Сибирский математический журнал Май—июнь, 2006. Том 47, № 3
УДК 517.55
ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА ПЛОСКОСТИ Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
Аннотация: Рассматривается задача Коши для уравнения Гельмгольца в произвольной ограниченной плоской области с данными Коши, известными только на участке границы области. Для решения этой задачи выводится формула типа Карлемана и приводится оценка условной устойчивости. Ключевые слова: задача Коши, уравнение Гельмгольца, формула Карлемана.
1. Постановка задачи и основные результаты. Пусть — ограниченная односвязная область в C с границей класса C ∞ , M ⊂ ∂ — объединение конечного числа замкнутых дуг. Для функции u(x, y) ∈ C 2 () ∩ C 1 () рассмотрим задачу Коши для уравнения Гельмгольца в : u(x, y) + ω 2 n(x, y)u(x, y) = 0, u(x, y)|M = u0 (x, y),
(x, y) ∈ , ∂ u(x, y) = u1 (x, y), ∂ν M
(1)
где ω = const, а функция n(x, y) класса Cα (), 0 < α < 1. Формулы, позволяющие находить решение эллиптического уравнения в случае, когда данные Коши известны лишь на части границы области, получили название формул типа Карлемана. В [1] Карлеман установил формулу, дающую решение уравнений Коши — Римана в области специального вида. Развивая его идею, Г. М. Голузин и В. И. Крылов [2] вывели формулу для определения значений аналитических функций по данным, известным лишь на участке границы, уже для произвольных областей. Формула типа Карлемана, в которой используется фундаментальное решение дифференциального оператора со специальными свойствами (функция Карлемана), была получена М. М. Лаврентьевым [3]. Применяя этот метод, Ш. Я. Ярмухамедов [4] построил функции Карлемана для операторов Лапласа и Гельмгольца с n(x, y) ≡ 1 для пространственных областей специального вида, когда часть границы области, где данные неизвестны, является конической поверхностью либо гиперповерхностью {x3 = 0}. Используя экспоненциально растущие решения, Икехата [5] получил формулу для решения уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом n(x, y) Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05–01–00250a) и Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–7157.2006.1), второго автора — при частичной поддержке NSF Grant DMS-0505470.
c 2006 Арбузов Э. В., Бухгейм А. Л.
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
519
для областей в пространстве, где неизвестные данные расположены на участке гиперповерхности {x · s = t}. Формулы типа Карлемана для различных эллиптических уравнений и систем получены также в работах [6–11]. В данной работе методом гасящей функции, предложенным Г. М. Голузиным и В. И. Крыловым, находится решение задачи (1) с переменным коэффициентом в произвольных ограниченных областях на плоскости. Доказываются формула типа Карлемана и оценка условной устойчивости. Введем обозначения: ¯ 1 (z), z = x + iy, u1 (z) = u(z) = u(x, y), u2 (z) = 2∂u 0 −1 2∂¯ 0 D= , Q= , 2∂¯ = ∂x + i∂y , 2∂ = ∂x − i∂y . ω 2 n(z) 0 0 2∂ Тогда ¯ 1 (z) = u(z) = −ω 2 n(z)u(z) 2∂u2 (z) = 2∂2∂u и уравнение u + ω 2 n(z)u = 0 можно записать в виде системы для векторфункции u(z) = (u1 (z), u2 (z)): (D + Q)u = 0. Для оператора P = D + Q cправедлива весовая формула Грина Z Z Z τ τ ] he Pu, vi dζ1 dζ2 = he u, P vi dζ1 dζ2 + heτ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds,
(2)
∂
где h·, ·i — скалярное произведение в C2 , τ — некоторое вещественное число, ∗ ∗ = (ζ) — матрица в C2 , P] = e−τ P∗ eτ , ν = (ν1 , ν2 )— вектор единичной 1 0 внешней нормали, I — единичная матрица и J = . 0 −1 В качестве возьмем матрицу ϕ(ζ) 0 = , 0 ϕ(ζ) ¯ где ϕ(z) = ψ(z)+iχ(z) — аналитическая в функция, обладающая следующими свойствами на границе области: ψ(z)|M 0 = 1,
ψ(z)|∂\M = 0,
ψ(z) ∈ C ∞ (∂),
(3)
здесь M 0 — замкнутое подмножество int M ненулевой меры. Тогда P] = −D∗ + Q] , где ¯ ω ¯ 2n ¯ (z)eτ (ϕ−ϕ) 2∂ 0 0 ] D∗ = , Q = . ¯ 0 2∂¯ −eτ (ϕ−ϕ) 0 Для каждой фиксированной точки z ∈ определим множество z,ε0 = \ B(z, ε0 ) и рассмотрим вектор-функцию −2∂Eω (ζ − z) ¯ ¯ , v = E − F , F = (f1 , f2 ), E = ¯ eτ (ϕ(ζ)−ϕ(ζ)) Eω (ζ − z) где Eω — фундаментальное решение оператора Гельмгольца + ω 2 . При этом для матрицы ¯ ω ¯ 2 eτ (ϕ−ϕ) 0 Q]1 = ¯ −eτ (ϕ−ϕ) 0
520
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
справедлива формула −2∂ −D∗ + Q]1 E = ¯ −eτ (ϕ−ϕ)
¯ ω ¯ 2 eτ (ϕ−ϕ) ¯ −2∂
¯ ω −2∂E τ (ϕ−ϕ) ¯ e Eω
Обозначим ∗
G= D −
Q]1 E
+
Q]1
]
−Q E=
=
( + ω 2 )Eω ¯ ¯ τ (ϕ−ϕ) −τ 2∂¯ϕe Eω
ω ¯ 2 (1 − n ¯ (ζ))Eω τ (ϕ−ϕ) ¯ ¯ ¯ Eω τ 2∂ ϕe
.
,
тогда для решения в z,ε0 системы (D∗ − Q] )F = G
(4)
получим (−D∗ + Q] )v = −D∗ + Q]1 E + Q] − Q]1 E − (−D∗ + Q] )F = 0. При этом из формулы (2) следует, что Z heτ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds =
Z heτ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds.
(5)
∂B(z,ε0 )
∂
Условия существования решения системы (4) даны в следующем утверждении, доказательство которого приводится в п. 2. 2 . Тогда можно указать число τ0 Лемма 1. Пусть G(ζ) ∈ Lp (), p = 1−α такое, что при τ > τ0 решение системы (4) существует в Cα () и для него выполняется оценка kF kCα () ≤ CkGkLp () ,
где константа C зависит от α, , w2 n(ζ). Используя асимптотические свойства фундаментального решения оператора Гельмгольца Eω (ζ) при ρ = |ζ| 1: Eω (ζ) = −
1 ln(ωρ) + O(1), 2π
∂ 1 Eω (ρ) = − + O(ρ ln ρ), ∂ν 2πρ
в силу того, что функции ϕ(ζ), F (ζ) ограничены в , а решение u(ζ) принадлежит C 2 (), получим, что при ε0 → 0 интеграл по ∂B(z, ε0 ) в (5) стремится к eτ ϕ(z) u(z). Следовательно, из равенства (5) приходим к формуле, выражающей значение решения задачи (1) в точке z по данным на всей границе области: Z u(z) = e−τ ϕ(z) heτ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds. (6) ∂
Ввиду условий (3) при ζ ∈ ∂ \ M , z ∈ будет eτ (ϕ(ζ)−ϕ(z)) → 0,
τ → ∞,
поэтому так как для правой части системы (4) в нашем случае имеем оценку kGkLp () ≤ τ C1 kEω kLp () , где константа C1 не зависит от τ , переходя к пределу при τ → ∞, получаем формулу для определения решения поставленной задачи. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
521
Теорема 1. Пусть E (z) = 4i H01 (ω|z|) — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом u(x, y)+ω 2 u(x, y) = 0, определяемое через функцию Ханкеля первого рода. Пусть функция F = (f1 (ζ), f2 (ζ)) при некотором τ0 является решением системы (4), −2∂Eω (ζ − z) v = E − F, E = . ¯ eτ (ϕ(ζ)−ϕ(ζ)) Eω (ζ − z) Тогда для любого z ∈ имеет место равенство Z e−τ ϕ(z) heτ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds. u(z) = lim τ →∞
M
Заметим, что значение u(z) не зависит от выбора функции F . Действиf также является решением системы (4). Тогда тельно, пусть F Z −τ ϕ(z) heτ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds, u(z) = e ∂
Z u ˜(z) = e−τ ϕ(z)
heτ u, (ν1 I − iν2 J)e vi ds.
∂
Для разности u(z) − u ˜(z) получим Z f− F )i ds ˜(z) = e−τ ϕ(z) heτ u, (ν1 I − iν2 J)(F u(z) − u ∂
Z f− F )i dζ1 dζ2 = 0, heτ u, (−D∗ + Q] )(F
−τ ϕ(z)
= −e
f являются решениями системы (4). так как F , F 2. Доказательство леммы 1. Переходя к компонентам соответствующих вектор-функций, систему (4) запишем в виде ¯ 1 (ζ) − ω 2 n(ζ)e−iτ 2χ(ζ) f2 (ζ) = g1 (ζ), 2∂f 2∂f2 (ζ) + eiτ 2χ(ζ) f1 (ζ) = g2 (ζ).
(40 )
Согласно [12] в качестве решения этой системы можно взять решение системы интегральных уравнений Z −iτ 2χ(η) Z 1 e 1 g1 (η) 2 f1 (ζ) + ω n(η)f2 (η)dη = − dη, 2π η−ζ 2π η−ζ
f2 (ζ) −
1 2π
Z
eiτ 2χ(η) 1 f1 (η)dη = − ¯ 2π η¯ − ζ
Z
g2 (η) dη, η¯ − ζ¯
где введено обозначение dη = dη1 dη2 . Следовательно, Z −iτ 2χ(η) Z 1 e 1 g1 (η) 2 f1 (ζ) = − ω n(η)f2 (η)dη − dη, 2π η−ζ 2π η−ζ
522
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
а функция f2 (ζ) является решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода Z iτ 2χ(η) Z −iτ 2χ(η0 ) 1 1 e e f2 (ζ) + ω 2 n(η 0 )f2 (η 0 ) dη 0 dη 2π η0 − η η¯ − ζ¯ 2π
=−
1 2π
Z
eiτ 2χ(η) 1 η¯ − ζ¯ 2π
Z
1 g1 (η 0 ) 0 dη dη − η0 − η 2π
Z
g2 (η) dη, η¯ − ζ¯
которое можно записать в виде 1 1 f2 + S(f2 ) = − T [eiτ 2χ(η) T [g1 ]] + T (g2 ) = G0 , 4 2
(7)
где 0 1 T [eiτ 2χ(η) T [e−iτ 2χ(η ) ω 2 n(η 0 )f (η 0 )]], 4 Z Z g(η) g(η) 1 1 dη. dη, T (g) = − T (g) = − π η−ζ π η¯ − ζ¯
S(f ) =
При p = 2/(1 − α) оператор T вполне непрерывен в Lp () и отображает это пространство на Cα (), причем выполняется оценка kT (f )kCα () ≤ M1,α kf kLp () .
(8)
Если ∂ ∈ Cαm+1 , m ≥ 0, то T вполне непрерывен в Cαm () и отображает это пространство в Cαm+1 (), при этом ∂x T (f ) = f +
(f ), где 1
(f ) = − V.p. π
Z
∂y T (f ) = −if + i
(f ), f (ζ) d ∈ Cαm (), (ζ − z)2
и k
(f )kC m () ≤ kT (f )kCαm+1 () ≤ M2,α kf kC m () . α
α
(9)
Указанные свойства доказаны в [12]. Таким образом, правая часть интегрального уравнения (7) принадлежит классу Cα (), и kG0 kCα () ≤
1 2 1 M1,α (||)1/p kg1 kLp () + M1,α kg2 kLp () . 4 2
Оператор S : Cα () → Cα () является вполне непрерывным. Здесь через || обозначена площадь области . В силу аналитичности функция ϕ(ζ) в имеет не более чем счетное множество стационарных точек ηi , в которых ϕ0 (ηi ) = 0 и
∇χ(ηi ) = 0.
Возьмем число δ > 0 и рассмотрим область δ = {ζ ∈ : dist(ζ, ∂) > δ}.
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
523
В ней содержится уже конечное число стационарных точек ηj , j = 1, . . . , N (δ). Выберем число 0 < δ1 < 1 так, что δ1 N (δ) < δ. Тогда сумма площадей всех кругов B(ηj , δ1 ), j = 1, . . . , N (δ), будет меньше πδ. Рассмотрим области ! ! N (δ) N (δ) [ [ (δ, δ1 ) = δ+δ1 \ B(ηj , δ1 ) , (δ, 2δ1 ) = δ+2δ1 \ B(ηj , 2δ1 ) . j=1
j=1
В этом случае dist(ζ, ηi ) > δ1 для любого ζ ∈ (δ, δ1 ) и любой стационарной точки ηi . Далее, по известному свойству разбиения единицы найдется такая функция h ∈ C0∞ (), что 0 ≤ h ≤ 1, h ≡ 1 в замыкании (δ, 2δ1 ) и h ≡ 0 в замыкании \ (δ, δ1 ). Обозначим Z −iτ 2χ(η0 ) 2 e ω n(η 0 )f2 (η 0 ) 0 1 dη = T (e−iτ 2χ ω 2 nf2 )(η). T1 (f2 )(η) = − π η0 − η
Тогда в силу неравенства (9) имеем kT1 (f2 )kC 1 () ≤ ω 2 nα τ α χα M2,α kf2 kCα () , α
где nα = kn(ζ)kCα () ,
τ α χα = ke−iτ 2χ(ζ) kCα () ,
кроме того, kT1 (f2 )kC() ≤ 2 diam ω 2 nα kf2 kCα () . В этом случае для любого ζ ∈ Z iτ 2χ(η) e T1 (f2 )(η) 1 dη S(f2 )(ζ) = − 4π η¯ − ζ¯ Z iτ 2χ(η) Z iτ 2χ(η) 1 e T1 (f2 )(η) 1 e T1 (f2 )(η) =− (1 − h(η)) dη − h(η) dη. ¯ 4π 4π η¯ − ζ η¯ − ζ¯
Для первого слагаемого справедлива оценка
Z iτ 2χ(η)
1
e T1 (f2 )(η)
(1 − h(η)) dη
4π ¯ η¯ − ζ Cα ()
M1,α iτ 2χ(η) ke T1 (f2 )(η)(1 − h(η))kLp () 4 M1,α M1,α (|1 |)1/p kT1 f2 kC() ≤ (|1 |)1/p diam ω 2 nα kf2 kCα () , ≤ 4 2 где 1 = \ (δ, 2δ1 ), поэтому за счет выбора δ оно может быть сделано сколь угодно малым. Для оценки второго слагаемого рассмотрим такую функцию hζ ∈ C0∞ (), что 0 ≤ hζ ≤ 1 и hζ ≡ 1 в замыкании (δ, δ1 ) \ B(ζ, 2δ1 ) и hζ ≡ 0 в замыкании B(ζ, δ1 ). Тогда Z iτ 2χ(η) Z iτ 2χ(η) e T1 (f2 )(η) 1 e T1 (f2 )(η) 1 h(η) dη = h(η)(1 − hζ (η)) dη ¯ 4π 4π η¯ − ζ η¯ − ζ¯ Z iτ 2χ(η) 1 e T1 (f2 )(η) + h(η)hζ (η) dη. 4π η¯ − ζ¯ ≤
524
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
При этом первое выражение оценивается величиной
Z iτ 2χ(η)
1 e T1 (f2 )(η)
h(η)(1 − h (η)) dη ζ
4π η¯ − ζ¯ Cα ()
M1,α (|2 |)1/p diam ω 2 nα kf2 kCα () , 2 где 2 = (δ, δ1 ) ∩ B(ζ, 2δ1 ), и поэтому за счет выбора δ оно также может быть сделано сколь угодно малым. Оставшийся интеграл берется по области 3 = (δ, δ1 ) \ B(ζ, δ1 ), в которой отсутствуют стационарные точки функции χ(η). Следовательно, во всех точках 3 справедливо представление iτ 2χ(η) ¯ 2∂χ(η)2∂e . eiτ 2χ(η) = 2 ¯ i2τ |2∂χ(η)| ≤
Так как hhζ = 0 на ∂3 , то, интегрируя по частям и учитывая равенства χ(η) = 0,
2∂
1 = 0, η¯ − ζ¯
приводим интеграл к виду ¯ Z 2∂χ(η) iτ 2χ(η) h(η)hζ (η) 1 T1 (f2 )(η) 2∂ e dη. 2 ¯ 8τ πi η¯ − ζ¯ |2∂χ(η)| 3
Норма в Cα () этого интеграла оценивается следующей величиной:
¯ 1 2 1/p 2∂χ C (h, hζ )kf2 kCα () . ω nα χα M1,α M2,α (|3 |) ¯ 2 C 1 ( ) 1 8τ 1−α |2∂χ| 3 Следовательно, существует τ0 такое, что для любого τ > τ0 оператор S является сжимающим, и f2 находится методом последовательных приближений, а 1 1 f1 = T (e−iτ 2χ ω 2 nf2 ) + T (g1 ). 2 2 При этом для некоторого c0 > 1 выполняются оценки 1 2 1 0 1/p kf2 kCα () ≤ c M (||) kg1 kLp () + M1,α kg2 kLp () , 4 1,α 2 kf1 kCα () ≤ откуда
1 (M1,α ω 2 nα ||1/p kf2 kCα () + M1,α kg1 kLp () ), 2 kF kCα() ≤ CkGkLp () ,
где константа C не зависит от τ . Заметим, что если ω 2 nα <
1 , diam()2
то, оценивая норму оператора S : C() → C(), получим Z Z ω 2 kn(ζ)kC() 1 1 kSk ≤ dη 0 dη ≤ ω 2 nα (diam )2 < 1. ¯ 4π |η 0 − η| |¯ η − ζ|
Следовательно, в этом случае функция f2 (ζ) находится методом последовательных приближений для любого значения τ .
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
525
3. Оценка условной устойчивости. Из полученной в теореме 1 формулы типа Карлемана следует оценка решения исходной задачи. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда при любом z ∈ для решения задачи (1) справедлива оценка ∀ε > 0 |u(z)| ≤ εl(u) + C(ε)kukC 1 (M ) , где C(ε) = ε1−2/ψ(z) (ψ(z)/C0 )−2/ψ(z) ,
l(u) = kukC 1 (∂\M ) ,
ψ(z) = Re ϕ(z),
а C0 — константа, зависящая от kEω (ζ − z)kC 1 (∂) , |∂|, kEω kLp () , C. Действительно, оценивая решение задачи, найденное по формуле Карлемана, получим |u(z)| ≤ C0 τ e−τ ψ(z) kukC 1 (∂\M ) + τ C0 e−τ ψ(z) eτ kukC 1 (M ) . Так как при τ =−
2 ln ψ(z)
ε ψ(z) C0
выполняется неравенство C0 τ e−τ ψ(z) ≤ ε, имеем
−τ ψ(z) τ
τ C0 e
e ≤ε
2 − ψ(z) ε = C(ε). ψ(z) C0
Замечание. Взяв изначально в качестве Eω фундаментальное решение уравнения Лапласа E0 , можно также получить формулу типа Карлемана для уравнения Гельмгольца, но уже через эту более простую функцию. Кроме того, при ω = 0 полученная формула дает решение задачи Коши для уравнения Лапласа. В этом случае функции f1 (ζ), f2 (ζ) являются решениями уравнений Коши — Римана ¯ 1 (ζ) = 0, 2∂f
¯ 2∂f2 (ζ) + eiτ 2χ(ζ) f1 (ζ) = τ 2∂ϕeτ (ϕ−ϕ) E0 .
ЛИТЕРАТУРА 1. Carleman Т. Les fonctions quasi analytiques. Paris: Gautier-Villars et Cie., 1926. 2. Голузин Г. М., Крылов В. И. Обобщенная формула Carleman’a и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат. сб.. 1933. Т. 40, № 2. С. 144–149. 3. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1962. 4. Ярмухамедов Ш. Я. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, № 2. С. 281–283. 5. Ikehata M. The enclosure method and its applications. Analytic extension formulas and their applications. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2001. 6. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1990. 7. Айзенберг Л. А., Тарханов Н. Н. Абстрактная формула Карлемана // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 6. С. 1292–1296. 8. Махмудов О. И., Ниезов И. Э. Регуляризация решений задачи Коши для системы теории упругости в бесконечной области // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 4. С. 548–553. 9. Махмудов О. И. О задаче Коши для эллиптических систем в пространстве Rm // Мат. заметки. 2004. Т. 75, № 6. С. 849–860. 10. Arbuzov E. V., Bukhgeim A. L. Carleman’s formulas for A-analytic functions in a half-plane // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1997. V. 5, N 6. P. 491–505.
526
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
11. Арбузов Э. В. Задача Коши для эллиптических систем второго порядка на плоскости // Сиб. мат. журн.. 2003. Т. 44, № 1. С. 3–20. 12. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. Статья поступила 28 декабря 2004 г. Арбузов Эдуард Витальевич Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
[email protected], Бухгейм Александр Львович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 Current address: Wichita State University
[email protected],
[email protected]
