ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Учебно-методическое пособие для вузов Составители: Л.Н. Баркова, И.В. Михайлова
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2008
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 30 июня 2008 года, протокол № 10
Рецензент И.Ф. Леженина
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3 курса очной формы обучения и 5 курса очно-заочной формы обучения математического факультета.
Для специальности 010101– Математика, направления 010200 – Математика. Прикладная математика.
Пособие, написано в соответствии с программой курса «Теория случайных процессов» для студентов 3 курса дневного и 5 курса вечернего отделений математического факультета, содержит краткие теоретические сведения, а также набор задач для самостоятельного решения. Элементы случайного анализа Рассмотрим случайный процесс
{xt (w ) , w Î W }tÎT
на
( W, A, R ) .
Обсудим аналитические свойства (непрерывность, дифференцируемость {x }
t tÎT ® L0 ( W, A, R ) , где L0 ( W, A, R ) – и интегрируемость) отображения T ¾¾¾
0 множество случайных величин, определенных на ( W, A, R ) . В L ( W, A, R )
существуют различные типы сходимости: сходимость почти наверное (п. н.), сходимость по вероятности, сходимость в среднем порядка r для Lr ( W, A, R ) , в частном случае при r = 2, сходимость в среднем квадратиче-
ском. В соответствии с этим можно рассматривать различные виды непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Так, например, случайный процесс {xt }tÎT непрерывен в t0 Î T , если
xt = xt0 в определенном смысле: существует lim t ®t 0
{
}
xt (w ) = xt0 (w ) = 1; п.н., если R w : lim t ®t o
{
}
R w : xt (w ) - xt0 (w ) > e = 0, e > 0; по вероятности, если lim t ®t 0
r
r M x t - x t0 = 0 . в среднем порядка r, если xt Î L ( W, A, R ) , t Î T, lim t ®t 0
Можно показать, что для первых двух типов нет смысла строить случайный анализ. А для сходимости в среднем квадратическом есть серьезная теория, которая получила название среднеквадратической теории. Критерий непрерывности случайного процесса в среднем квадратическом в точке (на множестве): случайный процесс
{x Î L ( W, A, R )} 2
t
tÎT
непрерывен в точке t0 Î T ( на T ) тогда и только тогда,
когда m ( t ) = M xt непрерывно при t = t0 и непрерывна ковариационная функция B ( t , s ) в точке ( t0 , t0 ) (на биссектрисе ( t , t ) для всех t Î T ). 3
Критерий дифференцируемости случайного процесса в точке (на
2 множестве): Случайный процесс {xt Î L ( W, A, R )}tÎT дифференцируем в точ-
ке t = t0 (на T ) тогда и только тогда, когда m ( t ) = M xt дифференцируема при t = t0 (на T ), а ковариационная функция имеет вторую смешанную производ-
ную в
точке
( t0 , t0 )
( на биссектрисе
(t, t )
для всех t Î T ), причем
¶B ( t , s ) = cov xt¢ , x s¢ для всех t , s Î T. m¢ ( t ) = ( M xt )¢ = M xt¢ , а ¶t ¶s
(
( )
)
Критерий интегрируемости случайного процесса: Случайный 2 процесс {xt Î L ( W, A, R )} интегрируем при t ÎT = [ a, b] тогда и только tÎT
тогда, когда на T = [ a, b] интегрируемо его математическое ожидание m ( t ) = M xt , и на T´ T интегрируема его ковариационная функция B ( t , s ) .
Задачи 1. Показать, что случайный процесс x t (w ) = x (w ) cos j t + h (w ) sin j t , t Î T = [ 0; ¥) ,
имеющий
параметры
M x (w ) = m1 . M h (w ) = m 2 , Dx (w ) = s 12 , Dh (w ) = s 22 , cov (x (w ) ,h (w ) ) = g , является непрерывным. 2. Будет ли случайный процесс с независимыми значениями {xt }tÎ[0;1] стохастически непрерывным ( по вероятности ) на [0;1] ?
3. Будет ли дифференцируем в среднем квадратическом на T случайный процесс -2 t а) xt = {e ( sin t + j )} , j : R [ 0, 2p ] ; t ³0
в) x t = { sin t sin ( 2t + j )}t ³0 , j : R [ 0, 2p ] ? Будут ли эти процессы дифференцируемы п.н.? 4. С.К.-дифференцируемый случайный процесс {xt }tÎT имеет матема-
тическое ожидание m ( t ) и ковариационную функцию B ( t , s ) . Найти математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса ht ( w ) = x t ( w ) + x t ¢ ( w ) .
{
}
tÎT
5. Пусть {xt }tÎT стационарный в широком смысле случайный процесс
(
)
- s -t 2 с ковариационной функцией B ( t , s ) = 1 + s - t + 0,125 × s - t × e . Сколь-
ко раз этот процесс С.К. дифференцируем? 4
6. Показать, что процесс, стохастически эквивалентный стохастически непрерывному процессу, стохастически непрерывен. 7. Рассмотрим на вероятностном пространстве
( W, A, R ) ,
представ-
ляющий собой отрезок [ 0,1] с s – алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, случайный процесс {xt }tÎT , определенный следующим образом:
ì 1, если прямая, проходящая через точку ( t , w ) параллельно ï ï x t (w ) = í прямой t = w , пересекает ось t в рацион. точке, ï ï 0, в остальных случаях. ïî Показать, что {xt }tÎT стохастически непрерывен, но все его траектории разрывны в каждой точке. 8. Показать, что случайный процесс {xt }tÎT , где T= [ 0, ¥ ) , являющийся винеровским случайным процессом, выходящем из нуля, интегрируем на T. 9. Для гауссовского случайного процесса {xt }tÎT , где T =R с матема-
2 тическим ожиданием m ( t ) = t и ковариационной функцией B ( t , s ) = 4ts
вычислить P {x ¢ ( 2 ) > 2} .
Стохастический интеграл Ито Пусть на вероятностном пространстве ( W, A, R ) задан стандартный винеровский процесс {wt }t ³0 . То есть {wt }t ³0 – случайный процесс, удовлетворяющий условиям: 1. w0 =0 почти наверное. 2. {wt }t ³0 – гауссовский случайный процесс. 3. m ( t ) = 0, B ( t , s ) = min {t , s} , t , s ³ 0.
4. Процесс п.н. непрерывный на R+ U{0} .
По этому случайному процессу построим поток s -алгебр { Ft }t ³0 , где
Ft = s {ws , s Î [ 0, t ]} . Из определения следует, что F0 = {Æ, W} ; Ft Î A, t ³ 0; Ft Ì Fs , при s £ t.
5
Физический смысл { Ft }t ³0 : в Ft содержатся все события, о наступле-
нии которых можно узнать, наблюдая процесс {ws } на промежутке [ 0,t ] .
Назовем ( W, A, { Ft }t ³ 0 , R ) стохастическим базисом. {xt }t ³0 – случай-
{Ft }t ³0 , если
ный процесс, согласованный с потоком
{w : x (w )Î B}Î F , t ³ 0, B Î B f ( w ( t ) ,..., w ( t ) ) , t £ t .
то есть
xt =
t
1
t
n
R1
x t - B R1 , Ft измеримо,
. Эта измеримость означает
j
Определение 1 (стохастического интеграла Ито) Для начала определим интеграл относительно винеровского случайного процесса на конечном интервале D = [ 0,t ] для случайных функций n ì ü x t = специального вида : í ( ) å x k I Dk ý – простая случайная функция, где k =1 î þt ³ 0 n
UD k =1
= T; D1 = [t1 , t2 ] , D 2 = ( t2 , t3 ] ,..., D n = ( tn -1 , tn ] ; {x k }k =1 – случайный вектор n
k
на ( W, A, R ) , x k – случайные величины такие, что M (x k ) существует, то 2
2 есть x k Î L ( W, A, R ) , k = 1,..., n . Утверждение: n
Если x k - BR1 , Ftk измерима, то x ( t ) = å x k I D k ( t ) - Ft измерима. k =1
Доказательство: Пусть t Î D фиксировано. Следовательно найдется такой интервал D k , что t Î D k . Таким образом x ( t ) = x k – Ft согласована при t Î D k , Ftk Ì Ft , слеk
довательно, x ( t ) Ft – измерима.
Определим стохастический интеграл от простой Ft согласованной функции { x ( t ) }tÎD относительно винеровского случайного процесса слеT
n
0
k =1
дующим образом: I (x ) = ò x ( t ) dw ( t ) = å x k Dwk , где I (x ) – случайная величина, заданная на ( W, A, R ) , Dwk = w ( tk +1 ) - w ( tk ) . Свойства стохастического интеграла I (x ) : T
1.
T
T
ò (ax ( t ) + bx ( t ) ) dw ( t ) = a ò x ( t ) dw ( t ) + b ò x ( t ) dw ( t ) , 1
0
2
1
0
6
2
0
где a , b – неслучайные числа; ванные случайные функции.
{
x1 ( t )
}, {
x2 ( t )
}
– простые Ft согласо-
T
2. M ò x ( t ) dw ( t ) = 0 . 0
3.
Изометрия Ито. 2
T æT ö M ç ò x ( t ) dw ( t ) ÷ = ò M (x 2 ( t ) ) dt . 0 è0 ø
Замечание: T
2
0
L2 ( W , A , R )
ò x ( t ) dw ( t )
2
æT ö = M ç ò x ( t ) dw ( t ) ÷ = è0 ø
T
ò
2
2
x ( t ) dt = x ( t )
0
L2 L2 [ 0, T]
.
Интеграл I (x ) для с.к.-непрерывной на D = [ 0, T ] функции x ( t ) можно ввести и по-другому. Определение 2 (стохастического интеграла Ито) Рассмотрим {x ( t )}t ³0 – с.к.-непрерывную функцию, заданную на ко-
нечном промежутке D = [ 0, T] и согласованную с потоком σ-алгебр { Ft }t ³0 , где
Ft = s {ws , s Î[ 0, t ]} , в этом случае стохастический интеграл T
I (x ) = ò x ( t ) dw ( t ) существует и обладает свойствами 1–3. 0
n
Пусть x ( t ) – с.к.-непрерывная функция на D = [ 0, T] . Пусть D = U D k – разk =1
T . Пусть n Обозначим
биение интервала D на n подынтервалов одинаковой длины D k =
{tk } , k = 1,..., n
–
точки
разбиения,
тогда
tk +1 - tk = h .
n
I n (x ) = å x ( tk ) Dwk , где Dwk – приращения процесса w ( t ) на промежутке k =1
D k , тогда справедлива следующая теорема:
если {x ( t )}t ³0 – с.к.-непрерывная на R+ U{0} , согласованная с потоком
{Ft }t ³0
n
случайная функция и D = å D k , , тогда k =1
7
T
n
å x ( t ) Dw k =1
k
k
¾¾¾ ® ò x ( t ) dw ( t ) . с .к n ®¥
0
T
Пример: Доказать, что
ò w ( t ) dw ( t ) = 0
1 2 ( w ( T) - T) . 2
Решение. Заметим, что Dwk имеет нормальное распределение с параметрами ( 0, h ) ,
{
поэтому M Dwk
2
}
{
= h, M Dwk
4
} ( {
= 3 M Dwk
2
})
2
= 3h2 по свойству гаус-
T ¾¾¾ ® 0 . Рассмотрим и n n®¥ I n (x ) : интегральной сумме
совского распределения. Заметим также, что h =
преобразуем k-й член в 1 1 2 w ( tk ) Dwk = éë w2 ( tk +1 ) - w2 ( tk ) ùû - ( Dwk ) . Отсюда получаем: 2 2 n 1 2 1 n 2 2 I n ( w ) = å w ( tk ) Dwk = éë w ( T ) - w ( 0 ) ùû - å ( Dwk ) . 2 2 k =1 k =1
n ì n 2ü 2 M íå ( Dwk ) ý = å M ( Dwk ) = nh = T , î k =1 þ k =1 n 2T2 ìn ìn 2ü 2 2ü 2 D D íå ( Dwk ) ý = å D ( Dwk ) = n2h = ® 0 , так , то есть íå( Dwk ) ý ¾¾¾ n®¥ n î k =1 þ k =1 î k =1 þ n ì 2ü 4 2 2 2 2 2 как D íå ( Dwk ) ý = M ( Dwk ) - M ( Dwk ) = 3h - h = 2h . Таким образом, î k =1 þ
{
n
å ( Dw ) k =1
k
2
}(
)
с.к . ¾¾¾ ® T , откуда в силу w ( 0 ) = 0 и предыдущей теоремы n ®¥
с.к . I n ( w ) ¾¾¾ ® n ®¥
1 2 ( w ( T ) - T ) , что и требовалось доказать. 2
Стохастические дифференциальные уравнения Введенные понятия с.к.-производной и интеграла позволяют рассмотреть проблему корректного описания линейного дифференциального уравнения со случайными возмущениями в правой части и случайными начальными условиями: h ¢ ( t ) = a ( t )h ( t ) + b ( t ) x ( t ) , t ³ 0, h ( 0 ) = n , (1) где h ¢ ( t ) – с.к.-производная, h ( t ) , x ( t ) – с.к.-непрерывные при t ³ 0 случайная функция, a ( t ) , b ( t ) – непрерывные функции, а n – некоторая случайная величина. 8
Определение. Случайная функция h ( t ) , t ³ 0 является решением уравнения, рассмотренного выше, если при каждом t ³ 0 выполнено t
h ( t ) =n + ò a (t )h (t ) dt + ò b (t ) x (t )dt , где в правой части ра0
венства все интегралы понимаются в с.к.- смысле. Для явного построения решения введем вспомогательную случайную функцию q ( t ) : ìïq ¢ ( t ) = a ( t ) q ( t ) , t ³ 0, í (2) q ( 0 ) = 1. ïî Известно, что введенная функция q ( t ) такова, что q ( t ) ¹ 0 при любом t ³ 0 ,
если
a ( t ) кусочно непрерывна. Пример. Показать, что случайная функция
h ( t ) = q ( t )n + q ( t ) ò q -1 (t ) b (t ) x (t ) dt , где q ( t ) - решение уравнения (2) удовлетворяет уравнению (1). Решение. Вычислим с.к.-производную функции h ( t ) , пользуясь свойствами операции с.к.-дифференцирования: t ù d é ¢ h ( t ) = êq ( t )n + q ( t ) ò q -1 (t ) b (t ) x (t ) dt ú = dt ë 0 û t
t
d -1 = q ¢ ( t )n + q ¢ ( t ) ò q (t ) b (t ) x (t ) dt + q ( t ) ò q (t ) b (t ) x (t ) dt . dt 0 0 Применяя правило дифференцирования с.к.-интеграла по верхнему пределу с учетом q ( t ) = a ( t ) q ( t ) , получаем -1
t é ù h ¢ ( t ) = a ( t ) êq ( t )n + q ( t ) ò q -1 (t ) b (t ) x (t ) dt ú + 0 ë û -1 q ( t ) q ( t ) b ( t ) x ( t ) = a ( t )h ( t ) + b ( t ) x ( t ) .
Таким образом, h ( t ) удовлетворяет уравнению (1) при всех t > 0 . Осталось проверить выполнение начального условия: h ( 0 ) = q ( 0 )n = n , поскольку
q ( 0 ) = 1. Итак, h ( t ) является решением уравнения (1), что и требовалось показать. n n n´m Пусть теперь x ( t ) Î R , f ( t , x ) Î R , s ( t , x ) Î R – матричная функm ция размера ( n ´ m ) , w ( t ) Î R – m -мерный стандартный винеровский случайный процесс, компонентами которого являются независимые стан-
9
дартные винеровские процессы, а n Î R n – случайный вектор начальных условий. Определение. Случайная функция x ( t ) является решением стохастического дифференциального уравнения dx ( t ) = f ( t , x ( t ) ) dt + s ( t , x ( t ) ) dw ( t )
на D = [ 0, T] с начальным условием x ( 0 ) =n , если ее можно представить для каждого t Î [ 0, T] в виде
x ( t ) =n +
t
t
0
0
ò f (t , x (t ) ) dt + ò s (t , x (t ) ) dw (t ),
где первый интеграл в пра-
вой части понимается в с.к.-смысле, а второй интеграл является интегралом Ито. Теорема. Пусть случайная величина n не зависит от {w ( t ) , t Î D} ,
{ } < ¥ , а коэффициенты уравнения
M n
2
f ( t , x ) , s ( t , x ) непрерывны по
n переменным t Î D, x Î R . Пусть также n а) найдется такое K < ¥ , что при всех t Î D, x Î R
f (t, x ) + s (t, x ) 2
2
(
£ K 1+ x
2
);
б) найдется такое C < ¥ , что при всех t Î D, x, y Î R n f (t, x ) - f (t, y ) + s (t, x ) - s (t, y ) 2
2
2
£ C x- y .
Тогда на D = [ 0, T] существует и единственно ( R - п.н ) непрерывное решение x ( t ) стохастического дифференциального уравнения с заданным на-
{
чальным условием, причем M x ( t )
2
} £ L (1+ M {n }) , 2
t Î D , где кон-
станта L зависит лишь от T и K. Задачи. 1. Случайная функция h ( t ) , t ³ 0 удовлетворяет уравнению
h ¢ ( t ) = ah ( t ) + x , h ( 0 ) = n , где x ,n образуют гауссовский случайный вектор, причем mx = M x , mn = Mn , dx = Dx , dn = Dt , r = cov (x ,n ) . Найти закон распределения случайной величины h ( t ) при любом t > 0. t
2. Вычислить дисперсию интеграла h ( t ) =ò x (t ) dt , если случайная 0
-a t -t функция x ( t ) имеет ковариационную функцию Bx ( t ,t ) = De .
10
3. Решить дифференциальное уравнение h¢ ( t ) + ah ( t ) = bx ( t ) , h ( 0) = 0 , где x ( t ) = Ut + V , где U , V – случайные функции с конечными вторыми моментами, a , b – постоянные коэффициеты. 4. Вычислить математическое ожидание и ковариационную функì ¢ t > 0, ï h (t ) = A (t )h (t ) + B (t ) x (t ) , , считая, что при кацию системы íï h 0 = n , ( ) ïî ждом t ³ 0 случайные величины n , x ( t ) являются некоррелированными, а функции mx ( t ) и Bx ( t1 , t2 ) известны. 5. Пусть центрированная случайная функция x ( t ) имеет ковариаци2 2 онную функцию Bx ( t ,t ) = s tt . Вычислить M h , где
æ pt ö h = ò x ( t ) sin ç ÷dt . èTø 6. Решить стохастическое дифференциальное уравнение 1 ì ï d x ( t ) = x ( t ) dt + x ( t ) dw ( t ) , 2 í ï x ( 0 ) = 1. î
7. Пусть x ( t ) решение уравнения
dx ( t ) = cos x ( t ) dt + cos x ( t ) dw ( t ) , x ( 0 ) = 0.
Показать, что h ( t ) = sin x ( t ) также является решением некоторого нелинейного стохастического дифференциального уравнения. Линейные стохастические дифференциальные уравнения Рассмотрим процесс x ( t ) , удовлетворяющий линейному стохастическому дифференциальному уравнению ìïd x ( t ) = a ( t ) x ( t ) + u ( t ) dt + b ( t ) dw ( t ) , í (3) x (0) = n ïî
с непрерывными коэффициентами a ( t ) , u ( t ) , b ( t ) . Было показано, что это уравнение имеет единственное решение. Найдем это решение явно. Для этого покажем, что процесс t
x ( t ) = Q ( t )n + Q ( t ) ò Q 0
-1
t
(t ) u (t ) dt + Q ( t ) ò Q-1 (t ) b (t ) dw (t ) 0
11
(4)
является решением уравнения (3), если матричная функция Q ( t ) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений ïìQ¢ ( t ) = a ( t ) Q ( t ) , í (5) Q ( 0 ) = I. ïî
Вычислим дифференциалы слагаемых в правой части выражения x ( t ) , используя правило с.к.-дифференцирования и формулу Ито: d ( Q ( t )n ) = Q¢ ( t )n dt , t t æ ö é ù -1 d ç Q ( t ) ò Q (t ) u (t ) dt ÷ = êQ¢ ( t ) ò Q-1 (t ) u (t ) dt + u ( t ) ú dt , 0 0 è ø ë û t æ ö é t -1 ù -1 d ç Q ( t ) ò Q (t ) b (t ) dw (t ) ÷ = Q¢ ( t ) ê ò Q (t ) b (t ) dw (t ) ú dt + b ( t ) dw ( t ) . 0 è ø ë0 û t
-1 В последнем равенстве учтено, что для h ( t ) = ò Q (t ) b (t ) dw (t ) по опре-
делению справедливо dh ( t ) = Q
0
( t ) b ( t ) dw ( t ) , а по правилу Ито в силу линейности преобразования g (h ( t ) , t ) = Q ( t )h ( t ) имеет место равенство d ( Q ( t )h ( t ) ) = Q¢ ( t )h ( t ) dt + Q ( t ) dh ( t ) . -1
Итак, окончательно получаем t t é ù dx ( t ) = Q¢ ( t )êê n +ò Q-1 (t ) u (t ) dt +ò Q-1 (t ) b (t ) dw (t )úú dt + u ( t ) dt + b ( t ) dw ( t ) . 0 0 ë û
С учетом Q¢ ( t ) = a ( t ) Q ( t ) и формулы (4) имеем dx ( t ) = a ( t ) x ( t ) dt + u ( t ) dt + b ( t ) dw( t ) ,
причем
начальное
условие
x ( 0 ) = Q ( 0 )n =n
выполнено,
поскольку
Q ( 0 ) = I. Таким образом, (4) действительно является решением уравнения (3).
Определение. Система дифференциальных уравнений dx ( t ) = ax ( t ) dt + udt + bdw ( t ) , x ( 0 ) = n
(6) с постоянными коэффициентами a, u, b называется асимптотически устойчивой, если все корни {lk } уравнения det ( a - lI ) = 0 лежат в левой полуплоскости, то есть Re lk < 0 . Справедлива теорема. Если система (6) асимптотически устойчива, то суm ( t ) ® m и S ( t ) ® S при ществуют m, S , такие, что для всех mn , Sn 12
t ® ¥. Предельные значения m, S удовлетворяют стационарным уравнениям метода моментов: am + u = 0, ì í * * îaS + Sa + bb = 0.
Задачи. 1. Пусть процесс x ( t ) , удовлетворяющий (3), в момент t Î D имеет
среднее m ( t ) = M x ( t ) и ковариационную матрицу S ( t ) = cov (x ( t ) , x ( t ) ) , а начальное значение x ( 0 ) не зависит от {w ( t )} . Показать, что m ( t ) , S ( t ) являются решениями следующих систем дифференциальных уравнений: m¢ ( t ) = a ( t ) m ( t ) + u ( t ) , m ( 0 ) = mn , S¢ ( t ) = a ( t ) S ( t ) + S ( t ) a* ( t ) + b ( t ) b* ( t ) ,
S ( 0 ) = Sn , где
mn = Mn , Sn = cov (n ,n ) .
2. Пусть скалярная случайная функция {x ( t ) , t ³ 0} удовлетворяет
dx ( t ) = ax ( t ) dt + bdw ( t ) , x ( 0 ) = n . Найти общее решение уравнению уравнения и вычислить математическое ожидание и ковариационную матрицу с помощью метода моментов. Рассмотреть поведение этих характеристик при t ® ¥ , если a > 0 . 3. Решить стохастическое дифференциальное уравнение dx ( t ) = ax ( t ) dt + bx ( t ) dw ( t ) .
ЛИТЕРАТУРА 1. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Т.М. Цветкова. – М. : МГТУ, 2000. – 447 с. 2. Миллер Б.М. Теория случайных процессов / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.
13
СОДЕРЖАНИЕ 1. Элементы случайного анализа ..................................................... 3 2. Стохастический интеграл Ито ...................................................... 6 3. Стохастические дифференциальные уравнения ......................... 9 4. Линейные стохастические дифференциальные уравнения ...................................................................................... 11
14
Учебное издание ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Учебно-методическое пособие для вузов Составители: Баркова Лариса Николаевна, Михайлова Ирина Витальевна Редактор И.Г. Валынкина
Подписано в печать Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 0,87. Тираж 50 экз. Заказ 280. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс) http://www.ppc.vsu.ru; e-mail:
[email protected] Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133
