Καταραμένα μαθηματικά: Η Αλίκη στη χώρα των αριθμών

Τίτλος πρωτοτύπου:

Ma/ditas (Alίcia

mσfemάtίcσs

en ef ρσίs de los

nίJmeros)

Καταραμένα μαθnματ/κό

(Η Αλίκn

arn χώρα των αριθμών)

Εκτύπωσπ: Πάνος Γ κόνπς

Βιβλιοδεσία: Θ. Ηλιόπουλος - Π. Ροδόπουλος Σχεδιασμός εικόνων: Ιάσων Μaντζεβελάκπς-Αλιβέρτπς Επιμέλεια: Αθπνά Χριστοπούλου

© 2000, Carlo Frabefti Εκδόσεις

opera

Κωλέττπ 23α, 106 77 Αθπνα Τπλ. 210 - 33045 46

Fax: 210 - 330 36 34

http://www.operabooks.gr e-mail: ΟΡerα@οtenet.gr ISBN: 960-7073-99-1

Κάρλο Φραμπέτι

Καταραμένα

μαθπματικά (Η Αλίκn

arn

χώρα των αριθμών)

Μετάφρασπ Κρίτων Ηλιόπουλος

Εκδόσεις oρera

Αθπνα

2004

Σε τίποτα δε χρπσιμεύοuν

τα μαθπματικά

Η

Αλί κπ καθόταν σ' ένα nαγκάκι στο nάρ­ κο, κοντά στο σnίτι τπς, μ' ένα βιβλίο

κι ένα τετράδιο στα nόδια, κι ένα στιλό στο

χέρι. Έλαμnε ένας καταnλnκτικός πλιος στον ουρανό. Τα nουλιά, με τα τιτιβίσματά τους έφτιαχναν ένα κεφάτο nρωινό, αλλά το κορί­

τσι δεν πταν στα κέφια του.

«Καταραμένα μαθπματικά! Τι κάθομαι και χάνω τον καιρό μου μ' αυτούς τους γελοίους

υnολογισμούς αντί να nαίζω

nνα διαβάζω κα­

νένα καλό βιβλίο με nεριnέτειες» -

γκρίνια­

ξε φωναχτά. «Σε τί noTa δε χρπσιμεύουν τα μα­ θπματικά!» Λες και n αγανάκτπσπ τπς πταν κάnοιο μα­

γικό σύνθπμα, nίσω αnό μια συστάδα θάμνων

7

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

που Βρίσκονταν κοντά στο παγκάκι τπς ξεφύ­ τρωσε ένας πολύ μυστπριος τύπος. Ήταν ένα ψιλόλΙΥνο άτομο, ένας ξερακιανός με μελαγ­ χολlκπ φάτσα και ντύσιμο παλιάς εποχΠς. Έ­

μοιαζε Βγαλμένος από κάποιο εικονΟΥραφπ­ μένο ΒιΒλίο του Ντικενς, σαν εκείνα στο σπι­ τι τπς γιαγιάς τπς, σκέφτπκε

n Αλίκπ.

«Άκουσα καλά, δεσποινίς; Μππως είπες, μό­

λις τώρα, ότι τα μαθπματικά δε χρπσιμεύουν σε τιποτα;» ρώτπσε ο άντρας με έκφρασπ ανπσυ­ χίας.

Mn-

«Ει ναι, αυτό είπα. Κι εσύ ποιος είσαι;

πως είσαι κανένας απ' αυτούς που ενοχλούν τα κοριτσάκια στα πάρκα; ... »

«Εξαρτάται τι εννοείς μ' αυτό το "ενοΧλούν".

Αν τα μαθπμαTlκά σε απδιάζουν τόσο πολύ όσο δείχνουν τα χαζά σου παράπονα, τότε φυ­ σικό είναι να σε ενοχλεί και

n παρουσία

ενός

μαθπματικού.»

«Μαθπματικός εί σαι; Πιο πολύ μου μοιάζεις για ποιπτΠς. Ξέρεις, εννοώ αυτούς που τριγυρ­ νάνε στα πάρκα μαδώντας μαργαρίτες ... »

8

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Είμαι και ποlπτΠς.»

«Μπα; Για πες μου ένα ποίπμα. .. »

«Μπορεί αργότερα. Όταν συναντάει κανείς

ένα ξεροκέφαλο κορίτσι που λέει ότι τα μαθπ­ ματικά δε χρπσιμεύουν σε τίποτα, οφείλει, πρώ­

τα πρώτα, να του αποδείξει το λάθος του.»

«Εγώ δεν εί μαι ξεροκέφαλπ» έΒαλε τις φω­ νές

n Αλίκπ.

«Και δεν πρόκειται να σε αφπσω

να μου μιλπσεις για μαθπματικά.» «Πολύ παράλογπ αντίδρασπ, αν λάΒει κα­ νείς υπόψπ του πόσο πολύ σε ενδιαφέρουν οι

αριθμοί.» «Εμένα, οι αριθμοί; Ας γελάσω! Δε μ' ενδια­ φέρουν ούτε τόσο δα» απάντπσε και έκλεισε τα δάχτυλά τπς, ώσπου ακούμππσε ο αντίχειρας

στο δείκτπ. «Τίποτα δεν ξέρω από μαθπμαTlκά, κι ούτε που με κόφτει.»

«Λάθος κάνεις. Ξέρεις πιο πολλά απ' όσα νομίζεις. Για παράδειγμα, πόσων χρόνων εί­ σαι;»

«Έντεκα.» «Και πέρσι, πόσο πσουν;»

9

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Αυτπ κι αν είναι χαζπ ερώτπσπ: δέκα, φυ­ σικά.»

«Τ α 'δες; Ξέρεις να μετράς, κι αuτπ ει ναι n

βάσπ όλων των μαθπματικών. Μόλις είπες ότι δε χρπσιμεύοuν σε τίποτα, αλλά έκατσες

καμιά φορά να σκεφτεί ς πώς θα πταν ο κό­ σμος αν δεν είχαμε τους αριθμούς, αν δεν μπορούσαμε να μετρπσουμε;»

«Σίγουρα, πιο διασκεδαστικός.»

«Παραδείγματος Χάριν, εσύ δε θα 'ξερες ότι είσαι έντεκα χρόνων. Κανείς δε θα το 'ξε­

ρε, κι έτσι, αντί να κάθεσαι να χαζεύεις στο πάρκο, στπν καλύτερπ περίπτωσπ θα σ' έστελ­ ναν να δουλεύεις σα να 'σουν καμιά μεγάλπ.»

«Εγώ, δε χαζεύω! Εγώ, μελετάω μαθπμαTl­ κά!»

«Α, καταπλπκτικό! Είναι πολύ καλό τα εντεκά­

χρονα κορίτσια να μελετούν μαθπματικά. Εί­

σαι σιγουρπ ότι ξέρεις πώς γράφεται ο αριθ­ μός έντεκα;»

«Φυσικά! Έτσι» απάντπσε π Αλί Kn, κι έγρα­ ψε

11

στο τετράδιό τπς.

10

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤ1ΚΑ

«Πολύ καλά. Και γιατί αυτά τα δύο κολλπτά

"ένα" αντιπροσωπεύουν τον αριθμό έντεκα;» «Γ ιατί έτσΙ. Πάντα έτσι Πταν.»

«Έχασες. Γ1α τους αρχαίους Ρωμαίουςι πα­ ραδείγματος Χάριν ι δύο κολλπτά ένα δεν αντι­

προσώπευαν τον αριθμό έντεκα αλλά τον αριθμό δύο» απάντπσε ο άντρας και, πιάνο­

ντας το μολύβι τπς Αλίκπςι έγραψε ένα μεγά­ λο 11 στο τετράδιο.

«Αλπθεια είναι» αναγκάστπκε να παραδεχτεί εκείνπ. «Στο σπίτι τπς γιαγιάς μου έχει ένα ρο­

λόι απ' τον καιρό των Ρωμαίων, κι έχει ένα δύο σαν κι αυτό.)}

«Κι αν το καλοσκεφτούμε φαίνεται πιο λο­

γικό, δε νομίζεις;» «Γιατί;»

«Αν Βάλεις ένα μπλο δίπλα σ' ένα άλλο μπ­ λο έχεις δύο μπλα. Ή μππως δεν είναι έτσι;» «Φυσικά.»

«Κι αν Βάλεις ένα" ένα" δίπλα σ' ένα άλλο "ένα", έχεις δύο" ένα" ι και δύο φορές ένα μας κάνει δύο.»

11

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Αλπθεια είναι, ποτέ δεν το είχα προσέξει. Γιατί

11 σπμαίνεl έντεκα κι όχι δύο;»

«Μου κάνεις μία ερώτπσπ μαθπματικών;» «Μμμ, υποθέτω πως ναι.» «Ναι ι αλλά πάει ένα λεπτό που είπες πως δε

θέλεις να σου μιλάω για μαθπματικά. Εί σαι πο­ λύ καπριτσιόζα. Όλο αλλάζεις γνώμπ.» «Μόνο μια φορά άλλαξα γνώμπ!» διαμαρ­

τυρπθπκε n Αλίκπ. «Άσε που δε θέλω να μου μl­

λπσεις για μαθπματικά, μόνο να μου εξπγπ­ σεις αυτό με το έντεκα θέλω.» «Δε μπορώ να σου εξπγπσω μόνο αυτό με το έντεκα, γιατί στα μαθπματικά όλα τα πράγ­

ματα σχετίζονται μεταξύ τους. Όλα εξαρτώ­ νται το ένα απ' το άλλοι με μια λογική. Για να

σου εξπγήσω γιατί ο αριθμός έντεκα γράφε­ ται όπως γράφεται, θα 'πρεπε να σου διπγπθώ

ολόκλπρπ τπν ιστορία των αριθμών από τπν αρχή.»

«Είναι πολύ μεγάλπ;»

«ΦοΒάμαι πως είναι.» «Δε μ' αρέσουν οι πολύ μεγάλες ιστορίες.

12

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Όταν φτάνεις στο τέλος, έχεις ξεΧάσει τι λέ,

γανε

aTnv apxn.»

«Καλά, αντί γιο Tnv ιστορία των αριθμών αυ­ τ" καθαυτ", μπορώ να σου διnγnθώ ένα παρα­ μύθΙ. Το ίδιο κάνει ... »

13

Το παραμύθι των υπολογισμών

lα φορά κι έναν καιρό

-

πάνε πάρα

πολλά χρόνια - ι nrav ένας Βοσκός που είχε ένα πρόβατο» άρχισε να διnγείται ο άντρας. «Καθώς είχε ένα πρόβατο όλο κι

όλοι δε χρειαζόταν να το μετράεΙ. Αν το 'βλε­ πει πnγαινε να πει πως

nrav εκεί. Αν δεν το

'Βλεπε, πιΊγαlνε να πει πως έλειπε, ΚΟΙ τότε έΒγαινε OTn γύρα να το ψάξει. .. Μετά από λί­ γo καιρό l ο Βοσκός απόκτπσε κι άλλο πρόΒα­

το. Ήδn, τα πράγματα έγιναν πιο σύνθετα, γιατί άλλοτε τα 'Βλεπε και τα δυο μαζί, άλλο­ τε μόνο το ένα, κι άλλοτε δεν έΒλεπε κανέ­ να

...» «Κι εγώ nδn ξέρω πώς συνεχίζει n ιστορία»

τον διέκοψε n Αλίκn. «Μετά, ο Βοσκός Βρέθπ­

κε με τρία πρόΒατα κι έπειτα με τέσσερα ... Κι

14

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

αν συνεΧί σουμε να μετράμε πρόΒατα l εμένα θα με πάρει ο ύπνος.»

«Μπν εί σαι ανυπόμονπ, τώρα αΡΧίζει το κα­ λύτερο. Πράγματι, το κοπάδι του Βοσκού σιγά σιγά μεγάλωνε, κι αυτός όλο και δυσκολευό­ ταν να κάνει τον έλεγΧό του για να δει αν όλα

τα πρόΒατα ιΊταν εκεί κι αν δεν του έλειπε κα­ νένα. Αλλά, όμως, τπ μέρα που έφτασε να 'χει δέκα πρόΒατα l έκανε μια καταπλπκτlκιΊ ανακά­

λυψπ: αν σπκωνε ένα δάχτυλο για κάθε πρό­ Βατο και δεν έλειπε κανένα l τότε έπρεπε να βρεθεί με όλα τα δάχτυλα υψωμένα

-

και

των δύο χεριών.»

«Σπουδαία χαζο-αvακάλυψn» σχολίασε

n

Αλίκπ.

«Εσένα σου φαίνεται χαζιΊ επεlδιΊ σου μά­

θανε να μετράς από μικρπ ι αλλά του Βοσκού κανείς δεν του 'χε μάθει. Και μπ με διακόπτεις ...

Όσο ο Βοσκός είχε μόνο δέκα πρόΒατα, όλα ππγαιναν καλά. Όμωςl σύντομα, Βρέθnκε με λί­ γα ακόμα, και τότε πια τα δάχτυλα δεν του

έφταναν.»

15

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Μπορούσε να χρπσιμοποιπσεl και τα δά­ χτυλα των ποδιών.»

«Μπορεί, αν τύχαινε να 'ναι ξυπόλυτος» συμ­ φώνπσε ο άντρας. «Πράγματι, κάποιοι αρχαίοι

πολιτισμοί το έκαναν κι αυτό, και μετρούσαν εί­ κοσl-εί κοσι τα πράγματα αντί για δέκα-δέκα,

όπως κάνουμε εμείς. Έλα, όμως, που ο βο­ σκός φορούσε τσαρούχια και δεν τον βόλευε καθόλου να τα βγάζει για να μετράει ... Έτσι, λοι­ πόν, του πρθε μια καλύτερπ ιδέα: όταν του τέ­

λειωναν τα δέκα δάχτυλα, έβαζε μια πετρούλα μέσα σ' ένα ξύλινο πιάτο κι άρχιζε να μετράει πάλι απ' τπν αρχπ με τα δάχτυλά του, από το

ένα. Ήξερε, όμως, πως

n πετρούλα του μέσα

στο πιάτο άξιζε για δέκα.»

«Και δεν πταν πιο εύκολο να θυμάται ότι εί­ χε κιόλας χρπσιμοποιπσεl τα δάχτυλά του μία φορά;»

«Όπως λέει μια παροιμία, μόνο οι κουτοί εμπιστεύονται τπ μνπμπ τους. Σκέψου ακόμα

ότι ο βοσκός μας πξερε πως το κοπάδι του όλο και θα μεγάλωνε, κι άρα χρειαζόταν ένα

16

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

σύστnμα που θα του χρnσίμευε για να μπορεί

να με:τράει όλα του τα πρόΒατα, όσα κι αν Πταν. Απ' τπν άλλn,

n ιδέα με τις πετρούλες τον

βόλεψε πολύ γιατί του ξεκούρασε τα χέρια. Κι έτσι, αντί να σnκώνει τα δάχτυλά του για τα

πρώτα δέκα πρόΒατα, άρχισε να χρπσιμοποιεί τις πέτρες που τις έβαζε σ' ένα άλλο πιάτο, αυ­ τπ

rn

φορά πΠλινο.»

«Τ ι μπλέξιμο!» «Κανένα μπλέξιμο. Είναι πιο εύκολο να το κά­

νεις παρά να το εξnγεί ς. Κάθε φορά που ξεκι­

νούσε να μετράει τα πρόβατά του, αντί να

an-

κώνει δάχτυλα, άρχιζε να Βάζει πετραδάκια στο ππλινο πιάτο l κι όταν έφτανε στα δέκα,

άδειαζε το κουτί αυτό κι έβαζε μια πέτρα στο ξύλινο πιάτο, και μετά συνέχιζε το μέτρnμα και ξανάρχιζε να γεμίζει το ππλινο πιάτο ως το δέ­ κα. Αν στο τέλος είχε -για παράδειγμα- τέσ­

σερις πέτρες μέσα στο ξύλινο πιάτο κι άλλες τρεις στο ππλινο, πξερε ότι έπρεπε να μετρπ­

σει τέσσερις φορές δέκα πρόΒατο, κι άλλα τρίο, μ' άλλα λόγια σαράντα τρία.»

17

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Κι όταν έφτανε να 'χει δέκα πέτρες μέσα

στο ξύλινο πιάτο;» «Καλπ ερώτπσπ. Τότε έπαιρνε ένα τρίτο πιά­

το, σιδερένιο, κι έΒαζε μέσα μια πέτρα που

άξιζε όσο οι δέκα πέτρες του ξύλινου. Μετά, άδειαζε το ξύλινο πιάτο του. Έτσι, πξερε πως

n

πέτρα στο σιδερένιο πιάτο άξιζε όσο δέκα πέ­

τρες του ξύλινου που άξιζαν

n καθεμιά όσο δέ­

κα πέτρες του πΠλινου.»

«Κάτι που σπμαίνει πως

n πέτρα

στο μεταλ­

λικό πιάτο αντιστοιχούσε σε εκατό πρόΒατα.»

«Πολύ καλά, βλέπω πως το 'πιaσες το θέ­ μα. Έτσι λοιπόν, στο τέλος τπς πμέρας, μετά τπ

Βοσκπ, κι αφού είχε κλεl σει τα πρόΒατα στο μα­ ντρί, ο Βοσκός Βρισκόταν, ας πούμε, κάπως έ­ τσι ... » είπε ο άντρας και ξαναππρε το μολύΒι τπς

Αλί κπς για να ζωγραφίσει στο τετράδιό τπς:

18

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤIΚΑ

«Πάει να πει ότι είχε διακόσια δεκατέσσερα

πρό~αTα» συμπέρανε εκείνπ. «Ακριβώς. Κάθε πέτρα του σιδερένιου κου­

τιού αξίζει για εκατό, του ξύλινου για δέκα και του ππλινου για ένα.

Τ ότε, όμως, κάνανε δώρο στο βοσκό ένα μπλοκ κι ένα μολύβι ...» «Μα τι λες!» έβαλε τις φωνές n Αλίκπ. «Το

μπλοκ και το μολύβι είναι πρόσφατες εφευρέ­ σεις, ενώ οι αριθμοί πρέπει να έχουν ανακα­ λυφθεί πολύ πιο πριν.»

«Αυτό είναι παραμύθι, δεσποινίς πολυξερί­ τσα, και στα παραμύθια μπορεί να συμβούν σπμεία και τέρατα. Αν σου είχα πει ότι, ξαφνι­ κά, εμφανιστπκε μια νεράιδα με το μαγικό ρα­

βδί τπς, δε θα 'χες διαμαρτυρπθεί καθόλου. Κοίτα τώρα πώς κάνεις για ένα απλό μπλοκά­ κι.

.. » «Δεν είναι το ίδιο. Στα παραμύθια μπορεί

να εμφανιστούν νεράιδες, αλλά όχι αεροπλά­

να

n κι

εγώ δεν ξέρω τι άλλα μοντέρνα πράγ­

ματα.»

19

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Καλά, καλά. Αν προτιμάς, δώρισαν στο βο­ σκό έναν πίνακα από ππλό και μια γραφίδα. Κι έτσι, αντί να χρπσιμοποιεί κουτιά και πετρούλες

στ' αλπθεια, άρχισε να ζωγραφίζει στο πινα­ κάκι του κάτι κύκλους που αντιστοιχούσαν στα κουτιά, και να κάνει σπμάδια στο εσωτερικό

τους, όπως έκανα κι εγώ στο τετράδιό σου.

Μόνο που, αντί για τελίτσες, ζωγράφιζε γραμ­ μές για να φαίνονται καλύτερα. Παραδείγμα­ τος χάριν:

ππγαινε να πει, εκατόν εβδομπντα τρί α. Γ ρπγο­ ρα, όμως, κατάλαβε πως οι γραμμές, αν τις

έκανε όλες κάθετες, δεν πταν και πολύ πρακτι­ κές γιατί μπέρδευε, παραδείγματος χάριν, τις

20

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

εφτά με τις οκτώ

n τις

οκτώ με τις εννιά. Τότε

Πταν. που άρχισε να κάνει τους αριθμούς να

διαφέρουν μεταξύ τους, αλλάζοντας θέσn στις γραμμούλες:

Επειδπ με τον καιρό συνπθιζε τους εννέα αριθ­ μούς, τους έγραφε όλο και πιο γρπγορα, χω­

ρίς καν να σnκώνεl το μολύβι απ' το χαρτί (συ­ γνώμn, rn γραφίδα από το πινάκιο πθελα να

πω), κι άρχιζαν σιγά σιγά να μοιάζουν κάπως έτσι:

Σιγά σιγά άρχισε να στρογγυλεύει το περίγραμ­ μα των αριθμών του με γραμμές όλο και πιο

ελεύθερες, μέχρι που κατέλnξαν να πάρουν rnν nαρακάτω μορφπ:

21

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

2 345 678 9 Πολύ γρπγορα κατάλαβε πωςl τώρα που οι αριθμοί πταν ξεχωριστοί ο ένας απ' τον άλλον και δεν μπέρδευε τις γραμμούλες τουςl τα κου­

τιά τού πταν άχρπστα. Γι' αυτό κράτπσε μόνο τον κύκλο του KOUΤΙOύ όταν αυτό πταν άδειο. Παρα­ δείγματος Χάρινl αν είχε τρεις εκατοντάδες, κα­

μί α δεκάδα και οχτώ μονάδεςl έγραφε:»

3

Ο

8

«Και δεν πταν πιο εύκολο να αφπνει l απλώς,

ένα λευκό κενό;» ρώτπσε n Αλίκπ.

«Όχι, γιατί το λευκό κενό φαίνεται μόνο αν

έχεις έναν αριθμό από κάθε πλευρά. Οπότε, για να γράψεις τριάντα - που είναι τρεις δεκάδες και καμιά μονάδα-, δεν μπορείς να γράψεις

μόνο

3,

γιατί αυτό είναι το τρία. Γι' αυτό το λό­

γο χρειαζόταν οπωσδπποτε τον άδειο κύκλο. Ο βοσκός, όμως, άρχισε σιγά σιγά να τον μι­ κραίνει, μέΧρι που τον έκανε να έχει το ίδιο μέ-

22

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

γεθος με τους άλλους αριθμούς. Έτσι, το τρια­ κόσια οχτώ του προπγουμένου παραδείγματος

κατέλπξε να έχει αυτπν εδώ τπ μορφπ:»

308 «Είχε εφεύρει το μπδέν, κι έτσι το καταπλπκτι­ κό μετρικό μας σύστπμα ιΊταν πλΠρες.»

«Δεν καταλαΒαίνω γιατί είναι τόσο καταπλπ­ κτικό» απάντπσε n Αλίκπ. «Εμένα, οι ρωμαϊκοί

αριθμοί μού φαίνονται πολύ πιο κομψοί.» «Μπορεί να είναι πιο κομψοί, αλλά δεν εί­ ναι και τόσο πρακτικοί. Για δοκίμασε να πολ­

λαπλασιάσεις είκοσι τρία επί δεκάξι με τους

ρωμαϊκούς αριθμούς ... » «Ούτε που σκέφτομαι να το δοκιμάσω.

Mn-

πως πιστεύεις ότι ξέρω και τπν προπαίδεια στα λατινικά;»

«Ε, λοιπόν, γράψε μου με ρωμαϊκούς αριθ­ μούς τρεις χιλιάδες τριακόσια τριάντα τρία.»

«Πώς αμέ, αυτό ξέρω να το κάνω» είπε n

Αλίκπ, κι έγραψε στο τετράδιό τπς:

23

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

MMMCCCXXXIII «Θα πρέπει να αναγνωρίσεις πως είναι πολύ

πιο απλό να γράψεις 3.333 στο δικό μας "θε­

σιακό" δεκαδικό σύστπμα.» «Καλά, το αναγνωρίζω» παραδέχτπκε n Αλίκπ με κρύα καρδιά. «Αλλά γιατί το λές "θε­

σιακό" δεκαδικό σύστπμα;» «Στο ρωμαϊκό σύστπμα, όλα τα Μ είχαν τπν

ίδια αξία, όπως κι όλα τα υπόλοιπα γράμματα, ενώ στο δικό μας σύστπμα n αξία κάθε ψπφίου

εξαρτάται από τπ θέσπ του μέσα στον αριθμό. Έτσι, στο 3.333, κάθε 3 έχει διαφορετικιΊ αξία.

Το πρώτο απ' τα δεξιά αντιστοιχεί σε τρεις μο­ νάδες, το δεύτερο σε τρεις δεκάδες, το τρίτο σε τρεις εκατοντάδες και το τέταρτο σε τρεις

χιλιάδες. Γι' αυτό το λόγο το δικό μας σύστπ­

μα ονομάζεται" θεσιακό". Κι αν το λέμε και δε­ καδικό, είναι γιατί ππδάμε δέκα-δέκα απ' τπ μια

θέσπ στπν άλλπ: δέκα μονάδες κάνουν μια δε­ κάδα, δέκα δεκάδες μια εκατοντάδα, δέκα εκατοντάδες μια χιλιάδα. .. »

24

Η σκοuλπκότρuπa

«Δ

εν έγινε έτσι στπν πραγματικότπτα, ε; Πες μου τπν αλπθεια» είπε n Αλίκπ

μετά από μια μικρπ παύσπ.

«Όχι. Όπως σου είπα πδπ, αυτό που σου δι­

πγ~θΠKα δεν είναι π ιστορία των αριθμών. Ένα παραμύθι είναι. Η πραγματικπ ιστορία εί­ ναι πολύ πιο μεγάλπ και μπερδεμένπ. Αλλά, χο­ ντρικά, το ίδιο κάνει. Το σπμαντικό είναι να κα­

ταλάΒεις γιατί ένα "ένα" δίπλα σ' ένα άλλο

"ένα" μας κάνει έντεκα κι όχι δύο.» «Πες μου κι άλλες ιστορίες με αριθμούς»

ζπτπσε το κορίτσΙ. «Νόμιζα πως απεχθανόσουν τα μαθπματι­ κά.»

«Και τα απεχθάνομαι πάντα. Εμένα τα παρα­

μύθια μου αρέσουν. Και τα ποντίκια μου τπ σπά-

25

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

νε, αλλά οι ιστορίες του ποντικού Μίκι μου αρέσουν.»

«Μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο απ' το να σου διnγnθώ κι άλλο παραμύθι. Σε προσκαλώ να κάνουμε μια βόλτα orn Χώρα των Αριθ­ μών.»

«Πόσο μακριά είναι;»

«Εδώ δίπλα είναι. Ακολούθnσέ με.» Ο άντρας έκανε μια στροφn κι εξαφανίστn­ κε μέσα στους θάμνους απ' όπου είχε βγει λί­ γο πριν. Χωρίς να το πολυσκεφτεί,

n Αλίκn τον

ακολούθπσε. Πί σω από τα φυτά Γιταν κρυμμένn μια σππ­

λιά όπου, αυτός ο περίεργος τύπος, ππγε και

Χώθπκε μπουσουλώντας. «Τι περίεργο πράγμα! Κοίτα τι μεγάλn σππ­

λιά κρυβόταν μες στο πάρκο!» σκέφτnκε το κο­ ρίτσι ενώ έμπαινε μέσα.

«Αν είναι από κουνέλι, τότε μιλάμε για τερά­

στιο κουνέλι, αν και, για να πω τπν αλnθεια, δεν πιστεύω ότι υπάρχουν κουνέλια που κυκλο­

φορούν ελεύθερα στο πάρκο ... »

26

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η σππλιά χωνόταν λοξά στπ γπ και, παρότι ήταν ,!ολύ σκοτεινπ, π Αλίκπ κατάφερε να δια­

κρίνει τπ σιλουέτα του μαθπματικού που προχω­ ρούσε λίγα μέτρα πιο μπροστά.

Σε λίγο, ο άντρας στάθπκε. Η Αλίκπ έφτασε κοντά του και διέκρινε στο πάτωμα μια τρύπα

που είχε διάμετρο περίπου ένα μέτρο. Χώθπκε μέσα, κι αμέσως τπν έπιασε ίλιγγος, καθώς έδειχνε να είναι ππγάδι δίχως πάτο απ' όπου

αχνόφεγγε μια γκριζωππ ανταύγεια. Κοιτάζο­ ντας πιο προσεκτικά, συνειδπτοποίπσε ότι πταν κάτι σαν δίνπ, όπως γίνεται με το νερό τπς

μπανιέρας όταν βγάζουμε το πώμα. Θα' λεγες πως π μαυρίλα τπς νύχτας έρεε μέσα σ' ένα λούκι. «Είναι μια σκουλπκότρυπα» είπε εκείνος.

«Οδπγεί σ' έναν παράλλπλο κόσμο.»

Τ πς Αλίκπς κάτι τπς θύμιζε αυτπ n ιστορία με τις σκουλπκότρυπες και τους παράλλπλους κό­

σμους, αλλά δεν πξερε τι ακριβώς. «Θα πρέπει να 'ναι κάποιο τεράστιο σκουλπ­ κι» σχολίασε με κάποια απδία.

27

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Δεν υπάρχει κανένα σκουλΓικl. Αυτπ n τρύ­ πα λέγεται έτσι επειδπ διαπερνά τον χώρο και τον χρόνο με τον ίδιο τρόπο που διαπερνούν

Tn yn οι τρύπες που ανοίγουν τα σκουλΓικlα.» «Έχει καμία σχέσπ με τις "μαύρες τρύπες";» «Μεγάλn σχέσπ. Αλλά αυτό θα σ' το εξΠΥΠ­ σω κάποια άλλπ μέρα l όταν θα μιλΓΊσοuμε για φυσlκιΊ. Αρκετn δουλειά έχουμε να κάνουμε

σΓΊμερα με τα μαθπματικά.» Λέγοντας αυτό, πnδnξε μέσα στπ δίνπ κι

εξαφανίστπκε στο δευτερόλεπτο, λες και τον εί­ χε καταπιεί μια τρομερπ απορροφnτικn δύνα­ μπ.

«Τρελός θα 'σαι αν νομίζεις ότι εγώ θα ππ­ δΓΊξω εκεί μέσα» είπε το κορίτσι, αν και υπο­

ψιαζόταν πως εκείνος δεν μπορούσε πια να Tnv ακούσει. Όμως, n περιέργεια, που στπν Αλίκπ ΓΊταν πιο δυνατΓΊ απ' το φόβο - ακόμα κι απ'

Tnv τεμπελιά-, τπν έκανε να αγγίξει με τπν άκρn του ποδιού τπς το χείλος τπς δίνnς, για

να δει από τι ΓΊταν φτιαγμένn. Κάτι σαν αόρατο πλοκάμι τυλίχτnκε στο πό-

28

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

δι τπς και τπν τράΒπξε μέσα. Άρχισε να στρο­

Βιλίζετα.ι ιλιγγιωδώς γύρω απ' τον εαυτό τπς σαν ανθρώπινπ σΒούρα, και να ορμάει σαν σο'ιτο μες στπ δίνπ. Ή μάλλον σον σφαίρα, σκέφτπκε το κορίτσι, καθώς είχε ακούσει πως οι σφαίρες περιστρέφονταν μέσα στπν κάννπ του όπλου για να έχουν, στπ συνέχεια, πιο στα­

θερπ τροχιά.

Όλως περιέργως, δε φοΒόταν ούτε ζαλιζό­ ταν από τπν lλιγγιώδπ περlστροφΠ. Κι ούτε

ένιωθε αυτό το κενό στο στομάχι που είχε νιώ­

σει στο λούνα παρκ, βουτώντας από ψπλά, μέ­ σα στο τρενάκι των «Άλπεων».

Αμέσως, τόσο απότομα όσο στο ξεκίνπμα,

βγπκε από τπ χαλαρn αγκαλιά τπς δίνπς κι έσκασε με πάταγο πάνω σ' ένα βουναλάκι

από ξερά φύλλα. Η Αλίκπ δεν ένιωσε τον παραμικρό πόνο,

και μ' έναν ππδο στάθπκε στα πόδια τπς. Κοί­

ταξε προς τα πάνω, αλλά πταν πολύ σκοτεινά. Πολλά μέτρα πάνω απ' το κεφάλι τπς νόμισε πως είδε να περιστρέφεται κάτι σαν κύκλος, λί-

29

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

γο λιγότερο σκοτεινός από τπ μαυρίλα τριγύ­

ρω. Ίσια μπροστά - πτaν σίγουρπ- φαινόταν ένα φωτεινό σπμείο που πταν, στπν πραγματl­ κότπτα, ένα μεγάλο άνοιγμα, πέρα μακριά.

Έτρεξε με όλπ τπς τπ δύναμπ και Βγπκε σ' ένα ευρύχωρο προαύλιο που φωτιζόταν από μια σειρά λάμπες κρεμασμένες στο ταΒάνι. Γύρω γύρω ι το προαύλιο πταν γεμάτο πόρ, , "" , ,

τεςι κι ο αντρας στεκοταν μπροστα απο μια μ

ένα χρυσό κλειδί στο χέρι, έτοιμος ν' ανοίξει. Η Αλίκπ έτρεξε κοντά του κι αυτός γύρισε το κλειδί στπν κλειδαριά κι άνοιξε τπν πόρτα. Οδπγούσε σ' έναν στενό διάδρομοι που στπν άκρπ του άφπνε να φανεί ένας καταπλπκτικός κΠπος.

«Εμπρός» είπε ο μαθπματικός μ' ένα αινιγ­ ματικό χαμόγελο, και το κορίτσι μππκε πρώτο

στο διάδρομο.

30

Στπ χώρα των αριθμών

Ο

διάδρομος έβγαζε στον ωραιότερο κππο που είχε δει ποτέ τπς

n

Αλίκπ.

Ολόγυρα, ανθισμένα λουλούδια και δροσε­ ρές, γάργαρες ππγές. Ένιωσε τόσο ευτυχισμέ­ νπ, που παραλίγο να τπν πάρουν τα δάκρυα.

Ένα περίεργο πλάσμα πέρασε τρέχοντας

από μπροστά τπς, και n Αλίκπ Βγπκε απότομα από τπ χαύνωσπ τπς. Ήταν ένα μεγάλο τραπου­ λόχαρτο με κεφάλι, χέρια και πόδια, που κρα­ τούσε στο ένα Χέρι ένα κουτί μπογιά και στο

άλλο ένα πινέλο.

«Τ ο ξέρω αυτό το μέρος!» φώναξε τότε το κορίτσι. «Είναι

n Χώρα τπς Αλίκπς, n χώρα των

Θαυμάτων.»

«Όχι ακριΒώς, αλλά μοιάζει αρκετά» είπε δί πλα τπς ο άντρας, «όπως κι εσύ ... Μπορεί να

31

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

μπν είσαι n ίδια Αλίκπ, αλλά τnς μοιάζεις πο­ λύ.»

«Κι εσύ είσαι ο συγγραφέαςl ο Λιούις Κά­

ρολ! Και το 'λεγα εγώ ότι κάτι μου θύμιζε n φά­ τσα σου. Κάπου έχω δει μια φωτογραφία σου.»

«Το πραγματικό μου όνομα είναι Τσαρλς Ντόντγκσον. Στις διαταγές σου» είπε εκείνος, κι έκανε μια μικρπ υπόκλισπ με το κεφάλι. «Το Λιούις Κάρολ είναι το ψευδώνυμο που χρπσι­

μοποιούσα όταν έγραφα παραμύθια και ποιπ­ ματa. Αλλά ... μπορείς να με φωνάζεις Τ σάρλι. Έλα l πάμε να δούμε τι κάνουν αυτοί εκεί οι τύποι.»

32

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

Τ α τρία τραπουλόχαρτα

-

που πταν το

2,

το

5

και τ,? 7 μπαστούνι- είχαν μαζευτεί γύρω από μια τριανταφυλλιά με έξι άσπρα τριαντά­ φυλλα. Ή

-

πιο σωστά- που είχαν υπάρξει

άσπρα, γιατί μόλις τα είχαν Βάψει. Το ένα τρα­ πουλόχαρτο κρατούσε ένα κουτί με κόκκινπ

μπογιά, το άλλο με ροζ μπογιά και το τρίτο με κίτρινπ, κι έΒαφαν από δύο τριαντάφυλλα με το κάθε χρώμα.

Καθώς n Αλίκπ με τον Τσάρλι πλπσίαζαν, οι άντρες-τραπουλόχαρτα τελείωναν τπ δουλειά

τους κι άρχιζαν να συζπτούν έντονα.

«Υπάρχει κανένα πρόΒλπμα παιδιά;» ρώτπ­ σε ο συγγραφέας.

«Ε, ναι» σχολίασε το Επτά. «Η Ντάμα Κούπα

θέλει, σε κάθε τριανταφυλλιά, να έχουμε τρια­ ντάφυλλα με διάφορα χρώματα ...»

«Και διάφορα τριαντάφυλλα από κάθε χρώ­ μα» συνέχισε το Πέντε.

«Και ισάριθμα τριαντάφυλλα από κάθε χρώ­ μα» κατέλπξε το Δύο. «Ε λοl πάν, το πετύχατε» εί πε n Αλί ΚΠ, «δε

33

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

Βλέπω πού είναι το πρόΒλπμα. Εδώ έχει δύο κόκκινα, δύο ροζ και δύο κίτρινα τριαντάφυλ­ λα. Μ' άλλα λόγια, διάφορα χρώματα, διαφο­

ρετικά για κάθε χρώμα l και ίσος αριθμός από κάθε χρώμα.» «Ναι, καλά, με έξι τριαντάφυλλα είναι εύκο­ λο» εί πε το Επτά, «όπως και με οκτώ

n με εν-

νια.»

«/λλλά εκεί πέρα έχει μια τριανταφυλλιά με επτά τριαντάφυλλα» συνέχισε το Πέντε, δείχνο­

ντας δεξιά του. Και, πράγματι, n Αλίκn είδε σ' ένα παρτέρι μια τριανταφυλλιά με επτά λευκά

τριαντάφυλλα.

«Κι αυτά, εμεί ς δεν ξέρουμε πώς να τα Βά­ ψουμε» πρόσθεσε το Δύο.

«Αν Βάψουμε τρία κόκκινα και τέσσερα ροζ, θα έχουμε διάφορα χρώματα σε διάφορα τρια­ ντάφυλλα, αλλά όχι τον ίδιο αριθμό για κάθε χρώμα» είπε το Επτά.

«Αν Βάψουμε μ' άλλο χρώμα το καθένα, σαν ουράνιο τόξο, τότε θα έχουμε διαφορετικά χρώ­

ματα, και τον ίδιο αριθμό τριαντάφυλλων για κά-

34

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤIΚΑ

θε χρώμα, αλλά δεν θα έχουμε πολλά απ' το ίδιο χρώμα. Μόνο ένα» εί πε το Πέντε.

«Κι αν τα Βάψουμε όλα με το ίδιο χρώμα τότε θα έχουμε πολλά από το ίδιο χρώμα, τον ίδιο αριθμό με το ίδιο χρώμα, αλλά όχι πολ­ λά χρώματα» πρόσθεσε το Δύο. «Σε κάθε περίπτωσn - συνόψισε ο Τ σάρ­ λl- μία από τις τρεις απαιτπσεις τnς βασίλισ­ σας μένει ανεκπλnρωτn, αφού με επτά τριαντά­

φυλλα δεν γίνεται να εκπλπρωθούν και οι τρεις. Εγώ σας συμΒουλεύω να αφπσετε τπν τριαντα­ φυλλιά όπως είναι, με όλα τα τριαντάφυλλά τπς λευκά, και να πείτε στπ Βασίλισσα ότι n λευκό­

τnτά τους αποδεικνύει πως το 7 είναι ένας "πρώ­

τος" αριθμός, κι αυτό πάει να πει πως δεν μπο­ ρεί να διαιρεθεί σε ίσα, ολόκλπρα μέρn.»

. «Μπορεί να διαιρεθεί σε επτά μέρπ του ενός τριαντάφυλλου» διαφώνπσε n Αλίκπ.

«Ναι, ΒέΒαια. Και σε ένα μόνο μέρος των επτά τριαντάφυλλων. Ο, πρώτοι αριθμοί διαι­ ρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με τπ μο­

νάδα» διευκρίνισε ο Τσάρλι.

35

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

Τ π στιγμιΊ εκείνπ ακούστπκε ο ιΊχος μιας τρο­ μπέτας, και τα τρία τραπουλόχαρτα άρχισαν να

τρέμουν. Έμοιαζαν με μεγάλα, τετράγωνα φύλ­ λα που τα ππγαινε πέρα-δώθε ο άνεμος. «Η Βασίλισσαl» φώναξαν όλα μαζί. Και, πράγματι, μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα

έκανε τπν εμφάνισπ τπς π Βασίλισσα: n Ντάμα

Κούπα με την ακολουθία τnς.

Όλο Βιασύνπ, οι άντρες-τραπουλόχαρτα έκρυψαν τα πινέλα και τις μπογιές τους πίσω

από κάτι θάμνους κι έΒγαλαν τέσσερα μαύρα

ραΒδάκια. Ο ένας ππρε δύο ραΒδάκια στα χέ­ ρια του κι οι άλλοι δύο από ένα, και στάθnκαν όπως φαίνεται στπ συνέχεια:

36

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Τι κάνουν;» ρώτπσε π Αλίκπ.

«Mι;:tθπμαΤΙKές πράξεις για να τους επιθεω­ ρπσει π Βασίλισσα: 5

+ 2 = 7» εξπγπσε ο Τ σάρ­

λι στο κορίτσι. Όμως, π Ντάμα Κούπα είχε τπν προσοχπ

τπς στραμμένπ στις τριανταφυλλιές. Βλέποντας το μπουκέτο με τα επτά λευκά τριαντάφυλλα,

φώναξε εξοργισμένπ: «Αυτπ εκεί π τριανταφυλλιά δεν εφαρμόζει τους κανόνες μου.»

Τα τρία τραπουλόχαρτα έτρεμαν τόσο δυ­

νατά που δεν μπορούσαν ν' αρθρώσουν λέξπ. Ο Τσάρλι, όμως, προχώρπσε με αποφασιστι­

κότπτα προς τπ Βασίλισσα για να παρέμΒει υπέρ τους.

«Μεγαλειοτάτπ» ει πει «επlτρέψατέ μου, ως

μαθπμαTlκός, να σας υπενθυμί σω ότι οι κανό­ νες σας είναι ανεφάρμοστοι στπν περίπτωσπ

τπς τριανταφυλλιάς με τα επτά τριαντάφυλλα.

Όμως, χάρπ σ' εσάς, μάθαμε τι είναι ο αριθ­ μός που ονομάζουμε" πρώτο", κι έτσι μπόρε­

σαν αυτά τα λευκά τριαντάφυλλα να ξεχω-

37

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ρίσουν ανάμεσα στα πολύχρωμα αδέρφια

τους, με τπν πρωτόγονπ ομορφιά των αυθεντι­ κών μαθnμαTlκών.» «Χμμ. .. Καλά. Στο κάτω κάτω δεν είναι κι

άσχπμα μερικά λευκά τριαντάφυλλα μέσα σ' όλπν αυτπ τπν πολυχρωμία, κι αυτό το παραμύ­

θι έφτασε στο τέλος του» είπε n Βασίλισσα. «Αν και οφείλω να παρατπρπσω πως ποτέ μου

δεν συμπάθπσα τους πρώτους αριθμούς.» Οι κππουροί άρχισαν και πάλι να τρέμουν,

γιατί και οι τρεις τους πταν πρώτοι αριθμοί: 2,

5 και 7. «Μπν ασχολείστε μ' αυτούς μεγαλειοτάτπ» είπε ο Τσάρλι. «Αποτελούν μια μlκρπ μειοψπ­

φία σε σύγκρισπ με τους σύνθετους αριθμούς.» «Ναι, αλλά όλο πάνε και φυτρώνουν εκεί

που δεν τους σπέρνουνε. Κι έχει κι απ' όλα τα

μεγέθπ.» «Πολύ σωστά τα λέτε, μεγαλειοτάτπ. Μπορεί­

τε, όμως, να Βρείτε λίστες - όσο μεγάλες θέ­ λετε- με σύνθετους αριθμούς, χωρίς ούτε έναν πρώτο ανάμεσά τους.»

38

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Μου λες αλnθειa; Μπορείς να μου πεις

μια λί οτα με εκατό αριθμούς στπ σειρά, χωρί ς ούτε έναν πρώτο ανάμεσά τους;» «Τί ποτα ευκολότερο, μεγαλειοτάτπ. Ας πά­

ρουμε το γινόμενο των 1 Ο 1 αρχικών αριθμών που συναντάμε.

1

χ

χ

2

3

χ

4

χ ... χ

98

χ

99

χ

100 χ 101. Οι μαθπματικοί το ονομάζουμε " παραγοντικο' 1 01" του έτσι:

και

το

εκφρα'ζ ουμε

1ΟΙ !»

«Πράγματι, καταπλπκτικός αριθμός αυτός» σχολί ασε

n Βασίλισσα.

«Ονομάζουμε Ν αυτόν τον τεράστιο αριθμό που μπορεί να διαιρείται με το

981991 100 και 101,

2, 3, 4, 5, ... ,

και που περιέχει κι όλους

αυτούς τους αριθμούς, ως παράγοντες.» «Προφανώς.» «Ωραία λοιπόν, ας σχπματίσουμε τώρα τπ

σειρά των αριθμών Ν

5, ... , Ν + 98, Ν

+ 2, Ν + 3, Ν + 4, Ν + + 99, Ν + 100 και Ν + 101.

Αφού το Ν μπορεί να διαιρείται με το 2, τότε

θα μπορεί και το Ν + 2 να διαιρείται με το 2. Αφού το Ν μπορεί να διαιρείται με το 3, τότε

39

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

θα μπορεί και το Ν + 3 να διαιρείται με το 3, και πάει λέγοντας. Έτσι, έχουμε μία λίστα με

εκατό αριθμούς στπ σειρά (από το Ν χρι το Ν

+ 101),

+2

μέ­

χωρίς κανέναν πρώτο αριθ­

μό αναμεταξύ τους.» «Α, τι ωραία είδπσπ» φώναξε π βασίλισσα ικανοποιπμένπ. «Μια σειρά αριθμών - όσο με­ γάλπ μου κάνει κέφι- , χωρίς ούτε έναν αντιπα­

θπτικό "πρώτο" ανάμεσά τους! Θα σε ανταμεί­ ψω για το κόλπο σου: σε ονομάζω Τζόκερ μου.» «Τι είν' αυτό;» ρώτπσε π Αλίκπ. «ο γελωτοποιός μου, ο Μπαλαντέρ τπς τρά­

πουλάς μου» απάντπσε π βασίλισσα. «Και, για να 'χουμε καλό ρώτπμα, εσύ, μυξιάρικο, τι εί­ σαι;»

«Είναι π νεαρή μου φίλπ, π Αλίκπ, Μεγαλειο­

τάτπ» παρενέβπ ο Τ σάρλι. «Είχα προσφερθεί να τπς δείξω τπ Χώρα των Αριθμών, λίγο πριν

φθάσετε εσείς.» «Καλά. Αν είναι φίλπ σου θα τπν πάρω κι

αυτπν στπν υππρεσί α μου, ως μαθπτευόμενπ οικιακιΊ βοπθό Β' κατπγορί ας.»

40

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η AλfKn πταν έτοιμn να απαντπσεl, αλλά ο Τσάρλι μππκε στπ μέσn:

«ΦοΒούμαι, Μεγαλειοτάτπ, πως δεν μπο­

ρούμε να αποδεΧθούμε τπ γενναιόδωρπ προ­ σφορά σας, λόγω του ότι ...» «Εγώ, ομορφούλπ μου, δεν κάνω προσφο­

ρές, εγώ δίνω διαταγές» τον έκοψε n βασίλισ­ σα. Έκανε ένα νεύμα, και δύο υππρέτες από τπ συνοδεία τπς πετάχτπκαν μπροστά. Ο ένας

έβαλε στο κεφάλι του συγγραφέα έναν σκού­ φο παλιάτσου

-

κόκκινο, με τρεις ψπλές κο­

ρυφές και κουδουνάκια να κρέμονται στις

άκρες -

κι ο άλλος φόρεσε στπν Αλί κπ ένα

λευκό φακιόλι. Το κορίτσι το τράβπξε απότομα και το πέταξε στο χώμα. «Δε φοράω εγώ τέτοιο γελοίο πράμα στο κε­ φάλι μου, κι ούτε σκέφτομαι να γίνω

n

υππρέ­

τρια κανενός» είπε αποφασιστικά.

Η Βασίλισσα, κόκκινπ από θυμό, ούρλιαξε:

«Εξέγερσπ! Αντάρτικο! Πειρατεία! Φρουροί, πιάστε τους!»

«Χα! Ώστε δεν ξέρεις ποιος είναι αυτός;» τπς

41

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

αντιγύρισε

n Αλίκπ

δείχνοντας τον ΤσάρλΙ. Και

το είπε με τόσπ αυτοπεποίθπσπ που, για μια στιγμι\

«Mn

n Βασίλισσα

έμεινε αμιΊχανπ.

δίνετε σπμασία μεΥαλειοτάτπ, είναι παι­

δί ακόμα και ... » άρχισε να λέει ο συγγραφέας,

όμως,

n Αλί κπ

τον έκοψε:

«Αυτός εδώ είναι, ούτε λίγο οΥτε πολύ, ο

Λιούις Κάρολ, ο συγγραφέας σου, κι αν θέλει μπορεί να σε εξαφανί σε!.» Η Βασίλισσα δεν έδειξε να εντυπωσιάζεται με τπν αποκάλυψπ.

«Ώστε έτσι! Να με εξαφανίσει ε;» είπε με τα Χέρια στπ μέσπ. «Μόλις μου έδωσες μία ωραία

ιδέα, μυξιάρικο. Να παρουσιαστεί εδώ το

Mn-

δέν!»

Τ α μέλπ τπς συνοδείας παραμέρισαν βιαστι­

κά για να ανοίξουν πέρασμα σε έναν άνδρα­ τραπουλόχαρτο παρόμοιο με τους τρεις κππου­ ρούς, μόνο που είχε τπν όψπ εντελώς λευKιl.

«Φέρεlς τον τακτικό σου οπλισμό;» τον ρώ­ τπσε

n Βασίλισσα.

«Μάλιστα, μεγαλειοτάτπ» απάντπσε το μπ-

42

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

δέν και τράβπξε δύο μαύρα ραβδάκια, ένα με κάθε ~έρl, που και τα δύο μαζί σχπμάτιζαν ένα Χ. Μπρος σε αυτό το σπμεΙο, όλοι οπισθο­ χώρπσαν τρομοκρατπμένοι.

«Γιατl φοβούνται τόσο;» ρώτπσε σιγά τον Τσάρλι n Αλlκπ. «Είναι το μπδέν, κι έχει στα χέρια του το σπ­

μείο του πολλαπλασιασμού» απάντπσε ο συγ­

γραφέας. «Ξέρεις καλά πως ό,τι κι αν πολλα­

πλασιάσεις με το μπδέν, εξαφανίζεται.» «Ρίχ' τους στο κάτεργο» διέταξε n Βασίλισ­ σα το Μπδέν, «κι αν κάνουν πως αντιστέκο­

νται, ξέρεις εσύ.» «Δεν εί μαστε υποχρεωμένοι να υπακούσου­ με» είπε n Αλί κπ στον Τ σάρλι. «Εσύ εί σαι ο συγ­

γραφέας. Ήρωές σου είναι όλοι αυτοί ... »

«Ακόμα και οι nρωες των παραμυθιών κα­ ταλnγουν ν' anoKTnoouv δικn τους ζωn, και κά­ ποιες φορές εξεγείρονται εναντίον του συγ­ γραφέα τους, όπως κάνουν κάποια παιδιά με

τους γονείς τους. Για τπν ώρα, καλά θα κάνου­ με να υπακούσουμε.»

43

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

Έτσι, n Αλίκπ κι ο Τσάρλι Βρέθπκαν να πρo~ χωρούν με δυο φρουρούς μπροστά και το Mn~ δέν από πίσω, να κρατάει απειλnτικά το σnμείο του πολλαπλασιασμού του.

λλλά, όταν οι υπόλοιποι τους είχαν Χάσει πια απ

, τα

,

"

ματια τους, ο συγγραφεας σταματπ-

σε απότομα κι είπε, δείχνοντας το φανταXTε~ ρό του σκούφο:

«Είμαι ο Μπαλαντέρ, δεν είναι έτσι;»

«Ναι» συμφώνπσε το Μnδέν. «Η Βασίλισσα

μόλις σε έχρισε Τζόκερ τπς.» «Κι ο Μπαλαντέρ μπορεί να πάρει rnv αξία οποιουδιΊποτε χαρτιού τπς τράπουλας. Αλπθεια

n όχι;» «Έτσι είναι» παραδέχτnκαν εν χορώ οι φρου­ ροί.

«Ωραία λοιπόν, τώρα είμαι n Ντάμα Κούπα

και σας διατάζω να σπκωθείτε να φύγετε.» «Τι ωραία τους rnv έπαιξε!» θαύμασε n λλί­

Kn. «ΜπράΒο Τσάρλι. Είσαι διάνοια!» Οι φρουροί κοιτάχτnκαν αμιΊχανοl, κι ύστε­

ρα στράφπκαν στο Μnδέν που έξυνε το κεφά-

44

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

λι με ένα από τα μαύρα ραβδάκια του. Είπε: «Αηό τεχνlκπς απόψεως, έχει δίκιο.» «Ε, τότε, από τεχνlκπς απόψεως, μπορείτε

να σnκωθείτε να φύγετε» ειπε απειλnτικά n Αλί Kn, κάνοντας με το χέρι ένα νεύμα του τύ­ που: «εμπρός, πάρτε δρόμο».

Οι δυο φρουροί απομακρύνθπκαν με το κε­ φάλι σκυμμένο, αλλά το Μπδέν έδειχνε ανα­ ποφασιστο.

«Μπορείς να έρθεις μαζί μας» είπε τέλος ο Τσάρλι. «Έτσι, με rnv εκμπδενιστικπ σου δύ­

ναμπ, θα μας προστατέψεlς από κινδύνους που μπορεl να προκύψουν.»

«Και πού πάμε τώρα;» ρώτπσε π AλfKn.

«Στο λαβύρινθο» απάντπσε ο συγγραφέας.

«Εγώ δεν μπορώ να μπω στο λαβύρινθο» αναφώνnσε το Μnδέν, κι άρχισε να τρέμεΙ.

«Καλά, αν φερθείς σωστά θα σε αφπσω να περιμένεις απ' έξω» είπε ο Τ σάρλl με μεγαλο­ ψυχία, «αλλά θα μας συνοδέψεις ώς εκεί.» Προχώρπσαν μέσα στον κππο για κάμnοσn

ώρα, ανάμεσα σε καταπλnκτικά μπουκέτα με

45

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

λουλούδια και κελαρυστές ππγές, ώσπου συνά­ ντπσαν έναν ψπλό και πυκνό φράΧτπ από κυ­ παρί σσια, που έδειχνε να επεκτείνεται ώς το

άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις, κι όπου το μόνο που φαινόταν πταν ένα στενό, κάθετο άνοιγμα, που εκτελούσε χρέπ εισόδου.

«ο λαβύρινθος» είπε ο Τσάρλι. «Πρέπει να τον διασΧίσουμε για να βγούμε από τπν άλλπ.» «Για να βγούμε από τπν άλλπ κάποιου πράγ­ ματος, πρέπει πάντα να το διασΧί σουμε» σχο­

λίασε

n Αλίκπ.

«Όχι πάντα» διaφώνπσε ο συγγραφέας. «Κάποιες φορές μπορείς να κάνεις το γύρο. Παραδείγματος Χάριν, για να πάω

arnv πίσω

πλευρά τπ δικn σου, πιο εύκολα κάνω το γύρο

σου παρά σε διασΧίζω. Αλλά το λαβύρινθο πρέπει να τον διασΧίσουμε.» «Και γιατί δεν μπορούμε να κάνουμε το γύ­ ρο;» ρώτnσε το κορίτσι.

«Γιατί, αν θες να καταλάβεις όσα θα συνα­ ντπσουμε από τπν άλλπ πλευρά, πρέπει πρώτα

να καταλάβεις όσα θα βρούμε εκεί μέσα. Δεν

46

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

αρκεί να φτάνεις σε οποιοδπποτε μέρος μόνο με Τ,? πόδια. Πρέπει να φτάνεις και με το κε­ φάλι.»

«Ε, λοιπόν, εγώ, ακριΒώς επειδπ θέλω το κεφάλι και τα πόδια μου να συνδέονται με κά­

ποιον τρόπο, δεν σκοπεύω να μπω εκεί μέσα» είπε αποφασιστικά το Μπδέν.

«Γιατί σε τρομάζει τόσο ο λαβύρινθος;» ρώ­ τπσε

n Αλίκπ. «Αν όπλο ... »

κρατάς το εκμπδενιστικό σου

«Κανένα όπλο δεν χρπσιμεύει όταν έχεις να

κάνεις με... » άρχισε να λέει το μπδέν τρέμοντας

δυνατά. Δεν μπόρεσε να τελειώσει τπ φράσπ

του επειδπ, στπ σκέψπ και μόνο, λιποθύμπσε από τπν τρομάρα του και σωριάστπκε ανάσκε­

λα στο χορτάρι. «Μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τπν ευκαι­

ρία για να ξεκουραστούμε λιγάκι» πρότεινε

n

Αλίκπ κι έκατσε στο χώμα l δίπλα στο αναίσθπ­ το τραπουλόχαρτο.

«Καλπ ιδέα» είπε ο Τσάρλι, κι έκατσε κι αυ­

τός κάτω.

47

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Άραγε, όταν ξαναΒρεί τις αισθπσεις του, θα μας εξπγπσει γιατί φοβάται τόσο πολύ τον λα­ βύρινθο;» σχολίασε το κορίτσι. «Μπν τον ξαναρωτπσεις καλύτερα, γιατί μπο­ ρεί να ξαναλιποθυμΠσει.» «Τι περίεργοι που είναι εδώ οι άνθρωποι, αν μπορεί να μιλπσει κανείς για ανθρώπους!» αναφώνπσε n Αλίκπ. «Και μιας και μιλάμε για

παραξενιές, γιατί n Βασίλισσα έχει τέτοια λύσ­

σα με τους κακόμοιρους τους πρώτους αριθ­ μούς;»

«Γιατί δεν ακολουθούν κανένα κανόνα, και

n Βασίλισσα είναι μια μανιακπ των νόμων και τπς τάξπς.» «Τι πάει να πει αυτό, ότι δεν ακολουθούν κα­ νένα κανόνα;»

«Τα πολλαπλάσια του 2 (που συμπίπτουν με

τους ζυγούς αριθμούς) πάνε ανά δύο, τα πολ­ λαπλάσια του 3 πάνε ανά τρία, κι αυτό γινεται

με όλους τους σύνθετους αριθμούς, δπλαδπ όσους έχουν διαιρέτες. Αλλά οι πρώτοι αριθ­

μοί δεν εμφανίζονται στπ λίστα των αριθμών

48

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

με κάποια τάξπ: άλλοτε βρίσκουμε δύο πολύ KOντ~ τον έναν στον άλλο, όπως το 11 και το

13 για παράδειγμα,

n το

71 και το 73, κι άλ­

λοτε δύο συνεχόμενοι πρώτοι αριθμοί απέχουν

πάρα πολύ (πράγματι, όπως το

εξιΊγπσε πιο

πριν π Βασίλισσα, μπορούμε να Βρούμε πρώ­ τους αριθμούς, όσο απομακρυσμένους μας κάνει κέφι). Άρα, δεν υπάρχει τρόπος να γνω­

ρίζουμε εκ των προτέρωv πότε εμφαvίζονται οι πρώτοι. Μ' άλλα λόγια, δεv υπάρχει κάποια συνταγιΊ που να μας επιτρέπει να ξετρυπώσου­

με όλους τους πρώτους αριθμούς, ενώ για τους υπόλοιπους αριθμούς υπάρχεΙ.» «ΔπλαδιΊ;»

«Για παράδειγμα, όλοι οι ζυγοί αριθμοί ακολουθούν τον τύπο 2ν, όπου ν είvαι ένας οποιοσδιΊποτε αριθμός. Εάν δώσουμε στο ν

όλες τις δυνατές τιμές (Ο, 1, 2, 3, 4, 5 ... ) θα

Βρούμε όλους τους ζυγούς αριθμούς (ο, 2,4,

6, 8, 1ο ... ).» «Και τους μοvούς;»

«Όλοι οι μονοί αριθμοί ακολουθούν τον τύ-

49

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

+ 1 . Αν ν = Ο, τότε 2ν + 1 = 1 . Αν ν = 1, τότε 2ν + 1 = 3. Αν ν = 2, τότε 2ν + 1 = 5. Και πο 2ν

πάει λέγοντας.»

«Κι αν δεν υπάρχει κανένας κανόνας για

τους πρώτους αριθμούς, πώς μπορούμε να κά­ νουμε τον κατάλογό τους;» ρώτπσε π Αλίκπ. «Αποκλείοντας όσους δεν είναι πρώτοι.»

«Με ποιον τρόπο;»

«Με τον ίδιο τρόπο που ξεχωρίζουμε τπν πρα από το στάρι, το αλεύρι από το πίτουρο τπν άμμο από το χαλίκι: με ένα κόσκινο.»

50

n

Τ ο κόσκινο του Ερaτοσθένn

ώς μπορεί κάποιος να κοσκινίσει

« Π αριθμούς;» θέλπσε να μάθει

n Αλίκπ.

«Με τον τρόπο που το πέτυχε ένας μεγάλος

έλλπνας σοφός, ο Ερατοσθένπς, τον τρίτο αιώ­

να προ Χριστού. Για να το δεις, θα εφαρμόσου­ με το κόσκινό του στους αριθμούς από το ένα ως το εκατό» είπε ο Τσάρλι ψαχουλεύοντας μέσα στις τσέπες του παμπάλαιου σακακιού του, ώσπου ανακάλυψε ένα χιλιοδαγκωμένο

μολύβι. Έσκυψε πάνω στο λιπόθυμο Μπδέν κι άρχισε να γράφει αριθμούς πάνω στπ λευκπ επιφάνειά του. Μέσα σε λίγα μόνο λεπτά, είχε συμπλπρώσει τον κατάλογο με τους πρώτους

εκατό αριθμούς. «Και τώρα;» ρώτπσε το κορίτσι

«Τ ώρα θα τους κοσκινίσουμε με σύστπμα.

51

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

Θα αρχίσουμε, δπλαδfι, από

Tnv

αρχΠ. Το

1 το

αφnνουμε στπν άκρπ επειδπ είναι παράξενος

αριθμός από μόνος του.» «Και πολύ μόνος» σχολίασε n Αλίκπ. «Αν

προσέξεις καλά, είναι ο μοναδικός αριθμός που είναι πάντα στον ενικό. Όλοι οι άλλοι εί­

ναι στον πλπθυντικό.»

«Έτσι ακριΒώς. Γι' αυτό δεν συμπεριλαμβά­ νεται στον κατάλογο των πρώτων οι οποίοι,

όπως γνωρίζεις, διαιρούνται μόνο με τον εαυ­ τό τους και με τπ μονάδα. Αλλά, στπν περίπτωσπ του

1, " ο

,

εαυτος του

"

και

"n

μονα'δ α

" ει,ναι

το ίδιο και το αυτό πράγμα, κι έτσι, κατά κάποιον

τρόπο, το 1 είναι λιγότερο κι από πρώτος.» «Καλά. Αφπνουμε το 1 .»

«Κι αφπνοντας το 1 φτάνουμε στο 2. Το 2

είναι, Βεβαίως, πρώτος αριθμός, αφού δεν έχει κανέναν άλλο δlαιρέτπ εκτός από τον εαυτό του και τπ μονάδα l κι έτσι το κλείνουμε μέσα

σ' έναν κύκλο. Είναι, φυσικά, ο μοναδικός πρώ­ τος αριθμός που είναι ζυγός. Όλοι οι άλλοι εί­ ναι μονοί, αφού όλοι οι ζυγοί διαιρούνται με

52

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

το δύο. Κι αυτό μας δείχνει πώς να ξεκινπσου­

με το ~oσKίνlσμά μας βγάζοντας έξω όλους τους ζυγούς πλην του 2. Γι' αυτό το λόγο θα αρΧίσουμε να τους διαγράφουμε δυο-δυο, από το

2

κι έπειτα.»

«Αυτό Βγάζει έξω τους μισούς αριθμούς» σχολίασε η Αλίκη.

«Έτσι είναι. Και τώρα να πάμε στον επόμε­

νο, το 3. Το βάζουμε κι αυτό σ' ένα κυκλάκι και διαγράφουμε από τον κατάλογο όλα του τα πολλαπλάσια, που πάνε ανά τρία.»

«Κατάλαβα. Στη συνέχεια θα κάνουμε το ίδιο με το

4.»

«Δε χρειάζεται» απάντησε ο Τσάρλι, «επειδπ το διαγράψαμε πδη μαζί με τα πολλαπλάσια του

2,

κι όλα τα πολλαπλάσια του

λαπλάσια του

4

είναι και πολ­

2. Ας πάμε στον επόμενο αριθ­

μό που δεν έχουμε σΒπσει και που είναι το πέ­ ντε

... »

« Το κλείνουμε κι αυτό μέσα σ' ένα κυκλά­ κι και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του

51 που πάνε ανά πέντε» συμπέρανε n Αλίκη.

53

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«ΑκριΒώς. Τα μισά από τα πολλαπλάσια του

5 τα έχουμε κιόλας διαγράψει: είναι όσα τε­ λειώνουν σε Ο και είναι και πολλαπλάσια του

2. Πάμε παρακάτω ... » «Το 6 είναι κιόλας σΒπσμένο, και μάλιστα δύο φορές.»

«Ασφαλώς, αφού είναι πολλαπλάσιο και του

2 και του 3. Πάμε λοιπόν στο 7. Το κυκλώνου­ με και διαγράφουμε όλα του τα πολλαπλάσια.»

«Που πάνε εφτά-εφτά.»

«Έτοιμο το κόσκινό μας. Όσοι αριθμοί δεν έχουν διαγραφεί είναι πρώτοι»

«Μα γιατί σταματάμε στο 7;» ρώτπσε n λλί­

κπ. «Δεν θα 'πρεπε να συνεχίσουμε με το 11 που είναι ο επόμενος αριθμός που δεν έχου­

με σΒπσει;» «Δε χρειάζεται» απάντπσε ο Τσάρλι. «Εφό­ σον 100 = 1Ο χ 1Ο, οποιοσδπποτε αριθμός μι­ κρότερος από 100 είναι διαιρετός με το 11,

θα διαιρείται και με άλλον αριθμό, μικρότερο του 10. Έτσι, τα πολλαπλάσια του

11

τα έχουμε

κιόλας διαγράψει: το 22, το 44, το 66 και το

54

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

88 τα διαγράψαμε ως πολλαπλάσια του 2. Το

99 τα διαγράψα­ με ως πολλαπλάσια του 3. Το 55, όταν διαγρά. φαμε τα πολλαπλάσια του 5. Και το 77, μαζί 33,

το

66

(νάτο ξανά) και το

με τα πολλαπλάσια του

7.

Ωραlα. Ας σπμειώ­

σου με μ' ένα κυκλάκι όσους αριθμούς γλίτω­ σαν απ' το κόσκινο ... Εδώ βλέπεις τους αρχι­ κούς είκοσι έναν "πρώτους" αριθμούς που εί­ ναι μικρότεροι από το

100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 και 97.»

55

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Έλεγες πως δεν υππρχε καμία τάξπ στπν εμ­ φάνισπ των πρώτων αριθμών, αλλά οι γραμ­ μές που διαγράφουν όσους δεν είναι πρώτοι είναι πολύ τακτοποlnμένες» σχολίασε

n Αλίκπ.

«Αυτό συμΒαίνει με τους σύνθετους αριθ­ μούς επειδπ αυτοί έχουν τάξπ: μπορούμε να

τους βάλουμε σε ομάδες, ανάλογα με το αν είναι πολλαπλάσια του

2, του 3 ... Μπορούμε να

πούμε πως αυτές οι γραμμές θυμίζουν τον πί­

νακα τπς προπαίδειας: στις κάθετες γραμμές βλέπεις πολλαπλάσια του 2, του 5 και του 10. Στις διαγώνιες βλέπεις πολλαπλάσια του 3 και του

9 ... »

«Mn μου μιλάς για τον πίνακα τπς προπαί­ δειας, τον μισώ. Οι προσθέσεις μου αρέσουν, αλλά οι πολλαπλασιασμοί είναι φριχτοί.»

«Δεν μπορεί να σου αρέσουν οι προσθέ­ σεις και να μισείς τους πολλαπλασιασμούς»

διαφώνπσε ο Τσάρλι.

«Γιατί δεν μπορεί; Εσύ θα μου πεις τι μπο­ ρεί να μου αρέσει και τι όχι;»

«Η σοκολάτα σου αρέσει;» ρώτπσε ο συγ-

56

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

γραφέας αλλάζοντας - κατά τα φαινόμενα­ θέμα. «Πολύ» απάντπσε

n Αλίκπ.

«Και τα σοκολατάκιa;»

«Ει φυσικά! Πώς να μπ μ' αρέσουν; Αφού κι αυτά είναι σοκολάτα.»

«Και οι πολλαπλασιασμοί είναι προσθέσεις. Δε γίνεται να σου αρέσει το ένα και να μπ σου αρέσει το άλλο.»

«Mn

με μπερδεύεις. Παραδέχομαι ότι δεν

έχω ιδέα από μαθπματικά (άχρπστα είναι άλ­

λωστε), αλλά μπορώ να ξεχωρίσω μια πρό­ σθεσπ από έναν πολλαπλασιασμό.» «Για να δούμε ... Τι πάει να πει

«Τ πν προπαίδεια του 3

χ

3

4;»

Tnv ξέρω: 3 χ 4

«Δε σε ρώτπσα πόσο κάνει

3

χ

4,

=

12.»

σε ρώτπ-

σα 11 πάει να πει» διευκρίνισε ο Τσάρλι.

«Τ Ι

,

παει να πει

" , 11 παει

να πει

" ;»

«Καλπ ερώτπσπ. Μπορεί και να μου έκανες

μόλις τπν πιο βασlκπ ερώτπσπ όλπς τπς φιλο­ σοφίας ΠΙ έστω, τπς επιστnμολογίας ... »

«Όσο πας και με μπερδεύεις.»

57

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Συγνώμπ, αλλά μερικές φορές ξεφεύγω χωρίς να το πάρω χαμπάρι. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι

3 χ 4 σπμαίνει τρεις φορές το

τέσσερα, μ' άλλα λόγια 4 + 4

+ 4:

ένας πολ­

λαπλασιασμός είναι μια πρόσθεσπ, και μάλι­

στα μια πρόσθεσπ πιο απλπ από τις άλλεςl κα­ θώς όλοι τπς οι "προσθετέοι" είναι ίδιοι.» «Δεν έτυχε ποτέ να το δω έτσι» παραδέχτπ­

κε

n Αλίκπ. «Γι' αυτό δε σου αρέσουν τα μαθπματικά.

Γιατί, ακριΒώς, ποτέ σου δε σκέφτπκες να τα δεις έτσι.»

«Και πώς είναι αυτό το έτσι;»

«Εσύ ξέρεις. Μόλις είπες ότι δεν σου είχε τύχει ποτέ να το δεις έτσι.»

«Μα τώρα μόλις το είπες κι εσύ.» «Εγώ μόλις τώρα το ει πα, όμως εσύ το εί­ χες πει πιο πριν.»

Η Αλίκπ άρχιζε να μπερδεύεται και δεν πξε­ ρε τι να απαντΠσει. Νευρίασε για τα καλά. Πά­

νω στπν ώρα συνπλθε και το Μπδέν, και Βλέ­ ποντας όλους αυτούς τους αριθμούς που του

58

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

είχαν γράψει στπν πίσω όψπ, λίγο έλειψε να

ξαναλιποθυμΠσει. «Πάει, χάθπκα!» φώναξε. «Γέμισε n κοιλιά μου αριθμούς. Δεν θα εί μαι πια το Μπδέν, κι

n Βασίλισσα θα με καθαιρέσει.» «Mn νοιάζεσαι, έχω κι εγώ το εκμπδενιστι­ κό μου όπλο» τον καθπσύχασε ο ΤσάρλΙ. Έψα­ ξε στις τσέπες του, έβγαλε μlO γόμα κι άρχι­

σε να σβπνει τους αριθμούς και Τις γραμμές από τπν επιφάνεια του τραποuλανθρώποu. Σε λίγο το Μπδέν σπκώθπκε, τίναξε νευρι­

κά τα τρίμματα τπς γόμας κι άρχισε να εξετά­ ζει ανπσuχο τπ λεuκιΊ του όψπ. «Κάπως καλύτερα» είπε ανακουφισμένο,

«ξανάγινα ο εαυτός μου, δπλαδπ, τίποτα. Και τώρα λέω να ππγαίνω, πριν γίνω ακόμα λιγό­ τερο.»

«Πώς μπορεί να γίνει κάποιος λιγότερο από τίποτα;» ρώτπσε

n Αλίκπ, ενώ το Μπδέν έφευ­

γε τρέχοντας, χωρίς ούτε καν να χαιρετΠσει.

«Πολύ εύκολο. Παραδείγματος χάριν, εσύ τώρα δεν έχεις κανένα μΠλο ...»

59

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Όχι, κι ούτε θα μπορούσα να έχω λιγότε­ ρα από κανένα.»

«Φυσικά και θα μπορούσες. Γιατί αν κάποιος σου έδινε μισπ δωδεκάδα μπλα, θα είχες έξι. PιJ..λά αν χρωστούσες δύο μπλα σ' εμένα, τό­

τε θα έπρεπε να μου τα επιστρέψεις, κι έτσι θα σου έμεναν μόνο τέσσερα. Έτσι, το να χρω­ στάς δύο μπλα είναι ακόμα λιγότερο απ' το να μπν έχεις κανένα. Είναι σαν να έχεις δύο αρ­

νπτικά μπλα, μ' άλλα λόγια

-2.

Γι' αυτό το λό­

γο υπάρχουν αριθμοί θετικοί και αρνπτικοί.»

«Κι n καθυστέρπσπ μου αρνπTlΚΠ είναι» είπε περνώντας δίπλα τους ένα περίεργο πλάσμα που είχε πλπσιάσεl χωρίς να το πάρουν είδn­

σπ. Ήταν ένας λευκός κούνελος: π μάλλον, ο Λευκός Κούνελος. Φορούσε ένα καρό σακάκι

κι ένα κομψό γιλέκο, από τπ δεξιά τσέπn του

οποίου έβγαλε ένα χρυσό ρολόι που κρεμόταν σε μια μακριά αλυσίδα. Στάθπκε μια σTlγμπ για να δει τπν ώρα, και εν συνεχεί α βάλθπκε να τρέ­ χει ως το λαβύρινθο.

60

Ο λαβύρινθος

« Π να ξέρει καλά καλά το λόγο. Bάλ~

ίσω του!» φώναξε π Αλίκπ, χωρίς

θπκε να τρέχει ως τπ στενπ, κάθετπ σχισμπ που οδπγούσε

στο λαβύρινθο,

όπου

είχε

τρυπώσει λίγο πριν ο Λευκός Κούνελος. Ο Τσάρλι χαμογέλασε αινιγματικά και τπν αKO~

λούθπσε. Μπαίνοντας μέσα, είχαν να διαλέξουν Kα~

τεύθυνσπ: προς τ' αριστερά

nπρος τα δεξιά. Ο

Λευκός Κούνελος δε φαινόταν πια. «Από πού να πάμε;» ρώτπσε το κορίτσι.

«Απ' όπου θέλεις» απάντπσε ο συγγραφέας, ανασπκώνοντας ελαφρά τους ώμους.

«Μα ... δεν έχουμε ιδέα για το ποια είναι

n

σωστπ κατεύθυνσπ.»

«Δεν ξέρουμε ποια είναι n καλύτερπ» είπε

61

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤ\

ακριβολογώντας ο Τ σάρλι, «αλλά και οι δύο κα­ λές είναΙ.»

«Δεν μπορεί να είναι καλές και οι δύο. Τ ο

πιο πιθανό είναι να υπάρχει μόνο μία που Βγά­ ζει στπν έξοδο.» «Τ Ο πιο πιθανό είναι να υπάρχει μόνο μία

που βγάζει συντομότερα aTnv έξοδο» διευκρί­ νισε - πάλι ακριβολόΥος- εκείνος. «Θα τα

καταφέρουμε, όμως, να βγούμε έξω όποιο

δρόμο κι αν διαλέξουμε αρχικά, φτάνει να κά­ νουμε το σωστο.»

«Και τι είναι σωστό να κάνουμε μέσα σ'

ένα λαβύρινθο;» «Πρώτ' απ' όλα, να περπατάμε, γιατί αν δεν

κάνουμε ούτε αυτό, τότε μάλλον θα δυσκολευ­ τούμε να φτάσουμε ώς rnv έξοδο. Διάλεξε τώ­

ρα τπν κατεύθυνσn που θέλεις να πάρεις.» «Προς τ' αριστερά.»

«Καλά. Τ ώρα άγγιξε μ' ένα χέρι έναν απ' τους τοίχους και ξεκίνα να περπατάς χωρίς να τον αφπσεις στιγμΠ.»

«Ποιον τοίχο ν' αγγίξω, και με ποιο χέρι;»

62

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤIΚΑ

«Όποιον τοίΧο θέλεις, με όποιο Χέρι θέλεις.

Μλά εγώ σε συμβουλεύω, αν διαλέξεις τον

αριστερό τοίΧΟ, να τον αγγίζεις με το αριστε­ ρό Χέρι, και το αντί στραφο. Είναι αρκετά άβο­ λο να περπατάς αγγίζοντας τον αριστερό τοί­ 'χα με το δεξί Χέρι.» Η Αλίκπ άγγιξε τον αριστερό τοίΧο με το αριστερό Χέρι κι άρχισε να περπατάει χωρίς να σπκώσει τπν άκρπ των δακτύλων τπς από τπν τραχιά του επιφάνεια.

«Και γιατί πρέπει να κάνω έτσι;» ρώτnσε.

«Γιατί οι δύο τοίχοι του λαβυρίνθου αποτε­ λούν μια συνεΧόμενn επιφάνεια» εξπγπσε ο Τ σάρλι, «κι αν δεν απομακρύνεις στιγμπ το χέ­

ρι σου από τον τοίΧΟ, τότε θα τον έχεις αγγί­

ξει απ' άκρπ σ' άκρπ και, άρα, θα φτάσεις κι ώς τπν έξοδο (αν και, όχι αναγκαστικά από τον συντομότερο δρόμο). Σε κάτι χρπσιμεύουν και

τα μαθπματικά, πού και πού.» «Τι σχέσπ έχουν τα μαθπματικά με τους λα­

βυρίνθους;» «Υ πάρχει ένας κλάδος των μαθπματικών

63

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠετl

που είναι ελάχιστα γνωστός και πολύ ενδιαφέ­

ρων. Ονομάζεται "τοπολογία" και εξετάζει τις

γενικές ιδιότπτες των σχπμάτων κάθε είδους χωρίς να ενδιαφέρεται για το μέγεθος n γιο το σχπμα αυτών των σχnμάτων, παρά μόνο για

τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται μεταξύ τους τα διαφορετικά τους τμΠματα.»

«Δώσε μου ένα παράδειγμα.» «Θέλεις να πεις κι άλλο ένα παράδειγμα, γιατί ένα πρώτο σου το έδωσα nδn:

Tn συνε­

χόμενn επιφάνεια των τοίχων ενός λαβυρίν­

θου, ανεξαρτπτως του μεγέθους και του σχπ­ ματός του.»

«Καλά, εντάξει, δώσε μου κι άλλο ένα πα­ ράδειγμα» ζnτnσε n AλiKn, κάπως ενΟΧλnμένn από τπ μανία του Τσάρλι να ορίζει και να υπο­

γραμμίζει τα πάντα. «Παραδείγματος Χάριν, κατά Tnv άποψn τnς τοπολογί ας, ένα τετράγωνο κι ένας κύκλος εί­ ναι ισότιμα, επειδπ είναι συνεΧόμενες επιφά­ νειες περιστοιχισμένες και οι δύο από κλει­

στές γραμμές.»

64

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Μιλάς σαν καθnγnτnς μαθnματικών» γκρί­ νιαξε το κορίτσΙ. «Να μου το πεις σαν να πσουν

κανονικός άνθρωπος.» «Ένας κανονικός άνθρωπος δε θα σ' το έλεγε καθόλου, γιατί, δυστυΧώς, οι κανονικοί

άνθρωποι δε σκαμπάζουν γρυ από μαθnματι­ κά.»

«Και ξέρεις γιατί;» είπε n Αλίκn. «Γιατί οι κα­

θnγnτές μαθπματικών είναι ανυπόφοροι και πολύξεροι και δεν εξnγούν τα πράγματα όπως θα 'πρεπε.» «Όσο γι' αυτό, πολύ φοβάμαι πως έχεις δί­ κιο» παραδέχτnκε ο Τσάρλι.

«Ένας καλός καθnγnτπς μαθnματικών οφεί­ λει να διαθέτει εξυπνάδα, αίσθnσn του χιού­ μορ, και να του αρέσει n διδασκαλία -

τρεις

ιδιότπτες οι οποίες, δυστυΧώς, σπανίζουν. Μό­ νο ένας στους δέκα ανθρώπους είναι έξυπνος, μόνο ένας στους δέκα είναι διασκεδαστικός και μόνο ένας στους δέκα είναι πραγματικά εμπνευσμένος δάσκαλος.»

«Μ' άλλα λόγια, μόνο ένας καθnγnτπς στους

65

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

τριάντα συγκεντρώνει και τις τρεις ιδιότπτες

μαζί» συμπέρανε n AλfKn. «Πολύ λιγότερο» απάντπσε ο Τ σάρλι. «Αν

πάρουμε μια ομάδα από χίλιους καθnγnτές, καθώς μόνο το ένα δέκατο των ανθρώπων εί­ ναι έξυπνοι, θα έχουμε, όλους κι όλους, εκα­

τό έξυπνους. Καθώς, τώρα, μόνο το ένα δέκα­ το των ανθρώπων διαθέτει Tnv αίσθnσn του χιούμορ, από αυτούς τους εκατό έξυπνους Ka-

θπγπτές μόνο οι δέκα θα είναι και έξυπνοι και διασκεδαστικοί. Κι αφού μόνο το ένα δέκατο αγαπά να διδάσκει, από αυτούς τους δέκα

έξυπνους και διασκεδαστικούς καθπγπτές, ένας

μόνο θα είναι, μαζί μ' όλα τα υπόλοιπα, και κα­ λός παιδαγωγός. Μ' άλλα λόγια, μόνο ένας

καθnγnτnς στους χίλιους είναι ταυτοχρόνως

έξυπνος, διασκεδαστικός και ικανός στπν τέ­

xvn τπς διδασκαλίας.» «Και κόβω το λαιμό μου πως εσύ είσαι αυ­ τός ο ένας στους χίλους» είπε n AλfKn με μια

ιδέα ειρωνείας.

«Να μnν έχεις καμία αμφιβολία.»

66

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Ε, τότε, εξnγnσέ μου αυτό για τπν τοπολο­

γία με τρόπο έξυπνο, διασκεδαστικό και παιδα­ γωγικό.»

«Θα προσπαθΠσω. Φαντάσου ότι πλάθεις μια τσίχλα που τπν έχεις προπγουμένως μασή­

σει, μέχρι να φτιάξεις με αυτπν έναν κύκλο, σαν ένα κέρμα. Οποιαδπποτε επιφάνεια κι αν

σχπματίσεις αλλάζοντας σχπμα στπν τσίχλα σου

- με τον όρο ότι δεν τπν τρυπάς κι ότι δεν

κολλάς τπ μια μεριά πάνω στπν άλλπ- θα εί­ ναι τοπολογικά lσοδύναμπ: ένα τετράγωνο, ένα τρίγωνο, μια έλλειψπ ... »

«Και τι πάει να πει αυτό το "τοπολογικά ισο,

" ;»

δ υναμπ"

«Ότι οι διαφορετικές επιφάνειες έχουν πολ­ λές κοινές lδιότπτες κα., πάνω απ' όλα, ιδιότπ­ τες που έχουν σχέσπ με τπ συνέχεια. Για πα­

ράδειγμα, φαντάσου ότι αυτά τα σχπματα που σου είπα, είναι πατώματα. Θα μπορούσες να

περπατnσεις πάνω τους χωρίς φόΒο να πέσεις μέσα σε καμιά τρύπα, επειδπ είναι συνεΧόμε­

νες επιφάνειες. Αλλά σ' ένα πάτωμα σαν κι αυ-

67

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

τό εδώ» -

συνέχισε ο Τσάρλι κι έσκυψε για να

σχεδιάσει ένα σχπμα στο αμμώδες πάτωμα

του λαΒυρίνθου- , «θα πρέπει να προσέχεις πε­ ρισσότερο. Αυτπ n επιφάνεια δεν είναι τοπολο­

γικά ισοδύναμn με τις προnγούμενες.»

Η Αλίκπ στράφnκε να δει το σχέδιο χωρίς να σπκώσει το χέρι τnς από τον τοίχο.

«Ωραία, n κατάστασn αρχίζει κάπως να φτιά­

χνει» είπε. «Ελπίζω το πάτωμα του λαβυρίνθου να είναι συνεχόμενn επιφάνεια και να μπν πέ­

σουμε μέσα σε καμιά τρύπα ...»

68

τ ο τέρας του λαβυρίνθου

Γ

ια κάμποσπ ώρα έφερναν βόλτες κι άλλες βόλτες μέσα στον στριφογυριστό λαβύ­

ρινθο, κι n Αλί κπ δεν σπκωσε σTlγμπ το χέρι της από τα σφlχτοπλεγμένα φυτά του τοίχου.

Έξαφνα, ένας τρομακτικός μουγκρπτοβρυ­ ιΧπθμός έκανε το κορίτσι να κοκκαλώσεl. «Τ ι πταν αυτό;» ρώτπσε πανlκόβλπτπ. «ο τρομακτικός μουγκρπτοβρυχπ8μός τού τέρατος του λαβυρίνθου υποθέτω» απάντπσε ο

Τσάρλι χαλαρός, σαν να μπν έτρεχε τΙποτα. «Γι' αυτό δεν πθελε να μπει μέσα το Μπδέν;» «Μπορεί. Αλλά πάμε εμπρός να δούμε.»

«Δε θα πταν πιο φρόνιμο να γυρίσουμε πί­ σω;»

«Όταν είσαι μέσα σ' ένα λαβύρινθο, οι έν-

69

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

νοιες

" εμπρος ,,,

και

"πισω , "δ' εν ειναι

πο λ'ξ υ ε-

κάθαρες. Το τέρας μπορεί να ξεπεταχτεί από οπουδπποτε, άρα, το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι να συνεχίσουμε το δρόμο μας.»

«Πώς είν91 αυτό το τέρας;» ρώτπσε φοΒι­ σμένπ n Αλίκπ, ενώ ξανάρχιζαν το περπάτπμα.

«Έχεις ακούσει ποτέ να μιλάνε για το λαΒύ­ ρινθο που υππρχε στπν Κρπτπ;» «Πώς αμέ. Μέσα ζούσε ένας άντρας με κε­ φάλι ταύρου που τον έλεγαν Μινώταυρο.»

«Έ, λοιπόν, ππρε τ' αφτί μου πως το τέρας

αυτού εδώ του λαΒυρίνθου είναι συγγενπς του άλλου, αν κι εγώ δεν έχω καταφέρει ακόμα να

το δω. Ελπίζω σπμερα να σταθώ πιο τυχερός.» «Τ ύχπ το λες εσύ αυτό; Να Βρεθεί ς μπρο­

στά σ' ένα τέρας; Φαντάσου, δπλαδπ, τι θα 'ναι για σένα n κακοτυχία!» ξεφύσnξε n Αλίκn. «Κακοτυχία είναι ένα κορίτσι που λέει πως

τα μαθπματικά δε χρπσιμεύουν σε τίποτα» εί­ πε ο Τσάρλι.

Η Αλίκπ ετοιμαζόταν να απαντπσεl κάτι, αλ­ λά έμεινε με το στόμα ανοιχτό καθώς, στρίΒο-

70

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

~ας σε μια απ' τις αναρίθμπτες γωνίες του λα­ βυρίνθου, βρέθπκαν μέσα σ' έναν περιφραγ­

μένο, τετράγωνο Χώρο. Ένα ταβάνι τού έλειπε

,μόνο, για να θυμίζει το σαλόνι κάποιου σπιτιού. Τα έπιπλα nTav όλα ξύλινα, και unnpxav και με­

ρικά ράφια σκαλισμένα απ' ευθείας πάνω στον πυκνό φράΧτπ που σχπμάτιζε τους τοίχους του λαβυρίνθου. Καταμεσnς αυτού του ευρύχωρου δωματίου,

μια γεροδεμένπ και κάπως γεματούλα κυρία, φασκιωμένπ με μια φόρμα γυμναστικής, έκα­

νε ρυθμικές επικύψεις. Η γυναίκα είχε κεφάλι αγελάδας. «Η αδερφπ του Μινώταυρου είναι;» ρώτπσε

n Αλίκπ με γουρλωμένα μάτια. «Ή του Άλβαρ Νούνιες, του Ισπανού κατα­ κτπτπ με το επώνυμο Αγελαδοκέφαλος» σχο­

λίασε ο Τσάρλι. Μόλις τους πnρε είδπσπ, n Μινωγελάδα διέ­

κοψε τις γυμνασTlκές τπς ασκnσεις, έβαλε τα

χέρια στη μέση και τους κοίταξε. «Για πού νομίζετε ότι το βάαααλατε;» ρώτη-

71

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

σε με Βαριά φωνπ και σέρνοντας υπερβολικά τα «α» του «Βάλατε», κάτι που χτύππσε άσχπμα στο αφτί τπς Αλίκπς. «Και τι σε κόφτει εσένα;» απάντπσε το κορί­

τσι, αφού πρώτα κρύφτπκε καλά καλά πίσω από τον Τσάρλι. «Τι πάει να πει τι με κόφτει εμμμένα, αναι­

δέστατο κοριτσάκι; Έχετε μπει μέσα στο λαΒύ­ ρινθό μουουου!» «Τ ότε, μπορεί να σε ενδιαφέρει το πού πά­

με, αλλά το πού νομίζουμε πως πάμε είναι δl­

κιΊ μας υπόθεσπ» απάντπσε n Αλί Kn. «Μμμμ» μούγκρισε απειλπτικπ

n Μινωγελά­

δα. «Δε μου αρέσουν οι χαζομμμαρίες.»

«Δεν είναι χαζομαρία» επενέΒπ συμφιλιω­ τικά ο Τσάρλι. «Ασχετομαρία είναι. Ούτε τπν

προπαίδεια δεν ξέρει.»

«Αλπθεια λέει;» εξεπλάγπ n Μινωαγελάδα. «Ιδέα δεν έχω από μαθπματικά, κι ούτε που

τα χρειάζομαι» είπε κρυμμένπ πίσω

n Αλίκπ προκλnτικn, αν και από Tnv πλάτn του Τσάρλι.

«Καλά, σπμερα εί μμμαι στις καλές μουουου.

72

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θα σου βάλω ένα διαγώνισμα άγνοιας, κι αν

το περάσεις θα σε αφnσω να συνεχίσεις.» «Δεν μπορεί κανείς να περάσει διαγώνισμα στπν άγνοια» ανταπάντπσε το κορίτσΙ.

«Εγώ μπορώ να κάνω όιTl μμμ' αρέσει!» «Θέλω να πω ότι δεν έχει νόπμα να ζπτπ­

σεις από κάποιον μια aπόδειξπ άγνοιας» εξπγπσε n Αλίκπ. «Να αγνοείς πράγματα, είναι

. υπερβολικά εύκολο.» «Να αγνοείς πράγματα είναι αρκετά εύκο­ λο» συμφώνπσε n Μινωγελάδα ι «αν και όχι πά­

ντα. Αλλά αυτό που δεν είναι και τόσο εύκολο,

είναι να ξέρεις τι αγνοείς και τι δεν αγνοείς. Τ ο γεγονός είναι πως

n επίγνωσπ

τπς άγνοιάς

σου είναι το αλπθινό κλειδί τπς γνώσπς.» «Ει λοιπόν, εγώ ξέρω πολύ καλά τι δεν ξέ­ ρω» διαβεβαίωσε n Αλίκπ με αυτοπεποίθπσπ. «Για να το δούμμμε. Ο φίλος σου λέει πως

δεν ξέρεις τπν προπαίδεια.»

«Όλπ, όχι. Ούτε και σκοπεύω να τπ μάθω. Πρώτα σου λένε ότι τα μαθπματικά θέλουν λο­ γlκπ και όχι παπαγαλία, και μετά σου ζπτάνε να

73

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

μάθεις απ' έξω ένα κάρο πολλαπλασιασμούς.» «Μόνο λίγους. Μετά, αυτοί οι λίγοι σου φτά­ νουν για να κάνεις εύκολα όλους τους πολλα­ πλασιασμούουους του κόσμουουου χάρπ στο

καταπλnκτικό θεσιακό μας σύστnμα.» «Ναι. .. Τ ουλάχιστον ι δεν εί μαστε υποχρεω­ μένοι να χρnσιμοποιούμε αυτούς τους μπερδε­

μένους λατινικούς αριθμούς» σχολίασε n Αλί­

Kn και θυμnθnκε rnv πρώτn τnς συζnτnσn με τον t

Τσάρλι. «Είναι μπερδεμένοι και ελάχιστα πρακτικοί»

συμφώνnσε n Μινωγελάδα ι «αλλά ι ακριΒώς για να αρχίσουμεεεε να μαθαίνουμε τους πολ­ λαπλασιασμούουους, μπορεί να μας φανούν χρΠσιμοl.»

Τ n στιγμπ εκείνn έφτασε ο Λευκός Κούνελος

όλο νεύρα, ως συνΠθως.

«Τι τρομερπ καθυστέρnσn!» αναφώνnσε κοι­

τάζοντας το ρολόι του που κρεμόταν από rnv αλυσίδα, και προσπάθnσε να εξαφανιστεί δια­ κριτικά. Όμως, n αυταρχικπ φωνπ τnς Μινωγε­ λάδας τον σταμάτnσε απότομα.

74

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Έλα εδώ εσύ!»

Ο Λευκός Κούνελος πλπσί ασε με κατεβα­ σμένα τα αφτιά.

«Συμπάθα με, αλλά Βιάζομαι πολύ καl. .. » ππγε να πει.

«Κι αυτό το κοριτσάκι Βιάζεται πολύ να μμμμμάθει» τον έκοψε ξερά π Μινωγελάδα. «Δώσε μου το ρολόι σου». Υ πάκουα, ο Λευκός Κούνελος τπς έδωσε το

ρολόι του. Η Μινωγελάδα το έδειξε στπν Αλί κπ. «Εδώ έχουμε είκοσι" ένα" που θα μας χρπ­ σιμεύσουν για να κατασκευάσουμε τον πίνακα τπς προπαίδειας από το ένα έως το τέσσερα.»

75

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Γιατί το τέσσερα είναι τέσσερα ξυλάκια και δεν είναι ένα ξυλάκι πριν από το Υ;» ρώτπσε

n

Αλίκπ.

«Γιατί το ξυλάκι και το Υ, δπλαδπ το

ναι

IV,

εί­

n πρώτπ συλλαΒπ του IYPITER που διαβά­ I

ζεται στα λατινικά Τζούπιτερ, δπλαδπ, ο θεός Δίας των Ρωμαίων. Όπως ξέρεις

-

n θα

έπρεπε να ξέρεlς- Ι ο Τζούπιτερ πταν ο πιο σπουδαίος θεός για τους αρχαίους Ρωμμμμαί­ ους, και θεωρούσαν ασέΒεια να χρπσιμοποιπ­ σουν τα αρχικά του γράμματα για να γράφουν

τον αριθμό τέσσερα, που δεν είναι καθόλου σπουδαίος αριθμμμμός. Έτσι, το έγραφαν με τέσσερις γραμμούλες, τέσσερα ένα. Μόνο στο

Μεσαίωνα το τέσσερα άρχισε να γράφεται/Υ,

όμως, στα ρολόγια ακολουθεί τπν αρχαία ρω μ­

μμμαϊκιΊ συνΠθεια. Υποτίθεται, όμως, ότι έχου­ με μμμμμμάθπμα μμμμαθπματικών και όΧΙ ιστορίας. Ακολουθπστε με.» Η Μινωγελάδα ππγε σ' ένα χαμπλό τραπε­

ζάκι (που στπν πραγματικότπτα ιΊταν ένας θά­ μνος, ένα πυξάρι που

n επάνω του πλευρά σχπ-

76

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

μάτιζε μια λεία και οριζόντια επιφάνεια). Επά­ νω, υππρχε ένας τετράγωνος λευκός πίνακας.

Τίναξε το ρολόι πάνω από τον πίνακα, και τα είκοσι "ένα" έπεσαν επάνω του σχπματίζοντας

έναν άμορφο σωρό. Ύστερα έΒαλε στο στό­ μα τπς μια σφυρίχτρα που κρεμόταν στο λαι­

μό τπς. (Η Αλίκπ είχε δει γελάδες με κουδού­ νια, όμως, ποτέ δεν είχε δει γελάδες με σφυ­

ρίχτρες). Σφύριξε τρεις φορές, και τα "ένα" μππκαν στπ σειρά πάνω στο λευκό πίνακα, σχπ­

ματίζοντας τέσσερις πεντάδες. Ι Ι Ι Ι Ι

Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι

Ι Ι Ι Ι Ι «Πώς το έκανες αυτό;» ρώτπσε n Αλίκπ ξαφ­ νιασμένπ.

«Αφού είμαι n Βασίλισσα των πινάκων, n πι­ νακοκράτειρα, όλα τα πινακοποιώ και τα πινα­

κίζω» είπε με καμάρι n Μινωγελάδα. «Και τώ-

77

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ρα, για πες μμμμουου, τι Βλέπεις στον πίνακα;» «Είκοσι ξυλάκια» αποκρίθπκε το κορίτσι «Ή είκοσι ρωμαϊκά ένα, αν προτιμάς». «Και πώς είναι παραταγμμμμμένα;» «Σε τέσσερις σειρές των πέντε, σε τέσσερις πεντάδες» . «Και γιατί όχι σε πέντε στπλες των τεσσέ­

ρων, σε πέντε τετρά~ες;» «Τ ο ίδιο δεν κάνει;» «Σωστά. Τέσσερις φορές το πέντε είναι το

ίδιο μμμμμμε πέντε φορές το τέσσερα. Μόλις

ανακάλυψες τπν αντιμεταθεTlΚιΊ lδιότπτα του πολλαπλασιασμούουου, δnλαδn, αυτό το πολύ

ωραίο ποιnματάκι που λέει ότι «π σεφά των πα­

ραγόντων δεν εππρεάζει το γινόμενο.» Μετά τπ φράσπ αυτπ ι

n Μινωγελάδα

σφύ­

ριξε κάμποσες φορές ρυθμικά και κοφτά, και τα ξυλάκια ανασυντάχτπκαν πάνω στον πίνα­ κα φτιάχνοντας μία γραμμπ και μία στπλπ με

τους ρωμαϊκούς αριθμούς από το Ι μέχρι το

1111.

78

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η Ι 11 111 1111 «Γιατί OTnBnKav έτσι;» ρώτnσε n Αλίκn.

«Τ α πρόσταξα να παραταχθούν για να πινα­ κοποlιΊσω τον πίνακα τπς προπαίδειας από το

1 ώς το 4» αποκρίθnκε n Μινωγελάδα, και από μια κρυφιΊ τρύπα του θάμνου-τραπέζι έβγαλε δύο αλατιέρες, μία μεγάλn και μία μικρΠ. «Θα τα φας;»

«Όχι, τρώω μονάχα αναιδέστατα κοριτσάκια.

Εσύ πρέπει να τα καταβροχθίσεις, με το μμμυα­ λό σου, εννοώ. Σ' αυτές τις αλατιέρες έχει τριμ­

μένο μανιτάρι. Το ξέρεις το μανιτάρι τnς Τ σου­ κνίδας, που μια σε κάνει να μεγαλώνεις και μια να μικραίνεις;»

«ITn μεγάλn αλατιέρα είναι n σκόνn που σε κάνει να μεγαλώνεις και OTn μικριΊ αυτιΊ που σε

κάνει να μικραίνεις;»

79

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΠΙ

«Αντιστρόφως, φυσικά.» «Γ ιατί φυσικά;» «Γιατί το πιο φυσικό είναι να μμμεγαλώνει

το μικρό και να μμμμικραίνει το μεγάλο» απο­

κρίθπκε n Μινωγελάδα, ενώ πασπάλιζε τα ένα με τπ μικρότερπ αλατιέρα. Σε λίγα δευτερόλε­

πτο, τα ξυλάκια μεγάλωσαν ώσπου έγιναν πε­ ρίπου είκοσι φορές μεγαλύτερα από το αρχι­

κό τους μέγεθος. ~

~

•

• ---

• •

---• Ι

Ιιιι

Ιιιι

«Σχπματίζουν κάτι σαν σχάρα» σχολίασε n Αλίκπ.

«Λοιπόν, αυτπ n σΧάρα είναι n προπαίδεια

από το 1 ώς το 4. Οι ενώσεις δύο αριθμών δείχνουν το γινόμενό τους.»

80

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«ΑλΠθεια. Το δύο και το τρία συναντιούνται σε έξι σημεία. Το τρία και το τέσσερα σε δώ­ δεκα ... »

Η Μινωγελάδα ηασπάλισε τα ξυλάκια με τη σκόνη της μεγάλης αλατιέρας, και αμέσως μί­

κρυναν, ώσπου πρθαν πάλι στο αρχικό τους

μέγεθος. Ύστερα, έΒαλε το ρολόι του Λευκού

Κούνελου πάνω στον πίνακα, σφύριξε δυναμι­ κά μια-δυο φορές, και όλα τα ένα επέστρεψαν

με τάξη στη θέση τους, πάνω στη σΤΡΟΥγυλπ πλάκα.

«Μπορώ να φύγω τώρα; Βιάζομαι πάρα πο­ λύ!» αναστέναξε ο Λευκός Κούνελος.

«Από εμμμμένα είσαι ελεύθερος» αποκρίθπ­ κε η Μινωγελάδα και του έδωσε το ρολόι. «Ό­

μωςι έτσι αφηρπμένος που είσαι ι δεν ξέρω αν

θα τα καταφέρεις να Βγεις από το λαβύρινθο.» Ο Κούνελος δεν περ ί μενε να του το πει δεύ­ τερη φορά. Έφυγε τρέχοντας σαν άσπρος

σίφουνας και εξαφανί στηκε από ένα κρυφό

άνοιγμα στο φυτικό τοίχωμα. «Λοιπόνι ψόφια μμμμυγούλα» είπε η Μινω-

81

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

γελάδα καρφώνοντας με το Βλέμμα τπς τπν

Αλίκπ. «Για να δούμμμμε τώρα τι στ' αλπθεια δεν ξέρεις. Ποια προπαίδεια δεν έχεις μάθει;» «Για παράδειγμα, δεν ξέρω rnv προπαίδεια του εφτά» είπε το κοριτσάκι. «Και να μπ με λες

ψόφια μμμυγούλα, είμαι θπλαστικό όπως κι εσύ.»

«Τότε θα σε λέω "μuγαλπ", που είναι το πιο μικρό κι ασπμαντο θπλαστικό που υπάρχει. Εμπρός, εφτά φορές το δύο.»

«Καλά, αυτό το ξέρει όλος ο κόσμος, δεκα­ τέσσερα.»

«Κι εφτά φορές το τρία;» «Είναι ΊΟ ίδιο με τρεις φορές το εφτά, είκο­ σι ένα.»

«Και εφτά επί τέσσερα;» «Είναι το διπλάσιο του εφτά επί δύο: είκοσι οχτω.»

«Βλέπεις ότι στπν πραγματικότπτα δεν ξέ­ ρεις τι αγνοείς; Αφού τπν ξέρεις τπν προπαί­ δεια του εφτά.»

«Όχι όλn» απάντπσε n Αλίκπ. «Για πaράδειγ-

82

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

μα, δεν ξέρω πόσο κάνει εφτά φορές το εν­ νιά.»

«Αν nξερες Tnv προπαίδεια του εννιά θα το ήξερες.»

«ΒέΒαια, αφού εφτά φορές το εννιά είναι το

ίδιο με εννιά φορές το εφτά. Όμως, δεν ξέ­ ρω ούτε

Tnv προπαίδεια του εννιά.»

«Κι όμμμμμως, τπν ξέρεις. Παρακολούθπσε

... » Η Μινωγελάδα έβγαλε από άλλn τρύπα του

θάμνου-τραπέζι ένα κουτάκι γεμάτο με αριθ­ μούς και παύλες. Τ ο άδειασε nάνω στο λευκό

πίνακα και σφύριξε με Tn σφuριχτρα τnς. Οι

παύλες σχnμάτισαν χ n στάθnκαν n μία πάνω από τπν άλλπ για να φτιάξουν το σπμάδι τnς ισότnτας. Οι αριθμοί nnpav τις θέσεις τους υπάκουα.

9χ2=18

9 9 9

3 χ 4 χ 5 χ

= = =

83

27 36 45

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

9 9 9

χ χ χ

6 7 8

= = =

54 63 72

9χ9=81

«Λείπει το εννιά φορές το ένα και το εννιά φο­

ρές το δέκα» παρατπρπσε

n Αλίκπ.

«Δεν λείπουν, περισσεύουν» αποκρίθπκε n Μινωγελάδα. «Δεν χρειάζονται γιατί είναι

απλούστατα. Όποιον αριθμό πολλαπλασιάσεις με το ένα μένει ίδιος, και με το δέκα αρκεί να

βάλεις ένα μπδενικό. Λοιπόν, παρατπρπσε προ­ σεκτικά τον πίνακα.»

«Τ ον Βλέπω, μα θα τον ξεχάσω μόλις πά­

ψω να τον Βλέπω» είπε με ΒεΒαιότπτα το κο­ ρίτσι.

«Εγώ δεν σου είπα να τον δεις, σου είπα να

τον παρατπρπσεις καλά, για να χωθεί γερά μέ­ σα στπν κεφάλα σου.» «Και πώς πρέπει να παρατπρπσω;»

«Παρατπρώ κάτι σπμαίνεl να το κοιτάξω συ­ στπματικά, με κάποια τάξπ. Έτσι, ας αρχί σουμ-

84

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

μμε από τπν αρχπ: 9 χ 2

= 18. Ο πρώτος

αριθμός του γινομένου είναι 2 - 1 = 1 και ο δεύτερος είναι ό,τι λείπει από αυτό το ένα ώς το εννιά, δnλαδn, 9 - 1 = 8. Ας πάμμμμμε στο

δεύτερο γινόμενο: 9 χ 3 = 27. Ο πρώτος αριθ­ μός είναι 3 - 1 = 2 και ο δεύτερος είναι ό,τι λείπει από αυτό το δύο για να φτάσεις στο εν­

"ιά, δnλαδn, 9 - 2

= 7 ... »

«Το βρπκα, το βρπκα» πετάχτnκε n AλIKn. «Έτσι γίνεται με όλα!» «Τότε, πόσο κάνει εννιά επί εφτά;» ρώτnσε

n Μινωγελάδα, σκεπάζοντας με το χέρι τπς τον πίνακα για να μnν τον βλέπει n Αλίκn.

«ο πρώτος αριθμός είναι 7 - 1, δnλαδn 6, Και ο δεύτερος αυτό που λείπει από το

6 για να

φτάσεις στο 9, δnλαδn 3. Άρα 9 χ 7 = 63.»

«Βλέπεις; Ήξερες και τπν προπαίδεια του εν­ νιά, μα δεν πξερες ότι rnv Πξερες. ITnv πραγ­ ματικότπτα, ξέρεις όλn τπν προπαίδεια.» «Όχι όλn.»

«Ναι, όλn» αποκρίθπκε n Μινωγελάδα. Φύ­

οπξε δυνατά πάνω στον πίνακα. Τα γράμματα.

85

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

και οι αριθμοί έφυγαν πετώντας σαν μικρά μαύ­ ρα έντομα. Ύστερα γύρισε ανάποδα τον πίνα­ κα. Στπν πίσω όψπ υππρχε ένας πίνακας με

στΓΊλες και γραμμές,

8 χ 8.

«Μοιάζει με σκακιέρα, όμως όλα τα τετρα­ γωνάκια είναι λευκά» σχολίασε

n Αλίκπ.

«Είναι πίνακας, και μάλιστα πίνακας προπαί­

δειας» είπε n Μινωγελάδα. ΈΒγαλε άλλο κου­ τάκι γεμάτο με νούμερα, μεγαλύτερο από το προπγούμενο, και το άδειασε. Με μερικά σφυ­

ρίγματα, έστπσε τους αριθμούς στπ θέσπ τους.

4

18 16 14 12 10 8

3

6

2

4

27 24 21 18 15 12 9 6

2

345

9

8

7 6 5

36 32 28 24 20 16 12 8

45 40 35 30 25 20 15 10

86

54 48 42 36 30 24 18 12

63 56 49 42 35 28 21 14

72 64 56 48 40 32 24 16

678

81 72 63 54 45 36 27 18 9

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤ1ΚΑ

«Λεί πει π προπαί δει α του ένα και του δέκα ... » πιΊγε να πει π λλί ΚΠ.

«Άντε πάλι τα ίδιο. .. Αφού σου είπα ότι δεν περισσεύουν. Τις απαλείφω γιατί είναι απλού­ στατες, κοινότοπες. Κι αν συνεχίσεις να λες

κοινοτοπίες θα σε απαλείψω κι εσένα» τπν απείλπσε

n Μινωγελάδα.

«Ήθελα να πω ότι, παρόλο που λείπει n προ­ παίδεια του ένα και του δέκα, πάλι έχεις να μά­

θεις απ' έξω ένα σωρό γινόμενα» γκρίνιαξε το κορίτσι.

«Μμμμμμισό σωρό γινόμμμενα, μμμμμο­ νάχο. Παρατπρπσε τπ διαγώνιο από τπν κάτω

αριστερπ γωνία προς τπν επάνω δεξιά: τα γι­ νόμενα που Βρίσκονται επάνω από τπ διαγώ­ νιο είναι τα ίδια με τα από κάτω.»

«Σωστά» παραδέχτπκε π λλίκπ. «Όμως, και

ο μισός σωρός, είναι πολύ για να μάθεις.» «Τίποτα δεν είναι. Η προπαίδεια του δύο εί­

ναι, απλώς, n σειρά των ζυγών αριθμών: 2,4,

6, 8 ... έτσι τπν αφαιρούμε, αφού είναι απλού­ στατπ. Η προπαίδεια του τρίο. .. »

87

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Καλά, αυτπν τπν ξέρω.» «Οπότε, μπορούμε κι αυτπν να τπν αφαιρέ­

σοuμμμμε. Του τέσσερα είναι τα διπλάσια του

δύο. Αν ξέρεις ότι 2 χ 3

= 12.

= 6,

ξέρεις ότι 4 χ

3

Τ πν προπαίδεια του πέντε, αδύνατον να

μπν τπν ξέρεις. Αρκεί να πολλαπλασιάσεις με το δέκα το μισό του κάθε αριθμού. Το μισό του

6 είναι 3, άρα 5 χ 6 3,5

άρα

5

χ

30, το μισό του 7 είναι

=

7 = 35 ... »

«Ναι, αλπθεια, τώρα το κατάλαΒα. .. » «Λοιπόν, σπκω επάνω για να συνεΧίσουμε.

Η προπαίδεια του έξι είναι τα διπλάσια του τρία, αφού

3 Χ 4 = 12, 6 Χ 4 = 24 και τα λοιπά. Του

οχτώ ... »

«Ε, ππδπξες του εφτά.» «Δεν τπν ππδπξα, εξυπνομμμμαρία, τπν άφπσα για το τέλος. Του οχτώ είναι σια του τέσσερα, που είναι Αφού

4 χ 3= 12, 8 χ 3

=

n διπλά­

n διπλπ του δύο.

24. Και του εννιά, τώ­

ρα τπν ξέρεις.» «Λεί πει μόνο του εφτά.»

«Νομίζεις ότι λείπει» αποκρίθπκε n Μινωγε-

88

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

λάδα. «Μμμμμα αφού ξέρεις όλες τις άλλες, ξέρεις ότι

5

χ

7

= 63.

χ

7

= 35, 6

χ

2

14,3 χ 7 = 21,4 χ 7 = 28, 7 = 42, 8 χ 7 = 56, και 9 χ 7 =

Μένει μμμμμμόνο το

«Καλά, αυτό το ξέρω:

7 χ 7 ... »

7 χ 7 = 49.»

«Βλέπεις, λοιπόν, ότι ξέρεις όλπ τπν προπαί­ δεια; Συνεπώς, δεν πέρασες το διαγώνισμα τπς

άγνοιας. Θα έπρεπε να σε καταβροχθί σω.»

«Δεν μπορείς να με καταΒΡΟΧθίσεις, οι αγελάδες είναι χορτοφάγα ζώα» αποκρίθπκε

n Αλί κπ που, για καλό και για κακό, ξανακρύ­ φτπκε πίσω από τον ΤσάρλΙ.

«Καλά, όμμμμμως θα φάω μμμμμόνο τα κίτρινα μμμμαλλιά σου, που είναι σαν άχυρα.»

«Δεν είναι σαν άχυρα!» διαμαρτυρπθπκε το

κορίτσι. «Είναι όμορφα χρυσόξανθα μαλλιά!» «Ίσως σε αφπσω να φύγεις αν μμμμμε κο­ λακέψεις ικανοποιπτικά, και είσαι πειστικΠ.»

«Εί σαι n καλύτερπ δασκάλα μαθπματικών που γνώρισα» είπε n Αλίκπ με πεποίθπσπ. Η Μινωγελάδα χαμογέλασε ικανοποlnμένn

και κοκκίνισε από τπ χαρά τπς. Ήταν φανερό

89

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ότι π κολακεία τιΊς άρεσε. Το κορίτσι είπε με

σιγανιΊ φωνιΊ στον Τσάρλι:

«Έτσι γελαστιΊ και κόκκινπ, μοιάζει με τπν Αγελάδα που Γελάει, στα τυράκια.»

«Ε, τότε, είναι n Μινωγελάδα που Χαμογε­ λάει» είπε ο συγγραφέας, που δεν έχανε ευ­

καιρία να ψάξει για τπν ακριΒέστερπ διατύπω­ σπ.

90

Η έρnμος του σταριού

Ε

νώ συνέχιζαν το δρόμο τους στον μπερ­ δεμένο λαβύρινθο, n Αλίκn ρώτnσε τον

Τσάρλι:

«Γιατί το μnδέν φοβόταν τόσο πολύ τπ Μι­ νωγελάδα; Κατά βάθος είναι ακΙνδυνπ.» «Για εμάς ίσως είναι ακίνδυνn. Όμως, πά­ ρε υπόψn σου ότι τα τραπουλόχαρτα είναι από χαρτόνι, και οι αγελάδες τρώνε χαρτί, αφού εί­ ναι από κυτταρίνπ, όπως τα χόρτα.»

Ύστερα από λίγn ώρα, το κορίτσι αντιλιΊ­

φθnκε ότι το έδαφος του λαβυρίνθου άρχισε να καλύπτεται από πολύ ψιλό χαλίκι. Ήταν ένα

χαλίκι ομοιόμορφο και απαλό, που έτριζε πα­ ράξενα κάτω από τα πόδια. Όταν έσκυψε να το δει από κοντά ι n Αλίκn φώναξε:

«Mα~ αυτό εδώ είναι σιτάρι! Όλο το έδαφος

91

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ειναι σκεπασμένο μ' ένα χαλί από σιτάρι!»

«Αυτό σπμαίνει ότι είμαστε κοντά στπν έξο­ δο» σχολίασε απαθέστατα ο Τσάρλι. Και πράγματι, λίγο αργότερα, βγπκαν σε μια απέραντπ και Kυματrστπ έκτασπ, κlτρινωπΠ. Μια

εκθαμβωτικπ έρπμος που έμοιαζε να μπν έχει τέλος. Μόνο που δεν πταν από άμμο, αλλά από σιτάρι.

«Τι είναι αυτό;» ρώτπσε π Αλί κπ ι με τα μά­

τια ορθάνοιχτα από τπν έκπλπξπ. «Είναι το χρέος του βασιλιά Σrρxάμ» απο­ κρίθπκε ο Τ σάρλl. «Ή καλύτερα, ένα μικρό μέ­ ρος ar;Jό το χρέος του.»

«Και σε ποιον χρωστάει τόσο πολύ σιτάρι;»

«Καλύτερα να σου το εξπγπσει ο ίδιος. Βλέ­ πεις ένα μαύρο σπμαδάκι πάνω σ' εκείνο το σταρόλοφο, τον πιο ψnλό; Μάλλον αυτός εί­ ναΙ. Πάμε να του κάνουμε μια επί σκεψn.»

Ύστερα από μια μακριά και κουραστικπ πο­

ρεία μέσα στπν axαvn σιταποθπκπ, έφτασαν επάνω στο ύψωμα. Ένας γέροντας με μεγάλα λευκά γένια, με τουρμπάνι και μεγαλοπρεππ

92

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ανατολίτικπ αμφίεσπ, καθόταν σταυροπόδι πά­ νω σ' ένα πολύχρωμο χαλί. Δίπλα του, πάνω

στο χαλί, υπιΊρχε μια σκακιέρα. Λίγο πιο 'κει, μισοθαμμένο στο σωρό του σταριού, ένα με­ γάλο κέρατο έβγαζε συνεχώς σπόρους, σαν γάργαρπ ππγιΊ. Το σιτάρι κυλούσε στπ μικριΊ κατπφοριά, σαν αργό φυτικό ποτάμι. Η Αλίκπ πλπσίασε το γέροντα, και αφού τον χαιρέτπσε ευγενικά, τον ρώτnσε:

«Είναι αλιΊθεια ότι μ' όλο αυτό το σιτάρι ξε­ πλπρώνεις κάποιο χρέος σου;»

«ΑλιΊθεια είναι» αποκρίθπκε ο Σιρχάμ. «Πά­ νε δυο χιλιάδες χρόνια και βάλε, όταν ιΊμουν βασιλιάς τπς lνδίας. Ο εφευρέτnς του σκακιού μού ζπτπσε γι' αντάλλαγμα να τον πλπρώσω με σιτάρΙ. Έπρεπε να βάλω ένα σπυρί στο πρώτο τετραγωνάκι τπς σκακιέρας, δύο στο δεύτερο, τέσσερα στο τρίτο, οχτώ στο τέταρτο και ούτω

καθεξιΊς, διπλασιάζοντας στο επόμενο τετρα­ γωνάκι τον αριθμό του προπγούμενου.» «Μα ... αυτό δεν μπορεί να είναι πολύ» σχο­

λί ασε n Αλί Kn.

93

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Τ ο ίδιο σκέφτπκα κι εγώ» είπε ο βασιλιάς κι αναστέναξε. «Όμως, όταν οι μαθnματικοί του παλατιού λογάριασαν πόσα σπυριά σιτάρι έπρεπε να δώσω στον παμπόνnρο εφευρέτn,

βρΓΊκαν ότι δεν υπΓΊρχε σ' ολόκλnρο τον Kό~

σμο αρκετό σιτάρι, ούτε υπΓΊρξε ποτέ OTnv ιστορία. Κοίτα, εδώ είναι ο λογαριασμός.»

Ο βασιλιάς έδωσε OTnv Αλίκn Tn σκακιέρα.

Σε κάθε τετραγωνάκι υπΓΊρχε γραμμένο ένα νούμερο: 1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1.024

2.048

4.086

8.192

16.384

32.768

65.536

131.072

262.144

524.288

1.048.576

2.097.152 4.194.304

8.388.608

16.777. 216

33554. 432

67.108. 864

134.217 728

268.435. 456

536.870. 912

1.073. 741.824

2.147 483.648

4.294. 967.296

8.589. 934.592

17.179. 869.184

34.359. 738.368

68.719. 476.736

137.438. 953.472

274.877. 906.944

549.755. 813.888

1.099. 511.627. 776

2.199. 023.255. 552

4.398. 046.511. 104

8.796. 093.022. 208

17592. 186.044. 416

35.184. 372.088. 832

70.368. 744.177. 664

140.737. 488.355. 328

281.474. 976.710. 656

562.949. 953.421. 312

1.125.899. 2.251.799. 4.503.599. 9.007.199. 906.842. 813.685. 627.370. 254.740. 624 428 496 992

18.014 398.509. 481.984

36.028. 797.018. 963.968

72.057. 594.037. 927.936

144.115. 188.075.

288.230. 376.151. 711.744

855.872

576.460. 752.303. 423,488

1.152.921. 2.305.843. 4.611.686. 9.223.372. 018,427. 036.854. 504.606. 009.213. 846.976 693.952 387.904 755.808

94

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Τρομερό!» είπε το κορίτσι. «Κι επιπλέον, για

να βρεις το σύνολο πρέπει να προσθέσεις όλα τα τετραγωνάκια!»

«Αυτό είναι πολύ εύκολο» πετάχτπκε ο Τσάρλι.

«Εύκολο; Εύκολπ είναι μια πρόσθεσn με 64

προσθετέους; Και οι περισσότεροι είναι τερά­ στιοι αριθμοί ... »

«Πρόσεξε καλά. Ή μάλλον παρατπρπσε με συστπματικό τρόπο, αΡΧίζοντας από τπν αρχπ,

όπως θα έλεγε και n Μινωγελάδα» είπε ο συγ­ γραφέας. «Οι δύο αριθμοί στπν αρχπ έχουν

άθροισμα 3 και ο τρίτος είναι το 4. Οι τρεις αριθμοί έχουν άθροισμα 7 και ο τέταρτος εί­ ναι 8. Οι τέσσερις αριθμοί έχουν άθροισμα 15 και ο πέμπτος είναι το δεκαέξι ... »

«Το βρπκα! Κάθε αριθμός είναι το άθροι­ σμα των προπγούμενων συν ένα.»

«Σωστά. Τότε, το άθροισμα όλων των αριθ­ μών τπς σειράς αυτπς θα είναι το διπλάσιο του τελευταίου, πλπν ένα, δnλαδπ, 18.446.774.073.

709.551.615. Σε στρογγυλούς αριθμούς αυτό

95

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

θα έκανε 18 εξάκις εκατομμύρια και μισό ...» «Κι είναι πολύ αυτό; Δεν μπορώ να φαντα­

στώ η είναι εξάκις εκατομμύριο.»

«Κανένας άνθρωπος δεν μπορεί να το φα­ ντ..αστεί. Είναι ένας αριθμός εντελώς έξω από τα ταπεινά ανθρώπινα μέτρα. Για να πάρεις μια ιδέα, το κέρας τπς Αμάλθειας, που είχε ανά­

μεσα στους θπσαυρούς του ο βασιλιάς Σιρ­ χάμ, παράγει ένα κυβικό μέτρο σιταριού το δευ­ τερόλεπτο, και σ' ένα κυβικό μέτρο υπάρχουν περίπου

15 εκατομμύρια σπυριά ... »

«Τ ότε, μάλλον δεν θ' αργπσει πολύ να πλπ­ ρώσει το χρέος του.»

«Έτσι νομίζεις; Για να το λογαριάσουμε. Το Κέρας έχει δύο χιλιάδες χρόνια που παράγει

σιτάρι, χωρίς να σταμaτπσει στιγμΠ. Μία μέ­ ρα έχει

86.400 δευτερόλεπτα, άρα ένας χρό­

νος έχει

30 εκατομμύρια. Σε δύο χιλιάδες χρό­

νια έχουμε, λοιπόν,

60 δισεκατομμύρια δευτε­

ρόλεπτα κι επειδπ κάθε δευτερόλεπτο το Κέρας παράγει 15 εκατομμύρια σπυριά, μέχρι τώρα

έχει Βγάλει γύρω στο ένα εξάκις εκατομμύριο.

96

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μ' αυτό το ρυθμό, θα κάνει πάνω από 30.000 χρόνια για να παράγει τα 1 8 εξάκις εκατομμύ­ ρια και μισό που χρειάζονται.» «Είναι τρομακτικό!» είπε ανατριχιάζοντας n

Αλίκπ. «Με πιάνει ζάλπ μόνο που το σκέφτομαΙ. Ας φύγουμε γρπγορα από αυτπ

Tnv

τερατώδπ

έρπ μο σταρ ιού.

«Ίσως ο βασιλιάς έχει τπν καλοσύνπ να μας δείξει τον τρόπο να φύγουμε» σχολίασε ο Τ σάρλl κοιτώντας τον Σιρχάμ.

«Το χαλί μου θα σας πάει» είπε αυτός. «Πρώ­

τα, όμως, πρέπει να παίξετε μαζί μου μια παρ­ τίδα σκάκι. Επιπλέον, επειδπ έχω μπουχτίσει

πια από αστρονομικούς αριθμούς και ατελείωτες προθεσμίες, θέλω να με κερδίσετε με τις λιγότερες δυνατές κινΠσεις.»

Αμέσως, ο βασιλιάς έβγαλε από ένα σκα­ λιστό κουτί με υπέροχα φιλντισένια σχέδια τα πιόνια, και τα έστπσε επάνω οτπ σκακιέρα.

ΈΒαλε τα λευκά στπ δικΓΊ του μεριά κι έκανε τπν πρώτπ κίνπσπ. Προχώρπσε ένα τετραγωνάκι το

πιόνι του αξιωματικού του βασιλιά.

97

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Πώς θα τον κερδίσουμε με τις λιγότερες κινήσεις;» ψιθύρισε n Αλίκπ στον Τσάρλι. «Επι­

πλέον, αυτός παίζει με τα λευκά!» «Αυτό μας διευκολύνει» τπν πρέμπσε ο συγ­ γραφέας. «Γ ιατί;»

«Αφού ο Βασιλιάς μάς προκαλεί να τον κερ­ δίσουμε με τις λιγότερες κινήσεις, πάει να πει

ότι αυτό είναι δυνατό, γιατί το αντίθετο δεν θα ήταν μια τίμια πρόκλπσπ. Και για να γίνει δυ­

νατό, θα συνεργαστεί» εξήγπσε ο Τ σάρλι κινώ­ ντας ένα τετραγωνάκι το πιόνι του μαύρου βα­ σιλιά.

«Και πώς ξέρουμε ότι είναι τίμιος;» τον ρώ­ τπσε n Αλί Kn χαμnλόφωνα.

«Ένας άνθρωπος που πλπρώνει ένα χρέος

18 εξάκις εκατομμύρια και μισό σπυριά σιτα­

ριού, μάλλον είναι ~ίμιoς» αποφάνθπκε ο συγ­ γραφέας.

Ο Σrρχάμ προχώρnσε δύο τετραγωνάκια το

πιόνι του αλόγου του Βασιλιά και είπε:

«Τώρα Γφθε n ώρα να παίξει το κοριτσάκι,

98

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

αφού τπν πρώτπ κινπσπ τπν έκανε ο άντρας.» «Πάρε υπόψπ σου, Αλίκπ» τπν προειδοποίπ­

σε ο Τσάρλι, «ότι για να είναι

n πιο

σύντομπ δυ­

νατπ παρτίδα, πρέπει να νικήσεις αμέσως.» «Τ ώρα;» είπε

n AλfKn.

Παρατπρπσε με προ­

σοχπ τα πιόνια στπ σκακιέρα και τελικά κίνπσε

τπ βασίλισσα διαγωνίως ως τπν άκρπ τπς σκα­ κιέρας «Σαχ και Ματ!»

99

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Περίφnμα». Ο ΣιρΧάμ Tn συγχάρnκε. «Αυ­ τπ είναι, πράγματι, n πιο σύντομn δυνατπ παρ­

. τίδα. Είχα διάθεσn να τπν παΙξω. Πάρτε το χα­ λί μου.» «Είναι ένα ιπτάμενο χαλί;» ρώτπσε n Αλίκπ.

«Ακόμα καλύτερο» αποκρίθπκε ο βασιλιάς. «Είναι ένα ολlσθnTlκό χαλί.»

100

Τ ο δάσος των αριθμών

Κ μικρπ

αθισμένοι σταυροπόδι πάνω στο χαλί,

n

Αλίκπ και ο Τσάρλι γλιστρούσαν στπ

κατπφοριά. Ήταν

σαν

σε έλκπθρο,

όμως, αντί για χιόνι υππρχε σιτάρι.

«Πώς ξέρουμε πού ππγαίνουμε;» ρώτπσε n Αλίκπ.

«Δεν το ξέρουμε, αλλά δεν έχει σnμασί α.

Στπν πραγματικότπτα, είμαστε σ' ένα μεγάλο σωρό από σιτάρι, κι όπως πάντα, ππγαίνουμε

προς τα κάτω (αφού, όπως καταλαβαίνεις, εί­

ναι αδύνατον να γλιστρπσεις προς τα επάνω). Στο τέλος, θα βγούμε αναγκαστικά από το στά­ ρι.»

Πράγματι, λίγο αργότερα έφτασαν σ' ένα αλλόκοτο δάσος. Τα δέντρα του, χωρίς φύλ­

λα και με τα κλαδιά τους προς τα επάνω, έμοια-

101

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ζαν μάλλον με παράξενα κπροππγια με δια­ φορετικό ύψος και αριθμό κλώνων. Μερικά δεν ξεπερνούσαν τα δύο μέτρα και άλλα nTav πανύψπλα ι με αρκετά επί πεδα κλώνων που δια­

κλαδώνονταν με τρόπο παράξενα ομοιόμορφο. Τ ο άκρο κάθε κλαδιού τελεί ωνε σ' ένα μπαλά­ κι μαύροι όπως και το υπόλοιπο δέντρο.

«Έχω τπν αίσθπσπ ότι αυτά τα δέντρα κάτι σπμαίνουν» είπε n Αλίκπ ι και σπκώθπκε από το χαλί. «Δεν μπορώ να το βρω όμως ... » «Έτσι είναι» είπε ο Τ σάρλι. «Αυτά τα δέντρα αναπαριστούν τους αριθμούς. Τ ο ποσό των σφαιριδίων του κάθε δέντρου δείχνει το νού­ μερο που αντιπροσωπεύει. γ πάρχει το ένα, που

το μοναδικό κλαδί του είναι αξεΧώριστο από τον κορμό. Γι' αυτό και είναι ένα νούμερο μο­ ναδικό. Και το δύο ι που ο κορμός του, φυσικά,

χωρίζει σε δύο κλωνάρια. Και το πέντε ι που μοιάζει ανοιχτό Χέρι ... » «Και γιατί το δέκα έχει πρώτα δύο κλαδιά

που Βγαίνουν από τον κορμό και μετά από το

καθένα βγαίνουν άλλα πέντε;» ρώτπσε n Αλίκπ.

102

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

«Κοίταξε, κάθε δέντρο προσπαθεί να είναι

όσο το δυνατόν πιο ψnλό, μα ακολουθώντας πάντοτε αυτόν τον απλό κανόνα: όλα τα κλαδιά ενός επιπέδου πρέπει να υποδιαιρούνται στον

ίδιο αριθμό κλαδιών στο επόμενο επίπεδο.» «Γι' αυτό, στο 1Ο, τα δύο κλαδιά του πρώτου

ορόφου διαιρούνται σε πέντε κλαδιά το καθέ­ να στον επόμενο όροφο;»

«Σωστά. Και γι' αυτό οι Πρώτοι αριθμοί ι

όπως το 2 και το 5,

nτο

17, που Βρίσκεται δί­

πλα στο 1Ο, έχουν μόνο έναν "όροφο" όπως λες κι εσύ.»

103

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Και γιατί είναι ανάκατα; Στπν πρώτπ γραμ­

μπ είναι το

1,

το 2, το

δεύτερπ l το

4,

το

3,

το

51

6,

ΤΟ

το 17... Στπ

101

το 11 ... »

«Δεν είναι ανάκατα» αποκρίθnκε ο Τσάρλι κι

έΒγαλε το μολύΒι του κι ένα σnμειωματάριο

από τπν τσέπn του. Έγραψε μια σεrρά αριθμούς «Ακολουθούν αυτπ τπ διάταξη ... »

1

2

5

10

17

26

37

4

3

6

11

18

27

38

9

8

7

12

19

28

16

15

14

13

20

29

25 36

24

23

22

21

30

35

34

33

32

31

«Μα τι παράξενπ διάταξπ είναι αυτή!» σχολία­ σε n AλfKn.

«Φαινομενικά είνOl παράξενπ. Αν προσέξεις καλά, οι διαδοχικοί αριθμοί σχnματίζοuν τετρά­ γωνα όλο και πιο μεγάλα» διευκρίνισε ο Τ σάρ­

λι και έκλεισε με μια γραμμπ μερικές ομάδες

αριθμών.

104

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

~2

5

436

987 «Αι το Βλέπω.» «Γι' αυτό π πρώτπ στnλπ είναι π σειρά των τε­ λείων τετραγώνων:

1,4,9, 16,25,36 ... »

Καθώς έμπαιναν πιο Βαθιά στο δάσος, τα δέντρα μεγάλωναν σε μέγεθος και σε ύψος. «Ξέρουμε πού ππγαίνουμε;» ρώτπσε τότε π Αλίκπ.

«Κάποιος είπε ότι ο μαθπμαTlκός είναι ένας άντρας χαμένος σ' ένα δάσος από αριθμούς» αποκρίθπκε ο Τσάρλι με ύφος ονειροπαρμένο. «Και γιατί όχι μια γυναίκα;» απάντπσε n

Αλίκπ, ενώ ταυτόχρονα ετοιμαζόταν να διεκδι­ κπσει τα δικαιώματα των γυναικών.

«Γιατί τότε δεν θα πταν ένας μαθπματικός, αλλά μία μαθπματικός. Όμως, εντάξει, έχεις απόλυτο δίκιο. Η φράσπ ισχύει και για εσένα αυτπ τπ στιγμΠ.»

«Μόλις μππκαμε, κι εί μαστε κιόλας χαμένοι;»

105

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Είναι τρόπος του λέγειν. Στπν πραγματικό­

τπτα, μέσα στους αριθμούς είναι πολύ δύσκο­ λο να χαθεί ς, γιατί συνπθως έχουν κάποιους κανόνες που ακολουθούν. Τ ώρα, λόγου Χάρπ, μας ενδιαφέρει να διασΧίσουμε το δάσος δια­

γωνίως, και γι' αυτό αρκεί ν' ακολουθπσουμε τπ σειρά 1, 3, 7, 13, 21, 31 ... » είπε ο Τσάρλι

δείχνοντας με το μολύβι του τπ διαγώνιο του

τετραγώνου με τους αριθμούς που είχε μόλις σχεδιάσει στο τετράδιό του. «Και πρέπει να συνεχίσουμε να κάνουμε τε­

τράγωνα όλο και μεγαλύτερα για να μαντεύου­

με τους επόμενους αριθμούς;» «Δεν χρειάζεται. Αν προσέχεις, n σειρά ακολουθεί έναν απλό κανόνα: το 3 είναι 1 + 2,

7 είναι 3 + 4, το 13 είναι 7 + 6, το 21 είναι 13

+ 8... » «Το 'πιασα! Κάθε φορά αθροίζεις δύο ακό­ μα στον προπγούμενο αριθμό: 31 είναι 21

+

1Ο, συνεπώς ο επόμενος θα είναι 31 + 121 δπλαδπ 43» συμπέρανε n Αλί ΚΠ.

«Σωστά. Έτσι, για να εί μαστε σίγουροι ότι θα

106

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

διασχί σουμε διαγώνια το δάσος, αρκεί να κοι­

τάζουμε κάπου κάπου εάν περνάμε πλάι στα δέντρα αuτπς τπς σειράς.»

«Ναι, όμως, οι αριθμοί γίνονται ολοένα και μεγαλύτεροι, κι είναι μεγάλος μπελάς να με­ τρπσεις τόσες μπαλίτσες ... »

«Το μέτρπμα μπορει να γίνει ευκολότερο με

λίγπ μέθοδο. Για παράδειγμα, μόλις αντιλπ­

. φθπκα ότι έχουμε ξεφύγει λιγο από το δρόμο μας, προς τ' αριστερά. Η διαγώνιος περνάει από το

57,

κι αυτό είναι το

56.»

«Πώς κατάφερες να μετρπσεις τόσες μπα­

λίτσες τόσο γΡΠΥορα;» είπε με έκπλπξπ n Αλί­ ΚΠ.

«Το δέντρο έχει τέσσερα επίπεδα κλαδιών.

Στα τρία πρώτα επίπεδα, από κάθε διακλάδω­ σπ Βγαίνουν δύο κλωνάρια, και στο τέταρτο επίπεδο κάθε κλαδιού Βγαίνουν εφτά. Συνε­ πώς, αρκεί απλώς να πολλαπλασιάσεις

2 χ 2

χ 2 χ 7 για να Βρεις ότι είναι 56 οι μπαλίτσες. Καθώς τα δέντρα μεγαλώνουν όσο πιο πολύ

μπορούν, ακολουθώντας πάντα τον κανόνα που

107

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

σου είπα προηγουμένως, αναλύουν κάθε αριθ­ μό σε πρώτους παράγοντες.»

«Δηλαδn, σε παράγοντες όσο το δυνατόν πιο μικρούς, για να έχουν περισσότερα επίπε­

δα κλαδιών.»

«Ακριβώς. Όσο πιο πολλοί οι παράγοντες τόσο περισσότερα τα επίπεδα, και οι πιο μικροί

παράγοντες είναι πάντοτε πρώτοι αριθμοί, γιατί, αν δεν nTav, θα μπορούσαν ν' αναλυ-

108

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

θούν σε άλλους παράγοντες» είπε ο ΤσάρλΙ.

«Γνωρίζεις μιΊπως κι άλλα κόλπα για να με­ τράς γρπγορα και χωρίς κόπο;»

«Φυσικά. Θα σου πω ένα πολύ καλό που το

ανακάλυψε ένα αγόρι στπν πλικί α σου. Τ ον έλεγαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους και όταν μεγά­ λωσε έγινε ένας από τους σπουδαιότερους μα­

θπματικούς όλων των εποχών. Μια μέρα, στο σχολείο, ένας δάσκαλος έΒαλε όλπ τπν τάξπ

τιμωρία, και n τιμωρία πταν να προσθέσουν όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 100 ... »

«Βλέπεις, λοιπόν, που οι καθπγπτές των μα­ θπματικών είναι όλοι δύστροποι;» Η Αλίκπ δεν καταλάΒαινε πολύ καλά τι σπμαινε «δύστρο­ πος», αλλά τπς φαινόταν μια πολύ πετuχπμένπ

Βρισιά. «Ορισμένοι, είναι» παραδέχτπκε ο Τσάρλι.

«Το θέμα είναι, όμως, ότr με τον μικρό Γκάους αυτιΊ

n

δυστροπία δεν έφερε κανένα αποτέλε­

σμα, γιατί αυτός έκανε τπν πρόσθεσπ μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα.» «Πώς τα κατάφερε;»

109

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Είναι πολύ απλό. ΚατάλαΒε ότι μπορούσε να

ζευγαρώσει τους εκατό αριθμούς με τον εξπς τρόπο:

1+ 100

=

1ΟΙ

2 + 99 = 1ΟΙ 3+98=101

48 + 53 = 1ΟΙ 49 + 52 = 1ΟΙ 50 + 51 = 1ΟΙ Μ' αυτόν τον τρόπο, έχεις πενπντα φορές το

101, άρα το άθροισμα είναι 50 χ 101 = 5.050.» «Πολύ πονπρός, ο μικρός Γκάους.»

«Χωρίς να το θέλει είχε ανακαλύψει τον τύ­

πο που μας δίνει το άθροισμα των μελών μιας

αριθμπτικπς προόδου.» «Άντε πάλι, άρχισες να μιλάς σαν καθπγπ­ τπς» γκρίνιαξε

«Mn

n Αλίκπ.

σε νοιάζει, αμέσως θα σ' το εξπγΠσω.

Μια αριθμπτικτΊ πρόοδος είναι, απλώς, μια σει-

110

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ρά αριθμών όπου ο ένας ειναl lσος με τον προπγούμενό του συν ένα σταθερό ποσό. Αυ­ τό το ποσό ονομάζεται «διαφορά» τπς προό­ δου. Η πιο απλιΊ αρlθμπτlκιΊ πρόοδος δεν ειναl άλλπ από τπν σειρά των φυσικών αριθμών: 1,

2, 3,4,5 ... γιατl κάθε αριθμός ειναl ίσος με τον προπγούμενό του συν ένα. Η σειρά των πε­

ριττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, 9 ... » «Είναι αρlθμπτlκιΊ πρόοδος με διαφορά το

2. Το ίδιο και n σειρά των ζυγών» συμπέρανε n Αλίκπ. «Σωστά. Βλέπεις πόσο απλό είναι;»

«Ναι, όμως, είναι ανάγκπ να χρπσιμοποιού­

με αυτές τις δύσκολες λέξεις όπως" αριθμπ-

,

,

τικπ προο

δ

,,,

""δ ος, lαφορα

και τα

λ' οlπα;

Π

10

εύκολο δεν ειναl να λέμε ότι προσθέτεlς συ­ νέχεια το ένα,

n το

δύο ... »

«Δεν μου λες, έχεις κανένα ζωάκι στο σπί­ τι σου;» ρώτπσε τότε ο Τσάρλι, αλλάζοντας

φαινομενικά θέμα συζιΊτπσπς. «Έχω ένα γάτο σlαμέζο.» «Και γιατί χρπσιμοποιείς τόσο δύσκολες λέ-

111

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ξ εις

,

οπως

"γατο ,,,

και

" σιαμε'ζ ο " ;

Ε'

,

lναl πιο ευ-

κολο να πεις" ένα τριχωτό ζωάκι που κυνπγάεl

" " .»

, ποντικια και κανεl νιαου

«Δεν είναι το ίδιο!» δlαμαρτυριΊθπκε n ΑλίKn. «Και ΒέΒαια είναι το ίδιο. Να δίνεις ονόμα­

τα στα πράγματα, είναι πιο Βολικό και πιο απο­ τελεσματικό από το να πρέπει να τα περιγρά­

φεις κάθε φορά που θέλεις να μlλιΊσεlς γι' αυ­ τά. Τ ώρα που ξέρεις τι είναι πρόοδος, είναι πολύ πιο πρακτικό να χρπσιμοποlιΊσεlς αυτιΊ τπ

λέξπ παρά να λες" μια σειρά αριθμών στπν οποία ο καθένας είναι ίσος με τον προπγού­ μενο συν μια σταθεριΊ ποσότπτα", με τον ίδιο τρόπο που είναι πιο Βολικό και ακριΒές να λες "γάτος" αντί για "τριχωτό ζωάκι που κυνπγάεl

" " .»

ποντι, κια και κανεl νιαου

«Καλάι καλά. Όμως, π ρέπει κι εσύ να παρα­ δεχτείς ότι υπάρχουν μερικά άτομα που χρπ­

σιμοποιούν δύσκολες λέξεις για να παραστιΊ­ σουν τους σπουδαίους και να μας κάνουν να

πιστέψουμε ότι ξέρουν πάρα πολλά.»

112

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Δυστυχώς, αυτό είναι μια πολύ μεγάλn

αλnθεια» παραδέχτnκε ο Τ σάρλι. «ο κόσμος εί­

ναι γεμάτος από λογάδες, απατεώνες κι εξυ­ πνάκnδες. Όμως, σ' αυτό δεν φταίνε οι λέ­ ξεις, αλλά εκείνοι που τις χρnσιμοποιούν άσχnμα. Ας γυρίσουμε, όμως, στις προο­ δους ... »

Ο συγγραφέας στάθnκε μπροστά στο πυ­ κνόφυλλο 343. Απ"ό τον κορμό του έΒγαιναν

εφτά κλαδιά, από το καθένα έΒγαιναν άλλα εφτά που με Tn σειρά τους χωριζονταν σ' άλ­

λα εφτά. ΈΒγαλε το τετράδιο και το μολύΒι του κι άρχισε να γράφει:

«Τι κάνεις;» τον ρώτnσε

n AλfKn.

«Όπως πολύ σωστά είπες, n σειρά των άρ­

τιων αριθμών (2, 4, 6, 8, 1ο

... )είναι μια αριθ­

μnτικn πρόοδος. Θα υπολογίσουμε το άθροι­ σμα των δέκα πρώτων όρων τnς.» «Με το κόλπο του μικρού Γκάους;»

«Ναι, όμως, θα το κάνουμε με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο για να το δούμε πιο ξεκά­

θαρα. Πρώτα γράφω τους δέκα αριθμούς με

113

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

τπν κανονικιΊ τους σειρά κι ύστερα l από κάτω, με τπν αντί στροφπ ..

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20

20 18 16 14 12 10

8

6

4

2

«Και γιατί τους γράφεις δύο φορές;»

«Τ ώρα θα αθροίσουμε τις δύο σειρές. Βλέ­ πουμε ότι δέκα φορές το 22 (δπλαδιΊ το 20 +

21 δπλαδιΊ ο πρώτος και ο τελευταίος όρος) είναι το διπλάσιο του αθροίσματος των δέκα

όρων l αφού τους μετρπσαμε δύο φορές. Γι' αυ­ τό, το άθροισμα που γυρεύουμε είναι 22 χ

10/2=110.»

+ 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 «Κι αυτό μπορεί να γίνει με όλες τις αριθμπτι­ κές προόδους» σχολίασε π Αλίκπ.

«ΒέΒαια. Αν ονομάσουμε α τον πρώτο όρο

114

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

μιας οποιασδπποτε αριθμπτικπς προόδου, ω τον τελευταίο και v το πλπθος των όρων και Σ το άθροισμά τους, τότε θα έχουμε Σ=(a+ω)ν/2. Για τους 100 πρώτους αριθμούς, το α θα είναι το 1 και το ω το 100, το v είναι πάλι 100. Άρα Σ = (1 + 1ΟΟ) χ 100/2

1ΟΙ χ 50 = 5.050,

όπως είχαμε βρει.» Άρχισαν πάλι να περπατούν, και ύστερα από μια διακοππ n AλfKn ρώτnσε: «Τα σπυριά σιτάρι τπς σκακιέρας σχπματί­

ζουν πρόοδο;»

«Ναι, όμως αυτπ ονομάζεται γεωμετρικιΊ πρόοδος, γιατί ο κάθε αριθμός βρίσκεται αν πολλαπλασιάσεις τον προnγούμενο με μια στα­

θερπ ποσότπτα, κι όχι αθροίζοντας, όπως στπν αριθμπTlΚΠ. Η σειρά 1, 2, 4, 8, 16, 32 ... είναι μια γεωμετρlκιΊ πρόοδος με λόγο το 2, αφού

ο κάθε αριθμός είναι ίδιος με τον προπγούμε­ νο επί δύο.»

Όμως, n Αλίκπ δεν τον άκουγε πια. Μύριζε τον αέρα με απόλαυσπ.

«Μυρίζει μnλόπιτα!»

115

Τ ο τσάι των nέντε

«Α και οι φίλοι του πίνουν το τσάι των υτό σnμαίνεl ότι ο Τρελός Καπελάς

πέντε» σχολίασε ο Τσάρλι. «Πράγμα, ΒέΒαια, διόλου παράξενο, γιατί τσάι πίνουν όλες τις , ωρες.»

Και πράγματι, συνέχισαν να Βαδίζουν πάνω

orn διαγώνιο του δάσους των αριθμών, και σε λίγο είδαν τον Καπελά και τον Μαρτιάτικο Λα­

γό να πίνουν τσάι σ' ένα τραπέζι, κάτω από ένα δέντρο. Ανάμεσα στους δυο, ο Μυωξός κοιμόταν Βαθιά.

Τ ο τραπέζι nTav πολύ μεγάλο, όμως, παρό­ λα αυτά, οι τρεις συνδαιτυμόνες είχαν στριμω­

χτεί σε μια γωνιά. Όταν είδαν τπν Αλίκπ να

πλπσιάζεl, ο Λαγός κι ο Καπελάς άρχισαν να φωνάζουν:

116

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Δεν έχει χώρο! Δεν έχει χώρο!»

«Έχει χώρο και περισσεύει» αποκρίθπκε το

κορίτσι, και κάθισε σε μια άνετπ πολυθρόνα στπν κεφαλπ του τραπεζιού. Ο Τσάρλι που τπν είχε ακολοuθπσεl χαμογελώντας αινιγματικά, κάθισε πλάι τπς. «Τι προτιμάς, μισπ μπλόπιτα

nτα δύο τέταρ­

τα;» ρώτπσε ο Μαρτιάτικος Λαγός τπν Αλίκπ,

ενώ τπς χάριζε ένα γενναιόδωρο χαμόγελο. «Με κοροϊδεύεις; Μισπ πίτα είναι το ίδιο με τα δύο τέταρτα» είπε το κορίτσι.

«ΜπράΒο, περίφπμα. Μόλις ανακάλυψες τα ισοδύναμα κλάσματα» τπν συγχάρπκε ο Τρελός

Καπελάς.

«Φυσlκά: 1/2 = 2/4» συνέχισε ο Λαγός. «Εκτός κι αν είσαι τόσο λαί μαργπ και προ­

τιμάς να φας το 50% τπς πίτας» είπε ο Καπε­ λάς.

«Για κόφτε πια το δούλεμα!» διαμαρτυρπθπ­ κε n Αλίκπ. «Το 50% τπς πίτας πάλι είναι το ίδιο με το μισό.»

«Τι έξυπνο κορίτσι!» φώναξε ο Μαρτιάτικος

117

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

Λαγός και χειροκρότπσε με τις αφτούκλες του. «Και γιατί παρακαλώ το 50% είναι το ίδιο με

το μισό;» ρώτπσε ο Μυωξός χωρίς ν' ανοίξει καν τα μάτια του.

«Γιατί ι αν από τα εκατό κομμάτια πάρεις τα

πενπντα, είναι το μισό» αποκρίθπκε γρπγορα n Αλίκπ.

«Α, έτσι νομίζεις; Είναι που δεν θα κόψεις εσύ τπν πίτα!» τπς αντιγύρισε ο Καπελάς. «Νο­

μίζεις ότι είναι το ίδιο να τπν κόψω σε δύο κομ­ μάτια και το ίδιο να τπν κόψω σε εκατό για να σου δώσω τα πενπντα;»

«Η δουλειά που θα κάνεις για να τπν κόψεις δεν είναι n ίδια» παραδέχτπκε το κορίτσι,

«όμως, n ποσότπτα πίτας που θα μου δώσεις

θα είναι n ίδια.» «Γι' αυτό 1/2 και 50/100 είναι ισοδύναμα κλάσματα» αποφάνθπκε ο Λαγός. «Το δεύτερο μπορεί να απλοποιπθεί και να μετατραπεί στο πρώτο.»

«Μπορεί και πρέπει να απλοποιπθεί!» φώ­

ναξε ο Τρελός Καπελάς, ανεμίζοντας το μα-

118

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

χαί ρι του σαν να πταν

n μπαγκέτα κανενός μα­

έστρου. «Και ούτε να το διανοπθείς, καπριτσιό­ ζικο κοριτσάκι, ότι θα κόψω τπν πίτα σε εκατό κομμάτια για να σου δώσω εσένα τα πενΠντα.»

«Εγώ δεν εί μαι καπρ ιτσιόζα και δεν θέλω ... » άρχισε να λέει n Αλί Kn, όμως, ο Μαρτιάτικος Λαγός τπ διέκοψε.

«Μπορεί αυτό το συμπαθέστατο και λιχούδι­ κο κοριτσάκι να προτιμάει 0,5 πίτες.»

«Πιο πολύ λιχούδα παρά συμπαθπτικπ τπ βρί­ σKω» διευκρίνισε ο Καπελάς.

«Φτάνει πια!» φώναξε αγανακτισμένπ n Αλί­ ΚΠ.

«0,5 πάλι το ίδιο είναι: μισπ πίτα.» «Μπα, και γιατί;» ρώτπσε ο Μυωξός χωρίς

να ξυπνπσεl εντελώς. «Γιατί, γιατί ... » άρχισε να λέει το κορίτσι,

αλλά κατάλαβε ότι δεν το είχε και πολύ ξεκά­

θαρο. «Γιατί το σύστπμα αρίθμπσπς που έχουμε, το θεσιακό» εί πε ο Τ σάρλι, «όχι μόνο μας επιτρέ­ πει να γράφουμε μονάδες, δεκάδες, εκατοντά­ δες και άλλα πολλαπλάσια του δέκα ανάλογα

119

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

με τπ θέσπ των αριθ μών, αλλά και δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά ... »

«Κι αυτός ποιος είναι;» ρώτπσε ο Μαρτιάτι­ κος Λαγός, λες και μόλις ππρε είδπσπ τπν πα­ ρουσία του Τσάρλι.

«Είναι ένας διάσπμος συγγραφέας και μα­

θπματικός» αποκρίθπκε n Αλίκπ. «Εξάλλου, εί­ ναι ο συγγραφέας σας, ο δπμιουργός σας: ο

Λιούις Κάρολ, αυτοπροσώπως.» Ο Καπελάς κι ο Λαγός άρχισαν να τρέμουν.

«Έλεος, κύριε δπμιουργέ μας, μπ μας εξα­ φανίσεις!» εκλιπαρούσε ο Μαρτιάτικος Λαγός. «Συνέχισε να μας σκέφτεσαι!» τον παρακά­

λεσε ο Τρελός Καπελάς.

«Μπν ανπσυχείτε» τους καθπσύχασε ο Τ σάρ­ λι. «Είσαστε από τους πιο αγαππμένοuς μου

πρωες, και κανείς δεν θέλει περισσότερο από εμένα να συνεχίσετε να υπάρχετε. Όμως, ακό­

μα κι αν πθελα να σας καταστρέψω, δεν θα μπορούσα, γιατί ζείτε μέσα στα μυαλό εκατομ­ μυρίων αναγνωστών. Αυτπ τπ στιγμπ μάλιστα,

κάποιος σας διαβάζει.»

120

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Αλπθεια; Τότε μπορούμε να γίνουμε πειρα­ χτικοί και αναιδείς μαζί σου;» είπε ο Μαρτιά­

τικος Λαγός. Όμως, ο Τρελός Καπελάς του έδωσε μια κλοτσιά κάτω από το τραπέζι και παρακάλεσε:

«Σε παρακαλώ, αγαππμένε μου συγγραφέα,

εξπγπσέ μας τι είναι το θεσιακό σύστnμα ... » «Είναι απλούστατο, όπως όλες οι μεγαλο­

φυείς ιδέες» είπε ο Τσάρλι. «Όταν γράφουμε, για παράδειγμα, μονάδες,

4

347{

σnμαίνεl ότι έχουμε

δεκάδες και

3

7

εκατοντάδες ... »

Χωρίς να διστάσει στιγμπ, ο Καπελάς έβγα­ λε ένα πινέλο από τπν τσέππ του, το Βούτπξε σ' ένα κουτί μελάσα κι έγραψε πάνω στο λευκό

τραπεζομάντιλο τρεις τεράστιους αριθμούς. Ύστερα, μ' ένα μικροσκοπικό μολυΒάκι έγρα­ ψε «εκατοντάδες», «δεκάδες» και «μονάδες»

κάτω από τους αντ! στοιχους αριθμούς.

347 εκατοντάδες

δεκάδες

121

μονάδες

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Κατέστρεψες το τραπεζομάντιλο» σχολίασε

n Αλίκπ. «Είναι για χάρπ τπς επιστnμnς ... » είπε ο Κα­

πελάς. «Εξάλλου, το τραπεζομ'άντιλο πλένεται κιόλας.»

«Λοιπόν» συνέχισε ο Τσάρλι, «μ' ένα απλό κόμμα μπορούμε να επεκτείνουμε το θαυμάσιο

θεσιακό δεκαδικό μας σύστnμα και να συμπε­ ριλάΒουμε δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά ... Έτσι, αν γράψουμε

347, 1 25 ... »

Ο Τρελός Καπελάς ξαναΒούτπξε το πινέλο στπ μελάσα, και με το μολυΒάκι ολοκλπρωσε το έργο του.

347, 1 2 5 εκατοντάδες

δεκάδες

μονάδες

δέκατα

εκα,οσ,ά

χιλιοστά

«Το κατάλαΒα. .. Ο πρώτος αριθμός δεξιά από το κόμμα αντιπροσωπεύει τα δέκατα l γι' αυ­ τό και

015

σπμαίνει πέντε δέκατα, δπλαδπ το μι­

σό» σχολίασε n Αλί Kn.

122

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Σωστά» είπε ο Τ σάρλι. «Και με τον ίδιο τρό­

πο που δέκα μονάδες κάνουν μία δεκάδα και δέκα δεκάδες κάνουν μι α εκατοντάδα, έτσι και δέκα δέκατα μας κάνουν μία μονάδα, δέκα

εκατοστά είναι ένα δέκατο, δέκα χιλιοστά είναι

ένα εκατοστό και ούτω καθεξΠς. Αν αυτός ο

αριθμός πταν Βάρος σε κιλά ... » «Θα πταν κάποιος άνθρωπος πάρα πολύ χο­ ντρός» πετάχτnκε ο Μαρτιάτικος Λαγός.

«Ή κάποιος ιπποπόταμος πάρα πολύ αδύνα­

τος» πρόσθεσε ο Τρελός Καπελάς.

«Πάντως, αυτός ο άνθρωπος

nο ιπποπότα­

μος θα ζύγιζε 347 κιλά και 125 γραμμάρια,

αφού ένα γραμμάριο, όπως ξέρετε, είναι το ένα χιλιοστό του κιλού) κατέλπξε ο Τ σάρλι.

«Δεν θα φας περισσότερn μnλόπιτα;» ρώτn­ σε Tnv Αλί Kn ο Λαγός. «Δεν μπορώ να φάω περισσότερn μnλόnι­

τα, αφού ακόμα δεν έχω φάει καθόλου» απο­ κρίθnκε το κορίτσΙ.

«Αφού δεν έχεις φάει καθόλου, σίγουρα Βε­ Βαί ως δεν μπορεί ς να φας λΙΥότερn» παρατπ-

123

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ρπσε ο Καπελάς. «Τι προτιμάςl μισό κιλό μπ­ λόπιτα

n500 γραμμάρια;»

«Θα τπν φας με το τσάι σου, υποθέτω» πρό­ σθεσε ο Λαγός. «Θέλεις ένα τέταρτο του λίτρου

n 250

κυΒικά εκατοστά;»

«Άντε πάλι τα ίδια!» φώναξε n Αλίκπ εκνευ­

ρlσμένπ. «Όλος ο κόσμος ξέρει ότι μισό κιλό είναι το ίδιο με τα 500 γραμμάρια και ένα τέ­

ταρτο του λίτρου είναι το ίδιο με τα 250 κυΒι­ κά εκατοστά!»

«Γιατί;» ρώτnσε ο Μυωξός ανοίγοντας ένα μάτι. Το έκλεισε όμως γρΠγορα.

«Όλος ο κόσμος το ξέρει, κι άλλωστε μό­

λις το είπαμε» αποκρίθπκε ΤΟ κορίτσι με μια έκ­ φρασπ αγανάκτnσnς, «ότι ένα κιλό είναι Χίλια

γραμμάρια, συνεπώς το μισό κιλό είναι 500

γραμμάρια. Κι όλος ο κόσμος ξέρει επίσnς ότι ένα τέταρτο του λίτρου είναι το ίδιο με

250

κυΒικά εκατοστά.» «Γιατί;» ξαναρώτnσε ο μlσοκοιμlσμένος Μυωξός.

«ο Τ σάρλl θα σου το εξπγπσεl» είπε n Αλί-

124

ΚΑΤ ΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Kn που, στπν πραγματικότnτα, δεν το πξερε και πολύ καλά.

Με το χαρακτnριστικό αινιγματικό του χαμό­

γελο, ο συγγραφέας έβγαλε ένα ζάρι από μια τσέπn και το έβαλε πάνω στο τραπέζι.

«Αυτό το ζάρι είναι ένας κύβος με πλευρά ένα εκατοστό» είπε, «και ο όγκος του είναι ένα κυ­

βικό εκατοστό». «Γιατί;» ρώτnσε ο Μυωξός για να μn χάσει

Tn συνΠθεια. «Εξ ορισμού» αποκρίθπκε ο Τσάρλι. «Δnλα­ δπ, ονομάζουμε «κυβικό εκατοστό» τον όγκο ενός κύβου με πλευρά ένα εκατοστό. Λοιπόν,

ένα λί τρο είναι ίσο με έναν κύβο που έχει πλευ­

ρά δέκα εκατοστά, κι ένα κυβικό δεκατόμετρο

125

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ειναl χίλια κυΒικά εκατοστά. Γι' αυτό ένα τέταρ­ το του λίτρου είναι το ίδιο με 250 κυΒικά εκα­ τοστά.»

«Γιατί ένα κυΒικό δεκατόμετρο είναι χίλια

κυΒικά εκατοστά;» ρώτπσε τότε n Αλίκπ. «Αν

θυμάμαι καλά, ένα δεκατόμετρο είναι δέκα εκατοστά.»

Ο Τ σάρλl έΒγαλε το μικρό του τετράδιο και το μολύΒι του κι έκανε ένα σχέδιο.

«Εδώ είναι ένας κύΒος με πλευρά τρία εκατο­ στά» είπε. «Πόσα κυΒάκlα του ενός εκατοστού περ ι έχει;»

Αφού εξέτασε με προσοχπ το σχέδιο, το κο­ ρίτσι απάντπσε:

«Έχει τρεις ορόφους από εννιά κυΒάκlα ο

126

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

κάθε όροφος. Συνεπώς, όλα μαζί είναι είκοσι εφτα.»

«ΑκριΒώς. 3 χ 3 χ 3 = 27. Με τον ίδιο τρό­

πο, αν ο κύΒος έχει δέκα εκατοστά πλευρά, θα περιέχει 1Ο χ 1Ο χ 1Ο = 1000 κυΒάκια με πλευ­

ρά ένα εκατοστό. Γι' αυτό, ένα κυβικό δεκατό­ μετρο είναι ίσο με Χίλια κυΒικά εκατοστά.» «Αυτό που δεν μπορώ να πιστέψω είναι πώς

σ' έναν τόσο μικρό κύΒο με πλευρά μόνο δέ­ κα εκατοστά χωράει ένα ολόκλπρο λίτρο» εί­ πε ο Μαρτιάτικος Λαγός. «Ας το δοκιμάσουμε» πρότεινε ο Τρελός Κα­

πελάς. Έβγαλε κάτω από το τραπέζι ένα κομ­ μάτι χοντρπ τσόχα αρκετά σκλπρπ, ένα ψαλί­

δι, ένα μέτρο, κλωστπ και βελόνα και άλλα συ­ μπράγκαλα τπς δουλειάς του. Στο άψε-σβπσε

έραψε έναν κύΒο με πλευρά δέκα εκατοστά, ανοιχτό από επάνω, σαν ένα κουτί χωρίς κα­

πάκι. «Μπορεί να χρπσιμεύσει και ως καπέλο

σε κανέναν τετραγωνοκέφαλο ... Έχει ένα σω­

ρό από δαύτους» σχολίασε μ' ένα γελάκι. α Λαγός ππρε ένα μπουκάλι νερό του λίτρου

127

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

που υπnρχε επάνω στο τραπέζι, το άνοιξε και το άδειασε μέσα στον κύβο. «Θα τρέξει» είπε n Αλίκn. «Είναι τσόχα αδιάβροχπ. Τ α καπέλα μου δεν τα περνάει το νερό» τπ διαβεβαίωσε ο Καπε­ λάς, με επαγγελματικn υπερπφάνειa. Το νερό γέμισε το τσόχινο δοχείο ως τα

χείλπ, χωρίς να ξεχειλίσει μπτε μια σταγόνα.

«Ακριβώς ένα λίτρο, τι σύμπτωσπ!» φώνα­

ξε ο Μαρτιάτικος Λαγός. «Ε, λοιπόν, ακόμα δεν έχουν τελειώσει οι «συμπτώσεις» είπε ο Τσάρλι, χαμογελώντας

με τπν έκπλπξπ του Λαγού. «Αν μπορούσαμε

να ζυγίσουμε αυτό το λίτρο

n αυτό

το κυβικό

δεκατόμετρο νερού ... »

«Και βέβαια μπορούμε» πετάχτπκε ο Τρελός

Καπελάς, κι έΒγαλε κάτω από το τραπέζι μια με­ γάλn ζυγαριά με Χάλκινα πιάτα. Ο Λαγός έχυσε το νερό από το τσόχινο

δοχείο στο ένα πιάτο τnς ζυγαριάς, που ευτυ­ Χώς πταν αρκετά μεγάλο για να το χωρέσει

όλο. Στπν άλλn μεριά ι ο Καπελάς έβαλε ένα με-

128

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ταλλlκό βάρος ενός κιλού. Η ζυγαριά ισορρό­ πησε εντελώς.

«Ένα λίτρο ζυγίζει ακριΒώς ένα κιλό!» φώ­ ναξε ο Μαρτιάτικος Λαγός. «Είναι εκπληκτικό!»

«Γιατί;» ρώτπσε ο Μυωξός ανάμεσα σε δύο ροχαλητά.

«Δεν είναι καθόλου εκπληκτικό» εξπγησε ο Τ σάρλl. «Έγινε έτσι επίτηδες, ώστε τα μέτρα

μπκους, χωρητικότπτας και Βάρους να συν­ δέονται μεταξύ τους. Πρώτα ορίστnκε το μέ­ τρο, που είναι κατά προσέγγιση το ένα δεκά­ κις εκατομμυριοστό του τεταρτημόριου ενός

μεσημβρινού τπς γπς. Το τεταρτημόριο είναι

το ένα τέταρτο του μεσημβρινού. Δηλαδή, ένας μεσπμβρινός είναι 40 εκατομμύρια μέτρα

n αλλιώς

40.000 χιλιόμετρα, το ίδιο

κάνεΙ. Αφού ορίστηκε το μέτρο με τα πολλα­ πλάσια και τις υποδιαιρέσεις του, ορίστηκε και

το λίτρο, ως n χωρητικότητα ενός κύΒου με πλευρά δέκα εκατοστά του μέτρου. Μετά, το

κιλό ορίστηκε ως το βάρος ενός λίτρου νερό.»

129

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Γι' αυτό το σύστπμα αυτό ονομάζεται" με­ τρικό σύστπμα";» ρώτπσε n Αλίκπ.

«Ναι, γιατί όλες οι μετρπσεις βασίζονται στο μέτρο.»

«Εάν βασίζονταν στο λίτρο, θα ονομαζόταν λlτρικό» είπε ο Καπελάς.

«Κι αν βασίζονταν στο γραμμάριο; θα ονο­ μαζόταν γραμμαρικό» πρόσθεσε ο Μαρτιάτι­ κος Λαγός.

«Τ ο πλπρες όνομά του είναι" δεκαδικό με­ τρικό σύστπμα"» διευκρίνισε ο Τσάρλι, «γιατί οι μονάδες του πάνε πάντοτε δέκα δέκα. Δέκα χιλιοστά είναι ένα εκατοστό, δέκα εκατοστά εί­ ναι ένα δεκατόμετρο, δέκα δεκατόμετρα είναι ένα μέτρο ... » Εκεί νπ τπ στιγμπ έφτασε ένας άντρας-τρα­

πουλόχαρτο και, χωρίς να πει κουβέντα, έδω­ σε ένα φάκελο στον Τρελό Καπελά, που τον

άνοιξε με τρεμάμενα Χέρια. «Φοβάμαl τα χειρότερα» είπε, κι αφού διά­

Βασε το σπμείωμα που περιείχε, φώναξε: «Τ ο χειρότερο από τα χειρότερα!»

130

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Η Βασίλισσα Ντάμα Κούπα τον προστάζει

να παρευρεθεί ως μάρτυρας σε μια δίκπ» σχο­ λίασε ο Μαρτιάτικος Λαγός, που διάΒασε το σπμείωμα πάνω από τον ώμο του Καπελά.

«Αυτό δεν είναι τόσο σοΒαρό» τον καθπσύ­ χασε

n Αλίκπ. «Οι μάρτυρες δεν κινδυνεύουν.»

«Θα με κατπγορπσουν για ψευδομάρτυρα

και θα μου κόψουν το κεφάλι!» στρίγγλισε ο Τ ρελός Καπελάς. «Κι ένας Καπελάς χωρίς κε­

φάλι, έχει ξοφλπσει επαγγελματικά!»

131

Το αινιγματικό χαμόγελο

Ό

χι' ο τίτλος· δεν εννοεί το

xaPOKTnpl-

στικό μισό χαμόγελο του Τσάρλι, αλ­

λά ένα πολύ πιο αινιγματικό, που εμφανίστn­

κε αιωρούμενο στον αέρα, ένα-δυο μέτρα πά­

νω από το τραπέζι. «Τι παράξενο πράγμα!» είπε n Αλίκn. «Έχω δει πολλά χαμογελαστά πρόσωπα, αλλά πρώ­

Tn φορά βλέπω χαμόγελο χωρίς πρόσωπο.» Πράγματι

δες -

-

κι αυτό πταν το πιο μυστnριώ­

, το χαμόγελο πταν μόνο του. Ένα στόμα

με μυτερά δόντια, χωρίς τίποτ' άλλο γύρω του.

«Δεν είναι δα και τόσο παράξενο να βλέπεις χαμόγελα χωρίς πρόσωπο» αποκρίθnκε το

αιωρούμενο στόμα. «Δεν έχεις βρεθεί ποτέ σε κανένα τούνελ με χαρούμενους μαύρους; Φαί­ νονταl μόνο τα χαμόγελα.»

132

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Ποιος είσαι;» ρώτπσε n Αλίκπ, διπλά ξαφ­ νιασμένπ που εκείνο το απίθανο στόμα μπορού­ σε να μιλάει, εκτός από το να χαμογελά.

«Είμαι ένα μυστΠριο. Δεν με βλέπεις, όμως, έχεις ορισμένα στοιχεία για μένα. Συνεπώςl

μπορεί ς να με ξεδιαλύνεις.» «Να σε ξεδιαλύνω;» «Ξεδιαλύνω ένα μυστπριο» εξπγπσε ο Τ σάρ­

λι, «σπμαίνει να ανακαλύψεις τι είναι, με βάσπ ,

,

τα στοιχεια που εχεις γι

,

, αυτο.»

«Μα εγώ δεν έχω κανένα στοιχείο γι' αυ­

τό» διαμαρτυρπθπκε n Αλίκπ. «Είναι επειδπ δεν παρατπρείς με προσοχπ»

εί πε ειρωνικά το χαμογελαστό στόμα. «Πώς μπορώ να παρατπρπσω κάτι που δεν

βλέπω;»

«Βλέπεις - Π θα' πρεπε να βλέπεις - , ότι το κλαδί όπου στέκομαι γέρνει κάτω από το βά­ ρος μου, βλέπεις τα μυτερά μου δόντια, ακούς τπ γλυκερπ και γουργουριστπ φωνπ μου ... »

«Είσαι ένας γάτος!» φώναξε n Αλίκπ. «Σου έδωσα πολλά στοιχεία» είπε ο Γάτος

133

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

του Τ σεσάιΡ, κι εμφανίστπκε ολόκλπρος. «Για να δούμε αν είσαι ικανή να λύσεις αυτό το άλ·

λο μυστΓφlO: ένατούβλοζυγίζειένακlλόκαlμlσό· τούβλοπόσοζυγίζειτοτούβλο.» Το είπε τόσο γρπγορα, που ακούστπκε σαν

μια πολύ μεγάλπ λέξπ. «Μοιάζει με γλωσσοδέτπ» παραπονέθπκε το κορίτσι.

«Είναι νευροδέτπς.»

«Επανάλαβέ το πιο αργά. Δεν κατάλαβα τί­ ποτα.»

«Είσαι πολύ αργόστροφπ. Για πρόσεξε καλά, γιατί δεν θα το ξαναπώ. Ένα τούβλο ζυγίζει ένα κιλό και μισό τούβλο, πόσο ζυγίζει το τού­ βλο;» «Ενάμισι κιλό;»

«Αυτό είναι που λένε λύνω με το αφτί» είπε

ο Γάτος του Τ σεσάιρ. «Ακούς τπ λέξπ κιλό ύστε· ρα από τπ λέξπ μισό, τις κολλάς χωρίς πολύ ψάξιμο και αυτό είναι! Έχω δει πολλά μυαλά χωρίς κορίτσι, όμως, είναι

n

πρώτπ φορά που

βλέπω ένα κορίτσι χωρίς μυαλό.»

134

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Άκου να σου πω, δεν εί μαι άμυαλπ εγώ!»

φώναξε n Αλί ΚΠ. «Δεν μπορώ να λύσω το πρό­ βλπμα με το μυαλό!» «Τότε, λύσε το πρακτικά» είπε ο Γάτος.

«Έχεις εδώ μια ζυγαριά κι ένα βάρος του ενός κιλού. Τι άλλο θέλεις;» «Δεν έχω ένα τούβλο που να ζυγίζει ένα κι­ λό και μισό τούβλο.»

«Για κοίτα κάτω απ' το τραπέζι. Έχει απ' όλα.» Πράγματι, κάτω από το τραπέζι είχε κάμπο­

σα τούβλα και, πράγμα ακόμα πιο παράξενο, είχε και αρκετά μισά τούβλα. Η Αλίκπ άδειασε το νερό που υππρχε στο ένα πιατάκι τπς ζυγα­ ριάς και στπ θέσπ του έβαλε ένα τούβλο. Στο

άλλο πιατάκι, μαζί με το βάρος του ενός κιλού έβαλε μισό τούβλο. Η ζυγαριά ισορρόππσε.

11

!:

135

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Ορί στε, λοιπόν, εδώ το έχεις μπροστά στπ

μύτπ σου. Το τούβλο ζυγίζει ένα κιλό και μισό

τούβλο. Θέλεις μnπως κανένα κομπιουτερά­ κι;»

rnv ειρωνεύτnκε ο Γάτος του Τ σεσάιρ.

«Mn μου μιλάς και με μπερδεύεις ... Αν, αντί για το βάρος, υππρχε άλλο ένα μισό τού­

βλο, n ζυγαριά πάλι θα ισορροπούσε, αφού το ένα τούβλο είναι ίσο με δύο μισά τούβλα. Άρα, μισό τούβλο ζυγίζει το ίδιο με το βάρος ... » «Σιγά τπ διαπίστωσπ!» σχολίασε ο Γάτος.

«Κι αφού μισό τούβλο ζυγίζει ένα κιλό, το

τούβλο θα ζυγίζει δύο κιλά» κατέλπξε n Αλίκπ. «ΜπράΒο!» φώναξε ο Γάτος του Τ σεσάιρ και χεφοκρότπσε με τα μπροστινά του πόδια.

«Κρί μα που δεν μπορώ να πάρω στο σχο­

λείο μια ζυγαριά για να λύνω τα προβλπματα»

παραπονέθπκε το κορίτσι «Βέβαια και μπορείς» nετάχτnκε ο Τσάρλι. «Αδύνατον. Η τσάντα μου είναι φίσκα, κο­ ντεύει να σπάσει.»

«Δεν χρειάζεται μια αλnθινn ζυγαριά. Αρκεί

να τπ ζωγραφί σεις. Κι ούτε καν χρειάζεται να

136

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

κάνεις καλιΊ ζωγραφιά, αρκεί κάτι τέτοιο» είπε ο συγγραφέας, κι έκανε ένα σκίτσο στο τετρά­ διό του.

τ

Τ

1+ 1

«Τι ωραία ιδέα!» φώναξε π Αλίκπ. «Αν θέλεις, μπορείς να απλοποιιΊσεις ακό­ μα περισσότερο το σχέδιο» τπ διαβεβαίωσε

ο Τσάρλι. «Αν ονομάσουμε χ το βάρος του τούβλου, το βάρος του μισού τούβλου θα εί­ ναι χ / 2, και μπορούμε να γράψουμε: χ=

1+

χ /2

Το σπμάδι = δείχνει ότι n ζυγαριά έχει ισορ­ ροππσει,

n αλλιώς,

αυτό που είναι στπ μια με­

ριά είναι ίσο με αυτό που υπάρχει στπν άλλπ.

Αν τώρα βγάλουμε μισό τούβλο από κάθε πλευ­ ρά, θα μείνει πάλι σε ισορροπία. Στο πρώτο πιά­

το θα μείνει μισό τούβλο και στο δεύτερο μό-

137

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

νο το βάρος του ενός κιλού. Άρα γράφουμε:

x/2=1 Αυτό σπμαίνει ότι το μισό τούβλο είναι ίσο μ' ένα κιλό. Συνεπώς, ένα τούβλο ζυγίζει δύο κι­ λά.»

«Μαι αυτό που έγραψες εκεί είναι μια εξί­ σωσπ!» είπε το κορίτσι με μια δόσn αnδίας στπ φωνπ τπς, σαν να είχε δει καμιά κατσαρίδα. Και του Γάτου του άρεσε τόσο πολύ, που δεν

σταμάτπσε να γελάει ώσπου εξαφανίστπκε εντελώς.

138

τ ο μαγικό τετράγωνο

Η

Αλίκπ και ο Τσάρλι έμπαιναν όλο και πιο Βαθιά στο δάσος, ακολουθώντας

πάντοτε τπ διαγώνιο του μεγάλου τετραγώνου

με τους δενδροειδείς αριθμούς. Κάτω από το 651 (που από τον κορμό του

έΒγαιναν τρία κλαδιά, το καθένα χωρισμένο σε εφτά, που με τπ σειρά τους χωρίζονταν σε τριά­ ντα ένα) είδαν μια χελώνα μ' ένα αλλόκοτο

σχέδιο στο καΒούκι. Όταν αντιλπφθπκε ότι κά­ ποιος τπν πλπσίαζε, το αμφίΒιο έγινε καπνός με ταχύτπτα που δεν χαρακτπρίζει το είδος του.

139

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Τι πταν αυτό;» ρώτπσε n Αλίκπ.

«Η lερπ χελώνα που ο Κινέζος σοφός Γιου

είδε να βγαίνει από το Κίτρινο Ποτάμι» αποκρί­ θπκε ο Τ σάρλι. «Έτσι, τουλάχιστον, μας διπγεί­ ταl το ΒI!3λίο των Αλλαγών, που έχει γραφτεί εδώ και τρεις χιλιάδες χρόνια. Τ α σπμάδια στο

καβούκι τπς είναι οι αριθμοί από το 1 ως το 9 σχπματισμένοl με μαύρα και λευκά σπμαδάκια,

και φτιάχνουν ένα μαγικό τετράγωνο.» «Και τι είναι ένα μαγικό τετράγωνο;»

Αντί γι' άλλπ απάντπσπ, ο Τσάρλι σχεδίασε στο τετράδιό του ένα τετράγωνο που το χώρι­ σε σε εννέα τετραγωνάκια.

«Αν καταφέρεις να βάλεις στα κουτάκια τους

140

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

αριθμούς από το 1 ως το 9, έτσι ώστε όλες οι γραμμές, οι στnλες και οι διαγώνιες να έχουν

το ίδιο άθροισμα, θα έχεις φτιάξει ένα μαγι­ κό τετράγωνο.»

«napaTnpnoa ότι στο κέντρο τnς χελώνας υππρχαν πέντε τελείες που έφτιαχναν ένα σταυ­

ρό» σχολίασε n Αλ.ί Kn. «Ε, τότε έχουμε προχωρnσει κιόλας πολύ.

Ας βάλουμε το 5 στο κεντρικό τετράγωνο.»

5

«Και τώρα;»

«Και τώρα, ας σκεφτούμε. Πόσο πρέπει να

είναι το άθροισμα σε κάθε σειρά, στnλn και διαγώνιο;»

141

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Το ίδιο» αποκρίθπκε το κορίτσι. «Ναι, αλλά πόσο;»

«Δεν ξέρω ... »

«Πόσο άθροισμα έχουν οι αριθμοί από το ως το

9;»

«Θα το λογαριάσω με το κόλπο του μικρού

Γκάους: (9+ 1) χ 9/2 = 45.»

«Τ ότε, τι άθροισμα θα έχουν οι αριθμοί κά­

θε σειράς;» «Το Βρπκα!» φώναξε n Αλίκπ. «Αφού και οι τρεις σειρές έχουν άθροισμα 45 και αφού το

άθροισμα στπν κάθε σειρά είναι το ίδιο, n κά­ θε σειρά θα έχει άθροισμα 45/3 = 15. Το ίδιο οι στπλες και οι διαγώνιοι.» «Σωστά. Και τώρα έχεις καμιά ιδέα για να συνεχίσεις;»

«Δεν ξέρω από πού ν' αρΧί σω» παραδέΧτπ­ κε το κορίτσι.

«Όταν δεν ξέρεις από πού ν' αρΧί σεις, τό­ τε το καλύτερο εί να ι να ξεκινάς πάντα από τπν αρχΠ. Στπν περίπτωσπ μας, από το 1. Πού μπο­

ρείς να το τοποθετπσεις;»

142

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Υπάρχουν μόνο δύο δυνατότπτες. Να το

βάλω σε μια γωνιά

n στπ

μέσπ κάποιας πλευ­

ράς του τετραγώνου.»

«Πολύ ωραία. Κατάλαβες, λοιπόν, ότι οι τέσ­ σερις γωνίες είναι ισοδύναμες, το ίδιο και τα

κέντρα των πλευρών. Ας δούμε τι συμβαίνει αν το βάλουμε σε μια γωνιά.» '

1 5

«Δεν βλέπω να συμβαίνει τίποτα» είπε n Αλίκπ.

«Και τώρα;» ρώτπσε ο Τσάρλι, αφού πρόσθε­ σε έναν αριθμό και τέσσερα γράμματα στο τε­ τραγωνο.

143

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

1

Α

Γ

5

Β

Δ

9

«Το 9, αναγκαστικά, θα πάει εκεί, για να

μπορούν

Ot

τρεις αριθμοί τnς διαγωνίου να

δίνουν άθροισμα 15. Αυτό το κατάλαβα. Αυτά τα γράμμαια, όμως ... »

«Πόσο άθροισμα πρέπει να δίνουν το Α και το Β;»

«Πρέπει να μας δίνουν

14

για να γίνει 15

μαζί με το 1.» «Και το

r και Δ:,»

«Κι αυτά πρέπει να κάνουν 14, για τον ίδιο λόγο.»

«Και ποιοι δύο αριθμοί από το 1 ως το 9 μας δίνουν δεκατέσσερα αν προστεθούν;» «Το 5 και το 9 ... και το 8 και το 6» απάvτn-

144

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

σε

n Αλίκπ

ύστερα από μια μικρή παύσπ, και με­

τρώντας κρυφά με τα δάχτυλά τπς.

«Ακριβώς. Όμως, το 5 και το 9 τα έχουμε κιόλας βάλει, άρα μας απομένουν μόνο το 8 με το 6. Γι' αυτό δεν υπάρχει τρόπος να φτιά­ ξουμε Α + Β = 14 και ταυτόχρονα Γ

+ Δ = 14,

αφού έχουμε μόνο ένα ζευγάρι αριθμών που δίνουν 14 ως άθροισμα. Τι συμπέρασμα βγά­ ζεις από αυτό;» «Μήπως το

1

δεν πρέπει να πάει στπ γω­

νία;»

«Πολύ σωστά» τπ συγχάρηκε ο Τσάρλι.

«Αποδείξαμε ότι το ένα δεν μπορεί να μπει σε

γωνί α, με τπν παλιά μέθοδο της εις άτοπον aπaΥωΥιΊς.»

«Κάτι μου θυμίζει, μα δεν ξέρω τι είναι αυ­ τή η μέθοδος.»

«Είναι απλό. Αρκεί να δείξεις ότι κάτι δεν ισχύει, κάνοντας πρώτα rnv υπόθεσn ότι ισχύ­ ει, και βλέποντας ότι η υπόθεσή σου σε οδπγεί σε κάτι ανόητο ή αδύνατο. Αυτό σημαίνει άτο­

πο. Στπν περίπτωσή μας, κάναμε τπν υπόθεσπ

145

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ότι το

1 μπαίνει σε γωνία του τετραγώνου και

είδαμε ότι αυτή n υπόθεσπ μας οδήγπσε σε αδιέξοδο. Δπλαδή, σε άτοπο. Συνεπώς ... » «Τ ο

1 πρέπει να μπει στπ μέσπ μιας πλευ­

ράς» συμπέρανε

1

n Αλί Kn.

5

«Ακριβώς. Και τώρα εί ναι εύκολο να συμπλπ­ ρώσουμε το τετράγωνο. Δεξιά από το 5 πρέ­ πει να μπει

.. »

«Το 9, για να γίνει 15 το άθροισμα τπς δεύ­ τερπς σειράς» συνέχισε το κορίτσι «Και το

1

πρέπει να μπει ανάμεσα στο 8 και το 6. Έτσι, και n πρώτπ στήλπ δίνει άθροισμα 15. Τα υπό­ λοιπα μπαίνουν μόνα τους.»

146

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤ1ΚΑ

8

3

4

1

5

9

6

7

2

«Ορίστε, έχεις ένα μαγικό τετράγωνο» είπε ο

Τ σάρλι μ' ένα χαμόγελο (που αυτπ τπ φορά πταν πλατύ και όχι αινιγματικό).

«Τι απίθανο!» φώναξε n Αλίκπ. «Έχει κι άλλα μαγικά τετράγωνα;»

«Τ ρίτπς τάξπς, βασικά, είναι μόνο αυτό.» «Τι πάει να πει τρίτπς τάξπς;» «Η τάξπ ενός μαγικού τετραγώνου είναι ο αριθμός τετραγώνων τπς πλευράς του.» «Μα δεν υπάρχει μόνο ένα» παρατήρπσε το

κορίτσι. «Αν βάλουμε τπν αριστερή στήλπ στα

δεξιά και τπ δεξιά στ' αριστερά, εξακολουθεί να είναι μαγικό τετράγωνο.»

147

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

4

3

8

9

5

1

2

7

6

«Σωστά, όμως αυτό το τετράγωνο είναι n εικό­

να του άλλου μέσα στον καθρέφτπ. Το ίδιο

συμβαίνει με όλα τα μαγικά τετράγωνα που

μπορούμε να φτιάξουμε: Μπορείς να τα αλλά­ ξεις με περιστροφπ

n αντιστροφπ,

όμως, βα­

σικά, είναι ίδια.»

«Και τέταρτπς τάξπς;» «Εδώ έχουμε μεγαλύτερπ ποικιλία. Με τους

αριθμούς από το 1 ως το

16 μπορούμε να

φτιάξουμε 880 διαφορετικά μαγικά τετράγω­ να τέταρτπς τάξης.» «Πώς;» «Θα δεις.»

Πράγματι, σε λίγο, και ακολουθώντας πάντο-

148

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

τε τπ διαγώνιο του δάσους, έφτασαν στο

2.451 .

(Από τον κορμό του έΒγαιναν τρία κλαδιά και το καθένα χωριζόταν σε δεκαεννιά που με τπ σειρά τους χωρίζονταν σε σαράντα τρία το κα­ θένα). Στπ σκιά του πυκνού δέντρου είδαν, στο έδαφος, μια τετράγωνη πέτρινπ πλάκα χωρι­

σμένπ σε δεκαέξι τετραγωνάκια. Στα δώδεκα

τετράγωνα τπς περιμέτρου υππρχαν αριθμοί χαραγμένοι στπν πέτρα, όμως, τα τέσσερα του

κέντρου ιΊταν άδεια.

16 3

2 13

5

8

9

12

4 15 14 1 «Εδώ Βλέπεις ένα μαγικό τετράγωνο τέταρτης

149

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

τάξπς» είπε ο Τσάρλι. «Είναι το ίδιο που απα­

θανάτισε ο Ντίρερ στο διάσπμο χαρακτικό του: «Μελαγχολία». Μάλιστα, οι αριθμοί στο κέ­ ντρο τπς εσωτερlκιΊς σειράς δείχνουν το έτος

που έφτιαξε το χαρακτικό: 1514.» «Μα, αφού είναι μισοτελειωμένο» παρατπ­ ρπσε n Αλί Kn.

«Ναι. Πρέπει να το συμπλπρώσεις εσύ για να μπεις.»

«Πού να μπω;»

«Θα το μάθεις όταν θα μπεί ς.»

«Και πώς θα χαράξω τους αριθμούς επάνω στπν πέτρlνπ πλάκα;» «Μπορείς να τους σχεδιάσεις με το δάχτυ­

λό σου, αρκεί να είναι οι σωστοί. Η αλπθεια μα­ λακώνει τπν πέτρα.»

«Καλά, καλά, θα προσπαθΠσω. Δώσε μου το τετράδιό σου να κάνω μια δοκιμΠ ... Για να δού­

με, λείπουν οι αριθμοί 6, 7, 1Ο και 11, και πρέ­

πει να τους βάλω στα τετράγωνα του κέντρου. Οι αριθμοί τπς πρώτπς στπλπς έχουν άθροισμα

16 + 5 + 9 + 4

=

34. Συνεπώς, όλες οι στπ-

150

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

λες, οι σειρές και οι διαγώνιες πρέπει να έχουν

το ίδιο άθροισμα ... Στn δεύτερn στnλn έχουμε το

3 και το 15, που μας κάνουν 18, άρα λεί­

πουν

16 ώς το 34. Με τα τέσσερα νούμερα που

μένουν, ο μοναδικός τρόπος να φτιάξεις

άθροισμα 16 ειναι με το 6 και το 10. Άρα, πρέ­ πει να τα Βάλω στπ δεύτερn στnλn. Όμως, με ποια σειρά; Ας υποθέσουμε, κατ' αρχάς, ότι τα

Βάζω έτσι ... »

16 3

5

2 13

8

6

9 10

12

4 15 14 1

151

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Τα κατάφερες;» rn ρώτnσε ο Τσάρλι, κοιτάζο­ ντας το τετράδιο πάνω από τον ώμο τπς Αλί­ κπς.

«ΌΧι, έτσι δεν γίνεται» αποκρίθπκε εκείνπ ύστερα από λίγα δευτερόλεπτα. «Γιατί οι τρεις

αριθμοί τπς δεύτερπς σειράς έχουν άθροισμα

19 και θα έλειπαν 15 για το 34, όμως, το 15 είναι πδπ τοποθετπμένο. Άρα, πρέπει να μπει το

1Ο επάνω και το 6 από κάτω ... Τ ώρα, εντάξει, και το

11 και το 7 είναι πανεύκολα. .. »

16 3

2 13

5

10 1 1 8

9

6

7 12

4 15 14 1 152

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑTlΚΑ

Η Αλί κπ γονάτισε στο έδαφος κι έγραψε με το

δάχτυλο τους τέσσερις αριθμούς στα κεντρι­ κά τετραγωνάκια τπς πλάκας. Η πέτρα άνοιγε κάτω από το δάχτυλό τπς σαν να πταν μαλα­ κός ππλός, κι όταν έγραψε και το τελευταίο

νούμερο, γλίστρπσε οριζόντια και άφπσε να φανεί μια κατακόρυφπ και σκοτεινπ σκάλα που χωνόταν στα έγκατα τnς γπς.

«Πού οδπγεί;» ρώτπσε το κοριτσι γυρνώ­

ντας προς τον Τ σάρλι. Όμως, ο συγγραφέας είχε εξαφανιστεί.

153

Ο Μaθπμάγος

Η

περιέργεια τπς Αλίκπς πταν πιο δυνατιΊ από το φόΒο τπς - όπως είπαμε-,

και συνεπώς, χωρίς να το πολυσκεφτεί, άρχι­

σε να κατεβαίνει από τπ σκοτεινπ σκάλα. Όσο κι αν προσπαθούσε να δει, το τέρμα τπς δεν φαινόταν.

Μετά από αρκετπ ώρα μέσα στα σκοτάδια,

έφτασε σ' έναν οριζόντιο διάδρομοι το ίδιο σκοτεινό, που απ' το βάθος του, όμως, άφπνε να αχνοφέγγει ένα κεχριμπαρένιο φως. Κατευ­

θύνθπκε προς τα εκεί καθώς δεν μπορούσε πια να γυρίσει πίσω. Η πέτρινπ πλάκα, με το που

είχε αρχίσει να κατεΒαίνεl 1 ξανάκλεισε πάνω από το κεφάλι τπς. Ο διάδρομος τπν οδπγπσε

σε μια μεγάλπ αίθουσα φωτισμένπ από πέντε

154

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

λευκά πολύεδρα που έμοιαζαν μετέωρα κι

έβγαζαν το δικό τους φως. Ήταν τα πέντε πλα­ τωνικά στερεά, ένα κανονικό τετράεδρο, ένας

κύβος, ένα οκτάεδρο, ένα δωδεκάεδρο κι ένα εικοσάεδρο.

Σ το βάθος τπς αίθουσας, πάνω σ' ένα με­

γάλο πέτρινο θρόνο, καθόταν ένας σεβάσμιος γέροντας με λευκΓΊ γενειάδα και διάΒαζε ένα βιβλίο. Φορούσε ένα μαύρο μανδύα που του έφτανε ώς τις πατούσες κι ένα μυτερό κωνι­ κό καπέλο στο κεφάλι, όπως οι μάγοι στα

παραμύθια. Μόνο που στο καπέλο του είχε αριθμούς και μαθπματικά σπμάδια αντί γι' αστέρια.

«Πλπσίασε» τπς είπε ο παράξενος γέρο­ ντας, χωρίς να σπκώσεl τα μάτια του από το βιβλίο.

Όταν π Αλίκπ, διστaΚΤικΓΊ, πΓΊγε δίπλα του,

εκείνος τnς έδειξε με το δάχτυλο τπ σελίδα που διάβαζε. Υππρχε ένας πίνακας γεμάτος

με αριθμούς ...

155

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

1 2

4

8

5 10 6 1 1 11 7 14 10

9 15 12 13 3

6

7

9

7 1 1 15 12

15 3 13 15 13 14 5 14 «Τι είναι αυτό;»

«Ένας μικρός πίνακας μαντείας.»

156

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Είσαι μάγος;»

«Είμαι μαθπμάγος. Ασκώ τπ μαθπμαγεία. Βάλε στο μυαλό σου έναν αριθμό από το το

15

1 ως

και πες μου σε ποια από τις τέσσερις στπ­

λες βρίσκεταΙ.» «Σ τπν πρώτπ και στπν τέταρτπ» ει πε π Αλί κπ ύστερα από λίγα δευτερόλεπτα.

«Είναι το

9»

είπε αμέσως ο μάγος, σιγου­

ρότατος.

«Ξέρεις τον πίνακα από μνΠμπς.»

«Στα μαθπματικά δεν χρειάζεται μνπμπ, αλ­

λά εξυπνάδα. Όταν σου εξπγπσω πώς λειτουρ­ γεί ο πίνακας, κι εσύ θα μπορείς να τον χρπ­

σιμοποιείς, και μάλιστα θα μπορέσεις να φτιά­ ξεις και δικό σου πίνακα.» «Απίθανο. Μ' αρέσουν πολύ αυτά τα κόλπα.» «Λοιnόν, αυτό το μικρό μαθπμαγlκό κόλπο

βασίζεται σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότπτα τπς σειράς των δυνάμεων του

2 ... »

«Τι είναι πάλι αυτό;»

«Τ πν ξέρεις αυτπ τπ σειρά. Είναι σπυριά σιτάρι στπ σκακιέρα.

157

n ίδια με τα 1, 2, 4, 8, 16...

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

Αφού διπλασιάζεις τον αριθμό σε κάθε τετρα­ γωνάκι ι πολλαπλασιάζεις συνεΧώς με το 2 ι κι έτσι παίρνουμε μια σειρά από δυνάμεις του 2.»

Η Αλίκπ ππγε να τον ρωτιΊσει πώς πξερε αυ­

τός ότι εκείνπ γνώριζε τπν ιστορία τπς σκακιέ­ ρας με το σιτάριι όμως, ο μαθπμάγος γύρισε τις σελίδες του βιβλίου και τπς έδειξε μια στπ­ λπ με ισότnτες. Αν και αυτό έμοιαζε περισσό­ τερο με σκάλο ι παρά με στΠλπ.

20 = 1 21

=

2

22

=

2

χ

2= 4

23

=

2

χ

2

χ

2= 8

24

=

2

χ

2

χ

2

χ

2

=

16

25 = 2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2 = 32

26 = 2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2 = 64

27 = 2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2 = 128

28

=

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2 = 256

29

=

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

«Γιατί

20

χ

2

=

51 2

είναι ίσο με 1;» ρώτπσε το κορίτσι.

158

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Πολύ καλπ ερώτησπ ... Ξέρεις να διαιρέσεις

το

25

με το

22;

Μπορείς να κάνεις τις πράξεις

προφορικά.»

«Ξέρω να κάνω μερικές πράξεις νοητα, όμως, πώς γίνονται προφορικά;»

«Με δυνατπ φωνΠ.»

Η Αλίκη σκέφτπκε ότι ο μαθπμάγος πταν λί­

γο παλαΒός. Τι νόπμα είχαν οι πράξεις με δυ­ νατπ φωνπ; Αν δεν γράφεις σε χαρτί

n σε πί­

νακα και τις λες φωναχτά, πάνε όλες χαμένες. Παρόλα αυτά του έκανε το χατίρι κι άρχισε να

λέει: «Αφού

25

είναι

2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2 ... »

Ύστερα έμεινε άφωνη όταν διαπίστωσε

ότι, όσο έλεγε τους αριθμούς, από το στόμα της έΒγαιναν νούμερα από συννεφάκια καπνού, που έμεναν μετέωρα και τακτοποιημένα στον

αέρα.

25 = 2

χ

2

χ

2

χ

2

χ

2

Ήταν μεγάλοι και λαμπεροί αριθμοί που έμοια-

159

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ζαν φτιαγμένοι από έναν πορφυρό καπνό που έΒγαζε δικό του φως. «Συνέχισε» τπν ενθάρρυνε ο μαθπμάγος. «Λοιπόν, αυτό μας κάνει

σουμε με το κάνει

22,

που είναι

2

32. Αν το διαιρέ­ χ

δnλαδn

2

4, μας

8.»

Ενώ τα έλεγε, έΒγαιναν από το στόμα τnς

νέα σύμΒολα και αριθμοί, που στέκονταν δίπλα στους άλλους.

25 = 2

χ

2

χ

2

22 = 2

χ

χ

2

χ

2 = 32

2=4

32 : 4 = 8 «Πολύ ωραία» είπε ο μαθnμάγος, «όμως, μπο­ ρούμε να κάνουμε τπ δ,αίρεσπ κατευθείαν, χω­ ρί ς να πολλαπλασιάσουμε όλα αυτά τα δυάρια.»

Ανακάτεψε με το χέρι του τους αιωρούμε­

νους αριθμούς, και τους έΒαλε να παρατα­

χθούν με τον ακόλουθο τρόπο:

25/22 = 2

χ

2

χ

2

160

χ

2

χ

2/2

χ

2

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

«Και τώρα;» ρώτπσε

n Αλί Kn.

«Τ ώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε το κλά­

σμα στα δεξιά διαιρώντας δύο φορές με το

2

και τον αριθμπτή και τον παρονομαστή, ή αλ­

λιώς, Βγάζουμε δύο δυάρια από επάνω και δύο από κάτω, και μας μένουν

23»

2

χ

2

Χ

2,

ή αλλιώς

αποκρίθnκε ο μαθπμάγος, και με μια γρή­

γορπ κίνπσπ απλοποίnσε

rnv

lσότπτα:

«Ναι, έτσι είναι πιο εύκολο» παραδέχτnκε

n

Αλίκπ.

«Και τώρα πρόσεξε καλά: αυτό που κάναμε ήταν να αφαιρέσουμε από τα πέντε

2 του αριθ­

μπτή τα δύο του παρονομαστή, δπλαδrΊ, οφαι­

ρέσαμε τους εκθέτες:

5 - 2 = 3, κι αυτό το τρία

είναι ο εκθέτπς του αποτελέσματος:

23. Αν τώ­

ρα θέλαμε να διαιρέσουμε, για παράδειγμα, το

29

με το

25 ... »

«Αφού 9 - 5 λαδrΊ

16»

= 4,

το ππλίκο θα είναι

συμπέρανε το κορίτσι.

161

24,

δn­

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Ακριβώς. Για να διαιρέσουμε δυνάμεις του

ίδιου αριθμού l αρκεί να αφαιρέσουμε τους εκ­ θέτες. Τ ώρα l διαίρεσε το

23

με το

23.»

«Αυτό είναι αnλούστατο. Κάθε αριθμός διαι­ ρεμένος με τον εαυτό του μας κάνει

1.»

«Ναl l αλλά κάν' το αφαιρώντας τους εκθέ­ τες, όπως είδαμε.»

«Οι δύο εκθέτες είναι τρία, άρα 3 - 3

= Ο ...

Μπδέν!»

«Έτσι είναι.

23: 23 = 20.

Όμως, όπως εσύ n

ίδια είnες πριν αnό λίγο, κάθε αριθμός nou διαιρείται με τον εαυτό του μας κάνει 1, συνε­

πώς,

20 = 1.

Κι αυτό nou κάναμε με το 2 μπο­

ρούμε να το κάνουμε, φυσικά, με οποιονδππο­

τε άλλον αριθμό. Έτσι, κάθε αριθμός υψωμέ­ νος στπ μπδενικΓι δύναμπ είναι ίσος με 1.»

«Τ ι παράξενο» εί nε n Αλί Kn. «Λοιnόν, ακόμα πιο παράξενn είναι n σειρά των δυνάμεων του 2. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί

είναι,

nδυνάμεις του 2, nτο άθροισμα διαφο­

ρετικών δυνάμεων του 2. Και κάτι ακόμα πιο

σnμαντικό. Κάθε αριθμός μπορεί να εκφρα-

162

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

στεί με μοναδικό τρόπο με δυνάμεις του

2.»

Ενώ τα έλεγε αυτά, ο μαθnμάγος γύρισε τις σελίδες του ΒιΒλίου κι έδειξε orn Αλίκπ μια λί­ στα:

1 = 20

2

=

21

3 = 20+ 21 4 = 22 5 = 20+ 22 6 = 21 + 22 7 = 20+ 21 + 22 8 = 23 9 = 20+ 23 10= 21 + 23

«Κι αυτό είναι τόσο σπουδαίο;» ρώτnσε

n Αλί­

Kn όταν τπν είδε. «Πάρα πολύ. Επίσnς μπορούμε, για παρά­

δειγμα, να εκφράσουμε κάθε αριθμό ως άθροισμα διαφορετικών περιττών αριθμών, όμως, όχι με μοναδικό τρόπο. Έτσι, το 16 εί-

163

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

ναι

9 + 7, όμως μπορεί να είναι 1 + 3 + 5 +

7. Έχουμε φτιάξει τον ίδιο αριθμό με δύο δια­ φορετικούς τρόπους, κάνοντας άθροισμα πε­ ριττών. Όμως, στπ σειρά 1, 2, 4, 8, 16 ... κά­

θε άθροισμα όρων τπς μας δίνει διαφορετικό αποτέλεσμα.»

«Κι αυτό σε τι χρπσιμεύει;»

«Θα μπορούσαμε να μιλάμε πάρα πολλές ώρες για τις ιδιότπτες aυτπς τπς πάρα πολύ εν­ διαφέρουσας σειράς ... })

«ΌΧΙ, όΧΙ πολύ] παρακαλώ» διαμαρτυρπθπκε

π Αλί Kn, που κατάλαΒε ότι θα γινόταν όπως ένα κανονικό μάθπμα μαθπματικών. «Σύμφωνοι, τότε θα σου πω μόνο πως χρπ­

σιμεύει για να φτιάξεις έναν πίνακα όπως αυ­

τός που σου έδειξα πρωτύτερα. Τ ώρα θα σου εξπγπσω πώς γίνεται, κι έτσι θα μπορέσεις να κάνεις τα δικά σου κόλπα μαθπμαγείας. Στπν αΡΧrl,

παίρνουμε τους τέσσερις

όρους τπς σειράς:

1, 2] 4

και

8.

πρώτους

Θα μπορού­

σαμε να πάρουμε κι άλλους, όμως τότε ο πί­

ναKας θα γινόταν πολύ μεγάλος. Μ' αυτούς

164

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤIΚΑ

τους τέσσερις όρους μπορούμε να εκφράσου­

με, με μορφπ αθροίσματος, τους αριθμούς από το 1 ως το 15, που θα τους τοποθετιΊσου­ με με τον ακόλουθο τρόπο ... »

Ο μαθπμάγος άρχισε να λέει αριθμούς που έΒγαιναν από το στόμα του σαν συννεφάκια πορφυρού καπνού, και τακτοποlιΊθπκαν σε στιΊ­ λες.

1 3 5

7 9 11

4

2 3

5 6 7

6 7

9 10

10

11

11 12 13 14 15

12

13 14 15

13 14

15

8

15

165

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Γιατί είναι μ' αυτπ Tn σειρά;» «Είναι απλό: το

3

είναι

1 + 2,

άρα το τοπο­

θετούμε στπ στπλπ του

1 και του 2, το 5 είναι 1 + 4, άρα το τοποοθετούμε στπ στπλπ του 1 και του 4, το 6 είναι 2 + 4, άρα το τοποθετού­ με στπ στπλπ του 2 + 4, το 7 είναι 1 + 2 + 4 ... » «Άρα θα το βάλουμε στπ στήλπ του ένα, στπ στήλπ του

2

και

arn

στπλπ του τέσσερα. Τ ώρα

το κατάλαβα. Σε τι χρπσιμεύει;» ρώτπσε

n Αλί­

Kn. «Αν εσύ τώρα μου πεις, για παράδειγμα,

έναν αριθμό που βρισκεταl στπν πρώτn και στπν τέταρτπ στήλπ, αρκεί να προσθέσω

1+ 8

και

βρίσκω αμέσως ότι είναι το

9. Αν είναι μονά­ χα στπν τρίτπ στπλπ, είναι το 4. Αν είναι στπν πρώτη, στπ δεύτερπ και τπν τέταρτη, είναι το 1 + 2 + 8 = 11. Αν είναι σε όλες, ειναl 1 + 2 + 4 + 8 = 15.» «Το βλέπω. Ο πίνακας που μου έδειξες πριν είναι ίδιος μ' αυτόν, μόνο που οι αριθμοί κά­

θε στπλπς έχουν άλλπ σειρά.» «Βέβαια. Μόλις φτιάξεις τον πίνακα, μπο-

166

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ρείς να Βάλεις τους αριθμούς κάθε στnλnς aTn σειρά που θέλεις, για να μπν καταλαΒαίνουν το κόλπο σου.»

«Πολύ πονπρό» παραδέχτπκε

n Αλίκπ. «Κι

εγώ ξέρω ένα κόλπο για να προσθέτω πάρα πολύ γρΠγορα. Μπορώ να προσθέσω τους αριθμούς από το 1 ως το 1σο στο άψε-σβπσε.»

«Και ξέρεις να προσθέσεις τους όρους τπς σειράς

1,2,4,8,16 ... »

«Ναι, το έμαθα όταν είδα τους σπόρους του σταριού και τπ σκακιέρα. Είναι πανεύκολο. Το

άθροισμα είναι το διπλό του τελευταίου αριθ­ μού πλπν

1. Για παράδειγμα, 1 + 2 + 4 + 8 +

16 + 32 + 64 = 2

χ

64 - 1 = 127.»

«Πολύ ωραία» τπ συγχάρπκε ο μαθπμάγος, μ' ένα χαμόγελο ικανοποί πσπς. «Ξέρεις κι άλλο κόλπο για να κάνεις γρπγο­

ρα προσθέσεις;» τον ρώτπσε το κοριτσάκι

«Ναι, ΒέΒαια ... » αποκρίθnκε ο γέροντας. ΈΒγαλε το μυτερό καπέλο του με τους αστερι­

σμούς των αριθμών, κι από μέσα έΒγαλε ...

167

Τα κουνέλια του Φιμπονάτσι

«Έ να κουνελάκι!» φώναξε η Αλίκη. «Μια κουνελίτσα» διευκρίνισε ο μαθπμάγος, ενώ ακουμπούσε απαλά στο έδαφος το μικρό,

άσπρο ζωάκι «Σ' ένα μπνα θα έχει ενπλπκιω­ θεί.» Μόλις το είπε αυτό, ο γέροντας χτύππσε μια φορά παλαμάκια, και

n

κουνελίτσα μεγάλωσε

πολλές φορές σε μέγεθος. «Πέρασε μnπως ένας μnνας με μαγικό τρό­ πο;» ρώτπσε άναυδπ

n Αλίκπ.

«Μπν ανπσυχείς για εμάς. Επιτάχυνα το ρυθ­

μό τπς ζωnς τπς κουνελίτσας για να μπν περι­ μένουμε τόσο πολύ. Γι' aurnv πέρασε κιόλας ένας μnνας. Τώρα είναι ώριμπ κουνέλα, και εί­

ναι έγκυος. Σ' ένα μnνα θα γεννπσει κουνελά­ κι.»

168

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

«Θέλω να τπ δω!» ζnτnσε

n Αλίκπ.

«Σύμφωνοι.»

Ο μαθπμάγος χτύππσε πάλι τις παλάμες του, και δί πλα στπν κουνέλα παρουσιάστπκε άλλπ

μία, τόσο μικρn όσο και

n πρώτn που είχε βγει

από το καπέλο του.

«Σ' ένα μnνα θα είναι κι

aUTn

ώριμπ και

έγκυος;»

«Ναι. Εξάλλου,

n μαμά τπς θα κάνει κι άλλο

κουνελάκι, γιατί οι κουνέλες, άμα μεγαλώσουν, γεννάνε ένα κουνελάκι το μnνα.»

ο μαθπμάγος χτύππσε πάλι παλαμάκια. Το κουνελάκι μεγάλωσε, κοι δίπλα στπ μπτέρα εμ­ φανίστπκε κι άλλπ κουνελίτσα.

«Απί στευτο. Σ' ένα μπνα

n κουνελίτσα

θα με­

γαλώσει, ενώ οι άλλες δυο θα έχουν από ένα μικρό π κάθε μια» είπε

n Αλί ΚΠ.

«Σωστά» τπ διαβεβαίωσε ο γέροντας. Χτύ­ ππσε πάλι τις παλάμες του, κι έγινε αυτό που

είχε προβλέψει

n Αλίκπ.

Στο έδαφος χοροππ­

δούσαν τρεις μεγάλες κουνέλες και τρεις μι­

κρές. Πάλι παλαμάκια. Πέντε ώριμες και τρεις

169

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

μικρές. Πάλι: οχτώ ώριμες και πέντε μικρές ... »

κ

Κ Κκ ΚΚκ ΚΚΚκκ ΚΚΚΚΚκκκ

ΚΚΚΚΚΚΚΚκκκκκ

«ΜπράΒο!» χειροκρότnσε το κορίτσι, μα στα­ μάτησε απότομα. «Ευτυχώς που τα δικά μου χειροκροτιΊμaτα δεν κάνουν τις κοuνέλες να

μεγαλώνουν και να πολλαπλασιάζονται, γιατί αλλιώς θα είχε γεμίσει το δωμάτιο.»

«ΒέΒαια, n σειρά αυτιΊ μεγαλώνει αρκετά γριΊγορα. Για να δούμε. Στη αρχιΊ ιΊταν μόνο ένα, ύστερα από ένα μπνα πάλι μόνο ένα, σε

δύο μπνες ειχaν γίνει δύο, και ύστερα από τρεις μιΊνες, τρίο. .. »

«Ύ στερα, πέντε» συνέχισε n Αλίκπ, «ύστερα οχτώ και τώρα είναι πδη δεκατρία.»

170

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤ1ΚΑ

Ενώ ο μαθπμάγος και n Αλίκπ μιλούσαν ι

από το στόμα τους έβγαιναν συννεφάκια πορ­ φυρού καπνού που γίνονταν αριθμοί κι έμπαι­ ναν στπ σειρά στον αέρα.

1 1 2 3 5 8 13 «Όπως βλέπεις» τπς έδειξε ο μαθπμάγος, «κά­

θε αριθμός είναι το άθροισμα τον δύο προπ­ γούμενων:

1 + 1ι 3

2

=

=

5 + 8... »

=

1 + 2, 5

=

2 + 3, 8

=

3 + 5, 13

«Εάν χτυπτΊσεις τώρα παλαμάκια θα γίνουν

21 κουνέλεςι ύστερα 34 ι ύστερα 55, 89 ... » «Ακριβώς. AUTn τπ σειρά τπν ανακάλυψε ο

Λεονάρντο τπς Πίζας, ένας σπουδαίος Ιταλός μαθπματικός του δωδέκατου αιώνα ι που nTav περισσότερο γνωστός ως Φιμπονάτσι. Μετα­ ξύ άλλων ι αυτός nTav που έφερε στπν Ευρώππ

το σύστπμα αρίθμπσπς των Αράβων, που πδπ ιΊτaν γνωστό στπν lσπaνί α. Μάλιστα, aUTnv rnv πολύ ενδιαφέρουσα σειρά τπ σκέφτπκε ενώ

171

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

μελετούσε την αναπαραγωγπ των κουνελιών.» «Και σε τι χρησιμεύει;»

«Έχει πολύ σπμαντικές εφαρμογές, και τπ βλέπουμε πολύ συχνά στπ φύσπ. Για παράδειγ­ μα, n ανάπτυξπ και n διακλάδωση πολλών φυ­ τών γίνεται σύμφωνα με τπ σειρά αυτπ, Π άλ­ λες παρόμοιες. Στπν πραγματικότητα υπάρχουν πολλές σειρές Φιμπονάτσl.» «Και πώς είναι οι άλλες;»

«Αν προσέξεις καλύτερα, θα δει ότι n σειρά καθορίζεται από τους δύο αρχικούς αριθμούς τπς, αφού ο τρίτος είναι το άθροισμα αυτών των δύο. Ύστερα, ο τέταρτος είναι το άθροι­ σμα του τρίτου και του δεύτερου, και πάει

λέγοντας. Εάν, αντί να ξεκινπσω με δύο 1, ξε­

κινπσω με άλλο ζευγάρι αριθμών, θα έχουμε μια διαφορεTlΚιΊ σειρά. Για παράδειγμα:

2, 2, 4, 6, 1Ο, 16, 26, 42, 68, 11 Ο ... 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76 ... 3, 2{ 5, 7{ 12{ 19{ 31{ 50{ 81,131 ...

172

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ

«Και το κόλπο που θα μου έδειχνες για να κά­

νεις γρπγορα πρόσθεσπ;» «Τ ώρα, αμέσως. Διάλεξε δύο μονοψπφιους αριθμούς, και να τους γράψεις τον ένα πάνω από τον άλλον.»

«Τ ο 4 και το 2» είπε n Αλίκπ. Οι δύο αριθ­ μοί εμφανί arnKav στον αέρα.

4 2 «Τώρα, γράψε από κάτω το άθροισμά τους. «Τ ο

6»

είπε το κορίτσι, και το συννεφένlο

νούμερο ππρε υπάκουα rn θέσπ του στπ στnλn.

4 2

6 173

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Τ ώρα, από κάτω, το άθροισμα του 2 και του

6.» «Είναι μια σειρά Φιμπονάτσι» είπε n Αλίκπ. «Πράγματι. Σου κάνω το κόλπο σαν να μπ

γνωρίζεις αυτές τις σειρές, όμως, αφού τις

ξέρεις, θα σου πω απλώς να γράψεις, σε μία στιΊλπ, τους δέκα πρώτους όρους τπς σειράς

Φιμπονάτσι που αΡΧίζει με το 4 και το 2.» «Σύμφωνοι ... »

4 2

6 8 14

22 J74

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

36 58 94 152 «Ωραία, το άθροισμα αυτών των δέκα αριθ­ μών είναι το 396» είπε ο μαθπμάγος, μόλις n Αλίκπ τελείωσε τπ λίστα.

«ΠρόλαΒες να τους προσθέσεις ενώ εγώ τους έγραφα στον αέρα ... »

«Έχεις δίκιο να το σκέφτεσαι, όμως, δεν το έκανα έτσι. Βρπκα το αποτέλεσμα αμέσως. Κι

εσύ θα μπορείς να το κάνεις μόλις σου μάθω το κόλπο.» «Ποιο είναι;»

«Πολύ απλό. Αν πούμε ότι α και Β είναι οι δύο πρώτοι αριθμοί, n σειρά θα γραφτεί έτσι» είπε ο μαθπμάγος, και γύρισε τις σελίδες του

175

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

βιβλίου του για να τπς δείξει μια στπλπ με αλ­

γεβρικές παραστάσεις.

α

8 0+ 8 0+ 2Β 20+ 38 30+ 58

50+ 88 80+ 138 130+218

21 0+ 34Β «Δεν μου αρέσει καθόλου ν' ανακατεύω γράμ­

ματα και αριθμούς» σχολίασε π Αλί κπ. «Πά­ ντως, αυτπ τπ λίστα τπν καταλαβαίνω αρκετά.»

«Αν προσθέσουμε όλα τα ο και όλα τα 8, θα

δεις ότι το άθροισμα των δέκα όρων είναι

550

+ 888. Παρατπρπσε, όμως, τον έβδομο όρο τπς σειράς. Είναι 50 + 8Β, άρα, το συνολικό άθροισμα είναι ίδιο με τον έβδομο όρο επί

176

ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

11, αφού 11 (5a+ 88) =

55α+

888. Και

να πολ­

λαπλασιάσεις ένα διψπφιο αριθμό με το 11 είναι πανεύκολο. Προσθέτεις τα δύο ψπφία,

και το άθροισμά τους το Βάζεις περίπτωσπ αυτπ,

36

χ

aTn μέσn. Σ τπν 11 = 396, αφού 3 + 6

= 9.» «Το κατάλαΒα» είπε

n Αλίκπ. Για να Βρω το

άθροισμα οποιασδπποτε λίστας αυτού του τύ­

που, αρκεί να παρατπρπσω το έβδομο στπ σει­ ρά, που είναι το τέταρτο από το τέλος και να το πολλαπλασιάσω επί

11.»

«Πολύ σωστά. Τώρα, ένα θεαματικό κόλπο μαθπματικπς μαντείας. Σκέψου έναν οποιοδπ­

ποτε τριψπφιο αριθμό» είπε ο γέροντας και τπς γύρισε τπν πλάτπ του.

«Έτοιμπ.» «Πες το με πολύ χαμπλπ φωνπ για να μπ σε ακούσω.»

Το κορίτσι ψιθύρισε «236». Μια λεπτπ γραμ­

μή κόκκινου καπνού Βγπκε από το στόμα τnς και σχπμάτισε στον αέρα τον αριθμό. «Τ ώρα τι να κάνω;»

177

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

«Ξαναπές τον ίδιο αριθμό.» Η Αλίκπ ψιθύρισε πάλι «236», και οι τρεις

αριθμοί ενώθπκαν με τους προπγούμενους και σχπμάτισαν τον αριθμό 236.236. «Έτοιμπ.»

«Τ ώρα διαίρεσε με το

7

αυτόν τον εξαψπ­

φιο αριθμό. Κάν' το με χαμπλπ φωνπ για να μπ σε ακούω.»

Το κορίτσι μουρμούρισε τπ διαίρεσπ, που

γινόταν στον αέρα ενώ έλεγε τους αριθμούς και τις πράξεις. Στο τέλος, ππρε ππλίκο ακέ­ ραιο 33.748.»

«Τελείωσα. Ευτυχώς που μόλις είχα μάθει τπν προπαίδεια του

7 ... »

«Τώρα διαίρεσε το aποτέλεσμα με το 11.»

Η Αλίκπ διαίρεσε το ρε

33.748

με το 11 και ππ-

3.068. «Πάλι βγαίνει ακέραιο!» φώναξε έκπλπκτπ. «Και τώρα διαίρεσε με το 13.» «Είναι καταπλπκτικό!» είπε το κορίτσι μόλις

τελεί ωσε τπ διαί ρεσπ. «Δίνεl. .. »

«Τον αριθμό που είχες σκεφτεί στπν αρχπ»

178

ΚΑΤ ΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

συμπέρανε ο μαθnμάγος και γύρισε. Και πράγ­ ματι l στον αέρα στεκόταν μετέωροι ένα λεπτό και φωτεινό

236.)}

«Και πώς το πξερες από πριν;» «Πολύ απλό. Το να γράψεις δύο συνεΧόμε­

νες φορές έναν τριψήφιο αριθμό l ισοδυναμεί με το να τον πολλαπλασιάσεις με το 1001 . Και

7 χ 11 χ 13

=

1001. Εάν πρώτα πολλαπλα­

σιάσεις έναν αριθμό με το 1001 και μετά τον διαιρέσεις με το

1001 ... »

«Μένει ο ίδιος» κατέλπξε n Αλίκn. «Ακριβώς. Ένα πολύ απλό κόλπο, όμως, πο­ λύ εντυπωσιακό. Θα διασκεδάσεις αν το κάνεις στους φίλους σου.»

«Σίγουρα. Και τα άλλα κόλπα είναι απίθανα.

Μπορεί να μnν τα ξέρει ούτε κι ο καθnγnτής των μαθnματικών μου. Θα τον εκδlκπθώ και θα του τα κάνω OTnv τάξπ.» «Τ ώρα είσαι κι εσύ μια μικρή μαθπμάγισ­ σα» είπε ο γέρονταςl κοι φόρεσε το μυτερό ΚΟ­

πέλο του. «Κάθισε στο θρόνο.» Η Αλίκn κάθισε, κι όταν ο μαθnμάγος ακού-

179

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

μππσε το βιβλίο του στπν ποδιά τπς, αναγνώ­ ρισε το αινιγματικό του χαμόγελο.

«Είσαι ο Τ σάρλιJ» φώναξε. Ο μανδύας και n λευκιΊ γενειάδα διαλύθπ­ καν στον αέρα, και μπροστά τπς παρουσιάστπ­

κε ο Λιούις Κάρολ, με το μελαγχολικό και απαρχαιωμένο ύφος που είχε πρωτύτερα.

«Ναι. Η μαθπμαγεία είναι μια από τις αγα­ ππμένες μου διασκεδάσεις, και μερικές φο­

ρές μεταμφιέζομαι για να φτιάξω λίγο ατμό­ σφαιρα. Όμως, είσαι πολύ παρατπρπτικιΊ και με ανακάλυψες. Τ ώρα μπορείς να ξυπνΠσεις.»

«Να ξυπνπσω;» «Ναι» εί πε ο Τσάρλι κοιτάζοντάς τπν τρυφε­

ρά και βάζοντας το χέρι του στον ώμο τπς.

-,

«.:υπνα.»

180

Επίλογος

«=

ύπνα!»

Η Αλίκπ άνοιξε τα μάτια τπς τρομαγμένπ και

είδε ένα φύλακα που τπν κοίταζε χαμογελα­ στός, ενώ τπς κουνούσε απαλά τον ώμο.

«Ξύπνα, κορίτσι μου, θα πάθεις καμιά πλία­ σπ.»

Καθόταν σ' ένα πέτρινο παγκάκι του πάρ­

κου, με το ΒιΒλίο των μαθπματικών ανοιχτό στα πόδια τπς.

«Φαίνεταl όTl με πnρε ο ύπνος καθώς διά­ Βαζα» είπε το κορίτσι. α φύλακας έριξε μια ματιά στο ΒιΒλίο και σχολίασε:

«Καθόλου παράξενο. Αφού διάΒαζες μαθπ­ μαTlκά ι που είναι τόσο Βαρετά.»

«Βαρετά; Μα τι λες, τα μαθπματικά είναι φο-

181

ΚΑΡΛΟ ΦΡΑΜΠΕΤΙ

βερά διασκεδαστικά!» φώναξε π Αλί ΚΠ. «Τ ώρα

θα δεις. Βάλε στο νου σου έναν τριψπφιο αριθμό ... »

182

Περιεχόμενα

Σε τίποτα δε χρπσιμεύουν τα μαθπματικά

7

Το παραμύθι των υπολογισμών .................

14

Η σκουλnκότρυπα

............................................. 25

Στπ χώρα των αριθμών ................................ 31

Το κόσκινο του Ερατοσθένπ ........................ 51

Ο λαβύρινθος ................................................... 61 Τ ο τέρας του λαβυρίνθου ............................ 69 Η έρπμος του σταριού ................................... 91

Το δάσος των αριθμών ............................. Το τσάι των πέντε

1ΟΙ

......................................... 116

Το αινιγματικό χαμόγελο

Το μαγικό τετράγωνο

.......................... 132

.................................. 139

Ο Μαθnμάγος .............................................. Τα κουνέλια του Φιμπονάτσι

................... 168

Επίλογος .........................................................

183

154 181