Представления редуктивных алгебр Ли

Д.П.Желобенко ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ АЛГЕБР ЛИ Содержит развернутое введение в современную теорию представлений редуктивных алгебр Ли. В основу изложения положены новые конструктивные методы, основанные на изучении некоторых (нестандартных) обертывающих алгебр над алгебрами Ли. Основное внимание уделяется конечномерным алгебрам Ли над полем комплексных чисел. Для научных работников, аспирантов и студентов, интересующихся теорией представлений алгебр Ли и ее приложениями в математической физике. Содержание Предисловие 5 Глава 0. Введение 9 § 1. Алгебры Ли 9 § 2. Представления, модули 15 § 3. Обертывающие алгебры 20 § 4. Трансляторы и котрансляторы 24 § 5. Гармонические полиномы 27 § 6. Элементы формальной алгебры 32 § 7. Дополнения, упражнения 36 Глава 1. Редуктивные алгебры Ли 41 § 1. Основные определения 41 § 2. Алгебры Шевалле 45 § 3. Системы корней 51 § 4. Системы корней (продолжение) 56 § 5. Вещественные формы 63 § 6. Симметрические пары 68 § 7. Дополнения, упражнения 73 Глава 2. Экстремальные g-модули 79 § 1. Предварительные сведения 79 § 2. Экстремальные модули 85 § 3. Конечномерные g-модули 90 § 4. Характеры 96 § 5. Фильтрация Шуберта 102 § 6. Конечномерные G-модули 109 § 7. Дополнения, упражнения 113 Глава 3. Обертывающие алгебры 117 § 1. Алгебра U'(g) 117 § 2. Алгебра F(g) 121 § 3. Экстремальные проекторы 126 § 4. Конструктивные модули 131 § 5. Алгебра UE(g) 139 § 6. Алгебра W(g) 143 § 7. Дополнения, упражнения 146 Глава 4. Алгебры Микельсона 150

§ 1. Алгебра S(g, f) § 2. Элементы структурной теории § 3. Категория H § 4. Функтор Фµ § 5. Алгебра AZn § 6. Редукция g n +1 ↓ g n § 7. Дополнения, упражнения Глава 5. Дуальные методы § 1. Случай l=sl(2) § 2. Операторы qw § 3. Резольвенты p, q § 4. Образующие в Z(g, l) § 5. Экстремальные системы § 6. Дополнения, упражнения Глава 6. Симметрические пары § 1. Структурные матрицы § 2. Инверсия структурных матриц § 3. Пары внутреннего типа § 4. Бикомплексные пары § 5. Основные серии § 6. Дополнения, упражнения Глава 7. Некоторые приложения § 1. Особые векторы модулей Верма § 2. Основное аффинное пространство § 3. Обобщенные алгебры Микельсона § 4. Супералгебры Ли § 5. Уравнения Дирака § 6. Уравнения Максвелла Глава 8. Алгебры Шевалле § 1. Алгебра g=g(u) § 2. Категория O § 3. Модули Верма § 4. Алгебра F(g) § 5. Контравариантные формы § 6. Дополнения, упражнения Глава 9. Квантовые алгебры § 1. Алгебра Uq(g) § 2. Категория O § 3. Модуль E(λ) § 4. Категория Oint § 5. Группа Wq(g) § 6. Алгебра Aq(g)

150 155 160 165 169 176 180 184 184 190 195 201 204 207 211 211 216 221 225 231 234 237 237 241 245 247 252 254 258 258 262 266 271 275 278 282 282 285 288 293 295 300

§ 7. Базисы Люстига 304 § 8. Базис Кашивары 308 § 9. Фильтрация Шуберта 312 § 10. Дополнения, упражнения 316 Глава 10. Кристальные базисы 320 § 1. Общая конструкция 320 § 2. Теорема единственности 323 § 3. Тензорное произведение 325 § 4. Асимптотика 328 § 5. Основная теорема 331 § 6. Канонические базисы 332 Добавление А. Контрагредиентные алгебры 334 Добавление В. Квантовые группы 338 Цитированная литература 341 Предметный указатель 348 Предметный указатель — — разрешимая 43 Автоморфизм алгебры 13 ——редуктивная 41 — внутренний 37 — — симметрическая 21 —Картана 65 — Микельсона 150, 151 Алгебра 9 — — обобщенная 245 — ассоциативная 9 —нётерова 22 — Вейля 26 — обертывающая 20 — Вирасоро 73 — симметрии 24 — Витта 73 —трансляторная 24 — внешнего типа 67 — универсальная обертывающая 20 — внутреннего типа 66 —фильтрованная 21 — градуированная 21, 83 — Шевалле 60, 258 — групповая 76 — — симметризуемая 259 — Каца—Муди 49 Альтернатор 76 — — аффинная 49 Антигомоморфизм 14 — — индефинитная 49 Базис канонический 332, 333 — — конечного типа 49 — Кашивары 310 — квантовая 282 — кристальный 310 — коммутативная 9 — Люстига 304 — компактная 65 — системы корней 52 — конечномерная 12 Бимодуль 16 — контрансляторная 26 Вейля алгебра 26 — Ли 9 — группа 51, 73 — — бикомплексная 64 — — квантовая 297 — — группы G 11 — камера 52 — — нильпотентная 43 — теорема 44, 100 — — полупростая 42 Вектор аналитический 37 — — простая 42, 55 — вакуумный 38 — — псевдоредуктивная 42

— весовой 82 — дифференцируемый 19 — доминантный 90 — корневой 66 — — в Uq(g) 299 — особый 90 — старший 81 — целочисленный 90 — циклический 81 — экстремальный 81 Верма базис 114 — модуль 86 — тождество 333 Вес алгебры 110 — — фундаментальный 113 — модуля 110 — — старший 81, 85 Высота нильпотентности 43 — разрешимости 43 Гаусса разложение 51 Гомоморфизм алгебр 13 — модулей 16 —Хариш-Чандры 83 Градуировка алгебры 21 — весовая 82 Группа алгебраическая 14 — Вейля 51, 73 — — квантовая 297 — кос 295 — Ли 11 — — полупростая 45 — — присоединенная 36 — — простая 45 — — редуктивная 45 — линейная 36 Деформация квантовая 283 Знаменателей множество 32 Ивасавы разложение 71, 72 Идеал 10 — производный 43 Изоморфизм 13 Изотипическая компонента 17 Инволюция 14 — Шевалле 47

Казимира элемент 84 — — обобщенный 260 Картана разложение 65 Категория 13 — D 246 — H 160 — Hµ 165 — O 262, 285, 309 — Oint 265, 287, 293 — Oprim 274 Квазикорень 269 Квиллена лемма 18 Коассоциативность 315 Корень алгебры Шевалле 47 — компактный 70 — комплексный 70 — простой 47 — старший 70 Корней система 47, 51 — — приведенная. 53 Леви—Мальцева разложение 43 Матрица Картана 49, 53 — — обобщенная 49 — — симметризуемая 50 Модуль 15 Модуль артинов 17 —Верма 86 —дискретного типа 223 — дискретной серии 225 — дуальный 35 — индуцированный 33 — интегрируемый 264 — конечномерный 17 — конструктивный 131 —нётеров 17 — ограниченный 260 — полупростой 17 — присоединенный 23, 41 — простой 17 — регулярного типа 229 — регулярный 125 —редуктивный 17 — свободный 18

— топологический 19 — финитно редуктивный 17 — Чариш-Чандры 180 —циклический 17 — экстремальный 79, 85 Нильрадикал 44 Нормализатор 25 Оболочка комплексная (алгебры Ли) 63 Образующие Шевалле 46 Оператор Демазюра 104 — инфинитезимальный 19 — рождения 38 — сплетающий 17 — уничтожения 38 Основное аффинное пространство 111 Подалгебра борелевская 75 — инволютивная 65 — Картана 46, 75 — производная 42 Подмодуль 16 Подпространство Картана 71 — экстремальное 125 Полином гармонический 27 Порядок нормальный 58, 60 Представление алгебры 15 — — точное 15 — группы 15 — — непрерывное 19 — неприводимое 17 — основной серии 232 — присоединенное 23, 41 Проектор экстремальный 124, 272 Проекция гармоническая 30 Произведение алгебр прямое 12 — — тензорное 33 Радикал (алгебры Ли) 43 Разложение Ивасавы 71, 72 — Леви—Мальцева 43 — Картана .65 — треугольное 47, 51 — приведенное (в группе Вейля) 57

Расширение центральное 42 Резольвенты экстремальных уравнений 198 Ряд композиционный 17 Серра условия 49, 283 Система образующих 13 Симметризатор 76 Симметрическая пара (алгебр Ли) 66 — — внешнего типа 67 — — внутреннего типа 66, 70 Структурные константы 20 Теорема Вейля 44, 100 — Хариш-Чандры 101 — Шевалле 101 Умножение (в алгебре) 9 — антикоммутативное 10 Умножение коммутативное 9 Универсальная алгебра группы G 111 Упорядоченность в ∆+ 55 — в группе W 60 Факторалгебра 12 Факториал квантовый 283 Фильтрация (в алгебре) 21 — Шуберта 106, 107, 312 — Янсена 270 Форма вещественная 63 — инвариантная 44 — Киллинга 44 —контравариантная 267, 275, 302 — компактная 65 — Шаповалова 118, 268, 270 Функция регулярная 27 Характер модуля 88 — — центральный 88 Хариш-Чандры теорема 101 Центр алгебры 12 Централизатор 47 Шевалле теорема 101 Шура лемма 18 Элемент Казимира 84 — — обобщенный 260

Редуктивные алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли, теорию симметрических пространств, теорию специальных функций, некоммутативный гармонический анализ, квантовую механику и квантовую теорию поля. В 20-х годах Э. Картаном были обнаружены замечательные геометрические объекты — конечные корневые системы, в терминах которых описывается структура конечномерных полупростых алгебр Ли над полем комплексных чисел. В свою очередь, структура корневых систем определяется некоторым набором инвариантов (матрицы Картана, схемы Дынкина и т. д.), геометрия этих систем определяется некоторыми конечными группами, порожденными отражениями — так называемыми группами Вейля. Существуют различные обобщения конечных корневых систем, с помощью которых удается конструировать некоторые классы редуктивных (или псевдоредуктив-ных) бесконечномерных алгебр Ли, а также их модификаций, к которым относятся супералгебры Ли и квантовые оболочки редуктивных алгебр Ли. Среди бесконечномерных алгебр Ли такого рода особенно известны алгебры Каца—Муди. Для этого класса алгебр Ли существует содержательная теория, включающая ряд приложений, в том числе к конструктивной квантовой теории поля. Идея редуктивности относится к числу фундаментальных алгебраических концепций и сводится в некотором смысле к избавлению от радикала. Редуктивные алгебры Ли суть тривиальные центральные расширения полупростых алгебр Ли. Тем самым теория редуктивных алгебр Ли сводится к изучению простых или полупростых алгебр Ли. Теория представлений алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представлений групп Ли (в топологических векторных пространствах). Интересно, что в этой последней теории, представляющей собой сложный синтез алгебраических, аналитических и топологических методов, постепенно проявился процесс алгебраизации, в результате которого выяснилось, что многие задачи теории представлений групп Ли допускают полное сведение к чисто алгебраическим задачам в рамках теории представлений алгебр Ли. Например, классификация вполне неприводимых представлений вещественных связных редуктивных групп Ли сводится к классификации простых модулей Хариш-Чандры над соответствующими редуктивными алгебрами Ли. Последняя задача тесно связана с исследованием экстремальных g-модулей (или модулей со старшим весом) над комплексными редуктивными алгебрами Ли. Интересно отметить, что конструкция представлений «основной серии» Гельфанда, Наймарка и Хариш-Чандры, сыгравшая фундаментальную роль в

теории представлений редуктивных групп Ли, основана на некоторой двойственности с экстремальными g-модулями, определенными в 'классе обобщенных функций. В дальнейшем эта идея также была алгебраизована и нашла свое выражение в теоремах двойственности между модулями ХаришЧандры и экстремальными g-модулями. Проблема классификации неприводимых представлений вещественных редуктивных групп Ли была решена к концу семидесятых годов в результате исследований ряда математиков, от Ленглендса до Вогана. Комплексный случай был рассмотрен ранее в работах Наймарка и автора. Несмотря на то что есть прекрасная монография Вогана [6], посвященная этому вопросу, плюс известная литература учебного и справочного характера [8, 9, 10, 14, 22], изложение этого материала, связанное с нетривиальным техническим аппаратом, доступно в настоящее время лишь узкому кругу специалистов. Написание этой книги в значительной мере было стимулировано желанием дать простой алгебраический подход к классификации Ленглендса—Вогана. Для этой цели были использованы новые конструктивные методы теории представлений редуктивных алгебр Ли, основанные на рассмотрении некоторых обертывающих алгебр и ассоциированных с ними трансляторных алгебр — так называемых алгебр Микельсона. При этом было получено развитие структурной теории алгебр Микельсона посредством некоторых дуальных (проекционных и резольвентных) методов. Следует отметить, что проекционные методы полностью исключаются в стандартной теории представлений алгебр Ли, основанной на рассмотрении универсальных обертывающих алгебр. Действительно, универсальные обертывающие алгебры не имеют делителей нуля, но потому и не имеют проекционных элементов, за исключением 0 и 1. В то же время обертывающие алгебры, определяемые в данной книге (и состоящие из некоторых формальных рядов над редуктивными алгебрами Ли), содержат счетные разложения единицы, состоящие из проекционных элементов. Среди таких элементов особую роль играют так называемые экстремальные проекторы, сводящиеся к проектированию на «экстремальные подпространства» в некотором классе «регулярных» g-модулей. По мнению автора, систематическое использование этих методов позволило бы с единой точки зрения осветить традиционные вопросы теории представлений редуктивных алгебр Ли, включая их супераналоги и квантовые деформации. Существенно также, что алгебры Микельсона имеют широкий спектр приложений — от задач редукции (с алгебры на подалгебру) до классификации модулей Хариш-Чандры. Реально в данной книге осуществляется лишь часть намеченной программы, что сводится к изложению указанных выше методов в классическом случае конечномерных редуктивных алгебр Ли над полем комплексных чисел. Для иллюстрации этих методов рассматривается ряд приложений, в том числе к задачам редукции и к описанию особых векторов модулей Верма. Дается

классификация алгебраических дискретных серий, что составляет существенную часть общей классификации Ленглендса—Вогана. Желая сделать изложение по возможности замкнутым, мы начинаем с элементарного введения (глава 0), обзора структурной теории (глава 1), изложения общей теории экстремальных g-модулей (глава 2). Эти три главы составляют, по существу, развернутое введение в данную книгу. Основной материал излагается в главах 3, 4, 5 (обертывающие алгебры, экстремальные проекторы, алгебры Микельсона). Глава 6 сводится, главным образом, к описанию дискретных серий. В главе 7 рассматриваются отдельные приложения и обобщения (на некоторые супералгебры Ли). В главе 8 основные результаты теории экстремальных g-модулей обобщаются на симметризуемые алгебры Шевалле. В главах 9, 10 рассматриваются квантовые аналоги обертывающих алгебр над алгебрами Каца— Муди. В книге принята стандартная система нумерации разделов. Например, нумерация 2.3.6 означает «глава 2, § 3, пункт 6». Ссылка 2.3.6 (9) означает «формула (9) в 2.3.6» и т. д. Библиография, собранная в книге, далека от претензий на полноту. Во всяком случае, здесь лишь в малой мере представлена обширная литература по «фольклору» теории представлений в рамках математической физики.