基本群とラプラシアン―幾何学における数論的方法 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國屋数学叢書 29

編集委員 伊藤 戸 田

清 三  (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜  (京都大学名誉教授)

飛 田

武 幸  (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明  (京都大学名誉教授)

砂田 利一

基 本 群 とラプ ラ シ ア ン 幾何 学 に お け る数論 的 方 法 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 上 で 定 義 され た2階

の偏 微分 作 用 素

Δ=∂2/∂x12+…+∂2/∂xn2 は,ラ

プ ラシ ア ン(あ る い は ラ プ ラス作 用 素)と

微 分 作 用 素 で あ る.方 程 式 Δf=0の

よば れ る最 も古 典 的 な 楕 円型

解 を 研 究 す る調 和 関 数 論 は も と よ り,作

用 素 Δ に関 す る,有 界領 域 上 の 関数 に適 当 な境 界 条 件 を お い て 考 察 す る スペ ク トル(固 有 値)問 題 は,解 析学 に お い て 古 くか ら考 察 され て きた 典型 的 な 研 究 対 象 で あ り,楕 円型 作 用 素 の一 般 理 論 の 原型 を 与 え る基 本 的 な 例 と し て,そ の 役 割 の重 要性 は 現在 で も失 わ れ て は い な い.本 書 の 主 要 な 課 題 は,一 般 の リー マ ン 多 様 体 に お い て,Δ の 類 似物 を 考 え(こ れ も ラ プ ラシ ア ン とい う),そ の ス ペ ク トル問 題 を微 分 幾 何 学 的立 場 か ら研 究 す る こ とで あ る.多 様 体 が コン パ ク トの と きに は,Δ の スペ ク トルは 重 複度 有 限 な 固有 値 の み か らな り,多 様 体 の 幾 何 学 的性 質(曲 率,体 積,直

径,閉 測 地 線etc.)と固 有 値 の 分 布 状 態 は 密 接 に

関 係 す る こ とが,最 近 の 数 多 くの 研 究 に よ って 明 らか に され て きた(こ に つ い ては,Berger-Gauduchon-Mazet 説 書 を参 照 の こ と).特

[8]あ

るい はChavel

に 閉測 地 線 との 関係 は,固有

の方 面

[16]等

の概

値 分 布 の 精 密 な性 質 が 反

映 して お り,現 在 で も最 も興味 あ る研 究 分 野 で あ る.本 書 では,多 様 体 の基 本 群 と ラ プ ラシ ア ンの スペ ク トル の 間 の"相 互 作 用"を 通 して,閉 測 地 線 の分 布 問題 を 含 め た い くつ か の 話 題 を 扱 うこ とに す る.そ し て そ の媒 介 とな る の が, いわ ゆ る跡 公 式 とい うもの で あ る.   跡公 式 の一 つ の 原 型 は,非

コン パ ク ト型 対 称 空 間(特

作 用 す る離 散 群 に対 して,1956年

にSelberg

[85]に

に上 半 平 面)と

それに

よ り定 式 化 され た.以 来

跡 公式 につ い て は 数 多 くの 拡 張 お よび応 用 が 得 られ て い る.し か し,跡 公 式 の 守 備 範囲 は これ ら の仕 事 が 主 に 扱 って きた 等 質 空 間 に は 止 ま ら な い.す な わ ち 自明 で は な い基 本 群 を 有 す る一 般 の多 様 体 に お い て も,そ の原 理 的 部分 は 適 用 可 能 で あ る.実 際,5章 ク トル多様 体(等

で 見 る よ うに,ラ プ ラシ ア ン の 固有 値 に 関 す る等 ス ペ

しい 固 有 値 を 持 ち,リ ー マ ン多 様 体 と し て 異 な る多様 体)の

構 成 に お い て も有 用 な役 割 を 果 た す.   基 本 群 と ラ プ ラシ ア ン の スペ ク トル の 間 の 関 係 を 明確 に す るの に用 い られ る 概 念 が,基 本 群 の 表 現 に 付 随 した 平 坦 ベ ク トル束 で あ る.特 に無 限 次元 ユ ニ タ リ表 現 に 対 す る平 坦束 を 考 え る こ とは,コ ン パ ク ト多様 体 の普 遍被 覆空 間(一 般 に は非 コ ンパ ク ト)上 で定 義 され た ラプ ラシ ア ン の ス ペ ク トル問 題 へ の手 掛 か りを与え,基

本 群 の構 造 と スペ ク トル の性 質 が,互 い に 影 響 しあ うこ とが こ

の考 察 の 副産 物 とし て示 され る.   本 書 を通 し て共 通 す る こ とは,数 論 的 ア イデ ィ アの 積 極 的 活 用 で あ る.上 で 述 べ たSelbergの

仕 事 の 中 で も暗 示 され てい る よ うに,ス ペ ク トル問 題 の 相 当

部 分 は,数 論 と類 似 す る構 造 を 持 つ こ と が 認 識 され る.特 に 被 覆 空 間 の 概 念 が,体 の 拡 大 に つ い て の ガ ロア理 論 と全 く平 行 な様 相 を 持 って い る こ と か ら も,こ の こ とは 容 易 に理 解 され る で あ ろ う.さ らに,議 論 を進 め る途 中 で,ゼ ー タ関 数 あ るい はL-関

数 の 幾 何 学 的 類 似 物 を ,ラ

地 線 の 長 さの分 布 か ら構 成 す るが,こ

プ ラシ ア ン の 固有 値 や 閉測

の 部分 に おけ る数 論(特

に解 析 数論)か

ら の影 響 は 決定 的 で あ る.本 書 に直 接 関 連 す る数 論 の概 観 につ い ては,緒 言 を 参 照 され た い.   本 書 で扱 う主 題 の 多 く は,現 在 で も活 発 に 研 究 が 行 な わ れ て い る も の で あ り,予 定 とし ては こ こ で 述べ た い と思 った 事 柄 で,機 が 熟 し てい ない と判 断 し て,割 愛 した も の も い くつ か あ った(例 えば 一 般 の負 曲率 多 様 体 上 の 閉 測 地 線 の分 布).こ

れ ら に つ い て は,他

日を期 した い.

  読 者 が 必 要 とす る予 備 知 識 に つ い て は,大 学 院 学 生 程 度 の も の を 仮 定 した が,特 に 代 数 的位 相 幾何(ホ モ トピー,基 本 群,ホ マ ン幾 何 の 初 歩,お

モ ロジ ー),多 様 体論,リ

ー

よび 関 数 解析 の初 歩 を理 解 し て い る こ とが 望 ま しい .

  終 りに,本 書 の執 筆 を すす め て下 さ った 飛 田武 幸 先 生 に 厚 く御 礼 を 申 し上げ た い.本 書 で扱 わ れ てい る研 究 成 果 の い くつか は,共

同研 究 者 の勝 田篤 君,足

立 俊 明君 との数 年 に わ た る研 究 か ら生 まれ て きた もの であ り,執 筆 中多 くの有 益 な助 言 もい た だ い た こ とに 感 謝 の意 を 表 わ す.東 京 工 業 大 学 の志 賀浩 二 先 生 に は,学 生 時 代 か ら現 在 に 至 る ま で,数 学 の楽 し さ,お

もし ろ さ につ い て,様

ざ まな 機 会 を 通 じ て御 教 示 頂 い てお り,心 か ら の謝 意 を表 した い. 砂田 利一

目

次

ま え が き ⅰ 記 号 表  ⅵ 緒 言  ⅶ 序 章  準備   §1 被 覆 空 間 の ガ ロア理 論     §2 G-バ ナ ッハ空 間 とG-ヒ ル ベ ル ト空 間     §3 有 限 群 の 表現   §4  平 坦 ベ ク トル束     §5  自己 共 役 作 用 素   §6  リー マ ン幾 何 よ りの 準 備   第1章

1 19   22 30  36 44

  リー マ ン 被 覆

  §7  リー マ ン被 覆 と閉測 地 線  

50

  §8  閉 測 地 線 の"類 体 論" 

53

  §9  閉測 地 線 とL-関 数 第2章

  55

 ラプラシ ア ン

  §10  リーマ ン多 様 体 上 の ラ プ ラ シ ァ ン

 61

  §11  平 坦 ベ ク トル束 と ラ プ ラ シ ア ン

 67

  §12  熱 方 程 式 とそ の 基 本 解(熱 核) 

73

  §13  熱 核 の 性 質(ユ ニ タ リ表 現 の 場 合) 

75

  §14  熱 核 の 構 成   §15  被 覆 多 様 体 上 の熱 核 の存 在   §16  ラ プ ラシ ア ン の 固有 値   §17  ラ プ ラ シ ア ンの スペ ク トラ ル ・ゼ ー タ関 数

 79  84   87  90

第3章 

非 正 曲率多様 体

  §18  非 正 曲 率 多様 体 上 の 閉 測地 線     §19  平 坦 多様 体 第4章

92   104

 跡公式

  §20  熱 核 に 対 す る跡 公 式

  112

  §21  初 等 的 跡 公式

  114

  §22  非 正 曲 率 多様 体 上 の跡 公 式(一 般 的 注 意)    §23  平 坦 多様 体 上 の 熱核 に対 す る跡公 式   §24  Epsteinゼ 第5章

ー タ関 数

115  117   120

  等 ス ペ ク トル 多 様 体

  §25  ラプ ラシ ア ン に関 す る等 スペ ク トル多 様 体  

122

  §26  等 スペ ク トル多 様 体 の例  

125

  §27  閉 測 地 線 の 長 さに 関 す る等 スペ ク トル 多様 体  

126

第6章 

Selbergの

ゼ ー タ関 数

  §28  上 半平 面 の 幾 何 学 

128

  §29  上 半平 面 に お け る跡 公 式  

133

  §30  Selbergゼ

136

第7章 

ー タ関 数  

基 本 群 の 表 現 と ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル

  §31  1次 元 表 現 と最 小 固 有 値     §32  リーマ ン面 の 閉 測地 線 の 分布 へ の応 用   §33  一 般 の ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 す るΔρの 最 小 ス ペ ク トル   §34  離 散 群 のamenability   §35  表 現 の 弱 包 含 とス ペ ク トラム  §36  有 限 リー マ ン被 覆 と ラ プ ラシ ア ンの 最 小 正 固 有 値 第8章 

143   145   150 157  162  164

関 連 す る話 題

 §37  Wiener測

度 と跡 公式

 §38  等 ス ペ ク トル平 坦 多 様 体

 169   171

  §39  コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体 のRay-Singerゼ   §40  有 限 有 向 グ ラ フ にお け るL-関   §41  非 有 向 グ ラ フ のL-関   §42  Gel'fandの

ー タ関 数  

数  

数(Iharaゼ

ー タ 関 数) 

問題  

174 180 187 194

付 録   A 

Wiener-IkeharaのTauber型

定理

  B  Hardy-LittlewoodのTauber型   C  非 ユ ー ク リ ッ ドFourier変

定理   換

  199 202  203

参考文献  

210

索 引 

217

記

#A: 

集 合Aの

表

濃度

Z={…,-2,-1,0,1,2,…}:  Q: 

号

整数の集合

有理数の集合

R: 

実数の集合

C: 

複 素数 の集 合

R+={x∈R;x≧0} R++={x∈R;x>0}  

:  円 周

Br(x)={y∈X;d(y,x)≦r}:  tr A: 

作 用 素Aの

Spect(A): 

作 用 素Aの

[G]={[σ]}:  Gσ={μ

距 離 空 間(X,d)の

群Gの

∈G;μ

心 をx,半

径 をrと

す る球

ス ペ ク トル の 集 合 元 の共 役 類 の 集 合

σ=σ μ}: 

IndGH(ρ): 

誘導表現

π1(X,a): 

位 相 空 間Xの,基

Eρ: 

中 の,中

跡

σの中心化群

点 をaと

す る基 本 群

表 現 ρに 付 随 す る 平 坦 ベ ク トル 束

L2(Eρ): 

Eρ の 二 乗 可 積 切 断 の 空 間

Δρ:  Eρ の 切 断 に 作 用 す る ラ プ ラ シ ア ン 1: 

自明 な 表 現

λ0(ρ):  Δρの ス ペ ク ト ラ ム の 下 限(ρ が 有 限 次 元 表 現 の 場 合 は,Δ L(s,ρ): 

L-関

数

ζ(s,ρ):  ス ペ ク トラ ル ・ゼ ー タ 関 数 kρ(t,x,y):  M: 

Δρの 熱 核

多 様 体Mの

普遍被覆

expx:TxM→M: 

指数写像

〓:  接 続(共

変 微 分)

R(X,Y)Z: 

曲 率 テ ン ソル

dυg: 

体 積要 素

vol(M):  DM: 

Mの Mの

直径

体積

ρの 最 小 固 有 値 と一 致)

緒

  こ こ で は,全

篇 に わ た って 積 極 的 に 用 い られ る数 論 的 ア イ デ ィア の輪 郭 を 読

者 に つ か ん で も ら うた め,代 る(詳

言

細 に つ い て は,高

数 体 の 整 数 論 の ご く簡 単 な 概 観 を 与 え る こ と に す

木[ⅶ],末

綱[ⅷ]を

参 照 せ よ).し

べ る こ と は 直 接 に は 本 論 の 内 容 と 係 わ る も の で は な い か ら,直

か し こ こで 述 ち に 第1章

に進

ん で も さ し つ か え は な い.   代 数 体,す

な わ ち 有 理 数 体Qの

び 類 体 論 は,19世

紀 か ら20世

有 限 次 代 数 拡 大 体 に おけ る イ デ ア ル 論 お よ

紀 に か け て,Kronecker,

高 木 ら に よ っ て 構 築 さ れ た 格 調 高 い 理 論 で あ る.そ

Dedekind,

Hilbert,

し て そ の 基 礎 に は,一

体 の 拡 大 に 関 す る ガ ロ ア 理 論 が あ る こ と は も ち ろ ん で あ る.K/kに 体kと

そ の 拡 大Kを

表 わ す こ と に し,G(K/k)を

と よ ば れ る.ガ

σ∈G(K/k)}と

ロ ア 理 論 に よ れ ば,全 部 分 体, 

部 分 群} に よ り与 え ら れ,

正 規 で あ る こ と と,HがGの

な わ ち 体 の 拡 大 が,群

正 規 部 分 群 と な る こ と は 同 値 で あ る.す

論 で 完 全 に 制 御 さ れ る の で あ る.

  群 論 と 代 数 体 の 理 論 の 間 の 密 接 な 関 係 は,代

な い(分 Ikをkの

ガ ロア群

単射

が 対 応 

て,よ

恒等

正 規 拡 大 あ る い は ガ ロ ア 拡 大,G(K/k)はK/kの

{L;Kの

L/kが

よ り代 数

同 型 σ:K→Kでk上

写 像 に な る も の 全 体 か ら 成 る 群 と す る.k={x∈K;σx=x,∀ な る と き,K/kは

般の

り明 ら か に な る.代 数)イ

数 体kの

数 体 の イ デ ア ル の理 論 を 通 し

整 数 環 をOkと

デ ア ル 全 体 か ら な る 群 を 表 わ す.積

イ デ ア ル 群 と よ ぶ.Dedekindの

よ りkの0で

は

は イ デ ア ル 積 に よ り定 義 し,

古 典 的 定 理 に よれ ば,Ikは

ル の 集 合 を 基 とす る 自 由 ア ー ベ ル 群 で あ る.I0kを Ikの 部 分 群 と す れ ば,Ik/I0kは

記 す.Ikに

素 イデア

主 イ デ ア ル か ら生 成 さ れ る

有 限 ア ー ベ ル 群 と な る こ とが 知 られ,こ

れ がk

の イ デ ア ル 類 群 と よば れ る も の で あ る.   K/kを

有 限 次 拡 大 と し よ う.kの

素 イ デ ア ルpに

対 し て,K内

のpを

含む

最 小 の イ デ ア ルpOKは

一 般 に は 素 イデ ア ル で は な く pOK=B1e1…Bgeg

の よ う に 素 イ デ ア ル の 積 に 分 解 さ れ る.eiはBiの {Bi}の (Ok/pは

中 の1つ

と し た と き(B￨pと

分 岐 指 数 と よ ば れ る.Bを

書 く),体OK/BはOk/pの

拡大体 であ り

実 際 有 限 体 で あ る),degreeB=[OK/B;Ok/p](=拡

大 の 次 数)と

お くと

と な る.e1=…=eg=1の

と きpは

pが 不 分 岐 の と き,拡   次 にK/kを

大K/kは

不 分 岐 で あ る と い い,す 不 分 岐 で あ る と い わ れ る.

ガ ロ ア 拡 大 と し よ う.こ

ア ル に 自 然 な 仕 方 で 作 用 す る が,も て σB￨pと GB={σ

な り,し

べ ての素イデアル

か もG(K/k)は

∈G(K/k);σB=B}と

の と き ガロ ア 群G(K/k)はKの

しB￨pな

集 合{B;B￨p}に

お く と,準

イデ

ら ば 任 意 の σ∈G(K/k)に

対 し

推 移 的 に 作 用 す る.

同型

GB→G((OK/B)/(Ok/p)) σ が 得 ら れ る.特

にpが

→σ:x(modB)→

σx(modB)

不 分 岐 な ら ば,こ

れ は 同 型 を 与 え,

σ(x)≡x#(Ok/p)  (modB),  を 満 た す σ∈GBが Frobenius置

x∈OK

一 意 的 に 存 在 す る.σ=(B￨K/k)と

換 と よ ぶ.定

GB=(B￨K/k)で

生 成 され る 巡 回 群, ,

(μB￨K/k)=μ(B￨K/k)μ-1, 

G(K/k)の

固 定 しB￨pと

な るBを

と 記 す こ と に す る.特

にK/kが

群 の と き,(p￨K/k)は

群G(K/k)の

  ガ ロ ア 拡 大K/kお

よ び 部 分 体K⊃L⊃kを

pのLに

μ∈G(K/k). 動 か し た と き,(B￨K/k)は

一 つ の 共 役 類 を 形 作 る こ と を 意 味 す る か ら,こ

と お く.kの

ア ー ベ ル 拡 大,す

の 共 役 類 を(p￨K/k)

な わ ちG(K/k)が

ア ーベ ル

元 で あ る.

不 分 岐 素 イ デ ア ルpとB￨pと

取 りG=G(K/k),H=G(K/L) な るKの

お け る 素 イ デ ア ル 分 解 をpOL=q1…qrと

τiB￨qiと な る よ うに選 び,こ

対 す る

義 か ら 明 ら か な よ うに

#GB=degreeB

最 後 の 関 係 式 は,pを

書 い てBに

素 イ デ ア ルBを す る.Gの

元

れ も 固 定 す る.degreeqi=fi,σ=(B￨K/k)と

固 定 し,

τ1,…,τrを お

くと

 (1)

は 分 離 和 と な る.こ

れ に よ りイデ ア ルの 分 解 とガ ロ ア群 の 群 論 的 構 造 が 密 接 に

関 連 し あ う こ と が 理 解 さ れ る.   次 に 代 数 体 の 類 体 論 を 説 明 し よ う.こ 論 で あ る が,叙

れ は 一 言 で 言 え ば,ア

述 を 簡単 に す る た め,不 分 岐 な 拡 大K/kの

ー ベ ル拡 大 の理

み を 考 え る(Hilbert

に よ る 絶 対 類 体 の 理 論 に 対 応 す る).   拡 大K/kと,B￨pと

な る素 イ デ ア ルが 与 え られ た と き NK/k(B)=p(degreeB)

と お き,NK/kを

準 同 型IK→Ikに

拡 張 す る.類

体 論 の 基 本 定 理(の

一部)は

次 の よ うに 述 べ られ る.   1)  指 数[Ik;I0k・NK/k(IK)]は 号 が 成 立 す る の はK/kが   2)  (Artinの (p￨K/k)は

越 え な い.こ

こで 等

ア ー ベ ル 拡 大 の と き の み に 限 る.

相 互 法 則)  も しK/kが

ア ー ベ ル 拡 大 な ら ば,対

応p→

を 誘導 す る.

同 型 

  3)  Ikの 部 分 群HがI0kを =Hと

拡 大 の 次 数[K;k]を

含 め ば,あ

る ア ー ベ ル 拡 大K/kでI0k・NK/k(IK)

な る もの が 存 在 す る .

  類 体 論 の 証 明 は 今 日数 多 く存 在 す る が,高 木 に よ り確 立 さ れ た 最 初 の 証 明 は "解 析 的"手 法 に よ る も の で あ っ た.す な わ ちRiemannの ビー タ 関 数 の 数 体 に お け る 一 般 化 で あ る,Dedekindゼ

ー タ あ る い はL-関

数の複素関数論的性

質 を 用 い る も の で あ る.   Riemannの Re

sが1よ

ゼ ー タ 関 数 に つ い て 簡 単 に 復 習 し よ う.複 り大 き い と き,級

は 絶 対 収 束 し,任

実数 部

数

意 の 正 数 εが与えら

れ た と きRe

し た が っ て,上

の 級 数 は 領 域Re

てRiemannの

ゼ ー タ 関 数 と よ ぶ.ζ(s)の

す る ヤ コ ビの 恒 等 式

素 数s∈Cの

s>1で

s≧1+ε

で 一 様 収 束 す る.

正 則 関 数 と なり,こ

れ を ζ(s)と 書 い

重 要 な 性 質 の 一 部 分 は,θ-級

数 に関

か ら 導 出 さ れ る(23節

参 照).す

な わ ち,Γ-関

を 結 び付 け る式

か ら,ζ(s)と

θ-級 数 

を 得 る が,積

分 区 間(0,∞)を(0,1),(1,∞)に

と書 くこ とに す る.第1項 ら,す べ て のs∈Cに

分 割 し て,右

辺を

は 被 積 分 関 数 がt↑ ∞ の とき指 数 的 に急 減 少 す るか

対 し て積 分 が 収 束 し て正 則 関 数 とな る こ とが わ か り,第

2項 に つ い て は 変 数 変 換t→t-1を

と な る.こ

数 の定 義 式

行 な う こ とに よ り

こ で ヤ コ ビ の 恒 等 式 を 適 用 す る と,こ

の積 分 は

と変 形 され,最 後 の 積 分 項 もsの 正則 関 数 とな り,結 局 次 の式 が成 立 す る.

Γ(s)-1は 全s-平

面 で 正 則 で あ る か ら,こ

接 続 さ れ る.Γ(s)は の み1位

ロ ー ラ ン 展 開 

の 極 を 有 す る こ と が わ か る.さ

う し て ζ(s)は 全 平 面 に 有 理 型 に 解 析 を 持 つ の で,ζ(s)はs=1に ら に 上 式 の 右 辺 の 変 換s→1-sに

よ る 不 変 性 に よ り,ζ(s)は 次 の 関 数 等 式 を 満 足 す る.

  ゼ ー タ 関 数 ζ(s)はEulerの

積表示

p:素

数

を 通 して,素 数 分 布 の 問題 に 関 連 す る.実 際 ζ(s)の解 析 的 諸 性質 は,有 名 な 素 数 定理

素数 に 導 く.素 数nを

数 定 理 の 精 密 化 で あ る 算 術 級 数 定 理 に よ れ ば,素

与 え た と き,環Z/nZの

数 の 分 布 は,自

各 可 逆 元 の 中 で 均 等 で あ る.す

と 互 い に 素 な 自 然 数 と し,π(x;a,n)=#{p<x;素

数pでa+knの

然

な わ ちaをn 形 の も の}

とお くと

と な り,極 のL-関

限 はaの

取 り方 に よ ら な い.算

術 級 数 定 理 の 証 明 に は,Dirichlet

数 を 用 い る 方 法 が 最 も古 典 的 で あ る.χ

表 現 と し,L-関

を 乗 法 群(Z/nZ)×

の1次

元

数L(s,χ)を

に よ り定 義 す る.χ

が 自 明 な 表 現 の と きに は,L(s,χ)はRiemannの

ゼ ー タ関

数 に 他 な ら な い.   L(s,χ)は 次 の 性 質 を 満 た す.   1)  Re

s>1でL(s,χ)は

  2)  L(s,χ)は 全s-平   3)  L(s,χ)はRe

絶 対 収 束 し,sの

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る.

s≧1で

零 を 持 た な い.

  4) χ が 自 明 で な け れば,L(s,χ)はRe   こ れ ら のL-関

がs=1で

s≧1で

数 の 性 質 は,Dirichlet級

留 数 φ(n)-1の

を 保 証 し て い る.非

正 則 関 数 に な る.

極 を 持 ち,こ

正 則.

数

れ を 除 い てRe

s≧1で

正 則 とな る こ と

減 少 関 数f(x),0≦x<∞,を

に よ り定 義 す れば,上

記 の 式 の 右 辺 は 積 分 

Wiener-IkeharaのTauber型

定 理(付

録A参

に 等 し い か ら, 照)を

適用 して

f(x)∼φ(n)-1x  を 得 る.こ

れ よ り簡 単 な 考 察 へ 経 て(9節

(x↑∞) 参 照),求

め る主 張

に 至 る.   乗 法 群(Z/nZ)× 数pがnの

は 円分 体 

のQ上

素 因数 で な けれ ば,

と な っ て い る.こ 対 し て,一

の こ とか ら,一

般 化 さ れ たL-関

般 の 代 数 体 の(不

分 岐)ガロ

こ で ρ:G(K/k)→U(n)はn次

タ リ群 へ の 準 同 型 と し,N(p)=#(Ok/p)と 中 の 共 役 類 で あ る が,行

お い た.右

こ で 和 はkの0で

て も,DirichletのL-関 そ の 結 果,算

([σ]⊂Gは

元 ユニ

辺 に お い て,(p￨K/k)は

列 式 を 取 っ て い る の で 定 義 に 矛 盾 は な い.

ρ が 自 明 な 表 現 の 場 合,L(s,ρ)はkのDedekindゼ

に 一 致 す る.こ

ア 拡 大K/kに

数(ArtinのL)を

に よ り定 義 す る こ と は 自 然 で あ る.こ

G(K/k)の

の ガ ロア 群 で あ る.ま た,素

ー タ関 数

な い 整 イ デ ア ル 全 体 に わ た る.L(s,ρ)に

つい

数 と 全 く同 様 の 性 質 が 成 立 す る こ と が 知 られ て い る.

術 級 数 定 理 の 一 般 化 で あ るChebotarevの

密度定理

共 役 類)が 証 明 さ れ る.

  Dedekindゼ

ー タ 関 数ζk(s)は,Riemannのゼー

位 の 極 を 持 つ が,そ

タ 関 数 と 同 様,s=1で1

の 留数 は h2r1+r2πr2R/(w￨d￨1/2)

に 等

し い.こ

こ にhはkの

は そ れ ぞ れkの

実,虚

の 判 別 式,Rはkの

類 数,す

な わ ち イ デ ア ル 類 群Ik/I0kの

の 共 役 の 個 数,wはkに 単 数 規 準 で あ る.こ

ζk(s)がk(の

同 型 類)を

決 定 す る か,と

現 在 い くつ か 反 例 が 知 ら れ て お り,そ

含 ま れ る ベ キ 根 の 個 数,dはk

の よ うに,Dedekindゼ

代 数 体 の 重 要 な 不 変 量 を 内 部 に 含 ん で い る が,こ

位 数,r1,r2

ー タ 関 数 は,

こ で 当 然 考え ら れ る 問 題 は,

い う 問 で あ る.こ

の 問 題 に つ い て は,

の 根 拠 と な る の は 次 の 命 題 で あ る.

  命 題(*)  H1,H2に

K/Qを

ガ ロ ア 拡 大 と し,Gを

対 応 す るKの

そ の ガ ロ ア 群 とす る.Gの

部 分 体 をk1,k2と

し た と き,次

部分群

の三条件は互いに 同

値 で あ る.   (ⅰ) ζk1(s)≡ζk2(s).   (ⅱ)  各 素 数pのk1,k2に す な わ ち,pはk1,k2の

お け る 分 解 は 同 じ で あ る. 中 で 同 時 に 分 岐 す る か,も

分 岐 し な け れば,pOk1=q1…qr,pOk2=q′1…q′r′ き,r=r′

か つ{degree

q1,…,degree

し

と した と

qr}={degree

q′1,…,degree

q′r′}と な

る.   (ⅲ)  Gの

任 意 の 共 役 類[σ]に #([σ]∩H

  こ の 命 題 の 証 明 に は,Gの   以 上,数

対 して 1)=#([σ]∩H2).

剰 余 類 分 解(1)が

用 い ら れ る.

論にお け る 主 要 な 事 実 を 簡 単 に 述 べ た が,本

数 論 的 対 象 に 対 応 す る 幾 何 学 的 類 似 物 で あ る.次 む あ た っ て,議

書 の骨 格 を 形 作 るの は

の 対 応 表 は,第1章

以降を読

論 の 進 行 中 に 現 わ れ る幾 何 学 的 対 象 が 数 論 の 何 に 対 応 す るか を

見 る の に 役 立 つ で あ ろ う.

  表 の 最 後 に 記 し たリー を 除 けば,す 時 点(1986年8月

べ てRe

マ ン 予 想 は,ζ(s)の

s=1/2と

現 在)で

は,ま

零 が,自

明 な も の(s=-2,-4,…)

い う直 線 上に あ る,と

い う も の で あ る が,現

だ そ の 正 否 は 確 定 し て い な い.

序章 準

  第1章

以降 の準 備 とし て,い

の 目的 で あ る.1節

では,体

備

くつ か の基 本 的 概 念 を確 立 す る こ とが,こ の 章

の ガ ロア理 論 の幾 何 学 的類 似 で あ る被 覆空 間 の 理

論 を丁 寧 に述 べ(参 考 文 献 と して,Greenberg[30]を

挙 げ てお く),2節

では,

離 散 群 の線 型 表 現 の簡 単 な事 柄 につ い て復 習 す る.特 に 有限 群 の 有 限 次 元 線 型 表 現 につ い て の基 本的 事 実 は,後 に 等 ス ペ ク トル 多 様 体 を構 成 す る際 重 要 な 役 割 を 果 た す の で,3節

で 詳 述 し た(Serre[87]).4節

で 扱 う平 坦 ベ ク トル 束 の

概 念 は,被 覆空 間 お よび 被覆 変 換 群 の 表 現 論 と密 接 に 関 連 し,本 書 に お け る重 要 な位 置 を 占 め る.第2章

で 定 義 す る こ とに な る ラ プ ラシ ア ンは,あ

る ヒル ベ

ル ト空 間 に 作 用 す る 自己 共 役 作 用 素 とな るが,そ の スペ ク トル理 論 が 本 書 の 課 題 であ るか ら,こ の た め5節 で は,自 己 共 役 作 用 素 の一 般 論 を略 述 す る(竹 之 内 [ⅱ]).最 後 の6節 で は,リ ー マ ン幾 何 の初 等 的 事 実 を復 習 す る(Milnor[70]).

  §1 被 覆 空 間の ガ ロア理 論   定 義1.1 

位 相 空 間 の全 射 連 続写 像 ω:X→X0が

覆 写 像 とい い,XをX0の

被 覆 空間 とい う:X0の

Uが 存 在 し て,逆 像 ω-1(U)はXの

次 の 条 件 を 満 た す とき被 各 点 に 対 し て そ の 開近 傍

開 集 合 の 分 離 和 ∪Viと

ω の制 限 はUの

上 へ の位 相 同 型 とな る.

こ の よ うなUは

一 様 に 被 覆 さ れ る 開 集 合 と呼 ば れ,開

トと 呼 ば れ る.

な り,各Viへ

集 合ViはU上

の

の シ ー

 例   実 数 直 線 か ら円 周 へ の写 像 ω:R→S1={z∈C;￨z￨=1}を  と定 義 す る と,明 らか に ω は被 覆 写 像 で あ る.  例  ω1:X→X0,ω2:Y→Y0を

二 つ の 被 覆 写 像 とす る と,積

写像

ω=ω1× ω2:X×Y→X0×Y0 も 被 覆 写 像 で あ る.特

に

ω:Rn→Tn=S1×

… ×S1, 

はn次

元 トー ラ ス の 上 へ の 被 覆 写 像 と

な る.   二 つ の 被 覆 ω1:X1→X0,ω2:X2→X0が →X2で

ω2°f=ω1を

像 と い い,特

に被 覆

ω:X→X0の

被 覆 変 換 の 全 体 は,Xの 変 換 群(ガ

ロ ア 群)と

同 値 で あ る と は,同

満 た す も の が 存 在 す る こ と を い う.こ

の と きfを

位 相 同 型 全 体 の な す 群 の 部 分 群 と な る が,こ い い,G(X/X0)と

同 型 で あ り,そ

のRnへ

同値写

そ れ 自身 へ の 同 値 写 像 を 被 覆 変 換 と い う. れを被覆

記 す.

  例   上 記 の 被 覆 写 像 ω:Rn→Tnの × … ×Zと

相 写 像f:X

被 覆 変 換 群 は 自 由 ア ー ベ ル 群Zn=Z の作用は平行移動

(x1,…,xn)→(x1+k1,…,xn+kn),(k1,…,kn)∈Zn に よ り与 え ら れ る.   定 義 よ り,二 →X0も

つ の 被 覆 ω1:X1→X0,ω2:X2→X1の

合成

被 覆 で あ り,G(X2/X1)はG(X2/X0)の

ω=ω1°ω2:X2

部 分 群 と な る こ とが わ か る .

ω2の こ と を ω の 部 分 被 覆 と い う.   以 下 記 号 と し て,写 (Y,y)と

像f:X→Yがf(x)=yを

満 た す と きf:(X,x)→

書 く こ とに す る.

  補 題1.2 

ω:(X,a)→(X0,a0)を

連 続 写 像 とす る.も

しYが

被 覆 と し,f:(Y,b)→(X0,a0)を

連 結 な ら ばf′:(Y,b)→(X,a)で

も の は 高 々 一つ し か 存 在 し な い.(f′

の こ と をfの

  証 明   も し 他 の リ フ トf″:(Y,b)→(X,a)が

任意 の ω°f′=fと な る

リフ トと い う.)

存 在 した と して

A={y∈Y;f′(y)=f″(y)} と お く と,AはYの

閉 集 合 で あ りb∈A.任

一 様 に 被 覆 さ れ る 開 近 傍Uを

含 ま れ る.こ の と きf′-1(V)∩f″-1(V)はAに Aは

意 の 点y∈Aを

取 る と ,f′(y)=f″(y)はU上

開 集 合 と な る こ と が わ か る.Yの

含 まれ るyの

取 りf′(y)を 含 む の あ る シ ー トVに 開 近 傍 で あ る か ら,

連 結 性 よ りX=A,f′=f″.(証

了)

  系1.2.1 

被覆

ω:X→X0に

有 に 作 用 す る.す

な わ ちXの

異 な るす べ ての

σ∈G(X/X0)に

  証 明   Vを

お い てXが

各 点 に 対 し そ の 開 近 傍Vが 対 しV∩

シ ー ト と しx=σy∈V∩

る か らx=yを

連 結 な ら,被

σV=φ σVと

得 る.σ:(X,x)→(X,x)お

は ω:(X,x)→(X0,ω(x))の

覆 変 換 群 はXに 存 在 し,単

位 元1と

と な る.

す る と ω(x)=ω(σy)=ω(y)と

な

よ び 恒 等 写 像Id:(X,x)→(X,x)

リ フ トに な っ て い る か ら 上 の 補 題 に よ り σ=Id

と な る.   被覆

固

(証 了)

ω:X→X0の

被 覆 変 換 群 は,ω

し 任 意 のx0∈X0に は ガ ロ ア)被

の 各 フ ァ イ バ ー ω-1(x0)を 保 つ が,も

対 し て ω-1(x0)上 の 作 用 が 推 移 的 で あ る と き 正 規(あ る い

覆 で あ る と い う.上記

の例

ω:Rn→Tnは

明 ら か に 正規 被覆 で

あ る.   一 般 に 位 相 空 間X上に群Gが を,標

準 写 像X→G＼Xに

る.Xが

位 相 同 型 と し て 作 用 す る と き,軌 道 空 間G＼X よ り商 位 相 を 入 れ て,位

連結 で あ る 正規被覆

G(X/X0)＼Xが,自

ω:X→X0に

然 な 写 像 に よ りX0に

相空 間 と考え る こ と に す

対 し,系1.2.1は,軌

道空間

位 相 同 型 と な る こ と を 示 し て い る.

逆に   補 題1.3 

Gを

位 相 空 間Xに

像 ω:X→X0=G＼Xは

固 有 に 作 用 す る 位 相 変 換 群 と す る と,標

正 規 被 覆 で あ り,Xが

  証 明   開 集 合V⊂Xを,V∩

σV=φ(σ

準写

連 結 な らG=G(X/X0).

≠1)と

な る よ う に 取 る と,ω:V→

ω(V)は 位 相 同 型 で あ り

(分離 和) と な る か ら,ω   補 題1.4 

は 被 覆 写 像 と な る.正

正 規 被 覆 ω:X→X0にお

f:Y→X0の

規 性 も 明 ら か.  い てXが

二 つ の リ フ トと す る.こ

(証 了)

連 結 と し,f′,f″:Y→Xを

の と きf″=σ°f′

と な る σ∈G(X/X0)

が 一 意 的 に 存 在 す る.   証 明   固 定 さ れ た 点y∈Yに f″(y)=σf′(y)と

な る σ∈G(X/X0)が

対 し ω°f′(y)=f(y)=ω°f″(y)で 一 意 的 に 存 在 す る.こ

(Y,y)→(X,f″(y))はf:(Y,y)→(X0,f(y))の

あ る か ら,

の と きf″,σf′:

リ フ トで あ り,補

題1.2に

f"≡ σf′を 得 る.    補 題1.5 

二 つ の 被 覆 ω1:X1→Xσ,ω2:X2→X1に

よ り

(証 了) お い てX2が

連 結 と仮

定 す る.こ

の とき

  (1)  合 成

ω=ω1°ω2が 正 規 と す る と,ω2も

  (2)  ω が 正 規 な と き,ω1が G(X2/X0)の

正 規 で あ る.

正 規 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,G(X2/X1)が

正 規 部 分 群 に な る こ と で あ る .こ

の と き 自然 な 同型

が 存 在 す る.   証 明   (1)を 示 す た め に,x,y∈X2を る.こ

の と き ω(x)=ω(y)だ

し て σx=yと

か ら,ω

な る.σ ∈G(X2/X1)を

ω2:X2→X1は

ω2(x)=ω2(y)と

示 せ ば よ い.明

ω:X2→X0のX1へ

ω2(y)=ω2(x)に

注 意 す れ ば,補

な る 任 意 の2点

の 正 規 性 に よ りあ る σ∈G(X2/X0)が

ら か に 二 つ の 写 像 ω2° σ,

の リ フ ト で あ る .こ 題1.2よ

とす 存在

り ω2° σ=ω2を

こ で ω2° σ(x)=

得 る .よ

っ て σ∈

G(X2/X1).   (2)を 示 す の に,ま G(X2/X0)のX1へ

ずG(X2/X1)がG(X2/X0)の

中 で 正 規 と 仮 定 し よ う.群

の 作 用 を 次 の よ う に 定 め る: σ・x=ω2(σx′),x∈X1

こ こ でx′ ∈X2は ω2(x′)=xと

ω2(x′)=xと

す る と, 

ら か.σ1,σ2をG(X2/X0)の を

∈X2を

ω2(y′)=σ2・xと

な る 点 と す る と,σ2・x=ω2(σ2x′)で

さ ら に1・x=xと

な る こ と は 自 明 で あ り,ω2の

ω2(V)上

σ・xは 合 成

でx→

と 一 致 す る か らG(X2/X0)はX1に

  (1.1)  が 得 られ る.こ

な る

あ るか ら

シ ー トV⊂X2を

取 る と,

位 相 同 型 とし て作 用 し てい る こ とが 確 か め

方 

G(X2/X0)は

辺が

対 し て σμσ-1

とな る こ とか ら明 二 つ の 元 と し,y′

ω2(x′)=xと

ら れ た.一

の 定 義 に お い て ,右

な るx′ の 取 り方 に よ ら な い こ と は,μ ∈G(X2/X1)に

=μ′∈G(X2/X1)と

点,x′

.

な る 点 とす る.こ

よ り,各

ω1の 被 覆 変 換 と し て 作 用 し て い る こ と に な り,準

元 σ∈

同型

G(X2/X0)→G(X1/X0) れ が 全 射 と な る こ と を 見 る た め に,G(X2/X0)が

ω1の 各 フ ァ

イ バ ー に 推 移 的 に 作 用 す る こ と を 示 そ う(こ の こ と は 同 時 に ω1の て い る).ω1(x)=ω1(y)と

し よ う.x′,y′

点 と す る と,ω(x′)=ω(y′)で な る.こ

の と き

∈X2を

あ る か ら,あ

正 規 性 も示 し

ω2(x′)=x,ω2(y′)=yと

る σ ∈G(X2/X1)に

な る

よ り σx′=y′

と

σ ・x=ω2(σx′)=ω2(y′)=y.

  準 同 型(1.1)の

核

は 明 ら か にG(X2/X1)で

あ る.よ

って 同 型

 

が 得 ら れ た.   逆 に ω1が 正 規 と仮 定 し よ う.こ

の と き 各 σ∈G(X2/X0)に

は ω の リフ トで あ る か ら 補 題1.4に

よ り ω2° σ=θ°ω2と な る θ∈G(X1/X0)が

一 意 的 に 存 在 す る .明 ら か に 対 応 σ 誘 導 し,そ

対 し て,ω2° σ,ω2

→ θは 準 同 型G(X2/X0)→G(X1/X0)を

の 核 は ち ょ う どG(X2/X1)で

あ る.よ

っ てG(X2/X1)はG(X2/X0)

の 正 規 部 分 群 で あ る.   被覆

ω:X→X0の

が 同 値 とは,同

(証 了) 二つの部分被覆

相 写 像f:X1→X2で

次 の 図式 を可 換 に す る もの が存 在 す る こ

とを い う.

  定 理1.6

(被 覆 に 対 す る ガ ロ ア 型 定 理)正

規被覆

ω:X→X0に

が 連 結 と す る.こ の と き ω の 部 分 被 覆 の 同 値 類  の 部 分 群Hの

全 体 の 間 に は,次

お い てX

の 全 体 と,G(X/X0)

の よ うな1対1対

応 が 存 在 す る:

[X1→X0]⇔H=G(X/X1). こ の 対 応 に お い て 正 規 部 分 群 は 正 規 部 分 被 覆 に 対 応 し て い る.   証 明   二 つ の 部 分 被 覆X1→X0,X2→X0が =G(X/X2).逆 空 間H＼X=X1を と 分 解 さ れ,部 =H

. 

同 値 な ら 明 ら か にG(X/X1)

も 容 易 に 示 され る.G(X/X0)の 考 え る と,標 分 被 覆H＼X→X0を

任 意 の 部 分 群Hに

対 し て 軌道

準 写 像X→G＼X=X0は,X→H＼X→G＼X 得 る が,補

題1.3に

よ りG(X/(H＼X)) (証 了)

  補 題1.7 

Xが

連 結 で あ る 被覆

ω:X→X0と,連

続 写 像f:Y→X0お

び ホ モ ト ピ ーF:Y×[0,1]→X0で,F￨Y×{0}=fと い る と す る.も

しfが

リ フ トf′:Y→Xを

[0,1]→Xで,F′￨Y×{0}=f′

よ

な る もの が 与 え ら れ て 持 て ば,Fの

リフ トF′:Y×

を 満 た す もの が 存 在 す る.

  証 明   二 段 階 に 分 け て 考 え る.   1. 

区 間[0,1]の

コ ン パ ク ト性 よ り,各

分 割0=t0
点y∈Yに

対 し て,開

存 在 し て,FはOy×[ti,ti+1]を

近 傍Oyと

点F(y,ti)の

一

様 に 被 覆 さ れ る 開 近 傍 の 中 に 写 す よ う に で き る.F￨Oy×[0,t1]は,F1:Oy× [0,t1]→Xに,F1￨Oy×{0}=f′￨Oyを

満 た す よ うに 一 意 的 に リ フ

ト さ れ る.

次 にF￨Oy×[0,ti]が,Fi:Oy×[0,ti]→Xに,Fi￨Oy×{0}=f′￨Oyと

な る

よ う に リ フ ト さ れ た と 仮 定 し よ う.F￨Oy×[ti,ti+1]をFi(y,ti)を に リ フ ト し,Fiと

接続 す

こ れ はF￨Oy×[0,ti+1]の

含 む シ ー ト

る こ と に よ りFi+1:Oy×[0,ti+1]→Xを リ フ ト と な っ て い る.帰

得 る が,

納 法 に よ り 結 局F￨Oy×

[0,1]は,F′y:0y×[0,1]→Xに,F′y￨Oy×{0}=f′￨Oyを

満 た す よ うに リ フ

ト さ れ る.   2. 

上 で 構 成 し たOy×[0,1]お

よ び0y′

F′y,F′y′は,(Oy∩Oy′)×[0,1]上 F′y￨{y1}×[0,1]お

致 す

×[0,1]上 る.実

で定 義 さ れ た

際y1∈Oy∩Oy′

よ びF′y′￨{y1}×[0,1]は,F￨{y1}×[0,1]の

F′y(y1,0)=f′(y1)=F′y′(y1,0)で 1.2か

で 一

あ る か ら,{y1}×[0,1]の

らF′y(y1,t)≡F′y′(y1,t).よ

連 結 性 に よ り,補 でF′y=F′y′.こ

し て 定 義 す れ ば,求

が 得 ら れ る.    系1.7.1 

ト

リ フ トで あ り,

っ て(Oy×Oy′)×[0,1]上

し て 上F′:Y×[0,1]をF′￨Oy×[0,1]=F′yと

リ フ

に 対 し て,

題 う

め る リフ ト (証 了)

被 覆

た と き,ω(a)=a0と

ω:X→X0お

よ び 写 像c:([0,1],0)→(X0,a0)が

な る 任 意 の 点a∈Xに

対 し て,cの

与 え られ リ フ トc′:([0,1],0)

→(X,a)が

一 意 的 に 存 在 す る.

  こ の 系 に よ り,被

覆

ω:X→X0に

ー ω-1(x0)の 濃 度 はx0の

が 孤 状 連 結 な ら ば,フ

ァイ バ

取 り方 に よ ら ず 一 定 で あ る こ とが わ か る .こ

の濃度

の こ とを あ の 被 覆 度 と い い,被 仮 定 の 下 に,ω

0,1に

覆 度 有 限 な 被 覆 を 有 限 被 覆 と い う.さ

が 正 規 で あ る た め に は,あ

被 覆 群G(X/X0)が   系1.7.2 

おいて

る 点x0の

フ ァ イ バー

らに 同 じ

ω-1(x0)に,

推 移 的 に 作 用 す れ ば 十 分 で あ る こ と も 結 論 で き る.

c0,c1:[0,1]→X0がc0(0)=c1(0),c0(1)=c1(1)を

関 し て ホ モ トー プ と仮 定 す る.こ

満 た し,か

の と きc0,c1の

c′1(0)と な る もの は,c′0(1)=C′1(1)を 満 た し,し

つ

リ フ トc′0,c′1でc′0(0)=

か も0,1に

関 し て ホ モ トー プ で

あ る.

  次 に 考 察 す る こ とは,基

本 群 と 被 覆 変 換群 の 間 の 関 係 で あ る.簡

の 定 義 を 復 習 し て お こ う.区 い い,c(0),c(1)を

そ れ ぞ れcの

は,c(0)=c(1)=aと と 定 義 す る.二

始 点,終

ら 位 相 空 間Xへ 点 と い う.基

な る 道 の こ と で あ る.道cの つ の 道c1,c2でc1の

c1・c2を,0≦t≦1/2の

点a∈Xを

は 基 点aの

と きc(t)=c2(2t-1)で 固 定 し た ホ モ ト ピ ー)類 を

基 点 と す る 閉 道 の ホ モ ト ピ ー 類 〈c〉の 集 合 に は,演

関 す る)基

本 群 と 呼 ぶ.Xが

取 り方 に よ ら な い.連

〈f°c〉 と お く と,準

な わ ち 基 点aを

ホ モ トー プ の と き,単

  次 の 補 題 は 系1.7.2の

π1(Y,b)が

〈c〉

〈c〉-1

れ を π1(X,a)と

記

群構 造

対 し てf*〈c〉= 誘 導 さ れ る.孤

状連

持 つ 任 意 の 閉 道 が 定 値 道ca(ca(t)

連 結 で あ る と い う.

直 接 的 結 果 で あ る.

算

孤 状 連 結 な ら,π1(X,a)の

続 写像f:(X,a)→(Y,b)に

同 型 写 像f*:π1(X,a)→

結 なXは,π1(X,a)={1}す ≡a)に

もつ 閉 道 と

始 点 が 一 致 す る と き,積c=

=〈c-1〉,〈c1〉 〈c2〉=〈c1・c2〉に よ り群 の 構 造 が 入 る が,こ し,Xの(aに

道 と

逆 道c-1はc-1(t)=c(1-t)

終 点 とc2の

関 す る ホ モ ト ピ ー(0,1を

単に基本群

の 連 続 写 像cを

と きc(t)=c1(2t),1/2≦t≦1の

定 義 す る.cの0,1に で 表 わ す と,aを

間[0,1]か

  補 題1.8 

Xが

→ π1(X0,a0)は   Xが

連 結 な被 覆

ω:(X,a)→(X0,a0)に

孤 状 連 結 で あ る よ うな 被 覆

π1(X0,a0)→

ω-1(a0)を

トc′ でc′(0)=aと

系1.7.2に

対 し て,ω*:π1(X,a)

単 射 で あ る. ω:(X,a)→(X0,a0)に

次 の よ う に 定 義 す る.〈c〉

な る もの を取 っ て

よ り φ(〈c〉)は代 表cの

φ(〈c〉)=c′(1)と

像

φ:

取 りcの

リフ

お く.

取 り方 に よ ら な い.さ

に よ り φ は 全 射 で あ る.φ(〈c1〉)=φ(〈c2〉)と の と き に 限 る か ら,φ

対 し て,写 ∈ π1(X0,a0)を

ら にXの

孤状連結性

な る の は 〈c1〉 〈c2〉-1∈Imageω*

は全 単 射

を 誘 導 す る.   補 題1.9 

次 の よ う な 図 式 を 考 え る.

ωは 被 覆 写 像,X,Yは

連 結,局

所 孤 状 連 結 と仮 定 す る.こ の と きfが

リフ ト

f′を 有す るた め の必 要 十 分 条 件 は Imagef*⊂Imageω*

と な る こ と で あ る.   証 明   必 要 性 は 明 ら か で あ る.十 へ の 道cを

取 り,X0に

c′と し て,f′(y)=c′(1)と

定 義 す る.仮

と を 保 証 す る.ω°f′=fは こ の た めf′(y)∈Vと

分 性 を 示 す に は,y∈Yに

お け る 道f°cの,aを

な る よ う に 取 れ る こ と を 証 明 す る.Vは て よ い.ω(V)=Uと

し,U′

定 は,f′(y)がcの

明 ら か だ か ら,f′

な る 近 傍V⊂Xに

対 し てbか

始 点 と す るXに

らy

お け る リ フ トを

取 り方 に よ ら な い こ

が 連 続 とな る こ とを 示 せ ば よい .

対 し て,yの

近 傍U′

をf′(U′)⊂Vと

初 め か ら弧 状 連 結 な シ ー ト と仮 定 し

∋yを,f(U′)⊂Uと

な る弧 状 連 結 開 集 合 とす る.

 ⅱ

y′∈U′ に 対 し て,yを る と,f°(c・c1)の

始 点 と しy′ を 終 点 と す る 道c1を

リフ ト は,f°cの

と な る も の の 積c′ ・c′1に 等 し い が,c′1の 終 点 はVに と な る.よ

含 ま れ る の で,f′(y′)∈V (証 了)

Xが

規 で あ り,そ

の 被 覆 変 換 群 は π1(X0,a0)に

単 連 結,弧

  証 明   各 σ∈G(X/X0)に

状 連 結 な ら ば,被

で あ る.ψ

覆写像

ω:X→X0は

対 し て,Xの

道 でc′(0)=a,c′(1)=σaと

なる も

の 取 り方 に よ ら ず σ の み に よ っ て

ω°c′ 〉 と お く と,ψa:G(X/X0)→

π1(X0,a0)は

が 全 射 と な る こ と を 見 る た め に,ω(a′)=a0と

意 に 取 り,次

常に正

同 型 と な る.

の をc′ と す る と,〈 ω°c′ 〉∈ π1(X0,a0)はc′ 定 ま る.ψa(σ)=〈

考 え

リ ブ トc′1でc′1(0)=f(y)

っ てf′(U′)⊂V. 

  系1.9.1 

単 射 準 同型

な る 点a′ ∈Xを

任

の 図 式 を 考 え る.

こ の 図 式 に 対 し て 補 題1.9の ω°σ=ω

取 り,積c・c1を

リフ トc′ とf°c1の

条 件 は 明 ら か に 成 立 し て い る.従

と な る 連 続 写 像 σ:X→Xが

を 満 た す 連 続 写 像 σ′:X→Xが と な る か ら σ∈(X/X0).こ

存 在 す る.同 存 在 し,補

っ て σ(a)=a′,

様 に σ′(a′)=a,ω°σ′=ω

題1.1に

よ り σ° σ′=σ′° σ=Idx

の こ と は ψ が 全 射 で あ り,同

時 に ωが 正 視 被 覆

と な る こ と を 示 し て い る. 

(証 了)

  注 意  ω(a′)=a0を 満 た す 点a′ ∈Xに 対 し て,c(0)=a,c(1)=a′ とな る道cを 取 れ ば,ψa′(σ)=〈ω°c〉ψa(σ)〈ω°c〉-1が,す べ て の σ∈G(X/X0)に 対 して 成 立 す る.   系1.9.2 ⅰ) 

補 題1.7に

お い てYが

単 連 結 な ら ば,常

に リ フ トf′が 存 在

す る.

の 双 方 が 単 連 結,局

) 

な 被 覆 空 間 な ら ば,位

相 同 型f:(X,a)→(X′,a′)で

所 弧状 連 結

ω′°f=ω と な る も の が 唯

一 つ 存在 す る.   証 明 は 明 ら か で あ ろ う.   定 義1.10 

Xが

系1.9.2ⅱ)は,普   注 意  補 題1.9に

単 連 結 で あ る 被 覆 ω:X→X0を,(X0の)普

遍 被 覆 と い う.

遍 被 覆 が 存 在 す れ ば 本 質 的 に 唯 一 つ で あ る こ と を 示 し て い る. お い て,fが

被 覆 写 像 と仮 定 す る と,も し リ フ トf′が 存 在 す れ ばf′

も被 覆 写 像 で あ る.こ

の こ とは,普

遍 被覆 ω:X→X0が

与 え られ た とき,X0の

の 被 覆 は ωの 部 分 被 覆 とな る こ と を 示 し て い る(た だ し,空

任意

間 は す べ て局 所 弧 状 連 結 と

仮 定 す る).   位 相 空 間 が 与 え ら れ た と き,一 な い.存

般 には そ の上 の普 遍被 覆 が存 在 す る とは 限 ら

在 を 保 証 す る 条 件 を 述 べ よ う.

  定 義1.11 

位 相 空 間Xは,次

わ れ る:各

点x∈Xに

と す る 任 意 の 閉 道 は,Xの   定 理1.12 Xが

の 条 件 を 満 た す と き,半 局 所 単 連 結 で あ る と い

対 し て あ る 開 近 傍Uが

存 在 し て,Uの

中 で 定 値 道cxに(xを

連 結,局

所 弧 状 連 結,半

中 のxを

基点

固 定 し て)ホ モ トー プ で あ る.

局 所 単 連 結 な ら ば,Xは

普遍被覆

を 有 す る.  例  連 結 な 位 相 多 様 体,CW-複 Tnの

普 遍 被 覆 空 間 はRnで

  証 明   点a∈Xを

体 は 定 理1.12の

条 件 を 満 た す.ト

ー ラ ス

あ る.

固 定 し,aを

始 点 とす る道 の 空 間

X={c:[0,1]→X;c(0)=a} を 考 え る.Xに

次 の よ うな 同 値 関 係 を 入 れ よ う.

  c1∼c2⇔c1(1)=c2(1),し Xを

か もc1とc2は0,1に

関 し て ホ モ トー プ.

こ の 同 値 関 係 の 同 値 類 全 体 の 集 合 と し,「c」 に よ りcを 含 む 同 値 類 を 表 わ

す こ と に す る.写

像 ω:X→Xを,ω(「c」)=c(1)に

う に し て 位 相 を 導 入 す る.c∈Xとc(1)∈Vと

よ り定 義 し,Xに な るXの

開 集 合Vに

〈c,V〉 に よ り「c・c1」 と 表 わ さ れ る 元 全 体 の 集 合 と し よ う.こ =c(1)と

な るV内

位 相 をXに

の 道 全 体 を 動 く も の と す る .{〈c,V〉}を

入 れ る.実

際{〈c,V〉}が

むVの り,ω

こ でc1はc1(0)

開 集 合 の 基 とす る し

⊂ 〈c1,V1〉 ∩ 〈c2,V2〉 と な る こ と

れ は 容 易 に 示 さ れ る.ω(〈c,V〉)は

弧 状 連 結 成 分 で あ る か ら,ω

対 し て,

開 集 合 の 基 と な る こ と を 見 る に は,も

「c3」 ∈ 〈c1,V1〉 ∩ 〈c2,V2〉 な ら ば 〈c3,V1∩V2〉 を 確 か め れ ば よ い が,こ

次の よ

ω(「c」)=c(1)を 含

は 連 続 開 写 像 で あ る.Xの

弧状連結性 よ

は 全 射 で あ る.

  ω が 被 覆 写 像 と な る こ と を 見 よ う.x∈Xに

対 し て,弧

を,xを

で 定 値 道cxに

基 点 と す るV内

る よ うに と る.こ

の とき

の 任 意 の 閉 道 がX内

状 連 結 開 集 合V∋x ホ モ トー プに な

と な り,右

辺 は 分 離 和 で あ る.実

点 と しc(1)を

終 点 と す るV内

プ に な る.Vの る.明

際〈c1,V〉

取 り方 か らc′1,c′2はホ モ トー プ で あ る か ら,「c1」=「c2」 →Vが

ω(「c・c1」)=ω(「c・c2」)と す る と,c1,c2の ホ モ トー プ,従

  次 にXが

とな

単 射 と な る こ と を 見 よ う.

終 点 は 一 致 し,再

びVの

取 り方 に よ

っ て 「c・c1」=「c・c2」.

単 連 結 で あ る こ と を 示 す.ま ず 連 結 性 に つ い て は,定 値 道 の 類 「ca」

と 「c」∈Xを

結 ぶ 道 がs→c(s)=「cs」

に よ り与え ら れ る か ら よ い.こ

cs(t)=c(st),  と お く,cはcの と す るX内

始

の 道c′1,c′2が存 在 し てc1・c′1とc2・c′2はホ モ トー

ら か に ω(〈c,V〉)=V.ω:〈c,V〉

り,c1,c2は

∩〈c2,V〉 ∋ 「c」 と す る と,xを

s,t∈[0,1]

リ フ トに な っ て い る こ と に 注 意.次

の 閉 道 と し よ う.c=ω°c1と

cを 取 る と,リ

お き,こ

フ トの 一 意 性 に よ りcはc1と

「c」=c(1)=a=「ca」.よ

っ てcとcaは

こで

にc1を,a=「ca」 のcに

対 し て上 で 定 義 し た にcは

閉 道 と な り,

ホ モ トー プ に な り,c1はX内

で定値道

に ホ モ トー プ と な る こ とが わ か る(π1(X,a)→

一 致 す る.特

を基 点

π1(X,a)の

単 射 性 に よ る;補

1.8). 

題

(証 了)

  X,Yを

定 理1.12の

仮 定 を 満 た す 位 相 空 間 と し よ う.ωX:(X,a)→(X,a),

ωY:(Y,b)→(Y,b)を,そ

れ ぞ れX,Yの

を 任 意 の 連 続 写 像 と す る.合 に リフ トさ れ る.す

普 遍 被 覆 と し,f=(X,a)→(Y,b)

成f° ωXは,補

な わ ち,次

題1.9に

よ り,f:(X,a)→(Y,b)

の 図 式 を 可 換 に す るfが

存 在 す る(fの

普遍被

覆 へ の リフ ト とい う).

一 方

,系1.9.1に

よ り,π1(X,a),π1(Y,b)は

し て 作 用 す る が,fの トfの

間 に は,次

σ はf° ωXの

θ∈ π1(Y,b)が

被覆変換群 と π1(Y,b)と,リ

フ

の 関 係 が 成 立 す る:

f(σx)=f*(σ)f(x),  実 際,f°

そ れ ぞ れX,Yに

基 本 群 へ の 誘 導 準同 型f*:π1(X,a)→

σ∈ π1(X,a),x∈X.

リ フ トで あ る か ら,補

存 在 す る.基

題1.4に

よ り,f° σ=θ °fと な る

本 群 と 被 覆 変 換 群 の 同 一 視 の 仕 方(系1.9.1の

証 明

を 見 よ)を

反 省 す れ ば,θ=f*(σ)と

な る こ と は 明 ら か で あ る.

  次 に 基 点 を 固 定 し な い 場 合 を 考 察 し よ う.任 f:X→Yを

普 遍 被 覆 へ の リ フ トと す る.こ

意 の 写像f:X→Yに の と き,準

対 し て,

同型

ρ:G(X/X)→G(Y/Y) が存在 して f(σx)=ρ(σ)f(x),  が 成 立 す る.ρ は リ フ トfを フ ト とす る と,f′=θ°f,θ σ

σ∈G(X/X),x∈X

一 つ 選 ぶ ご と に,唯

∈G(Y/Y),と

他の リ

書 け る か ら,f′ に 対 応 す る 準 同 型 は,

→ θρ(σ)θ-1に よ り与 え ら れ る.す

類[ρ]∈Hom(G(X/X),G(Y/Y))/∼

一 つ 定 ま り,f′ をfの

な わ ち,f:X→Yは,準 を 唯 一 つ 決 定 す る.こ

同型 の 共 役 こで

ρ1∼ρ2⇔[ρ1]=[ρ2] ⇔

あ る θ∈G(Y/Y)に σ∈G(X/X)に

と 定 義 す る.X,Yの り,対

よ り,ρ1(σ)=θ ρ2(σ)θ-1がす べ て の

対 し て 成 立.

基 点a,bを

固 定 し て お け ば,系1.9.1の

応f→[ρ]∈Hom(π1(X,a),π1(Y,b))/∼

[ρ]=[f*]を

で,f(a)=bの

と き に は

満 た す も の が 得 ら れ た こ と に な る.

  補 題1.13  f0,f1と

直後の注意に よ

し,対

ホ モ トー プ な 二 つ の 写像f0,f1:X→Yの 応 す る 準 同 型 を ρ0,ρ1と す る.こ

  証 明   F:[0,1]×X→Yを,f0,f1を

リ フ トを そ れ ぞ れ の と き[ρ0]=[ρ1].

結 ぶ ホ モ ト ピ ー とす る.Fの

覆 へ の リ フ トF:[0,1]×X→Yを

取 り,対

普遍 被

応 す る 準 同 型 を ρ と す る:

F(t,σx)=ρ(σ)F(t,x) 制 限F￨{0}×X,F￨{1}×Xは,そ 同 型 は ρで あ る か ら,上

れ ぞ れf0,f1の

リ フ トで あ り,対

[ρ1]=[ρ]=[ρ2].    系1.13.1 

対 応f→[ρ]は,写

={[θ];θ

∈ π1(Y)}に

対応[ρ]→[ρ(1)]は

全単射

ら,

の 中 へ の 写 像 を 誘 導 す る.

場 合 を 考え よ う.π1(S1)=Zで よ り π1(Y)の

(証 了)

像 の ホ モ トピ ー 類 の 集 合[X,Y]か

準 同 型 の 共 役 類 の 集 合Hom(π1(X),π1(Y))/∼   特 にX=S1(=R/Z)の

応 す る準

に 述 べ た こ とに よ り

あ る か ら,[π1(Y)]

元 の 共 役 類 の 集 合 を 表 わ す こ とに す る と,

を 与 え る.   補 題1.14 

写 像[S1,Y]→[π1(Y)](f→[ρ(1)])は

  証 明   閉 道c:S1→Yの

全 単 射 で あ る.

リ フ トをc:R→Yと

す る と,

c(t+1)=θc(t), t∈R を 満 た す θ∈ π1(Y)が

一 意 的 に 定 ま り,対応c→[θ]∈[π1(Y)]の

写 像[S1,Y]→[π1(Y)]が,上

で 構 成 し た も の に 他 な ら な い.こ

射 で あ る こ とは 明 ら か で あ る(cが る こ と に 注 意).単

基 点 をbと

射 性 を 示 そ う,閉

誘導す る の写 像 が 全

す る 閉 道 とす れ ば,〈c〉=θ

道c0,c1:S1→Yの

とな

リ フ トc0,c1が

c0(t+1)=θc0(t) c1(t+1)=μ-1θ

μc1(t)

を 満 足 し て い る と す る.c:[0,1]→Xをc(0)=c0(0),c(1)=μc1(0)と と し,I2=[0,1]×[0,1]の {1}×[0,1]か

境 界

らYへ

な る道

∂I2=[0,1]×{0}∪[0,1]×{1}∪{0}×[0,1]∪

の 写 像fを f(s,0)=c(s) f(s,1)=θc(s) f(0,t)=c0(t) f(1,t)=μc1(t)

に よ り定 義 す る.Yは

単 連 結 で あ る か ら,fはI2に

は[0,1]×S1か

らYへ

る か ら,c0,c1は

ホ モ トー プ で あ る. 

  次 のVan

拡 張 さ れ る.合 成f=ωY°f

の 写 像 を 誘 導 し,f￨{0}×S1=c0,f￨{1}×S1=c1と

Kampen-Seifertの

定 理 は,位

な (証 了)

相 空 間 の 基 本 群 を 計 算 す る うえ で

重 要 な も の で あ る(以 下 述 べ る こ と に つ い て の 詳 し い 内 容 はMassey[65]を

参

照 の こ と).   定 理1.15 

Xを

位 相 空 間,U1,U2⊂Xを

も 弧 状 連 結 と 仮 定 す る.さ

ら にX=U1∪U2と

の 基 点 と 考え る こ と に す る.任 ρ1,ρ2,ρ3が 与 え ら れ た と し よ う.

 (1.2)

意 の 群Hと,次

弧 状 連 結 な開 集 合 と し,U1∩U2 し,a∈U1∩U2を

固 定 し てX

の 図 式 を 可 換 に す る準 同型

こ こ で φ1,φ2は 包 含 写 像U1∩U2⊂U1,U1∩U2⊂U2か で あ る.こ

ら誘 導 され た 準 同 型

の とき次 の図 式 を 可 換 に す る 準 同型

ρ:π1(X)→Hが

一意的に存

在 す る.

こ こ で ψi:π1(Ui)→   特 にU1∩U2が る.こ

π1(X)は,包

含 写像Ui⊂Xか

単 連 結 な と き,図

式(1.2)の

の 場 合 の 定 理 の 内 容 を 抽 象 化 し て,次

  定 義1.16 

二 つ の 群G1,G2の

G=G1*G2お

よ び 準 同 型 φi:Gi→G(i=1,2)の

任 意 の 群Hお

よび任 意 の準 同型

同 型fが

定 ま り,次

ら定 ま る準 同 型 を 表 わ す . 可 換 性 の 条 件 は常 に満 た さ れ

の 定 義 を 述 べ て お こ う.

自 由積 と は,次

の 条件 で特 徴 づ け ら れ る群 組(G,φ1,φ2)の

ψi:Gi→H(i=1,2)に

対 し て,一

単 連 結 な ら ば 

  自 由 積 は 常 に 存 在 し,そ

の 普 遍 的 定 義 か ら 一 意 に 定 ま る.ま

と な る.特

意的 に準

の 図 式 を 可 換 に す る.

  し た が っ て,U1∩U2が

G1,…,Gkの

こ と を い う:

自 由 積G1*…*Gkも

を 得 る. た二つ以上の群

同 様 に 定 義 さ れ,

に Fk=Z*…*Z 

を 階 数 がkの

自 由 群 と い う.自

(k個 の 自 由 積) 由 群 の 特 徴 づ け と し て,次

の補 題 が 知 られ て い

る.   補 題1.17 

Sをk個

の 元 か ら な る 有 限 集 合,Fを

が 与 え ら れ て い る と す る.も

し 任 意 の 群Hお

次 の 図 式 を 可 換 に す る 準 同 型f:F→Hが Fkと

同 型 で あ る.

群 と し,写

よび写 像

像 φ:S→F

ψ:F→Hに

一 意 的 に 決 ま る な ら ば,Fは

対 して , 自由 群

 

Gを

有 限 生 成 な 群 と し,S={a1,…,ak}を

し て,自

由 群F=Fkと

取 る.包

含 写 像S⊂Gをι

写 像 φ:S→Fを,上

含 むFの

関 係 式 の 完 全 系 と よ ば れ る.Gは り,同

φ を 満 た す 準 同 型f:F→G

単 位 元 以 外 の 元 を 関 係 式 と い う.関

し{rα}を

最 小 正 規 部 分 群 がKerfと 生 成 元 の 集 合Sと

型 を 除 い て 完 全 に 決 定 さ れ る.(S,{rα}α)をGの

"語"r(a1,…,ak)で

書 け る こ と に 注 意 し て,Gの G=〈a1,…,ak￨rα(a1,…,ak)=1,α

と 書 く こ と も あ る.Gの 取 れ た と き,Gは   Hを

表 示 と し て,関

一 致 す る と き,

関 係 式 の 完 全 系{rα}に 表 示 と い う.Fの

よ 元 は

表示を ∈A〉

係 式 の完 全 系 が有 限 集 合 とな る もの が

持 つ 群 と し,Hの

の α に 対 し て 成 立 し て い た と す る.こ 定 義 し た 写 像 ψ:S→Hは,一   定 理1.15は,い

中 でrα(b1,…,bk)=1が

の と き,ψ(ai)=bi(i=1,…,k)と

意 的 にGか

らHへ

すべて お いて

の 準 同 型 に 拡 張 さ れ る.

くつ か の重 要 な 系 を 生 じ る. 定 理 の 中 で,さ

 ⅰ)  ψ1:π1(U1)→

π1(X)は

 ⅱ)  Kerψ1はImageφ1を   系1.15.2 

係式の集合

有 限 表 示 を 持 つ とい う.

生 成 元{b1,…,bk}を

  系1.15.1 

対

述 の 補 題 の 性 質 を 満 た す よ うに

に よ り記 す と,ι=f°

が 一 意 的 に 決 ま る.Kerfの {rα}α ∈Λ は,も

そ の 生 成 元 の 集 合 とす る.Sに

ら にU2が

単連 結 と仮 定 す る と

全 射. 含 む 最 小 の 正 規 部 分 群.

次の図式

に おい て,φ2が 同 型 な らば ψ1も 同型 で あ る.   証 明は,い ず れ も形 式 的 な 意 味 で 容 易 で あ る.   例1.18 

Xを

連 結 な1次 元 有 限CW-複

う こ と も あ る(41節

参 照).Xは

体 と す る(非 有 向有 限 グ ラ フ とい

次 の よ うな 図 形( 

k個 の 円

周 の 各 基 点 を 一 点 と し て 同 一 視 し た も の)と

ホ モ ト ピ ー 型 が 同 じ で あ る.

(k=5の

特 にk=2の

場 合)

場合

と お け ば,π1(U1)=π1(U2)=π1(S1)=Zと

な り

は 一 点 に 可 縮 で あ る か ら,π1(S1∨S1)=Z*Z=F2.同

り,Xの

基 本 群 は 自由 群 とな る.

 例1.19 

一 般 に 有 向閉 曲面 は,次 の よ うに構 成 で きる.閉 円 板Dの

下 図 の よ うに4g個

境界を

の孤 で分 割 す る.

(g=2の

同 じ 名 前 を 付 け た 辺 を,向 れ る.こ

とな

様 に 

の と き,2g個

場 合)

き も込 め て 同 一 視 す る こ と に よ り,曲 の 辺a1,…,ag,b1,…,bgは,X内

交 わ る円周 の 和 に な る.従

っ て境 界 ∂DのX内

面Xが

得 ら

で は 一 点x0の

みで

に お け る像 は 

と な る.

U1=X-{0} U2=Dの

内 部 のXに

お け る像

で生

と お く と,π1(U2,x1)={1}, 

成 さ れ る 自 由 群(た だ し,αi,βiは

そ れ ぞ れ 円 周ai,biに

よ っ て 代 表 さ れ る類),

と な る.一 は

方,図

の よ うな 基 点 をx1と

す る 閉 道cを

考 え る と,π1(U1∩U2,x1)

〈c〉で 生 成 さ れ る 無 限 巡 回 群 で あ り

と な る,よ

っ て 系1.15.1に

を 持 つ.gはXの

よ り π1(X,x0)は

表 示

同 相 類 を 完 全 に 決 定 し,Xの

群H1(X,Z)はZ2gと

同 型 で あ り,円

基 とす る.{[ai],[bi]}は

周ai,biの

モ ロジ ー

ホ モ ロ ジ ー 類[ai],[bi]を

標 準 基 と よ ば れ る.

  例1.20 M1,M2を3次

元 以 上 のC∞-多

体 を 取 り除 き(n=dimM1=dimM2),そ

様 体 と す る.M1,M2か の 境 界(n-1次

得 ら れ る 多 様 体 をM1#M2と

書 い て,M1とM2の

上 の 図 に お い てU1∩U2は =(1)(n≧3)に

種 数 と よ ば れ る.ホ

球 面Sn-1と

らn次

元 球 面)を

元球

同一 視 し て

連 結 和 と よ ぶ.

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る か ら,π1(Sn-1)

注 意す れ ば π1(M1#M2)=π1(M1)*π1(M2)

を 得 る.   例1.21 

Gを

  まずMを る.α

一 般 の コ ン パ ク ト4次 元C∞-多

∈ π1(M)の

よ り,cの ×D3に

有 限 表 示 を 持 つ 群 と す る.コ

ンパク

ト4次

元C∞-多

様 体M

とな る も の を 構 成 し よ う.

で, 

代 表 と し てC∞-単

様 体 で,向

純 閉 曲 線cを

法 ベ ク トル 束 は 自 明 で あ る か ら,cの 微 分同 相 で あ る(Dnはn次

き付 け 可 能 な もの とす

取 る.Mの

向 き 付 け可 能 性

十 分 小 さ い 管 状 近 傍NはS1

元 球 体 を 表 わ す).

∂N=S1×S2=∂(D2×S2) に 注 意 し て,M′=M＼(Nの 得 ら れ る 多 様 体 をM1と

内 部)とD2×S2の す る.《 α》 に よ り,α

境 界  を 含 む π1(M)の

を 同一 視 し て 最小正規部分

群 を 表 わ した と き, 

とな る こ とを 示 そ う.次 の 可 換 図 式

に おい て

M=M′

N=S1×D3と

∪N, 

な る こ と か ら,準

型 写 像 と な っ て い る こ と に 注 意 す れ ば,系1.15.2を を 得 る(本 来Van

Kampen-Seifertの

る主 張 だ か ら,正 確 に はM′,Nを

π1(M′)→ π1(M1)は

適 用 し て 

定 理 は 開 被 覆{U1,U2}に

に,可 換 図 式

な る こ と か ら,系1.15.1を

全 射 で あ り,Kerψ′1はImageφ′1を

群 と な る こ と が わ か る.と

対 す

少 し大 き く取 って 開集 合 に お きな お す こ と

に よ り考 察 す れ ば よ い.以 下 の 議 論 で も同 様).次

に お い て,π1(D2×S2)={1}と

同 型 φ2は 同

こ ろ が,次

適 用 し て,ψ′1: 含 む 最 小 の正 規 部 分

の 図式

は 可 換 であ るか ら,同 型

を 得 る.   最 初 の 問 題 に 戻 ろ う.G=〈a1,…,ak￨r1(a)=1,…,rn(a)=1〉 し てS1×S3のk個

の 連 結 和 を 取 る:M0=(S1×S3)#…#(S1×S3).こ

π1(S1×S3)=Zで

あ る か ら 

し て 上 記 の 操 作 r2(a),…rn(a)に =Gと

な るMを

と す る.M0と

を 行 な

(例1.18).M0に

う と 

対 し て も 同 様 の こ と を 行 な え ば,結 構 成 で き る.

の と き 対 し て,α=r1(a)と

と な るM1が

得 ら れ る.

局 π1(M)=Fk/《r1,…,rn》

  §2 G-バ

ナ ッ ハ 空 間 とG-ヒ

  こ の 節 を 通 し て,Gは と し,Vは りVの

ル ベ ル ト空 間

高 々 可 算 個 の 元 よ りな る 群(以 後 簡 単 に 離 散 群 と い う)

特 に 断 ら な い 限 り,複

ノ ル ム,GL(V)に

素 数 体 上 の バ ナ ッ ハ 空 間 とす る.‖ ・‖Vに よ

よ りVの

有 界 作 用 素 で そ の 逆 も存在 して 有 界 に な

る も の 全 体 か ら な る 群 と す る.   Vお

よ び 準 同 型 ρ:G→GL(V)の

も しす べ ての

σ∈G,υ

(ρ,V)はGの

組(ρ,V)をGのV上

∈Vに

ついて

言 う.Vが

にV=Cの

距 離 表 現 ρ はV上

  G1-バ ナ ッ ハ 空 間(ρ1,V1)お らV2へ

対 し て ρ(σ)≡IdVと と き ρ=1と

特 に ヒ ル ベ ル ト空 間 の 場 合,G-バ

と よ ば れ,等

ム

ナ ッ ハ 空 間 と い わ れ る.表

べ て の σ∈Gに

ナ ッ ハ 空 間 は 自 明 と よ ば れ,特

き,V1か

‖ρ(σ)υ ‖V=‖υ‖Vが 成 立 し て い る と き,

等 距 離 表 現 と い わ れ,VはG-バ

単 に ρ と 記 す こ と も あ る.す

へ の 表 現 と い う.

現 を

な るG-バ

書 い て 自明 な表 現 と

ナ ッ ハ 空 間 はG-ヒ

ル ベ ル ト空 間

の ユ ニ タ リ表 現 と よば れ る. よ びG2-バ

ナ ッ ハ 空 間(ρ2,V2)が

与 え られ た と

の 有 界 線 型 作 用 素 全 体 か ら な る 空 間Hom(V1,V2)は,ノ

ル

‖T‖=sup{‖Tυ‖V2;‖υ‖V1≦1} を 持 つ バ ナ ッハ 空 間 で あ る が,直

積G=G1×G2の

に よ り定 義 す る こ とに よ り,G-バ 書 く.ρ1=ρ2=ρ   二 つ のG-バ べ て の σ∈Gに る.も

ナ ッ ハ 空 間 と な る.以

の 場 合 に はHom(ρ1,ρ2)をEnd(ρ)と ナ ッ ハ 空 間(ρ1,V1),(ρ2,V2)に

し 等 距 離 同 型 で あ るG-準

書 く こ と に す る.

対 し て,Φ ∈Hom(V1,V2)は,す

同 型 が 存 在 す れ ば,V1,V2はG-同

同 型 とい わ れ 型 と いわ

と 書 く.

G-バ

ナッ ハ 空 間 の 重 要 な 例 は,次

を 測 度 空 間 と し,各p(1≦p≦

の よ うな 置 換 表 現 か ら 構 成 さ れ る.(X,m)

∞)に 対 し てLp(X)=Lp(X,m)をX上

可 積 な 関 数 か ら な る バ ナ ッハ 空 間 と す る.GがXに G-不

後 ρ=Hom(ρ1,ρ2)と

対 し て Φ°ρ1(σ)=ρ2(σ)° Φ を み た す と き,G-準

れ, 

 

表 現 ρを

変,す

なわ ち

作 用 し,し

のp乗 か も 測 度mが

が す べ て の σ∈Gお

よ び 可 積 分 関 数fに

は 作 用(ρ(σ)f)(x)=f(σ-1x)に

つ い て 成 立 し て い る と す る と,Lp(X)

よ りG-バ

ナ ッハ 空 間 と な る.特

にL2(X)はG-

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.   G上

の 測 度mと

して

に よ り定 義 され る もの を 考 え る と,明

らか にmはGの

右 作 用 に 関 して 不 変 で あ る.よ ってLp(G)は

に よ り,二

通 りにG-バ

自分 自身 へ の 左 お よび

作用

ナ ッ ハ 空 間 と考え ら れ る .ρlをGの

左 正 則 表 現,ρrを

右 正 則 表 現 と い う.ρl,ρrは 写 象

に よ りG-同

型 で あ る.

  正 則 表 現(p=2)は,も 分 群 と し て,ρ をHの

は,内

っ と 一 般 の 誘 導 表 現 の 特 別 な 場 合 で あ る.H⊂Gを ヒ ル ベ ル ト空 間V上

の ユ ニ タ リ表 現 と す る.線

積 

部

型空 間

お よび 作 用 (ρ*(σ)f)(σ′)=f(σ′ σ)

に よ り,G-ヒ

ル ベ ル ト空 間 に な る.(ρ*,V*)を

ρ*=IndGH(ρ)と

書 く.H={1},ρ=1の

正 則 表 現 に 他 な ら な い.同 が,表

ρ のGへ

の誘 導 表 現 と い い ,

と き,IndG{1}(1)はGのL2(G)上

の右

様 に 左 正 則 表 現 を 一 般 化 し た 誘 導 表 現 も考え ら れ る

現 と し て は 同 値 な もの で あ る.

  後 の た め に,G-バ ナ ッハ 空 間Lp(G)を,次 一 般 の バ ナ ッハ空 間 とした と き

の よ うに 一 般 化 し て お く.Vを

と お い て,G-バ

得 ら れ る(p=∞

ナ ッ ハ 空 間(ρr,Lp(G,V))が

の と き に は

,

 と お く.Vが G-ヒ

ヒ ル ベ ル ト空 間 の 場 合(ρr,L2(G,V))は

ル ベ ルト 空 間 と な る こ と に 注 意).A∈End(ρr)に

対 し て,a∈L∞(G×G,

End(V))を a(σ,μ)υ=(Aδυ,μ)(σ) に よ り定 義 す る.こ

こ でδυ,μ ∈Lp(G,V)は

に よ り定 義 す る も の とす る.こ

の と き,一

般 のf∈Lp(G,V)に

対 して

が 成 立 す る.   補 題2.1  G-準

対 応A→aは,End(ρr)か

ら(ρr,L∞(G,End(V))へ

のG×

同 型 と な る.

  証 明  p<∞

に よ り,線

と す る(p=∞

の 場 合 も 同 様 に 証 明 さ れ る).不

型 写 象A→aは,End(Lp(G,V))か

の 有 界 作 用 素 と な る こ と が わ か る.一

よ り,A→aはG×G-準   以 下G-ヒ 部 分 空 間W,す

らL∞(G×G,End(V))へ 方

同 型 と な る. 

(証 了)

ル ベ ル ト空 間 の 場 合 を 考 え る.G-ヒ な わ ち ρ(G)W⊂Wと

交 補 空 間  間 が{0}お

等式

な るVの もG-部

よ びVし

か 存 在 し な け れば,表

な ユ ニ タ リ表 現 の 同 値 類 をGと

書 く.Gが

現 は 常 に1次

元 と な る こ と が 知 ら れ て い る.

  {Vn}n=1を

高 々可 算 個 のG-ヒ

も 自 然 な 方 法 に よ りG-ヒ

ル ベ ル ト空 間(ρ,V)のG部 分 空 間 に 対 し て,Wの 分 空 間 で あ る.も

しG-部

現 ρは 既 約 と い わ れ る.Gの 可 換 な と き,Gの

直 分空 既約

既 約 ユ ニ タ リ表

ル ベ ル ト空 間 と し た と き

ル ベ ル ト空 間 に な る.VはG空

間 の 族{Vn}の

直和

と い わ れ る.特

に す べ て のVnが

を 簡 単 にkV0(kは  G-ヒ

同じG-ヒ

指 数 の 集 合{n}の

ル ベ ル ト空 間V1,V2に

ル ベ ル ト空 間V0で 濃 度;1≦k≦

対 し て,テン

∞)と

ソ ル 積 

あ る と き,  書 く. は,代

数的 テ ン

ソル積 を 次 の よ うな 内積 に よ り完 備 化 した ヒルベ ル ト空 間 と して 定 義 され る.

も 自 然 な 方 法に よ りG-ヒ はG-ヒ

ル ベ ル ト空 間 と な る. 

ル ベ ル ト空 間 と し て 同 型 で あ る.も

しV2がG-ヒ

お よび  ル ベ ル ト空 間 と

して 自明 な らば (G-同 型) と な る.   補 題2.2 

Vを

に 対 し て,G-同

任 意 のG-ヒ

ル ベ ル ト空 間 とす る.GのL2(G)の

右正則表現

型

が 存 在 す る. に 注 意.写 象 

 証 明  まず 

に よ り定 義 す る と,Φ は 等 距 離 同 型 とな り(実

を 

しか も

際 

が 成 立 す る か らΦ はG-同

型 で あ る. 

  注 意   G-ヒ ル ベ ル ト空 間Vに

(証 了)

し て,写 像 τ:V→L∞(G,V)を τ(υ)(σ)=ρ(σ)υ

に よ り定 義 す る と,τ はG-準

同 型 とな り,し か も等 距 離 写 像 とな る.

  §3  有 限 群 の 表 現   離 散 群Gが 下,Gは

有 限 位 数 を 持 つ と き に は,表

有 限 群 と し,Gの

表 現 と い え ば,有

現 の 精 密 な 理 論 が 構 築 さ れ る.以 限 次 元 ヒル ベ ル ト空 間 上 の 表 現 を

意 味 す る も の とす る.   表 現(ρ1,V1),(ρ2,V2)が

与 え ら れ た と き,2節

で 定 義 し たG×Gの

表現

 ⅲ)

Hom(ρ1,ρ2)を,G×Gの

対 角 線 集 合{(σ,σ)∈G×G}に

と 考 え る こ と に し よ う.V=Hom(V1,V2)に 〈φ1,φ2〉=tr(φ*2φ1)  が 入 り,こ

こ こで

れ に 関 し てVはG-ヒ

対 し て,χ

表現

は 内積 (φ*2:V2→V1は

φ2の 共 役)

ル ベ ル ト空 間 に な る.明

ρ*=Hom(ρ,1),V*=Hom(V,C)と

  表 現(ρ,V)に

制 限 し て,Gの

らか に

す る.

ρ(σ)=trρ(σ)と

お い て,χ

ρを(ρ,V)の

指 標 と い う.

次 の 性 質 は 直 ち に 確 か め ら れ る.  ⅰ )  ⅱ )

 ⅳ)  ⅴ )  ⅵ)  ⅶ )

  補 題3.1 

表 現(ρ,V)に

対 し て 

とお くと

 証 明 線型写像P:V→Vを

に よ り定 義 す る と,PがVGの

上 へ の 直 交 射 影 作 用素 に な る こ とか ら, 

(証 了)   系3.1.1  (指 標 の 直 交 関 係 式Ⅰ).Gの

  証 明   等 式 

表 現(ρ1,V1),(ρ2,V2)に

に 上 の 補 題 を 適 用 す れ ば よ い.

  補 題3.2(Schur)(ρ1,V1),(ρ2,V2)をGの

  証 明   T∈Hom(V1,V2)Gと 間 で あ る か ら,V1,V2の Ker

T=V1,Image

対 して

す る とKer 既 約 性 よ り,Ker

T={0}の

既 約 表 現 とす る と

T,Image

Tは

T={0},Image

ど ち ら か が 成 立 す る.前

  (証 了)

共 にG-不

変部分空

T=V2あ

るいは

者 の 場 合 は(ρ1,V1)

 で あ る か ら,  と し て,Tの

他 に 

が 存 在 し た と す る.こ

の と き 作 用 素(T′)-1T:V1→V1の υ(≠0)と

零 で な い 固 有 値 を λ,そ の 固 有 ベ ク トル を

す る と(T-λT′)υ=0.も

か らT=λT′.よ

ち ろ んT-λT′

∈Hom(V1,V2)Gで

あ る

っ てHom(V1,V2)G=CT. 

  ベ ク トル 空 間Map(G,C)の

内積

(証 了)

〈・￨・ 〉を

に よ り定 義 す る.   系3.2.1  は内積

(ρ1,V1),…,(ρN,VN)を

同 値 で な い 既 約 表 現 と す る と,χ ρ1,…,χρN

〈・￨・ 〉 に 関 し て 正 規 直 交 系 と な っ て い る.特

に#G≦dim

Map(G,C)

=#G<∞.   系3.2.2

 証 明  〓 を 示 せ ば よい.一 般 に(ρ,V)を

既約表現の直和

 {ρ1,…,ρN}=G,miは

ρ に お け る ρiの 重 複 度,

に 分 解 し た と き  …,mN}で

(ρ,V)の

決 定 さ れ る か ら,こ

の こ と は χρが(ρ,V)の

同 値 類 は{m1,

同 値類 を 決定 す る こ と

を 示 し て い る.    Gは

(証 了)

有 限 位 数 で あ る か ら,L2(G)=Map(G,C)と

  補 題3.3 

Gの

右 正 則 表 現(ρr,Map(G,C))の

な る こ とに 注 意. 指標は次の よ うに 与 え られ

る.

  証 明   Map(G,C)の

に よ り定 義 す る.こ

基 底{eσ}σ∈Gを

の と き ρr(μ)eσ=eσμ-1と な り,μ≠1の

に 関 す る 行 列 の 対 角 成 分 は 零.よ   系3.3.1 ⅰ) 

と き は ρ(μ)の{eσ}

っ てχρr(μ)=0. 

正則 表現 ρrは 次 の よ う に 既 約 分 解 さ れ る.

(証 了)

 ⅱ)

よ りⅰ)を 得 る.ⅱ)に

 証 明 

つ いては

よ り明 ら か.    補 題3.4(指

(証 了) 標 の 直 交 関 係 式Ⅱ) 

Gの

共 役 類[σ],[μ]に

対 して

が 成 立 す る.   証 明  Map(G,C)の

に よ り定 義 す る.す

部 分 空 間〓 を

な わ ち 

べ て〓 の 元 で あ る.逆

は,各

に〓 は,指

お よ び 既 約 表 現(ρ,V)に

共 役 類上一定

な 関 数 で あ る.指標

はす

標 全 体 で 張 られ て い る こ と を 見 よ う. 

対 し てT∈End(V)を

に よ り定 義 す る と  と な り,T∈End(V)G.(ρ,V)の

既 約 性 か らT=λI(λ

べ て の 既 約 表 現 の 指 標 と 直 交 す る と 仮 定 し よ う.こ =0よ

り,λ=0,す

な わ ちT=0を

得 る.こ

れ は,任

∈C).φ

が す

の と きtr(T)=#G〈χρ￨φ 意 の 表 現(ρ,V)に

〉

対 し

て

と な る こ と を 示 し て い る.特

を 得,φ(σ)=0(∀

に(ρ,V)と

し て 正則 表 現 を 選 べ ば

σ)と な る こ とが わ か る.し

を 正 規 直 交 基 底 と す る ベ ク トル 空 間 と な る.特

が 成 立 す る か ら,φ

と して

た が っ て〓 は,既 に 任 意 の 

約表現の指標 に対 して

とな る もの を取 れ ば

と な っ て,命

題 の 等 式 が 導 か れ る. 

(証 了)

  次 に 誘 導 表 現 の 指 標 を 計 算 し よ う.HをGの 現 と す る.誘

導 表 現 ρ*=IndGH(ρ)の

部 分 群 と し,(ρ,V)をHの

に よ り与 え ら れ る.{σi}ri=1をH＼Gの

代 表 系,す

と な る も の と す る.{e1,…,en}をVの

正 規 直 交 基 と し て,{φij}(i=1,…,r,

j=1,…,n)⊂V*を,次

×#(H＼G)に

と な り,次   補 題3.5 

な わ ち 

(分 離 和)

の よ う に 定 義 す る.

こ の と き 

と な る か ら,容

が 示 さ れ る.換

表

作 用 す る ベ ク トル 空 間 は

言 す れ ば,{φij}はV*の

注 意).従

易に

正 規 直 交 基 で あ る(dim

V*=dim

って

の 補 題 を 得 る. 誘 導 表 現 ρ*=IndGH(ρ)の

指 標 は,次

式 に よ り与 え ら れ る.

V

  系3.5.1 

ρ*=IndGH(1),す

な わ ちH＼G上

のGの(右)置

換 表現に対応す る

線 型 表 現 の 指標 は

に よ り与 え ら れ る.こ

こ でGσ={μ

∈G;μ

σ=σ μ}は,σ

のGに

お け る 中心

化 群 を 表 わ す.  証明 写像

は 全 射 で あ り,φ(μ1)=φ(μ2)⇔

μ1∈μ2Gσ,に 注 意 す れ ば,容

易に

が 示 さ れ る.    系3.5.2 

(証 了)

Gの

二 つ の 部 分 群H1,H2に

対 し て,GのH1＼G,H2＼G上

の置

換 表 現 か ら 導 か れ る 線 型 表 現 が 同 値 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Gの 共 役 類[σ]に

任意の

対 して #([σ]∩H

1)=#([σ]∩H2)

が 成 立 す る こ と で あ る.   定 義3.6 

(G,H1,H2)に

  注意   H1,H2がGの   以 下,共

対 す る 上 記 の 系 の 条 件 を,共

中 で共 役 な らば,(G,H1,H2)は

役 条 件 を 満 足 し,H1,H2がGの

を い くつ か 述 べ る が,そ

Gerst[35]) G=(Z/8Z)×

し いゼー

だ し(Z/8Z)×

四 つ の 元{1,3,5,7}に

は,環Z/8Zの

例

タ関 数 を持 つ 代 数体 の構 成

参 照 せ よ).

・(Z/8Z)を

(c,d)=(ac,ad+b)(a,c∈(Z/8Z)×,b,d∈Z/8Z)に と す る.た

明 らか に共 役 条 件 を満 たす.

中 で 共 役 で な い(G,H1,H2)の

れ ら は す べ て,等

に 利 用 さ れ た も の で あ る(緒 言 の 命 題(*)を   例3.7(I.

役 条 件 と い う.

半 直 積,す

な わ ち(a,b)・

よ り定 義 し た 積 を 持 つ 群 可 逆 元 全 体 か ら な る乗 法 群 で あ り,

よ り代 表 さ れ る.H1,H2と

採 用 す る.

H1={(1,0),(3,0),(5,0),(7,0)}

し ては 次 の よ うな部 分 群 を

H2={(1,0),(3,4),(5,4),(7,0)}. Gの

共 役 類 は 次 の もの で 尽 され る:

[(1,0)]={(1,0)} [(1,1)]={(1,1),(1,3),(1,5),(1,7)} [(1,2)]={(1,2),(1,4),(1,6)} [(3,0)]={(3,0),(3,2),(3,4),(3,6)} [(3,1)]={(3,1),(3,3),(3,5),(3,7)} [(5,0)]={(5,0),(5,2),(5,4),(5,6)} [(5,1)]={(5,1),(5,3),(5,5),(5,7)} [(7,0)]={(7,0),(7,2),(7,4),(7,6)} [(7,1)]={(7,1),(7,3),(7,5),(7,7)} こ れ を 利 用 し て,(G,H1,H2)が H1,H2がGの

共 役 条 件 を 満 た す こ と は 直 接 確 か め ら れ る.

中 で 共 役 で な い こ と は,も

し(a,b)H1(a,b)-1=H2と

す ると

は奇数 は偶数 と な り矛 盾 を 生 ず る こ と よ り知 ら れ る.   例3.8(F.

Gassmann[26]) 

る.a,b∈{1,…,6}に こ と に す る.こ

対 し て(a,b)に

文 字{1,…,6}の

よ り,a,bの

対 称 群,と

す

み を交 換 す る互 換 を 表わ す

の とき

H1={1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)} H2={1,(1,2)(3,4),(1,2)(5,6),(3,4)(5,6)} とお く と,(G,H1,H2)は

共 役 条 件 を 満 た す.こ

れ を 確 か め るた め,対

共 役 類 の分 類 に つ い て簡 単 に 復 習 し よ う.一 般 に  と お く.各

σ∈Gに

対 し て,〈 σ〉 を σ で 生 成 さ れ たGの

中 の 巡 回 群 と し,X

上 の 〈σ〉-作用 に よ る 軌 道 分 解

を 考 え る.ki=#Xiと

お き,k1≦k2≦…

≦ksと

Δ(σ):k=k1+…+ks, k1≦… が 得 ら れ る.こ

す る と,kの ≦ks

の と き 次 の 同 値 性 は 容 易 に 示 さ れ る. Δ(σ1)=Δ(σ2)⇔[σ1]=[σ2].

称群 の

と し,X={1,…,k}

分 割

し か もkの 6の

任 意 の 分 割 Δ に 対 し て,Δ(σ)=Δ

と き,分

とな る も の が 存 在 す る.特

にk=

割 は 次 の も の で 尽 さ れ る.

6=1+…+1=1+1+1+1+2=1+1+1+3=1+1+4=1+5=1+1+2+2 =1+2+3=2+4=2+2+2=3+3. 単 位 元 以 外 の σ∈H1∪H2に 確 か ら れ る.よ

対 応 す る 分 割 は1+1+2+2と

っ て す べ て の σ∈H1∪H2(≠1)は #([σ]∩H

そ の 他 の σ≠1に

1)=#([σ]∩H2)=3.

対 し て は#([σ]∩H1)=#([σ]∩H2)=0.よ

は 共 役 条 件 を 満 た す.H1,H2が H2は

な る こ とは 容 易 に

互 いに 共役 とな り

っ て(G,H1,H2)

共 役 で な い こ と は,H1は{5,6}を

ど の 元 も 固 定 し な い こ と(σH1σ-1=H2な

らH2は

固 定 し,

σ{5,6}を

固 定)か

ら

明 ら か で あ る.   例3.9(K. p>2が

Komatsu[50]) 

共 通 の 指 数(す

の と す る.集

H1,H2を

同 じ 位 数 を 持 つ 群 と し,さ

な わ ち 任 意 の σ∈Hiに

合 と し てH1,H2を

に 左 か ら 作 用 し, 

対 し て σp=1)と

同 一 視 し,Xと と み な せ る.各

で あ る か ら,対

らに 素 数

な って い る も

書 く こ と に す る.各HiはX μ∈Hi(≠1)に

対 し て 

応 す る分 割 は

Δ(μ):#X=p+…+p と な る.よ

って

そ の 他 の μ≠1に

つい ては #([μ]∩Hi)=0

よ っ て(G,H1,H2)は

.

共 役 条 件 を 満 た す.

  上 の 性 質 を 満 足 す るH1,H2と

し て,次

H1=(Z/pZ)3 

(直 積)

H2=(Z/pZ)3に

の 例 が あ る.

次 の 群 構 造 を 入 れ た もの

(k,m,n)・(k′,m′,n′)=(k+k′-nm′,m+m′,n+n′). 単 位 元 は(0,0,0),(k,m,n)の A=(0,1,0),B=(0,0,1)と さ らに

逆 元 は(-k-nm,-m,-n)に お く とABA-1B-1=(1,0,0).よ

よ り 与 え ら れ る. っ てH2は

非 可 換.

 ⅲ

とな るか らH2の

指 数 はp.も

型 で な い か らGの

ち ろ ん この例 に お い て はH1,H2は

群 とし て 同

中 で非 共 役 で あ る.

  §4  平 坦 ベ ク トル 束   本節 を 通 して,位 相空 間は 常 に 連 結,局 所 孤 状 連 結,半 局 所 単 連 結 と仮 定 す る.後 に必 要 とな る のは,特 に 多 様 体 の 場 合 で あ る.   バ ナ ッハ 空 間Vを

固 定 し よ う.ま ず 一 般 の(バ ナ ッハ 計 量 を 持 つ)ベ ク トル

束 の定 義 を復 習 す る.   定義4.1 

位 相空 間E,X,連

続 写 像 π:E→X,Xの

お よび 同相 写 像 

の 族 で,次

与 え ら れ た と き,(E,π,X,{Oa,Φa})を,Vを 座 標 束 と い う(π-1(Oa)をE￨Oaと

開 被 覆{Oa}(a∈A) のⅰ)∼ⅲ)を

み たす ものが

フ ァ イ バー と す る ベ ク トル 束 の

書 く こ と も あ る).

 ⅰ) (局 所 自 明 性)  次 の 図 式 は 可 換.

 ⅱ)  各 フ ァ イ バ ーEx=π-1(x)上 Φa,x:Ex→Vを

に バ ナ ッ ハ 空 間 の 構 造 が 与 え ら れ,写

Φa(e)=(x,Φa,x(e))(e∈Ex)を

像

満 た す も の と し て 定 義 す れ ば,

Φa,xは バ ナ ッ ハ 空 間 の 等 距 離 同 型 で あ る . ) 

の と き,x∈Oa∩Obに

く と,Φab:Oa∩Ob→GL(V)は

対 し て 

連 続 写 像.

  も う一 つ の 座 標 束(E,π,X,{O′α,Φ′α})に {Oα,Φα})が 再 び 座 標 束 に な る と き,二 同 値 関 係 に よ る 同 値 類(E,π,X)を   XがC∞-多 と,C∞-ベ

様 体 の と き,上

とお

対 し,も

し(E,π,X,{Oa,Φa}∪

つ の 座 標 束 は 同 値 で あ る と い い,こ

の

ベ ク トル 束 と い う.

の 定 義 に お い て 連 続 性 を す べ てC∞-級

ク トル 束 の 概 念 が 得 ら れ る.以

に 変更 す る

下 述 べ る こ と に つ い て も,す

べ て

C∞-級 の 範 疇 で 平 行 に 論 ず る こ とが で き る.   定 義4.2 

座 標 束(E,π,X,{Oa,Φa})に

常 に 局 所 定 値 写 像(Oa∩Obの い わ れ る.

お い て,Φab:Oa∩Ob→GL(V)が

各 連 結 成 分 上 で 定 値)と な る と き,平

坦 であ る と

  上 記 の 座 標 束 の 同 値 性 の 定 義 に お い て,(E,π,X,{O′α,Φ′α})が 平 坦 で,(E,π, X,{Oa,Φa}∪{O′α,Φ′α})も 平 坦 な 座 標 束 と な る と き,二 で あ る と い い,そ

つ の平 坦 座 標 束 は 同 値

の 同 値 類 を 平 坦 ベ ク トル 束 と い う.自明

標 束(X×V,π,X,{X,IdX×V})(π:X×V→Xは,X成 か ら,平

束E=X×Vは,座 分 へ の 射 影)を

持つ

坦 ベ ク トル 束 に な る.

  (E1,π1,X1),(E2,π2,X2)を,そ ク トル 束 と し よ う.次

れ ぞ れV1,V2を

フ ァ イバ ー と す る 平 坦 ベ

の 性 質 を 持 つ 連 続 写 像 Ψ:E1→E2を

平坦 な 束写像 と

い う.   (1)  連 続 写 像 ψ:X1→X2が

存 在 し て π2°Ψ=ψ°π1.

を座 標 束 とす る と, 

 (2) 

に対 して

は 局 所 定 値.

は 有 界 作 用 素 で あ り,    特 に,X=X1=X2,ψ=IdX,Ψ はE2の

が 包 含 写 像E1⊂E2と

な っ て い る と き,E1

部 分 平 坦 束 と よ ば れ る.

  定 義4.3 

ψ=Idxに

対 し て,(E1,π1,X),(E2,π2,X)の

が 存 在 し,Ψ:(E1)x→(E2)xが (E1,π1,X),(E2,π2,X)は(平   c:[a,b]→Xを と きcに

任 意 のx∈Xに 坦 束)と

間 の平 坦 束 写 像 Ψ

対 し て 等 距 離 同 型 の と き

し て 同 値 で あ る と い う.

道 と し,(E,π,X)をX上

の 平 坦 ベ ク トル 束 とす る.こ

の

沿 う平 行 移 動 Pc:Ec(a)→Ec(b)

を 次 の よ うに 定 義 す る.   a)  cの 像 が あ る 一 つ の 座 標 近 傍Oaに と 定 義 す る.も

しcの

入 る 場 合: 

像 が 他 のObに

に よ りPc=Φb,y-1° Φb,xと な り,Oaの   b)  [0,1]の

細 分0=t0
c([ti-1,ti])⊂Oaiと

な る よ うに す る.こ

入 る 場 合, 

取 り方 に は よ ら な い こ と が わ か る. よ びOa1,…,OaNを

の と きci=c￨[ti-1,ti]と

適 当 に 取 り, お い て,Pcを

Pc=PcN…Pc1 に よ り定 義 す る.Pcが,細

分 お よ びOaiの

取 り方 に よ ら ずcの

み で定 ま る こ

と は 明 ら か で あ ろ う.Pcは

等 距 離 同 型 とな っ て い る こ と に 注 意.さ

ら にPc-1

=(Pc)-1

.

  補 題4.4 

c1,c2:[0,1]→Xがc1(0)=c2(0),c1(1)=c2(1)を

関 し て ホ モ ト ー プ と す る.こ

の と きPc1=Pc2.

  証 明   F:[0,1]×[0,1]→Xをc0,c1を

結 ぶ ホ モ ト ピ ー と す る:F(0,t)=

c0(t),F(1,t)=c1(t).[0,1]×[0,1]の …
細 分0=s0<s1<…<sM=1,0=t0
よ び 座 標 近 傍O

≦i≦M,1≦j≦N)を

満 た し,0,1に

aij(1

適 当 に と る

こ と に よ っ てF([si-1,si]×[tj-1, tj])⊂Oaijと

で き る.こ

の と き右

図 の よ うな 道c1,c2,c′1,c′2をと る と Pc2・Pc1=Pc′1・Pc′2. こ れ を 利 用 し て,帰

納 法 に よ り主

張 が 示 さ れ る.    a∈Xを

(証 了)

基 点 と す る 基 本 群 π1(X)=π1(X,a)は,フ

ァ イ バ ーEaに

次の よ う

に 作 用 す る.

こ の 作 用 に 関 し て,Eaは

π1(X)-バ ナ ッ ハ 空 間 に な る .π1(X)の

し て,ρ を 平 坦 ベ ク トル 束Eの(基 が 平 坦 束 と し て 自 明 な ら ば,ρ   補 題4.5 

Ψ を(E1,π1,X1)か

の 中 の 道 と す る.こ

の と き,E1上

点aに

関 す る)ホ

等距離表現 と

ロ ノ ミー 表 現 と よ ぶ .E

は 自 明 な 表 現 と な る. ら(E2,π2,X2)へ

の 平 坦 な 束 写像 と し,cをX1

の 平 行 移 動P1,E2上

の 平 行 移 動P2に

対して

が成 立 す る.   証 明は,平 行 移 動 お よび 平 坦 な 束 写 像 の 定義 の直 接 的 帰 結 で あ る.   補 題4.6 

X上

の二 つ の 平 坦 束E1,E2が

同 値 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は,

対 応 す るホ ロ ノ ミー表 現 が 同値 に な る こと であ る.   証 明  必 要 性 に つ い て は,上 の補 題 をaを

と な る こ と か ら 明 ら か で あ る.

基 点 とす る閉道cに 適 用 して

  十 分 性 を 示 そ う.ρ1,ρ2を そ れ ぞ れE1,E2に 距離同型

Ψa:(E1)a→(E2)aが

存 在 して

が 成 立 し て い る と仮 定 す る.こ 義 す る:x∈Xに

対 す る ホ ロ ノ ミー 表 現 と し,等

の と き写像

対 し て,cをaが

Ψ:E1→E2を

始 点,xが

次 の よ う に して 定

終 点 とな る 道 と し て

c1を 同 様 な 道 と す る と

が 成 り立 つ か ら,Ψ

は 道cの

と り方 に よ ら ず に定ま る.Ψ

が 同 値 を 与 え る平 坦

な 束 写 像 と な る こ と は 見 や す い.   系4.6.1 

平 坦 束 が 自 明 束 に 同 値 で あ る た め に 必 要 十 分 条 件 は,そ

ミー 表 現 が,自   f:Y→Xを fに

よ るEの

連 続 写 像,π:E→Xを 引 き 戻 し に よ るY上

平 坦 ベ ク トル 束,πf:f-1E→Yを の ベ ク トル 束,す

際(E,π,X,{Oa,Φa})を

f-1E￨f-1(Oa)→f-1(Oa)×Vを,Ψa(y,e)=(y,Φa,f(y)(e))と (f-1E,πf,Y,{f-1(Oa),Ψa})が

然な写像

座 標 束 と す る と,Ψa: し て 定 義 す れ ば,

座 標 束 を 与 え,

局 所 定 値 で あ る.Ψ

自 明 で あ ろ う.ρ:π1(X,a)→GL(Ea)をEの の ホ ロ ノ ミー 表 現 は,結

なわ ち

平 坦 ベ ク トル 束 の 構 造 を 持 ち,自

坦 な 束 写 像 と な る.実

に よ り,Ψabは

の ホ ロノ

明 と な る こ と で あ る.

とす る.(f-1E,πf,Y)は

は,平

(証 了)

合

が,平

坦 な 束 写 像 で あ る こ と は,ほ

とん ど

ホ ロ ノ ミー 表 現 とす れ ば,f-1E

に よ り与 え ら れ る.こ   特 にfと

し て,正

し た(補 題4.5参

規 被 覆 写 像 を 考 え よ う.す

正 規 被 覆 と し,X上 Image ω*⊂Ker

こ でf(b)=aと

の 平 坦 ベ ク トル 束Eの

(系4.6.1).具

引 き 戻 しω-1Eを

体 的 に は,自

誘 導 し,ω-1Eは

考 察 す る.も

し

の 道cを

自 明束 に 同 値 で あ る

明 性 を 与 え る写 像

の よ う に 与 え ら れ る.(x1,e)∈ω-1Eに

るX1内

な わ ち,ω:(X1,a1)→(X,a)を

ρ と す る と,ρ はω の 被 覆 変 換 群 

の 表 現 ρ1:G→GL(Ea)を

は,次

照).

対 し て,c(0)=a1,c(1)=x1と

な

取 り Φ(x1,e)=(x1,Pω°c-1(e))

と 定 義 す れ ば よ い. ω-1E上

のGの

作 用 を σ(x1,e)=(σx1,e)

に よ り定 義 し よ う.こ と な る 道c′

を 取 れ ば,c・(σ-1c′)-1の

に お け る 閉 道ω°(c・(σ-1c′)-1)の σ-1と

な る.よ

一 方c′(0)=a1

の と き 明 ら か に  始 点 はa1,終 ホ モ トピー類 と

点 は

,c′(1)=σx1

σ-1a1で

あ る か ら,X

π1(X,a)のGに

お け る像 は

って

が成立 し

を 得 る.こ

う し て 次 の 補 題 を 得 る.

  補 題4.7 

X1×Ea上

のGの

作用 を

σ(x1,υ)=(σx1,ρ1(σ)υ) に よ り定 義 す る と,軌

道 空 間G＼X1×EaとEの

間 に は 自然 な位 相 同型 が 存 在

す る.   こ の 補 題 の 逆 を 考え よ う.被 よ びGの て,平 G-作

バ ナ ッハ 空 間V上

覆 変 換 群Gを

有 す る 正 規 被 覆 ω:X1→Xお

の 等 距 離 表 現 ρが 与え ら れ た と き,次

坦 ベ ク トル 束(Eρ,π,X)が 用(x1,υ)→(σx1,ρ(σ)υ)の

構 成 さ れ る.ま

ずEρ

の よ うに し

と し て は,X1×V上

軌 道 空 間 と す る.(x1,υ)を

含 むG-軌

の 道を

[x1,υ]と

書 き,写

像 π:Eρ

の 平 坦 束 と し て の 構 造 は,次 よ り一様 に 被 覆 さ れ るXの Sa(⊂X1)を

各aご

→Xを

π([x1,υ])=ω(x1)に

よ り定 義 す る.Eρ

の よ うな 座 標 束 に よ り定 め ら れ る.{Oa}を 連 結 開 集 合 か ら 成 る 開 被 覆 と し,Oa上

よ り定 義 す る.σab∈Gを,σab(Sb)∩Sa≠

φ とな る よ う

に 取 る と,Φab≡ ρ(σab)とな り,座 標 束(Eρ,π,X,{Oa,Φa})は 現 ρに 付 随 す る 平 坦束 と い う.明

Eρ(Ψ(x1,υ)=[x1,υ])は   補 題4.8 

の シ ー ト

と に 一 つ 選 ぶ.Φa:π-1(Oa)→Oa×Vは,Φa([x1,υ])=

(ω(x1),υ),x1∈Sa,に

π,X)を,表

ωに

ら か に,標

平 坦 で あ る(Eρ, 準 写 像 Ψ:X1×V→

平 坦 な 束 写 像 で あ る.

Eρ の ホ ロ ノ ミ-表

現 ρ0は,合

成 

と同

値 で あ る.   証 明   補 題4.5に

よ り,c(0)=a1,c(1)=σa1と

な る 道cを

取 る と

ΨPc(a1,υ)=Pω°cΨ(a1,υ). に 等 し く,右

左 辺 は,  [a1,υ]に

等 し い か ら,同

辺 は

ρ0(〈ω°c〉-1)

の下に

一 視  ρ0(〈ω°fc〉)=ρ(σ)

が 成 立 し,主

張 は 正 し い. 

  補 題4.7お

よ び4.8に

(証 了)

よ り,す

べ て の 平 坦 ベ ク トル 束 は,Eρ

の形 で 与 え ら

対 し て,GのLp(G)上

の 右 正 則表 現

れ る こ と が わ か る.   例4.9 

被 覆 変 換 群G=G(X1/X)に

ρrを 考え る(2節

参 照).ρrに

つ.ρlをGのLp(G)上

付 随 す る 平 坦 束Eρrは,次

の よ うなG-作

用 を持

の 左 正 則 表 現 と し て, σ・[x1,υ]=[x1,ρl(σ)υ]

と お く.こ

れ が 矛 盾 な く定 義 さ れ る こ と は,ρrお

ら 明 ら か で あ る.こ

うし て 定 義 さ れ たG-作

し か もFρrの 平 行 移 動 と 可 換 で あ る.す

よび ρl-作用 が 可 換 な こ と か

用 は,Eρrの

各 フ ァ イバー を 保 ち,

なわ ち

σ・Pc=Pc・ σ が,す

べ て の 道cに

対 し て 成 立 す る.

  平 坦 ベ ク トル 束 に つ い て の 事 実 を い くつ か 述 べ よ う.証

明は い ず れ も容 易 で

あ る.   1)  Gの

表 現(ρ,V)が,(ρ1,V1)の

部 分 表 現 な ら ば,包

含X1×V⊂X1×V1

は,平   2) 

坦 束 の 包 含Eρ ⊂Eρ1を Gの

表 現(ρ1,V1),(ρ2,V2)の

は,Eρ1とEρ2の   3) 

誘 導 す る.

直 和(Whitney和) 

(Eρ1,π1,X1),(Eρ2,π2,X2)に

に は,自

に 付 随 す る平坦束

直 和 

に 等 し い.

対 し て,X1×X2上

の ベ ク トル 束

然 な 方 法 で 平 坦 な 構 造 が 入 り,EHom(ρ1,ρ 2)と 同 値 に な る.

 4)  被 覆 の 列 

に お い て,ω,ω2が

X)(=G(X1/X)/G(X1/X2))の で あ る.こ

表 現 と す る と,Eρ

正 規 とす る.ρ をG(X2/

とEρ°φは 平 坦 束 と し て 同 値

こで φ:G(X1/X)→G(X2/X)

は 標 準 的 準 同 型 を 表 わ す(補

題1.5).

  §5  自 己 共 役 作 用 素   A:V→Vを

ヒ ル ベ ル ト空 間 の(一 般 に は 有 界 と は 限 ら な い)線 型 作 用 素 と

し,D(A)⊂Vに

よ りAの

れ か を 満 た す λ∈Cの の 元 をAの

定 義 域 を 表 わ す こ と に す る.次

集 合Spect(A)を,Aの

のⅰ),ⅱ),ⅲ)の

いず

ス ペ ク トラ ム と い い,Spect(A)

ス ペ ク トル とい う:

  (ⅰ) Ker(A-λI)≠(0).   (ⅱ)  Ker(A-λI)=(0)で,Image(A-λI)はVで

稠 密,(A-λI)-1は

連続

で な い.   (ⅲ)  Ker(A-λI)=(0)で,Image(A-λI)はVで (ⅰ)の 場 合,λ

をAの

ク トル とい う.(ⅱ)の の 場 合,λ

はAの

場 合,λ

はAの

υ を 満 た す υ≠0をAの

固有ベ

連 続 ス ペ ク トラ ム に 属 す る と い う.(ⅲ)

剰 余 ス ペ ク ト ラ ム に 属 す る とい う.

  λ が 固 有 値 か 連 続 ス ペ ク トル と す る.こ に 取 れ ば,‖υn‖=1,lim‖Aυn-λυn‖=0を うな{υn}を

稠 密 で な い.

固 有 値 と い い,Aυ=λ

の と きD(A)の

元 の 列{υn}を

満 た す よ うに で き る .逆

取 る こ と が で き れ ば,λ ∈Spect(A)(一

適当

に この よ

般 に λ は剩 余 ス ペ ク トル

の こ と も あ る).   線 型 作 用 素A:V→Vは,条 {υn}⊂D(A)でlimυn=υ,lim

件 Aυn=uが

と もに 存在 し て い る と き

は 必 ずυ ∈D(A)で,か

つAυ=u.

を 満 た し て い る と き,閉 作 用 素 と い わ れ る(収 束 を 弱 収 束 に お き換え て も よ い).   D(A)がVで

稠 密 と 仮 定 し よ う.D(A*)に

て のυ ∈D(A)に

性 に よ り一 意 的 に 定 ま る)が の と きA*u=u*と

お い て 作 用 素A*を

共 役 作 用 素 と い う.A* 作用

な る も の が 存 在 す る こ と で あ る(こ の と

持 つ 作 用 素Aは,A⊂A*と

あ る と い わ れ,A=A*を

と な っ て い れ ば,必

べ て の υ∈D(A)に

ずu∈D(A)で,か

自 己 共 役 な ら ば,剰

Spect(A)⊂Rと

な る と き対称 作 用 素 で

満 た す とき 自 己 共 役 作 用 素 とい わ れ る.対

自 己 共 役 で あ る た め に は,す

な る.任

自 己 共 役 作 用 素Aは く.二

定 義 し,Aの

書 く).

  稠 密 な 定 義 域D(A)を

  Aが

べ 稠密

稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,閉

素BでD(A)⊂D(B),B￨D(A)=Aと

Aが

ク トルu∈Vで,す

存 在 す る よ う な も の 全 体 を 表 わ す こ と に す る.こ

は 閉 作 用 素 で あ る.D(A*)がVで

きA⊂Bと

よ り,ベ

対 し て 〈Aυ,u〉=〈 υ,u*〉 が 成 り 立 つu*∈V(D(A)の

対 して

つu*=Au,と

非 負 と い わ れ る.特

つ の 有 界 自 己 共 役 作 用 素A,Bに

〈Aυ,u〉=〈 υ,u*〉

な る こ と で あ る.

余 ス ペ ク トル は 存 在 し な い.さ 意 の υ∈D(A)に

ら に この と き

対 し て,〈Aυ,υ 〉≧0と にAが

称 作用 素

な る と き,

有 界 の 場 合 に は,A≧Oと

対 し て,A≧Bと

は,A-B≧Oの

書 こ

と を 意 味 す る.   Vの 射 影 作 用 素 の 族{Eλ;-∞<λ<+∞}が,条  1)  λ<λ′ ⇒Eλ

件

≦Eλ ′,

(収束は作用素 の 強収束 を意味 す

  2)  る),

を 満 足 す る と き,Iの   (-∞,∞)上

と お き,各

分 解 とい う.

で 定 義 され た 連 続 関 数fに 対 し て

υ∈Dに

対 し て 

とお け ば,Aは

Dを 有 す る 閉 作 用 素 で あ り,そ の 共 役 は 同 じ くD上

に よ り与え ら れ る.特

にf(λ)が

稠 密 な定 義 域

で定 義 され

実 数 値 関 数 な ら ば,Aは

自己 共 役 で あ る.

  次 の 定 理 は,自 己 共 役 作 用 素 の理 論 に お い て基 本的 な事 柄 で あ る.   定 理5.1  <∞}が

自己 共 役 作 用 素A:V→Vに

対 し て,Iの

分 解{Eλ;-∞<λ

一意 的 に 存 在 して,Aは

と 表 示 さ れ る.こ   例5.2 

れ をAの

(X,m)を

ス ペ ク トル 分 解 と い う.

σ-有 限 な 可 測 空 間 と し,φ

をX上

の 実 数 値 可 測 関 数 で,

ほ と ん ど い た る 所 有 限 な 値 を 取 る と 仮 定 す る.D={f∈L2(X);φf∈L2(X)} と し,作

用 素A=Aφ:L2(X)→L2(X)をAφ(f)=φf(f∈D)に

る.Aは

自 己 共 役 作 用 素 で あ る.Aの

に 対 し て,φ λを 集 合{x∈X;φ(x)≦ =1,φ(x)>λ

⇒

φλ(x)=0) .こ

λ}の 特 性 関 数 とす る(φ(x)≦

λ ⇒ φλ(x)

分 解 を 与 え る.さ

の 定 義 か ら 明 ら か な よ うに,こ

トル 分解 

λ∈R

の とき

は 射 影 作 用 素 で あ り,族{Eλ:-∞<λ<∞}はIの

分 

よ り定 義 す

ス ペ ク トル 分 解 を 求 め よ う.各

れ は φfに 等 し く,Aの

らに 積 スペ ク

を 得 る.

 一般 に ス ペ ク トル 分 解 

が 与 え られ た と き に対 し て

任 意 の  λが 固 有値 とな る か ら,A=Aφ

の ス ペ ク ト ラ ム は 次 の よ うに 与 え ら れ る.

  Spect(Aφ)={λ∈R;任 λ がAφ

意 の δ>0に

対 し てm({x;λ-δ<φ(x)≦

の 固 有 値 で あ る た め の 条 件 は,m({x;φ(x)=λ})が

λ+δ})>0} 正 に な る こ と であ

る.   上 記 の 例 は,次 て,あ

の 意 味 で 一 般 的 で あ る.自

る 測 度 空 間(X,m)お

Aφ は ユニ タ リ 同 値 に な る.す Aφ=UAU-1と 作 用 素Aに

己 共 役 作 用 素A:V→Vに

な わ ち あ る 等 距 離 同 型U:V→L2(X)に

書 く こ と が で き る(Reed-Simon[80]).し 対 応 す る 測 度 空 間(X,m)お

構 成 す る こ と は,特

対 し

よ び そ の 上 の 実 数 値 可 測 関 数 φ が 存 在 し て,Aと

よ び 関 数 φ を,具

殊 な 例 を 除 い て 難 し い.次

の 例 は,こ

か し,与え

よ り られ た

体 的 な手 段 に よ り れ が 可 能 な 最 も典 型

的 な も の で あ る.   例5.3 

Rn上

の ラ プ ラ シ ア ンΔ=-(∂2/∂x12+…+∂2/∂xn2)の

分 解 を 考え よ う.次

ス ペ ク トル

の記 号を 利 用 す る.

(多重 指 数)

Rn上

の 急 減 少 関 数 の 空 間 

は,任

意 の 自 然 数N,任

意の多重指数 α

に 対 し て(1+￨x￨2)NDαf(x)がR

n上有 界 で あ る よ う な 関 数fの

義 され る.関

の 元 で あ る.次

数exp(-￨x￨2)は〓

に お い てC∞0(Rn)はL1(Rn)の 稠 密 で あ る.f∈L1(Rn)に

の包含関係

中 で 稠 密 で あ る か ら  対 し てfのFourier変

全 体 として 定

はL1(Rn)の

中で

換fを

 (5.1)

に よ り定 義 す る.明

ら か に￨f(ξ)￨≦‖f‖L1.等

式

を使 って

が 

に 対 し て 成 立 す る こ と,さ

ら に こ の 両 辺 に 

を掛 け て部

分積分すれば

と な る こ と が わ か る か ら, 

な らば 

とな る.特

に α=0と

すれば

と な り, 

に 対 し てΔfのFourier変

換 は

に よ り与 え ら れ る こ と が わ か る.   次 に 変 換f→fはL2(Rn)の こ の た め,ま

が, 

ユ ニ タ リ作 用 素 に 拡 張 さ れ る こ と を 示 そ う.

ず反 転 公 式

に対 し て成 り立 つ こ とを 見 る.(特 にf→fは〓

る.)Fubiniの

の全 単 射 を 与 え

と した と き

定 理 に よ り, 

 (5.2)

こ こ で 

に 対 し て φ(x)=g(εx)(ε>0)と

おけば

φ(z)=ε-ng(z/ε) と な る か ら,こ

れ を(5.2)に

を得 る.ε →0と

と な る が,こ

代 入 して

し て収 束 定 理 を 適 用 す れ ば

こ で 特 にg(x)=exp(-π￨x￨2)と

お く.も

しg=g, 

とな る こ とが 確 か め られ れ ば,反 転公 式 が 証 明 された こ とにな る.   n=1の

場 合 に,関

数g(x)=exp(-πx2)が,g=g, 

を満 た

す ことを 示 せ ば 十 分 で あ る.

の 両 辺 を ξで 微 分 す る.g′(x)=-2πxg(x)に

と な る か ら,f(ξ)=Cexp(-πξ2)を

に よ り,結

得 る(Cは

注 意す れ ば

積 分 定 数).

を 示 す こ と に帰 着 す る.と こ ろが

局 

と な る か ら 主 張 が 示 さ れ た.   (5.2)  に お い てx=0と

と な る.g(x)=φ(x)と

で あ る.従

おけば

お く と

って

こ の こ と か ら,写

像f→fはL2(Rn)の

ユ ニ タ リ変 換 に 拡 張 さ れ る こ と が

示 さ れ た.   こ れ ま で 述 べ て き た こ と を 要 約 す れ ば,次

の よ うに な る.ラ

プ ラ シ ア ン Δ:

〓(Rn)→〓(Rn)はFourier変

換 に よ り掛 算 作 用 素 A0:f(ξ)→(4π2￨ξ￨2)f(ξ)

と 同 一 視 さ れ,A0の  

自己 共 役 な 拡 張

A:L2(Rn)→L2(Rn), D(A)={f∈L2(Rn);￨ξ￨2f(ξ)∈L2(Rn)}

に 対 応 す るΔ の 拡 張Δ:L2(Rn)→L2(Rn)を [0,∞)と

な り,し

考え る と,Δ

の ス ペ ク トラムは

か も す べ て の ス ペ ク トル は 連 続 ス ペ ク トラ ム に 属 す る.

  再 び 一 般 論 に 戻 ろ う.   補 題5.4 

Aを

自 己 共 役 作 用 素 と し,D⊂D(A)をVの

の 性 質 を 満 た す も の と す る:任

意 のυ ∈D(A)に

し て,limυn=υ,limAυn=Aυ(換

稠密な部分空間で次 対 し て あ る{υn}⊂Dが

言 す れ ばA￨Dの

閉 包 がAと

存在

一 致).こ

の

とき

 証 明  明 らか にD=D(A)と

仮 定 し て一 般 性 を 失 わ な い.左

辺 を λ0とお く

と

ゆ え に‖υ ‖=1な

次 に  な る.Eλ1≠0と

一 方Eλ1=0と

ら ば  とす る.こ す る.υ

の と き あ る λ1<λ0<λ2が

∈D(A)を‖υ‖=1,Eλ1υ=υ

す る とEλ2=0と

な り

,任

存 在 し てEλ1=Eλ2と

と な る ベ ク トル と す る と

意 のυ∈D(A)に

対 して

で あ るか ら,い ず れ に し て も矛 盾 とな る.   定 義5.5 ⅰ)  有 界 作 用 素A:V→Vは,あ

(証 了) る(実 は 任 意 の)完 全 正 規 直 交

系{υn}∞n=1に 対 し て, 

と な っ て い る と き,Hilbert-Schmidt

型(H-S型)と

な らば,共

よ ば れ る.(AがH-S型

 ⅱ)  非 負 な 有 界 自己 共 役 作 用 素Aは,あ

役A*もH-S型.)

る 完 全 正 規 直 交 系{υn}に

対 し て,

 と な っ て い る と き,跡   補 題5.6 

H-S型

意 の 有 界 集 合 を,相

の 作 用 素 は,コ

族 に 属 す る と い わ れ る.

ン パ ク ト作 用 素 で あ る.す

な わ ち,Vの

対 コ ン パ ク トな 集 合 に 写 す. このとき

 証 明   Vの 弱 収 束 す る列{wk}∞k=1を 任 意 に 取 る:   (強収 束)を 示 せば よい.と

{wk}は

有 界 で あ り,m↑

=Awが

で あ る か らlim

と す れ ば 

ス ペ ク トラ ム は0以

収 束 す る可 算 個 の固 有 値 有 空 間 の 次 元)は

が っ てVの

Awk

(証 了)

コ ン パ ク トな 自 己 共 役 作 用 素 と す る.コ

よ り,Aの

度(固

∞

ころ が 次 の 不 等 式 に お い て

示 さ れ た . 

  Aを

任

ン パ ク ト作 用 素 の一 般 理 論 に

外 に は 有 限 個 の 固 有 値 で あ る か,も

λ1,λ2,…(∈R)よ 有 限 で あ り,異

り成 る.各固

し くは0に

有値 に 対 す る重 複

な る 固 有 空 間 は 互 い に 直 交 す る.し

あ る 正 規直 交 族{υn}∞n=1でAυn=λnυnを

た

満 た す も のを 取 る こ とが

で き る.   補 題5.7 

Aを

跡 族 に 属 す る非 負 な 作 用 素 とす る.こ

は,完

全 正 規 直 交 系{υn}の

tr Aと

書 く).

の と き,和

取 り方 に よ らず に 定 まる(こ れ をAの

跡 とい い,

  証 明  {un}を 他 の 完 全 正 規 直 交 系 とす る と

(証 了)  補 題5.8 

Aが 非 負 な 跡 族 に 属 す る作 用 素 な らば,AはH-S型.

 証 明  一 般 化 され た シ ュ ワル ツの不 等式

を 利 用 す る:

(証 了)   系5.8.1  λ2≧…}と

跡 族 に 属 す る 非 負 な 作 用 素Aの

固 有 値 を,重

複 度 も 込 め て{λ1≧

す ると

  正 規 作 用 素T:V→V,す

なわ ちTT*=T*Tと

式 分 解T=UA=AU(Uは を 持 つ.Aが

な る有 界 作 用 素 は,極 形

ユ ニ タ リ作 用 素,Aは

非 負な 有 界 自己 共 役 作 用 素)

跡 族 に 属 す る と き,

は 絶対 収 束 し,正 規直 交基{υn}の

取 り方 に は よ らな い.

  §6  リー マ ン 幾 何 よ り の 準 備   本 節 以 降,多

様 体 は,す

す る.Mをn-次

元C∞-多

∪x∈MTxMをMの

べ て パ ラ コ ン パ ク ト,連 結,境 様 体,TxMをx∈Mに

接 ベ ク トル 束,C∞(TM)をM上

線 型 空 間 とす る.M上

のリーマン

界 は 持 た な い もの と

お け る 接 空 間,TM= のC∞-ベ

計 量 と は,各

ク トル 場 の な す

接 空 間TxM上

gxの 族{gx;x∈M}で,任

意 のX,Y∈C∞(TM)に

gx(X(x),Y(x))がM上C∞-級

と なっ て い る も の の こ と で あ る.以

の 代 わ りに〈X,Y〉xと

対 し て,関

書 く こ と も あ る.‖X‖2=〈X,X〉

  リー マ ン 多 様 体(M,g),(N,h)に

対 し て,写

の正定値内積

像

数x→ 後gx(X,Y)

とお く.

φ:M→Nが

φ*h=g,す

なわ ち hφ(x)(dxφ(X),dxφ(Y))=gx(X,Y),  を 満 た す と き,φ xに

X,Y∈TxM,x∈M

は 等 距 離 写 像 と い わ れ る(dxφ:TxM→Tφ(x)Nは,φ

お け る 微 分 を 表 わ す).等

距 離 写 像 は,自 動 的 にimmersion(dxφ

の は 単 射)

と な る.   リー マ ン 計 量 が 与 え ら れ る と,M上 る.ま

ずC∞-曲

線c:[a,b]→Mに

の 距 離 お よび 測 度 が 次 の よ うに 定 め ら れ 対 し て,cの

長 さを

 ⅰ  ⅳ

に よ り定 義 す る  Ω(x,y)に

はcの

よ り,C∞-曲

速 度 ベ ク トル).次

にx,y∈Mに

線c:[0,1]→Mでc(0)=x,c(1)=yと

対 し て, な る もの 全 体

を 表 わ す こ とに し て

と お く.dはM上

の 距 離 を 与 え る.Mが

限 の 値 と な る が,こ

れ をD=DMと

書 い て,Mの

  次 に 測 度 を 定 義 す る た め,(x1,…,xn)をMの

直 径 と い う. 局 所 座 標 と し よ う.対

に 値 を 取 る関 数g=(gij)をgij=g(∂/∂xi,∂/∂xj)に は,座

標 変 換(x1,…,xn)→(y1,…,yn)に

よ り定 義 す る.行

対 し て,変

を 受 け る か ら(∂(y1,…,yn)/∂(x1,…,xn)は はM上

度 

が 有 限 の と き,こ

称行 列

列 式det

g

換

ヤ コ ビ 行 列),(det

の 大 域 的 測 度υgを 誘 導 す る.こ の 測 度 に 関 す るM上

と 書 く こ と に し よ う.dυgを(M,g)の

は有

コ ン パ ク トな と き 

g(x))1/2dx1…dxn の 関 数fの

積分 を

体 積 要 素 と よぶ こ と が あ る.Mの

全 測

れ をvol(M)と

書 い て,Mの

体 積 と い う.

  リー マ ン計 量 は 次 の 性 質 を 満 足す る写 像(接 続 とい う)

を 一 意 的 に 定 め る. ) 

に 対 して

 ⅱ )  ⅲ)

([,]は

) 

∇XYをYのXに

よ る 共 変 微 分 と い う.曲

ベ ク トル 場 のLie積

を 表 わ す).

率 テ ン ソ ルRは

 (6.1)

に よ り定義 され るTxM×TxM×TxMか Rは 次 の 関 係式 を 満 た す

らTxMへ

の三 重 線型 写 像 で あ る.

 ⅹ  ⅹⅲ

 ⅴ )  ⅵ )  ⅶ)  ⅷ )

  c:[a,b]→MをC∞-曲

線 と し た と き,cに

cに よ り引 き 戻 し た[a,b]上 度 ベ ク トルcは,こ   M上

沿 う ベ ク ト ル 場 とは,TMを

の ベ ク トル 束c-1TMの

の 意 味 でcに

切 断 の こ と を い う.速

沿 うベ ク トル 場 で あ る.

の 接 続∇ を 利 用 し て,cに

沿 うベ ク トル 場 の 共 変 微 分

が 次 の性 質 を満 た す もの とし て一 意 的 に 定 義 され る.  ⅸ)

(fは[a,b]上

) 

 ⅹⅰ) X∈C∞(TM)に

対 し てW(t)=Xc(t)と

し てcに

のC∞-関

数),

沿 う ベ ク ト ル 場Wを

定 義 した とき

  cに 沿 うベ ク トル 場Wは,方 行 とい わ れ る.特にcが

程 式 

平 行 な と き,cは

  上 で 曲 線 に 沿 うベ ク トル 場 と,そ [a1,b1]×[a2,b2]→M((s,t)→

を 満 た す と き,cに

沿 って 平

測 地 線 と呼 ば れ る.

の 共 変 微 分 を 定 義 し た が,同

α(s,t))に 沿 うベ ク トル 場Wと

様 に 曲 面 α: そ の共 変 偏 微 分

が 定 義 され る.次 の 式 は 有用 で あ る.  ⅹⅱ ) 

(〓ⅳ)).

(〓(6.1)).

) 

  補 題6.1(第

一 変 分 公 式)  c(t)=α(0,t)と

α:(-ε,ε)×[a,b]→MをC∞-曲

お く.こ

の と き

面 と し, 

特 にc(t)=α(0,t)が

測 地 線 と す る と,左

辺 は〈W,c〉￨baに

等 し い.

 証 明

(証 了)   補 題6.2(第

二 変 分 公 式)  曲 面

α(0,t)が 測 地 線 と 仮 定 す る.こ

α:(-ε,ε)×[a,b]→Mに

お い てc(t)=

の とき

 証 明   左 辺=

=右 辺 こ こ で    系6.2.1 

さ らに

を 利 用 し た.  s→

α(s,a),s→

α(s,a)≡x,α(s,b)≡y(∀s)と

(証 了)

α(s,b)が

共 に 測 地 線 とす れ ば

す る と,こ

れ は

に等 し い   定 義6.3 

測 地 線cに

沿 うベ ク トル 場Wは,も

しそ れ が 次 の 方程 式

W+R(c,W)c≡0 を 満 た す と き ヤ コ ビ場 と い う.   例6.4  線t→

曲 面 α:(-ε,ε)×[a,b]→Mに α(s,t)が 測 地 線 と仮 定 す る と 

コ ビ場 で あ る.実

しs→

α(s,a),s→

沿 うヤ

α(s,b)も 測 地 線 と仮 定 す る

点x∈Mお

は2階 の(非 線型)常

よ び υ∈TxMを

与え る と,測

し,cs(t)=cυ(st)と らcs=csυ

お く と,csも

と な る.こ

の こ と は,十 分 小 さい υ∈TxMに

定 義 さ れ る.さ

分 同 相 写 像 で あ り,し

体 で 定 義 さ れ る こ と で あ る.実 体 で 定 義 さ れ る.さ

  以 下Mは

対 し てcυ は 区 間[0,1] 原 点0の

十 分 小 さ く取 ればexpx:U→Mは

か も原 点 に お け る 微 分d0expx:TxM→TxMは 定 理 に よ れば,Mが

て 完 備 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,あ

長 さd(x,y)の

初

であるか

数 写 像expxυ=cυ(1)がTxMの

ら にUを

写 像 と一 致 す る.Hopf-Rinowの

がTxM全

地 線cυ:(-ε,ε)→Mで

測 地 線 で あ り,cs(0)=x,cs(0)=sυ

上 定 義 さ れ る こ と を 示 し て お り,指 あ る 近 傍Uで

微 分 方程 式 で あ る こ とか

を 満 た す もの が 一 意 的 に 定 ま る.s>0と

期 条 件cυ(0)=x, 

る 点x∈Mに

は こ の と き,任 ら にMが

恒等

リー マ ン 距 離dに

関 し

お い てexpxがTxM全

意 の 点x∈Mに

完 備 な らば,任

微

お い てexpx

意 の2点x,y∈Mを

測 地 線 で 結 ぶ こ と が で き る. 完 備 な リ ー マ ン 多 様 体 と す る.曲

u,υ ∈TxM,に ら,ベ

はc(t)=α(0,t)に

式 を 得 る.

 測地線の方程式  ら,各

して 曲

際

特 に 第 二 変 分 公 式 よ り,も と,次

おい て,各s∈(-ε,ε)に対

ク トル 場

よ り定 義 し よ う.径

数tに

面 α を α(s,t)=expxt(υ+su),

関 し て は α(s,t)は 測 地 線 で あ る か

は 測 地 線cυ:t→expxtυ

に 沿 う初 期 条 件J(0)=0, 

を満 た す ヤ コビ 場 で あ る.こ と す る と,測

地 線cυ:[0,t0]→Mに

でJ(0)=0,J(t0)=0と   逆 に,測 =0を

の こ とか ら,も 沿 う,恒

し(dt0υexpx)(u)=0(u≠0)

等 的 に は 零 で は な い ヤ コ ビ 場J

な る も の が 存 在 す る こ と に な る.

地 線cυ に 沿 う恒 等 的 に は 零 で は な い ヤ コ ビ 場J1が,J1(0)=J1(t0)

満 た し て い た と し よ う.J1(0)をuと

微 分 方 程 式 系 で あ る か ら,J1(t)は に 決 ま る.従

っ て,uは

お く.ヤ

コ ビ場 の 方 程 式 は2階

初 期 条 件J1(0)=0,J1(0)=uに

零 ベ ク トル と は 異 な り,し

の

よ り一 意 的

か も

J1(t)=J(t)=t(dtυexpx)(u). 特 にt=t0に

おいて (dt0υexpx)(u)=0.

こ う し て 次 の 補 題 を 得 る.   補 題6.5 

測 地 線cυ に 沿 っ て,cυ(0)とcυ(t0)が

を 満 た す 恒 等 的 に は 零 で は な いcυ に 沿う ヤ コビ場Jが 分 条 件 は,微

共 役(⇔J(0)=J(t0)=0 存 在)す る た め の 必 要 十

分 dt0υexpx:TxM→Tc0(t0)M

の 階 数 がdim

Mよ

り小 さ くな る こ と で あ る.

  注 意  cυ(0),cυ(t0)が 非 共役 な らば,cυ に 沿 うヤ コビ場 は,境 界 値J(0),J(t0)が れ れ ば一 意 的 に 決 ま る.

与えら

第1章

  リー マ ン 被 覆

  緒 言 に お い て 簡 単 に 述 べ た 代 数 体 の イ デ ア ル 論 お よ び 類 体 論 は,代

数曲線あ

る い は コ ン パ ク トな リー マ ン 面 の 被 覆 理 論 を 原 型 と し て い る こ と は よ く知 ら れ て い る(岩 沢[ⅵ]).本

章 で は,こ

と し,イ

体 論 の 閉 測 地 線 の 理 論 に お け る 類 似 を 考 察 す る.す

ち,素

デ ア ル 論,類

の 歴 史 的 背 景 と は 逆に,代

イ デ ア ル を リー マ ン 面 の"点"と

数体 の理 論 を模 範

し て 認 識 す る か わ りに,素

を 素 イ デ ア ル の リ ー マ ン 幾 何 に お け る 類 似 と 見 る こ と に よ り,少

なわ

な 閉 測地 線 な く と も絶 対

類 体 論 に 相 当 す る 部 分 ま で 平 行 に 辿 れ る こ と を 示 し た い の で あ る.   9節 で 形 式 的 に 定 義 さ れ る 閉 測 地 線 の 長 さ の 分 布 に 付 随 す るL-関

数 は,6章

に お い て 定 曲 率 リ ー マ ン 面 の 場 合 に 詳 細 に 扱 わ れ る こ と に な る.

  §7  リ ー マ ン 被 覆 と 閉 測 地 線   定 義7.1 

(M,g),(M0,g0)をリー

→M0は,ω*g0=gす

マ ン 多 様 体 とす る.C∞-級

な わ ち 等 距 離 写 像 で あ る と き,リー

被 覆 写 像ω:M マ ン被 覆 といわ れ

る.   混 乱 が 起 こ ら な い 限 り,リ 記 号gで

ーマ ン 被 覆 写 像 で 写 り合 うリー マ ン 計 量 を,同

じ

表 わ す こ と に す る.

  等 距 離 性 か ら,局 例 え ば,曲

所リー

線c:[a,b]→Mが

が 測 地 線 に な る と き,し の 被 覆 度kが

マ ン 幾 何 的 性 質 は,リー

マ ン 被 覆 に よ り保 た れ る.

測 地 線 と な る の は,合 か も そ の と き に 限 る.ま

成ω°c:[a,b]→M0

た,(M0,g)が

体 積 有 限 で,ω

有 限 な らば vol(M)=k

vol(M0)

と な る.   補 題7.2 

リー マ ン 被 覆ω:M→M0の

被 覆 変 換 群G(M/M0)はMの

離 変 換 群 で あ る.   実 際,σ

∈G(M/M0)に

対 し て,σ*g=σ*ω*g0=(ω°

σ)*g0=ω*g0=g.

等距

  逆 にMを と,商

リ ー マ ン 多 様 体,GをMに

多 様 体G＼M上

に は,射

固 有 に 作 用 す る 等距 離 変 換 群 と す る

影M→G＼Mが

リ ーマン 被 覆 と な る よ うな リ

ー マ ン計 量 が 一 意 的 に 存 在 す る.   c:S1=R/Z→Mを

閉 道 と し た と き,自

cm(t)=c(mt)に

よ り定 義.さ

に よ り定 義 す る.cが   閉 測 地 線cが

ら にs∈S1に

然 数mに

閉 測 地 線 な ら,cm,csも

共 に 閉 測 地 線 で あ る.

次 の 性 質 を 満 た す と き,素

  二 つ の 閉 測 地 線c1,c2が同

対 し てcm:S1→Mを

対 し てcs:S1→Xをcs(t)=c(t+s)

値 とは,あ

で あ る と い う:c=c1m⇒m=1. るs∈S1が

存 在 し てc2=(c1)sと

なる

こ とを い う.   定 義7.3  Mの1次

素 な 閉 測 地 線 の 同 値 類 を,素

に 素 サ イ クル は

元 有 向 サ イ クル で あ る.

  ω:M→M0を 覆 度 をk<∞

コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体M0上 と す る.一

般 にMの

ω°cは 素 と は 限 ら ず,自 存 在 し て,ω°c=c0fと pの

サ イ ク ル と呼 ぶ.特

素 サ イ ク ルBの

然 数f≧1とM0の 書 け る.c0の

リ フ トあ る い はpはBの

の リ ー マ ン 被 覆 と し,被 代 表c:S1→Mを

中 に 素 な 閉 測 地 線c0:S1→M0が 表 わ す 素 サ イ ク ル をpと

射 影 で あ る とい いB￨pと

次 数 と 名 付 け,f=degωBと

書 く.

  補 題7.4 ω:M→M0を

被 覆 度k(<∞)の

素 サ イ ク ル と す る と,pの

選ぶ と

リ フ トは 高 々k個

リ で,し

し た と き,Bを

書 く.fの

こ とをBの

ーマ ン 被 覆 と し,pをM0の か も

が 成 立 す る.   証 明  x0∈M0をp上

の 一 般 的 な(pを

点 と しω-1(x0)={y1,…,yk}と の リ フ トでyiを

代 表 す る 測 地 線 の 自 己 交 差 点 以 外 の)

お く.各yiに

含 む も の が 存 在 す る.し

含 ま れ る フ ァ イ バ ー の 点 の 数 に 等 し い か ら,主   Mの

等 距 離 変 換 σ と,素

M0を

つ し か も た だ 一つp 次 数 は ち ょ う どBに

張 を 得 る. 

な 閉 測 地 線c:S1→Mに

(σ・c)(t)=σ(c(t))と し て 定 義 す る と,明 の 作 用 は,素

対 し て,一

か も リ フ トBの

対 し て 閉 道 σ・cを

ら か に σ・cも 素 な 閉 測 地 線 で あ る.こ

サ イ ク ル へ の 作 用 を 自 然 に 誘 導 す る:B→

リー マ ン 被 覆 と す る と,G(M/M0)はMの

し か も σ∈G(M/M0)に

対 し て σB,Bは

(証 了)

σB.特

に ω:M→

素 サ イ ク ル 全 体 に 作 用 す る. 同 じ射 影 を 持 つ.さ

らに ωが ガ ロア 被

覆 で あ れ ば,M0の

各 素 サ イ ク ルpに

対 し て,G(M/M0)はpの

推 移 的 に 作 用 す る こ と が 直 ち に 確 か め ら れ る.特

リ フ ト全 体 に

にpの

リ フ トBの

次 数 はB

の 取 り方 に よ ら な い こ と が わ か る.   次 の 補 題 も 容 易 に 示 さ れ る.   補 題7.5  Bの

ω:M→M0を

代 表 と し た と き,cf-1=σ・cと

か も σ はBの

代 表cの

  上 記 の σ を(B￨ω)と に(B￨ω)は

書 き,Bの

にGが

を 得 る が,さ

と き(B￨ω)

書 く. 部 分 被 覆 

を 考 え る.G

書 く こ と に し よ う.pをM0の

満 た す よ うに 選 ぶ.μB￨qiと

と な る こ と は 同 値 だ か ら,分

素 サ イ ク ル,

の リ フ ト全 体 とす る. な る こ と と μ∈HτiGB

離和

らに

  補 題7.6 

degω1qi=fiと

お くと

(分離 和)

 (7.2) 

とな る.こ

μ∈G(M/M0)

の リ フ ト と し,q1,…,qrをpのM1上

τ1,…,τr∈GをτiB￨qiを

生 成 し,し

の と きω を ア ー ベ ル 被 覆 と 呼 ぶ)な

ロ ア 被 覆ω:M2→M0の

=G(M2/M0),H=G(M2/M1)と

∈G(M/M0)￨μB=B}を

ら か

らに

可 換(こ

み に よ る か ら(p￨ω)と

BをpのM2上

一 意 的 に 存 在 す る.し

定 義 す る フ ロ ベ ニ ウ ス 変 換 と呼 ぶ.明

(μB￨ω)=μ(B￨ω)μ-1, 

が 成 り立 つ.特

す る.cを

取 り方 に よ ら な い.

あ る.さ

  (7.1) 

  次 に,ガ

な る σ∈G(M/M0)が

イ ソ ト ロ ピ ー 部 分 群GB={μ

か もdegωB=#GBで

はpの

ガ ロ ア 被 覆 と し,B￨p,degωB=fと

こ で σ=(B￨ω).

  証 明  GBは

フ ロベ ニ ウ ス 変 換 σ に よ り生 成 さ れ る 巡 回 群 だ か ら,f=degωB

とす る と

(必ず し も分 離 和 とは限 ら な い). k=kifi+xi,0≦xi
表わせば

一 方(7

.1)よ

だか ら

り 

こ れ よ り(τiB￨ω)kifi∈Hを る.和

得 て,(7.2)の

右 辺 の 合 併 はGに

の 分 離 性 は,(τiB￨ω2)x∈H⇔xがfiに

等 しい こ とが わ か

よ っ て割 り切 れ る,こ

明 ら か. 

とより (証 了)

  §8  閉 測 地 線 の"類

体 論"

  前 節 で リ ー マ ン 多 様 体 上 の 素 サ イ クル が,代 持 つ こ とが 明 ら か に な っ た が,本 が 成 立 す る こ と を 見 る.こ

数 体 の 素 イデ アル と似 た 性 質 を

節 で は さ ら に 議 論 を 押 し 進 め,類

体論の類似

の た め に は まず イデ ア ル群 お よび イデ ア ル類 群 の概

念 を 素 サ イ ク ル の 範疇 で 定 義 す る 必 要 が あ る.古

典 的 なDedekindの

定理 に よ

れ ば,代

数 体 の ゼ ロで な い分 数 イデ ア ル の全 体 の なす 乗 法 群 す なわ ち イデ ア ル

群 は,素

イ デ ア ル を 自 由 基 と す る自 由 ア ー ベ ル 群 で あ る.こ

の 観 点 か ら,素

サ

イ クル を 自 由 基 と す る 形 式 的 な 自 由 ア ー ベ ル 群 を イ デ ア ル 群 の 類 似 と 思 う こ と に し よ う.す

な わ ち コ ン パ ク ト リ ー マ ン 多 様 体Mの

サ イ ク ル 群IMは,形

式的

な積 a=pa11…pamm,  の 全 体 と し て 定 義 す る.aを が,こ

ai∈Z,pi;素

サ イ ク ル と 呼 ぶ.次

サ イ クル に イデ ア ル類 群 の類 似 で あ る

の た め に は 主 イ デ ア ル に 対 応 す る概 念 を 設 定 し な け れ ば な ら な い.天

り的 で は あ る が,サ な わ ちaの

イ ク ルaが

主 サ イ ク ル と は,aが

ホ モ ロ ジ ー 類[a]がH1(M,Z)で

よ り主 サ イ ク ル 全 体 か ら な るIMの

下

ゼ ロに ホ モ ロ ー グ,す

ゼ ロ で あ る と 定 義 す る.I0Mに

部分 群 を 表 わ す こ とに し CM=IM/I0M

と お い て,こ

れ を イ デ ア ル 類 群 の 類 似 と思 う こ と に す る.

  補 題8.1    証 明   Mの

閉 曲 線 の 自 由 ホ モ トピ ー 類 の 中 に 必 ず 閉 測 地 線 が 存 在 す る こ と

を 示 せ ば よ い が,こ れ は よ く知 ら れ た 事 実 で あ る(Klingenberg[44]).(証   ω:M→M0を Mの

被 覆 度k<∞

素 サ イ ク ルBが

の リー マ ン 被 覆 と し,B￨p,degωB=fな

与 え ら れ た と きNω(B)=pfと

  上 記 の 文 脈 に お い て,類

了) る

お く こ と に す る.

体 論 の 基 本 定 理 の 幾 何 学 的 類 似 は 次 の よ うに述 べ ら

れ る.   命 題8.2 

(ⅰ) 指 数[IM0;I0M0・Nω(IM)]は

被 覆 度kを

越 え な い.こ

れが

kに 等 し い た め の 必 要 十 分 条 件 は ω が ア ー ベ ル 被 覆 と な る こ と で あ る.   (ⅱ) (Artinの

相 互 法 則)  も し ω が ア ー ベ ル 被 覆 な ら ば,対

は 商 群IM0/I0M0・Nω(IM)か   (ⅲ)  IM0の

らGへ

の 同 型 を 誘 導 す る.

有 限 指 数 の 部 分 群HがI0M0を

M→M0でI0M0・Nω(IM)=Hと   証 明   (ⅰ) まずNω

ewicz準

同 型hを

含 め ば,あ

る ア ー ベ ル 被 覆 ω:

な る も の が 存 在 す る. の 定 義 か ら 次 の 図 式 は 可 換 と な る.

こ こ でp:IM→IM/I0M=H1(M,Z)は IM0/I0M0・Nω(IM)は

応p→(p￨ω)

自然 な 射 影 準 同 型 で あ る.よ

ω*の 余 核H1(M0,Z)/Image 用 い れ ば,次

って 商 群

ω*に 同 型 で あ る.一

方Hur

の可換図式

が 得 られ,自 然 に 誘 導 され る写 像 φ は 全 射 で あ る.よ って 不等 式

を 得 る.  ば

よ り,ω

ω*(π1(M))⊂[π1(M0),π1(M0)]で

と は 明 ら か.逆

あ る か ら,φ は 同 型 と な り,等

に 等 号 が 成 立 す れ ば φ は 全 単 射 と な り,合

π1(M0)→ は 核 ω*(π1(M))を

π1(M0)/ω*(π1(M))→H1(M0,Z)/Image 持 つ 準 同 型 と な る.ω

は ア ー ベ ル 群H1(M0,Z)/Image

示 そ う.次

号 とな る こ

成 ω*

は ガ ロア被 覆 で しか もそ の 被 覆 変 換 群

ω*と 同 型 とな る か ら,ω

な る.   次 にⅱ)を

が ア ー ベ ル被 覆 な ら

の 図 式 を 考 え る.

は ア ーベ ル 被 覆 と

こ こ で 水 平 方 向 の 矢 印 は 対 応p→(p￨ω)よ の 図 式 が 可 換 に な る こ と を 見 よ う.こ い.[γ]⊂ ∈Gを

π1(M0)を,pの

り生 ず る 準 同 型 写 像 で あ る.こ の た め に は φ((p￨ω))=ψ(p)を

示 せ ば よ

表 わ す 自 由 ホ モ ト ピ ー 類 に 対 応 す る 共 役 類 と し,σ

準 同 型 π1(M0)→G=π1(M0)/ω*(π1(M))に

よ るγ の 像 と す る.フ

ニ ウ ス 変 換 の 定 義 を 反 省 す れ ば 容 易 に理 解 さ れ る よ う に,σ=(p￨ω))で よ っ て φ((p￨ω))はh(γ)の

準 同 型H1(M0,Z)→H1(M0,Z)/Image

像 と な っ て お り,h(γ)=ψ(p)で で あ っ た か ら,ⅱ)の   次 にⅲ)で

ロベ あ る.

ω*に よ る

あ る か ら,φ((p￨ω))=ψ(p)を

得 る.φ

は 同 型

主 張 は 正 し い.

あ る が,ま

ず 次 の 三 つ の 集 合 の 間 に1対1対

応 がある こ とに注

意.

{H⊂IM0;有

限 指 数 部 分 群 でI0M0を 含 む}

{H′ ⊂H1(M0,Z);有 {Γ ⊂ π1(M0);有

限 指 数 部 分 群} 限 指 数 部 分 群 で 可 換 子 群[π1(M0),π1(M0)]を

こ れ ら の 対 応H〓H′〓

よ っ て,Hに

Γ に 関 し て,次

対 応 す る Γ(⊂ π1(M0))を

M→M0は,望

の 同 型 を 得 る.

基 本 群 と し て 持 つMを

取 れ ば,被

む 条 件 を 備 え て い る. 

  §9  閉 測 地 線 とL-関   前 節 ま で に,代

含 む}.

(証 了)

数

数 体 に お け る 主 だ っ た 概 念 の 類 似 物 を 構 成 し た か ら,こ

階 で(Artinの)L-関

覆

数 を 幾 何 学 的 文 脈 に お い て 定 義 す る こ と は,少

の段

な くと も

形 式 的 な 意 味 で は 可 能 で あ る.   ω:M→M0を

コ ン パ ク トな リ ーマン 多 様 体 の 有 限 被 覆 度 を 有 す る 正 規 リー

マ ン 被 覆 と す る.ρ:G(M/M0)→U(N)を と し た と き,(ω,ρ)のL-関

数L(s,ρ)を

被 覆 変 換 群 のN次

元 ユ ニ タ リ表 現

形式 的に

 (9.1)

に よ り定 義 し よ う.こ

こ でpはM0の

素 サ イ ク ル 全 体 に わ た り,Bはpの

リフ

トの 一 つ で あ る.行 注 意. l(p)はpの

列 式 を 取 っ て い る の で リフ トの 選 び 方 に は よ ら な い こ と に

長 さ を 表 わ す.ρ

が 自 明 な 表 現1の

場合は

 (9.2)

こ れ を 特 に ζM0(s)と 書 き,M0の   一 般 に は,L(s,ρ)は

ゼ ー タ 関 数 と よ ぶ こ と に す る.

意 味 を 持 た な い こ と が あ る.実

際,連

続 無 限 個 の素 な閉

測 地 線 の 存 在 す る リ ー マ ン 多 様 体 も 存 在 す る(例 え ば 標 準 的 計 量 を 持 つ 球 面 に お け る 大 円 全 体).し

か し,も

し

 (9.3)

な ら ばL(s,ρ)はRes>h(M0)で 後 に,(9.3)を

絶 対 収 束 し,し

か もsに

満 た す 場 合 を 詳 細 に 考 察 す る が,こ

数 の 基 本 的 性 質 を 述 べ よ う.次   補 題9.1 ⅰ) 

つ い て 正 則 に な る.

こ で は こ れ を 仮 定 し てL-関

の 補 題 は 定 義 よ り明 ら か で あ る.

ρ1,ρ2が 同 値 な ら ばL(s,ρ1)≡L(s,ρ2).

 ⅱ )

を 有 限 リ ー マ ン 被 覆 の 列 と し,ω

  命 題9.2  と仮 定 す る.ρ をH=G(M2/M1)の

表 現 と し,ρ*を

ρのGへ

は 正 規

の 誘 導 表 現 とす

ると  

L(s,ρ*)=L(s,ρ)

  証 明   7節 の 記 号 を 利 用 す る.Gの

右coset分

に 注 意 し て,誘

題3.5)を

と な る.一

導 表 現 の 指 標 公 式(補

般 に 

解G=∪Hτiσxi(補 利用すれば

で あ るか ら

(m=fitと

し た)

(〓 はqのM2上

よって

題7.6)

の リ フ ト).

(証 了) 次 の 系 は 緒 言 に お い て 述 べ た 命 題(*)の 系9.2.1 

類 似 で あ る(27節

を 参 照 せ よ).

次 の リ ーマ ン 被 覆 写 像 の 可 換 図 式 を 考 え る.

ω 0を 正 規,G=G(M/M0)と (G,H1,H2)が

し,H1=G(M/M1),H2=G(M/M2)と

共 役 条 件(定

義3.6)を

した と き

満 た せ ば,

ζM1(s)=ζM2(s).   証 明   ρi=IndGHi(1)と

お く と,仮

定 に よ り ρ1と ρ2は 同値 で あ る か ら

ζM1(s)=L(s,ρ1)=L(s,ρ2)=ζM2(s).    L-関 数 は,被

(証 了)

覆 度 が 有 限 とは 限 ら な い 一 般 の 正 規 被 覆 に 対 し て も 定 義 す る

こ と が で き る.   ω0:M0→M0を

コ ン パ ク トなM0の

普 遍 被 覆 と し,ρ を π1(M0)の

有限次元

ユ ニ タ リ表 現 と し た と き

と お く.こ

こで

〈p〉は,pの

の 代 表 元 と す る.一般

自 由 ホ モ ト ピー 類 に 対 応 す る π1(M0)の

の 正 規 被 覆ω:M1→M0とG=G(M1/M0)の

対 し て は,L(s,ρ)=L(s,ρ°

φ)と お い て,L-関

π1(M0)→Gは,自

然 な 準 同 型 と す る.こ

の 定 義(9.1)と

一 致 す る こ と に 注 意 せ よ.

  緒 言 の 中 で 指 摘 し た よ うに,数

数 を 定 義 す る.こ

の 定 義 は,ω

論 に お け るL-関

数 も,適

当 な 仮 定 の 下 に,閉

数 は,素

数 定 理 の よ うな あ の節で定義 し

測 地 線 の 長 さの 分 布 に関 す る密

度 定 理 を 導 出 す る た め に 用 い る こ と が で き る.   し ば ら くの 間,問

こ で φ:

が 有 限被 覆 の場 合 は前

る 種 の 密 度 定 理 の 証 明 の た め の 一 つ の 手 段 と し て 導 入 さ れ た.こ た 幾 何 学 的L-関

共役類

表 現 ρに

題 を 抽 象 化 し て 考 察 す る こ と に し よ う.

P={p}を

可 算 集 合,N:P→Rを π(x):=#{p∈P;N(p)<x}

が 各x≧0に Pか

対 し て 有 限,か

らGの

つ π(1)=0と

共 役 類 の 集 合[G]へ

の写 像

P→[G]  が 与 え ら れ た と き,Gの

な る よ う な 写 像 とす る.群Gと,

(p→

〈p〉)

有 限 次 元 ユ ニ タ リ表 現 ρ に 対 し て,(P,G,N,ρ)のL-

関 数L(s,ρ)を

に よ り定 義 す る.   定 義9.3 

(P,G,N)は,L-関

を 満 た す と き(正

数hに

数 の 族{L(s,ρ);ρ

関 し て)"nice"と

はGの

表 現}が

次 の性 質

い わ れ る.

  (L-1) 

あ る 正 数hが

存 在 し て,L(s,ρ)はRes>hで

絶 対 収 束 し,正

  (L-2) 

L(s,ρ)はRes≧hを

含 む あ る 開 集 合 ま で 有 理 型 に 解 析 接 続 され る.

  (L-3) 

L(s,ρ)はRes≧hで

零 を 持 た な い.

  (L-4)  ρが 既 約 で 自 明 で な け れ ば,L(s,ρ)はRes≧hで   (L-5) 

L(s,1)はs=hで

単 純 な 極 を 持 ち.s=hを

則.

正 則. 除 い てRes≧hで

正

則.   命 題9.4 

(Chebotarev型

の 密 度 定 理)Gを

に 関 し て 上 の 意 味 でniceと

と な る(f(x)∼g(x),x↑

す る.こ

∞,は 

有 限 群 と し,(P,G,N)が

の と き 各 共 役 類[σ]∈[G]に

正 数h つ いて

を 意 味 す る).特 に 両 辺 を す べ て

の共役類上和を取れば

  証 明   h=1と

仮 定 し て も 一 般 性 を 失 な わ な い(N(p)の

れ ば よ い).Λ(s,ρ)=L′(s,ρ)/L(s,ρ)(L′(s,ρ)はsに

両 辺 にtrρ(σ-1)を 係 式(補

題3.4)に

掛 け て,Gの よ り

代 わ りにN(p)hを

関 す る1階

考え

微 分)と お く と

既 約 表 現 ρ全 体 で 和 を 取 る と,指

標 の 直交 関

左 辺 は,s=1で Res≧1で   (0,∞)で

単 純 な 極 を 持 ち,そ

の 留 数 は1で

あ る.さ

ら にs=1を

除い て

正 則. 定 義 さ れ た 単 調 非 減 少 関 数 φ(x)を

に よ り定 義 し よ う.こ

のとき

φ(0)=0

と な る.こ

こ でWiener-IkeharaのTauber型 φ(x)∼ex 

定 理(付 録A)を (x↑

∞),

換 言すれば  (9.4)

を 得 る.こ

の 漸 近 式 の 左 辺 を ψ(x,[σ])と

に 注 意 す れ ば,

と な る.と

ころ で

とな るか ら

一 方y=x/(logx)2と

す る と

お こ う.

適用す ると

こ うし て

を 得 る.従

っ て あ る 正 定 数Cが

  は1に

π(y)logx/xはx↑ 収 束 す る か ら,命

と な る か ら,π(y)≦Cyは

際(9.4)に

よ れ ば,

明 ら か で あ る. コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 の 有 限 正 規 リー マ ン

れ を 付 随 す るL-関

[σ]∈[G(M/M0)]に

な る こ と を 示 せ ば,

∞ の と き 共 に 零 に 収 束 し,logx/logy

題 の 主 張 に 到 達 す る.実

  系9.4.1 ω:M→M0を 被 覆 と し,こ

存 在 し て π(y)≦Cyと

数 が 正 数hに

対 し て,π(x,[σ])をM0の

関 し てniceと

す る.各

素 サ イ ク ルpで

共役類

次 の条 件 を 満

た す もの の 数 を 表 わ す: l(p)<x, 

pのMに

お け る リ フ トBが

存 在 し て(B￨ω)∈[σ].

この と き

と な る.特

に

を 得 る.   注 意   M0が

負 曲 率 の リー マ ン計 量を持 つ と き,常 に そ のL-関

が 示 され る(Adachi-Sunada[1]).本 曲率 曲面 の 場 合 に,上

数 はniceで

書 では6章 お よび7章 に お い て,特

の系 も含 め た 精密 化 され た密 度 定理 を 扱 う.

あ ること

にM0が

定負

第2章

  ラ プ ラシ ア ン

  い よ い よ 本 書 の 主 要 な 研 究 対 象 で あ る,ラ プ ラ シ アン の 基 本 的 事 項 に つ い て の 解 説 に 入 る.   10節

で は,リ

ー マ ン 多 様 体 上 の 関 数 に 作 用 す る ラ プ ラ シ アン を 定 義 し,そ

極 座 標 表 示 を 与 え る.そ で は,一 に,ラ

の 際,6節

の

で 用 意 を した 変 分 公 式 が 応 用 され る.11節

般 の 無 限 次 元 バ ナ ッ ハ 空 間 を フ ァ イバーと す る 平 坦 ベ ク トル 束 の 切 断 プ ラ シ ア ン の 作 用 を 拡 張 し,そ

の 基 本 的 性 質 を 述 べ る.こ

化 され た ラ プ ラ シ アン を 定 義 す る こ とは,決

し てgeneral

の よ うな 一 般

nonsenseで

は な い.

コン パ ク トな リー マン 多 様 体 の 被 覆 多 様 体 上 の 関 数 に 作 用 す る 通 常 の ラ プ ラ シ ア ン を 扱 う際 に,必

然 的 に 無 限 次 元 の 平 坦 束(詳

則 表 現 に 付 随 す る 平 坦 束)を

し く言 えば,被

考 察 す る こ と が 必 要 と な り,後

覆変 換 群 の 正

に ス ペ ク トル 問 題

を 手 掛 け る と き,こ の よ うな 見 地 の 有 効 性 が 理 解 さ れ る で あ ろ う(7章 12節

で は,熱

方 程 式 お よ び そ の 基 本 解 と し て の 熱 核 を 定 義 す る.ラ

の 研 究 に お い て,熱

方 程 式 が 重 要 な 役 割 を 果 た す こ と は,す

示 す と こ ろ で あ る が([5],[18],[19],[61]),本 13節 の 目的 は,熱

存 在 は,14お

よ び15節

の 性 質(一

を,熱

意 性 等)を

で 確 立 さ れ る.そ

導 き 出 す こ と で あ る.熱

の 証 明 に お い て,10節

プ ラシ アン の ス ペ ク トル が,重

核 の 性 質 を 用 い て 証 明 す る.さ

で に 多 くの 仕 事 が

ニ タ リ表 現 に 付 随 す る 平 坦 束 に お い

プ ラシ ア ン の 極 座 標 表 示 が 有 効 に 利 用 さ れ る.16節 場 合 に,ラ

プ ラシ ア ン

書 に お い て も そ れ は 同 様 で あ る.

核 の 構 成 を す る前 に,ユ

て 熱 核 の 存 在 を 仮 定 し,そ

を 見 よ).

で は,有

で 与 え た,ラ

限 次元 の 平 坦 束 の

複 度 有 限 な 固 有 値 のみ か ら成 る こ と

ら に こ の 節 の 結 果 を 用 い て,固

に 関 連 す る ゼ ー タ関 数 の 諸 性 質 を,17節

有値分布

で 述 べ る.

  §10  リー マ ン 多 様 体 上 の ラ プ ラ シ ア ン   fを はTxM上

リー マ ン 多 様 体M上

のC∞-関

核の

数 と す る.対

応X∈TxM→(Xf)(x)∈R

の 線 型 汎 関 数 で あ る か ら 〈X,Y〉x=(Xf)(x)を

満 た すY∈TxM

が 一 意 的 に 定 ま る.Y=gradxfと な り,写

お く とgrad

fはM上

のC∞-ベ

像 grad:C∞(M)→C∞(TM),f→grad

は1階

ク トル 場 と

の 線 型 微 分 作 用 素 で あ る.実

を 得 る.定

f

際,局

所 座 標 系(x1,…,xn)を

義 よ り 明 ら か にgrad(f・f′)=f

  次 に 作 用 素gradの 義 し よ う.す

grad

f′+f′ grad

使 えば

f.

形 式 的 共 役 で あ る 作 用 素div:C∞(TM)→C∞(M)を

な わ ち,す

べ て のf∈C∞0(M)お

よ びX∈C∞(TM)に

定 対 して

 (10.1)

を 満 足 す る よ うにdivを

定 義 す る.ま ずfの

台 が 局 所 座 標 系(x1,…,xn)の

に 含 まれ て い る と仮 定 し, 

こ れ か ら(も しdiv

と な る.逆

にdiv

Xが

Xを

と す る.こ

存 在 す る と す れ ば),div

Xの

こ の 式 の 右 辺 で 定 義 す れば,こ

方 に よ ら な い こ と は 直 接 計 算 で 確 か め ら れ,(10.1)を る.さ

ら にdiv(fX)=f・div

  定 義10.1 

X+〈grad

f,X〉

微 分 作 用 素Δ=ΔM=div°gradをM上

プ ラ シ ア ン とい う.   ΔMの 局 所 表 示 は

近傍

の と き上式 の左 辺 は

局所表示 は

れが局所座標系の取 り 満 た す こ と も容 易 に 分 か

も 明 ら か. の(関

数 に 作 用 す る)ラ

に よ り与 え ら れ る.次

の 補 題 は 容 易 に 証 明 さ れ る.

  補 題10.2 Δ(f・f′)=f・Δf′-2〈grad f,grad

f′〉+f′・Δf.

  次 に ラ プ ラ シ ア ン の 極 座 標 表 示 を 求 め よ う.x∈Mに さ く取 り,指

数 写 像 が 球Bε(0)={υ

い る と す る.TxMの

∈TxM;‖υ‖

正 規 直 交 基 底e1,…,enを

対 し て ε>0を

十分小

≦ ε}上 で 微 分 同 相 を 与え 固 定 し,xの

て

ま わ りの 座 標 を

(x1,…,xn)→expx(x1e1+…+xnen) に よ り 入 れ る(測 地 座 標).θ(υ)=￨det dυ

expx￨と

お く と,体

積要素の変換式

dυg=θdx1…dxn を 得 る が,θ(x,exp υ)=θ(υ)と

お く こ と に よ り,θ を{(x,y)∈M×M;d(x,y)

≦ ε}上 の 関 数 と 見 な す こ と に す る.gij(exp υ)=〈dυ な る こ と か ら θ(x,y)2=det

g(y).し

expx(ei),dυ expx(ej)〉

と

た が って 測 地 座 標 に よ る表 示

を 得 る.次 の 補題 は,作 用 素 Δが 測 地 座 標 の原 点 に お い ては,通 常 の ラプ ラシ ア ン の形 を し て い る こ とを 示 し て い る.  補 題10.3   証 明   θ(0)=1,gij(0)=δijで

にA(t)をC∞-正

あ る か ら 

方 行 列値 関 数 と し,Aでtに

を 示 せば よ い.一

関 す る導 関 数 

般

を表 わ す こ

とにす る と

と な る こ と に 注 意.よ dtυ exp

ei,Ji(t)=tEi(t)と

を 示 せ ば よ い こ と に な る.Ei(t)=

っ て  お

く と,Ji(t)は

ビ 場 で,Ji(0)=0,Ji(0)=ei,Ji(0)=2Ei(0).一 Ei(0)=0.こ

うし て

測 地 線t→exp tυ 方Ji(0)=-R(υ,Ji(0))υ=0よ

に沿

うヤ コ り

(証 了)   系10.3.1 

c1,…,cn:(-ε,ε)→Mを

測 地 線 と し

c1(0)=…cn(0)=x c1(0),…,cn(0)はTxMの

正 規 直 交基

と 仮 定 す る.

この とき

 UxM={υ

∈TxM;‖υ‖=1}をTxMの

中 の単 位 球 面 と し,TxMの に よ り与 え る.xの

  を, 

さ れ た 関 数fに

対 し てf(r,υ)=f(expx rυ)と

こ と に す る.記

号 と し て,fのr-方

お い て,fの

極 座標

まわ りで 定 義

極座標表示 と よ ぶ

向 の微 分 を

と 書 く こ と に し よ う.   定 理10.4 

f=f(r,υ)がυ

  証 明   y=expx る.た

rυ

だ し,c1(t)=expx

で あ る.各i≧2に αi(s,t)がxとci(s)を

に は よ ら ず,rの

と し,yに

お い て 直 交 す る 測 地 線 の 集 合{c1,…,cn}を

tυ,c2(0)=…=cn(0)=yと

対 し て,曲

み の関 数 とす る と

す る.上

面 αi:(-ε,ε)×[0,r]→Mを,曲

結 ぶ 測 地 線 と な る よ うに 定 義 し, 

取

記 の系 に よ り

線t→ とお

く.Jiは

測 地 線c1に

沿 う ヤ コ ビ場 で あ りJi(0)=0,Ji(r)=ci(0)を

満 た す.

 であ るか ら

こ こ で 第 一 変 分 公 式(補

題6.1)を

使え ば,Ji(0)=0か

つJi(r)はc1(r)に

直

交 す る こ とか ら

を 得 る.一

方

と な る か ら,第

二 変 分 公 式(例6.4)を

利 用 し て,右

辺は

〈Ji(r),Ji(r)〉 に 等 し い こ とが わ か る.こ Ei(t)=dtυ exp はTyMに

こ で 補 題10.3の

eiを 再 び 利 用 す る. 

お け る 基 底 と な っ て い る.よ

と書 け るが,  な っ て い る か ら,ヤ

証 明 に お い て 使 っ た ベ ク トル 場 と お

く と,J1(r),…Jn(r)

っ て 可 逆 行 列(aij)に

{Ji(t)}は 共 に ヤ コ ビ場 で あ り,t=0で

よ り

零 ベ ク トル と

コ ビ 場 の 境 界 条 件 下 の 一 意 性 に よ り,す べ て のt∈[0,r]に

対 して

が 成 立 す る.故 に両 辺 をtに

よ り共 変 微 分 し て,次 式 を 得 る.

 ⅱ

特 にt=rと

gij(exp

おけ ば

tυ)=〈Ei(t),Ej(t)〉

の 両 辺 をtに

関 し て 微 分 し て,t=rと

す ると

  (10.2)

一方

で あ る か らA=(aij)と

お くと (gij)=(AA*)-1.

よ っ てyに

おいて

 (10.3)

を 得 る が,

よ り,(10.2)の

を 得 る.こ

両 辺 にgijを

う し て,求

掛 け て,i,jに

つ い て 和 を 取 り,(10.3)を

め る式

に 至 る. 

(証 了)

  注 意  ⅰ)  θ の 定 義 よ り,θ(x,y)=θ(y,x)が

) fに 関 す る定 理10.4の   最 後 に,ラ で あ る か ら,略

適 用 して

成 立 す る.

仮 定 の下 に, 

プ ラ シ ア ン の 基 本 的 性 質 を,い す こ と に す る.

と な る.

くつ か 述 べ て お こ う.証明

は容易

  補 題10.5 

(1) f1,f2∈C∞0(M)と

 (2)  f∈C∞0(M)に

す る と

対 し て,

  (3) ω:M→M0を

リー マン 被 覆 とす る と,f∈C∞(M0)に ΔM(f°ω)=(ΔM0f)°

  (4)  Mを

コ ン パ ク ト と し,f∈C∞(M)が

対 して

ω.

方程式

Δf=0を

満 た す な ら ば,f

は 定 数 関 数 で あ る.

 §11  平 坦 ベ ク トル 束 と ラ プ ラ シ ア ン   Mを

リー マン 多 様 体,ω:M1→Mを

被 覆 変 換 群Gを

覆 と し,バ

ナ ッ ハ 空 間V上

のGの

し よ う.Eρ

を ρに 付 随 す る 平 坦 束,そ

等 距 離 表 現 ρを 考 え る.4節

σab∈Gが

よ り定 義 すれ

ρ(σab)が成 立 す る よ う な

の フ ァ イ バー に 属 す る ベ ク トル[x1,υ]∈(Eρ)x(x=

ω(x1))に 対 し て,(Eρ)x上 =υ

Φa(e)=(x,Φa,x(e))に

し た と き,Φa,b(x)=Φa,xΦb,x-1≡

存 在 す る.x上

の記号を復習

の 局 所自 明 性 を 与 え る写 象 

に 対 し て,Φa,x:(Eρ)x→Vを ば,x∈Oa∩Obと

有 す る 正 規 リー マン 被

の ノ ル ム を‖ ・‖xと 記 す こ と に す る と,Φa ,x([x1,υ])

で あ る か ら, ‖[x1,υ]‖x=‖υ‖v

と な る.ρ

が ヒ ル ベ ル ト空 間V上

の ユ ニ タ リ表 現 な ら ば,Eρ

量 を 持 つ ベ ク トル 束 と な り,(Eρ)x上

の 内 積 を 〈,〉xに

〈[x1,u],[x1,υ]〉x=〈u,υ

は エ ル ミ ッ ト計

よ り記 せ ば

〉v

を 得 る.   Eρ の 切 断 に つ い て 考 察 し よ う.一 ベ ク トル 束Eの 持つ.sa:Oa→Vを

般 に,局

所 自 明 性 を 与 え る 写像 Φaを 持 つ

切 断s:M→E(π°s=IdM)は,次

の よ うな 局 所 表 示{sa}を

関係式

  (11.1) 

Φa(s(x))=(x,sa(x))

を 満 た す よ う に 定 義 し よ う.こ

の と きOa∩Ob上

で

sa(x)=Φab(x)sb(x). 逆 に 関 数 族{sa:Oa→V}が,各

交 わ りOa∩Ob上

で この 関 係 式 を 満 た し て

い れば,Eρ

の 切 断sを,(11.1)が

満 足 さ れ る よ うに 一 意 的 に 定 め る こ と が で

き る.   平 坦 束 の 切 断 に つ い て は,さ 対 し て,M1上

のV-値

ら に 便 利 な 記 述 の 方 法 が あ る.Eρ

の 切 断sに

関 数sが, s(ω(x1))=[x1,s(x1)]

を 満 た す よ うに 一 意 的 に 決 ま り,sは

関係式

s(σx1)=ρ(σ)s(x1),σ を 満 足 す る.逆

に こ の 性 質 を 持 つsは,切

上 へ の)リ フ ト と よ ぶ.以

∈G

断sを

後 こ の 対 応s sに

一 意 的 に 定 め る.sをsの(M1 よ り,Eρ

の 切 断 とM1のV-

値 関 数 を 同 一 視 す る.   一 般 に ベ ク トル 束Eに 空 間 を 表 わ し,コ   s∈C∞(Eρ)に

対 し て,C∞(E)に

よ りC∞-級 切 断 全 体 か ら な る 線 型

ン パ ク トな 台 を 持 つC∞-級

切 断 の 空 間 はC∞0(E)と

記 す.

対 して

と お く.ρ がユ ニ タ リ表 現 の 場 合 に は,C∞0(Eρ)上

の 内積

に よ り定 め,‖s‖L2=〈s,s〉1/2L2とお く.s1,s2:M1→Vを

〈,〉L2を

そ れ ぞ れs1,s2に

対応

す る リ フ ト とす る と

とな る.こ こでD⊂M1はG-作

用 に 関 す る基 本 領 域,す な わ ち (分 離 和)

と な る も の とす る.ノ

ル ム‖・‖L2に

関 す るC∞0(Eρ)の 完 備 化 をL2(Eρ)と

  有 限 次 元 フ ァ イ バ ー を 持 つ 二 つ の ベ ク トル 束E1,E2がM上

記 す.

に 与え ら れ,さ

らに 微分 作用 素 D:C∞(E1)→C∞(E2) が 与え ら れ て い る と し よ う.こ

の と きDの

拡張

を 次 の よ うに 定 義 す る.  ⅰ) Oa⊂Mを

十 分 小 さ く と る こ と に よ り,E1￨Oa,E2￨Oaは

自 明 か つOaは

 ⅲ

Mの

座 標 近 傍 と な る よ うに す る.局

C)→C∞(Oa,C)に

対 し て は,拡

所 的 に 定 義 さ れ た 微 分 作 用 素D:C∞(Oa,

張D:C∞(Oa,V)→C∞(Oa,V)を

標 準的 方法

で 定 義 す る.  ⅱ) 

局 所 自 明 性 を 与 え る 写 像 

を 固 定 し,e1,

… ,erε をCrε の 標 準 基 と す る.Aεij(x),x∈Oa∩Ob,を

が 成 り立 つ よ うに 定 義 す る.Da:C∞(Oa,Cr1)→C∞(Oa,Cr2)をDの

局所表示

と し よ う.こ の と き微 分 作 用 素Daij:C∞(Oa,C)→C∞(Oa,C)(1≦i≦r2,1≦j ≦r1)を

が 満 た さ れ る よ う に 定 義 し,C∞(Oa,V)に

拡 張 し て お く.関

係 式Φ2abDb=Da

Φ1abよ り

を 得 る. の 局 所 表 示saは,一

) 

と 書 き 表 わ さ れ る.こ

意的 に

の とき

と お く と,  (11.2)

す なわ ちDρaは 大域 的 に 定 義 され た 作 用 素  局 所 表 示 とな る.実 際

よ り

を 得 る が,Φabは

定 値 で あ る こ とを 利 用 し て

の

と な る.一

方

と な り,(11.2)が

示 さ れ た こ と に な る.

  補 題11.1 ⅰ) 

二 つ の 微 分 作 用 素D1:C∞(E1)→C∞(E2),D2=C∞(E2)→

C∞(E3)に

対 して D2ρ°D1ρ=(D2°D1)ρ.

 ⅱ)  E1,E2が

共 に 内 積 を 持 つ ベ ク ト ル 束 と し,ρ

D*:C∞(E2)→C∞(E1)はDの はDρ

形 式 的 共 役 を 表 わ す も の とす る.こ の と き(D*)ρ

の 形 式 的 自 己 共 役 で あ る.

 ⅲ)  =D

が ユ ニ タ リ表 現 とす る.

二つ の 表 現 ρ1,ρ2が同 値 な ら ば,Eρ1とEρ2の

自 然 な 同 一 視 の 下にDρ1

ρ2.

  証 明 は,定

義 に 立 ち 帰 え れ ば,ほ

  上 の 一般 論 に 従 っ て,ラ し た も の を Δρと し,表   命 題11.2 ⅰ) 

プ ラ シ アンΔ:C∞(M)→C∞(M)をC∞(Eρ)に

拡張

現 ρに 付 随 す る ラ プ ラ シ ア ン と よ ぶ.

ρが ユ ニ タ リ表 現 と す る と,Δ ρは 形 式 的 自 己 共 役 で あ る.す

な わ ち,s1,s2∈C∞0(Eρ)に

が 成 立 す る.さ

と ん ど 自 明 で あ る.

対 して

ら にs∈C∞0(Eρ)に

 ⅱ) s∈C∞(Eρ)のM1上

対 して

へ の リフ トをsと

す る と,ΔM1sはΔ

ρsのリ フ トで あ

る.   証 明   微 分 作 用 素grad,divを

  補 題11.1 ⅰ)  お よ びⅱ)に (div°grad)ρ=divρ°gradρ

拡 張 す る:

よ りdivρ

はgradρ

とな る こ と か ら,補

の 形 式 的 共 役 で あ り,Δ ρ=

題 の 主 張 を 得 る.ⅱ)は

Δρの 定 義

よ り明 ら か. 

(証 了)

  GのLp(G)(1≦p≦ 断 の 空 間 と,被

∞)上 の 右 正 則 表 現 ρrに 対 す る 平 坦 ベ ク トル 束Eρrの 覆 空 間M1上

存 在 す る.s∈C∞(Eρr)と

ら,Gの

の 複 素数 値 関 数 の 空 間 の 間 に は 次 の よ うな関 係 が

し,対

sで 表 わ す こ と に す る.す

切

応 す る リ フ ト(M1上

な わ ち 各x1∈M1に

のLp(G)-値

関 数)も

対 し てs(x1)∈Lp(G)で

元 σ を 代 入 す る 操 作 が 考 え ら れ る.特

に 単 位 元1を

同 じ

あ る か

代入 して

f(x1)=s(x1)(1) と お く.こ

の と きf∈C∞(M1)∩Lp(M1).実

際f(σx1)=s(σx1)(1)=s(x1)(σ)に

注意 して

(p=∞

の とき に は

を 利 用).   逆 に,f∈C∞0(M1)に

対 し て,Eρrの

切 断sを

s(x1)(σ)=f(σx1)

に よ り定 義 す る.こ たM1上

の 関 数 は,元

と が で き る.p<∞ の と き,対

の と きs∈C∞(Eρr)と のfで

あ る.し

な り,こ

上 の 方 法 で対 応 させ

た が っ て,C∞0(M1)⊂C∞(Eρr)と

の と き,C∞0(M1)はC∞(Eρr)の

応f→sは

のsに

みなす こ

中 で 稠 密 で あ り,特

にp=2

ヒル ベ ル ト空 間 の 等 距 離 同 型 L2(M1)→L2(Eρr)

に 拡 張 さ れ る.   C∞0(M1)に

はGが

ァ イ バ ー を 保 つG-作 にGが

自 然 に 作 用 す る(σ・f(x1)=f(σ-1x)).一 用 が,左

自 然 に 作 用 す る.対

に 確 か め ら れ る.特

にp=2の

方Eρrに

は,各

フ

正 則 表 現 ρlに よ り誘 導 さ れ(例4.9),C∞(Eρr)

応f→sは,こ と き,上

れ ら のG-作 の 同 型 

用 を 保 つ こ とは 直 ち

はG-同

型で

あ る.   補 題11.3 

次 の 図 式 は 可 換 で あ る.

  証 明  f∈C∞0(M1)に

対 応 す るs∈C∞(Eρr)を

取 っ た と き,σ ∈Gが

等距 離 変

換 で あ る こ とか ら

とな り,可   系11.3.1 

換 性 を 得 る.  p=2と

(証 了)

す る.こ

の と きΔM1お

よ びΔ ρrの 最 小 閉 拡 大

ΔM1:L2(M1)→L2(M1) Δρr:L2(Eρr)→L2(Eρr) は ユ ニ タ リ同 値 で あ る.特   上 の 議 論 は,誘

にSpect(ΔM1)=Spect(Δ

ρr).

導 表 現 の 場 合 に 次 の よ うに 一 般 化 され る. M2→M1→M

を リー マ ン 被 覆 の 列 と し,合 H=G(M2/M1)と

成M2→Mは

し よ う.(ρ,V)をHの

の 誘 導 表 現 と す る(2節

参 照).M1上

正 規 被 覆 とす る.G=G(M2/M), ユ ニ タ リ表 現 と し,(ρ*,V*)をGへ

の 平 坦 束Eρ,M上

の 平 坦 束Eρ*に

対 し て,

等 距 離 同型 L2(Eρ)→L2(Eρ*) が 次 の よ うに し て 定 義 さ れ る.Eρ

の 切 断sに

対 し てEρ*の

切 断s*を

s*(x)(σ)=s(σx),x∈M2 に よ り定 義 す る.実

際 

ρ*(σ)s*(x)と な り,s*はEρ*の =s*(x)(1)と

切 断 で あ る.逆

にEρ*の

お く と, 

な る か ら,sはEρ とす る と

よ り,s*(σx)=

の 切 断 と な る.一

切 断s*に

対 し てs(x) と

方,DG⊂M2をG-作

用 に関 す る基 本 領 域

は,H-作

用 に 関 す る 基 本 領 域 と な り,従

を 得 る.こ

う し て 対 応s〓s*は

さ ら に 系11.3.1の   補 題11.4 

って

に 拡 張 さ れ る.

等 距 離 同 型 

証 明 と全 く 同 様 に 次 の 補 題 が 示 さ れ る.

Δρお よ び Δρ*の 最 小 閉 拡 大 は ユ ニ タ リ同 値 で あ る.

  本 節 の 最 後 の 注 意 と し て,p=∞ C0(Eρr)は 対 応s〓fに

よ り,被

の と き,Eρrの 覆 空 間M1上

一 視 さ れ る こ と を 示 そ う.s∈C0(Eρr)と

連続な切断全体の空間

の有 界 一 様 連 続 関 数 の空 間 と 同

す る と,任

意 の ε>0に

対 し て,

d(x1,y1)<δ(x1,y1∈M1)⇒‖s(x1)-s(y1)‖L∞(G)<ε とな る 正 数 δが 存 在 す る か ら,￨f(x1)-f(y1)￨=￨s(x1)(1)-s(y1)(1)￨<ε.よ てfはM1上

一 様 連 続 と な る.逆

にfが

っ

有 界 一 様 連 続 と仮 定 す る と

￨f(σx1)-f(σy1)￨<ε が,任

意 の σ∈G,d(x1,y1)<δ

とな る 任 意 のx1,y1∈M1に

対 し て成 立 す る

か ら ‖s(x1)-s(y1)‖L∞(G)≦ ε. 故 にs∈C0(Eρr).

  §12  熱 方 程 式 と そ の 基 本 解(熱   Mを る.M上

リー マ ン 多 様 体,Δ=ΔMをM上

核) の 関数 に作 用 す る ラ プ ラ シ ア ン とす

の 熱 作 用 素Lは

に よ り定 義 さ れ た(0,∞)×M上

の 関 数 に 作 用 す る 微 分 作 用 素 で あ る.

  定 義12.1 

の 関 数k(t,x,y)は

(0,∞)×M×M上

次 の 性 質 を 満 た す と き,

熱 方 程 式 の 基 本 解,あ つ い でC2-級

る い は ΔMの 熱 核 と い う:kはtに

つ い てC1-級,xに

であ り

 ⅰ )

 ⅱ)  M上

の 任 意 の有 界 連 続 関 数fに 対 し て

が 任 意 のx∈Mに   例12.2 

お い て 成 り立 つ.

M=(Rn,標

準 計 量)と

す ると

k(t,x,y)=(4πt)-n/2exp(-￨x-y￨2/4t) が

Δ=ΔRnの

熱 核 と な る.実

よ りLxk≡0を

t↓0と

得 る.一

際

方z=(x-y)/(4t)1/2と

よ り右 辺 はf(y)に

す る と, 

  14,15節

で,コ

体 上 に は,熱

お く と

収 束 す る.

ン パ ク トな リ ー マ ン 多 様 体 お よ び そ の 普 遍 被 覆 リー マ ン 多 様

核 が 実 際 に 存 在 す る こ と を 示 す.こ

の 主 張 は,一

般 の平 坦 束 に 作

用 す る ラ プ ラ シ ア ン に 対 応 す る 熱 核 の 存 在 定 理 の 特 別 な 場 合 に 当 た る.以

下

Δρの 熱 核 の 定 義 を し よ う.   Mを

コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体,ρ:π1(M)→GL(V)を

バ ナッ ハ 空 間V

上 へ の 基 本 群 の 等 距 離 表 現 とす る.対 応 す る 平 坦 ベ ク トル 束 をEρ,Δ ρ:C∞(Eρ) →C∞(Eρ)を

ラ プ ラ シ ア ン とす る .上

と同 様 に して 熱 作用 素

を 考 え る.Lρ

に 対 す る基 本 解 の 定 義 も ほ と ん ど定 義12.1と

  定 義12.3 

切 断  は 次 の 性 質 を 満 た す と き,Lρ

核 と い う.

同 様 で あ る:

の 基 本 解,あ

る い は Δρの 熱

 ⅰ )  kρはtに

つ い てC1-級,yに

つ い てC2-級

であ り

Lρ,xkρ ≡0. ⅱ )  任 意 のs∈C0(Eρ)s*∈C0(E*ρ)に

対 し て,

  次 節 で 次 の 定 理 を 証 明 す る.   定 理12.4 

熱 核kρ は 常 に 存 在 す る.特

に ρ が ユ ニ タ リ表 現 の 場 合 は,熱

は 唯 一 つ 存 在 し,kρ ∈C∞((0,∞)×M×M,End(Eρ))と

  §13  熱 核 の 性 質(ユ

な る.

ニ タ リ表 現 の 場 合)

  こ の 節 を 通 し て,Mは ベ ル ト空 間V上

核

コ ン パ ク トな リ ー マ ン 多 様 体,Eρ

は π1(M)の

ヒル

の ユ ニ タ リ表 現 に 付 随 す る 平 坦 束 とす る.F∈C0([0,∞)×M;

Eρ)に 対 し て,熱

方程式

 (13.1)

(sはtに

つ い てC1-級,xに

つ い てC2-級)を

考 え よ う.F≡0の

場合を同次熱

方 程 式 と い う.   補 題13.1  式(13.1)の

s0∈C0(Eρ)と

す る と,初

期 条 件s(0,x)=s0(x)を

満 足 す る方 程

解 は 高 々 一つ で あ る.

  証 明   s1,s2∈C0([0,1]×M;Eρ)を

二 つ の 解 とす る と,s=s1-s2と

おいた と

き 次 式 が 成 り立 つ. Lρs=0, 

を 考 え る.両

tの 関 数 

とな る が,こ   補 題13.2 

s(0,・)≡0.

れ はf(t)≡0,す

な わ ちs(t,x)≡0を

s1,s2∈C0((0,t)×M,Eρ)を

数 に つ い て はC2-級

とす る.こ

辺 をtに

つ い て 微 分 して

意 味 す る. 

(証 了)

時 間 変 数 に つ い て はC1-級,空

の と き 任 意 の 区 間[τ1,τ2]⊂(0,t)に

間変

対 して

 証 明

両 辺 を[τ1,τ2]×M上   定 理13.3 

積 分 す れ ば よ い. 

(証 了)

Lρ の 熱 核 は も し 存 在 す れ ば 唯 一 つ で,そ

れ をkρ(t,x,y)と

す る

と kρ(t,x,y)*=kρ(t,y,x) を 満 た す.   証 明   k1,k2を

熱 核 と し,υ1∈(Eρ)y1,υ2∈(Eρ)y2と

して

s1(τ,x)=k1(τ,x,y1)υ1,s2(τ,x)=k2(τ,x,y2)υ2 と お く と,Lρs1=Lρs2≡0.一

で あ る か ら,上

方,基

本 解 の 定 義(12.2)のⅱ)に

よ り

の 補 題 を 適 用 す れ ば 〈υ1,k2(t,y1,y2)υ2〉=〈k1(t,y2,y1)υ1,υ2〉

を 得 る が,こ

れ は k2(t,y2,y1)*=k1(t,y1,y2)

と な る こ と を 示 し て い る.特

にk=k1=k2に

適用 して

k(t,y2,y1)*=k(t,y1,y2) と な り,こ

れ よ り 主 張 を 得 る. 

  定 理13.4  s0(x)の

kρ(t,x,y)を

と す る と,熱

方 程 式Lρs=F,s(0,x)=

解 は

に よ り与 え ら れ る.特 等 し い.

Δρの 熱 核

(証 了)

に 同 次 方 程 式Lρs=0の

解 は 

に

  証 明   s1(τ,x)=s(τ,x),s2(τ,x)=kρ(τ,x,y)υ,υ 代 入 し

τ1↓0,τ2↑tと

dυg(x)と

∈(Eρ)yと

お い て 補 題13.2に

す る と

な る か ら,定

理 の 主 張 を 得 る. 

(証 了)

  線 型 写 像Ktρ:C0(Eρ)→C0(Eρ)を

に よ り定 義 し よ う.   補 題13.5 

Kt1ρKt2ρ=Kt1+t2ρ,t1,t2>0.

  証 明  主 張 は

と同値 で あ る.し か し両 辺 と も,方 程 式

の 解 で あ る か ら,解   補 題13.1の

の 一 意 性 に よ り主 張 を 得 る. 

(証 了)

証 明 の 内容 か ら ‖Ktρs‖L2≦ ‖s‖L2,  s∈C0(Eρ).

よ っ てKtρ は 有 界 作 用 素Ktρ:L2(Eρ)→L2(Eρ)に に よ り 自 己 共 役 で あ る.さ

拡 張 さ れ,し

か も 定 理13.3

らに (Ktρs,s)L2=‖Kt/2ρs‖2L2≧0

よ りKtρ は 非 負 な 作 用 素 で あ る.   補 題13.6 

s∈L2(Eρ)に

対 し てKtρs∈C∞(Eρ),t>0,で (L2-収

あ り

束).

  証 明   第 一 の 主 張 は 次 節 で 見 る よ う にkρ(t,x,y)がC∞-級 ら か.第

二 の 主 張 に つ い て はs∈C0(Eρ)の

s∈L2(Eρ)に

対 し て は,ε>0を

満 たす よ うに選 び

で あ る こ とか ら明

と き は 熱 核 の 定 義 に よ る.一

任 意 に 取 っ て,s′

∈C0(Eρ)を

般 の

‖s-s′‖L2<ε を

に 注 意 す れ ば 十 分 で あ る.    補 題13.7 

(証 了)

KtρΔρs=Δ ρKtρs,s∈C∞(Eρ),が 成 り立 つ.

  証 明   s′∈C∞(Eρ)を 取 る.

こ う し て ΔρKtρ=Ktρ Δρを 得 る.    定 理13.8 

(証 了)

Δρ:C∞(Eρ)→C∞(Eρ)は,自

己 共 役 作 用 素 Δρ:L2(Eρ)→L2(Eρ)

に 拡 張 さ れ る.   証 明   Δρの 定 義 域〓=〓(Δ

ρ)を,Δ

わ ち あ る 列{sn}⊂C∞(Eρ)に

よ りs=lim

Δρsnが 存 在 す る よ う なsの

ρ￨C∞(Eρ)の 最 小 閉 拡 張 の 定 義 域,す snと 書 く こ とが で き て,し

全 体 と す る(収 束 は す べ てL2の

意 味) .次

な

か もlim の こ とを

示 せ ば よ い.   す べ て のs∈〓 ∈〓 t>0に

で,か

に 対 し て,〈Δ ρs,s1〉L2=〈s,s*1〉 と な っ て い れ ば,必

つs*1=Δ

対 し てs∈L2と

ρs1. す る と きKtρsは

も ち ろ ん〓

〈ΔρKtρs,s1〉L2=〈Ktρs,s*1〉L2. とこ ろが 左 辺 は

に 等 し く,

の 元 で あ るか ら

ずs1

故 にw-limΔ

ρKtρs1=s*1.よ

っ てs1∈〓

か つs*1=Δ

ρs1. 

(証 了)

  §14  熱 核 の 構 成   コ ン パ ク トな リ ー マ ン 多 様 体Mお

よび

π1(M)-バ

坦 ベ ク トル 束Eρ を 固 定 し て お く.ε>0をMの

ナ ッ ハ 空 間 に 付 随 した 平

単 射 半 径 よ り小 さ い 数 と し

Uε={(x,y)∈M×M;d(x,y)<ε} とお く.10節

で 定 義 し た 関 数θ(x,y)はUε

関 数 列u0,u1,,…,ui,…

上 で 意 味 を 持 っ て い る.Uε

上 の

を 次 の よ うに 帰 納 的 に 定 義 し よ う.

u0=θ-1/2

こ こ でx=expyυ

と し,Δ1は

第1変

数 に作 用 す る ラ プ ラシ アン を表 わ す もの

とす る.

と お く.こ

の と き

 補題14.1 

L1Sh=thTΔ1uh.

こ こ で 

と お い た.

 証明 一方

定 理10.4に

さ らに

よ り

で あ る か ら,

を 得 る が,括

とな る.と

孤{ 

}の

中 のti-1(0≦i≦h)の

こ ろ が,u0の

係数 は

定義 か ら

さ らに

と書 き 直す こ とに よ り

と な る か ら,ti-1(0≦i≦h)の

係 数 は す べ て 零 に な る こ とが わ か る. 

  Px,y:(Eρ)y→(Eρ)xをyか

らxへ

をM×M上

の[0,1]に

(t,x,y)∈(0,∞)×M×Mに

(証 了)

向 か う最 短 測 地 線 に 沿 う平 行 移 動 と し,φ

値 を 取 るC∞-関

数 で 次 の 性 質 を 満 足 す る も の と す る.

φ ≡1 

(Uε/4上 で)

φ ≡0 

(M×M＼Uε/2上

で).

対 し てHh(t,x,y):(Eρ)y→(Eρ)xを

 ⅱ

Hh(t,x,y)=φ(x,y)Sh(t,x,y)Px,y に よ り 定 義 す る.明

ら か にHh∈C∞((0,∞)×M×M;End(Eρ))で

  補 題14.2 

とす る と

 ⅰ)  Lρ1HhはCl([0,∞)×M×M,

)  Nを

End(Eρ))に

拡 張 され る

一 般 の 位 相 空 間 と しs∈C∞(N×M,Eρ),s*∈C0(N×M;E*ρ)と

る とN×Mの

す

任 意 の コ ン パ ク ト集 合 上 で 一 様 に

  証 明  ⅰ)  ρ=1(自

明 な 表 現)の

上 で はL1Hh≡0,よ

っ てt=0ま

場 合 に 示 せ ば 十 分.(0,∞)×(M×M＼Uε/2) で 拡 張 さ れ る.[0,∞)×Uε/4上

両 辺 をa回 性 は 高 々th-(n/2)-aで

あ る か ら,a≦lま

り 微 分 可 能 で あ る.故 る.次

あ る.

に0<ε′<ε/4と

で は 

微 分 す る と{0}×Uε/4上

で は{0}×Uε/4で0と

にL1HhはCl([0,∞)×

の特異

お くこ とに よ

ε/4)に 属 す る 関 数 に 拡 張 さ れ

す る と,[0,∞)×(Uε-Uε′)上

で

L1Hh=(4πt)-n/2exp(-d2/4t)fh (fh∈C∞([0,∞)×(Uε/Uε))と C∞([0,∞)×Uε)に  ⅱ) 

属 す る か らⅰ)が

ま ずN×Mの

と な る こ とに 注 意.指

に 等 し い.こ

示 さ れ た.

任 意 の コ ン パ ク ト集 合 上 一 様 に

数 写 像 でTxMに

こ でθ(x,expυ)はBε/4(0)上

の 外 で は 恒 等 的に0と N×Mの

書 け る こ と に 注 意.(4πt)-n/2exp(-d2/4t)は

移 れ ば,Bε/4(x)上

で

θ(x,expυ)に

お い た 関 数 で あ る.t↓0と

す る と,こ

任 意 の コ ン パ ク ト集 合 上ui(x,x)s(z,x)に

の積 分 は

等 し く,Bε/4(0) の 最後 の 積分は

一 様 に 収 束 す る か ら(12節

の 例 の 計 算 を 参 照),ⅱ)の

最 初 の 主 張 が 得 ら れ る.第

二 の 収 束 性 に つ い て も同

様. 

(証 了)

  一 般 にA,B∈C0([0,∞)×M×M; M×M;

End(Eρ))に

対 し てA*B∈C0([0,∞)×

End(Eρ))を

 (14.1)

に よ り定 義 し よ う.以 下 簡 単 の た め 

と 書 く.

  補 題14.3 

(m回))と

 な ら ばQh∈Cl([0,∞)×M×M;

End(Eρ))と

な り,t=0の

お く と, 近傍 で

が 成 り立 つ.   証 明   t0>0を

固 定 し,t∈[0,t0]と

す る.ま

ず (=Bと

と な る こ と は 明 白 で あ る.帰

(V=vol(M))を

示 そ う.m=1の

お く)

納法に より

と き は 明 ら か.m-1ま

で 成 立 す る と仮 定 す

ると

よ っ て す べ て のm≧1で ×M上

上 記 の 評 価 が 成 立 す る.こ

一 様 収 束 しQh∈C0([0,∞)×M×M)と

とお け ば 

を得 る.同 様 にK*mhの

用 す る こ とに よ り補題 の 主 張 が得 られ る. 

れ よ りQhは[0,t0]×M

な る.さ

らに

微 分 につ い て も 同様 の議 論 を 適 (証 了)

  補 題14.4 

t=0で

F∈C0([0,∞)×M×M;

とす る と(Hhが

End(Eρ)), 

特 異 性 を 持 つ に も か か わ ら ず),Hh*Fを(14.1)に

とが で き て,第1空

間 変 数 に 関 し てl階

よ り定 義 す る こ

微 分 可 能 に な る.さ

らに

L1(Hh*F)=-F+(L1Hh)*F を 満 た す.

 証 明 

と お く.補

に よ り φ は{(t,τ,x,y)∈M×M×[0,∞)×[0,∞);τ 張 可 能 で あ る か らHh*Fに

は 意 味 が あ る.微

≦t}に

題14.2(ⅱ)

連 続 関 数 と し て拡

分 可 能 性 も 同 様 に 証 明 さ れ る,

さ らに

とな るか ら主 張 の 等 式 を 得 る.   特 に 

(証 了)

と して

と お く とkρ=Hh+Hh*Fは

を 満 た す.さ

よ り,補

ら に 

を 得 る か ら,kρ

注意すれば

は 熱 核 で あ る.

  ρが ユ ニ タ リ表 現 の 場 合 に は,熱 お い て 示 さ れ て い る か ら,kρ kρ∈C∞

題14.2(ⅱ)に

核 は 存 在 す れ ば 唯 一 つ で あ る こ と が13節

はhの

と り方 に は よ ら な い.h↑

と な る こ とが わ か る.

  特 に 熱 核 の 構 成 の 仕 方 か ら,次

の 定 理 を 得 る.

∞

に

とす れ ば

定 理14.5

  §15  被 覆 多 様 体 上 の 熱 核 の 存 在   Mを

コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 と し,ω:M1→Mを

す る.被

覆 変 換 群G=G(M1/M)のL2(G)お

ρ2,ρ∞と 記 し て,対

正 規 リー マ ン 被 覆 と

よ びL∞(G)上

応 す る 平 坦 ベ ク ト ル 束 をE2,E∞

L2(G)⊂L∞(G)は,ベ

ク トル 束 と し て の 包 含E2⊂E∞

の右 正 則 表 現 を

に よ り表 わ す.包 を 導 く.

  11節 で 見 た よ うに,Δ ρ2:L2(E2)→L2(E2)はΔM1:L2(M1)→L2(M1)と 一 視 され ,前 者 は 熱 核 を 有 す る.こ の 節 の 目 的 は,定 義12.1の ΔM1の

熱 核 の 存 在 を 示 し,こ

  k2(t,x,y),k∞(t,x,y)に 核 と す る.13節

よ り,そ

よ り道cに

同 意味におけ る

れ と,Δ ρ 2の 熱 核 の 関 係 を 調 べ る こ と に あ る. れ ぞ れ14節

で 見 た よ うにk2(t,x,y)は

ろ で,P2,c,P∞,cに

含

で 構 成 し たΔ ρ2,Δ ρ ∞ に対 す る熱

一 意 的 に 定 ま る 熱 核 で あ る.と

沿 うE2,E∞

こ

に お け る 平 行 移 動 を 表 わ せ ば,明

らか に P∞,c￨E2=P2,c で あ る か ら,熱

が,す

核 の構 成 の 方 法 を 思 い 出 せ ば

べ て の(t,x,y)∈(0,∞)×M×Mに

わ ちk2はk∞

対 し て 成 立 す る こ と が わ か る.す

の 制 限 と 一 致 し て い る.L2(G)はL∞(G)の

な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.バ

弱位 相 の下 で 稠 密 に

ナ ッハ 空 間 に お け る 作 用 素 の 一 般 論(竹

之 内

[ⅱ])に よ り,k∞(t,x,y):(E∞)y→(E∞)xは,弱

位 相 に 関 し て 連 続 で あ る.従

っ てk2の

意 的 に 定 ま る こ と に な る.

拡 張 と し て の Δρ ∞ に 関 す る 熱 核 は,一

  一 般 の 切 断A∈C0(End(E∞))に

対 し て,積

な

分作用 素

 (15.1)

を 考 え よ う.D⊂M1を

基 本 領 域 と し,s,t,Aを

そ れ ぞ れs,t,AのM1上

への

リフ ト とす る と  (15.2)

と な る.4節

で 見 た よ うに,AはM1×M1上

a∈C0(M1×M1)を

次 式 で 定 義 し よ う.

のL∞(G×G)値

関 数 と見 な せ る.

a(x1,y1)=A(x1,y1)(1,1). fs∈C0(M1)をfs(y1)=s(y1)(1)と

し て 定 義 す る と,(15.2)に

よ り次 式 が 成 り立

つ.

M1上

の有 界 一様 連 続 な関 数 の 空 間 をB(M1)に

視 

よ り表 わ す こ とに す れ ば,同 一

の下 に(11節 の 最 後 の注 意 参 照),積

1)は,M1上

分 作 用 素(15.

の積 分作 用 素

 (15.3)

と 同 じ も の で あ る こ とが わ か っ た.   k∞ に 対 応 す るM1上   定 理15.1 

の 積 分 核 をkM1(t,x1,y1)と

kM1(t,x1,y1)は

し よ う.

ΔM1の 熱 核 で あ り,次

の 性 質 を 満 た す.

  a)

  b)   c)

  証 明   ま ずa)を ら(13節),実

数 値 のf∈C∞0(M1)に

が 成 り立 つ.こ

の こ とか らa)を

で あ る こ と と,今 る.次

示 そ う.Ktρ2:L2(E2)→L2(E2)が

にc)を

よ り,L∞(G)上

示 し たa)よ

非 負作 用 素 で あ る こ と か

対 して

見 る の は 容 易 で あ る.b)は,Ktρ りkM1は

示 そ う.k∞(t,x,y)の

が自 己 共 役

特 に 実 数 値 とな る こ と か ら明 らか で あ 定 義 の 仕 方,お

よ び 例4.9で

の 左 正 則 表 現 ρlか ら 誘 導 さ れ るE∞ 上 のG-作

述べた こと

用 と,k∞(t,x,y)

は 可 換 で あ る:

こ れ は,k∞

のM1×M1上

の

リ フ トk∞:M1×M1→L∞(G×G)に

対 し て

が成 り立 つ こ とを意 味 し,こ れ か ら

が 得 ら れ る.    次 にfを

(証 了)

一 般 の 有 界 連 続 関 数 と し よ う.(15.3)の

し て も意 味 を 持 つ.φ ≦1を

∈C0(M1)を,x1の

積 分 は,こ

近 傍 で 恒 等 的 に1,M1全

満 た す 関 数 と す れ ば,f・ φ,1-φ

の よ うなfに

対

体 で0≦

φ

は共に有界一様連続な関数で あ るか

ら

に お い て,

とな る こ とに 注 意 す れ ば

を 得 る.k∞(t,x,y)が

熱 方 程 式 

を 満 た す こ と か ら,

を 満足 す る こ とは容 易 に確 か め られ る.よ

kM1か 

っ てkM1は   命 題15.2 

ΔM1の 熱 核 で あ る. ρをGの

ユ ニ タ リ表 現 と す る と,級

数

 (15.4)

は,M1×M1の M1上

各 コ ン パ ク ト集 合 上,絶

の リ フ トに 等 し い.

対 一 様 奴 束 し,Δ ρの 熱 核kρ のM1×

  証 明   まず 自 明 な 表 現 ρ=1の 定 数 関 数 か ら 成 るG-部 はE∞

分 空 間Cと

作 用 す る 空 間 は はL∞(G)の

同 一 視 さ れ,従

っ て 自 明 な1次

の 部 分 束 と見 な せ て,Ktρ∞ のC0(M×C)=C0(M)へ

い.こ

う し て ΔM=Δ1の

わ か る.す

が 成

場 合 を 見 る.1の

な わ ちυ ∈CをG上

り 立 つ.こ

ろ が,定

熱 核kM(t,x,y)はk∞(t,x,y)の

こ でkM(t,x1,y1)はkMのM1×M1へ

理15.1に

よ り,kM1(t,x1,σy1)は

の 定 理 に よ り,級

はM1×M1の

の 定 数 値(=υ)関

の 制 限 はKρ1に 等 し 制 限 に等 し い こ と が 数 と見 な し て

の リ フ ト を 表 わ す.と 非 負 な 連 続 関 数 で あ る か ら,Dini

任 意 の コ ン パ ク ト集 合 上kM(t,x1,y1)に

一 様 収 束 す る.

示 し た こ とか ら,(15.4)の

コ ン パ ク ト集合 上 絶 対 一様 収 束 す る こ と が わ か る.2節

よ り,適

こ

数

 次に上 一般 の ρ に つ い て 考 察 す る.今 M1の

元 束M×C

当 な ヒ ル ベ ル ト空 間V0を

こ とが で き る.L∞(G,V0)に

選 べ ば,ρ

はL∞(G,V0)の

対 応 す る 平 坦 束 の 熱 核(のM1上

右 辺 がM1× の 最 後 の注 意 に 部 分 表 現 と思 う へ の リフ ト)kは

を満たすか ら

が 成 立 す る.従

って

とな り,こ れ をVに

制 限 す れ ば 主 張 を得 る. 

(証 了)

  §16  ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 値   前 節 と 同 様,Mは

コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 と す る.本

節 で は 特 に π1(M)

の 有 限 次 元 ユ ニ タ リ表 現 に 付 随 す る 平 坦 ベ ク ト ル 束Eρ に 対 す る ラ プ ラ シ ア ン Δρの ス ペ ク トル 問 題 を 考 え る.一 扱 う.

般 の 無 限 次 元 表 現 の 場 合 に つ い て は,7章

で

 

M×M上

の 平 坦 ベ ク トル 束End(Eρ)を

C∞(End(Eρ))の

元 で あ る.ρ

考 え よ う.△ ρの 熱 核kρ(t,・,・)は

は 有 限 次 元 で あ る か ら, 

とな

る.   次 の 補 題 の 証 明 は 容 易 で あ る.   補 題16.1 

{sk}をL2(Eρ)の

正 規 直 交 基 と す る と,thk∈L2(E*ρ 

の 正規 直 交 基 とな る.こ

に よ り定 義 し た と き,{thk}が  にu∈Vに

対 し てu*∈V*は,u*(υ)=〈υ,u〉

Eρ)を

こで 一般

に よ り定 義 さ れ る ベ ク トル を

表 わ す.   補 題16.2 

a(x,y)∈L2(End(Eρ))に

対 し て,積

分 作 用 素A:L2(Eρ)→

L2(Eρ)を

に よ り定 義 す る.こ

の と きAはHilbert-Schmidt型

で あ り,{si}をL2(Eρ)

の 正 規 直 交 基 とす れ ば  (16.1)

が 成 り立 つ.

 証 明   (16.1)の 右 辺=

(証 了)   Kρ=Kt/2ρ°Kt/2ρに 注 意 す れ ば(補 題13.5),上 S型

とな る こ と か ら,Ktρ

はt>0に

の 補 題 に よ りKt/2ρ(t>0)がH-

対 し て 跡 族 に 属 す こ と が わ か る.さ

らに

と な る.ま

とめ れ ば

 命 題16.3 

Ktρ(t>0)は

跡 を 持 ち,そ

の 跡 は 次 の よ うに 与 え ら れ る.

  次 の 定 理 は,Δ ρの ス ペ ク トル は す べ て 固 有 値 とな る こ とを 主 張 す る.   定 理16.4  べ て のsiが

L2(Eρ)のC∞-級

切 断 か ら な る 完 全 正 規 直 交 基{s0,s1,…}で,す

Δρの 固 有 ベ ク トル と な る も の が 存 在 す る .さ

らに

Δρsi=λisi と し,0≦

λ0≦λ1≦…

と並 べ て お く と,λi↑

∞.特

に 各 固有 値 の重 複度 は有 限

で あ る.   証 明   Ktρ(t>0)はL2(Eρ)の 作 用 素 の 族 と な る か ら,Ktρ {si}はL2(Eρ)の

コ ン パ ク トな 作 用 素 で あ り,{Ktρ}t>0は の 同 時 固 有 ベ ク トルs0,s1,…

可換な

∈L2(Eρ)を

選 ん で,

完 全 正 規 直 交 基 とな る よ うに で き る.Ktρsi=λi(t)siと

し よ う.

Ktρ の 半 群 と し て の 性 質 か ら λi(t)=λi(1)tと なり,‖Ktρs‖ 増 加 と な っ て い た か ら,logλi(1)≦0.改

はtに

め て-logλi(1)を

つ い て 単調 非

λiと お こ う.こ

の

とき Ktρsi=e-tλisi. Ktρsi∈C∞(Eρ)(t>0)で

に 注 意 す れ ば,siは る.一

方

あ る か ら,si∈C∞(Eρ)と

な る.次

に

Δρの 固 有 値λiに 属 す る 固 有 ベ ク トル と な る こ と が わ か

λi(1)↓0(i↑ ∞)よ

り,λi↑+∞(i↑

∞)も 結 論 さ れ る.

  系16.4.1

  補 題16.5  条 件 は,表

Δρの 最 小 固 有 値 を λ0(ρ)(≧0)と す る.λ0(ρ)=Oと

現 ρが 自 明 な 表 現1を

  証 明  Δ ρs=0と

部 分 表 現 と し て 含 む こ と で あ る.

な るs∈C∞(Eρ)  に よ り,gradρ

な わ ちs(x)=s(σx)=ρ(σ)s(x)で   14節

の記 号 を 用 い て

な る 必 要十 分

が存 在 す れ ば,  s≡0と

な り,sの

あ る か らCs(x)⊂VはG-不

リ フ トsは

変.逆

定 値.す

は 明 ら か.

と お こ う.次   定 理16.6 

の 定 理 は,系16.4.1お t↓0の

よ び 定 理14.5の

直 接 的 帰 結 で あ る.

とき

も っ と精 確 に 言 え ば,左

辺 を θ(t)と お い た と き 各,自

然 数N≧0に

ついて

が 成 立 す る.   注 意  u0(x,x)≡1で

あ るか らa0=vol(M).一

般 のaiは 曲 率 テ ン ソル とそ の高 階 共 変

微 分 の 多項 式 の積 分 と して 表 わ され る(Berger-Gauduchon-Mazet

[8]).

  §17  ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トラ ル ・ゼ ー タ 関 数   前 節 の 状 況 を こ の 節 で も続 け て 考え

る.Δ

ρの 固 有 値 を0≦

λ0(ρ)≦ λ1(ρ)≦…

とし

の場合 (一般 の場 合) と お い てΔ ρの(ス

 定 理17.1 ζ

ペ ク トラ ル)ζ-関

ρ(s)はRe 

数 と 呼 ぶ.明

ら か に

で絶 対 収 束 し,全s-平

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 

さ れ る.   証 明   φ(x)=#{λk(ρ);λk≦x}と

お くと

で あ る か らHardy-LittlewoodのTauber型

と な るが,こ

の こ と よ り ζρ(s)はRe 

明らかに こζ ρ(s)はRe 

定 理(付

録B)を

適用 して

で絶 対 収 束 す る こ と が 示 さ れ る. で 一 様 収 束 す る か らζ ρ(s)はRe 

で正 則 関 数 に な る.   次 に 全s-平 面 に 解 析 接 続 され る こ とを 見 よ う.Γ-関 数 の定 義 式

を 得 る.λ に 固 有 値 λk(ρ)を代 入 しλk(ρ)>0な

よ り 

る

kに つ い て 和 を と る と

と な る.こ

[0,1]お

m0=固

こ で 

よ び[1,∞)の

θρ(t)-m0はt↓ て のs∈Cに

有 値0の

し た.積

対 し て 収 束 し,sに

た が っ て 右 辺 の 第1項

つ い て 正 則 関 数 に な る.右

はすべ

辺 の 第2項

につい

適用 して

で 正 則 な 関 数 で あ る.こ

こ こ でfN(s)は 

れは

Γ(s)ζρ(s)がRe 

ま で 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る こ と を 示 し て い る.Γ(s)-1は 正 則,Nは

分を

部 分 に 分 け る:

∞ の と き 指 数 関 数 的 に 減 少.し

て は 定 理16.6を

重 複度,と

任 意 で あ っ た か ら,結

全平面 で

局ζ ρ(s)が全 平 面 に 解 析 接 続 さ れ る. (証 了)

  定 理17.2 

M2→M1→Mを

正 規 と仮 定 す る.H=G(M2/M1)の

有 限 リー マ ン 被 覆 の 列 と し,合 成M2→Mは 有 限 次 元 ユ ニ タ リ表現 ρ と,そ

導 表 現 ρ*に 対 し て ζρ(s)=ζρ*(s) が 成 立 す る(9節

の 命 題9.2と

比 較 せ よ).

  ΔρとΔ ρ*が ユ ニ タ リ同 値 で あ る こ とか ら,証

明 は 明 ら か で あ る.

のGへ

の誘

第3章  非正 曲率多様 体

  本 書 の 主 題 は,コ と で あ る か ら,基

ン パ ク ト多 様 体 の 基 本 群 と ス ペ ク トラ ム の 関 係 を 調 べ る こ 本 群 が 自 明 な,す

対 象 か ら外 され る.基

本 群 が"大

き い",し

率 が い た る 所 非 正(non-positive)な   こ の 章 で は,非

多 様 体 で あ る.

で は,閉

測 地 線 の空 間 を 詳

測 地 線 の 長 さ の 分 布 に つ い て,弱

い形 の 結

正 曲 率 多 様 体 の 族 の 中 で も特 別 な 平 坦 多 様 体 に つ い て は,基

群 の 完 全 な 特 徴 付 け が 可 能 で あ る か ら,20節 Nomizu[48],

か も あ る程 度 扱 い や す い 例 は,曲

正 曲 率 多 様 体 の 幾 何 学 的 構 造 を 略 述 し,閉

し く研 究 す る(18節).19節 果 を 述 べ る.非

な わ ち 単 連 結 な コ ン パ ク ト多 様 体 は 興 味 の

Wolf[108]を

曲 率 曲 面 に つ い て は,6章

参 照).負

本

に お い て これ を 扱 う(Kobayashi-

曲 率 多 様 体 の モ デ ル と も 言 うべ き 負 定

で 別 に 取 扱 う こ と に す る.

  §18  非 正 曲 率 多 様 体 上 の 閉 測 地 線   Mを

完 備 な リー マ ン 多 様 体 と し,そ

の 断 面 曲 率 が い た る 所 非 正,す

〈R(X,Y)X,Y〉 と 仮 定 す る.こ

の 節 を 通 し て,d(x,y)は

なわち

≦0 リー マ ン 計 量 に よ り定 ま る 距 離 を 表

わ す.   定 理18.1(Hadamard-Cartan)任

意 の 点x∈Mに

対 し て,指

数写像

expx:TxM→M は 被 覆 写 像 で あ る.   証 明   まずexpxが

局 所 微 分 同 相 写 像 で あ る こ と を 見 る.も

と な るu,υ ∈TxM,(u≠0)が

存 在 す る と仮 定 す る と,測

沿 う ヤ コ ビ場J(t)で  (18.1)

と な る も の が 存 在 す る こ と に な る(6節).ヤ J+R(c,J)c=0

しdυexpx(u)=0

地 線c(t)=expxtυ

コ ビ場 の 方 程 式

に

よ り 〈J,J〉=-〈R(c,J)c,J〉

≧0.

よっ て  (18.2)

こ うし て

〈J(t),J(t)〉 はtの

よ り 〈J(t),J(t)〉 ≡0.再 ≡0が 結 論 さ れ,矛   Mの

単 調 非 減 少 関 数 と な る か ら,境

び(18.2)よ

りJ≡0.従

全 射 で あ る.Mの

る とTxMは

通 る 直 線 はTxMの

写 像 はT0(TxM)全

た が っ てTxMの0で

  証 明   x∈Mと

際TxM の指数

定 理 に よ りTxM

々 の 主張 は 次 の 補 題 に 帰 着 され る.

完 備 な リ ー マ ン 多 様 体 の 間 の 全 射 等 距 離 写 像 φ:M′

ー マ ン 被 覆 で あ る .た

だ しdimM′=dimMと

しr>0を

お く.示

(分 離 和)か つ 制 限 φ:Br(pk)→Br(x)が の 局 所 等 距 離 性 よ り,図

→Mは

リ

す る.

十 分 小 に 取 っ てexpx:B3r(0)→B3r(x)が

相 で あ る よ う に す る.{pk}=φ-1(x)と

微分 同

す べ き こ とは

 

微 分 同 相 と な る こ と で あ る.φ

式

は 可 換.こ れ ら の写 像 を,半 径rの

球 体 に制 限 す れ ば,次 の 可 換 図 式 を得 る.

dφ は も ち ろ ん 微 分 同 相 で あ る か ら,φ   ∪Br(pk)⊆

リー マ ン 多 様 体

完 備 な リー マ ン 多 様 体 で あ る.実

測 地 線 で あ り,し

体 で 定 義 さ れ て い る か らHopf-Rinowの

の 完 備 性 が い え る.我   補 題18.2 

らJ

リーマ ン 計 量 をexpx

へ 引 き 戻 し た リ ー マ ン 計 量 を 考え て,TxMを

と 思 う こ と に す る.す の 原 点0を

っ てJ(0)=0,J(0)=0か

盾 を 得 る.

完 備 性 よ りexpx:TxM→Mは

に よ りTxM上

界 条 件(18.1)に

φ-1(Br(x))は

が 微 分 同 相 とな る こ とが わ か る.

明 ら か.p∈φ-1(Br(x))と

へ の 孤 長 径 数 を 持 つ 最 短 測 地 線 と しυ=dφ-1(c(φ(p)))と

し よ う.cを

φ(p)か らx

お く.c(t)=expptυ,

p=c(d(x,φ(p)))と

お く と φ°c=c,φ(p)=x,d(p,p)=d(x,φ(p))
って

p∈ ∪Br(pk).   次 にBr(Ph)∩Br(pk)=φ(h≠k)を ば 十 分.cをphか

らpkへ

測 地 ルー プ に な る.よ

示 す.こ

の た め に はd(ph,pk)<2rを

の 最 短 測 地 線 とす る と,c=φ°cはxを

っ てυ の 取 り方 よ り,cの

長 さ は2rよ

示せ 基 点 とす る

り大 き くな け れ

ば な ら な い. 

(証 了)

  系18.1.1 

単 連 結 完 備 な 非 正 曲 率 多 様 体 はRnと

  定 義18.3 

完 備 な リー マ ン 多 様 体M上

線c:R→Mに

対 し て 合 成f°cが

といわ れ る.特 にfがC2-級 こ の 不 等 式 に お い て,も

微 分 同 相 と な る.

の 連 続 関 数fは,も

しす べ て の測 地

通 常 の 意 味 で の 凸 関 数 とな る と き,凸

な らば,fが

凸 ⇔ 

関数

(∀ 測 地 線c).

し 定 値 測 地 線 の と き の み 等 号 が 成 立 す る と き,fを

強

凸 と い う.   補 題18.4 

Mを

べ て のx∈Mに

単 連 結 な 非 正 曲 率 を 持 つ 完 備 リ ー マ ン 多 様 体 と す る と,す

対 し て 関 数f(y)=d(x,y)2は

強 凸 関 数 で あ る.

  証 明   第 二 変 分 公 式 の 直 接 的 応 用 に よ る.c(s)を をc(s)か

らxへ

測 地 線 と し α(s,t),0≦t≦1

向 う測 地 線 とす る と

よ っ て 

とお くと

こ こ で等 号 が 成 立 す る の は 測地 線cが

定 値 測地 線 の と き の み に 限 る こ とに 注

意. 

(証 了)

  系18.4.1  群KがMの

Mに

つ い ての 仮 定 は 上 記 の 補題 の ま ま と し,コ ン パ ク トな リー

等距 離 変 換 群 と して 作 用 して い る とす る.こ の と きM上

にKの

共 通不 動 点 が 存 在 す る.   証 明  (点x∈Mを

に よ り定 義 す る.こ 題 に よ りfはM上

固 定 し,)M上

こ でdkはK上

の 関 数fを

の 正 規 化 さ れ たHaar測

強 凸 な 関 数 で あ る.xの

軌 道Kxは

度 と す る .上

の補

コ ン パ ク トで あ る か ら,

r>0を

十 分 大 き く取 れ ば,Br(x)の

外 でf>f(x),よ

方fの

上Br(x)上 の 最 小

の強 凸 性 よ りy≠y0な

値 を 与え る点y0を 取 れ ば  で あ る.一

っ てfの

定 義 か らf(ky0)=f(y0).こ

らf(y)>f(y0)

う し てky0=y0(∀k∈K)を

得 る. (証 了)

  系18.4.2 

Mを

コ ン パ ク ト非 正 曲 率 多 様 体 とす る と,基

本 群 π1(M)は

単位

元 以 外 に 有 限 位 数 の 元 を 持 た な い.   証 明   π1(M)は

普 遍 被 覆Mに

自 由 か つ 等 距 離 変 換 群 と し て 作 用 す る の で,

も し 有 限 位 数 の 元 σ(≠1)が 存 在 す れ ば,σ

で 生 成 され る有 限 巡 回 群 は 上 の 系 に

よ り共 通 不 動 点 を 持 つ こ とに な り矛 盾.    補 題18.5 

Mを

(証 了)

単 連 結 な 非 正曲 率 完 備 リ ーマ ン 多 様 体 と し,c,c′:R→M

を 測 地 線 とす る と,関

数t→d2(c(t),c′(t))は

凸 関 数.

  証 明   第 二 変 分 公 式 よ り 明 ら か.   以 下Mは Mの

コ ン パ ク ト非 正 曲 率 多 様 体 と し,ω:M→Mを

基 本 群 π1(M)を

と お く.も   補 題18.6 

簡 単 の た めGと

し μが σ の 中 心 化 群Gσ fσ はM上

  証 明   c:R→Mを α(s,t)がc(s),σc(s)を

のC∞-凸

記 し,各

σ∈Gに

普 遍 被 覆 とす る. 対 し てfσ(x)=d(x,σx)2

に 属 す る な ら ばfσ(μx)=fσ(x). 関 数 で あ る.

測 地 線 と し,曲

面 α(s,t):R×[0,1]→Mをt→

結 ぶ 測 地 線 と な る よ うに 定 義 す る.こ

の とき

は測地線 で あ る か ら 第 二 変 分 公 式(系6.2.1)を

利用 して

を 得 る. 

(証 了)

  Mσ={x;dxfσ=0},す   補 題18.7 

な わ ちfσ の 臨 界 点 の 集 合 をMσ

(1)  Mσ={x;fσ(x)=minfσ}で

  (2)  Mσ はMの を 結 ぶ 測 地 線 分 はMσ

全 測 地 的 集 合,す

あ りMσ

と す る. ≠ φ.

な わ ち 任 意 のx,y∈Mσ

の 中 に 含 ま れ る.特

にMσ

は 連 結 で あ る.

に 対 し てx,y

  (3)  x∈Mσ

⇔x,σxを

  (4)  Mσ はGσ-不

  証 明   (1)  x0∈Mを す る.Mの

結 ぶ 測 地 線a:R→Mは

σ-不 変.

変. 固 定 し,{xi}をfσ(xi)→inffσ

コ ン パ ク ト性 に よ り,正

とな る よ うな点 列 と

数 δお よ び 列{σi}⊂ π1(M),{yi}⊂Mを

xi=σiyi,yi∈Bδ(x0) を 満 た す よ うに 選 ぶ こ と が で き る.任

意 のx∈Mに

対 して

特 にfσ(xi)=fσi-1σ σi(yi).こ れ よ り,三

角不等式を利用 して

と な る か ら,{σi-1σσix0}は

有 界.し

つ こ と に な り,有

除 い て σi-1σσiは 一 致 し な け れ ば な ら な い:

限 個 のiを

た が っ て 点 列{σi-1σ σix0}は

集積点を持

σi-1σσi≡μ∈ π1(M). こ の と きfμ(yi)→inffσ=inffμ Mμ,σiy∈Mσ.故

と な る か ら,{yi}の

集 積 点 をyと

す る とy∈

にMσ ≠ φ.

  (1)の 他 の 主 張 お よ び(2)は 凸 関 数 の 一 般 的 性 質 か ら 明 ら か.   (3)  (〓)a(t+1)=σa(t),a(0)=x,と 地 線c:R→Mを,c(0)=a(0)=xと

な る 測 地 線aが

存 在 す る か ら,測

な る よ うに 任 意 に 取 れ ば,第

一変分公式

に よ り

故 にx∈Mσ.   (〓)a:R→Mをa(0)=x,a(1)=σxと a(1)を

示 せ ば よ い .再

な る 測 地 線

と す

る.σ*a(0)=

び 第 一 変 分 公 式 に よ り 〈σ*c(0),a(1)〉=〈c(0),a(0)〉.

左 辺 は =a(0)を

〈c(0),σ-1*a(1)〉

に 等 し く,c(0)はTxMの

元 を す べ て 動 くか ら

σ-1*a(1)

得 る.

  (4)は 明 白.    定 義18.8 

共 役 類[σ]∈[G]に

(証 了) 対 し て,自

由 ホ モ ト ピ ー 類 が[σ]に

対応す

る 閉 測 地 線c:S1→Mの   写 像Mσ

→M[σ]を

をc(0)=x,c(1)=σxと c(t+1)=c(t)と →cに

全 体 をM[σ]と記

す(補 題1.14参

次 の よ うに 定 義 し よ う.x∈Mσ な る 測 地 線 と し,c=ω°cと

な り,cはMの

よ り定 義 す る.逆

照). に 対 し て,c:R→M

お く と,上

中 の 閉 測 地 線 で あ る.写 にc∈M[σ]が

の 補 題 に よ り,

像Mσ

与 え ら れ る と,cの

→M[σ]をx

リ フ トc:R→M

とし て c(t+1)=σc(t) を 満 た す も の が 取 れ る.こ あ る.次

にx,y∈Mσ

と し よ う.こ

の と きc(0)∈Mσ.よ

が こ の 写 像 に よ り,同

の と き あ る μ∈Gが

μ=σ-1μ σ,す な わ ち μ∈Gσ.逆 じ 閉 測 地 線 に 対 応 す る.結   補 題18.9 

  注 意  σ=1の

っ て 写 像Mσ

→M[σ]は

じ 閉 測 地 線c∈M[σ]に

存 在 し てy=μx,σy=μ

全射 で

写 され る

σxと な る.従

って

に μ∈Gσ と し た と きx∈Mσ,μx∈Mσ

は同

局 次 の 補 題 が 得 ら れ る.

次 の 図 式 が 可 換 に な る よ う な 全 単 射Gσ ＼Mσ →M[σ]が

存 在 す る.

ときM[σ]は 定 値 写 像 に ホ モ トピ ッ クな 閉 測 地 線 全 体 で あ るが,そ

のよ

うな 閉 測地 線は 実 は 定値 な も の し か な い(普 遍 被 覆 に リフ トし た もの も閉 測 地 線 とな る か ら,そ れ は 定値 しか 存 在 しえ な い).し   定 義18.10 

fを

{x∈X;dxf=0}と Hessianと

た が ってM[1]〓M.

ヒ ル ベ ル ト多 様 体X上 し,各x∈Crit(f)に

のC∞-級

関 数 と す る.Crit(f)=

対 し てHessx(f)をfのxに

  (Hessxf)(u,υ)=X(Yf)(x),X,YはX(x)=u,Y(x)=υ

と な る ベ ク トル 場.

Nx(f)={u∈TxX:(Hessxf)(u,υ)=0,∀υ∈TxM}をHessxfの し た と き,も

しCrit(f)がXの

し てTxCrit(f)=Nx(f)が

零化空間 と

部 分 多 様 体 と な っ て い て,各x∈Crit(f)に 成 立 し て い る な ら ば,fは

ベ ル ト多 様 体 の 一 般 論 に つ い て はLang[53]を   Mを

おけ る

す る:

非 退 化 と い わ れ る(ヒ ル

見 よ).

一 般 の コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 と し,Λ(M)を

c:S1→Mで

対

エ ネ ル ギ ー 積 分 が 有 限 な も の 全 体 と す る:

絶 対 連続 な 閉 曲 線

Λ(M)は

ヒ ル ベ ル ト多 様 体 で あ り,完

を 有 す る(Y1,Y2はcに Crit(E)はMの

備 な リー マ ン 計 量

沿 う ベ ク トル 場).Eは

Λ(M)上

のC∞-級

閉 測 地 線 全 体 か ら 成 る 集 合 に 他 な ら な い.さ

関 数 と な り,

らに

と な る か らNc(E)={Y;Y+R(c,Y)c=0}(Klingenberg[44]を   定 理18.11 

(Sunada[92])Mを

非 正 曲 率 コ ン パ ク ト多 様 体 とす る.こ

き エ ネ ル ギ ー 積 分E:Λ(M)→Rが べ て の σ∈G=π1(M)に

参 照 せ よ). の と

非 退 化 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す

対 し てfσ が 非 退 化 と な る こ と で あ る .

  証 明 の た め 補 題 を 二 つ 用 意 す る.   補 題18.12 

x∈Mσ

=x,cx(t+1)=σcx(t)と

を 全 凸 集 合 と し て の 内 点 と す る.cx:R→Mをcx(0) な る測 地 線 とし

,υ ∈TxMσ

に 対 し て,曲

面 α:R×

(-ε,ε)→Mを α(s,t)=cexpsυ(t) と定 義 す る と,曲

面 α は 全 測 地 的 か つ 平 坦 と な る.

  証 明   T=α*(∂/∂t),J=α*(∂/∂s)と 二 変 分 公 式 に よ り(補 題18.6を

お く.(∂2/∂2s)fσ° α=0と

従 っ て∇TJ=∇JT=∇ΥT=〈R(T,J)T,J>=0.∇JJ=0を 18.5に

よ り 関 数t→d2(cx(t),cexpsυ(t))は

と な る か らd2(cx(t),cexpsυ(t))はtに 線t→

な る か ら,第

参 照)

示 せ ば よ い .補 凸 関 数.一

方 任 意 の 整 数kに

つ い て 定 数 関 数 と な る.ベ

α(s,t)に 沿 っ て 平 行 と な る こ とを 使 え ば

題

つ い て

ク トル 場Jが

曲

と な る が,こ

れ は 曲 線s→

α(s,t)が 測 地 線 で あ る こ と を 意 味 し∇JJ=0を

得 る.   補 題18.13 

Mσ

の 内 点 の 集 合 をInt(Mσ)に

→cx=ω°cxはC∞-immersion   証 明   x∈Int(Mσ)お

よ り表 わ す.こ

Φσ:Int(Mσ)→ よ びexpxυ

∈Int(Mσ)と

Λ(M)を

で あ る か らJ(t+1)=σ*J(t)が る 平 行 ベ ク トル 場J0の

成 立 す る.こ

リ フ ト と な る.さ

誘 導 す る.

な るυ ∈TxMを

記 の 補 題 の 証 明 で 使 わ れ た ベ ク トル 場 と す る.Jは

の と き対 応x

取 り,Jを

上

平 行 で あ り,J(1)=σ*J(0)

う し てJは

閉 測 地 線cxに

沿 うあ

らに

cexpυ(t)=α(1,t)=exp(J(0,t)) に 注 意 す れ ばcexpυ(t)=exp(J0(t))を

得 る.写

像

に沿 う場 で

はC∞-級

で あ り,Φ σは 合 成

と 一 致 す る か らΦσ はimmersionと

な る. 

(証 了)

  M[σ]⊂ Λ(M)はCrit(E)の

閉 部 分 集合 で あ る こ とに 注 意.

  補 題18.14 

お け る 全 単 射 

る.特

補 題18.9に

にM[σ]は

は位 相 同型 で あ

連 結 に な る.

  証 明   φσ が 連 続 で あ る こ と は 定 義 に よ り明 ら か.φ 列{ck}⊂M[σ]がcに

収 束 し て い る と し,ck,cを

ck(t+1)=σck(t),c(t+1)=σc(t),ck(0)→c(0)を をcxk=ck,cx=cと

てxk→xと   定 理18.11の

μx,あ

そ れ ぞ れck,cの

適 当 に選 ん でck=μkcxk,c=

る い は 同 じ こ と だ がGσ ＼Mσ にお い

な る. 

(証 了)

証 明 を 終 え よ う.補

題18.13お

よ び18.14に

の な い 部 分 多 様 体 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Mσ と な る こ と で あ る.Mσ

リ フ トで

満 た す も の とす る.xk,x∈M

な る点 とす れ ば,μk,μ ∈Gを

μcxと す る こ と が で き て,μkxk→

σ-1の 連 続 性 を 示 そ う.

よ りM[σ]が

境界

が境界のない部分多様体

に は 境 界 が な い と仮 定 し よ う.x∈Mσ

と す る.関

係式

に よ りHessxfσ

の零 化 空 間は

 (18.3)

と な り,各υ

∈Nx(fσ)に

対 し て 閉 測 地 線cxに

写 像Nx(fσ)→Ncx(E)(υ→J0)は

沿 う ヤ コ ビ 場J0が

明 ら か に 線 型 で あ り,し

射 と な る こ と を 見 る た め,Yをcxに

対 応 す る.

か も 単射 と な る.全

沿 う 任 意 の ヤ コ ビ場 と し よ う.

よ り,Yは

平 行 で あ っ て 〈R(cx,Y)cx,Y〉=0を

満 た す こ と が わ か る.Yの

フ トをYと

す る と∇TY=〈R(T,Y)T,Y〉=0と

な る か らY(0)∈Nx(fσ).Y(0)

に 対 応 す るcxに

沿 う ヤ コ ビ場 がYに

な る こ と は 明 白 で あ る か ら,こ

リ

れで証明

が 完 結 す る.   命 題18.15 

Eが

非 退 化 と す る と,写

は 全 測 地 的 等 距 離immersionと

像

な る.

  証 明   TcM[σ]=Nc(E)で

あ り,iの

微 分dciは

対 応Y→Y(0)と

る.各Y∈Nc(E)は

平 行 で あ る か ら.

と な り,こ

等 距 離 で あ る こ と を 示 し て い る.iが

は,Mσ

れ はiが

⊂Mが

  例18.16 

全 測地的であ ること

全 測 地 的 で あ る こ と よ り明 ら か.  Mを

負 曲 率,す

を 満 足 し て い る と す る.こ

(証 了)

な わ ち 非 正 曲 率 で,し

〈R(X,Y)X,Y〉=0⇔X,Yは

一 致す

か も条 件 一次従属

の と き(18.13)よ

り明 ら か な よ うに,x∈Mσ

に対

して Nx(fσ)⊂Rcx(0). 一 方 ,写 =1と

像R→Mσ(t→cx(t))はimmersionに

な る か ら,f σは 非 退 化 で あ る.特

回 群 と な る.さ

ら にc,c′ ∈M[σ]と

な り,dimMσ=dimNx(fσ) にM[σ]はS1に

す る と,あ

るs∈S1が

同 相 で,Gσ

は 無限 巡

存 在 し てc′=cs(⇔

c′(・)≡c(・+s))と な る.   定 義18.17 

Mを

負 曲 率 コ ン パ ク トと し,[σ]∈[G]=[π1(M)]を

外 の 共 役 類 と す る.も

し あ るc∈M[σ](従

地 線 と な る と き,[σ]を   補 題18.18 

っ て す べ て のc∈M[σ])が

素な閉測

原 始 的 共 役 類 と い う.

[σ]が 原 始 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,σ=μm,m≧1,な

ら ば,m=1と

な る こ と で あ る.

  証 明   σ=μmと

仮 定 し,c1∈M[μ]と

に な る か ら,[σ]が

す る.こ

原 始 的 で あ れ ば,m=1.次

す る と,c∈M[σ]は,c=c1m,m≧2と Gを

単位元 以

取 れ ば,μmとγ

の と きc1mはc∈M[σ]と に[σ]が

同値

原 始 的 で な い と仮 定

書 く こ とが で き る.c1∈M[μ]と

は 共 役,す

な わ ちγ=θ

な る μ∈

μmθ-1=(θμθ-1)mと な る θ∈Gが

存 在 す る こ とに な る.    補 題18.19 

(証 了)

任 意 の σ∈G(≠1)は,[μ]が

一 意 的 に σ=μm,m≧1と

書 け る.さ

  証 明   一 意 性 を 示 せ ば 十 分.Gσ と す る.も

原 始 的 で あ る よ う な μ∈Gに

ら に こ の と きGσ

は 無 限 巡 回 群 で あ る か ら,そ

ち ろ ん σ∈Gσ で あ る か ら,σ=μ1m1と

仮 定 し て よ い).μ 定 よ り,[μ]は

∈Gσ も 明 ら か.こ

得 る.こ

  系18.19.1 

う し て μ=μ1kと な る 整 数kが

れ は 表 示 σ=μmの

上 の 補 題 に お い て,対

の 生 成 元 を μ1

書 く こ と が で き る(m1≧1と

原 始 的 で あ る か ら,k=±1,μ=μ1±1と

m=m1,μ=μ1を

応c→cmは

よ り

は μ で 生 成 さ れ る.

な り,こ

存 在 し,仮

れ よ り直 ち に,

一 意 性 を 示 し て い る.  (証 了) 等 距 離 同 型M[μ]→M[σ]を

生 じ る.   注 意   Ozols[75]に

よれ ば,Mが

非 コ ンパ ク ト型 の対 称 空 間 の と き,fσ は 非 退 化 で

あ る.従 っ て エ ネ ル ギ ー 積分Eも   補 題18.14で

非 退 化 で あ る.

示 し た よ うに,Mを

と写 像 空 間 Ω=C0(S1,M)の

コ ン パ ク ト非 正 曲 率 リー マ ン 多 様 体 と す る

各 連 結 成 分 は,一

間 に お け る 連 結 成 分(M[σ])を

つ し か も唯 一 つ の 閉 測 地 線 の 空

含 ん で い る.各[σ]∈[π1(M)]に

をc∈M[σ]の

長 さ と す る(cの

は 明 ら か.次

の 定 理 を 示 そ う.

取 り方 に は よ ら な い).l[σ]2=min

対 し て,l[σ] fσ と な る こ と

  定 理18.20

こ こでhMはMの

普 遍 被 覆Mに

お け る測 地球 の 体 積 の 指 数 的 増 大 度

を 表 わ す(後 にhMは   特 にMが

中 心x0の

取 り方 に よ ら な い こ と を 示 す).

負 曲 率 と す る と 各M[σ](σ

≠1)は

径 数 を 除 い て唯 一 つ の 閉 測地 線

を 含 む か ら次 の 系 を 得 る.   系18.20.1 

Mを

負 曲 率 コ ン パ ク ト多 様 体 とす る と

Mの   定 理 の 証 明(Adachi-Sunada[3])  の 中 の 基 本 領 域Dでx0を

素 サ イ クル で x0∈Mお

含 み,D⊂BDM(x0)と

よ び π1(M)-作

用 に 関 す るM

な る も の を 固 定 す る(DMはM

の 直 径 を 表 わ す).各M[σ]か

ら 一 つ ず つ 閉 測 地 線c[σ]を 選 び,c[σ]:R→M

を そ の リ フ トでc[σ](0)∈Dと

な る も の と す る.さ

定 し て も 一 般 性 を 失 な わ な い(必 要 な ら ば い).三

ら にc[σ](t+1)=σc(t)と

仮

σ を そ の 共 役 な も の に変 えれ ば よ

角不等式

よ り,次

の 不 等 式 を 得 る.

一 般 に ,σ ∈ π1(M)をd(x0,σx0)≦rと

な る元 全 体 に わ た らせ る と

よって

こ うして

(証 了)   次 の 結 果 はA.   定 理18.21  被 覆Mの る と,極  (18.4)

Manning[58]に Mを

コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 と し,V(x,R)をMの

中 の 中 心 をx,半 限

よ る.

径 をRと

す る 球BR(x)の

普遍

体 積 を 表 わ す こ とに す

が 常 に 存 在 し,し

か も そ の 値 は 点xの

  証 明  基 本 領 域D⊂Mを

取 り方 に は よ ら な い.

一 つ 固 定 し,そ

の 直 径 をaと

し よ う.r>aと

す

る と Br-a(x)⊂Br(y)⊂Br+a(x) が す べ て のx,y∈Dに さ れ る か ら,被

対 し て 成 立 す る.被

覆 変 換 が 体 積 を 保 存 す る こ と に 注 意 す れ ば,す

に 対 し てV(x,r-a)≦V(y,r)≦V(x,r+a)が と か ら,も

覆 変 換 に よ り,Mの

し 極 限(18.4)が

に写

べ て のx,y∈M

成 立 す る こ と が わ か る.こ

存 在 す れ ば,そ の 値 はxに

  有 限 集 合A⊂Br(x)を,性

点 はD内

の こ

よ ら な い こ と が 示 され る.

質

y≠z∈A⇒d(y,z)≧b  を 満 た す よ うな も の の 中 で 極 大 な も の と す る.こ

(b>0) の と き 明 らか に

 (18.5)

こ こ で 

と し た.Br(x)の

任 意 の 点 は,必

ず あ る 点y∈A

と距 離b以 内 に あ るか ら  (18.6)

と な る.以 に は,定

下V(x,r)は,r→

∞ と し た と き 非 有 界 と 仮 定 し よ う(有 界 な 場 合

理 の 主 張 は 自 明 で あ る).こ

こ と が で き る.(18.5),(18.6)を

の と き 適 当 にbを

選 べ ばC(b)=1と

す る

使 えば

とお け ば V(x,r+s)≦V(x,r)V(x,s+c)

 と し た)を ぶ こ とに よ り

とな るか ら

得 る.kを,ks≦r<(k+1)sと

な る よ うに 選

し た が っ て 

が す べ て のsに 対 して

成 立 す る こ と に な る.さ

らに

の存 在 が 示 され た. 

を 得 る か ら, 

(証 了)

  §19 平 坦 多 様 体   完 備 な リー マ ン 多 様 体Mは,曲 る と い わ れ る.単

率 テ ン ソ ル が 恒 等 的 に 零 な と き,平

坦であ

連 結 な 平 坦 多 様 体 は 標 準 計 量 を 持 つ ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnと

等 距 離 で あ る(Wolf[108]).   E(n)に

よ りRnの

は 直 交 群O(n)と

等 距 離 変 換 群,す

平 行 移 動 群Rnの

O(n)・RnはRnにx→Ax+aに

あ る.す

な わ ち(A,a)∈

よ り作 用 す る.

  以 下 コ ン パ ク トな 平 坦 多 様 体Mを 群 と見 な せ る が,本

な わ ち 運 動 群 を 表 わ す も の と す る.E(n)

半 直 積O(n)・Rnで

考 察 す る.基

節 で は こ の 逆 の 問 題 を 扱 う.す

本 群 π1(M)はE(n)の な わ ち,E(n)の

部分 部 分群G

は どの よ う な 条 件 の 下 に,あ

る コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体 の 基 本 群 と な る か を 詳 細

に 検 討 す る.換

分 群G⊂E(n)で

言 す れ ば,部

  (F)  GはRnに

固 有 に 作 用 し,G＼Rnは

を 満 足 す る も の を,群   補 題19.1   ⅰ) G⊂E(n)は E(n)/Gは

 ⅲ) 

Gの

次 の 条 件 と 同 値.

離 散 群. コ ン パ ク ト(⇔G＼E(n)は

コ ン パ ク ト).

単 位 元 以 外 の 元 は 無 限 位 数 を 持 つ.

  証 明   対 応(A,a)→a=(A,a)oは 初 に(F)を

コン パ ク ト

論 的 に 判 定 す る こ と が 目標 で あ る.

条 件(F)は

 ⅱ) 

条件

位 相 同 型 

仮 定 し よ う.単 位 元1∈E(n)の

={1}と

な る も の を 取 る と,U∩G=(1)で

あ る.さ

らに 写 像

近 傍Uで{σ

を 誘 導 す る.最 ∈G;σO(n)∈UO(n)}

あ る か らGはE(n)の

中で 離 散 的 で

G＼E(n)→G＼E(n)/O(n)=G＼Rn は コ ン パ ク トな フ ァ イ バ ー を 持 つ 開 写 像 で あ るか ら,次

の 同 値 性 が 成 り立 つ.

G＼E(n):コ

ン パ ク ト⇔G＼Rn:コ

ⅲ)は 非 負 曲 率 多 様 体 の 一 般 論(系18.4.2)よ   逆 にⅰ),ⅱ),ⅲ)を よ りG＼Rnは

仮 定 す る と,ⅲ)に

ン パ ク ト. り明 ら か.

よ りGはRnに

コ ン パ ク トと な る こ と が わ か る.元

の 近 傍U⊂E(n)を

こ れ はGがRnに

μUO(n)≠

φ ⇔

対 し,1 で き るか ら

σ=1.

固 有 に 作 用 す る こ と を 意 味 す る.  条 件(F)を

満 た す 群G⊂E(n)を

  例 ⅰ)  平 行 移 動 群Rn⊂E(n)に  ⅱ)  G={σ

μ=(A,a)∈E(n)に

十 分 小 さ く取 れ ば μUO(n)U-1μ-1∩G=(1)と σμUO(n)∩

  定 義19.2 

自 由 に 作 用 し,ⅱ)に

(証 了)

結 晶 群 と よ ぶ.

含 ま れ る 結 晶 群 はRnの

∈E(2);σ(x,y)=(x+α,(-1)αy+βb),α,β

の と き 結 晶 群 で あ る.平 坦 多 様 体G＼R2は

格 子 で あ る. ∈Z}はb≠0(∈R)

ク ラ イ ン の壼 と よ ば れ る も の に 他 な

ら な い.   定 理19.3(Bieberbach)  ア ー ベ ル 部 分 群Lで

GをE(n)の

有 限 で あ り,Lの

階 数 はnに

等 し い.

中 で 極 大 な ア ー ベ ル 部 分 群.

  こ れ ら の 性 質 を 満 た すLは一意 ホ ロ ノ ミー 群 と い う.逆 ⅱ)を

正規 自由

次 の 性 質 を 満 た す も の が 存 在 す る.

 ⅰ)  指 数[G;L]は  ⅱ)  LはGの

中 の 結 晶 群 とす る と,Gの

的 に 決 ま り,有

限 群G0=G/LをG＼Rnの

に 単 位 元 以 外 に 有 限 位 数 の 元 を 持 た な い 群Gがⅰ),

満 足 す る 正 規 自 由 ア ー ベ ル 群Lを

持 て ば,GはE(n)の

あ る結 晶群 に 同

型 と な る.   証 明 に は い く つ か の 補 題 を 必 要 と す る.   補 題19.4 g,h∈O(n)と

し,g[g,h]=[g,h]g([g,h]=ghg-1h-1),か

の 固 有 値 の 実 部 が 正 と す る.こ

つh

の と きgh=hg.

 証 明   仮 定 よ り  と す る と 

gに よ る固 有 空 間 分 解 を  がhgh-1に

が 成 立 す る.i≠jの (u∈Vi)と hui=λiuiと

よ る 固 有 空 間 分 解 と な る が,g,hgh-1は

と きhVi∩Vj=(0)を

お く.u=u1+…+usをhの す る と

可 換 で あ るか ら

示 そ う.υ ∈hVi∩Vjと

しυ=hu

固 有 ベ ク トル に よ る 分 解 と し た と き

Reλi>0よ

り,ui=0(∀i)⇒υ=0.し

た が っ てhVi=Vi(∀i).こ

れ はgh=hg

と な る こ とを 意 味 す る. 

(証 了)

  以 下 次 の 記 号 を 使 う.A=(aij)をr×s行

と お く.‖A十B‖

≦‖A‖+‖B‖,‖AB‖

‖B‖,‖BA‖=‖B‖

≦‖A‖‖B‖,A∈O(n)な

対 し てg0=h,gk=[g,gk-1]に

よ り帰 納 的 に{gk}∞k=1

定 義 し よ う.gk=(Ak,ak),g=(A,a),h=(B,b)と

‖B-I‖<β

ら ば‖AB‖=

等 が 成 立 す る こ と を 見 る の は 容 易 で あ る.

  補 題19.5 g,h∈E(n)に ⊂E(n)を

列 とし た と き

し,‖A-I‖<α,

と 仮 定 す る と,

 (1)k  (2)k

  証 明   帰 納 法 に よ る.k=1の

とき

故に

とな るか ら

次 に, 

故に

  (1)k-1,(2)k-1が

正 し い と仮 定 し よ う.上

の 議 論 でBの

代 わ りにAk-1と

れば

が 成 り立 つ か ら,(1)k,(2)kも   補 題19.6 

G⊂E(n)を

正 し い.  離 散 群 と し,α<1/2に

(証 了) 対 して

す

とお く と,G(α)の

任 意 の 二 つ の 元 は 可 換.

  証 明   1)  (A,a),(B,b)∈G(α)に

対 し てAB=BA.実

‖Ak-I‖,￨ak￨→0 Gは

離 散 的 で あ る か らAk=I,ak=0と

は 正 で あ る こ と(Aを れ る)に

な るkが

存 在 す る.Aの

対 角 化 して お い て 条 件 

注 意.AとAk-1=[A,Ak-2]が

は 可 換.よ

際,上

っ てAk-1=I.こ

の補 題 に よ り

(k↑ ∞). 固 有値 の 実 部

を使 え ば 直 ち に 示 さ

可 換 だ か ら 補 題19.4に れ を 続 け れ ば 結 局A1=I.故

よ りA,Ak-2

にA,Bは

可換 と

な る.   2) 

A,Bが

可 換 な こ とか ら

一 方(A,a),(B,b)の

役 割 を 取 り換 え て (B,b)(A,a)(B,b)-1(A,a)-1=(I,-a1)

に 注 意 す れ ば,あ

るmが

  3)  (A,a),(B,b)が タ リ行 列Uが

と 書

く こ

存 在 し て(B-I)m-1a1=0と 可 換 な こ とを 示 す.A,Bは

可 換 で あ る か ら,あ

るユニ

存在 して

と が で

き る.Ua=t(r1,…,rn),Ub=t(s1,…,sn)と

が す べ て のi=1,…,nに

つ い て 成 立 す る.し (1-μi)ri-(1-λi)si=0, 

す な わ ちa1=(I-B)a-(I-A)b=0と   補 題19.7 

な る こ と が わ か る.

し よ

う.こ

の

と き

た が っ て i=1,…,n.

な り(A,a),(B,b)は

可 換. 

(証 了)

g∈G(α),h∈G⇒hgh-1∈G(α).

  証 明  ‖BAB-1-I‖=‖B(A-I)B-1‖=‖A-I‖

よ り 明 ら か.特

にG(α)に

よ

っ て 生 成 さ れ るGの   補 題19.8 

部 分 群 は 正 規 で あ り,α<1/2な

V⊂Rnを

部 分 空 間 と し,あ

間x+VがG-不

変(G(x+V)⊂x+V)な

  証明 

と仮 定 し よ う.x0∈x+Vを

し,{xm}∞m=1をLの

る 点x∈Rnに

点 列 でd(x0,xm)=mを

れ はG＼Rnが

通 るVに

H⊂Gを

  証 明   Hの

可 換 性 に よ りRnの

満 た す も の とす る.Gx0⊂x+V 点 と し て 距 離 を 測 れ ばd(x0, (証 了)

正 規 ア ー ベ ル 群 と す る と,H⊂Rn. 適 当 な 正 規 直 交 基 を 選 ぶ こ と に よ り,各(A,

そ の基 底 に関 して

(aiは2-ベ

と 表 わ さ れ る.こ

こ でkは

に 対 し あ る(A,a)∈Hが   k=0を

直 交 す る 直 線 をLと

コ ン パ ク トで あ る こ と に 矛 盾 す る. 

  補 題19.9 

a)∈Hは

対 し ア フ ィ ン部分 空

ら ばV=Rn.

で あ る か らd(xm,Gx0)=m.{xm}∞m=0をG＼Rnの xm)=m.こ

ら ば 可 換 群 と な る.

示 そ う.こ

∈HをAi≠I2と

ク ト ル)

次 の 意 味 で 最 小 な も の と す る:任 存 在 し てAi≠I2(⇔Ai-Iは

の た めk≧1と

仮 定 し て 矛 盾 を 導 く.各iに

な る よ う に 取 り,ti=(Ai-I2)-1aiと

  1)  任 意 の(B,b)∈Hに

対 し て(Bi-I2)ti=bi.実

際(A,a),(B,b)は

(I-B)a-(I-A)b=0, う し て  と な る.   t∈Rnを

に よ り定 義 す る と

対 し て(A,a)

お く.

あ るか ら

す な わ ち(Ai-I2)bi=(Bi-I2)ai.こ

意 のi(=1,…,k)

可 逆).

可換で

と な る か ら,変

換x′=x+t=(In,t)xを

の 形 を し て い る と仮 定 し て よ い.従

と お く と,VはH-不   2)  VはG-不

行 な え ば(A,a)∈Hは

って

変 とな る. 変 で あ る.こ

れ を 示 す た め まず

V={x∈Rn;Ax=x,∀(A,a)∈H} に 注 意.HはGの

中 で 正 規 で あ る か ら,任

て(C,c)-1(A,a)(C,c)=(B,b)∈H.よ ∈V.故

意 の(C,c)∈G,(A,a)∈Hに

っ てx∈Vと

対 し

す る とACx=CBx=Cx

に

(ci:2-ベ

と 書 け る.前

と 同 様 に 各iに

ク ト ル)

対 し て(A,a)∈HをAi≠I2と

な る よ うに 取 れ ば

(A,a)(C,c)o=(C,c)(B,b)o よ りAc+a=Cb+c.特

に Aici=ci 

よ っ てc=t(0,…,0,c*)と  と な り補題19.8に

な り,VはG-不 よ りG＼Rnは

(⇒ci=0). 変 と な る.k≧1と

仮 定 した か ら

非 コ ン パ ク ト と な っ て 矛 盾.  (証 了)

 定 理 の 証 明 に 入 ろ う.  る.補

題19.7に

と し,LをG(α)で

よ りLはGの

正 規 ア ー ベ ル 群 で あ り,補

L=G∩Rn 

(G∩Rn⊂G(α)と

G0={A∈O(n);∃(A,a)∈G}と も しG0が

生 成 され るGの

部 分 群 とす

題19.9か

ら

な る こ とは 自 明).

お く と,G0はO(n)の

有 限 部 分 群 で あ る.実 際

無 限 群 と 仮 定 す る と,列{Ai}∞i=1(⊂G0)でAi≠In,Ai→In(i→

と な る も の が 取 れ る か ら,十 と な り矛 盾.こ

分 大 き いiに

う し て[G;L]<∞

∞)

対 し て(Ai,ai)∈G(α).故

にAi=I

と な る完 全 列

1→L→G→G0→1 を 得 る.従

って 写 像 L＼Rn→G＼Rn

は 有 限 被 覆 と な り,L＼Rnは   Lが

平 坦 トー ラ ス,LはRnの

極 大 ア ー ベ ル 群 で あ る こ と を 示 そ う.Ψ

す る とΨ＼Rnも

⊃LをGの

コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体 と な る.Ψ

部 分 群 で あ る か ら,補   次 に 条 件ⅰ),ⅱ)を る.G0=G/Lと p°u=IdG0と

格 子 と な る.

題19.9よ

りΨ ⊂Rn.よ

満 足 す る群Gは

お き,完

自 身Ψ

ア ーベ ル部 分 群 と の中 の正 規 ア ー ベ ル

っ てΨ ⊂G∩Rn=L.

結 晶 群 と し て実 現 さ れ る こ と を 証 明 す

全 列 

を 考え る.u:G0→Gを

な る 写 像 と し,h∈G0,x∈Lに

対 し て

h・x=u(h)xu(h)-1 とお

く と,作

用x→h・xに

作 用 は 忠 実).Lの

階 数 をnと

ベ ク トル 空 間L  う.GはG0-加

よ りLはG0-加

し,テ

RにG0-不

群Lの

群 と な る(Lの

ン ソ ル 積L 

RにG0の

変 な 内 積 を 入 れ て,同

拡 大 で あ り,対

応 す る2-コ

極 大 性 よ りG0-

作 用 を 拡 張 し,

一 視 

ホ モ ロジ ー類

を行な ∈H2(G0,L)

は コサ イ クル f(h1,h2)=u(h1)u(h2)u(h1h2)-1 に よ り 表 わ さ れ る(MacLane[66]).と のRnに

値 を 取 る1-cochain

こ ろ がH2(G0,Rn)=0で gに

と 書 く こ と が で き る.E(n)の

よ り

部 分 群Gを(h,g(h)),(1,x)(h∈G0,x∈L)で

生 成 され る も の と し よ う.GはGに に よ り生 成 さ れ るGの

あ る か ら,G0

同 型 で あ る こ と を 示 す.Lを(1,x),x∈L

部 分 群 とす る と,LはGの

中 で 正 規 で あ り,対

応x

→(1,x)は,Lか

らLの

上 へ の 同 型 を 与 え る.写

像

φ:G0→G/Lを

φ(h)=(h,g(h))L に よ り定 義 し よ う.こ

と な り,φ

は 準 同 型 で あ る.次

こ の と きh=1で か ら,Gの

の と き,f(h1,h2)∈Lと

あ る か ら,φ

に

な る こ とか ら

φ(h)=1,す

な わ ち(h,g(h))∈Lと

は 単 射 と な る.一

元 は(h,g(h))(1,x)な

方LはGの中

る 形 で 書 く こ とが で き て,φ

し よ う. で正 規 な こ と

は全 射 とな る こ

と が わ か る.   u:G0→Gをu(h)=(h,g(h))に

よ り定 義 し よ う.こ

のとき

(h,g(h))(1,x)(h,g(h))-1=(1,h・x) と な る か ら,LとLはG0-加 G0→1に

群 と し て 同 型 に な る.さ

ら に 拡 大1→L→G→

対 応 す る コ サイ ク ルfは

を 満 た す か ら,LとLのG0-同

型 の 下 でfとfが

は 同 型 と な る こ と が 示 さ れ た.Gは

対 応 す る.こ

う し てGとG

明 ら か に 結 晶 群 と な る か ら,こ

れで主張が

示 さ れ た.   次 の 定 理 はAuslander-Kuranishi[7]に   定 理19.10  →G0が

任 意 の 有 限 群G0に

存 在 し て,Ker

な わ ち,任

pがGの

意 の 有 限 群 は,あ

よ る. 対 し て,結

晶 群Gお

よ び 全 射 準 同 型p:G

最 大 正 規 ア ー ベ ル 群 とな る よ うに で き る .す る 平 坦 多 様 体 の ホ ロ ノ ミー 群 と 同 型 で あ る.

第4章

 群Gが

 跡

公

式

与 え られ た と き,前 章 ま で と 同 様,[G]に

{μσμ-1;μ ∈G}の に す る.Gが

全 体,Gσ={μ

よ りGの

共 役 類[σ]=

∈G;μ σ=σμ}で σの 中 心 化 群 を 表 わ す こ と

有限群であれば

が 成 立 す るが,こ れ は類 公 式 と呼 ば れ る有限 群 論 に お け る基 本 的 等 式 で あ る. 一 方 これ とは全 く無 関 係 に 思 われ る次 の恒 等 式(ヤ

コ ビの式;緒

言参 照)

が,実 は 同 じ範 疇 に 属 す る公 式 で あ る と言 え ば,読 者 は驚 くで あ ろ うか.こ の 章 で は,あ 公 式)が,上

る作 用 素 の 跡 を 二 通 りの 方 法 で 計算 す る こ とに よ り得 られ る式(跡 記 の二つ の式 を 統 一 的 に 説 明 す る方 法 を 与 え る こ とを 見 る.精

化 され た跡 公 式 は,後 の章 で 具体 的 な例 に即 し て計 算 され,い

密

くつ か の応 用 が

与え られ る.

  §20  熱 核 に 対 す る跡 公 式   コン パ ク トな リー マ ン多 様 体Mの

正 規 リー マ ン被 覆ω:M1→Mと,被

変 換 群G=G(M1/M)の

有 限 次 元 ユ ニ タ リ表 現(ρ,V)に

ル束Eρ

で 示 し た よ う に,ラ

を考え る.16節

覆

付 随 す る平 坦 ベ ク ト

プ ラ シ アンΔ ρに 対 す る熱 核

kρ(t,x,y)を 積 分 核 とす る積 分 作 用 素Ktρ は 跡 族 に 属 し,そ の 跡 は,Δ ρの 固 有 値 を{λi(p)}と

に 等 し い.こ

す る と,和 

の 節 で は,跡tr

Ktρ

の 別 の 表 現 を 与 え よ う.   15節

で 証 明 し た よ うに,kM1(t,x1,y1)をΔM1の

は,M1×M1の M1上

熱 核 と す る と,級

数

コン パ ク ト集 合 上 絶 対 か つ 一 様 に 収 束 し,kρ(t,x,y)のM1×

へ の リ フ トに 等 し い.従

っ て,D⊂M1をG-作

用 の 基 本 領 域 とす れ ば,

tr Kρ に つ い て の 等 式(命 題16.3)は

こ こ で 和 

次 の よ うに 変 形 さ れ る.

に お き換 え て み る.全 単 射

を二 重 和 

 

に注意すれば

と な る が,集

は,M1上

合

のG-作

用 をGσ に 制 限 した もの の 基 本 領 域 で あ る.従

っ て次 の定

理(跡 公式)を 得 る.   定 理20.1   上記 の 議 論 は 次 の よ う に一 般 化 さ れ る.a(x1,y1)∈C0(M1×M2)が

次 の条 件

を 満 た し て い る とす る:   a) 

a(σx1,σy1)=a(x1,y1),σ

  b) 

∈G.

は,M1×M1の

各 コ ン パ ク ト集 合 上 絶 対 か つ 一 様 収 束

す る. は,

こ の と き 和 

を 満 た す か ら,a0(x1,y1)は

あ るaρ ∈C0(End(Eρ))の

→L2(Eρ)を,積

を 有 す る 積 分 作 用 素 と す る と,定

全 く同 様 に,次

分 核aρ

の 定 理 が 得 られ る.

リ フ トと な る.Aρ:L2(Eρ) 理20.1の

証 明 と

 定 理20.2

  §21  初等 的跡 公式   前 節 の 跡 公 式 は,Gが   V0を,有

限 群Gの

有 限 群 の場 合 には 次 の よ うに抽 象 化 され る. 作 用 す るG-ヒ

ルベ ル ト空 間 と し,G-不

変 ベ ク トル の

成 す 部分 空 間 を VG0={υ ∈V0;συ=υ,∀ と記 す.跡 族 に 属 す る非 負 作用 素AがGの に 対 して σA=Aσ   定 理21.1(初

σ∈G}

作 用 と可換,す

と仮 定 す る と,A(VG0)⊂VG0で

等 的 跡公 式)  制 限A￨VG0は

  証 明   P:V0→VG0を

直交 射 影 と す る.明

特 にPA=AP.{un},{υn}を

なわ ち任 意 の σ∈G

あ り,次 の 定理 が成 立 す る.

跡 族 に 属 し,

らか に

そ れ ぞ れVG0,(VG0)⊥

の 完 備 正 規 直 交 基 底 とす

ると

よ っ て 

こ こ で 定 理20.1の

二 重和 

に お き 換え る.す

とな る か ら,跡

証 明 と 同 様,和 

る と

公 式 を 得 る.

  注 意  V0=C上 のGの 類 公 式 に 他 な らな い.

作 用 を 自明 な もの と して,A=IdCと

お くと,上 記 の 跡 公 式 は

  例(前 節 参 照)  コン パ ク トな リー マン 多 様 体 の 有 限 正 規リー →MとGの

を

有 限 次 元 ユ ニ タ リ表 現(ρ

,V)に

対 して

マ ン 被 覆ω:M1

とお き,V0上

のG-作

用を

に よ り定 義 す る.こ の と き次 の 自然 な 同型 が 存 在 す る.

作 用 素A:V0→V0を

に よ り定 義 す る と,同

一 視VG0=L2(Eρ)の

下 に

A￨VG0=Aρ とな る.従

っ て,初

と な り,こ

れ は 前 に 求 め た 公 式に 他 な ら な い.

  系21.1.1 

等 的 跡 公式 に よ り

(G,H1,H2)が

共 役 条 件(定

義3.6)を

満 た す な らば

tr(A￨VH10)=tr(A￨VH20) が 成 立 す る.   証 明   Gの

一 般 の 部 分 群Hに

対し

が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い,[μ]Hに

よ り μ∈HのHに

お け る共 役 類 を表

わ す こ とに す る と

さ ら に[μ]H⊂[σ]∩Hと

す る とtr(μA)=tr(σA)で

あ る こ とか ら

(証 了)

 §22  非 正 曲 率 多 様 体 上 の 跡 公 式(一  18節 の 記 号 を 使 う.任

般 的 注 意)

意 の σ∈G=π1(M)に

対 し て,関

数fσ(x)=d(x,σx)2

は 非 退 化 と仮 定 し,包   ωσ:M→Mσ

含 写 像Mσ

をωσ°iσ=Idと

→Mをiσ

に よ り表 わ そ う.

な るsubmersionと

し,Gσ-同

変,す

なわち

任 意 の μ∈Gσ に 対 し て ωσ(μx)=μωσ(x)  が 成 立 し て い る と仮 定 す る.こ

の と き,ω σ は 写 像

ω[σ]:Gσ＼M→Gσ を 誘 導 し,ω[σ]もsubmersionに   例22.1  d(x,y)と →Mσ

Mσ

＼Mσ=M[σ]

な る.

は 全 測 地 的 で あ る か ら,任

な るy∈Mσ

x∈M

意 のx∈Mに

は 上 の 条 件 を 満 た すC∞-級submersionに

  例22.2 Mを

負 曲 率 と す る.x∈Mσ

線(cx(0)=x,cx(t+1)=σcx(t))と

と す る.こ

対 し てd(x,Mσ)=

が 唯 一つ 存 在 す る.ω σ(x)=yと

定 義 す る と,ω σ:M

な る.

に 対 し てcxを

前節で定義 し た測 地

して

の とき

(分離和) と な る こ と が 知 ら れ て い る か ら,ωσ(H(x))=xと に はωσ の 滑 ら か さ は 保 証 さ れ な い が,6章 C∞-級 に な り,上

＼M→Gσ

フ ァ イ バ ーω[σ]-1(c)上

が 任 意 の 連 続 関 数Fに 自 然 なimmersion

にMが

で 扱 う上 半 平 面 の 例 で は,ωσ は

＼Mσ=M[σ]が

与 え ら れ た と し よ う.

の 測 度dνc[σ](x)を,等

対 し て 成 立 す る よ うに 定 義 で き る.こ M[σ]=Gσ

す る 測 度 を 表 わ す.特

を 得 る.特

般

の 条 件 を 満 た す.

  一 般 のsubmersionω[σ]:Gσ こ の と き,各

し て,ω σ を 定 義 す る.一

に,跡

＼Mσ→G＼M=Mに

題18.19に

こ でdυg(c)は,

よ り誘 導 さ れ る 計 量 に 付 随

公 式 に こ の 式 を 適 用 す れ ば,

負 曲 率 な らば,補

式

よ り

と な る.こ

こ でPはGの

原 始 的 共 役 類 の 全 体 を 表 わ す.後

よ び 定 曲 率 リー マン 面 の 場 合 に,こ

に,平

れ ら の 公 式 を 利 用 し て,跡

坦 多様 体 お

公 式 の よ り精 密

な 表 現 を 与 え る.

  §23  平 坦 多 様 体 上 の 熱 核 に 対 す る 跡 公 式   Mを Gは

コン パ ク トな 平 坦 多 様 体 と し,G=π1(M)と

運 動 群E(n)=O(n)・Rnの

  補 題23.1 

A∈O(n)と

お く.19節

で見 た よ うに

中 の 結 晶 群 で あ る. す る と,制

限

A-I￨Image(A-I):Image(A-I)→Image(A-I) は 可 逆.   証 明   B=A-Iと

お く とB*=-A-1B,BB*=B*B.B2x=0と

B*Bx=BB*x=-BA-1Bx=-A-1B2x=0よ   各 σ=(A,a)∈Gに

し よ う.

りBx=0. 

(証 了)

対 して α(σ)=￨det(A-I￨Image(A-I))￨-1

と お く.   定 理23.2(Sunada[90]) 

Gの

有 限 次 元 ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し て 次 の 恒 等

式 が 成 立 す る.

  証 明   例22.1のsubmersionを ‖Ax+a-x‖2=‖(A-I)x+a‖2よ

利 用 し て,跡

公 式 の 計 算 を す る.fσ(x)=

り

(dxfσ)(υ)=2〈(A-I)υ,(A-I)x+a〉. し た が っ てxが

関 数fσ の 臨 界 点 で あ る た め に は(A-I)x+a∈(Image(A-I))⊥

が 必 要 十 分 で あ る.(Image(A-I))⊥=Ker(A-I)で (A-I){(A-I)x+a}=0, す な わ ちσ2x-2σx+x=0に

同 値.こ

うし て

あ る か ら,こ

れ は条 件

Mσ={x∈Rn;dxfσ=0}={x∈Rn;σ2x-2σx+x=0} はRnの

中 の ア フ ィン 部 分 空 間 と な る.Mσ

(A-I)を

平 行 移 動 し た も の で あ る.

  例22.1のsubmersionは,直

交 射影

ωσ:Rn→Mσ

ωσ-1(y)=Image(A-I)+y=Ker(A-I)⊥+yで =M[σ]に

よ るyの

像 をcと

は 部 分 空 間Ker(A-I)2=Ker

に な る こ とに 注 意.

あ る か ら,写

像Mσ

→Gσ＼M

σ

すれば

こ こ でW=Image(A-I)+yと

し た.z∈Image(A-I)に対

して

‖(A-I)(z+y)+a‖2=‖(A-I)z‖2+l2[σ] と な る か ら,変

に 等 し い.よ

数 変 換w=(4πt)-1/2(A-I)zを

行 な う と,上

記 の積 分 は

って

を 得 る. 

(証 了)

  平坦 多 様 体G＼Rnに

お い て 特 にG=L⊂Rnの

場 合,す

な わ ち 平 坦 トー ラ

ス の 場 合 を 以 下 扱 う こ と に す る.   補 題23.3 

格 子L⊂Rnに

対 し てL*={x∈Rn:〈x,y〉

∈Z,∀y∈L}と

お

くと  ⅰ) 

L*も

格 子 と な る(Lの

 ⅱ) 

vol(L*＼Rn)=vol(L＼Rn)-1

 ⅲ) 

(L*)*=L.

  証 明   {u1,…,un}をLのZ-基 の 中 で の 双 対 基,す

なわち   がL*の

双 対 格 子 と呼 ぶ)

底 と し,{u*1,…,u*n}を,ユ 〈ui,u*j〉=δijと す る .こ

ー ク リ ッ ド空 間

の と きu*i∈L*は

元 と す る と,〈x,ui〉=ai∈Z.す

明 ら か.

な わ ち{u*1,…,

 ⅱ

u*n}はL*のZ-基

底 を な し,L*も

格 子 とな る.

) を 示 す に は,  に 注 意 す れ ば よ い.   次 に{u**i}を{u*i}の {u**i}が

取 れ る が,明

  π1(L＼Rn)=Lの

双 対 基 と す る と,ⅰ)に ら か にu**i=uiと

既 約ユニ

現 と な り,Lに

よ り1次

α∈Rnに

底 と して

な る か らL=(L*)*. 

タ リ表 現 は,Lが

(証 了)

ア ー ベ ル 群 で あ る か ら1次

元表

元 ユ ニ タ リ表 現 の 全 体 を 表 わ す こ と に す れ ば,同

一視

が 次 の よ うに し て 得 ら れ る.α ∈Rnに

に よ り 定 義 す る.明

よ り(L*)*のZ-基

対 し て χα∈Lを

ら か に χα=1⇔

α∈L*.す

よ りχ α と 書 け る か ら,Rn→L(α

べ て の χ∈Lは,あ

る

→χα)は全 単 射L*＼Rn→Lを

誘 導 す る.   補 題23.4 Δχ   証 明   まず

α の 固 有 値 は{4π2‖ μ+α‖2;μ ∈L*}に

α=0の

場合,す

な わ ちL＼Rn上

ン の 固 有 値 を 考 え る.L2(L＼Rn)の

が 取 れ て,簡

よ り与 え ら れ る.

の関 数 に作 用 す る ラ プ ラシ ア

正規 直 交 基 とし て

単 な 計算 に よ り Δφμ=4π2‖μ‖2φ μ

と な る か ら,{4π2‖ μ‖2;μ∈L*}が

固 有 値 と な る.

  次 にf∈L2(L＼Rn)に

対 し て,

と お く と,s(x+σ)=χ

α(σ)s(x)と な る か らs∈L2(Eχ

離 同 型 

と お く と,{sμ;μ

α).対 応 は

等距

を誘 導 す るか ら

∈L*}がL2(Eχ

α)の 正 規 直 交 基 を 与 え る.一

方

Δχ αsμ=4π2‖μ+α‖2sμ よ り,{4π2‖ μ+α‖2;μ ∈L*}が   今 証 明 し た 補 題 に よ り,定 式 を 得 る.

固 有 値 と な る.  理23.2の

特 別 な 場 合 と し て,次

(証 了) の ヤ コ ビの恒 等

 (23.1)

  §24 Epsteinゼ

ー タ関 数

  Q(x)をRn上 {aij}に

の 正 の 定 符 号 の2次

よ り,Qは

標 準 格 子Zn⊂Rnを

形 式Qに付

随 す るEpsteinゼ

す れ ば ζQ(s)=2ζ(2s)) .こ

言 で 述 べ た,リ

な わ ち,正

値対 称 行 列

取り

と お い て,ζQを2次 =x2と

形 式 と す る.す

次 の 式 で 与 え ら れ て い る も の と す る.

の 節 で は,跡

ー タ 関 数 と い う(n=1,Q(x) 公 式 を 応 用 す る こ と に よ り,緒

ー マ ン ζ-関数 の 関 数 等 式 の 一 般 化 と し て ζQが 関数 等 式 を 満 足

す る こ と を 証 明 す る.   A=(aij)と こ う.こ

し,g∈GLn(R)をtgg=Aと

の と き,Q(x)=〈Ax,x〉=〈gx,gx〉

こ れ は,Epsteinゼ

な る よ うに 取 る.L=(gZn)*と

お

とな るか ら

ー タ 関 数 が 本 質 的 に は 平 坦 トー ラ ス の ス ペ ク トラ ル ・ゼ ー

タ 関 数 に 他 な ら な い こ と を 示 し て い る.   以 後,記

号 を 簡 単 に す るた め

と お く こ と に し よ う.さ

L*

mod

L*

らに

とす る.以 下 の 議 論 では  義式

mod

mod L*と

仮 定 して 話 を 進 め る.Γ-関

数の定

よ り,Res>n/2の

とき

 (24.1)

計 算 の 途 中 で ヤ コ ビ の 恒 等 式(23.1)を 項 は 全s-平

利 用 し た.最

面 で 正 則 で あ る こ と に 注 意.よ

さ れ る(こ の こ と は,一

後 の 式 の 第1項

っ てζL(s,α)は

お よ び2

有理型に解析接続

般 の ス ペ ク トラ ル ・ゼ ー タ 関 数 の 理 論 に よ り,す

証 明 し た 事 実 で あ る;17節).一

でに

方

 (24.2)

よ っ て ξL*(s,α)も 全s-平 (24.2)を

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る.さ

ら に,(24.1)と

比 べ れ ば 関 数等 式

が 成 立 す る こ と も直 ち に わ か る.α≡0(mod  と 同 じ 式 が 得 ら れ る が,こ

L*)の

と きに も 同様 な 方 法 で 上 記

の とき ξL*(s,0)=ζL*(s,0)

で あ る か ら,結

局Epsternゼ

ー タ 関 数 は 次 の 対 称 的 な 関 数 等 式 を 満 た す.

第5章 

等 ス ペ ク

  コ ン パ ク トな リ ー マ ン 多 様 体Mに

トル 多 様 体

対 し て,次

の よ うな 二 種 類 の 重 要 な 数 列

が 生 ず る: ΔMの

固 有 値 の 集 合={0=λ0<λ1≦

λ2≦…},

素 な 測 地 線 の 長 さ の 集 合={l(p)}. た だ し 両 者 と も重 複 度 を 込 め て 考 え る こ と に す る.二 ン 多 様 体M1,M2に

対 し て,こ

ス ペ ク トル と い うが),M1,M2の

関 係 は ど の よ う な も の だ ろ う か .M1とM2

の 間 に 等 距 離 微 分 同 相 が 存 在 す れ ば,上 明 で あ る.問

題 は こ の 逆 で あ る.特

Kac[42]の

提 出 し た 有 名 な 問 題(太

何 学 的 類 似 で あ り,否

よ る16次

  2)  A.Ikeda[41]に

型 の 特 殊 性 を 利 用 し,ヤ

に 固 有 値 の 数 列 に対 し て は,こ

れ は,M.

鼓 の 形 は 音 で 聞 き 分 け ら れ る か?)の

幾

挙 す ると

元 平 坦 トー ラ ス の 例

よ るspherical 

  3)  M.F.Vigneras[106]に に2),3)で

記 の 数 列 は そ れ ぞ れ 一 致 す る こ とは 自

定 的 な 方 向 で の 多 くの 研 究 が あ る.列

  1)  J.Milnor[63]に

が あ る.特

つ の コ ン パ ク トな リ ー マ

れ ら の 数 列 が そ れ ぞ れ 等 し い と 仮 定 す る と き(等

space  formの

例

よ る双 曲型 空 間 の 例

は,同

相 で な い 例 が 得 ら れ て い る.い

コ ビ の 恒 等 式 あ る い はSelbergの

ず れ の 例 も,空

間

跡 公 式 の よ うな,精

密 な 恒 等 式 が 重 要 な 役 割 を 果 た し て い る.   こ の 章 で は,む

し ろ 原 始 的 方 法 に よ り,等 ス ペ ク トル 多 様 体 の 構 成 を 目 論 む.

そ の 原 型 と な る ア イ デ ィ ア は,緒 を 群 論 化 す る の で あ る.21節 シ ア ン に 関 す る補 題11.4を,こ

言 で 述 べ た 命 題(*)に

あ る.す

なわ ち問 題

で確 立 した 初 等 的 跡 公 式 あ るい は 平 坦 束 の ラ プ ラ こで 応 用 す る こ とが で き る.

  §25  ラ プ ラ シ ア ン に 関 す る 等 ス ペ ク トル 多 様 体   コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体M上 し た よ うにSpect(ΔM)は

の ラ プ ラ シ ア ン ΔMを 考え る.16節

で示

重 複 度 有 限 な 固 有 値 か ら 成 る が,こ の 節 で はSpect(M)

に よ り,重

複 度 も 込 め て 考 え た 固 有 値 全 体 を 表 わ す こ と に す る: Spect(M)={0=λ0<λ1≦

…}.

  二 つ の コ ン パ ク トな リーマ ン 多 様 体M1,M2は,も

し

Spect(M1)=Specs(M2) が 成 立 す る と き,(ラ

プ ラ シ ア ン に 関 し て)等

  定 理25.1(Sunada[96]) 

ス ペ ク トル で あ る と い わ れ る.

コ ン パ ク トな リ ー マ ン 多 様 体 の リ ー マ ン 有 限 被

覆 の可 換 図式

に お い て,ω0は

正 規 と し,G=G(M/M0),H1=G(M/M1),H2=G(M/M2)が

共 役 条 件(3節)を

満 た す と仮 定 す れ ば,M1,M2は

  証 明   補 題11.4を

利 用 す る.ρi*=IndGHi(1)(i=1,2)と

は ユ ニ タ リ同 値 で あ る.仮 タ リ 同 値 に な る.ゆ

等 ス ペ ク トル で あ る.

定 に よ り 

お く と,ΔMiとΔ

で あ る か ら,ΔM1とΔM2は

えに Spect(M1)=Spect(M2). 

  以 下,ス う.Mの

(証 了)

ペ ク トラ ル ・ゼ ー タ 関 数 を 利 用 し て,定

理25.1の

別証明を 与 え よ

ゼ ー タ関 数 ζM(s)を

と 定 義 す る.   補 題25.2 

M1,M2が

  証 明   ζM1(s),ζM2(s)を

等 ス ペ ク トル ⇔

ζM1(s)=ζM2(s).

そ れ ぞ れ

m1λ1-s+m2λ2-s+…,λ1<λ2<…,mi>0 n1μ1-s+n2μ2-s+…,μ1<μ2<…,ni>0 の 形 に書

い て お く.ζM1(s)=ζM2(s)と

と な る が,こ

ρi* ユニ

こ でs↑ ∞ とす る と,右

仮 定 し て,両

辺 はn1に

∞(μ1>λ1の

辺 に

μ1sを 掛 け る と

収 束 し,左 と き)

辺は

m1(μ1=λ1) 0(μ1<λ1) に 収 束 す る か ら,μ1=λ1,n1=m1で =λi,ni=miを

な け れ ば な ら な い.こ

れ を 繰 り返 し て,μi

得 る . 

  こ の 補 題 に よ り,定 し これ は 定 理17.2の

(証 了)

理25.1を

示 す に は,ζM1(s)=ζM2(s)を

示 せ ば よ い.し

か

簡 単 な 帰 結 で あ る: ζM1(s)=ζ ρ1*(s)=ζρ2*(s)=ζM2(s).

  平 坦 束 の 概 念 を 使 わ な い,定

理25.1の

直接 的証 明 が 初等 的跡 公 式 の応 用 と

し て 与 え られ る([96]).  初 等 的 跡 公 式 の 系21.1.1を

こ こ で{λk}∞k=1は ΔMの0以

次 の 状 況 で 適 用 す る.

外 の 固 有 値 の 全 体,Pk:L2(M)→L2(M)は

有 空 間 の 上 へ の 射 影 作 用 素 を 表 わ す.sを

λkの 固

十 分 大 き く取 る と,Aは

跡族 に 属 し

tr AM(s)=ζM(s) とな る.各

σ∈GはMの

等 距 離 変 換 で あ る か らGはV0に f(x)→f(σ-1x)

に よ り ユ ニ タ リ作 用 す る.さ

ら に σΔM=ΔMσ,よ

線 型 写 像Ti:L2(Mi)→L2(M)をT(φ)=(#Hi)-1/2φ°ωiに ら か にTi(VMi)=VHMiで をHi-作

あ り,し

か もTiは

っ て σPk=Pkσ,σA=Aσ よ り定 義 し よ う.明

等 距 離 写 像 で あ る.実

用 に 関 す る 基 本 領 域 とす る と,φ ∈L2(Mi)に

対 して

リー マ ン 被 覆 は 局 所 等 距 離 写 像 で あ るか らω*iΔMi=ΔMω*i.し TiAMi(s)=AM(s)Ti.系21.1.1を

使えば

際Di⊂M

たが って

.

(証 了)   注 意  ⅰ) 定 理25.1はp-形

式 に 作 用 す る ラ プ ラ シ アン に 対 し て も成 立 す る.

 ⅱ) 跡 公式 に よ る証明 は,GのM上 Brooks-Tse[12]よ

の作 用 が 固 定 点 を 持 つ と きに もそ の ま ま成 立 し,

り種 数 の 小 さ い等 ス ペ ク トル 面 を構 成 す る際 に 適 用 さ れ た.

  §26  等 ス ペ ク トル 多 様 体 の 例   定 理26.1 

コ ン パ ク トな4次

元 リー マ ン 多 様 体M1,M2で,等

ス ペ ク トル

ではあるが

と な る も の が 存 在 す る.   証 明  共 役 条 件 を 満 た す(G,H1,H2)と

し て3節

次 元 コ ン パ ク トC∞-多 様 体M0を,π1(M0)=Gと

に 挙 げ た 例3.1を

有 限 表 示 を 持 つ 群 な ら ば こ れ は 常 に 可 能 で あ る(1節 M→M0を

取 ろ う.4

な る よ うに 選 ぶ.実

普 遍 被 覆 と し,π1(M1)=H1,π1(M2)=H2と

の 例1.21を

際Gが

見 よ).ω0:

な る よ う にMの

部分被

覆 を 取 れ ば 次 の 可 換 図 式 を 得 る.

M0の

任 意 の リ ー マ ン 計 最g0を

被 覆 写 像 でM,M1,M2に

ω1,ω2た ち は リ ー マ ン 被 覆 に な る か ら,定 は 等 ス ペ ク トル で あ る.一

方,H1は

理25.1に

可 換 群,H2は

リフ トす れ ば,ω0, よ り(M1,ω*1g0),(M2,ω*2g0) 非 可換 群 で あ るか ら

(証 了)   定 理26.2  π1(M2)が

等 ス ペ ク トル な コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体M1,M2で

同 型 で な い も の が 存 在 す る.

  証 明   (G,H1,H2)を (19節 参 照)に

再 び 上 の よ う に 取 る.Auslander-Kuranishiの

よ り,コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体Mで,Mの

同 型 な も の が 存 在 す る.す

が 構 成 さ れ,Lは φ-1(Hi)と

基 本 群 π1(M1),

π1(M)の

な わ ち,完

定理

ホ ロ ノ ミー 群 がGと

全列

最 大 ア ー ベ ル 正 規 部 分 群 とな る よ う に で き る.Γi=

お く と Γiに 対 応 す る 部 分 被 覆 を 取 る こ と に よ り リ ー マ ン 被 覆 写 像

の可換図式

を 得 る.定

理25.1に

よ りM1,M2は

等 ス ペ ク トル で あ る.π1(M1),π1(M2)が

同 型 と仮 定 し て み よ う.

こ の と き 同 型 写 像Φ はLを

保 つ(Lは

そ れ ぞ れ π1(M1),π1(M2)の

の 最 大 ア ー ベ ル 正 規 部 分 群 で あ る こ と か ら).よ の 同 型 写 像 を 誘 導 す る こ と に な っ て,H1,H2が

っ て Φ はH1か

中で唯一つ らH2の

上へ

同 型 で な い こ と に 矛 盾.故

に

(証 了)

  §27  閉 測 地 線 の 長 さ に 関 す る 等 ス ペ ク トル 多 様 体   前 節 の ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 値 に 関 す る 等 ス ペ ク トル 多 様 体 の 構 成 は,そ

の ま

ま 閉 測 地 線 の 長 さ に 関 す る 等 ス ペ ク トル 多 様 体 の 構 成 に も 適 用 され る.す

なわ

ち 次 の 定 理 が 成 立 す る.   定 理27.1 

定 理25.1の

た せ ば,各x≧0に

可 換 図 式 の 下 に,も

し(G,H1,H2)が

共役条件をみ

対 し て集 合 {q1;M1の

素 サ イ ク ル でl(q1)=x}

{q2;M2の

素 サ イ ク ル でl(q2)=x}

は 同 じ 濃 度 を 持 つ.   こ の 定 理 の 証 明 に 先 立 っ て,次   補 題27.2  μ∈G=G(M/M0)に (B￨ω)mと

有 限 正 規 リ ー マ ン 被 覆 ω:M→M0が 対 し て,Mの

素 サ イ ク ルBお

与え ら れ た と き,任 よ び 整 数mが

意の

存 在 し て,μ=

書 く こ と が で き る.

  証 明   γ0∈π1(M0)を,準 c0を

の 二 つ の 補 題 を 示 そ う.

同 型 π1(M0)→Gに

そ の ホ モ ト ピ ー 類 が 共 役 類[γ0]に

よ る像 が μ と な る よ う に 取 り,

対 応 す る よ う な,M0の

中の閉測地線

と す る.c0のMへ る.Mの

の リ フ トcを,c(t+1)=μc(t)と

素 サ イ ク ルBと

し く,μB=B.よ   補 題27.3 

自 然 数kが

っ て あ るmが 定 理27.1の

な る よ うに 選 ぶ こ と が で き

存 在

存 在 し て

し て,cは

サ イ ク ル と し てBkに

μ=(B￨ω)m. 

仮 定 の 下 に,M0の

等

(証 了)

素 サ イ ク ルpをM1,M2に

リフ

ト す る: ω1-1(p)=q11…q1r ω2-1(p)=q21…q2s こ の と き,r=sか

つ{degω1q11,…,degω1q1r}={degω2q21,…,degω2q2s}.逆

こ の 意 味 で 任 意 のpがM1,M2の

中 で 同 じ分 解 を 持

に,

て ば,(G,H1,H2)は

共 役

条 件 を 満 た す.

  証 明   一 般 に リ ー マ ン 正 規 被 覆  す る 部 分 被 覆MH→M0を Mの

考 え よ う.M0の

素 サ イ ク ルBを

し,τ1,…,τr∈Gを

を 取 り,部 素 サ イ ク ルpと

固 定 す る.{q1,…,qr}をpのMHに τiBがqiの

分 群H⊂Gに

対応

そ の リ フ トで あ る お け る リ フ ト全 体 と

リフ トで あ る よ う に 選 ぶ と,補

題7.6に

よ り

(分 離 和)

とな る.χ をGのH＼G上

の 置 換 表 現 に 付 随次 す る線 型 表 現 の指 標 とす れ ば

と な る か ら{f1,…,fr}はχ

を 満 た す か ら,主

の み に よ っ て 決 定 さ れ る.一

張 の 前 半 が 得 ら れ る.後

半 は 補 題27.2を

方χ は

見 れ ば 明 ら か. (証 了)

  定 理27.1の く.こ

証 明   Ai(f,p)={q;Miの

素 サ イ ク ル でq￨p,degωiq=f}と

の とき の 素 サ イ ク ル で 

こ こ で,pはf・l(p)=xと 27.3に

お

な るM0の

よ り#A1(f,p)=#A2(f,p)と

(分 離 和) 素 サ イ ク ル 全 体 を 動 く も の と す る.補 な る か ら,主

張 を 得 る. 

(証 了)

題

第6章 

  跡 公 式 が,そ Selbergが で,そ

Selbergの

ゼ ー タ関 数

の美 し さ を最 も発 揮 す る の が 負 の 定 曲 率 曲 面 の 場 合 で あ る.

有 名な 論 文[85]に

お い て,跡 公 式 を一 般 の対 称 空 間上 設 定 す る中

の典 型 的 な 例 と して 重 点 的 に 扱 った もの も,リ ー マ ン 面 上 の 調和 解 析 と

して の 跡 公 式 で あ った.本 章 で は,McKean[59]の

方 法 に従 って,曲 面 上 の

熱 核 に 対 す る跡公 式 を計 算 し,そ の応 用 とし て,Selbergの

ゼー タ関数 の諸 性

質 を 導 く.Selbergの

と密 接 に関 連 し,

ゼ ー タ関 数 は,9節

で述 べ たL-関数

この こ とか ら負 の 定 曲 率 曲 面 に対 し て 定義 され るL-関 でniceで

数 が,定

義9.3の

意味

あ る こ とが 示 され る.

  §28  上 半 平 面 の幾 何 学   Mを2次

元 コン パ ク ト,有 向な リーマ ン多 様 体 で 断 面 曲 率(=ガ

が 恒 等 的 に-1に

な る も の とす る.こ

レ計 量 を 持 つ 上 半 平 面(H,ds2)に

の と きMの

普 遍 被 覆Mは,ポ

ウス 曲率) アンカ

等 距離 で あ る こ と が 知 ら れ て い る(Wolf

[108]):

こ の 節 で は(H,ds2)の

幾 何 学 を 復 習 す る.

 特 殊 線 型 群

は,H上

へ1次 分 数 変 換

に よ り作 用 す る が,d(σz)=(cz+d)-2dz,Imσz=(Imz)￨c2+d￨-2よ 等 距 離 変 換 群 と し て 作 用 し て い る こ と が わ か る.さ ら にHに い る こ と も 容 易 に 確 か め ら れ る.特

り,Hに 推 移的 に 作 用 し て

殊 射 影 線 型 群PSL2(R)=SL2(R)/±I2は

Hに

効 果 的 に 作 用 し て お り,π1(M)はPSHL2(R)の

  補 題28.1 

z,w∈Hに

離 散 部 分 群 と見 な せ る.

対 して

(cosh-1x=￨log(x+(x2-1)1/2)￨).   証 明   四 段 階 に 分 け て 証 明 す る.   1) 

a>1と

を 結 ぶ 測 地 線 は 

す る と, 

に よ り与 え られ 

実際  とす る と

cの

特 にc(t)=c0(t)と

長 さ

す れ ば c0￨[0,t]の c0の

と な り,c0は

長 さ=t

長 さ=loga.

孤 長 径 数 を 持 つ 測 地 線 と な る.

  2) 

と お く と,任

意 の σ∈SL2(R)に

して d0(σz,σw)=d0(z,w)  

を 利 用).

  3)

4)  任 意 のz,w∈Hに

対 し て,あ

る σ∈SL2(R)で 

と な る も の が 存 在 す る.こ

のとき (証 了)

  補 題28.2(SL2(R)の

岩 沢 分 解)

対

とお く とSL2(R)=K・A・N.

 証 明  1)  c(t)を 孤 長 径 数 を持 つHの

中 の測 地 線 とす る.

と お く と 

と し, 

と な る.θ

∈[0,2π)

を適 当 に選 ん で

と で き る.

  2) 

σc0(t)≡c0(t)(∀t∈R)⇒

  3) 

任 意 の σ ∈SL2(R)に

が 存 在 す る((1)に   4) 

σ=1.こ

れ は 明 白 で あ る.

対 し て あ る μ∈KANで

よ る).2)よ

σc0(t)≡ μc0(t)と

り σ=μ.

kan=k1a1n1(k,k1∈K,a,a1∈A,n,n1∈N)と

す る.n1-1a1-1k1-1=

に作 用 させ て 

n-1a-1k-1を 

と し た).故

  補 題28.3 

σ∈SL2(R)(σ

な る もの

こ こ で 

にa=a1,n=n1,k=k1. 

(証 了)

≠ ±1)がK,A,Nの

元 にSL2(R)の

中で共役で

あ るた め に は ￨trσ￨<2,￨trσ￨>2,￨trσ￨=2 が そ れ ぞ れ 必 要 十 分 条 件 で あ る.

 証 明  必 要 条 件 で あ る こ とは 明 ら か. 

(リ ー マ ン 球)

に お け る不 動点 は

に よ り 与え

ら れ る.

  1)  c=0(⇔z=∞)の

場 合.trσ=a+d=a+a-1と

a+a-1=2⇒a=1⇒ a+a-1>2⇒b1=b(a-a-1)-1と

な る か ら

σ∈N. おけ ば

⇒ σ はAの   2)  c≠0の

場 合.￨trσ￨<2な

と な るSL2(R)の =2と

す る.不

と おけ

ば

元 と 共 役. ら σ は 不 動 点z0∈Hを

元 μ を 取 れ ば 

故に

動 点 はx0=(a-d)/2c∈Rに

μ(x0)=∞,μ

σμ-1∞=∞.よ

と 書 け る がa+a-1=2よ  最 後 に￨trσ￨>2と

μσμ-1∈K.￨trσ￨

よ り与 え ら れ

っ て

りa=1と す る.こ

な り μσμ-1∈N.

の と き σ は二 つ の 実 不 動 点x1>x2を

と お く と μ(x1)=0,μ(x2)=∞,よ て μσμ-1∈Aを

持つ か ら, 

っ て μσμ-1(0)=0,μ

持つか ら

σμ-1(∞)=∞.こ

得 る. 

(証 了)

  定 義28.4 

σ∈SL2(R)がAの

元 と共 役 な と き双 曲 的 と い わ れ る.

  補 題28.5 

σ≠ ±1と

が 双 曲 的 で あ る た め の 条 件 は,関

d(z,σz)2がH上

うし

す る.σ

数fσ(z)=

で 正 の 最 小 値 を 取 る こ と で あ る.

  証 明  fμσμ-1(z)=fσ(μ-1z)に注意 す る.補

題28.3に

よ り,σ はK,N,Aの

い

ず れ か に 属 し て い る と仮 定 し て よ い.

(等号 ⇔Rez=0) (証 了)  18節 の 補 題18.7よ

り

  系28.5.1 

任 意 の σ∈ π1(M)(σ ≠1)のSL2(R)に

お け る代 表 元 は双 曲的 で

あ る.

 次 にHに

お け る半 径Rの

まず 

の 体 積 を 計 算 す る.こ

測 地球 

と し た と き の θ(υ)=θ(x,y)(θ の 定 義 は,10節

の た め,

を 参 照)を

計算

す るが,上 半 平 面 の 代 わ りに 円板 モ デ ル D={w∈C;￨w￨<1} を 扱 う と計 算 が 容 易 に な る.Cayley変

はHか

らDの

レ計 量 はD上

換

上 へ の双 正則 写 像 で,

 をDの

中 心0に

写 す が,ポ

アンカ

の計 量

に 写 され る.さ らにHの

に 対 応 す る.こ

測 地 線 

は,Cayley変

換に よ り

の こ と か ら 指 数 写 像exp0:T0D→Dは, 

とお くと

 (28.1)

を 満 た し て い る は ず で あ る(計 量ds2に 意).と

こ ろ が,回

は す べ てT0Dの う し て,任

転w→eiθwはds2に

え ら れ る.

成 立 す る こ と に な る.こ

対 して

通 常 の ノ ル ム￨・￨を

に よ り 同 一 視 し よ う.こ

な って い る こ とに注

関 し て 等 距 離 写像 で あ る か ら,実

単 位 ベ ク トルυ に 対 し て(28.1)が

意 のυ ∈T0Dに

と な る.T0Dと

関 し て‖υ‖=1と

の と き,新

持 つCを

し い 変 数zに

関 し て,指

数 写 像 は 次 式 で与

と お こ う.θ の 定 義 を 思 い出 せば(10節),次

と な り,こ

従 っ て  よ うに計算

  D上

の 式 を 得 る.

の面 積 は次 の

れ を 用 い て, 

さ れ る.

の 関 数fが

半 径rの

み に よる とき,ΔDfの

に よ り与 え られ る こ と も,定理10.4を

極座標表示は

用 い れ ば 簡 単 に 示 され る.

  §29  上 半 平 面 に お け る跡 公 式   補 題29.1 

上 半 平 面H上

の 熱 核 は 次 の式 で 与え られ る.

こ こ でr=d(z,w)と

す る.

  証 明 は付 録Cを

参 照.

  以 下 簡 単 の た め,Hのポ 書 く こ と に す る.f(cosh

ア ン カ レ計 量 に 付 随 す る 測 度 をdμ(=y-2dxdy)と d(z,w))=k(t,z,w)と

の コ ン パ ク トな リー マ ン 面 と し,向 (M)⊂PSL2(R)と (18節)は

な る.ρ:π1(M)→U(N)を

負 定 曲 率(≡-1) の と き π1

ユ ニ タ リ表 現 と し た と き 跡 公 式

次 の よ う に 書 け る.

こ こ で,PはG=π1(M)の

原 始 的 共 役 類 の 全 体 を 表 わ す(定 義18.17).

 積分  PSL2(R)の

を 計 算 し よ う(σ ≠1と 元 を,そ

る.σ ∈Gは

と書 け る.Gの

す る).こ

の 代 表 を 選 ぶ こ と に よ り,SL2(R)の

れ か ら は,

元 と見 な す こ とに す

双 曲 的 で あ るか ら

代 わ りにG′=h-1Ghを

と な る こ と に 注 意.し 28.5の

お こ う.Mを

き 付 け 可 能 と 仮 定 し て お く.こ

考 え る.こ

た が っ て 最初 か ら

の とき

 と仮 定 し て も よ い.補

証 明 か ら,l2[σ]=minfσ(z)=(loga2)2,Mσ={z∈H;Rez=0}と

 ω:H→Mσ

を

す な わ ちω(σnz)=σnω(z)を

な る.

に よ り 定 義.写 満 た す.こ

うし て,補

題

題28.1を

像 ω はGσ-同 用 い れ ば,

変,

を得 る.次 の 変 数 変 換 を 行 な お う.

この と き

と な る か ら,上

に 等 し い.次

式は

に積分

を 計 算 し よ う. 

積分 は

に 等 し い(下 図 を 見 よ).

と ころ で

を 代 入 す れ ば,こ

の

とな る か ら,上 記 の積 分 の値 は

に 等 し い.公

を 得 る.と

式 

を 使 えば,結 局

こ ろ でGの

が あ る か ら,上

原 始 的 共 役 類 とMの

素 サ イ ク ル の 間 に は1対1の

対応

記 の 結 果 は 次 の よ う に 述 べ る こ とが で き る.

  定 理29.2.(McKean[59])

  §30  Selbergゼ

ー タ関 数

  前 節 の 記 号 を 続 け て 用 い る.   定 義30.1  現

コ ン パ ク トな リ ー マ ン 面M=G＼Hお

ρ:G→U(N)に

対 して

と お い て,Z(s,ρ)をSelbergゼ   補 題30.2 

Z(s,ρ)はRes>1で

  証 明   系18.1.1に

より

ー タ 関 数 と 各 付 け る. 絶 対 収 束 す る.

よ び 有 限 次 元 ユ ニ タ リ表

とな る か ら,実 なsに 対 して 成 り立 つ 評 価

を 用 い れば,Z(s,ρ)はRes>1で

絶 対 収 束 す る こ とが わ か る. 

(証 了)

  補 題30.3  とお く と

  証 明   s>1と

し て,Z(s,ρ)の

定 義 式 の対 数 微 分 を 取 る と

こ こ で公 式

を 適 用 す る(こ の 公 式 の 証 明 は 次 の よ うに 行 な う:左

っ てh(λ,μ)=h1(λ)+h2(μ)と

 で あ る か ら,

 こ う し てh1(λ)≡0,h2(μ)=h2(0)=0

 従 っ て と な り,h(λ,μ)≡0を

 を満

書 け る が,

 一 方

 に よ り

お く と,

 は

 と な る か ら, た す.よ

辺 をf(λ,μ)と

得 る).上記

の対 数 微 分 は 結 局 次 の よ うに書 き変 え られ

る.

(証 了)   次 にZ′(s,ρ)/Z(s,ρ)が そ う.こ この と き

全 平 面 に 有 理 型 関 数 と し て 解 析 接 続 さ れ る こ とを 示

の た めF(s,ρ)=(2s-1)-1Z′(s,ρ)/Z(s,ρ)と

お き,β>0を

固 定 す る.

こ こ で 次 の 公 式 を 用 い る.

(実 際,左

辺 をg(λ,b)と

お くと

とな るか ら 

一 方 

と な る か ら,g1(b)≡0).

す る と上 記 の 式 の 第2項 は

と な り,結 局 次 式 を 得 る.  (30.1) 

こ こ で 最 初 の級 数 は#{λi(ρ);λi(ρ)≦x} 

(17節

を 見 よ)に

よ り,任

意 のs∈Cに

対 し て 収 束 す る こ とに 注 意.二

す る.よ

っ てF(s+β,ρ)-F(s,ρ)は

全s-平

ろ がF(s+β,ρ)はRes>-β+1で で 解 析 接 続 さ れ,β>0は

番 目の級 数 も同様 に収 束

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る.と

こ

正則 で あ る か らF(s,ρ)はRes>-β+1ま 任 意 で あ っ た か ら,結

局F(s,ρ)は

全s-平

面 に解 析 接

続 さ れ る.   次 にZ′(s,p)/Z(s,ρ)=(2s-1)F(s,ρ)の はRes>-β+1で

極 と そ の 留 数 を 決 定 し よ う.F(s+β,ρ)

正 則 で あ る か ら,F(s,ρ)のRes>-β+1に

お け る極 は

s=-n(n=0,1,…,[β]-1)

に よ り与 え られ る(他 の 極 はs=-n-β<-β+1,  な りRes≦-β+1と

な る).こ

に よ り与 え ら れ る.と

う し て(2s-1)F(s,ρ)の

こ ろ でGauss-Bonnetの

ー 数,gをMの

種 数 とし た とき

が 成 立 す る.し

た が っ てs=-nに

(g-1)Nに

等 し く,自

と

定 理 に よれ ば,χ(M)を

お け るZ′(s,ρ)/Z(s,ρ)の

然 数 とな る こ と に 注 意.こ

面 上 で 一 価 正 則 と な る こ と が わ か る.ま   定 理30.4(Selberg[85]) 

極 お よび 留 数 は

Selbergゼ

留 数 は(2n+1)・

の こ と か らZ(s,ρ)は

Res>1で

 ⅱ) 

全s-平

 ⅲ) 

s=-n(n=0,1,2,…)に

 ⅳ) 

そ の他 の零 点 は

全s-平

と め れ ば 次 の 定 理 を 得 る. ー タ 関 数Z(s,ρ)は

次の性 質 を 満 た

す.  ⅰ) 

オイ ラ

絶 対 収 束 す る. 面 に 正 則 に 解 析 接 続 さ れ る. 位 数(2n+1)(g-1)Nの

零 点 を 持 つ.

に よ り与 え ら れ る.特 上 に あ り,そ と ん ど"リ

に 

に対 応 す る零 は 実 区 間[0,1]

の 他 はRes=1/2な

る線 上 に あ る.こ

の 意 味 で,Z(s,ρ)は"ほ

ー マ ン 予 想 の 類 似 を 満 た す.

  9節 で 導 入 し たL-関

数 とSelbergゼ

ー タ 関 数 は 次 の 式 で 結 ば れ る.

L(s,ρ)=Z(s+1,ρ)/Z(s,ρ).   系30.4.1 

リ ー マ ン 面MのL-関

 ⅰ) 

Res>1でL(s,ρ)は

 ⅱ) 

L(s,ρ)は 全s-平

 ⅲ) ρ

数L(s,ρ)は

絶 対 収 束 し,正

次 の 性 質 を 満 た す.

則.

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る.

が 既 約 で 自 明 で な け れ ば,L(s,ρ)はRes≧1で

 ⅳ)  L(s,1)は,s=1で

単 純 な 極 を 有し,こ

正 則.

れ を 除 い て はRes≧1で

正則で

あ る.  ⅴ)  L(s,ρ)はRes≧1で 特 に,P={Mの は9節

零 点 を 持 た な い.

素 サ イ クル},N(p)=exp l(p),G=π1(M)と

で 定 義 し た 意 味 でniceで

す れ ば(P,G,N)

あ る.

  命 題9.4を

こ の 場 合 に 適 用 す れ ば,次

の 定 理 を 得 る.

  定 理30.5 

(ⅰ)(素 測 地 線 定 理)π(x)=#{p;素

サ イ ク ル,l(p)<x}と

お

けば π(x)∼ex/x    (ⅱ)  H⊂ ∈[G]に

π1(M)を

有 限 指 数 正 規 部 分 群 と し,G=π1(M)/Hと

対 し て,π(x,[σ])=#{p;〈p〉

が 成 立 す る.特

(x↑ ∞).

にH⊂H1(M,Z)を

対 し て π(x,α)=#{p;[p]∈

∈[σ],l(p)<x}と

し て,各[σ] おけば

有 限 指 数 部 分 群 と し,α ∈H1{M,Z)/Hに α,l(p)<x}と

お け ば,次

のDirichletの

算術級数

定 理 の 類 似 が 成 立 す る. π(x,α)∼#{H1(M,Z)/H)-1ex/x(x↑   32節

に お い て,H={0}の

  最 後に,Z(s,ρ)が

∞) .

場 合 の 密 度 定 理 を 扱 う.

関 数 等 式 を 満 足 す る こ とを 見 よ う.(30.1)を

F(1-s+β,ρ}-F(1-s,ρ)=F(s-β,ρ)-F(s,ρ)

用いて

を得 るが,特 に 

と な る.従

とお け ば

って

が 成 り立 つ が,両 辺 を 積 分 し て

を 得 る.

第7章

  基 本 群 の 表 現

と ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ

ク

トル

  有 限 次 元 平 坦 ベ ク トル 束Eρ の 切 断 に 作 用 す る ラ プ ラシ ア ンΔ ρの ス ペ ク トル 問 題 に つ い て は,16,17節 ペ ク トル は,重

に お い て あ る 程 度 満 足 す べ き 情 報(例

複 度 有 限 な 固 有 値 か ら 成 る 等 の 結 果)が

次 元 で は 一 般 に 連 続 ス ペ ク トル も 現 わ れ て,取 の 詳 細 な 研 究 は,将   本 章 で は,Δ

え ば,Δ ρの ス

得 ら れ た .し

か し無 限

り扱 い は 困 難 な も の に な り,そ

来 に ま つ べ き 所 が 多 い.

ρの ス ペ ク ト ラ ム の 下 限inf

これ は最 小 固有 値

λ0(ρ)と一 致)と,基

Spect(Δ ρ)(有 限 次 元 の 場 合 に は,

本 群 の表 現 ρの純 群 論 的 性 質 の 間 の関

係 を 調 べ る こ と を 主 な 目的 と す る.   31節

で は,自

明 な 表 現 に 近 い1次

の 模 様 を 見 る.こ

元 表 現 の 変 動 に 対 す る,最 小 固 有 値 の 変 化

の 応 用 と し て,32節

に お い て,定

曲 率 リー マ ン面 の与 え られ

た ホ モ ロ ジ ー 類 に 属 す る 閉 測 地 線 の 分 布 に 関 す る 密 度 定 理 を 証 明 す る .31節 結 果 が 示 唆 す る よ う に,inf

Spect(Δ ρ)は,(少

ρ と 自 明 な 表 現1の

離"の

間 の"距

役 割 を 果 し て い る と思 わ れ る.実

で 純 表 現 論 的 な 方 法 に よ り,ρ と1の (Δρ)を評 価 す る.こ

擬 距 離 を 定 義 し,こ

対 す る ラ プ ラ シ ア ンΔMの

ク トラ ム の 下 限 が 零 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,基 で あ る と い う,Brooks[9]の

よ びZimmer[111]を

間 の 弱 包 含 の 関 係 を 導 入 し,も

ンパ スペ

本 群 π1(M)がamenable

定 理 の 別 証 明 が 得 ら れ る.amenableな

て の 定 義 お よ び 基 本 的 事 実 に つ い て は,34節 Greenleaf[31]お

際,33節

れ を 用 い てinf Spect

の 結 果 を 基 本 群 の 正 則 表 現 に 応 用 す る こ と に よ り,コ

ク トな リー マ ン 多 様 体 の 普 遍 被 覆 多 様 体Mに

の

な く と も ρが 既 約 表 現 の と き は)

群 につ い

で 述 べ ら れ る(詳 細 に つ い て は

参 照 せ よ) .35節

で は,二

つの表現の

し ρが ρ1に 弱 包 含 さ れ る な ら ば,Spect(Δ

ρ)⊂

Spect(Δ ρ1)とな る こ と を 示 す(ρ が ρ1に 部 分 表 現 と し て 含 まれ る と き に は,こ れ は 明 白 な 事 実 で あ る).最 有 限 被 覆 多 様 体M1に き さ を 調 べ る.

後 の36節

で は,与

え ら れ た リー マ ン 多 様 体Mの

対 す る ラ プ ラ シ ア ン ΔM1の 正 の 第1固

有値

λ1(M1)の

大

  §31  1次 元 表 現 と 最 小 固 有 値   コ ンパーク トな リ ー マ ン 多 様 体Mと,1次 与 え る.Δ χ:C∞(Eχ)→C∞(Eχ)を の 固 有 値 を{0≦

る.こ の 節 で は χ →1と   明 ら か に,二

平 坦 直 線 束Eχ 上 の ラ プ ラ シ ア ン と し て,そ

λ0(χ)≦λ1(χ)≦…}と

る の は χ が 自 明 な 表 現1の

元 表 現(指 標)χ:π1(M)→U(1)を

し よ う.16節

と き に 限 り,λ0(1)は

Δ1=ΔMの

な

単純 な固有値であ

し た と き の λ0(χ)の挙 動 を 調 べ る こ と を 主 目標 とす る.

つ の 指 標 群{χ:π1(M)→U(1)}とH={χ:H1(M,Z)→

U(1)}は,1次

元 ユ ニ タ リ群U(1)が

→H1(M,Z)を

通 し て 同 一 視 さ れ る.さ

ー ラ スH1(M,R)/H1(M,Z)と

可 換 な こ と か らHurewicz準 ら にHの

同 型 π1(M)

単位 元 を 含 む連結成分は ト

自 然 に 同 一 視 さ れ る こ と が 知 ら れ て い る.こ

で は 次 の よ うに 具 体 的 な 対 応 を 与 え て お く.ま 1-コ ホ モ ロジ ー 群H1(M,R)をM上 し,対

で 見 た よ うに λ0(χ)=0と

ずHodge-小

の 調 和 な1-微

こ

平 の 定 理 に よ り,

分 形 式 ω の空 間 と 同 一 視

応 H1(M,R)→H 

(ω

→χ ω)

を

に よ り与 え よ う.こ 一 方,普

遍 被 覆Mに

に よ り定 義 す る,ω

こ で 閉 道c(σ)は 基 点x0を

そ の ホ モ ト ピ ー 類 が σ と な る よ う に 選 ぶ.

固 定 し,M上

は ω の リフ トで あ り,積

の 関 数sω を

分 はx0か

らxへ

向 う道 上 で 取 る

(ω は 閉 形 式 で あ る か ら 道 の 取 り方 に は よ ら な い).容

易に示 され る よ うに

sω(σx)=χω(σ)sω(x)とな る か らsω ∈C∞(Eχω)と な り,し

か もsω は 零 点 を 持 た な

い.し

た が っ て対 応

はC∞(M)とC∞(Eχω)の

間 の 同 型 を 与 え る.さ

と な る こ とが わ か る か ら,方

らに簡 単 な 計 算 に よ り

程 式 Δχω(fsω)=λfsωは

と 同 値 で あ る.λ0(ω)=λ0(χω)と 書 こ う.λ(0)=0は

単 純 な 固 有 値 で あ る か ら,

十 分0に

近 い ω に 対 し て も λ0(ω)は単 純 で あ り,し か も ω に 関 し て 滑 ら か に 従

属 す る.ωt=tω 1-径

と お こ う.こ

数 族{ft}で,tに

の と き￨t￨が

十 分 小 さ い な ら ばC∞(M)の

つ い て 滑 ら か な も の が 取 れ て,方

中の

程式

f0≡1 を 満 足 す る よ う に で き る.こ

こ で λ(t)=λ(ωt)と し た.t=0に

お い て 両 辺 の2

階微分を取 る と

λ(t)≧0,λ(0)=0⇒

λ(0)=0を

利 用).両

辺 をM上

で 積 分 す る.

を使 えば,次 式 を 得 る.

λ(0)=(Hess0λ0)(ω,ω)で

あ る か ら,結

局 次 の 定 理 に 到達 す る.

  定 理31.1 H1(M,R)上

の ユ ー ク リ ッ ド ・ ノ ル ム〓

に よ り定 義 す る と,上 記 の 主 張 は

を 意 味 す る.   補 題31.2

 証 明

・〓 を

(証 了)   定 義31.3 

H1(M,R)の

ユ ー ク リ ッ ド計 量〓 ・〓か ら 誘 導 さ れ る 計 量 を 持 つ

平 坦 トー ラ スA(M)=H1(M,R)/H1(M,Z)をAlbaneseト

ー ラ ス と い う.

  §32  リー マ ン 面 の 閉 測 地 線 の 分 布 へ の 応 用   前 節 の 結 果 と,Selbergの

ゼ ー タ 関 数 の 性 質 を 結 び 付 け る こ と に よ っ て,次

の 定 理 が 得 ら れ る.   定 理32.1(Katsuda-Sunada[46])  面(有

向 と 仮 定)と

し,gをMの

π(x,α)=#{p;Mの ([  ]は

Mを

コ ン パ ク トな 負 定 曲 率(≡-1)曲

種 数 とす る.α ∈H1(M,Z)に

対 して

素 な 閉 測 地 線,l(p)<x,[p]=α}

ホ モ ロ ジ ー 類 を 表 わ す)と

お く と,x↑

∞

と した と き

が 成 立 す る.   系32.1.1 

異 な る ホ モロ ジ ー類 α,β に 対 し て

す な わ ち,粗

い 意 味 で 素 な 閉 測 地 線 は ホ モ ロジ ー 類 の 中 で 等 分 布 す る.

  まず 次 の 補 題 の 証 明 か ら 始 め る.   補 題32.2  に1で

2次 元 有 向 リー マ ン 多 様 体MのAlbaneseト

ー ラ スの 体 積 は 常

あ る.

  証 明   Mの で き る.接

有 向 性 よ り,体 積 要 素dυgをM上

ベ ク トルXに

の2-形

式 と同一 視 す る こ とが

対 し て τ(X)dυgを (τ(X)dυg)(Y)=dυg(X,Y)

に よ り定 義 し た1-形

式 とす る.*-作

用 素

*:T*M→T*M を*ω=τ(γ(ω))dυgに

よ り定 義 し よ う.こ

こ で γ:T*M→TMは

〈 γ(ω),X〉=ω(X) に よ り定 義 し た 同 型 写 像 で あ る.こ 1-形 式 で あ り,(*)2=-Iと

の と き 調 和1-形

式 ω に 対 し て*ω

も調 和

な る(村 上[ⅲ]).

  H1(M,Z)の標準基a1,…,ag,b1,…,bgを

取 る(例1.19).対

応 す るH1(M,R)

の双 対 基

ω1,…,ω2gを 調 和1-形

式 と し て 取 る と,2g×2g行

列

は

に 等 し い.一

方2g×2g行

列A=(aij)を

に よ り 定 義 す る と,(*)2=-Iよ

りA2=-I,特

に(det

A)2=1を

得 る .と

こ

うが

で あ る か ら,det

J=±1に

注 意 す れ ばvol(A(M))=1を

得 る. 

  定 理 の 証 明   1次 元 表 現 χ:H1(M,Z)→U(1)に

対 す るL-関

(証 了) 数L(s,χ)を

考 え る:

 と お こ う.す

は 

で 正 則 で あ る.こ

 α∈H1(M,Z)を

こ で 和 は 

固 定 し,Fα(s)を

こ こ でdχ はA(M)上

る と定 理30.4に

よ り

とな るkに

つ い て 考 え る.

次 の よ うに定 義 す る.

の正 規 化 され たHaar測

度 を 表 わ す .こ

す る直 交 関 係 式 に 注 意:

こ の 関 係 式 を 使 っ て,Fα(s)をDirichlet級

数 に 書 き 変え る:

こで指 標 に 関

Fα(s)はRe

s≧1で,点s=1を

除 い て 連 続 と な る こ と は,L(s,χ)の

る 連 続 性 か ら 確 か め ら れ る.以

χに 関 す

下 記 号 を 簡 単 に す るた め C=(g-1)g

とお く こ とす る.

 補 題32.3 

R上

で 定 義 され た 局 所 可 積 分 関 数h(t)が

存 在 し て, 

と お い た と き,

が 十 分 小 さ い 正 数 ε に 対 し て 一様 に 成 立 す る.   証 明   Albaneseト たHaar測

度dχ

ー ラ スA(M)上

の 計 量 か ら 定 ま る 測 度dω

と正 規 化 さ れ

は 等 し い(補 題32.2).  よ り,定

を 得 る.Morseの

補 題(松

理31.1を

適 用 して

島[ⅰ].Milnor[70])を

利 用 し て,ω=0∈A(M)の

局 所 座 標 近 傍(U;x1(ω),…,x2g(ω))を,  (32.1) f0(x)=1-￨x￨2 x(0)=0

が 成 立 す る よ うに 取 る こ とが で き る.し =0の

か も 座 標 変 換 の ヤ コ ビ ア ンJ(x)はx

近傍で

 (32.2)

を 満 た す よ うに で き る.こ の 新 しい 座標 に 関 して,χω(-α)は 一 般 に は複 雑 な 関 数 に な る が,必 要 な もの は次 の簡 単 な評 価 式 で あ る.   (32.3) χω(-α)=1+O(￨x￨). a>0を

十 分 小 さ く 取 り,V={x∈A(M);￨x￨2≦a2}⊂Uと

お こ う.こ

の と き

と 書 い て み る と,χ ∈A(M)＼Vに

対 し て はL′(s,χ)/L(s,χ)はRe

s≧1を

含む

よりRe

s≧

あ る開 集 合 で 正 則 とな るか ら

はRe

s≧1で

正 則 で あ る.次

に 積 分 

を 調 べ る.以

後hi(s)に

1で 正則 な 関 数 を 表 わ す こ とにす る.ま ず 次式 を 得 る.

(32.1),(32.2),(32.3)に

よ り上 式 の 積 分 項 は

と表 わ され るが,極 座 標 で 書 き直 す と

こ こ で, 

￨ψ(rΩ)￨≦Cr2gを

は(2g-1)次 満 た す 関 数 で あ る.上

こ こ で 公 式Ω2g-1=(2π)g/2g-1(g-1)!お

元単 位 球 面 の 表 面 積 で あ り,ψ(rΩ)は 式 の 第1項

は 次 の よ うに 変 形 され る.

よ びGauss-Bonnetの

公 式vol(M)=

4π(g-1)を

代 入 す れ ば,上 式 の(s-1)-1の

係数 は ち ょ う どC=(g-1)gと

な る.

を評 価 す るた め

 次 に 

に 対 し て￨f(s)￨≦h4(t)と

と お く. 

き こ と は,h4(t)が

任 意 の 有 限 区 間 で 可 積 分 な こ と で あ る.μ>0を

と お く とIg=O(r-2g)(r↓0)と

な る.こ

よ り,帰

うして

納 法 で 確 認 さ れ る.こ

と な るか ら,Fubiniの

後 に 示 すべ 固 定 して

れ は,

定理に よ り

を 得 る. 

(補 題 の 証 了)

  定 理 の 証 明 に 移 ろ う,[0,∞)上

に よ り定 義 す る.こ

はC-1Fα(s)に

な る か ら,最

の 関 数φ(x)を

の とき

等 し く,Ikeharaの

定 理(付 録A)の

φ(x)∼Cex(x↑ こ れ か ら 先 は,命

題9.4の

条 件 を 満 足 す る.従

∞).

定 理 の 証 明 を 少 々 修 正 す れ ば よ い.ま

ず

って

一 方

,y=x-(g+2)log

xと

お け ば

こ うし て

とな る が,π(x)∼ex/x(定

理30.5)を

利用すれば結局

とな り証 明 が 完 了 す る.

  §33  一 般 の ユ ニ タ リ表 現 ρ に 対 す るΔ ρの 最 小 ス ペ ク トル   コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体Mお 固 定 し,被

覆 変 換 群Gの

よ び,正

ユ ニ タ リ表 現 ρ に 付 随 す る 平 坦 束Eρ を 考 え る.Eρ

の 切 断 に 作 用 す る ラ プ ラ シ ア ンΔ ρは,非 (Δρ)⊂[0,∞)で

あ る.11節

と す れ ば,ΔM1とΔ

規 リー マ ン 被 覆 ω:M1→Mを

負 な 自己 共 役 用 素 で あ る か ら,Spect

で 示 し た よ うに,ρ

をGのL2(G)上

ρは ユ ニ タ リ同 値 と な る か らSpect(ΔM1)=Spect(Δ

の 二 つ の 例 は,後

の 議 論 に お け る 典 型 的 な 事 例 と な る.

  例33.1 

平 坦 トー ラ ス と し,M1を

Mを

の右 正 則表 現

的 計 量 を 持 つ ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnに

そ の 普 遍 被 覆 と す る と,M1は

な り,5節

ρ).次

標準

で 見 た よ うに

Spect(ΔRn)=[0,∞) と な る.   例33.2  M1は

Mを

定 曲 率-1の

リー マ ン 面 と し,M1を

ポ ア ン カ レ計 量 を 持 つ 上 半 平 面Hに

な り

そ の 普 遍 被 覆 とす る と,

とな る こ とが 知 られ て い る(付 録C参 次 の よ う簡 単 に 示 さ れ る.ポアン ン は 

とな る こ と は

照). 

カ レ 計 量y-2(dx2+dy2)に

対す るラプラシア

に よ り与 え ら れ る こ と に 注 意 す れば,f∈C∞0(H)に

対

して 次 の 不 等 式 を 得 る.

一 方

(部分 積 分)

(コ ー シ ー

・シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式)

に よ り

こ の不 等 式 の 右 辺 は 部 分 積 分 に よ り

に 等 し い こ と が わ か る か ら,結

が 得 ら れ る.

と な り    一 般 のΔ

局

ρに 対 し て λ0(ρ)=inf

と お く.5節

の一 般 論 に よ り

Spect(Δ

ρ)

本 節 の 目 的 は,λ0(ρ)を

上 下 か ら 評 価 す る こ と で あ る.こ

の た め 次 の よ うな 量

を 導 入 し よ う.

こ こ でA⊂GはGの な 表 現1の

生 成 元 か ら な る 有 限 集 合 で あ る .δ(ρ,1)は 表 現 ρ と 自 明

間 の"距

(Kazhdan[47],

離"の

よ うな も の で あ り,Kazhdan距

離 とよ ば れ る

Brooks[10]).

  定 義 か ら 明 ら か な よ う に,φ:G→Hを

全 射 準 同 型 とす る と,Hの

任意の

ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し て δA(ρ°φ,1)=δφ(A)(ρ,1) が 成 立 す る.一

方 被 覆 の 列M1→M′

→Mに

お い て,M′

→MがHを

被 覆

変 換 群 と す る 部 分 被 覆 と す る と λ0(ρ°φ)=λ0(ρ)と な る(Eρ°φとEρ は 平 坦 束 と し て 同 値 とな る こ と に 注 意;4節).   次 の 補 題 は δA(δ,1)が 本 質 的 に 生 成 元 の 集 合Aの

取 り方 に は よ ら な い こ と を

示 す.   補 題33.3. 

A,B⊂Gを

生 成 元 の 集 合 と す る と,定

数C1,C2>0が

存 在して

C1δB(ρ,1)≦ δA(ρ,1)≦C2δB(ρ,1) がGの

す べ て の ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し て 成 立 す る.

  証 明   一 般 性 を 失 う こ と な くA⊃B,B=B-1と δA≧δBは 明 ら か で あ る か ら,δA≦CδBを ば 各 σ∈Aは,σ=μ1…

μn,μi∈B,n≦N,と

仮 定 し て も 差 し つ か え な い. 示 す.自

然数Nを

書 く こ とが で き る.よ

これ よ り主 張 を 得 る.    定 理33.4(Sunada[100]) 

十 分 大 き く取 れ って

(証 了) 表 現 ρに は よ ら な いMの

み に よ る 正 定数C1,C2

が存 在 し て C1δ(ρ,1)2≦λ0(ρ)≦C2δ(ρ,1)2 がGの

す べ て の ユ ニ タ リ表 現 に 対 し て 成 り立 つ.

  注 意  ρが 有 限 次 元 表 現 の と きに は,δ(ρ,1)=0⇔ ρ が 自明 な 表現1を 部 分 表現 とし て含 む(補 題16.5と 比 較 せ よ).し か し 一 般 の無限 次元 表現 の場 合 に は 必ず し も これ は 成 立 しな い(補 題35.1参

照).

  証 明   前 に 注 意 し た こ と に よ り,M1→Mは ら,M1=M,G=π1(M)と

す る.

 Ⅰ) (λ0(ρ)≦C2δ(ρ,1)2の 証 明)  φ:M→Rを

普 遍 被 覆 と仮 定 し て も よ い か

ま ず 

φ の 台 が 十 分 小 さ いC∞-級

と な る こ と を 見 る. 関 数 と し, 

と仮 定 す る.υ ∈V

を 単 位 ベ ク トル と し て

と お く.明

ら か にs(σx)=ρ(σ)s(x).よ

こ こ で,φ

の 台 が 小 さ い こ とか ら φ をM上

 δ(ρ,1)>1/2の

と き は, 

  δ(ρ,1)≦1/2と

す る.δ(ρ,1)の

っ てs∈C∞(Eρ).こ

うし て

の 関 数 と 見 な せ る こ と に注 意. と お く と,λ0(ρ)≦Cδ(ρ,1)2.

定 義 か ら,正

数 ε が 与 え ら れ る と,単

位 ベ ク

トルυ ∈Vを ‖ρ(σ)υ-υ‖V<δ(ρ,1)+ε,  を 満 た す よ うに 選 ぶ こ と が で き る.こ 元 の 集 合Aの   {Oa}Na=1をEρ

σ∈A,

こ で δ(ρ,1)=δA(ρ,1)は 本 質 的 に は 生 成

取 り方 に は よ ら な い こ と を 強 調 し て お こ う(上 記 補 題33.3). の局 所 自 明 性 を 与 え るMの開

切 断saをΦa(sa(x))=(x,υ)を

被 覆 と す る(序 章4節).Oa上

満 た す よ うな も の と し て 定 義 し,saをOaの

は 恒 等 的 に 零 と お い てEρ の 切 断 に 拡 張 す る.Eρ

に よ り定 義 す る.こ Ob上

こ で{φa}は

開 被 覆{Oa}に

で はdsa≡0,お

よ び 

のC∞-切

の 外で

断sを

従 属 す る1の

分 解 で あ る.

では

こ こ で,suppφa上

で あ るか ら ‖ds‖≦C(δA(ρ,1)+ε).

を 利 用 し た.と

ころ で

こ こ でAは{σab;Oa∩Ob≠ お く.一

φ}を

含 む 生 成 元 の 集 合 と し, 

と

であ るか ら 

方 

の とき

εは 任 意 で あ っ た か ら 主 張 を 得 る.  Ⅱ)  (C1δ(ρ,1)2≦λ0(ρ)の証 明)  π1(M)の を基 本 領 域 と す る.s∈C∞(Eρ)を

生 成 元 の 集 合Aを

固 定 し,D⊂M

恒 等 的 に は 零 で は た い 切 断とする

と

とな るか ら

を 得 る.従

っ て 次 の こ と を 示 せ ば 十 分.

  補 題33.5 こ こ でC>0はs,ρ

に は よ らな い 定数 .

  証 明  c:R→Mをc(0)=x,c(t+1)=σc(t)と

が 成 り立 つ.c=ω°cはMの

な るC∞-曲

閉 曲 線:S1→Mを

線 とす る と

誘 導 す る が,コ

ー シ ー ・シ ュ

ワル ツの 不 等 式 に よ り

を 得 る.一

般 性 を 失 う こ と な くMは

向 き 付 け 可 能 と 仮 定 し て よ く,σ ∈Aは

単 純 閉 曲 線 で 代 表 さ れ て い る と し て よ い(dim O.K.

dim

M=2の

曲 線c:S1→Mに

と き は,初

M≧3な

め か ら こ の よ うなAを

ら,後

半 の仮 定 は常 に

取 っ て お く) .各

単純 閉

対 し てembedding Fc:S1×Dn-1→M

をFc￨S1×{0}=cと

な る よ うに 取 る.こ

こでDn-1⊂Rn-1は

原 点 を 中 心 とす

る 閉 球 を 表 わ す.Tc=Fc(S1×Dn-1)はcの

Mの

コ ン パ ク ト性 に よ り,単

管 状 近 傍 で あ る.

純 閉 曲 線c1,…,cNを

ci:R→Mは,ci(t+1)=σci(t)を

満 た し,し

とな る よ うにで き る.実 際c0を

有 限 個 選 ん で,ciの

リフ ト

か も

σ∈π1(M)を 代 表 す る単 純 閉 曲線 とし,x∈M

とc0上 の あ る点 を 結 ぶ 自己 交 点 の な い 曲 線c1で,c1とc0は

一点のみで交わ る

よ うな もの を 取 る.

閉 曲 線c1・c0・c1-1はC∞-級 で き る.も

の 単 純 な 閉 曲 線cxでcx(0)=xと で あ る か ら,有

ち ろ ん 

選 ん で 

な る も の で近 似

限 個 のc1=cx1,…,cN=cxNを

と で き る.Fi=Fciの

リフ ト

Fi:R×Dn-1→M をFi(t,0)=ciと り,あ

な る よ うに 取 り,Fi([0,1]×Dn-1)=Tiと

ら かじ

めD⊂

∪Tiと

仮 定 し て も よ い.こ

お く.M=∪Tiよ の とき

こ こ でcx(t)=F(s+t,y)(F=Fi,x=F(s,y)),  お い た.S1お dyn-1と

書

よ びDn-1上 くこ と に す る と

のLebesgue測

と 度ds,dn-1yに

よ りdυg=f(s,y)ds

こ うして

を 得 る. 

(証 了)

  系33.5.1    特 にGの

λ0(ρ)=0⇔

δ(ρ,1)=0.

右 正 則 表 現 ρrに こ の 系 を 適 用 す る.次 節 で 述 べ る よ うに δ(ρr,1)=0

とな る 群Gはamenableと

な る か ら,次

  定 理33.6 M1→MをGを の と きM1上

被 覆 変 換 群 とす る 正 規 リ ー マン 被 覆 とす る.こ

の ラ プ ラ シ アンΔM1の

要 十 分 条 件 は,Gがamenableな   こ の 定 理 はR.   amenabilityと

の 定 理 を 得 る.

ス ペ ク ト ラ ム の 下 限 λ0(M1)が 零 と な る 必 こ と で あ る.

Brooks[9]に

よ り全 く異 な る方 法 で 証 明 され て い る.

は 全 く相 対 す る 条 件 と し て,Kazhdanの

性 質(T)と

い うも

の が あ る.   定 義33.7 

有 限 生 成 離 散 群GがKazhdanの

定 数C>0が

存 在 し て,Gの

性 質(T)を

満たす ⇔

あ る

任 意 の 自 明 で な い 既 約 ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し て

δ(ρ,1)≧C.   Kazhdanの

性 質(T)を

満 た すGの

代 表 的 例 は,階

コ ン パ ク ト対 称 空 間 の 基 本 群 で あ る(Kazhdan[47]

数 が2以

上 の非 正 曲率

, Wang[107]).

  次 の 定 理 の 証 明 は 全 く 自 明 で あ る.   定 理33.8 

定 理33.6の

め の 必 要 十 分 条 件 は,あ

仮 定 の 下 にGがKazhdanの る 定 数C>0が

存 在 し て,Gの

性 質(T)を

満たすた

任 意 の 自 明 で な い既

約 ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し て λ0(ρ)≧Cと な る こ と で あ る.

  §34  離 散 群 のamenability   Gを

可 算 個 の 元 か ら 成 る 離 散 群 と し,L∞R(G)をG上

体 か ら 成 る(‖f‖∞=sup￨f￨に

よ り定 義 さ れ る ノ ル ム に 関 す る)バ ナ ッ ハ 空 間

と す る.Gは,次

の 性 質 を 満 足 す るL∞R(G)上

き,amenableと

い わ れ る.

  (a)  inf f≦m(f)≦sup

の 有 界 線 型 汎 関 数mを

有す ると

f

  (b)  m(σf)=m(f).こ mをG上

の実 数 値 有 界 関 数 の全

こ で σf(x)=f(σ-1x).

の 左 不 変 平 均 と い う.

  注 意ⅰ)  同 様 に 右 不 変 平 均 の 概 念 も考 え られ るが,f(σ)=f(σ-1)と

お い て,mを

m(f)=m(f) に よ り定 義 す れ ば,mが

左 不 変 平 均 ⇔mが

右 不 変 平 均,と な り,Gのamenability

の 条件 とし て右 不 変平 均 の存 在 を要 請 し て も同 じ こと で あ る.  ⅱ)  (a)は 次 の 条件 と同値 で あ る.   (a)′f≧0な

らばm(f)≧0,か

つm(1)=1.

  例   (1)  任 意 の 有 限 群Gはamenable.実

際

は 左(か つ 右)不 変 平 均 と な る.   (2)  任 意 の ア ー ベ ル 群 はamenableと

な る.こ

の 主 張 は 自明 で は な い か ら

以 下 そ の 証 明 を 与え る.   補 題34.1 

Gがamenableで

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Gが

次の性質を

満 た す こ と で あ る:   任 意 の 関 数 列{f1,…,fN}⊂L∞R(G)お

  証 明   Vを

集合{f-σf;σ

空 間 とす る.Gがamenableと

よ びGの

∈G,f∈L∞R(G)}で しmを

元 の 列{σ1,…,σN}に

生 成 さ れ るL∞R(G)の

対 して

閉部分

左 不 変 平 均 と す る とm(V)=0,よ

って

0=m(φ)≧infφ が す べ て の φ∈Vにつ

い て 成 立 す る.逆に

す べ て の φ ∈Vに

を 仮 定 し よ う. K={φ

∈L∞R(G);infφ>0}

対 し てinfφ

≦0

と お く と,KはL∞R(G)の を 適 用 し てL∞R(G)上

凸 開 集 合 で あ りV∩K=φ.Hahn-Banachの の 有 界 線 型 汎 関 数mでm(V)=0,m(K)>0を

の を 取 る こ と が で き る.m(V)=0はmは mの

正 規 化,す

定理 満 たす も

左 不 変 で あ る こ と を 意 味 し,mを

なわ ち m(f)=m(1)-1m(f)

と し て 定 義 す れ ば,mは   Gを

左 不 変 平 均 と な る. 

(証 了)

ア ー ベ ル 群 と し よ う.{f1,…,fN}⊂L∞R(G),{σ1,…,σN}⊂Gを

任意 に

取 り Ap={n=(n1,…,nN);1≦nk≦p,nkは と す る.各n∈Apに

自然 数}

対 して σ(n)=σn11…σNnN

と お い て,和

を 考 え る と,こ

の 中 でnk=1に

対 応 す るfk(σ(n))お

よ びnk=pに

対応 す る

fk(σkσ(n))を 除 い て す べ て 互 い に 打 ち 消 し あ っ て い る. #{n∈A

p;nk=1あ

る い はnk=p}=2pN-1

に 注 意. 

と お く と,

次 の不 等 式 を 得 る.

両 辺 をpN(=#Ap)で

割 っ て,p↑

∞

とす れ ば

infφ ≦2CNp-1→0. よ っ てGは

上 記 の 補 題 の 条 件 を 満 た し,結

  以 下Gは

有 限 生 成 と仮 定 し よ う.

  命 題34.2 

Gがamenableで

線 型 汎 関 数 で,amenabilityの

な る. 

(証 了)

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,GのL2(G)上

の 右 正 則 表 現 ρrに 対 し て δ(ρr,1)=0と   こ の 命 題 の 証 明 の た め,補

局amenableと

な る こ と で あ る.

題 を 一 つ 用 意 す る.MGに 条 件 の(a)の

よ り,L∞R(G)上

み を 満 た す も の(G上

の有 界

の平 均 とい

う)全 体 を 表 わ す こ と に し よ う.さ お く.各

φ ∈PGに

対 し て,mφ

に よ り定 義 す る と,mφ   補 題34.3 ⅰ) 

ら にPG={φ

∈L1(G);φ

≧0,‖φ‖L1=1}と

を

∈MG.

MGは,F=L∞R(G)の

集 合 で あ る.た

だ し,F*の

 ⅱ) {mφ;φ

∈PG}はMGの

双 対 空 間F*の

位 相 は 弱*-位

単 位 球 に含 まれ る 閉 凸

相 を 考え る.

中 で 稠 密.

  証 明   (ⅰ)は 明 ら か.(ⅱ)を

示 す た め に{mφ;φ

な い と 仮 定 し よ う.Hahn-Banachの

∈PG}がMGの

中 で稠 密 で

定 理 に よ り,m∈MG,ε>0,f∈Fが

存

在 して m(f)≧mφ(f)+ε が す べ て の φ∈PGに る こ とに 注 意).従

と な り,mの

対 し て 成 立 す る(F*の

弱*-位

相 に よ り(F*)*=Fと

な

って

性 質 に 矛 盾 す る. 

(証 了)

  命 題 の 証 明 に 入 ろ う.最

初 に δ(ρr,1)=0と

ク トル の 列fj∈L2(G)を‖

ρr(σ)fj-fj‖L2→0(σ

こ と が で き る.φj=￨fj￨2と

仮 定 す る.δ の 定 義 よ り,単 ∈A)が

お く と,φj∈PG.Re〈

￨〈ρr(σ)fj,fj〉￨≦1に 注 意 す ればIm〈

満 た さ れ る よ うに 取 る ρr(σ)fj,fj〉→1お

ρr(σ)fj,fj〉→0と

よび

な り

を 得 る.こ

従 っ て 

位 ベ

うし て

が 成 立 す る.   上 の 補 題 に よ り,MGはL∞R(G)の パ ク トで あ り,従

っ て{mφj}の

あ る こ と を 示 そ う.f∈L∞(G)と

双 対 空 間 の 中 で,弱*-位 集 積 点m∈MGが し,部

存 在 す る.mが

相に関 してコン 右G-不

変で

分 列 を 取 る こ と に よ っ てmφj(f)→

m(f)と

Aは

仮 定.こ

の と き 任 意 の σ∈Aに

対 して

生 成 元 の 集 合 で あ るか ら,結 局 任 意 の σ∈Gに

従 ってmは

対 してm(ρr(σ)f)=m(f).

不 変 平 均 とな る.

  次 に逆 を 示 す.mをG上

の 右 不 変 平 均 とす る と,弱*-位

相 に関 し て

mφj→m とな る{φj}⊂PGが

存 在 す る(補 題34.3ⅱ)).こ

の と き 任 意 のf∈L∞(G)に

対

して

従 っ て{ρr(σ)φj-φj}はL1(G)に

お い て0に

  積 位 相 を 持 つ 局 所 凸 空 間  弱 位 相 の 積 位 相 で あ る.線

弱 収 束 す る.

を 考え よ う.Eの

弱 位 相 はL1(G)の

型 写 像T:L1(G)→Eを (Tφ)σ=ρr(σ)φ-φ

に よ っ て 定 義 す る.上

で 示 し た こ とか ら0はT(PG)の

弱 閉 包 に 含 ま れ る.局

所 凸 空 間 に お い て は 凸 集 合 の 弱 閉 包 と 強 閉 包 は 一 致 す る か ら(Hanh-Banach の 定 理),0はT(PG)の

強 閉 包 に 含 ま れ る.こ

の こ とは

‖ ρr(σ)ψj-ψj‖1→0 と な る{ψj}⊂PGの  φj=ψj1/2と

存 在 を 意 味 す る.

お こ う.φjはL2(G)の

(a,b≧0⇒￨a-b￨2≦￨a2-b2￨を

単 位 ベ ク トル で あ り,

利 用 し た)と な る か ら‖ ρr(σ)φj-φj‖L2→0. (証 了)

  次 に 群 のamenabilityに

つ い て の い くつ か の 基 本 的 性 質 を 述 べ よ う.

  補 題34.4 

全 射 準 同 型 と し,Gをamenableと

amenableで

π:G→Hを あ る.

す る と,Hも

  証 明   mをGの

不 変 平 均 と し た と き,Hの

不 変 平 均mがm(f)=m(f°

π)

に よ り定 義 され る.    補 題34.5 

(証 了)

amenableなGの

  証 明   mをG上

任 意 の 部 分 群Hはamenableで

の 左 不 変 平 均 と し,GのHに

あ る.

関 す る左 剰 余 類 の 代 表 系{μα}

を取 って T:L∞R(H)→L∞R(G) を(Tf)(σμα)=f(σ)に

よ り 定 義 す る.m(f)=m(Tf)と

ば,明

の 左 不 変 平 均 と な る. 

ら か にmはH上

  補 題34.6 

NをGの

定義すれ (証 了)

正 規 部 分 群 と し,Nお

ば,Gもamenableで

し てmを

よ びG/Nがamenableな

ら

あ る.

  証 明   m1,m2を

そ れ ぞ れNお

G,f∈L∞R(G)に

よ びG/N上

の 左 不 変 平 均 と し よ う.各

対 し てfμ ∈L∞R(N)をfμ(σ)=f(μ

m1(fμ)と お く と,m1の φ はL∞R(G/N)の

左 不 変 性 に よ りφ(μ σ)=φ(μ),σ ∈N,を

元 と 考 え る こ と が で き る.こ

μ∈

σ)に よ り定 義 す る.φ(μ)= 満たすか ら

の と きmを

m(f)=m2(φ) と 定 義 す れ ば,mはG上

の 左 不 変 平 均 に な る. 

  以 上,群Gがamenableと

(証 了)

な る た め の 条 件 を 述 べ て き た が,次

にamenable

で な い 群 の 代 表 的 例 を 与 え よ う.   補 題34.7 

Gを

二 つ の 生 成 元 を 持 つ自 由 群 と す れ ば,Gはamenableで

は

な い.   証 明   a,bをGの  

とす る と  HiをHi+1の

生 成 元 と し よ う.各

整 数iに

対 して

Hi={x=aibi1ai2…;i1≠0}∪{ai}⊂G (分 離 和)と な る.左

上 へ,Hi(i≠0)をH0の

平 均mが

存 在 す れば,こ

立 し,さ

ら に 

移動 σ

→aσ,σ

→bσ

中 へ 移 す こ とに 注 意.も

の こ と か らm(Hi)=0が

しG上

す べ て のi∈Zに

とな ら な け れば な ら な い が,一

で あ る か ら, 

と な り矛 盾. 

  系34.7.1 

Gが

  系34.7.2 

コン パ ク トなリー

の左 不 変 対 し て成

方

(証 了)

非 ア ー ベ ル 自 由 群 を 含 めば,Gはamenableで マン 面Mの

はそれぞれ

種 数 が2以

は な い.

上 な らば,π1(M)は

amenableで

は な い.

  実 際 π1(M)か

ら 非 ア ー ベ ル 自 由 群 の 上 へ の 準 同 型 が 存 在 す る.

  §35  表 現 の 弱 包 含 と ス ペ ク トラ ム   Gを

離 散 群 と し,ρ,ρ1を

表 現 とす る.も

そ れ ぞ れGの

し任 意 の 正 数 ε>0,任

る正 規 直 交 系{υ1,…,υN}に

ヒ ル ベ ル ト空間V,V1上

のユニ タ リ

意 の 有 限 集 合A⊂G,お

よ びVに

おけ

対 して

 (35.1)

を 満 た すV1の

正 規 直 交 系{u1,…,uN}が

まれ る(weakly

contained)と

取 れ る と き,ρ は ρ1に 弱 い 意 味 で 含

い わ れ(Fell[21],ρ<ρ1と

書 く こ と に す る.

明 ら か に ρ⊂ρ1な ら ばρ<ρ1.   補 題35.1 

Gが

有 限 生 成 の と き,1<ρ

⇔

δ(ρ,1)=0.

証 明 等式 

よ り 明 ら か.

(証 了)   補 題35.2 

Gがamenableと

す る と,Gの

任 意 の ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し て

ρ<∞ ρr(=右 正 則 表 現 の 無 限 直 和).   証 明   前 節 の 命 題34.2に ,す

よ り1<ρr.一

(補 題2.2). 

な わ ち 

  M1→Mを

被 覆 変 換 群Gを

持 つ,コン

リー マン 被 覆 と す る.ρ,ρ1をGのユ ⇒Spect(Δρ)⊂Spect(Δ

(証 了)

パ ク トな リ ー マン 多 様 体Mの

ニ タ リ表 現 と し た と き,明

正規

ら か に ρ⊂ ρ1

ρ1).実 は 弱 包 含 に 対 し て も 同 様 の 結 論 を 得 る:

  定 理35.3(Sunada[100]) 

ρ<ρ1⇒Spect(Δ

  証 明  λ∈Spect(Δ ρ)とす る.Vの の 正 数 と し よ う.こ

方 定 義 か ら 明 らか な よ うに 

ρ)⊂Spect(Δ ρ1).

正 規 直 交 基 底{υi}∞i=1を 固 定 し,ε を 任 意

の と きs∈C∞(Eρ)を ‖Δρs-λs‖L2<ε,‖s‖L2=1

を 満 た す よ うに 取 る こ と が で き る.次   主 張   t∈C∞(Eρ1)を

の こ と を 示 せば 十 分.

適 当 に 選 べ ば, ‖Δ ρ1t-λt‖L2
を 満 た す よ う に で き る.こ   {Oa},{φa}を

定 理33.4の

こ でC1,C2>0は

εに は よ ら な い 定 数.

証 明 の 中 で 使 っ た も の と す る.D⊂M1は

いつ も

の よ うに 基 本 領 域 とす る と,Vの

部分集合

は 相 対 コン パ ク トに な る か ら,十

分 大 き い 整 数nを

あ る い はυ=dφa・ds(x)に

べ て のυ=s(x)

対 して

を 満 た す よ うに で き る.V1の に 取 る.各υi,uiに

選 べば,す

中 の 正 規直 交 系{ui}ni=1を(35.1)を

対 し てsia,tiaを

満たす よ う

前 節 の 方 法 で 定 義 し たEρ￨Oa,Eρ1￨Oa上

の定 値 切 断 とし

と お こ う.こ

の と きOb上

で

が成 立 す る.‖Δt-λt‖L2評

一方

を利 用 す れ ば

価 す るた め,ま ず 次 の不 等 式か ら始 め る.

を 得 る.と

ころで

と な る か ら,結

局 ε に よ ら な い 定 数Cに

よ り次 の 評 価 を 得 る.

‖Δt-λt‖2L2≦Cε. 次 に‖t‖2L2を 下 か ら 評 価 し よ う.

す な わ ち,十 分 小 さ い εに対 し て

と な る か ら 主 張 が 正 し い こ と が わ か る.    系35.3.1 

Gがamenableな

Spect(Δ ρ)⊂Spect(M1).特   注 意   一 般 に はSpect(M)  普 遍 被 覆M1で

す べ て の ユ ニ タ リ表 現 ρ に 対 し て

にSpect(M)⊂Spect(M1). Spect(M1).例

と して は,負

定 曲 率 リー マン 面Mと

その

この よ うな もの が 存 在 す る(36節 参 照).

 ω: が有

実 は,も

ら ば,Gの

(証 了)

限 正 規 被 覆 な ら ば,有

限 群Gはamenableで

あ るか ら

っ と 精 密 な こ と が 成 立 す る.

特に

  定 理35.4 

証 明  Gの 右 正 則 表 現 ρrは次 の よ うに既 約 表 現 分 解 され る(系3.3.1).

し た が っ て ΔM1:L2(M1)→L2(M1)をΔ

ρr:L2(Eρr)→L2(Eρr)と

同一 視 した と

き

と な る か ら,主

張 が 成 立 す る. 

  §36  有 限リー ω:M1→Mを

(証 了)

マ ン被 覆 と ラプ ラシ ア ン の最 小 正 固有 値

コン パ ク トな リー マン 多 様 体 の 有 限 リ ー マン 被 覆 と し よ う.系

35.3.1は,特 い る が,こ

に ω が 正 規 な と きSpect(M)⊂Spect(M1)と

な る こ とを 主 張 して

の こ と は 一 般 の 有 限 被 覆 で も 明 ら か に 成 立 す る(φ ∈C∞(M)が

の 固 有 関 数 な らば,φ°ω

は 同 じ 固 有 値 に 属 す るΔM1の

固 有 関 数).次

ΔM

の こ とを

問 題 に し よ う.   問 題   Mを

固 定 し,Mの

有 限リー マ ン 被 覆M1を

動 か した と き の ス ペ ク ト

ラ ム の和 集 合

は[0,∞)の

中 で ど の よ う に 分 布 す る で あ ろ うか.

  こ の 問 題 に 対 す る 一 般 的 解 答 は 知 ら れ て い な い.こ Spect(M)の

こ で は,0∈Spect(M)が

集 積 点 に な る た め の 十 分 条 件 を 与 え る こ とに目 的 を 限 る.明 らか に

0がSpect(M)の

集積点 ⇔

任 意 の ε>0に

対 し て あ る 有 限 被 覆 

が 存 在 し て 正 の 最 小 固 有 値 に つ い て λ1(M1)<ε   定 義36.1 

離 散 群Gは

る:任 意 の σ∈G(σ

が 成 立 す る.

次 の 条 件 を 満 足 す る と きresidually

≠1)に 対 し て,Gの

finiteと い わ れ

中 で 有 限 指 数 を 有 す る 部 分 群Hで

σ

を 含 ま な い も の が 存 在 す る.   定 理36.2(Sunada[96])  な 無 限 群G上

被 覆 と し,Gを

らamenable,

residually

へ の 準 同 型 が 存 在 す れ ば,0はSpect(M)の

  次 の 補 題 を 証 明 す れ ば,33節   補 題36.3 

も し π1(M)か

ω:M1→Mを

の 定 理33.6よ

限 指 数 を 有 す るGの

集 積 点 で あ る.

り明 ら か で あ る.

コン パ ク トなリー マン 多 様 体Mの

そ の 被 覆 変 換 群 と す る.も

finite

しGが

部 分 群 の 列{Hi}でG⊃H1⊃H2⊃

リ ー マン 正 規

無 限 位 数 で あ り,し

か も有

… ⊃ ∩Hi={1}と

な る

ものが 存 在 す れ ば

とな る.   証 明   M1上

の コン パ ク トな 台 を 持 つ 非 負 値C∞-級

を

が 満 た さ れ る よ うに 取 る.ΦN∈C∞(M1)を

関 数φ

と,要

素 σ≠1∈G

に よ り定 義 す る と

とな る こ とは 簡 単 に確 か め られ る.正 数 δに対 し てf∈C∞0(M1)を

 (36.1)

が 満 た され る よ うに 取 る.

と お く と  て,被

定 理 の 仮 定 に よ り,コン

覆 写 像M1→Hi＼M1がK上

き る.実

際A={σ

と な るHiが

≠1∈G;σK∩K≠

存 在 し,こ

 こ う し て

を 得 る.こ

こで

単 射 で あ る よ うなHiを φ}は

れ が 求 め るHiで

と し よ う.す る とfNはHi＼M1上

パ ク ト集 合K⊂M1に

見 つ け る こ とが で

有 限 集 合 で あ る か らA∩Hi=φ

あ る.特

にK=supp

対 し

f∪suppΦN

の 関 数 と見 な す こ とが で き る.さ

らに

と し た.ε>0を Nを

任 意 の 正 数 と し,δ<ε

と し て(36.1)を

満 た すfを

取 り,次

に

十 分 大 き く取 っ て

を 満 た す よ う に す る.こ

のNに

対 応 す るHiを

取れ ば

λ1(Hi＼M1)≦λ0(M1)+ε と な り,結

局 

  系36.3.1 

が証 明 さ れ た. 

ベ ッチ 数b1(M)=dim H1(M,R)が

(証 了)

正 な ら ば,0はSpect(M)

の 集 積 点 で あ る.   実 際Hurewicz準 amenabilityに

同 型 π1(M)→H1(M,Z)が

存 在 す る か ら,ア

ー ベ ル群 の

よ り系 が 得 ら れ る.

  b1(M)>0の

場 合,補

題31.2を

使 え ば さ ら に 定 量 的 結 果 を 導 出 す る こ とが で

き る.31節

の よ う にAlbaneseト

H1(M,Z)の

指 標 群 の 単 位 元 の連 結 成 分 と 同 一 視 す る.こ

ー ラ スA(M)=H1(M,R)/H1(M,Z)を れ に加 え て次 の記 号

を 導 入 し よ う. t(M)=H1(M,Z)のtorsion部

分 の位 数

格子

C(b)は

正 と な る こ と が 知 られ て い る(Milnor-Husemoller[64])

  命 題36.4 M1→Mを

被 覆 度kの

ア ー ベ ル 被 覆 と す る.kが

十分大 きいな

らば

  証 明   H⊂H1(M,Z)を ⊂H1(M,R)をHの

ア ー ベ ル 被 覆M1→Mに 双 対 格 子 とす る.こ

対 応 す る 部 分 群 と し,H*

の と き 指 数[H*;H1(M,Z)]はk/t

以 上 と な る(t=t(M)).定

数C(b)の

定 義 に よ り,ω ∈H*＼0を

を 満 た す よ うに 取 る こ とが で き る.kを H*＼H1(M,Z).よ

十 分 大 き くす れ ば,も

ち ろ ん ω∈

っ て ω に 対 応 す る 指 標χω は 自 明 で は な い.さ χω :π1(M)→

ら にχω は

π1(M)/π1(M1)=H1(M,Z)/H→U(1)

の よ うに 分 解 さ れ る か らSpect(Δχω)⊂Spect(M1)と

な り(35節),補

題31.2に

よ り

を 得 る.    命 題36.5 

(証 了) も し π1(M)がKazhdanの

の 中 で 孤 立 し て い る.換 リー マン 被 覆M1→Mに   これ は,定

理33.8お

言 す れ ば,あ

性 質(T)を る 定 数C>0が

満 た せ ば,0はSpect(M) 存 在 し て,任

対 し て λ1(M1)≧C. よ び 定 理35.4よ

り明 ら か で あ る.

意 の有 限

第8章  関連す る話題

  こ の 章 で は,跡 た 後,平

公 式 の 原 理 的 背 景 と な る 閉 道 空 間上 のWiener測

坦 多 様 体 の 等 ス ペ クト ル 問 題 お よ びRay-Singerゼ

に 跡 公 式 を 応 用 す る.さ で,こ

ら に 負 曲 率 多 様 体 の 離 散 モ デ ル と も言 うべ き グ ラ フ 上

れ ま で 用 い ら れ た ア イ デ ィ ア を 適 用 し て,サ

考 察 す る.最 Gel'fandの

後 にPSL2(R)の

イ クル を 数 え 上 げ る問題 を

離 散 群 か ら誘 導 され るユ ニ タ リ 表 現 に 関 す る

問 題 を 扱 う.

  §37  Wiener測   20節

度 に言及 し ー タ関 数 の 計 算

度 と跡 公 式

で 述 べ た 熱 核 に 対 す る 跡 公 式(ρ=1の

場 合)は,閉

道 空 間 上 のWiener測

度 に 関 す る 初 等 的 和 公 式 に 還 元 さ れ る.こ れ を 見 る こ と が,本 節 の 目的 で あ る.   Mを い)閉 考 え,そ

コン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 と し,Ω=C0(S1,M)を(基 道 の 全 体 か ら成 る 空 間 とす る.Ω

点 を 固定 し な

を コン パ ク ト開 位相に

よ り位 相 空 間 と

の 連 結成 分 へ の 分解 を

と す る.こ

こ でGはMの

基 本 群 で あ り,Ω[σ]は,自

[σ]に 対 応 す る 閉 道 全 体 を 表 わ す(補 題1.14参 す る と Ω に は,次

由 ホ モ トピー類 が 共役 類

照).ΔMの

の 関 係 式 で 特 徴 付 け ら れ る 測 度(Wiener測

熱 核 をkM(t,x,y)と 度)μtが

れ る.

fはM×

… ×M上

  命 題37.1 ⅰ)  ⅱ)

の 連 続 関 数 で,0≦

τ1<τ2<…<τN<1と

す る.

導入 さ

こ こでkMは

普 遍 被 覆M上

は,Wiener測

の熱 核 を 表 わ す.す な わ ち 跡 公 式

度 μtに 関 す る 全 く 自 明 な 和 公 式

に 還 元 さ れ る.   証 明  ⅰ)は xと

μtの 定 義 か ら 明 白 で あ る か ら,ⅱ)を

な る 連 続 曲 線 ω:[0,1]→Mの

考 え る.μ(t,x)は

全 体 と し,そ

示 そ う.ΩM(x)を,ω(0)= の 上 のWiener測

度 μ(t,x)を

μtと 同 様 に 次 の 関 係 式 で 特 徴 付 け ら れ る 測 度 で あ る:

(0<τ1<…<τN=1).Malliavin[57]に (o)お よび そ の 上 のWiener測

よれ ば,TxMに 度 μ(t,o)(oはTxMの

(o),μ(t,o))と(ΩM(x),μ(t,x))の間

に は,自

お い て 道 の 空 間 ΩTxM 原 点)を

考 え る と,(ΩTxM

然 な 保 測 同 型 Φ が 存 在 し,次

の 図式

は 可 換 に な る.

こ こ で,α

は 等 距 離 同 型dxω:TxM→TxMに

か に 保 測 同 型 で あ る.従   次 に,x,y∈Mに →M全

よ り誘 導 さ れ る 写 像 で,明

ら

っ て β も 保 測 同 型 に な る.

対 し て,ΩM(x,y)をc(0)=x,c(1)=yと

体 か ら成 る集 合 と し

な る 道c:[0,1]

,μ(t,x,y)を

 (37.1)

が 成 立 す る よ う な(一 本 領 域 とす る と,

意 的 に 定 ま る)ΩM(x,y)上

の 測 度 と す る .D⊂Mを

基

が 成 り立 つ か ら,β は 保 測 同 型  (37.2)

を 誘 導 す る.特

に(37.1)に

お い てF(c)=f(c(1))に

よ り定 義 さ れ る 関 数Fを

代

入す る と

と な る か ら, μ(t,x,y)(ΩM(x,y))=kM(t,x,y) が 成 立 し,(37.2)に

よ り

を得 る.こ れ は,15節   x=yと にFを

で 示 した 被 覆 多 様体 の熱 核 の 関 係 式 に 他 な らな い.

し よ う.Ω 上 のWiener測

度 の 定義 を 見れ ば 直 ち に理 解 され る よ う

Ω 上 の 関 数 とし た とき

が 成 り立 つ.と

こ ろ で 

,に 注 意

す れ ば,

こ うし てⅱ)が 証 明 され た.

 §38  等 ス ペ ク トル 平 坦 多 様 体  26節 にお い て,等 距 離 同型 で は な い 等 スペ ク トル平 坦 多 様 体 が 存 在 す る こ と

を 述 べ た.こ

こで は 平 坦 多 様 体 上 の 跡 公 式 の 応 用 と し て 次 の 定 理 を 示 す.

  定 理38.1(Sunada[90]) 

予 め 与え ら れ た 数 列{0=λ0<λ1≦

シ ア ン の 固 有 値 と す る平 坦 多 様 体 の 等 距 離 同 型 類 は,高   コ ン パ ク ト平 坦 多 様 体M=G＼Rnが

与 えら れ た と き,19節

完 全 列 

(G0⊂O(n))が

と,中

心 化 群Gσ

M[σ]=nと

=nと

含 む か らdim

す る と,σ=(A,a)と

A=I,す   Mの

はLを

な わ ち σ∈Lを 固 有 値 は,次

得 る.す

M[σ]=dim

な わ ち,σ ∈L⇔dim

の 級 数(定 理23.2の

ラプラ

で 示 し た よ うに

存 在 す る.σ ∈Lと

M[σ]=rankL=nと

し た と き,dim

…}を

々有 限 個 で あ る .

右 辺 の 式(ρ=1と

な る.逆

す る

にdim

Ker(A-I)に

よ り

M[σ]=n. す る)か らdim

M[σ]

な る 項 だ け を 選 ん だ も の)を 決 定 す る .

σ∈Lの

と き,(A,a)σ(A,a)-1=Aσ

と な る か ら,[σ]=G0σ

で あ り,結

晶 群Gσ

に 対 す る完全 列 0→Lσ に お い て,Lσ=Lで

→Gσ

→G0

,σ

→1

あ る こ とに注 意 す れ ば vol(M[σ])=vol(L＼Rn)/#G0,σ

を 得 る.さ

ら にl[σ]=‖

σ‖,α(σ)=1と

な る こ と か ら,D(t)は

次 の よ うに 書 き

変 え ら れ る.

  各c≧0に

対 して Lc={υ

とお く.明

∈L;‖υ‖2=c}

ら か にG0(Lc)=Lc.LcをG0-作

用 に 関す る軌 道 に分 解 す る こ とに

よ り

を 得 る. 

(分 離 和)で

あ るか ら

が 成 り立 つ.式 い た.こ

の 変 形 の 最 後 の 段 階 に お い て ヤ コ ビ の 公 式(23節(23.1))を

う し て 次 の 主 張 を 得 る.

  補 題38.2 

Mの

固 有 値 は,平

坦 トー ラ スTM=L＼Rn上

固 有 値 お よ び ホ ロ ノ ミ ー 群G0の   対 応M→TMを か ら,平

考え よ う.こ

任 意 のx∈〓nに

  証 明   格 子L⊂Rnを

の ラ プ ラシ ア ンの

位 数 を 決 定 す る. れ は 平 坦 多 様 体 の 等 距 離 同 型 類 の 集 合Fn

坦 トー ラ ス の 等 距 離 同 型 類 の 集 合〓nへ

  補 題38.3 

の 写 像φ

対 し て φ-1(x)は

を 導 く.

有 限 集 合 で あ る.

一 つ 固 定 す る.Aut(L)={A∈O(n);A(L)=L}と

く と,Aut(L)はO(n)の あ る.部

用

有 限 部 分 群 で あ り,Aut(L)の

分 群G0⊂Aut(L)に

部分 群 は 高 々有 限 個 で

対 し て コ ホ モ ロ ジ ー 群H2(G0,L)は

こ と が 知 ら れ て い る か ら(MacLane[66]),有

お

有 限 群 とな る

限 個 の 結晶 群G1,…,Gh(⊂E(n))

で 次 の 性 質 を 満 た す も の が 存 在 す る.  ⅰ) Gi∩Rn=L(i=1,…,h)  ⅱ)  も し 結 晶 群G(⊂E(n))がG∩Rn=Lを

満 た せ ば,あ

は 群 の 拡 大 と し て, 

に 同 値.

  M=G＼Rnに

対 し て, 

k-1Gk∩Rn=Lと

(等 距 離 同 型)と

な るk∈O(n)が

と し て 同 値 で あ る.こ

存 在 す る か らk-1Gkは

の と きRnの

元aが

るGiが

存 在 して

仮 定 し よ う.こ

の とき

あ るGiにLの

拡大

存在 し

(I,a)Gi(I,a)-1=k-1Gk と な る.す

な わ ちMとGi＼Rnは

  こ う し て 定 理38.1は,次   補 題38.4 

をA→tσAσ

(証 了)

の 補 題 に 帰 着 す る.

与 え ら れ た 数 列 を ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 値 と し て 持 つ 平 坦 トー ラ

ス の 等 距 離 同 型 類 は,高   証 明   Snに

等 距 離 同 型 に な る. 

よ りn次

々 有 限 個 で あ る. の 正 値 対 称 行 列 の 全 体 を 表 わ し,Sn上

に よ り定 義 す る.こ

集 合 は,対

応

に よ り,商

空 間Sn/GLn(Z)と

の と き,平

のGLn(Z)-作

用

坦 トー ラ ス の 等 距 離 同 型 類 の

同 一 視 さ れ る.hZn＼Rnに

対 す る ヤ コ ビの 式 は

と書 き 変え ら れ る か ら,hZn＼Rnの 集 合{tzAz;z∈Zh}を

ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 値 は￨det A￨お

決 定 す る.特

A0(=th0h0)∈Snを

固 定 し,集

を 考 え よ う.Xは

に 

が 固 有 値 に よ っ て 定 ま る.

合

明 ら か にGLn(Z)-作

XのSn/GLn(Z)に

用 で 不 変 なSnの

お け る 像Xは,h0Zn＼Rnの

実 解 析 的 集 合 で あ り,

ラ プ ラシ ア ン と 同 じ 固 有 値 を

持 つ 平 坦 トー ラ ス の 等 距 離 同 型 類 の 集 合 と 同 一 視 され る.関   はX上

で 定 数 で あ る か ら,Mahlarの

よ り,XはSn/GLn(Z)の

中 で コ ン パ ク トで あ る.従

的 な こ と を 示 せ ば,Sn上

よび

のGLn(Z)-作

数A→det

A,

定 理(Borel[14])に っ てXがSnの

中で離散

用 の 不 連 続 性 に よ り,Xの

有限性がい

え た こ と に な る.   Xα をXの

連 続 成 分 と し よ う.Xα

曲 線 で 結 ば れ る.φ(s)をXα 対 し て,関

数s→tzφ(s)zは

の 任 意 の2点

の 中 の 区 分 的 に解 析 的

定 数 で な け れ ば な ら な い.こ

定 値 と な る こ と が い え て,Xα

は1点

の と き 各z∈Znに れ よ り直 ち にφ は

の み か ら 成 る 集 合 に な る.Xの

よ り,こ

れ はXの

  §39 

コン パ ク ト平 坦 多 様 体 のRay-Singerゼ

  Mを

はXα

の 中 の 解 析 曲 線 と し よ う.こ

離 散 性 を 意 味 す る. 

解析性 に (証 了)

ー タ関 数

一 般 の コ ン パ ク トな リー マ ン 多 様 体 と しΔp:C∞(∧pT*M)→C∞(∧pT*

M)をp-微

分 形 式 に 作 用 す るde

π1(M)→O(N)を

Rham-Hodgeの

直 交 群 へ の 表 現 と し て,Eρ

ラ プ ラ シ ア ン と す る .ρ: を ρに 付 随 す る(実)平 坦 束 と す

る と,Δpは

に 自 然 に 拡 張 さ れ る.こ

の と きRay-Singerゼ

ー タ 関 数Zρ(s)は

に よ り定 義 され,全s-平 ら にZρ(s)はs=0で

面 に 有理 型 に解 析接 続 され る こ とが 知 られ て い る.さ

正則

はReidemeister-Franz

と な り, 

torsion

と よ ば れ る 不 変 量 に 等 し い(Ray-Singer[79],Cheeger[18],Muller[72]). こ の 節 で は,特

にMが

平 坦 の 場 合,Zρ(s)が

古 典 的 なHurwitzの

ゼ ー タ関 数

を 使 っ て 書 くこ と が で き る こ とを 証 明 す る(Sunada-Urakawa[103]).   Mを

平 坦 多 様 体 と す る と,余

接 束T*M(=TM)は

表現

に 付 随 す る平 坦 束 で あ る.さ らに 外 積 束 ∧pT*Mお

よびEρ  ∧pT*Mは

それ

ぞれ

に 付 随 す る 平 坦 束 で あ る.よ

っ て 跡 公 式(23節)に

内 部 の 和 

をa(σ)と

よ り

お こ う.一 般 に

で あ るか ら

二 つ の 場 合 に 分 け てa(σ)を  1)  n=2k(偶

数)の

計 算 す る.

と き,A(σ)の

固 有 値 は 

故に

とな り

(任 意 の σ ∈Gに

  2)  n=2k+1(奇

対 し てdim

数)の

Ker(A(σ)-I)=dimM[σ]≧1に

と き.A(σ)の

固 有 値 

注 意). よっ て

とな るか ら

a(σ)≠0と

な る の はdimM[σ]=1の

で あ る か ら,Dρ(t)は

定 義39.1  る.さ

と き に 限 る.一

方 

次 の よ う に 書 くこ と が で き る.

[σ]∈[G]は,も

しdimM[σ]=1と

ら に 孤 立 共 役 類[σ]は,も

な る とき孤 立共 役 類 といわ れ

し 閉 測 地 線c∈M[σ]が

素 な と き,素

な 共役

類 とい わ れ る.   補 題39.2 

[σ]が

素 ⇔[σ]は

  証 明   dimM[σ]=1と

孤 立,し

し,c∈M[σ]を   φ(s)=cs, 

と し て 定 義 す る.す

は 可 換 で あ る.写

像i:M[σ]→Mは

 ⅱ)  [σ]が m≧1,と

[σ]が

方vol(S1,c*g)=l[σ]と

な るか ら

に

φ の 被 覆 度=1⇔l[σ]/vol(M[σ])=1.  素 ⇔[σ-1]が

(証 了)

素. な[μ]が

一 意 的 に 存 在 し て[σ]=[μm],

の と きvol(M[σ])=l[μ].

  証 明   (ⅰ)は明 ら か.c∈M[σ]と

はimmersionで

等 距 離 写 像 で あ る か ら(命 題18.15),φ:

孤 立 し て い る な ら,素

書 け る.こ

し てc=c1mと

cs(t)=c(s+t).

リー マ ン 被 覆 に な る.一 の 被 覆 度.故

[σ]が 素 ⇔   補 題39.3 ⅰ) 

固 定 す る.φ:S1→M[σ]を

る と図 式

(S1,c*g)→M[σ]は l[σ]/vol(M[σ])=φ

か もl[σ]/vol(M[σ])=1.

す る.こ

の と き あ る 素 な 閉 測 地 線c1が

書 く こ と が で き る.c1∈M[μ]と

あ る か ら,1=dimM[σ]≧dimM[μ]≧1.従

し よ う.写

存在

像

っ て[μ]は

孤 立

し て お り し か も 素.   他 の 素 な[μ あ る か ら,c′

′]に

よ り[μ ′m′]=[σ]と

な っ て い た と し よ う.M[σ]は1次

元 で

∈M[μ′]は c′(m′t)=c(t+s), ∃s∈S1,

を 満 た す.故

にm=m′,c′(t)=c1(t+ms),[μ

′]=[μ]. 

(証 了)

  後 に 素 な 共 役 類 の 数 は 有 限 と な る こ と を 示 す.   {[μ α]}α∈Aを,共

役 類 の 集 合 で{[μ

も の と す る.lα=l[μα]と

は 

こ こで   

α],[μα-1]}α

∈Aが

素 な共 役 類 全 体 に な る

お くと

が 孤 立 し て い る よ うなh∈Z上

の 和 を 表 す.

A(μα)の 固 有 値 を  と し よ う.た

=1よ

だ しaαi,bαi>0,(aαi,bαi)=1(素)と

りaαi>1と

な る .す

のaαi(1≦i≦k)がhを usion-Exclusion原   補 題39.4   

Ker(A(μ

α)-I)

る と[μhα]が 孤 立 し て い る た め の 条 件 は,す

割 り切 ら な い こ と で あ る.こ 理)を

Pを

す る.dim

べて

こ で 次 の 初 等 的 補 題(Incl

適 用 す る.

可 算 集 合 と し,P1,…,Pk⊂Pを

部 分 集 合,f:P→Cを

和

が 絶 対 収 束 す る 関 数 と す る と,

と な る(PicはPiのPに

お け る 補 集 合 を 表 わ す).

  P=Z,Pi={h;aαiの

倍 数}と

P1c∩ …Pic={h:す

す る.こ

べ て のaαiに

の とき よ り割 り切 れ な い}

Pm1∩ … ∩Pml={h∈Z;hはaαm1,…,aαmlの 一 般 にp ,q,…

の 最 小 公 倍 数 を{p;q;…}に

最 小 公 倍 数 の 倍 数} よ り表 わ そ う.す

る と上 の 補 題

に より

ρ(μ α)の 固 有 値 を  をDρ(t)に

代入す ると

と し,今

得 られ た 式

を 得 る.こ

こ で ヤ コ ビ の 恒 等 式(23節)を

利用す ると

 (39.1)

  補 題39.5 

{[μα]}α ∈Aは 有 限 集 合.

  証 明   今 得 た 式 に お い て,ρ=1(自

明 な 表 現)と す る.t↑+∞

一 方 

一 般 に 自 然 数a1

とした と き

,…,ak(>1)に

対 して

と お く と,以

下 に 示す よ うに

 (39.2)

と な る か ら,Aは

有 限 集 合 と な る.

  kに 関 す る 帰 納 法 で(39.2)を   (39.3) 

示 そ う.同

[θ1a1,…,θkak]≧[a1,…ak] 

も 示 す.k=1の

時 に (θi;自

然 数)

と き に は,[a1]=1-a1-1, 

と な る.k-1ま

で 成 立 す る と 仮 定 し よ う.簡

単 な 計 算 に よ り

 (39.4)

と な る こ と が わ か る か ら, 

に注 意 して帰 納 法 の仮 定 を使

えば

を 得 る.し

た が っ て 不 等 式(39.3)を

≧[a1,…,ak]を

示 せ ば よ い.こ

証 明 す れ ば 十 分 で あ る.再

び(39.4)を

の た め に は[θa1,…,ak] 利用 して

こ こで

が 自 然 数 と な る こ とを 使 っ た. 

(証 了)

 系39.5.1  定 理39.6 

(Sunada-Urakawa[103])

 (39.5)

こ こ で 

は,h≠

 実 際(39.1)に

(a∈Z⇒

θαj{aαm1;…;aαml}と お い てt↑

∞

な る 整 数h上

の 和 を 表 わ す.

とすれ ば

〈a〉=1, 

と規 約 す る).従

っ てDρ(t)-mρ(t)の

各項

に変換式

を 用 い れ ば,(39.1)よ

り定 理 の 式 を 得 る.

  (39.5)  の 右 辺 に 表 わ れ る 級 数

は,24節

に お い て 定 義 し た ゼ ー タ 関 数 ζZ(s,θ)に

他 な ら な い.Hurwitzの

タ 関 数 ζ(s,θ)を 用 い れ ば,ζZ(s,θ)=ζ(s,θ)+ζ(s,1-θ)(0<θ<1)と で き て,さ

ゼ ー 書 くこ とが

らに

とな る こ とが 知 られ て い るか ら,torsion 

が 計 算 で き る こ と に な る.

  §40  有 限 有 向 グ ラ フ に お け るL-関   跡 公 式 の ア イ デ ィ ア は,有

数

限 グ ラフ の 中 のサ イ クル を 数 え る組み 合わ せ 理 論

的 問 題 に も有 効 で あ る.   定 義40.1 

集 合Vと

Vの 元 を 頂 点,Eの t(e)=yと

お き,そ

部 分 集 合E⊂V×Vの

元 を(有 向)辺 と い う.各 れ ぞ れeの

始 点,終

  有 向 グ ラ フ が 与 え ら れ る と,頂 り,1次

元CW-複

組(V,E)を

有 向 グ ラ フ と い う.

辺e=(x,y)∈Eに

対 し てo(e)=x,

点 と よぶ.

点 を0-単

体,辺

を1-単

体 と考 え る こ とに よ

体 が 得 ら れ る.

  c=(e1,…,en),ei∈E,でt(ei)=o(ei+1),i=1,…,n-1,と の 中 の 道 と い い,￨c￨=nと o(e1),t(c)=t(en)と

な る も の を(V,E)

書 く.cはCW-複

体 の 中 の 道 と 見 な せ る.o(c)=

お く.

  道c=(e1,…,en)はt(en)=o(e1)の

と き 閉 道 と よば れ る.

  閉 道c=(e1,…,en)は,nの

い か な る 因 数kに

在 し てei+k≠eiと

な 閉 道 と よば れ る.

な る と き,素

  二 つ の 閉 道c=(e1,…,en)お (i∈Z/nZ)と

対 し て も あ るi∈Z/nZが

よ びc′=(e′1,…,e′n)は,あ るkが

な る と き 同 値 とい う.閉

存

存 在 し てe′i=ei+k

道 の 同 値 類 を サ イ ク ル と よ び,素

な閉

道 の 同 値 類 を 素 サ イ ク ル と よぶ.   以 下 次 の 仮 定 を お く.   a)  Vは

有 限 集 合 で あ り,CW-複

  b)  (V,E)は とな る 道cが

既 約,す

体 と し て(V,E)はS1に

な わ ち 任 意 の 頂 点x,y∈Vに

存 在 す る(こ の 仮 定 は,(V,E)のCW-複

同 相 で は な い.

対 し てo(c)=x,t(c)=y 体 とし て の連 結 性 よ り

も 強 い).   c)  E上

の 正 実 数 値 関 数l:E→R++が

与え ら れ て い る.l(e)をeの

長 さ

とい う.   道c=(e1,…,en)に

対 し てl(c)=l(e1)+…+l(en)と

お い てcの

長 さ と い う.サ

イ ク ル の 長 さ も 自 明 な 方 法 で 定 義 さ れ る. Gを(V,E)のCW-複

体 と し て の 基 本 群 と し,P={p}は(V,E)の

ク ル の 全 体 を 表 わ す も の とす る.各p∈Pに と し て の 自 由 ホ モ トピ ー 類 に 対 応 す るGの   定 義40.2 

Gの

素サ イ

対 し て 〈p〉 ∈Gを,(V,E)の 共 役 類 の 中 の 代 表 元 と し よ う.

ユ ニ タ リ表 現 ρ:G→U(n)に

対 し てL-関

数L(s,ρ)を

閉道

に よ り定 義 す る.   定 理 40.3(Adachi-Sunada[1])(V,E,l)の

み に よ り あ る 正数hが

存在

して   (1)  L(s,ρ)はRes>hで

絶 対 収 束 し,正

  (2)  L(s,ρ)は 全s-平

則.

面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 さ れ る.

  (3)  L(s,ρ)は 零 点 を 持 た な い.   (4)  n=dim

ρ≧2で

 (5)  ρ=χ(1次

ρ が 既 約 な ら ばL(s,ρ)はRes≧hで

に極 を持 つ た め の 必 要

元)の と き,L(s,χ)が 

十 分 条 件 は,す べ て のp∈Pに

が 成 立 す る こ と で あ る.こ

極 を 持 な い.

対 して

の と き 

と な る.Res=h

上 の 極 は す べ て 単 純 で あ る.   証 明   CW-複

体 と し て の(V,E)の

普 遍 被 覆 を 考 え る.そ

の 上 に は 被 覆写 像

ω が 有 向 グ ラ フの 射 と な る よ う な グ ラ フの 構 造 を 一 意 的 に 入 れ る こ とが で き る.そ

れ を(V,E)と

書 く こ とに し よ う.(V,E)は(非

(tree)(閉 道 が 存 在 し な い グ ラ フ)で あり,基 向 グ ラ フ の 自 己 同 型 群 と し て 作 用 す る.E上

有 向)グ ラ フ と し て 樹 木

本 群G=π1(V,E)は(V,E)に の 関 数lは

ω でl:E→Rを

有 リ

フ トし た も の と し て 定 義 す る.  表現

ρ:π1(V,E)→U(n)を

固 定 し て お く.線

型写像

Ls:Map(V,Cn)→Map(V,Cn) を

に よ り 定 義.部

分 空 間Sρ

Sρ={φ と お く と,明 素Ls,ρ

∈Map(V,Cn);φ(σx)=ρ(σ)φ(x),σ

ら か にLs(Sρ)⊂Sρ

を 制 限Ls￨Sρ

 ρ=1(自

⊂Map(V,Cn)を

で あ り,dim

∈G,x∈V} Sρ=(#V)n.有

限 次 元 線 型 作 用

と し て 定 義 し よ う.

明 な 表 現)の

と き, 

で あ り,こ

の 同一 視 の 下

と な る.s∈Rと

す る とLs1:Map(V,C)→Map(V,C)は

非負成分を持つ正

方 行 列 と 同 一 視 さ れ る か らPerron-Frobeniusの

定 理([ⅰⅹ],[25]を

参 照)に

の 固 有 関 数usは

正値関数 と

よ り   a)  Lsの

最 大 正単 純 固 有値

λ(s)が 存 在 し,そ

し て 選 べ る.   b)  そ の 他 の 固 有 値 の 絶 対 値 は λ(s)以 下.   c) φ ∈Map(V,C)が  さ ら にLsφ

を 満 た す な ら ば λ≦ λ(s),

≧ λ(s)φな ら ば 実 は 等 号 が 成 立 しφ はusの

  d) 

正 の ス カ ラ ー 倍.

とお け ば

さ ら に λ(s)はsに

特 に    補 題40.4 

つ い て 単 調 減 少 で あ る.

λ(s)は 強 い 意 味 で 単 調 減 少.

 証明 

を 示 す.λ′(s0)=0と

な ス カ ラ ー 関 数 を 掛 け る こ と に よ り)usはsに と仮 定 で き る.等

式Lsus=λ(s)u(s)の

を 得 るが,第1項

のx∈Vで

仮 定 し よ う.(必 要 な ら ば,適 つ い てC∞-級

両 辺 をs=s0で

当

か つ 

微 分 して

の値 は

した が って

こ れ は 性 質c)に

矛 盾. 

  こ の 補 題 に よ り λ(s)=1と

(証 了) な るsは

一 意 的 に 存 在 す る.こ

れ を ん と記 す こ と

に す る.   補 題40.5 

h>0.

  証 明   性 質d)よ な る 関 数uが

りh≧0.h=0と

仮 定 し よ う.こ

存 在 す る か ら,x0∈Vをu(x0)=min

の 不 等 式 が 成 立 す る.

の と きL0u=u,u>0,と uと

な る頂 点 とす る と,次

故 に ＃O-1(x0)=1,u(t(e))=u(x0)(e∈O-1(x0)).(V,E)の =1,π

≡定 数

が 結 論 さ れ,(V,E)はS1に

  定 理 の 証 明 に は,一

既 約 性 か ら 実 は#O-1(x)

同 相 に な り矛 盾. 

般 の ρ に 対 す るLs,ρ

(証 了)

の 固有 値 の性 質 を知 る こ とが 必 要

で あ る.   補 題40.6 

s∈C,ρ

は 一 般 の ユ ニ タ リ表 現 と す る.

  1)  λ をLs,ρ の 固 有 値 と す る と￨λ￨≦ λ(Res).特   2)  n=dim

ρ≧2と

し ρは 既 約 と す る とRes=hと

にRes>1な な るsに

ら ば￨λ￨<1. 対 し て1はLs,ρ

の 固 有 値 で は な い.   3)  ρ=χ(1次

元)の

と き,1が 

す べ て のp∈Pに

対 して

の 固 有 値 で あ る た め の 条 件 は,

が 成 立 す る こ と で あ る.   証 明   1) 

でLs,ρφ=λφ

と な る も の が 存 在 す る と仮 定 す れ ば,こ

の 式 の 両 辺 の ノル ム を 各 点 で 取 る こ と に よ り LRes ,1‖φ‖ ≧￨λ￨‖φ‖ と な る.こ て 性 質c)に   2),3)を

こ で‖φ(σx)‖=‖φ(x)‖(σ ∈G)よ

り‖φ‖∈S1と

っ

よ り￨λ￨≦ λ(Res). 示 す た め 

と し 

じ 議 論 に よ りLh,1‖φ‖ ≧‖φ‖ と な り再 びc)に Lh

u=‖φ‖

見 な し て い る.よ

と 書 く こ と に し よ う.等

と 仮 定 す る.上

と同

よ り

,1‖φ‖=‖φ‖.

式Ls,ρφ=φ

を 次 の よ うな 形 に 書 き 直 し て み

る.

こ こ で  に 注 意 す る.球

面{x∈Cn;‖x‖=1}は

強凸集

合 で あ り,上 の 等式 は,球 面 上 の有 限集 合 の 凸一 次 結 合 で表 わ され る点 が また 球 面 上 に あ る こ とを 意味 して い るか ら

が す べ て の 辺e∈Eに

つ い て 成 立 す る こ と に な る.し

た が っ てV×V上

で定 義

され た 複 素 数 値 関 数a(x,y)で  ⅰ)   ⅱ)   ⅲ ) 

次 の 性 質 を 満足 す る ものが 存 在 す る.

￨a(x,y)￨=1 φ(y)u(y)-1=a(x,y)φ(x)u(x)-1 a(x,x)=1,a(x,y)a(y,z)=a(x,z)

 ⅳ )

特 に  x∈Vを

故 に任 意 の 固 定 した とき1次 元 部分 空 間Cφ(x)⊂Cnは

な る.特 に主 張2)が

表 現 ρの不 変 部分 空 間 と

証 明 され た.

  3)の 証 明 に 移 ろ う.上

記 の 議 論 よ り1がLs とな る.逆

を 満 た す 関 数 と し よ う(存 在 は(V,E)が

,χの 固 有 値 な ら ば 

を 示 す た め にa(x,y)をⅰ),ⅲ),ⅳ) 樹 木 で あ る こ と か ら 明 ら か).x0∈V

を 固 定 し,φ:V→Cを φ(x)=a(x0,x)u(x) に よ り定 義 す る.ま

ず

し た が っ て φ∈Sχ を 示 せ ば よ い.σ=〈p〉 道c′ をo(c′)=ω(x),t(c′)=o(c)(=t(c))と

c′の リ フ トc′ をo(c′)=xと を 満 た す よ うに 選 ぶ.こ

の と き,pを

と り

な る よ うに 選 ぶ.

な る よ うに 取 り,次

にcの

の と き σ と共 役 な σ′に よ り t(c)=σ′o(c′)

とな る こ とに注 意 し て

代 表 す る 閉 道cを

リフ トcをo(c)=t(c′)

同 様 にφ(σ-1x)=χ(σ-1)φ(x).一 解 さ れ る よ う に,σ=σ1±1… φ(σx)=χ(σ)φ(x)と

 

L(s,ρ)に

般 の σ∈Gに σk±1,σiは

あ る

対 し て は,次

の 図 よ り直 ち に 理

〈pi〉 に 共 役,の

よ うに 書け るか ら

な り φ ∈Sχ.

つ い て の 主 張 は L(s,ρ)=det(I-Ls,ρ)-1,Res>h

を 示 す こ と に 帰 着 され る.こ Cnの

標 準 基 と し,D⊂Vを

の た め,ま

ずLks,ρ の 跡 を 計 算 し よ う.{ei}ni=1を

基 本 集合,す

なわち

(分離 和) と な る 集 合 と す る.こ

に よ り定 義 す る.Sρ

の と き ω:D→Vは

全 単 射 を 与 え る.Sρ

上の内積を

の 正 規 直 交 基 底 と し て{φx,i}x∈D,i=I,…,nを

その他の場合 に よ り定 義 す る.   補 題40.7 Lk(s,x,y)を,も t(c)=yと

な る な ら ば,exp(-sl(c))と

て 定 義 す る.こ

の とき

 証 明   まず 明 らか に

が 成 立.よ

し(V,E)の

っ て 次 式 を 得 る.

道cが

お き,そ

存 在 し て￨c￨=k,o(c)=x,

の 他 の 場 合 は0と

お くこ とに し

x=z,か は0で

つ あ る σ∈Gが あ る か ら,右

に 等 し い.こ t(c)=σxと

存 在 し てt(c)=σzと

な る とき を 除 い て上 の和 の 各 項

辺 は

こ で 和 は,(x,σ)∈D×Gで,￨c￨=kと

な る 道cに

よ りo(c)=x,

な る 対 に つ い て 取 っ て い る.こ れ は 補 題 で 主 張 す る 等 式 の 右 辺 に 他

な ら な い. 

(証 了)

  さ てLk(s,x,σx)≠0と t(c)=σxと 道 で あ る.逆 o(c)∈Dと

な る(x,σ)∈D×Gに

対 し て 道cを,￨c￨=k,o(c)=x,

な る よ うに 取 っ た と きc=ω(c)は(V,E)の に(V,E)内

の￨c￨=kと

な る よ うに 取 れ ば,あ

Lk(s,o(c),σt(c))≠0.こ

な る 閉 道cに

る σ ∈Gに

中 の￨c￨=kと 対 し て,cの

よ りt(c)=σo(c)と

な る閉 リフ トcを

な り

うして

を 得 る.   補 題40.8 

Res>hな

らば,級

数

は絶対収束 し

 証 明  簡 単 に 示 され る よ うに

よっ て級 数 

はRes>hな

ら ば 絶 対 収 束 す る.λ1,…,λNを

Ls,ρ の 固 有 値 と す る と

故に (証 了)   ￨c￨=kと

な る 閉 道cは,サ

イ ク ル と し て あ る 素 サ イ ク ルpに

よ りpmと

一

意 的 に 書 け る(m￨p￨=k).逆 個 で あ る.し

に サ イ ク ル と し てpmに

等 し い 閉 道cの

数 は￨p￨

たが って

一方

で あ るか ら,こ れ に 上式 を代 入 し て

を 得 る.こ

れ が 求 め る関 係 式 で あ っ た.

  注意   定 理40.3(5)に

お い て,χ の像 が有 限,す なわ ち あ る 自 然数kが 存 在 し てχk≡1

と仮 定 す る.こ の とき 任 意 の 素 サ イ クルpに

特 に,任

対 して

意 のp,p′ に 対 し てl(p)/l(p′)∈Qと な る.従 って,も

p,ｐ′ が 存 在 す れ ば,G=π1(V,E)の と思 って(P,G0,N)(N=exp

有 限 群G0へ l)のL-関

し 

の 全 射 を 取 り,G0の

とな る 表 現 をGの

数 を 考 え た と き,(P,G0,N)は,9節

表 現

の意 味 で

niceで あ り,素 サ イ クル の長 さ の分 布 に 関 す る密 度 定 理 を 得 る(命題9.4).   注 意   この 節 の 結 果 は,力

学 系 のL-関

数 の 性 質 を 研 究 す る際,有

益 な 方 針 とな る

(Adachi-Sunada[1]).

  §41  非 有 向 グ ラ フ のL-関

数(Iharaゼ

  30節

ー タ 関 数 の,p-進

で 定 義 し たSelbergゼ

察 す る の が 本 節 の 目的 で あ る.こ お い て 定 義 さ れ,そ をSerre[86]が 用 し,Iharaゼ   (V,E)を て(x,y)∈Eな る.(V,E)の

ー タ 関 数) 体 上 のSL2に

関 す る類 似 を 考

の 範 疇 に お け る ゼ ー タ 関 数 は,Ihara[40]に

の議 論 の本 質 的 部 分 は 有 限 グ ラ フの 言 葉 で 記 述 で き る こ と

示 唆 し て い る が,こ

の 節 で は 前節 で 展 開 され た 議 論 の 類 似 を 適

ー タ 関 数 の 有 理 性 を 示 す(Sunada[99]). 有 限 グ ラ フ と し,以 ら(y,x)も

辺 と 考 え,(x,y)と(y,x)は

閉 道c=(e1,…,en)と

な わ ちback-trackingの

後 辺 の 向 き は 考 え な い こ と に す る.し

同 じ辺 と思 うこ とに す

し て は,ei≠ei+2(i∈Z/nZ)と

な い も の)の

み を 考 え,Pは

の か ら な る サ イ ク ル 全 体 を 表 わ す こ と に し よ う.

たが っ

な る も の(す

そ の よ うな 閉 道 で 素 な も

  定 義41.1 

ユ ニ タ リ表 現 ρ:π1(V,E)→U(n)に

と お い て,Z(z,ρ)をIharaゼ

ー タ 関 数 と 名 づ け る.

  定 理41.2 

(V,E)を

連 結 と し,頂

定(=q+1)と

す る.こ

の と きZ(z,ρ)はzの

点υ を 端 点 とす る 辺 の 数 がυ に よ ら ず 一 有 理 関 数 で あ る.

  証 明   前 節 と 同 様,(V,E)を(V,E)の で あ る か らx,y∈Vを d(x,y)=￨c￨と

普 遍 被 覆 とす る.(V,E)は

結 ぶ(back-trackingの

お く とdはV上

る 条 件 はd(x,y)=1と

対 して

な い)道cは

の 距 離 を 与 え る.x,yが

樹木

一 意 的 に 決 ま る. あ る辺 の 両 端 点 で あ

な る こ と で あ る.

  線 型 写 像Am:Map(V,Cn)→Map(V,Cn)を

次 の よ うに 定 義 し よ う.

A0=Id,

Sρ は 前 と 同 様 に 定 義 す る と 明 ら か にAm(Sρ)⊂Sρ.Am,ρ

を制 限Am￨Sρ

とし て

定 義 す る.   主張 

Z(z,ρ)=(1-z2)-gρdet(I-A1,ρz+qz2)-1

こ こ でgρ=n(q-1)#V/2で

あ る.(q-1)#Vは

  こ の 主 張 を 示 す た め,両

辺 の 対 数 微 分 を 比 較 す る.〓mに

back

trackingを

よ う.こ

偶 数 で あ る こ とに 注 意.

許 さ な い 閉 道cで￨c￨=mと

よ り(V,E)内

な る も の全 体 を 表 わ す こ とに し

の とき

と お く と(N0,ρ=n#V)

  補 題41.3 

1)

  2)

 証 明  前節 と全 く同 様 な 方 法 に よ り

(G=π1(V,E),D⊂VはG-作 xか

ら σxへ

の(back-trackingの

用 の 基 本 集 合)が な い)道

の

示 さ れ る.(x,σ)に

と し,c=ω(c)と

す る.し

対 し てcを か しc=

(e1,…,em)は

閉 道 と し て はback-trackingし

て い る部 分 を 持 つ 可 能 性 が あ る

(次 の 図 を 見 よ).

0≦k≦[(m-1)/2]に

と お こ う.こ

対 して

の と き 対 応(x,σ)→cは

を 誘 導 す る.一

方,写

全 単射

像〓m(k)→〓m-2kを c=(e1,…,em)→c′=(ek+1,…,em-k)

に よ り 定 義 す る と,こ

れ は(q-1)qk-1-to-oneな

〈c〉=〈c′ 〉 で あ る か ら 主 張1)を   1)⇒2)を

らか に

得 る.

帰 納 法 に よ り 証 明 し よ う.m=1の

立 す る と 仮 定.こ

全 射 写 像 で あ る.明

と き は 明 ら か.mに

対 して 成

の とき

よ り

t=k+hと

お き 換 え れ ば,第2項

は

(証了)

 こ う し て 次 の 式 を 得 る.  (41.1)

  こ の 式 の 右 辺 を さ ら に 変 形 す る た め,次 に 述 べ る"普   Vの

元 を 基 底 とす るZ-自

Tm:Z[V]→Z[V]を

  補 題41.4 

由 加 群 をZ[V]に

遍"恒

等 式 を 利 用 す る.

よ り表 わ し,自

己 準 同 型Θm,

次 の よ う に 定 義 し よ う.

xを

不 定 元 とす る と

が 成 立 す る.   証 明   まず 明 ら か に Θ12=Θ2+(q+1)Θ0 ΘΘm=Θm+1+qΘm-1(m≧2) が成

り 立 つ.こ

れ よ りT1Tm=Tm+1+qTm-1(m≧1)が

直 ち に 得 ら れ る.し

た

とお け ば

か っ て 

T1x(f(x)-T0)=f(x)-(T0+T1x)+qx2f(x). 故 に

一 方T

m=Θm+Tm-2か

ら

(証 了)   一 般 に 準 同 型K:Z[V]→Z[V]に

対 し て 線 型 写 像f∈Map(V,Cn)→f￨K

∈Map(V,Cn)を

に よ り定 義 し よ う.こ

で あ る.明 なわ ち

こ で{kx,y}x,y∈Vは 

ら か にf￨K+H=f￨K+f￨H,(f￨K)H=f￨K°H,さ

に よ り定 義 され る行 列 ら にKがG-同

変,す

K° σ=σ°K(⇔kσx,σy=kx,y) と仮 定 す る と写 像f→f￨KはSρ →f￨ρKと

書 く こ とに し よ う.Am,ρ

を 不 変 に す る.こ

の 写 像 のSρ へ の 制 限 をf

の 定 義 よ りf￨ρ Θm=Am,ρ を 得 る.よ

って 上

の補 題 か ら

両 辺 の 跡 を 取 って 次 式 を得 る.

した が って

とな る か ら,こ

を 得 る.一

れ ら の 式 を(41.1)に

方

が 成 り 立 つ.こ ら,あ

代 入 して

うし て主 張 の式 の両 辺 の対 数 微 分 が 一 致 す る こ とが 示 され た か

る定 数Cに

よ り Z(z,ρ)=C(1-z2)-gρdet(I-A1,ρz+qz2)-1

と 書 け る が,z=0と

お け ば 直 ち にC=1を

  例(Ihara[40],Serre[86])Kを わ ち,vは

乗 法 群K×=K-{0}か

得 る. 

完 備 な 離 散 付 値vを らZへ

(証 了) 持 つ 体 とす る.す

の 全 射 準 同 型 で あ り,v(0)=+∞

な と

規 約 した と き v(x+y)≧min(v(x),v(y)),  を 満 た し,vの はKの

定 義 す るK上

の 距 離 が 完 備 な も の で あ る.O={x∈K;v(x)≧0}

付 値 環 と よば れ,π

極 大 イ デ ア ル は,πOに そ の 位 数 をqと

∈K× をv(π)=1と

等 し い.以

下,剰

余 体k=O/πOは

唯一 の

有 限 体 と仮 定 し,

の2次 元 ベ ク トル空 間 とす る.Wの

分 加 群 で あ り,K上Wを

て の 階 数 は2と

な る よ うに 選 べ ば,Oの

す る.

をK上 生 成O-部

x,y∈K

な る.二

存 在 す る と き,同

中 の 格 子 とは,有 限

生 成 す る も の で あ る.格

つ の 格 子L1,L2は,も

子 のO-加

しxL1=L2と

値 で あ る と い わ れ る.V={[L]}を

群 とし

な るx∈K×

が

格 子 の 同 値 類 全 体 か ら成

る 集 合 と し よ う.   2行2列 え る.各

の 線 型 群GL2(K)お σ∈GL2(K)は

PGL2(K)のV上

σ(L)に

よ り,Wの

を考

格 子 の 集 合 に 作 用 し,

の 効 果 的 作 用 が これ か ら 誘 導 さ れ る.PGL2(O)=GL2(O)/O×

と す る と,標 GL2(O)で

よび 射 影 線 型 群PGL2(K)=GL2(K)/K×

作 用L→

準 格 子O Oに

あ る か ら,Vは

対 す るGL2(K)の

安 定 化 群(イ ソ トロ ピ ー 群)は

次 の よ うに し てPGL2(K)の

等 質 空 間 と して 記 述 で

き る. V=PGL2(K)/PGL2(O).   集 合V上

に 距 離 を 導 入 す る.L1,L2を

用 す る こ とに よ り,L1のO-基 πbe2がL2のO-基

二 つ の 格 子 とす る と,単

底e1,e2お

よ び整数a,bを

底 と な る よ うに で き る.集

ま り,L2⊂L1と

な る の は,a,b≧0の

  (O/πbO)に

同 型 に な る.[L1],[L2]∈Vに

因子 論 を 適

適 当 に 取 れば,πae1,

合{a,b}はL1,L2の

み に よ り定

と き に 限 り,こ の と きL1/L2は(O/πaO) 対 し て,そ

の 距離 を

d([L1],[L2])=￨a-b￨ に よ り定 義 し よ う.明

ら か にd([L1],[L2])=0⇔[L1]=[L2]

  d([L1],[L2])=1と

な る と き([L1],[L2])を

E)を

定 義 す る.以

下,(V,E)が

  補 題41.5  格 子Lお 一 つ 存 在 す る:[L′]=υ

,L′ ⊂Lで

辺 と 名 付 け,非 有 向 グ ラ フ(V,

樹 木 に な る こ と を 確 認 し よ う.

よ びυ ∈Vに

(こ の 性 質 は 次 と 同 値:[L′]=υ,L′

.

対 し て,次

あ り,L′ ⊂Lで

の 性 質 を 満 た す 格 子L′

が唯

は この性 質 を 持 つ 格 子 の中 で 最 大 あ り 

).

  証 明   Lを[L1]=υ

とな る 格 子 とす れ ば,L1と

と書 く こ と が で き る.整 πaL1と

お け ば,L′

  補 題41.6 

数aを,πaL1⊂Lと

同 値 な 格 子 は πaL1,a∈Z,

な る 最 小 の も の と し て 取 り,L′=

が 求 め る 格 子 で あ る. 

d(υ,υ′)=1と

L′ ⊂L, 

(証 了)

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,[L]=υ,[L′]=υ

を 満 た すL,L′

が 存 在 す る こ と で あ る.さ

′,

ら に こ の と き,

πL⊂L′. ,と

  証 明   L′⊂L, 

な る υ,υ′ の 代 表L,L′

L′=Oπae1+Oπbe2(a,b≧0)と あ る い はb=0,と 1,b=0ま

な る 基e1,e2を

い う こ と と 同 値 で あ る,従

た はa=0,b=1が

を 選 ぶ.  L=Oe1+Oe2,

取 れば,条

件 

は,a=0

っ てd([L],[L′])=1よ

結 論 さ れ, 

り,a=

逆 は 明 らか で あ る. (証 了)

  (V,E)が

連 結 で あ る こ と を 示 そ う.[L],[L′]∈Vを

取 り,L′ ⊂Lと

す る.

Jordan-Holder列 L′=Ln⊂Ln-1⊂ を 構 成 す れ ば,d([Li-1],[Li])=1で

… ⊂L0=L あ る か ら,[L],[L′]は(V,E)内

の道

で 結 ば れ る.   次 に(V,E)に

は 閉 道(自

明 で は な い も の)が 存 在 し な い こ とを み る.こ の た

め に は,(υ0,υ1,…,υn)をback-trackingの ば 十 分,L0⊃L1⊃

… ⊃Lnを 

納 法に よ り  Ln=πaL0と

な い 道 と し た と き,υ0≠ υnを 示 せ と な る,υ0,…,υnの

代 表 と す る.帰

を 示 す(こ れ よ り υ0≠υnが 出 る こ と は,υ0=υnと な るa≧1が

す る と

存 在 す る こ と に な り矛 盾 が 得 ら れ る こ と に よ る).帰

納 法 の 仮 定 に よ り, 

格 子Ln,πLn-2はk-平

面 

の 異 な る直 線 の 逆 像 で あ る(も し 一致 す れば,υn-2=υnと を し な い と い う仮 定 に 反 す る).こ

な り,back-tracking

うし て

Ln-1=Ln+πLn-2 Ln-1≡Ln 

(modπL0)

と な る か ら,    [L0]∈Vと

(証 了) し,d(υ,[L0])=1と

し て,[L]=υ,L⊂L0,  加 群 と し てL0/πL0は

な る 頂 点 の 集 合{υ}を と な る 格 子Lが

階 数2で

あ り,L/πL0は

階 数1の

考 え よ う.各υに

対

唯 一 つ 定 ま る.O/Oπ直 和 因 子 で あ る か ら,

集 合{υ;d(υ,[L0])=1}と

射 影 直 線P1(O/Oπ)=P1(k)の

が あ る.#P1(k)=q+1で

あ る か ら,Vの

間 に は1対1の

対応

各 頂 点 か ら 出 る 辺 の 数 は 一 定 でq+1

に 等 し い.   Γ ⊂SL2(K)をtorsionfreeな に よ り,Γ

は(V,E)に

商 グ ラ フ(V,E)=Γ

離 散 群 と し よ う,Ihara[40](Serre[86]参

自 由 に 作 用 し,も ＼(V,E)は

体 上 のSL2に

  §42  Gel'fandの   1962年I.M. compact離

コ ン パ ク トな ら ば,

有 限 グ ラ フ で あ る(逆 も成 立).従

う な Γ に 対 し て ゼ ー タ 関 数Z(z,ρ)が 与 え ら れ たp進

し Γ＼SL2(K)が

考 え ら れ る が,こ

照)

っ て,こ

の よ

れ が 元 来Iharaに

よ り

付 随 す る ゼ ー タ 関 数 で あ る.

問題

Gel'fandは[27]に

お い て,PSL2(R)=SL2(R)/(±I)のco-

散 群 Γ に 関 す るL2(Γ ＼PSL2(R))上

誘 導 さ れ る ユ ニ タ リ表 現 が,共

のPSL2(R)の

右置換表現か ら

役 を 除 い て Γ を 決 定 す る か,と

し た.こ

の 節 で は5章

し て,こ

の 問 題 に 対 す る 反 例 を 作 る.実

い う問 題 を 提 起

で 用 い た 等 ス ペ ク トル 多 様 体 の 構 成 の ア イ デ ィ ア を 利 用 際Gel'fandの

問 題 は コ ン パ ク ト負 定

曲 率 リ ー マ ン 面 の 等 ス ペ ク ト ル 問 題 と 密 接 に 関 連 し て お り,1972年H.P. McKean[19]は,こ

の 観 点 か らSelbergの

跡 公 式 を 用 い て,Γ

の共 役 類 は上

記 の ユ ニ タ リ表 現 に よ り高 々有 限 個 を 除 い て 決 定 され る こ と を 示 し た.1980年 にVigneras[106]に

よ り与 え ら れ た 等 ス ペ ク トル な リー マ ン 面 の 例 は,こ

問 題 に 対 す る 反 例 に も な っ て い る.そ

の 構 成 の 方 法 で は,代

の

数 体 上 で 定 義 され

る 四 元 数 体 の 極 大 整 環 の 数 論 的 性 質 が 重 要 な 役 割 を 果 た し て お り,算

術的離散

群 の 族 の 中 に 反 例 の 候 補 者 を 発 見 す る こ と に 要 点 が あ る.し

の よ うな

離 散 群 の 共 役 類 は,対

か し,そ

応 す る リー マ ン 面 の 種 数 を 与 え る と 高 々 有 限 個 と な る こ

と が 知 られ て い る か ら(K.Takeuchi[109]),必 こ で は 非 算 術 的 離 散 群 に 注 目 し,そ

然 的 に 散 発 的 な 例 と な る.こ

の"generic"な

性 質 を 用 い て,Gel'fand

の 問 題 の 反 例 を 非 可 算 個 作 る こ と を 目 論 む(Sunada[97]).   〓 をunimodularな

局 所 コ ン パ ク ト群, 

が コ ン パ ク ト)な 離 散 群 と す る.ρ:Γ ニ タ リ表 現 と す る と,離 て 定 義 さ れ る.〓

→U(V)を

をco-compact(す

ヒル ベ ル ト空 間V上

散 群 の 場 合 と 同 様 に 誘 導 表 現 

の 作 用 す る ヒ ル ベ ル ト空 間V1は

な わ ち  のユ

が 次 の よ うに し

に よ り与 え ら れ(dσ は 〓 のHaar測 よ り定 義 さ れ る.自 題 は 

明 な 表 現1に

度 を 表 わ す),〓

の 作 用 はσf(σ1)=f(σ1σ)に

対 し て 

と お く,Gel'fandの

問

の とき

は〓 の中 で 共 役?

(ユ ニ タ リ同 値)  を 問 う も の で あ る.   補 題42.1 

と し,ρ を Γ の ユ ニ タ リ表 現 とす る と (ユ ニ タ リ 同 値).

 証 明   IndΓ0Γ(ρ)の 作 用 す る空 間 は,#(Γ＼ Γ0)<∞

に よ り与 え ら れ る か ら, 

と同 一 視 さ れ る.対

に 注 意 す れ ば,

の作用 す る ヒ ル ベ ル ト空間 は

応F→f∈V1をf(σ)=F(σ,1),逆

にf∈V1→Fを

F(σ,γ0)=f(γ0σ)に よ り定 義 す る と こ れ ら は 互 い に 逆 対 応 で あ り‖f‖=‖F‖,〓 の 作 用 と 両 立 す る こ と も 明 ら か で あ る か ら 補 題 の主 張 を 得 る.   次 の よ うなco-compact離

散 群 の 包 含 図 形 を 考 え よ う.

 (42.1)

Γ は Γ0の 中 で 正 規 と仮 定 す る.G=Γ ⊂Gで

あ り有 限 群 の3つ

  補 題42.2 

組(G,H1,H2)が

(G,H1,H2)が

  証 明   共 役 条 件 に よ り  標 準 的 準 同 型 とす る と

とな り,上 の補 題 を利 用 し て

＼Γ0,Hi=Γ

＼Γi(i=1,2)と

お く と,Hi

得 ら れ る.

共 役 条 件 を 満 た せ ば 

(ユ ニ タ リ同 値).

で あ る が,π:Γ0→

Γ＼Γ0=Gを

を 得 る. 

(証 了)

  次 に 包 含 図 形(42.1)を 取 り,H1,H2はGの

構 成 し よ う.ま

ず 共 役 条 件 を 満 た す(G,H1,H2)を

中 で 共 役 で な い も の と す る.torsion-freeなco-compact

群 Γ0⊂PSL2(R)で

次 の 性 質 を 満 た す も の を 選 ぶ.

 ⅰ)  リ ー マ ン 面 Γ0＼PSL2(R)/SO(2)の種数kはGの k≧3と

生 成 元 の 個 数 と 一 致 し,

す る.

 ⅱ)  Γ0はPGL2(R)の

中 で 極 大,す

な わ ち Γ′0⊃ Γ0を 離 散 群 とす る と Γ′0

Γ0.  ⅲ) 

Γ0は 非 算 術 的.

  これ ら の 性 質 を 満 足 す る Γ0は 非 可 算 個 存 在 す る こ と が,Teichmuller空 間 の 性 質 か ら知 られ て い る(Greenberg[29],Macbeath-Singerman[56], Takeuchi[109]).実

際[29]に

よ っ て 一 般 的 な Γ0はPSL2(R)で

も し そ の よ うな Γ0がPGL2(R)の で の 正 規 化 群N(Γ0)は SO(2)の

極 大 で あ り,

中 で 極 大 で な け れ ば,Γ0のPGL2(R)の

中

Γ0よ り大 き くな る.こ の と き リ ーマ ン 面 Γ0＼PSL2(R)/

等 距 離 変 換 群=N(Γ0)/Γ0は

非 自明 と な る.と

こ ろ が[56]に

よって

一 般 的 な Γ0に 対 し て は 等 距 離 変 換 群 は 自 明 で あ る こ と が 知 ら れ て い る .[109] に よ る 算 術 離 散 群 の 有 限 性 を 用 い れば,結

局 ほ と ん ど の Γ0がⅰ),ⅱ),ⅲ)を

満

た す こ と が 知 られ る.   a1,…,akをGの

生 成 元 と し よ う.Γ0は2k個

お よ び 関 係 式 

に よ り定 義 さ れ る群 と 同 型 で あ る(例1.

19).φ(Ai)=ai,φ(Bi)=1と Γ0→Gに

の 生 成 元A1,…,Ak,B1,…,Bk

す る と 

よ り,φ は 全 射 準 同 型

一 意 的 に 拡 張 さ れ る.Γi=φ-1(Hi),Γ=Kerφ

で あ る か ら 

.よ

っ て Γ1,Γ2がPGL2(R)の

とお くと

中 で 共 役 で な い こ とを 見

る こ と が 残 さ れ た.   あ るg∈PGL2(R)が hΓ0h-1が

Γ0と 通 約,す

指 数 と な るh∈PGL2(R)の の 非 算 術 性 か らC(Γ0)は [111]を

存 在 し てgΓ1g-1=Γ2と な わ ちhΓ0h-1∩

な る と仮 定 し よ う.C(Γ0)を

Γ0がh-1Γ0h-1お

よ び Γ0中 で 有 限

全 体 か ら な る 部 分 群 とす る とg∈C(Γ0)で 離 散 群 と な る(Margulisの

参 照 の こ と).Γ0⊂C(Γ0)で

定 理,証

あ り,Γ0

明 はZimmer

あ る か ら Γ0の 極 大 性 に よ り Γ0=C(Γ0).

特 にg∈Γ0.こ

うし て  φ(g)H1φ(g)-1=H2

が 得 ら れ,H1,H2がGの

中 で 共 役 で な い こと に 矛 盾 す る. 

  注 意   共 役 条 件 を 満 た す(G,H1,H2)と

し て,3節

た リー マ ン面 Γi＼PSL2(R)/SO(2)(i=1,2)の

の 例3.7を

(証 了)

考 えれ ば,上

種 数 は8k-7(k≧3)に

で構 成 し

等 し い.実 際,被

覆写像 Γi＼PSL2(R)/SO(2)→ の 被 覆 度 は#(Γ0/Γi)=#(G/Hi)=8で

Γ0＼PSL2(R)/SO(2)

あ り,gを

求 め る種 数 とす る と,ナ イ ラ ー数 の 被 覆

空 間 に 対 す る基 本 的公 式 か ら,2(g-1)=8.2(k-1)と   注 意   Buser[13]は,上

か ら張 り合 わ せ て作 るこ とに よ り,5あ 曲面 を構 成 し た.さ 種 数2お

な って,g=8k-7を

る いは7以

数4の 同 様 の例 を作 って い る.

問 題 が リ ー マ ン 面 の 等 ス ペ ク トル 問 題 と 関 係 す る こ と を 簡 単 に

説 明 し よ う.Γ1,Γ2⊂PSL2(R)をtorsionの  (ユ リ タ リ同 値)と 仮 定 す る.こ Γ2＼Hは

等 ス ペ ク トル で あ る.こ

な いco-compactな

れ を 示 す た め 

散 群 

こ で 両 辺 のK=

和

が 球 表 現 の と き の みdim  VλK=1と

っ て〓sに

な り,そ

の 他 の 場 合 は0で

よ り球 表 現 の 全 体 を 表 わ す こ と に す れ ば

さ ら に 

を 得 る.こ

般 のco-compact離

有 限 と な る こ と が 知 ら れ て い る([28]).こ

よ る 不 変 な ベ ク トル を 考え る と,直

を 得 る が,λ

をPSL2

を 既 約 表 現 に 分 解 す る:

重 複 度mλ(Γ)は SO(2)に

離 散 群 と し,

の と き リー マ ン 面M1=Γ1＼H,M2=

既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 同 値 類 の 全 体 と し,一

に 対 し て 

る.従

上 の種 数 を 持 つ 等 ス ペ ク トル定 曲 率

らに 最 近Brooks-Tse[12]は,種

よび3の 場 合 に つ い て は,等 ス ペ ク トル定 曲率 曲面 の存 在 は知 られ て い な い.

  Gel'fandの

(R)の

得 る.

記 の 構成 の 組 み 合 わ せ 的 側 面 に 着目 し,リ ー マ ン面 を微 小 片

と な り(cλ は Γ に は よ ら な い),

の こ とか ら,

は 等 ス ペ ク トル

あ

と な る.   注 意   Γ1＼H,  Γ2＼Hが

等 ス ペ ク トル と す ればvol(Γ1＼H)=vol(Γ2＼H)(定

注 意 参 照).Gauss-Bonnetの χ(Γ2＼H)を 得 る か ら,Γ1＼Hと は 種 数 で 決 定 さ れ る の で, 

公 式 を 用 い て,オ Γ2＼Hの

イ ラ ー 標 数 に つ い て の 等 式χ(Γ1＼H)=

種 数 は 等 し い.リー

(同 型)と

理16.6の

な る.

マ ン 面 の 基 本 群(の 同 型 類)

付

録

  本 論 で 用 い ら れ た い くつ か の 定 理 に,証 あ る.Wiener-IkeharaのTauber型

定 理 に つ い て は,通

い 形 で 使 用 す る の で(32節),特

常 の 仮 定 よ りも弱

に 詳 述 し た.

  A  Wiener-IkeharaのTauber型   φ(x)を[0,∞)上

明 を 与え る こ とが この 付 録 の 目的 で

定理

で 定 義 さ れ た 単 調 非 減 少 関 数 と し φ(0)=0と

仮 定 す る.

さ らに

と し た と き 次 の 条 件 を 満 足 す る も の と す る.   (1)  f(s)はRes>1で

収 束 す る. と し て,jε(t)を

 (2) 

に よ り定 義 す る.こ し,し

の と き 

か も局 所 可 積 分 関 数h(t)に

は測 度 零 の 集 合 の点 を 除 い て 収 束 よ り￨jε(t)￨≦h(t)を

  定 理   上 の 条 件 の 下 に φ(x)∼ex(x↑   注 意   Tauber型

満 た す.

∞).

定 理 を 扱 って い る テキ ス トの 多 く(例え ば 未網[ⅷ],Lang[52]は,

j(t)=limjε(t)の 広 義一 様 収 束 性 を 仮 定 して い る.   証 明   H(x)=e-xφ(x)と 上 の 関 数 と み な す.ま

お く,x<0に

対 し て φ(x)≡0と

ず 次 の こ と を 示 そ う.

と し た とき,次

式 を 得 る.

お い てHをR

故 に,ε を 固 定 し た とき￨t￨≦2λ

につ い て 一 様 に

次に

とお くと

こ こ で ε↓0と す る とLebesgueの

に 収 束 す る.こ

収 束 定 理に よ り左 辺 は

こ で 

と お い た.一

方

この こ とか ら

が 存 在 し  わ か る.よ

に 等 し い こ とが っ て

を 得 る.y↑

∞

に 近 づ く.第2の

が 得 ら れ た.

と し よ う.最

初 の 積 分 はRiemann-Lebesgueの

積 分 は π に収 束 す るか ら結 局

定 理 よ っ て0

 υ>λyと

す る と 

に 注 意.よ

っ て 次 式 を 得 る.

特に

が 成 立 す る.φ

の 単 調 性 に よ り,x2≧x1な

間 

らばH(x2)≧H(x1)ex1-x2.故

に区

上で

とな り,こ れ を 上式 に代 入 し て次 の評 価 を得 る.

yを 

に 取 り替 え る と (=P1(λ)と

と な る が,右

辺 は λ ↑∞

と し た と き1に

お く)

収 束 す るか ら

次 に 下 か らの評 価 を行 な う.今 示 した こ とに よ りH(y)は

よ り右 辺 はy↑

∞

と し た と き0に

yを 十 分 大 き くす ればH(y)<2P1(λ)で

が 十 分大 き いyに つ い て成 立.  yに つ い て

収 束 す る.し

有界であ り

た が って

あ るか ら

とおけ ば,や

は り十 分大 き い

こ うして

区 間[-b,b]に

おいては

で あ るか ら

に お き換 えれ ば

yを 

と な り,右

結 局,前

 B

辺 は λ ↑∞

と し た と き1に

収 束するから

の評 価 と合 わせ て 

を 得 る. 

Hardy-LittlewoodのTauber型

 φ(x)をx≧0で

定理

定 義 さ れ た 非 減 少 関 数 と し,t↓0と

が 成 立 し て い る と仮 定 す る.こ

の と きx↑

∞

とす る と

φ(x)=cxα/Г(α+1)+o(xα). こ れ を 証 明 し よ う.変

数 変 換t→t(n+1)を

よ って 任 意 の 多 項 式Pに

f(x)を

対 して

(証 了)

行 な うと

した とき

に よ り定 義 し,h(x)=f(-log に よ り,任

x),0≦x≦1と

お く.Weierstrassの

意 の 正 数 ε に 対 し て 多 項 式P1,P2が

に注意

.よ

近似定 理

存在 して

っ て

これ よ り

を得 るが,左

辺 は 

で あ る か らx=t-1と

に 等 し く,右 し,x↑

∞

  C  非 ユ ー ク リ ッ ドFourier変   5節 の 例5.3に

お い て,Rn上

とす れ ば 主 張 が 得 ら れ る.

換 の 関 数 のFourier変

ク トル 分 解 を 具 体 的 に 与 え る こ と が で き た.同 Fourier変

換 を 導 入 す る こ と に よ り,上半

シ ア ン に 対 し て も 可 能 で あ る.そ Helgason[39]を   Cayley変 ds2)を同一

辺 はct-α/Г(α+1)+o(t-α)

換 を 用 い て,ΔRnの

様 の こ と が,非

平 面(H,ds2)上

スペ

ユ ーク リッ ド

で 定 義 され た ラ プ ラ

の あ ら ま し を 述 べ よ う(詳 し くは,岡

本[ⅴ],

参 照 せ よ). 換 

に よ り,単

視 す る.Dの

と 記 す こ とに し て,D×Bの

を 考 え よ う.  見 な す と,Imzに

と な る か ら,回

位 円 板(D,ds2)と(H,

境 界 

を,B 関数

で あ り,Fν(w,1)をH上 等 し い こ と は 直 ち に わ か る.一

転 

が(D,ds2)の

方,簡

の関 数 と

単 な計算 に よ り

等 距 離 変 換 で あ る こ とに注

意すれば

を 得 る.  定 義C.1 

非 ユ ー ク リ ッ ドFourier変

に よ り定 義 す る.こ   定 理C.2 

換F:C∞0(D)→C∞(R+×B)を

こ で μDは(D,ds2)に

FはL2(D,dμD)か

距 離 同 型 を 与え,Fの

付 随 す る測 度 で あ る.

らL2(R+×B,νtanhπνdνdθ)の

上 へ の等

逆変換 は

に よ り与 え ら れ る.  系C.2.1 

ΔD(よ っ てΔH)の

ス ペ ク トラ ムは[1/4+,∞)で

あ り,す べ て 連 続 ス

ペ ク トル で あ る.

 定 理 の証明 の概略 を与え よ う.

と お く と,fν(w)は   (C.1)

を 満 た し,原 点0の

まわ りの測 地 極 座 標 

に 関 し て,半

径rの み に よ る関 数 で あ る か ら,

とお け ば,φνは 次 の微 分 方 程 式 を 満 足 す る.  (C.2)  (C.3) 

(C.2)はr=0で

φv(0)=1.

確 定 特 異 点 を 持 つ 微 分 方 程 式 で あ り,一

(C.2),(C.3)で

完 全 に 特徴 付 け ら れ て,φ-ν=φν

  u∈C∞0(D)を

半 径rの

み に よ る 関 数 と し よ う.こ

般 論 か ら φνは

を 満 た す こ と が わ か る. の とき

と な る.一

方Dに

次 の よ う な 座 標(x,t)を

Cayley変

換 でHに

に 他 な ら な い.従

戻 れ ば,Hの

導 入 し よ う:

座 標 と し て, 

を 考え る こ と

っ て体 積 要 素 は dμD(w)=dμ(z)=y-2dxdy=e-tdxdt

と 表 わ さ れ る.こ

うして

 (C.4)

を 得 る.u(tanh

r/2)はrに

関 し て 偶 関 数 と な る か ら,coth

こ と が で き る の で,u(tanh

r/2)=u[cosh

cosh

お け ば

s=cosh

t+e-tx2/2と

r]と

rの

表わ す こ と に す

関 数 と 考え る.こ

る

の とき

とな る の で,  (C.5)

が 成 立 し,Au(t)はcosh う.

  補 題C.3

 証 明  ξ≧0に 対 して

tの

関 数 と 考 え ら れ る.Au(t)=Au[cosh

t]と

お こ

ξ=1と

お けば,補

題 の 主 張 を 得 る. 

  (C.5)を(C.4)に

代入する と

と な る.Fourier逆

u(-ν)=u(ν)で

か 成 り立 ち,両

を 得 る.こ

(証 了)

変 換 に よ っ て(例5.3参

照)

あ るか ら

辺 をtに

関 し て 微 分 す る こ とに よ り,

こ で 補 題C.2を

用い ると

 (C.6)

とな るこ とが わ か る.  点w∈Dに

対 し て,Dの

等 距 離 変 換gwを

に よ り定 義 し よ う.u∈C∞0(D)に

と お い て 定 義 す る と,uwは

対 し てuw∈C∞0(D)を

半 径 の みに よ る 関 数 で あ る.こ

が 成 立 す るが,￨gw-1z￨=￨gz-1w￨と

な る こ とに注 意 す れ ば

の とき

 (C.7)

を 得 る.一

般 に,D上

に よ り 定 義 し よ う.す

の 関 数u1,u2に

対 し て,u1*u2を

る と(C.7)は uw(ν)=(u*fν)(w)

と 書 け る.

  補 題C.4  証 明

を 示 せば 十 分.簡 単 な 計 算 に よ り

を得 るか ら,次 式 が 成 立 す る こ とが わ か る.

変 数 変 換 

に よ り,dθ は 次 の よ うな 変 換 を 受け る:

従 って

が 得 ら れ,fν=f-νを   補 題C.4お

用 い て 主 張 が 得 ら れ る. 

よ び(C.6),(C.7)か

ら,逆

(証 了)

変 換 の 式 が 証 明 さ れ る:

特 にuが 半 径 のみ に よる関 数 の場 合 に は

が 成 立 す る.   Fが 等 距 離 同 型 に 拡 張 され る こ とを 見 よ う.補 題C.4を

用いれば

と な る.両

辺 にνtanhπν

を 掛 け てν で 積 分 す る こ と に よ り,

とな る こ とに注 意 す れ ば

を 得 る.す

な わ ち,非

ユ ー ク リ ッ ドFourier変

L2(D,dμD)→L2(R+×B,νtanhπνdνdθ)に の 像 は,L2(R+×B,νtanhπνdνdθ)の

換Fは,等 拡 張 さ れ る .Fに

中 で 稠 密 で あ る か ら,定

明 さ れ た.   こ れ ま で の 結 果 を 用 い て,ΔDの

は,非

ユ ー ク リ ッ ドFourier変

熱 核 を 求 め よ う.熱

換 に よ り,方

に 移 行 し,こ れ を解 い て

を 得 る.逆

変 換 に よ りu(t,w)を

とな る か ら,熱

核kD(t,w,z)は

距 離 写 像F:

求め ると

程 式

方程式

よ るC∞0(D) 理C

.2が 証

に よ り与え られ る.球 関 数 論 にお け る公 式 に よ り

と な る こ とが 知 ら れ て い る か ら(Lebedev[55]),

に注意 すれ ば

を 得 る.こ

こで公 式

を用 いれ ば,結 局

と な り,求

め る 表 示 が 得 ら れ た.

参 考

和

文

献

書

[ⅰ] 

松 島 与 三:多

様 体 入 門,裳

[ⅱ] 

竹 之 内 脩:函

数 解 析,朝

華 房,1965.

[ⅲ] 

村 上 信 吾:多

様 体,共

立 出 版,1969.

[ⅳ] 

服 部 晶 夫:多

様 体,岩

波 書 店,1976.

[ⅴ] 

岡 本 清 郷:等

質 空 間 上 の 解 析 学,紀

[ⅵ] 

岩 沢 健 吉:代

数 関 数 論,岩

[ⅶ] 

高 木 貞 治:代

数 的 整 数 論,岩

波 書 店,1971.

[ⅷ] 

末 綱 怒 一:解

析 的 整 数 論,岩

波 書 店,1950.

[ⅸ] 

岩 堀 信 子:グ

ラ フ と 確 率 行 列,産

倉 書 店,1968.

伊 國 屋 書 店,1980.

波 書 店,1952.

業 図 書,1974.

論 文 お よ び 洋 書 [1] 

T.Adachi

and

T.Sunada,Twisted

Perron-Frobenius

theorem

and

L-

functions,J.Funct.Anal.71(1987),1-46. [2] 

T.Adachi

curved

and

T.Sunada,Homology

of

manifold,J.Diff.Geometry

[3] 

T.Adachi

and

closed

geodesics

in

a

negatively

26(1987),81-99.

T.Sunada,Energy

spectrum

of

certain

harmonic

mappings,

Compo.Math.56(1985),153-170. [4]

D.V.Anosov

and

A.Avez,Theorie

Ergodique

des

Systems

Dynamiques,

Gauthier-Villars,Paris,1967. [5] 

M.F.Atiyah,R.Bott

index

and

[6] 

M.F.Atiyah,Elliptic

and

groups

M.Kuranishi,On

spaces,Ann.of

equation

and

and

von

M.Berger,P.Gauduchon

and Note

R.Brooks,The

the

holonomy

groups

of

locally

in

E.Mazet,Le

Spectre

Math.194,Springer

fundamental

d'une

groups

Verlag 1971 and

the

spectrum

Variete Rie .

of

the

Laplacian,

Comment.Math.Helv.56(1981),581-598. [10] 

R.Brooks,Combinatorial

Taniguchi Lecture [11] 

the

Neumann

Math.65(1957),411-415.

mannienne,Lecture [9] 

heat

32-33(1976),43-72.

L.Auslander

Euclidean [8] 

the

operators,discrete

algebras,Asterisque [7] 

V.K.Patodi,On

theorem,Invent.Math.19(1973),279-330.

Note

R.Brooks,On

preprint.

problems

Symp."Curvature in

and

Math.1201(1986) manifolds

in topology

spectral of

geometry,in Riemannian

the

Proc.of

manifolds"1985

,14-32. of

negative

curvature

with

isospectral

potentials,

[12] 

R.Brooks

[13] 

P.Buser,Isospectral

[14] 

A.Borel,Introduction

[15] 

J.W.S.Cassels

mic

and

R.Tse,Isospectral

surfaces

Riemann aux and

of

small

genns,preprint.

surfaces,Ann.Inst.Fourier groupes

36(1986),167-192.

arithmetiques,Hermann,Paris,1969.

A.Frohlich(ed.),Algebraic

Number

Theory,Acade

Press,London,1967.

[16] I.Chavel,Eigenvalues

in

Riemannian

Geometry,Academic

Press,New

York,1984. [17]  in

J.Cheeger,A

lower

Gunning,Problem

[18] 

bound for in

J.Cheeger,Analytic

the

smallest

eigenvalues

of

the

Laplacian,

Analysis,(1970),195-199. torsion

and

the

heat

equation,Ann.of

Math.109

(1979),259-322. [19] 

Y.Colin

de

Verdiere,Spectre

du

periodiques Ⅰ,Ⅱ,Compositio [20] 

J.J.Duistermaat

operators [21] 

and

and

periodic

et

longueurs

des

geodesiques

V.W.Guillemin,The

spectrum

of

positive

elliptic

bicharacteristics,Invent.Math.29(1975),39-79.

J.M.G.Fell,Weak

containment

ups,Canadian

and

the

induced

representations

of

gro

J.Math.14(1962),237-268.

[22] 

D.Fried,The

[23] 

R.Gangolli,Zeta

symmetric [24] 

Laplacien

Math.27(1973),83-106,159-184.

zeta

functions

of

functions

space

of

rank

R.Gangolli,Spherical

Spaces(ed.W.M.Boothby

of

Ruelle

and

Selberg's

Selberg

type

I,preprint.

for

compact

space

forms

of

one,Ill.J.Math.21(1977),1-42. functions and

on

semisimple

Lie

G.L.Weiss)Marcel

groups,in

Symmetric

Dekker,New

York

1972,

41-90. [25]  New [26] 

F.D.Gantmacher,Application

of

the

theory

of

matrices,Interscience,

York,1959. F.Gassmann,Bemerkungen

zur

vorstehenden

Arbeit

von

Hurwitz,Math.

Zeit.25(1926),665-675. [27] 

I.M.Gel'fand,Automorphic

Proc.Internat.Congress [28] 

functions

I.M.Gel'fand,M.I.Graev

Theory

and

and

the

theory

of

representations,

Math.(Stockholm,1962),74-85.

Automorphic

and I.I.Pyatetskii-Shapiro,Representation Functions,Saunders,Philadelphia,1969.

[29] 

L.Greenberg,Maximal

Fuchsian

[30] 

M.Greenberg,Lectures

on

groups,Bull.A.M.S.69(1963),569-573.

Algebraic

Topology,Benjamin,Menlo

Park,

1971. [31] 

F.P.Greenleaf,Invariant

cations,von [32]  Singer [33]  147.

Means

on

Topological

Groups

and

Their

Appli

the

Atiyah-

Nostrand,Reinhold,1969.

P.B.Gilkey,Invariance Index

Theory,the

Theorem,Publish

M.Gromov,Filling

or Riemannian

Heat

Equation,and

Perish,1985. manifolds,J.Diff.Geom.18(1983),1-

[34] 

V.Guillemin

curved [35] 

and

D.Kazhdan,Some

2-manifolds,Topology I.Gerst,On

inverse

spectral

results

for

negatively

19(1980),301-312.

the

theory

of

n-th

power

residues

and

a

conjecture

of

Kronecker,Acta.Arith.27(1970),121-139. [36] 

D.A.Hejhal,The

Duke [37] 

D.A.Hejhal,The

Note [38] 

in

Trace

and the

Riemann

Zeta

function,

Formula

for

PSL(2,R),Ⅰ,Ⅱ,Lecture

1001,(1983). Groups,and

Symmetric

Spaces,

York,1978. in

Harmonic

Analysis

on

Homogeneous

two

projective

Spaces,

1981.

Y.Ihara,On

discrete

p-adic

subgroups

of

field,J.Math.Soc.Japan

A.Ikeda,On

the

two

by

linear

group

18(1966),219-235.

spherical

space

tric,J.Math.Soc.Japan [42] 

formula

Geometry,Lie

Press,New

S.Helgason,Topics

over [41] 

Selberg

S.Helgason,Differential

Birkhauser,Boston [40] 

trace

Math.Springer,548,(1976),and

Academic [39] 

Selberg

Math.J.43(1976),441-482.

forms

which

are isospectral

but

not isome

35(1983),437-444.

M.Kac,Can

one

hear

the

shape

of

a

drum?,Am.Math.Mon.73(1966),

1-23. [43] 

W.Klingenberg,Riemannian

type,Ann.of [44] 

W.Klingenberg,Lectures

[45] 

A.Katsuda

ture

A.Katsuda

[48] 

Closed

geodesic

flow

of

Geodesics,Springer,New

T.Sunada,Homology

and

surface,to

and

T.Sunada,Homology appear

in

Anosov

York,1978.

closed

geodesics

in

certain

its

closed

S.Kobayashi

and

closed

geodesics

in

a

compact

Amer.J.Math.

D.A.Kazhdan,Connection of

with

manifolds,Proc.A.M.S.96(1986),657-660.

Riemann [47] 

on

and

Riemannian [46] 

manifold

Math.99(1974),1-13.

of

the

dual

space

of

a

group

with

the

struc

subgroups,Funct.Anal.Appl.1(1967),63-65. and

K.Nomizu,Foundations

of

Differential

Geometry Ⅰ,Ⅱ,

Interscience,1969. [49] 

K.Komatsu,On

adele

rings

of

arithmetically

equivalent

fields,Acta

Arith.

63(1984),93-95. [54] 

K.Komatsu,On

the

adele

ring

of

algebraic

number

fields,Kodai

Math.

Sem.Rep.28(1976),78-84. [51] 

N.Kurokawa,On

some

Euler

products Ⅰ,Ⅱ,Proc.Japan

Acad.60(1984),

335-338,365-368. [52] 

S.Lang,Algebraic

[53] 

S.Lang,Differential

[54] 

H.B.Lawson

Number

Theory,Addison-Wesley,1970.

Mauifolds,Addison-Wesley,1972. and

S.T.Yau,Compact

manifolds

of

non

positive

J.Diff.Geom.7(1972),211-228. [55] 

N.N.Lebedev,Special

Functions

and

their

Applications,Dover,New

curvature,

York,1972. [56] 

A.M.Macbeath

and

spaces,Proc.London [57] 

D.Singerman,Spaces

P.Malliavin,Geometrie

L'Universite [58] 

of

subgroups

and

Teichmuller

Math.Soc.31(1975),211-256.

de

Differentielle

Stochastique,Les

Presses

de

Montreal,1978.

A.Manning,Topological

entropy

for

geodesic

flows,Ann.of

as

to

Math.110

(1979),567-573. [59] 

H.P.McKean,Selberg's

Comm.Pure [60] 

trace

H.P.McKean,An

negative [61] 

formula

applied

a

compact

surface,

Appl.Math.25(1972),225-246. upper

bound

for

the

spectrum

ofΔon

and

eigenvalues

a

manifold

of

curvature,J.Diff.Geom.4(1970),359-366.

H.P.McKean

and

I.M.Singer,Curvature

of

the

Lapla

cian,J.Diff.Geom.1(1967),43-70. [62] 

J.J.Millson,On

the

manifold,Ann.of [63] 

first

Betti

number

of

a

constant

negatively

curved

Math.104(1976),235-247.

J.Milnor,Eigenvalues

of

the

Laplace

operators

on

certain

manifolds,

Proc.Nat.Acad.Sci.USA.51(1964),542. [64] 

J.Milnor

and

D.Husemoller,Symmetric

Bilinear

Forms,Springer,New

York,1973. [65] 

W.S.Massay,Algebraic

Topology:An

Introduction,Springer,New

York,

1977. [66] 

S.MacLane,Homology,Springer,New

[67] 

S.Minakshisundaram

of

the

Laplace

York,1963. and

operator

on

A.Pleijel,Some Riemannian

properties

of

the

eigenfunctions

manifolds,Canad.J.Math.1(1949),

242-256. [68] 

G.A.Margulis,Discrete

groups

of

motions

of

manifolds

of

curvature,(Russian),Proc.Int.Congr.Math.(Vancouver),vol [69] 

J.Milnor,A

note

on

curvature

non-positive

2,21-34. and

fundamental

group,J.Diff.Geom.2

(1968),1-7. [70] 

J.Milnor,Morse

[71] 

S.A.Morchanov,Duffusion

Theory,Princeton,1963.

Math.Surveys [72] 

W.Muller,Analytic

Advances [73]  for [74]  of [75] 

processes

in

torsion and

and orbits

W.Parry Axiom

Riemannian

geometry,Russian

M.Pollicott,An of

and A

R-torsion of

Riemannian manifold,

Math.28(1978),233-305.

W.Parry closed

and

30(1975),1-63.

Axiom

analogue A

flows,Ann.of

M.Pollicott,The

Chebotarev

of

the

prime

number

theorem

Math.118(1983),573-591. theorem

for

Galois

coverings

flows,preprint.

V.Ozols,Critical

Diff.Geom.3(1969),411-432.

points of

the

displacement

fution of an

isometry,J.

[76] 

M.A.Pinsky,The

spectrum

of

the

Laplacian

on

a

manifold

of

negative

curvature,J.Diff.Geom.13(1978),87-91. [77] 

R.Perlis,On

the

equationζK(s)=ζK′(s),J.Number

Theory

9(1977),242-

260. [78] 

M.Pollicott,A

complex

examples,Erg.Th.and [79] 

D.B.Ray

and

I.M.Singer,R-torsion

manifolds,Advances [80] 

in

M.Reed

and

Press,New and

Ruelle-Perron-Frobenius

and

two

counter

and

the

Laplacian

on

Riemannian

Math.4(1970),109-126.

B.Simon,Methods

of

York,Vol.1,Functional

Self

theorem

Dynam.Sys.4(1984),135-146.

Mathematical

Physics,Academic

Analysis,1975;Vol.2,Fourier

Adjointness,1975;Vol.3,Scattering

Analysis

Theory,1978;Vol.4,Spectral

Theory,1978. [81] 

D.Ruelle,Thermodynamic

[82] 

B.Randol,Small

Formalism,Addison-Weasley,Mass.,1978. eigenvalues

of

the

Laplace

operators

on

compact

Riemann

surfaces,Bull.A.M.S.80(1974),996-1000. [83] 

P.Sarnak,Prime

geodesic

theorems,Ph.D.dissertation,Stanford

Univ.

1980. [84] 

R.T.Seeley,Complex

powers

of

an

elliptic

operators,Proc.Symp.Pure

Math.10(1963),288-307. [85] 

A.Selberg,Harmonic

symmetric

analysis

Riemannian

spaces

and

with

discontinuous

applications

subgroups

to

Dirichlet

in

weakly

series,J.Indian

Math.Soc.20(1956),47-87. [86] 

J.P.Serre,Tree,Springer,New

[87] 

J.P.Serre,Linear

York,1980. Representations

of

Finite

Groups,Springer,New

York,1977. [88] 

Ya.Sinai,The

compact [89] 

asymptotic

manifold

of

behavior

negative

of

the

number

of

closed

orbits

on

curvature,Transl.A.M.S.73(1968),227-250.

S.Smale,Differentiable

dynamical

systems,Bull.A.M.S.73(1967),747-

817. [90] 

T.Sunada,Spectrum

of

a

compact

flat

manifold,Comment.Math.Helv.

53(1978),613-621. [91] 

T.Sunada,Trace

formula

for Hill's

operators,Duke

Math.J.47(1980),

529-546. [92] 

T.Sunada,Trace

positively [93]  pact [94]  France

curved

formula

T.Sunada,Tchebotarev's locally

symmetric

T.Sunada,Trace Seminor(Spectra

(1983),103-113.

and

heat

equation

asymptotics

for

a

in

a

non-

manifold,Amer.J.Math.104(1982),795-812. density space

of

negative

formulas,Wiener of

Riemannian

theorem for

closed

geodesics

curvature,preprint. integrals

and

asymptotics,Proc.Japan-

Manifolds),Kaigai

Rubl.Tokyo

com

a

[95] 

T.Sunada,Geodesic

in

Pure

[96] 

flows

Math.3(Geometry

and

of

T.Sunada,Riemannian

geodesic

random

Geodesics

and

coverings

walks,Advanced

Related

and

Studies

Topics)(1984),47-86.

isospectral

manifolds,Ann.of

Math.121(1985),169-186. [97] 

T.Sunada,Gel'fand's

discrete [98] 

problem

subgroup

of

T.Sunada,Number

in

Proc.of

held

at

[99] 

the

theoretic 6-th

Symp.on

unitary

representations

analogues

in

Differential

Taniguchi

spectral

Geometry

in

geometry

and

Symp.(1985),266-284,Springer

T.Sunada,Unitary

spectrum

geometry,to

and

with

appear

Differential

of

representations

twisted

some

Equations

of

in

Math.1201.

fundamental

groups

and

the

Laplacians,preprint.

砂 田 利 一,跡

公 式 とLaplacianのspectrum,数

[102] 

砂 田 利 一,幾

何 学 に お け る 数 論 的 方 法 に つ い て―zetaお

的 類 似 と そ の 応 用―,数 T.Sunada

applications,Proc.of

Lect.Notes

[101] 

[103] 

associated

Shanghai,China,1985.

T.Sunada.L-functions

[100] 

on

PSL2(R),Bull.A.M.S.12(1985),237-238.

ant

学33(1981),134-142. よ びL-関

数 の 幾 何 学

学38(1986),289-301. H.Urakawa,Ray-Singer zeta

functions

of

flat

manifolds,

preprint. [104] 

K.Takeuchi,Arithmetic

Soc.Japan [105] 

A.B.Venkov,Spectral

Inst.of [106] 

groups

with

signature(1,e),J.Math.

theory

of

automorphic

functions,Proc.Steklov

Math.153(1982). M.F.Vigneras,Varietes

Ann.of [107] 

Fuchsian

35(1983),381-407.

riemanniennes

isospectrales

et

non

isometriques,

Math.112(1980),21-32. S.P.Wang,The

dual

space

of

semisimple

Lie

groups,Amer.J.Math.

91(1969),921-937. [108] 

J.A.Wolf.Spaces

of

Constant

Curvature,McGraw-Hill,New

York,

1967. [109] 

S.Wolpert,The

Ann.of

length

spectra

as

moduli

for

compact

Riemann

Math.109(1979),323-351.

[110] 

K.Yosida,Functional

[111] 

R.J.Zimmer,Ergodic

Boston,1984.

Analysis,Springer,New Theory

and

York,1965. Semisimple

Groups,Birkhauser,

surfaces,

索

ア

行

amenableな

引

自明 な 表 現

群   157

 19

自 由 群   14

Albaneseト ー ラ ス  145 一 様 に 被 覆 され る開 集 合   1

自 由 積   14 樹 木   181

Iharaゼ ー タ関 数  188

G-バ

ナ ッ ハ 空 間   19

Wiener測

度  169

G-ヒ

ル ベ ル ト空 間   19

Epsteinゼ

ー タ関 数  120

上 半 平 面   128 ス ペ ク トル  36

L-関 数   55 エ ネル ギ ー積 分  97

ス ペ ク トル 分 解   38 ス ペ ク トラ ム   36

カ

ス ペ ク トラ ル ・ゼ ー タ 関 数  90

行

Kazhdanの

距 離  152

Kazhdanの

性 質(T) 

正則 表 現   20

156

正規被覆 3

完 備 な リー マ ン多 様 体  48

跡   43

基 本 群  7

跡 族   43

基 本領 域  68

跡 公 式   113

共 役 条 件   27

Selbergゼ

共 変 微 分   45

ゼ ー タ 関 数   56

極 座 標 表 示  63

測 地 線   46

曲 率 テ ン ソル  45

測 地 座 標   63

結晶群  105

双 曲 的 な 元   131

ー タ 関 数   136

原 始 的 共 役 類   101

素 サ イ ク ル   51

Gel'fandの

素 な 閉 測 地 線   51

問 題  194

素 な共 役 類   176

格 子   105 固 有 な 作 用  3

タ

サ

行

行

第 一 変 分 公 式   46

最 小 正 固 有値   165

第 二 変 分 公 式   47

最 小 ス ペ ク トル   151

Tauber型

指 数 写 像  48 シー ト   1

定理

Wiener-Ikeharaの― 

199

Hardy-Littlewoodの―

  202

指標  23

直 交 関 係 式   23,25

初 等 的 跡 公 式   114

直 径   45

弱包 含  162

等 距 離 表 現   19

自己共 役 作 用 素  37

等 ス ペ ク トル 多 様 体   123

凸 関 数  74

平 行 移 動   31 平 行 ベ ク トル 場  46

ナ

行

閉 道(=閉

曲 線)

熱 方 程 式  75

閉 測 地 線   51

熱核  74

Perron-Frobenius定 Hessian 

ハ

行

ホ ロ ノ ミ ー 表 現   32 ポ ア ン カ レ 計 量   128

被 覆 空 間  1 被 覆写 像  1

ヤ

被 覆 変換 群  2

行

ヤ コ ビ 場   48

被 覆度  7 Hilbert-Schmidt型 

有 限 表 示   15

42

有限被覆 7

非 正 曲 率 多様 体   92

有 向 グ ラ フ  180

非 有 向 グ ラフ  187 非 ユ ー ク リッ ドFourier変 Bieberbachの

理   182

97

誘 導 表 現   20

換   204

ユ ニ タ リ表 現   19

定理   105

普 遍被 覆  9

ラ

行

不 変平 均  157

ラ プ ラ シ ア ン   62

負 曲 率 多様 体  100

離 散 群  19

部 分 被 覆  2

リー マ ン 被 覆

フ ロベ ニ ウ ス変 換   52

リフ ト

Van-Kampen-Seifertの Fourier変

換   39

平 坦 ベ ク トル束   31

定 理   13

写 像 の―

 50

 2

素 サ イ ク ル の―

  51

平 坦 束 の 切 断 の―

平 坦 多様 体  104

Ray-Singerゼ

平 坦 トー ラス  118

連 続 ス ペ ク ト ラ ム  36

  68

ー タ 関 数  174

著

砂

田

者

利

1948年 東 京 に生 まれ る.1972年

一 東京工業

大 学 数 学 科 卒 業.1974年 東京大学 大学院 (理学 修 士)修 了.名 古 屋 大 学 理 学 部 助 手, 東 京 大 学 理 学 部 助 手,名

古屋 大 学 助 教 授 を

経 て,現 在,東 京 大学 理 学 部 教 授.理 士. 1979年4月-1981年3月,Bonn大

学博 学

(SFB)客 員 研 究員.1987年10月-1988 年3月,フ ラ ンスI.H.E.S.客 員 研 究 員. 1987年4月,日 本数学会彌永賞受賞

基 本 群 と ラ プ ラ シア ン 1988年3月3日

  第1刷 発 行

1992年6月10日

  第3刷 発 行

発行所 

株式 会社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話 03(3354)0131(代 表) 振 替 口 座  東

京9-125575

出 版 部   (編集)電 話03(3439)0172 ホー ル セ ー ル 部(営 業)電 話03(3439)0128

東 京 都世田区桜

C  Toshikazu PRINTED

Sunada IN

丘5-38-1

1988

JAPAN

定価 は外 装 に 表 示 して あ ります.

印 刷  研 究 社 印 刷 製 本  三 水 舎

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数 学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい うよ うな 受 動 的 な勉 強 だ け で は,は なは だ 不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た め に 現在 い ろ い ろ な 数 学書 が 出版 され てい る.し

か

し,数 学 の進 歩 は極 め て基 礎 的 な 考 え方 に 対 して さえ 常 に影 響 を与 え て お り,従 っ て どの よ うな 段 階 の 勉 強 で あ って も,常 に新 しい 考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ と が 望 ま しい.即 ち,新 しい 視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の 発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 かれ た書 物 が 要 望 され てい る.   本 叢 書 は この よ うな要 望 に応 え て企 画 され た もの で あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の 専 門 課程 の学 生 ま た は大 学 院 学 生 が そ れ ぞ れ の 分 野 での 話 題

対 象 に つ い て入 門 の段 階 か ら あ る程 度 の 深 さ まで 勉 学 す るた め の伴

侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ のた めに 我 々は 各 巻 の 話 題 の 選 択 に つ い て,十 分配 慮 し,現 代 数 学 の発 展 に と って 重 要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ てい な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に執 筆 をお 願 い し てい る.   学 生 諸 君 お よび 数 学同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よっ て数 学 の種 々 の分 野 に お け る基 本 的 な 考 え 方 を理 解 し,ま た 基 礎的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代数 学 の最 先端 へ 向か お うとす る場 合 の 基 礎 と もな る こ と を望 み た い.