Физика: Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделам: ''Физические основы механики'', ''Молекулярная физика''

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

ФИЗИКА Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделам: “Физические основы механики”, “Молекулярная физика” Факультеты: все Направление подготовки дипломированного специалиста 650000 – техника и технологии Направление подготовки бакалавра 550000 – технические науки

Санкт-Петербург 2004

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 53(07) Физика: Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб.: СЗТУ, 2004. – 144 с. Данное пособие разработано в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по

направлению подготовки дипломированного специалиста 650000 –

“Техника и технологии” и отнесенных к нему специальностей и направлению подготовки бакалавра 550000 – “Технические науки”. Настоящая брошюра содержит методические указания к выполнению лабораторных работ по следующим разделам дисциплины “Физика”: Физические основы механики. Молекулярная физика. Рассмотрено на заседании кафедры физики 04.03.2004 года; одобрено методической комиссией факультета системного анализа и естественных наук 21.06.2004 года. Рецензенты: К.Г.Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., зав.кафедрой физики СПбГТУТД; В.М.Грабов, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры физики РГПУ им. А.И. Герцена. Под общей редакцией А.Б.Федорцова, д-ра физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой физики СЗТУ. Научные

редакторы:

Е.А.Лиходаева,

канд.

техн.

наук,

доц.;

В.Б.Харламова, доц. Составители: А.С.Иванов, канд. техн. наук, доц.; Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф.; Ю.И.Кузьмин, канд. физ.-мат. наук, доц.; Г.А.Курбатов, канд. техн. наук, доц.; Е.А.Лиходаева, канд. техн. наук, доц.; С.В.Михайлова, канд. пед. наук; И.Г.Орехова, канд. техн. наук, доц.; В.Б.Харламова, доц.; В.М.Цаплев, д-р.техн.наук, проф.; Д.В.Косицкий, асп. © Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2004 2

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Охрана труда и техника безопасности при проведении лабораторных работ Соблюдение техники безопасности при выполнении лабораторных работ по курсу физики производится в соответствии со следующими государственными стандартами: 1. ГОСТ 12.1.019-79. ССБТ. Электробезопасность. Общие требования и номенклатура видов защиты. 2. ГОСТ 12.1.030—81. ССБТ. Электробезопасность. Защитное заземление. Зануление. 3. ГОСТ 12.2.032—78. ССБТ. Рабочее место при выполнении работ сидя. Общие эргономические требования. К выполнению лабораторных работ допускаются студенты, изучившие методические указания к выполнению лабораторных работ, прошедшие инструктаж по технике безопасности и обученные безопасным методам работы. О прохождении инструктажа делается запись в журнале учета прохождения инструктажа по технике безопасности, которая подтверждается собственноручными подписями студентов, прошедших инструктаж, и преподавателя или дежурного лаборанта, проводившего его. Перед проведением лабораторной работы необходимо проверить надежность заземления электроизмерительных приборов и установок. Перед включением оборудования необходимо убедиться в отсутствии посторонних предметов в рабочей зоне и предупредить товарищей о начале лабораторной работы; до начала работы приборы должны быть выключены. В случае обнаружения неисправностей, связанных с токопроводящими проводниками, изоляцией, греющимися токонесущими частями, необходимо немедленно прекратить работу и обратиться к преподавателю или дежурному лаборанту.

3

После окончания лабораторной работы необходимо выключить электроизмерительные приборы. Запрещается: -

находиться в помещении в верхней одежде;

-

оставлять без надзора включенную лабораторную установку;

-

выполнять работу в отсутствие преподавателя или дежурного лаборанта;

-

класть сумки и другие личные вещи на столы и лабораторную технику.

Студенты, не соблюдающие правила техники безопасности, отстраняются от проведения лабораторных работ. Требования к оформлению отчетов По каждой лабораторной работе оформляется отчет, который должен содержать: 1) номер и название работы; 2) формулировку цели работы; 3) физическое обоснование цели работы и метода измерения; 4) рабочую формулу с расшифровкой всех буквенных обозначений; 5) результаты прямых измерений и вычислений; 6) там, где это предусмотрено работой, график; 7) вычисление искомой величины по рабочей формуле; 8) вывод формулы относительной погрешности (неопределенности) косвенного измерения и результат расчета по этой формуле; 9) оценку погрешности (неопределенности) измерения искомой величины. При оценке неопределенностей прямых и косвенных измерений студент должен руководствоваться правилами обработки результатов измерений, приведенными в данных указаниях на с. 6…12. 10) подпись студента и дату выполнения данной лабораторной работы. 4

Библиографический список Основной:

1. Трофимова Т.И. Курс физики. –М.: Высш. шк., 2001 и др. года изданий.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.: Высш. шк., 2004 и др. года изданий. Дополнительный:

3. Савельев И. В. Курс общей физики. −М.: Наука, 1989 и др. года изданий.

4. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. – М.: Наука, 1970.

5

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Любое измерение неизбежно связано с некоторой ошибкой. Это приводит к неопределенности результата измерений. Неопределенности (погрешности) результатов измерений имеют три вида составляющих: случайные, систематические и промахи. В каждой конкретной лабораторной работе необходимо оценить, какой вклад вносит каждая составляющая неопределенности в результат измерения данной величины. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Прямыми называют измерения, при которых результат получается непосредственно по отсчетному устройству прибора. I. Учет случайных составляющих неопределенности (погрешности) Случайные составляющие погрешности (неопределенности) измерений вызываются рядом мелких, неконтролируемых обстоятельств. Они подчиняются законам математической статистики. При оценке таких неопределенностей, предполагают, что они являются случайными величинами, малыми по сравнению с самой измеряемой величиной и распределены по нормальному (гауссову) закону. Для оценки неопределенности измерений, которую вносят случайные составляющие, необходимо выполнить следующее: 1. Провести n измерений величины х. Результаты измерений х1, х2… хn занести в таблицу по форме 1. Измерения должны быть многократными (число измерений n указывается преподавателем). 2. На основе полученных значений х1, х2… хn вычислить среднее арифметическое значение х по формуле:

1 n xср = ∑ xi . n i =1 6

(1)

3. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений (хi) от среднего арифметического значения (хср – хi), а затем рассчитать квадратичное отклонение (хср – хi)2. Полученные данные занести в таблицу по форме:

N

(хср – хi)2

(хср – хi)

хi

опыта 1 2 3

4. По данным последней колонки формы определить среднее квадратичное отклонение (СКО) результата серии из n измерений от среднего арифметического значения хср. по формуле:

∑ (xср − xi )

2

n

S ( хср ) =

i =1

n(n − 1)

.

(2)

Замечание: В международных документах, основанных на «Руководстве по выражению неопределенности измерений» среднее квадратичное отклонение (СКО) обозначается термином стандартная неопределенность (Uс). 5. Оценить доверительный интервал, т.е. интервал, в котором с требуемой доверительной вероятностью р находится измеряемая величина х. Значение р задается преподавателем исходя из требований конкретного эксперимента. Границы доверительного интервала для измеряемой величины х определяются по формуле: хср ± Δ х, где Δx = t ( p,n )S(хср ) , где t(p,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от р и n. 7

(3)

Определить коэффициент Стьюдента при выбранной доверительной вероятности р и данном числе измерений n можно из табл. 1. 6. Записать результат прямого измерения в виде: (хср – Δ х)…(хср + Δ х). Такая запись означает, что измеренная величина х с доверительной вероятностью р находится в интервале от (хср – Δ х) до (хср + Δ х). Например, если при измерении диаметра d шарика микрометром, среднее арифметическое значение dср. = 5,29 мм, расчетное значение границы доверительного интервала составляет Δd = 0,01 мм, то ответ имеет вид: d = (5,28…5,30) мм. Следует заметить, что для всех измеряемых в данной лабораторной работе величин задается одно и то же значение доверительной вероятности р. Таблица 1 0.68

0.8

0.9

0.95

0.98

0.99

0.999

2

1.3

1.9

6.31

12.71

31.82

63.66

636.62

3

1.3

1.6

2.92

4.30

6.69

9.92

31.60

4

1.2

1.5

2.35

3.18

4.54

5.84

12.94

5

1.2

1.5

2.13

2.78

3.75

4.60

8.61

6

1.1

1.4

2.02

2.57

3.36

4.03

6.86

7

1.1

1.4

1.94

2.45

3.14

3.71

5.96

8

1.1

1.4

1.90

2.36

3.00

3.50

5.40

9

1.1

1.4

1.86

2.31

2.90

3.36

5.04

10

1.1

1.3

1.83

2.26

2.82

3.25

4.78

50

1.1

1.3

1.7

2.0

2.7

100

1.0

1.3

1.7

2.0

2.6

∞

1.0

1.6

2.0

2.6

p n

8

II. Учет неопределенностей, обусловленных систематическими ошибками

Такие неопределенности (систематические погрешности) связаны с методом или средством измерений. Оценка таких погрешностей (неопределенностей) обычно проводится разработчиком или изготовителем прибора. Существует несколько способов оценки таких неопределенностей при использовании прибора в лаборатории в рекомендованных условиях его работы. 1. Используя информацию, приведенную в паспорте прибора. В паспорте прибора указывается предел допустимой неопределенности (погрешности) δ или приводится расчетная формула для ее вычисления. 2. На основании класса точности прибора. Многие приборы (амперметры, вольтметры, ваттметры и др.) нормируются по приведенной погрешности, выражаемой в процентах от верхнего предела измерений. Максимальная погрешность (неопределенность) измерений прибором в этом случае вычисляется по формуле:

δ=

k ⋅ xm , 100

(4)

где k – класс точности прибора; xm – верхний предел измерений прибора. 3. По цене деления прибора. Если класс точности прибора не указан, то за погрешность (неопределенность) δ прибора принимают половину цены наименьшего деления шкалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается неравномерно, погрешность прибора считают равной цене деления прибора. (Это, например, имеет место у механического секундомера, стрелка которого перемещается скачками). Граница доверительного интервала, определяемая систематическими ошибками, определяется по формуле: δ ΔxB = t ∞ ⋅ , 3

9

(5)

где t∞ – коэффициент Стьюдента при n = ∞; δ – доверительная граница систематической погрешности. III. Промахи

Грубые ошибки (промахи) – это ошибки измерения, возникающие в результате погрешности оператора, неверного отсчета по прибору, неправильного включения прибора или недостатка внимания экспериментатора. Внешним признаком промаха является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. Получив такой результат, его следует исключить из дальнейших расчетов. IV. Доверительный интервал в общем случае

В общем случае необходимо учитывать как случайные, так и систематические неопределенности (погрешности) измерений. Тогда границы доверительного интервала для суммарной неопределенности можно вычислить по формуле: Δx =

(ΔxA )2 + (ΔxB )2 ,

(6)

где ΔxA = t ( p ,n )S ( хср ) – граница доверительного интервала, обусловленного случайными ошибками измерений; ΔxB = t ∞ ⋅

δ – граница доверительного ин3

тервала, вызванная систематическими ошибками измерений. При определении границ доверительного интервала неопределенности (погрешности) измерений, обусловленных вкладом как случайных, так и систематических ошибок, вычисление ΔхА и ΔхВ следует проводить при одном и том же значении доверительной вероятности р. В практике учебных лабораторных работ обычно принято брать значение доверительной вероятности р = 0,68, тогда коэффициент Стьюдента при n = 10 составляет t = 1,1, а при n = ∞ t

∞

= 1,0. Вероятность р = 0,68 означает,

что результат измерения величины х с вероятностью 68 % попадает в интервал (хср - Δx)…( хср + Δx), т.е. примерно каждое третье измерение дает результат за пределами данного интервала. 10

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Косвенными являются измерения, при которых искомую физическую величину Z определяют путем вычислений по результатам прямых измерений других величин. Поэтому после проведения прямых измерений и оценки их неопределенностей (погрешностей) необходимо вычислить среднее значение искомой величины (Zср) по рабочей формуле, в которую подставляют средние значения величин, полученных из прямых измерений. 2. Для оценки неопределенностей (погрешностей) косвенных измерений величины Z необходимо вывести формулу для ее относительной погрешности γ. Пусть искомая величина Z является функцией нескольких переменных: Z = f (Y1 ,Y2 …Ym ) .

Тогда 2

2

2

' ⎛ f Ym ⎛ f Y' 1 ΔY1 ⎞ ⎛ f Y' 2 ΔY2 ⎞ ΔYm ⎞ ΔZ ⎟⎟ , ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + … + ⎜⎜ γ= = ⎜⎜ Z Z ⎝ Z ⎠ ⎝ Z ⎠ ⎝ ⎠

где f Y' m =

(7)

∂Z – частные производные, которые вычисляются при средних зна∂Ym

чениях результатов прямых измерений Ym ; Δ Ym – граница доверительного интервала для прямого измерения Ym .

Формула для расчета относительной неопределенности косвенных измерений в некоторых простейших случаях представлена в табл. 2, где символы ΔY

обозначают

границы

доверительного

величин Y .

11

интервала

для

измеряемых

Таблица 2 Относительная стандартная неопределенность

Вид функциональной

γ=

зависимости

2

2

2

2

Z = Y1Y2

⎛ ΔХ1 ⎞ ⎛ ΔХ2 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ Y1 ⎠ ⎝ Х 2 ⎠

Z = Y1 / Y2

⎛ ΔХ1 ⎞ ⎛ ΔХ2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ Y Х ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

β 2

Z

(ΔХ1 )2 + (ΔХ2 )2 (Y1 ± Y2 )

Z = Y1 ± Y2

α 1

ΔZ

γ m

Z = Y ,Y …Y

2

⎛ ΔХ m ⎞ ⎛ ΔХ ⎞ ⎛ ΔХ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + … γ 2 ⎜⎜ α ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + β 2 ⎜⎜ Y Х Х ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ m ⎠

2

2

3. После вывода формулы относительной погрешности необходимо по ней вычислить значение γ, а затем определить доверительный интервал ΔZ искомой величины: ΔZ = Zср . γ.

Окончательный результат следует представить в стандартной форме: (Zср – Δ Z)…(Zср + Δ Z).

12

РАБОТА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА 1. Цель работы

Целью данной работы является получение студентами практических навыков измерений физических величин, правильной оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений и усвоение логической последовательности в оформлении протокола эксперимента. Главная задача – закрепление на практике основных положений теории неопределенностей при измерениях физических величин. 2. Основные теоретические положения

Данная работа является первым экспериментом при изучении дисциплины “Физика”. Получение и закрепление навыков проведения и обработки результатов прямых и косвенных измерений имеет смысл проводить на простейших моделях. В качестве такой модели выбран сплошной цилиндр. Перед выполнением лабораторной работы студенту следует ознакомиться с методикой измерений с помощью штангенциркуля, правилами обработки результатов измерений, изложенными в данном пособии на с. 6-12, а также подробно изучить приведенный ниже пример – Измерение объема конуса. Этот пример позволит закрепить правила оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений, усвоить структуру отчета по эксперименту. Пример. Измерение объема конуса

На рис. 1 представлено тело в виде конуса. Пусть необходимо определить объем конуса. Расчетной формулой в этом случае является 1 1 V = S ⋅ H = πD 2 H , 3 12 где D – диаметр конуса; Н – высота конуса.

13

(1)

H

D

Рис. 1 Прямые измерения – это измерения высоты и диаметра конуса, а определение его объема

является косвенным измерением на основе рабочей

формулы (1). Измерения высоты и диаметра будем проводить штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм. Правила работы со штангенциркулем приведены в приложении данной работы. Проведем серию из n измерений D и Н. Данные прямых измерений D и Н занесем в табл. 1 для числа измерений n = 10. Оценим отдельно вклад случайных и систематических (приборных ошибок) в вычислении неопределенности (погрешности) прямых измерений. Будем считать, что случайные ошибки измерений подчиняются закону нормального распределения. Грубые ошибки (промахи) исключаем из измерений.

14

Таблица 1 №

Н,

(Нср-Нi),

(Нср-Нi)2,

D,

(Dср-Di),

(Dср-Di)2,

опыта

мм

мм

мм2

мм

мм

мм2

1

43,25

0,05

0,003

18,45

0,04

0,002

2

43,15

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

3

43,20

0,00

0,0000

18,45

0,04

0,002

4

43,15

0,05

0,003

18,35

0,06

0,004

5

43,25

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

6

43,25

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

7

43,15

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

8

43,20

0,00

0,0000

18,40

0,01

0,0001

9

43,15

0,05

0,003

18,45

0,04

0,002

10

43,25

0,05

0,003

18,35

0,06

0,004

Сред-

43,20

18,41

нее

Обработка результатов прямых измерений

1. Определить среднее арифметическое значение измеряемых величин по формуле: 1 n Н ср = ∑ Н i , n i =1

(2)

1 n Dср = ∑ Di . n i =1

(3)

аналогично

Результаты вычислений по этим формулам дают: Нср = 43,20 мм, Dср = 18,42 м.

15

2. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений Di и Нi от их средних арифметических значений, а затем рассчитать квадратичные отклонения. Результаты записать в табл. 1. 3. По данным табл. 1 определить среднее квадратичное отклонение S результата серии из n=10 измерений для диаметра и высоты конуса. Вычисления S(Hср) и S(Dср) нужно провести по формулам: n

S ( Н ср ) =

2 ∑ ( Н ср − Н i )

i =1

,

n( n − 1 )

(4)

аналогично n

S ( Dср ) =

2 ∑ ( Dср − Di )

i =1

n( n − 1 )

.

(5)

Вычисления дают следующие значения: S(Hср) = 0,016 мм, S(Dср) = 0,012 мм. Так как измерения производятся штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм, то данные для S(Hср) и S(Dср) следует округлить до сотых. Тогда

S(Hср) = 0,02 мм, S(Dср) = 0,01 мм.

4. Следующий этап – оценка доверительного интервала, т.е. интервала, в котором с заданной вероятностью р находится измеряемая величина. Границы доверительных интервалов для измеряемых величин определяются по формулам:

ΔН А = t( p ,n ) ⋅ S ( H ср ) ;

(6)

ΔDА = t( p ,n ) ⋅ S ( Dср ) ,

(7)

где t(p,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от р и n. Значение t(p,n) при заданных значениях р и n представлены в табл. 1 на с. 8 в данных указаниях. В

практике

учебных

лабораторий

р ~ ( 0 ,68 ÷ 0 ,9 ). 16

принято

брать

значение

В нашем случае мы имеем дело с достаточно точными измерениями и можем считать р~0,9. Тогда, как видно из табл. 1 на с. 8, при р = 0,9 и n = 10 коэффициент Стьюдента t(p,n) =1,83. С учетом этого вычислим значение ΔН А и ΔD А : ΔH А = 1,83.0,02 мм = 0,0276 мм ~ 0,02 мм;

ΔDА = 1,83.0,01 мм = 0,0183 мм ~ 0,02 мм. 5. Теперь оценим вклад систематических (приборных) ошибок в наши измерения. При измерениях с помощью штангенциркуля систематическую составляющую неопределенности будем считать равной половине цены деления штангенциркуля, то есть ΔН В = ΔН А = 0,025 мм ~ 0,03 мм. В данном случае приборная ошибка соизмерима со случайными ошибками. Поэтому необходимо оценить границу доверительного интервала для суммарной неопределенности, обусловленной обоими типами ошибок. Вычисление будем проводить по формуле:

Δх = ( ΔхА )2 + ( ΔхВ )2 ,

(8)

где х – измеряемая величина; ΔхА – граница доверительного интервала, обусловленная случайными ошибками измерений; ΔxB – граница доверительного интервала, вызванная систематическими ошибками. Вычисления по формуле (9) дают:

ΔН = ( ΔН А )2 + ( ΔН В )2 = 9 + 9 ⋅ 10 −2 = 0,043 мм ; ΔD = ( ΔDА )2 + ( ΔDВ )2 = 4 + 9 ⋅ 10 −2 = 0,036 мм . В соответствии с правилами округления можно принять ΔH = 0,04 мм ; ΔD = 0,04 мм . 6. Результаты прямых измерений следует записать в стандартной форме: ( Dср − ΔD )…( Dср + ΔD ) ; ( Н ср − ΔН )…( Н ср + ΔН ) . 17

Н = ( 43,16… 43,24 ) мм ;

Окончательно:

D = ( 18,37…18,45 ) мм. Обработка результатов косвенных измерений

После проведения прямых измерений следует по рабочей формуле (1) вычислить среднее значение объема конуса: Vcр =

1 1 2 πDср Н ср = π( 18,41 )2 ⋅ 43,20 = 3831 мм 3 . 12 12

Затем следует оценить неопределенность (погрешность) косвенных измерений. Для этого необходимо выполнить следующие этапы: а)

вывести

величины γ =

формулу

относительной

неопределенности

искомой

ΔV ; V

б) по полученной формуле вычислить значение γ ; в) определить границу доверительного интервала для косвенного измерения: ΔV = γ ⋅ Vср . Окончательный результат представить в стандартной форме: ( Vср − ΔV )…( Vср + ΔV ) .

Вывод формулы относительной неопределенности

Как видно из формулы (1), искомая величина V является функцией двух переменных – D и Н. Тогда V представим в виде: V = f ( D, H ) = H α D β , где α = 1, β = 2 . 18

(9)

В случае такой простейшей функциональной зависимости выражение для относительной неопределенности γ можно взять из табл. 2 на с. 12 данных указаний. γ=

Тогда

ΔV ΔН 2 ΔD 2 ) . = ( ) + 22 ( V Н D

(10)

Для вычисления γ в формулу (10) подставим средние значения результатов прямых измерений Нср и Dср и граничные значения их доверительных интервалов ΔН и ΔD . Вычисления γ дают:

γ=

ΔV V

= (

ΔН Н ср

)2 + 2 2 (

ΔD Dср

)2 = 10 −2 (

4 2 4 2 ) + 4( ) = 4 ,45 ⋅ 10 −2 . 43,20 18,41

По правилам округления запишем γ с точностью до двух значащих цифр γ = 4,4 ⋅ 10 −2 . Вычислим границу доверительного интервала косвенного измерения:

ΔV = γ ⋅ Vср = 4 ,4 ⋅ 10 −2 ⋅ 3,831 ⋅ 10 3 мм 3 = 167 мм 3 . Согласно правилам округления, ΔV запишем с точностью до двух значащих цифр (так как первая значащая цифра в ΔV меньше 4) и до того же знака округлим результат Vср . Тогда

ΔV = 1,7 ⋅ 10 2 мм 3 ,

Vср = 38,3 ⋅ 10 2 мм 3 .

Окончательный результат представим в стандартной форме: V = ( Vср − ΔV )…( Vср + ΔV ) мм 3 , получим

V = ( 3,63… 3,97 ) ⋅ 10 3 мм 3 .

Лишь после ознакомления с правилами измерений штангенциркулем и обработки результатов этих измерений, представленных в данном примере, следует приступать к выполнению данной лабораторной работы.

19

3. Измеряемый объект

В данной лабораторной работе измеряемым объектом является сплошной цилиндр (рис. 2). Для вычисления объема цилиндра следует провести прямые измерения диаметра цилиндра (D) и его высоты (Н) с помощью штангенциркуля.

H

D

Рис. 2 Объем цилиндра вычисляется по рабочей (расчетной) формуле:

V=

πD 2 ⋅H. 4

(11)

4. Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту и диаметр цилиндра 10 раз, результаты измерений занести в таблицу по форме, аналогичной табл. 1 в приведенном примере. Замечание: если цилиндр неидеальной формы, то измерение D следует проводить по диаметрам на разной высоте цилиндра, а высоту Н – в нескольких различных местах оснований цилиндра.

20

5. Вычисление и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. Вычислить средние арифметические значения Нср

и Dср для серии из-

мерений. Затем определить отклонения результатов отдельных измерений от их средних арифметических значений – (Нср–Нi) и (Dср-Di). Далее вычислить квадратичное отклонение – (Нср–Нi)2 и (Dср-Di)2. Все результаты занести в таблицу по форме табл. 1. 2. Определить средние квадратичные отклонения S(Нср) и S(Dср) результата серии измерений от среднего арифметического значения для каждой измеряемой величины. 3. Вычислить границы доверительных интервалов ΔD и ΔН за счет случайных ошибок. 4. Оценить систематическую (приборную) неопределенность и сравнить ее с неопределенностью измерений, вызванных случайными ошибками. Если эти ошибки сравнимы, то вычислить суммарную неопределенность каждого прямого измерения, обусловленную обоими типами ошибок. Определить границы доверительных интервалов ΔН и ΔD , обусловленных обоими типами неопределенностей. 5. Записать результаты прямых измерений в стандартной форме: Н = ( Н ср − ΔН )…( Н ср + ΔН ) , D = ( Dср − ΔD )…( Dср + ΔD ) , учитывая правила округления величин. 6. Рассчитать среднее значение объема цилиндра Vср по рабочей формуле (11), куда подставить средние значения результатов прямых измерений Нср и Dср. 7. Вывести формулу для расчета относительной неопределенности γ=

ΔV косвенного измерения. Затем вычислить γ по полученной формуле. V

21

8. Оценить границу доверительного интервала для косвенного измерения, т.е. ΔV = γVср . 9. Окончательно записать результат в стандартной форме: V = ( Vср − ΔV )…( Vср + ΔV ) .

Приложение. Методика измерений с помощью штангенциркуля и микрометра Измерение с помощью штангенциркуля

При расчете неопределенностей следует помнить, что математические действия не могут повысить точности измерений. Точность измерения повышается с помощью нониуса. В штангенциркуле (рис. 3) нониус представляет собой небольшую линейку, которая может перемещаться вдоль основной. Пусть

n – число делений на шкале нониуса; Х – цена деления шкалы нониуса; Y – цена деления шкалы основной линейки.

t=

y , n

где t – точность штангенциркуля, выгравирована на приборе. Следовательно, чем меньше цена деления основной линейки и больше делений на нониусе, тем точнее можно произвести измерение. Для измерения длины предмета с помощью нониуса необходимо расположить предмет между нулевыми делениями основной линейки и нониуса. Отсчитав число целых делений масштаба, найти то деление нониуса, которое совпало с каким-либо делением основной линейки. Длина предмета определяется по формуле: l = β + kt,

22

где l – длина предмета, β – число целых делений основной линейки, k – номер деления нониуса, совпадающего с каким-либо делением масштаба, t – точность нониуса. Предмет

Нониус

0 1

2

3

4

1 5

2

6

4

3 2

5

8

6 9

7

8

9

100

11

10

12

13

Основная линейка Рис. 3 Для случая рассмотренного на рисунке : β = 4мм; t = 0,1мм; k = 5;

l = 4мм + 5 ⋅ 0,1мм = 4,5мм.

Измерения с помощью микрометра

При измерениях штангенциркулем величину вычисляемой средней неопределенности (погрешности) следует сравнивать с точностью нониуса. Для более точных измерений длины применяются микрометры. В микрометрах используется микровинтовая пара, преобразующая вращательное движение в поступательное. Так, если шаг микровинта равен 0,5 мм, то при одном полном обороте винта его конец перемещается на 0,5 мм, если головка винта имеет круговую шкалу с 50 делениями, то поворот его на одно деление вызывает смещение на 0,01 мм, т.е. цена деления круговой шкалы будет равна 0,01 мм. При измерениях микрометром доли деления по круговой шкале следует округлять до половины значения и предельную приборную неопределен23

ность считать равной ± 0,005 мм . Перед началом измерений следует обязательно проверить положение нулевого отсчета.

6. Контрольные вопросы

1. Как найти среднее квадратичное отклонение? 2. Каков смысл вероятности? 3. Что показывает величина доверительного интервала? 4. Каков смысл относительной неопределенности? Литература: [4].

24

РАБОТА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции твердого тела относительно произвольной оси методом крутильных колебаний. 2. Краткая теория исследуемого явления

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то основное уравнение динамики вращательного движения тела имеет вид M Z = Iβ ,

(1)

где M Z – момент силы, действующей на вращающееся тело, Н ⋅ м ; β – угловое ускорение, рад/с2; I – момент инерции тела относительно оси вращения, кг ⋅ м 2 . Из сопоставления уравнения (1) с выражением для второго закона Ньютона F = ma видно, что инерционные свойства тел во вращательном движении характеризуются моментом инерции. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению ее массы на квадрат кратчайшего расстояния r до оси вращения I=mr2.

(2)

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции отдельных элементарных объемов, на которые может быть мысленно разбито данное тело (рис. 1), так как элементарные объемы можно считать материальными точками. N

N

i =1

i =1

I = ∑ I i = ∑ Δmi ri 2 ,

(3)

где Δmi – масса i-го элементарного объема тела; ri – расстояние элемента Δmi до оси вращения. Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от распределения его массы относительно этой оси. Моменты инерции одного и того же тела относительно разных осей вращения будут различными. 25

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела. Можно доказать, что для любого тела существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр массы тела, оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.

Рис. 1 Вычисление момента инерции представляет собой в общем случае сложную задачу. Однако если плотность тела во всем объеме постоянна (однородные тела) и если тело имеет правильную геометрическую форму, то вычисление моментов инерции тел относительно главных осей можно осуществить при помощи интегрирования. 3. Принцип метода измерения и рабочая формула

В случае тел неправильной геометрической формы или произвольной оси вращения, не являющейся главной осью инерции, более простым является экспериментальное определение момента инерции. Рассматриваемый метод определения момента инерции основан на наблюдении крутильных колебаний исследуемого тела. Крутильные колебания может совершать тело, подвешенное на нерастяжимой нити (жесткой стальной проволоке). Уравнение вращательного движе-

26

ния тела вокруг вертикальной оси при условии, что проволока совпадает с одной из главных осей инерции тела и проходит через точку подвеса, имеет вид d 2б MZ = I 2 , dt

(4)

где α – угол поворота тела вокруг вертикальной оси; Мz – момент (относительно той же оси) упругой силы, действующей со стороны нити, закрученной на угол α. При не слишком больших деформациях этот момент пропорционален деформации, т. е. MZ = - k α ,

(5)

где k – коэффициент жесткости при кручении, который зависит от упругих свойств материала нити. Уравнение (4) с учетом (5) примет вид d 2α − kα = I 2 dt

или d 2α k + α = 0. dt 2 I

Обозначим ω02 = k / I, тогда d 2б + щ02 б = 0. 2 dt

(6)

Решением дифференциального уравнения (6) является функция, описывающая незатухающие гармонические колебания: α = α0 cos (ω0t + ϕ),

(7)

где α –  угол поворота тела; α0 –  амплитуда колебаний; (ω0t + ϕ) – фаза колебаний; ϕ – начальная фаза; ω0 –  круговая частота гармонических колебаний. Если тело закрутить на некоторый угол α0, а затем отпустить его, то оно начнет совершать затухающие крутильные колебания. Если пренебречь затуханием, то период колебаний можно выразить формулой

T=

2π I = 2π . ω0 k 27

(8)

В данной работе исследуемым телом является куб или параллелепипед. В начале нужно определить период Т0 крутильных колебаний исследуемого тела относительно одной из главных осей инерции (момент инерции тела I0 относительно главной оси может быть вычислен по известным формулам). Для определения момента инерции Ix исследуемого тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, необходимо измерить период Тx крутильных колебаний тела относительно этой оси. На основании (8) можно записать Tx = T0

Ix . I0

(9)

Из формулы (9) получим выражение для момента инерции тела Ix относительно некоторой произвольной оси 2

⎛T ⎞ I x = I 0 ⎜⎜ x ⎟⎟ . ⎝ T0 ⎠

(10)

4. Измеряемый объект

В качестве исследуемых тел используются куб и два параллелепипеда. Измерив длины ребер параллелепипеда или куба, из таблицы, находящейся на столе лабораторной установки, определяют массу тела.

Рис. 2

28

Моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно главных осей инерции, проходящих через центры противоположных граней (рис.2), равны

Io1o1 =

1 12

Io2o2 = Io3o3 =

m (a2+b2);

(11)

m (b2+c2);

(12)

m (a2+c2),

(13)

1 12 1

12

где а, b, с – длины ребер параллелепипеда. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

В комплект лабораторной установки входят крутильный маятник FPM-05 и набор исследуемых тел (куб и два параллелепипеда). Крутильный маятник FPM-05 предназначен для определения моментов инерции твердых тел при помощи крутильных колебаний. Крутильный маятник FPM-05 представлен на рис. 3. На основании 2 , оснащенном четырьмя ножками с регулируемой высотой, прикреплен миллисекундомер FPM-14 1. В основании закреплена колонка 3, на которой при помощи прижимных винтов закреплены кронштейны 4...6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7. На кронштейне 5 закреплена стальная планка 8, которая служит основанием фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и угловой шкале 11. Электромагнит 10 может изменять положение на планке, а его положение относительно фотоэлектрического датчика показывает на угловой шкале стрелка, прикрепленная к электромагниту. Конструкция paмки позволяет закреплять тела 12, значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Тела крепятся при помощи подвижной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками.

29

Фотоэлектрический

датчик

и

электромагнит

соединены

с

миллисекундомером при помощи разъема. Световой поток от лампочки попадает на фототранзистор. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в схеме формируются электрические импульсы, которые после усиления подводятся ко входу миллисекундомера.

Рис. 3 6. Порядок выполнения работы

1. Закрепить в рамке прибора груз таким образом, чтобы ось подвеса проходила через середины противоположных граней, для чего переместить подвижную балку по направляющим между неподвижными балками на необходимое расстояние и затянуть гайки. 2. Нажать кнопку “Сеть”. 3. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелу к электромагниту таким образом, чтобы электромагнит зафиксировал положение рамки. 4. Обнулить счетчик времени нажатием кнопки “Сброс”. Индикаторы миллисекундомера должны высвечивать нули. 30

5. Нажать кнопку “Пуск”. После освобождения рамки от электромагнита она будет совершать крутильные колебания. 6. Измерить время десяти колебаний крутильного маятника (кнопка “Стоп” нажимается после появления цифры 9 в окошечке “Периоды”) и записать время t0 в таблицу по форме: №

t0, с

Т0, с

(Т0ср-Т0)

(Т0ср-Т0)2

tx , c

Тх , с

(Тхср-Тх) (Тхср-Тх)2

опыта 1 2 3 7. Отжать кнопку “Пуск” и повернуть рамку с грузом, приблизив ее стрелу к электромагниту. Рамка будет удерживаться электромагнитом. 8. Повторить несколько раз измерение времени десяти полных крутильных колебаний тела вокруг главной вертикальной оси t0, согласно

пп. 4…7.

Число измерений задается преподавателем. 9. Закрепить в рамке прибора исследуемое тело таким образом, чтобы ось подвеса проходила через противоположные вершины груза (совпадала с одной из диагоналей параллелепипеда). Измерить время десяти крутильных колебаний tx и записать в таблицу по форме 1. Опыт повторить несколько раз. Число опытов задается преподавателем. 10. По окончании измерений выключить миллисекундомер и вынуть груз из рамки прибора. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Вычислить периоды крутильных колебаний T0 и Tx по формуле

T = t / 10.

31

2. Произвести обработку результатов прямых измерений T0 и Tx. Вычислить средние значения Т0ср и Тх ср и границы доверительных интервалов с доверительной вероятностью р, указанной преподавателем. 3. По формуле (11), (12) или (13) вычислить момент инерции I0 исследуемого тела относительно главной оси, совпадающей с осью подвеса. 4. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности) ΔI0 / I0 и вычислить её. 5. Используя результаты прямых измерений по формуле (10), вычислить среднее значение момента инерции тела Ixср вокруг вертикальной оси, совпадающей с одной из диагоналей параллелепипеда. 6. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности)

γ=

ΔI x Ix

и вычислить ε по полученной формуле. Затем оценить

границу доверительного интервала ΔI x = γ ⋅ I xср .

7. Окончательный результат записать в стандартной форме ( I xср − ΔI x )…( I xср + ΔI x ) .

8. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Дайте определения всех величин, входящих в него. 2. Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела относительно оси вращения? Каков его физический смысл? 3. Что называется главными осями инерции тела? 4. Напишите основное уравнение динамики для тела, совершающего крутильные колебания. 5. По какому закону меняется угол поворота тела при крутильных колебаниях? 6. Выведите формулу для периода крутильных колебаний тела. Литература: [1], § 16, 18, 140, 141; [2], § 4. 27. 32

РАБОТА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА 1. Цель работы

Маятник Максвелла предназначен для исследования закона сохранения энергии и определения на этом основании момента инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения. 2. Измеряемый объект

Маятник Максвелла состоит из вала (2), на котором закреплено тело вращения (1) – ролик с надетым на него кольцом. Маятник подвешен на двух нитях к опоре (рис.1). Нити наматываются на ось вала, и маятник поднимается на некоторую высоту h относительно положения равновесия, где он обладает потенциальной энергией.

2

1 Рис.1

3. Краткая теория исследуемого явления

Основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

M = I ⋅β , где

(1)

М – момент сил, приложенных к телу; β – угловое ускорение, которое

приобретает тело под действием постоянного момента сил; I – момент инерции тела. 33

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела при поступательном движении. Однако момент инерции зависит от размеров, формы тела, а также распределения массы по его объему. В данном случае маятник – это сложное тело вращения, состоящее из вала, на ось которого насажен ролик с надетым на него кольцом. Естественно, что проще определить экспериментально момент инерции такого сложного тела вращения. 4. Принцип метода измерений и рабочая формула

Принцип метода измерений основан на законе сохранения энергии. Действительно, маятник, поднятый на высоту h, обладает запасом потенциальной энергии

Еп = mgh .

(2)

При разматывании нитей и опускании маятника под действием силы тяжести он проходит расстояние h и его потенциальная энергия постепенно превращается в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Если пренебречь потерями на трение, то закон сохранения энергии можно записать в виде:

mv 2 Iω2 mgh = + , 2 2 где

(3)

Eп = mgh – потенциальная энергия маятника в самом верхнем положе-

нии;

Eк.пост.

mv 2 – кинетическая энергия поступательного движения маятни= 2

ка; v – скорость его поступательного движения;

Ек.вр. =

Iω2 – кинетическая энергия вращательного движения маятника; 2

I – момент инерции маятника, ω – угловая скорость. Уравнение (3) относится к такому моменту t (от начала движения маятника), когда маятник находится в нижнем положении. Угловая скорость маят34

ника ω и его линейная скорость v соответствуют конечному моменту движения. Так как нить намотана на ось маятника, то скорость его поступательного движения всегда равна линейной скорости точек, лежащих на поверхности вала, поэтому v = rω , где r – радиус оси маятника. Значение линейной скорости можно определить, применяя к движению маятника формулы для равноускоренного поступательного движения с началь-

аt 2 , откуда ной скоростью, равной нулю: v = аt ; h = 2

v=

2h ; t

(4)

ω=

2h . rt

(5)

Подставляя выражения (4) и (5) в формулу (3), получим:

mgh =

m 2h 2 I 2h 2 ( ) + ( ) или 2 t 2 rt

2mh 2 2 Ih 2 mgh = 2 + 2 2 , t r t

(6)

откуда получим рабочую формулу для определения момента инерции маятника: 2 1 2 gt I = mD ( −1), 4 2h

где

(7)

I – момент инерции маятника, кг ⋅ м 2 ; D – внешний диаметр оси маят-

ника вместе с намотанной на нее нитью подвески, м; t –

время падения маят-

ника, с; g – ускорение свободного падения, м/с2; h – длина маятника, равная высоте, на которую он поднят, м; m – масса маятника вместе с кольцом, кг. Масса маятника m определяется по формуле:

m = m 0 + mp + m к , где

(8)

m0 – масса оси маятника, кг; mр – масса ролика, кг; mк – масса нало-

женного на ролик кольца, кг. 35

Все данные для m0, mр, mк указаны на установке. Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной нитью подвески определяется по формуле:

D = D0 + 2 Dн , где

(9)

D0 – диаметр оси маятника, м; Dн – диаметр нити подвески, м. Данные D0, Dн указаны на установке. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Маятник Максвелла размещается на основании, в котором закреплена колонка. К этой колонке на неподвижном верхнем кронштейне подвешивается сам маятник, который удерживается в верхнем положении электромагнитом. На верхнем кронштейне кроме электромагнита находится фотоэлектрический датчик и ворот для закрепления и регулирования длины бифилярной (т.е. на двух нитях) подвески. Нижний кронштейн, укрепленный на колонке, вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком, предназначен для измерения t - времени окончания падения маятника. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в положении, соответствующем данной длине нити подвески. В статике: маятник с закрепленным на ролике кольцом удерживается электромагнитом в верхнем положении. Длина маятника отсчитывается по миллиметровой шкале на колонке. При падении маятника с заданной высоты основное прямое измерение t (времени падения маятника) осуществляется с помощью нижнего фотоэлектрического датчика и миллисекундомера. 6. Порядок выполнения работы

1. Необходимо установить маятник относительно фотоэлемента так, чтобы обеспечить конец отсчета времени.

36

Для этого необходимо проверить, чтобы в нижнем положении край стального кольца, надеваемого на ролик, находился на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Откорректировать положение маятника так, чтобы его ось была параллельна основанию прибора. 2. Нажать кнопку “Сеть”. Проверить, горят ли лампочки фотодатчиков и высвечивают ли индикаторы миллисекундомера нули. 3. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку. В верхнем положении ролик с кольцом должен удерживаться электромагнитом. 4. Проверить, чтобы в верхнем положении край стального кольца находился на 2 мм выше оптической оси верхнего фотоэлектрического датчика. 5. Проверить, соответствует ли нижняя грань кольца нулю шкалы на колонке. Если нет – заметить положение нижней грани. 6. Нажать кнопку “Сброс”, обнулив тем самым шкалу миллисекундомера. 7. Нажать кнопку “Пуск”. Маятник придет в движение. Когда маятник достигнет нижнего фотодатчика, считать показания миллисекундомера и записать время падения t в таблицу по форме 1. Так как маятник будет двигаться вверх, необходимо рукой остановить движение маятника. 8. Отжать кнопку “Пуск” 9. Повторить несколько раз измерения времени падения маятника согласно п.3-8, результаты занести в таблицу по форме 1. (Количество измерений указывается преподавателем). 10. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника h.

37

Форма 1

t, c

№ опыта 1 2 3

(tср-ti)

(tср-ti)2

___________________ i – номер опыта. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений t, h. 2. По формуле (7) вычислить среднее значение момента инерции (Iср) маятника. 3. Используя рабочую формулу (7), вывести формулу относительной погрешности (неопределенности) γ для искомой величины I. 4. Вычислить γ по полученной формуле. Затем оценить границу доверительного интервала ΔI для момента инерции маятника. 5. Окончательный результат записать в стандартной форме: ( I ср − ΔI )…( I ср + ΔI ) .

8. Контрольные вопросы

1. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. 2. Поясните физический смысл момента инерции. Запишите выражение для момента инерции материальной точки. От чего зависит момент инерции твердого тела? 3. Что такое маятник Максвелла? Относительно какой оси определяется момент инерции? 4. Какой физический закон положен в основу метода измерений? 5. Каким будет характер движения маятника и под действием каких сил? Литература: [1], § 16, 17, 18, 19; [2], § 4.2; 4.3. 38

РАБОТА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА МЕТОДОМ ВРАЩЕНИЯ 1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции маятника Обербека. 2. Краткая теория исследуемого явления

Маятник Обербека, применяемый в данной работе, представляет собой инерционное колесо в виде крестовины (рис.1).

1

2 2

3

FН

FТ Рис. 1 На четырех взаимно перпендикулярных стержнях расположены грузы 1. На горизонтальной оси крестовины имеется двухступенчатый диск 2, на который наматывается нить. Один конец нити прикреплен к диску, а на втором конце подвешен груз 3. Под влиянием падающего груза нить разматывается с диска и вызывает равноускоренное движение крестовины маятника. Вращающий момент, приводящий маятник в движение, создается под действием силы натяжения FН разматывающейся нити. 39

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

При получении рабочей формулы для вычисления момента инерции маятника Обербека используется основной закон динамики вращательного движения маятника и второй закон Ньютона для поступательного движения падающего груза. Основной закон динамики вращательного движения маятника без учета тормозящего момента запишется в виде:

FН R = I ⋅ β ,

(1)

где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения;

β – угловое ускорение вращающегося маятника; β = а / R , а – ускорение падающего груза; R – радиус диска 2; FН – сила натяжения разматывающейся нити. Ускорение падающего груза можно определить, измерив его время падения с заданной высоты h: h=

аt 2 , 2

(2)

а=

2h t2

(3)

откуда

и

β=

а 2h = . R t2R

(4)

Поступательное движение груза совершается под действием двух противоположно направленных сил: силы тяжести FТ = mg , где m – масса груза, и силы натяжения нити FН. Считая направление движения груза вниз положительным, второй закон Ньютона для поступательного движения груза запишется в виде mа = mg − FН ,

(5)

FН = m( g − а ) .

(6)

откуда

40

Подставляя (4), (6) в формулу (1) после ряда преобразований получим рабочую формулу для момента инерции маятника Обербека:

I=

m( g −

2h 2 2 )R t t2 . 2h

(7)

4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является маятник Обербека, который приводится во вращение падающим грузом. В процессе выполнения работы необходимо провести прямые измерения высоты h , с которой падает груз, и времени t его падения. Значения массы каждого груза m и радиус диска R указаны на установке. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Маятник Обербека в виде крестовины укреплен на вертикальной колонке. Для отсчета длины пути падения груза на колонке нанесена миллиметровая шкала. В верхней части колонки на подвижном кронштейне укреплен первый фотоэлектрический датчик, регистрирующий начало отсчета времени падения груза. В нижней части колонки укреплен второй фотоэлектрический датчик, регистрирующий окончание отсчета времени падения груза. Регистрация времени падения производится с помощью миллисекундомера, к которому подсоединены оба фотоэлектрических датчика. В промежутке между измерениями маятник удерживается в состоянии покоя с помощью тормозного электромагнита. В динамике: при падении с заданной высоты груз пересекает окно верхнего фотоэлектрического датчика, сигнал от которого снимает блокировку электромагнита и запускает схему отсчета времени. В конечной точке пути второй фотоэлектрический датчик в момент закрывания его окна падающим грузом вырабатывает электрический импульс конца измерения времени и включает электромагниты.

41

6. Порядок выполнения работы

1. Перед началом измерений необходимо установить выбранное число грузов так, чтобы нижний край падающих грузов совпадал с чертой на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика. Подвижный кронштейн нужно установить так, чтобы грузы, падая, проходили через середину рабочего окна обоих фотоэлектрических датчиков. 2. Отсчитать по шкале, расположенной на колонке, длину пути h. 3. Нажать кнопку “Сеть”. Проверить, горят ли индикаторы обоих фотоэлектрических датчиков и показывают ли индикаторы миллисекундомера нули. Тормозной электромагнит должен удерживать крестовины с грузами в состоянии покоя. 4. Нажать кнопку “Пуск”. Система придет в движение. После прохождения грузами всего пути записать показания миллисекундомера. 5. Обнулить счетчик времени, нажав на кнопку “Сброс”. При этом освобождается блокировка крестовины с грузами электромагнитом. 6. Перевести грузы в верхнее положение и отжать кнопку “Пуск” (возникает повторная блокировка крестовины с грузами электромагнитом). 7. Провести измерение времени падения для данного числа грузов. Необходимое количество измерений задается преподавателем. 8. Опыт для фиксированной высоты h провести для разных грузов. Результаты измерений времени для каждого груза занести в таблицу по форме: № опыта

t, c

(tср-ti)

1 2 3 _______________ i – номер опыта;

груз m =

кг.

42

(tср-ti)2

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений времени падения t и длины пути h. 2. Используя результаты прямых измерений, по формуле (7) вычислить среднее значение искомой величины Iср. 3. На основе рабочей формулы (7), вывести формулу относительной погрешности (неопределенности) γ искомой величины. 4. Вычислить γ по полученной формуле. Затем оценить границу доверительного интервала ΔI для момента инерции

ΔI = γI ср . 5. Окончательный результат записать в стандартной форме: ( I ср − ΔI )…( I ср + ΔI ) .

8. Контрольные вопросы

1. Запишите основной закон динамики вращательного движения. 2. Дайте определение момента силы относительно оси вращения. 3. Запишите выражение для момента инерции материальной точки. От чего зависит момент инерции твердого тела? Каков физический смысл момента инерции? 4. Как направлена ось вращения в данной установке, и какая сила создает вращательный момент? 5. Какие физические законы лежат в основе метода измерения момента инерции маятника Обербека в данной установке? 6. Какие прямые измерения необходимо провести для определения момента инерции маятника? Литература: [1] § 16, 17, 18; [2] § 4.2; 4.3.

43

РАБОТА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции твердого тела в виде платформы относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс. 2. Краткая теория исследуемого явления

Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси

ОО′ , проходящей через центр масс (рис. 1).

Рис. 1 Основное уравнение динамики вращательного движения запишется в виде

М = Iβ ,

(1)

где М – момент силы относительно оси Z, вызывающий вращение тела; I – момент инерции твердого тела относительно оси Z; β – угловое ускорение. Из сопоставления уравнения (1) с выражением второго закона Ньютона для поступательного движения F = mа видно, что момент инерции – это аналог массы и характеризует инерционные свойства тела при вращательном движе44

нии. Однако момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения по объему тела, т.е. от его геометрии. Теоретически определение момента инерции твердого тела проводится следующим путем: мысленно тело разбивается на множество элементарных объемов массой mi , которые считаются материальными точками. По определению, момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению массы mi на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси вращения:

I i = mi ri 2 ,

(2)

а момент инерции твердого тела относительно этой оси равен сумме моментов инерции всех элементарных объемов: N

N

i =1

i =1

I = ∑ I i = ∑ mi ri 2 .

(3)

Очевидно, что моменты инерции одного и того же тела будут отличаться относительно различных осей вращения. В данной работе необходимо определить момент инерции тела (платформы) относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр масс (такая ось называется главной осью). В случае непрерывного распределения масс сумма в выражении (3) сводится к интегралу: I = ∫ r 2 dm ,

(4)

m

где интегрирование производится по всему объему тела. В общем случае вычисление момента инерции представляет собой сложную задачу. Однако вычисления существенно упрощаются, если определяется момент инерции однородных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии. В настоящей работе в качестве эталонного тела используется кольцо с внутренним радиусом R1 и внешним – R2.

45

Вычисления по формуле (4) дают следующее выражение для момента инерции кольца: 1 I к = mк ( R12 + R22 ) , 2

(5)

где mк – масса кольца. Для тел сложной геометрической формы (в нашем случае – платформа) вычисление момента инерции представляет большие трудности. Поэтому приходится прибегать к экспериментальному определению момента инерции таких тел. 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Экспериментальное определение момента инерции твердого тела в виде платформы проводится методом крутильных колебаний. К держателю (стержню), укрепленному на подставке, прикреплена стальная проволока, на которой закреплены платформа и кольцо (рис.2). Рассмотрим крутильные колебания одной платформы, а затем платформы вместе с надетым на нее кольцом. Если платформу повернуть на некоторый угол и отпустить, то возникает возвращающий момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начнет совершать крутильные колебания. Возвращающий момент обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа.

46

7 3 8

5 9

4

6 1

1

2

Рис. 2

47

При малых углах отклонения можно считать, что этот момент прямо пропорционален углу отклонения. В этом случае возникают гармонические крутильные колебания:

б = б 0 sinωt ,

(6)

где б – угол отклонения от положения равновесия, б 0 – угол отклонения в начальный момент t = 0 . При этом угловая скорость и угловое ускорение изменяются по гармоническому закону: dб = б 0 ωcosωt , dt

(7)

dω = −ω2 α 0 sinωt . dt

(8)

ω=

β=

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, возвращающий момент сил (М) равен: М = Iβ .

(9)

С учетом (8) выражение (9) примет вид: М = Iв = − Iω2 α = − Dα ,

(10)

где D – модуль кручения, величина которого зависит от материала проволоки. Круговая частота и период крутильных колебаний тела определяются по формулам: ω=

D ; I

T = 2π

I . D

(11)

Таким образом, период крутильных колебаний платформы: Т 1 = 2π

где Iпл – момент инерции платформы.

48

I пл , D

(12)

Если теперь на платформу положить концентрическое кольцо и снова закрутить на некоторый угол, а затем отпустить, то система платформа-кольцо также будет совершать крутильные колебания, но уже другого периода: Т 2 = 2π

I пл + I к . D

(13)

Возведя уравнения (12) и (13) в квадрат и, решая их относительно Iпл, получим рабочую (расчетную) формулу для вычисления момента инерции платформы: I пл

Т 12 = Iк 2 . Т 2 − Т 12

(14)

Здесь Iк – момент инерции эталонного тела (кольца), момент инерции которого можно вычислить по формуле (5). Таким образом, для определения момента инерции платформы необходимо провести прямые измерения следующих величин: mк; R1; R2; T1; T2. 4. Измеряемый объект

Объектом измерения является массивная круглая платформа, подвешенная на двух тонких спицах, совпадающих с осью симметрии платформы. Масса платформы указана на установке. 5. Лабораторная установка в статике и динамике

По сути, лабораторная установка представляет собой крутильный маятник. Установка (см. рис.2) собрана на массивном стальном основании 1, отделенном от лабораторного стола четырьмя антивибрирующими регулируемыми ножками 2. Перпендикулярно основанию 1 установлена опорная штанга 9, на верхнем конце которой находится регулировочный кронштейн 3. Измеряемый объект – круглая платформа 4 – подвешен между основанием 1 и кронштейном 3 на двух одинаковых тонких спицах 5 и 6. Нижняя спица 5 жестко крепится к

основанию 1 и платформе 4, а верхняя – к платформе 4 и регулировочному винту 7. Натяжение крутильного маятника регулируется винтом 7. 49

Категорически запрещается самостоятельно производить регулировку натяжения спиц! “Верхом” на кронштейне 3 висит металлическое кольцо – эталонное тело 8. Если платформу повернуть на небольшой угол (~5 ÷ 100) и отпустить, то за счет упругих сил, возникающих в механизме подвеса, она начнет совершать гармонические крутильные колебания с периодом Т=Т1 (см.п. 3). Если сверху на платформу положить металлическое кольцо 8 (эталонное тело), то период Т=Т2 колебаний крутильного маятника возрастет (Т2>Т1). Измерив величины Т1

и Т2, и, зная массу эталонного тела, можно определить момент инерции круглой платформы. 6. Порядок выполнения работы

1. Вначале с помощью штангенциркуля измерить внутренний R1 и внешний R2 радиусы кольца. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1. Форма 1 № опыта

R1, мм

( R1ср − R1i ), мм ( R1 − R1 )2 , мм 2 i ср

1 2 3

По аналогичной форме заполнить таблицу для измерений R2. (Число измерений R1 и R2 указывается преподавателем). Масса кольца (mк) указана на установке. 2. Подвешенную на проволоке платформу повернуть на малый угол (~5 ÷ 100) и отпустить. Включить секундомер и измерить время t1 двадцати периодов крутильных колебаний платформы. Период Т1 вычислить по формуле: Т1 =

t1 , где N = 20 периодам. N 50

Данные измерений занести в таблицу по форме 2. Форма 2 № опыта

t1, с

T1, с

( Т 1ср − Т 1i ) ( Т 1ср − Т 1i )2

1 2 3

3. Положить на платформу кольцо и аналогичным путем определить время t 2 двадцати периодов крутильных колебаний системы платформа– кольцо. Период колебаний

Т2 =

t2 , N

где N = 20.

Данные занести в таблицу по форме 2. Число измерений t1 и t2 задается преподавателем. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Вычислить средние арифметические значения R1ср и R2 ср для серии из n измерений. Оценить неопределенности (погрешности) измерений этих величин. 2. Вычислить средние арифметические значения периодов крутильных колебаний Т 1ср

и Т 2 ср . Оценить неопределенности (погрешности) этих

измерений. 3. Вычислить момент инерции кольца (Iк). Затем по рабочей формуле (14) вычислить среднее значение момента инерции платформы. 4. С использованием рабочей формулы вывести формулу для относительной неопределенности г =

ΔI пл искомой величины. I пл

51

5. По полученной формуле вычислить г . Оценить границу доверительного интервала искомой величины

ΔI пл = г I плср . 6. Записать окончательный результат в стандартной форме:

( I пл ср − ΔI пл )…( I пл ср + ΔI пл ).

8. Контрольные вопросы

1. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения. 2. Поясните физический смысл момента инерции. От чего зависит момент инерции твердого тела? 3. Запишите выражение для гармонических крутильных колебаний. Под действием какого момента сил возникают эти колебания? 4. Запишите выражение для периода крутильных колебаний. От каких величин он зависит? Литература: [1], § 16, 17, 19; [2], § 4.2; 4.3; 5.3.

52

РАБОТА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА СНАРЯДА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Определение скорости полета снаряда при помощи баллистического крутильного маятника. 2. Краткая теория исследуемого явления

Баллистический крутильный маятник представляет собой стержень, подвешенный строго горизонтально на стальной проволоке (рис.1). На концах стержня находятся мисочки, заполненные пластилином. Два груза массы m0 каждый в виде цилиндров высоты h могут перемещаться вдоль стержня. Устанавливают грузы на некотором расстоянии l1= 2R1 друг от друга, где R1 – расстояние от оси вращения маятника до торца цилиндра.

Рис.1 Заряжают пружинный пистолет снарядом (пулей) и выстреливают. Пуля массой m после выстрела застревает в мисочке с пластилином, а маятник от-

53

клоняется от положения равновесия на некоторый угол α 0 , который нужно измерить. Затем маятник отклоняют на этот угол α 0 , и он совершает гармонические крутильные колебания. Метод измерения скорости полета снаряда основан на исследовании крутильных колебаний маятника и применении законов сохранения энергии и момента импульса системы снаряд–маятник. Покажем, как в данном случае может быть получена рабочая формула для вычисления скорости снаряда. 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

После попадания снаряда в маятник на основе закона сохранения момента импульса замкнутой системы снаряд-маятник можно записать:

mvr = I1ω , где

m – масса пули; v

(1)

– скорость снаряда в момент его удара в маятник; r –

расстояние от точки удара снаряда до оси вращения маятника; ω –

угловая

скорость маятника с застрявшим в нем снарядом; I1 – момент инерции маятника относительно оси вращения. Тогда скорость полета снаряда из выражения (1) равна:

v=

I 1ω . mr

(2)

Здесь неизвестна угловая скорость ω . В результате попадания снаряда в маятник, сам маятник будет совершать крутильные колебания. Период незатухающих крутильных колебаний:

T=

I 2π = 2π 1 , ω k

(3)

где I1 – момент инерции маятника относительно оси вращения; k – коэффициент жесткости нити при кручении. Неизвестную угловую скорость в формуле (2) можно выразить из закона сохранения энергии. Действительно, при повороте маятника на угол α 0 , совер54

шается работа силы упругости стальной нити. Эта работа идет на изменение кинетической энергии маятника, т.е. 2

kα 0 I1ω2 , = 2 2

(4)

отсюда

k . I1

ω = α0

(5)

Подставив (5) в формулу (2), получим:

v=

α 0 kI1 . mr

(6)

В последнем выражении (6) неизвестен коэффициент жесткости стальной проволоки. Наша задача – выразить k через период крутильных колебаний маятника и его момент инерции. С этой целью вначале выразим момент инерции I1 через период Т1 из формулы (3): 2

T k I1 = 1 2 , 4π

(7)

где Т1 – период крутильных колебаний маятника при установке грузов массы m0 на некоторое начальное расстояние l1 = 2R1 . С учетом (7) выражение для скорости полета снаряда примет вид:

v=

α 0 kT1 . 2πmr

(8)

Для определения коэффициента жесткости через данные прямых измерений прибегают к следующему приему: перемещают грузы на другое расстояние l2=2R2 (R2 – расстояние от оси вращения до торца каждого груза). Момент инерции маятника в этом случае равен: 2

T ⋅k I2 = 2 2 . 4π

55

(9)

Тогда разность двух моментов инерции маятника с учетом (7) и (9) запишется как

I 2 − I1 =

k 2 2 ( T2 − T1 ) . 2 4π

(10)

Зная выражения для моментов инерции баллистического крутильного маятника, после ряда преобразований можно получить формулу для коэффициента жесткости. После подстановки ее в формулу (8) мы получим рабочую формулу для скорости полета снаряда:

v=

4πm0 α 0T1 ( R2 − R1 ) ( R2 + R1 + h ) . 2 2 mr( T2 − T1 )

(11)

Из этой формулы мы видим, что для вычисления скорости снаряда нужно провести следующие прямые измерения: 1) Установить перемещаемые грузы на заданное расстояние l1, зарядив пружинный пистолет, выстрелить пулей в маятник, измерив при этом угол отклонения α 0 . 2) Отклонить маятник на заданный угол α 0 и измерить Т1 – период крутильный колебаний маятника. 3) Установить перемещаемые грузы на другое расстояние l2, снова отклонить маятник на угол α 0 и измерить период крутильных колебаний Т2 для данного случая. 4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является снаряд, скорость полета которого определяется путем исследования крутильных колебаний баллистического маятника после попадания в него снаряда. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Первоначально маятник находится в положении равновесия. После выстрела снарядом из пружинного пистолета снаряд попадает в маятник (застре-

56

вает в мисочке из пластилина), что приводит к отклонению маятника на некоторый угол α 0 . Маятник, отклоненный от положения равновесия на угол α 0 , будет совершать гармонические крутильные колебания. В процессе эксперимента необходимо измерить периоды крутильных колебаний маятника в двух случаях: Т1 (при минимальном расстоянии l1 между грузами m0 ) и Т2 (если перемещаемые грузы максимально удалить друг от друга). 6. Порядок выполнения работы

1. Перемещаемые грузы максимально приблизить друг к другу (Rmin). Определить расстояние R1 от оси вращения маятника до ближайшего торца цилиндра (для этого на стержне имеются сантиметровые риски, первая риска соответствует 3 см) и записать результат. 2. Проверить установку маятника, для чего убедиться, что черта на мисочке с пластилином совпадает с чертой 0о угловой шкалы. 3. Зарядить пружинный пистолет, для чего сжать пружину, оттягивая рукоятку до упора (до фиксации). Надеть снаряд на конец стержня и поворотом рукоятки немного вниз по часовой стрелке произвести выстрел. 4. Измерить максимальный угол отклонения маятника α 0 . 5. Включить миллисекундомер (кнопка “Сеть”) и нажать кнопку “Сброс” (обнулить счетчик времени). 6. Отклонить маятник на угол α 0 , нажать кнопку “Пуск” и пустить маятник. 7. Измерить время t1 десяти периодов крутильных колебаний (кнопка “Стоп” нажимается после появления цифры 9 в окошечке “периоды”), записать значение t1 в таблицу по форме 1. 8. Перемещаемые грузы максимально отдалить друг от друга ( R2max ) определить расстояние R2 до ближайшего торца цилиндра и повторить действия согласно пунктам 5-7. 57

9. Несколько раз измерить время t 2 десяти периодов крутильных колебаний, записать t 2 в таблицу по форме 2. 10. Измерить расстояние r от места попадания пули до оси вращения. 11. Измерения повторить несколько раз согласно пунктам 1-9 при неизменных расстояниях R1 и R2 . Число измерений указывается преподавателем. 12. По окончании измерений выключить миллисекундомер. Пульку (снаряд) убрать в коробочку. Форма 1 №

t1 , с

T1 , с

( Т1ср-Т1i)

(Т1ср-Т1i)2

опыта 1 2 3

_____________ мм; R1 =

α 0ср =

град. Форма 2

№

t2 , с

(Т2ср-Т2i)

T2 , с

опыта 1 2 3 _______________ R2 = мм;

α 0ср =

град.

58

(Т2ср-Т2i)2

7. Вычисления и обработка результатов измерений 1. Вычислить средние арифметические значения периодов крутильных колебаний Т 1ср и Т 2ср . Оценить погрешности (неопределенности) результатов прямых измерений. 2. По рабочей формуле (11) вычислить скорость полета снаряда vср . 3. Вывести формулу относительной погрешности (неопределенности)

γ искомой величины. Вычислить γ . 4. Оценить границу доверительного интервала Дv = γv ср . 5. Записать окончательный результат в стандартной форме:

(v ср − Дv )…( v ср + Дv ) .

6. Контрольные вопросы

1. Какие физические законы лежат в основе метода измерения? 2. Что называется моментом инерции материальной точки? От чего зависит момент инерции твердого тела? 3. Запишите закон сохранения момента количества движения для системы пуля–маятник. 4. От каких величин зависит период крутильных колебаний? 5. На что затрачивается работа при повороте маятника на угол α 0 ? Литература: [1], § 16, 17, 19; [2], § 4.2; 4.3;5.3.

59

РАБОТА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПРИБОРА АТВУДА 1. Цель работы

Ознакомление с прибором Атвуда, предназначенным для изучения законов динамики, в частности для исследования законов прямолинейного и равноускоренного движения, и определение с помощью прибора Атвуда ускорения свободного падения. 2. Краткая теория исследуемого явления

Простейшую машину Атвуда можно схематически представить в виде нерастяжимой нити с пренебрежимо малой массой, перекинутой через легкий блок В, который вращается с возможно малым трением (рис.1).

Рис.1 На концах нити подвешены грузы массой m1 и m2, причем m1 > m 2 . Грузы движутся с ускорением а . 60

На каждый из движущихся грузов действуют 2 силы: сила тяжести mg , направленная вниз и сила натяжения FН , направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызовет равноускоренное движение грузов. Запишем второй закон Ньютона для первого и второго грузов соответственно:

m1 a = FН1 + m1 g ,

(1)

m2 a = FН2 + m2 g .

(2)

Спроецируем уравнения (1) и (2) на ось У:

− m1a = − FН1 + m1 g ,

(3)

m2 a = − FН2 + m2 g .

(4)

Из (3) и (4) найдем силы натяжения нитей FН1 и FН2 :

FН1 = m1 g + m1a ,

(5)

FН2 = m2 g + m2 a .

(6)

Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на блок. По третьему закону Ньютона силы FН′1 и FН′ 2 , приложенные к ободу блока, по величине равны соответственно силам FН1 и FН2 , но противоположно им направлены. Под действием результирующего момента сил натяжения

M Z = ( FН′ 2 − FН′1 )r

(7)

блок будет вращаться с угловым ускорением β , которое связано с ускорением грузов а соотношением

β=

а , r

(8)

где r – радиус блока. Согласно основному закону динамики вращательного движения (трением при вращении пренебрегаем)

М Z = Iβ ,

61

(9)

где I - момент инерции блока относительно оси вращения, проходящей через центр масс блока. Уравнение (9) с учетом (7) и (8) примет вид

( FН′ 2 − FН′1 )r = I

a . r2

(10)

Подставляя в (10) вместо FН′1 и FН′ 2 выражения FН1 и FН2 из (5) и (6), получим после преобразования формулу для ускорения грузов:

а= Если

m2 − m1 g. m1 + m2 + I / r

(11)

I << ( m1 + m2 ) , то в уравнении (11) величиной I / r 2 можно пре2 r

небречь. Тогда

а=

m2 − m1 g. m1 + m2

(12)

Малорастяжимую нить, перекинутую через блок с малым моментом инерции, можно рассматривать как абсолютно жесткую связь. 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

В приборе Атвуда, предназначенном для измерения ускорения свободного падения, через ролик, вращающийся с возможно малым трением, перекинута нить с двумя грузами одинаковой массы М (рис.2), грузы могут двигаться вдоль вертикальной шкалы с делениями. Начало движения

h m

M

H M

Конец движения

Рис. 2 62

Если на один из грузов положить небольшой добавочный груз массы m, то грузы начинают двигаться с ускорением а и за время t 0 проходят путь h, к концу которого достигают скорости v , причем

v = at 0 .

(13)

at02 h= . 2

(14)

Выражение (12) для ускорения грузов в этом случае примет вид

a=

mg . 2M + m

(15)

На шкале укреплено кольцо, которое на ходу снимает добавочный грузик m. После этого грузы продолжают двигаться равномерно со скоростью

v и за время t проходят путь Н, причем

Н = vt .

(16)

Отсюда скорость грузов будет равна

v = H /t.

(17)

Исключив из (13) и (14) время t0, получим

v 2 = 2аh .

(18)

Выражение (18) с учетом (15) примет вид

v2 =

2hmg . 2M + m

(19)

Подставив (17) в выражение (19), получим после преобразований расчетную формулу для определения ускорения свободного падения

2M + m H 2 g= ⋅ . m 2ht 2

(20)

4. Измеряемый объект

В приборе Атвуда в качестве грузов используются 2 полых цилиндра одинаковой массы М. Масса каждого груза М = ( 60 ,00 ± 0 ,01 ) г. Чтобы грузы

63

двигались с ускорением применяется дополнительный грузик в виде колец различной массы. Масса грузика m выгравирована на кольце. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Общий вид прибора Атвуда показан на рис.3. Вертикальная колонка 1 укреплена в основании 2, положение которого выравнивается с помощью регулируемых ножек. На вертикальной колонке закреплены три кронштейна: неподвижный нижний 3 и два подвижных кронштейна – средний 4 и верхний 5, а также втулка, на которой закреплен ролик 6 и электромагнит. Через ролик проходит нить с привязанными на ее концах грузиками 7 и 8.

Рис.3 Электромагнит после подведения к нему питающего напряжения удерживает систему ролика с грузиками в состоянии покоя. 64

Длину пути равноускоренного и равномерного движений можно изменять, перемещая верхний и средний кронштейны вдоль колонки. Длина пути измеряется с помощью миллиметровой шкалы. На среднем кронштейне закреплены кольцо 9, которое снимает с падающего груза М дополнительный груз массы m, и фотоэлектрический датчик

10, который фиксирует начало равномерного движения больших грузов массы М. На нижнем кронштейне укреплены резиновые амортизаторы, в которые ударяют завершающие свое движение грузики, и фотоэлектрический датчик 11, который фиксирует конец равномерного движения грузов. Время равномерного движения грузов измеряется миллисекундомером

12, размещенным на основании прибора 2. 6. Порядок выполнения работы

1. Передвинуть средний кронштейн на высоту, заданную преподавателем, измерить при помощи шкалы на колонке заданные пути равноускоренного

h и равномерного H движений и записать результат. Путь h измеряется от черты, нанесенной на верхнем кронштейне, до места расположения фотодатчика на среднем кронштейне. 2. Переместить правый груз массы М (М = 60 г) в верхнее положение и согласовать нижнюю грань правого груза с чертой, нанесенной на верхнем кронштейне. 3. Нажать кнопку "Сеть". При этом возникает блокировка ролика с грузами и система находится в покое. Индикаторы миллисекундомера должны высвечивать нули. 4. На правый груз положить один из дополнительных грузиков массы m (масса выгравирована на грузе) и убедиться в согласовании нижней грани правого груза с чертой, нанесенной на верхнем кронштейне.

65

5. Нажать кнопку "Пуск" (система придет в движение и дополнительный грузик будет задержан на среднем кронштейне) и измерить время t прохождения правым грузом пути Н. Результат занести в таблицу по форме 1. 6. Обнулить счетчик времени, нажав кнопку "Сброс" (при этом одновременно освобождается блокировка электромагнитом ролика с грузами). 7. Переместить правый груз в верхнее положение и отжать кнопку "Пуск" (при этом возникает повторная блокировка ролика). 8. Измерения повторить несколько раз, согласно пп. 4…7. Число измерений задается преподавателем. 9. По окончании измерений выключить миллисекундомер (кнопка "Сеть"). Путь h = (

±

) мм; путь H = (

масса груза М = (

± ) мм;

± ) г;

масса дополнительного грузика m = (

± ) г. Форма 1

t, c ( t cр − ti ) ( t ср − ti )2 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку прямых измерений времени t. Вычислить среднее значение времени tср и определить границу доверительного интервала с вероятностью р, указанной преподавателем. 2. Используя результаты прямых измерений, по формуле (20) вычислить ускорение свободного падения gср. 3. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности) ε ускорения свободного падения и вычислить ε по полученной формуле. Затем оценить границу доверительного интервала

Δg = γg ср . 66

4. Окончательный результат записать в стандартной форме

( g ср − Дg )…( g ср + Дg ) . 5. Определить относительную погрешность (неопределенность) измерения g по формуле

γ=

g T − g ср gT

⋅ 100% ,

где gТ – теоретическое значение ускорения свободного падения. 8. Контрольные вопросы

1. Что представляет собой прибор Атвуда? 2. Сформулируйте основной закон динамики для поступательного и вращательного движений. Напишите эти законы для грузов и блока в приборе Атвуда. 3. Дайте определение момента силы относительно точки и относительно оси вращения. 4. Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела? Каков его физический смысл? 5. Напишите выражение для скорости и пути при прямолинейном равноускоренном движении. Литература: [1], § 2-7, 16,18; [2], § 1, 2, 4.

67

РАБОТА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ИССЛЕДОВАНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Исследование гармонических колебаний математического маятника. Определение ускорения свободного падения с помощью измерения периода колебаний маятника. Вычисление логарифмического декремента затухания. 2. Измеряемый объект

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой подвешено тело массой m, сосредоточенной в одной точке. В данной работе таким маятником служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нерастяжимой нити (рис.1). Так как радиус шарика много меньше длины нити (R<
Рис.1 3. Краткая теория исследуемого явления

Данная работа посвящена исследованию гармонических колебаний математического маятника. При отклонении маятника на угол ϕ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия

M = - mgl sin ϕ . 68

(1)

Воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

ml 2 ϕ = mgl sinϕ , где

(2)

ml2 – момент инерции маятника; ϕ – угловое ускорение. Представим выражение (2) в виде ⋅⋅

g ϕ + sin ϕ = 0 . l

(3)

Будем рассматривать малые колебания маятника, в этом случае

sin ϕ ~ ϕ . Введем обозначение ω02 =

g . l

(4)

Тогда уравнение (3) примет вид:

ϕ + ω02 ϕ = 0 .

(5)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонических незатухающих колебаний. Решение уравнения (5)

ϕ = ϕ0 cos(ω0 t + α)

(6)

представляет собой гармоническое незатухающее колебание. Здесь ϕ – угол отклонения маятника, ϕ0 – амплитуда гармонических колебаний, ω0 – круговая частота, (ω0 t + α ) – фаза колебания, α – начальная фаза. Период гармонических колебаний математического маятника

Т=

l 2π = 2π , ω0 g

(7)

где g – ускорение свободного падения. Из выражения (7) следует, что g=

69

4π 2 l. T2

(8)

4. Принцип метода измерений и рабочая формула

Принцип метода измерений основан на исследовании характеристик гармонических колебаний математического маятника. В действительности гармонические колебания из-за наличия сил сопротивления являются затухающими. Оценим влияние двух факторов: затухания гармонических колебаний и реальных размеров маятника на точность вычисления ускорения свободного падения. В случае затухающих гармонических колебаний

ϕ = ϕ е − βt соs( ω t + α ) , 0

3

(9)

где β – коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненте. Быстрота затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания λ

λ = ln

А(t ) = βT , A(t + T )

(10)

представляющим собой натуральный логарифм отношения двух амплитуд, измеренных через период колебаний. Можно показать, что

λ=

ln 2 0 ,693 T= T, t 0 ,5 t 0 ,5

(11)

где t 0 ,5 - время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. В данной работе влияние сил сопротивления незначительно и обусловлено, в основном, трением в подвесе. Поэтому λ мало и составляет λ ~ 10 −3 . Однако в этом нужно убедиться экспериментально. Другой фактор, влияющий на период гармонических колебаний – влияние реальных размеров маятника. Каждый маятник, в действительности, является физическим маятником, т.е. телом, колеблющимся вокруг оси, не проходящей через центр тяжести. 70

В этом случае период гармонических колебаний Т = 2π

l пр g

,

(12)

где l пр – приведенная длина физического маятника. В данной работе можно считать, что R l пр ~ − l( 1 + ) . l

(13)

С учетом влияния этих двух факторов на период колебаний маятника можно получить рабочую формулу для ускорения свободного падения R λ2 4π 2 4π 2 λ2 g = 2 lпр ( 1 + 2 ) = 2 l( 1 + )( 1 + 2 ) . Т T l 4π 4π

(14)

λ2 Здесь член ( 2 ) отражает влияние затухания. 4π 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Лабораторная установка состоит из стального шарика, подвешенного на нити перед экраном, на котором нанесена угловая шкала. Маятник, используемый в данной работе, смонтирован на колонке, в нижней части которой находится фотоэлектрический датчик, соединенный с электрическим секундомером. Перед началом измерений необходимо отрегулировать длину маятника таким образом, чтобы черта на шарике совпадала с чертой на корпусе фотоэлектрического датчика. Тогда при первом прохождении шарика через окошко датчика включается электрический секундомер и производится отсчет времени 10 – 30 полных колебаний, период которых

Т=

t , N

(15)

где N – число периодов. 6. Порядок выполнения работы

1. Измерить длину нити подвеса маятника l линейкой с миллиметровыми делениями. 71

2. Провести многократные измерения диаметра шарика и периода колебаний. Число измерений n задается преподавателем. Диаметр шарика измерить штангенциркулем. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1. Форма 1 №

опыта

R =(

d ), мм 2

( Rср − Ri ), мм

( Rср − Ri )2

мм 2

1 2 3

3. Определить период колебаний Т. С помощью секундомера провести многократные измерения времени t, в течение которого совершается N полных колебаний. Число полных колебаний N задается преподавателем, значение N должно быть постоянным во всей серии измерений. Период колебаний заносится в таблицу по форме 2. Форма 2 № опыта

t, c

T, c

(Tcp – Ti)

(Tcp – Ti)2

t0,5

( t 0 ,5ср − t 0 ,5i )

( t 0 ,5ср − t 0 ,5i )2

1 2 3

4. Определить величину логарифмического декремента затухания. Для этого вывести шарик из положения равновесия так, чтобы угол отклонения нити маятника от вертикали составлял 10о. Отпустить шарик и начать отсчет времени. Когда амплитуда колебаний маятника уменьшится вдвое (т.е. отклонение составит угол 5о), выключить секундомер и записать отсчет t0,5. Измерение повторить несколько раз. Результаты измерений занести в таблицу по форме 2. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. На основе результатов прямых измерений t0,5 по формуле (11) вычислить среднее значение логарифмического декремента затухания λ ср . Убедить72

ся, что значение λ << 1 . При этом в формуле (14) можно пренебречь членом

λ2 по сравнению с единицей. 4π Тогда для вычисления ускорения свободного падения можно использовать упрощенную рабочую формулу:

R 4π 2 g = 2 l( 1 + ). T l

(16)

2. Провести обработку результатов прямых измерений R, l, Т. 3. Используя данные прямых измерений R, l, Т, по формуле (16) вычислить среднее значение величины ускорения свободного падения (gср). 4. Вывести формулу относительной погрешности (неопределенности)

γ искомой величины (g). 5. Вычислить γ по полученной формуле. Оценить границу доверительного интервала Δg = γ ⋅ g ср . 6. Окончательный результат записать в стандартной форме: ( g ср − Δg )…( g ср + Δg ).

8. Контрольные вопросы

1. Запишите выражение для гармонического незатухающего колебания. Под действием какой силы возникают такие колебания? 2. Объясните физический смысл характеристик гармонического колебания: амплитуды, периода, частоты, фазы колебания. 3. Как изменяется во времени амплитуда затухающих колебаний? 4. Что такое логарифмический декремент затухания? Каков его физический смысл? 5. Чем математический маятник отличается от физического? Как учтено в данной работе влияние реальных размеров маятника при вычислении периода его колебаний? Литература: [1], § 140, 141, 142, 146; [2], § 27.1, 27.2, 28.1. 73

РАБОТА 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ ПРУЖИНЫ МЕТОДОМ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Целью работы является определение коэффициента жесткости пружины двумя различными методами: путем исследования колебаний пружинного маятника и методом тарировки, исходя из закона Гука. 2. Краткая теория исследуемого явления

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на пружине (рис.1) и совершающий гармонические колебания под действием силы

упру-

гости.

Рис. 1 Известно, что гармонические свободные (незатухающие) колебания происходят под действием квазиупругих сил F = −kx . В данном случае х – смещение центра тяжести маятника относительно положения равновесия, а F – сила упругости; к – коэффициент жесткости пружины. Выведенный из положения равновесия маятник совершает свободные гармонические колебания согласно уравнению х = Аcos (ω 0 t + α 0 ) .

74

(1)

Хотя движение груза прямолинейно, но смещение центра тяжести маятника во времени изменяется по закону косинуса. 3. Принцип метода измерения и рабочая формула

Принцип метода измерений основан на исследовании свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Рассмотрим вначале незатухающие гармонические колебания маятника под действием только силы упругости. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой силой:

mg = kl0 ,

(2)

где l0 – удлинение пружины под действием груза. Смещение груза из положения равновесия будет характеризоваться координатой х, причем ось х направлена по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия. При смещении груза из положения равновесия на расстояние, равное х, удлинение пружины станет равным ( l0 + х ) , тогда сила, вызывающая колебания маятника примет значение

F = mg − k ( l0 + х ) . Учитывая условие равновесия, получим F = − kx .

(3)

При малых деформациях эта сила описывает закон Гука. Выведем уравнение движения маятника на основе II закона Ньютона mx = − kx

или x + ω2 х = 0 , 0

(4)

где х – ускорение; ω2 = k / m . 0

Выражение (4) – это дифференциальное уравнение гармонических незатухающих колебаний, а его решение имеет вид х = А0 сos( ω0 t + α 0 ) 75

(5)

и представляет собой гармоническое незатухающее колебание. k – круговая частота; α 0 – начальная m

Здесь А0 – амплитуда колебания; ω0 = фаза. Так как ω0 =

2π , то период колебаний Т0 Т 0 = 2π

m . k

(6)

Отсюда получим выражение для жесткости пружины k = m(

2π 2 ) . T0

(7)

В реальных условиях маятник, совершающий колебания, однако испытывает сопротивление среды, которое при малых скоростях может быть принято пропорциональным скорости (сила сопротивления Fс = − rx , где r – коэффициент сопротивления; х – скорость движения маятника). В таком случае на маятник действуют две силы – упругая сила и сила сопротивления. При этом возникают затухающие колебания вида х = А0 е − вt сos( ωt + α 0 ) ,

где

(8)

А = А0 е − вt – амплитуда затухающих колебаний; А0 – начальное значение

амплитуды при (t = 0); β =

r – коэффициент затухания; ω - круговая частота 2m

затухающих колебаний; ω = ω02 − β 2 ; ω =

2π . Т3

Период затухающих колебаний Т3: Т3 =

2π ω02 − β 2

=

2π . k 2 −β m

(9)

Влияние сил сопротивления приводит к тому, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненте, а период зату-

76

хающих колебаний больше, чем в случае незатухающих гармонических колебаний. Для характеристики быстроты затухания удобно использовать логарифмический декремент затухания λ = ln

А( t ) = βТ , А(t + T)

(10)

который равен логарифму отношения двух последующих амплитуд, измеренных через один период Т3. Подставив значение β из (10) в (9), получим рабочую формулу для определения жесткости пружины λ2 2π 2 k = m( ) (1 + 2 ). T3 4π

(11)

В дальнейшем период затухающих колебаний будем обозначать просто буквой Т. Для вычисления λ можно воспользоваться выражением λ=

0 ,693Т , t 0 ,5

(12)

где t0,5 – время, за которое амплитуда колебаний уменьшится вдвое. 4. Измеряемый объект

Объектом измерения является пружина, коэффициент жесткости которой определяется двумя различными методами. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Схема лабораторной установки изображена на рис. 2. К штативу 1 прикреплены пружинный маятник 2 и кронштейн 3 с линейкой 4, которая служит для измерения величины смещения груза В от положения равновесия. Выводят груз из положения равновесия, отпускают его, одновременно включая секундомер. Груз будет совершать гармонические колебания, с помощью секундомера измеряется время N = (20 … 30) полных колебаний. Затем вычисляется период колебаний.

77

Рис. 2 6. Порядок выполнения работы

1. Подвесить тело к пружине. Масса тела (включая

массу подвеса)

m = 0,55 кг выбрана таким образом, чтобы получить параметры процесса ко-

лебания, удобные для измерения. 2. Поворачивая стопорный винт на кронштейне с линейкой, освободить винт, установить линейку так, чтобы острие на грузе, находящемся в состоянии покоя, совпало с нулевым делением. 3. Сместить груз на х = 10 см, отпустить, включив одновременно секундомер. Определить время t, за которое совершается N = 20… 30 полных колебаний. Период затухающих колебаний Т =

t . Измерение провести несколько N

раз, результаты занести в таблицу по форме 1. Число измерений n указывается преподавателем.

78

Форма 1 № опыта 1 2 3

t, с

Т, с

(Тср-Тi)

(Тср-Тi)2

ср t0,5, с ( t 0,5 − t 0,5 )

ср ( t 0,5 − t 0,5 )2

4. Определить время уменьшения амплитуды вдвое, для чего, оттянув груз на х = 10 см, отпустить его, одновременно включив секундомер. Когда отклонение станет равным 0,5х = 5 см, выключить секундомер, записать время

t0,5. Измерение провести несколько раз. 5. Определить значение k прямым методом – методом тарировки, исходя из закона Гука k =

F . Для этого, сняв груз 0,5 кг, установить шкалу так, чтобы х

указатель на подвесе оказался у нулевого деления. Помещая на подвес грузы различной массы, произвести отсчеты деформации (удлинения) пружины х. Результаты записать в таблицу по форме 2. Форма 2 № опыта 1 2 3

m, кг

F = mg, H

x, м

k, H/м

(kср-k)

(kcр-k)2

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. 2. По формуле (11) вычислить среднее значение коэффициента жесткости kср. 3. С использованием выражения (11) вывести формулу относительной погрешности (неопределенности) γ измеряемой величины k.

Указание. Так как затухание λ мало, то при выводе формулы для γ в вы-

λ2 ражении (11) можно пренебречь членом 4π 2 79

по сравнению с единицей и ис-

пользовать упрощенную формулу для коэффициента жесткости пружины

k = m(

2π 2 ). T

(13)

4. По полученной формуле для относительной погрешности (неопределенности) вычислить значение γ . 5. Определить границу доверительного интервала Δk = γk ср . 6. Окончательный результат записать в виде

( k ср − Δk )…( k ср + Δk ). 7. Вычислить жесткость пружины (kср) вторым способом – на основе закона Гука. Сравнить средние значения коэффициента жесткости, полученные методом тарировки и на основе исследования гармонических колебаний пружинного маятника. 8. Контрольные вопросы

1. Под действием каких сил возникают гармонические незатухающие и затухающие колебания? 2. По какому закону изменяется во времени смещение центра тяжести маятника при гармонических незатухающих колебаниях? Запишите выражение для смещения, объясните смысл всех входящих в это выражение величин. 3. Что такое период гармонических колебаний? Запишите выражение для периода незатухающих колебаний. 4. Как изменятся амплитуда и период затухающих колебаний по сравнению с незатухающими гармоническими колебаниями? 5. Что такое логарифмический декремент затухания? Как он зависит от коэффициента затухания β? 6. Сформулируйте закон Гука. В каких пределах он справедлив? Какой физический смысл коэффициента жесткости? Литература: [1] , §140, 141, 142, 146; [2], §27.1, 27.2, 28.1. 80

РАБОТА 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ПРОГИБА 1. Цель работы

Определение модуля Юнга материала путем измерения прогиба стержня при нагрузке. 2. Краткая теория исследуемого явления

Если к телу приложить силу, оно деформируется. Деформация называется упругой, если она исчезает после прекращения действия силы. При упругой деформации по закону, установленному Гуком, величина деформации

Δl пропорциональна действующей силе F: F = kΔl ,

(1)

где k − постоянная величина для данного образца. Рассмотрим простейшую деформацию продольного растяжения (или одностороннего сжатия). Пусть к концам однородного стержня длиной l и площадью поперечного сечения S приложена сила F. Опыт показывает, что для стержней из данного материала относительное удлинение Δl/l при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня. Закон Гука в этом случае запишется в виде

F Δl =( )/ Е , l S где F / S = σ –

(2)

нормальное напряжение, измеряемое силой, действующей на

единицу площади поперечного сечения; коэффициент пропорциональности Е, который называется модулем упругости (модулем Юнга). Он характеризует упругие свойства материала. В системе СИ модуль Юнга измеряется в Н/м2. Из выражения (2) легко уяснить физический смысл модуля Юнга: он численно равен нормальному напряжению, при котором длина растягиваемого стержня увеличилась бы в два раза (

Δl = 1 ) . Это определение условно, поl

скольку только немногие материалы способны выдержать без разрушения 81

столь большие нагрузки. Для подавляющего большинства материалов зависимость (2) справедлива только при малых деформациях Δl << l . 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Принцип метода измерений модуля Юнга заключается в измерении прогиба стержней (балок), изготовленных из разного материала, под действием различных по величине нагрузок, приложенных в центре стержней, лежащих на опорах, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга (рис. 1а).

Рис. 1 Изгиб представляет собой деформацию более сложного вида, чем растяжение или сжатие, но опыт и расчеты показывают, что при деформации изгиба верхняя часть балки испытывает сжатие, а нижняя – растяжение. Эпюра распределения напряжения по сечению балки показана на рис. 1б. Как видно из рис. 1б, в случае изгиба стержня возникают деформации растяжения и сжатия, однако нормальные напряжения распределяются при этом неравномерно: они концентрируются в крайних частях сечения и имеют

82

различные знаки, а у оси стержня материал оказывается в ненапряженном состоянии. Наибольшей деформации подвергается средняя часть стержня, т.е. его сечение, где приложена сила F. Стрелой прогиба уF в этом сечении называется величина прогиба в единицах длины. Теоретический расчет дает следующую формулу для расчета модуля Юнга Е: 3

( F / yF ) ⎛ l ⎞ E= ⎜ ⎟ , 4t ⎝h⎠

(3)

где F – приложенная по центру балки сила; h и t – размеры поперечного сечения балки рис. 1б; уF – стрела прогиба балки при приложении нагрузки; l – расстояние между опорами балки, рис. 1а. 4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является стержень или балка, находящаяся на двух опорах и нагруженная посередине. 5. Экспериментальная установка

Установка представляет собой стержень из испытуемого материала (балка), расположенный горизонтально и своими концами свободно опирающийся на две призмы, обращенные рабочими ребрами вверх. Призмы установлены на вертикальных стойках поперечно по отношению к оси балки. Посередине балки на нее надета серьга, к которой подвешена платформа с грузами. Стрела прогиба балки измеряется при помощи механического индикатора. Отсчетное устройство закреплено на общем основании с опорными стойками балки. 6. Порядок выполнения работы

Для определения модуля Юнга материала стержня необходимо произвести прямые измерения следующих величин: l, h, t, (F/уF). 83

1. Линейкой с миллиметровыми делениями измерить расстояние между опорами l. 2. Штангенциркулем измерить параметры сечения стержня: высоты (h) и ширины (t). Измерение каждого параметра произвести несколько раз, число измерений n задается преподавателем. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу по форме 1. Форма 1 № опыта

h, мм

( hср − hi ), мм

( hср − hi )2 , мм2

1 2 3

В аналогичной форме представить результаты измерений ширины сечения t. 3. Надеть на балку подвес для грузов (серьгу) и положить балку на опоры. Серьгу надо поместить под индикатором и, осторожно приподняв измерительный стержень, упереть его конус в лунку, высверленную на верхней грани серьги. 4. Осторожно подвесить на серьгу платформу. Установить показание индикатора поворотом шкалы на нуль. 5. Произвести отсчеты прогибов балки при нескольких различных нагрузках. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу по форме 2.

84

Форма 2 № Масса n, опы- груза делета m , кг ний

F, H/м

yF , ( F / у F ) , м H/м

[(

F F )ср − ( )i ] уF уF

[(

F F )ср − ( )i ] 2 уF уF

1 2 3

n – отсчет по шкале индикатора; F= mg – сила тяжести; yF = a0n – стрела прогиба, где a0 − цена деления индикатора. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. 2. На основе результатов прямых измерений по формуле (3) вычислить среднее значение модуля Юнга (Еср). 3. Вывести формулу относительной погрешности (неопределенности) γ для модуля Юнга, вычислить по полученной формуле значение γ . 4. Определить границу доверительного интервала для модуля Юнга ΔЕ = γ ⋅ Е ср .

Окончательно записать результат в стандартной форме

( Еср − ΔЕ )…( Еср + ΔЕ ).

8. Контрольные вопросы

1. Чем отличаются упругая и пластическая деформации тел? 2. Какая связь между приложенной к телу силой и величиной упругой деформации? 3. Запишите выражение закона Гука в случае продольного растяжения однородного стержня постоянного сечения S. 4. Каков физический смысл модуля Юнга? 5. В чем особенность деформации балки (стержня) при изгибе? Как распределено нормальное напряжение по сечению балки? Литература: [1], § 21; [2], § 29.3. 85

РАБОТА 11. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ 1. Цель работы

Целью работы является экспериментальное определение импульсов двух упруго соударяющихся шаров до и после соударения. Проверка выполнения закона сохранения импульса для замкнутой системы тел. 2. Краткая теория исследуемого явления

В физике реальное взаимодействие тел может быть рассмотрено на простейшей модели – центрального удара двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и неупругий удары. Эти взаимодействия шаров принципиально отличаются друг от друга. При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия движущихся шаров полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию (тепло, энергию остаточных деформаций). После удара шары движутся с одинаковой скоростью, как единое целое, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается. В случае абсолютно упругого удара кинетическая энергия обоих шаров сначала превращается в потенциальную энергию упругих деформаций тел. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругих деформаций снова переходит в кинетическую энергию движущихся шаров. При центральном абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса замкнутой системы тел (шаров). На основе этих законов сохранения можно получить выражение для расчета скоростей шаров после абсолютно упругого удара.

86

Закон сохранения импульса имеет вид

m1 v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2 u 2 ,

(1)

а закон сохранения энергии –

m1 v12 m2 v 22 m1u12 m2 u 22 , + = + 2 2 2 2

(2)

где m1, m2 – массы шаров; v1 и v 2 – скорости шаров до удара; u1 и u2 – скорости шаров после удара. Рассмотрим случай, когда один из шаров массой m2 до удара неподвижен, т.е. v 2 = 0 . Тогда законы сохранения импульса и механической энергии запишутся в форме

m1 v1 = m1u1 + m2 u 2 ,

(3)

m1 v12 m1u12 m2 u 22 = + . 2 2 2

(4)

Совместное решение системы уравнений (3) и (4) (с учетом того, что центры шаров движутся по одной прямой) позволяет определить скорости шаров после удара:

u1 =

( m1 − m2 ) v1 , m1 + m2

(5)

2m1 ⋅ v1 . m1 + m2

(6)

u2 =

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

В данной лабораторной работе исследуется центральный упругий удар шаров, когда до удара шары сближаются по линии, проходящей через их центры масс (рис.1). Такой удар реализуется в установке двумя подвешенными на нитях равной длины шарами. Расстояние между точками подвеса равно сумме радиусов обоих шаров.

87

Рис. 1 Пусть левый шар массой m2 до удара покоится. Выведем из положения равновесия правый шар массой m1 на некоторый угол α и отпустим. Скорости шаров после удара можно определить по углам отклонения α1 и α 2 первого и второго шаров от положения равновесия. Такой метод называется баллистическим.

Рис. 2 Получим рабочие формулы для вычисления скоростей шаров u1 и u2 после удара. Скорость первого шара v1 до удара определим, используя закон сохранения энергии. Считая, что потенциальная энергия шара массой m1, откло-

88

ненного на угол α , полностью преобразуется в его кинетическую энергию, запишем

m1 v12 , m1 gh = 2

(7)

где h – высота подъема шара (рис. 2); g – ускорение свободного падения. Как видно из прямоугольного треугольника АВС на рис.2,

l-h = l cos α ,

(8)

следовательно,

α

h = l(1-cos α)=2 sin 2 . 2

(9)

Подставляя выражение (9) в формулу (7) получим: 2

v1 = 2 gl( 1 − сosα ) = 4 glsin 2

α 2

или

v1 = 2 gl sin

α 2

.

(10)

Значение скоростей шаров в точке D непосредственно после удара по аналогии определяется формулами

u1 = 2 gl sin

α1` , 2

(11)

u2 = 2 gl sin

α 2` , 2

(12)

где α1 и α 2 – углы отклонения от положения равновесия 1-го (правого) и 2-го (левого) шаров. Суммарный импульс системы шаров до 1-го удара

рс = р1 + р2 = 0 + mv1 = m2 gl sin

α 2

.

(13)

После 1-го удара левый шар получает импульс

р2 = mu 2 = m2 gl sin а правый шар останавливается ( u1 = 0;

р1′ = 0 ) . 89

α2 , 2

(14)

Суммарный импульс системы шаров после 1-го удара

р′с = m( 0 + u 2 ) = m2 gl sin

α2 . 2

(15)

После 2-го удара правый шар получает импульс

р1′′ = mu1 = m2 gl sin

α1 , 2

(16)

а левый шар останавливается ( р′2′ = 0 ) . Тогда суммарный импульс системы шаров после 2-го удара рс′′ = m( 0 + 2 gl sin

α1 α ) = m2 gl sin 1 . 2 2

(17)

Для проверки выполнения закона сохранения импульса необходимо сравнить суммарный импульс системы шаров до и после 1-го и 2-го ударов. После проведения прямых измерений углов α , α1 , α 2 следует вычислить по формулам (13), (15), (17) импульс системы шаров до и после ударов, а затем сравнить полученные результаты. 4. Измеряемый объект

Измеряемый объект представляет собой два одинаковых шара, подвешенных на нитках равной длины. Центры масс шаров лежат в горизонтальной плоскости на расстоянии, равном расстоянию между точками подвеса нитей. Диаметры шаров составляют d1=d2=60,0 (мм). Массы шаров m1=m2=200 (г). Шары изготовлены в Бельгии из специального полимерного материала. Анализ физико-химических свойств этого полимера позволяет считать, что при соударении шаров условия (1) и (2) (см. раздел 2) реализуются с хорошей точностью. 5. Установка в статике и динамике

Установка в статике и динамике представлена на рис. 3. Основание 1 установлено строго горизонтально на лабораторном столе через регулируемые антивибрирующие ножки 2. На верхнем конце штанги 3, закрепленной перпендикулярно основанию, предусмотрен механизм подвеса 4. 90

4

3

6

5

А 1

В

2

Рис. 3

91

Он позволяет регулировать длину нитей подвеса шаров 5 и 6 и расстояния между точками подвеса. Поскольку после соударения шары 5 и 6 движутся по разным траекториям, для регистрации их угловых положений на основании установлены две шакалы: шкала “А” – для правого шара 5 и шкала “В” – для левого шара 6. Таким образом, углы α и α1 фиксируются по шкале “А”, а угол α 2 – по шкале “В”. Правый шар 5 отклоняют вправо на некоторый угол α и отпускают. Необходимо следить, чтобы шар был расположен точно над шкалой “А”. Тогда траектория его движения будет лежать в плоскости, где лежат центры масс обоих шаров и обе измерительных шкалы (“А” и “В”). Только в этом случае удар будет центральным. Левый шар 6 при этом качнется влево, двигаясь точно над шкалой “В”. Если по какой-то причине этого не произошло (шар 6 качнулся “в сторону”), эксперимент следует повторить. 6. Порядок выполнения лабораторной работы

1. Необходимо убедиться, что оба шара до начала эксперимента находятся в покое. 2. Отвести правый шар (m1) вправо на угол α , указанный преподавателем, и отпустить. 3. Зафиксировать углы отклонения подвесов обоих шаров: α 2 (после 1-го удара) и α 1 (после 2-го удара). 4. Данные измерений углов α , α1 , α 2 занести в таблицу по форме 1. В качестве примера приведена форма 1 для измерений угла α . Аналогично должны быть составлены таблицы измерений для углов α1 , α 2 .

92

Форма 1 N опыта

α

( α ср − α i )

( α ср − α i )2

1 2 3

7. Вычисления и обработка результатов измерений

Предварительно студент должен ознакомиться с правилами оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений, приведенных в данных указаниях на с.6-12. 1. Провести обработку прямых измерений углов α , α1 , α 2 . Вычислить средние арифметические значения этих величин для серии n измерений. 2. По данным табл. 1, заполненной по форме 1, определить средние квадратичные

отклонения

результата

серии

измерений

S ( α ср ), S ( α 1ср ), S ( α 2ср ) . 3. Определить границу доверительного интервала, в котором с заданной вероятностью р находится каждая из приведенных величин. Для всех прямых измерений задается одно и то же значение р. Записать результаты прямых измерений в стандартной форме. 4. Провести обработку результатов косвенных измерений. По формулам (10), (11), (12) вычислить средние значения скоростей: v1ср – правого шара до удара; u 2ср – левого шара после 1-го удара и u1ср – правого шара после 2-го удара. 5. С использованием рабочих формул (10), (11) и (12) вывести формулы относительной неопределенности (погрешности) γ скоростей шаров до и после удара. 93

Как видно из рабочих формул, все скорости – v1 , u1 , u 2 имеют одинаковую функциональную зависимость от угла отклонения. Поэтому формулы относительной неопределенности γ для всех рассматриваемых скоростей будут иметь одинаковый вид. 6. Вычислить γ по полученным формулам. Определить границу доверительного интервала для каждой из скоростей, т.е. Δv1ср , Δu1ср , Δu 2ср . 7. Окончательно записать результат в стандартной форме:

( v1ср − Δv1 )… ( v1ср + Δv1 ) ; ( u 1ср − Δu1 )… ( u 1ср + Δu1 ) ; ( u 2 ср − Δu 2 )… ( u2 ср + Δu2 ) .

8. По формулам (13), (15) и (17) вычислить импульсы системы шаров до и после ударов. Для проверки выполнения закона сохранения импульса сравнить численные значения суммарного импульса системы шаров до и после первого и второго ударов. Дать заключение о справедливости закона сохранения импульса для замкнутой системы тел (шаров). 8. Контрольные вопросы

1. Что называется импульсом тела? 2. Сформулируйте закон сохранения импульса. 3. Какая система называется замкнутой или изолированной? 4. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом и неупругом ударе? 5. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Литература: [1], § 6,9; [2], § 5.1, 5.2.

94

РАБОТА 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ МЕТОДОМ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Определение коэффициента трения качения методом исследования колебаний наклонного маятника. 2. Краткая теория исследуемого явления

На любое движущееся тело действуют силы трения. Природа этих сил может быть различной, но в результате их действия всегда происходит превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся тел, т. е. энергию теплового движения частиц. В механике различают два вида трения: сухое, или внешнее, между твердыми телами и внутреннее, или вязкое, между слоями жидкости или газа. Внешним трением называется явление возникновения в месте контакта двух соприкасающихся твердых тел касательных сил, препятствующих относительному перемещению этих тел. Внешнее трение между движущимися друг относительно друга телами называется кинематическим. Внешнее трение между взаимно неподвижными телами называется трением покоя. Оно проявляется в том, что для возникновения относительного перемещения двух соприкасающихся тел к одному из них нужно приложить внешнюю силу F>>F0, где F0 – так называемая предельная сила покоя. В зависимости от характера относительного движения различают трение скольжения, возникающее при поступательном перемещении (скольжении) одного тела по поверхности другого, и трение качения, возникающее тогда, когда одно тело катится по поверхности другого. Сила трения скольжения, возникающая при скольжении сухих поверхностей тел друг относительно друга, в основном вызывается механическим

95

зацеплением между неровностями поверхностей и сцеплением между молекулами в областях их непосредственного соприкосновения. В приближенных расчетах можно считать, что величина силы трения скольжения пропорциональна силе нормального давления Fн, а следовательно, и силе реакции опоры N, действующей на тело:

Fтр = f N,

(1)

где f – безразмерный коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств материалов обоих тел. Коэффициент трения зависит также от множества других факторов: качества обработки трущихся поверхностей, наличия на них загрязнений, скорости скольжения и т. д. При качении тела вращения (шара, цилиндра, диска и т. д.) по плоской поверхности тело и поверхность в области соприкосновения деформируются. Поэтому линия действия силы реакции поверхности не совпадает с линией действия силы нормального давления Fн (рис. 1).

N

R

Fтр. к

Fн Рис.1

96

Нормальная к плоскости составляющая N силы R численно равна силе нормального давления, а горизонтальная составляющая представляет собой силу трения качения Fтр.к. В первом приближении можно считать, что

Fтр.к = f к

N , r

(2)

где r – радиус катящегося тела; fк – коэффициент трения качения. Коэффициент трения качения имеет размерность длины и зависит от материала тел, состояния их поверхностей и ряда других факторов. Трение качения значительно меньше трения скольжения, поэтому повсюду, где возможно, трение скольжения колеса заменяют трением качения (использование шариковых и роликовых подшипников и т. д.). 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Одним из экспериментальных методов определения коэффициента трения качения является метод наблюдения колебаний наклонного маятника. При колебаниях маятника шарик катится по исследуемому образцу, при этом возникает сила трения качения, вызывающая затухание колебаний маятника. Нить маятника и образец наклонены относительно вертикали на одинаковый угол. Шарик движется под действием следующих сил: силы тяжести mg , силы натяжения нити Т , силы реакции образца N и силы трения качения F тр.к. Результирующая всех сил — возвращающая сила F в – стремится вернуть маятник в положение равновесия. На рис.2 схематически изображен вид наклонного маятника сбоку, β – угол наклона образца относительно вертикали. Силу тяжести mg можно разложить на две составляющие: Fн и Т ′ . Составляющая Fн – сила нормального давления, уравновешивается силой реакции образца N

и определяет силу трения качения. Из рис.2 видно, что

Fн = mgsinβ.

97

(3)

Сила Т ′ является проекцией силы тяжести mg на плоскость, в которой колеблется нить маятника (плоскость колебаний). Из рис.2 следует:

T'=mgcos β.

(4)

β

T N Fн

T′

β

β β′ =

mg

π −β 2

Рис. 2 На рис.3 изображена плоскость колебаний маятника. При отклонении маятника на небольшой угол α от положения равновесия возникает возвращающая сила Fв, направленная в сторону уменьшения α. Согласно рис.3, она равна

Fв=T' sinα .

(5)

Сила трения качения, возникающая при движении шарика, направлена противоположно Fв . Пусть в некоторый момент времени шарик отклоняется на максимальный угол α. Полная энергия i-го колебания Е(i) без учета трения равна работе по подъему шарика на угол αi . Элементарная работа, совершаемая при отклонении шарика на малый угол dα, равна

dA=Fв dS=Fв l dα, 98

(6)

где dS –

дуга, которую описывает шарик при его отклонении

на

малый

угол dα; l — расстояние от оси вращения до центра шарика. Тогда полная энергия i-го колебания будет равна

E

(i)

(i )

=A

αi

= ∫ Fв ldα.

(7)

0

Подставляя в (7) выражения (5) и (4), получим

E

(i )

αi

= ∫ mglcosβsinα dα = mglcosв ( 1 − cosα i ) .

(8)

0

α T Fтр. к

α T

Fв

T′

T′ Рис. 3

Действие силы трения качения вызывает уменьшение энергии колебаний. Полагая, что за период амплитуда колебаний изменяется мало, из (8) получим выражение для изменения энергии за период

ΔE(i)=m g l cosβ sinαi Δαi,

(9)

где Δαi — уменьшение угла отклонения маятника за i-e колебание. Изменение энергии за период равно работе сил трения во время i-го колебания. Эта работа равна

Aтр(i)=4Fтр.к.lαi . 99

(10)

Подставляя в (10) выражение (2) и учитывая, что N=Fн , получим

Aтр(i)=4 fк (Fн /r) l αi .

(11)

С учетом (3) выражение (11) перепишется в виде mgsinβ lα i . r

(i )

A тр = 4 f к

Приравнивая (9) и (12)

(12)

и учитывая, что при малых углах отклонения

(αi= 4...5о) sinαi ≈ αi , получим выражение для Δαi:

Δα i = 4

fк tgβ. r

(13)

Уменьшение максимального угла отклонения за п колебаний при не слишком большом числе колебаний (n ~ 10) найдем суммированием всех Δαi за п колебаний: n

∑ Δα i = n 4

n =1

fк tgβ. r

(14)

На основании (14) можно записать α 0 − α n = 4n

fк tgβ , r

(15)

где α0 – угол начального отклонения маятника; αn – угол отклонения после п полных колебаний. Из (15) получим рабочую формулу для расчета коэффициента трения качения

fк = r

α0 − αn ctgβ . 4n

(16)

4. Измеряемый объект

Объектом измерения является трущаяся пара: лакированная алюминиевая пластина и окрашенный стальной шарик. При колебаниях маятника шарик катится по пластине. Между этими телами возникает трение качения. Силу трения качения можно изменять, меняя угол наклона маятника (30о; 40о; 60о).

100

5. Лабораторная установка в статике и динамике

Установка представлена на рис. 4, 5. Наклонный маятник собран на массивном стальном основании 1, которое от лабораторного стола отделяют четыре регулируемые антивибрационные ножки 2 (см. рис. 4).

9

8

10 7

1

2

Рис. 4

101

7

5

6

3 4

11

Рис. 5 На основании жестко закреплена металлическая П-образная опора 3 (рис.5). Посредством бронзовой втулки 4 в опору 3 вмонтирована металлическая опорная шайба 5. На ней жестко закреплены алюминиевая лакированная пластина 6 (см. раздел 4 “Измеряемый объект”) с нанесенной измерительной шкалой 7. Деления шкалы показывают угол отклонения маятника (в угловых градусах). Кроме пластин 6 в опорную шайбу 5 вмонтирована металлическая штанга 8, к вершине которой посредством крепежного узла 9 подвешен металлический шарик 10 (см. рис.4). Длина нити подвеса выбирается таким образом, чтобы при колебаниях маятника шарик 10 катился посередине алюминиевой пластины 6. Именно пластина 6 и шарик 10 и являются теми взаимодействующими телами, между поверхностями которых требуется определить коэффициент трения

качения (fк). 102

В нижней части опоры 3 (см. рис. 5) находится фиксирующий механизм, позволяющий изменять вертикальное положение маятника, т.е. устанавливать его под углом 30о; 40о или 60о относительно нормали (перпендикуляра) к основанию 1. Угловое положение маятника изменяется легким нажатием на верхнюю часть штанги 8. В момент фиксации нового положения опорной шайбы 5 в опоре 3 раздается негромкий щелчок. Величину угла наклона маятника можно увидеть в окне 11, расположенном справа на опоре 3. После того, как наклонный маятник установлен под нужным углом, следует убедиться, что положение шарика 10 соответствует нулевой отметке шкалы. (Если это не так, следует пригласить преподавателя.) Затем аккуратно двумя пальцами шарик отклоняют от положения равновесия на угол ≈ 10о и отпускают. Наклонный маятник начнет совершать затухающие колебания, по параметрам которых (см. раздел 3) можно определить коэффициент трения качения (fк). Как видно из формулы (16), для определения коэффициента трения качения необходимо провести прямые измерения следующих величин: α 0 ; α n ; r. 6. Порядок выполнения работы

1. Измерить штангенциркулем несколько раз диаметр (d=2r) шарика. Результат занести в таблицу по форме 1. Форма 1 № опыта

(r = d/2), мм

(rср – ri), мм

1 2 3

103

(rср – ri)2, мм2

2. Установить угол наклона образца β. Значение угла β задается преподавателем в диапазоне от 30 до 60о. Отклонить шарик из положения равновесия на угол α0 ≅ 10o и отпустить его. В этот момент начать отсчет числа колебаний, который в данной работе удобнее производить визуально. 3. После 10 периодов колебаний маятника быстро произвести отсчет угла αn по угловой шкале прибора. Измерения αn для заданного угла β повторить несколько раз. Результаты измерений занести в таблицу по форме 2. β = … град; б0 = … град.

Форма 2 № опыта

α n , град

( α nср − α n )

( α nср − α n )2

( α 0 − α nср )

1 2 3

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений. 2. По формуле (16) вычислить среднее значение коэффициента трения качения f к ср для заданного угла β .

Замечание. При вычислениях fк значения углов α 0 и α n брать в радианах ( 1o = 1,75 ⋅ 10 −2 рад ). 3. Вывести формулу для расчета относительной неопределенности (погрешности) γ измеряемой величины fк. 4. Определить границу доверительного интервала для fк: Дf к ср = γ ⋅ f к ср .

104

Окончательно записать результат в стандартной форме

( f к ср − Дf к )…( f к ср + Дf к ).

8. Контрольные вопросы

1. В чем заключается явление трения? Какие виды трения вы знаете? 2. Напишите формулы для силы трения скольжения и силы трения качения. 3. Какая колебательная система называется математическим маятником? Чему равен период колебаний математического маятника? 4. Что собой представляет наклонный маятник? 5. Какие силы действуют на шарик при колебаниях маятника? 6. В чем проявляется действие сил трения? 7. Как можно оценить изменение энергии колебаний маятника за период? Чему равна работа сил трения за период колебаний? Литература: [1], § 8.

105

РАБОТА 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА 1. Цель работы

Определение коэффициента внутреннего трения (динамической вязкости) исследуемой жидкости по методу Стокса. 2. Краткая теория исследуемого явления

Вязкость, или внутреннее трение, в жидкости выражается в свойстве жидкости оказывать сопротивление перемещению ее слоев относительно друг друга. Внутреннее трение связано с возникновением сил трения между слоями жидкости, перемещающимися с различными скоростями. Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Медленно перемещающиеся слои тормозят более быстро движущиеся слои жидкости. Пусть слои жидкости движутся параллельно друг другу (ламинарное течение) в направлении оси OX с разной скоростью v x ( z ) (рис. 1). Силы трения направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев и описываются законом Ньютона.

F тр = η

где

dv x dz

S ,

(1)

dv x – производная скорости по нормали к слоям (модуль градиента скороdz

сти); S – площадь соприкосновения слоев; η – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость). Из закона (1) следует, что коэффициент внутреннего трения численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади соприкосновения слоев при модуле градиента скорости, равном единице. Единицей ко-

106

эффициента динамической вязкости в СИ является паскаль-секунда (Па·с), а в системе СГС – пуаз (П). Величина 1/η, обратная коэффициенту внутреннего трения, называется текучестью жидкости. Z

vx O

X

Рис. 1 Сила внутреннего трения между слоями жидкости выражается той же самой формулой (законом Ньютона), как и для газов. Однако молекулярный механизм процесса внутреннего трения отличен от аналогичного процесса в газах. На движение молекул в жидкости в первую очередь влияет межмолекулярное взаимодействие, ограничивающее их подвижность. Молекулы жидкости большую часть времени совершают колебания около положения равновесия внутри небольших объемов жидкости, поэтому перенос импульса при переходе молекул из одного слоя жидкости в другой не может быть решающим фактором для выяснения природы внутреннего трения. Воздействие одного движущегося слоя жидкостей

на другой происходит за счет сил сцепления между

молекулами. Вязкость жидкости в очень сильной степени зависит от температуры. С ростом температуры текучесть жидкости возрастает, а вязкость падает, в отличие от газов, вязкость которых возрастает с увеличением температуры.

107

Чем реже молекулы жидкости изменяют свои положения равновесия, тем меньше их подвижность и тем больше вязкость жидкости. С увеличением температуры тепловое движение молекул усиливается, а среднее значение времени релаксации (времени “оседлой жизни” молекулы) уменьшается, следовательно, уменьшается вязкость жидкости. При низких температурах коэффициент динамической вязкости изменяется по закону η~T еЕ/(kТ),

(2)

где k –  постоянная Больцмана; Е –  энергия, которую должна приобрести молекула, чтобы перейти от одного положения к другому (энергия активации). Энергия Е обусловлена связью молекулы с соседними частицами. Наряду с динамической вязкостью η часто используется кинематическая вязкость ν=η/ρ, где ρ – плотность жидкости. Кинематическая вязкость измеряется в Международной системе единиц (СИ) в м2/с, а в системе СГС – в см2/с, последняя единица называется стоксом. Вязкость и текучесть являются важными характеристиками жидкости при решении вопроса о пригодности использования той или иной жидкости в технических целях, например, в качестве наполнителей гидросистем, для смазки трущихся поверхностей и т.д. 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Один из методов экспериментального внутреннего трения был предложен Стоксом, который показал, что если шарик двигается без завихрений, то сила сопротивления движению шарика в жидкости, обусловленная силами внутреннего трения, равна

Fтр = 6πηrv , где

(3)

r – радиус шарика; v – скорость движения шарика; η – коэффициент

внутреннего трения. Формула (3) справедлива при небольших скоростях и размерах тел, т.е. при малых значениях числа Рейнольдса и при условии, что расстояние от ша108

рика до границ жидкости, например до стенок сосуда, значительно больше размеров шарика и влиянием стенок сосуда можно пренебречь. Следует подчеркнуть, что при свободном падении шарика в жидкости слой жидкости, непосредственно прилегающий к шарику, движется вместе с телом со скоростью движения тела. Скорость остальных слоев уменьшается по мере удаления от шарика (рис. 2). Поэтому между слоями жидкости действуют силы внутреннего трения, которые в конечном счете приложены к шарику.

Рис. 2 На шарик, свободно падающий в жидкости, действуют следующие силы (см. рис.3): 1.

Сила тяжести 4 3 F т = mg = πr ρ1 g , 3

(4)

где m – масса шара; ρ1 – плотность материала шара; g – ускорение свободного падения. 2.

Выталкивающая сила, равная, по закону Архимеда, весу жидкости,

вытесненной шаром, 4 3 F A = πr ρ 2 g , 3

(5)

где ρ2 – плотность жидкости. 3.

Сила сопротивления движению шара в жидкости, равная при малых

скоростях силе трения Fтр, определяемой по формуле Стокса (3). 109

Шарик, брошенный в жидкость, вначале движется с ускорением. Однако с ростом скорости увеличивается сила сопротивления движению шарика и через некоторое время шарик достигает такой скорости, при которой геометрическая сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. При этом движение шарика становится равномерным. На отрезке от метки А до метки В (рис. 4) шарик должен двигаться с постоянной скоростью v0 . Чтобы это обеспечить, необходимо, чтобы метка А находилась значительно ниже свободной поверхности жидкости.

Рис. 3

Рис. 4

При равномерном движении шарика

Fт=FA+Fтр или Fт-FA=Fтр..

(6)

Подставив в равенство (6) значения Fтр, Fт и FA соответственно из формул (3)-(5) и решая уравнение относительно коэффициента внутреннего трения, получим

gr 2 2 η = (ρ1 − ρ 2 ) . 9 v0 110

(7)

Учитывая, что скорость установившегося равномерного движения шарика v 0=l/t, l – путь, пройденный шариком между двумя метками за время t, и

πd 3 4 3 ρ1 , после преобразований получим масса шарика m = πr ρ1 = 3 6 ⎛ ρ ⎞ g ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ρ1 ⎠ mt η= ⎝ ⋅ . 3πl d

(8)

В лабораторной практике невозможно осуществить падение шарика в безграничной среде. В лабораторной установке используется цилиндрический сосуд диаметра D, заполненный жидкостью с плотностью с 2 . Поскольку диаметры шарика d и цилиндрического сосуда D соизмеримы, то в формулу (10) можно ввести поправку, учитывающую влияние стенок сосуда на силу сопротивления, действующую на шарик со стороны жидкости. В случае, когда шарик движется строго вдоль оси цилиндра, то учет наличия стенок сосуда приводит к следующей рабочей формуле: ⎛ ρ ⎞ g ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ ρ1 ⎠ ⋅ mt . η= d⎞ d ⎛ 3πl ⎜1 + 2 ,4 ⎟ D⎠ ⎝

(9)

4. Измеряемый объект

В опыте используются шарики, незначительно отличающиеся по массе и диаметру. Для увеличения точности эксперимента взяты шарики достаточно малых размеров (d = 3 … 4 мм). Диаметр каждого шарика измеряется при помощи микрометра, а масса определяется путем взвешивания на торзионных весах. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Лабораторная установка состоит из стеклянного цилиндрического сосуда 1 (см. рис. 3), заполненного вязкой жидкостью 2, торзионных весов для оп111

ределения массы шариков, секундомера для измерения времени движения шариков от точки С до точки Е (см. рис. 4) и микрометра для измерения диаметра шариков. Цилиндрический сосуд имеет две метки, расстояние l между которыми измеряется с помощью миллиметровой линейки. Опускать шарик нужно как можно ближе к оси цилиндра и определять время t прохождения расстояния l с помощью секундомера. Опыт повторить с тремя шариками. Верхняя метка А должна находиться на 10 … 15 см ниже уровня жидкости. При оценке погрешности пути, пройденного шариком с момента включения секундомера до момента

выключения,

учесть погрешность, вноси-

мую методикой измерения этого расстояния. Погрешность измерения пути определится погрешностью измерительного прибора только в том случае, если в момент включения секундомера

шарик точно находился в точке С, а в момент выключения – в точке Е

( см. рис. 4 ) (при этом глаз наблюдателя должен находиться на одной горизонтали в моменты включения и выключения секундомера соответственно с метками А и В, однако на

практике

такое

обеспечить практически

невозможно). Из рис. 4 видно, что погрешность пути, вносимая методикой измерения, определяется следующим выражением: Δl = 2

2hD в

,

(10)

где h – возможное отклонение глаза наблюдателя от горизонтали, проходящей через соответствующую метку; а “в” – расстояние от глаза наблюдателя до сосуда. 6. Порядок выполнения работы

1. Измерить расстояние между двумя метками (А и В) на стеклянном сосуде и диаметр сосуда D. Результаты записать. Проверить, чтобы при этом верхняя метка А находилась на 10 … 15 см ниже уровня жидкости так, чтобы 112

шарик успел приобрести постоянную скорость. 2. Анализ формулы (9) показывает, что повторить опыты следует с шариками, лишь незначительно отличающимися по массе и диаметру. Для увеличения точности эксперимента желательно брать шарики достаточно малых размеров ( d=3…4 мм, либо по указанию преподавателя). 3. Измерить диаметр каждого шарика d при помощи микрометра. 4. Взвесить каждый шарик на весах. Опустив шарик как можно ближе к оси цилиндра, определить время t прохождения шариком расстояния l. Число опытов задается преподавателем. Результаты записать в таблицу по форме 1. Форма 1 № опыта

m, кг

d, м

t, с

( х = mt / d ) , кг.с/м

(хср-хi)

(хср-хi)2

1 2 3

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. По данным, полученным в каждом опыте, вычислить величину (mt/d) и найти среднее значение (mt/d)ср. 2. Вычислить границу доверительного интервала с доверительной вероятностью р, указанной преподавателем: Δ( mt / d ) = t( p ,n )S ( mt / d ) , где t(p,n) – коэффициент Стьюдента; S(mt/d) – среднее квадратичное отклонение. 3. Используя данные прямых измерений, вычислить среднее значение коэффициента внутреннего трения η ср по формуле (9). Плотности жидкости ρ2 и материала ρ1 указаны на приборе.

113

4. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности) γ =

Δη . η

При выводе формулы можно пренебречь влиянием множителей (1+2,4 d/D) и ( 1 − ρ 2 / ρ1 ) , положив их в формуле (9) равными единице, т.е. при оценке погрешности воспользоваться выражением η=

g ⎛ mt ⎞ ⋅ ⎜ ⎟. 3πl ⎝ d ⎠

5. Вычислить относительную погрешность (неопределенность) γ и найти границу доверительного интервала Дη = γ ⋅ з ср . 6. Окончательный результат записать в стандартной форме (з ср − Дз) …(з ср + Дз) .

8. Контрольные вопросы

1.

Объясните, когда возникают силы внутреннего трения, и напишите

формулу для силы внутреннего трения. 2.

Дайте определение коэффициента внутреннего трения.

3.

Как изменяется коэффициент внутреннего трения жидкости с рос-

том температуры? 4.

Напишите формулу Стокса для силы лобового сопротивления дви-

жению тела в жидкости. При каких условиях справедлива эта формула? 5.

Какие силы действуют на шарик, свободно падающий в жидкости?

При каком условии движение шарика будет равномерным? Литература: [1], § 31, 32.

114

РАБОТА 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ОТРЫВА КОЛЬЦА 1. Цель работы

Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости. 2. Краткая теория исследуемого явления

Поверхностное натяжение жидкости обусловлено действием молекулярных сил. Эти силы в жидкостях весьма быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами. Область, в пределах которой данная молекула взаимодействует с группой своих ближайших соседок, называют сферой действия молекулярных сил, а радиус сферы r0 – радиусом молекулярного действия (r0 ~ 10-8 м ). На молекулу А, находящуюся внутри жидкости (рис. 1), действуют силы притяжения со стороны молекул, находящихся внутри сферы молекулярного действия. Эти силы в среднем уравновешиваются, и их результирующая сила равна нулю. Это равновесие нарушается, когда молекула находится у поверхности жидкости на глубине, равной или меньшей радиуса сферы молекулярного действия (молекула В на рис.1).

В

А

Рис. 1

115

Так как концентрация молекул в воздухе и паре меньше концентрации их в жидкости, то результирующая сил, действующих на молекулу В, направлена внутрь жидкости. На все молекулы, расположенные в тонком поверхностном слое, действуют, таким образом, силы, направленные нормально к поверхности жидкости и стремящиеся втянуть молекулы внутрь жидкости. Благодаря этому поверхностный слой давит с большой силой на жидкость, создавая в ней так называемое внутреннее или молекулярное давление. Для перехода молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой ей нужно совершить работу против сил, действующих в поверхностном слое. Эта работа совершается за счет кинетической энергии молекул и приводит к увеличению их потенциальной энергии. Таким образом, молекулы в поверхностном слое обладают избыточной потенциальной энергией. Известно, что системы, находящиеся в равновесии, характеризуются минимумом потенциальной энергии. Поэтому свободная жидкость будет принимать форму с минимальной поверхностью. Можно сказать, что поверхностный слой аналогичен упругой растянутой пленке, стремящейся сжаться. Таким образом, существуют силы, нормальные к контуру, стремящиеся сократить поверхность жидкости, на которую они действуют, и касательные к поверхности жидкости. Эти силы называются силами поверхностного натяжения F. К элементу контура длиной Δl приложена сила ΔF = σ ⋅ Δl , где σ – коэффициент поверхностного натяжения. Выясним физический смысл σ . Так как σ =

ΔF , то Δl

коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины контура на поверхности жидкости. В системе СИ σ измеряется в ньютонах на метр (Н/м), σ зависит от рода жидкости, температуры и примесей. Коэффициент поверхностного натяжения σ можно определить другим способом. Изменение площади поверхности жидкости на ΔS связано с совершением работы ΔА = −σΔS . Отсюда следует, что коэффициент поверхностно-

116

го натяжения σ =

ΔА измеряется работой, необходимой для увеличения плоΔS

щади поверхности жидкости на единицу ( ΔS = 1 ) при постоянной температуре.

3. Принцип метода измерения и рабочая формула

Существует ряд методов определения коэффициента поверхностного натяжения. В настоящей работе определение коэффициента поверхностного натяжения σ производится по методу измерения силы, необходимой для отрыва кольца от поверхности жидкости. Представим себе тонкостенное кольцо, погруженное в смачивающую жидкость (рис. 2). Если медленно поднимать кольцо, сохраняя его горизонтальное положение, то за ним будет увлекаться часть жидкости, которая образует тонкую кольцеобразную пленку. Поверхность жидкости порвется по внешней и внутренней поверхностям кольца.

F

Рис. 2 Обозначим внутренний диаметр кольца dB , наружный dH , тогда длина внутренней окружности кольца будет πdB, а внешней – πdН. Сила поверхностного натяжения, удерживающая кольцо перед его отрывом, представляется суммой: F = σπdВ + σπdН = σπ(dН+ dВ).

(1)

F . π( d Н + d В )

(2)

Следовательно, σ= 117

В данной работе сила поверхностного натяжения F определяется с помощью рычажных весов. Она равна силе тяжести песка, которая уравновешивает силу поверхностного натяжения. Следовательно, выражение (2) можно записать в виде σ=

mg . π( d Н + d В )

(3)

Для данного метода формула (3) является рабочей для вычисления σ . 4. Измеряемый объект

В данной работе объектом измерения является жидкость (вода), для которой определяется коэффициент поверхностного натяжения σ воды. Определение σ проводится по методу измерения силы, необходимой для отрыва кольца от поверхности жидкости. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Схема лабораторной установки представлена на рис. 3. Установка представляет собой технические весы, у которых на одно коромысло кроме чашки подвешено с помощью крючка серьги тонкое кольцо 2, на другое коромысло подвешен противовес 3 равной массы. Сосуд с испытуемой жидкостью устанавливается на специальной подставке 4. До погружения кольца в жидкость весы уравновешены.

3

2 1

4

Рис. 3 118

Погружают кольцо в жидкость, на правую чашку весов медленно насыпают песок до тех пор, пока не произойдет отрыв кольца. 6. Порядок выполнения работы

1.

Несколько раз измерить штангенциркулем наружный dH и внутрен-

ний диаметр dB кольца. Результаты прямых измерений каждой величины занести в таблицу по форме: № опыта

dН , м

( d Нср − d Нi ) , м

( d Нср − d Нi )2 , м2

1 2 3

2.

Подвесить на весы кольцо и противовес, после чего проверить рав-

новесие весов. 3.

Сполоснуть под краном кольцо и чашку и налить в нее свежей во-

допроводной воды. Установить сосуд с жидкостью на подставку и отрегулировать высоту так, чтобы при изменении положения коромысла кольцо могло быть погружено в жидкость и оторвано от ее поверхности. 4.

Погрузить кольцо в жидкость. На правую чашку весов медленно

сыпать песок до тех пор, пока не произойдет отрыв кольца. 5.

Снять сосуд с жидкостью и взвесить песок. Операции по п. 3-5

повторить несколько раз. Результаты n измерений массы песка занести в таблицу по форме 1.

119

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1.

Произвести обработку результатов прямых измерений (dH, dB, m).

Вычислить средние значения диаметров dНср и dВср и границы доверительных интервалов с доверительной вероятностью p, указанной преподавателем. 2.

По формуле (3) провести вычисление коэффициента поверхностно-

го натяжения σср. 3.

Используя рабочую формулу (3), вывести формулу для относитель-

ной погрешности (неопределенности) γ искомой величины. 4.

Вычислить γ по полученной формуле. Затем оценить границу дове-

рительного интервала Δσ = γσ ср для коэффициента поверхностного натяжения. 5.

Окончательный результат записать в стандартной форме ( σ ср − Δσ )…( σ ср + Δσ ) .

8. Контрольные вопросы

1.

Что такое поверхностный слой жидкости? Какими он обладает

свойствами, отличными от свойств остальной массы жидкости? 2.

Объясните природу поверхностного натяжения σ и дайте два опре-

деления – через силу поверхностного натяжения и через потенциальную энергию. 3.

Как направлена сила поверхностного натяжения по отношению к

поверхности жидкости и длине контура? В каких единицах измеряется σ ? 4.

В чем заключается метод измерения поверхностного натяжения

жидкости (воды) в данной работе? 5.

Как

зависит

коэффициент

температуры? Литература: [1], § 66.

120

поверхностного

натяжения

от

РАБОТА 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА ВЗВЕШИВАНИЕМ 1. Цель работы

Экспериментальное определение плотности воздуха. 2. Основные теоретические положения

Плотность однородного вещества – это физическая величина, равная массе вещества, заключенной в единице объема, т.е. ρ=

m . V

(1)

В данной работе экспериментально определяется плотность воздуха. Обычно вместо реальных, достаточно разряженных газов используется их физическая модель – идеальный газ. В случае разряженных газов расстояние между молекулами газа во много раз больше размеров самих молекул. Тогда можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия между молекулами, а сами молекулы считать материальными точками. Идеальный газ рассматривается как система невзаимодействующих материальных точек, обладающих только кинетической энергией, находящихся в хаотическом движении. Параметры состояния идеального газа − давление р, объем V и термодинамическая температура Т связаны между собой уравнением состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона):

рV =

m RT , μ

где р – давление газа, Па; Т – термодинамическая температура, К; V – объем газа, м3;

m – масса газа, кг;

μ – масса одного моля, кг/моль (для воздуха μ = 29 ⋅ 10 −3 кг/моль ); R – универсальная газовая постоянная ( R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К) ).

121

(2)

Реальные газы при не слишком низких температурах и достаточно малых давлениях по своим свойствам близки к идеальному газу. Если выразить массу газа из уравнения (2) и подставить в (1), то получим выражение для теоретического определения плотности воздуха ρ=

pμ . RT

(3)

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Метод измерения плотности воздуха, используемый в данной работе, основан на определении массы воздуха, заключенного в определенном объеме. Масса воздуха в баллоне определяется как разность результатов взвешивания баллона с воздухом М1 при атмосферном давлении и после откачки воздуха М2 : m'= М1 —М2.

Действительное значение массы воздуха в баллоне т больше т', так как откачка производится до какого-то давления р0 (p0>0) и в баллоне после откачки остается воздух массой m0 . Значение т0 сравнительно невелико и может рассматриваться как поправка, которая определяется с помощью уравнения (2): m0 =

μр0V . RT

(4)

Действительная масса заключенного в баллоне воздуха будет m=m'+m0=M1-M2+m0,

и рабочая формула для определения плотности воздуха запишется как ρ=

М 1 − М 2 + m0 . V

4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является воздух.

122

(5)

5. Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки представлена на рисунке 1.

В лабораторную установку входят: легкий стеклянный баллон 1, который с помощью резинового шланга соединяется с насосом Комовского 2, предназначенным для откачки воздуха; вакуумметр стрелочного типа 3 для измерения разности Δp между давлением воздуха в комнате и давлением внутри баллона после откачки воздуха; термометр; технические весы с разновесами. 6. Порядок выполнения работы

1. Проверить равновесие весов. 2. Взвесить баллон с воздухом при атмосферном давлении. Для этого открыть кран на шланге, надетом на баллон, и подвесить баллон к серьге весов. Записать массу М1 в таблицу по форме. После взвешивания оставить разновесы на чашке весов - это упростит взвешивание после откачки.

3. Снять баллон с весов и подсоединить его с помощью резинового шланга к вакуумному насосу. Кран насоса должен быть поставлен на "откачку": стрелка на кране направлена к насосу. Произвести откачку воздуха, пока показания вакуумметра не будут оставаться неизменными в течение 0,5...1 мин. Закрыв кран на шланге баллона, продолжать действовать насосом, пока не будет произведен отсчет Δp по вакуумметру.

123

4. Отсоединить шланг с баллоном от вакуумного насоса, подвесить баллон к серьге весов и произвести взвешивание, определяя М2. Взвешивание возможно точнее, до ± 20 мг.

5. Измерения повторить несколько раз, согласно пп. 1...3. Число измерений указывается преподавателем. Откачивать воздух следует таким образом, чтобы давление внутри баллона в каждом эксперименте было примерно одинаковым. Данные прямых измерений М1 и М2 занести в таблицу по форме: № опыта

М1

(М1ср-Мi)

(М1ср-Мi)2

М2

(М2ср-М2i)

(М1ср-М2i)2

1 2 3

6. Определить остаточное давление р0 воздуха в баллоне после откачки ( р0 = р − Δр ) . Здесь р – атмосферное давление, определяемое по барометру, Δр – показания вакуумметра.

7. Определить по термометру в лаборатории температуру окружающего воздуха Т. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений М1, М2. По формуле (4) вычислить значение m0. (Объем баллона V указан на установке). 2. Вычислить по формуле (5) среднее значение плотности воздуха ρ ср . Определить теоретическое значение плотности воздуха. Сопоставить экспериментально полученное значение плотности воздуха с теоретическим, полученным из формулы (3). 3. Используя выражение (5), вывести формулу для относительной погрешности (неопределенности)

γ измеряемой величины ρ . При выводе

124

формулы относительной погрешности в выражении (5) принять m0=0 и использовать рабочую формулу в виде ρ =

M1 − M 2 . V

4. Вычислить по полученной формуле значение γ . Оценить границу доверительного интервала Δρ = γ ⋅ ρ ср . 5. Окончательно записать результат в стандартной форме ( ρ ср − Δρ )…( ρ ср + Δρ ) .

8. Вопросы к зачету

1. Какой газ называется идеальным? 2. Напишите уравнение состояния идеального газа. Объясните физический смысл параметров. 3. Дайте определение плотности вещества. Выведите формулу для определения плотности газа из уравнения Менделеева-Клапейрона. 4. Объясните суть метода экспериментального определения плотности газа взвешиванием. Литература: [1] § 41, 42; [2] § 8.1, 8.2, 8.3, 8.4.

125

РАБОТА 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА МЕТОДОМ АДИАБАТИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ 1. Цель работы

Экспериментальное определение отношения удельных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении сp и при постоянном объеме сV методом адиабатического расширения (метод Клемана и Дезорма). 2. Краткая теория исследуемого явления

Экспериментальное определение отношения сp / сV основано на методе адиабатического расширения сжатого газа. Это связано с тем, что зависимость между давлением р и объемом V при адиабатическом процессе выражается уравнением Пуассона pVγ = const,

(1)

где γ= cp/cV - показатель адиабаты. Адиабатическим называется процесс, идущий без теплообмена газа (в баллоне) с окружающей средой (Q=0). Адиабатический процесс является идеальным процессом: в реальных условиях теплообмен с окружающей средой трудно исключить. Все быстродействующие процессы на практике можно с достаточной точностью считать адиабатическими. Первое начало термодинамики представляет собой закон сохранения и превращения энергии применительно к тепловым процессам. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, подводимой к газу, затрачивается на изменение внутренней энергии газа ΔU и на работу А, совершаемую газом над внешними телами: Q=ΔU+A=U2 - U1 +A.

(2)

Внутренняя энергия газа включает в себя кинетическую энергию теплового движения молекул, потенциальную энергию взаимодействия между моле126

кулами и внутримолекулярную энергию. В случае идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул и внутримолекулярная энергия не учитываются. Для идеальных газов внутренняя энергия представляет суммарную кинетическую энергию теплового движения всех молекул. Согласно молекулярно-кинетической теории газов, внутренняя энергия идеального газа равна U=

i m RT , 2μ

(3)

где т − масса газа, кг; μ − масса одного моля, кг/моль; R − универсальная газовая постоянная, Дж/(моль К); Т − абсолютная

температура, К; i − число сте-

пеней свободы молекулы. Под числом степеней свободы i понимается число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве. Молекула одноатомного газа имеет 3 степени свободы поступательного движения (i=3). Опыты по измерению теплоемкостей показывают, что взаимные колебания атомов внутри сложных молекул возбуждаются только при сравнительно высоких температурах. В связи с чем при комнатной температуре атомы считаются жестко связанными между собой, поэтому молекулы двух-, трех- и многоатомных газов могут совершать только поступательное и вращательное движения и, таким образом, имеют: а) молекула двухатомная i=5 (три степени свободы поступательного и две степени свободы вращательного движений); б) молекула трехатомная и многоатомная i=6 (три степени поступательного и три степени вращательного движений). Для адиабатического процесса, как следует из первого начала термодинамики: Q=ΔU+A,

или А= -ΔU .

(4)

Таким образом, при адиабатическом расширении газ совершает работу за счет уменьшения внутренней энергии и температура газа при этом в соответ127

ствии с формулой (3) понижается. При адиабатическом сжатии работу совершают внешние силы, внутренняя энергия газа возрастает, температура газа повышается. Теплоемкостью газа С называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить данной массе газа, чтобы увеличить ее температуру на один градус: С=

dQ . dT

Различают теплоемкости: 1. Удельную, равную количеству теплоты, необходимой для нагревания единицы массы газа на один градус, с=

1 dQ . m dT

2. Молярную, равную количеству теплоты, необходимой для нагревания одного моля газа на один градус, Cμ =

Связь между молярной Сμ

1 dQ . m / μ dT

и удельной с теплоемкостями выразится

формулой Сμ=μ c. Теплоемкость газа зависит от характера протекания процесса. Принято рассматривать теплоемкость газа при постоянном объеме Сv (V = const – изохорический процесс) или при постоянном давлении Сp (p=const – изобарический процесс). Так как молярные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно равны С μV =

i R, 2

Cμ p = CμV + R =

128

(5) i+2 R, 2

(6)

то для показателя адиабаты получим следующую формулу: γ=

cp cV

=

Cμ p CμV

=

i+2 . i

Для двухатомного газа (сухой воздух, азот, кислород) i=5 и

(7) γ=1,4.

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Отношение теплоемкостей γ =cp/cV

определяется в данной работе

методом адиабатического расширения воздуха, предварительно сжатого до некоторого давления p1 , большего атмосферного давления p0. Воздух находится в герметически закрытом сосуде, который может через кран сообщаться с окружающей средой. Пусть кран открыт, тогда внутри сосуда устанавливается давление p0 и температура Т0, равные давлению и температуре воздуха в комнате. Выделим мысленно внутри сосуда некоторую массу воздуха объемом V0. Если закрыть кран и накачать немного воздуха в баллон, то объем выделенной массы газа уменьшится. При этом температура воздуха внутри сосуда повысится. Через некоторое время температура воздуха внутри сосуда выровняется с комнатной температурой. Тогда выделенная масса газа будет иметь параметры p1,V1, Т1, причем V1p0, Т1=Т0. На pV-диаграмме (рис.1) этому состоянию газа соответствует точка 1. Откроем кран так, чтобы давление газа внутри сосуда сравнялось с атмосферным давлением, и после этого закроем кран. Так как время установления равновесия давлений намного меньше времени установления равенства температур, то этот процесс расширения газа в сосуде можно считать адиабатическим. Обозначим параметры состояния выделенной массы газа сразу же после адиабатического расширения p2, V2, T2, причем р2=p0 . На рис.1 это состояние обозначено точкой 2. При адиабатическом расширении газ охлаждается до температуры T2. После того как кран будет закрыт, происходит постепенное нагревание газа до комнатной температуры, и давление возрастает. 129

Конечное состояние 3 характеризуется параметрами p3,Т3, Т3, причем T3=T0. Параметры первого и второго состояний связаны уравнением Пуассона (1) p1V1γ = p2V2γ ,

(8)

а параметры первого и третьего состояний, в которых газ имеет одну и ту же температуру Т0, − уравнением Бойля-Мариотта (9)

p1V1=p3V3 .

Рис. 1 Возведем уравнение (9) в степень γ и разделим на уравнение (8). p1γV1γ p3γV3γ = . p1V1γ p2V2γ

Так как V2= V3 , то γ

p1γ p3γ = p1 p2

или

⎛ p1 ⎞ p ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 . p2 ⎝ p3 ⎠

Логарифмируя последнее выражение, находим

γ=

ln p1 − ln p2 . ln p1 − ln p3

130

(10)

Давление воздуха внутри сосуда выражается через разность уровней жидкости в трубках манометра h 1 и h 2 следующим образом:

⎛ ρg h1 ⎞ ⎟⎟ ; p1 = p0 + ρg h1 = p0 ⎜⎜1 + p 0 ⎠ ⎝ ⎛ ρg h2 ⎞ ⎟, p3 = p0 + ρg h2 = p0 ⎜⎜1 + p0 ⎟⎠ ⎝ где ρ − плотность манометрической жидкости (воды); g − ускорение свободного падения. Поскольку атмосферное давление р0 значительно превышает изменение давления ρgh в сосуде, то, используя приближенную зависимость ln(1+α) ≈ α при α << 1, можно записать

lnp1 ≈ lnp0 +

ρgh1 ; p0

lnp3 ≈ lnp0 +

ρgh2 . p0

Подставляя эти значения в уравнение (10), получим γ=

h1 . h1 − h2

(11)

Заметим, что этот метод дает заниженное значение γ, так как в установке используется водяной манометр, поэтому в сосуде оказывается влажный воздух, который отличается по своим свойствам от идеального газа. Кроме того, сам процесс расширения газа не точно удовлетворяет условиям адиабатического процесса. 4. Измеряемый объект

В данной работе измеряемым объектом является воздух, свойства которого в условиях, близких к нормальным, близки свойствам идеального газа. Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом и имеют исчезающе малые собственные размеры. Столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие. 131

5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 2.

Рис. 2 Большой стеклянный сосуд 1, который герметически закрыт пробкой, может сообщаться через кран 2 с окружающей средой. Сосуд 1 соединен с насосом Комовского 3, предназначенным для увеличения давления воздуха в сосуде, и с водяным манометром 4 для измерения разности между давлением воздуха в сосуде и атмосферным давлением. Правая стеклянная трубка манометра соединена с сосудом 1. По шкале 5, расположенной между стеклянными трубками, снимают показания прибора h (разность уровней жидкости в коленах манометра). Пусть кран 2 открыт, тогда давление в сосуде равно атмосферному давлению и уровни воды в коленах манометра одинаковы. Если закрыть кран 2 и с помощью насоса Комовского увеличить давление воздуха в сосуде до некоторого значения p1, то в коленах манометра появится разность уровней воды. Разность уровней жидкости в коленах манометра появится и после изохорного нагревания воздуха (процесс 2-3, рис. 1). 6. Порядок выполнения работы

1. Закрыть кран 2 и осторожно накачивать воздух в сосуд, пока разность уровней воды в манометре не достигнет h1=150...200 мм. 132

2. Подождать 1...2 минуты, пока давление в манометре не установится на стационарном уровне, после чего записать значение разности уровней h1 жидкости в коленах манометра (отсчет производят по нижним краям менисков). Если давление продолжает все время падать, то в установке имеется течь, которую надо устранить. 3. Открыть кран 2 и закрыть его после того, как давление газа в сосуде сравняется с атмосферным (нужно открыть кран примерно на 1 с и закрыть его сразу после прекращения звука, создаваемого воздухом, проходящим через отверстие крана 2). Подождав 1...2 минуты, пока воздух, оставшийся в сосуде, примет комнатную температуру и давление в сосуде повысится, а в манометре при этом установится постоянная разность уровней, измерить разность уровней h2 . 4. Опыт повторить несколько раз, практически не изменяя начальную разность уровней h1. Число измерений задается преподавателем. Результаты занести в таблицу по форме:

h1 , мм

h2 , мм

γ

( γ ср − γ i )

( γ ср − γ i )2

№ опыта 1 2 3

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. По формуле (11) для каждого опыта вычислить значение показателя адиабаты γ и найти среднее значение γср. 2. Вычислить границу доверительного интервала с доверительной вероятностью p, указанной преподавателем по формуле Δγ = t( p ,n )S ( γ ср ) , 133

где t(p,n) – коэффициент Стьюдента и S ( γ ср ) - среднее квадратичное отклонение. 3. Определить относительную погрешность (неопределенность) ε=

Δγ ⋅ 100% . γ ср

4. Окончательный результат записать в стандартной форме ( γ ср − Δγ )…( γ ср + Δγ ) .

8. Контрольные вопросы 1. Какой газ называется идеальным? 2. Какой процесс называется адиабатическим? Напишите уравнение это-

го процесса. 3. Что такое внутренняя энергия идеального газа? 4. Сформулируйте первое начало термодинамики и напишите первое на-

чало термодинамики для адиабатического процесса. Объясните, как изменяется температура газа при адиабатическом расширении и сжатии. 5. Дайте определение молярной и удельной теплоемкостей. Почему

СμP >CμV? 6. Напишите выражения для удельных теплоемкостей сP и сV, получен-

ные на основе молекулярно-кинетической теории газов. Что такое число степеней свободы? 7. Вычислите показатель адиабаты для паров воды.

Литература: [1], § 41, 50-55; [2], § 8, 9.

134

РАБОТА 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ УМЕНЬШЕНИЯ ЭНТРОПИИ ПРИ ИЗОХОРИЧЕСКОМ ОХЛАЖДЕНИИ ВОЗДУХА 1. Цель работы

Исследование изохорического процесса и определение характера изменения энтропии воздуха в указанном процессе. 2. Краткая теория исследуемого явления

Рассмотрение реальных тепловых процессов показывает, что им присуща определенная направленность – процессы самопроизвольно протекают всегда так, что их результатом является выравнивание термодинамических параметров системы частиц: давления, температуры, плотности, химического состава и т. д. Почему же это происходит? Ведь вид основных законов природы – законов сохранения импульса, момента импульса, энергии – не зависит от знака времени. В то же время, например, тепло самопроизвольно всегда переходит от горячего тела к холодному, хотя закон сохранения энергии, т. е. первое начало термодинамики, не запрещает и самопроизвольного протекания обратного процесса. Величина, которая определяет направление течения тепловых процессов в системах частиц (“телах”) носит название энтропии S. Энтропия является функцией состояния тела, т. е. функцией его термодинамических параметров и не зависит от вида процесса, с помощью которого достигнуто это состояние. Каков физический смысл энтропии? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим связь термодинамических параметров системы с характером поведения составляющих систему микрочастиц. Термодинамические параметры есть результат усреднения по большому объему и промежутку времени (по сравнению с длиной и длительностью свободного пробега) координат частиц, их кинетических энергий и т. д. Состояние газа с данными значениями термодинамических параметров называется макро-

135

состоянием газа. Если заданы, например, координаты и скорости всех молекул в данный момент времени, то говорят, что задано микросостояние газа. Данному макросостоянию газа может соответствовать большое число микросостояний. Это число называется термодинамической вероятностью Р (статистическим весом) данного макросостояния. Больцман установил, что энтропия пропорциональна натуральному логарифму термодинамической вероятности: S=k lnP,

(1)

где k – постоянная Больцмана. В случае упорядоченного расположения частиц в теле величина Р оказывается минимальной. В частности, термодинамическая вероятность любого четко работающего механизма равна единице, а энтропия равна нулю, так как, поменяв местами его части, микросостояние, мы изменим и механизм, т. е. макросостояние. Если же микрочастицы тела расположены хаотически, то перестановка их местами, обмен импульсами между микрочастицами не приведут к новому макросостоянию. При этом ясно, чем больше частиц в системе, тем больше можно осуществить таких перестановок и обменов, т. е. тем больше термодинамическая вероятность Р. Например, в идеальном газе за счет теплового движения частиц возможны как упорядоченные их расположения в какие-то моменты времени, так и хаотические. Упорядоченные расположения частиц будут соответствовать наинизшим значениям термодинамической вероятности Р и энтропии S. А чем более хаотическим будет это расположение, тем большими будут величины Р и S. Поэтому говорят, что энтропия—мера беспорядка в системе. Учитывая, что любые микросостояния одинаково вероятны и, следовательно, за счет движения микрочастиц в каждом микросостоянии система будет находиться примерно одинаковое время, получаем, что в макросостояниях с наибольшим значением Р, т. е. с наи-

136

большим значением энтропии S, система частиц будет находиться большую часть времени. Следовательно, наблюдая за замкнутой и теплоизолированной системой частиц, мы обнаружим, что в подавляющем числе случаев система стремится перейти в состояние с большей термодинамической вероятностью, т. е. что энтропия системы возрастает, либо остается неизменной (если она уже была максимальной). Таким образом, мы пришли к пониманию того, в каком направлении самопроизвольно протекают тепловые процессы: – при любых процессах в замкнутой и теплоизолированной системе ее энтропия не убывает, т. е. ΔS ≥ 0.

(2)

Это второе начало термодинамики или закон возрастания энтропии. В данной лабораторной работе исследуется изменение энтропии воздуха при его изохорическом охлаждении. При этом воздух в условиях эксперимента можно с высокой точностью считать идеальным газом. Методами статистической физики можно доказать, что энтропия моля идеального газа, рассчитанная через термодинамическую вероятность по формуле (1), равна S=Cμ v ln T+R ln V+S0 ,

(3)

где Т – абсолютная температура; V – объем газа; CμV – молярная теплоемкость при постоянном объеме ( C μV =

i R ); i – число степеней свободы молекул; S0 – 2

постоянная, с точностью до которой определяется энтропия. Взяв дифференциал выражения (3) и умножив на Т, получим TdS = CμV dT +

RT dV = CμV dT + pdV , V

(4)

где учтено уравнение Менделеева - Клапейрона для моля газа pV=RT. Поскольку изменение внутренней энергии газа dU=CμV dT и работа, совершаемая газом в обратимом процессе dA=pdV, то из уравнения (4) получаем TdS = dU+dA. 137

(5)

Сравнение выражения (5) с математической формулировкой первого начала термодинамики dQ =dU+dA

(6)

дает соотношение TdS=dQ, т. е. изменение энтропии в обратимом процессе dS=

dQ . T

(7)

В случае изохорического процесса для произвольной массы газа т имеем dQ = СμV

m dT , μ

(8)

где μ – молярная масса газа. Поэтому при изменении температуры газа от T1 до T2 получаем изменение энтропии газа dQ m T2 dT m T = CμV ∫ =CμV ln 2 . μ T1 T μ T1 T1 T

T2

ΔS = ∫

(9)

Если газ охлаждается, то Т2<Т1 и из (9) следует, что изменение энтропии отрицательно (энтропия убывает потому, что воздух в баллоне с газом не теплоизолирован – тепло отдается в окружающую среду через стенки баллона). Выражение (9) с учетом закона Шарля для изохорического процесса T2 p2 = T1 p1

примет вид

ΔS = −CμV

m p1 ln . μ p2

С учетом молярной теплоемкости CμV =

ΔS = −

i R получим 2

im R(lnp1 − lnp2 ). 2μ

(10)

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Воздух находится в герметически закрытом сосуде, который может через кран сообщаться с окружающей средой. 138

Когда кран открыт, то в сосуде устанавливается атмосферное давление р0 и разность уровней воды в манометре равна 0. Температура воздуха в сосуде

равна температуре воздуха Т в лаборатории. Сразу же после накачки воздуха в сосуд с помощью насоса давление в сосуде будет равно

⎛ ρgh1 ⎞ ⎟⎟ , p1 = p0 + ρgh1 = p0 ⎜⎜1 + p 0 ⎠ ⎝

(11)

где ρ – плотность воды в манометре; g – ускорение свободного падения; h1 – разность уровней жидкости в коленах манометра. За счет сжатия воздуха при накачке он нагревается до температуры Т1 , причем Т1 >Т. Затем происходит остывание воздуха за счет теплоотдачи через стенки баллона до температуры Т, а давление падает до величины р2 , равной ⎛ ρgh2 p2=p0+ρgh2=p0 ⎜⎜1 + p0 ⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

(12)

где h2 – установившаяся разность уровней жидкости в манометре. Так как атмосферное давление р0 значительно превышает изменение давления ρgh в сосуде, то, используя приближенную зависимость ln(1+α) ≈ α при α << 1, выражения (11) и (12) можно записать в виде

lnp1 ≈ lnp0 +

ρ gh1 ; p0

lnp2 ≈ lnp0 +

ρ gh2 . p0

Формула (10) с учетом полученных выражений примет вид ΔS = −

i m ρg (h1 − h2 ) R . p0 2μ

(13)

Используя в (13) полученное из уравнения Менделеева—Клапейрона для второго состояния воздуха равенство p2V m = R μ T

139

и полагая

p2 ≈ p0 , получим расчетную формулу ΔS = −

iVρ g (h1 − h2 ) . 2T

(14)

4. Измеряемый объект

В данной работе измеряемым объектом является воздух, свойства которого в условиях, близких к нормальным, близки к свойствам идеального газа. Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом и имеют исчезающе малые собственные размеры. Столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Схема лабораторной установки представлена на рисунке.

Большой стеклянный сосуд 1, который герметически закрыт пробкой, может сообщаться через кран 2 с окружающей средой. Сосуд 1 соединен с насосом Комовского 3, предназначенным для увеличения давления воздуха в сосуде, и с водяным манометром 4 для измерения разности между давлением воздуха в сосуде и атмосферным давлением. По шкале 5, расположенной между стеклянными трубками, снимают показания прибора h (разность уровней жидкости в коленах манометра). Пусть кран 2 открыт, тогда давление в сосуде 140

равно атмосферному и уровни воды в коленах манометра одинаковы. Если закрыть кран и с помощью насоса Комовского увеличить давление воздуха в сосуде до некоторого давления р1, то в коленах манометра появится разность уровней воды h1. 6. Порядок выполнения работы

1. Закрыть кран 2 и осторожно накачивать воздух в сосуд, вращая ручку насоса по часовой стрелке, пока разность уровней воды в манометре не достигнет h1= 150... 200 мм. Записать значение h1 в таблицу по форме (отсчет производят по нижним краям менисков): № опыта

h1 , мм

( hср − h1 ) ( hср − h1 )2

h2 , мм ( hср − h2 ) ( hср − h2 )2

1 2 3 2. Подождать 1...2 минуты, пока температура воздуха в баллоне не сравняется с окружающей средой и давление в манометре не установится на стационарном уровне. После чего записать значение установившейся разности уровней воды h2 в коленах манометра. 3. Измерения, согласно пп.1,2, выполнить несколько раз, стараясь поддерживать величину h1 неизменной. Число измерений задается преподавателем.

4. Определить по термометру в лаборатории температуру окружающего воздуха T. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку прямых измерений h1 и h2. Найти среднее значение h1ср и h2ср и границы доверительных интервалов Δh1 и Δh2 с доверительной вероятностью, указанной преподавателем. 141

2. Используя результаты прямых измерений по формуле (14) найти среднее значение уменьшения энтропии ΔSср. Значения объема сосуда V и плотности воды ρ указаны на столе лабораторной установки. 3. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности) γ =

δ(ΔS ) и вычислить ε по полученной формуле. Затем оценить ΔS

границу доверительного интервала δ( ΔS ) = γ ⋅ ΔS ср . 4. Окончательный результат записать в стандартной форме ( ΔS ср − δ( ΔS ))…( ΔS ср + δ( ΔS ))

8. Контрольные вопросы

1. Что такое внутренняя энергия? Сформулируйте первое начало термодинамики. 2. Сформулируйте закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. 3. Что такое макро- и микросостояния системы частиц? Дайте определение термодинамической вероятности. 4. Каков физический смысл энтропии, как она связана с термодинамической вероятностью? 5. Чему равно изменение энтропии в обратимом и необратимом процессах? 6. Сформулируйте и объясните физический смысл второго начала термодинамики. 7. Почему изменение энтропии в лабораторной работе отрицательно? Нарушается ли здесь второе начало термодинамики? Литература: [1], § 50-54, 56, 57; [2], § 9, 10, 11.

142

СОДЕРЖАНИЕ

Общие указания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Обработка результатов измерений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Работа 1. Определение объема сплошного цилиндра. . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Работа 2. Определение момента инерции твердого тела с помощью крутильного маятника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Работа 3. Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Работа 4. Определение момента инерции маятника Обербека методом вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Работа 5. Определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Работа 6. Определение скорости полета снаряда с помощью баллистического крутильного маятника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Работа 7. Определение ускорения свободного падения при помощи прибора Атвуда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Работа 8. Определение ускорения свободного падения методом исследования гармонических колебаний математического маятника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Работа 9. Определение коэффициента жесткости пружины методом исследования колебаний пружинного маятника. . . . . . .74 Работа 10. Определение модуля Юнга из прогиба. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Работа 11. Исследование упругого соударения шаров. . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Работа 12. Определение коэффициента трения качения методом исследования колебаний наклонного маятника. . . . . .95 Работа 13. Определение динамической вязкости жидкости по методу Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

143

Работа 14. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом отрыва кольца. . . . . . . . . . . . . . 115 Работа 15. Определение плотности воздуха взвешиванием. . . . . . . . . . . . .121 Работа 16. Определение отношения удельных теплоемкостей воздуха методом адиабатического расширения. . . . . . . . . . . . . 126 Работа 17. Определение величины уменьшения энтропии при изохорическом охлаждении воздуха. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

144