Волновые свойства частиц: Методические указания к решению задач по атомной физике для студентов физического факультета

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по атомной физике для студентов физического факультета

Ростов-на-Дону 2006

Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.

Ответственный редактор

канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев

Компьютерный набор и верстка

инженер Г.А. Колесников

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.

2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Формула де Бройля, выражающая связь длины волны λ с импульсом p движущейся частицы: а) в классическом приближении ( v << c , p = m0 v )

λ=

2πh ; p

б) в релятивистском случае (скорость v частицы сравнима со скоростью света с в вакууме p = mv = m0 v / 1 − v 2 / c 2 )

λ=

2πh 1 − v2 / c2 . m0 v

• Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией К частицы:

а) в классическом приближении λ = б) в релятивистском случае λ =

2πh ; 2m0 K

2πh , где Е0 – энергия покоя частицы K ( K + 2 E0 )

( E0 = m0 c ). • Соотношение неопределенностей Гейзенберга: а) для координаты и импульса частицы ∆p x ∆x ≥ h , где ∆px – неопределенность проекции импульса частицы на ось х, ∆х – неопределенность ее координаты; б) для энергии и времени ∆E∆t ≥ h , где ∆Е – неопределенность энергии данного квантового состояния, ∆t – время пребывания системы в этом состоянии. • В одномерном случае временное и стационарное уравнение Шредингера будут иметь вид ∂ 2ψ 2m + ( E − U )ψ = 0 , ∂ x2 h2

h 2 ∂ 2Ψ ∂Ψ ih =− + UΨ , 2m ∂ x 2 ∂t

3

i где i – мнимая единица, m – масса частицы; Ψ ( x, t ) = A exp ( px − Et ) – волноh вая

функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,

А – амплитуда волны де Бройля, p – импульс частицы, Е – полная энергия частицы, U(x) – потенциальная энергия, ψ(х) – координатная часть волновой функции. • Для случая трех измерений временное и стационарное уравнение Шредингера записывается в виде ih

∂Ψ h2 2 =− ∇ Ψ + UΨ = 0 , ∂t 2m

∇2Ψ +

2m ( E − U )Ψ = 0 , h2

∂2 ∂2 ∂2 где ∇ = – оператор Лапласа. + + ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2 2

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой Ψ – функции и ее производной. • Вероятность P обнаружить частицу (в одномерном случае) в интервале от х1 до х2 x2

P = ∫ ψ ( x) 2 dx . x1

• Коэффициент прозрачности D потенциального барьера U(x): ⎛ 2 x2 ⎞ ⎜ D ≈ exp − ∫ 2m(U ( x) − E )dx ⎟ , ⎜ hx ⎟ ⎝ ⎠ 1 где х1 и х2 – координаты точек, между которыми U > E.

4

Задача №1 Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 1) U2 = 510 кВ.

Длина

волны де Бройля частицы зависит от ее импульса и определяется

формулой λ=

2πh . p

(1)

Связь импульса p с кинетической энергией К частицы для нерелятивистского (когда К<<mc2) и для релятивистского (когда К~mc2)случаев, выражается формулами: p = 2 m0 K ,

(2)

K ( K + 2m0 c 2 ) p= . c

(3)

Тогда (1) с учетом (2) и (3) в нерелятивистском и релятивистском случае примет вид λ=

λ=

2πh , 2m0 K

(4)

2πhс K ( K + 2 m0 c ) 2

.

(5)

Чтобы решить какую из формул (4) или (5), следует применить для вычисления дебройлевской длины волны, сравним кинетическую энергию электрона, прошедшего заданные в условии разности потенциалов, с энергией покоя электрона. Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется выражением 5

К = eU . В первом случае К1 = eU1 =51 эВ, что много меньше энергии покоя электрона mec2 = 0,51 МэВ. Следовательно применяем формулу (4). Подставляя численные значения, получим λ1 = 172 пм. Во втором случае К2 = eU2 = 510 кэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить формулу (5). Произведя вычисления, получим λ2 = 1,4 пм. Задача №2 Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b =2,0мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на l = 50 см, ширина дифракционного максимума ∆x = 0,36 мм.

При дифракции на одной щели условие первого дифракционного максимума имеет вид b sin ϕ = λ ,

(6)

где b – ширина щели. Поскольку угол дифракции ϕ достаточно мал, то sin ϕ =

∆x . 2l

(7)

Подставляя (7) в (6), получаем b∆x =λ. 2l

(8)

Дебройлевская длина волны электронов λ, падающих на щель, равна

λ= Подставляя (9) в (8), получим 6

2πh 2πh = . p me v

(9)

b∆x 2πh . = me v 2l Отсюда v=

4πhl = 0,96·106 м/c. me b∆x

Задача №3 Найти кинетическую энергию, при которой дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны.

Исходя из равенства λ D = λC , где λ D =

λC =

2πh – дебройлевская длина волны электрона, p 2πh – комптоновская длина волны электрона; mc

получаем 2πh 2πh . = p mc

(10)

Из релятивистской механики известно, что рс = K ( K + 2mc 2 ) , где К – кинетическая энергия частицы. Подставляя (11) в (10) получим mc 2 = K ( K + 2mc 2 ) , K 2 + 2mc 2 K − m 2 c 4 = 0 . Решая это квадратное уравнение, получим

7

(11)

− 2mc 2 ± 8m 2 c 4 . К= 2 Поскольку кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной, то

К = ( 2 − 1)mc 2 .

Задача №4 Пучок электронов с кинетической энергией К=10 кэВ проходит через тонкую поликристаллическую фольгу и образует систему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольги на l= 10,0 см. Найти межплоскостное расстояние, для которого максимум отражения третьего порядка соответствует кольцу с радиусом r=1,6 см.

Для решения данной задачи воспользуемся законом Вульфа-Брэгга 2d sin α = nλ , где d – межплоскостное расстояние, α – угол дифракции, n – порядок дифракционного максимума, λ =

2πh – дебройлевская длина волны электронов, имею2mK

щих кинетическую энергию К. Тогда 2d sin α =

2πnh . 2mK

Отсюда d=

πnh

2mK sin α

.

Поскольку 2

l2 + r2 ⎛l⎞ sin α = = ⎜ ⎟ +1. r ⎝r⎠ 8

То d=

πnh ⎛ ⎛ l ⎞2 ⎞ 2mK ⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟ ⎜⎝ r ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

= 0,23 нм.

Задача №5 Показать, что измерение координаты x частиц с помощью узкой щели шириной b вносит неопределенность в их импульсы ∆p x такую, что

∆x∆p x ≥ h

В момент прохождения частицами щели у них появляется неопределенность

координаты

∆x = b ,

вследствие этого появляется неопределенность в значении импульса частиц ∆pх. После прохождения щели, вследствие дифракции, частица будет находиться в пределах Рис.1

угла 2φ (φ – угол соответствующий

первому дифракционному максимуму), тогда ∆p x = psinϕ .

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму) получающемуся от щели шириной b, соответствует угол φ, для которого sinφ =

9

λ b

,

следовательно, ∆p x = p

λ откуда ∆x∆p x = bp = pλ . b b

λ

Так как дебройлевская длина волны определяется выражением λ = ∆x∆p x =

2πh , то p

2πh = 2πh , p

что соответствует принципу неопределенности Гейзенберга

∆x∆p x ≥ h . Задача №6 Убедиться, что измерения координаты с помощью микроскопа вносит неопределенность в её импульс ∆px такую, что ∆px ∆x ≥ h . Иметь в виду, что разрешение микроскопа d = λ / sin ϕ , где λ-длина волны использованного света.

У фотона, рассеянного на микрочастице, проекция импульса px будет равна px = p sin ϕ

или с учетом того, что p = 2πh / λ получим px =

2πh sin ϕ . λ

Эта величина будет характеризовать и неопределенность импульса фотона ∆px. Поскольку при рассеивании фотона на микрочастице ей также передается Рис. 2

импульс px то

и неопределенность её импульса бу-

дет ∆px. Т.к. неопределенность координаты частицы ∆x ≈ d ,то ∆x∆px ≈

λ 2πh sin ϕ = 2πh , sin ϕ λ

в чем и следовало убедиться. 10

Задача №7 Электрон движется в атоме по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае понятие траектории?

Согласно правилу квантования бора mevr = nh .

Т.к. электрон по условию задачи движется по первой (n = 1) боровской орбите, то v=

h . me r

Т.к. ∆v = 0,1v ,то ∆v = 0.1

h . me r

Воспользовавшись принципом неопределенностей Гейзенберга ∆x∆px ≥ h учетом того, что ∆px = me ∆vx , получим ∆x∆px = ∆xme ∆vx = 0,1me ∆x

h ≥ h. me r

Отсюда ∆x ≥ 10r ,

т.е. в данном случае понятием траектории пользоваться недопустимо.

11

и с

Задача №8 Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны λ излучения – равной 600 нм.

При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину ∆Е. Согласно соотношению неопределенностей, ширина энергетического уровня ∆Е связана со средним временем τ жизни атомов в этом состоянии соотношением ∆Еτ ≈ h .

(12)

Поскольку энергия фотона Е связана с длиной волны λ соотношением E = hω =

2πch , λ

то разбросу энергии ∆Е, при ∆Е<<Е, будет соответствовать разброс длин волн ∆λ (∆λ <<λ) ∆E =

2πch ∆λ λ2

(13)

(знак минус опущен). Выражая теперь из (13) ∆λ и подставляя в него ∆Е из (12) получим λ2 = 2·10-14 м ∆λ = 2πcτ

это и есть естественная ширина спектральной линии. 12

Задача №9 Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом p в положительном направлении оси x.

Поскольку в данном случае потенциальная энергия частицы равна нулю U(x) = 0, то уравнение Шредингера будет иметь следующий вид: ih

∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ =− . ∂t 2m ∂x 2

(14)

Решение данного уравнения будем искать методом разделения переменных, т.е. представим Ψ в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, а другая – только от времени t. Ψ ( x, t ) = ψ ( x) f (t ) .

(15)

Подставляя (15) в (14) получим i hψ ( x )

∂f (t ) ∂ 2ψ ( x) h2 =− f (t ) ∂t ∂x 2 2m

или •

h 2 ψ′′( x) f (t ) , ih =− f (t ) 2m ψ ( x )

(16)

где •

f (t ) =

∂f (t ) , ∂t

ψ′′( x) =

∂ 2ψ ( x) . ∂x 2

Т.к. обе части уравнения (16) являются функциями независимых переменных, то равенство правой и левой его частей возможно лишь тогда, когда они равны одной и той же константе. Из сравнения уравнения (16) со стационарным уравнением Шредингера можно видеть, что этой константой является E. Тогда 13

ψ′′( x) +

2mE ψ( x) = 0 h2

•

f (t ) + i

E f (t ) = 0 h

Общие решения данных дифференциальных уравнений должны иметь следующий вид (в этом нетрудно убедиться их непосредственной подстановкой):

ψ ( x) = С1eikx + С2e −ikx , где k = f (t ) = Сe −iωt , где

ω=

2mE p = ; h h

E . h

Тогда для частицы, движущейся в положительном направлении вдоль оси х, искомое решение уравнения (1) будет иметь вид Ψ ( x, t ) = Aei ( kx −ωt ) .

(17)

Данное решение будет конечным при Е > 0, причем Е в этом случае может быть любым. Волна, описываемая уравнением (17), имеет вид дебройлевской. Плотность вероятности местоположения частицы P( x) = ΨΨ * = AA* = const . Это означает равновероятность нахождения частицы в любой точке пространства (оси х). Данный вывод хорошо согласуется с соотношением неопределенностей: при ∆px = 0 ∆x → ∞, т.е. частица «размазана» по всему пространству. Задача №10 Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции (0 < х < l) имеют вид

En = (π2h 2 / 2ml 2 )n

2

ψ n ( x) =

14

2 πnx sin , l l

n = 1,2,3...

Рис.3

Рис.4

Стационарное уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид: ∂ 2 ψ 2m + ( E − U )ψ = 0 . ∂x 2 h 2

(18)

В области 0 < х < l потенциальная энергия равна нулю U = 0 (рис. 3), тогда ∂ 2ψ 2m + Eψ = 0 . ∂x 2 h 2

Введя следующее обозначения

2m E = k 2 , получим 2 h ∂ 2ψ + k 2ψ = 0 . 2 ∂x

(19)

Полученное дифференциальное уравнение хорошо известно из теории колебаний. Решение такого уравнения имеет вид: ψ ( x) = A sin(kx + ϕ) .

(20)

За пределами ямы ψ(x) = 0. Поскольку функция ψ(x) должна быть непрерывна, то она должна обращаться в ноль на границах ямы ψ(0)= ψ(l)=0. Следовательно, ψ (0) = A sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = 0 ψ (l ) = A sin kl = 0 ⇒ kl = ± nπ , где (n = 1, 2, 3…).

(21)

(Случай n = 0 отпадает, потому что тогда ψ ≅ 0, т.е. частица нигде не находится). 2m n 2 π2 E = , откуда Учитывая введенное нами обозначение: h2 l2 π2h 2 2 En = n 2ml 2

(n = 1, 2, 3…) 15

т.е. спектр энергии дискретный. Подставив (21) в (20), получим ψ n ( x) = A sin

nπx l

Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки x1

∫

ψ n2 ( x)dx

x2

l l nπx 2 2 nπx 2 dx = 1 . = ∫ A sin dx = A ∫ sin 2 l l 0 0

На концах интервала ( 0, l ) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса на ширину ямы. 1 A2 l = 1 , 2 откуда A = 2/l. Т.е. собственные функции в данном случае имеют вид ψ n ( x) =

2 nπx sin l l

n = 1, 2, 3…

Задача №11 Частица находиться в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти вероятность пребывания частицы в области l/3<x<2l/3 а) если частица находиться в основном состоянии; б) если частица находиться в возбужденном состоянии (n = 3). Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения частицы в данном состоянии. 16

а) ψ - функция в основном состоянии (n = 1) имеет вид: ψ ( x) =

2 πx sin . l l

Тогда искомая вероятность 2l

x2

p = ∫ ψ ( x)dx = 2

x1

1 = l

2l

3

∫

l

3

3

∫

l

3

2 2 πx 2 dx = sin l l l

2l

1 3 2πx 1 dx − ∫ cos dx = x ll l l

2l l

3

2l

3

3

3

∫

l

3

2πx 1 (1 − cos )dx = 2 l

2πx 1 l − sin l 2π l

2l

l

3

=

3

1 2l l 1 4π 2π − sin ) ≈ 0.61 . = ( − ) − (sin 3 3 l 3 3 2π Графически плотность вероятности обнаружения частицы в данном состоянии изображена на рис. 5 б) в данном случае ψ -функция будет иметь следующий вид ψ 3 (3) = 2l

x2

p = ∫ ψ 2 ( x)dx = x1

3

∫

l

3

2 3πx sin l l

2 2 3πx 1 = sin l l l

2l

3

∫

l

3

2l

1 3 6πx dx − ∫ cos dx = ll l 3

1 2l l 1 1 = ( − ) − (sin 4π − sin 2π) = l 3 3 6π 3 Графически плотность вероятности обнаружения частицы в данном состоянии изображена на рис. 6

Рис.5

Рис.6 17

Задача №12

Пси-функция некоторой частицы имеет вид ψ =

A −r / a e , где r – расстояr

ние от силового центра, а – константа. Найти: а) значение константы А, б) среднее расстояние частицы от центра.

Значение константы А найдем из условия нормировки пси-функции

r

∫ ψ (r )

2

dV = 1 ,

V

где dV =4πr2dr– объем тонкого сферического слоя толщиной dr, находящегося на расстоянии r от центра. Тогда условие нормировки принимает вид ∞

∞ ∞ e −2 r / a 2 ⎛ a⎞ 2 4πA ∫ 2 r dr = 4πA ∫ e −2 r / a dr =4πA2 ⎜ − ⎟e −2 r / a = 2πA2 a = 1 . 0 r ⎝ 2⎠ 0 0

2

Отсюда A=

1 . 2πa

Как известно, среднее значение величины q, зависящей от координат

r 2 q = ∫ q ψ (r ) dV . V

Тогда 2

∞ ∞ 4πr 3 −2 r / a 2 ∞ −2 r / a 2⎛a⎞ a r 2 r 2 3 r = ∫ r ψ (r ) dV = ∫ 4πr ψ (r ) dr = ∫ e dr = ∫ re dr = ⎜ ⎟ = . 2 a0 a⎝2⎠ 2 0 V 0 2πar

18

Задача №13 Частица массы m с энергией равной Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий потенциальный барьер высотой U., причем Е > U (рис.7) Для областей I и II: а) запишите уравнение Шредингера б) представьте графически качественный вид ψ – функций. Найти коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности этого барьера.

Для данного барьера ⎧0 при U ( x) = ⎨ ⎩U при

x<0 x≥0

.

На барьер падает частица массы m энергия которой Е, исходя из волновых представлений на барьер падает дебройлевская волна Ψ ( x, t ) = ei ( kx −ωt ) .

Рис. 7

Поскольку у всех трех волн (падающей, отраженной и прошедшей) частота одинакова, т.к. ω = E / h , то ограничимся рассмотрением только координатной части, а именно ψ(x). Запишем уравнения Шредингера для областей I и II x<0 x>0

∂ 2ψ + k12ψ = 0 2 ∂x

где k1 =

2mE ; h

2 m( E − U ) ∂ 2ψ + k22ψ = 0 где k2 = . 2 ∂x h

(22)

(23)

Решением этих уравнений будут следующие функции:

ψ 1 ( x < 0) = a1eik1 x + b1e −ik1 x ;

(24)

ψ 2 ( x > 0) = a2 eik 2 x + b2e −ik 2 x ;

(25)

19

Падающая волна характеризуется амплитудой a1, отраженная – b1 , прошедшая – а2. Поскольку в области x > 0 имеется только прошедшая волна, то b2 = 0. Из условия непрерывности для ψ и ψ / в точке x = 0 следует ψ1 (0) = ψ 2 (0)

а1 + b1 = а2 ,

ψ /1 (0) = ψ /2 (0)

а1k1 − b1k1 = а2 k 2 .

Решая совместно эти уравнения, получим b1 k1 − k2 = , a1 k1 + k2

a2 2k1 = . a1 k1 + k2

(26)

Обычно ψ - функция нормируется таким образом что а1 = 1, тогда b1 =

k1 − k2 k1 + k2

a2 =

2k1 . k1 + k2

Качественный вид ψ - функций в областях I и II показан на рис. 8 Рис. 8 Для определения интересующих нас коэффициентов отражения R и прозрачности D введем понятие потока плотности вероятности ρ. Скорость распространения вероятности такого потока совпадает со скоростью частицы v=

p hk = . m m

Таким образом v ∼ k и плотность потока вероятности пропорциональна величине kψψ*. В соответствии с видом ψ – функции для падающей, отраженной и прошедшей волн имеем

ρ ∼ k1a12

ρ / ∼ k1b12

ρ // ∼ k2 а12 .

Учитывая (26) получим следующие выражения для коэффициентов R и D: 2

2

ρ′ ⎛ b ⎞ ⎛ k − k ⎞ R = = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ , ρ ⎝ a1 ⎠ ⎝ k1 + k2 ⎠

2

ρ ′′ k 2 ⎛ a2 ⎞ 4k1k 2 . D= = ⎜⎜ ⎟⎟ = ρ k1 ⎝ a1 ⎠ (k1 + k 2 ) 2 20

Отсюда следует, что R + D = 1, что и должно быть по определению. Анализ выражений, полученных для R и D, показывает, что значения R и D не зависят от направления движения частицы. Заметим, что в классическом случае при Е>U R = 0. Задача №14 Частица массы m падает слева на потенциальный барьер высотой U. (рис. 7). Энергия частицы равна Е, причем Е > U. Найти эффективную глубину хэф проникновения частицы под барьер, т.е. расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности P нахождения частицы уменьшается в е раз. Вычислить хэф для электрона, если U - E = 1,0 эВ.

В данном случае вид уравнений Шредингера и ψ – функций будет совпадать со случаем, когда Е > U (см. задача №13 формулы (22) – (25)), однако k2, будет чисто мнимым k 2 = ik , где i – мнимая единица, k =

2m(U − E ) , h

тогда плотность вероятности P(x) местоположения частицы в области II будет равна 2

P ( x) = ψ 2 ( x) =

2k1 −2 kx e . k1 + ik

Плотность вероятности нахождения частицы в точке х = 0 2

P (0) = ψ 2 (0) =

21

2k1 . k1 + ik

Отсюда P( x) = P (0)e −2 kx . Качественный вид ψ - функций в областях I и II показан на рис. 8. Т.к. эффективная глубина проникновения частицы определяется как расстояние, на котором плотность вероятности местонахожРис. 8

дения частицы уменьшается в е раз то 2kxэф = 1 . Отсюда

xэф =

h 1 = . 2k 2 2m(U − E )

Подставив численные значения, получим xэф = 0,1 нм . Задача №15 Частица с энергией Е = 50 эВ падает слева на прямоугольный барьер, бесконечной ширины высотой U = 20 эВ (рис 7). Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.

Как было показано в предыдущей задаче, коэффициент отражения R равен 2

k −k R= 1 2 , k1 + k2

где k1 и k2 – волновые числа волн де Бройля в областях I и II. Поскольку 22

k1 =

2mE h

k2 =

2 m( E − U ) . h

Отсюда 2

R=

⎛ E − E −U 2mE h − 2m( E − U ) h = ⎜⎜ 2mE h + 2m( E − U ) h ⎝ E + E −U

2

⎞ ⎟ = 0,016 . ⎟ ⎠

Задача №16 Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси х. Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера d вероятность P прохождения электрона через него будет равна 0,2?

Вероятность P прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D. Тогда ⎛ 2 x2 ⎞ P ≈ exp⎜ − ∫ 2m(U ( x) − E )dx ⎟ . ⎜ h ⎟ x1 ⎝ ⎠

Рис. 9

Так как для данного барьера (Рис. 9)

U(x) = U, х1 = 0, х2 = d, то (27) примет вид d ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ 2d P ≈ exp⎜⎜ − 2m(U − E ) ∫ dx ⎟⎟ = exp⎜ − 2m(U − E ) ⎟ . ⎠ ⎝ h 0 ⎝ h ⎠

Потенцируя это выражение, получим ln P = −

2d 2m(U − E ) . h 23

(27)

Отсюда d =−

h ln(1 / P) . 2 2m(U − E )

Произведя вычисления, получим d = 0.495 нм. Задача №16 Найти вероятность прохождения частицы массой m с энергией Е сквозь потенциальный барьер, показанный на рис. 10.

По аналогии с предыдущей задачей ⎛ 2 x2 ⎞ P ≈ exp⎜ − ∫ 2m(U ( x) − E )dx ⎟ . (28) ⎜ h ⎟ x1 ⎝ ⎠

В данном случае (рис.10) x E U ( x) = U 0 , , x1 = l х2 = l, l U0

Рис.10

тогда (28) примет вид

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 2 l ⎟ ⎜ 2 2m l ⎟ x x P ≈ exp⎜ − ∫ 2m( U 0 − E )dx ⎟ = exp⎜ − ( U − E ) dx ⎟= 0 ∫ h h l l E E ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l l U0 U0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ 3 l ⎟ ⎜ 2 2m 2l x ( U0 − E)2 ⎟ = = exp⎜ − h 3U 0 l E ⎜ l⎟ U0 ⎠ ⎝ 3 3 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 3⎞ ⎜ 4 2 l m ⎜ ⎛ El U 0 ⎛4 2 l m ⎞2 ⎛ l ⎞2 ⎟⎟ 2 ⎟. ⎜ ⎜ ⎟ ( ) = − E U E ) exp U E = exp⎜ − − − − ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎜⎜U l ⎟ ⎟ ⎝l ⎜ ⎟ 3 h U 3 h U ⎠ ⎟⎟ 0 ⎜⎝ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠⎠ ⎝

24

ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Постоянная Планка

⎧⎪1,0546 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с h=⎨ ⎪⎩0,6582 ⋅ 10 −15 эВ ⋅ с

Скорость света в вакууме

с = 2,998⋅108 м/c

Масса электрона

⎧0,911 ⋅ 10 −30 Кг ⎪⎪ m e = ⎨5,486 ⋅ 10 −4 а.е. м. ⎪0,511МэВ ⎪⎩

Заряд электрона

⎧⎪1,602 ⋅ 10 −19 Кл e=⎨ ⎪⎩4,807 ⋅ 10 −10 СГСЭ

Электрическая постоянная Постоянная Ридберга

εo = 8,85⋅10-12 Ф/м 1/4πεo=9⋅109 м / Ф R = 2,067 ⋅ 1016 с −1

25

ЛИТЕРАТУРА

1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с. 2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с. 3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями: Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк., 2006. – 591с. 4. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с. 5. Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с. 6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с. 7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. – 271с.

26