1
Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà Ñåðèÿ Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà â èíæåíåðíîì äåëå
Â...
34 downloads
320 Views
451KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
1
Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà Ñåðèÿ Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà â èíæåíåðíîì äåëå
Â.Þ. Èòêèí, Â.Â. Ðûêîâ ÎÑÍÎÂÛ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß (Ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè)
Êîíñïåêò ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ èíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé ÐÃÓ íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà ïîä ðåäàêöèåé ïðîô. Â.Â. Ðûêîâà
c Èòêèí Â.Þ., Ðûêîâ Â.Â. 2005 ° Ìîñêâà, 2005
2
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Íàñòîÿùåå èçäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíñïåêò îäíîèìåííîãî êóðñà ëåêöèé, ïîäãîòîâëåííîãî äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà èíæåíåðíîé ìåõàíèêè Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà. Ïðè ñîñòàâëåíèè êîíñïåêòà èñïîëüçîâàëèñü ðàçëè÷íûå ó÷åáíèêè è ìîíîãðàôèè, à òàêæå ëè÷íûé îïûò àâòîðîâ.  êà÷åñòâå îñíîâíîãî ðåêîìåíäóåìîãî ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà ïðåäëàãàåòñÿ îäíîèìåííûé ðàçäåë ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ êàôåäðû ÏÌèÊÌ ÐÃÓ íåôòè è ãàçà Îñíîâû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ì.: Èçä. Íåôòü è ãàç, 2000, 287ñ. Òåêñò ðàçáèò íà ïàðàãðàôû, ïðåäñòàâëÿþùèå îòäåëüíûå òåìû. Íóìåðöèÿ îïðåäåëåíèé, òåîðåì, ôîðìóë è ïðèìåðîâ ñâîÿ â êàæäîì ïàðàãðàôå. Ïðè ññûëêàõ íà òåîðåìû è ôîðìóëû äðóãèõ ïàðàãðàôîâ èñïîëüçóåòñÿ äâîéíàÿ íóìåðàöèÿ.
3
ÑÏÈÑÎÊ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ Â ñêîáêàõ ïðèâåäåíû ñòðàíèö, ãäå ââîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñîêðàùåíèÿ ÏÐ (14) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ; Ñ (11) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Ñ îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè X, Y, Z à èõ çíà÷åíèÿ ìàëûìè x, y, z ); ÍÎÐ Ñ (19) íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ÔÐ (10,12) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ: F (x) = FX (x) = = P{X ≤ x}; P, M, D (6,?) - ñèìâîëû âåðîÿòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè; ÇÁ× (23) Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë; ÓÇÁ× (23) Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë; ÖÏÒ (23) Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà; κ(X, Y ) = (X, Y ) (23) êîâàðèàöèÿ; ρ(X, Y ) = êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè; N (µ, σ 2 ) (23) íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ Ñ ñ ïàðàìåòðàìè µ 2 èσ ; N (~ µ, C) (23) íîðìàëüíî ðàïñðåäåëåííûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé µ ˜ è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé C ; N (µ, σ 2 ) êëàññ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ Ñ ñ ïàðàìåòðàìè µ è σ2 ; Φ(x) (12) ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; ~a0 (18) - ñèìâîëû òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåêòîðà (ìàòðèöû); det C (18) - îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû C .
4
1 Âåðîÿòíîñòü: îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñòàòèñòèêè îïèðàþòñÿ íà ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå íàïîìíèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
1.1 ßâëåíèÿ íåñëó÷àéíûå è ñëó÷àéíûå Åæåäíåâíûé îïûò óáåæäàåò â ñóùåñòâîâàíèè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåñëó÷àéíûõ (äåòåðìèíèðîâàííûõ) ÿâëåíèé õîðîøî èçâåñòíû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ íåîáõîäèìî îñòàíîâèòüñÿ íà îñíîâíûõ îñîáåííîñòÿõ òàêèõ ÿâëåíèé. Äåòåðìèíèðîâàííîå ÿâëåíèå îäíîçíà÷íî ðåàãèðóåò íà ôèêñèðîâàííûé êîìïëåêñ óñëîâèé, ò.å. ïðè ïðîâåäåíèè îïûòà (ýêñïåðèìåíòà) E ñ ôèêñèðîâàííûìè óñëîâèÿìè íàä äåòåðìèíèðîâàííûì ÿâëåíèåì â ðåçóëüòàòå áóäåò íàáëþäàòüñÿ åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå ñîáûòèå A, â òî âðåìÿ êàê ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå ðåàãèðóåò íà ôèêñèðîâàííûé êîìïëåêñ óñëîâèé ìíîãîçíà÷íî, ò.å. ïðè ïðîâåäåíèè îïûòà (ýêñïåðèìåíòà) E ñ ôèêñèðîâàííûìè óñëîâèÿìè íàä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì â ðåçóëüòàòå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîáûòèé {A1 , A2 , . . . }.
Ïðèìåðû. Äåòåðìèíèðîâàííûå ÿâëåíèÿ. 1. Ïðè íàãðåâàíèè âîäû â óñëîâèÿõ çåìíîãî äàâëåíèÿ âîçäóõà äî òåìïåðàòóðû T = 100◦ C (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), îíà çàêèïàåò, ò.å. ïåðåõîäèò â ïàðîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå (ñîáûòèå A). 2. Ïðè ïîäâåøèâàíèè ãðóçà â îáû÷íûõ çåìíûõ óñëîâèÿõ ê ïðóæèíå (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), ïîñëåäíÿÿ ðàñòÿãèâàåòñÿ íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó, çàâèñÿùóþ îò åå ñâîéñòâ (ñîáûòèå A) çàêîí Ãóêà. 3. Ïðè ïîìåùåíèè òåëà â áàññåéí ñ âîäîé (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), îíî âûòåñíèò âîäó â îáúåìå ïîìåùåííîãî òåëà (ñîáûòèå A) çàêîí Àðõèìåäà. 4.
Ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ.
5
1. Ïðè ñòðåëüáå ïî ìèøåíè ôèêñèðîâàííîãî ñòðåëêà (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), ïóëÿ ïîïàäàåò â îäíó èç âîçìîæíûõ îáëàñòåé {A0 , A1 , . . . , A10 }. 2. Ïðè ðîçûãðûøå ëîòåðåè 6 èç 49 (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), âîçìîæíûì èñõîäîì ðîçûãðûøà ÿâëÿåòñÿ îäèí èç ìíîæåñòâà ¡49¢ íàáîðîâ âèäà (i1 , . . . , i6 ), ãäå êàæäîå èç ÷èñåë ik (k = 6 1, 2, 3, 4, 5, 6)ïðèíèìàåò îäíî èç öåëûõ çíà÷åíèé îò 1 äî 49. 3. 4.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì íàáîðîì ñîáûòèé, ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà ñîáûòèé, íàáëþäàåìûõ â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà.
1.2 Àëãåáðà ñîáûòèé Ïóñòü A è B äâà ñîáûòèÿ, âîçìîæíûõ â ñëó÷àéíîì ÿâëåíèè. Òîãäà â ðàìêàõ ýòîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ âîçìîæíî òàêæå ïîÿâëåíèå ñîáûòèé A èëè B , A è B , íå A, äëÿ êîòîðûõ áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ 1) A èëè B = A ∪ B; 2) A è B = A ∩ B ≡ AB; 3) íå A = A¯ ≡ Ω − A. Ñîáûòèå A ∪ B ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ñîáûòèé A èëè B . Ñîáûòèå A∩B ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäÿò îáà ñîáûòèÿ A è B . Íàêîíåö, ñîáûòèå A¯ ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íå ïðîèñõîäèò ñîáûòèå A. Êðîìå òîãî, äîïîëíèì ñèñòåìó ñîáûòèé ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì, êîòîðîå íèêîãäà íå ïðîèñõîäèò â ýêñïåðèìåíòå è äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì, êîòîðîå âñåãäà ïðîèñõîäèò â ýêñïåðèìåíòå, è êîòîðûå áóäåì îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî ñèìâîëàìè ∅ è Ω. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòèìûìè, åñëè AB = ∅. Äëÿ íåñîâìåñòèñìûõ ñîáûòèé âìåñòî A ∪ B èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå A + B .
6 Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ëþáûå ñîáûòèÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäìíîæåñòâà íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà) ω . Ïðè ýòîì ïîä ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì ïîíèìàåòñÿ ìèíèìàëüíûé, íåäåëèìûé èñõîä ýêñïåðèìåíòà.  ýòîé èíòåðïðåòàöèè íåâîçìîæíîå ñîáûòèå ∅ ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, à äîñòîâåðíîå ñîáûòèå Ω ñîâïàäàåò ñî âñåì èõ ìíîæåñòâîì, à îïåðàöèè A ∩ B, A ∪ B è A¯ ïðåâðàùàþòñÿ â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ, îáúåäèíåíèÿ è äîïîëíåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1. Ñèñòåìà ñîáûòèé F , ñîäåðæàùàÿ íàðÿäó ñ ñîáûòèÿìè A è B òàêæå ñîáûòèÿ A∪B, A∩B, A¯ íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ñîáûòèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè äâà ñîñòàâíûõ ýëåìåíòà ëþáîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ: ïðîñòðàíñòâî Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω è ñåìåéñòâî íàáëþäàåìûõ ñîáûòèé F . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðåòüåé íàèáîëåå âàæíîé êîìïîíåíòû âåðîÿòíîñòè P, îáðàòèìñÿ ñíà÷àëà ê íåêîòîðîìó ñïåöèàëüíîìó ñëó÷àþ. Ñèìâîëîì P çäåñü è äàëåå îáçíà÷àåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ, çàêëþ÷åííîãî â ñêîáêè.
1.3 Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïîäðîáíåå ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, â êîòîðîì âîçìîæíî ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî N ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, Ω = {ω1 , . . . , ωN }, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ïðåäïîëîæèì, ÷òî: S ωi = Ω; 1) ωi ∩ ωj = ∅, i 6= j, 1≤i≤N
2) âñå èñõîäû ωi ðàâíîâîçìîæíû. Ïðè ýòîì ëþáîå âîçìîæíîå ñîáûòèå A ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åãî ñîñòàâëÿþùèõ, A = {ωi1 , . . . ωik }. Â ýòèõ óñëîâèÿõ åñòåñòâåííî ïîëîæèòü
P(ωi ) =
1 , N
(1)
7 à âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ îïðåäåëèòü êàê
P(A) =
X
P(ωi ) =
ωi ∈A
N (A) , N
(2)
ãäå N (A) ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A. Îïðåäåëåííûå òàêèì îáðàçîì âåðîÿòíîñòè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 2) P(A + B) = P(A) + P(B) ïðè A ∩ B = ∅; 3) P(Ω) = 1. Èç ýòèõ îñíîâíûõ ñâîéñòâ ëåãêî âûòåêàþò ñëåäóþùèå:
¯ = 1 − P(A); 4) P(A) 5) P(∅) = 0; 6) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Êðîìå òîãî, åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå B êàê ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A ñðåäè òåõ, êîòîðûå áëàãîïðèÿòñòâóþò òàêæå è ñîáûòèþ B , à èìåííî:
P(A|B) =
N (AB) , N (B)
÷òî ïîñëå äåëåíèÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íà N ïðèâîäèò ê îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè â âèäå
P(A|B) =
P(AB) . P(B)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
P(AB) = P(A|B)P(B).
(3)
8 Ñîáûòèå A åñòåñòâåííî íàçâàòü ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûì îò ñîáûòèÿ B , åñëè P(A|B) = P(A). Çàìåòèì (ñì. óïð. 5), ÷òî ñâîéñòâî íåçàâèñèìîñòè âçàèìíî, ò.å. èç íåçàâèñèìîñòè A îò B ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü B îò A. Îäíàêî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî â îáùåì ñëó÷àå, òàê êàê áîëüøèíñòâî ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé íå óäîâëåòâîðÿåò âûäâèíóòûì çäåñü òðåáîâàíèÿì: 1) ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îáû÷íî íå áûâàåò êîíå÷íûì; 2) ýëåìåíòàðíûå èñõîäû îáû÷íî íåëüçÿ ñ÷èòàòü ðàâíîâîçìîæíûìè. Ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ èñêàòü äðóãèå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé. Òàêîé ïîäõîä áûë ïðåäëîæåí À.Í. Êîëìîãîðîâûì â âèäå àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Íî ïðåæäå ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü åãî àêñèîìû îáðàòèìñÿ ê èíòóèòèâíîìó âîñïðèÿòèþ âåðîÿòíîñòè ÷åðåç ÷àñòîòû íàáëþäåíèÿ òåõ èëè èíûõ ñîáûòèé â ýêñïåðèìåíòå ñî ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì è ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ÷àñòîò.
1.4 ×àñòîòû è èõ ñâîéñòâà Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n ýêñïåðèìåíòîâ E íàä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì, â êîòîðûõ âîçìîæíî ïîÿâëåíèå íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A, è ïóñòü ñðåäè ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñîáûòèå A íàáëþäàëîñü n(A) ðàç. Âåëè÷èíà
hn (A) =
n(A) n
(4)
íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ A â ñåðèè èç n ýêñïåðèìåíòîâ. Çàìåòèì, ÷òî ñàìà âåëè÷èíà hn (A) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé, òàê êàê â äðóãîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ íàä òåì æå ñàìûì ÿâëåíèåì ÷àñòîòà ìîæåò îêàçàòüñÿ (è ñêîðíåå âñåãî îêàæåòñÿ) äðóãîé. Íàïðèìåð, äîëÿ ðîäèâøèõñÿ ìàëü÷èêîâ â ðàçëè÷íûõ ðîäèëüíûõ äîìàõ â òå÷åíèå ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäà âðåìåíè áóäåò ðàçëè÷íîé.
9 Ðàññìîòðè ñâîéñòâà ÷àñòîò. Âî-ïåðâûõ èç îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû ñëåäóåò, ÷òî 0 ≤ h(A) ≤ 1. Âî-âòîðûõ, ÿñíî ÷òî åñëè A è B äâà âîçìîæíûõ íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèÿ ýêñïåðèìåíòà, òî
h(A + B) = h(A) + h(B). Íàêîíåö, åñëè Ωäîñòîâåðíîå ñîáûòèå ýêïåðèìåíòà (ò.å. ïðîèñõîäèò âñåãäà), òî h(Ω) = 1. Êðîìå òîãî, îïðåäåëèì óñëîâíóþ ÷àñòîòó ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå B êàê äîëþ ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A ñðåäè òåõ ñîáûòèé, êîãäà íàáëþäàëîñü òàêæå ñîáûòèå B , ò.å. n(AB) h(A|B) = . n(B) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî çàìå÷àòåëüíîå óòâåðæäåíèå
h(A|B) =
ñîîòíîøåíèÿ
íà
n(AB) n(AB)/n h(AB) = = . n(B) n(B)/n h(B)
n
ïîëó÷èì
(5)
Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò ôîðìóëà ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò:
h(AB) = h(A|B)h(B).
(6)
Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ñîáûòèÿ A è B ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè, åñëè äîëÿ ñîáûòèé A ñðåäè B òàêàÿ æå, êàê è âî âñåé âûáîðêå, ò.å. h(A|B) = h(A). Ýòî ïðèâîäèò ê ôîðìóëå ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé,
h(AB) = h(A)h(B).
(7)
Çìåòèì òàêæå, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåçàâèñèìîñòü, îïðåäåëåííàÿ ÷åðåç ÷àñòîòû ñîáûòèé, âçàèìíà àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé.
10
1.5 Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé Îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé è ñâîéñòâà ÷àñòîò, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âåðîÿòíîñòü êàê ìåðó ñëó÷éíîñòè, ïðîÿâëÿþùóþñÿ â âèäå ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé â ýêñïåðèìåíòå. Òàêèì îáðâçîì, âåðî÷òíîñòü åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êàê ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ P, îïðåäåëííóþ íà àëãåáðå ñîáûòèé F è îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 2) P(A + B) = P(A) + P(B); 3) P(Ω) = 1. Òàêæå êàê â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé èç ýòèõ îñíîâíûõ ñâîéñòâ ëåãêî âûòåêàþò ñëåäóþùèå:
¯ = 1 − P(A); 4) P(A) 5) P(∅) = 0; 6) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâî Îïðåäåëåíèå 2. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèé ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ P(·), çàäàííàÿ íà àëãåáðå ñîáûòèé F , ñâÿçàííûõ ñ äàííûì ÿâëåíèåì. Îïèðàÿñü íà ïîíÿòèå óñëîâíîé ÷àñòîòû îïðåäåëèì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü, êàê P(AB) P{A|B} = . (8) P(B) Ñîáûòèÿ A íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìûì îò ñîáûòèÿ B , åñëè
P{A|B} = P(A). Êðîìå òîãî, ïðè ïîâòîðåíèè ýêñïåðèìåíòà íàä îäíèì è òåì æå ÿâëåíèåì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýêñïåðèìåíòû íåçàâèñèìû, åñëè íåçàâèñèìû ñîáûòèÿ â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ.
11 Çàìåòèì, ÷òî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ îá èçìåðåíèè âåðîÿòíîñòåé â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, à ëþáàÿ âåëè÷èíà áåç ñïîñîáà åå èçìåðåíèÿ òåðÿåò ñìûñë. Äëÿ ëþáûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñóùåñòâóþò ñïîñîáû è åäèíèöû èçìåðåíèÿ (ìåòð, âîëüò, ì/ñåê è ò.ï.), à òàêæå ïðèáîðû èõ èçìåðÿþùèå (ìåòð, âîëüòìåð, ñïèäîìåòð è ò.ä.). Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ âåðîÿòíîñòè ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíîå ÷èñëî ìåæäó 0 è 1, à ïðèáîð èçìåðåíèÿ çàìåíÿåòñÿ ìåòîäîì, â êà÷åñòâå êîòîðîãî âûñòóïàåò ñòàòèñòèêà, êîòîðîé è ïîñâÿùåí íàñòîÿùèé êóðñ. Îäíàêî ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê íåïîñðåäñòâåííî ñòàòèñòè÷åñêòèì ïðîáëåìàì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü åùå îäíî âàæíîå ïîíÿòèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ÑÂ) è åå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîìó ïîñâÿùåí ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.
1.6 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. ×åì îòëè÷àþòñÿ ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ îò íåñëó÷àéíûõ ? 2. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ ñîáûòèé: à) A ∪ B ; á) A ∩ B ; â) A¯.
3. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ íà ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. 4. Äàéòå îïðåäåëåíèå êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè. 5. Äàéòå îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè â êëàññè÷åñêîé ñõåìå. 6. Äàéòå îïðåäåëåíèå σ -àëãåáðû ñîáûòèé. 7. ×òî òàêîå ÷àñòîòà? 8. ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà ÷àñòîò. 9. Äàéòå îïðåäåëåíèå óñëîâíîé ÷àñòîòû. 10. Äàéòå àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è îáîñíóéòå åãî.
12
Óïðàæíåíèÿ. 1. Ïðèâåäèòå ñîáñòâåííûå ïðèìåðû ÿâëåíèé ñëó÷àéíûõ è
íåñëó÷àéíûõ. 2. Ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè îïèøèòå â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñîáûòèÿ: à) A = {âûïàëî íå÷åòíîå ÷èñëî }, á) B = { âûïàëî ÷èñëî < 3}, â) A ∪ B , ã) A ∩ B , ä) A¯. 3. Äëÿ ãðóïïû èç 25 ñòóäåíòîâ îïèøèòå ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïîçâîëÿþùåå èññëåäîâàòü êîëè÷åñòâî þíîøåé è äåâóøåê.  òåðìèíàõ ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïèøèòå ñîáûòèÿ: à) â ãðóïïå òîëüêî þíîøè, á) þíîøåé â ãðóïïå áîëüøå, ÷åì äåâóøåê. 4. Çàäà÷à äå Ìåðå. 5. Ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ñòàòèñòè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé âçàèìíî. 6. Ïðîâåñòè ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñ 10-êðàòíûì áðîñàíèåì ìîíåòû è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó ãåðáà. 7. Ïðîâåñòè ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñ 10-êðàòíûì áðîñàíèåì èãðàëüíîé êîñòè è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó ñîáûòèé: à) A = {âûïàëî íå÷åòíîå ÷èñëî }, á) B = { âûïàëî ÷èñëî < 3}, â) A ∪ B , ã) A ∩ B , ä) A¯. å) óñëîâíóþ ÷àñòîòó ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè ñîáûòèÿ B . 8. Ïîâòîðèòü ýêñïåðèìåíò èç ïðåäûäóùåãî óïðàæíåèÿ è âû÷èñëèòü òå æå ñàìûå ÷àñòîòû. Âû÷èñëèòü óñëîâíûå ÷àñòîòû ñîáûòèé â ïåðâîì ýêñïåðèìåíòå îòíîñèòåëüíî ñîáûòèé âòîðîãî ýêñåðèìåíòà. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñòàòèñòè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè ýåñïåðèìåíòîâ. à) â) ä)
9.
bigskip
13
Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà.
14
2 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ Íàáëþäåíèÿ íàä ìíîãèìè ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ÷èñëîâûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Òàêèå íàáëþäåíèÿ íàçûâàþòñÿ (÷èñëîâûìè èëè âåêòîðíûìè) ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè (ÑÂ).  íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ Ñ è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.
2.1 Îïðåäåëåíèå Îòïðàâëÿÿñü îò ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå îïðåäåëèì ÑÂ, êàê ôóíêöèþ îò ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ. Áóäåì îáîçíà÷àòü Ñ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè X, Y, Z , à èõ çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè x, y, z è ò.ä.
Ïðèìåðû. 1. Åñëè ýëåìåíòàðíûå èñõîäû áðîñàíèÿ èãðàëüíîé êîñòè
îáîçíà÷èòü ÷èñëàìè ωi = i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), òî ÷èñëî âûïàâøèõ î÷êîâ ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, X(ωi ) = i. 2. (äàòü äðóãèå)
Îäíàêî ýòî îïðåäåëåíèå íå êîíñòðóêòèâíî, è íå èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå. Íàïðèìåð, ÷èñëî ñòóäåíòîâ èç ãðóïïû â 25 ÷åë., ïðèñóòñòâóþùèõ íà çàíÿòèè, ÿâëÿåòñÿ ÑÂ. Îäíàêî, ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è îïðåäåëèòü íà íåì ýòó Ñ çàäà÷à âðÿä ëè îñóùåñòâèìàÿ. Òåì íå ìåíåå, ìîæíî ïðîâîäèòü íåîäíîêðàòíûå íàáëþäåíèÿ çà ýòîé Ñ è óñòàíîâèòü äëÿ íåå íåêîòîðûå ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè. Ïðàêòè÷åñêè âñÿ íåîáõîäèìàÿ èíôîðìàöèÿ î Ñ ñîäåðæèòñÿ â åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ÔÐ). Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Ñ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ FX (x) = P{X ≤ x}. (1) Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþò ñâîéñòâà ÔÐ: 1) 0 ≤ F (x) ≤ 1 îãðàíè÷åííîñòü;
15 2) F (x) ≤ F (y) ïðè x ≤ y ìîíîòîííîñòü; 3) limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1; 4) F (x) = lim F (x + h) íåïðåðûâíîñòü ñïðàâà. h↑0
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè (1 4) îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ÑÂ. Ïîýòîìó íåò íåîáõîäèìîñòè äåëàòü ðàçëè÷èå ìåæäó Ñ è èõ ðàñïðåäåëåíèÿìè. Âàæíûì ýëåìåíòîì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, íàáëþäàåìûõ â âèäå ÷èñëîâûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå èõ ÔÐ. Ïîýòîìó â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèé.
2.2 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ìîäåëè äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé Îïðåäåëåíèå 2. Ñ (è åå ÔÐ) íàçûâàþòñÿ äèñêðåòíûìè, åñëè îíà
ïðèíèìàåò êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå1 ÷èñëî çíà÷åíèé. Ðàñïðåäåëåíèå òàêèõ Ñ çàäàåòñÿ íàáîðîì èõ çíà÷åíèé {xk (k = 1, 2, . . . )} è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âåðîÿòíîñòåé,
pk = P{X = xk }
k = 1, 2, . . . .
(2)
 ñëó÷àå êîíå÷íîãî ÷èñëà çíà÷åíèé Ñ çàäàâàòü òàêèå ðàñïðåäåëåíèÿ óäîáíî ñ ïîìîùüþ òàáëèö, ãäå â ïåðâîé ñòðîêå âûïèñûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ÑÂ, à âî âòîðîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè. Òàáëèöà 2.1. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàííåíûìè è ÷àñòî èñïîëüçóåìûìè íà ïðàêòèêå ÿâëÿþòñÿ äèñêðåòíûå Ñ ñî çíà÷åíèÿìè, êðàòíûìè íåêîòîðîìó ÷èñëó, ÿâëÿþùåìóñÿ åäèíèöåé èçìåðåíèÿ, xk = k∆. Òàêèå Ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ìàñøòàáà ñâîäÿòñÿ ê öåëî÷èñëåííûì ÑÂ, ïðèíèìàþùèì ëèøü öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Ìíîãèå èç ðàñïðåäåëåíèé òàêèõ Ñ çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ìîäåëè òàêèõ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. 1 ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîæíî ïåðåñ÷èòàòü,
ò.å. ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíîìó ðÿäó ÷èñåë.
16
2.2.1. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìîäåëü êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ðàâíîìåðíîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè â êëàññè÷åñêîé ñõåìå ñ N èñõîäàìè, êàæäîìó èñõîäó ωi ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî, X(ωi ) = xi òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ Ñ çàäàåòñÿ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, 1 pi = P{X = xi } = P(ωi ) = . (3) N Íàïðèìåð, â ýêñïåðíèìåíòå ñ áðîñàíèåì èãðàëüíîãî êóáèêà ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà âûïàâøèõ î÷êîâ èìååò âèä 1 pi = P{X = i} = P(ωi ) = . 6 Ïðèìåð 2. Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû î÷êîâ ïðè áðîñàíèè äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé ïðåäñòàâëåíî â òàáë. 2.2. Âû÷èñëèòü ýòî ðàñïðåäåëåíèå ïðåäëàãàåòñÿ â âèäå óïðàæíåíèÿ 1. Òàáëèöà 2.2.
2.2.2. Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Ïîïóëÿðíîé ìîäåëüþ ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü ñ äâóìÿ èñõîäàìè. Íåñìîòðÿ íà ñâîþ ïðîñòîòó (èëè èìåííî áëàãîäàðÿ åé) îíà íàõîäèò ìíîãî ïðèëîæåíèé. Ìîäåëü ñ íåçàâèñèìûì ïîâòîðåíèåì òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Áåðíóëëè. Åñëè â òàêîì ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàþòñÿ ÷èñëîâûå èñõîäû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ Ñ íàçûâàåòñÿ áåðíóëëèåâîé ÑÂ, à åå ðàñïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè. Ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñäâèãà è ìàñøòàáà áåðíóëëèåâó Ñ âñåãäà ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, êîãäà îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 èëè 1. Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå òàêîé Ñ áóäåì çàäàâàòü ñîîòíîøåíèåì
P{X = 1} = p,
P{X = 0} = 1 − p = q.
(4)
Ïðèìåð 3. Ìíîãî÷èñëåííûå íàáëþäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî íà 1000 ðîæäåíèé ïðèõîäèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî 515 ìàëü÷èêîâ è 485 äåâî÷åê. Ïîýòîìó åñëè ââåñòè ÑÂ, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèå 1 ïðè ðîæäåíèè ìàëü÷èêà è 0 ïðè ðîæäåíèè äåâî÷êè, òî îíà áóäåò áåðíóëëèåâîé Ñ ñ p = 0, 515.
17
2.2.3. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåðíóëëèåâûõ Ñ X1 , . . . , Xn , ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèå 1 â ñëó÷àå óñïåøíîãî èñõîäà è 0 â ñëó÷àå íåóñïåøíîãî. Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ èíòåðåñíî çíàòü ÷èñëî Sn óñïåøíûõ èñõîäîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé. Î÷åâèäíî, ýòî ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ áåðíóëëèåâûõ âåëè÷èí,
Sn = X1 + · · · + Xn . Âû÷èñëèì ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà Sn óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé Áåðíóëëè. Î÷åâèäíî ýòî ÷èñëî ìîæåò ïðíèìàòü îäíî èç n + 1 âîçìîæíûõ çíà÷åíèé: 0, 1, . . . n. Ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ðàâíû µ ¶ k k pk = P{Sn = k} = p (1 − p)n−k ≡ bk (n, p). (5) n Çäåñü b¡k (n, ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìè ¢ p) îáîçíà÷åíèå n! . n, p, à nk = k!(n−k)! Äåéñòâèòåëüíî, êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä, ñîäåðæàùèé k óñïåøíûõ è n − k íåóñïåøíûõ èñõîäîâ èìååò â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ¡ ¢ ýêñïåðèìåíòîâ âåðîÿòíîñòü pk (1 − p)n−k , à òàêèõ èñõîäîâ nk . Ïðèìåð 4. Ïóñòü â íåêîòîðîì ðåãèîíå ïðåäâàðèòåëüíûìè ãåîëîãè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿìè óñòàíîâëåíî íàëè÷èå íåôòè ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Ïðè ïðîâåäåíèè ðàçâåäî÷íîãî áóðåíèÿ èíòåðåñíî âûÿñíèòü âîïðîñ î âåðîÿòíîñòè âñêðûòèÿ ïëàñòà k ñêâàæèíàìè ïðè íàìå÷åííîì ïðîáóðèâàíèè n ñêâàæèí. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
2.2.4. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Äðóãîå âàæíîå ðàñïðåäåëåíèå, ñâÿçàííîå ñî ñõåìîé Áåðíóëëè âîçíèêàåò ïðè èññëåäîâàíèè âîïðîñà î íåîáõîäèìîì ÷èñëå èñïûòàíèé äî ïîëó÷åíèÿ ïåðâîãî óñïåøíîãî (èëè íåóñïåøíîãî) èñõîäà. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç T ñëó÷àéíîå ÷èñëî èñïûòàíèé (âðåìÿ) äî ïåðâîãî íåóñïåøíîãî èñõîäà, òî ðàñïðåäåëåíèå òàêîé Ñ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
pk = P{T = k} = pk−1 (1 − p) ≡ gk (p)
k = 1, 2, . . .
(6)
18 è íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Çäåñü gk (p) îáîçíà÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì p. Äåéñòâèòåëüíî, ñîáûòèå T = k ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåóñïåøíîìó èñõîäó ïðåäøåñòâóþò k − 1 óñïåøíûõ è òàê êàê ýòè ñîáûòèÿ íåçàâèñìû, èõ âåðîÿòíîñòè ïåðåìíîæàþòñÿ. Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå ïàìÿòè. Òåîðåìà 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèå, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî
P{T > k + j|T > k} = P{T > j}.
(7)
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè â âèäå óïðàæíåíèÿ 2. 2 Ïðèìåð 5.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ÷èñëî ñêâàæèí, íåîáõîäèìûõ äëÿ âñêðûòèÿ ïëàñòà, îïèñûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. 2.2.5. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ âîçíèêàåò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, êîòîðîå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
pk = P{Π = k} =
ak −a)≡Πk (a) e k!
k=1,2,...(8)
2.3 Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå 3. Ñ (è åå ÔÐ) íàçûâàþòñÿ íåïðåðûâíûìè, åñëè ÔÐ
íåïðåðûâíà. Ñ (è åå ÔÐ) íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè, åñëè ÔÐ äèôôåðåíöèðóåìà.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ÔÐ ïðåäñòàâèìà â âèäå
Zx F (x) =
p(u)du, −∞
(9)
19 ãäå ôóíêöèÿ p(u) = F 0 (x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ÏÐ).  íàñòîÿùåì êóðñå ìû îãðàíè÷èìñÿ èçó÷åíèåì òîëüêî òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé è ïðèâåäåì íåñêîëüêî ìîäåëåé òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå Ðàâíîìåðíîå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì àíàëîãè÷íîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è âîçíèêàåò âñåãäà, êîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ñ X çàêëþ÷åíà â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ, a ≤ X ≤ b, è ïðèíèìàåò ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ çíà÷åíèÿ èç ëþáîãî ïîäèíòåðâàëà ∆ âíóòðè îñíîâíîãî èíòåðâàëà.  ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî |∆| P{X ∈ ∆} = . b−a Òàêèì îáðàçîì ÏÐ äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà
p(x) =
1 1{a≤x≤b} , b−a
(10)
à ÔÐ èìååò âèä
0 F (x) =
x b−a
1
ïðè x < a, ïðè a ≤ x ≤ b, ïðè x > b.
(11)
Ïðèìåð 6. Ïðè îòñóòñòâèè äîñòàòî÷íîé èíôîðìàöèè â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñðîê ñëóæáû X òðóáû ìàãèñòðàëüíîãî íåôòåïðîâîäà ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå [0, 30] (ëåò).  ýòîì ïðåäïîëîæåíèè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðóáà íå îòêàæåò â òå÷åíèå ïåðâûõ 20 ëåò ðàâíà P{X > 20} = 1 − F (20) = 1 −
20 1 = . 30 3
Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì àíàëîãîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ
20 ïðèëîæåíèÿõ â òîì ÷èñëå â ìîäåëÿõ òåîðèè íàäåæíîñòè, ñòðàõîâàíèÿ, è äð. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ ÔÐ
F (x) = 1 − eλx , èëè ÏÐ
x ≥ 0,
p(x) = λeλx 1{x≥0} ,
(12) (13)
è îáëàäàåò ìíîãìè çàìå÷àòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.  ÷àñòíîñòè îíî îáëàäàåò ñâîéñòâîì îòñóòñòâèÿ ïÿìÿòè, êîòîîå ÿâëÿåòñÿ åãî õàðàêòåðèçàöèîííûì ñâîéñòâîì Òåîðåìà 2. Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî îòñóòñòâèÿ ïàìÿòè, à èìåííî äëÿ ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííîé Ñ T ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
P{T > x + y|T > x} = P{T > y}.
(14)
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè â âèäå óïðàæíåíèÿ 3. Ïðèìåð 7. Äâå ïîäðóæêè ãîâîðÿò ïî òåëåôîíó (ñòàöèîíàðíîìó,
íå ìîáèëüíîìó) è ïîñëå îêîí÷àíèÿ îäíîé òåìû, ñêàæåì, î â÷åðàøíåì êèíîôèëüìå, ãäå ãåðîé íàïîìèíàåò èõ çíàêîìîãî, ïåðåõîäÿò ê îáñóæäåíèþ ïîñëåäíåãî è åãî äðóçåé, çàòåì ê èõ ëþáèìîìó âèäó ñïîðòà, ê ïîêàçó ìîä è ò.ï.  òàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îñòàòî÷íàÿ äëèòåëüíîñòü ðàçãîâîðà íå çàâèñèò îò âðåìåíè íà íåãî óæå çàòðà÷åííîãî, òàê ÷òî íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 äëèòåëüíîñòü òàêîãî ðàçãîâîðà ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíà ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
Ïðèìåð 8.  òåîðèè íàäåæíîñòè ïî àíàëîãè÷íûì ñîîáðàæåíèÿì ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìîäåëèðóåòñÿ âðåìÿ äî íàñòóïëåíèÿ âíåçàïíîãî îòêàçà. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå ñâîåé ÏÐ
p(x) = √
1 (x − µ)2 exp{− }. 2σ 2 2πσ
(15)
21 ãäå µ è σ ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ðàâíûìè µ = 0, σ = 1 íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì. Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ Ñ ÿâëÿåòñÿ èõ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ Òåîðåìà 3. Ñóììà äâóõ (à ñëåäîâàòåëüíî è ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ Ñ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè, ðàâíûìè ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ. Äîêàçàòåëüñòâî îïóñêàåì. Ñïðàâåäëèâî òàêæå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå, òàê íàçûâàåìàÿ öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ), ñ êîòîðîé ìû ïîçíàêîìèìñÿ ïîçæå. Ïðèìåð 9.  òåîðèè ñòðåëüáû ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îòêëîíåíèå òî÷êè ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäà îò òî÷êè ïðèöåëèâàíèÿ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Îñíîâàíèåì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî íà îòêëîíåíèå âëèÿþò ìíîãî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ, òàêèõ êàê ñèëà âåòðà, âëàæíîñòü ïîðîõà, âåëè÷èíà çàðÿäà è ò.ï.
2.4 Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ìíîãîìåðíûìè ÑÂ. Íàïðèìåð, ïðè ãåîôèçè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ñêâàæèíû ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñî ìíîãèìè åå ïîêàçàòåëÿìè: õèìè÷åñêèì ñîñòàâîì êåðíà, åãî ãðàíóëîìåòðèåé è ò.ï.  îáùåì ñëó÷àå ìíîãîìåðíàÿ Ñ X = (X1 , . . . , Xr ) çàäàåòñÿ ñâîåé ìíîãîìåðíîé ÔÐ
F (x1 , . . . xr ) = P{X1 ≤ x1 , . . . , Xr ≤ xr }.
(16)
Ñðåäè ìîäåëåé ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìíîãîìåðíîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à â êà÷åñòâå ïðèìåðà íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
22
Ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì áèíîìèàëüíîãî è âîçíèêàåò â ñõåìå Áåðíóëëè ñ íåñêîëüêèìè èñõîäàìè. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ íàä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì, â êîòîðîì âîçìîæíî íåñêîëüêî, ñêàæåì, r èñõîäîâ {A1 , . . . , Ar } ñ âåðîÿòíîñòÿìè èñõîäîâ P(Ai ) = pi (i = 1, . . . r), p1 + · · · + pr = 1. Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñõîäîâ êàæäîãî òèïà â ñåðèè èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ r èñõîäàìè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ki ñëó÷àéíîå ÷èñëî èñõîäîâ i-ãî òèïà. Òîãäà n! P{K1 = k1 , . . . , Kr = kr } pk1 . . . pkr r . (17) k1 ! . . . kr! 1 ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî k1 + · · · + kr = n. Ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ ìóëüòèíîìèàëüíûì.
Ïðèìåð 9. Èçâåñòíî, ÷òî ðàçíûå ëþäè îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè ãðóïïàìè êðîâè, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ íåñîâìåñòèìû. Íà ñòàíöèè ïåðåëèâàíèÿ êðîâè âàæíî çíàòü êàêèå çàïàñû êðîâè íåîáõîäèìî õðàíèòü. Äëÿ ýòîãî âàæíî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà âîçìîæíîãî ïàöèåíòîâ ïî ãðóïïàì êðîâè. Ïóñòü èç ñòàòèñòè÷åñêèõ íàáëþäåíèé èçâåñòíî, ÷òî äîëÿ ëþäåé ñ i-îé ãðóïïîé êðîâè ðàâíà pi (i = 1, 2, 3, 4). Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå n ïàöèåíòîâ ïî ãðóïïàì êðîâè ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèíîìèàëüíûì ñ ïàðàìåòðàìè n; pi (i = 1, 2, 3, 4). Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ ñâîåé ìíîãîìåðíîé ÏÐ 1 1 f (x1 , . . . xr ) = p exp{− (~x − µ ~ )0 C−1 (~x − µ ~ )}, (18) r 2 (2π) detC ãäå µ ~ è C ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðíûé è ìàòðè÷íûé ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, ñìûñë êîòîðûõ áóäåò ðàñêðûò ïîçäíåå.
2.5 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ
23
1. ×òî òàêîå Ñ è ÷åì îíà îïðåäåëÿåòñÿ? 2. ×òî òàêîå ÔÐ Ñ è êàêîâû åå ñâîéñòâà? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) äèñêðåòíîé ÑÂ, á) äèñêðåòíîãî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè, ã) áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ä) ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, å) ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
4. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) íåïðåðûâíîãî è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèé, á) íåïðåðûâíîãî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ã) íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
5. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, á) ìóëüòèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
6. Óïðàæíåíèÿ. 1. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå ñóììû î÷êîâ ïðè áðîìàíèè äâóõ
èãðàëüíûõ êîñòåé. 2. Äîêàçàòü òåîðåìó 1. 3. Äîêàçàòü òåîðåìó 2.
4.
Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà.
24
3 Õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÔÐ ñîäåðæèò âñþ íåîáõîäèìóþ èíôîðìàöèþ îòíîñèòåëüíî ÑÂ. Îäíàêî ýòà èíôîðìàöèÿ òðóäíî îáîçðèìà. Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèáåãàþò ê íåêîòîðûì ÷èñëîâûì õàðàêòåðèñòèêàì ÑÂ.  ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.
3.1 Õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ Ïðåæäå âñåãî ïîëåçíî çíàòü îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ ÑÂ. Ê òàêèì õàðàêòàðèñòèêàì îòíîñÿòñÿ ìîäà, ìåäèàíà è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ñðåäíåå çíà÷åíèå). Îïðåäåëåíèå 1. Ìîäîé íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîå ñðåäè îêðóæàþùèõ çíà÷åíèå ÑÂ. Äëÿ äèñêðåòíûõ âåëè÷èí íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå ëåãêî îïðåäåëèòü ñðàâíèâàÿ âåðîÿòíîñòè ñîñåäíèõ çíà÷åíèé ÑÂ. Äëÿ íåïðåðûâíûõ Ñ ìîäîé ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå, â êîòîðîé ïëîíîñòü äîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Ñ ìîãóò èìåòü îäíó èëè íåñêîëüêî ìîä. Ðàñïðåäåëåíèå ñ åäèíñòâåííîé ìîäîé íàçûâàåòñÿ óíèìîäàëüíûì. Ðàñïðåäåëíèå ñ íåñêîëüêèìè ìîäàìè ìóëüòèìîäàëüíûì. Òàêèì îáðàçîì ìîäà (èëè ìîäû) ïîêàçûâàåò ïîëîæåíèå íàèáîëåå âåðîÿòíîãî (âåðîÿòíûõ) çíà÷åíèÿ ÑÂ. (ïðèâåñòè ïðèìåðû è ãðàôèêè) Äðóãîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëîæåíèÿ Ñ ÿâëÿåòñÿ åå ìåäèàíà. Îïðåäåëåíèå 2. Ìåäèàíîé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå äåëèò çíà÷åíèÿ Ñ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìåäèàíîé Ñ X ÿâëÿåòñÿ òàêîå ÷èñëî me, ÷òî
P{X < me} = P{X > me} =
1 . 2
(1)
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìåäèàíà íå âñåãäà îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð, åñëè ÔÐ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0.5 íà öåëîì èíòåðâàëå, òî âñå çíà÷åíèÿ ýòîãî èíòåðâàëà ìîæíî ïðèíÿòü çà ìåäèàíó.  ýòîì ñëó÷àå ìåäèàíîé áóäåì ñ÷èòàòü öåíòð
25 ýòîãî èíòåðâàëà. Íàðÿäó ñ ìåäèàíîé äëÿ ìíîãèõ ïðèëîæåíèé ïîëåçíî ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà, îòñåêàþùèå â ðàñïðåäåëåíèè Ñ îïðåäåëåííûå äîëè êâàíòèëè. Îïðåäåëåíèå 3. α-êâàíòèëüþ èëè 100α%-êâàíòèëüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî cα , òàêîå ÷òî
P{X < cα } = α.
(2)
(ïðèâåñòè ïðèìåðû è ãðàôèêè ì.á. ÁÎÊÑÏËÎÒ?) Íàêîíåö, âîçìîæíî ñàìîé ðàñïðîñòðàíåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëîæåíèÿ Ñ ÿâëÿåòñÿ åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ÌÎ). Îïðåäåëåíèå 4. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Ñ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî MX = µX ≡ µ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ Ñ êàê X µX ≡ µ = xk pk , (3) {âñå çíà÷åíèÿ xk } à äëÿ íåïðåðûâíûõ êàê
Z∞ µX ≡ µ =
x p(x).
(4)
−∞
 ýòîì îïðåäåëåíèè ñèìâîë MX îçíà÷àåò îïåðàöèþ (îïåðàòîð) âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ÌÎ ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì ïî âåðîÿòíîñòè çíà÷åíèåì ÑÂ. Ïîýòîìó âìåñòî ÌÎ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí ñðåäíåå çíà÷åíèå èëè ïðîñòî ñðåäíåå ÑÂ. (ïðèâåñòè ïðèìåðû äëÿ íåïð. è äèñêð. Ñ ) Íèæå ïåðå÷èñëåíû ñâîéñòâà ÌÎ ÑÂ. Òåîðåìà 1. ÌÎ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) M[X + Y ] = MX + MY ; 2) M[cX] = cMX .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî â âèäå óïðàæíåíèÿ 1 Ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïðèìåðû. Âû÷èñëèì ÌÎ äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé Ñ êàê ôóíêöèè îò èõ ïàðàìåòðîâ.
26
1. ÌÎ ðàñïðåäåëåíèé Áåðíóëëè è áèíîìèàëüíîãî. Äëÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè èìååì
µX = MX = 0(1 − p) + 1p = p.
(5)
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 1) ÌÎ íàéäåì X µSn = MSn = M Xi = np.
(6)
1≤i≤n
2.
ÌÎ
ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïóàññîíà èìååò âèä
Ïóàññîíà. ÌÎ ðàñïðåäåëåíèÿ
3. ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì
3.2 Õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà Ê õàðàêòåðèñòèêàì ðàçáðîñà îòíîñÿòñÿ äèñïåðñèÿ è ïðîèçâîäíûå îò íåå: ñòàíäðòíîå îòêëîíåíèå è êîýôôèöèåíò âàðèàöèè. 2 Îïðåäåëåíèå 5. Äèñïåðñèé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî DX = σX ≡ σ2 , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ Ñ êàê X 2 σX ≡ σ2 = (xk − µX )2 pk , (7) {âñå çíà÷åíèÿ xk } à äëÿ íåïðåðûâíûõ êàê
Z∞ (x − µX )2 p(x).
µX ≡ µ =
(8)
−∞
√ Âåëè÷èíà σ = DX íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì, à âåëè÷èíà CX = σµ êîýôôèöèåíòîì âàðèàöèè. Ñèìâîë DX îçíà÷àåò îïåðàöèþ (îïåðàòîð) âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè. Òåîðåìà 2 (Ñâîéñòâà äèñïåðñèè). Äèñïåðñèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ÑÂ X è Y D[X + Y ] = DX + DY ;
27
2) D[cX] = c2 DX . 2.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî â âèäå óïðàæíåíèÿ
Ïðåèìóùåñòâîì ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî îíî èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ñàìà Ñ è åå ÌÎ. Êîýôôèöèåíò âàðèàöèè è âîâñå áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà. Ïðèìåðû. Âû÷èñëèì äèñïåðñèè äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé Ñ êàê ôóíêöèè îò èõ ïàðàìåòðîâ.
1. Äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèé Áåðíóëëè è áèíîìèàëüíîãî.
Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè èìååì
2 σX = M(X − µX )2 = (0 − p)2 (1 − p) + (1 − p)2 p = p(1 − p).
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 1) äèñïåðñèè íàéäåì X σS2 n = M(Sn − µSn )2 = D Xi = np(1 − p).
(9)
(10)
1≤i≤n
2. Äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. Äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïóàññîíà èìååò âèä
3. Äèñïåðñèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ ÌÎ è äèñïåðñèè ëåãêî îáîáùàÿþòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.
3.3 Õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèìîñòè è âçàèìîçàâèñèìîñòè Ïðè èçó÷åíèè ìíîãîìåðíûõ Ñ âàæíîå çíà÷åíèå èìåþò èõ âçàèìîçàâèñèìîñòè è çàâèñèìîñòè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèìîñòè è ñâÿçè ÑÂ. Îñòàíîâèìñÿ íà õàðàêòåðèñòèêàõ çàâèñèìîñòè è âçàèìîçàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ ÑÂ. ( ñëó÷àå ìíîãîìåðíîé Ñ ìîæíî èçó÷àòü ïîïàðíóþ çàâèñèìîñòè åå êîìïîíåíò). Âçàèìîçàâèñèìîñòü ìåæäó Ñ ìîæåò áûòü èçìåðåíà ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ êîâàðèàöèè è êîððåëÿöèè.
28
Êîýôôèöèåíòîì êîâàðèàöèè Ñ X è Y íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ Ñ ïî ôîðìóëå X κXY = (X, Y ) = (xi − µX )(yj − µY )pij , ïî âñåì çíà÷åíèÿì Ñ (X, Y ) (11) à äëÿ íåïðåðûâíûõ ïî ôîðìóëå Z Z κXY = (X, Y ) = (x − µX )(y − µY )p(x, y)dxdy. (12) Çäåñü pij = P{X = xi , Y = yj } ðàñïðåäåëåíèå Ñ (X, Y ) â äèñêðåòíîì ñëó÷àå, à p(x, y) ÏÐ Ñ (X, Y ) â íåïðåðûâíîì. Áîëåå óäîáíûì äëÿ õàðàêòåðèçàöèè çàâèñèìîñòè (êàê ñòàíåò âèäíî èç ñëåäóþùåé íèæå òåîðåìû) ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûé àíàëîã êîýôôèöèåíòà êîâàðèàöèè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê
κXY (X, Y ) √ = . (13) σX σY DX DY Èç îïðåäåëåíèÿ ëåãêî âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè: Òåîðåìà 3 (Ñâîéñòâà êîððåëÿöèè). Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ρXY = √
1) ρ(X, Y ) = ρ(Y, X); 2) |ρ(X, Y )| ≤ 1, èëè −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1; 3) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ÑÂ X è Y ρ(X, Y ) = 0; 4) ρ(X, Y ) = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Y = aX + b.
Äîêàçàòåëüñòâî îïóñêàåì.
Ïðèâåäåííûå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü åãî êàê ìåðó âçàèìîçàâèñèìîñòè ÑÂ. Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü îäíîé ÑÂ îò äðóãîé (èëè äðóãèõ) ìîæíî òîëüêî â ñðåäíåì. Òàêàÿ çàâèñèìîñòü íàçûâàåòñÿ ðåãðåññèîííîé.
29
Îïðåäåëåíèå 6. Ðåãðåññèåé Y ïî X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ φ(x) = M[Y |X = x]. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðåãðåññèÿ X ïî Y . Îïðåäåëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåãðåññèÿ õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü îäíîé Ñ îò äðóãîé â ñðåäíåì. Äëÿ íåêîòîðûõ ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (â ÷àñòíîñòè äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) ðåãðåññèÿ îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, ò.å. èìååò âèä φ(x) = M[Y |X = x] = ax + b.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû a è b ýòîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè ðåãðåññèè.
3.4 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Êàêèå õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ Ñ Âàì èçâåñòíû? 2. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ìîäû, á) ìåäèàíû, â) ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
3. Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà ÌÎ. 4.Êàêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà Ñ Âàì èçâåñòíû? 5. Äàéòå îïðåäåëåíèå äèñïåðñèè è ñôîðìóëèðóéòå åå ñâîéñòâà. 6. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ êîâàðèàöèè è êîððåëÿöèè. 7. Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè. 8. Îáúÿñíèòå ïî÷åìó êîýôôèöèåò êîððåëÿöèè ìîæíî ñ÷èòàòü
ìåðîé âçàèìîçàâèñèìîñòè ÑÂ.
Óïðàæíåíèÿ. 1. Äîêàçàòü òåîðåìó 1. 2. Äîêàçàòü òåîðåìó 2. 3. Âû÷èñëèòü ÌÎ äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî
ïàðàãðàôà.
30
4. Âû÷èñëèòü ÌÎ äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. 5. Âû÷èñëèòü äèñïåðñèè, ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ è êîýôôèöèåíòû âàðèàöèè äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. 6. Âû÷èñëèòü äèñïåðñèè, ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ è êîýôôèöèåíòû âàðèàöèè äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. 7. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äëÿ äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 8. Âû÷èñëèòü ðåãðåññèþ äëÿ äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà.
4 Ýëåìåíòû îáðàáîòêè è ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå ñòàòèñòèêà ÿâëÿåòñÿ èíñòðóìåíòîì (ïðèáîðîì) èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ïîýòîìó âñå òåîðåòèêî-âåðîÿòíîñòíûå ïîíÿòèÿ è õàðàêòåðèñòèêè èìåþò ñâîè ñòàòèñòè÷åñêèå àíàëîãè.  íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè èç ýòèõ ïîíÿòèé è ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
4.1 Âûáîðêè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ 4.1.1. Âûáîðêè Íàáîð âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íàáëþäàåìîé Ñ â ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî íàçûâàòü ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ìàòåðèàëîì äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëÿþòñÿ íàáëþäåíèÿ X1 , X2 , . . . , Xn íàä ýëåìåíòàìè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ðåçóëüòàò x = (x1 , x2 , . . . , xn ) n íàáëþäåíèé íàä ýëåìåíòàìè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íàçûâàþò âûáîðêîé îáúåìà n èç äàííîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èëè ïðîñòî âûáîðêîé. Îäíîé èç ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé ïîíèìàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííîñòü îòíîøåíèÿ ê íàáëþäåíèÿì.
31 Ïîñëå ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé ñòàòèñòèê èìååò äåëî ñ ÷èñëàìè (ðåçóëüòàòîì íàáëþäåíèé), îäíàêî íà ñòàäèè ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà áóäóùèå íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ Ñ ñ íåêîòîðûì îáû÷íî íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ýòà äâîéñòâåííîñòü îòðàæàåòñÿ è â îáîçíà÷åíèÿõ: ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé îáîçíà÷àþòñÿ ìàëûìè áóêâàìè, à ïëàíèðóåìûå íàáëþäåíèÿ çàãëàâíûìè, õîòÿ ýòó äâîéñòâåííîñòü íå âñåãäà óäàåòñÿ ñîõðàíèòü íà äåëå. Ïðè ýòîì ñàìè íàáëþäåíèÿ ìîãóò ïðîèçâîäèòüñÿ ïî îäíîìó èëè íåñêîëüêèì ïðèçíàêàì.  çàâèñèìîñòè îò ýòîãî âåëè÷èíû Xi áóäóò ñêàëÿðíûìè èëè âåêòîðíûìè (îäíîìåðíûìè èëè ìíîãîìåðíûìè). Óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé (èëè ýêñïåðèìåíòîâ) òàêæå ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè. Íàèáîëåå ïðîñòûì äëÿ îáðàáîòêè è àíàëèçà (íî íå âñåãäà äîñòóïíûì è íàèëó÷øèì) ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíò, íàçûâàåìûé ïðîñòûì ñëó÷àéíûì âûáîðîì (ÏÑÂ), ñîñòîÿùèé â ïðîâåäåíèè íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé íàä èçó÷àåìîé âåëè÷èíîé â îäèíàêîâûõ (îäíîðîäíûõ) óñëîâèÿõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè èññëåäóåìûé ïðèçíàê â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ðàñïðåäåëåí ïî çàêîíó ñ ÏÐ p(x), òî âûáîðêà x = (x1 , x2 , . . . , xn ) èìååò ÏÐ Y p(xi ). p(x) = p(x1 , x2 , . . . , xn ) = p(x1 ) · · · p(xn ) = 1≤i≤n
Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïëàíû ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ, îäíàêî â íàñòîÿùåì êóðñå ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ÏÑÂ. Âû÷èñëåííûå ïî âûáîðêå õàðàêòåðèñòèêè íàçûâàþòñÿ âûáîðî÷íûìè èëè ýìïèðè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè.  ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è èõ òåîðåòè÷åñêèå àíàëîãè, íî ñ êîëïà÷êîì ñâåðõó. Êàê â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, òàê è â âîïðîñàõ ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ îáðàáîòêîé ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ. Ðàññìîòðèì êðàòêî îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ïðèåìû, èñïîëüçóåìûå ïðè îáðàáîòêå ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
4.1.2. Âàðèàöèîííûé ðÿä Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà x = (x1 , x2 , . . . , xn ) èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïî îäíîìó ÷èñëîâîìó ïðèçíàêó. Óïîðÿäî÷åííàÿ â
32 ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêà
x(1) , x(2) , . . . , x(n)
ñ x(i) ≤ x(i+1)
íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì ðÿäîì, à åå ýëåìåíòû âàðèàíòàìè, èëè ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìè. Ïðè ýòîì ìèíèìàëüíûé è ìàêñèìàëüíûé ÷ëåíû âûáîðêè ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ ïåðâûì è ïîñëåäíèì (êðàéíèìè) ÷ëåíàìè âàðèàöèîííîãî ðÿäà: xmin = mini xi = x(1) , xmax = maxi xi = x(n) . Âåëè÷èíà R = x(n) − x(1) íàçûâàåòñÿ ðàçìàõîì âûáîðêè.
Çàìå÷àíèå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè âûáîðêè èçìåíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åå ÷ëåíîâ.
óïîðÿäî÷èâàíèè
Ïî âàðèàöèîííîìó ðÿäó ëåãêî ïîñòðîèòü âûáîðî÷íûå ìåäèàíó me c è êâàíòèëè cc α. Âûáîðî÷íîé ìåäèàíîé íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå âûáîðêè, äåëÿùåå åå íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âûáîðêè íå÷åòíîãî îáúåìà n = 2k + 1 âûáîðî÷íîé ìåäèàíîé ÿâëÿåòñÿ k + 1-îå çíà÷åíèå âûáîðêè, me c = x(k+1) , à äëÿ âûáîðêè ÷åòíîãî îáúåìà n = 2k çà âûáîðî÷íóþ ìåäèàíó ìîæíî ïðèíÿòü ëþáîå èç ÷èñåë â èíòåðâàëå [x(k) , x(k+1) ], îäíàêî ìû áóäåì ïîëàãàòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà ðàâíà x +x me c = (k) 2 (k+1) . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ âûáîðî÷íûå êâàíòèëè.  ÷àñòíîñòè, íèæíåé âûáîðî÷íîé êâàðòèëüþ ÿâëÿåòñÿ íàáëþäåíèå ñ íîìåðîì l = [n = over4] +£1, ¤à âåðõíåé âûáîðî÷íîé êâàðòèëüþ íàáëþäåíèå ñ íîìåðîì l = 3n 4 + 1. Âûáîðî÷íûå ìàäèàíà è êâàðòèëè ïîçâîëÿþò äàòü ïðîñòåéøåå íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè â âèäå ïðÿìîóãîëüíîé äèàãðàììû (box plot). Ïðÿìîóãîëüíàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê ñ öåíòðîì â òî÷êå me c è íèæíåé è âåðõíåé ñòîðîíîé â òî÷êàõ c\ [n 4 ]+1 è c\ ñîîòâåòñòâåííî. [ 3n ]+1 4 Îñîáåííî ïîëåçíî ñòðîèòü òàêèå äèàãàðììû äëÿ ñðàâíåíèÿ àíàëîãè÷íûõ íàáëþäåíèé íàä ðàçëè÷íûìè îáúåêòàìè. Ïðèìåð. Íåîáõîäèì !!!
33
4.1.3. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fn (x) äîëþ ñðåäè n íàáëþäåíèé x1 , . . . , xn íå ïðåâîñõîäÿùèõ x, ò.å.
Fn (x) = =
1 × {÷èñëî íàáëþäåíèé ≤ x} = n k ïðè x(k−1) < x ≤ x(k) . n
(1)
Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà Fn (x) ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì x ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, à ôóíêöèÿ Fn (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ Fn (x) íàçûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîé èëè âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (ÝÔÐ). Åå çíà÷åíèå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è ñâÿçü ñ òåîðåòè÷åñêîé ÔÐ ðàñêðûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè ôóíäàìåíòàëüíûìè òåîðåìàìè. Òåîðåìà 1 (Ãëèâåíêî). Äëÿ âñåõ x èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
Fn (x) → F (x)
ïî âåðîÿòíîñòè è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç îáû÷íîãî èëè óñèëåííîãî ÇÁ×, åñëè çàìåòèòü, ÷òî Ñ nFn (x) èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì F (x). 2 Îáîçíà÷èì òåïåðü Dn = maxx∈R |Fn (x) − F (x)|. Òåîðåìà 2. (Ãëèâåíêî-Êàíòåëëè). Ñõîäèìîñòü Fn (x) ê F (x) ïî÷òè íàâåðíîå ðàâíîìåðíàÿ, ò.å.
Dn → 0
ñ âêðîÿòíîñòþ 1.
Òåîðåìà 3. Êîëìîãîðîâ. Ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå √ lim P{ nDn ≤ x} = K(x) =
n→∞
X
(−1)k e−2k
2
x2
−∞
Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ òåîðåì âûõîäèò çà ðàìêè íàñòîÿùåãî êóðñà. Èõ ìîæíî íàéòè â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.
34
Êîììåíòàðèé. Òåîðåìû 1-3 ïîêàçûâàþò, ÷òî ÝÔÐ Fn (x), ïîñòðîåííàÿ ïî íàáëþäåíèÿì èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ ðàñïðåäåëåíèåì F (x), ñõîäèòñÿ ê íåìó, ÷òî ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü åå â êà÷åñòâå îöåíêè ïîñëåäíåé, ïðè÷åì òåîðåìà 3 äàåò òàêæå âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü êàê òî÷íîñòü, òàê è íàäåæíîñòü ýòîé îöåíêè. Ïðèìåð. (êàêîé-íèáóäü) íà ïîñòð. âàð. ðÿäà è âû÷èñë. îöåíîê.  ñëó÷àå íàáëþäåíèé çà äèñêðåòíîé Ñ èëè ïðè íåáîëüøîé òî÷íîñòè íàáëþäåíèé, â âûáîðêå ìîãóò âñòðåòèòüñÿ ìíîãî ñîâïàäàþùèõ äàííûõ, íàïðèìåð, íàáëþäåíèå x(1) âñòðå÷àåòñÿ n1 ðàç, íàáëþäåíèå x(2) n2 ðàç è ò.ä., íàáëþäåíèå x(k) nk ðàç; ïðè ýòîì, êîíå÷íî, n1 + n2 + · · · + nk = n.  ýòîì ñëó÷àå óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì, èëè ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ, â êîòîðîì óêàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ âàðèàíò xi è ÷àñòîòû èõ íàáëþäåíèÿ ni , Òàáë. 1. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä âàðèàíòà x(1) ... ÷èñëî íàáëþäåíèé n1 ...
x(k) nk
ÝÔÐ äëÿ òàêèõ íàáëþäåíèé áóäåò èìåòü ñêà÷êè âåëè÷èíîé nni â òî÷êàõ xi . Ïîìèìî ÝÔÐ íàáëþäåíèÿ íàä äèñêðåòíûìè Ñ ìîæíî èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè ïîëèãîíîì ÷àñòîò, â êîòîðîì ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþò âàðèàðòû, à ïî îñè îðäèíàò - ÷àñòîòû (èëè îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû). Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåí ïîëèãîí ÷àñòîò ïî n = 6 íàáëþäåíèÿì ÑÂ, èìåþùåé áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè m = 5, p = 12 .
4.2 Ãðóïèðîâêà äàííûõ. Ãèñòîãðàììà Ïðè íàáëþäåíèè çà íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííîé ÑÂ, åñëè îáúåì âûáîðêè n âåëèê n >> 1, èíîãäà îêàçûâàåòñÿ íåóäîáíûì õðàíèòü è îáðàáàòûâàòü òàêîé áîëüøîé îáúåì èíôîðìàöèè. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ ýòîãî îáúåìà (õîòÿ è ñ íåêîòîðîé ïîòåðåé èíôîðìàöèè) ÷àñòî
35 ïðèáåãàþò ê ãðóïïèðîâêå äàííûõ è ïîñòðîåíèþ ðÿäîâ ðàñïðåäåëåíèé è ÝÔÐ ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì. Ãðóïïèðîâêà äàííûõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåñü èíòåðâàë èçìåíåíèÿ íàáëþäàåìîé âåëè÷èíû, ò.å. èíòåðâàë [x(1) , x(n) ] ðàçáèâàþò íà íåñêîëüêî k (îáû÷íî k = 10 − 20) ïîäèíòåðâàëîâ îäèíàêîâîé (èëè ðàçíîé, íî ÷àùå îäèíàêîâîé) äëèíû, âû÷èñëÿþò ÷èñëî âàðèàíò, ïîïàâøèõ â êàæäûé èõ èç ïîäèíòåðâàëîâ è ñîñòàâëÿþò ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä âèäà Òàáë. 2. Ãðóïïèðîâêà äàííûõ èíòåðâàëû (y0 , y1 ] ... ÷èñëî íàáëþäåíèé n1 ...
(yk−1 , yk ] nk
Çäåñü yi (i = 0, k) ÿâëÿþòñÿ êîíöàìè ïîäèíòåðâàëîâ, à ïðè ïîäñ÷åòå ÷àñòîò ni íåîáõîäèìî ïîçàáîòèòüñÿ, ÷òîáû êàæäóþ âàðèàíòó ñ÷èòàòü òîëüêî îäèí ðàç, ò.å. ãðàíèöû ïîäèíòåðâàëîâ ∆i ïðèñîåäèíÿòü ê îäíîìó èç íèõ. Ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì ìîæíî ñòðîèòü ÝÔÐ, ïðèïèñûâàÿ åå ñêà÷åê êàêîé-ëèáî òî÷êå (îáû÷íî öåíòðó) ïîäèíòåðâàëà. Äëÿ íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííëîé Ñ ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ãèñòîãðàììîé ÷àñòîò (èëè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì ñëåäóþùèì îáðàçîì: îñü àáñöèññ ðàçáèâàåòñÿ íà èíòåðâàëû ãðóïïèðîâêè è íàä êàæäûì èíòåðâàëîì ñòðîèòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê âûñîòîé nni èëè ni ñîîòâåòñâåííî n∆ . Òàêèì îáðàçîì, ïëîùàäü ïîëó÷èâøåéñÿ ôèãóðû i ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî x(n) − x(1) èëè 1. Çíà÷åíèå ãèñòîãðàììû îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè n è óìåíüøåíèè èíòåðâàëà äåëåíèÿ ∆ îíà ñõîäèòñÿ ê òåîðåòè÷åñêîé ÏÐ
hn (x) → p(x)
ïðè n → ∞è ∆ → 0.
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ãðóïïèðîâêó äàííûõ è ïîñòðîåíèå ÝÔÐ è ãèñòîãðàììû äëÿ äàííûõ èç ïðèìåðà 1. Çàìå÷àíèå. Îáðàáîòêó ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íà ÝÂÌ. Âñå ñòàòàòèñòè÷åñêèå ïàêåòû, âêëþ÷àÿ EXCEL, ñîäåðæàò ñðåäñòâà ïðåäâàðèòåëüíîé îáðàáîòêè äàííûõ.
36
4.3 Ïðåäñòàâëåíèå ìíîãîìåðíûõ äàííûõ Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå îáðàáîòêà è ïðåäñòàâëåíèå ìíîãîìåðíûõ äàííûõ. Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ïîëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èëè òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ (÷àñòîò, îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò) âîçìîæíî ëèøü â äâóìåðíîì ñëó÷àå. Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà x1 , . . . , xn íàáëþäåíèé ïî äâóì ïðèçíàêàì xi = (yi , zi ). Òîãäà â ñèñòåìå êîîðäèíàò y0z (ñì. ðèñ. ?) íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î äâóìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå ïîëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ... Äðóãèì ñïîñîáîì íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äâóìåðíûõ äàííûõ ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâëåíèå òàáëèö ðàñïðåäåëåíèé (ðèñ. ?), â ÿ÷åéêàõ êîòîðûõ óêàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðâàëû çíà÷åíèé ïðèçíàêîâ. (ñì. òàêæå äâóìåðíûå ãèñòîãðàììû è ò.ï.)
4.4 Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû 4.4.1. Îïðåäåëåíèÿ  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðè èçó÷åíèè îäíî- è ìíîãîìåðíûõ Ñ ìû ÷àñòî ïîëüçóåìñÿ ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ýòèõ Ñ è èõ ðàñïðåäåëåíèé ìîìåíòàìè (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, äèñïåðñèåé, êîýôôèöèåíòàìè êîâàðèàöèè è êîððåëÿöèè è äð.). Ïðè èçó÷åíèè âûáîðîê è èõ ñâîéñòâ â ñòàòèñòèêå ïîëüçóþòñÿ àíàëîãè÷íûìè ïîíÿòèÿìè âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ. Âûáîðî÷íûìè, èëè ýìïèðè÷åñêèìè ìîìåíòàìè íàçûâàþòñÿ ìîìåíòû, âû÷èñëåííûå ñ ïîìîùüþ ÝÔÐ.  äàëüíåéøåì áóäåò âèäíî, êàêóþ âàæíóþ ðîëü èãðàþò âûáîðî÷íûå ìîìåíòû â ñòàòèñòèêå.  ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü òåîðåòè÷åñêèå ìîìåíòû ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, à âûáîðî÷íûå ñîîòâåòñâóþùèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (èëè îòìå÷àòü êîëïà÷êîì). Òàêèì îáðàçîì, ÷åðåç µ0k è µk îáîçíà÷àþòñÿ òåîðåòè÷åñêèå
37 íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû, ò.å. Z µ0k = xk p(x)dx, Z µk = (x − µ)k p(x)dx, à ÷åðåç m0k è mk - ñîîòâåòñâóþùèå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû, Z 1 X k xk dFn (x) = m0k = xi , n 1≤i≤n Z 1 X mk = (x − µ)k dFn (x) = (xi − m)k . n 1≤i≤n
Ïåðâûå äâà ìîìåíòà êàê òåîðåòè÷åñêèå, òàê è âûáîðî÷íûå èìåþò ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ,
µ01
=
µ,
m01 = m = x ¯=
1 X xi , n 1≤i≤n
µ2
=
σ2 ;
1 X m2 = S 2 = (xi − x ¯)2 , n 1≤i≤n
ïðè ýòîì x ¯ àíàëîãè÷íî µ õàðàêòåðèçóåò öåíòð âûáîðêè, à S 2 àíàëîãè÷íî σ 2 åå ðàçáðîñ.  ñëó÷àå ìíîãîìåðíûõ âûáîðîê, ò.å. íàáëþäåíèé ïî íåñêîëüêèì ïðèçíàêàì, îäíîìåðíûå âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè, êàê è îäíîìåðíûå òåîðåòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âû÷èñëÿþòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ìàðãèíàëüíûì 2 ðàñïðåëåíåíèÿì è ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñâóþùèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, âû÷èñëåííûì ïî íàáëþäåíèÿì çà îäíèì ïðèçíàêîì. Äîïîëíèòåëüíîãî ïîÿñíåíèÿ òðåáóþò òîëüêî ñìåøàííûå ìîìåíòû.  äàëüíåéøåì íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî âòîðûå ñìåøàííûå ìîìåíòû. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ k -ìåðíîé Ñ X = (X1 , . . . , Xk ) ñ ÔÐ
F (x) = F (x1 , . . . xk ) = P{X1 ≤ x1 , . . . Xk ≤ xk } 2 Íàïîìíèì, ÷òî ìàðãèíàëüíûì íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå îäíîé èëè íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
38 è ÏÐ
p(x) = p(x1 , . . . xk ) =
∂kF ∂x1 · · · ∂xk
òåîðåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû êîâàðèàöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê Z Z κij = cov(Xi , Xj ) = · · · (xi − µi )(xj − µj )p(x1 , . . . , xk )dx1 · · · dxk , à èõ íîðìèðîâàííûå àíàëîãè êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè ôîðìóëàìè cov(Xi , Xj ) κij p ρij = √ = . σ VXi VXj i σj Âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû êîâàðèôöèè è êîððåëÿöèè èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
kij
=
1 X (xli − x ¯i )(xlj − x ¯j ), n
=
kij . Si Sj
1≤l≤n
rij
Èç ñõîäèìîñòè ÝÔÐ ê òåîðåòè÷åñêîé (ñì. òåîðåìû 1-3) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ê òåîðåòè÷åñêèì â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëåäíèõ.
4.4.2. Âû÷èñëåíèå âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì Âû÷èñëåíèå âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ îñòàåòñÿ â ñèëå è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ÝÔÐ, ïîñòðîåííîé ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì. Íóæíî, îäíàêî, ïîìíèòü, ÷òî ïðè ãðóïïèðîâêå äàííûõ èñòèííûå çíà÷åíèÿ âàðèàíò ñìåùàþòñÿ (â öåíòð èëè îäèí èç êîíöîâ èòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè) îòíîñèòåëüíî ñâîèõ ÷àñòîò. Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ, âû÷èñëåííûå ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì, îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñâóþùèõ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûì áåç ãðóïïìðîâêè. Ïðè ýòîì âûáîðî÷íûå ìîìåíòû, âû÷èñëåííûå ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì, îáëàäàþò íåêîòîðûìè ñèñòåìàòè÷åñêèìè îøèáêàìè ïî
39 ñðàâíåíèþ ñ òåîðåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò èíòåðâàëà ãðóïïèðîâêè. Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ââåñòè ïîïðàâêè íà ãðóïïèðîâêó äàííûõ, íàçûâàåìûå ïîïðàâêàìè Øåïïàðäà, ïîçâîëÿþùèå óñòðàíèòü ýòî ñìåùåíèå (ñì. [?]).
4.5 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, á) âûáîðêè, â) âàðèàöèîííîãî ðÿäà, ã) ðàçìàõà âûáîðêè, ä) ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, å) ãèñòîãðàììû.
2. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû î ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê òåîðåòè÷åñêîé. 3.  ÷åì ñîñòîèò ãðóïïèðîâêà äàííûõ è êîãäà îíà èñïîëüçóåòñÿ? 4. ×òî òàêîå ïîëå íàáëþäåíèé? 5. 6.
Óïðàæíåíèÿ. 1. 2. 3. à) â) ä)
Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà . 1. Ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì, ïðèâåäåííûì â òàáëèöå ?
ïîñòðîèòü èñïîëüçóÿ ñðåäñòâà EXEL:
40 à) âàðèàöèîííûé ðÿä, á) ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ãèñòîãðàììó, ã) ïðÿìîóãîëüíóþ äèàãðàììó.
2. Èñïîëüçóÿ äâóìåðíûå ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå èç òàáëèöû ? ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ñðåäñòâ EXEL: à) ïîëå íàáëþäåíèé, á) äâóìåðíóþ ãèñòîãðàììó.
3. Èñïîëüçóÿ òå æå ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå è ñðåäñòâà EXEL âû÷èñëèòü ïåðâûå è âòîðûå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû.
41
5 Îöåíêà ïàðàìåòðîâ Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé, ïðèâåäåííûå â 2, è ðàññìîòðåííûå òàì èõ ñâîéñòâà ïîêàçûâàþò, ÷òî ìíîãèå ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ è/èëè îïèñûâàþùèå èõ Ñ íà îñíîâå èõ ñâîéñòâ ìîãóò áûòü çàðàíåå ñìîäåëèðîâàíû ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðîâ. Ïîýòîìó âîçíèêàåò âàæíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàííîãî âèäà ïî íàáëþäåíèÿì. Îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìîìåíòîâ.
5.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ìåòîä ìîìåíòîâ Ïóñòü Ñ X ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ðàñïðåäåëåíèé F (x; θ) ñ íåèçâåñòíûì (ñêàëÿðíûì èëè âåêòîðíûì) ïàðàìåòðîì θ ∈ Θ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî âûáîðêå x1 , . . . , xn îáúåìà n (ðàçìåð âûáîðêè îïðåäåëÿåòñÿ çàðàíåå) îöåíèòü çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ, ò.å. ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íàáëþäåíèÿì x1 , . . . , xn ÷èñëî θˆ, êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü îöåíêîé ïàðàìåòðà θ. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ôóíêöèè tn = t(x1 , . . . , xn ), êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà θ, ò.å. òàêóþ, ÷òîáû åå çíà÷åíèÿ θˆ áûëè áëèçêè â íåêîòîðîì ñìûñëå ê θ ïðè ëþáûõ θ è x1 , x2 , . . . , xn . Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ t(x1 , . . . , xn ) îò íàáëþäåíèé íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêîé.  4 íà îñíîâå ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ñõîäÿòñÿ ê òåîðåòè÷åñêèì è, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿþòñÿ èõ õîðîøèìè îöåíêàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íåîáõîäèìî îöåíèòü ëèøü ìîìåíòû (íàïðèìåð, ÌÎ µ èëè äèñïåðñèþ σ 2 Ñ X ), òî äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè,
¯ µ ˆ = X,
σˆ2 = S 2 .
(1)
Îäíàêî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû è äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî àíàëèçà ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ. À èìåííî, åñëè èç òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ
42 Ñ ïðèíàäëåæèò çàäàííîìó êëàññó ðàñïðåäåëåíèé, íî åãî ïàðàìåòðû íåèçâåñòíû, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè äëÿ îöåíêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ñâÿçàòü ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òåîðåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè è ðåøèòü ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, ò.å. âûðàçèòü ïàðàìåòðû â âèäå ôóíêöèé îò íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà ìîìåíòîâ. Ïðè ýòîì ïîòðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî (ðàâíîå ÷èñëó íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ) ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé îò íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Çàòåì ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ âìåñòî òåîðåòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ èõ âûáîðî÷íûå àíàëîãè ïîëó÷èì íåîáõîäèìûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà íåñêîëüêèõ ïðèìåðàõ
5.2 Ïðèìåðû Îöåíêà íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè â ñõåìå Áåðíóëëè Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð ñõåìû Áåðíóëëè. Ïóñòü Ñ X ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ 0 èëè 1, ïðè÷åì P{X = 1} = p, ãäå p ∈ (0, 1)] íàáîð âîçìîæíûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ðàññìàòðèâàåìîì ýêñïåðèìåíòå.  äàííîì ñëó÷àå ýëåìåíòû âûáîðêè x1 , . . . , xn ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ëèáî 0, ëèáî 1 è çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà p. Äëÿ áåðíóëëèåâîé Ñ èçâåñòíî (ñì. 3), ÷òî MX = p. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ìåòîäó ìîìåíòîâ íàèëó÷øåé îöåíêîé âåðîÿòíîñòè óñïåõà áóäåò ñðåäíåå ÷èñëî hn óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé
¯ = Sn = hn . pˆ = X n
(2)
Ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ èíòóèòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì îöåíêè âåðîÿòíîñòè â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòîé îöåíêè. Òàê êàê ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì 2 âåëè÷èíà Sn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à ñîãëàñíî (??.4bi) MSn = np, òî ñîãëàñíî ñâéîñòâàì ÌÎ
Mhn = p.
(3)
43 Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà ãðóïïèðóåòñÿ âîêðóã îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. Èç êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èçâåñòíî, ÷òî ïðè n → ∞ ÷àñòîòà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè (è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1) ê âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ (çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë), hn → p. Áîëåå òîãî ñëåäóÿ ÖÏÒ ìîæíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòè îòêëîíåíèé ÷àñòîòû hn îò èñòèííîé âåðîÿòíîñòè p, r ¾ ¯ ½ ½¯ ¾ ¯ ν − np ¯ pq ¯ ≤ x → Φ(x) − Φ(−x) P |hn − p| ≤ x = P ¯¯ √ n npq ¯ = 2Φ(x) − 1, (4) ãäå Φ(x) - ÔÐ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ÑÂ. Èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíó hn äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îöåíêó ïàðàìåòðà p; áîëåå òîãî ñîîòíîøåíèå (4) ïîçâîëÿåò îöåíèòü, â íåêîòîðîì ñìûñëå, òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü ýòîé îöåíêè.
Îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Èç ðåçóëüòàòîâ 2 ñëåäóåò, ÷òî
MN (µ, σ 2 ) = µ,
DN (µ, σ 2 ) = σ 2 .
Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóÿ ìåòîäó ìîìåíòîâ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íî îöåíèòü äâà åãî ïåðâûõ ìîìåíòà, ÌÎ è äèñïåðñèþ. Îäíàêî, èçâåñòíî, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè îöåíêàìè èõ òåîðåòè÷åñêèõ àíàëîãîâ. Òàêèì îáðàçîì, îöåíêàìè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ ¯ µ ˆ = X, σˆ2 = S 2 . (5) Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå ñâîéñòâà îöåíîê, ïîëó÷åííûõ ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ.
5.3 Ñâîéñòâà îöåíîê ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ Ñîñòîÿòåëüíîñòü. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòàòèñòèêó θˆ = t(x1 , . . . , xn ) ìîæíî áûëî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà θ íåîáõîäèìî, ÷òîáû
44 îöåíêà ïðèáëèæàëàñü ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðà âûáîðêè. Òàêèå îöåíêè âûäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Îöåíêà íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó,
P{|θˆn − θ| < ²} → 1
äëÿ ëþáûõ ² > 0 è θ ∈ Θ
ïðè n → ∞.
 ñèëó ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ñõîäÿòñÿ ê òåîðåòè÷åñêèì (ïî âåðîÿòíîñòè è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1). Ïîýòîìó â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïàðàìåòðû ñîâïàäàþò ñ ìîìåíòàìè (êàê, íàïðèìåð, äëÿ áåðíóëëèåâà è íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé) èõ îöåíêè ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè.  îáùåì ñëó÷àå ñõîäèìîñòü ìîìåíòîâ òàêæå îáû÷íî âëå÷åò ñõîäèìîñòü ôóíêöèé îò íèõ, òàê ÷òî îöåíêè ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ìîìåíòîâ, òàêæå îáû÷íî ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè.
Ïðèìåðû.
1. hn - ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà p (ñì. ï. 4.1);
¯ - ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà µ (ïðîâåðèòü ñàìîñòîÿòåëüíî). 2. X Äðóãîå âàæíîå ñâîéñòâî îöåíîê èõ íåñìåùåííîñòü.
Íåñìåùåííîñòü. Ïîíÿòèå ñîñòîÿòåëüíîñòè - àñèìïòîòè÷åñêîå. Îäíàêî íà ïðàêòèêå âñåãäà ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ âûáîðêàìè êîíå÷íîãî ðàçìåðà. Ïîýòîìó ê îöåíêàì íåîáõîäèìî ïðåäúÿâëÿòü òàêèå òðîåáîâàíèÿ, ÷òîáû îíè äàâàëè õîðîøèå ðåçóëüòàòû äëÿ âûáîðîê êîíå÷íîãî ðàçìåðà. Åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå äëÿ ýòîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âû÷èñëåííûå äëÿ ðàçëè÷íûõ âûáîðîê çíà÷åíèÿ îöåíîê θˆ ãðóïïèðîâàëèñü âîêðóã èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ. Îïðåäåëåíèå 3. Îöåíêà θˆ íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè
ˆ 1 , . . . , xn ) = θ Mθ θ(x
äëÿ âñåõ θ ∈ Θ.
Çäåñü Mθ îçíà÷àåò ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âû÷èñëåííîãî ïî ðàñïðåäåëåíèþ Pθ ñ ïàðàìåòðîì θ.
Ïðèìåðû.
45
¯ - íåñìåùåííàÿ îöåíêà µ â ìîäåëè ñ ïðîèçâîëüíûì ñåìåéñòâîì 1. X ðàñïðåäåëåíèé ñ íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ; P 2. S 2 = n1 1≤i≤n (xi − x ¯)2 - ñìåùåííàÿ îöåíêà äèñïåðñèè σ 2 â ìîäåëè ñ ïðîèçâîëüíûì ñåìåéñòâîì ðàñïðåäåëåíèé, çàâèñÿùèì îò äâóõ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ: ÌÎ. µ è äèñïåðñèè σ 2 .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, îäíàêî, ñìåùåíèå ìîæíî óñòðàíèòü, çàìåíèâ îöåíêó äèñïåðñèè íà
S2 =
X 1 (xi − x ¯ )2 n−1
(6)
1≤i≤n
Ýôôåêòèâíîñòü. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà ãðóïïèðóåòñÿ âîêðóã îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. Îäíàêî, åñòåñòâåííî, ÷òî ñðåäè òàêèõ îöåíîê ëó÷øåé áóäåò òà, ó êîòîðîé äèñïåðñèÿ íàèìåíüøàÿ. Ïîíÿòèå ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè ñâÿçàíî ñ ìèíèìèçàöèåé åå äèñïåðñèè. Îïðåäåëåíèå 4. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà θˆ∗ íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì äèñïåðñèè âîçìîæíûõ îöåíîê â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè,
ˆ 1 , . . . , xn ) : äëÿ âñåõ θ] ˆ Dθ θˆ∗ (x1 , . . . , xn ) = min[Dθ θ(x äëÿ âñåõ θ ∈ Θ. Ïîñòðîåíèå ýôôåêòèâíûõ îöåíîê íå ïðîñòàÿ çàäà÷à. Ñóùåñòâóþò ñïîñîáû ïðîâåðêè ýôôåêòèâíîñòè îöåíîê, îäíàêî èõ èçó÷åíèå âûõîäèò çà ðàìêè íàñòîÿùåãî êóðñà.
5.4 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Êàê âîçíèêàåò ïðîáëåìà îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè? 2.  ÷åì ñîñòîèò ñóùíîñòü ìåòîäà ìîìåíòîâ? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè,
46 á) íåñìåùåííîé îöåíêè, â) ýôôåêòèâíîé îöåíêè.
4. Óïðàæíåíèÿ. 1. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìîìåíòîâ íàéäèòå îöåíêè ïàðàìåòðîâ: à) ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè; á) áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïàðàìåòð p); â) ãåîìåòðíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; ã) ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà; ä) ðàâíîìåðíîãî íà îòðåçêå [a, b] ðàñïðåäåëåíèÿ; å) ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
2. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíîê: à) µ ˆ = 12 (x(1) + x(n) ); á) µ ˆ = k1 (x(1) + x(2) + · · · + x(2k−1) ), n = 2k ; â) Fˆ (x) = Fn (x).
3. Ïðîâåðèòü íåñìåùåííîñòü îöåíîê: à) µ ˆ = x1 ; â) µ ˆ=
1 2 (x1
á) µ ˆ = x(1) ;
+ x2 );
ã) µ ˆ = 12 (x1 + xn );
ä) µ ˆ = 12 (x(1) + x(n) );
å) σˆ2 = x21 ;
æ) σˆ2 = (x1 − x ¯)2 ;
ç) σˆ2 = (x(n) − x(1) )2 ;
è) pˆ = hn ;
ê) pˆ = 21 (x(1) + x(n) );
Ïðèâåäèòå íåñêîëüêî ñàìîñòîÿòåëüíûõ ïðèìåðîâ íåñìåùåííûõ è ñìåùåííûõ îöåíîê.
4. à) â) ä)
47
6 Îöåíêà òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ 6.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îïðåäåëåíèÿ Òåîðèÿ òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, ðàññìîòðåííàÿ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ïîçâîëÿåò ñòðîèòü îöåíêè θˆ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ θ â âèäå ôóíêöèé θˆ = t(x1 , x2 , . . . , xn ) îò âûáîðî÷íûõ (íàáëþäåííûõ) çíà÷åíèé x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Ïðè ýòîì íóæíî îòäàâàòü ñåáå îò÷åò â òîì, ÷òî äàæå íàèëó÷øèå îöåíêè ïîçâîëÿþò îöåíèâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ëèøü â ñðåäíåì, ò.å. â êà÷åñòâå îöåíêè ïîëó÷àòü ÑÂ θˆ = t(x), êîòîðàÿ ëèøü â ñðåäíåì ãðóïïèðóåòñÿ îêîëî îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà (åñëè îöåíêà íåñìåùåííàÿ, Mθ θˆ = θ) è ëèøü ñ ðîñòîì n ïî âåðîÿòíîñòè ñõîäèòñÿ ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó (åñëè îöåíêà ñîñòîÿòåëüíà, θˆn → θ). Ìåðîé îòêëîíåíèÿ íåñìåùåííîé îöåíêè îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ÿâëÿåòñÿ åå äèñïåðñèÿ Dθ θˆ = Mθ [θˆ − θ]2 , êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òàêæå íåèçâåñòíà è ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî çàìåíåíà ýìïèðè÷åñêîé äèñïåðñèåé îöåíêè. Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè (äîñòîâåðíîñòè) îöåíîê è íå àñèìïòîòè÷åñêîé (ïðè áîëüøèõ n), à ïðè êîíêðåòíûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îáúåìà âûáîðêè n. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñà Äæ. Íåéìàí â 1937ã. ïåðåäëîæèë òåîðèþ èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ, ñóùíîñòü êîòîðîé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü θˆn = tn (x) - îöåíêà ïàðàìåòðà θ. Òîãäà, ò.ê. θˆn ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, ñâÿçàííîé ñ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ èñõîäíîé (íàáëþäàåìîé) ÑÂ, îíà èìååò íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå
Fθˆ(t; θ) = Pθ {θˆn < t}, âîîáùå ãîâîðÿ òàêæå çàâèñÿùåå îò θ. Îäíàêî, åñëè óäàñòñÿ ïîñòðîèòü ôóíêöèþ îò âûáîðêè g =
48
g(x; θ), ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íå çàâèñèò îò θ, ò.å. Pθ {g(x; θ) ≤ t} = F (t)
ïðè ëþáûõ
θ ∈ Θ,
òî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàñïðåäåëíèÿ ìîæíî äåëàòü òàê íàçûâåìûå äîâåðèòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, à èìåííî: âûáåðåì ÷èñëà α1 , α2 (0 < αi < 0.5) è íàéäåì g1 , g2 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà
F (g1 ) ≤ α1 ,
F (g2 ) ≥ 1 − α2 .
(1)
Òîãäà ïîëàãàÿ α1 + α2 = α èìååì äëÿ ëþáîãî θ ∈ Θ,
Pθ {g1 ≤ g(x; θ) < g2 } = F (g2 )−F (g1 ) ≥ 1−α2 −α1 = 1−α, (2) ò.å. ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì 1 − α ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî g1 ≤ g(x; θ) < g2 . (3) Äàëåå, åñëè ôóíêöèÿ g(x; θ) ìîíîòîííà ïî âòîðîìó àðãóìåíòó, òî èñïîëüçóÿ îáðàòíóþ ôóíêöèþ θ = g (−1) (g, x) = t(g, x) è ðåøàÿ íåðàâåíñòâî (3), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
t1 (x) = t(g1 , x) ≤ θ < t(g2 , x) = t2 (x),
(4)
êîòîðîå ïðè âñåõ θ ∈ Θ âûïîëíÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì 1 − α.
Çàèìå÷àíèå. Çäåñü ïàðàìåòð θ ÿâëÿåòñÿ íå ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíîé, à ñëó÷àéíû (îò âûáîðêè ê âûáîðêå) êîíöû èíòåðâàëà t1 (x) è t2 (x) è óòâåðæäåíèå (4) ñëåäóåò ïîíèìàòü â òîì ñìûñëå, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì 1 − α ñëó÷àéíûé èíòåðâàë [t1 (x), t2 (x)) íàêðûâàåò íå ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ïðîíàáëþäàòü N íåçàâèñèìûõ âûáîðîê x1 = (x11 , . . . , x1n ), . . . , xN = (xN 1 , . . . , xN n ), òî â ñðåäíåì â (1 − α)N ñëó÷àÿõ íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ îêàæåòñÿ âðóòðè èíòåðâàëà [t1 (x), t2 (x)), è ëèøü â αN ñëó÷àÿõ âíå åãî.
49
Îïðåäåëåíèå 1. Âåðîÿòíîñòü 1 − α, ñ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (4) ïðè âñåõ θ íàçûâûàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, èëè êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Ôóíêöèè t1 (x) è t2 (x), äëÿ êîòîðûõ
ñîîòíîøåíèå (4) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ ñ çàäàííûìè âåðîÿòíîñòÿìè α1 è 1 − α2 íàçûâàþòñÿ íèæíåé è âåðõíåé äîâåðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè óðîâíåé α1 è 1−α2 ñîîòâåòñòâåííî. Èíòåðâàë [t1 (x), t2 (x)) íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α.
Îïðåäåëåíèå 3. Îáúåäèíåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ïî
âñåâîçìîæíûì âûáîðêàì, ò.å. ìíîæåñòâî S = {(θ, x)} ⊂ Θ×Xn , äëÿ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî
Pθ {(θ, x) ∈ S} ≥ 1 − α âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ è âñåõ x ∈ Xn , íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé îáëàñòüþ.
6.2 Ïðèìåðû 6.2.1. Îöåíêà íåèçâåñòíîãî ÌÎ íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Ïóñòü Ñ X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ è äèñïåðñèåé σ 2 = 1. ×òîáû ïî âûáîðêå x = (x1 , . . . , xn ) ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ µ, çàìåòèì, ÷òî Ñ µ ˆ=x ¯ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå √ ñ ïàðàìåòðàìè µ è n1 ; ñòàëî áûòü (¯ x −√ µ) n èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, (¯ x − µ) n ∈ N (0, 1). Òàêèì îáðàçîì, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå íèæíåé è âåðõíåé äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö ñîîòâåòñâóþùèå α1 - è 1 − α2 -êâàíòèëè ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. çíà÷åíèÿ c1 , c2 òàêèå, ÷òî Φ(c1 ) = α1 , Φ(c2 ) = 1 − α2 ïîëó÷èì √ P{c1 ≤ (¯ x − µ) n < c2 } = Φ(c2 ) − Φ(c1 ) = 1 − α2 − α1 . Îòêóäà ðåøàÿ íåðàâåíñòâî â ñêîáêàõ ëåâîé ÷àñòè íàéäåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ µ ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 −
50
α = 1 − α1 − α2 â âèäå c2 c1 t1 (x) = x ¯− √ <µ≤x ¯ − √ = t2 (x). n n  ñèëó ñèììåòðèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàèìåíüøèì áóäåò èíòåðâàë, äëÿ êîòîðîãî α1 = α2 = α2 .  ýòîì ñëó÷àå c1 = −c2 = z1−α/2 è äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ïðèíèìàþò âèä
zα/2 ti (x) = x ¯∓ √ , n ãäå zα/2 = Φ−1 (1 − α/2) 1 − α/2-êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
6.2.2. Äîâåðèòåëüíûé èíòåâàë äëÿ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè â ñõåìå Áåðíóëëè Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðòèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè p óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî óñïåõîâ Sn ïðè n èñïûòàíèÿõ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, µ ¶ n k Pp {νn = k} = bk (n, p) = p (1 − p)n−k , k êîòîðîå ïðè ñîîòâåòñâóþùåé íîðìèðîâêå ïðè n → ∞ î÷åíü áûñòðî ñõîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó. Íàïðèìåð, ïðè p = 21 óæå ïðè n = 3 ýòî ïðèáëèæåíèå î÷åíü õîðîøåå. Ïîýòîìó â ñèëó ñèììåòðèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïîëîæèòü ¯ (¯ ) ¯ ν − np ¯ ¯ n ¯ Pp ¯ p ¯ ≤ c = 2Φ(c) − 1 = 1 − α ¯ np(1 − p) ¯ è íàéäÿ ïî çàäàííîìó α âåëè÷èíó c = z1−α/2 ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíóþ îáëàñòü èç ñîîòíîøåíèÿ
(νn − np)2 ≤ c2 np(1 − p)
51 èëè äëÿ hn =
νn n
(hn − p)2 ≤
1 2 c p(1 − p). n
(5)
Ìíîæåñòâî òî÷åê (hn , p), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (5) ëåæèò âíóòðè ýëëèïñà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. ? Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî íàáëþäåííîãî çíà÷åíèÿ ÷àñòîòû hn ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ p, äëèíà êîòîðîãî òåì ìåíüøå, ÷åì áîëüøå n. Èç óðàâíåíèÿ (5) íàéäåì ïîñëå íåñëîæíûõ, íî óòîìèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé, çíà÷åíèÿ äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö äëÿ p â çàâèñèìîñòè îò íàáëþäåííîé ÷àñòîòû hn , q 2 c2 hn + 2n ∓ √cn hn (1 − hn ) + 4n t1,2 (hn ) = 2 1 + cn è äëèíó èíòåðâàëà
q
∆ = t2 (hn ) − t1 (hn ) =
2 √cn
hn (1 − hn ) + 1+
c2 n
c2 4n
,
ïîäòâåðæäàþùèå âûñêàçàííûå ñóæäåíèÿ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ìîæíî âû÷èñëèòü òàêæå òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ïîëüçóÿñü áèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
6.3 Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 6.3.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ðàññìîòðèì çàäà÷ó èíòåðâàëüíîé îöåíêè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ 2 íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé Ñ ñ èçâåñòíûì ÌÎ µ. Èçâåñòíî, ÷òî õîðîøåé äëÿ σ 2 ïðè èçâåñòíîì ÌÎ µ ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòèêà 1 X S2 = (Xi − µ)2 . n 1≤i≤n
52 Î÷åâèäíî, ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû S 2 çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà σ 2 . ×òîáû ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σ 2 íåîáõîäèìî íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ îò ñòàòèñòèêè S 2 è ïàðàìåòðà σ 2 , ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íå çàâèñèëî áû îò ïàðàìåòðà σ 2 . Ðàññìîòðèì ñ ýòîé öåëüþ âåëè÷èíó X µ Xi − µ ¶2 nS 2 g(S 2 , σ 2 ) = 2 = . σ σ 1≤i≤n
Êàæäîå èç ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ñòàíäàðòíî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ÑÂ, Zi = Xiσ−µ ∈ 2 N (0, 1). Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè nS σ 2 ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñóììû n êâàäðàòîâ íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí. Ðàñïðåäåëåíèå ýòîé âåëè÷èíû çàâèñèò ëèøü îò ÷èñëà ñëàãàåìûõ n è íå çàâèñèò îò èñõîäíîãî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà σ ; îíî íàçûâàåòñÿ χ2n -ðàñïðåäåëåíèåì ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
6.3.2. χ2n -ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå 3. χ2n -ðàñïðåäåëåíèåì ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû
íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñóììû êâàäðàòîâ ñòàíäàðòíî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ÑÂ, X χ2n = Zi2 ,
íåçàâèñìûõ
(6)
1≤i≤n
ãäå Zi ∈ N (0, 1) (i = 1, . . . , n) - ÍÎÐ ÑÂ. Ìîæíî ïîêàçàòü (ïîëüçóÿñü, íàïðèìåð, ôîðìóëîé ñâåðòêè äëÿ ïëîòíîñòåé), ÷òî ÏÐ χ2n -ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä n
x
x 2 −1 e− 2 pχ2n (x) = n/2 1{x≥0} . 2 Γ(n/2)
(7)
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì (ïðè α = n2 ) Γðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî äëÿ ëþáîãî α ïëîòíîñòüþ
pΓ (x) =
xα−1 e−x 1{x≥0} . Γ(α)
(8)
53 Ñðàâíåíèå (7) ñ (8) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñ ïàðàìåòðîì α = n2 .
χ2 2
èìååò Γ-ðàñïðåäåëåíèå
Ìîìåíòû χ2 -ðàïðåäåëåíèÿ ðàâíû
Mχ2 = n,
Dχ2 = 2n.
Ïðè n → ∞ ñîãëàñíî ÖÏÒ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
χ2n − n Zn = √ → N (0, 1) 2n Ñóùåñòâóþò ïîäðîáíûå òàáëèöû χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿà âûäåðæêè èç íèõ ïðèâåäåíû â áîëüøèíñòâå ó÷åáíèêîâ ïî ñòàòèñòèêå (ñì., íàïðèìåð, ). Ñðåäñòâà EXCEL òàêæå ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü êàê çíà÷åíèÿ ÏÐ è ÔÐ χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê è åãî ðàçëè÷íûå êâàíòèëè.
6.3.3. Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîì ÌÎ Â ýòîì ñëó÷àå ñòàòèñòèêîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ X µ Xi − µ ¶2 nS 2 2 2 . g(S , σ ) = 2 = σ σ 1≤i≤n
Ýòà âåëè÷èíà èìååò ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ χ2n -ðàñïðåäåëåíèå ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïîýòîìó çàäàâàÿñü äîâåðèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì 1 − α íàéäåì èç òàáëèö α2 - è 1 − α2 -êâàíòèëè χ2n -ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. ÷èñëà c1 è c2 òàêèå, ÷òî
P{χ2n ≤ c1 } = Fχ2n (c1 ) =
α , 2
è
α P{χ2n ≤ c1 } = Fχ2n (c2 ) = 1− . 2
Òîãäà
P{c1 ≤
nS 2 α α < c2 } = Fχ2n (c2 ) − Fχ2n (c1 ) = 1 − − = 1 − α, σ2 2 2
54 ò.å. ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − α âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
c1 ≤
nS 2 < c2 , σ2
à âìåñòå ñ íèì è íåðàâíåíñòâî
nS 2 nS 2 ≤ σ2 < , c2 c1 îïðåäåëÿþùåå èñêîìûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë.
6.3.4. Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîì ÌÎ Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé,P êîãäà ÌÎ µ íåèçâåñòíî.  ýòîì ¯)2 äàåò ñìåùåííóþ ñëó÷àå ñòàòèñòèêà S 2 = n1 1≤i≤n (xi − x 2 îöåíêó σ , òàê êàê X 1 ¯ 2 = MS 2 = (Xi − X) M n 1≤i≤n 1 X ¯ − µ))2 = = M ((Xi − µ) − (X n 1≤i≤n 1 X ¯ − µ)2 = = M (Xi − µ)2 − n(X n 1≤i≤n µ ¶ 1 σ2 n−1 2 2 = nσ − n = σ n n n Ïîýòîìó óñòðàíÿÿ ñìåùåíèå ðàññìîòðèì ñòàòèñòèêó
S2 =
X 1 ¯ 2, (Xi − X) n−1 1≤i≤n
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé äëÿ äèñïåðñèè σ 2 .
(9)
55 Åñëè òåïåðü, êàê è ðàíüøå, ðàññìîòðåòü ñòàòèñòèêó
g(S 2 , σ 2 ) =
X µ Xi − X ¯ ¶2 (n − 1)S 2 = , σ2 σ
(10)
1≤i≤n
òî îíà óæå íå áóäåò èìåòü æåëàåìîãî χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê êàê ñîñòàâëÿþùèå ñóììó ñïðàâà ñëàãàåìûå çàâèñèìû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò ýòîé çàâèñìîñòè, ïðåîáðàçóåì ñóììó ñïðàâà ñëåäóþùèì îáðàçîì
X µ Xi − X ¯ ¶2 σ
1≤i≤n
X µ Xi − µ X ¯ − µ ¶2 = − = σ σ 1≤i≤n µ ¯ ¶2 X µ Xi − µ ¶2 X −µ = −n = σ σ 1≤i≤n 2 X X 1 = Yi2 − (11) Yi , n 1≤i≤n
1≤i≤n
ãäå âåëè÷èíû Yi = Xiσ−µ ∈ N (0, 1) ñòàíäàðòíî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíû è íåçàâèñèìû. Ïîäáåðåì òåïåðü îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå U, Z = U Y, Z = (Z1 , . . . , Zn )0 , Y = (Y1 , . . . , Yn ) òàêîå, ÷òîáû Zn = √1n (Yi + · · · + Yn ).  ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ U ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èí Z îñòàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, i áóäåò íîðìàëüíûì P è âåëè÷èíû P 2 2 . Òîãäà âûðàæåíèå (11) Z = Y ïðè÷åì 1≤i≤n i 1≤i≤n i ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
g(S 2 , σ 2 )
X (n − 1)S 2 = Zi2 − Zn2 = 2 σ 1≤i≤n
X
Zi2 ,
1≤i≤n−1
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà (n−1)S σ2 ðàñïðåäåëåíèå ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
2
èìååò χ2n−1 -
Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èì ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ 2 íîðìàëüíîãî
56 ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîì ì.î. Çàäàâàÿñü êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α íàéäåì α2 - è 1 − α2 -êâàíòèëè χ2n−1 -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ò.å. ÷èñëà c1 è c2 óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì α P{χ2n−1 ≤ c2 } = Fχ2n−1 (c2 ) = 1 − 2 α P{χ2n−1 > c1 } = 1 − Fχ2n−1 (c1 ) = . 2 Òîãäà ýêâèâàëåíòíûå íåðàâåíñòâà
c1 ≤
(n − 1)S 2 < c2 , σ2
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2 ≤ σ2 < , c2 c1 âûïîëíÿþòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − α. Ïîñëåäíåå èç ýòèõ íåðàâåíòñâ çàäàåò äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè ñ çàäàííûì êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α.
Çàìå÷àíèå. Ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ çäåñü
èñïîëüçîâàëèñü äëÿ ïðîñòîòû ñèììåòðè÷íûå èíòåðâàëû, õîòÿ äëÿ χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîò èíòåðâàë, âîçìîæíî, íå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî äëèíå èíòåðâàëîì.
6.4 Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 6.4.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è  ïðèìåðå 2.1 áûëà ðàññìîòðåíà èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè.  ýòîì ñëó÷àå Ñ x−µ σ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ò.å. íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà, ÷òî ïîçâîëÿåò ñòðîèòü äëÿ ÌÎ µ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. Êîãäà äèñïåðñèÿ σ 2 íåèçâåñòíà (÷òî ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîé ñèòóàöèåé), åñòåñòâåííî çàìåíèòü åå îöåíêîé ¯ √ 2 óæå S 2 . Îäíàêî ïîëó÷àþùàÿñÿ ïðè ýòîì ñòàòèñòèêà Tn = X−µ íå áóäåò èìåòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Sn
57
6.4.2. Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà Ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. Tn âîçíèêàåò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Âïåðâûå ýòî ðàñïðåäåëåíèå ââåë è ðàññìîòðåë ëîðä Ãîññåò (W.S. Gosset), ðàáîòàâøèé ïîä ïñåâäîíèìîì Ñòüþäåíò, îòêóäà è ïððîèçîøëî íàçâàíèå ýòîãî ðàñïðíåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà.
Îïðåäåëåíèå 4. tn -ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ÑÂ Z √ Tn = p n χ2n
(12)
ãäå Z ∈ N (0, 1) è ñ.â Z è χ2n íåçàâèñèìû. ÏÐ tn -ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
ptn (x) = √ ãäå B(p, q) = ôóíêöèÿ.
R1 0
1 ¡ nB( 12 , n2 ) 1 +
x2 n
, ¢ n+1 2
(13)
xp−1 (1 − x)q−1 dx (p > 0, q > 0) Beta-
Ìîìåíòû tn -ðàñïðåäåëåíèÿ ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ k < n, ïðè÷åì â ñèëó ñèììåòðèè ïëîòíîñòè tn -ðàñïðåäåëåíèÿ íå÷åòíûå ìîìåíòû ðàâíû 0, à äëÿ ÷åòíûõ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
µ2k = nk ãäå Γ(p) =
R∞ 0
n Γ(k + 12 ) · Γ( 2−k )
Γ( 12 ) · Γ( nk )
,
2k < n,
e−x xp−1 dx Γ-ôóíêöèÿ.  ÷àñòíîñòè, âòîðîé
ìîìåíò ðàâåí
µ2 = n
n ) Γ( 32 ) · Γ( 2−1
Γ( 12 )
·
Γ( n2
=
Ïðè n → ∞ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
Tn → N (0, 1).
n . n−2
58
6.4.3. Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè Ñëåäóÿ ðàçäåëó 2 äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà â ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòèêîé
¯ − µ√ X Tn = p n= Sn2
√ ¯ X−µ n σ Sn σ
=r
√ ¯ X−µ n σ ³
P 1≤i≤n
¯ Xi −X σ
√ ´2
n − 1.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà åå ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
Tn−1 = qP
√
Zn
1≤i≤n−1 Zi
n − 1,
ãäå Zi ∈ N (0, 1) - ÍÎÐ ÑÂ. Îòêóäà âèäíî, ÷òî ñòàòèñòèêà √ ¯ Tn−1 = X−µ n èìååò tn−1 -ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 Sn ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α ìîæíî èñêàòü íèæíþþ è âåðõíþþ äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ñîîòâåòñòâåííî èç óñëîâèé
P{tn−1 ≤ c1 } =
α , 2
è
P{tn−1 ≤ c2 } = 1 −
α . 2
(14)
Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî
x ¯ − µ√ n < c2 S à âìåñòå ñ íèì è íåðàâåíñòâî c1 ≤
c2 S c1 S x ¯− √ <µ≤x ¯+ √ n n âûïîëíÿþòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − α.
Çàìå÷àíèå.  ñèëó ñèììåòðèè tn−1 -ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (1 − α)% äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, íàéäåííûé èç óñëîâèÿ (14)
59 áóäåò ìèíèìàëüíûì, à åãî ãðàíèöû c1 , c2 èìåþò âèä c2 = −c1 = tn−1,1− α2 , ãäå tn−1,1− α2 1 − α2 -êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, α Ftn−1 (tn−1,1− α2 ) = 1 − . 2 Ïðè ýòîì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ïðèíèìàåò âèä
x ¯−
tn−1,1− α2 S tn−1,1− α2 S √ √ <µ≤x ¯+ . n n
6.5 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Ïî÷åìó íåîáõîäèìà îöåíêà òî÷íîñòè è äîñòîâåðíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé?
2.  ÷åì ñîñòîèò ñóùíîñòü äîâåðèòåëüíîãî îöåíèâàíèÿ? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à äîâåðèòåëüíîé âåðîãÿòíîñòè; á âåðõíåé è íèæíåé äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö; â äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà; ã äîâåðèòåëüíîé îáëàñòè.
4. Êàê ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãî
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè?
5. Äàéòå îïðåäåëåíèå χ2n -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. 6. Êàê ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ?
7. Äàéòå îïðåäåëåíèå tn -ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. 8. Êàê ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãî
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè?
60
Óïðàæíåíèÿ 1. 2. 3. 4. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà Ïî çàäàííûì ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì ïîëüçóÿñü ñðåäñòâàìè EXCEL ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
61
7 Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ è íåçàâèñèìîñòè 7.1 Ââîäíûå çàìå÷àíèÿ Êàê â îáûäåííîé æèçíè è â îáû÷íûõ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèÿõ äîáû÷à íîâûõ çíàíèé äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ âûäâèæåíèÿ è ïðîâåðêè ðàçëè÷íûõ ãèïîòåç, òàêæå è ïðè ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò çàäà÷è ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç.  òåîðèè ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò ïðàâèëà (êðèòåðèè) ïðîâåðêè ãèïîòåçû î ñîãëàñèè íàáëþäåíèé ñ íåêîòîðûì ãèïîòåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì, êîòîðûå íîñÿò íàçâàíèå êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ.  íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäóò ðàññìîòðåíû äâà òàêèõ êðèòåðèÿ êðèòåðèé Ïèðñîíà (ï. 7.3) è êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà (ï. 7.4). Êðîìå òîãî, îáû÷íî â ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ íåçàâèñèìîñòü íàáëþäåíèé, íî åñëè íàáëþäåíèÿ ïîëó÷åíû íå èç ïåðâûõ ðóê ñòàòèñòèê îáÿçàí ïðîâåðèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè äàííûå ïîëó÷åíû ïóòåì íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé. È ïîñëåäíåì ðàçäåëå ýòîãî ïàðàãðàôà èçó÷àåòñÿ êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû î íåçàâèñèìîñòè íàáëþäåíèé â âûáîðêå. Îäíàêî ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû è ñïîñîáû èõ ïðîâåðêè îáëàäàþò íåêîòîðûìè îñîáåííîñòÿìè, êîòîðûì ïîñâÿùåí ñëåäóþùèé ðàçäåë.
7.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèå òåîðèè ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç 7.2.1. Ïîíÿòèå î ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçå Ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû îòëè÷àåòñÿ îò îáùåãî ïîíÿòèÿ íàó÷íîé ãèïîòåçû òåì, ÷òî ïðåäïîëàãàåò: 1) âîçìîæíîñòü ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé â îäíîðîäíûõ (íåèçìåííûõ) óñëîâèÿõ íàä íåêîòîðûìè âåëè÷èíàìè, ñâÿçàííûìè ñ ãèïîòåçîé; è
62 2) íàëè÷èå íåêîòîðîãî âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ íàáëþäåíèé.
Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü ìîäåëüþ íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ Ñ X ∈ N (µ, 1). Ãèïîòåçà H0 : µ = 0 ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé, òàê êàê òðåáîâàíèÿ 1), 2) âûïîëíåíû.
2. Ãèïîòåçà: ðîñò ìóæ÷èí è æåíùèí èìååò íîðìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå ñ îäèíàêîâûìè ÌÎ ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé, ò.ê. ðîñò ìîæíî èçìåðÿòü, à ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè âåðîÿòíîñòíîãî (íîðìàëüíîãî) ðàñïðåäåëåíèÿ âõîäèò â ôîðìóëèðîâêó ãèïîòåçû.
3. Ãèïîòåçû: ðîñò ìóæ÷èí (èëè æåíùèí, èëè ëþäåé)
îïèñûâàåòñÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñòàòèñòè÷åñêèå, ò.ê. ðîñòà èçìåðÿåìû è ïîä÷èíÿþòñÿ íåêîòîðîìó ðàñïðåäåëåíèþ.
4. Ãèïîòåçà î òîì, ÷òî âûáîðêà x1 , . . . xn ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåçàâèñèìûå íàáëþäåíèÿ íàä ñ.â. X ∈ F (x) òàêæå ïðåäñòàâëÿåò ïðèìåð ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû.
 îòëè÷èå îò ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ ãèïîòåçû: 1) î âîçìîæíîñòè âûñàäêè ÷åëîâåêà íà Ìàðñå äî 2010 ãîäà, 2) î ñóùåñòâîâàíèè îðãàíè÷åñêîé æèçíè íà Âåíåðå, 3) îá èñ÷åçíîâåíèè Íàïîëåîíà Áîíàïàðòà ñ îñòðîâà ñâ. Åëåíû è ò.ï. íå ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè, ò.ê. äëÿ èõ ïðîâåðêè ëèáî íåâîçìîæíî ïðîâåäåíèå íàáëþäåíèé, ëèáî åñëè òàêîâûå (èëè õîòÿ áû êîñâåííûå) âîçìîæíû, èì íåâîçìîæíî ñîïîñòàâèòü íèêàêîãî ðàçóìíîãî âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
7.2.2. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü. Ðàçìåð è ìîùíîñòü êðèòåðèÿ Äëÿ ïðîâåðêè êàêîé-ëèáî ãèïîòåçû H ñòàòèñòèê ðàñïîëàãàåò âûáîðêîé íàáëþäåíèé x = (x1 , . . . xn ) ∈ Xn è âîçìîæíîñòüþ âû÷èñëÿòü ðàñïðåäåëåíèÿ pH (x) íàáëþäåíèé âûáîðêè ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû H . Íà îñíîâàíèè ýòîãî ìàòåðèàëà
63 ñòàòèñòèê äîëæåí ïîñòðîèòü ïðàâèëî (êðèòåðèé) ïðîâåðêè ãèïîòåçû. Êàê äîëæíî âûãëÿäåòü ýòî ïðàâèëî?
Ïðèìåð. Ïðåäñòàâèì ñåáå ñíà÷àëà ïðîñòîé âûðîæäåííûé
ñëó÷àé, êîãäà ãèïîòåçà H ïðèâîäèò, ñêàæåì, ê ïîëîæèòåëüíîìó çíà÷åíèþ (x > 0) íåêîòîðîé íàáëþäàåìîé âåëè÷èíû x, à ¯ ê îòðèöàòåëüíîìó (x < 0). Òîãäà, åå íåâûïîëíåíèå H î÷åâèäíî, äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè îäíî íàáëþäåíèå è ãèïîòåçó H ïðèíÿòü, åñëè x > 0 è îòâåðãíóòü, åñëè x < 0. Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé (ïðàâèëî) ïðîâåðêè ãèïîòåçû ñîñòîèò â äàííîì ñëó÷àå â ðàçáèåíèè îáëàñòè âîçìîæíûõ íàáëþäåíèé (âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà) X íà äâå îáëàñòè: {x < 0} îáëàñòü, ãäå ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ è {x > 0} ãäå ãèïîòåçà íå îòâåðãàåòñÿ (ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè íàáëþäåíèé).
Çàìå÷àíèå. Óæå â ýòîì ïðîñòîì ïðèìåðå âèäíî, íàñêîëüêî
ñèëüíî ïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû çàâèñèò îò âîçìîæíûõ àëüòåðíàòèâ. Íàïðèìåð, åñëè áû àëüòåðíàòèâíàÿ (èëè àëüòåðíàòèâíûå) ¯ ìîãëè ïðèâîäèòü êàê ê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è ãèïîòåçà H îòðèöàòåëüíûì íàáëþäåíèÿì x ≥ 0 èëè x ≤ 0, òî âûñêàçàííîå ïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû áûëî áû óæå, ïî êðàéíåé ìåðå, íå î÷åâèäíûì, à âîçìîæíî è íå âåðíûì. Îáîáùàÿ ðàññìîòðåííîå â ïðèìåðå ïðàâèëî â îáùåì ñëó÷àå êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû ñâîäÿò ê ïîñòðîåíèþ êðèòè÷åñêîé îáëàñòè W â âûáîðî÷íîì ïðîñòðàíñòâå Xn , W ∈ Xn , ò.å. òàêîãî ïîäìíîæåñòâà íàáëþäåíèé, ïðè êîòîðîì ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ, êàê íå îòâå÷àþùàÿ äàííûì íàáëþäåíèé. ×òîáû âûñêàçàòü ðàçóìíûå òðåáîâàíèÿ ê êðèòåðèÿì ïðîâåðêè ãèïîòåç, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ê êàêèì ïîñëåäñòâèÿì ïðèâîäèò íàñ êëàññ ïðåäëîæåííûõ ïðàâèë ïðîâåðêè ãèïîòåç.  îáùåì ñëó÷àå êàê ïðîâåðÿåìàÿ H0 , òàê è àëüòåðíàòèâíàÿ H ãèïîòåçû ìîãóò ïðèâîäèòü ê ëþáûì íàáëþäàåìûì òî÷êàì x ∈ X èç âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X 3 . Ïîýòîìó ñòðîÿ êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû íà ëþáîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè W ñòàòèñòèê 3 ßñíî, ÷òî òî÷êè, êîòîðûå çàâåäîìî íå ìîãóò íàáëþäàòüñÿ ïðè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçå ñëåäóåò âêëþ÷àòü â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü.
64 äîïóñêàåò îøèáêè äâóõ ñîðòîâ. Îøèáêà ïåðâîãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ìîæåò îòâåðãíóòü âåðíóþ ãèïîòåçó. Âåðîÿòíîñòü ýòîé îøèáêè (âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà) íàçûâàåòñÿ ðàçìåðîì êðèòåðèÿ èëè óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç α = PH 0 . Çàìåòèì, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, îøèáêà I ðîäà íåèçáåæíà, åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé ïðè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçå ñîáñòâåííîå, ò.å. ñîñðåäîòî÷åíî íà âñåì âûáîðî÷íîì ïðîñòðàíñòâå, èáî α = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà W = ∅, íî ýòî çíà÷èò, ÷òî ñòàòèñòèê ïðèíèìàåò ãèïîòåçó H0 íåñìîòðÿ íà ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé (ïðåäóáåæäåííûé ñòàòèñòèê).
Îøèáêîé âòîðîãî ðîäà ïðè ïðîâåðêå ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç íàçûâàåòñÿ ïðèíÿòèå íåâåðíîé ãèïîòåçû. Âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ¯) β = PH (W è çàâèñèò, î÷åâèäíî, îò êëàññà àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç H . Ïðè ôèêñèðîâàííîé àëüòåðíàòèâå H = H1 âåëè÷èíó
1 − β = PH1 (W ) = π(H1 ) íàçûâàþò ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ. Ôóíêöèÿ
π(H) = PH (W ), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç (èëè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, â ñëó÷àå ïðîâåðêè ïàðàìåòðèñ÷åñêèõ ãèïîòåç) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ìîùíîñòè êðèòåðèÿ.
7.2.3. Ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ è òðåáîâàíèÿ ê íèì Ïîñòðîåíèå êðèòè÷åñêîé îáëàñòè W â ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Xn äîâîëüíî óòîìèòåëüíàÿ (à áåç äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé è íåâîçìîæíàÿ) çàäà÷à. Ïîýòîìó îáû÷íàÿ ïðîöåäóðà ïðîâåðêè
65 ãèïîòåç ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè (ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ) w = w(x) = w(x1 , . . . , xn ) è ñâåäåíèè ìíîãîìåðíîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè ê îäíîìåðíîé,
W = {x : w(x ∈ ∆)}, ãäå ∆ íåêîòîðûé èíòåðâàë (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé) íà ïðÿìîé. Î÷åâèäíî, ïðè ýòîì ðàçìåð α è ìîùíîñòü π êðèòåðèÿ ïðîâåðêè H0 ïðîòèâ H1 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
α π
= =
PH0 (W ) = PH0 (w(x) ∈ ∆), PH1 (W ) = PH1 (w(x) ∈ ∆).
Çàìå÷àíèå. Ïðè ïðîâåðêå ïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåç òàêàÿ
ñòàòèñòèêà ñòðîèòñÿ îáû÷íî íà îñíîâå äîñòàòî÷íûõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïàðàìåòðà ñòàòèñòèê. Ïðè ïîñòðîåíèè íåïàðàìåòðè÷åñêèõ êðèòåðèåâ âûáîð òàêîé ñòàòèñòèêè îïðåäåëÿåòñÿ èñêóññòâîì èññëåäîâàòåëÿ.
7.3 Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêà íàáëþäåíèé x = (x1 , . . . , xn ) ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàñïðåäåëåíèåì F (x), x ∈ R Ñ X . ×òîáû ïîñòðîèòü ñòàòèñòèêó äëÿ ïðîâåðêè ýòîé ãèïîòåçû ðàçîáüåì ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü (â äàííîì ñëó÷àå, ñêàæåì, R) íà r èíòåðâàëîâ ∆i = (yi−1 , yi ] i = 1, r è âû÷èñëèì òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè
pi = P{X ∈ ∆i } = F (xi ) − F (xi−1 ) ïîïàäàíèÿ íàáëþäåíèÿ â èíòåðâàë ∆i â ñîîòâåòñòâèè ñ ãèïîòåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì F (x) è ðåàëüíûå ÷àñòîòû hn,i ïîïàäàíèÿ íàáëþäåíèé â ýòè èíòåðâàëû. Òîãäà òàê êàê ñîãëàñíî ÖÏÒ ñòàòèñòèêà
hn,i − npi Zi = p npi (1 − pi )
66 àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà, Zi → N (0, 1), òî ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî ñòàòèñòèêà
X
X2 =
Zi2 =
1≤i≤r
(hn,i − npi )2 npi
(1)
èìååò â ïðåäåëå χ2r−1 -ðàñïðåäåëåíòèå ñ r −1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû íà åäèíèöó ìåíüøå ÷èñëà ñëàãàåìûõ èç-çà íàëè÷èÿ äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè, n1 + · · · + nr = n, à ñîìíîæèòåëü 1 − pi â çíàìåíàòåëå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îïóùåí äëÿ óëó÷øåíèÿ àïïðîêñèìàöèè). Äåéñòâèòåëüíî, èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå
Òåîðåìà 1. Ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè X 2 ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞
ê chi2r−1 -ðàñïðåäåëåíèþ ñ r − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Äîêàçàòåëüñòâî îïóñêàåì.
2
2
Ñòàòèñòèêà X ïîçâîëÿåò ñòðîèòü êðèòåðèé (êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü) ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
P{X 2 > cα } ≤ α. Ôàêòè÷åñêè íåðàâåíñòâî {X 2 > cα } âûäåëÿåò îïðåäåëåííóþ êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü W â ïðîñòðàíñòâå íàáëþäåíèé Rn , îäíàêî äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü 2 ýòó êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü, äîñòàòî÷íî 1 − α-êâàíòèëü ξr−1 ðàñïðåäåëåíèÿ ñ r − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäâ è ñðàâíèòü ñ íèì íàáëþäåííîå çíà÷åíèå x2 ñòàòèñòèêè X 2 .
Ïðèìåð. Ðàññìîòðåòü
7.4 Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà À.Í. Êîëìîãîðîâ â 1933ã. äëÿ ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü ñòàòèñòèêó
Dn = sup |Fn (x) − F (x)|, x∈R
(2)
67 ãäå F (x) ãèïîòåòè÷åñêàÿ (òåîðåòè÷åñêàÿ) ÔÐ, à Fn (x) âûáîðî÷íàÿ (ýìïèðè÷åñêàÿ) ÔÐ. À.Í. Êîëìîãîðîâ äîêàçàë, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèè î íåïðåðûâíîñòè ãèïîòåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Dn íå çàâèñèò îò èñõîäíîãî òåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëèë ïðåäåëüíîå ïðè n → ∞ ðàñïðåäåëåíèå.
Òåîðåìà 2 (Êîëìîãîðîâà). Åñëè òåîðåòè÷åñêàÿ ÔÐ F (x)
íåïðåðûâíà, òî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âûáîðêà ïîëó÷åíà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ ýòèì ðàñïðåäåëíèåì, ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Dn íå çàâèñèò îò íåå è ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå X √ 2 2 lim P{ nDn ≤ x} = K(x) = (−1)k e−2k x n→∞
−∞
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûõîäèò çà ðàìêè íàñòîÿùåãî êóðñà. Åãî ìîæíî íàéòè â ?.
2
Ðàñïðåäåëåíèå K(x) íàçâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Êîëìîãîðîâà, îíî âõîäèò âî âñå ñòàòè÷ñòè÷åñêèå òàáëèöû è ñòàòèñòè÷åñêèå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà, âêëþ÷àÿ EXCEL. Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòèêó Dn ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, âûáèðàÿ äëÿ çàäàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α â êà÷åñòâå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíó dn,α ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ Êîëìîãîðîâà
Kn (dn,α ) = P{Dn ≤ dn,α } = 1 − α
(3)
ïîëó÷èì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû î ñîãëàñèè íåðàâåíñòâî {Dn ≥ dn,α } íàáëþäàåòñÿ ñ ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ α. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Êîëìîãîðîâà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α íàéòè çíà÷åíèå dn,α óäîâëåòâîðÿþùåå ñîîòíîøåíèþ (3). Ïðè ýòîì ãèïîòåçà î ïðèíàäëåæíîñòè âûáîðêè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ ðàñïðåäåëåíèåì F (x) îòâåðãàåòñÿ, åñëè íàáëþäåííîå çíà÷åíèå dn ñòàòèñòèêè Dn ïðåâîñõîäèò íàéäåííîå çíà÷åíèå dn,α .
68 Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ îáúåìà âûáîðêè n ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðåäåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Êîëìîãîðîâà.
Ïðèìåð.
7.5 Êðèòåðèé ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè 7.6 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1.  ÷åì ñîñòîèò ïðîáëåìà ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ? 2. Ïî÷åìó íåîáõîäèìà ïðîâåðêà ñîãëàñèÿ ïðè ðåøåíèè ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷?
3. Ïðèâåäèòå âûðàæåíèå ñòàòèñòèêè Ïèðñîíà äëÿ ïðîâåðêè
ñîãëàñèÿ è îáúÿñíèòå ïî÷åìó àñèìïòîòè÷åñêè îíà èìååò χ2 ðàñïðåäåëåíèå è êàêîâî ïðè òîì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.
4. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Ïèðñîíà.
5. Ïðèâåäèòå âûðàæåíèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà ïðîâåðêè
ñîãëàñèÿ è ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Êîëìîãîðîâà.
Óïðàæíåíèÿ Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà Ïî çàäàííûì ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì ïîëüçóÿñü ñðåäñòâàìè EXCEL ïðîâåðèòü ãèïîòåçû îá èõ ñîãëàñèè çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì
69
8 Àíàëèç è ìîäåëèðîâàíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé  2 áûëè ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ïîêàçàòåëè ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè è âçàèìîçàâèñèìîñòè. Äëÿ èõ îöåíêè èñïîëüçóþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû
8.1 Àíàëèç âçàèìîçàâèñèìîñòè Äëÿ ïðîâåðêè íàëè÷èÿ âçàèìîçàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ (èëè íåñêîëüêèìè) Ñ èñïîëüçóåòñÿ êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè. Èç òåîðèè èçâåñòíî (ñì. 2), ÷òî áëèçîñòü êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ρ ê 0 óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè ìåæäó ÑÂ, â òî âðåìÿ êàê åãî áëèçîñòü ê 1 óêàçûâàåò íà íàëè÷èå ñèëüíîé (ëèíåéíîé) çàâèñèìîñòè. Ïîýòîìó ïðîáëåìà àíàëèçà çàâèñèìîñòè ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î ïðîâåðêå ãèïîòåçû î ðàâåíñòâå êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè 0 èëè 1. Ýòà ãèïîòåçà ñòðîèòñÿ íà ðàñïðåäåëåíèè âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè r. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè óäàåòñÿ ëèøü â ñëó÷àå (ìíîãîìåðíîãî) íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàñïðåäåëåíèå ñàìîé âåëè÷èíû r íå óäîáíî äëÿ èññëåäîâàíèé. Íî ìîæíî íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé îò âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè r.  ÷àñòíîñòè ñòàòèñòèêè r (n − 2)r2 r2 /1 tn−2 = è F1,n−2 = (1) 1 − r2 (1 − r2 )/(n − 2) èìåþò ñîîòâåòñòâåííî tn−2 -ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà è F1,n−2 ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà. Òàêèì îáðàçîì, ýòè ñòàòèñòèêè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î ðàâåíñòâå êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè 0 èëè 1. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ âåëè÷èí ðàâåíñòâî íóëþ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè âåäåò ê íåçàâèñèìîñòè ýòèõ âåëè÷èí, òàê ÷òî ïðîâåðêó íåêîððåëèðîâàííîñòè ìîæíî
70 ðàññìàòðèâàòü â ýòîì ñëó÷àå òàêæå êàê çàäà÷ó ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè.
8.2 Ëèíåéíàÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü Èç òåîðèè èçâåñòíî, ÷òî âñå ðåãðåññèè â ìíîãîìåðíîì íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ëèíåéíû. Ïîýòîìó â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íàáëþäàåìàÿ ìíîãîìåðíàÿ Ñ (ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü) èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè èññëåäîâàíèè çàâèñèìîñòè îäíèõ ïåðåìåííûõ îò äðóãèõ äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì ëèíåéíîé ðåãðåññèè, ò.å. âû÷èñëåíèåì ëèøü êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, îáîçíà÷àÿ îäíó èç ïåðåìåííûõ (êîòîðóþ ìû õîòèì ðàññìàòðèâàòü êàê çàâèñèìóþ) ÷åðåç Y , à îñòàëüíûå ÷åðåç Xi (i = 1, k) èìååì
y = M[Y |X1 = x1 , . . . Xk = xk ] = β0 + β1 x1 + · · · + βk xk .
(2)
Çàìå÷àíèå. Òàê êàê ïðîáëåìà àíàëèçà ïðîèçâîëüíîé ðåãðåññèè ïðàêòè÷åñêè íå ðåàëèçóåìà, òî íà ïðàêòèêå îãðàíè÷èâàþòñÿ èññëåäîâàíèåì ëèíåéíîé ðåãðåññèè è â îáùåì ñëó÷àå. Ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíóþ ìîäåëü âñåãäà ñ îïðåäåëåííîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ñâåñòè ê ëèíåéíîé ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ óõèùðåíèé, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ:
• ðàçáèåíèå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ íà îáðàñòè, â êîòîðûõ ðåãåðññèþ ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíîé; • ïðåäñòàâëåíèå ðåãðåññèè â âèäå ëèíåéíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî íåêîòîðîé ñèñòåìå (æåëàòåëüíî îðòîãîíàëüíûõ) ôóíêöèé φi (x1 , . . . xk ) i = 1, l (íàïðèìåð, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ), ÷òî ïîçâîëÿåò ñâåñòè çàäà÷ó ê ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ òàêîãî ðàçëîæåíèÿ (ïðåäñòàâëåíèÿ), y
= M[Y |X1 = x1 , . . . Xk = xk ] = = β0 + β1 φ1 (x1 , . . . , xk ) + · · · + βl φl (x1 , . . . , xk ).
 íàñòîÿùåì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëè.
71
8.3 Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è åãî ñâîéñòâà 8.3.1. Èäåÿ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ Èòàê, îáðàòèìñÿ ê ìîäåëè ëèíåéíîé ðåãðåññèè 2. Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè βi (i = 0, k) ïî íàáëþäåíèÿì y1 , . . . yn , xi,1 , . . . xi,n (i = 1, k). Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ÌÍÊ), êîòîðûé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ñîñòàâëÿåòñÿ âûðàæåíèå X S2 = [yj − (β0 + β1 x1 + · · · + βk xk )]2 , (3) 1≤j≤n
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé íàáëþäàåìîé âåëè÷èíû yíàáë. îò ïðåäïîëàãàåìîé yìîä. , âû÷èñëåííîé ïî ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëè. Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ, ìèíèìèçèðóþùèå ýòó âåëè÷èíó, è âûáèðàþòñÿ â êà÷åñòâå îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ ëèíåíîé ðåãðåññèè. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ýòè êîýôôèöèåíòû, íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé
8.3.2. Íîðìàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ðåøåíèå ×òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ïîëó÷åíèå íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàññìîòðèì ïðîñòîé ñëó÷àé îäíîôàêòîðíîé ëèíåéíîé ðåãðåññèííîé ìîäåëè (ïðåäñòàâëåíèÿ),
y = M[Y |X = x] = β0 + β1 x.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèîíàë 3 ïðèìåò âèä X S2 = [yj − (β0 + β1 xj )]2 . 1≤j≤n
(4)
72 Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðàì β0 è β1 ïîëó÷èì ñèñòåìó èç äâóõ óðàâíåíèé
∂S 2 ∂β0
= −2
∂S 2 ∂β1
= −2
X
[yj − β0 − β1 ] = 0,
1≤j≤n
X
[yj − β0 − β1 ]xj = 0,
1≤j≤n
êîòîðàÿ ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó
β0 + β1 x ¯ = β0 x ¯ + β1 x2 =
y¯, xy,
è èìååò ðåøåíèå
Sy rxy x ¯, Sx
b0 = βˆ0
=
y¯ −
b1 = βˆ1
=
Sy rxy . Sx
Ïðè ýòîì óðàâíåíèå ëèíåéíîé ðåãðåññèè (4) ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ ðåãåðññèè ïðèíèìàåò ïðòèÿòíûé ñèììåòðè÷íûé âèä · ¸ y − y¯ x−x ¯ = rxy . Sy Sx  îáùåì ñëó÷àå îáîçíà÷àÿ ÷åðåç X = [xij ] (i = 0, k), (i = 1, n) ìàòðèöó íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé ðåãðåññèîííûõ ïåðåìåííûõ xi (i = 1, k) (âêëþ÷àÿ íóëåâîé ñòîëáåö èç åäèíèö äëÿ îöåíêè êîýôôèöèåíòà β0 ) è ÷åðåç ~y âåêòîð íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé y è äèôôåðåíöèðóÿ ôóíêöèîíàë (3) ïî íåèçâåñòíûõ ïåðåìåííûì βi ïîëó÷èì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íèõ (â ìàòðè÷íîì âèäå)
X 0 X βˆ = X 0 ~y
(5)
73 Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû (â ìàòðè÷íîì âèäå) èìååò âèä
~ˆ = (X 0 X)−1 X 0 ~y ~b = β
(6)
Òàê êàê âû÷èñëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ îöåíêîé êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè, äîñòàòî÷íî òðóäîåìêè (ñ îäíîé ñòîðîíû) íî è âåñüìà àëãîðèòìè÷íû (ñ äðóãîé), âî âñåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïàêåòàõ (ïðîãðàììíûõ ïðîäóêòàõ) ñóùåñòâóþò êîìïüþòåðíûå ñðåäñòâà èõ ðåàëèçàöèè (îòíîñèòåëüíî EXCEL ñì. Äîáàâëåíèå ?)
8.3.3. Ñâîéñòâà îöåíîê ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ÎÍÊ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1) Íåñìåùåííîñòü. ÎÍÊ êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè íåñìåùåííûå,
~ M~b = β. 2) Òî÷íîñòü. Êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ÎÍÊ êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåñèè èìååò âèä
D~b = C~b = σ 2 (X 0 X)−1 . 3) Îïòèìàëüíîñòü. Ñðåäè ëèíåéíûõ îòíîñèòåëüíî íàáëþäåíèé ÎÍÊ îáëàäàþò íàèìåíüøåé äèñïåðñèåé (Òåîðåìà ÃàóññàÌàðêîâà).
8.4 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëè ñòàòèñòè÷åñêîé âçèìîçàâèñèìîñòè. 2. Êàê èçìåðÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) òåîðåòè÷åñêîãî è âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòîâ êîððåëÿöèè,
74 á) ðåãðåññèè, â) ëèíåéíîé ðåãðåñèè è åå êîýôôèöèåíòîâ.
4.  ÷åì ñîñòîèò ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ? 5. ×òî òàêîå íîðìàëüíûå óðàâíåíèÿ? 6. Ïðèâåäèòå ñâîéñòâà ÎÍÊ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëè.
7. Êàêèå ïðèåìû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðèâåäåíèÿ îáùåé ðåãðåññèîííîé ìîäåëè ê ëèíåéíîé?
Óïðàæíåíèÿ. 1. Âûâåñòè íîðìàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ îäíîôàêòîðíîé ëèíåéíîé ìîäåëè.
2. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà Ïî çàäàííûì ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì ïîëüçóÿñü ñðåäñòâàìè EXCEL âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè è ëèíåéíîé ðåãðåññèè è ïîñòðîèòü ëèíèè ðåãðåñèè.
Îãëàâëåíèå 1
2
3
Âåðîÿòíîñòü: îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
. . . . . . . . . .
4
1.1
ßâëåíèÿ íåñëó÷àéíûå è ñëó÷àéíûå
. . . .
4
1.2
Àëãåáðà ñîáûòèé . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé . .
6
1.4
×àñòîòû è èõ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé 10
1.6
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . 14 2.1
Îïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2
Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ìîäåëè äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé . . . . . . . . . 15
2.3
Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4
Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . 24 3.1
Õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . 24
3.2
Õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà . . . . . . . . . . 26
75
Îãëàâëåíèå
4
5
6
7
76 3.3
Õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèìîñòè è âçàèìîçàâèñèìîñòè 27
3.4
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Ýëåìåíòû îáðàáîòêè è ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1
Âûáîðêè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ . . . . . . . . 30
4.2
Ãðóïèðîâêà äàííûõ. Ãèñòîãðàììà . . . . . 34
4.3
Ïðåäñòàâëåíèå ìíîãîìåðíûõ äàííûõ . . . . 36
4.4
Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû . . . . . . . . . . . . 36
4.5
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Îöåíêà ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ìåòîä ìîìåíòîâ . . . . 41
5.2
Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3
Ñâîéñòâà îöåíîê ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ . . . 43
5.4
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Îöåíêà òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îïðåäåëåíèÿ . . . . . . 47
6.2
Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3
Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4
Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ è íåçàâèñèìîñòè . . . . . . . . 61 7.1
Ââîäíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2
Îñíîâíûå ïîíÿòèå òåîðèè ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3
Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà . . . . . . . . . 65
Îãëàâëåíèå
8
77 7.4
Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà . . . . . . . . . . . . 66
7.5
Êðèòåðèé ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè . . . . . 68
7.6
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Àíàëèç è ìîäåëèðîâàíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé 69 8.1
Àíàëèç âçàèìîçàâèñèìîñòè . . . . . . . . . 69
8.2
Ëèíåéíàÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü . . . . . . 70
8.3
Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è åãî ñâîéñòâà 71
8.4
Äîïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73