Строение группы сопрягающих автоморфизмов

Алгебра и логика, 42, N 5 (2003), 515—541

УДК 512.54

СТРОЕНИЕ ГРУППЫ СОПРЯГАЮЩИХ АВТОМОРФИЗМОВ∗) В. Г. БАРДАКОВ

Классическим объектом исследования комбинаторной теории групп является группа автоморфизмов Aut(Fn ) свободной группы Fn ранга n > 2 со свободными порождающими x1 , x2 , . . . , xn . Известно [1, 2], что группу Aut(F2 ) можно построить из циклических при помощи свободного и полупрямого произведения. Вопрос о том, можно ли распространить этот результат на случай n > 2, остается открытым. Если An = Fn /Fn′ — факторгруппа группы Fn по ее коммутанту Fn′ , то всякий автоморфизм группы Fn индуцирует некоторый автоморфизм группы An , а потому существует гомоморфизм ξ : Aut(Fn ) → Aut(An ). Его ядро, состоящее из автоморфизмов, действующих тождественно по модулю коммутанта Fn′ , называют группой IA-автоморфизмов и обозначают IA(Fn ) (см. [3, гл. 1, § 4]). Так как An ≃ Zn — свободная абелева группа ранга n, то Aut(An ) изоморфна общей линейной группе GLn (Z) над кольцом целых чисел Z. Поэтому при изучении группы Aut(Fn ) целесообразно рассмотреть строение группы IA(Fn ). При n = 2 последняя изоморфна группе внутренних автоморфизмов Inn(F2 ), которая, в свою очередь, изоморфна F2 , а потому основной интерес представляет случай n > 3. ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-01118.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

516

В. Г. Бардаков Д. Нильсен для случая n 6 3 и В. Магнус для всех n (см. [3, гл. 1, § 4])

показали, что группа IA(Fn ) порождается следующими автоморфизмами    x 7→ x [x , x ], если k 6= i, j,  x 7→ x−1 x x , если i 6= j, i i j i i j k j εijk : εij :  xl 7→ xl ,  если l 6= i, xl 7→ xl , если l 6= i,

где [a, b] = a−1 b−1 ab — коммутатор элементов a и b. Определяющие соотношения группы IA(Fn ) при n > 3 до сих пор неизвестны, а, как установили С. Крстич и Д. Маккул [4], группа IA(F3 ) не является конечно определенной. Подгруппу группы IA(Fn ), порожденную автоморфизмами εij , 1 6 6 i 6= j 6 n, называют группой сопрягающих базис автоморфизмов и

обозначают Cbn . Д. Маккул [5] показал, что она является конечно определенной, и нашел ее определяющие соотношения. Группа Cbn является подгруппой группы сопрягающих автоморфизмов Cn . (Напомним, что всякий автоморфизм из Cn переводит порождающий xi в элемент fi−1 xπ(i) fi , где fi ∈ Fn , а π — некоторая подстановка из симметрической группы Sn . Очевидно, если π — тождественная подстановка, то этот автоморфизм лежит в группе Cbn .) Множество автоморфизмов из Cn , оставляющих на месте произведение x1 x2 . . . xn , образует группу кос Bn . Группа Bn содержит нормальную подгруппу Pn (называемую группой крашеных кос) такую, что Bn /Pn изоморфна Sn . Как установила А. Г. Савушкина [6, лемма 3], группы Bn и Cbn пересекаются по группе Pn . Строение последней достаточно хорошо известно [7, 8]. Интересно было бы выяснить, как Pn расположена в Cbn . Группа Pn разлагается в полупрямое произведение свободных групп Pn = Un ⋋ (Un−1 ⋋ (. . . ⋋ (U3 ⋋ U2 )) . . .), где Ui ≃ Fi−1 , i = 2, 3, . . . , n. Возникает естественный вопрос: можно ли группу Cbn аналогичным образом разложить в полупрямое произведение некоторых групп? В предлагаемой работе дается положительный ответ на этот вопрос, а именно, доказывается

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

517

ТЕОРЕМА 1. Группа Cbn , n > 2, разлагается в полупрямое произведение Cbn = Dn−1 ⋋ (Dn−2 ⋋ (. . . ⋋ (D2 ⋋ D1 )) . . .), где подгруппа Di , i = 1, 2, . . . , n − 1, порождается элементами εi+1,1 , εi+1,2 , . . . , εi+1,i , ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 , причем элементы εi+1,1 , εi+1,2 , . . . , εi+1,i порождают свободную группу ранга i, а элементы ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 — свободную абелеву группу ранга i. Это разложение согласовано с соответствующим разложением группы Pn , т. е. имеют место включения Ui+1 ≤ Di , i = 1, 2, . . . , n − 1. Отметим, что если G = G1 ⋆ G2 ⋆ . . . ⋆ Gn — свободное произведение, каждый множитель Gi не разложим и не изоморфен бесконечной циклической группе, а G = G1 × G2 × . . . × Gn — прямое произведение этих же групп, то для подгруппы группы Aut(G), являющейся ядром гомоморфизма Aut(G) → Aut(G), аналогичная теорема установлена в [9]. В качестве следствия этой теоремы мы получим нормальную форму слов в группе Cbn . Так как группа Cn является полупрямым произведением групп Cbn и Sn , то можно построить нормальную форму слов и в Cn . Разложение Cbn в полупрямое произведение, построенное в теореме 1, не единственно (см. § 4). Кроме того, устанавливаются некоторые свойства групп Cn и Cbn . В частности, доказывается, что при n > 4 в этих группах неразрешима проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы. Также устанавливается, что группа Cn , n > 2, порождается не более, чем четырьмя элементами, и дается соответствующий генетический код. Доказывается, что Cbn , n > 2, не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Это утверждение тесно связано с [10, вопрос 14.15]. В связи с полученными результатами возникают следующие естественные вопросы, ответы на которые позволили бы лучше понять строение группы IA-автоморфизмов. ВОПРОС 1. Как устроена группа, порожденная автоморфизмами εijk ? В частности, будет ли она конечно определенной? ВОПРОС 2. Можно ли для группы IA(Fn ), n > 4, получить разложение в полупрямое произведение, аналогичное разложению группы Cbn

518

В. Г. Бардаков

из теоремы 1? Как Cbn расположена в IA(Fn )?

§ 1. Некоторые вспомогательные утверждения Напомним (см. [11, § 6]), что группа G является полупрямым произведением групп A и B (обозначается: G = A ⋋ B), если в G существуют подгруппы H, K такие, что G = HK, A ≃ H  G, B ≃ K, H ∩ K = 1. Если A = гр(a1 , a2 , . . . , ak k L1 , L2 , . . . , Lp ), B = гр(b1 , b2 , . . . , bl k M1 , M2 , . . . , Mq ) — генетические коды групп A и B соответственно, то G = A ⋋ B имеет генетический код G = гр(a1 , a2 , . . . , ak ; b1 , b2 , . . . , bl k L1 , L2 , . . . , Lp ; M1 , M2 , . . . , Mq ; b−1 i aj bi = Rij , 1 6 i 6 l, 1 6 j 6 k), ±1 ±1 где L1 , L2 , . . . , Lp , Rij — слова в алфавите {a±1 1 , a2 , . . . , ak }, M1 , M2 , . . . ±1 ±1 . . . , Mq — слова в алфавите {b±1 1 , b2 , . . . , bl }, элементы Ri1 , Ri2 , . . . , Rik

порождают группу A для любого i ∈ {1, 2, . . . , l}, и сопряжение элементом bi индуцирует автоморфизм группы A, i = 1, 2, . . . , l. Напомним [7, 8], что группа кос Bn , n > 2, на n нитях задается порождающими элементами σ1 , σ2 , . . . , σn−1 и определяющими соотношениями σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 , i = 1, 2, . . . , n − 2,

(1)

σi σj = σj σi , |i − j| > 2.

(2)

Существует гомоморфизм группы Bn на группу Sn , переводящий порождающий σi в транспозицию (i, i + 1), i = 1, 2, . . . , n − 1, ядро Pn которого называют группой крашеных кос. Группа Pn порождается элементами aij , 1 6 i < j 6 n, которые выражаются через порождающие группы Bn следующим образом ai,i+1 = σi2 ,

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

519

−1 −1 −1 aij = σj−1 σj−2 . . . σi+1 σi2 σi+1 . . . σj−2 σj−1 , i + 1 < j 6 n.

Группа Pn является полупрямым произведением нормальной подгруппы Un , которая является свободной группой со свободными порождающими a1n , a2n , . . . , an−1,n , и группы Pn−1 . Аналогично, Pn−1 является полупрямым произведением свободной группы Un−1 со свободными порождающими a1,n−1 , a2,n−1 , . . . , an−2,n−1 и подгруппы Pn−2 , и т. д. Итак, Pn = Un ⋋ (Un−1 ⋋ (. . . ⋋ (U3 ⋋ U2 )) . . .), Ui ≃ Fi−1 , i = 2, 3, . . . , n. Группа Pn определяется соотношениями (при ν = ±1): ν −ν ν a−ν , ik akj aik = (aij akj ) akj (aij akj ) ν −ν ν , a−ν km akj akm = (akj amj ) akj (akj amj ) h iν h i−ν −ν −ν −ν ν akj a−ν a−ν , im akj aim = aij , amj ij , amj

ν a−ν im akj aim = akj ,

m < j, i < k < m, k < i; m < j или m < k.

Группа Bn вкладывается в группу Aut(Fn ). При этом порождающий σi , i = 1, 2, . . . , n − 1, определяет автоморфизм  −1    xi 7→ xi xi+1 xi , σi : xi+1 7→ xi ,    xl 7→ xl , если l 6= i, i + 1.

Порождающий ars группы Pn определяет автоморфизм   xi 7→ xi , если s < i или i < r,      x 7→ x x x x−1 x−1 , r r s r s r ars : −1 −1  xi 7→ [x , x ]xi [x−1 , x−1 ]−1 , если r < i < s,  r s r s     −1 xs 7→ xr xs xr .

Как установил Э. Артин (см. [8, теор. 1.9]), автоморфизм β из

Aut(Fn ) принадлежит группе Bn тогда и только тогда, когда 1) β(xi ) = a−1 i xπ(i) ai , 1 6 i 6 n, 2) β(x1 x2 . . . xn ) = x1 x2 . . . xn , где π — некоторая подстановка из Sn , ai ∈ Fn . Автоморфизм, удовлетворяющий условию 1, называют сопрягающим. Сопрягающий автоморфизм, действующий тождественно по модулю

520

В. Г. Бардаков

коммутанта Fn′ , называют сопрягающим базис. Как показал Д. Маккул [5], группа сопрягающих базис автоморфизмов Cbn порождается автоморфизмами εij , 1 6 i 6= j 6 n, определенными во введении, и имеет следующие определяющие соотношения (условимся здесь и в дальнейшем обозначать разные индексы разными буквами): εij εkl = εkl εij ,

(3)

εij εkj = εkj εij ,

(4)

(εij εkj )εik = εik (εij εkj ).

(5)

Пусть Γ = (V, E) — неориентированный граф с конечным множеством вершин V и множеством ребер E, которое не содержит петель и кратных ребер. Граф-группой G(Γ) называется группа с множеством порождающих vi ∈ V и множеством определяющих соотношений vi vj = vj vi , если вершины vi и vj соединены ребром в Γ. Граф-группы изучались в [12, 13], ширина вербальных подгрупп граф-групп исследовалась в [14].

§ 2. Доказательство основной теоремы Докажем вначале несколько вспомогательных утверждений. ЛЕММА 1. В группе Cbn справедливы следующие формулы сопряжения (при ν = ±1): ν 1) ε−ν ij εkl εij = εkl ,

−ν ν ν 4) ε−ν ij εik εij = εkj εik εkj ,

ν 2) ε−ν ij εkj εij = εkj ,

−ν ν 5) ε−ν ij εjk εij = [εkj , εik ]εjk .

−ν ν ν 3) ε−ν ij εki εij = εkj εki εkj ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формулы 1, 2 легко следуют из определяющих соотношений (3)—(5). Из соотношения (5) вытекает равенство (εkj εij )εki = εki (εkj εij ). −1 Домножим обе его части слева на ε−1 kj , а справа на εij , получим −1 εij εki ε−1 ij = εkj εki εkj ,

(6)

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

521

т. е. формулу 3 при ν = −1. Воспользовавшись перестановочностью элементов εkj и εij , перепишем (6) в виде (εij εkj )εki = εki (εij εkj ). −1 Домножим обе части этого равенства слева на ε−1 ij , а справа на εkj , полу-

чим −1 εkj εki ε−1 kj = εij εki εij ,

т. е. формулу 3 при ν = 1. Доказательство формулы 4 аналогично. Для доказательства формулы 5 воспользуемся соотношением (εik εjk )εij = εij (εik εjk ), выполненным в группе Cbn . Из этого соотношения следует равенство ν ε−ν ij (εik εjk )εij = εik εjk .

Перепишем его в виде −ν ν ν (ε−ν ij εik εij )(εij εjk εij ) = εik εjk .

Отсюда и из равенства 4 получим −ν ν (ενkj εik ε−ν kj )(εij εjk εij ) = εik εjk .

Тогда −ν ν ν −1 −ν ε−ν ij εjk εij = εkj εik εkj εik εjk = [εkj , εik ]εjk .

Лемма 1 доказана. В группе Cbn определим подгруппы Di = гр(εi+1,1 , εi+1,2 , . . . , εi+1,i , ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 ), i = 1, 2, . . . , n − 1. ЛЕММА 2. Пусть k, l — натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам 2 6 k < l 6 n. Тогда группа Dk−1 лежит в нормализаторе группы Dl−1 .

522

В. Г. Бардаков ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению Dk−1 = гр(εk,1 , εk,2 , . . . , εk,k−1 , ε1,k , ε2,k , . . . , εk−1,k ), Dl−1 = гр(εl,1 , εl,2 , . . . , εl,l−1 , ε1,l , ε2,l , . . . , εl−1,l ).

Возьмем некоторый порождающий εk,i , 1 6 i 6 k − 1, группы Dk−1 . Покажем, что, сопрягая им любой порождающий группы Dl−1 , получим элемент из Dl−1 . Ввиду леммы 1 выполняются формулы сопряжения: ν ε−ν ki εlj εki ν ε−ν ki εli εki ν ε−ν ki εkl εki

= εlj ,

ν ε−ν ki εjl εki

= εli ,

ν ε−ν ki εlk εki ν ε−ν ki εil εki

= ενli εkl ε−ν li ,

= εjl , = =

j 6= i, k,

ενli εlk ε−ν li , [ε−ν li , εkl ]εil .

Так как правые части этих равенств лежат в Dl−1 , то получаем требуемые формулы. Рассмотрим теперь элемент εik , 1 6 i 6 k − 1. В силу леммы 1 имеем равенства: = εlj ,

ν ε−ν ik εjl εik

= εjl ,

ν ε−ν ik εlk εik = εlk ,

ν ε−ν ik εli εik

= ενlk εli ε−ν lk ,

ν ε−ν ik εlj εik

= ενlk εil ε−ν lk ,

ν ε−ν ik εil εik

j 6= i, k,

−ν ν ε−ν ik εkl εik = [εlk , εil ]εkl .

Так как правые части этих равенств лежат в Dl−1 , то при сопряжении элементом ενik порождающих группы Dl−1 получаются по-прежнему элементы из Dl−1 . Применяя индукцию, из этой леммы легко вывести СЛЕДСТВИЕ. Подгруппа Dn−1 нормальна в группе Cbn . ЛЕММА 3. Группа Cbn , n > 2, является полупрямым произведением Cbn = Dn−1 ⋋ (Dn−2 ⋋ . . . (⋋(D2 ⋋ D1 )) . . .), где Di = гр(εi+1,1 , εi+1,2 , . . . , εi+1,i , ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 ), гр(εi+1,1 , εi+1,2 , . . . , εi+1,i ) ≃ Fi , гр(ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 ) ≃ Zi , i = 1, 2, . . . , n − 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При n = 2 имеем Cb2 = D1 = гр(ε21 , ε12 ). Так как Cb2 не содержит соотношений, то D1 ≃ F2 = F1 ∗ Z и базис индукции проверен.

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

523

Покажем, что Cbn = Dn−1 ⋋Cbn−1 . Из леммы 2 следует, что подгруппа Dn−1 нормальна в Cbn . Рассмотрим соотношения (3)—(5), определяющие группу Cbn . Разобъем их на три непересекающихся подмножества. В первое будут входить соотношения, содержащие только порождающие группы Dn−1 . Так как у любой пары порождающих группы Dn−1 один из индексов равен n, в первое подмножество входят только соотношения из (4) вида εin εjn = εjn εin , 1 6 i 6= j 6 n − 1.

(7)

Тогда ε1n , ε2n , . . . , εn−1,n порождают абелеву подгруппу в Dn−1 . Также легко проверить, что элементы εn1 , εn2 , . . . , εn,n−1 являются свободными порождающими свободной группы Fn−1 . Во второе подмножество входят соотношения, содержащие только порождающие группы Cbn−1 , а третье состоит из соотношений, содержащих одновременно порождающие групп Dn−1 и Cbn−1 . Покажем, что последние соотношения определяют действие группы Cbn−1 на подгруппе Dn−1 . Соотношения из (3), содержащие одновременно порождающие групп Dn−1 и Cbn−1 , могут быть одного из двух следующих видов: εij εkn = εkn εij , εij εnk = εnk εij , 1 6 i, j, k < n.

(8)

Из них вытекают формулы сопряжения −ν ν ν ε−ν ij εkn εij = εkn , εij εnk εij = εnk , ν = ±1.

(9)

Если соотношение из (4) содержит одновременно порождающие групп Dn−1 и Cbn−1 , то оно имеет вид εnj εkj = εkj εnj , 1 6 k, j < n. Отсюда ν ε−ν kj εnj εkj = εnj , 1 6 k, j < n, ν = ±1.

(10)

Если соотношение из (5) содержит одновременно порождающие групп Dn−1 и Cbn−1 , то оно может быть одного из следующих видов: (εij εnj )εin = εin (εij εnj ), (εnj εij )εni = εni (εnj εij ), (εin εjn )εij = εij (εin εjn ), 1 6 i, j < n.

524

В. Г. Бардаков

Из них так же, как и в доказательстве леммы 1, выводятся формулы сопряжения: −ν ν ν ε−ν ij εin εij = εnj εin εnj ,

(11)

−ν ν ν ε−ν ij εni εij = εnj εni εnj ,

(12)

−ν ν ε−ν ij εjn εij = [εnj , εin ]εjn , 1 6 i, j < n, ν = ±1.

(13)

Следовательно, соотношения группы Cbn , содержащие одновременно порождающие групп Dn−1 и Cbn−1 , равносильны соотношениям (9)—(13), определяющим действие группы Cbn−1 на подгруппе Dn−1 . Так как Dn−1 ∩ ∩Cbn−1 = 1, то Cbn = Dn−1 ⋋ Cbn−1 . Воспользовавшись индуктивным предположением, получим требуемое разложение. Лемма доказана. Отметим, что ввиду леммы 2 порядок расстановки скобок в полученном разложении может быть произвольным. Группа Cn содержит группу Cbn . При этом Cn = Cbn ⋋ Sn (см. [6]), где Sn порождается автоморфизмами     xi 7→ xi+1 , αi : xi+1 7→ xi , если i = 1, 2, . . . , n − 1,    xl 7→ xl , если l = 6 i, i + 1,

и определяется соотношениями

αj2 = 1, j = 1, 2, . . . , n − 1,

(14)

αi αi+1 αi = αi+1 αi αi+1 , j = 1, 2, . . . , n − 2,

(15)

αk αl = αl αk , 1 6 k, l 6 n − 1, |k − l| > 2.

(16)

При этом группа Cn порождается автоморфизмами εij , 1 6 i 6= j 6 n, и αk , 1 6 k 6 n − 1, и определяется соотношениями (3)—(5), (14)—(16) и εij αk = αk εij , k 6= i − 1, i, j − 1, j,

(17)

εij αi = αi εi+1,j , εij αj = αj εi,i+1 , εi,i+1 αi = αi εi+1,i

(18)

(см. [6, лемма 1]). Очевидно, что Pn содержится в Cbn . Выразим порождающие первой через порождающие второй.

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

525

ЛЕММА 4. Порождающие группы Pn представимы в следующем виде: −1 ai,i+1 = ε−1 i,i+1 εi+1,i , i = 1, 2, . . . , n − 1,

(19)

−1 −1 −1 −1 aij = εj−1,i εj−2,i . . . εi+1,i (ε−1 ij εji )εi+1,i . . . εj−2,i εj−1,i −1 −1 −1 −1 = εj−1,j ε−1 j−2,j . . . εi+1,j (εij εji )εi+1,j . . . εj−2,j εj−1,j ,

(20)

2 6 i + 1 < j 6 n. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо вспомнить, как действуют соответствующие элементы на порождающих свободной группы Fn . Равенство (19) проверяется непосредственно. Для доказательства первого равенства из (20) достаточно проверить, что автоморфизм −1 −1 aij εji (εj−1,i εj−2,i . . . εi+1,i )εij (ε−1 i+1,i . . . εj−2,i εj−1,i )

является тождественным. Для доказательства второго равенства из (20) установим справедливость соотношения −1 −1 −1 −1 −1 εki (ε−1 ij εji )εki = εkj (εij εji )εkj , i + 1 6 k 6 j − 1.

(21)

В силу леммы 1 имеем формулы сопряжения −1 −1 −1 −1 −1 εki ε−1 ij εki = εij [εkj , εji ], εki εji εki = εji ,

откуда −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 εki (ε−1 ij εji )εki = εij [εkj , εji ]εji = εij εkj εji εkj . −1 Поскольку элементы ε−1 ij и εkj перестановочны, получим (21), откуда легко

следует требуемое. Лемма доказана. Теперь докажем оставшуюся часть теоремы 1. Напомним, что Di = гр(εi+1,1 , εi+1,2 , . . . , εi+1,i , ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 ), а свободная группа Ui+1 порождается элементами a1,i+1 , a2,i+1 , . . . , ai,i+1 . По лемме 4 справедливы равенства −1 −1 −1 −1 ak,i+1 = ε−1 i,i+1 εi−1,i+1 . . . εk+1,i+1 (εk,i+1 εi+1,k )εk+1,i+1 . . . εi−1,i+1 εi,i+1 ,

1 6 k 6 i − 1, ai,i+1

−1 = ε−1 i,i+1 εi+1,i .

526

В. Г. Бардаков

Поэтому Ui+1 является подгруппой группы Di . Более того, используя преобразования Тице, нетрудно показать, что группа Di порождается элементами a1,i+1 , a2,i+1 , . . . , ai,i+1 ; ε1,i+1 , ε2,i+1 , . . . , εi,i+1 . Таким образом, теорема 1 доказана. Доказанная теорема сводит описание группы Cbn к описанию ее подгрупп Dn−1 , Dn−2 , . . . , D1 . Покажем, что последние (за исключением D1 ) устроены довольно сложно. Более того, в [9, с. 167] высказана гипотеза о том, что они не являются конечно определенными. По теореме 1 группа Cb3 является полупрямым произведением Cb3 = = D2 ⋋ D1 , где D2 = гр(ε31 , ε32 , ε13 , ε23 ), D1 = гр(ε21 , ε12 ) ≃ F2 . В группе D2 элементы ε13 и ε23 перестановочны. Покажем, что в D2 выполняется и множество других соотношений. Действительно, как было замечено при доказательстве теоремы 1, сопряжения элементами из D1 индуцируют автоморфизмы группы D2 . Следовательно, сопрягая соотношение перестановочности, мы опять получим соотношение, выполненное в D2 . В частности, сопрягая соотношение ε13 ε23 = ε23 ε13 различными степенями элементов ε12 и ε21 , получим следующие соотношения −k k [ε13 ε23 , εk32 ε13 ε−k 32 ] = 1, [ε13 ε23 , ε31 ε23 ε31 ] = 1,

справедливые для любого целого k.

§ 3. Некоторые свойства группы сопрягающих автоморфизмов Найдем фактор-группы Cn /Cn′ и Cbn /Cb′n . Для этого используется ЛЕММА 5 [6, теор. 1]. Группа Cn порождается автоморфизмами σi , αi , i = 1, 2, . . . , n − 1, и определяется соотношениями (1), (2), (14)— (16) и αi σj = σj αi , |i − j| > 2,

(22)

σi αi+1 αi = αi+1 αi σi+1 , σi σi+1 αi = αi+1 σi σi+1 .

(23)

Из этой леммы и генетического кода группы Cbn легко выводится

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

527

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. а) Фактор-группа Cn /Cn′ , n > 2, изоморфна группе Z2 × Z. б) Фактор-группа Cbn /Cb′n , n > 2, изоморфна группе Zn(n−1) . Группа внутренних автоморфизмов Inn(Fn ) свободной группы Fn содержится в группе Cbn . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пересечение Bn ∩ Inn(Fn ), n > 2, является бесконечной циклической группой, которая порождается внутренним автоморфизмом, а именно сопряжением элементом x1 x2 . . . xn . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из описания (см. § 1) группы кос как подгруппы группы Aut(Fn ), данного Э. Артином. Элементы из Bn оставляют неподвижным произведение x1 x2 . . . xn . Среди внутренних автоморфизмов этим свойством обладает только сопряжение посредством (x1 x2 . . . xn )k , k ∈ Z. Отсюда и вытекает требуемое. Покажем теперь, что группа Cn , n > 2, порождается не более, чем четырьмя элементами. Непосредственно из леммы 5 следует C2 = гр(α1 , σ1 k α12 = 1) ≃ Z2 ∗ Z. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Группа Cn , n > 3, порождается элементами α1 , α, σ1 , σ и определяется соотношениями σ n = (σσ1 )n−1 , σ1 (σ −j σ1 σ j ) = (σ −j σ1 σ j )σ1 , 2 6 j 6 n/2,

(24)

α2 = 1, αn = (α1 α)n−1 , α1 (α−j α1 αj ) = (α−j α1 αj )α1 , 2 6 j 6 n/2, (25) α−i α1 αi σ j σ1 σ −j = σ j σ1 σ −j α−i α1 αi , 1 6 i, j 6 n − 2, |i − j| > 2,

(26)

σ i−1 σ1 σ −(i−1) α−i α1 αα1 αi−1 = α−i α1 αα1 αi−1 σ i σ1 σ −i , 2 6 i 6 n − 1, (27) σ i−1 σ1 σσ1 σ −i α−(i−1) α1 αi−1 = α−i α1 αi σ i−1 σ1 σσ1 σ −i , 2 6 i 6 n − 1. (28) При этом σ = σ1 σ2 . . . σn−1 , α = αn−1 αn−2 . . . α1 , σi+1 = σ i σ1 σ −i , αi+1 = α−i α1 αi , 1 6 i 6 n − 2.

(29) (30)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Хорошо известно [15, гл. 6], что группа Bn , n > 3, порождается элементами σ1 , σ и определяется соотношениями (24).

528

В. Г. Бардаков

Аналогично, симметрическая группа Sn порождается элементами α1 , α и определяется соотношениями (25). При этом связь между старыми и новыми порождающими выражается формулами (29) и (30). Следовательно, в представлении группы Cn из леммы 5 можно заменить порождающие αi , σi , i = 1, 2, . . . , n − 1, на α1 , α, σ1 , σ, соотношения (1) и (2) — на (24), соотношения (14), (15) и (16) — на (25). Подставив в (22) и (23) выражения порождающих αi , σj через α, α1 , σ1 , σ, получим (26)—(28). Предложение доказано. Покажем теперь, что в группе сопрягающих автоморфизмов Cn можно определить нормальную форму. Для этого в группе Di , i = = 1, 2, . . . , n − 1, упорядочим порождающие свободной абелевой группы гр(ε1,i+1 , . . . , εi,i+1 ) ≃ Zi следующим образом: ε1,i+1 < ε2,i+1 < . . . < εi,i+1 . Тогда всякий элемент из этой группы однозначно представим в виде β1 2 i для некоторых целых β1 , β2 , . . . , βi . . . . εβi,i+1 εβ2,i+1 ε1,i+1

Положим далее ωij = αi−1 αi−2 . . . αj при 1 6 j < i 6 n − 1 и ωij = 1 в противном случае. Введем множество ) ( n Y Ωn = ωij 1 6 j 6 i . i=1

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Всякий элемент c из группы Cn представим

в виде c = d1 d2 . . . dn β, где di ∈ Di , i = 1, 2, . . . , n − 1, β ∈ Ωn . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как было отмечено выше, группа Cn порождается элементами εij , 1 6 i 6= j 6 n, и αk , 1 6 k 6 n − 1. При этом εij порождают группу Cbn , а элементы αk — группу Sn . Пусть элемент c представлен некоторым словом в алфавите {ε±1 ij , αk | 1 6 i 6= j 6 n, 1 6 6 k 6 n − 1}. Так как Cn = Cbn ⋋ Sn , то, используя (17), (18), можно передвинуть все αk вправо и представить c в виде c = dw, где d — некоторое слово, содержащее только порождающие ε±1 ij , а w — только порождающие

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

529

αk . Так как слово w представляет некоторый элемент группы Sn , то он равен некоторому элементу из множества Ωn . Последний мы и обозначим через β. Рассмотрим теперь слово d. Воспользовавшись разложением группы Cbn в полупрямое произведение групп Di из теоремы 1, представим элемент d в виде произведения d = d1 d2 . . . dn−1 , di ∈ Di . Предложение доказано. Пусть теперь V — множество теоретико-групповых слов, V (G) — вербальная подгруппа, определенная в группе G множеством слов V . Шириной wid(G, V ) относительно множества V (см. [16, § 12]) называется наименьшее m ∈ N ∪ {+∞} такое, что всякий элемент подгруппы V (G) записывается в виде произведения не более, чем m значений слов из V ±1 . Подгруппа называется собственной, если она отлична от единичной и всей группы. Множество слов V называется собственным, если вербальная подгруппа V (F2 ) является собственной в свободной группе F2 , и несобственным в противном случае. Ширина вербальной подгруппы относительно несобственного множества слов всегда конечна [17, лемма 1]. Если в группе G всякое собственное множество слов определяет собственную вербальную подгруппу, то говорят, что G богата вербальными подгруппами. Иными словами, группа, богатая вербальными подгруппами, содержит столько же собственных вербальных подгрупп, сколько и свободная группа F2 . Будем говорить, что группа G не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины, если для всякого конечного собственного множества слов V ширина wid(G, V ) бесконечна. ЛЕММА 6 [14, лемма 3]. Если существует эпиморфизм группы G на группу, не имеющую собственных вербальных подгрупп конечной ширины и богатую вербальными подгруппами, то и сама G не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Группа Cbn , n > 2, не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины.

530

В. Г. Бардаков ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из теоремы 1 следует, что существует эпимор-

физм группы Cbn , n > 2, на группу Cb2 , которая изоморфна свободной группе F2 , а для нее требуемое утверждение непосредственно следует из [18]. Остается лишь воспользоваться леммой 6. В [19] установлено, что группа Bn при n > 3 не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Возможно, что, используя развитые там методы, можно установить аналогичное утверждение и для группы Cn , n > 2.

§ 4. О других разложениях группы сопрягающих базис автоморфизмов Разложение группы Cbn в полупрямое произведение, построенное в теореме 1, не единственно. В этом параграфе дается некоторое другое разложение, а также показывается, что группа Cb3 является HNNрасширением некоторой граф-группы. ЗАМЕЧАНИЕ. Нетрудно проверить, что генетический код группы Cbn , n > 3, с множеством порождающих εij , 1 6 i 6= j 6 n, и определяющими соотношениями (3)—(5) обладает следующими свойствами: а) число соотношений вида (3) равно (n − 3)(n − 2)(n − 1)n/2 при n > 4; б) число соотношений вида (4) равно (n − 2)(n − 1)n/2; в) число соотношений вида (5) равно (n − 2)(n − 1)n; г) всякий порождающий εij группы Cbn входит в 3(n − 2) соотношения вида (5). Также нам потребуется ЛЕММА 7. Каждая из подгрупп гр(εij , εji ), гр(εki , εkj ), 1 6 i < j 6 6 n, k 6= i, j, 1 6 k 6 n, группы Cbn изоморфна свободной группе F2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Положим G = гр(εij , εji ) ≤ Aut(Fn ). Очевидно, G содержится в группе Aut(F2 ), где F2 — свободная группа с порождающими xi и xj . Можно показать, что G ≃ IA(F2 ), а так как последняя изоморфна F2 , то получится требуемое утверждение.

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

531

2) Положим G = гр(εki , εkj ) и рассмотрим некоторое непустое сво±1 бодно приведенное слово w в алфавите {ε±1 ki , εkj }. Покажем, что оно будет

определять нетривиальный автоморфизм. Действительно, пусть α

β

w = εαki1 εβkj1 . . . εkip εkjp , где все показатели являются целыми числами и, за исключением, возможно, α1 и βp , отличны от нуля. Если подействовать этим автоморфизмом на порождающий xk группы Fn , то он перейдет в элемент −βp −αp xi

xj

α

β

1 −α1 . . . x−β xi xk xαi 1 xβj 1 . . . xi p xj p , j

который, очевидно, отличен от xk . Следовательно, w определяет нетривиальный автоморфизм. Лемма доказана. Рассмотрим группу Cb3 . Она порождается элементами ε21 , ε31 , ε12 , ε32 , ε13 , ε23 . Пусть a = ε21 ε31 , b = ε12 ε32 , c = ε13 ε23 .

(31)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. 1) Группа Cb3 является HNN-расширением Cb3 = гр(G, c k c−1 Ac = A, ϕ) граф-группы G = гр(a, b, ε31 , ε32 , ε23 k aε31 = ε31 a, aε23 = ε23 a, aε32 = = ε32 a, bε32 = ε32 b, c−1 bc = ε−1 23 bε23 ) с проходной буквой c, связанной подгруппой A = гр(aε−1 31 , b, ε23 , ε32 ) и изоморфизмом ϕ, определенным действием на порождающих  −1  aε−1  31 7→ aε31 ,     ε → ε23 , 23 7 ϕ: −1   b 7→ ε23 bε23 ,     −1 −1 ε32 7→ ε−1 23 b ε23 bε32 .

2) Группа Cb3 может быть получена из свободной группы G0 = = гр(ε12 , ε31 , ε23 ) при помощи трех последовательных HNN-расширений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Из (31) выразим порождающие ε21 , ε12 , ε13 : −1 −1 ε21 = aε−1 31 , ε12 = bε32 , ε13 = cε23 .

532

В. Г. Бардаков

Подставив эти выражения в определяющие соотношения группы Cb3 , получим новое представление Cb3 = гр(a, ε31 , b, ε32 , c, ε23 k aε31 = ε31 a, aε23 = ε23 a, aε32 = ε32 a, −1 bε32 = ε32 b, bε31 = ε31 b, c−1 (aε−1 31 )c = aε31 , −1 −1 −1 −1 c−1 ε23 c = ε23 , c−1 (bε−1 32 )c = bε32 , c (bε23 )c = ε23 b).

Заметим, что последнее соотношение можно переписать в виде −1 (c−1 bc)(c−1 ε−1 23 c) = ε23 b

и, воспользовавшись перестановочностью ε23 и c, получить c−1 bc = ε−1 23 bε23 . Определим подгруппы −1 −1 −1 −1 A = гр(aε−1 31 , ε23 , bε32 , b), B = гр(aε31 , ε23 , bε32 , ε23 bε23 ).

Легко понять, что A = B = гр(aε−1 31 , b, ε23 , ε32 ), а сопряжение элементом c определяет автоморфизм  −1  aε−1  31 7→ aε31 ,     ε 7→ ε , 23 23 ϕ: −1   b 7→ ε23 bε23 ,     −1 −1 ε32 7→ ε−1 23 b ε23 bε32 .

Отсюда и из нового генетического кода группы Cb3 получается требуемое HNN-расширение. 2) Если из (31) выразить порождающие ε21 , ε32 , ε13 и подставить их в определяющие соотношения группы Cb3 , то получится следующее представление: −1 Cb3 = гр(a, ε31 , ε12 , b, ε23 , c k aε31 = ε31 a, aε23 = ε23 a, a(ε−1 12 b) = (ε12 b)a, −1 bε12 = ε12 b, b(cε−1 23 ) = (cε23 )b, bε31 = ε31 b, cε23 = ε23 c, −1 cε12 = ε12 c, c(aε−1 31 ) = (aε31 )c).

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

533

Учитывая четвертое соотношение из этого представления, перепишем третье в виде −1 b−1 (aε−1 12 )b = ε12 a.

Тогда b−1 ab = ε−1 12 aε12 .

(32)

Аналогичным образом из пятого соотношения с учетом седьмого получим c−1 bc = ε−1 23 bε23 .

(33)

И, наконец, из последнего соотношения с учетом первого имеем a−1 ca = ε−1 31 cε31 .

(34)

Таким образом, удаляя третье, пятое и последнее соотношения, а затем вводя вместо них (32)—(34), получим следующий генетический код Cb3 = гр(a, ε31 , ε12 , b, ε23 , c k aε31 = ε31 a, aε23 = ε23 a, b−1 ab = ε−1 12 aε12 , bε12 = ε12 b, c−1 bc = ε−1 23 bε23 , bε31 = ε31 b, cε23 = ε23 c, cε12 = ε12 c, a−1 ca = ε−1 31 cε31 ). Пусть G0 = гр(ε12 , ε31 , ε23 ), G1 = гр(G0 , a k rel G0 , a−1 ε31 a = ε31 , a−1 ε23 a = ε23 ), где rel G — множество определяющих соотношений группы G. Очевидно, G1 является HNN-расширением группы G0 с проходной буквой a и связанными подгруппами A1 = B1 = гр(ε31 , ε32 ). Рассмотрим далее G2 = гр(G1 , b k rel G1 , b−1 ε12 b = ε12 , b−1 ε31 b = ε31 , b−1 ab = ε−1 12 aε12 ). Ясно, что G2 является HNN-расширением группы G1 с проходной буквой b и связанными подгруппами A2 = B2 = гр(ε12 , ε31 , a). Положим G3 = гр(G2 , c k rel G2 , c−1 ε23 c = ε23 , c−1 ε12 c = ε12 , −1 −1 −1 c−1 (aε−1 31 )c = aε31 , c bc = ε23 bε23 ).

534

В. Г. Бардаков

Легко заметить, что G = Cb3 и G является HNN-расширением группы G2 с проходной буквой c и связанными подгруппами A3 = B3 = гр(ε12 , ε23 , aε31 , b). Предложение доказано. Рассмотрим теперь группу Cbn для произвольного n > 3. Положим m = [n/2], где квадратные скобки означают взятие целой части. В Cbn выделим подгруппу Hn , порожденную элементами ε2i−1,2i , ε2i,2i−1 , i = 1, 2, . . . , m. По лемме 7 подгруппа, порожденная элементами ε2i−1,2i , ε2i,2i−1 , изоморфна свободной группе F2 , а учитывая перестановочность элементов ε2i−1,2i и ε2i,2i−1 со всеми остальными порождающими группы Hn , получаем, что Hn ≃ F2 × F2 × . . . × F2 — прямое произведение m экземпляров свободной группы F2 . Пусть Gn — подгруппа, порожденная порождающими группы Cbn , которые не вошли в систему порождающих группы Hn . ТЕОРЕМА 2. Группа Cbn , n > 3, разлагается в полупрямое произведение Cbn = Gn ⋋ Hn , где Hn ≃ F2m , m = [n/2]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что Gn нормальна в Cbn . Для этого выясним, что происходит с порождающими группы Gn при сопряжении элементом ε2i−1,2i , 1 6 i 6 m. По лемме 1 справедливы следующие формулы сопряжения: −ν ν ν ε−ν 2i−1,2i εkl ε2i−1,2i = εkl , ε2i−1,2i εk,2i ε2i−1,2i = εk,2i , −ν ν ν ε−ν 2i−1,2i εk,2i−1 ε2i−1,2i = εk,2i εk,2i−1 εk,2i , −ν ν ν ε−ν 2i−1,2i ε2i−1,k ε2i−1,2i = εk,2i ε2i−1,k εk,2i , −ν ν ε−ν 2i−1,2i ε2i,k ε2i−1,2i = [εk,2i , ε2i−1,k ]ε2i,k .

Заметим, что при указанном сопряжении порождающие группы Gn переходят в ее элементы. Для первой и второй формул это очевидно, а для трех оставшихся — следует из того, что k 6= 2i − 1, 2i. Аналогичным образом, для элемента ε2i,2i−1 , 1 6 i 6 m, по лемме 1 справедливы следующие формулы сопряжения: −ν ν ν ε−ν 2i,2i−1 εkl ε2i,2i−1 = εkl , ε2i,2i−1 εk,2i−1 ε2i,2i−1 = εk,2i−1 ,

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

535

−ν ν ν ε−ν 2i,2i−1 εk,2i ε2i,2i−1 = εk,2i−1 εk,2i εk,2i−1 , −ν ν ν ε−ν 2i,2i−1 ε2i,k ε2i,2i−1 = εk,2i−1 ε2i,k εk,2i−1 , −ν ν ε−ν 2i,2i−1 ε2i−1,k ε2i,2i−1 = [εk,2i−1 , ε2i,k ]ε2i−1,k ,

которые, как легко заметить, переводят порождающие группы Gn в ее элементы. Следовательно, Gn нормальна в Cbn и Cbn = Gn Hn . Все соотношения группы Cbn разбиваются на три подмножества. Первое состоит из соотношений, содержащих только порождающие группы Hn , второе — порождающие группы Gn , а третье — групп Hn и Gn одновременно. Соотношения из последнего подмножества переписаны в виде формул сопряжения порождающих группы Gn порождающими группы Hn . Отсюда и следует, что Gn ∩ Hn = 1. Теорема доказана. Для n = 3 получаем то же разложение, что и в теореме 1, так как H3 = гр(ε12 , ε21 ), G3 = гр(ε31 , ε32 , ε13 , ε23 ), а H3 , G3 изоморфны группам D1 , D2 . При n = 4 разложение Cb4 = = G4 ⋋ H4 будет отличаться от разложения из теоремы 1, в этом случае H4 = гр(ε12 , ε21 , ε34 , ε43 k εij εkl = εkl εij ) ≃ F2 × F2 , G4 = гр(ε31 , ε32 , ε41 , ε42 , ε13 , ε23 , ε14 , ε24 ). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. В группах Cn и Cbn при n > 4 неразрешима проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Cbn является подгруппой группы Cn , то предложение достаточно доказать только для первой группы. Группа Cb4 содержит в качестве подгруппы группу H4 ≃ F2 × F2 . Следовательно, в силу результата К. А. Михайловой (см. [3, гл. 4, § 4]) в Cb4 неразрешима проблема вхождения в конечно порожденные подгрупппы. Осталось заметить, что Cb4 является подгруппой группы Cbn при n > 4. Предложение доказано.

536

В. Г. Бардаков Пусть εij — некоторый порождающий группы Cbn , символом ε∗ij бу-

дем обозначать пару порождающих εij , εji , т. е. ε∗ij = {εij , εji }, 1 6 i < < j 6 n. ТЕОРЕМА 3. При n = 2m+1, m = 2, 3, . . . , группа Gn разлагается в полупрямое произведение Gn = (. . . ((Km ⋋ Km−1 ) ⋋ Km−2 ) ⋋ . . .) ⋋ K1 , где K1 = гр(ε∗1n , ε∗2n ), Ki = гр(ε∗n−2i,n−1 , ε∗n−2i,n−2 , . . . , ε∗n−2i,n−2i+2 ; ε∗n−2i+1,n−1 , ε∗n−2i+1,n−2 , . . . , ε∗n−2i+1,n−2i+2 ), 1 < i < m, Km = гр(ε∗1,n−1 , ε∗1,n−2 , . . . , ε∗1,3 ; ε∗2,n−1 , ε∗2,n−2 , . . . , ε∗2,3 ; ε∗3,n , ε∗4,n , . . . , ε∗n−1,n ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Gn,j = гр(Km , Km−1 , . . . , Kj ), j = 1, 2, . . . , m. Очевидно, Gn,m = Km , Gn,j−1 = гр(Gn,j , Kj−1 ), j = 2, 3, . . . , m, Gn,1 = Gn . Покажем, что в группе Gn,1 = гр(Gn,2 , K1 ) подгруппа Gn,2 является нормальной. Для этого проверим, куда переходят порождающие группы Gn,2 при сопряжении порождающими группы K1 = гр(ε∗1,n , ε∗2,n ). Для εi,n , i = 1, 2, из леммы 1 имеем следующие формулы сопряжения −ν εin εkl ενin = εkl ,

(35)

ν ε−ν in εkn εin = εkn ,

(36)

−ν ν ν ε−ν in εki εin = εkn εki εkn ,

(37)

−ν ν ν ε−ν in εik εin = εkn εik εkn ,

(38)

−ν ν ε−ν in εnk εin = [εkn , εik ]εnk .

(39)

Тогда группа Gn,2 порождается всеми порождающими группы Cbn , за исключением порождающих ε∗1n , ε∗2n группы K1 , и ε∗2i−1,2i , i = 1, 2, . . . , m,

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

537

группы Hn . Рассмотрим порождающий ε1n . Разобьем все порождающие группы Gn2 в объединение непересекающихся подмножеств A1 = {ε∗kl ∈ Gn,2 | 1 6 k < l 6 n, k, l 6= 1, n}, A2 = {ε∗kn | 3 6 k 6 n − 1}, A3 = {ε∗1k | 3 6 k 6 n − 1}. Тогда на порождающих из A1 элемент ε1n действует по формулам (35), из A2 — по формулам (36) и (39). При этом εkn и ε1k , стоящие в правой части (39), лежат в A2 и A3 соответственно, а потому правая часть (39) лежит в Gn,2 . На порождающих из A3 элемент ε1n действует по формулам (37) и (38). Порождающий εkn , стоящий в правых частях этих равенств, лежит в A2 , а потому — и в Gn,2 . Следовательно, при сопряжении элементом ε1n подгруппа Gn,2 переходит в себя. Аналогичным образом устанавливается, что и при сопряжении элементом ε2n подгруппа Gn,2 переходит в себя. ν Рассмотрим порождающий εni , i = 1, 2, и покажем, что ε−ν ni Gn,2 εni ⊆

⊆ Gn,2 . По лемме 1 справедливы следующие формулы сопряжения: ν ε−ν ni εkl εni = εkl ,

(40)

ν ε−ν ni εki εni = εki ,

(41)

−ν ν ν ε−ν ni εkn εni = εki εkn εki ,

(42)

−ν ν ν ε−ν ni εnk εni = εki εnk εki ,

(43)

−ν ν ε−ν ni εik εni = [εki , εnk ]εik .

(44)

Рассмотрим далее порождающий εn1 (εn2 рассматривается аналогично). Используем то же разбиение порождающих группы Gn,2 , что и выше. Тогда на порождающих из A1 элемент εn1 действует по формулам (40), из A2 — по формулам (42) и (43). При этом порождающие εk1 , входящие в правую часть, лежат в A3 . На порождающих из A3 элемент εn1 действует по формулам (41) и (44), а εk1 и εnk , входящие в правую часть равенства (44), лежат в A3 и A2 соответственно, т. е. принадлежат Gn,2 . Следовательν но, ε−ν n1 Gn,2 εn1 ⊆ Gn,2 . Таким образом, Gn,2 нормальна в Gn = Gn,1 .

538

В. Г. Бардаков Покажем теперь, что подгруппа Gn,j , 3 6 i 6 m, нормальна в группе

Gn,j−1 = гр(Gn,j , Kj−1 ). Напомним, что Kj−1 = гр(ε∗n−2j+3,n−1 , ε∗n−2j+3,n−2 , . . . , ε∗n−2j+3,n−2j+4 ; ε∗n−2j+2,n−1 , ε∗n−2j+2,n−2 , . . . , ε∗n−2j+2,n−2j+4 ), Gn,j = гр(ε∗kn , k = 3, 4, . . . , n − 1; ε∗n−2i+1,n−1 , ε∗n−2i+1,n−2 , . . . , ε∗n−2i+1,n−2i+2 , ε∗n−2i,n−1 , ε∗n−2i,n−2 , . . . , ε∗n−2i+1,n−2i+2 , i = j, j + 1, . . . , m). Рассмотрим некоторый порождающий εpq , где p ∈ {n − 2j + 2, n − 2j + 3}, n − 2j + 4 6 q 6 n − 1. Из леммы 1 имеем следующие формулы сопряжения −ν εpq εkl ενpq = εkl ,

(45)

−ν εpq εkq ενpq = εkq ,

(46)

−ν ν ν ε−ν pq εkp εpq = εkq εkp εkq ,

(47)

−ν ν ν ε−ν pq εpk εpq = εkq εpk εkq ,

(48)

−ν ν ε−ν pq εqk εpq = [εkq , εpk ]εqk .

(49)

Пусть для определенности p = n − 2j + 2 (случай p = n − 2j + 3 рассматривается аналогично). Разобьем все порождающие группы Gn,j в объединение следующих непересекающихся подмножеств 1 = {ε∗ ∈ G Dpq nj | 1 6 k < l 6 n, k, l 6= p, q}, kl 2 = {ε∗ | 1 6 k < p}, Dpq kq 3 = {ε∗ | 1 6 k < p}. Dpq kp 1 по формуТогда порождающий εpq действует на элементах из Dpq 2 — по формулам (46) и (49). При этом ε лам (45), из Dpq kq и εpk , стоящие в 2 и D 3 соответственно. На порожправой части равенства (49), лежат в Dpq pq 3 элемент ε дающих из Dpq pq действует по формулам (47), (48) и переводит ν их в элементы группы Gn,j . Следовательно, ε−ν pq Gn,j εpq ⊆ Gn,j .

Рассмотрим теперь порождающий εqp , где p ∈ {n − 2j + 2, n − 2j + 3}, n − 2j + 4 6 q 6 n − 1. По лемме 1 имеем следующие формулы сопряжения: ν ε−ν qp εkl εqp = εkl ,

(50)

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

539

ν ε−ν qp εkp εqp = εkp ,

(51)

−ν ν ν ε−ν qp εkq εqp = εkp εkq εkp ,

(52)

−ν ν ν ε−ν qp εqk εqp = εkp εqk εkp ,

(53)

−ν ν ε−ν qp εpk εqp = [εkp , εqk ]εpk .

(54)

Пусть для определенности p = n − 2j + 2 (случай p = n − 2j + 3 рассматривается аналогично). Элемент εqp действует на порождающих из 1 по формулам (50), на порождающих из D 2 — по формулам (52) и (53). Dpq pq 3 . Наконец, на D 3 элеПри этом εkp , входящие в правую часть, лежат в Dpq pq

мент εqp действует по формулам (51) и (54), а элементы εkp и εqk , входящие 3 и D 2 соответственно. в правую часть равенства (54), лежат в Dpq pq

Таким образом, Gnj нормальна в Gn,j−1 . Из генетического кода группы Gn,j−1 видно, что Gnj ∩ Kj−1 = 1. Следовательно, Gn,j−1 = Gnj ⋋ Kj−1 . Используя индукцию по m, получим требуемое разложение группы Gn . Теорема доказана. ТЕОРЕМА 4. При n = 2m, m = 2, 3, . . . , группа Gn разлагается в полупрямое произведение Gn = (. . . ((Lm ⋋ Lm−1 ) ⋋ Lm−2 ) ⋋ . . .) ⋋ L2 , где Li = гр(ε∗n−2i+1,n , ε∗n−2i+1,n−1 , . . . , ε∗n−2i+1,n−2i+3 , ε∗n−2i+2,n , ε∗n−2i+2,n−1 , . . . , ε∗n−2i+2,n−2i+3 ), 2 6 i 6 m. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Gn,j = гр(Lm , Km−1 , . . . , Lj ), j = 2, 3, . . . , m. Так же, как и в теореме 3, проверяется, что подгруппа Gnj нормальна в группе Gn,j−1 , а из генетического кода группы Gn,j−1 вытекает, что Gnj ∩ Lj−1 = 1. Следовательно, Gn,j−1 = Gnj ⋋ Lj−1 . Используя индукцию по m, получим требуемое разложение группы Gn . Теорема доказана. Автор выражает благодарность О. В. Богопольскому, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд полезных замечаний, а также Дж. Мейеру, указавшего на работу [9] и некоторые неточности в первоначальной версии статьи.

540

В. Г. Бардаков ЛИТЕРАТУРА 1. D. Z. Djokovic, The structure of the automorphism group of a free group on two generators, Proc. Am. Math. Soc., 88, N 2 (1983), 218—220. 2. Г. Т. Козлов, Строение группы Aut(F2 ), Алгебра, логика и приложения, Иркутск, Иркутский гос. ун-т, 1994, 28—32. 3. Р. Линдон, П. Шупп, Комбинаторная теория групп, М., Мир, 1980. 4. S. Krstic, J. McCool, The non-finite presentability of IA(F3 ) and GL2 (Z[t, t−1 ]), Invent. Math., 129, N 3 (1997), 595—606. 5. J. McCool, On basis-conjugating automorphisms of free groups, Can. J. Math., 38, N 6 (1986), 1525—1529. 6. А. Г. Савушкина, О группе сопрягающих автоморфизмов свободной группы, Матем. заметки, 60, N 1 (1996), 92—108. 7. А. А. Марков, Основы алгебраической теории кос, Тр. Матем. ин-та АН, 16, 1945, 1—54. 8. J. S. Birman, Braids, links and mapping class group, Princeton–Tokyo, Univ. press, 1974. 9. D. J. Collins, N. D. Gilbert, Structure and torsion in automorphism groups of free products, Quart. J. Math. Oxford, 41, N 162 (1990), 155—178.

10. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002. 11. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 4-е изд., М., Наука, 1996. 12. H. Servatius, Automorphisms of graph groups, J. Algebra, 126, N 1 (1989), 34—60. 13. H. Servatius, C. Droms, B. Servatius, Surface subgroups of graph groups, Proc. Am. Math. Soc., 106, N 3 (1989), 573—578. 14. В. Г. Бардаков, Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, групповые и метрические свойства отображений: сб. работ, посв. памяти Ю. И. Мерзлякова, Новосибирск, Новосибирский гос. ун-т, 1995, 8—18. 15. Г. С. Коксетер, У. О. Мозер, Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, М., Наука, 1980. 16. Ю. И. Мерзляков, Рациональные группы, 2-е изд., М., Наука, 1987.

Строение группы сопрягающих автоморфизмов

541

17. В. Г. Бардаков, О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций, Алгебра и логика, 36, N 5 (1997), 494—517. 18. A. H. Rhemtulla, A problem of bounded expressibility in free products, Proc. Camb. Philos. Soc., 64, N 3 (1969), 573—584. 19. В. Г. Бардаков, К теории групп кос, Матем. сб., 183, N 6 (1992), 3—42.

Адрес автора: БАРДАКОВ Валерий Георгиевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 7 декабря 2001 г.