля для метана возрастала (в 1,1÷5,7 раз) и убывала (в 1,2÷10 раз) [34]. Фильтрационные эксперименты при обжатии образцов (Робж = 3÷16 МПа) показали, что проницаемость угля для метана (Kг), воды 2

(Kв) и соляной кислоты (Kк) падает с ростом давления, в особенности для метана. Kк изменяется в пределах (4÷7,7)·10–3 мD, Kв – в пределах (3÷5)⋅10–3 мD. Обработка соляной кислотой максимально увеличивала проницаемость угля в 1,5 раза. Обработка в течение 3÷5 суток приводит к росту проницаемости на 30÷50% [34]. Параметры переноса жидкостей в угольных и породных пластах, выработанных пространствах – эффективная пористость, влагоемкость (массоемкость), коэффициенты фильтрации, влагопроницаемости, влагопроводности (массопроводности), диффузии [33,36,37,71÷73]. В гидрологии горные породы подразделяют на водопроницаемые и водонепроницаемые, на рыхлые и скальные [33]. Водопроницаемость и водоотдача горных массивов зависит от величины и структуры их порового пространства. Пористость рыхлых осадочных пород, сильно неоднородных, с заполнением пустот между крупными частицами более мелкими, понижена. Низкая пористость и у изверженных скальных пород. Пористость глинистых пород достигает 50÷60%, но сильно зависит от степени увлажнения и внешнего давления. Эффективная пористость массивов, в отличие от общей пористости, убывающей с глубиной экспоненциально [38], зачастую не обнаруживает такой тенденции. Измерения в глубоком руднике показали [82]: на глубине 620 м – m e (%) = 1,0; 1,6; 0,8; на глубине 1070 м –

m e (%) = 0,7; 1,74; 0,71; 2,13; на глубине 1385 м – m e (%) = 0,82; 0,10; 0,7; 1,0. Не обнаружена корреляция эффективной и общей пористости. Степень заполнения пор жидкостью – 47 ÷ 82%, влажность массива – (4,7÷8,2)·10–3 г/см3. Длительные и обширные исследования водно-физических свойств горных пород Кузбасса выявили тесную связь влагосодержания (W) с эффективной пористостью [83]: для алевролитов W = 1,4+0,3 me; для песчаников W =1,1÷0,25 me. Пористость коренных пород варьирует от 0,4 до 24%, наиболее распространены значения 3,5÷8,0%. Полная (массовая) влагоемкость (W n ) крепких песчаников, алевролитов и аргиллитов не превышает, как правило, 5%, а слабых этих же пород и их переслаиваний – 7÷8%. Водопроницаемость глинистых пород крайне мала из-за преобладания замкнутых пор и сильной связи воды со скелетом. Их, как и скальные нетрещиноватые породы, считают водонепроницаемыми (водоупорными), в отличие от

67

водопроницаемых песков, гравия, щебенки, известняка и других. Коэффициенты фильтрации воды в горных массивах (Kф, м/сут.) сильно изменяются [33]: Таблица 2.4. Коэффициенты фильтрации воды

Песчаник мелкозернистый

Песчаник среднеи крупно-зернистый

Kф, <0,001 0,001÷0,1 0,1÷1,0 1,0÷6,0 м/сут

6,0÷60

Горные массивы

Глины

Суглинки

Супесь

ГаБурые Бурые лечугли угли ник Днеп- других с пес- ровскобаском го бас- сейнов сейна 20÷ 0,5÷ 10-4÷ 100 14,0 0,46

Исследования в Кузбассе показали, что водопроницаемость песчаников, алевролитов и аргиллитов массивной текстуры, характерных для бассейна, низка. Коэффициенты фильтрации, определенные в шахтных условиях [83]: для крупнозернистых песчаников на глинистом и глинисто-карбонатном цементе − 0,4÷0,5 мм/сут., на кварцевом цементе − 0.7÷0.9 мм/сут.; для средне- и мелкозернистых песчаников и алевролитов на глинистом и известково-глинистом цементе – 0,3÷0,35 мм/сут.; для мелкотрещиноватых песчаников и алевролитов (в непосредственной кровле и почве угольного пласта) – 6÷12 мм/сут. Иногда используемые коэффициенты водопроводимости Т (м2/сут.) связаны с коэффициентами фильтрации простой связью: Т = Kф·h, где h – мощность водоносного пласта (горизонта). При напорном неустановившемся движении рудничных вод, когда учет упругих сил приводит к замене уравнения фильтрации на уравнение пьезопроводности [36,37], используется еще один параметр переноса – коэффициент пьезопроводности: a = K Φ / γβ , * где γ – плотность воды, β – коэффициент упругоемкости пласта. Коэффициенты фильтрации скальных пород оцениваются с помощью модели идеальной породы, в которой пористость формируется извилистыми каналами произвольного сечения. Коэффициент фильтрации выражается через эффективную пористость (на основе (2.48)) [35]: *

⎛ m e3 ⎞ ⎟S Φ ⋅10 −8 . K Φ = 4,65⎜ ⎜ Ψ2 ⎟ ⎝ ⎠ 68

(2.57)

В (2.57): m e – эффективная пористость; Ψ – коэффициент извилистости; S Φ – удельная поверхность поровых каналов. Определение K Φ – в шахтных условиях более надежно, т.к. позволяет учесть специфику конкретного горного массива; известен ряд геофизических и гидравлических методов [39]. В скальных трещиноватых породах необходим учет масштабного эффекта [35]. Неучет его при лабораторных определениях K Φ приводит к ошибкам (на 9÷10 порядков) [40]: Таблица 2.5. Лабораторные и натурные коэффициенты фильтрации

Коэффициенты фильтрации, полученные в лаборатории Kф, м/сут.

Коэффициенты фильтрации, полученные в природных условиях, Kф, м/сут.

Известняк

(0,36÷23)·10–13

0,7·10–4

Песчаник

(0,29÷6,0)·10–11

0,5·10–2

Гранит

(0,5÷2,0)·10–10

Сланец

(0,7÷1,6)·10–10

0,7·10–1 0,6

Доломит

(0,5÷1,2)·10–8

16,0

Горные породы

Коэффициенты фильтрации трещиновато-пористых массивов могут быть вычислены методами тензорной теории проницаемости [40], если известны: коэффициенты фильтрации сред – заполнителей трещин; количество систем трещин в массиве; расстояние между трещинами в системе; средняя ширина трещин; направляющие косинусы вектора – перпендикуляра к каждой из систем трещин. Этот метод дает плохую точность, более перспективен метод линейных элементов [40]. Поскольку уравнения переноса жидкости в пластах угля и пород различны (соответственно уравнение фильтрации и пьезопроводности [5,36]), метод определения начальной влагопроницаемости породного пласта [84], аналогичный методу определения газопроницаемости [81], оказался более сложен. На промежуточном этапе определялся коэффициент упругоемкости горных пород β* [84]:

β* = m eβ ж + 0,67βc [1 − 2 m e (1 − m e )](1 − m e ) −1 , где m e – эффективная пористость; β ж , βс – соответственно коэффициенты сжимаемости жидкости и скелета породы, Па–1. Измерения в трех шахтах Донбасса на пяти пластах песчаников различной мощности и глубины залегания дали следующие результаты [84]:

69

Таблица 2.6. Начальная влагопроницаемость песчаника

Глубина залегания, м 1100 1033 950 918 902

Мощность пласта, м 30,0 33,0 10,7 9,0 9,8

Эффективная пористость, % 8,6 7,0 5,1 5,3 5,1

Проницаемость пласта, мD 0,063 0,086 0,108 0,770 1,450

Изменение параметров влагопереноса при воздействиях на угольный пласт (гидродинамических, физико-химических, тепловых и др.) изучалось в ряде работ [34,53,54]. В §12 приводилась эмпирическая зависимость (2.35), согласно которой коэффициент водопроницаемости экспоненциально убывает с ростом газового и горного давлений. Шахтные наблюдения показали, что водопроницаемость в призабойной зоне, как и газопроницаемость, вначале резко снижается (достигая минимума 0,006 мD на расстоянии нахождения максимума горного давления), а затем постепенно увеличивается (через 10÷12 м) до природного, соответствующего нетронутому массиву значения 0,084 мD [53]. Наиболее полно эти исследования отражены в [56], где изложены результаты обширных исследований А.С. Бурчакова, Н.В. Ножкина, Ю.Ф. Васючкова, В.В. Ржевского и других. Рассмотрим кратко некоторые из полученных результатов [56]. В режиме фильтрации, на коэффициент фильтрации Kф нагнетаемой в угольный пласт жидкости влияют следующие факторы: выход летучих веществ, зольность, содержание серы. Было исследовано 100 шахтопластов на глубинах

от 120 до 1200 м, с углями различных марок, средние значения К Φ ⋅10 (м/мин) для которых оказались равными: марка "Д" – 3,68; "Г" – 1,45; "Ж" – 2,45; "К" – 1,54; "ОС" – 1,3; "Т" – 1,63; "А" – 1,74. Зависимости Kф от содержа5

ния золы (Ас, %) для всех марок угля были качественно подобны (экспоненциальное убывание Kф с ростом Ас от 5 до 35%). Аналогичный характер имели и кривые убывания Kф с ростом серосодержания (от 1 до 6%). Установлено, что при одинаковом содержании минеральных примесей, угли средних стадий метаморфизма имеют меньшие значения Kф, чем другие. С глубиной Kф убывал от 22·10–5 м/мин (Н = 300 м) до 1,8·10–5 м/мин (Н = 1100 м). Часть угольного пласта, примыкающая к забою, имеет выражено неоднородное, зональное строение: зона нарушен-ного пласта, прилегающая к забою; зона, не подверженная влиянию горных выработок. Фильтрационные параметры этих зон различны. Коэффициент фильтрации уменьшается вглубь пласта, сохраняя постоянное значение на расстояниях более 10 м от забоя. При этом увеличение Kф за

70

зоной опорного давления (в отличие от пористости) не наблюдается, т.к. проницаемость для воды снижается газовым потоком в сторону забоя. При определениях Kф для пластов различной мощности (h, м) проявился масштабный эффект: Kф линейно возрастал в диапазоне изменения h, имея граничные значения Kф ≅ 0,2·10–6 м/мин, (h = 0,75 м) и Kф ≅ 7,0·10–6 м/мин (h = 1,5 м). В режиме гидрорасчленения шахтные исследования проводились при 20-и часовых периодах воздействия на пласт. Давление нагнетания было постоянным (Рн = 10 МПа). Суммарный расход рабочей жидкости возрастал со временем линейно. Для различных расстояний от скважины были получены значения коэффициента фильтрации:

R, м Kф⋅105 м/мин

52,0

63,0

69,0

76,0

4,94

3,1

0,505

0,152

Уменьшение Kф по мере удаления от скважины близко к экспоненциальному, как и при удалении от забоя, что подтверждает общие закономерности изменения Kф в массиве. Перенос влаги в газовой фазе (пара) по горному массиву к поверхностям

обнажения в лавах и горных выработках увеличивает влагосодержания рудничного воздуха, оказывает существенное влияние на шахтный микроклимат [44,82,85]. Уравнение паропереноса основано на уравнении Фика относительно потенциала массопереноса θ (Дж/моль), где роль коэффициента диффузии D ⎛ г ⋅ моль ⎞ играет коэффициент массопроводности λ m ⎜ ⎟ . Формально уравнение Дж ⋅ м ⋅ с ⎝ ⎠ паропереноса (массопереноса) является уравнением теплопроводности [82], в котором коэффициент а (м2/с) заменен на коэффициент аm (м2/с), причем

⎛ г ⋅ моль ⎞ ⎟ – удельная изотермическая массоемam = λ m / γC m , где γC m ⎜ ⎜ 3⎟ ⎝ Дж ⋅ м ⎠ кость, γ – плотность. Коэффициент am был определен в условиях глубокого рудника для горных пород типа гранитов ( γ = 2,7 кг/см3, me = 1.0%). Среднее значение am = 2,5·10–7 м2/с [82]. Подстановка этого значения am в формулу для потока массы в выработку позволила удовлетворительно согласовать расчетные и экспериментальные его значения [82]. Параметры влагопереноса 71

(массопереноса) горных пород Ткибули-Шаорского угольного месторождения и Архотского туннеля исследовались Ю.Р. Ксоврели [85]. Экспериментально определены am , λ m , Сm, температурный коэффициент потенциала массопереноса χ и термоградиентный коэффициент δ = γСm (2 последние величины входят в систему уравнений связанного тепло- и массопереноса по А.В. Лыкову). Влагофизические свойства пород определялись при различных их температурах (Т =275÷323 К), потенциалах влагопереноса ( Θ = 50÷6000 Дж/моль), влагосодержаниях (U = U0÷Uм.г.), плотностях ( γ = 2500 ÷ 3400 кг/м3). В отличие от теплофизических параметров горных пород, которые в исследовавшихся условиях были практически постоянными, влагофизические свойства обнаруживают сильную зависимость от потенциалов переноса тепла (Т) и влаги ( Θ ), влагосодержания и плотности пород, изменяясь в широких пределах (в 10÷25 раз). Обработка экспериментальных данных позволила получить эмпирические зависимости: аm = am ( Θ , T, U, γ), Cm=Cm ( Θ , T, U, γ), λ m = λ m ( Θ , T, U),

δ = δ ( Θ , T, U), χ = χ ( Θ , T, U). В силу весьма сложного, нелинейного характера этих зависимостей, автором [85] сделан вывод о невозможности использования их при аналитическом решении задач тепло- массопереноса. Параметры массопереноса исследованы весьма слабо, ряд авторов рекомендует использовать при математическом моделировании процессов массопереноса в горных массивах данные, полученные лабораторными методами [86÷89].

Глава 5. Метаноперенос §14. Угольные и породные пласты Основные уравнения движения газов в пористых средах были получены Л.С. Лейбензоном [72], а уравнение движения метана в угольных пластах – Р.М. Кричевским [10,90,91]. И.А. Чарным была предложена математическая модель подземной газификации угля [71]. Для не изменяющейся пористой среды, в отсутствие массовых сил, уравнение фильтрации газа [72]:

⎛ d ρ ⎞ ∂p ⎛ Kρ ⎞ m⎜⎜ ∇p ⎟ , ⎟⎟ = div⎜ d p t ∂ μ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.58)

где р – давление газа; ρ, μ – его плотность и вязкость; m, K – пористость и проницаемость среды. Введением функции

72

∫

q = q( p ) = ρ( p ) d p

2.59)

уравнение (2.58) приводится к виду

⎛ d ρ ⎞ ∂q mμ⎜⎜ ⎟⎟ = div( K ∇q ) , ⎝ d q ⎠ ∂t

(2.60)

а при коэффициенте проницаемости, не зависящем от координат, к виду

mμ ⎛ d ρ ⎞ ∂q ⎜⎜ ⎟⎟ = ∇ 2 q . K ⎝ d q ⎠ ∂t

(2.61)

( 1/ n = βρ, β = const = p10/ n / ρ0 ):

Для политропического процесса p n n +1

∂q = ∇ 2 q, ∂t а для изотермического процесса (n = 1) εq

−

(2.62)

ε ∂q = ∇ 2 q, q ∂t ε = ε( n ) =

(2.63) n ⎞ n +1

mμ ⎛ n ⎟ ⎜ Kn ⎜⎝ β(n + 1) ⎟⎠

Приведенные уравнения трактуются Л.С. Лейбензоном как "ламинарная фильтрация", поскольку базируются на законе Дарси:

V =−

K ∇p μ

(2.64)

и гипотезе Н.Е. Жуковского:

R=

μ V, Kρ

(2.65)

где V и R – соответственно векторы скорости фильтрации и фиктивной силы сопротивления (введенной в гидродинамические уравнения Эйлера для описания вязкости). В случае "турбулентной фильтрации", закон Дарси модифицируется и используется в виде [72]:

p K V = Θ∇q, μ

∫

q = ρ( р ) d p,

Θ = Θ( p ) =

f ( D Δ1q ) , Δ1q

73

Δ1q = (∇q, ∇q ),

Re = f (Ω),

dq Ω=D , dh

D=

K 3/ 2 μ

2

, (2.66)

где Re – число Рейнольдса, d h – элемент длины пути фильтрации. Для случая турбулентного движения в пористой среде газа (при политропном процессе), из (2.66) следует уравнение n ⎫ ⎧ − ⎪ m ⎡⎛ n + 1 ⎞ ⎤ n +1 ⎪ ∂q ⎡ μ ⎤ Θ∇q ⎥ β ⎟q ⎥ ⎨ ⎢⎜ ⎬ = div ⎢ ⎣ K ⎦ ⎪ n ⎣⎝ n ⎠ ⎦ ⎪ ∂t ⎩ ⎭

(2.67)

В современной теории фильтрации разновидности ее режимов трактуют не в терминах "ламинарного" и "турбулентного", а отличают по соблюдению закона Дарси или соотношений другого вида, именуемых "обобщенный закон Дарси" [73]. Уравнение движения метана в пласте угля с учетом процесса его сорбции (десорбции) впервые получено Р.М. Кричевским в виде [90]:

∂2 р ∂p =N 2, ∂t ∂x

−1

λ⎡ ab ⎤ N = N ( р) = ⎢ M + ⎥ , δ ⎢⎣ (1 + bp ) 2 ⎥⎦

(2.68)

где λ − коэффициент газопроницаемости угля; δ − удельный вес метана; M − пористость угля; а, b − постоянные закона Лэнгмюра. Для дебита метана из свежеобнаженного угольного пласта в горную выработку, из приближенного решения (2.68) получена формула (2.9). В [91] (2.68) было модифицировано для изотермически сжимаемого газа применительно к процессу внезапного выброса угля и газа. Отмечена неоднородная, зональная структура угольного пласта (наличие областей с различной газопроницаемостью). Работы Р.М. Кричевского получили дальнейшее развитие в трудах С.А. Христиановича и П.Я. Полубариновой-Кочиной [71], Ю.А. Линькова и А.Т Айруни [5], С.В. Кузнецова и Р.Н. Кригман [8] и других. Уравнение (2.68) и его модификации используются при математическом моделировании процессов метано- и газопереноса в угольных и породных пластах и выработанных пространствах. В большинстве случаев уравнения линеаризуются подстановкой в N(p) некоторого р = р0 [7]:

μ P0

⎡ аbRT ⎤ ∂P m + = div K ( M , t )∇P , ⎢ ⎥ 2 ∂t (1 + b P0 ) ⎥⎦ ⎢⎣

[

]

(2.69)

где P = p ; M = M ( x, y, z ) ; K (Μ , t ) – коэффициент газопроницаемости, в общем случае переменный; μ – динамическая вязкость газа; m – пористость пласта. В одномерном случае при подвижной границе пласта (подвигании забоя со скоростью ϑ = const ) (2.69) принимает вид 2

74

∂P ∂ ⎛ ∂P ⎞ ∂P −ϑ = A1 ⎜ K ( x) ⎟, ∂x ⎝ ∂t ∂x ∂x ⎠

(2.70)

где A1 = 2 P0 A, A – множитель перед ∂P ∂t в (2.69). Нелинейное уравнение переноса Л.С. Лейбензона часто преобразуют подстановкой

F ( p) =

1 K ( p)ρ( p ) d p, μ

∫

(2.71) позволяющей "перебросить" нелинейность в левую часть уравнения, т.е. представить его в виде

F (Ф)

∂F = ∇2F. ∂t

(2.72)

Известны математические модели, в которых вместо уравнения Р.М. Кричевского используется уравнение "эффективной" диффузии метана в пласте с учетом изотермы сорбции по Генри. Для пласта, залегающего на относительно небольшой глубине (с пластовым давлением метана, не превышающим 1 МПа), либо для частично дегазированного пласта, метаноперенос описывается уравнением диффузии [34]:

∂a = De∇ 2 a, ∂τ

(2.73)

где a – газоносность угля; De – эффективный коэффициент диффузии метана в нём (описывающий суммарно различные конкретные механизмы его переноса). Модель физико-химической обработки угольного пласта (нагнетанием в него химически активной жидкости) также строилась без использования уравнения фильтрации [34]: K Τ ∂ 2 p ∂W ∂W = = αp (Wmax − W ); p = pΤ − pΓ ; μ ∂x 2 ∂τ ∂τ ; K Τ ∂p ∂С 1 ∂W d l(τ ) = − K cC + (C0 − C ); = mΤ . (2.74) ∂τ μ ∂x x = l (τ ) W ∂τ dτ В (2.74): pΤ – трещинное давление газа; pΓ – давление газа в блоках; W– влажность угля; Wmax – его максимальная влагоемкость; K Τ – трещинная проницаемость пласта; С0, С– начальная и текущая концентрации нагнетаемого раствора; Кс – постоянная скорости реакции растворения; l = l(τ) – граница зоны

распространения раствора; mΤ – трещинная пористость; μ – вязкость раствора; α – эмпирическая постоянная. Уравнения фильтрации и диффузии применяются: для анализа одномерного, двух- и трехмерного процессов движения метана;

75

записывается в декартовой (поток газа из пласта в лаву) и цилиндрической (поток газа к скважине и горной выработке) системах координат; для моделирования процессов движения метана по угольным и породным пластам к поверхности Земли ("вековая" миграция метана); анализа газодинамических явлений; прогноза притоков метана в очистные и подготовительные выработки (перенос метана в нарушенном горном массиве); определения коэффициентов фильтрации и проницаемости в примыкающих к выработкам зонах горного массива и в ненарушенном горными работами массиве. Вековая миграция метана изучалась А.А. Скочинским, В.В. Ходотом, Л.Н. Быковым, А.Э. Петросяном [92], И.М. Печуком, Г.Д. Лидиным, А.Т. Айруни [93] и другими. Проблема рассматривалась на основе анализа стационарного поля концентраций. С.Н. Осиповым предложена [92] математическая модель нестационарного метанопереноса по угольному пласту, заключенному в газонепроницаемых породах и выходящему на дневную поверхность. Коэффициент газопроницаемости изменялся с удалением (.) от поверхности обнажения пласта: K = K ( x) = K 0 exp(−2αx), (2.75) где K0 – приповерхностное значение j(.); α – коэффициент, зависящий от газового и горного давлений, угла залегания пласта и эмпирической постоянной. Используется линеаризованное уравнение Р.М. Кричевского:

∂V ∂⎛ ∂V ⎞ = a ⎜ e − 2 αx ⎟, ∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠ a=

V = p2 ,

(2.76)

0,5 K 0 p0 μ[m + abRT (1 + 0,5bp0 ) −2

Здесь t –интервал времени, прошедшего от начала дегазации пласта; p0 – начальное давление газа в пласте; =, b – постоянные закона Лэнгмюра. Оценки показывают, что ошибка, обусловленная неучетом изменения температуры с глубиной (в (2.76) T ≠ T ( x) ), вплоть до глубины m = 2500 м не превышает 5%. Изменение с глубиной степени метаморфизма может привести к ошибке порядка 10%. Граничные условия для (2.76) при . = 0 – первого рода: V x =0 = V1. Кроме того принято: V = V x→∞ = V0 . Решение краевой задачи t =0

осуществлено преобразованием Лапласа, получено аналитическое выражение сложного вида. Для больших значений t …=Läе…= C!%“2=ÿ асимптотическая зависимость, позволившая довести решение до численных данных и графиков. Сделан вывод о необходимости совершенствования математической модели в направлениях учета дренирования газа через породные пласты и распределения с глубиной начального газового давления. А.Л. Фельдманом рассмотрена [93] схема И.М. Печука выделения метана на дневную поверхность из разгруженного пласта-спутника. Согласно ей, из

76

пласта-спутника метан поступает в осушенную часть массива (породу) и по ней движется в покровные отложения и далее на поверхность. Рассматриваются две области: истечения метана в осушенную зону и область транзита газа. Последняя состоит из двух подобластей: Ω1 − часть осушенного пласта, не связанная трещинами с пластом-спутником, где нет поступлений метана из неразгруженной части спутника, а есть его движение в сторону покровных отложений; Ω 2 − покровные отложения. Процесс считается стационарным изотермическим; газ – сжимаемым. Использовано стационарное уравнение Л.С. Лейбензона (2.58):

⎡K ⎤ div ⎢ ∇( p 2 )⎥ = 0 . ⎣μ ⎦

(2.77)

Уравнения вида (2.77) решались в двумерной постановке отдельно для подобластей Ω1 и Ω 2 , параметры переноса в которых были различными и постоянными. На общей границе подобластей задавалось граничное условие IV рода (равенства давлений и скоростей фильтрации). Задача решалась численно, на ЭВМ. По полученным численным данным построена аппроксимирующая формула для расхода метана через поверхность. Газодинамические явления сопровождаются (при их подготовке, развитии и протекании) процессами метанопереноса в зонах угольного пласта, примыкающих к поверхности его обнажения. Ранее приводилась модель диффузии метана, предложенная в [30] в связи с анализом газодинамической стадии внезапного выброса (краевая задача (2.20)÷(2.22)). Для предрасчета газового давления и газоемкости (метаноемкости) в выбросоопасном угольном пласте в окрестности горной выработки И.А. Рыженко предложил математическую модель метанопереноса в трещиновато-пористой среде [94]. Использовано представление о пласте как о совокупности сорбционных частиц – блоков, разделенных трещинами. Метаноперенос в блоках описывается уравнением диффузии

∂a (2.78) = div(D∇a ), ∂t где а – сорбционная метаноемкость угля; D – коэффициент кнудсеновской диффузии. Фильтрация метана в трещинах:

⎡⎛ 273KP1 ⎤ ∂a 273 ∂ ⎛ m ⎞ ⎞ P = + D ∇ P div , ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ Γ 1⎥ − ⎢ Tμz T ∂t ⎝ z ⎠ ∂ t ⎠ ⎣⎝ ⎦

(2.79)

где P1 – давление метана в фильтрационном (трещинном) объеме; m – трещинная пористость; z – коэффициент сжимаемости метана; K – трещинная проницаемость; μ – вязкость метана; DΓ – коэффициент диффузии метана в газовой фазе; a – усредненная по сорбционному блоку метаноемкость угля. В связи с анализом устойчивости краевой части газонасыщенного пласта (предельно-напряженная область), модель неустановившейся фильтрации метана в

77

трещиновато-пористой среде предложена в [95]. Вновь использована блочная модель пласта. Уравнение переноса десорбированного метана из пористых блоков в трещины:

⎛ ∂ 2C A ∂c ⎞ ∂С ⎟, = D⎜ 2 + ⎜ ∂t r ∂t ⎟⎠ ⎝ ∂r

C = C (r , t ),

t > 0.

(2.80)

В (2.80): С – концентрация метана в блоке; А = 0, 1, 2 – соответственно для блоков в виде плиты, цилиндра и шара. Концентрация свободного газа (в трещинном объеме) описывается уравнением:

m

∂C ∂C + div(V C ) = (1 − m) 0 , ∂t ∂t

(2.81)

где С0 – усредненная по объему пористого блока концентрация метана; m – трещинная пористость; V – вектор скорости фильтрации в трещинах. Последний определяется из закона Дарси для фильтрации в трещинах:

V=−

K ( x, y ) ⎛ ∂P ⎞ ⎜ ⎟∇C , μ ⎝ ∂C ⎠

(2.82)

где P = zR0TC , z – коэффициент сжимаемости метана; R0 – газовая постоянная для метана; Т – температура свободного газа; μ – его вязкость; К(х,у) – коэффициент трещинной проницаемости. Одним из методов текущего прогноза внезапных выбросов угля и газа является измерение газовыделения из газовой камеры (торцевой части) специального шпура, пробуренного перпендикулярно движущемуся забою на глубину не менее 3-х метров. В этой связи С.Н. Осиповым предложена [96] математическая модель фильтрации метана в скважину при учете переменной газопроницаемости угольного пласта вблизи обнаженной поверхности. Движение метана вокруг цилиндрической и торцевой (принятой в форме сферы) частей скважины описывается, соответственно, уравнениями:

∂υ1 α ∂ ⎡ ∂υ1 ⎤ = rK ( r ) ∂r ⎥⎦ ∂t r ∂r ⎢⎣

(2.83)

∂ϑ2 α ∂ ⎡ 2 ∂υ ⎤ = 2 ⎢r K (r ) 2 ⎥ . ∂r ⎦ ∂t r ∂r ⎣

(2.84)

Движение газа вблизи подвижной вертикальной обнаженной поверхности пласта (забоя лавы или пласта в горной выработке) описывается уравнением:

78

∂υ ⎤ ∂υ ∂υ3 ∂ ⎡ = α ⎢ K ( х) 3 ⎥ + u 3 . ∂х ⎣ ∂x ∂t ∂х ⎦

(2.85)

Краевые условия для этих уравнений соответственно:

υ1

t =0

=υ

υ2

t =0

= υ2

υ3

t =0

= υ3

r →∞ r →∞ x →∞

= υx ;

υ1 r = r = υ10 ; 0

(2.86)

= υx ;

υ2 r = r = υ10 ; 0

(2.87)

= υ0 ;

υ3 x =r = υ10 . 0

(2.88)

Здесь υ – квадрат давления газа; υ х – квадрат давления газа на расстоянии х от забоя вне зоны влияния шпура; υ0 = Р0 , Р0 – природное давление газа (вне зоны влияния горных работ); υ1– квадрат давления газа в шпуре (горной выра2

ботке); r , r0 – текущий радиус и радиус шпура; х – текущее расстояние вглубь угольного массива;

u – скорость подвигания забоя; K (r ) = (r0 / r ) n ;

K ( x) = ( x0 / x) n1 ; n, n1 = const .

Постоянный коэффициент α характеризует фильтрационные свойства пласта с учетом десорбции газа и выражается зависимостью:

α=

K 0 Px μ[m + аbRT (1 + bPx )

−2

,

(2.89)

]

где К0 – газопроницаемость пласта на расстоянии 1 м от обнаженной поверхности; Px = ( υ x ) ; остальные обозначения использовались ранее. Из (2.89) видно, что автором [96] для описания фильтрации метана в трех рассматриваемых зонах пласта применено линеаризованное (при Р = Рх) уравнение Р.М. Кричевского. Изменение коэффициентов газопроницаемости во времени не учитывается, т.к. рассматриваются малые промежутки времени (в соответствии с технологией прогнозных замеров). Решение задачи осуществлено использованием приближенных соотношений, ранее полученных автором. При разработке пластов средней и малой мощности, предвестником внезапного выброса угля и газа зачастую является внезапный отжим угля в забое. При достаточно высокой проницаемости отжимаемого участка пласта, фильтрационный поток газа через него может оказаться существенным. Математическая модель фильтрации метана со скачком давления на фронте волны дробления – процесса формирования газовой обстановки в призабойной зоне в период времени после момента реализации упругой энергии пласта и разрыва его при внезапном отжиме – предложена в [97]. Поскольку процесс является быстропротекающим, сор1/ 2

79

бированный газ в фильтрационном потоке не учитывается. Система уравнений фильтрации в призабойной зоне:

∂ρU ∂mρ + = 0, ∂x ∂t

U =−

K ∂p , μ ∂x

p ρ γ = const .

(2.90)

Здесь ρ, μ – плотность и вязкость газа; m, K – пористость и проницаемость различных участков угольного пласта в призабойной зоне; γ – показатель политропы. Расстояние от забоя до начального разрыва пласта в зоне внезапного отжима – l . Эта часть зоны отжима практически дегазирована, давление газа в ней до прихода волны дробления близко к атмосферному: p = p1 . Пористость в этой зоне – m1, проницаемость – K1 . Принимается схема конечной скорости распространения фронта фильтрации x1 (t ) :

p = p1 ,

d x1 (t ) U K ∂p = , U = − 1 , x = x1 (t ), t > 0. μ ∂x dt m1

(2.91)

При x > l , в зоне пласта, по которой распространяется фронт волны дробления x2 (t ), пористость равна m0 , давление p0 , а проницаемость равна ну-

лю. Скачок давления p0 − p2 должен обеспечивать дробление угля; за фронтом волны дробления, начиная от места разрыва пласта, он становится проницаемым с проницаемостью К 2 и пористостью m2 . На фронте дробления поток газа неразрывен:

p = p2 < p0 , ΔQ0

d x2 (t ) K ∂p = ρ2 2 , dt μ ∂x

x = x2 (t ),

t > 0.

(2.92)

В (2.92) ΔQ0 = m0ρ0 − m2ρ 2 + Θ ; ρ0 ,ρ 2 – плотность газа при давлении p0 и p2 ; Θ – количество метана, практически мгновенно десорбирующегося при падении давления от p0 до p2 в процессе дробления единицы объема угля. Для "склейки" полей давлений в описанных двух разнородных зонах пласта, на их границе (х = 0) формируются условия сопряжения полей давления и потоков (граничное условие IV рода):

∂p − ∂p + = K2 p = p , K1 , ∂x ∂x −

+

x = 0,

t > 0,

(2.93)

Для уравнений (2.90) при условиях (2.91)÷(2.93) получено автомодельное решение, на основе которого проанализированы условия формирования выбросоопасных ситуаций. Перенос метана в нарушенных горных массивах (подверженных влиянию горных работ) моделируется не только в связи с проблематикой внезапных выбросов угля и газа. Важное значение имеют математические модели переноса для прогноза газовой обстановки и притоков метана в очист-

80

ные и подготовительные выработки, выработанные пространства лав. Рассмотрим ряд таких моделей. Перенос в нарушенном горном массиве описывается аналогичными ранее приведенным уравнениями фильтрации и диффузии. В зависимости от специфики рассматриваемой задачи, процессы десорбции метана и его движение в трещиновато-пористых и неоднородных средах описываются по-разному. Для определения эффективного коэффициента диффузии по данным лабораторных исследований, в [98] рассмотрена изотермическая фильтрация метана в ненарушенном и в нарушенном углях и осуществлено упрощение уравнения:

⎡⎛ 273Kp ⎞ ⎤ ∂a ∂a1 ⎟⎟∇p + DΓ ∇p + Da ∇a ⎥ + = div ⎢⎜⎜ ∂t ∂t ⎣⎝ Tμ 0 zp0 ⎠ ⎦

(2.94)

Здесь K – коэффициент проницаемости угля; μ 0 – вязкость метана; p, p0 – газовое давление и атмосферное; DΓ , D0 – коэффициенты диффузии в газовой и адсорбированной фазе; а1,а – метаноемкость угля в свободной и адсорбированной фазах. После преобразований и упрощений, (2.94) приведено к виду:

∂а = div[( D(a )∇a ] , ∂t

(2.95)

где D (a ) – эффективный коэффициент диффузии. Используя известную лабораторную методику, авторы на основе кинетических кривых a = a (t ) ( а (t ) – средняя метаноносность частицы угля) десорбции метана из шаровидной частицы, определили D = D ( a ) для ряда угольных пластов. При этом было получено, что D(a ) = D0 exp(αa ) , независимо от начального метаносодержания частиц. При определении D (a ) по a (t ) для достаточно крупных частиц (2R > > 0,25 мм) учитывалась их нарушенность системой трещин, разбившуюся каждую на совокупность "ультрачастиц" с эффективными радиусами Re(Re<
∂a ∂a ⎞ 2 ∂a ⎤ ⎡∂ ⎛ = D0 ⎢ ⎜ e αa ⎟ + e αa ∂t ∂r ⎠ r ∂r ⎥⎦ ⎣ ∂r ⎝

(2.96)

Подстановкой a ( r ,t )

ϑ(r , t ) = r

∫

exp(αβ) d β

(2.97)

0

уравнение (2.96) приведено к виду:

81

∂ 2ϑ

⎛ αϑ ⎞ D0 2 = ⎜1 + ⎟ r ⎠ ⎝ ∂r

−1

∂ϑ . ∂t

(2.98)

Последнее уравнение решалось конечно-разностным методом на ЭВМ. На основе анализа полученных данных авторы [98] пришли к выводу, что движение метана в частицах является диффузией в адсорбционной фазе, а в трещинах между частицами – кнудсеновской диффузией в газовой фазе и ламинарной фильтрацией. Анализ влияния сдвижения газоносных пластов на их коллекторские и фильтрационные свойства и учет этого влияния на процессы фильтрации при переменных пористости и проницаемости позволил Б.Г. Тарасову получить модификацию уравнения Р.М. Кричевского [99]:

CP ⎤ ∂⎡ ∂ ⎡ 3 ∂P 2 ⎤ ϕ( x, t ) P + = λ ⎢ϕ ( x , t ) ⎥, ∂t ⎢⎣ ∂x ⎢⎣ ∂x ⎥⎦ 1 + b0 P ⎥⎦ λ=

K0 ; 2m0μ

(2.99)

a b RT . С= 0 0 m0

Здесь учтено, что пористость и проницаемость пласта в зоне разгрузки являются переменными величинами:

m = m( x, t ) = m0ϕ( x, t ),

K = K ( x, t ) = K 0ϕ3 ( x, t ),

(2.100)

где m0 , K 0 – пористость и проницаемость в нетронутом массиве, ϕ = ϕ( x, t ) – функция, зависящая от свойств пласта и проявлений горного давления:

ϕ( x, t ) = 1 +

βυ 0 (δ − e −αt )e −βx , m0

(2.101)

где υ0 – максимальное смещение контура выработки; х – расстояние от контура выработки; t – время; δ – параметр, характеризующий реологические свойства массива; α, β – эмпирические постоянные. Предложенная математическая модель устанавливает связь процесса фильтрации метана со сдвижением нарушенного горного массива. Газовыделения из различно ориентированных массивов рассчитываются по отдельности, а затем интенсивность газовыделения усредняется по контуру выработки. Модель реализована на ЭВМ. Ряд моделей метанопереноса в деформируемых горных массивах предложен В.А. Колмаковым [6]. Характерной особенностью их является систематическое использование метода Л.С. Лейбензона (введение функции F- потенциала переноса согласно (2.71)). Для массива, содержащего внутренние источники газовыделений им получено уравнение:

∂F = А∇ 2 F + q ( x, y, z , t ), ∂t 82

(2.102)

в котором q – плотность внутренних источников газа; A = A( m, a, b, R, T , P ) – эффективный коэффициент переноса, учитывающий свободный и сорбированный газ. В случае расчета газопритоков в лаву из разрабатываемого пласта, с учетом движения лавы, уравнение (2.102) приведено к виду:

∂F ∂F ∂2F + q ( z , t ), = Апл 2 + ϑ3 (2.103) ∂z ∂t ∂z где ϑ3 – скорость подвигания забоя; z – координата, направленная вглубь пласта перпендикулярно поверхности забоя. Коэффициент Aпл – эффективный параметр переноса – определяется формулой

Aпл =

K e Pe

(2.104)

⎡ a b RT ⎤ μ ⎢mпл + 1 1 1 2 ⎥ (1 + b1Pe ) ⎥⎦ ⎢⎣

где K e – коэффициент проницаемости ненарушенного пласта; Pe – давление газа на границе зоны разгрузки; mпл – проницаемость пласта; a1,b1 – параметры Лэнгмюра; R1 – газовая постоянная для метана. Фильтрация метана к дегазационной скважине описывалась аналогично:

1 ∂F ∂ 2 F 1 ∂F = 2 + , А ∂t r ∂r ∂r F (r ,0) = F0 (r ),

t > 0,

F (rc , t ) = F1 (t ),

r ≥ rc

(2.105)

∂F = 0, ∂r r = Rc

где rc – радиус скважины; Rc – радиус влияния скважины. Метанообильность выемочных участков при обработке свит сближенных пластов определяется движением газа в разгруженном горном массиве. При этом математическая модель фильтрации газа должна быть трехмерной, что требует разработки метода сведения трехмерной задачи к последовательному решению ряда плоских задач. Этот подход был реализован в [100], где двумерное (в плоскости напластования) движение газа в выработанном пространстве было описано уравнением:

m

∂p ∂ ⎛ K ∂p ⎞ ∂ ⎛ K ∂p ⎞ = ⎜ p ⎟ + ⎜ p ⎟ + F ( x, y, t ), ∂t ∂x ⎝ μ ∂x ⎠ ∂y ⎝⎜ μ ∂y ⎠⎟

(2.106)

в котором p – давление; m – пористость выработанного пространства; K – его проницаемость; F ( x, y , t ) – функция плотности источников газовыделения. Рассмотрен случай, когда источником метана является один или несколько 83

подработанных пластов. Фильтрация метана из разгруженного пласта-спутника в выработанное пространство описывается уравнением:

m

∂p ∂ ⎛ K ∂p ⎞ ∂ ⎛ K ∂p ⎞ = ⎜ p ⎟ + ⎜ p ⎟, ∂t ∂x ⎝ μ ∂x ⎠ ∂z ⎝ μ ∂x ⎠

(2.107)

где интенсивность газовыделения из сближенного пласта задается не функцией плотности источников, как в (2.106), а граничным условием:

μ ∂p =− f (x), ρK ∂z z = H

(2.108)

где H – расстояние от разрабатываемого до сближенного пласта; f (x) – интенсивность газовыделения из сближенного пласта. Краевые задачи для уравнений (2.106) и (2.107) линеаризованы и решены конечно-разностными методами. Авторы [100] осуществили идентификацию матмодели на конкретном выемочном участке, для чего были определены коэффициенты газопроницаемости, притока газа из старых выработанных пространств, газоотдача сближаемых пластов. Вопросы идентификации (адаптации, привязки) математических моделей, т.е. определение конкретных значений параметров и функций, входящих в формулировки краевых задач метанопереноса, весьма важны, поскольку само моделирование процессов переноса осуществляется, как правило, для решения конкретных задач проектирования, строительства и эксплуатации шахт. Поэтому разрабатываются и используются методы решения обратных задач переноса – определение параметров переноса и условий по известным (измеренным) значениям полевых величин – давлений и концентраций метана в массивах и выработках. Определение параметров уравнений переноса (как правило, коэффициентов проницаемости угольных и породных пластов) осуществляется на основе соответствующих математических моделей, некоторые из которых рассматриваются в [66]. И.М. Яровым предложены методики определения газопроницаемости угольного пласта в шахтных условиях в призабойной зоне и в нетронутом массиве. Результаты измерений в пробуренных шпурах обрабатываются с помощью простейших математических моделей метанопереноса − в случае призабойной зоны – на основе решений стационарного уравнения переноса в полярной системе координат:

1 ∂ ∂p 1 ∂2 p ∂2 p + 2 = 0. (r ) + 2 2 r ∂r ∂r r ∂Θ ∂z

(2.109)

В случае нетронутого массива – по аналогу гидравлической формулы Дюпюи для дебита в совершенную скважину, полученному из закона Дарси. Р.М. Кричевский для определения газопроницаемости нетронутого угольного пласта воспользовался уравнением газопереноса в радиальной системе координат:

84

∂P ∂ 2 P 1 ∂P ωβ ⎡ ab δ ⎤ F ( P) = 2 + , F ( P) = + ⎥, (2.110) ⎢ ∂t ∂r r ∂r λ P ⎢⎣ (1 + b P ) 2 ωβ ⎥⎦ где P = p ; p – давление газа; r – расстояние от центра скважины; ω – коэффициент сжимаемости метана; β = 1 / ρ ; ρ – плотность метана при температуре пласта и атмосферном давлении; λ – коэффициент газопроницаемости; δ – пористость пласта; а, b – постоянные Лэнгмюра. Линеаризация уравнения переноса осуществлялась заменой 2

F ( P ) ≅ F ( P0 ),

P0 = P (r , t ) t = 0 .

(2.111)

Определению природной газопроницаемости угольных пластов посвящена монография [8]. Обработка многочисленных шахтных измерений в скважинах осуществлялась на основе двух математических моделей метанопереноса – в газосодержащем пласте с постоянной пористостью и проницаемостью (без учета сжимаемости пласта) и в сжимаемом пласте, содержащем в порах метан и воду (при линейном законе зависимости плотности от давления). В первом случае использовалось уравнение Р.М. Кричевского в виде:

⎡ аbRT ⎤ μ ∂( p 2 ) Φ( p) = ∇ 2 ( p ) 2 , Φ ( p) = p −1 ⎢m + , 2⎥ ∂t K (1 + bp ) ⎥⎦ ⎢⎣

2.112)

а во втором – уравнение пьезопроводности

∂р = χ∇ 2 p, ∂t

χ=

K μ(mβсж + βс )

.

(2.113)

В (2.113), являющимся уравнением упругого режима фильтрации [37], обозначены: χ, m, K – пъезопроводность, пористость и газопроницаемость угольного пла−1

ста; β ж = ρ ж ∂ρ ж ∂p – коэффициент сжимаемости жидкости; βc = d m / d p – коэффициент сжимаемости пласта. Для уравнений (2.112) и (2.113) рассмотрен ряд задач для плоско-параллельного и радиально-симметричного потока. Линеа* * ризация (2.112) осуществлялась заменой Ф(р) = Ф(р ), где р = 0,86 p0, а p0 – начальное пластовое давление. Обосновано это было сопоставлением аналитических решений с результатами моделирования на гидравлическом интеграторе В.С. Лукьянова. Определение параметров пористой структуры угля (в частности закрытой пористости) осуществлялось в [101] на основе неоднородного уравнения диффузии молекул метана в объеме угля:

r ∂ρ ∂С D ∂ ⎛ 2 ∂C ⎞ 2 = 2 ⎜r , ⎟ − 4πrn N n J (r , t ), J (r , t ) = n ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠ 3 ∂t

(2.114)

85

где C = C ( r , t ) – концентрация молекул в твердом растворе; D – эффективный коэффициент диффузии (описывающий интегрально все её разновидности); N n – концентрация пор сферической формы с радиусом rn ; ρ – концентрация молекул метана в порах. Для уравнения (2.114) построены приближенные (асимптотические) решения, что позволило определить, на основе экспериментальных данных, закрытую пористость ряда каменных углей.

§15. Выработанные пространства В выработанных пространствах очистных забоев при управлении кровлей полным обрушением протекают процессы фильтрации и конвективной диффузии метана, метановоздушных смесей и других газов. В зависимости от ряда природных и технологических факторов, структура выработанного пространства, его параметры – пустотность (аналог пористости), проницаемость и средний размер кусков обрушенной породы, могут быть различны. Для выработанного (обрушенного) пространства как части горного массива характерны неоднородность свойств как по мощности (высоте), так и по падению и простиранию (в направлениях вдоль и перпендикулярно лаве). Изменяются (уменьшаются) пустотность и проницаемость выработанного пространства и со временем. Математические модели процессов переноса метановоздушных смесей через выработанное пространство, предлагаемые для различных условий и различными авторами, учитывают эти особенности в той или иной степени. Большое число работ посвящено изучению аэродинамики выработанного пространства, определению его пористости, проницаемости, аэродинамического сопротивления и других параметров. Ю.А. Шашмуриным [102] в качестве основного уравнения фильтрации использовано безинерционное приближение уравнения Е.М. Минского, полученное статистическим методом (на основе представления о хаотичной ориентировке поровых каналов) [71]:

g 1 ∂V 1 = − ∇p − V −g, m ∂t ρ Kф

(2.115)

где m, K ф – пористость и коэффициент фильтрации; g – ускорение свободного падения; V – вектор скорости утечек через выработанное пространство; p – давление воздуха. С учетом оценок, позволяющих считать воздух несжимаемым [102], для установившегося движения в вертикальной плоскости из (2.115) и уравнения непрерывности получено:

∂ 2ϕ

∂ 2ϕ

+ 2 = 0, 2 ∂x ∂y

86

⎛ p⎞ ϕ = ϕ0 − K ф ⎜⎜ y + ⎟⎟, ρg ⎠ ⎝

(2.116)

т.е. уравнение Лапласа для потенциала течения. Автор [102] не скрывает, что такая модель является сильно идеализированной: "Отбитая руда в блоке может быть расположена послойно, т.е. может наблюдаться чередование слоев, имеющих разные коэффициенты фильтрации... Мы вынуждены принять допущение о повсеместно равной проницаемости отбитой руды". Чтобы построить более реалистическую модель (рассматривалась фильтрация газовоздушной смеси через зону обрушения), авторы [103] воспользовались уравнением установившейся фильтрации для неоднородной пористой среды:

∂ ⎡ ∂p ⎤ ∂ ⎡ ∂p ⎤ K y + K y ( ) ( ) = 0, ⎢ ∂x ⎢⎣ ∂x ⎥⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎥⎦

(2.117)

где K = K ( y ) – переменный коэффициент проницаемости выработанного пространства. Авторы [103] осуществили переход от модели непрерывно переменной проницаемости K ( y ) к модели слоистой среды, положив в (2.117):

K ( y ) = β0 [1 +

n −1

Σ

i =1

ai σ0 ( y − yi )],

⎧0, y < yi σ0 ( y − yi ) = ⎨ , > 1 , y y ⎩ i

(2.118)

где n – число слоев, на которое разбито выработанное пространство; β0 – проницаемость первого слоя y ∈ (0, y1 ) ; β0 a1 – проницаемость второго слоя

y ∈ ( y1, y2 ) и т.д. Более агрегированная по сравнению с моделью [103], со-

стоящая из двух слоев, на которые разбито выработанное пространство, модель стационарной двумерной фильтрации метановоздушной смеси предложена в [104]. Рассматривается вертикальное сечение обрушенного массива в декартовой системе координат x1Ox2 , где x1 – продольная (вдоль лавы), а x2 – вертикальная (перпендикулярная почве и кровле) координата. Нижняя часть этого сечения – обрушенное пространство G-, верхняя – G+ – крупноблочная, деформированная часть пород кровли. Движение утечек в G+ предполагается ламинарным в G- – турбулентным. Для области G+ принят линейный закон Дарси, для G- – квадратичный. На границе Г0 между областями G- и G+ задаются условия сопряжения давлений

Р Г −0 = Р Г +0 0 0

(2.119)

и потоков (скоростей утечек):

1 ∂ (mH ) = 1 ∂ (mH ) , λ + ∂n Г − 0 λ − ∂n Г + 0 0 0

H = P + ρgx2 ,

(2.120)

87

где Н – приведенное давление; m – пористость; n – нормаль к границе; λ + и λ − – определяются формулами:

λ + = ρmνK −1, ( x2 ∈ G+ ) ; λ − = ρm(νK −1 + V l −1 ), ( x2 ∈ G− ), где ν, ρ – вязкость и плотность воздушно-метановой смеси; K – коэффициент газопроницаемости; l – параметр макрошероховатости. Авторы обращают внимание на невысокую скорость сходимости алгоритмов численного расчета, обусловленную сильным разрывом на границе между G+ и G- значе−4

−6

ний коэффициента проницаемости ( К Γ + 0 К Γ − 0 = 10 ÷ 10 ). Неодно0 0 родность выработанного пространства в горизонтальной плоскости xOy (О y – направлена параллельно линии очистного забоя, Ох – перпендикулярно), обусловленная консолидацией (уплотнением с уменьшением пористости и проницаемости) его по мере удаления от лавы, характерна для модели [105]. В ней принято: метан распространяется в выработанном пространстве в плоскости пласта только путем конвекции (без учета молекулярной и турбулентной диффузии); выработанное пространство – пористая среда с переменной по простиранию (ось Ох) проницаемостью; метановыделение из смежных пластов моделируется распределенными в выработанном пространстве источниками. Концентрация метана определяется краевой задачей конвективного переноса, уравнение которого:

u

∂C ∂C +ϑ = J ( x, y ), ∂x ∂y

(2.121)

где u , ϑ – компоненты скорости утечек воздушно-метановой смеси, а J ( x, y ) :

J ( x, y ) =

⎛ x ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟, exp 2 x mLхт ⎝ m⎠ qx

(2.122)

где q – суммарный дебит метана из смежных пластов; xm – расстояние от зоны максимального газовыделения; m - пористость выработанного пространства; L – длина лавы. Уравнение движения утечек в выработанном пространстве и уравнение неразрывности:

∂p ⎛μ ρ ⎞ = −⎜ + V ⎟ u , ∂x ⎝K l ⎠

∂p ⎛μ ρ ⎞ = −⎜ + V ⎟ϑ, ∂y ⎝K l ⎠

∂u ∂ϑ + = 0. ∂x ∂y

(2.123)

u x → ∞ = 0.

(2.124)

Граничные условия:

ϑ y = 0 = ϑ0 ( x), ϑ y = L = ϑ1 ( x), u x = 0 = u0 ,

Расход воздуха в вентиляционном штреке изменялся по его длине (в силу утечек):

88

Q = Q ( x) = Qуч − Q0 exp(−r0 x), где Qуч, Q0 – расходы воздуха, поступающего на участок и утечек через выработанное пространство; r0 – эмпирический коэффициент. Обработка шахтных замеров позволила получить зависимости коэффициентов проницаемости и макрошероховатости от х:

K = K 0 e − αx ,

l = l 0 e − αx ,

α = 0,06.

Параметр r0 при неплотной изоляции выработанного пространства (проницаемой бутовой полосе) составил r0 = 0,035 ÷ 0,040 м-1. Модель была реализована на ЭВМ. Примером математических моделей, в которых пространственной неоднородностью для простоты пренебрегают, сосредоточивая внимание на нестационарности процессов, является модель [106]. Движение утечек в выработанном пространстве под влиянием возникших нестационарных возмущений (пульсаций давления) рассматривается как одномерное (по нормали к забою), поскольку релаксация возмущений, направленных вдоль линии забоя, происходит очень быстро. Исходя из закона Дарси, уравнения неразрывности и уравнения состояния при адиабатическом процессе, получено уравнение движения:

∂P K ∂ ⎛ ∂P ⎞ = ⎜ P ⎟, ∂t μm ∂x ⎝ ∂x ⎠

P = P ( x, t ),

(2.125)

где μ – вязкость воздуха; m, K – пористость и проницаемость выработанного пространства, принимаемые постоянными. Граничное условие:

P ( x, t )

х =0

= Pср + A cos ωt ,

где Рср – давление до появления возмущающих колебаний с частотой ω и амплитудой А. После линеаризации (2.125) переходит в уравнение

∂P KPср ∂ 2 P = , ∂t μm ∂x 2

(2.126)

которое решается аналитически. Из анализа полученного решения авторами сделаны выводы: глубина проникновения волн разряжения и сжатия при медленных колебаниях с большими амплитудами весьма велика, а переносимые объемы составляют сотни и тысячи м3; с увеличением частоты колебаний глубина их проникновения, амплитуда и количество перенесенной воздушной массы быстро убывают; максимальную опасность, с точки зрения загазований и развития эндогенных пожаров представляют погодные колебания давления, а минимальную – колебания его за счет изменения аэродинамических параметров горных выработок. Как видно из этого примера, даже достаточно простые по

89

своей математической структуре модели процессов могут быть весьма информативны, существенно дополняя (а в ряде случаев оставаясь единственным источником информации) экспериментальные исследования. Рассматривая сложные вопросы профилактики подземных пожаров, авторы [68] также воспользовались аналогичными моделями. Для описания фильтрации несжимаемой газовоздушной смеси в выработанном пространстве, ими было использовано уравнение (2.116), а моделирование одномерной фильтрации осуществлено на основе нестационарного уравнения фильтрации-аналога (2.126). В более строгой постановке, с использованием полной системы гидродинамических уравнений, краевые задачи переноса примесей и фильтрации утечек в выработанном пространстве рассматривались Ф.А. Абрамовым, Л.П. Фельдманом, В.А. Бойко, В.А. Святным, В.В. Лапко и другими [67,107]. Исследование всех математических моделей было при этом изначально ориентировано на использование численных методов и ЭВМ, что позволило обойтись без линеаризации уравнений. Уравнение нестационарной фильтрации в выработанном пространстве получено в форме И.А. Чарного [107]:

∂P = χ( P)∇ 2 P, ∂t

χ=

KP . μm

(2.127)

Авторы [108] исходили из системы уравнений гидродинамики для выработок, уравнения фильтрации для выработанного пространства и уравнения непрерывности. В выработанном пространстве:

⎡μ ρ ⎤ ∇P = − ⎢ + V ⎥V , ⎣K l ⎦

div V = 0.

(2.128)

Коэффициенты проницаемости K и макрошероховатости l в (2.128) предполагаются переменными:

K = K ( x, y, z ),

l = l( x, y, z ).

Проведенные МакНИИ опыты показали, что эти величины могут быть, с хорошим приближением, приняты постоянными по падению пласта. По простиранию эти параметры изменяются экспоненциально, резко убывая по мере удаления от лавы. Л.П. Фельдманом предложено [67,109,110] весьма общее математическое описание аэрогазодинамических процессов на выемочном участке, на основе которого могут быть построены частные модели процессов фильтрации и газопереноса в выработанном пространстве, очистном забое и в участковых выработках. Некоторые из таких моделей ранее были приведены. С учетом газокинетической теории, молекулярной и конвективной (турбулентной) диффузии, для произвольной компоненты "α " n - компонентной газовой смеси получено [110] уравнение фильтрационного переноса ее в выработанном пространстве:

∂ (mρCα ) + ∇( ρCα ϑ ) = ∇(mρDα ∇Cα ) + ε α , ∂t 90

(2.129)

где Сα – массовая концентрация компоненты " α "; ρ – плотность смеси; ϑ – вектор скорости фильтрационного потока; ε α – плотность источников газа

" α "; Dα – эффективный (суммарный) коэффициент диффузии (см. формулу (2.45) и далее).

§16. Дегазируемые пласты Закономерности движения метана и других газов в угольных и породных пластах, в выработанных пространствах, горных выработках исследуются экспериментально и на математических моделях с различными целями. К ним относятся проектирование, сооружение и оптимизация систем дегазации угольных шахт. Большинство математических моделей этого направления посвящено процессам фильтрации газа к дегазационным скважинам. Одномерная модель движения метана в пласте, описывающая работу галереи дегазационных скважин, предложена в [111]. Галерея в целом моделируется уравнением Р.М. Кричевского:

∂p ∂ ⎛⎜ ∂p 2 ⎞⎟ g ( p) = K , ∂t ∂x ⎜⎝ ∂x ⎟⎠

⎡ abRT ⎤ , (2.130) g ( p ) = 2μ ⎢m + 2⎥ ( 1 ) + bp ⎣⎢ ⎦⎥

а одиночная скважина – тем же уравнением в полярной системе координат:

∂p 1 ∂ ⎛⎜ ∂p 2 ⎞⎟ g ( p) = rK (r ) . ∂t r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠

(2.131)

Краевые условия для (2.131):

P(r , t ) p(r , t )

r = rc

t =0

= P0 = const,

= p1 = const,

r ∈ [rc , R ] ;

∂p = 0, ∂r r = R

t > 0.

(2.132)

Здесь rc , R - радиус скважины и радиус ее действия. Неоднородность массива учитывается функциями:

⎧mИ + (m0 − mИ )(1 + ln(rc / r ) ), r ∈ [rc , rн ], m = m( r ) = ⎨ ⎩mИ , r ∈ (rн , R ].

(2.133)

⎧⎪ K И + ( K 0 − K И )(1 + ln(rc / r ) )3 , r ∈ [rc , rн ] K = K (r ) = ⎨ ⎪⎩ K И , r ∈ (rн , R], 91

где rн – радиус зоны разгрузки, вне которого параметры имеют первоначальные (имевшиеся до бурения скважины) значения - mИ и K И ; m0 , K 0 = const . Модель реализована численно. Математическая модель нестационарной фильтрации к галерее скважин, пробуренных в призабойной зоне пласта, базируется на трехмерном уравнении Р.М. Кричевского [112]: 3

⎡ γаbР0 ⎤ ∂P ∂ Π + = ⎢ ⎥ (1 + bPΓ ) 2 ⎥⎦ ∂t i =1 ∂xi ⎢⎣

∑

⎡ P ∂P ⎤ λ x ( ) ⎢ i P ∂x ⎥ , ⎣ 0 i⎦

(2.135)

где П – пористость, а γ – плотность угля; а, b – параметры Лэнгмюра; λ ( xi ) – коэффициенты фильтрации; PΓ – газовое давление в нетронутом пласте; P0 – нормальное атмосферное давление. Авторы упрощают уравнение (2.135), принимая:

λ( xi ) = λ =

KP0 γаbР0 ; П+ = m = const . 2 μ (1 + bРΓ )

(2.136)

Уравнение (2.135) принимает вид 3

∂P K = ∑ ∂ ⎛⎜⎜ P ∂P ⎞⎟⎟ ∂t μm i =1 ∂xi ⎝ ∂xi ⎠

(2.137)

и решается на ЭВМ. Для радиуса влияния скважины R (определяемого последним из соотношений (2.132), получена формула:

⎛ K ( Pc + PΓ )t g ⎜ R=⎜ ⎝ 5790μm

1/ 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

,

(2.138)

где Рс – разряжение, создаваемое насосом в скважине; t g – время дегазации. Попытка отразить в математической модели специфику газовыделения из призабойной зоны пласта при бурении скважины была предпринята в [113]. Авторы прибегли к уравнению (2.135), записанному в полярной системе координат, где коэффициент проницаемости изменяется по мере удаления от скважины: K = K ( r ). Однако затем, ссылаясь на скорость изменения параметров зоны опорного давления, они приняли, что K ( r ) = K = const . Затем

уравнение

было

линеаризовано

подстановкой

P = P* =

= [( Pn2 + Pc2 ) / 2]1 / 2 в множитель при ∂P / ∂t (т.е. обычном для этих задач способом) и решено численно. Параметры Pn и Pc соответственно начальное давление в пласте и давление газа в камере, примерно равное атмосферному. Приняты постоянными, не зависящими от расстояния от скважины, пористость и проницаемость угольного пласта при моделировании дегазации

92

скважинами, пробуренными впереди очистного забоя [114]. Изменение газового состояния происходит политропически:

ρ = ρ( P ) =

1 1/ n P . β

Уравнение для радиально-симметричного фильтрационного потока: 1− n ⎡ ⎤ 2 m ab β ⎢ P n + ⎥ ∂P = ⎛⎜ K P1 / n ⎞⎟ ∂ P , ⎢n (1 + bP) 2 ⎥ ∂t ⎝ μ ⎠ ∂x 2 ⎣ ⎦

(2.139)

при краевых условиях

P

t =0

= P0 + ( Pпл − P0 )(1 − e − λx ); P

x =0

= P0 ,

(2.140)

где P0 , Pпл – соответственно давление в скважине и в нетронутом угольном пласте; х – расстояние от скважины до текущей точки пласта (в пренебрежении радиусом скважины). Линеаризация (2.139) осуществлена заменой Р=Рпл в его обеих частях (исключая члены-производные). Линеаризованное уравнение совпадает с уравнением теплопроводности: 2 ∂P 2∂ P =C , 2 ∂t ∂x

1/ n KPпл

2

C =

⎡ m аbμRT ⎤ μ + ⎢ 2⎥ ⎢⎣ n (1 + bPпл ) ⎥⎦

,

(2.141)

решаемым аналитически. Для относительно больших t получена приближенная формула, по структуре совпадающая с эмпирической формулой Г.Д. Лидина (2.9). Несмотря на казалось бы грубые упрощения и линеаризации, трансформирующие сложные нелинейные уравнения фильтрации газа в угольном пласте в простые уравнения типа теплопроводности, как это сделано в [114], такой подход позволяет найти достаточно простые и удобные аналитические выражения, имеющие в ряде случаев преимущества перед численными решениями. Более математически строго исследуется модель одномерной изотермической фильтрации газа к скважине малого диаметра в [115], где исходным является уравнение:

∂ϕ( P ) K 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ = ⎜ rP ⎟, ∂t μ r ∂r ⎝ ∂r ⎠

ϕ( p) = mp +

аbRTP . 1 + bР

(2.142)

Функция ϕ (Р) (что справедливо при P < 10 атм) аппроксимируется степенной формулой: 3

ϕ( Р) =

А α Р , α

α ∈ (0,1),

(2.143)

93

где α = α (а, b, m, R, T ), A = A( а, b, m, R, T ) - находятся методом Ньютона. α

С учетом (2.143) и подстановки U = P , уравнение (2.142) приводится к виду:

1 ∂ ⎛ γ ∂U ⎞ 1 ∂U , ⎟= 2 ⎜ rU r ∂r ⎝ ∂r ⎠ C ∂t

γ=

2−α , α

C2 =

K . Aμ

(2.144)

Далее в (2.144) вводятся автомодельные переменные и оно преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение. В этой модели, как и в ряде ранее рассмотренных, нелинейность уравнения переноса обусловлена учетом десорбции метана. Параметры переноса, а именно пористость и проницаемость либо принимались постоянными, либо являлись функциями пространственных координат. Их зависимость от давления (т.е. квазилинейность уравнения переноса) отсутствовала. Более приближенный к реальности подход состоит в учете влияния напряженного состояния массива, что требует отхода от линейного закона Дарси. Уравнение переноса, описывающее изотермическую фильтрацию метана к дегазационной скважине в напряженно-деформи-рованном массиве [116]:

⎛dm аbRT ⎞⎟ ∂P 1 ∂ ν ∂P ⎜ ( ( ) ), (2.145) x P P λ + = ⎜ d P (1 + bP) 2 ⎟ ∂t x ν ∂x x ∂ ⎝ ⎠ где ν = 0 в плоском (галерея) и ν = 1 в осесимметричном (отдельные скважины) случаях; λ = λ ( Р ) – коэффициент газопроницаемости; m = m( P ) – пористость. Согласно экспериментальных данных В.В. Ходота, В.Н. Николаев-ского и др. [116]:

⎛P⎞ λ1 ( P) = λ н ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ P0 ⎠

−α

; λ 2 ( P) = λ н exp[−β( P − P0 )],

(2.146)

где λ1 , λ 2 – используемые типы аппроксимации λ (P ); Р0 – давление газа в нетронутом массиве; α, β – эмпирические постоянные. Для уравнения (2.145) поставлены и численно решены две краевые задачи – с заданным постоянным давлением в скважине (граничное условие I рода) и с заданным дебитом скважины (граничное условие II рода). В обоих случаях оговаривается, что перетечек газа в угольный пласт из вмещающих его пород нет. Перед численным решением уравнение (2.145) преобразовано введением функции Л.С. Лейбензона

∫

Ф( Р) = ρ( Р )λ( Р ) d Р к виду:

∂Ф ∂ 2Ф ∂Ф = A(Ф) 2 + (Ф, x) . ∂t ∂x ∂x

(2.147)

Напряженно-деформированное состояние горного массива, обусловленное влиянием горных работ, приводит не только к необходимости учета зависимости параметров переноса от давления газа, но требует и учета трещиноватой

94

структуры пласта. В ряде рассмотренных ранее математических моделей метанопереноса (начиная с (2.20)÷(2.22)) уже предполагалось блочное строение угольного пласта при котором отдельные сорбционные частицы (блоки) обмениваются газом с системой разделяющих их трещин. Первые модели такого типа, в связи с задачами добычи газа и нефти, были предложены Г.И. Баренблаттом, Ю.П. Желтовым и И.Н. Кочиной [117]. В наибольшей степени проявляется трещиноватая структура дегазируемого пласта при его предварительном гидрорасчленении с поверхности [118]. В математической модели прямолинейной фильтрации газа по трещинам к скважине, рассматриваемой как щель в сечении пласта, используются давление газа в трещинах (Р1) и в блоках (Р2). Система уравнений переноса имеет вид [118]:

m1μ ∂P1 K1 ∂ 2 P12 ⎫ − = ⎪ α1 ∂t 2α1 ∂x 2 ⎪ ⎬ m Р μ ∂ ⎪ 2, P22 − P12 = − 2 ⎪⎭ α1 ∂t P22

− Р12

2.148)

где m1 , m2 – соответственно трещинная и фиктивная блоковые пористости;

μ – вязкость метана; K1 – трещинная проницаемость; α1 = K 2σ*2 – параметр перетока газа из блоков в трещины; K 2 – газопроницаемость блоков угля; σ* – удельная поверхность блоков. Фиктивная пористость блоков m2 определяется из условия равновесия между свободным и сорбированным в блоках газом:

m2 =

аbРа , ρ(1 + bР0 )

где а, b – постоянные Лэнгмюра; Ра, Р0 – атмосферное и пластовое давления; ρ – плотность метана. В начальный момент времени давление газа в блоках и в трещинах равно пластовому: P1 ( x,0) = P2 ( x,0) = P0 . Давление в скважине постоянно:

P1 (0, t ) = Pa . На полурасстоянии между двумя соседними скважинами в силу симметрии (∂P1 / ∂x) x = e / 2 = 0. Система (2.148) обезразмеривается и решается

численно. Система эндогенных трещин в угольном пласте анизотропная [119]. Проницаемость угольных пластов в плоскости наслоения примерно одинакова и значительно (до 10 раз) превышает проницаемость по нормали к пласту. Математическая модель фильтрации газа в трещиновато-анизотропном угольном пласте построена на основе обобщенного закона Дарси для анизотропной среды [119]:

ϑ = − Kμ −1∇Р,

(2.149)

где K – тензор трещинной проницаемости:

95

1 ∑ bi3Γi ( J − ni ni ). 12 i Здесь bi – раскрытие трещин; Гi – их густота; J – единичный тензор; ni – единичный вектор, совпадающий по направлению с составляющей вектора ∇P по K=

плоскости системы трещин i-го номера. Поскольку симметричному тензору второго ранга соответствует поверхность 2-го порядка:

x 2 / K x2 + y 2 / K y2 + z 2 / K z2 = 1, а в угольном пласте K x = K y > K z , уравнение эллипсоида проницаемости принимает вид

x 2 + y 2 + K x2 K z− 2 z 2 = K x2 . На основе последнего, коэффициент газопроницаемости массива по любому направлению:

K ϕ = [(1 + tg 2 α) /( K x− 2 + K z− 2 tg 2 ϕ)]1 / 2 ,

где ϕ – угол между данным направлением и его проекцией на плоскость пласта. Показатель фильтрационной анизотропии пласта:

Kф =

K x qx = , K z qz

где q x , q z – удельный дебит газа в скважину, ориентированную по нормали к пласту и расположенную в его плоскости соответственно. Дегазация разгруженных сближенных пластов осуществляется скважинами, образующими галерею. Подработка сближенного пласта формирует в нем густую сеть трещин, по которым дренируется газ. Модель стационарной фильтрации для этого процесса предложена в [74]:

∂ ⎛ ∂Р ⎞ ∂ ⎛ ∂Р ⎞ ⎛ K x ⎞ ⎟⎟ P + axе −bx = 0, ⎜ λ ⎟ + ⎜⎜ λ ⎟⎟ − ⎜⎜ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ρmc .п. ⎠

(2.150)

где λ, K x − коэффициенты газопроницаемости сближенного пласта и пород-ного массива соответственно; ρ − плотность метана (принимаемая постоянной); mc . п − мощность сближенного пласта; а, b − эмпирические постоянные; х, у − координаты в плоскости сближенного пласта. Последний член в (2.150) описывает функцию плотности источников метана. Коэффициенты λ и Кх в (2.150) отличается по размерности от обычно используемых, т.к. содержит множитель μ / Р0 , где μ − коэффициент динамической вязкости метана ( μ = 109 ⋅ 10

Р0 − нормальное атмосферное давление (Р0 = 101325 н/м2). 96

−7

н.с/м2), а

Глава 6. Газоперенос §17. Модели газопереноса В Гл. 4 перечислены присутствующие в шахтах и рудниках природные и техногенные газы, накапливающиеся и перемещающиеся в горных массивах. Для одного из наиболее распространенных из них – углекислого газа – приводилось уравнение массопереноса (2.26), описывающее его фильтрацию с учетом процессов сорбции – десорбции. Поскольку математические модели переноса различных газов весьма схожи с достаточно подробно рассмотренными в Гл.5 моделями метанопереноса в угольных и породных пластах и в выработанных пространствах, в настоящем разделе ограничимся кратким обзором моделей газопереноса. Модель фильтрации газовоздушной смеси (воздух и углекислый газ) к поверхности обнажения в зоне обрушения выработанного пространства лавы базируется на линеаризованном уравнении пъезопроводности [4]:

∂2P ∂P =χ 2 , ∂t ∂x

Kp P = p2, χ = 0 , mμ

(2.151)

где χ – коэффициент пъезопроводности; K, m – коэффициенты проницаемости и пористости; p0 – начальное газовое давление. В случае обводненности угольного пласта, газовыделение (СО2) из которого сопряжено с водоотдачей, массоперенос углекислого газа и влаги рассматривается совместно, описывается системой уравнений переноса [4]:

⎡ K SP KP ⎤ ∂⎡ аbP ⎤ div ⎢ Β + ∇Р = ⎢ SmPΘ + mP(1 − Θ) + ⎥ ∂t ⎣ 1 + bP ⎥⎦ μ ⎦ ⎣ μΒ

(2.152)

⎛K ⎞ ∂Θ = div⎜⎜ Β ∇P ⎟⎟, ∂t ⎝ μΒ ⎠ где Р – давление газа; Θ – степень заполнения водой фильтрационного объема пор; m – пористость пласта; KВ – коэффициент проницаемости для воды; μ Β – вязкость воды; S – коэффициент растворимости углекислого газа в воде. Ряд математических моделей газопереноса (СО2, О2) предложен в [120]. Для расчета миграции газа, возникающей при контакте породной толщи с водоносным горизонтом глубинного типа, система "горизонт-породная толща" представлена слоистым телом с различными значениями параметров в каждом из слоев:

∂Сi ∂Ci ∂C = i = 0 , (i = 1, n) . = Di ∇ 2Ci , ∂x x = ± a ∂y y = ±b ∂t

(2.153)

97

При этом для каждого из n слоев распределение концентрации на верхней поверхности нижележащего слоя принимается в качестве граничного условия для вышележащего. Конвективно-диффузионный перенос газа в полуограниченном пласте описывается уравнениями:

∂ 2C ∂q ∂C ∂ (ϑC ) =D 2 − , + ∂t ∂x ∂t ∂x

ϑ=−

⎛ mμ ⎞ ∂ ( p ) 2 ∂ 2 ( p 2 ) = , ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ∂ Kp t ∂x ⎝ ⎠

K ∂p , μ ∂x

q = ΓC ,

(2.154)

t > 0, x > 0,

где С – концентрация газа в пласте; р – его давление; Г – постоянная Генри. В случае полуограниченного деформируемого пласта с учетом происходящих окислительных процессов, эта модель усложняется и принимает вид [120]:

∂C ∂C ∂ 2C ∂N , m +ϑ = D 2 − f (t ) − ∂t ∂x ∂t ∂x ⎛ mμ ⎞ ∂ ( p 2 ) ∂ 2 ( p 2 ) , = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 Kp ∂ t ∂x ⎝ ⎠

ϑ=−

t > 0, x > 0,

(2.155)

K ∂p , μ ∂x

(2.156)

∂N = K A (βC − αN ), p( x,0) = p0 , p(0, t ) = p0 (1 − f (t )). (2.157) ∂t C ( x,0) = C0 , C (0, t ) = C1, K = K ( х) = K 0 exp(−b1х), m = m( x) = m0 exp(−b2 х),

(2.158)

где С – концентрация СО2 в потоке; N – концентрация СО2 в твердом скелете пласта; p – парциальное давление СО2 в газовом потоке; f(t) – функция, описывающая кинетику окислительных процессов; КА – объемный коэффи-циент массопередачи; α – постоянная линейной изотермы сорбции (по Генри); β – постоянная скорости химической реакции; b1,b2 – эмпирические постоянные в законах изменения проницаемости и пористости. Задачи фильтрационнодиффузионного переноса газов через систему пластов конечной мощности с различающимися параметрами переноса, обводненностями, источниками (стоками) массы гораздо сложнее. Математическая модель миграции углекислого газа из осадочных и магматических пород в угольные пласты строится на следующих принципах [121]. Массив с переменными свойствами разбивается на n параллельных слоев, в каждом из которых параметры переноса одинаковы. Граничное условие для каждого вышележащего слоя – распределение газа на верхней поверхности нижележащего слоя. Уравнения переноса в слоях:

98

∂C ∂Сi = Di ∇ 2Ci − ϑi i , ∂z ∂t Ci z = zi −1 = Ci −1 x = zi −1 ,

Ci = Ci ( x, y, z , t ),

t > 0,

∂Ci ∂C = i = 0, ∂x x = a ∂y y =b

(2.159)

С0 z = z = F ( x, y, z ), Ci t =0 = 0, i = 1, n. 0 Система (2.159) решалась преобразованием Лапласа по t с последующим разделением переменных. Аналогичная (2.154) модель газопереноса использована в [122] для расчета газовыделения из разрабатываемого угольного пласта с учетом скорости подвигания очистного забоя. Начальные и граничные условия для полуограниченной области с подвижной границей (Р = p2):

C ( x,0) = C0 , P( x,0) = P0 , С (ϕ(t ), t ) = C1,

x ≥ x(t ) = ϕ(t );

P(ϕ(t ), t ) = P1,

t ≥ 0,

(2.160)

где x = ϕ(t ) – закон движения стенки пласта. Решение было получено с помощью теории тепловых потенциалов [123]. Модель [122] была использована для определения параметров фильтрации и разгрузки угольных пластов в условиях равномерного подвигания их забоев: ϕ(t ) = Wt (W = const – скорость подвигания забоя). По данным замеров и аналитическим решением найдены коэффициенты диффузии и проницаемости, средняя скорость фильтрации [124]. Кроме ранее рассмотренных моделей движения в угольных пластах СО2, имеются модели, в которых исследуется газообмен массива, содержащего углекислый газ с рудничным воздухом. При этом кислород рудничного воздуха проникает в уголь и диффундирует в нем, сорбируясь и окисляя углерод. Интенсивность поглощения кислорода пропорциональна его концентрации, коэффициент пропорциональности K0 является константой скорости окисления. Математическая модель поглощения кислорода в пласте угля простейшего вида предложена в [125]:

∂ 2C ∂С = Dк 2 − K 0C , ∂t ∂x

С ( x,0) = 0,

C (0, t ) = CΒ ,

(2.161)

где Dк – коэффициент кнудсеновской диффузии кислорода в угле; СВ – концентрация кислорода в рудничном воздухе; х – координата, направленная вглубь пласта нормально поверхности его обнажения. Уравнение (2.161) решено аналитически, найдено выражение для потока кислорода через поверхность пласта и дебит выделяющейся углекислоты (за счет низкотемпературного окисления угля). Кислород в угольный пласт может проникать не только за счет газообмена с рудничным воздухом, как в рассмотренном случае. Существуют методы борьбы с газом в пластах путем его вытеснения нагнетаемым воздухом.

99

При напорном движении в пласте воздуха протекают процессы [126]: фильтрация метано-воздушной смеси в трещинах и порах угля; десорбция метана и его диффузия из пористых блоков в фильтрационный объем; диффузия и сорбция кислорода из потока воздуха; окисление и нагревание угля. В предположениях идеальности смеси газов, соблюдения для нее закона Дарси и уравнений неразрывности для газов-компонент, математическая модель перечисленных процессов сформулирована в виде [126]:

n

∂C ⎡ KT ⎤ = div ⎢ C ∇(CR )⎥ − Q0 + Qм ; ∂t ⎣ μn ⎦

(2.162)

∂CΜ ⎡ KT ⎤ = div ⎢ CΜ ∇(СR )⎥ + Qм ; ∂t ⎣ μn ⎦

(2.163)

∂C0 ⎡ KT ⎤ = div ⎢ C0 ∇(СR )⎥ − Q0 ; ∂t ⎣ μn ⎦

(2.164)

n

n ρ yβ y

da ∂T = div(λ∇T ) − ρβ(ϑ, ∇T ) + Ψ 0 (1 + η(T − T0 )), (2.165) ∂t dt

где С, СМ, С0 – концентрации метано-воздушной смеси, метана и кислорода соответственно; n – эффективная пористость; R – газовая постоянная; QМ, Q0 – скорость газопритоков метана и кислорода в фильтрационный объем; K – коэффициент проницаемости пласта; Т – температура смеси газов (принимаемая равной температуре угля); ρ у , ρ – плотность угля и метано-воздушной смеси;

β у , β – удельные теплоемкости угля и метано-воздушной смеси; λ – коэффициент теплопроводности пласта; ϑ – скорость фильтрации; Ψ – удельная теплота окисления угля; η – температурный коэффициент; а0 – концентрация сорбированного кислорода; Т0 – начальная температура пласта. После некоторых

упрощений, система (2.162)÷(2.165) совместно с рядом дополнительных соотношений решалась разностным методом. Поглощение углем и горными породами СО2, СО, N2 и ряда других газов играет важную роль в процессах инертизации шахтной атмосферы при подземных пожарах [3]. Рассмотрим две математические модели процессов диффузии газов в массиве, осложненных сорбционными процессами. В [127] рассматривается сферическая частица пористой среды с массообменом на поверхности, соответствующим закону Ньютона (граничные условия III рода). В начальный момент времени концентрации газа вне частицы совпадает с концентрацией его в порах частицы. Связь между свободным и адсорбированным газом линейная: C0 = a0 / γ . С началом процесса ( τ > 0 ) концентрация газа в фильтрационном потоке изменяется произвольным образом: C0 = C0 ( τ) . Краевая задача переноса формируется в виде [127]:

100

∂С 1 ∂ ∂C = 2 ψ (r 2 ) − β( γC − a ), ∂r ∂τ r ∂r ∂a = β( γC − a ), ∂τ

(2.166)

где С, а – концентрации газа в свободном и сорбированном состояниях; β – коэффициент массообмена; γ – постоянная Генри; ψ – коэффициент диффузии. На поверхности частицы:

−

∂C + H [C0 (τ) − C (r , τ)] = 0, r=R ∂r r = R

(2.167)

где H = β / ψ . Кроме того: γC (r ,0) = a (r ,0) = a0 ; (∂C / ∂r ) r = 0 = 0. Задача (2.166)÷(2.167) решалась преобразованием Лапласа, полученные результаты хорошо соответствовали экспериментальным данным по поглощению азота песчанистыми и глинистыми сланцами. Более сложный случай – кинетики изотермической адсорбции и десорбции СО2 и СО при учете различной влажности массива – рассмотрен в [128]. Математическая модель отличается от предыдущей учетом адсорбции водой:

∂ ∂C ∂С 1 ) − β1 ( γ1C − a1 ) − β 2 ( γ 2C − a2 ) , = 2 ψ (r 2 ∂r ∂r ∂t r (2.168) ∂a2 ∂a1 = β1 ( γ1C − a1 ), = β 2 ( γ 2C − a2 ), ∂τ ∂τ где β1,β2 – коэффициенты адсорбции; γ1, γ 2 – коэффициенты Генри; a1, a2 –

концентрации адсорбированного газа твердой и жидкой фазами. Граничные условия на поверхности сферической частицы аналогичны (2.167). Решение задачи осуществлено преобразованием Лапласа. Результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными по адсорбции СО2 песчанистыми сланцами различной влажности.

Глава 7. Влагоперенос §18. Эндогенная влага Процессы переноса эндогенной влаги (обусловленные обводненностью горных массивов и пересечением горными выработками водоносных горизонтов) играют большую роль при проектировании, строительстве и эксплуатации шахт и рудников, т.к. оказывают сильное влияние на технологию и безопасность горных работ, формирование подземного микроклимата. Горные масси-

101

вы, являющиеся трещиновато-пористыми средами, под воздействием горных работ резко увеличивают трещиноватость; развитие зон трещинообразования создает гидравлическую связь между водоносными горизонтами и угольными пластами, породами кровли и почвы. В процессе обрушения горных пород зона трещинообразования может в 10÷15 раз превысить размеры собственно зоны обрушения в выработанном пространстве [129]. Существуют различные инженерные методики расчета водопритоков в выработки шахт и рудников [33,36,39,40]. Большинство из них основано на схеме "большого колодца" [36,37,130]. Использование более строгих методов теории фильтрации затруднено сложностью реальной обстановки: неоднородностью и анизотропией горных массивов, трехмерностью процессов, нестационарностью размеров и форм областей фильтрации, недостаточностью информации о параметрах переноса. Тем не менее имеется ряд математических моделей переноса, в силу необходимости достаточно упрощенных, некоторые из которых далее расматриваются. В связи с изучением остаточной газоносности угля и распределения газового давления в призабойной зоне, была предложена математическая модель взаимосвязанного движения газа и пластовой жидкости [131]. Жидкость в угле располагается в более крупных порах и трещинах, образующих эффективную (фильтрационную) пористость. Газ в основном локализован в микропористых частицах (сорбционных блоках). Предпо-лагается, что движение жидкости и газа в фильтрационном объеме описывается уравнениями фильтрации, а движение газа в сорбционном объеме – уравнением диффузии. Для жидкости и газа справедлив закон Дарси:

ϑΓ = −

KΓ ∇p; μΓ

К ϑ ж = − ж ∇р , μж

(2.169)

где ϑΓ , ϑж – векторы скоростей фильтрации газа и жидкости: K Γ , μ Γ , K ж , μ ж – коэффициенты проницаемости и вязкость соответственно газа и жидкости. Давления газа и жидкости, как это следует из (2.169), в фильтрационном объеме совпадают. Уравнения движения жидкости и газа:

∂ (mσρж ) + div ρ ж ϑж = 0, ∂t

(2.170)

∂ [mρΓ (1 − σ) + Smσp + (1 − m)Qc ] + div(ρΓ ϑΓ + Sρ ж ϑж ) = 0, (2.171) ∂t где ρ ж , ρΓ – плотности жидкости и газа; m − эффективная (фильтрационная) пористость; σ – степень насыщенности жидкостью фильтрационного пространства; S – растворимость газа в жидкости; Qc – количество сорбированного газа в еди-

нице объема угля. Система уравнений (2.169)÷(2.171) замыкается уравнением десорбции газа из шаровидной частицы угля (2.20). Далее осуществлен переход к стационарному изотермическому процессу и получены приближенные решения.

102

Физико-механические свойства горных пород зависят от степени их увлажнения. Математическая модель влагопереноса в массиве бокситов [132] предложена с целью расчета распределения влаги в нем с учетом испарения ее в горные выработки. Рассматривается случай отсутствия влагопритоков из массива, заключающего в себе пласт боксита, когда влага перемещается только вдоль горизонтальной оси х под действием всасывающего давления ψ (u ) , возникающего в приповерхностном слое сразу после возникновения в нем влагопотерь. Влагосодержание в этом слое падает, приближаясь к равновесному гигроскопическому. Движение влаги описывается законом [63]:

∂ψ ⎞ ∂u ∂u ∂ψ(u ) ⎛ = ⎜ K (u ) (2.172) ⎟ = D(u ) , ∂u ⎠ ∂x ∂x ∂x ⎝ где u – влагосодержание; Qx – поток влаги вдоль оси х через единичное сечение; K(u) – коэффициент влагопереноса; D(u) – коэффициент влагоQx = K (u )

проводности. Уравнение влагопереноса, следующее из закона сохранения количества вещества и (2.172) имеет вид:

∂u ⎤ ∂u ∂ ⎡ = ⎢ D(u ) ⎥. ∂x ⎦ ∂t ∂x ⎣

(2.173)

На границах пласта боксита заданы граничные условия III рода:

∂u ∂u = h(u − uвоз ) = h(u − uвоз ) , K , (2.174) x =0 x=L ∂x x = 0 ∂x x = L где h – коэффициент влагообмена; uвоз – влагосодержание рудничного воздуха K

при

данной

температуре и давлении. Задача была линеаризована (D(u) = сonst) и решена на ЭВМ. Получены данные о темпе потери влаги массивом боксита, который оказался, в соответствии с наблюдаемым в натуре, весьма малым – на глубине в 3 м от поверхности падение влагосодержания на 10% от начального происходит только за 1600 суток. Влагоотдача трещиноватого скального горного массива (глубокий полиметаллический рудник) изучалась в связи с проблемой регулирования подземного микроклимата [82]. При построении математической модели влагопереноса из массива в выработку, авторы исходили из того, что в трещиновато-пористой среде одновременно происходят молекулярный, молярный и конвективный перенос влаги, описываемые единым эффективным коэффициентом массопереноса. Уравнение влагопереноса было взято в виде:

∂Θ ∂ 2Θ = am 2 , ∂τ ∂x

x > 0,

τ > 0,

(2.175)

где Θ – влагосодержание горного массива; am – коэффициент массопереноса. При краевых условиях:

103

Θ( x,0) = Θ 0 ; Θ(∞, τ) = Θ 0 ;

∂Θ → 0; ∂x x →∞

(2.176)

∂Θ − β m [Θ(0, τ) − Θ В ] = 0 , ∂x x = 0 где β m – коэффициент массообмена; Θ B – влагосодержание рудничного воздуха, am

−7 уравнение (2.175) было решено аналитически. При значении am = 2,5 ⋅ 10 м2/с полученные расчетные данные удовлетворительно согласовались с экспериментальными. Динамика распространения зоны пониженной влажности, в отличие от предыдущего случая, была весьма выражена: через 20 часов граница зоны осушения достигала 1,5÷2,0 м от поверхности выработки; через 40 часов – 3,5 м и через 400 часов она составила около 6 м. Наряду с рассмотренными моделями влагопереноса, носящего локальный характер (рассматривался поток жидкости к стенке очистной и подготовительной выработок) для прогноза водопритоков на горизонт или шахту (рудник) в целом, известны модели "агрегированного", суммарного водопритока к пространственно распределенным (сеть горных выработок) областям его разгрузки. При этом используется термин "водоприемная система", что подразумевает линейные, кольцевые и площадные системы водозаборных и дренажных скважин, водосборные галереи, системы горных выработок [133]. Размеры и формы водоприемных систем определяются горно-геологическими и горнотехническими факторами и со временем изменяются (шахты и рудники – системы эволюционирующие, "расширяющиеся" при строительстве и эксплуатации). Поскольку блоки массива, разделяющие отдельные выработки, осушаются достаточно быстро, системы горных выработок внутри их внешнего контура, схематизируются как непрерывные линейные или площадные водоприемные системы (протяженностью от сотен метров до километров). Предполагается, что площадь водоприемной системы растет линейно по времени: F = αt , α = const . На основе этого и ряда других предположений, М.А. Рогожиной предложен ряд математических моделей притока рудничных вод [133]. Основные из этих, по необходимости идеализирующих реальную картину предположений, таковы: а) описывается только вторая фаза формирования водопритока (период осушения), когда уровень подземных вод на границе водоприемной системы постоянен; б) водоносный горизонт не ограничен, на расстоянии Н1 от его нижнего водоупора находится единичная горизонтальная выработка; в) начальное положение уровня подземных вод над плоскостью водоупора постоянно и равно Н0; г) поток считается планово-плоским; д) границы осушенной зоны совпадают с границами водоприемной системы; е) выполняется гипотеза Ж. Дюпюи о постоянстве градиента напора в каждом вертикальном сечении (что сводит задачу к двумерной). Круговая развивающаяся водоприемная система при указанных предпосылках моделируется краевой задачей:

104

∂2H

1 ∂H 1 ∂H = , + 2 r ∂r χ ∂t ∂r

1/ 2

⎛F⎞ r > rΓ = ⎜ ⎟ ⎝π⎠

t > 0,

1/ 2

⎛α⎞ =⎜ ⎟ ⎝π⎠

t , (2.177)

где H = H ( r , t ) – уровень пьезометрического напора; χ – коэффициент пьезопроводности; r = rΓ – граница системы,

(

)

H (r ,0) = H 0 , H (rΓ , t ) = H (α / π)1 / 2 t , t = H1 .

(2.178)

Краевая задача (2.177)−(2.178) для уравнения теплопроводности с движущейся t границей решается введением автомодельной переменной по закону

ξ = r / 2 χt : ∞ −ν ⎡ Ei (− r 2 / 4χt ) ⎤ e H (r , t ) = H 0 − ( H 0 − H1 ) ⎢ dν . ⎥, Ei (−ξ ) = − ν E − α πχ ( / 4 ) ⎢⎣ i ⎥⎦ ξ

∫

(2.179)

Объем осушения и водоприток: ∞

∫

Q(t ) = μ

V = V (t ) = 2πr[ H 0 − H (r , t )] d r , 0

d V (t ) , dt

μ=

кm . χ

В случае развивающейся водоприемной системы с эллиптическим контуром, уравнение ее границы

xΓ2

yΓ2

+ 2 = 1. A B 2

Натурные наблюдения позволяют считать, что F = πAB = αt = πγβt ( A = = γ t , B = β t ), что дает потока

(x2 γ 2 )+ (yΓ2 β2 ) = t. Γ

⎛ ∂ 2S ∂2S ⎞ ∂S = a⎜ 2 + 2 ⎟, ⎜ ∂x ∂t ∂y ⎟⎠ ⎝

Уравнение планового

S = S ( x, y, t ),

(2.180)

где S ( x, y, t ) − понижение уровня в водоносном пласте. До начала проходки выработки S ( x, y,0) = 0. На границе контура: S ( xΓ , yΓ , t ) = S Γ . Решение осуществлено заменой и разделением переменных, получено:

⎛ J (λ ) ⎞ S = S (λ) = S Γ ⎜⎜ 0 ⎟⎟, ( 0 ) J ⎝ ⎠

∞

J (λ ) =

∫ λ

exp(−ξ / 2) d ξ, (c + ξ)(d + ξ)

(2.181)

где λ определено соотношениями:

105

u2 ϑ2 + = 1; c+λ d +λ

u = Kх;

ϑ = Kу;

θ = K 2t ;

K = (2аt ) −1 / 2 .

Решение для линейной водоприемной системы находится предельным переходом от эллиптической.

§19. Экзогенная влага Процессы переноса экзогенных (технологических) жидкостей, возникающие при воздействиях на горные массивы (пласты угля, пород, обрушенные пространства) через скважины, характеризуются более развитыми математическими моделями, что обусловлено локальным протеканием этих процессов. Предварительное увлажнение угля в пласте, как мера борьбы с пылью, газом и другими опасностями в шахтах рассматривалось ранее (см.§12). Для описания процессов движения влаги по отдельному капилляру и в пласте в целом были приведены соответствующие уравнения ((2.31) и (2.33)). Последнее является уравнением нестационарного массопереноса (диффузии) и позволяет находить размеры влияния скважин и другие расчетные величины. Более простая модель, основанная на уравнении Лапласа относительно давления (вытекающая из закона Дарси)

∂2P ∂х

2

+

∂2P ∂у

2

= 0,

(2.182)

предложена в [134] на основе исследований А.С. Бурчакова. Решение этого уравнения при заданном темпе нагнетания через скважину (граничные условия II рода) получено методом Л.С. Лейбензона в виде

⎛ ⎛ 2πRK ⎞ ⎞ ⎜ ch⎜ ⎟ −1⎟ Qμ ⎜ ⎝ ψh ⎠ ⎟ , P = P( R) = ln ⎟ 4πlK ⎜ ⎛ 2πR ⎞ ⎟ −1 ⎟ ⎜ с h⎜ h ψ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.183)

где Q – темп нагнетания; μ – вязкость жидкости; l – длина фильтрующей части скважины; K – проницаемость пласта; R – текущая радиальная координата; RΚ – радиус зоны действия скважины; h – мощность пласта; ψ – коэффициент его анизотропии. Найденная по (2.183) кривая зависимости P = P (h) удовлетворительно согласуется с опытными данными. Учет анизотропии угольного пласта, подвергнутого гидродинамическому воздействию в режиме фильтрации, при поршневом вытеснении газа в стационарном режиме, был осуществлен [56] путем использования вместо (2.182) уравнения вида:

106

∂ ⎛ ∂P ⎞ ⎜⎜ K i ⎟⎟ = 0, x x ∂ ∂ i⎠ i =1 i ⎝ 3

Σ

K i = K i ( x, y, z ).

(2.184)

Дальнейшее усложнение модели закачки жидкости в трещиноватый пласт осуществлено в [135], где учитывается наведенная проходкой скважины неоднородность горного массива. Уравнение нестационарной пьезопроводности в трещиноватом пласте:

∂P = χ∇ 2 P, ∂t

χ=

K , μ(mΤβ ж + βс )

(2.185)

где χ – коэффициент пъезопроводности; K – проницаемость; μ – вязкость жидкости; mΤ – трещинная пористость; β ж , βс – соответственно коэффициенты сжатия жидкости и скелета среды. Модель (2.185) с учетом полярной системы координат и наличия двух зон в пласте с различными параметрами переноса, приводится к виду:

∂P ⎞ 1 ∂P1 1 ∂ ⎛ = ⎜ K1 (r )r 1 ⎟, χ1′ ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠ 1 ∂P2 1 ∂ ⎛ ∂P2 ⎞ = ⎟, ⎜r r ∂r ⎝ ∂r ⎠ χ 2 ∂t

t > 0,

r ∈ (0, R ),

t > 0,

r > R,

(2.186)

(2.187)

где P1 и P2 – давление в призабойной зоне и в остальной части пласта;

χ′1 = [μ(mΤβ ж + βс )]−1 ; параметры, входящие в χ′1 берутся с индексом "1", а входящие в χ 2 – с индексом "2". Заменой Pi = P0 + gU i , g = Qμ / 2πhK i , (i = 1,2) начальное давление в обеих зонах приводится к нулевому. Краевые

условия:

U1 (r ,0) = U 2 (r ,0) = 0;

U 2 (∞, t ) = 0;

(2.188) ∂U1 ∂U 2 U1 ( R, t ) = U 2 ( R, t ), K1 = K2 . ∂r r = R −0 ∂r r = R + 0 Краевая задача (2.186)ч(2.188) решена преобразованием Лапласа. Близкая к этой модель, описывающая процесс пропитки пласта закачиваемым в него быстротвердеющим раствором полимерных смол, в которой массив также имеет неоднородную, двухзонную структуру, предложена в [136]. В отличие от предыдущего случая, где неоднородность была обусловлена наличием призабойной зоны, источником неоднородности в этом случае является зональность насыщения массива газом и жидкостью. Уравнения пьезопроводности имеют вид:

∂P1 a1 ∂ ⎛ ∂P1 ⎞ = ⎟, ⎜r ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠

r ∈ [r0 , R(t )],

t >0

(2.189)

107

∂P2 a2 ∂ ⎛ ∂P2 ⎞ = ⎟, ⎜r ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠

t > 0,

r ∈ [ R(t ), ∞),

(2.190)

где a1, a2 – коэффициенты пьезопроводности жидкости и газа соответственно;

P1, P2 – давление закачиваемой жидкости и давление газа в пласте; R(t ) – подвижная граница раздела между газовой ( r ≥ R (t )) и жидкой ( r ∈ [ r0 , R (t )) зонами. Краевые условия:

P2 (r ,0) = P2 (∞, t ) = P0 , P1 (r0 , t ) = Pc , R(0) = r0 ,

P1 ( R(t ), t ) = P2 ( R(t ), t ),

K ∂P1 K ∂P2 dR(t ) = = −m , dt μ1 ∂r r = R (t ) μ 2 ∂r r = R (t )

(2.191)

где μ1,μ 2 – вязкости жидкости и газа; K – проницаемость пласта; P0 – пластовое давление газа; Pc – давление жидкости на забое скважины; m – пористость пласта. Задача решалась заменой переменных и аппроксимацией искомых функций полиномами второй степени по х = ln( z / z0 ) . Использованный приближенный метод обоснован не был. Учет сил капиллярного давления, чему ранее уделялось большое внимание [53,54], но что игнорировалось в рассмотренных нами работах, при моделировании фильтрации жидкости в трещинвато-пористом угольном пласте, осуществлен в [137]. Рассматривается модель двух взаимопроникающих пористых сред [117]. Уравнения фильтрации:

K K ϑ1 = − 1 ∇P1, ϑ2 = − 2 ∇P2 , q = ρβ0 ( P2 − P1 ), μ μ ∂ (m2ρ) ∂ (m1ρ) + div ρϑ1 − q = 0, + div ρϑ2 + q = 0, ∂t ∂t

(2.192)

где индекс "1" относится к пористой среде 1, а индекс "2" – к пористой среде 2; q – интенсивность перетоков жидкости из среды 2 в среду 1; β0 – эмпирическая постоянная; β – плотность, а μ – вязкость жидкости. Уравнения (2.192) решались для одномерного потока, в котором на границе раздела жидкости и газа x = l(t ) имел место скачок давлений, обусловленный капиллярными сила-

ми. Поверхностное давление Рп вычислялось по формуле Pn = 2α cos θ / r с усредненным значением радиуса пор r = (Σ ri ni ) /(Σ ni ) . Анализ полученного i

i

решения привел к выводу об отсутствии существенного влияния добавок поверхностно-активных веществ в воду на процесс ее нагнетания в пласт. Учет конечной скорости движения закачиваемой в горный массив жидкости в сочетании с линеаризацией и использованием потенциала фильтрации Л.С. Лейбензона F (2.71), приводит к гиперболическому уравнению фильтрации:

108

∂F ∂2F a∇ F = + τ∗ 2 , ∂t ∂t 2

(2.193)

где τ* – период релаксации градиента давления, связанный с конечной скоростью фильтрации ω зависимостью: ω = ( a / τ* )

1/ 2

[7].

Глава 8. Парадигма моделирования массопереноса в массивах На основе эмпирических данных о средах, флюидах, параметрах и механизмах переноса, приведенных вГл.4 и общих методов теории переноса в пористых и трещиновато-пористых системах, построены математические модели метанопереноса (Гл. 5), газопереноса (Гл. 6) и влагопереноса (Гл. 7). Они дифференцировались по видам объектов (пласты угля и породы, деформированные (подработанные) массивы, выработанные пространства) и флюидам (метан, углекислый и другие газы, эндо- и экзогенная влага). Переходя к характеристике парадигмы массопереноса в массивах, классифицируем ранее рассмотренные модели по признакам: моделируемая физическая система (среда); процесс переноса; математическая структура моделей.

§20. Системы Как следует из предыдущего, видов рассматриваемых систем (различных физических моделей горной среды), в отличие от большого числа объектов (частных конкретизаций понятия "горный массив"), всего два: пористые и трещиноватопористые среды. Они подразделяются на изотропные и анизотропные, однородные и неоднородные. Неоднородные системы характеризуются переменными (вдоль координатных осей) параметрами переноса. В неоднородных одномерных системах можно выделить простые неоднородные (изменение каждого параметра описывается непрерывной функцией), слоисто-неоднородные (кусочнонепрерывные изменения параметров), слоистые (параметры в слоях различны, но постоянны в каждом слое). В таблице 2.7 рассмотренные в Гл.5-7 объекты массопереноса сопоставлены его системам и моделям. В простых и слоистонеоднородных системах изменение параметров переноса описывается степенными, экспоненциальными и логарифмическими функциями. Слоистые системы имеют три разновидности: двухслойные; двухслойные с подвижной границей; nслойные. В случаях подвижных границ и изменения параметров переноса со временем, будем говорить о нестационарных системах.

109

§21. Процессы Для характеристики всех видов газопереноса, перечисленных в Гл.4, используем агрегированные (укрупненные) понятия: диффузия (все ее виды), фильтрация, конвективная (фильтрационная) диффузия. Разделяем режимы фильтрации: жесткий (при постоянной плотности флюида); упругий (пьезопроводность); ламинарный (соблюдается закон Дарси); турбулентный (при обобщенном – квадратичном законе Дарси). В таблице 2.8 различные процессы переноса сопоставлены соответствующим системам (средам) и моделям. В таблице 2.8 не выделены, но среди рассмотренных в Гл.4-7 имеются модели, описывающие несколько одновременно протекающих процессов переноса. Этим взаимосвязанным процессам переноса соответствуют неординарные краевые задачи (по классификации [138]), приведенные в таблице 2.9. Из таблицы 2.9 следует, что взаимосвязанные процессы массопереноса являются комбинациями его трех основных видов: диффузии, фильтрации, конвективной диффузии. Из физических соображений следует, что в реальном горном массиве должны наблюдаться и другие типы взаимодействий, обусловленные механическими и тепловыми процессами. Математические модели такого рода практически отсутствуют, хотя имеются отдельные работы, в которых газодинамические процессы рассматриваются в связи с процессами диссипации энергии деформирования и разрушения пласта [23]; в связи с реологическими процессами в упруго-вязкопластическом массиве [139]. Известны модели внезапных выбросов угля и газа, в которых процессы газопереноса и механического движения угольных или породных масс рассматриваются взаимосвязано [29,30,140,141]. Эти модели все же ближе к механике, чем к теории массопереноса, в рамках которой пока не сложилась парадигма флюидомеханики (в понимании этого термина как аналога термомеханики).

§22. Модели Будем далее понимать термин "система" не как "среда", а в суженном смысле: система есть выделенная часть горной среды с протекающим в ней процессом массопереноса, характеризуемая заданными размерами и формой и взаимодействующая определенным образом с окружающей ее горной средой. Форма движения и взаимодействия флюида с системой определяет процесс массопереноса, математически выраженный соответствующим функциональным уравнением (в большинстве случаев – уравнением в частных производных параболического типа). Условия взаимодействия границ системы с окружающей средой, вытекающие из характера этого взаимодействия и вида уравнения переноса, называются граничными условиями. Состояние системы в некоторый момент времени, начиная от которого процесс в ней моделируется, характеризуется начальным условием. Совокупность уравнения переноса, начального и граничных условий (именуемых краевыми) представляет собой краевую задачу переноса – его математическую модель. Краевые задачи массопереноса, рассмотренные выше, классифицируем согласно [138].

110

Таблица 2.7 Системы Системы и объекты Модели 1 2 I. Однородная пористая среда Угольный пласт с пониженным газовым давле(2.73) нием (Р ≤ 1МПа), либо частично дегазированный Угольный пласт вне зоны влияния горных работ (2.109)÷(2.112), (2.114), (2.142) Угольный пласт (2.154)÷(2.157), (2.161) Пласт бокситов (3.173) Выработанное пространство (2.116), (2.125), (2.127) II. Неоднородная пористая среда Наклонный угольный пласт, выходящий на по(2.176) верхность Система "осушенный пласт породы – покров(2.77) ные отложения" Зона угольного пласта, примыкающая к дега(2.83), (2.84) зационной скважине Угольный пласт вблизи скважины и галереи (2.130), (2.131) скважин Зона разгрузки угольного пласта при его сдви(2.99), (2.100) жении Деформированный угольный пласт, содержа(2.133) щий в порах газ и жидкость Призабойная зона угольного пласта (2.69), (2.139) Деформированно-напряженный угольный пласт (2.145) Обводненный угольный пласт Слоистая система породных пластов Выработанное пространство при отработке сближенного пласта Зона обрушения выработанного пространства

(2.152) (2.159) (2.106), (2.107)

(2.117) Выработанное пространство (2.121)÷(2.123), (2.129) III. Однородная трещиновато-пористая среда Скальный горный массив (2.175) Горный массив с водоносным горизонтом и водоприемными системами круглой и эллип(2.177), (2.180) тической формы Пласт угля, в который через скважину нагне(2.182), (2.184) тается жидкость Угольный пласт, обрабатываемый химиче(2.74) ски активной жидкостью

111

Продолжение таблицы 2.7. (2.78), (2.79)

Выбросоопасный угольный пласт Предельно-напряженная область газонасы(2.80)÷(2.82) щенного угольного пласта Нарушенный горный массив (2.94) Угольный пласт с дегазационной скважиной (2.148) Сорбирующий газ массив (угольные и по(2.166) родные пласты) Влагосодержащий, сорбирующий газ массив (2.168) Призабойная, увлажненная зона угольного (2.169)÷(2.171) пласта Влагонасыщенный угольный пласт (2.192) IV. Неоднородная трещиновато-пористая среда Упрочняемый (закачкой раствора полимер(2.189), (2.190) ных смол) породный массив Трещиноватый пласт при закачке в него жид(2.186), (2.187) кости Выработанное пространство (2.120) Призабойная зона угольного пласта с галере(2.135) ей скважин Трещиновато-анизотропный угольный пласт (2.149) Пласт угля, обрабатываемый нагнетанием в (2.162)÷(2.164) него воздуха

Таблица 2.8 Процессы переноса

Процессы

Однородная пористая среда

1

2

Диффузия

(2.73), (2.102), (2.105), 2.114), (2.161), 2.173)

Фильтрация (жесткий режим)

112

(2.109),(2.116)

Модели Однородная Неоднородная Неоднородная трещиновато- трещиноватопористая среда пористая среда пористая среда 3 4 5 (2.78), (2.79), (2.80), (2.95), (2.162), − (2.96), (2.166), (2.163),(2.164) (2.168),(2.175) (2.77), (2.117), (2.150)

(2.182),(2.184)

−

1 Фильтрация (упругий режим – пьезопроводность) Ламинарная фильтрация Турбулентная фильтрация Конвективная (фильтрационная) диффузия

Продолжение табл. 2.8 4 5

2

3

(2.126),(2.127), (2.141),(2.151)

(2.113), (2.189),(2.190)

(2.79), (2.110), (2.112),(2.125), (2.137),(2.142), (2.144)

(2.69), (2.76), (2.83), (2.84), (2.94), (2.82), (2.99), (2.100), (2.139),(2.148) (2.106), 2.107), (2.169),(2.170) (2.130), 2.131), (2.171),(2.192) (2.145),(2.152)

(2.177),(2.180)

(2.185),(2.186) (2.187),(2.189)

(2.90), (2.91), (2.92), (2.135), (2.149)

(2.67)

(2.123),(2.128)

−

(2.120)

−

(2.121),(2.129) (2.154),(2.155) (2.159)

(2.74),(2.81)

−

Таблица 2.9 Взаимосвязанные процессы переноса

№ п/п 1 1.

2.

3. 4.

Взаимосвязанные процессы Модель Объект переноса 2 3 4 Неоднородная пористая среда Сопряженный фильтрационный (2.152) Обводненный газовлагоперенос угольный пласт Конвективная диффузия, связанная с сорбционными (диффу- (2.154)÷(2.157) Угольный пласт зионными) процессами Однородная трещиновато-пористая среда Фильтрационно-диффузионный Угольный пласт, перенос, сопровождающийся хи(2.74) обработанный мической реакцией раствором ХАВ Газонасыщенный Диффузионный и конвективно(2.80)÷(2.82) угольный пласт диффузионный газоперенос

113

1 5.

6.

7.

8.

9.

Продолжение табл. 2.9 4 Дегазируемый угольный пласт

2 3 Газоперенос в блоках (диффузия) и трещинах (фильтрация) (2.148) бипористой среды Диффузия газов с учетом сорбПласты угля и ционных процессов в твердой и (2.166)÷(2.168) пород жидкой средах Сопряженный газовлагоперенос Призабойная зона (фильтрация жидкости и газа с (2.169)÷(2.171) угольного пласта учетом его десорбции) Фильтрация жидкости (с учетом сил капиллярности) в трещинах и (2.192) Угольный пласт блоках (бипористая среда с двумя давлениями) Неоднородная трещиновато-пористая среда Взаимосвязанная диффузия трех Угольный пласт (2.162)÷(2.164) газов

Прямые и обратные задачи переноса, рассмотренные нами, составляют весьма неравные группы: работ по обратным задачам существенно меньше, чем по прямым. Эта особенность нашей выборки (работ, включенных в обзор) характерна и для генеральной совокупности, отражая современное состояние развития парадигмы. Практически все известные обратные задачи – инверсные (коэффициентные). Работы по другим типам обратных задач нам неизвестны. Размерность и форма моделируемых систем. Многие задачи формируются как трехмерные, но при решении их переходят к одномерным и двумерным приближениям. Используются декартовы (пласты, галереи скважин), полярные (скважины, горные выработки), и сферические (торцы скважин, забои выработок) координаты. Двумерные задачи характерны для выработанных пространств и деформированных массивов. Среди форм рассматриваемых систем преобладают простейшие – плита, цилиндр, шар. Соответственно для внешних краевых задач используются дополнения этих тел до всего пространства. Стационарные и нестационарные задачи, в узком смысле, определяются отсутствием либо наличием в уравнении переноса производных по времени. Решение таких задач представляют собой, соответственно, стационарные (искомая функция от времени не зависит) и нестационарные поля. В широком смысле в нестационарные задачи входят описывающие процессы переноса в нестационарных средах (системы с переменными во времени параметрами переноса и с подвижными границами) – таблица 2.10. В таблицу 2.10, в число моделей с переменными во времени параметрами, не вошли квазилинейные уравнения (параметры – функции потенциала переноса), поскольку решаются такие задачи, как правило, линеаризацией или сведением к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

114

Ординарные и неординарные задачи представлены, соответственно, в таблицах 2.8 и 2.9. Модели, описываемые неординарными краевыми задачами, т.е. системами краевых задач, соответствуют сложным процессом переноса, когда взаимодействуют два или более потенциалов переноса. С точки зрения разработки эффективных аналитических методов решения задач переноса, трудности, присущие неординарным задачам – суть трудности решения ординарных задач, но усугубленные наличием их системы.

Таблица 2.10 Стационарные и нестационарные задачи Нестационарные задачи Размерность

Одномерные

Двумерные

Трехмерные

Стационарные задачи

−

(2.77),(2.116), (2.117), (2.121), (2.150),(2.182)

(2.109),(2.184)

Стационарные системы (2.76),(2.80), (2.83),(2.84), (2.96),(2.105), (2.110),(2.114) (2.125),(2.126), (2.130),(2.131), (2.139),(2.141), (2.142),(2.144), (2.148),(2.151), (2.154),(2.155), (2.156),(2.161), (2.166),(2.168), (2.173),(2.175), (2.186),(2.187) (2.81),(2.107)

(2.73),(2.78), (2.79),(2.94), (2.95),(2.102), (2.106),(2.113), (2.127),(2.129), (2.135),(2.137), (2.145),(2.153), (2.162),(2.163), (2.164),(2.185), (2.193)

Нестационарные системы Параметры Задачи с подзависят от вижными гравремени ницами

(2.99), (2.100)

(2.70),(2.74), (2.85),(2.90)÷ (2.92),(2.103), (2.150),(2.160), (2.177),(2.180), (2.189),(2.190)

−

−

(2.69)

−

115

Граничные условия краевых задач в рассмотренных нами моделях массопереноса в массиве соответствуют наиболее распространенным в теории процессов переноса: это условия I, II, III и IV рода, причем, как правило, простейшего вида (с постоянными коэффициентами, входящими в них). Начальные условия в большинстве случаев задаются простейшего вида – искомая функция в начальный момент постоянна во всей системе (однородные условия). Исключением, когда начальное условие неоднородно (потенциал переноса зависит от пространственной координаты), среди рассмотренных моделей является (2.139), (2.140). Однородные и неоднородные уравнения переноса распространены неравным образом: в большинстве моделей используются однородные, т.е. не содержащие в правой части функции плотности источников массы, уравнения. Многие авторы предпочитают учитывать реально существующие источники посредством граничных условий или другими способами. Это, как и в случаях предпочтения однородных начальных условий, связано с двумя причинами: сложностью эмпирического определения вида функций плотности источников и большими трудностями решения неоднородных уравнений обычно применяемыми методами (разделение переменных, преобразование Лапласа по времени). Типичные методы альтернативного учета источников таковы. Десорбирующийся из угольного вещества метан в уравнении Р.М. Кричевского описывается функцией – сомножителем при ∂Р / ∂t (2.69). Сорбционная частица сферической формы в модели В.А. Бобина (2.20)÷(2.22) выделяет метан в фильтрационный объем, давление газа в котором связано с его концентрацией на поверхности частицы граничным условием. Фильтрация газа из разгруженного пласта-спутника в выработанное пространство описывается [100] однородным уравнением (2.107), а газовыделение из сближенного пласта – граничным условием II рода (2.108). В ряде работ приводятся неоднородные уравнения без конкретного вида функции плотности источников массы ((2.102), (2.103), (2.106), (2.114), (2.129), (2.162)÷(2.164)). В явном, эксперимен-тально обоснованном, виде функция источников приведена в [74] и [105] ((2.150), (2.121), (2.122)). Линейные и нелинейные уравнения также составляют две неравные группы: нелинейные уравнения в моделях газопереноса в пористых и трещиновато-пористых средах составляют большинство, т.к. являются следствиями нелинейных уравнений Л.С. Лейбензона и Р.М. Кричевского. Уравнения влагопереноса при учете капиллярных сил являются квазилинейными. Линейными уравнениями описывается: диффузия метана в частично дегазированном пласте (2.73); десорбция его из частиц – сорбционных блоков (2.20), (2.80); конвективная диффузия в заданном поле скоростей (2.154); упругий режим фильтрации газов и жидкостей (пьезопроводность) (2.113). (2.177); эффективный влагопароперенос (2.175); жесткий режим фильтрации (2.109), (2.116). Нелинейные уравнения, даже при использовании численных методов, вначале линеаризуются, что осуществляется заменой полевой функции (давления P в задачах фильтрации) в уравнении переноса (кроме членов, содержащих дифференциальные операторы) на постоянную величину. В [8] эта постоянная ве116

личина определялась формулой P = P = 0,86 P0 и обосновывалась сравнением *

решения с результатами гидромоделирования ( P0 − пластовое давление в нетронутом пласте). В [6] принималось P = Ps , где Ps − давление на границе *

[(

зоны разгрузки пласта. В [92] P = P0 , а в [113] P = P0 + Pa * * 2

2

) 2]1/ 2 , где

Pa − атмосферное давление. Новый способ линеа-ризации был предложен в [142]: P = Ps , где bPs = 4,0 , b − пaраметр в знаменателе изотермы Лэнгмюра. *

Это значение Ps обосновано тем, что доля быстро десорбирующегося газа при этом равняется 20% − в соответствии с расчетами [30, 143]. Обобщенные уравнения массопереноса, т.е. уравнения в наиболее общей форме, позволяют свести многообразие рассмотренных моделей к небольшому их числу (базовых уравнений диффузии, фильтрации и конвективной диффузии). Для получения обобщенного уравнения фильтрации, в уравнение неразрывности (сохранения массы) [72, с. 75] введем функцию плотности источников (стоков) массы W:

∂ ∂ (2.194) (mρ ) + ( ρVi ) = W , ∂t ∂xi где ρ – плотность флюида; m – пористость среды; Vi – компоненты вектора скорости фильтрации в декартовых координатах {xi } = {x1, x2 , x3 }. По повторяющемуся индексу i здесь и далее предполагается суммирование (i = 1,3) . Принимаем, что для Vi выполняется закон Дарси, а параметры уравнения зави-

сят от давления, координат и времени, причем коэффициент проницаемости, в силу анизотропии среды, принимает различные значения вдоль xi:

m = m( p, xi , t ), K i = K i ( p, xi , t ), μ = μ( p), xi = {xi } (2.195) Процесс протекает по политропе, а функция источников задана в общем виде:

p1 / n , β= ρ= β

p10/ n , W = W ( p, xi , t ) . ρ0

(2.196)

Подстановка (2.195) и (2.196) в (2.194) дает:

⎡ m( p, xi , t ) (1− n) / n 1 / n ∂m ⎤ ∂p p + p ⎢ ⎥ ∂t = n ∂ p ⎣ ⎦ ∂ ⎡ K i ( p, xi , t ) ∂p ⎤ 1 / n ∂m . = + β W − p ∂xi ⎢⎣ μ( p ) ∂xi ⎥⎦ ∂t

(2.197)

117

Для изотермического процесса ( n = 1 ) из (2.197) получаем

⎡ ∂m ⎤ ∂p ∂ + = m ( p , x t ) p i ⎢ ∂p ⎥⎦ ∂t ∂xi ⎣

⎡ K i ( p, xi , t ) ∂p ⎤ ∂m p . (2.198) + βW − p ⎢ μ( p ) ⎥ ∂ x t ∂ ⎣ i⎦

Функцию W ( p, xi , t ) представим в виде суммы W1 + W2 , где W1 описывает источники (стоки) массы десорбционного (сорбционного) типа, а W2 − "внешние" источники: газ, пришедший извне системы по трещинам либо нагнетаемый (отсасываемый) через скважины:

W ( p, xi , t ) = W1 ( p ) + W2 ( xi , t ).

(2.199)

Для W1 ( p ) имеем представление вида

W1 ( p) =

∂ (M 0 − M ( p) ), ∂t

M 0 = M ( p0 ) = const,

(2.200)

где M 0 , M ( p ) – соответственно масса сорбированного газа в единице объема среды в начальный момент времени и равновесная давлению p в фильтрующем объеме. Для функции M ( p ) известны различные выражения, описывающие кинетику сорбционных процессов [34], но наибольшее распространение при математическом моделировании процессов массопереноса получили формулы Генри и Лэнгмюра [144÷146]:

M ( p ) = Гp, M ( p) =

аbp , а, b, Г = const . 1 + bp

(2.201)

Формула Генри (первая из (2.201)) справедлива в области малых давлений или концентраций и является частным случаем формулы Лэнгмюра. Аналог формулы Генри (линейная зависимость M ( p ) от давления) предложен в [142], где, однако, допустимы небольшие отклонения не от p = 0, а от

p = ps, bps = 4,0 (b – константа из знаменателя формулы Лэнгмюра). Это также частный случай формулы Лэнгмюра. Кинетика десорбции СО2 была описана зависимостями [4]:

⎤ ⎡ p1 / n ∂q ∂q аbp = γ ⎢m − q′( p )⎥, q′( p ) = , (2.202) W1 ( Р) = − , ∂t β 1 + bp ∂t ⎥⎦ ⎢⎣ где γ – константа скорости диффузии СО2; m – пористость пласта; q′( p ) = М ( p) . Конечный вид уравнения фильтрации при этом получить не удалось. Из (2.202) следует, что предлагается (без обоснований) комбинация кинетики по Лэнгмюру с кинетикой по Генри. Другие авторы, решая задачи фильтрации СО2 в пластах, использовали формулу Лэнгмюра, что позволяло доводить решения до численных результатов [144,145]. Исходя из изложенного,

118

далее ограничиваемся формулой (2.200), где M ( p ) определено по Лэнгмюру (вторая из формул (2.201)):

W1 ( p) = −

∂M ( p ) ∂ ⎛ аbp ⎞ аb ∂p = − ⎜⎜ . ⎟⎟ = − 2 ∂t ∂t ∂t ⎝ 1 + bp ⎠ (1 + bp )

(2.203)

Подстановка (2.199) и (2.203) в (2.197) и (2.198) дает:

⎡ M ( p, xi , t ) (1− n) / n ∂m βаb ⎤ ∂p p = + p1 / n + ⎢ 2 ⎥ ∂t n p ∂ bp ( 1 ) + ⎦⎥ ⎣⎢ =

∂ ∂хi

⎡ 1 / n K i ( p, xi , t ) ∂p ⎤ 1 / n ∂m ( , ) . p + β W x t − p 2 i ⎢ ⎥ μ ∂ ( ) p x ∂ t ⎣ i⎦

(2.204)

⎡ ∂m аbRT ⎤ ∂p + = ⎢m( p, xi , t ) + p 2 ⎥ ∂t ∂ p + bp ( 1 ) ⎣⎢ ⎦⎥ =

∂ ⎡ K i ( p, xi , t ) ∂p ⎤ ∂m ( , ) . p + β W x t − p 2 i ∂xi ⎢⎣ μ( p ) ∂xi ⎥⎦ ∂t

(2.205)

Уравнения (2.204) и (2.205) будем называть уравнениями Лейбензона − Кричевского (УЛК) соответственнно для политропического и изотермического процессов. Рассмотрим частные случаи этих уравнений. Стационарный режим фильтрации определяется требованием постоянства (неизменности во времени) давления и параметров среды: ∂p / ∂t = = ∂m / ∂t = 0. Из (2.204) получим:

∂ ∂xi

⎡ 1 / n K i ( ps , xi ) ∂ps ⎤ ⎢ ps ⎥ + βW2 s ( xi ) = 0, μ ∂ ( p ) x ⎣ s i⎦

(2.206)

где ps = lim p ( xi , t ), W2 s = lim W2 ( xi , t ). При независимости параметров t →∞

t →∞

от давления (либо при линеаризации (2.206)) получаем

∂ ∂xi

⎡ 1/ n ∂ps ⎤ p K ( x ) i i ⎢ s ⎥ + βμW2 s ( xi ) = 0, ∂ x ⎣ i⎦

(2.207)

или

∂ ∂xi

⎡ ∂Vs ⎤ K ( x ) ⎢ i i ∂x ⎥ + β nW2 s ( xi ) = 0, ⎣ i ⎦

(2.208)

119

где

Vs =

n +1 ps n ,

⎛ n + 1⎞ βn = ⎜ ⎟ μβ ⎝ n ⎠

Уравнение вида (2.208) относительно ps следует из (2.207) при жестком режиме фильтрации ( ρ = const ):

∂ ∂xi

⎡ ∂ps ⎤ μ K ( x ) ⎢ i i ∂x ⎥ + ρ W2 s ( xi ) = 0. ⎣ i⎦

(2.209)

Из (2.209) следуют уравнения для неоднородной, но изотропной среды ( K i ( xi ) = K ( xi ) ) и однородной среды ( K ( xi ) = K = const ):

∂ ∂xi

⎡ ∂ps ⎤ μ K ( x ) i ⎢ ⎥ + ρ W2 s = 0, ∂ x ⎣ i⎦

∂ 2 ps

μ + W2 s = 0. (2.210) ∂xi2 ρK

Если в (2.209) положить K1 = K 2 = λ , K 3 = K x и усреднить его по мощности сближенного пласта [74], то, при соответствующей конкретизации W2 s , полу-

чим (2.150). Из второго уравнения (2.210) при W2 s = 0 следует уравнение Лапласа, использованное в некоторых моделях массопереноса ((2.109), (2.116), (2.182)). При W2 s = 0 из (2.209) получаем уравнение Лапласа для анизотропного пласта, примененное при построении математических моделей газопереноса ((2.77), (2.117)) и влагопереноса (2.189).

Анизотропная деформируемая среда характеризуется зависимостью параметров от давления: K i = K i ( p ), μ = μ( p ). Из (2.206) для этого случая следует:

∂ ∂xi

⎡ 1 / n K i ( ps ) ∂ps ⎤ ⎢ ps μ( p ) ∂x ⎥ + β W2 s = 0. ⎣ s i⎦

(2.111)

Вводим прямую ( Fs ) и обратную функцию Л.С. Лейбензона:

∫

p1s / n d ps , Fs = Fs ( ps ) = μ( ps )

ps = g ( Fs )

и приводим (2.111) к виду

∂ ∂xi 120

⎡~ ∂Fs ⎤ ~ K ( F ) + β W = 0 , K 2s i ( Fs ) = K i [ g ( Fs )]. ⎢ i s ∂x ⎥ ⎣ i⎦

(2.212)

В случае изотропности среды K i ( ps ) = K(ps) из (2.211) следует:

~ ∂ 2 Fs ∂xi2

+ βW2 s = 0,

~ Fs =

∫

p1s / n K ( ps ) d ps . μ( p s )

(2.213)

При отсутствии источников массы (W2 s = 0 ) (2.212) и (2.213) переходят в ранее полученные уравнения для анизотропной и изотропной сред. Нестационарные режимы фильтрации рассмотрим для случаев неоднородной слабодеформированной среды (параметры не зависят от давления) и однородной деформируемой среды (параметры зависят от давления, но не зависят от координат). Не ограничивая общности, полагаем далее W2 = 0 (т.к. источник можно потом "включать" в любое уравнение). В первом случае ( m = m( xi , t ), K i = K i ( xi , t ), μ = const) из (2.204) получаем: ⎡ m( xi , t ) (1− n ) / n βаb ⎤ ∂p ∂ ⎡ 1 / n K i ( xi , t ) ∂p ⎤ 1 / n ∂m .(2.214) + p = ⎢ ⎥− p ⎢p 2⎥ μ ∂ t x t ∂ x ∂ n ∂ ( 1 ) bp + i ⎣ i⎦ ⎣ ⎦

Если наложить дополнительное условие стационарности среды ( m = m( xi ) ,

K i = K i ( xi )), то из (2.214) следует:

⎡ m( xi ) (1− n) / n βаb ⎤ ∂p ∂ ⎡ K i ( xi ) 1 / n ∂p ⎤ + p = ⎢ ⎥ ⎢ μ p ∂x ⎥ 2 ∂t n x ∂ (1 + bp) ⎥⎦ ⎢⎣ i⎦ i⎣

(2.215)

Положив

∫

F = F ( p ) = p1 / n d p,

p = g (F ),

из (2.215) находим

A( F , xi )

∂F ∂ = ∂t ∂xi

⎡ ∂F ⎤ ( ) K x ⎢ i i ∂x ⎥, ⎣ i⎦

(2.216)

⎡ m( xi ) ⎤ βаb A( F , xi ) = μ ⎢ + ⎥. ⎢⎣ ng ( F ) (1 + bg ( F )) 2 g1 / n ( F ) ⎥⎦ Таким образом, нелинейность правой части (2.215) "переброшена" в левую часть этого уравнения. Для обратного "переброса" нелинейности – из левой части (2.215) в правую, достаточно положить:

∂V ⎡ m( xi ) (1 − n) / n β аb ⎤ ∂p =⎢ + p ⎥ , V = V ( p, xi ), 2 ∂t ⎢ n (1 + bp ) ⎥⎦ ∂t ⎣

p = G (V ). (2.217)

121

В итоге (2.215) приводится к квазилинейному виду:

∂V ∂ = ∂t ∂xi

⎡ K i ( xi ) ∂V ⎤ ( ) B V ⎢ μ ⎥, ∂ x ⎣ i⎦

B(V ) = G −1 / n (V )

∂G . ∂V

(2.218)

Уравнения типа (2.216) будем называть уравнением с t – нелинейностью, а уравнение типа (2.218) – с х – нелинейностью. Таким образом, УЛК могут быть представлены, в рассматриваемом случае, в двух эквивалентных видах: t – нелинейного и х – нелинейного уравнений. Преобразование исходного уравнения фильтрации к t – нелинейному виду (с последующей линеаризацией) осуществлено в [6] ((2.102), (2.103)), а к х – нелинейному – в [115] (2.144). Уравнение типа (2.218) в случае изотропной среды было использовано в модели влагопереноса в массиве с учетом сил капиллярности (2.173). В случае нестационарной изотропной неоднородной среды и изотермическом процессе фильтрации, из (2.214) следует уравнение

аbRTp ⎤ ∂ ∂⎡ 2μ ⎢m( xi , t ) p + = 1 + bp ⎥⎦ ∂xi ∂t ⎣

⎡ ∂p 2 ⎤ ⎥, ⎢ K ( xi , t ) x ∂ ⎢⎣ i ⎥⎦

(2.219)

совпадающее с уравнением Б.Г. Тарасова (2.99). При переходе к стационарной однородной среде ( m, K = const ) из (2.219) следует уравнение Р.М. Кричевского:

⎡ аbRT ⎤ ∂p ∂2 p2 =K 2μ ⎢m + . 2 ⎥ ∂t 2 ∂xi (1 + bp ) ⎥⎦ ⎢⎣

(2.220)

Во втором случае ( m = m( р ), K i = K ( p )) из (2.204) следует:

⎡ m( p ) (1−n) / n βаb ⎤ ∂p ∂ 1/ n d m p +p + = ⎢ ⎥ d p (1 + bp) 2 ⎥⎦ ∂t ∂xi ⎢⎣ n

⎡ 1 / n K ( p) ∂p ⎤ ⎥ (2.221) ⎢p ( p ) x μ ∂ ⎣ i⎦

Уравнение (2.221) также может быть преобразовано к t, x – нелинейным видам. В изотермическом случае (n = 1) (2.221) дает:

⎡ ∂ аbRT ⎤ ∂p dm = + ⎥ ⎢ m( p ) + p d p (1 + bp) 2 ⎥⎦ ∂t ∂xi ⎢⎣

⎡ K ( p ) ∂p ⎤ ⎢ μ( p) p ∂x ⎥. ⎣ i⎦

(2.222)

Сравнение (2.222) с уравнением (2.145), полученным в [116] для тех же условий, показывает, что последнее ошибочно. Случай m, K , μ = const рассмотрен в [114], где получено уравнение (2.199). Сопоставление последнего с (2.221) (при тех же предположениях), показывает, что (2.199) справедливо лишь при очень небольших изменениях давления. Такая же ситуация и с уравнением пьезопроводности И.А. Чарного (2.127), в котором, как и в (2.199) "вынос" р из под символа дифференцирования по координате, т.е. использование соотношения

122

∂ ⎛ ∂p ⎞ ∂2 p ⎜p ⎟≅ p 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂х фактически предполагает неявное использование приближения δp p << 1. Из изложенного видно, что УЛК действительно обобщают, содержат в себе как частные случаи, все уравнения фильтрации рассмотренные в Гл. 2-4. Последние же, после их линеаризации, переходят в уравнения типа теплопроводности в однородных, неоднородных и анизотропных средах. Обобщенное уравнение диффузии может быть получено из (2.78) при учете анизотропии среды, зависимости эффективного коэффициента диффузии от концентрации, координат и времени:

D = Di (С , xi , t ),

xi = {xi } = {x1, x2 , x3 }.

(2.223)

Обобщенное уравнение, содержащее в себе как частные случаи ранее приведенные уравнения диффузии (2.73), (2.78), (2.80), (2.95), (2.96) и др., имеет вид:

∂С ∂ = ∂t ∂xi

⎡ ∂C ⎤ D ( C , x , t ) i ⎢ i ∂xi ⎥⎦ ⎣

(2.224)

Обобщенное уравнение конвективной диффузии получим из уравнения Л.П. Фельдмана (2.129), которое преобразуем с учетом предположений: сжимаемостью газовоздушной смеси в выработанном пространстве можно пренебречь [102]; индекс "α", фиксирующий вид газовой примеси, отбрасываем; для коэффициента диффузии D принимаем условие (2.223); функцию плотности источников опускаем. В результате получаем:

∂ [m( xi , t )C ( xi , t )] + (V , ∇C ) = ∂ ∂t ∂xi

⎡ ∂C ⎤ m ( x , t ) D ( C , x , t ) i i i ⎢ ⎥ (2.225) ∂ x ⎣ i⎦

Уравнение (2.225) является обобщенным уравнением конвективной диффузии, из которого, аналогично предыдущему, могут быть легко получены все частные случаи. При решении ординарных задач, скорость фильтрации газовоздушной смеси V считается известной (функцией или числом) – предвычисленной или полученной натурными измерениями. Методы решения краевых задач – моделей массопереноса в горном массиве – сводятся, как правило, к линеаризации уравнений с последующим решением их конечно-разностными методами. Из аналитических методов применяются: сведение к задачам теплопроводности, решение которых известно;метод разделения переменных;метод преобразования Лапласа по времени.Имеются решения отдельных задач на электро- и гидроинтеграторах.

123

§23. Развитие парадигмы Из предыдущего обзора вытекает, что развитие парадигмы математического моделирования массопереноса в горном массиве идет по шести направлениям, образующим три группы (рис. 2.1). При этом третья группа – "обратные задачи" состоит из одного направления (определение параметров переноса).

Рис. 2.1. Схема развития парадигмы Первое направление развития парадигмы – постановка и решение краевых задач массопереноса в неоднородных и нестационарных средах может быть охарактеризовано при помощи таблиц 2.7, 2.8, 2.10. Их анализ показывает: наибольшее число известных матмоделей посвящено массопереносу в стационарных изотропных однородных и неоднородных средах; рассматривается два типа сред: пористые и трещиновато-пористые; превалируют простые неоднородные среды, а модели для анизотропных, слоисто-неоднородных и слоистых сред немногочисленны; нестационарные среды исследованы слабо: задачи с переменными (во времени) параметрами малочисленны, а задачи с подвижными границами – одномерны; большинство задач решаются как одномерные, хотя зачастую задачи формулируются как двух- и трехмерные; массоперенос в моделях описывается уравнениями: линейными параболическими типа теплопроводности (диффузии, пъезопроводности, линеаризованными уравнениями

124

фильтрации) и нелинейными уравнениями (УЛК – (2.204), (2.205) и их частные случаи). Второе направление – совершенствование и разработка новых методов решения нелинейных краевых задач исчерпывается различными методами линеаризации и конечно – разностными схемами. Достаточно общих точных или приближенных методов решения базисных уравнений (2.216) (t – нелинейного) и (2.218) (х − нелинейного) не имеется. Третье направление – постановка и решение неординарных краевых задач – математических моделей взаимосвязанного массопереноса – находится в начальной стадии: нет классификации и типизации моделей; отсутствуют связи между ними, вытекающие из общих принципов построения; не разрабатываются общие методы решения для классов задач. Трудности, присущие исследованию ординарных моделей усугубляются необходимостью решения системы краевых задач. Четвертое направление развитие парадигмы – адаптация в ней моделей, известных в фундаментальных (теории фильтрации и теплопроводности) и смежных прикладных (движение нефти и газа в природных коллекторах, химическая технология) науках [7,37,63,71,73,117,147]. Модель среды с двойной пористостью (бипористой) [117] была использована (2.148) при построении модели переноса в массиве, подвергнутом гидрорасчленению [118]. Для описания быстропротекающих процессов переноса предложено гиперболическое (телеграфное) уравнение (2.193) [7]. Модель фильтрации метана в угольном пласте на основе теории последействия (зависимости состояния системы в момент времени t от ее предистории, т.е. состояний при τ < t ) предложена в [148]. Функция плотности источников массы при этом представляется в виде интеграла свертки, а уравнение фильтрации становится интегро-дифференциальным. Быстропротекающие процессы переноса в породоугольном массиве исследовались [149] методами статистической теории фильтрации в пористых средах [150]. Было получено гиперболическое уравнение переноса:

∂U ∂ 2U + ε 2 = (1 + K F )− 2 εB∇ 2U , ∂t ∂t

(2.226)

где: U – соответствует плотности флюида или квадрату его давления при изотермическом процессе; ε, K F , B – параметры, выраженные через статистические характеристики пористой среды. Моделирование тампонирования горных пород нестабильным цементосодержащим раствором [151] осуществлялось на основе теории движения двухфазных сред [73]. Получено гиперболическое уравнение фильтрации: 2 νm * ∂p * ∂ p + β ρ 0 2 = ∇ 2 p, β ρ0 K ∂t ∂t

(2.227)

125

где ν – коэффициент кинетической вязкости раствора; m, K – пористость и *

проницаемость массива; β

– коэффициент сжимаемости раствора; ρ0 = = ρ( p0 ) . Модели переноса, основанные на гиперболических уравнениях, как и модели с учетом последействия, относятся к классу нелокальных моделей переноса, в которых учитывается (в том или ином приближении) "память" среды [150,152,153]. При этом уравнение в частных производных заменяются интегро-дифференциальными уравнениями либо их приближениями. Эти подходы в парадигме массопереноса в горных массивах только начинают использоваться. Пятое направление можно охарактеризовать как предварительный этап развития, когда идет постепенное накопление новых экспериментальных данных о микро- и макроструктуре угольного вещества [48,154÷160]. Получены данные о пористой структуре, влиянии на диффузию газа влажности, размерах зоны влияния очистной выемки и газосодержании в ней [48,154]. Обсуждаются различные гипотезы о роли механоэмиссии в газодинамических явлениях [155,156]. Исследованы вопросы растворимости метана в угле и активированном характере его диффузии, определены коэффициенты диффузии для ряда углей [154,159]. В работе [160] на основе анализа результатов лабораторных экспериментов установлен гистерезис процессов сорбции-десорбции метана. Проанализирована связь изменений микроструктуры угля с внешними воздействиями на него, выдвинута гипотеза о связи структурных изменений с наблюдаемой в шахтных условиях зональностью (неоднородностью) физических и физико-химических свойств пласта [157]. Выделены четыре характерных параметра – времена релаксации в подсистемах иерархически организованной пористой среды угля [158].

Работы, где бы эти и другие новые экспериментальные результаты служили основой для построения новых математических моделей массопереноса, нам неизвестны. Некоторое развитие получили модели, учитывающие зональность (неоднородность) массива вокруг выработок и скважин ((2.76), (2.83), (2.84), (2.85), (2.117) и др.). Однако получаемые традиционными математическими методами решения задач переноса в простых неоднородных, слоисто-неоднородных и слоистых средах весьма сложны и громоздки, что заставляет многих авторов, указывающих на фактическую неоднородность среды, использовать упрощенные модели однородной среды [142,161]. Не учитывается, в известных моделях, и зависимость коэффициента газопроницаемости среды от ее температуры, установленная в лабораторных экспериментах [162]. Шестое направление – определение параметров переноса - исчерпывает третью группу направлений развития (рис. 2.1). Другие направления этой группы – определение начальных и граничных условий, функций плотности источников [163] – в рамках парадигмы моделирования массопереноса в горных массивах отсутствуют. В целом работ этого направления немного; перечень монографий исчерпывается [8,66]. Известные в математической физике и теплофи-

126

зике методы решения обратных задач [163÷165] не используются. При определении параметров переноса (коэффициентов газо- и влагопроницаемости, коэффициентов диффузии и фильтрации, коэффициентов дисперсии при конвективно-диффузионном переносе) используются те же математические модели переноса, что и при решении прямых задач [166÷169]. Задачи развития парадигмы могут быть, на основании вышеизложенного, сформулированы следующим образом.

По первому направлению

1. Формулировка линейных одномерных краевых задач массопереноса для внутренних задач – тел простейшей формы (плита, цилиндр, шар) при неоднородных уравнениях и начальных условиях. 2. Формулировка линейных одномерных краевых задач массопереноса для внешних задач (в областях, дополняющих тела простейшей формы до всего пространства) при тех же условиях. 3. Формулировка двух- и трехмерных задач переноса в ортогональных координатах, соответствующих задачам 1 и 2. 4. Формулировка краевых задач переноса в анизотропной (ортотропной) среде в соответствии с задачей 3. 5. Для всех предыдущих задач (1÷4) формулировка задач переноса в простых неоднородных средах. 6. То же, для случая слоисто-неоднородных сред (двух- и трехслойные системы). 7. То же, для случая слоистых сред (двух- и трехслойные системы). 8. Формулировка для задач 1÷4 задач переноса в нестационарных средах (параметры переноса – функции времени). 9. То же для задач с подвижными границами (параметры переноса − постоянные). 10. Формулировка для одномерных задач переноса многослойных (n-слойных) моделей. 11. Формулировка всех задач (1÷10) в обобщенном виде (в смысле теории обобщенных функций) и обоснование единого метода их аналитического решения. 12. Разработка единого метода решения и получение определяющих промежуточных формул. 13. Получение решений задач 1÷10 единым методом.

127

14. Исследование асимптотических случаев ( t → 0, t → ∞ ). 15. Разработка универсального метода приближенного решения задач (1÷10). 16. Получение приближенных решений задач 1÷10. По второму направлению

17. Типизация нелинейных краевых задач переноса (t – нелинейность). 18. То же для случая х – нелинейности. 19. Разработка приближенного метода решения t – нелинейных задач. 20. Разработка приближенного метода решения х – нелинейных задач. 21. Решение t – нелинейных внутренних задач. 22. Решение х – нелинейных внутренних задач. 23. Решение t – нелинейных внешних задач. 24. Решение х – нелинейных внешних задач. По третьему направлению

25. Классификация и типизация неординарных задач. 26. Формулировка неординарных задач "канонического" вида (базисных задач). 27. Разработка единого метода приближенного решения неординарных задач. 28. Решение базисных задач. По четвертому направлению

29. Формулировка базисных моделей нелокального массопереноса. 30. Разработка метода решения гиперболического уравнения переноса. 31. Решение основных внутренних и внешних задач в однородных средах. 32. Формулировка и решение задач переноса (описываемого гиперболическим уравнением) для простых неоднородных сред. 33. То же, для слоисто-неоднородных сред. 34. То же, для слоистых сред. 35. То же, для нестационарных сред (сред с переменными во времени параметрами). По пятому направлению

36. Подробный обзор и анализ работ этого направления. По шестому направлению

37. Систематизация и классификация обратных задач массопереноса.

128

38. Сравнительный анализ методов решения обратных задач в парадигме массопереноса в горном массиве, в теплофизике и в нефтегазовых исследованиях. 39. Разработка метода решения обратных коэффициентных задач. 40. Формулировка других типов обратных задач, и разработка метода их решения.

Литература к части 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9.

10.

11.

12.

13.

Айруни А.Т. Теория и практика борьбы с рудничными газами на больших глубинах. – М.: Недра, 1981. – 335 с. Ушаков К.З., Бурчаков А.С., Медведев И.И. Рудничная аэрология. – М.: Недра, 1978. – 440 с. Поглощение инертных газов в горных выработках /Колл. монография. – Тула−Донецк: Приокское книжн. изд-во, 1969. – 238 с. Соколов Э.М., Качурин Н.М. Углекислый газ в угольных шахтах. – М.: Недра, 1987. – 142 с. Айруни А.Т. Основы предварительной дегазации угольных пластов на больших глубинах. – М.: Недра, 1970. – 79 с. Колмаков В.А. Метановыделение и борьба с ним в шахтах. – М.: Недра, 1981. – 134 с. Рогов Е.И., Грицко Г.И., Вылегжанин В.Н. Математические модели адаптации процессов и подсистем угольной шахты. – Алма-Ата: Наука, Казах. ССР, 1979. – 240 с. Кузнецов С.В., Кригман Р.Н. Природная проницаемость угольных пластов и методы ее определения. – М.: Наука, 1978. – 122 с. Скляров Л.А., Кривицкая Р.М., Струковская Т.В. Определение метаноносности угольных пластов расчетным методом. – Уголь Украины, 1982, № 7, с. 37-38. Кричевский Р.М. О выделении метана из угольного массива в подготовительные выработки. – Бюллетень МакНИИ. – Макеевка: 1947, № 16, с. 22–31. Скляров Л.А., Лопатов О.А. Закономерность выделения метана из обнаженных поверхностей пласта в подготовительных выработках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 10. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1967, с. 58–62. Корепанов К.А. Исследование связи газовыделения с трещиноватостью углей. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 71 / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1985, с. 38-41. Корепанов К.А., Ирисов С.Г. О насыщенности газом угля в выбросоопасных зонах. − В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, – вып. 30 / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1972, с. 17–19. 129

14. Ходот В.В., Яновская М.Ф., Премыслер Ю.С. Газовыделение из угля при его разрушении. – ФТПРПИ, 1966, № 6, с. 3–11. 15. Корепанов К.А., Ирисов С.Г. Прогноз выбросоопасности по характеру десорбции газа из отбитого угля. - В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 30 / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1972, с. 19–22. 16. Ирисов С.Г. О преобладающем потоке газа в порах углей из выбросоопасных зон пластов Донбасса. − В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 59 / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1981, с. 98–101. 17. Забурдяев В.С. Эффективность дегазации угольных пластов в глубоких шахтах. – В кн.: Прогноз и предотвращение газодинамических явлений в угольных шахтах. Научн. сообщ., вып. 209 – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1982, с. 87–92. 18. Бойко Я.Н., Литовченко Ю.А., Вайнштейн Л.А. К вопросу о причинах аномального удельного метановыделения в выбросоопасных зонах. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах / Сб-к научн. трудов. – Макеевка−Донбасс: МакНИИ, 1988, с. 123–128. 19. Мороз В.Д., Ольховиченко А.Е., Лапатухин В.М. Причины слабой дегазации пласта в выбросоопасных зонах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 83. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1989, с. 30–33. 20. Забигайло В.Е., Николин В.И. Влияние катагенеза горных пород и метаморфизма углей на их выбросоопасность. – Киев: Наукова думка, 1990. – 168 с. 21. Русаков Н.Г. Динамометаморфизм и выбросоопасность углей и пород. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 68. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1984, с. 59–64. 22. Мороз В.Д., Ольховиченко А.Е. и др. О влиянии напряжений на дегазацию выбросоопасного пласта. - В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 71. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1985, с. 47–50. 23. Медведев Б.И., Захарченко В.М. Об одном из факторов, влияющих на выбросоопасность угольных пластов. - В кн.: Разработка месторождений ископаемых, вып. 68. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1984, с. 55–59. 24. Печук И.М. Дегазация спутников угольных пластов скважинами. – М.: Углетехиздат, 1956. – 212 с. 25. Колесов О.А., Николин В.И., Степанович Г.Я., Ткач В.Я. Региональный прогноз выбросоопасности угольных пластов Донецкого бассейна. – Уголь Украины, 1971, № 5, с. 42–44. 26. Николин В.И., Лысиков Б.А., Ткач В.Я. Прогноз выбросоопасности угольных и породных пластов. – Донецк: Донбасс, 1972. – 126 с. 27. Шевелев Г.А. О действии газа и разрушении песчаника в процессе выброса. - В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 30. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1972, с. 3–8.

130

28. Осокин В.В. Представления о механизме внезапных выбросов угля и газа и оценка эффективности некоторых мер борьбы с ними. В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 10. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1967, с. 8–10. 29. Корепанов К.А. Причины и механизм внезапных выбросов угля и газа. В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 36. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1974, с. 50–55. 30. Бобин В.А. Разработка теоретических основ и методик расчета движения угля и газа при внезапных выбросах. – Автореф. ... к.т.н. – М.: ИПКОН АН СССР, 1980. – 17 с. 31. Радченко А.С. Исследование метановыделения в призабойной зоне угольного пласта на основе диффузионных и тепловых параметров. – Автореф. ... к.т.н. – М.: ИПКОН АН СССР, 1982. – 17 с. 32. Заглущенко Н.Ю. Сорбционно-кинетический параметр как показатель потенциальной выбросоопасности угольных структур. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. / Сб-к научн.трудов. – Макеевка−Донбасс: МакНИИ, 1987, с. 150–158. 33. Скабалланович И.А., Седенко М.В. Гидрогеология, инженерная геология и осушение месторождений. – М.: Недра, 1980. – 205 с. 34. Васючков Ю.Ф. Физико-химические способы дегазации угольных пластов. – М.: Недра, 1986. – 255 с. 35. Огильви А.А. Основы инженерной геофизики. –М.: Недра, 1990. – 501 с. 36. Гордеев П.В., Телегина В.А., Шулякова О.К. Гидрогеология. – М.: Высшая школа, 1990. – 448 с. 37. Жернов И.Е. Динамика подземных вод. Киев: Вища школа, 1982. – 324 с. 38. Чепмен Р.Е. Геология и вода. Введение в механику флюидов для геологов. – Пер. с англ. – Л.: Недра, Л.О., 1983. – 159 с. 39. Момчилов В.С. Защита шахт от подземных вод.–М.: Недра, 1989.– 189 с. 40. Чернышев С.Н. Движение воды по сетям трещин. – М.: Недра, 1979. – 141 с. 41. Деньгина Н.И., Маленьких Г.В. Влияние геологических особенностей углевмещающих пород на прорывы подземных вод в горные выработки. – Добыча угля подземным способом: Научно-техн. реферат. сб-к. – М.: ЦНИЭИуголь, 1982, № 2, с. 32–33. 42. Бокий Л.Л., Стрельский Ф.П., Леваньков Б.И. Применение термометрии для прогноза водопритоков в шахты. – Шахтное строительство, 1983, № 3, с. 8–10. 43. Чигринов И.П. О погрешностях при прогнозе притоков воды в шахты. – Уголь Украины, 1986, № 12, с. 38–39. 44. Криворучко А.М. Влияние породного массива на изменение влажности воздуха в выработках глубоких шахт. – В кн.: Материалы семинара по горной теплотехнике. Вып. 5. – Киев: Изд-во Института техн. информ., 1964, с. 101–103. 45. Криворучко А.М. Определение давления водяных паров в породном массиве на различных глубинах. - В кн.: Материалы семинара по горной теп131

46.

47.

48. 49.

50.

51.

52. 53.

54. 55.

56.

57.

58.

132

лотехнике. Вып. 5. – Киев: Изд-во Института техн. информ., 1964, с. 98−101. Андреев Г.Г., Попков Г.К. Исследование массообменных процессов, происходящих в горном массиве и на поверхности выработок под воздействием рудничного воздуха. – В кн.: Эффективная и безопасная разработка месторождений полезных ископаемых. /Труды УЗПИ, вып. 3. – М.: Недра, 1971, с. 171–176. Кривицкая Р.М. Естественная влажность углей Центрального и ДонецкоМакеевского районов Донбасса. – В кн.: Вопросы безопасности в угольных шахтах. /Труды МакНИИ, т. ХХ. – М.: Недра, 1969, с. 293-298. Алексеев А.Д., Зайденварг В.Е., Синолицкий В.В., Ульянова Е.В. Радиофизика в угольной промышленности. – М.: Недра, 1992. – 184 с. Криворучко А.М., Коновалова А.В. Характер изменения влажности породного массива по глубине в Донецко-Макеевском районе Донбасса. – В кн.: Вопросы технологии добычи угля и совершенствование горного хозяйства шахт Донбасса. / Сб-к научн. трудов ДонУГИ № 33. – М.: Недра, 1964, с. 192–199. Зильберборд А.Ф., Ладыженский И.Л., Спиваков Ф.С. – Экспериментальное изучение переноса влаги в подземных горных породах. – В кн.: Физические процессы горного производства. / Межвузовск. сб-к, вып 4. – Л.: ЛГИ, 1977, с. 10–12. Криворучко А.М. Работы ДонУГИ в области совершенствования методов прогнозирования климатических условий в глубоких шахтах. – В кн.: Труды I Заседания Рабочей группы № 1 Международного бюро по горной теплофизике. – Польша, Катовице: 1980, с. 114–127. Геотермические методы исследований в гидрогеологии. / Колл. Монография под ред. Н.М. Фролова. – М.: Недра, 1979. – 285 с. Чернов О.И. Развитие метода комплексной борьбы с угольной пылью, горными ударами, газовыделениями, внезапными выбросами угля и газа и эндогенными пожарами в угольных шахтах. – В кн.: Нагнетание воды в угольные пласты. – М.: Недра, 1965, с. 7–64. Медведев Б.И., Морозов И.Ф. и др. Нагнетание воды в угольные пласты как средство борьбы с газом и пылью. – Киев: Техніка, 1968. – 92 с. Будзило Е.А., Дородников А.Г. Исследование эффективности гидроотжима при проведении подготовительных выработок. – В кн. Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 25. / Межвед. сб-к. Киев: Техніка, 1971, с. 3–6. Ржевский В.В., Братченко Б.Ф., Бурчаков А.С., Ножкин Н.В. Управление свойствами и состоянием угольных пластов с целью борьбы с основными опасностями в шахтах. -–М.: Недра, 1984. – 327 с. Яновская М.Ф., Васючкова Г.К., Бирюкова Н.Р. Методика оценки способности к увлажнению углей выбросоопасных пластов. – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1974. – 35 с. Яновская М.Ф., Бирюкова Н.Р., Брызгалова Н.И. О скорости поглощения воды углем как одном из признаков его нарушенности. – В кн.: Прогноз и

59.

60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

68.

69. 70. 71. 72. 73. 74. 75.

76.

предотвращение газодинамических явлений в угольных шахтах. Научные сообщ., вып. 209. – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1982, с. 93–97. Насонов И.Д., Митряков В.И. Химическое упрочнение мелкопористых и тонкотрещиноватых пород в горностроительной практике. – Шахтное строительство, 1973, № 10, с. 23–26. Маурер Г. Применение полиуретана в вскрывающих и подготовительных выработках. – Пер. с немец. – Глюкауф, 1977, № 14, с. 12–18. Руда Е.Г., Хямяляйнен В.А. Особенности цементации трещиноватопористых горных пород. – Шахтное строительство, 1979, № 7, с. 17–19. Заславский Ю.В., Лопухин Е.А., Дружко Е.В., Качан И.В. Инъекционное упрочнение горных пород. – М.: Недра, 1984. – 176 с. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-механические основы фильтрации воды. – М.: Мир, 1971. – 452 с. Линьков А.М., Ходырев Е.Д. Модель фильтрации с источниками наследственного типа. – Известия АН СССР, МЖГ, 1989, № 9, с. 174–177. Рыжков Ю.А., Лесин Ю.В. О некоторых закономерностях фильтрации воды в гидрозакладочных массивах. – ФТПРПИ, 1974, № 6, с. 63–67. Щербань А.Н., Цырульников А.С. Газопроницаемость угольных пластов. – Киев: Изд-во АН УССР, 1958. – 110 с. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование динамических процессов рудничной аэрологии. – Киев: Наукова думка, 1981. – 284 с. Глузберг Е.И., Гращенков Н.Ф., Шалаев В.С. Комплексная профилактика газовой и пожарной опасности в угольных шахтах. – М.: Недра, 1988. – 181 с. Васючков Ю.Ф. Диффузия метана в пластах ископаемых углей. – Химия твердого топлива, 1976, № 4, с. 27–33. Греков С.П. Коэффициенты диффузии углекислого газа в природных сорбентах. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 6, с. 1026–1027. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. / Колл. монография под ред. П.Я. Полубариновой-Кочиной. – М.: Наука, 1969. – 546 с. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. – М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1947. – 244 с. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. – 211 с. Морев А.М., Евсеев И.И. Дегазация сближенных пластов. – М.: Недра, 1975. – 168 с. Кригман Р.Н., Кривицкий М.Д., Дегтярев А.П., Устрайх Л.С. Метод определения газопроницаемости разгруженной зоны пластов в условиях естественного залегания. – Уголь Украины, 1979, № 2, с. 36–37. Васючков Г.К., Фейт Г.Н. Исследование газопроницаемости выбросоопасных углей высокой степени тектонической нарушенности. – В кн.: Прогноз и предотвращение газодинамических явлений в угольных шахтах. – Научные сообщ., вып. 209. – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1982, с. 23–27.

133

77. Забигайло В.Е., Шевелев Г.А. К оценке газопроницаемости выбросоопасных пород. – В кн. Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 22. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1971, с. 3–7. 78. Николин В.И. и др. Опытное определение газопроницаемости песчаников Донбасса на больших глубинах. – Техника безопасности, охрана труда и горноспасательное дело, 1967, № 4, с. 9–11. 79. Кравец В.И., Селедцов В.Ф. и др. Газопроницаемость угольных пластов Межреченского месторождения Львовско-Волынского бассейна. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 22. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1971, с. 10–14. 80. Ножкин Н.В. Заблаговременная дегазация угольных месторождений. – М.: Недра, 1979. – 271 с. 81. Буханцов А.И., Ольховиченко В.А. Исследование проницаемости угольных пластов. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. / Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1985, с. 87–91. 82. Волощук С.Н., Андреев Г.Г., Мельниченко В.Н. Кондиционирование воздуха на глубоком руднике. – М.: Недра, 1975. – 152 с. 83. Штумпф Г.Г. Водно-физические свойства углевмещающих горных пород. – ФТПРПИ, 1993, № 6, с. 59–66. 84. Буханцов А.И., Егоров С.И., Ольховиченко В.А. Определение фильтрационных свойств породных коллекторов в процессе движения жидкости при гидродинамической обработке массива горных пород. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах. / Сб-к научн. трудов. – Макеевка−Донбасс: МакНИИ, 1994, с. 78– 83. 85. Ксоврели Ю.Р. Исследование влагофизических свойств горных пород и влагообменных процессов с целью прогноза климатических условий подземных горных выработок. – Автореф. ... к.т.н. – Тбилиси: Грузинский политехнический институт, 1988. – 23 с. 86. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г. Тепловые процессы в горных выработках. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978. – 104 с. 87. Кремнев О.А., Журавленко В.Д. Тепло- и массообмен в горном массиве и подземных сооружениях. – Киев: Наукова думка, 1980. – 384 с. 88. Никитина Л.М. Таблицы коэффициентов массопереноса влажных материалов. – Минск: Наука и техника, 1964. – 137 с. 89. Лыков А.В. Тепло- и массообмен в процессах сушки. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956. – 464 с. 90. Кричевский Р.М. К прогнозу выделения метана на угольных шахтах Донбасса. – Бюллетень МакНИИ, 1947, № 15, с. 37–46. 91. Кричевский Р.М. О природе внезапных выделений газа с выбросом угля. – Бюллетень МакНИИ, 1948, № 18, с. 3–8. 92. Осипов С.Н. К вопросу аналитического исследования распределения газового давления в угольных пластах в результате вековой миграции метана. –

134

В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 18. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1970, с. 51–55. 93. Фельдман А.Л. Исследование движения метана к поверхности Земли методами математического моделирования. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 56. /Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1980, с. 12–17. 94. Рыженко И.А. Математическая модель фильтрации метана в угольном пласте вокруг горной выработки. – В кн.: Внезапные выбросы на больших глубинах. / Сб-к трудов Ин-та геотехн. механ. АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1979, с. 24–33. 95. Кухарев Е.В., Андреев С.Ю., Лысенко В.Н. К оценке устойчивости краевой части пласта. – В кн.: Внезапные выбросы на больших глубинах. / Сб-к трудов Ин-та геотехн. механ. АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1979, с. 20–24. 96. Осипов С.Н. О некоторых газодинамических особенностях прогноза внезапных выбросов угля и газа. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 53. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1979, с. 54–61. 97. Кузнецов С.В., Трофимов В.А. Движение газа в призабойной зоне угольного пласта при внезапных отжимах. – ФТПРПИ, 1990, № 6, с. 72–77. 98. Рыженко И.А., Мамуня Л.А. Механизм фильтрации метана в разгруженном от горного давления угле. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1977, № 5, с. 77–80. 99. Вылегжанин В.Н. Алгоритм прогноза газовыделения в подготовительную выработку. – ФТПРПИ, 1973, № 5, с. 80–84. 100. Красюк Н.Н., Гасликова И.Р. Моделирование движения газа в разгруженном горном массиве. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1990, № 5, с. 61–64. 101. Алексеев А.Д., Синолицкий В.В. Кинетика поглощения и выделения газа пористыми твердыми телами. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 4, с. 648–653. 102. Шашмурин Ю.А. Фильтрационные утечки рудничного воздуха. – Л.: Наука, Л.О., 1970. – 130 с. 103. Соколов Э.М., Качурин Н.М., Цатурян С.И. Влияние газодинамической связи горных выработок с поверхностью на состав рудничного воздуха. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1979, № 7, с. 52–56. 104. Лапко В.В., Федяев О.И., Касимов О.И. Исследование параметров дегазации подработанных угольных пластов на математической модели. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1980, № 9, с. 63–68. 105. Бусыгин К.К., Попов И.Н., Зинченко И.Н. Закономерности изменения концентрации метана в выработанном пространстве вблизи очистной выработки. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. Вып. 5. / Межвед. сб-к научн. трудов. – Л.: ЛГИ, 1978, с. 42–47. 106. Мясников А.А., Богатырев В.Д., Бонецкий В.А. Влияние колебаний давлений воздуха на аэродинамический режим выработанного пространства. – ФТПРПИ, 1980, № 3, с. 85–89.

135

107. Абрамов Ф.А., Бойко В.А., Карбовский Ю.М., Швец Г.А. Математическое описание аэрогазодинамических процессов на влажном участке угольной шахты. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 10. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1967, с. 3–12. 108. Фельдман Л.П., Святный В.А., Касимов О.И., Лапко В.В., Калашников В.В. Исследование утечек воздуха через выработанное пространство участка методами математического моделирования. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 22. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1971, с. 105–110. 109. Фельдман Л.П. Уравнения неустановившегося движения метановоздушной смеси в выработках и выработанном пространстве участка. − Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 10./Респ. межвед. сбк. – Киев: Техніка, 1967, с. 95–105. 110. Фельдман Л.П. Исследование движения и диффузии газовых смесей в выработанных пространствах участков угольных шахт численными методами. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1977, № 2, с. 74–81. 111. Горбачев А.Т., Алексеев Г.В., Ворожцов Е.В., Дворецкий Н.М. Численное исследование одномерных задач дегазации угольных пластов. – ФТПРПИ, 1972, № 5, с. 74–83. 112. Деев Ю.В., Баев Х.А., Павлыш В.Н. Оценка возможной эффективности дегазации скважинами призабойной зоны очистного забоя. – В кн. Борьба с газом, пылью и выбросами в угольных шахтах, вып. 12. / Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1976, с. 40–42. 113. Рыженко И.А., Еремин И.Я., Рыженко А.И. К определению газоносности угля в призабойной зоне пласта по газовыделению при бурении скважин. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 68. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1984, с. 33–37. 114. Гершун О.С., Колюпанов В.К., Фрейдман С.П. О притоке газа к скважине, пробуренной в неразгруженном от горного давления уголь-ном пласте. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 34. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1973, с. 57–60. 115. Березовский А.А., Гординский Л.Д. Об автомодельных решениях одномерных краевых задач теории фильтрации. – В кн.: Краевые задачи теории теплопроводности. / Сб-к научн. работ. – Киев: Институт математики АН УССР, 1975, с. 17–28. 116. Ворожцов Е.В., Горбачев А.Т., Федоров А.В. Расчет движения газа в угольном пласте в условиях квазилинейного закона фильтрации. – ФТПРПИ, 1975, № 4, с. 83–91. 117. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных пред-ставлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых горных породах. – ПММ, 1960, т. XXIV, вып. 5, с. 852–864. 118. Векслер В.Ю., Гуревич Ю.С., Егоров А.Г. Фильтрация газа в блочнотрещиноватом массиве. Параметры заложения подземных скважин. – ФТПРПИ, 1991, № 4, с. 105–109.

136

119. Шевченко Л.А. Влияние трещинной анизотропии угольного пласта на фильтрацию газа в скважину. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1988, № 6, с. 45–48. 120. Сулла М.Б. Научные основы стабилизации состава рудничной атмосферы, обеспечивающего непрерывную технологию добычи угля в негазовых (по метану) шахтах. – Автореф. ... д.т.н. – М.: ИПКОН АН СССР, 1980. – 49 с. 121.Сулла М.Б., Цой П.И., Баранов В.П. Миграция газа через пласты с отличающимися физическими свойствами. – ФТПРПИ. 1981, № 1, с. 67–71. 122.Баранов В.П. Математическая модель газовыделения из разрабатывае-мого угольного пласта с учетом скорости подвигания очистного забоя. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1981, № 9, с. 37–41. 123. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – М.: Высшая школа, 1985. – 480 с. 124. Баранов В.П., Сулла М.Б. Метод определения параметров фильтрации и диффузии при движении газовых смесей в разрабатываемых угольных пластах. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1981, № 11, с. 66–70. 125. Соколов Э.М., Качурин Н.М., Рыжикова Н.Г. Газообмен между угольным пластом и рудничным воздухом на углекислотообильных шахтах. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1991, № 1, с. 41–43. 126. Москаленко Э.М., Штерн Ю.М. Математическая модель нагнетания воздуха в неувлажненный угольный пласт. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1981, № 11, с. 70–74. 127. Греков С.П., Калюсский А.Е., Родимова Н.А., Пясецкий Б.П. Решение уравнения диффузии вещества в сферическом зерне при произвольной функции изменения концентрации адсорбата. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 5, с. 848–853. 128. Греков С.П., Пясецкий Б.П., Калюсский А.Е., Родимова Н.А. Кинетика изотермической адсорбции и десорбции сорбентами различной влажности. – ЖФХ, 1982, т. 56, № 5, с. 1144–1147. 129. Бабушкин В.Д., Предко А.Г. Методика прогноза водопритока в шахту в условиях наклонного залегания пород. – М.: ВСЕГИНГЕО, 1969. – 43 с. 130. Самсонов Б.Г., Рогожина М.А., Епихина Г.А. Расчет притока подземных вод в горные выработки. – М.: ВИЭМС /Обзор. Сер. гидрогеол., 1983. – 117 с. 131. Ковалев Ю.М. Движение жидкости и газа в угольном пласте с учетом диффузионного процесса десорбции газа. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1974, № 6, с. 77–83. 132. Поздняков М.В., Эдельштейн Л.М. Решение нестационарной задачи влагопереноса в массиве бокситов. – ФТПРПИ, 1987, № 6, с. 109–112. 133. Самсонов Б.Г. Приток подземных вод к разведочным горным выработкам. – М.: Недра, 1991. – 159 с. 134. Карпухин В.Д., Лекарев В.А. Влияние мощности пласта на давление воды при расчете основных параметров увлажнения угольного пласта. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 4. / Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1965, с. 140–144.

137

135. Мелешко И.И. Задача о закачке жидкости через совершенную скважину в слое трещиноватых пород при наличии призабойной зоны. – В кн.: Теплообмен в одно- и двухфазных средах. / Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1981, с. 93–97. 136. Кузяев Л.С., Райхмист Р.Б., Супоницкий А.М., Шлендарев В.В. Применение метода интегральных соотношений для решения задач о пропитке угольного пласта жидкостью. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1981, № 6, с. 1–4. 137. Хапилова Н.С. Фильтрация жидкости в трещиновато-пористом угольном пласте при нагнетании ее через длинные скважины. – ФТПРПИ, 1977, № 2, с. 107–114. 138. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 139. Ванжа Ю.П., Фрянов В.Н., Колмаков В.Н. Исследование закономерностей интеграции реологических и газодинамических процессов углевмещающего горного массива. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1995, № 2, с. 76–78. 140. Христианович С.А. Неустановившееся течение грунтовой массы, содержащей в порах газ высокого давления. – ФТПРПИ, 1982, № 3, с. 3-19. 141. Морев А.М., Скляров Л.А. и др. Внезапные разрушения почвы и прорывы метана в выработки угольных шахт. – М.: Недра, 1992. – 174 с. 142. Христианович С.А., Коваленко Ю.Ф. Об измерении давления газа в угольных пластах. – ФТПРПИ, 1988, № 3, с. 3–24. 143. Кузнецов С.В., Бобин В.А. К вопросу о кинетике десорбции при газодинамических явлениях в угольных шахтах. – ФТПРПИ, 1980, № 1, с. 58–65. 144. Осипов С.Н. Истечение сорбированного газа из сферического куска угля: [3], с. 129–138. 145. Осипов С.Н. Истечение сорбированного газа в сферическую полость при переменной газопроницаемости среды: − [3], с. 138–145. 146. Тян Р.Б., Репка В.В. Деметанизация ископаемых углей газообразными средами с целью снижения выбросоопасности. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1978, № 6, с. 69–73. 147. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод./Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М.: Наука, 1977. – 664 с. 148. Линьков А.М., Ходырев Е.Д. Модель фильтрации с источниками наследственного типа. – Известия АН СССР, МЖГ, 1989, № 9, с. 174-177. 149. Качурин Н.М. Перенос газа в породоугольном массиве. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1991, № 1, с. 43–47. 150. Швидлер М.И. Статистическая гидромеханика пористых сред. – М.: Недра, 1985. – 288 с. 151. Хямяляйнен В.А., Макаров Е.Я., Простов С.М., Сыркин П.С. Моделирование фильтрации тампонажных растворов. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1991, № 2, с. 4–7. 152. Лыков А.В. Тепломассообмен / Справочник. – М.: Энергия, 1971.– 560 с.

138

153. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса. – Киев: Наукова думка, 1969. – 179 с. 154. Алексеев А.Д., Василенко Т.А., Синолицкий В.В. и др. Закрытые поры ископаемых углей. – ФТПРПИ, 1992, № 2, с. 99–106. 155. Зборщик М.П., Назимко В.В. О роли механоэмиссии в механизме газодинамических явлений. – Уголь Украины, 1985, № 1, с. 32–34. 156. Алексеев А.Д., Синолицкий В.В., Недодаев Н.В. Механоэмиссия электронов в горных породах и углях. – Уголь Украины, 1986, № 9, с. 36–37. 157. Айруни А.Т., Бобин В.А., Зверев И.В. Теоретические основы формирования микроструктуры газонасыщенного угольного вещества. – ФТПРПИ, 1985, № 5, с. 89–96. 158. Айруни А.Т., Бобин В.А. Модель макроструктуры угольного вещества. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1987, № 2, с. 1-7. 159. Эттингер И.Л. Растворимость и диффузия метана в угольных пластах. – ФТПРПИ, 1987, № 2, с. 79–90. 160. Эттингер И.Л., Радченко С.А. Время релаксации как характеристика метанопереноса в углях. – ФТПРПИ, 1988, № 4, с. 97–101. 161. Ножкин Н.В. Заблаговременная дегазация угольных месторождений. – М.: Недра, 1979. – 271 с. 162. Сластунов С.В. Газопроницаемость угольного пласта в различных термодинамических условиях. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1982, № 1, с. 6–8. 163. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопроводности. – Киев: Наукова думка, 1982. – 360 с. 164. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 288 с. 165. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 112 с. 166. Журавленко А.В. Определение гидродинамических характеристик фильтрационного потока в слоистой системе. – В кн.: Теплообмен в одно-и двухфазных средах. / Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1981, с. 97–99. 167. Дегтярев А.П., Калюсский А.Е., Кривицкий М.Д. О влиянии диффузии индикатора на определение скорости газа радиоизотопным методом. – ФТПРПИ, 1983, № 1, с. 74–77. 168. Кудряшов Н.А., Басанский Е.Г., Бондаренко А.Г. Влияние диффузии и сорбции на распределение радиоактивного газа в пористой среде. – ИФЖ, 1978, т. 34, № 1, с. 132-137. 169. Салтанов С.Ю. Экспериментальное изучение процессов массопереноса в пористой среде. – Известия СО АН СССР, сер. техн. наук, 1990, − вып. 2, с. 138–141.

139

Часть 3. Массоперенос в горных выработках Глава 9. Аэромеханика выработок §24. Рудничная вентиляция Вентиляция шахт и рудников осуществляется для разбавления до нормативных (безопасных) концентраций метана, иных природных и техногенных газов (взрывчатых и токсичных), создания здоровых условий труда. Атмосферный воздух, прошедший через воздухоподающий ствол, распространяется по сети выработок, обогащаясь примесями (загрязняясь) и удаляется через вентиляционный ствол. Побудителями движения воздуха являются вентиляторы главного проветривания (ВГП), расположенные на поверхности и вентиляторы местного проветривания (ВМП) в горных выработках. Основные количества удаляемых вентиляцией газов выделяются (образуются) в очистных и проходческих забоях и в выработанных пространствах лав. Расчёты необходимых для разбавления примесей до нормативных концентраций расходов воздуха Qi , депрессий hi , аэродинамических сопротивлений Ri в каждой i -й выработке (i = 1, N ) шахтной вентиляционной сети осуществляются при проектировании строительства и эксплуатации шахт. Места соединения трех и более выработок называются узлами сети, а цепь последовательно соединенных выработок между узлами – ветвью. Основные виды соединения выработок: последовательное, параллельное, диагональное. Законы вентиляционных сетей следуют из законов сохранения массы и энергии воздушного потока. Первый закон сетей гласит, что для любого узла N1

∑ Qi = 0,

(3.1)

i =1

где Qi > 0, если воздух из i -й ветви притекает к данному узлу; Qi < 0, если воздух, движущейся по i -й ветви вытекает из узла; N1 – число ветвей, сходящихся к узлу. Второй закон сетей утверждает, что алгебраическая сумма депрессий всех ветвей замкнутого контура, не содержащего источников энергии (ВМП), равна нулю: N2

∑ hi = 0,

i =1

где hi − депрессия i -й ветви, входящей в замкнутый контур из N 2 ветвей.

140

(3.2)

В практике вентиляционных исключениями) уравнение

расчетов

используется

(за

редкими

hi = RiQi2 ,

(3.3)

следующее из закона аэродинамического сопротивления для развитых турбулентных потоков и обобщения обширных экспериментальных данных [1÷4]. Депрессии всех ветвей при их параллельном соединении одинаковы:

h1 = h2 = ... = hi = ... = hN .

(3.4)

Эквивалентное сопротивление такого соединения

1 R1эк/ .2пар

=

N

1

∑ R1/ 2 .

(3.5)

i =1 i

При последовательном соединении N выработок, депрессия всей ветви: N

h∑ = ∑ hi ,

(3.6)

i =1

а эквивалентное сопротивление ветви: N

Rэк.посл = ∑ Ri .

(3.7)

i =1

На основе приведенных формул рассчитывают схемы вентиляции добычных участков и шахты в целом; для рудников они имеют специфику, связанную с особенностями технологии (камерные блоки, маганизирование руды и т.п.). Режимы вентиляции определяются направлением движения и расходам воздуха. В нормальном (штатном) режиме проветривания на отдельных добычных участках и в шахте в целом поддерживаются определенные расходы воздуха. В переходном режиме вентиляции изменяются расход и (или) направление движения воздуха в отдельных ветвях, что осуществляется ВГП, ВМП и вентиляционными сооружениями (трубопроводами, перемычками, вентиляционными дверьми). Переходный режим характерен для регулирования вентиляции (планового изменения параметров вентиляционной сети) и для аварийных процессов. Прекращение (по различным причинам) работы ВГП приводит к резкому сокращению расхода и уменьшению скорости движения воздуха по выработкам – "нулевому" режиму вентиляции. Остаточное движение воздуха при этом обусловлено естественной тягой – депрессией, связанной с отличием удельных весов воздуха в различных точках вентиляционной сети. Наблюдения в шахтах показали [5], что в нулевом режиме по стволам проходит: 16,7÷18,5% от нормального количества воздуха (шахта им. Бажанова); 10,6÷17,2% (шахта им. Калинина); 6,2÷9,5% (шахта "Объединенная"). В зимний период расход естественной тяги возрастает. Направление движения вентиляционной струи в нулевом режиме обычно сохраняется. 141

В начальной стадии подземного пожара иногда прибегают к реверсивному режиму вентиляции, когда направление струи меняется на противоположное, а расход воздуха снижается на 30÷40% [4,5]. На практике отмечены случаи большего снижения расхода (до 70÷78%) [5]. Характерные времена переходных процессов от нормального к нулевому и обратно – 15÷30 мин., а от нормального к реверсивному – 20÷60 мин. [5]. Регулирование расхода воздуха в вентиляционной сети может не сводиться к установлению нормального или реверсивного режима. Часто возникает необходимость в гибком оперативном управлении расходом воздуха в выработках, добычных участках, крыльях шахты. Это связано с тем, что при ведении горных работ параметры вентиляционной сети могут изменяться: длина и сечение выработок, вид и состояние их крепи, влияющие на аэродинамическое сопротивление, монтаж и демонтаж оборудования, интенсивность газовыделения и т.д. Эти изменения могут происходить с различным темпом; относительно быстрые из них (когда какой-либо параметр существенно меняется за минуты или первые десятки минут) называют скачкообразными. Регулирование может осуществляться на шахте в целом (изменением режима работы ВГП, изменением аэродинамического сопротивления шахты или её существенных частей) и локально (в выработках, ветвях, добычных участках). Регулирование работы ВГП производится: по расходу воздуха при постоянной депрессии; по депрессии при постоянном расходе; по расходу и депрессии одновременно. Локальное регулирование осуществляется изменением аэродинамического сопротивления, установкой, демонтажем или изменением режима работы ВГП, устройством воздушных завес, перемычек, вентиляционных окон. Для снижения опасности поступления большого количества метана из выработанного пространства при увеличении расхода воздуха на участке (и, соответственно, возрастании утечек из выработанного пространства), используют ступенчатое или плавное (линейное) регулирование расхода воздуха. Характерные времена отдельных фаз переходных процессов составляют первые десятки минут. Иногда регулирование может быть гораздо более медленным, когда оно (увеличение расхода или депрессии воздуха) должно компенсировать медленное монотонное падение расхода воздуха в выработках, обусловленное их аэродинамическим старением. Аэродинамическое старение выработок – устойчивый рост их аэродинамического сопротивления из-за изменения формы и размеров поперечного сечения, его загромождения, разрушения, ремонта и замены крепей – обусловлено сдвижением (ползучестью) горных пород и другими проявлениями горного давления и факторов, связанных с ведением горных работ и эксплуатацией выработок. Наиболее часто встречаются сводчатые, трапецевидные, круглые, прямоугольные и арочные формы сечения выработок [6]. Площади сечения выработок в последние 20÷30 лет стали, ввиду усложнения условий проветривания глубоких шахт, возрастать, форма их оптимизируется в целях минимизации напряжений в горном массиве [7,8].

142

Крепи капитальных и подготовительных выработок (деревянная, металлическая, бетонная, анкерная, комбинированная и другие) под действием горного давления деформируются и разрушаются [8]. Уменьшение площади сечений выработок, связанное с этим, динамика процессов изучались в ряде работ [9÷14]. На пластах пологого залегания, с удалением от лавы в сторону выработанного пространства, смещение пород кровли, почвы, боков возрастает, а сечение выработок уменьшается [9]. Для площади сечения получена (обработкой наблюдений на пяти выемочных участках) зависимость:

S (t ) = S0 exp(−ωt ),

(3.8)

где S 0 = S (0) – площадь сечения в начальный момент, ω = const ; t – время эксплуатации выработки (мес.). Для одной из выработок S 0 = 5,0 м2, а спустя месяц: S (1) = 4,3 м2. Удельное аэродинамическое сопротивление (на 1 м длины) выработок возрастало по закону:

r = r(t) = a + bt n ,

(3.9)

где a = r0 = r (0) – удельное сопротивление вне зоны влияния очистных работ;

b, n – параметры, зависящие от горно-геологических и горнотехнических условий. Для двух конкретных лав (3.9) было найдено в виде

r (t ) = 10 − 4 (1,5 + 0,84t 2,75 ), кμ/м.

(3.10)

Конвергенция пород почвы и кровли незакрепленных очистных выработок составила 1,0÷1,8 мм за 70 суток [10], причем за первые 10 суток она была 0,4÷0,8 мм. На основе релаксационной модели ползучести Кельвина для конвергенции y (t ) (мм) получено [10]:

y (t ) = 0,57(t 0,3 − 1),

(3.11)

что удовлетворительно согласуется с результатами замеров. Гораздо более выражена была конвергенция кровли и почвы во вспомогательном бремсберге шахты им. А.А. Скочинского [11]. За 10 сут. y (t ) = 60 мм, за 100 сут. – y (t ) = = 380 мм. После инъекционного упрочнения пород соответствующие величины были 25 мм и 100 мм. Качественно динамика конвергенции неупрочненного массива соответствовала y (t ) ~ t . Обширные исследования (около 2000 участковых и капитальных выработок) позволили найти эмпирические зависимости, связывающие динамику аэродинамического старения выработок со способами их проведения и охраны, назначением, углом наклона, видом транспорта [12]. Относительное удельное сопротивление r(t ) = r (t ) / r (0) для капитальных выработок достигало значения 4,0 (по материалам наблюдений за 25 лет), а для участковых – 8,0 (за период в 8 лет). Качественно r(t ) ~ t . Программа для ЭВМ, позволяющая находить потери площади сечения при

143

деформации крепи (при отработке тонких крутых пластов Центрального Донбасса) разработана на базе шахтных наблюдений [13]. Для средних условий, потеря первоначальной площади сечения штреков составила 3,5 м2, что является существенной долей сечения при проходке (10,5÷11,0 м2). Обобщение данных по глубоким шахтам Донбасса дало среднюю скорость конвергенции − 6÷7 мм/сут. При этом отмечен рост числа случаев пучения почвы, что даёт 55÷60% общей величины конвергенции [14]. В зоне влияния очистного забоя отмечены случаи поднятия почвы на 20÷30% высоты выработки. Сочетание поднятия почвы с газодинамическим явлением сопровождается её разрушением с выделением больших количеств газа [15].

§25. Модели воздушных потоков Основные соотношения аэростатики и аэродинамики рудничного воздуха включают законы Паскаля и Архимеда, барометрические формулы, законы сохранения массы и энергии. В зависимости от вида термодинамического процесса, изменение давления атмосферного воздуха в шахте в зависимости от её глубины Н может быть описано формулами [2]:

P = P0 + ρgH ,

ρ = const .

P = P0 exp( H / RT0 ), P = P0 (1 + ρ0 gH / λP0 )λ ,

T0 = const .

(3.12)

P ρ n = const .

В (3.12): P0 – атмосферное давление на поверхности; формулы соответствуют (в порядке следования) изохорическому, изотермическому и политропическому процессам ( λ = n /( n − 1); n = 1,41 при адиабатическом процессе). Закон сохранения массы элементарного объема воздуха, или уравнение неразрывности:

∂ρ + div ρU = 0. ∂t

(3.13)

Как показывают оценки, сделанные для условий вентиляции шахт и рудников [1,16÷18], воздух и газовоздушные смеси (даже при переменной концентрации примеси в них [2]) можно считать неcжимаемыми. Положив в (3.13) ρ = сonst , получим

div U =

∂U x ∂U y ∂U z + + = 0. ∂x ∂y ∂z

(3.14)

Следствием закона сохранения массы (форма записи которого – уравнение неразрывности (3.14)) для воздушных потоков в горных выработках являются

144

зависимости между расходами Qi и средними скоростями ϑi воздуха в сечениях "1" и "2" (с площадями воздухонепроницаемыми стенками:

Q1 = Q2 ,

S1ϑ1 = S 2ϑ2 ,

S1

и

S2 )

Qi = Si ϑi , i = 1,2.

выработки

с

(3.15)

Закон сохранения энергии для установившегося адиабатического движения воздуха приводит к уравнению Бернулли в дифференциальной форме [2]:

⎛ ϑ2 ⎞ 1 d Р + d z + d⎜ ⎟ + d h = 0, ⎜ 2g ⎟ ρg ⎝ ⎠

(3.16)

где Р – статическое давление; z – вертикальная координата; ϑ − скорость элементарной струйки потока; g – ускорение силы тяжести; h – работа внешних сил, отнесенная к единице веса воздуха. Для двух сечений горной выработки, в которых плотности и скорости воздуха различны, интеграл (3.16) даёт:

⎛ ρ1ϑ12 ρ2ϑ22 ⎞⎟ ⎜ . (3.17) h = h2 − h1 = ( P1 − P2 ) + g (ρ1z1 − ρ2 z2 ) + K1 − K2 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Здесь K1 и K2 – коэффициенты кинетической энергии, описывающие неравномерность поля скоростей потока в сечениях [2]. Уравнение (3.17) может быть записано в виде:

h = hB ± he ± hg ,

(3.18)

где h – работа всех внешних сил; hB = P1 – P2 – депрессия вентилятора;

he = g (ρ1z1 − ρ2 z2 ) - депрессия естественной тяги; hg – динамическая

депрессия (соответствует последнему члену в скобках в правой части (3.17)). Режимы движения рудничного воздуха – стационарный, нестационарный, ламинарный, турбулентный. Два последних и два первых сочетаются между собой, так - что для характеристики режима требуется два каких-либо термина из четырех. При стационарном турбулентном режиме от нестационарных пульсаций скорости абстрагируются. Нестационарный турбулентный режим характерен для случаев достаточно медленного изменения во времени усредненных по Рейнольдсу (турбулентных) скоростей. Ламинарный (стационарный и нестационарный) режим для выработок не характерен, является идеализацией, близкой к реальности только для медленной фильтрации утечек через обрушенные пространства, бутовые полосы, целики угля [1,2]. Наступление турбулентного режима в шахтных условиях наблюдается при критических числах Рейнольдса потока [2], где Re ≥ 1500

145

Re =

Ud

ν

d=

,

4S . Π

(3.19)

В (3.19): U – средняя по площади сечения скорость потока (U = Q / S ) ; d – эквивалентный диаметр выработки (d = 2R0); S – площадь сечения выработки;

П – ее периметр; ν − кинематическая вязкость воздуха (для большинства случаев приемлемо ν = 15·10−6 м2/с). Вторая из формул (3.19) давно известна в гидравлике [19], для горных выработок она обоснована в [1]. Для выработок с S

= 1,0ч12,0 м2, критические значения скоростей, превышение которых свидетельствует о наступлении турбулентного режима – U кр = 0,035÷0,01 м/с, т.е. существенно меньше реально наблюдающихся в шахтах. Это говорит о практически повсеместном турбулентном режиме движения воздуха в горных выработках. Если принять, что для любых выработок справедливы диапазоны значений: d = 1,0÷6,0 м; U = 0,05÷6,0 м/с, то диапазон изменения числа Рейнольдса: Re = 3,3·103÷2,4·106, т.е. охватывает переходную область и область развитой турбулентности [19]. Аэродинамическое сопротивление выработок является суммарным понятием для трех, условно отдельных, видов сопротивления, оказываемого движущемуся воздушному потоку в горной выработке: сопротивлений трения, лобовых и местных [2]. Сопротивление трения обусловлено шероховатостью и неровностью стенок выработки и вязкостью воздуха. Лобовое сопротивление – выступами крепи и элементами оборудования, загромождающими сечение (конвейера, вагонетки, трубопроводы). Местные сопротивления потоку возникают при его поворотах, сужениях и расширениях. Для описания сопротивления трения используются известные формулы [19]: 2

L γU h=λ , d 2g

2

ρU , τ=β 2

(3.20)

где L – длина выработки; γ – удельный вес воздуха (обычно принимают γ = = 1,2 кг/м3 [2]); g − ускорение силы тяжести (g = 9,81 м/с2); λ – коэффициент трения; τ – касательное напряжение трения (на единицу площади боковой поверхности); β – безразмерный коэффициент трения. Из (3.20) и (3.3) получаем:

⎛ ΠL ⎞ h = RQ 2 , R = α⎜ 3 ⎟, ⎝S ⎠

α=

ρβ λγ = . 2 8g

(3.21)

Введенный в (3.21) параметр α называется коэффициентом сопротивления трения [1], его размерность – кг·с2/м4. Из двух последних соотношений следует:

146

λ ≈ 65,4 α .

α = 0,0612β = 0,0153λ ;

(3.22) Коэффициент α зависит от числа Рейнольдса и параметров шероховатости; определению его на аэромоделях и в шахтных условиях, табулированию посвящено много работ [1÷3,9,12,20]. Лобовое сопротивление при обтекании потоком тел, характеризуемых миделевым сечением SМ, описывается формулами [2]:

hл = RлQ 2 ,

Rл =

Cγ S Μ / S , 2 g ( S − SΜ ) 2

(3.23)

где Rл – лобовое аэродинамическое сопротивление; С – коэффициент лобового сопротивления (определяется экспериментально, зависит от Re, формы и шероховатости обтекаемого тела). Для местных сопротивлений записываются аналогичные формулы:

hΜ = RΜ Q 2 ,

⎛ γ ⎞ ⎟, RΜ = ξ⎜⎜ 2⎟ ⎝ 2gS ⎠

(3.24)

где ξ – безразмерный коэффициент местного сопротивления, определяемый экспериментально с привязкой к средней скорости потока перед или после 2

местного сопротивления ( h = 0,5ξρϑ ). Поскольку для всех сопротивления общей является формула (3.3), то можно записать:

hΣ = RΣQ 2 ,

hΣ = h + hЛ + hΜ ,

RΣ = R + RЛ + RΜ .

видов (3.25)

Из (3.3) и (3.21)÷(3.25) следует, что:

⎛ ПL⎞ RΣ = α Σ ⎜ 3 ⎟, ⎝ S ⎠

αΣ = α +

(

)

S γ ⎛d ⎞ −2 ⎜ ⎟ ξ + Сδ(1 − δ) , δ = M . (3.26) 8g ⎝ L ⎠ S

В практике вентиляционных инженерных расчетов обычно α Σ отождествляют с α , используя поправочные коэффициенты к последнему (на загромождение сечения, на внезапные сужения и расширения выработок и т.п.). Характерные значения α приведены в таблице 3.1 [2]. Ограниченные турбулентные потоки, т.е. потоки, имеющие твердую границу (стенки выработок), наряду со свободными турбулентными потоками (струями) и с фильтрационными потоками составляют совокупность потоков газовоздушных смесей, встречающихся в шахтах и рудниках [1,16,17,21]. Ограниченные потоки движутся по стволам, капитальным и участковым выработкам; они имеют поле (профили) скоростей, отличающиеся от характерных для труб и гладких каналов [19,21÷25]. В.Н. Ворониным была исследована (на моделях горных выработок) структура ограниченных турбулентных потоков [1]. Существование в области течения, примыкающей к стенке выработки между выступами крепи, зоны вихревого, неупорядоченного

147

движения воздуха привело к отказу от классической картины движения по трубам: ламинарный подслой, турбулентный погранслой, турбулентное ядро потока [25]. В.Н. Ворониным была развита гипотеза А.А. Скочинского, согласно которой скоростное поле в горной выработке есть результат суперпозиции турбулентного и граничного скоростных полей. Турбулентное поле обусловлено инерционными свойствами потока, не зависящими от взаимодействия его с твердыми границами. Граничное скоростное поле, напротив, формируется этими границами. Граница между турбулентным и граничным скоростными полями является жидкой (проходит примерно на расстоянии выступов крепи от стенки). Для отношения Ψ максимальной скорости потока U 0 (на его оси) к среднему по сечению выработки значению

U было получено [1]

Ψ=

U0 = 1 + 12 α . U

Характерные значения α Тип выработки Вентиляционные скважины большого диаметра Штрек, закрепленный бетоном и кирпичем Ствол, закрепленный бетоном (без армировки) Ствол, закрепленный тюбингами Незакрепленная выработка Для

α ⋅ 10 4 2÷8 3÷7 1,5÷4,0 7÷13 5÷20

Тип выработки Штрек, закрепленный металлическими арками из спецпрофиля Армированный ствол (с различными типами армировки) Лава с индивидуальной крепью Лава, оборудованная комплексом

(3.27) Таблица 3.1

α ⋅ 10 4 5÷23 20÷65 30÷260 45÷120

α ⋅ 10 4 = 2,0; 5,0; 10,0; 15,0 из (3.27) найдены, соответственно, значения:

Ψ = 1,18; 1,27; 1,39; 1,47. Параметр Ψ можно называть коэффициентом

структуры скоростного профиля: для ламинарного течения в круглой трубе (профиль Пуазейля) Ψ = 2,0; для турбулентного потока при больших Re в круглой трубе, когда предельный профиль скоростей является однородным (стержневым) Ψ = 1,0. Приведенные значения Ψ занимают промежуточное положение и характеризуют близость данного профиля к пуазейлевому либо стержневому. "Затупленные" – квазистержневые профили скоростей наблюдались в вертикальных сечениях штрекообразных выработок [3] и на моделях их [21]. При этом Ψ = 1,16÷1,47, согласно (3.27). Для каналов с регулярным типом шероховатости (ребра) было получено [26]:

148

Ψ = 1 + 1,65 λ = 1 + 13,34 α .

(3.28)

Максимальная погрешность (3.28) по отношению к (3.27) (в указанном диапазоне α ) – 3,5%. Профили скоростей в выработках зачастую несимметричны: максимальная скорость наблюдается не в геометрическом центре выработки; она смещена в сторону более гладкой поверхности [1,2,27]. Это особенно выражено в очистных выработках [28,29]. Призабойное пространство их разбивается на отдельные, т.н. технологические дороги, что позволяет упростить вентиляционные и тепловые расчеты [30,31]. В лавах с механизированными комплексами средняя скорость воздуха на 1-й дороге ϑ1 = (1,1 ÷ 1,15)ϑср , на 2-й дороге – ϑ2 = (0,60 ÷ 0,65)ϑср . В лавах с

индивидуальной крепью: на 1-й дороге – ϑ1 = (1,1 ÷ 1,2)ϑср , на 2-й дороге – ϑ2 = (0,8 ÷ 0,9)ϑср , на 3-й дороге ϑ3 = (0,75 ÷ 0,80)ϑср [31]. Здесь ϑср – средняя скорость воздуха по всей лаве. Эпюры скоростей воздуха в лавах сложны [28,29]: максимальная скорость на 1-й дороге смещена в сторону забоя (как правило); минимальные значения скоростей (у границ дорог) изменяются от 0,2 до 0,6 (в относительных единицах ϑ / ϑmax ); профили скоростей на 1-й и 2-й дорогах квазиламинарны; на 3-й дороге (иногда и на 2-й) они напротив, квазиоднородны; на профиль скоростей сильно влияют расстояние сечения измерений от комбайна и со- или противонаправленность движений воздуха и комбайна. Аналогичная лавам картина (разделение потока на несколько относительно независимых) наблюдалась в выработках большого сечения (камеры, тоннели) [32]. Для них, кроме того, характерно плотностное расслоение потока (по вертикали) и одновременное существование двух и более потоков (со- или противонаправленных). Свободные турбулентные потоки (струи) образуются при выходе воздуха из трубопровода (нагнетательное проветривание тупиковых выработок), при переходе выработки одного сечения в выработку большего сечения (проветривание камер). В зависимости от условий формирования струи бывают круглыми и плоскими. Струи, соприкасающиеся со стенкой (стенками) называются стесненными. Аэродинамика струй весьма специфична: давление по ходу их не падает (в отличие от ограниченных турбулентных потоков); профили скоростей описываются отличным от ограниченных потоков образом; турбулентные параметры и коэффициенты турбулентной диффузии газообразных примесей весьма отличаются [1,22,23,25]. Свободные турбулентные потоки играют определяющую роль при проветривании подготовительных (тупиковых) выработок и камер. Аэродинамика шахтных (стесненных) струй разработана хуже, чем свободных [25,27], в силу большей сложности процессов. На моделях и в шахтных условиях было осуществлено довольно много исследований стесненных струй [1,3,22,23,32÷34], однако далеко не все стороны процесса распространения струи в призабойных зонах подготовительных выработок и камерах изучены достаточно. Существуют даже различные взгляды на такой важный параметр, 149

как дальнобойность струи (обосновывающий расстояние от конца трубопровода до забоя, размер зоны смешения) [1,33÷35]. Струйные течения весьма сложны, существенно трехмерны, в них образуются зоны рециркуляции, обратные потоки [36]. В струях, распространяющихся в камерах, были выделены три зоны течения: струйная, переходная и канальная [23], переходящая в ограниченный поток. Потоки с постоянным расходом встречаются в горных выработках, где отсутствуют притечки или утечки воздуха вдоль направления его движения в стационарном режиме. В этом случае Q ≠ Q (t ) ≠ Q ( x ). Для выработок с примыканием к выработанному пространству или (и) с воздуховодами это идеальная модель, поскольку и тщательно выполненные защитные бутовые полосы и плотно состыкованные своими звеньями непроницаемые воздуховоды полностью притечек (утечек) воздуха в выработку исключить, в шахтных условиях, не могут. В капитальных и в участковых, без примыкания к выработанному пространству, выработках режим с Q = const возможен. Математические модели таких потоков базируются на двумерных уравнениях турбулентного движения газа в круглых и прямоугольных каналах (соответствующих различным видам выработок). Для штрекоквершлагообразных выработок с равномерной по периметру шероховатостью, В.Н. Воронин, на основе гипотезы А.А. Скочинского, получил [1]:

∂u ⎞⎟⎤ ∂P 1 ∂ ⎡ ⎛⎜ 1 ∂u 2 +μ = 0, ⎢ r fρ ⎥− ∂r ∂r ⎟⎠⎥⎦ ∂x r ∂r ⎢⎣ ⎜⎝ 2 (3.29)

∂ 2ϑ

∂P ∂P = = 0. ∂r ∂ϕ

1 ∂ϑ + = 0, 2 r r ∂ ∂r

В (3.29): х, r , ϕ – координаты цилиндрической системы координат; P, ρ –

⎛ 4S ⎞ ⎟ – масштаб турбулентности; ⎝Π⎠ α1 = 0,0032 – безразмерная эмпирическая постоянная; u , ϑ – продольные

давление и плотность воздуха; f = α1d = α1⎜

компоненты соответственно турбулентной и граничной скоростей. Граничные условия для u :

u ( x, r ) r = R0 = 0,

∂u = 0. ∂r r =0

(3.30)

Для функции ϑ было принято условие ограниченности ее на оси потока, условие при r = R0 не использовались, а в качестве второго граничного условия выступал закон сопротивления. В итоге было найдено:

150

⎛ α ⎞ ⎟, ϑ = ϑ1 = const = υ⎜⎜1 − 1,35 ⎟ α 1⎠ ⎝

(3.31)

где υ = u + ϑ – средняя по сечению скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления выработки; α1 = 0,0032. Решение (3.29) с учетом (3.30), (3.31) и некоторых приближений, было представлено в виде:

υ(r ) = υ ⎡1 − 23,8 α + 35,8 α 1 − (r / R0 ) 2 ⎤ . ⎢⎣ ⎥⎦

(3.32)

Для этой модели характерна пропорциональность турбулентной вязкости μ Τ турбулентной скорости u(r):

μ Τ = μ Τ (r ) = ρ f u (r ) ≅ ρ f ϑ(r ).

(3.33)

Здесь последнее приближенное равенство обосновывается тем, что при

α ⋅ 104 = 16 ÷ 20, ( ϑ / υ(r )) << 1[1]. При α ⋅ 104 = 20 и Re = 10 4 ÷ 10 6 из следствия (3.32), (3.33):

μΤ ν Τ = ≅ 0,08 Re α , μ ν следует оценка

(3.34)

νΤ = 36 ÷ 3600. ν

Здесь ν Τ , ν – соответственно турбулентная и молекулярная кинетические вязкости. Плоскопараллельный установившийся поток в горной выработке прямоугольного сечения моделировался уравнением Рейнольдса, приведенным, после пренебрежения объемными силами (погрешность чего даже для глубоких шахт ≤ 10%) к виду [21]:

∂P ∂ = (τΤ, xz + τΜ , xz ), ∂x ∂z

(3.35)

где x, z – продольная и вертикальная координаты; P – среднее по площади сечения давление; τΤ, xz , τΜ , xz – турбулентное и вязкое (молекулярное) касательные напряжения:

τΤ, xz = ρDJz

∂u , ∂z

τΜ , xz = μ

∂u . ∂z

(3.36)

151

Здесь DJz – коэффициент турбулентного обмена для импульса, или, по Т. Буссинеску [25], турбулентная кинематическая вязкость: DJz = ν Τ . Решение (3.35) представлено в виде:

u = u( z) =

H0 H

τϑ ⎛ α ϑ ΠH 0 ⎞ ⎜⎜ χ1 θ1 − χ 2 θ2 ⎟⎟ . ρ ⎝ α0 S ⎠

(3.37)

В (3.37): τϑ = hS / П L ; h, S, П, L – соответственно депрессия, площадь сечения, периметр и длина выработки; H0 – расстояние от стенки выработки до оси потока. Н – высота выработки; χ1, χ 2 – коэффициенты влияния боковых стенок; α ϑ – коэффициент трения стенки, у которой определяется

полупрофиль скорости потока; α 0 – средний по выработке коэффициент трения; θ1 ( z / H 0 ), θ 2 ( z / H 0 ) – универсальные функции коэффициента турбулентного обмена (для данного типа выработок). Формула (3.37) описывает полупрофиль скорости на участке между осью потока и стенкой выработки. Для области потока от его оси до кровли χ 2 ≅ 0,7 , для области от оси до почвы выработки χ 2 ≅ 0,2 . Функции θ1 ( z / H 0 ) и θ 2 ( z / H 0 ) представлены графически. Движение несжимаемой жидкости в прямоугольном и круглом каналах, моделирующее турбулентный воздушный поток в горных выработках, рассматривалось в [27]. Для прямоугольного канала уравнение Рейнольдса:

ω

1 ∂P ∂ω ∂ω ∂ ⎡⎛ ν Τ, y ⎞ ∂ω ⎤ ⎟ +ϑ =− +ν ⎢⎜1 + ⎥, ∂y ⎣⎜⎝ ∂z ∂y ρ ∂z ν ⎟⎠ ∂y ⎦

(3.38)

где z, y – продольная и вертикальная координаты; ω, ϑ – продольная и поперечная компоненты скорости потока; ν Τ , у – турбулентная кинематическая вязкость, определяемая [25]:

ν Τ, у = −

ω′ϑ′ = ν Τ ( у ). ∂ω / ∂у

(3.39)

Уравнение неразрывности

∂ω ∂ϑ + = 0. ∂z ∂y Уравнение (3.38) затем линеаризуется (на наш взгляд, не вполне корректно) и приводится к виду:

152

ωср

∂ ⎡⎛ ν Τ, y ⎞ ∂ω ⎤ ν ⎛ ∂ω ⎞ ∂ω ⎟ ⎥− ⎜ ⎟ , = ν ⎢⎜⎜1 + ∂y ⎣⎝ ν ⎟⎠ ∂y ⎦ y0 ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ y =0 ∂z

(3.40)

где ωcp – усредненное по сечению значение ω( y, z ) ; y0 – половина высоты выработки. Аналогичным преобразованием уравнение Рейнольдса для круглого канала приводится к виду

ωср r

∂ω ∂ ⎡⎛ ν ⎞ ∂ω ⎤ ν ⎛ ∂ω ⎞ = ν ⎢⎜⎜1 + Τ, r ⎟⎟r ⎥ − 2r ⎜ ⎟ . ∂z ∂r ⎣⎝ ν ⎠ ∂r ⎦ R0 ⎝ ∂r ⎠ r = R0

(3.41)

Граничные условия к (3.40), (3.41):

z = 0 : ω = ωср ; y = r = 0 :

∂ω ∂ω = = 0 ; y = y0 , r = R0 : ω = 0. (3.42) ∂y ∂r

Решения (3.40), (3.41) найдены приближенно, в виде рядов, сходящихся лишь при малых значениях η = z / y0 и (η = z / R0 ). Профили скоростей в обозримом аналитическом либо в графическом виде не представлены [27]. Потоки с переменным расходом более распространены в участковых и подготовительных выработках, чем потоки с постоянным расходом. Основной причиной изменения расхода потока вдоль пути его движения являются притечки (утечки) воздуха из выработанных пространств, параллельных выработок, воздухопроводов. Переменность расхода во времени характерна для переходных аэродинамических процессов (регулирование вентиляции, аварийные режимы). Выработанное пространство характеризуется удельным аэродинамическим сопротивлением r (сопротивлением 1 м3 с единичными ребрами). При ламинарном режиме фильтрации воздуха r = μ / K , где μ - динамическая вязкость воздуха, а K − коэффициент воздухопроницаемости. Обобщением экспериментальных данных найдено [2]:

r = r (x), r1( x) = a exp(bx), r2 ( x) = c exp(dx 2 ) ,

(3.43)

где a, b, c, d – эмпирические коэффициенты, описывающие зависимость r от x – расстояния от забоя, отсчитываемого в сторону выработанного пространства в двух характерных ситуациях. Баланс массы воздуха в выделенном элементе выработанного пространства приводит к уравнению:

[

]

−1

dQ ⎛L ⎞ (3.44) = (r1 + r2 )Q( x)Q0 x + r3 LQ02 ⎜ r ( x) ⎟ , dx ⎝m ⎠ где Q = Q (x) – расход воздуха в вентиляционном штреке; L – длина лавы; m – мощность пласта; Q0 – расход воздуха через лаву; r1, r 2 , r3 – удельные 153

сопротивления штреков и лавы. Интеграл уравнения (3.44) при r (x) = r2 ( x) (согласно (3.43)):

⎛ d 2 d2 4⎞ Q( x) = Q0 + Ax⎜1 − x + x ⎟, ⎜ 3 10 ⎟⎠ ⎝

r3 LmQ02 A= , c exp A1

(3.45)

(r + r )mQ0 . A1 = 1 2 2 Lcd

Для функции r = r1 ( x) (по (3.43)) Ф.С. Клебановым дано решение (3.44):

(

)

⎤ mQ02 ⎡ r1 + r2 ⎛ 2 ⎞ −bx Q( x) = Q0 + ln + r L 1 − e . . (3.46) ⎜ ⎟ 3 ⎢ ⎥ −bx abL ⎣ a ⎝1 + e ⎠ ⎦ Утечки между параллельными выработками возникают через разделяющие их целики и перемычки в сбойках. Режим утечек близок к квадратичному ("турбулентному"), что усложняет уравнение для Q ( x ) [2]:

dQ 1⎛ 1 1 ⎞n ⎟ (r1 + r2 )Q( x)Q0 x + h0 , = ⎜⎜ + d x l ⎝ n R1 n R2 ⎟⎠

(3.47)

где l – длина целика с перемычкой; R1 , R2 – сопротивления перемычки и

целика; n – показатель степени в законе сопротивления h = RQ ; r1 , r2 – n

удельные сопротивления выработок; Q0 , h0 – расход воздуха и депрессия между концами выработок. Приближенное решение (3.47):

⎡ ⎤ N 1/ n Q( x) = exp( Kx ) ⎢Q0 + arctg K x ⎥, K ⎢⎣ ⎥⎦

(

2

)

(3.48)

где K, N выражены через параметры уравнения (3.47) достаточно громоздкими выражениями. Анализ движения азотно-воздушной смеси по откаточному штреку с учетом утечек в выработанное пространство, и сложности его структуры [37,38], привел к интегро-дифференциальному уравнению относительно Q(x) [39]: 2

x

r ( x) L ⎛ d Q ⎞ 2 2 = ( R + R ) ∫ Q ( ξ ) d ξ + R LQ , ⎜ ⎟ 2 0 1 3 2 ⎝ dx ⎠ m 0

(3.49)

в котором: R1, R3 , R2 – соответственно удельные аэродинамические сопротивления откаточного и вентиляционного штреков и лавы. Уравнение 154

(3.49) было решено численно, и по полученным данным была подобрана интерполирующая функция:

Q( x) =

b , a+x

(3.50)

где а, b выражены через параметры (3.49). В рассмотренных моделях потоков с переменным расходом, площадь сечения выработок считалась постоянной ( S = const ), так что переменные по длине выработки скорости ϑ = ϑ( x) = Q( x) / S являются, как и Q(x) , монотонно-возрастающими (убывающими) функциями, выраженными через элементарные. Более сложная ситуация возникает, когда переменный расход Q ( x ) сочетается с изменением сечения выработки ( S = S (x)) . Модели такого рода нам неизвестны. Уравнения движения воздуха на участке были получены, с учетом утечек (притечек) из выработанного пространства, на основе уравнений Навье-Стокса [40]

∂ϑ 1 + (ϑ, ∇)ϑ = F − ∇Р + ν∇ 2 ϑ, ∂t ρ

(3.51)

где ϑ – вектор скорости воздуха; P, ρ – его давление и плотность; F – вектор массовых сил; ν – кинематическая вязкость. Уравнение (3.51) используется вместе с уравнением неразрывности

div ϑ = 0,

(3.52)

из которого, при рассмотрении элемента объема штрека с удельными утечками (дебитом на единицу длины) q следует:

∂Q + q = 0, Q( x) = S ⋅ uср ( х), ∂x

(3.53)

где uср – среднее по сечению выработки значение продольной компоненты скорости. Затем вязкий член (3.51) преобразуется путем усреднения по элементарному объему ω и перехода к его гидравлическому приближению [19]:

∫

ν ∇ 2u d ω ≅ ω

2 λSuср

R0

d x,

(3.54)

где λ – коэффициент гидравлического сопротивления; R0 = d / 2 – гидравлический радиус выработки. Вводятся эмпирически определяемые постоянные: ξ – коэффициент неравномерности скорости по сечению; ζ – коэффициент пропорциональности между скоростью утечек и uср. В итоге получено уравнение движения воздуха по откаточному штреку: 155

∂Q θ ∂ (Q 2 ) S ∂Pср λQ 2 + = Фx − − . ∂t S ∂x ρ ∂x SR0

(3.55)

Здесь Q = Q ( x, t ) = Suср ( x, t ) ; θ = 1 + ξ − ζ ; Фх– проекция вектора массовых сил; Рср = Рср ( х, t ) – среднее по сечению выработки давление. Уравнения для очистной и вентиляционной выработок записываются аналогично, отличаясь значениями параметров. На основе (3.55) и аналогичных уравнений было разработано математическое описание схем проветривания участков как объектов управления [41]. Движение воздуха с переменным расходом наблюдается и в шахтных воздухопроводах, которыми (с приводом от ВМП) осуществляется проветривание забоев подготовительных выработок и камер. В режиме нагнетательного проветривания в воздухопроводах имеются утечки воздуха, а при всасывающем проветривании – притечки. Методы расчета воздухопроводов с паразитными и планируемыми утечками постоянно совершенствуются [42÷50]. Б.И. Медведевым было получено уравнение [47]:

dР ρ dQ +ϕ 2Q − rQ 2 = 0, dx dx S

(3.56)

в котором х – отсчитывается от конца воздухопровода; Р – избыточное давление в воздухопроводе; S – его поперечное сечение; r – удельное аэродинамическое сопротивление; ϕ = α к (3 − δ) / 2 ; α к – коэффициент кинетической энергии потока; δ – доля кинетической энергии, теряемая с утечками. Параметр ϕ определялся на основе модели турбулентного потока – n концентрических радиальных слоев с одинаковым расходом воздуха в них. На основе анализа энергопереноса между слоями было найдено [47]:

δ = 1 − 0,5 N 2

β , αк

ϕ = α к + 0,25 N 2β.

(3.57)

Здесь: N – отношение скорости на границе ламинарного подслоя к динамической ( N ≅ 11 [ 25]) ; β – безразмерный коэффициент трения. В первом приближении было принято α к ≅ 1,0 , так что ϕ = 1 + 30,25β .

(3.58)

Коэффициент β определяется по табличным данным для аэродинамического сопротивления трубопроводов α (см. (3.22)), или по величине удельного аэродинамического сопротивления для герметичных воздухопроводов – r :

r=

6,48α d

156

5

ρβ = 3,24 5 . d

(3.59)

Для замыкания системы используется второе уравнение, вводимое на эмпирической основе:

dQ = KP m , dx

(3.60)

где K – коэффициент воздухопроницаемости стенки воздухопровода; m = 1,0 – при ламинарном и m = 0,5 – при турбулентном режиме утечек. Нестационарные аэродинамические процессы в выработках с переменным расходом, быстро протекающие в аварийных ситуациях (взрывах, внезапных выбросах, обрушениях), описываются математическими моделями, учитывающими, наряду с утечками (притечками) и распределенный характер параметров вентиляционной сети, инерционные и упругие свойства воздуха [51]. Элементом сети является однородная горная выработка, рассматриваемая как протяженный трубопровод [24], для которого справедливы уравнения:

−

−

∂H i ∂Q = L0i i + R ′0i Qi , ∂x ∂t

∂Qi ∂H i + G0′ i H i , = C0i ∂t ∂x

(3.61)

i = 1, N .

Здесь H i , Qi – гидравлический напор и расход воздуха в i -й выработке;

L0i , C0i – погонные (на 1 м длины) акустическая масса и гибкость; R0′ i , G0′ i – погонные аэродинамическое сопротивление (линеаризованное) и утечки воздуха. Система (3.61) решалась на аналоговом комплексе. Авторы не обратили внимание на возможность "расцепления" системы (3.61) на два независимых "телеграфных" уравнения (уравнения типа гиперболической теплопроводности [52]).

Глава 10. Газодинамика выработок §26. Процессы газопереноса Газовыделение и газоперенос сопровождают большинство технологических процессов в шахтах и рудниках. При нормальных режимах работы, природные газы (СН4, СО2 и др.) выделяются через поверхности обнажения в лаве, из отбитой горной массы и рудничных вод, из выработанного пространства. При аварийных режимах источниками взрывоопасных и токсичных газов являются внезапные выбросы и прорывы почвы, взрывы, пожары, суфляры [14,15,53]. Эти газы, как и газы технологического происхождения (продукты взрывания ВВ, выхлопные газы двигателей, инертные газы, запускаемые в выработки при

157

пожарах) удаляются из выработок средствами вентиляции. Транспорт газов по выработкам (газоперенос) обеспечивается вентиляционным потоком (конвективно-диффузионный перенос примесей турбулентной ограниченной воздушной струей). Для расчетов газовыделения существует много (в основном – эмпирических) зависимостей. Некоторые из них, а также полученные на основе матмоделей газопереноса в горном массиве, уже приводились. Газовыделение из отбитого угля описывается формулами В.В. Ходота, Г.Д. Лидина, М.Ф. Яновской, Н. Викке, С.Н. Осипова и др. [2,3]. Динамика газовыделения обычно описывается экспоненциальными и гиперболическими убывающими функциями времени [33, 34,54]. Широко распространены различные статистические корреляции [3,4,30, 55,56]. Газовыделение при разработке выбросоопасных пластов (комбайновой или буровзрывным методом) вначале каждого цикла быстро нарастает, а затем убывает более замедленно [57,58]. Аналогичные кривые динамики газовыделения характерны и для буровзрывной проходки подготовительных выработок [59], внезапных выбросов угля и газа [60], самообрушений [61]. Инженерный вентиляционный расчет участка основан на формуле [3]:

Q=

100 J K Μ , C − C0

(3.62)

где Q – расход воздуха, обеспечивающий на исходящей струе участка концентрацию С (%); С0 – концентрация метана в поступающей на участок ("свежей") струе; J – среднее газовыделение на участке (м3/мин); K Μ – коэффициент неравномерности газовыделения (отражающий статистику появления его максимальных значений). Если газовыделение отнести к единице объема выработки, то его можно включить в уравнение газопереноса как функцию плотности источников; отнесенное к площади газоотдающей поверхности, газовыделение (с размерностью плотности потока массы) может быть учтено в математической модели граничным условием II рода (при этом уравнение массопереноса – однородное). Возможно также прямое использование (3.62) (или ее модификаций), позволяющее выразить газовыделение через концентрацию, т.е. перейти к граничному условию I рода для уравнения газопереноса [30,40,55,62]. Наряду с относительной объемной концентрацией С (%), встречается использование массовой концентрации СМ [2]:

CΜ = 0,416 M C ,

(3.63)

где М – относительная молекулярная масса газа. При смешивании двух потоков с различными концентрациями С1 и С2 (соединение выработок, сосредоточенная притечка из выработанного пространства и т.п.) и расходами Q1 и Q2 , концентрация образовавшейся смеси: 158

Q C + Q2C2 . C= 1 1 Q1 + Q2

(3.64)

Газоперенос вентиляционным потоком включает механизмы конвекции, молекулярной и турбулентной диффузии. В "чистом" виде не один из них не встречается, но при построении математических моделей, с целью упрощения сложной реальной картины, иногда рассматривают "конвективный" перенос (модель идеального вытеснения) и конвективно-диффузионный перенос. В последнем случае имеют часто ввиду турбулентную диффузию, как многократно более интенсивную, по сравнению с молекулярной. Коэффициенты молекулярной диффузии в воздухе DΜ и числа Шмидта Sc = ν / DΜ для некоторых газообразных примесей рудничного воздуха (при

t = 16o C для водяного пара и при t = 0 oC для остальных газов) приведены в таблице 3.2 [3,27]. Таблица 3.2 Коэффициенты молекулярной диффузии Диффундирующий газ

DΜ ·106 м2/с

Sc

Водород

Водяной пар

Аммиак

Метан

Кислород

Двуокись углерода

Окись углерода

Хлор

54,7

28,2

21,6

19,6

15,3

14,2

13,4

9,3

0,25

0,49

0,63

0,68

0,90

0,96

1,02

1,42

Поскольку коэффициенты турбулентной диффузии и вязкости в первом приближении равны [25], а для метана Sc = 0,68, с помощью (3.34) получаем:

DΤ ν = Sc Τ = 25 ÷ 2450. DΜ ν

(3.65)

В оценке (3.65) D Τ – среднее по сечению значение коэффициента турбулентной диффузии. Плотность обусловленного конвекцией потока массы в точке M ( x, y, z ) в момент времени t :

q к = q к ( M , t ) = ρU ( M , t )C ( M , t ),

(3.66)

где ρ – плотность смеси; U ( M , t ) – вектор скорости потока; C ( M , t ) – концентрация примеси. Плотность молекулярного потока массы, согласно закону Фика [52]: q Μ = q Μ ( M , t ) = −ρDΜ ( M , t )∇C ( M , t ). (3.67) 159

Плотность потока турбулентного массопереноса по аналогии с (3.67):

q Τ = q Τ ( M , t ) = −ρDΤ ( M , t )∇C ( M , t ). Плотность суммарного потока массы:

[

q Σ = q Σ ( M , t ) = ρ U C − ( DΜ + DΤ )∇C

(3.68)

]

(3.69)

Баланс массы для элементарного объема газовоздушной смеси

∂ (ρC ) + div q Σ = ρJ 0 ( M , t ), ∂t

(3.70)

где J 0 ( M , t ) – плотность источников газа (газовыделение). Подстановка (3.69) в (3.70) дает общий вид уравнения газопереноса (в рамках ρ = const ):

[

]

∂C + div(U C ) = ∇ ( DΜ + DΤ )∇C + J 0 ( M , t ). ∂t

(3.71)

Иным путем, проведя усреднение по Рейнольдсу уравнения конвективнодиффузионного переноса, получили уравнение турбулентного газопереноса в [59]. Полагая турбулентность анизотропной и принимая (по Т. Буссинеску [25]), что:

DΤ, х = −

с′u′ ; ∂c / ∂x

DΤ, y = −

с′ϑ′ ; ∂c / ∂y

DΤ, z = −

с′ω′ , ∂c / ∂z

(3.72)

где c′, u ′, ϑ′, ω′ – пульсации концентрации и декартовых компонент скорости потока, а черта обозначает усреднение по Рейнольдсу, авторы нашли:

∂с ∂ (uc ) ∂ (ϑc ) ∂ (ωc ) + + + = ∂t ∂x ∂y ∂z =

∂⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ⎜ DΤ, х ⎟ + ⎜ DΤ, у ⎟ + ⎜ DΤ, z ⎟ . ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠

(3.73)

В уравнении (3.73) опущены (без ограничения общности) источники J 0 ( M , t ); u , ϑ, ω − декартовы компоненты вектора скорости потока U , DΤ,х ,

DΤ, y , DΤ, z − главные значения тензора турбулентной диффузии [59]. Стационарные и нестационарные процессы газовыделения и газопереноса − принятые при построении детерминистических моделей схематизации сложных стохастических систем. Стационарному газовыделению соответствует (при постоянстве расхода воздуха) стационарный процесс газопереноса, характеризуемый неизменным полем концентрации примеси в выработке. С определенным приближением такая ситуация возможна в лаве [63] и в выработке со слоевым скоплением метана [29]. В реальности газовыделение и расход воздуха в любой горной выработке всегда испытывают

160

случайные колебания, придающие газопереносу нестационарно-случайный характер. Нестационарность полей концентраций формируется также и нестационарностью источников газовыделения. Принято различать четыре группы последних: мгновенные источники (взрывные работы, внезапные выбросы, самообрушения и др.); источники переменной интенсивности (газовыделение с обнаженной поверхности, отбитой горной массы); относительно нестационарные источники (обуслов-ленные изменениями давления и (или) расхода воздуха); периодические источники (связанные с технологическими циклами очистной выемки и проходки). Все эти случаи охватываются подбором соответствующей функции J 0 ( M , t ) в правые части уравнения (3.71) или (3.73). При измерении аэродинамических (депрессии, скорости потоков) и газодинамических (газообильность выработок, концентрации газов) параметров в шахтах, т.е. величин, прогноз которых осуществляется математическими моделями, с одной стороны, и которые являются исходными данными для моделирования, с другой стороны, используют методы, учитывающие статистическую природу этих параметров [64÷66,73]. Тем самым обеспечивается привязка математических моделей (а мы рассматриваем только детерминистические модели) к средним значениям (либо трендам) случайных величин. Статистические аспекты газодинамики шахт длительно изучались на эмпирической основе [67÷69]. В ходе совершенствования автоматизированных систем контроля и управления проветриванием шахт, весьма важные результаты получены Ю.А. Ивановым с сотрудниками [70÷73]. Большую роль играют статистические методы при определении параметров массопереноса и граничных условий краевых задач – математических моделей различных процессов [62,74]. Турбулентная диффузия пассивных примесей, т.е. примесей, не влияющих на поле скоростей потока, описывается уравнением (3.71), в котором U и DΤ не зависят от массовых сил, а следовательно – от концентрации примеси. Эта ситуация характерна для примесей с плотностью, близкой к плотности воздуха или примесей с малой концентрацией, а также при больших скоростях потоков, когда в них преобладают механизмы турбулентного перемешивания. Законы турбулентного трения, массо- и теплопереноса записываются в форме, соответствующей "ламинарным" законам Ньютона, Фика и Фурье [25]:

τ Τ = ρν Τ

dU dc dT ; qc,Τ = −ρν c,Τ ; qΤ,Τ = −ρC p ν Τ,Τ , dy dy dy

(3.74)

где y – поперечная потоку координата; τΤ , qc,Τ , qΤ,Τ – соответственно касательные напряжения трения, плотность потока массы, плотность потока тепла; ρ, C p – плотность и удельная теплоемкость газа; ν Τ , ν c,Τ , ν Τ,Τ – турбулентные

вязкость,

коэффициенты

турбулентной

диффузии

и 161

температуропроводности. Черта над величинами обозначает усреднение по Рейнольдсу. Согласно Прандтлю:

ν Τ = ϑ′l τ ;

ν с,Τ = ϑ′l с ; ν Τ,Τ = aΤ, у = ϑ′l Τ ,

(3.75)

где ϑ′ – поперечная пульсация скорости; l τ , l с , l Τ – соответственно пути смешения для процессов переноса импульса, массы, тепла [25]. По аналогии с молекулярным, для турбулентного переноса можно определить числа Прандтля и Шервуда:

PrΤ =

νΤ ; aΤ, y

Sc Τ =

νΤ . DΤ, y

(3.76)

В отличие от молекулярных, турбулентные числа PrΤ и Sc Τ зависят не только от физических параметров среды, но и от режима течения, профиля скоростей потока. Обычно ищут экспериментальные зависимости: PrΤ = f1 ( y ), Sc Τ = f 2 (y), а затем по (3.76) определяют соответствующие aΤ, y ( y ) и

DΤ, y ( у ) . Для пассивных примесей в первом приближении обычно принимают: PrΤ

≅ Sc Τ ≅ 1,0 [25]. Этот подход обусловлен трудностью PrΤ ( y ) и Sc Τ ( y ), экспериментального определения функций противоречивыми результатами, полученными разными исследователями [75÷78]. Уравнения (3.71), (3.73) при построении математических моделей переноса пассивных примесей часто упрощают, понижая их размерность. Для большинства горных выработок (за исключением камер и выработок большого сечения) справедливо соотношение между площадью сечения S и длиной L: S L << 1. Полагая, что решающее значение имеет распределение концентрации примеси вдоль выработки, а в сечении достаточно знания ее среднего значения, часто используют модель одномерного газопереноса со стержневым профилем скорости потока – модель дисперсии [79,80]. В этой модели "размывание" примеси за счет неоднородного по сечению скоростного поля (дисперсия) и продольная турбулентная диффузия описываются одним эффективным параметром – коэффициентом дисперсии. Положив ось выработки совпадающей с координатой x и проинтегрировав (3.71) по сечению ( y, z ), получили [80]:

∂c ∂c ∂ ∂c +u = ( Dg ) + J 0 , ∂t ∂x ∂x ∂x

(3.77)

где горизонтальная черта обозначает усреднение величины по площади сечения *

выработки; u – средняя скорость потока; Dg = Dg + Dх – коэффициент дисперсии (эффективный коэффициент продольной турбулентной диффузии). 162

*

Параметры Dg и D x определяются формулами:

D*g = u ∗ c∗ (∂c / ∂x);

D x = S −1 ∫ DΤ, x ( s ) d s ; (s)

u * = u − u ; c* = c − c . (3.78) Коэффициент дисперсии Dg часто обозначают Dx и определяют на моделях горных выработок и в шахтных условиях как функцию Re и коэффициента аэродинамического сопротивления α [23,62,80]. В таблице 3.3 приведены некоторые модели дисперсии, заимствованные из [22]. Таблица 3.3 Модели дисперсии

Тип выработ ки

Процесс

Модель дисперсии

Нестацио∂с ∂c ∂ 2c Штреко- нарный + u = Dх 2 , x > 0 , t > 0 t ∂ ∂x ∂x образметанопеная c( x,0) = 0; с(0, t ) = F (t ), ренос Переходный ∂с Q ∂c ∂ 2c q газодинами Очист+ = Dх 2 + , SL t S x ∂ ∂ ∂x ческий ная процесс при где Q − расход воздуха в лаве (лава) метановыде длиной L и сечением S ; q − лении из дебит метана из пласта. пласта

Авторы Осипов С.Н., Греков С.П., 1968

Греков С.П., Зинченко И.Н., 1975

∂c ∂c ∂ 2c Подго+ u = Dх 2 , x > 0 t ∂ ∂x ∂x товиРазгазиротельная вание зоны Кузнецов А.Н., ⎛ uK ⎞ = − c ( 0 , t ) c exp t , t > 0 , ⎜ ⎟ (тупико- смешения Лайгна К.Ю., 0 l ⎝ ⎠ вая) 1973 l где – длина зоны смешения; выработ K – коэффициент полезного ка действия струи

Стационарный и нестационарный газоперенос в выработках калийных рудников, сопровождающийся поглощением примеси витающими аэрозолями, стенками выработок и водой, моделировался на основе уравнений дисперсии [81,82]. Рассматривалась вентиляционная сеть из однородных, но различных ветвей. В каждой j-й ветви стационарный перенос пассивной примеси описывался уравнением [81]: 163

Dj

d2 c j d x 2j

−uj

dc j dxj

− K j (c j − c0 ) + f j ( x j ) = 0 ,

j = 1, N ,

(3.79)

где c j – средняя по сечению S j концентрация примеси; c0 – равновесная концентрация процесса поглощения; x j – продольная координата ( x j = 0 в начале ветви, x j = L j – в конце); Dj – коэффициент дисперсии; u j – средняя скорость потока; K j – эффективный (интегральный) коэффициент поглощения примеси;

f ( x j ) – функция плотности источников (стоков) примеси. В узлах сети задаются граничные условия: во внешних (граничных) узлах – I рода; во внутренних – IV рода – склейки концентраций и полных потоков массы. Последнее условие имело вид

⎛ ⎞ dcj S j⎜− Dj + u jc j ⎟ = 0 , ⎜ ⎟ dxj ⎝ ⎠Γ j j∈J r

Σ

(3.80)

где J r – множество значений индекса j выработок, входящих в r -й узел ( r = 1, R ) и выходящих из него; Γ j – границы ветвей (для входящих в узел

Γ j = L j , для исходящих – Γ j = 0 ). Если в (3.80) просуммировать отдельно все вторые слагаемые в скобках, то с учетом (3.15) и (3.64) получим нуль, что позволяет упростить (3.80) [82]:

⎛ dc ⎞

∑ S− D− ⎜⎝ d x ⎟⎠ −

⎛ dc ⎞ − ∑ S + D+ ⎜ ⎟ = 0 , ⎝ d x ⎠Γ+ Γ− +

(3.81)

где индексом "–" обозначены ветви, входящие в узел, в индексом "+" – исходящие из узла. При наличии в узле сосредоточенного источника массы или стока ее, в правой части (3.81) вместо нуля фигурирует ϕ = ϕ(t ) . Нестационарный массоперенос описывается аналогично [82]:

∂( S j c j ) ∂t =

+

∂ (Q j c j ) ∂x j

=

∂c j ⎞ ∂ ⎛⎜ ⎟ − K j S j (c j − c0 ) + S j f j ( x j , t ), S jDj ⎜ ∂x j ⎝ ∂x j ⎟⎠

(3.82)

где обозначения соответствуют (3.79). При высоких скоростях воздушных потоков, когда D j L j u j << 1, можно пренебречь дисперсией (эффективным турбулентным продольным массопереносом) по сравнению с конвективным переносом. Тогда (3.82) переходит в "усеченное" уравнение (модель идеального вытеснения): 164

∂(S j c j ) ∂t

+

∂ (Q j c j ) ∂x j

= S j f j ( x j , t ) − S j K j (c j − c0 ).

(3.83)

Это уравнение применяется для описания массопереноса в разрезных штреках и трубопроводах [82]. Известны еще более простые модели, следующие из (3.83) в частных случаях [40,83]. Турбулентная диффузия активных примесей более сложный и менее изученный процесс, чем пассивных. В условиях горных выработок наиболее важным из видов взаимодействия активной примеси с воздушным потоком, является гравитационное. Оно приводит к появлению объемных сил "всплытия" (в силу закона Архимеда при плотности смеси меньшей плотности воздуха – например СН4) и "погружения" (иначе – седиментации – например для СО2 или частиц пыли). Действие этих сил возмущает пульсационную структуру потока, что приводит к изменению ν Τ и DΤ , у . Для описания турбулентной диффузии активных примесей используют уравнение (3.73), модифицируемое одним из двух (либо их комбинацией) способов: введением вместо скорости потока U некоторой "эффективной" скорости U e , учитывающей наличие скоростей "всплытия" или "погружения" (седиментации); заменой коэффициента турбулентной диффузии в вертикальном направлении DΤ , z на эффективный коэффициент DΤ , a = DΤ , а (С ) [2,22,62,84]. Имеются работы, где перенос активных примесей исследуется численно, с использованием полной нелинейной системы уравнений гидродинамики, неразрывности, массопереноса, состояния [22,85,86]. В работах [85,86] определялись условия формирования и параметры слоевых скоплений метана, которые хорошо изучены экспериментально [29]. Как и в других численных моделях, полученные результаты трудно поддаются наглядному истолкованию и обобщению. Наряду с тем, имеются работы, в которых слоевые скопления метана моделируются достаточно просто, с применением аналитических методов решения краевых задач газопереноса [87,88]. Модель турбулентной диффузии активной примеси – метана – предложена К.З. Ушаковым [89,90]. Рассматривался стационарный двумерный газоперенос в выработке прямоугольного сечения:

Ue

∂C ∂ ⎡ ∂С ⎤ = ⎢( D + DΤ ,а ) ⎥, ∂x ∂z ⎣ ∂z ⎦

(3.84)

где x – продольная, а z – вертикальная координата; D – коэффициент молекулярной, а DΤ , а – турбулентной поперечной диффузии активной примеси. Эффективные параметры определялись равенствами:

U e = U − (sign β)U Κ ;

DΤ ,а = ω(Ri* ) DΤ , z ;

Ri* = Ri/Ri кр . (3.85) 165

Здесь U – средняя скорость потока без стратификации; β – угол наклона выработки к горизонту; U к – средняя скорость "всплывания"; DΤ , z – коэффициент турбулентной диффузии пассивной примеси; DΤ , а – *

коэффициент турбулентной диффузии активной примеси; Ri – относительное число Ричардсона, характеризующее затухание турбулентности. Число Ричардсона пропорционально отношению работы объемных сил всплытия к кинетической энергии пульсационного движения воздуха: −1

2 ⎡ ∂ρ ⎤ ⎡ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ Ri = ⎢ g cos β⎥ ⎢ρ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ . ∂ z ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦

(3.86)

Вырождению турбулентности под действием объемных сил соответствует критическое значение Ri кр = Ri кр (Re) , возрастающее при смещении к оси выработки [2]. При Re ≅ 104, у стенок выработки Ri кр ≅ 0,05, при больших Re , Ri кр ≅ 0,03 во всем сечении. При Ri < Ri кр условия турбулентного перемешивания улучшаются, а при Ri > Ri кр ухудшаются, что ведет к преобладанию

"активного"

переноса.

Для

функции

ω(Ri* ) получено

выражение [2]:

ω(Ri* ) = 1 − (Ri* )1 / 2 − 2 Ri* + 2(Ri* )3 / 2 + (Ri* ) 2 − (Ri* )5 / 2 .

(3.87)

Близкую к этой, модель стационарной двумерной турбулентной диффузии активной примеси в подготовительной выработке предложил К.Ю. Лайгна [22]:

u

∂c ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ = ⎜ De, x ⎟ + ⎜ De, y ⎟ , ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠

(3.88)

где x, y – соответственно продольная и вертикальная координаты; u – средняя скорость потока; De, x , De, y – эффективные коэффициенты переноса. Активная "тяжелая" примесь – СО2 – изучалась С.П. Грековым и А.Е. Каллюским [62]. Экспериментальные запуски примеси осуществлялись в штольне ВНИИГД при U = (0,05ч0,5) м/c ( Re = 0,8·104ч9,4·104). Число Ричардсона для стратифицированного потока было представлено в виде

Ri = g

ρc − ρcp ρcp

hU 0− 2 cos β ,

(3.89)

где ρc ,ρcp – соответственно плотности смеси газов у стенки и средняя по сечению; h – высота выработки; U 0 – средняя скорость потока. Формула (3.89) 166

является интегральной аппроксимацией (3.86). Выразив ρc и ρcp через соответствующие концентрации Се и Сср , авторы аппроксимируют экспериментальные данные:

6 ⋅ 1014 ⎛⎜ 1 1,2 ⋅ 10 4 ⎞⎟ + Ric = Re ⎟⎠ Re 2,4 ⎜⎝ CΒ

−1,6

,

(3.90)

где CΒ – концентрация СО2 у верхней стенки выработки. С использованием (3.90) и уравнения газопереноса активной примеси в круговой выработке:

∂C ⎤ 1 ∂ ⎡ ∂C ⎤ ∂C ∂ ⎡ ∂С r D C ( ) , = ⎢ D(C ) ⎥ + +u ∂x ⎦ r ∂r ⎢⎣ ∂r ⎥⎦ ∂x ∂x ⎣ ∂t

(3.91)

было получено [62]:

D(C ) = 2,5 D (ud ) −1,25 C1,25 (м2/с).

(3.92)

В (3.91) и (3.92): u – средняя скорость потока; d – диаметр выработки; D0 – коэффициент турбулентной диффузии пассивной, а D (C ) – активной примеси. §27. Модели газопереноса в выработках Газодинамика подготовительных выработок основана на двух различных математических моделях газопереноса для двух зон, на которые разбиваются выработки. Часть выработки от конца воздухопровода, обеспечивающего проветривание, до забоя, именуется призабойной зоной или зоной смешения (далее используем последний термин). Остальная часть подготовительной выработки проветривается ограниченным турбулентным потоком, с переменным расходом (с постоянным расходом, если отсутствуют утечки из нагнетательного или притечки в отсасывающий воздухопровод). При нагнетательном проветривании в зоне смешения, где действует вначале свободная, а затем стесненная турбулентная струя, картина течения очень сложная: взаимодействие прямой струи с отраженной от забоя порождает вихри, зоны рециркуляции, вторичные течения. Здесь происходит интенсивное перемешивание газа, выделяющегося через поверхность забоя и из отбитого угля (породы) с чистым воздухом; образовавшаяся газовоздушная смесь движется затем к началу выработки и далее, в сторону вентиляционного ствола. Математические модели газопереноса вне зоны смешения аналогичны рассмотренным ранее моделям пассивного и активного переноса; чаще всего используются модели дисперсии [22]. Для зоны смешения В.Н. Ворониным предложена [1] и с различными модификациями до настоящего времени используется [2,3,55] простая балансовая ("точечная" или с сосредоточенными параметрами) модель,

167

использующая понятие "коэффициент турбулентной диффузии струи КТ" – не совпадающее с общепринятым [25,36]. Параметр КТ определяется как отношение средней концентрации примеси в сечении ядра постоянной массы струи Сс р к концентрации на границе струи Ск : КТ = Сс р / Ск . Исходя из теории свободных струй и экспериментальных данных, В.Н. Воронин постулировал (с погрешностью в 3÷5%) подобие полей концентрации и скорости в ядре постоянной массы струи [1]:

Ск − С (r ) u (r ) ≅ ; Cк − Сm um

Ск − С m u m ≅ , u0 Cк − С 0

(3.93)

где u (r ), um , u0 – соответственно текущая, осевая в данном сечении и осевая в начальном сечении струи скорости; С ( r ), Сm , Cк , С0 – соответственно

текущая, на оси струи в данном сечении, на границах струи и на оси струи в начальном её сечении концентрации примеси. Из (3.93) для основного участки струи следует:

2π KΤ = = Ск Q Cср

Rm

∫ 0

C (r ) u (r )r d r = 1 − 1,84 A, Cк

Rm

2

⎛ u (r ) ⎞ ⎟⎟ ϕ d ϕ , (3.94) A = ⎜⎜ ⎝ um ⎠ 0

∫

где r = r (ϕ) = r ( y / ax) ; Rm – эффективный радиус струи. Аналогично вычисляется КТ для плоской струи. Для круглых, частично загазированных струй, характерных для камерообразных выработок [2], был определен соответствующий КТ модифицированный коэффициент КТ1:

C K Τ1 = K Τ + (1 − K Τ ) 0 . Cср

(3.95)

Для расчетов параметра K Τ в зависимости от диаметра воздухопровода и его удаленности от забоя, предложены специальные таблицы [1], но на практике распространено использование эмпирических значений [3,33]. Они, как и теоретические значения K Τ по (3.94), обычно заключены в интервале

K Τ ≅ 0,2÷1,0. Далее предполагается, что Ск близко к средней по зоне смешения концентрации С з : Ск ≅ С з . С учетом газовыделения в зоне смешения J (t ) (м3/с), уравнение баланса массы примеси (при равенстве расходов смеси на выходе из воздухопровода и на выходе из зоны смешения) приводится к виду [2]:

где 168

d C3 ⎡ Q⎤ J (t ) + ⎢(1 − K Τ ) ⎥C3 = , t > 0, (3.96) V⎦ V dt ⎣ V – объем зоны смешения; Q – расход воздуха на выходе из

воздухопровода. Решение (3.96) при любой функции J (t ) (и Q = Q (t ) ) затруднений не вызывает. При моделировании процесса разгазирования тупиковой выработки после взрывных работ, С3 (t ) описывает динамику концентрации газов – продуктов взрывания ВВ, метановыделение несущественно и в (3.96) можно положить: J (t ) = 0, V = V0 . Газовыделение описывается начальным условием C3 (0) = = C0 = Ab / V0 , где А (кг) – расход ВВ на одно взрывание, b (м3/кг) – объем газов, образующихся при взрывании 1 кг ВВ, V0 – объем зоны отброса газов. Тогда (3.96) принимает вид:

d С3 (t ) ⎡ Q⎤ + ⎢(1 − K Τ ) ⎥C3 (t ) = 0, C3 (0) = C0 , V0 ⎦ dt ⎣

(3.97)

и имеет решение

⎡ (1 − K Τ )Q ⎤ С3 (t ) = C0 exp ⎢− t⎥ . V ⎦ ⎣ 0

(3.98)

По этому решению легко найти время разгазирования tp (путем задания нормативной степени снижения концентрации C3 (t p ) = CΗ ). ) В силу быстротечности взрыва, начальное условие может быть заменено функцией J (t ) / V0 , в правой части (3.97): J (t ) / V0 = C0δ(t ) [74] (где δ(t ) − дельтафункция Дирака). При комбайновой проходке с постоянной скоростью J (t ) = J 0 = const . Необходимый расход в воздухопроводе Q0 , обеспечивающий в зоне смешения

нормативную допустимую концентрацию метана C3 (t ) = CΗ = сonst, легко находится из (3.96) и в этом случае:

Q0 =

J0 . (1 − K Τ )CΗ

(3.99)

Рассмотренные случаи являются предельными, т.к. в первом газовыделение возрастает очень быстро (описывается δ − видной функцией времени), а во втором – оно постоянно. В реальных ситуациях (различных), как показывают многочисленные шахтные измерения, концентрация в зоне смешения вначале (некоторого технологического или аварийного процесса) быстро возрастает, достигает максимума, а затем – плавно убывает [15,30,33,53,55,58÷61,74,91]. Обширные экспериментальные исследования А.Ф. Клишканя [33] при взрывных работах по углю, в которых концентрация метана измерялась в сечениях выработки в центре зоны смешения и в 20 м от забоя, дали следующие результаты. Для отношений средних концентраций по этим сечениям Сi ,ср (i = 1.2) к концентрациям в центрах этих сечений 169

Ci 0 : Ci ,cp Ci 0 = K i были получены значения: K1 = 0,92-1,15 (K1cp= 1,0), K2 = 0,89-1,13 (K2cp = 1,0). Среднеквадратичная ошибка определения Kicp = 1,0 не превышала ± 6,5%. Эти данные интерпретировались как показатель эффективности турбулентного перемешивания в зоне смешения и её окрестности и отсутствие стратификации потока по высоте выработки [33]. Возможность пренебрегания силами Архимеда в тупиковых выработках, т.е. моделирования метанопереноса как пассивной примеси, отмечена и в [34]. Для условий интенсивного метановыделения, когда необходимо учитывать его расход наряду с расходом воздуха через воздухопровод, уравнение (3.96) было модифицировано [33]:

d C3 Q + J (t ) 100 J (t ) + A(t )C3 (t ) = B(t ), A(t ) = , B (t ) = , (3.100) V V dt где J(t) = 1,8 Jmax/(1,8 + t) – эмпирическая формула для интенсивности метановыделения. Решение (3.100) также осуществлено аналитически. В шахтах, опасных по углекислому газу, скорость подвигания забоя и величина поверхности обнажения, как показали наблюдения, сильно влияют на дебит углекислоты и интенсивность поглощения кислорода. Газовые балансы по СО2 и О2 для зоны смешения дали систему двух уравнений вида (3.100) относительно концентраций этих газов. Учет скорости подвигания забоя привел к усложнению вида функций A(t ) и B (t ) , но в целом структура уравнений осталась аналогичной (3.100) [55]. Одной из первых моделей газопереноса в подготовительной выработке за пределами зоны смешения была предложенная в [59]:

⎛ ∂ 2C 1 ∂C ∂ 2C ⎞ ∂С ∂C + u (r ) = D⎜ 2 + + 2 ⎟, x > 0, t > 0, (3.101) ⎜ r ∂r ∂x ⎟⎠ ∂t ∂x ⎝ ∂r где С = С ( x, r , t ) – концентрация метана в выработке кругового сечения; D = DΜ + DΤ ; DΜ , DΤ – коэффициенты ламинарной и турбулентной

диффузии. Далее уравнение (3.101) упрощалось путем перехода к средним по сечению величинам, т.е. редуцировалось в одномерное уравнение дисперсии:

∂ 2C ∂C ∂С = De 2 , + u0 ∂x ∂t ∂x

x > 0,

t > 0,

(3.102)

С (∞, t ) = 0;

(3.103)

Краевые условия к (3.102):

С ( x,0) = 0;

С (0, t ) = F (t );

( F (0) = 0);

В соответствии с ранее сказанным о качественном поведении концентрации в зоне смешения, на основе многочисленных шахтных замеров, было принято [59]: 170

F (t ) = At n exp(− γt ),

(3.104)

где A, n, γ = const > 0, t измеряется в секундах. Для различных подготовительных выработок, проходимых буровзрывным способом, были определены параметры (3.104) приведенные в таблице 3.4 [59] (различные выработки разных шахт представлены номерами). Таблица 3.4 Параметры граничной концентрации (3.104) №№ выработок

А n

γ

1

2

3

4

5

6

7

8

0,9

0,07

0,09

4,0

0,012

1,0 0,0043

1,0 0,0035

0,01 0,0005

3,6·10-10 3,0 0,0011

1,87

1,0 0,0068

2,3·10-10 3,0 0,0085

1,0 0,0083

2,0 0,018

Газодинамика камер и камерообразных выработок (т.е. таких, для сечения S и длины L которых S / L ~1), как и зон смешения тупиковых выработок, определяется турбулентным перемешиванием за счет действия струи. Струи образуются при выходе потока в камеру из воздухопровода или из выработки с сечением малого (относительно сечения камеры) размера. В шахтах и рудниках встречаются последовательное, параллельное и комбинированное соединение камер и камерные блоки [2,3,23]. Баланс массы примеси в камере приводит к уравнению относительно средней концентрации Сср (t ) , аналогичному (3.100) [2]:

d Ccp (t )

+ RCcp (t ) = R0 (t ), R0 (t ) =

J (t ) + RC0 , V

(3.105)

dt где R = QK Τ V ; С0 – концентрация примеси в поступающем в камеру воздухе (в струе). При стационарном газовыделении, когда J (t ) = J 0 = const, R0 (t ) = R0 = const, из (3.105) следует: R ⎡ ⎤ Ccp (t ) = ⎢Ccp (0) + 0 (exp( Rt ) − 1)⎥ exp(− Rt ) . R ⎣ ⎦

(3.106)

При проветривании камеры после взрывных работ свежей струей, когда

C0 = 0, J (t ) = J 0δ(t ) :

Сср (t ) = CΒ exp(− Rt ) ,

J CΒ = 0 . V

(3.107)

При параллельном соединении камер, газодинамика каждой описывается (3.106) при параметрах Сср (0), R, R0 характерных для них. При 171

последовательном соединении камер, исходящая струя первой из них является входящей для второй и т.д. Уравнение (3.105) для второй камеры

d C2 + RC2 (t ) = R0Cu1, dt

Cu1 = K1C1,

(3.108)

где Cu1 – концентрация в исходящей струе первой камеры; C1 – средняя концентрация в первой камере; K1 = K Τ1 (в смысле (3.95)) для первой камеры. При C1 (t ) , определенном по (3.107), решение (3.108):

C1(t ) = CΒ exp(− Rt )(1 + K1Rt ).

(3.109)

Решение для третьей камеры, C3 (t ) , выглядит аналогично, но в скобке 2

добавляется член с t . Для Cn (t ) сомножителем экспоненты будет полином по

t степени n − 1 . Уравнение типа (3.105) используются не только для расчетов газодинамики камер, но и воздушных завес в них [93] и газоаналитических приборов [94]. Особенности аэрогазодинамики очистных камер большого сечения (S = = 50 - 150 м2) калийных рудников изучались А.Е. Красноштейном [95]. Выявлено преимущественное значение диффузионного газопереноса по сравнению с турбулентным перемешиванием, обосновано применение уравнения дисперсии

∂ 2С ∂C ∂С =D 2, +u ∂x ∂t ∂x

x ∈ (0, L),

t > 0.

(3.110)

Краевые условия к (3.110):

∂С ∂С ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = uC ′; ⎜ − D = uC ′′; C ( x,0) = C0 , (3.111) + uC ⎟ + uC ⎟ ⎜− D ∂x ∂x ⎝ ⎠ x =0 ⎝ ⎠ x=L где С ′, С ′′ – соответственно концентрации примеси на входе и на выходе из камеры. На основе уравнения (3.110) (но с другими краевыми условиями) были рассмотрены модели газопереноса для камер, проветриваемых комбинированными турбулентными потоками (с переходом свободной струи в ограниченный поток), для камер с переходом ограниченного потока в свободную струю, камер, проветриваемых по нагнетательно-всасывающей схеме, тупиковых камер, проветриваемых последовательно [95]. Аэрогазодинамика очистных камер сланцевых рудников длительно исследовалась К.Ю. Лайгна с сотрудниками [22,23,36,96,97]. Изучены закономерности формирования круглых и плоских струй в камерах различного сечения и длины, исследована турбулентная структура потоков. На основе теории локальной турбулентности, по экспериментальным данным, найдены коэффициенты продольной Dх и поперечной D у турбулентной диффузии круглых и плоских струй при различных коэффициентах стеснения. Эти 172

коэффициенты носят эффективный характер (усреднены по сечению камеры) и используются в уравнении газопереноса в камерах [22, 96]:

∂ 2С ∂ 2C ∂C ∂С = Dx 2 + D у 2 . +u ∂x ∂t ∂у ∂x

(3.112)

Уравнение (3.112) описывает перенос пассивной примеси, что не соответствует ситуациям работы в камерах дизельных двигателей. Повышенная температура выхлопных газов приводит к вертикальной стратификации воздушного потока и конвективной циркуляции [97]. Учет этих особенностей предлагается осуществлять, при математическом моделировании газопереноса, использованием вместо (3.112) уравнения продольной дисперсии (3.77) с заменой в нем коэффициента дисперсии Dg на коэффициент эффективной турбулентной диффузии стратифицированного потока De, s , для которого предложено расчетное выражение [97]. Газодинамика очистных выработок определяется условиями их проветривания (расход воздуха, геометрия и дебит утечек-притечек, степень загромождения и т.п.) и газовыделением (из обнаженной поверхности и выработанного пространства, отбитого угля). Метановыделение более интенсивно со свежеобнаженных участков пласта; при остановленном забое вдоль него изменяется мало. Метановыделение из выработанного пространства в призабойное может быть определено графоаналитическим методом И.М. Печука [2]. Известен ряд зависимостей концентрации метана в лаве от её длины, в частности при сплошной системе разработки и возвратноточной схеме вентиляции [2]:

x , (3.113) L где x – относительное расстояние от начала лавы; L – её длина; а, b, c – Cл = Сл ( x) = a exp(bx ) + c, x =

эмпирические константы. При работе комбайна, максимальная концентрация метана С0 над комбайном убывает вдоль лавы (по ходу воздушного потока):

Ск = Ск ( х) = С0 exp(−b1х), (3.114) где х – расстояние от комбайна; b1 ≅ 0,32 – эмпирическая постоянная. В силу сложности конфигурации лавы, наличия утечек и притечек из выработанного пространства, переменного характера газовыделения (нерегулярного, в силу природных и технологических факторов), матемаческое моделирование газового режима в лаве представляет собой трудную проблему, попыток решения которой известно немного. В [63] анализируется динамика диффузионных метановых слоев в лаве – на основе теории динамического и диффузионного пограничных слоев в предположении пассивности примеси. Поперечные профили скорости потока и концентрации задаются в виде: 173

2

2

⎛ y⎞ ⎛ y⎞ Cc − C = 2⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ , Cс − C0 ⎝ δc ⎠ ⎝ δc ⎠

u ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ; u0 ⎝δ⎠ ⎝δ⎠

(3.115)

где u0 , C0 – соответственно скорость и концентрация в ядре потока (вне погранслоя); Сс – концентрация примеси на стенке; δ, δс – толщины динамического и диффузионного пограничных слоев, связанные зависимостью

δ = 0,54 ScΤ −1/ 3[1 − ( x01 / x)3 / 4 ]1/ 3 , δс

(3.116)

где Sc Τ – турбулентное число Шмидта; x01 – длина дегазированного начального участка лавы; x − продольная координата. Для Sc Τ ≅ 1 найдены 1/ 2

δсi ⎛ x⎞ = 1,62⎜ λ ⎟ D ⎝ D⎠

⎛ λi ⎞ ⎜ ⎟ ⎝λ⎠

2/3⎡

⎛x ⎞ ⎢1 − ⎜ 0i ⎟ ⎢⎣ ⎝ x ⎠

3 / 4 ⎤1 / 3

⎥ ⎥⎦

, i = 1, 2 .

(3.117)

Здесь D – эквивалентный диаметр лавы; λ – коэффициент трения гладкой стенки; λ с – коэффициенты трения шероховатых (газоотдающих) поверхностей. Коэффициенты поперечной турбулентной диффузии для лав были найдены в виде

εi = 2,15λ i δi u ,

δ1 ⎛ λ1 ⎞ =⎜ ⎟ δ 2 ⎜⎝ λ 2 ⎟⎠

2/3

,

i = 1, 2.

(3.118)

Здесь u – средняя скорость движения воздуха в лаве; δi – толщины пограничных слоев. Далее авторы получают формулы для суммарного газовыделения из обеих газоотдающих поверхностей (достаточно громоздкие). Расчет хода изменения концентрации вдоль лавы в рамках этой модели не осуществлялся [63]. Попытка построения матмодели газовоздухобмена в лаве при ведении взрывных работ и сопутствующих им периодических газовыделениях, для системы разработки длинными столбами с выкладкой бутовых полос в выработанном пространстве, была предпринята К.Ю. Лайгна [98]. Распределение расхода воздуха вдоль лавы описывалось эмпирической зависимостью: m ⎡ ⎛x⎞ ⎤ Q = Q( x) = Q0 ⎢1 − η⎜ ⎟ ⎥, ⎝ L ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

Q0 = Q(0),

Q − QL η= 0 , Q0

QL = Q( L),

(3.119)

где Q0 , QL – расходы воздуха в начале и в конце лавы; η – коэффициент утечек. Средняя скорость в сечении лавы определялась по (3.119), где 174

u0 = Q0 / S , u ( x) = Q( x) / S . Процесс газовоздухообмена рассматривался как состоящий из трех фаз различной продолжительности: образование вредностей; удаление их из лавы в бортовой штрек; выделение примесей из выработанного пространства в лаву. Для различных элементарных объемов лавы составлялись балансовые уравнения с использованием "времени движения вредности" t x : x

dx tx = , u ( x)

∫ 0

m ⎛ ⎛ x ⎞ ⎞⎟ ⎜ u ( x) = u0 1 − η⎜ ⎟ . ⎜ ⎝ L ⎠ ⎟⎠ ⎝

(3.120)

Здесь, как и в (3.119), параметр m ≥ 2,0, причем погрешность вариантов с m ≠ 2,0 составляет ≈ 4% [98]. Сложные и громоздкие выкладки привели к труднообозримым (занимающим около страницы) формулам для концентрации вредных примесей, использование которых предполагалось с помощью ЭВМ. В рамках математической модели переходных газодинамических процессов на участке, рассматривался метаноперенос в лаве в [40]. Для элемента лавы с объемом S Λ d x строилось балансовое уравнение относительно средней по сечению концентрации CΛ . Учитывались: приток метана из пласта и отбитого угля – eΜ d x ; поступление метана в элемент с движущимся по лаве потоком смеси – ρвQΛ CΛ ; поступление смеси с притечками из выработанного пространства – ρq+C d x , убыль метана с утечками в выработанное пространство – ρв q−CΛ d x; убыль метана из контрольного объема с воздушным потоком – ρвQΛ ( x + d x)CΛ ( x + d x) . В итоге было получено уравнение:

∂CΛ ∂С ∂Q + ρ0QΛ Λ + ρвСΛ Λ + ρв q−CΛ = eΜ + ρq+C , (3.121) ∂t ∂x ∂x где S Λ – площадь сечения лавы; ρв , QΛ – плотность воздуха и его расход; q− = q− ( x, t ) – дебит утечек из лавы в выработанное пространство с единицы длины лавы; q+ , C , ρ – дебит притечек из выработанного пространства в лаву S Λ ρв

(на единицу длины), их концентрация и плотность. При постоянном (не зависящем ни от х, ни от t ) сечении лавы S Λ = const , (3.121) приводится к виду:

∂CΛ ∂ + (uΛ ( x, t )CΛ ( x, t ) ) + γ ( x, t )CΛ ( x, t ) = J ( x, t ), ∂t ∂x

(3.122)

где

u Λ ( x, t ) =

Q ( x, t ) q ( x, t ) e ( x, t ) ρq+ ( x, t )C ( x, t ) + ; γ ( x, t ) = − ; J ( x, t ) = Μ . SΛ SΛ ρв S Λ ρв S Λ 175

Уравнение (3.122) является уравнением конвективного переноса с переменным расходом и обобщает уравнение (3.83). Уравнение (3.121) решалось в рамках модели очистного участка на ЭВМ [40,41]. Иным способом строится модель газопереноса в лаве в рамках модели для добычного участка с выделением углекислого газа [55]. Участок заменяется эквивалентной выработкой с переменным по ее длине сечением и средней скоростью потока. Переменными являются и параметры выработанного пространства (пористость и воздухопроницаемость). Эти величины аппроксимируются кусочно-постоянными функциями вида: n −1

ϕ( x) =

Σ ϕ[σ0 ( x − xi ) − σ0 ( x − xi +1)] ,

i =0

ϕi = const,

⎧1, x > 0 σ0 ( x) = ⎨ ⎩0, x < 0

(3.123)

Затем от кусочно-постоянных функций (3.123) переходят к средневзвешенным параметрам эквивалентной выработки: n −1

n −1

1 ϕср = Σ ϕi ( xi +1 − xi ), L i =1

L=

Σ ( xi +1 − xi ).

i =1

(3.124)

Перенос по эквивалентной выработке СО2 описывается уравнением:

∂С ∂C Kh0C ′ ∂P 2 + ϑcp = , ∂t ∂x μScp P(0, t ) ∂y y =0

(3.125)

где C ′ – концентрация СО2 в "мертвом" воздухе; y – координата, направленная нормально поверхности обнажения вглубь массива; μ – динамическая вязкость смеси; K – коэффициент пьезопроводности массива;

h0 – высота поверхности обнажения; P 2 – безразмерный квадрат давления. Перенос газовоздушной смеси в массиве (выработанном пространстве) описывается уравнением пьезопроводности:

∂P 2 ∂2P2 =K , 2 ∂t ∂y

K=

K cp P0 mcp μ

.

(3.126)

Решение задачи осуществлено аналитически, приближенно. Обратный переход от расчетных величин эквивалентной выработки к соответствующим величинам для очистной и других выработок не рассматривался. Газодинамика участковых выработок, как следует из вышеизложенного (и хорошо продемонстрировано в [40,41]), существенно связана с процессами в лаве и в выработанном пространстве. Для воздухоподающей выработки, пройденной в массиве угля, где отсутствуют утечки, уравнение газопереноса получено в виде [40]: 176

Sρ

∂C ∂Q ∂C + ρQ + ρC = eΜ , ∂x ∂x ∂t

(3.127)

где eΜ – массовая интенсивность источников метана на единицу длины выработки. Аналогичный (3.127) вид, с учетом члена, описывающего притечки из выработанного пространства (при наличии таковых) имеет и уравнение переноса для вентиляционной выработки. При S ≠ S ( x ) уравнение (3.127) может быть, как и (3.121), преобразовано к "каноническому" уравнению конвективного переноса – аналогу (3.122). Для значительных участков длинных участковых выработок утечки (притечки) газовоздушной смеси несущественны; расход для таких участков можно считать постоянным, а массоперенос описывать уравнением дисперсии или турбулентной диффузии. Возможности построения таких, достаточно простых моделей, путем упрощения исходной, полной системы уравнений переноса (т.е. уравнений гидродинамики, неразрывности, массопереноса, состояния) [40] были проанализированы в [87]. Полагая, что при нормальных режимах концентрация примеси мала (С ~ 1,0%), авторы постулировали равенство плотностей воздуха и газовоздушной смеси и редуцировали исходную систему к двум независимым задачам: нахождения поля скоростей в потоке и решения уравнения конвективной диффузии с известной скоростью воздуха. Для диапазона средних по сечению скоростей ϑ = 2÷4 м/с ( Re ~ 105), численное решение уравнения движения привело к квазиравномерному ("стержневому") профилю скорости. При меньших скоростях профили "ламинаризуются", что способствует образованию слоевых скоплений метана. Влияние на результаты конвективного члена ρ(ϑ, ∇ )ϑ уравнения НавьеСтокса оказалось малосущественным. Сопоставительные расчеты при учете массовых сил (гравитационных) и без такого учета показали, что в рассматриваемом диапазоне скоростей массовые силы можно не учитывать. Это позволило уравнение массопереноса

∂ (ρС ) + ∇(ρϑC ) = ∇(ρD∇С ) ∂t

(3.128)

упростить, отбросив члены, описывающие конвективный перенос по вертикали и диффузионный – по горизонтали, записав

∂C ∂ ∂С ∂С + ϑx ( y) = (Dу ). ∂у ∂t ∂x ∂y

(3.129)

Здесь ϑ х ( у ) – продольная составляющая скорости потока; D у – поперечный коэффициент турбулентной диффузии. Расчеты по (3.128) и (3.129) дали близкие результаты [87]. Уравнения (3.128) и (3.129) однородные, не содержат в правых частях функцию плотности источников J ( x, t ) , моделирующую газопритоки в 177

выработку. Это предполагает учет последних посредством граничных условий (часто – II рода). В математической модели проветривания штрека [99] уравнение переноса

∂ ∂С ∂ ∂С ∂С ∂ ∂С + div(C ϑ) = ( Dх ) + (Dу ) + ( Dz ) ∂у ∂z ∂z ∂t ∂x ∂х ∂у

(3.130)

решалось с граничными условиями II рода:

− D у (Μ )

∂С = α 0 ( x, z , t ); ∂у у = 0

− Dz ( Μ )

∂С ∂z

= β0 ( x, y, t ), z =0

где C = C (Μ , t ), M = M ( x, y, z ); α 0 ( x, z , t ), β0 ( x, y, t ) – функции газоотдачи соответствующих поверхностей. Аналогичные условия записаны и для потоков массы на противоположных стенках штрека – при y = a и z = b . Полагая задачу в такой, достаточно общей, постановке сложной даже для численного решения, автор переходит к более простой, рассматривая стационарный двумерный перенос на основе уравнения

∂C ∂ 2C ∂ 2C u = Dx 2 + D y 2 , ∂x ∂x ∂y

C = C ( x, y ).

(3.131)

По (1.131) были выполнены расчеты, целью которых было определение погрешностей εu и ε D − соответственно в случае приближения в (3.131)

u = const и D y = const . Средняя скорость ucp изменялась в диапазоне ucp = = 2÷4 м/с, изменения u и D y описывались параметрами u = umax ucp и

(

)

(

)

D = D у max D у cp . При D = 1,5 было получено ε D ≈ 1% для ucp = 2,0 м/с и ε D = 1,4 % при ucp = 4,0 м/с. При u = 1,2, εu = 4,6 % при ucp = 2,0 м/с и

εu ≈ 5 % при ucp = 4,0 м/с. При u = 1,5, εu ≈ 8 % и 8,5 %. Исходя из этих результатов, сделан вывод о правомочности приближения ε y = const (т.е. замены D y ( у ) средним по сечению значением) и о необходимости учета в расчетах скоростного профиля u = u ( y ) (т.е. об избыточной грубости модели стержневого профиля течения). Функции газоотдачи аппроксимировались выражениями, экспоненциально убывающими по времени и линейными или

178

квадратичными по координатам, коэффициенты которых определялись по данным замеров. Уравнение

(3.129)

было

использовано

для

описания

переноса

турбулентным потоком пассивной примеси в плоском и круглом каналахмоделях горных выработок [27]. Для кругового канала оно имело вид

u (r )

∂C D ∂ ⎡⎛ DΤ (r ) ⎞ ∂C ⎤ = , ⎜1 + ⎟r ∂x r ∂r ⎢⎣⎝ D ⎠ ∂r ⎥⎦

(3.132)

где D, DΤ ( r ) − коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии.

Глава 11. Модели массопереноса §28. Технологический массоперенос Этим термином условимся обозначать случаи массопереноса, сопровождающие нормальные (штатные) режимы технологических операций в шахтах и рудниках: проходки, очистной выемки, посадки кровли, регулирования вентиляционных потоков и др. При этом вентиляционным потоком переносятся: метан, углекислый газ, другие природные газы, газыпродукты взрывания ВВ, выхлопные газы двигателей, рудничная пыль. Источниками примесей являются свежеобнаженные газоотдающие поверхности очистных и подготовительных выработок, отбитая горная масса (на почве, в вагонетках, на конвейерах), притечки из выработанного пространства, взрывные процессы и прочие. Стоки газовых примесей обусловлены утечками их вместе с газовоздушными смесями, химическим взаимодействием и разложением в газовой фазе, поглощением стенками выработок, витающей и слежавшейся пылью, текущей водой и ее парами. Для всех видов стоков примесей, кроме утечек, часто используется термин "поглощение примесей", интегрально характеризующий различные физико-химические процессы, приводящие к уменьшению концентрации примеси в потоке воздуха. Поглощение примесей в выработках может быть весьма существенным [62,100]. Интенсивность поглощения углекислого газа, газов-продуктов взрывания ВВ, инертных газов, выхлопных газов, кислорода (в выработанном пространстве, содержащем дробленный уголь) различна и определяется для каждого из газов-примесей в отдельности [55,62,74,95]. Массоперенос без поглощения примесей, в зависимости от специфики моделируемого процесса, описывается одним из уравнений (3.71), (3.73), (3.77), (3.84), (3.88), (3.91) и приведенными в табл. 3.3. Если функции плотности 179

источников (стоков) массы J 0 ( М , t ) в правых частях уравнений (см. (3.77)) описывают убыль (сток) массы, то подразумевается утечка газовоздушной смеси из выработки, а не поглощение примеси. Ранее уже рассматривались модели массопереноса без поглощения примесей: разгазирование тупиковой выработки – (3.101); проветривание очистной камеры большого объема – (3.110); метаноперенос в очистной и участковых выработках – (3.121), (3.127), (3.130), (3.131). Рассмотренные балансовые модели (модели с сосредоточенными параметрами, или "точечные" модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями) – (3.96), (3.97), (3.100), (3.105), модели переноса СО2 [55] – также описывают процессы газопереноса без поглощения примесей. При нарушениях, в ходе очистных работ, режимов работы систем дегазации и вентиляции, концентрация метана может начать возрастать до опасных значений. Для прогноза и предотвращения таких аэрогазодинамических процесов была предложена математическая модель [101]. Лава и активно проветриваемая зона выработанного пространства рассматривались как две параллельные горные выработки с конвективнодиффузионным переносом примеси в них. Источники газовыделения из пласта в лаву и из пластов-спутников в выработанное пространство считались распределенными вдоль обоих выработок равномерно. В вентиляционном штреке выделялось две зоны: примыкающая к активно проветриваемой области выработанного пространства с мгновенным перемешиванием и выравниванием концентраций; остальная часть вентиляционного штрека, где газоперенос осуществлялся ограниченным вентиляционным потоком. Уравнение массопереноса в лаве:

∂ 2Сл qпл ∂Сл Qл ∂Сл = Dл + , t > 0, x ∈ (0, l л ), (3.133) + S л ∂х S лl л ∂t ∂х 2 где qпл – дебит метана из разрабатываемого пласта; l л – длина лавы;

остальные обозначения ранее встречались ("л" – индекс, обозначающий лаву). Начальная концентрация метана в лаве линейно возрастает от ее начала ( х = 0 ) к концу ( х = l л ). Скачкообразное изменение режима работы вентиляции моделируется скачком Qл0 → Qл1 при t = +0. Для определения дебита газа из пластов-спутников, на основе уравнений фильтрации и состояния газа получено:

∂qсп ∂ 2 qсп KP = f f , = , t > 0, y ∈ (0, l сп ), (3.134) 2 ∂t ν m ∂у где qсп – дебит метана во вторую "выработку"; f – коэффициент пьезопроводности трещиноватого массива пород ( f = const ); K – коэффициент проницаемости; Р, Т – давление и температура газа; m – 180

пористость массива; ν – кинематиматическая вязкость метана. Изменение режима работы системы дегазации моделировалось скачком при t = +0 величины дебита: qсп → qсп (+0). Значения qсп (l сп , t ) – дебита метана во вторую "выработку" были найдены путем решения (3.134) с соответствующими краевыми условиями и использованы затем в уравнении массопереноса:

∂СВ QВ ∂СВ ∂ 2СВ qсп (l сп , t ) + = DВ + , t > 0, х ∈ (0, l л ), (3.135) 2 ∂t S В ∂х S l ∂х В В где индекс "В" обозначает выработанное пространство, а все величины соответствуют (3.133). Изменение режима работы вентиляции моделируется скачком расхода воздуха QВ0 → QВ1 при t = +0. На границе лавы и вентиляционного штрека, где концентрации метана на выходе из обеих выработок соответственно Сл (l л , t ) и СВ (l В , t ), происходит мгновенное смешение потоков метано-воздушных смесей; результирующая, граничная ( z = z0 ) для метанопереноса по вентиляционному штреку, концентрация определяется по формуле (3.64). Массоперенос по вентиляционному штреку:

∂Сш Qш ∂Сш ∂ 2Сш αqВ + exp[− α( z − z0 )] , z > z0 (3.136) + = Dш Sш ∂z Sш ∂t ∂z 2 где индекс "ш" означает штрек; qВ – начальный дебит метана в притечках воздуха из слабопроветриваемой зоны выработанного пространства; α – эмпирическая постоянная. Все уравнения решались методом преобразования Лапласа по времени; полученные результаты представлены графически и проанализированы [101]. Важным технологическим компонентом буровзрывной проходки подготовительных выработок является их проветривание трубопроводами с ВМП. Возможные при этом всплески и выбросы метана необходимо идентифицировать дистанционно, эта проблема весьма актуальна [102]. При переходных газодинамических процессах в тупиковой выработке, метановыделение и концентрация метана могут меняться в широких пределах (в частности, при внезапных выбросах в призабойной зоне С ≅ 100%). Описание массопереноса при переходном процессе базировалось на уравнении

∂С ∂ ⎛ ∂С ⎞ ∂С +u = ⎜D ⎟, ∂t ∂х ∂x ⎝ ∂х ⎠

t > 0, х > 0 .

(3.137)

Оно получено из исходной, полной системы уравнений переноса [40] при допущениях: расход воздуха Q во время переходного процесса был постоянным; профиль скоростей потока – стержневой со скоростью u = Q/S; граничная концентрация (при х = 0 ) формируется в объеме призабойной зоны (зоны смешения) VП , в которую метан поступает с дебитом QМ (t ) ; метановыделение из боковых стенок, кровли и почвы выработки пренебрежимо 181

мало по сравнению с QМ (t ) ; плотность газовоздушной смеси постоянна. Для решения (3.137), авторы разбивают выработку на N участков одинаковой длины с объемами Vi (i = 0, N − 1) и для i-го элемента длиной Δx записывают разностный аналог (3.137):

d Сi ⎛ D u ⎞ D ⎛ 2D u ⎞ = ⎜ 2 + ⎟Ci −1 − ⎜ 2 + ⎟Ci + 2 Сi +1, (i = 1, N − 2) . (3.138) dt ⎝ Δх Δx ⎠ Δx ⎠ Δх ⎝ Δх Для граничных объемов VП , VN −1 (VП = V0 ):

d С1 ⎫ = QМ (t ) − [Q + QМ (t )]C1 ⎪ dt ⎬ d СN = Q(C N −1 − C N (1 − C N −1))⎪ VN −1 ⎭ dt

VП

(3.139)

Для i = 2, N можно записать:

Vi −1

d Ci = QDi − (Q + QDi )Ci , dt

QDi = (Q + QDi-1 )Ci −1.

(3.140)

При моделировании было принято (по экспериментальным данным МакНИИ):

⎧QМ 0 + ΔQМ1(1 − exp(−at ) ), QМ (t ) = ⎨ ⎩QМ max − ΔQМ 2 (1 − exp(−bt ) ), ΔQМ1 = QМ max − QМ 0 ,

t ∈ [t B , t1 ], t > t1,

(3.141)

ΔQМ 2 = QМ max − Q у ,

где QМ 0 , QМ max , Q у – соответственно начальный, максимальный и установившийся дебит метана; tB – момент времени начала взрывных работ; а, b, t1 – эмпирические постоянные. Фактически получены две модели разгазирования тупиковой выработки: модель А (на основе (3.138), (3.139), (3.141)) и модель Б (на основе (3.139), (3.140), (3.141)). На модели А по экспериментальным данным определялся коэффициент диффузии D , а на модели Б изучалось влияние шага разбиения Δх (т.е. величины N ) на точность расчетов. При умеренных N модель А оказалась менее точной, чем модель Б [102]. В связи с разработкой методов автоматизированного анализа аэрогазовой обстановки на выемочных участках, были предложены математические модели метанопереноса в вентиляционной выработке и в выработанном пространстве [103,104]. Перенос в выработанном пространстве рассматривался как двумерный, в горизонтальной плоскости хОу. Учет вертикальной неоднородности выработанного пространства, верхняя, примыкающая к кровле, зона которого имеет меньший коэффициент проницаемости (и меньший дебит утечек), осуществлялся функцией плотности источников метана J ( x, y, t ) . Уравнение массопереноса в выработанном пространстве: 182

J ∂С ⎞ ∂ ⎛ ∂С ⎞ ∂C ∂ ⎛ ∂C ∂ (mC ) = ⎜ mDх +ϑ +u ⎟ + (1 − m) , (3.142) ⎟ + ⎜ mD у ρ ∂х ⎠ ∂у ⎝ ∂у ⎠ ∂y ∂x ⎝ ∂x ∂t где m – пористость выработанного пространства; u , ϑ – компоненты вектора скорости утечек; Dх , D y – продольные и поперечные коэффициенты

диффузии; ρ – плотность смеси. Уравнение (3.142) является частным случаем уравнения конвективной диффузии Л.П. Фельдмана (2.129). Далее (3.142) упрощается при уже использовавшихся предположениях: скорость утечек направлена почти параллельно лаве (ось Оx), так что u >> ϑ и третьим членом в левой части (3.142) можно пренебречь, введя при этом "эффективный" коэффициент диффузии Dе ( у ) ; конвективный перенос вдоль оси Оx существенно превышает диффузионный, так что член уравнения с Dх опускается. В итоге (3.142) преобразуется к виду:

m( y )

J ∂С ⎤ ∂C ∂ ⎡ ∂C = ⎢m( y ) Dе ( у ) ⎥ + (1 − m( y ) ) , + u( y) ρ ∂у ⎦ ∂x ∂y ⎣ ∂t

(3.143)

где Dе ( у ) определяется по экспериментальным данным. Вентиляционный штрек заменяется эквивалентным круговым каналом, уравнение газопереноса в котором

∂С ∂C ∂ ⎛ * ∂С ⎞ 1 ∂ ⎛ * ∂C ⎞ + u (r ) = ⎜ DТ , х ⎜ rDТ , r ⎟, ⎟+ ∂t ∂x ∂x ⎝ ∂r ⎠ ∂х ⎠ r ∂r ⎝ где

u (r ) – профиль скоростей потока; DТ* , х = DМ + DТ , х ;

(3.144)

DТ* ,r =

= DМ + DТ ,r ; DМ – коэффициент молекулярной диффузии; DТ , х – коэффициент продольной (по оси ох канала) турбулентной диффузии; DТ , r – коэффициент радиальной (по сечению канала) турбулентной диффузии. После усреднения по сечению канала с учетом граничных условий газообмена на стенках (при r = R0 ) и введения коэффициента дисперсии Dэф , (3.144) приводится к виду

∂С ∂C ∂ 2C + ucp = Dэф 2 + J ( x, t ), ∂t ∂x ∂x

(3.145)

где ucp – средняя по сечению скорость потока; J ( x, t ) – удельное газовыделение из выработанного пространства в вентиляционную выработку. Решение краевой задачи для уравнений (3.143) требует задания функций u ( у ) , m( y ), De ( y ), J ( x, t ) . На основе данных МакНИИ принято: 183

m( y ) = m0 exp(−αy ); m0 = 1,0; α = 0,02 ÷ 0,1.

(3.146)

Выражение для De ( y ) получено в аналогичном виде

De ( y ) = D0 exp(−βy ), где параметры D0 и β определялись по данным экспериментов. Функция J ( y ) в стационарном случае соответствовала (2.122) [74], а в нестационарном появился множитель, пропорциональный убывающей временной экспоненте. Для u ( у ) , исходя из шахтных наблюдений, было принято u ( у ) = u0 exp(− γy ), где u0 – средняя скорость утечек на границе лавы и выработанного пространства, а γ = const . Уравнение (3.143) решалось приближенным методом, обоснование которого не приводится [103,104]. Уравнение (3.145) решалось преобразованием Лапласа по времени. Массоперенос с поглощением примесей характерен для шахт и рудников, в которых стационарно или периодически в рудничном воздухе присутствуют примеси, активно вступающие в физико-химические взаимодействия с горными породами, отбитой горной массой, пылью, водой. Рассмотрим матмодели массопереноса поглощающихся примесей: токсичных газов-продуктов взрывания ВВ [74,105÷108]; выхлопных газов двигателей [81,95]; инертных газов, используемых при подземных пожарах [62,84,100]. Разгазирование подготовительной выработки после взрывных работ описывалось уравнением [105]:

∂С ∂C ∂ 2С +u = D 2 − γC , t > 0, x > 0, ∂t ∂x ∂x

(3.147)

в котором D = DΜ + DΤ ; DΜ , DΤ – коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии; u – средняя скорость потока; γ – коэффициент поглощения, эффективно описывающий все его механизмы ( γ > 0. ) Краевые условия имели вид:

⎧ϕ( x), x ∈ [0, l 0 ] ∂С C ( x , t ) t = +0 = ⎨ = 0, t > 0. (3.148) > 0 , x l , ∂ х ⎩ 0 х =0 Функция ϕ( x), описывающая концентрацию примеси в начальный момент после взрыва, в зоне отброса газов ( x ∈ [0, l 0 ] ), предвычислялась как решение краевой задачи

∂ρ ∂ 2ρ = Dв 2 , ∂τ ∂х

184

τ ∈ (0, t0 ), x > 0, ϕ( x) =

ρ( x, t0 ) , ρв

(3.149)

ρ( х, τ) τ = 0 = βδ ( х),

∂ρ = 0. ∂х х = 0

(3.150)

В (3.149), (3.150): ρ = ρ( х, τ) – плотность ядовитых газов в малом временном интервале τ ∈ (0, t0 ) после взрыва; Dв – коэффициент перемешивания в этот

период; ρв – плотность воздуха; β = const ; δ( x ) – дельта-функция Дирака. Коэффициент β определяется из закона сохранения массы: ∞

S ∫ ρ( x,0) d x = Abρ0 , 0

β=

1 Abρ0 , S

(3.151)

где S – сечение выработки в свету; ρ0 – плотность ядовитого газа после взрыва; А – количество взорванного ВВ; b – газовость ВВ (т.е. объем газа, выделяющегося при взрыве 1 кг ВВ). Решение задачи (3.149), (3.150) дает: 2 ⎞ ⎛ Аbρ0 x ⎟, ϕ( х) = exp⎜ − ⎜ 4 Dвt0 ⎟ πDвt0 ⋅ Sρв ⎝ ⎠

x ∈ [0, l 0 ]. (3.152)

Параметры Dв , t0 определялись экспериментально. Решение задачи (3.147), (3.148) было получено аналитически и использовано для определения параметров D, γ , l 0 и для анализа газодинамической обстановки в выработке в различные моменты времени [74,106]. Массоперенос токсичных газов по вентиляционной сети изучался в [107]. Геометрия вентиляционной сети представлялась связным направленным графом G ( A, υ), A = { As }( s = 1, S ) – множество вершин, а υ = {υк }(к = 1, K ) – множество направленных дуг, связывающих эти вершины. В узлах задаются граничные условия IV рода (3.80). Модель была реализована на ЭВМ. Уравнение массопереноса в каждой отдельной выработке – (3.147). В рассмотренных ранее моделях массопереноса в калийных рудниках [81,82] использовались стационарное (3.79) и нестационарное (3.82) уравнение переноса, идентичные (3.147). Массоперенос в калийных рудниках исследовался А.Е. Красноштейном [95]. При неподвижном источнике примеси использовалось уравнение И.Ф. Ярембаша (3.147), в котором вместо коэффициента поглощения γ присутствовал коэффициент b , именовавшийся автором коэффициентом конвективного массообмена. При построении матмодели массопереноса в выработке с движущимся источником токсичных газов (выхлопные газы автомобиля), было учтено наличие двух зон с различным распределением примеси по сечению: вблизи автомобиля концентрация неоднородна по сечению, а с удалением от него – выравнивается. В первой зоне, с квадратичным профилем скоростей, уравнение массопереноса в безразмерном виде: 185

y(1 − y)

∂C ∂ 2 C = , ∂z ∂ y 2

C=

C , C0

y=

y , y0

z=

Dп x , y02umax

(3.153)

где C0 – концентрация примеси на выходе из выхлопной трубы; y0 − характерный размер выработки; Dп − коэффициент турбулентной диффузии. Граничные условия имели вид: C

z =0

⎧⎪1, y < y1 , = θ (y1 − y) = ⎨ ⎪⎩0, y > y1

∂C ∂y

= y=0

∂C ∂y

поперечной

= 0.

(3.154)

y =1

Из приближенного решения задачи (3.153), (3.154) получено, что на расстоянии (5÷6) y0 от источника примеси концентрация выравнивается по сечению, что позволяет для второй зоны ограничиться одномерным приближением: ∂C1 ∂C ∂ 2 C1 − (ϑ ± u ) 1 = D − bC1 , ξ > 0(ξ = x − ϑτ ), ∂τ ∂ξ ∂ξ 2

∂ C2 ∂C ∂ 2 C2 − (ϑ ± u ) 2 = D − bC2 , ξ < 0. ∂τ ∂ξ ∂ξ 2

(3.155)

Здесь ϑ, u – соответственно скорости движения источника примеси и воздушного потока; b – коэффициент конвективного массообмена (имеющий смысл коэффициента поглощения γ ); D – коэффициент дисперсии примеси. Краевые условия к (3.155): C1

τ =0

= C2

τ =0

= 0; C1

ξ =0

= C2

ξ =0

= 1, 0; C1

ξ →∞

= C2

ξ →∞

= 0;

(3.156)

Задача (3.155), (3.156) решалась аналитически; решение было использовано для построения номограммы, позволяющей определять количество подаваемого воздуха, обеспечивающее во второй зоне концентрацию, не превышающую допустимую (нормативную). Для случая периодических газовыделений в тупиковой горной выработке с нагнетательным воздухопроводом, К.Ю. Лайгна было предложено уравнение [22]: ⎛ ∂ 2C 1 ∂C ⎞ ∂C ∂ 2Ñ ∂Ñ ⎟ − (γ + δ )C , +u = D х 2 + D r ⎜⎜ 2 + ⎟ r r ∂t ∂x ∂ ∂õ ⎠ ⎝ ∂r x > 0, r ∈ [0, R0 ) , t > 0, (3.157)

где Dõ , Dr – коэффициенты продольной и поперечной турбулентной диффузии; γ – коэффициент поглощения газов; член (– δC ) описывает убыль примеси за счет разбавления ее притечками воздуха из воздухопровода. 186

Движение в горной выработке инертного газа, поглощаемого еë стенками, моделировалось двумерным уравнением газопереноса без члена (– γC ) в правой части, но с граничным условием III рода на стенке, описывающим это поглощение [108]:

⎡ ∂ 2C 1 ∂C ⎛ ∂C ⎞⎤ ∂С ∂C +u = D⎢ 2 + ⎜r ⎟⎥, x > 0, r ∈ [0, R0 ), t > 0, (3.158) ∂t ∂x r ∂ r ∂ r ⎝ ⎠⎦⎥ ∂ х ⎣⎢ С t = 0 = 0; С х = 0 = f (t ); С х → ∞ = 0; ∂С D = − β(Ccp − C ) . r = R0 ∂r r = R0

(3.159)

Здесь D – коэффициент турбулентной диффузии; β − коэффициент газообмена со стенкой; f (t ) – функция, описывающая динамику запуска инертного газа в выработку; R0 – приведенный радиус выработки; u – средняя скорость потока;

Ccp = C ( x, t ) – средняя по сечению концентрация. Если уравнение (3.158)

усреднить по сечению выработки, то оно перейдет в одномерное уравнение (3.147), где γ = 2β / R0 (в предположении, что C r = R = 0 ). Задача (3.158), 0

(3.159) решалась аналитически, преобразованием Лапласа по t . Решение имело весьма громоздкий вид и реализовывалось на ЭВМ. При длительном запуске инертного газа проявляется эффект насыщения им стенок горных выработок. Интенсивность поглощения газа в этом случае зависит от времени. Соответствующая математическая модель процесса базировалась на уравнении (3.158), но последнее из краевых условий (3.159) – условие газообмена на стенке, − модифицировалось [109]:

D

∂C = − βC r = R + F ( x, t ), 0 ∂r r = R0

F ( x, t ) = g (t ) exp(−δx), (3.160)

где функция F ( x, t ) моделирует кинетику накопления сорбируемого газа в стенке выработки (модель "бункера"); δ − эмпирическая постоянная; g (t ) − экспериментальная функция времени. Для малых значений концентраций, когда можно считать выполняющимся закон Генри, F ( x, t ) ≅ Г постоянная Генри). Тогда (3.160) принимает вид:

D

∂С ~ = −β С r = R0 , ∂r r = R0

~ β = β − Г −1.

−1

С (Г – (3.161)

Получение численных результатов по аналитическому решению задачи (3.158), (3.160), весьма громоздкому, оказалось затруднительным [109]. В 187

(3.158) коэффициент турбулентной диффузии D = const , что для активных примесей (СО2 и др.) является грубым приближением. Модель, основанная на

нелинейном уравнении переноса с D = D(С ) была предложена в [84]. Использовалось уравнение (3.91) при постоянной скорости потока u0 . Поглощение примеси описывалось граничным условием III рода:

~ ⎛ ∂С ~ ⎞ + βC ⎟ = β C0 , ⎜ ⎝ ∂r ⎠ r = R0

C0 = const .

(3.162)

После замены C

∫

ϑ = ϑ(C ) =

D(С ) d С ,

(3.163)

C0

уравнение переноса было приведено к виду:

⎡ ∂ 2ϑ 1 ∂ ⎛ ∂ϑ ⎞⎤ ∂ϑ ∂ϑ + u0 = D(C ) ⎢ 2 + ⎜ r ⎟⎥ ∂t ∂x r ∂ r ⎝ ∂r ⎠⎦⎥ ∂ x ⎣⎢

(3.164)

и линеаризовано: D(С ) = D(Сср ) = Dср = const . Условие (3.162) перешло в

⎡ ∂ϑ ~ ⎤ K −1 + β D ( С )( C − C ) = 0 , D ( С ) = D ( С − C ) , K = const .(3.165) 0 0 0 ⎢⎣ ∂r ⎥⎦ r =R0 Линеаризация условия (3.165) осуществлялась подстановкой D = D (С ) в (3.163), что дало:

⎛ ∂ϑ ⎞ = 0, ⎜ + α1ϑ ⎟ r ∂ ⎝ ⎠ r = R0

~ α1 = β K .

(3.166)

Полученная линейная краевая задача была решена аналитически.

§29. Аварийный массоперенос Процессы массопереноса при подземных авариях (внезапных выбросах угля, породы, газа, пожарах и взрывах, нарушениях в работе системы вентиляции, загрязнениях рудничной атмосферы и вод токсичными веществами, просочившимися с поверхности и др.) отличаются от процессов технологического (штатного) массопереноса составом примесей, их концентрацией, направлением движения и расходом рудничного воздуха (нулевой и реверсивные режимы проветривания), видом краевых условий в математических моделях. Сами уравнения массопереноса имеют тот же вид, т.к. физическая основа процессов переноса при авариях остается той же, что и в штатных ситуациях. 188

Внезапные выбросы угля, породы, газа обычно сопровождаются выделением больших объемов метана, быстрым загазированием выработок на большом их протяжении. Разгазирование при этом может осуществляться за счет общешахтной депрессии или вентилятором местного проветривания, работающим на нагнетательный воздухопровод. Математические модели разгазирования служат решению ряда технологических задач: анализа газодинамической ситуации и распознавания выбросов средствами дистанционного контроля [103,104,110]; определения времени сохранения в различных пунктах вентиляционной сети взрывоопасной концентрации метана и времени нормализации газового состава рудничного воздуха [111,112]; обоснования места установки и параметров датчиков метана автоматизированных систем газовой защиты [60,113]. В большинстве математических моделей разгазирования протяженных выработок (порядка 1 км и более) с характерным временем переходного режима в десятки минут, сам внезапный выброс считается мгновенным, а период его возмущающего действия на скоростное поле вентиляционного потока – небольшим. Примесь считается пассивной, т.к. концентрации метана велики, а сечение выработки заполнено им практически равномерно. Конвективно-диффузионный метаноперенос рассматривается на основе уравнения (3.77), где скорость потока постоянна, источники газа отсутствуют, а выброс моделируется краевыми условиями задачи. Имеются модели и другого вида, в которых рассматривается газодинамическая ситуация в период времени протекания выброса (или взрыва) и распространения по выработке возмущений потока, вызванных им [114,115]. В ранее рассмотренной аэромеханической модели динамики расхода и давления воздуха описывались системой уравнений (3.61). Внезапный выброс рассматривался [115] как источник газовыделения в нулевом сечении выработки, действующий на протяжении малого периода времени (t ∈ [0, t0 ]) и

создающий избыточное давление Р0. Эволюция давления и расхода воздуха описывалась системой уравнений

∂Q ∂P ∂Р ∂Q + C1 = 0; + RQ + L = 0, x ∈ [0, l], t > 0. ∂t ∂x ∂t ∂х

(3.167)

Сравнение систем (3.167) и (3.61) показывает, что последняя является более общей (в ней учитываются утечки воздуха из выработки). Коэффициенты в (3.167): С1 – сжимаемость воздуха; L – коэффициент инерционности; R – аэродинамическое сопротивление выработки. Из системы (3.167) можно, (указанным при рассмотрении (3.61) способом) получить уравнения гиперболической теплопроводности ("телеграфные" уравнения) относительно Q( x, t ) и P( x, t ) . Скорость потока определяется через его расход: ϑ = ϑ( x, t ) = = Q( x, t ) / S ( S − сечение выработки), а коэффициент дисперсии D принимается пропорциональным ей: D = αϑ , α = const [116]. Перенос примеси описывается уравнением: 189

∂С ∂C ∂ 2С + ϑ(t ) = D 2 , x ∈ [0, l], t > 0. ∂t ∂x ∂х

(3.168)

Краевые условия к (3.168):

С ( x,0) = 0; С (0, t ) = C0χ(t0 , t ); С (∞, t ) = 0;

(3.169)

⎧1, t ∈ (0, t0 ], χ(t0 , t ) = ⎨ ⎩0, t ∈ (0, t0 ] . Краевая задача (3.168), (3.169) решалась аналитически, с использованием t

подстановки τ = ∫ ϑ(t ) d t. Использование здесь "импульсного" граничного 0

усло-вия при х = 0 является одной из возможных идеализаций процесса; более реалистично граничное условие с нарастанием (при х = 0 ) концентрации по 2

закону С (t ) ~ t ( t < 25 сек. [117]). В связи с разработкой системы быстродействующей газовой защиты шахт, была исследована математическая модель метанопереноса после внезапного выброса [111]. Использовалось уравнение (3.168) при ϑ = const,

D = 4,43 (ϑd ) 2/3 [62] (d − эквивалентный диаметр выработки). Краевые условия имели вид:

С ( x,0) = C0 = const ; C (0, t ) = ϕ(t );

lim C ( x, t ) = C0 .

x→ ∞

(3.170)

Для произвольной функции ϕ(t ) решение было получено в форме: t

⎡ ⎛ x − ϑτ ⎞ 2 ⎤ ⎛ ⎞ x ⎟ exp ⎢− ⎜ C ( x, t ) = C0 + [ϕ(t − τ) − C0 ] ⎜ ⎟ ⎥ d τ . (3.171) ⎜ 3⎟ ⎝ 2 πDτ ⎠ ⎣⎢ ⎝ 2 Dτ ⎠ ⎦⎥

∫ 0

По данным шахтных замеров была идентифицирована формула (3.104), описывающая граничную динамику концентрации метана при внезапных выбросах [59], так что в (3.171) подставлялась функция:

ϕ(t ) = C0 + At exp(−αt ),

A, α = const .

(3.172)

Были выполнены расчеты на ЭВМ и построены подробные графики концентрации метана в различные моменты времени на произвольных расстояниях от места выброса [60], оценена вероятность воспламенения метана [111]. Определение времени разгазирования выработки после внезапного выброса осуществлялось c помощью аналогичной математической модели в [112]. Уравнение метанопереноса использовалось такое же, но краевые условия 190

учитывали формирование газонепроницаемость забоя:

зоны

отброса

газов

( х ∈ [0, l 0 ])

и

⎧C1 = const, x ∈ [0, l 0 ] ⎫ ∂C = 0; С (∞, t ) = C0 . (3.173) C ( x,0) = ⎨ ⎬; ≠ = > const, ( ) C x l C C ∂ x ⎩ 0 0 0 1 ⎭ x =0 Решение краевой задачи осуществлялось при постоянной скорости газовоздушной смеси u = kϑ, где ϑ – средняя скорость потока, а k – коэффициент, учитывающий неравномерность поля скоростей по сечению выработки. Экспериментально было подобрано значение k = 0,5. Этот подход трудно считать обоснованным, т.к. использовался, как и в [111], коэффициент дисперсии [62], характерный для одномерных потоков (с постоянной скоростью по сечению – "стержневой" профиль). Учет неравномерности поля скоростей в сечении выработки корректно осуществляется введением коэффициента поперечной турбулентной диффузии [22]. Моделирование метанопереноса в период после внезапного выброса осуществлялось для разработки системы защитного отключения электроэнергии и с целью организации эвакуации горнорабочих [113]. Уравнение переноса использовалось в виде:

∂С ∂C ∂ ⎛ ∂С ⎞ + u (t ) = ⎜ D(С ) ⎟, x > 0, t > 0. ∂t ∂x ∂x ⎝ ∂х ⎠

(3.174)

Краевые условия аналогичны (3.170). Переменная скорость потока определялась по формуле u (t ) = (Q + G (t )) / S , где Q − расход вентиляционного воздуха, G (t ) − дебит метана. Уравнение (3.174) решалось методом линеаризации, подстановкой вида: С

γ = γ (С ) = ∫ D(С ) d C , D(С ) = D0 (1 + ϕC ), ϕ = const . (3.175) 0

Далее использовалась модель [115,116]: D = αu (t ) и подстановка z (t ) = t

=

∫ u (τ) d τ. Было получено аналитическое решение, примененное для анализа

0

технических проблем. Слоевые скопления метана у кровли выработок при наличии его источников и недостаточной скорости движения воздуха, весьма опасны; их наличие считается предаварийной ситуацией, требующей принятия соответствующих мер [3,29,85,118]. При рассмотрении переноса активных примесей уже упоминались модели образования слоевых скоплений метана – основанные на полной системе уравнений аэромеханики и турбулентного массопереноса и реализуемые только численно [85,86] и более простые, допускающие аналитические решения, позволяющие получить формулы для 191

инженерного расчета [87,88]. Рассмотрим последнюю из этих моделей. При ухудшении проветривания выработки, метаноперенос в ней моделировался с учетом его трехмерности и анизотропии [88]:

∂CΤ ∂ 2СΤ ∂ 2СΤ ∂ 2СΤ u = D1 + D2 + D3 , 2 2 2 ∂x ∂х ∂у ∂z

(3.176)

где u − скорость воздуха; CΤ − трехмерная концентрация метана; D1, D2 , D3 − коэффициенты диффузии соответственно в продольном, вертикальном и поперечном направлениях. Начало координат помещается у кровли выработки, в ее входном сечении. По всей длине и периметру выработки имеется газовыделение, учитываемое граничными условиями:

СΤ х = 0 = С0 ;

D3

∂СΤ ∂С = 0; D2 Τ ∂х х → ∞ ∂у

у =0

= − j1 ( x) b; D2

∂СΤ = j2 ( x ) b; ∂у у = b

∂СΤ ∂С = −mj3 ( x) h; D3 Τ = (1 − m) j3 ( x) h. ∂z z = 0 ∂z z = h

(3.177)

Здесь j1 ( x), j2 ( x), j3 ( x) – функции плотности источников газовыделения соответственно из почвы, кровли и боковой стенки на единицу длины выработки; m – доля газовыделения с одной боковой стенки по отношению к суммарному из обеих; C0 – концентрация газа на входе в выработку; b, h – ширина и высота выработки. Поскольку изменения концентрации по ширине незначительны, задача (3.176), (3.177) усреднялась по координате z (ширина): b

1 С = С ( х, у ) = СΤ ( х , у , z ) d z . b

∫ 0

Уравнение переноса становилось двумерным:

∂C ∂ 2С ∂ 2С u = D1 2 + D2 2 + j3 ( x) bh . ∂x ∂х ∂у

(3.178)

Граничные условия принимали вид:

С х = 0 = С0 ;

∂С = 0; ∂х х →∞ D2

192

D2

∂С = − j1 ( x) b ; ∂у у = 0

∂С = j2 ( x) b ∂у у = h

(3.179)

Затем граничное условие по у преобразуется в однородное (подстановкой); закон газовыделения вдоль выработки принимается экспоненциальным ( j1 ( x) ~ ~ exp(– αх )); концентрация и правая часть уравнения разлагаются в ряды Фурье; коэффициент вертикальной диффузии выражается через число Ричардсона [21]. Получено аналитическое решение в виде ряда хорошей сходимости. Пожары и взрывы – наиболее опасные аварии в шахтах [14]. Возгорания и пожары часто предшествуют взрывам метано-воздушных смесей и рудничной пыли. Математические модели процессов тепломассопереноса, сопутствующих развитию и протеканию подземных пожаров, рассматриваются отдельно (гл. 6). При авариях часто прибегают к реверсированию вентиляционной струи, изменяющему направление метанопереноса, что создает возможность взрыва в зоне пожара. Модель массопереноса в начальный период реверсивного режима, при движении метано-воздушной смеси по откаточному штреку предложена в [119]. Уравнение массопереноса записывалось в виде:

⎡ ∂ 2C 1 ∂ ⎛ ∂C ⎞⎤ ∂С ∂C + ϑ(r ) = D⎢ 2 + ⎜r ⎟⎥ , x > 0, r ∈ [0, R0 ), t > 0. (3.180) r r ∂t r ∂x ∂ ∂ ⎝ ⎠⎦⎥ x ∂ ⎣⎢ Для получения аналитического решения (3.180) упрощалось предположением ϑ(r ) = ϑ0 = const с последующим усреднением по сечению выработки. В итоге оно сводилось к уравнению (3.168) с постоянной скоростью потока. Граничное условие при х = 0 задавалось согласно (3.104):

C ( x, t ) x = 0 = F (t ) = C1 + at b exp(−kt ), a, b, k = const .

(3.181)

Полученное аналитическое решение реализовывалось с помощью ЭВМ. При переходном (с реверсивного на нормальный) режиме проветривания выработки потоком с переменным расходом, средняя по сечению скорость его изменяется вдоль длины выработки [120]. Математическая модель процесса формулировалась в виде краевой задачи:

∂С ∂C ∂ 2С + υ( x) =D 2, ∂t ∂x ∂х

x > 0,

t >0;

(3.182)

С (0, t ) = F (t ), lim C ( x, t ) = 0, C ( x,0) = 0. x→ ∞

Здесь υ( x ) – переменная скорость потока; F (t ) – граничная концентрация. Задача (3.182) решалась преобразованием Лапласа по t . Функции υ(x ) и F (t ) на основе обработки шахтных замеров были описаны формулами:

υ ( x) = a − b exp(−γx); F (t ) = At n exp(−αt ); A, a, b, γ , n, α = const . (3.183) Численные данные были получены при значениях параметров в (3.183) [120]: 193

A = 0,0347; а = 1,0; b = 0,56;

γ = 0,00644; n = 2,0; α = 0,1

и сопоставлены с шахтными замерами (восточная лава шахты № 21 треста "Советскуголь"). Было получено хорошее согласование расчетных и измеренных величин. Аварийное загазирование подготовительных выработок при пожарах и взрывах может быть длительным, препятствуя горноспасательным работам. Перспективным методом разгазирования в таких случаях является всасывающий режим работы вентилятора местного проветривания. Математическая модель этого процесса, учитывающая газовыделение из стенок выработки и притечки в выработку газовоздушной смеси из всасывающего воздухопровода, предложена в [121]. Уравнение газопереноса совпадало с (3.145), в котором функция источников газа J ( x, t ) описывала суммарно оба названных процесса. На входе в выработку (х = 0) воздух считался чистым ( С = 0 ), а на границе призабойной зоны, у всаса вентилятора ( x = x0 ) концентрация метана была равна C0 . Получено аналитическое решение, по нему разработан алгоритм численного расчета времён разгазирования выработок при различных значениях параметров. Рециркуляция примеси при стационарном газопереносе описывалась уравнением:

dϑ dC dϑ d2 С Сy + D 2 −C −ϑ =0, d d dx x x dx

(3.184)

где С y – концентрация примеси в воздухопроводе; С – концентрация примеси в выработке; ϑ – средняя скорость потока в выработке; D – эффективный коэффициент продольной диффузии (термин [121], точнее – коэффициент дисперсии). Решение (3.184) с соответствующими граничными условиями позволило определить предельную длину разгазирования выработки всасывающим способом. Попытка предложить универсальный метод математического моделирования процессов нестационарного переноса импульса и массы в горных выработках при авариях (взрывах метана и пыли, экзогенных пожарах) была предпринята в [122]. В основу была положена система уравнений И.А. Чарного для трубопроводов [123]. Адаптация этой системы к условиям воздушных потоков по горным выработкам базировалась на предположениях: скорость потока мала по сравнению со звуковой, что позволяет в уравнениях отбросить члены ϑ(∂ϑ / ∂х ) и ϑ(∂ρ / ∂х ); изменения плотности воздуха с глубиной или при нагревании малы, что позволяет пренебречь гидростатическим членом ρg (∂z / ∂x) ; изменение энергии газа при движении его вдоль выработки несущественно. В итоге аэромеханические уравнения упрощаются, а при стационарном режиме движения воздуха из них следует

P = RQ 2 [122]. Процессы массопереноса предлагается описывать уравнением "продольной" или турбулентной диффузии: 194

∂С ∂C ∂ ⎛ ∂С ⎞ +ϑ = ⎜ D* ⎟ + J ( x, t ) , ∂t ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ т.е. уравнением дисперсии (3.77). Техногенные загрязнения рудничного воздуха и вод являются относительно новым видом опасностей в шахтах и рудниках, связанным с общим ухудшением экологической ситуации в промышленных регионах [14,124]. Утечки вредных веществ на промплощадках химических и коксохимических предприятий, последующая их миграция с подземными водами приводят к их проникновению в стволы и выработки шахт. К токсичным веществам, загрязняющим рудничные воды и воздух относятся: ацетон, бензол, хлорбензол, метанол, стирол [125], кислые смолки, промывные воды, фенол, О-ксилол и др. [126]. Математическая модель техногенного загрязнения ствола и водообильных горных выработок предложена в [127]. Сорбция газовых примесей в шахтах сопровождается химическими реакциями между ними и компонентами сорбентов, растворенных в шахтной воде. Такие реакции могут быть различных порядков. Физическая модель массопереноса по водообильным выработкам примесей – техногенных загрязнителей рудничного воздуха такова. Выработка трактуется как труба со стекающей по ее поверхности пленкой воды. Переносимая турбулентным воздушным потоком примесь подводится (за счет поперечной турбулентной диффузии) к поверхности воды. Внутрь слоя воды примесь переносится диффузией. В математической модели процесса продольным диффузионным переносом по сравнению с конвективным пренебрегают. Рассматривается система трех уравнений переноса относительно трех взаимосвязанных величин: С – концентрации сорбирующихся примесей в *

подвижной фазе; а2 – их концентрации в неподвижной фазе; а2 – концентрации химически реагирующего с примесью вещества в сорбенте.

⎫ ∂С ∂C β ⎪ + u11 = − ( γ 2C − a2 ); ⎪ ∂t R ∂x ⎪ ∂a2 A0 a2 β ∂a2 q * m ⎪ 1 ( ) ( ) ; + B0 =− + γ 2C − a2 − K11a2 − K12 a2 a2 ⎬ (3.185) ∂t ∂x πRh2 h2 ⎪ ⎪ ∂a2* A0 a2 ∂a2* q * m ⎪ + B0 =− − K12 a2 (a2 ) . ⎪⎭ ∂t ∂x πRh2 Здесь u11 – средняя скорость потока в выработке; β – коэффициент массоотдачи; γ 2 – константа фазового равновесия; B0 = B / 2πRh2 ; B – расход сорбента; R – радиус выработки; h2 – толщина пленки жидкости; 1 K11 – константа скорости химической реакции 1-го порядка; K12 – то же для

195

химических реакций 2-го и 3-го порядков; q, m – стехиометрические коэффициенты при расчетах в уравнении реакции сорбата с компонентом сорбента. Краевые условия:

С t = 0 = a2 t = 0 = 0;

a2*

t =0

* = a20 ;

С х = 0 = f (t ),

t > 0.

Нелинейная система (3.185) линеаризуется и решается преобразованием Лапласа по t . Решение имеет весьма сложный вид, численные результаты получены для конкретного шахтного ствола [127]. Проникновение токсичных газов в шахту с поверхности по геологическим нарушениям и через трещиноватый горный массив с рудничными водами, моделировалось с целью оценки экологических, технологических и социальных аспектов этого явления [14,128]. Для описания переноса адсорбируемого токсичного компонента по трещине использовались: уравнение одномерного конвективного массопереноса; уравнение переноса энтальпии адсорбируемого компонента и адсорбента; уравнение связи сорбционных констант с температурой. Математическая модель имела вид:

∂a ∂C ∂C ∂J a ∂J n ∂J ∂a a⎞ ⎫ ⎛ + +ω = 0; + + ω n = 0; = β⎜ C − ⎟ ;⎪ ∂t ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t Г⎠ ⎪ ⎝ ⎬ (3.186) ∂J a a⎞ ⎛ = K (Tn − Ta ) + β⎜ C − ⎟Q ; a0 = f1(T ) ; Г = f 2 (T ) . ⎪ ⎪⎭ ∂t Г⎠ ⎝ Здесь a – средняя текущая адсорбция; a0 – равновесная с концентрацией C0

адсорбция; С – текущая концентрация адсорбтива в потоке; Г = a0 / C0 – коэффициент Генри (фазового равновесия адсорбированного компонента с его концентрацией в потоке); β – коэффициент массопередачи; ω – скорость фильтрации; J a – энтальпия адсорбента; J n – энтальпия потока; K – объемный коэффициент теплоотдачи; Ta , Tn – температуры адсорбента и потока; Q – мольная теплота адсорбции. Расчеты выполнены на ЭВМ по полученным интегральным представлениям решений для условий фильтрации хлорбензола в трещиноватом горном массиве шахты "Александр-Запад". В результате разработана методика прогноза зон, потенциально опасных по химическому загрязнению [14,128].

§30. Перенос аэрозолей Пылегазовые потоки (двух – или многофазные) называются аэродисперсными системами. Они присутствуют в шахте в большинстве случаев технологических (штатных) и аварийных режимов [2,28]. Для горных выработок характерны аэрозоли – аэродисперсные системы с концентрацией до

196

нескольких граммов на 1 м3 объема газа [129]. Наиболее важный, с точки зрения охраны здоровья горнорабочих и профилактики взрывов и пожаров, вид аэрозолей – угольная (рудничная) пыль – совокупность частиц ископаемого или вмещающих пород. Пыль образуется при горных работах, находится в воздухе во взвешенном состоянии или оседает на почве и стенках выработок. Размер частиц пыли – дисперсность является ее важнейшей характеристикой. Пыль – −2

2

мкм до 10 мкм и полидисперсная система с размерами частиц пыли от 10 более [28]. Частицы с размерами более 10 мкм оседают в неподвижном воздухе с нарастающей скоростью и не диффундируют в нем; размером 0,25÷10 мкм оседают с постоянной скоростью; размером 0,25 мкм и менее витают в воздухе, совершая броуновское движение (аналогичное молекулярному). Функция распределения дисперсного состава пыли описывается логарифмически − нормальным законом А.Н. Колмогорова [129]. Другая важная характеристика — концентрация пыли в воздухе (запыленность воздуха) – зависит от интенсивности пылеобразования и локальной аэродинамики воздушного потока при выемке угля, проходке, транспортировке горной массы. Механика аэрозолей, физико-химическая гидромеханика и кинетика образуют теоретический базис (базис парадигмы) [130÷133], позволяющий решать прикладные задачи горного дела [2,28,129] и других отраслей промышленности [134÷136]. При моделировании пылепереноса по горным выработкам, рудничная пыль должна рассматриваться, в общем случае, как активная примесь, т.е. кроме закономерностей турбулентного массопереноса, должны учитываться гравитационные и архимедовы силы, а также силы аэродинамического сопротивления. Различным фракциям пылевого аэрозоля соответствуют различные главные (преобладающие) механизмы переноса. Поведение высокодисперсного аэрозоля (с размерами частиц r < 0,01 мкм) описывает молекулярно − кинетическая теория; для грубодисперсных аэрозолей ( r > 1÷2 мкм) адекватна модель сплошной среды (т.е. модели гидромеханики и тепломассопереноса); аэрозоли переходной группы ( r > 0,05÷0,8 мкм) описываются обычно статистическими моделями с поправками [2]. Движение частиц аэрозоля в неподвижном воздухе (седиментация) и в движущемся потоке происходит, главным образом, под воздействием сил тяжести ( G ), архимедовой ( А ) и сопротивления воздуха ( F ). Для частиц шарообразной формы (с радиусом r ):

4 G = πr 3ρg ; 3

4 A = πr 3ρ1g ; F = 6πμrϑ , (3.187) 3 где ρ,ρ1 – плотности частицы и воздуха; g = 9,8 м/с2 – ускорение силы тяжести; ϑ – скорость движения частицы относительно воздуха; μ – динамическая вязкость воздуха. Формула для F (Стокса) справедлива, с точностью в 10%, для частиц с r = 0,8÷35 мкм [2]. Постоянная скорость частицы ϑs (скорость витания) определяется условием G − A = F : 197

2 r2g 2 r 2ρ ~ ϑs = (ρ − ρ1 ) − gτ1, . (3.188) τ1 = 9 μ 9 μ Здесь учтено, что ( ρ1 / ρ ) << 1. Для мелких частиц ϑ s весьма мала; для −4

−4

кварцевых частиц с r = 5,0 мкм и r = 0,8 мкм, ϑ s = 80⋅10 и 2⋅10 м/с соответственно [2]. Для меньших частиц ( r < 0,8 мкм) справедливы формулы Милликена:

FM = FC Φ −1 (Kn), ϑ′s = ϑs Φ (Kn), Φ (Kn) = 1 + A Kn + B Kn exp(−b Kn),

(3.189)

где FC – стоксова сила (согласно (3.187)); ϑ′s – скорость витания частиц; ϑs – скорость витания крупных частиц (согласно (3.188)); Kn = l / r – число Кнудсена, равное отношению средней длины свободного пробега молекул газа ( l ) к радиусу частицы ( r ); A, B, b – эмпирические константы. В вышеприведенных формулах, в силу неправильности (несферичности) формы пылевых частиц, следует вместо r использовать эквивалентный радиус частицы rэк : 1/ 3 ⎛ c′ ⎞ rэк = 0,24⎜ d cp ⎟ , ′ a ⎝ ⎠

(3.190)

где c′ – отношение толщины частицы к ее среднему поперечному размеру; a′ – отношение длины частицы к среднему поперечному размеру d cp . При

G − A > F частицы, двигаясь ускоренно, оседают на почву выработки.

Уравнение движения частиц:

2 ρr 2 . τ1 = 9 μ

dϑ ϑ + − g = 0, d t τ1 Решение (3.191) при ϑ(0) = 0 :

ϑ(t ) = ϑs (1 − exp(−t / τ1 ));

z (t ) = ϑS τ1 (1 − exp(−t / τ1 )).

(3.191)

(3.192)

При достаточно большой начальной скорости частицы ϑ(0) = ϑ0 , когда G− A< F:

ϑ(t ) = ϑ0 exp(−t / τ1 )),

z (t ) = ϑ0 τ1 (1 − exp(−t / τ1 )).

(3.193) В шахтных условиях размер витающих в воздухе частиц изменяется из-за конденсации на пылинках влаги воздуха и слипания частиц (коагуляция) [2]:

d r ⎛⎜ DМμ 2 ΔР ⎞⎟ r03 ⎛⎜ 6,2ωε3 / 4 ⎞⎟ r. + = 6 1 / 4 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d z ⎝ ρ RTg ⎠ r ⎝ gρν ⎠ 198

(3.194)

Приближенное решение этого уравнения:

r ( z ) = [r07 + 7( П + Mr07 )(h − z )]1 / 7 ,

(3.195)

где П, М – выражения в первой и второй скобках правой части (3.194) соответственно; r0 = r z = h – начальный радиус частицы; h – высота выработки;

DM – коэффициент молекулярной диффузии; ΔP – разность парциальных давлений паров воды над поверхностью частицы и в воздухе; ν, μ – кинематическая и динамическая вязкости воздуха; ω – влагосодержание воздуха; R – его газовая постоянная; Т – температура воздуха; ρ – его плотность; ε – ско-

рость диссипации турбулентной энергии. Рассмотренные модели просты и наглядны, но приводят все же к результатам скорее качественного характера. В реальных потоках газовзвесей взаимодействие турбулентных пульсаций и вихрей различных масштабов с частицами весьма сложно; описание процессов осуществляется статистическими (вероятностными) методами [137÷139]. Это позволяет оценивать параметры переноса, вероятность различных концентраций, уточнять граничные условия. Недостаток этих моделей – трудности получения пространственно-временного (полевого) описания для концентрации пыли. Для решения проблем безопасности горных предприятий необходимо знание распределения концентрации пыли вдоль выработки и по ее сечению в статике и в динамике [28]. Поэтому используют приближенные, достаточно простые модели стационарного и нестационарного пылепереноса, позволяющие проводить инженерные расчеты. Стационарные поля концентрации пыли являются одной из форм идеализации реальных процессов. При скоростях движения воздуха, меньших некоторого критического значения ( u < uкр ), когда срыв потоком частиц пыли, осевших на стенках выработок и почве еще не происходит, движение частиц определяется взаимодействием силы тяжести и поля концентрации пыли, турбулентно диффундирующей в потоке. Результирующий поток пылевых частиц направлен в сторону уменьшения их концентрации, так что полный поток частиц через элемент горизонтального сечения выработки (т.е. вдоль вертикальной оси Oz ) равен нулю:

d Cs , Cs (0) = Cs 0 , z ∈ (0, H ), (3.196) dz где ϑ s – скорость витания (по (3.188)); Cs – стационарная концентрация пыли ( Cs = Cs (z ) ); DТ – коэффициент турбулентной диффузии. Знаки в (3.196) опqΣ = 0 = ϑsCs + DТ

ределяются направлениями векторов ϑs и градиента концентрации. Решение (3.196):

⎛ ϑ z⎞ Cs ( z ) = Cs 0 exp⎜⎜ − s ⎟⎟. ⎝ DТ ⎠

(3.197)

199

Расчеты по (3.197) показывают, что частицы с rэк ≤ 0,5 мкм распределяются по высоте почти равномерно, а более крупные – с возрастанием концентрации к почве выработки [2]. Распределение концентрации пыли по длине выработки также может быть описано простой моделью [2]. При движении газовзвеси по выработке, наиболее крупные частицы выпадают из потока; на единице её длины осядет ϑs d C = gτ1 d C частиц пыли за 1 сек. На пути d x , или за время d x / u из потока выпадет gτ1 d C d x / u частиц. Из баланса числа частиц в объеме выработ2

ки V = (πd э / 4) × 1 следует:

⎛ 4 gτ1 ⎞ dC ⎟⎟C , = −⎜⎜ π d u dx ⎝ э ⎠

⎛ 4ρgr 2 ⎞ C ( x) = C0 exp⎜ − x⎟ , ⎜ 9πμd эu ⎟ ⎝ ⎠

(3.198)

где d э – эквивалентный диаметр выработки; u – средняя скорость потока; C0 = C (0) – концентрация частиц радиуса r в начальном сечении ( x = 0 ) выработки. Формула (3.198) удовлетворительно согласуется с шахтными замерами [2,28]. Нестационарный пылеперенос более характерен для горных выработок. Нестационарности в пылевыделении (при добыче или проходке), как и при газовыделении, носят статистический характер [28]. Относительно медленно меняющиеся, усредненные по периоду пульсаций, концентрации пыли С ( x, t ) (тренды) могут быть описаны детерминистскими моделями массопереноса. Математическая модель проветривания запыленных тупиковых выработок нагнетательным воздухопроводом предложена в [140]. Динамика концентрации пыли в зоне смешения описывалась убывающей экспонентой и служил граничным условием для уравнения пылепереноса в остальной части выработки:

⎡ ∂ 2С 1 ∂ ⎛ ∂C ⎞⎤ ∂C ∂C + u0ϑ(r ) = D⎢ 2 + ⎟⎥, ⎜r r r r ∂t ∂x ∂ ∂ ⎠⎦⎥ ⎝ ⎣⎢ ∂х C ( x, r ,0) = 0; lim C ( x, r , t ) = 0; x→ ∞

x > 0,

∂С = 0; ∂r r =R0

t > 0; (3.199) (3.200)

⎛ QK ⎞ С ( x, r , t ) х = 0 = F (t ) = С1 exp⎜ − t ⎟. V ⎝ ⎠ Здесь u0 – максимальная скорость потока; ϑ(r ) – функция изменения скорости по сечению; D – коэффициент турбулентной диффузии ( D = 7( R0u )

2/3

);

u = Q / S ; R0 – приведенный радиус выработки; Q – расход через трубопровод; S – сечение выработки; C1 – начальная максимальная концентрация пыли 200

в зоне смешения; V – объем зоны смешения; K – коэффициент турбулентной диффузии свободной струи [1]. Решение этой задачи осуществлено преобразованием Лапласа по t и получено в весьма сложной форме (двойной ряд, содержащий спецфункции и интегралы). Для средней по сечению концентрации пыли Сср ( х, t ) расчетная формула упрощена и реализована на ЭВМ. Сравнение результатов расчетов с экспериментами в штольне ЦНИЛ ( S = 4,0 м2) и на шахтах Донбасса при u = 0,33÷3,0 м/с, показало их хорошее согласование [140]. В каналах вентиляторов главного проветривания сложная аэродинамика потока, поля скоростей неравномерны. Это приводит к вредному явлению – накоплению пыли на почве канала [141]. Анализ динамики этого процесса осуществлялся на основе математической модели пылепереноса, аналогичной модели удаления вредных газообразных примесей [74]. Краевая задача имела вид [141]:

∂C ∂C ∂ 2С − bC ; х > 0; = D 2 −u ∂ x ∂t ∂х

C ( x,0) = ϕ( x);

∂С = 0; ∂x x = 0

t > 0.

⎛ ∂С ⎞ l im ⎜ ⎟ = 0. x → ∞⎝ ∂x ⎠

(3.201) (3.202)

Здесь: С ( х, t ) – средняя по сечению концентрация пыли в канале вентилятора; u – средняя скорость потока; D – коэффициент турбулентной диффузии для пыли; b – коэффициент осаждения пылевых частиц; ϕ(х) – начальное распределение концентрации частиц. Оно определяется из решения вспомогательной задачи:

~

~ ~ ∂C ∂ 2С ~ = Dс 2 , С ( х,0) = Мδ( х), ∂t ∂х

~ С (∞, t ) = 0,

(3.203)

где С ( х, t ) – концентрация пыли в стволе; Dс – коэффициент турбулентной диффузии в стволе; М – полная масса пыли, поступающей в канал. Решение (3.203) для t = t0 ( t0 – время движения запыленного воздуха по сопряжению ствола с каналом): 2 ⎞ ⎛ M x ~ ⎟. С ( x, t0 ) = exp⎜ − (3.204) ⎜ ⎟ 4 D t π с 0⎠ ⎝ Масса пыли M = Qqt , где Q – расход воздуха, а q – удельная запыленность воздуха в стволе на сопряжении с каналом. Начальное условие для C ( x, t ) сле~ дует теперь из (3.204): C ( x,0) = C ( x, t0 ) = ϕ( x). Коэффициенты турбулентной диффузии D и Dc определялись по [74]:

D = 22(αSu 2 )1 / 3 ,

(3.205)

201

где α – коэффициент аэродинамического сопротивления канала вентилятора; S – его сечение; u – средняя скорость потока. Задача решена аналитически, однако каких либо численных результатов не приводится. Важным вопросом моделирования пылепереноса является определение условий отрыва частиц, отложившихся на стенках и почве выработки и вовлечения их в движущейся поток газовзвеси [2,28]. Попытка учесть это явление была предпринята в модели [142]:

∂С = D∇ 2С − ((u + ϑп ), ∇C ) , (3.206) ∂t где u – вектор средней скорости потока; ϑп – вектор скорости гравитационно-

го осаждения пыли (при выпадании её из потока) или скорости её взметывания (при переходе в поток). Уравнения, близкие к (3.206) используются и в моделях, где исследуются процессы вовлечения в конвективно-диффузионный перенос пыли, отложившейся на почве карьера [143÷145]. Рассеивание пылегазового облака в вертикальной плоскости, при турбулентной диффузии и конвективном переносе поднимающимся вверх потоком воздуха, описывалось уравнением [143]:

∂С ∂C ∂ 2C +ϑ =K 2, ∂t ∂z ∂z

(3.207)

где K – коэффициент вертикальной турбулентной диффузии; ϑ – скорость подъема пылегазового облака, обусловленная его перегревом (определяется решением аэродинамической задачи). Описание процесса рассеивания тяжелой полидисперсной пыли, равномерно распределенной в начальный момент времени в конечном вертикальном слое, использовало (3.206) с заменой в нем скорости подъема ϑп скоростью гравитационного осаждения W [144]. Стационарное уравнение (3.207) при K = K (z ) , ϑ = ϑ(z ) использовано в [145] – в модели пылепереноса в стратифицированной среде. При моделировании процессов пылепереноса в горизонтальных каналах систем газоочистки, сходных по условиям с горными выработками, используются также аналогичные уравнения [135]. Поток частиц, осаждающихся на стенках (выпадающих из потока) учитывался членом ϑМ С , где ϑМ – скорость поперечной миграции частиц. Для плоско-параллельного канала с продольной координатой х уравнение переноса имело вид:

u( y)

⎫ ∂C ∂ ⎧⎡ ∂С ⎤ = ⎨⎢ DТ ( у ) ⎥ − [СϑМ ( у )]⎬, ∂x ∂y ⎩⎣ ∂у ⎦ ⎭

(3.208)

а для цилиндрического канала (трубы):

u (r ) 202

∂C ∂ ⎧⎡ ∂С ⎤ ⎫ = ⎨⎢rDТ (r ) ⎥ − [rСϑМ (r )]⎬. ∂x ∂r ⎩⎣ ∂r ⎦ ⎭

(3.209)

Здесь u ( y ) , u (r ) – распределения скорости пылегазового потока по сечению канала; DТ ( у ) , DТ (r ) – коэффициенты поперечной турбулентной диффузии пылевых частиц [135].

Глава 12. Параметры массопереноса В математических моделях процессов переноса импульса и массы в горных выработках (краевых задачах аэрогазодинамики по [1]) присутствуют параметры переноса – в общем случае функции концентрации, координат и времени. Это коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии, дисперсии, поглощения примесей, массообмена и др. Часто аэродинамическая задача решается независимо от задачи массопереноса. Полученное в результате распределение скоростей потока (которое может быть нестационарным, переменным в сечении выработки и вдоль нее) затем используется при решении задачи конвективно-диффузионного массопереноса. Найденный профиль скоростей в этом случае является функцией-параметром в задаче массопереноса. В последней также используются различные эмпирические формулы для скоростей и расходов потоков, притечек (утечек) воздуха в выработку. Поэтому поле скоростей (профиль скорости) потока рассматриваем как один из параметров массопереноса, наряду с коэффициентами турбулентной диффузии, дисперсии, поглощения примесей.

§31. Поле скоростей Как было ранее показано, есть два типа потоков газовоздушных смесей в горных выработках: свободные и ограниченные турбулентные потоки. Последние образуют две группы: потоки с постоянным и с переменным расходом. Потоки с переменным расходом подразделяются на стационарные и нестационарные. Первые возникают за счет притечек (утечек) газовоздушной смеси в выработку, вторые, для которых характерно изменение скорости и расхода со временем – за счет переходных аэродинамических процессов (регулирование вентиляции, аварийные режимы). Свободные турбулентные потоки (струи) в зонах смешения подготовительных выработок и в камерообразных выработках имеют поля скоростей, описываемые известными зависимостями [1÷3,22,25,33,35,36,75]. По ним вычислены коэффициенты турбулентной диффузии струй по В.Н. Воронину ( KТ ) [1,2] и в общепринятой трактовке [22,36]. Первые используются в балансовых (точечных нестационарных) газодинамических моделях зон смешения подготовительных выработок и камер ((3.96), (3.105)); вторые – в моделях конвективнодиффузионного переноса в камерообразных выработках и камерных блоках [22,23,36]. В последних случаях в уравнениях обычно используется средняя скорость потока. 203

Ограниченные турбулентные потоки с постоянным расходом моделируются двумя типами профиля скорости: стержневого ( ϑ = ϑср =

= Q / S = const ) и "турбулентного". Последний задается функцией ϑ(r ) для цилиндрической выработки или ϑ( y, z ) для выработок прямоугольного или трапециевидного сечения. Эти профили, по сравнению с пуазейлевым (профиль скоростей ламинарного течения в круглой трубе), являются менее "вытянутыми" в центральной части выработки. В.Н. Ворониным для круглой выработки найден профиль скоростей (3.32), для прямоугольной выработки известен профиль К.З. Ушакова (3.37). Степенной профиль скоростей

ϑ( у ) / ϑmax = ( y / R0 ) m ( m = 0,07 ÷ 0,09, ψ = 1,11 ÷ 1,15 ) рекомендует [74] И.Ф. Ярембаш. Известный в трубной гидродинамике [25] универсальный логарифмический профиль скоростей для горных выработок, в силу их "сверхшероховатости", неприемлем [1,2,27]. Потоки с переменным расходом стационарны, если их расход и средняя скорость изменяются только вдоль выработки, оставаясь в каждой ее точке постоянными во времени. Профиль скоростей в сечении считается обычно стержневым. Такие случаи рассматривались ранее для откаточного и вентиляционного штреков, примыкающих к выработанному пространству, когда для Q( x) и ϑ(x) были получены степенная (3.45) и экспоненциальная функции (3.46). В более сложной аэродинамической модели выработанного пространства, когда для Q ( x ) в откаточном штреке было получено интегродифферен-циальное уравнение, его численное решение хорошо приближалось простой гиперболической функцией (3.50). Для расхода воздуха вдоль очистной выработки был получен [98] квадратичный профиль (3.119). В модели длинной составной выработки с переменным расходом воздуха, он описывался кусочно-постоянной функцией (3.123). В модели массопереноса при переходном режиме, распределение скорости потока вдоль выработки было экспоненциальным (3.183).В моделях нестационарных аэродинамических режимов, при изменяющихся со временем расходе и скорости, также обычно используются стержневые профили скорости, т.е. ϑ = ϑ( х, t ) . Быстропротекающие аварийные газодинамические процессы (внезапные выбросы, взрывы) описывались гиперболическими системами уравнений ((3.61), (3.167)), решавшихся численно. В ряде моделей предполагалось (без должного обоснования), что по всей длине выработки скорость изменяется синхронно: ϑ = ϑ(t ) при х ∈ (0, L) – (3.168), (3.174).

§32. Коэффициенты турбулентной диффузии Коэффициенты турбулентной диффузии в уравнениях конвективнодиффузионного переноса ((3.71), (3.73)) определяются через пульсации компонентов скорости потока, пульсации концентрации и проекции градиента осредненной (по Рейнольдсу) концентрации (3.72). В условиях горных выработок получение этих данных экспериментально затруднено, поэтому обычно исполь204

зуют аналогию Рейнольдса [25], выражая искомые параметры переноса через турбулентную вязкость и турбулентное число Шмидта (3.74), (3.76). Параметры турбулентного потока измеряют в натурных условиях и на аэродинамических моделях выработок. Имеются работы, в которых постановка экспериментов на моделях, в экспериментальных штольнях и в горных выработках с последующей обработкой их результатов, сочетаются с решением соответствующих краевых задач массопереноса. Затем искомые параметры подбираются таким образом, чтобы минимизировать невязку аналитического решения с опытными данными. Этот метод (обратных коэффициентных задач) использовался многими исследователями [146÷154]. Большой обзор работ авторов многих стран приведен в [23]. Данные по коэффициентам турбулентной диффузии широко представлены в [27,62]. Коэффициенты поперечной турбулентной диффузии для переноса в сечении выработок прямоугольной ( DТ , у , DТ , z ) и круглой ( DТ , r ) формы будем единообразно обозначать D у ( y ) . Для пассивных примесей DТ , у , DТ , z определяются, в соответствии со скоростным профилем ϑ = ϑ( у, z ) , одинаково; для активных примесей определение DТ , a = DТ , a ( z ) ( z − вертикальная координата сечения) имеет специфику. Для пассивных примесей В.Н. Ворониным на основе поля скоростей (3.32), выражений для коэффициентов турбулентной вязкости μТ ( r ) ((3.32), (3.33)) и его усредненного по сечению значения μT (3.34) получено [1]:

D у ν = DT ν = ScT−1 νT ν = 1,6νT ν = 0,128 Re α,

(3.210)

где ScT = 0,625 – турбулентное число Шмидта; D у – среднее по сечению значение коэффициента поперечной турбулентной диффузии D у (r ) (далее черту

над средними величинами опускаем). Формула (3.210) приведена в [23] в виде

Dу ν

= ΑRe0,875 ,

A = 9 ⋅ 10−3 ,

(3.211)

полученном из (3.210) переходом от α к λ по (3.22) и использовании закона Блазиуса λ (Re) = 0,3164 Re

− 0, 25

3

5

, справедливого для Re ∈ [3 ⋅10 ;3 ⋅10 ]

[136]. Поскольку в различных источниках формулы для D у / ν (аналогичной структуры, но с другими коэффициентами) приводят в обоих видах (3.210), (3.211), был осуществлен пересчет к форме (3.210), более общей (применима и вне области действия закона Блазиуса):

A Re 0,875 = B Re α,

B = 14,376 A .

(3.212)

205

Во всех формулах также пересчитывались: динамическая скорость u* на среднюю по сечению u ; число Рейнольдса Re s = u s / ν на число Рейнольдса Re = ud / ν ( d = 2 R0 = 4S / П ):

u* = 2,86u α , d = 1,13 s , Re s = 0,885 Re .

(3.213)

Использование известной квадратичной аппроксимации для νТ ( r ) [75], привело ряд исследователей массопереноса в трубах (Д.А. Франк-Каменецкий, 1967; М.М. Викторов, 1977; Э.К. Бюттнер, 1978 [23]) к формулам:

D y (r ) ν

⎡ r ⎛ r ⎞⎤ ⎟⎟⎥, = 0,572 Re α ⎢ ⎜⎜1 − ⎣ R0 ⎝ R0 ⎠⎦

Dy ν

= 0,095 Re α .

(3.214)

Для горных выработок были предложены (Enliang Li, Hand Binggun, 1968 [27]), формулы, близкие к [1]:

D y (r )

ν Dy

ν

2 ⎤1 / 2 ⎡ ⎛ r ⎞⎟ ⎥ , = 0,177 Re − 0,04 Re α ⎢1 − ⎜ ⎢ ⎜R ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 0 ⎠ ⎥⎦

(3.215)

= 0,118 Re − 0,04 Re α .

В большинстве источников, коэффициенты поперечной турбулентной диффузии, определяемые по коэффициентам турбулентной вязкости и турбулентным числам Шмидта, представлены не функциями от у (или r), как в (3.33), (3.214), (3.215), а средними по площади сечения выработки значениями. Эти средние коэффициенты затем используются для нахождения коэффициентов дисперсии – коэффициентов переноса в одномерных моделях. Приведем ряд примеров. Для лав с угледобывающим комплексом КМ-87 (К.З. Ушаков, 1977 [23]):

Dy ν

= 0,129 Re α .

(3.216)

Для широкой прямоугольной выработки высотой Н [3]:

Dy ν

= 0,234 Re α ,

Re =

uH . ν

(3.217)

Последняя формула дает большее значение для D у , чем (3.210), (3.214), (3.215), (3.216) неплохо согласующиеся друг с другом. Это свидетельствует о близости в последних случаях методик проведения экспериментов и обработки данных, поскольку разброс данных при определении параметров массопереноса может быть порядка 100% [78]. Это подтверждается формулами, полученными разными авторами для гладких труб [23]. 206

Таблица 3.5. Коэффициенты поперечной турбулентной диффузии в трубах

G. Taylor, 1935 Dy ν

= 0,075 Re α

Авторы W. Sayre, A. A. Дж. РейJ. Elder, 1959 Cham-berlain, 1964 нольдс, 1979 Dy Dy Dy = 0,329 Re α = 0,343 Re α = 0,117 Re α ν ν ν

Имеются формулы для D y , полученные на основе гидродинамической теории тепломассопереноса (обобщенной аналогии Рейнольдса) [25,78,155]. Для гладких труб С.С. Кутателадзе получено [23]

Dу DМ

=

0,14 Sc Re λ . 4,6 Sc+ 2,3 lg(Re λ / 290)

(3.218)

Эта формула следует из формулы для диффузионного числа Нуссельта Nu D , полученной по "двухслойной" схеме турбулентного потока при Sc < 5 [155]. Выражение для Nu D и (3.218), как и ряд других известных формул, справедливых в различных диапазонах чисел Sc и Re следуют из основного интегрального соотношения Р. Лайона [155]: Nu D = λ Re F (Sc, Re),

(3.219)

где F (Sc, Re) – весьма громоздкая функция. В частных случаях из (3.219) следует (3.218) и близкие к ней, а также формулы вида

Dy ν

= Ф(Sc, Re) Re .

(3.220)

Для массопереноса в трубах получено (С.А. Гольденберг, 1971 [23]):

⎧⎪Ф1 (Re) Re, Re < 105 , Ф1 (Re) = 9 ⋅ 10−3 Re − 0,16 , (3.221) =⎨ ν ⎪Ф (Re) Re, Re > 105 , Ф (Re) = 1,1 ⋅ 10−3 , ⎩ 2 2

Dy

а для штрекообразной выработки с продольным калибром крепи Δ:

~ ~ ⎧⎪Ф1 (α, Δ ) Re, Δ ∈ [2,6], Ф1 (α, Δ ) = 6,87α, = ⎨~ (3.222) ~ ν ⎪⎩Ф 2 (α, Δ ) Re, Δ > 6,0, Ф 2 (α, Δ) = 32,05α. Включение в функцию Ф(Sc, Re) в качестве аргументов Δ и α связано с тем, что Dy

в сильно шероховатых трубах (и в еще большей степени – в горных выработках) параметры турбулентного переноса зависят от параметров шероховатости в большей степени, чем от числа Рейнольдса [27]. При развитой турбулентности, в квадратичной области (Re > 3 ⋅ 10

5

[136]) наблюдается автомодельность по числу

207

Рейнольдса [2,25,27]. В силу большего разнообразия элементов шероховатости горных выработок, их форм и размеров, получение формул общего вида для D y является сложной задачей, попытки решения которой пока не слишком удачны [27]. Известны и работы, в которых по экспериментальным данным находятся корреляции D y с параметрами выработок [149]: ⎫ ⎧ ⎛ K l K l K ⎞ ⎪Ф1⎜ Re, 1 , 1 , s ⎟ Re, s ∈ [0,04;0,12], 1 ∈ [8;80]⎪ Dy ⎪ ⎜ K s b b ⎟⎠ d Ks ⎪⎪ ⎪ ⎝ =⎨ ⎬ DМ ⎪ ⎛ Ks K1 l1 ⎞ l1 ⎪ ⎜ ⎟ Re, , ∈ [0,03;0,091], ∈ [1,7;70] ⎪ ⎪Ф 2 ⎜ Re, K s K s ⎟⎠ d Ks ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝

b ∈ [2;4] , (3.223) Ks

где K s , b – высота и ширина выступов шероховатости крепи; l1 – расстояние между элементами крепи (выступами шероховатости); K1 – высота выступов естественной шероховатости (стенок выработки, затяжки крепи); d – диаметр выработки; DМ – коэффициент молекулярной диффузии примеси. Функции Ф1 и Ф2 представляют собой громоздкие степенные выражения. Использование формул (3.223) и аналогичных требует наличия подробной информации о параметрах выработки ( K1 , K s , l1 , b ), которая по своей природе сильно "зашумлена", нестабильна и малодоступна. Эти обстоятельства стимулировали развитие иного подхода – использование теории размерностей для нахождения вида функциональной зависимости D у от определяющих величин с последующим определением параметров этой зависимости по данным аэродинамических экспериментов на физических моделях горных выработок. Л.А. Пучковым было получено [23]:

Dy ν

= 8,0 ⋅ 10−5 П Re,

(3.224)

где П – периметр выработки, м. И.Ф. Ярембашем найдена формула [74]:

Dy ν

= 14,45 ⋅ 10−3 Re .

(3.225)

К.Ю. Лайгна получил формулу вида [23]: m

⎛ρ ⎞ = K ⎜ Re s ⎟ Re n , s u s ⎝α ⎠ Dy

K , m, n = const . (3.226)

Статистической обработкой опытных данных (при u = 0,2-4,8 м/с, D у ⋅103 = = 4,3÷17,2 м2/с) зависимость (3.226) была представлена в виде:

208

D у = 1,584 (αν / ρ)V 3 ( S )3 ,

V = 0,4u Re − 0,125 . s

(3.227)

Пересчетом, описанным ранее, эта формула приведена нами к виду:

Dy ν

= 3,41( α )1/ 4 Re − 0,219 Re α ,

α = α / α0.

(3.228)

Здесь α 0 = 16⋅10−4 кг·с2/м4 − нормировочное (обезразмеривающее) значение коэффициента аэродинамического сопротивления выработки (характерно для штрека, закрепленного металлическими арками – табл. 3.1). Коэффициенты поперечной турбулентной диффузии активных примесей исследованы слабо. Ранее приводились некоторые формулы – (3.85), (3.87), (3.92), (3.165), (3.175), общий вид которых:

D у , a = D у ω(C ),

(3.229)

где D у – коэффициент поперечной турбулентной диффузии для пассивной примеси; ω = ω(С ) – некоторая (часто – степенная) функция концентрации активной примеси [2,62,156]. К активным примесям можно отнести и рудничную пыль. Коэффициент турбулентной диффузии частиц пыли DТ , П связан с коэффициентом турбулентной диффузии газа D у [135]:

DТ , П = μ 02 D у ,

μ0 =

ϑ′ , u′

(3.230)

где ϑ′, u′ – соответственно поперечные пульсационные скорости частицы пыли и 2

газа; μ0 – степень увлечения частиц газом. Методами статистической теории турбулентности показано, что при не слишком малых временах процесса переноса, коэффициенты DТ , П и D у для малых частиц близки, а средние скорости движения частиц и газовой среды практически совпадают [137].При струйном движении воздуха в сквозных выработках (проветривание камер), которое исследовалось на аэромодели [36], коэффициенты поперечной турбулентной диффузии, как и другие параметры потока изменялись зонально. В переходной зоне течения коэффициент поперечной турбулентной диффузии принимал максимальное значение, на 2−3 порядка больше, чем в зоне канального течения. В [36] приведены соответствующие, весьма громоздкие формулы, попытка использования которых в уравнении (3.112) была предпринята в [22]. Коэффициенты продольной турбулентной диффузии DТ , х , которые часто путают с коэффициентами дисперсии Dх – параметрами одномерных моделей переноса со стержневым профилем скорости [22,23,27,62] – практически не исследовались ни теоретически, ни экспериментально. Как исключение,

209

могут быть указаны работы К.Ю. Лайгны, в которых для определения DТ , х предлагается использовать локальную теорию турбулентности, что требует тонких измерений ее параметров и весьма затруднительно [23,75,96]. Для ограниченных потоков DТ , х << Dх , а для струй DТ , х ≅ (4÷33) Dх [96]. Формулы для DТ , х в струях даны в [23,36].

§33. Коэффициенты дисперсии Модели дисперсии рассматривались ранее ((3.37), (3.78), табл. 3.3); впервые они были предложены Г. Тейлором [78,79] и продолжают широко применяться при моделировании процессов массопереноса в химической технологии [132,133] и в рудничной аэрологии [22,23,27,62]. Коэффициенты дисперсии на 2 и более порядков превышают коэффициенты поперечной турбулентной диффузии D у [23]. Коэффициент дисперсии Dх имеет смысл эффективного коэффициента турбулентной диффузии, суммарно учитывающего перемешивание примеси в сдвиговом потоке за счет неоднородности его поля скоростей и продольную турбулентную диффузию. Он определяется формулой, содержащей поперечный профиль скорости, коэффициент поперечной турбулентной диффузии и геометрические параметры выработки [23,79]. Методы определения коэффициентов дисперсии по данным экспериментов на моделях горных выработок и в шахтных условиях аналогичны используемым при нахождении коэффициентов поперечной турбулентной диффузии [21÷23,27,62,74]. Экспериментально для горных выработок найдено (при u = 0,08÷5,6 м/с): D = 2,4÷47,1 м2/с [23]. Следуя Г. Тейлору х

[23,62,78,79], формулы для Dх при массопереносе в трубах получали в виде:

Dх = K1R0u* = K 2ud λ , K 2 = 0,1767 K1, (3.232) где K1 = const; d = 2 R0 ; R0 – радиус трубы; u* – динамическая скорость; λ – коэффициент гидравлического сопротивления. Экспериментально определяемые параметры K1 у разных исследователей были существенно различными: K1 = 10,1, K1 = 0,113, K1 = 13,0, K1 = 500 – соответственно по Г. Тейло-

ру, Т. Шервуду, Р. Гловеру, К. Иочокура [23]. Для выработок калийных рудни4

ков (при α ⋅ 10 = 8,0 ) предложена формула [146,154]:

Dх = 4,9ud .

(3.233)

По измерениям в экспериментальной штольне ВНИИГД (при u = 0,33÷3,0 м/с) найдено [62]: Dх = 20,5ud α , (3.234) а для малых (С = 0,3÷1,0%) концентраций СО2 [147]:

210

Dх = 4,43(ud ) 2 / 3.

(3.235)

В случае массопереноса токсичных газов-продуктов взрывания ВВ [105]:

Dх = Ψ (α)ud ,

(3.236)

или, после обработки опытных данных методом размерностей [148]:

Dх = 11003 (αν / ρ) Su 2 .

(3.237)

Для глубин разработки Н ≤ 1200 м эта формула была упрощена: 3

Dх ≅ 22 αSu 2 .

(3.238)

Обработкой методом размерностей данных экспериментов на аэромодели, с последующим пересчетом на условия выработок сланцевых шахт, было получено [23]:

Dх = 1684 u* S Re − 0,285 .

(3.239)

s

Анализ [23,27,62,74] показал, что лучшее согласование между собой и с шахтными экспериментами имеют формулы (3,235), (3,237), (3,239). Они используются в большинстве математических моделей массопереноса в горных выработках [55,62,74,103,111,121]. Ранее описанным методом эти формулы приводятся к единому виду:

10−3 Dxi ~ θxi = = Фi (Re, α), ud

i = 1,3,

(3.240)

где индекс "i" соответствует порядку их следования в тексте, а функции ~ Фi (Re, α) выражаются формулами:

~ ~ Ф1 = 2,59 Re − 0,215 α ; Ф 2 = 3,43 Re − 0, 208 ( α )1/ 3 α ; ~ Ф3 = 4,41 Re − 0,285 α .

(3.241)

Перенос активных примесей (нагретые выхлопные газы автомобильного двигателя) изучался в [97]. Коэффициент дисперсии для стратифицированного потока Dх, s выражался через "обычный" коэффициент дисперсии:

Dх, s = 23,8 Dх ( S x / ε)0,3 ,

(3.242)

где S x – параметр стратификации; ε – средняя скорость диссипации энергии турбулентности на единицу массы газа. Подстановка соответствующих формул 0,3

в (3.242) приводит последнюю к виду, аналогичному (3.229) с ω(С ) ~ С . Для выработок сложных форм (извилистые выработки, выработки с поворотом и с двусторонними шейками) моделирование на аэромодели показало

211

увеличение их коэффициентов дисперсии Dхсл соответственно в 1,02÷1,84, в 1,67÷1,97, в 1,35÷1,52 раза [23]. При этом отношение Dхсл / Dх с ростом числа Re уменьшалось, становясь для "извилистой" выработки равным 1,02 при lg Re = 5,2.

§34. Коэффициенты поглощения Убывание концентрации примеси в движущемся по выработке потоке может быть связано с физико-химическими процессами (химические реакции, радиоактивный распад, сорбция примеси парами воды и аэрозолями в потоке, сорбция на стенках выработки и др.). Эти сложные, малоизученные процессы при построении математических моделей массопереноса учитывают упрощенным способом – введением коэффициента поглощения примеси. В двумерных моделях с этой целью используют и граничные условия III рода на стенке выработки, однородные (3.159) или неоднородные (3.160). Сложный процесс газообмена со стенкой описывается коэффициентом газообмена β (м/с). Этот параметр обычно принимают постоянным, хотя по его смыслу должно быть β = β(С , x, t ) . В потоке убыль (сток) примеси описывается членом (− γC ) в правой части уравнения, где γ – коэффициент объемного поглощения. Часто полагают γ = const, хотя и здесь, как и для β , должна иметь место зависимость γ = γ (С , x, t ) . Параметр γ в одномерных уравнениях массопереноса (в моделях дисперсии) является эффективной величиной, суммарно описывающей убыль примеси и в самом потоке и на стенках выработки (3.147), (3.155). При усреднении двумерного уравнения переноса по площади сечения выработки (при отсутствии объемного поглощения в потоке), в одномерном уравнении появится член ( − γC ) , где γ = 2β / R0 – (3.158), (3.159). В правой части уравне-

ния дисперсии может возникать также член ( − ~ γ C ) , где ~γ не связано с процессами поглощения, а описывает убыль концентрации примеси в потоке за счет разбавления ее чистым воздухом – утечками из воздухопровода или из выработанного пространства (3.157). Для не сильно протяженных выработок считают, что γ = γ (Re,α ), т.е. определяется их аэродинамическими параметрами. Обзор работ, посвященных вычислениям и (или) экспериментальным определениям γ имеется в [23] – работы А.Е. Красноштейна, И.И. Медведева, А.С. Барышева, И.Ф. Ярембаша, К.Ю. Лайгны и др. Коэффициенты газообмена β при запусках в экспериментальную штольню и горную выработку азота и углекислого газа найдены С.П. Грековым и А.Е. Калюсским [62]. В калийных рудниках существена хемосорбция ядовитых технологических газов поверхностью стенок выработок, отбитой рудой, витающей пылью. Перенос примеси к поверхности выработки осуществляется поперечной турбулентной диффузией. Параметр b , описывающий убыль концентрации в потоке посредством введения в краевую часть уравнение переноса (3.155) члена ( −bС ), именует-

212

ся коэффициентом конвективного массообмена [35], являясь, по существу, аналогом коэффициента поглощения γ . Методами гидродинамической теории массообмена было получено [155,157]:

b=

8,15 K M α u 1 + 0,2 Re

− 0,125

(Sc − 1)

,

(3.243)

где K M – коэффициент массопередачи; α – коэффициент аэродинамического сопротивления выработки; u – средняя скорость потока; Sc – молекулярное число Шмидта. Обширные исследования (лабораторные и натурные) позволили установить K M для основных калийных пластов. Для поглощения окиси углерода K M = 0,648÷0,727 м/с, окислов азота K M = 0,782÷0,926 м/с, для альдегидов K M = 0,958÷0,990 м/с. Используется также приближенная формула (3.243) (при Sc ≅ 1,0) [146,154]:

b = 8,15 K M α u.

(3.244)

В работах [81,82], также рассматривающих массоперенос в калийных рудниках, используется параметр γ , определенный формулой:

⎛ αu ⎞ γ = 26,08⎜ ⎟, d ⎝ ⎠

d=

4S . П

(3.245)

При построении математической модели очистки горных выработок шахт Донбасса от ядовитых газов – продуктов взрывания ВВ, И.Ф. Ярембаш глубоко проанализировал физико-химические и горно-техническое факторы, влияющие на коэффициент их поглощения [74,105,106,152]. На основании теории размерностей было получено

βϕ u S , (3.246) ν S где β – коэффициент массоотдачи; ϕ – относительная влажность воздуха; S – площадь сечения выработки; u – средняя скорость потока; ν – кинематическая γ=

вязкость воздуха. С другой стороны, на основании полученного аналитического решения краевой задачи массопереноса (3.147) ÷ (3.152) и данных шахтных измерений была решена обратная задача – найдено γ по значениям С ( х, t ). По γ , используя (3.246), определялся β , который затем позволил получить обобщенные формулы, справедливые для широкого диапазона выработок и аэродинамических условий в них:

β = 0,58 ⋅ 10− 4 (u + 0,09),

(3.247)

213

γ = 151 ⋅ 10

1/ 2

⎛ u ⎞ (u + 0,09)ϕ⎜ ⎟ ⎝ S⎠

−4

.

(3.248)

Погрешность расчетов по (3.248) относительно экспериментальных значений γ не превышала ±10% (в среднем) [74]. В различных условиях горных выработок − 4 −1

Донбасса параметр γ изменялся в диапазоне γ = (15,0 ÷ 85,7) ⋅ 10 c . В сланцевых шахтах К.Ю. Лайгна также раздельно определялись коэффициент массопередачи β (использовался термин "коэффициент внешнего массообмена") и коэффициент поглощения γ (именовавшийся коэффициентом внутреннего массообмена) [23]. Гидродинамическая теория массообмена [157] привела к формуле

β=

9,78mα u 1 + 0,2 Re

− 0,125

(Sc− 1)

,

(3.249)

аналогичной (3.243), в которой m – коэффициент массопроводности. Параметр γ определялся, как и в [74], методом обратной задачи. Окончательно получено [23,153]:

γ = 5,886

Dх Re − 0,769 , S

(3.250)

где Dх определен по (3.239). После преобразований, (3.250) приводится к виду:

104 γ =

170 α

, Re0,054 d

α=

α . α0

(3.251)

При d = 2,5 м, α = 1,0, Re = 105 из (3.251) следует γ ≅ 0,0038, что согласуется с полученным для близких условий экспериментальным значением γ = 0,0033 [105].

Глава 13. Парадигма моделирования массопереноса в выработках §35. Системы Рассмотрим связь моделируемых объектов (горных выработок различного назначения и формы) и систем. Как следует из предшествующего, таких систем имеется два вида: турбулентные свободные и ограниченные потоки. Свободные потоки (струи), действующие в зонах смешения подготовительных выработок и в камерообразных выработках, характеризуются интегрально (и приближенно) коэффициентом турбулентной диффузии струи KT (по В.Н. Воронину – [1]).

214

Ограниченные турбулентные потоки подразделяются на потоки с постоянным и переменным расходом, что и определяет специфику математических моделей массопереноса этими потоками. В таблице 3.6 представлены объекты и системы и указаны номера формул – уравнений соответствующих моделей. Характеризуя рассмотренные системы с точки зрения их однородности или неоднородности, заметим, по аналогии с Гл.8, что вентиляционная ветвь (т.е. цепь выработок различной длины, площадей сечений, аэродинамических сопротивлений и других параметров) может быть названа слоистонеоднородной (если в каждой из выработок ее параметры изменяются вдоль ее длины) или слоистой ветвью (или ветвью с кусочно-постоянными параметрами). Среди рассмотренных моделей массопереноса встречались случаи неоднородных выработок, в которых расходы и скорости воздушного потока изменялись по длине: Q = Q ( x ), ϑ = ϑ( x). Поскольку Q ( x) = S ( x)ϑ( x), то можно полагать, что случай изменения сечения выработки по ее длине S = S (x) является частным случаем изменения расхода Q = Q(x). Однако случаи явного введения в уравнения переноса S = S (x) и решения соответствующих задач, в литературе не встречаются. Аналоги систем с подвижными границами (см. Гл.8) для выработок отсутствуют, хотя встречаются случаи с подвижными источниками примеси (3.155). Встречаются также нестационарные системы – с параметрами, изменяющимися со временем. При переходных аэрогазодинамических процессах изменяется во времени расход воздушного потока, а, следовательно, и его скорость, коэффициенты турбулентной диффузии и поглощения. Другой причиной таких изменений может быть изменение площади сечения выработок со временем − S = S (t ) − обусловленное деформациями горного массива и крепей (аэродинамическое "старение" выработок – см. §24). При моделировании процессов массопереноса в технологических (штатных) режимах, когда характерные времена процессов (производственных циклов, регулирования вентиляции и др.) составляют десятки минут, динамика S = S (t ) вряд ли существенна, в силу медленности процессов ползучести горного массива. Однако в аварийных режимах (внезапные выбросы и поднятия почвы, обрушения, подземные пожары и др.), в силу быстрого изменения функции S (t ) (в одних случаях) или увеличения характерных времени процессов массопереноса (в других случаях), учет в математической модели массопереноса зависимости S = S (t ) становится необходимым. Работы такого вида нам неизвестны. Анизотропия массопереноса в выработках, в отличие от массива, наличествует всегда, поскольку в направлении движения потока действуют два механизма – конвективный перенос и турбулентная диффузия, а в плоскости сечения выработки (нормально к потоку) – только турбулентный перенос. Для активных примесей несколько сложнее эти механизмы, но в целом массоперенос их "еще анизотропнее", т.к. коэффициенты турбулентной диффузии по высоте выработки ( DТ ,z ) и по ширине ( DТ , у ) существенно отличны: DТ , z ≠ DТ , у .

215

В меньшей степени, но все же имеется анизотропия по осям z и y и для пассивных примесей, т.к. не симметрично поле скоростей потока и отличны величины турбулентных пульсаций в этих направлениях. Для активных примесей, кроме того, характерна асимметрия: перенос примеси по вертикали не только отличен от такового по горизонтали, но и зависит от направления переноса в вертикальном направлении (для "всплывающих" примесей перенос к кровле превалирует над переносом в сторону почвы). Заметим, что это обстоятельство в известной нам литературе ранее не отмечалось. Наиболее общий вид уравнения переноса, с точки зрения сказанного, это уравнение (3.73). Таблица 3.6 Системы и объекты Системы и объекты

Модели пере- Модели носа импульса реноса

массопе-

1 2 3 I. Свободные турбулентные потоки (струи) — (3.96),(3.97), Зона смешения подготовительной выработки (3.100) — (3.105),(3.108), Камерообразная выработка (3.110),(3.112) II. Ограниченные турбулентные потоки с постоянным расходом Штреко-квершлагообразные выработки (3.29),(3.32) — (представленные круговым цилиндром) Прямоугольные выработки с ассиметричным (3.35),(3.36), — профилем скорости (3.37) Прямоугольная и цилиндрическая выработ- (3.40),(3.41) (3.131), (3.132), ки с симметричным профилем скоростей (3.208), (3.209) Выработка произвольной формы (приведен(3.77),Табл. 3.3, ная к эквивалентной цилиндрической) с по— (3.102), (3.110), током стержневого профиля скорости (мо(3.145) дель дисперсии) То же, при поглощении примеси в выработ(3.79),(3.82), ке и для цепи выработок (ветви) с различ— (3.83) ными и постоянными параметрами Выработка без утечек (притечек) воздуха с (3.101),(3.129), потоком, имеющим неоднородный профиль — (3.131),(3.144) скорости Очистная выработка (лава) с метановыделением из пласта или из выработанного пространства

216

—

(3.125),(3.133)

Продолжение табл. 3.6 2 3

1 Вентиляционный штрек с метановыделением из выработанного пространства (малым, — (3.136) по сравнению с расходом воздуха в штреке) Подготовительная выработка, разгазируемая после взрывных работ с поглощением ядо— (3.147) витых газов стенками Выработка, содержащая слоевое скопление (3.176),(3.84), метана; выработки, в которых происходит — (3.88), (3.91) газоперенос активной примеси Выработка с газопереносом примеси, активно взаимодействующей со стенками (физи— (3.185),(3.186) ко-химические взаимодействия) III. Ограниченные турбулентные потоки с переменным расходом Вентиляционный и откаточный штреки с (3.44)÷(3.46) (3.71),(3.73) утечками (притечками) воздуха в вырабо(3.49),(3.50) танное пространство Параллельные горные выработки с утечками воздуха через разделяющие их перемычки и (3.47),(3.48) — сбойки в них Участковые выработки (воздухоподающая, (3.121),(3.122), очистная, вентиляционная) при переходных (3.49),(3.55) (3.127),(3.130), аэрогазодинамических режимах (3.182),(3.184) Перфорированный воздухоподающий (наг(3.56) — нетательный) воздухопровод Горная выработка с интенсивно протекающим в ней аэродинамическим процессом (3.61),(3.167) (3.118) (взрыв, выброс, обрушение) Камерообразная выработка с подвижным — (3.155) источником примеси Подготовительная горная выработка с нагнетательным воздухопроводом (с утечками (3.157) — из него) и периодическими источниками газовыделения

§36. Процессы Рассматривались следующие процессы массопереноса по выработкам: турбулентное перемешивание (в струях), конвективно-диффузионный перенос (сочетание конвективного переноса с турбулентной диффузией), конвективный перенос (модель идеального вытеснения), дисперсия (одномерный массоперенос при стержневом профиле скоростей потока и эффективном коэффициенте турбулентной диффузии – коэффициенте дисперсии). Для каждого из видов пе217

реноса существуют два вида примесей – пассивные и активные. Модели переноса активных примесей существенно сложнее: скорости потоков и коэффициенты турбулентной диффузии заменяются некоторыми "эффективными" величинами, зависящими от концентрации примеси, что приводит к нелинейности уравнений переноса. Разделение процессов переноса на технологические (штатные) и аварийные (см. Гл.11) имело формальный характер: при некоторых отличиях моделей переноса импульса (аэромеханических процессов), модели массопереноса в этих случаях были идентичны. Нет также существенных отличий в моделях газо- и пылепереноса. Взаимосвязанные процессы массопереноса (конвективный перенос в сочетании с турбулентной диффузией к таковым не относим) в известной литературе исчерпываются сочетанием массопереноса с физико-химическими превращениями примесей в потоке и на стенках выработки. В большинстве моделей применяется раздельное решение задач аэромеханики и переноса, т.е. предвычисление поля скоростей. Модели взаимосвязанного тепло- и массопереноса будут рассмотрены в последующих главах, посвященных процессом теплопереноса в горных массивах и выработках.

§37. Модели Изложенное в начале §22 в полной мере относится и к моделям массопереноса в горных выработках. Аэромеханические модели рассмотрены в §31. Из них наибольший интерес, с точки зрения дальнейшего развития и адаптации к условиям в горных выработках, представляет модель А.А. Скочинского – В.Н. Воронина [1], хорошо согласующаяся с другими. В частности автор [158] также принял гипотезу о пропорциональности коэффициента турбулентной вязкости скорости потока в трубах, что позволило получить решение уравнений Рейнольдса в близком к [1] виде:

V (r ) = 1,5V 1 − (r / R0 ) 2 ,

(3.252)

где V – средняя по сечению трубы скорость; R0 – радиус трубы. Из (3.252)

для коэффициента структуры профиля скоростей следует: Ψ = V0 / V = 1,50, а −4

из формулы В.Н. Воронина (3.27) при α = 16 ⋅ 10 − Ψ = 1,48. Аэромеханические модели аварийных процессов рассматривались ранее в связи с моделями массопереноса. Известны аналитические и эмпирические методы расчета возникающих в аварийных ситуациях ударных волн [122,159], тепловых депрессий [5,160], быстро изменяющихся расходов и депрессий [51,115]. Моделирование суфлярного газовыделения возможно методами термодинамики и гидравлики [161]. Найденные параметры (расходы, скорости потоков) используются в моделях массопереноса (в "распре-деленных" [22,23,62,162]) и в "точечных" моделях [1,2,55,163]). Получение аэродинамиче-

218

ских параметров в аналитической форме часто затруднено из-за использования при решении задач переноса импульса конечно-разностных [40,41] и аналоговых [51,115] методов. Интенсивные аэромеханические процессы при авариях (взрывах, выбросах, обрушениях) описываются системами уравнений (3.61), (3.67). Система (3.61) является более общей, т.к. содержит во втором уравнении член G0′ i H i , описывающий влияние утечек воздуха из выработки. Преобразуем (3.61). Первое из уравнений этой системы почленно продифференцируем по t и умножим на C0i . Второе уравнение дифференцируем по x и затем исключаем из полу2

ченной системы член C0i ∂ H i / ∂x∂t . В результате находим уравнение

∂ 2Qi ∂Qi ∂ 2Qi − γ iQi ; τ ri = ( R0′ i / L0i + G0′ i / C0i ) −1; + τri 2 = ai 2 ∂t ∂x ∂t

ai = ( R0′ i C0i + G0′ i L0i ) −1; γ i = (C0i / G0′ i + L0i / R0′ i ) −1.

(3.253)

При G0′ i = 0, γ i = 0 и (3.253) переходит в гиперболическое уравнение теплопроводности (или – "телеграфное" уравнение) [52]. Аналогичным описанному 2

преобразованием, исключая член ∂ Qi / ∂x∂t , найдем:

∂2Hi ∂H i ∂2Hi + τri − γi Hi , = ai 2 2 ∂t ∂t ∂x

(3.254)

где все параметры совпадают с таковыми в (3.253). Преобразование системы (3.61) в два независимых уравнения относительно Qi ( x, t ) и H i ( x, t ) − (3.253) и (3.254), позволяет найти аналитические решения, с последующим использованием их в задачах массопереноса. Прямые и обратные задачи массопереноса в горных выработках представлены двумя неравными группами: обратных задач (в основном – инверсных) мало. Решение их осуществлено, как правило, подбором таких значений искомых параметров массопереноса, которые минимизируют среднеквадратичное отклонение расчетных и измеренных полевых величин [23,40,62,74, 103,106,156]. Работы общего характера, содержащие классификацию, строгую постановку и методы решения различных обратных задач массопереноса по горным выработкам, нам неизвестны. Размерность и форма моделируемых систем. Горные выработки различного назначения представляются, как правило, круговым цилиндром с эквивалентным диаметром, определяемым по (3.19). При этом модели массопереноса с постоянным расходом потока формулируются как одномерные (модели дисперсии) и двумерные, в которых концентрация изменяется вдоль выработки и по ее сечению. В моделях массопереноса с переменным расходом воздуха,

219

когда компоненты скорости изменяются и по сечению потока и вдоль него (u x = u x (r , x), ur = ur (r , x) ) , обычно прибегают к приближениям, наиболее распространенным из которых является усреднение всех величин по площади сечения потока. Таковы модели (3.121), (3.122), (3.127), где притечки (утечки) через стенки выработки ( r = R0 ) включены в уравнение переноса. Иногда учет притечек осуществляется членом уравнения, аналогичным описывающему линейное поглощение примеси в потоке ( − ~ γ C ) , при постоянной скорости потока (3.157). Потоки с переменным расходом встречаются часто в моделях химикотехнологических процессов, исследуемых приближенными методами [164,165]. Характерный пример − модель массопереноса при вдуве (притечках) через стенки трубы [164]:

∂С ∂C ∂C D ∂ ⎛ ∂C ⎞ + ux + ur = ⎜r ⎟, x > 0, ∂t ∂x ∂r r ∂r ⎝ ∂r ⎠ u x = u x ( x, r ); ur = ur (r ); C = C ( x, r , t ).

t > 0;

(3.255)

предполагает задание функций u x и ur весьма специфического вида, не характерного для притечек в горных выработках. Встречаются модели, в которых выработка представлена прямоугольным каналом, в сечении которого оси Oу и Oz , а вдоль выработки – ось Ox . Задачи массопереноса формулируются как двумерные (С = С ( x, z , t ) ) и трехмер-

ные (С = С ( x, y, z , t ) ) . В этих случаях тоже часто прибегают к усреднению по одной (у) координате, либо по двум (по y и z ). Стационарные и нестационарные краевые задачи среди рассмотренных моделей массопереноса представлены почти равновеликими группами. Стационарные задачи характерны при моделировании технологических процессов, переноса активных примесей, слоевых загазирований выработок. Нестационарными моделируют переходные и аварийные газодинамические процессы. Моделируемые системы в большинстве случаев стационарны, т.е. параметры переноса со временем не меняются. Имеются и нестационарные системы, моделируемые уравнениями с переменными во времени параметрами (расходом потока, его средней скоростью, дебитом притечек в выработку (3.121), (3.127)). При аварийном массопереносе, с изменением во времени скорости потока, изменяется и коэффициент дисперсии – (3.168). Такие задачи обычно решают, выражая коэффициент дисперсии через скорость, и вводя, интегральной подстановкой, "эффективное" время вместо реального. Ординарные и неординарные задачи конвективно-диффузионного массопереноса представлены двумя различными группами. Ординарные задачи составляют подавляющее большинство (с учетом "предрасчета" поля скоростей). Неординарные задачи, в которых имеется две или более взаимосвязанных искомых функций, встречаются при моделировании массопереноса, осложненного физико-химическими процессами. Примером такой неор-

220

динарной задачи, в которой определяются три неизвестных функции, является (3.185). Матмодель представляет собой систему трех уравнений переноса, одно из которых – нелинейное. Аналогичная (3.185), но линейная задача решалась преобразованием Лапласа [166]. Стационарная диффузия радиоактивной примеси в заполненном неподвижным газом канале с сорбирующими стенками рассмотрена в [167]. Неординарная задача в этом случае является сопряженной: уравнение переноса в канале и в стенке решаются совместно с учетом "склейки" полей концентраций и потоков массы на стенке канала. Распространенным способом упрощения неординарных задач массопереноса является приближенное описание химической реакции линейным по концентрации членом ( − γС ) , но, в отличие от (3.147) и аналогичных, при использовании двумерного уравнения с заданным профилем скорости вместо уравнения дисперсии [168]. Граничные условия в одномерных уравнениях массопереноса (дисперсии) задаются обычно в виде условий I рода. Для двух- и трехмерных задач задаются условия на стенках выработки (условия газообмена) – обычно II-го или III-го рода. На сочленении (сопряжении) двух и более выработок задаются граничные условия IV рода. Особая специфика в задании граничных условий краевых задач массопереноса по горным выработкам не проявляется [169], за исключением отдельных курьезных случаев. Встречаются работы, в которых в конце выработки конечной длины ( x ∈ (0, L) ) задается граничное условие I-го рода, т.е. "назначается" некоторая функция ϕ(t ) = C ( L, t ). Поскольку цепь выработок не ограничивается координатой x = L, то концентрация в этой точке определяется ее значениями "выше по потоку", т.е. граничным условиям при x = 0 и процессом массопереноса на участке x < L и не может быть известна априорно, до решения задачи [170]. Начальные условия в задачах массопереноса по выработкам формулируются в соответствии с моделируемым технологическим или аварийным процессом. В большинстве моделей задается постоянная начальная концентрация по всей длине выработки С ( x,0) = C0 = const, x > 0. Однако встречаются случаи, когда начальная концентрация задается как результат процессов, проходивших в предшествующий период времени. Используются также и простейшие обобщенные функции: θ − функция Хэвисайда, комбинации их (импульсные функции), δ − функции Дирака [171]. Однородные и неоднородные уравнения, используемые в моделях массопереноса, не являются средством разделения этих моделей на независимые группы. Источники примеси в горной выработке, будь они сосредоточенные или распределенные, могут быть представлены в неоднородных моделях посредством граничных условий II-го или III-го рода на стенках выработки. В одномерных моделях источники примеси включаются в правую часть уравнения в виде функции источников J ( x, t ) ((3.71), (3.77), (3.82) и др.). Принципиальных отличий в методах решения однородных и неоднородных уравнений нет, хотя связано это с использованием функций J ( x, t ) простейшего вида.

221

Обобщенное уравнение массопереноса, содержащее все частные случаи, должно описывать стационарный и нестационарный, одно- и многомерный, линейный и нелинейный перенос примесей ограниченным турбулентным потоком с переменным расходом. Поскольку стационарные уравнения следуют из нестационарных при ∂С / ∂t = 0, а неоднородные следуют из однородных после добавки в правую часть члена J ( x, t ) , эти градации в таблицу 3.7, характеризующую структуру рассмотренных моделей массопереноса, не включаем.

Таблица 3.7 Частные уравнения массопереноса

1. Поток с постоянным расходом 1.1. Линейные 1.2. Нелинейные уравнения уравнения 1.1.1. 1.1.2. 1.2.1. 1.2.2. ОдноМного- ОдноМногомерные мерные мерные мерные (3.77), (3.101), Табл.3.3, (3.102), (3.110), (3.112), (3.133), (3.131), (3.136), (3.132), (3.84), (3.137), (3.144), (3.185) (3.88), (3.145), (3.157), (3.186) (3.91), (3.147), (3.158), (3.129), (3.155), (3.176), (3.164) (3.204) (3.180), (3.199), (3.208)

2. Поток с переменные расходом 2.1. Линейные 2.2. Нелинейные уравнения уравнения 2.1.1. 2.1.2. 2.2.1. 2.2.2. ОдноМного- ОдноМногомерные мерные мерные мерные (3.82) (3.83), (3.121), (3.122), (3.127), (3.168), (3.182), (3.184)

(3.71), (3.73)

(3.174)

(3.128), (3.130)

Из таблицы 3.7 следует, что наиболее общими уравнениями являются (3.128) и (3.130), из которых, при соответствующих упрощающих предположениях, можно получить все уравнения, расположенные в таблице влево от 2.2.2 и не содержащие член, описывающий поглощение примеси либо разбавление её концентрации притечками. Если же этот член, который для общности возьмём в многомерном виде (3.122), подставить, наряду с функцией плотности источников примеси, в (3.130), то получим:

∂С ∂ + div(Cu ) + γ ( M , t )C = ∂t ∂xi

⎡ ∂C ⎤ ⎢ Di (C ) ∂x ⎥ + J ( M , t ), ⎣ i⎦

(3.256)

где C = C ( M , t ), M = M ( xi ), xi = ( x, y, z ), u = u ( M , t ) и использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу. Уравнение (3.256) и является искомым обобщенным уравнением массопереноса. В уравнении (3.256) предполагается неизменность площади сечения выработки по ее длине и со 222

временем. Соответствующие обобщения уравнения (3.256) представляют собой задачи дальнейших исследований – развития парадигмы массопереноса в горных выработках. Методы решения краевых задач массопереноса ранее уже были охарактеризованы. Аналитические методы решения линейных и нелинейных (после их линеаризации) задач практически исчерпываются преобразованием Лапласа по t и сведением к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

§38. Развитие парадигмы Развитие парадигмы массопереноса, как это следует из предыдущего, осуществляется по четырем группам, объединяющим 7 направлений (Рис. 3.1). Задачи развития парадигмы моделирования массопереноса в горных выработках, в соответствии с изложенным, данными табл. 7 и согласно Рис. 3.1, таковы. По первому направлению 1. Разработка базисной аэромеханической модели потока с постоянным расходом для выработок круглого и прямоугольного сечений, допускающей надежную идентификацию ее параметров по шахтным замерам. 2. На основе этой модели найти выражения для коэффициента турбулентной кинематической вязкости, турбулентных чисел Шмидта и Прандтля, связывающие их с аэродинамическими параметрами выработок и числами Re потока. 3. Разработать модели профилей скоростей для выработок большого сечения (камер, тоннелей), с двумя и более со- и противонаправленными воздушными потоками. По второму направлению 4. Разработка моделей потоков с переменным по длине выработки расходом для произвольно распределенных по длине дебитов притечек и утечек воздуха. 5. Обобщение этих моделей на случай переменной по длине выработки площади её сечения. 6. Обобщение моделей на случай переменной во времени площади сечения выработки. По третьему направлению 7. Разработка обобщенной модели дисперсии примеси при её переменном вдоль выработки и по времени поглощении. 8. Обобщить эту модель на случай переменного расхода воздуха. 9. Разработать модель многомерного анизотропного нестационарного массопереноса для неоднородной выработки (с переменными по ее длине площадью сечения и другими параметрами).

223

Рис. 3.1. Схема развития парадигмы По четвертому направлению 10. Разработать модель многомерного анизотропного массопереноса в нестационарной системе (в выработке с изменяющейся во времени площадью сечения). 11. Обобщить эту модель на неоднородную выработку. 12. Обобщить модель на случай переменного расхода воздуха. По пятому направлению 13. Разработать модель стационарного, многомерного, анизотропного, нелинейного массопереноса по выработкам. 14. Обобщить эту модель на нестационарный случай. 15. Обобщить модели на случай неоднородной выработки. 16. Обобщить модели на случай нестационарной системы. По шестому направлению 17. Обобщить модели 13÷16 на случай переменного по длине выработки расхода воздуха. 18. Обобщить эти модели на случай переменного во времени расхода воздуха. 19. Построить модель стационарного, трехмерного асимметричного массопереноса. 20. Обобщить предыдущее на случай переменного по длине расхода воздуха. 21. Обобщить предыдущее на нестационарный случай. 224

По седьмому направлению 22. Осуществить классификацию и типизацию обратных задач массопереноса. 23. Проанализировать известные методы решения обратных задач массопереноса. 24. Разработать метод решения инверсных (коэффициентных) обратных задач массопереноса. 25. Сформулировать основные обратные задачи других типов.

Литература к части 3 1. Воронин В.Н. Основы рудничной аэро-газодинамики. – М.-Л.: Углетехиздат, 1951. – 491 с. 2. Ушаков К.З., Бурчаков А.С., Медведев И.И. Рудничная аэрология. – М.: Недра, 1978. – 440 с. 3. Справочник по рудничной вентиляции./Под ред. К.З. Ушакова. – М.: Недра, 1977. – 328 с. 4. Руководство по проектированию вентиляции угольных шахт. /Под общ. ред. М.А. Патрушева. – М.: Недра, 1975. – 238 с. 5. Медведев Б.И., Гущин А.М., Лобов В.Л. Естественная тяга глубоких шахт. – М.: Недра, 1985. – 77 с. 6. Кошелев К.В., Долженко В.И., Осауленко И.Е. и др. Крепление капитальных горных выработок глубоких шахт. – М.: Госгортехиздат, 1963. – 76 с. 7. Жданкин Н.А., Колоколов С.Б. О рациональной форме породного обнажения в подземных выработках. – ФТПРПИ, 1989, № 3, с. 66-71. 8. Борисов А.А., Матанцев В.И., Овчаренко Б.П., Воскобоев Ф.Н. Управление горным давлением. – М.: Недра, 1983. – 168 с. 9. Божко В.Л., Попов И.Н., Касимов О.И. Аэродинамическое сопротивление неподдерживаемых выработок. – В кн.: Борьба с газом, пылью и выбросами в угольных шахтах. Вып. 11./Сб. научных трудов. – Макеевка-Донбасс: Издво МакНИИ, 1975, с. 43-47. 10. Кучер В.М., Кушнеров И.П. Деформирование пород кровли очистной выработки во времени. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1980, № 9, с. 16-17. 11. Заславский Ю.З., Лопухин Е.А. и др. Инъекционное упрочнение горных пород. – М.: Недра, 1984. – 176 с. 12. Скопинцева О.В. Аэродинамическое старение горных выработок как фактор, определяющий надежность шахтных вентиляционных сетей. – Автореф…к.т.н. – М.: Изд-во МГИ, 1989. – 16 с. 13. Зборщик М.П., Подкопаев С.В. Прогнозирование потерь площади сечения штреков при отработке тонких крутых пластов. – Уголь Украины, 1993, № 3, с. 5-7. 14. Грядущий Б.А. Исследование опасностей в угольных шахтах, разработка и реализация способов снижения их негативного воздействия.//Научн. доклад по совокупности печатных трудов на соиск. учен. степени д.т.н. – Днепропетровск: Горная Академия Украины, 1995. – 73 с.

225

15. Морев А.М., Скляров Л.А. и др. Внезапные разрушения почвы и прорывы метана в выработки угольных шахт. – М.: Недра, 1992. – 174 с. 16. Абрамов Ф.А. Рудничная аэрогазодинамика. – М.: Недра, 1972. – 356 с. 17. Скочинский А.А., Комаров В.Б. Рудничная вентиляция. – М.: Углетехиздат, 1959. – 632 с. 18. Шашмурин Ю.А. Фильтрационные утечки рудничного воздуха. – Л.: Наука Л.О., 1970. – 130 с. 19. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1982. – 224 с. 20. Кашибадзе В.В. Аэродинамическое сопротивление горных выработок. – М.: Недра, 1983. – 152 с. 21. Ушаков К.З. Аэромеханика вентиляционных потоков в горных выработках. – М.: Недра, 1975. – 167 с. 22. Лайгна К.Ю. Математическое моделирование диффузионных процессов вентиляции штреко- и камерообразных выработок, т. 1. – Таллин: Изд-во ВЦ НИИС ГОССТРОЯ ЭССР, 1979. – 231 с. 23. Лайгна К.Ю. Расчет конвективно-диффузионного переноса газообразных примесей в горных выработках сланцевых шахт ЭССР. – Таллин: Валгус, 1982. – 156 с. 24. Чарный А.И. Основы газовой динамики. – М.: Гостоптехиздат, 1961. – 200 с. 25. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1973. – 848 с. 26. Ибрагимов М.Х., Субботин В.И., Бобков В.П. и др. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена в каналах. – М.: Атом-издат, 1978. – 214 с. 27. Бобров А.И., Аверин Г.В. Теоретические основы переноса импульса, тепла и примеси в горных выработках. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1994. – 270 с. 28. Петрухин П.М., Гродель Г.С., Жиляев Н.И. и др. Борьба с угольной и породной пылью в шахтах. – М.: Недра: 1981. – 271 с. 29. Бобров А.И. Борьба с местными скоплениями метана в угольных шахтах. – М.: Недра, 1988. – 148 с. 30. Колмаков В.А. Метановыделение и борьба с ним в шахтах. – М.: Недра, 1981. – 134 с. 31. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирования температурных условий в угольных шахтах. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1979. – 196 с. 32. Мостепанов Ю.Б., Веденин А.Н. Вентиляция при строительстве подземных сооружений. – Л.: Стройиздат, Л.О., 1988. – 135 с. 33. Клишкань А.Ф. Исследование метановыделения и разработка метода расчета проветривания подготовительных выработок шахт Донбасса при взрывном способе выемки угля. – Дисс….к.т.н. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1968. – 130 с.

226

34. Печук С.Э. Исследование аэродинамики и разработка методов повышения эффективности проветривания призабойного пространства подготовительных выработок. – Дисс….к.т.н. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1985. – 143 с. 35. Wesеly R. Airflow at Heating faces With Foreign anxilianу Ventilation/ − Paperе presented at the Third international mine ventilation congress, held in Harragаte, England, from 13 to 19 June, 1984, p. 73-82. 36. Лайгна К.Ю., Поттер Э.А. Турбулентное струйное течение воздуха в сквозных выработках. – ФТПРПИ, 1989, № 3, с. 91-101. 37. Глузберг Е.И., Гращенков Н.Ф., Шалаев В.С. Комплексная профилактика газовой и пожарной опасности в угольных шахтах. – М.: Недра, 1988. – 181 с. 38. Попов В.Б. Об аэродинамике выработанного пространства при отработке угольного пласта. – ФТПРПИ, 1990, № 6, с. 77-80. 39. Калюсский А.Е., Горб В.Ю. Изменение концентрации азота в откаточном штреке при запуске в изолированный участок. – В кн.: Горноспасательное дело, 1971, вып. 4. /Сб. научных трудов. – Донецк: Изд-во ВНИИГД, 1971, с. 99-101. 40. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование динамических процессов рудничной аэрологии. – Киев: Наукова думка, 1981. – 284 с. 41. Святный В.А. Моделирование аэродинамических процессов и разработка систем управления проветриванием угольных шахт. – Автореф….д.т.н. – М.: МГИ, 1986. – 33 с. 42. Талиев В.Н. Аэродинамика вентиляции. – М.: Стройиздат, 1979. – 296 с. 43. Клебанов Ф.С., Невский А.В., Цырульников М.М. О расчете трубопроводов с переменным расходом воздуха. – Уголь Украины, 1975, № 2, с. 41-42. 44. Клебанов Ф.С. Расчет воздухопроводов с квадратичным законом утечек. – В кн.: Вопросы аэрологии и борьбы с пылью на угольных шахтах и разрезах./Научн. сообщ. ИГД им. А.А. Скочинского, 1978, вып. 170, с. 38-47. 45. Пак В.В., Верещагин В.П. К аэродинамическому расчету неплотных воздухопроводов большой протяженности. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1969, № 4, с. 78-83. 46. Пак В.В. Расчет шахтных воздухопроводов с распределенными и сосредоточенными утечками. – Уголь Украины, 1975, № 5, с. 30-31. 47. Медведев Б.И. К расчету неплотных воздухопроводов с оттоком воздуха. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 62./Респ. межвед. научно-техн. сб.-к – Киев: Техніка, 1982, с. 3-9. 48. Медведев Б.И. Способы улучшения проветривания и теплового режима тупиковых выработок большой длины. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 74./Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1986, с. 3-9. 49. Кондрацкий В.Л., Сухоруков В.П. Расчет вентиляционных трубопроводов с утечками воздуха. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 62./ Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1982, с.13-19.

227

50. Адоньев Г.А. Расчет перфорированных воздухораспределителей с равномерно распределенными по длине утечками. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 71./ Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1985, с. 8-11. 51. Чернов О.И., Петров Н.Н., Розанцев Е.С. и др. Моделирование возмущений в шахтной вентиляционной сети, возникающих при внезапном выбросе угля и газа. – ФТПРПИ, 1977, № 2, с. 92-97. 52. Лыков А.В. Тепломассообмен /Справочник. – М.: Энергия, 1971. – 560 с. 53. Фролов М.А., Бобров А.И. Суфлярные выделения метана в угольных шахтах. – М.: Недра, 1971. – 160 с. 54. Лепихов А.Г., Фрейдман С.А. Управление метановоздушными потоками на выемочных участках. – ФТПРПИ, 1992, № 5, с. 82-89. 55. Соколов Э.М., Качурин Н.М. Углекислый газ в угольных шахтах. – М.: Недра, 1987. – 142 с. 56. Бобров А.И., Кузьмин Д.В., Иотенко Б.Н. К расчету метановыделения из разрабатываемого пласта на глубине свыше 1000 метров. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1995, с. 41-47. 57. Нечаев А.В. Контроль за технологическими процессами на выбросоопасных пластах по газовыделению в выработку. – В кн.: Прогноз и предотвращение газодинамических явлений в угольных шахтах./Научн. сообщения, вып. 209. – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1982, с. 76-82. 58. Бобров А.И., Агафонов А.В., Недосекин Б.Н. Промышленные испытания способа двухстадийного проведения выработок по особо выбросоопасным угольным пластам. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1995, с. 200-207. 59. Божко В.Л., Греков С.П., Осипов С.Н. Описание процесса выноса метана из тупиковой выработки после ведения взрывных работ. – В кн.: Вопросы безопасности в угольных шахтах./Труды МакНИИ, том XVIII. – М.: Недра, 1968. с. 30-52. 60. Верховский Е.И. Исследование характера газопроявлений при выбросах угля и газа и определение исходных данных для быстродействующей газовой защиты. – Автореф…. к.т.н. – Кемерово: ВостНИИ, 1978. – 17 с. 61. Кашуба О.И., Лошкарев Л.В., Поддубный А.И. Газовый режим на участке при самообрушении больших масс угля. – Уголь Украины, 1978, № 6, с. 9-11. 62. Греков С.П., Калюсский А.Е. Газодинамика инертных сред и разгазирование горных выработок при авариях. – М.: Недра, 1975. – 120 с. 63. Скобунов В.В., Айруни А.Т., Зенкович Л.М. Диффузионные пограничные слои в горных выработках. – ФТПРПИ, 1980, № 1, с. 67-74. 64. Клепиков Б.А., Михайлов В.И., Кузьмин В.Д. и др. Руководство по производству депрессионных и газовых съемок в угольных шахтах. – М.: Недра, 1975. – 64 с.

228

65. Бусыгин К.К., Иотенко Б.Н., Иванов Ю.А. Методика проведения газовых съемок. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1988, с. 35-42. 66. Трофимов Н.А. Измерение средней скорости движения воздуха в выработке. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, № 2, с. 40-41. 67. Бусыгин К.К. Колебания концентраций метана в исходящих вентиляционных струях лав и участков. – В кн.: Вопросы безопасности в угольных шахтах. Труды МакНИИ, т. ХХ. – М.: Недра, 1969, с. 3-12. 68. Касимов О.И., Капиев Р.Э. О точности определения фактического газовыделения на выемочных участках. – Там же (см. [67]), с. 19-32. 69. Тян Р.Б., Лысенко В.Н., Вечеров В.Т. Выбор периода съема информации в системе управления проветриванием шахты с использованием ЭЦВМ. – Уголь Украины, 1974, № 11, с. 17-18. 70. Бусыгин К.К., Иванов Ю.А. Усовершенствование алгоритма срабатывания аппаратуры автоматического контроля концентрации метана. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1986, с. 27-32. 71. Иванов Ю.А. Прогноз стационарной части процесса изменения концентрации метана на выемочных участках. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1988, с. 106-111. 72. Иванов Ю.А. Усовершенствованные способы контроля и управления проветриванием угольных шахт на основе закономерностей процесса изменения концентрации метана. – Автореф….к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1989. – 19 с. 73. Иванов Ю.А., Теличко К.Э. Принципы вероятностного прогноза метановыделения на выемочных участках в автоматизированных системах контроля проветривания. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1995, с. 208-215. 74. Ярембаш И.Ф. Очистка рудничной атмосферы после взрывных работ. – М.: Недра, 1974. – 191 с. 75. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Инлитиздат, 1956. – 528 с. 76. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1970. – 375 с. 77. Петухов Б.С., Поляков А.Ф. Теплообмен при смешанной турбулентной конвенции. – М.: Наука, 1986. – 192 с. 78. Шервуд Т., Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. – М.: Химия, 1982. – 696 с. 79. Taylor G. The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe. – Proc. Roy. Soc. – 1954 – Vol. 233. - № 1155.

229

80. Лайгна К.Ю., Поттер Э.А. О роли турбулентной диффузии и дисперсии при переносе газообразных примесей в шахтных вентиляционных струях и потоках. – ФТПРПИ, 1988, № 2, с. 115-120. 81. Красноштейн А.Е., Файнбург Г.З. Метод расчета стационарного распределения концентрации газообразных примесей в вентиляционной сети произвольной сложности. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. Вып. 5./Межвузовский сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 26-32. 82. Файнбург Г.З. Методы математического моделирования процессов тепломассопереноса в вентиляционных сетях шахт и рудников. – В кн.: Разработка соляных месторождений./ Межвузовский сб-к научн. трудов. – Пермь: Изд-во Пермского госуниверситета, 1978, с. 47-55. 83. Медведев И.И., Барышев А.С., Куприянов В.Д., Казаков А.П. Массоперенос при проветривании горных выработок. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. Аэрогазодинамика горных выработок./Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 6-12. 84. Калюсский А.Е., Греков С.П. Решение уравнения переноса примеси в цилиндрическом канале с учетом зависимости коэффициента диффузии от концентрации и газообмена со стенкой. – ИФЖ, 1974, т. 27, № 6, с. 1076-1080. 85. Клейнер А.А. Математическая модель слоевого загазирования горных выработок метаном. – Депонир. рук. – М.: ЦНИЭИуголь, 1984, деп. № 3074. – 34 с. 86. Клейнер А.А. Разработка методов расчета слоевого загазирования горных выработок и параметров инертизации при ликвидации горения метана. − Автореф….к.т.н. – М.: ИПКОН АН СССР, 1984. – 19 с. 87. Слепцов А.И., Дранный В.А. Исследование процессов массопереноса в горной выработке численными методами. – В кн.: Разработка месторожд. полезных ископ./Респ. межвед. сб-к, вып. 39. – Киев: Техніка, 1975, с. 97-100. 88. Зинченко И.Н. Распределение слоевых скоплений метана в горной выработке. – В кн.: Разработка месторожд. полезных ископ./Респ. межвед. сб-к, вып. 71. – Киев: Техніка, 1985, с. 35-41. 89. Ушаков К.З. О диффузии динамически активных газов в горных выработках. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1960, № 6, с. 72-74. 90. Ушаков К.З. К вопросу о турбулентной диффузии активных примесей. – ИФЖ, 1969, т. 16, № 1, с. 34-37. 91. Ходот В.В. Режим газовыделения из угля при внезапном выбросе. – В кн.: Прогноз и предотвращение газодинамических явлений в угольных шахтах./Научн. сообщ. ИГД им. А.А. Скочинского, вып. 209. – М.: 1982, с. 3-8. 92. Божко В.Л., Клишкань А.Ф. Метановыделение в забои подготовительных выработок при взрывных работах по углю. – В кн.: Вопросы безопасности в угольных шахтах./Труды МакНИИ, т. 18. – М.: Недра, 1968, с. 52-59. 93. Медведев И.И., Григорьев В.Ю. Управление вентиляцией камерообразных выработок большого объема воздушной завесой. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1989, № 5, с. 55-57.

230

94. Лаврик В.Г. Нестационарное движение метановоздушной смеси через последовательно расположенные емкости. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1987, № 2, с. 57-59. 95. Красноштейн А.Е. Научные основы процессов формирования и нормализации аэрозольного и газового состава атмосферы калийных рудников. – Автореф…. д.т.н.. – Л.: ЛГИ, 1977. – 47 с. 96. Лайгна К.Ю., Суллакатко О.А. Распространение примесей в горных выработках шахт и в атмосфере сланцевого бассейна ЭССР. – Таллин: Эстонский НИИ научно-техн. информ. и технико-экономич. исслед., 1984. – 52 с. 97. Лайгна К.Ю., Блюм М.Ф., Виирлайд А.Х. Турбулентная диффузия в стратифицированных потоках подземных выработок. – ФТПРПИ, 1988, № 1, с. 96-98. 98. Лайгна К.Ю. Аналитическое исследование газовоздухообмена в лаве при периодических газовыделениях. – ФТПРПИ, 1978, № 5, с. 79-90. 99. Жаворонков Ю.М. Исследование закономерностей формирования полей концентраций газа в горных выработках. – Автореф….к.т.н. – Кемерово: ВостНИИ, 1973, − 21 с. 100. Поглощение инертных газов в горных выработках./Колл. монография. – Тула-Донецк: Приобское книжн. изд-во, 1969. − 238 с. 101. Греков С.П., Зинченко И.М. Переходные газодинамические процессы в выемочном участке при изменении режимов работы вентиляции и дегазации. – ФТПРПИ, 1975, № 4, с. 91-98. 102. Святный В.А., Ковалев С.А., Ефремов С.С., Медведев В.Н. Вопросы моделирования процессов распространения метана в подготовительных выработках. – В кн.: Разработка месторожд. полезн. ископаемых, вып. 65./Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1983, с. 11-16. 103. Теличко К.Э. Методы автоматизированного анализа аэрогазовой обстановки в выемочных участках угольных шахт с применением вычислительной техники. – Автореф….к.т.н. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1997. – 22 с. 104. Аверин Г.В., Теличко К.Э. О моделировании процессов переноса метана в выработанном пространстве выемочного участка. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1995, с. 215-221. 105. Ярембаш И.Ф., Дашковский Л.Г. Распределение концентрации ядовитых газов в турбулентном потоке при движении их по выработке. – ФТПРПИ, 1969, № 5, с. 88-94. 106. Ярембаш И.Ф., Бахтин В.В., Данилевич С.М. Исследование динамики рассеивания ядовитых газов при взрывных работах в подготовительных выработках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 30. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1972, с. 54-58. 107. Кремлев Н.Д. Метод расчета конвективно-диффузионного массопереноса вредных примесей в вентиляционных сетях. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1978, № 6, с. 74-76.

231

108. Калюсский А.Е., Осипов С.Н., Савенко С.С. Движение инертного газа в горной выработке при постоянном градиенте поглощения. – В кн.: [100], с. 163-166. 109. Осипов С.Н., Савенко С.С., Калюсский А.Е. Движение инертных газов в горной выработке при нестационарном поглощении. – В кн.: [100], с. 166-169. 110. Ольховиченко А.Е., Назаренко В.И., Верховский Е.И. О некоторых общих принципах разработки автоматизированных способов прогноза выбросоопасности угольных пластов. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1985, с. 97-101. 111. Верховский Е.И., Венгеров И.Р. Оценка содержания метана в атмосфере горных выработок после внезапного выброса угля и газа. – В кн.: Борьба с газом, пылью и выбросами в угольных шахтах, вып. 12./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1976, с. 100-102. 112. Богатырев В.Г., Зинченко И.Н., Ковалев Ю.М. Движение метана в выработке после внезапных выбросов. – Уголь Украины, 1977, № 10, с. 42-43. 113. Ольховиченко А.Е., Назаренко В.Н., Новиков Е.Н. Динамика концентрации метана при выбросах угля и газа. – В кн.: Способы и средства безопасного ведения взрывных работ, совершенствование проветривания угольных шахт./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1980, с. 44-51. 114. Кухарев Е.В. Аэродинамика газовоздушного потока в горной выработке. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1979, № 8, с. 61-64. 115. Потемкин В.Я., Кухарев Е.В. Расчет аэродинамических параметров рудничной атмосферы горных выработок при внезапных выбросах. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1980, № 11, с. 36-39. 116. Осипов С.Н., Греков С.П. Решение уравнения переноса при переменной во времени скорости потока. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 18./Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1970, с. 55-58. 117. Волошин Н.Е., Ольховиченко А.Е., Воронин В.А., Верховский Е.И., Сухуров Л.В. Газовыделение в процессе и после выбросов угля и газа. – Безопасность труда в промышленности, 1978, № 4, с. 52-54. 118. Бобров А.И., Волошин В.Г. Слоевые скопления метана в шахтах Донбасса. – Уголь Украины, 1964, № 9, с. 42-44. 119. Греков С.П., Осипов С.Н. О закономерностях изменения наибольшей концентрации метана в реверсивной вентиляционной струе при переходном режиме проветривания. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 4./Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1965, с. 85-91. 120. Греков С.П., Калюсский А.Е. Перемещение примесей с турбулентным потоком по горным выработкам при переменной скорости и расходе потока вдоль выработки. –ФТПРПИ, 1972, № 3, с. 85-89.

232

121. Крупка А.А. Исследование процессов и разработка способов и средств разгазирования тупиковых выработок угольных шахт при ведении горноспасательных работ. – Автореф….к.т.н. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1994. – 17 с. 122. Петров Н.Н., Шишкин М.Ю., Дмитриев В.М., Шадрин В.Ф. Моделирование проблем рудничной аэрологии. – ФТПРПИ, 1992, № 2, с. 92-98. 123. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. – М.: Энергия, 1975. – 211 с. 124. Чумак А.С., Грядущий Б.А., Недавний А.Г. Загазирование шахт Центрального района Донбасса продуктами химических производств. – Уголь Украины, 1991, № 1, с. 31-33. 125. Бондаренко А.В., Беляева Л.С., Колчина А.А. Экспресс-определение стирола в рудничном воздуха с помощью индикаторных трубок. – В кн.: Горноспасательное дело./Сб-к научн. работ. – Донецк: НПО "Респиратор", 1994, с. 115-119. 126. Кукуруза А.П. Техногенное загрязнение шахтного ствола. − Там же, с. 10-15. 127. Греков С.П., Калюсский А.Е., Щербина В.П. Перенос примесей по водообильным горным выработкам при одновременно протекающих химических реакциях. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1989, № 5, с. 47-52. 128. Грядущий Б.А. Опасные факторы подземной добычи угля в технологическом, социальном и экологическом аспектах. – Донецк: Изд-во ЦБНТИ МУП Украины, 1994. – 158 с. 129. Ксенофонтова А.И., Бурчаков А.С. Теория и практика борьбы с пылью в угольных шахтах. – М.: Недра, 1965. – 265 с. 130. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. – М.: Изд-во АН СССР, 1955. – 351 с. 131. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. – Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М.: Гостехтеориздат, 1953. – 758 с. 132. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. – Изд-е 2-е, доп. и перераб. – М.: Физматгиз, 1959. − 700 с. 133. Туницкий Н.Н., Каминский В.А., Тимашев С.Ф. Методы физикохимической кинетики. – М.: Химия, 1972. – 198 с. 134. Медников Е.П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. – М.: Наука, 1980. – 176 с. 135. Белоусов В.В. Теоретические основы процессов газоочистки. – М.: Металлургия, 1988. – 256 с. 136. Каминер А.А., Яхно О.М. Гидромеханика в инженерной практике. – Киев: Техніка, 1987. – 175 с. 137. Шрайбер А.А. О пульсационном движении мелких частиц дискретной фазы в турбулентных потоках газовзвеси. – В кн.: Теплофизика и теплотехника. Вып. 25./Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1973, с. 73-79. 138. Шрайбер А.А., Наумов В.А. О граничных условиях к уравнениям переноса массы, импульса и энергии частиц в турбулентном потоке газовзвеси. –

233

ДАН Украины, сер. Математика, естествознание, техн. науки, 1994, № 8, с. 89-93. 139. Бурчаков А.С., Пережилов А.Е., Харьковский В.С. Прогноз ожидаемой запыленности воздуха в горных выработках. – ФТПРПИ, 1992, № 4, с. 89-92. 140. Осипов С.Н., Греков С.П. О расчете проветривания тупиковых выработок по пылевому фактору. – Уголь Украины, 1969, № 10, с. 43-45. 141. Ярембаш И.Ф., Цапов Г.П. О закономерностях пыленакопления в каналах вентиляторов главного проветривания. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 68./Респ. межвед. научно-техн. сб-к. – Киев: Техніка, 1984, с. 74-76. 142. Журавлев В.П., Демишева Е.Ф., Глузберг В.Е. Распространение пыли турбулентным вентиляционным потоком в горной выработке с учетом ее осаждения и взмётывания. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1979, № 9, с. 57-61. 143. Бересневич П.В., Фурса И.В. Исследование процессов развития и рассеивания пыле-газового облака при массовых взрывах в железорудных карьерах. – ФТПРПИ, 1981, № 5, с. 58-62. 144. Бересневич П.В., Деньгуб В.И., Наливайко В.Г. Изменение концентрации пыли, выделившейся при массовом взрыве в карьере. – ФТПРПИ, 1987, № 2, с. 100-103. 145. Детков С.П. Распространение в атмосфере пассивной примеси, поднятой ветром с земли. – ИФЖ, 1991, т. 61, № 1, с. 163-164. 146. Медведев И.И., Красноштейн А.Е. Проветривание тупиковых камер большого объема. – В кн.: Технология и экономика угледобычи. – М.: Недра, 1966, с. 66-69. 147. Осипов С.Н., Греков С.П. Определение коэффициента перемешивания в ограниченном потоке газа. – ФТПРПИ, 1968, № 4, с. 73-78. 148. Ярембаш И.Ф. Определение коэффициента перемешивания в турбулентных потоках горных выработок. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1970, № 5, с. 64-67. 149. Скобунов В.В. О коэффициенте турбулентного переноса для горных и туннельных выработок. – ФТПРПИ, 1973, № 4, с. 65-71. 150. Айруни А.Т., Скобунов В.В. Об особенностях продольной диффузии примесей в горных выработках большой протяженности. – ФТПРПИ, 1974, № 6, с. 93-97. 151. Айруни А.Т., Скобунов В.В. Расчеты коэффициентов турбулентного переноса в горных выработках. – Д АН СССР, 1974, т. 218, № 6, с. 1283-1287. 152. Ярембаш И.Ф. Физико-математическая модель процесса естественной очистки рудничной атмосферы за счет поглощения вредных примесей в горных выработках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 39./Респ. межвед. сб-к. – Киев: Техніка, 1975, с. 79-81. 153. Лайгна К.Ю. Анализ и усовершенствование метода расчета массообмена при конвективно-диффузионном переносе примесей в подземных горных выработках. – ФТПРПИ, 1988, № 4, с. 110-113.

234

154. Кремлев Н.Д. Метод прогнозирования распределения вредных примесей в рудничных вентиляционных сетях. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1978, № 11, с. 51-53. 155. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. – Новосибирск: Наука, С.О., 1970. – 659 с. 156. Греков С.П., Калюсский А.Е. Определение коэффициента турбулентной диффузии динамически активных примесей. – ИФЖ, 1975, т. 28, № 2, с. 357-358. 157. Померанцев А.А. Курс лекций по теории тепло-массообмена. – М.: Высшая школа, 1965. – 350 с. 158. Abolphi G. Die Geschwindigreit sverteilurg in der turbulenten Rohrstcomung./Chemistry Technik, № 6. – 1955 – p. 324-333. 159. Чеховских А.М., Гончарова Н.И. Динамика разлета продуктов взрыва по сети горных выработок. – В кн.: Современные методы и средства ведения горноспасательных работ. – Донецк: ВНИИГД, 1989, с. 26-31. 160. Черняк В.П., Гриценко Т.Ю. О методах расчета процесса естественной тяги (тепловой депрессии) в горных выработках. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. Аэрогазодинамика горных выработок./Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 55-59. 161. Козлюк А.И., Гринь Г.В., Харламов Б.Н., Гавриш Ю.В. Истечение огнетушащей смеси из сосуда под давлением сжатого воздуха. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых, вып. 49./Респ. межвед. научнотехн. сб-к. – Киев: Техніка, 1978, с. 98-100. 162. Греков С.П., Лукачер Б.Я., Томаровщенко В.Д. Расчет динамики изменения концентрации ядовитых и взрывчатых газов в сети горных выработок при аварии в шахте. – В кн.: Тактика ведения горноспасательных работ и оснащение ВГСЧ./Сб-к научн. трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1987, с. 11-16. 163. Калякин С.А., Зенин В.И. Математическая модель изменения концентрации ядовитых газов в выработке после взрывных работ. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах./Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1982, с. 47-51. 164. Ерошенко В.М., Зайчик Л.И. Продольная диффузия примеси в трубе с проницаемыми стенками. – ИФЖ, 1980, т. 38, № 2, с. 314-317. 165. Мошинский А.И. Некоторые вопросы дисперсии примеси в круглой трубе. – ИФЖ, 1987, т. 53, № 2, с. 203-210. 166. Греков С.П., Калюсский А.Е., Пясецкий Б.П. Исследование переноса примеси ограниченным потоком при наличии диффузии в пористую стенку канала, адсорбции и химической реакции I-го порядка. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 3, с. 509-510. 167. Иванов О.В., Акиньшин В.Д., Селезнев В.Д. Стационарная двумерная диффузия радиоактивной примеси в канале с сорбирующими стенками. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 6, с. 953-956.

235

168. Колтунова Л.Н. О диффузии в неоднородном поле скорости при наличии гомогенной химической реакции I-го порядка. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 1, с. 77-88. 169. Лайгна К.Ю. О граничных условиях при решении диффузионных задач рудничной аэрологии. – ФТПРПИ, 1981, № 1, с. 71-75. 170. Сулла М.Б. Научные основы стабилизации состава рудничной атмосферы, обеспечивающего непрерывную технологию добычи угля в негазовых (по метану) шахтах. – Автореф…. д.т.н. – М.: ИПКОН АН СССР, 1980. – 49 с. 171. Лайгна К.Ю. Решение диффузионных задач рудничной аэрологии. – В кн.: Тепловой режим глубоких шахт и металлических рудников. /Материалы международ. симпозиума. – Киев: Наукова думка, 1977, с. 288-293.

Часть 4. Теплоперенос в горных массивах Глава 14. Теплосодержащие массивы Из определения горного массива как подверженной влиянию горных работ части геологической среды (гл. 1) следует, что для описания температурных полей в нем необходимо реальный, гетерогенный, многофазный, неоднородный и анизотропный массив заменить моделируемым – квазигомогенной сплошной средой с простыми видами неоднородности и анизотропии [1÷7]. Далее рассматриваются три группы моделей массивов: однородные и изотропные; неоднородные и анизотропные; влагосодержащие массивы. Эта классификация достаточно условна, однако охватывает практически все входящие в парадигму шахтной теплофизики модели [7÷20].

§ 39. Массивы и модели Источники тепла горных массивов можно разделить на эндогенные (обусловленные природными процессами) и экзогенные (техногенные). К первым относятся радиогенное тепло, тепло магматических очагов и термальных вод, глубинный поток тепла [5,6,21,22]. Ко вторым – тепло физико-химических процессов, инициированных горными работами (окисление горных пород, процессы сорбции, химические реакции) и тепло диссипации механической энергии [23 ÷28]. Стоки тепла также могут быть природного и техногенного характера. Во влагосодержащих массивах имеются специфические источники и стоки тепла, вызванные фазовыми переходами "вода-пар" и "вода-лед" [12,29 ÷32]. Действие в массивах источников и стоков тепла, поток тепла из них в горные выработки (при температуре вентиляционного воздуха меньшей, чем начальная температура горного массива) приводят к формированию нестационарного температурного поля массива. Стационарные температурные поля в горном массиве носят локальный характер и для шахтной теплофизики не типичны [5,6,21,22]. Вне зоны влияния горных выработок, до начала их проходки, в массиве существует стационарное геотемпературное поле, образованное потоком тепла из земных глубин к поверхности. В зоне земной коры, от глубины "нейтрального слоя" и до максимальных глубин разработки месторождений (первые километры) это поле с хорошим приближением описывается линейной функцией глубины:

T = T ( H ) = T0 + σ( H − H 0 ),

(4.1)

237

где Т(Н) – температура горного массива на глубине Н (м); Т0 – температура на

глубине Н0 нейтрального слоя; σ – геотермический градиент, K/м. Глубина Н0

соответствует затуханию годовых сезонных колебаний температуры в почве, так что Т0 ≅ ТВ,ср – среднегодовой температуре атмосферного воздуха. Пара-

метры Т0, Н0, σ различны для разных регионов (бассейнов), определяются экспериментально и обычно приводятся в монографиях и справочнонормативных изданиях [8,11,15,16,21,29,34÷36]. Иногда вместо σ приводится

Г = σ−1 – геотермическая ступень (м/K), изменяющаяся, как и σ , из-за неодно-

родности массива не только по латерали (в зависимости от географического положения), но и по вертикали (для одного и того же разреза). По измерениям в Донбассе получено [8]:

Н0 = 14,0 ÷ 18,0 м; Г = 27,4÷38,3 м/K; Т0 = ТВ,ср = 7,45÷8,75°С. Данные по геотермии (т.е. о геотемпературном поле) используются в качестве начальных условий для краевых задач теплопереноса в массивах. Построение математической модели процесса теплопереноса требует, кроме задания начального и граничных условий, наличия уравнения теплопереноса – уравнения в частных производных относительно температуры массива. Для однородной, изотропной и стационарной сплошной среды это уравнение таково [37]:

ρС

∂Т = λ∇ 2T + W ( M , t ), T = T ( M , t ), ∂t M = M ( x, y, z ), M ∈ Ω, t > 0,

(4.2)

где М – точка внутри области Ω , в которой происходит процесс теплопереноса; t – время процесса; Т(М, t ) – температура в точке М в момент времени t ;

∇ 2 – дифференциальный оператор Гамильтона; ρ – плотность среды, кг/м3; С – удельная теплоемкость среды, Дж/(кг·K); λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·K); W(М,t) – функция плотности источников (стоков) тепла в среде, Вт/м3. Величины ρ, С , λ и их комбинации − СV = ρ С и a = λ / СV − называются теплофизическими параметрами. Параметр СV называется объемной теплоемкостью (Дж/(м3·K)); а параметр а – коэффициентом температуропроводности (м2/с). Размерности величин приведены в СИ, но в большинстве инженерных расчетов (и в особенности при использовании справочных данных) встречаются технические единицы. Мы будем далее приводить единицы величин согласно цитируемым работам. В парадигме шахтной теплофизики [8,9,12,34,38] температурные поля в массивах моделируют зачастую уравнениями, еще более простыми, чем (4.2).

238

2

2

2

Это однородные (W(M,t) = 0) и одномерные ( ∇ = ∂ ∂r + (1 / r )∂ / ∂r ) уравнения. Обоснований возможности этого, простого описания температурного поля в столь сложной среде, как геологическая, обычно не приводится. Этот оптимизм питался, видимо, тем, что в "смежных" областях – горной механике и теплофизике почв анализ правомочности модели сплошной среды для описания процессов в гетерогенных и дисперсных средах осуществлялся. Рассматривая возможность применения уравнений теории упругости для области ω горных пород с характерным ее размером Dω , в [39] получили оценку Dω ≈ ≈ 10 d ω , эту возможность подтверждающую. Здесь d ω – характерный размер локальной неоднородности геологической среды (минерального зерна, поры). В математических моделях теплопереноса в почве [4,40], трактуемой как трехфазная (твердый скелет, влага и газ в порах) капиллярно-пористая среда, использовалась теория А.В. Лыкова [41]. В такой среде действуют четыре вида механизмов переноса: кондуктивная теплопроводность, конвекция в порах, излучение в порах, влагоперенос. Строгое описание этих механизмов переноса требует решения системы уравнений взаимосвязанного теплопереноса с учетом конвекции и излучения и малореально. Для преодоления этих трудностей была предложена модель эквивалентной (эффективной) теплопроводности [40]. Неоднородная геологическая среда рассматривалась как квазиоднородная, с эффективными, определяемыми эмпирически теплофизическими параметрами. Полагая эффективный коэффициент теплопроводности суммой кондуктивного, лучистого и конвективного коэффициентов [5], получили оценки величин всех составляющих. При характерном размере поры 0,5·мм, конвекция в ней флюида возможна лишь при перепаде температур порядка 100°С. При размере поры 0,5 см и перепаде температур ≤ 10°С, конвекция также отсутствует. Для лучистой теплопроводности λл были получены значения: при порах 0,5 мм и наибольших температурах в 20°С и 100°С, соответственно λл = 4·10–4 и λл = = 8·10–4 Вт/(м·K) [5]. Таким образом, в пористых горных породах с размерами пор до 0,5 мм конвективным и лучистым теплопереносом можно пренебречь. Также показано, что при отношении минимального характерного размера области теплопереноса к характерному размеру неоднородности (поры, зерна) ≥ 10, горную породу можно рассматривать как квазиоднородную с эффективными теплофизическими характеристиками [53], что согласуется с оценками в [39]. Отсюда следует, что уравнение (4.2) надо трактовать как выведенное не для элементарного "физически бесконечно малого" объема среды (как это обстоит в теплофизике), а как уравнение, справедливое для "макроэлементарного объема" ω ∈ Ω , с характерным размером, на порядок большим характерного размера неоднородностей среды. Физически бесконечно малый объем ассоциируется, при использовании (4.2) для однородной сплошной среды (модельной) с точкой М ∈ Ω . "Макроэлементарный объем" ω также ассоциируется с некоторой "макроточкой" квазиоднородной среды в Ω при использовании (4.2) для

239

описания теплопереноса в геологической среде. В последнем случае температура Т = Т(М,t) является некоторой "эффективной" – усредненной по области ω величиной. Геологическая среда содержит неоднородности различных масштабов и видов (геологические тела, пласты, пропластки, каверны, трещины, поры, минеральные зерна, флюиды) [41÷43], что приводит к масштабному эффекту – зависимости теплофизических параметров (и вообще – параметров переноса) от размера рассматриваемой области Ω этой среды [41]. Классификация видов неоднородности горного массива содержит градации [5,41]: неоднородности IV-го порядка – дефекты кристаллической решетки, дислокации и другие нарушения порядка структуры твердого тела в минеральном зерне или цементе; неоднородности III-го порядка – неоднородности горной породы, т.е. изменчивость ее химического и минерального состава, формы и размера зёрен, распределения удельных объемов цемента, пор, трещин; неоднородности II-го порядка – неоднородности в пределах пласта (слоя) – переслаивания, макротрещины, крупные включения; неоднородности I-го порядка – неоднородности горного массива в пределах формации (фациальная изменчивость, тектонические разрывы). Неоднородности IV порядка можно назвать микронеоднородностями; в моделях теплопереноса они учитываются использованием статистически усредненных значений теплофизических параметров – экспериментальных констант. Неоднородности III-го порядка требуют, при определении параметров уравнения (4.2), использования одного из двух подходов: определения СV и λ в натурных условиях (т.к. лабораторные методы обычно дают сильную вариацию величин для разных образцов и не учитывают масштабный эффект), либо вычисление их значений по каким-либо из известных структурных формул для различных моделей гетерогенных сред [45÷47]. В последнем случае необходимо смириться с неоднозначностью восстановления локальных параметров по измеренным интегральным [48]. Неоднородности III-го порядка будем называть локальными; они обусловливают анизотропию параметров и изменчивость их вдоль (или поперек) пласта. В уравнении (4.2) это отражается введением теплофизпараметров, зависящих от месторасположения точки М в Ω :

СV(М)

∂Т = ∇(λ ( M )∇T ) + W ( M , t ), ∂t

M ∈ Ω,

t > 0.

(4.3)

Неоднородности II-го порядка будем называть макронеоднородностями. Описание теплопереноса в макронеоднородной области Ω массива можно строить на уравнении (4.3), в котором СV (М), λ ( M ) − кусочно-непрерывные (в частности, кусочно-постоянные) функции пространственных координат. Возможно также разбиение массива (его области Ω ) на подобласти Ωi ( i = = 1, N ), в каждой из которых теплоперенос описывается (4.3) с СVi(М) и

λ i (M ) , где M ∈ Ωi , а на границах подобластей Ωi и Ω j между собой (Г ij )

240

решения краевых задач, т.е. температуры Т i ( M , t ) и Т j ( M , t ) согласуются друг с другом граничными условиями IV-го рода [37,40]:

Т i (M , t ) Г = Т j (M , t ) ; λi (М ) Г ij ij

∂Т j ∂Т i = λ j (М ) , ∂n Г ij ∂n Г ij

где ∂Ti / ∂n – производная по нормали к границе Г ij . Неоднородности I-го порядка будем называть меганеоднородностями; моделирование теплопереноса аналогично предыдущему случаю. При моделировании длительных процессов, когда возмущения природного геотемпературного поля распространяются в горном массиве, захватывая те его зоны, в которых находятся несколько геологических тел (пластов) с различными свойствами, область Ω становится меганеоднородной. Наибольшее значение имеет характерная для осадочной толщи слоистая неоднородность горных массивов [2,41,48,49]. Наряду с этой, эндогенной слоистостью, в горных массивах можно выделить экзогенную (техническую или наведенную) слоистость, которую можно считать частным случаем радиальной неоднородности массива. Последняя возникает вокруг горных выработок в результате их проходки и характеризуется переменными (вдоль радиальной координаты, направленной из центра круговой выработки вглубь массива) пористостью, трещиноватостью, влажностью, газосодержанием, плотностью и теплопроводностью массива [50÷52]. Радиальная неоднородность массива возникает также при его инъекционном упрочнении и креплении выработки бетоном [53÷55]. Неоднородностями нулевого порядка (метанеоднородностями) можно назвать неоднородности геосферного масштаба. Моделей теплопереноса в таких системах нет, а в геомеханике они рассматриваются [56]. Кроме неоднородностей различных порядков, фактором, усложняющим построение математических моделей теплопереноса, является и нестационарность горных массивов – изменение со временем теплофизических характеристик, формы и размеров области Ω . В силу нестационарного процесса разуплотнения горных пород вокруг выработок [51], пластических деформаций массива, сопровождающихся уменьшением площадей сечений штреков [56,57], в примыкающих к выработкам зонах массива эффективные теплофизические параметры изменяются со временем. Характерные времена этих процессов могут достигать нескольких месяцев [56,57]. Продолжительность механических процессов технологического характера (сотрясательное взрывание, комбайновая проходка) незначительна: деформации пласта при взрывании продолжались первые десятки миллисекунд (при смещении массива на 1,4 мм) [58], а перераспределение напряжений в призабойной зоне пласта – около часа [59]. Быстропротекающими являются газодинамические процессы – внезапные выбросы угля и газа [60], внезапные поднятия почвы выработок [61]. Характерные времена этих процессов, как и направленных на их предотвращение (например торпедирование кровли выбросоопасных пластов) составляют доли секунды [62]. Не-

241

стационарность теплофизических параметров может быть связана и с фазовыми переходами влаги во влагосодержащих массивах [12,63]. Характерные времена процессов теплопереноса в моделях прогноза температурного режима горных выработок обычно существенно превышают таковые для механических процессов. Это позволяет считать, в большинстве случаев, теплофизпараметры массива постоянными (после изменения, которое можно трактовать как скачкообразное). Но при моделировании температурных полей в медленно деформирующихся массивах или, напротив, в быстро деформирующихся (выбросы, выдавливания, снятие полосы комбайном), когда характерные времена изучаемых термических (термомеханических) и механических процессов одного порядка, учитывать нестационарность теплофизпараметров необходимо. Это достигается модификацией уравнения (4.3) и представлением его в виде:

СV(М,t)

∂Т = ∇(λ( M , t )∇T ) + W ( M , t ), ∂t

M ∈ Ω,

t > 0.

(4.4)

Отдельным видом нестационарности массива (при этом теплофизпараметры считают постоянными) является изменение со временем его размеров и формы, что связано с ведением горных работ (проходка выработок, очистная выемка, управление кровлей обрушением или полной закладкой выработанного пространства).

§ 40. Тепловыделение массивов Выделение массивами тепла – теплоприток в горные выработки – основной фактор формирования подземного микроклимата. В глубоких шахтах и рудниках, где геотермическая температура массивов достигает 45÷50°С и выше, при перепадах между нею и температурой вентиляционного воздуха в несколько десятков градусов, доля теплопритоков из массива превышает 50% (а совместно с тепловыделением от окислительных и массообменных процессов до 75÷90%) всех источников тепла в тепловом балансе выработки [8,11,21,61]. Теплоприток из массива определяется плотностью потока тепла (его количеством, прошедшим через 1 м2 площади поверхности обнажения за 1 секунду), который пропорционален градиенту температурного поля массива. Если в объеме Ω массива вокруг выработки с площадью S поверхности стенок, в начальный момент времени t = 0 температура одинакова и равна геотермической температуре ТП, то его теплосодержание

Q(0) = CV TП Ω ,

Ω = ∫ d Ω, Ω

(4.5)

где CV – теплоемкость массива; Ω – объем области Ω. Спустя время t , в течение которого массив охлаждался, отдавая тепло вентиляционной струе, его теплосодержание станет

242

Q(t ) = CV ∫ T ( M , t ) d Ω ,

(4.6)

Ω

т.е. за время t уменьшится на

Δ Q(t ) = CV

∫ [TП − T (M , t )]d Ω .

(4.7)

Ω

Эта же величина может быть выражена иначе [64]: t

ΔQ(t ) = ∫ ∫ q ( P, t ) d t d s , 0s

P ∈ S,

(4.8)

где q ( P, t ) – плотность потока тепла через поверхность S, равная, согласно закона Фурье:

q ( P, t ) = −λ

∂T ( M , t ) , ∂n M = P∈S

(4.9)

где ∂T / ∂n – производная по нормали к границе S области Ω ; λ – коэффициент теплопроводности массива. В шахтной теплофизике используется (как парадигмообразующий параметр), введенный О.А. Кремневым коэффициент нестационарного теплообмена К τ [8]:

⎛ T (t ) − TВ ⎞ ⎟⎟, Т сm (t ) = T ( P, t ), К τ = (TП − Т В ) −1 q ( P, t ) = α⎜⎜ cm ⎝ TП − Т В ⎠

(4.10)

где Т В – средняя температура воздуха; Т сm (t ) – температура на стенке выработки; α – коэффициент теплообмена стенки с воздухом [8]. В шахтных условиях обычно экспериментально определяют q ( P, t ) , а потом К τ , с целью проверки формул, выводимых для К τ в различных случаях. Рассмотрим далее некоторые работы, посвященные изучению температурных полей в горных массивах с пройденными в них выработками и теплопритоков в них. Конечная часть массива, примыкающая к стенке выработки, температура в которой монотонно возрастает от Т сm ∈ (Т В , Т П ) до Т П (определяемой с точностью в 0,05÷0,1°С), называется охлажденной зоной горного массива [8]. При одном из измерений на глубине 620 м, ширина охлажденной зоны вокруг выработки, проветриваемой в течение одного года, составила около 15 м [8]. Сравнение измеренных и рассчитанных температур массива внутри этой зоны было удовлетворительным. Исследуя температурные поля и источники тепла массивов вокруг очистных забоев, В.А. Богоявленский установил [68], что использование для расчетов К τ формул О.А. Кремнева некорректно, так как: 1) в модели О.А. Кремнева не

243

учитывается, что в горном массиве идут процессы окисления и испарения, приводящие к изменению эффективных значений теплофизпараметров по направлению вглубь массива; 2) рабочее пространство лавы ограничено горными породами с различным сроком обнажения (от 0 до 50 часов); 3) теплофизические параметры разных частей массива различны, а охлажденные зоны в них имеют разную ширину; 4) охлажденная зона вдоль лавы уменьшается (наибольшая ее ширина – на протяжении 20÷30 м от откаточного штрека. Измерения также показали, что теплопритоки в лаву от почвы и кровли (при времени обнажения в 6÷15 часов и ширине лавы 4,2÷4,5 м ) составляют 78÷88% от общего теплопритока; теплопритоки от пласта угля существенны лишь в первые 2÷3 часа после обнажения, а через 10÷15 часов они составляют 20÷30% от первичной величины. Определенные балансовым расчетом теплопритоки от окислительных процессов равны 8,5÷14,8 ккал/(м2·час). На поверхности горных пород сильно испарялась влага, что приводило к понижению температуры стенки Т сm (иногда – ниже Т В по сухому термометру). Вблизи поверхности обнажения, внутри массива был обнаружен "температурный барьер" – локальная область, в которой из-за интенсивных окислительных процессов температура массива превышала начальную ( Т П ) и температуру воздуха ( Т В ) [68]. В продолжение этих исследований, в [69] изложены результаты измерений температур в остановленном забое. В массиве была обнаружена зона, где температура превышала на 12,5°С начальную температуру пород и на 9°С – температуру воздуха. Обнаружено неравномерное нагревание пласта угля с породными прослойками, склонными к окислению. Наблюдалось нестационарное температурное поле, обусловленное окислительными процессами. Быстрый рост температуры в зоне окисления начинался через сутки после обнажения поверхности; ширина зоны окисления и температура в ней зависели от степени разрушения пласта. Через 3,5,10 суток наблюдалось продвижение зоны прогрева вглубь массива при локализации максимума температур в интервале 0,25÷0,75 м от поверхности обнажения. Замеры температур в породах и в угле проводились также в воздухоподающих и вентиляционных штреках [70]. Точность замеров температуры термопарой составила 0,1÷0,2°С. Ширина охлажденных зон в породном и угольном массивах при сроках проветривания от 1 года до 4,7 лет и температурном напоре ΔТ = Т П − Т В = 2,0÷5,4°С, составляла от 9 до 20 м. Исследование тепловыделений в 18-ти подготовительных выработках и в 6-и лавах (на двух шахтах) с интенсивными окислительными процессами [71] показало, что в зависимости от вида крепи и степени запыленности стенок, тепловыделение за счет окислительных процессов q0 составляло от 1,5÷3,0 до 10÷12 Bт/м2. Еще более масштабные исследования (в 140 подготовительных выработках на сорока пластах 28-и шахт) позволили установить [72]: а) основная часть тепловыделения связана с окислением пород (до 90%); б) окисление происходит в диффузионной области, т.е. определяется не самой химической реакцией, а скоростью по244

ступления кислорода; в) интенсивность тепловыделения (и окисления) пропорциональна средней скорости движения воздуха в выработке в степени 0,8 (что свидетельствует о массообмене кислорода воздуха с поверхностью породы по 0.8

Краусольду: Nu ~ Re ). Получена формула для q0 , которое предложено относить к источникам тепла в выработке (а не в массиве – что соответствует реальности). В силу простоты этот способ учета теплоты окислительных процессов получил широкое распространение и был "узаконен" нормативно [36]. В ряде работ были предприняты попытки описания окисления как нестационарного источника тепла в зоне массива, примыкающей к выработке, в аналитической форме [14,28,70,71,73]. Газоносность углей снижает их окислительное тепловыделение [73], поскольку выделяющийся из угля метан препятствует поступлению кислорода. Вне зависимости от окислительных процессов, процессы десорбции газа и дроссельный эффект (падение температуры в расширяющемся сжатом газе) оказывают большое влияние на формирование в массиве охлажденных зон. Теплопоглощение, сопровождающее эти процессы, приводит к уменьшению температуры в пласте угля и в боковых породах [74]. После подвигания забоя на глубину вруба, температура пласта в первые 2 часа резко снижается. В последующие 4÷6 часов температура вблизи груди забоя понижается, а на глубине 2÷5 м медленно повышается. Температурные поля в пласте после подвигания забоя, через 2 часа и в конце выемочного цикла были описаны, по данным измерений, функциями [74]:

Ti = T0i + ai Li ,

i = 1,3,

ai = const,

(4.11)

где T0i – температуры груди забоя; Li – ширины охлажденных зон в соответствующие моменты времени. Количество тепла, поглощенного из угля в процессе десорбции метана Qg :

Qg = qB (b − c) +

K (b − c) 2 , 2

(4.12)

где qB – количество тепла, необходимое для десорбции в см3 метана, кал/см3;

с – количество метана, сорбированное углём призабойной зоны, см3/г; K – тангенс угла наклона прямой, характеризующей изменение дифференциальной теплоты сорбции в зависимости от количества сорбированного газа. Изучение охлажденных зон массива при интенсивном газовыделении (в 22-х лавах на 7-и шахтах) показало [75], что температура поверхности пласта угля и вмещающих пород значительно ниже геотермической температуры Т П . Размеры охлажденных зон в пласте и в породе, снижения температур поверхностей оказались зависящими от газоносности и степени дегазации угля, дифференциальной теплоты сорбции метана пластом, теплообмена между пластом и породами. Теплота сорбции различных углей варьирует от 1,56 до 2,22 МДж/м3 газа

245

(В.В. Ходот, [76]). Охлажденные зоны в угле имели протяженность в 3÷7 м, температуры стенок пластов, измеренные в шахтах и рассчитанные по известным формулам [8] не совпадали (последние давали завышенные значения). Для учёта влияния газовыделения на коэффициент нестационарного теплообмена (что в [8] отсутствует), предложен эмпирический поправочный коэффициент J:

K τг = JK τ ,

J = 0,5 ÷ 0,7 ,

(4.13)

где K τ , K τг – соответственно коэффициенты нестационарного теплообмена по [8] и для газоносного пласта. Для оценки количества выделившегося газа и теплопотерь в призабойной зоне, необходимо знать ширину зоны десорбции метана. Метод расчета этого параметра был предложен В.А. Стукало [77]. Исходя из работ С.М. Липковича по горной механике, автор получил для ширины зоны десорбции L приближённую формулу: 1, 4 ⎡

−1

⎤ 1 , 333 L = (0,62 + 0,38m)ξH ⎢ + H ⎥ , (4.14) 0, 4 ⎣ (1,87 + 1,13m)ξH ⎦ где m – мощность пласта; b – ширина лавы; H – глубина разработки; ξ – коb ( H − b / 2)

эффициент прочности пород, равный 0,75; 1,0; 1,25 – соответственно для крепких, средних и слабых пород. Расчеты по (4.14) дали для характерных условий L = 4÷5 м, что хорошо согласовывалось с экспериментальными данными М.Я. Рапопорта [74]. При формировании охлажденных зон вокруг капитальных выработок и стволов шахт, процессы окисления существенной роли не играют [8]. Измерение температуры в массиве вокруг ствола с исходящей струёй воздуха проводилось на глубине 736 м [78]. Продолжительность проветривания – 10 лет – обусловила радиус охлаждённой зоны в 40÷43 м, удовлетворительно согласующийся с расчетом [8]. Вокруг воздухоподающих стволов, в силу сезонных колебаний температуры воздуха, формируются теплоуравнивающие оболочки [8,79], на внешних границах которых (в глубине массива) температура приближенно соответствует Т П . В [79] была предложена гипотеза о подобии этого процесса процессу распространения температурных волн в почве, где роль толщины теплоуравнивающей оболочки играет глубина нейтрального слоя Н 0 (см. (4.1)). Измерения температуры массива в шпуре на расстоянии 3,6 м от стенки ствола показали, что колебания температуры невелики и соответствуют данным физического моделирования и расчетов по формуле авторов [79], сделавших вывод о применимости теории тепловых волн в почве для описания формирования теплоуравнивающей оболочки. Измерения температур в массивах позволяют не только оценивать параметры охлажденных зон в них, но и определять плотности тепловых потоков в выработку и коэффициенты нестационарного теплообмена К τ ((4.9), (4.10)).

246

Ранее рассмотрены некоторые из работ, в которых определялись К τ для случаев процессов окисления в массивах и интенсивного газовыделения из них. Экспериментальное определение К τ осуществлялось и для весьма распространенных случаев осложнения теплопередачи из массива в выработку процессом массообмена, протекающими в приконтурной части массива или (и) на поверхности выработки [80÷82]. Рассчитывая, по результатам измерений, тепловой баланс выработок, А.М. Криворучко использовал уравнение [80]:

G (i2 − i1 ) = qСТUL,

(4.15)

где i1, i2 – энтальпии (суммы явного и "скрытого" тепла) рудничного воздуха в начале и в конце обследуемого участка выработки; U , L – её периметр и длина; qCT – плотность потока тепла из массива на стенке выработки; G – расход воздуха. Сравнение "модельного" баланса (4.15) с реальным (на основе измерений qCT ), показало, что (4.15) не выполняется, т.к. левая часть превышает правую. При переносе влаги в массиве в жидкой фазе с последующим её испарением на стенке выработки, определяющую роль играет теплоперенос в воздухе. В массиве же, ввиду малых скоростей фильтрации жидкости и близости температуры её и скелета пористой среды, должен действовать кондуктивный механизм теплопереноса, что, по мнению автора, должно было бы приводить к справедливости (4.15). Для согласования расчетного баланса тепла с экспериментальным, автор предложил ввести "диффузионный" тепловой поток qβ , компенсирующий невязку в (4.15) и обусловленный процессом испарения влаги внутри массива: G (i2 − i1 ) = (qCT + qβ )UL. (4.16) Количественной оценки qβ дано не было [80]. Исследование процессов тепломассообмена в охлаждаемых горных выработках (при работе воздухоохладителей), где они протекают более интенсивно, было осуществлено В.А. Кузиным [81,82]. Плотность теплового потока измерялась в выработках, проветриваемых менее одного года. В массиве измерялись температуры в двух точках внутри охлажденной зоны и находился конечно-разностный аналог градиента температуры. Контроль осуществлялся по среднеинтегральной температуре исследуемого объема массива (т.е. расчеты по (4.8) и (4.9) сравнивались с таковыми по (4.7)). Обнаружено, что при понижении температуры воздуха на 10°С, на участках между воздухоохладителями и лавами в первые 6÷12 часов, qСТ возрастал в 2,0÷3,5 раз по сравнению с расчетным [8], но через 24÷36 часов их рассогласования не превышало 10÷15% [81]. Измерения с погрешностями: скорости воздуха – 3%; ΔТВ = ΔТП = ± 0,1°С; К τ – 18,3% показали [82], что К τ изменяется вдоль штрека, уменьшаясь в 2 раза; на расстоянии свыше 150 м от лавы вновь начинает повышаться. Теплопритоки из массива, измеренные по балансу

247

(4.15) и по температурам в 2-х точках массива, заметно отличались, что трактовалось в духе (4.16), поскольку значения К τ , найденные по замерам температур в массиве и рассчитанные по формулам [8,9] отличались всего на ±(3,0÷10,0)%. Для согласования расчета с данными замеров, автор вводит массообменный параметр ψβ :

К τβ = ψβ К τ ,

(4.17)

где К τβ , К τ – коэффициенты нестационарного теплообмена, учитывающие "диффузионный" поток тепла qβ и вычисляемый по [8] соответственно. Обработкой данных измерений при ΔТ = ТП − ТВ ≤ 23°С, 0,2 ≤ ϑ ≤

≤ 1,2 м/с ( ϑ – скорость воздуха в выработке) и продолжительности работы воздухоохладителей до 2500 часов, получено:

ψβ = exp{exp[(0,1842 − 9,15ϑ) + (0,03 + 0,377ϑ)ΔT ] }.

(4.18)

Исследовав теплопритоки к охлаждаемому воздуху, авторы [83] установили: а) фактические значения К τ для лав превышают рассчитанные [8] в 2,5÷2,8 раз; б) массив отдаёт влагу в парообразном виде (40÷100 г/(м2·час)), поскольку его трещиноватость вблизи поверхности обнажения велика (раскрытие трещин δ ≥

10−5 см); в) в зоне испарения массив охлаждается, что интенсифицирует тепло-

перенос из глубины его; г) интенсивность влагоиспарения зависит от влажности, температуры и скорости воздуха в выработке. Одним из первых исследований по определению К τ в шахтных условиях было [84], где изучались сильно газоносные пласты, отрабатываемые обратным ходом. Расхождение в измеренных и рассчитанных [8] значениях К τ объяснялось различным временем охлаждения в лаве угля и пород, приводящему к различиям в формировании в них охлажденных зон. При этом теплопритоки от кровли и почвы усреднялись по ширине лавы. Опытные значения К τ усреднялись по длине лавы. Были найдены поправочные коэффициенты к К τ :

~ K τ I ÷ III = βK τ I ÷ III ,

(4.19)

где в правой части K τ определяется согласно [85], а в левой даны откорректированные по замерам значения; β = 0,6÷0,7 – для лав на газоносных пластах, отрабатываемых прямым ходом; β = 0,90÷0,93 – для лав негазоносных с отработкой прямым ходом; β = 0,45÷0,55 – для лав газоносных пластов, отрабатываемых обратным ходом; β = 0,80÷0,85 – для лав негазоносных пластов с обратным ходом [84].

248

§ 41. Термомеханические явления К термомеханическим явлениям относятся те, в которых температурные и механические поля взаимодействуют, что порождает специфические эффекты. Теория этих явлений основывается на термодинамике необратимых процессов [37,61,86], а конкретные математические модели исследуются в рамках термомеханики [87÷89]. В горной физике (в горных механике и теплофизике) это направление развивается относительно непродолжительное время. Температура горных пород, являясь наиболее универсальным физическим параметром, прямо или косвенно определяет многие физические характеристики массива [1,5,6,21,29]. Сорбционная метаноёмкость угля, в частности, при повышении температуры от 0°С до 30°С изменяется примерно в 2 раза [6]. Охлаждение массива в зоне влияния горных работ ведёт к падению давления газа в трещинах и порах, что интенсифицирует десорбцию и газовыделение. В гл. 2 рассматривались модели массопереноса в массиве, в которых температура присутствовала, но как параметр, а не искомая величина. Модели же взаимосвязанного газо-теплопереноса, т.е. неординарные краевые задачи немногочисленны ((2.162)÷(2.165)). Влияя на газовое давление в пласте, температура косвенно влияет и на его напряженное состояние. Непосредственное влияние температуры на упругие напряжения в массиве, связано с расширением (сжатием) пород при повышении (понижении) их температуры. Порядок характерных величин – коэффициентов линейного ( αТ ) и объемного ( βТ ) расширения таков: для песчаника – αТ = 0,8·10

−5

1/°С [90],

βТ = 2,55·10 − 5 1/°С [91]; для угля – αТ = (3÷12,5)·10 − 5 1/°С [90], βТ = −5

= 2,4·10 1/°С [91]. Теоретические и экспериментальные оценки степени взаимовлияния температуры и механических напряжений различны. В [90] утверждается, что снижение температуры массива на 1°С ведёт к уменьшению напряжений в нём на 2,0÷4,0 МПа. В лабораторных исследованиях образцов угля, повышение их температуры при нагрузке в 14 МПа составило 0,21°С, что в два раза меньше рассчитанного для условий адиабатического нагружения по формуле [26,91]:

ΔТ σ = Т 2 − Т1 =

Аβ Т Т1σ ρСσ

,

(4.20)

где Т1,Т 2 − температуры образца до и после нагружения; А – тепловой экви-

валент работы; σ – нагрузка; ρ – плотность угля; Сσ – удельная теплоемкость его при σ = const . Рост температуры согласно (4.20) обусловлен диссипацией работы упругих сил. Для случая деформации угольного целика под действием сил горного давления, работа которых полностью переходит в тепло, рассеи-

249

ваемое равномерно по всей мощности целика, повышение температуры 1 м3 ΔТ h [14]:

ΔТ h =

γgH (l + b)Δh , γ y C y bm

где γ, γ y – плотности массива и угля; H – глубина расположения угольного целика шириной b и мощностью m ; l – расстояние между двумя смежными целиками; C y – теплоемкость угля; Δh – деформация целика; g – ускорение свободного падения. Поскольку упругие параметры горных пород зависят от температуры (в диапазоне её изменения в шахтах) линейно [6], а охлаждение массивов в нормальном режиме проветривания протекает достаточно медленно, термоупругие напряжения в трещиноватом, примыкающем к выработке массиве быстро релаксируют и в парадигме шахтной теплофизики не учитываются [25]. При иных обстоятельствах (больших температурных перепадах при пожарах [10,90], тепловом дренаже массива [92,93], криовоздействиях на него [90,94], прогнозах выбросоопасности [94,95] и устойчивости выработок [23,96,97]) взаимосвязанные термомеханические процессы играют важную роль. Рассмотрим кратко два последних случая, которые наиболее актуальны. Термомеханические аспекты выбросоопасности проявляются локально и на региональном уровне температурными аномалиями, связанными с повышенными напряжениями и деформациями в массиве. Донбасс – тектонически активный район, в котором в зонах повышенных деформаций температура пород также повышена. Исследования показали [94], что приближение пунктов замеров к зонам выбросов сопровождается увеличением температуры на 1,0÷1,2°С. В пределах шахтных полей, в газодинамически активных зонах это увеличение ещё более значительное. К повышению температуры пород приводит и релаксация больших тектонических напряжений (с периодом около 400 суток) [94,98]. При гидростатическом нагружении образцов горных пород была выявлена линейная связь температуры и давления, оценен тепловой эффект деформации [95]. При повышении нагрузки на образцы угля от σ = 0 до σ = = 400 кг/см2, температура их линейно возрастала на 12,0÷12,5°С. При сбросе нагрузки температура восстанавливалась. Измерения в скважинах, на пригруженных пластах, показали ещё больший рост температуры [95]. Авторами предложена формула для прироста температуры в выбросоопасной зоне пласта, весьма громоздкая (в её правой части около десятка параметров, описывающих газодинамические и упруго-прочностные свойства пласта). В.С. Вереда утверждает, что в выбросоопасном пласте угля температура осциллирует, а потому не может служить информативным параметром прогноза, который следует осуществлять по температуре вмещающих пород [99]. Большинство других авторов не разделяют эту точку зрения, а в [100] именно температурный режим угольного пласта предложен как показатель его выбросоопасности. Эта точка

250

зрения обосновывается в [70,71,74, 75,95,101] и др. В [100] поддерживается суждение о пренебрежимо малом росте температуры пласта за счёт его деформации по сравнению с её падением за счёт десорбции и расширения газа [26]. И.А. Эттингер, Г.Д. Лидин и др. [24] оспаривают эту точку зрения, замечая, что эти разнонаправленные температурные эффекты пространственно разделены, т.е. проявляются в различных зонах пласта. Чтобы избежать методических ошибок при экспериментах и математическом моделировании, авторы считают необходимым более детальный анализ процессов в призабойной зоне пласта, которую надо представить как ряд более узких зон (слоёв) с преобладанием в каждой из них какого-либо одного из эффектов [24]. Влияние температур на устойчивость массивов проявляется в возникновении дополнительных (температурных) напряжений в кровле выработок, в их крепи, в стенках выработок и стволов. Для шахт и рудников зоны вечной мерзлоты этот фактор выражен в максимальной степени, т.к. льдосодержащие массивы весьма чувствительны к положительным и знакопеременным температурам рудничного воздуха. В капитальных выработках, их сопряжениях, стволах шахт Восточного Донбасса проводились обширные исследования термонапряженного состояния окружающих их массивов [96,97]. Нагревание горных пород вокруг стволов приводило к возникновению температурных напряжений сжатия на контакте с крепью, как в радиальном, так и в тангенциальном направлении. Это, по оценке авторов, может привести к потере устойчивости ствола. При охлаждении крепи и окружающих пород, контакт между ними может нарушиться. В породах возникают растягивающие температурные напряжения, которые складываясь со сжимающими напряжениями (горного давления), разгружают массив и увеличивают устойчивость породных обнажений ствола. Измерения показали, что температурные напряжения превышают в 3 и более раз напряжения от горного давления, особенно в десятиметровом слое пород, прилегающем к выработке [96,97]. Измерения в шпурах (пробуреных на глубину до 4,0 м) на буроугольных пластах Шурабского месторождения [102,103] с шагом в 6÷30 м, позволили изучать распределение температур в части массива, примыкающей к очистным и подготовительным выработкам. Установлена корреляция температур и напряжений в массиве. Устойчивость выработок в мерзлых породах сильно зависит от их температуры (особенно вблизи 0°С [104÷107]). Мерзлые коренные породы трещиноваты; трещины обычно заполнены льдом или льдонасыщенными дисперсными породами. Густота и размеры трещин превышают таковые в массивах с положительной температурой [104]. Связь между температурой и механическими свойствами возрастает для дисперсных и крупноскелетных пород, в которых кроме льда имеется и незамерзшая вода. Под действием нагрузки и в силу пластичности, лёд может "течь", что описывается реологическими формулами [104]. Выделяются 4 группы выработок: 1) пройденные в мерзлых породах с ТП < −3°С, температура воздуха в которых не превышает ТП; 2) выработки в

251

породах с температурой от −3°С до −1°С; 3) выработки в породах с ТП ≅ ≅ 0°С; 4) выработки, в которые периодически подаётся воздух с положительной температурой, что вызывает протаивание массива. Выработки первой группы, будут устойчивыми, допускают большие пролеты без несущей крепи. В выработках второй группы эти пролёты должны быть гораздо меньше. Третья группа требует крепи с плотностью, определяемой конкретными условиями. Для четвертой группы выработок требуется мощное крепление, рассчитанное на вес оттаивающих пород и на возможные отслоения. Исследования температурного режима массива и выработок на шахте "Кайеркан" [106], позволили, в частности, установить: 1) сезонные колебания температуры воздуха приводят к образованию в мерзлом массиве "термически активной зоны" толщиной более 4,0 м, уменьшающейся с удалением от устья штольни; 2) положительные температуры воздуха обуславливают вокруг выработок "ореол оттаивания", радиус которого на протяжении года изменяется от 0 до 4-х м и также убывает вдоль вентиляционного пути; 3) температурное поле массива изменяется волнообразно с отставанием по фазе от колебаний температуры воздуха; 4) в период времени, когда температура воздуха переходит от положительных значений к отрицательным, в массиве образуется кольцевая зона талых пород, окруженная с внешней и с внутренней стороны мерзлыми породами, промерзание которой может увеличить нагрузку на крепь. Геотемпературное поле ниже границы криолитозоны (зоны "вечной" мерзлоты) также может быть описано аналогично (4.1) [106]:

T ( H ) = Tом + b( H − H 0 ),

(4.21)

где Tом – температура на нижней границе криолитозоны, Tом ≅ −0,1°С; b – геотермический градиент, b ≅ 0,019°С/м (для Воркутинского бассейна); Н, Н0 – глубины определения геотермической температуры и залегания нижней границы криолитозоны. Поскольку в большинстве выработок шахт зоны вечной мерзлоты температура воздуха знакопеременна, устойчивость выработок должна рассматриваться с учетом этого фактора. Массив, подвергаемый знакопеременному термическому воздействию, разрушается более интенсивно [107]. Прочность и модуль упругости Е при циклической термообработке образцов пород изменялись в разные стороны, принимая, после 20÷25 циклов некоторое предельное значение. Авторы вводят понятие термической усталости горных пород и термоусталостной прочности (предельной) [107]. Сложность и недостаточная изученность термомеханических явлений затрудняют построение адекватных математических моделей, однако потребности промышленности стимулируют осуществление попыток применения в этой сфере известных методов термоупругости и термоползучести. Для оценки количества тепла, выделяющегося при необратимых реологических деформациях массива, в [23] предложена формула А.Д. Коваленко, описывающая изме-

252

нение температуры элементарного объёма при его адиабатическом деформировании:

⎡ ⎛ 3λ + 2μ ⎞ ⎤ T = T0 exp ⎢− ⎜ ⎟α T ε ⎥ , ⎣ ⎝ C ⎠ ⎦

(4.22)

где T0 , T – начальная температура и возникающая при деформации ε; λ, μ – по-

стоянные Лямэ; α Т – средний (в интервале температур [ T0 , T ]) коэффициент линейного расширения; С – удельная теплоёмкость среды. При использовании (4.22) для мерзлых горных пород, необходимо, по мнению авторов [23], учитывать то, что: 1) с удалением от забоя скорости смещений и деформаций уменьшаются, затухая на определенном расстоянии; 2) все точки массива в зоне сдвижения проходят цикл напряженно-деформированного и температурного возмущения; 3) в соответствии со скоростью подвигания забоя, рассеяние тепла в горном массиве зависит от удаления от забоя и времени. Конкретный вид функции источников тепла на основе (4.22) не приводится и решения краевой задачи нет [23]. Краевая стационарная (граничная) задача – математическая модель термически-напряженного состояния массива с пройденными в нём выработками рассмотрена в [108]. Плоская статическая задача термоупругости формируется при предположениях: 1) в исходном состоянии массива (без выработок) его напряже0

0

ния − σij , смещения ui = 0, температура T = 0 ; 2) напряжения σij , зависящие от геотектонических условий конкретного месторождения, считаются известными; 3) граничные условия задачи о возмущении начального состояния следуют из задаваемых условий на поверхностях обнажения при вычете из них вектора уси0

лий, соответствующего σij . Система уравнений в смещениях имеет вид:

μ∇ 2 u + (λ + μ) grad div u = γ∇T , ∇ 2T = 0,

(4.23) (4.24)

где u – вектор смещений, T – избыточная, по сравнению с исходной, температура; λ, μ – постоянные Лямэ; γ = α (2μ + 3λ ) ; α – коэффициент линейного теплового расширения. Напряжения и деформации связаны соотношением Дюамеля-Неймана [87]. В такой постановке задача термоупругости является несвязанной; смещения и напряжения зависят от температуры, а обратной связи нет, т.к. температура определяется из уравнения Лапласа (4.24). Задача решалась сведением к сингулярному интегральному уравнению, которое решалось на ЭВМ. Математические модели термоупругости реализуются обычно численно [89,109]. Термомеханические явления важны не только для шахтной теплофизики, но и для горно-технологической, при изучении термического разрушения горных пород, бурения плавлением, разработке тепловых методов добычи полезных ископаемых и технологического оттаивания и разупрочнения мерзлых горных пород [21].

253

§ 42. Теплофизические параметры Теплофизические параметры – параметры уравнений теплопереноса, являются числами – в случае простейшего уравнения (4.2); функциями пространственных координат – в уравнении (4.3) теплопереноса в неоднородных массивах; функциями координат и времени – в уравнении (4.4) теплопереноса в неоднородных и нестационарных массивах. При больших перепадах температур (как, например, при пожарах), теплофизические параметры являются функциями температуры, что делает уравнение теплопереноса нелинейным:

СV (T )

∂T = ∇(λ(T )∇T ) + W (T ). ∂t

(4.25)

В парадигмах шахтной теплофизики [7,8,12,17,21,25], теплофизики почв [1,4, 40,44], теплофизики криолитозоны [31,110÷112] при математическом моделировании теплопереноса (в горном массиве, в почве, в мерзлом грунте соответственно) обычно принимают, на основе соответствующих оценок, что конвенция, излучение, движение флюидов в порах и трещинах либо несущественны, либо могут быть учтены использованием эффективных параметров теплоёмкости Се , теплопроводности λ е и температуропроводности ае = λ е / Се . Для горных массивов эти параметры определяются на основе известных в теплофизике методик лабораторных (на образцах пород) и натурных (переносными приборами в выработках и скважинах) исследований [5,8,46,112÷119]. Кроме этих прямых (экспериментальных) методов, существуют косвенные (расчётные) методы. К последним относятся: метод обратной задачи теплопереноса [40,120÷122]; метод модельных структур [123÷125]; метод корреляций с другими физическими параметрами [126÷130]. Влияние температуры массивов на их теплофизические параметры в интервале глубин, характерных для шахт и рудников (первые километры), незначительно. Для осадочных и магматических горных пород максимальное относительное изменение (уменьшение) λ с ростом температуры составляет (1,0 ± 0,15)% на каждые 10°С прироста температуры; для метаморфизированных пород – (1,4 ± 0,2)% на 10°С, причём изменение это, в обоих случаях, линейное [5,29]. А.П. Тельным и В.А. Стукало была установлена зависимость [126]:

λ = 0,80 + (295λ 0 − 234)Т −1,

(4.26)

где Т – температура, K; λ 0 – коэффициент теплопроводности пород при Т = 295К. Из (4.26) следует, что при λ 0 > 0,8 Вт/(м·K) теплопроводность пород

убывает с ростом температуры, а при λ 0 < 0,5 Вт/(м·K) – возрастает. При λ 0 = 1,0 Вт/(м·K), из (4.26) следует, что при возрастании температуры от Т1 = 295K до Т 2 = 345K ( ΔТ = Т 2 − Т1 = 50K), λ (T2 ) λ(T1) = 0,98 , т.е. уменьшение составляет 2%. Теплопроводность пород с плотнокристаллической

254

структурой практически линейно понижается в диапазоне 25÷100°С, причем темп этого понижения (в % на каждые 10°С): для сланцев – 0,45÷2,5; для песчаника – 1,1÷2,45; для гранита – 1,13 [131]. При высоких температурах горного массива (до 900°С) возможных при подземных пожарах, влияние температуры на температуропроводность изучалось на образцах донецких углей марок Ж, К, Г, глинистого и песчанистого сланцев [132]. Температуропроводность a песчанистого сланца возрастает линейно при Т = 200÷700°С ( a200 = = 2,37·10

−7 2 м /с;

a700 = 4,53·10 − 7 м2/с). Аналогично для глинистого сланца, −7

−7

при Т = 0÷850°С ( a0 = 2,02·10 м2/с; a850 = 4,95·10 м2/с). Для проб углей в диапазоне Т = 0÷250°С температуропроводность возрастала незначительно,

a250 = 1,5·10 − 7 м2/с. При дальнейшем росте температуры температуропровод−7

ность возрастала более быстро, a700 = 5,0⋅10 м2/с. По мере перехода от углей с низкой степенью метаморфизма к углям со средней степенью, температуропроводность при низких температурах оставалась почти постоянной, при

Т = 100°С a100 = 1,3·10 − 7 м2/с [132].

Теплоёмкость горных пород при постоянной температуре их, зависит от минерального состава: N

С = Σ miCi ,

(4.27)

i =1

где Ci , mi – соответственно удельная теплоёмкость, Дж/(кг⋅K) и относительное массовое содержание i -го минерала ( i = 1, N ) в породе. С изменением температуры, различные Ci могут меняться по-разному, поэтому обычно определяют сразу эффективную теплоёмкость C . Её температурная зависимость в диапазоне температур Т = 0÷500°С удовлетворительно описывается формулой [6]:

C = C20 + 0,1n(T ( oC ) − 20),

(4.28)

где C20 – теплоёмкость пород при Т = 20°С; n – постоянная, различная для разных пород. В частности, для кварцито-песчаников, известняков, гранитов n = 2,33; n = 2,4; n = 1,4 соответственно. Линейный рост теплоёмкости с температурой по (4.28) характерен для отсутствия в породах фазовых переходов. Для угля (4.28) справедливо только при Т ≤ 300°С, т.к. при дальнейшем росте температуры интенсифицируется выход летучих компонентов, что понижает теплоёмкость [6]. Влияние давления на теплофизические параметры изучено недостаточно. Измерения в шахтах и скважинах затруднены, а лабораторные данные, в силу масштабного эффекта, являются ориентировочными [1,6]. С повышением давления пористость массива уменьшается, а теплопроводность

255

увеличивается [8]. По данным Е.А. Любимовой, У.И. Моисеенко и других, изменение теплопроводности с ростом давления мало (прирост λ – 1% при

Δр = 103 кг/см2) [133]. Эти данные получены для условий больших глубин, существенно превышающих характерные для шахт и рудников, для геологической среды с малой пористостью. Исследования в ЛГИ на образцах песчаников различной пористости, андезита, липаритового порфира, алевролитоглинистого сланца проводились в камере высокого гидростатического давления [133]. Наибольшее изменение λ наблюдалось при Р ≤ 200 кг/см2. Для разных типов пород интенсивность возрастания и степень восстановления (после нагрузки) первоначальных значений теплофизпараметров изменялась в широких пределах, в особенности – у пористых осадочных пород. Изменение λ плотных малопористых пород с ростом давления оказалось более существенным, чем считалось. Рост λ и а составил 0,4÷1,3%, ρС − на 0,3% на каждые 100 кг/см2 прироста давления. У алевролито-глинистых сланцев (перпендикулярно слоистости) и туфопесчаников рост λ составил соответственно, 3% и 4% на каждые 100 кг/см2 прироста давления. Объемная теплоёмкость СV = ρC у первых оказалась ≅ const , у вторых – увеличилась на 9%. При снятии давления теплофизические параметры не восстанавливались, ввиду необратимых структурных изменений. Влияние влажности горных пород на их теплофизические параметры наиболее существенно для влагонасыщенных осадочных пород с большой пористостью. С ростом глубины и уменьшением пористости, значение этого фактора снижается [8]. Для зон массива, примыкающих к поверхностям обнажения, с повышенной трещиноватостью и пористостью и интенсивными фильтрацией и испарением влаги, можно провести аналогию с процессами теплопереноса во влажной почве, где влияние влажности на коэффициент теплопроводности весьма существенно [40,46]. Экспериментальные кривые зависимости теплопроводности кварцевого песка (при разных температурах) от объемной влажности W показывают, что при W ≤ 10% наблюдается быстрый рост λ (от λ = 0,6 ккал/(см⋅сек⋅K)) при W = 0, до λ = (4,6÷6,8) ккал/(см⋅сек⋅K) при W = 10%) с последующим слабым монотонным возрастанием и стабилизацией при W ≅ 40% [46]. На основе теории теплопроводности гранулированных материалов получены формулы для λ = λ ( W ) [46]. Известны также экспериментальные результаты (А.Ф. Чудновский, Г. Патэн) [8], для нескольких видов почв, подтверждающих возрастание λ с ростом W . Для горных пород различной влажности А.У. Франчуком определены [8] значения λ ( W ), в частности для известняка ( ρ = 1600 кг/м3, m = 35%, измерения λ ⊥ – поперёк слоистости) получены, соответственно при W = 0; 5; 15; 20% значения: λ = 0,430; 0,480; 0,557; 0,627 (ккал/(м⋅час⋅K)). Необходимо заметить, что исследовались породы, используемые в качестве строительных материалов (с набором образцов в карьерах, на малых глубинах), с

256

большей пористостью ( m = 17÷50% [8]). Изменение теплофизпараметров углей при их увлажнении (путем нагнетания воды в пласты по скважинам) изучалось О.И. Черновым [134]. Результаты экспериментов представлены в таблице 13 [134], которая частично воспроизводится в таблице 4.1. Таблица 4.1 Теплофизпараметры угля различной влажности

λ,

Влажность угля, %

ккал/(м⋅час⋅K)

С, ккал/(кг⋅K)

1,29 3,57 5,05 6,80 9,56

0,110 0,142 0,168 0,188 0,220

0,370 0,384 0,424 0,409 0,453

а ⋅104, м2/час 3,58 4,87 5,34 6,75 7,30

Обобщение экспериментальных данных для песчаников и карбонатных пород позволило установить корреляционные зависимости [5]:

λ П (W ) = (λ ПН − λ ПС )W 0,34 + λ ПС ,⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ λ K (W ) = (λ KH − λ KC )W + λ KC .

(4.29)

CП (W ) = (CПН − CПС )W 0,34 + CПС ,⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ CK (W ) = (CKH − CKC )W + CKC .

(4.30)

В (4.29), (4.30): λ П ,λ K – соответственно коэффициенты теплопроводности песчаников и карбонатных пород; СП ,СK – соответствующие теплоёмкости; W – влажность пород (в % ); индексы обозначают: "Н" – насыщенные, "С" – сухие. Для более рыхлых и пористых систем, чем горные породы – уголь в насыпке (дроблённый, отбитый уголь в лаве, выработанном пространстве, на конвейере, в вагонетке, на складе) и закладочный массив (дроблённые горные породы, иногда с добавлением вяжущих, используемые для гидро- и пневмозакладки выработанного пространства) также применимо представление об эффективных теплофизических параметрах, зависящих от плотности и влажности засыпки (закладки). Лабораторные исследования проб измельченного угля с плотностью ρ = 725÷925 кг/м3 и влажностью W = 1,12÷10,68 % привели к установлению с точностью ± 10% корреляционных зависимостей [135]:

λ = 1,164 ⋅ 10 − 4 ρ(1 + 0,16W ), Γ

C = 787(1 + 0,0079V )(1 − 0,01W ) + 41,9W ,

(4.31)

257

Γ

где W – влажность, %; ρ – плотность, кг/м3; V – выход летучих, %; λ и C – имеют, соответственно, размерности B т /(м ⋅ K) и кДж/(кг⋅ К). Для теплофизпараметров закладочных массивов на Ткибули-Шаорском месторождении были также получены зависимости, близкие к (4.29),(4.30) [129,136]. Влияние плотности угля и пород в массиве (или − дробленных) на их теплофизические параметры связано с механизмами теплопереноса в пористой среде [1,5,6,8]. Обобщенные кривые зависимостей теплопроводности песчаника от пористости (при заполнении пор воздухом и водой), приведенные в [1], близки по форме к убывающим экспонентам. Границы m* областей резкого (примерно в 3 раза) снижения λ с ростом пористости ( m %): при заполнении пор воздухом – m* ≅ 18%; при заполнении пор водой – m* ≅ 40%. Последующее убывание λ с ростом m более замедлено [1]. Т.к. плотность пород обратно пропорциональна их пористости, (при фиксированной плотности твердого минерального скелета), то отсюда следует возрастание λ с ростом ρ , причём в широком диапазоне изменение ρ более быстрое, чем линейное. Для осадочных пород Северо-Востока ( ρ = 1,8÷2,6 г/см3) было найдено [131]:

λ = 1,6 – ρ + 0,8 ρ2 (мкал/(см·с·K)).

(4.32)

Объемная теплоемкость СV = ρC (ккал/(м3K)) от плотности не зависит. Для дробленных углей связь λ с ρ дается зависимостью (4.31) ( λ ~ ρ , т.к. диапазон изменения ρ мал). Теплофизические параметры измельченного воздушносухого угля крупностью в 15 мм изучалась в связи с проблемой профилактики эндогенных пожаров [137]. Были получены данные, приводимые в таблице 4.2. Таблица 4.2 Теплофизпараметры дробленных углей

Марки угля

ρ , кг/м3

λ , ккал/( м·час·К)

а ·104 м2/час

Подмосковный Донецкий, Г Донецкий, К

625 760 800

0,103 0,127 0,132

6,6 6,7 6,6

Для дробленных горных пород Донбасса, при Т 0 = 295 было получено [126]:

λ(Т 0 ) = λ 0 = 8,06 ⋅ 10 − 4 ρ − 1,17 ⋅ 10 − 7 ρ 2 − 0,71,

(4.33)

где [λ 0 ] = Вт /(м ⋅ K ); [ρ] = кг/м3. При росте температуры:

λ(Т ) = λ 0 + (Т − 295) ( 8,8 ⋅ 10 − 4 − 4 ⋅ 10 − 7 ρ). 258

(4.34)

Объемную теплоемкость дробленной породы в процессе нагревания её (до любой температуры) предложено определять как произведение таковой для плотной породы на отношение плотностей дробленной и плотной пород [126]. Корреляционные связи теплофизпараметров с плотностью для дробленных пород, используемых в качестве закладочного материала, установлены Ш.И. Ониани и Т.Г. Пирцхалавой [128,136]. Пониженная плотность и обусловленное ею уменьшение λ характерно не только для засыпок или закладочных массивов. В горном массиве, вокруг выработок различного назначения всегда образуются зоны сдвижений и повышенной трещиноватости. На теплофизические аспекты этого впервые обратили внимание Ш.И. Ониани и З.Б. Лебанидзе [138,139]. Средневзвешенная по периметру выработки ширина этой зоны нарушения оплошности составляет ≅ 4÷5 м. Исследования показали, что при снижении плотности пород в этой зоне на 20% ( ρ уменьшается с 2500 кг/м3 до 2000 кг/м3), теплопроводность снижается почти в 4 раза для песчаников и в 1,8 раза для листоватых сланцев [138]. Деформация массива меняется со временем, поэтому возникающая в этой зоне в момент её образования (вскоре после возникновения поверхности обнажения) зависимость ρ = ρ( r ) (где r – удаление от центра выработки), переходит в зависимость ρ = ρ(r , t ) . Поэтому теплопроводность в этой разуплотненной зоне также от начального λ = λ (r ) переходит в λ = λ ( r , t ) [139]. Эта нестационарность массива усугубляется испарением из него влаги, что сильно влияет на величину эффективных теплофизпараметров. Для оценки погрешности в определении теплопритоков q из массива в выработку ( ε q , %), обусловленной использованием модели однородного массива, кривая λ = λ (r ) аппроксимировалась ступенчатой функцией, т.е. зона разуплотнения рассматривалась как слоистая (пятислойная) среда. Для квазистационарного режима охлаждения массива ( t ≥ 1 года) коэффициент теплообмена α в граничных условиях III-го рода заменялся на эффективный коэффициент теплопередачи КТ [138]: −1

⎛ 1 5 δi ⎞ КТ = ⎜⎜ + Σ ⎟⎟ , δi , λi = const, i = 1,5. ⎝ α i =1 λi ⎠

(4.35)

Сравнительные расчеты по [36] с заменой α на КТ показали, что пренебрежение зависимостью λ = λ (r ) и использование λ = λ 0 = const [36], приводит к существенным

ошибкам

при

определении

q

2

(Bт / м )

[138].

2

Для

ΔТ = 2

= Т П − Т В = 15°С, t = 1 год − q (λ 0 ) = 12,5 B т / м , а q (λ(r )) ≅ 4,5 B т / м ; 2

2

при t = 5 лет − q (λ 0 ) = 9,5 B т / м , а q (λ(r )) ≅ 4,0 B т / м ; при t = 10 лет −

ε q ≅ 56%. На основе измерений и расчетов, авторы пришли к выводу об обязательности учета зависимости λ = λ (r ) при математическом моделировании теп259

лопереноса в горных массивах. Удельная теплоемкость считается при этом постоянной [138,139]. Влияние минералогического состава и структуры горных пород на их теплофизические параметры связано с гетерогенностью и многофазностью геологической среды [1,5÷7]. Количество элементов этой среды в некотором объеме (минеральных частиц, связующего, пор, трещин) зависит от его величины, что приводит, при определении эффективных теплофизических параметров, к масштабному эффекту [4,41]. Обычно выделяется представительный объем среды, содержащий, в средних пропорциях, её основные структурные единицы (зерна, поры, цемент) – расчетная ячейка. Её структура моделируется некоторым идеализированным по форме сочетанием элементов – структурной моделью. В моделях массопереноса (см. Гл. 2) часто используется блочная модель Г.Л. Когана [140]: массив рассматривается как упаковка твердых частиц сферической формы – сорбционных блоков с диффузией в них метана, а зазоры между частицами образуют фильтрационное пространство. Модели теплопереноса в шахтной теплофизике являются однотемпературными (т.е. всей элементарной ячейке приписывается одна температура, без различения температур скелета и флюида), а сама ячейка обычно представляет собой комбинацию нескольких термических сопротивлений, способ соединения которых определяется структурной моделью. По эквивалентному термическому сопротивлению находят эквивалентную (эффективную) теплопроводность элементарной ячейки [45÷47]. Эффективная теплоемкость определяется (4.27), а температуропроводность – по формуле ae = λ e ρC . Этот метод (метод модельных структур) именуется по-разному: "теория теплопроводности гранулированных материалов" [46]; "принцип обобщенной проводимости" [47]; "тепловой закон смесей" [45] и др. В.А. Стукало и А.П. Тельным предложен метод определения теплофизических параметров осадочных горных пород по их минералогическому составу и пористости [123÷125] на основе этого метода [45,47]. Горная порода рассматривалась как пористая среда с гетерогенным твердым скелетом (состоящим из совокупности минералов и цемента - связующего). При расчете теплопроводности скелета λ ск принималась кубическая форма элементарной ячейки с тепловым потоком, перпендикулярным грани куба:

[

λ ск = 1 + ϑа (1 − λ е λ а ) 1 − ϑ1а/ 3 (1 − λ е λ а ) λе

]

−1

,

(4.36)

где λ е , λ а – соответственно коэффициенты теплопроводности минеральных частиц (заполнителя) и связующего (глинистый цемент гидрослюдянистого состава); ϑа – относительная объемная доля частиц заполнителя. Форма ячейки выбрана из соображений простоты, с учетом того, что для других моделей и направлений потока тепла отклонения от (4.36) составляет ~ 5% [45]. Поскольку коэффициенты теплопроводности основных зернистых включений в исследуемых видах пород – аргиллитах, алевролитах, песчаниках близки между собой, принято:

260

N

λ а = Σ λi ϑi ,

(4.37)

i =1

где λ i – коэффициент теплопроводности i - го зернистого включения; ϑi – относительный (к объему заполнителя) объем этого включения. Для кристаллического кремнезема получено [45]:

λ а = 3,03 + 2,31 ⋅ 10 4 Т −1,48 .

(4.38)

Для осадочных горных пород методом источника тепла постоянной мощности найдено [123]:

λ e = 2284(Т + 898) −1,

(4.39)

где, как и в (4.38), Т измеряется в градусах Кельвина. Для плотных горных пород, образованных N минералами и содержащих воду, теплопроводность скелета определяется [124]:

lg λ ск =

N +1

Σ ϑi lg λi ,

(4.40)

i =1

где λ i (i = 1, N ) – теплопроводности минералов; λ N +1 – теплопроводность воды; ϑi – относительный объем компонентов. Коэффициент теплопроводности пористой горной породы λе рассчитывался по формуле Г.Н. Дульнева [47]:

λе 2νF (1 − F ) = F 2 + ν(1 − F ) + , λ ск 1 − F (1 − ν) где F = F (m) – функция пористости (табулирована); ν = λ Γ / λ ск ; λ Γ – теплопроводность газа в порах. Сравнение результатов расчетов по методике авторов [125] с данными измерений показало, что их отклонение по λ составило 12÷15%, по СV − 10÷12% [124]. Теплофизические параметры основных породообразующих минералов осадочных пород приведены в [125]. Общей тенденцией является рост λ с ростом содержания в породе кварца и размера его зёрен [133]. Наряду с методом модельных структур, теплофизпараметры горных пород могут определяться методом корреляций с геофизическими параметрами массива. Ранее уже проводились некоторые из таких корреляций (с температурой, плотностью, влажностью массива). Известны корреляции теплофизпараметров со структурными элементами (размером минеральных зерен) и с макропараметром, характеризующим интегрально геологическую среду на больших масштабах – скоростью распространения продольных упругих волн. Статистической обработкой данных по ряду горных пород установлены корреляции теплофизпараметров со средним размером зëрен [5]. Для карбонатных пород:

261

λ = 2,84l − 1,37, rλ = 0,70; а ⋅ 107 = 12,9l − 7,43, ra = 0,77. Для песчаников:

λ = 4,7l − 1,02, rλ = 0,83; а ⋅ 107 = 8,0l − 13,8,

ra = 0,77.

Для алевролитов:

λ = 19,6l − 0,9, rλ = 0,97; а ⋅ 107 = 67,8l − 6,8,

ra = 0,93.

Здесь l – средний размер зерна минерала; rλ , ra – коэффициенты корреляции соответственно для λ и a . Взаимосвязь теплофизпараметров со скоростью распространения продольных упругих волн обоснована теоретически [5,127]. А.В. Вачаевым на основе модели распространения продольной волны в породах (при определении параметра этой модели экспериментально) получено [130]:

λ = 0,14 sh(0,003μϑ p ) + Lo T ρe−1,

где μ – коэффициент Пуассона; Lo = 2,45·10

−8

2

(B K

−2

) – число Лоренца;

T – абсолютная температура, K; ρe – удельное электросопротивление породы; ϑ p – продольная скорость распространения звуковых волн. Для различных бассейнов и режимов получены корреляции теплофизпараметров с ϑ p , как правило простейшего вида [5]:

λ = a1ϑ p + b1, a = a2ϑ1 + b2 , ai , bi = const, i = 1,2. Опыт определения теплофизпараметров различными методами показал, что их величины весьма изменчивы, причем не только в региональных, но и в масштабах отдельной шахты и даже пласта. Поэтому в инженерных расчетах используют некоторые усреднённые, характерные для района или бассейна величины, обычно приводимые в справочно-нормативной литературе [8,13, 16,36]. Для шахт Донбасса обширные исследования осуществлены А.Н. Щербанем с сотрудниками; учитывалась анизотропия свойств, определялись коэффициенты теплопроводности вдоль ( λ II ) и нормально напластованию ( λ ⊥ ) и средние величины [8]. Был предложен и использован графоаналитический метод [141,142]. Образцы пород с глубин 600÷1000 м изучены для Рурского и Саарского бассейнов (Германия) [13]. В таблице 4.3 приводятся некоторые из табличных данных [13,16,36]. К теплофизпараметрам массива (неоднородного) можно отнести те, которые характеризуют свойства крепей, перемычек, бутовых полос, теплоизоляционных материалов, примыкающих к массиву и участвующих в формировании температурного поля неоднородной системы (например системы "массив-слой теплоизоляции"). Некоторые из значений теплофизпараметров таких материалов, приведенных в [16,36], даются в таблице 4.4.

262

К теплофизическим параметрам (понимая их как параметры краевых задач теплопереноса) кроме СV ,λ, a можно отнести также коэффициент теплообмена α и термоградиентный коэффициент δ [14,25]. Коэффициент теплообмена α между стенкой выработки (границей массива) и вентиляционным воздухом в шахтной теплофизике определяется на основе гидродинамической теории теплообмена (турбулентного переноса тепла ограниченным потоком), аналогично определению коэффициента турбулентной диффузии (см. гл. 3). Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 5. В настоящей главе, при формулировке граничных условий III-го рода к краевым задачам теплопереноса, α считается известной постоянной величиной или функцией времени. Термоградиентный коэффициент δ определяется выражением для плотности потока массы при взаимосвязанном тепломассопереносе в массиве [18,63]: j m = −λ m (∇u + δ∇T ), (4.41) где j m – вектор плотности потока массы; λ m – коэффициент влагопроводности; u – влагосодержание горных пород; T – абсолютная температура; δ – термоградиентный коэффициент. Величина δ определяет долю потока массы, обусловленную градиентом температуры. Обычно δ – малая величина, трудно поддающаяся экспериментальному определению. В ряде работ, рассматривающих математические модели взаиосвязанного тепломассопереноса в массиве, предлагается использовать данные (по δ и другим параметром тепломассопереноса), полученные А.В. Лыковым и другими в иных условиях и для других сред [17,18, 37,41].

Таблица 4.3 Теплофизпараметры горных массивов

Горная порода, полезное ископаемое 1

ρ,

а ⋅ 104,

кг/м3

С,

λ,

ккал/(кг·К)

ккал(м·час·К)

м2/ч

2

3

4

5

3,38

38,0

3,51

58,0

2,89

48,8

0,216

6,59

0,236

7,18

Бассейны и месторождения Урала Массивный серный колчедан 5111 0,174 Грубозернистый серный 4756 0,127 колчедан Густой вкрапленник пирита 4084 0,145 в квaрце Бурый уголь Коркинского 1202 0,273 месторождения Каменный уголь Кизеловского 1346 0,244 бассейна

263

Пордолжение табл. 4.3 1

2

3

4

Криворожский железорудный бассейн Руда мартитовая, джеспилито- 3650 0,128 4,25 видная Роговик магнетито-мертитовый 3500 0,145 4,1 Песчаник крупнозернистый

2560

0,151

2,34

Песчаник мелкозернистый 2658 0,198 2,84 Донецкий угольный бассейн, Центральный район 2395 0,24 0,99 Песчаник (угол падения 38°) Песчаник (параллельно напла2590 0,167 1,52 стованию) Уголь (перпендикулярно 1174 0,279 0,124 напластованию) 2596 0,208 1,23 Известняк (угол падения 6°) Донецкий угольный бассейн, средние значения параметров Песчаник 2440 0,204 2,20 Глинистый (песчанистый) сла- 2570 0,216 1,52 нец Известняк 2478 0,212 0,846 Уголь 1225 0,283 0,251 Саарский угольный бассейн (Германия) Глина 2750 0,200 1,75 Слоистый песчаник 2575 0,195 2,90 Глинистый сланец 2725 0,205 2,21 Песчаник 2780 0,195 3,63

5

91,0 81,0 60,7 54,0 17,3 35,2 4,02 22,8 43,7 29,3 16,0 7,4 31,8 57,8 39,6 67,0

Для горных пород Ткибули-Шаорского месторождения коэффициент δ был определен косвенным методом [122]. Для случая отсутствия потока массы, из (4.41) следует

⎛ ∂θ ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂θ ⎞ δ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = Cm ⎜ ⎟ , ⎝ ∂T ⎠u ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂Т ⎠u

(4.42)

где θ – потенциал влагопереноса; Cm – коэффициент удельной изотермической массоемкости. Для нахождения ( ∂θ / ∂T )u, изотермы сорбции водяного пара горными породами обрабатывались, осуществлялось графическое дифференцирование. Величины Cm были найдены заранее и представлены в виде

Cm = Cm ( u, T ). В результате из (4.42) была получена зависимость δ = δ(u , T ) ,

весьма чувствительная к изменению аргументов. Данные представлены таблич-

264

но [122], однако использование их при моделировании тепломассопереноса, на наш взгляд, весьма проблематично. Таблица 4.4 Теплофизпараметры крепёжных и изоляционных материалов Материал Бетон Железобетон Пенобетон Бутовая кладка Шлак гранулированный Дерево Шлаковата Пенопласт (ФРП-1) Пенополистирол (ПСБ-6) Перлитопластобетон Пенополиуретан (ППЦ-6)

ρ,

а⋅104,

кг/м3

С,

λ,

ккал/(кг·К)

ккал(м·час·К)

м2/ч

1900–2270 2200–2400 400–600 1700–2200 500–600 500–800 200–300 75–100 50 230 60

0,21 0,20 0,25 0,20 0,18 0,60 0,18 0,38 0,40 0,32 0,36

0,8–1,1 1,2–1,3 0,15–0,20 0,8–1,2 0,10–0,15 0,12–0,20 0,034–0,070 0,037–0,040 0,033 0,041 0,033

20,0–23,0 27,1–27,3 13,3–15,0 23,5–27,3 11,1–13,9 4,0–4,2 9,4–13,0 10,5–13,0 16,4 5,6 15,1

Глава 15. Однородные изотропные массивы Простая, сильно идеализированная модель горного массива, в которой он считается однородным и изотропным, пространственно неограниченным, окружающим единичную выработку цилиндрической формы, лежит в основе парадигмы шахтной теплофизики [8]. Температурное поле в таком массива – одномерное и нестационарное, т.е. Т = Т ( r , t ) , где область r ∈ [0, R0 ) – горная выра-

ботка, а r ∈ [R0 , ∞ ) – область Ω + горного массива. Иногда рассматривается процесс теплопереноса в конечной области массива Ω = {r ∈ [R0 , R1 ]}. Для таких областей краевые задачи теплопроводности (теплопереноса) с граничными условиями I-го, II-го, III-го родов изучались в математической физике [64,143÷145]. Использование их в качестве математических моделей теплового режима подземных сооружений (тоннелей, шахт, рудников, трубопроводов) стало распространенным с середины прошлого века [38,146,147]. Рассматривались модели простейшего вида: начальные температуры в массивах считались не зависящими от координаты – T ( r ,0) = TП = const ; в граничных условиях I-го и III-го родов температура вентиляционного воздуха считалась постоянной — TВ = const . Источниками (стоками) тепла в массиве пренебрегали. Эти простейшие модели, основанные на однородных краевых задачах, в ходе разви-

265

тия парадигмы усложнялись. Формулировались модели, учитывающие начальную температурную неоднородность массива и наличие в нём источников (стоков) тепла – неоднородные краевые задачи. Дальнейшее усложнение моделей теплопереноса в однородных и изотропных массивах шло по пути приближения к реальным условиям шахт – рассмотрения краевых задач с переменными параметрами – с зависящими от времени граничными условиями I-го и III-го родов и сопряженных краевых задач – с граничными условиями IV-го рода, учитывающими взаимосвязь температурных полей массива и рудничного воздуха.

§ 43. Однородные краевые задачи Основная, парадигмообразующая модель [8,16÷18] была предложена О.А. Кремневым [147]:

⎛ ∂ 2T 1 ∂T ⎞ ∂T ⎟, T = T (r , t ), r ∈ Ω + = {r ∈ ( R0 , ∞)}, t > 0. (4.43) = a⎜ 2 + ⎜ r ∂r ⎟⎠ ∂t ⎝ ∂r T (r ,0) = TП = const , lim T (r , t ) = TП , t > 0. r →∞

(4.44)

∂T = α(T (r , t ) − TB ) , TB = const . (4.45) r = R0 ∂r r = R0 В (4.43)÷(4.45): T (r , t ) – одномерное температурное поле в массиве; r – радиальная координата; t – время; λ, a – коэффициенты теплопроводности и температуропроводности массива ( λ, a = const ); TП , TB – постоянные температуры массива и воздуха; α – коэффициент теплообмена между стенкой выработки и рудничным воздухом ( α = const ). Решение этой III-ей краевой заλ

дачи было получено преобразованием Лапласа по времени в виде: ⎛ r ⎞⎡ ⎛ r ⎞⎡ μ μ ⎤ ⎤ Υ0 ⎜⎜ μ ⎟⎟ ⎢ J 0 (μ) + J1 (μ)⎥ − J 0 ⎜⎜ μ ⎟⎟ ⎢Υ0 (μ) + Υ1 (μ)⎥ Bi Bi 2 ⎦ ⎦ − μ 2 Fo d μ ⎝ R0 ⎠ ⎣ ⎝ R0 ⎠ ⎣ θ= e 2 2 π μ μ μ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ μ + μ + Υ μ + Υ μ J J ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0 Bi Bi ∞

∫

⎛ r ⎞ T (r , t ) − TB at αR0 θ = θ⎜⎜ , Fo ⎟⎟ = , Fo = 2 , Bi = . R T T − λ R ⎝ 0 ⎠ B П 0

(4.46)

Здесь θ – безразмерная температура массива; Fo, Bi – числа Фурье и Био; J 0 , J1, Υ0 , Υ1 – функции Бесселя нулевого и первого порядка, первого и второ-

го родов соответственно. Для критерия Кирпичева Kuτ = K τ R0 / λ (безразмерного K τ ) из (4.46) получено:

266

∞

4 Kuτ = 2 π

∫ 0

−1

2 2 ⎧⎪⎡ μ μ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫⎪ −μ 2 Fo d μ (4.47) . ⎨⎢ J 0 (μ) + J1 (μ)⎥ + ⎢Υ0 (μ) + Υ1 (μ)⎥ ⎬ e μ Bi Bi ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎩ ⎪⎭

Интеграл в (4.47) вычислен с точностью до 0,05% для ряда значений Fo и Bi, что позволило номографировать эту формулу [8]. Модель теплопереноса при интенсификации его, обусловленной испарением влаги на стенке выработки, когда можно считать α → ∞ , а граничное условие задавать I-го рода, формулировалась аналогично (4.43)÷(4.45)(с изменением условия (4.45) на условие I-го рода). Решение этой I-й краевой задачи можно получить, положив в (4.46) α → ∞ :

θ=

2 π

∞

∫ 0

⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ J 0 (μ) ⋅ Υ0 ⎜⎜ μ ⎟⎟ − Υ0 (μ) J 0 ⎜⎜ μ ⎟⎟ ⎝ R0 ⎠ ⎝ R0 ⎠ e −μ 2 Fo d μ . μ J 02 (μ) + Υ02 (μ)

(4.48)

Для расчета теплопритоков из массива к воздуху в тупиковых частях выработок (т.е. определения K τ для призабойной зоны проходимой выработки), задача (4.43)÷(4.45) была видоизменена. Предполагалось, что примыкающей к забою массив имеет форму, дополняющую полусферу до полупространства, что в сферической системе координат – {r > R0 , ϕ ∈ [0,2π], Ψ ∈ [0, π] }, с учетом симметрии температурного поля в массиве (независимости его от угловых координат ϕ и Ψ ), привело к уравнению теплопереноса:

⎛ ∂ 2 r 2 ∂T ⎞ ∂T ⎟, T = T (r , t ), r > R0 , t > 0. = a⎜ 2 + ⎜ ∂t r ∂r ⎟⎠ ⎝ ∂r

(4.49)

Для (4.49) использовались краевые условия (4.44)÷(4.45), что привело к третьей внешней краевой задаче для полусферы, а при использовании вместо (4.45) граничного условия I-го рода – к первой внешней краевой задаче. Решение третьей краевой задачи, полученное преобразованием Лапласа [8]:

⎡⎛ r ⎤ ⎞ ⎛ Bi ⎞ R0 ⎧⎪ ⎡ (r R0 ) − 1⎤ ⎜ ⎟ ( ) + θ =1− ⎜ − exp − 1 Bi 1 ⎟ ⎨erfc⎢ ⎢⎜ ⎥× ⎟ ⎥ Bi + 1 r R 2 Fo ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎣ ⎦ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦

[

]

(r R0 ) − 1⎤ ⎫ ⎡ 2 + × erfc⎢(Bi+ 1) Fo + exp (Bi 1 ) Fo ⎬, ⎥ 2 Fo ⎦ ⎣ ⎭

(4.50)

267

z

2 2 где erfc z = 1 − erf z , erf z = e−ξ d ξ . π

∫ 0

Аналог (4.47) имеет вид:

[

(

) (

)]

Bi 2 Kuτ = Bi− 1 − exp (Bi+ 1) 2 Fo erfc (Bi+ 1) Fo . . Bi+ 1

(4.51)

При α → ∞ из (4.50) следует решение первой краевой задачи

R ⎡ (r / R0 ) − 1⎤ θ = 1 − 0 erfc⎢ r ⎣ 2 Fo ⎥⎦

(4.52)

Аналогичные модели для областей Ω + и Ω рассматривались многими авторами применительно к шахтам, рудникам, тоннелям, скважинам [38,148÷151]. Обзоры этих работ, главным выводом из которых является отсутствие существенных отличий от моделей Щербаня-Кремнева [8], имеются в [7,13,14,17,18,25, 30,152,153]. Реальная форма поперечного сечения выработок отличается от круговой. В рудничной аэрологии, при аэродинамических и газодинамических расчетах используется эмпирически обоснованное понятие эквивалентного кругового сечения с приведенным диаметром d пр = 4S / П , где S – площадь сечения выработки; П – периметр его (см. Гл. 3). Этот же прием применяют и в шахтной теплофизике [8,16,36]. Круговая форма сечения выработки усложняет матмодель относительно щелевидного её сечения, когда уравнение (4.43) становится одномерным, но в декартовых координатах, и упрощает относительно реальных сечений выработок (которые могут быть арочными, трапециевидными, квадратными, прямоугольными и т.д.). В ряде работ (при моделировании теплопритоков к очистным выработкам и выработанным пространствам) используют щелевидные формы выработок, что значительно упрощает вид решений [85,136, 154] А.Ф. Воропаев предложил остроумный метод приближенного пересчета K τ , найденного для одномерного декартового массива, к K τ для массива – внешности кругового цилиндра [9]. При исследовании образования охлажденной зоны вокруг выработки прямоугольного сечения использовался метод элементарных балансов [8]. Были найдены температурные поля и теплопритоки в выработку для t ≤ 2000 часов. Для выработки квадратного сечения с эквивалентным радиусом, равным круговому, теплопритоки практически совпали с рассчитанными для круговой выработки. Для выработок прямоугольного сечения с отношением сторон 2:1 различия по теплопритокам были около 10%. Аналогичная задача, с близкими результатами, была решена численно Х. Луригом [155]. Моделирование температурных полей вокруг капитальных выработок одинакового сечения, но различной формы (круглое, квадратное, прямоугольное, сводчатое) на электроинтеграторе, показало [156], что средневзве-

268

шенная (использованная в случае геотермической начальной температурной неоднородности массива) температура поверхности круглой выработки выше, чем для других ее форм. В [157] рассмотрена выработка, форма поверхности которой задавалась аналитически, в полярных координатах. Уравнение теплопереноса в массиве записывалось в полярных координатах {ρ, ϕ} и решалось преобразованием Лапласа по t с последующим переходом к бесконечному ряду, первый член которого соответствовал решению для кругового сечения. Найдены два первых члена ряда, которым выражался K τ . В математических моделях теплового режима подземных сооружений, А.С. Галицыным рассматривались сложные формы сечений (шаро-вые, дискообразные, сфероидальные и др. выработки) [33]. Уравнения записывались в специальных системах координат, решения их были чрезвычайно громоздкими. Численным методом рассчитывались температурные поля в массиве вокруг выработок сложной формы в [7]. Показано, что при отношении большего размера прямоугольного сечения к меньшему, превышающем 2,0, погрешность определения K τ по эквивалентному круговому сечению более 10% и быстро возрастает с ростом этого отношения [7]. Инженерное использование результатов работ [7,33] крайне затруднительно.

§ 44. Неоднородные краевые задачи Краевые задачи теплопереноса с начальным распределением температур в массиве, зависящем от координат, отнесены к неоднородным задачам, поскольку элементарным преобразованием они приводятся к задачам с однородным (нулевым, в частности) начальным условием, но содержащим в правой части уравнения переноса функцию координат (т.е. к неоднородным уравнениям теплопереноса). При формулировке задач переноса в обобщенных функциях [158÷160], начальное условие вместе с функцией плотности источников (стоков) тепла также входит в правую часть уравнения теплопереноса. В рассмотренных моделях ((4.43), (4.49)) принималось, что при t = 0, T (r , t ) = TП = Т П ( Н ) = const . Однако из (4.1) следует, что геотермическая

температура Т П ( Н ) линейно возрастает с глубиной. Учет этого в модели теплопереноса требует постановки и решения двумерной краевой задачи. Численное решение этой задачи [155] показало, что теплопритоки в этом случае меньше, чем при однородном начальном распределении температуры. Найдено критическое значение геотермического градиента σ* = 0,03 град/м, по превышении которого однородная модель дает существенную погрешность. При σ ≤ σ* учет зависимости TП = Т П ( H ) не обязателен. Более сложная модель (в которой TB = Т B (t ) ) рассмотрена в [161]:

269

∂ 2u

1 ∂u 1 ∂ 2u ∂u + + 2 2− = Ф(Fo), 2 r ∂r ∂ Fo ∂r r ∂ϕ ⎛ ∂u ⎞ u (r , ϕ,0) = Φ1 (r , ϕ,0), = 0, ⎜ − Bi u ⎟ ⎝ ∂r ⎠ r =1

u (r1, ϕ, Fo) = Φ1 (r1, ϕ, Fo), *

*

u ϕ=0 = u ϕ= 2π ,

(4.53) (4.54) (4.55)

*

r = r * r0* ; Fo = aτ* (r0* ) 2 ; Bi = αr0* λ ; 1 ∂f * (Fo) f1* (r , ϕ) − f * (Fo) r1* Φ (Fo) = * ; Φ1(r , ϕ, Fo) = ; r1 = * . * Fo ∂ t0 t0 r0

где u = (t − f (τ )) t0 ;

*

*

*

*

* *

Здесь t ( r , ϕ, τ ) – размерная температура массива; f1 , f , t0 – соответственно начальная температура массива, температура вентиляционного воздуха, масштабное значение температуры. Символы * ("звездочка") обозначают соответствующие размерные величины. Решение этой задачи методом конечных интегральных преобразований дало:

u (r , ϕ, Fo) =

2

∞

∞

Σ ΣΣ i =1 m = 0 n = 0

~ (i ) u~mn (Fo) K mn (r , S mn ) K m(i ) (ϕ),

(4.56)

где суммируемые величины представлены весьма громоздкими интегралами от комбинаций спецфункций. Были получены формулы для локального K τ (1, ϕ, Fo) и усредненного по периметру выработки K τ,ср (1, Fo). Для средних по Донбассу значений теплофизпараметров [36] были выполнены численные расчеты на ЭВМ (БЭСМ-6). Сравнение результатов расчетов с известными формулами [8] показало, что K τ , найденные по точным формулам [8] и

K τ,ср (1, Fo) близки, а приближенные формулы для K τ [8] дают существенную погрешность. Авторы делают вывод о целесообразности использования предложенного ими метода при больших размерах выработок ( R0 ≥ 3,0 м) и боль-

ших значениях σ (σ ≥ 0.05 град/м) [161]. Другим важным случаем начальной температурной неоднородности (которую, в отличие от предыдущего случая – "эндогенной" неоднородности – можно назвать экзогенной), является неоднородность температуры, сформировавшаяся в массиве за счет его предварительного охлаждения в течение некоторого времени, предшествовавшего моменту начала моделируемого процесса. Если при t ∈ (0, t1 ) в массиве формировалась охлажденная зона, а при t = t1 начался некоторый переходный процесс (изменения скорости или температуры рудничного воздуха по технологическим или аварийным обстоятельствам), то при моделировании этого процесса отсчет времени начнётся от t = t1 : t ′ = t − t1

270

и

распределение

температуры

в

массиве

T (r , t ) t =t = T (r , t1 ) = 1

= T (r , t ′) t ′= 0 = ϕ(r ) будет начальным условием краевой задачи. Использование в качестве метода решения задач в большинстве случаев преобразования Лапласа по t , приводило к трудностям при неоднородных начальных условиях. Поэтому наряду с точными решениями задач [7,14,17÷20,25,30,33,162÷164] развивались и приближенные [9,10,15, 30,78,82,163,165÷168]. Последние позволяли описывать температурные поля достаточно простыми функциями и получать выражения для ширины охлажденной зоны в массиве δ(t ) = Rδ (t ) − R0 Граничный

радиус

( T ( Rδ , t ) − TΠ )

Rδ (t )

определялся

требованием

малости

разницы

или безразмерной температуры θ от 1,0 ( θ = 1,0 – ε,

ε = (0,1÷0,5)%). В некоторых работах температурное поле в массиве описывалось аппроксимирующими зависимостями, подбираемыми по приближенным решениям или экспериментальным данным [9,10,74,75,7,82,136,156,169,170]. А.Ф. Воропаевым, в частности, температурное поле в массиве, который трактовался как пластина переменной толщины, равной ширине охлажденной зоны δ(t ) , аппроксимировалось кривой второго порядка: 2

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ θ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ , ⎝δ⎠ ⎝δ⎠

x ≤ δ = δ(t ) = 3,46 at ,

(4.57)

где a – температуропроводность массива; t – время его охлаждения. Используя аналогию с решением Н.Г. Трупака для температуры вокруг ледопородного цилиндра [78], М.М. Вяльцев принял, что температурное поле в массиве вокруг вентиляционного ствола описывается формулой:

⎛ x ⎞ θ = erf ⎜ ⎟, ⎝ 4 at ⎠

x ≤ δ(t ) = 4,0 at .

(4.58)

Результаты измерений температур в массиве, на глубине 736 м, на различных расстояниях от ствола показали, что за 10 лет проветривания ствола ширина охлажденной зоны составила 40÷43 м, что несколько меньше, чем следует из (4.58) при подстановке в неё "среднего" значения a . Сопоставление результатов расчетов на ЭВМ по [8], выполненные М.М. Вяльцевым [78] и результатов аналогового моделирования на электроинтеграторе ЭИНП-3/66 [156] вполне удовлетворительно: для времен охлаждения массива в 1,5,10 и 50 лет, соответственно получены размеры охлажденных зон – 16 и 18 м; 30 и 32 м; 43 и 44 м; 85 и 86 м. Из [156] следует также, что в формуле

δ(t ) = z at ,

(4.59)

где z = 3,46 ((4.57)) или z = 4,0 ((4.58)), параметр z является переменным. При интервалах времени до 1 года, z = 3,52, что хорошо согласуется с (4.57) и (4.58). При интервалах t ~ 5 лет и более, z уменьшается, становясь равным

271

z = 2,81 при t = 5 лет и z = 2,74 при t = 10 лет. Дальнейшее уменьшение z невелико: среднее значение его на интервале t = 10÷50 лет − z = 2,65. Близкие результаты дают оценки [18], следующие из приближенной формулы для температуры массива:

Bi R0 ⎛ r − R0 ⎞ erfc⎜ (4.60) ⎟, Bi′ = Bi+ 0,375 . ′ Bi r ⎝ 2 at ⎠ Из (4,60) вытекает, что (4,59) справедливо, если считать, что z = z ( t ) < z0 = 4,0. Функциональная зависимость z = z ( t ), корректирующая формулу θ ≅ 1−

(4.59) на разных временных интервалах, есть "плата за простоту". Фактически, как это ясно из физических соображений и вида решений краевых задач, ширина охлажденной зоны δ ( t ) является функцией теплофизпараметров массива, перепада температур ΔТ = Т П − Т В , чисел Bi и Fo . Это обстоятельство учитывалось еще при обработке измерений в Симплонском туннеле Вейсманом, предложившим формулу [8]:

⎛ δ(t ) ⎞ ⎟⎟ = ρΔT ⋅ t , δ 2 (t ) lg⎜⎜ R ⎝ 0 ⎠

(4.61)

где ρ – эмпирический коэффициент. С целью учета указанных факторов, на основе экспоненциальной аппроксимации

θ = 1 − exp[− β(t )(r − R0 )]

(4.62)

и определения Rδ равенством T ( Rδ , t ) = TП − 0,05 K , была получена приближенная формула [169]:

δ(Fo) = R0

(

)

ΔT 4 J (Fo) + 1 − 1 ln , 0,05

Fo

J (Fo) =

∫ Kuτ (Fo′) dFo′.

(4.63)

0

Для диапазона значений Fo и Bi , интеграл J (Fo) был найден графическим интегрированием номограммы для Kuτ в [8]. Аппроксимация (4.62) соответствует данным измерений температур в массиве и гидромоделирования [82,170]. Экспоненциальная аппроксимация температуры в массиве – начального условия при моделировании различных переходных процессов использовалась в дальнейшем неоднократно [136,164,171,172]. Менее удачной, на наш взгляд, является аппроксимация [173]:

T (r , t1 ) = ϕ(r ) = TП − l r −

m , l, m = const . r

(4.64)

Из (4.64) следует, что при возрастании r , ϕ(r ) убывает, становясь, при r > r* отрицательной. К сожалению эта ошибка не была замечена и в дальнейшем [17,18].

272

Математические модели теплопереноса в массивах с источниками (стоками) тепла немногочисленны. Это обусловлено двумя факторами: отсутствием надежных функциональных зависимостей, описывающих тепловые эффекты механических и физико-химических процессов в массиве; отсутствием (в парадигме шахтной теплофизики) достаточно простых методов решения неоднородных уравнений теплопереноса. Функция плотности источников тепла в явном виде приведена в работах [174÷176], где ею описывается тепловой эффект (тепловыделение) процесса затвердевания бетонной закладки:

q g = q g (t ) = q0 exp(−β t ); q0 , β = const .

(4.65)

Из (4.65) видно, что тепловыделение предполагается изменяющимся только со временем, однородно по всему объему бетонного массива. Это является сильной идеализацией реальной ситуации, которая была предложена еще в [136]. Решение краевых задач теплопереноса в горных массивах (в том числе − неоднородных) с произвольными функциями плотности источников (стоков) тепла (задаваемыми в классе обобщенных функций времени и пространственных координат) и с произвольными (в том числе – разрывными) начальными функциями, стало возможным после появления работ [20,152,162,163]. В них была осуществлена обобщенная постановка краевых задач теплопереноса и разработан универсальный метод решения – метод функций Грина. Уравнение переноса в областях Ω + и Ω [163]:

⎛ ∂ 2u~ 1 ∂u~ ⎞ ~ ∂u~ ⎟ + f (r , t ) + ϕ(r )δ(t ), t ≥ 0, (4.66) = a⎜ 2 + ⎟ ⎜ ∂t r ∂ r ∂ r ⎠ ⎝ ~ – обобщенная температура массива; ~ где u f (r , t ) – функция плотности источников (стоков) тепла; ϕ(r ) – функция начального распределения температуры; δ(t ) – дельта – функция Дирака; ⎧1, t > 0 d θ(t ) u~ (r , t ) = θ(t )T (r , t ); θ(t ) = ⎨ . ; δ(t ) = t ≤ 0 , 0 d t ⎩ T (r , t ) – "обычная" температура массива; θ(t ) – единичная функция Хэвисайда. ~ (r , t ) , ~ f (r , t ) , ϕ(r )δ (t ) принадлежат классам функций: D′(Σ + ) – Функции u обобщенных функций с носителями в Σ + = Ω + × R+ (t ) – в случае области Ω + и D′(Σ1 ) – обобщенных функций с носителями в Σ1 = Ω1 × R+ (t ) – в случае области Ω( R+ (t ) = {t ∈ [0, ∞ )}). Граничные условия к (4.66) I-го рода: ~ (t ), lim u~ (r , t ) = T , r ∈ Ω ; u~ ( R , t ) = μ 0

+

r →∞

П

+

~ (t ), u~ ( R , t ) = μ (t ) = T , r ∈ Ω . u~ ( R0 , t ) = μ 1 1 2 П 1

(4.67)

Решения краевых задач записываются в "представлении потенциала" для Ω + ( u~+ (r , t ) ) и для Ω1 ( u~1 (r , t ) ) [163]:

273

~ ~ u~+ ( r , t ) = G+ * Φ + (t )

Ω+

~ ~ ~ (t )δ′(r − R ) (4.68) , Φ + = f (r , t ) + ϕ(r )δ(t ) + aμ + 0 ~ ~ u~1 (r , t ) = G1 * Φ1 (t )

,

(4.69)

Ω1

~ ~ ~ (t )δ′(r − R ) − T δ′(r − R )] Φ1 = f (r , t ) + ϕ(r )δ(t ) − a[μ 1 0 П 1 ~ ~ Здесь G+ , G1 – функции Грина для областей Ω + и Ω1 ; δ′ – производная от δ – функции по r ; угловые скобки обозначают интегрирование по пространственной области; символ * обозначает свертывание функций по времени. Явный (t )

вид (4.68) и (4.69):

∞

t

u~+ (r , t ) = 2π ∫ d τ 0

∫

~ ~ r ′ d r ′G+ (r , r ′, t − τ)Φ + (r ′, τ),

R0 R1

t

u~1 (r , t ) = 2π ∫ d τ

~

~

∫ r′ d r′G1(r , r′, t − τ)Φ1(r ′, τ).

0

(4.70)

(4.71)

R0

~

Из (4.70) и (4.71) при f ( r , t ) = 0 и f ( r ) = TП следуют ранее полученные [143,144] решения однородных задач для областей Ω + и Ω1 соответственно. Решение краевых задач с граничными условиями III-го рода строится аналогично, но более громоздко. Для функций Грина областей Ω + и Ω1 получены точные и приближенные выражения. Приведем точные формулы для функций Грина первой краевой задачи [163]: ∞

θ(t ) − χ 2 at ~ G+ (r , r ′, t ) = e H 0 (χr ) H 0 (χr ′)χ d χ, 2π

∫

(4.72)

0

H 0 ( χr ) =

N 0 (χR0 ) J 0 (χr ) − J 0 (χR0 ) N 0 (χr )

[J 02 (χR0 ) + N02 (χR0 )]

1/ 2

.

∞ ~ − χ 2n at G1(r , r ′, t ) = θ(t ) Σ e Z 0 (χ n r ) Z 0 (χ n r ′),

(4.73)

n =1

πχ n J 0 (χ n R1)[N 0 (χ n R0 ) J 0 (χ n r ) − J 0 (χ n R0 ) N 0 (χ n r )]

Z 0 (χ n r ) = где

274

{χ n }

[

2 –

]

1/ 2 J 02 (χ n R0 ) − J 02 (χ n R1 )

,

счетное множество корней характеристического уравнения

[163]. На основе (4.70) и (4.71) возможно решение большого числа задач парадигмальной оболочки – определение температуры стенок выработки, K τ и других величин, необходимых для инженерных расчетов при самых разнообразных

~

ситуациях, конкретизируемых выбором вида функций f ( r , t ) и ϕ(r ) . Рассмотрим, следуя [177÷180], три частных случая (таблица 4.5).

В таблице обозначено: χ1 (r ) = 1 при r ∈ [R0 , R1 ] и χ1 ( r ) = 0 при

r > R1; ω0 – мощность источников тепловыделения при окислении на поверхности стенки выработки; q0 (t ), q – переменная и постоянная теплогенерации. Все приведенные в таблице частные случаи, фактически рассматривались как отдельные самостоятельные (базисные) задачи. Полученные решения крайне громоздки, анализ и использование их затруднены. Таблица 4.5 Источники тепла в массивах № Обпп ласть массива

1

2

3

Ω+

-"-

-"-

Начальная температура

ТП

-"-

-"-

Природа источника тепла в массиве

Локализация источника

Вид функции

Метод Пубрешения ликация

Экзотермические реакции (окисление, гидратация цемента) Окислительные процессы, радиоактивный распад

Конечный слой массива

f (r , t ) = χ1 (r )q0 (t ) ρc

Преобразование Ган- [177] келя

Окислительные процессы на стенке выработки

Поверхность стенки выработки r = R0

f (r , t )

r ∈ [R0 , R1 ]

Равномерное распределение

r ∈ [R0 , ∞ )

Преобf (r , t ) = разова- [178] q = = const ние Лап- [179] ласа ρc

f (r , t ) =

ω0 × ρcr

× δ(r − R0 )

-"-

[180]

§45. Задачи с переменными параметрами Переменными параметрами краевой задачи будем называть функции времени в граничных условиях и в уравнении (т.е. теплофизпараметры). Задачи с переменными (во времени) теплофизическими параметрами в парадигме шахтной

275

теплофизики отсутствуют; изменение геометрических характеристик массива со временем, распространенное в реальности (проходка выработок, подвигание лавы, закладка выработанного пространства, сдвижение пород) в математических моделях также практически не отражено. В граничных условиях III-го рода зависеть от времени могут температура воздуха – TB = TB (t ) и коэффициент теплообмена – α = α(t ). Второй случай встречается крайне редко. К задачам с переменными параметрами будем относить и краевые задачи в сопряженной постановке, в которых температура стенки выработки меняется со временем, но не задается априорно, а находится в результате решения системы уравнений теплопереноса в массиве и в выработке при согласовании обоих температурных полей граничными условиями IV-го рода – условиями сопряжения на стенке выработки. Нестационарность горного массива (например при проходке в нем выработки) учитывается приближенно в шахтной теплофизике посредством введения "расчетного времени охлаждения" в К τ . Расчетное время охлаждения tp определяется через времена охлаждения начала выработки tн и конца выработки − tк . Для равномерно проходимой (со скоростью ϑ = const ) выработки: tк =

tн − L / ϑ , где L

длина расчетного участка. Для tp существуют различные формулы (полусумма tн и tк , их среднее геометрическое, комбинация первых –

способов и т.п.) [9,16,36,181÷183]. Определив tp , затем полагают в формулах расчета температуры воздуха [8,36]: К τ = К τ (tp ) . Известен и более последовательный подход, когда К τ усредняется по характерным временным промежуткам – периодам технологических циклов и в тепловых расчетах используются эти, среднеинтегральные значения К τ с р [164,184÷190]. Для определения теплопритоков в подготовительную выработку, забой которой двигался с постоянной скоростью ϑ , была предложена модель теплопереноса вида [191]:

⎛ ∂ 2T 1 ∂r ∂ 2T ⎞ ∂T = a⎜ 2 + + 2 ⎟, r > R0 , ⎜ ∂t r ∂r ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂r

z ∈ (0, ϑt ), t > 0.

(4.74)

Здесь: T = T ( r , z , t ); r – радиальная, z – продольная (вдоль оси выработки) координаты; t – время. На границе массива с выработкой задается граничное условие III-го рода, а при z > ϑt – однородное граничное условие II-го рода:

λ

⎧α(T ( R0 , z , t ) − TB ), ∂T =⎨ ∂r r = R0 ⎩0,

z < ϑt , z > ϑt.

(4.75)

Начальное и граничное (при r → ∞ ) условия соответствуют (4.44). Решение краевой задачи (4.74), (4.75) находится заменой y = ϑt − z с последующим

276

применением преобразования Лапласа по t и по y . Из-за чрезмерной громоздкости полученного решения, оно было автором аппроксимировано степенной функцией. Среднеинтегральное значение критерия Кирпичева Киτ ср определялось интегрированием Киτ по у , с корректировкой параметров аппроксимации по экспериментальным данным [191]. Переменная температура рудничного воздуха Т В = Т В (t ) гораздо бли-

же соответствует реальным условиям шахт, чем случай Т В = const , характерный для первых моделей [8]. Две основных модели с Т В = Т В (t ) рассмотрены в [8]: в первой из них – гармонических колебаний температуры воздуха, описывающей суточную или сезонную периодичность температуры, Т В (t ) ~ сos ωt ; во второй – температура воздуха убывает со временем экспоненциально. Заметим, что в отличие от первой, для второй модели внятной физической модели в [8] не дано. Модель гармонических колебаний совпадает с моделью (4.43)÷(4.45), где

Т В = Т В (t ) = Т ВО + ΔТ cos ωt ,

(4.76)

где ω – угловая частота колебаний; Т ВО – средняя температура воздуха; ΔТ – амплитуда колебаний. Параметры в (4.76) подбираются по данным метеонаблюдений [8]. При решении задачи преобразованием Лапласа, в пространстве изображений решение выражалось через функции Бесселя K 0 ( x) и

K1 ( x) ( x = S / a R0 , S

–

параметр Лапласа). Затем эти функции разлага-

лись в ряды, сходящиеся при x >> 1, с удержанием в K 0 ( x) первого, а в K1 ( x) двух первых членов ряда, по которым искались табличные оригиналы. При этом авторы [8] выпустили из вида, что полученное ими приближение – это приближение "малых времен", т.к. случаю S → ∞ (т.е. x → ∞ ) в пространстве изображений, соответствует случай t → 0 в пространстве оригиналов. Таким образом, полученные приближенные решения справедливы для

Fo = = at R0 2 << 1 и не могут корректно описывать периодический процесс. Эта же ошибка осталась не устраненной в фактических переизданиях [8] – в монографиях [17,18]. Глубина затухания температурных волн – ширина теплоуравнивающей оболочки в [8,17,18] не исследовалась, хотя этот параметр важен при рассмотрении вопросов тепло- и холодоаккумуляции в горных массивах [25,29] и устойчивости горных выработок в криолитозоне [12,21]. Задача определения ширины теплоуравнивающей оболочки решалась путем моделирования температурного поля в массиве при гармонических колебаниях температуры воздуха на электроинтеграторе ЭИНП-3/66 [192]. Для глубин массива до 15,0 м и для общей длительности годовых колебаний температуры в 3,5 года, найдены температурные поля и огибающие различных частот колеба-

277

ний. Обработкой данных моделирования для ширины теплоуравнивающей оболочки В0 получено:

B0 = b − c lg ω + d (lg ω) 2 ,

b, c, d = const,

(4.77)

где значения констант b, c, d увязаны с температуропроводностью массива; угловая частота колебаний изменялась в диапазоне 0,7 ≤ ω ≤ 365. На основании экспериментов на физической модели горного массива вокруг воздухоподающего ствола, авторы [79] пришли к выводу о применимости теории тепловых волн в почве для этого случая [40,46,64,143]. Н.Г. Болотаевой проведен сравнительный анализ формул для К τ при гармонических колебаниях температуры воздуха, полученных О.А. Кремневым [8] и Ю.А. Буденным [193]. Модель исследовалась на гидроинтеграторе В.С. Лукьянова. Сравнение данных гидромоделирования (по К τ ) с данными Ю.А. Буденного дало рассогласование в 15−20%, а с данными О.А. Кремнева – 40÷80% (последние были завышены). Попытка получения приближенного аналитического решения (методом Ю.С. Постольника) основывалась на постановке задачи по [8] (но в безразмерном виде) [194]. Граничное условие при r → ∞ было заменено условием адиабатичности "фронта теплового возмущения" l(t ). Для β(t ) = l(t ) / R0 было получено сложное дифференциальное уравнение первого порядка, при решении которого некоторая функция разлагалась в ряд по степеням (β − 1) с удержанием первого члена ряда. В результате получено:

β(t ) = Kuτ =

l(t ) = 1 + 2,45 Fo , R0

2 Bi(1 − Δθ cos ϕ Fo)(β2 − 1)

2(β2 − 1) + Bi[1 + β2 (2 ln β − 1)]

(4.78)

,

(4.79)

где Δθ – безразмерная амплитуда колебаний температуры воздуха с частотой

ϕ = ωR02 / a. Утверждается, что при Δθ = 0 (4.79) хорошо согласуется с [8]. Формула для ширины теплоуравнивающей оболочки не приводится (194). Полученные результаты вызывают сомнение, т.к. они справедливы для

(β(t ) − 1) 2 << 1 , т.е. β(t ) ~1 и l(t ) ~ R0 .

Для массива вокруг полусферической полости (тупиковая горная выработка [8]) при гармонических колебаниях температуры воздуха, К τ приведены в [17,18]. Формул для ширины теплоуравнивающей оболочки нет. Не ясен смысл постановки такой задачи для призабойной зоны, где длительность цикла подвигания забоя меньше периода суточных колебаний температуры воздуха. В условиях резко-континентального климата (шахты и рудники СевероВостока), колебания температуры воздуха носят характер не синусоидальный, а

278

близкий к прямоугольному, когда годовой ход температуры может быть выражен двумя почти прямоугольными "ступеньками" – средними температурами "теплого" и "холодного" периодов. Этот, кусочно-постоянный периодический режим [165] моделировался граничным условием III-го рода (при стандартной постановке (4.43) – (4.45) с переменной температурой воздуха вида:

TB1 = const, ⎧TB1, Kt2 ≤ t ≤ Kt2 + t1, TB (t ) = ⎨ ⎩TB 2, Kt 2 + t1 < t ≤ ( K + 1)t2 , TB 2 = const, TB 2 < TB1, K = 0,1,2...

(4.80)

Функция TB (t ) разлагалась в ряд Фурье по косинусам и синусам ( Kπt / l )

где l – полупериод изменения TB (t ) . Решение осуществлялось преобразованием Лапласа по t , было крайне громоздким и содержало то же ограничение (справедливость только для малых t ), что и решение задачи гармонических колебаний температуры воздуха [8]. Как важный случай нестационарной температуры воздуха, рассматривался [8,17,18] ее экспоненциальный (убывающий) временной ход: (4.81) TB (t ) = TП − (Т П − Т B 0 ) exp(ct ), c = const . Численных значений постоянной с не приводилось, при решении она исключается логарифмированием (4.81). Физического обоснования, как уже ранее указывалось, (4.81) не имеет. Решение задачи изобилует неточностями. Этот же случай TB (t ) рассмотрен и для сферического массива [17,18]. Приводится так-

же выражение для К τ в случае линейного по времени TB (t ) . Обоснования такого режима нет, нет и оценки того критического значения t* , по превышении

которого, т.е. при t > t* , К τ должен изменить знак (т.к. охлаждение массива сменяется его нагревом при TB (t* ) > Tст (t* )). Много работ в шахтной теплофизике посвящено моделированию процессов теплопереноса при скачкообразном изменении температуры воздуха. В этой модели считается, что при 0 < t < t1 выработка проветривается воздухом с

температурой TB = TB1. Затем, при t = t1, температура воздуха скачком (т.е. достаточно быстро) принимает значение TB = TB 2 ≠ TB1. Такие ситуации возникают при переноске или включении воздухоохладителей, отключении или отказе калориферов, при авариях и т.п. [17,18,83,171,172,195÷201]. Первой работой этого направления была, вероятно [200], где отправной точкой служила приближенная формула для К τ выработок, проветриваемых менее одного года [8]. Близкая задача решалась и в [201]. В [195] использовался метод элементарных балансов и ЭВМ, а полученные численные данные обрабатывались в виде Kuτ = f (Bi, Fo1, Fo 2 , T ), где Fo1 – безразмерное время, соответствующее

279

скачку температуры, Fo 2 – то же для момента времени t 2 после скачка, а T = ΔT1 / ΔT2 , где ΔT1 = TП − TB1, ΔT2 = TП − Т B 2 . Окончательный вид полученной формулы:

Kuτ = Kuτ1 + τ 2 + (1 − Т )( Kuτ 2 − Kuτ1 + τ 2 ),

(4.82)

где Kuτ соответствует времени t = t 2 , прошедшему после скачка температуры, который был при t = t1 ; Kuτ + τ обозначает ту же величину на момент време1

2

ни t = t1 + t2 в отсутствие скачка; Kuτ – для t = t2 при TB = TB 2 . Попытка 2 строгого аналитического расчета в [196] при T ( r ,0) = ϕ( r ) была предпринята с использованием преобразования Лапласа – Карсона. Решение выражалось через ϕ(r ) , где r определялось как "среднее между R0 и r " [196]. Численных результатов, примеров использования не приводилось. В [197] получена формула, эквивалентная (4.82):

K τ* = TK τ + (1 − T ) K τ − τ1 ,

(4.83)

*

где K τ – коэффициент нестационарного теплообмена для момента времени t > t1 ; K τ , K τ − τ – те же величины, для соответствующих моментов времени, 1

найденные при постоянных температурах воздуха [8]; T − та же величина, что и в (4.82). В [17,18] излагается модель [196], но ϕ(r ) аппроксимируется в виде (4.64). Решение крайне громоздко (излагается в [17] на 7-и страницах). Сравнения с (4.83) нет. Рассматриваемая модель является частным случаем базисной задачи в обобщенной постановке [163], где Т B (t ) предполагается произвольной функцией времени, в том числе и кусочно-постоянной (изменяющейся скачкообразно). Эта модель подробно изложена в [198], где получена формула для K τ общего вида, переходящая в условиях [197] в (4.83). Формула эта была в дальнейшем использована в модели аварийного режима (обмерзания) ствола при отказе калориферной установки [199]. В штатных и в аварийных режимах, когда расход воздуха и его скорость в выработке изменяются, становится переменным коэффициент теплообмена α . Краевые задачи теплопереноса с граничными условиями III-го рода, содержащими α = α(t ) , решаются сведением их к сложным интегральным уравнениям [202,203]; в шахтной теплофизике рассматривались только модели со скачкообразным изменением α [171÷173] и линейным по времени [164]. Для случая α = α(t ) в [188] было осуществлено его усреднение по времени, т.е. замена α(t ) → α ; последнее и использовалось в формуле для Kτ . Для случая скачкообразного изменения α (т.е. при α = α1 для t (0, t1 ] и α = α 2 при t > t1 )

280

краевая задача теплопереноса в массиве рассматривалась как задача с α = α 2 , при учете формирования в массиве в предшествующий период охлажденной зоны. Температурное поле в массиве, сложившееся к моменту времени t = t1 при охлаждении его с α = α1 , рассматривалось как начальное условие для за-

дачи охлаждения с α = α 2 [171÷173]. Для упрощения было принято приближенное выражение для T (r , t1 ) = ϕ( r ), следующее не из решения задачи для

t ≤ t1, а полученное аппроксимацией вида [171]:

T (r , t1 ) = ϕ(r ) = TП − (TП − Т ст,0 ) exp(− Ar ),

(4.84)

в которой Т ст,0 – температура стенки выработки при t = t1 , и

A=

α1K τ (t1 ) . λ (α1 − K τ (t1 ))

(4.85)

Задача была решена преобразованием Лапласа, было получено K τ 2 = α 2θ, где θ − безразмерная температура стенки массива при t > t1 . В [173] эта же задача решалась методом, использованным авторами в задаче о скачкообразном изменении температуры рудничного воздуха с аппрокцимацией (4.64) [18]. Получено громоздкое выражение для K τ , сравнения его с формулой [171] (правильной ) – нет. Случай линейного по времени изменения (убывания) α рассматривался в математической модели теплообмена воздуха, движущегося по выработанному пространству с породами почвы и кровли (при плавном опускании кровли) [164]. Для определения K τ был применён прием, являющийся скорее трюком,

годным для конкретного случая, чем общим методом решения задач с α = α(t ) [204]. Все рассмотренные модели являются компромиссом между строгим подходом, требующим постановки и решения задач сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка" и неразвитостью математического инструментария шахтой теплофизики, что этот подход затрудняет. Сопряженные краевые задачи теплопереноса в шахтной теплофизике немногочисленны, т.к. и в теплофизике они представляют собой новое, развивающееся направление [202,203,205]. На "инженерном уровне строгости" такие задачи впервые рассмотрели А.Н. Щербань и Ю.Д. Дядькин [8,12]. Попытки построения более строгих моделей приводили, в силу неэффективности для таких задач применявшихся методов – преобразования Лапласа и интегральных преобразований по пространственным переменным – к крайне громоздким и малопригодным для решения задач оболочки парадигмы выражениям [7,18, 152, 153, 206÷209]. Подходы к построению матмоделей теплопереноса в системах "массив – воздух в стволе" [8] и "мерзлый массив – воздух в выработке" [12] можно на-

281

звать "полусопряженными", т.к. в этих случаях рассматриваются два уравнения переноса – в массиве и в воздухе, но сопряжения температурных полей посредством граничных условий IV-го рода (что является критерием "сопряженности") – нет. Вместо этого используется граничное условие III-го рода, позволяющее представить поток тепла из массива (или – в массив) к воздуху как источник тепла в балансовом уравнении для воздуха. И в [8] и в [12] этот подход сопровождался рядом упрощающих предположений, корректность которых не анализировалась. Более корректно, на наш взгляд, "полусопря-женный" подход был реализован в [210]. Температурное поле в массиве:

∂θ ∂ 2θ 1 ∂θ ξ aτ = 2+ , θ = θ(r , t ), r = , t = 2 = Fo, ∂t ∂r r ∂r R0 R0

(4.86)

где θ – безразмерная температура в массиве; ξ, τ – размерные, а r , t – безразмерные координата и время соответственно; R0 – радиус сечения выработки. Температурное поле в горной выработке:

∂T ∂θ x = + Q, T = T ( z, t ), z = , t = Fo, (4.87) ∂z ∂r r =1 L где T ( z , t ) – температура воздуха; x, z – размерная и безразмерная продольные координаты; B = ρCR0ϑ / 2 Lλ; Q = q / 2πλ; ρ, С , ϑ – соответственно плотность, теплоемкость и скорость воздуха; λ – теплопроводность массива; L – длина расчетного участка выработки; q – мощность источников тепла в выраB

ботке (на 1 погон. м). Краевые условия к системе (4.86), (4.87):

θ(r ,0) = θм = сonst; T (0, t ) = T0 (t );

∂θ = α(θ(1, t ) − T ( z, t )), (4.88) ∂r r =1 −1

δ n ⎞⎟ R ⎛1 α= 0⎜ + , λ ⎜⎝ α n λ n ⎟⎠

Σ

где θм – начальная температура массива; T0 (t ) – произвольная температура воздуха на входе в выработку; α, α – размерный и безразмерный коэффициенты теплообмена; δ n , λ n – толщины и теплопроводности слоев покрытий стенки выработки. Функция T0 (t ) задавалась в кусочно-постоянном виде:

T0 (t ) =

⎧1, t ∈ [ti −1, ti ), t0 = 0, χi (t )T0i , T0i = const, χi (t ) = ⎨ (4.89) [ ) 0 , t t t , i 1 , 2 ... ∈ = ⎩ i −1 i i

Σ

Представление (4.89) удобно тем, что позволяет использовать среднемесячные температуры воздуха, сопоставляя их T0i . Решение задачи осуществлено заменой переменных, использованием метода суперпозиции и интегрального

282

метода Гудмена. Сравнение результатов расчетов K τ по формуле авторов с [143] показало хорошую сходимость (погрешность ≤ 3%) [210]. Анализируя процессы теплопереноса в высокопроизводительных лавах, А.К. Яковенко пришел к выводу о необходимости сопряженной постановки краевой задачи [211]. Массив считался однородным и изотропным; очистная выработка представлялась круговым полуограниченным цилиндром; теплопроводность массива в продольном направлении (вдоль оси выработки) полагалась пренебрежимо малой по сравнению с теплопроводностью в радиальном направлении; гидродинамический режим движения воздуха – установившийся; начальное распределение температуры массива – однородно. Формулировка задачи имела вид (тривиальные начальные м граничные условия – опущены):

⎛ ∂ 2Ts 1 ∂Ts ⎞ ∂Т s ⎟, Ts = Ts (r , t ), r > R0 , t > 0. = as ⎜ 2 + ⎜ ∂t r ∂r ⎟⎠ ⎝ ∂r

(4.90)

∂T a ∂ ⎡ ⎛ λ T (r ) ⎞ ∂T ⎤ ∂T = + ω(r ) r ⎜1 + ⎟ ⎥, ⎢ λ ∂ ∂ ∂t x r r⎣ ⎝ ⎠ ∂r ⎦ r ∈ [0, R0 ), x > 0, t > 0.

(4.91)

λs

∂Ts ∂T =λ , ∂r r = R0 ∂r r = R0

(Ts − T )r = R0

T = T (r , x, t ),

= 0,

x > 0, t > 0. (4.92)

Здесь Ts , T – температуры массива и воздуха; r, x – цилиндрические коорди-

наты; ω(r ) – профиль скорости воздушного потока; λT (r ) – турбулентная теплопроводность потока; λ s , λ – коэффициенты теплопроводности массива и

воздуха; as , a – температуропроводность массива и воздуха. Постановка задачи, как видно, содержит в себе противоречие, связанное с одномерностью температурного поля в массиве при двумерности поля температур потока. Решение задачи было получено приближенно, двойным преобразованием Лапласа. Использование полученных результатов в дальнейших исследованиях не отражено [211]. В содержательной работе [212], являющейся, по сути, кратким анализом проблем шахтной теплофизики с формулировкой программы ее развития, подчеркивается необходимость постановки задач теплопереноса в системе "массиввыработка" как сопряженных. Программа развития парадигмы шахтной теплофизики, изложенная в [212] остается актуальной и сейчас, почти через четверть века после ее опубликования.

283

Глава 16. Неоднородные и анизотропные массивы § 46. Радиально-неоднородные массивы Радиальная (экзогенная) неоднородность горных массивов, как уже говорилось, обусловлена ведением горных работ (проходка и крепление выработок, инъекционное упрочнение разуплотненных массивов, нанесение на стенки выработок гидро- и теплоизоляционных покрытий). Учет теплофизической неоднородности системы "массив-крепь", согласно парадигме шахтной теплофизики [16,36] осуществляется, в большинстве случаев, простой заменой в расчетных формулах коэффициента теплообмена α на коэффициент теплопередачи K : −1

⎛1 δ n ⎞⎟ ⎜ K= , + ⎜α ⎟ λ ⎝ n n⎠

Σ

(4.93)

где δ n , λ n – толщины и коэффициенты теплопроводности слоев на стенке выработки (крепь, гидро- и теплоизоляция и др.). Обычно n = 1, а λ1 берут из таблиц [16,36]. Использовалась формула (4.93) и при вычислении K τ для теплоизолированных массивов [15,213]. В математической модели теплопереноса в системе "массив-бетонная крепь" (строящийся ствол шахты) этот же, по сути, подход был несколько видоизменён рассмотрением в крепи стационарного температурного поля [183]. Использовалась формула А.Ф. Воропаева [9] для K τ , которая была приведена к виду, содержащему вместо α коэффициент K П вида:

где τ0

−1

⎛ π aτ0 l к 1 ⎞ + + ⎟⎟ , K П = ⎜⎜ λк α ⎠ ⎝ λΦ ц

–

(4.94)

время существования сооруженной части ствола; λ, а – параметры мас2 1/ 2 1/ 2

] – коэффициент формы сива, а l к , λ к – крепи; Φ ц = [1+1,6 ( aτ0 / R0 ) [9]. При выводе (4.94) авторы пренебрегли тем обстоятельством, что в формуле А.Ф. Воропаева температура на границе массива Tc = const , в то время как по

смыслу этой задачи Tc = Tc (t ). Более строгий подход был использован в модели теплопереноса в теплоизолированном массиве [214]. Для массива была сформулирована краевая задача:

284

a1t ⎫ , 2 ⎪ (4.95) R1 ⎬ T1 (ρ,0) = T1 (μ, Fo) = TΠ = const, T1 (1, Fo) = ϕ1 (Fo), Fo > 0. ⎪⎭ Здесь R1 – радиус выработки без крепи; a1 – температуропроводность массива; μ = R2 / R1 = 25,0 – безразмерная ширина охлажденной зоны; ϕ1 (Fо) – пере∂T1 1 ∂ ⎛ ∂T1 ⎞ r = ⎜⎜ ρ ⎟⎟, ρ ∈ [1, μ], Fo > 0, ρ = , Fo = ∂ Fo ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ ⎠ R1

менная температура на стенке массива, определяемая в ходе решения задачи. Температурное поле в слое теплоизоляции шириной δ (при δ R1 << 1 ) описывалось задачей:

⎫ ∂T2 ∂ 2T λ2 = a2 2 , x ∈ [0, δ], t > 0, a2 = ; ⎪ ∂t (ρC ) 2 ⎬ (4.96) ∂x T2 ( x,0) = T20 = const, T2 (0, t ) = T20 , T2 (δ, t ) = Ψ (t ), t > 0.⎪⎭ Система (4.95), (4.96) замыкалась граничным условием IV-го рода на границе массив – теплоизоляция ( ρ = 1, х = δ ):

T1 (1, Fо) = ϕ1 (Fо) = T2 (δ, t ) = Ψ (t ), λ1

∂T1 ∂T = R1λ 2 2 . (4.97) ∂ρ ρ =1 ∂x x = δ

Таким образом, задача сформулирована как задача теплопереноса в неоднородной двухслойной системе. Использованный здесь метод решения – введение на границе между слоями неизвестной функции ϕ1 (Fо) = Ψ (t ) , которая определялась из интегрального уравнения типа свёртки, полученного из второго условия (4.97), был затем назван методом функций склейки, обоснован, развит и применен к ряду задач базиса и оболочки парадигмы шахтной теплофизики [20, 159, 162÷164,215÷218]. Система (4.95) ÷(4.97) была решена комбинацией методов Бубнова−Галёркина и преобразования Лапласа. Для рассмотренных случаев радиальной неоднородности, характерной особенностью было наличие двух (или более) слоев с различными, но постоянными значениями теплофизпараметров – слоистая неоднородность. После работ Ш.И. Ониани и З.Б. Лебанидзе [138,139] актуальным стало моделирование теплопереноса в слоисто-неоднородных системах. Массив, как обосновано утверждали указанные авторы, в результате проходки в нем выработки, в приконтурной зоне разуплотняется, становится выражено трещиноватым. В этой зоне происходит также интенсивное испарение влаги. В итоге эффективный коэффициент теплопроводности в этой зоне становится переменным, зависящим от r и, в общем случае, от времени. Вне зоны свойства массива не меняются. Таким образом, массив представляет собой двухслойную систему, в первом слое ( r ∈ ( R0 , R0 + δ)) которой λ1 = λ1 (r ) , или λ1 = λ1 ( r , t ) , а во втором

слое ( r > R0 + δ ) λ 2 = const . Авторы оценили теплопритоки в выработку из слоисто-неоднородного массива по сравнению с однородным и установили су285

щественное их различие (теплопритоки из однородного массива оказались завышенными). Оценив критически существенные характеристики парадигмы шахтной теплофизики [212], авторы сформулировали требования к более реалистической модели теплопереноса в системе "массив-выработка": 1) горный массив неоднороден и анизотропен; 2) массив является слоисто-неоднородной средой, в которой выделяется четыре слоя (зоны) с различными свойствами; 3) в первом слое (ближайшем к выработке) механизм теплопереноса кондуктивноконвективный, сочетающийся с диффузионным переносом пара; 4) во втором слое перенос влаги становится фильтрационно-диффузионным; 5) в третьем слое – кондуктивный теплоперенос через скелет пористой среды и водозаполненные поры; 6) в четвертом слое – вне зоны слияния горных работ, процессы переноса протекают как в нетронутом массиве; 7) скорость воздуха в выработке и в воздуховоде зависят от времени и продольной координаты; 8) определяющую роль в теплопереносе в воздухе играет турбулентная теплопроводность; 9) теплоперенос в системе "массив-выработка" должен рассматриваться как сопряженный [212]. На реализацию выдвинутой в [212] программы были фактически направлены (хотя далеко не во всех из них имеется ссылка на [212]) работы [7,17,18,39,152,153,162÷164,172,173,177÷179,191,211,215,219, 220]. Математические модели теплопереноса в системе "массив-крепь-воздух" были предложены в [219,220]. Для случая бетонной или железобетонной крепи, имеющей идеальный термический контакт с массивом, краевая задача имела вид [219]:

εк

∂U к = ∇ 2U к U к = U к (r , τ), к = 1,2, τ > 0, ∂τ ⎛ ∂U1 ⎞ = 0, τ > 0, − HU1 ⎟ ⎜ ⎝ ∂r ⎠ r =1

(U1 − U 2 )r = δ = 0,

(4.98)

∂U ⎞ ⎛ ∂U1 −ω 2 ⎟ = 0, τ > 0, ⎜ ∂r ⎠ r = δ ⎝ ∂r

U1 (r ,0) = 0, U 2 (r ,0) = 1,0,

lim U 2 (r , τ) = 1,0, τ > 0.

r →∞

Здесь к = 1 соответствует крепи, а к = 2 – массиву; U к – безразмерные 2

температуры; τ = a1t / R1 ; r = ρ / R1; H = αR1 / λ; δ = R2 / R1; ω = λ 2 / λ1; ε к = 1 при к = 1 и ε к = a1 / a2 при к = 2; t , ρ − время и радиальная координата; R1 – внутренний радиус выработки; R2 − R1 – толщина крепи. Задача (4.98) решалась преобразованием Лапласа по t , что привело к необозримым выражениям для U к . Для выработок большого радиуса, когда кривизной поверхности

286

теплопередачи можно пренебречь, задача трактуется как одномерная с декартовой координатой х вместо ρ . Это несколько упрощает конечные выражения. Для сплошного, высокотеплопроводного крепления выработки (металл, железобетон) т.е. (λ1 / λ 2 ) >> 1 , рассмотренная задача упрощается [220]. Полагая,

кроме того, ( R2 − R1 ) / R1 << 1, уравнение теплопереноса в крепи приводится к виду "сосредоточенной теплоемкости" [143]:

α(T1 − TB ) + λ 2

∂T2 dT − (ρC )1 l 1 = 0, ∂r r = R2 dt

(4.99)

где величины – размерны, а l = R2 − R1 – толщина крепи. Уравнение (4.99) является уравнением баланса тепла в крепи, полученным усреднением по толщине крепи уравнения теплопереноса в ней. Далее (4.99) используется как граничное условие задачи теплопереноса в массиве. Задача решалась преобразованием Лапласа с приближенным (годным для малых t ) переходом от изображений к оригиналам аналогично [8]. Полученная формула имеет достаточно сложный вид. Математическая модель процесса воздействия на теплопритоки из массива путем подавления окислительных процессов на его поверхности нанесением специального теплопоглощающего покрытия, предложена в [221]. Постановка задачи аналогична предыдущим, за исключением неоднородности уравнений: в уравнении теплопереноса в массиве задан сосредоточенный на его поверхности источник тепла f 0 (r ) = (ω0 ρCr )δ( r − R0 ), а в уравнении для нанесенного

слоя (теплопоглощающего покрытия) – однородный сток тепла f1 = = ω1 (ρC )1 . Здесь ω0 , ω1 – соответственно удельная теплогенерация окислительных реакций и удельное теплопоглощение (за счет химических реакций) в объеме поглощающего слоя; (ρС ) и (ρС )1 – объемные теплоемкости массива и слоя; δ( r − R0 ) – дельта-функция Дирака. Используется, как и ранее, прибли-

жение "тонкого слоя" ((l / R0 ) << 1) и уравнение для теплопоглощающего слоя преобразуется в граничное условие "сосредоточенной теплоемкости" типа (4.99). Задача решалась преобразованием Лапласа [221]. Попытка обобщенного анализа задач теплопереноса в N-слойных (плоских и цилиндрических) системах, возникающих в теплофизике подземных сооружений, была предпринята в [33]. Решение искалось в виде U i ( r , t ) =

= Ti (t )Vi (r )(i = 1, N ) , что накладывает ограничения на вид начальных распределений. Задача сводилась к задаче на собственные функции и собственные значения, что привело к чрезвычайно громоздким структурам решения. Обозримый результат в итоге получен не был. Попытка иного обобщения – рассмотрения модели неоднородного и одновременно анизотропного массива была предпринята в [7]. Уравнения переноса в крепи (к = 1) и в массиве (к = 2) имели вид 287

n 2 ∂Т к (к ) ∂ Т к = λ ij (ρС )к + qv(к ) , к = 1,2. ∂t i, j =1 ∂хi ∂x j

Σ

(4.100)

Граничные условия формулировались на криволинейных поверхностях контактов "крепь-воздух" и "крепь-массив" и были весьма громоздки. Для решения использовались теория тепловых потенциалов (простого, поверхностного, объёмного) и метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). Выкладки и полученные авторами формулы (промежуточного характера) чрезвычайно громоздки. Практически эти же задачи рассмотрены и в [18,222,223]. В [222] рассматривалась двухслойная модель на основе известных решений А.В. Лыкова [64], по которым был найден K τ . В [18], где решение приведено с достаточной полнотой, изложение его для однородной двухслойной задачи потребовало более 8 страниц.

§ 47. Слоистые массивы Слоистой (эндогенной) неоднородностью характеризуется естественное залегание осадочных горных пород. Типичной для шахт является трехслойная система "почва-пласт угля-кровля", которая в случае полной закладки выработанного пространства, по мере подвигания забоя переходит в трехслойную систему "почва-закладка-кровля". Как и в случае радиальной неоднородности, существует тенденция к "упрощению" – замены неоднородного (слоистого) массива однородным с "эквивалентными" параметрами [8,36,224]. Первые модели теплопереноса в слоистых горных массивах принадлежат, видимо, Ш.И. Ониани [136]. Им и его сотрудниками рассматривались системы "уголь-закладка-порода" на основе моделей теплопереноса в слоистых и в слоисто-неоднородных системах [128,136,225,226]. Начальное температурное поле в прилегающих к слою закладки угольном и породном массивах было, по данным шахтных наблюдений (Ткибули-Шаорского месторождения), описано экспонентой [136]. Закладка рассматривалась как неограниченная пластина с начальной температурой Т 30 ; с двух сторон к ней примыкают полуограниченные слои породы и угля (такую идеализацию позволяет принять большая мощность угольных пластов данного месторождения). Теплофизические параметры угля, породы и закладки постоянны и различны. Начало координат располагается в закладке, на расстоянии l1 от ее границы с углем, на "нейтральной линии" – адиабатической границе, с помощью которой трехслойная система редуцирует-

288

ся на две двухслойные – "уголь-закладка" и "закладка-порода". Для первой подсистемы:

∂T3 ∂ 2T3 = a3 2 , T3 = T3 ( x, t ), ∂t ∂x ∂T y

x ∈ (0, l1 ), t > 0.

(4.101)

∂ 2T y

= ay , T y = T y ( x, t ), x ∈ (l1, ∞), t > 0. (4.102) 2 ∂t ∂x T3 ( x,0) = T30 , Ty ( x,0) = Ty 0 − δ1 exp[− σ1 ( x − l1)] − Γy ( x − l1 ). (4.103) ∂T y ∂T3 T3 (l1, t ) = T y (l1, t ), λ 3 = λy + λ y Γy . ∂x x = l 1 ∂x x = l 1 ∂T3 = 0, ∂x x = 0

∂T y ∂x x → ∞

= −Γy .

(4.104)

(4.105)

Здесь T3 , Ty – температуры в закладке и в угле; λ 3 , а3 , λ у , а у – теплофизические параметры закладки и угля; Ty 0 , δ1, σ1 – постоянные аппроксимации начального распределения температуры в угле; Γy = const – геотермический градиент в угольном массиве. Для второй подсистемы краевая задача идентична. Аналогичные краевые задачи сформулированы [136] для случаев, когда начальные температуры в угольном и породном массивах аппроксимируются линейными и квадратичными по координате кривыми. Для случая, когда в силу непрерывного пространственного изменения теплофизпараметров во всех трех слоях рассматриваемой системы, она является слоисто-неоднородной системой, формулировка краевой задачи имела вид [226]:

⎧ x1 ∈ (−∞,−l / 2), i = 1, ∂ ⎛ ∂Ti ⎞ ∂Ti ⎪ ⎟⎟ , t > 0, xi ∈ Ωi = ⎨ x2 ∈ (−l / 2, l / 2), i = 2 , (4.106) ⎜⎜ ai ( x) = ∂xi ⎠ ∂t ∂xi ⎝ ⎪ x ∈ (l / 2, ∞), i = 3, ⎩ 3 где i = 1,2,3 обозначают, соответственно, уголь, закладку, породу. Начальные и

граничные условия к (4.106) совпадают с (4.103)÷(4.105). Решение этих задач осуществлялось электромоделированием [136] и методом сеток [226]. В [136] приводится также аналитическое решение А.В. Лыкова [64], весьма громоздкое и численно не реализованное, в [225] – решение по методу А.В. Иванова (т.н. метод "клеточных функций Грина"), заполняющее 17 стр. текста. Характерно замечание авторов в [225] о том, что численные расчеты по их формулам привели к парадоксальным результатам (нарушению закона сохранения энергии) по вине программистов, в свою очередь заявивших о правильности программы и неправильности расчетных формул. Это недоразумение, в котором правы

289

программисты, легко объяснить. Дело в том, что постановка краевой задачи (4.101)÷(4.105) и других аналогичных некорректна. Ошибочными являются: начальное условие (4.103) (из-за члена с Γy ); второе из условий сопряжения полей (4.104) (допускающее существование источника тепла λ y Γy на границе слоев); второе из условий (4.105) (следствием которого является бесконечная (по модулю) температура при х → ∞ ). Следует заметить, что большинство задач решалось на электроинтеграторе, где перечисленные неточности автоматически устранялись. Температурные поля в двухслойных системах "руда − бетонная закладка" и "породный массив − закладка" рассматривались в [14,30,174÷176,227]. Постановка задач следовала [64,143], но содержала усложнение – уравнение для поля в закладке было неоднородным – содержало функцию плотности источников тепла (4.65). В зависимости от соотношения размеров и форм породного (рудного) и закладочного массивов, были предложены схематизации реальных систем слоистыми [30]: а) система двух полуограниченных тел (при значительных плановых размерах и мощностях массивов); б) система неограниченная пластина (с толщиной равной мощности закладки), помещенная между двумя полуограниченными телами (породный массив) – при плановых размерах породного и закладочного массивов, многократно превышающих мощность закладки; в) система из неограниченного цилиндра (с эквивалентным радиусом, найденным по мощности и высоте закладки), помещенного в неограниченную среду (породный массив) – при мощности и высоте закладки во много раз меньших, чем ее длина; г) система из шара (с эквивалентным радиусом, найденным из условия равенства реального объема и объема шара), помещенного в неограниченную среду (породный массив) – при мощности, длине и высоте закладочного массива, отличающихся по величине друг от друга в 2−3 раза. На границе двух массивов – закладочного и породного – задаются граничные условия IV-го рода, а начальные температуры принимаются постоянными и различными. Решение заключалось в определении K τ по известным решениям [64,143]. Показано, что термическое влияние контакта разных сред, в каждой из них, для произвольного t > 0 локализовано (приближенно) в зоне влияния с шириной δi , вне которой сохраняются начальные температуры (закладки и породы): ⎧1 − для закладки δi = δi (t ) ≅ 3 ait , i = ⎨ (4.107) 2 − для породы . ⎩ Модель теплопереноса в трехслойной системе "почва – закладка кровля" в обобщенной двумерной постановке предложена и исследована в (164,218). Подробно эта модель будет рассмотрена во II-й части настоящей работы. В работах, связанных с разработкой и испытанием системы теплового дренажа высокотемпературных горных массивов, рассматривались модели ох-

290

лаждения пласта угля водой, циркулирующей по скважинам, пройденным по пласту угля параллельно линии забоя [92,93,228÷233]. Система "почва – пласт угля - кровля" считалась теплофизически однородной, а температурное поле в массиве вокруг скважины находилось по известной формуле Д. Егера [143]. Взаимовлияние нескольких скважин затем учитывалось "принципом суперпозиции". В качестве обоснования этого "принципа" ссылаются на эксперименты с двумя скважинами (в песке), на основании которых было получено [29]:

Ε1− 2 = Ε1 + Ε2 − Ε1Ε2 ,

(4.108)

где Ε1 – безразмерная температура в среде, вызванная действием первой сква-

жины (в отсутствие других скважин); Ε2 – то же, для второй скважины; Ε1− 2 – результирующая безразмерная температура, обусловленная действием двух скважин. Теоретическим обоснованием в [167] служит ссылка на [234] и на формулу В.А. Романова и О.Ф. Путикова для суперпозиции двух скважин [29]. В [234] действительно постоянно используется принцип суперпозиции, однако при этом в это понятие вкладывается иной смысл. В формуле В.А. Романова и О.Ф. Путикова, где левая часть и два первых выражения правой совпадают с (4.108), на месте Ε1Ε2 стоит J (t ) – интеграл временной свертки двух функций. Оценок этого интеграла, показывающих что J (t ) ≅ Ε1Ε2 , нет. Наряду с (4.108) [176,229], используют и "усеченную" формулу [176]: Ε1− 2 = Ε1 + Ε2 . (4.109) Применяется также и "обобщенная" формула [174,230,233]: n

n −1

n −1

Σ Εi = Εn (1 − Σ Εi ) + Σ Εi .

i =1

i =1

(4.110)

i =1

Ясно, что формулы (4.108)÷(4.110) в равной мере сомнительны. Математическая модель теплового дренажа, учитывающая реальную теплофизическую неоднородность рассматриваемой системы, предложена и исследована в [216,217].

§ 48. Анизотропные массивы Анизотропия теплопереноса в горных массивах связана с природной анизотропией породных и угольных пластов, возникшей при их образовании [1,2,8,13]. В парадигме шахтной теплофизики, до появления хотя и построенных на очень сложном матаппарате, но корректных работ В.А. Киреева [7,19,235], анизотропия учитывалась простыми моделями переноса или, чаще всего, введением "эквивалентных" λ экв по формулам [8,16,36]:

1 ⎛ λ + λ II λ + λ II ⎞ ; λ экв = λ ⊥ ⋅ λ II ; λ экв = ⎜ ⊥ λ экв = ⊥ + λ ⊥λ II ⎟ , (4.111) 2 2⎝ 2 ⎠ 291

где λ ⊥ – коэффициент теплопроводности пласта в поперечном направлении (по мощности); λ II – коэффициент теплопроводности пласта по простиранию. Расчеты В.А. Киреева показали, что использование формул (4.111) ведет к существенным погрешностям при определении температур и K τ [19]. Уравнение теплопереноса в анизотропном массиве уже приводилось ранее (4.100). Решалось оно методами тепловых потенциалов и ГИУ [7,19]. Более простая формулировка краевой задачи для анизотропного массива предложена в [235]:

1 ∂T ∂ 2T ∂ 2T (4.112) = Κ ан 2 + 2 , T = T ( x1, y1, t ), x1 y1 ∈ Ω1, t > 0, a1 ∂t ∂x1 ∂y1 T ( P1,0) = ϕ( P1), P1 = P1( x1, y1 ), P1 ∈ Ω1, T ( P1, t ) < ∞, t > 0, (4.113) ∂T + α 2 (T − f (t ) ) L = 0, (4.114) ∂N где Ω1 – область неоднородного слоистого массива, примыкающего к выработке; Ox1,Oy1 – оси координат, совпадающие, соответственно, с простиранием пластов и нормально к ним; Κ ан = λ II / λ ⊥ – коэффициент анизотропии массива; λ II , λ ⊥ – коэффициенты теплопроводности вдоль осей Ox1 и Oy1 ; a1 = λ ⊥ /(ρc) ; α 2 = α / λ ⊥ ; α – коэффициент теплоотдачи от стенки выработки к воздуху; f (t ) = TBО + ΔT cos ω t – сезонная динамика температуры воздуха; ∂T / ∂N – конормальная производная T ( P1, t ); L – кривая, задающая контур выработки. Решение (4.112)÷(4.114) пишется в виде обобщенного двумерного теплового потенциала простого слоя [236], что приводит к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода. Если массив анизотропный и неоднородный (т.е. λ ⊥ и λ II зависят от координат), то уравнение теплопереноса имеет вид [237]:

ρС

∂T ⎞ ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ = ⎜ λ II ( x, y ) ⎟ + ⎜⎜ λ ⊥ ( x, y ) ⎟⎟ . ∂y ⎠ ∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝

(4.115)

Решение (4.115) осуществлялось приближенно, методом смены стационарных состояний. В математической модели теплопереноса в слоистом анизотропном горном массиве вокруг цилиндрической выработки калийного рудника, для упрощения задачи, мелкослоистый массив был заменён на однородный анизотропный. Было принято, что теплофизпараметры в любой точке массива вдоль напластования и перпендикулярно ему постоянны и различны [238]:

∂T ∂ 2T ∂ 2T = a x 2 + a y 2 , T = T ( x, y, t ), x, y ∈ Ω, t > 0, ∂t ∂x ∂y

292

(4.116)

где a x , a y – коэффициенты температуропроводности вдоль соответствующих

y, ~ y = R sin ϕ, x = R cos ϕ, уравнение осей. Заменами a y = α a x , y = α ~ (4.116) было преобразовано в уравнение теплопереноса в изотропном массиве: ⎛ ∂ 2T 1 ∂T ⎞ ∂T ⎟ , R ∈ ( R0 , ∞), t > 0. = ax ⎜ 2 + ⎜ R ∂R ⎟⎠ ∂t ⎝ ∂R

(4.117)

Краевые условия к (4.117):

T ( R0 ,0) = TΠ , T ( R0 , t ) = T0 , T (∞ , t ) = TΠ , t > 0.

(4.118) Уравнение (4.117) было решено аналитически, из решения было получено выражение для полного потока тепла, проходящего из массива через периметр выработки: 2π

Q=−

∂T ∂T ( λx cos ϕ + λ y sin ϕ)R0 d ϕ. ∫ ∂x ∂y

(4.119)

0

Приведены полученные экспериментально значения параметров массива для Березниковского рудника: а х = 0,0094÷0,0250 м2/час; а у = 0,0240÷0,0320 м2/час; a х = 0,0168 м2/час; a у = 0,0277 м2/час [238].

Глава 17. Влагосодержашие массивы § 49. Специфика процессов теплопереноса Рассмотренные ранее горные массивы считались "условно сухими" – наличие в них эндогенной и экзогенной влаги учитывалось эффективными значениями теплофизпараметров. При наличии в массиве мощных источников влаги (рудничные и термальные воды, закачка в пласты больших объемов воды), описание теплопереноса эффективными теплофизпараметрами становится неадекватным: конвективный перенос (фильтрующейся влагой) будет соизмерим с кондуктивным теплопереносом [212,239÷242]. Конвективно-кондуктивный теплоперенос в массивах моделировался в геотермальной теплофизике (проблема подземных тепловых котлов) [243,244], в теплофизике нефтяных пластов [240], в геотермических и гидрогеотермических исследованиях [242, 245÷246]. В шахтной теплофизике таких моделей мало, т.к. обычно используются различные "поправки" к K τ ; большее внимание уделялось тепловым эффектам фильтрации газо – воздушных смесей в выработанном пространстве [247] и фильтрации газов в угольных и породных пластах. Влияние на теплопритоки из массива фильтрующихся в нем термальных вод учитывается обычно эмпирическими формулами [14,36,248]. 293

Анализируя процессы тепло- и холодоаккумуляции во влагосодержащих массивах, Ю.В. Шувалов вводит понятие о естественных и искусственных фильтрующих каналах [29,167]. К первым относятся пористые и трещиновато-пористые коллекторы (пласты угля и породы), отдельные крупные трещины, зоны тектонических нарушений. Ко вторым относятся обрушенные породы в выработанном пространстве, гидро- и пневмозакладка, раздробленная камуфлетным взрывом горная масса, скважины, каналы в твердеющей закладке и в пласте угля, отдельные крупные трещины или их системы, созданные гидроразрывом или гидрорасчленением [239,249]. Движение влаги по естественным или искусственным каналам интенсифицирует теплоперенос в массиве и должно быть отражено в его уравнении. Теплоперенос интенсифицируют также фазовые переходы влаги в массиве. На больших глубинах, при высоких температурах массивов, в их зонах, примыкающих к поверхностям обнажения и на этих поверхностях происходит испарение влаги, т.е. фазовый переход "жидкость−пар". В горных выработках шахт и рудников в криолитозоне, под воздействием сезонных колебаний температуры рудничного воздуха, происходят процессы оттаивания и промерзания пород, т.е. фазовые переходы "вода−лед". Остановимся на некоторых моделях конвективно-кондуктивного теплопереноса, а далее рассмотрим модели процессов с фазовыми переходами. Все модели конвективно-кондуктивного переноса можно представить двумя классами: "канал" и "фильтрующая среда". К первым относятся модели, рассматривающие теплоперенос в системе "массив−канал", когда температурное поле в массиве и в движущемся по каналу флюиде описываются различными уравнениями. Эти поля взаимосвязаны между собой посредством граничных условий на стенках канала – III-го или IV-го рода. Роль "канала" при этом играют отдельная крупная трещина или скважина. Ко второму типу моделей – "фильтрующая среда" относятся любые естественные или искусственные пористые и трещиновато-пористые среды, теплоперенос в которых описывается, как правило, одним уравнением, что предполагает равенство температур твердого скелета и подвижного флюида. Модель типа "канал" – для процесса охлаждения массива (теплового дренажа его) водой, движущейся по трещине гидроразрыва, рассмотрена в [239]. Трещина представлена щелью толщиной 2 δ ; неоднородный горный массив – эквивалентным изотропным и однородным с эффективными параметрами ρе , Се , λ е , ае . Теплоперенос в массиве и в трещине описывается уравнениями:

∂T ∂ 2T = ae 2 , ∂t ∂y ∂θ ∂θ ∂ 2θ +ϑ =a 2, ∂t ∂x ∂y 294

y > 0, t > 0,

y ∈ (−2δ,0),

x > 0, t > 0,

(4.120)

(4.121)

где T , θ – температуры в массиве и в движущейся со скоростью ϑ жидкости; x – продольная (вдоль трещины), а y – поперечная координаты; a – температуропроводность жидкости. Из (4.120) и (4.121) видно, что в данной модели (что характерно для большинства из них) тепловым кондуктивным потоком вдоль трещины пренебрегают по сравнению с конвективным и продольным потоком тепла в массиве – по сравнению с поперечным, т.е. принято, что:

λ

∂θ << ρcϑθ; ∂х

λе

∂T ∂T << λ e . ∂x ∂y

(4.122)

Физически допущения (4.122) правомочны, однако при замыкании системы уравнений (4.120), (4.121) граничными условиями IV-го рода (условиями сопряжения) приходим к противоречию в постановке краевой задачи. Действительно, авторы [239] приняли эти условия:

T ( x, y , t ) y = 0 = ( x, y , t ) y = 0 ; не

λе

∂T ∂ =λ , ∂y y = 0 ∂y y = 0

(4.123)

обратив

внимания на следующее. Поскольку из (4.121) следует = ( x, y, t ) , то из (4.123) следует, что и T = T ( х, y, t ) . Однако из (4.120) следует, что T = T ( y, t ) . Это же противоречие уже встречалось в задаче сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка" – (4.90)÷(4.92). Задача (4.120), (4.121), (4.123) была решена преобразованием Лапласа. Разновидностью модели "канал" является модель теплопереноса при фильтрации жидкости через трещиновато-пористую среду (кусковой материал), заключенную между породами "почвы" и "кровли" (модель подземного теплового котла) [30]. Упрощающие предположения соответствуют "схеме Ловерье" [240,242]. Уравнение теплопереноса в кусковом материале:

ρ e Ce

∂T ∂T1 + ρ ф Сфϑ 1 = q, ∂t ∂x

x > 0, t > 0,

(4.124)

x – продольная (вдоль пути фильтрации) координата; ρeCe = = m ρфСф + (1 − m)ρC ; m – трещинная пористость; ρф , Сф , ρ, C – соответственно плотность и теплоемкость фильтрата и кусков горной породы; q – теп-

где

лопритоки в "канал" из массива (из пород почвы и кровли). Для теплопереноса в массиве использовано уравнение: ∂T2 ∂ 2T2 =a 2 , ∂t ∂y

y > 0, t > 0,

(4.125)

где a – температуропроводность массива (принятая одинаковой для пород почвы и кровли); y – поперечная (по нормали к пути фильтрации) координата. Для члена q , описывающего теплопритоки в "канал" из почвы и кровли, получено:

295

t

∂T ⎛ 2 ⎞ ∂ T20 − T1 ( x, τ) q=λ 2 dτ, =⎜ λ(ρC ) ⎟ ∂y y = 0 ⎝ h π t−τ ⎠ ∂t 0

∫

(4.126)

где h – мощность "канала"; T20 – начальная температура массива. Подстановка (4.126) в (4.124) приводит к интегро-дифференциальному уравнению, решаемому затем приближенно преобразованием Лапласа. Несколько более сложная по сравнению с рассмотренной, но близкая идейно модель теплопереноса в подземном тепловом котле предложена в [250]. Характерной моделью теплопереноса в "фильтрующей среде" является рассмотренная в [241]. Температура в любой малой области среды (в "макроточке") считается одинаковой для скелета пористой среды и для фильтрата, а суммарный поток тепла – кондуктивно-конвективный: 3 ⎛ ∂Т ⎞ ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ 3 ⎜⎜ λi ⎟⎟ − ρфСф ⎜⎜ ϑi ⎟⎟. ρeCe = ∂t i =1 ∂xi ⎝ ∂xi ⎠ i =1 ∂ х ⎝ i⎠

Σ

Σ

(4.127)

Уравнение (4.127) описывает трехмерный, кондуктивно-конвективный теплоперенос в анизотропной среде. Здесь ρeCe – эффективная плотность и тепло-

емкость среды; λ i , ϑi – компоненты теплопроводности среды и скорости фильтрации воды. Одну из первых моделей такого типа предложили, выведя соответствующее уравнение, В.Я. Журавленко и А.В. Шурчков. Они рассмотрели [243] ячейку пористой среды в форме параллелепипеда, уравнение баланса тепла в которой:

⎛ ∂ 2T1 ∂ 2T1 ⎞ ∂T2 ∂T1 = λ1β⎜ 2 + 2 ⎟ + + mγ 2C2 (1 − m) γ1C1 ⎜ ∂x ∂t ∂t ∂z ⎟⎠ ⎝ ⎛ ∂ 2T ∂ 2T 2 ⎜ + λ1ε + 2 ⎜ ∂x 2 ∂z ⎝

⎞ ⎟ − εγ C ⎛⎜ ϑ ∂T2 + ϑ ∂T2 ⎞⎟, x z 2 2 ⎟ ∂x ∂z ⎠ ⎝ ⎠

(4.128)

где T1, T2 – температуры в скелете и в жидкости; γ1, C1 , λ1, γ 2 , C2 , λ 2 – соответственно плотность, теплоемкость и теплопроводность скелета и жидкости; m – объемная пористость среды; ϑ x , ϑ z – продольная и поперечная компоненты вектора скорости фильтрации; β – доля площади скелета в площади сечения грани параллелепипеда; ε – то же для жидкости. Затем делаются упрощающие предположения: T1 = T2 , β = ε = m и в итоге из (4.128) следует уравнение теплопереноса в квазигомогенной анизотропной среде:

∂T ∂ 2T ∂ 2T Сν = λx 2 + λz 2 , ∂t ∂x ∂z 296

(4.129)

где Сν – объемная эффективная теплоемкость, Сν = (1 − m) γ1C1 + mγ 2C2 ; G = εϑ x γ 2 – удельная массовая скорость фильтрации жидкости; λ 0 =

+ λ1 + ελ 2 – средневзвешенная теплопроводность. Эффективные параметры λ x и λ z определяются формулами: ⎛ ∂ 2T ⎞ ⎟ λ x = λ 0 − C2G ⎜ 2 ⎜ ∂x ⎟ ⎝ ⎠

−1

⎛ ∂ 2T ⎞ ⎟ λ z = λ 0 + γ 2C2εϑ z ⎜ ⎜ ∂z 2 ⎟ ⎝ ⎠

−1

∂T , ∂x

(4.130)

∂T . ∂z

Уравнения типа (4.127) и (4.129) неоднократно использовались при математическом моделировании процессов теплопереноса в гидрогеотермических системах [242]. Моделирование температурного поля пласта угля при закачке в него по скважине теплоносителя с дебитом g , в предположении изотропии системы трещин вокруг скважины (т.е. радиально-симметричного растекания фильтрата из скважины) осуществлялось на основе уравнения [249]:

gC p ⎞ 1 ∂T ∂ 2T С ∂T ∂ 2T ⎛ ⎟ = + ⎜1 − + , r ∈ [rc , ∞ ), λ ∂t ∂r 2 ⎜⎝ 2πhλ ⎟⎠ r ∂r ∂z 2

h z < . (4.131) 2

Здесь C , λ – теплофизпараметры пласта с мощностью h ; C p – теплоемкость фильтрата; rc – радиус скважины; z – координата, нормальная пласту. В [249] на основе (4.131) и уравнения теплопереноса в массиве (параметры почвы и кровли принимались одинаковыми) была сформулирована задача теплопереноса в слоистой системе, решавшаяся численно.

§ 50. Фазовые переходы "вода-пар" Процесс теплопереноса в массиве, сопровождающийся испарением влаги внутри него и на поверхности обнажения, в шахтной теплофизике традиционно именуется "тепломассообменом". Ранее рассматривались экспериментальные работы по "тепломассообмену" (кавычки далее опускаем). Рассмотрим некоторые аналогичные работы, важные для построения соответствующих математических моделей и сами эти модели [7,13,14,18,63,80÷83,122, 212,251÷268]. А.М. Криворучко и его сотрудниками, на основе анализа экспериментальных данных и балансовых тепловых расчетов горных выработок, были сделаны выводы [80,83,252]: 1) фазовые переходы "вода-пар" в массиве происходят рассредоточено, в зоне, примыкающей к поверхности обнажения; 2) кроме кондук-

297

тивного теплового потока qλ из массива в выработку, имеется еще и "диффузионный" поток тепла qβ , обусловленный влагоиспарением; 3) водяной пар выходит из массива с температурой, равной температуре стенки горной выработки, но тепловым эффектом от смешения его с воздухом можно пренебречь, в силу малой теплоемкости водяного пара; 4) приращение температуры воздуха в выработке ΔТ определяется только кондуктивным тепловым потоком, баланс "сухого" тепла имеет вид:

qλ = λ

∂T ⎛G ⎞ = ΔTС р ⎜ ⎟, ∂r r = R0 ⎝ UL ⎠

(4.132)

где C p , G – теплоемкость и расход воздуха; U , L – периметр и длина выработки. Математическую модель взаимосвязанного тепломассопереноса в массиве, с учетом фильтрации в нем жидкости и газа и наличия окислительных процессов, А.М. Криворучко и его сотрудники пытались строить на основе уравнений неравновесной термодинамики [37,41] вида [251÷253]: 4 ∂Vi = Lij ∇ 2V j , ∂ Fo j =1

Σ

i, j = 1,4.

(4.133)

Здесь Vi – безразмерные потенциалы переноса; Lij – кинетические коэффициенты. Из вывода уравнений системы (4.133) видно [253], что их достаточно простой ("канонический") вид обоснован лишь при разбиении рассматриваемой области массива на малые зоны, для каждой из которых коэффициенты уравнений могут быть приняты постоянными (но различными в разных зонах). Таким образом, систему (4.133) необходимо решать зональным методом расчета, обобщающим на неодномерные области методы решения задач переноса в слоистых системах. Эта сложная программа реализована авторами не была. О.А. Кремнев и В.Я. Журавленко с сотрудниками, адаптируя к задачам шахтной теплофизики уравнения А.В. Лыкова, ограничились, в отличие от предыдущего случая, системой двух уравнений относительно температуры массива Т и потенциала массопереноса θ [18]:

εrCТ ∂θ ∂T = aq ∇ 2T + . Cq ∂t ∂t

∂θ = am∇ 2θ + am δ∇ 2T . ∂t

(4.134)

(4.135)

Здесь обозначено: aq – коэффициент температуропроводности; am – коэффициент массопроводности; ε – критерий фазового перехода влаги; r − удельная теплота фазового перехода "вода−пар"; Cq , CТ – удельные тепло- и влагоем-

298

кость; δ – термоградиентный коэффициент. При моделировании процессов в массивах вокруг цилиндрической выработки и в окрестности призабойной части тупиковой, оператор ∇ имел, соответственно, вид: 2

∂2 1 ∂ ∂2 2 ∂ 2 ∇ = 2+ ; ∇ = 2+ ; r > R0 ; ∂r r ∂r ∂r r ∂r 2

Критерий фазового перехода влаги ε = j1 ( j1 + j2 ) , где j1, j2 − соответственно потоки массы в паровой и в жидкой фазе. Если перенос массы осуществляется в виде пара, j2 = 0 и ε = 1,0. В обратном случае, в отсутствие испаре-

ния, j1 = 0 и ε = 0. В общем случае ε ∈ [0,1]. Начальные условия во всех рассмотренных моделях [18,256÷259] принимались постоянными для обоих потенциалов переноса. На границе массива с воздухом (на стенке горной выработки) задавались граничные условия III-го рода с учетом взаимовлияния потоков:

λ

[

]

∂T + α[TB − T (r , t )]r = R − (1 − ε)βr θ(r , t ) − θ p r = R0 = 0, (4.136) 0 ∂r r = R0

− λm

[

]

∂θ ∂T + β θ(r , t ) − θ p − λ mδ = 0, r = R0 ∂r r = R0 ∂r r = R0

(4.137)

где λ, λ m – коэффициенты тепло- и влагопроводности; α, β – коэффициенты тепло- и массообмена; TB , θ p – температура воздуха в выработке и равновесное ей значение потенциала массопереноса. В случае свежеобнаженных поверхностей массива, для небольшого срока существования выработок (что наиболее характерно для призабойных зон тупиковых выработок), когда испарение влаги происходит, в основном, на стенках выработок, а внутри массива отсутствует, ε ≅ 0 и (4.134) упрощается. Уравнение (4.135) остается прежним. Этот предельный случай рассматривался в [256]. Решение было получено преобразованием Лапласа – Карсона в весьма громоздком виде и табулировано с помощью ЭВМ. При этом в граничном условии (4.136) было сделано грубое упрощение – введен "приведенный коэффициент теплообмена" α пр = α(1 + A) , причем считалось, что A = const . Фактически же A есть функция T и θ при r = R0 , т.е. величин неизвестных и определяемых только в ходе решения. Внутри горного массива с влагосодержанием, близким к гигроскопическому, испарение влаги приводит к формированию эффективного стока тепла. Температура массива понижается более сильно, чем при поверхностном испарении влаги. В силу распределенного характера теплового стока, температурное поле вблизи поверхности обнажения меняется слабо, градиент его мал. Это по-

299

зволяет пренебречь потоком массы, обусловленным градиентом температуры по сравнению с концентрационным потоком массы (т.е. вызванным градиентом θ ). Эта предельная ситуация, формируемая условием δ = 0 в (4.135), рассмотрена в [257]. Решение искалось тем же методом и было найдено в столь же громоздком виде, что и в предшествующем случае. Вне рамок работ этого цикла [256÷259] и монографии [18] остался вопрос о величине критерия ε в общем случае. Анализ предельных случаев ε = 0 и ε = 1 полезен, но многообразие начальных условий и типов массивов требует, для успешности моделирования, наличия способа осуществлять априорную оценку ε , который отсутствует не только в рассмотренных работах, но и в парадигме шахтной теплофизики вообще. В.П. Черняком и А.С. Полубинским несколько позднее были рассмотрены аналогичные задачи [260÷263]. Система уравнений (4.134), (4.135) была представлена в эквивалентном виде:

∂U ⎫ = A11∇ 2U + A12∇ 2ϑ, ⎪ ⎪ ∂Fо ⎬, ∂ϑ = A21∇ 2U + A22∇ 2ϑ,⎪⎪ ∂Fо ⎭

(4.138)

где U , ϑ, F0 – безразмерные потенциалы переноса и время; Aij (i, j , = 1,2) – постоянные коэффициенты. Авторы наряду с частными случаями ( ε = 0; δ = 0 ) рассматривают и общий – ε, δ ≠ 0. Решение задачи преобразованием Лапласа привело к чрезвычайно громоздким выражениям (интегралы от комбинаций спецфункций). При ε = 0,5 (без обоснования такого выбора) получены формулы для K τ и mτ и найдены их численные значения. Более сложная модель, учитывающая неоднородность потенциалоотдачи вдоль периметра выработки, рассматривалась в [262]. Система уравнений переноса соответство2

вала (4.138), но в операторе ∇ учитывалась двумерность полей:

1 ∂ 1 ∂2 ∇ = 2+ + 2 2 , r > R0 , ϕ ∈ [0,2π] . r r ∂ ∂r r ∂ϕ 2

∂2

В граничных условиях (4.136), (4.137) считалось, что α = α(ϕ), β = β(ϕ). Краевая задача решалась численно. Функции α (ϕ) и β(ϕ) считались кусочнопостоянными на двух частях P1 и P2 периметра P ( P1 + P2 = P ). Для средневзвешенных значений:

α P + α 2 P2 β P + β2 P2 , β= 1 1 , α= 1 1 P1 + P2 P1 + P2 P1 + P2 = P, α i , βi = const, i = 1,2.

300

(4.139)

Сравнение результатов K τ и mτ для α и β , заданных по (4.139) и в виде кусочно-постоянных функций α (ϕ) и β(ϕ) , показало, что K τ получается завышенным в первом случае по сравнению со вторым на 15÷20%. Завышение mτ во втором случае, по сравнению с первым, составило 20÷30% [262]. Этот же подход к моделированию взаимосвязанного теплопереноса характерен и для работ И. Вацлавика, Ю.В. Шувалова, С.Г. Гендлера и др. [14,18,208]. Используемые в этих и вышеприведенных работах численные данные по массообменным параметрам, являются данными Л.М. Никитиной и А.В. Лыкова, полученными в условиях, далеких от шахтных. Попытки определения их Ш.И. Ониани и его сотрудниками привели к результатам частного характера [264÷267]. Авторы констатировали чрезвычайную изменчивость влагофизических параметров (проявляющуюся не только с изменением температуры и влажности изучавшихся образцов, но и в одинаковых условиях для разных образцов). Для случая, когда фазовые переходы "вода-пар", происходят преимущественно на поверхности массива (на стенках выработок), простая модель тепломассопереноса предложена В.А. Стукало и А.М. Гущиным [254,255]. Краевая задача теплопереноса в массиве формулируется традиционно [8], но в граничное условие на стенке (III-го рода) вводится сток тепла, обусловленный испарением влаги:

−λ

∂T + α(T (r , t ) − TB ) r = R + βr (P (r , t ) − PΗ ϕ) r = R = 0, (4.140) 0 0 ∂r r = R0

где TB – температура воздуха в выработке; α, β – коэффициенты тепло- и массообмена; r – скрытая теплота испарения; P( R0 , t ) – парциальное давление водяных паров на стенке выработки (при температуре на стенке Tст = Т ( R0 , t )); PΗ – давление насыщенных водяных паров в воздухе (при его

температуре TB ); ϕ – относительная влажность воздуха. После аппроксимации величин Pст (Tст ) и PΗ (TB ) линейными функциями температуры, два последних слагаемых в (4.140) объединяются и оно переходит в стандартное граничное условие III-го рода, но с "эффективными" значениями α1 (вместо α ) и TB1 (вместо TB ). Задача была решена преобразованием Лапласа, найдена формула для K τ и проанализировано влияние на него влажности воздуха. Модели вида (4.138) встречаются в теплофизике почв [4,40,46]. Однако более часто предпочитают модели эффективной теплопроводности, в которых движение и фазовые переходы влаги учитывают посредством λ е − эффективного коэффициента теплопроводности. В шахтной теплофизике этот подход использовался в основном И. Фоссом [13,268], который определял λ е по данным шахтных замеров. В зонах интенсивных массообменных процессов "эф-

301

фективный" λ е оказался превосходящим "сухой" λ в 3-4 раза. Близкие результаты фактически получил и В.А. Кузин, который определял "коэффициент массообмена" ψβ (см. (4.17), (4.18)), но не обратил внимание на то, что его формулу K τβ = ψ β K τ можно записать и в виде λ e = ψβλ, где ψ β определяется по (4.18) и также принимает, в ряде случаев, значения, равные 3÷4.

§ 51. Фазовые переходы "вода−лед" Изменение агрегатного состояния влаги в горных массивах шахт и рудников Севера характерно не только для выработок зоны вечной мерзлоты, но и пройденных на больших глубинах. Это обусловлено периодически низкими температурами вентиляционного воздуха [12]. Под действием сезонных колебаний температуры воздуха, горные массивы вокруг выработок могут оттаивать и промерзать, т.е. фазовые периоды "вода-лед" могут протекать в обоих направлениях. Одна из первых моделей температурного режима мерзлых горных пород вокруг шахтного ствола была предложена Ф.Я. Новиковым [269]. Температурные поля в примыкающей к стволу, талой зоне массива T1 (r , y, t ) и в мерзлой зоне – T2 ( r , y, t ) описывались двумерными уравнениями:

⎛ ∂ 2Ti 1 ∂Ti ∂ 2Ti ⎞ ∂Ti = ai ⎜ 2 + + 2 ⎟, i = 1,2. ⎜ ∂t r ∂r ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂r

(4.141)

Здесь a1 = λT / CVT и a2 = λ M / CVM – температуропроводности в талой и мерзлой зонах; λT , СVT , λ M , СVM – теплопроводность и теплоемкость массива в талой и в мерзлой зонах массива соответственно; r – радиальная координата, отсчитываемая от оси ствола, r ∈ [R1, R2 ], где R1 – радиус ствола, R2 – максимальный радиус зоны теплового влияния ствола; r ∈ [R1, ξ(t ) )] – талая зона массива, ограниченная справа фронтом фазового перехода "лед−вода" – ξ(t ) = Rф (t ); r ∈ [ξ(t ), R2 ] – мерзлая зона массива. На границе талой и мерзлой зон – на "фронте протаивания" задаются граничные условия IV рода с учетом движения фронта оттаивания и поглощаемой на нем теплоты фазового перехода "лед−вода" – т.н. условия Стефана, относящие задачу к классу задач "типа Стефана" [64,113]:

T1(ξ(t ), y, t ) = T2 (ξ(t ), y, t ) = TΦ = const . −

∫

(s)

302

∂T ⎞ dϑ ⎛ ∂T1 . − λΜ 2 ⎟ d s = q0 γ Μ ⎜ λΤ ∂ r r t d ∂ ⎝ ⎠ r = ξ (t )

(4.142) (4.143)

Здесь обозначено: TΦ – температура фазового перехода ( TΦ для воды ≈ 273 К); S = 2 πHξ(t ) – переменная площадь поверхности раздела зон; H – 3

глубина ствола; q0 – скрытая теплота плавления льда ( q0 ≅ 335·10 Д ж/кг); γ – вес льда в 1 м3 мерзлых пород; ϑ – объем области массива, занятой талыми породами. Внешние границы массива считаются адиабатическими:

∂T2 = 0, ∂r r = R2

y ∈ [0, H ];

∂T1 ∂T = 2 = 0, r ∈ [R1, R2 ]. (4.144) ∂y y = н ∂y y = н

На внутренней поверхности ствола задается граничное условие III-го рода. Граничное условие на поверхности массива ( y = 0 ) и начальное условие для талой зоны задаются произвольными функциями. Модель была реализована на гидроинтеграторе В.С. Лукьянова (ИГЛ) при разных наборах параметров. Целью являлось получение, на основе данных моделирования, формулы для ширины ореола протаивания Rф (t ) = ξ(t ) в массиве. Эта величина важна для оценки термонапряженного состояния ствола и его устойчивости. Для искомой зависимости предполагалось, что

⎛ RΦ ΔT λ CVT ; = Φ⎜⎜ Fо; Kо; 1 ; R1 T СVM Δ λ ⎝ 2

⎞ ⎟⎟, ⎠

2

где Fо = λT t / CVT R1 – критерий Фурье; Kо = q0 γ M / СVM ΔT1 – критерий Коссовича; ΔT1 = TB − TΦ ; ΔT2 = TΦ − Tп ; TB = (1,06÷1,77)°С – температура воздуха; Tп = (−0,5 ÷ −2,0)°С – начальная температура массива. Данные были получены и обработаны для определения функции Φ при изменении величин в пределах:

2,0 <

ΔT1 λ < 20,0; 0,6 < T < 1,0; 0 < Fо < 350; 4,0 < Kо < 25,0. ΔT2 λM

В итоге была получена формула Ф.Я. Новикова:

RΦ (Fо) = 1 + 1,19(Fо)0,43 ⋅ (Kо)− 0,45 . R1

(4.145)

Из (4.145) видно, что фронт протаивания в ма ссиве движется несколько медленнее, чем его аналог в классической задаче Стефана, где RΦ (Fо) ~ Fо [64,113]. Подробный обзор аналогичных, посвященных определению ширины ореола оттаивания, работ содержатся в [32]. В частности, проведено сравнение величин RΦ для периода от 10 дней до шести лет, вытекающих из формул Ф.Я. Новикова, Л.С. Лейбензона, Х.Р. Хакимова и результатов гидромоделирования этой задачи авторами. Трактуя последние как эталонные, авторы сделали

303

вывод о формуле Х.Р. Хакимова, как наиболее точной. С учетом приближенности решений задач теплопереноса на ИГЛ (и задач типа Стефана – в особенности), и того факта, что максимальное расхождение RΦ (t ) по формулам

Ф.Я. Новикова и Х.Р. Хакимова составило ΔRΦ = 1,4 м (для t = 6 лет), можно сделать вывод об удовлетворительном согласии (4.145) с формулами других авторов и данными гидромоделирования в ЛГИ [32]. Изложение основ шахтной теплофизики Севера осуществлено в монографии Ю.Д. Дядькина [12]. В целом автор солидарен с подходом О.А. Кремнева [147], ставшим, после опубликования [8], парадигмообразующим – об учете тепловыделений массива посредством коэффициента нестационарного теплообмена K τ . Однако он ставит основные, связанные с методом K τ , вопросы: 1). Какова погрешность определения изменения температуры воздуха вдоль выработки по формулам, содержащим K τ , выражения для которого получены при условии постоянства температуры воздуха в выработке? 2). Как вычислить поправки к K τ в связи с колебаниями температуры воздуха вокруг среднегодовой температуры, если для определения последней и амплитуды колебаний надо также знать K τ ? [12, с. 15]. Автор дает косвенный ответ на эти вопросы, указывая на необходимость рассмотрения процессов в системе "выработкамассив", что подразумевает решение краевой задачи в сопряженной постановке. К качественным особенностям теплового режима шахт и рудников Севера Ю.Д. Дядькин относит: 1). Знакопеременный характер процессов тепломассопереноса; 2). Наличие в процессах выделения (поглощения) скрытой теплоты фазовых переходов; 3). Несимметричность температурного поля в массиве (в особенности при промерзании сильно увлажненной почвы); 4). Анизотропия теплофизических свойств массивов (за счет неравномерной льдистости пород, наличия крупных включений льда, изменения теплофизпараметров в оттаявших зонах); 5). Образование за крепью выработок значительных пустот (из-за оттаивания, развития трещиноватости, частичного обрушения пород кровли и боков); 6). Значительное увеличение теплообменной поверхности массива (за счет "морозного выветривания" пород в выработках без крепей). При формулировке математической модели теплопереноса в льдосодержащем горном массиве, развитие ореола протаивания в котором должно быть увязано с параметрами вентиляционного воздуха в выработке, т.е. сопряженной задачи теплопереноса в системе "выработка-массив", принято [12]: 1). Естественная температура мерзлых пород возрастает линейно с глубиной; 2). При оттаивании мерзлых пород с весовой влажностью W (%), их теплофизические параметры скачкообразно изменяются от значений aM ,λ M , СVM до значений aT , λT , СVT ; 3). Породный массив вокруг выработки однороден и изотропен, тепловые потоки в нем, параллельные выработке, малы по сравнению с потоками, нормальными оси выработки, т.е. ∂T / ∂x << ∂T / ∂r ; 4). Весовой расход воздуха G , поперечное сечение выработки S , ее периметр V постоян-

304

ны по длине и не меняются со временем, а эквивалентный радиус поперечного сечения R0 = 0,564 S ; 5). Температура поступающего в выработку воздуха изменяется синусоидально, а температура его в произвольной точке x выработки изменяется с запаздыванием по фазе, возрастающим с ростом x ; 6). Скрытая теплота оттаивания 1 м3 пород составляет qт = qл γ пW / 100 (ккал/м3), где qл − скрытая теплота плавления льда; γ п − вес льда в 1 м3 породы; W − весовая влажность породы; 7). Влагосодержание воздуха определяется его температурой TB ( x, t ), давлением P (x ) и относительной влажностью ϕ( x, t ) :

d ( x, t ) =

760 ϕ( x, t )[m + nTB ( x, t )], г/кг. P( x)

Уравнения теплопереноса в талой ( i = 1 ) и мерзлой ( i = 2 ) зонах:

⎛ ∂ 2Ti 1 ∂Ti ⎞ ∂Ti ⎟, Ti = Ti ( x, r , t ), i = 1,2. = ai ⎜ 2 + ⎜ ∂t r ∂r ⎟⎠ ⎝ ∂r

(4.146)

При i = 1 r ∈ (R0 , RΦ (t )], при i = 2 r ∈ (RΦ (t ), ∞ ). Уравнение теплопереноса

по выработке в [12] содержит неточности, его мы не приводим. При r = R0 задаются граничные условия III-го рода, при r → ∞, T2 ( x, r , t ) → T ( x). Последнее условие противоречат (4.146), т.к. из них следует, что температуры в обоих зонах не зависят от продольной координаты x . На границе фазового перехода, при r = RΦ (t ) задается условие Стефана [64]:

d RΦ (t ) ∂T2 ∂T1 ⎤ ⎡ = q , RΦ (0) = R0 , λ − λ T T ⎢⎣ M ∂r dt ∂r ⎥⎦ r = RΦ (t )

(4.147)

совпадающее с (4.143) (в силу того, что фактически задача для (4.141) решалась как одномерная). Для краевой задачи сопряженного теплопереноса в [12] характерна та же неточность, о которой уже дважды говорилось: в сопряженной задаче поле температур в выработке двумерное, а в массиве – одномерное. Для этой задачи в [12] предлагается алгоритм численного решения, который, как это следует из более поздних публикаций [14,21,29,30], реализован не был. Для приближенных тепловых расчетов выработок в мерзлых массивах в [12] предложен следующий метод. Температура воздуха в выработках находится по формулам автора [12], в которых теплоприток от массива (или к массиву) находится по формуле

Q = K τ K ΦV (TB − TB′ ),

(4.148)

305

где TB′ − среднегодовая, Т В − переменная (текущая) температура воздуха; K τ − коэффициент нестационарного теплообмена, определяемый по расчетному времени, равному прошедшему после последнего перехода температуры воздуха на поверхности Т 0 через уровень ее среднегодового значения θ0 ; K Φ − коэффициент поправки на отклонение реального периметра выработки от расчетного ( K Φ = 1,5 – для незакрепленных выработок, K Φ = 1,3 – при деревянной крепи вразбежку, K Φ = 1,2 – для сплошной деревянной крепи). Для K τ рекомендуется формула, полученная Ю.А. Буденным моделированием задачи на ИГЛ. Для периода оттаивания мерзлых пород, когда фазовые переходы (иначе – агрегатные переходы влаги) интенсифицируют процесс теплообмена воздуха с массивом, (4.148) модифицируется заменой K τ → K τагр = = K агр ⋅ K τ . Коэффициент агрегатных переходов K агр также определяется формулой Ю.А. Буденного [12]. В более поздних работах Ю.В. Шувалова и других, формулы для K агр были получены аналитически (приближенно) для щелевых и цилиндрических выработок [21,29,167,270,271]. Коэффициент K агр определялся отношением теплового потока на стенке выработки при наличии фазовых переходов к тепловому потоку в отсутствие их. Для определения последних использовались эталонные решения задач Стефана [64,113] или же приближенные решения этих задач, полученные методами Т. Гудмена и М.А. Пудовкина [270,271]. Свою методику тепловых расчетов шахт и рудников Севера предложили Б.А. Красовицкий и др. [272]. Выделяются временные стадии процесса. На первой стадии – при t ≤ t M , где t M − время прогрева мерзлого массива, поднимающего температуру его стенки до температуры фазового перехода, уравнение теплопереноса в мерзлом массиве совпадает с (4.146) при i = 2. На границе массива с воздухом – граничные условия III-го рода. Для воздушного потока в выработке − уравнение теплопереноса:

B2

d TB ∂T2 = + C2 , B2 , C2 = const, dz ∂r r = R0

(4.149)

где z − продольная координата в выработке. Решение этой задачи дает начальное условие для процесса на второй временной стадии t M ≤ t < ∞ − протаивания массива. Постановка задачи для этой стадии совпадает с ранее рассмотренными. Уравнение теплопереноса по выработке – аналогично (4.143). Решение задачи на первой временной стадии осуществлялось интегральным методом И.А. Чарного [273], а на второй стадии – модификацией метода Л.С. Лейбензона (Б.А. Красовицкий). При знакопеременной температуре задача Стефана резко усложняется, становится многофронтовой. Авторы предлагают разностную

306

схему решения на ЭВМ. Уравнение теплопереноса в массиве записывалось в виде [274]

[СV (Т ) + Lδ(T − TΦ )] ∂T ∂t

=

1 ∂⎛ ∂T ⎞ ⎜ rλ(T ) ⎟, ∂r ⎠ r ∂r ⎝

(4.150)

где L − скрытая теплота фазового перехода; δ (T − TΦ ) − дельта – функция Дирака. Известны модели теплопереноса в мерзлых массивах, содержащих нестефановскую нелинейность. Такие случаи возникают при учете зависимости теплофизических параметров от температуры, как в (4.150). При этом обычно используют традиционную форму уравнения (в (4.150) L = 0) сочетаемую со стефановским граничным условием [275,276]. Решаются такие задачи обычно численно. Еще большим усложнением модели является учёт нестационарности массива – движение его границы с заданной скоростью, на которой соблюдается граничное условие III-го рода [277]. Решение осуществлено конечноразностным методом. Модели стефановского типа широко используются в "смежной" области – горнотехнологической теплофизике, при разработке методов формирования льдопородных ограждений при строительстве шахт и подземных сооружений, оттаивания и разупрочнения мерзлых горных пород [6,30,278].

Глава 18. Парадигма моделирования теплопереноса в массивах § 52. Системы В отличие от процессов массопереноса в массиве, где разнообразным объектам ставились в соответствие также достаточно разнообразные моделируемые системы, для процессов теплопереноса характерно меньшее разнообразие. Ввиду свойств геологической среды (гетерогенность, многофазность, неоднородность, анизотропность) любой объем (фрагмент горного массива) может быть описан, в рамках определенного приближения, одним из трех видов моделируемых систем – массивы однородные и изотропные, массивы неоднородные и анизотропные, массивы влагосодержащие. Возможны также комбинации этих систем. Выбор типа модели массива (модель теплопереноса) зависит не только от специфики объекта, сколько от задач, которые стоят перед исследователем. При этом требование простоты, обозримости полученных аналитических решений, зачастую диктует выбор наиболее простой модели. Исходные данные – геометрические и теплофизические параметры массивов, горно-геологические и горнотехнические величины – известны зачастую весьма приближенно. Эта "зашумленность входной информации" также ориентирует на компромисс между требованиями простоты и адекватности модели. Поэтому усложнение моде307

лируемых систем при рассмотрении процессов теплопереноса связано не с переходом ко все более сложным объектам и режимам процессов в них, как в случае массопереноса, а с попытками более адекватного описания тех же самых систем и процессов. Эти системы и процессы изначально упорядочены ранее, что делает излишним повторение этого здесь.

§ 53. Процессы Основным процессом является кондуктивный теплоперенос, описываемый эффективными параметрами. Имеются (в небольшом числе) модели взаимосвязанных термомеханических процессов. Основные виды взаимосвязанных процессов – кондуктивно-конвективный теплоперенос и теплоперенос при наличии фазовых переходов влаги. Другие физические и физико-химические процессы, взаимодействующие с полем температур – десорбция и расширение газа, окисление угля и пород, диссипация механической энергии и радиоактивный распад целесообразно "включать" в модели теплопереноса в виде соответствующих функций плотности источников (стоков) тепла в правых частях уравнений переноса.

§ 54. Модели Прямые и обратные задачи теплопереноса в массивах представлены, в основном, первыми. Работы по обратным задачам отсутствуют, за исключением небольшого числа, посвященных определению теплофизпараметров с помощью аналоговых устройств [115,120÷122,238]. В парадигмообразующих монографиях [7÷9,12,14,18,21,152,153] главы, или разделы, посвященные обратным задачам, также отсутствуют. Размерность и форма моделируемых систем. Горные выработки обычно представляют в виде прямого кругового цилиндра с эквивалентным радиусом сечения R0 = 2 S / Π (где S – площадь сечения, П – периметр выработки). Соответственно, горный массив в одномерных моделях представляется областями

Ω + (r ∈ [R0 , ∞ )) и Ω(r ∈ [R0 , R1 ]) . Если рассматривается призабойная часть

тупиковой выработки, то массив представляет собой внешность полусферы, неограниченную ( Ω′+ ) или ограниченную ( Ω′ ). Значения радиальной координаты изменяются в тех же пределах, но теперь r имеет смысл не радиальной координаты плоской полярной системы координат, а относится к сферической, симметричной (не зависящей) по углам ϕ, ψ (полярному и азимутальному). В отдельных случаях, когда рассматриваются двумерные модели, область массива Ω + (ϕ) = имеет форму внешней неограниченной области = {r ∈ [R0 , ∞ ), ϕ ∈ [0,2π]} или внешней ограниченной области Ω(ϕ) = 308

= {r ∈ [R0 , R1 ], ϕ ∈ [0,2π]} – температурное поле в этих случаях зависит от r и полярного угла ϕ : T = T ( r , ϕ, t ), как в (4.53)÷(4.55). Встречаются также двумерные области Ω + (z ) = {r ∈ [R0 , ∞ )}, {z ∈ [0, ∞ )} и Ω(z ) = = {r ∈ [R0 , R1 ], z ∈ [0, ∞ )}, когда температурное поле в массиве зависит от радиальной (поперечной) координаты r и продольной (параллельной оси выработки) координаты z : T = T ( r , z , t ), как в (4.74). В моделях неоднородного массива, когда неоднородность является радиальной, используются области Ω и Ω + или Ω1, Ω 2 , ... Ω + (конечных областей, примыкающих к выработке, может быть несколько, в частности – три [212]). Слоистые горные массивы представляют обычно системами из 2÷4-х пластин (плоских слоёв) с координатой, нормальной слоям. Слои при этом могут быть ограниченными и не ограниченными (последних в любой слоистой системе не может быть больше двух). В моделях теплопереноса в анизотропных массивах – форма области плоскость, или конечная её часть с декартовой системой координат xOy ((4.115),(4.116)). Такие же области рассматриваются и при моделировании теплопереноса во влагосодержащих массивах. Стационарные и нестационарные задачи. Краевым задачам шахтной теплофизики – моделям теплопереноса в горных массивах, окружающих выработки, органически присуща нестационарность [8]. Стационарные температурные поля используются как приближения для моделирования систем, содержащих крепи, бетонные оболочки, перемычки, целики и другие относительно малопротяженные объекты. Ординарные и неординарные задачи. Ординарные задачи соответствуют моделям теплопереноса в однородных массивах (изотропных и анизотропных) в традиционной постановке – с граничными условиями I-го или III-го рода на стенке выработки. Неординарные задачи соответствуют моделям теплопереноса в слоистонеоднородных и слоистых массивах, когда искомых функций несколько – по числу слоев (как в радиально-неоднородных (4.95),(4.96),(4.98)), так и в слоистых ((4.101),(4.102),(4.106)) моделях). Неординарные краевые задачи – содержащие минимум две искомые функции – соответствуют и моделям сопряженного теплопереноса ((4.86),(4.87),(4.90),(491)). Во влагосодержащих массивах, при моделировании теплопереноса с фазовыми переходами влаги (тепломассопереноса) вновь имеем дело с неординарными задачами, содержащими две искомых функции (температуру и потенциал массопереноса при фазовых переходах "вода–пар" ((4.134),(4.135),(4.138)) или температуры в талой и мерзлой зонах массива при фазовых переходах "вода–лёд" ((4.141),(4.146)). Типы граничных условий краевых задач теплопереноса в горных массивах соответствуют таковым в теории теплопроводности: это граничные условия I-го, II-го, III-го и IV-го родов. Условия II-го рода обычно однородные – плотность потока тепла равна нулю (это условие теплоизоляции, симметрии полей температуры, бесконечной удаленности границы области). В условиях III-го рода коэффициенты теплообмена α как правило – постоянные величины; для 309

задач взаимосвязанного теплопереноса граничные условия III-го рода имеют специфику – содержат обе искомые функции ((4.136), (4.137)). Условия IV-го рода наиболее универсальны; они выражаются в обычном виде ((4.97)), в виде Стефана ((4.147)), в вырожденной форме – (4.99). Начальные условия в большинстве случаев однородные (задаётся постоянная во всей области температура) либо простейшего вида – выраженные линейными, квадратичными или экспоненциальными функциями координат. Однородные и неоднородные уравнения теплопереноса рассмотрены с достаточной полнотой в §§ 43-44. Функции плотности источников тепла встречаются только простейшего вида. Линейные и нелинейные уравнения. В парадигме шахтной теплофизики, традиционно исключавшей из своего рассмотрения подземные пожары, принято считать встречающиеся перепады температур в массиве относительно небольшими, чем и обосновывается предположение о независимости теплофизпараметров от температуры. Не играет существенной роли в шахтной теплофизике и лучистый теплоперенос. Эти факторы приводят к практически повсеместно линейным моделям (линейным уравнениям теплопереноса). Нелинейные задачи практически исчерпываются задачами типа Стефана, в моделях теплопереноса в мерзлых массивах. Обобщенные уравнения теплопереноса, содержащие в себе, как частные случаи, более простые уравнения, уже были приведены. Действительно, в отличие от части 2, где обобщенные уравнения массопереноса были получены "синтезом" из более простых и частных уравнений, в настоящей главе такие уравнения, известные в теории переноса, приводились нами "по ходу изложения". Это уравнения: трехмерного нестационарного теплопереноса в однородной и изотропной среде – (4.2); трехмерного нестационарного теплопереноса в неоднородной среде – (4.3); трехмерного нестационарного теплопереноса в неоднородной и нестационарной среде – (4.4). Методы решения краевых задач исчерпываются преобразованием Лапласа по t , приближенными интегральными методами, моделированием на электрических и гидравлических аналоговых установках, конечно – разностными методами. В небольшом числе работ (В.А. Киреев) используется теория тепловых потенциалов и метод ГИУ. В работах автора систематически использовались метод функций Грина и метод функций склейки [20,159,162÷164,198, 199,214÷218].

§ 55. Развитие парадигмы Развитие парадигмы теплопереноса в массивах, как следует из всего вышеизложенного, канализируется по четырем группам и восьми направлениям (Рис. 4.1). Задачи развития парадигмы математического моделирования теплопереноса в горных массивах, в соответствии с изложенным в настоящей части и согласно рис. 4.1, таковы. 310

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

По первому направлению Сформулировать одномерные краевые задачи теплопереноса в неограниченных массивах с произвольными начальными температурами и источниками (стоками тепла) для граничных условий I-го, II-го, III-го родов. То же, для двумерных задач. Для одномерных и двумерных задач сформулировать краевые задачи теплопереноса в конечных областях (в ограниченных массивах). Записать все вышеперечисленные краевые задачи в обобщенном виде (представить искомые функции в виде обобщенных). Разработать единый метод точного аналитического решения всех перечисленных задач. Разработать единый метод приближенного аналитического решения этих же задач. Найти точные и приближенные решения всех указанных задач.

Рис. 4.1 8. Разработать метод приближенного решения задач теплопереноса в массивах с несколькими выработками кругового сечения. 9. То же для выработок прямоугольного сечения. По второму направлению 10. Для задач первого направления разработать приближенный метод учета взаимосвязанного тепломассопереноса (решение систем уравнений А.В. Лыкова).

311

11. Найти решения этих задач в общем случае ( ε ≠ 0, δ ≠ 0 ) и из них получить частные результаты. 12. Сформулировать краевые задачи сопряженного теплопереноса в системах "выработка–массив" для всех случаев первого направления. 13. Разработать единый метод решения сопряженных задач. 14. Решить задачи, изложенные в направлении 1 в сопряженной постановке. 15. Сформулировать задачи направления 1 при произвольной зависимости от времени всех теплофизических параметров. 16. Разработать единый метод решения этих задач. 17. Решить задачи направления 1 при переменных во времени теплофизических параметрах. 18. Разработать метод решения сопряженных задач при переменных теплофизических параметрах. 19. Сформулировать краевые задачи направления 1 при изменяющихся со временем размерах массива (нестационарные массивы). 20. Разработать единый метод решения этих задач в случае нестационарных массивов. 21. Решить задачи направления 1 при нестационарности массивов. По третьему направлению 22. Сформулировать краевые задачи в обобщенной постановке для одномерных простых неоднородных массивов. 23. То же для слоисто-неоднородных массивов. 24. То же для слоистых массивов. 25. Разработать приближенные (а в тех случаях, где это целесообразно – точные) методы решения этих задач. 26. Решить указанные задачи; для слоисто-неоднородных и слоистых массивов найти решения двух- и трехслойных задач. 27. Для слоистых задач найти общий метод решения N -слойных задач. 28. Обобщить предшествующие задачи (третьего направления) на случай нестационарных теплофизических параметров. 29. То же для случая нестационарности массивов. По четвертому направлению 30. Сформулировать двухмерные задачи для всех видов неоднородности массивов. 31. То же для трехмерных задач. 32. Разработать общий метод решения многомерных задач теплопереноса в неоднородных массивах. 33. Решить все задачи третьего направления в многомерных постановках. 34. Обобщить эти задачи на случай переменных во времени теплофизических параметров.

312

По пятому направлению 35. Сформулировать задачи направления 1 в многомерной постановке для изотропных массивов. 36. То же для анизотропных (ортотропных) массивов. 37. Разработать общий метод решения этих задач. 38. Решить задачи многомерного анизотропного теплопереноса. 39. Сформулировать задачи теплопереноса в неоднородных, анизотропных массивах. 40. Разработать общий метод решения таких задач. 41. Решить задачи, указанные в п. 39. По шестому направлению 42. Сформулировать краевые задачи кондуктивно-конвективного теплопереноса в одномерных областях. 43. То же для многомерных областей. 44. Разработать общий метод решения этих задач. 45. Получить решения задач, указанных в п.п. 42,43. 46. Разработать модель эффективного теплопереноса в среде с фазовыми переходами влаги. 47. Сформулировать краевые задачи по этой модели для массивов основных форм. 48. Решить вышеуказанные задачи. По седьмому направлению 49. Сформулировать краевые задачи взаимосвязанного тепломассопереноса (по А.В. Лыкову) для одномерных неоднородных массивов. 50. Разработать метод решения этих задач. 51. Найти решения указанных задач. 52. Сформулировать однофронтовые задачи типа Стефана для массивов различной формы. 53. Разработать метод приближенного решения этих задач. 54. Сформулировать многофронтовые задачи типа Стефана. 55. Разработать метод приближенного решения этих задач. 56. Найти решения перечисленных задач типа Стефана. 57. Сформулировать однофронтовые задачи типа Стефана для неоднородных сред. 58. Разработать методы решения этих задач. 59. Найти решения задач п. 57. По восьмому направлению 60. Сформулировать основные типы обратных задач теплопереноса в горных массивах. 61. Разработать общий подход к решению обратных задач.

313

62. Сформулировать инверсные (коэффициентные) обратные задачи для характерных типов прямых задач. 63. Разработать метод решения этих задач. 64. Решить обратные задачи, указанные в п. 62.

Л итература к части 4 1. Огильви А.А. Основы инженерной геофизики. – М.: Недра, 1990. – 501 с. 2. Качан А.А. Инженерно-геологическое прогнозирование. – М.: Недра, 1984. – 196 с. 3. Вайнберг Я.М., Лавровский Д.Л. Дискретная стохастическая модель геологического объекта. – В кн.: Методы математического моделирования объектов и процессов разработки месторождений /Сб-к научн. трудов, вып. 106. – М.: ВНИИ им. акад. А.П. Крылова, 1991, с. 96-109. 4. Чудновский А.Ф. Теплообмен в дисперсных средах. – М.: Физматгиз, 1954. – 444 с. 5. Николаев С.А., Николаева Н.Г., Саламатин А.Н. Теплофизика горных пород. – Казань: Изд-во КГУ, 1987. – 151 с. 6. Дмитриев А.П., Гончаров С.А. Термодинамические процессы в горных породах /Изд-е 2-е, перераб. и дп. – М.: Недра, 1990. – 360 с. 7. Черняк В.П., Киреев В.А., Полубинский А.С. Нестационарный тепломассоперенос в разрушаемых массивах горных пород. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 8. Щербань А.Н., Кремнев А.А. Научные основы расчета и регулирования теплового режима глубоких шахт: В 2-х томах. – Киев: Изд-во АН УССР, 1959, т. 1. – 430 с. 9. Воропаев А.Ф. Теория теплообмена рудничного воздуха и горных пород в глубоких шахтах. – М.: Недра, 1966. – 219 с. 10. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции глубоких шахт при нормальных и аварийных режимах проветривания. – Автореф. дис….д.т.н. – Донецк: Изд-во ДПИ, 1970. – 61 с. 11. Дядькин Ю.Д. Борьба с высокими температурами в глубоких шахтах и рудниках. – М.: Углетехиздат, 1957. – 80 с. 12. Дядькин Ю.Д. Основы горной теплофизики для шахт и рудников Севера. – М.: Недра, 1968. – 255 с. 13. Шувалов Ю.В. Борьба с высокими температурами на каменноугольных шахтах ФРГ. – М.: ЦНИЭИуголь, 1973. – 59 с. 14. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г. Тепловые процессы в горных выработках. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978. – 104 с. 15. Волощук С.Н., Андреев Г.Г., Мельниченко В.М. Кондиционирование воздуха на глубоком руднике. – М.: Недра, 1975. – 152 с.

314

16. Щербань А.Н., Кремнев О.А., Журавленко В.Я. Руководство по регулированию теплового режима шахт: Изд-е 3-е, перераб. и доп. – М.: Недра, 1977. – 359 с. 17. Кремнев О.А., Журавленко В.Я. Тепло- и массообмен в горном массиве и подземных сооружениях. – Киев: Наукова думка, 1980. – 384 с. 18. Кремнев О.А., Журавленко В.Я. Тепло- и массообмен в горном массиве и подземных сооржуениях: Изд-е 2-е, доп. и исправл. – Киев: Наукова думка, 1986. – 344 с. 19. Киреев В.А. Нестационарная теплопроводность анизотропного горного массива, нарушенного подземными сооружениями. – Автореф. дис. … к.т.н. – Киев: ИТТФ АН УССР, 1986. – 18 с. 20. Венгеров И.Р. Расчет тепло-массопереноса в неоднородном горном массиве. – В кн.: Борьба с высокими температурами рудничного воздуха /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1980, с. 53-56. 21. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизические аспекты освоения ресурсов недр. – Л.: Недра, Л.о., 1988. – 336 с. 22. Тепловой режим глубоких угольных шахт и металлических рудников./Материалы Междунар. Симпозиума "Градиент-77". – Киев: Наукова думка, 1977. – 309 с. 23. Ельчанинов Е.А., Шор А.И., Розенбаум М.А. О связи между полями деформации и температур пород вокруг выработки при разработке месторождений в области многолетней мерзлоты. – В кн.: [22], с. 192-196. 24. Эттингер И.Л., Лидин Г.Д. и др. Изменение температуры угольного пласта как показатель происходящих в нем механических и физико-химических процессов. – ФТПРПИ, 1984, № 5, с. 65-69. 25. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Тимофеевский Л.С. Горная теплофизика (Регулирование теплового режима шахт и рудников) – Л.: Изд-во ЛГИ, 1976. – 96 с. 26. Маевский В.С. Исследование основных факторов, влияющих на температуру призабойной части угольного пласта. – В кн.: Геомеханич. проблемы разработки тонких и средней мощности угольных пластов на глубоких горизонтах /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-техн. конф. – Донецк: ДПИ, 1980, с. 116-117. 27. Воропаев А.Ф., Лукьянов Ю.П., Криворучко А.М. Исследование тепловыделений от окислительных процессов в шахтах Донбасса. – В кн.: [66], с. 53-56. 28. Криворучко А.М., Микульский Б.В., Гасинская А.В. Теплотдача стенок в выработках, пройденных по пластам, склонным к окислению. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-техн. совещания, Донецк, 1974. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1974, с. 50-51. 29. Шувалов Ю.В. Регулирование теплового режима шахт и рудников Севера: Ресурсосберегающие системы. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1988. – 196 с. 315

30. Павлов И.А., Гендлер С.Г., Смирнова Н.Н. Теплообмен в технологических процессах при разработке месторождений полезных ископаемых. – Л.: Издво ЛГИ, 1989. – 94 с. 31. Григорян С.С., Красс М.С., Гусева Е.В., Геворкян С.Г. Количественная теория геокриологического прогноза. – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 266 с. 32. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В. Отчет о НИР № 17 х/д "Разработка единой методики тепловых расчетов шахт" /Заключительный этап. – Л.: ЛГИ, 1976. − 96 с. 33. Галицын А.С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1983. – 236 с. 34. Дуганов Г.В., Баратов Э.И. Тепловой режим рудников. – М.: Госгортехиздат, 1963. – 144 с. 35. Хохотва Н.Н., Яковенко А.К. Кондиционирование воздуха при строительстве глубоких шахт. – М.: Недра, 1985. – 183 с. 36. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирования температурных условий в угольных шахтах. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1979. – 196 с. 37. Лыков А.В., Михайлов Ю.Л. Теория тепло- и массопереноса. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с. 38. König H. Matematische Untersuchungen über das Grubden Klima. – BergbanArch, 1952, 13, Heft 3/4, S. 1÷14. 39. Pуппенейт К.В., Либерман Ю.М. Введение в механику горных пород. – М.: Госгортехиздат, 1960. – 356 с. 40. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. – М.: Наука, 1976. – 352 с. 41. Борисов А.А. Механика горных пород и массивов. – М.: Недра, 1980. – 360 с. 42. Кунтыш М.Ф., Баронская Э.И. Методы оценки свойств угольных пластов сложного строения. – М.: Наука, 1980. – 144 с. 43. Алексеев А.Д., Зайденверг В.Е., Синолицкий В.В., Ульянова Е.В. Радиофизика в угольной промышленности. – М.: Недра, 1992. – 184 с. 44. Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. – М.: Физматгиз, 1962. – 456 с. 45. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций. – Пер. с франц. – М.: Мир, 1968. – 464 с. 46. В.Р. ван Вийк, Д.А. де Фриз и др. Физика среды обитания растений. – Пер. с англ. – Л.: Гидрометеоиздат, 1968. – 304 с. 47. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. – Л.: Энергия, 1974. – 264 с. 48. Бебенин М.Е. Влияние слоистости горных пород и сечения выработок на характер их деформаций. – Уголь Украины, 1964, № 9, с. 6-8. 49. Смирнов Б.В. Учет механического и физико-химического взаимодействия слоев при горногеологической типизацуии углевмещающих пород Донбасса. – Уголь Украины, 1975, № 2, с. 45- 48. 316

50. Кондратов А.Б. Разуплотнение породного массива вокруг штреков глубокой шахты. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1988, № 12, с. 8-12. 51. Назимко В.В. Анализ развития зоны разрушения вокруг полевой выработки при влиянии очистных работ. – ФТПРПИ, 1989, № 2, с. 45- 48. 52. Жданкин Н.А., Колоколов С.Б. О рациональной форме породного обнажения в подземных выработках. – ФТПРПИ, 1989, № 3, с. 66-71. 53. Литвинский Г.Г. Монолитная оболочка выработки из разгруженных и упрочненных пород. – Шахтное строительство, 1981, № 12, с. 17-20. 54. Булычев Н.С., Нечаев В.И. Оптимальное проектирование многослойной крепи шахтных стволов, сооружаемых бурением. – Шахтное строительство, 1984, № 3, с. 7-9. 55. Фотиева Н.Н., Саммаль А.С. Расчет набразгбетонной крепи подземных сооружений с учетом слоя омоноличенной бетоном породы. – ФТПРПИ, 1987, № 2, с. 3-8. 56. Ващилов Ю.Д. Блоково-слоистая модель земной коры и верхней мантии. – М.: Наука, 1984. – 249 с. 57. Зборщик М.П., Подкопаев С.В. Прогнозирование потерь площади сечения штреков при отработке тонких крутых пластов. – Уголь Украины, 1993, № 3, с. 5-7. 58. Осокин В.В., Эренбург О.И., Рудь А.М. Параметры изменения напряженного состояния выбросоопасного масива при сотрясательном взрывании. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 71. – Киев: Техніка, 1985, с. 62-68. 59. Балинченко И.И., Мхатвари Т.Я., Симонов А.А. Изменение напряженного состояния выбросоопасного пласта при работе комбайна. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах /Сб-к научных трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1985, с. 91-93. 60. Осокин В.В., Зборщик М.П. О процессах в горном массиве при газодинамических явлениях. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 59. – Киев: Техніка, 1981, с. 80-88. 61. Грядущий Б.А. Исследование опасностей в угольных шахтах, разработка и реализация способов снижения их негативного воздействия. – Научный доклад … д.т.н. – Днепропетровск: Горная Академия Украины, 1995. – 73 с. 62. Колесов О.А. Разработка и реализация способов безопасной и эффективной отработки выбросоопасных пластов на шахтах Донецкого бассейна. – Автореф. дис. … д.т.н. – Донецк: ДГТУ, 1995. – 49 с. 63. Ланчава Л.А. О тепломассообмене в свежепройденных горных выработках. – ФТПРПИ, 1985, № 5, с. 99-103. 64. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 599 с. 65. Труды Семинара по горной теплотехнике. Вып. 3. – Киев: Изд-во АН УССР, 1961. – 126 с. 66. Труды Семинара по горной теплотехнике. Вып. 4. – Киев: Изд-во АН УССР, 1962. – 142 с. 317

67. Материалы Семинара по горной теплотехнике. Вып. 5. – Киев: Изд-во Инта технич. информ., 1964. – 183 с. 68. Богоявленский В.А. Экспериментальные исследования источников теплообразования в выработках некоторых шахт Донбасса. – В кн.: [65], с. 57-64. 69. Карпухин В.Д., Криворучко А.М., Лукьянов Ю.П. Экспериментальное изучение температурных полей вокруг горных выработок. – В кн.: [66], с. 33-38. 70. Баратов Э.И., Терещенко В.Г. Экспериментальные исследования образования охлажденной зоны в горных выработках. – В кн.: [66], с. 66-71. 71. Дуганов Г.В., Кухарев В.Н. Исследование некоторых параметров тепломассообмена в горных выработках глубоких угольных шахт. – В кн.: [67], с. 82-85. 72. Воропаев А.Ф., Лукьянов Ю.П., Маркелов В.А. Тепловыделение от окислительных процессов в подготовительных выработках шахт Донбасса. – В кн.: [67], с. 169-173. 73. Криворучко А.М., Ильюшенко Р.Г., Микульский Б.В. Учет влияния окислительных процессов на рудничный микроклимат. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 39. – Киев: Техніка, 1975, с. 144-148. 74. Щербань А.Н., Цырульников А.С., Еремин И.Я. Влияние дегазации угольного пласта на температурный режим его и боковых пород. – В кн.: [66], с. 5-15. 75. Терещенко В.Г., Еремин И.Я. Исследования температурных полей в породном массиве очистных забоев. – В кн.: [66], с. 29-32. 76. Корепанов К.А. Влияние десорбции метана на температуру стенки угольного забоя в лавах газоносных пластов. – В кн.: В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 53. – Киев: Техніка, 1979, с. 46-50. 77. Стукало В.А. О ширине зоны десорбции метана в призабойной части пласта при ведении очистных работ. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 25. – Киев: Техніка, 1971, с. 41-43. 78. Вяльцев М.М. Исследование теплового поля вокруг стволов шахт с исходящей струей воздуха. – В кн.: Вопросы повышения эффективности разработки месторождений полезных ископаемых /Труды Новочеркасского политехнич. ин-та, т. 256. – Новочеркасск: Изд-во НПИ, 1972, с. 59-67. 79. Вяльцев М.М., Репенко П.Е., Мартыненко И.И., Яреков И.Л. Закономерность распределения температуры вокруг воздухоподающих стволов шахт. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1982, № 4, с. 33-36. 80. Криворучко А.М. Тепловой баланс выработок в глубоких шахтах Донбасса. – В кн.: Вопросы технологии добычи угля и совершенствование горного хозяйства шахт Донбасса /Сб-к научн. трудов ДонУГИ № 33. – М.: Недра, 1964, с. 200-210. 318

81. Кузин В.А. Экспериментальное определение коэффициента нестационарного теплообмена в горных выработках. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах. Вып. 3 /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 86-88. 82. Кузин В.А. Исследование процессов тепло- и массообмена в участковых выработках при кондционировании воздуха и разработка оптимальных параметров местной схемы охлаждения для шахт Донецко-Макеевского района Донбасса. – Автореф. дис. … к.т.н. – Новочеркасск: Изд-во НПИ, 1973. – 200 с. 83. Криворучко А.М., Гущин А.М. Особенности теплообмена в выработках глубоких шахт при искусственном охлаждении воздуха на участках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 30. – Киев: Техніка, 1972, с. 88-92. 84. Терещенко В.Г., Щербань А.Н. Результати экспериментальних досліджень коефіцієнта нестаціонарного теплообміну в очистних вибоях глибоких шахт Донбасу. – Доповіді АН УРСР, 1964, № 6, с. 783-787. 85. Богоявленский В.А. Особенности теплообмена в очистном забое и их учет при тепловых расчетах. – В кн.: [66], с. 61-65. 86. Норель Б.К. Изменение механической прочности угольного пласта в массиве. – М.: Наука, 1983. – 128 с. 87. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976. – 309 с. 88. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. – М.: Наука, 1980. – 400 с. 89. Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных объектов. /Сб-к научн. трудов. – Якутск: Изд-во Якутского госуниверситета, 1986. – 140 с. 90. Аршава В.Г., Осипов С.Н., Кулеба П.К., Кессарийский Ю.В. Упругие свойства горных пород и безопасность подземной разработки. – Киев: Техніка, 1979. – 159 с. 91. Маевский В.С., Кременев О.Г. Об использовании температуры пластов при оценке их выбросоопасности. – Уголь Украины, 1982, № 7, с. 38-39. 92. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Близнец Л.А. Тепловой дренаж породного массива на глубоких горизонтах угольных шахт. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1973, № 9, с. 87-92. 93. Близнец Л.А. Исследование эффективности локального теплового дренажа угольных пластов в условиях шахты им. Менжинского. – Автореф. дис. … к.т.н. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1973. – 23 с. 94. Волошин Н.Е. Внезапные выбросы и способы борьбы с ними в угольных шахтах. – Киев: Техніка, 1985. – 127 с. 95. Рейпольский П.А., Розенбаум М.А. Исследование изменения температуры в массиве на выбросоопасных пластах. – Уголь Украины, 1978, № 10, с. 41-43. 319

96. Вяльцев М.М. Термонапряженное состояние шахтных горных выработок как средство регулирования их устойчивости. – В кн.: Добыча угля подземным способом. /Научно-техн. рефер. сб-к. – М.: ЦНИЭИуголь, 1982, № 1, с. 48-51. 97. Вяльцев М.М. Влияние термонапряженного состояния на устойчивость и долговечность крепи шахтных выработок. – В кн.: Добыча угля подземным способом. /Научно-техн. рефер. сб-к. – М.: ЦНИЭИуголь, 1982, № 2, с. 17-18. 98. Зорин А.Н. Внезапные выбросы пород в горных выработках глубоких шахт. – ФТПРПИ, 1970, № 5, с. 8-13. 99. Вереда В.С. О прогнозе выбросоопасности пластов. – Уголь Украины, 1983, № 5, с. 45-46. 100. Рыженко И.Л., Еремин И.А., Фаст Ф.Б. Температурный режим газоносных угольных пластов как показатель степени их выбросоопасности. – Промышленная теплотехника, 1990, т. 12, № 2, с. 14-19. 101. Еремин И.Я. Исследование дегазации угольного массива в призабойной части пласта. – Автореф. дис. … к.т.н. – Киев: ИТТФ АН УССР, 1963. – 19 с. 102. Макаров Ю.П., Филинков А.А., Неволин В.Я. О взаимосвязи температуры массива с его напряженным состоянием в условиях буроугольного пласта. – ФТПРПИ, 1980, № 2, с. 12-17. 103. Макаров Ю.П. Установления полей напряжений по распределению температуры в окрестности очистных и подготовительных выработок. – ФТПРПИ, 1982, № 5, с. 108-112. 104. Войтковский К.Ф., Зильберборд А.Ф. Тепловой режим и устойчивость подземных выработок в мерзлых породах. – В кн.: [67], с. 49-53. 105. Дядькин Ю.Д., Чемоданов Н.А. Исследования температурного режима шахты "Кайеркан" в зоне вечной мерзлоты. – В кн.: [67], с. 53-59. 106. Бойко И.В. Тепловой и влажностный режим воздуха в шахтах Воркуты и методы борьбы с обмерзанием вентиляционных путей. – В кн.: [67], с. 59-63. 107. Розенбаум М.А., Громов Ю.В., Морозов В.К. Влияние знакопеременной температуры на прочность горных пород. – ФТПРПИ, 1989, № 1, с. 28-33. 108. Осинов В.А. Метод граничных интегральных уравнений для расчета температурных напряжений в окрестности протяженных выработок. – ФТПРПИ, 1988, № 4, с. 8-13. 109. Изаксон В.Ю., Петров Е.Е., Самохин А.В. Расчет крепи горных выработок в многолетней мерзлоте. – Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1988. – 124 с. 110. Иванов Н.С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. – М.: Наука, 1969. – 239 с. 111. Фельдман Г.М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. – М.: Наука, 1973. – 254 с. 112. Инаба Х. Теплофизические свойства мерзлых грунтов. – Пер. с англ. – ТЕПЛОПЕРЕДАЧА, 1983, т. 105, № 3, с. 222-224. 320

113. Шашков А.Г., Волохов Г.М., Абраменко Т.М., Козлов В.П. Методы определения теплопроводности и температуропроводности. – М.: Энергия, 1973. – 336 с. 114. Мерзляков Э.И. К вопросу определения теплофизических свойств горных пород методом квазистационарного нагрева двухслойной пластины. – В кн.: Теплофизика и теплотехника, вып. 25. /Респ. межвед. сб-к – ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1973, с. 104-107. 115. Чистяков В.Л. Исследование и разработка теплофизических приборов и их практическое приложение к совершенствованию устройств для улучшения условий труда по тепловому фактору. – Автореф. дис. … к.т.н. – Севастополь: Изд-во Севастопольского приборостроительного ин-та, 1974. – 21 с. 116. Гаврильев Р.И., Никифоров И.Д. Метод определения теплофизических свойств горного массива без нарушения естественной структуры. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 6, с. 1023-1024. 117. Гаврильев Р.И. Метод короткого цилиндрического зонда для определения теплофизических свойств почв и горных пород. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 5, с. 855-856. 118. Тельной А.П., Стукало В.А. Определение термических характеристик горных пород методом плоского источника постоянной мощности. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. сб-к, вып. 18. – Киев: Техніка, 1970, с. 116-119. 119. Коваленко В.Н., Малашенко Э.Н. Об определении теплофизических характеристик мерзлых горных пород. – В кн.: Тепловые расчеты процессов и устройств в горном деле Севера. /Сб-к трдов ИГД Севера ЯФ СО АН СССР, - Якутск: 1987, с. 50-54. 120. Мышинский Л.Н. Метод определения теплопроводности горных пород в условиях естественного залегания. – Шахтное строительтство, 1963, № 10, с.10-11. 121. Ониани Ш.И., Сарычев Р.А., Бегункова А.Ф. Определение теплофизических характеристик анизотропных материалов с применением изоляционных колпачков. – ФТПРПИ, 1966, № 6, с. 94-99. 122. Ониани Ш.И., Ланчава О.А., Ксоврели О.Р. К вопросу определения термоградиентного коэффициента влажных горных пород. – Сообщения АН Груз. ССР, 1982, т. 105, № 3, с. 557-560. 123. Стукало В.А., Тельной А.П. Исследование теплофизических свойств аргиллитов, алевролитов и песчаников с глинистым цементом гидрослюдистого состава. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 30. – Киев: Техніка, 1972, с. 92-95. 124. Тельной А.П., Стукало В.А. Определение теплофизических характеристик осадочных горных пород по известному минералогическому составу и пористости. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. / Тезисы Всесоюзн. совещ. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1974, с. 69-71. 321

125. Тельной А.П., Стукало В.А. Методика определения теплофизических свойств пород угольных месторождений по их минеральному составу. – Донецк: Изд-во ЦБНТИ МУП УССР, 1982. – 14 с. 126. Тельной А.П. Пучков М.М. О теплофизических характеристиках дробленных горных пород Донбасса. – В кн. Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 53. – Киев: Техніка, 1979, с. 90-91. 127. Христофорова Н.Н. Теоретическое и экспериментальное обоснование связи тепловых и упругих свойств горных пород в условиях их естественного залегания. – В кн.: Тепловые расчеты процессов и устройств в горном деле Севера. /Сб-к трудов ИГД Севера ЯФ СО АН СССР. – Якутск: 1987, с. 54-57. 128. Ониани Ш.И., Пирцхалава Т.Г. Отчет по НИР № 76019251 "Разработать методы прогноза теплового режима очистных выработок глубоких шахт и установить оптимальную по тепловому режиму последовательность отработки отдельных пластов и пачек при слоевой выемке мощных угольных пластов". – Тбилиси: Ин-т горной механики АН Груз. ССР им. Г.А. Цулукидзе, 1977. – 139 с. 129. Пирцхалава Т.Г. Исследование влияния закладки выработанного пространства на тепловой режим очистной выработки при слоевой разработке мощных угольных толщ. – Автореф. дис. … к.т.н. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1980. – 21 с. 130. Вачаев А.В. Определение коэффициента теплопроводности горных пород. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, № 1, с. 1-3. 131. Скакун А.П. Влияние температуры, минерального состава и плотности на теплопроводность горных пород. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Межвуз. сб-к, вып 4. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с. 16-19. 132. Мосин И.М. Определение теплофизических констант углей и пород при высоких температурах. – В кн.: [67], с. 173-176. 133. Трофимов В.Д., Богинский П.Я., Скакун А.П. Исследование теплофизических свойств пород в условиях всестороннего гидростатического сжатия. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Межвузовск. сб-к, вып. 4. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с. 13-15. 134. Чернов О.И. Развитие метода комплексной борьбы с угольной пылью, горными ударами, газовыделениями, внезапными выбросами угля и газа. – В кн.: Нагнетание воды в угольные пласты. /Сб-к статей. – М.: Недра, 1965, с. 7-64. 135. Тельной А.П., Стукало В.А. О зависимости теплофизических характеристик дробленного угля от его влажности, степени метаморфизма и плотности насыпки. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 56. – Киев: Техніка, 1980, с. 78-80. 136. Ониани Ш.И. Тепловой режим глубоких шахт при гидравлической закладке выработанного пространства и сложном рельефе поверхности. – Тбилиси: Мецниереба, 1973. – 308 с. 322

137. Виноградова Л.П. Теплофизические коэффициенты разрыхленных углей. – В кн.: Рудничная аэрогазодинамика и безопасность горных работ. /Сб-к научн. трудов ИГД им. А.А. Скочинского. – М.: Наука, 1964, с. 201-204. 138. Ониани Ш.И., Лебанидзе З.Б. Радиальное изменение теплофизических свойств горных пород вокруг выработок и его влияние на процессы теплообмена в шахтах. – В кн.: Труды I-го Заседания Рабочей группы № 1 Международ. бюро по горной теплофизике. – Катовице: Изд-во Главного Ин-та горного дела, 1981, с. 144-153. 139. Лебанидзе З.Б. Влияние радиального изменения теплофизических свойств пород на микроклимат выработок шахт каменноугольных месторождений. – В кн.: Теплообмен и теплофизические свойства веществ. /Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1984, с. 86-89. 140. Ковалев Ю.М. Некоторые задачи движения газа и жидкости в угольном пласте. – Автореф. дис. … к.ф.-м.н. – Новосибирск: ИГД Севера АН СССР, 1976. – 18 с. 141. Щербань А.Н., Цырульников А.С., Терещенко В.Г. Графоаналитический метод определения теплофизических констант горных пород. – В кн.: [67], с. 67-71. 142. Цырульников А.С., Терещенко В.Г. Результаты исследований теплофизических констант некоторых углей и пород Донбасса. – Уголь Украины, 1964, № 9, с. 39-41. 143. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 488 с. 144. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. – М.: Гостехтеориздат, 1956. – 149 с. 145. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – Изд-е 2-е, исправл. – М.: Наука, 1972. – 688 с. 146. Вялов С.С. Определение теплового поля вокруг подземных сооружений. – Известия АН СССР, сер. географ. и геофизич., 1950, т. 14, № 6, с. 553-557. 147. Кремнев О.А. Нестационарная теплопроводность полых тел, ограниченных круговой цилиндрической поверхностью, при заданном законе ее теплообмена с охлаждающей или нагревающей средой. – Доклады АН СССР, 1952, т. 85, с. 1009-1012. 148. Boldizsar T. Ein numerisch – graphisches Verfahren zur Berechnung der Erwarmung von Grudenwrttern. − Bergban-Archiv, 1960, № 21, Н.2, S. 17-27. 149. Mundry E. Mathematiche Behandlung des Problems. – Kali und Steinsalz, 1963, № 11, S. 37-43. 150. Scott D.K. The cooling of untergraund galleries. – Colliery Gnardian, 198, 1959, P. 5122-5123. 151. Amano K., Mizuta Y., Hiramatsu Y. An improved method of predicting undergraund Climate. /Jnt. j. Rock, Min. Sci. and Geomech. Abstr. – 1982 – 19, p. 31-83.

323

152. Брайчева Н.А., Черняк В.П., Щербань А.Н. Методы расчета температуры вентиляционного воздуха подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1981. – 184 с. 153. Черняк В.П. Тепловые расчеты подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1993. – 199 с. 154. Кухарев В.Н., Салли В.И. Определение коэффициента нестационарного теплообмена для очистных забоев. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1971, № 5, с. 75-77. 155. Люриг Х. Методика численного исследования образования охлажденной зоны вокруг горных выработок, в том числе с учетом геотермической ступени. – В кн.: [22], с. 85-87. 156. Ониани Ш.И., Николаишвили Н.С. Охлажденная зона горного массива вокруг выработки при постоянной температуре рудничного воздуха. – Уголь Украины, 1976, № 11, с. 21-23. 157. Ябко И.А. Нестационарное температурное поле вокруг выработки некругового сечения. – Анн. деп. рукоп. /Деп. ИФЖ в ВИНИТИ, № 1792-74 Деп. – М.: 1974. – 12 с. 158. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – М.: Мир, 1965. – 412 с. 159. Венгеров И.Р. К обобщению задачи Зоммерфельда о теплопроводности в кольце. – ИФЖ, 1978, т. 35, № 1, с. 150-154. 160. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – 2-е изд.-е, исправл. и доп. – М.: Наука, 1979. – 320 с. 161. Киреев В.А., Черняк В.П. Температурное поле изотропного горного массива, нарушенного горизонтальной круговой выработкой. – Промышленная теплотехника, 1988, т. 10, № 5, с. 7-11. 162. Венгеров И.Р. К теории тепло- и массопереноса в слоисто-неоднородных горных массивах и геотехнологических системах. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. Горнотехнологическая теплофизика. /Материалы II-й Всесоюзн. научно-техн. конф. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1981, с. 117-118. 163. Венгеров И.Р. Теория линейного переноса в слоистых системах. /Препринт № 27 ДонФТИ АН УССР. – Донецк: Изд-во ДонФТИ, 1982. – 64 с. 164. Венгеров И.Р. Расчет коэффициентов нестационарного теплообмена на основе слоистых моделей теплопереноса. – Промышленная теплотехника, 1995, т. 17, № 6, с. 32-39. 165. Баратов Е.Й., Галіцин А.С., Щербань О.Н. Геотемпературне поле при вентіляції рудників в районах з різко континентальним кліматом. – Доповіді АН УРСР, 1966, № 9, с. 1157-1161. 166. Энкашев М.М. Решение однофазной объединенной задачи теплопроводности для горной выработки методом интегральных соотношений. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвед. сбк, вып. 5. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 76-82. 324

167. Шувалов Ю.В. Использование природных ресурсов тепла и холода в системе регулирования теплового режима шахт и рудников Севера. – Автореф. дис. … д.т.н. – Л.: ЛГИ, 1987. – 47 с. 168. Венгеров И.Р., Морева А.Г. Инженерный метод расчета теплообмена в глубоких шахтах. /Депон. в ЦНИЭИуголь 28.12.76 г., Деп. № 900, РЖ "Угольная промышленность", реф. 6В111-77, - 5 с. 169. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Метод определения ширины охлажденной зоны породного массива. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 3. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 29-33. 170. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Применение гидроинтегратора для решения некоторых инженерных задач горной теплофизики. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-техн. совещ. − Макеевка−Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1974, с. 58. 171. Гущин А.М., Лобов В.Л. Решение задачи нестационарной теплопроводности при изменении скорости вентиляционной струи. – ФТПРПИ, 1980, № 1, с. 111-114. 172. Медведев Б.И., Гущин А.М., Лобов В.Л. Естественная тяга глубоких шахт. – М.: Недра, 1985. – 77 с. 173. Кремнев О.А., Журавленко В.Я., Шелиманов В.А., Козлов Е.М. Влияние режима проветривания на нестационарный теплообмен горного массива с вентиляционной струей. – Доклады АН УССР, сер. А., 1984, № 6, с. 74-76. 174. Гендлер С.Г. Моделирование температурных полей в массиве твердеющей бетонной закладки. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1977, № 12, с. 24-26. 175. Гендлер С.Г. Особенности тепловых расчетов горных выработок при системах разработки с твердеющей закладкой. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1981, № 11, с. 19-22. 176. Шувалов Ю.В., Бобровников В.М. Расчет температурного поля массива в зоне влияния твердеющей закладки. – В кн.: Физические процессы горного производства. Тепломасоперенос в горных выработках и породных коллекторах. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 91-97. 177. Полубинский А.С., Черняк В.П. Задача о температурном поле в массиве горных пород с тепловыделяющей оболочкой вокруг выработки. – Доклады АН УССР, сер. А., 1989, № 2, с. 76-78. 178. Полубинский А.С., Черняк В.П. Температурное поле массива горных пород с внутренними источниками. – Промышленная теплотехника, 1989, т. 11, № 2, с. 15-20. 179. Полубинский А.С., Черняк В.П. Динамика температурного поля в массиве горных пород с равномерно распределенными внутренними источниками. – Доклады АН УССР, сер. А., 1989, № 5, с. 78-82. 180. Полубинский А.С., Черняк В.П. Расчет температурного поля в массиве горных пород при наличии окисления на стенке выработки. – Доклады АН 325

181. 182.

183. 184.

185. 186.

187. 188.

189. 190.

191. 192.

326

Украины (математика, естествознание, технич. науки), 1992, № 10, с. 84-86. Воропаев А.Ф. Тепловые параметры вентиляционной струи в равномерно проходимой горной выработке. – В кн.: [66], с. 25-28. Величко А.Е., Краморов А.С., Кочерга П.Г. К вопросу определения коэффициентов нестационарного теплообмена в тупиковых выработках. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах. Вып. 4. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1975, с. 46-51. Величко А.Е., Яковенко А.К. Определение тепловыделений горного масива при проходке глубоких стволов. – Шахтное строительство, 1981, № 6, с. 13-14. Стукало В.А. К определению значений коэффициента нестационарного теплообмена для очистных забоев глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. сб-к, вып. 39. – Киев: Техніка, 1975, с. 148-153. Стукало В.А. О коэффициенте нестационарного теплообмена выработок, проветриваемых менее года. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 43. – Киев: Техніка, 1976, с. 62-64. Мартынов А.А. Метод прогноза температурных условий в лавах по простиранию крутых пластов. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985, с. 60-64. Яковенко А.К. К вопросу определения тепловыделений в высокопроизводственных лавах глубоких шахт. - . /Сб-к научн. трудов. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1986, с. 64-67. Мартынов А.А. Теплообмен в выработанных пространствах лав при плавном опускании кровли. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьба с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1981, с. 95-100. Кузин В.Л., Пучков М.М., Мартынов А.А. Теплообмен между утечками воздуха и обрушенными породами выработанного пространства. - Там же, 1988, с. 25-28. Медведев Б.И. Определение коэффициента нестационарного теплообмена для выработок, проходимых с постоянной скоростью. – В кн. Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 46-47. Аверин Г.В. Прогноз и нормализация теплового режима при комбайновом проведении тупиковых выработок угольных шахт. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1986. – 18 с. Ониани Ш.И., Николаишвили Н.С., Гвритишвили Б.З. Формирование температурного поля горного массива и поверхности теплоотдачи капитальных выработок в глубоких шахтах. – Уголь Украины, 1978, № 6, с. 40-42.

193. Балатаева Н.Г. Моделирование теплообмена в горных выработках при гармонических колебаниях температуры воздуха. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Межвед. сб-к, вып. 4. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с. 58-62. 194. Бурцев А.И., Постольник Ю.С. Аналитическое исследование теплообмена между бесконечным массивом и цилиндрической полостью с нестационарной температурой среды. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1978, с. 63-67. 195. Гущин А.М. Решение задачи нестационарной теплопроводности со скачкообразным изменением температуры воздуха. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых /Респ. межвед. сб-к, вып. 25. – Киев: Техніка, 1971, с. 64-69. 196. Кремнев О.А., Журавленко В.Я. и др. Влияние охлажденной зоны на нестационарный теплообмен горного массива с вентиляционной струей. – Доклады АН УССР, сер. А., 1975, № 10, с. 942-944. 197. Гущин А.М., Лобов В.Л. Определение теплоотдачи горных пород при скачкообразном изменении температуры воздуха. – В кн.: [22], с. 175-178. 198. Кузин В.А., Венгеров И.Р. О коэффициенте нестационарного теплообмена при скачкообразном изменении температуры воздуха в горной выработке. – Доклады АН УССР, Сер. А., 1983, № 4, с. 81-83. 199. Венгеров И.Р., Флоров С.В., Черниченко В.К. Оценка времени обмерзания шахтного ствола при сбросе тепловой мощности на калориферной установке. – В кн.: Способы и технические средства обеспечения безопасных и здоровых условий труда на угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1988, с. 78-83. 200. Медведев Б.И., Кондрацкий В.Л., Почтаренко П.С. Определение коэффициента нестационарного теплообмена в горных выработках при скачкообразном изменении температуры воздуха. – В кн.: Совершенствование разработки угольных месторождений. /Сб-к научн. работ. – Донецк: Изд-во ДПИ, 1969, с. 83-86. 201. Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г. Расчет тепловыделений от породного массива при изменении температуры воздуха в выработке. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников, вып. 1. /Межвед. сб-к научн. работ. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с. 101-106. 202. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – Изд-е 2-е, доп. – М.: Высшая школа, 1985. – 480 с. 203. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 204. Венгеров И.Р. Метод пересчета для решения задач горной теплофизики. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985, с. 50-52. 205. Лыков А.В. Тепломассообмен. /Справочник. – М.: Энергия, 1972. – 560 с.

327

206. Van Heerden C.A. A problem of unsteady heat flow in convection With air cooling of codifies. /Pros. of the General Discussion on Heat Transfer/ - London: Jnst. Mech. Engres. – 1951. - p. 283-285. 207. Sherratt A.F. Temperatures around a cooled mine roadway. /Coll. Eng. – 1964, № 2, р. 221-225. 208. Waclawik J. Rownania mechaniki plynow i termodynamiki dla skalnego osrodka porowntego z punktu Widzenia prognozy Warunkow Klimatycznych. / Mat. conf. z I Posiedzenia Grypy Roboczej Nr1. – Katowice: Glowng Jnstijtut Gornietwa. – 1981, S. 526-537. 209. Galkin A.F. Calculation of thermal conditions in Working during drivage. /Proc. of the 4-th Session of the Jnt. Burcan of Mining Thermophysics. – United Kingdom, 1985. – 1, p. 150-160. 210. Красовицкий Б.А., Попов Ф.С. Температурный режим горных выработок. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 339-346. 211. Яковенко А.К. Методы прогноза и нормализации тепловых условий в высокопроизводительных лавах глубоких угольных шахт. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985. – 18 с. 212. Коздоба Л.А., Черняк В.П. Физическая характеристика и математическое описание системы "массив-выработка" в связи с проблемой прогноза и регулирование теплового тежима глубоких шахт. – В кн.: [22], с. 40-49. 213. Сучков А.Н. Исследование целесообразности теплоизоляции стенок горных выработок в глубоких шахтах Донбасса. – Автореф. дис. … к.т.н. – Новочеркасск: Изд-во НПИ, 1981. – 20 с. 214. Крамаров А.С., Венгеров И.Р., Морева А.Г. К вопросу определения коэффициента нестационарного теплообмена при теплоизоляции стенок горных выработок. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 4. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1975, с. 94-96. 215. Кузин В.А., Венгеров И.Р. Двухслойная теплофизическая модель горного массива. – Промышленная теплотехника, 1984, т. 6, № 1, с. 30-34. 216. Венгеров И.Р., Черниченко В.К. Определение характерной температуры при тепловом дренаже горных массивов. – Промышленная теплотехника, 1988, т. 10, № 6, с. 49-52. 217. Венгеров И.Р., Черниченко В.К. Математическое моделирование теплового дренажа горных пород в глубоких шахтах. /Библиограф. указатель ВИНИТИ "Депониров. научн. работы" – М.: 1988, вып. № 8 (202), Рег. № 4440 от 01.03.88. – 44 с. 218. Венгеров И.Р. Теплофизические модели полной закладки выработанного пространства глубоких шахт. - /Препринт ДонФТИ – 95- 4. – Донецк: Издво ДонФТИ им. А.А. Галкина АН Украины, 1995. – 45 с. 219. Галицын А.С., Черняк В.П. Нестационарная теплопроводность горного массива при наличии на стенках выработки сплошного крепления. – Доклады АН УССР, сер. А., 1982, № 9, с. 65-67.

328

220. Галицын А.С., Черняк В.П. Нестационарная теплопроводность горного массива вокруг выработки с высокотеплопроводным сплошным креплением. – Доклады АН УССР, сер. А., 1983, № 4, с. 83-87. 221. Полубинский А.С., Черняк В.П. Нестационарная теплопроводность горного массива при подавлении окислительных процессов на стенке выработки. – Доклады АН Украины (математика, естествознание, технич. науки), 1992, № 11, с. 81-83. 222. Журавленко В.Я., Шелиманов В.А., Козлов Е.М., Мукоед Н.И. Нестационарный теплообмен системы конечный слой – полуограниченный массив с вентиляционным воздухом. – Доклады АН УССР, сер. А., 1985, № 5, с. 72-75. 223. Журавленко В.Я., Шелиманов В.А., Козлов Е.М., Мукоед Н.И. Нестационарный теплообмен вентиляционного воздуха и горного массива с кольцевым слоем на его поверхности при граничном условии III-го рода. – Доклады АН УССР, сер.А., 1986, № 1, с. 74-78. 224. Хмура К. Влияние литологическо-геологической структуры горного массива на геотермическую анизотропию горных пород. – В кн.: Труды I-го заседания Рабочей группы № 1 Международного бюро по горной теплофизике. – Катовице: Изд-во Горной Академии, 1980, с. 526-538. 225. Ониани Ш.И. Тепловой режим глубоких шахт при гидравлической закладке выработанного пространства и сложном рельефе поверхности. – Автореф. дис. … д.т.н. – Тбилиси: Изд-во ИГМ АН Груз. ССР, 1970. – 41 с. 226. Ониани Ш.И., Болквадзе С.Л. Решение задачи нестационарной теплопроводности между закладкой и примыкающими к ней неоднородными массивами угля и породы. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. Тепловой режим шахт и рудников. /Тезисы докл. II-й Всесоюзн. научно-техн. конф. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1981, с. 20-21. 227. Гендлер С.Г. Исследование динамики формирования температурных полей в закладочном и рудном массивах. – В кн.: Физические процессы горного производства, вып. 3. /Межвуз. сб-к научн. работ. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1976, с. 63-67. 228. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Близнец Л.А. Теоретические и экспериментальные основы теплового дренажа высокотемпературного массива в глубоких шахтах и рудниках. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. Тепловой режим шахт и рудников. /Тезисы Всесоюзн. научн.-техн. конф. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1973, с. 69-71. 229. Шувалов Ю.В., Близнец Л.А., Андрющенко В.Н. Результаты опытнопромышленной проверки системы теплового дренажа пласта в условиях шахты им. Менжинского. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-техн. совещания, Донецк, 1974. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1974, с. 115-116. 329

230. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Близнец Л.А. Теоретические и экспериментальные основы теплового дренажа высокотемпературного массива в глубоких шахтах и рудниках. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. /Материалы Всесоюзн. научно-техн. совещ. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с. 160-164. 231. Дядькин Ю.Д., Андрющенко В.Н. Тепловой дренаж горного массива. – М.: ЦНИЭИуголь, 1975. – 33 с. 232. Шувалов Ю.В., Серафимов С.А. Восстановление температурного поля охлажденного пласта. – В кн.: Физические процессы горного производства, вып. 4. /Межвуз. сб-к научн. работ. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с. 63-66. 233. Смирнов Ю.М., Богинский П.Я., Гендлер С.Г. и др. Исследование эффективности теплового дренажа закладочного массива. – Там же ([232]), с. 67-71. 234. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. – Изд-е 2-е, перераб. и доп. – Л.: Энергия, 1976. – 352 с. 235. Киреев В.А., Черняк В.П., Щербань А.Н. Задача нестационарной теплопроводности анизотропного горного масива вокруг горизонтальной выработки. – Доклады АН УССР, сер. А., 1980, № 9, с. 82-85. 236. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 436 с. 237. Баратов Е.Й., Галіцин А.С., Щербань О.Н. Розрахунок охолоджених зон навколо гірничих виробок з врохуванням неоднорідності порід. – Доповіді АН УРСР, 1966, № 3, с. 355-357. 238. Медведев И.И., Красноштейн А.Е., Лужецкая Н.Д., Самарина Т.А. Аналитическое описание температурного поля массива, окружающего горные выработки, для условий верхнекамских калийных рудников. – В кн.: Разработка соляных месторождений. /Межвуз. сб-к научн. трудов. – Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1974, с. 109-114. 239. Смирнова Н.Н., Шувалов Ю.В. Эффективность теплового дренажа при гидроразрыве угольного пласта. – В кн.: Физические процессы горного производства, вып. 4. /Межвуз. сб-к научн. работ. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с. 72-75. 240. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. – М.: Недра, 1972. – 276 с. 241. Клемент И. Моделирование температурных процессов и полей при решении вопросов проветривания и кондиционирования воздуха в глубоких шахтах. – В кн.: [22], с. 120-126. 242. Основы гидрогеотермии. /Колл. монография под ред. М.М. Фролова. – М.: Недра, 1991. – 335 с. 243. Журавленко В.Я., Шурчков А.В. Дифференциальные уравнения процесса охлаждения горного массива при движении жидкости через подземный пористый слой. – В кн.: Аналитические методы решения задач переноса тепла и вещества. /Сб-к научн. работ. – Киев: Наукова думка, 1967, с. 59-63. 330

244. Щербань А.Н., Бабинец А.Е., Цырульников А.С., Дядькин Ю.Д. Тепло Земли и его извлечение. – Киев: Наукова думка, 1974. – 263 с. 245. Лялько В.И. Методы расчета тепло- и массопереноса в земной коре. – Киев: Наукова думка, 1974. – 129 с. 246. Лялько В.И., Митник И.М. Исследование процессов переноса тепла и вещества в земной коре. – Киев: Наукова думка, 1978. – 150 с. 247. Пучков М.М. Разработка метода прогноза и рекомендаций по снижению тепловыделений из выработанного пространства. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1982. – 21 с. 248. Сахновский В.Л. Исследование нестационарного теплообмена в железорудных шахтах. – В кн.: Физические процессы горного производства. Тепломассоперенос в горных выработках и породных коллекторах. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 84-86. 249. Ножкин Н.В., Громов В.А., Ярунин С.А. и др. Провести теоретические исследования технологии гидрорасчленения выбросоопасных угольных пластов в различных бассейнах. /Отчет по этапу НИР № 171190102. – МоскваМакеевка: МГИ-МакНИИ, 1976. – 186 с. 250. Мерзляков Э.И., Рыженко И.А., Цырульников А.С. Теплообмен при двумерной фильтрации жидкости в нарушенных горных породах. – ИФЖ, 1978, т. 34, № 1, с. 58-66. 251. Криворучко А.М., Ященко Ю.П., Кандыба Н.А. Влияние массообменных процессов на тепловой поток от пород к воздуху в лавах глубоких шахт. – В кн.: Технология горных работ на шахтах Донбасса. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: Изд-во ДонУГИ, 1985, с. 175-184. 252. Криворучко А.М. Применение ЭВМ для планирования мероприятий по борьбе с высокими температурами в шахтах. – В кн.: Применение ЭВМ и математических методов в горном деле. /Труды 17-го Междунар. симпозиума, т. 3: Управление. – М.: Недра, 1982, с. 22-25. 253. Ященко Ю.П. О тепло- и массообмене воздуха с горными породами в очистных забоях. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. сб-к, вып. 59. – Киев: Техніка, 1981, с. 23-29. 254. Стукало В.А., Гущин А.М. Нестационарный теплообмен между породами и рудничным воздухом при граничных условиях третьего рода, осложненных влагообменом. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1984, № 12, с. 43-48. 255. Стукало В.А., Гущин А.М. Расчет коэффициентов нестационарного теплообмена выработок при наличии испарения влаги. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, № 2, с. 35-40. 256. Кремнев О.А., Журавленко В.Я., Козлов Е.М., Шелиманов В.А. Тепло- и влагообмен свежеобнаженного горного массива с вентиляционной струей воздуха. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 4, с. 643-648. 257. Кремнев О.А., Журавленко В.Я., Козлов Е.М., Шелиманов В.А. Тепло- и влагообмен вентиляционного воздуха тупиковой части выработки с гор331

258. 259. 260. 261. 262. 263. 264. 265. 266.

267. 268. 269. 270.

271.

332

ным массивом при концентрационном переносе влаги. – Доклады АН УССР, сер. А., 1980, № 4, с. 88-90. Кремнев О.А., Журавленко В.Я., Шелиманов В.А., Козлов Е.М. Тепло- и влагообмен свежеобнаженного горного массива с вентиляционным воздухом в тупиковой части выработки. – ИФЖ, 1980, т. 38, № 6, с. 1106-1110. Кремнев О.А., Журавленко В.Я. Проблемы массообмена в тепловых расчетах шахт. – В кн.: Физические процессы горного производства, вып. 11. /Межвед. сб-к научных работ. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 12-18. Полубинский А.С., Черняк В.П. Задача о нестационарном тепло- и массообмене вентиляционного воздуха с массивом горных пород. – Доклады АН УССР, сер. А., 1990, № 2, с. 77-81. Полубинский А.С., Черняк В.П. Решение задачи о тепло- и массообмене вентиляционного воздуха с массивом горных пород. – Промышленная теплотехника, 1991, т. 13, № 1, с. 58-65. Полубинский А.С. О коэффициентах нестационарного тепло- и массообмена при наличии неоднородности потенциалоотдачи на стенке горной выработки. – Доклады АН УССР, сер. А., 1991, № 7, с. 79-81. Черняк В.П., Полубинский А.С. К расчету температурного пол в разрушаемом массиве горных пород. – Доклады АН Украины, 1994, № 11, с. 95-98. Ониани Ш.И., Ланчава О.А., Ксоврели Ю.Р. Обобщенные зависимости для изотермического массопереноса в системе "горный массив – рудничный воздух". – Сообщения АН Груз. ССР, 1982, т. 106, № 1, с. 113-116. Ланчава О.А. О тепломассообмене в свежепройденных горнх выработках. – ФТПРПИ, 1985, № 5, с. 99-103. Ониани Ш.И., Болквадзе С.Л. Исследование тепло- и влагообменных процессов в подготовительных и очистных выработках глубоких шахт на примере Ткибули-Шаорского каменноугольного месторождения. /Отчет по НИР № 0182008134 Ин-та горной механики им. Г.А. Цулукидзе АН Груз. ССР. – Тбилиси: 1985. – 124 с. Ланчава О.А. О тепломассообмене в капитальных горных выработках. – ФТПРПИ, 1982, № 6, с. 87-91. Фосс И. Установление теплотехнических характеристик выемочных участков и лав. – ГЛЮКАУФ, 1970, № 5, с. 11-14. Новиков Ф.Я. Температурный режим мерзлых горных пород за крепью шахтных стволов. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 78 с. Кудряшов Б.Б., Шувалов Ю.В., Саламатин А.Н. Коэффициент интенсификации теплообмена при агрегатных переходах. – В кн.: Физические процессы горного производства, вып. 5. /Межвуз. сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 60-65. Шувалов Ю.В., Энкашев М.М. Решение двухфазной задачи Стефана для плоско-параллельного потока. – В кн.: Физические процессы горного производства. Теплофизические процессы в горной технологии. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1983, с. 19-25.

272. Попов Ф.С., Красовицкий Б.А., Скуба В.Н. Методика расчета теплового решения шахт, рудников и подземных сооружений Севера. – В кн.: [22], с. 245-258. 273. Чарный Т.А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении или нагревании тел. – Известия АН СССР, ОТН, 1948, № 2, с. 187-202. 274. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. – Рига: Звайгзне, 1967. – 457 с. 275. Испирян Р.А., Стотланд Д.М., Гамаюнов Н.И. Протаивание мерзлых пород и торфяников в случае переменных теплофизических свойств мерзлой зоны. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. /Материалы Всесоюзн. научно-техн. конф. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с. 99-102. 276. Изаксон В.Ю., Петров Е.Е. Инженерный метод прогнозирования и регулирования размеров ареолов протагивания вокруг горных выработок области многолетней мерзлоты. – ФТПРПИ, 1985, № 5, с. 33-38. 277. Изаксон В.Ю., Ковлеков И.И., Петров Е.Е. Расчет температурного поля массива горных пород вокруг полостей с изменяющимся контуром. – ИФЖ, 1986, т. 51, " 1, с. 161-162. 278. Кольчик Ю.Н., Черняк В.П. Температурное поле в системе "выработка массив" при образовании льда. – Промышленная теплотехника, 1990, т. 12, № 4, с. 47-51.

Часть 5. Теплоперенос в горных выработках. Глава 19. Источники тепла в выработках. §56. Тепловой режим выработок. Тепловой режим горных выработок характеризуется параметрами движущегося по ним вентиляционного потока – параметрами влажного воздуха: температурой TB (°С), влагосодержанием x (кг пара на 1 кг сухого воздуха), относительной влажностью ϕ (% или доли единицы), энтальпией i (ккал/кг) [1÷3]. По результатам периодически осуществляемых в шахтах тепловых съёмок строят тепловые карты горных выработок – графики, показывающие изменение указанных параметров (а также расхода или скорости воздуха, тепловыделение на 1м выработки и др.) вдоль вентиляционного маршрута [4÷7]. Результаты тепловых (маршрутных) съёмок также используются для составления теплового баланса выработок и оценки роли отдельных источников тепла. Источники тепла в выработках разделяют на относительные и абсолютные [1÷4]. К первым относят зависящие от температуры воздуха (теплопритоки из массива, например), а ко вторым – не зависящие (джоулево тепло, например). Используют, иногда, и разделение источников тепла на общие (главные) и местные [1]. К первым относят характерные для всех выработок (теплопритоки из массива, тепло автокомпрессии и др.); ко вторым – характерные для отдельных выработок или их участков (тепловыделения от транспортируемого ископаемого, работающего оборудо-вания и др.). Существенное влияние на параметры вентиляционной струи оказывают процессы тепломассообмена, происходящие в выработках (процессы переноса пара и его конденсации, испарения влаги в массиве, на его поверхности и в воздухе). Тепловой режим основных видов горных выработок шахт, т.е. параметры влажного воздуха, их изменение вдоль выработок и со временем изучались на основе многочисленных тепловых съёмок [1÷26]. Температура рудничного воздуха TB вдоль вентиляционного маршрута в глубоких шахтах возрастает, более выражено в холодный период года [1,5,8]. Сезонные колебания температуры атмосферного воздуха, подаваемого в шахту, достигают 30÷35°С, суточные – 15÷20°С. В глубоких шахтах эти температурные перепады нивелируются, в основном, на подходе вентиляционной струи к участку или лаве [8]. Повышение температуры воздуха вдоль выработок носит линейный (кусочно-линейный) характер [1,3,5,7,8,12]. Если в начале выработки длиной L температура воздуха TB1 , а в конце – TB 2 , то изменение (прирост) температуры на ста метрах выработки:

334

T − TB1 ηТ = B 2 , ( L / 100)

⎛ oC ⎞ ⎜ ⎟. ⎜ 100м ⎟ ⎝ ⎠

(5.1)

Этот параметр можно назвать "макроградиентом температуры". Некоторые характерные значения его, определённые замерами и расчётами, приведены в табл. 5.1. Таблица 5.1 Макроградиенты температуры воздуха №№ п/п

Тип выработок

Метод определения

⎛ oС ⎞ ⎟ ηТ , ⎜ ⎜ 100 м ⎟ ⎝ ⎠

Источник

Замеры Замеры

[5] 0,3÷0,5 1 Участковые 0,5 (лето); [12] выработки без горного 1,0 (зима) транспорта Расчёт 0,24 [4] Расчёт 0,35 [4] 2 Квершлаги Расчёт 0,08 [25] Расчёт 0,1 [4] Замеры 0,5 [5] Замеры 0,41 (конв.); [23] 0,24 (вагонет.) Расчёт 0,28 [24] 3 Откаточные штреки -"0,12 [25] -"0,38 [25] -"0,18 [4] -"0,45 [4] -"0,55 [4] -"0,32 [22] Замеры [4] 0,1÷3,3 Расчёт 1,32 [25] 4 Очистные выработки -"2,78 [26] (лавы) -"1,45 [4] -"2,25 [22] Разброс величин ηТ связан с различиями: в размерах выработок (длин, площадей поперечных сечений, формы); в сроках эксплуатации (что определяет интенсивность теплопритоков от массива); в энерговооруженности; наличии или отсутствии транспортируемого ископаемого и местных источников тепловыделений; в расходах воздуха; в интенсивности массообменных процессов. Тепловой режим в гидрошахтах во многом определяется специфическими источниками тепла: работа гидромониторов повышает TB в

335

лавах на 2÷3°С. Источником тепла являются и углесосы: в камерах, в которых они располагаются, TB достигает 38°С [27]. Трубопроводы с водой – также источники тепла (их температура – 27,5÷31,5°С), как и желоба с пульпой (температура ~ 28°С)[28]. Тепловой режим тупиковых горных выработок во многом определяется температурой воздуха на входе в нагнетательный воздухопровод и утечками из него. В забоях тупиковых выработок (в особенности при комбайновой проходке) встречаются высокие температуры воздуха (превышающие на 5÷6°С температуру воздуха в забоях выработок, проходимых буровзрывным способом) [29]. Теплопритоки от горного массива в призабойной зоне и в остальной части тупиковой выработки различны [12]. Температура воздуха в выработке и в воздухопроводе изменяются вдоль выработки; перепады их обычно не выше 1,5÷2,0°С. Перепады температуры в воздухопроводе (вдоль движения потока): – 1,2÷0,3°С; в призабойной зоне: – 7,2÷1,2°С; в остальной части выработки: – 1,2÷0,5°С [30]. Тепловой режим выработок шахт Севера отличают: большие амплитуды сезонных колебаний температуры атмосферного воздуха (− 57,0÷ ÷ + 32,0°С); повышенное влияние небольших колебаний температуры воздуха относительно 0°С на устойчивость выработок в мёрзлых массивах [32]; неравномерность изменения температуры воздуха вдоль вентиляционного маршрута в летний период (когда встречаются участки выработок с ηт = = 5÷10 (°С/100 м)) [4,33]; монотонное повышение температуры воздуха в зимний период (при работе шахты без калориферных установок) или понижение (при работающих калориферах) [34]. При измерениях или расчётах температурных полей в выработках используют усреднённые по площади сечения выработок значения температур воздуха в различных пунктах вентиляционной сети, полагая эти поля одномерными и стационарными [6]. Модель процесса теплопереноса в выработке является при этом алгебраическим или дифференциальным (с первой производной температуры воздуха по продольной координате – d TB d y ) уравнением теплового баланса (УТБ). В реальных выработках температура воздуха неоднородна по сечению [6,7,35]. Измерения показали, что отклонение средней по входному сечению лавы температуры воздуха от её среднеарифметического значения, полученного из температур в центрах ячеек площадью 0,15÷0,20 м2, на которые разбивалось сечение, составляет ± 0,16°С. Для выходного сечения лавы это отклонение составило ± 0,53°С. В тупиковых выработках, в призабойной зоне, вариация TB в сечении достигает 0,3÷0,9°С [7]. В сечениях лав TB возрастает от забоя к стойкам крепи и от почвы к кровле пласта. В сечениях воздухоподающих штреков, расположенных за 10 м до входа в лаву (прямоточная схема проветривания), вариация TB составила 0,4÷1,8°С [7]. В начале лав, на последней технологической дороге TB на

336

0,1÷0,2°С больше, чем на первой дороге. В конце лав, в зависимости от схем проветривания, это превышение было 1,2÷2,5°С [35]. Измерения относительной влажности воздуха ϕ(%) также осуществлялись неоднократно. Для подаваемого в шахту атмосферного воздуха характерны различные летние ( ϕ =35÷40%) и зимние ( ϕ =90÷95%) значения. Сезонные колебания ϕ , как и TB , в глубоких шахтах затухают на подходе к лаве [8]. Для лав в Донбассе характерны значения на входе (ϕ1) в лаву и на выходе из неё (ϕ2) [4]: ϕ1 = 76÷90%; ϕ2 = 76÷99%. Если по аналогии с (5.1) ввести "макроградиент относительной влажности" – ηϕ , то из данных [4] следует, что ηϕ = (2,86÷5,53) %/100 м. Характер изменения ϕ вдоль лав – линейный [36]. В горизонтальных и наклонных выработках сквозного проветривания изменение ϕ вдоль них также линейное [12]. Статистическая обработка данных измерений в лавах позволила разделить их на две группы – "сухие" и "влажные". В этих группах, в свою очередь, была осуществлена градация по признаку "добычная смена" – "ремонтная смена". Для сухих лав: в добычную смену ϕ1= 73,5%. Для влажных лав: в добычную смену ϕ1 = 88%, в ремонтную – ϕ1 = 89%. Для всех случаев были найдены величины ηϕ , которые изменялись в диапазоне: ηϕ = (−1,8÷3,8)%/100 м [36]. В тупиковых выработках

ϕ сильно варьирует [37], будучи распределена по нормальному закону и

статистически различима для охлаждаемых и не охлаждаемых тупиков. На выходе из тупиковой выработки относительная влажность воздуха ϕ2 имеет

средние значения: без охлаждения – ϕ2 = 71% (сухие тупики) и ϕ2= 79% (влажные); с охлаждением воздуха – ϕ2 = 75% (сухие) и ϕ2 = 83% (влажные)[37]. Для перепадов Δϕ = ϕ2 − ϕ1 найдены значения: в воздухопроводах – Δϕ = (−2,2÷6,0)%; в призабойной зоне – Δϕ = (+0,5÷18,0)%; в остальной части выработки – Δϕ = (−1,1÷ + 13,3) % [30]. Относительная влажность ϕ изменяется в сечениях выработок, как и TB , поэтому используемые величины ϕ1 и ϕ2 трактуются как средние по сечению. В сечениях штреков, за 10 м до начала лавы, вариация ϕ составляет 1÷4 %. В лавах отклонение средних по сечению ϕ от среднеарифметических по замерам в ячейках сечения площадью 0,15 ÷ 0,2 м2 составляло ± 0,51 % – в начале лавы и ±1,38 % – в её конце. В сечениях лав ϕ понижалась по направлению к выработанному пространству. В конце лавы ϕ на первой технологической дороге (призабойной) было на 5÷7 % выше, чем на последней дороге [35]. В тупиковых выработках вариация ϕ в сечениях достигает (1÷5) % [7]. В околоствольных дворах строящихся шахт ϕ ≅ const = (95÷97) % [38]. 337

Удельный вес различных источников тепла в тепловых балансах выработок и шахт для различных бассейнов и шахт определялся многими исследователями [1÷23; 29; 39÷42]. А.А. Скочинским для условной шахты глубиной Н = 1000 м с суточной добычей 2000 т угля было получено [11]: теплопритоки от массива составляют 50% всех теплопоступлений; за счёт окислительных процессов – 30%; от шахтной воды – 12%; от машин и механизмов – 3,3%; прочие – 4,7%. Для шахт Бельгии теплопритоки от массива, включая тепло от окислительных процессов − 66÷70%; тепло от сжатия воздуха в стволе (авто-компрессия) – 14,5%; от электрооборудования – 7%. Для шахт Англии: теплопритоки из массива – 46%; от автокомпрессии – 21%; от работающих механизмов – 12%; тепловыделение людей – 14%; прочие – 7%. А.И. Щербанём для одной из шахт г. Горловка (Донбасс) было получено: теплопритоки от массива – 52,5%; от окисления – 25,6%; от добытого угля – 9,1%; от электрооборудования – 8,2%; прочие – 4,9% [11]. Усредненные по Донбассу данные Б.А. Грядущего [20]: теплопритоки от массива – 50%; от окисления – 25%; от добытого угля – 10%; от механизмов, машин, трубопроводов со сжатым воздухом – 15%. Разделив общешахтные и участковые выработки, авторы [6] получили для общешахтных: теплопритоки от массива – 68%; от автокомпрессии – 5,5%; от оборудования – 13%; от добытого угля – 10%; прочие – 4,5%. Для участковых выработок [6]: от массива – 54%; от оборудования – 27%; от отбитого угля – 12%; прочие – 7%. По данным [22] в конвейерных выработках на долю транспортируемого угля приходится от 30% до 50% всех теплопритоков. В лавах, особенно механизированных, преобладают теплопритоки от работающих машин и механизмов (65,4%), в то время как от массива они составили только 26,3% (в добычную смену, в лаве с суточной добычей 2150 т). При суточной добыче в 925 т, тепловыделение машин и механизмов составило 30%, а теплопритоки из массива – 64,9% всех теплопоступлений [23]. Далее рассматриваются аналитические и эмпирические зависимости, описывающие интенсивность основных источников тепла в горных выработках. Эти формулы используются при составлении УТБ выработок – математических моделей теплопереноса в них. На основе этих моделей проводятся прогнозные тепловые расчёты выработок, определяется необходимая мощность холодильного оборудования и места расстановки воздухоохладителей. Потребность в прогнозе и управлении тепловым режимом глубоких шахт обусловлена тяжёлыми условиями труда в них, что ведёт к росту производственного травматизма и снижению производительности труда [12,29,42,43]. Для целей проектирования, реконструкции и строительства шахт прогнозные тепловые расчёты осуществляются по утверждённым на отраслевом уровне нормативным документам – методикам тепловых расчётов [22,44,45].

338

§57. Теплопритоки из массива В парадигме шахтной теплофизики теплопритоки из массива вентиляционному воздуху определяются через коэффициент K τ (см. гл. 4):

ΔQм = K τVL(TП − Т В ) ,

к

(5.2)

где Т п – температура массива; V , L – периметр и длина выработки (или её участка). Если рассматривать элементарный отрезок выработки, то достаточно в (5.2) осуществить замену: L → d y, ΔQм → d Qм . Коэффициент нестационарного теплообмена K τ определяется по формуле (4.10), на основе решения краевой задачи теплопереноса в массиве (гл. 4), по которому находится ( (∂T ∂r )r = R ) или Tc т (t ) = T ( R0 , t ). Требуется также знать 0

величину коэффициента теплообмена α между стенками выработки и рудничным воздухом. В гл. 4 формулы для K τ (кроме нескольких) не приводились, поэтому далее излагаются известные зависимости для K τ и α . Все известные формулы для K τ можно объединить в 4 группы: 1) K τ на

основе точных решений базисных задач теплопереноса в массивах; 2) K τ , полученные на основе приближенных, численных или аналоговых решений базисных задач; 3) K τ , следующие из решений задач оболочки парадигмы (частные случаи, преобразованные K τ двух первых групп, аппроксимации); 4) K τ , найденные эмпирико-статистическими методами (путём нахождения "поправочных коэффициентов" к K τ трёх первых групп и путём установления для K τ корреляционных связей). Первую группу K τ составляют полученные для различных моделей горных массивов. Для однородных и изотропных массивов известна формула О.А. Кремнёва (4.47), номографированная при Fo ∈ [10− 3, 103] и Bi ∈ [0,15, ∞ ) [1]. Предельный случай Bi→∞ (что соответствует интенсивному режиму теплообмена при испарении влаги на стенке выработки) также охватывается этой номограммой. Для массива вокруг полусферического забоя (призабойная зона тупиковой выработки) получена формула (4.51), также номографированная [1]. Предельным переходом Bi → ∞ (α → ∞) в (4.51) может быть получена формула для случая испарения влаги на стенке забоя тупиковой выработки:

Ku τ,в = lim Ku τ = 1 + Bi →∞

at 1 , Fo = 2 . π Fo R0

(5.3)

В [1] (5.3) получена более сложно. В развитие [1,4] в [46] приведены решения задач теплопереноса в массиве вокруг цилиндрической полости, 339

температура воздуха в которой изменяется со временем синусоидально и экспоненциально. Эти случаи, содержащие неточности, рассмотрены в части 4. Формула для K τ при учёте начальной температурной неоднородности массива на основе двумерной краевой задачи (4.53) была получена в весьма сложном виде (4.56), малопригодном для практических расчётов. Для случая скачкообразного изменения температуры воздуха в выработке, также соответствующего неоднородному начальному условию краевой задачи, были получены различные выражения для K τ (см. ч. 4). Верной является формула (4.38), которая позднее была получена в качестве частного случая задачи определения теплопритоков из массива при произвольном виде функции TB = TB (t ) [47]: ∞

q (t ) = 2πα

∫

R0

t

~ ~ r ′ d r ′ G3 (r , r ′, t − τ) F (r ′, τ) d τ ,

∫

(5.4)

0

d T (t ) ⎤ ~ ⎡ F (r , t ) = θ(t ) ⎢ f (r , t ) − B ⎥ + [ϕ(r ) − TB (t )]δ(t ), dt ⎦ ⎣

⎧1, t > 0 θ(t ) = ⎨ ⎩0, t ≤ 0,

δ(t ) =

d θ(t ) , dt

где f ( r , t ) – произвольная функция плотности источников (стоков) тепла в массиве; ϕ(r ) – произвольное начальное распределение температуры в

~

массиве; G3 ( r , r ′, t ) – функция Грина III-ей краевой задачи теплопереноса в массиве. Если в (5.4) положить f ( r , t ) = 0, ϕ ( r ) = Tп , TB (t ) = TB1 = const

при t ≤ t1 и TB (t ) = TB 2 = const при t > t1, то получим формулу для K τc (в момент времени τ , отсчитываемого после скачка температуры TB1 → TB 2 ,

происшедшего при t = t1 ):

K τc (t1 + τ) = K τ0 (t1 + τ) +

ΔT2 K τ0 (τ), ΔT1

(5.5)

совпадающую, после согласования обозначений, с (4.38). При управлении кровлей плавным опусканием, модель теплопритоков в выработанное пространство (рассматриваемое как выработка треугольного сечения) предполагала постоянную скорость подвигания лавы и линейного по времени изменения коэффициента теплообмена α(t ) между породами почвы и кровли и утечками воздуха через выработанное пространство. Для пород почвы и кровли решались краевые задачи с переменным α с помощью метода пересчёта [48]. Было получено [44,49]:

340

K τ = 0,5α 0 [A( zк ) + A( zп )],

⎡ α ⎛ b ⎞1 / 2 ⎤ zк,п = 170⎢ 0 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ , ϑ ⎢ε ⎥ ⎣ к ,п ⎝ л ⎠ ⎦

(5.6)

где α 0 – коэффициент теплообмена в лаве; " к", " п" – индексы, обозначающие параметры кровли и почвы; b1 – ширина зоны утечек в выработанном

– термическая пространстве; ϑл – скорость подвигания лавы; ε = (λρC ) активность пород. Функция A = A(z ) определяется по графику или рассчитывается по аппроксимирующей формуле [44]. Теплопритоки из неоднородных и анизотропных массивов определяются по решениям краевых задач, рассмотренных в ч. 4, где были выделены две их группы – для массивов радиально-неоднородных и слоистых. Формулы для K τ , как и сами решения таких краевых задач, весьма громоздки. Рассмотрим, в качестве примера, двухслойную краевую задачу теплопереноса [50] – модель теплообмена рудничного воздуха с массивом, имеющим на поверхности обнажения кольцевой слой (роль которого может играть крепь, теплоизоляция, бетонная оболочка и др.). В итоге громоздких вычислений, авторы получили: 1/ 2

Bi ⎡ ⎤ K τ = α ⎢Δϑ − V1( y0 , F01 )⎥ , Δϑ = const, Bi′ ⎣ ⎦

(5.7)

где функция V1( y0 , Fo1 ) требует, для своего написания, 12 строк (более 0,5 стр.). Ясно, что использовать K τ такого вида для решения УТБ в выработках нецелесообразно. Теплопритоки из влагосодержащих массивов также рассматривались в ч. 4. Для массивов с фазовыми переходами "вода-пар" рассматривались два типа моделей – взаимосвязанного тепломассопереноса по А.В. Лыкову ((4.133)÷(4.135),(4.138)) и модель В.А. Стукало – А.М. Гущина (4.140). Для первого типа моделей в ряде работ получены формулы для K τ и mτ – коэффициента нестационарного массообмена. Эти формулы чрезвычайно громоздки и требуют, для численных расчётов по ним, знания величин влагофизических параметров (массоёмкость, массопроводность, термоградиентный коэффициент и др.). Определение этих параметров в шахтных условиях затруднено, а в лабораторных – некорректно (см. ч. 2). В модели В.А. Стукало и А.М. Гущина ([254,255] – ч. 4), краевая задача формулируется по О.А. Кремнёву, но граничное условие III-го рода на стенке выработки видоизменяется, учитывая процесс влагоиспарения на стенке. Выражение для K τ в итоге достаточно простое, но содержит модифицированные параметры. Вторая группа K τ – формулы, полученные из приближенных решений базисных задач (в том числе решений, полученных численно или аналоговым

341

температура воздуха в которой изменяется со временем синусоидально и экспоненциально. Эти случаи, содержащие неточности, рассмотрены в части 4. Формула для K τ при учёте начальной температурной неоднородности массива на основе двумерной краевой задачи (4.53) была получена в весьма сложном виде (4.56), малопригодном для практических расчётов. Для случая скачкообразного изменения температуры воздуха в выработке, также соответствующего неоднородному начальному условию краевой задачи, были получены различные выражения для K τ (см. ч. 4). Верной является формула (4.38), которая позднее была получена в качестве частного случая задачи определения теплопритоков из массива при произвольном виде функции TB = TB (t ) [47]: ∞

q (t ) = 2πα

∫

R0

t

~ ~ r ′ d r ′ G3 (r , r ′, t − τ) F (r ′, τ) d τ ,

∫

(5.4)

0

d T (t ) ⎤ ~ ⎡ F (r , t ) = θ(t ) ⎢ f (r , t ) − B ⎥ + [ϕ(r ) − TB (t )]δ(t ), dt ⎦ ⎣

⎧1, t > 0 θ(t ) = ⎨ ⎩0, t ≤ 0,

δ(t ) =

d θ(t ) , dt

где f ( r , t ) – произвольная функция плотности источников (стоков) тепла в массиве; ϕ(r ) – произвольное начальное распределение температуры в

~

массиве; G3 ( r , r ′, t ) – функция Грина III-ей краевой задачи теплопереноса в массиве. Если в (5.4) положить f ( r , t ) = 0, ϕ( r ) = Òп , TB (t ) = TB1 = const

при t ≤ t1 и TB (t ) = TB 2 = const при t > t1, то получим формулу для K τc (в момент времени τ , отсчитываемого после скачка температуры TB1 → TB 2 ,

происшедшего при t = t1 ):

K τc (t1 + τ) = K τ0 (t1 + τ) +

ΔT2 K τ0 (τ), ΔT1

(5.5)

совпадающую, после согласования обозначений, с (4.38). При управлении кровлей плавным опусканием, модель теплопритоков в выработанное пространство (рассматриваемое как выработка треугольного сечения) предполагала постоянную скорость подвигания лавы и линейного по времени изменения коэффициента теплообмена α(t ) между породами почвы и кровли и утечками воздуха через выработанное пространство. Для пород почвы и кровли решались краевые задачи с переменным α с помощью метода пересчёта [48]. Было получено [44,49]:

340

В [1] утверждается, что K τ по (5.11) с ростом Bi уменьшается, стремясь к нулю при Bi → ∞. Это очевидное недоразумение, т.к. при Bi → ∞ имеем:

Ku τ =

K τ R0 αR0 ⎛ λ Bi ⎞ Bi → 1,0, K τ = = . ⎜1 − ⎟= λ λ ⎝ Bi+ 1 ⎠ Bi+ 1 R0

(5.12)

В литературе [4,22] также встречается формула −1

⎤ ⎛ λ ⎞ ⎡ λ λ ⎟⎟ ⎢ K τ = ⎜⎜1 + + ⎥. R R α 2 2 at R π + λ α ( 1 / 2 ) ⎝ 0⎠ ⎣ 0 0 ⎦

(5.13)

В [4] указывается, что (5.13) справедлива для выработок, проветриваемых от одного года до 10 лет, а в [22] – для выработок, проветриваемых свыше года. Формула (5.13) получена в [1] (ф-ла (27.33), с. 108) путём разложения в ряды функций K 0 (x) и K1 (x) , в которых удерживались только первые члены рядов (один – в K 0 ( x) и два – в K1 (x) ). Это соответствует условию x >> 1, т.е., фактически, S → ∞ (где S – параметр преобразования Лапласа по времени). Т.о., (5.13) является асимптотикой "малых t ", т.е. справедлива при Fo ≤ Fo1, а не для интервалов времени "свыше одного года" [4,22]. Для случая α → ∞, т.е. первой краевой задачи теплопереноса в массиве, в [1] получена формула ((29.3), с. 116):

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ . K τ = λ⎜⎜ + πat ⎠ ⎝ 2 R0

(5.14)

Утверждается, что (5.14) соответствует "относительно большим периодам проветривания" (свыше полугода).Фактически же (5.14) есть следствие формулы (27.14) из [1], которая аналогично предыдущему случаю получена в приближении "малых t ". Поскольку для лав характерны малые времена охлаждения массива, существует много однотипных формул для K τ лав, полученных из точного решения, но в приближенной постановке, краевых задач теплопереноса в массиве с щелевидной полостью (вместо цилиндрической). Вместо r > R0 , рассматривается область массива x > 0. В [51], в частности, использовано известное в теории теплопроводности решение

T − T ( x, t ) θ( x, t ) = Π = erfc z = 1 − erf z , TΠ − TΒ

z=

x . 2 at

(5.15)

Из (5.15) следует:

K τ = (TΠ − TΒ )−1λ

∂T ( x, t ) λ = . ∂x x = 0 πat

(5.16)

343

Формула (5.16) была также получена и для выработанного пространства лав при плавном опускании кровли и интенсивном испарении влаги на поверхностях почвы и кровли [52]. Для переменного вдоль выработанного пространства α, в [52] из решения третьей краевой задачи для области x > 0 при α = α = const ( α – усреднённое по длине значение α ) было найдено:

⎡⎛ α ⎞ 2 ⎤ ⎛α ⎞ K τ = α exp ⎢⎜ ⎟ at ⎥ ⋅ erfc⎜ at ⎟ . ⎝λ ⎠ ⎢⎣⎝ λ ⎠ ⎥⎦

(5.17)

Для случая скачкообразного изменения расхода воздуха в выработке в момент t = t1(τ = 0), когда основной интерес представляет K τ (τ) при малых τ, горный массив рассматривался как полупространство x > 0 [53]. Было получено:

K τ ( τ) = K τ 2 =

α 2 K τ1 ⎡(α − K )e A2 aτ erfc( A aτ ) − τ1 1 α1α 2 − K τ1 (α1 + α 2 ) ⎢⎣

⎤ ⎛ ⎞ 2 α − ⎜⎜ α1 − α 2 + 2 K τ1 ⎟⎟e H aτ erfc( H aτ )⎥ , α1 ⎝ ⎠ ⎦

(5.18)

где K τ1 = K τ (t1), α1, α 2 – коэффициенты теплообмена до и после скачкообразного изменения расхода воздуха ( G1 → G2 , ϑ1 → ϑ2 ) −1

соответственно; A = K τ1 (α1 / λ ) (α1 − K τ1 ) ; H = α 2 / λ. Вторая подгруппа приближённых методов вычисления K τ основана на аппроксимациях температурного поля в массиве простыми функциями координат (степенными, логарифмическими и др.). В [9] такой функцией был полином второй степени по z = x /(3,46 at ), выбор которого обосновывался его близостью к точному решению I-й краевой задачи для полупространства. Были получены формулы для K τ :

1) при TB = const и конечном α

Kτ =

λ (1 + 0,44 at / R02 ) πat + λ / α

;

(5.19)

2) при TB = const и α → ∞

Kτ =

λ(1 + 0,44 at / R02 ) πat

3) при переменной TB из-за охлаждения массива

344

;

(5.20)

Kτ =

λ (1 + 0,27 4 at / R02 ) 0,88 at + λ / α

.

(5.21)

Из приведенных формул корректна только вторая (5.20), т.к. (5.19) и (5.21) получены для α = const ≠ ∞ (третья краевая задача) по формуле q = α(Tст − TB ) и определении q по формуле q = λ(∂T / ∂x) x =0 . При этом

выражение для T ( x, t ) получено приближенно, но для условий I-й краевой задачи. При выводе (5.21), кроме этого, принято, что тепловой поток из массива при изменении TB таков же, как и при TB = const , что неверно. Модель теплопритоков в выработку с переменной температурой воздуха ( TB ~ cos ωt )– третья краевая задача для массива – исследовалась приближенным методом Ю.С. Постольника [54]. Температурное поле в массиве аппроксимировалось функцией:

θ(ρ, τ) = A + B ln ρ + C (τ)ρ2 ,

A, B = const .

Было получено:

Ku τ =

2 Bi(1 − Δθ cos ωt )(β2 − 1) 2

2

2(β − 1) + Bi [1 + β (2 ln β − 1)]

.

(5.22)

Здесь β = β(τ) – безразмерная ширина охлаждённой зоны массива, на которую 2

для вывода (5.22) было наложено ограничение: (β − 1) << 1, что соответствует малым временам процесса охлаждения. Близка к [54] и модель [55], в которой рассмотрены массивы со щелевидной, цилиндрической и сферической полостями. Температурное поле аппроксимировалось полиномами с логарифмическими членами; для решения использовался метод интегральных соотношений Г.И. Баренблатта. Формулы для Ku τ были получены в относительно простых формах, однако, как и в предыдущем случае, содержащие функцию δ(Fo) – безразмерную ширину охлажденной зоны. Приведенные же для определения δ(Fo) уравнения либо весьма сложны, либо просты, но тогда описывают тривиальные частные случаи [55]. Определение K τ для выработок в мерзлых массивах аналитическими методами затруднено (необходимо решить сопряженную задачу Стефана). Ю.А. Будённым были, путем гидромоделирования на гидроинтеграторе В.С. Луякьянова, с последующей аппроксимацией полученных данных, получены формулы [56,57]:

α 0кр,06λ0e,71 ⎛ CПγП ⎞ ⎜ ⎟ K τ = 0,75 0, 48 ⎜ t ⎟ ( R0 + δкр ) ⎝ ⎠

0, 23

, t = 1 ÷ 10 лет,

(5.23)

345

α 0кр,05λ0e,71 ⎛ CПγП ⎞ ⎜ ⎟ K τ = 0,63 0,59 ⎜ t ⎟ ( R0 + δкр ) ⎝ ⎠

0,18

, t > 10 лет.

(5.24)

Здесь α кр – эффективный коэффициент теплоотдачи пород, учитывающий влияние сплошной крепи толщиной δ кр ; λ e – эффективная теплопроводность неоднородного горного массива со средними теплоёмкостью CП и удельным весом γ П ; R0 – эквивалентный радиус выработки. При сложных законах изменения температуры воздуха (во времени) в выработках шахт Севера, предложен "метод суперпозиции" K τ для различных временных промежутков. На этих промежутках K τ находятся по формулам, найденным гидромоделированием [57,58], а результирующее значение определяется зависимостью:

Σ N

K τΣ =

⎛T −T ⎞ K τ,i ⎜⎜ Bi −1 Bi ⎟⎟ . ⎝ TП − Т Bi ⎠ i =1

(5.25)

При наличии в массиве термальных вод, модель теплопереноса в нём исследовалась Ш.И. Ониани путём электромоделирования [59]. Получено:

K τ = αθ(Fo, Bi),

(5.26)

где функция θ(Fo, Bi) задаётся различными, но достаточно простыми формулами для трёх временных промежутков. В третью группу K τ входят определяемые из решений задач оболочки парадигмы – частных случаев, упрощений и уточнений, аппроксимации уже известных для K τ (из первых двух групп) формул. Б.И. Медведев, анализируя (5.8), обратил внимание на расширенное толкование её в практических расчётах, когда не учитывают, что эта формула предполагает постоянство времени охлаждения массива для выработки любой длины [60]. Полагая используемый расчёт "по среднему времени проветривания" некорректным, он вводит время проходки 1 м выработки – τ 0 . Далее, при τ = τ1 + τ 0 L (где τ –

время проветривания пункта выработки на расстоянии L от её конца, а τ1 – время проветривания конца выработки) определялось усредненное по длине выработки значение K τ cp : L

1 K τ cp = K τ ( L)dL . L

∫ 0

Вычисление интеграла в (5.27) привело к формуле:

346

(5.27)

(

)

−1 ⎡ 2( z − z1 ) ⎤ ⎫ ⎧ 0,375 Bi 2 K τ cp = α ⎨ z − z12 ⎢ f ( z ) − f ( z1 ) − − ⎬, ⎥ ′ ′ Bi π ⎦⎭ ⎣ ⎩ Bi

(5.28)

где z и z1 определяются по временам проветривания конца и начала выработки и, как f ( z ), f ( z1 ) находятся в соответствии с (5.8). В [61] также отправным пунктом является (5.8), но рассматриваются очистные выработки. Параметры реальной лавы, эквивалентной круговой выработке, для которой справедлива (5.8), определяются формулами:

V = 2( S / b + b), R0 = 0,564 S , d э = 4 S / V , V0 = 3,54 S , (5.29) где V – периметр а S – площадь сечения; b – ширина рабочего пространства лавы; d э соответствует условиям экспериментов, по результатам которых найдено [1]:

α = 2ε( γϑ)

⎞ ⎜ ⎟ ⎝S⎠

0,8 ⎛ V

0, 2

,

(5.30)

где γ , ϑ – плотность и скорость воздуха; ε – коэффициент шероховатости стенок ( ε = 1,0÷3,5). Расчёты показали [61], что для лав d э ≠ d 0 = 2 R0 . В этой связи предлагается модификация (5.8) путём замены α → α 0 = α(V / V0 ), соответствующей условию равенства теплопритоков в реальную и эквивалентную (кругового сечения) лавы. Показано, что без предлагаемой корректировки (5.8) может привести к погрешности до 40% [61]. Для призабойной зоны тупиковой выработки, в качестве исходной была принята [62] формула О.А. Кремнёва для выработки небольшого срока существования с поверхности стенок которой испаряется влага ( α → ∞ ) [1]:

R0′ ⎞⎟ λ ⎛⎜ K τ3 = 1+ , ⎜ ⎟ π τ a R0′ ⎝ 3⎠

(5.31) 1/ 2

где τ3 – время охлаждения забоя; R0′ = ( S3 / 2π) ; S3 – площадь поверхности призабойного пространства, S3 = 1,35S + Vl 3 ; S ,V – площадь сечения и периметр выработки (в свету); l 3 – длина участка призабойной зоны. Для учёта в (5.31) различий во времени охлаждения различных участков призабойной зоны, предложено использовать среднеинтегральное значение K τ3 [62]:

1 K τ3 = τ4 − τ3

τ4

∫

τ3

K τ 3 ( τ) d τ =

λ R0′

+

2λ , πa ( τ4 + τ3 )

(5.32)

347

где τ3, τ 4 – соответственно времена проветривания забоя и конца призабойной зоны. Расчётам K τ для лав и выработок, проветриваемых менее года (участковых и подготовительных) посвящены работы В.А. Стукало [63,64]. В лавах имеются различные поверхности обнажения массива, охлаждающиеся разное время, поэтому K τл определяется как средневзвешенная величина из средних

K τ для отдельных поверхностей − K τ I , K τ II , K τ III , и т.д. Последние обычно находились ранее по формулам В.А. Богоявленского [65], полученным упрощением (5.8) на основе предположения о том, что отработка одной полосы длится 12 и более часов. При интенсивной угледобыче этого нет; для оценки погрешности, вносимой формулами [65], в [63] найдены средние за периоды cp

обнажения K τj ( j = I, II, III,... ) :

K τcpj =

1 Δτ j

τj

∫

K τj (τ) d τ, τ0 = 0.

(5.33)

τ j −1

Численные расчёты для характерных условий показали, что величины, найденные по (5.33) на 12÷36% больше тех, которые следуют из [65]. Поэтому для первого участка обнажения пород (включая забой) рекомендуется формула, следующая из (5.33)[63]:

K τcp, I где

⎧⎪ Bi ⎡ 1,13 z + exp( z 2 ) erfc z − 1⎤ ⎫⎪ Bi′ aτ1 1 1 1 , , (5.34) = α пр ⎨1 − z = ⎢1 − ⎥ ⎬ 1 2 ′ B i R z ⎪⎩ 0 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎪⎭ 1

α пр

–

приведенный

коэффициент

теплообмена,

учитывающий

массообменные процессы [4]; τ1 – продолжительность охлаждения первого участка. Для второго и последующих участков:

⎧ ⎡ 1,13( z − z ) − e zн2 erfc z + e zк2 erfc z ⎤ ⎫ Bi ⎪ к н н к ⎥ ⎪, (5.35) ⎢1 − K τcp, II = α пр ⎨1 − ⎬ 2 2 ′ B i ⎢ ⎥ z z − ⎪⎩ к н ⎣ ⎦ ⎪⎭ где zн = Bi′ aτн / R0 ; zк = Bi′ aτк / R0 ; τн – начальная, а τк – конечная продолжительность охлаждения данного участка пород в лаве. Принятый в методике тепловых расчётов [4] подход к определению

K τcp :K τcp =

= K τ ( τ p ) , где τ р – некоторое "расчётное" время, по мнению автора [64], некорректен. Приводя различные существующие для τ p формулы, он подвергает их аргументированной критике. Предлагается разделить все участковые и подготовительные выработки на две группы: а) с

348

продолжительностью охлаждения пород, изменяющейся от 0 до τ1 (спаренные выработки, проходимые одним забоем по углю; участковые штреки при сплошной системе разработки); б) с продолжительностью охлаждения пород по длине выработки, изменяющейся от τ 1 до τ2 (тупики, проветриваемые ВМП, от устья до конца вентиляционного трубопровода; участковые выработки при разработке по восстанию, при столбовой и сплошной системах разработки). Определять K τ для этих случаев предлагалось путём усреднения (5.8) по периодам охлаждения: τ

K τcp,1

[

1 1 ⎧ Bi = ∫ K τ (τ) d τ = α пр ⎨1 − 1 − (b 2 τ1 ) −1 exp(b 2τ1 ) erfc(b τ1 ) − τ1 0 ⎩ Bi′

]}

− (b 2τ1) −1(1,13b τ1 − 1) , b =

Bi′ a , R0

(5.36)

τ

K τcp,2

2 1 = K τ ( τ) d τ = τ2 − τ1 τ∫ 1

[

⎧ Bi 1 + (b 2 (τ2 − τ1 )) −1 (exp(b 2 τ1) erfc(b τ1 ) − = α пр ⎨1 − ⎩ Bi′

(5.37)

Численные расчёты показали, что при b τ ≥ 3,0, что справедливо для участковых и подготовительных выработок, (5.36) и (5.37) можно упростить [64]:

⎡ Bi ⎛ 1,13b τ − 1 ⎞⎤ ⎜1 − ⎟⎥, K τcp,1 = α пр ⎢1 − 2 ⎜ ′ b τ1 ⎟⎠⎦⎥ ⎣⎢ Bi ⎝

(5.38)

⎡ Bi ⎛ ⎞⎤ 1,13 ⎜1 − ⎟ K τcp,1 = α пр ⎢1 − ⎜ b( τ + τ ) ⎟⎥. ′ B i ⎢⎣ 1 2 ⎠⎥⎦ ⎝

(5.39)

Примером работ, в которых на основе численных расчётов по (5.8) предлагаются различные простые аппроксимации этой формулы, может служить [66], в которой для функции f ( z ) из (5.8) предложено выражение:

az f ( z ) = a0 + 1 , 1+ z

(5.40)

где a0 и a1 – постоянные, различные в интервалах изменения z : z ∈ [0,1] ;

z ∈ (1,3) ; z ∈ [3,10]; z ∈ (10,200].

349

Четвёртая группа K τ содержит две подгруппы: 1) K τ , определенные по известным расчётным формулам, модифицируемым эмпирическими (или полученными аналоговым моделированием) коэффициентами; 2) K τ , найденные статистической обработкой шахтных замеров (корреляционные связи K τ с определяющими факторами). Первая подгруппа K τ уже рассматривалась в гл. 4, п. 4.1. Они представляются формулами вида ~ K τi = βi K τi (i = 1,2,...), где K τi – "базисные" (расчётные) K τ , а βi -

эмпирические поправочные коэффициенты. Краткая сводка таких случаев дана в таблице 5.2. Таблица 5.2 ~ Модифицированные K τ Выработка, условия Базисный

Kτ Поправочный коэффицие нт

Лавы газоносн ых пластов

Лавы, отрабатываемые прямым и обратным ходом

По [1,4]

По [65]

0,5÷0,7

0,45÷0,93, в зависимости от условий (4.19)

Охлаждаемый штрек с интенсивным массообменом По [1,4]

ψβ по (4.18)

Выработки в мёрзлых породах По Ю.А. Будённому [56]

K arp по [56÷58]

Вторая подгруппа K τ – корреляций со статистически значимыми факторами, возникла, как и первая, в силу выявившейся на практике несостоятельности некоторых расчётных формул. При охлаждении воздуха на участках глубоких шахт, как установили авторы [67], фактически значения K τ при средних расчётных временах охлаждения от 10 до 56 часов изменяются от 11,6 до 3,5 Вт/(м2K), что превышает расчётные значения в 1,5÷2 раза. По данным замеров, для τ = 16÷55 часов, была получена зависимость

K τ = 119 τ− 0,9 .

(5.41)

Данных о коэффициенте корреляции в (5.41) не приводится [67]. Для высокопроизводительных лав глубоких шахт, где, по данным автора [68], формулы расчёта K τ [26] дают большую погрешность, на основе обработки данных измерений было получено:

K τэф = B Re0,839 Pe0,253 , 350

(5.42)

эф

где K τ – эффективный K τ , учитывающий явное и "скрытое" тепло массива, местные источники, теплопритоки из выработанного пространства, термическое сопротивление крепи и проч.; Re = ϑR0 / ν – число Рейнольдса вентиляционного потока ( ϑ – средняя скорость воздуха в лаве, R0 – её

приведенный радиус, ν – вязкость воздуха); Pe = Vл R0 / a – число Пекле ( Vл – скорость подвигания лавы, а – температуропроводность воздуха); B – параметр, учитывающий отклонение реального поперечного сечения лавы от кругового:

B = 2,557 ⋅ 10− 4 Z − 0,234 , Z =

b , R0

где b – ширина призабойного пространства лавы; R0 – её эквивалентный радиус. Коэффициент корреляции в (5.42) составил 0,84, относительное максимальное отклонение от экспериментальных данных – 16% [68]. Прогноз тепловыделений из выработанного пространства щитовых забоев на крутом падении [69] потребовал определения K τф для фильтрующегося через выработанное пространство (кусковой материал) воздуха. На основе данных физического моделирования аналогичного процесса [70,71], ранее была получена формула [72]:

K τф =

0,7 0,39 0,32 ϑ3 0,62λϑф d

a 0,32 L0п,32

,

(5.43)

где Lп – длина участка вентиляционной выработки, на котором имеются притечки из выработанного пространства; ϑф ,ϑ3 – скорости фильтрации утечек и подвигания забоя соответственно; d – средний диаметр кусков обрушенной породы; λ, a – теплофизические параметры породы. Адаптировав (5.43) к условиям щитовых забоев ( Fo = 10÷70; Re = 250÷1400), автор [69] получил для K τщ

λϑф0,7 d 0,39 , K τщ = 4, 4 ⋅10 ν 0,7 a 0,32τ 0,32 −4

(5.44)

где τ – время проветривания, а остальные обозначения – совпадают с таковыми в (5.43). Формулы, полученные модификациями (5.43), использовались при построении моделей теплопереноса в выработанных пространствах (при полном обрушении пород) и вентиляционных выработках [73,74]. Коэффициенты теплообмена в горных выработках в парадигме шахтной теплофизики [4,9,10,22,46,56] определяются по формуле, полученной на основе гидродинамической теории теплообмена экспериментами на моделях горных выработок [1]: 351

Nu = 0,0195ε Re 0,8 .

(5.45)

В размерном виде эта зависимость уже приведена – (5.30). Величины коэффициента шероховатости ε для разных выработок приведены в таблицах [1,4,22]. Формула (5.45) обобщает результаты обширных исследований в моделях выработок различной формы и степени шероховатости стенок, в ходе которых было показано, что для некруговых выработок эквивалентный диаметр может быть определён по формуле d э = 4 S / V (где S – площадь сечения, а V – периметр выработки некруговой формы). На основе (5.30) получены различные частные зависимости, отрожающие специфику конкретных случаев. Для выработок, закреплённых всплошную (дерево, кирпич, бетон), коэффициент α заменяют коэффициентом теплопередачи K [4]: −1

⎛1 δ⎞ K =⎜ + ⎟ , ⎝α λ⎠

(5.46)

где α определяется по (5.30) при диаметре выработки в свету; δ, λ – толщина и теплопроводность крепи. Если на стенке имеется несколько слоёв (крепь, тепло- и гидроизоляция и проч.), то (5.46) принимает вид −1

⎛1 N δ ⎞ i⎟ . K =⎜ + ⎜α λ ⎟ ⎝ i =1 i ⎠

Σ

(5.47)

Если теплоизоляционный слой покрывает не всю поверхность стенки выработки, используют "эффективный" коэффициент α эф [10]:

⎛1 δ ⎞ 1⎡ α эф = ⎢α(V − Vиз ) + Vиз ⎜⎜ + из ⎟⎟ V⎢ ⎝ α λ из ⎠ ⎣

−1 ⎤

⎥, ⎥ ⎦

(5.48)

где V , Vиз – полный и покрытый теплоизоляцией периметры выработки;

δиз , λ из – параметры теплоизоляции; α определяется по (5.30).

При испарении влаги на стенках, теплоотдача их возрастает, в связи с чем вводится "приведенный" коэффициент теплообмена α пр [4]:

⎛ P − PB ⎞ ⎟⎟ r , α пр = α + β⎜⎜ ст T T − ⎝ ст B⎠

(5.49)

где α определяется по (5.30); Pст , PB – парциальные давления водяного пара

на стенке и в воздухе; Tст , TB – температуры стенки и воздуха; β – коэффициент массоотдачи; r – скрытая теплота фазового перехода "вода-пар". Для β рекомендуются значения: для стволов – β = 0,01; для капитальных и откаточных выработок – 0,015; для лав – 0,01÷0,04 (кг/(м2·÷·мм. рт. ст.))[4]. Известны также различные расчётные формулы для β [59], но все эти данные 352

сугубо приближенные. Методы определения коэффициента β с точностью, соответствующей точности определения α , отсутствуют. В подготовительных (тупиковых) выработках на общую картину теплообмена сильно влияет трубопровод с движущимся по нему охлажденным воздухом. Для коэффициента теплообмена рудничного воздуха в тупиковой выработке с массивом, на основе обработки шахтных замеров получена формула [75]:

ϑ0,8

α = 5,62 + 2,9ε 0, 2 , (5.50) d где ϑ – средняя скорость воздуха в выработке; d – её эквивалентный диаметр. Для внутреннего коэффициента теплообмена в воздухопроводе (воздуха в трубопроводе с его стенкой), рекомендуется, со ссылками на работы И. Фосса и А.Н. Щербаня, формула [75]:

α = 3,7

ϑт 0,8 dт

0, 2

,

(5.51)

где ϑт – средняя скорость воздуха в трубопроводе; d т – его внутренний диаметр. Наружный коэффициент теплоотдачи трубопровода (при теплообмене наружной его поверхности с воздухом, движущимся по выработке) может быть найден, по экспериментальным данным, по формуле [75]:

⎛ ϑ0,8 ⎞ ⎟, α = 5,62 + 3,7⎜ ⎜ d 0, 2 ⎟ ⎝ ⎠

(5.52)

где ϑ, d – соответствуют (5.50). При кондиционировании воздуха, подаваемого в забой тупиковой выработки, на внешней поверхности трубопровода конденсируется влага (из паровоздушной смеси, движущейся по выработке). Коэффициент теплопередачи от рудничного воздуха к охлажденному воздуху (в трубопроводе) может быть найден по формуле [75]: −1

⎛ 1 δ 1 ⎞ ⎟⎟ , K т = ⎜⎜ + т + α λ ξα ⎝ 1 т 2⎠

(5.53)

где α1 и α 2 определяются по (5.51) и (5.52); δ т – толщина стенки трубопровода; λ т – коэффициент теплопроводности стенки; ξ – коэффициент влаговыпадания ( ξ = 1,5÷2,5). Если в трубопроводе движется неохлажденный воздух, конденсации нет и ξ = 1,0. Тогда формула (5.53) позволяет найти коэффициент теплопередачи между воздухом в выработке и неохлажденным воздухом в трубопроводе. Для призабойной зоны, где аэродинамика потока весьма сложна, Р. Фрончеком на термо-аэродинамической установке проводилось моделирование процесса теплообмена и были получены 353

формулы для α при нагнетательном и всасывающем проветривании тупиков [76]. Поправки к формуле (5.30) были предложены с учётом уменьшения свободного сечения выработок находящимися в них транспортными средствами, установками, другими загромождающими сечение объектами [77]. Для отражения этого в (5.30) предложено в эту формулу подставлять величины ϑ1,V1, S1 :

⎛ S ⎞ ϑ1 = ϑ⎜ (5.54) ⎟ ; V1 = V + V ′; S1 = S − S ′, ′ − S S ⎝ ⎠ где S ′ – площадь сечения загромождающих объектов; V ′ – их периметр. Расчёт характерного примера показал, что α′ (найденный по (5.54)) на 25% больше α , найденного по (5.30). В [77] также показано, что формулы, выражающие периметр и эквивалентный радиус выработок через площадь их сечения [1,4]

V = 4,16 S ,

R0 = 0,564 S ,

(5.55)

справедливы только в случаях их прямоугольного и трапециевидного сечений. Для выработок же арочного типа V = 3,85 S. Для выработок трапециевидной и арочной форм R0 = 0,48 S , а для арочной металлической крепи

R0 = 0,52 S [77].

Попытка определения α путём решения обратной задачи сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка" была предпринята С.Г. Гендлером [78]. Постановка задачи в работе содержит неточность, на которую уже указывалось ранее: согласно уравнению теплопереноса в выработке, температура воздуха в ней TB = TB ( y, τ). Для массива же использовано одномерное уравнение, из которого следует, что температура в нём T = T (r , t ). Это приводит к противоречию в граничных условиях IV-го рода.

§58. Тепловыделение отбитого угля В глубоких шахтах отбитый уголь в лаве, транспортируемый в вагонетках и на конвейере имеет высокую температуру (несколько меньше температуры массива). То же относится и к горным породам. Горная масса (уголь, породы), в ходе её транспортировки, передаёт тепло воздуху. Будем, простоты ради, далее говорить о тепловыделении от угля, имея в виду аналогичный характер всех зависимостей для тепловыделения от породы. Условимся теплопритоки к воздуху от угля в лаве обозначать ΔQул (d Qул ), тепловыделения от угля, транспортируемого в вагонетках – ΔQув (d Qув ), от угля на конвейере –

ΔQук (d Qук ). 354

Тепловыделение угля в лаве (на пологих пластах) исследовалось в шахтах [1]. Было обнаружено: 1) тепловыделение от угля превышает породное; 2) охлаждение разрыхленного угля (кусковой насыпки) сопровождается его окислением и осушением; 3) теплоёмкость угля ( C у ) почти в полтора раза превышает теплоёмкость пород ( Cп ) ( C у = 0,30÷0,35 ккал/(кг ⋅ K ), Cп = 0,20÷0,25 ккал/ (кг ⋅ K )); 4) начальную температуру угля можно принимать на 2,0÷2,5єС ниже температуры массива на данной глубине, а начальную температуру пород – на 3,0÷4,0єС меньше. Для элемента лавы длиной d y [1]:

d Qул =

GyCy J L

(TΠ ± σy sin ψ − TB )d y,

(5.56)

где TΠ = TΠ ( H ) – температура массива на глубине H ; σ – геотермический градиент; у – координата вдоль лавы, отсчитываемая от её начала; L – длина лавы; Gy – расход потока угля (часовая добыча его); J – поправочный эмпирический коэффициент; ψ – угол наклона выработки. Коэффициент J определяется формулой [4]:

J = 0,5 J Д J Е J ш , где J Д – коэффициент, учитывающий дегазацию угля ( J Д ≅ 0,6); J Е – коэффициент, учитывающий снижение температуры угля после отбойки его от массива; J ш – степень охлаждения куска угля сферической формы, определяемая по номограмме. Последняя построена на основе решения краевой 2

задачи охлаждения сферы. Входные параметры номограммы: Fo э = at / Rэ и

Rэ = Σ gi Ri , где gi = Gi / G – содержание в угле фракции с размером i

эквивалентного радиуса куска Ri . Т.о. (5.56) представляет собой эмпирикоаналитический метод определения тепловыделений от угля [1,4], где наряду с моделью остывания куска угля (в форме шара) используются поправочные коэффициенты, найденные измерениями в шахтах [79,80]. Тепловыделение угля в лаве (на крутопадающих пластах) играет гораздо большую роль, из-за превышения поверхности теплообмена кусков угля (падающих в воздушном потоке) в этом случае ≈ в 10 раз поверхность теплообмена угля в пологих лавах. Модель теплопереноса в системе "отбитый уголь – воздух в лаве" базировалась на предположениях [81]: 1) частицы угля имеют сферическую форму; 2) они двигаются равномерно и прямолинейно; 3) средняя по лаве температура воздуха постоянна; 4) начальная температура угля определяется формулами: Ty 1 = Tп − 7°С – для газоносных пластов и

Ty 1 = Tп – 1,5°С – для негазоносных пластов ( Tп – геотермическая температура). Средняя температура некоторой i -й угольной частицы в конце 355

движения

Ty 2,i

определяется

из

решения

задачи

охлаждения

шара

(А.В. Лыков):

Ty 2,i = TB + (Ty 1 − TB )

∞

Σ n =1

Bn exp(−μ 2n Foi ), Foi =

где TB – средняя температура воздуха в лаве; Ri

a yt Ri2

,

(5.57)

– радиус частицы i -й

фракции угля; t = Lл / ϑу – время падения угольной частицы ( Lл – длина лавы, ϑу – скорость угля); Bn = Bn (μ n , Bi); Bi = αi Ri / λ y ; μ n – корни характеристического уравнения; αi – коэффициент теплообмена i -й частицы с воздухом; ay = λ y / ρCy ; λ y , ρ, Cy – соответственно теплопроводность, плотность и теплоёмкость угля. Для определения α i использована (при Pr = 0,72 для воздуха) формула С.С. Кутателадзе:

λ αi = B ( 2 + 2,694 ⋅ 10− 2 Rei0,54 + 0,3123 Rei0,58 ), B т /(м 2 K ), di

(5.58)

где Rei = ϑ0 di / ν, ϑ0 = b(ϑ ± ϑ у ) – относительная скорость воздуха ( ϑ – скорость воздуха, ϑ у – частицы угля, b – коэффициент неравномерности плотности потока угля); di = 2 Ri – диаметр частицы угля; λ B – теплопроводность воздуха. Каждая частица угля за время движения в лаве отдаёт воздуху количество тепла ΔQyi = ρC yVi (Ty1 − Ty 2,i ), где Ty 1 известна, а Ty 2,i

определяется по (5.57); Vi

– объём

i -й частицы

3

(Vi = ( 4 / 3)πRi ). Суммарное количество тепла, отданного отбитым углём в

лаве ΔQy = Gy

N

ΔQyiηi , где ηi – относительная доля в потоке угля частиц Σ i =1

i -й фракции. Если весь прирост энтальпии воздуха в лаве Δiл происходит только за счёт тепловыделения падающего угля, то:

GΔiл = ΔQy ,

Δiл =

ΔQy G

,

(5.59)

где G – расход воздуха в лаве. Тогда приращение температуры воздуха в лаве:

Δiл ⋅ J ΔQy ΔTB, y = = J, Cp GC p

(5.60)

где J – коэффициент, учитывающий долю энтальпии, затраченную на нагрев воздуха; C p – изобарная удельная теплоёмкость воздуха. Коэффициент J ,

356

зависящий от влажности угля и воздуха, по данным замеров принимает значения: J = 0,3÷0,5 – для угля с естественной влажностью, J = 0,1÷0,2 – для увлажнённых углей. Расчёты показали, что прирост температуры воздуха в лаве, обусловленный тепловыделением отбитого угля, может достигать 10°С и более [81]. Описанная модель была модифицирована и использовалась при уточнении методики тепловых расчётов и разработке рациональных по тепловому фактору горнотехнических параметров отработки крутопадающих пластов [82,83]. При этом решены I-я и III-я краевые задачи охлаждения шара и получены формулы для коэффициентов нестационарного теплообмена между отбитым углём и воздухом − K τл . Тепловыделение отбитого угля определялось формулой: ΔQул = K τл ⋅ F (TП − Т В ), (5.61) где F – суммарная площадь поверхности угля. Для перехода от (5.61) к выражению для элемента лавы d Qy л , в (5.61) достаточно положить:

F → ( F / L) d y. Тепловыделение угля, транспортируемого в вагонетках было определено В.А. Стукало на основе модели, построенной при предположениях [84]: 1) для построения тепловой модели вагонетки с углём применимо уравнение теплопроводности с эффективными теплофизпараметрами; 2) неоднородность и анизотропия теплофизпараметров учитываются их усреднением; 3) начальная температура угля во всём объёме вагонетки одинакова; 4) коэффициент теплоотдачи по всем поверхностям вагонетки одинаков (равен среднему значению); 5) вагонетка может быть заменена эквивалентным шаром. Условие эквивалентности температурных полей вагонетки и шара:

λ0 = λ

S = Aλ , S0

A = const,

(5.62)

где λ 0 – коэффициент теплопроводности эквивалентного шара с площадью поверхности S0 ; λ, S – коэффициент теплопроводности и площадь 1/ 3

поверхности вагонетки. Радиус шара R0 = (3V / 4π)

, где V – объём 2 1/ 3

вагонетки. Параметр A = S / S0 определяется по V : A = S /(36πV ) . Из приближённого решения задачи охлаждения шара (А.В. Лыков) далее найдено:

Kτ =

α (θΗ + θΚ ), 2

(5.63)

где K τ – коэффициент нестационарного теплообмена между вагонеткой с углём и воздухом в выработке; α – коэффициент теплообмена; θΗ – безразмерная температура стенки вагонетки в начальный момент нахождения вагонетки в выработке; θΗ – то же, для конечного момента времени. Для определения α рекомендуется эмпирическая формула: 357

Nu =

αl 0 = 0,088 Re0,71, λB

(5.64)

где l 0 – эквивалентный радиус выработки; λ B – теплопроводность воздуха; критерий Рейнольдса Re определяется формулой Re = 4W ( F − F ′) × × ν(V + V ′) ; W – средняя скорость движения воздуха в выработке; F , F ′ – площади поперечного сечения выработки и вагонетки; T И – периметры поперечного сечения выработки и вагонетки; ν – вязкость воздуха. Теплофизпараметры ископаемого в вагонетке определяются по литературным данным. В итоге для тепловыделения от угля, транспортируемого по выработке в вагонетках, получено:

ΔQy в = K τ nSτcp (Tп′ − Tв ) ,

(5.65)

где K τ – определён (5.63); n – число вагонеток, проходящих за 1 час; S – полная поверхность вагонетки; τcp – средняя продолжительность пребывания вагонетки в выработке; Tп′ – начальная температура угля в вагонетке,

Tп′ = Tп − ( 2 ÷ 2,5) °С; Tп – геотермическая температура. Тепловыделение от вагонеток с породой находится аналогично ( Tп′ = Tп − (3 ÷ 4) °С). Для

получения тепловыделения от отбитого угля (5.61) и от транспортируемого в вагонетках (5.65) в дифференциальной форме (т.е. для элемента выработки d y ), достаточно эти выражения умножить на d y / L. Формула (5.64) была впоследствии уточнена: входящая в Re скорость воздуха W была заменена на относительную – W ′ = ϑ ± ϑ′ (ϑ – средняя скорость воздуха в выработке, ϑ′ – средняя скорость движения вагонетки). На модели выработки с вагонетками было получено [85]:

Nu = 0,46 Re 0,57 .

(5.66)

С учётом (5.66), тепловая модель вагонетки [84] была модернизирована [85,86] и итоговое выражение приняло вид:

~

~ ΔQy в = СγVn(TV 1 − TV 2 ),

(5.67)

где ΔQy в – тепловыделение от ископаемого в вагонетке за период времени τ2 − τ1 ; C – удельная теплоёмкость ископаемого; γ – объёмная плотность насыпки в вагонетке; V – объём вагонетки; n – количество вагонеток в выработке; TV 1, TV 2 – средние по объёму вагонеток температуры ископаемого

в моменты времени τ1 и τ2 . Для определения TV 1 и TV 2 было вновь использовано решение задачи охлаждения шара. Конечная формула [86] далее несколько видоизменялась [4,22]. В [4] для ΔQy в (ккал/час):

358

ΔQy в = GиСи (θVH − θVK )(TH − Tcp ) ,

(5.67)

где Gи – количество транспортируемого ископаемого (кг/час); Си – его

теплоёмкость (ккал/кг· K ); θVH , θVK – средние по объёму вагонетки безразмерные температуры ископаемого в начале и в конце расчётного участка; TH – температура ископаемого при загрузке в вагонетки; Tcp – средняя

температура воздуха на расчётном участке. Температура TH совпадает с Tп′ в (5.65). Расчёт θVH , θVK не представляет трудностей, но несколько громоздок [4]. Формулы (5.65) и (5.67) для элемента выработки можно представить в дифференциальной форме:

d Qy в =

ΔQy в

L

d y = A(Tп/ − Tв ( y )) d y,

(5.68)

где A – параметр, определяемый конкретными условиями выработки. Тепловыделение от угля (ископаемого), транспортируемого конвейером изучалось многими исследователями [1,4,46,86÷94]. И. Фосс рассматривал [87] пластинчатый конвейер с углём как пластину конечной ширины. Все виды теплопереноса в угольной насыпке (теплопроводностью, фильтрацией влаги, диффузией паров воды) описывались эффективным коэффициентом теплопроводности λ е . Уравнение одномерной нестационарной теплопроводности решалось приближенно, результаты корректировались эмпирическими коэффициентами, полученными в условиях конкретных выработок. В [89] предлагалось использовать формулу:

ΔQук = α пр.к F (TИ − TВ ),

(5.69)

где TИ – средняя температура транспортируемого ископаемого; TВ – средняя температура воздуха в выработке; F = B q L – условная поверхность теплопередачи от ископаемого к воздуху ( B – коэффициент, учитывающий объёмный вес и угол естественного откоса насыпки, q – её вес на 1 м длины конвейера, L – его полная длина); α пр.к – приведенный коэффициент теплообмена, вычисляемый по формуле Ю.Н. Карагодина [89]:

(ϑ ± W )0,8 ( γ )0,8 (V )0,2

⎛ PH − PB ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟, + β r (5.70) 0, 2 − T T (S ) ⎝ И B ⎠ где ϑ,W – скорости движения воздуха и конвейера; γ – объёмный вес воздуха; S – площадь сечения выработки за вычетом площади сечения конвейера; V – общий периметр выработки и конвейера; β – коэффициент массоотдачи; PИ – парциальное давление поров воды при температуре TИ ; PB – α пр.к = 6,55

359

парциальное давление паров при температуре TB ; r – удельная теплота парообразования. В ЛГИ была предложена формула [46]:

ΔQук = bтGy K τ (TП − TΒ ),

(5.71)

в которой bт – коэффициент пересчёта грузопотока Gy (т/час) в среднюю ширину "полосы" угля; K τ = α(1 − f ( z)), где f (z) – табулированная функция z = α aτ / λ. Близкая к (5.71) формула предложена в МакНИИ В.А. Кузиным [90] для конвейеров в лавах:

ΔQук = 1,2 K τ′ bLк (TП′ − TΒ1 ),

(5.72)

где K τ′ – коэффициент нестационарного теплообмена для конвейера; b – ширина потока угля в лаве; Lк – длина конвейера; TП′ = TП − ΔT (TП – геотермическая температура, ΔT = (1,5÷3,0)°С для пластов с газоносностью более 5 м3/т и предварительным увлажнением, ΔТ = (0,5÷1,0)°С – для антрацитов; Т Β1 – температура воздуха в начале лавы. Для K τ′ используется приближенная формула (5.19), в которой α определяется по (5.30). Обширные исследования были проведены В.А. Стукало и А.П. Тельным [86,88,91÷95]. В основу математической модели положено представление о форме угольной насыпки на конвейере как о теле, образованном пересечением под прямым углом двух пластин [88]; при этом соблюдаются равенства объемов засыпки и моделирующего её тела и потоков тепла через их поверхности. Граничное условие III-го рода на поверхности засыпки модифицировалось с учётом испарения влаги согласно (4.140). Коэффициент теплообмена был найден физическим моделированием [95]:

Nu = 0,028 Re0,8 , 4α( F − Fк ) 4(ϑ ± ϑк )( F − Fк ) Nu = ; Re = , ν(V + Vк ) λ(V + Vк )

(5.73)

где F, Fк – площади поперечных сечений выработки и конвейера; V ,Vк – их периметры; ϑ, ϑк – скорости движения воздуха и конвейера; λ, ν – коэффициенты теплопроводности и вязкости воздуха. С использованием аналитических решений задач теплопроводности пластин (А.В. Лыков) найдены безразмерные температуры насыпки и рассмотрены варианты модели теплообмена её с воздухом, для которых получено [93,94]:

ΔQук = С уGy (θ v н − θ v к )(Tv н − TB ), ΔQук = 0,5[C уGy (θ′v н − θ′v к )(Tv н − TB ) + βrVLΔP ] , 360

(5.74)

ΔQук = βrVLΔP. Здесь: C у – массовая теплоёмкость ископаемого в насыпке; Gy – весовой расход ископаемого на конвейере; θ v н ,θ′v н – средние по объёму безразмерные температуры ископаемого в начале расчётного участка, соответственно с учётом и без учёта испарения влаги (при совпадении начал расчётного участка и конвейера, θ v н = θ′v н = 1,0 ); θ v к ,θ′v к – то же для конца расчётного участка; Tv н – средняя температура засыпки в начальном пункте; TB – температура воздуха; V – периметр насыпки на конвейере; L – длина расчётного участка; ΔP – перепад парциальных давлений водяного пара между поверхностью насыпки и воздухом. Расчёт всех входящих в (5.74) величин (кроме TB ) осуществляется по достаточно простым формулам [88,91,92]. Первое из выражений (5.74) соответствует варианту модели, в котором рассматриваются совместные конвективный теплоперенос и массообмен; второе получено суперпозицией тепловых потоков – конвективного для нижней части насыпки и массообменного – для верхней; в третьем конвекцией, по сравнением с массообменом, пренебрегают. Сравнение результатов расчётов по (5.72) и (5.74) с данными экспериментов в шахтных условиях, показало, что (5.72) даёт сильно заниженное (в 2,5÷3 раза) значение тепловыделений. Первая и третья формулы (5.74), хорошо согласующиеся между собой, дают заниженные (в среднем на 26%) значения. Расчёты по второй формуле (5.74) хорошо согласуются с данными экспериментов. Для выработок, проветриваемых свыше года, когда обычно используют алгебраическое УТБ, учёт в нём тепловыделения от угля на конвейере рекомендуется осуществлять включением в баланс члена [91]:

T +T ⎞ ⎛ ΔQук = С уGy (1 − θ v к )⎜ Tv н − B1 B 2 ⎟, 2 ⎝ ⎠

(5.75)

где TB1, TB 2 – температуры воздуха в начале и в конце выработки. Для выработок, проветриваемых менее года, когда используется дифференциальное УТБ, (5.75) заменяется на выражение [91]:

⎛ 1 − θv к ⎞ ΔQук = CуGy ⎜ ⎟(Tv н − TB ( y )) d y. L ⎝ ⎠

(5.76)

Выражения (5.75) и (5.76) широко используются [4,46]. Все рассмотренные источники тепловыделений от угля в лаве, транспортируемого в вагонетках и на конвейере, являются, как это следует из соответствующих формул ((5.56), (5.61), (5.65), (5.68), (5.69), (5.71), (5.72), (5.76)) – относительными источниками тепла. Специфическим источником тепла, особенно характерным для летнего периода работы в гидрошахтах, является пульпа (водоугольная смесь),

361

транспортируемая по выработкам в открытом желобе или по почве [96]. Для тепловыделения её предложена формула: ср ΔQсм = αbL(Tсм − TВср ) + βrbL( Pн − Pп ),

(5.77)

где α, β – коэффициенты тепло- и массообмена; b, L – ширина и длина потока ср

ср

пульпы; Tсм , TВ

– средние температуры пульпы и воздуха; Pн , Pп – ср

парциальные давления водяных паров, насыщенного, при температуре Tсм и ср

при TВ соответственно. Для α и β экспериментально получены [96]:

α

⎛V = 3,2ϑ00,8 ⎜

⎞ ⎟ ⎝S⎠

0, 2

;

⎞ ⎟ ⎝S⎠

⎛V β = 5,3ϑ00,8 ⎜

0, 2

.

(5.78)

Здесь ϑ0 = W ± ϑ1 (W – скорость пульпы, ϑ1 – скорость воздуха); S,V – площадь поперечного сечения и периметр выработки с потоком пульпы. Формула (5.77) также может быть представлена в виде относительного источника тепла (аппроксимацией Pн и Pп линейными функциями температур). Переход в (5.77) к дифференциальной форме также очевиден.

§59. Иные источники тепла и процессы тепломассообмена К ним относим: тепловыделения от воды в канавках; от "горячих" трубопроводов (со сжатым газом и конденсаторной водой, пульпопроводы); тепло автокомпрессии, от окисления угля, пород, древесины; тепло диссипации механической и электрической энергии и выделяемое людьми; мгновенные источники тепла – взрывные работы, посадка кровли и др. "Источники" отрицательного знака – стоки тепла также встречаются: обусловленные наличием "холодных" трубопроводов (с холодной водой или рассолом); работой устройств охлаждения воздуха (воздухоохладители); расширением сжатого газа (случайные или организованные утечки из трубопроводов со сжатым воздухом, движение восходящей вентиляционной струи и др.). Их принято относить к относительным или абсолютным источникам тепла. Относительные источники тепла описываются формулами для теплопритоков к вентиляционной струе от тел или сред, имеющих температуру, превышающую температуру воздуха, так-что интенсивность их пропорциональна перепаду этих температур. При охлаждении воды в открытой канавке [4]:

ΔQвод = αbL(Tвод − TB ) + β bL( Pнв − Pп )r ,

(5.79)

где b, L − ширина и длина канавки; α, β − коэффициенты тепло- и массообмена; Tвод и TB − средние температуры воды в канавке и воздуха в

362

выработке; Pнв − парциальное насыщенное давление паров воды при температуре Tвод ; Pп − парциальное давление паров при температуре TB .

Коэффициент α определяется по (5.30) (при ε = 1,0), а β по формуле β = 9,7 + 3 ϑ (где ϑ − относительная скорость воздуха). Формула (5.79) аналогична (5.77); к ней относится всё ранее сказанное о переходе к явному виду относительного источника и к дифференциальному представлению. В случае закрытой канавки:

ΔQвод,з = K зbL(Tвод − TB ),

(5.80)

где K з − коэффициент теплопередачи от текущей в канавке воды к воздуху в выработке, определяемый формулой вида (5.53) при ξ = 1,0. Элементарные тепловыделения от "горячих" трубопроводов и теплопотери к "холодным" трубопроводам определяются формулами [46]:

d Qгг = K ггVг (Tг − TB ( y )) d y; d Qхт = K хтVx (Tx − TB ( y )) d y, (5.81) где Tг , Tx − средние температуры флюида в "горячем" и "холодном" трубопроводе; K г т , K х т , Vг , Vx − коэффициенты теплопередачи и периметры "горячих" и "холодных" трубопроводов соответственно. Тепловыделение от автокомпрессии существенно для воздухоподающих стволов и длинных наклонных выработок. При восходящем движении воздуха тепло наоборот, поглощается. Для наклонной выработки длиной L и с углом наклона ψ [4]:

GL sinψ , ккал/час, (5.82) 427 где G – весовой расход воздуха. Для ствола глубиной H : ΔQсж = ±GH / 427. Как и ранее, переход в (5.82) к d Qсж осуществляется заменой L → d y. ΔQсж = ±

Тепловыделение от окисления (суммарное) в парадигме шахтной теплофизики относят к рудничному воздуху (хотя фактически тепло выделяется в массиве и на его стенках – см. гл. 4) [4]:

ΔQок = q0W 0,8VL,

(5.83)

где q0 − удельное окислительное тепловыделение при W = 1,0 м/c; W − скорость воздуха в выработке; V, L – периметр и длина выработки. Параметр с определяется опытным путём и для различных шахт и выработок приводится в справочной литературе [4,22]. Обширные эксперименты на глубоких шахтах Донбасса позволили установить зависимость, хорошо согласующуюся с (5.83), но позволяющую учитывать специфику различных выработок [97]:

ΔQок = K B K Π K Κ K Η qyWVL,

(5.84)

363

где qy – удельное тепловыделение (ккал/м3); K B = 0,3÷0,5 для полевых выработок и K в = 0,8÷0,9 для выработок, пройденных вкрест простирания пласта; K п = 1,2÷1,5 для выработок, пройденных широким ходом, а для остальных K п = 1,0; K к = 0,5÷0,7 для выработок с монолитной крепью и K к = 1,0 для остальных; K н = 1,2÷1,3 – для выработок, пройденных в нарушенных породах и K н =1,0 – для остальных. Параметр q y может быть определён по таблицам [97]. Источники тепла, именуемые местными [4] – от работающих машин, механизмов, электрооборудования, людей, транспортных средств – определяются простыми формулами. Эти формулы обычно содержат произведения энергетических параметров (мощности, производительности) соответствующих устройств на их коэффициенты полезного действия (коэффициенты загрузки) и тепловой эквивалент работы (мощности). Все эти многочисленные, часто изменяющиеся при появлении новых механизмов и устройств, формулы для тепловыделений от местных источников приводятся в литературе [4,22] и др. Процессы тепломассообмена. В шахтной теплофизике рудничный воздух трактуют как смесь сухого воздуха и водяного пара, которые подчиняются законам идеальных газов [1]. Давление смеси B равняется сумме парциальных давлений сухого воздуха Pв и водяного пара Pп , для которых, с хорошей точностью, справедливы уравнения Клапейрона [1]. Содержание в воздухе пара характеризуется абсолютной влажностью, влагосодержанием, относительной влажностью. Абсолютная влажность определяется весовым содержанием пара в 1-м м3 влажного воздуха – γ (кг/м2); влагосодержание – п

весовым количеством пара, приходящимся на 1 кг сухой части воздуха – х (кг/кг); относительная влажность – отношением фактической абсолютной влажности воздуха к максимально возможной при данной его температуре:

ϕ=

γп

P = п , γ п max Pпн

(5.85)

где Pп , Pпн – парциальное давление пара в воздухе и его насыщенное значение. Последнее подчиняется уравнению Клапейрона-Клаузиуса, решение которого затруднительно. В парадигме шахтной теплофизики приняты различные аппроксимации сложной зависимости Pпн = Pпн ( Т в ) более простыми (линейными, квадратичными, экспоненциальными функциями температуры воздуха) [98ч100]. Наиболее распространена линейная аппроксимация О.А. Кремнёва [1]: Pпн = n(Tв − ε), (5.86)

364

в которой параметры n и ε приводятся в таблицах, составленных для различных интервалов температур воздуха по 10°С. Связь между перечисленными величинами весьма проста:

⎛ ϕPпн ⎞ R ⋅P P ⎟⎟ , X = в п = 0,623 п = 0,623⎜⎜ Rп ⋅ Pв B − Pп ⎝ В − ϕPпн ⎠

(5.87)

где Rв , Rп – газовые постоянные воздуха и пара; Pв = B − Pп – парциальное давление сухого воздуха в смеси; в последнем выражении использована (5.85). Поскольку ϕ ≤ 1,0 , а Pпн на порядок и более меньше, чем В , обычно принимают B − ϕPпн ≅ B − Pп,ср , где среднее парциальное давление пара

Pп,ср табулировано для температурных интервалов по 10°С [1]. Полное давление шахтного воздуха на глубине H – B ( H ) определяется барометрическим давлением на поверхности B0 и средним весом воздушного столба [1,22]:

B( H ) = B0 + 0,0735γ в,ср H ≅ B0 + 0,09 H (мм. рт. ст.).

(5.88)

В отличие от общей термодинамики, в термодинамике влажного воздуха энтальпия его, или теплосодержание определяется формулой:

i = CсвTв + х (r + CпTв ), ккал/кг сух. возд.

(5.89)

Здесь первое слагаемое – "явное" или "сухое" теплосодержание, равное произведению теплоёмкости сухого воздуха ( Cсв = 0,24 ккал/(кг K )) на его температуру Tв ; второе слагаемое – "скрытое" теплосодержание, в котором r – удельная теплота парообразования ( r = 595 ккал/кг), а Cп – теплоёмкость водяного пара ( Cп = 0,47 ккал/(кг K )). В системе СИ (5.89) имеет вид [101]:

i = 1005Tв + х (2501000 + 1930Tв ) Дж/кг сух. возд.

(5.90)

По оценке [101], вклад в энтальпию члена Cп Tв при Tв ≤ 40°С составляет около 2%, на основании чего (5.89) обычно записывают в виде

i = CсвTв + хr.

(5.91)

Для приращений энтальпии (конечных – Δi и дифференциальных – d i ) из (5.91) следует:

Δi = CсвΔTв + rΔ x, Тепловой баланс выработки дифференциальной форме [1,4]:

d i = Cсв d Tв + r dx . записывают

в

(5.92)

алгебраической

или

GΔi = Σ ΔQотн.n + Σ ΔQабс.m.; G d i = Σ d Qотн.n + Σ d Qабс.m. (5.93) n

m

n

m

365

Здесь G – весовой расход воздуха в выработке; ΔQотн.n , d Qотн.n – тепловыделения от относительных источников тепла (соответственно для выработки и её элемента длиной d y ); ΔQабс.m. , d Qабс.m. – тепловыделения от абсолютных источников. Подстановкой в (5.93) формул (5.92) можно получить УТБ в алгебраической или дифференциальной форме. Для того, чтобы левые части этих уравнений зависели, как и правые от Tв1, Tв2 (в алгебраических УТБ) или от Tв ( y) (в дифференциальных УТБ), необходимо выразить Δ x через Tв1 и Tв2 , а dx – через Tв ( y) . Если это сделать, получим уравнения вида:

⎛ d T ( y) ~ ~ ⎞ Φ1(Tв1, Tв 2 , C1, C2 ,...) = 0, Φ 2 ⎜⎜ в , Tв ( y ), y, C1, C2 ,... ⎟⎟ = 0, (5.94) ⎝ dy ⎠ ~ ~ где C1, C2 ,... и C1, C2 ,... – постоянные величины, входящие в выражения для

абсолютных и относительных источников тепла. Первое из уравнений (5.94) – УТБ в алгебраической, а второе – УТБ в дифференциальной форме. Аппроксимации влагосодержания, т.е. формулы, выражающие х (или d = = 103 x , г/кг сух. возд.) через температуру воздуха T , встречаются, аналогично в

аппроксимации Pпн , линейного, квадратичного и экспоненциального видов [1,4, 46,99ч102]. В [102], в частности, предложено, для Tв = 10÷40°С:

⎛ B ⎞ (5.95) d = ϕ⎜⎜ 0 ⎟⎟d н (Tв ), dн (Tв ) = 4,238 exp(0,0617 Tв ). B ( H ) ⎝ ⎠ Здесь d – фактическое, а d н (Tв ) – насыщенное влагосодержание воздуха при его температуре Tв . Линейные по Tв аппроксимации приводят к линейным

алгебраическим и дифференциальным УТБ, квадратичные – к квадратным алгебраическим УТБ; нелинейные аппроксимации (типа (5.95)) требуют численного решения УТБ. Для горизонтальных выработок и лав дифференциальные УТБ были, в соответствии со сказанным, получены в виде [103]:

GC p d Tв + Gr dx = K τV (Tп − Tв ) d y + K гVг (Tг − Tв ) d y + (5.96) ΣQм + K xVx (Tx − Tв ) d y + q0V d y + d y, L G yC y J GC p d Tв + Gr dx = K τV (Tп − Tв ) d y + (Tп − Tв ) d y + L (5.97) GвCв ΣQм (Tвод − Tв ) d y + K xVx (Tx − Tв ) d y + q0V d y + d y. + L L

В (5.96) и (5.97): левые части уравнений – прирост энтальпии воздуха; правые части обоих уравнений ((5.96) – для выработки, (5.97) – для лавы) содержат 366

одинаковые и различные члены. К первым относятся: теплопритоки из горного массива (члены с K τ ); тепловыделения от окисления и от местных источников (два последних слагаемых в правых частях обоих уравнений); теплопотери к "холодным" трубопроводам (слагаемые с K x ). Ко вторым относятся: в (5.96) – тепловыделение от "горячего" трубопровода – второе слагаемое в правой части; в (5.97) – тепловыделения от отбитого угля и воды – второе и третье слагаемые в правой части. Обычно эти УТБ решаются путём аппроксимации влагосодержания – замены члена с dx в левых частях на выражения, содержащие Tв , после чего они принимают вид второго из уравнений (5.94). Далее будут рассмотрены конкретные виды таких уравнений, для решения которых всегда необходимо задаваться значениями х или ϕ в конце выработки (т.е. использовать эмпирические данные о х 2 или ϕ2 ). В рассматриваемой работе [103] авторы реализуют иной подход – пытаются найти ϕ2 расчётным методом. С этой целью, наряду УТБ используется уравнение баланса влаги (УБВ):

G dx = β pV ( Pст − P) d y,

(5.98)

где в левой части – изменение влагосодержания воздуха на элементарном участке выработки длиной d y ; правая часть – приток пара в выработку из массива, где β p – коэффициент массоотдачи (массообмена), V – периметр выработки, Pст – парциальное давление пара на стенке, а P – в потоке воздуха. Из (5.87) и (5.98) следует: 0,623G d P (5.99) = β pV ( Pст − P ) d y.

B − Pп,ср

Уравнение (5.99) не может быть решено автономно, т.к. Pст и P зависят от Tв . Если воспользоваться (5.86), то можно получить систему двух уравнений вида:

d Tв = aP − DTв + M ; dy

dP = ATв − bP − C. dy

(5.100)

Здесь значения коэффициентов A, a, b, C для выработок и лав совпадают, а коэффициенты D и М различны (определяются уравнениями (5.96), (5.97)). Система (5.100) решается в элементарных функциях. Трудности в использовании этого подхода заключаются в отсутствии надёжных данных о β p , описывающих сложный процесс турбулентного массопереноса, осложненного фазовыми переходами влаги. Поэтому в подавляющем числе случаев предпочтение отдаётся, при инженерных расчётах, методу с заданием ϕ2 (в силу большого, накопленного в ходе тепловых съёмок, объема информации по ϕ2 для различных выработок). Авторы [103] ограничиваются

367

рекомендациями по ориентировочным значениям β p : для выработок – 0,015; для лав – 0,03. Дальнейшие попытки одновременного расчёта температуры и влажности воздуха в конце выработки на основе двух балансовых уравнений предпринимались в рамках моделей с использованием μ τ – коэффициента

нестационраного массообмена [4,46,104]. Коэффициент μ τ определялся из решения краевой задачи взаимосвязанного тепломассопереноса во влагосодержащем горном массиве (гл. 4). УТБ было аналогичным (5.97), а УБВ имело вид [104]:

G dx = μ τV (θм − θ) d y + βвVв (θв − θ) d y ,

(5.101)

где θм – потенциал влагопереноса массива, а θв – потенциал влагопереноса влаги, испаряющейся с водной поверхности; θ – то же для воздуха; βв –

коэффициент массообмена между поверхностью воды и воздухом ( βв ≠ β p ); Vв – периметр открытой поверхности воды. Полагая ϕ = A2 + B2θ( A2 , B2 = = const), используя (5.86), авторы пришли к системе уравнений:

d Tв ⎫ = −aTв + bθ + C ; ⎪ dy ⎪ ⎬, (5.102) dθ d Tв μ τV βвVв AB2 (Tв − ε) + A( A2 + B2θ) = (θм − θ) + (θв − θ)⎪ ⎪⎭ dy G G dy гораздо более сложной, чем (5.100). Здесь A, a, b, C , A2 , B2 = const, а μ τ определяется весьма сложными формулами, содержащими такие слабоизвестные влагофизические периметры как массоёмкость и массопроводность, термоградиентный коэффициент, коэффициент фазовых переходов. Определение последней величины особо затруднительно, поскольку имеющиеся сведения о характере испарения влаги в массиве – в глубине его или на поверхности – малочисленны и противоречивы. Известны работы А.М. Криворучко и др., в которых на основании шахтных экспериментов утверждается, что влагоиспарение происходит, преимущественно, в массиве (гл. 2). Авторы [105], опираясь на эмпирические формулы, по которым коэффициент β p пропорционален коэффициенту теплообмена α (или скорости воздушного потока) [59,106] и эксперименты, проведенные в конвейерном штреке при двух режимах его проветривания (с разными скоростями), пришли к выводу о преимущественном испарении влаги на поверхности стенок выработки. Известны и другие методы учёта влияния массообменных процессов на теплоперенос в выработках. Один из них, предложенный Б.И. Медведевым [107], может быть назван методом эффективной теплоёмкости воздуха. УТБ при этом имеет вид:

368

G d i = GCe d Tв = ∑ ΔQ j ,

Ce =

j

di . d Tв

(5.103)

Здесь Ce – эффективная теплоёмкость, а в правой части обозначены относительные и абсолютные источники тепла. В [107] на основе введения Ce и ряда других идей, предложена методика моделирования и расчёта теплообмена рудничного воздуха при его движении по цепи горных выработок. Однако аналитических или эмпирических выражений для Ce не приводится. Достаточно широко в инженерных расчётах использовался метод теплового коэффициента влагообмена A , предложенный А.Ф. Воропаевым [9,76,108]. В работах немецких исследователей он получил название коэффициента εt [5, 87,109]:

εt = A =

d qявн , d qявн + d qскр

d qявн = С p d Tв ,

d qскр = r dx . (5.104)

С помощью коэффициента А второе из уравнений (5.93) можно представить в виде:

⎞ ⎛ GC p d Tв = A⎜⎜ ∑ d Qотн,n + ∑ d Qабс, m ⎟⎟, ⎠ ⎝n m

(5.105)

который для горизонтальных выработок может быть преобразован в УТБ:

d Tв ( y ) (5.106) + BTв ( y ) = C , dy ~ ~ ~ ~ где B = AB / GC p ; C = AC / GC p ; постоянные B и С определяются видом и числом абсолютных и относительных источников тепла. Для наклонных выработок правая часть (5.106) принимает вид C ± Dy , где D = const . Подразумевается, что A = const . Наиболее рациональным методом определения A, на наш взгляд, является обработка данных тепловых съёмок. Такая обработка для шахт Германии показала [5], что для лав с обрушением кровли εt = A ∈[0,2; 0,3]. При температуре пород Tп = 30°С, εt = 0,35. При рассмотрении тепловыделения от отбитого увлажненного угля в лаве приводилась формула (5.60): ΔTв = JΔQy GC p . Коэффициент J в данном случае совпадает с A ; для его численных значений приводились полученные экспериментально оценки: J = A = 0,3÷0,5 – для угля с естественной влажностью, и : J = A = 0,1÷0,2 – для увлажнённых углей. Совпадает по смыслу с A и коэффициент ξ в формуле прироста температуры воздуха за счёт тепловыделений приводов конвейеров и стругов, маслостанций и других местных источников [26]. Формула для ΔTв идентична (5.60) с заменой J на ξ , для которого, по опытным данным, рекомендованы значения: ξ = 0,4÷0,6 –

369

для приводных головок конвейеров с перегрузкой угля; ξ = 0,65÷0,80 – для маслостанций и приводных головок конвейеров без перегрузки угля [26]. Автором метода [9] предпочтение было отдано, к сожалению, иному – аналитическому методу определения A. С этой целью были предложены формулы:

dн = nTв , dн 2 − dн1 = n(Tв 2 − Tв1 ), n = 0,36ехр(0,056Tв1). (5.107) С учётом приближения [1]: d ≅ ϕd н , найдено d 2 − d1 = ϕn(Tв 2 − Tв1), что относится к постоянной по длине выработки относительной влажности ϕ . Для переменной по длине выработки влажности:

ϕ2d 2 − ϕ1d1 = ϕ2 n(Tв 2 − Tв1) + d1(ϕ2 − ϕ1), что после подстановки в (5.104) конечных Δqявн и Δqскр , даёт: −1

⎧⎪ ⎡ ⎛ ϕ2 − ϕ1 ⎞⎤ ⎫⎪ ⎟⎟⎥ ⎬ . A = ⎨1 + 2.4 ⎢ϕ2n + d1⎜⎜ ⎪⎩ ⎝ Tв 2 − Tв1 ⎠⎦ ⎪⎭ ⎣

(5.108)

Использование (5.108) для расчёта Tв 2 требует, как и в традиционном подходе, задания ϕ2 и итераций по Tв , что сильно снижает ценность этого метода.

Глава 20. Модели стационарного теплопереноса §60. Выработки сквозного проветривания Модель теплопереноса в стволе (воздухоподающем) базировалась на предположениях [1]: 1) температурное поле в массиве вокруг ствола описывается краевой задачей О.А. Кремнёва (гл. 4); 2) вне охлажденной зоны температура массива совпадает с геотермической; 3) теплосодержание 1 кг воздуха при перемещении его от поверхности до глубины Н, вследствие его адиабатического сжатия возрастет на Н/427 (ккал/кг); 4) средняя температура воздуха, наступающего в ствол: Т в (t ) = 10,5 + 10,5 sin ωt (ω = 2π / 8700 – частота годовых колебаний температуры воздуха); 5) средняя относительная влажность атмосферного воздуха: ϕ(t ) = 0,73 + 0,16 sin ωt ; 6) приведенная (т.е. пересчитанная на давление воздуха в околоствольном дворе) относительная влажность воздуха для глубин Н = 800÷1200: ϕпр = 0,7÷0,73; 7)

влагосодержание 1 кг воздуха при ϕ = 100% аппроксимируется линейной

функцией температуры: d н (Т в ) = m + nТ в (г/кг). Исходя из этих посылок, УТБ для участка ствола от поверхности до глубины Н было записано в виде [1]:

370

н

∫ 0

GC p

∂T ( y, t ) d y + Gr{ 0,73 [m + nTв ( Н , t )] − ϕ(t )[m + nTв (t )] } = ∂y н

= αV

GH ~ [ ] ( , , ) ( , ) d . T R y t − T y t y + ∫ 0 427

(5.109)

0

Здесь первый член в левой части уравнения описывает теплоприращение "явного", а второй – "скрытого" тепла; интеграл в правой части – теплопритоки ~ из массива ( T ( r , y, t ) – температура массива). Таким образом, (5.109) фактически представляет собой одно из уравнений при сопряженной формулировке ~ задачи теплообмена, когда температуры воздуха T ( y , t ) и массива T ( r , y , t ) взаимосвязаны и определяются одновременно. Попытку решения этой задачи в [1] следует признать неудачной: решение крайне громоздко и не завершено. Поэтому авторы [1] пошли на существенное упрощение задачи, пренебрегая теплопритоками из массива (что допустимо лишь для достаточно "старых" стволов). УТБ записывается заново, в алгебраической форме, а влагосодержание аппроксимируется полиномом 2-й степени по Т в (с коэффициентами m, n, l ). Вместо (5.109) получено:

{

GC p [T ( H , t ) − Tв (t )] + Gr 0,73[m + nT ( H , t ) + lT 2 ( H , t )] −

}

− ϕ(t )[m + nTв (t ) + lTв2 (t )] =

GH 427

.

(5.110)

Уравнение (5.110) – квадратное уравнение относительно T ( H , t ) – температуры воздуха в стволе на глубине H. Решение его элементарно. Полученная формула, применяющаяся вплоть до сего времени, может быть названа "формулой квадратного корня". Подстановкой в неё численных значений ряда параметров, она приводится к виду [1,4]:

T ( H , t ) = −19,6 + 178 + A(t ) + B (t ) + H / 3,42 ,

(5.111)

где A(t ) и B (t ) задаются таблично для месяцев года [1]. В развитие этой модели, авторы [110] рассмотрели случай взаимосвязанного теплообмена в стволе. Была сформулирована система двух уравнений относительно Tв ( у ) и Р ( у ). Тепловой баланс записывался в виде:

⎛ K ⎞m (5.112) C p d Tв + r dx = ART1⎜ ⎟ d y, ⎝ K − 1 ⎠ B1 где A – тепловой эквивалент работы; R – газовая постоянная влажного воздуха; T1 = 273 + Tв1 ( Т в1° С – температура воздуха на входе в ствол); В1 – 371

барометрическое давление на поверхности; m – поправка на сезонные колебания давления ( m = 0,092 – летом, m = 0,098 – зимой); K = 1,4 – показатель адиабаты; y – расстояние от устья ствола. Уравнение массового баланса совпадает с (5.99). Принятие аппроксимации (5.86) позволило получить систему аналогичную (5.100), но с несколько иными коэффициентами. Эта система решена в элементарных функциях, численные результаты близки к экспериментальным [110]. Модель теплопереноса в вентиляционном стволе при реверсе была предложена для условий зимнего периода времени, когда поступление в ствол воздуха с отрицательной температурой чревато быстрым его обмерзанием [111]. Предполагалось, что для небольшого промежутка времени развития аварийной ситуации, температура пород слабо меняется, оставаясь практически равной той, которая сложилась к моменту начала реверсирования струи. Массообменные процессы считались несущественными, так что УТБ включало, в качестве источников тепла, только теплопритоки из массива (которые задавались через K τ ) и тепло авто компрессии воздуха d qсж = 0,0098 d y [9]:

GC p d Tв = K τV (Tп′ − Т в ( у )) d y + 0,098 d y, или

⎛ K τV ⎞ d Tв ( у ) ⎛⎜ K τV ⎞⎟ ⎟Tп′ + 0,098, Tв ( у ) = ⎜ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy ⎝ GC p ⎠ ⎝ GC p ⎠

(5.113)

где Tп′ – температура пород к моменту реверсирования струи; V = πD –

периметр ствола. Решение (5.113) при условии Т в (ϑ) = Т 0 = const оказалось хорошо соответствующим шахтным замерам [111]. Сравнение (5.113) с (5.106) показывает, что они структурно идентичны, т.е. УТБ с учётом массообмена по А.В. Воропаеву (коэффициентом А ) аналогично УТБ, в котором такой учёт вообще не осуществляется. Многочисленные работы, в которых предпринимались попытки "уточ-нить", "упростить" расчёты, учесть новые источники тепла (или по-новому – известные) как правило не выходили за рамки, очерченные в [1], где были сформулированы два основных метода учёта массообменных процессов: путём задания линейного закона изменения вдоль выработки влагосодержания воздуха и путём задания закона линейного изменения относительной влажности. При заданном законе изменения влагосодержания полагают [1]:

Δx Δx y, dx = d y, Δ x = x 2 − x1 . (5.114) L L Считается, что x 2 либо Δ x известны. Переход в (5.96), (5.97) к выработкам с / произвольным углом наклона ψ осуществляется заменой Tп → Т п =

x = x( y ) = x1 +

372

= Tп ± σy sin ψ и добавлением в правые части УТБ члена d Qсж = = ± (G sin ψ / 427) d y. В итоге (5.96) приводится к виду

d Tв ( у ) + BTв ( у ) = C ± D у. dy

(5.115)

Коэффициенты в (5.115) определяются соотношениями:

⎛KV⎞ B = (GC p ) −1 ( K τV + K гVг + K xVx ), D = ±⎜ τ ⎟σ sin ψ, ⎜ GC p ⎟ ⎠ ⎝

N=

rΔ x , С = М − N, CpL

(5.116)

M = (GC p ) −1 ( K τVTп + K гVгTг + K xVxTx + q0V + L−1ΣQм ). Уравнение (5.115) аналогично (5.106) с учётом замечания об изменении его правой части для наклонных выработок. При заданном законе изменения относительной влажности полагают [1]:

Δϕ y, Δϕ = ϕ2 − ϕ1. L

ϕ = ϕ( у ) = ϕ1 +

(5.117)

Из (5.86), (5.87) и (5.117) следует:

X=

0,623nϕ( y )(Tв ( у ) − ε) . В − Рп,ср

(5.118)

Выражение для dx найдено по (5.118) в [1] неточно:

dx =

0,623ϕ( y ) ⋅ n d Tв . В − Рп,ср

(5.119)

В силу недоразумения (5.119) было названо в [1] "частным дифференциалом x по Tв ". Это вызвало ряд публикаций, авторы которых вычисляли "полный дифференциал" [46,112÷114]. Фактически же, как это видно из (5.118), x является произведением двух функций у – ϕ( у ) и Tв ( у ), что после использования формулы дифференцирования произведения двух функций даёт:

dx =

dx 0,623n dy= dy В − Рп,ср

⎡ Δϕ d Tв ⎤ − ε + ϕ ( T ( y ) ) ( y ) ⎢ в ⎥d y, L d y ⎣ ⎦

(5.120)

что совпадает с вычисленным "полным дифференциалом". Подстановка (5.120) в УТБ приводит к уравнению [112,113]: 373

( A + D1 y )

d Tв + B Tв = С ± Dу, dy

(5.121)

где А, В, С , D, D1 = const и выражаются через параметры балансового уравнения аналогично (5.116). При различных обозначениях и видах решений УТБ (5.121), полученных в [112,113], анализ, проведенный в [113], выявил их эквивалентность. Для лав на пологих и крутых пластах УТБ в дифференциальной форме существенно не отличаются. Используются те же два подхода: с заданием закона изменения влагосодержания и с заданием закона изменения относительной влажности. При первом, в лавах пологих пластов УТБ имеет [1] вид (5.106), а в лавах на крутом падении – вид (5.115). При втором подходе, УТБ в лаве соответствует (5.121), где для горизонтальных лав D = 0 [114]. В лавах при слоевой выемке и бетонной закладке выработанного пространства теплоперенос моделировался УТБ обычного вида (см. первое из уравнений (5.93)) [115]. Использовалась аппроксимация (5.86). Составляющие баланса – тепловыделения от горного массива и от бетонной закладки находились суммированием теплопритоков через все поверхности, окружающие лаву. Учитывалось, что различные поверхности охлаждаются в течение разных промежутков времени. В целом, специфика модели заключена только в определении различных K τ . В лавах с повышенной скоростью подвигания забоя специфика модели теплопереноса [116] также была заключена в способе определения K τ – из решения сопряженной задачи. УТБ при линейном законе изменения относительной влажности вдоль лавы имело вид (5.121). Модель содержит противоречие: не ясно, зачем необходимо использовать для лавы УТБ, если корректно решена сопряженная задача, т.е. температура воздуха найдена непосредственно. Сравнение моделей теплопереноса для выработок сквозного проветривания осуществлялось различными авторами [118÷121]. Анализировались работы А.Н. Щербаня, О.А. Кремнёва, Ю.Д. Дядькина, А.Ф. Воропаева, А.Е. Величко, В.А. Кузина, Batzel, Hiramatsu, Kokado, Kappelmayer, Mundry и др. По математической структуре все модели близки, отличия носят второстепенный характер. В большинстве работ шахтных теплофизиков, сравнение результатов расчётов с данными шахтных измерений проводится для формул, полученных авторами; оно, как правило, показывает хорошее их согласование. Подробный и, на наш взгляд, объективный анализ [121] показал, что почти все рассчитанные значения Т в 2 (для условий типовой выработки) отличаются друг от друга на величины порядка ошибки расчетов, за исключением [1], где сказалось влияние ошибки (5.119). Формула А.Ф. Воропаева, полученная из решения простейшего УТБ (5.106), дала расхождение относительно других формул [4,56,98] в 0,1, 0,1, 0,2°С соответственно [121]. К важным выводам, сделанным в [121], можно отнести также и следующие: 374

1) результаты расчетов по формулам, полученным из алгебраических и дифференциальных УТБ, близки; 2) погрешность, вносимая упрощением уравнений – заменой в них функции Т п (Н ) её средним значением Т п ср = 0,5(Т п ( Н1 ) + Т п ( Н 2 )), где Н1, Н 2 – глубина начала и конца наклонной выработки, лежит в пределах точности расчёта.

§61. Подготовительные (тупиковые) выработки. Тупиковые выработки (к которым относятся все подземные выработки, включая стволы, в стадии проходки) проветриваются с помощью ВМП и трубопроводов, работающих в нагнетательном или всасывающем режиме. Известны и комбинированные способы [4,122]. Тепловым расчетам тупиковых выработок без охлаждения воздуха и с охлаждением посвящено много работ [9,123÷134]. Обзор ряда зарубежных работ дан в [122]. Как и в случае выработок сквозного проветривания, модели теплопереноса строятся на основе двух видов УТБ – алгебраических и дифференциальных. Усложнение этих моделей заключается в том, что тупиковая выработка разбивается на отдельные участки – воздухоподающий трубопровод (расчетные точки 1 и 2 – в начале и в конце его), призабойная зона выработки (от точки 2 до забоя – точка 3, до точки 4 – в выработке на уровне конца трубопровода), остальная часть выработки (от точки 4 до точки 5 – на входе в тупиковую выработку). Для каждого из участков составляется своё УТБ, связанное, в силу утечек из трубопровода и теплопритоков между ним и воздухом в выработке, с другими. В итоге модель приводится к системе трёх уравнений (алгебраических или дифференциальных, смешанная). Решение таких систем затруднений не вызывает. Рассмотрим некоторые из таких моделей, реализующих описанную зональную схему (Де-Браафа-Ягельского). Для обоснования модели теплопереноса были проведены замеры в шахтах, показавшие [126]: 1) при отсутствии охлаждения воздуха в нагнетательном трубопроводе, температура его изменяется вдоль пути линейно; 2) температура вентиляционной струи на участке обратного движения (от призабойной зоны к началу выработки) также изменяется линейно; 3) влагосодержание воздуха в трубопроводе остаётся постоянным; 4) утечки воздуха из трубопровода рассредоточены по его длине равномерно, что позволяет использовать величину среднего расхода воздуха в нём. С учётом этих посылок, УТБ для трубопровода было записано в виде [126]:

⎛T +T T +T ⎞ АВср (Т 2 − Т1 ) = K тVт L⎜ 4 5 − 1 2 ⎟ ± 0,01ABcpGcp ΔH , 2 ⎠ ⎝ 2

5.122)

где T1,T2 – температуры воздуха в начале и в конце трубопровода; T4 ,T5 – температуры вентиляционного воздуха в обратном потоке; A, Bcp – коэффи375

циенты аппроксимации влагосодержания воздуха по [98]; Gcp = 0,5(G1 + G2 ) – средний расход воздуха в трубопроводе; Vт , L – периметр и длина его; K т – коэффициент теплопередачи через стенку трубопровода ((5.53) при ξ = 1,0); второй член в правой части описывает прирост (убыль) теплосодержания воздуха за счёт автокомпрессии. Для участка обратного движения воздуха УТБ имело вид:

Т + Т 5 ⎞ Gут ⎛ i1 + i2 i4 + i5 ⎞ ⎛ − Gcp (i5 − i4 ) = K τVL⎜ Tп − 4 ⎟+ ⎜ ⎟− 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎛ Т + Т 5 Т1 + Т 2 ⎞ − K тVт L⎜ 4 − ⎟ ± 0,01ABcpGcp ΔH + ΣQм , 2 ⎠ ⎝ 2

(5.123)

где K τ – коэффициент нестационарного теплообмена массива с воздухом на участке; V , L – периметр и длина этого участка; Gут = G1 − G2 – суммарные

утечки из трубопровода; ΣQм – суммарное тепловыделение местных источников тепла. Т.к. влагосодержание воздуха в трубопроводе постоянно, на основе [98] получено:

( DТ 2 + Dв )ϕ2 = ( DТ1 + Dв )ϕ1,

(5.124)

что позволяет преобразовать (5.123):

⎡ ⎡ ⎛ ⎛ Gут ⎞ K τVL ⎤ Gут ⎞ K τVL ⎤ K VL + ΣQм ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ T4 = τ T5 − ⎢ M 4 1 − + + ⎥ ⎥ ⎢ M 5 ⎜1 + ⎜ 4Gcp ⎟ 2Gcp ⎥ G cp ⎢⎣ ⎢⎣ ⎝ 4Gcp ⎟⎠ 2Gcp ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎦ ⎛ ⎛ Gут ⎞ G ⎞ (5.125) ⎟Т1 − АВср ⎜1 − ут ⎟Т 2 − Dв (ϕ5 − ϕ 4 ) + + АВср ⎜1 + ⎜ 4Gcp ⎟ ⎜ 4Gcp ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Gут [2ϕ1 ( DТ1 + Dв ) − Dв (ϕ4 + ϕ5 )] , + 4Gcp где М 4 = АВ4 + Dϕ4 ; М 5 = АВ5 + Dϕ5 . Для призабойной зоны УТБ составлено в дифференциальной форме, структурно аналогичной (5.106). Коэффициент K τ для призабойной зоны вычислялся по (5.32). Из решения этого уравнения найдено:

Т 4 = Г 3 (1 − Ф 3 ) + Ф 3 Т 2 ,

(5.126)

где Г 3 , Ф 3 определяются через параметры УТБ. Т.о. получена система трёх алгебраических уравнений – (5.123), (5.125), (5.126) относительно Т 2 , Т 4 , Т 5 . Эта модель А.Е. Величко была позднее им откорректирована [127]. УТБ в трубопроводе соответствовало (5.122), дифференциальное УТБ для призабойной зоны имело, как и в [126], вид (5.106), а для участка обратного хода 376

вентиляционной струи дифференциальное УТБ:

вместо

алгебраического

было

предложено

G ⎛ ⎜⎜ G1 − ут L ⎝

⎞ y ⎟⎟ d i = K τV (Tп − Т ( у )) d y − K тVт (Т ( у ) − Tт ) d y + ⎠ (5.127) ΣQабс d y − Gут y d i − Gут (i − i ) d y, + т L 2L 2L

где

ΣQабс

– суммарное тепловыделение абсолютных источников тепла; Tт ,

iт – средние температура и теплосодержание в трубопроводе. Подстановка в (5.127) выражений для i и d i согласно аппроксимациям [98] приводит к уравнению вида:

( N 1 − M1 y )( N 2 − M 2 y ) где N , N 2 , M1, M 2 , B, C 1

dT + BT ( y ) = C , dy

(5.128)

– постоянные, выраженные через параметры.

Решение (5.128) найдено в форме, аналогичной (5.126), где вместо T4 и T2 фигурируют T5 и T4 . Вновь модель свелась к системе трёх алгебраических уравнений относительно T2 , T4 , T5 [127]. Модель Л.Б. Зимина [128,129] основана на алгебраических УТБ для всех участков при аппроксимации влагосодержания воздуха по А.Н. Щербаню [1]:

T3 = T2 +

T + T ⎞ 9,81l 0 sin ψ K т Fт ⎛ ; ⎜ Tсм − 2 3 ⎟ ± 2 ⎠ Cp C p Gcp ⎝

T4 = T3 +

− T5 = T4 − −

[

(5.129)

K τз Fз ⎛ T +T ⎞ ⎜ Tп − 3 4 ⎟−; 2 ⎠ C p G3 ⎝

]

ΣQмз . r (m + nT4 )ϕ4 − D1 ⋅ 103 + С рGз Cp

T +T ⎞ T2 + T3 ⎞ K τ ср Fо ⎛ K т Fт ⎛ − T ⎜ см ⎟+ ⎜ Tп − 4 5 ⎟ − 2 ⎠ C p Gср ⎝ 2 ⎠ C p Gcp ⎝

r [(m + nT5 )ϕ5 − (m + nT4 )ϕ4 ] m 9,81l 0 sin ψ + ΣQмв . Cp Cp С р Gср

(5.130)

(5.131)

Здесь Т1, Т 2 , Т 3 , Т 4 , Т 5 – температуры воздуха на входе и выходе из ВМП, на выходе из трубопровода и из призабойной зоны, на выходе из тупиковой 377

выработки

соответственно;

Fт , Fз , F0

–

поверхности

теплообмена

воздухопровода, призабойной зоны, участка обратного движения; Gcp – средний расход воздуха в трубопроводе; D1 – влагосодержание воздуха на входе в ВМП; K τ з , K τ ср – соответствуют призабойной зоне и участку обратного движения струи; Qмз , Qмв – аналогично для местных источников тепла. Особенность этой модели – присутствие в первом и третьем уравнениях Т см – средней по длине участка обратного движения воздуха его температуры у наружной стенки воздухопровода. Автором предложена приближенная (погрешность равна 2,0%) формула:

Т см = K GT4 + 0,5(1 − K G )(T2 + T3 ),

(5.132)

где K G = G3 / G2 – коэффициент доставки воздухопровода. Подстановка (5.132) в (5.129) и в (5.131) позволила получить систему линейных алгебраических уравнений:

Ф1 (Т 2 , Т 3 , Т 4 ,...) = 0; Ф 2 (Т 2 , Т 3 , Т 4 ,...) = 0;

Ф 3 (Т 2 , Т 3 , Т 4 , Т 5 ,...) = 0.

(5.133)

Эта система трёх уравнений относительно трёх неизвестных – Т 3 , Т 4 , Т 5 – легко разрешима. В модели Д. Кралева рассмотрен теплоперенос в призабойном пространстве выработки, проходимой взрывным способом [130]. Учтены специфика теплообмена отбитой взрывом горной массы с воздухом и водой, временная последовательность технологических операций. Аппроксимация влагосодержания воздуха осуществлялась по А.Ф. Воропаеву [9]. В итоге была получена система трех дифференциальных УТБ типа (5.121) (при D = 0). Различные модификации и варианты моделей теплопереноса в тупиковых выработках отличаются друг от друга, в основном, набором параметров, характеризующих горногеологические и горнотехнические условия сооружения выработок и стволов, при сохранении неизменной математической структуры УТБ [132,133]. Подходом, отличным от традиционного, выделяются работы [131,134]. В первой из них – модель В.А. Стукало [131] – предложен подход, основанный на использовании отдельных балансов "явного" и "скрытого" тепла. Во второй – модель Ю.П. Добрянского – использованы сложные УБВ и учтены перетоки влаги и тепла в системе "трубопроводвыработка". Получены четыре дифференциальных (нелинейных) уравнений тепломассопереноса, решение которых потребовало составления специальной программы для ЭВМ [134].

378

§62. Приближенные расчёты Разделение методов тепловых расчётов выработок на "точные" и "приближенные" – условно. В отличие от моделей теплопереноса в горных массивах – краевых задач (задач базиса парадигмы), допускающих как строгую постановку и аналитические решения (методами математической физики), так и приближенные постановки и решения, задачи теплопереноса в выработках – задачи оболочки парадигмы, изначально являются приближенными. Это связано с грубостью обычно принимаемых допущений: 1) использование балансовой стационарной модели для описания нестационарного процесса; 2) сведение сложной аэродинамической структуры воздушного потока к случаям потоков с постоянным расходом и линейно изменяющимся расходом; 3) приведение локальных, сосредоточенных источников тепла к распределенным равномерно вдоль выработки; 4) упрощение сложной реальной картины взаимосвязанного тепломассопереноса; 5) использование для решения эмпирической информации о х 2 или ϕ 2 , известной, как правило, приближенно; 6) принимаемая равномерная структура утечек воздуха в трубопроводе (для тупиковых выработок). На этих допущениях основаны ранее рассмотренные, "точные" (условно) модели и методы тепловых расчётов выработок. Далее будут изложены некоторые из известных упрощённых (еще более "приближённых") методов расчёта, дающие меньшую точность результатов, но позволяющие осуществлять ориентировочные и оперативные инженерные расчёты более просто и быстро. Можно выделить три группы приближенных методов. Первая группа – приближенный учет теплообмена с массивом [11,56, 57,136]. Полагая, что теплообмену в лавах соответствует ситуация, когда температура свежеобнаженных поверхностей массива ещё не успела снизиться, Ю.Д. Дядькин, полагая Т ст ≅ Т п [11], для тепловыделения горного массива принял:

d Qм = αV (Tп − Т в ( у )) d y. (5.134) При аппроксимации d = m + nTв , выражение для теплопотерь на испарение

влаги:

d Qвл = rG dx = rGn d Tв ( у ).

(5.135)

При этом УТБ имело простой вид:

GC p d Tв + rGn d Tв = αV (Tп − Т в ( у )) d y + где

ΣQм d y, L

(5.136)

ΣQм – тепловыделение от местных источников тепла. Полагая, что 379

⎛T −T ⎞ Tп − Т п ( у ) = Tп1 − ⎜ п1 п 2 ⎟ y = Tп1 − Ky, K = σ sin ψ L ⎝ ⎠

(5.137)

и подставив (5.137) в (5.136), автор получил:

Т в2 = Т п2 + где

[

В+K ⎛ В+K⎞ − ⎜ Т п1 − Т в1 + ⎟ exp(− AL), A A ⎝ ⎠

]

A = αV G (C р + rn) −1,

[

(5.138)

]

B = (ΣQм / L) G (C р + rn) −1.

Формула (5.138) отличается простотой, но, в силу (5.134), является приближенной. Модель теплопереноса в выработке, пройденной в мерзлом массиве представляет собой сопряженную задачу типа Стефана [56]. Для получения приближенного метода расчёта, автор рассматривает приближенную – упрощенную модель. Считается, что в момент перехода переменной температуры воздуха Т в (t ) через среднее годовое значение θ , температура горных пород также принимает своё среднегодовое значение Tп′ , которое считается постоянным в зоне теплового влияния выработки. Вблизи выработки

Tп′ ≅ θ . Отсчитывая текущее время от момента t = 0, когда на поверхности Tв (0) = Т 0 = θ0 , в любом пункте цепи выработок можно принять, в качестве начального распределения температур при t = δt (эмпирически определяемое "время запаздывания" температурных колебаний): θ = Tп′ . В этом случае теплопритоки от воздуха к мерзлому массиву выразятся формулой:

d Qмп ≅ K τ K фV (Tв − θ) d y,

(5.139)

где K τ – определяется по формулам Ю.А. Буденного [57]; Kф – коэффициент, учитывающий разницу между расчетным и реальным периметром выработки ( Kф ≅ 1,5 – для незакреплённых выработок, K ф ≅ 1,3 для деревянной крепи вразбежку, Kф ≅ 1,2 – для сплошной деревянной крепи). При оттаивании мерзлых горных пород повышение интенсивности теплообмена описывается приближенной формулой:

d Qмп ≅ К агр K τ K ф (V − Vл )(Tв − θ) d y,

(5.140)

где Vл – часть периметра сечения выработки, занятая льдом; К агр – коэффициент агрегатных переходов влаги. При этих условиях, УТБ выработки имело вид:

380

760 ⎤ ⎡ d Tв = G ⎢C р + (r + r ′)nϕ ⎥ B ⎣ ⎦ ⎡ = ⎢ K агр K τ K ф (V − Vл )(θ − Т в ) − α лVлTв ⎣

ΣQм ⎤ d y, +

(5.141)

L ⎥⎦

где n – коэффициент линейной аппроксимации влагосодержания; В – текущее атмосферное давление в выработке; α л – коэффициент теплообмена воздуха с частью поверхности стенок выработки, покрытой льдом. Уравнение (5.141) приводится к виду (5.115) и легко решается. Комбинируя изложенное и другие приёмы приближенных решений, Ю.Д. Дядькин разработал инженерную методику теплового расчёта шахт и рудников Севера [57]. Теплообмен рудничного воздуха с массивом, обводнённым термальными водами моделировался [135] на основе "уравнения квадратного корня" [4]. В формулу для Т в 2 входил параметр θ – безразмерная температура стенок −1

выработок ( θ = Bi Kuτ ). Этот параметр приближённо определялся по эмпирическим формулам [135]:

⎧ K exp(−β Fo Bi 0,33 ), 0,01 ≤ Fo ≤ 0,3, ⎪⎪ θ = ⎨ K exp(−β Fo0,5 Bi0,33 ), 0,3 < Fo ≤ 2,0, ⎪ 0,33 ), 2,0 < Fo . ⎪⎩ K exp(−ε Bi

(5.142)

Здесь K = 1,0 – при отводе термальных вод по канавке с простым перекрытием; K = 0,925 – при канавке с теплоизолированным перекрытием; K = 0,852 – при отводе вод по специальной выработке; Fo, Bi – безразмерные критерии Фурье и Био; β, ε – эмпирические параметры. Вторая группа – упрощение и корректировка известных формул [100, 136÷141]. Во многом точность тепловых расчётов выработок определяется применяемой аппроксимацией влагосодержания воздуха. Наряду с линейными и квадратичными по Т в функциями, удовлетворительно описывающими

точную термодинамическую зависимость в узких интервалах изменения Т в (10÷15°С), известны и более сложные, но пригодные для более широкого интервала температур (ранее, в частности, приводилась одна из таких формул – (5.95)). А.М. Криворучко и А.Н. Сучковым предложены [100]:

⎛ 360 + 18,7Tв ⎞ ⎟⎟ , Pн = 133,322 exp⎜⎜ + T 236 ⎝ в ⎠

5,7 ⋅10 −3 dн = exp(1,4 + 0,064Tв ), В

(5.143)

(5.144)

381

где В – давление воздуха на данной глубине (Па). Анализом табличных данных [142] и их обработкой, авторы [100] для диапазона Т в ∈[–10°С, 30°С] нашли формулу аппроксимации энтальпии воздуха:

i = C рTв +

4,19mϕ exp[a(Tв + 1)] , B

(5.145)

где m = 12,7511; a = 0,07; ϕ – относительная влажность воздуха. УТБ имело вид:

Т +Т ⎞ ⎛ G (i2 − i1 ) = K τVL⎜ Tп − в1 в 2 ⎟ . 2 ⎠ ⎝

(5.146)

Уравнения (5.145) и (5.146) решались совместно графическим методом. Ошибка этого, приближенного решения, по энтальпии в точке 2 составила 0,5%. Исходным пунктом в разработке приближенного метода расчёта в [136] служила формула для Т в 2 , полученная для выработок, вентилируемых до 1-го года при линейном изменении влагосодержания вдоль выработки [1]:

[

Т в 2 = Г /(1 − е − г ) + А2

]−1 ⎡⎢Т + Т в1( Г /(ег − 1) + А1) + Е + ⎛⎜⎜ q0VLGC+ ΣQм ⎞⎟⎟⎤⎥, ⎢⎣

⎝

р

⎠⎥⎦

(5.147) где Г , Т , Е , А1, А2 – комплексы из параметров УТБ; q0 , ΣQм – тепловыделения от окисления и местных источников. Как показали расчёты, при замене цепи выработок одной, эквивалентной этой цепи по приросту температуры выработкой, ряд комплексов изменяется в достаточно узких пределах, позволяющих заменить их средними численными значениями. Этот метод моделирующих выработок был разработан Б.И. Медведевым [137]. Он подробно изложен в [136,137], где дана оценка вносимой им погрешности. Аналогичный метод эквивалентной выработки был предложен Ю.Д. Дядькиным [138]. Приближенные методы тепловых расчётов, основанные на усреднении некоторых комплексов в [5.147] и других формулах ("точных"), построении графиков-номограмм для других, замене цепи выработок одной эквивалентной использовались при расчётах нормальных и аварийных режимов проветривания шахт [139], решении задач проектирования и оперативного управления тепловыми режимами [22,140,141]. Третья группа – эмпирические обобщения, т.е. корреляционные зависимости для температур воздуха в зависимости от статистически значимых факторов – характерна для случаев, когда применение аналитических формул затруднительно, либо таковые отсутствуют. В первом из этих случаев, с целью упрощения вариантных расчётов при проектировании шахт и расчётов, проводимых для проверки состояния вентиляции

382

по тепловому фактору, была поставлена задача получения простой корреляции для выработок со свежей струёй и сроком эксплуатации свыше года [143]. Статистической обработкой данных многолетних тепловых съёмок (в летний период года) было получено

Т в 2 = Т в1 + [0,064(Т п − Т в1 ) + 1,18]

L ± 0,0045ΔH , G

(5.148)

где L – длина выработки (м); G – расход воздуха в ней (м3/мин); ΔH – разность высотных отметок выработки ("+" – при нисходящем и "–" – при восходящем движении воздуха). Погрешность (5.148) для большинства выработок находится в пределах точности замеров, а в наихудших случаях не превышает ±0,6°С на 1000 м длины выработки [143]. Различные частные корреляционные формулы, полученные на небольших выборках (для группы пластов, выработок, шахт) использовались на практике, поскольку известные методы расчёта [1,4,22] не всегда могли быть применены. Для групп однотипных рудников авторами [144] получены корреляции для средних температур различных горизонтов со скоростью рудничного воздуха

TBi = ai − bi ϑ ,

ai , bi = const,

i = 1,2,...

(5.149)

и с глубиной данного горизонта

TBi ( H ) = 2,2 + 0,02 H .

(5.150)

Коэффициенты корреляции этих зависимостей: rϑ = 0,86, rн = 0,88. Анализ выявившихся в практике проектных организаций расхождений результатов расчётов по аналитическим формулам [1,4,9] с данными измерений на шахтах, был осуществлён А.М. Ивановым [145,146]. Перечислены конкретные случаи, в которых расчётные температуры рудничного воздуха оказывались заниженными по сравнению с измеренными [145]. Величины K τ , измеренные в шахтах при охлаждении воздуха, оказались в 4 и более раз выше расчётных. Рекомендуемая поправка к коэффициенту α − 1,3βr не отражает, в полной мере, влияние изменения относительной влажности воздуха на его температуру. Влияние величины α на K τ (5.21) занижено, не играет должной роли. В глубоких шахтах, когда температура массива и содержащейся в нём влаги выше температуры воздуха, его влагонасыщение происходит за счёт тепла массива а не воздуха, что также не учитывается существующими методиками расчётов. Преодоление этих трудностей, по мнению автора [146], возможно при широком использовании статистических методов, позволяющих получать множественные корреляционные зависимости (для Т в 2 в частности) с учётом всех основных факторов. Эти рекомендации были, в дальнейшем, использованы в работах А.А. Мартынова [15,147] и других, обобщенных в [140]. Для лав с управлением 383

кровлей плавным опусканием и удержанием на кострах, на основании обработки данных измерений на 52-х выемочных участках 8-и глубоких шахт, было получено [15]:

Т в 2 = Т в1 + 0,42(Т п − Т в1) + 0,4 ⋅ 10 − 2 Асут − − 0,33 ⋅ 10

−2

Gуч − 8,9(ϕ2 − ϕ1 ) − 0,14 ,

(5.151)

где Асут – суточная добыча угля из лавы (т); Gуч – расход воздуха на участке (м3/мин). Для лав со щитовой выемкой угля:

Т в 2 = Т в1 + 0,33(Т п − Т в1) + 0,2 ⋅ 10− 2 Асут − − 0,18 ⋅ 10

−2

Gуч − 5,32(ϕ2 − ϕ1 ) + 0,47.

(5.152)

Коэффициенты корреляции в формулах (5.151) и (5.152) соответственно 0,89 и 0,85 [15]. Аналогичные корреляции были установлены для температуры притечек воздуха из выработанного пространства выемочных участков крутых пластов при управлении кровлей полным обрушением, частичной закладкой, плавным опусканием и удержанием на кострах [140]. Для тупиковых выработок авторами [140] совместно с А.З. Наймановым и Л.Г. Хухловичем были получены корреляции для температуры воздуха на выходе из нагнета-тельного воздухопровода при комбайновой ( Т 2 K ) и буровзрывной ( Т 2 Б ) проходке:

Т 2 K = 1,2 + 4,7 exp(0,0303T0 ) + 9,2 exp(0,0206Tп ) + + 6,1 exp(6,5 ⋅ 10

−4

−3

Lт ) − 6,5 exp(1,4 ⋅ 10 Gт ),

Т 2 Б = −0,3 + 10,0 exp(0,0303T0 ) + 3,9 exp(0,0206Tп ) + + 1,7 exp(6,5 ⋅ 10

−4

−3

Lт ) − 1,8 exp(1,4 ⋅ 10 Gт ),

(5.153)

(5.154)

где Т 0 – температура воздуха перед ВМП; Lт – длина тупиковой выработки; Gт – средний расход воздуха в ней. Корреляции описываемой структуры были получены также: для температуры воздуха на выходе из призабойной зоны (при комбайновой и буровзрывной проходке); температуры воздуха на выходе из тупиковой выработки; температуры воздуха в пункте расположения воздухоохладителя и др. [140].

Глава 21. Регулирование теплового режима. Методы регулирования теплового режима шахт и рудников делят на две группы: горнотехнические и теплотехнические [148]. Первые предполагают, что уменьшение роста температуры рудничного воздуха осуществляется за счёт определенных изменений в технике и технологии ведения горных работ. Вторые предполагают использование специальных систем и средств 384

охлаждения воздуха (или массива). При этом используются математические модели двух видов: моделирующие процессы в выработках с охлаждением воздуха и моделирующие работу собственно охлаждающих устройств и систем.

§63. Горнотехнические методы К ним относятся [2,4,12,148,149]: улучшение проветривания выемочных участков (применением рациональных схем вскрытия и вентиляции, увеличением расхода воздуха, обособленным проветриванием машинных камер и др.); осушение воздухоподающих выработок (устранением капежа, отводом воды по изолированным канавкам и др.); уменьшение тепловыделения горного массива (теплоизоляцией стенок выработок); уменьшение тепловыделения от окислительных процессов (снижением запыленности стенок выработок, их специальными покрытиями, заменой деревянной крепи на другие виды её, орошением ископаемого в вагонетках и на конвейере специальными составами); снижение тепловыделения от местных источников тепла (сокращением времени нахождения ископаемого в выработке, окожушиванием конвейеров и заменой их на теплоизолированные вагонетки, переводом рудничного транспорта на вентиляционный горизонт и др.); уменьшение нагрева вентиляционной струи трубопроводами со сжатым воздухом (охлаждением трубопроводов или переносом их в вентиляционный ствол и выработки вентиляционного горизонта). Горнотехнические методы экономичнее теплотехнических при рациональном их использовании, что требует проведения вариантных тепловых расчётов выработок. Для этого, в большинстве случаев, достаточны методы расчёта, основанные на ранее рассмотренных моделях [1,4,9,10,22,44,45]. При моделировании таких горнотехнических методов как теплоизоляция стенок выработок [4,10,150,151] и нанесение на них специальных антиокислительных покрытий [59,152], используются некоторые из моделей теплопереноса в неоднородных горных массивах (гл.4, п. 4.3.1). Такой, в частности, является [153] двухслойная модель системы "теплоизоляция-массив" ((4.95) ÷ (4.97)), более строгая, чем известные ранее, но основанные на понятии о коэффициенте теплопередачи теплоизоляции (что справедливо только для стационарных температурных полей) модели [150,151]. Двухслойная модель системы "антиокислитель-ное покрытие – массив" была предложена в [154], где конечные формулы весьма громоздки. Расчёты теплового режима лав на крутом падении и выработок вентиляционных горизонтов глубоких шахт при планировании горнотехнических мероприятий по нормализации тепловых условий в них, осуществлялись по близким к рассмотренным, но относительно недавно предложенным методам [15,44,45, 69,72÷74,82,83,155]. В последние десятилетия предлагаются, проектируются и испытываются новые виды горнотехнических методов регулирования теплового режима [156÷158]: 1) проходка с поверхности до основного горизонта скважин большого диаметра (1,2÷4,0 м) – воздухоподающих и вентиляционных; 2) использо-

385

вание теплообменных выработок с активными теплопередающими элементами, вмонтированными в крепь (низкотемпературные тепловые и вихревые трубы, термоэлектрические устройства); 3) пассивная теплозащита выработок (созданием статических воздушных элементов в оболочках – бетонной и металлической крепи); 4) системы тепло- и холодоаккумуляции. Математическое моделирование процессов теплопереноса в этих системах находится в начале своего развития.

§64. Теплотехнические методы Будучи более универсальными, эти методы требуют солидных капитальных и эксплуатационных затрат, наличия обслуживающего персонала [148]. Мощность холодильного оборудования на глубоких шахтах и рудниках во всём мире возрастает [8,11÷13,148], что требует развития методов математического моделирования процессов кондиционирования рудничного воздуха и работы различных охлаждающих устройств с целью оптимизации средств и систем регулирования шахтного микроклимата. Известные модели процессов теплопереноса в охлаждаемых выработках не содержат принципиальных отличий по сравнению с ранее рассмотренными. Отличия проявляются в значениях ряда параметров УТБ ( K τ , K т , Т в1, ϕ1,ϕ2 ). При тепловых расчётах систем кондиционирования (что обычно осуществляется после прогнозных расчётов), решение УТБ получают относительно Т в1, считая Т в 2 заданным (нормируемым). Говорят об "обратных тепловых расчётах", при которых цепь выработок просчитывается в направлении, обратном ходу вентиляционной струи. Затем определяется холодопотребность выработок, т.е. величина теплосодержания вентиляционного воздуха, которое необходимо у него изъять, чтобы обеспечить требуемые его параметры. Холодопроизводительность охлаждающего устройства (воздухоохладителя) – его холодильная мощность, которая, в принципе, обеспечивает холодопотребность выработки. Эта величина легко находится из баланса энтальпии в воздухоохладителе, при задании параметров охлажденного в нём воздуха (выходных параметров). Рассмотрим некоторые из работ, посвящённых тепловым расчётам выработок при охлаждении в них воздуха [29,42,46,159÷167]. Охлаждение воздуха в лавах глубоких шахт осуществляется двумя способами [159]: 1) подача холодного воздуха по воздуховоду в несколько пунктов лавы или распределённая раздача его по всей длине лавы; 2) ступенчатое охлаждение несколькими теплообменниками или непрерывное охлаждение воздуха по всей длине лавы (охлаждающим трубопроводом). Для случая распределенной подачи холодного воздуха по длине лавы УТБ (5.97) несколько модифицируется. Член в правой части, описывающий теплопотери к "холодному" трубопроводу заменяется на выражение

386

− g[C р (Tв ( у ) − Т в′ ) + r (x − x′ )] d y,

(5.155)

в котором g – расход холодного воздуха с температурой Т в′ и влагосодержанием x′ . В зависимости от способа аппроксимации величин x и x′ , уравнение (5.97), содержащее в правой части "сток" тепла (5.155), приводится к одному из ранее встречавшихся видов дифференциального (первого порядка) УТБ, общее выражение которого имеет вид второго из уравнений (5.94). При ступенчатом охлаждении воздуха, лава разбивается на несколько участков (по числу воздухоохладителей), температуры воздуха на которых определяются обычными методами. При наличии "холодного" трубопровода – это использование УТБ (5.97). В этом уравнении в левой части присутствует расход воздуха G , который считается постоянным даже в случае притечек в лаву холодного воздуха с дебитом g (5.155), т.е. неявно предполагается, что g << G. Для снятия этого ограничения и учёта переменности расхода воздуха вдоль лавы (за счёт притечек холодного воздуха), в [46] было модифицировано уравнение (5.97), в котором было принято, что

G = G ( y ) = G + gy;

Т п → Т п′ = Т п − σy sin ψ.

Второе из соотношений, учтённое в (5.97), позволяет рассчитывать температуры и в лавах наклонных пластов. В итоге УТБ было представлено в виде (5.128), из которого, при перепаде температур в лаве

ΔТ в = Т в 2 − Т в1 > 10o C, что учитывалось используемой аппроксимацией

влагосодержания, было получено уравнение вида (5.121). Для лав крутого o

o

падения для случаев ΔТ в ≤ 10 C и ΔТ в > 10 C уравнения, соответственно, имели вид (5.128) (при C → C1 ± C2 y ) и (5.121). Изучению тепломассообменных процессов в охлаждаемых выработках посвящены работы [160÷162]. Экспериментально найденные значения коэффициента интенсификации теплообмена ψβ (см. гл. 4, (4.17), (4.18)) изменялись в диапазоне 2,3= ψβ =5,83 [160]. В УТБ вместо K τ подставлялось K τβ = ψβ K τ [161]. В итоге УТБ имело вид (5.106) и было решено в виде:

Т в2 =

С ⎛ С⎞ + ⎜ Т в1 − ⎟ exp(− BL), В ⎝ В⎠

B, C = const,

(5.156)

где L – длина выработки. Постоянные B и C выражались через параметры уравнения:

B=

K τψβV GC р

,

C = BTп −

rΔd ΣQм + . C р L GC р L

387

Из (5.156) было найдено L = L(Tв1, Tв 2 , В, С ). При Tв1 – температуре воздуха после воздухоохладителя и Tв 2 – заданной (нормированной) температуре воздуха на входе в лаву, эта формула для L позволяет найти Lпр – предельное удаление воздухоохладителя от лавы [161]. Для протяжённых выработок, где ψβ изменяется, принимая значения ψβi на i -м участке ( i = 1, n ),

рекомендуется в УТБ использовать средневзвешенное значение ψβ [162]: −1

⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ψβ = Σ ψβi ΔTвi Σ ΔTвi ⎟ , ⎜ i =1 ⎟⎜ i =1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

K τβ = ψβ K τ .

Для сравнительной оценки схем холодоснабжения выемочных участков и лав глубоких шахт (местное, ступенчатое и равномерно-рассредоточенное охлаждение) была предложена [163] модель с УТБ, содержащим в правой части (где выписываются источники тепла) функцию теплоотвода – сток тепла

Qохл ( у ) : d Tв + ATв ( y ) = B − Qохл ( у ). dy

(5.157)

Функция Qохл ( у ) обозначает удельное количество тепла, отводимого системой охлаждения от шахтного воздуха. При местном охлаждении воздуха перед входом в лаву ( у = 0 ):

Qохл ( у ) = Qохл δ( у ), где δ( у ) – дельта – функция Дирака. При ступенчатом охлаждении воздуха в лаве:

Q Qохл ( у ) = 0 N

N −1

Σ

KL ⎞ ⎛ δ⎜ y − ⎟, N ⎠ ⎝ K =0

где L – длина лавы; N – количество равноудаленных друг от друга лавных воздухоохладителей. При равномерно-рассредоточенном охлаждении воздуха вдоль лавы:

Q Qохл ( у ) = 0 . L В этих формулах Q0 – общая холодопроизводительность всех средств охлаждения в лаве:

388

L

∫

Q0 = Qохл ( у ) d y. 0

Для всех случаев решение (5.157) не представляло затруднений, что позволило установить оптимальную по минимизации затрат холодильной мощности схему холодоснабжения – с равномерно-распределенным охлаждением воздуха [163]. При тепловых расчётах охлаждаемых тупиковых выработок также применяются традиционные либо несколько модернизированные модели. Основное внимание уделяется определению холодопотребности тупиковых выработок при их проходке [164,165]. Статистический прогноз холодопотребности тупиковых выработок, основанный на имитационном моделировании, был предложен в [166]. Обсуждаемый в последнее время метод регулирования теплового режима выработок с помощью сжатого воздуха, является хотя специфическим, но также теплотехническим методом. При частичном или полном проветривании выработки сжатым воздухом [167]: 1) невозможно задать ϕ2 (ввиду низкого влагосодержания его и отсутствия данных), что требует привлечения УБВ; 2) тепловой баланс расчётного участка выработки должен включать члены, описывающие дросселирование сжатого воздуха и дополнительное влагоиспарение с поверхностей стенок; 3) последнее необходимо также учитывать при определении теплопритоков из массива. Предложенная модель процесса [167] является, по всей видимости, первой в этой области; она сформулирована как система трёх алгебраических балансовых уравнений: тепла в вентиляционной струе, тепла расширяющегося сжатого воздуха и влаги в выработке. Ввиду использования нелинейной аппроксимации парциального давления паров воды, система была решена численно. Сделан вывод об эффективности этого метода охлаждения воздуха.

§65. Охлаждающие устройства К ним относим все технические средства регулирования температуры рудничного воздуха (кроме калориферов): поверхностные и подземные холодильные машины, водои воздухоохладители, передвижные кондиционеры, теплообменники, воздуховоды с холодным воздухом и др. [2,4,12,46]. Поскольку естественной базой для разработки шахтного холодильного оборудования является таковое общепромышленного назначения, методологии моделирования и расчёта их близки. В широком обзоре работ по конвективному тепломассообмену влажного воздуха в охлаждающих устройствах [2] излагаются результаты работ Л.Д. Бермана, А.В. Болгарского, А.А. Гоголина, Н.М. Жаворонкова, Р.М. Ладыженского, Л.М. Кудряшова, А.В. Нестеренко и других. Ими получены критериальные зависимости для коэффициентов тепло- и массообмена, позволяющие

389

осуществлять инженерный расчёт этих устройств. Исследования тепломассообменных и режимных параметров, используемых при моделировании шахтных охлаждающих устройств, проводились А.Н. Щербанём, О.А. Кремнёвым, В.Я. Журавленко, А.Н. Ягельским, Н.Н. Хохотвой, В.Н. Кефером, В.К. Черниченко, М.В. Юцкевичем, Ю.А. Цейтлиным, Б.И. Медведевым, Г.В. Авериным и др. [2,4,12,46,168÷177]. Стационарные и передвижные холодильные машины и их периферические устройства охлаждают рудничный воздух по всей выработке или её части (при ступенчатом охлаждении). Это – дорогостоящий и недостаточно эффективный способ. С 70-х годов прошлого века стали разрабатываться и испытываться локальные средства охлаждения: душирующие устройства, подающие охлаждённый воздух в призабойную часть тупиковой выработки или в участок лавы [12], охлаждаемые элементы забойного оборудования [178], средства индивидуальной противотепловой защиты горнорабочих [179÷181]. Далее рассматриваются некоторые математические модели теплопереноса в различных охлаждающих устройствах. Модели тепло- и массопереноса в воздухоохладителях в парадигме шахтной теплофизики предшествовали моделям тепломассопереноса в выработках, во многом предопределив (к сожалению – см. п. 5.4.3) вид последних. Используются дифференциальные балансовые (стационарные) уравнения [2,46]. Уменьшение (отсюда – знак "−") энтальпии воздуха в контактном теплообменнике равно сумме отводимого от него "явного" и "скрытого" тепла [46]:

− (GC р d t + Gr dx) = α v F (t ( y ) − t x ) d y + β v F ( P( y ) − Px ) d y, (5.158) где G – расход влажного воздуха; d t и dx – приращение температуры и влагосодержания воздуха в элементе аппарата с объёмом F d y ; F – площадь сечения аппарата; t ( y ), P ( y ) – температура и парциальное давление паров воды на расстоянии y от входа в аппарат; α v , β v – эмпирические объёмные коэффициенты тепло- и массообмена. Уравнение (5.158) решалось при предположениях: 1) относительная влажность охлаждаемого воздуха ≅ 1,0; 2) давление насыщенных паров в интервале температур 5,0÷30,0°С линейно зависит от температуры воздуха; 3) температура охлаждающей воды меняется незначительно, так что можно оперировать её средним значением; 4) параметры α v , β v , C р , r – постоянны по всему объему воздухоохладителя; 5) парци-альное давление сухой части воздуха изменяется незначительно, так что может быть принято: Pв = В − Рпср = const . С учётом этих предположений, (5.158) приводится (относительно t ( y ) ) к виду (5.106), где:

⎛ α v + nβ v ⎞ B=⎜ ~ ⎟⎟ F ; С = Вt x ; ⎜ G (C р + rA )⎠ ⎝ 390

0,623n ~ ; A= B − Pпср

n – коэффициент линейной аппроксимации давления насыщенных паров. В случае, когда относительная влажность охлаждаемого воздуха не равна 1,0, а изменяется в воздухоохладителе от ϕ1 до ϕ2 = 1,0 линейно по координате у , уравнение (5.158) приводится к виду:

d t ( y) + ( A + By )t ( y ) = C + Dу, dy

(5.159)

где A, B, C , D – постоянные, составленные из параметров (5.158). Для ϕ1 ≅ 1,0,

но нелинейной функции Рпн = Рпн (t ) (квадратичной или экспоненциальной) уравнение (5.159) усложняется, но по-прежнему допускает разделение переменных, т.е. аналитическое решение. Численные расчёты показали, что погрешность расчётов, вносимая линейной аппроксимацией Рпн (t ) , не играет существенной роли. Тепломасообменные процессы в водоохладителях испарительного типа, направлены "противоположно" по отношению к этим процессам в воздухоохладителях [2]. Нагретая вода (содержащая тепло, выделенное холодильной установкой) подаётся равномерно по длине водоохладителя и охлаждается влагонасыщенным воздухом вентиляционной выработки. Принимается линейная аппроксимация давления насыщенных паров по температуре. УТБ в элементе водоохладителя:

GвСв

Δtвод L

d y = GC p d t + Gr dx,

(5.160)

где Gв , Св – расход и теплоёмкость воды; L – длина аппарата; Δtвод – снижение температуры воды в элементе аппарата; G – расход воздуха. Правая часть (5.160) – изменение энтальпии воздуха в элементе d y аппарата. Её выражение через "сухие" и "влажные" потоки тепла имеет вид:

Δt ⎞ ⎤ ⎡⎛ GC p d t + Gr dx = α v F ⎢⎜⎜ t т − вод ⎟⎟ − tп ⎥ d y + 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝

ΔР ⎞ ⎡⎛ ⎤ +β v F ⎢⎜ Pт − ⎟ − Рп ⎥ d y , 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦

(5.161)

где t т , tп – температуры поступающих в аппарат теплой воды и воздуха; Pт , Рп , ΔР – соответственно парциальное давление паров теплой воды, паров воздуха, снижение давления паров над поверхностью воды. Подстановка Δtвод из (5.160) в (5.161) и замена насыщенного давления аппроксимирующим выражением приводит к уравнению относительно температуры воздуха в водоохладителе типа (5.106), в котором:

391

B=

Б (α + nβ v ) F L ~ ; С = Вt т ; Б = v ; В = (С р + rA); ~ 1 1 + БВ1 ρrCв G (C р + rA)

~ ρ = Gв / G – степень орошения; A – совпадает с приведенным ранее; L –

длина аппарата. Пересчёт от найденной таким образом температуры воздуха к температуре воды осуществляется по формуле:

Δtвод =

L ~ dt (С р + rA) , ρCв dy

интегрирование которой по y от 0 до L даёт среднюю величину охлаждения воды аппаратом [2]. Расчёт лавных воздухоохладителей базируется на балансах: влаги в охлаждаемом воздухе; энтальпии воздуха; тепла на теплообменной поверхности. Соответствующие уравнения [46]:

⎫ G dx = −β p ( P − Pп′′ )Vп d y; ⎪⎪ GC р d t + Gr dx = −α(t − tп )Vп d y − β p r ( P − Pп′′)Vп d y;⎬ ⎪ K в (tп − tв ) = α(t − tп ) + β r r ( P − Pп′′). ⎪⎭

(5.162)

Здесь: β p – коэффициент массообмена; P, Pп′′ – парциальные давления пара в воздухе и насыщенное; Vп – периметр поверхности теплообмена; tп – температура этой поверхности; t, tв – температуры воздуха и охлаждаемой воды; K в – коэффициент теплопередачи от поверхности теплообмена к воде

(отнесённый к наружной поверхности). При линейной аппроксимации Pп′′ по температуре и использовании соотношения

GвСв d tв = K в (tп − tв )Vп d y, система балансовых уравнений (5.162) была приведена к виду:

⎫ dt = A1t + B1tв + С1Р + D1; ⎪ dy ⎪ ⎪ d tв = A2t + B2tв + С2 Р + D2 ;⎬ dy ⎪ ⎪ dР = A3t + B3tв + С3 Р + D3. ⎪ dy ⎭ 392

(5.163)

Постоянные Ai , Bi , Ci , Di (i = 1,3) составлены из параметров уравнений (5.162). Решение системы (5.163) было найдено путём сведения её к одному дифференциальному уравнению 3-го порядка по t [46]. Система кондиционирования воздуха со стационарными холодильными агрегатами была рассмотрена Ю.А. Цейтлиным [173]. Для оптимизации термодинамических режимов работы элементов системы кондиционирования воздуха шахты (СКВШ) определялись их характеристики – зависимости холодильной (тепловой) мощности, подводимой или отводимой от холодоносителя в данном элементе от его начальной или конечной температуры при постоянстве расхода сред, участвующих в теплообмене. Характеристика воздухоохладителя (ВО) – его полезная холодильная мощность. Анализ выражений для её составляющих показал, что она может быть, в итоге, выражена зависимостью Q = A − Bt w 1 , где: A = aQ0 ; B = bQ0 ; Q0 – приведенная холодильная мощность при фиксированном наборе параметров; а, b – эмпирические коэффициенты, одинаковые для всего семейства ВО; t w 1 – начальная температура охлаждающей воды в ВО. Такая линеаризация характеристики (по t w 1 ) даёт, как показывают оценки, погрешность ≅ 3% [173]. Характеристика подземной системы распределения хладоносителя (ПСРХ) – это зависимость необходимой холодильной мощности, которую требуется подвести к ПСРХ, от начальной температуры воды. Для выделенного фрагмента ПСРХ такая характеристика может быть представлена в виде Qф = Аф − Вфt w п , где Аф , Вф = const, а t w п – температура в прямой ветви трубопровода фрагмента. На основе характеристик отдельных фрагментов находится характеристика ПСРХ в целом, также линейная по температуре. Аналогичные характеристики, полученные линеаризацией балансовых соотношений, установлены и для других элементов СКВШ. Совокупность этих характеристик – линейных соотношений, связывающих холодильные мощности элементов с температурами в них холодоносителя, предлагается рассматривать как математическую модель СКВШ, реализуемую, ввиду большого количества уравнений, на ЭВМ. Вариантом реализации метода локального охлаждения является механизированная крепь со встроенными в неё охлаждающими элементами, отводящими тепло от массива и воздуха [178]. Принятая при построении математической модели схематизация процесса такова. Перекрытие мехкрепи трактуется как эквивалентное термическое сопротивление, именуемое "крепь". Горный массив представлен полуограниченным телом, соприкасающимся с крепью. Нижняя часть крепи поддерживается при температуре t0 . "Крепь"

передвигается вдоль забоя согласно закона движения x1 = x1 ( τ), задаваемого ступенчатой функцией. Температурное поле в массиве описывается одномерным однородным уравнением, t = t ( y, τ), где y – координата, направленная нормально линии забоя. На границе массив-крепь ( y = 0 )

393

задаётся граничное условие III-го рода с α = λ/ δ, tв = t0 ( λ, δ – теплопроводность и толщина слоя "крепи"). При равномерном движении "крепи" вдоль линии забоя со скоростью ( ϑ x = const, x1 = ϑ x τ ), переход к подвижной системе координат позволил уравнение теплопроводности в массиве записать в виде:

∂t ∂t ∂ 2t + ωx = a 2 , τ > 0, ∂τ ∂x′ ∂y

y ∈ (0, ∞),

x / ∈ (0, L),

где x′ = x − ω x τ; а – температуропроводность массива. Для потока тепла из

массива к охлаждаемой крепи q = λ (∂t / ∂y ) y = 0 , было получено аналитиче-

ское выражение, однако результаты конкретных расчётов по нему не приводятся [178]. Математическая модель кондуктивного теплосъёма (панелями из трубок с охлаждаемой водой) рассматривалась в связи разработкой противотепловых средств индивидуальной защиты (СИЗ) горнорабочих [179,180]. Такие СИЗ начали разрабатываться для горноспасателей [181] и горнорабочих на основе опыта, накопленного к 70-м годам в авиации и космонавтике [182]. Предложенная биотепловая модель рассматривала тело человека как двухслойный цилиндр, покрытый панелью из трубок с циркулирующей холодной водой. Краевая задача для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности решалась методами усреднения и функций Грина. Найдено аналитическое решение, получены формулы для температуры и потока тепла в "оболочке" биотепловой модели (слое "кожа – подкожная ткань"). Режимы физического труда горнорабочего моделировались переменной функцией теплогенерации организма. Получена формула для определения температуры хлодоносителя в зависимости от режима труда и плотности покрытия кожи трубками с водой, обеспечивающей температурный комфорт (по критерию нулевого теплонакопления в организме горнорабочего за период работы). Сравнение результатов расчётов температуры хлодоносителя с экспериментальными данными [183] показало их хорошее согласование.

Глава 22. Развитие моделей теплопереноса §66. Модернизированные модели. Парадигма моделирования процессов теплопереноса в горных выработках, в основных чертах оформившаяся в 60-70-е годы [1,2,4,5,8÷10,22] и сохраняющаяся практически неизменной и в последние десятилетия XX-го века [46,148], в то же время развивалась по следующим направлениям: 1) модели для выработок с переменным по длине расходом воздуха (притечки и утечки воздуха в другие выработки, выработанные пространства, воздухопроводы, 394

через перегородки) [122,126,127,184÷191]; 2) модели теплопереноса с модифицированными методами учёта массообменных процессов [192÷211]; 3) модели теплопереноса, основанные на уравнениях в частных производных (вместо алгебраических и дифференциальных УТБ) [212÷218]; 4) модели сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка" [1,42,56, 221÷231]. Два первых направления, непосредственно развивающих, модернизирующих существующую парадигму, назовём "модернизированными моделями" и рассмотрим в настоящем п. 5.4.1. Направления 3 и 4 объединяем и рассматриваем далее в п. 5.4.2 "Модели сопряженного теплопереноса". Переменный по длине выработки расход воздуха характерен для участковых выработок [72÷74,184÷186] и тупиковых [22,122,126,127,187]. В тупиковых выработках обычно рассматривают линейное по длине выработки (трубопровода) изменение расхода воздуха, полагая что расходы G1 в устье выработки и G2 на выходе из трубопровода связаны между собой:

G2 = G1 − Gут ,

⎛ 1⎞ Gут = G1⎜⎜1 − ⎟⎟ , ⎝ Р1 ⎠

(5.164)

где Gут – суммарный (по всей его длине) расход утечек из трубопровода (рассматривается нагнетательное проветривание тупика); Р1 = G1 / G2 – коэффициент утечек из трубопровода [187], определяемый для различных типов трубопроводов по таблицам [4,22,187]. В выработках сквозного проветривания притечки (утечки) воздуха из соседних выработок и выработанного пространства носят обычно зональный характер, т.е. проявляются на некотором участке выработки, за пределами которого быстро уменьшаются и исчезают. М.А. Патрушевым, Е.С. Драницыным и И.Н. Поповым установлено, что изменения расхода воздуха вдоль вентиляционных выработок (примыкающих к выработанному пространству) может быть описано эмпирической зависимостью вида [186]:

G ( y ) = Gуч − Gпр exp(−δy ) ,

(5.165)

где Gуч – расход воздуха на выемочном участке; Gпр – суммарный расход воздуха, притекающего в вентиляционный штрек через выработанное пространство; у – координата, отсчитываемая от конца лавы вдоль вентиляционной выработки; δ – эмпирическая постоянная, равная, для условий Донбасса, δ = 0,04÷0,05 (1/м) [185]. УТБ в вентиляционной выработке имеет, с учётом притечек воздуха, вид [185,186]:

K τV (Tп1 ± σ у − Т в ) d y + K тVт (θ т − Tв ) d y − K xVx (Tв − θ x )dy + ΔQАБС d y ± gG sin ψd y ± gy sin ψd G + C рTпр d G + r x пр d G = (5.166) L = C рG d Т в + C рТ в d G + rG dx + r xd G, 395

где слагаемые, отличные от ранее встречавшихся в УТБ, обусловлены учётом притоков воздуха с температурой Tпр из выработанного пространства и переменностью

расхода

G = G ( y ). Для Tпр

получены

расчётная

и

эмпирическая формулы. При линейном законе изменения влагосодержания вдоль вентиляционной выработки, (5.166) было приведено к виду:

d Tв + Ф1 ( у )Tв ( у ) = Ф 2 ( у ), dy

(5.167)

где Ф1 ( у ) и Ф 2 ( у ) – функции, связанные с (5.165) и имеющие достаточно простую структуру. Уравнение (5.167) было решено М.М. Пучковым [186], но полученная формула для Tв 2 = Tв ( L) имела достаточно сложный вид [44]. В связи с этим, Б.Б. Зельдиным была обоснована (расчётным путём) приближенная формула [188]. Она была представлена в виде, аналогичном стандартному [22] – для выработок с постоянным расходом. Учёт переменности расхода воздуха осуществлялся двумя основными способами: 1) при составлении алгебраических УТБ в них использовался параметр Gcp = 0,5(G1 + G2 ) [189]; 2) вывод дифференциальных УТБ с

G ( y ) – линейной функцией координаты [122]. В монографии [122] обобщены модели при переменном расходе воздуха в выработках сквозного проветривания и тупиковых, в отсутствие и при наличии кондиционирования воздуха. При отсутствии кондиционирования, УТБ выработки сквозного проветривания с линейным изменением расхода воздуха было приведено к виду:

С pG1 (1 − hy )

d Tв + M1Tв = M 2 y + M 3 , dy

(5.168)

где M i = const (i = 1,3); G1 – расход на входе в выработку; h = (1 − m) / L; m = G2 / G1; G2 – расход на выходе из выработки длиной L. Если имеется стационарная система кондиционирования (т.е. в выработке проложен трубопровод с хладоносителем), то при постоянном расходе модель теплопереноса представляет собой систему двух дифференциальных уравнений относительно температуры воздуха в выработке Tв ( у ) и температуры хладоносителя Tх ( у ) :

d Tв ⎫ + А1Tв ( у ) = В1Т х ( у ) + С1 + D1 у,⎪ dy ⎪ ⎬ dТх ⎪ + А2Tх ( у ) = В2Т в ( у ) + С2 . ⎪⎭ dy 396

(5.169)

Для тупиковых выработок с нагнетательными воздухопроводами УТБ для потоков воздуха, движущихся к забою (воздухопровод) и в обратном направлении (по выработке) имеют, соответственно, вид:

d T1 ⎫ + А1T1 = A2Т 2 + С1 ± D1 у , ⎪ dy ⎪ ⎬ d T2 (1 − hy ) + А2T2 = B2Т1 + С2 ± D2 у,⎪ ⎪⎭ dy (1 − hy )

(5.170)

где h – соответствует (5.168), остальные параметры – постоянные величины. Аналогичный вид имеют уравнения и в случае всасывающего трубопровода [122]. Обобщение метода учёта переменности расхода воздуха на УБВ было осуществлено в [190]. Итоговая система уравнений была близка к (5.100), отличалась от неё лишь наличием множителя (1 − hy ) при d Tв / d y и d P / d y. Дальнейшее обобщение моделей с переменным расходом воздуха заключалось в анализе "неплотных систем вентиляции" [122,199] и "многопотоковых" систем [101]. Рассматривалась выработка подземных сооружений недобычного профиля, вентилируемая несколькими трубопроводами или воздушными потоками, создаваемыми установлением в выработках перегородок. В [101], кроме того, описание массообменных процессов было усложнённым – с использованием нелинейных аппроксимаций влагосодержания и давления насыщенных паров. Это привело к весьма громоздким нелинейным уравнениям, потребовавшим численных методов решения. Принципиально новых подходов эти модели не содержат. Модели теплопереноса с модифицированными методами учёта массообменных процессов продолжают и развивают ранее рассмотренные известные методы, которые ещё раз кратко охарактеризуем. Первый метод А.Н. Щербаня и О.А. Кремнёва [1,4,22] состоит в выражении Δ x(dx) через Tв либо путем задания линейного закона изменения влагосодержания вдоль выработки, либо в задании такого же закона для ϕ . При этом используются линейная или квадратичная аппроксимация влагосодержания при насыщении воздуха парами по Tв или линейная аппроксимация по Tв давления насыщающих паров. Второй метод А.Н. Щербаня и О.А. Кремнёва [46,103] заключается в определении ϕ2 расчётом, для чего кроме УТБ используется и УБВ, где влагосодержание выражено через парциальное давление пара. В итоге получена система двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно Tв

Р (5.100), по ϕ2 = Р2 / Р2н (Т в ) .

и

решениям

которой

( Tв 2

и

Р2 )

определяется

Метод О.А. Кремнёва и В.Я. Журавленко [4,46,104]. Также используются балансы тепла и влаги. УТБ аналогично (5.97), УБВ имеет более сложный вид (5.101) и включает коэффициент нестационарного массообмена μ τ .

397

Относительная влажность выражается через потенциал влагопереноса в воздухе θ : ϕ = A + Bθ( A, B = const). Итоговая система двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно Tв и θ нелинейна. Метод В.А. Стукало и А.М. Гущина [192,193] предполагает испарение влаги локализованным на поверхности массива (на стенке выработки). В граничное условие III-го рода введён сток тепла, пропорциональный разности парциальных давлений пара на стенке и в воздушном потоке. Линейной аппроксимацией по температуре воздуха, выражение для стока тепла приводится к линейной функции температур воздуха и стенки, что позволяет свести граничное условие к "каноническому" виду, но относительно некоторых "эффективных" Tве и α е – температуры воздуха и коэффициента теплообмена. УТБ для выработки при этом учитывает только "явное" тепло, т.к. потери его на испарение влаги относятся целиком к массиву. Метод А.Ф. Воропаева [9,108] предполагает использование теплового коэффициента влагообмена А (5.104), позволяющего получить УТБ в простой форме (5.105), соответствующей, при A = 1,0, балансу "явного" тепла. Коэффициент A предполагается определять аналитически (5.108), для чего необходимо знать Tв 2 и ϕ2 . Это требует применения итерационных методов расчёта. В публикациях немецких авторов [5,87,109] используется коэффициент εt ≡ A, определяемый эмпирически. Метод Б.И. Медведева [107] можно назвать методом эффективной теплоёмкости влажного воздуха, определяемой по формуле Ce = d i / d Tв . УТБ при этом принимает вид (5.103), откуда следует связь Ce с коэффициентом A −1

А.Ф. Воропаева: Се = А С р . Метод использован для получения формул теплового расчёта цепи выработок [136,137]. Модели, развивающие (модернизирующие) вышеперечисленные методы, немногочисленны. Полагая недостатком 2-го метода А.Н. Щербаня и О.А. Кремнёва их допущение о том, что парциальное давление насыщенного пара вблизи стенки Рн w соответствует температуре по "сухому" термометру -

Рн w = РH w (Tc т ), авторы [194] рассмотрели вопрос более детально. Используя постулат термодинамики влажного воздуха о равенстве его энтальпий в одном состоянии, но вычисленных по температурам "сухого" и "мокрого" термометров i (Tв ) = i (Tвм ), они нашли:

Tвм = a1Tв + b1Рп + с1, Рн w = a2Tв + b2 Рп + c2 , ai , bi , ci = cons t , i = 1,2. Это позволило привести УТБ и УБВ к форме [103], но с другими коэффициентами. Решение системы двух линейных дифференциальных уравнений (вида (5.100)) было найдено в элементарных функциях. По решениям определяются х 2 и ϕ2 .

398

Полагая основной особенностью 2-го метода А.Н. Щербаня и О.А. Кремнёва и метода О.А. Кремнёва и В.Я. Журавленко использование двух отдельных балансов – по теплу и влаге, отвлекаясь от способа описания массообмена массива с воздухом (посредством коэффициента массообмена β р как в первом, или с помощью μ τ – как во втором), авторы [195] предложили единое балансовое уравнение – по энтальпии. Левая часть такого уравнения, должна, по их мнению, описывать изменение энтальпии воздуха, а правая – представлять собой сумму всех источников энтальпии в горной выработке:

G (C p d Tв + r dx) = d iп + d iт + d iв + d iтр + d ia = Σ d im ,

(5.171)

где индексы "п", "т", "в", "тр", "а" обозначают, соответственно: горные породы, транспортируемую горную массу, воду, трубопроводы, "абсолютные" источники тепла. Авторы [195] полагали, что уравнение (5.171), благодаря одновременному учёту всех источников энтальпии, является более корректным, чем ранее рассмотренные УТБ и УБВ. Покажем, что это не так. Если каждое из слагаемых в правой части (5.171) представить в виде: d im = d qcm + r dx m , где d qcm приращение "сухого" (явного) тепла за счёт m -го источника, а r dx m – приращение "скрытого" тепла, вызванное им, то вместо (5.171) получим:

(GC p d Tв − Σ d qcm ) + r (G dx − Σ dx m ) = 0. m

(5.172)

m

Здесь возможны 2 случая. В первом – выражения в скобках равняются нулю:

GC p d Tв = Σ d qcm ; m

G dx = Σ dx m ,

(5.173)

m

т.е. вместо (5.171) получены два независимых уравнения: баланса "сухого" тепла и баланса влаги. Это не соответствует методам А.Н. Щербаня и О.А. Кремнёва (2-й метод) и О.А. Кремнёва – В.Я. Журавленко, но соответствует методу В.А. Стукало и А.М. Гущина. Во втором случае – ни одно из выражений в скобках в (5.172) не равно нулю. Но тогда нарушается баланс влаги, что неприемлемо. Т.о. (5.171) не является новым уравнениям баланса и в случае (первом), когда оно справедливо, оно сводится к известным уравнениям. На основе многолетних шахтных исследований массообменных процессов, А.М. Криворучко выдвинул принцип раздельных балансов – по "сухому" и "мокрому" теплу, т.е. принял за основу уравнения (5.173) [196]. Предложено вести тепловой расчёт цепи выработок последовательно, разбив вентиляционный маршрут на участки. Приращения температуры и влагосодержания на каждом из участков определяются по (5.173):

399

Σ Δqcm

ΔТ в = m , Gc p

Σ Δ xm

Δx = m

G

.

(5.174)

Теплопритоки от горного массива задаются суммой – от мокрой части поверхности стенки ( Δqпм ) и от сухой части ( Δqпс ):

Δqп = Δqпм + Δqпс , Δqпм = K τм (Т п − Т в )VΔL ⋅ ηм , (5.175) V = Vм + Vс , ηм = Vм / V , Δqпс = K τc (Tп − Tв )VΔL(1 − ηм ). (5.176) Здесь: Vм ,Vс – "мокрая" и "сухая" части периметра сечения выработки; ΔL – длина расчётного участка; K τм , K τc – коэффициенты нестационарного теплообмена для мокрой и сухой частей поверхности. В соответствии с принципом раздельных балансов А.М. Криворучко, развивая метод В.А. Стукало и А.М. Гущина, В.А. Стукало предложил [197] УТБ по "сухому" теплу в алгебраической, а затем [198] и в дифференциальной форме. УТБ в алгебраической форме является аналогом первого из уравнений (5.173), его решение имело вид:

Т в 2 = [Т в1 (1 + Г) − Т ](1 − Г) −1,

(5.177)

где Г, Т – комплексы параметров УТБ, не содержащие никаких влагообменных характеристик. Относительная влажность в конце выработки ϕ2 была найдена из УБВ в алгебраической форме в предположении о линейном изменении ϕ вдоль выработки [197]: −1

⎧⎪ ⎡ 0,623n(T − ε) ⎫⎪ ⎡ 0,623n(T − ε) ⎤ ⎤ 1 в в2 ϕ2 = ⎨ϕ1 ⎢ − М ⎥ + N⎬⎢ + М⎥ , ⎪⎭ ⎢⎣ С р ( В2 − Рср ) ⎪⎩ ⎢⎣ С р ( В1 − Рср ) ⎥⎦ ⎥⎦ (5.178) где комплексы M и N содержат, наряду с параметрами УБВ, Tв1 и Tв 2 . УТБ для "явного" тепла в дифференциальной форме представляет собой конкретизацию первого из уравнений (5.173) и приведено к виду (5.115) [198]. На основе расчётного анализа, В.А. Стукало сделаны следующие выводы: 1) в первом методе А.Н. Щербаня и О.А. Кремнёва влияние задаваемого эмпирически параметра ϕ2

очень велико, что приводит к большим ΔTв 2 при умеренных Δϕ2 ; 2) получаемые значения Tв 2 занижены, т.к. предполагается, что всё тепло, идущее на испарение

влаги, отбирается от воздуха; 3) расчёт Tв 2 по (5.177) (УТБ в алгебраической форме) и по формуле, следующей из дифференциального УТБ, даёт близкие значения. Метод расчёта параметров влажного воздуха в горных выработках, основанный на раздельных балансах "явного" и "скры-того" тепла [196÷198] будем называть методом А.М. Криворучко − В.А. Стукало.

400

В качестве развития работ [192,193] может рассматриваться [199], где предполагается полное смачивание водой всей поверхности обнажения массива ("обводнённые" выработки). Из граничного условия III-го рода с учётом фазовых переходов влаги [192], определяется поток массы из массива к воздуху, что позволяет представить УБВ для "мокрой" выработки в виде [199]:

(G0 + ηy )

dx + A x( y ) = m + A x пр + mмо , dy

(5.179)

где G0 – расход воздуха на входе в выработку; η – суммарный коэффициент утечек и притечек воздуха; А – распределённый по длине приток воздуха с влагосодержанием xпр ; m – мощность распределённых источников влаги;

mмо – поток влаги, испаряющейся с единицы длины мокрой стенки выработки. УТБ имеет вид дифференциального баланса энтальпии, близкий к (5.179). Ю.А. Цейтлин с соавторами [200] также придерживался метода В.А. Стукало − А.М. Гущина, сочетая его с введением, как в [196], ηм . Этот коэффициент, определяемый коэффициента увлажнения эмпирически, ранее использовался не только А.М. Криворучко, но и рядом зарубежных исследователей [5,201,202]. Введение эквивалентной температуры стенки Т с : Т с = Т сс (1 − ηм ) + Т мсηм , позволило записать УТБ в дифференциальной форме (по Ю.Д. Дядькину [11], без K τ ) [200]:

Gc p d Tв = α(Т с − Т в )V d y − α т1 (Т в − Т т1 )Vт1 d y − − α т 2 (Т в − Т т 2 )Vт 2 d y ± Gg sin ψ d y.

(5.180)

Здесь (и ранее): Т сс , Т мс , Т т1, Т т 2 – соответственно температуры сухой и мокрой частей стенки выработки, наружных поверхностей прямого и обратного трубопроводов; α, α т1, α т 2 – коэффициенты теплообмена воздуха со стенками

выработки и трубопроводов; V ,Vт1,Vт 2 – соответствующие периметры. Модель теплового режима охлаждаемой выработки, кроме УТБ (5.180) содержит ещё УБВ в дифференциальной форме типа второго уравнения (5.173) и два УТБ для прямого и обратного трубопроводов, структурно аналогичных (5.180). Температура сухой части стенки определялась по [1], влажной – по [192]. Модель реализована на ЭВМ. Упрощение (линеаризация) метода О.А. Кремнёва и В.Я. Журавленко было осуществлено Ш.И. Ониани с сотрудниками [203,204]. УТБ и УБВ для выработок были использованы по [46,103]. Было осуществлено разбиение вентиляционного маршрута на участки малой длины l i , такой, что приращения температуры на них малы и не влияют на потенциал влагопереноса θ . Это позволило, решив УБВ, найти θi независимо от температуры, а для последней

401

получить уравнение, содержащее θi в качестве параметра. Решение этого уравнения для каждого из участков:

Ti +1 =

M ±K ⎛M ±K ⎞ −⎜ − Ti ⎟ exp(− H i +1 ( yi +1 − yi )), П ⎝ П ⎠

(5.181)

где Ti – температура в начале i -го расчётного участка; M , K , П – комплексы

параметров УТБ; yi − yi −1 – длина i -го участка; H i определяется по формуле −1

⎡ ⎛ θ ⎞⎤ r H i = П ⎢1 + Б1 exp⎜⎜ i −1 ⎟⎟⎥ , ⎢⎣ C р ⎝ RTi −1 ⎠⎥⎦ где Б1 = const; R – газовая постоянная; θi = RTi ln ϕi . Расчёт цепи выработок осуществлялся по (5.181) последовательно, начиная с i = 1. Одновременно определялись и все ϕi . Описанные ранее методы А.Ф. Воропаева и Б.И. Медведева фактически эквиваленты, однако оба незавершены, поскольку не опираются на −1

эмпирически определяемые А и Се = А С р . В основе эмпирического обобщения – определения статистической обработкой данных тепловых съёмок величин А для групп однотипных выработок, может лежать закономерность в соотношениях "явного" и "скрытого" тепла, известная в различных теплотехнических устройствах. В частности, Е.И. Андреевым показано, что в тепломассообменниках балансовые соотношения для пара и паровоздушной смеси, законы Фурье и Фика приводят к соотношениям [205]:

Lea =

σ Nu = , C pβ Nu D

Δd ΔТ ≅ , ΔТ max Δd max

(5.182)

где Lea – аналог соотношения Льюиса, содержащий вместо коэффициента теплообмена α коэффициент тепломассообмена (полного, с учётом массообмена, теплообмена) σ ; ΔТ , ΔТ max – средняя за процесс и максимальная разность температур на границах слоя насыщенного газа; Δd , Δd max – средняя и максимальная разность влагосодержаний газа на границе и в ядре его потока. Указанные приращения являются "поперечными", характерными для сечения потока. От них можно перейти к "продольным" приращениям ΔТ L , Δd L на отрезке длиной L пути потока. Запишем УТБ и УБВ простейшего вида для цилиндрического (с периметром V ) тепломассообменника

GC p ΔTL = σΔTmaxVL; GΔd L = β Δd maxVL. Исключив здесь VL , получим, с учётом (5.182):

402

(5.183)

Nu Δd L Δd L ΔТ L = Lea = . ΔТ max Δd max NuД Δd max

(5.184)

При Lea = Nu / Nu D ≅ 1,0 (приближенная аналогия тепло- и массообмена) из (5.184) и (5.182) следует:

ΔТ L ΔТ max ΔТ = = . Δd L Δd max Δd

(5.185)

Если (5.185) применить к горным выработкам, обозначив приращение "явного" и "скрытого" тепла через Δqявн и Δqскр , то получим: ⎡ GC p ΔTL Δqявн r ≡ А= = ⎢1 + Δqявн + Δqскр GC p ΔTL + Gr Δd L ⎢⎣ C p

⎛ Δd max ⎜ ⎝ ΔTmax

−1

⎞⎤ ⎟⎥ . ⎠ ⎥⎦

(5.186)

По представительной выборке данных тепловых съёмок в выработках сквозного проветривания и в тупиковых выработках можно, видимо установить статистической обработкой, эмпирическую "константу" – Δd max / ΔTmax . Тем самым, по (5.186), будет найдено соответствующее значение теплового коэффициента влагообмена – А. Исследования в этом направлении проводились ранее [5,206,207]. Для шахт Донбасса этот метод учёта массообменных процессов при тепловых расчётах выработок был предложен В.К. Черниченко [42, 208÷211], поэтому он может быть назван методом А.Ф. Воропаева – Б.И. Медведева – В.К. Черниченко (ВМЧ). Для реализации этого метода были подвергнуты статистической обработке результаты маршрутных тепловых съёмок на глубоких шахтах Донбасса, проводившихся МакНИИ. Обрабатываемые данные охватывали широкие диапазоны изменения горно-геологических, горно-технических и аэродинамических условий [210,211]. Определялись полные тепловые (g) и массовые (j) потоки к вентиляционному воздуху от горного массива и различных местных источников:

g = GΔi,

j = GΔ x,

g=

g = Δi , G

j =

J = Δx G

(5.187)

Для лав без охлаждения воздуха (141 замер) получено уравнение регрессии

g = 3.776 j − 0,41,

r = 0,97.

(5.188)

Для лав с охлаждением воздуха (56 замеров) вида:

g = 2,692 j + 5,1,

r = 0,94

(5.189)

Здесь r = 0,97 и r = 0,94 – коэффициенты корреляции соответствующих зависимостей. С использованием (5.188) и (5.189), УТБ и УБВ представлены были в виде:

403

di ⎫ + A1i + B1х = С1 − D1g 0 ( y ), ⎪ dy ⎪ ⎬ dx + A2i + B2 х = С2 − D2 j0 ( y ).⎪ ⎪⎭ dy

(5.190)

Здесь g 0 ( y ), j0 ( y ) – функции тепло- и массоотвода, моделирующие систему охлаждения воздуха. Обработкой данных 110 тепловых съёмок в 64-х тупиковых выработках 11 глубоких шахт [29] установлены корреляции [211]: 1) для призабойных зон без охлаждения воздуха

g = 2,650 j − 0,553,

r = 0,99;

(5.191)

g = 2,924 j + 2,713,

r = 0,884;

(5.192)

с охлаждением воздуха

2) для участков обратного хода вентиляционной струи без охлаждения воздуха

g = 2,821 j − 0,223,

r = 0,953;

(5.193)

с охлаждением воздуха

g = 2,984 j + 6,817,

r = 0,919.

(5.194)

При очевидной полезности найденных авторами [29,42,208ч211] корреляций, определить коэффициент А в явном виде им так и не удалось [211]. Этим, видимо, объясняется использование уравнений (5.190) при моделировании системы охлаждения воздуха в лаве, что противоречит основной идее метода ВМЧ: учесть массообменные процессы в УТБ коэффициентом А, определенным эмпирически, т.е. использовать не систему, а одно уравнение. Эта "незавершенность" метода ВМЧ будет в дальнейшем устранена.

§67. Модели сопряженного теплопереноса Рассмотрим предварительно модели теплопереноса в выработках, основанные на уравнениях в частных производных, что нетипично для шахтной теплофизики [212÷218]. Модель теплового режима лавы с равномерно - рассредоточенным охлаждением воздуха [212] базировалась на предположениях: 1) влажный рудничный воздух является бинарной системой "сухой воздух – водяной пар"; 2) лава считается бесконечным круговым цилиндром с радиусом сечения R0 ; 3) движение потока воздуха – установившееся, турбулентное с постоянной средней скоростью – W0 = G / S ( G – расход воздуха, S – площадь сечения); 4) на границе массива с потоком воздуха считаются

404

заданными функции J ст (τ) и qст (τ) (плотности потоков влаги и тепла соответственно); 5) диффузионный поток пара в поперечном сечении лавы намного превышает таковой в осевом направлении. На основании этих положений, уравнения массопереноса (паропереноса) и теплопереноса в выработке записаны в виде

⎛ ∂ρ ∂ρ ⎞ ∂ρ ⎞ 1 ∂ ⎛ ρ⎜⎜ 20 + W0 20 ⎟⎟ = ⎜ ρRDт 20 ⎟ + J , ∂R ⎠ ∂y ⎠ R ∂R ⎝ ⎝ ∂τ

(5.195)

⎛ ∂t ∂t ⎞ ∂t ⎞ 1 ∂ ⎛ ρС р ⎜⎜ + W0 ⎟⎟ = ⎜ Rλ т ⎟ + q. y R ∂ R ∂ R ∂ τ ∂ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

(5.196)

Здесь: ρ = ρ1 + ρ2 – плотность влажного воздуха; ρ1,ρ2 – плотности сухого

воздуха и пара; ρ20 = ρ2 / ρ ; Dт , λ т – коэффициенты турбулентной диффузии и теплопроводности; J , q – плотности источников пара и тепла в выработке. Поскольку

∂ρ ∂ρ20 ∂t ∂t = J ст (τ), λ = qст (τ), (5.197) = = 0, ρD 20 ∂R R = R0 ∂R R = R0 ∂R R = 0 ∂R R = 0 уравнения (5.195) и (5.196) после усреднения их по площади сечения принимают вид:

⎛ ∂ρ ∂ ρ ⎞ 2 Dт J ст (τ) + J , ρ ⎜⎜ 20 + W0 20 ⎟⎟ = y R D ∂ τ ∂ ⎠ ⎝ 0

(5.198)

⎛ ∂t ∂t ⎞ 2λ ρ C p ⎜⎜ + W0 ⎟⎟ = т qст (τ) + q. ∂y ⎠ R0λ ⎝ ∂τ

(5.199)

Здесь черта над величиной обозначает её усредненное значение, а D, λ – молекулярные коэффициенты диффузии и теплопроводности. Уравнения (5.198), (5.199) решались преобразованием Лапласа по τ . Нестационарные тепловые режимы выработок авторы [213] предложили анализировать на основе уравнения теплопереноса вида:

∂t ∂t ∂ 2t α Р +W =а 2 + (tст − t ), ∂τ ∂y ρ С S ∂y р

(5.200)

где, в отличие от (5.196), изначально осуществлено усреднение температуры по сечению выработки. Второй член в правой части (5.200) описывает теплообмен воздуха с горным массивом, соответствующий граничным условиям III-го рода ( α – коэффициент теплообмена; Р – периметр; S – площадь сечения выработки). Авторы приводят (5.200) к безразмерному виду и оценивают члены

405

уравнения

по

порядку

величины,

приняв

что:

R0

=

1,5

м;

температуропроводность воздуха a = 2⋅10−5 м2/с; скорость потока W = 1,0 м/с.

Поскольку Pe = 2 R0W / a = 1,5⋅10−5, кондуктивным теплопереносом по сравнению с конвективным можно пренебречь (т.е. опустить первый член в правой части (5.200)). Порядок первого члена в левой части, описывающего тепловую инерцию потока воздуха, определяется безразмерным числом Струхаля Sh = Wτ / 2 R0 . Если условие малости ∂t / ∂τ конкретизировать

требованиям Sh ≥ 100, то получим оценку τ* ≥ 300c = 5 мин. Т.о., при τ > τ* , член ∂t / ∂τ также может быть отброшен, т.е. тепловые нестационарные режимы с характерным периодом более 5-и минут могут рассматриваться как квазистационарные. Авторы [213] полагают, что описание нестационарных периодических режимов, связанных с суточными или сезонными колебаниями температуры атмосферного воздуха может быть, в связи с тем, что периоды этих колебаний существенно превышают τ* = 5 мин, осуществлено на основе (5.200), в котором первые члены обеих частей опущены, т.е., фактически. УТБ типа (5.106). Анализ быстропротекающих (аварийных) процессов может быть осуществлён на основе "усеченного" нестационарного уравнения (5.200):

∂t α Р ∂t +W = (tст − t ), ∂τ ∂y ρС р S

(5.201)

в котором правая часть может быть выражена через K τ (tп − t ) , или найдена из какой-либо модели охлаждения (нагревания) стенки выработки. Авторы [213] рассмотрели случай, когда на входе в выработку в начальный момент времени температура воздуха скачком возросла до tвх > tп , оставаясь далее постоянной. Воспользовавшись решением III-й краевой задачи для прогрева полупространства (что возможно для малых времён процесса) [219], они нашли для tст (τ) несколько первых членов разложения в ряд при малых τ . Подстановкой в (5.201) получено:

∂t ∂t ⎛⎜ α P ⎞⎟ ⎛⎜ α P ⎞⎟ ⎛ 2 ⎞ t= tвх ⎜ β τ − β2 τ ⎟, β = const . +W + ∂τ ∂y ⎜⎝ ρC p S ⎟⎠ ⎜⎝ ρC p S ⎟⎠ ⎝ π ⎠ (5.202) Оценка при средних значениях параметров показала, что приближение (5.202) справедливо для τ ≤ 10 часов. Авторы приходят к выводу о необходимости постановки и решения задач сопряженного теплопереноса в системе "массиввыработка". В отличие от изложенного подхода, авторы [214] полагали, что при описании теплопереноса в выработках, необходимо учитывать турбулентную структуру воздушного потока. Осреднённое и стационарное уравнение турбулентного теплопереноса было ими записано в виде:

406

ω

∂t a ∂ ⎡⎛ λ т ( R) ⎞ ∂t ⎤ = ⎜1 + ⎟ R ⎥, y ∈ (0, ∞), R ∈ (0, R0 ). ⎢ ∂y R ∂R ⎣⎝ λ ⎠ ∂R ⎦

(5.203)

Здесь ω – средняя скорость потока; λ т (R ) – турбулентная теплопроводность воздуха в выработке; λ, а – молекулярные тепло- и температуропроводность воздуха. Известные модели для λ т (R ) соответствуют условиям течения газа в гладких и шероховатых трубах и для "сверхшероховатых" горных выработок неприемлемы [217]. Поэтому λ т (R ) целесообразно определить из обратной задачи теплопереноса, на основе шахтных замеров. На основе [220], было принято [214]:

R λ т ( R) = Сξ(1 − ξ), ξ = , C = const . λ R0

(5.204)

Из приближенного решения (5.203) при t ( R0 , y ) = tст = const , полученного комбинацией преобразования Лапласа и метода БубноваГалёркина, было найдено:

С = 1,52 Nu = 0,03ε Re0,8 ,

(5.205)

где Nu – среднее по длине выработки число Нуссельта; ε – коэффициент шероховатости стенок ( ε = 1,3÷3,5). Среднее по сечению λ т (R ) − λ т и среднее

ν т (R) − ν т были найдены по (5.204): 1

λт λ т ( ξ) =2 ξ d ξ = α Re0,8 , λ λ

∫ 0

νт = 1,74α Re0,8 . ν

(5.206)

Поскольку существует аналогия в описании турбулентных тепло- и массопереноса, уравнение турбулентного паропереноса может быть записано в виде [215]:

ω

∂ρ D ∂ ⎡⎛ Dт ( R) ⎞ ∂ρ ⎤ = , ⎜1 + ⎟R ∂y R ∂R ⎢⎣⎝ D ⎠ ∂R ⎥⎦

y ∈ (0, ∞), R ∈ (0, R0 ). (5.207)

Здесь Dт ( R ) – коэффициенты турбулентной и молекулярной диффузии водяного пара; ρ = ρп / ρв = d /(1 + d ). Приближенное решение (5.207) при

ρ( y, R0 ) = ρст = const имеет вид, аналогичный решению (5.203). По данным

шахтных замеров, решив обратную задачу [215], авторы нашли коэффициенты турбулентной диффузии и теплопроводности водяного пара. Статистическая обработка данных по 70-и замерным участкам длиной 40÷100 м в высокопроизводительных лавах глубоких шахт Донбасса позволила найти корреляции:

407

С = 3,7 ⋅10 − 7 Re1,78 ; Сm = 0,059C ; r = 0,71; rm = 0,75. (5.208) Здесь С , Сm – параметры зависимости (5.204) и аналогичной ей для Dт ( R) / D ; r, rm – коэффициенты корреляции. Метод приближенного решения краевых задач для уравнений турбулентного тепло- и массопереноса (5.203), (5.207) в выработках был предложен Г.В. Авериным [216]. Он обоснован недостаточно, сопровождается весьма громоздкими выкладками и применён к задачам с постоянными граничными условиями I-го и II-го родов (случаи постоянства температур (концентраций) и потоков тепла (массы) на стенке горной выработки – неадекватные реальным условиям в шахтах). Известны также модели теплопереноса в выработке, где в силу малого пространственного размера области, в которой идёт процесс (метод "тепловой метки" измерения скорости воздуха), от турбулентной структуры потока отвлекаются. Процесс рассматривается как теплопроводность в среде, движущейся с постоянной скоростью [218]. Решение краевой задачи осуществлено методом функций Грина. Сопряженный теплоперенос в системе "массив-выработка" уже рассматривался в гл. 4 (п. 4.2.3). Несмотря на то, что сопряжённая постановка задач рекомендовалась ещё в середине прошлого века [1,56,221,222], модели, которые периодически предлагались, были "полусопряженными", т.е. включали в себя уравнение теплопроводности в массиве и УТБ в дифференциальной форме для выработки, при согласовании температур массива и воздуха граничными условиями III-го рода (вместо IV-го) или посредством K τ [1,46,54,56,78, 213,223÷225]. Как известно, именно наличие граничных условий IV рода является определяющим признаком сопряженной постановки краевых задач [122, 191,226, 227]. Попытки решения краевых задач сопряженного теплопереноса приводили либо к весьма громоздким выражениям [228÷230], либо напротив – к сильно упрощённым, что фактически обесценивало строгую постановку [231]. Модель сопряженного теплопереноса в лаве была сформулирована при предположениях [229]: 1) горный массив однороден и изотропен; 2) лава имеет форму неограниченного цилиндра; 3) начальная температура массива постоянна и равна tп ; 4) тепловой поток в массиве вдоль лавы мал по сравнению с потоком в плоскости сечения лавы; 5) поток воздуха в выработке турбулентный, стабилизированный. Теплоперенос в массиве описывался уравнением:

⎛ ∂ 2t s 1 ∂t s ⎞ ∂t s ⎟, τ > 0, = as ⎜ + 2 ⎜ ∂τ R ∂R ⎟⎠ ⎝ ∂R а в выработке – уравнением

408

R ∈ [R0 , ∞ ),

(5.209)

∂t ∂t a ∂ ⎡⎛ λ т ( R) ⎞ ∂t ⎤ + W ( R) = ⎜1 + ⎟ R ⎥, τ > 0, R ∈ [0, R0 ), (5.210) ⎢ ∂τ ∂y R ∂R ⎣⎝ λ ⎠ ∂R ⎦ Краевые условия к (5.209) и (5.210) имели вид:

t s τ = 0 = tп ; t τ = 0 = t1; t у = 0 = t1;

∂t = 0; ∂y y →∞

∂t = 0 ; (5.211) ∂R R = 0

∂t ∂t . (5.212) t s R → ∞ = t п ; t s ( R , τ ) R = R = t ( y , R , τ) R = R ; λ s s =λ 0 0 ∂R R = R0 ∂R R = R0 Эта постановка задачи содержит противоречие: из левых частей равенств (5.212) следует, что они зависят только от времени, т.е. одинаковы для всех у > 0 ; в то же время, правые части этих же равенств являются функциями двух переменных − у и τ . Решение задачи осуществлялось двукратным преобразованием Лапласа (по времени и продольной координате), сопровождалось рядом приближений (без оценок границ их применения и точности). Указанные недостатки в полной мере характерны для продолжения этой работы – определения коэффициента α для малых значений Fo [230].

§68. Парадигмальные артефакты Термин "артефакт" (латинск. происхожд.), обозначающий "искусственно созданный", "привнесённый", "не соответствующий реальности" – употребляется физиками, геофизиками, геологами для обозначения фактов, эффектов, теоретических конструкций, которые бытуя то или иное время в соответствующей парадигме, оказываются впоследствии, после более углубленного их анализа, ложными. В основе этих явлений обычно лежат добросовестные ошибки и заблуждения, некорректное использование аналогий. В отличие от ранее рассмотренных парадигм моделирования тепло- и массопереноса в массивах и массопереноса в выработках, где были отмечены пробелы (лакуны парадигмы), для устранения которых были сформулированы задачи развития этих парадигм, в парадигме теплопереноса в выработках имеются артефакты, т.е. методы моделирования процессов, которые несмотря на их распространённость [1,4,8,22,44÷46,148], ошибочны или неадекватны. Устранение этих артефактов из парадигмы моделирования теплопереноса в выработках означает не столько "развитие" её, сколько создание основ новой парадигмы. Если отвлечься от модернизированных и сопряженных моделей теплопереноса в выработках, предложенных в относительно недавний период, то основные положения существующей парадигмы сводятся к положениям: 1) уравнения теплопереноса в выработках – стационарные УТБ в алгебраической или дифференциальной форме; 2) теплопритоки из массива к вентиляционному воздуху учитываются в УТБ коэффициентами нестационарного теплообмена

409

K τ [22,44]; 3) влияние на теплоперенос массообменных процессов учитывается в УТБ записью его левой части в виде приращения энтальпии (суммы "явного" и "скрытого" тепла). Все эти положения, к сожалению, являются артефактами. Артефакт I – стационарные УТБ – ранее уже, в определенной мере, был признан существующим, поскольку: 1) отсутствует возможность моделирования нестационарных (в частности – быстропротекающих аварийных) режимов; 2) нет унификации (желательной, в силу аналогии процессов турбулентного тепло- и массопереноса) подходов к моделированию переноса тепла и массы, обеспечиваемой использованием уравнений в частных производных; 3) не соответствует сопряженной постановке задач теплопереноса в системе "массив-выработка", необходимость в которой отмечалась неоднократно. Артефакт II – коэффициенты нестационарного теплообмена K τ – также обсуждался в литературе. Отмечалось, что используемые K τ [1,4,22,44], полученные на основе простейших моделей теплопереноса в массиве, не адекватны реальным теплопритокам: 1) при тепловых расчётах лав, где замеренные K τ изменялись вдоль лавы, они были больше расчётных за счёт десорбции и расширения сжатого газа (метана) и процессов влагоиспарения; 2) при определении теплопритоков из массива, структура (однородность) которого нарушена проходкой выработки; 3) при расчётах переменных вдоль выработки и по времени температур, когда используются K τ , полученные из условий постоянства температуры воздуха во времени и вдоль выработки. Устранению артефактов I и II (хотя прямо об этом говорить не принято) фактически посвящены работы разных исследователей, которые идут по направлениям: 1) разрабатываются модернизированные модели теплопереноса – на основе уравнений в частных производных; 2) предпринимаются попытки постановки и решения сопряженных задач теплопереноса (большей частью – в "полусопряженной" постановке); 3) рассматриваются усложнённые модели теплопереноса в массивах и выработанных пространствах, на основе которых получают новые формулы для Kτ , в которых учтены (в той или иной мере) эффекты дегазации, окисления, массообмена, неоднородность и анизотропность реальных массивов. Отметим противоречие, складывающееся при этом, и заключающиеся в том, что последовательное и корректное решение проблемы моделирования сопряженного теплопереноса делает ненужным развитие методов определения новых K τ . Однако, поскольку, промежуточным этапом в определении K τ является решение краевой задачи теплопереноса при усложненной, приближенной к реальности модели горного массива, работы этого направления полезны, т.к. знание температурных полей в горных массивах необходимо для решения многих научных и практических задач, не связанных с прогнозом теплового режима выработок. Артефакт III – учёт в УТБ массообменных процессов – образовался, на наш взгляд, в результате того, что: 1) с начала развития шахтной теплофизики

410

[1,8,11,232], при составлении УТБ, потери тепла на испарение влаги относили, без обоснований этого, к рудничному воздуху; 2) использовалась (некорректно) аналогия с процессами тепломассообмена в воздухоохладителях, где введение энтальпии действительно было полезным (сравните (5.96) с (5.158)). Из выражения для изменения энтальпии

ΔJ = G (C p ΔTв + rΔx) = ΣΔQ,

(5.213)

справедливого при охлаждении влажного воздуха (при ΣΔQ < 0, как в воздухоохладителях), видно, что увлажнение его ( Δx > 0 ) при нагревании воздуха в выработке (когда ΣΔQ > 0 ) происходит за счёт теплосодержания струи ( ΔTв тем меньше, чем больше Δx ). Таким образом, для случая нагрева

воздуха (5.213) некорректно, оно занижает Tв 2 . Однако левая часть (5.213) до сих пор в неизменном виде переходит из работы в работу, оставаясь такой же (т.е. ошибочной) во многих модернизированных и сопряженных моделях [4,9,10,46,56, 99,101,122, 148]. Это тем более удивительно, что ещё Р.П. Коротковым [233] было замечено: "Есть все основания полагать, что только часть тепла, необходимого для испарения влаги, поглощается из воздуха. Это положение подтверждается экспериментальными исследованиями, выполненными инж. В.А. Богоявленским (ХГИ) в условиях глубоких действующих шахт" [233, с. 66]. Пытаясь устранить ошибку, вносимую в УТБ при записи его левой части в виде (5.213), А.М. Криворучко, а затем и В.А. Стукало впали в другую крайность – предложили в УТБ учитывать только "сухое" тепло, т.е. считать теплопотери на испарение влаги отнесенными только к горному массиву [196÷198]. Этот подход можно рассматривать как предельный (при А = 1,0) случай метода ВМЧ. Для увлажненных выработок и стволов считать А = 1,0 нельзя, т.к. некоторая часть тепла, идущего на испарение отбирается всё-же из воздуха. Для учёта этого обстоятельства мы предлагаем следующий, компромиссный подход – модификацию метода ВМЧ. ~ Используется коэффициент А , отличающийся от А тем, что определяется не формулой (5.104), в которой d qc кр = r d x, а формулами:

~ А=

d qявн , d qявн + d q~c кр

d q~c кр = ηв d qc кр = rηв d x,

(5.214)

x /d x – доля изменения влагосодержания воздуха за счёт его тепла где ηв = d ~ по отношению ко всему изменению влагосодержания ( d x ), обусловленному теплом горного массива и воздуха. Параметр ηв (ηв ∈ [0,1]) должен определяться эмпирически, на основе статистической отработки данных тепловых съёмок по группам однотипных выработок.

411

Глава 23. Парадигма моделирования теплопереноса в выработках §69. Системы В силу аналогии моделей массо- и теплопереноса в свободных и [2,46,212÷217], ограниченных турбулентных воздушных потоках моделируемые системы при исследовании теплопереноса должны совпадать с таковыми при массопереносе. Фактически же, в парадигме теплопереноса по выработкам, турбулентная структура потоков игнорируется, в УТБ используется только интегральный параметр – расход воздуха в выработке. Исключением являются работы Г.В. Аверина с соавторами [214÷217]. При технологических (штатных) тепловых режимах выработок, больших перепадов температуры в их сечениях нет, архимедовы силы не существенны и теплоперенос можно считать аналогичным массопереносу пассивной примеси. Поэтому нет необходимости в моделях анизотропного теплопереноса. Принятое разделение выработок на проветриваемые менее одного года и более, также излишне. Специфика выработок сквозного проветривания и тупиковых также исчезает при ликвидации Артефакта – I: тупиковым выработкам просто следует несколько (2,3, более) уравнений теплопереноса с переменным расходом воздуха. Нестационарные системы – выработки с переменными во времени параметрами (площадью и периметром сечения, характеристиками турбулентного переноса) в парадигме теплопереноса, как и в парадигме массопереноса, отсутствуют. Источники тепла в горных выработках (в отличие от источников массы) описаны достаточно подробно, что, однако, не устраняет задачу адаптации известных формул применительно к уравнениям в частных производных. Формулировка на их основе моделей теплопереноса для различных аэромеханических моделей потоков (что является задачей развития парадигмы массопереноса в выработках), устраняет артефакт – I. Следующий шаг, который возможен на этой основе – формулировка моделей сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка" – устраняет артефакт – II. Для устранения артефакта – III необходимо в уравнениях теплопереноса (в частных производных) учесть влияние массообменных процессов в массиве и в выработке.

§70. Процессы Всем рассмотренным в Части 3 процессам пассивного массопереноса можно поставить в соответствие процессы теплопереноса. В отличие от моделей массопереноса, в которых описание взаимосвязанных процессов один из возможных подходов, в моделях теплопереноса, поскольку они имеют дело с влажным воздухом (бинарная смесь сухой воздух-водяной пар), всегда рассматривается взаимосвязанный тепломассоперенос (кроме совершенно

412

"сухих" выработок без испарения и конденсации влаги, что является весьма редким исключением). В большинстве случаев этот процесс рассматривается на основе одного УТБ, в котором массообмен учитывается эмпирически. Известны и неординарные задачи – модели теплопереноса в которых наличиствуют и определяются две функции –потенциалы теплопереноса (температура) и массопереноса (потенциал θ или влагосодержание х ). В ходе устранения Артефакта – III должен быть сформулирован и обоснован единый метод учёта массообменных процессов в уравнениях теплопереноса для различных выработок и при различных режимах их проветривания.

§71. Модели Прежде всего, это аэродинамические модели (турбулентного потока с постоянным и переменным расходом и параметрами). Таких в парадигме шахтной теплофизики нет. Прямые и обратные задачи теплопереноса в горных выработках представлены, в основном, первыми. Исключением является небольшое число работ [78,214 ÷ 217]. Встречающийся в шахтной теплофизике термин "обратные тепловые расчёты" подразумевают тривиальное обращение формул, выражающих Т в 2 через Т в 1 . Размерность и форма моделируемых систем – термины, не адекватные парадигме теплопереноса в горных выработках, поскольку уравнение в частных производных не рассматриваются. Можно считать, что УТБ и УБВ одномерны и стационарны и не зависят от формы выработки. Ординарные и неординарные задачи – термин, который также применяется для уравнений в частных производных, а не балансовых (алгебраических или дифференциальных). В случаях использования вместе с УТБ и УБВ, можно, с определенной натяжкой, говорить о неординарной задаче тепломассопереноса в выработке. Характеризуя модели теплопереноса в выработках по остальным градациям, ограничимся следующим: 1) поскольку в выработках всегда есть источники тепла, уравнения теплопереноса (УТБ или в частных производных) – неоднородны; 2) т.к. рассматриваются малые перепады температур, лучистый теплообмен не существенен, изменения параметров с температурой мало и единственным источником нелинейности уравнение теплопереноса может быть только метод учета массообменных процессов. Обобщенные уравнения теплопереноса в парадигме теплопереноса по выработкам, в отличие от парадигмы массопереноса по ним, отсутствуют (поскольку нет предмета обобщения). Методы решения краевых задач отсутствуют по тем же причинам (исключение – метод, предложенный для частного вида уравнения теплопереноса в [217], который сомнителен).

413

§72. Развитие парадигмы. Развитие (по существу создание заново) парадигмы теплопереноса в горных выработках, должно, как следует из ранее сказанного, заключается в устранении 3-х артефактов, что требует решение 5-и групп задач по 8-и направлениям (Рис. 5.1). Некоторые из них уже приведены в §§ 38, 55.

Рис. 5.1. Схема развития парадигмы Задачи развития парадигмы выработках, согласно Рис. 5.1, таковы

моделирования

теплопереноса

в

По первому направлению 1,2,3 – соответствуют таковым в § 38. По второму направлению 4,5,6 – соответствуют таковым в § 38. По третьему направлению 7. Разработать модель одномерного нестационарного теплопереноса при постоянном расходе воздуха в выработке. 8. То же при переменном вдоль выработки расходе воздуха. 9. На основе задач 7 и 8 рассмотреть частные случаи – модели вытеснения. 10. Разработать модели двух- и трёхмерного нестационарного теплопереноса при граничных условиях I-го рода на стенках выработки для случая постоянного расхода воздуха.

414

11. 12. 13. 14. 15.

То же, при граничных условиях II-го рода. То же, при граничных условиях III-го рода. Решить задачу 10 при переменном вдоль выработки расходе воздуха. То же, для задачи 11. То же, для задачи 12.

По четвертому направлению 16. Решить задачу 7,8,9 при неоднородности системы (изменении параметров вдоль выработки). 17. Решить задачи 7,8,9 при нестационарности системы (изменение параметров во времени). 18. Рассмотреть задачи 7,8,9 при неоднородности и нестационарности системы. 19. Решить задачи 10,11,12 для неоднородных систем. 20. То же, для нестационарных систем. 21. То же, аналогично 18. 22. Решить задачи 12,14,15 для неоднородной системы. 23. То же, для нестационарной системы. 24. То же, для общего случая (аналогично 18). По пятому направлению 25. Сформулировать простейшую модель сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка". 26. Разработать метод решения и решить задачу 25. 27. Сформулировать обобщенную модель сопряженного теплопереноса. 28. Разработать метод решения и решить задачу 27. 29. Решить задачи 25÷28 для случая нестационарного массива. 30. То же, для нестационарной выработки. 31. То же, для нестационарных массивов и выработок. По шестому направлению 32. Сформулировать модель сопряженного теплопереноса в системе "массиввыработка" для случая неоднородного массива. 33. То же, для неоднородной выработки. 34. То же, для неоднородных массива и выработки. 35. Разработать методы решения задач 32÷34 и решить их. 36. Обобщить все предыдущие задачи шестого направления на случай нестационарности массива. 37. То же, для нестационарных выработок. По седьмому направлению 38. Разработать эмпирико-аналитический метод учёта массообменных процессов в задачах теплопереноса по горным выработкам. 39. То же, для сопряженных задач.

415

По восьмому направлению 40. Сформулировать основные типы обратных задач теплопереноса в горных выработках. 41. То же для сопряженных задач. постановку коэффициентных обратных задач 42. Детализировать теплопереноса по выработкам. 43. Разработать метод решения этих задач. 44. Решить задачи 42.

Литература к части 5 1.

Щербань А.Н., Кремнёв О.А. Научные основы расчёта и регулирования теплового режима глубоких шахт: В 2-х томах. – Киев: Изд-во АН УССР, 1959. – 430 с. 2. Щербань А.Н., Кремнёв О.А. Научные основы расчёта и регулирования теплового режима глубоких шахт: В 2-х томах. – Киев: Изд-во АН УССР, 1960. – т. 2 – 347 с. 3. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В. Тепловые съёмки и тепловой расчёт шахт и рудников. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977. − 88 с. 4. Щербань А.Н., Кремнёв О.А., Журавленко В.Я. Руководство по регулированию теплового режима шахт: Изд-во 3-е, перераб. и доп. – М.: Недра, 1977. – 359 с. 5. Шувалов Ю.В. Борьба с высокими температурами на каменноугольных шахтах ФРГ. – М.: ЦНИЭИуголь, 1973. – 59 с. 6. Кузин В.А., Хохотва Н.Н., Яковенко А.К. и др. Руководство по проведению тепловых съёмок в угольных шахтах. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1982. – 68 с. 7. Хохотва Н.Н., Кузин В.А., Яковенко А.К., Кондратенко И.И. К вопросу о тепловых съёмках в глубоких шахтах. – В кн.: Способы и средства создания безопасных условий труда в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1984, с. 121-125. 8. Дуганов Г.В., Баратов Э.И. Тепловой режим рудников. – М.: Госгортехиздат, 1963. – 144 с. 9. Воропаев А.Ф. Теория теплообмена рудничного воздуха и горных пород в глубоких шахтах. – М.: Недра, 1966. – 219 с. 10. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Тимофеевский В.С. Горная теплофизика (Регулирование теплового режима шахт и рудников). – Л.: Изд-во ЛГИ, 1976. – 96 с. 11. Дядькин Ю.Д. Борьба с высокими температурами в глубоких шахтах и рудниках. – М.: Углетехиздат, 1957. – 80 с. 12. Хохотва Н.Н., Яковенко А.К. Кондиционирование воздуха при строительстве глубоких шахт. – М.: Недра, 1985. – 184 с.

416

13. Шувалов Ю.В., Кузин В.А., Худяков А.Н. Опыт и совершенствование регулирования теплового режима шахт и рудников ФРГ. – М.: Изд-во ЦНТУ "Недра", 1990. – 51 с. 14. Грядущий Б.А. Исследование опасностей в угольных шахтах, разработка и реализация способов снижения их негативного воздействия. – Научн. докл. … д.т.н. – Днепропетровск: Горная Академия Украины, 1995. – 73 с. 15. Мартынов А.А. Прогноз теплового режима выемочных участков крутых угольных пластов Донбасса и способы его нормализации. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс. Изд-во МакНИИ, 1988. – 18 с. 16. Труды Семинара по горной теплотехнике, вып. 3. /Сб-к научн. работ. – Киев: Изд-во АН УССР, 1961. – 126 с. 17. Труды Семинара по горной теплотехнике, вып. 4. /Сб-к научн. работ. – Киев: Изд-во АН УССР, 1962. – 142 с. 18. Материалы Семинара по горной теплотехнике, вып. 5. /Сб-к научн. работ. – Киев: Изд-во Ин-та техн. информ., 1964. – 183 с. 19. Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 2. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1971. – 127 с. 20. Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 4. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1975. – 138 с. 21. Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 5. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1977. – 144 с. 22. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирования температурных условий в угольных шахтах. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1979. – 196 с. 23. Довгий А.Е., Яковенко А.К., Бодня С.Ф. Некоторые результаты исследований теплового режима в горных выработках и меры по повышению эффективности местного охлаждения воздуха в глубоких шахтах. – В кн.: [19], с. 37-43. 24. Топчиенко Б.И., Шинкевич А.Д., Крамаров А.С. Временное руководство по тепловому расчёту и улучшению тепловых условий в гидрошахтах Донбасса. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1965. – 31 с. 25. Величко А.Е. Временная инструкция по проверке количества воздуха для проветривания угольных шахт по тепловому фактору. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1972. – 46 с. 26. Кузин В.А., Хохотва Н.Н., Яковенко А.К., Бодня С.Ф. Методика теплового расчёта лав при повышенных нагрузках на очистные забои. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1976. – 50 с. 27. Баратов Э.И., Малашенко Э.Н. Вопросы прогноза и регулирования теплового режима гидрошахт. – В кн.: [17], с. 16-20. 28. Мясников А.А. Исследование климатических условий в гидрошахтах Кузбасса. – В кн.: [17], с. 21-24. 29. Аверин Г.В. Прогноз и нормализация теплового режима при комбайновом проведении тупиковых выработок угольных шахт. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1986. – 18 с. 30. Зимин Л.Б., Малашенко Э.Н., Крамаров А.С., Кузин В.А. Некоторые 417

31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.

39.

40. 41. 42. 43.

418

результаты исследований теплового режима тупиковых горных выработок. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-техн. совещания, Донецк, 1974. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1974. с. 54-55. Дядькин Ю.Д., Чемоданов Н.А. Исследования температурного режима шахты "Кайеркан" в зоне вечной мерзлоты. – В кн.: [18], с. 53-59. Войтковский К.Ф., Зильберборд А.Ф. Тепловой режим и устойчивость подземных выработок в мерзлых породах. – В кн.: [18], с. 49-53. Бойко И.В. Тепловой и влажностный режим воздуха в шахтах Воркуты и методы борьбы с обмерзанием вентиляционных путей. – В кн.: [18], с. 59-63. Зильберборд А.Ф. Тепловой режим угольных шахт в Якутской АССР и методы тепловых расчётов выработок в многолетнемерзлых горных породах. – В кн.: [18], с. 64-67. Кузин В.А., Яковенко А.К., Бодня С.Ф., Животов А.Н. Тепловые условия в лавах с высокими нагрузками на забой. – В кн.: [20], с. 23-29. Кузин В.А., Жиров А.А., Яковенко А.К. Характер изменения относительной влажности воздуха в лавах глубоких шахт Донбасса. – В кн.: [21], с. 51-54. Крамаров А.С., Бодня Н.С. Значения относительной влажности воздуха в тупиковых выработках. – В кн.: [21], с. 54-56. Хохотва Н.Н., Бузовская Л.М., Яковенко А.К. Построение многопараметрической модели влажности и её анализ применительно к условиям строящихся шахт. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьбы с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1983, с. 44-47. Стукало В.А., Тельной А.П., Пучков М.М. Исследование тепловыделения при конвейерной доставке ископаемого и учёт этого источника при прогнозе теплового режима глубоких шахт. – В кн.: [30], с. 56-57. Яковенко А.К., Бодня С.Ф. Тепловой режим глубоких стволов в период их проходки. – В кн.: [21], с. 22-27. Кузин В.А., Яковенко А.К., Осауленко И.Е. Исследование тепловых условий в лавах крутых пластов при различной технологии выемки. – В кн.: [21], с. 28-34. Яковенко А.К. Методы прогноза и нормализации тепловых условий в высокопроизводительных лавах глубоких угольных шахт. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985. – 18 с. Щербань А.Н. Состояние и перспективы научных исследований в области прогноза и регулирования теплового режима в глубоких шахтах. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-техн. совещ., Донецк, 1974. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1974, с. 3-5.

44. Кузин В.А., Пучков М.М., Венгеров И.Р. и др. Методика прогнозирования температурных условий в выработках вентиляционных горизонтов глубоких шахт. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1984. – 61 с. 45. Кузин В.А., Мартынов А.А., Яковенко А.К и др. Экспресс-методика прогнозирования температуры воздуха в выработках глубоких шахт Донбасса. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985. – 59 с. 46. Кремнёв О.А., Журавленко В.Я. Тепло- и массообмен в горном массиве и подземных сооружениях: Изд-е 2-е, доп. и исправл. – Киев: Наукова думка, 1986. – 342 с. 47. Кузин В.А., Венгеров И.Р. О коэффициенте нестационарного теплообмена при скачкообразном изменении температуры воздуха в горной выработке. – Доклады АН УССР, Сер. А, 1983, № 4, с. 81-83. 48. Венгеров И.Р. Метод пересчёта для решения задач горной теплофизики. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985, с. 50-52. 49. Венгеров И.Р. Расчёт коэффициентов нестационарного теплообмена на основе слоистых моделей теплопереноса. – Промышленная теплотехника, 1995, т. 17, № 6, с. 32-39. 50. Журавленко В.Я., Шелиманов В.А., Козлов Е.М., Мукоед Н.И. Нестационарный теплообмен вентиляционного воздуха и горного массива с кольцевым слоем на его поверхности при граничных условиях III-го рода. – Докл. АН УССР, Сер. А, 1986, № 1, с. 74-78. 51. Кухарев В.Н., Салли В.И. Определение коэффициента нестационарного теплообмена для очистных забоев. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1971, № 5, с. 75-77. 52. Мартынов А.А. Теплообмен в выработанном пространстве лавы при плавном опускании кровли. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьбы с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сбк научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1983, с. 95-100. 53. Гущин А.Н., Лобов В.Л. Решение задачи нестационарной теплопроводности при изменении скорости вентиляционной струи. – ФТПРПИ, 1980, № 1, с. 111-114. 54. Бурцев А.Н., Постольник Ю.С. Аналитическое исследование теплообмена между бесконечным массивом и цилиндрической полостью с нестационарной температурой среды. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1978, № 9, с. 63-67. М.Н. Решение однофазной объединенной задачи 55. Энкашев теплопроводности для горной выработки методом интегральных соотношений. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 5. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 76-82. 56. Дядькин Ю.Д. Основы горной теплофизики для шахт и рудников Севера. – М.: Недра, 1968. – 255 с. 57. Дядькин Ю.Д. Методика теплового расчёта шахт и рудников в сложных условиях. – ФТПРПИ, 1973, № 5, с. 92-100.

419

58. Шувалов Ю.В. Использование природных ресурсов тепла и холода в системах регулирования теплового режима шахт и рудников Севера. – Автореф. дис. … д.т.н. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1987. – 47 с. 59. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г. Тепловые процессы в горных выработках. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978. – 104 с. 60. Медведев Б.И. Определение коэффициента нестационарного теплообмена для выработок, проходимых с постоянной скоростью. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 46-47. 61. Стукало В.А. О расчёте коэффициентов нестационарного теплообмена для очистных забоев глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 59. – Киев: Техніка, 1981, с. 42-48. 62. Величко А.Е., Крамаров А.С., Кочерга П.Г. К вопросу определения коэффициентов нестационарного теплообмена в тупиковых выработках. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах. Вып. 4. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1975, с. 46-51. 63. Стукало В.А. К определению значений коэффициента нестационарного теплообмена для очистных забоев глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 39. – Киев: Техніка, 1975, с. 148-153. 64. Стукало В.А. О коэффициенте нестационарного теплообмена выработок, проветриваемых меньше года. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 43. – Киев: Техніка, 1976, с. 62-64. 65. Богоявленский В.А. Особенности теплообмена в очистном забое и их учёт при тепловых расчётах. – В кн.: [17], с. 61-65. 66. Володин А.Г. К расчёту коэффициентов нестационарного теплообмена. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 49. – Киев: Техніка, 1978, с. 44-47. 67. Криворучко А.М., Гущин А.М. Особенности теплообмена в выработках глубоких шахт при искусственном охлаждении воздуха на участках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 30. – Киев: Техніка, 1972, с. 88-92. 68. Яковенко А.К. К вопросу определения тепловыделений в высокопроизводительных лавах глубоких шахт. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Издво МакНИИ, 1985, с. 64-67. 69. Мартынов А.А. Прогноз тепловыделений из выработанного пространства щитовых забоев. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1986, с. 78-84. 70. Николаев Ю.Н. Метод теплового расчёта и определение параметров выпуска маганизированной руды нагорных участков Хибиногорского месторождения. – В кн.: Новые исследования в горном деле. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1969, с. 178-183. 420

71. Николаев Ю.Н. Исследование нестационарного теплообмена в слое кусков руды. – В кн.: Проблемы разработки месторождений полезных ископаемых Севера. /Тезисы докл. научно-техн. конф. – Л.: ЛГИ, 1970, с. 38-39. 72. Хохотва Н.Н., Кузин В.А., Пучков М.М. Прогноз температуры газовоздушной смеси, притекающий из выработанного пространства на вентиляционный штрек. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 56. – Киев: Техніка, 1980, с. 81-85. 73. Кузин В.А., Пучков М.М. Прогноз температуры воздуха, притекающего из выработанного пространства при прямоточной схеме проветривания. – В кн.: Борьба с высокими температурами рудничного воздуха. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1980, с. 3-8. 74. Кузин В.А., Пучков М.М., Мартынов А.А. Теплообмен между утечками воздуха и обрушенными породами выработанного пространства. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьбы с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1981, с. 25-28. 75. Крамаров А.С., Бодня Н.С., Кочерга П.Г. Определение коэффициента теплопередачи трубопроводов и коэффициента теплоотдачи от поверхности горного массива в тупиковых выработках. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах. Вып. 4. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Издво МакНИИ, 1975, с. 71-76. 76. Фрончек Р. Определение приращения температуры воздуха в призабойном пространстве тупиковых выработок. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 43. – Киев: Техніка, 1976, с. 58-61. 77. Стукало В.А., Кондрацкий В.Л. К вопросу об уточнении тепловых расчётов глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 10. – Киев: Техніка, 1967, с. 135-137. 78. Гендлер С.Г. Способ определения коэффициента теплоотдачи в горных выработках. – Промышленная теплотехника, 1986, т. 8, № 3, с. 44-47. 79. Цырульников А.С., Рыженко И.А., Еремин И.Я. Влияние дегазации угля на степень охлаждения его в очистном забое. – В кн.: [18], с. 85-88. 80. Терещенко В.Г., Шелиманов В.А. Метод определения тепловыделений от охлаждения добытого угля в очистных забоях. – В кн.: [18], с. 88-92. 81. Криворучко А.М., Сучков А.Н. Теплоотдача отбитого угля в лавах на крутых пластах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 43. – Киев: Техніка, 1976, с. 53-58. 82. Кузин В.А., Алабьев В.Р. Уточнение методики прогнозирования температуры воздуха в лавах при разработке крутых пластов. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахта. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1995, с. 151-158. 421

83. Алабьев В.Р. Рациональные по тепловому фактору горнотехнические параметры отработки выемочных участков глубоких шахт на крутых пластах. – Автореф. дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1997. – 18 с. 84. Стукало В.А. К вопросу тепловыделения при транспортировке ископаемого в вагонетках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 10. – Киев: Техніка, 1967, с.128-134. 85. Стукало В.А., Тельной А.П. Исследование коэффициентов теплоотдачи от ископаемого, транспортируемого в вагонетках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 14. – Киев: Техніка, 1968, с. 150-152. 86. Стукало В.А., Тельной А.П. Учёт влияния тепловыделения от транспортируемого ископаемого на теплоприращение воздуха в выработках глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 18. – Киев: Техніка, 1970, с. 109-116. 87. Фосс И. Метод определения тепло- и влаговыделений от добытого угля и породы в штреке и лаве. – Глюкауф, 1965, № 3, с. 153-165. 88. Стукало В.А., Тельной А.П. Математическое описание теплообмена между ископаемым на конвейере и воздухом в шахтной выработке. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 54-60. 89. Малашенко Э.Н., Зимин Л.Б., Мацьковая А.Г. Учёт тепловыделения от некоторых источников. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. на Всесоюзн. научно-техн. совещ. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 44-46. 90. Кузин В.А. Учёт тепловыделений при конвейерном транспорте ископаемого в лавах. – В кн.: [21], с. 18-22. 91. Стукало В.А. Метод учёта тепловыделений на конвейерном транспорте при прогнозе теплового режима глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 49. – Киев: Техніка, 1978, с. 50-57. 92. Стукало В.А. Методика учёта тепловыделений на конвейерном транспорте при прогнозе теплового режима в выработках глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 56. – Киев: Техніка, 1980, с. 72-78. 93. Стукало В.А. Анализ и совершенствование зависимостей для расчёта тепловыделений при конвейерной доставке ископаемого в глубоких шахтах. – В кн.: Физические процессы горного производства. Теплофизические процессы в горной технологии. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Издво ЛГИ, 1983, с. 94-99. 94. Стукало В.А. Совершенствование методики расчёта тепловыделений при конвейерной доставке ископаемого в глубоких шахтах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 68. – Киев: Техніка, 1984, с. 87-95. 422

95. Стукало В.А., Тельной А.П. Экспериментальное исследование коэффициентов теплоотдачи от ископаемого, транспортируемого конвейерами. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 14. – Киев: Техніка, 1968, с. 153-156. 96. Крамаров А.С., Топчиенко Б.И., Шинкевич А.Д. К вопросу определения тепловыделения от пульпы при безнапорном гидротранспорте. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 1. /Сб-к научн. трудов МакНИИ. – М.: Недра, 1969, с. 31-36. 97. Хохотва Н.Н., Маркелов В.А. Тепловыделения при окислительных процессах в глубоких шахтах Донбасса и способ их учёта. – Там же (см. [96]), с. 64-68. 98. Величко А.Е. Уточнение и упрощение зависимостей теплового расчёта рудничного воздуха. – Там же (см. [96]), с. 55-63. 99. Муравейник В.И., Лубяная А.К., Стрижка П.И. Зависимости для расчёта термодинамических параметров воздуха в глубоких шахтах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 49. – Киев: Техніка, 1971, с. 78-80. 100. Гриценко Т.Ю., Зимин Л.Б., Черняк В.П. К расчёту энтальпии влажного воздуха применительно к условиям горных выработок. – Промышленная теплотехника, 1983, № 5, с. 47-49. 101. Добрянский Ю.П. Расчёт тепловлажностных режимов подземных объектов на ЭВМ. – Киев: Наукова думка, 1991. – 112 с. 102. Медведев Б.И., Павловский В.А., Иванов А.А. Проведение балансовых тепловых расчётов выработок на вычислительных машинах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 18. – Киев: Техніка, 1970, с. 102-105. 103. Щербань А.Н., Кремнёв О.А., Козлов Е.М., Шелиманов В.А. Аналитические зависимости, описывающие процессы изменения температуры и относительной влажности воздуха в шахтных выработках. – В кн.: [16], с. 29-32. 104. Кремнёв О.А., Журавленко В.Я., Козлов Е.М., Шелиманов В.А. Аналитические зависимости для определения параметров воздуха в лавах при неизвестных законах изменения влагосодержания по длине выработки. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. на Всесоюзном научно-техн. совещ. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 41-43. 105. Медведев Б.И., Стукало В.А., Почтаренко Н.С. и др. Экспериментальное исследование процесса массообмена в горных выработках. – В кн.: Физические процессы горного производства. Тепломассоперенос в горных выработках и породных коллекторах. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 87-90. 106. Шувалов Ю.В., Заволока Т.И. Водоприток и теплообмен в горной выработке. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. /Межвузов. сб-к научн. трудов, вып. 5. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 56-60.

423

107. Медведев Б.И. Применение теории подобия при экспериментальном изучении теплообмена в цепи горных выработок. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 74. – Киев: Техніка, 1986, с. 76-79. 108. Медведев Б.И., Гущин А.М., Лобов В.Л. Естественная тяга глубоких шахт. – М.: Недра, 1985. – 77 с. 109. Voss J. Ein verfahren zur Vorausberechnung der Erwärmung und der Wasserdampfaunahme der Wetter in Stein kohlengruben. – Bergakademie, 1966, ¹ 1, c. 22-25. 110. Щербань А.Н., Кремнёв О.А., Козлов Е.М., Шелиманов В.А. Аналитические зависимости, описывающие процессы изменения температуры и относительной влажности рудничного воздуха в шахтных стволах. – В кн.: [17], с. 25-28. 111. Петров Н.Н., Тимошенко Н.И. Тепловой режим вентиляционных стволов и его регулирование. – ФТПРПИ, 1985, № 3, с. 59-63. 112. Кузин В.А., Хохотва Н.Н., Николаенко Л.В. Метод расчета тепловых условий в горных выработках глубоких шахт. – В кн.: [21], с. 35-39. 113. Стукало В.А., Гущин А.М. Об учёте закона изменения влагосодержания воздуха при тепловом расчёте выработок глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 59. – Киев: Техніка, 1981, с. 37-42. 114. Кузин В.А., Журавленко В.Я., Козлов Е.М. и др. Расчёт параметров воздуха в шахтных выработках. – ФТПРПИ, 1982, № 1, с. 70-73. 115. Щербань В.Н., Гербут К.К., Добрянский Ю.П. Прогноз температуры рудничного воздуха в очистной выработке при слоевой выемке и бетонной закладке выработанного пространства. – ФТПРПИ, 1972, № 5, с. 122-125. 116. Яковенко А.К. К вопросу расчёта тепловыделений горного массива при повышении скорости подвигания забоя. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьбы с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1983, с. 63-66. 117. Яковенко А.К., Аверин Г.В. Сопряженная задача конвективного теплообмена в лавах глубоких шахт. – ФТПРПИ, 1982, № 6, с. 80-86. 118. Величко А.Е., Кузин В.А., Яковенко А.К. Оценка существующих зависимостей теплового расчёта воздуха в горных выработках. – В кн.: Кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах, вып. 6. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1978, с. 19-24. 119. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции шахт при нормальных и аварийных режимах проветривания. – Киев-Донецк: Высшая школа, 1978. – 156 с. 120. Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г., Цивирицына В.В. Сравнительная оценка отечественных и зарубежных методов теплового расчёта шахт и рудников. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. /Материалы Всесоюзн. научно-техн. конф. – Ленинград, ЛГИ, 1973. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с. 132-136. 424

121. Величко А.Е., Дубина П.П., Близнюк В.Г. Анализ методов теплового расчёта горных выработок. – Промышленная теплотехника, 1984, т.6, № 1, с. 22-30. 122. Брайчева Н.А., Черняк В.П., Щербань А.Н. Методы расчёта температуры вентиляционного воздуха подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1981. – 184 с. 123. Ягельский А.Н. Тепловые расчёты вентиляционного воздуха выработок с тупиковым забоем в глубоких угольных шахтах. – М.: Недра, 1960. – 143 с. 124. Баратов Э.И., Черняк В.П. Тепловые расчёты и способы охлаждения рудничного воздуха при строительстве глубоких шахт. – М.: Недра, 1968. – 118 с. 125. Стефанов Т.П., Велчев И.С. Расчёт температуры воздуха при нагнетательном местном проветривании тупиковых горных выработок. – В кн.: XIV междунар. конф. научно-исслед. ин-тов по безопасности в угольной промышл. (Варна, 1971), с. 134-139. 126. Величко А.Е., Крамаров А.С. Разработка зависимостей прогноза тепловых условий в тупиковых выработках без применения кондиционирования воздуха. -–В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах. Вып. 3. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 34-38. 127. Величко А.Е. Тепловой расчёт тупиковых выработок. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 49. – Киев: Техніка, 1978, с. 40-44. 128. Малашенко Э.Н., Зимин Л.Б. Методы тепловых расчётов тупиковых горных выработок. – В кн.: Тепловой режим глубоких угольных шахт и металлических рудников. /Материалы Междунар. симпозиума "Градиент77". – Киев: Наукова думка, 1977, с. 101-116. 129. Зимин Л.Б. Исследование и прогноз теплового режима тупиковых горных выработок глубоких шахт. – Автореф. дис. … к.т.н. – Новочеркасск: Издво НПИ, 1979. – 22 с. 130. Кралев Д. Физико-математическая модель теплообмена в призабойном пространстве горизонтальной горной выработки, проходимой взрывным способом. – ФТПРПИ, 1981, № 1, с. 14-20. 131. Стукало В.А. Расчёт температуры воздуха в тупиковых горных выработках глубоких шахт при проектировании их проведения. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 65. – Киев: Техніка, 1983, с. 67-70. 132. Медведев Б.И., Кондрацкий В.Л., Сухоруков В.П. и др. Управление тепловым режимом тупиковых выработок средствами вентиляции. – В кн.: Физические процессы горного производства. Теплофизические процессы в горной технологии. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1983, с. 53-58. 133. Величко А.Е., Стукало В.А. Прогноз теплового режима при проходке выработок в промежуточный период строительства глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 83. – Киев: Техніка, 1989, с. 70-75.

425

134. Добрянский Ю.П., Капитонов В.И., Щербань А.Н. Тепловой расчёт тупиковой выработки большой протяженности с неплотным воздуховодом. – Промышленная теплотехника, 1989, т. 11, № 2, с. 11-15. 135. Ониани Ш.И., Ланчава О.А. Методика теплового расчёта выработки с нормальными водами. – Уголь Украины, 1977, № 6, с. 40-41. 136. Медведев Б.И., Кондрацкий В.Л. К вопросу уточнения и упрощения тепловых расчётов шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 10. – Киев: Техніка, 1967, с. 100-109. 137. Медведев Б.И. Упрощенный метод теплового расчёта цепи горных выработок. – В кн.: Тепловые и механические процессы при разработке полезных ископаемых. – М.: Наука, 1964, с. 27-32. 138. Дядькин Ю.Д. Об учёте теплового фактора при проектировании глубоких шахт. – В кн.: [16], с. 47-56. 139. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции глубоких шахт при нормальных и аварийных режимах проветривания. – Автореф. дис. … д.т.н. – Донецк: Изд-во ДПИ, 1970. – 61 с. 140. Кузин В.А., Мартынов А.А., Яковенко А.К. и др. Экспресс-методика прогнозирования температуры воздуха в выработках глубоких шахт Донбасса. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985. – 59 с. 141. Зимин Л.Б. Упрощенный метод теплового расчёта горных выработок. – Промышленная теплотехника, 1985, т. 7, № 6, с. 93-95. 142. Щербань А.Н., Кремнёв О.А., Титова Н.М. Свойства влажного воздуха при давлениях 500-1000 мм. рт. ст. – М.: Госгортехиздат, 1963. – 132 с. 143. Величко А.Е. Приближенный метод расчёта температуры воздуха в горных выработках угольных шахт Донбасса. – В кн.: [19], с. 78-82. 144. Пирогов Г.Г., Малов В.Г. Математико-статистическое прогнозирование температур воздуха в подземных горных выработках рудников. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Межвуз. сб-к, вып. 2. – Л.: ЛГИ, 1975, с. 105-108. 145. Иванов А.М. Найти новую базу для расчётов кондиционирования шахтного воздуха. – Уголь Украины, 1975, № 12, с. 5-6. 146. Иванов А.М. О новом подходе к разработке обобщенной методики тепловых расчётов кондиционирования воздуха в глубоких шахтах. – В кн.: Тепловой режим глубоких угольных шахт и металлических рудников. /Материалы Международного Симпозиума "Градиент-77". – Киев: Наукова думка, 1977, с. 294-298. 147. Мартынов А.А. Метод прогноза температурных условий в лавах по простиранию крутых пластов. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1985, с. 60-64. 148. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизические аспекты освоения ресурсов недр. – Л.: Недра, Л.о., 1988. – 336 с. 149. Медведев Б.И. Проблема вентиляции и теплового режима шахт. – В кн.: Геомеханические проблемы высокопроизводительной разработки тонких и 426

средн. мощн. угольн. пластов на глуб. горизонтах. /Тезисы докл. Всесоюзн. научн. конф. – Донецк: Изд-во ДПИ, 1980, с. 152-153. 150. Андрющенко В.Н., Захаров Е.П. Улучшение климатических условий труда в глубоких шахтах теплоизоляцией горных пород. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1974, № 6, с. 72-76. 151. Сучков А.Н. Исследование целесообразности теплоизоляции стенок горных выработок в глубоких шахтах Донбасса. – Автореф. дис. … к.т.н. – Новочеркасск: Изд-во НПИ, 1981. – 20 с. 152. Карпухин В.Д. Применение антиокислителей с целью снижения температур рудничного воздуха. – В кн.: [16], с. 71-77. 153. Крамаров А.С., Венгеров И.Р., Морева А.Г. К вопросу определения коэффициента нестационарного теплообмена при теплоизоляции стенок горных выработок. – В кн.: [20], с. 94-96. 154. Полубинский А.С., Черняк В.П. Нестационарная теплопроводность горного массива при подавлении окислительных процессов на стенке выработки. – Доклады АН Украины. (Сер.: Математика, естествознание, технич. науки), 1992, № 11, с. 81-83. 155. Кузин В.А. Методы прогноза и способы регулирования теплового режима вентиляционных горизонтов глубоких угольных шахт. – Дис. … д.т.н. в форме научн. доклада. – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1993. – 39 с. 156. Мартынов А.А., Андреев И.М., Большаков П.Я. Управление тепловым режимом глубоких шахт внедрением прогрессивных горнотехнических решений. – В кн.: Способы и средства создания безопасных и здоровых условий труда в угольных шахтах. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1995, с. 184-193. 157. Ельчанинов Е.А. Способы регулирования теплового режима горных выработок. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. Аэрогазодинамика горных выработок. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 72-76. 158. Шувалов Ю.В. Новые способы регулирования теплового режима шахт и рудников. – В кн.: Прогноз и регулирование теплового режима в горных выработках. /Сб-к научн. трудов. – Якутск: Изд-во ИГД Севера ЯФ СО АН СССР, 1987, с. 7-9. 159. Журавленко В.Я., Шелиманов В.А. Охлаждение воздуха в лавах шахт глубиной свыше 1200 м. – В кн.: [16], с. 83-90. 160. Хохотва Н.Н., Кузин В.А. Результаты исследований теплообмена в горных выработках при кондиционировании воздуха. – В кн.: [19], с. 3-13. 161. Кузин В.А., Хохотва Н.Н., Вейцман Р.Л. Аналитическая зависимость для определения предельного удаления пунктов охлаждения воздуха от очистных забоев при местной схеме кондиционирования. – В кн.: [19], с. 65-71. 162. Хохотва Н.Н., Кузин В.А. Аналитические зависимости для расчёта тепловых условий в выработках, проветриваемых менее года, при кондиционировании воздуха. – В кн.: Охлаждение воздуха в угольных шахтах, вып. 3. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1973, с. 22-29.

427

163. Яковенко А.К., Аверин Г.В. Сравнительная оценка схем холодоснабжения выемочных участков и лав глубоких шахт. – В кн.: Предупреждение травматизма и производственная санитария в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1981, с. 34-37. 164. Малашенко Э.Н., Зимин Л.Б., Кузин В.А., Венгеров И.Р. К методике тепловых расчётов тупиковых выработок с кондиционированием воздуха. – Уголь Украины, 1982, № 1, с. 41-42. 165. Величко А.Е., Шкиль Н.И. Расчёт холодопотребности тупиковых выработок при строительстве шахт. – Шахтное строительство, 1984, № 1, с. 16-18. 166. Аверин Г.В., Яковенко А.К., Секачева Т.С. Статистический прогноз холодопотребности тупиковых выработок при имитационном моделировании тепловлажностных параметров воздуха. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1987, с. 105-112. 167. Добрянский Ю.П., Зимин Л.Б., Макаренко С.В. Нормализация температурно-влажностного режима горных выработок с помощью сжатого воздуха. – Промышленная теплотехника, 1994, т. 16, № 4-6, с. 51-55. 168. Кефер В.Н., Черниченко В.К. Результаты исследования шахтных воздухоохладителей. – В кн.: [16], с. 91-99. 169. Черниченко В.К. Исследование методов и средств эффективного отвода теплоты конденсации хладагента в системах кондиционирования воздуха глубоких шахт Донбасса. – Автореф. дис. … к.т.н. – Днепропетровск: Издво ДГИ, 1966. – 20 с. 170. Щербань А.Н., Кремнёв О.А., Журавленко В.Я., Хохотва Н.Н. Системы охлаждения воздуха в глубоких шахтах. – В кн.: Тепловой режим глубоких угольных шахт и металлических рудников. /Материалы Международн. симпозиума "Градиент-77". – Киев: Наукова думка, 1977, с. 10-15. 171. Аверин Г.В. К вопросу исследования средств охлаждения воздуха для тупиковых выработок с комбайновой проходкой. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьбы с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1983, с. 50-53. 172. Аверин Г.В. Определение коэффициентов влаговыпадания шахтных воздухоохлаждающих устройств. – В кн.: Способы и средства создания безопасных условий труда в шахтах. /Сб-к научн. трудов. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1984, с. 113-116. 173. Цейтлин Ю.А. Тремодинамические характеристики и режимы работы элементов шахтных систем кондиционирования воздуха со стационарными холодильными агрегатами. – ФТПРПИ, 1984, № 1, с. 58-63. 174. Семешко Э.Г., Цейтлин Ю.А. Исследование тепломассообмена между вентиляционной струёй и трубопроводом холодоносителя в горной выработке. – ФТПРПИ, 1985, № 3, с. 53-59. 175. Медведев Б.И., Лепихов В.А. Выбор оптимальной величины воздушного зазора гибких теплоизолированных труб. – Уголь Украины, 1986, № 9, с. 39-40. 428

176. Сухоруков В.П., Адоньев Г.А. К расчёту коэффициента теплопередачи гибких распределительных воздухопроводов. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 74. – Киев: Техніка, 1986, с. 83-85. 177. Кузнецов В.Г. Тепловой расчёт воздухопровода с патрубками. – Там. же, с. 71-74. 178. Яковенко А.К., Аверин Г.В. К вопросу расчёта мощности средств холодоснабжения лав с охлаждающими элементами забойного оборудования. – В кн.: Охлаждение воздуха, борьба спылью и выбросами в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1982, с. 13-17. 179. Венгеров И.Р. К расчёту кондуктивных противотепловых средств индивидуальной защиты (СИЗ) горнорабочих. – В кн.: [21], с. 61-65. 180. Черниченко В.К., Венгеров И.Р. Математическое моделирование кондуктивных противотепловых СИЗ горнорабочих. – В кн.: Улучшение тепловых условий труда в глубоких шахтах. /Тезисы докл. Всесоюзн. научно-практич. совещ. – Донецк-Москва: Изд-во ЦНИЭИуголь, 1978, с. 49-50. 181. Землянский В.И., Землянский И.Я., Волохов И.И. Противотепловые костюмы ТК-60М и ПТК-80. – В кн.: Горноспасательное дело. /Сб-к научн. работ. – Донецк: НПО "Респиратор", 1992, с. 66-71. 182. Городинский С.М., Глушко А.А., Орехов Б.В. Калориметрия в изолирующих средствах защиты человека. – М.: Машиностроение, 1976. – 208 с. 183. Chato J.C. and Shitzer A. Thermal Modeling of the Hyman Body – further Solutions to the stedy – state heat equation. – A.J. A. A. Gourn, 1971, ¹ 9, р. 365-373. 184. Кузин В.А., Мартынов А.А., Пучков Н.Н. Тепловой режим выработок с исходящей струёй воздуха. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 62. – Киев: Техніка, 1982, с. 99-103. 185. Кузин В.А., Пучков Н.М. Методы прогнозирования теплового режима выработок со свежей и исходящей струями воздуха. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 11. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 112-119. 186. Пучков М.М. Разработка метода прогноза и рекомендаций по снижению тепловыделений из выработанного пространства. – Автореферат дис. … к.т.н. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1982, - 21 с. 187. Крамаров А.С., Величко А.Е., Кочерга П.Г. Методика по прогнозированию температурных условий в тупиковых горных выработках. – МакеевкаДонбасс: Изд-во МакНИИ, 1976. – 87 с. 188. Зельдин Б.Б. Упрощенный расчёт температуры исходящей струи воздуха выемочных участков. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 77. – Киев: Техніка, 1987, с. 80-83. 429

189. Щербань А.Н., Черняк В.П. Методы прогноза теплового режима глубоких шахт. – ФТПРПИ, 1977, № 2, с. 88-92. 190. Шевчук И.В., Черняк В.П. Прогноз температуры и влажности рудничного воздуха при его переменном расходе по длине выработки. – Доклады АН УССР, сер. А, 1986, № 10, с. 70-73. 191. Черняк В.П. Тепловые расчёты подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1993. – 199 с. 192. Стукало В.А., Гущин А.П. Нестационарный теплообмен между породами и рудничным воздухом при граничных условиях третьего рода, осложненных влагообменом. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1984, № 12, с. 43-48. 193. Стукало В.А., Гущин А.М. Расчёт коэффициентов нестационарного теплообмена выработок при наличии испарения влаги. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, № 2, с. 35-40. 194. Черняк В.П., Щербань А.Н. К расчёту тепломассообмена в обводнённых выработках. – Доклады АН УССР, сер. А., 1989, № 2, с. 82-84. 195. Шувалов Ю.В., Кузин В.А. Оценка способов учёта массообмена при выводе формул для тепловых расчётов горных выработок. – В кн.: Вентиляция шахт и рудников. /Межвуз. сб-к научн. трудов, вып. 5. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 100-103. 196. Криворучко А.М. Метод прогнозирования влажности и температуры воздуха в выработках глубоких шахт при наличии нескольких протяженных и местных источников тепла и влаги. – М.: ЦНИЭИуголь. – Деп. рук. № 1995 от 17.03.81. – 45 с. 197. Стукало В.А. Новый метод теплового расчёта выработок глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 62. – Киев: Техніка, 1982, с. 87-94. 198. Стукало В.А. Совершенствование метода теплового расчёта выработок глубоких шахт. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 71. – Киев: Техніка, 1985, с. 77-80. 199. Добрянский Ю.П., Черняк В.П. Взаимное влияние тепло- и массообмена при вентиляции горных выработок. – Промышленная теплотехника, 1991, т. 13, № 3, с. 40-44. 200. Оксень Ю.И., Цейтлин Ю.А., Ягнюк Т.В. Моделирование тепловых режимов охлаждения горных выработок. – Промышленная теплотехника, 1994, т. 16, № 1, с. 106-112. 201. Stafield A.M. Thecemputation of Temperature Jncreases in Wet Dry Airways. /Journal of the Mine Ventilation Society of South Africa, 1966, v. 19, ¹ 10, р.157-165. 202. Amano K., Mizuta V., Hiramatsu Y. An improved method of predicting underground climate. /Jnt. j. of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomedamics Abstracts, 1982, v. 19, ¹ 1, р. 31-38. 203. Ониани Ш.И., Ланчава О.А., Ксоврели Ю.Р. Тепловлажностные параметры воздуха в горных выработках шахт Ткибули. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. мевуз. сб-к, вып. 11. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 104-111.

430

204. Ониани Ш.И., Ланчава О.А., Болквадзе С.Л. Исследование тепло- и влагообменных процессов в подготовительных и очистных выработках глубоких шахт на примере Ткибули-Шаорского каменноугольного месторождения. /Отчет по НИР, № гос. рег. 01820083134. – Тбилиси: Ин-т горной механики АН Груз. ССР, 1985. – 124 с. 205. Андреев Е.И. Расчёт тепло- и массообмена в контактных аппаратах. – Л.: Энергоатомиздат, Л.о., 1985. – 192 с. 206. Janosits J. Statistische Auswertung von Klimamessungen. – Glűckauf Forschengshefte, 1976, Heft 6, s. 258-263. 207. Kolarczyk M., Kropsz K., Sulkowski. Bestimmung der Wetteremperature am Einlauf der Abbanabteilungen in Kupferzbegwerken des Ranms von Legnica. /Glogow mit Hilfe der Ergebnisse von Wärmebi lanzen. – Plovdiv, Bulgerien, 1983, s. 31-33. 208. Черниченко В.К. Прогноз тепловых условий в высокопроизводительных лавах глубоких шахт при рассредоточенном охлаждении воздуха. /Техника безопасности, охрана труда и горноспасательное дело. – Рефер. сб-к. – М.: ЦНИЭИуголь, 1984, вып. 2. 209. Черниченко В.К., Яковенко А.К., Аверин Г.В. Математическое моделирование изменения тепловлажностных параметров воздуха в лавах при искусственном охлаждении. – В кн.: Создание безопасных условий труда в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Издво МакНИИ, 1986, с. 69-77. 210. Аверин Г.В., Черниченко В.К., Яковенко А.К. Математическое моделирование тепломассообмена в лавах глубоких шахт. – Промышленная теплотехника, 1987, т. 9, № 4, с. 66-69. 211. Яковенко А.К., Аверин Г.В. Статистический анализ взаимосвязи тепломассообменных процессов в горных выработках. – В кн.: Физические процессы горного производства. Тепломассоперенос в горных выработках и породных коллекторах. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 68-72. 212. Яковенко А.К., Хохотва Н.Н., Аверин Г.В. К вопросу аналитического исследования равномерно-рассредоточенного охлаждения воздуха в лавах с учётом тепломассообмена. – В кн.: Вопросы вентиляции, охлаждения воздуха, борьбы с пылью и контроль рудничной атмосферы в шахтах. /Сбк научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1981, с. 29-33. 213. Брайчева Н.А., Добрянский Ю.П., Щербань А.Н. К постановке задач о тепловом режиме теплоносителя, движущегося в горной выработке. – Промышленная теплотехника, 1986, т. 8, № 1, с. 19-22. 214. Яковенко А.К., Аверин Г.В. Исследование некоторых характеристик турбулентных потоков в горных выработках. – ФТПРПИ, 1986, № 4, с. 94-98. 215. Аверин Г.В., Яковенко А.К. Об определении коэффициентов турбулентной диффузии и теплопроводности в горных выработках. – ФТПРПИ, 1990, № 5, с. 90-92. 216. Аверин Г.В. Приближенное решение задачи теплопереноса и диффузии пассивной примеси при турбулентном движении воздуха в горных выработках. – ФТПРПИ, 1992, № 1, с. 89-97.

431

217. Бобров А.И., Аверин Г.В. Теоретические основы переноса импульса, тепла и примеси в горных выработках. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1994. – 270 с. 218. Мирошник Г.А. Развитие теории методов и техники измерения скоростей газовых потоков для обеспечения безопасности в угольных шахтах. – Автореферат дис. … д.т.н. – Днепропетровск: Гос. Горная Академия Украины, 1995. – 45 с. 219. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. – М.: Наука, 1964. – 488 с. 220. Ушаков К.З. Аэромеханика вентиляционных потоков в горных выработках. – М.: Недра, 1975. – 174 с. 221. Hiramatsu V., Kokado J. Eine Untersuchung über die Kühlung von Graben darch den Wetterstrom. – Bergbou Archiv, 1958, ¹ 19, H.1., S. 64-73. 222. Sherratt A.F. Temperatures around a Cooled mine roaduway. /Coll. Eng. – 1964, ¹ 2, р. 221-225. 223. Красовицкий Б.А., Попов Ф.С. Температурный режим горных выработок. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 339-346. 224. Красовицкий Б.А., Попов Ф.С., Капитонова Т.А. и др. Определение оптимальной толщины теплоизоляции по длине горной выработки. – В кн.: Тепловой режим глубоких угольных шахт и металлических рудников. /Материалы Междунар. Симпозиума "Градиент-77". – Киев: Наукова думка, 1977, с. 238-245. 225. Журавленко В.Я., Шелиманов В.А., Козлов Е.Н., Мукоед Н.И. О методах вычисления параметров рудничного воздуха в лаве и их сравнении. – Доклады АН УССР, сер. А., 1979, № 10, с. 859-862. 226. Коздоба Л.А., Черняк В.П. Физическая характеристика и математическое описание системы "массив-выработка" в связи с проблемой прогноза и регулирования теплового режима глубоких шахт и металлических рудников. /Материалы Междун. Симпозиума "Градиент-77". – Киев: Наукова думка, 1977, с. 40-49. 227. Черняк В.П., Киреев В.А., Полубинский А.С. Нестационарный тепломассоперенос в разрушаемых массивах горных пород. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 228. Waclawik J. Rownania mechaniki plynow i termodynamiki dla skalnego osrodka porowntego z punktu widzenia prognozy Warunkow klimatycznych. /Mat. conf. z I Posiedzemia Grupy Roboczej Nr. 1 (Katowice, 1980), − Katowice Glawny Jnstitut Gornietwa. – 1981, s. 526-537. 229. Яковенко А.К., Аверин Г.В. Сопряженная задача конвективного теплообмена в лавах глубоких шахт. – ФТПРПИ, 1982, № 6, с. 80-86. 230. Яковенко А.К., Аверин Г.В. К вопросу определения коэффициента теплоотдачи горного массива при малых числах Фурье. – ФТПРПИ, 1984, № 1, с. 63-67. 231. Величко А.Е. Прогноз тепловых условий в выработках глубоких шахт при аварийном нарушении режима проветривания. – В кн.: Борьба с высокими температурами в угольных шахтах и рудниках. /Тезисы докл. Всесоюзн. 432

научно-техн. совещ., Донецк, 1974. – Макеевка-Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1974, с. 49-50. 232. Щербань А.Н., Ягельский А.Н., Баратов Э.И. Упрощенные способы тепловых расчётов рудничного воздуха в шахтах Донбасса. /Изд-е 2-е, перераб. и доп. – Киев: Изд-во АН УССР, 1958. – 160 с. 233. Коротков Р.П. К вопросу об изменении относительной влажности воздуха и определении среднего времени охлаждения подготовительных выработок. – В кн.: [16], с. 65-70.

Часть 6. Модели подземных пожаров Глава 24. Подземные пожары Подземные пожары в шахтах и рудниках наносят материальный ущерб и представляют большую опасность для горнорабочих (отравление шахтной атмосферы продуктами горения, инициация взрывов метана и рудничной пыли) [1÷4]. Методы прогноза, профилактики и тушения подземных пожаров разрабатывались в Украине [5÷20], России [2,21÷28] и других странах [1,2,29÷31]. Парадигма науки о подземных пожарах развивалась в рамках "Горноспасательного дела", используя при этом данные шахтной теплофизики и технической дисциплины, изучающей условия воспламенения, горения и взрывов промышленных горючих материалов и топлив [7,32÷34]. Пожары, возникающие и развивающиеся в выработанных пространствах (в угольных скоплениях и целиках), называют эндогенными, а пожары, возникающие в горных выработках ("открытые" пожары) – экзогенными. По условиям прогноза, профилактики, возникновения, развития и тушения, пожары этих двух видов отличаются. С точки зрения математического моделирования, эндогенные пожары характеризуются тепломассопереносом и физико-химическими процессами в пористой среде (массиве), а экзогенные – тепломассопереносом в выработках и в окружающем их массиве.

§ 73. Эндогенные пожары Факторами эндогенной пожароопасности являются: склонность углей к самовозгоранию; наличие разрыхленных (скопление) и трещиноватых (целики) масс угля; поступление в них кислорода из фильтрующегося потока воздуха [21]; переход процесса окисления угля в процесс его самонагревания при превышении теплогенерацией теплопотерь (за счёт выноса тепла конвекцией или (и) теплопередачи породам почвы и кровли и окружающему, менее нагретому массиву угля) [2]. Исследования в Кузбассе и других бассейнах России показали, что склонность угля к самовозгоранию распределена по площади пласта зонально [21]. При обычно плавном изменении, в местах тектонических нарушений возможны скачки этой величины. Лабораторные исследования выявили существование нижнего и верхнего пределов воздухопритоков к углю, вне которых его окисление и самонагревание в самовозгорание не переходят. Скорость воздуха, при которой окислительные процессы протекают наиболее интенсивно, зависит от степени метаморфизма угля и его сорбционной способ434

ности по кислороду. Пределы содержания кислорода в воздухе, при которых горение не начинается, определяются температурой и скоростью фильтрации воздуха. Чем выше температура, тем меньше критическое содержание в воздухе кислорода. Условия теплообмена в угольном скоплении, приводящие к возникновению очага самовозгорания, различны для углей разных марок. У химически "молодых" углей окисление более интенсивно; они самовозгораются при относительно низких температурах. Высокая начальная температура угля (фактор больших глубин разработки) интенсифицирует окисление, т.е. повышает пожароопасность. Повышают её и большие потери угля в выработанном пространстве (превышение "критической массы")[21]. Степень измельчения угля влияет на интенсивность теплопередачи вверх от очага (естественная конвекция). Эффективные теплопроводность и температуропроводность скопления при росте в нем числа крупных фракций, увеличиваются (за счёт вклада конвекции). Самовозгорание угля есть совокупность процессов: 1) фильтрации воздуха через угольное скопление; 2) термохимической реакции между углём и кислородом воздуха; 3) тепловыделения и теплопереноса. Дифференциальные уравнения теплового баланса угольного скопления при его самовозгорании были предложены И.М. Печуком, В.С. Веселовским, Н.Д. Алексеевой и др. [6]. Анализ их, проведенный Х.А. Баевым, привёл его к выводу о необходимости детализации и уточнения этих моделей. В предложенной им модели дополнительно учитывались: 1) тепловые эффекты испарения и конденсации влаги; 2) влаго- и газовыделение за счёт химических реакций и десорбции; 3) диффузионный массоперенос; 4) конвективный газоперенос за счёт изменения давления тепловой и химической депрессией; 5) торможение реакции окисления угля поверхностным оксислоем и восстановление реакционной способности активированными газовыми молекулами. Это, весьма подробное, описание потребовало использования 20-и уравнений в частных производных [6]. Дальнейшее развитие моделей эндогенных пожаров пошло, однако, по другому пути – максимально возможного сокращения числа используемых величин, физикохимических и горно-геологических параметров и, соответственно, числа используемых в моделях уравнений. Преимущественное развитие получили не универсальные (общие) модели, а частные – для фиксированного диапазона характерных параметров (для пласта, группы шахт, бассейна) при упрощении сложных процессов путём их постадийного описания [26,27]. Динамика самовозгорания угля в полуадиабатических и адиабатических условиях, исследованная в ВостНИИ [2] была представлена стадиями: 1) разогревание; 2) выпаривание из угля влаги; 3) интенсивное тепловыделение. Каждая стадия характеризуется изменением газового состава рудничного воздуха и его температуры, температурой угля и пород. В начальной стадии окисления снижается концентрация кислорода, появляется окись углерода, возрастает концентрация углекислоты в воздухе, растёт температура. При дальнейшем окислении возрастает концентрация окиси углерода, появляются газообразные углеводороды (этан, этилен, пропан), водород и другие газы. Появление в

435

шахтном воздухе устойчивой концентрации окиси углерода 10-3÷1,5·10-3 % (об.) считается ранним признаком самовозгорания угля. Дополнительным признаком считается, при любой степени метаморфизма пласта, повышение температуры угля на 10°С и более. Интервал времени, предшествующего самовозгоранию угля (от момента, когда сформировались благоприятствующие этому условия), называются инкубационным периодом [3]. В реальных условиях скорость сорбции углём кислорода (окисления) определяется ходом политропического процесса, верхней границей которого является процесс адиабатический – без теплопотерь очага окисления. Слабая теплопроводность разрыхлённых углей ( λу ≅ 0,1 Вт/(м·К) при теплопроводности угля в массиве λм ≅ 1÷2 Вт/(м·К)) и малая скорость фильтрации воздуха через скопление, позволяют предположить, что длительность инкубационного периода в адиабатическом (модельном) процессе близка к такой в политропическом (реальном) процессе и может служить её оценкой снизу [3]. Уравнение теплового баланса для адиабатического процесса:

(

)

Q1 = C p Tкр − Т 0 +

Wr + μQ′, 100

(6.1)

где Q1 – теплота сорбции кислорода углём; C p – средняя теплоёмкость угля в интервале температур от Т 0 = 298 K до T = Tкр ; W – влажность угля, %; r –

скрытая теплота испарения воды; μ – природная газоносность угля; Q′ – удельная теплота десорбции метана. Первый член в правой части (6.1) описывает разогрев угля от Т 0 до Tкр (критической температуры самовозгорания), второй – теплопотери на влагоиспарение, третий – теплопотери, связанные с десорбцией из угля метана. Левая часть (6.1) представлена в виде −1

K кр ⎞ ⎛ ⎟⎟ , Q1 = K cpQCτ, K cp = ( K кр − K 0 )⎜⎜ 2,3 ln K 0 ⎠ ⎝

(6.2)

где Q – теплота хемосорбции кислорода; С – его концентрация; K cp – среднее значение постоянной сорбции О2 в интервале температур от Т 0 до Т кр ; K 0 – значение этой постоянной при Т 0 = 298 K , а K кр – при T = Tкр ; τ – инкуба-

ционный период самовозгорания угля. Для расчётов τ для различных пластов (для которых различны параметры W , μ, T0 , Tкр , K 0 , K кр , C ) принимают усреднённые для Донбасса значения [3]:

Cp = 1256 Дж/кг⋅ K ; Q = 18,6 ⋅ 106 Дж/м 2 ; Q / = 12,6 ⋅ 106 Дж/м 2 ; r = 2,26 ⋅ 106 Дж/кг . 436

Расчёты τ по (6.1), (6.2) для различных пластов Донбасса дали значения от 7-и суток до 12-и месяцев [3]. Локализация эндогенных пожаров на шахтах Донбасса: выработанные пространства (68% случаев); подготовительные выработки (32% ) [3]. В проходимых подготовительных выработках пожары возникают в зонах геологических нарушений, в пустотах за крепью, после внезапных выбросов. В действующих подготовительных выработках самовозгорания происходят в пустотах, образовавшихся при проходке, в раздавленных горным давлением целиках угля. В выработанных пространствах самовозгорается измельченный уголь из разрушенной краевой части целиков, сами целики. Условия для самовозгорания наиболее благоприятны в зонах геологических нарушений, где повышены трещиноватость и химическая активность угля. Повышенная склонность к самовозгоранию деформированных и разрушенных целиков угля связана со снижением для них критической температуры самовозгорания при действии механических нагрузок (силы горного давления) [35]. Критической температурой Т * считается [35] такая, при достижении которой окислительный процесс принимает необратимый термоактивационный характер:

T∗ = E [R ln( K 0 / μ)]−1,

(6.3)

где Q (x) – энергия активации реакции горения угля; x – универсальная газо-

1 d Q(x) (x) , – частотный фактор; μ – константа u = u = вая постоянная; Π m dx скорости реакции окисления механоактивированного угля. Температура Т * из-

меняется в интервале 393÷400 K . Энергия активации E в поле механических напряжений σ1 снижается, что уменьшает значение Т * , которое при σ = σ1 определяется формулой

T∗ = (E − βσ1 )[R ln( K 0 / μ)]−1,

(6.4)

где β – механический эквивалент энергии активации (Дж/(Па·моль)). Лабораторные эксперименты позволили найти [35]:

Т* = А − Вσ1,

А = 598 K , B = 0,876 K /МПа,

где σ1 (МПа) – внешнее давление. Автором произведена оценка величины константы скорости окисления угля, которая оказалась на 13 порядков превосходящей константу скорости низкотемпературного окисления угля (в отсутствие давления) μ о ≅ 8,7·10-6 1/с. Распределение температуры в выработанном пространстве является важной характеристикой возможной локализации очагов пожаров. Прямые измерения затруднены, поэтому прибегают к математическому моделированию. Простая и наглядная модель такого рода основана на предпосылках [3]: 1) гра-

437

ница пожаробезопасной ситуации соответствует случаю, когда максимальная температура в угольном скоплении стабилизируется на уровне критического значения (или ниже его) – стационарный температурный режим; 2) в связи с монотонным изменением утечек воздуха в выработанном пространстве, изменение градиента температуры по восстанию пласта существенно больше, чем 2

2

2

2

по простиранию: ∂ Т / ∂у >> ∂ T / ∂ x ; 3) основное термическое сопротивление для потока тепла от угля к боковым породам представляет измельченный уголь и породы в зоне беспорядочного обрушения (т.к. теплопроводность пород в ненарушенном массиве на порядок больше); 4) при Т ∈[ Т 0 ,Т кр ] можно пользоваться средними значениями теплофизических параметров угольного скопления; 5) потери угля рассредоточены равномерно по всему выработанному пространству. На основе этих посылок были сформулированы уравнения стационарной диффузии кислорода и стационарного теплопереноса – математическая модель [3]:

Dе d2 T

d2 C dy

2

= K p γC ,

d T 4λ cos 2 θ λ 2 − γ′C pW − (T − T0 ) + QK p γC = 0, 2 d y dy h

(6.5)

(6.6)

где D е – эффективный коэффициент диффузии; С – концентрация кислорода; у – расстояние от откаточного штрека; K p – константа скорости хемосорбции кислорода рядовым углём; γ, γ ′ – плотность угля и воздуха; С р – теплоёмкость воздуха; λ – коэффициент теплопроводности угля; W – скорость движения воздуха в выработанном пространстве; θ – угол залегания пласта; h – его мощность; Q – теплота хемосорбции кислорода; T0 – начальная температура боковых пород. Система уравнений (6.5), (6.6) легко разрешима.

§ 74. Экзогенные пожары Возникновение экзогенных пожаров связано с наличием в выработках горючих материалов – деревянные крепь и затяжки металлической крепи, прорезиненные конвейерные ленты, резиновые оболочки гибких электрических кабелей, вентиляционные трубы и др. [36]. В выработках могут возникать источники открытого огня, обусловленные: короткими замыканиями и искрением в электрических кабелях и электрооборудовании; воспламенением трущихся поверхностей (фрикционных пар); взрывными работами; загоранием воздушно-метановых смесей от нагретых поверхностей и искр и прочими причинами [19,20,29,30,37,38]. В отличие от эндогенных пожаров, возникающих при соответствующих физических и физико-химических процессах, экзогенные пожары представляют собой слу438

чайные события, прогнозировать которые возможно лишь статистическими методами [36]. Однако тот или иной процесс нештатного, предпожарного (т.е. сопровождающегося нарастанием температуры) функционирования какого-либо расположенного в выработке устройства или агрегата (конвейера, кабеля и проч.) можно моделировать с целью определения условий предотвращения такого аварийного режима или установления исходных данных для построения модели развития возникшего пожара. Методика оценки экзогенной пожароопасности шахт [36] рассматривает последнюю как сумму пожароопасных выработок. Показателем пожароопасности является произведение вероятностей: возникновения пожара и развития пожара. Первая зависит от технологического назначения и протяженности выработки, наличия в ней различных видов энергоснабжения и транспорта. Вторая вероятность характеризует наличие в выработке горючих материалов, возможную скорость развития пожара и имеющиеся средства пожаротушения. При обнаружении экзогенного пожара обычно производят регулирование вентиляционного режима с целью минимизации негативного действия пожара и его ликвидации. При расчёте пожарных вентиляционных режимов необходим учёт воздействия пожара на параметры вентиляционной струи (плотность, температура и скорость движения потока), на аэродинамические характеристики ветви с пожаром (депрессия, аэродинамическое сопротивление, расход воздуха) [9,39,40]. Эмпирическое исследование параметров вентиляционной струи, прошедшей через очаг пожара (аэротермодинамический стенд, опытная шахта) показало [39], что расход газовой смеси за очагом пожара:

Q′ = 1,11ϑQ

T′ 3 (м /с), T

(6.7)

где Q, Q′ – расходы потока перед и после очага пожара; T , T ′ – то же для температур; ϑ – коэффициент, учитывающий увеличение объема газовой смеси за очагом пожара за счёт притока газообразных продуктов сгорания и влагоиспарения со стенок выработки. Согласно шахтных наблюдений, ϑ = 1,15÷1,25 для сухих выработок, ϑ = 1,35÷1,50 для выработок с влажной почвой и водосточной канавкой [9]. Аэродинамическое сопротивление части выработки за очагом пожара (по ходу струи) [39]:

⎡T ′ γ ⎛T′ ⎞⎤ 0 , 81 R′ = 1,23ϑ2 ⎢ R + − ⎜ ⎟⎥ , 2⎝T T ⎠⎦⎥ 2 gS ⎣⎢

(6.8)

где R – то же аэродинамическое сопротивление до возникновения пожара;

γ–

удельный вес воздуха перед очагом пожара; g = 9,8 м/с2; S – площадь среднего сечения выработки за очагом пожара; T ,T ′, ϑ – соответствуют (6.7). Температура смеси газов на участке выработки длиной 60 м за очагом пожара изменялась, по данным замеров, по однотипной для моментов времени t = 8,12,16…,32 минуты зависимости, возрастая резко за очагом пожара ( T ≅ 1050°С при t = 24 мин и х = 22 м) и более полого убывая затем с ростом 439

х (удалением от очага пожара) – при х = 60 м, Т = 400°С. Семейство темпера-

турных кривых на рис. 3 в [39] можно, видимо, описать зависимостью

Т ( х, t ) = T0 + At x nt exp(− γ t х),

(6.9)

где параметры At , nt , γ t различны для разных моментов времени t . Движение очага пожара характеризуется параметрами: 1) длиной горящего участка выработки; 2) скоростью движения фронта горения [9]. Шахтными наблюдениями установлено, что разгорание пожара происходит вначале медленно (до момента достижения им определенной тепловой мощности). Затем наступает 2-я стадия – быстрого распространения пламени, стабилизирующегося при полном расходовании кислорода в подходящем воздушном потоке. Длина горящего участка выработки

l=

В (м), nP

(6.10)

где B – количество сгорающего в единицу времени материала, кг/с; n – удельная весовая скорость горения, кг/м2 ·с; P = F / l – отношение площади горящей поверхности к длине горящего участка. Расход материала на горение определяется балансом углерода в материале и в сухих пожарных газах

B=

Qсг Σ Ci i

1,87 C

p

,

(6.11)

где Qсг – расход сухих пожарных газов ( Qсг = 1,2 Q – при развитом пожаре); Ci – концентрации углеродосодержащих газов (СО2, СО, СН4) в сухих пожарр

ных газах; С – содержание углерода в материале (% вес). Известна эмпирическая формула n = a exp(−bt ), (6.12) где a, b = const, t – время горения (мин). Средняя для промежутка времени n (t ) :

a (1 − e − bt ) 1 − bτ . n (t ) = ae dτ = t bt t

∫

(6.13)

0

Из (6.10), (6.13) следует

l = l(t ) =

440

Bt Pq (1 − e

− bt

)

,

(6.14)

где q = a / b – удельная пожарная нагрузка выработки, определяемая интегрированием (6.12) от 0 до ∞ . Пожар обычно распространяется по ходу вентиляционной струи. Скорость его распространения, или скорость фронта горения ϑп = d l / d t. При t ≤ t1 (где t1 – длительность 1-й стадии развития пожара – с переменной скоростью движения его фронта ϑп = ϑп (t ) ), из (6.14) следует:

d l(t ) B ⎡1 − (1 + bt )e − bt ⎤ ϑп = ϑп (t ) = = ⎢ ⎥. pq ⎣⎢ (1 − e − bt ) 2 ⎦⎥ dt

(6.15)

При t > t1 (exp(−bt1 ) << 1,0) – на второй стадии развития пожара:

l = ls = ϑп = ϑ п s =

Bt , pq

dls B = = const . dt pq

(6.16)

(6.17)

Таким образом, 2-я стадия развития пожара характеризуется постоянством скорости его распространения [9]. Для определения этой скорости известны эмпирические формулы В.М. Жадана

ϑп s = V (0,0111 + 0,009V ) −1 (м/час)

(6.18)

и В.Я. Балтайтиса – Ю.М. Марковича [40]

Q ϑп s = в (м/с). ϕп

(6.19)

Здесь V – скорость вентиляционного потока перед очагом пожара (м/с); Qв – весовой расход сухого воздуха перед очагом пожара (кг/с); ϕп – пожарная нагрузка выработки (кг/м). Тепловые расчёты пожарных выработок, проводившиеся на основе простейших УТБ (гл. 5) были сопоставлены с экспериментальными данными Б.И. Медведевым [40], что выявило их неточность. Была предложена более строгая модель, в которой: 1) осуществлялся учёт теплообмена излучением; 2) коэффициент конвективного теплообмена вычисляется с учётом влияния высоких температур; 3) осуществлялся предварительный приближенный расчёт температур в выработке на основе эмпирических формул; 4) коэффициент нестационарного теплообмена вычислялся по новой формуле; 5) учитывалась зависимость теплофизических параметров массива от температуры; 6) расчёт параметров вентиляции проводился при использовании весового расхода воздуха и учёте зависимости плотности воздуха от температуры. Метод предварительного определения температуры пожарных газов базировался на эмпирических предпосылках [40]: 1) температура воздуха в лю441

бой точке выработки до возникновения пожара равна нормальной (штатной); 2) в точке возникновения пожара температура повышается медленно или скачком возрастает до определенного значения (при вспышке газа, жидких горючих веществ, взрыве); 3) в период пожара, при постоянном дебите воздуха происходит вначале ускоренное, а затем с постоянной скоростью движение очага пожара вдоль выработки; 4) максимальное значение температуры газов в любой точке выработки достигается в момент подхода к ней фронта горения; 5) ускорение движения очага пожара на 1-й стадии его развития линейно изменяется со временем. На основе этих положений, были получены формулы [40]:

ϑпst 2 t L t раз ; t= , (6.20) Lраз = ϑпst раз ; t max = + = 3 3 tmax L + 1 ϑ t ϑпs пs раз 3 где Lраз – длина зоны развития пожара; t раз = t1 – длительность 1-й стадии развития пожара; L – расстояние от места возникновения пожара до точки, в которой максимальное значение температуры газов будет при С Анализ г экспериментальных данных показал, что часть выработки за фронтом горения (по ходу струи) можно разделить на три участка. На первом участке – от фронта горения до Lраз – справедлива корреляция:

ΔTв = ΔТ вм + (1 − ΔТ вм )(2t − t 2 ), r1 = 0,98.

(6.21)

На втором участке ( Lраз < x < 2 Lраз ):

ΔTв = ΔТ вм + (1 − ΔТ вм )t ,

r2 = 0,95.

(6.22)

На третьем участке ( x > 2 Lраз ):

ΔTв = ΔТ вм + (1 − ΔТ вм )t 2 ,

r3 = 0,97.

(6.23)

Здесь ΔTв = ΔТ в / ΔТ1; ΔТ в – разность температур газов и горных пород в определенный момент времени в данной точке; ΔТ1 – это же для фронта горения; ΔТ вм – обезразмеренная разность температур газов и пород в данной точке выработки в момент возникновения пожара; ri (i = 1,3) – коэффициенты корреляции соответствующих зависимостей. Аналогичную зональную (состоящую из конечного числа участков, на каждом из которых параметры либо постоянны, либо изменяются по некоторому закону, отличному от присущих другим участкам) структуру рассматривают и при анализе пожаров в наклонных выработках [23] и распространения пламени при взрывах сульфидной пыли [41].

442

§ 75. Борьба с пожарами Первостепенная роль принадлежит профилактике пожаров [1,4,22]. Она осуществляется различными организационно-техническими мероприятиями, позволяющими снизить пожароопасность выработок, выработанных пространств, шахт в целом. Среди методов тушения пожаров выделяют: активные, пассивные, комбинированные [2,3,9,10,24]. Активные методы – непосредственного воздействия на очаг пожара огнегасящими средствами – применяют при открытом огне, когда очаг пожара доступен. Это характерно преимущественно для экзогенных пожаров. Пассивные методы – изоляция очага пожара от притока к нему кислорода – применяют в случаях недостаточности активных методов. Методы реализуют сооружением перемычек, изолирующих зону пожара или пожарный участок от поступления воздуха, ликвидацией провалов и трещин в бутовых полосах и т.п. При этом в атмосфере изолированного участка падает концентрация кислорода, создаётся инертная газовая среда за счёт продуктов горения. Прибегают и к инертизации атмосферы изолированного участка, нагнетая в него инертные газы специальными устройствами. Эти методы применяют для тушения эндогенных пожаров. Комбинированные методы состоят в сочетании изоляции очага пожара с тушением его активными методами (заиливанием, подачей пены и инертных газов в ограниченный перемычками объём выработок или выработанного пространства)[2]. В активных и комбинированных методах используют средства пожаротушения, подразделяемые на: жидкие (вода, заиловочная пульпа, бромэтиловая смесь); пенные (химическая, воздушно-механическая и газомеханическая пены); газообразные (углекислый газ, азот, парогазовая смесь, топочно-инертные газы); сыпучие (песок, инертная пыль, огнегасительные порошки). Технические средства обнаружения пожаров и технология пожаротушения на шахтах освещены в [1÷4, 9÷11]. Вопросы образования взрывчатых смесей в изолированных пожарных участках, расчёта вентиляционных режимов, кинетики поглощения инертных газов в выработках и выработанных пространствах, газо- и аэродинамики последних рассмотрены в [2,3,10,11,42,43] на основе обобщения опыта борьбы с пожарами, экспериментов на стендах и в шахтах, математического моделирования процессов. Математические модели при разработке и совершенствовании методов прогноза, профилактики и тушения подземных пожаров играют важную роль, поскольку моделирование процессов на лабораторных установках и стендах не всегда достаточно хорошо соответствует реальным шахтным условиям, а эксперименты в шахтах при пожарах затруднены. Как правило, математические модели эндогенных пожаров являются сложными, комплексными и представляют собой неординарные краевые задачи, описывающие совместно протекающие процессы фильтрации, диффузии, тепло- и массопереноса с учётом физико-химических процессов (окисление, испарение, десорбция). Для упрощения моделей часто рассматривают определенные конечные "фрагменты" реальных процессов (по значениям температуры и других параметров, по области про443

странства и интервалу времени), переходя к более частным, но и более обозримым моделям, допускающим аналитическое исследование [25÷28]. Относительно самостоятельную группу составляют математические модели инертизации атмосферы изолированных участков, в которых рассматриваются процессы переноса, поглощения и накопления инертных газов [10,11,42÷46]. Эти модели аналогичны рассмотренным в ч. 3 (штатный и аварийный массоперенос в выработках). Другую группу образуют модели пожарной температурной динамики горных массивов (их нагревание и последующее остывание), что важно для определения условий тушения пожаров и исключения их рецидивов [5,8,16,47]. Третью группу представляют модели, направленные на расчёт температурных полей в горных выработках (экзогенные пожары) [5,9,23]. Здесь мы ссылались на простейшие либо ранние модели всех групп. Далее круг этих моделей будет существенно расширен, а изложение будет соответствовать порядку, принятому в работе в целом: рассматриваются модели переноса массы в массивах и в выработках, а затем модели теплопереноса в массивах и выработках. При этом выделения моделей развития и тушения пожаров и разделения их на эндо- и экзогенные не делается, хотя при рассмотрении каждой из моделей всех видов переноса указывается их назначение.

Глава 25. Модели массопереноса § 75. Массоперенос в массивах Процессы массопереноса в массивах характерны как для эндогенных пожаров (фильтрация воздуха через угольные скопления и целики в выработанных пространствах, диффузия и абсорбция кислорода углем), так и для экзогенных (фильтрация через трещиноватые породы пожарных газов). Модели фильтрации газов в выработанном пространстве уже рассматривались. Аналогичные им используются и при моделировании эндогенных пожаров [25÷28,44,45,48÷50]. При запуске азота в изолированный участок, его концентрация в штреке зависит от величины утечек через выработанное пространство [45,50]. Модель для описания дебита утечек Q (x) ( x − координаты, отсчитываемые вдоль штрека от лавы) представляла собой интегродифференциальное уравнение (3.49), численное решение которого было аппроксимировано простой функцией (3.50) [44]. Это позволило найти переменную вдоль штрека скорость фильтрации азота через выработанное пространство

u = u (x) =

444

1 d Q(x) , Π m dx

(6.24)

где Π – пористость (пустотность) выработанного пространства; m – мощность пласта. В математической модели пожароопасности выемочных полей при прямоточной схеме проветривания [48], в систему уравнений переноса (импульса, массы, тепла) в выработанном пространстве, включено и уравнение фильтрации, совпадающее с (2.115). В модели самонагревания угля в выработанном пространстве [49], состоящей из уравнений фильтрации, диффузии, теплопереноса, неразрывности и состояния, первое из них имело вид

f (V ) ∂V 1 + (V , ∇ )V = − ∇р − g − V, ∂t ρ V

(6.25)

в котором функция f (V ) задавалась (на основе эмпирических данных) выражением 2

f ( V ) = (μ / K ) V + (ρ / l) V ,

(6.26)

где μ, ρ – вязкость и плотность фильтрата; р – давление; K , l – проницае-

мость и параметр макрошероховатости выработанного пространства; V = V –

модуль вектора скорости фильтрации. В предположении малости членов в левой части по сравнению с членами в правой части (6.25), первые опущены, что привело уравнение (6.25) к виду (в проекциях):

−

∂р ⎛ μ ρV ⎞ ∂р ⎛ μ ρV ⎞ =⎜ + =⎜ + ⎟u; − ⎟ϑ + ρg sin α, ∂у ⎝ K ∂x ⎝K l ⎠ l ⎠

(6.27)

где u , ϑ − x, y – компоненты V ; α – угол наклона пласта. При α = 0 (6.27) совпадает с (2.123); эти формулы описывают т.н. квадратичный закон Дарси ("турбулентную" фильтрацию). Анализу эндогенных пожаров в [25] предшествует рассмотрение моделей выработанных пространств с учётом смещений пород и деформаций подработанного массива. Полученное уравнение фильтрации [25] совпадает с уравнением Б.Г. Тарасова (2.99), в котором пористость и проницаемость выработанного пространства являются функциями координат и времени. Обобщив многочисленные экспериментальные и теоретические данные и удачно, на наш взгляд, сохранив баланс между строгостью и простотой математической модели, авторы [27] предложили модели аэрогазодинамических процессов в выработанном пространстве. Фильтрация газовоздушной смеси в выработанном пространстве определяется схемой проветривания участка и аэродинамическим сопротивлением обрушенных пород. Последнее зависит от фракционного состава и слёживаемости пород. Для условий Карагандинского бассейна средние диаметры кусков обрушенной породы d cp оказались: для первично обрушенных пород – 81,5 мм; для вторично обрушенных – 40,5 мм

445

(статистическая обработка велась по логнормальному закону распределения диаметров кусков). Удельное аэродинамическое сопротивление выработанного пространства r при свежеобрушенных породах рассчитывалось по закону Дарси. Определялись показатель режима фильтрации n и критерий Рейнольдса Re = Vф d экв / v, где Vф – скорость фильтрации, а d экв = 2d cp П 3(1 − П ) – эквивалентный диаметр кусков ( П – пустотность выработанного пространства). Расчёты показали, что: 1) в первично обрушенных породах – Vф = = 0,016÷0,033 м/с, r0 = 11,25÷13,05 Н·с/м4, Re = 34÷85, n = 0,90÷1,19; 2) во вторично обрушенных породах − Vф = 0,048÷0,1 м/с, r0 = 31,4÷49,0 Н·с/м4, Re = 32÷68, n = 0,71÷1,46. В большинстве случаев Re и n соответствовали ламинарному режиму утечек ( Re ≤ 60, n ≤ 1,0). Приближённым расчётом подтвер2

ждена эмпирическая формула К.З. Ушакова: r (x) = r exp(β x ), β = const . Это позволило найти зависимость коэффициента проницаемости выработанного пространства от расстояния от лавы:

K п (х) = K п 0 exp(−β x 2 ),

(6.28)

где K п 0 – проницаемость примыкающей к лаве части выработанного пространства. Поскольку протяженности выработанного пространства по падению и по простиранию намного превышают мощность обрушенного слоя, процесс фильтрации рассматривается как двумерный, при котором установившееся давление газовоздушной смеси зависит от х (расстояние до лавы) и у (координата вдоль лавы, возрастающие в сторону вентиляционного штрека): p = p (х, у) . Для относительно небольшого, примыкающего к лаве участка выработанного пространства, при K п ≅ K п 0 = const, уравнение фильтрации по Дарси совпадает с уравнением Лапласа (2.116). Для возвратноточной схемы проветривания, характеризуемой граничными условиями I-го и II-го рода, это уравнение решено [27]. При неоднородности выработанного пространства, когда надо учитывать (6.28), уравнение фильтрации принимает вид (2.117) и решается на электроинтеграторе [27]. Прямоточная схема проветривания была рассмотрена аналогично. Поле скоростей утечек в выработанном пространстве определяет распределение в ней концентрации кислорода – важнейшего фактора самонагревания угля. Эмпирическими данными обоснована формула для объёмной доли кислорода С в выработанном пространстве при подвигании лавы со скоростью ϑп [27]:

С = С0 exp[− K (ϑп ) х ] ,

(6.29)

где С0 – объёмная доля кислорода в воздушном потоке лавы; K (ϑп ) – эмпирический коэффициент, зависящий от скорости движения лавы ϑп , газообиль-

446

ности выработанного пространства и прочностных свойств вмещающих пород; х – расстояние от лавы. Уравнение конвективно-диффузионного переноса кислорода [27]:

∂С + (V , ∇C ) = D∇ 2С − [ρн (U + f ) /П ]С , ∂t

(6.30)

в котором С – объёмная концентрация кислорода в выработанном пространстве; V – вектор скорости движения газовоздушной смеси; D – коэффициент диффузии кислорода в газовой смеси; ρн – насыпная плотность угля в скоплении; U – постоянная скорости сорбции кислорода; f – удельное объёмное метановыделение в 1 кг горной массы; Π – пустотность выработанного пространства. Последний член в правой части (6.30) описывает убыль кислорода за счёт его сорбции углем и обогащения газовоздушной смеси метаном. Если в (6.30) перейти в подвижную систему координат, связанных с движущимся забоем ( х → z = x + ϑпt ) и рассмотреть стационарную (установившуюся) концентрацию кислорода ( ∂C / ∂t = 0 ), то получим

D∇ 2С − (V , ∇C ) − ϑп

∂С − [ρн (V + f ) / П ]C = 0. ∂z

(6.31)

При рассмотрении областей выработанного пространства, примыкающих к конвейерному и вентиляционному штрекам, можно пренебречь составляющими скорости фильтрации и потока кислорода, параллельными лаве, т.е. положить:

∂C ∂ 2C 2 V y ≅ 0, (V , ∇C ) ≅ Vx , ∇ C≅ 2 . ∂z ∂z Тогда (6.31) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение:

d2 C

Vx + ϑп dC ⎡ ρн (U + f ) ⎤ − −⎢ ⎥⎦С = 0, 2 D dz П D ⎣ dz

(6.32)

решение которого при С z = 0 = C0 имеет вид 1/ 2

⎡⎛ V + ϑ ⎞ 2 ρ (U + f ) ⎤ п C ( z ) = C0 exp(− Kz ), K = ⎢⎜ x ⎥ ⎟ + н 2 П D D ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ V + ϑп − x = K (ϑп ), 2D

− (6.33)

в согласии с (6.29). В несколько иной форме получено уравнение переноса кислорода в [26]. В пористой среде, моделирующей угольное скопление в выработанном простран447

стве, выделяется элементарный объём – параллелепипед с параллельной лаве единичной площадью грани и толщиной (перпендикулярной этой грани) dx, а баланс в нём кислорода имеет вид

∂C Πd x = ΔΟ 2, D + ΔΟ 2,ф − ΔΟ 2, о , ∂t

(6.34)

где первый член в правой части описывает поступление в элементарный объём кислорода за счёт молекулярной диффузии; второй – поступление в объём кислорода с фильтрационным потоком; третий – потери кислорода на окисление угля. Для составляющих баланса (6.34) получены выражения:

∂ ⎛ ∂С ⎞ ⎫ ⎜ Пs D ⎟ dх, ⎪ ∂х⎝ ∂х⎠ ⎪ ∂ ⎪ (6.35) ΔΟ 2,ф = − ϑфС dх, ⎬ ∂х ⎪ ΔΟ 2,о = [U 0 + E (T − T0 )]ρ y (1 − Π )C dx .⎪ ⎪ ⎭ Здесь Π s – просветность пористой среды; D – коэффициент диффузии кислорода ϑΦ – скорость фильтрации смеси вдоль оси Ox; ρ y – плотность угля; E – температурный коэффициент скорости сорбции кислорода; U 0 = U (T0 ) – постоянная скорости сорбции при Т = Т0 = 298 K; Т – температура угля. ПодстаΔΟ 2, D =

(

)

новка (6.35) в (6.34) даёт уравнение массопереноса кислорода в угольном скоплении

Π

∂C ∂ ⎛ ∂С ⎞ ∂ = (ϑфС ) − [U 0 + E (T − T0 )]ρ у (1 − Π )С. (6.36) ⎜ΠsD ⎟− ∂t ∂ x ⎝ ∂х⎠ ∂x

После ряда упрощений, (6.36) представлено в виде

∂C ∂ 2С ϑф ∂С ⎛1 − Π ⎞ =D 2− − [U 0 + E (T − T0 )]ρ y ⎜ ⎟С. ∂t Π ∂ x Π ⎝ ⎠ ∂х

(6.37)

Аналогичное уравнение приведено в [49], обличаясь от (6.30) тем, что последний член в правой части, описывающий сток кислорода за счёт его сорбции углём, приведен не в общем виде, как в (6.30), или в виде, линеаризованном по температуре, как в (6.37), а в виде, характерном для химической реакции порядка n , активируемой температурой (по Аррениусу):

− (1 − Π )ρ y K 0C n exp(− E RT ),

(6.38)

где E – энергия активации; R – газовая постоянная; T – температура, K. Поскольку исследование модели самонагревания в [49] осуществлялось числен-

448

ными методами, линеаризация (6.38) не проводилась. Этот подход представляется избыточно усложнённым, т.к. в обзоре работ по низкотемпературному окислению угля [26] (В.С. Веселовский, И.М. Печук, В.Ф. Орешко, Г. Скотт и др.) обосновано значение n = 1,0 для реакции окисления в режиме самонагревания ( T < 160°С). При построении модели инертизации выработанного пространства (т.е. локализации в нём очага самонагревания путём подачи инертного газа) [51], в уравнении переноса кислорода также использовалось выражение для функции стоков массы вида (6.38). В модели хемосорбции кислорода углём [52] уравнение диффузии кислорода содержало в правой части функцию стоков линейную по концентрации, но учитывающую наличие нескольких реагентов в свободной и сорбированной фазах, кинетика которых описывалась нелинейными уравнениями. Эта модель близка структурно к модели техногенного загрязнения ствола и водообильных выработок ((3.185), гл. 3). Модель [52] использовалась для определения влияния увлажнения угля на скорость его окисления, что ранее изучалось физико-химическими методами [53,54]. Процессы переноса других газов, инициированные экзогенными пожарами или (и) мерами профилактики их, также рассматривались в ряде работ, в частности, уравнение паропереноса в массиве – (2.175). Уравнением диффузии моделировалось движение парообразной влаги в угольном скоплении выработанного пространства, в которое с целью профилактики самовозгораний подавалась вода [55]. При разработке дистанционного способа локации очагов эндогенных пожаров приповерхностной газовой съёмкой, была предложена модель движения пожарных газов от очага к дневной поверхности [56]:

⎛ ∂ 2C ∂ 2C ⎞ ∂ ∂C ∂ Π = Π D⎜ 2 + 2 ⎟ − (uC ) − (ϑC ), ⎜∂х ∂t ∂y ∂ó ⎟⎠ ∂ х ⎝

(6.39)

где Π – пористость пород; D – коэффициент молекулярной диффузии; u , ϑ – компоненты вектора скорости фильтрации V . Модель замыкается уравнением фильтрации (6.27) и уравнением неразрывности несжимаемого газа

∂u ∂ϑ + = 0. ∂ x ∂y

(6.40)

Область движения газа – двумерная (проямоугольная), граничные условия – смешанные. Модель была реализована численно, были найдены времена выхода газа на поверхность и установления квазистационарного режима газопереноса, исследовано влияние на эти величины параметров очага пожара и проницаемости пород.

449

§ 77. Массоперенос в выработках При подземных пожарах можно выделить две группы процессов массопереноса: 1) перенос продуктов горения – пожарных газов, генерируемых очагами эндо- и экзогенных пожаров; 2) перенос пожаротушащих – инертных газов и их смесей с воздухом и пожарными газами. Эти процессы протекают, как правило, при переходных, реверсивных и нулевых режимах вентиляции. Математические модели пожарного массопереноса по выработкам аналогичны моделям технологического (штатного) и аварийного массопереноса. При проветривании (разгазировании) изолированных пожарных участков после их вскрытия, когда снятие изолирующих перемычек длится некоторое время, изменение скорости потока может быть описано эмпирической зависимостью [57]:

u = u (t ) = a − b exp(− γt ), a, b, γ = const .

(6.41)

Уравнение массопереноса (дисперсии) записывалось в виде [57]

∂C ∂C ∂ 2C + u (t ) = ψ 2 , x > 0, t > 0, ∂t ∂x ∂x

(6.42)

где u (t ) – средняя по сечению скорость потока согласно (6.41); ψ – коэффициент перемешивания (термин – авторов [57]; фактически ψ – коэффициент дисперсии). Краевые условия к (6.42):

C t = 0 = 0, C x = 0 = F (t ),

lim C (x, t ) = 0.

x →∞

(6.43)

Здесь F (t ) – функция изменения концентрации примеси в месте её выпуска в поток. В большинстве работ, где используется (6.42), обычно полагают ψ = αu (α = const). В [45], в частности, это обосновывается ссылкой на эксперименты В.А. Баума, нашедшего, что в трубе, заполненной кусковым материалом: ψ = Kdu , где K – коэффициент пропорциональности ( K = 0,01÷0,03), а d – средний диаметр кусков засыпки. Заметим, что если в [45] эта аналогия и правомочна (т.к. речь идет о массопереносе в выработанном пространстве), то для массопереноса в выработке (6.42) – сомнительна. Как это было показано в гл. 3, для выработок связь коэффициента дисперсии Dх (каковым ψ и является) со скоростью либо нелинейна ((3.235): Dх ~ u

2/3

), либо сложна ((3.236):

Dх = ϕ(α)du , α = α(u ) ). Приближение ψ = αu , тем не менее, часто исполь-

зуется [11,42,44], т.к. позволяет упростить (6.42) подстановкой t

τ = ∫ u (t ′) d t ′, о

450

(6.44)

приводящей его к виду

∂ 2С ∂С ∂С = β 2 , β = const . + ∂τ ∂ х ∂х

(6.45)

Последнее уравнение легко решается преобразованием Лапласа по τ. Эта модель соответствует случаю проветривания вскрываемого участка, когда газовыделение по ходу струи (из стенок выработок, выработанного пространства) отсутствуют. Поэтому уравнение (6.42) одномерное и однородное (нет газообмена со стенками источников газа). Часто встречается иной случай – переноса примеси по выработке, граничащей с газовым коллектором (бункером) [58]. Роль последнего могут играть выработанные пространства или примыкающие к выработке зоны массива. Перемычки, изолирующие пожарный участок, считаются ликвидированными мгновенно (достаточно быстро), а скорость потока при t > 0 – постоянной ( u = u0 = const ). Уравнение переноса в этом случае имеет вид [58]:

⎡ ∂ 2C 1 ∂ ⎛ ∂C ⎞⎤ ∂C ∂C = ψ⎢ 2 + + u0 ⎜r ⎟⎥ , х > 0, r ∈ [0; R0 ) . t > 0. (6.46) ∂ ∂ ∂x ∂t r r r ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ∂ x Уравнение (6.46) не является уравнением дисперсии, а должно быть уравнением турбулентного массопереноса. Но тогда вместо ψ в нём должен присутствовать коэффициент турбулентной диффузии Dт = Dт ( r ) . Поэтому (6.46) можно трактовать как эмпирическую "смешанную" модель переноса. Краевые условия к (6.46):

C (x, r ,0) = C1; С (0, r , t ) = f (t ); С (∞, r , t ) = C1;

∂C = 0; ∂r r = 0

∂C + αC r = R = α F (x, t ); F (x, t ) = g (t ) exp(−β x). 0 ∂r r = R0

(6.47)

Здесь C1 – концентрация примеси в выработке до начала её проветривания; f (t ) – функция изменения концентрации примеси в начальном сечении; α – коэффициенты газообмена; F (x,t ) – концентрация примеси на границе бункера и выработки, определена эмпирически. Задача (6.46), (6.47) была решена преобразованием Лапласа по t , что привело к весьма громоздким выражениям. Численные расчёты проводились при значениях параметров: ψ = 5,0 м2/с;

u0 = 0,5 м/с; f (t ) = exp(−0,0044u0t ); F (x, t ) = exp(−0,001t ) ⋅ exp(−10 − 5 x) для t = 0÷35 мин и х = 10, 100, 300 м. Численные значения параметров соответствовали реальным условиям. Расчёты показали, что изменение газовыделения со временем не существенно и оно может считаться постоянным. Влияние же

451

изменения скорости потока значимо и приближение u = u0 = const следует считать недостаточным. Более отвечает реальным условиям и учёт зависимости ψ = ψ (C ) , что ранее игнорировалось. Более адекватная, нелинейная модель разгазирования была рассмотрена в [59], где уравнение массопереноса имело вид

∂ ⎡ ∂С ⎤ 1 ∂ ⎡ ∂С ⎤ ∂С ∂С ( ) = ψ + ψ ( ) , + u (t ) r С С ∂r ⎥⎦ ∂ x ∂ x ⎢⎣ ∂ x ⎥⎦ r ∂r ⎢⎣ ∂t

(6.48)

а краевые условия совпадали с (6.47) (при F (x, t ) = C2 = const ). Уравнение (6.48) было линеаризовано С

ϑ=

∫ ψ(С )dC = ϑ(C ),

ψ (С ) = ψ 0 (C − C2 ) K , ψ 0 , K = const . (6.49)

С2

Дальнейшие преобразования уже излагались ( (3.162)÷(3.166)). Данные расчётов показали [59], что общепринятая линеаризация ψ (С ) → ψ с р =

= ψ (Сс р ) недостаточна и ведёт к большим погрешностям. Аналогичные рассмотренным, линейные и нелинейные модели разгазирования и заполнения изолированных пожарных участков инертными газами рассмотрены в [10,11,42,50, 60÷63]. В частности, в модели заполнения инертными газами изолированного участка [50], использовались уравнения переноса инертного газа по штрекам и лаве

∂ 2С ∂С Q(x) ∂С = D 2 , х > 0, t > 0 + ∂t S ∂x ∂х

(6.50)

и уравнение газопереноса в выработанном пространстве (в полосе шириной h )

∂ 2С * ∂С * ∂С * . = DΠ + u (x) Π 2 ∂y ∂t ∂х

(6.51)

Здесь Q (x), u (x) – расход и скорость потока, изменяющиеся вдоль пути в силу утечек (притечек) через выработанное пространство; S – площадь сечения *

штрека; Π − пористость (пустотность) выработанного пространства; C = = C − C0 ; С0 – начальная объемная концентрация инертного газа. Для откаточного и вентиляционного штреков были установлены, соответственно, зависимости:

u (x) = a + b exp(− γ x); 452

u (x) = a1 + b1 exp(− γ1 x).

(6.52)

Скорость движения газа в полосе выработанного пространства определялась по формуле (6.24), в которой Q (x) определялась из аэродинамической модели [45, 50]. Краевая задача для уравнений (6.50), (6.51) была решена приближенным методом (обоснования которого отсутствуют). При тушении пожаров в газовых шахтах, где велика опасность взрыва газовоздушной смеси, необходима информация о газовом составе рудничной атмосферы в аварийных выработках. В этой связи был предложен метод расчёта содержания газовых компонентов в зоне пожара по результатам анализа проб, отобранных на безопасном расстоянии от очага [63]. Использовалась простая математическая модель стационарного переноса примеси при её линейном поглощении:

u

α dC = (C'0 − C ), dx S

(6.53)

'

где u – средняя скорость потока; C0 – концентрация горючего компонента при нормальных условиях проветривания; S – площадь сечения выработки;

α – коэффициент поглощения примеси стенками выработки ( α = 0,8·10−3 u –

по данным замеров). Граничные условия:

С (0) = С1;

dС = 0. dх х → ∞

(6.54)

Из (6.53), (6.54) следует:

⎛ αx ⎞ С1 = C'0 + (С − C'0 ) exp⎜ ⎟, ⎝ Su ⎠

(6.55)

где C1 – концентрация горючего компонента у очага пожара; C = C (x) – концентрация этого же компонента на расстоянии x от очага.

§ 78. Параметры массопереноса Математические модели массопереноса при пожарах не отличаются, как это следует из изложенного, от таковых, рассмотренных в частях 2 и 3. Соответственно и параметры массопереноса у обоих видов моделей совпадают. Специфической особенностью процессов переноса кислорода в угольных скоплениях и целиках является поглощение его (абсорбция) углём, кинетика которого зависит от температуры, энергии активации, "константы" скорости сорбции, изменяющейся в ходе процесса ( K = K (t ) ) [26]. Для определения динамики поглощения кислорода в инкубационный период, сопровождающегося тепловыделением, необходимо знать функцию K = K (t ) (чтобы определить среднюю за период инкубации [26,64] и других работах.

τ величину K cp = K (t ) τ . Эта задача решена в 453

Глава 26. Модели теплопереноса §79. Теплоперенос в массивах В моделях эндогенных пожаров это теплоперенос в угольных скоплениях и целиках в выработанном пространстве и во вмещающих породах; при экзогенных пожарах это теплоперенос в горном массиве, окружающем пожарную выработку. В первом случае модели обычно представляют собой неординарные, а во втором – ординарные краевые задачи. Встречаются ординарные задачи и при моделировании эндогенных пожаров, когда определяется температурное поле: в породах или в выработанном пространстве при проведении профилактических мероприятий [55,65,66]; в процессе самонагревания скоплений и целиков угля [67÷69]; при нагревании массива вокруг очага пожара и его последующем охлаждении [8,70÷73]. В модели профилактического охлаждения выработанного пространства подачей в него высоконапорной струи воды [55] было использовано уравнение кондуктивно-конвективного теплопереноса в безразмерном виде:

∂θ ∂θ ∂ 2θ + Pe = − Bi θ, x > 0, Fo > 0. ∂ Fo ∂ x ∂ x2

(6.56)

Краевые условия имели вид

θ(x,0) = 0; θ(0, Fo) = 1,0;

∂θ = 0. ∂ х х →∞

(6.57)

Здесь θ(х, Fo) = (T1 − T (x, t )) (T1 − T0 ) ; T1 – температура воздуха возле гидромонитора; T0 – температура пород; T (x,t ) – температура воздуха в выработанном пространстве; Pe = ϑ0 h / a; Bi = αh / λ; x = y / h; ϑ0 , λ, a – скорость, теплопроводность и температуропроводность воздуха; α – коэффициент теплообмена воздуха с обрушенными породами; h = Kεd c p (1 − ε) – характер-

ный размер сечения фильтрационного канала; d c p – средний диаметр куска породы в выработанном пространстве; ε – его пустотность; K = 0,2÷0,4 – коэффициент формы кусков; y – продольная (вдоль пути фильтрации) координата. Задача (6.58), (6.57) была решена преобразованием Лапласа по Fo , были определены параметры охлаждения выработанного пространства, предупреждающие самовозгорание угля. При выемке угля щитовыми агрегатами, торможение процесса самонагревания угля в выработанном пространстве осуществлялась подачей в него инертной пены [65]. Математическая модель локализации очага самонагре-

454

вания инертной пеной базировалась на уравнении теплопереноса в угольном скоплении после запуска пены в выработанное пространство:

∂Т ∂Т + C21 = β1T + C01, ∂t ∂y

(6.58)

где C21 = γ p C pW1 / γ yC y1; β1 = α11 − α 21 − α 3 ; С01 = α 21Т 0 ; α11 = = QC1b1 / C y1; α 21 = K τ / hγ yC y1; b1 = u1 / T ; Т 0 – начальная температура вмещающих пород; Т – текущая температура угля; С у1 – теплоёмкость угля после обработки его инертной пеной; γ у – насыпная плотность угля; Ср – средняя плотность и теплоёмкость газовоздушной смеси; W1 – скорость воздуха в выработанном пространстве после запуска пены; u1 – удельная скорость сорбции кислорода углём после запуска пены; Q – удельная теплота сорбции кислорода; K τ – коэффициент нестационарного теплообмена; h – мощность пласта; α 3 – коэффициент, описывающий теплосъём пеной; C1 – объёмная доля кислорода в рудничном воздухе после запуска пены. В качестве начального и граничного условия приняты решения (6.58) для предшествовавшего запуску пены периода 0 < t ≤ t0 :

⎧(Т 0 + α) exp(βt0 ) − α, t0 ≤ y / C2 , T ( y , t0 ) = ⎨ T (0, t ) = T0 , t > t0 , (6.59) + α β − α > ( Т ) exp( y / C ) , t y / C , ⎩ 0 2 0 2 α = C0 β ; β = α1 − α 2 = Qc b C y − − K τ / hγ yC y ; С0 = α 2Т 0 ; С2 = γ р С р W γ yC y ; b = (u − u0 ) / T . Другие параметры соответствуют обозначениям (6.58) для t ≤ t0 (до запуска пены). где

t0

–

время

запуска

пены;

Эта модель была использована при разработке технологических схем предупреждения и локализации эндогенных пожаров с использованием инертных и твердеющих пен [65]. На шахтах Северо-Востока России, в зонах перехода от мерзлых горных пород к талым, велика опасность эндогенных пожаров на самовозгорающихся пластах [66]. Математическая модель способа профилактики пожаров путем подачи холодного воздуха в призабойное выработанное пространство, в предположении равенства температур угля в скоплении и фильтрующегося через него воздуха [66]:

∂ 2T ∂T ∂T + f (T ), = λ 2 − ρ B C BV ρ уС у ∂ x ∂τ ∂x

(6.60)

455

где τ – время; x – координата, отсчитываемая от места входа в угольное скопление воздуха и совпадающая по направлению с его скоростью V ; ρ y , ρ B – плотность угля и воздуха; C y , C B – теплоёмкости угля и воздуха; λ – коэффициент теплопроводности угля; f (T ) – функция плотности источников тепла в угле (за счёт его скопления). Краевые условия к (6.60):

Т (х,0) = Т 0 ; Т (0, τ) = Т1; Т (l, τ) = Т 2 ,

(6.61)

где l – длина угольного скопления в направлении фильтрации воздуха. На низкотемпературной стадии окисления ( Т < 348 K ) возможна аппроксимация [32]:

f (T ) = αT + β,

α, β = const .

(6.62)

Подстановкой T = V exp(μτ + υ x) уравнение (6.60) приводится к простейшему виду и решается разделением переменных. По приближенному решению (первому члену бесконечного ряда) определено критическое значение скорости V = Vкр (при V < Vкр самонагревание переходит в самовозгорание) и его связь с другими параметрами модели. Получены формулы для времени подавления очага самонагревания в зависимости от длины угольного скопления, скорости и начальной температуры воздушной струи [66]. Самонагревание слоевого скопления угля на почве выработанного пространства, ранее анализировавшегося при его двухстороннем конвективном охлаждении, моделировалось при учёте кондуктивного теплопереноса в системе "скопление-почва" [67]:

⎫ ∂θ1 ∂ 2θ1 = a1 + αθ + β < < > h t , 0 x , 0 ; ⎪ 1 ∂t ⎪ ∂ x2 ⎬ ∂θ 2 ∂ 2θ2 ⎪ = a2 − ∞ < < > t , x 0 , 0 ; ⎪ ∂t ∂ x2 ⎭

⎛ ∂θ ⎞ θ1 t = 0 = θ 2 t = 0 = 0; ⎜ λ1 1 + νθ1 ⎟ ⎝ ∂х ⎠ λ1

∂θ1 ∂θ . = λ2 2 ∂ х х =0 ∂ х х =0

х =h

(6.63)

= 0; θ1 x = 0 = θ 2 x = 0 ; (6.64)

В краевой задаче теплопереноса в двухслойной системе (6.63), (6.64) обозначено: θ1 , θ 2 – температуры угля и почвы (отсчитываемые от начальных); λ1, λ 2 , а1, а2 – коэффициенты тепло- и температуропроводности угля и почвы соответственно; h – мощность угольного скопления (толщина угольного слоя);

α = qEC1−1C ; β = qVC1−1C ; С – концентрация кислорода в пустотах скопле-

456

ния; q – тепловой эффект окисления; C1 – удельная теплоёмкость угля в скоплении; E – температурный коэффициент скорости сорбции; V – константа скорости сорбции кислорода углём; ν – коэффициент теплоотдачи от верхней поверхности скопления к воздуху. Два последних условия (6.64) – граничные условия IV-го рода. Метод решения задачи, избранный в [67], привёл к крайне громоздким, труднообозримым выражениям. Более сложная, трёхслойная система "почва-угольное скоплениекровля" была рассмотрена в [68]. При построении математической модели, было принято: 1) область саморазогревания в угольном скоплении отстоит от линии обрушения пород более, чем на 10 м; 2) угольное скопление и вмещающие породы – твёрдые изотропные тела с независящими от температуры эффективными теплофизическими параметрами; 3) источник теплоты в скоплении обусловлен процессами низкотемпературного окисления и влагообмена угля с газовой средой; 4) интенсивность тепловыделения пропорциональна концентрации кислорода; 5) при характерных величинах скоростей воздуха в выработанном пространстве ( Re < 10 ), преобладает кондуктивный механизм теплопереноса; 6) перенос тепла происходит в направление оси Oz – нормально напластованию; 7) концентрация кислорода и скорость газовоздушной смеси зависят от х- и у-координат в плоскости пласта; 8) в начальный момент времени уголь и вмещающие породы находятся в тепловом равновесии. При этих предположениях, позволяющих считать теплоперенос одномерным, температурные поля в угольном скоплении ( z ∈ [0, h] ), в породах почвы ( z < 0 ) и кровли ( z > h ) описываются уравнениями

∂ 2Ty

∂Ty

∂Tп ∂Tк ∂ 2Tп ∂ 2Tк + ϕC ; = aп ; . (6.65) = aк = ay ∂τ ∂τ ∂τ ∂z 2 ∂z 2 ∂z 2 Здесь индексы обозначают: " у "– угольное скопление; " п "– почву; " к "– кровлю выработанного пространства. Краевые условия к (6.65):

= Т п τ=0 = Т к τ=0 = Т 0 ; Т у = Т п z =0 ; Т у = Тк z =h ; z =0 z =h ∂Т у ∂Т п ∂Т ∂Т = к = 0; λ у = λп п (6.66) ; ∂z z → −∞ ∂z z → ∞ ∂z z = 0 ∂z z = 0

Ту

λу

τ=0

∂Т у

= λк

∂Т к . ∂z z = h

∂z z = h Параметр ϕ задавался (будучи зависимым от скорости газовоздушной смеси V ) по эмпирической формуле, ранее полученной авторами. Аналогично задавалась концентрация кислорода С . Задача была решена численно, на ЭВМ ЕС-1033. Получены и проанализированы кривые температурной динамики угольного скопления при различных значениях параметров [68]. 457

Моделирование самонагревания угольного целика в выработанном пространстве осуществлялось на основе уравнения [69]

∂Т ∂Т ∂ 2Т uQ + VΦ =a 2 + + Φ, C ∂t ∂x ∂x y

(6.67)

где VΦ – скорость фильтрации воздуха; u – константа скорости сорбции кислорода; Q – теплота сорбции; C y – теплоёмкость угля. При Φ = 0 уравнение

(6.67) совпадает с (6.60). Функция Φ в (6.67) описывает теплопотери из целика в примыкающие к нему горные породы и выражается суммой четырех функций – потоков тепла в "породные блоки". Температурные поля в этих блоках определяются автономно, т.е. граничные условия IV-го рода не используются, что вызывает сомнения в корректности этой модели. Динамика остывания нагретого пожаром горного массива формирует обстановку ведения аварийно-восстановительных работ, важна для профилактики взрывов и рецидивов пожара. Модели нагревания и охлаждения массива, связаны с пожаром и его ликвидацией, формируются, как правило, как одномерные краевые задачи теплопереноса при постоянных теплофизических параметрах массива [8,70,72,73] и зависящих от температуры [71]. Для определения температуры поверхности полуограниченного массива, авторы [8] воспользовались известным решением III-ей краевой задачи для полупространства:

V (x, t0 ) = Tп + (Tпг − Tп ) × ⎡ ⎛ x ×⎢erfc⎜⎜ ⎝ 2 at0 ⎣⎢

⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎟ − exp(h x + h 2 at0 ) erfc⎜ x + h at0 ⎟⎥ , ⎟ ⎜ 2 at ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦

(6.68)

где V (x, t0 ) – температура в массиве при t = t0 ; Tп ,Tпг – температуры массива до начала пожара и пожарных газов; h = α / λ; α – коэффициент теплообмена, а λ – теплопроводности массива. Поскольку с момента возникновения пожара до прекращения горения в изолированном участке проходит, обычно, более 10 часов, то, как показали оценки, вторым слагаемым в квадратах скобках (6.68) можно пренебречь, т.е. записать:

⎛ x ⎞ ⎟. V (x, t0 ) ≅ Tп + (Tпг − Tп ) erfc⎜⎜ ⎟ 2 at 0⎠ ⎝

(6.69)

Т.о. при t ≥ t0 = 10 часов температурное поле в массиве не зависит от α . Из решения задачи охлаждения массива при начальном распределении температуры в нём согласно (6.69), т.е. для моментов времени t = t ′ = t − t0 , температура /

стенки массива V (0, t ) задаётся по условию достаточного остывания (определяемого из рациональных соображений). Отсюда следует формула для 458

t / = tост – времени остывания массива до безопасной температуры. Случай нагрева массива вокруг очага эндогенного пожара сферической формы рассмотрен в [70]. Температурное поле в массиве определялось по уравнению

∂T a ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ = ⎜r ⎟ , r ≥ R0 , t > 0. ∂t r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠

(6.70)

Краевые условия

T (r ,0) = T0 ; T ( R0 , t ) = f (t ).

(6.71)

Решение (6.70),(6.71) известно; при f (t ) = T1 = const оно приводится к виду

R ⎛ r − R0 ⎞ T (r , t ) = T0 + (T1 − T0 ) 0 erfc⎜ ⎟. r 2 at ⎝ ⎠

(6.72)

Последняя формула использована для расчётов протяженности температурного поля (определения размеров прогретой зоны массива) при различной длительности пожара и других его параметрах (T0 , T1 , R0 ) с целью обоснования мест установки температурных датчиков. Локализованный очаг пожара, расположенный вблизи выработки, моделировался в[72]. Краевая задача теплопереноса была записана в безразмерной форме:

∂u = ∇ 2u + Q(u ), u = u (r , ϕ, Fo); ∂ Fo

(6.73)

(r , ϕ) ∈ Ω, ⎧ 1, ⎧0, (r , ϕ) ∈ Ω, ⎪ Q (u ) = ⎨ u (r , ϕ,0) = ⎨ (T − TB ) ⎩a1 + b1u , (r , ϕ) ∈ Ω; ⎪ (T − T ) , (r , ϕ) ∈ Ω, ⎩ Π B ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ = 0, ⎜ ⎟ = 0. ⎜ − Bi u ⎟ ⎝ ∂r ⎠ r =1 ⎝ ∂r ⎠ r = r

(6.74)

(6.75)

∞

Здесь обозначены: u = (T − TB ) (TΠ − TB ) ;

{Fo} =

аτ

; r= 2

R0

R R ; r∞ = ∞ ; R0 R0

bq ρR02 (bqTB + aq )ρR02 αR0 Bi = ; a1 = ; b1 = ; ∇ 2 – оператор Лапласа в a (TΠ − TB )C aC λ цилиндрических координатах; Ω = ( R1, R2 ) × (ϕ1, ϕ 2 ) – область локализации пожара; R0 – эквивалентный радиус выработки; R∞ – радиус охлажденной зо459

ны вокруг выработки; aq , bq – коэффициенты аппроксимации в формуле для плотности источника тепла; C – концентрация кислорода в очаге горения; ρ,λ, a – плотность, теплопроводность и температуропроводность массива; α – коэффициент теплообмена; TΠ ,TB – температуры пород и воздуха. Решение двумерного уравнения (6.73) с условиями (6.74), (6.75) было получено вариационным методом Галёркина: N

u (r , γ, Fo) = ∑ am (Fo)ψ m (r , γ ),

(6.76)

m

где γ = ϕ − (ϕ1 + ϕ2 ) 2 ;

ψ m (r , γ ) определяются из решений одномерных задач Штурма – Лиувилля; am (Fo) – коэффициенты, определяемые из системы

обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель реализована численно, сделан вывод о влиянии локализованного очага пожара на среднеинтегральную температуру стенок выработки. Модель нагрева массива при пожаре усложнённого вида [71] учитывала зависимости теплофизпараметров от температуры и коэффициента теплообмена между очагом пожара и массивом от времени:

γ (Т )C (Т )

∂T ∂ ⎡ ∂T ⎤ = λ ( T ) , x > 0, t > 0; ∂t ∂ x ⎢⎣ ∂ x ⎥⎦

(6.77)

∂T ∂T ⎡ ⎤ T (x,0) = T0 ; ⎢λ(T ) = 0; = 0, (6.78) + α(t )(T − Tc )⎥ ∂ x x →∞ ∂x ⎣ ⎦ x =0 где T0 – температура массива до начала пожара; α (t ) – переменный коэффициент теплообмена; ρ y – температура среды, соприкасающейся с поверхностью массива в выработанном пространстве; γ (Т ), С (Т ), λ (Т ) – зависящие от температуры плотность, теплоёмкость и теплопроводность массива. Авторы [71] приняли гипотезу, согласно которой в условиях эндогенного пожара температура поверхности массива быстро приближается к температуре среды, с ней соприкасающейся, а зависимость α = α (t ) имеет вид

α = α(t ) =

A , t

A = const .

(6.79)

Постоянную A предлагалось определять экспериментально для различных пород. Воспользовавшись подстановкой Больцмана [74] и преобразованием Кирхгофа, краевую задачу (6.77)÷(6.79) далее свели к обыкновенному дифференциальному уравнению, решаемому в квадратурах. Нагревание массивов экзогенными пожарами и остывание при тушении их моделировалось в работах [75÷83]. Эти модели, как правило, ординар460

ные, мало отличающиеся от моделей нагрева массива эндогенными пожарами. Такова, в частности модель [75], в которой уравнение (6.77) записано в цилиндрических координатах, т.к. описывает температурное поле в массиве вокруг пожарной выработки

γ (T )C (T )

∂T 1 ∂ ⎡ ∂T ⎤ = r λ ( T ) , r > R0 , t > 0. ∂t r ∂r ⎢⎣ ∂r ⎥⎦

(6.80)

Граничное условие III-го рода при r = R0 соответствовало (6.78), где вместо α(t ) использовался α Σ = α K + α И (суммарный коэффициент теплопередачи, учитывающий конвекцию ( α к ) и излучение ( α И )). Роль температуры Т с играла температура движущихся по выработке пожарных газов. Начальная температура массива принималась постоянной и однородной, как в (6.78). На основании собственных исследований, авторы приняли [75]:

С (Т ) = 138,353 + 0,1858 Т ; λ (Т ) = 0,0133 + 0,000114 Т .

(6.81)

Задача решалась на АВМ ЭМУ-10 в двух вариантах: 1) при разбиении рассматриваемой области массива на 4-е слоя в 0,30, 1,35, 1,35, 1,0 м; 2) при разбиении на 15 слоёв по 0,3 м. Распределения температур, полученные в этих вариантах, практически совпадали, хорошо согласуясь с данными физического моделирования. Уравнение (6.80) при γ , С , λ = const использовалось в [76]. Третья краевая задача была решена численно, на ЭВМ. Время остывания массива после ликвидации пожара определялось по [8]. Нагревание массива моделировалось однородным одномерным уравнением (6.65) при граничных условиях III-го рода [77]. Полученное выражение для температурного поля использовалось как начальное распределение для задачи охлаждения массива. Задачи решались преобразованием Лапласа по времени, но до численных результатов не доведены. Распространяющийся по выработке экзогенный пожар рассматривался как подвижной источник тепла в цилиндрической полости горного массива. Это привело к математической модели прогрева массива на основе гиперболического уравнения теплопроводности [78÷80] (иначе – телеграфного уравнения). В [78] оно было записано в виде

∂u λ 0 ∂ 2u + = div λ(u )∇u , u = u ( М , t ), M ∈ Ω, t > 0. (6.82) ρС ∂t W 2 ∂t 2

[

]

Здесь Ω – двумерная область: Ω = {r ∈ [R0 , ∞ ), z ∈ (−∞, ∞)}; λ 0 , λ (u ) – коэффициенты теплопроводности вдоль осей Oz и Or соответственно; W – конечная скорость распространения тепла в массиве. Функция λ (u ) аппроксимирована формулой λ (u ) = λ 0 (1 + β u ). В безразмерном виде квазистационарное приближение уравнения (6.82) имеет вид:

461

1 ∂ ⎛ ∂ϑ ∂ϑ ⎞ ∂ 2ϑ = 0. ⎜ х λ(ϑ) ⎟+ 2 + A х ∂х⎝ ∂ξ ∂ х ⎠ ∂ξ

(6.83)

Это уравнение решалось при условиях: ϑ(х,±∞) = 0, (х ∈ [1, ∞ )); ϑ(∞, ξ) = 0

(ξ ∈ (−∞, ∞)); ϑ(1, ξ) = exp(−αξ 2 ); λ (ϑ) = 1 + γϑ, где γ − малый параметр. Решение искалось в виде ряда – разложения по степеням γ , было весьма громоздким и к конкретным результатам не привело [78]. В [79] горный массив рассматривался как полупространство с движущимся по его границе с постоянной скоростью источником тепла. Уравнение (6.82) было упрощено и представлено в виде:

1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T , x ∈ [0, ∞ ), + = + a ∂t V 2 ∂t 2 ∂ х 2 ∂z 2

z ∈ (−∞, ∞), t > 0. (6.84)

Краевые условия к (6.84):

T z = ±∞ = Tп ; T х → ∞ = Tп ; T х = 0 = Tп + (Tо − Tп )e

− χ z −Vп t

, (6.85)

где χ = αP GC p ; Т п , Т о – температуры массива (до пожара) и очага пожара; Vп – скорость движения очага пожара; Р – периметр пожарной выработки;

G – расход пожарных газов; C p – их теплоёмкость. Введя подвижную систему координат ξ = z − Vпt и обезразмерив (6.84), авторы привели его к виду ∂ 2u

∂ 2u

∂u − + A = 0. 2 2 ∂ η ∂x ∂η Задача была решена преобразованием Фурье по η , получено аналитическое решение. Модель остывания горного массива после пожара была рассмотрена на основе одномерного уравнения (6.84) (при ∂Т / ∂z = 0 ) [80]. Краевая задача была преобразована к эквивалентному интегральному уравнению громоздкого вида. Анализ особенностей влияния лучистой составляющей коэффициента теплообмена между массивом и пожарными газами был осущёствлен в краевой задаче для уравнения (6.80) при граничном условии на стенке массива [81]: 4 ⎧⎪ ⎡ ⎛ Т ⎞4 ∂T ⎛ Т ⎞ ⎤ ⎫⎪ г + α к (Т г − Т ) + εε эф ⎢ε г ⎜ = 0. (6.86) ⎟ − Аг ⎜ ⎟ ⎥⎬ ⎨λ(Т ) ∂ r 100 100 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭r =R 0

462

Здесь: nt,γt – температура пожарных газов; α к – конвективный коэффициент теплоотдачи; R0 – радиус выработки; ε эф – эффективная степень черноты поверхности выработки; ε г , Аг – интегральные значения степени черноты и поглощательной способности пожарных газов. Задача решалась с помощью конечно-разностной схемы на ЭВМ. Проанализированы температурные кривые и функция K τ = K τ (t ) для двух моделей – с учётом лучистого теплообмена (по (6.86)) и без него. Для K τ существенные отличия наблюдались для небольших интервалов времени. Температура стенки массива, найденная при учёте лучистой составляющей α , может превышать найденную без учёта на 300-350°С. Отличия двух моделей по температуре нивелировались по мере углубления в массив. Во многих моделях нагрева массива пожарными газами, его начальная температура принималась равной геотермической температуре Т п . С целью уточнения модели, в [82,83] рассмотрели существование в массиве в начальный момент времени охлажденной зоны, сформировавшейся в предшествующий пожару период нормальной вентиляции. В [82] начальное условие задавалось как известное решение задачи охлаждения массива. Модель представляла собой третью краевую задачу для линейного однородного уравнения теплопроводности, которая решалась в форме, аналогичной (6.76), в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Численные расчёты подтвердили необходимость учёта начальной температурной неоднородности массива. Модификация этой модели в [83] заключалась в задании переменной температуры воздуха в выработке (скачкообразно возраставшей в момент начала пожара). Как и в [82] использовался вариационный метод решения, позволивший получить и проанализировать численные решения. Неординарные модели эндогенных пожаров более сложны, они описывают начальную скорость развития пожара – окисление и саморазогрев угля, когда в угольном скоплении или в целике совместно протекают, воздействуя друг на друга, фильтрационно-диффузионные, физико-химические и теплообменные процессы [4,7,25÷28,48,49,51,84÷87]. Условия протекания этих процессов, возникновения, развития, тушения и профилактики эндогенных пожаров различны для разных шахт и бассейнов, зависят от многих горно-геологических и горнотехнических факторов [4,7,21,22]. Этим обусловлено существование различных моделей эндогенных пожаров, наиболее обоснованной и строгой, но вместе с тем достаточно простой из которых является, на наш взгляд, модель Е.И. Глузберга [26,27,84,85]. Основные положения этой модели рассмотрим, следуя [26]. Методологические принципы, положенные в основу модели: 1) моделируются процессы тепло- и массообмена в сплошной среде с распределёнными источниками тепла и стоками массы; 2) функция плотности источников тепла на стадии саморазогревания, когда процессы протекают замедленно, аппроксимируется кусочно-линейной функцией температуры; 3) по той же причине, уча463

стки линейности по температуре функции плотности источников и участки постоянства зависящих от температуры коэффициентов переноса могут быть достаточно протяженными; 4) в шахтных условиях, когда многие величины "зашумлены" и должны описываться статистически, необходим выбор оптимальной системы рассматриваемых параметров; 5) такая система должна достаточно полно отражать специфику моделируемых процессов минимальным числом параметров; 6) процесс самонагревания расчленяется на стадии собственно саморазогревания и перехода его в самовозгорание; 7) самонагревание рассматривается как развитие отдельного его очага внутри угольного скопления и как самонагревание скопления в целом; 8) на стадии саморазогревания температурный коэффициент константы сорбции кислорода принимается постоянным, а условия теплообмена угольного скопления с окружающей средой являются определяющим фактором; 9) при переходе самонагревания в возгорание напротив, роль теплообмена на поверхности скопления незначительна, а определяющим фактором является рост температурного коэффициента по мере увеличения температуры; 10) для угольных скоплений небольшой мощности приемлемо приближение постоянства концентрации кислорода в пустотах; 11) для угольных скоплений большой мощности необходимо использовать, вместе с уравнением теплопереноса, уравнение массопереноса (описывающее поле концентрации кислорода в скоплении). Плотность источников тепловыделения пропорциональна количеству поглощенного углём кислорода (эмпирическое обобщение): Δq = qΔO2 , где количество поглощенного кислорода Δ O 2 измеряется в объёмных единицах (при фиксированных давлении и температуре), а удельная теплота сорбции кислорода (тепловой эффект окисления) q – в Дж/м3. Параметр q экспериментально определялся многими исследователями, В.С. Веселовским, в частности, для низкотемпературной стадии окисления (до 100°С) получено q = 12,57·106

Дж/м3. Если заменить Δq → f , ΔO2 → d M , то для удельной теплогенерации в единицу времени ( τ ) следует:

dM , Bт/м 3 . dτ В физической химии принимают, что d M / d τ зависит от объёмной доли кислорода в воздухе, граничащем с углем C и от температуры T : f =q

dM = K (T )C n , (6.87) dτ где n – кинетический порядок реакции; K (T ) – константа скорости сорбции. Параметр n для реакции окисления угля при различных условиях и температурах исследовали многие учёные. На основе анализа источников, в [26] сделан вывод: для низкотемпературного окисления угля n = 1,0, т.е. f = qK (T )C.

464

Т.к. K (T ) принято относить к единице массы окисляющегося материала, то полагают K (T ) = γ U (T ) , где γ – насыпная плотность угля, а U (T ) – константа скорости сорбции, определяемая, с учётом активированного характера окисления, уравнением Аррениуса кинетики реакции:

U (T ) = U max exp(− Ea RT ),

(6.88)

где Ea – эффективная (кажущаяся) энергия активации; R – молярная газовая постоянная; T – температура (в K). Поскольку Ea является эффективной (интегральной) характеристикой сложного многостадийного процесса, экспериментальные определения этого параметра при различных условиях проведения опытов приводили к различным значениям Ea . По данным В.С. Веселовского, на

низкотемпературной

стадии

окисления

различных

углей

Ea

≅

≅ 25,1·103 Дж/моль. Для этой стадии вместо (6.88) используют обычно эмпирическую формулу

U (t ) = U 0 + E (t − t0 ),

(6.89)

где U 0 = U (t0 ) ; E – температурный коэффициент сорбции кислорода (зависящий от интервала температур t1 − t0 ); t ∈ [t0 , t1 ] , °С – интервал температур, в котором справедлива (6.89); t0 = 20°С; t1 = 60°С. С учётом (6.89), функция плотности источников тепла:

f = qγC [U 0 + E (t − t0 )] .

(6.90)

Постоянная U 0 фактически изменяется со временем, но, в основном, первые 10-15 часов процесса окисления. Затем она испытывает небольшие колебания вокруг некоторого среднего значения, принимаемого за U 0 . Функция f по (6.90) позволяет построить простую модель развития очага самонагревания внутри угольного скопления. При этом концентрация кислорода C в (6.90) считается постоянной, т.к. при медленном поглощении кислорода даже его малого притока и диффузии достаточно для поддержания C = C0 = const . Для очага сферической формы – шара радиусом R0 :

⎛ ∂ 2θ 2 ∂θ ⎞ ∂θ ⎟ + ηθ + β, r > 0, τ > 0, = a⎜ 2 + ⎜ r ∂r ⎟⎠ ∂τ ⎝ ∂r

(6.91)

где θ = t − t0 ; η = qEC C y ; β = q U 0 C C y ; C y , а – удельная теплоёмкость и температуропроводность угля. Краевые условия к (6.91):

465

⎧θ0 , r ≤ R0 θ τ=0 = ⎨ , > r R 0 , ⎩ 0

∂θ ∂θ = = 0. ∂r r = 0 ∂r r → ∞

(6.92)

Краевая задача (6.91), (6.92) была решена аналитически, что позволило проанализировать процесс самонагревания очага в скоплении. Для слоевых скоплений угля и целиков прямоугольного сечения достаточным приближением явилось уравнение одномерного переноса в области x > 0 :

∂θ ∂ 2θ + ηθ + β. =a 2 ∂τ ∂x

(6.93)

Для длительного процесса, когда тепловое влияние очага самонагревания достигает границ скопления, либо при изначальном саморазогревании скопления в целом, необходимо учитывать теплопотери скопления, т.е. его тепловое взаимодействие с окружающей средой. Для плоского скопления мощностью h , ограничивающие плоскости которого x = 0 и x = h охлаждаются средой с температурой t0 (θ = 0) при коэффициенте теплообмена α , уравнение (6.93) решается совместно с граничными условиями

⎡ ∂θ ⎤ ⎡ ∂θ ⎤ = λ = 0. λ − αθ + αθ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ х ⎢⎣ ∂ х х =0 х =h

(6.94)

Аналогично формулируются задачи для скоплений сферической и других форм [25,28]. Модель (6.93), (6.94) была уточнена путём учёта контактного теплового взаимодействия с породами почвы в выработанном пространстве. Эта модель – сопряженного теплопереноса в системе "скопление-почва" уже была рассмотрена ((6.63), (6.64)). Фильтрация воздуха через угольное скопление, даже с постоянной скоростью, обуславливает переменное поле концентрации кислорода в нём и теплопотери за счёт конвективного теплопереноса. Модель совместного тепло- и массообмена в скоплении, рассматриваемом как пористая среда с распределенными стоками массы (поглощение кислорода) и источниками тепла (тепловой эффект реакции окисления) должна содержать специфический параметр – коэффициент объёмной теплоотдачи α v . Он необходим для описания теплообмена единицы объема пористой среды с фильтрующимся через него воздухом: d Q = α v ⋅ VΔt d τ, (6.95) где d Q – количество переданного тепла; V – объём пористой среды; Δt (°С) – перепад температур между скелетом пористой среды и фильтрующимся газом; τ – время. Учёт потерь тепла на влагоиспарение (увеличивающее паросодержания фильтрата) осуществляется (см. (5.87)) формулой:

466

d Qис = 0,623

⎤ ∂ ⎡ ϕРн (tв ) ∂ψ (tв ) ( ) dx = r C t V dx, + ρ п в в ф⎥ x ∂ х ⎢⎣ В − ϕРн (tв ) ∂ ⎦

(6.96)

где ϕ – относительная влажность воздуха; Рн (tв ) – насыщенное при темпе-

ратуре tв парциальное давление пара; В – атмосферное давление на глубине скопления; r – удельная теплота парообразования; Cп – теплоёмкость пара;

tв , ρв , Vф – температура, плотность и скорость фильтрации воздуха. Вывод

уравнений тепло- и массопереноса в самонагревающемся скоплении угля заключается в составлении балансов тепла и массы для плоскопараллельного пористого слоя толщиной l , с пустотностью (пористостью) П и просветностью П s . Скелет пористого слоя (угольные частицы) имеет плотность ρ y , теплоёмкость C y , теплопроводность λ y . Фильтрационный поток перпендикулярен плоскостям, ограничивающим слой (направлен по оси Ох ). Температура угля – t y , а объёмная концентрация кислорода – C . Стандартная процедура составления балансов тепла и массы, с учётом (6.90), (6.95), (6.96) приводит к системе уравнений – теплопереноса в скелете и в воздухе и массопереноса кислорода:

ρ уС у (1 − П)

∂t y ∂τ

= (1 − П s )

∂ ⎛ ∂t y ⎞ ⎜λу ⎟+ ∂ x ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠

[

]

∂ψ(tв ) ⎤ ⎡ + ρ у qC (1 − П) U 0 + E (t y − t0 ) − ⎢α v (t y − tв ) + ; ∂ х ⎥⎦ ⎣ ∂t ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ρ в Св П в = (ρвСвVфtв ) ; (6.97) ⎜ λ в П s в ⎟ + α v (t y − tв ) − ∂τ ∂ х ⎝ ∂x⎠ ∂х ∂С ∂ ⎛ ∂С ⎞ ∂ = П (VфС ) − ⎜ Пs Д ⎟− ∂τ ∂ х ⎝ ∂x⎠ ∂х − ρ уC (1 − П) U 0 + E (t y − t0 ) .

[

]

Для анализа вопросов профилактики пожаров важен диапазон температур от 80 до 100°С. Для этого случая систему (6.97) можно упростить, приняв, что: 1) D, λ в , λ у = const; 2) Vф = const ; 3) Cв , Сп = const ; 4) П = П s = const ; 5) ϕ = const ≅ 1,0. Тогда (6.97) принимает вид:

467

∂t y ∂τ

= ау

∂ 2t y

[

]

−1 C qC U 0 + E (t y − t0 ) − + у 2 ∂x

[ρуCy (1 − П)]−1α v (t y − tв ) − ρвСвVф [ρ уCy (1 − П)]−1ψ 0 (tв ) ∂∂txв ; 2

∂tв ∂ tв ∂tв −1 −1 С t t V ( П) ( ) П ; + ρ α − − = ав в в v y в ф 2 х ∂ ∂τ ∂х

(6.98)

∂С ∂ 2С ∂С . = D 2 − ρ уС (1 − П) П −1 U 0 + E (t y − t0 ) − П −1 Vф ∂х ∂τ ∂х

[

]

Модель саморазогревания целиков угля может быть получена из (6.98). При малых скоростях фильтрации через целик (Vф ≤ 0,5·10-4 м/с [27]) темпера-

турный перепад между скелетом пористой среды и фильтратом становится малым, так что можно считать, что tв ≤ t у . Учёт последнего в (6.98) даёт более простую систему уравнений – модель саморазогревания целика угля. Краевые условия в модели (6.98) имеют свою специфику. Начальные температуры угля и воздуха принимаются одинаковыми: t y = tв τ = 0 = t0 . Наτ=0 чальное распределение концентрации кислорода определяется как стационарное решение C = C (x) последнего из уравнений (6.98) при условиях: Vф = 0,

∂C / ∂τ = 0, t y = t0 . Граничные условия для функции t y (х, τ) при х = 0 и х = l – III-го рода с различными коэффициентами теплообмена ( α 0 – при х = 0 , α l – при х = l ). Для температуры воздуха tв (х, τ) граничные условия

имеют вид:

∂t y ⎤ ⎫ ⎡ ∂tв λ − α − + − Π λ = П ( ) ( 1 ) 0 ; t t ⎪ 0 в 0 y ⎢ в ⎥ ∂x ∂ x ⎦ x =0 ⎣ ⎪ (6.99) ⎬ t ∂ ⎡ ∂tв y⎤ λ П ( ) ( 1 ) t t + α − + − Π λ = 0. ⎪⎪ l в 0 y ⎢ в ⎥ ∂x ∂ x ⎦ x =l ⎣ ⎭ Для функции С (х, τ) граничные условия также III-го рода, с различными коэффициентами массообмена при х = 0 и х = l . Система (6.98) была приведена

к безразмерному виду, реализована численно и всесторонне проанализирована [26]. Следствия из модели хорошо согласовывались с экспериментальными данными. Переход самонагревания в возгорание – вторая стадия развития эндогенного пожара – сложный, слабоизученный процесс, о механизмах которого существуют разные точки зрения [26]. Под возгоранием понимают ту стадию

468

(фазу) развития пожара, на которой самонагревание переходит в воспламенение (с последующим разгоранием и горением). Начало возгорания принято характеризовать критической температурой самонагревания. Существуют различные, по-разному обосновываемые, определения этой величины. Большинство авторов связывает эту температуру с резким ускорением процессов окисления и нагревания угля, полагая что она находится в диапазоне 60÷80°С. На основании анализа моделей саморазогревания, Е.И. Глузберг установил критерий самонагревания K :

K = l qE C aC y

(6.100)

и его критическое значение K кр для угольных скоплений различной формы. Наступление фазы возгорания трактуется как переход критерия K , при его возрастании в ходе самонагревания, через значение K кр : K > K кр . Главным фактором роста K является увеличение в ходе процесса температурного коэффициента скорости сорбции Е . В.С. Веселовским была получена формула

U = U 0 exp[δ(T − T0 )], δ = const,

(6.101)

и найдены значения: δ = 0,05 K-1 для каменных углей; δ = 0,06 K-1 – для бурых углей. Из (6.101) следует, что E (T ) ~ exp[δ(T − T0 )] :

∂U = δ U 0 exp[δ(T − T0 )] (6.102) ∂Т При увеличении T и E возрастает критерий K (6.100), который при T = Tкр становится больше критического значения K > K кр . Самонагревание приобреE (T ) =

тает прогрессирующий характер, температура растёт вплоть до воспламенения. Этот прогрессирующий рост температуры, который характерен при изменении 2

2

знака величины ∂ T / ∂τ (от отрицательного – к положительному) составляет сущность стадии возгорания. Расчёты для двух конкретных скоплений угля [26] дали значения: Т кр = 47°С (слоевое скопление, l = 0,7 м); Т кр = = 56°С (сферический очаг, R0 = 0,5 м). Кинетика возгорания слоевого скопления исследовалась на модели с нелинейным источником тепла с учётом (6.101):

∂t = a∇ 2t + q U 0 C y−1 exp[δ(t − t0 )] ∂τ

(6.103)

Нелинейное уравнение (6.103) не имеет аналитического решения. Реализация численных методов решения требует жестких ограничений на шаг по времени [26]. В одномерном случае (слоевое скопление угля) (6.103) принимает вид:

469

∂θ ∂ 2θ = a 2 + q U 0 C y−1 exp(δθ), θ = t − t0 . ∂τ ∂х

(6.104)

При краевых условиях

θ τ = 0 = 0, х ∈ [0, h] ; θ x = 0 = θ х = h = 0, τ ≥ 0

(6.105)

уравнение (6.104) было решено приближенно. Согласование результатов приближенного решения с экспериментальными данными было удовлетворительным [26]. Близкие к моделям [26,27] модели были предложены П.С. Пашковским, А.Е. Калюсским, Н.В. Калединым и др. для описания процессов: самонагревания угля при прямоточной схеме проветривания [48]; при отработке пласта обратным ходом [49]; локализации и затухания эндогенных пожаров при применении инертных газов [51]. Модель [48] базировалась на уравнениях фильтрации, массопереноса кислорода, теплопереноса, неразрывности и состояния:

∂Vx i ∂t

=−

⎧0, i = 1 1 ∂P gVx i − − a0 g sin α, a0 = ⎨ , i = 1,2; (6.106) i = 1 , 2 ρ ∂xi Kф ⎩

∂C j ⎞ ⎛ ∂C j ⎟⎟ + div(C jV ) + a1ρнC ju0e − E / RT Q1 (x1, x 2 ) − ⎜ m⎜ + Vп ∂ х1 ⎠ ⎝ ∂t ⎛ ∂ 2C j ∂ 2 C j ⎞ ⎟ = a ρ f (1 − C ) − ρ C (a f + a f ), (6.107) − mД⎜ + 3 н j j н j 2 м 4 с ⎜ ∂ х2 ∂ х2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 V = Vx1 ;Vx 2 , j = 1,3 ;

{

}

⎛ ∂Т ∂Т ⎞ (T − Tп ) ⎟⎟ + Св ρ div(TV ) + Kτ + Vп = ∂ х1 ⎠ h ⎝ ∂t

ρ нС у ⎜⎜

⎛ ∂ 2Т ∂ 2Т ⎞ ⎟ + ρ н qг С уu0 e − E / RT Q1 (x1 , x 2 ); = λ ⎜⎜ 2 + 2⎟ ⎝ ∂ х1 ∂ х 2 ⎠

(6.108)

∂ρ + div(ρV ) = 0; ρ = P / RT . (6.109) ∂t Здесь: C j – концентрации О2, СО2, СН4; ρ – плотность воздуха; x1, x 2 – декартовы координаты, направленные соответственно по простиранию и по вос-

470

станию пласта; K ф – коэффициент фильтрации; m – пористость выработанного пространства; Vп – скорость подвигания забоя; D – коэффициент диффузии;

u0 – удельная скорость сорбции кислорода углём; Q1 (x1, x 2 ) – функция, описывающая неравномерность потерь угля в выработанном пространстве; f м – удельное объёмное метановыделение; f с – удельное объёмное выделение СО2; Св , С у – теплоёмкости воздуха и угля; qг – удельная теплота сорбции кислорода; K τ – коэффициент нестационарного теплообмена; h – мощность пласта; Tп – температура обрушенных пород; ρн – начальная плотность угля. Реализа-

ция этой сложной модели потребовала численных методов и экспериментального определения (на специальном стенде) ряда параметров и функций. Близкая модель в трёхмерной постановке, но при учёте массопереноса только кислорода, сформулирована в [49]. Локализация и затухание эндогенного пожара при применении инертного газа исследовались на модели [51]:

∂С ∂ ⎛1 − Π ⎞ − E / RT ⋅Cn; + (GRв P −1TC ) = −ρ y ⎜ ⎟ K 0e ∂t ∂ x ⎝ Π ⎠

(6.110)

K b(T − Tп ) ∂T ⎛⎜ Π GC p ⎞⎟ ∂T Q + . (6.111) = K 0e − E / RT C n − τ ∂t ⎜⎝ 1 − Π ρ yC y ⎟⎠ ∂ x C y (1 − Π )ρ yC y Н Краевые условия имели вид

⎧⎪G1, t < t0/ ⎧C01, t < t0 С (х,0) = С0 ; Т (х,0) = Т 0 ; С (0, t ) = ⎨ ; G (0, t ) = ⎨ . (6.112) / ⎩C02 , t ≥ t0 ⎪⎩G2 , t ≥ t0 Здесь обозначено: G – массовый расход смеси; R, Rв – универсальная и для воздуха газовые постоянные; b – параметр формы скопления ( b = 1 – для плоского, b = 2 – для цилиндрического скопления); H – мощность обрушения; остальные величины ранее уже встречались. Авторы решают краевую задачу (6.110)÷(6.112) приближенно – сведением к одному уравнению – теплопереноса. Из оценки ρв ρ у ~ 10-3 делается вывод о существенно меньшем характерном времени массопереноса по сравнению с таковым для теплопереноса. Для t ≥ x ρв G полагают, что ∂C / ∂t ≅ 0 и приводят (6.110) к виду

ρ у (1 − Π ) d ⎛G ⎞ ⎜⎜ С ⎟⎟ = −ϕ(T )С n , ϕ(T ) = K 0 exp(− E / RT ). (6.113) dx ⎝ ρв ⎠ Π Полагая ϕ(T ) медленно изменяющейся со временем, а n ≅ 1,0, получают:

471

⎛ ρ x ⎞ ⎜ в С = С0 exp − ϕ(T (x, t )) dx ⎟ . ⎜ G ⎟ 0 ⎝ ⎠ Подстановка этого выражения в (6.111) (где n = 1,0), приводит к интегродифференциальному уравнению относительно Т (x,t ) , метод решения которого не

∫

излагается. В [51] авторы пошли на дальнейшее существенное упрощение задачи, позволившее им применить метод характеристик и получить численные результаты. Несколько отличный от известных методов моделирования эндогенных пожаров [4,26,84,48,49,51] подход был предложен С.Л. Фрейдманом [86,88,89]:

(1 − Π )ρ уС у

∂T = div(λ∇T ) − div(ρc CcV T ) − ∂t

− (1 − Π ) Kρ у (WKΠ − W p )q (1 + mT )e Π

[

− Kt

(6.114)

+ ρ(1 − Π ) M τ ϕC ;

]

∂ (ρс С ) + div ρс (V C − D∇С) = −ρ у М τ . ∂t

(6.115)

Здесь ρc , Cc – плотность и теплоёмкость газовоздушной смеси; K – коэффициент сушки; WKΠ , W p – приведенные критическое и равновесное влагосодержание угля; q – удельная теплота влагосодержания; m – коэффициент роста парообразования с температурой; ϕ – коэффициент удельной теплоты окисления; М τ – коэффициент скорости окисления угля. Как видно, в этой модели используется большее число трудноопределяемых параметров, чем в моделях [26].

§ 80. Теплоперенос в выработках Модели теплопереноса в выработках рассматриваются в связи с анализом проблем предупреждения, развития и тушения экзогенных пожаров. Рассмотрим три характерных группы моделей. Возникновение экзогенных пожаров в достаточной степени случайно. Объектом моделирования в этом случае являются опасные ситуации – нештатные режимы работы оборудования, его отказы и аварии для которых характерно появление высоких температур, что приводит к воспламенению метана, горючих материалов, имеющихся в выработке. Примером такой опасной ситуации служит проскальзывание ленты конвейера на приводном барабане [90], что приводит к выделению большого количества тепла за счёт сил трения (фрикционная теплогенерация), разогреву и загоранию ленты.

472

В математической модели аварийного теплового режима конвейера было принято [90]: 1) коэффициент трения пары "лента конвейера-футеровка барабана" и теплогенерация на контакте постоянны; 2) теплофизические параметры ленты и футеровки и их толщины одинаковы; 3) барабан не участвует в теплопередаче от футеровки к окружающей среде; 4) материалы ленты и футеровки однородны и изотропны; 5) фрикционная теплогенерация равномерно распределяется на нагрев ленты и футеровки; 6) нагревание ленты сопровождается её термической деструкцией с кинетикой разложения согласно реакции первого порядка и закона Аррениуса с эффективными (определяемыми экспериментально) предэкспонентом и энергией активации; 7) тепловой поток одномерен; 8) теплофизические параметры ленты не зависят от температуры; 9) унос материала при его термическом разложении отсутствует. На основании этих допущений, уравнение теплопереноса в ленте было записано в виде [90]:

∂t ∂ 2t Q = a 2 − K 0 exp(− E RT ), x ∈ (0, l), τ > 0, ∂τ C ∂x

(6.116)

где а, С – температуропроводность и теплоёмкость; K 0 – предэкспоненциальный множитель; T = t + 273 K . Использование преобразования Д.А. ФранкКаменецкого и дополнительной (для узкого интервала температур) гипотезы: ΔT ~ τ , позволило представить (6.116) в виде:

∂t ∂ 2t Q = a 2 − K exp(−mτ), C ∂τ ∂x

(6.117)

где K, m – эмпирические коэффициенты. Краевые условия к (6.117):

t (x,0) = t0 ; − λ

∂t ⎡ ∂t ⎤ = q т ; ⎢λ + α(t (x, τ) − t0 )⎥ = 0, (6.118) ∂ x x =0 ∂ x ⎣ ⎦ x =l

где qт – плотность потока тепла к ленте, обусловленного фрикционной теплогенерацией. Решение задачи, полученное в [90], весьма громоздко, а её постановка вызывает сомнения в физической корректности. Уравнение теплопереноса в ленте (6.117) содержит в правой части функцию стока тепла, которая описывает теплопотери на реакцию термического разложения ленты. Этот сток в начальный момент времени максимален, а с течением времени убывает экспоненциально, что не согласуется с кинетическими закономерностями таких реакций [91]. Кроме того, допущение 8) сомнительно, т.к. термодеструкция материала ленты ведёт к изменению её теплофизических характеристик. Более реалистична, на наш взгляд, модель аварийного режима трения заклиненного ролика конвейера о нагруженную ленту [92]. Интенсивность возникающего при трении источника тепла q :

q=μ

Pϑ , S1

(6.119)

473

где μ

–

коэффициент трения скольжением; Р

–

нормальная нагрузка; ϑ

–

ско-

рость движения ленты; S1 – площадь поверхности контакта. Модель основывается на допущениях: 1) поле температур – двумерное, а контакт – одномерный; 2) ролик конвейера представляется пластиной с эквивалентной массой m , толщиной l и высотой h ; 3) тепловой контакт ролика и ленты – идеальный. Уравнение теплопереноса для ролика (пластины) в приближении "тонкой пластины":

∂Т1 ∂ 2Т1 2α = а1 − (T − T0 ), y1 > 0, τ > 0. (6.120) 2 ρСh 1 ∂τ ∂ у1 1 1 где T1 (y1, τ) – температура в пластине; ρ1, С1, a1 – плотность, теплоёмкость и температуропроводность металла; α – коэффициент теплоотдачи. Уравнение теплопереноса в ленте, с учётом её движения со скоростью ϑ : ∂Т 2 ∂Т 2 ∂ 2Т 2 +ϑ = a2 , y 2 > 0, τ > 0, (6.121) 2 ∂τ ∂x ∂ y2 где x – координата сонаправленная ϑ ; y 2 – координата, направленная, как и y1 , перпендикулярно плоскости ленты и противоположно y1 . В точке контакта ленты с роликом, т.е. при y1 = y 2 = 0, x = 0 : Т1 = Т 2 . Для потоков тепла в ролик и в ленту справедливо соотношение

− λ1

∂Т1 ∂Т − λ2 2 = q. ∂ у1 у = 0 ∂ у 2 у =0 1 2

(6.122)

Поскольку теплопроводность конвейерной ленты мала, её можно представить полубесконечным телом, полагая, что при у 2 → ∞, ∂Т 2 ∂ у 2 → 0. Т.к. длина l зоны контакта мала, то приближенно справедливо:

ϑ

∂Т 2 ϑ ≅ (Т 2 − Т 0 ), ∂ х Сl

где Т 2 – средняя температура контакта; С = 1,132 – поправочный коэффициент. На внешней границе пластины ( у1 = h ) принято условие теплоизоляции:

∂Т1 ∂ у1 → 0. Краевая задача была затем приведена к безразмерному виду и

решена преобразованием Лапласа по времени. Получена приближенная формула для максимальной температура контакта

Т1 max = T0 + K1Pϑ, по которой для типичных численных значений параметров найдено, что Т1 max может достигать 400єС и более, что говорит о реальности возникновения пожара [92].

474

Другим характерным источником экзогенных пожаров являются аварийные режимы работы рудничного электрооборудования [37]. Одним из мощных источников тепловыделения являются дуговые короткие замыкания внутри защитных оболочек. Наружные поверхности оболочек при этом могут сильно разогреваться (сотни градусов) и инициировать воспламенение газа и пыли. Математическая модель температурного режима оболочки аварийного электрооборудования [93]:

∂Т ∂ 2Т = а 2 , х ∈ [0, R ] , τ > 0 ; ∂τ ∂х

(6.123)

∂Т ∂Т = Н (Т 4 (0, τ) − Т14 ), = ∂ х х =0 ∂ х х=R = h(T2 − T ( R, τ)) − HT 4 ( R, τ), T (x,0) = T0 .

(6.124)

Здесь x = 0 – на внутренней стенке оболочки, а x = R – на внешней; постоянные H и h образованы из параметров закона Стефана-Больцмана и граничных условий III-го рода. Нелинейная краевая задача (6.123), (6.124) решена комбинированным методом: формальным применением преобразования Лапласа получено выражение для температуры в стенке оболочки; затем, с использованием (6.124), получена система двух нелинейных интегральных уравнений относительно плотностей излучения. Далее были применены сложные численные методы. Получены и проанализированы данные по совершенствованию параметров взрывобезопасных оболочек. В пластах угля встречаются породные, в частности пиритные включения. Сильное трение резца комбайна о такое включение приводит к разогреву фрикционного контакта и появлению искр – раскалённых частиц породы [29,30]. Для профилактики воспламенения метано-воздушной смеси этими фрикционными искрами, важно знать характерное время зажигания ими смеси [94]. Для определения этого времени, авторы [94], используя результаты [95,96] предложили математическую модель зажигания газа накалённым телом. Рассматривается индукционный режим зажигания (характеризуемый соотношением 2Т s > Tг , где Т s – температуры поджигающего тела, Т г – температура горения газа). Температурное поле в газовой смеси, окружающей сферическую накалённую частицу, описывалось уравнением теплопереноса в безразмерном виде

∂θ 1 ∂ ⎛ 2 ∂θ ⎞ = ⎜ξ ⎟ + exp[θ /(1 + βθ)], θ = θ(ξ, τ), ∂τ ξ 2 ∂ξ ⎝ ∂ξ ⎠

(6.125)

при условиях:

475

θ(ξ,0) = θ0 ; θ(ξ s , τ) = 0; θ(∞, τ) = θ0 . Здесь

{[

обозначено:

(6.126)

θ = E (T − Ts ) RTs2 ; β = RTs E ; ξ = r x a ; τ = t t x ;

]

х а = λ g RTs2 exp( E RTs ) Eq K oρ g C0

}1/ 2

– характерный размер; t x =

= x 2a a – характерное время; ξ s = rs x a ; а – температуропроводность частицы; rs − её радиус; ρ g , λ g – плотность и теплопроводность газа; C0 – относительная массовая концентрация горючего компонента в газе в начальный момент времени; Ts – температура поверхности частицы; E – энергия активации; q – тепловой эффект реакции на единицу массы горючего компонента. Предположив, что в тонком, примыкающем к частице слоя, температура газа мгновенно принимает стационарное значение, уравнение (6.125) для этого слоя ( ξ ∈ (ξ s , ξ s + δ) ) записали в виде

1 ∂ ⎛ 2 ∂θ1 ⎞ ⎜ξ ⎟ + exp[θ1 (1 + βθ1 )] = 0, 2 ∂ξ ∂ ξ ξ ⎝ ⎠

(6.127)

с условиями

θ1 (ξ s ) = 0;

∂θ1 = 0. ∂ξ ξ = ξ

(6.128)

s

Преобразовав второе слагаемое в (6.127) методом Д.А. Франк-Каменецкого, с учётом малости толщины зоны химической реакции по сравнению с размером частицы ( δ << ξ s ), уравнение (6.127) представили в виде

∂ 2 θ1 ∂ξ

2

+ exp θ1 = 0.

(6.129)

В области ξ ∈ (ξ s + δ, ∞) источниками тепла пренебрегают и для интервала

времени ( 0, τ з ) (где τ з – время зажигания) записывают:

∂θ 2 1 ∂ ⎛ 2 ∂θ 2 ⎞ = ⎜ξ ⎟ ; θ 2 = θ 2 (ξ, τ), τ ∈ (0, τ з ); ∂τ ξ 2 ∂ξ ⎝ ∂ξ ⎠

(6.130)

θ 2 (ξ,0) = θ0 ; θ 2 (ξ s + δ, τ) = θ1 (ξ s + δ, τ); θ 2 (∞, τ) = θ0 ; (6.131) ∂θ1 ∂θ = 2 . ∂ξ ξ = ξ + δ − 0 ∂ξ ξ = ξ + δ + 0 s s 476

(6.132)

Из решения задачи (6.129)÷(6.132) было найдено искомое время зажигания t з :

1 ⎛ rs r* ⎜ tз = πа ⎜⎝ rs − r*

{[

2

⎞ ⎟⎟ , ⎠

]

r* = λ q (Т s − T0 ) 2 E exp( E / RTs ) 2 RTs2 qK 0ρ q C0

}1/ 2.

(6.133)

С уменьшением rs (rs → r* )t з → ∞; при rs < r* частица не поджигает газовую 2

смесь. При rs → ∞ : t з = r* πa – в соответствии с [95], где получена формула для случая поджигания накалённой поверхностью. Модификация формул вентиляционных расчётов при пожарах, расчёт коэффициентов нестационарного теплообмена, коэффициентов теплообмена с учётом влияния температуры и лучистого теплопереноса, отражены в работах Б.И. Медведева и его сотрудников [40,98,99]. Ими же получены формулы расчёта температур пожарных газов в выработках, реализованные на ЭВМ [40, 100,101]. Предложен зональный метод расчёта, при котором выработка разбивается на три зоны (по ходу струи): до места возгорания; от места возгорания до очага пожара в данный момент времени (фронта пожара); за очагом пожара [99÷102]. Параметры вентиляционной струи в первой зоне соответствуют штатной ситуации (отсутствию пожара). Во второй зоне – зоне горения – идёт нагревание газовоздушного потока и остывание горного массива. В третьей зоне пожарные газы охлаждаются, а массив нагревается. Для некоторого расстояния L – от места возникновения пожара до его очага время разогрева потока τ удовлетворяет неравенству τ ≥ L ϑп . За очагом пожара, напротив, τ ≤ L ϑп [102]. Для скорости движения пожара ϑп уже приводилась формула В.М. Жадана (6.18). Температура пожарных газов за очагом [1]:

⎡ αV ⎤ tг = tп + (tоч − tп ) exp ⎢− ( L − ϑп τ)⎥ , ⎢⎣ GC p ⎥⎦

(6.134)

где tп , tоч , tг – температуры: пород на глубине выработки, пожарных газов в зоне горения, пожарных газов за очагом соответственно; V – периметр выработки; G – весовой расход воздуха; C p – удельная теплоёмкость пожарных газов. Обработка данных экспериментов, проведенных в опытной штольне ВНИИГД, позволила предложить для второй зоны (перед очагом пожара) формулу (6.134) с заменой в ней L ↔ ϑп τ [102]. Эти и аналогичные формулы приведены в обзоре [40]. Там же приводится аналог (6.134), но с заменой аргумента экспоненты:

tг = tп + (tоч − tп ) exp(− K τ′VL GC p ) ,

(6.135)

477

где K τ′ – коэффициент нестационарного теплообмена массива с пожарными газами. Из формул (6.134), (6.135) видно их "происхождение" – УТБ простейшего вида (см. ч. 5). Подход Б.И. Медведева также лежит в рамках парадигмы шахтной теплофизики, хотя и содержит ряд нововведений, о которых сказано выше. При моделировании экзогенных пожаров встречаются также аналоги "модернизированных" моделей штатного теплопереноса – модели на основе уравнений в частных производных и модели сопряженного теплопереноса в системе "массив−выработка". Модели на основе уравнений в частных производных встречаются при описании развития экзогенных пожаров [103ч105] и при анализе процессов пожаротушения [106,107]. Модель [103] базировалась на квазилинейном уравнении теплопереноса:

∂t ⎤ ∂t ∂t ∂ ⎡ ∂t ⎤ 1 ∂ ⎡ ( ) + ( ) , r ∈ [0, R0 ), x, τ > 0, (6.136) +V = a t ra t ∂τ ∂ x ∂ x ⎢⎣ ∂ x ⎥⎦ r ∂r ⎢⎣ ∂r ⎥⎦ где t – температура пожарных газов; V – средняя скорость потока; a (t ) – коэффициент температуропроводности. Краевые условия к (6.136)

t (x, r ,0) = ψ (x); t (0, r , τ) = f (τ); ∂t ⎡ ⎤ λ + α − ( t ) ( t t ) = 0; lim t = t0 . м ⎢⎣ ⎥ ∂r x →∞ ⎦ r = R0

(6.137)

Здесь tм r = R – температура стенки горной выработки, изменяющаяся со вре0 менем. В связи с этим, задача в [103] формулируется как сопряженная: для tм (x, r , τ) записывается уравнение типа (6.136) при V = 0. Однако в дальнейшем задача была кардинально упрощена: в (6.136) было принято a (t ) = a =

= const, в граничном условии III-го рода – tм r = R = tc = const . Решение та0 кой ординарной задачи было получено конечно – разностным методом и использовано для обоснования мест установки пожарных извещателей. Аналогичная модель в [104], где постоянная температура стенок выработки обосновывалась быстротечностью анализируемого переходного процесса V = V (t ) (τпп = 1,0 ÷ 1,5 часа) , когда массив ещё не успевает нагреться, использовала понятие коэффициента турбулентной температуропроводности:

⎡ ∂ 2T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ∂Ò ∂T + V (t ) = aT ⎢ 2 + ⎜r ⎟⎥ , T = T (x, r , t ) , x > 0. ∂t ∂x r r r ∂ ∂ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ∂ x

(6.138)

Как видно из (6.138), aT = const и одинаково для продольного ( x > 0 ) и поперечного (r ∈ [0, R0 )) теплопереносов, что противоречит смыслу этого ко-

478

эффициента (см. о DТ в ч. 3). Краевые условия к (6.138) соответствовали (6.137). Функция f (t ) подбиралась эмпирически. Результаты расчётов были использованы при разработке рекомендаций по тактике ведения горноспасательных работ. Для обобщения экспериментальных данных по динамике развития экзогенных пожаров с одним или несколькими очагами горения, с целью разработки метода расчёта аварийных вентиляционных режимов, в [105] была предложена модель, включавшая в себя: 1) уравнение движения воздушного потока; 2) уравнение конвективно-кондуктивного теплопереноса; 3) уравнение неразрывности; 4) уравнение газового состояния. Уравнение теплопереноса имело вид:

∂ 2T ∂T ⎞ ⎛ ∂T (6.139) +V ρС ⎜ ⎟ = λ 2 + J (x, t ), ∂x⎠ ⎝ ∂t ∂x где ρ,C , λ – параметры газовоздушной смеси; J (x, t ) – удельная мощность источников тепла в выработке. Указанная система уравнений была упрощена (приведена к квазистационарному виду) и исследовалась численно. Конкретный вид функции J (x,t ) не приводится [105]. Моделирование температурного режима вентиляционной струи, исходящей из очага пожара, до и после закорачивания её, осуществлялось на основе следующих допущений [106]: 1) скорость потока постоянна и равна средней скорости; 2) изменение скорости происходит скачкообразно; 3) температура воздушного потока характеризуется средней по сечению и изменяется только вдоль его пути; 4) температура стенки выработки на исследуемом участке постоянна; 5) на границе потока со стенкой выработки теплообмен описывается граничными условиями III-го рода; 6) коэффициент температуропроводности потока – известная функция его температуры; 7) выработка является круглым прямолинейным каналом. С учетом изложенного, уравнение теплопереноса:

∂T ⎤ a (T ) ∂ ⎡ ∂T ∂T a T − Nu (T − Tc ), t > 0, = ( ) +V ∂ x ⎥⎦ R02 ∂ x ∂ x ⎢⎣ ∂t где T , Tc – температуры потока и стенки;

(6.140)

R0 – радиус выработки;

Nu = α d/ λ – число Нуссельта; d = 2 R0 ; λ – коэффициент теплопроводности

воздуха. Краевые условия:

T (x,0) = Tc (x,0) = T0 , x ∈ (0, L); T (0, t ) = F (t ); t > 0. Задача была решена численно. Для локализации экзогенных пожаров применяется охлаждение потока горячих пожарных газов диспергированной водой [107]. Уравнение теплопереноса:

479

∂ 2t ∂t ⎞ ⎛ ∂t ρС р ⎜ + V ⎟ = λ 2 − j , x > 0, τ > 0, x ∂ ∂ τ ⎝ ⎠ ∂x где ρ, С р , λ

–

(6.141)

плотность, теплоёмкость и эффективная турбулентная теплопро-

водность газа; j – функция стока тепла, моделирующая теплопотери газов за счёт нагрева диспергированной воды. Функцию j можно записать в виде j = =

α v (t − t ж ) , где α v

объёмный коэффициент теплоотдачи, t ж – температура жидкости. Считая теплообмен протекающим интенсивно, уравнение (6.141) заменили соответствующим стационарным уравнением – обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, решаемым элементарно. Результаты использованы для обоснования параметров водяных завес. Сопряженные задачи теплопереноса в система "массив - выработка" при моделировании экзогенных пожаров встречаются чаще, чем при моделировании штатного теплопереноса [75,108÷110]. Ориентируясь на использование АВМ, авторы [75] перешли от системы уравнений в частных производных – теплопереноса в массиве и выработке к уравнениям тепловых балансов в конечных элементах их. Горный массив системой окружностей {Ri }(i = 1, n) разбивался на концентрические слои, а выра–

ботка – на K элементов длиной l = L / K . Для первого, примыкающего к потоку газов слоя массива r ∈ ( R0 , R1 ) уравнение баланса тепла

С1

d t1 T K И = −Q12 + Q01 + Q01 , dτ

(6.142) T

где С1 , t1 – теплоёмкость и температура первого слоя; Q12 – тепло, передаваеK

мое первым слоем второму теплопроводностью; Q01 – тепло, поступающее в первый слой за счёт конвективного теплообмена его с потоком пожарных газов; И Q01 – тепло, получаемое первым слоем от пожарных газов за счёт теплообмена

излучением. Аналогично выглядит балансовое уравнение и для других блоков массива и отрезков выработки. Граничные условия IV рода в данной модели учитывается уравнением связи температур первого блока и пожарных газов. Модель охлаждения пожарных газов в третьей зоне пожарной выработки была сформулирована в виде [108]:

480

⎛ ∂ 2t 1 ∂t1 ⎞ ∂t1 ⎟, t1 = t1 (r , τ), r ∈ [R0 , ∞ ), τ > 0 ; = a⎜ 2 + ⎜ ∂r ⎟ ∂ ∂τ r r ⎝ ⎠

(6.143)

∂t C p m 2 = αV (t 2 − tст ), t 2 = t 2 (х, τ), х > 0, τ > 0 ; ∂x

(6.144)

∂t −λ 1 = α(t 2 − tcт ) r = R , tcт = tcт (τ), τ > 0. 0 ∂r r = R0

(6.145)

Здесь t1 , t 2 , tст – температуры массива, газового потока и стенки выработки;

C p , m – теплоёмкость и весовой расход газа; α – коэффициент теплоотдачи на стенке выработки с периметром V ; x – продольная (вдоль выработки) коорди-

ната. Краевая задача (6.143)÷(6.145) относится к т.н. "полусопряженным" задачам (см. ч. 5), решалась она конечно – разностным методом. Результаты хорошо согласовывались с экспериментальными данными [108]. Аналогичная задача, в нелинейной постановке и в безразмерном виде, рассмотрена в [109]

ϕ(θ)

∂θ 1 ∂ ⎛ ∂θ ⎞ ∂ ⎛ ∂θ ⎞ = ⎜ εf (θ) ⎟ + ⎜ f (θ) ⎟, ε ≥ 0,5; ∂Fo ε ∂ε ⎝ ∂ε ⎠ ∂η ⎝ ∂η ⎠

∂χ Pe ∂χ 4 BiCопρоп (χ − θ), ε < 0,5. + =− ∂Fo ρ (χ) ∂η Ñог ρог ρ (χ)

(6.146)

(6.147)

Здесь θ, χ – безразмерные температуры пород и газов, движущихся по выработке; ε, η – безразмерные координаты r и x ; ϕ(θ), f (θ), ρ (χ) – безразмерные, зависящие от соответствующих температур теплоёмкость и теплопроводность массива, плотность газового потока; Fo, Bi, Pe – критерии Фурье, Био, Пекле; индекс "0" означает отнесение величины к нормальным условиям, а индексы "П" и "Г" – обозначают, соответственно, породы и газ. Второе слагаемое в правой части (6.147) вызывает сомнения: усреднением температуры газового потока по сечению (а оно в (6.147) явно уже проведено) можно получить ( χ − θст ), а не ( χ − θ ) ( θст – температура на стенке массива). Задача решалась численно. Охлаждение пожарных газов рассматривалась и в модели [110]:

∂t αV (θc − t ) + qd ∂t g Δz = +V , S > 0, τ > 0 ; +V ∂S ρ mC p f ∂τ Cp L

⎛ ∂ 2θ 1 ∂θ ⎞ ∂θ ⎟, r ≥ R0 , τ > 0. = a⎜ 2 + ⎜ ∂τ r ∂r ⎟⎠ ⎝ ∂r

(6.148)

(6.149)

Здесь: t , θ – температуры газовоздушного потока в выработке и массиве; V – средняя скорость потока; ρ m – плотность газовоздушной смеси; C p – её теплоёмкость; f

–

площадь поперечного сечения выработки; θc

–

температура стен-

481

ки выработки; qd – плотность распределения источников тепла в выработке; Δz – перепад высот начала и конца выработки длиной L. Уравнение (6.148) и (6.149) кроме члена с ( θc − t ), связаны между собой и граничными условиями III-го рода. Т.о. вновь имеем "полусопряженную" постановку задачи, содержащую ту же некорректность, что и рассмотренные ранее (в т.ч. и в гл. 5): из уравнений (6.148) и (6.149) видно, что t = t ( s, τ) , а θ = θ( r , τ) , т.е. удовлетворить граничным условиям IV-го рода эти функции не могут. В [110] задача решалась численными методами. Рассмотрим далее несколько характерных моделей пожаротушения [107,111÷114]. При тушении экзогенных пожаров водой, она интенсивно испаряется. Движение пожарных газов, содержащих водяной пар сопровождается их остыванием. При температуре газов 100°С и ниже начинается конденсация влаги из газовоздушной смеси при относительной влажности её ϕ = 1,0. Это усложняет горноспасательные работы и требует разработки метода прогноза тепловых условий [111]. Изменение влагосодержания пожарных газов в диапазоне температур 15÷75єС авторы полагают возможным, ссылаясь на Л.Д. Бермана, описывать формулой х = bа , где b = 0,0049, a = 1,0598 при ϕ = 1,0, а t измеряется в °С. Скрытая теплота парообразования в этом же температурном интервале также переменная: r = r (t ) = 0,587 t + 597,7053. Уравнение теплового баланса потока влажных пожарных газов: t

GC p d t + G d[r (t ) x(t )] = K τV (tп − t ) d y,

(6.150)

где G – весовой расход сухих пожарных газов; C p – их теплоёмкость; K τ , V , tп – соответствуют стандартным обозначениям; d y – элемент длины выработки; d – символ дифференциала. Уравнение (6.150) отличается от УТБ простейшего вида (гл. 5) только тем, что r ≠ const . Как и во всех ранее рассмотренных УТБ (кроме УТБ А.Ф. Воропаева), в его левой части находится дифференциал энтальпии, что автоматически относит все теплопоступления от конденсации влаги к газовому потоку. Между тем ясно, что в значительной степени конденсация будет происходить на стенках выработки, которые, тем самым, получат часть тепла конденсации. Уравнение (6.150) [111] решено, найдены длина участка выработки, на котором температура пожарных газов снижается до допустимого уровня, позволяющего присутствие горноспасателей. Близкая модель предложена для описания процессов тепло- и массопереноса в водяной завесе [112]. Плотность орошения и температура охлаждающей воды принимались постоянными по сечению выработки. При охлаждении газового потока водой и паром, последним передаётся тепло d Q :

d Q = Gж С рж dt ж + [r + C р п (tг − t ж ) ] d Gи ,

482

(6.151)

где Gж – расход охлаждающей жидкости; Gи – расход испарившейся жидкости; tг , t ж – температуры газов и жидкости; С рж , C р п – теплоёмкости жидкости и пара. Это же количество тепла, потерянное пожарными газами:

d Q = Gг Срг d tг = α v (tг − t ж ) d V ,

(6.152)

где Gг – расход сухих горячих газов; Срг – их теплоёмкость; α v – коэффициент объёмной теплоотдачи; d V – элементарный объём водяной завесы. Количество испарившейся жидкости:

⎛ P ⎞ d Gи = β v ( Pж′′ − Р ) d V = 0,623 d⎜ ⎟, ⎝B−P⎠

(6.153)

где β v – объёмный коэффициент массоотдачи; Pж′′ , P – парциальные давления пара при температуре жидкости и газа соответственно; В – атмосферное давление на данной глубине. Из (6.151) ч (6.153) следует:

Gж C рж d t ж = K α α v (t ж − tг ) d V − rβ v ( Pж′′ − Р) d V ,

(6.154)

где коэффициент K α учитывает тепло, уносимое паром:

Kα = 1 +

Cрпβ v αv

( Pж′′ − Р ).

Полагая, что при определении α v эта величина суммарно учитывает все виды теплопереноса (т.е. является эффективной), авторы принимают, что K α = 1,0. В итоге получена система уравнений:

α G ⎫ A = v (Cрг λ ) −1, λ = г ;⎪ βv Gж ⎪ ∂t ж ⎪ = Bt ж + A1tг + Cp + Д, B = − A1 − rn, A1 = ⎪ ∂ω ⎪ αv ⎪ =− , C = r , Д = - rm ; ⎬ βv ⎪ ⎪ ∂Р = В1t ж + C1 p + Д1, В1 = 1,61λ−1nPг,cp , ⎪ ∂ω ⎪ −1 ⎪ C1 = − В1n , Д1 = −C1. ⎪ ⎭ ∂tг = A(t ж − tг ), ∂ω

Здесь:

n, m

= ( В − Р) ср

– –

(6.155)

коэффициенты аппроксимации ( Pж′′ = nt ж + m );

Pг,ср = −1

среднее парциальное давление сухих газов; ω = β vVGж

–

неза-

483

висимая переменная, пропорциональная расстоянию. Система (6.155) аналогична полученной Л.Д. Берманом для противоточных охладителей с испарительным охлаждением воды [112]. Результаты конкретных расчётов по (6.155) не приводятся [111]. Как показал опыт ведения горноспасательных работ и результаты экспериментов, продолжительность ликвидации пожара изоляцией пожарного участка можно существенно сократить, создав режим рециркуляции пожарных газов [113]. Модель сопряженного теплопереноса в системе "массив – рециркулирующий газовый поток" имеет вид:

⎫ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T1 ⎞ ∂ 2T1 ⎤ ∂T1 ∂T1 +V = a1 ⎢ , r ∈ [0, R0 ), t > 0 ; ⎪ ⎟+ ⎜r 2⎥ r r r ∂t ∂x ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ x ⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎬ (6.156) 2 ⎤ ⎡ ∂T2 1 ∂ ⎛ ∂T2 ⎞ ∂ T2 ⎪ [ ∈ ∞ > = a2 ⎢ r R ) t , , , 0 . ⎟+ ⎜r ⎥ 0 ⎪ 2 ∂t ⎣⎢ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂ x ⎦⎥ ⎭ Здесь индексы "1" и "2" обозначают, соответственно, газовый поток и массив; х – расстояние от места возникновения пожара до рассматриваемого сечения контура рециркуляции. Первое из уравнений (6.156) путем усреднения по площади поперечного сечения выработки было приведено к виду:

⎡ 2 ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂T ∂ 2T ⎤ +V = a1 ⎢ ⎜ + 2 ⎥, ⎟ ∂t ∂x ∂ r ⎠ r = R0 ∂ x ⎥⎦ ⎢⎣ R0 ⎝ T = T (x, t ) =

2

(6.157)

R0

∫ rT1(r , x, t ) d r.

R02 0

На стенке выработки задавались условия сопряжения температур (IV-го рода):

∂T ∂T T1 r = R = T2 r = R ; λ1 1 = λ2 2 . 0 0 ∂r r = R0 ∂r r = R0 Использовано также условие III-го рода:

λ1

)

(

∂T1 = α T2 r = R − T , 0 ∂r r = R0

(6.158)

(6.159)

с учетом которого (6.157) представлено в виде:

(

)

∂T ∂T ∂ 2T 2α +V = a1 2 + T2 r = R − T . 0 ∂t ∂x ρ C R ∂x p 0

(6.160)

Математическая модель приведена к уравнениям (6.160) и второго из уравнений (6.156) которые решаются как система уравнений с краевыми условиями: 484

T (x,0) = T2 (x, r ,0) = T0 ; T (x, t ) = T2 (x, R0 , t ) = Tг , x ∈ Lг , t < tг

(

)

∂T2 α = T2 r = R − T , x ∈ Lг , t > tг . 0 ∂r r = R0 λ 2 Здесь Lг – длина зоны горения; tг – время окончания горения; α определено по [40]. Задача была решена конечно – разностным методом, результаты хорошо согласовывались с экспериментальными данными [113]. Изоляция пожарных участков осуществляется с помощью пожарных дверей и перемычек, препятствующих распространению пожара по выработке [107,114]. Параметры их определяют огневыми испытаниями и моделированием тепловых режимов их работы. Математическая модель теплового режима двери при её одностороннем нагреве пожарными газами, предложена в [107]. Теплопередачей через торцы пренебрегают, рассматривают одномерный теплоперенос в неограниченной пластине толщиной l с постоянными теплофизическими характеристиками. На границе двери х = 0, обращенной в сторону пожара, задаётся граничное условие I-го рода – "стандартный температурный режим". На другой границе, х = l, задаётся граничное условие III-го рода. Задача решалась преобразованием Лапласа по времени. Получена формула для определения предела огнестойкости дверей [107]. Модель теплопередачи в перемычке из вспененной пластмассы, с учётом сопутствующих реакций разложения (пиролиза) органической части пеноматериала, предложена в [114]. Выведено одномерное уравнение теплопереноса:

f 2 (ε, T )

∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T = + ⎜ f1 (ε, T ) ⎟ + GCг ∂t ∂ x ⎝ ∂x⎠ ∂x

(6.161)

+ ρ0 KQ p (β − εa −1 ) exp(− E / RT ), где f 2 (ε, T ) = ρ эфСэф – эффективная теплоёмкость, задаваемая эмпирически; f 2 (ε, T ) = λ эф – аналогично; G – массовый расход газа через единицу площади перемычки; Сг – теплоёмкость газа; ρ0 – начальная плотность материала; Q p – тепловой эффект реакции разложения; β – относительное содержание разлагающейся органической части материала перемычки; a – относительная доля органической части, превращающейся в газ; ε – текущая (переменная) пористость; х – расстояние, обсчитываемое от поверхности, обращенной к пожару. Граничные условия к (6.161) III-го рода при х = 0, II-го рода (однородное) – с противоположной стороны перемычки ( х = L ). Анализ (6.161) и его решение в [114] не даны.

485

§ 81. Параметры теплопереноса Ранее уже рассматривались параметры теплопереноса в массивах. Далее остановимся на : 1) формулах для λ (Т ) и С (Т ) при высоких (пожарных) температурах; 2) формулах для α и α v (обычного и объёмного коэффициентов теплообмена, используемых в моделях пожаров); 3) иных формулах и параметрах. Теплофизические параметры горных пород при высоких температурах изучались рядом исследователей в связи с проблемами бурения (в т.ч. − термического)[115]. Применительно к задачам прогноза температурных полей в массивах при подземных пожарах, использовались скорее общеметодологические принципы [115], чем приведенные там данные по параметрам теплопереноса. Последние определялись специалистами-горняками на лабораторных установках и образцах пород, характерных для конкретных угольных бассейнов [26,116÷120]. Теплофизические свойства углей, на основе анализа работ А.А. Агроскина, В.В. Ржевского, Г.Я. Новика, А.П. Дмитриева, С.А. Гончарова, Ю.И. Белоцерковца и др., рассмотрены в [26]. Для описания теплопроводности пористых сред, к которым относится и уголь, обычно используют закон Фурье, в котором коэффициент теплопроводности λ трактуют как эффективную величину, интегрально описывающую все виды переноса (кондукцию, конвекцию, лучистый теплообмен). Угли низкотеплопроводны: λ угля в 140 раз ниже λ стали и в 1400 раз ниже λ серебра. Теплопроводность угля всего в 6 раз выше теплопроводности пеностекла – типичного теплоизолятора. В насыпном виде, при низких температурах (до 100°С), эффективная теплопроводность λ е разных

углей находится в пределах λ е = 0,1÷0,19 Вт /(м ⋅ K ), а в массиве λ е = = 0,19÷0,38 Вт /(м ⋅ K ). При изменении влажности каменных углей от 0 до 10%, λ е возрастает в 1,5 раза, а бурых, при изменении влажности от 0 до 30% возрастает более чем в 2 раза. Увеличение насыпной плотности каменного угля γ = ρ(1 − Π ) (ρ – плотность, Π – пористость угля) от 600 до 950 кг/м3 увели-

чивает λ е от 0,137 до 0,177 Вт /(м ⋅ K ). Температуропроводность ископаемых углей в монолите при низких температурах колеблется от 1,1·10–7 до 2,8·10–7 м2/с, будучи максимальной для антрацитов. В отличие от λ е , сильно зависящих от насыпной плотности и влажности, параметр а более стабилен – при увеличении влажности от 0 до 20%, а возрастает лишь на 10%. Увеличение насыпной плотности от 750 до 1000 кг/м3 уменьшает а на 6%. Удельная теплоёмкость углей колеблется от 1,05 до 1,47 кДж/(кг·К), убывая с ростом стадии метаморфизма. Для антрацитов С у = 1,05, для каменных углей С у = 1,13÷1,38,

486

для бурых углей С у = 1,38÷1,47 (кДж/(кг·К)). Эффективные λ , С у , а зависят от температуры, но в интервале температур низкотемпературного окисления угля (стадия саморазогревания) их можно считать постоянными [26]. При развитых пожарах, когда температуры угля и пород составляют сотни градусов, эти параметры начинают существенно зависеть от температуры, что должно, тем или иным образом, учитываться при расчётах [121÷124]. Температуропроводность углей и пород Донбасса исследовалась [116] по методике А.А. Агроскина – Н.С. Мирингоф [125]. Использовались три пробы углей – марок Ж,К,Г и три пробы глинистого и песчанистого сланцев. Было найдено, что: 1) зависимость а = а (t ) линейна для песчанистого сланца, при

t = 200°С – а = 2,37·10 − 7 м2/с, а при t = 700°С а = 4,53·10 − 7 м2/с; 2) у глинистого сланца также отмечалось линейное изменение с температурой, от а = −7 = 2,02·10–7 м2/с при t = 0°С до а = 4,95·10 м2/с при t = 850°С; 3) у углей в интервале t = 0÷250°С параметр а изменялся слабо, принимая при t = 250°С значение а = 1,5·10–7 м2/с и возрастая более резко при больших температурах, достигал значения а = 5·10–7м2/с при t = 700°С; 4) для углей низкого метаморфизма (марка Г) и среднего (марка К) при t = 100°С, а ≅ 1,3·10–7, м2/с.

Зависимость теплопроводности осадочных горных пород от температуры исследовалась А.П. Тельным и В.А. Стукало [117], исходившими из теории теплопроводности кристаллических и аморфных тел. Полагалось, что для горных пород λ является суперпозицией (с весовыми коэффициентами) величин λ i – коэффициентов теплопроводности слагающих породу компонент. В итоге была получена формула

λ(T ) =

A + BT + C , T

A, B, C = const,

(6.162)

которая для горных пород с преобладанием кристаллической составляющей упрощалась:

λ(T ) =

A + D, T

A, D = const .

(6.163)

Эксперименты с образцами песчаника и глинистого сланца показали, что (6.162) хорошо описывает их результаты. Авторы приводят усредненные данные для песчаника шахты "Октябрьская" [117]:

T , K ........................295 510 580 670 780 880 1000 λ, Bт/(м⋅ K) ..........1,38 0,95 0,82 0,74 0,64 0,62 0,55 Коэффициенты A, D в (6.163), определенные методом наименьших квадратов: A = 362 Вт/м ; D = 0,196 Вт/м ·K. Продолжая исследования температурных зависимостей осадочных горных пород, авторы [117] в работе [118] выразили в явной форме связи λ (T ) и С (T )

487

с их "нормальными" значениями На основе (6.163) получено:

λ = λ(T ) =

λ0 ,С0 (т.е. измеренными при Т = = 293 K ).

295λ 0 − 234 + 0,80 ( Bт/(м⋅ K) ) T

(6.164)

Влияние температуры на теплоёмкость горных пород при T > 273K описывается в ряде работ (для удельной и объёмной теплоёмкостей) зависимостью

C (T ) = A1 + B1T − C1T − 2 . Эксперименты показали [118], что для осадочных горных пород Донбасса (кроме карбонатов) В1 ≅ 0, т.е.

С (Т ) = А1 − С1Т − 2 .

(6.165)

Статистической обработкой измерений было получено (при r = 0,928 ± 0,026):

C (T ) = 1,170 ⋅ 106 + 1,0233C0 − 10,55 ⋅ 1010 T − 2 (Дж/м3⋅K) ,

(6.166)

где С0 = С (293 K). Максимальная погрешность формул (6.164) и (6.166)

≅ 15% [118]. Теплофизпараметры дробленных пород в выработанном пространстве изучались [119] Г.В. Мильманом. Эксперименты с песчаником фракций 5÷140 мм показали, что теплофизпараметры в процессах нагревания и охлаждения засыпки изменяются несимметрично. При нагреве от 293 K до 900 K , эффективная теплопроводность возрастает в 3÷5 раз, а при остывании изменяется слабо. Это объяснялось интенсивным испарением влаги в первом случае и отсутствием фазовых переходов влаги – во втором. Аналогичные исследования проводились и другими. При обычной температуре (295 K) коэффициент теплопроводности дробленной породы λ 0 , как было установлено [120], может определяться по корреляционной зависимости

λ 0 = 8,06 ⋅ 10 − 4 ρ − 1,17 ⋅ 10 − 7 ρ 2 − 0,71,

(6.167)

где ρ = плотность дроблённых пород (кг/м3). С ростом температуры λ возрастает:

λ = λ 0 + b(T − 295), b = 8,8 ⋅10 − 4 − 4 ⋅ 10 − 7 ρ.

(6.168)

При охлаждении дроблённой породы (нагретой ранее до Т ≥ 850 K ), как показали эксперименты, вначале λ убывает достаточно резко, а затем прямая λ (T ) проходит приблизительно параллельно таковой при нагревании. Значения λ измельченной породы, охлажденной после нагревания до комнатной температуры, были, в среднем, в 1,2 раза меньше, чем до нагревания (кроме известня488

ков). Авторы рекомендуют для режима охлаждения породы зависимость (6.168) использовать в виде

λ λ = 0 + b(T − 295) . 1,2

(6.169)

Для известняков в (6.169) необходимо вместо 1,2 использовать коэффициент 1,1. Таким образом, в работах [119,120] отмечено явление гистерезиса теплофизических свойств дроблёных пород при их нагревании и охлаждении. Объёмная теплоёмкость дроблённых пород при охлаждении может быть определена для любой температуры Т путём умножения зависимости С (Т ) для случая нагревания на поправочный коэффициент K = 1 − 1,2 ⋅ 10

−4

(Tm − T ) ,

где Tm − температура породы в момент начала её охлаждения [120]. Ранее было оговорено, что к параметрам переноса мы относим коэффициенты теплообмена и другие величины, встречающиеся в уравнениях и граничных условиях краевых задач, вообще говоря, теплофизическими параметрами не являющимися. В математических моделях эндогенных пожаров встречаются коэффициенты теплообмена поверхностей угольных засыпок и целиков с движущимся воздухом α и коэффициенты объёмного теплообмена (внутри пористой среды) α v [26,27]. В моделях экзогенных пожаров используется суммар-

ный коэффициент теплообмена α Σ = α к + α и , где α к ,α и – соответственно коэффициенты теплообмена конвекцией и излучением стенок выработки с движущимися пожарными газами [5,97,98]. Коэффициенты теплообмена между воздухом и поверхностями засыпок и целиков угля определяется по известным формулам [26,27] и разработанным применительно к теплообмену в выработанном пространстве [16]. На основе аналогии Рейнольдса В.В. Откидач получил [16]:

α=

1 fρвСвVв , 2

(6.170)

где f – безразмерный коэффициент аэродинамического сопротивления; ρв ,Св – плотность и удельная теплоёмкость воздуха; Vв – скорость утечек воздуха в выработанном пространстве. С учётом поправки на гистерезис α при нагревании и охлаждении пород, для изолированного пожарного участка из (6.170) было получено

λ α = 0,03 в d эк

⎛ Vв d эк ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ν ⎝ в ⎠

0,8

1/ 2

⎛ tc ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ tв ⎠

,

(6.171)

где λ в , ν в – коэффициенты теплопроводности и вязкости воздуха; d эк – эквивалентный диаметр поровых каналов в выработанном пространстве; tc – тем-

489

пература стенки порового канала; tв – температура утечек воздуха. Для описания теплообмена угольного скопления с фильтрующимся через него воздухом, Е.И. Глузбергом был предложен [126] коэффициент объёмной теплоотдачи α v , определяемый по (6.95) и используемый в уравнении теплопереноса (6.97). Обработка данных, полученных на экспериментальной установке, привела к зависимости

Nu = 0,0025 Re 0,87 ,

(6.172)

2

в которой Nu = α v d cp / 6λ (1 − Π ); Re = Vф d cp / Π ν; d cp – средний диметр каналов в угле; Vф – скорость фильтрации; Π − пустотность (пористость) за-

сыпки; λ, ν – теплопроводность и вязкость воздуха. Явный вид формулы (6.172):

(1 − Π )λ ⎛ Vф ⎞ ⎟⎟ α v = 0,015 1,13 ⎜⎜ Π ν d cp ⎝ ⎠

0,87

.

(6.173)

Для коэффициентов теплообмена α между пожарными газами и стенками выработок – коэффициентов теплообмена при экзогенных пожарах – было предложено много эмпирических формул [40,103]. Как правило, это формулы вида:

α = А + ВV n , где A, B = const; V – средняя скорость газовоздушного потока; n у разных авторов имеют значения: 0,5; 0,67; 0,8; 1,0. Автор [103] исходя из формулы

Nu = 0,39 Re 0,7 , полученной для условий начальной стадии развития экзогенного пожара, с учётом степенных зависимостей λ = λ (T ) и μ = μ(T ) (для теплопроводности и вязкости пожарных газов), при T ≤ 350 K и ε = 1,5 ÷ 2,2 (коэффициент шероховатости стенок выработки) получил график кривой

α = α(V ), где [α ] = Вт/м 2 K, [V ] = м/с . Из этого графика видно, что при V ∈[0,5;1,5], кривую α(V ) можно представить линейной функцией. Для V ∈(1,5;4,0] (чем и исчерпывается диапазон рассматриваемых скоростей пото-

ка) − аналогично, но прямая имеет другой угол наклона. Простые вычисления позволили получить (при погрешности ≤ 8%):

⎧3,0 + 14,0V , V ∈ [0,5;1,5] α = α(V ) = ⎨ ⎩10,8 + 8,8V , V ∈ (1,5;4,0].

(6.174)

Зависимость (6.174), как и график в [103], по которому она построена, содержит все параметры, определяющие α (кроме V ) в усреднённом виде, в числовых коэффициентах. Это значит, что (6.174) справедлива для "среднего" пожара и 490

может служить лишь для ориентировочных расчётов. В работах [5,75,77,100,127÷129], обобщенных в [40], принят иной подход. Коэффициент α выражается через большое число параметров, что, как и всегда в таких случаях, имеет две стороны : положительную, поскольку возможен расчет α для самых разнообразных условий (сочетаний параметров); отрицательную, поскольку в реальных шахтных условиях все параметры известны приближенно и увеличение их числа увеличивает и итоговую погрешность. Общий (суммарный) коэффициент теплообмена пожарных газов со стенкой выработки определяется [40] суммой коэффициентов теплообмена конвекцией ( α к ) и излучением ( α и ):

α = αΣ = αк + αи .

(6.175)

Величина α к определяется по известной критериальной зависимости:

Nu = 0,022ε Re 0,8 Pr 0,4 ,

(6.176)

где Nu = α к d λ в – число Нуссельта; Re = Vd / v – число Рейнольдса; Pr = v / a – число Прандтля; ε – коэффициент шероховатости стенок; d = 4 S /U – эквивалентный диаметр выработки с площадью сечения S и периметром U ; λ в , v, a – теплопроводность, кинетическая вязкость и температуропроводность газовоздушной смеси, зависящие от температуры. При использовании в (6.176) весового расхода воздуха G (вместо объемного Q = V ⋅ S ) и динамической вязкости μ , она принимает вид:

α к = 0,0167 Pr

0, 4

λ в U 0,2 ⎛ G ⎞ ε ⎜ ⎟ S ⎝μ⎠

0,8

.

(6.177)

Критерий Pr для смеси воздуха с пожарными газами в диапазоне пожарных температур ( T = 273 ÷ 1273K ) изменяется слабо и может быть принят постоянным: Pr ≅ const = 0,7 [40]. Зависимости λ в (T ) и μ(T ) с приемлемой точностью могут быть представлены в виде: n

m

⎛T ⎞ ⎛Т ⎞ λ в (Т ) = λ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ , μ(T ) = μ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ T0 ⎠ ⎝ Т0 ⎠

(6.178)

где λ 0 ,μ 0 соответствуют Т = Т 0 = 273 K; n, m = const . Значения λ0 , μ 0 , m , n, для воздуха, паров воды и основных видов пожарных газов табулированы [40]. Для характерного состава пожарных газов ( N 2 − 69%, CO 2 − 10%, H 2 O

− 10%, O 2 − 4%, CO − 3%, CH 4 − 2%, H 2 − 2%) конвективный коэффициент теплообмена α к :

491

G 0,8 U 0,2 0,35 α к = 0,36ε T , Вт/(м2·K). S

(6.179)

Колебания процентного содержания состава пожарных газов мало сказываются на α к . При составе пожарных газов: N 2 – 73,7%, CO 2 – 4%, H 2 O – 4%, O 2 – 16%, CO – 0,3%, CH 4 – 1%, H 2 – 1%, формула (6.179) принимает вид

G 0,8 U 0,2 0,33 α к = 0,37ε T , S

(6.180)

что приводит, при расчётах по формулам (6.179) и (6.180) к близким численным значениям α к .

Коэффициент теплообмена излучением α и в (6.175) зависит от температур пожарных газов и стенок выработки, степени черноты последней, относительной излучательной и поглощательной способности газов. На основании закона Стефана–Больцмана, α и может быть определён по формуле [40]:

⎡⎛ Т ⎞ 4 ⎛ Т ⎞ 4 ⎤ α и = σ ст σ г С0 (Т г − Т ст ) ⎢⎜ г ⎟ − ⎜ ст ⎟ ⎥ , ⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦ −1

(6.181)

где С0 = 5,7 Вт/(м2K4) – коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела; σст , σ г – эффективные степени черноты стенок выработки смеси газов;

Т г ,Т ст – абсолютные (в K) температуры газов и стенок. Вариантными расчётами величины σ = σст σг для выработок различного сечения (при R0 = 0,9÷2,7 м) и Т г = 323÷1473K, с использованием опытных данных о степенях черноты

углекислого газа и паров воды, получена зависимость [40]:

σ = AT 2 + BT + C , 2

в которой A = (1,767 R0 − 11,11R0 − 5,56) ⋅ 10

−8

(6.182)

; B = (−3,535R02 + 19,62 R0 −

С = −0,001R02 + 0,053R0 + 0,200. Содержание CO 2 в пожарных газах принималось равным 10%, а H 2O – 7%. Учёт влияния задым− 2,85) ⋅ 10 − 5 ;

ленности и запыленности воздуха на поглощение лучистой энергии не осуществлялся [40], в силу недостаточной изученности этих вопросов, отдельные стороны которых (для конкретных условий) изучались в [20,103,130]. К иным параметрам теплопереноса относим: коэффициенты турбулентной температуропроводности газовоздушного потока [104]; конечную скорость распространения температурного поля в массиве [16]; дальность перемещения и скорость потока воздушно-механической пожаротушащей пены [131].

492

Коэффициент турбулентной температуропроводности α т , который в модели [104] считался, при данной скорости потока, величиной постоянной ((6.138)) определялся сравнением результатов моделирования с опытными данными, полученными в испытательной штольне ВНИИГД. Попутно для различных скоростей потока V (м/с) определялся критерий Nu . Результаты представлены в таблице 6.1 [104]:

Таблица 6.1

Коэффициент турбулентной температуропроводности и Nu при различных скоростях потока

αт

V , м/с αт ,

0,3

0,5

1,0

2,0

3,0

5,0

0,0030

0,0035

0,00475

0,0054

0,0065

0,0125

Nu

324

365

470

690

910

1310

2

м /мин

Конечная скорость распространения температурного поля в массиве Vr является параметром гиперболического уравнения теплопроводности, использованного в модели нагрева массива при экзогенном пожаре [16]. Автор использовал формулу А.В. Лыкова 1/ 2

⎛ aG ⎞ Vr = ⎜ ⎟ μ ⎝ ⎠

,

(6.183)

в которой a – коэффициент температуропроводности горных пород; G – модуль упругости, а μ – коэффициент вязкости пород. Для пород известняка, шлакоблоков и бетона экспериментально были найдены, соответственно, значения: Vr = 0,16÷0,2 м/час; Vr = 0,16÷0,5 м/час; Vr = 0,22÷0,33 м/час. Расчёты по (6.183) дали близкие значения [16]. В качестве дистанционного пожаротушащего средства при пожарах в труднодоступных местах используется воздушно-механическая пена средней и высокой кратности [131]. Экспериментально была найдена формула для скорости потока пены в закрепленной и незакрепленной выработках:

V = V0 − 0,0088 L, V = V0 − 0,02 L, (6.184) где V0 – начальная скорость движения пены; L – расстояние, пройденное пеной. Начальная скорость движения пены связана с начальной скоростью движения воздуха VВ 0 (перед пеногенератором) в закреплённой и незакреплённой выработках соответственно эмпирическими зависимостями:

V0 = 0,62 ÷ 72; VB 0

V0 = 0,41 ÷ 0,49. VB 0 493

Дальность перемещения потока пены может быть найдена по формуле 1,5

L ⎛V d ⎞ = 3,4 ⋅ 10 − 7 ⎜ B 0 ⎟ , d ⎝ v ⎠

(6.185)

а в случаях 4%-го раствора пенообразователя ПО-1 в виде:

L = 7,0(VB 0 d )1,5 . d

(6.186)

В (6.185), (6.186): d – эквивалентный диаметр выработки; v – вязкость воздуха.

Глава 27. Модели-аналоги § 82. Самонагревание породных отвалов и штабелей угля Породные отвалы шахт и штабели угля являются искусственными массивами, близкими по пожароопасности к скоплениям и целикам угля в выработанном пространстве. Параметры, определяющие пожароопасность плоских породных отвалов: толщина одновременно отсыпаемого породного слоя и ширина изолирующей полосы у кромки откоса [132]. Для уточнения этих параметров, известных эмпирически, проводились экспериментальные и теоретические исследования. Анализ изотерм показал, что начиная с 3−6-и метров от откоса поток тепла двумерен. Поскольку ширина слоя одновременно отсыпаемой породы существенно меньше ширины отвала, а тепло распространяется нормально откосу отвала, уравнение теплопереноса в слое породного отвала было записано в виде [132]:

γ п Сп

⎛ ∂Т ∂Т ∂Т ⎞ + ρСв ⎜⎜ u + ϑ ⎟⎟ = ∂τ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

⎛ ∂ 2Т ∂ 2Т ⎞ = λ⎜ 2 + 2 ⎟ + qKCS exp(− E / RT ), ⎜∂x ∂y ⎟⎠ ⎝

(6.187)

где T – температура отвальной массы, K; x, y, τ – декартовы координаты и время; γ п – насыпная плотность отвальной массы; ρ – плотность воздуха; Сп ,Св – удельные теплоёмкости отвальной массы и воздуха; u , ϑ – компоненты вектора скорости воздуха V ; λ – коэффициент теплопроводности отвальной массы; q – удельная теплота окисления пород; K – константа скорости реакции окисления; C – концентрация кислорода в отвале; S – удельная поверх494

ность; E – энергия активации реакции окисления; R – газовая постоянная. Уравнение (6.187) было решено после его упрощения (рассмотрено линеаризованное стационарное уравнение). Была получена формула для критической толщины слоя, превышение которой ведёт к самовозгоранию отвала. Уравнение стационарного массопереноса кислорода в отвале:

⎛ ∂C ∂C ⎞ ρк ⎜⎜ u +ϑ ⎟ + KCS exp(− E / RT ) = 0, ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂y

(6.188)

где ρк – плотность кислорода, а другие обозначения уже разъяснены. Величины u , ϑ в (6.188) считаются известными из решения уравнения фильтрации. Из решения (6.188) с корректировкой его по опытным данным, найдена формула для безопасной ширины слоя отвала. На основе аналогичной модели и натурных наблюдений дают свои рекомендации по формированию слоистых породных отвалов авторы [133] (предлагается чередовать породы, содержащие горючий материал с пустыми и инертными породами). Наблюдения за процессами самонагревания плоских породных отвалов привели к выводу о том, что оптимальная толщина одновременно отсыпаемого неизолированного породного слоя может быть определена на основе одномерной модели теплопереноса [134]:

∂Т ∂ 2Т γ п Сп = λ 2 + qKCS exp(− E / RT ). ∂τ ∂y

(6.189)

Уравнение (6.189) – частный случай (6.187) (в котором пренебрегли х – компонентой кондуктивного теплового потока и конвективным теплопереносом). Для "рабочего" диапазона Т = Т с ÷ Т к , экспонента в (6.189) линеаризована ( Т с = 300 K – температура среды, а Т к = 320 К – критическая температура нагрева отвала):

qKCS exp(− E / RT ) ≅ A + BT , T ∈ [Tc , Tк ].

(6.190)

Для решения задачи авторы используют метод "термического слоя" А.В. Лыкова, согласно которому отвал рассматривается как двухслойная пластина. Первый, примыкающий к основанию отвала слой, толщиной Н − l( τ) , не подвергается влиянию окружающей среды. За счёт окислительного источника тепла температура в нём поднимается от Tc до Т ( τ) . Второй слой, шириной l( τ) , примыкающий к поверхности, нагревается внутренним источником тепла того же типа и охлаждается через поверхность у = 0. В этом же слое температура Т = Т ( у, τ). В безразмерном виде уравнения имеют вид: для первого слоя

θ1 = θ1 (ξ, Fo),

∂θ1 = a + bθ1, θ1 ∈ [0,1] , θ1 (ξ,0) = 0; ∂Fo

(6.191)

для второго (охлаждаемого) слоя

495

∂θ2 ∂ 2θ θ 2 = θ 2 (ξ, Fo), = + a + bθ 2 , θ 2 ∈ [0,1] , θ2 (ξ,0) = 0; (6.192) ∂ Fo ∂ξ 2 Здесь обозначено:

T ( y, τ) − Tc a τ α h y l(τ) θi (ξ, Fо) = i ; Fo = 02 ; Bi = к ; ξ = ; β = ; Tк − Tc h h λ h a0 = λ / γ пСп – температуропроводность пород; h – характерный линейный размер ( h = 1,0 м); α к – коэффициент теплообмена поверхности отвала с воздухом; a, b – коэффициенты, связанные с параметрами аппроксимации (6.190): a = A λ (Tк − Tc ) ; b = B λ (Tк − Tc ) . Граничные условия имели вид: ∂θ 2 ∂θ 2 = 0; θ1 ξ =β( Fo) = θβ (Fo). (6.193) = Biθ 2 (0, Fo); ∂ξ ξ =β( Fo) ∂ξ ξ = 0 Задача решалась приближенным методом Ю.С. Постольника (см. гл. 4). Численные результаты не приводятся [134]. Окисление пирита, содержащегося в некоторых горных породах, химическим путём обычно протекает очень медленно. Он резко интенсифицируется микроорганизмами. В каждом моле пирита, окисленного до сульфата железа и серной кислоты, выделяется 1278,4 кДж тепла [135]. Биохимическое окисление и выщелачивание пирита лимитируется концентрацией кислорода в поровых растворах горной породы. Моделирование самонагревания влажной пиритосодержащей породы базировалось на допущениях [135]: 1) окисление и выщелачивание пирита протекает в сферическом объёме влажной породы (радиус шара – R0 ); 2) скорость процесса пропорциональна концентрации кислорода в среде; 3) в небольшом интервале температур, в котором активны микроорганизмы, константу скорости реакции можно считать постоянной; 4) сток массы при диффузии в среде кислорода описывается выражением ω = KN ( N – концентрация кислорода, K – константа скорости реакции). Массоперенос кислорода описывался уравнением

⎛ ∂ 2 N 2 ∂N ⎞ ∂N ⎟ − KN , N = N (r , t ), r ∈ [0, R0 ), t > 0. (6.194) = D⎜ 2 + ⎜ ∂r ⎟ ∂ ∂t r r ⎝ ⎠ Теплоперенос – уравнением

⎛ ∂ 2T 2 ∂T ⎞ ∂Т ⎟ + g к KN , Т = Т (r , t ), r ∈ [0, R0 ), t > 0. (6.195) = χ⎜ 2 + ⎜ ∂r ∂t r ∂r ⎟⎠ ρ0С0 ⎝

496

В этих уравнениях : D – коэффициент диффузии кислорода; χ = λ ρ0С0 – температуропроводность влажной породы; λ, ρ0 , С0 – её теплопроводность, плотность и теплоёмкость; g к – тепловыделение на 1 моль кислорода, присоединенного в биохимическом процессе окисления и выщелачивания пирита. В начальный момент времени кислород в объёме породы отсутствует: N (r ,0) = 0. Используется также условие симметрии: (∂N / ∂r ) r = 0 = 0. На поверхности сферической частицы концентрация кислорода считается известной (заданной): N ( R0 , t ) = N 0 (t ). Краевые условия для (6.195):

∂Т ∂Т = 0; − λ = ∂r r = 0 ∂r r = R0 (6.196) = α(T ( R0 , t ) − Tв ) + vδ exp(−μt ),

T (r ,0) = Tв = const;

где α – коэффициент теплоотдачи; v – удельная теплота испарения влаги; δ – интенсивность испарения влаги ( δ = const – первый период сушки;); μ – коэффициент сушки. Далее краевая задача обезразмеривается и решается разложением искомых функций в двойные ряды. После ряда упрощений, решение проанализировано, определён критический радиус биохимического реактора [135]. При взаимодействии в пустотах породного отвала влаги и серного ангидрита или разбавлении ею сернокислотных поровых растворов, наблюдается интенсивное тепловыделение, повышается давление водяных паров, что может привести к выбросу породы из отвала [136]. Известны случаи, когда в отвалах большие массы переувлажненной породы смещаются (оползни) во время или после сильных дождей. При этом слой нагретой до высокой температуры породы может покрыть линзу увлажненной горной массы. В [136] рассмотрена модель выбросоопасного отвала – трёхслойная система: слой уплотнённой горной массы с высокой температурой, линза влажной породы и покрывающий её породный слой. Составлены уравнения теплового баланса слоёв – обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, из решения которых найдены кривые изменения температуры пород и величина избыточного давления водяных паров – фактор выбросоопасности [136]. Самонагревание угля в штабеле изучалось в [137]. Наблюдения показали, что самонагревание угля в штабеле и возникновение очагов самовозгорания локализуются в тонком (по сравнению с размерами штабеля) слое, примыкающем к поверхности контакта с воздухом – т.н. зоне кислородного влияния. Предполагая штабель полуограниченным, а поля концентрации кислорода и температуры в нём одномерными, уравнения тепло- и массопереноса записали в виде [137]:

∂t ∂ 2t = a 2 + C y−1CC0−1Ф0 exp[δ(t − t0 )] ; ∂τ ∂x

(6.197)

497

∂С ∂ 2С = D 2 − П −1q −1ρCC0−1Ф0 exp[δ(t − t0 )] . ∂τ ∂x

(6.198)

Здесь: t , C – температура в штабеле и концентрация в нём кислорода; τ, x – время и координата; a, D – температуропроводность и коэффициент диффузии; C y – удельная теплоёмкость угля в штабеле; ρ – насыпная плотность угля; П – пустотность штабеля; q – тепловой эффект окисления; Φ 0 – удельная мощность тепловыделения, соответствующая начальным температуре t0 и кон-

центрации C0 ; δ – температурный коэффициент роста мощности тепловыделения. Краевые условия для (6.197):

t (x,0) = t0 ; λ

∂t = α(t − t0 ) x = 0 , ∂ x x =0

(6.199)

где λ – эффективный коэффициент теплопроводности в штабеле; α – коэффициент теплообмена поверхности штабеля с воздухом. При объёмной концентрации кислорода в воздухе C0 , граничное условие для (6.198):

C (0, t ) = C0 .

(6.200)

Начальное условие для C (x, t ) следует из (6.198) при ∂C / ∂τ = 0, t = t0 . Решение полученного таким образом обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющее (6.200), имеет вид

С (х) = С0 exp[−(ρ Ф 0 П −1 D −1q −1C0−1 )1 / 2 x] = C (x,0).

(6.201)

Система (6.197), (6.198) с условиями (6.199)÷(6.201) была решена численно. Были определены условия формирования стационарных температурных полей и роста температуры в штабеле, рассчитаны режимы самонагревания [137]. Аналогичная задача – определение условий самовозгорания пыли натуральных топлив рассмотрена в [33]. Уравнение теплопереноса в пылевом цилиндре поcле линеаризации имело вид:

∂θ ∂ 2θ 1 ∂θ + = + δ0 (1 + θ), ∂Fo ∂ x 2 x ∂ x

(6.202)

близкий к виду уравнений (6.91), (6.93), (6.192).

§ 83. Фрикционная теплогенерация При рассмотрении модели аварийного температурного режима в системе "лента конвейера – заклиненный ролик" (6.120)÷(6.122), интенсивность фрикционного источника тепла определялась простой формулой (6.119). Рассмотрим

498

аналогичные задачи в более сложных постановках [138,139]. Анализируя влияние на фрикционный разогрев зависимости силы трения от температуры, авторы [138] полагали, что на пятне контакта шириной d :

qтр = τ тр ⋅ ϑ = q1 + q2 ,

(6.203)

где qтр – теплогенерация фрикционного источника; q1 , q2 – доли этого количества тепла, поступающие в тело "1" и тело "2"; τ тр – касательное напряже-

ние; ϑ – относительная скорость движения тел. При росте температуры пятна контакта T , коэффициент и сила трения уменьшаются по сложной зависимости. Авторы используют для неё аппроксимацию:

⎡ ⎛ Т − Т ⎞n ⎤ 0 ⎟ ⎥, τ тр (Т ) = τ тр,0 ⎢1 − ⎜⎜ ⎢ ⎝ Т * − Т 0 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(6.204)

где τ тр,0 = τ тр (T0 ); Т * , n – параметры аппроксимации. Сложную контактную задачу теплопереноса в движущихся телах авторы решают приближенным методом Блока−Егера, сущность которого – редукция к двум автономным задачам теплопереноса. Разогрев первого, считаемого полубесконечным, тела происходит за счёт потока тепла на пятне контакта:

⎡ ⎛ T − T ⎞n ⎤ 0 ⎟ ⎥. q1 (T ) = q1,0 ⎢1 − ⎜⎜ ⎢ ⎝ T* − T0 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(6.205)

Вне пятна контактная поверхность считается адиабатической. Вид зависимости (6.205) вытекает из (6.203), (6.204). Уравнение теплопереноса в теле "1":

⎛ ∂ 2Т1 ∂ 2Т1 ⎞ ∂Т1 ∂Т1 +ϑ = a1⎜ 2 + 2 ⎟ , ⎜ ∂x ∂t ∂y ∂y ⎟⎠ ⎝

(6.206)

где T1 = T1 ( x, y, t ) – температура в теле "1"; x, y – декартовы координаты, нормальная пятну касания и совпадающая с направлением скорости движения соответственно; ϑ – относительная скорость движения; а1 – температуропроводность первого тела. Граничные условия к (6.206):

⎧⎪q1(T ), y ≤ d / 2 ∂Т1 −λ =⎨ , T1 → T0 . x, y → ∞ ∂х х = 0 ⎪⎩0, y > d / 2

(6.207)

Аналогично формулируется задача теплопереноса для тела "2". Задачи решались численно. После введения коэффициента распределения фрикционной теплогенерации между телами "1" и "2" – α т по формулам

499

q1 = (1 − α т )qтр , q2 = α т qтр ,

(6.208)

с последующим приравниванием максимальных безразмерных температур обоих тел, найдено: −1

⎛ ⎞ π λ1 ϑd α т = ⎜⎜1 + Pe1 ⎟⎟ , Pe1 = . 4 λ a 2 1 ⎝ ⎠

(6.209)

В качестве параметра T* использовалась температура плавления более легкоплавкого тела [138]. Скольжение тела по поверхности другого с большой скоростью анализировалось в [139]. В движущемся теле, по представлениям авторов, тепло локализуется в слое, примыкающем к поверхности контакта и расширяющегося со временем. Внутри неподвижного тела (контртела) после короткого периода выхода на стационарное распределение температуры, образуется расширяющийся от переднего торца движущегося тела тепловой пограничный слой [139]. Для ширины зоны теплового влияния контакта в движущемся теле известны зависимости вида

δ = δ(t ) = K at ,

(6.210)

где параметр K у разных авторов различен. В [139] приведены ссылки на работы Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райзера, Ж.А. Фазекаса, А.А. Ильюшина и П.М. Огибалова, А.А. Чичинадзе и других, различными методами нашедших: K = = 2,0; K = 1,75; K = 2 π ; K = 1,73; K = 1,94 и т.д. В [139] параметр K и температурные поля в обоих телах определяются путём представления их в виде n

⎛ y⎞ T = T0 ⎜1 − ⎟ . ⎝ δ⎠

(6.211)

Для случая n = 2 найдено

δ=

6 at ≅ 3,39 at . π

(6.212)

Проанализированы случаи постоянной температуры и постоянного теплового потока на пятне контакта, найдены решения одномерного (для движущегося тела) и двумерного (для контртела) уравнений.

§ 84. Джоулева теплогенерация Рассмотрим модель – аналог системы, в которой температурный режим определяется выделением джоулева тепла. При экстремальных значениях джоулевой теплогенерации (что возможно в режиме короткого замыкания) в систе-

500

ме происходит нагрев и воспламенение горючего компонента. Такие ситуации возможны в различном электрооборудовании, что и является часто причиной экзогенных пожаров. Модель предложена О.И. Кашубой для определения температурного поля в системе "мостик накаливания электродетонатора – воспламенительный состав" [140]. Уравнение теплопереноса в мостике накаливания:

ρ1С1

∂Т1 λ1 ∂ ⎛ ∂T1 ⎞ = ⎜r ⎟ + W (T ), r ∈ [0, R0 ), t > 0, (6.213) ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠

где W (T ) – удельная мощность джоулевой теплогенерации

W (T ) =

U2 πR02 ⋅ l ⋅ R(t ) (T )

.

(6.214)

Здесь U – напряжение на мостике накаливания; l – его длина; R(t ) (T ) – сопротивление мостика, зависящее от температуры. Уравнение теплопереноса в воспламенительном составе:

∂a ∂Т 2 λ 2 ∂ ⎛ ∂T2 ⎞ (6.215) = ⎟ + Q , r ∈ [R0 , R1 ], t > 0, ⎜r ∂t ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠ где Q – тепловой эффект реакции горения; a – степень разложения пиротехρ 2С 2

нического состава. Уравнение скорости реакции

∂a (6.216) = − K 0 a exp(− Ea RT2 ), a ∈ [0,1], ∂t где K 0 – предъэкспонент; Ea – энергия активации. Краевые условия имели вид:

T1 (r ,0) = T2 (r ,0) = TH ;

∂Т1 = 0; a (r ,0) = 1,0; a ( R1, t ) = 1,0; (6.217) ∂r r = 0

T2 ( R1, t ) = TH ; T1 ( R0 , t ) = T2 ( R0 , t ); λ1

∂Т1 ∂Т . (6.218) = λ2 2 ∂r r = R0 ∂r r = R0

Два последних условия в (6.218) – граничные условия IV-го рода, так что имеем модель сопряженного теплообмена и одновременно неординарную задачу. Модель была реализована численно [140].

501

Глава 28. Парадигма моделирования подземных пожаров § 85. Системы Поскольку объекты, которые в шахтах подвергаются воздействию эндогенных и экзогенных пожаров – выработанные пространства, горные массивы и выработки – те же, что и объекты, которые рассмотрены ранее при анализе парадигм математического моделирования в массиве и выработках массопереноса (ч. 2, 3) и теплопереноса (ч. 4, 5), то моделируемые системы также совпадают. Т.о., системы, рассматриваемые в моделях подземных пожаров, суть системы, ранее уже рассмотренные.

§ 86. Процессы Процессы переноса тепла и массы при подземных пожарах разнообразней рассмотренных в ч. 2÷5. К перечисленным там процессам, при эндогенных пожарах, необходимо добавить фильтрацию воздуха через угольные скопления и целики в выработанном пространстве, сочетающуюся с диффузией кислорода, окислением угля, его нагреванием и испарением влаги, в нём содержащейся. Процессы, протекающие при экзогенных пожарах, не исчерпываются рассмотренными ранее; к ним добавляются физико-химические процессы возникновения и развития пожаров, массоперенос с учётом зависимости его параметров от температуры, теплообмен излучением. Имеют свою специфику и процессы нагревания и охлаждения горного массива, обусловленные пожарами и их тушением.

§ 87. Модели Аэромеханические модели (модели потоков воздушных и газовоздушных смесей в выработках), используемые при моделировании экзогенных пожаров, также как и в случаях штатного и аварийного массопереноса, встречаются двух типов. При описании массопереноса – турбулентные ограниченные потоки с постоянным и переменным расходом (по длине выработки и по времени) – (6.41), (6.50)÷(6.52). Теплоперенос, как и в штатных ситуациях описывается, преимущественно, УТБ, содержащим интегральный параметр – расход потока. Расход газовоздушной смеси определяется эмпирическими зависимостями – (6.7), (6.8), или по формулам, содержащим усредненные (для отрезка выработки) параметры [40]. Моделей потоков пожарных газов, использующих турбулентные параметры переноса мало – (6.138). Характерные для эндогенных пожаров модели фильтрации газовоздушной смеси в угольных скоплениях и целиках выработанного пространства совпада-

502

ют с рассмотренными в ч. 2 – (6.27), (6.30), (6.37) и др. Теплоперенос при эндогенных пожарах имеет существенные отличия от теплопереноса в массивах (ч. 4), что отражается на структуре математических моделей. Есть две характерные особенности моделей теплопереноса при пожарах: 1) они формулируются как неординарные краевые задачи теплопереноса, фильтрации и диффузии с учётом кинетики окислительных процессов; 2) уравнения теплопереноса неоднородны, содержат в правой части нелинейный источник тепла (Аррениусова типа). Надо заметить, что несмотря на попытки подробно описать все стороны эндогенного пожара, когда математическая модель содержала свыше десятка уравнений [6,7], практическое применение (своего рода "парадигмальную легитимность") приобрели лишь модели, содержащие относительно небольшое число параметров [4,26,27,49,51,65], которые, в ходе их исследования, далее ещё упрощались. К таким, популярным упрощениям, относятся: 1) предвычисление концентрации кислорода в угольном скоплении (тем самым – исключение из первоначальной модели уравнений фильтрации смеси и диффузии кислорода) путём использования эмпирических формул или решения стационарного уравнения диффузии – (6.5), (6.29), (6.32); 2) линеаризация нелинейного источника тепла за счёт окислительных процессов в правой части уравнения теплопереноса – (6.62), (6.63), (6.74). При описании температурных полей в массивах вокруг пожарных выработок, в ряде работ используются гиперболические уравнения теплопроводности ("телеграфные" уравнения) – (6.82), (6.84) – не встречающиеся в моделях штатного теплопереноса. Определение важнейшего параметра таких моделей – конечной скорости распространения температурного поля – известно нам в единичном случае [6]. Математическая структура моделей процессов тепломассопереноса при пожарах, если сопоставлять ординарные модели, аналогична моделям штатного переноса: 1) балансовые уравнения в алгебраической и дифференциальной форме (обыкновенные дифференциальные уравнения I-го и II-го порядков) – (6.1), (6.5), (6.6), (6.32), (6.53); 2) дифференциальные уравнения в частных производных первого (6.58) и второго порядков (в подавляющем большинстве случаев). Прямые и обратные задачи переноса при пожарах, как и в случаях штатного переноса, составляют неравные группы: обратные задачи единичны. Это коэффициентные обратные задачи, целью которых является определение коэффициентов переноса по экспериментальным данным. Обычный путь решения таких задач – минимизация среднеквадратичных отклонений опытных данных от результатов решения прямых задач. Размерность и форма моделируемых систем. При моделировании эндои экзогенных пожаров используются одно- и двумерные уравнения переноса (при преобладании первых). Форма моделируемых систем, в силу того, что системы эти аналогичны рассмотренным ранее, также, как правило, представляет собой пластину, цилиндр, шар. Для очагов эндогенных пожаров встречаются более сложные формы [25], что не оправдано при приблизительном знании иных параметров моделей.

503

Стационарные и нестационарные краевые задачи. Стационарные задачи и соответствующие решения – стационарные поля используются для предрасчёта скоростей утечек и концентраций кислорода в выработанном пространстве – (6.25), (6.27), (6.32) и др. Описывают стационарными уравнениями теплоперенос в выработанном пространстве ((6.6)) и массоперенос в выработке ((6.53)). В большинстве же моделей пожаров используют нестационарные уравнения тепло- и массопереноса. Ординарные и неординарные задачи. Распределение ординарных и неординарных задач переноса в парадигме моделирования подземных пожаров приведено в таблице 6.2. Таблица 6.2 Ординарные и неординарные задачи Виды пожаров

Виды задач Эндогенные Ординарные

Неординарные

(6.30),(6.32),(6.39),(6.56), (6.58),(6.60),(6.63),(6.65), (6.67),(6.73),(6.77),(6.91), (6.93),(6.103)

Экзогенные (6.42),(6.46),(6.48),(6.50), (6.51),(6.53),(6.80),(6.82), (6.116),(6.117),(6.120),(6.121), (6.123),(6.125),(6.136), (6.138)÷(6.141),(6.161)

(6.5)÷(6.6),(6.97),(6.98), (6.106)÷(6.109),(6.110)÷(6.111), (6.114) ÷(6.115), (6.187)÷(6.188), (6.189) ÷(6.193),(6.194) ÷(6.195), (6.197)÷(6.198)

(6.142),(6.143)÷(6.145), (6.146)÷(6.147), (6.148)÷(6.149),(6.156), (6.213)÷(6.216)

Для большинства моделей эндогенных пожаров характерны неординарные задачи; ординарные же представляют собой различные упрощения неординарных задач, осуществлённые тем или иным способом. В таблице 6.2 к неординарным задачам (т.е. таким, в которых искомые полевых функций две и более) отнесены задачи сопряженного теплопереноса в системе "массив-выработка" и теплопереноса в неоднородных (двух- и трёхслойных) системах. Граничные и начальные условия (краевые условия) при моделировании пожаров соответствуют, в основном, как и сами уравнения переноса, таковым в моделях штатного тепло- и массопереноса. При моделировании экзогенных пожаров встречаются нелинейные граничные условия II-го и III-го родов (при описании теплообмена излучением). Начальные условия встречаются однородные и неоднородные (описывающие распределение кислорода в выработанном пространстве и температуры в нагретом пожаром массиве). Однородные и неоднородные уравнения. Последние встречаются как в моделях эндогенных, так и в моделях экзогенных пожаров. В первом случае функция плотности источников (стоков) в правой части уравнения переноса описывает: 1) сток кислорода в уравнении его диффузии – линейный и нели-

504

нейный по концентрации кислорода; 2) источник тепла за счёт реакции окисления – линейный или нелинейный по температуре (Аррениусова нелинейность). Во втором случае источники тепла имеют различную физическую природу и также встречаются линейные и нелинейные по температуре. Однородные уравнения встречаются в моделях экзогенных пожаров. Линейные и нелинейные уравнения. Распределение линейных и нелинейных моделей тепло- и массопереноса в парадигме моделирования подземных пожаров приведено в таблице 6.3. Как следует из этой таблицы, модели двух рассматриваемых видов представлены примерно равновеликими группами. Нелинейные модели сосредоточены в моделях теплопереноса; массоперенос описывается, преимущественно, линейными моделями. Для моделей эндогенных пожаров характерны квазилинейность уравнений и нелинейность функций источников, а для моделей экзогенных пожаров – нелинейность граничных условий. Обобщенные уравнения переноса массы и тепла можно получить, рассмотрев по отдельности уравнения переноса массы (из ординарных и неордиТаблица 6.3 Линейные и нелинейные модели

Виды переноса

Теплоперенос

Массоперенос

Линейные (6.56),(6.58),(6.63), (6.65),(6.67),(6.70), (6.73),(6.84),(6.91), (6.93),(6.114),(6.117), (6.120),(6.121),(6.130),( 6.138),(6.139),(6.141),( 6.143),(6.148),(6.149),( 6.156),(6.195),(6.202) (6.30),(6.36),(6.37), (6.42),(6.46),(6.50), (6.51),(6.107),(6.115), (6.188),(6.192),(6.194),( 6.198)

Модели переноса Нелинейные Нелинейные Нелинейисточники ность в Квазилинейные граничных (стоки) тепла и массы условиях (6.60),(6.97), (6.77), (6.98),(6.103), (6.80), (6.80), (6.104),(6.108), (6.86), (6.82), (6.111),(6.116), (6.123), (6.136), (6.125),(6.161), (6.124), (6.140), (6.187),(6.189), (6.205), (6.146), (6.197),(6.213), (6.207) (6.147), (6.215) (6.161) (6.48)

−

(6.110)

нарных моделей) и тепла (аналогично). Уравнения массопереноса в моделях подземных пожаров встречаются следующих типов: уравнение фильтрации; уравнение диффузии; уравнение конвективно-диффузионного переноса. Уравнения теплопереноса представлены двумя типами: кондуктивного и кондуктив-

505

но-конвективного переноса. Уравнения фильтрации и диффузии обобщенного вида приведены в § 37; таковы они и для моделей пожаров. Обобщенное уравнение конвективной диффузии, из которого, как частные случаи, следуют все такие уравнения, приведенные в настоящей главе, может быть записано в несколько отличном от (2.225) виде:

∂C = ∂t (6.219) = div П 2 (С , M , t )D(С , M , t )∇С − V C + Ф(С , M , t ), где М ∈ Ω − области, в которой моделируется процесс массопереноса; V − П1(С , M , t )

[

]

вектор скорости движения фильтрата (среды) в общем случае записываемый в виде V = V(C , M , t ). Уравнение кондуктивного переноса является частным случаем уравнения кондуктивно-конвективного переноса, которое можно записать в виде:

Сv (Т , M , t )

[

]

∂T = div λ(T , M , t )∇T − Сv (Т ) V T + F (T , M , t ), (6.220) ∂t

где M и V имеют тот же смысл, что и в предыдущем уравнении. Из уравнения (6.220), как частные случаи, легко получить все уравнения теплопереноса, ранее рассмотренные в настоящей главе, а также уравнения теплопереноса в массиве при штатных режимах. Уравнения теплопереноса гиперболического типа, в отличие от параболических уравнений обобщаемых (6.220), составляют группу, требующую отдельного анализа. Ранее приведены два таких уравнения: (6.82) – квазилинейное и (6.84) – линейное. Вопрос обобщения этих уравнений (которые в явном виде уже встречались в ч. 2 – (2.226), (2.227) и в неявном – в ч. 3 – (3.61), (3.167)), являющихся частными случаями нелокальных уравнений переноса, будет рассмотрен в ч. 7. Методы решения краевых задач (моделей подземных пожаров) применяемые в рассмотренных работах, те же, что и в случаях штатного переноса: преобразование Лапласа, разделение переменных, сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям, численные и аналоговые методы.

§ 88. Развитие парадигмы Развитие парадигмы моделирования процессов переноса при подземных пожарах, лежит в рамках развития парадигмы моделирования процессов переноса в шахтах и рудниках, основные составляющие которой (тепло- и массоперенос в массивах и выработках) уже рассмотрены (ч. 2÷5). Можно сформулировать следующие 7 направлений развития, составляющих 4 группы (рис. 6.1).

506

Рис. 6.1. Схема развития парадигмы Задачи развития парадигмы практически совпадают с задачами развития ранее рассмотренных парадигм. По первому направлению – с задачами развития, перечисленными в § 23; По второму направлению – с задачами развития, перечисленными в § 38; По третьему направлению – с задачами развития, перечисленными в § 55; По четвертому направлению – с задачами развития, перечисленными в §§ 38–72. По пятому направлению – с задачами развития, перечисленными в §§ 23–38. По шестому и седьмому направлениям – с задачами развития, перечисленными в §§ 55–72. Обратные неординарные задачи весьма сложны, поэтому в рамках седьмого направления первоочередной задачей является определение простейших из них, для которых получение решений возможно практически и методологии поиска этих решений.

507

Литература к части 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

508

Осипов С.Н., Жадан В.М. Вентиляция шахт при подземных пожарах. – М.: Недра, 1973. – 152 с. Дмитрюк Н.Ф., Иванов Ю.И., Игнатенко А.П., Воронкова Н.Н. Эффективные способы и средства обнаружения эндогенных пожаров и борьба с ними. – М.: ЦНИЭИуголь, 1981. – 46 с. Козлюк А.И., Каледин Н.В., Чунту Г.И., Альперович В.Я. Борьба с самовозгоранием угля на шахтах. – Донецк: Донбасс, 1982. – 120 с. Грядущий Б.А. Исследование опасностей в угольных шахтах, разработка и реализация способов снижения их негативного воздействия. – Научн. докл. … д.т.н. – Днепропетровск: Горная Академия Украины, 1995. – 71 с. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции глубоких шахт при нормальных и аварийных режимах проветривания. – Автореф. дис. … д.т.н. – Донецк: ДПИ, 1970. – 61 с. Баев Х.А. Основные дифференциальные уравнения процессов самовозгорания угля. – В кн.: Вопросы безопасности в угольных шахтах. /Сб-к научн. трудов МакНИИ. – М.: Недра, 1969, с. 77-88. Саранчук В.И., Баев Х.А. Теоретические основы самовозгорания угля. – М.: Недра, 1976. – 245 с. Балтайтис В.Я., Клещунов П.П., Гринь Г.В. Определение времени остывания горного массива после нагревания его подземным пожаром. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1970, № 2, с. 56-59. Маркович Ю.М., Гринь Г.В., Шецер Г.М. Исследование динамики свободно развивающегося экзогенного пожара и её изменения при тушении активным способом. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 121-124. Осипов С.Н., Греков С.П., Романчук А.Л. и др. Изоляция подземных пожаров с применением инертных газов. – Донецк: Донбасс, 1970. – 143 с. Греков С.П., Калюсский А.Е. Газодинамика инертных сред и разгазирование горных выработок при авариях. – М.: Недра, 1975. – 121 с. Горноспасательное дело. Выпуск 4. /Сб-к научных трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1971. – 160 с. Современные методы и средства противоаварийной защиты шахт. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1983. – 119 с. Горноспасательное дело. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: НПО "Респиратор", 1992. – 144 с. Горноспасательное дело. / Сб-к научн. трудов. – Донецк: НПО "Респиратор", 1994. – 136 с. Откидач В.В. Исследование температурных полей горных пород в условиях высокотемпературного режима вентиляции (пожар) при подземной разработке угольных пластов. – Автореф. дис. … к.т.н. – Днепропетровск: ДГИ, 1976. – 19 с.

17. Грядущий Б.А., Пашковский П.С., Кравченко Е.В. Основные причины и экономические последствия эндогенных пожаров в угольных предприятиях. – Уголь Украины, 1994, № 3, с. 1-10. 18. Грядущий Б.А. Оценка эндогенной пожароопасности и способы предупреждения самовозгорания угольных скоплений. – Депонир. рукоп. № 2128 в ГНТБ Украины, 17.10.94. – УК94. – 12 с. 19. Финько В.Л. Разработка средств и способов предотвращения пожаров в скважинах. – Диссертация … к.т.н. – Донецк: ДонУГИ, 1987. – 231 с. 20. Далькевич В.М. Метод и средство повышения эффективности обнаружения и предупреждения пожаров в шахтах. – Диссертация … к.т.н. – Донецк: ВНИИГД, 1988. – 228 с. 21. Маевская В.М. Факторы, обусловливающие возникновение пожаров в шахтах. – В кн.: Материалы Семинара по горной теплотехнике. Выпуск 5. – Киев: Изд-во Ин-та технич. информ., 1964, с. 163-167. 22. Линденау Н.И., Маевская В.М., Крылов В.Ф. Происхождение, профилактика и тушение эндогенных пожаров на угольных шахтах. – М.: Недра, 1977. – 320 с. 23. Калякин Г.В. Исследование аэродинамики вентиляционных струй при пожарах в системах наклонных выработок. – Автореф. дис. … к.т..н. – М.: ИГД им. А.А. Скочинского, 1980. – 18 с. 24. Захаров А.Б., Быкова З.С., Эйнер Ф.Ф. Применение средств вентиляции для борьбы с подземными пожарами на шахтах Кузбасса. – В кн.: [12], с. 61-67. 25. Рогов Е.И., Грицко Г.И., Вылегжанин В.Н. Математические модели адаптации процессов и подсистем угольной шахты. – Алма-Ата: Наука, Казах.ССР, 1979. – 240 с. 26. Глузберг Е.И. Теоретические основы прогноза и профилактики шахтных эндогенных пожаров. – М.: Недра, 1986. – 161 с. 27. Глузберг Е.И., Гращенков Н.Ф., Шалаев В.С. Комплексная профилактика газовой и пожарной опасности в угольных шахтах. – М.: Недра, 1988. – 181 с. 28. Соколов Э.М., Качурин Н.М. Углекислый газ в угольных шахтах. – М.: Недра, 1987. – 142 с. 29. Blickonsderfer R., Deardorffer D., Kelley J. Jndendivity of Some Coal-Cutter Materials by Jmpact – Abrasion in Air – Methane/ - U.S. Burean of Mines. Report of Jnvestigations 7 930, 1974. 30. Шривер К., Маркс В. – Э. Сокращение опасности воспламенения метана при работе проходческих комбайнов избирательного действия. – Глюкауф, 1980, № 15, с. 37-42. 31. Edwards John C. Mathematical modeling of spontaneous heating of a coalbed. /Rept Jnvest. – Gur. Mines US Dep. Jnter. – 1990 - № 9296. – р. 1ч15. 32. Веселовский В.С., Алексеева Н.Д., Виноградова Л.П. и др. Самовозгорание промышленных материалов. – М.: Наука, 1964. – 321 с.

509

33. Померанцев В.В., Шагалова С.А., Резник В.А., Кушнаренко В.В. Самовозгорание и взрывы пыли натуральных топлив. – Л.: Энергия, Л.о., 1978. – 144 с. 34. Лаевский Ю.М. О распространении фронта пламени в пористых инертных средах. – Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, Препринт № 299, 1981. – 36 с. 35. Вылегжанин В.Н. О снижении температуры возгорания угля при механических воздействиях. – ФТПРПИ, 1981, № 5, с. 67-71. 36. Хорольский В.Т., Захаров А.Б., Шульга Ю.Н., Семений Я.М. Методика расчёта пожароопасности шахт. – В кн.: [12], с. 3-12. 37. Каймаков А.А., Торгашов В.С., Песок С.А. и др. Взрывобезопасность рудничного электрооборудования. – М.: Недра, 1982. – 207 с. 38. Чарков В.П., Греков С.П. и др. Анализ пожаров от короткого замыкания в кабельных сетях на шахтах УССР. – В кн.: [12], с. 61-67. 39. Воскобойников В.И. Исследование параметров вентиляционной струи, проходящей через очаг подземного пожара. – В кн.: Труды Семинара по горной теплотехнике, вып. 4. – Киев: Изд-во АН УССР, 1962, с. 42-48. 40. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции шахт при нормальных и аварийных режимах проветривания. – Киев-Донецк: Высшая школа, 1978. – 156 с. 41. Поликарпов А.Д., Чернявский Э.И. Распространение пламени при взрывах сульфидной пыли в горных выработках. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1982, № 4, с. 36-37. 42. Поглощение инертных газов в горных выработках. /Коллективная монография – Тула: Приокское книжное изд-во, 1969. – 238 с. 43. Клейнер А.А., Макаренко В.Л. Исследование параметров инертизации атмосферы аварийных участков. – В кн.: [13], с. 21-28. 44. Калюсский А.Е., Горб В.Ю. Изменение концентрации азота в откаточном штреке при запуске в изолированный участок. – В кн.: [12], с. 99-101. 45. Горб В.Ю. Исследование процесса фильтрации азота через выработанное пространство. – В кн.: [12], с. 102-103. 46. Горб В.Ю., Калюсский А.Е. Динамика накопления азота на вентиляционном штреке при запуске в изолированный участок. – В кн.: [12], с. 104-107. 47. Шецер Г.М., Кравец В.М., Гусар Г.А., Жукова Н.Е. Оценка влияния влаги на самонагревание угля. – В кн.: [14], с. 108-112. 48. Пашковский П.С., Засевский В.П., Хорольский В.Т., Гусар Г.А. Распределение утечек воздуха в выработанном пространства при прямоточных схемах проветривания. – В кн.: [15], с. 96-104. 49. Калюсский А.Е. Математические модели процессов самонагревания в угольных шахтах. – В кн.: Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1991, с. 58-60.

510

50. Греков С.П., Калюсский А.Е., Лагутин В.П. Математическое описание процесса заполнения изолируемого пожарного участка инертными газами. – ФТПРПИ, 1991, № 4, с. 111-115. 51. Каледин Н.В., Пашковский П.С., Калюсский А.Е., Клейнер А.А. Определение критического для самовозгорания угля содержания кислорода. – В кн.: Совершенствование средств и методов ведения горноспасательных работ. /Сб - к научн. трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1985, с. 64-69. 52. Греков С.П., Калюсский А.Е., Степанов С.И. Математическое моделирование влияния увлажнения угля на скорость его окисления. – В кн.: [15], с. 108-114. 53. Веселовский В.С. Переход низкотемпературного окисления в самовозгорание. – В кн.: Проблемы рудничной аэрологии. /Сб-к научн. трудов. – М.: Недра, 1955, с. 153-158. 54. Печук И.М., Маевская В.М. Эндогенные пожары в Донецком бассейне. – М.: Углетехиздат, 1964. – 308 с. 55. Белавенцев Л.П., Скрицкий В.А., Калинский А.Я. Исследования тепло- и массообмена при гидравлической выемке угля. – ФТПРПИ, 1984, № 3, с. 67 -71. 56. Портола В.А. Продолжительность переноса газов от подземного источника газовыделения до поверхности. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1997, № 7-8, с. 59-64. 57. Осипов С.Н., Греков С.П. Решение уравнения переноса при переменной во времени скорости потока. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Межвед. научно-техн. сб-к, вып. 18. – Киев: Техніка, 1970, с. 55-58. 58. Осипов С.Н., Греков С.П., Калюсский А.Е. Вынос газов из участков при быстром их вскрытии и наличии переменного во времени и по ходу вентиляционной струи газовыделения. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Межвед. научно-техн. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 128-132. 59. Греков С.П., Калюсский А.Е. Решение квазилинейной задачи диффузии пассивной примеси в горных выработках при наличии газообмена между потоком и стенкой и переменной скорости воздушной смеси. – В кн.: Нелинейные краевые задачи математической физики. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с. 53-59. 60. Романчук А.Л., Калюсский А.Е. Предотвращение взрывов при ликвидации пожаров в длинных горизонтальных тупиковых выработках газовых шахт Донбасса. – В кн.: [12], с. 71-81. 61. Греков С.П., Калюсский А.Е. Перенос примеси внутри цилиндра при переменной во времени скорости потока и нестационарном газообмене со стенкой. – ИФЖ, 1972, т. 23, № 5, с. 898-901. 62. Козлюк А.И., Гринь Н.В., Метальников В.П., Кузь Н.А. К расчёту интенсивности подачи флегматизирующего газа в изолируемый пожарный уча-

511

63.

64. 65.

66. 67. 68. 69. 70. 71.

72. 73.

74. 75.

512

сток. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 49. – Киев: Техніка, 1978, с. 95-98. Болбат И.Е., Сергеев В.С., Зинченко И.Н., Жирный Ю.А. Метод оценки газовой обстановки изолированного пожарного участка. – В кн.: Совершенствование средств и методов ведения горноспасательных работ. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1985, с. 26-31. Коваль И.Н. Определение изменения константы скорости сорбции кислорода углём во времени. – А кн.: [14], с. 104-108. Пашковский П.С., Кравец В.М., Гусар Г.А., Богатырёв В.Г. Влияние инертных пен на развитие процессов самонагревание угля в выработанном пространстве. – В кн.: Тактика ведения горноспасательных работ и оснащение ВГСЧ. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1987, с. 52-58. Белавенцев Л.П., Брюханов Н.И., Каминский А.Д., Фельзинг В.Ф. Аналитические исследования тепловых условий предупреждения самовозгорания углей. – ФТПРПИ, 1982, № 6, с. 91-94. Глузберг Е.И. Самонагревание слоевого скопления угля на почве. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1980, № 6, с. 43-47. Резник М.Г., Спектор Б.А., Жислина И.Л. Математическое моделирование теплового состояния выработанного пространства выемочного участка. – Промышленная теплотехника, 1988, т. 10, № 2, с. 68-71. Качурин Н.М., Захаров Е.Т., Панферова И.В., Бухтий Н.В. Температурный режим угольных целиков в выработанном пространстве. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1982, № 6, с. 49-52. Чунту Г.И., Калюсский А.Е., Гусар Г.А. Исследование нестационарного температурного поля при эндогенном пожаре. – Безопасность труда в промышленности, 1979, № 8, с. 44-45. Откидач В.В., Лапко В.В. Об одной краевой задаче расчёта температурного поля массива горных пород при переменных теплофизических параметрах. – В кн.: Физико-технические приложения нелинейных краевых задач. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987, с. 43-45. Полубинский А.С., Черняк В.П. Теплообмен между горной выработкой и массивом горных пород с локализованным очагом пожара. – Доповіді Національної Академії наук України, 1996, № 8, с. 94-97. Греков С.П., Калюсский А.Е., Пясецкий Б.П. Решение смешанной краевой задачи нагрева полупространства распределённым источником на полосе. – В кн.: Краевые задачи теории теплопроводности. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975, с. 124-130. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. – М.: Наука, 1975. – 227 с. Медведев Б.И., Лапко В.В., Павловский В.А., Кондрацкий В.Л. Разработка методов математического моделирования на АВМ процессов теплообмена в горной выработке при пожарах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 49. – Киев: Техніка, 1978, с. 101-106.

76. Гринь Г.В. Исследование процессов теплопередачи применительно к тушению пожаров в угольных шахтах. – Автореф. дис. … к.т.н. – Донецк: ДПИ, 1971. – 21 с. 77. Маркович Ю.Н. О нагревании и охлаждении горного массива при подземном пожаре. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 56. – Киев: Техніка, 1980, с. 96-102. 78. Мейнарович Е.В., Откидач В.В. К определению осеммитричного температурного поля, возбуждаемого подвижным источником тепла в массиве горных пород. – В кн.: Нелинейные краевые задачи математической физики. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с. 69-74. 79. Горб В.Ю., Откидач В.В. К расчёту квазистационарного температурного поля в горном массиве при подземном пожаре с перемещающимся его очагом. – В кн.: Краевые задачи теории теплопроводности. / Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975, с. 114-118. 80. Горб В.Ю., Откидач В.В., Тян Р.Б. Об одной краевой задаче теплопроводности, описывающей остывание горного массива. – Там же (см. [79]), с. 119-123. 81. Черняк В.П., Фиалко Н.М., Меранова Н.О. Теплоперенос при нагреве горного массива пожарными газами. – Доклады АН Украины (Математика, естествознание, технич. науки), 1993, № 5, с. 81-84. 82. Полубинский А.С., Черняк В.П. Расчёт температурного поля горного массива вокруг выработки при наличии охлажденной зоны. - Доповіді Національної Академії наук України, 1995, № 1, с. 79-81. 83. Полубинский А.С., Черняк В.П. Расчёт температурного поля горного массива при открытых пожарах. - Доповіді Національної Академії наук України, 1996, № 7, с. 75-78. 84. Глузберг Е.И. Тепло-и массообмен в процессе самонагревания угольного скопления. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 5. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 66-70. 85. Глузберг Е.И. О нелинейном эффекте тепло- и массообмена в процессе самонагревания угля в горных выработках. – В кн.: Физические процессы горного производства. Теплофизические процессы в горной технологии. / Сб-к научн. трудов.– Л.: Изд-во ЛГИ, 1983, с. 34-38. 86. Лапко В.В., Дранный В.А., Штерн Ю.М., Вороной С.М. Влияние вмещающих пород на распределение тепла при самонагревании угольных скоплений в выработанном пространстве. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1985, № 1, с. 37-40. 87. Евсеев В.С., Ворошилов С.П. Моделирование процесса самовозгорания с учётом влияния влаги на окислительные процессы в угле. – ФТПРПИ, 1986, № 2, с. 73-79. 88. Фрейдман С.Л. Самонагревание угольного скопления в выработанном пространстве выемочного участка. – ФТПРПИ, 1982, № 4, с. 91-96.

513

89. Фрейдман С.Л. Моделирование процесса автоокисления угля. – В кн.: Технология очистных и подготовительных работ на тонких угольных пластах. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: Изд-во ДонУГИ, 1982, с. 149-156. 90. Маркович Ю.М. Определение опасного нагревания конвейерной ленты при проскальзывании на приводном барабане. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 56. – Киев: Техніка, 1980, с. 90-96. 91. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. – М.: Энергия, 1976. – 392 с. 92. Козлюк А.И., Белявский В.Л. Исследование теплового процесса при трении ленты о заклинённый ролик конвейера. – В кн.: Совершенствование средств и методов ведения горноспасательных работ. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: Изд-во ВНИИГД, 1985, с. 70-76. 93. Каймаков А.А., Бурка А.Л. К определению параметров пожаровзрывобезопасности оболочек рудничного электрооборудования в условиях теплового воздействия мощных дуговых коротких замыканий. – ФТПРПИ, 1980, № 2, с. 76-80. 94. Калинчак В.В., Михель Ю.М. Время зажигания газа фрикционной искрой. – ИФЖ, 1986, т. 51, № 1, с. 114-117. 95. Зельдович Я.Б. К теории зажигания. – ДАН СССР, 1963, т. 150, № 2, с. 283-285. 96. Мержанов А.Г., Хайкин Б.Н., Шкадинский Г.К. Установление стационарного распространения пламени при зажигании газа накаленной поверхностью. – ПМТФ, 1969, № 5, с. 42-48. 97. Медведев Б.И. Расчёт вентиляционных соединений с учётом теплообмена в горных выработках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 14. – Киев: Техніка, 1968, с. 27-37. 98. Медведев Б.И., Почтаренко Н.С. Определение коэффициента нестационарного теплообмена для горных выработок при подземных пожарах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 30. – Киев: Техніка, 1972, с.102-108. 99. Павловский В.А., Иванова Л.И. Упрощение тепловых расчётов выработки с очагом пожара. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 56. – Киев: Техніка, 1980, с. 69-72. 100. Медведев Б.И., Почтаренко Н.С., Павловский В.А. Тепловые расчёты горных выработок в условиях рудничных пожаров на ЭЦВМ. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 34. – Киев: Техніка, 1973, с. 103-108. 101. Павловский В.А., Иванова Л.И. Дискретная модель системы проветривания шахт при подземных пожарах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 36. – Киев: Техніка, 1974, с. 94-98.

514

102. Козлюк А.И., Топчиенко Б.И., Гущин А.М. Аналитическое решение задачи о прогреве горных пород в выработке с пожаром. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 62. – Киев: Техніка, 1982, с.119-126. 103. Гавриленко П.Ф. Исследование и разработка средств автоматического обнаружения открытых пожаров в шахте. – Диссертация … к.т.н. – Донецк: ВНИИГД, 1973. – 176 с. 104. Стариков М.А. Исследование возможности применения местных режимов проветривания при пожарах на сборных штреках. – Автореф. дис. … к.т.н. – Днепропетровск: ДГИ, 1974. – 23 с. 105. Ревякин А.В. Влияние динамики развития пожара на режим проветривания горной выработки. – В кн.: Тактика ведения горноспасательных работ и оснащение ВГСЧ. /Сб-к научн. трудов. – Донецк: ВНИИГД, 1987, с. 36-40. 106. Жуковец А.Н., Греков С.П., Чунту Г.Н. Расчёт изменения теплового поля в горных выработках за очагом пожара при закорачивании вентиляционных струй. – ФТПРПИ, 1972, № 5, с. 125-128. 107. Балтайтис В.Я., Маркович Ю.М. Определение тепловых параметров средств локализации подземного пожара. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 59. – Киев: Техніка, 1981, с.55-62. 108. Маркович Ю.М., Гринь Г.В. Определение температуры пожарных газов при их движении по горным выработкам. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 30. – Киев: Техніка, 1972, с.108-110. 109. Клейнер А.А., Откидач В.В. Об одной нестационарной сопряжённой задаче теплообмена в горной выработке при подземном пожаре. – В кн.: Нелинейные краевые задачи теплопроводности. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 19-25. 110. Стефанов Т.П. Охлаждение пожарных газов в горных выработках и вентиляционных сетях. – ФТПРПИ, 1988, № 4, с. 101-110. 111. Колышенко М.В., Кушнарёв А.М., Величко Г.В. и др. Определение тепловых параметров исходящей струи пожарного участка при тушении пожаров водой. – В кн.: [12], с. 29-32. 112. Маркович Ю.М., Кушнарёв А.М., Гринь Г.В., Ивченко А.И. Исследование процессов охлаждения газового потока водяными завесами при подземном пожаре. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. /Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 34. - Киев: Техніка, 1973, с.99-103. 113. Топчиенко Б.И., Зинченко И.Н. Расчёт температуры пожарных газов при их рециркуляции в изолированном участке. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 68. – Киев: Техніка, 1984, с.95-100.

515

114. Палеев Д.Ю., Феклов А.И. О распространении тепла в пенопластовой перемычке, находящейся в условиях подземного пожара. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1976, № 9, с. 62-67. 115. Дмитриев А.П., Кузяев Л.С., Протасов Ю.И., Ямщиков В.С. Физические свойства горных пород при высоких температурах. – М.: Недра, 1969. – 160 с. 116. Мосин И.М. Определение теплофизических констант углей и пород при высоких температурах. – В кн.: Материалы Семинара по горной теплотехнике. Вып. 5. – Киев: Изд-во Ин-та техн. информ., 1964, с. 173-176. 117. Тельной А.П., Стукало В.А. Исследование зависимости теплопроводности осадочных горных пород от температуры. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 60-62. 118. Тельной А.П., Стукало В.А. Исследование теплофизических характеристик осадочных горных пород при различных температурах. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научнотехн. сб-к, вып. 34. – Киев: Техніка, 1973, с. 114-117. 119. Мильман Г.В. Определение эффективных теплофизических параметров нарушенного горного массива. – В кн.: Способы и средства ведения горноспасательных работ и предупреждения аварий в шахтах. / Сб-к научн. трудов, вып. 14. – Донецк: ВНИИГД, 1977, с. 118-119. 120. Тельной А.П., Пучков М.М. О теплофизических характеристиках дробленных горных пород Донбасса. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 53. – Киев: Техніка, 1979, с. 90-91. 121. Медведев Б.И. Зависимость теплофизических свойств пород от температуры при тепловых расчётах горных выработок. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 36. – Киев: Техніка, 1974, с. 85-88. 122. Медведев Б.И., Тельной А.П. Учёт нелинейной зависимости теплофизических характеристик пород от температуры при тепловых расчётах горных выработок. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 43. – Киев: Техніка, 1976, с. 51-53. 123. Откидач В.В., Дмитренко К.А. Аналитическое описание зависимости теплофизических параметров горных пород от температуры. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 83. – Киев: Техніка, 1989, с. 76-79. 124. Тельной А.П. Экспериментальное определение температурной зависимости теплопроводности осадочных горных пород Донбасса. – Там же (см. [123]), с. 84-88. 125. Агроскин А.А. Тепловые и электрические свойства углей. – М.: Металлургиздат, 1959. – 249 с. 126. Глузберг Е.И. Исследование теплообмена между углём и фильтрующимся воздухом. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1976, № 11, с. 67-70.

516

127. Кондрацкий В.Л. Определение коэффициентов теплоотдачи в условиях подземных пожаров. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 14. – Киев: Техніка, 1968, с. 132-135. 128. Почтаренко Н.С. Тепловые расчёты горных выработок в условиях рудничных пожаров. – Автореф. дисс. … к.т.н. – Донецк: ДПИ, 1971. – 17 с. 129. Медведев Б.И., Почтаренко Н.С., Павловский В.А. Определение коэффициента теплоотдачи излучением при тепловых расчётах горных выработок. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 36. – Киев: Техніка, 1974, с. 88-94. 130. Кременев О.Г. Способы и средство контроля нарушенности структуры угольных пластов в очистных забоях. – Диссертация … к.т.н. – МакеевкаДонбасс: МакНИИ, 1986. – 224 с. 131. Абрамов Ф.А., Чарков В.П., Задара В.М. и др. Исследование движения воздушно-механической пены в горных выработках. – В кн.: Разработка месторождений полезных ископаемых. / Респ. межвед. научно-техн. сб-к, вып. 22. – Киев: Техніка, 1971, с. 114-118. 132. Саранчук В.И., Раскидкин В.К., Зенина М.Н., Раскидкина А.П. Пожаробезопасные параметры плоских породных отвалов. – В кн.: Борьба с газом, пылью и выбросами в угольных шахтах, вып. 11. /Сб-к научн. трудов. – Макеевка-Донбасс: МакНИИ, 1975, с. 15-21. 133. Бурков П.А., Чиркин А.И. Профилактика эндогенных пожаров на породных отвалах. – Уголь, 1979, № 9, с. 46-47. 134. Бурцев А.И., Раскидкин В.К. Теплообмен плоского породного отвала с окружающей средой. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1976, № 9, с. 68-71. 135. Зборщик М.П., Осокин В.В., Паниотов Ю.Н. Условия самонагревания пиритсодержащих осадочных горных пород. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1990, № 11, с. 9-16. 136. Зборщик М.П., Осокин В.В., Лаврик В.Г., Паниотов Ю.Н. Об опасности выбросов породы при оползнях в горящих отвалах. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1998, № 1-2, с. 101-105. 137. Глузберг Е.И., Ахметов К.М., Роганкова А.В. Аналитическое исследование самонагревания угля в штабеле. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1987, № 11, с. 54-57. 138. Амосов А.П., Грядунов А.Н. Влияние зависимости сил трения на температуру фрикционного разогрева. – Машиноведение, 1981, № 2, с. 68-74. 139. Пушкарёв О.Е. Тепловые слои вблизи поверхности трения тел при скольжении с большой скоростью. – ИФЖ, 1992, т. 63, № 6, с. 760-766. 140. Кашуба О.И. Повышение безопасности и эффективности системы электрического взрывания в шахтах. – Автореф. дис. … д.т.н. – Днепропетровск: Горная Академия Украины, 1995. – 47 с.

Часть 7. Принципы развития парадигмы В частях 2–6 были проанализированы частные парадигмы – моделирования процессов переноса в горных массивах и выработках. В настоящей части: 1) завершается анализ парадигмы моделирования процессов переноса в шахтах и рудниках в целом; 2) рассматриваются кратко основные черты парадигмы теплофизики, формирующие ядро парадигмы переноса в шахтах и рудниках; 3) формулируются основные принципы перехода от разрозненных моделей к теории процессов переноса в шахтах и рудниках как направления теоретической геотеплофизики.

Глава 29. Парадигма шахтной теплофизики §89. Системы, процессы, модели Согласно структурной схемы геотеплофизики (Рис.1.1), макрообъектами, в которых моделируются процессы переноса в шахтах и рудниках, являются горные массивы и выработки. Им соответствуют моделируемые системы – "массив" и "выработка". При моделировании массопереноса в массивах (часть 2) моделируемые системы представлены двумя классами: пористые и трещиноватопористые (бипористые) среды. Они встречаются видов: однородные и изотропные, неоднородные и анизотропные, флюидосодержащие. Анизотропия моделируемых систем практически сводится к ортотропности. Неоднородные одномерные системы подразделяются на простые неоднородные, слоисто-неоднородные и слоистые системы. Системы, используемые при моделировании теплопереноса в массивах (часть 4) подразделяются на однородные и изотропные, неоднородные и анизотропные, влаго- и теплосодержащие. Таким образом, моделируемые системы при разных видах переноса практически совпадают (если заменить "влагосодер-жащий" массив на "флюидосодержащий"). Модели процессов массо- и теплопереноса в массивах при подземных пожарах (часть 6) основаны на использовании тех же систем (зачастую с протекающими в них взаимосвязанными процессами переноса). Массоперенос в горных выработках (часть 3, где также рассмотрен и перенос импульса – аэромеханика воздушных потоков) моделируется двумя типами систем: турбулентный свободный поток (струи) и турбулентный ограниченный поток несжимаемой газовоздушной смеси. Ограниченные потоки встречаются с постоянным и с переменным (во времени, вдоль выработки) расходом. Моделирование теплопереноса по выработкам (часть 5) ограничено использованием тех же (и более простых – частных случаев) систем. Модели переноса

518

массы и тепла в выработках при экзогенных пожарах (часть 6) используют те же системы, что и модели штатных (технологических) процессов. Моделируемые системы всех видов также подразделяются на стационарные и нестационарные системы (с переменными параметрами, размерами и формой). В вышеперечисленных системах моделируются автономные процессы переноса (ординарные модели) и взаимосвязанные процессы (неординарные модели) Процессы массопереноса в массивах приведены в табл. 2.8, а взаимосвязанные процессы – в табл. 2.9. Процессы теплопереноса в массивах (часть 4) сводятся к кондуктивному теплопереносу в гомогенизированной микронеоднородной среде, описываемому эффективными параметрами. Взаимосвязанные процессы теплопереноса представлены термомеханическими, кондуктивно-конвективными (фильтрационными), тепломассообменными процессами, осложняемыми иногда физико-химическими явлениями (химические реакции, сорбция–десорбция, фазовые переходы). Последние особенно характерны для процессов теплопереноса в массивах при подземных пожарах. Процессы переноса массы и тепла по горным выработкам – турбулентная диффузия пассивных и активных примесей и турбулентный теплоперенос обычно рассматриваются в рамках ординарных моделей. Неординарные модели, рассматривающие взаимосвязанные процессы, редки. Для подземных пожаров характерны взаимосвязанные фильтрация и теплообмен воздуха с угольными скоплениями или целиками в выработанном пространстве, сопровождаемые окислением угля и испарением в нём влаги. В соответствии с принятой методологией анализа парадигмы (часть 1), все рассмотренные модели (части 2 - 6) классифицировались по единой схеме (первый уровень двухуровневой классификации моделей переноса), которая приведена в табл. 7.1. Классифицируя модели переноса на 2-м уровне – анализируя парадигму переноса в целом, в соответствии с "деревом переноса" (Рис. 1.3), заметим, что модели кластеров 1.1÷7.1 ("прямые − стационарные") встречаются, как следует из табл. 7.1, при моделировании всех видов переноса (т.е.: в массивах и в выработках; массо- и теплопереноса; в технологических и в аварийных режимах). С точки зрения построения теоретической парадигмы геотеплофизики, эти, наиболее простые модели ("ствол 1" дерева переноса – Рис. 1.3), начиная от кластера 7.1 и заканчивая кластером 1.1 (т.е. двигаясь по "стволу 1" снизу– вверх) необходимо рассматривать на основе единого подхода, с использованием минимального числа аналитических методов. Модели "ствола 2" – перечня "7НЕ" – от 1.2 до 7.2 также характерны для парадигмы тепломассопереноса в шахтах и по отношению к ним также справедливо сказанное выше. Массив всех моделей переноса может быть охарактеризован (строка 9 табл. 7.1) обобщенными уравнениями переноса ((2.204), (2.205), (2.224), (2.225), (3.256), (4.4), (4.25), (6.219), (6.220)). Эти уравнения содержат в себе, как частные случаи, все (кроме гиперболических уравнений – о них позднее) модели, рассмотренные в ч. 2–6. "Проекции" этих уравнений на дерево переноса дают "базисные кластерные уравнения". Эти уравнения – параболические. В исследованиях моделей диффузионных и фильтрационных процессов часто ис519

Таблица 7.1. 1-й уровень классификации моделей переноса МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА

п/п

КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ПРИЗНАКИ

Массоперенос

Теплоперенос

Массоперенос

Теплоперенос

ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ПОЖАРАХ

1

2

3

4

5

6

7

№

1. 2.

3.

4.

5.

520

В МАССИВАХ

В ВЫРАБОТКАХ

Прямые и ОЗ мало- Практичесобратные численны ки отсутствуют ОЗ задачи(ОЗ) РазмерОдно-, Одно- и ность и дву- и двумерные форма мо- трёхмер- внешние делируе- ные внут- задачи. мых сисренние и Полуогратем внешние, ниченные, плита, плоские, цилиндр, цилиндришар ческие, сферические области

ОЗ мало- ОЗ отсутствуют численны Одно- и В больдвумершинстве ные замоделей – дачи для стационарпрямо- ных УТБ – угольной не учитыи круговается вой выработок

Стационарные и нестационарные задачи Ординарные и неординарные задачи Краевые условия

Встреча- ПреоблаПреоблаются оба дают стадают нестатипа циионарные ционарные балансовые задачи уравнения ПреоблаВстречаютдают ор-"ся оба типа динарные Те же; Те же; начальные встречаусловия, ются накак правичальные − ло, неодноусловия родные неоднородные

Встречаются оба типа

Стационарные задачи малочисленны Преобла- Встречадают неются оба ординартипа ные Те же; Граничдополниные тельно – I÷IV-го условия родов; Стефана начальные – преобладают однородные

ОЗ малочисленны

–

–

6.

7.

8.

9.

Однородные и неоднородные уравнения

Преобладают однородные

-"-

-"-

Линейные ПреоблаПреоблаПреоби нелиней- дают недают лиладают ные урав- линейные нейные. линейнения Встречаютные ся задачи Стефана Методы Линеари- Преобра- Преобразование зование решения зация, сведение к ЛаплаЛапласа, краевых уравнени- са,тепло- сведение к задач ям тепло- вые пообыкнопроводно- тенциавенным сти, про- лы, раздифуравбразова- деление нениям, ние Лап- перемен- линеариласа, чис- ных, чис- зация, ленные ленные численные Обоб(2.204), (4.4), (3.256) щенные (2.205), (4.25) уравнения (2.224), переноса (2.225)

Продолжение табл. 7.1 Преобладают неоднородные уравнения с − нелинейным источником Преобладают нелинейные − уравнения

−

−

Те же

(6.219), (6.220).

пользуется метод "преобразования к эквивалентному уравнению типа теплопроводности". С другой стороны, модели теплопереноса более многочисленны, разнообразны и универсальны, чем модели массопереноса. Поэтому целесообразно далее "перейти на язык теплопереноса", трактуя все модели переноса в теплофизических терминах. Будем обозначать концентрацию С , давление Р (или другие величины, описывающие массоперенос) буквой Т и трактовать как температуру. Скорость (фильтрации или потока) будем обозначать V , коэффициент поглощения примеси (теперь – тепла!) – γ . Теплоёмкость Сv и теплопроводность λ (при этом λ / Cv = a ) считаем эффективными параметрами, которыми обозначаем величины и функции, находящиеся в "переводимых на тепловой язык" уравнениях на соответствующих местах. Источники (стоки) любой из субстанций будем обозначать F и именовать функцией плотности источников тепла. Такой "перевод" позволяет сократить число обобщенных уравнений переноса. Встречающиеся единичные уравнения теплопереноса по выработкам (5.196), (5.200), (5.207)

521

следуют из обобщенного уравнения кондуктивно-конвективного теплопереноса (6.220). Уравнения (2.204), (2.205) приводятся (при различных коэффициентах) к виду

Сv (Т , М , t )

∂T ∂ = ∂t ∂ xi

⎡ ∂T ⎤ ⎢λ i (Т , М , t ) ∂ x ⎥ + F (Т , М , t ), M ∈ Ω, t > 0. (7.1) ⎣ i⎦

Частными случаями (7.1) являются также и уравнения (2.224), (4.4), (4.25). Уравнения (2.225), (3.256), (6.219), (6.220) обобщаются уравнением:

⎡ ∂T ⎤ + (V , ∇ )T ⎥ + γ(Т , М , t )T Сv (Т , М , t )⎢ ⎣ ∂t ⎦ ∂T ⎤ ∂ ⎡ = λ ( Т , М , t ) + F (Т , М , t ). i ∂ xi ⎢⎣ ∂ xi ⎥⎦

(7.2)

В (7.1) и (7.2) предполагается суммирование по i = 1,3 и изменение формы записи дивергентных членов при переходе к цилиндрической, сферической или иной системе ортогональных координат. Уравнение (7.2) содержит в себе, как частный случай, уравнение (7.1), однако, учитывая "каноничность" (7.1) оставляем его в качестве одного из обобщенных уравнений. Уравнения переноса гиперболического типа (представляющие собой простейший частный случай нелокальных уравнений), встречавшиеся в ч. 2÷6, описывали: 1) фильтрацию с конечной скоростью в пористой среде – (2.193), (2.226); 2) фильтрацию тампонажного раствора в трещиноватом массиве – (2.227); 3) переходный (аварийный) аэродинамический режим в выработке – (3.253), (3.254); 4) теплоперенос в массиве вокруг пожарной выработки – (6.82), (6.84). Уравнение, обобщающее все эти уравнения, имеет вид:

⎡ ∂T ∂ 2Т ⎤ Сv (Т , М , t )⎢ + γT = div(λ(Т , М , t )∇T ) + F . (7.3) + (V , ∇ )T + τ r 2⎥ t ∂ ∂t ⎥⎦ ⎢⎣ Таким образом, все ординарные модели тепломассопереноса в шахтах содержатся в уравнениях (7.1), (7.2), (7.3). Неординарные модели, содержащие несколько искомых функций (температуры, концентрации, давления, потенциалы массопереноса и др.) соответствуют системам трёх видов: 1) неоднородные системы (слоисто-неоднородные и слоистые), описываемые функциями одной природы, число которых определяется числом подсистем; 2) системы сопряженного переноса, включающие в себя подвижный флюид в канале и "оболочку" канала (конечную или полуограниченную); 3) системы с взаимосвязанными (совместными) процессами переноса, описываемые полями различной природы в одной области пространства. Возможны и комбинации этих трёх основных случаев. Два первых вида систем (модели переноса, на них основанные) относим к кластеру 6.2 "Неоднородные модели", так что далее под неординарными будем понимать только модели взаимосвязанного (совме-

522

стного) переноса (кластер 3.2). Они описываются системами уравнений: а) алгебраических – (5.123), (5.125), (5.126), (5.129) ÷(5.131); б) обыкновенных дифференциальных- (5.100), (5.102), (5.163), (6.5), (6.6) и др.; в) дифференциальных в частных производных – модели частей 2,3,4,6. Как правило число уравнений в системах всех видов – 2–3; обыкновенные дифференциальные уравнения – 1-го порядка (встречаются и 2-го – (6.5), (6.6)). Системы дифференциальных уравнений в частных производных – зачастую нелинейны. Решаются такие системы численными методами и линеаризацией. В качестве обобщенной системы уравнений в частных производных – модели совместных процессов переноса, т.е. обобщенной неординарной модели (линеаризованной) будем рассматривать систему вида:

⎛ ⎞ ⎜ λ ij ∂Ti ⎟ − γ ijT j + Fi , i, j = 1,3. (7.4) ⎜ ⎟ ∂x j ⎠ ⎝ Здесь: обозначения соответствуют (7.1) - (7.3); i = 1,2,3 – номера уравнений; j = 1,2,3 – индекс суммирования в каждом i -м уравнении; λ ij , γ ij – коэффициенты ∂ ⎛ ∂T ⎞ Сvi ⎜ i + (V , ∇ )Ti ⎟ = ⎝ ∂t ⎠ ∂x j

теплопроводности и поглощения соответственно. Частные случаи уравнений (7.1) - (7.4) служат основой моделей подавляющего числа процессов переноса, рассматриваемых в анализируемой парадигме и принадлежащих к одному из классов – макрокластеров {M i }(i = 1, N1) , образуемых комбинацией каких-либо 7-и признаков – кластеров дерева переноса. Каждой конкретной модели соответствует 7 "координат" – кластеров. Например: прямая локальная ординарная одномерная нелинейная неоднородная нестационарная краевая задача – модель М = {1.1;2.1;3.1;4.1;5.2;6.2;7.2}. Макрокластер может содержать несколько базисных моделей, чем и объясняется большое общее число задач развития парадигмы ( N 2 = 167 – при суммировании частных задач развития в §§23, 38, 55,72,88). Из формул комбинаторики (с учетом запрета комбинаций с одноуровневыми кластерами) следует, что N1 = 124 < N 2 , однако 124 также неприемлемо большое число. Очевидно, модернизируя парадигму, следует из N1 макрокластеров выделить "базис" из N 3 макрокластеров характеризующих "макробазисные" модели, из которых, как частные случаи, будут следовать остальные ( N1– N 3 ) базисные модели переноса.

§90. Модернизация парадигмы Это понятие шире, чем "развитие парадигмы", поскольку содержит в себе не только развитие существующих, но и корректировку (или даже кардинальное изменение) принципов моделирования, т.е. постановки и методов решения краевых задач базиса и оболочки парадигмы. Может потребоваться модернизация не только базиса и оболочки, но и ядра парадигмы (см. рис. 1.2) – в этом случае, если

523

формирующий ядро базис теплофизики окажется недостаточным для построения не содержащего артефактов базиса геотеплофизики. Артефакты парадигмы были ранее сформулированы только в ч. 5 (артефакты I,II,III). В силу аналогии между моделями экзогенных пожаров и моделями теплопереноса в выработках, эти артефакты характерны и для моделей пожаров. В частях 2-4 внимание обращалось на лакуны соответствующих парадигм, а не на артефакты, также в них присутствующие. Это присутствие является не явным, как в ч. 5, а скрытым, поскольку речь идёт не об артефактах частных парадигм переноса, а тех, что присущи элементам парадигмы теплофизики, положенным в их основу. Линеаризованные уравнения фильтрации, диффузии, влагопроводности и проч. математически эквивалентны линейным уравнениям теплопроводности. Для последних же, как это неоднократно отмечалось в литературе, характерны "парадоксы" (термин "артефакт" в теории теплопроводности не употребляется; видимо потому и не вылечена болезнь, что правильный диагноз не поставлен): 1) бесконечная скорость распространения тепла; 2) сингулярность граничных потоков тепла в начальный момент времени; 3) разрывность решений при несогласованности начальных и граничных условий; 4) бесконечное время любого переходного режима. Модернизация парадигмы должна включать в себя и устранение этих артефактов. Для реализации идеи, высказанной в конце §89, построим вспомогательную, рабочую классификацию моделей. В соответствии со сложившимися в теплофизике и математической физике выделением крупных классов моделей, выделим из дерева переноса кластеры: 1) 5.1 – линейные модели; 2) 5.2 – нелинейные модели; 3) 1.2 – обратные задачи. Эти признаки – организаторы будут формировать базисные макрокластеры. Линейные и нелинейные задачи, здесь подразумевается, относятся к прямым задачам. Вся совокупность моделей может быть упорядочена по критерию нарастающей сложности их, для чего будем "подниматься" по дереву переноса снизу–вверх, переходя слева направо. Класс линейных моделей, очевидно, состоит из макрокластеров {M i }(i = 1,6) . Макрокластер M1, содержащий простейшие модели, состоит из "ствола 1" дерева переноса. При замене (7.1)→(7.2), затем (6.1)→(6.2) и т.д. (т.е. двигаясь по дереву переноса снизу – вверх и слева – направо) будем получать макрокластеры M 2 , M 3, М 4 ,

M 5, M 6 . Замена (5.1)→(5.2) трансформирует класс линейных моделей в класс нелинейных, состоящий из макрокластеров {M i }(i = 7,12). Наконец, замена (1.1)→(1.2) порождает третий класс моделей – обратные задачи (по отношению к прямым задачам из {M i }(i = 1,12). Таким образом, общее число "базисных" макрокластеров N 3 = 24 << N1 = 124. В таблице 7.2 представлены прямые линейные и нелинейные задачи переноса (два первых класса моделей рабочей классификации). Единица соответствует наличию, а ноль – отсутствию соответствующего признака у моделей макрокластера {M i }(i = 1,12). Таблица 7.2 представляет собой рабочую (упрощенную) классификацию моделей переноса 2-го уровня. 524

Для формулировки принципов модернизации парадигмы тепломассопереноса в шахтах как составляющей парадигмы геотеплофизики, определения базиса из идей и методов теплофизики и математической физики, на основе которого это возможно и целесообразно осуществить (имея в виду не только формулировку принципов, но и практическую реализацию поставленной задачи) необходимо хотя бы кратко, рассмотреть парадигму теплофизики. Это возможно только при разумном ограничении числа используемых источников (библиография по теплофизике насчитывает десятки тысяч публикаций). Мы рассмотрим выборку из публикаций, достаточно случайно сформированную, охватывающую работы последних 30-и лет по направлениям: 1). Линейные модели переноса; 2). Нелинейные модели; 3). Обратные задачи. Основное внимание будем обращать на разновидности (подклассы) задач переноса и методы их решения. Таблица 7.2 Прямые краевые задачи Класс моделей

Линейные модели

МаКлассификационные признаки моделей кро- 1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 кластеры М1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 М2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 М3 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 М 4

М5 М6 М7 Нели- М 8 нейМ9 ные моде- М 10 ли М 11 М 12

7.2 0 1 1 1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Глава 30. Линейные теплофизические модели Следуя принятой (табл. 7.2) классификации, рассмотрим соответствующие макрокластерам {M i }(i = 1,6) модели: 1) стационарные, нестационарные (7.2.1); 2) неоднородные (7.2.2); 3) неординарные (7.2.3); 4) нелокальные (7.2.4).

525

§91. Стационарные и нестационарные модели В выборке работ, в которых рассматриваются эти модели, можно выделить тематически однородные группы: А. Стационарные задачи; В. Нестационрные задачи; С. Нестационарные системы. В этих группах, в свою очередь, имеются подгруппы. Группа А: А1 – области сложной формы; А2 – неоднородные системы; А3 – термоконтактные системы. Группа В: В1 – одно- и многомерные задачи; В2 – области сложной формы; В3 – неоднородные области; В4 – системы с кондуктивно-конвективным переносом. Группа С: С1 – модели с переменными (во времени) теплофизпараметрами; С2 – модели с переменным коэффициентом теплообмена; С3 – модели для областей с подвижными границами. Используемое разбиение на группы и подгруппы достаточно условно, поскольку конкретным моделям обычно соответствуют сразу два или более признаков. А. Стационарные задачи. А1. Области сложной формы. К таковым относим "неканонические" двух- и трёхмерные области, многосвязные области, области со сложной и микронеоднородной (зернистой) границей [1÷19]. Задачи для областей, допускающих разбиение на канонические подобласти, решаются как задачи для составных тел: определяются поля температуры в отдельных подобластях и "склеиваются" на границах между ними с помощью граничных условий IV-го рода [1,5,6,9,16,17,19]. Граничные задачи для уравнений Лапласа (Пуассона) в подобластях решаются методами: разделения переменных [5,8]; численными [6,9]; конечных интегральных преобразований [16,17], вариацион-ными [10]; Монте– Карло [19]; полных систем [8,11]. Последний метод является относительно новым [8], он заключается в формулировке" частных" одномерных задач и сведения N мерной задачи к N одномерным задачам. Многосвязные области (как правило – двумерные) характерны для моделей переноса в телах с отверстиями или включениями [1,2,4,7]. Рассматривая нестационарную задачу для полосы с периодически расположенными отверстиями произвольной формы, авторы [1] с помощью метода Ротэ перешли к стационарному случаю, для которого ранее эффективными были методы R – функций, вариационные, конечных элементов, суммарных представлений. В [1] был использован метод тепловых потенциалов (интегральных представлений решения) с последующей его численной реализацией. Температурное поле в стенке, содержащей два ряда круглых каналов с движущимся по ним теплоносителем, определялось в [2]. Задача была сведена к решению уравнения Лапласа в квадрате, содержащем круговое отверстие. Использовались методы R – функций и Бубнова–Галёркина. Трудности решения задач для многосвязных областей существенно возрастают в случаях неоднородных (слоистых в частности) сред [4]. Предложен алгоритм решения, основанный на методе интегральных представлений [4]. Вначале строится матрица Грина для многослойной полосы. Затем решение исходной задачи ищется в виде суммы контурных интегралов с ядрами Грина по границам отверстий. Подстановка интегральных представлений в граничные условия на контурах отверстий приводит к системе интегральных уравнений типа Фредгольма, решаемых с помощью квадратурных формул [4]. 526

Многосвязная область с локальными включениями произвольной формы, на границах которых поток тепла равен нулю, а вне включений температурное поле описывалось уравнением Пуассона с переменным коэффициентом теплопроводности, рассматривалась в [7]. Решение задачи строилось как сужение (при стремлении к нулю коэффициента теплопроводности включений) решения вспомогательной задачи с граничными условиями IV-го рода на границах включений. Вспомогательная задача решалась сведением исходной к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений [7]. Области с границами сложной, в том числе микронеоднородной (зернистой) формы [3,11,12,14,15,18] характерны для моделей стационарной теплопроводности. Бесконечный цилиндр с некруговым контуром ρ = ρ(ϕ) рассматривался в [3]. Трёхмерная граничная задача для уравнения Лапласа решалась методом наложения – введением новой системы координат, получаемой вращением на угол ψ в плоскости ( ρ, ϕ ) и разделением переменных. Затем искомое решение было представлено интегралом по ψ от решения задачи в преобразованных координатах, умноженных на некоторую f (ψ). Подстановкой интегрального представления решения в граничное условие на контуре цилиндра ρ = ρ(ϕ) , получено интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода относительно неизвестной f (ψ). Далее были использованы численные методы [3]. Температурное поле в полупространстве с шаровой полостью определялось [12] путём решения уравнения Лапласа в вырожденных бисферических координатах. Подстановкой интегрального представления решения в граничное условие получено интегральное уравнение, далее преобразованное в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решалось численно [12]. Метод дополнения неканонического контура области до канонического (соответствующего какой-либо системе ортогональных координат) использовался [15,18] для решения задач теплопроводности в однородных и кусочнооднородных средах. Схема этого метода такова. После дополнения контура области сложной формы до канонического вида, на дополненной части контура ( S ) вводится граничное условие 2-го рода – равенство плотности теплового потока некоторой неизвестной функции – q(S ). Эта функция далее рассматривается как

кусочно-постоянная – {qi }, i = 1, N . Каким-либо аналитическим методом строится решение для расширенной области, параметрически зависящее от набора {qi }. Далее определяется такой набор {qi }, который в N узлах коллокации, расположенных на первоначальном контуре, удовлетворяет граничным условиям исходной задачи [18]. Для задач с микронеоднородными (зернистыми) границами [14] характерно быстрое изменение вдоль них коэффициентов уравнений и граничных условий. Стандартный приём состоит здесь в переходе к уравнениям с эффективными параметрами с помощью методов усреднения. Решение такой задачи в [14] представлялось разложением в ряд по малому параметру, однако работа носит не конструктивно-прикладной, а формально-математический характер (доказывают-

527

ся теоремы существования решения), что, вообще, достаточно типично для подобных задач. А2. Неоднородные системы. Температурные поля, как и ранее, описываются уравнениями Лапласа и Пуассона [20÷42]. Можно выделить следующие подгруппы моделей: 1) для кусочно-однородных систем (составные и с инородными включениями тела); 2) для микронеоднородных (непрерывно-неоднородных) систем (с теплопроводностью, зависящей от координат); 3) для слоистых систем (одно- и многомерные, изотропные и анизотропные). Кусочно-однородные системы характеризуются постоянными, но различными коэффициентами теплопроводности у образующих их подсистем [20, 29÷31,34÷36,40÷42]. Если в подсистеме Ωi системы Ω(Ω i ∈ Ω) среда изотропна, то уравнение Пуассона имеет вид

λ i ∇ 2Ti = Fi ,

i = 1, N .

(7.5)

Вдоль границ контакта подсистем задаются граничные условия IV-го рода [20,31, 34]. Для ортотропных сред уравнение (7.5) принимает вид

λ ij

∂ 2Ti ∂x 2j

= Fi ,

Ti = Ti ( x1, x2 , x3),

j = 1,3,

(7.6)

где по j предполагается суммирование. В ряде работ уравнение Пуассона записывают в форме, характерной для непрерывно-неоднородных систем [29,30,35, 40,42]

∂Ti ⎤ ∂ ⎡ ⎢λ ij ( x j ) ⎥ = Fi , ∂x j ⎣⎢ ∂x j ⎦⎥

λ ij = λ ij ( x1, x2 , x3).

(7.7)

Затем функция λ( xi ) (индексы для простоты отбрасываем) представляется в виде суммы, с использованием асимметричных единичных функций (комбинируемых из единичных "ступенек" О. Хэвисайда). Подстановка таких λ(x) в уравнение (Пуассона или Лапласа) приводит к уравнению с разрывными и сингулярными коэффициентами. Решение проводится обычно преобразованием Фурье (иногда по двум координатам, иногда – по одной, с усреднением поля по другой координате). Этот метод исследования моделей переноса в неоднородных средах, включающий в себя постановку граничных задач с использованием обобщенных функций и несколько конкретных методов их решения, можно, имея ввиду место возникновения и успешного применения, назвать Львовским [29,30,35,40,42]. Другими методами, часто применяемыми для решения задач данной подгруппы, являются метод R – функций (регионально-структурный) [20], метод конечных элементов [36] и разложение в ряды [41]. Микронеоднородные (непрерывно-неоднородные) системы характерны для случаев зависимости коэффициентов теплопроводности от координат [24,25, 37]; к ним также приводятся слоистые системы, рассматриваемые в квазинепре-

528

рывном (континуальном) приближении [39]. Уравнения имеют вид (7.7) с левой частью, определяемой видом системы координат. Основные методы решения – разделение переменных и конечные интегральные преобразования. Слоистые системы. Можно выделить: 2-х и 3-х слойные системы [21÷23, 28,32,33,38,41]; многослойные [26,27]; одномерные [21,26,38] и неодномерные [22,23,27,28,32,33,41]. Среди неоднородных систем встречаются слоистые системы с ортотропными слоями [23,41]. В качестве методов решения применяются: разделение переменных [21,23]; конечные интегральные преобразования [22,27, 32]; Львовский метод [26,38]; асимптотические разложения [33], разложение в двойной ряд Фурье [41]; метод функций Грина [28]. А3. Термоконтактные системы. Модели этой подгруппы направлены на исследование влияния термического контактного сопротивления между контактирующими телами на термоупругие поля в составных системах. При этом граничные условия IV-го рода принимают вид граничных условий III-го рода, иногда с источником тепла на границе контакта [43÷56]. Тепловые части этих моделей (в большинстве своём – задач термоупругости) представляют разновидность ранее рассмотренных моделей для кусочно-однородных и слоистых систем. Близки и используемые методы решения граничных задач. В работах [55,56] использовался метод тепловых потенциалов, приведший, в частности, к сингулярному интегродифференциальному уравнению [56]. Стационарные и нестационарные задачи связаны очевидной связью: решения стационарных задач Т (М ) часто могут быть получены из решения соответствующей нестационарной задачи Т ( М , t )( M ∈ Ω, t > 0) путем вычисления предела:

Т ( М ) = lim Т ( М , t ) t →∞

Этот предел особенно просто вычисляется, если к нестационарной задаче применимо интегральное преобразование Лапласа:

Т ( М , t ) = L[Т ( М , t )] =

∞

− pt

∫e

Т (М , t) d t

0

Согласно известному свойству преобразования Лапласа, можно записать:

Т ( М ) = lim Т ( М , t ) = lim pТ ( М , p) . t →∞

p→0

(7.8)

Известны попытки установления иных соотношений между стационарными и нестационарными температурными полями, отличных от (7.8) [57]. Их следует признать малопродуктивными. Несмотря на возможности, связанные с (7.8), получение решений стационарных задач по соответствующим нестационарным задачам, осуществляется достаточно редко. Это связано с большой сложностью нестационарных задач по сравнению со стационарными, а также не всегда простым (а иногда – и невозможным) вычислением пределов в (7.8) ( t -предела или p -предела).

529

В. Нестационарные задачи. В1. Одно- и многомерные задачи. Одномерные задачи нестационарной теплопроводности в однородных средах наиболее изучены и излагаются в учебной и справочной литературе. Рассмотрим многомерные (двух- и трёхмерные) задачи. Обоснованию приближенных методов редукции двумерных задач к одномерным посвящены работы [58,59]. В работах [60,61] предложены методы модификации известных методов: определения функций Грина для круговой и сферической областей на основе интегрального метода Е.В. Толубинского [60]; обобщение метода А.И. Вейника полиномиальной аппроксимацией температурного поля [61]. Тепловой режим сложных технических систем моделируется методом одномерного приближения, когда исходная модель преобразуется к системе одномерных уравнений, задаваемых на рёбрах графа [62]. Для сложных разветвленных графов большой размерности этот метод (А.Ф. Воеводин, С.М. Шугрин) был модернизирован [62]. Для многомерных задач [63÷70] основной трудностью в решении является сложная форма области. Ею, в основном, и определяется выбор метода решения. Для канонических областей – квадрата плоскости и двумерного цилиндрического слоя были применены [63,64] интегральный метод Гудмена и разложения в ряды Фурье соответственно. Для тела вращения – асимметричного двумерного тела сложной формы – был применён метод Z -преобразования (дискретного преобразования Лапласа по времени), в сочетании с численными методами (66). Аналогичная задача (также для области – тела вращения) решалась сочетанием преобразования Лапласа по t и метода Л.В. Канторовича [67]. В математических моделях трёхмерной теплопроводности, используемых при разработке методов неразрушающего теплового контроля [68,69] и технологии теплообработки [70], характерной особенностью формулировки краевых задач являются разрывные граничные условия, описываемые различными функциями – плотностями потока тепла – на различных участках поверхности тела. В [68] такие условия – II-го рода, в [69] – смешанные (I-го и II-го родов). Задачи решались методом интегральных преобразований. Модель с источником тепла в [70] исследовалась методом функции Грина, позволившим определить условия эквивалентной замены объемного источника тепла на поверхностные. На основе метода сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям Л.В. Канторовича, был предложен метод полных систем, обобщающий проекционные методы (типа Ритца и Бубнова–Галёркина) [65]. В2. Области сложной формы. Рассмотрим две подгруппы моделей: а) для областей с полостями (лакунами); б) предлагающие новые методы решения. В моделях подгруппы (а) [71÷77] рассматриваются области: полые цилиндры (одно- [73] и двумерные [71,75]); пластинки с квадратными и круглыми отверстиями [74,76,77]; оболочки с криволинейными отверстиями [72]. Использовались методы решения: разложение в ряды [73]; интегральное преобразование Ханкеля [71]; последовательных приближений [72]; продолжения функций [76,77]; преобразования координат [74]. Все эти методы громоздки; окончательные результаты при-

530

ведены не везде. Это обстоятельство, видимо, послужило стимулом к разработке новых и модификации известных методов решения (модели подгруппы (б) [78÷85]). Для многосвязных областей предложен метод последовательного решения ряда задач для двухсвязных областей [78]. Предложенный итерационный процесс сложен. В [79] предложен численный алгоритм, трудности практической реализации которого обсуждаются авторами. Для задач со сложными нестационарными граничными условиями и источниками тепла был предложен [80] комбинированный метод Дюамеля–Рвачёва. Приближенный метод поэтапного моделирования, базирующийся на эмпирико-теоретическом "принципе местного влияния" был предложен для моделирования сложных неоднородных систем [81]. Метод предполагает использование иерархии моделей с различной степенью детализации описывающих температурные поля. В начале анализируется тепловой режим всей системы в целом и определяются осреднённые температуры и тепловые потоки. Затем рассчитываются поля в различных зонах – подсистемах меньшего размера, используя в качестве граничных условий для них средние величины, найденные на первом этапе. Эта процедура может быть повторена необходимое число раз. Метод тепловых потенциалов привёл [82] к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, решаемому численно. Модификации известных методов численного решения краевых задач теплопроводности в областях сложной формы были предложены в [83÷85]. В3. Неоднородные области. Формулировка задач нестационарной теплопроводности в неоднородных областях близка к соответствующим для стационарных. В уравнениях добавляется производная от температуры по времени, умноженная на объемную теплоёмкость среды, а к граничным условиям добавляется начальное – распределение температуры при t = 0: T ( M ,0) = ϕ( M ) [86÷94]. Встречаются также краевые задачи для гиперболического уравнения теплопроводности [86]. Решение, в большинстве случаев, строится путём исключения переменной t преобразованием Лапласа с последующим применением конечных интегральных преобразований по пространственным переменным [86,88,89,92]. В ряде случаев используются интегральные преобразования только по пространственным координатам [90] или их сочетание с Львовским методом [89]. Также используются методы: R – функций [88]; функций Грина [87,93]; численные [91]. В работе [87] метод функций Грина является составляющей более общего метода – расширения области, ранее встречавшегося в стационарных задачах. При этом заданная ("плохая") область D "погружается" в некоторую расширенную ("хорошую") область D /, для которой известна функция Грина соответствующей краевой задачи. Ограничивающая область D поверхность Г, рассматривается в области D / как поверхность, на которой заданы распределенные источники тепла с интенсивностью, подлежащей определению в ходе решения. Разбиением Г на N конечных элементов, с предположением о характере распределения интенсивностей на каждом из них (линейном, в частности), с последующим удовлетворением граничным условиям на этих элементах, получается система интегральных уравнений относительно интенсивностей фиктивных источников тепла. Путём

531

введения дискретного времени, с аппроксимацией на каждом временном интервале искомых интенсивностей известными (линейными, в частности) функциями времени, систему интегральных уравнений можно свести к алгебраической. В4. Системы с кондуктивно-конвективным переносом [95÷100] важны для геотеплофизических приложений (аналоги – перенос в выработках и скважинах). Нестационарные модели редки [99]; в большинстве моделей рассматривается стационарный теплоперенос. Включение моделей этого вида в обзор нестационарных задач оправдано математической их эквивалентностью нестационарным уравнениям. Роль переменной t (времени) в уравнениях кондуктивноконвективного переноса играет продольная (вдоль оси канала) координата х, в работах по численным методам именуемая "маршевой координатой" (математики говорят об "односторонней параболической переменной" [99]). Переменная х может быть исключена , как и переменная t , из уравнения преобразованием Лапласа (х > 0). Теплоперенос от стенок канала к потоку флюида определяется турбулентной структурой последнего, определяющей профиль скорости V (r ) и коэффициент турбулентной теплопроводности λT ( r ) [95,96,100]. В [95] предложена простая двухзонная (двухслойная) модель турбулентного потока со степенным скоростным профилем. Уравнение теплопереноса в потоке газа решалось конечноразностным методом. Труба с выраженной шероховатостью, в которой двигался газ с зависящими от температуры свойствами, рассматривалась в [96]. Для турбулентного ядра потока использовалась модель пути перемешивания для гладких труб, а в пристенной области – коэффициент профильного сопротивления для элементов шероховатости и число Стантона для подслоя. В численных методах решения задач [97, 98] используются многозонные (многослойные) модели потока. Основной трудностью теплового расчёта является наличие противоречивых (как экспериментальных, так и расчётных) данных о функции PrT (r ) – турбулентном числе Прандтля, посредством которого турбулентная теплопроводность выражается через турбулентную вязкость [97,100]. С. Нестационарные системы. С1. Модели с переменными теплофизпараметрами [101÷103] немногочисленны, т.к. в тривиальных случаях, когда в уравнениях только Cv = Cv (t ) и λ = λ(t ), а a = a(t ) = λ(t ) / Cv (t ) – интегриt

−1

руема, подстановка θ = θ(t ) = a0 ∫ a0 a( τ) d τ переводит уравнение относи0

тельно T = T ( M , t ) в уравнение относительно T = T ( M , θ) с постоян-ной теплопроводностью a0 . В более же сложных случаях, когда в уравнении имеются и другие параметры, зависящие от времени (V (t ), γ(t ) ), решения слож-ны и громоздки. Используются конечные интегральные преобразования по пространственным координатам [101], разложения в ряды по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля [102], метод функций Грина [103]. Одномерное уравнение, содержащее V = V (t ) и γ = γ(t ) , было представлено в виде [103]:

532

∂T ∂T ∂ 2T 2 + 2 f (t ) + ψ(t )T . = ϕ (t ) 2 ∂ x ∂t ∂x

(7.9)

Для уравнения (7.9) были построены функции Грина для I,II и III-ей краевых задач, оказавшиеся весьма громоздкими. С2. Модели с переменным коэффициентом теплообмена α = α(t ) [104÷114] относятся к одному из самых сложных для аналитического решения видов. Несмотря на то, что такие модели формулируются и исследуются достаточно давно [104], простых аналитических методов решения задач нет. "Точные" решения обычно сводят задачу к интегральному уравнению [106] или к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений [105], дальнейшее решение которых возможно лишь приближенно. В [104] краевая задача сведена к вариационной с последующим нахождением нескольких первых приближений методом Ритца. Асимптотические оценки контурных интегралов были использованы в [105]. В [106] краевая задача была приведена к нелинейному интегральному уравнению со слабой особенностью, которое предлагалось решать приближением рекуррентным методом при замене всех функций времени ступенчатыми. Применяются и численные методы [109]. Для получения аналитико-числовых решений задач применяются методы: 1) интегральных преобразований по пространственным переменным в сочетании с методами R – функций и Бубнова– Галёркина [108]; 2) последовательных приближений – разложений в ряды [110,111]; 3) сведения к последовательности стационарных задач – метод Ротэ [112]; 4) сведение к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений [113,114]. С3. Модели для областей с подвижными границами [115÷122]. Рассмотрим характерную модель [115]. Краевая задача имеет вид:

∂U ∂ 2U =a , t ∈ (−∞, ∞), x ∈ [l 1 + ϑt , l 2 + ϑt ], l 2 − l1 = l > 0. (7.10) 2 ∂t ∂x

U t = −∞ = 0,

⎛ ∂U ⎞ + αU ⎟ = h1(t ), ⎜ ∂ x ⎝ ⎠ x = l 1 + ϑt

U x = l + ϑt = h2 (t ). (7.11) 2

Здесь: a, l1, l 2 , ϑ, α = const;h1(t ), h2 (t ) – поток тепла и температура соответственно на левом и правом концах отрезка l, перемещающегося вдоль оси Ox со скоростью ϑ . Решение этой задачи строилось в виде суммы тепловых потенциалов простого и двойного слоя, для неизвестных плотностей которых ρi (t ) (i = 1,2) подстановкой решения в граничные условия (7.11) была получена система интегральных уравнений Вольтерра II-го рода: t

2 ρi (t ) hi (t ) = (−1) + Σ Cij ∫ K ij (t − τ)ρ j (τ)dτ, 2 j =1 −∞ i

i = 1,2.

(7.12)

533

Система (7.12) решалась поэтапно, достаточно сложным образом [115]. Аналогичная задача для двух подвижных стержней, решавшаяся тем же способом, рассмотрена в [118]. В [116,117] применялся метод функциональных преобразований с последующим численным решением. Метод замены функций и переменных использовался также в [120,121], где он сочетался с интегральным методом теплового баланса [120] и сведения к уравнению теплопроводности в неподвижной области [121]. В весьма общей (абстрактной) формулировке приводятся краевые задачи для нестационарных областей в [119,122]. В [119] использовался метод В.А. Рвачева квази-функций Грина, а в [122] – метод обобщенного интегрального преобразования Э.М. Карташова. В первом случае, решение доведено до интегрального уравнения Фредгольма II-го рода, во втором – представлено рядом – тройной бесконечной суммой.

§92. Модели переноса в неоднородных системах Среди моделей переноса в неоднородных системах можно выделить группы: А. Микронеоднородные модели; В. Двух- и трёхслойные модели; С. Многослойные модели; Д. Непрерывно-неоднородные модели. В каждой из этих групп имеются подгруппы; рубрикация на обоих уровнях, как и ранее, достаточно условна. Подгруппы А1÷А4, в частности (гетерогенные, композитные, дисперсные, анизотропные системы) сформированы согласно трактовки рассматриваемых моделей их авторами. А. Микронеоднородные модели. А1. Гетерогенные системы. К ним относят неоднородные системы (среды), содержащие отдельные или многочисленные трещины и включения, образующие хаотическую или упорядоченную структуру [123÷141]. Трещины могут быть заполнены флюидами или материалом с отличными от основного (матрицы) теплофизпараметрами, а включения могут быть из одного или из различных материалов. Модели теплопереноса в гетерогенных средах [126,127,129,132,139÷142] представляют собой граничные и краевые задачи, аналогичные уже рассмотренным в п. 7.2.1 (подгруппы моделей А2 и В3). Методы решения граничных и краевых задач: функций Грина [126]; преобразования Лапласа совместно с методом Бубнова–Галёркина (метод П.В. Цоя) [132,140,141]; Львовский метод [129,132,142]; численные [127]. Ряд работ [123÷125,128,130,131,133÷138] посвящён определению эффективных параметров – коэффициентов проводимости (теплопроводности) гетерогенных сред с различной структурой: хаотической [123,125,130,131,137,138]; периодической [124,128,135]; слоистой [133,134,136]. При определении эффективных параметров используются методы: статистического [123,125] и пространственного [124,125,131] усреднения; модельных структур [128,133, 135,136]; полуэмпирические и конструирования формул [130,133,134]; теории протекания [130, 133, 137,138].

534

А2. Композитные системы. Это искусственные гетерогенные системы с упорядоченной или хаотической структурой [143÷156]. Определение эффективных параметров (проводимостей) осуществляется аналогично гетерогенным системам [143÷147,150]. Температурные поля в композитах часто определяют по моделям квазигомогенных сред с эффективными (считаемыми известными) параметрами [148, 149,151,154,156]. В качестве методов решения используются: метод функций Грина [148,149]; итераций [151,156]; разложений в ряды [154]. В ряде работ исследуются т.н. многотемпературные (чаще всего – двухтемпературные) модели теплопереноса, в которых каждому компоненту в выделенном объёме среды приписывается своя температура. Число уравнений переноса соответствует числу компонент; эта система уравнений замыкается т.н. "уравнениями перетока", описывающими межкомпонентный (межфазный) теплоперенос. Рассмотрим некоторые двухтемпературные модели [152,153,156]. В [152] рассматривается двухслойный композит регулярной структуры. Уравнение теплопроводности в компонентах "1" и "2" идентичны; их усреднение по сечениям слоёв приводит к появлению в каждом из вновь полученных уравнений (на единицу меньшей размерности) члена "перетоков" q = α(T1 − T2 ), здесь α называется коэффициентом межкомпонентного (межфазного) теплообме-на, а Ti (i = 1,2) – усредненные температуры. Соотношение для q именуется за-коном Генри [152,153], а коэффициент α определяется методами "корреляций" и радиального линейного потока тепла (по данным Л.П. Хорошуна, Н.С. Солтанова и И.В. Гончарова [152]). В [152] система уравнений решалась преобразованием Лапласа по t и cos - Фурье по пространственной координате. Обратная задача – определение α рассматривалась в [153]. Усложнение и уточнение этой модели позволило найти α = α(t ) [155]. А3. Дисперсные системы. Как и композитные, они являются разновидностью гетерогенных систем. Обычно считают, что дисперсные среды это: а) малоконцентрированные двух- и многокомпонентные смеси; б) пористые среды; в) зернистые среды [157÷166]. Большинство указанных работ посвящено определению эффективных коэффициентов теплопроводности. Рассматриваются: дисперсные среды с одинаковыми сферическими частицами [158]; случаи преобладания контактной проводимости зёрен в зернистой среде [160]; увлажнённые [159] и газозаполненные [161] зернистые среды; ячеечная модель грунта с переменной пористостью [165]; спрессованная насыпка никелированных шариков [164]. В [162] установлена связь коэффициента эффективной теплопроводности с потенциалом влаги в зернистой среде, а в [166] найдены коэффициенты массопереноса во влажной пористой среде. Эффективные параметры переноса в дисперсных средах зависят от внутренних источников тепла в них [163]. Предложенная модель их определения (ансамблевым усреднением по допустимым конфигурациям включений и методом самосогласованного поля) позволила получить гиперболическое уравнение теплопроводности с эффективными параметрами дисперсной среды [163]. 535

А4. Анизотропные системы. Многие из композитов имеют структуру, определяющую анизотропию их теплопроводности [167÷181]. При прессовании порошков, состоящих из анизотропных частиц, образуются композиты с анизотропными тепло- и электропроводностью, зависящими от пористости [167]. Определение эффективных коэффициентов теплопроводности по главным осям было осуществлено на основе стационарного анизотропного уравнения теплопроводности, преобразованием координат, приведшему к изотропному уравнению [167,168]. Задача стационарной теплопроводности в сплошном анизотропном цилиндре путём преобразования координат с последующим использованием функции Грина решена в [169]. Численный метод для двумерной анизотропной теплопроводности предложен в [170]. Используется система координат, согласованная с формой границы области, что позволило последнюю преобразовать в прямоугольную. В [172] был предложен метод конечных элементов для анизотропной среды с источниками тепла. Нестационарные трехмерные температурные поля в анизотропных средах с полостями и включениями определялись численно, на основе локальноодномерной схемы А.А. Самарского и потокового метода прогонки [174]. Температурное поле композита, состоящего из матрицы и двух типов волокон, ориентированных перпендикулярно друг другу, моделировалось уравнением стационарной трёхмерной анизотропной теплопроводности [175]. Задача решалась численно. Поле в искривлённом анизотропном слое периодической структуры определялось методом усреднения Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко [176]. Был осуществлён переход от пространственной задачи теплопроводности к системе двух уравнений относительно интегральных характеристик температуры усредненной оболочки. Нестационарная теплопроводность анизотропных композитов изучалась в работах [173,177÷179]. Двух- и трёхмерные моделируемые системы имели различные формы: клина и эллиптического цилиндра [173]; полого цилиндра [177]; двумерной полосы [178]; сплошного ортотропного цилиндра [179]. Решение краевых задач осуществлялось методами: преобразования координат и функций Грина [173]; двойного преобразования Лапласа [177]; преобразований Лапласа по времени и Фурье по пространственной координате [178]; преобразований Лапласа и Ханкеля [179]. Обратные задачи рассматривались в [180,181]. Из решения краевой задачи для ограниченного ортотропного цилиндра методами преобразований Лапласа и Ханкеля, были найдены значения продольного ( λ z ) и радиального ( λ r ) коэффициентов теплопроводности [180]. Аналогичная задача для трехмерного ортотропного слоя (пластины) была решена в [181], где применялись преобразование Лапласа по времени и преобразования координат с усреднением по одной из них. Модель связанной нестационарной термоупругости анизотропного тела [171] базировалась на представлении потока тепла в виде интеграла свёртки градиента температуры и "передаточной" функции и выражении для автокорреляционной функции. Получены гиперболическое уравнение анизотропной теплопроводности и выражение для потока тепла [171].

536

В. Двух- и трёхслойные модели. В1. Одномерные двухслойные модели [182÷213] описывают перенос преимущественно в системах из двух пластин, из пластины и полупространства, из двух полупространств. Системы с цилиндрическими [182,184,204,210] и сферическими [208] слоями немногочисленны. Внешние граничные условия встречаются I,II,III-го родов; внутренние – IV-го рода. Начальные условия, как правило, однородные. Используемые методы решения: интегральное преобразование Лапласа по времени [183,184,187,188,193,200,201, 203, 205,209,212]; численные [198,204, 206,207,211]; метод тепловых потенциалов [186,208]; метод элементов поверхности (граничных интегральных уравнений) [195]; интегральное преобразование Фурье–Бесселя [210]; интегральный метод [185]; разложение в ряд по собственным функциям [194]; метод П.В. Цоя [196]; разделение переменных [197]; дробных производных [192] и др. В ряде методов задача сводится к интегральным уравнениям относительно неизвестных функций – температур и плотностей потока тепла на границе слоёв и плотностей тепловых потенциалов. В [195], в частности, было получено интегральное уравнение Воль-тера относительно граничной температуры, а в [186,208] – относительно плотнос-тей потенциалов. В2. Неодномерные двухслойные модели [214÷236] состоят, преимущественно, из плоских слоёв перечисленных в В1 видов. Модели систем с цилиндрическими слоями [214,223]: двухслойный полый цилиндр [214], система сплошной цилиндр – цилиндрическое оболочка неограниченной толщины [223]. Относительно краевых условий справедливо всё, сказанное в В1. Методы решения краевых задач: интегральное преобразование Лапласа по времени [216,219÷221,223÷226,228,232]; оно же, в сочетании с интегральными преобразованиями по пространственным координатам [220,224,226] или с разложением в ряды [219,221]; Львовский метод [224,226,233]; метод функций Грина [218,228,233]; численные [217,227,230,231,235] и др. В3. Трёхслойные модели [237÷258] можно подразделить на модели: с плоскими [239÷244,246,247,251,252,254,256÷258] и цилиндрическими [237,238,245, 248÷250,253] слоями; одно – [237,239÷244,246,247,250,251,253, 254,256] и многомерные [238,245,248,249,252,257,258]. Краевые условия, как и ранее, простейшего вида. Краевые задачи, в большинстве, однородные (уравнения не содержат функций плотности источников тепла). Используемые методы решения задач: интегральное преобразование Лапласа по времени [237,239,243,244]; преобразования Фурье и Ханкеля [248,249,253]; численные [242,246,247,250,251,254,257,258]; Львовский метод [240,255]; разложение в ряды [245,252,256] и др. В [241] трёхслойная задача методом "континуальной теории смеси" преобразуется к задаче теплопроводности в квазигомогенной среде с эффективными параметрами, а в [255] теплоперенос описывается гиперболическим уравнением. С. Многослойные модели. Среди многослойных ( N -слойных) моделей [259÷303] можно выделить группы: модели одномерные [261÷264,267÷282,288, 289,291,296,300] и неодномерные [259,260,265,266,286,287,290,292÷295, 297÷299, 301÷303]; модели с плоскими [259÷264,268÷273,275÷278,280, 282÷286,289,291,

537

292,295÷298,300÷303] и цилиндрическими слоями [264÷267, 274,279,281,283÷285, 287,288,290,293,294,299]. В большинстве случаев – уравнения однородные. Краевые условия – аналогичны 2-х и 3-х слойным моделям. Для решения краевых задач используются методы: преобразование Лапласа по времени [260÷260,269, 271, 280,296]; интегральных преобразований по пространственным координатам [260,270,287,294,301]; численные [265÷267,276, 278,281,285,291,292,298,303]; Львовский метод [259,264,299]; метод функций Грина [275,286,299]; проекционные (прямые) методы [274,283,284,288÷290, 295] и др. Методы решения, обозначенные "и др." , это либо приближения, связанные с переходом к системам с сосредоточенными параметрами (при усреднении полей по каждому слою), описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений [277,280,283,285], либо, напротив, методы гомогенизации (эквивалентирования), сводящие перенос в многослойной системе к переносу в квазигомогенной области с эффективными параметрами [270, 278,279,289,290]. В ряде работ были получены промежуточные результаты – системы интегральных уравнений Вольтерра II-го рода относительно неизвестных функций на границах между слоями [261,263], которые затем предполагалось решать численно. Д. Непрерывно-неоднородные модели [304÷309] описывают системы с теплофизическими параметрами – непрерывными функциями пространственных координат. Встречаются одномерные [305÷308] и неодномерные [304,309] системы. В [305] рассмотрено уравнение:

C v ( x)

∂T ⎞ ∂T ∂ ⎛ = ⎜ λ ( x) ⎟ + qv ( x, t ), ∂x ⎠ ∂t ∂x ⎝

x ∈ (0, l),

t > 0. (7.13)

Решение для этого уравнения третьей краевой задачи разделением переменных потребовало принятия ограничений на параметры:

λ( х) = a = const; C v ( x)

λ/ ( х) = 2ξ = const. λ ( x)

(7.14)

В аналогичной задаче [307], где на вид функций C v ( x) и λ ( x) не накладывалось никаких ограничений, был применён метод взвешенных моментов, т.е. преобразование вида ∞

T ( x, к ) = ∫ T ( x, t )t к d t , к = 0, 1, 2... 0

Применение этого преобразования к исходному уравнению и граничным условиям позволило получить выражение для λ e = const (эффективного коэффициента теплопроводности для однородной пластины). Для области – бесконечного цилиндра [306] после подстановки

538

r

ξ=

dr ∫ λ( r ) 0

и разделения переменных в уравнении, для T = T (ξ) было получено уравнение Бесселя, решенное далее для случая, когда ϕ(ξ) = Cv (ξ) ⋅ λ(ξ) – медленно меняющаяся функция. Этот же метод использовался и для сферической области [308]. Двумерная задача [304] при Сv = Сv ( x, y), λ = λ( x, y) решалась методом разделения переменных: T ( x, y, t ) = T1(t )T2 ( x, y) . Для T2 ( x, y) было получено:

∇ 2T2 +

C ∇λ ∇T2 + v ν 2T2 = 0, λ λ

(7.15)

2

где ν – параметр разделения переменных. Уравнение (7.15) решалось с помощью операторов С. Бергмана, но решение до конца доведено не было [304].

§93. Неординарные модели Рассматриваемая выборка этих моделей [310÷344] содержит следующие группы: А. Модели сопряженного переноса; В. Модели переноса в двухтемпературных средах; С. Модели взаимосвязанного (совместного) переноса. А. Модели сопряженного переноса. К таковым относим модели, в которых описывается теплообмен между флюидом, движущимся в канале с его стенками [311,312,320,321,326÷328, 332÷334,336,341,342]. При этом уравнение теплопереноса во флюиде и в твёрдом теле (стенке канала) согласуются (сопрягаются) друг с другом граничными условиями IV-го рода (сопряжённая постановка задач) [312,320,321,334,336, 342], либо граничными условиями III-го рода или полученными с их помощью линейными по разности температур стенки и потока "источниками" в уравнениях переноса ("полусопряжённая" постановка задач – термин наш) [311,326,328,332, 333,341]. В классификации сопряжённых задач [327] используются те же признаки, что и в общей классификации (см. гл. 1). Обоснование необходимости сопряжённых постановок задач кондуктивно-конвективного теплопереноса было дано в [312]. Было показано, что использование коэффициента теплообмена α может привести к существенной погрешности, в особенности при α = const. В качестве метода решения таких задач предлагалось использование интегральных преобразований. Модель турбулентных температурных пульсаций [320] в вязком подслое потока и в стенке канала, базировалась на уравнении Фурье для стенки и уравнении Фурье-Кирхгофа в подслое. Использовался метод функций Грина. В итоге получено выражение для турбулентного числа Прандтля.

539

Модель, в которой стенка канала и жидкость рассматривались как двухслойная система, рассмотрена в [336]. На основе решения, полученного преобразованием Лапласа, осуществлён анализ турбулентных характеристик потока. В модели охлаждения металлической трубы движущимся по ней газом [311] была принята "полусопряжённая" постановка:

∂T1 ∂ 2T1 = a1 − β1(T1 − T2 ), ∂t ∂x 2 2

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ αυ ⎪ . β2 = FγC p ⎪⎭

α , β1 = δγC p

∂T2 ∂T ∂ T2 + β2 (T1 − T2 ), + V 2 = a2 2 ∂t ∂x ∂x

(7.16)

Здесь: T1, T2 – температуры, средние по сечению стенки трубы и потока газа соответственно; V – средняя скорость потока; x – продольная координата; α – коэффициент теплообмена между газом и стенкой трубы; δ – толщина стенки трубы, υ – её внутренний периметр; a1, a2 – коэффициенты температуропроводности стали и газа; γ, C p – плотность и теплоёмкость газа; F – площадь сечения потока в трубе. Система (7.16) была решена преобразованием Лапласа по t . Задачи расчёта различных теплообменников (с прямотоком и противотоком теплоносителя) часто формулируются аналогично (7.16). Близкие к (7.16) модели использовались в [321,326,332÷334,341]. Задачи решались методами: граничных интегральных уравнений (метод ГИУ) [321]; приведением к одному обыкновенному дифференциальному уравнению [326]; численно [332]; преобразованием Лапласа [333,341]; разделением переменных [334]. Тепловая модель СВС – экструзии [342] строилась на нелинейных уравнениях сопряженного теплопереноса в системе "оболочка – образец" и реализовывалась численно. Для сложных систем (в приборо- и машиностроении) был предложен метод "поэтапного моделирования" [328], ранее уже упоминавшейся. В. Модели переноса в двухтемпературных средах. Двухтемпературные модели описывают процессы в гетерогенных средах (композитах, дисперсных, пористых, зернистых). О них уже шла речь в § 92 (А2). Одной из первых была, видимо, модель [310], где матрица из электроизолятора армирована цилиндрическими, достаточно далеко удаленными друг от друга (так что их тепловым взаимодействием можно пренебречь) проводниками с током. В проводнике выделяется джоулево тепло, которое частично переходит в матрицу. Температуры в проводнике T1( х, t ) и в матрице T2 ( r , t ) (где продольной теплопроводностью пренебрегают) описываются уравнениями:

∂T1 ∂ 2T1 2πR0λ 2 ⎛ ∂T2 ⎞ ρJ 2 = a1 + + , x ∈ (−l, l), t > 0, (7.17) ⎜ ⎟ 2 ∂t fγ1C1 ⎝ ∂r ⎠ r = R fγ1C1 ∂x 0 540

⎛ ∂ 2T2 1 ∂T2 ⎞ ∂T2 ⎟ = a2 ⎜ + 2 ⎜ ∂t r ∂r ⎟⎠ ⎝ ∂r

r ∈ ( R0 , ∞),

t > 0.

(7.18)

Здесь: индекс "1" обозначает параметры проводника, "2" – матрицы; R0 – радиус 2

проводника, f = πR0 – площадь его сечения; ρ, J – удельное сопротивление и сила тока; ai = λ i / γ i Ci ; λ, γ, С – соответственно теплопроводность, плотность и удельная теплоёмкость ( i = 1,2). В данной модели второй член в правой части (7.17) играет роль закона Генри, т.к. описывает теплопотери из проводника в матрицу. Система (7.17), (7.18) решалась с использованием известного решения (S. Goldstein, 1932) для (7.18) при постоянной температуре на границе r = R0 и принципа Дюамеля, что позволило определить (∂T2 / ∂r ) r = R . Подстановка по0

следнего в (7.17) привела к интегро-дифференциальному уравнению t

∂ 2U ∂U ∂U d τ = a1 + Q, + A ∫ K (t − τ) 2 ∂τ ∂t ∂ x 0 2 −1

(7.19)

−1

где U = (ρJ ) T1( x, t ); Q = (λ1 f ) ; A = 8λ 2 / πfγ1C1; K ( z ) – интеграл от 0 до ∞ по β от некоторой известной функции ϕ( z, β) . Уравнение (7.19) решалось конечно – разностным методом. Уравнение (7.19) – нелокальное, в нем скорость изменения температуры в любой момент времени t зависит от значений этой же величины во все предшествующие моменты времени τ ∈ ( 0, t ). Таким образом (7.19) описывает перенос в среде с "памятью". Путём несложных преобразований в (7.19) можно представить интегральный член в виде:

⎤ ⎡ ∂U ∂ 2U ∂U ∂ 2U τ2 ∂ 3U + ⋅ ⋅ ⋅, + A2 (t ) A ∫ K (τ)dτ ⎢ − ⋅ ⋅ ⋅⎥ = A1(t ) −τ 2 + 3 2 2 ∂ t t ∂ ∂t ∂t ∂t ⎥⎦ ⎢⎣ 0 t

t

t

A1(t ) = A ∫ K (τ)dτ; A2 (t ) = (−1) A ∫ τK (τ)dτ; A3(t ) = 0

(7.20)

0 t

τ2 = (−1) A ∫ K (τ) d τ;... 2 2

0

Если полученный ряд оборвать на первом члене, (7.19) переходит в локальное параболическое уравнение теплопроводности с переменной теплоёмкостью Сv (t ) = γ1C1(1 + A1(t )) . Учёт двух первых членов ряда (7.20) трансформирует (7.19) в гиперболическое уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами при производных по времени.

541

Двухтемпературная модель, близкая к рассмотренной – для стержневого углеродного композита, изучалась в [339]. Гетерогенная среда моделировалась квазигомогенной, для которой эффективный коэффициент теплопроводности был получен как функция времени. Для усредненной по сечению стержня температуры T2 ( z, t ) получена система уравнений:

Ci

∂Ti ∂T ⎞ ∂ ⎛ i = ⎜ λ zi i ⎟ + (− 1) α i (T1 − T2 ), ∂t ∂z ⎝ ∂z ⎠ 2

i = 1,2.

(7.21)

2

Здесь: α1 = 2α к / R1; α 2 = 2α к R1 /( R2 − R1 ); α к – коэффициент межкомпонентного теплообмена из закона Генри; R1, R2 – радиусы стержня и цилиндрического контрольного объема соответственно. Для (7.21) решалась обратная коэффициентная задача и определялись параметры модели (включая α к ). Использовались численные методы. Близкие по структуре к (7.21) уравнения теплопроводности макроскопически изотропной двухфазной системы (стохастически микронеоднородной среды) были получены в [318]. Коэффициент α к определялся из стохастического уравнения теплопроводности двух фазной среды и был найден в виде:

α к = 2 15

P1 P2 K1 K 2 < K > l2

,

(7.22)

где Pi – объемные концентрации фаз; K i – коэффициенты теплопроводности фаз; l, < K > – масштаб и коэффициент корреляции; i = 1,2. Аналогичные этим модели теплопроводности в гетерогенных [323,324] и дисперсных [338] средах анализировались иными методами. В [323] использовалось понятие зон температурных возмущений, в которых поля аппроксимировались простыми функциями. Коэффициенты в этих функциях и законы движения зон определялись методом интегральных соотношений. Была показана аналогия уравнений теплопроводности в гетерогенной среде и уравнений фильтрации однородной жидкости в трещиновато – пористых средах. В [324] система типа (7.21) решалась методом Вишика–Люстерника и преобразованием Лапласа–Карсона. Рассматривая процессы переноса в дисперсных средах (зернистых слоях с фильтрующимся флюидом), автор [338] принял, в качестве исходной, известную модель "сосуществующих континуумов":

⎫ ⎛ ∂T ⎞ εd1C1⎜ 1 + (V , ∇ )T1 ⎟ = λ* ∇ 2T1 + σ(T2 − T1),⎪ ⎪ ⎝ ∂t ⎠ ⎬ ∂T2 ⎪ (1 − ε)d 2C2 = σ(T1 − T2 ). ⎪⎭ ∂t 542

(7.23)

В квазистационарном приближении параметры λ * и σ считают константами, что не всегда адекватно. В [338] поле внутри частиц дисперсной фазы выражалось через функцию Грина для первой краевой задачи, когда на поверхности частицы задана температура T1(t ). Определив поток тепла из частицы из этого решения и подставив его в уравнение баланса тепла в дисперсионной фазе, автор получил уравнение

⎛1 ∂ ⎞ εd1C1⎜⎜ + V ⋅ ∇ ⎟⎟T1 = ⎝ τ2 ∂τ ⎠ t ∂Φ ⎤ (1 − ε)λ 2 ⎡ ⎢T1(t ) − Κ (t ) + ∫ T1(t − ξ) = λ* ∇ T − dξ⎥, 2 ∂ ξ l ⎢⎣ ⎥⎦ 0 d 2C2l 2 t , τ2 = . τ= τ2 λ2 2

(7.24)

Уравнение (7.24) содержит, как и (7.19) интегральный член ("память"), что относит (7.24) к нелокальным уравнениям. Далее это уравнение анализировалось для случаев "малых" и "больших" времён. В последнем случае, в частности, из (7.24) было получено дифференциальное уравнение, содержащее производные по времени вплоть по N -го порядка. Модели "инфильтруемого слоя" давно используются в приложениях (в металлургической, химической, энергетической промышленностях и др.) [313]. При этом, как правило, стараются получать приближенные решения на основе упрощенных моделей, содержащих минимальное число параметров. В [314] уравнение переноса внутри фаз дисперсной среды первоначально записаны в достаточно общем виде, но рассматриваются они как элемент стохастического описания. Применен метод усреднения по статистическому ансамблю возможных состояний дисперсной среды, описываемых локальными функциями Грина. В итоге получена упрощенная система уравнений для средних температур. В [325] был применен, в аналогичной ситуации, метод последовательных приближений. Моделируя теплоперенос при фильтрации жидкости в пористом слое, авторы [330] отказались от квазигомогенной модели с одновременной релаксацией температурных возмущений в обеих фазах, полагая данное приближение адекватным только для мелкозернистых песчаников. Рассматривая подземный коллектор (содержащий крупнокусковой материал), они решили учесть различие времён релаксаций в фазах. Модель включала уравнение теплопроводности в окружающем коллектор массиве (одномерное полупространство, уравнение конвективного теплопереноса фильтратом и уравнение теплопроводности в блоках трещиноватой среды (сферической формы). Два последних уравнения имели вид:

∂θ ⎞ ⎛ ∂θ fC ж ⎜ ж + Vg ж ⎟ = qи + qм , ∂x ⎠ ⎝ ∂t

(7.25)

543

⎛ ∂ 2θ Б 2 ∂θ Б ⎞ ∂θ Б ⎟. = aБ ⎜ + 2 ⎜ ∂t r ∂r ⎟⎠ ⎝ ∂r

(7.26)

Для случая небольших, хорошо теплопроводных блоков, использовалось упрощение (7.26) (полученное усреднением по объему блока):

(1 − f )CБ

∂θБ = F1α(θ ж − θБ ). ∂t

(7.27)

Здесь: f – пористость среды; Vg – скорость фильтрации жидкости; qи , qм – теплопритоки из блоков и окружающего массива; F1 – площадь поверхности блока; α – коэффициент теплообмена частиц с фильтратом. Решение задачи (для нескольких вариантов модели) было получено методом преобразования Лапласа– Карсона. Близкая модель была предложена для регенеративных теплообменников с шаровой насадкой [344]. Задача в нелинейной постановке (учитывалась зависимость параметров от температуры) решалась численно. С. Модели взаимосвязанного (совместного) переноса. Среди моделей этого вида [315÷317,318,322,329,331,335,337,340,343] имеются две подгруппы: 1) модели тепломассопереноса на основе системы уравнений А.В. Лыкова [315,16,322,340]; 2) модели диффузии и конвективной диффузии примесей в пористой среде, сопровождающейся физико-техническими процессами (химические реакции, сорбция–десорбция, радиоактивный распад) [317,319,331,335,337,343]. Модели обеих подгрупп представляют собой частные случаи (7.4) (где, в ряде случаев, i, j = 1, N ). Решение краевых задач в указанных источниках осуществлялось методами: преобразование Лапласа по t [315,316,322,335,340]; функций Грина [317,319,331,337]; численными [329,343].

§94. Нелокальные модели Нелокальные модели (интегродифференциальные уравнения) описывают процессы переноса в средах с "памятью" или с дальнодействием. К этому же классу моделей относятся и различные приближения, связанные с удержанием в уравнении переноса нескольких первых членов разложения в ряд интегральных операторов. Наиболее распространено первое приближение, содержащее первую и вторую производные по времени от полевой функции – "телеграфное" уравнение или гиперболическое уравнение теплопроводности [345÷369]. Можно выделить три подгруппы работ: А – теплофизические обоснования и вывод уравнений, общие методы их решения; В – модели переноса в микронеоднородных средах [350,351,355,358,359,361]; С – модели переноса в макронеоднородных (в частности – слоистых) средах и совместные задачи термоупругости. 544

Модели подгруппы А продолжают работы Дж. К. Максвелла, Р. Vernotte, C. Cattaneo и др. [345,356,366]. Интегральные операторы описывают эффекты "памяти" и присутствуют в работах, выполненных в парадигме "рациональной механики сплошной среды" [352,367,368] или статистической физики [365,369]. А.В. Лыковым, рассматривавшим высокоинтенсивный теплоперенос (в рамках термодинамики необратимых процессов), было предложено феноменологическое соотношение [345]:

J q = Lrq J& q + Lqq X q , где J q , J&q – поток тепла и скорость его изменения; X q – термодинамическая сиr

ла; Lqq , Lq – кинетические коэффициенты, описывающие необратимый теплоперенос и релаксацию соответственно. Приведенное соотношение после перехода к обозначениям, принятым в теории теплопроводности, было записано в виде:

q = − λ ∇T − τ r

∂q , ∂t

(7.28)

где q – вектор плотности потока тепла; λ – коэффициент теплопроводности; τ r – время релаксации теплового потока. Подстановкой (7.28) в уравнение теплового баланса

Сv

∂T = divq ∂t

было получено (для одномерного случая) гиперболическое уравнение теплопроводности:

∂ 2T ∂ 2T ∂T . + τr =a ∂t ∂t 2 ∂x 2

(7.29)

Уравнение (7.29), согласно [345], описывает распространение тепла с конечной 1/ 2

скоростью ωq = ( a / τ r )

. Для τ r были приведены примерные значения:

−9

−11

сек. Для разряженных газов в для азота τ r ≅ 10 сек; для алюминия τ r ≈ 10 условиях сверхзвуковых потоков и турбулентных потоков жидкости, τ r суще−3

−1

ственно больше ( τ r ≅ 10 ÷ 10 сек). Уравнение (7.29) может быть также получено из уравнений Больцмана и Фоккера–Планка [345]. Для уравнения (7.29) в [345] решена задача Коши с δ -видным начальным условием. Получено решение вида:

⎧⎪T0Φ( x, t ), T = T ( x, t ) = ⎨ ⎪⎩0,

x < ωq t , х > ωq t .

(7.30)

545

1/ 2

⎤ ⎛ t ⎞⎡ t x 2 ⎞⎟ 1 ⎛⎜ t 2 1 ⎟⎟ ⎢ J 0 (η) + − Φ( x, t ) = J1(η) / η⎥, η = exp⎜⎜ − 2 ⎜ ⎟ τ 2 τ 4τ r 2 2 τ ⎦ ⎝ r ⎠⎣ r ⎝ r aτ r ⎠

.

2

Оценки для x (t ) для (7.30) и решения параболического уравнения показали 2

2

2

[345], что для (7.30) x (t ) ~ t , а для параболического уравнения x (t ) ~ t . Для газов в [346] было получено: 1/ 2

1 ⎛ γ ⎞ RT ⎟ ωq = ⎜ 6 Pr ⎝ γ − 1 ⎠ 1/ 2

где c = ( γRT )

= Bc,

(7.31)

– скорость звука в газе; B = (6 Pr γ − 1) − 1; Pr – число Прандтля;

γ = C p / Cv . Расчёты по (7.31) показали (для газов при T = 273 K, для водяного пара – при T = 373 K, что для кислорода, воздуха, углекислого газа, водяного пара и метана соответствующие значения параметра В таковы: В = 0,372; 0,373; 0,390; 0,297; 0,406. Т.о., располагая данными о скорости звука в этих газах, можно по (7.31) 2

найти ωq , а затем и τ r = a / ωq . Элементарный вывод (7.29) был предложен [363] на основе трактовки параметра τ r как "времени запаздывания", вводимого в закон Фурье:

q( x, t ) = −λ

∂T . ∂x t − τ r

(7.32)

Из (7.32) следует, что

∂T ∂q 1 ∂ 2q 2 = q( x, t ) + τr + q( x, t + τ r ) = −λ τ r + ... ∂x t ∂t t 2 ∂t 2 t Если этот ряд оборвать на линейном по τ r члене, то получим (7.28) и (7.29). Обобщение уравнения (7.29) для двумерной области с источником тепла, именуемое " В -волновым уравнением", рассматривалось в [347]:

b20

∂ 2u ∂t 2

+

b12

2 ∂u 2 2∂ u + b2 u − a1 − a22 Bu = f ( x1, x2 , t ), ∂t ∂x12

где оператор Бесселя B :

Bu =

546

∂ 2u ∂x22

+

2v + 1 ∂u , x2 ∂x2

1 1 ν = − ; 0; . 2 2

(7.33)

Для уравнения (7.33) в [347] доказан ряд теорем о свойствах функций Грина и фундаментальных решений основных краевых задач. Использовался аппарат обобщенных функций. Для трёхмерного гиперболического уравнения теплопроводности в области, находящейся на разомкнутой поверхности, в [364] предложены три метода решения. В первом из них из уравнения преобразованием Чебышева–Лагерра исключается время, а граничная задача сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Во втором – методом коллокаций осуществляется дискретизация по времени и вновь приходят к системе интегральных уравнений. В третьем используется тепловой потенциал простого слоя. Во всех трёх случаях интегральные уравнения предполагается решать численно. Одномерное гиперболическое уравнение теплопроводности в слое, содержащем случайные источники тепла, рассматривалось в [354] в рамках модели термовязкоупругости. Использовались методы теории случайных функций и преобразование Лапласа по времени. В [357] уравнение (7.29) обобщено на случай зависимости коэффициента теплопроводности и времени релаксации от температуры (квазилинейное гиперболическое уравнение теплопроводности). Для степенных функций λ(Т ) и τ r (T ) найдено волновое решение. Модели подгруппы В ранее уже рассматривались (7.2.2. А). Некоторые из них – для двухтемпературных систем (7.2.3. В) приводятся к интегродифференциальным уравнениям ((7.19), (7.24)) и к гиперболическим уравнениям. Исходя из системы параболических уравнений теплопереноса в дисперсной среде, авторы [350] в итоге получают уравнение вида (7.29). В обзоре работ по моделям перемешивания частиц в кипящих слоях [351] приводится гиперболическое уравнение массопереноса вида (7.29), где вместо коэффициента температуропроводности присутствует коэффициент дисперсии. В случае вертикального перемешивания частиц это уравнение усложняется, в него добавляется вторая смешанная производная (по координате и времени) от концентрации частиц. Аналогичные и более сложные уравнения были получены и для описания горизонтального и вертикального теплопереноса в слое [351]. Разрабатывая модель воспламенения и горения с учётом тепловой релаксации в дисперсных и гомогенных неравновесных системах [355], авторы обобщили уравнение (7.28):

∂T ∂q ∂ 2q = −λ q + τ r1 − aτ r 2 . 2 ∂ x ∂t ∂x

(7.34)

3 ⎞ ⎛ ∂ 2T ∂T ∂ 2T ∂ T ⎟ + τ r1 = a⎜ + τr 2 + F ( x, t ). 2⎟ ⎜ ∂x 2 ∂t ∂t 2 ∂ t ∂ x ⎝ ⎠

(7.35)

Использование (7.34) в уравнении баланса тепла привело к уравнению теплопереноса:

В анализе моделей теплопереноса в дисперсных средах [358], в качестве исходной рассматривалась система (7.22). Для зернистого слоя со сферическими частицами было показано, что коэффициент межфазного теплообмена σ является операто547

ром, а не константой. Для температуры непрерывной фазы Т1 в приближении низких частот (что соответствует достаточно большим значениям F0 ), было получено:

∂T1 ∂ 2T1 2 2 + (V , ∇T 1) = γ ∇ T1 + τ r , 2 ∂t ∂t

(7.36)

где все параметры носят эффективный характер. Для высокочастотной асимптотики (что соответствует относительно малым Fo) было получено уравнение:

∂T1 + (u , ∇T1) = a 2∇ 2T1 − ∂t

1 τr 2

t

∫

−∞

∂T1 ∂t t =t /

dt/ t −t

/

,

(7.37)

2

где a – эффективный коэффициент температуропроводности; τ r 2 – время релаксации для высокочастотных процессов переноса, по отношению к которым дисперсная среда, как это следует из (7.37), ведёт себя как материал с "памятью". Анализ конкретных моделей на основании (7.36) и (7.37) [361] осуществлялся с помощью преобразования Лапласа по времени. Близкие математически задачи теории фильтрации с использованием разложения в ряд по малому параметру (отношению коэффициентов проницаемости компонентов двухфазной среды) были рассмотрены в [359]. В первом приближении (обрыв ряда на первом члене) было получено параболическое, а во втором приближении (обрыв ряда на втором члене) – гиперболическое уравнение фильтрации. Модели подгруппы С описывают быстропеременные термоупругие поля в кусочно-однородных, подвергнутых тепловому удару [348,349,353,360] и деформируемых средах [362]. Используются неоднородные (с источником тепла) гиперболические уравнения в одномерной [349,353,360] и многомерной [348] постановках. При записи граничных условий IV-го рода на границе двух разнородных слоёв, условие "склейки" потоков тепла записывалось с учетом выражений для q, следующих из (7.28): t ⎡λ t ⎛ τ − t ⎞ ∂T2 ⎤ ⎛ ⎞ t T ∂ λ τ − 1 1 2 ⎢ ⎟⎟ ⎟⎟ exp⎜⎜ dτ − exp⎜⎜ d τ⎥ = 0. (7.38) τr 2 ⎢ τ r1 ⎥ ⎝ τ r 2 ⎠ ∂x ⎝ τ r1 ⎠ ∂x 0 0 ⎣ ⎦ x=0

∫

∫

В работе [362], выполненной в рамках "рациональной механики" [370], для потока тепла q вместо (7.28) было принято сложное нелинейное выражение (ряд по степеням температур и их производных по времени). После линеаризации этого соотношения было получено уравнение теплопроводности вида:

A1

∂ 3T ∂t

3

+ A2

∂ 2T ∂t

2

+ A3

∂T = A∇ 2T , ∂t

(7.39)

где A, A i (i = 1,3) – комбинации из параметров, характеризующих термические, механические и релаксационные свойства материалов. 548

В гл. 30 была кратко охарактеризована парадигма линейных моделей теплопереноса [1-370]. В качестве дополнительных, парадигмообразующих источников приводим наиболее часто встречающиеся ссылки из работ рас-смотренной выборки. Учебно-справочная литература: [371-407]. Монографии и обзоры: [408449]. Материалы конференций и статьи из сборников: [450-490]. Литература по приближенным и численным методам: [491-522].

Глава 31. Нелинейные модели и обратные задачи §95. Классификация Рассмотренные ранее нелинейные модели (ч. 2-4,6) содержали нелинейности видов: 1) t – нелинейные; 2) x – нелинейные; 3) с нелинейными граничными условиями; 4) с нелинейной функцией источников (стоков); 5) задачи типа Стефана. Эти же виды нелинейностей встречаются и в теплофизике. В [523,524] предложена классификация нелинейных задач теплопереноса. К задачам с нелинейностью I-го рода ("внутренняя нелинейность") относятся те, в уравнениях которых Cv = Cv (T ), λ = λ(T ). К нелинейностям II-го рода относятся содержащиеся в граничных условиях II-го и III-го родов ( q = q(T ), α = α(T ) ). К нелинейностям III-го рода относят задачи, в которых нелинейны функции плотности источников (стоков) тепла и задачи типа Стефана. У математиков используют термины – квазилинейные уравнения (коэффициенты уравнений зависят от потенциала переноса) и полулинейные уравнения (производные в уравнение входят линейно, а правая его часть – нелинейна) [525]. В монографии [526,527] нелинейные модели различаются только физическим содержанием. Будем пользоваться следующей классификацией. Задачи с нелинейностями Iго рода (или квазилинейные) – задачи с внутренней нелинейностью. Задачи с нелинейностями II-го и III-го родов (за вычетом задач типа Стефана) – задачи с внешней нелинейностью. Третью группу в нашей классификации составляют задачи типа Стефана. Термин "обратные задачи" используется в теплофизике, тогда как математики предпочитают говорить о "некорректных" (по Адамару) задачах. К некорректным задачам относят: решение интегральных уравнений Фредгольма I-го рода; дифференцирование функций, заданных приближенно; численное суммирование рядов Фурье; аналитическое продолжение функций, заданных в части области, на всю область [589]. Некорректными также являются: задачи интерпретации данных физических наблюдений и измерений, обратные задачи "синтеза" и "управления" [590,591]; задачи обработки информации и сигналов, "большие" СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений) [592]; задачи оптимального управления (ЗОУ) [589,593÷598]; обратные задачи математической физики [589,591,594,599÷601]. Общепринятой классификации этих задач нет; иногда задачи разделяют по областям их применения (физика, геофизика, астрофизика – 549

[601]), иногда по разделу математики, в рамках которого они рассматриваются ("эволюционные" задачи, задачи управления системой, описываемой уравнениями в частных производных, граничные задачи с недостаточной информацией на одной части границы и переопределённые – на другой – [594]). Рассмотрим классификацию обратных задач теплопереноса (ОЗТ) [590], предложенную на основе терминов, используемых в технической теплофизике при решении ОЗТ и ЗОУ [437,522,602÷605]. ОЗТ подразделяются [590] на: внешние ОЗ (цель – определение граничных условий краевой задачи по её решению); инверсные (коэффициентные) ОЗ (цель – определение коэффициентов уравнения переноса); обращённые ОЗ (цель – нахождение решений для моментов времени, предшествующих моменту измерений – начального распределения температуры в частности); индуктивные ОЗ (цель – уточнение формы ММ). К обратным задачам иногда относят "похожие" на них [590]: квазиобратные задачи (определение тепловых потоков по измеренным температурам); задачи в постановке Коши (при отсутствии информации на некоторой части границы и "переопределении" – на другой части); полуобратные задачи (ОЗ, введение в которые дополнительных условий выводит их из класса обратных задач). Используются также более узкие градации [590]: Инверсные ОЗ (ИОЗ) подразделяются на ИОЗ I-го рода (определение параметров) и II-го рода (определение членов уравнений и xi , τi – координат и моментов времени, соответстсующих заданной температуре); обращенные ОЗ подразделяются на начальные (цель – определение начального условия) и временные ОЗ (в которых находится время достижения каким-либо параметром заданного значения). Эта классификация, как и другие, достаточно условна [590]. Как известно [599,606], прямые краевые задачи математической физики с помощью обобщенных функций представимы в виде, содержащем в правой части уравнения начальные и граничные условия (наряду с функцией плотности источников (стоков). Исходя из этого, а также целесообразности согласования с классификацией нелинейных краевых задач, будем классифицировать ОЗ по признакам: Внутренние ОЗ (цель – определение параметров оператора переноса – левой части уравнения); внешние ОЗ (цель – определение всех или некоторых членов в правой части уравнения); модели теплометрии (МТМ). Последняя группа – МТМ – прямые краевые задачи, описывающие процессы в устройствах измерения температур и потоков тепла, в установках для измерения теплофизпараметров. Решения этих задач также используются в ходе решения ОЗ.

§96. Нелинейные модели Среди моделей с внутренней нелинейностью [268,467,528÷546] выделяются две подгруппы: А. Модели для нелинейных однородных сред [268,528,531, 536÷543]; В. Модели для нелинейных слоистых сред [467,529,530,532÷535, 544÷546]. 550

А. Нелинейные однородные среды. Все (кроме [538]) модели – одномерные. Уравнения теплопереноса (массопереноса в [541,542]) – локальны. Уравнение в [540] нелокально, т.к. описывает перенос в среде с "памятью". При задании функций Cv (T ) и λ(T ) в общем виде, методы решения задач таковы: эквивалентной линеаризации [268]; подстановка Кирхгофа [528,540]; функциональные преобразования [536,539]; численные [542]. При задании явных функций Cv (T ) и

λ(T ) используются методы: квазилинеаризации [525]; автомодельных перемен-

ных [531,539]; моментов (интегральные) [537]; групповой инвариантности [543]; численные [541] и др. В. Нелинейные слоистые среды. Рассматриваются двухслойные модели [467,544÷546] и многослойные [529,530,532÷535]. Постановка краевых задач соответствует линейным моделям. Решение двухслойных задач осуществлялось аналитико-числовыми методами: автомодельных переменных [467]; преобразованием Кирхгофа [544]; последовательных приближений [545]; комбинацией Львовского метода с подстановкой Кирхгофа [546]. Нелинейные многослойные задачи решались численными методами. Модели с внешней нелинейностью - нелинейными правыми частями уравнений [329,547÷553] и с нелинейными граничными условиями [466,554÷558]. Первые характерны для систем с физико-химическими процессами [547÷550], когда источника тепла – Аррениусова типа (см. ч. 6), а источники массы описываются степенными функциями концентрации. Эти модели, как правило, неординарные. Решают эти задачи методами разделения на временные стадии (на первой из которых Аррениусовым членом пренебрегают, а на второй – учитывают приближенно) [548] и с помощью преобразования Д.А. Франк-Каменецкого [549]. Модель окислительных процессов в пористых катализаторах, сопровождающихся химическими реакциями [551] была сформулирована как система уравнений массо- и теплопереноса с нелинейными правыми частями. Методом функций Грина задача была преобразована к системе двух нелинейных интегральных уравнений (типа Фредгольма по пространственным координатам и типа Вольтерра – по времени). Далее использовались численные методы. В моделях теплопереноса в слоистых системах с экзотермическими реакциями [329] или диссипацией энергии магнитного поля [552], использовались численные методы. В [553] нелинейное (полулинейное) уравнение теплопроводности исследовалось групповыми методами. С помощью "анзаца" (подстановки) специального вида была установлена условная инвариантность уравнения и осуществлена его редукция к обыкновенному дифференциальному уравнению, после ряда подстановок приведенного к уравнению Риккати. Нелинейность в граничных условиях обусловлена, чаще всего, учетом лучистого теплообмена на внешних [554÷557] и внутренних (для многослойных систем) границах [466,554]. Решение осуществлялось численно.

551

§97. Задачи типа Стефана Общая характерная черта задач [559÷571] – подвижная граница области с фазовым переходом на ней (однофронтовые задачи) или несколько таких границ (многофронтовые задачи). Фазовый переход может происходить при постоянной температуре (классическая задача Стефана) и в некотором диапазоне температур ("солидус" – "ликвидус"). Фазовые переходы связаны с процессами плавления, испарения, растворения и др. (или им обратными) [374,437,522]. Из-за специфического "условия Стефана" на фронте фазового перехода, задачи Стефана нелинейны и при более общей постановке задачи требуют применения сложных математических методов [572]. К таковым относится метод тепловых потенциалов простого и двойного слоя [568,572], сводящей задачу к системе громоздких интегральных уравнений [568]. Для геотеплофизики больший интерес представляют различные приближенные методы решения [422,437,524,574]. Модель, применимая для описания промерзания грунтов, содержащих влагу в двух состояниях – свободном и связанном была рассмотрена в [571], где полагалось:

γ = γ своб + γ связ ;

γ связ = А(Т − Т / )β .

(7.40)

Здесь: γ своб , γ связ – соответственно "свободное" и "связанное" влагосодержа/

ние; А, Т , β – эмпирические параметры. Теплопотери единицы объема при замерзании связанной влаги:

− dQv = rсвяз

∂γ связ ∂γ ∂T ∂T = rсвяз связ = Cсвяз (T ) , ∂t ∂T ∂t ∂t

(7.41)

где rсвяз – удельная теплота фазового перехода связанной влаги. В правой части уравнения теплопереноса в твердой (мерзлой) фазе появляется эффективный источник тепла с удельной мощностью d Qv , так что уравнение принимает вид

Сv эф (Т )

∂Т = λ∇ 2T , ∂t

Сv эф (Т ) = Сv + Aβ rсвяз (Т − Т / )β −1. (7.42)

Здесь С v эф (Т ) – эффективная теплоёмкость, которой описывается фазовый переход связанной влаги; Сv , λ – теплоёмкость и теплопроводность твёрдой фазы. Для уравнения (7.42) далее формируется классическая задача Стефана с одноименным условием, содержащим член rγ связ d ξ(t ) d t (ξ(t ) – закон движения фронта фазового перехода свободной влаги). Разновидности задачи Стефана моделируют теплоперенос в микронеоднородных (гетерогенных) средах при их оплавлении и деструкции [559,560], в слоистых средах [567]. Решение задач осуществлено сведением к обыкновенному дифференциальному уравнению [559], разложением в степенной ряд по коорди552

нате с переменными (во времени) коэффициентами [560]. В модели аварийного режима атомного реактора [567] применён численный метод адаптивной коллокации с неравномерным преобразованием областей. В модели промерзания водоёма [570] был применен метод степенных рядов. Для закона движения фронта льдообразования ξ = ξ(t ) было получено нелинейное уравнение, решавшееся методом Рунге–Кутта. При замерзании воды в ограниченных объемах (полости и трещины в горных породах, резервуары и механизмы), плотность льда уменьшается, объём возрастает и льдосодержащие "оболочки" деформируются [566]. Температура фазового перехода в этих условиях заранее неизвестна, а определяется в ходе решения (она зависит от тепловых и механических параметров). Задача решалась численно. Для ряда моделей в металлургии, геотермике и других областях характерно протекание фазового перехода в интервале температур [ Т1, Т 2 ] соответственно солидуса и ликвидуса [563]. Вместо фронта ξ = ξ(t ) в этих моделях рассматривается двухфазная зона, граница которой с твёрдой фазой S1 = S1(t ) , а с жидкой – S 2 = S 2 (t ) . Образование в этой зоне твёрдой фазы сопровождается объемным тепловыделением:

g = g (r, t ) = ρL

d fs , dt

(7.43)

где ρ – плотность; L – скрытая удельная теплота кристаллизации; f s – доля твёрдой фазы в двухфазной зоне (объёмная). Для f s рассмотрены две модели:

⎡

1. f s = f sn ⎢1 −

⎣

T (r , t ) − T1 ⎤ r − S1(t ) ; 2 . ( 1 ), f = f − R R = . (7.44) s sn T2 − T1 ⎥⎦ S2 (t ) − S1(t )

Здесь: параметр f sn определяется составом сплава (породы); T ( r , t ) – температура в двухфазной зоне; Si (t ) (i = 1,2) – границы зон солидуса и ликвидуса. Для модели 1:

1 ∂ ⎛ ∂Ti ⎞ 1 ∂Ti , ⎜r ⎟= r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ai ∂t

i

⎧1, r ∈ (0, S1(t )) ⎪ = ⎨2, r ∈ ( S1(t ), S2 (t )), ⎪3, r ∈ ( S (t ), ∞) 2 ⎩

t > 0.

(7.45)

Здесь: a1, a3 – температуропроводности жидкой и твёрдой фаз; a2 – эффективная температуропроводность двухфазной зоны:

ρLf sn 1 1 = + . a2 a20 λ 2 (T2 − T1)

(7.46)

На границах солидуса и ликвидуса записываются условия 553

d S (t ) ∂T ⎞ ⎛ ∂T1 − λ2 2 ⎟ = ρL(1 − f sn ) 1 , ⎜ λ1 ∂r ∂r ⎠ r = S1 (t ) dt ⎝

∂T ⎞ ⎛ ∂T2 − λ3 3 ⎟ = 0, ⎜ λ2 ∂ r r ∂ ⎝ ⎠ r = S 2 (t )

t > 0.

t > 0.

(7.47)

(7.48)

Решение задачи получено аналитически. Для модели 2 в (7.44) привлекаются допол1/ 2

1/ 2

S1(t ) = 2μ(a1t ) , S2 (t ) = 2ν(a2t ) , где нительные гипотезы: μ, ν – постоянные, подлежащие определению. Уравнения для твёрдой и жидкой зон соответствуют (7.45) ( i = 1,3), а уравнение для двухфазной зоны приводится к виду: 1 ∂ ⎛ ∂T2 ⎞ 1 ∂T2 Hr , ⎜r ⎟ + 3/ 2 = a2 ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠ t

H =

ρLf sn 4λ 2 (νa12 / 2

− μa11 / 2 )

. (7.49)

Граничные условия остаются прежними. Решение (7.49) имеет вид ∞

⎛ r ⎞ T2 (r , t ) = Σ Bn ⎜ ⎟ ⎝ t⎠ n=0

Bn =

2n + 3

,

(−1) n +1ρLf sn [(n + 1)!] 2λ 2 (νa21 / 2

−

μa11 / 2 )a2n (2n

+ 3)[(n + 3)!]

.

(7.50)

Обе модели доведены авторами до численных результатов и проанализированы. Литература по нелинейным задачам переноса обширна, здесь укажем только монографии [366,374,404,422,423,425,433,436,437,456,493,496,498,500, 501,505, 516, 519,520,522÷527,541,550,572÷588].

§98. Обратные задачи В литературе по математической физике и её приложениями в физике, геофизике, астрофизике и др. [589,591,594,599÷601] описаны и применяются методы решения некорректных задач: подбора, квазирешений, квазиобраще-ния, регуляризирующего оператора ( а) минимизация сглаживающего функцио-нала; б) метод итераций). Адаптация этих методов и обобщение опыта решения ОЗ в теплофизике [437,470,602÷605,638] осуществлены в [590]. Согласно [590], имеется два генеральных метода решения ОЗТ: 1). Прямые методы (1.1 – обращение моделей; 1,2 – обращение решений); 2). Экстремальные методы (2.1 – подбора; 2.2 – минимизации; 2.3 – идентификации; 2.4 – оптимального управления). Прямые методы решения внутренних и внешних ОЗ подразделяются на методы обращения математических моделей I-го и II-го рода (соответственно 554

краевая задача переноса и её решение). Методы заключаются в прямой подстановке найденных экспериментально (измеренных) температур – Т , в ММ I-го рода или в ММ II-го рода. В рамках этих методов применяются: автомодельные решения; сведение к интегральным уравнениям; метод интегральных характеристик; метод балансов; конечно-разностные методы; сведение к уравнениям других типов; калориметрический метод; метод поверхностных точек; метод последовательных интервалов; градиентные методы; метод Дюамеля; итерационный метод; метод интегральных подстановок (Кирхгофа, Гудмена); метод малого параметра; метод функций Грина, метод температурных волн и др. [590]. Экстремальные методы указанных выше видов также используются при решении внутренних и внешних ОЗ. Они подробно излагаются в [590], здесь же лишь заметим, что методы идентификации и оптимального управления весьма близки, т.к. сводятся к поиску экстремума функционалов невязок (иногда – весьма различного вида). Идентификация подразделяется на структурную (поиск формы ММ) и параметрическую (поиск коэффициентов ММ) и отличается от обычных экстремальных методов решения ОЗ применением статистических подходов. Задачи оптимального управления (ЗОУ) обобщают ОЗ [595,597]. В работах [607÷663] излагаются решения ОЗ в кусочно-однородных, слоистых, микронеоднородных средах; рассматриваются внутренние [615,616, 619÷622,626,627,629,630,636,638,640,641,645,651,653,655,657] и внешние [607, 611,614,631,634,635,637,646,660,662,663] ОЗ. Для решения ОЗ применяются прямые и экстремальные методы следующих видов: подбора [621,627,641,651, 657]; сведения к алгебраическим уравнениям (алгебраизации) [615,616,620,626, 631,634,636,653]; минимизации функционалов [619,622,629,630,637,638,640, 645,663]; сведения к интегральным уравнениям [611,627,639,646]; метод итераций [635,660]; метод регуляризирующего оператора [618,662]; метод оптимального управления [614,623]; аналоговый [607] и статистический [655] методы. В ходе решения ОЗ часто используют прямые задачи - модели теплометрии [608÷610, 612, 613,624,625,628,632,633,642÷644, 647÷650, 652,654,656,658,659,661,664] составляют три группы: 1) модели измерения температур [608,628,633,643, 648,658]; 2) модели измерения потоков тепла [609,610,613,632, 650,656,659]; 3) модели определения теплофизпараметров [612, 624,625,642,644,647,649, 652, 654,661]. Модели измерения температур на поверхности и внутри систем, для которых решаются ОЗТ, представляют собой прямые краевые задачи. В [608] определялась точность измерения плоским зондом температуры вблизи границы фазового перехода (задача Стефана). Погрешность измерения поверхностной температуры анализировалась методом "нестационарных поверхностных элементов" (термоконтактная задача) [628]. Специфика измерений температур горных массивов анализировалась в [633,643,648,658]. Искажение измеряемой температуры термоприёмником оказалось пропорциональным искажению теплового потока и обратно пропорциональной диаметру пятна контакта и коэффициенту теплопроводности пород. Основные факторы искажения температуры горных массивов при измерениях в скважи555

нах и шпурах [643]: теплогенерация при бурении; теплообмен между породой и промывочной жидкостью; конвекция в столбе промывочной жидкости; теплопроводность обсадных труб; тепловыделение при гидратации цемента, крепящего обсадные трубы; влияние теплофизпараметров датчика температуры в скважине и др. В [643] дан обзор работ – оценок различных видов погрешностей измерения температуры. При измерении температур в скважинах, пробуренных в газонасыщенных углях, необходим учёт специфики таких измерений [658]. Модели измерения потоков тепла рассматриваются для конкретных конструкций тепломеров и других устройств. Тепломеры типа "вспомогательная стенка" моделировались в [609,610,613]. Они широко используются при измерениях стационарных тепловых потоков, а для нестационарных дают большую погрешность. Рассмотрены [609] две модели тепломеров – одиночная пластина и двухслойная система "пластина – полупространство". Решения получены преобразованием Лапласа по времени для значений параметра K λ = λ 2 λ1 = 0; 1; ∞ . Для

произвольного K λ > 0 решение двухслойной задачи дано в [610]. Для плотности потока тепла q найдено аналитическое выражение сложного вида. Датчик для измерений q представлял собой составной двухслойный диск с теплоизолированной боковой поверхностью [632]. Решение двухслойной задачи получено операционным методом, найдены погрешности измерения. Аналогичная задача решена в [650]. Применение аппарата дробного дифференцирования для определения q на границе тела по известной её температуре было предложено в [659]. Модели определения теплофизпараметров также строятся, в основном, на слоистых моделях теплопереноса. Для уточнения этих моделей в [612] анализиро-

валось влияние на точность определения тепловой активности ( ε = λСv ) быстротечности процесса измерения (оценивалась "гиперболи-ческая" добавка δq ) и −5

тонкого приграничного слоя жидкости ( δ ~ 10 м). Во втором случае решалась двухслойная задача. Также двухслойная, но двумерная система (два контактирующие торцами полуограниченных цилиндра) служила моделью прибора для комплексного определения теплофизпараметров [624]. Аналогичной была и модель для системы "круговой зонд – полуограниченное тело" [642]. Близкие модели используются при контактной тепловой дефектоскопии [625,647,654], определении эффективной теплопроводности пористых материалов [644], исследовании других теплофизических характеристик [649,952,661]. Аналогичные модели теплометрии рассматриваются также в [417,664÷670].

Глава 32. Принципы теоретической геотеплофизики Под принципами теоретической геотеплофизики – принципами формирования основ парадигмы теоретических исследований процессов переноса в геофизических и геотехносферных макрообъектах (см. рис. 1.1 – Структура геотеплофи556

зики) будем понимать такую их совокупность, на основе которой, развивая парадигму математического моделирования тепломассопереноса в шахтах (гл.29), в рамках парадигм теплофизики и математической физики (гл.30,31), математическое моделирование процессов переноса в геосферах можно свести к небольшому числу моделирующих систем и обобщенных (базисных) моделей процессов переноса в них. Формулировка и последующая реализация таких принципов решает, как частность, проблему развития парадигмы тепломассопереноса в шахтах. Рассмотрим кратко объекты, системы, процессы и модели для трёх групп геосфер: А. Геотехносфера; В. Атмосфера и гидросфера; С. Литосфера, мантия и ядро.

§99. Объекты, системы, процессы А. Геотехносфера. Следуя рис. 1.1, объекты геотехносферной теплофизики приводим в таблице 7.3. Моделируемые системы, соответствующие этим объектам, совпадают, в основном, с таковыми в моделях переноса в шахтах и рудниках (§89). К особенностям подземных сооружений недобычного профиля относят [701]: 1) переменный (вдоль маршрута) расход вентиляционного воздуха; 2) изменение площади поперечного сечения выработки вдоль неё; 3)превышаю щие шахтные, объемы и поперечные сечения выработок и камер; 4) наличие одно- и многослойной обделки стенок выработок значительной толщины; 5) термический контакт между свежей и исходящей струёй через разделительную перегородку; 6) использование составных воздуховодов большой длины; 7) существенное влияние на тепловой режим транспортных тоннелей параметров наружного воздуха, горного массива и внутренних (связанных с транспортным потоком) источников тепла и влаги; 8) взаимовлияние двух и более соседствующих выработок; 9) влияние пребывания людей и работающего оборудования на тепловой режим выработки и массива; 10) влияние на тепловой режим выработки её "предистории" (условий строительства). На наш взгляд эти "особенности" несущественно влияют на построение и исследование моделей процессов переноса по сравнению с таковыми для шахт и рудников. Формы подземных выработок (а, следовательно, и массивов, их окружающих) подземных сооружений, как и в случае шахт, исчерпываются плитой, цилиндром, шаром [701]. Системы, моделирующие объекты геотехнологии также аналогичны ранее рассмотренным. Основным объектом является естественный или искусственно созданный подземный коллектор (газифицируемый угольный пласт, горизонт парогидротерм, тепловой котёл, расплавленный, растворяемый или выщелачиваемый рудный или минеральный пласт (или геологическое тело иной формы)) соединенный с поверхностью системой скважин [678,686]. Этот коллектор – пористая (трещиновато-пористая, крупнообломочная, дисперсная) среда, в которой происходит фильтрация флюида, сопровождаемая тепломассообмен-ными и физико-химическими процессами. Здесь имеется (хотя и неполная) аналогия с процессами в выработанных пространствах шахт (см. ч. 2,6).

557

Таблица 7.3 Объекты геотехносферной теплофизики

Макрообъекты Массивы

Выработки

Литературные источники

Мегаобъекты Шахты Подземные Объекты Нефтегазои рудники сооружения геотехнологии вые пласты ПластыГорные Горные Породные коллекторы массивы. массивы. массивы. нефти и газа. Рудные и Криомассивы. Угольные минеральные Подстилаю(рудные) мас- Искусственщие и позалежи. ные массивы. сивы. крывающие ИскусственВыработанпороды. ные коллектоные пространры. ства. Закладочные массивы. Скважины. Скважины. Каналы и труВыработки Галереи Галереи и бопроводы. сквозного и системы системы проветрива- Транспортные скважин. скважин. тоннели. ния. Технологиче- Естественные Тупиковые ские камеры. и искусственвыработки. Склады и хра- ные полости. Камеры. нилища Скважины. Источники в . ч. 2÷6

[671÷681]

[682÷698]

[584÷586, 699,700].

Системы, моделирующие нефтегазовые пласты, иногда называют пластовыми системами [584]. Их спецификой являются сложные законы фильтрации в них флюидов (многофазная, релаксационная, нелинейная фильтрация). Идентичность систем, моделирующих объекты теплофизики геотехносферы, обусловлена общностью их природы – все они – выделенные части геологической среды. Форма этих частей принимается во всех случаях простейшей: плита, цилиндр, шар. Это связано с отсутствием обычно точной информации о реальной форме геологических тел и тем, что форма подземных выработок часто следует форме рудных тел. Для последних же, в геологии принято (Акад. В.И. Смирнов) сводить многообразие морфологических типов к трём: пластовые, изометричные, линейно протяженные [702,703]. Фактором идентичности геотехносферных систем является характерный для них масштабный эффект – зависимость параметров моделей (а иногда и вида этих моделей) от геометрических размеров системы. В известных моделях [ч. 2÷6] масштабный эффект, к сожалению, не учитывался (или учитывался косвенно, как зависимость теплофизпараметров массива от расстояния от стен-

558

ки выработки – ч. 4). Рассмотрим пример из области подземного строительства, где для укреп-ления пород в них осуществляется инъекция через скважины специального раствора [685]. Модель движения раствора в массиве вокруг скважины:

n

∂C ⎞ ∂C Q ∂C 1 ∂ ⎛ = + ⎜ rD(r ) ⎟, ∂t 2πhr ∂r r ∂r ⎝ ∂r ⎠

(7.51)

где n – пористость пласта; h – его мощность; Q – расход раствора в скважине; D(r ) – эффективный коэффициент дисперсии

D(r ) = Dм + δ1Vф + δ2r 2 .

(7.52)

В (7.52): Dм – коэффициент молекулярной диффузии; δ1 – параметр микродисперсии; Vф – скорость фильтрации раствора; δ 2 – параметр макродисперсии (масштабный коэффициент); r – расстояние от скважины. Т.о., масштабный эффект в данном случае моделируется функцией D = D( r ) . Учёт масштабного эффекта в моделях переноса в геотехносфере необходим в силу объективной причины: существования иерархической структуры неоднородности (трещиноватости) горного массива во всём диапазоне его характерных масштабов – от зон, примыкающих к скважинам или выработкам (~ 1 м), до литосферных плит (~ 107 м) [704÷709]. Моделируемые системы характеризуются эффективными параметрами переноса. Методы их определения аналогичны применяемым в шахтной теплофизике (см. ч. 2÷4) [679,708,710÷719]. Математическое моделирование, при использовании ряда аналитических и всех численных и аналоговых методов, требует задания конечных размеров системы. Для этого нужны методы априорной оценки ширины зоны, охвачен-ной процессом переноса к тому или иному моменту времени. Ранее уже приво-дились такие оценки (аналитического и эмпирического характера): (2.34) – для ширины зоны увлажнения массива; (2.138) – для радиуса влияния дегазационной скважины; (2.177) – для границы контура развивающейся водоприёмной системы; (3.11) – для величины сдвижения горных пород; (4.14) – для ширины зоны десорб-ции метана; (4.57), (4.58), (4.63) – для ширины охлажденной зоны горного масси-ва; (4.77) – для ширины теплоуравнивающей оболочки при гармоническом колебании температуры воздуха; (4.107) – для ширины зоны термического влияния закладки; (4.145) – для ореола протаивания мерзлого массива вокруг ствола; (6.212) – для ширины зоны теплового влияния контакта трущихся поверхностей. В большинстве этих формул зависимость "радиуса зоны влияния" от времени имела вид:

r ~ t . В [720] предложена "теория зон влияния" в качестве основы для решения горно-геологических задач, в которой каждому виду взаимодействия (теплового, массообменного, химического, шумового) промышленного объекта с окружающей средой соответствует своя "зона". Определять их размеры рекомен-дуется на эмпирическом уровне. 559

Процессы тепломассопереноса в объектах геотехносферы определяются теми технологическими процессами, которые характерны для периодов их строительства и эксплоатации (в штатных и аварийных режимах). Основным видом технологических процессов в подземных сооружениях недобычного профиля является, с точки зрения взаимодействия этого сооружения с окружающей геологической средой, регулирование (поддержание) штатных режимов (газового, водного, температурного). Для этого используют модели переноса импульса (аэро- и гидродинамики каналов, трубопроводов, тоннелей, камер), переноса массы (фильтрация и диффузия флюидов в массиве и в подземном сооружении), переноса тепла [672÷676,680,681,721]. В процессах подземного строительства важны модели термических и комбинированных методов упрочнения (замораживание, инъектирование) и разрушения (огневая проходка, высокочастотное воздействие) горных пород [677,678,722,723]. Технологическими процессами геотехнологии являются бурение, обустройство, эксплуатация скважин, различные воздействия через них на пласты и рудные тела. Соответствующие процессы тепломассопереноса, которыми они сопровождаются, моделируются в [583,679,682,683,697]. К методам геотехноло-гии, которые требуют математического моделирования, относятся [686]: подзем-ное растворение и выщелачивание; подземная выплавка серы, битума и др.; под-земная газификация; извлечение тепла недр (природные парогидротермы, тепло "сухих" пород); скважинная гидродобыча; добыча полезных ископаемых из под-земных вод. Развиваются также подземные системы энергосбережения [695,696,-724]. Процессы нефтегазодобычи схожи с геотехнологическими, также включают в себя строительство и эксплуатацию скважин. Процессы фильтрации в нефтегазовых пластах, как уже отмечалось, сложнее чем в угольных, или в выработанном пространстве [584÷586,699,700]. Для интенсификации добычи используют различные методы воздействия на пласты: заводнение пластов, термические воздействия (горячим теплоносителем и паром, внутрипластового горения и др.) [686,699,725]. В. Атмосфера и гидросфера. Объекты в этих геосферах можно разделить на две группы: техногенные и природные. Моделирование процессов переноса в объектах первой группы (например: теплового режима гидросооружения или рассеяния в атмосфере газообразных промышленных отходов) приводит к системам относительно небольших размеров, т.к. рассматривается некоторый технологический объект и примыкающая к нему часть атмосферы или гидросферы. Эти объекты многочисленны и разнообразны (карьеры, промплощадки предприятий, зоны сброса жидких отходов, поверхностные и подводные сооружения, летательные аппараты, надводные и подводные корабли, гидросооружения и т.п.). Моделируемые системы представляют собой турбулентно движущуюся газообразную или водную среду, в которой происходит турбулентный тепло- и массоперенос пассивных и активных примесей [726÷733]. Часто рассматриваются турбулентные струи (свободные, затопленные, плавучие, термики) [726,728÷730,734]. Ранее уже цитировался Г. Шлихтинг, полагавший, что описание конвективного тепломассопереноса относится к гидродинамике. Это во мно-

560

гом справедливо. Модели аэро- и гидродинамического взаимодействия и тепломассообмена технологических объектов с окружающей их воздушной или водной средой строятся, как правило, в рамках соответствующих технических наук (энергетики, авиа- и кораблестроения, промышленной экологии и др.). Поэтому рассматривать эти модели в рамках геотеплофизики излишне. Объекты второй группы – природные изучаются фундаментальными (физика атмосферы и океана, геофизика, геология, планетология) и прикладными (метеорология, экология, океанология, агрофизика) науками, представляя собой структурные части (подобласти, зоны) рассматриваемых геосфер. Как и внутренние геосферы, атмосфера и гидросфера вертикально стратифицированы, характеризуются слоисто-неоднородностью температур, концентраций газа и аэрозолей (атмосфера), температур, солёности, биомассы (океан) [735÷740]. Т.о. моделируемые системы представляют собой слоисто-неоднородные и слоистые системы, а протекающие в них процессы – турбулентное перемешивание и турбулентный тепломассоперенос, осложненные, в ряде случаев, фазовыми переходами влаги, гравитационной и тепловой конвекцией. В описании турбулентности преобладает градиентный подход ( K – теория) [728,737,738, 741,742]. Геосфера "Гидросфера", кроме океана (моря), включает в себя такие объекты как озёра, водохранилища, реки, каналы. К гидросфере относится и верхняя часть земной коры, в которой циркулируют грунтовые, артезианские, рудничные, термальные воды [703,743÷745]. Т.о., можно говорить о наружной, пограничной и подземной гидросферах. Моделирующие системы для них близки к таковым для геотехносферной теплофизики: слоистые и слоисто-неоднородные системы; ограниченные турбулентные потоки. Моделируются процессы: гидродинамические (переноса импульса) [731,733]; фильтрации [743,746,747]; фильтрационного массопереноса [744,748,749]; теплопереноса [732,750÷753]. С. Литосфера, мантия, ядро. По данным геологов и геофизиков, внутренние геосферы содержат разнородные слои с размерами, определяемыми типами стратификации. Последние зависят от структуры региональных и глобальных геополей: температурного, геохимического, сейсмического, магнитного [754÷758]. Известны различные стратификационные (сложные) модели строения геосфер и Земли [755,759÷762]. Объектами моделирования являются подсистемы геосфер, геосферы, их системы [754÷756,759,760,763÷766]. Моделирующие системы обычно имеют форму слоёв или блоков, ограниченных или неограниченных по вертикали и латтерали; встречаются и системы цилиндрической и сферической форм (при моделировании процессов переноса в интрузиях, магматических очагах, плюмах) [707,759÷761,763,767,768]. Процессы переноса во внутренних геосферах взаимосвязаны между собой и другими процессами (упруго-пластическими, седиментационными, тектоническими, морфогенетическими процессами), так что модели их формулируются как неординарные задачи [758÷760,764,767]. Поскольку геологические процессы имеют большую длительность [702], многие процессы могут быть описаны гидродинамически. Встречаются модели "флюидного" типа для различных объек-тов 561

внутренних геосфер [757,763,764,766,768]. Огромную роль в литосферных процессах играет фильтрация (воды, газов, расплавов пород) [759,760,767÷770]. Специфическим видом процессов, в парадигме переноса в геотехносфере отсутствующим (поскольку имеет, в качестве характерных времён, геологические времена), являются морфогенетические (образование внутренних структур, горообразование, изменение рельефа местности и др.) [766,768,771].

§100. Модели геотеплофизики Рассмотрим, кратко, модели переноса в геотеплофизике и методы их исследования (решения краевых задач). Линейные модели встречаются достаточно часто. Это, как правило, задачи нестационарного тепломассопереноса в неоднородных (гетерогенных, слоистых, слоисто-неоднородных) средах [132, 671, 675, 680, 687, 737, 738, 741, 749,751, 59,761,772-774] и конвективно-турбулентного переноса в полостях (выработках и камерах шахт и подземных сооружений, скважинах, каналах и трубопроводах, тоннелях) [671,674,676,679, 682,775÷778]. Решение задач переноса в гетерогенных и макронеоднородных системах, где неоднородность моделировалась зависящими от координат коэффициентами уравнений, осуществлялась преобразованием Лапласа по времени, преобразованиями координат и уравнения, конечными интегральными преобразованиями, методом усреднения и интегральными мето-дами [124, 323, 374, 465, 573, 581, 779-781]. Решение задач переноса в слоистых системах рассмотрено в обзорах [446, 447, 782], где перечислены используемые методы решения (см. также §91). Зависимость параметров переноса от координат характерна также для моделей, в которых учитывается масштабный эффект, обусловленный структурой массива [685] или турбулентностью течения [726,783]. Модели движения в трубопроводах базируются, как правило, на линеаризованных уравнениях параболического и гиперболического вида [673, 777, 778]. Неординарные модели характерны для задач метеорологии, прогноза экологического состояния в зонах атмосферы и гидросферы, геотектоники и др. [726, 735, 738, 742, 760, 767, 784]. Сложные модели "термогидродинамики" атмосферы и океана называют "большими задачами" [446]. Решаются они только численными методами. Нелокальные модели встречаются при моделировании процессов: переноса импульса в трубопроводах (гиперболические уравнения); фильтрации воды, нефти и инжектируемых растворов (гиперболические и интегро-дифференциальные уравнения) [586,785-787]; диффузии деформаций в геотектонических процессах [765,766]. В модели распространения деформаций [765] использовано модифицированное уравнение третьего порядка, впервые полученное в [788]:

∂ (u − η∇ 2u) = χ∇ 2u. ∂t

(7.53)

Уравнение (7.53), как и гиперболическое уравнение переноса, является приближением нелокальной модели с интегральным оператором; элементарный вы562

вод (7.53) следует из модификации выражения для релаксирующего теплового потока (7.28), где вместо τ r ∂q ∂t надо записать τ r ∂q0 ∂t (где q0 = −λ∇T ). Для решения уравнений типа (7.53) используют методы функций Грина и операционный [586,765]. В [789] предложен общий, но весьма сложный метод – тепловых потенциалов. Новейшим развитием нелокальных уравнений являются т.н. "бипараболические" [790], которые изучаются в ряде математических работ, а также начинают использоваться в моделях геотехнологии [791]. Бипараболическое уравнение не вытекает из каких-либо новых физических гипотез или экспериментальных фактов, а обосновывается требованием "инвариантности относительно группы Галилея" [790]. Это уравнение четвертого порядка [790]:

⎛ ∂u λ 2 ⎞ Сv ⎜⎜ − ∇ u ⎟⎟ + ∂ t С ⎝ ⎠ v ⎡ ∂ 2u ∂ λ μ 2 ⎤ + ν⎢ − (aλ / Сv + bμ / ν) ∇ 2u + ∇ u ⎥ = 0. 2 t С ∂ ν ⎢⎣ ∂t ⎥⎦ v Здесь а, b, μ, ν – новые, далее формально вводимые параметры.

(7.54)

Нелинейные модели в геотехносферной теплофизике аналогичны таковым в шахтной (ч. 2-6). Нелинейные модели находят всё большее применение, в частности при моделировании теплопереноса в массиве при подземном пожаре [792], теплового режима подземного хранилища радиоактивных отходов [681] и нефтегазовых скважин и трубопроводов [793÷795], движения нефти в пластах и их термической обработки [584÷586,725], геотехнологических процессов [796, 797], бурения скважин термическими и термохимическими методами [583,798], замораживания [678] и термического разрушения горных пород [722,723]. Нелинейны и "большие задачи" (термогидродинамики атмосферы и океана). В подземной гидросфере нелинейными моделями описывается почвенная фильтрация воды с учётом капиллярности [747,786], фильтрация воды, нефти и газа в пластах [584÷586], тепломассоперенос в грунтах и сооружениях при наличии фазовых переходов влаги [732,750,751,753]. В моделях теплопереноса и солепереноса в океане [799] и фильтрации неньютоновских жидкостей [586,785] встречаются квазилинейные уравнения переноса с коэффициентами, зависящими не только от потенциала переноса, но и от его градиента, модели с гистерезисом [785]. Нелинейны модели речной гидравлики [731,733], геоморфогенеза [766,771], конвекции в мантии [764,767]. Большинство нелинейных уравнений переноса обобщается уравнениями (7.1) ÷ (7.4). Кроме рассмотренных, детерминистических моделей переноса, встречаются (хотя и гораздо реже) и стохастические модели [126,800÷805]. В [126] моделируется двухфазная среда, для которой записано стохастическое уравнение теплопроводности. Теплофизпараметры этого уравнения представлены суммами средних значений (матожиданиями) и флуктуаций. С использованием функций 563

Грина исходная задача приведена к интегральному уравнению, далее статистически усредняемому. Стохастическая задача теплопроводности и термоупругости для полупространства, на границе которого задано граничное условие III-го рода, рассмотрена в [800]. Температура воздуха, входящая в граничное условие, является случайной функцией времени:

θ(t ) = θ + Σ ξ j θ j (t ),

(7.55)

j

где θ – матожидание (среднее) случайной функции θ(t ) ; ξ j – независимые случайные переменные

( ξ j = 0, j = 1,2,...); θ j (t )

– неслучайные функции

времени. Решения задач найдены в виде

T ( x, t ) = T + Σ ξ jT j ( x, t ); σ x ( x, t ) = σ x + Σ ξ j σ xj ( x, t ) , j

(7.56)

j

где Т , σ х , Т j ( x, t ), σ xj ( x, t ) – решения соответствующих детерминистических задач. Найдены дисперсии температурного и упругого полей. В [801] детерминистическое уравнение теплопроводности неоднородной среды решалось методом Монте-Карло (случайных блужданий), реализуемым на ЭВМ. Метод позволил определить только дискретный набор значений температур. Во влажном грунте случайное температурное поле определялось в [802]. Случайная температура окружающей среды (воздуха) усреднялась поинтервально (по времени). Для полидисперсной системы было применено кинетическое уравнение относительно функции распределения частиц по размерам. На основе его решения описана кинетика испарения и растворения частиц [804]. В [805] для решения стохастической задачи термоупругости использован типичный приём: для соответствующей детерминистической задачи найдено решение методом функций Грина, по которому потом находятся статистические характеристики процесса (средние, дисперсии, корреляционные функции) [803]. Методы решения краевых задач геотеплофизики суть те же самые, что и в теплофизике (гл. 30,31). Нелинейные задачи решаются сведением их к линей-ным (линеаризацией), подстановками (функциональными преобразованиями), теоретикогрупповыми, численными и интегральными методами [446, 447, 513, 523,524,573575]. Задачи термогидродинамики атмосферы решаются методом расщепления – редукцией к последовательности более простых задач [446]. Для линейных задач широко распространены: преобразование Лапласа по времени (операционный метод), конечные интегральные преобразования, метод функций Грина, метод тепловых потенциалов, проекционные методы [426,448,498,521, 675,751,754,759,767,772]. Как следует из анализа ранее указанных источников, в большинстве слу-чаев применения "точных" методов предпочтение отдаётся методам функций Грина и обобщенных функций [103, 119, 366, 372, 381, 390, 399, 400, 412, 427, 446, 447], а при применении приближенных методов – методу Бубнова–Галёр-кина и его сочетаниям с другими [108, 132, 441, 498, 507, 518]. 564

§101. Теория: принципы построения Теоретическая парадигма геотеплофизики – должна базироваться на парадигмах теплофизики и математической физики, с учётом специфики моделируемых систем и процессов. Далее, следуя схеме на рис. 1.2 (структура парадигм), попытаемся сформулировать некоторые общие принципы – принципы построения теории процессов переноса в геосферах. Ядро парадигмы составляют: термодинамика необратимых процессов; феноменологические соотношения; уравнения процессов переноса. Термодинамика необратимых процессов использует присущее механике сплошной среды полевое описание процессов переноса [374,397,404,443,573,588, 806÷812]. Как уже ранее аргументировалось, достаточно использовать далее терминологию теплопереноса. Феноменологические соотношения (Фурье, Фика, Ома, Онсагера) могут быть линейными (локальными и нелокальными) и нелинейными, определяя вид уравнения переноса. В моделях турбулентных течений наиболее употребима (кроме "больших задач") K – модель [383,405,726,730,734,813]. Модели для реологических систем также часто приводятся к соотношениям типа закона Фурье [814]. Этим обеспечивается "параболизация" уравнений переноса (термин – [519]). Уравнения процессов переноса (теплопереноса) соответствуют моделям среды, фиксируемым используемыми феноменологическими соотношениями для потоков и выражениями для удельной внутренней энергии. Из нашего анализа следует, что для описания всех видов уравнений переноса в геосферах достаточно "дерева переноса" (рис. 1.3) или "перечня 7НЕ". При этом обобщенные уравнения (7.1)-(7.4) являются таковыми и для всех геосфер. Базис парадигмы формируют используемые основные (базисные) модели переноса (разной размерности, в разных системах координат), идеология и методы моделирования (решение краевых задач). Модели сплошных сред составляют группы: однородные, микро- и макронеоднородные. В атмосфере и гидросфере характер неоднородности среды определяют масштабы турбулентности. В геотехносфере и внутренних геосферах – структурные особенности геологической среды. Идеология моделирования должна обосновать используемые методы путём формулировки ответов на вопросы принципиального характера: 1). Какой тип модели – детерминистическая или стохастическая – должен исследоваться; 2). Какая модель – "большая задача" – или система частных ("малых") моделей должна быть сформулирована; 3). Каким методом – аналитическим, численным или аналитико-численным должна решаться краевая задача; 4). Имеется ли возможность упрощения модели (уравнения и краевых условий); 5). С какой точностью и в какой форме желательно получить результаты и каким при этом требованиям должен удовлетворять используемый метод решения;

565

6). Каким образом могут быть определены исходные ("входные") данные модели; 7). Какие следствия найденного решения базисной задачи необходимы для решения задач оболочки парадигмы. Всё ранее изложенное и обобщение обширного опыта математического моделирования [517,522,815÷823] позволяют, на наш взгляд, ответить на эти вопросы. 1. Предмет дальнейших исследований – детерминистические модели теплопереноса, как более общие. На их основе возможны и статистические построения [126,800,802,803]. 2. Большие задачи требуют обширной "входной" информации и могут исследоваться при определенных экономико-организационных предпосылках [735,784]. Более реалистичен давно известный подход ("декомпозиция", "диакоптика", "расщепление") – разбиения исходной задачи на ряд локальных (в пространстве и времени) моделей, с последующей "склейкой" их решений на границах областей и временных интервалов. Этот подход, следуя [824], именуем факторизацией. 3. Сейчас даже признанные специалисты численного и аналогового моделирования признают незаменимость аналитических методов [512,517,519, 520,522,819,821]. Большинство применяемых методов фактически являются аналитико-числовыми. Имеются также суждения о преимуществах, по сравнению с конечно-разностными методами, прямых методов (Бубнова−Галёркина, Ритца, Канторовича и др.). Будем полагать далее, что генеральные методы геотеплофизики – аналитико-числовые [441,446,568,825]. 4. Специфика моделей переноса в геосферах состоит в том, что: 1) границы моделируемой системы и окружающей её среды, форма и размеры системы точно никогда не известны; 2) неизвестны все "каналы" взаимодействия системы со "средой" (включая другие системы), т.е. граничные условия и функции плотности источников (стоков) известны приближенно; 3) задание начального условия содержат определенный произвол; 4) системы неоднородны, но аналитическое описание неоднородности всегда приближенно; 5) наличие масштабного эффекта требует отдельного анализа даже одинаковых процессов в системах разных размеров. Отсюда следует, что максимально возможное упрощение модели не только возможно, но и необходимо. Это обстоятельство подчёркивают многие авторы. В частности в [586], авторы считают, что "…основная задача… заключается в установлении качественных закономерностей, устойчивых тенденций… Целью расчёта оказывается не столько точное определение всех характеристик процесса, сколько расширение той совокупности сведений, которые учитываются при выборе, например, системы разработки месторождения или метода воздействия на пласт. Решающую роль играют постановка задачи и такой анализ результатов её решения, который позволяет сделать некоторые общие, скорее качественные, заключения. Напротив, увеличение точности качественно ясных результатов оказывается зачастую ненужным". В связи с моделированием процессов тепломассопе-

566

реноса в подземных сооружениях, авторы [826] полагают, что "… исходные данные для расчёта, такие как теплофизические свойства пород, влажность, начальные температуры, геометрия горной выработки и др. чаще всего заданы ориентировочно, с большим разбросом. В этих условиях можно поступиться полнотой постановки задачи в сторону упрощения, чтобы, решив её, можно было получить простые формулы, достаточно точные для инженерных расчётов". Проблемы атмосферной турбулентности привели Р. Скорера к выводу: "Жизнь слишком коротка, чтобы тратить её на учёт бесконечных деталей… Степень сложности, за пределами которой мы оканчиваем исследования, зависит от нашего выбора" [726]. Мысль о необходимости, при моделировании сложных систем, учитывать только главные факторы, разделяется многими исследователями [586,816, 827]. Это справедливо как для геотеплофизики в целом, так и для тепломассопереноса в шахтах, где при моделировании необходимо учитывать большие погрешности в определении исходных данных [828÷830]. Упрощение краевой задачи обеспечивается упрощением уравнения (понижением его размерности, линеаризацией, переходом от существеннонелокального интегро-дифференциального вида к приближению – гиперболическому уравнению в частности, отбрасыванием малых членов, аппроксимацией зависимостей коэффициентов и правых частей от координат функциями простейшего вида (кусочно-постоянными, кусочно-линейными) и др. и упрощением граничных условий, иногда формулируемых, "для математической содержательности", излишне сложно [831÷836]. Вообще говоря, достаточно решений первых краевых задач (с граничными условиями I-го рода), поскольку по ним всегда возможен "пересчёт" на любые другие. Авторы [837,838] не опасались "… впасть, как в ересь, в неслыханную простоту" (Б. Пастернак), когда указывали на преимущества локальных теорий перед нелокальными. Фактором упрощения постановки краевой задачи является выбор формы моделируемой системы. Аналогичные принятым в геотехносферной теплофизике областям "канонической" формы (плита, цилиндр, шар и полости таких форм в ограниченных и неограниченных массивах), рекомендации для прямых и обратных задач геофизики (а, следовательно, и геотеплофизики) даются и в [703,767,818]. Для областей, требующих учёта отличия их форм от канонических, можно рекомендовать метод фиктивных областей [839,840]. 5. Точность решения задачи не может превышать точность исходных данных. Поэтому разумным требованиям будет максимальная простота аналитической структуры решения, позволяющая достаточно просто находить вариации результата при вариациях входных данных. Встречаются структуры аналитических решений: а) бесконечный ряд [396,389,411,429,588]; б) выражение из конечного (3-4) числа функциональных слагаемых [422,441,504,507]; в) сумма небольшого числа (2-3) интегралов [375,380,388,398,448]. Очевидны преимущества двух последних структур, однако необходимо исключить случаи, когда члены – слагаемые или интегралы содержат неизвестные функции, определяемые из решений вспомогательных задач (как в методах асимптотических разложений и тепловых потенциалов [429,448]). Отсюда следует, почти однозначно, что искомые мето567

ды – это методы функций Грина [381,388,399] и П.В. Цоя [415,441]. Оба эти метода достаточно широко представлены в литературе. Они гораздо проще, как при реализации так и при анализе решений, чем другие известные методы. Поскольку сложность решения задачи выражается длиной (количеством и громоздкостью этапов) разрешающего алгоритма [820], метод функций Грина, в котором решение "выписывается" сразу, а функции Грина для разных областей и видов операторов могут быть найдены заранее, намного проще, например, метода интегральных преобразований (включаю-щего три этапа, где последний – обратное интегральное преобразование обычно весьма сложен и приводит к бесконечным, плохо сходящимся рядам). Метод функций Грина, основной в теоретической физике [400,499,502,503,521] математически безупречен. Метод Бубнова−Галёркина (основной компонент метода П.В. Цоя, включающего еще и преобразование Лапласа) также хорошо апробирован; вопросы его сходимости изучены достаточно полно [415,446,498, 841,842]. Использование двух указанных методов совместно с методом ГИУ (граничных интегральных уравнений) [427] позволяет осуществлять как аналитическое решение, так и эффективную алгебраизацию большинства задач. Для нелинейных задач простым и универсальным методом является зональная (поинтервальная) линеаризация [446]. Популярные среди математиков теоретико-групповые методы (практически сводящиеся к постоянному поиску новых "анзацев" и автомодельных решений) [843-847] для решения прикладных задач не применяются. 6. Входные данные геотеплофизических моделей, как уже отмечалось, всегда известны лишь приближенно. Теплофизические параметры (или, шире говоря – параметры переноса), определяемые в лабораторных условиях, часто не соответствуют (даже по порядку величины) натурным измерениям. Более надёжным является использование корреляций параметров с геофизическими характеристиками или физических связей их с другими величинами [848]. Отсюда следует вывод о критичной зависимости результативности математического моделирования процессов в геосферах от успешности решения обратных задач геотеплофизики (ОЗГТ). Наиболее простым и логичным из известных методов решения ОЗ, является, на наш взгляд, прямой метод обращения решений (п. 7.4.2), эффективность которого определяется простотой структуры решения прямой задачи и алгоритма её алгебраизации. Методы решения получаемых в итоге СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений) известны [506, 589, 849]. 7. Компонентами базиса парадигмы также являются, будучи следствиями (или промежуточными соотношениями) решений базисных задач, разного рода связи между граничными температурами и потоками тепла, формулы для средних по области значений величин и соотношения, верные при асимптотических вырожденных значениях параметров, что включает приближенные формулы для "малых" и "больших" времён, экстремальных значений теплофизпараметров. Эти связи и соотношения должны составить аналитический инструментарий для рассмотрения частных случаев, решения аналогичных задач, разработки инженерных расчётных методик, которые составляют значительную часть задач оболочки парадигмы. Суммируя вышесказанное, получаем следующие 568

Принципы построения теории (математической геотеплофизики): 1. Ядро теоретической парадигмы соответствует теплофизическому. 2. Базис парадигмы образуют макроскопические, детерминистические модели. 3. Классификация моделей соответствует "дереву переноса" (рис. 1.3) и табл. 7.2. 4. Обобщенными (объединенными) моделями переноса являются базирующиеся на уравнениях (7.2)÷(7.4). 5. Моделируемые системы представляют собой одно- дву- и трёхмерные области в форме плиты, цилиндра, шара и ограниченных, полуограниченных и неограниченных областей, содержащих полости указанных видов. 6. Генеральный метод формулировки краевых задач – факторизация "больших задач". 7. Генеральные методы решения краевых задач – аналитико-числовые. 8. Все краевые задачи формулируются как задачи с граничными условиями I-го рода. 9. Краевые задачи формулируются в обобщенной постановке (с записью начального и граничного условий в правой части уравнения). 10. Основными методами решения задач являются метод функций Грина и метод П.В. Цоя. 11. Нелинейные краевые задачи решаются сведением к линейным методом зональной (поинтервальной) линеаризации. 12. Обратные задачи рассматриваются в линеаризованной постановке и решаются прямым методом обращения решений. 13. Для всех базисных краевых задач устанавливаются "оболочечные соотношения". 14. Для всех базисных краевых задач устанавливаются асимптотические соотношения (временные и параметрические асимптотики).

Литература к части 7

1. 2. 3. 4.

Мельников Ю.А., Долгова И.М. Об одном эффективном подходе к решению двумерных задач теплопроводности для многосвязных составных тел сложной формы. – ИФЖ, 1976, т. 30, № 1, с. 152-159. Кравченко В.Ф., Токаренко А.В., Прокофьева Е.Л. Расчёт температурного поля стенки с цилиндрическими каналами охлаждения. – ИФЖ, 1976, т. 30, № 2, с. 355-359. Бялик Д.Я., Соловьёв Ю.И. Решение краевых задач теплопроводности для цилиндрических областей с некруговой границей. – ИФЖ, 1976, т.30, № 5, с. 914-915. Мельников Ю.А., Долгова И.М. Интегральное представление решений неклассических задач теплопроводности. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 376. 569

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

570

Дацковский В.А., Якунин А.Н. Решение задач стационарной теплопроводности в сложных областях с граничными условиями IV-го рода. – ИФЖ, 1979, т. 36, № 1, с. 147-151. Минашин В.Е., Горелов И.Н., Румянцев В.Н., Левченко В.Н. О влиянии параметров ТВЭЛа и дефекта в нём на температурные поля. – ИФЖ, 1979, т. 34, № 4, с. 737-741. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Стационарная задача теплопроводности в неоднородной среде с локальными включениями. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 1, с. 158-163. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В. Метод разделения переменных Фурье и методы полных систем для решения многомерных задач теплофизики. – Промышленная теплотехника, 1981, № 3, с. 57-63. Номафилов Е.В., Двинских Ю.В., Попильский Р.Я. и др. Расчёт температурных полей и параметров процесса непрерывного литья керамических изделий из термопластичных шликеров. - ИФЖ, 1981, т. 40, № 6, с. 1075-1082. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В. К развитию вариационных методов решения многомерных задач теплопереноса. – Известия ВУЗов. Энергетика, 1981, № 8, с. 56-62. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В., Блинов Д.Г. К исследованию процессов теплопереноса в областях сложной формы при произвольных граничных условиях. – Промышленная теплотехника, 1982, № 3, с. 44-49. Васильев Б.А. Стационарная задача теории теплопроводности для области, ограниченной сферой и касательной плоскостью. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 6, с. 1006-1010. Сипетов В.С., Карпиловский В.С. Об одной форме описания распределения температуры по толщине кусочно-неоднородных оболочек и пластин. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 5, с. 870-871. Панков А.А. Эффективные температурные поля в областях с микронеоднородной границей. – ДАН УССР, Сер. А, 1986, № 5, с. 29-34. Барышников И.В., Дацковский В.А. Приближенное аналитическое решение линейной задачи теплопроводности в области с неканонической границей. – ИФЖ, 1987,т. 53, № 4, с. 659-662. Конет И.М., Ленюк М.П. Стационарные температурные поля в полых парашютных телах с покрытиями при краевом условии второго рода на конической поверхности. – ИФЖ, 1988, т.54, № 6, с. 1035-1036. Лобода В.В., Шевелева А.Е. О стационарном тепловом контакте полубесконечного цилиндра и бесконечного слоя. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 4, с. 694-695. Барышников И.В., Дацковский В.А. Расчёт температурных полей в областях с кусочно-однородными средами, сопряжённых по неканонической границе. – ИФЖ, 1990, т. 58, № 4, с. 689-693. Хомченко А.Н. Упрощенный анализ тепловых полей в областях сложной конфигурации. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 1, с. 146-149. Слесаренко А.П. Решение задачи теплопроводности для области с кусочнооднородной средой регионально-структурным методом. – ДАН УССР, Сер. А, 1975, № 10, с. 909-912.

21. Зино И.Е., Соковишин Ю.А. О точности одномерной аппроксимации для двойных стержней. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 334-338. 22. Фатеева Л.А., Каневец Г.Е. Коэффициент эффективности многослойных прямоугольных рёбер. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 3, с. 479-485. 23. Житомирский И.С., Ястржембский А.Л., Волосюк В.А. Влияние неоднородности температурного поля в экране, охлаждаемом отходящими парами, на эффективность криостата. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 3, с. 486-493. 24. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Применение бесконечных систем к решению краевых задач стационарной теплопроводности в неоднородных средах. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 3, с. 524-532. 25. Богаенко И.Н., Тимофеев Ю.А. К вопросу расчёта температурных полей. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 6, с. 1109-1114. 26. Процюк Б.В. О решении задач теплопроводности и термоупругости для многослойных тел. – ДАН УССР, Сер. А, 1977, № 1, с. 1019-1021. 27. Клименко А.С., Ситенок Н.А., Коваль Ю.Д. Аналитическое решение задачи теплопроводности в ограниченной многослойной области с локальным объёмным источником в слое. – ИФЖ, 1978, т. 35, № 2, с. 352-356. 28. Фэйджу Л., Дэвис Х., Рамкришна Д. Распространение тепла в композитных твёрдых телах с внутренним тепловыделением. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1979, № 1, с. 161-167. 29. Семерак Ф.В., Семерак М.М. Задача теплопроводности для бесконечной пластинки с инородным прямоугольным включением. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 3, с. 542-543. 30. Коляно Ю.М., Кулик А.Н., Кушнир Р.М. О постановке обобщенной задачи сопряжения для уравнений терпоупругости кусочно-однородных тел. – ДАН УССР, Сер. А, 1980, № 2, с. 44-49. 31. Клименко А.С., Коваль Ю.Д., Ситенок Н.А. Аналитическое решение задачи о температурном поле полупроводниковой схемы с перевёрнутым кристаллом. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 2, с. 372-373. 32. Горобец В.Г., Зозуля Н.В., Новиков В.С. Влияние отложений прямоугольного профиля на тепловую эффективность продольного ребра. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 5, с. 820-824. 33. Бобисуд Л. Теплопередача через тонкие плёнки: приближенное решение задачи и определение эффективного коэффициента теплоотдачи. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1983, т. 105, № 3, с. 215-216. 34. Пискозуб И.З., Сулим Г.Т. Температурное условия взаимодействия среды с тонким включением. – ИФЖ, 1983, т. 44, № 6, с. 977-983. 35. Луцышин Р.М. Температурное поле в цилиндре с цилиндрическим включением при разрывном граничном условии теплообмена первого рода. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 3, с. 498. 36. Сипетов В.С., Карпиловский В.С., Демчук О.Н. Применение метода конечных элементов к решению стационарной задачи теплопроводности кусочнонеоднородных систем. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 6, с. 1014-1020. 37. Буевич Ю.А., Перминов Е.Б. Стационарный обмен между инфильтруемым зернистым слоем и погруженным в него телом. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 1, с. 35-44. 571

38. Коляно Ю.М., Ковальчук Б.В. Температурное поле в составной пластинке при разрывном граничном условии. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 1, с. 139-140. 39. Каламкаров А.А., Кудрявцев Б.А., Рудакова О.Б. Теплопроводность многослойного композитного клина. – ИФЖ, 1993, т. 64, № 4, с. 487-491. 40. Коляно Ю.М., Кричевец Ю.М., Иваник Е.Г., Гаврыш В.И. Температурное поле в полупространстве с параллелепипедным тепловыделяющим включением. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 5, с. 849-853. 41. Сипетов В.С., Туйметов Ш.Ш., Демчук О.Н. Решение задачи теплопроводности для слоистых ортотропных плит в пространственной постановке. – ИФЖ, 1990, т. 58, № 5, с. 859-862. 42. Коляно Ю.М., Кричевец Ю.М., Иваник Е.Г., Гаврыш В.И. Температурное поле в многослойном полупространстве с инородным тепловыделяющим включением. – Промышленная теплотехника, 1994, т. 16, № 4-6, с. 30-34. 43. Макаров А.М., Романовский В.Р. Решение смешанных задач стационарной теплопроводности для составных кольцевых областей при наличии неидеального теплового контакта. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 6, с. 1127-1128. 44. Бек Дж. Эффекты большого числа источников в теории контактной теплопроводности. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1979, т. 101, № 1, с. 155-160. 45. Березовский А.А., Березовская Л.М. Температурные поля в системе тонких, диатермически разделенных и частично контактирующих цилиндрических стенок. – ИФЖ, 1979, т. 36, № 4, с. 748-749. 46. Дульнев Г.Н., Заричнян Ю.П., Кузнецов Ю.В., Польщиков Б.В. Анализ тепловой модели контактного теплообмена шероховатых поверхностей. – ИФЖ, 1980, т. 38, № 3, с. 441-449. 47. Слесаренко А.П. Теплопроводность слоистых композитных ограниченных тел сложного сечения с учётом термических контактных сопротивлений. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 1, с. 115-119. 48. Драйден Дж. Р. Влияние покрытия поверхности на термическое сопротивление пятна контакта на полубесконечном теле. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1983, т. 105, № 2, с. 167-169. 49. Антонетти В., Йованович М. Повышение контактной термической проводимости с помощью металлических покрытий. Теория и эксперимент. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1985, т. 107, № 3, с. 7-15. 50. Войтенко А.И. О проверке теплового контакта "зонд – ткань" при криохирургических операциях. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 1, с. 149-152. 51. Лобода В.В., Шевелева А.Е. О стационарном тепловом контакте полуполосы и полосы. – ИФЖ, 1987, т. 53, № 2, с. 302-307. 52. Кантор Б.Я., Зозуля В.В. Связанная задача о контакте пластины с твёрдым телом через теплопроводный слой. – ДАН УССР, Сер. А, 1988, № 4, с. 31-33. 53. Шанин Ю.И., Федосеев В.Н., Шанин О.И. Влияние неидеальности контакта пластин на теплообмен в компактных теплообменниках. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 5, с. 776-782. 54. Рвачев В.Л., Синекоп Н.С., Молотков И.П. Структура решения контактной задачи термоупругости для тел конечных размеров. – ДАН Украины, 1992, № 6, с. 60-63. 572

55. Мартиняк Р.М., Швець Р.М. Умови теплового контакту тіл через тонкі неоднородні за товщиною прошарки. – Доповіді Національної академії наук України, 1996, № 9, с. 74-76. 56. Кіт Г.С., Мартиняк Р.М. Термоупружність кусково-однорідного тіла із закритою міжфазною тріщиною при наявності контактного термоопору між її берегами. – Доповіді Національної академії наук України, 1996, № 10, с. 84-88. 57. Черпаков П.В., Дармодихина Н.Ф., Косарев А.А., Миловская Л.С. О соотношениях между нестационарными и стационарными температурными полями. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 1, с. 107-110. 58. Зысин Л.В., Мигров Ю.А. Оценка растечек тепла в неравномерно обогреваемой пластине. – ИФЖ, 1975, т. 28, № 2, с. 359-360. 59. Антипов В.В., Ждановский А.А. О возможности замены двухмерных уравнений одномерными при решении нестационарных задач теплопроводности. – Известия АН БССР, сер. физико-энергетич. наук /Депонировано в ВИНИТИ, № 3955-76 Деп. – Минск, 1976, - 11 с. 60. Жовнир Г.И. Применение интегрального метода Е.В. Толубинского для построения функций Грина краевых задач уравнения теплопроводности в радиально-симметричных областях. – В кн.: Теплофизика и теплотехника, вып. 18. /Респ. межвед. сб-к. – Киев: Наукова думка, 1974, с. 15-19. 61. Дульнев Г.Н., Тихонов С.В. Об одном приближенном методе решения задач теплопроводности. – ИФЖ, 1979, т. 36, № 2, с. 357-363. 62. Хохулин В.С. Универсальный алгоритм решения задач математического моделирования теплового режима конструкций в одномерном приближении. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 4, с. 668-675. 63. Юань У.У., Уэссел Р.А. Применение интегрального метода для решения задач двумерной нестационарной теплопроводности. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 2, с. 252-257. 64. Овсиенко В.Г. Решение начально-краевых задач теплопроводности в цилиндрическом слое. – В кн.: Прикладные вопросы теплообмена и гидродинамики. /Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1982, с. 116-124. 65. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В. Метод сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям Л.В. Канторовича и общий метод решения многомерных задач теплопереноса. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 6, с. 1007-1013. 66. Похорилер В.Л. Решние двумерных задач теплопроводности методом Z-преобразования. – ИФЖ, 1983, т. 44, № 5, с. 818-824. 67. Сидляр М.М., Лобанов А.И. Об одном подходе нахождения приближенного решения асимметричных задач нестационарной теплопроводности. – ДАН УССР, сер. А, 1983, № 8, с. 38-41. 68. Козлов В.П., Липовцев В.Н., Писарик Г.П. Нагрев полуограниченного тела ограниченным источником тепла в форме квадрата. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 6, с. 1004-1010. 573

69. Козлов В.П., Адамчик В.С., Липовцев В.Н. Решение задач Дирихле и Неймана применительно к исследованиям нестационарной теплопроводности. – ИФЖ, 1990, т. 58, № 1, с. 141-145. 70. Углов А.А., Волков А.А., Сагдединов О.Г. О нагреве концентрированным потоком энергии материалов при объемном поглощении. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 5, с. 846-849. 71. Хрестовой Ю.Л. Решение задач теплопроводности для полого тела вращения при переменных граничных условиях. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 1, с. 151-152. 72. Матковский А.П. Температурное поле тонкой оболочки с криволинейным отверстием при конвективном теплообмене. – ИФЖ, 1979, т. 37, № 2, с. 374-375. 73. Белоусова Л.Е. Распределение температуры в полом цилиндре при периодическом объёмном тепловыделении. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 3, с. 543-545. 74. Гольдман А., Као И.К. Численное решение плоской задачи теплопроводности в прямоугольной и полярной системах координат, согласованных с границей области. – Пер. англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 4, с. 165-170. 75. Беляев Н.М., Завалион В.И., Рядно А.А. Уравнение теплопроводности для тел, сходных по форме с оболочками. - ИФЖ, 1982, т. 42, № 4, с. 684-685. 76. Коляно Ю.М. Метод продолжения функций в задачах теплопроводности тел с вырезами. – ДАН УССР, Сер. А, 1984, № 9, с. 34-37. 77. Коляно Ю.М., Громовых В.И., Карпа Я.Т. Задача теплопроводности для пластинки с квадратным вырезом. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 2, с. 312-315. 78. Колесов В.С., Гичева С.Я. Задача теплопроводности для многосвязного тела. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 6, с. 1120-1125. 79. Маликов Ю.К., Лисиенко В.Г. Численный метод решения задач теплопроводности для двухмерных тел сложной формы. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 3, с. 503-509. 80. Слесаренко А.П., Лузен А.И. Интеграл Дюамеля и операционно-структурный метод решения в нестационарных задачах теплопроводности для областей сложной формы. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 5, с. 901-906. 81. Дульнев Г.Н., Сахова Е.В., Сигалов А.В. Принцип местного влияния в методе поэтапного моделирования. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 6, с. 1002-1008. 82. Мельников Ю.А., Рыдванская Т.В. Решение двухмерных краевых задач нестационарной теплопроводности для областей сложной формы. - ИФЖ, 1984, т. 47, № 4, с. 685-686. 83. Круковский П.Г., Ахметзянова Д.М. Численное моделирование теплового состояния объектов сложной формы. – Промышленная теплотехника, 1989, т. 11, № 4, с. 41-47. 84. Никитенко Н.И., Кольчик Ю.Н., Никитенко Н.Н. Численный метод решения задач теплопроводности для тел сложной конфигурации. - ИФЖ, 1991, т. 61, № 5, с. 851-857. 85. Никитенко Н.И. Модернизированный метод канонических элементов для моделирования теплопереноса в системах с криволинейными границами. – Доповіді Національної академії наук України, 1995, № 2, с. 75-78. 574

86. Ленюк М.П., Середюк З.Л. Температурные поля в сложных неограниченных конусах. – ДАН УССР, Сер. А, 1978, № 1, с. 9-14. 87. Рабинович Н.Р., Каскинов Ю.Г. Метод расширения в задачах теплопроводности. – ИФЖ, 1978, т. 35, № 4, с. 728-733. 88. Слесаренко А.П. Нестационарные задачи теплопроводности для тел сложного сечения с разнородными сквозными включениями. – ДАН УССР, Сер. А, 1980, № 10, с. 19-22. 89. Коляно Ю.М.,Семерак М.М., Дмитраш И.П. Температурное поле в пластинке с системой тепловыделяющих включений. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 3, с. 495-502. 90. Макаров А.М., Романовский В.Р. Решение нестационарной задачи теплопроводности в неидеально сопряженных геометрически разнородных структурах. – Промышленная теплотехника, 1981, № 4, с. 16-22. 91. Утикава С., Такеда Р. Применение преобразования координат, согласованного с границей области, к нестационарным задачам теплопроводности в многосвязных областях с произвольной формой границ. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1985, т. 107, № 2, с. 223-228. 92. Шашков А.Г., Козлов В.П., Липовцев В.Н. Импульсный метод комплексного определения теплофизических характеристик материалов на модели полуограниченного тела при подводе к нему тепла с помощью тонкого кольцевого нагревателя. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 3, с. 458-465. 93. Бек Дж., Келтнер Н.Р. Процедура разбиения функции Грина применительно к задаче о плёночных датчиках теплового потока. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1988, № 1, с. 1-7. 94. Коляно Ю.М., Хомякевич Н.Е. Обобщенная теплопроводность в телах с покрытиями, учитывающая кривизну покрытия. – ИФЖ, 1993, т. 65, № 6, с.745-749. 95. Менщиков В.А. Использование двухзонной модели турбулентного потока для расчёта коэффициентов теплообмена. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 1, с. 93-96. 96. Уоссел А., Миллз А. Расчёт трения и теплообмена при турбулентном течении газа с переменными свойствами в шероховатых трубах. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1979, т. 101, № 3, с. 103-111. 97. Лисин Ф.Н., Гулецкая И.Ф. О конвективном теплообмене при турбулентном течении газовзвеси в цилиндрическом канале. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 5, с. 733-737. 98. Печенегов Ю.Я. Инженерный метод численного расчёта теплообмена и сопротивления трения в пограничном слое. Ламинарное и турбулентное течения в трубе. –- ИФЖ, 1987, т. 52, № 2, с. 190-198. 99. Цой П.В. Нестационарный теплообмен в плоском стекающем слое жидкости. – ИФЖ, 1988, т. 54, № 6, с. 1029. 100. Зеленецкий В.А. К теории турбулентного ядра (трубы, горные выработки). – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1990,№ 3, с. 9-16. 101. Новиков В.С. Конечные интегральные преобразования для задач тепломассопереноса в нестационарных и неоднородных средах. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 1, с. 149-157. 575

102. Гамаюнов Н.И., Клингер А.В. Температурное поле пластины с внутренним источником тепла, зависящем от температуры. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 5, с.901-905. 103. Новиков В.С. Функции Грина некоторых задач переноса в нестационарных средах. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 6, с. 1020-1023. 104. Азизов А.М. Термоприёмники в условиях произвольно меняющихся во времени температуры среды и коэффициента теплоотдачи. – В кн.: Исследования в области температурных измерений. /Труды ВНИИМ, вып. 105 – М.-Л.: Изд-во Стандартов, 1969, с. 210-216. 105. Гиндоян А.Г., Пак М.А. Об одной задаче теплообмена при периодических изменениях температуры среды и коэффициента теплообмена на поверхности полуограниченного тела. – ИФЖ, 1976, т. 30, № 6, с. 1135-1136. 106. Игонин В.И., Хорольский В.М. Задачи теплопроводности для стержня с коэффициентом теплообмена, зависящем от времени и их применения. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 6, с. 1126-1127. 107. Горелик А.Г. Температурное поле полых тел при общих граничных условиях. - ИФЖ, 1978, т. 34, № 3, с. 544-545. 108. Слесаренко А.П. Многомерные задачи теплопроводности при изменяющемся во времени коэффициенте теплообмена. – ДАН УССР, Сер. А, 1980, № 9, с. 68-71. 109. Копцев А.В., Васько В.Б., Никульшин Р.К., Петриман Е.Ф. Расчёт температуры среды в замкнутом объёме с учётом двухмерности теплового потока через низкотеплопроводную оболочку. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 4, с. 748-749. 110. Сидоров В.С. Решение задачи теплопроводности с граничным условием третьего рода при произвольной зависимости критерия Био от координат и времени. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 3, с. 536-540. 111. Гайнутдинов Р.Ш., Доронина Л.Н. Температурное поле полуограниченного тела в условиях зависимости коэффициента теплообмена и температуры среды от времени. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 5, с. 844. 112. Слесаренко А.П., Шеметов М.Ф. Температурное поле пластин и бесконечных призматических тел сложного сечения при переменном во времени коэффициенте теплообмена. - ИФЖ, 1983, т. 44, № 4, с. 673-676. 113. Макаров А.М., Агупова Т.А. Нестационарный теплообмен в осесимметричных тонкостенных подкрепленных оболочках вращения при переменных коэффициентах теплоотдачи. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 4, с. 670. 114. Котта Р.М., Сантос К.А. К. Задача нестационарной диффузии с переменными коэффициентами в граничных условиях. – ИФЖ, 1991, т. 61, № 5, с. 829-837. 115. Бартошевич М.А., Прудников А.П. Применение операторов Ватсона к решению некоторых задач теории теплопроводности. – ИФЖ, 1979, т. 37, № 3, с. 503-507. 116. Хантер Л.У. Нестационарное тепловое расширение твёрдых тел при медленном нагреве, фазовом превращении и газообразовании на поверхности. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 3, с. 236-237. 576

117. Хантер Л.У., Каттлер Дж. Р. Охлаждение плиты в условиях усадки и прогрессирующей потери контакта с холодной поверхностью. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1983, т. 105, № 3, с. 252-254. 118. Кузнецова Н.Н. Решение одной задачи теплопроводности в области с подвижной границей методом разложения по ортогональным операторам Ватсона. - ИФЖ, 1986, т. 50, № 4, с. 654-659. 119. Мартыненко М.Д., Гусак Е.А. Метод В.Л. Рвачева квази-функций Грина в теории теплопроводности. – ИФЖ, 1986, т. 51, № 4, с. 673-676. 120. Шаповалов В.М., Тябин Н.В. Саморазогрев при растяжении высоковязкого цилиндра в теплопроводной среде. - ИФЖ, 1987, т. 52, № 4, с. 160. 121. Попов В.В. Теплопередача в растягиваемых телах. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 4, с. 161. 122. Карташов Э.М. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в области с движущимися границами. ИФЖ, 1987, т. 52, № 3, с. 495-505. 123. Салганик Р.Л. Процессы переноса в телах с большим числом трещин. ИФЖ, 1974, т. 27, № 6, с. 1069-1073. 124. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур. – ДАН СССР, 1975, т. 222, № 3, с. 565-567. 125. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П., Новиков В.В. Коэффициенты обобщенной проводимости гетерогенных систем с хаотической структурой. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 1, с. 150-167. 126. Солтанов Н.С. Задача о выравнивании температурного поля в двухфазной среде. – ДАН УССР, Сер. А, 1977, № 1, с. 47-50. 127. Дульнев Г.Н., Еремеев М.А., Заричняк Ю.П., Колтунова Е.Н. Комбинированный численный метод определения проводимости составных тел. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 2, с. 284-290. 128. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Эффективный коэффициент проводимости систем с взаимопроникающими компонентами. – ИФЖ, 1977, т. 33, № 2, с. 271-274. 129. Кулик А.Н., Приходская О.И. Температурное поле пластинки с инородным тепловыделяющим элементом. – ДАН УССР, Сер. А, 1978, № 1, с. 43-45. 130. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Проводимость неоднородных систем. - ИФЖ, 1979, т. 36, № 5, с. 901-909. 131. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. К определению проводимости в наполненных гетерогенных системах. - ИФЖ, 1979, т. 37, № 4, с. 657-661. 132. Гендлер С.Г., Павлов И.А. Об одном методе решения задач теплопереноса в гетерогенной среде. - ИФЖ, 1980, т. 39, № 1, с. 161. 133. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Методы аналитического определения эффективных коэффициентов проводимости гетерогенных систем. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 1, с. 172-184. 134. Дульнев Г.Н., Муратова Б.Л., Новиков В.В. Проводимость многокомпонентных гетерогенных систем. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 4, с. 593-600. 135. Хайнер С.П. Об оценке теплопроводности гетерогенных систем. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 5, с. 922-923. 577

136. Кяар Х.А., Варес В.А. Расчет эффективного коэффициента температуропроводности гетерогенного слоистого материала. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 1, с. 84-90. 137. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Теория протекания и проводимость неоднородных сред. 1. Базовая модель неоднородной среды. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 3, с. 443-451. 138. Волков Д.П., Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П., Муратова Б.Л. Теория протекания и проводимость неоднородных сред. 2. Вариации базовой модели неоднородной среды. – ИФЖ, 1984, т. 46, № 2, с. 247-252. 139. Коляно Ю.М., Кричевец Ю.М., Иваник Е.Г., Гаврыш В.И. Температурное поле в полупространстве с инородным включением. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 6, с. 1006-1011. 140. Хаджи-Шейх А., Машена М. Интегральное решение уравнения диффузии. Часть 1. Общее решение. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1988, № 2, с. 1-6. 141. Хаджи-Шейх А., Лакшминараянан Р. Интегральное решение уравнения диффузии. Часть 2. Граничные условия второго или третьего рода. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1988, № 2, с. 7-12. 142. Гавриш В. Просторові задачі теплопровідності для кусково-однорідних структур. – Автореф. дис. … к.ф.-м.н. – Львів: Вид-во Львівського держуніверсітету, 1993. – 20 с. 143. Степанов С.В. Зависимость коэффициентов теплопроводности упорядоченных двухфазных систем от объёмной концентрации включений. – В кн.: Теплофизические свойства твёрдых веществ. /Сб-к научн. трудов. – М.: Наука, 1971, с. 52-58. 144. Заричняк Ю.П., Новиков В.В. Эффективная проводимость гетерогенных систем с хаотической структурой. – ИФЖ, 1978, т. 34, № 4, с. 648-655. 145. Мальтер В.Л., Большакова Н.В., Андреев А.В. Метод и некоторые результаты полуэмпирического описания теплопроводности композицион-ных материалов. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 6, с. 1039-1045. 146. Афанасенко В.И., Гулевич К.П. Расчёт эффективной теплопроводности трёхслойных панелей с сотовым заполнителем. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 5, с.870875. 147. Осипова В.А., Кяар Х.А. Расчёт теплопроводности гетерогенных материалов с хаотической структурой. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 4, с. 607-615. 148. Бейкер-Джарвис Дж., Ингува Р. Теплопроводность неоднородных материалов. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1985, т. 107, № 1, с. 37-41. 149. Дударев Ю.И., Кашин А.П., Максимов М.З. Применение одного правила сумм для собственных значений при введении эффективного коэффициента температуропроводности неоднородных систем. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 2, с.333-334. 150. Новиков В.В. Двухсторонние оценки тепло- и электропроводности микронеоднородных материалов. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 5, с. 866-867. 151. Пискунов В.Г., Сипетов В.С. Уточнённая модель распределения температурного поля для решения задач термоупругости слоистых систем. – ДАН УССР, Сер. А, 1987, № 5, с. 49-52. 578

152. Гончаров И.В., Миков В.Л. Анализ корректности двухтемпературного метода расчёта. – ИФЖ, 1990, т. 58, № 2, с. 311-316. 153. Гончаров И.В., Миков В.Л. Решение обратной задачи по определению трёх характеристик волокнистого композита. – ИФЖ, 1990, т. 58, № 3, с. 493-499. 154. Кущ В.И. Теплопроводность регулярного зернистого композита с трансверсально-изотропной матрицей. – ДАН УССР, Сер. А, 1991, № 1, с. 24-28. 155. Гончаров И.В., Миков В.Л., Соболев В.П. Временная зависимость коэффициента теплообмена между компонентами композита в процессе теплопередачи. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 6, с. 947-954. 156. Демчук О.Н. Уточнённая теория итерационного типа для решения нестационарной задачи теплопроводности слоистых композитных оболочек и пластин. – Доповіді Національної академії наук України, 1998, № 8, с. 69-73. 157. Кивран В.К., Аюкаев Р.И. Исследование пористых тел методом математического моделирования их структуры. - ИФЖ, 1976, т. 30, № 4, с. 733-734. 158. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А. Эффективная теплопроводность дисперсной среды при малых числах Пекле. - ИФЖ, 1976, т. 31, № 4, с. 607-612. 159. Бегункова А.В., Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П., Муратова Б.Л. Влияние увлажнения на теплопроводность зернистых материалов. - ИФЖ, 1976, т. 31, № 6, с. 973-980. 160. Бородуля В.А., Буевич Ю.А. О каркасной проводимости зернистых систем. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 2, с. 275-283. 161. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П., Новиков В.В. К определению коэффициентов тепло- и электропроводности в мелкозернистых системах. – ИФЖ, 1978, т. 34, № 5, с. 860-869. 162. Могилевский Б.М., Ходжаев Ф.Ш., Чудновский А.Ф. Связь теплопроводности с потенциалом влаги в зернистых средах. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 6, с.1024-1025. 163. Зубарев А.Ю. О влиянии внутренних тепловых источников не нестационарный перенос тепла в дисперсных системах. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 2, с. 272-278. 164. Беляев А.А., Зубарев А.Ю., Кац Е.С., Кисеев В.М. Эффективная теплопроводность каркасных дисперсий. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 1, с. 122-130. 165. Гаврильев Р.И. Модель для расчёта теплопроводности грунтов с учётом их генезиса. – ИФЖ, 1992, т. 62, № 1, с. 86-94. 166. Загоруйко В.А., Слынько А.Г., Широкий Д.А. Теоретический метод расчёта коэффициентов внутреннего массопереноса в реальных влажных материалах. – Промышленная теплотехника, 1995, т. 17, № 4, с. 32-38. 167. Терехов А.Д., Шер Э.М. Эффективная теплопроводность и электропроводность анизотропных тел малой пористости. – ИФЖ, 1976, т. 30, № 4, с. 686-692. 168. Гринберг Р.З., Терехов А.Д., Шер Э.М. Об эффективной теплопроводности и электропроводности анизотропных дисперсных сред. – ИФЖ, 1976, т. 31, №1, с. 116-121. 169. Пунь К.Ц., Цзоу Р.Х., Чжан Й.Р. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1979, т. 101, № 2, с. 177-183. 579

170. Мак-Уортер III, Дж., Сэду М.Х. Численное решение анизотропных задач теплопроводности при помощи систем координат, согласованных с формой границы. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1980, т. 102, № 2, с. 143-148. 171. Коляно Ю.М., Штер З.И. Термоупругость неоднородных сред. – ИФЖ, 1980, т. 38, № 6, с. 1111-1114. 172. Бульпа К.Б. К вопросу расчёта тепловых полей в неоднородных областях сложных очертаний. - ИФЖ, 1981, т. 40, № 1, с. 158-159. 173. Хаун С.К., Чжан Й.Р. Теплопроводность клина и эллиптического цилиндра с анизотропными характеристиками. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1983, т.105, № 3, с. 216-220. 174. Гришин А.М., Тиваков Г.Г., Чепрасов А.И. Численное исследование трёхмерных нестационарных тепловых полей толстостенных оболочек произвольной геометрической формы с анизотропными включениями. – ИФЖ, 1985, т. 45, № 1, с. 152-153. 175. Головчан В.Т., Артеменко А.Г. Теплопроводность ортогонально армированного композитного материала. – ИФЖ, 1986, т. 51, № 2, с. 260-267. 176. Каламкаров А.Л. Теплопроводность искривлённого неоднородного анизотропного слоя периодической структуры с волнистыми поверхностями. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 5, с. 865-866. 177. Дорожкин Н.И, Жорник А.И., Жорник В.И., Ермолаев И.Л. Температурное поле пористого полого цилиндра. – ИФЖ, 1988, т. 54, № 6, с. 1034-1035. 178. Формалёв В.Ф., Москаленко А.А. Аналитическое решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности для анизотропной полосы. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 1, с. 153-154. 179. Козлов В.П., Липовцев В.Н. Решение двумерного уравнения нестационарной теплопроводности для ортотропных цилиндрических ограниченных сред. ИФЖ, 1989, т. 56, № 6, с. 1014-1021. 180. Шашков А.Г., Волохов Г.М., Липовцев В.Н. Теплообмен ортотропно ограниченного цилиндра при граничных условиях первого и третьего рода. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 5, с. 830-837. 181. Белов Е.А., Соколов Г.Я., Старков А.С., Зотов В.П. Определение констант теплопереноса ортотропного слоя. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 2, с. 474-477. 182. Пекарский М.Я., Тайц Н.Ю., Головина З.Н. Нестационарная теплопроводность двухслойного цилиндра. – ИФЖ, 1972, т. 23, № 4, с. 752-753. 183. Букулей М. К исследованию теплопроводности составных стержней. – Stydii si cercetari de energetica si eletrotehnica, 1973, v. 23, № 4, р. 891-899. Пер. с румынск. № Ц-38408 ВЦП научно-техн. лит-ры и докум. ГК СМ СССР по науке и технике. – М.: 1975. – 11 с. 184. Анатычук Л.И., Михайленко А.В. О быстродействии микрокалориметров. ИФЖ, 1976, т. 31, № 6, с. 986-989. 185. Файн А.М., Нульман А.Ю. Температурное поле в двухслойной тепловой защите от импульсного теплового потока. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 1, с. 131-135. 186. Кисилёв К.А., Захаров П.А., Пушинкова В.К. Применение метода тепловых потенциалов к решению нестационарной задачи теплопроводности для двухслойного полупространства. ИФЖ, 1977, т. 33, № 1, с. 163. 580

187. Аваев А.А., Осипов Ю.Р. Температурное поле резино-металлического изделия в процессе конвективной вулканизации его эластомерной обкладки. – ИФЖ, 1978, т. 35, № 3, с. 550. 188. Колесов В.С. Оптимальное управление процессом теплопередачи между соприкасающимися телами. – ИФЖ, 1978, т. 35, № 4, с. 718-723. 189. Неусихин И.Я. Определение теплофизических характеристик двухслойных конструкций методом плоского нагревателя постоянной мощности. - ИФЖ, 1979, т. 36, № 6, с. 1110-1111. 190. Дульнев Г.Н., Сигалов А.В. Температуропроводность неоднородных систем. 1. Расчёт температурных полей. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 1, с. 126-133. 191. Кенис М.С., Трахтенберг Б.Ф. Температурное поле в контактирующих плоских объектах при периодическом их взаимодействии с учётом обёмных и поверхностных источников тепловыделения. м ИФЖ, 1980, т. 39, № 1, с. 163-164. 192. Бабенко Ю.И., Никитина Н.Я. Сопряженная задача массообмена между двумя полубесконечными областями при наличии химической реакции второго порядка. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 5, с. 916-919. 193. Дашкиев Ю.Г., Никитин Е.Е., Тылтин А.А. Температурный режим и термонапряженное состояние узла приварки труб к камерам пароперегревателей. – Известия ВУЗов. Энергетика, 1981, № 8, с. 114-117. 194. Вик Б., Эзишик М.Н. Квазистационарное распределение температуры в периодически контактирующих стержнях конечной длины. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 4, с. 149-156. 195. Келтнер Н.Р., Бек Дж. В. Нестационарный метод элементов поверхности. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 4, с. 171-177. 196. Федоткин И.М., Верлань Е.В., Чеботареску И.Д., Евтухович С.В. Теплопроводность двух соприкасающихся пластин с плоским источником тепла между ними. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 3, с. 493-498. 197. Страдомский М.В., Максимов Е.А., Плита А.Г. Идентификация температурных полей в компенсационных тепломерах. – Промышленная теплотехника, 1983, № 4, с. 80-84. 198. Черкасов С.Г. Об одной сопряженной нестационарной задаче теплопроводности. – ИФЖ, 1984, т. 46, № 5, с. 868-869. 199. Бабушкин Г.А. Диффузия из тонкого слоя в два полубесконечных образца с разными характеристиками. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 2, с. 267-270. 200. Капельян С.Н., Моргун Ю.Ф. Нагрев тонких плёнок лазерным излучением с учётом температурной зависимости коэффициента отражения. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 4, с. 642-647. 201. Набережных В.П., Селяков Б.И., Фельдман Э.П. К теории охлаждения тонкой плёнки на массивной подложке. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 4, с. 677. 202. Строй А.Ф. Остывание двухслойной плоской стенки с неизвестной температурой у одной из сторон. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 1, с. 152-153. 203. Семерак Ф.В., Борисенко О.И. Динамическая задача термоупругости для полубесконечной пластинки с двухсторонним покрытием. - ИФЖ, 1985, т. 48, № 3, с. 510-511. 581

204. Слободкин Л.С., Пшеничная Г.И., Вакульчик П.А., Щукина И.С. Математическое моделирование процессов термообработки при формировании изделий из полимерных композиционных материалов. – ИФЖ, 1988, т. 54, № 5, с.813-818. 205. Голосов А.С., Жук В.И., Чубаров Д.Н. Определение теплофизических характеристик двухслойных конструкций по данным измерений в нестационарных панелях. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 2, с. 291-298. 206. Ивлиев А.Д., Поздеев А.Н., Морилов В.В. Применение метода плоских температурных волн при исследовании гетерогенных двухслойных материалов. ИФЖ, 1989, т. 57, № 5, с. 866-867. 207. Углов А.А., Волков А.А., Сагдединов О.Г., Кривоногов Ю.Ю. Расчёт кинетики роста окисной плёнки при лазерном нагреве. – ИФЖ, 1990, т.58, № 3, с. 385-388. 208. Попов В.М., Копанева В.И. К решению задачи по определению контактного термического сопротивления стягивания в условиях нестационарного теплообмена. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 4, с. 700. 209. Кац М.Д., Карауш С.А., Бугаев И.В. Влияние теплопотерь с поверхности двухслойного образца на измерение теплофизических характеристик импульсным методом. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 2, с. 127-130. 210. Ленюк М.П., Стопень Г.Я. Квазистатические термовязкоупругие поля в бесконечной двухсоставной цилиндрически-изотропной пластинке. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 5, с. 822-834. 211. Агафонов Ю.Н., Неделько В.А., Окутин О.Л. Об одном способе учёта неидеального теплового контакта в составных конструкциях для задач нестационарной теплопроводности. – ИФЖ, 1991, т. 61, № 6, с. 1020-1021. 212. Якункин М.М. Квазистационарный тепловой режим, возникающий в системе плёнка-подложка при периодическом импульсном нагреве излучением лазера. – ИФЖ, 1993, т. 64, № 4, с. 401-407. 213. Лянце Г.Т. Математичне моделювання теплових технологічних процесів в кусково-однорідних тілах. – Автореф. дис. … к.т.н. – Львів: Державний науково-дослідний ін-т інформаційної інфраструктури, 1999.- 19 с. 214. Шперлинг Р.П. Решение неосесимметричной задачи нестационарной теплопроводности для двухслойного пологого цилиндра конечной длины. – ИФЖ, 1972, т. 23, № 5, с. 871-878. 215. Маэваль А., Бах Т.К., Хегемиер Ж.А. Континуальная модель диффузии в слоистых средах. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1976, т. 98, № 1, с. 145-151. 216. Домингос Х., Воелкер Д. Переходный процесс повышения температуры в слоистой среде. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1976, т. 98, № 2, с. 193-195. 217. Яншин А.А., Попов Ю.А., Цейтлин С.Д. Расчёт нестационарного температурного поля в двухслойной пластине при нагреве подвижным источником в присутствии неоднородностей на поверхности контакта слоёв. - ИФЖ, 1976, т. 31, № 4, с. 721-726. 218. Хуан С.К., Чжан Й.Р. Нестационарный, периодический и стационарный режимы теплопроводности в слоистых композитах. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1980, т. 102, № 4, с. 165-172. 582

219. Садхал С.С. Нестационарный поток тепла между твёрдыми телами с частичным контактом вдоль общей границы. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 1, с. 37-42. 220. Шукейло Ю.А., Акбулатов Р.И., Вахмистров А.П. Расчёт температурного поля микросхемы с ЦМД. – ИФЖ, 1983, т. 44, № 3, с. 487-488. 221. Чжу Х.С., Вэн К.И., Чжэнь К. Тепловые характеристики композитного прямого ребра в переходном режиме. - Пер. с англ. – Теплопередача, 1983, т.105, № 2, с. 93-97. 222. Тиман Б.Л., Фесенко В.М. Температурное поле разнородного составного цилиндра при условии теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона. – ИФЖ, 1984, т. 46, № 6, с. 1028-1029. 223. Козлов В.П., Станкевич А.В. Методы неразрушающего контроля при исследовании теплофизических характеристик твёрдых тел. – ИФЖ, 1984, т. 47, №2, с. 250-255. 224. Коляно Ю.М., Драпкин Б.А. Нагрев двухслойной пластины с теплообменом и внутренними источниками тепла. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 5, с.861. 225. Драйден Дж. Р., Иованович М.М., Дикин А.С. Влияние покрытий на термическое сопротивление пятна контакта в стационарном состоянии и на коротких промежутках времени при произвольной плотности осесимметричного теплового потока. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1985, т. 107, № 1, с. 31-37. 226. Коляно Ю.М., Музычук Ю.А. Температурное поле составного тела при смешанных условиях теплового контакта. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 5, с.839-844. 227. Гамаля И.А., Данилейко В.М., Петров В.В. и др. Температурные поля полупроводниковой плёнки, нагреваемой излучением лазера. – ДАН УССР, Сер. А, 1985, № 7, с. 30-32. 228. Литкухи Б., Бек Дж. В. Нестационарный метод многоузловых поверхностных элементов и его применение к задаче контактной проводимости. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1986, т. 108, № 2, с. 10-16. 229. Шашков А.Г., Козлов В.П., Станкевич А.В. Нестационарное распределение тепловых потоков в полуограниченных телах при наличии на границе соприкосновения тел ограниченного источника тепла. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 2, с.303-309. 230. Никитенко Н.Н., Кольчик Ю.Н. Математическое моделирование тепломассопереноса при окалинообразовании. – ИФЖ, 1987, т. 53, № 1, с.141-148. 231. Балаковский С.Л., Барановский Э.Ф., Севастьянов П.В. Оптимизация установки термопар при исследовании интенсивных нестационарных тепловых воздействий на материалы. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 1, с.130-135. 232. Ленюк М.П., Федорук В.В. Нестационарные температурные поля в полуограниченных двухсоставных пластинках. - ИФЖ, 1988, т. 55, № 3, с.515-516. 233. Коляно Ю.М., Ирлин А.В., Процюк Б.В. и др. Изучение температурного поля при записи и воспроизведении информации сфокусированным излучением. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 6, с. 983-990. 234. Мошинский А.И. Граничное условие "тепловая ёмкость" как предельное соотношение. – ИФЖ, 1991, т. 61, № 3, с. 458-464. 583

235. Гришин А.М., Трофимов В.В., Шулев Н.С., Якимов А.С. Численное решение задачи теплообмена при тепловой обработке бетона. – ИФЖ, 1992, т. 62, №4, с. 608-616. 236. Гончаренко А.А., Грицай В.Г., Кулиш С.Н., Кравченко В.Ф. Температурные поля в приёмниках теплового излучения. – ИФЖ, 1993, т. 64, № 2, с. 228-232. 237. Переверзев Д.А. Теплопроводность в трёхслойной цилиндрической стенке при нестационарных граничных условиях теплообмена. – В кн.: Вопросы теплообмена и термодинамики, вып. 1. /Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1971, с. 55-62. 238. Кравченко В.Ф., Токаренко А.В., Пахомова Е.С. Расчёт нестационарного температурного поля в составном (трёхслойном) цилиндре. – ИФЖ, 1977, т.32, № 4, с. 729-733. 239. Гуревич А.Г., Балтер И.В. Температурное поле трёслойной плоской стенки при граничных условиях второго рода. - ИФЖ, 1978, т. 34, № 5, с. 932-933. 240. Семерак Ф.В., Романчук О.К. Задача теплопроводности для трёхслойной плиты. – ИФЖ, 1979, т. 37, № 6, с. 1133-1134. 241. Нейфе А. Континуальное моделирование низкочастотных процессов распространения тепла за счёт теплопроводности в слоистых материалах со связующим компонентом. - Пер. с англ. – Теплопередача, 1980, т. 102, № 2. 242. Мехрабов А.О., Шхалиев Р.Н. Электромоделирование температурных полей при затвердевании стальных отливок. – Промышленная теплотехника, 1980, № 5, с. 47-51. 243. Курепин В.И., Дикалов А.И. Определение теплофизических характеристик методом мгновенного теплового импульса при учёте влияния контактных термических сопротивлений. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 6, с. 1046-1054. 244. Алексеев В.П., Блохин Н.Б., Преображенский М.Н. К вопросу измерения теплофизических характеристик тонких резистивных и диэлектрических плёнок. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 1, с. 98-101. 245. Марич М., Бачлич Б. Измерение теплофизических характеристик методом регулярного режима охлаждения ограниченного цилиндра с оболочкой. – ИФЖ, 1982, т. 43, № 5, с. 817-821. 246. Коледов В.В., Портнов П.Г., Сазонова Г.В. Тепловая подготовка гетерогенной светочувствительной среды с плотной упаковкой магнитного наполнителя к записи оптического изображения. – ИФЖ, 1984, т. 47, № 2, с. 319-325. 247. Макаров В.Л., Первушин В.Б., Казанков Ю.В., Лурье Е.В. О нестационарном режиме работы термобатареи. - ИФЖ, 1985, т. 49, № 2, с. 333-334. 248. Козлов В.П. Распределение нестационарной температуры на поверхности полуограниченного тела в случае нагрева его тонким концевым источником тепла. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 4, с. 659-666. 249. Козлов В.П., Липовцев В.Н. Закономерности развития двумерных нестационарных температурных полей на поверхности полуограниченного тела при его нагреве импульсным кольцевым источником тепла. - ИФЖ, 1986, т. 51, № 2, с. 287-294. 584

250. Вишневская Е.А., Гласко В.Б., Малокостов А.И. и др. Выбор оптимальной толщины теплоизоляции при горячем компактировании пористых материалов. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 5, с. 822-827. 251. Харитонов В.В., Старовойтова Т.А., Старовойтов Э.И. Трёхслойная пластинка при тепловом ударе. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 6, с. 1010-1017. 252. Березовская Л.М. Температурное поле двух тонких, диатермически разделенных плоских стенок с локальными контактами. – В кн.: Физикотехнические приложения нелинейных краевых задач. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1987, с. 5-12. 253. Веренич И.И., Ленюк М.П. Квазистатические термоупругие поля в неограниченной трёхслойной цилиндрически-анизотропной пластинке. – ИФЖ, 1988, т. 54, № 4, с. 682-683. 254. Гаврись А.П., Кващук Д.В., Шевчук П.Р. Температурные режимы в системе подложка-покрытие при высокотемпературном напылении. – ИФЖ, 1988, т.54, № 6, с. 1033-1034. 255. Коляно Ю.М., Хомякевич Е.П., Гой И.О. Обобщенная теплопроводность термочувствительных разнородных тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 4, с. 650-656. 256. Сидыганов В.У., Аметистов Е.В. Смена режимов кипения на толстых греющих поверхностях. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 4, с. 576-582. 257. Фиалко Н.П., Прокопов В.Г., Шеренковский Ю.В. и др. Особенности процессов теплопереноса в условиях формирования газотермических покрытий из композиционных порошков. – ДАН УССР, Сер. А, 1991, № 10, с. 87-92. 258. Фиалко Н.М., Прокопов В.Г., Сариогло В.Г. и др. Исследование теплового состояния печатных узлов в условиях технологии газовой пайки. – ДАН Украины /Математика, естествознание, технич. науки/, 1991, № 12, с. 50-56. 259. Коляно Ю.М., Попович В.С. Нестационарные температурные поля в состыкованных пластинках. – Физика и химия обработки и материалов, 1975, № 5, с. 16-23. 260. Пальцун Н.В., Прокофьев Б.М. Теплопроводность слоистых систем. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 370-371. 261. Айзен А.М., Редчиц И.С. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтерра второго рода, возникающих в задачах теплопроводности через многослойные среды. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 4, с. 741-742. 262. Лакуста К.В., Ленюк М.П. Решение задач сопряжения многослойных сред преобразованием Лапласа. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 4, с. 742-743. 263. Жвания И.А., Казаков А.В. К решению неидеальных контактных задач нестационарной теплопроводности. – ИФЖ, 1979, т. 36, № 2, с. 368. 264. Вигак В.М. О построении решения уравнения теплопроводности для кусочно-однородного тела. – ДАН УССР,Сер. А, 1980, № 1, с. 30-32. 265. Карчевский М.М., Фарукшин А.Х. К расчёту нестационарного теплового режима многостёкольного иллюминатора. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 2, с. 360. 266. Каня Я.Н., Никифоров В.А. Нахождение нестационарного температурного поля в многослойной ограждающей конструкции с цилиндрическими источниками тепла. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 2, с. 361. 585

267. Колесниченко В.И. Численные исследования теплопроводности через многослойную цилиндрическую стенку. - ИФЖ, 1980, т. 39, № 4, с. 755-756. 268. Имбер М. Нелинейный теплообмен в твердых телах при теплоизоляции одной из поверхностей. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 4, с.156-164. 269. Наседкин В.В. Температурные волны в пластинах с прослойками. – Известия ВУЗов. Энергетика, 1981, № 3, с. 113-116. 270. Дударев Ю.И., Кашин А.П., Лозбин В.И., Максимов М.З. Об одном приближенном методе решения задач нестационарной теплопроводности для многослойных систем. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 5, с. 926-927. 271. Беляков В.А. Приведение уравнения нестационарного одномерного поля температуры и плотности теплового потока многослойной пластины к алгоритмическому виду. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 5, с. 927. 272. Беляков В.А. Приближенные параметрические уравнения нестационарного одномерного поля температуры многослойной пластины. – ИФЖ, 1981, т.41, № 5, с. 927-928. 273. Беляков В.А. Метод приближенного расчёта переходного теплового сопротивления многослойной пластины. – ИФЖ, 1981, т. 41, № 5, с. 928-929. 274. Кувыркин Г.Н., Петрикевич Б.Б. Математическая модель исследования нестационарного температурного и напряженно-деформированного состояния многослойных конструкций. – ИФЖ, 1982, т. 42, № 5, с. 843. 275. Решетин О.Л. Метод расчёта температурного поля в многослойных средах. – ИФЖ, 1982, т. 43, № 3, с. 483-492. 276. Адрианов В.Н. Методика электромоделирования нестационарной теплопроводности в многослойных системах. – Промышленная теплотехника, 1983, № 4, с. 8-14. 277. Шкляр Ф.Р., Боковикова А.Х., Ждановская И.В., Голиков Ю.Г. К расчёту нагрева слоистых тел. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 2, с. 316-320. 278. Коздоба Л.А., Черный Н.Д. Эквивалентность тепловых режимов и эффективные характеристики однородных и многослойных оболочек. – Промышленная теплотехника, 1984, № 2, с. 14-21. 279. Шкурко Б.Ф., Нечаев В.П. Инженерный метод расчёта температурного режима многослойных полых тел. – ИФЖ, 1984, т. 46, № 5, с. 872. 280. Клецкий С.В. Осреднение нестационарных температурных полей в сварных рулонированных конструкциях. – В кн.: Теплообмен и теплофизические свойства веществ. /Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1984, с. 128-133. 281. Глазунов Е.М., Пикина Г.Н. О решении задач нестационарной теплопроводности для многослойных систем методом конечных разностей. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 2, с. 324-329. 282. Алексеев В.А. Расчёт нестационарной теплопередачи многослойной стенки с неодинаковыми площадями контакта между слоями. – ИФЖ, 1985, т. 49, №3, с. 491-496. 283. Кудинов В.А. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел. – ИФЖ, 1986, т. 50, №2, с. 333-334. 586

284. Кудинов В.А., Кудинов А.А., Росляков А.Д. Приближенные решения задач теплопроводности для многослойных конструкций при переменных во времени граничных условиях. – ИФЖ, 1986, т. 51, № 1, с. 162-163. 285. Дульнев Г.Н., Коренев П.А. Синтез термостатирующих устройств. II. Математические модели. – ИФЖ, 1986, т. 51, № 4, с. 660-667. 286. Пристрем А.М., Данилович Н.И., Лабунов В.А. Аналитический подход к расчёту распределения температуры в многослойных структурах при нагреве сканирующим лазерным излучением непрерывного действия. - ИФЖ, 1987, т. 53, №6, с. 1000-1010. 287. Волченок И.А., Рудин Г.И. Термоупругие напряжения в многослойной пластине при воздействии лазерного излучения. – ИФЖ, 1988, т. 55, №5, с. 816-822. 288. Кудинов В.А., Смагин Н.В., Росляков А.Д. Приближенное решение нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел с переменными свойствами. – ИФЖ, 1989, т. 56, №1, с. 150-151. 289. Кудинов В.А., Пеньков В.Ф., Росляков А.Д., Черняева Л.Ф. Метод эквивалентных сопротивлений в задачах теплопроводности для многослойных тел. – ИФЖ, 1989, т. 56, №1, с. 151-152. 290. Кудинов В.А., Темников А.В., Смагин Н.В., Пеньков В.Ф. Теплопроводность в многослойной стенке трубы при переменных коэффициентах теплоотдачи. – ИФЖ, 1989, т. 56, №1, с. 152-153. 291. Хомченко А.Н. К численному исследованию теплопроводности в слоистой среде. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 1, с. 161. 292. Аксенов Б.Г., Кушакова Н.П., Майер В.Р. Нестационарное тепловое состояние многослойной системы строительных материалов. – Известия СО АН СССР, Сер. техн. наук, 1990, вып. 3, с. 16-20. 293. Кордонский В.И., Демчук С.А., Кузьмин В.А., Зальцгендлер Э.А. К вопросу о теплообмене в электродинамических преобразователях. – ИФЖ, 1990, т. 59, №6, с. 896-902. 294. Веренич И.И., Ленюк М.П. Стационарные и нестационарные температурные поля в многослойных неограниченных круговых областях. – ИФЖ, 1991, т.61, №1, с. 164-165. 295. Кудинов В.А., Росляков А.Д., Денисов А.Ю., Пеньков В.Ф. Приближенные решения двумерных задач нестационарной теплопроводности для многослойных конструкций. – ИФЖ, 1991, т. 61, № 2, с. 329. 296. Канунников О.В., Эсаулов С.Л. Численное обращение преобразования Лапласа с помощью ряда Фурье при расчёте нестационарных температурных полей в слоистых конструкциях. – ИФЖ, 1991, т. 61, №5, с. 804-807. 297. Жоровина Т.Н., Матюшев В.В. Решение задачи нестационарной теплопроводности для одной кусочно-неоднородной пластины. - ИФЖ, 1991, т. 61, №5, с. 866-867. 298. Фиалко Н.М., Прокопов В.Г., Сариогло В.Г., Грачев А.А. Математическое моделирование теплового состояния печатных узлов применительно к технологии поверхностного монтажа электронных компонентов. – ДАН УССР, Сер. А, 1991, № 5, с. 88-93. 587

299. Коляно Ю.М., Процюк Б.В., Синюта В.М. и др. Нестационарное температурное поле в многослойном ортотропном цилиндре. – ИФЖ, 1992, т. 62, №2, с. 325-330. 300. Демчук О.Н., Стародуб Р.А. Определение нестационарных температурных полей в слоистых ортотропных пластинках. – ИФЖ, 1992, т. 63, №4, с. 486-491. 301. Вендик С.В. К расчёту нестационарной теплопроводности в многослойных объектах при граничных условиях третьего рода. – ИФЖ, 1993, т. 65, №2, с.249-251. 302. Харченко В.М., Серых Г.М. Исследование тепловых режимов солнечной батареи с жидкостным охлаждением. – Промышленная теплотехника, 1994, т.16, № 4-6, с. 58-63. 303. Васильев А.А., Диденко О.И. Особенности численного исследования теплового состояния многослойной стенки при повреждении теплозащитного слоя. – Промышленная теплотехника, 1996, т. 18, № 4, с. 8-13. 304. Пучков А.А. Дифференциальная форма решения уравнения нестационарной неоднородной теплопроводности. – ИФЖ, 1978, т. 35, № 2, с. 357-360. 305. Александровский С.В. Теплопроводность неоднородной ограниченной пластины при переменной температуре внешней среды. – ИФЖ, 1983, т. 45, №2, с. 334. 306. Дударев Ю.И., Максимов М.З., Никоненко Л.К. Нестационарное температурное поле многослойных цилиндрических систем. – ИФЖ, 1988, т. 55, №4, с. 671-672. 307. Белов Е.А., Соколов Г.Я., Старков А.С. Определение эффективной теплопроводности пластины в нестационарном эксперименте. – ИФЖ, 1988, т. 55, №4, с. 616-620. 308. Дударев Ю.И., Максимов М.З., Никоненко Л.К. Определение температурных полей многослойных сферически симметричных систем. – ИФЖ, 1990, т. 59, №6, с. 1024-1026. 309. Дударев Ю.И., Максимов М.З., Никоненко Л.К. Определение температурного поля в сопряженных двумерных системах. – ИФЖ, 1992, т. 63, №2, с. 248249. 310. Сегал Б.И. Об одной задаче теплопроводности. – В кн.: Труды Математического института им. В.А. Стеклова, т. ХХ, 1947. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, с. 65-76. 311. Огородников Н.Н., Шатунов М.П. Охлаждение длинной металлической трубы газовым потоком. – В кн.: Некоторые вопросы исследования тепловых машин. /Труды КуАИ, вып. 37. – Куйбышев; Изд-во КуАИ, 1969, с. 29-34. 312. Лыков А.В., Алексашенко А.А., Алексашенко В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. – Минск: Изд-во БГУ, 1971, - 126 с. 313. Китаев Б.И., Тимофеев В.Н. и др. Тепло- и массообмен в плотном слое. – М.: Металлургия, 1972. – 312 с. 314. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А., Щелчкова И.Н. О переносе тепла или массы в дисперсном потоке. – ИФЖ, 1976, т. 30, №6, с. 979-985. 588

315. Кузнецова Н.Н. К аналитическому исследованию тепло- и массообмена при переменном режиме сушки. – ИФЖ, 1976, т. 30, №6, с. 1075-1080. 316. Михайлов М.Д. Тепловлагоперенос в пластине при обобщенных граничных условиях. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 347-350. 317. Бондаренко А.Г., Колобашкин В.М., Кудряшов Н.А. Распространение радионуклидов в пористой среде с учётом сорбции и диффузии. - ИФЖ, 1976, т. 31, №6, с. 1100-1104. 318. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Уравнения теплопроводности двухфазного изотропного тела. – ДАН УССР, Сер. А, 1977, № 1, с. 51-54. 319. Кудряшов Н.А., Басанский Е.Г., Бондаренко А.Г. Влияние диффузии и сорбции на распределение радиоактивного газа в пористой среде. – ИФЖ, 1978, т. 34, №1, с. 132-137. 320. Гешев П.И. Влияние теплопроводности стенки на величину турбулентного числа Прандтля в вязком подслое. - ИФЖ, 1978, т. 35, №2, с. 292-296. 321. Гавенский Л.Я., Трифель М.С. Некоторые вопросы решения стационарной сопряженной задачи теплопроводности и конвективного теплообмена. – ИФЖ, 1979, т. 37, № 2, с. 375-376. 322. Копрински С.Ц. О некоторых задачах теории тепломассопереноса, разрешимых с помощью преобразования Лапласа. – ИФЖ, 1980, т. 38, №5, с. 919-921. 323. Калиновский Ю.В. Решение задач теплопроводности в гетерогенных средах методом интегральных соотношений. – ИФЖ, 1981, т. 40, № 4, с. 741-749. 324. Калиновский Ю.В. Приближенное решение линейных уравнений теплопроводности в гетерогенных средах. – ИФЖ, 1981, т. 41, №5, с. 912-915. 325. Лу П.-Ц. Использование метода возмущений в задаче о нестационарном теплообмене между пористой средой и потоком жидкости. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, т. 103, № 1, с. 185-191. 326. Степанчук В.Ф., Шило А.Ф., Кожушко В.В., Завадовский Э.Г. Методика расчёта кондуктивного теплообменника. – ИФЖ, 1982, т. 43, №4, с. 648-653. 327. Никитенко Н.И. Основные виды сопряженных задач тепло- и массообмена. ИФЖ, 1983, т. 44, №4, с. 676-678. 328. Дульнев Г.Н., Сигалов А.В. Поэтапное моделирование теплового режима сложных систем. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 4, с. 651-656. 329. Коган М.Г., Захарин С.И. Нестационарная теплопроводность в неоднородных материалах, осложнённая экзотермическими реакциями. – ИФЖ, 1983, т. 45, №6, с. 1026-1027. 330. Аронова Н.Н., Шурчков А.В. Расчёт температурных полей при фильтрации в пористом слое. – В кн.: Физические процессы горного производства. Тепломассоперенос в горных выработках и породных коллекторах. /Сб-к научн. трудов. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985, с. 26-32. 331. Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Метод функций Грина для решения задач неравновесной адсорбции и конвективной диффузии примеси в среде. - ИФЖ, 1985, т. 48, №3, с. 450-455. 332. Сапелкин В.В. Единый метод численного расчёта сопряженной задачи нагрева тел жидкостями, текущими в прямотоке и в противотоке. – ИФЖ, 1985, т. 49, №4, с. 664-671. 589

333. Ли Ч.С. Точные решения задачи о нестационарных процессах переноса при прямотоке. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1986, т. 108, № 2, с. 106-112. 334. Бабак В.Н., Бабак Т.Б., Холпанов Л.П., Малюсов В.А. Методика расчёта матричного теплообменника из перфорированных пластин. – ИФЖ, 1986, т.50, №3, с. 451-458. 335. Греков С.П. Кинетика изотермической адсорбции веществ многокомпонентным сорбентом при наличии реакции псевдопервого и второго порядков. ИФЖ, 1987, т. 52, №5, с. 861-862. 336. Синаи Ю.Л. Функция стенки для дисперсии температуры в турбулентном течении у теплопередающей стенки. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1988, т.110, № 3, с. 39-44. 337. Баклан В.В., Греков С.П., Калюсский А.Е., Невмержицкая М.В. Решение квазилинейной задачи диффузии примеси в слое зернистого материала с адсорбцией и химической реакцией. – В кн.: Математическое моделирование физических процессов. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики – АН УССР, 1989, с. 4-7. 338. Мошинский А.И. Некоторые вопросы теории переноса тепла и массы в дисперсных средах. – ИФЖ, 1990, т. 58, № 3, с. 461-470. 339. Васильева Н.А., Гончаров И.В., Миков В.Л., Сазонов В.В. Экспериментальная апробация двухтемпературной теории теплопроводности применительно к стержневым углеродным композитам. – ИФЖ, 1991, т. 60, №6, с. 968-974. 340. Липаев А.А. Метод температурных волн в системе контактирующих тел при исследовании фильтрующих капиллярно-пористых сред. - ИФЖ, 1991, т. 61, №2, с. 324-325. 341. Синица А.В., Тютюнников А.И. Теплообмен в "инерционном" солнечном коллекторе. – ИФЖ, 1992, т. 62, №1, с. 102-108. 342. Стельмах Л.С., Жиляева Н.Н., Столин А.М. Математическое моделирование тепловых режимов СВС-компактирования. – ИФЖ, 1992, т. 63, №5, с. 623-629. 343. Авраменко В.І., Кузьменко М.В., Сименог І.В., Ситниченко А.І. Вертикальна міграція радіонуклідів у приповерхневих похованнях радіоактивних матеріалів. – ДАН України, 1994, № 1, с. 57-60. 344. Крап И.Н., Сезоненко Б.Д., Орлик В.Н., Пахомов С.В. Анализ процесса теплопередачи в регенеративных теплообменниках с шаровой насадкой. – ДАН Украины, 1994, № 6, с. 77-80. 345. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена. – ИФЖ, 1965, т. 9, №3, с. 287-304. 346. Доломанов Е.Г. Скорость распространения тепла теплопроводностью в газах. – ИФЖ, 1971, т. 21, №6, с. 1091-1095. 347. Ленюк М.П., Шух Л.О. О В – волновом уравнении. – В кн.: Линейные краевые задачи математической физики. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Инта математики АН УССР, 1973, с. 153-164. 348. Лакуста К.В. Об одной задаче сопряжения полупространств. – ИФЖ, 1976, т.31, №1, с. 145-146. 590

349. Лакуста К.В. Напряженное состояние двухслойных упругих тел. – ИФЖ, 1980, т. 39, №4, с. 756. 350. Антошкин Н.В., Геллер М.А., Лущиков В.В., Сорока Т.В. Об уравнениях переноса тепла в дисперсной среде. – В кн.: Материалы VI Всесоюзн. конф. по тепломассообмену. /Том VI, часть 1 Теплообмен в дисперсных системах. – Минск: Изд-во ИТМО АН БССР им. А.В. Лыкова. – Минск: 1980, с. 3-8. 351. Бородуля В.А., Теплицкий Ю.С., Епанов Ю.Г. и др. Перемешивание частиц и перенос тепла в неоднородных кипящих слоях. /Препринт № 19 ИТМО АН БССР им. А.В. Лыкова. – Минск: 1981. – 42 с. 352. Новиков П.А. Некоторые свойства преобразования Лапласа и структура решений краевых задач теплопроводности с памятью. – ИФЖ, 1982, т.42, №3, с. 469-475. 353. Тимофеев Ю.А. О выборе моделей теплопроводности в неоднородных средах. – ИФЖ, 1983, т.45, №1, с. 142. 354. Шеляг Л.К. Обобщённая задача термовязкоупругости в слое, находящимся под воздействием случайного во времени механико-термического поля. – ДАН УССР, Сер. А, 1983, № 9, с. 14-18. 355. Давыденко А.В., Кудинов В.Н., Макаренко А.С. Воспламенение и горение дисперсных систем. – ДАН УССР, Сер. А, 1985, № 5, с. 69-72. 356. Никитенко М.І. Деякі проблеми теорії теплопереносу. – Вісник АН УРСР, 1986, № 6, с. 23-32. 357. Леванов Е.И., Сотский Е.Н. Некоторые свойства процесса теплопереноса в неподвижной среде с учётом релаксации теплового потока. – ИФЖ, 1986, т.50, №6, с. 1017-1024. 358. Буевич Ю.А. К теории переноса в гетерогенных средах. – ИФЖ, 1988, т.54, №5, с. 770-779. 359. Нустров В.С., Сайфуллаев Б.Н. Метод эквивалентного уравнения в теории тепломассопереноса. – ИФЖ, 1988, т.54, №5, с. 779-786. 360. Семерак Ф.В., Борисенко О.И. Обобщенная динамическая задача термоупругости для кусочно-однородного слоя при двухстороннем тепловом ударе. – ИФЖ, 1989, т.56, №4, с. 693-694. 361. Буевич Ю.А., Устинов В.А., Хужаеров Б. Нестационарный перенос в дисперсных и гетерогенных средах. – ИФЖ, 1989, т.56, №, с. 779-787. 362. Кильчинская Г.А. Уравнение теплопроводности при простом термомеханическом деформировании термоупругой среды. – Математическая физика и нелинейная механика, 1989, № 11. /Журнал АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1989, с. 53-56. 363. Краснюк И.Б., Рискиев Т.Т., Салихов Т.П. Модифицированный закон Фурье и уравнение диффузии с отклоняющимся аргументом для теплового потока. – ИФЖ, 1991, т.60, №2, с. 342-343. 364. Хапко Р.С. О трёх подходах численного решения нестационарных задач на незамкнутых поверхностях с помощью метода интегральных уравнений. – ДАН Украины, 1991, № 12, с. 19-22. 365. Никитенко Н.И. Радиационный механизм теплопроводности. – Доповіді Національної академії наук України, 1996, № 4, с. 77-82. 591

366. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса. – Киев: Наукова думка, 1969. – 260 с. 367. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 126 с. 368. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. – Пер. с болгар. – М.: Мир, 1986. – 285 с. 369. Власов А.А. Статистические функции распределения. – М.: Наука, 1966. – 289 с. 370. Трусделл С. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 529 с. 371. Гребер Г. и Эрк С. Основы учения о теплообмене. – Пер. с немецк. – М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – 327 с. 372. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1958. – 440 с. 373. Мак-Адамс В.Х. Теплопередача. – Пер. с англ. – М.: Гос. научно-техн. изд-во литературы по черной и цветной металлургии, 1961. – 686 с. 374. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с. 375. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. – М.: Наука, 1964. – 488 с. 376. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – М.: Высшая школа, 1964. – 560 с. 377. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. – М.: Наука, 1964. – 368 с. 378. Померанцев А.А. Курс лекций по теории тепломассообмена. – М.: Высшая школа, 1965. – 350 с. 379. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 444 с. 380. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 600 с. 381. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 с. 382. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М., Наука, 1968. – 576 с. 383. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. /Изд.-е 4-е, доп. – Новосибирск: Наука, С. о., 1970. – 659 с. 384. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. Часть I. Теплопроводность. – М.: Высшая школа, 1970. – 288 с. 385. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов Н.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 712 с. 386. Годунов С.К. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971. – 416 с. 387. Лыков А.В. Тепломассообмен. /Справочник. – М.: Энергия, 1972. – 560 с. 388. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Изд-е 4-е, исправл. – М.: Наука, 1972. – 736 с. 389. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – Изд-е 2-е, исправл. – М.: Наука, 1972. – 688 с. 390. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 408 с. 592

391. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. – М.: Наука, 1973. – 352 с. 392. Беккер Р. Теория теплоты. – Пер. с немецк. – М.: Энергия, 1974. – 504 с. 393. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. – Пер. с англ. – М.: Химия, 1974. – 688 с. 394. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. – М.: Наука, 1974. – 432 с. 395. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твердых тел. – Л.: Энергия, 1976. – 352 с. 396. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа, 1977. – 432 с. 397. Слеттери Дж. С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. – Пер. с англ. – М.: Энергия, 1978. – 448 с. 398. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1978. – 328 с. 399. Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. – Изд-е 2е, исправл. и доп. – М.: Наука, 1979. – 320 с. 400. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1979. – 224 с. 401. Шервуд Т., Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. – Пер. с англ. – М.: Химия, 1982. – 696 с. 402. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. – Изд-е 2-е. – М.: Наука, 1983. – 432 с. 403. Охотин А.С., Боровикова Р.П., Нечаева Т.В., Пушкарский А.С. Теплопроводность твердых тел. /Справочник под ред. А.С. Охотина. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 320 с. 404. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. /Изд-е 2-е, доп. – М.: Высшая школа, 1985. – 480 с. 405. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 592 с. 406. Беляев Н.М. Основы теплопередачи. – Киев: Вища школа, 1989. – 343 с. 407. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. Справочное пособие. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 367 с. 408. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. – Пер. с англ. – М.: Госинлитиздат, 1947. – 168 с. 409. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. – Пер. с англ. – М.: Гостехтеориздат, 1956. – 204 с. 410. Васильев А.Л., Фрайман Ю.Е. Теплофизические свойства плохих проводников тепла. – Минск: Наука и техника, 1966. – 196 с. 411. Мотовиловец И.А. Теплопроводность пластин и тел вращения. – Киев: Наукова думка, 1969. – 144 с. 412. Егерев В.К. Диффузионная кинетика в неподвижных средах. – М.: Наука, 1970. – 228 с. 413. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. – 512 с. 593

414. Васильев А.Л., Танаева С.А. Теплофизические свойства пористых материалов. – Минск: Наука и техника, 1971. – 268 с. 415. Цой П.В. Методы расчёта отдельных задач тепломассопереноса. – М.: Энергия, 1971. – 384 с. 416. Туницкий И.Н., Каминский В.А., Тимашев С.Ф. Методы физико-химической кинетики. – М.: Химия, 1972. – 198 с. 417. Шашков А.Г., Волохов Г.М., Абраменко Т.Н., Козлов В.П. Методы определения теплопроводности и температуропроводности. – М.: Энергия, 1973. – 336 с. 418. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. – Пер. с немецк. – М.: Наука, 1971. – 288 с. 419. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелко-зернистой границей. – Киев: Наукова думка, 1974. – 279 с. 420. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: Наука, 1974. – 524 с. 421. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред. – УФН, 1975, т. 117, вып. 3, с. 401-435. 422. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. – М.: Энергия, 1975. – 209 с. 423. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1965. – 412 с. 424. Колобов Н.А., Самохвалов М.М. Диффузия и окисление полупроводников. – М.: Металлургия, 1975. – 456 с. 425. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976. – 312 с. 426. Галицын А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. – Киев: Наукова думка, 1976. – 283 с. 427. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчёта тепловых и диффузионных потоков. – Л.: Химия, Л.о., 1986. – 144 с. 428. Плят Ш.Н. Тепловые расчёты многослойных конструкций гидросооружений. – М.: Энергия, 1978. – 200 с. 429. Зино И.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. – 224 с. 430. Гегузин Я.Е. Диффузионная зона. – М., Наука, 1979. – 344 с. 431. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Методы автоматизированного расчёта физикомеханических постоянных композиционных материалов. – Киев: Наукова думка, 1980. – 205 с. 432. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 208 с. 433. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твёрдых телах. – М.: Наука, 1981. – 296 с. 434. Райченко А.И. Математическая теория диффузии в приложениях. – Киев: Наукова думка, 1981. – 396 с. 594

435. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурные поля и напряжения в элементах электровакуумных приборов. – Киев: Наукова думка, 1981. – 344 с. 436. Коляно Ю.М., Кулик А.Н. Температурные напряжения от объёмных источников. – Киев: Наукова думка, 1988. – 286 с. 437. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. – Киев: Наукова думка, 1983. – 352 с. 438. Петров-Денисов В.Г., Масленников Л.А. Процессы тепло- и влагообмена в промышленной изоляции. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 192 с. 439. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. – М.: Наука, 1983. – 447 с. 440. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. – М.: Наука, 1984. – 368 с. 441. Цой П.В. Методы расчёта задач тепло-массопереноса. /Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 416 с. 442. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. – Пер. с англ. М.: Мир, 1984. – 472 с. 443. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. – М.: Наука, 1984. – 352 с. 444. Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. – Минск: Наука и техника, 1986. – 392 с. 445. Коляно Ю.М. Температурные поля и напряжения в телах с разрывными параметрами (обзор). – ИФЖ, 1987, т. 53, № 5, с. 860-867. 446. Новиков В.С. Задачи и методы теории переноса (обзор). – Промышленная теплотехника, 1989, т. 11, № 4, с. 11-23. 447. Новиков В.С. Аналитические методы теории переноса (обзор). – Промышленная теплотехника, 1989, т. 11, № 5, с. 40-54. 448. Белоносов С.М., Овсиенко В.Г., Карачун В.Я. Применение интегральных представлений к решениям задач теплопроводности и динамики вязкой жидкости. - Киев: Вища школа, 1989. – 163 с. 449. Поляков А.Ф. Об экспериментальных данных и прикладных моделях турбулентного переноса теплоты в пристенных течениях. - ИФЖ, 1993, т. 64, № 6, с. 689-697. 450. Тепло- и массоперенос. Том 6. /Сб-к научн. трудов. – Минск: Наука и техника, 1966. – 558 с. 451. Шимко Н.Г. Контактная задача для системы уравнений тепло- и массопереноса. – В кн.: [450], с. 39-44. 452. Гамаюнов Н.И. Решения системы уравнений переноса с помощью матриц. – В кн.: [450], с. 44-57. 453. Цой П.В. О выводе и решении системы дифференциальных уравнений молекулярного переноса при наличии n взаимосвязанных потоков. – В кн.: [450], с. 58-62. 454. Розеншток Ю.Л., Чудновский А.Ф. Применение интегрального однопараметрического метода к решению задач теплопроводности для среды с 595

переменными теплофизическими характеристиками. – В кн.: [450], с. 159-164. 455. Розеншток Ю.Л. О температурном поле тел в условиях изменения температуры внешней среды и коэффициента теплоотдачи со временем. – В кн.: [450], с. 165-171. 456. Проблемы теплообмена. – Пер. с англ. /Сб-к статей. – М.: Атомиздат, 1967. – 335 с. 457. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена. – В кн.: [456], с. 41-96. 458. Марков В.Г., Олейник О.А. О распространении тепла в одномерных дисперсных средах. – ПММ, 1975, т. 39, вып. 6, с. 1073-1081. 459. Ленюк М.П. Одномерное волновое температурное поле. – В кн.: Краевые задачи теории теплопроводности. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1975, с. 131-144. 460. Проблема тепло- и массопереноса. /Сб-к научн. трудов ИТМО АН БССР им. А.В. Лыкова. – Минск: Наука и техника, 1976. – 312 с. 461. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса. – В кн.: [460], с. 9-82. 462. Лыков А.В. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. – В кн.: [460], с. 83-98. 463. Колпащиков В.Л., Шнип А.И. К термодинамической теории линейного проводника тепла с памятью. – В кн.: [460], с. 102-123. 464. Бубнов В.А. Замечания к волновым уравнениям теории теплопроводности. – В кн.: [460], с. 168-175. 465. Олейник О.А. О распространении тепла в многомерных дисперсных средах. – В кн.: Задачи механики и математической физики. /Сб-к статей. – М.: Наука, 1976, с. 224-236. 466. Березовская Л.М. Нестационарные тепловые поля слоистых цилиндрических стенок. – В кн.: Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. /Сб-к научных трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1977, с. 5-16. 467. Березовский А.А., Бондарчук В.Т. Взаимная диффузия системы двух металлических пластин. – Там же (см. [466]), с. 17-20. 468. Калюсский А.Е., Пясецкий Б.П. Решение нестационарной краевой задачи нагрева полупространства распределенным источником на полосе. – Там же (см. [466]), с. 21-28. 469. Тепломассообмен в капиллярнопористых телах. /Материалы к VI-й Всесоюзн. конф. по тепломассообмену, т. VII. – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1980. – 200 с. 470. Теплопроводность и общие вопросы теории тепломассообмена. / Материалы к VI-й Всесоюзн. конф. по тепломассообмену, т. IХ. – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1980. – 200 с. 471. Видин Ю.В. Исследование начальной скорости теплообмена в системах с переменными свойствами. – В кн.: [470], с. 27-29. 596

472. Жбанов А.И., Кошелев В.С., Шевцов В.Н. Решение линейных двух- и трёхмерных нестационарных задач теплопроводности методом конечных элементов. – В кн.: [470], с. 70-72. 473. Слесаренко А.П. Новые аналитические методы решения многомерных задач теплопроводности для однородных и композитных сред. – В кн.: [470], с.73-76. 474. Гидродинамика и теплообмен в неоднородных средах./Сб-к научн. трудов. – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1983. – 186 с. 475. Новиков И.А. Одномерные задачи теплопроводности в средах с памятью. – В кн.: [474], с. 50-58. 476. Песляк В.И. Температурное поле многослойной пластины с неплотным контактом слоёв. – В кн.: [474], с. 163-170. 477. Тепломассообмен – VII. Том VII. Теплопроводность. /Материалы VII-й Всесоюзн. конф. по тепломассообмену. – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1984. – 182 с. 478. Коздоба Л.А. Принцип эквивалентности в теории теплопроводности. – В кн.: [477], с. 34-39. 479. Кузнецов Ю.Н., Пухляков В.П., Штерншик А.З., Кузнецова Н.П. Математическое моделирование нестационарных трёхмерных температурных полей в телах произвольной сложной формы. – В кн.: [477], с. 135-138. 480. Энергоперенос в нелинейных, неоднородных и неравновесных средах. /Сб-к научн. трудов под общ. ред. П.М. Колесникова. – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1984. – 178 с. 481. Рядно А.А. Применение методов конечных элементов и разностей для решения сопряженных задач конвективного теплообмена в трубах сложного сечения. – В кн.: [480], с. 14-19. 482. Безумный В.Ю., Беляев Н.Н., Болдырев А.Н. Сопряженная задача теплообмена в начальном участке плоского накала. – В кн.: [480], с. 20-25. 483. Тепломассообмен – VII /Материалы Всесоюзн. конф. по тепломассообмену. – Т. 1 Конвективный тепломассообмен, часть 1-я Тепломассообмен в каналах. – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1984. – 183 с. 484. Первая Всеросийская национальная конференция по теплообмену, том Х. /Труды конференции. Часть I Теплопроводность, теплоизоляция. – М.: Издво МЭИ, 1994. – 169 с. 485. Карташов Э.М. Современные аналитические методы при решении краевых задач уравнения теплопроводности в области с движущимися границами и с разнородными граничными условиями на линиях. – В кн.: [484], с. 3-7. 486. Гладышев Ю.А. Краевые задачи теплопроводности в многослойной среде. – В кн.: [484], с. 59-62. 487. Тепломассообмен. ММФ-96. /Труды Минского Международного форума (20-24 мая 1996 г.) "Вычислительный эксперимент в задачах теплообмена и теплопередачи". – Минск: Изд-во ИТМО им. А.В. Лыкова АН Беларуси, 1996. – 236 с. 488. Тимошенко М.В. Математическое моделирование теплообмена в многослойных конструкциях с обобщенным неидеальным контактам. – В кн.: [487], с. 33-36. 597

489. Хохулин В.С. Комплекс математических моделей для исследования теплового режима космических конструкций. – В кн.: [487], с. 47-53. 490. Дульнев Г.Н., Емец А.Г. Процессы тепломассообмена при нанесении информации на лазерные диски однократной записи. – В кн.: [487], с. 103-107. 491. Вейник А.И. Приближенный расчёт процессов теплопроводности. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1959. – 236 с. 492. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. - Пер. с англ. – М.: Инлитиздат, 1960. – 263 с. 493. Канторович Л.Б., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Физматгаз, 1962. – 708 с. 494. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. - Пер. с англ. – М.: Инлитиздат, 1963. – 488 с. 495. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 384 с. 496. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967. – 368 с. 497. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. – Новосибирск: Наука, С.о., 1967. – 197 с. 498. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 456 с. 499. Арфкен Г. Математические методы в физике. – М. Атомиздат, 1970. – 712 с. 500. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. – М.: Наука, 1971. – 552 с. 501. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. – М.: Атомиздат, 1971. – 496 с. 502. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. – Пер. с англ. – М.: Атомиздат, 1972. – 400 с. 503. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 392 с. 504. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. – Киев: Наукова думка, 1976. – 288 с. 505. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1976. – 464 с. 506. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с. 507. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. – Киев: Наукова думка, 1978. – 140 с. 508. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчёта одномерных систем. – Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. – 208 с. 509. Джеймсон Э., Мюллер Т., Боллхауз У. и др. Численные методы в динамике жидкостей. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 408 с. 510. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике. – Пер. с англ. – М.: Наука, 1983. – 236 с. 598

511. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. – М.: Наука, 1984. – 288 с. 512. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. – Пер. с англ. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152 с. 513. Цвик В. К численному решению задач переноса импульса, тепла и массы. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 5, с. 860-874. 514. Даугавет И.К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. – 224 с. 515. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 318 с. 516. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – Пер. с англ. – М.: Наука, 1986. – 288 с. 517. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. – В кн.: Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988, с. 16-78. 518. Цой П.В. К теории разработок гибридных аналитико-численных методов расчета процессов тепло- и массопереноса. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 3, с. 395-403. 519. Андерсон Д., ТаннехиллДж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. /В 2-х т.т. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1990, т. 1 – 384 с, т. 2 – 392 с. 520. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 660 с. 521. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. – М.: Наука, 1991. – 352 с. 522. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. – Киев: Наукова думка, 1992. – 224 с. 523. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. – М.: Наука, 1975. – 230 с. 524. Коздоба Л.А. Решения нелинейных задач теплопроводности. – Киев: Наукова думка, 1976. – 136 с. 525. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1968. – 184 с. 526. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. /Часть I. – Киев: Изд-во Институты математики АН УССР, 1974. – 452 с. 527. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. /Часть II. – Киев: Изд-во Институты математики АН УССР, 1974. – 392 с. 528. Березовский А.А., Леженин Ф.Ф., Рыбалко В.М. Одномерные задачи теплопроводности. – В кн.: Нелинейные краевые задачи математической физики. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1973, с. 31-40. 529. Ковалёв Л.К., Полтавец В.Н. Исследование двумерных температурных полей в электродных блоках с керамическим модулем. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 1, с.116-123. 530. Цулая Т.С. Численное решение нелинейных краевых задач тепло- и электропереноса в многослойных системах. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 3, с. 544-545. 599

531. Бубнов В.А. Замечания к волновым решениям нелинейного уравнения теплопроводности. – В кн.: [470], с. 24-26. 532. Кривошей Ф.А., Клецкий С.В. Тепловые режимы многослойных корпусов теплообменных аппаратов. – Промышленная теплотехника, 1980, № 2, с. 72-77. 533. Михайлов В.В. Оптимизация многослойной изоляции. – ИФЖ, 1980, т. 39, №2, с. 286-291. 534. Клецкий С.В. Численное решение задач нестационарной теплопередачи через многослойную стенку с неидеальными тепловыми контактами между слоями. – В кн.: Теплообмен в одно- и двухфазных средах. /Сб-к научн. трудов ИТТФ АН УССР. – Киев: Наукова думка, 1981, с. 61-72. 535. Лингарт Ю.К., Штинельман Я.И. Исследования температурных полей в установках для выращивания монокристаллов лейкосапфира с помощью математического моделирования. – ИФЖ, 1982, т. 43, № 2, с. 306-314. 536. Фущич В.И., Тычинин В.А. О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью нелокальных преобразований. /Препринт Ин-та математики АН УССР № 32-33. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1982. – 54 с. 537. Ковальков В.П. О продолжительности промерзания тел при переменной температуре среды. - ИФЖ, 1984, т. 46, № 1, с. 93-100. 538. Данилюк И.И. Математическое моделирование фазовых превращений в двухкомпонентных средах. – ДАН УССР, Сер. А, 1984, № 12, с. 10-13. 539. Бартман А.Б. Точные и асимптотические решения в нелинейных задачах теплопроводности и теории переноса. – В кн.: [477], с. 3-10. 540. Колпащиков В.Л., Новиков И.А., Шнип А.И. Процессы теплопроводности в нелинейных изотропных средах с печатью. – В кн.: [477], с. 40-44. 541. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. – М.: Наука, 1967. – 492 с. 542. Грищенко А.Е., Ляшко О.В. Алгоритм решения нелинейных краевых задач. – ДАН УССР, Сер. А, 1987, № 9, с. 16-18. 543. Штелень В.М. О групповом способе линеаризации уравнения Бюргерса. – В кн.: Математическая физика и нелинейная механика. /Сб-к научн. трудов Ин-та математики АН УССР, вып. 11. – Киев: Наукова думка, 1989, с. 89-91. 544. Шляхов С.М., Серебряков А.В. Температурные напряжения в нелинейно деформируемом двухслойном цилиндре. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 4, с. 695. 545. Серебряков А.В. Нелинейная задача теплопроводности для составной кольцевой пластинки со смешанными условиями на границе. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 5, с. 855. 546. Коляно Ю.М., Пришляк В.Я. Нелинейная нестационарная задача теплопроводности для кусочно-однородного тела. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 2, с. 319-320. 547. Тепло- и массоперенос. //Том 2 – Тепло- и массоперенос при физикохимических превращениях (Сб-к научн. трудов). – Минск: Наука и техника, 1968. – 398 с. 548. Аверсон А.Э., Барзыкин В.В., Мержанов А.Г. Применение математического аппарата нестационарной теплопроводности в теории зажигания. – В кн.: [547], с. 53-60. 600

549. Матрос Ю.Ш. Нестационарные процессы в каталитических реакторах. – Новосибирск: Наука, С.о., 1982. – 258 с. 550. Таганов И.Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Нелинейные системы. – Л.: Химия, Л.о., 1979. – 208 с. 551. Калюсский А.Е. Нелинейные задачи тепло- и массопереноса с учётом химических реакций. /Препринт 83-52 "Нелинейные краевые задачи теплопроводности и упругости" Ин-та математики АН УССР, с. 11-15. – Киев: Изд-во Инта математики АН УССР, 1983. – 24 с. 552. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Шкляров И.Н. и др. Об эффектах высокотемпературного нагрева биметаллических стальных заготовок. – ИФЖ, 1990, т.58, № 3, с. 392-401. 553. Егорченко И.А., Воробьёва А.И. Условная инвариантность и точные решения одного нелинейного уравнения теплопроводности. – ДАН Украины, 1992, № 3, с. 20-22. 554. Житомирский И.С., Кислов А.М., Романенко В.Г. Нестационарная задача теплопереноса в слоисто-вакуумной изоляции. – ИФЖ, 1977, т. 32, № 5, с.806813. 555. Березовская Л.М., Борзаковский В.М., Леженин Ф.Ф. Расчёт нестационарного несимметричного температурного поля плоскослоистого нагревателя при нелинейных граничных условиях. – В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 28-31. 556. Бардыбахин А.И. Моделирование нагрева окисляющегося металла. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 4, с. 688-689. 557. Буров И.С., Голубев В.В., Демидович А.Б. и др. Закономерности нагрева цилиндрического тела высокотемпературной гетерогенной струей. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 6, с. 970-974. 558. Стельмах Л.С., Зиненко Ж.А. и др. Численное исследование тепловой неустойчивости при нагреве керамических материалов. - ИФЖ, 1991, т. 61, № 3, с. 452-457. 559. Василевский К.К., Федоров О.Г. Исследование внутреннего теплообмена между газом и каркасом в разрушающемся материале. – В кн.: [547], с. 67-74. 560. Портнов И.Г. Задача о деструкции и оплавлении с учётом скачкообразного изменения плотности. – В кн.: [547], с. 75-84. 561. Метенин В.И., Шафеев М.И. Исследование процесса замораживания грунта при бурении скважин. – В кн.: [547], с. 85-88. 562. Базалий Б.В., Шалепов В.Ю. Об асимптотическом поведении решения одной задачи Стефана. – ДАН УССР, Сер. А, 1978, № 12, с. 1059-1061. 563. Эзишик М.Н., Юзелл Дж. К. мл. Точное решение задачи об осесимметричном процессе затвердевания вещества с расширенным диапазоном температур затвердевания. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1979, т. 2. 564. Гориславец В.М., Митрохин В.А. Использование классической задачи Стефана для организации начальных данных при численном исследовании задач мерзлотного прогноза. - ИФЖ, 1982, т. 43, № 5, с. 847-851. 601

565. Бартман А.Б. Уравнения Гринберга-Чекмарёвой для задачи плавления плоской тепловой мишени. – В кн.: [474], с. 171-173. 566. Бондарев Э.А., Васильев В.И. Задача Стефана с неизвестной температурой фазового перехода. В кн.: [477], с. 155-159. 567. Чола Т.К., Педерсен Д.Р., Лиф Г., Минкевич В. Дж., Шуман А.Р. Метод адаптивной коллокации для задач одновременной диффузии тепла и массы при фазовых превращениях. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1984, т. 106, № 3, с. 7-13. 568. Данилюк И.И., Олейник В.И. Двухслойная нестационарная задача Стефана при наличии теплового удара. – ДАН УССР, Сер. А, 1986, № 5, с. 3-7. 569. Салей С.В. Об асимптотическом поведении свободной границы при t → ∞ в одной задаче Стефана на полуоси при наличии теплоисточников. – В кн.: Математическая физика и нелинейная механика. /Сб-к научн. трудов Ин-та математики АН УССР вып. 11. – Киев: Наукова думка, 1989, с. 83-89. 570. Мухетдинов Н.А. Численно-аналитический алгоритм решения задачи Стефана. – ИФЖ, 1991, т. 60, № 1, с. 145-148. 571. Гухман А.А., Зайцев А.А., Камовников Б.П. Обобщенная задача Стефана. – ИФЖ, 1992, т. 62, № 2, с. 317-324. 572. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. – Рига: Звайгзне, 1967. – 457 с. 573. Колесников П.М. Методы теории переноса в нелинейных средах. – Минск: Наука и техника, 1981. – 336 с. 574. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 328 с. 575. Михайлов Ю.А., Глазунов Ю.Т. Вариационные методы в теории нелинейного тепло- и массопереноса. – Рига: Зинатне, 1985. – 190 с. 576. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. – М.: Наука, 1975. – 344 с. 577. Лайтфут Э. Явления переноса в живых системах. – М.: Мир, 1977. – 520 с. 578. Резников А.Н., Резников Л.А. Тепловые процессы в технологических системах. – М.: Машиностроение, 1990. – 288 с. 579. Перелетов И.И., Бровкин Л.А., Розенгарт Ю.И. и др. Высокотемпературные теплотехнологические процессы и установки. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 336 с. 580. Алексашенко А.А., Кошмаров Ю.А., Молчадский И.С. Тепломассоперенос при пожаре. – М.: Стройиздат, 1982. – 175 с. 581. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. – М.: Наука, 1976. – 352 с. 582. Григорян С.С., Красс М.С., Гусева Е.В., Геворкян С.Г. Количественная теория геокриологического прогноза. – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 266 с. 583. Чистяков В.К., Саламатин А.Н., Фомин С.А., Чугунов В.А. Тепломассоперенос при контактном плавлении (применительно к условиям теплового бурения). – Казань: Изд-во КГУ, 1984. – 176 с. 584. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. – Пер. с англ. – М.: Недра, 1982. – 407 с. 585. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Механика физических процессов. – М.: Изд-во МГУ, 1976. – 370 с. 602

586. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. – 211 с. 587. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука, 1987. – 480 с. 588. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. – М.: Наука, 1987. – 352 с. 589. Тихонов А.Н., Арсеник В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 288 с. 590. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. – Киев: Наукова думка, 1982. – 360 с. 591. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 112 с. 592. Грешилов А.А. Некорректные задачи цифровой обработки информации и сигналов. – М.: Радио и связь, 1984. – 160 с. 593. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 208 с. 594. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1970. – 336 с. 595. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. – Пер. с франц. – М.: Мир, 1972. – 414 с. 596. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. – М.: Наука, 1975. – 480 с. 597. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1975. – 568 с. 598. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука, 1978. – 464 с. 599. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. – Новосибирск: Наука, С.о., 1982. – 88 с. 600. Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения/Сб-к научн. трудов. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – 280 с. 601. Некорректные задачи естествознания. /Колл. монография под ред. А.Н. Тихонова и А.В. Гончарского. – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 299 с. 602. Мацевитый Ю.М., Прокофьев В.Е., Широков В.С. Решение обратных задач теплопроводности на электрических моделях. – Киев: Наукова думка, 1980. – 132 с. 603. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1979. – 216 с. 604. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. – Киев: Наукова думка, 1979. – 395 с. 605. Григолюк Э.И., Подстригач Я.С., Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. – Киев: Наукова думка, 1979. – 364 с. 606. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / Справочное пособие. – М.: Наука, 1979. – 224 с. 607. Кузьмин М.П., Чистяков О.Л. Решение обратной задачи теплопроводности для двухслойной пластины. – ИФЖ, 1976, т. 30, № 4, с. 739-740. 603

608. Чернов Ю.В. Аналитическое решение задачи о точности регистрации плос-ким зондом температурного профиля прогретого слоя конденсированного вещества. /Рук. депониров. ВИНИТИ, № 2900-76 Деп. - Минск: ИФЖ, 1976, – 13 с. 609. Дульнев Г.Н., Кузьмин В.А., Пилипенко Н.В., Тихонов С.В. Особенности измерения нестационарных тепловых потоков тепломерами, реализующими метод вспомогательной стенки. - ИФЖ, 1977, т. 32, № 5, с. 772-778. 610. Дульнев Г.Н., Завгородний В.И., Кузьмин В.А., Пилипенко Н.В. Измерение нестационарных тепловых потоков датчиками "вспомогательная стенка" ИФЖ, 1979, т. 37, № 1, с. 99-103. 611. Цой П.В., Нуриддинов Ш.Н., Негматов Т.Н. Об одном аналитическом методе решения обратных задач теплообмена в трубах при граничных условиях второго рода. – В кн.: Материалы VI Всесоюзн. конф. по тепломассообмену. Т. 1 – Конвективный тепломассообмен, часть 1 – Теплообмен в каналах. – Минск: Изд-во ИТМО АН БССР им. А.В. Лыкова, 1980, с. 190-196. 612. Спирин Г.Г. Методические особенности кратковременных измерений в стадии иррегулярного теплового режима. – ИФЖ, 1980, т. 38, № 3, с. 403-409. 613. Дульнев Г.Н., Пилипенко Н.В., Кузьмин В.А. Об инерционности измерений с помощью тепломеров "вспомогательная стенка". – ИФЖ, 1980, т. 39, № 2, с.298-305. 614. Шмукин А.А., Павлюк С.В., Лазученков Н.М. Восстановление граничных условий по замерам температуры во внутренних точках системы двухслойных плоских тел. – ИФЖ, 1980, т. 39, № 5, с. 920-927. 615. Власов В.В., Серегина В.Г., Шаталов Ю.С. Теоретические и практические вопросы определения параметров тепломассообмена в капиллярнопористых телах, моделируемого системой нелинейных уравнений Лыкова. – В кн.: [469], с. 101-105. 616. Алексашенко А.А. Новые аналитические методы определения нелинейных тепловлажностных характеристик. – В кн.: [469], с. 110-113. 617. Цой П.В., Киановский О.Б., Камаров У.Х. и др. К аналитической теории прямых и обратных задач теплопроводности. – В кн.: [470], с. 9-15. 618. Соловьёв М.А., Смирнов М.С. О естественной регуляризации обратной задачи Стефана. – В кн.: [470], с. 100-102. 619. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Решение граничных и коэффициентных обратных задач теплопроводности итерационными методами. – В кн.: [470], с. 106-112. 620. Мацевитый Ю.М., Лушпенко С.Д., Москальцов А.В. и др. Идентификация внешних и внутренних параметров теплопереноса путём решения обратной задачи теплопроводности. – В кн.: [470], с. 119-124. 621. Алексашенко А.А. Метод решения некоторых нелинейных обратных задач теории тепло- и массопереноса. – В кн.: [470], с. 125-127. 622. Шаталов Ю.С., Пучков Н.П., Провоторов В.В., Трофимов А.В. О восстановлении переменных параметров переноса. – В кн.: [470], с. 142-145.

604

623. Шмукин А.А., Павлюк С.В. Интерпретация решения обратной симметричной задачи теплопроводности как задачи оптимального управления. – В кн. [470], с. 146-149. 624. Серых Г.М., Колесников В.П., Сысоев В.Г. Прибор для комплексного определения теплофизических характеристик материалов. – Промышленная теплотехника, 1981, № 1, с. 85-91. 625. Коннов В.В., Геращенко О.А., Варганов И.С., Гриценко Т.Г. Исследование контактного метода тепловой дефектоскопии. – Промышленная теплотехника, 1981, № 2, с. 103-107. 626. Власов В.В., Шаталов Ю.С., Чуриков А.А., Зотов Е.Н. Неразрушающий контроль зависящих от температуры коэффициентов тепло- и температуропроводности. – Промышленная теплотехника, 1981, № 3, с. 43-52. 627. Казанский В.М., Клапченко В.И. Метод измерения коэффициента диффузии влаги в дисперсных телах по кинетике капиллярной пропитки. – Промышленная теплотехника, 1981, № 5, с. 92-96. 628. Кельтнер Н.П., Бек Дж. В. Погрешности измерения температур поверхностей. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1983, т. 105, № 2, с. 98-105. 629. Артюхин Е.А., Охапкин А.С. Определение температурной зависимости коэффициента теплопроводности композиционного материала по данным нестационарного эксперимента. – ИФЖ, 1983, т. 44, № 2, с. 274-280. 630. Артюхин Е.А., Охапкин А.С. Параметрический анализ точности решения нелинейной обратной задачи по восстановлению коэффициента теплопроводности композиционного материала. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 5, с.781-788. 631. Шмукин А.А., Лазученков Н.М., Веселовский В.Б. О решении обратных задач теплопроводности с подвижной границей в постановке Коши. – ИФЖ, 1983, т. 45, № 6, с. 1031. 632. Страдомский М.В., Максимов Е.А., Федорова О.В. Определение плотности нестационарного теплового потока. – Промышленная теплотехника, 1984, т. 6, № 1, с. 79-83. 633. Гурьянов Л.В., Черняк В.П. Тепловая компенсация погрешности искажения в термометрии поверхности горных пород. – Промышленная теплотехника, 1984, т. 6, № 3, с. 85-89. 634. Азима Ю.И., Беляев Ю.И., Кулаков М.В. О применении консервативного разностного уравнения для определения нестационарных тепловых потоков. ИФЖ, 1984, т. 46, № 4, с. 670-676. 635. Артюхин Е.А., Ненарокомов А.В. Восстановление термического контактного сопротивления из решения обратной задачи теплопроводности. - ИФЖ, 1984, т. 46, № 4, с. 677-682. 636. Барабаш Р.И., Белоус М.В., Литвинова Т.В., Сидоренко С.И. Рентгенографическое исследование многослойных структур с помощью моделирования концентрационного профиля. – ДАН УССР, Сер. А, 1984, №9, с. 54-57. 637. Черский И.Н., Богатин О.Б., Старостин Н.П. Идентификация тепловой нагрузки подшипника скольжения в нестационарный период трения. - ИФЖ, 1984, т. 47, № 6, с. 1000-1006. 605

638. Никитенко Н.И. Обратные сопряженные задачи теплопереноса. – В кн.: [477], с. 106-109. 639. Цой П.В., Киановский О.Б., Махмаеров Б.М. и др. К приближенной аналитической теории прямых и обратных задач теплопроводности и термоупругих напряжений. – В кн.: [477], с. 110-115. 640. Алифанов О.М., Трянин А.П. Определение коэффициента внутреннего теплообмена и эффективной теплопроводности пористого тела по данным нестационарного эксперимента. – ИФЖ, 1985, т. 48, № 3, с. 472-483. 641. Сидоренко С.И. Применение решений уравнения Фика при экспериментальных исследованиях диффузии в слоях конечных размеров. – ДАН УССР, Сер. А, 1985, № 6, с. 56-57. 642. Белов Е.А. Измерение коэффициентов теплопроводности и температуропроводности массива при наличии стационарного теплового потока к поверхности. – Промышленная теплотехника, 1985, т. 7, № 6, с. 76-79. 643. Гурьянов Л.В., Черняк В.П. Методы снижения погрешностей при измерении температуры горных пород. – Промышленная теплотехника, 1986, т. 8, № 2, с. 83-98. 644. Дульнев Г.Н., Волков Д.П., Уткин А.Б. Эффективная теплопроводность увлажнённых пористых тел. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 2, с. 281-287. 645. Круковский П.Г. Численное определение эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. - ИФЖ, 1987, т. 52, № 2, с. 340-341. 646. Смирнов Г.П., Фатыхов М.А. К одной задаче определения граничной функции. – ИФЖ, 1987, т. 52, № 3, с. 514-515. 647. Варганов И.С., Геращенко О.А. Тепловой метод неразрушающего контроля с помощью датчика теплового потока. – Промышленная теплотехника, 1987, т. 9, № 4, с. 77-80. 648. Грищик И.И., Ковалик В.В., Приходько А.А., Ходырева Э.Я. Аппаратура для постоянного контроля температуры рудничной атмосферы и горного массива. – Промышленная теплотехника, 1987, т. 9, ; 4, с. 91-94. 649. Гамаюнов Н.И., Испирян Р.А., Калабин А.Л., Шейнман А.А. Метод комплексного определения теплофизических характеристик и алгоритм обработки экспериментальных данных на ЭВМ. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 2, с.265-270. 650. Ярышев Н.А., Заровная Н.Н., Смирнова Т.В. Влияние теплопроводности и размеров тепломера на точность измерения теплового потока. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 5, с. 847-853. 651. Басниев К.С., Бедриковецкий П.Г., Дединец Е.Г. Определение эффективной проницаемости трещиновато-пористой среды. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 6, с. 940-948. 652. Иваник Е.Г., Кричевец Ю.М., Татчик И.Р. Расчёт нестационарного температурного поля полуограниченного тела с инородным включением применительно к тепловому контролю. - ИФЖ, 1989, т. 56, № 4, с. 688-689. 653. Мищенко С.В., Беляев П.С. Комплексное определение потенциалозависимых характеристик тепло- и массопереноса дисперсных материалов. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 5, с. 773-779. 606

654. Мищенко С.В., Чуриков А.А. Выбор метода неразрушающего контроля теплофизических характеристик образцов с учётом множества состояний функционирования измерительных устройств. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 1, с. 61-69. 655. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численное решение стационарной коэффициентной ОЗТ для слоистых сред. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 3, с. 509-513. 656. Болшайтис Р.А., Бальцевич Я.А. Экспериментальное исследование контактного термического сопротивления в зоне керамика-керамика. – Известия СО АН СССР, сер. техн. наук, 1990, вып. 1, с. 91-93. 657. Николаев С.А., Чугунов В.А., Липаев А.А. Определение теплофизических свойств капиллярно-пористых сред в условиях массопереноса методом тепловых волн. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 2, с. 317-318. 658. Гурьянов Л.В. Особенности методики измерения температурного режима выбросоопасных угольных пластов. – Промышленная теплотехника, 1990, т. 12, № 6, с. 84-87. 659. Откидач В.В. Об одной краевой задаче определения потока по заданному изменению температуры. – В кн.: Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах./Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1991,с.102-103. 660. Бушуев А.Ю., Горский В.В. Об использовании функций чувствительности в задаче проектирования многослойной теплозащитной конструкции. – ИФЖ, 1991, т. 61, № 6, с. 1014-1018. 661. Гаврильев Р.И. Метод плоского зонда для определения теплофизических свойств массивных материалов. – ИФЖ, 1993, т. 64, № 2, с. 221-227. 662. Алексеев А.К. О возможности определения нестационарного теплового потока по конечному состоянию термоиндикаторов, размещённых по глубине образца. – ИФЖ, 1993, т. 65, № 2, с. 243-248. 663. Борзаковский В.М. Методика оптимизации многослойной теплоизоляции. – Промышленная теплотехника, 1996, т.18, № 2, с. 40-47. 664. Зедгенидзе Г.П., Гогсадзе Р.Ш. Математические методы в измерительной технике. – М.: Изд-во Стандартов, 1970. – 615 с. 665. Аметистов Е.В., Григорьев В.А., Емцев Б.Т. и др. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. /Справочник под общ. ред. Григорьева В.А. и Зорина В.М. – М.: Энергоиздат, 1982. – 512 с. 666. Иванова Г.М., Кузнецов Н.Д., Чистяков В.С. Теплотехнические измерения и приборы. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 232 с. 667. Федоров В.Г. Основы тепломассометрии. – Киев: Вища школа, 1987. – 184 с. 668. Геращенко О.А., Гордов А.Н., Еришина А.К. и др. Температурные измере-ния. Справочник. – Киев: Наукова думка, 1989. – 704 с. 669. Ярышев Н.А. Теоретические основы измерения нестационарной температуры. – Л.: Энергоатомиздат, Л.о., 1990. – 256 с. 670. Эртель Х. Измерения в гиперзвуковых ударных трубах. – В кн.: Физика быстропротекающих процессов /Сб-к научн. трудов в 3-х томах, том 3. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1971, с. 103-208. 671. Гендлер С.Г., Близнец Л.А., Багров П.Г. Прогноз и выбор параметров регулирования теплового режима железнодорожных тоннелей, расположенных в 607

суровых климатических условиях. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 11. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 120-125. 672. Швецов П.Ф., Зильберборд А.Ф. Под землю, чтобы сберечеь землю. – М.: Наука, 1983. – 144 с. 673. Коротаев Ю.П., Ширковский А.И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. – М.: Недра, 1984. – 487 с. 674. Галицын А.С. О тепловом режиме подземной лакуны, содержащей хорошо перемешиваемую жидкость. – ИФЖ, 1984, т. 46, № 3, с. 519-520. 675. Гендлер С.Г. Тепловой режим подземных сооружений. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1987. – 102 с. 676. Фурманов А.В., Терешков А.Я. Нестационарно-периодические теплогидравлические режимы газопроводов. – ИФЖ, 1988, т. 54, № 1, с. 150-151. 677. Петренко Е.В. Освоение подземного пространства. – М.: Недра, 1988. – 150с. 678. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизические аспекты освоения ресурсов недр. /Колл. монография. – Л.: Недра, Л.о., 1988. – 336 с. 679. Черняк В.П. Тепловые расчёты подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1993. – 200 с. 680. Коваленко Г.В., Костанчук Д.М. Прогнозирование теплового состояния объекта "Укрытие". – ДАН Украины (математика, естествознание, технические науки), 1994, № 10, с. 170-175. 681. Черняк В.П., Полубинский А.С. Достижения и новые задачи горной теплофизики. – Промышленная теплотехника, 1997, т. 19, № 2-3, с. 9-19. 682. Щербань А.Н., Черняк В.П. Прогноз и регулирование теплового режима при бурении глубоких скважин. – М.: Недра, 1974. – 248 с. 683. Черняк В.П. Прогноз теплового режима скважин при сверхглубоком бурении. – В кн.: Проблемы горной теплофизики. /Материалы Всесоюзн. научнотехн. конф. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, с. 192-195. 684. Щербань А.Н., Бабинец А.Е., Цырульников А.С., Дядькин Ю.Д. Тепло Земли и его извлечение. – Киев: Наукова думка, 1974. – 263 с. 685. Давыдов В.В., Белоусов Ю.И. Химический способ укрепления горных пород. – М.: Недра, 1977. – 228 с. 686. Аренс В.Ж., Хчеян Г.Х. Современное состояние и перспективы развития термических методов безшахтной добычи полезных ископаемых. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 12. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 106-113. 687. Дядькин Ю.Д., Гендлер С.Г. Процессы тепломассопереноса при извлечении геотермальной энергии. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1985. – 93 с. 688. Щербань А.Н., Грядущий Б.А., Черняк В.П. и др. Кондиционирование рудничного воздуха в глубоких шахтах с применением скважин. – Промышленная теплотехника, 1985, т. 7, № 6, с. 86-90. 689. Щербань А.Н., Цырульников А.С., Мерзляков Э.И., Рыженко И.А. Системы извлечения тепла земной коры и методы их расчёта. – Киев: Наукова думка, 1986. – 240 с. 608

690. Желтов Ю.В., Малофеев Г.Е., Хавкин А.Я. Оценка степени нагрева подошвы угольного пласта при подземной газификации. – ФТПРПИ, 1986, № 2, с. 96-98. 691. Голубев В.С., Кричевец Г.Н. Динамика геотехнологических процессов. – М.: Недра, 1989. – 120 с. 692. Кусов Н.Ф., Казак В.И., Капрялов В.К. Выбор рационального расстояния между каналами при подземной газификации углей. – ФТПРПИ, 1989, № 2, с. 91-94. 693. Павлов И.А., Гендлер С.Г., Смирнова Н.Н. Теплообмен в технологических процессах при разработке местрождений полезных ископаемых. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1989. – 94 с. 694. Стефаник Ю.В. Геотехнология некондиционных твёрдых топлив. – Киев: Наукова думка, 1990. – 268 с. 695. Черняк В.П., Зимин Л.Б. Принципы разработки термочувствительных средств тепловой защиты многолетнемерзлого массива. – Промышленная теплотехника, 1990, т. 12, № 5, с. 17-21. 696. Васильев Л.Л. Использование энергии Земли с помощью тепловых труб. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 3, с. 488-492. 697. Кудряшов Б.Б., Чистяков В.К., Литвиненко В.С. Бурение скважин в условиях изменения агрегатного состояния горных пород. –Л.: Недра, Л.о., 1991.– 295с 698. Кедровский О.Л. К вопросу обоснования возможности надежного безопасного захоронения отработавшего ядерного топлива реакторов РБМК в скважинах большой глубины. – Доповіді НАН України, 1998, № 3, с. 182-187. 699. Гиматудинов Ш.К., Ширковский А.И. Физика нефтяного и газового пласта. – М.: Недра, 1982. – 311 с. 700. Коротаев Ю.П., Тагиев В.Г., Гергедава Ш.К. Системное моделирование оптимальных режимов эксплуатации объектов добычи природного газа. – М.: Недра, 1989. – 264 с. 701. Черняк В.П., Зильберборд А.Ф. Прогноз и регулирование теплового режима подземных сооружений. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 11. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1982, с. 49-56. 702. Щербак Н.П. Геологическое время и прогнозирование полезных ископаемых. – Киев: Знание, 1984. – 48 с. 703. Огильви А.А. Основы инженерной геофизики. – М.: Недра, 1990. – 501 с. 704. Фрянов В.Н. Оценка неравномерностей распределения некоторых характеристик угольного массива. – В кн.: Физические процессы горного производства. /Межвуз. научно-техн. сб-к, вып. 4. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1977, с. 3–5. 705. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы. – ДАН СССР, 1979, т. 247, № 4, с. 829-831. 706. Опарин В.Н. К основам скважинной геофизической дефектоскопии. Часть I. – ФТПРПИ, 1982, № 6, с. 23-33. 707. Ващилов Ю.Я. Блоково-слоистая модель земной коры и верхней мантии. – М.: Наука, 1984. – 240 с. 708. Шевченко Л.А. Влияние трещинной анизотропии угольного пласта на фильтрацию газа в скважину. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1988, № 6, с. 45-48. 609

709. Вайнберг Я.М., Лавровский Д.Л. Дискретная стохастическая модель геологического объекта. – В кн.: Методы математического моделирования объектов и процессов разработки нефтяных месторождений. /Сб-к научн. трудов, вып. 106. – М.: Изд-во ВНИИ им. акад. А.П. Крылова, 1991, с. 96-109. 710. Керкис Е.Е. Методы изучения фильтрационных свойств горных пород. – Л.: Недра, Л.о., 1975. – 231 с. 711. Салганик Р.Л. Эффективная поперечная проводимость слоистых материалов со сквозными трещинами в слоях. - ИФЖ, 1976, т. 30, № 5, с. 868-875. 712. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П., Муратова Б.А. Теплопроводность твёрдых пористых увлажненных материалов. – ИФЖ, 1976, т. 31, № 2, с. 278-283. 713. Смирнова Н.Н., Мухин В.А. Тепломассоотдача к стенкам канала при фильтрации в нём жидкости. – Физические процессы горного производства. /Всесоюзн. межвуз. сб-к, вып. 5. – Л.: Изд. – Л.: Изд-во ЛГИ, 1978, с. 83-86. 714. Дульнев Г.Н., Маларёв В.И. Коэффициенты сопротивления диффузии газов в пористых телах. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 6, с. 948-952. 715. Дульнев Г.Н., Волков Д.П., Маларёв В.И. Теплопроводность влажных пористых материалов. – ИФЖ, 1989, т. 56, № 2, с. 281-291. 716. Кокорев Л.С., Федосеев В.Н., Харитонов В.В., Воскобойников В.В. Новый подход к расчёту теплоотдачи в пористых средах. /Препринт № 024-86. – М.: Изд-во МИФИ, 1986. – 24 с. 717. Божков Н.А., Занцев В.К., Обруч С.Н. Расчётно-экспериментальные исследования сложного теплообмена в высокопористых композиционных материалах. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 4, с. 554-561. 718. Галицейский Б.М., Ложкин А.Л., Ушаков А.И. Экспериментальное определение коэффициента теплоотдачи в пористых материалах нестационарным методом. – Промышленная теплотехника, 1991, т. 13, № 1, с. 22-28. 719. Ким Л.В. Определение коэффициентов теплоотдачи в пористых средах. ИФЖ, 1993, т. 65, № 6, с. 663-667. 720. Хохряков А.В. Теория зон влияния как научная основа решения комплексных горно-геологических задач. – Известия ВУЗов. Горный журнал, 1991, № 2, с. 26-31. 721. Дмитриев А.П., Гончаров С.А. Термодинамические процессы в горных породах. – М.: Недра, 1990. – 360 с. 722. Бызов В.Ф., Филиппов Н.Ф., Образцов А.П., Ицхакин В.Д. Электротермическое и электротермомеханическое разрушение крепких горных пород. – Киев: Техніка, 1989. – 144 с. 723. Емелин М.А., Морозов В.Н., Новиков Н.П. и др. Новые методы разрушения горных пород. – М.: Недра, 1990. – 240 с. 724. Косолапов В.Н., Чугунов В.А., Черняк В.П., Золотаренко Ю.П. Теплообмен в подземных энергосберегающих системах кондиционирования рудничного воздуха. – Промышленная теплотехника, 1991, т. 13, № 2, с. 50-58. 725. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчётам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. – Казань: Изд-во КГУ, 1978. – 188 с. 610

726. Скорер Р. Аэродинамика окружающей среды. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 550 с. 727. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. – М.: Наука, 1982. – 320 с. 728. Теверовский Е.Н., Дмитриев Е.С. Перенос аэрозольных частиц турбулентными потоками. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 160 с. 729. Бакланов А.А. Численное моделирование в рудничной аэрологии. – Апатиты: Изд-во Кольского филиала Горного Ин-та АН СССР, 1988. – 200 с. 730. Ибад-заде Ю.А., Гурбанов С.Г., Азизов С.Г., Алескеров В.Г. Гидравлика разноплотностного потока. – М.: Стройиздат, 1982. – 295 с. 731. Кюнж Ж.А., Холли В.М., Вервей А. Численные методы в задачах речной гидравлики. – Пер. с англ. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 256 с. 732. Пехович А.И. Основы гидроледотермики. – Л.: Энергоатомиздат, Л.о., 1983. – 200 с. 733. Пясковский Р.В., Померанец К.С. Наводнения. – Л.: Гидрометеоиздат, 1982. – 176 с. 734. Бруяцкий Е.В. Турбулентные стратифицированные струйные течения. – Киев: Наукова думка, 1986. – 296 с. 735. Шнайдман В.А., Фоскарино О.В. Моделирование пограничного слоя и макротурбулентного обмена в атмосфере. – Л.: Гидрометеоиздат, 1990. – 160 с. 736. Зуев В.Е. Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере. – М.: Советское радио, 1970. – 496 с. 737. Иванов А. Введение в океанографию. – Пер. с франц. – М.: Мир, 1978. – 576с. 738. Мамаев О.И. Термохалинный анализ вод Мирового океана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1987. – 296 с. 739. Айзатуллин Т.А., Лебедев В.Л., Хайлов К.М. Океан. Фронты, дисперсии, жизнь. – Л.: Гидрометеоиздат, 1984. – 192 с. 740. Лебедев В.Л. Граничные поверхности в океане. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – 193 с. 741. Доронин Ю.П. Взаимодействие атмосферы и океана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981. – 288 с. 742. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залеский В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. – Л.: Гидрометеоиздат, 1987. – 296 с. 743. Олейник А.Я. Геогидродинамика дренажа. – Киев: Наукова думка, 1981. – 283 с. 744. Орадовская А.Е. Миграция тепла и вещества в подземных водах. – В кн.: Гидрогеологические исследования за рубежем. /Колл. монография под ред. Н.А. Маринова. – М.: Недра, 1982, с. 33-74. 745. Фролов Н.М. Основы гидрогеотермии. – М.: Недра, 1991. – 335 с. 746. Водоватова З.А., Гохберг Л.К., Ефремов Д.И. и др. Методика обоснования региональных гидрогеологических моделей многослойных систем. – М.: Недра, 1982. – 147 с. 611

747. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод./Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М.: Наука, 1977. – 664 с. 748. Бочевер Ф.М., Лапшин Н.Н., Орадовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения. – М.: Недра, 1979. – 254 с. 749. Мистецкий Г.Е. Автоматизация расчёта массопереноса в почвогрунтах. – Киев: Будівельник, 1985. – 136 с. 750. Физика среды обитания растений. /Колл. монограф. под ред. В.Р. ван Вийка. – Пер. с англ. – Л.: Гидрометеоиздат, 1968. – 304 с. 751. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. – М.: Наука, 1976. – 352 с. 752. Чатри М., Сенгупта С. Теплопередача и испарение от нагретых водоёмов. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1985, т.107, № 4, с. 35-43. 753. Григорян С.С., Красс М.С., Гусева Е.В., Геворкян С.Г. Количественная теория геокриологического прогноза. – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 266 с. 754. Любимова Е.А. Термика Земли и Луны. – М.: Наука, 1968. – 279 с. 755. Жарков В.И. Внутреннее строение Земли и планет. – М.: Наука, 1978. – 192с. 756. Александров Ю.В. Введение в физику планет. – Киев: Вища школа, 1982. – 304 с. 757. Джекобс Дж. Земное ядро. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1979. – 305 с. 758. Кузнецов О.Л., Симкин Э.М. Преобразование и взаимодействие геофизических полей в литосфере. – М.: Недра, 1990. – 269 с. 759. Лялько В.И. Тепломассоперенос в литосфере. – Киев: Наукова думка, 1985. – 260 с. 760. Лобковский Л.И. Характер геомеханических процессов, геофизических полей и сейсмичности в областях океанского рифтогенеза и активных переходных зонах от океанов к континентам. – Автореф. … д.ф.-м.н. – Л.: ЛГУ, 1985. – 32 с. 761. Кутас Р.И., Гордиенко В.В. Тепловое поле Украины. – Киев: Наукова думка, 1971. – 140 с. 762. Поляк Б.Г. Тепломассопоток из мантии в главных структурах земной коры. – М.: Наука, 1988. – 192 с. 763. Летников Ф.А., Феоктистов Г.Д., Вилор Н.В. и др. Петрология и флюидный режим континентальной литосферы. – Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1988. – 187 с. 764. Кирдяшкин А.Г. Тепловые гравитационные течения и теплообмен в астеносфере. – Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1989. – 81 с. 765. Райс Дж. Механика очага землетресения. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 217 с. 766. Шейдеггер А.Е. Основы геодинамики. – Пер. с англ. – М.: Недра, 1987. – 384с. 767. Тёркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика: Геологические приложения физики сплошных сред. – Пер. с англ. – В 2-х томах. – М.: Мир, 1985, т. 1. – 376 с., т. 2 – 360 с. 768. Кудряшов А.И. Флюидогеодинамика. – Свердловск: Изд-во Уральск. отд. АН СССР, 1991. – 226 с. 769. Чернышев С.Н. Движение воды по сетям трещин. – М.: Недра, 1979. – 141 с. 612

770. Чепмен Р.Е. Геология и вода. – Пер. с англ. – Л.: Недра, Л.о., 1983. – 159 с. 771. Девдариани А.С. Математический анализ в геоморфологии. – М.: Недра, 1967. – 155 с. 772. Галицын А.С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1983. – 236 с. 773. Цейтлин С.Д., Ильинский В.М. Математическое моделирование динамики системы, включающей слоисто-неоднородный пласт, скважину и штуцер, с учётом течения газожидкостной смеси в скважине и в штуцере. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 4, с. 698-699. 774. Ильин И.В., Кашик И.С., Попов Ю.А., Цейтлин С.Д. Численное решение задачи нестационарного теплообмена в системе "обсаженная скважина пласт". – ИФЖ, 1991, т. 60, № 5, с. 838-844. 775. Лунис Маджид. Конвективный теплообмен при полностью развитом турбулентном течении в трубах. – Промышленная теплотехника, 1998, т. 20, № 3, с. 8-12. 776. Кривошеин Б.Л., Радченко В.П., Агапкин В.М. Нестационарный теплообмен подземного трубопровода с подземной средой. – ИФЖ, 1976, т. 30, № 6, с.1136-1137. 777. Чарный И.А. Основы газовой динамики. – М.: Гостоптехиздат, 1961. – 200 с. 778. Александров А.В., Яковлев Е.И. Проектирование и эксплуатация систем дальнего транспорта газа. – М.: Недра, 1974. – 432 с. 779. Карачун В.Я. Решение краевых задач теплопроводности с переменными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа. – В кн.: [555], с. 45-47. 780. Колесников П.М. Математические методы в теории распространения полей в неоднородных средах. – В кн.: [470], с. 179-184. 781. Новиков В.С. Новые конечные интегральные преобразования для задач тепломассопереноса с переменными коэффициентами. – В кн.: [470], с. 193-196. 782. Венгеров И.Р. Теория линейного переноса в слоистых системах. /Препринт ДонФТИ АН УССР № 82-27. – Донецк: Изд-во ДонФТИ, 1982. – 64 с. 783. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане. – Л.: Гидрометеоиздат, 1986. – 280 с. 784. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды. – Л.: Гидрометеоиздат, 1991. – 224 с. 785. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР./Колл. монография под ред. П.Я. Полубариновой-Кочиной. – М.: Наука, 1969. – 546 с. 786. Ромм Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород. – Л.: Недра, Л.о., 1985. – 240 с. 787. Зубарев А.Ю., Хужаеров Б. К теории релаксационной фильтрации. – ИФЖ, 1988, т. 55, № 3, с. 442-447. 788. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. – ПММ, 1960, т. 24, вып. 5, с. 852-864. 613

789. Бакиевич Н.И. Некоторые интегральные представления решений краевых задач для уравнения фильтрации в трещиноватых породах. – В кн.: Нелинейные краевые задачи. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во математики АН УССР, 1980, с. 13-16. 790. Фущич В.И., Галицын А.С., Полубинский А.С. О новой математической модели процессов теплопроводности. – УМЖ, 1990, т.42, № 2, с. 237-245. 791. Булавацький В.М., Юрик І.І. Математичне моделювання процесу підземного вилужування на основі моделі біпараболічної фільтрації. – Доповіді Національної Академії наук України, 1997, № 9, с. 7-10. 792. Черняк В.П., Фиалко Н.М., Меронова Н.О. Об учёте нелинейностей при математическом моделировании процессов теплопереноса в условиях нагрева горного массива пожарніми газами. – ДАН Украины (Математика, естествознание, техн. науки), 1994, № 10, с. 67-70. 793. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Моделирование воздействия мерзлых пород на нефтегазовые скважины в рамках контактных задач Стефана. – ИФЖ, 1990, т. 59, № 4, с. 698. 794. Красовицкий Б.А. Динамика оледенения подземного трубопровода. – ИФЖ, 1986, т. 51, № 5, с. 802-809. 795. Хомченко А.Н. Модели конечных элементов для расчётов температурных полей подземных трубопроводов. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 2, с. 321-323. 796. Храмченков М.Г., Старосуд А.М. Математическая модель неравновесного вымывания соли в условиях изменяющейся пористости среды без учёта продольной дисперсии. – ФТПРПИ, 1989, № 2, с. 95-98. 797. Колоколов О.В., Эйшинский А.М., Микенберг А.М. Математические алгоритмы термохимической геотехнологии. – Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1992. – 216 с. 798. Галидов Г.А., Мамедкеримов В.И. и др. К вопросу распределения температуры в призабойной зоне скважин при их термохимической обработке. ИФЖ, 1991, т. 61, № 3, с. 414-421. 799. Березовский А.А. Нелинейные краевые задачи физики моря. – В кн.: [526], с.158-164. 800. Елейко В.И. Стохастическая задача теплопроводности и термоупругости для полупространства. – ИФЖ, 1977, т. 33, № 1, с. 162-163. 801. Фрэйли С.К., Хоффман Т. Дж., Стивенс П.Н. Решение задач теплопроводности методом Монте-Карло. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1980, т. 102, № 1, с. 133-139. 802. Бронфенбренер Л.Е. Стохастическая модель процесса теплообмена во влажном грунте. – ИФЖ, 1984, т. 46, № 3, с. 518. 803. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред. – М.: Недра, 1985. – 288 с. 804. Сыромятников Н.И., Ясников Г.П. Процессы переноса тепла, массы и импульса в дисперсных средах. – ИФЖ, 1987, т. 53, № 5, с. 868-874. 805. Ленюк М.П., Войтков В.Г. Стохастична квазістатична задача термопружності для кусково-однорідної ізотропної тонкої пластини. – ДНАН України, 1998, № 5, с. 24-28. 614

806. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. – М.: Гостехтеориздат, 1953. – 788 с. 807. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – В 2-х томах. – том 1. – М.: Наука, 1970. – 492 с. 808. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 304 с. 809. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. – М.: Наука, 1978. – 128 с. 810. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. – М.: Наука, 1978. – 336 с. 811. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. – М.: Наука, 1975. – 416 с. 812. Шермегор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. – М.: Наука, 1977. – 400 с. 813. Белов И.А. Модели турбулентности. – Л.: Изд-во Ленинградского механич. ин-та, 1982. – 88 с. 814. Вишневский В.К., Швец Ю.И. О нефурьевской реологической модели теплопроводности. – Промышленная теплотехника, 1985, т. 7, с. № 6, с. 37-39. 815. Крон Г. Исследование сложных систем по частям – диакоптика. – М.: Наука, 1972. – 542 с. 816. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. – М.: Наука, 1973. – 416 с. 817. Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем. – М.: Наука, 1976. – 272 с. 818. Алексеев А.С., Лаврентьев М.М. Математические модели геофизики. – В кн.: Актуальные проблемы прикладной математики и математического моделирования. /Сб-к статей. – Новосибирск: Наука, С.о., с. 42-50. 819. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. – М.: Наука, 1983. – 328 с. 820. Юдин Д.Б., Юдин А.Д. Математики измеряют сложность. /Число и мысль. Вып. 8. – М.: Знание, 1985. – 192 с. 821. Сидоров А.Ф. Аналитические методы математической физики и математический эксперимент. – В кн.: Число и мысль. Вып. 10. /Сб-к статей. – М.: Знание, 1987, с. 75-100. 822. Коздоба Л.А. Системный подход в теплотехнике и теплофизике. – Промышленная теплотехника, 1997, т. 19, № 4-5, с. 137-144. 823. Никитенко Н.И. Проблемы теории и моделирования интенсивных нестационарных процессов тепло- и массопереноса. – Промышленная теплотехника, 1997, т. 19, № 4-5, с. 131-137. 824. Брусиловский Б.Я. Теория систем и система теорий. – Киев: Вища школа, 1977. – 192 с. 825. Цирельман Н.М. Аналитическое определение на ЭВМ температурных полей. – ИФЖ, 1989, т. 57, № 1, с. 145-151. 826. Попов Ф.С., Красовицкий Б.А., Скуба В.Н. Методика расчёта теплового режима шахт, рудников и подземных сооружений Севера. – В кн.: Тепловой режим 615

глубоких угольных шахт и металлических рудников. /Материалы международного Симпозиума "Градиент-77". – Киев: Наукова думка, 1977, с. 245-258. 827. Эккерт Е.Р.Г. Основополагающие работы по конвективному теплообмену. К столетию исследований в области теплообмена. – Пер. с англ. – Теплопередача, 1981, № 3, с. 1-8. 828. Клебанов Ф.С., Шкундин С.З. О точности измерения скорости воздушного потока в выработке. – ФТПРПИ, 1980, № 5, с. 97-101. 829. Цейтлин Ю.А. Влияние неопределенности исходных данных теплового расчёта вентиляции на выбор проектных параметров установок кондиционирования воздуха шахт. – ФТПРПИ, 1990, № 1, с. 93-98. 830. Брайчева Н.А., Черняк В.П., Щербань А.Н. Методы расчёта температуры вентиляционного воздуха подземных сооружений. – Киев: Наукова думка, 1981. – 184 с. 831. Березовский А.А., Мейнарович Е.В. Тепловые поля тел, подверженных тепловому удару. – В кн.: Нелинейные краевые задачи математической физики. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1973, с. 17-30. 832. Гординский Л.Д., Шувар Р.А. О решении начально-краевых задач на сопряжение для вырождающихся параболических уравнений, содержащих производную по времени в условиях сопряжения. – В кн.: Физико-технические приложения нелинейных краевых задач. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1987, с. 27-32. 833. Савула Я.Г., Чапля Є.Я., Кухарський В.М. Чисельне моделювання тепломасопереносу через тонкий криволінійний шар. – Доповіді Національної академії наук України, 1995, № 11, с. 30-33. 834. Комаров Г.М. Умови спряження через термічно тонкий шар в задачах теплопровідності. – Доповіді Національної академії наук України, 1996, № 7, с. 26-32. 835. Скрыпник И.В., Ламонов С.А. Первая краевая задача для квазилинейных параболических уравнений в областях с мелкозернистой границей. – ДАН УССР, сер. А, 1984, № 4, с. 25-28. 836. Сиденко Н.Р. Усреднение задач теплопроводности для области с быстро осциллирующей границей. – В кн.: Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1991, с. 117-121. 837. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. II. – Пер. с нем. – М.: Госинлитиздат, 1960. – 886 с. 838. С. де Гроот, П. Мазур. Неравновесная термодинамика. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1964. – 516 с. 839. Саульев В.К. О решении некоторых краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах методом фиктивных областей. – Сибирский математический журнал, 1963, т. 4, № 4, с. 912-917. 840. Гординский Л.Д., Шувар Р.А. О решении нелинейных задач теплопроводности в слоистых телах, содержащих идеально проводящие слои. – В кн.: Математическое моделирование физических процессов. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1989, с. 41-46. 616

841. Келдыш М.В. О методе Б.Г. Галёркина для решения краевых задач. – Известия АН СССР, сер. математ., 1942, № 6, с. 309-330. 842. Соболевский П.Е. Теорема о смешанных производных и оценка скорости сходимости метода Галёркина для параболических уравнений. – ДАН УССР, Сер. А, 1987, № 8, с. 12-16. 843. Фущич В.И., Серов Н.И., Чопик В.И. Условная инвариантность и нелинейные уравнения теплопроводности. – ДАН УССР, Сер. А, 1988, № 9, с. 17-21. 844. Фущич В.И., Серов Н.И. Условная инвариантность и редукция нелинейного уравнения теплопроводности. – ДАН УССР, Сер. А, 1990, № 7, с. 24-27. 845. Фущич В.И., Серов Н.И., Амеров Т.К. О нелокальных анзацах одного нелинейного одномерного уравнения теплопроводности. – ДАН Украины, 1992, № 1, с. 26-29. 846. Нетесова Т.М. Групповой анализ уравнения Буссинеска с источником. – В кн.: Математическое моделирование физических процессов. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1989,с. 95-98. 847. Нетесова Т.М. Об инвариантности краевых задач. – В кн.: Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах. /Сб-к научн. трудов. – Киев: Изд-во Ин-та математики, 1991, с.98-100. 848. Никифоров Л.Г. Прогнозирование теплофизических свойств твёрдых тел. – ИФЖ, 1986, т. 50, № 5, с. 831-835. 849. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.-Л.: Физматгиз, 1963. – 734 с.

Дополнение Работа над книгой продолжалась с 2001 г. по 2006 г., а использованные литературные источники относятся ко второй половине прошлого века. В 2000—2007 гг., как и в 90-е, число публикаций значительно сократилось (по известным причинам). В настоящем дополнении дается краткий, по необходимости, обзор работ за последние годы и прослеживаются тенденции развития парадигмы моделирования. Аварии на шахтах Украины, России и других стран показывают, что к актуальным научным направлениям в областях охраны труда шахтеров, профилактики и ликвидации подземных аварий относится и моделирование газодинамических явлений и подземных пожаров. Рассмотрим выборку из публикаций сотрудников организаций, активно работающих в указанных направлениях: Института физики горных процессов НАН Украины (ИФГП НАНУ), Донецкого Национального технического университета (ДонНТУ), Научно-исследовательского института горноспасательного дела (НИИГД), Института проблем комплексного освоения недр РАН (ИПКОН РАН).

§ Д1. Газоперенос Работы, связанные с изучением системы «уголь-метан» и переноса других газов, образуют 4 группы, в которых исследуются: 1) метановыделение из образцов угля в экспериментальных установках; 2) метановыделение из отторгнутых от массива кусков угля (при транспортировке, в скоплениях и бункерах); 3) метановыделение в трещины гидроразрыва и скважины; 4) процессы пневмообработки массивов и окисления угля. Модели первой группы [1-10] разрабатывались в ИФГП НАНУ. При построении модели массопереноса метана в угле посредством совместно протекающих фильтрации и диффузии [1,2], было принято: а) структура углей – блочная (блоки содержат закрытые поры); б) существенная часть содержащегося в угле метана находится в твердом растворе; в) в равновесном состоянии метан в угле содержится в фильтрационном объеме, закрытых порах и твердом растворе; г) при нарушении равновесия (например, при возникновении зоны разгрузки), метан движется в сторону меньшего давления и покидает фильтрационный объем; д) при падении давления метана в фильтрационном объеме, образованном системой трещин, отделяющей друг от друга блоки с закрытыми порами и с растворенным метаном, он начинает диффундировать по блокам и выходить в трещины; е) одновременно идут два процесса: ведущий – фильтрация метана в трещинах и макропорах (по

618

закону Дарси) и ведомый – приток метана в фильтрационный объем из блоков (за счет твердотельной диффузии); ж) концентрации метана в твердом растворе С(x,t) и в фильтрационном объеме ρ ( x, t ) связаны законом Генри: C ( x, t ) = νρ ( x, t ) (где ν – растворимость метана в угле); з) форма блока – сферическая (с радиусом R ); и) учитывается кнудсеновская диффузия; к) концентрация метана в блоке характеризуется средним значением Cm ( t ) и значением на поверхности блока – Cs ( t ) . На основе этих предположений и [23] авторы записывают уравнение

1 d ∇C s ( t ) = − π Dýô dt

t

∫

Cm (τ ) − Cs (τ ) t −τ

0

(1)

где Dэф – эффективный коэффициент диффузии, определяемый формулой −1

γ⎞ ⎛ (2) Dýô = D ⎜1 − γ + ⎟ ν⎠ ⎝ в которой: D – коэффициент твердотельной диффузии, γ – закрытая пористость. Для описания истечения газа из фильтрационного объема использовано уравнение ⎡k ⎤ ∂Q div ⎢ ρ ( p ) ∇p ⎥ = m (3) t μ ∂ ⎣ ⎦ где Qm – масса метана в единице объема пористой среды, P – его давление, ρ – плотность, μ – динамическая вязкость, а k – коэффициент проницаемости пористой среды. После использования уравнений состояния и материального баланса и ряда преобразований, получена система из дифференциального и интегрального уравнений, аналитически не разрешимая. Далее авторы прибегают к анализу асимптотик малых и больших времен. Оценки, осуществленные в работе, базируются на значениях коэффициентов, полученных в лабораторных экспериментах. Эти коэффициенты, характеризующие, в частности, кинетику десорбции метана из угля, определяются также на основе ряда матмоделей, предложенных ранее (часть 2). В работе [3] исследованы механизмы и кинетика десорбции в вакуумированный сосуд, обнаружены особенности протекания процесса. Важнейшим параметром моделей метанопереноса в угле является коэффициент диффузии. Для оценки его и газодинамического состояния угольного массива предложена лабораторно – аналитическая методика [4], позволившая исследовать изменение коэффициента диффузии со временем. Оказалось, что время существенного изменения (уменьшения) коэффициента диффузии в зоне гидрообработки массива составило около двухсот минут. Было 619

также установлено влияние обработки массива и глубины скважины на изменение коэффициента диффузии. Изучению особенностей десорбции метана из углей с различной пористой структурой посвящена работа [10], отмечена нестационарность системы «уголь-метан». На различных этапах процесса преобладают различные факторы, поэтому предлагается для описания массопереноса использовать уравнение вида: ∂p ∂2 p ∂2 p (4) +θ 2 = D 2 ∂t ∂t ∂x где: P=P(x,t) – плотность распределения молекул метана, θ – характерное время релаксации. Вопросам исследования кинетики десорбции метана из угля и интерпретации кинетических кривых, методам определения коэффициентов фильтрации метана в угле и количественной оценке содержания в нем свободного и адсорбированного метана посвящены работы [5–9]. Упомянутые, а также ряд других работ ИФГП НАНУ создают основу для перехода к феноменологическим моделям, предполагающим определение параметров массопереноса посредством решения обратных задач с использованием данных шахтных наблюдений и экспериментов. Модели второй группы [11-14]. Упомянутые модели известны давно (части 2,3), однако многообразие и многофакторность процессов требуют продолжения исследований. В работе [11] задача расчета метановыделения из отторгнутого от пласта угля рассматривается с точки зрения определения параметров безопасного хранения угля в закрытых, плохо проветриваемых помещениях (бункерах, трюмах кораблей и т.п.). Рассматривался кусок угля произвольной формы, занимающий область Ω с поверхностью ∂Ω . В начальный момент времени в области содержится абсорбированный метан с концентрацией S0, который скачком (в момент отторжения куска от пласта) переходит из связанного в свободное состояние (при котором возможна его диффузия). Краевая задача – модель процесса [11]:

∂C = diν ( DΔC ) − F ( C , S ) , C = C ( p, t ) , p ∈ Ω, t > 0 ∂t ∂S = F ( C , S ) , S = S ( p, t ) , p ∈ Ω, t > 0 ∂t C ( p,0 ) = 0, S ( p,0 ) = S0 , p ∈ Ω D

(5)

∂C = β ( C0 − C ) , p ∈ Ω, t > 0 ∂n

Здесь: C = C ( p, t ) текущая концентрация диффундирующего метана; F ( C , S ) – скорость десорбции его; n – нормаль к поверхности области;

620

β − коэффициент массообмена куска со средой, имеющей концентрацию метана С0. В линейном случае F ( C , S ) = λC − μ S ( λ , μ = const ) . Далее в [11] рассмотрены случаи: а) истечение метана из сферического куска угля (функция F ( C , S ) – линейная; и б) угли малых фракций с большим коэффициентом диффузии и произвольной формой. В случае а) два первых уравнения (5) принимают вид ∂C D ∂ ⎛ 2 ∂C ⎞ = ⎜r ⎟ + μ S − λC , r ∈ ( 0, R0 ) , t > 0, ∂t r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ (6) ∂S = λC − μ S , r ∈ ( 0, R0 ) , t > 0 ∂t Соответственно трансформируются и краевые условия. После принятия упрощающих предположений λ = 0, C0 = 0, краевая задача решена методом разделения переменных; в итоге получена формула для расчета величины Q ( t ) / Q∞ (где Q ( t ) − количество метана, выделившегося к моменту времени t, Q∞ = 4π R 3 S0 / 3 ). В случае б) F ( S , C ) = − μ S, и для усредненной по области концентра-

ции C ( t ) из (5) следует задача Коши

dC + k 2C = k 2C0 + μ S0exp ( − μt ) , C ( 0 ) = 0, t > 0 dt

(7)

Здесь k 2 = β∂Ω / Ω . Решение (7) имеет вид

μS C ( t ) = C0 ⎡⎣1 − exp ( −k 2t ) ⎤⎦ + 2 0 ⎡⎣exp ( − μt ) − exp ( − k 2t ) ⎤⎦ k −μ

(8)

В этом случае также получено выражение для Q ( t ) / Q∞ . Развитие этой модели и ее адаптация к реальным условиям хранения дробленного угля в бункерах осуществлены в [12-14]. Модели третьей группы [15-18]. Эффективным способом извлечения метана из неразгруженного массива является бурение сети скважин с последующим гидроразрывом угольных пластов [15,16]. Модель метанопереноса из пласта в трещину гидроразрыва строилась на основе положений [16]: 1) диффузия метана в пласте – кнудсеновская; 2) возможно использование второго уравнения Фика:

∂C ∂ 2C = D 2 , C = C ( x, t ) , x ∈ ( 0, ∞ ) , t > 0, D = const ∂t ∂x

(9)

621

3) в начальный момент времени во всем пласте ( x ≥ 0 ) концентрация метана

постоянна ( C ( x,0 ) = C0 = const ) ; 4) в процессе извлечения метана, его концентрация на поверхности трещины гидроразрыва CΠ находится в адсорбционном равновесии с давлением газа в трещине (скважине), описываемом осмотической теорией адсорбции: a∞ β P1/ q (10) C ( 0, t ) = CΠ = 1 + P1/ q где : a∞ – предельная адсорбция при P → ∞ ; β − коэффициент; Р – давление метана; q − осмотический коэффициент; 5) диффузионный поток из угольного пласта в трещину гидроразрыва описывается первым законом Фика: ⎡ ∂C ( x, t ) ⎤ j = DS ⎢ (11) ⎥ ⎣ ∂x ⎦ x=0 где S – поверхность трещины. Краевая задача (9,10) решалась преобразованием Лапласа. Расчет дебита метана дал значения, существенно заниженные по сравнению с экспериментальными. Для объяснения этого в [16] предложена гипотеза о возрастании напряжений в притрещинной зоне пласта с образованием новых поверхностей при дегазации этой зоны. Десорбция метана вызывает усадку угля и раскрытие эндо – и экзогенных трещин. По этим трещинам происходит фильтрация метана. Трещиновато-пористая система угля носит иерархически – фрактальный характер, что обеспечивает, при продолжении процесса дегазации, раскрытие все более мелких трещин и пор. Авторами предложен (на основе качественных соображений) критерий диффузионной активности углей В: Dtα k (12) B= ld s где: α − коэффициент усадки; k − коэффициент фильтрации; l − средний размер блока угля; d s − фрактальная размерность поверхности пустотной структуры угля. Авторы [16] полагают процессы газовыделения в трещину гидроразрыва и в скважину идентичными. Для построения модели, адекватной наблюдаемым расходам через скважины, предлагается учитывать (как и автором [10]) фрактальную структуру угольного вещества. В работах, выполненных в ИПКОН РАН в предыдущий период использовались традиционные модели газопереноса (часть 2), учитывающие изменение газопроницаемости пластов в прискваженной зоне и со временем [15]. На наш взгляд, результаты этих исследований (теоретических и экспериментальных) достаточно убедительны. Принцип Оккама также рекомендует вначале убедиться в непригодности парадигмальных моделей массопереноса, и лишь затем переходить к построению фрактальных моделей (фактически, меняя парадигму). Модели метанопереноса в скважины [17-19] также соответствуют рассмотренным в части 2. Модели четвертой группы. Модели пневмообработки массивов рассматриваются в [18,19] в соответствии с [24], т.е. в рамках парадигмы. Мо-

622

дели окислительных процессов [20-22] связаны с прогнозированием эндогенных пожаров. Основные уравнения моделей совпадают с (6) либо содержат в правых частях «источниковые» члены, т.е. являются также парадигмальными моделями части 2.

§ Д2. Влагоперенос Модели влагопереноса в горных массивах в части 2 были представлены двумя группами: для эндогенной влаги и для экзогенной влаги. Модели первой группы базируются на теории фильтрации и конвективного (фильтрационного) массопереноса [25,26], а фильтрационные параметры определяются известными методами [27]. Модели второй группы – гидравлического воздействия на угольные пласты и тампонажа горных массивов рассмотрены в [17-19, 24]. Эти модели также соответствуют рассмотренным в части 2. § Д3. Модели теплопереноса (эндогенные пожары)

Эти модели [28-34], базируются на ранее известных (часть 6). Представляет интерес работа [28], в которой даны выражения для функций плотностей источников и стоков тепла (нелинейно зависящих от температуры). Краевая задача для связанной системы нелинейных уравнений относительно полей температуры Т и концентрации кислорода в угольном скоплении С имеет вид ∂T cу ρ у − λ у ∇ 2T + cв ρ в div (ϑ T ) = q (T , C ) , T = T ( M , t ) , ∂t ∂C m − mD∇ 2C + div (ϑ C ) = − f (T , C ) , C = C ( M , t ) ∂t (13) T ( M ,0 ) = T0 ( M ) , C ( M ,0 ) = C0 ( M ) , M ∈ Ω ∂T ∂C + α (T − TΠ ) = 0, mD + β C = 0, M ∈ Ω, t > 0 ∂n ∂n Здесь: c у , ρ у , и св , ρ в − соответственно теплоемкость и плотность угля и воз-

λу

духа; λ у − коэффициент теплопроводности угля; ϑ − вектор скорости фильт-

рующегося через скопления потока воздуха; q (T , C ) , f (T , C ) − функции источников (стоков); Ω и ∂Ω – область, занимаемая скоплением и его поверхность; m − коэффициент пористости скопления; D − коэффициент диффузии кислорода; Т Π − температура пород; α и β − коэффициенты теплообмена и адсорбции. Авторы признают, что более реалистична сопряженная постановка задачи, в которой вместо Т Π фигурирует переменная температура на контакте угля и породы. Далее система (13) записывается для цилиндрической формы скопления и усредняется по радиальной координате. Критерий возможности 623

этой операции не приводится. Для аппроксимации двумерных температурного и концентрационного полей одномерными, применен прием степенного (по r ) профиля для поля температур имеющий вид: T ( x, r , t ) = T1 ( x, t ) − ⎡⎣T1 ( x, t ) − T0 ⎤⎦ Ψ ( r ) (14) γ Ψ ( r ) = A ( r / R ) , A, R, γ = const , γ > 1 Численные расчеты и их результаты не приводятся. Процесс самонагревания угля в [29] описывался уравнением ФурьеКирхгофа, содержащим коэффициент нестационарного теплообмена, т.е. постановка задачи, как и в [28] не является сопряженной. Упрощение тепловой картины горения метана в выработанном пространстве [30] позволила свести математическую модель к обыкновенному дифференциальному уравнению и алгебраическому уравнению теплового баланса. В работах [31,32] оцениваются влияние влажности и химической активности угля на процесс его самонагревания и параметры тепло – и массообмена в угольном скоплении. В работе [32] имеются таблицы, содержащие известные расчетные формулы для коэффициентов тепло – и массоотдачи в слое частиц неправильной формы.

§ Д4. Модели теплопереноса (экзогенные пожары) При экзогенном пожаре (ЭП) горные породы, окружающие выработку, нагреваются и их высокая температура может инициировать взрыв метановоздушной смеси либо повторное возгорание. Натурные (и с помощью физических моделей) исследования ЭП весьма затруднены и единственный реальный метод – математическое моделирование [33]. В работе [33] анализируются процессы теплопереноса в горном массиве вокруг цилиндрической выработки, нагреваемой пожарными газами. Теплообмен последних с горным массивом имеет конвективную и лучистую составляющие. Постановка задачи стандартная, решение ее – численное. Анализом полученных кривых выявлено влияние на температуру стенки выработки лучистой составляющей теплообмена и теплофизических характеристик массива. В связи с расчетом времени нарастания температуры до порогового значения (температуры срабатывания) в местах расположения противопожарных тепловых извещателей автоматической системы пожаротушения, в [34] предложена модель теплопереноса в выработке на основе одномерного уравнения Фурье-Кирхгофа. Скорость воздушного потока принята постоянной, что делает решение задачи тривиальным, а полученные расчетные зависимости – простыми. Аналогичные [34] модели конвективного теплопереноса предложены и в [35-36] . Более сложное, нелинейное уравнение теплопереноса при моделировании искрового воспламенения газовоздушной смеси использовано в [37]. Задача решалась численно.

624

§ Д5. Заключение Модели массопереноса по объектам и системам соответствуют рассмотренным в частях 2 и 3. Моделируемые процессы – метаноперенос, газоперенос, влагоперенос. Если «спроектировать» рассмотренную совокупность моделей на сформулированные ранее группы (макронаправления) развития парадигмы согласно рис. 2.1, то увидим, что преобладают модели первой группы (использование известных уравнений Л.С. Лейбензона, Р.М. Кричевского, диффузии, конвективной диффузии, пьезопроводности). На использовании уравнения Л.С. Лейбензона основана близкая геотехнологическая модель – подземного газогенератора [38]. К моделям второй группы (построение новых моделей на основе уточненных представлений о физике процессов) можно отнести работы ИФГП НАНУ, базирующиеся на работах предшествующего периода [15, 39-47]. Дальнейшее их развитие должно, на наш взгляд, заключаться в учете тесной связи и взаимовлияния газодинамических, механических и термических свойств реальных горных массивов на основе ранее проведенных и продолжающихся исследований [48-55]. Как уже отмечалось, модели третьей группы – обратные задачи – практически отсутствуют. После монографии [56] никаких аналогов или продолжения ее не последовало. Это обстоятельство крайне затрудняет создание теории процессов переноса (как системы взаимосвязанных моделей), адекватной реальным технологическим и аварийным режимам в угольных шахтах. Требуется более широкое привлечение к исследованиям физиков и математиков – прикладников, повышение общего научного уровня работ по моделированию физических процессов горного производства. Литературы, посвященной проблемам математического моделирования горных процессов крайне недостаточно (из фундаментальных работ автору известны лишь монографии [57, 58]). Модели теплопереноса в рассмотренной выборке относятся к моделям подземных пожаров. Модели горной теплофизики (т.е. модели шахтного теплопереноса в технологических режимах), развивающие парадигму, т.е. отличные от приведенных в частях 4 и 5 отсутствуют. Работы автора излагаются во втором томе настоящей монографии. «Проекция» моделей теплопереноса при пожарах на схему развития парадигмы согласно рис.6.1 приводит, как и в случае массопереноса, к аналогичным выводам. Имеющиеся модели пожаров относятся к первым трем группам парадигмы. Работ четвертой групп – обратные задачи переноса – нет. По трем первым группам заметим, что соответствующие модели имеют определенную новизну по таким признакам как объекты и системы. Новизна же с позиций технологии математического моделирования, т.е. предложения существенно новых моделей и методов их исследования отсутствуют. Этим подтверждается вывод о необходимости усиления (во всех смыслах этого слова) работы по математическому моделированию горных процессов, о чем, хотя и косвенно, высказываются в последнее время и горняки [59-62 ]. 625

Литература к дополнению

1. Алексеев А.Д., Фельдман Э.П. Василенко Т.А. и др. Массоперенос метана в угле, обусловленный совместной фильтрацией и диффузией. – ФТВД, 2004, т. 14, № 3, с. 107-118. 2. Калугина Н.А. Асимптотическое решение задачи выхода метана из угольного вещества. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.7. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2004, с. 236-242. 3. Алексеев А.Д., Васильковский В.А., Калугина Н.А. Кинетика и механизмы десорбции метана из угля. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.8. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2005, с. 9-21. 4. Стариков Г.П., Завражин В.В., Василенко Т.А., Старикова И.Г. Оценка газодинамического состояния угольного массива по диффузии метана из угля. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.8. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2005, с. 68-76. 5. Васильковский В.А., Ульянова Е.В. Некоторые аспекты интерпретации кинетики десорбции метана из каменного угля. В кн.: Физикотехнические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып. 9. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2006, с. 56-61. 6. Васильковский В.А., Молчанов А.Н., Калугина Н.А.Фазовые состояния и механизмы десорбции метана из угля. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд.вып. 9. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2006, с. 62-70. 7. Василенко Т.А. Влияние давления и температуры на количество метана в угле. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн.труд.вып.9. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2006, с. 89-96. 8. Калугина Н.А. Метод определения коэффициента фильтрации метана в угле. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.10. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2007, с. 24-28. 9. Алексеев А.Д., Васильковский В.А., Шажко Я.В. О распределении метана в каменном угле. В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.10. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2007, с. 29-38. 10. Кириллов А.К.Особенности десорбции газа из поровой структуры ископаемых углей. В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып. 8. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2005, с. 89-91. 11. Березовский Н.А., Греков С.П., Смоланов И.Н. Математическая модель выделения метана из отторгнутого куска угля. – Доклады НАН Украины, 2003, № 1, с. 13-17. 12. Греков С.П., Зинченко И.Н., Смоланов И.Н., Почтаренко Н.С. Проветривание шахтных накопительных бункеров в нормальном режиме

626

и в аварийных ситуациях. – Горноспасательное дело, 2003, № 40, с. 102-110. 13. Пашковский П.С., Греков С.П., Зинченко И.Н., Тында Г.Б. Математическая модель газотеплообменных процессов в слое зернистого материала. – Горноспасательное дело, 2005, № 42, с. 5-14. 14. Пашковский П.С., Греков С.П., Зинченко И.Н. Влияние десорбции метана в угольном скоплении на инкубационный период его самовозгорания. Горноспасательное дело, 2006, № 43, с. 5-15. 15. Малышев Ю.М., Трубецкой К.И., Айруни А.Т. Фундаментальноприкладные методы решения проблемы метана угольных пластов. – М.:Изд-во Академии горных наук, 2000. – 519 С. 16. Булат А.Ф., Репка В.В., Фичев В.В. О механизме газовыделения из угольного пласта в трещину гидроразрыва. – Доклады НАН Украины 2001, № 11, с. 36-39. 17. Павлыш В.Н., Гребенкин С.С. Физико-технические основы процессов гидравлического воздействия на угольные пласты. – Донецк: «ВИК», 2006. – 269 С. 18. Павлыш В.Н., Штерн Ю.М. Основы теории и параметры технологии процессов гидропневматического воздействия на угольные пласты. – Донецк: «ВИК», 2007. – 400 С. 19. Павлыш В.Н. Развитие теории и совершенствование технологии процессов воздействия на угольные пласты. – Донецк: РВА ДонНТУ, 2005. – 347 С. 20. Тында Г.В., Греков С.П. Динамика изменения концентрации кислорода в скоплении отторгнутого от массива угля и ее влияние на опасность самовозгорания. – В кн.: Пути повышения безопасности горных работ в угольной отрасли. – Макеевка: Из-во МакНИИ, 2004, с. 372-373. 21. Греков С.П., Цыганкевич Я.Я., Зинченко И.Н., Тында Г.В. Неизотермические процессы окисления в слое ископаемого угля различной газоносности и его самонагревание. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.9. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2006, с. 108-120. 22. Греков С.П., Зинченко И.Н., Кошовский Б.И., Стариков Г.П. Окислительные процессы в двухфазных средах. В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып.10. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2007, с. 19-23. 23. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1969. – 176 С. 24. Ржевский В.В., Братченко П.Ф., Бурчаков А.С., Ножкин Н.В. Управление свойствами и состоянием угольных пластов с целью борьбы с основными опасностями в шахтах. – М.: Недра, 1984. – 327С. 25. Приходько Н.К., Ильичев В.А., Касаткин В.В. и др. Закономерности миграции радионуклидов в массивах горных пород. – Горный журнал, 2003, №№ 4-5, с. 112-114.

627

26. Рудаков Д.В., Садовенко И.А. Прогноз долговременной локализации объекта радиационной опасности в шахтном поле. – Проблемы экологии, 2007, № 1-2, с. 20-25. 27. Кошевой Н.С. К вопросу определения фильтрационных свойств горных пород в безнапорных водоносных горизонтах. – Уголь Украины, 2004, № 11, с. 45-48. 28. Березовский А.А., Березовский С.А., Цыганкевич Я.Я. Математическая модель процесса самонагревания цилиндрического слоя угля. – Доклады НАН Украины, 2002, № 6, с. 93-98. 29. Пашковский П.С., Гусар Г.А. Аэротермодинамические процессы в выработанных пространствах сближенных крутых пластов. – Горноспасательное дело, 2004, № 41, с. 19-28. 30. Каледин Н.В., Калюсский А.Е., Сидоренко В.Н. Математическая модель горения метана в выработанном пространстве угольных шахт. – Горноспасательное дело, 2004, № 41, с. 36-41. 31. Пашковский П.С., Греков С.П., Зинченко И.Н. Влияние химической активности и влажности угля на процесс самонагревания – Горноспасательное дело, 2007, № 44, с. 17-25. 32. Греков С.П., Зинченко И.Н. Расчет параметров тепло – и массообмена в самонагревающемся угольном скоплении. – Горноспасательное дело, 2007, № 44, с. 26-33. 33. Прокопов В.Г., Фиалко Н.М., Меранова Н.О. Сравнительный анализ температурных режимов различных горных пород в условиях их нагрева пожарными газами. – Доклады НАН Украины, 2003, № 6, с. 70-73. 34. Осадчий А.В., Дикенштейн И.Ф., Яковлева Н.С., Гуржий В.В. Автоматическая противопожарная защита объектов энергоснабжения шахт. Горноспасательное дело, 2005, № 42, с. 63 – 68. 35. Дмитровкий С.Ю., Ревякин А.В. Динамика температуры в кабельных туннелях при рециркуляции продуктов горения. – Горноспасательное дело, 2006, № 43, с. 90-96. 36. Пашковский П.С., Брюм В.З., Ревякин А.В. Математическое моделирование динамики температуры при пожаре в шахтной вентиляционной сети. Горноспасательное дело, 2007, № 44, с. 12-17. 37. Иохельсон З.М., Бершадский И.А. Влияние параметров искры на воспламенение воздушной смеси. – Уголь Украины, 2007, № 9, с. 44-45. 38. Желюдев С.В. Расчет газодинамического режима подземного газогенератора. Уголь Украины, 2004, № 11, с. 33-34. 39. Айруни А.Т., Бобин В.А., Зверев И.Р. Теоретические основы формирования микроструктуры газонасыщенного угольного вещества. ФТПРПИ, 1985, № 5, с. 89-96. 40. Алексеев А.Д., Синолицкий В.В. Кинетика поглощения и выделения газа пористыми твердыми телами. – ИФЖ, 1985, т. 49, № 4, с. 648-654. 41. Эттингер И.Л. Растворимость и диффузия метана в угольных пластах. – ФТПРПИ, 1987, № 2, с. 79-90.

628

42. Эттингер И.Л., Радченко С.А. Время релаксации как характеристика метанопереноса в углях. – ФТПРПИ, 1988, № 4, с. 90-101. 43. Эттингер И.Л. Диффузионное поле в угольном пласте. – ФТПРПИ, 1991, № 4, с. 109-111. 44. Алексеев А.Д., Василенко Т.А., Синолицкий В.В. и др. Закрытые поры ископаемых углей. – ФТПРПИ, 1992, № 2, с. 99-106. 45. Эттингер И.Л. Метанонасыщенный угольный пласт как твердый метаноугольный раствор. – ФТПРПИ, 1990, № 2, с. 66-73. 46. Айруни А.Т., Бобин В.А. Модель макроструктуры угольного вещества. – Известия ВУЗов. Горный журнал. – 1987, № 2, с. 1-7. 47. Алексеев А.Д., Зайденварг В.Е., Синолицкий В.В., Ульянова В.В. Радиофизика в угольной промышленности. – Недра, 1992. – 184 С. 48. Христианович С.А. Неустановившееся движение жидкости и газа в пористой среде при резких изменениях давления во времени или больших градиентах пористости. ФТПРПИ, 1985, № 1, с. 3-18. 49. Христианович С.А. Избранные работы. – М.: Наука, Из-во МФТИ, 1998. – 336 С. 50. Зорин А.Н., Долинина Н.М., Колесников В.Г. Механика управления гетерогенным упруго-наследственным горным массивом. – Киев: Наукова думка, 1981 – 288 С. 51. Зорин А.Н., Колесников В.Г. Кинетика изменения состояния угольного пласта при технологическом воздействии. Уголь Украины, 1988, № 2, с. 7-9. 52. Стариков Г.П., Завражин В.В., Старикова И.Г.и др. Научные основы метода прогноза очагов самовозгорания угля. – В кн.: Физико-технические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып. 9. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2006, с. 102-107. 53. Рубинский А.А., Муравьева В.М. Связь механохимической деструкции в угле с выбросоопасностью угольных пластов. В кн.: Физикотехнические проблемы горного производства / Сб-к научн. труд. вып. 9. – Донецк: ИФГП НАНУ, 2006, с. 48-55. 54. Винокурова Е.Б., Кецлах А.И. Влияние природы газа на изменение модуля упругости газонасыщенных антрацитов. – ФТПРПИ, 1985, № 5, с. 96-98. 55. Ковалева И.Б., Лоскутников В.В., Шульман Н.В. Особенности газопереноса в ископаемых углях, проявляющиеся при резкой смене температур. – ФТПРПИ, 1992, № 1, с. 85-88. 56. Кузнецов С.В., Кригман Р.Н. Природная проницаемость угольных пластов и методы ее определения. М.: Наука, 1978. – 57 С. 57. Рогов Е.И., Грицко Г.И., Вылегжанин В.Н. Математические модели адаптации процессов и подсистем угольной шахты. – Алма-Ата: Наука, Казах.ССР, 1979. – 240 С. 58. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование динамических процессов рудничной аэрологии. – Киев: Наукова думка, 1981. – 284 С.

629

59. Деглин Б.Н. Блеск и нищета прогнозирования. – Уголь Украины, 2004, № 10, с. 31-35. 60. Деглин Б.Н. Прогнозируем ли мы газодинамические явления? – Уголь Украины, 2005, № 5, с. 37-38. 61. Любарский Б.С., Лунев С.Г., Люев В.А., Дорофеев К.В. Технологический аспект должен быть стержневым в современной концепции безопасности. Уголь Украины, 2004, № 10, с. 50-52. 62. Булат А.Ф., Бунько Т.В., Кокодикин И.Е. и др. Концепция безопасности: формирование или пересмотр? – Уголь Украины, 2004, № 10, с. 53-55.

Благодарности. Автор искренне благодарен д.т.н., проф. А.Т. Айруни и д.т.н., проф. А.М. Мореву, поддержавшим замысел этой книги. Большое спасибо способствовавшим ее изданию: директору ДонФТИ им. А.А. Галкина НАН Украины, д.ф.-м.н., проф. В.Н. Варюхину, заведующему отделом теории динамических свойств сложных систем этого института, д.ф.-м.н., проф. Ю.Г. Пашкевичу и сотрудникам отдела М.А. Белоголовскому, В.И. Коршиковой. Автор также признателен рецензентам книги и ее редактору.

Наукове видання

Венгеров І. Р. Теплофізика шахт і рудників Математичні моделі Том І. Аналіз парадігми (монографія у 2-х томах) Російською мовою

Редактор В. Л. Білявський Технічний редактор О. В. Пилипенко

Підписано до друку 26.09.2008 р. Формат 60х90/16. Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman. Друк лазерний. Ум. друк. арк. 15,7. Обл.-вид. арк. 16,5. Наклад 300 прим. Зам. № 18/09. Видавничий дім “Норд-Прес”. 83003, м. Донецьк, вул. Разенкова, 6. Тел.: 8 (062) 389-73-82, 389-73-86. Свідоцтво про держреєстрацію: ДК № 839 від 1.03. 2002 р.