Об одном классе операторов, сопутствующих дифференциальным операторам дроьного порядка

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2005. Том 46, № 6

УДК 517.927.2

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОПЕРАТОРОВ, СОПУТСТВУЮЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Т. С. Алероев Аннотация: Проведен спектральный анализ одного класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. Эти операторы имеют конкретные приложения в механике. Установлена связь между собственными значениями таких операторов и нулями функций типа МиттагЛеффлера. Приводятся достаточные условия вполне несамосопряженности. Ключевые слова: функция типа Миттаг-Леффлера, вполне несамосопряженный оператор, неотрицательное ядро, собственные функции, собственные значения, оператор дробного дифференцирования.

При решении краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают интегральные операторы следующего вида [1–4]: A[α,β] U (x) γ

Z1 = Cα,β

1/α−1

x

1/β−1

(1 − t)

Zx U (t) dt + Cγ

0

(x − t)1/γ−1 U (t) dt,

0

здесь α, β, γ, Cα,β , Cγ — действительные числа, причем α, β, γ положительны. В частности, функция Грина, построенная в [4] для краевой задачи типа Штурма — Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка [ρ,ρ] σ ∈ (1, 2), совпадает с ядром оператора Aγ , где ρ = σ −1 . В данной работе проведем спектральный анализ указанного класса интегральных операторов, установим связь между их собственными значениями и нулями функций типа Миттаг-Леффлера, а также дадим достаточные условия вполне несамосопряженности. Чтобы оттенить основные идеи, исследуем простейшие случаи. [α,β] Рассмотрим в пространстве L2 (0, 1) оператор Aγ при α = β = γ = ρ, 0 < ρ < 2. [ρ,ρ]

Лемма 1. Число λj является собственным значением оператора Aρ гда и только тогда, когда Eρ (λj ; 1/ρ) = 0.

то-

[ρ,ρ]

λ−1 j

Доказательство. Пусть Uj — собственная функция оператора Aρ — соответствующее собственное значение. Тогда

λ−1 j Uj (x)

1 = € (ρ−1 )

Z1

1/ρ−1

(x − t) 0

1 Uj (t) dt − € (ρ−1 )

Z1

, а

(x)1/ρ−1 (1 − t)1/ρ−1 Uj (t) dt.

0

(1) c 2005 Алероев Т. С.

1202

Т. С. Алероев

Введем оператор I

1/ρ

1 U (x) = € (ρ−1 )

Zx

(x − t)1/ρ−1 U (t) dt.

0

Имеем


x1/ρ−1 I 1/ρ Uj (x) − λ−1 , j Uj (x) = Cj € (ρ−1 )

где Z1 Cj =

(1 − t)1/ρ−1 Uj (t) dt,

0

или Uj (x) = −λj I 1/ρ Uj (x) = −

λj Cj 1/ρ−1 x . € (ρ−1 )

Отсюда следует, что Uj (x) = −(I − λj I 1/ρ )−1



 λj Cj 1/ρ−1 x . € (ρ−1 )

Резольвента оператора I 1/ρ хорошо известна [5]:  (x − t)1/ρ−1 Eρ(λ(x − t)1/ρ ; 1/ρ), 0 ≤ t ≤ x < 1, R(x, t; λ) = 0, x ≤ t < 1.

(2)

Поэтому 

Uj (x) =

−λj Cj  1/ρ−1 x + λj € (ρ−1 )

Zx



(x − t)1/ρ−1 Eρ λj (x − t)1/ρ ;





1 1/ρ−1  t dt . ρ

(3)

0

Так как 1 € (ρ−1 )

Z1

1/ρ−1

(x − t)



1/ρ

Eρ λj (x − t)

   1 1/ρ−1 2/ρ−1 1/ρ 2 ; t dt = x Eρ λ j x ; , ρ ρ

0

то Uj (x) = −Cj λj x1/ρ−1



  1 1/ρ 1/ρ 2 + λ x E λ x ; . j ρ j € (ρ−1 ) ρ

Учитывая, что     1 1/ρ 1/ρ 2 1/ρ 1 + λ x E λ x ; = E λ x ; , j ρ j ρ j € (ρ−1 ) ρ ρ получим   1 Uj (x) = −Cj λj x1/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; . ρ Последнее соотношение можно переписать так: 1/ρ

Uj (x) = −λj x



1/ρ

Eρ λ j x

1 ; ρ

 Z1 0

(1 − t)1/ρ−1 Uj (t) dt.

(4)

Об одном классе операторов

1203

Из (4) можно определить λj . Для этого обе части (4) умножим на (1 − x)1/ρ−1 и проинтегрируем по отрезку [0, 1]: Z1

(1 − t)1/ρ−1 Uj (t) dt

0

Z1 = −λj

1/ρ−1

(1 − t)

 Eρ λ j t

1/ρ

 Z1 1 1/ρ−1 t dt (1 − t)1/ρ−1 Uj (t) dt, ; ρ 0

0

или

Z1 1 = −λj

1/ρ−1

(1 − t)

 Eρ λ j t

1/ρ

 1 1/ρ−1 t dt. ; ρ

(5)

0

Так как Z1

1/ρ−1

(1 − t)

 Eρ λ j t

1/ρ

   1 1/ρ−1 2 −1 ; t dt = € (ρ )Eρ λj ; , ρ ρ

0

равенство (5) можно записать в виде   2 , 1 = −λj € (ρ−1 )Eρ λj ; ρ или

  1 2 + λ E λ ; = 0, j ρ j € (ρ−1 ) ρ

или, что то же самое,   1 = 0. Eρ λ j ; ρ
Пусть λj — нуль функции Eρ λj ; ρ1 . Покажем, что функция   1 Uj (x) = x1/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; ρ [ρ,ρ]

является собственной функцией оператора Aρ шение  x   Z 1  1/ρ−1 1/ρ 1 (x − t) E λ t ; t1/ρ−1 dt ρ j € (ρ−1 ) ρ

, т. е. что имеет место соотно-

0

Z1 −



  1 1/ρ−1  1/ρ−1 1/ρ 1 x E λ x ; t dt = λ−1 . ρ j j ρ ρ





x1/ρ−1 (1 − t)1/ρ−1 E λj t1/ρ ;

0

Для этого вычислим следующие интегралы: 1 I1 = € (ρ−1 )

Zx

1/ρ−1

(x − t)

 Eρ λ j t

1/ρ

 1 1/ρ−1 ; t dt; ρ

0

1 I2 = € (ρ−1 )

Z1

1/ρ−1

x 0

1/ρ−1

(1 − t)

 Eρ λ j t

1/ρ

 1 1/ρ−1 ; t dt. ρ

1204

Т. С. Алероев

По известной формуле М. М. Джрбашяна Z1 xα−1 Eρ (λx1/ρ ; α)(l − x)β−1 Eρ (µ(l − x)1/ρ ; β) dx 0

λEρ (l1/ρ λ; α + β) − µEρ (l1/ρ µ; α + β) α+β−1 l (α > 0, β > 0). λ−µ Имеем     2 2 ; I2 = x1/ρ−1 Eρ λj ; . I1 = x2/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; ρ ρ

Учитывая, что λj — нуль функции Eρ λ; ρ1 , получим, что x1/ρ Eρ x1/ρ ; ρ1 яв=

[ρ,ρ]

ляется собственной функцией оператора Aρ

. Так как x1/ρ−1 ∈ L2 (0, 1), то

Uj = x1/ρ−1 Eρ (λj x1/ρ ) ∈ L2 (0, 1). Лемма доказана. [ρ,ρ]

Теорема 1. (a) Ядро оператора Aρ неотрицательно, если ρ < 1. [ρ,ρ] (b) Если ρ > 1, то оператор Aρ является вполне несамосопряженным [6]. [ρ,ρ]

неотрицательно, провеДоказательство. То, что ядро оператора Aρ [ρ,ρ] ряется довольно просто: для этого достаточно оператор Aρ записать в виде  1  Z Zx 1  (x − xt)1/ρ−1 U (t) dt − (x − t)1/ρ−1 U (t) dt. A[ρ,ρ] Ux = ρ € (ρ−1 ) 0

0

[ρ,ρ] Aρ

Ясно, что при ρ > 1 ядро неотрицательно. [ρ,ρ] Теперь покажем, что при ρ > 1 оператор Aρ простой [6]. [ρ,ρ] Обозначим оператор Aρ через A. Надо показать, что A и A∗ не имеют общего инвариантного подпространства, на котором бы они совпадали. Как и в [6], тривиальное подпространство оператора A обозначим через H. Так как H содержится в подпространстве Z всех нулей оператора AI (мнимой компоненты A), достаточно показать, что L = {0}. Ясно, что  x  Z Z1 1  (x − t)1/ρ−1 U (t) dt − (t − x)1/ρ−1 U (t) dt (A − A∗ )U = € (ρ−1 ) 0

x

+ C0 x1/ρ−1 + C1 (1 − x)1/ρ−1 не имеет тривиального решения. Это и показывает, что оператор A простой. Замечание. (a) Из неотрицательности ядра при ρ < 1 следует, что теория, [ρ,ρ] развитая в [7], может быть применена к оператору Aρ . Это позволяет, в частности, полностью ответить на важнейшие вопросы, связанные с нулями функции Eρ (λ, ρ−1 ) при ρ < 1. [ρ,ρ] [ρ,ρ] (b) Из простоты оператора Aρ при ρ > 1 вытекает, что оператор Aρ полностью определяется своей характеристической матрицей-функцией. Чтобы не создалось впечатление, что указанным методом можно исследовать только функции вида Eρ (λ, ρ−1 ), изучим оператор Zx Zx 1 1 [α−1 ,ρ] 1/ρ−1 Aρ U (x) = (x − t) U (t) dt − x1/ρ−1 (1 − t)α−1 U (t) dt. € (ρ−1 ) € (ρ−1 ) 0

0

Об одном классе операторов

1205 [α−1 ,ρ]

Лемма 10 . Число λj будет собственным значением оператора Aρ и только тогда, когда Eρ (λj ; α) = 0.

тогда

[α−1 ,ρ]

Доказательство. Пусть Uj (x) — собственная функция оператора Aρ −1 а λj — соответствующее собственное значение. Тогда λ−1 j Uj (x)

1 = € (ρ−1 )

Zx

1/ρ−1

(x − t)

1 Uj (t) dt − € (ρ−1 )

0

Z1

,

x1/ρ−1 (1 − t)α−1 Uj (t) dt.

0

Введем обозначение Z1 Cj =

(1 − t)α−1 U (t) dt.

0

Тем самым

  1 Uj (x) = −Cj λj x1/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; ρ

или, что то же самое, 1/ρ−1

Uj (x) = −λj x



1/ρ

Eρ λ j x

1 ; ρ

 Z1

(1 − t)α−1 Uj (t) dt.

(6)

0

Из (6) определим λj . Для этого обе части (6) умножим на (1 − x)α−1 и проинтегрируем результат по отрезку [0, 1]. Тогда Z1

α−1

(1 − t)

Z1 Uj (t) dt = −λj

t

0

1/ρ−1

 Eρ λ j t

1/ρ

 Z1 1 α−1 ; (1 − t) dt (1 − t)α−1 Uj (t) dt. ρ

0

0

(7) Из (7) следует, что Z1 1 = −λj

  1 (1 − t)α−1 dt. t1/ρ−1 Eρ λj t1/ρ ; ρ

(8)

0

Так как Z1 t

1/ρ−1

 Eρ λj t

1/ρ

   1 1 α−1 ; (1 − t) dt = € (α)Eρ λj ; + α , ρ ρ

0

равенство (8) можно переписать в виде  1 = −λj € (α)Eρ

 1 λj ; + α , ρ

откуда вытекает, что   1 1 + λ j Eρ λ j ; + α = 0 € (α) ρ или, что то же самое, Eρ (λj ; α) = 0. Пусть λj — нуль функции Eρ (λ, α). Покажем, что функция   1 Uj (x) = x1/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; ρ

(9)

1206

Т. С. Алероев [ρ,α−1 ]

является собственной функцией оператора Aρ ношение  x   Z 1  1/ρ−1 1/ρ 1 (x − t) t1/ρ−1 dt E λ t ; ρ j € (ρ−1 ) ρ

, т. е. что имеет место соот-

0

Z1 −



x1/ρ−1 (1 − t)α−1 Eρ λj t1/ρ−1 ;





  1 1/ρ−1  1/ρ−1 1/ρ 1 t dt = λ−1 x E λ x ; . ρ j j ρ ρ

0

Для этого найдем следующие интегралы: 1 I1 = € (ρ−1 )

Zx

  1 1/ρ−1 (x − t)1/ρ−1 Eρ λj t1/ρ ; t dt, ρ

0

I2α =

1 € (ρ−1 )

Z1

  1 1/ρ−1 x1/ρ−1 (1 − t)α−1 Eρ λj t1/ρ ; t dt. ρ

0

Непосредственным вычислением с использованием уже приведенной формулы М. М. Джрбашяна нетрудно показать, что   1 2 λ−1 x1/ρ−1 . I1 = x2/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; , I2α = − ρ € (ρ−1 ) j Отсюда, учитывая, что λ0 — нуль функции Eρ (λ, α), получаем, что функция
−1 . x1/ρ−1 Eρ λj x1/ρ ; ρ1 является собственной функцией оператора Aρ,α ρ Лемма 10 доказана. [α−1 ,ρ]

Теорема 10 . (a) Ядро оператора Aρ (b) Если ρ > 1, то оператор

[α−1 ,ρ] Aρ

при ρ < 1, α <

[ρ,ρ]

и

[α−1 ,ρ] Aρ

неотрицательно.

является вполне несамосопряженным.

Доказательство. Выпишем ядра Kρ [ρ,ρ] Aρ

1 ρ

[α−1 ,ρ]

(x, t) и Kρ

(x, t) операторов

соответственно:

Kρ[ρ,ρ] (x, t) = [(1 − t)1/ρ−1 x1/ρ−1 − (x − t)1/ρ−1 ] при t ≤ x, −1

Kρ[α

[α−1 ,ρ]

,ρ]

(x, t) = [(1 − t)α−1 x1/ρ−1 − (x − t)1/ρ−1 ] при t ≤ x. [α−1 ,ρ]

Так как Kρ (x, t) неотрицательно при ρ > 1, то при α < ρ1 ядро Kρ (x, t) тем более будет неотрицательным. [α−1 ,ρ] Тот факт, что Kρ при ρ > 1 является вполне несамосопряженным, [ρ,ρ] проверяется буквально так же, как это делалось в случае оператора Kρ . Итак, теорема 10 доказана. Из нее, в частности, при ρ = α вытекают утверждения теоремы 1. Эта теорема позволяет исследовать функции Eρ (Z; µ) для любого µ независимо от значения ρ. [α,β] Из приведенных примеров, где ядро оператора Aρ неотрицательно или [α,β] сам оператор Aρ вполне несамосопряженный, уже ясно, что исследование [α,β] операторов Aρ по схеме, указанной здесь, эффективно решает проблемы, связанные с функциями Eρ (Z; µ).

Об одном классе операторов

1207

Рассмотрение операторов дробного дифференцирования позволяет также ответить на многие вопросы, связанные с функциями типа Миттаг-Леффлера, хотя и далеко не все функции Eρ (Z; µ) могут трактоваться как решения соответствующих дифференциальных уравнений дробного порядка. Изучение функций Eρ (Z; µ) при любых ρ, µ можно свести к исследованию [α,β] оператора Aρ при определенных α, β, ρ. В этом преимущество операто[α,β] ра Aρ перед оператором дифференцирования. Но самое важное — операторы дробного дифференцирования не обладают целым комплексом важнейших [α,β] свойств, присущих операторам Aρ . ЛИТЕРАТУРА 1. Кехарсаева Э. Р., Алероев Т. С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлорсодержащих полиэфиров на основе производных дробного порядка // Пластические массы. 2001. № 3. С. 35–36. 2. Кехарсаева Э. Р., Алероев Т. С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлорсодержащих полиарилатов на основе диана // Пластические массы. 2003. № 5. С. 24– 25. 3. Кехарсаева Э. Р., Алероев Т. С. К вопросу об одной модели деформационно-прочностных характеристик некоторых полиэфиров // Пластические массы. 2003. № 8. С. 35–36. 4. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБ НЦ РАН, 2000. 5. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 6. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. М.: Наука, 1969. 7. Красносельский М. А. Приближенные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969. Статья поступила 2 декабря 2003 г., окончательный вариант — 9 июня 2004 г. Алероев Темирхан Султанович Московская финансово-юридическая академия, кафедра общематематических дисциплин, ул. Большая Черемушинская, 17А, Москва 117447