Изучение фазовой дифракционной решетки: Методические указания к лабораторной работе

ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ

ИЗУЧЕНИЕ ФАЗОВОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ Описание лабораторной работы 5.2 по физической оптике

Новосибирск 1998

www.phys.nsu.ru 2

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский государственный университет

Физический факультет Кафедра общей физики

Л. Г. Филиппова

ИЗУЧЕНИЕ ФАЗОВОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

www.phys.nsu.ru Описание лабораторной работы 5.2 по физической оптике

НОВОСИБИРСК 1998

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 3

Представленные описания лабораторных работы составляют часть практикума по физической оптике для студентов второго курса физического факультета, факультета естественных наук и геологогеофизического факультета НГУ.

www.phys.nsu.ru Рецензент

© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru

©Новосибирский государственный университет, 1998

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 4

ИЗУЧЕНИЕ ФАЗОВОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

www.phys.nsu.ru 1.

ВВЕДЕНИЕ

Регулярные дифракционные решетки представляют собой совокупность большого числа расположенных на равном расстоянии штрихов одинаковой формы, нанесенных на плоскую или сферическую поверхность. В фазовых дифракционных решетках штрихам придается специальная форма, которая приводит к периодическому изменению фазы световой волны. Подбирая профиль штриха, можно сконцентрировать энергию в спектре того или иного порядка, ослабляя энергию, идущую в остальные прядки, в том числе и в нулевой порядок. По способу изготовления решетки бывают нарезные (оригинальные), реплики (копии с оригинальных) и голографические, получаемые путем фотографирования интерференционных полос.

2.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Рассмотрим сначала плоскую амплитудную отражательную решетку с периодом t. Пусть на такую решетку падает параллельный

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 5

пучок лучей под углом ψ к нормали. Разность хода между лучами, дифрагировавшими от соседних отражающих “штрихов” (рис. 5) равна Δ = Δ1 − Δ 2 = t (sin ψ − sin ϕ ) ,

для случая, когда углы ψ и ϕ лежат по разные стороны от нормали к решетке. Δ = t ( sin ψ + sin ϕ ) ,

если ϕ и ψ лежат по одну сторону от нормали к решетке. Обычно пишут Δ = t ( sin ψ + sin ϕ ) , считая, что углы падения и дифракции имеют разные знаки, если лежат по разные стороны от нормали к решетке.

www.phys.nsu.ru

Рис. 5

Пусть число штрихов решетки равно N. Наряду с явлением дифракции от каждого отдельного отражающего ”штриха” шириной b имеет место интерференционное сложение многих колебаний, исходящих из каждого “штриха” в рассматриваемом направлении ϕ. Распределение энергии по углам, даваемое дифракционной решеткой, определяется произведением двух функций I1(u) и I2(v). Первая

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 6

представляет угловое распределение энергии при дифракции от отражающей части штриха шириной b и равна 2

⎛ sin u ⎞ I 1 (u) = ⎜ ⎟ , ⎝ u ⎠

(11)

где u=

πb(sin ψ + sin ϕ )

.

λ

Угловое распределение (11) имеет максимум при u=0 {получается при раскрытии неопределенности 0/0} и нулевые значения при sin u = 0 (u≠0). То есть максимум отраженной энергии соответствует условию ϕ=-ψ (зеркальное отражение луча), а нулевые значения I1(u) располагаются под углами ϕ, удовлетворяющими условию

www.phys.nsu.ru sin ψ + sin ϕ = ±

λ λ λ ,±2 ,±3 , L b b b

Вторая функция I2(v) описывает угловое распределение энергии при интерференции одинаковых пучков света, количество которых равно общему числу N штрихов решетки: ⎛ sin Nv ⎞ I 2 (v ) = ⎜ ⎟ ⎝ sin v ⎠

2

(12)

где v=

πt (sin ψ + sin ϕ ) λ

.

Условие нулевых значений функции I2(v) соответствует Nv = nπ

(13)

Nt (sin ψ + sin ϕ ) = nλ

(14)

где n - целое число, или

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 7

Если же v=mπ (15), где m= 0, ±1, ±2, ±3,... обращается в нуль sin(v). Раскрытие неопределенности в (12) показывает, что в этих случаях I2(v) принимает максимальное значение. Из (13) и (15) следует, что соответствующее значение n кратно числу N. Таким образом, при n=Nm вместо нулевых значений получаются дифракционные максимумы, которые называются главными (в отличие от дополнительных, расположенных между главными максимумами). Дополнительные (или как их еще называют побочные) максимумы имеют практически нулевую интенсивность и мы их рассматривать не будем. Итак, условие главных максимумов t (sin ψ + sin ϕ) = mλ

(16)

является основным уравнением решетки. При данном угле падения ψ положение главных максимумов (для решетки с определенным t) зависит от длины волны λ. При этом каждой длине волны соответствует свой набор главных максимумов. Их нумеруют в соответствии с числом m, а число m называют порядком спектра. Для угла ϕ = ψ будет наблюдаться нулевой дифракционный максимум, который не содержит разложения света в спектр. С обеих сторон от него будут располагаться спектры первого порядка m= ±1, второго m= ±2 и т.д. порядков. Рассмотрим теперь фазовую отражательную решетку, изображенную на рис. 6. При отражении от ступенчатой решетки по нормали N′ к поверхности “штриха” возникает дополнительная разность хода, которая зависит от высоты h ступеньки “штриха”.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 8

Рис. 6

На рис 6 угол α соответствует углу падения, а угол β углу дифракции от каждого зеркального элемента b. Угол i определяет наклон “штриха” к поверхности решетки и называется углом “блеска”. Как отмечалось во введении, максимум энергии при отражении от поверхности “штриха” наблюдается под углом β=α (зеркальное отражение). Поэтому для создания решетки с концентрацией энергии в заданном направлении необходимо выполнить следующие условия: 1. Нулевой максимум от отдельного зеркального элемента, представляющий зеркальное отражение при α=β, должен совпадать с направлением на главный дифракционный максимум от всей решетки (см. (16)). 2. Спектр нулевого порядка решетки при этом должен попасть в направление минимума при дифракции от отдельного зеркального элемента. Такое перераспределение энергии может быть обеспечено соответствующим выбором угла блеска i (поскольку он и определяет дополнительную разность хода). При этом связь между углами ϕ и ψ получается в виде: ϕ=2i-ψ, т. е. в этом направлении ϕ для данного угла падения будет располагаться максимум отраженной от решетки энергии. Часто применяют автоколлимационную систему, для которой ϕ=i=ψ. Тогда по формуле (16) можно вычислить длину волны, которой соответствует максимум концентрации энергии

www.phys.nsu.ru mλ max = 2t sin i .

(17)

На рис. 7 приведены угловые распределения энергии в дифракционной картине в случаях a) дифракция от отражающей части “штриха” шириной b - функция I1(u); b) амплитудная отражательная решетка - функция I2(v); c) произведение I1(u) I2(v); d) фазовая решетка, h=λ (угол блеска решетки соответствует второму порядку дифракции для рассматриваемой длины волны).

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 9

Если решетка будет не строго периодической, то кроме основных дифракционных максимумов в спектре появятся дополнительные ложные спектральные линии, которые называются “духами” Роуланда. Они возникают из-за периодической ошибки шага винта делительной машины, на которой нарезаются решетки. Яркость этих линий в первом порядке спектра для изучаемой решетки составляет 0,1 % от яркости фактической линии.

www.phys.nsu.ru

Рис. 7 a, b

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 10

Рис. 7 c, d

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 11

3.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЯ ДИФРАКЦИИ ФРАУНГОФЕРА НА РЕШЕТКЕ

Все приведенные в предыдущем параграфе распределения интенсивности при дифракции, а также выражения для разностей хода лучей справедливы только для больших значений волнового параметра, т.е. для ð>>1. Если размер решетки l, длина волны λ, то это условие для волнового параметра (дифракция Фраунгофера) имеет вид R0 >>

l2 , 4λ

(18)

www.phys.nsu.ru где R0 - расстояние, на котором будет наблюдаться такая дифракция. o

Для λ = 5000 Α и размера решетки ~ 1 см получим R0>> 50 м. Однако дифракцию Фраунгофера можно наблюдать в лабораторных условиях, используя специальные оптические приспособления, например, зрительную трубу, которая состоит из объектива и окуляра. Объектив фокусирует параллельные лучи, идущие под одинаковыми углами, в одну точку фокальной плоскости (рис. 8).

Рис. 8

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 12

В фокальной плоскости объектива под углом ϕm наблюдается mтый дифракционный максимум, под углом ϕ0=ψ наблюдается нулевой максимум. Эта дифракционная картина рассматривается через окуляр (как через лупу). Для определения основных характеристик дифракционной решетки необходимо производить измерение углов, на которых наблюдаются главные максимумы для различных длин волн. В настоящей работе для измерения углов используется гониометр. Инструкция по его применению прилагается к работе.

4.

ОСНОВНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

www.phys.nsu.ru 4.1 Угловая дисперсия решетки

dϕ может быть вычислена путем dλ дифференцирования соотношения (16)

Угловая дисперсия решетки

{

}

d t (sin ψ + sin ϕ) = mdλ, t cos ϕd ϕ = md λ

и sin ψ + sin ϕ dϕ m = = d λ t cos ϕ t cos ϕ

(19)

Как видно из формулы (19) угловая (а, следовательно, и линейная) дисперсия прямо пропорциональна порядку дифракции и обратно пропорциональна расстоянию между соседними “штрихами” Поэтому для увеличения дисперсии необходимо увеличить число “штрихов” на единицу длины.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 13

4.2 Область свободной дисперсии

При заданных углах падения и дифракции условие главных максимумов (16) выполняется для многих длин волн лишь бы произведение порядка спектра m на длину волны λ сохранялось постоянным. Область свободной дисперсии для решетки определяется поэтому условием m( λ + Δλ 0 ) = (m + 1)λ

или G = Δλ 0 =

λ . m

(20) o

Например, в спектре второго порядка для λ = 5000 Α область o

свободной дисперсии Δλ0 составляет 2000 Α и простирается на 2000

www.phys.nsu.ru o

Α в обе стороны от рабочей длины волны, т. е. в области спектра от o

o

4000 Α до 6000 Α во втором порядке мы не встретим длину волны o

o

4000 Α третьего порядка (исключая крайнюю точку с λ = 6000 Α ).

4.3 Разрешающая способность решетки Теоретическая разрешающая способность решетки определяется равенством

Rт е о р = mN

(21)

см., например, [3]. В отличие от дисперсии, зависящей от числа штрихов на единицу длины решетки, разрешающая сила пропорциональна общему числу штрихов. Заменим порядок m через параметры решетки по (16) и допустим, что ψ=0. Тогда Rт е о р = mN =

Nt sin ϕ . λ

(22)

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 14

Как следует из (22) Rтеор решетки определяется общей шириной l=Nt и углом дифракции. Если взять предельное значение для ϕ=90°, то Rт е о р,max =

Nt . λ

(23)

Грубая решетка (большое t и малое N) будет иметь такую же дисперсию, как и “мелкая” (малое t и большое N) лишь при соответственно бо′льших порядках. Это следует из соотношения (1). Такие же выводы относятся и к разрешающей силе, как следует из (21). Но интенсивность спектров высоких порядков для обычной решетки быстро уменьшается (см. рис. 7 а, с). Попытка “расширить” огибающую путем уменьшения ширины прозрачной части не дает результата, поскольку при этом уменьшается световой поток, пропускаемой решеткой. Поэтому в высоких порядках могут быть использованы только фазовые решетки (см. рис. 7 d).

www.phys.nsu.ru ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

5.

1. Включить тумблером освещение шкалы для определения углов. 2. Включить ртутную лампу. 3. Установить входную щель коллиматора ≈ 0,1 мм, сфокусировать зрительную трубу, получив четкое изображение щели, и отсчитать значение угла поворота стола. 4. Поставить дифракционную решетку на столик гониометра так, чтобы угол падения составлял ≈ 60°. 5. Поворачивая зрительную трубу, найти неразложенное в спектр изображение щели (нулевой порядок) и определить точный угол падения света на решетку. 6. По зеленой и фиолетовой линиям ртути определить период решетки по формуле (16) с учетом того, что углы ψ и ϕ находятся по одну сторону от нормали к решетке. Порядок m разлагается. Выбрать самостоятельно. Измерение проделать для нескольких порядков; λЗ = o

o

5460 Α , λФ = 4358 Α .

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 15

7. Измерив угловое расстояние между желтыми линиями (λ1 = o o dϕ в 5769 Α , λ2 = 5790 Α ) определить угловую дисперсию решетки dλ первом порядке и результат сопоставить с соотношением (19) Вычисление провести для разных углов падения света на решетку. 8. Вычислить теоретически и экспериментально проверить в каком порядке спектры начинают перекрываться . 9. Определить число штрихов на миллиметр и полное число штрихов решетки. 10. Для спектра первого порядка по желтому дублету ртути способность решетки. вычислить теоретическую разрешающую Оценить также практическую разрешающую силу. Для этого определить во сколько раз ширина линий γ меньше расстояния между ними. Поделив dλ между линиями на величину γ получим тот интервал δλпр который входит в выражение для Rпр.[формула (4)] 11. При вычислении всех указанных характеристик решетки обязательно вычислить погрешности измерений: а) оценить систематическую ошибку при измерении углов; б) вычислив, в соответствии с пунктом 6 период решетки, определить среднеквадратичную ошибку для периода используя результаты, например, пяти измерений.

www.phys.nsu.ru 6.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Формула для разрешающей способности решетки была получена в предположении, что ширина спектральной линии обусловлена только дифракцией. Какова должна быть ширина щели коллиматора, чтобы выполнялось это условие? 2. Оказывает ли решетка поляризующее действие? Если да, то как можно это проверить? 3. Каков минимальный период решетки для работы с излучением, имеющим длину волны λ?

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 16

Лилия Григорьевна Филиппова

ИЗУЧЕНИЕ ФАЗОВОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Описание лабораторной работы 5.2 по физической оптике

www.phys.nsu.ru © Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru

____________________________________________________________ Подписано в печать Формат 60×84/16 Офсетная печать Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 ____________________________________________________________ Редакционно-издательский отдел Новосибирского университета; участок оперативной полиграфии НГУ 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2

www.phys.nsu.ru