Теория возмущений для атома Бора-Зоммерфельда. Водородоподобные ионы и ридберговы состояния aтомов

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ. Ò. 9, ¹ 2, 2003 С.С. Красильников

24

−Зоммерфельда. Теория возмущений для атома Бора− Âîäîðîäîïîäîáíûå èîíû è ðèäáåðãîâû ñîñòîÿíèÿ aòîìîâ С.С. Красильников МГУ, Физический факультет, 119899, Воробьевы Горы, тел.(095) 9391304 email: [email protected] Из правил квантования Бора−Зоммерфельда получен классический аналог квантовомеханической теории возмущений первого порядка; “легко и просто” вычисляются асимптотически ( l >> 1) правильные средние значения потенциалов возмущения мультипольного вида ~ const < 1/r k >n , l , k >= 2, их зависимость от квантовых чисел n, l; приводятся примеры вычисления сдвигов и расщеплений бальмеровых уровней энергии – тонкая структура, квантовые дефекты ридберговых уровней атомов и др. Результаты пригодны для всех кулоновских систем – мезоатомов, позитрония и т.д. Метод может быть использован при чтении курсов физики атома.

При изложении модели атома Бора–Зоммерфельда обычно ограничиваются рассмотрением нерелятивистской задачи Кеплера, приводящей к вырожденным по орбитальному моменту бальмеровским уровням энергии

En = −

Z 2 Ry Z 2 Ry = − n2 (nr + l ) 2

;

Ry =

e2 2 a0

;

a0 =

η2 m e2

;

(1)

здесь Ze − заряд ядра, m, e − заряд и приведенная масса электрона (и ядра), Ry − ридберг, ao − боровский радиус, ћ − постоянная Планка, nr − радиальное квантовое число, l − орбитальное квантовое число. Траектория электрона – неподвижный (интеграл Рунге−Ленца) эллипс [1]:

1 1 (1 + ε l cos ϕ ); = r pl

ε l = 1−

l2 ; n2

pl =

L2 l2 = a0 ; Z m e2 Z

L =l η ;

(2)

здесь pl − параметр эллипса; e l − его эксцентриситет. Качественно важен один из законов Кеплера: (3) – период движения зависит лишь от энергии (или большой оси эллипса) и не

Теория возмущений для атома БораЗоммерфельда. Водородоподобные ионы и ридберговы состояния aтомов

25

зависит от орбитального момента импульса, определяющего эксцентриситет и малую ось эллипса. Именно это свойство – кулоновское вырождение и определяет зависимость сдвигов уровней энергии от главного квантового числа ~ 1/n3. Релятивистская задача Кеплера для бесспинового электрона требует весьма громоздкого вычисления интеграла по периоду радиального движения и приводит к известной формуле тонкой структуры Зоммерфельда [2], ниже мы получим эту формулу «легко и просто». Траектория электрона приобретает вид розетки – медленно прецессирующего эллипса; изменение периода имеет порядок величины ~ (v/c2). Автору неизвестны примеры учета в рамках модели Бора−Зоммерфельда качественно других эффектов, например, спинорбитального взаимодействия. По видимому, это связано с трудностями работы с радиальным правилом квантования, определяющим уровни энергии. Правило квантования, однако, позволяет получить универсальный рецепт вычисления сдвигов и расщеплений уровней энергии (невозмущенной задачи), обусловленных произвольным потенциалом возмущения. Запишем правило квантования в виде [3]:

nη =

∫

d =2

Tn

∫E

kin

Tn

dt = 2 ∫ ( E n − U (r (t ))) dt ;

(4)

Tn

здесь p , Ekin − импульс и кинетическая энергия, U(r) − центральносимметричный потенциал, Tn − период движения, En − энергия уровня. Будем считать полностью решенной задачу о движении в невозмущенном потенциале U0(r) − параметры траектории, период движения Tn , угловой момент lћ, энергии уровней En и т.д. Энергию En + dEn,l движения в возмущенном потенциале U0(r) + dU(r) найдём из условия равенства интегралов (4) для обоих потенциалов (одно и то же правило квантования):

∫ (E

n

− U 0 (r (t ))) dt =

Tn +

Tn

≅

∫ δ( ( E

∫(( E

n

n

+ δ E n , l ) − ( U 0 (r (t ) + δ U (r (t )) ) dt ≅

Tn

− U 0 (r (t ) ) − (δ E n , l − δ U (r (t )) ) dt .

(5)

Tn

В последнем интеграле, оставаясь в рамках первого порядка по потенциалу возмущения, достаточно ограничиться интегрированием по периоду невозмущенного движения Tn; разумеется, потенциал возмущения должен быть

26

С.С. Красильников

достаточно слабым. Сравнивая первый и последний интегралы в (5), немедленно получаем физически прозрачный результат, качественно аналогичный первому порядку квантовомеханической теории возмущений

δ En , l

=

1 Tn

∫ δ U (r (t )) dt

(6)

Tn

− изменение уровня энергии, обусловленное возмущением, равно среднему (по периоду !) значению энергии возмущения. Исчерпывающий обзор М. Джеммера [4] эволюции «старой» квантовой механики правил квантования не содержит какихлибо намеков на теорию возмущения как таковую. Интегрирование по траектории в (6) оказывается значительно более простой процедурой, нежели работа с (фазовым) интегралом Бора−Зоммерфельда; более ясной выглядит зависимость результатов от квантовых чисел – главного и орбитального. Общий, не зависящий от вида потенциала U 0 (r), рецепт (6) ниже иллюстрируется конкретными примерами для водородоподобных ионов и ридберговых состояний атомов. При нахождении средних значений потенциалов возмущения (обычно потенциалов взаимодействия различных мультипольных моментов), как и в квантовой механике, общей задачей будет вычисление интегралов вида < 1 / rk >n,l ; в классической модели Бора−Зоммерфельда интегрирование по периоду движения позволяет получить простое замкнутое выражение для любой степени k: оно может служить асимптотической оценкой величины диагонального матричного элемента возмущения при n, l >> 1. Интегрирование по периоду в (6) при помощи соотношения L=mr2dj/dt заменяется интегрированием по азимуту вдоль невозмущенной траектории (разумеется, исключается движение с l = 0):

δ En , l

=

1 m T n lη

2π

∫ δ U (r (ϕ )) r

2

(ϕ ) dϕ

(7)

0

Здесь r(ϕ) − уравнение траектории в невозмущенном потенциале; потенциал возмущения обычно содержит члены вида const / rk, k ≥ 2. Интегралы < 1/rk >n,l вдоль невозмущенной кеплеровой орбиты (2) имеют вид:

Теория возмущений для атома БораЗоммерфельда. Водородоподобные ионы и ридберговы состояния aтомов

.

27

(8)

Отметим сразу независимость периода Tn ~ n3 от орбитального момента импульса l (кулоновское вырождение); от квантового числа l зависят параметр pl и эксцентриситет e l . После вычисления интегралов в (8) останутся лишь четные степени эксцентриситета; подставив их из (2), получим:

< 1

r

k

>n,l

A k (n, l ) = здесь

< 1

rk

k −1 2

∑ λ =0

=(

Z k A k ( n, l ) ) a0 n 3 l 2 k −3

C 2kλ− 2

;

(2λ − 1) !! l2 ( 1 − 2 )λ , 2λ !! n

(9)

C ba  биномиальный коэффициент.

Потенциалы возмущения, по существу, классические, могут содержать скалярные произведения взаимодействующих моментов импульса; предположения относительно величины угла между ними представляются автору спекулятивными 2π 1 m 1 механике угол междуk −ними – в классической > n,l = ( 1 + ε l cos ϕ ) 2 dϕ произволен. (Во вполне классической k −2 Tn l системе η p l углы солнечной наклона осей вращения планет относительно орбитального 0 момента импульса меняются от нуля у Венеры до почти π /2 у Урана.) Ниже приводятся примеры, демонстрирующие возможности классической теории возмущений в кеплеровой задаче. 1. Релятивистскую поправку к кулоновскому потенциалу при v/c << 1 можно записать в виде [ 5 ]:

∫

2 En Z e 2 Z 2 e 4 1 2 δ U rel (r ) = − ( En + + ) . r 2m c2 r2

(10)

Среднее значение второго слагаемого определяется теоремой вириала < Ze 2/r >n,l = − 2En ; при усреднении члена, содержащего 1/r2, используем (9), где k = 2, A 2 ( n,l ) = 1. Получим формулу Зоммерфельда:

δ E rel ,

n, l

Z4 α = − Ry n3

2

(

1 3 − ) , l 4n

(11)

отличающуюся от квантовомеханической лишь заменой l ↔ l + 1/2 ; α = e2 / ћc =

28

С.С. Красильников

1/137 − постоянная тонкой структуры . 2. Спинорбитальное взаимодействие при v/c << 1 учитывается поправкой к потенциалу [5] :

δ U s −o ( r ) = Z

μ r

0 3

2 ls,

(12)

здесь μ 0 = e ћ / 2mc магнетон Бора; l, s  «безразмерные» орбитальный и спиновый моменты импульса электрона. Используя (9), получим:

δ E rel ,

n, l

= − Ry

Z4 α n3

2

1 ls l3

;

(13)

квантовомеханическая формула вместо l 3 содержит l 3 ( 1+1/l ) ( 1+1/2l ); скалярное произведение может быть выражено через квадраты моментов − 2 l s = j2 – l2 – s2 . Сложение (11) и (13) , разумеется, не приведет к формуле тонкой структуры Дирака и вырождению по полному моменту импульса электрона. 3. Для описания систематики уровней “одноэлектронных” атомов щелочных металлов и щелочеподобных ионов в курсах атомной физики широко используется модель “валентного” электрона [6]; потенциал возмущения обычно представляется центральносимметричным , имеющим вид разложения по мультиполям:

δ U (r ) = ∑ q k k ≥2

.

rk

(14)

Квантовый дефект “одноэлектронного” уровня, определённый соотношением

δ E n ,l

Δl =−

,

dE n dn

(15)

находим, используя (7), (14) и (9); получаем:

Δl =

a0 e Z2 2

∑q

k ≥2

k

(

Z k A k ( n, l ) ) a0 l 2 k −3

.

(16)

Наиболее популярный в учебных курсах [6] вариант k = 2, q2 = de (d − дипольный электрический момент атомного остатка), использующий для качественного объяснения последовательности уровней атомов щелочных металлов феноменологическую константу d, даёт результат (Z = 1):

Теория возмущений для атома БораЗоммерфельда. Водородоподобные ионы и ридберговы состояния aтомов

Δl =

d 1 , e a0 l

29

(17)

снова, как и в (11), отличающийся от квантовомеханического заменой l ↔ l + 1/2 . Квантовый дефект, содержащий члены с k = 2, 3 не зависит от главного квантового числа n; для появления этой зависимости (поправки Ритца) нужны члены с k ≥ 4. Этой ситуации соответствует дипольный электрический момент атомного остатка, индуцированный электрическим полем электрона (см. ниже). 4. Ридберговские состояния атомов ( Z = 1, n >> 1) . Отличие от кулоновского потенциала в ридберговых атомах учитывает взаимодействие электрона с индуцированными его полем электрическими дипольным и квадрупольным моментами иона (атомного остатка); это взаимодействие обычно записывают в виде [7] :

δ U Ry (r ) = −

β d e2 r4

−

βQ e2 r6

;

(18)

здесь βd( ~a03 ) и βQ( ~a05 )  дипольная и квадрупольная поляризуемости иона. Используя (16) и (18), получим выражение для квантового дефекта:

Δl =2

βd 1 a 03 l 5

(1 −

l2 19 β Q 1 14 l 2 3 l 4 ) + ( 1 − + ) . 18 a 05 l 9 19 n 2 8 n 4 2 n2

(19)

Зависимости l5 и l9 согласуются с квантовомеханическими расчетами; факторы в скобках автор предпочитает не комментировать, эти факторы несущественны при n>>l . 5. Сверхтонкое взаимодействие. Константы сверхтонкого взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным полем электрона (орбитальным и спиновым) и электрического квадрупольного момента ядра с неоднородным электрическим полем электрона также требуют вычисления величин < 1 / r3 >n,l. Результаты оказываются асимптотически правильными при n, l >> 1, однако «угловые» факторы делают ответы несколько громоздкими и автор их не приводит. Не призывая, разумеется к пересмотру квантовой механики, автор хотел бы лишь привлечь более пристальное внимание к классической, по существу, модели Бора  Зоммерфельда, столь физически прозрачной и действенной в объяснении весьма тонких эффектов. Материалы «Атом Бора» для студентов 3го курса физического факультета МГУ − подробные выкладки, а также некулоновские и короткодействующие

30

С.С. Красильников

потенциалы − размещены на сайте кафедры атомной физики, физики плазмы и микроэлектроники www.affp.mics.msu.su. Автор признателен А.М. Попову за обсуждения и поддержку.

Литература 1. Ландау Л.Д., Е.М.Лифшиц Е.М. Механика. М., Наука, 1973. 2. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М., 1951. 3. Мессиа А. Квантовая механика. М., Наука, 1978. 4. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., Наука, 1985. 5. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М., Физматгиз, 1963. 6. Шпольский Э.В. Атомная физика , т. 2. М., Наука, 1974 . 7. Фабр С., Арош С. В сб. Ридберговские состояния атомов и молекул. М., Мир, 1985.