Интегрирование тригонометрических функций. Методические указания к самостоятельной работе

Рецензия В работе даны кратко основные понятия и указаны подстановки, применяемые при интегрировании тригонометрических функций. Приведены примеры решения задач, задания для самостоятельной работы и варианты для проверки изученного материала.

Ключевые слова: интегралы, рациональнотригонометрические функции, подстановки, универсальная тригонометрическая подстановка, интегрирование тригонометрических функций.

на методическое пособие по теме «Интегрирование тригонометрических функций» для студентов 1 курса СФ, выполненная старшим преподавателем Цибеновой Р.В., к.э.н., доц. Сордохоновой Е.Н.

В работе дано краткое изложение теоретического материала и методов решения по теме «Интегрирование тригонометрических функций». Приведены примеры решения задач по теме. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов. В конце пособия даны варианты заданий для проверки изученного материала. Данная работа удовлетворяет требованиям к методическим пособиям и рекомендуется к изданию в РИО ВСГТУ.

Рецензент : к.э.н., доц. Бурлова Л.В.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Методические указания к самостоятельной работе

Составители: Цибенова Р.В., Сордохонова Е.Н. Рецензент : Л.В. Бурлова , к.э.н.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Методические указания к самостоятельной работе

Подписано в печать 25.04.2005 г. Формат 60х84 1/16. Усл.п.л. 1,39, уч.-изд.л.1,2. тираж 100 экз. Заказ №4.____

Составители : Р.В. Цибенова Е.Н. Сордохонова

Издательство ВСГТУ г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40 в.  ВСГТУ, 2005 г.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004

Тема «Интегрирование тригонометрических функций» имеет практический характер, используется не только в математике при решении многих задач, при изучении теории рядов Фурье, но и приложениях. Например , в математической физике при рассмотрении задачи о распространении тепла, задачи о колебании струны, в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов, в теории электрических цепей, в теории автоматического регулирования, при решении многих задач теоретической механики и сопромата. Техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Нужны определенные навыки и изобретательность которые приобретаются на практике. Необходимые умения. 1. Знать условия проверки для выбора подстановки. 2. Уметь выполнять преобразования. 3. Уметь выбрать подстановку удобную для данного интеграла. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Выполните задания: Прочитайте §1 и запишите определение рационально -тригонометрических функций. Изучите §2 и запишите основные формулы. Прочитайте и рассмотрите образцы решений §3. Воспроизведите блок-схему I в тетради. Изучите и воспроизведите в тетради блок-схему II. Пользуясь блок-схемами, указать подстановки в примерах:

a) ∫ sin 2 x ⋅ cos5 xdx

b) sin 7 x ⋅ cos x dx

c) ∫ sin 2 x ⋅ cos 4 xdx

d )∫ 2

dx sin 4 x cos 2 x

Самостоятельно найти решение этих интегралов. Для проверки обратитесь к решениям в §4. 7. Изучите §5 и вычислите интегралы:

∫ b) ∫ sin 3 x ⋅ sin 5 xdx c ) ∫ tg 4 xdx

a ) sin 6 x ⋅ cos 2 xdx

Ответы в §7.

Ответьте письменно на вопросы: а) Какой общий метод вычисления интегралов от функции рациональной относительно тригонометрических функций. b) Пользуясь блок-схемой I, запишите подстановки

∫ R(sin x) cos xdx;

∫ R(cos x) sin xdx .

Вычислите :

∫ sin

4

x ⋅ cos xdx,

∫ cos

3

x ⋅ sin xdx

Проверьте ответы дифференцированием. Дан

∫ R(sin x cos x)dx; какая подстановка быстрее ведет

к цели: t = tg

x 2

или

t=tgx, если sinx и cosx входят в

выражение R (sin x cos x ) , только в четных степенях ? 8. Вычислите

dx sin x − 3 cos 2 x (Ответ в §7).

a) ∫

2

3

Если оба показателя степени n и m нечетны, то как лучше производить «отношение» ? (у которого показатель степени больше или меньше) Вычислите:

b) ∫ sin 3 x ⋅ cos 47 xdx (Ответ в §7). 9. РЕШИТЕ, пользуясь блок-схемами I и II:

a) ∫ c) ∫

dx 5 + 4 sin x

b) ∫

dx 1 + cos2 x

1 − 2

1 − sin 2 x + cos 4 x будет sin 2 x + cos x

называться рационально-тригонометрическая. Значит рационально-тригонометрическая функция – функция полученная в результате рациональных действий над sinx и cosx (и действ.числами). А также выражениями, tgx + tg 2 x содержащими: tgx, ctgx, sin2x…Например, f ( x) = 1 − tgx можно записать как функцию вида R (sin x, cos x) следующим образом:

sin x sin 2 x + tgx + tg x cos x cos 2 x (sin x cos x + sin 2 x) cos x = = = 2 sin x − x x x cos (cos sin ) 1 − tgx 1− cos x 2 sin x ⋅ cos x + sin x . = cos 2 x − cos x ⋅ sin x 2

sin 3 x dx = ∫ sin 3 x cos x dx cos x

d ) ∫ cos 4 xdx

R(sin x, cos x) =

путем функция

e) ∫ cos2 x ⋅ sin 4 xdx

Выполните контрольное задание из §6. §1. РАЦИОНАЛЬНО – ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Для изучения темы «Интегрирование тригонометрических функций» рассмотрим понятие рационально-тригонометрических функций. Например

1 − u2 + u4 R (u, v) = получается в результате выполнения u2 + v над u и v некоторого числа рациональных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Если в этом выражении положить u=sinx, v=cosx, то полученная таким 4

При интегрировании тригонометрических функций будем рассматривать интегралы вида ∫ R (sin x, cos x)dx , где

R(sin x, cos x) рационально-тригонометрическая функция. Интегралами указанного вида являются, например, 5

dx 3 2 3 ∫ sin x , ∫ sin x cos xdx . Является ли интеграл ∫ sin 4 x cos xdx

интегралом вида

∫ R(sin x, cos x)dx ?

Нет , т.к. под

интегралом стоит функция, не рациональная относительно sinx и cosx.

5

§2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА

2dt x tg = t , dx = dx 1+ t2 = ∫ sin x = 2 2t sin x = 1+ t2 2dt x dt ∫ 2 2t = ∫ t = ln t + C = ln tg 2 + C. (1 + t ) 1+ t2

Рассмотрим общий вид нахождения интегралов вида ∫ R(sin x, cos x)dx . Любой интеграл такого вида решается

x (-π < x < π), которая называется 2 универсальной, и приводится к интегралу от рациональной 2dt функции t. В этом случае x = arctgt и dx = (1). 1+ t2 Найдем выражения sinx и cosx через t. подстановкой t = tg

x x x 2tg 2 sin cos sin x 2 = 2t 2 2 = = sin x = x x x 1+ t2 1 1 + tg 2 cos 2 + sin 2 2 2 2 x x x cos2 − sin 2 1 − tg 2 cos x 1− t2 2 2 2 cos x = = = = 1 1+ t2 2 x 2 x 2 x cos + sin 1 + tg 2 2 2

 2t 1 − t 2 ∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ R 1 + t 2 , 1 + t 2

 2dt  ⋅ 2  1+ t

dx

(2)

включите в таблицу.

(3)

x 2dt = t , dx = 2 1+ t2 = 2t 1− t2 sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt dt =∫ = 2∫ = 2 2  4(1 − t ) 2  6t 2  t + 6t + 9   + + 5  (1 + t ) (1 + t ) 2 2 1+ t2 1+ t  1+ t   dx ∫ 3sin x + 4 cos x + 5 =

tg

dt dt (t + 3) −1 2 2 = = +C = ∫ (t + 3)2 t 2 + 6t + 9 −1 2 2 =− +C = − + C. x t +3 tg + 3 2 = 2∫

Пример 1. 6

x

∫ sin x = ln tg 2 + C

Пример 2.

С помощью выражений (1), (2), (3) представим ∫ R(sin x, cos x)dx в виде интеграла от рациональной функции переменного t:

Равенство

7

§3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

∫ R(sin x, cos x)dx

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому рассмотрим случаи, которые быстрее приводят к цели. Эти случаи указаны в блок-схеме I. а) Если условие BY :

R(− sin x, cos x) = − R(sin x, cos x) , то лучше подстановку: cosx=t, sinxdx=-dt. б) Если выполняется условие: R(sin x,− cos x) = = −R(sin x, cos x) , то применить подстановку: sinx=t и cosxdx=dt. в) Если выполняется условие: R(− sin x,− cos x) = R(sin x, cos x) , то удобнее подстановка: dx = dt (или ctgx = t ) . tgx=t, cos2 x Такая подстановка используется и в интегралах вида ∫ R(tgx)dx . Пример 3.

1)

cos3 x ∫ 1 + sin 2 x dx Проверим условие (б)

для

данной

функции:

(− cos x)3 cos3 x =− . Условие (б) выполняется, 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2)

поэтому применяем подстановку sinx=t, cosxdx=dt. Выполним преобразование: cos3 x = cos2 x cos xdx = (1 − sin 2 x) cos x .

8

3)

sin x = t cos3 x (1 − sin 2 x) cos xdx ∫ 1 + sin 2 x dx = ∫ 1 + sin 2 x = cos xdx = dt = 1− t2 (t 2 + 1) − 1 dt t 2 dt dt dt = − = − ∫ 1 + t 2 ∫ 1 + t 2 ∫ 1 + t 2 ∫ 1 + t 2 dt = 1+ t2 dt dt dt =∫ − ∫ dt + ∫ = 2∫ 2 − dt = 2arctgt − t + C = 2 2 1+ t 1+ t t +1 ∫ = 2arctg (sin x) − sin x + C. =∫

Пример 4. dx x − 7 cos 2 x 1) Проверяем выполнение условия (в) для подинтегральной функции: 1 1 = 2 2 2 4(− sin x) − 7(− cos x) 4 sin x − 7 cos2 x Условие (в) выполняется, поэтому применим подстановку tgx=t. 2) Выполним преобразование: разделим числитель и знаменатель на cos2x dx tgx = t dx cos 2 x = dx = = ∫ 4 sin 2 x − 7 cos2 x ∫ 4tg 2 x − 7 = dt 2 cos x

∫ 4 sin

2

t− 7 1 dt dt 1 1 4 +C = =∫ 2 = ∫ = ln 4t − 7 4 t 2 − 7 4 2 7 t+ 7 4 4 4 =

1 4 7

ln

2t − 7 4 2 tgx − 7 +C = + C. ln 2t + 7 4 7 2 tgx + 7 9

БЛОК – СХЕМА I

БЛОК – СХЕМА II

∫ sin

∫ R(sin x, cos x)dx BУ

УП

ВУ

tgx = t , dx =

2dt 1+ t2

(а)

(б)

R(− sin x, cos x) =

R (sin x,− cos x) = − R (sin x, cos x)

R (sin x) cos x

− R(sin x, cos x)

m = 2k + 1 k ≥ 0; n − R

n = 2k + 1

ПР

ПР

cos 2 x x =

sin 2 x x =

= (1 − sin 2 x) x

= (1 − cos 2 x) x

cos x = t sin xdx = −dt

sin x = t cos xdx = dt

tgx = t ;

(в) П

tgx = t dx = dt cos 2 x

1 − cos 2 x 2 1 + cos 2x cos 2 x = 2 1 sin x ⋅ cos x = sin 2 x 2

ВУ – выполнение условий; В У - не выполнение условий; П – подстановка; УП – универсальная подстановка. 10

cos x = t sin xdx = − dt

TИ

dx cos x = dt 2

1 = 1 + tg 2 x = 1 + t 2 cos 2 x

ПР

sin 2 x =

П cos xdx = dt

m+n = P P − ЧO

ПР

П

sin x = t

R (− sin x,− cos x) = = R(sin x, cos x)

m − ЧП n − ЧП

k ≥ 0; m − R

П П

x ⋅ cos m xdx

ПУ

1− t2 2t , cos sin x = x = 1+ t2 1+ t2

R (cos x) sin x

n

sin n x cos m x =

П

=

sin n x cos m + p x cos p x

ПУ–проверка условия; ПР–преобразования; ТИ–табличный интеграл; ЧО–четное отрицательное число; ЧП–четное положительное число. 11

§4. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА

∫ sin

n

sin 7 x = sin 6 xsin x (" отщепили"sin x) = (sin 2 x)3 sin x =

x cos m x dx

Различные случаи интегрирования такого указаны в блок – схеме II, покажем на примерах:

= (1 − cos2 x)3 sin x 2) Заменим вида

Пример 1. Случай: m = 2k + 1(k ≥ 0) - нечетное число, n – рац.число (R).

∫ sin

2

5

x cos xdx

1) n=2 – рац., а m = 5 – нечетное, то выполним преобразование: cos5 x = cos4 x cos x («отщепили» cosx) =

= (cos x) cos x = (1 − sin x) cos x . 2) Заменим 2 5 2 2 2 ∫ sin x cos xdx =∫ sin x(1 − sin x) cos xdx 2

2

2

2

3) Применим подстановку: sinx=t, cosx dx=dt 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ∫ sin x(1 − sin x) cos x dx = ∫ t (1 − t ) dt = ∫ t (1 − 2t + t )dt =

t 3 2t 5 t 7 = ∫ (t − 2t + t )dt = − + + C. 3 5 7 4) Вернемся к старой переменной x: 1 3 2 1 2 5 5 7 ∫ sin x cos xdx = 3 sin x − 5 sin x + 7 sin x + C. 2

4

6

Пример 2. Случай: n = 2k + 1 (k ≥ 0) -нечетное число, m-рац.число (R). Рассмотрим: ∫ sin 7 x ⋅ cos x dx

1) n=7 – нечетное число, m=1/2 – рац.число. Выполним преобразования:

12

∫ sin

7

1 2

1 2

x ⋅ cos x dx = ∫ (1 − cos x) cos x sin x dx. 2

3

3) Используем подстановку: cosx=t; sinx dx=-dt

∫ (1 − cos

2

1 2

1 2

x) cos x sin x dx = − ∫ (1 − t ) t dt = 3

2 3

1 2

= − ∫ (1 − 3t + 3t − t )t dt = 2

1 2

4

5 2

6

9 2

13 2

= − ∫ (t − 3t + 3t − t )dt = 15  2 32 6 72 6 112 2 2 = − t − t + t − t  + C = 7 11 15  3 3 2

1 3 3 1 = −2t ( − t 2 + t 4 − t 6 ) + C. 3 7 11 15 4) Вернемся к старой переменной x:

∫ sin

7

1 2

x ⋅ cos x dx = 3 2

3 1  1 3 = −2 cos x − cos 2 x + cos 4 x − cos 6 x  + C 11 15  3 7 Пример 3. Случай: положительные (ЧП). 2 4 ∫ sin x ⋅ cos x dx .

m и n –четные числа,

1) n=2, m=4 – четные положительные числа, поэтому выполним преобразования: 13

sin 2 x ⋅ cos 4 x = (sin 2 x ⋅ cos 2 x) cos 2 x = 2

1  1 + cos 2 x = (sin x ⋅ cos x) cos x =  sin 2 x  = 2 2  1 = sin 2 2 x(1 + cos 2 x) 8 2

2

Здесь применили формулы понижения степени: 1 + cos 2 x 1 . sin x cos x = sin 2 x, cos 2 x = 2 2 2) Заменим

∫ sin =

2

x ⋅ cos 4 x dx =

1 sin 2 2 x(1 + cos 2 x) dx = ∫ 8

1 1 2 sin 2 x dx + sin 2 2 x cos 2 x dx. ∫ ∫ 8 8

3) Первый интеграл такой же, т.к. n=2 – четное положительное число, m=0. Во втором подинтегральная функция имеет вид R(sin x) cos x (см. блок-схему I). Следовательно, имеем 1 1 − cos 4 x 1 1 dx + ⋅ ∫ sin 2 2 xcos 2 x d (2 x) = ∫ 8 2 8 2 1 1 = ∫ (1 − cos 4 x)dx + ∫ sin 2 2 x d (sin 2 x) = 16 16 1 sin 4 x  1 sin 3 2 x = x− +C = + 16  4  16 3 x sin 4 x sin 3 2 x = − + + C. 16 64 48 x sin 4 x sin 3 2 x 2 4 sin x cos x dx = − + + C. Итак, ∫ 16 64 48

14

Пример 4. Случай: n+m=p, где р – четное отрицательное число (ЧО – обозначение в блок-схеме II). dx = ∫ sin − 4 x cos − 2 x dx . Дан ∫ 4 2 sin x cos x 1) Имеем n=-4, m=-2, a=m+n=-6; -6 – четное отрицательное число. Преобразования (см. блок-схему II): sin −4 x ⋅ cos −2 − 6 x sin −4 x cos −6 x sin − 4 x cos − 2 x = = = cos − 6 x cos − 4 x cos − 2 x 2

1 1 1 1  1  = tg − 4 x = tg − 4 x =  6 4 2 2 2 cos x cos x cos x  cos x  cos x 1 . = tg − 4 x(1 + tg 2 x) 2 cos 2 x 2) Заменим 1 −4 −2 −4 2 2 ∫ sin x cos x dx = ∫ tg x(1 + tg x) cos 2 x dx . 3) Используем подстановку: dx tgx = t , = dt cos2 x tgx = t dx −4 −4 2 2 2 2 ∫ tg x(1 + tg x) cos2 x = dx2 = dt = ∫ t (1 + t ) dt = cos x t −3 t −1 −4 −4 −2 2 4 = ∫ t (1 + 2t + t )dt = ∫ (t + 2t +1)dt = +2 +t +C = −1 3 1 2 = − 3 − + t + C. 3t t 4) Вернемся к старой переменной x: = tg − 4 x

15

dx 2 1 ∫ sin 4 x cos 2 x = − 3tg 3 x − tgx + tgx + C = 1 = − ctg 3 x − 2ctgx + tgx + C. 3

§5. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА

∫ sin ax cos bx dx,

∫ cos ax ⋅ cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, a ≠ b

В указанных интегралах подинтегральная функция преобразуется с помощью формул:

1 [sin(a − b) x + sin(a + b) x] 2 1 cos ax ⋅ cos bx = [cos(a − b) x + cos(a + b) x ] 2 1 sin ax ⋅ sin bx = [cos(a − b) x − cos(a + b) x ] 2 sin ax ⋅ cos bx =

Например,

1

∫ cos 5 x ⋅ cos xdx = 2 ∫ [cos(5 x − x) + cos(5x + x)]dx = 1 [cos 4 x + cos 6 x]dx = 1 ∫ cos 4 xdx + 1 ∫ cos 6 xdx = ∫ 2 2 2 1 sin 4 x 1 sin 6 x 1 1 = + + C = sin 4 x + sin 6 x + C. 2 4 2 6 8 12 =

16

Для вычисления

∫ tg

m

xdx, ∫ ctg m xdx (m ≥ 2 ) как в §3

в случае (в) можно применить подстановку tgx=t, ctgx=t или 1 1 формулы: tg 2 x = − 1, ctg 2 x = − 1. 2 sin 2 x cos x Пример:

∫ tg

3

x dx 2

1 способ решения: x x , tg t = = arctgt , x = 2arctgt 3 x 2 2 = ∫ tg 2 dx = 2dt dx = 1+ t2 dt t  2t  dt = 2∫ tdt − ∫ dt = = 2∫ t 3 = 2∫  t − 2 2  1+ t 1+ t2  1+ t 

= t 2 − ln 1 + t 2 + C = tg 2 = tg 2

x x  − ln1 + tg 2  + C = 2 2 

x 1 x x − ln + C = tg 2 + 2 ln cos + C. x 2 2 2 cos 2 2

2 способ решения: x  x 3 x 3 x  x 2 x ∫ tg 2 dx = 2∫ tg 2 d  2  = ∫ tg 2 tg 2 d  2  =    x x 1 x 1   x d  − = 2 ∫ tg  − 1d   = 2∫ tg 2  cos 2 x 2 cos 2 x  2   2   2 2  

17

x x x 2 + 2 ln cos x + C = − 2 ∫ tg d   = 2 2 2 2 2 tg 2

= tg 2

1. ∫

dx ; 2 − sin x

2. ∫ cos3 xdx ;

3. ∫ cos x ⋅ sin 3xdx ;

x x + 2 ln cos + C. 2 2

5. ∫

§6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

sin 2 x dx. cos8 x dx ; 1 + sin 2 x

3. ∫ sin 2 3 xdx ;

В 1. dx ; 3 cos x + 2

2. ∫

3. ∫ sin 3 x ⋅ cos 5 xdx ;

dx ; 2 4 sin x − 7 cos 2 x 4. ∫ sin 3 x cos 2 xdx ;

5. ∫ cos 2 xdx. 2

4. ∫ sin 2 x cos 4 xdx ;

В 4. 1. ∫

Вычислить интегралы.

1. ∫

В 3.

5. ∫

2. ∫ cos 2 x ⋅ cos 3xdx ; 4. ∫

dx ; sin x + cos x

dx ;

2. ∫ sin 5 xdx ; 4. ∫ cos 2 4 xdx ;

dx . cos 4 x

dx 1. ∫ ; 3 − 2 sin x + cos x

dx 2. ∫ ; 5 sin 2 x − 1

5. ∫

3. ∫ sin 10 x ⋅ sin 15 xdx ;

4. ∫ sin 2 x cos 2 xdx ;

В 6. dx ; sin x + 8 sin x cos x + 12 cos 2 x sin 3 x dx ; 3. ∫ sin 2 x ⋅ sin 5 xdx ; 4. ∫ cos 4 x

1. ∫

dx ; 2 + sin x

2. ∫

5. ∫ sin 2 5 xdx.

18

cos 4 x

dx . 1 + sin x

3. ∫ cos 9 x ⋅ cos 5 xdx ;

cos3 xdx 5. ∫ . sin x

3

В 5.

1. ∫

В 2.

sin 3 x

19

2

В 7.

1. ∫

В 11.

dx ; sin x + cos x + 1

3. ∫ sin 3x ⋅ sin 5 xdx ; 5. ∫

1. ∫

4. ∫ cos 4 xdx ;

3. ∫ sin 2 3 xdx ;

2. ∫

dx ; 1 + 3 sin 2 x

4. ∫ cos 6 x ⋅ cos xdx ;

5. ∫ sin 3 x ⋅ cos 4 xdx.

dx . sin x + 5 cos 2 x 2

В 12.

В 8.

dx 1. ∫ ; sin x − cos x 3. ∫ sin xdx ; 3

2. ∫ sin x ⋅ cos xdx ; 4

4

4. ∫ sin 3x cos xdx ;

В 9.

dx 1. ∫ ; 2 sin x − cos x 3. ∫ sin 5 xdx ;

2. ∫ sin x ⋅ cos xdx ; 2

4

4. ∫ sin 8 x cos xdx ;

dx . cos x ⋅ sin 4 x

dx ; sin x + 6 sin x cos x + 3 cos 2 x 2

3. ∫ cos 3x ⋅ sin xdx ;

В 10. dx 2. ∫ ; 1 + 3 cos 2 x

3. ∫ cos3 x ⋅ sin 3 xdx ;

4. ∫ sin 3 x cos 7 xdx ;

5. ∫ cos 2 3 xdx.

20

2. ∫ sin 5 x ⋅ cos 2 xdx ;

4. ∫ sin 4 xdx ;

dx . sin x + 2 cos x

В 13. cos3 5 x 1. ∫ 4 dx ; sin 5 x

2. ∫

3. ∫ cos 6 x ⋅ cos 2 xdx ; 5. ∫

2

dx 1. ∫ ; 3 + cos x

1. ∫

5. ∫

dx 5. ∫ . 3 cos x ⋅ sin x

5. ∫

dx ; 5 + 3 cos x

2. ∫ sin 2 x ⋅ cos3 xdx ;

dx ; 2 sin x + cos x + 2 4. ∫ sin 2 3 x ⋅ cos 2 3 xdx ;

dx . 2 sin x + 3 cos 2 x 2

В 14. dx sin 5 x dx ; ; 2. ∫ 4 + sin x cos 2 x x 5x 3. ∫ sin ⋅ cos dx ; 4. ∫ sin 4 x ⋅ cos 2 xdx ; 2 2 dx 5. ∫ . 3 sin 2 x + 1

1. ∫

21

Задание 8.

В 15.

1. ∫

dx ; 5 − 4 cos x

3. ∫ sin 4 xdx ; 2

5. ∫

2. ∫

3

cos x dx ; sin 6 x

4. ∫ sin 8 x ⋅ sin 3 xdx ;

dx . 3 sin x cos x

a)

1 2 3

b) −

В 16.

sin 3 xdx dx ; 2. ∫ 4 ; 4 − 5 sin x cos x x x dx 3. ∫ sin 2 ⋅ cos 2 dx ; 4. ∫ ; 2 2 2 16 sin x − 5 cos 2 x 3x 5x 5. ∫ cos ⋅ cos dx. 2 2

1. ∫

ln

tgx − 3 + C. tgx + 3

1 1 cos 48 x + cos50 x + C 50 48

Задание 9. x 2tg + 4 2 2 a ) arctg + C. 3 3 1 tgx b) arctg +C 2 2 5

§7. ОТВЕТЫ Задание 7. 1 1 a ) − cos 4 x − cos 8 x + C. 8 16 1 1 b) sin 2 x − sin 8 x + C 4 16 1 c) tg 3 x − tgx + x + C 3

22

2 c) − 2 cos x + (cos x) 2 + C 5 3 1 1 d ) x + sin 2 x + sin 4 x + C 8 4 32 x sin 4 x sin 3 2 x e) − − +C 16 64 8

23